2026高考数学函数考点
哈工大这次真的配想太妙，他出版的高中数学函数全解，解决了高中数学最让人头疼的函数章节。高中数学开窍飞快的秘诀就是学会八大函数。 妈妈，你能不能帮我把函数全解买回来？老师说，高中数学最难的章节就是函数了。是的，有经验的妈妈早就给孩子准备好了这本高中函数全解就是函数了。是的，有经验的妈妈早就给孩子准备好了这八大函数，每天看十五分钟，数学就像开窍了一样。 就是这本哈工大题型全解，它将高中三大核心知识点都整理在这本书里面了，就像翻书查字典一样方便。其中内容包含了必学的预备章节、必须了解的八类函数，函数的三要素、函数的四大性质，数形结合的三层间解、函数零点的四大问题，横成利与存在性问题。
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03:11查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天我们来看这样的题目，如果贪井阿尔法加四分之 pi 等于七，则三以阿尔法等于多少？这里呢？首先我们要认识一些小的公式啊，一些值啊，首先要知道这个贪井四分之 pi 啊，也就是四十五度啊，四十五度底下点个一，还有我们这里一个啊， 分解乘法里面的贪定阿尔法加贝塔，它等于多少？它等于一个贪定阿尔法加上一个贪定贝塔比上一个一减贪定阿尔法乘一个贪定贝塔啊，那么我们就可以把这里的这一个条件嗯， 也化简一下了，然后用这个公式啊，加起化减，我们就能得到这里的 弹挺阿尔法加四分之拍啊，等一起呢，等一个弹挺阿尔法加弹挺四分之拍除以一个一减弹挺阿尔法乘弹挺四分之拍，那么接下来就是一个啊， 弹挺阿尔法用把它换成这个吧，弹挺四分之一吧，那么就是一个弹挺阿尔法加上一啊，一减弹挺阿尔法 等于一个七，哎，现在我们把它乘过去啊，把这个分母乘过去，是不是就是一个贪听阿尔法加一等于一个七，减一个七倍的一个贪听阿尔法呀？现在 把贪听阿尔法移过来，就是一个贪八倍的贪听阿尔法等于个六啊，那么贪听阿尔法等于多少？等于个四分之三吧，好，贪听阿尔法出来了，那么现在这个三二阿尔法又怎么求呢？我们要知道一些小公式啊啊，我们这个三二阿尔法等于几啊？等于一个两倍的三二阿尔法， cosine 二法，还有一个就是一等一个 cosine 二方加 cosine 二方啊，还有就是我们这的一个贪心二法等于一个什么呀？ cosine 二法除以 cosine， 这是我们需要的小公式啊，这里其实是我们一个谐化切的题目啊，就是我们把我们的正弦与弦呢变成正切啊，你切，你看怎么来做呢？你看， cosine 二法 等于一个两倍的 cosine 二法，除以 cosine 二法，它是不是可以等于这里的两倍的 cosine 二法乘以 cosine 法？你看，用公式 三一二二法设定这个两百三十块三万八，他是不可以，他等于除以一啊，除以一跟上面一样吧，是吧，但是这个一可以变成什么呀？可以变成用这里的这个条件，是不是啊？变成一个我们的二三一二法，口三一二法 除以一个三一二方加口三二方啊，然后我们上下同除多少啊？这一个分式上下同除一个口三二方吧， 是吧？你看这个分子啊，两倍的三幺二法，你看啊，两倍的三幺二法，口三幺二法，他除以一个口三二方等于多少吧，消掉，消掉啊，两倍的三幺二法，上面是不是两倍的一个贪听二法呀？啊，你看这个三幺二方除以口三二方，是不是贪听二法的平方呀？再加上个一吧，那么你看， 那你二乘以四分之三吧，带进去就是二乘一个四分之三，比上一个四分之三的平方加上一个一啊，那么你看，上面是一个二分之三啊，下面是个多少呢？前面是一个十六分之九啊，加上一个一， 嗯，这我计算出来啊，它等于多少？等于二十五分之二十四啊，二十四。好同学，你看，这题就加完了，就选择这里一个 b 选项啊？ b 选项。
703高中数学石老师
06:08查看AI文稿AI文稿这道题明显仿照二零二四年一卷和二卷多选择题的考法，这题你不能在两三分钟之内做完，而且全对，那说明基础不是很扎实。首先这个函数里没有参数， 那第一件事就是竖形结合画图，画图你就得求导啊。所以 f 撇 x 等于 x 方减二， x 等于 x 乘以 x 减二，说明了什么？说明你的极值点 是 s 等于零和二，那你的中心就是在 s 等于一处取得中心，因为零和二是两个极点，你的中心就是一。来算一下，那 f 零是什么？ f 零函数在这吗？ f 零就是一， f 二呢，带进去三分之八减四加一等于负三分之一， 这俩都算出来了，那咱们算个中心，那 f 一 呢？ f 一 带到这个函数里啊，应该等于三分之一，这些都算完了啊。所以咱们就画图，像 一个坐标系，这是零，这是一，这是二啊。所以它经过哪个点啊？经过这个点零一点和这个点二三分之一点，还有一三分之一点， 然后那这是一个极大，这是一个极小三次函数。画吧，这图就长这样，俩极点一，求俩极点，有俩极点，中间任何一个三条都是对称中心，任何一个立方函数，三次函数均有对称中心， 这个对称中心就是两个极点的中点，也就是他，他是一个三角球，环岛是二角，也就是二次对称轴中间那个位置啊，不知道的啊，基础还是有问题啊。这个是我们高一讲函数就讲的， 高一你就应该知道任何一个三次函数，因为高一咱学二次函数，二次函数的进阶就三次函数啊。所以高一你就应该知道三次函数都有顿中心，这顿中心高一是用配立方来找到了，高二就是求导来找啊，不知道的把基础资料 啊打扎实。好吧，来你这图出来就可以选了。首先 y 等于负二 s， 这这哪来的切线？打死也不能是切线。你这个点是他，你这负二 s 肯定不是切线。所以一不对三个零点明显对一个两个三个，是吧？二 b 就 明显对了。然后再看三选项 导数，二减 x 等于 x， 说明什么？这个的意思是 f 撇 x 关于 x 等于一轴对称。 那你看一个立方函数，关于一中心对称。我问大家这个性质是否知道奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，这奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，知道吧？奇求导，奇偶函数求导会互换 啊。那其实这道题就是一样，你是一个一的中心对称，就是一个类似于奇函数的函数，那它求完倒就会变成类似偶函数的函数，不就这个函数吗？那它的轴你原来中心是一，那你求完倒 f 撇 x 的 轴， 也就是 i 等于一，所以 c 秒就对了。那这图一出，求完导到这， c 秒对， c 秒对。再看四 d， 四 d 说在零到 a 上有最大值，怎么叫有最大值？你是开区间就说明什么，就说明你这个点，这个极大值得在零和 a 加四中间， 对吧？光有这一个条件行吗？光这一个条件不够，第一个条件就是零得属于 a 到 a 加四这个极大值。你这样的话，比如说你的区间取的是这段， 那你这个区间上是有最大的，因为两边是开的啊，所以零属于它，这个里边可以得到什么呢？可以得到你的这个。呃， a 应该是要小于零，我看看啊， a 是 要小于零大于负四的， 对吧？那你要光这么选就中坑了。为什么呢？那你说有没有这样一种可能性，右边比它还高，有这个可能吗？ 想到没？你万一我是让你的极大值在中间了，但是呢，你的立方函数右边增的很快，结果右边你这玩意更大了， 但是你右边是开区间，你现在这种情况是不是又没有最大值了，对吧？那他是还得满足一个要求，叫做什么呢？叫做 fa 加四，右端他是不得小于等于 f， 零这个极大， 你说这俩得同时满足，是不是这俩同时满足才行？那你说老师这怎么算？不要这么算，咱们只需要验选择题嘛，只要验 a 等于什么？验 a 等于零时， 你的区间 x 属于零到四。辅部分题来，你看你的区间，如果从这，咱们比如说你的区间是从这卡的左边是零，右边到四，你看你这个四，算一下 f 四， f 四明显等于三分之六十四，再减十六加一等于三分之十六，再加一，他远大于一啊， 所以就说明如果你左端卡到这右边这个肯定是大于一的，所以这种情况不行，你这个四是取 a 等于零，是取不到的， a 等于零取不到，就说明右边这个零不是边界啊，能懂吗？ a 等于零的时候，右端出去了，就说明你这个区间如果左边就是贴着零取，你右边会比一高很多，是一个三分之十六加一就很高很高 啊，这是 f 四，所以就说明此时四 d 不 对，选 b 和 c。
309北大胡源数学思维
02:27查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天我们来看这道题目，在三角形 a、 b、 c 中，若贪停 a 等于二，贪停 b 等于三，则角 c 等于多少？好，首先同学们要复习一些基础知识点啊，就是在一个三角形内啊，这个 a 角加 b 角加 c 角，它等于多少？它等于派吧，这个派就一百八十度啊， 这是初中学的三角形内角和，那么你看，题目中是让我们求 c 角，这里的题目是一个贪点 a 和贪点 b 啊，那么啊，其实我们这个 c 角，根据三角形内角和的话，它是不是应该等于它派减去一个 a 加 b 呀？啊，是这样子的，那么 同学们要熟悉一个公式啊，就是我们这个右的公式，贪停派减去阿尔法等于一个负的贪停阿尔法，那么我们来尝试化解一下吧，你看，求 c 角题目给的都是一个贪停，都是贪停啊，那么我们就用贪停的公式呗。啊， 那么贪停 c 实际上就可以用我们刚才啊，这个右边化解的，它等于多少啊，它等于一个贪停派减去一个 a 加 b 吧， c 是 不是等于这个呀？ 是吧啊，你看 c 角是不是等于它呀？那么啊，再根据这里的一个啊，就是我们这里写的一个诱导公式啊，诱导公式，你把这个，我们把这个 a 加 b 啊，当做这个阿尔法，那么是不是应该写一个负的一个贪听 a 加上 b 啊？啊，还有我们这里一个三角恒等变换的公式，就是贪听阿尔法加一个贪听贝塔除以一个 e， 减去一个贪听阿尔法， 乘以一个贪悖比特啊，那么啊，这个公式啊，那么这个就直接套用这里的公式了啊，套用公式啊， 套用这里的公式啊，就可以直接变成多少呢？变成一个贪悖 a 加上一个贪悖 b， 除以一个一减一个贪悖 a 乘以一个贪悖 b 啊，可以把题目中的数据都带进去，就等于负的二加上三除以一减去一个二乘以三啊，你看这里的 啊，分子是五，你看一减去二乘三，哎，负五前面有个符号，五除以负五前面还有个符号，就等于一吧，是吧。啊，你看九角角 c 等于多少？你看同学们记住啊。啊， 它有多少度啊，它四十五度也是它四分之派等于几啊？一个一吧。啊，一啊，那么你看 c 角属于一个零到派， c 在 零到等于八之间啊，所以 c 等于多少啊？ c 等于一个四分之派吧，在零到一百八十度之间，只有它的四分之派等于一啊，好朋友们这期就选择一个四分之派了啊，好。
354高中数学石老师
11:02查看AI文稿AI文稿挑战四十分钟，带你学会高中函数全部公式、二级结论，精讲十类核心题型与解决方法，指画考试重点干货浓缩无废话，一节课搞定函数所有高频考点，高中函数所有必考公式，秒杀！结论，一次性串讲，全是考场上直接套用的干货。咱们直接开讲 咱们今天函数的大串讲会，从这十个方面去给大家讲解，那这是我们的函数的拿分命脉，就这十个，大家看好了，我们一个一个开始给大家去讲我们的第四个板块，也就是我们的奇偶性的一个判断，这块主要我们讲一下这个判断方法以及它的常用结论。首先我们来看一下它的判断方法。 第一种方法就是定义法，也就是我们的 f x 等于 f x， 这是偶函数， f x 等于负的 f x 就是 奇函数，这个定义大家一定要记清楚。第二种方法就是性质法，就是我们的 g 加 g 等于 g， 对 吧？或者减也是偶加偶等于偶， g 乘啊，偶等于 g 乘 g 等于偶， g 的 绝对值等于偶，这个大家可以记住，就当作那种正负号就行了，对吧？比如说我们的负负得正，就把 g 函数当做负号，把偶函数当正号，就可以很容易把这个性质记清楚。 这个在我们的考试中，历届考试中也是考的非常多，但他可能会埋的比较深，我们这会拿一道真题给他说，那比如说我们的这三种方法，就是我们的图像法，就是如果你能把图像做出来， 对吧？那我就直接关于 y 轴对称偶函数，关于圆点对称奇函数，不过图像法是可遇不可求的，对吧？我们不一定能做出来图的，就我们更多用的就是我们的定义法和我们性质法会多一点。那除此之外，我希望大家还要记住，就是我们的一些常用的结论，这是我们考试中，我们历届高考题中出的非常高频的几种常用的 函数的基友性。比如第一个就是我们的 a 的 x 方加上 a 的 负 x 方，这一定是个偶函数，大家可以拿性质法或定义法直接判断出来的。 第二个就是我们的 a 的 x 方减去 a 的 负 x 方，这是个奇函数，这两个结论一定要背过。第三，第二个就是我们的这样的一个指数形式，就是 a 的 x 方减去 a 的 负 x 方除以一个 a 的 x 方加上 a 的 负 x， 上面是一个不是个 g 的 吗？下面是个 o 的 吗？这是 g 除以 o 还是个 g 的， 那同理这边也是一样的，你把它整体化，减一除一，除一个 a 的 二 x 方加一，这个也是 g 函数，这两个函数一定要去记住把它截屏下来背过它。 还有一个就是 g x 等于 log 以 a 为底， b x b 加 x 分 之 b 减 x， 但这个也是计算数，要背过。当然其实你还可以把它进行延伸成什么这个 g x， 也可以把这个 它的真数上面这个分子分母啊，它可以把这个顺序调换一下，你可以写成 m x 减 b 除以个我们的 m x 加 b 就相当于这块，也可以是把变量放前面那个，这个常数放后面，加减都可以，分子上谁加谁减都可以的好吧，这些都是奇函数，完全可以通过我们的性质法直接验证过来的，好吧，这个我们当作常用结论直接背过他，因为我们在考试，考试中没有时间去推他。 第三个就是我们的这样那个对数形式， log 以 a 为 d， 这个 x 加上根号 x 平方加一，这样的函数就是奇函数， 对吧？然后这个当然理论上这个它是根号 x 平方加一再减 x， 这个也是奇函数，这两个函数都是一个奇函数，这个要记清楚。 那我们来看一道我们的这样真题，他说 f x 等于这样的一个函数，它是个偶函数。首先大家看到了这个形式了没有？这是我刚才我们在讲的，你看这是这就是 long x 就 相当于是对数函数的一个特殊情况嘛，那它肯定也是满足这个的， 是吧？所以现在是 m 是 二吗？然后我们的 b 是 一对吧，所以这就是一个 g 函数，后面这是 g 函数，而前面的我要怎样才能让他？那你要整体要是个偶函数吗？那前面肯定是个 g 的， 相当于是我的 y 等于 x 加 a， 要是个 g 函数， 本来原来的 x 就是 个 g 函数，结果你还要向上平移或向下平移，你不能向上向下平移了，向下平移以后，他就不关圆点对称了，所以这个题 a 必须是零对对的直接秒掉 a 等于零。 再来看一下我们的第五个板块，也就是周期性的，以及我们的还有一些比较常用的二极论，这个要一定要背过，这是我们小题的常考点。那还注意 周期的定义，就是 f x 加上 t 等于 f x， 如果这样的一个式子横成立，那我们 t 就是 它的一个最小正周期， 好吧，常用的结论有哪些呢？这个要背过。第一个就是我们的 f x 加 a 等于负的 f x， 这个相当于它的周期就是二 a。 当然这个题目我们已经规定了 a 是 带的呢，所以直接就二 a 就 行了，如果 a 是 负值的话，那就绝对值二 a 就 可以。好吧，相当于是 f x 加 a 等于负的 f x， 二 a 就是 它决定，二 a 就是 它的一个周期。第二个就是我们的 f x 加 a 等于正负， f x 加 a， 呃，分之一，这样的它周期仍然是二 a， 这个用我们的负值直接就可以推到这样的定义啊，就得到了二 a 是 它周期啊。第三个就是 f x 加 a 等于 f x 加 b， 这样的话，它的周期就是 a 减 b， 就 这两个常数，这这两个常数的差值的绝对值就是它的周期。好吧，那我们来很快的看一下题目。首先来看一下这道题目， f x 是 我们的定义为 r 的 一个偶函数，题目条件一个偶函数， 第二个它给了一个这样的形式 a， 那 这不就刚才这个结论吗？那这样的一个周期 t 就 直接就是二 a， 这个 a 是 二，所以它周期是四， 那当 i， 当我们的 x 在 零到二到三里面，它的 f x 等于 x， 它让求的是 f 一 零五点五。像这种题目的话，它一般出现这种比较大的自变量的函数值的时候，肯定是要用周期导回去 的周期，先把四给它除掉，它肯定是有一一百零四是能整除的，所以直接可以导到我们的一点五。 直接除。呃，除掉一个整数区吗？把整数区全部杀掉，最后得到一个 f 一 点五， f 一 点五的话，大家看到了吗？他并没有在我们的二到三里面，那我们是可以往前再倒一个周期，再给他再减一个周期，他变成了一个负二点五， 那负二点五咋弄？哎，负二点五也没在里面，但是题干中还有个偶函数嘞，那我们把偶函数 f f 负 x 是 不等于 f x， 那 直接可以写成 f 二点五了， 那二点五总该在里面吧？在里面了，那是不是可以咱直接代入这个题目，答案就直接是 f 二点五，直接就二点五，答案直接二点五就可以了。这些结论需要大家记住，我们在考试中其实比较中等题目都可以直接拿这个结论直接秒掉的好 模块六，也就是我们的对称性。那我们首先来看一下对称性的常用两个结论，第一个就是我们的轴对称，第二个就是中心对称。 首先我们的轴对称，大家先看一下，它是个抽象表达，是 f a 加 x 等于 f a 减 x， 它这两个自变量是回相反数，大家要看清楚。 呃，我们的对称性自变量是回相反数，周期是相同的，所以大家看清，那这个它的对称轴是 x 等于 a， 怎样算呢？就是大家在算的时候，一定是把这两个 自变量啊加起来，自变量加起来以后，如果他俩自变量之和加起来除二，那就是我们所对应的对称轴了。比如说我们出一个 f x 加二， 等于我们的 f 二减 x， 大家可以看一下这两个自变量是不是相反的，所以他让一加除以二，他对称轴就是 x 等于二。 好，那对称中心呢？对称中心就是 f a 加 x， 加上 f， a 减 x， 它如果等于二 b， 它等于二 b 的 话，那大家看一下。首先它俩字边呢是回相反数，没问题，这两回相反数肯定是中啊对称性。那到中心对称还是我们的轴对称呢？中心对称的话，一般就是两个 f， 要么在同侧相加，要么在异侧相反。 好吧，那我们的对称对轴对称是两个 f， 就 在同啊异侧相同就行了，同号。然后这就是我们的中心，那它只要横着标，咋算就是 a 加 x 这两个字边呢？一加除以二是二， a 二一除以二是 a， 那 我们的纵坐标就是它的这张后面这个数字除以二，那就是它对称中心就是 a 到 b， 那 相当于我们再要扩展它的。相应的结论就是，呃，如果你遇到了 y 等于 f， x 加 a， 对 吧？这是个偶函数，那就相当于它就是一个关于 x 等于 a 轴对称的。很简单，因为它偶函数就是负。 x 加 a 是不是等于 f， x 加 a， 那 这样两个字变量是不是在 f 在 预测吗？对吧？但是他俩是预测同号，那是不是相当于两个字变量？一加 a 刚好是负的，除以一加十，除以二，就是它的对准轴就是 x 等于 a， 如果是 g 函数，那相当于是 y 等于 f， x 加 b， g 函数，那它对应中心直接就是 b 对 零。不管这个前面这个 x 有 没有系数，它是二 x 了。二 x 加 b， 还是三个加 b， 它对应中心绝对都是 b 零，对吧？它的推论也是完全可以拿我们的中心对称的结论是推出来的，大家把这样记住记熟就可以了。 下面我们来看一下这道例题。题中条件给的是 f x 加二为偶函数，那就说明它是关于 x 等于二， a 轴对称。 接下来会告诉这个 f 二 x 加一为奇函数，那是不是相当于我们得到它的对应中心是一对零？其实在这块我们需要给它补充一个常用结论，也就是我们的双对称性出周期， 就是如果一个函数是关于 x 等于 a 轴对称，对吧？另外一个是它也关于哎 b 对 零中心对称， 它是一个对称轴，一个对称中心，它们俩之间的距离，它它的四倍就是周期，那就是 t 就 等于我们的四倍的 b 减 a， 对 吧？因为一个对称中心跟一个对称轴之间的距离就是四分之一个周期，那你这样之间的距离乘以四就是它周期。那如果两个是对称轴呢？有个 x 等于 a 和 x 等于 b， 它两个之间的距离其实就是一半的周期，所以 t 就 应该等于二倍的 b 减 a 的 距离值。所以你就要看题干的条件了，如果是两个对称中心，那也是二倍的关系，对吧？只要记好，一个对称中心跟一个对称轴是四倍的，它的之间距离是周期。 两个对称中心，两个对称轴，那之间都是二倍的直线距离是周期。那其实这个题目就直接得到了周期是四， 因为这两个之间距离是一，所以它是四倍的一。除此之外，我们还需要把这两个函数的抽象表达写出来。第一个就是我把这个 f x 加二的，它是偶函数，都可以写成 f x 加二，是不是等于我们 f x 加二留作备用。 第二个就是我们写出这个 g 函数的 f 负二， x 加一，是不是加上 f 二 x 加一是不是等于零？这个也写出来， 然后留。这以后，我们来看一下题干条件，他让求的是负一二分之一，负一二四的这些的，我们先算一，可能能突破一下。我们给这个第一个式子，负一个一，他就变成了一个 f 一， 是不是等于 f 三啊？我们留着备用。 第二个是不是我们也能推出来这个式子？我给大家取个一，他变成了一个 f 负一加上 f， 我们的三是不是等于零？是不是就能得到了？然后我们是不是我们的这个？嗯？ f 负一是不是就能得到这个形式？ f 负一加上 f 三， f 负一是不是也可以直接转化成我们的 f 三呢？因为周期是四嘛，是吧？所以现在这是两个 f 三 加起来等于零，那 f 三就是零。 f 三如果是零的话， f 一 也是零， f 负一也是零。因为 f 负一跟 f 三是一模一样的，所以这个题目的 f 负一是零。答案直接选择 b 选项。
417数学石头哥
04:34查看AI文稿AI文稿求抽象函数定义域。记住口诀，括号的范围相等。首先找到已知函数的定义域，并将定义域代入括号内的代数式，进而得到括号的取值范围。括号的范围不变， 进而得到新的不等式，可得 x 的 取值范围及抽象函数的定义域。这些就是书上没有班级老师不教，但考试经常考到的函数知识点。 这些知识点都在哈工大的函数全解里，他把孩子学不好的函数分成七大章节，每张都有思维导图，孩子哪里不会就学哪里，而且每张都表格化整理，就像查字典一样，翻一翻就能找到对应知识点。就像函数的三要素，函数的四大性质，这些知识点书上都讲的清清楚楚， 孩子主要看几遍。在考场上遇到再难的函数题都不慌了，根据知识点写出标准答案，不用复杂的步骤，套用五版就能出答案了。高中数学想要进入前几名，真的不用报补习班，也不用花大量时间刷题，就用这本函数题型全解就够了。
04:18查看AI文稿AI文稿hello， 各位小伙伴，大家好，邦哥呢，把这样一个大招给大家推一下，关于 g 长配 f 零两倍啊，给大家推一下， 好，大家注意看，如果呢，我们加一个 f x 这个函数呢，它可以写成啊， g x 加一个常数形式，就说它可以拆，拆解成什么呢？成，我们的一个函数加一个常数形式，那么这个呢，叫 g 长配长两倍啊，这个是我们这个大招的一点零版本啊， 那我们来看一下，为什么有这个结论呢？大家注意， g x 呢，它是奇函数，那么 g x 它应该等于我们这个 f x 减去 c， 把 c 呢移到我们这个 左边去啊，好，因为 g x 的 奇函数。我们知道呢，奇函数，它的图像是关于原点中心对称的啊， 关于我们这样一个圆点是中心对称的，也就是说你在这个圆点的右侧啊，你可以取到多么大的一个函数值，那么对应左边呢，一定有一个多么小的啊，这个负数是吧？好，我们来看一看。那么呢，这个 g x 它的一个最大值， 由于呢，它减后面减是常数，所以应该是 f x， 它的一个最大值减去 c。 那 么同样的 g x， 它的最小值呢，应该是 f x 的 最小值减去 c。 由于呢， g x 它本身呢是个奇函数，图像关于原点中心对称，所以呢，它的这个最大值和最小值之合应该是等于零的，也就是说呢，我们知道 g x 它的一个函数性质，我们是知道它的最大值 和最小值之合应该等于零，所以呢，通过这个条件呢，我们是可以得到什么呢？得到这样一个 f x， 它的最大值 减去 c， 再加上 f x， 最小值减去 c， 应该等于零，所以这样的话呢，我们可以把这个等式呢，把常数搬到我们等式右边去，那么应该有这个函数 f x 的 最大值加最小值 应该等于两倍的常数，所以呢，我们平时做题呢，碰到这样的这个形式，就是函数可以写成一个 g 函数加个常数的形式，就是我们说的 g 常配的形式，那么呢，它最后的最值之和就最大值和最小值之和应该是等于二倍常数， 那么这个呢，是我们这个大招口诀的一点零版本啊，那么这个大招呢，我们还可以拓展一下啊，好，大家注意呢，往下看， 我们刚刚说了这个 g x 呢，是个奇函数，对吧？那么 g 函数的话呢，它是图像，关于原点对称，电域呢？关于原点对称，那么如果啊，如果是呢，我们这个零啊，零是呢，在什么呢？在 f x 的 电域里面， 如果是在的话呢，那么这个时候我们知道了这个 g 零啊，应该等于什么呢？ 因为我们说一个函数，如果是奇函数，那么呢，在奇函数如果定义呢，包括零的话，那么在零处的函数值应该等于零，这个呢也好推，因为我们知道 g x 是 奇函数，所以 g x 呢，应该等于负 g 的 负 x， 对 吧？所以我们去令，因为 x 呢，可以取零嘛，定义包括零嘛？令 x 等于零的话，我们是可以得到了 g 零等于负 g 零，所以可以直接推出 g 零的话呢，一定是等于零的， 那么 g 零等于零这首大家看一看， g 零等于零，那么 f 零等于什么呢？ f 零是不是就等于 g 零加上这个常数 c， 由于我知道 g 零等于零，所以这个是指呢？它其实呢就等于 c， 那 么既然就等于 c 的 话，这个时候大家注意看，既然它就等于 c 的 话，那么我们前面得到这个结论，它是不是就可以写成二倍的 f 零， 因为 c 等于 f 零啊，所以呢只要是呢，我们知道如果是这个零呢，是我们 f x 定义里面就定义呢可以取到零，那么我们就可以呢利用这个结论把它进行更大，对不对？基长倍长两倍，是我们大众的一点零版本，我们呢可以把它拓展，为什么呢？基长配 f 零两倍，对吧？ 那么这样的话呢，这样变形之后的话呢，我们这个结论的话就更加强大啊，去做题的话呢，也更加的方便啊。好，这就是我们这样一个呃，大招的推导过程，希望大家好好理解好吗？ 低常配 f 零两倍。好，希望大家做题呢可以来灵活的去利用我们这个大招技巧吗？好，今天视频呢就录到这个地方。好吧，好，大家好好加油，拜拜。拜。拜拜。
01:11查看AI文稿AI文稿二六年高考必考，这个公式要是没有考到倒立拉稀，记得给孩子看看，背下来了，考到就是赚到，并且亲自为孩子写下二零二六金榜题名，这一波祝福必须要送给孩子。那这个公式是什么呢？泰勒公式。 泰勒，一个神奇的男人，他做了一件很伟大的事，就是把所有的函数都用一个共同的逻辑单元给表示出来了，有什么用呢？比秦始皇统一度量还牛，那牛到什么程度啊？你的高中老师根本就不敢， 因为讲了以后，很多数学的大题都可以被瞬间秒掉，就像下面这些高考题一样，都可以瞬间被泰勒公式秒掉。为防止你们又说我吹牛，我们直接来看一道高考压轴题，看他是怎么秒掉的。常规解法，又长又富的，还要判断它掉线，这句话你简直吓死个人呐！ 如果我们用泰勒公式代入，直接出答案，选必选项，虽然是你。除了这个必考的，还有八十九个常考必考的模型我都做好了。视频我带的学生就是琢磨这九十个主题，直接从十五干到一百一十六分，一起到一分水平，你要是学会了这些题目，能不能快速给出答案呢？下面这些常见的，也是我们可能会用到的特殊的泰勒公式，记牢了就是你的解题工具。 现在咱们来思考一个问题啊，高考状元六十分钟做完数学试卷，然后考一百五十分，靠的是什么？天赋吗？还是名师啊？其实都不是的，而且他们有一堆你不知道的解题模型，我都整理好了，视频下面那九十个一定要认真学习。最后祝大家二零二六金榜题名！
135高考提分神探周sir
09:37查看AI文稿AI文稿期望难题，别再瞎算了，那些你写一页几的题目，有一个方法，三行就能秒出答案，没错，就是系性含秀，主播高中秀学，常年一四零加， 就因为用了这个方法做题，从来都是秒出答案，让主播把秒杀期望难题的秘籍一次讲清楚。大家好，今天给大家带来一个非常实用的全新方法，试性函数，用它能秒杀超多的期望难题。 很多同学可能听过这个方法，但是没有理解透彻，导致一考试就不会用，那么今天主播就带大家一次讲透这个方法究竟怎么用。 首先我们先来介绍一些必备的知识。第一个是我们的事情函数，这个事情函数 a， 它只有两种取值，第一种取值是有条件的，只有这个事件 a 发生的时候，它才取值为一， 只有这个事件 a 不 发生的时候，它才趋之为零，所以说这就是式性函数。第二个也是大家非常熟悉的期望可加性，这个 x 一 直加到 x n 的 期望，它等于什么？就等于 ex 一 加 ex 二一直加到 ex n， 这个大家非常熟悉， 那么接下来我们去考虑个事情，就是这个事情函数 i a， 他的期望是多少呢？我们知道他的期望就是 a 不 发生的概率乘以零，再加上 a 发生的概率乘以一，对不对？ 而这一项因为他有零，所以这一项的期望就是零，我们不用管，所以说他的期望就等于多少，就是一乘以 a 发生的概率，那所以说他的期望是不是就是 a 发生的概率？ 也就是我们可以写成这个事情函数 i a 取一的概率，这样是不是就把一个期望问题转化成了一个概率问题？ 那么除此之外，当我们的试性函数和期望可加性强强联手后，它会出现一个非常神奇的神奇效果。 为了便于大家理解，我们先制造一个简单的情境，假设共有五个小球，这五个小球都完全相同啊。然后试性函数 i i， 它定义为，如果说 i 号球被取出，它的值为一，如果说 i 号球没有被取出，它的值为零， 那么我们把随机变量 x 写成 i 一 加 i 五，那么 ex 等于什么呢？我们知道 ex 就 等于 e i 一， 一直加到 i 五，对吧？根据期望的可加性，可以把它写成 e i 一， 一直加到 e i 五。 而我们又知道一件事，因为小球是完全相同的，所以说对于 i 一 i 二，一直到 i 五来说， 这个 i 号球是否被取出的概率也完全相同，所以说这五个 i 就 完全等价，对吧？所以说这五个期望它就完全相同，所以说它就可以直接写成什么，写成五倍的 e i e。 而我们又知道，一 i 一 等于谁呀？就等于 i 一 等于一的概率，也就是说第一号球被取出的概率，所以说他的期望就等于什么，是一个非常神奇的事情。就等于五倍的第一号球被取出的概率， 这个性质非常非常重要，当你明白这些以后，我们就能秒掉后面的所有期望难题。 好，首先先来看这个一卷的题目啊，这是去年的压轴题，说一个箱子里有五个相同的球，分别以一到五编号，每次取一颗，有放回的取三次，说至少取出一次的球的个数为 x， 则数学期望 e s 等于。 那么首先我们先定义这个事情，函数 i i 等于，当第挨个球被取出的时候，他的值为一，当第挨个球没被取出的时候，他的值为零，那我们知道他说至少取出一次球的个数为 x， 那 么 x 就 等于什么？是不是就等于 i 一 加 i 二，一直加到 i 五？ 因为你看，如果说他被取出了，这就取一，如果他没被取出，他就即为零，对吧？那么加起来呢？是不就是总共至少被取出一次的求的总个数？ 那么好，那么接下来我们套用上面的公式，我们就知道， e x 就 等于 e 倍的 i 一， 一直加到 e i 五，也就等于什么五倍的 e i e， 所以说他就等于五倍的 d。 一 号球被取出的概率，所以说我们现在只需要看一个球被取出的概率即可。那么我们使用正南则反原则，先去考虑他没有被取出的概率， 我们考虑 p i i 等于一的概率，那么我们先去看什么，先去考虑他等于零的概率，对吧？正南则反的原则。那首先我们先看取一次的话，那么对于这个 a 号球来说，他被取，他没有被取出的概率是多少呢？ 取一次他被取出的概率应该是五分之一，没被取出概率应该是一减五分之一等于五分之四，对吧？而总共取三次，所以说他都没被取出的概率就是五分之四的立方， 那么他被取出的概率呢？就是一减去五分之四的立方，所以说 e x 呢？就等于五倍的一减去五分之四的立方就等于二十五分之六十一，直接就秒掉了。 好，接下来我们来看下一道例。我们先来看第一小问，说四个球随机装入到三个盒子中，求 e x， 那 么我们的事情函数 i i 仍然定义为 d i 的 盒子有球的话，它的值为一 d i 个盒子没有球的话，它的值为零。那么我们就知道这个 x 就 等于什么，就等于 i 一 加 i 二加 i 三。所以说 e x 呢？是不是就是我们的三倍的 e i i？ 所以说我们仍然只需要求 i i 等于一的概率。那么跟之前完全一样，为了求它，我们仍然使用正南则反的原则，先去求 i i 等于零的概率。 那对于我们的任何一个盒子来说，我们先放一个球。一个球如果随机放入到三个盒子中，那么这个盒子他没有被放进球的概率是多少呢？是三分之二，对吧？因为一个一个球放到三个盒子中，那么他可以放到这， 可以放到这，可以放到这，那么没被放入的概率就是三分之二。那总共几个球呢？四个球，对吧？所以它就等于什么？三分之二的四次米，四次都没被放入，那就是三分之二的四次米。所以说 i i 等于一呢，就是一减去三分之二的四次米。 而我们要求的 e x 呢，就等于三倍的一减去三分之二的四次，就等于二十七分之六十五，直接秒掉。那如果说把这道题稍微难一点，变成 n 个求随机放入 m 个盒子中呢？ 那首先我们仍然是先看什么？仍然先看 pi i i 等于零的概率。那么对于一个球来说，一个球随机放入到 m 的 盒子中，没被放入的概率是不是一减去 m 分 之一？ 那总共有 n 个球， n 次都没被放入，所以是不是需要 n 次密？那么我们就知道了， pi i i 等于一的概率呢？就是一减去一减，一比 m 的 n 次密， 而他让求的 e x， e x 是 不是就等于总共 m 个盒子？所以说那他应该写成 e 倍的 i e 一 直加到 i m 是 不是就等于 m 倍的 e i， 也就是 m 倍的它 m 倍的 e 减去 e 减 e b m 的 n 次？所以说以后再遇到这种题，是不是就可以飞快的写出答案？ 好，那最后我们再来看最后一道例题啊，说某校园科技节设有六个不同的体验项目，然后分别是 a、 b， c， d， f， 小 明和小华两个人各自随机选择三个项目参加，设这六个项目中，至少被一个人参加过的项目个数为 x， 对 吧？他的这个重心是项目，所以说，那这个事情还是我们该怎么设呢？很简单，我们设 i i 等于，首先它是一，它是零，对吧？一代表什么？因为 x 跟项目相关，所以说我们就直接考虑项目，也就是说第挨个项目 被选，当然也就说被选择至少一次，对吧？那零呢？就是第挨个项目没被选，对不对？这样我们的事件函数就设出来了， 那么首先我们还是要求 pi i i 等于一的概率，对吧？那么我们还是使用正反则反的原则，先去求 pi i i 等于零的概率。那么我们看啊，对于一个人来讲，对于一个人来讲，他会选择三个项目吧。 那对于六个项目来讲呢？每个项目被选中的概率就是二分之一，没被选中的概率呢？也是二分之一。总共几个人？两个人吧。所以说 任何一个项目，他没有被选中的概率就是四分之一，那他被选中的概率呢？一减四分之一等于四分之三。 所以说那么 x 就 可以写成什么？写成 i 一， 一直加到这不是 i 啊，这是 i 一， 一直加到 i 六， 所以说 e x 呢？就等于多少？六倍的 e i i 也就是六倍的它六乘以四分之三，等于二分之九。所以说期望的难题就被这么轻松的解决了。这种方法你学会了吗？
5.1万圆梦数学（打造好书中～
24:16查看AI文稿AI文稿警告，函数板块是整个高中数学的基础核心，本期视频耗时八百六十三小时打造，带你一口气吃透函数的单调性和极偶性，学会基础直接涨个十几分。上期视频我们学习了函数的单调性，本条视频沈老师带你学会所有函数极偶性问题。 视频制作不易，先点赞收藏再观看，如果有任何的疑问和不懂，找到沈老师，我会带你看清数学的本质。话不多说，我们来看题。大家好，我是数学老师，该视频来自于课本的必修一的第八十四页，我们讲到了函数的三个性质， 第二个性质叫做奇偶性。那为什么会有奇偶性？相信大家学过幂函数的同学们应该理解这么一个道理，我给大家稍微书写一下。比如说对于幂函数来说， x 的 一次方，它就是个奇函数， x 二次方就是个偶函数， x 三次方就是一个 奇函数， x 四次方就是偶函数。因为 x 的 一次方是中心对称图形， x 的 二次方是轴对称，中心对称、 轴对称，就这么个道理。我们来看一下定义啊，大家仔细研读之后，我们要抓住以上三个特征，第一个特征在这个位置叫做 x 属于 i， 负 x 属于 i。 第二件事情，这个方程， 第三件事情推出奇函数。我们怎么来理解这个问题呢？那肖老师给大家画一幅图像，我们先从第二条开始， 什么叫做 f 负 x 等于负的 f x 呢？可以我们看一看。我们画了一个中心对称的图形，我们刚才谈到了中心对称，它就是奇函数，但是我们再加一条关于原点中心对称， 我们发现这个第二条描述的意思呢？是 f 负 x 等于负 f x 到底什么意思？标两个点，比如说大家可以很清晰看见，对于这个 f x 来说， f 二和 f 负二什么关系？ 是不是叫做负的 f 二等于 f 负二，是不是很显然负的 f 一， 它也是等于 f 负一的？那么因此类推，是不是所有的点都应该是这样子的？所以大家可以上升到归纳总结就变成这样子了。 所以这句话是不是要背下来，这是第一条，第二个的话呢？我们回顾定义里面的第一句话什么意思？ x 在 定义内， 负 x 也在定义内，这个要求定义必须是对称的。你说老师不对称会有什么效果吗？大家可以想象一下啊。这幅图，比如说在这个位置是个空心的， 在这个位置是个实心的，这个图他是中心对称吗？他说不是中心对称，那换句话说，比如这块我给他掏一个圈出来，那这个图他是不就不可能是中心对称的？大家能理解吗？ 换句话说，如果说，比如说这一侧我再稍微画长一点，这一侧我就不画了，那他是不是就不是一个中间对称函数？他自然也不是奇函数了。所以第二句话其实他想表述的是， 我们这里面一定是一个定律是对称的，比如说这个什么负二到一，这就不对，负二到二，这就对了。比如说 负 a 到 a 这样的一个定律没毛病，它是对称的。再比如说负无穷到一，再比如说负无穷到负，一 并上一个一到中无穷，这就是我们所谓的对称的定律。但实际上课本给出是把第二条放在了第一个位置，先说定律，然后再看中音对称，这也是我们平时做题的逻辑，我们应该把这两个逻辑给它反一反，先看定律第二步，我们再去验证 这个定义就可以了。当然我不知道大家有没有了解过，其实很多他这个题目含餐的问题的话，我们往往不太喜欢去把这个这么老老实实的全给他写出来，可以拿一些特殊值去把这个参数算出来，在说明我们其实可以再通过这个证明一下，往往都是这么个做题的形式，不过问题倒不是很大，大家从定义出发也是 ok 的， 也是没有问题的。 好，以上就是奇函数，那大家其实可以快速的搞一个偶函数的这么一个模型，是不是上是给大家画一下，那第一个我就不再做过多的赘数了，我按照课本的定义来，你这个 f s 属于哎，它必须得对称， last 定域必须得写成对称的。第二步的话，再来后面这个理解，我们还是标两个点，那是不是说，就比如说这个 f 二，它应该等于 f 负二， f 一 等于 f 负一，那所以是不是可以推出来这个就是我想表达的偶函数的定义了，也是两条定域对称，再加上这个东西。因此 沈老师告诉大家，有些偶函数其实我一眼就能看出来，比如说我们来一起判断下下面的函数的酒精，这里沈老师带大家稍微过一下，比如说第四个，这个一定不是偶函数，那不是偶函数的时候，我们怎么描述它？它是不是即函数？不是， 它可以称之为叫做非基非偶函数。第三个，沈老师给大家稍微梳理一下证明过程来。第一步，先说明定义是对称的， 其实你只要书写出来就可以了，你这个 s 不 等于零，大家都能看得出来是对称的。然后验证式子，我们先猜它是什么函数，我们猜出来它是一个极函数，我们再去写， 我们发现 f 负 x 里贴完符号之后，这个负的就进去了，对不对？那它是不是在形式上是完全等于， 所以它是一个妥妥的记函数？那这个时候有同学可能说了，老师，那我是不是要判断的时候，我要证明的时候，我是不是得先判断对不对？这个判断有什么技巧吗？当然有，比如说这个一大家能判断出来吗？我是能够一眼就能看出来的。那如果大家不能，大家跟着石老师把这个笔记记好， 有一些相关资料大家可以进群领取，希望大家的点赞收藏，回头多去看一看。肖老师给大家记这些笔记，我觉得对于大家帮助是非常的大的，有些东西的话是后人的一些二级结论，所以这东西如果你花太多时间去 遗忘，再捡起来，再遗忘，再捡起来，那么这个过程就会消耗你大量的时间。高中呢比较紧张，希望大家就一遍给他 清楚，搞会我们来 g p g， 为了像沈老师一样，稍微瞄一眼这个函数，大家就能知道它是什么基友性的话，这里面沈老师给大家稍微总结下面几个方法啊。第一个，大家要会一些叫组合函数的基友性。什么叫组合函数基友性呢？比如说我知道两个函数的基友，我给它加在一块，它是什么函数？比如说 我们对一些基本初等函数的记性是要知道的，比如说 y 等于 x 呢，它是一个妥妥的奇函数， y 等于 x 分 之一呢，也是个妥妥的奇函数。所以 g 加 g 还是 g 函数好，你说那沈老师有没有什么证明的方案呢？沈老师给大家稍微书写下证明。我们不妨假设一个函数由两个奇函数构成， 在后续的话，我主要想验证一件事情，就是它的定域是对称的，因为 f x 的 定域和 g x 定域它俩要取且会得到一个最后的定域，会得到 h x 的 定域。那么很显然， f x g x 的 定域一定是对称的，对称的在取且之后还是对称的，所以定域这个事没必要太过于纠结。接下来先来给大家证明 h 负 x 为什么等于负的 h x。 首先的话， h f x 先把符号添进去，我们发现后面两个函数其实都是奇函数，那接下来我的符号就可以抽出来，我们还是随手再列一下负的 h x 大 功告成，很显然它俩是一个相等的关系，所以 h x 确确实实是一个奇函数。 后续的每一条沈老师就给大家逐个证明了，我希望大家可以怎么去记这个结论，可以拿一些特殊的函数去尝试，比如说沈老师是不是教大家了一些常见的函数，比如说 这些是不是都是具体的？ x 一 次方就是个 g 函数， x 平方就是个偶函数？其实你拿前面两个就可以验证大量的函数的奇偶性了，听懂我的意思吗？比如说 g 加 g， 那 你很显然你一个函数是 x， 另一个函数是还是 x， 两个一加就可以看出它的奇偶性好不好。 下面我还是给大家来一个思路上的，就比如说我平时怎么想的这种方法可以用于验证，但是实际上怎么想，大家可以这么想，就是说 g 函数这个符号是可以抽出来的，那么偶函数那个符号就平庸消除掉了，你理解这个概念就可以了。那我下去给大家先把这个总结写好， 还剩最后一个了，那么就是加法呢？当然减法我就不说了，减法其实效果是一样的，除法这里面是一样的，那这里面还剩一个，那是什么？我们这里写个乘，写个除，就乘除，这个问题不大，都是一样。好，那还剩一个是什么？还剩一个是积，乘、积。大家来分辨一下这个什么函数，很显然它是一个偶函数。 我刚给大家讲的思路就是说这个符号，他仿佛这个 g 函数，这个符号仿佛就可以拿出来，你这里面拿出来一个符号，这里面拿出来一个符号，两个符号是不是抵消了，那他自然没有符号了。和原来相同，其实就是复刻，快速的脑海当中过一遍这个证明过程，这里面就是组合函数的久性。 再来下面第二个知识点，复合函数的奇偶性，所谓复合函数的奇偶性，这里面大家记住一句口诀，叫做内偶则偶，内积同外。简单来说就是如果你这个函数，它内层是一个偶函数，外层我不管你什么函数，你一定是偶函数，内层函数，如果是奇函数，外层函数是什么函数，就决定了这个函数的奇偶性。 举个例子好，那比如这个函数它的内层函数，其实大家可以拆成这样，拆开 t 等于 x 的 绝对值，就决定了这个函数的奇偶性。举个例子好，那比如这个函数它的内层函数，其实大家可以拆开 t 的 对数， 那么这两个函数很显然它内层是一个偶函数，外层是一个对数函数，非基非偶，那么内偶它就是偶，所以这个函数它一定是偶函数结束， 这就是我想表达的意思，当然也给大家来一个通法的证明，比如说我想证明一下，内层是 g， 外层是 g 函数，它到底是什么函数？那书写的话，大家知道 g s 是 g 函数， f s 是 g 函数，那我们是不是想干一件事情？ h 函数 f s 是 g 函数，那我们是不是想干一件事情？ h 函数发现这个符号是可以从这个 g 里面偷出来的， 透出来之后，它又可以从这个 f 里面拖出来，所以它就等于，那我们再看一下负 h x 结束。这就说明 在我内层为 g， 外层也为 g 的 时候，内外都为 g 函数的时候，这里面它是完全相等的，就 h 负 x 和负 x 相等，所以它就是一个 g 函数。好，所以这句口诀可以帮大家省掉很多时间，希望大家把它牢记逾期。 第三个，有些函数我们实在是不想挣了，那这个时候怎么办？这个时候大家可以去背一些常见的旧函数，比如看，我也不想看了，因为这些函数希望大家把它记到心里，我给大家总结一下，第一类是指数相关的，指数相关有这个函数，大家背一背。第二个是这个， 很明显，大家稍微看一看，发现第一个函数里面天赋号之后，它会出现一个交换位置的情况，即天赋号之后，它会变成这个 a 的 负 x 加上一个 a 的 x， 那 所以它天不天赋号没有影响。下面这个天赋号它会出现一个交换位置的情况，相当于它整体会变成负的， 所以下面它是一个妥妥的奇函数，上面是个妥妥的偶函数。你说沈老师那有没有更强一点的总结？沈老师给大家教一招。如果说大家阶阶段，比如说遇见这样的一个函数， 其实这个函数为什么会产生这样的效果，主要是因为上面这两个函数是一个非常好理解的最基本的模型， 这里对 g x 没有任何的要求， f x 只要由 g 负 x 加上 g x g x 你 爱是什么函数，什么函数，但是它有个限制，说你这定义得对称，你不对称，你这个负 x 和 x 往里带的时候，它不卡 bug 了吗？对不对？ 所以说只要满足你，这个函数是有意义的，所以 f s 就 一定是一个，前面这个一定是个偶函数，大家可以自行验证一下，因为你发现你符号带进去之后，这两个函数是不会产生一个交换位置，但是由于是加法，他又没有变化，所以他就是偶函数。后面这哥们，你把这个符号带进去，他会交换位置，但是交换位置之后，他会产生一个符号的效果， 所以这个是一个记函数。比如说其实由此产生的模型有很多，一会给大家练习一道，那么指数相关的话，大家重点记这两个，剩下的一些东西，对它的形式一个变形。比如说 那大家快速告诉我这个函数的基偶性喽，那它很显然是一个基函数，因为它分母是偶函数，分子是基函数 g 除以偶等于 g， 这个就是指数相关的。其实还有更多，我在后面再讲 对称中心的时候，教大家一下，因为有些指数函数它在化简过程中很麻烦，所以有些二级结论可以快速判断类值函数的对称中心，这个回头给大家说，当然这个给大家稍稍微拓展一下，比如说这个函数 以上，希望大家把这些记好。那对于这一条，有空我给大家做拓展的时候会告诉大家，这种就类似于这样的函数，到底怎么看对称中心，它是不是记函数？这个就稍微难一点，我们今天把课本的内容给它说穿， 下一个指数总结完了，剩啥了？是不是剩下一些对数函数？对数函数大家额外的记两类其实就可以了。第一类 与对数函数相关的基有函数，那第一个其实一直在考，包括同学们到高三之后，他也是很常见的一种形式。第二种形式是这个， 这里面他这一块的减法和加法都是可以的，包括这里面也是他这个换成减就换成加，他也是可以的。呃，所以说大家有点印象就可以了。为什么？比如说你觉得这个东西像是一个记函数，你去验证一下吗？就证明一下，后面我们要教证明了，证明的过程其实并不复杂，稍微一书写就可以了。 比如说我建议大家在证明对数的对准中心的时候，你选择你别带符号了，看不出来，有点你去对数的话，因为他有个乘法公式，所以他经常证明的时候是这么写的， 那这个是不是也是一个奇函数？定义对称之后，你证明这个式子它是不是就是奇函数？那我来给大家书写一下第一个题的证明，那这样之后我想证明他俩是不是相加等于零就可以了，这打上一个括号，别看错了， 那么相加等于零，我把它们的对数相加等于整数相乘，所以直接写相乘形式。大家发现写好之后，它是不是里面用了个平方差公式？我们用平方差公式相当于 a 加 b 乘 a 减 b 等于 a 方减 b 方，这里面就等于，那这个 log 减 m 底 e 的 对数，它就等于零了，其实是不是就正好了？ 下面这个形式，大家可以在课本上写一写，笔记本上写一写，写好之后可以拍照发到评论区。沈老师检查一下，上述常见就有函数，沈老师给大家总结到这里稍微回顾一下，我给大家总结了三三个东西，第一个话就是组合函数加加减，减成成除除。第二个就是说负函数，这个负函数是嵌套形式的。 第三个指数相关的和对数相关，有些东西大家熟练之后是可以把它背下来的，甚至你看到之后，你觉得他好像考的是均有性，你可以自己现证一下，是没有问题的好不好？那么接下来的话呢？我们来一起看一看相关的练习题，比如这个题，沈老师一眼瞄过去， c 怎么秒掉的呢？因为沈老师背了，说这个函数呢，他妥妥的是一个基函数，这里有个结论就是严格的，严格的基函数。其实呢，我不知道大家能不能接受一件事啊，就是这个世界上的函数呢，应该是分为四种基函数，偶函数，非基非偶，还有一种叫既基又偶， 这个既基又这个函数呢，它比较特殊，就这个函数呢，它大概是什么样子，大家画一下，就是你们想想生活当中有没有既是中心对称又是轴对称的函数呢？有没有？ 有一类，有一类就是只要他在轴上的这些对不对，比如我这个函数呢，就这一段和这一段，那你看看他是不是既是中心对称，又是轴对称，对不对？这类函数就是基基偶函数啊，我所谓的基函数就是严格的基函数，就不包含这类既基又偶的函数，那么这个结论呢，叫做基函数加偶函数， 他一定是飞机费，我的就一定是不是对称的，那这个前提是他一定是严格的，他别别别是那种不严格的，不严格的就是比如说这种 g 函数，那就完蛋了，所以我知道这是个严格的，这函数图像我大家都能画出来了，哈哈，所以那么这里面对于前面这个东西的话呢，他肯定是不存在的，他如果存在，他不可能是个 g 函数，所以 a 一定等于零。 那这有点邪乎了，大家呢还是老老实实看一看，我们想想想办法怎么证明这件事情。证明这件事情的话，我比较喜欢用这样的一个二级结论 叫做接函数，这里我们在笔记区给大家记一下，接下来稍稍给大家说一下含餐问题的处理手段。有一个大家形成共识的事情，就是接函数的话， f 零等于零，但是呢，这个方法有个前提，就是你这个函数呢， f 零必须得有定义，比如说没有定义的话呢，他这个零也带不进去，所以这个方法就用不了了。 所以说要么是 f 零等于零，如果没有定义的话呢，大家把参数算出来，算出参数之后呢，大家回头， 如果是大题的话呢，大家添加一些证明，过程好不好？就是你得写一下，如果小题的话，直接就秒掉就完事了，你也不用管了。那如果大题的话呢，大家添加证明，如果小题的话呢，建议大家就是稍微的看一看，我们去验证一下它，如果大题的话，你就证明，因为这个证明其实也包含验证了是不是？ 这里面给大家稍微解释一下，为什么奇函数的，如果说它有定义的话呢，它的 f 零一定等于零呢？因为呢，大家可以想象这么一个问题，我现在呢手里有个函数，大家看一下这个函数是不是中心对称的，那很显然它是中心对称的，中心对称的含义呢，是旋转一百八十度之后和原图像重合，绕着原点旋转一百八十度，重合不重合。 你说老师，那现在的 f 零，它也不是零，这不是有定义吗？那你想象一下，这是不是出现一对多了，它就不可能是函数？这个问题呢，是很严峻的，就是说只要你 f 零有定义，你还是个基函数， 那么它就必须在原点，如果不在原点的话，就会出现这种一对多的情况，所以我们说基函数它这个自身自恰的，为了避免这个 bug， 所以 f 零必得。零有定义的情况下，听懂我意思吧， 那没定义的话就反比例函数，它没定义了，没定义呢？没定义它就对 f 零的话，我们就没有什么限制了，没有定义的话就没没有说法了，这是第一条，第二条的话呢，有时候我们很喜欢带些常数，我是非常喜欢带常数的，因为我觉得没有必要非得要去证明这个式子，这个式子相对来说看起来就不 太好算，因为它要体现出 x 的 任意性，所以在确定参数的时候稍微有点麻烦。偶函数呢，我就不给大家解释了。偶函数的话呢，其实我们对于偶函数求参数的手段呢，基本上就是带一些值去看就可以了。 好，同样的大题添加证明，小题验证一下。以上的话呢，就是总结了，那我们来一起看看刚才的练习题。 那么到这里的话呢，接函数，我发现他的定域为 r， 那 么我很开心，我就把零往里带一下，他的定域不是这里重新减一下，那么回到这个题目来说，我们看发现这里面他的定域是多少，我们先算下定域， 我建议所有的题目大家先看定域，那么一减 x 除一个 x 加一呢？它要大于零，相除变相乘 x 减一乘上一个 x 加一，它要小于零，所以 x 呢，应该是属于个负一到一的这么一个范围，那么 可以发现它的定域是包含零点的，所以我们带入 f 等于零也是结束了，那这个题呢，我们说这么多奇函数结束之后呢，我们同大家一起来看一下偶函数， 那么这个偶函数的话呢，大家其实可以完全带一个特殊值去验证一下，但是呢石老师呢，来给大家通过一个标准的做法来给大家呃，来书写一下，就是我们怎么在大题当中直接一步到位，证明它是个偶函数。好，第一步我们书写 f 负 x， 第二步呢，我们 令它和 f x 相等，我们看能不能把 a 给它算出来。两个式子列好之后呢，它俩相等的话，我们一般来说呢，选择把方程整理好， 一般来说我们把参数放在一侧，然后把这些 x 放在一侧，这样的话会很会很清洗，整理一下变成这样子之后呢，这也没什么办法了，我们把一般来说在分母里面的这种负指数就分明，分母里面的负指数的含义就是它是分数再分数，我一般来说不喜欢这样， 就是像油理化一样，不喜欢这样，我们给它分子分母同乘二的 x 方通分一下，很惊喜的发现呢，这里面是可以稍作整理的，它是可以约掉的，我把 x 出来，它就是留个 x 了。 那我们现在这个式呢，要对于任何情况都成立，其实呢我们对比 s 的 系数就可以了，因为你 x 取啥我都得成立的话，那么这个 a 的 话呢，显然就等于负二分之一了，所以我们这题答案就选出来了，那么 a 等于负二分之一的话呢， f 二 a 的 话呢，其实就等于 f 负一，大家带进去计算就可以了，这里我就不解释了， 计算量是有一点的，大家也可以根据奇偶函数的，这个叫什么对称性 f 负一的话呢，大家直接去算 f 一， 应该比较方便一点，会好算一些。如果说大家真正自己在做的时候呢，其实完全可以这么的就 f 负一 等于 f 一， 其实呢你是可以直接把 a 算出来的， a 如果有两个值的话呢，注意一般来说呢，有一个值会被舍掉，那大家要验证一下，我这个题就算出一个解，如果我这个解还不对的话，那这个题就没解了呀，所以不可能的， 这里是我的标准做法。那这个题呢，就给大家讲这么多，下面这个题的话呢，我相信大家做这种题应该是还是比较轻松的。首先注意到 line 二分之一，它呢是等于负的 line 二的，所以我们其实要带进去的是个负数，但是它给我们大于零的解析式，那这个时候我们要怎么办呢？那我们不妨直接去变形一下，比如在带入数的时候，我们上来直接用一下这个性质及函数的这个特点， 那我们发现我们是不是只要说带入这个 line 二，其实有这个结果就可以了，那 line 二呢，其实是大于零的 line 二，大家可以背一下，是零点六九三， line 三一点零九八， line 五一点六零九，是吧？像沈老师这样背一下， ok， 然后你这个 line 二的话呢，你就往里带就可以了，往里带一下，这里面整理一下这个位置呢，用到了叫纸对绘画核心公式，如果大家呢不会的话呢，后面可以听我讲纸对绘画核心公式呢和 只对运算呢，我觉得是非常非常重要的，比如说他有一些同构，未来你们学到同构基础就是这个东西，我们整理一下这个位置呢，就是二，那答案我算出来了，这个题呢选择 a 选项， 我相信大家呢肯定见过类似于这种题目，就是它不仅让你求值，它让你整个把 s 小 于零的解析式都算出来， 会有这种情况的，比如说这个题我给大家稍作一下子修改，就是说我们给它改成我求这个，这个呢也是大家必会的一个方法。那这个题呢，沈老师先给大家讲，讲完之后呢一起做一下过大总结。第一步，我要求 x 小 于零的，我们就令 x 小 于零。第二步， 那么你会发现你只有 x 大 于零的解析式，那么什么时候 x 小 于零是不允许往里带的，什么时候能往里带呢？那就是负 x， 这个负 x， 它是大于零，它就有资格往这里面带了，所以能把它往里带进去。这样的话呢，我们就得到了 x 小 于零时候满足的一个方程， 但这个方程的左边不对劲，我要求的是 f x， 我 们在这里面利用奇偶性，这是个奇函数，所以 f 负 x 等于负的 f x， 所以 进而我的 f x 是 不是就出来了？ 那是不是当我有了这个样的一个结果之后，他其实就是 x 小 微型的解析式，我是先到这，然后再到这。沈老师还是给大家稍微规范总结一下，比如说我们到底这个过程怎么样能行之有效的给他每个题都做出来，包括奇偶函数这一块对不对？万一是偶函数呢？是吧？ 来沈老师给大家总结一下这个呢，沈老师给它总结为叫做已知奇偶性求区间解析式的方法。第一步， 我们求哪个范围，就假定哪个范围，比如说你想求 s 大 于零呢，你缺的是 s 大 于零呢，你就设 s 大 于零。 第二步，第二步呢，我们把这负 s 带入已知解析式，比如说你，你想求 s 大 于零，你肯定知道 s 小 于零呢，这是基偶性的一个基本。当然有一些比如说夸张一点的，它可能是某一段，就是由下一段求， 比如说，比如说由这个二到三的求三到四的，这个我们后面再说，我们的逻辑呢，就是填负 x， 然后带入已知解析式就可以了。 第三步，这里面很关键，一定要利用奇偶性将左边的那个 f 负 x 变掉好了，以上的话呢，就利用奇偶性将左边这个 f 负 x 变掉了，你是奇函数的话呢，你就变成这个负的 f x， 如果是偶函数嘞，大家把它变成 f x， 这就可以了，那这就完事了。最后我再提一点吧，就是最后大家如果让你写出完整的解析式，他就他没说说让你写是哪块的解析式，那最终我们一定要把所有的解析式都写好。听懂我的意思吧， 他有的题就这么抽象，他比如说他虽然告诉你 s 大 于零的，他让你求的是 s 小 于零，但你把 s 小 于零求出来之后，他问的是整个的解析式，你要把 s 大 于零的抄一遍，把 s 小 于零的抄一遍， x 等于零的，你自己还要再算一下，就这么个意思，注意这个细节吧，我不希望大家能够理解，之后呢还从在这个地方丢分，那就太恐怖了。 那以上的话呢，沈老师给大家总结的话呢，就到这里，相信大家呢已经搞定了，那沈老师呢，给大家把这个解析式写一下，就 f 负三肯定好，算了，我们再把解析式再给大家再算一遍，我们先令 x 小 于零，那么负 x 大 于零，负 x 有 资格往里面带，我们把它带进去，就得到这样的式子。 第三步，利用奇偶性把它转掉，它是一个奇函数。好，那比如说这个题的话，我就写好了，如果说他问我解析式的话，大家看我这么写，我这样写对不对？那这样写很显然是不对的，为什么？因为你漏掉了零定义在 r 上的奇函数，奇函数 f 零等于几？是不是 f 零等于零，所以再写一个等于零，那这就是我想表达的一个意思。那么 再给大家细画一下这幅图像吗？我们来感受一下它到底为什么是奇函数，或者我们算这个对不对呀？验证一下，大家可以发现呢，大于零的时候，我们取的是 x 方减四 x 小 于零的时候呢，我们画的是负 x 方减 四 x， 对 不对称？对称的吧，当然二次函数的话呢，我们就直接画就行了，就是相当于分段函数大于零的，你画这段，小于零的话，你画这段等于零的话，你就画个零就可以，那我们发现这妥妥的是个中心对称函数，那所以它就是一个奇函数， 也就是说其实这个题呢，你，你说老师我这个人呢，就是不想用这个方法，我就想画图。 ok， 其实你完全可以自己画出来，就比如说你去画一个关于它对称中心的这个二次函数，应该是没压力的，画好之后你就把这个写到这里，其实也可以，那当然的话， 比如说前面这道题目，那你想画这个图像的话呢？对于有些同学来说就不太好画，那我就说到这里，这个纸我就不具体去带了，大家会求解析式就好了。那同学们呢？今天的课程就讲到这里，大家还有什么相关的问题的话呢？可以一键三连向我去要一些相关的资料， 也可以加入我的粉丝群，我的粉丝群里面会定期的发一些最近讲的一些内容的练习题。那我是沈老师，关注我，带你快速通关数学。
681本质数学沈老师
18:48查看AI文稿AI文稿函数性质题不会做，十五分钟掌握常考题型，性质题型大串讲分数拿到我手软。函数的性质综合作为我们的高频考点之一，是必会的一个内容，当然这几个比较适合基础性的同学听，如果是想拔高的话，可以去看看我们合集里的技巧篇。 好，那么首先我们来回顾一下这些知识点。首先来看到 g 函数，我们说了，对于定义内任意一个 x， 如果都有 f x 等于负的 f x， 那么我们就称这个函数呢，为奇函数，如果在原点处有定义，那么 f 零呢？必然是等于零的，对不对？那么相对于来说，偶函数，如果 x 在 定义内都有 f x 等于 f 负 x， 那 么它就是一个偶函数。奇函数怎么样？它是关于原点零零对称的 偶函数呢？关于 x 等于零，也就是我们说的 y 轴对称，这就是我们奇偶性的定义。接着我们来看到对称性，其实我们的奇偶性就是我们对称性的什么呀，特殊的一种吧。如果啊，我们这里分轴对称跟点对称，我们先看到点对称， 那么如果有 fa 加 x 加上 f b 减 x 等于 c， 那 么我们就说这个函数怎么样，它是关于二分之 a 加 b， 二分之 c 这个点对称吧。那么对称性有什么要求呢？你看看里面的 x 的 符号，它是不是异号的。好，那这是它的通式喽，那我们再写一个轴对称，那么轴对称呢？我们的偶函数不就是轴对称吗？那么它的通式是什么呀？ fa 加 x 等于 f b 减 x， 所以 我们知道它是关于 x 等于二分之 a 加 b 对 称的，我们只需要把括号里加起来除以二，就是它的对称轴吧。那么这里其实也是一样的，括号里加起来除以二，就是它的对称中心的横坐标，那么另外除以二呢，就是它对称中心的重坐标。好， 我们的奇偶性我刚刚讲过了，其实就是我们对称性的一种特殊情况。关于奇偶性呢，我们还有一个常用的结论，我们把偶函数看成正数，奇函数呢？看成负数，所以我们会得到 偶函数加上偶函数，那么它不就是正数加正数吗？当然是正数啊，所以就是偶函数。奇函数呢？加奇函数， 它当然等于奇函数了。偶函数加上奇函数，它没有办法去确定吧？因为我们一个正数加一个负数，它的符号呢，就首先是未知的，对不对？注意哈，我们这里只有加法，你不要去 呃，自己举一反三。比如我来一个老师，偶函数减去奇函数，这里呢是正数，这里是负数。正数减负数，它当然等于正数啊，没有这一个。为什么呀？因为我们的奇函数，你加一个符号，它是不是还是奇函数啊？所以你这里相当于什么？偶函数加上一个 负积函数，它不还是积函数吗？对不对？所以这里同样没有办法去确定，明白吗？那么加能够解决，然后还有什么呀？乘除好，所以我们的偶函数乘以偶函数呢？它当然就等于偶函数了。正的乘正的不就是正的吗？ 积函数乘以积函数，那么它自然也是啊，偶函数负负得正，对吧？还有什么呀？积函数乘以偶函数，那么等于积函数。 我们乘跟除是同一级的，有乘就有除是一样的。最后再来看到周期性，如果有 f x 加 a， 它是等于 f x 的， 我们就说它的周期 t 呢，是等于 a。 好， 那么一些常见的结论，同学们可以看一看上期视频，我们这里主要讲一下比较基础的东西。关于双对称怎么去确定周期， 如果一个函数，它告诉你它的对称轴为 x 等于 a， 并且呢，它的对称中心为 b 零，那此时我们的 t 啊，它就等于四倍的 b 减 a 的 绝对值。因为我们这里没有办法去判断 a 跟 b 的 大小吗？为什么是这样的呢？同学们只要去记住，我们直接参考什么呀？我们的三角函数就可以了，因为我们高中阶段只学过一个三角函数，既有对称中心，又有对称轴，对吧？我们去画一下， 然后这个图像我们到时候是画沙印还是画口沙印呢？你去根据题目给的条件来画，明白吗？好，我们看到如果这里是 a， 那 么这边是 b 呢？你看看这里，他们的距离是不是刚好就是四分之一个周期啊？那根据这个我们就知道，如果题目里给了两条对等轴呢？比如 x 等于 a， x 等于 b， 那 么两条对等轴之间，他是不是半个周期？所以 t 他 就等于两倍的绝对值的 b 减 a， 好， 当然两个对称中心也是可以的吧，如果出现了 a 零 以及 b 零这样两个对称中心，两个对称中心之间呢？它们是不是也是半个周期啊？所以 t 同样等于二倍的 b 减 a， 好， 我们看到第一个设函数 f x， 它说下列函数中为 g 函数的式，好，我们看到这个题目怎么办？我们肯定是想到把它带进去一个一个试吧，但是这样实在是太麻烦了， 我们之前讲的中心对称的求法，同学们还记得吗？在上上期啊，在合集里面的，如果同学们想了解一下，去看一下。好吧，我们看到，首先这个函数，我们如果能把它的对称中心求出来， 它下面平移之后是 g 函数嘛？所以我是不是相当于对称中心平移之后就变成了零零，对不对？它是关于零零这个点对称的。那我们先来看一下 f x 它的对称中心是什么样的，我们这里讲两种方法，第一种，我们先分离一下， 一加 x 分 之一，减 x 等于一加 x 分 之，负， x 减一加二就等于负一加上一加 x 分 之二。好，我们这里看到了， x 明显是不能等于负一的吧， y 呢，是不能等于负一， 所以你想想看， x 不 能等于负一， y 不 能等于负一。所以这个点明显就是它的中心对称嘛，因为它是一个反比例函数平移过来的吧， 所以它的对称中心不就是负一负一吗？那么负一负一怎么样去平移才能变成零零呢？同学们想想看， 我负一负一，我得向右平一个单位，然后呢，再向上平一个单位，向右就是减，向上就是加，所以这个题目我们选到 b 选项。好，我们讲一下。第二个方法也能是去求它的对称中心，是我们上上期视频啊，有讲到过的方法，如果同学们忘掉，可以去回顾去看一下。好吧， 我们说了对称中心，如果它是一个中心对称函数，那么它的定域呢？一定是关于对称中心的横坐标对称的。我们这里知道 x 啊，它是不能等于负一的，所以我们从竖折上来看， 我们这里要挖掉一个负一这个点吧。那同学们想想看，我这个对称中心的横坐标应该放在哪个位置啊？才能使它的定域两边是对称的呢？很明显，它只能放在负一这个位置，对不对？如果对称中心的横坐标放在这，你想想看， 这里挖掉了一个点，那么在这边是不是也得挖掉一个点呢？但是你的定域只有一个， x 不 等于负一，所以我们知道 x 不 等于负一，那么意味着负一就是它对称中心的 横坐标。那么重坐标怎么求呢？我们之前也讲到过，如果在这个地方它是有定义的话，那么我们直接带进去就是它的重坐标，如果没有定义怎么办？我们可以看看它的极限的位置，就是正无穷的时候。我们看到这个选项 啊，这个式子 x 趋近于正无穷，那么二比上一个无穷大的数，它是不是趋近于零？那么这一项趋近于零加上一个负一呢？哎，我们的 f x， 它是不是就趋向于负一啊？那么看到 x 趋近于负无穷的时候，其实也是一样的吧， 负无穷，那我这里也是无穷了，负无穷二比上负无穷，他还是零嘛，加上负一呢，所以他仍然是趋近于负一的。那对称中心的重坐标呢？不就是他们两个的和除以二，所以也是负一。然后接下来就跟前面的思路是一样的了，所以这个题目我们怎么做都是选到 b 选项好，接着往下看到第二个题目， f x 是 定义为 r 的 奇函数，意味着它是关于零零对称的，没问题吧？然后给了我们这样一个条件，这里很明显是一个轴对称吧，我们的 x 前面的符号是相反的，所以它关于 x， 等于把它们里面两个相加，然后除以二，就是二分之一对称， 通过这两个呢？双对称决定周期对吧？一条轴一个对称中心，所以等于四倍的二分之一就等于二。好，那么周期求出来是等于二，所以我们的 f 三分之五啊，我们是不是可以等于 f 三分之五减去一个周期， 它不就是等于 f 负的三分之一吗？那么相当于等于三分之一这个题目呢？我们选到 c 选项好，再看到已知函数 f x 给了我们， g x 给了我们，它说图像的可能解析式是哪一个？那么我们从图像上去判断解析式有几种方法。 第一个，我们可以看特殊点对不对？看到一些特殊的点把它带进去，然后呢，看奇偶性还有什么呀？单调性 没问题吧，主要是从这几个方面来看吧。好，我们来看到这个题目， f x 加 g x 减四分之一，那么变成了 x 方加 sin x 吧，这个四分之一没有了。想想看， x 方加 sin x， 这是个偶函数，这是个什么 g 函数？我们能不能够确定它的奇偶性呢？没有办法直接判断它的奇偶性对不对，所以我们来看一下 f 负 x， 它不就等于负 x 方，那么不就是 x 方吗？ sin 负 x 等于什么呀？负的 sin x， 它跟原来的函数什么关系？ 没有什么关系，对吧？所以它是非奇非偶的。同样，我们来看到 b f x 减， g x 减四分之一，它不就是 x 方减去三 x， 那 么同样看一下 f 负 x 呢，它就等于 x 方 加上三 x， 跟它也没有什么关系，所以 a b 选项它都是非奇非偶的，没问题吧？好，再来看到 c d， 我 们知道 f x 是 偶函数， g x 呢，它是奇函数，那么 g 函数乘以偶函数，它当然就是 g 函数了，那么除法也是一样的，也是 g 函数，对吧？没有问题。好，我们再来看到， 那么我们这里没有办法去排除，那我们这里有一个四分之派嘛？那我们直接把它带进来，带到 f x 乘 g x 带到 f x 里面去。我们知道 f 四分之派这里一定是大于零，没问题吧？那么 g 四分之派呢？它都等于二分之根号二了，所以它也一定是大于零。嗯，它对应的值确确实实大于零的呀，那两个大于零的数相乘大于零，那么消除呢？也是大于零，对不对？所以我们特殊值没有办法去排除 c 跟 d， 然后再干嘛？再看到我们的单调性。 好，我们看到四分之派这个地方，我的 k 必然是小于零的咯，因为它这里怎么样在单调递减嘛？专门对它去求一下导好了，你求 c 求 d 都行，你如果 c 是 对的，就排除 d 咯， c 是 错的，就，呃，就选 d 了，对吧？我们来看一下 c 选项， y 呢，它等于 f x 乘以 g， x 就 等于 x 方加四分之一乘以三 x， 我 们去求下导，就是第一个求导二 x， 第二个不变，再加上后面求导，可三 x 前面不变。好，我们看到这里 很明显，怎么样？它是一个横大于零的数吧。二 x， 你 把四分之 pi 带进去，这样看它，这里是不是大于零，然后呢？这里也是大于零，三四分之 pi 等于二分之二吗？这里呢，二分之二每项都大于零，说明能知道我们令它为 h x 好 了， 那么 h 一 撇 x 就 等于这些，那么 h 一 撇四分之派呢？它就大于零吧，所以这里我们选到 d 选项，对不对？我们要的是什么呀？小零，已知函数 f x 定义域为 r， f x 加二为 o 函数， f x 加一呢？为 g 函数。这两个其实告诉我们的是什么呀？对称轴以及对称中心。好，我们这里来讲讲它是怎么画的， 不管它是奇偶性呢，它都是针对的什么呀？ x 对 不对？所以 f x 加二为偶函数，那么意味着 f x 加二是不就等于 f 负 x 加二呀？ 所以它是关于 x 等于二对称的。那再看到它，它是一个奇函数，那么 f 二 x 加一，它不就等于负的 f 负二 x 加一嘛，所以它是一个点对称，关于我们一加一等于二，再除以二就是一，零对称没问题吧？ 所以这里对称轴，对称中心，他们之间的差为一，所以我们知道 t 呢是等于四。我们刚刚讲到过，关于这种又有对称轴，又有对称中心的，我们是可以用三角函数直接来模拟吧。好，这里的对称中心是一零，对称轴呢是二，所以我们一应该在左边，然后这里的地方呢是二，那么这里就是三喽，这里就是四， 那么这里就是五，所以从一到五，他这里一个周期是不是刚好就是四啊？我们来看一下 f 一 等于零，好，他这里问了，还有一些负数，对吧？负一，那我们把它往左边再画一点点看一下，那么负一的时候，我们就能够判断他的数据了吧？这里是一，那么下一个应该是零，零应该是取最小值的时候，那么负一呢？是不是在这？ 所以负一的时候，他确确实实是零？所以这个题目我们直接就选到 b 选项，我们来看到 f 二的时候，他是几，他应该是最值，至于是最大值还是最小值，我们没有关系，对吧？然后四的时候呢，他也是最值 a， 我 们没有办法确定负二分之一，我们没有办法确定他这个值吧？所以这个题目选到 b 选项，看到最后一个已知函数 f x， g x 定义为 r， 并且呢， f x 加 g 二减 x 减四等于七。 后面告诉我们什么呀？若 g x 图像是关于直线 x 等于二对称，并且 g 二等于四，那我们去求 k 等于一，直到二十二 f k 的 值。注意啊，这里我们求的是什么？ f k？ 好，那么看到这里他是不是一个双函数的问题啊？如果同学们之前听过我之前的视频的话，应该是没有任何问题的，我们这种双函数怎么处理？看后面他问的是 g x， 对 不对啊？给的是 g x 的 条件，那所以我们这两个函数需要消掉的是什么呀？消掉的是 f x， 留 g x 吧。好，我们来看下怎么消。 f x 加上 g 二减 x 等于五，那么 g x 呢？减去 f x 减四等于七， 我们上面是 f x， 下面呢， f x 减四，所以我们需要把第一个式子变一下，变成 x 减四的形，是吧？所以它就变成了 f x 减四，然后再加上注意，我们把 x 全部换成了 x 减四，所以你这个要换呢？二减去 x 加四，所以这里呢 g 六减 x， 那 么等于五。好，那么我看到这两个式子，这个以及这一个，那么它们两个相加，这个不就没了吗？所以我们能得到 g x 加上 g 六减 x， 它是等于十二的，这很明显是一个关于点对称的关系吧， 所以它的点是什么呀？对称点是三六，没问题吧？好，我们来看到这个题目，首先它告诉我们这是 g x 的 中心对称，对不对？它是关于三六对称的，横坐标是三，并且呢它还关于 x 等于二，这条轴对称， 这么能够把它的周期求出来吧？他们这里的差是一，所以周期等于四。好，那么周期求出来之后，我们再来看一看他让我们求的是什么呀？ f k， 先来看一看 g x， 它的一个周期内的值分别是多少？我们出来可以去看三角函数的对不对？好，那么首先我们来看到 它有一个对称中心是三六，那么还有一个对称轴呢？是 x 等于二，对吧？好，所以 x 等于二的时候，我们把它当一个轴来算，这里呢就是二，那么三的时候呢，它是取了六， 好，我们接着把它画完就行了。那么接下来这里就是四，这里呢就是五，然后这里就是六，这边呢就是七。好， 二，这里对应当然是一了，但这里要注意一个什么问题，他给了我们 g 二，他是等于四的，没问题吧？所以这个二他对应的这里是几，这里是四，你会发现一个什么问题，我们这里的横坐标啊，他是几啊？是不是六？所以三的时候他是取六， 我们这个函数图像怎么样？他是不是画反了呀？就他真正的函数图像应该是这个样子的，能理解吧？就这条蓝色的图像说，我们在画函数图像的时候啊，还是要去结合一下实际情况，对不对？好，那现在我们来看一下，我们就能够去把它的值全部给写上去了吧。首先我们这里的 呃， x 等于二的时候，它对应的是四，然后呢，这边是六这条直线，那么最大值应该是几啊？这里差两个单位，那么这里也差两个单位，所以它是八了，对吧？我们来看一下 f 一 呢，很明显它是等于六的 啊， g 一 表示，然后 g 二呢，它是等于四的， g 三它也是等于六。最后一个 g 四 它是等于八，就我们这里一个周期是算完了，但是你要注意，它让我们算的是 f k 啊，那我们想想看，这里 f 我 没有算出来的周期，但是你想想看，它会不会考周期啊？一定是吧，如果它这里没有周期，你不可能去全部算， 那我们怎么样才能去把它转换成 f x 呢？我们随便找一个条件嘛，你看看这里不就有吗？ f x 等于什么呀？我们把它直接拿下来， f x 它是等于五，减去 g 二减 x 的。 好，我们来验算一下，找一下规律。那么 f 一 呢，它是不等于五减去 g 一， f 二它等于多少？五减去 g 零，那么 g 零它是不是就是 g 四啊？ 减去 g 四为什么不用 g 零呢？我们把它全部代换到这一个周期里面来啊。那再看到 f 三，好，那么就是五减去 g 负一，负一加四呢？它不就是减去 g 三，再看到 f 四，那么五减去 g 负二，那么也就是 g 二，没问题吧？再看一下，它应该会重复了，然后这里就是五减去 g 二减五，就是负三，负三加四呢，它不就变成了 g 一 啊？所以你会发现一个什么问题， f x 呢？它也是周期为四的一个函数，对不对？好，那么这里有几个周期啊？ 二十二除以四，有五个周期，没问题吧？五个周期再加上前两项嘛，就是五倍的周期， f 一 加 f 二加 f 三 加 f 四，那么最后呢，还要加上两项，也就是 f 一 加上 f 二，我们看一下他一个周期的和是多少？ 那么一个周期的和。首先这里有多少个五啊？四个五没问题吧？然后四个五，这里是一共四个五，然后乘以前面的五，这里还有两个五吧，所以是二十二十二个五，对吧？所以他的整数部分呢，应该就是一百一，没问题吧？好，如果同学们看不出来，我这里再写的详细一点，好吧， 那么它应该可以写成什么呢？我们把它用 g x 带进去，那么它就变成了五倍的，这里是五减去 g e f e， 它不就是五减去 g e 吗？然后再加上五减去 g 四。好，看到这个地方啊，我们直接把它带进去，再加上五减去 g 三，再加上五减去 g 二，那么最后两项呢？五减去 f 一， 它就是 g 一， 对吧？然后再加上五减去 g 四。 好，那么到这里就很清楚了吧，这边是一个五，两个五，三个五，四个五，四个五，乘以五呢，没问题啊，这里四个五的和是二十，注意啊，乘以五它就是一百一百，再加上这里两个五，那么它的整数分就是一百一，好，再减去， 我们看到 g 一 加 g 二加 g 三加 g 四，他们的一个周期我们刚刚有没有算过，这里有没有，求出来吧，这里的十，然后十六加上八，二十四，那么一个周期的和是二十四，一共有多少个呀？有五个对吧？五乘以二十四，四五二十一百二，好，减去一百二先， 大家好注意哈，我们这里还要减去两个单独的，这里不是 g 一 跟 g 二，它是 g 一 跟 g 四。哦，我们 f 二对应的是 g 四，那么 g 一 呢？我们是六，再减六，然后再减上 g 四， g 四它是等于八，所以是一百一，减去 这里是一百三十四，所以等于负的二十四。那么这题呢，我们选到 d 选项以上呢，就是我们有关于函数性质中和的一些高考真题啊，希望同学们听完这期视频哪里不懂，赶快去复习。好吧，希望大家有所收获，我张阳，我们下期视频再见。
342杨杨杨讲数学
15:32查看AI文稿AI文稿如何在二十天将高考数学从零到八十分的速成？我们今天来讲三角函数每年必考的一个知识点，分值大概在十五分左右。好，应粉丝同学们的要求啊，我们在讲题的过程中呢，我把语速放慢一点。 好，首先呢，我们来看到三角函数，三角函数里面我们要记哪些东西呢？第一个图像，图像啊，一定要记住，因为它在我们解析过程当中的话，能给我们带来很多方便啊，以及让我们去检验这个结果对还是错啊。 然后第二个呢就是固定值，第三个呢就是计算公式。好，首先我们来看到第一个图像，来，图像的话，我们在三角函数里面是不是有三个啊？一个是 sin， 一个什么 cosine， 一个是 ten。 来，这个图像是什么呢？来 sin 函数，它的图像怎么画？来，跟着我一起画，你们也可以在自己的草稿纸上画一遍，这样能记得更清楚。来， sin， 这里是 x， 这里是 y， 对 不对？ in 的 话，他是经过了这个圆点啊，然后这有一个点我们怎么画呢？一个波浪线，一上一下，一上一下，他一直都是这样延续过去，这边呢，我再把它补过去啊， 然后这些点我们怎么去记呢？这一个点是个中心点，零，对不对？每到一个高峰，这一个高峰他就是二分子派，记清楚，二分子派， 这里呢，他又是有一个焦点了，对不对？这里是再加二分之派，那就是派了，对不对？还剩下一个，下面一个高峰是哪里？这里这个地方就是二分之三派，一样的，以此类推啊，以此类推，这边呢，一样的道理，这是负二分之派，这里呢是负派 这个地方，一样的道理，负二分之三派，后面是一样的，依次类推啊。来我们看这个图像，我们能看到什么？对称中心，对不对？对称中心是哪一个点？这一个点再加这一个点， 我们能看到图像里面，我们能看到什么？对称中心，还有什么？最高最低点吧？是不是最值，对不对？这里是一，这里是负，一，能看到最值，其实还能看到什么？他在每一个地方，他的正负正负关系啊。来我们看 零到派的时候，是不是这一段？零到派是这一段，他 y 值就是他的一个值吧，对不对？他是不是都是大于零的部分？都在上面，对不对？好。 派到二派的部分呢？这下面了，那他是不是负的部分？那我们到后面如果说遇到哪种题目，比如说三影一百 三十五度，那我们是不是去看他的位置一百三十五度在哪个地方？那他是正还是负？是不是很好去判断，对不对？还有或者说后面我们去验算的时候，是不是很好去判断？这个图像是能告诉我们很多信息的，所以一定要记住。那我们看 cosine 的 图像， 还有一个就是什么三眼的图像，他是经过原点的，经过原点，那扣三眼的图像呢？他跟三眼的图像差不多，但是呢，他的这个在这个零点的位置啊，在 y 轴的位置，他是什么向上的，他是这样的，然后再往下走， 再往上走，再往下走，一样的道理。这边呢，我再把它补过去啊， 看到没？这个 cosine， 它的顶点呢，是在 y 轴上，但是 cosine 呢，它是从这个圆点开始走，对不对？我 cosine， 我是 从负开始走吧，这样一个相当于一个 n， 对 不对？我写一个 n， 然后再一个反写的 n， 就是 一个 u 嘛，对不对？这里是零，这里呢 是二分之派，这个地方呢，他是派啊，加一个二分之派，那这个地方呢？再加一个二分之派，那就是二分之三派啊，这里好一样的道理，他这里顶峰是一，这个负顶峰呢，他是负一，对不对？这边呢是负二分之派， 再过来，这里是负派啊，一样的道理，这边都是这样。好，来，我们看 ten 函数，它的图像是怎么样的呢？一样的，我们每一个点呢，它我们都是用二分子派去定义啊。然后这里是二分子派，这里再加一个二分子派呢，就是二分子二派啊， 写这样会更清楚一点来，这样是二分之三派，再过去就是二分之四派，负，这边呢，也是一样的，负二分之派，负二分之二派。那 tan 函数它的函数是什么样的呢？来，我们去画虚线，每个地方我们去画。 记好啊， time 函数他是经过原点的，一定记好。经过原点，他是类似于什么？从这里往下走，一直走，走走走，但是他不会贴近这根线啊，老是这里画的可能有点丑啊，但不要没事啊， 能理解就行。然后这里呢？进来这里经过了零点，那我是不是跳一个点，再经过谁啊？再去这样经过，他去这样画啊， 这边呢？左边呢？是不是一样的道理啊？因为画板的问题啊，老师，这里不好画啊。来，这些，我们图像里面是可以看到很多很多信息的啊。来，对，正中心最直以及什么？以及它在每一个区域，每一个范围内的正负，对不对？ 好，我们再来看到第二个固定值，固定值的话是吗？是不是几个固定特殊的角度啊？三十度，四十五度，六十度，对应的 sign， cosign change， 这里三十度，他对应的三引是多少？二分之一，对不对？四十五度呢？对应的是二分之根号二，我们会发现二分之一其实就是二分之根号一，对不对？那这里是根号一，根号二六十度呢，他是二分之根号三啊， 好，来，我们看扣三引，他是不是跟他刚好反一下啊，对不对？记好，三引是从小到大，那扣三引呢？从大到小，他这里是二分之根号三， 这里是二分之根号二，这里是二分之根号一。好，那 ten 呢？他这里是什么？这里有一个根号三。那我是不是跟他一样写个根号三啊？然后呢？再把根号去掉，他是三分之根号三啊， 然后呢，他的四十五度是等于什么？乘以一个根号三，过来乘个根号三，他会变成什么？三分之三，那就是一，对不对？然后呢，再去乘一个根号三，他过来会变成一个什么？根号三，所以很好去记啊，这几个特殊角。好，我们再来看到计算公式，也是最重要的一点啊。 好啦，计算公式里面有什么呢？我们一定要记清楚的是什么？一个是 sine 平方 alpha 加 cosine 平方 alpha， 它会等于一，还有一个呢？ change alpha， 它会等于什么？是塞引阿法，去比上一个 cosine 阿法啊，好。还有一个合脚公式啊，塞引阿法加贝塔。这里我们用加减吧，因为加号也有可能，减号也有可能，对不对？它会等于什么呢？塞引 算法乘以扣三倍它加。减。加减什么意思？前面是加，那我后面就是加，前面是减，我后面就是减啊。来这里，你看三引算法乘以扣三倍它，那我还要再重新去写三引，扣三引，对不对？三引 扣三引，那我怎么去写的呢？我肯定不可能继续把这个阿法写在三引后面，对不对？如果说我继续写过去的话，我前面直接加个二倍就可以了，对不对？那我这里只需要把它反一下，这里是贝塔，这里是阿法啊，好，这里是三引的，那我们扣三引呢？ cosine 的 alpha 加减贝塔，它跟我们三引的有点不太一样，我们三引它是三引在前，那 cosine 呢？它是 cosine 在 前啊。但是还有一点，这个我们是不变的啊，一样的是 cosine， 那 我这里是 alpha 贝塔，那我是不是一样的 cosine？ alpha， cosine， 贝塔。 记住，扣三引的话，他跟三引的不同点。还有一个就是后面的正负关系，如果前面是正，那我后面一定要是个负，如果前面是个负，那我后面就是一个正啊。好吧，然后这里呢是扣三引，扣三引，那我后面呢？是三引， 三引，对不对？那三引三引我只能写什么？是不是阿法跟贝塔就把这两个角写回去，对不对？好， ten 阿法加贝塔呢？这里是加减 ten 阿法加减 ten 贝塔 比上一减加 ten 阿法乘以 ten 贝塔。 好，我们再来看背角公式，背角公式是什么意思呢？就是他的两倍对不对？或者是几倍对不对？那背角公式里面有什么？ sine 的 二 alpha， 它会等于什么？两倍的 sine alpha 乘以 cosine alpha， 这个要记清楚啊，他也是一个常考的知识点。然后呢， cosine 的 二倍角呢？来 cosine 二算法，它会等于什么？记好，它是等于 cosine 的 平方减去 cosine 的 平方算法，减去 sine 的 平方算法， 其实他还有别的公式。那别的公式是什么？等于两倍的 cosine 算法，平方减去个一等于一减两倍的三平方算法。 这两个呢，其实不用去记，他是怎么来的，他是由这一个公式以及三平方算法加 cosine 平方算法等于一 跟它去转变而来的，由这两个公式去转变而来的，得到的下面这些啊，所以它可以不用刻意的去记 tangent 二 alpha 呢，一样的道理啊，它会等于两倍的 tangent 二 alpha 去比上 一减 tan 平方阿尔法，他们两个呢，也不用刻意的去记啊，因为什么 tan 二阿尔法，其实它就会等于什么呢？三，二阿尔法去比上一个 cosine 阿尔法来的啊，所以有些东西呢，都是可以转变而来的。好，来，我们接下来看到题目。 好来，我们看到二零二五年全国高考数学一卷第四题考的是一个三角函数的，对不对？他考的是吧，考的是个图像的，图像的对称中心。好，我们刚刚知道太卷图像他是个什么样子的，是不是画一个，先画一个坐标，他的图像大概就是这个样子的，对不对？ 好，我们通过这个图像，我们知道他对称中心点是什么，如果说这个是个太卷算法他的图像的话，那他对称中心点应该是什么？ 对称中心是不是应该是多少？二分之 k 派，对不对？零二分之派，二分之二派，二分之三派，所以这个 k 属于 n？ 好，我们知道它的对称中心是二分之 k 派，那我们看题目告诉我们让我们去求的什么？ tangent x 减三分之派，让我们去求它的一个对称中心点，怎么办呢？那它的中心对称中心点是不是 x 减三分之派要等于什么？等于二分之 k 派就行啊？ 是不是？那这样 x 会变成几呢？是不是二分之 k 派再加上三分之派啊？对不对？ 好，我们怎么去？他说什么？已知点 a 在 这个函数图像里面，这个点 a 在 图像里面，是不是 a 代表的就是什么？是不是这个 x 它代表它的意思？好，我们看我们 x， 我 们知道了它等于这样， 那他让我们去求它的 x 最小值，那我当 x， 第一种情况，当 k 等于一的时候，我解的 x 会等于几呢？是不是把这个二分之一 派带进去，那就是二分之派加三分之派，对不对？他会等于几？六分之五派对不对？好，第二种情况，如果我 k 等于零的时候呢？ x 他 会等于几？是不是等于三分之派？ 好，第三种情况，那我 k 等于负一的时候呢？那是不是什么？负二分之派加三分之派，那就是几？是不是 x 会等于负六分之派？ 负六分之派他虽然是更小，对不对？他为什么不能取呢？因为什么？题目告诉我们了， a 要大于零，那就是什么？这个能得到什么？ x 他 要大于零，对不对？所以这个肯定要舍去。那三分之派跟六分之五派谁更大谁更小呢？ 肯定是三分之派更小对不对？所以他的最小值应该几啊？三分之派，所以是哪一个选 b 啊？好，来，我们看到第二题，这一题呢是二零二四年的全国高考数学一卷的真题啊，来，我们看这种题目， 关于啊，三角函数的计算怎么去做？来，已知告诉我们。 cosine 阿法加贝塔等于 m 啊，我写出来 cosine 阿法加贝塔，他会等于 m， 那 他我们能得到什么呢？是不是 cosine 阿法 cosine 贝塔，这里是加，那这里是减了对不对？减去什么？ cosine 阿法乘以一个 cosine 贝塔， 它会等于什么？等于 m， 对 不对？好，后面还告诉了我们一个已知条件， tangent alpha 乘以 tangent 贝塔等于二。我们都知道啊， tangent alpha， 它是由什么来的呢？这一个公式 tangent alpha， 它会等于 sine alpha， 比上一个 cos sine alpha 对 不对？好，那我这里是不是能得到什么 sine alpha sine 贝塔去比上一个 cosine 阿尔法 cosine 贝塔，它会等于二啊，那它还能得到什么？ cosine 阿尔法 cosine 贝塔是不是会等于二？乘一个它就是两倍的 cosine 阿尔法 cosine 贝塔吧。 好，我们再来看第一个式子跟第二个式子，我们能得到什么呢？来，这里是 cosine alpha cosine beta 这里呢也是 cosine alpha cosine beta， 这里是 cosine alpha cosine beta， 这里呢也是 cosine alpha cosine beta， 对 不对？那我跟他 他们俩之间相等，我是不是可以把这一部分换成他呀？那就是 cosine 阿尔法 cosine 被它减去什么？两倍的 cosine 阿尔法 cosine 被它对不对？ 一个减去两个，那会变成几个？是不是负一负 cosine 阿尔法 cosine， 被它题目告诉我们等于几啊？等于 m， 对 不对？ 好，得到他，最后他得到什么？其实很多步骤我们可以不用去写，但是我写出来的话，你们都能看的更清楚一点，然后最后我们得到什么？扣三引阿尔法，扣三引贝塔， 通过它，我们是不是可以得到它为的一负 m 啊？好，题目，让我们去求什么？ cosine alpha 减贝塔，好，这一个我们公式是什么呢？是不是 cosine alpha？ cosine 贝塔，这里是减，那我变成加对不对？加上 sine alpha， sine 贝塔， 好，我们看这一个我们已经知道了，它等于负 m， 对 不对？好，那这一个呢？三引二法三引贝塔，三引二法三引贝塔，是不是在这里啊？这里是加，那我就是加上两倍的它，那就变成几啊？三倍的扣三引二法扣三引贝塔吧。 扣三引二法扣三引贝塔等于什么？负 m， 那 三乘一个负 m 是 不是负三 m？ 好， 选 a？ 好，那既然大家都会了，我就留道题给大家做啊，这一题他选什么呢？不要只写答案啊，不要只写答案给我，可以把整个过程写出来，可以私信发给我啊，有问题的呢，我会去给你们一一去纠正一下，好吧？
1.8万小昇讲邪修数学
35:42查看AI文稿AI文稿本视频耗时四十九年半，制作共计一千九百分钟，带你一口气学完高中数学。由于时长太长，高一高二高三分九十七，发布本视频，先带你学完高中必修一、二次函数与密函数。内容很精、很细、很全面，从最简单的定义问题到最复杂的参数和成立问题 开始。接下来长期白班之前，我希望你在此时此刻种下那个梦中的大学，考完之后带着你的录取通知书和成绩回来告诉我，学长也考上了！好了，首先我们来看密函数。密函数的定义，一般 d 把形如 y 等于 x 的 a 次方的函数叫做密函数，其中 x 自变量 a 是 常数。常见的五种幂函数的图像，如图， y 等于 x 的 负一次方， y 等于 x 的 二分之一次方， y 等于 x， y 等于 x 平方， y 等于 x 立方。逆函数的性质，逆函数在零到正无穷上都有定义。当 a 大 于零时，逆函数的图像都过点一一和零零，且在零到正无穷上单调递增。当 a 小 于零时，逆函数的图像都过点一一， 且在零到正无穷上单调递减。当 a 为奇数时， y 等于 x 的 a 次方为奇函数。当 a 为偶数时， y 等于 x 的 a 次方为偶函数。接下来我们来看二次函数、 二次函数解析式的三种形式，一般式， f， x 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， a 不 等于零。顶点式， f， x 等于 a 倍的 x 减 m 的 平方加 na 不 等于零，顶点坐标为 m， n。 零点式， f， x 等于 a 倍的 x 减 x 一 乘 x， 一 乘 x 二， a 不 等于零， x 一 x 二为 f， x 的 零点。 二次函数的图像和性质如下表， y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， a 大 于零。图像，如其定义域为 r， 值域为四， a 分 之四， a， c 减 b 平方导正无穷 对称轴为 x， 等于负二 a 分 之 b， 顶点坐标为负二 a 分 之 b， 逗号四 a 分 之四， a， c 减 b 平方奇偶性，当 b 等于零时是奇函数， b 不 等于零时是非极非偶函数。单调性在负无穷到负二 a 分 之 b 上单调递减，在负二 a 分 之 b 到正无穷上单调递增， y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， a 小 于零 图像，如其定义域为 r， 值域为负无穷到四， a 分 之四， a， c 减 b 平方对称轴为 x 等于负二 a 分 之 b 点坐标为负二 a 分 之 b， 逗号四 a 分 之四， a， c 减 b 平方。奇偶性，当 b 等于零时是奇函数，当 b 不 等于零时，是非奇非偶函数单调性，在负无穷到负二 a 分 之 b 上单调递增，在负二 a 分 之 b 到正无穷上单调递减。 自主诊断判断下列结论是否正确。一、函数 y 等于二分之一的 x 的 二分之次方的次方是 m 函数。本题错误理由如下， m 函数的基本形式是 y 等于 x 的 a 次方， x 是 自变量， a 是 常数，本题当中有两次方， 所以本题错。二、若二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 图像横在 x 轴下方，则 a 小 于零，且德尔塔小于零。本题正确理由如下， a 小 于零，二次函数开口方向向下，德尔塔小于零，函数与 x 轴没有交点， 故本题正确。三、二次函数 y 等于 a 倍的 x 减一的平方加二的单调递增区间是一到正无穷。本题错理由如下，当 a 大 于零时，二次函数图像开口方向向上，其单调递增区间是一到正无穷。当 a 小 于零时， 二次函数图像开口方向向下，其单调递增区间是负无穷到一，故本题错。四、 若密函数 y 等于 x 的 a 次方是偶函数，则 a 为偶数。本提错理由如下，如 y 等于 x 的 三分之二次方，其函数为偶函数，但 a 不是 偶数。二、已知密函数 y 等于 f x 的 图像过点八二倍的根号二，则 得 f 九的值为解。设密函数 f x 等于 x 的 a 次方，图像过点八二倍的根号二，故 f 八等于八的 a 次方等于二倍的根号二，故 a 等于二分之一， f x 等于 x 的 二分之一次方， f 九等于根号九等于三。本题选 b。 已知函数 f x 等于 x 平方减二， x 加二， x 属于负二到二，则函数 f x 的 直域为解。当 x 属于负二到二时， x 减一大于负，三小于一， 则 f x 等于 x 平方减二， x 加二等于 x 减一的平方加一属于一到十。问题选 d。 四、已知函数 f x 等于 x 平方加两倍， a 减一倍的 x 加二，在区间负无穷到负三上单调递减，则实数 a 的 取值范围是减，由函数 f， x 等 等于 x 平方加两倍， a 减一倍的 x 加二，在区间负无穷到负三上单调递减，可得负二分之二倍的 a 减一大于等于负三，即 a 小 于等于四，故实数 a 的 取值范围为负无穷到四。接下来我们来学本节第二部分，探讨核心题型。 题型一，密函数的图像与性质一、如图所示，图中的曲线是密函数 y 等于 x 的 n 次方。在第一项线的图像已知， n 取正负二，正负二分之一四个值则相对应曲线 c 一、 c 二、 c 三、 c 四的 n 依次为解。根据密函数 y 等于 x 的 n 次方的性质， 在第一象限内的图像，当 n 大 于零时， n 越大， y 等于 x 的 n 次方递增速度越快，所以曲线 c 的 n 等于二， c 二的 n 等于二分之一。当 n 小 于零时， n 绝对值越大，曲线越陡峭，所以曲线 c 三的 n 等于负二分之一， c 四的 n 等于负二。本题选 b 二， n 等于一是密函数 f， x 等于 n 平方减三， n 加三倍， x 二， n 减三次方。在零到正无穷上单调递减的介 为， f， x 等于 n 平方减三， n 加三倍， x 二， n 减三次方是密函数，所以 n 平方减三， n 加三等于一，即 n 平方减三， n 加二等于零。解得 n 等于一或 n 等于二，当 n 等 于一十， f， x 等于 x 的 负一次方等于 x 分 之一，在零到正无穷上单调递减。当 n 等于一时， f x 等于 x， 在 零到正无穷上单调递增，所以 n 等于一是密函数。 f， x 等于 n， 平方减三， n 加三，被 x 二， n 减三次方。在零到正无穷上单调递减的重要条件。本题选 c 思维升华对于逆函数图像的掌握，只要抓住在第一象限内，三条线分，第一象限为六个区域， 即 x 等于一， y 等于一， y 等于 x。 所分区域根据 a 小 于零， a 大 于零小于一， a 等于一的取值，确定位置后，其余象限部分由基友性决定。 在比较密值的大小时，必须结合密值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较跟踪训练。一、 密函数 y 等于 x 的 m 平方，加 m 减二次方， m 大 于等于零小于等于三、 m 属于 z 的 图像关于 y 轴对称，且在零到正无穷上单调递增，则 m 的 值为减。 当 m 等于零时， y 等于 x 的 负二次方，由密函数性质得。 y 等于 x 的 负二次方，在零到正无穷上单调递减。当 m 等于一时， y 等于 x 的 零次方，由密函数性质得， y 等于 x 的 零次方，在零到正无穷上是常数函数。 当 m 等于二十， y 等于 x 的 四次方，由密函数性质得图像关于 y 轴对称， y 等于 x 的 四次方，在零到正无穷上单调递增。当 m 等于三十， y 等于 x 十次方，由密函数性质得，图像关于 y 轴对称， 在零到正无穷上单调递增，本题选 d。 二、如图所示，是函数 y 等于 x 的 n 分 之 m 次方， m n 均为正整数，且 m n 互斥的图像，则由密函数性质可知， y 等于 x 的 n 分 之 m 次方与 y 等于 x 的 图像横过定点一， 即在第一象限内的焦点坐标为一一。当 x 大 于零小于一时， x 的 n 分 之 m 次方大于 x， 则 n 分 之 m 小 于一， 又 y 等于 x 的 n 分 之 m 次方的图像关于 y 轴对称，所以 y 等于 x 的 n 分 之， m 次方为偶函数，所以负 x 的 n 分 之 m 次方等于 n 的 n 分 之 m 次方等 等于 n 次。根号下 x 的 m 次方有 m， n 互斥，所以 m 为偶数， n 为基数。本题选 b。 题型二、二次函数的解析式理二已知二次函数 f x 满足， f 二等于负一， f 负一等于负一，且 f x 的 最大值是八，是确定该二次函数的解析式解 有，已知得 f x 加一等于零的两根为 x， 一 等于二， x 二等于负一，故可设 f x 加一等于 a 被 x 减二乘 x 加一， a 不 等于零既 f x 等于 ax 平方减 ax 减二， a 减一又函数有最大值八既四 a 分 之四 a 倍的负二， a 减一减负 a 的 平方等于八， 解的 a 等于负四。故所求函数的解析式为， f x 等于负四， x 平方加四， x 加七。思维升华，求二次函数解析式的三个策略。一、 已知三个点的坐标以选用一般式。二、已知顶点坐标对称轴最大，最较直，等以选用顶点式。三、已知图像与 x 轴的两交点的坐标，以选用零点式跟踪训练。二、已知二次函数 f x 图像过点零到三，对称轴为直线， x 等于二，且方程 f x 等于零的两个根的平方和为时，则 f x 的 解析式为解 e t e。 设函数 f x 等于 a 被 x 减二的平方加 h， a 不 等于零， 由二次函数 f x 的 图像过点零三得 f 零等于三，所以四 a 加 h 等于 于三，即 h 等于三减四 a， 所以 f x 等于 a 被 x 减二的平方加三减四， a 令 f x 等于零，即 a 被 x 减二的平方加三减四， a 等于零， 所以 a x 平方减四， a x 加三等于零。设方程的两根为 x 一 x 二，则 x 一 加 x 二等于四， x 一 乘 x 二等于 a 分 之三，所以 x 一 平方加 x 二平方等于 x 一 加 x 二的平方减二倍 x 一 x 二等于十六，减 a 分 之六，所以十六减 a 分 之六等于十，解得 a 等于一， 所以 f x 等于 x， 平方减四， x 加三。题型三，二次函数的图像与性质命题点一，二次函数的图像。例三，已知二次函数 f x 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 图像如图所示， 则下列说法正确的是。解，由二次函数的图像开口向下值， a 小 于零，即二 a 加 b 等于零，故 b 大 于零。 又因为 f 零等于 c 大 于零，所以 a、 b、 c 小 于零， f 二等于 f， 零等于四， a 加二， b 加 c 大 于零， f 三等于 f 负一等于九， a 加三， b 加 c 小 于零。本题选 a c d。 命题点二，二次函数的单调性 与最值 b 四、已知二次函数 f x 等于 a， x 平方减 x 加 r， a 减一一。若 f x 在区间一到二上单调递减 a 的 取值范围。解，由提一知， a 不 等于零，当 a 大 于零时， f x 等于 ax 平方减 x 减二， a 减一的图像开口向上对称轴方程为 x 等于二， a 分 之一，所以 f x 在区间一到二上单调递减需满足二， a 分 之一大于等于二，又 a 大 于零，所以 a 大 于零，小于等于四分之一。当 a 小 于零时， f x 等于 a， x 平方减 x 加二， a 减一的图像开口向下对称轴方程为 x 等于二， a 分 之一小于零， 所以 f x 在 区间一到二上单调递减横成立。综上， a 的 取之范围是负无穷到零丙零到四分之一二。若 a 大 于零， 设函数 f x 在 区间一到二上的最小值为 g a， 求 g a 的 表达式解，当二 a 分 之一大于零，小于等于一，即 a 大 于等于二分之一， f x 在 区间一到二上单调递增，此时 g a 等于 f 一 等 三， a 减二。当二 a 分 之一大于一小于二， g a 大 于四分之一小于二分之一时， f x 在 区间一到二 a 分 之一上单调递减。在区间二 a 分 之一到二上单调递增，此时 g a 等于 f 二 a 分 之一等于二， a 减四， a 分 之一减一。 当二 a 分 之一大于等于二，即 a 大 于零，小于等于四分之一时， f x 在 区间一到二上单调递减，此时 ga 等于 f， 二等于六， a 减三。综上所述， ga 等于六， a 减三， a 属于零到四分之一之 a 等于二， a 减四， a 分 之一减一， a 属于四分之一到二分之一， ga 等于三， a 减二， a 属于二分之一到正无穷。二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 在含参的二次函数中常常出现两种情况的讨论，一、二次函数是确定的，但它的定义域区间是非参数而变化的，我们称这种情况是定二次函数在动区间上的最值。 二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是动二次函数在定区间上的最值。 第一，已知函数 f x 等于负二分之一， x 平方加 x。 在 区间 a 到 b 上的最小值为三， a 最大值为三， b 得 a 加 b 等于截。因为 f x 等于负二分之一， x 平方加 x 等于负二分之一。被 x 减一的平方加二分之一小于等于二分之一的图像的对称轴为 x 等于 一。开口向下，函数在负无穷到一上单调递增，在一到正无穷上单调递减。一提 e 三 b 小 于等于二分之一，所以 b 小 于等于六分之一，所以 f x 在 区间 a 到 b 上单调递增，所以 fa 等于三 a， f b 等于三 b 积负二分之一， a 平方加 a 等于三 a 负二分之一， b 平方加 b 等于三 b， 所以 a、 b 为方程二分之一 x 平方加二， x 等于零的两根，所以 a 加 b 等于 负的二分之一分之二等于负。四、本题选 a。 若函数 f x 等于 x， 平方减二 b， x 加三， a 在 区间零到一上的最大值为 m， 最小值为 m， 则大 m 减 m 的 值。解，函数 f x 等于 x， 平方减二 b， x 加三 a 的 图像开口向上，且对称轴为直线， x 等于 b， 当 b 大 于一时， f x 在 零到一上单调递减，则 m 等于 f， 零等于三 a m 等于 f， 一 等于一减二， b 加三 a， 此时大 m 减小 m 等于二， b 减一，故大 m 减小 m 的 值与 a 无关，与 b 有 关。当 b 小 于零时， f 在 零到一上单调递增，则大 m 等于 f， 一 等于一减二， b 加三 a 小 m 等于 f， 零等于三 a， 此时大 m 减小 m 等于一减二 b， 故大 m 减小 m 的 值与 a 无关，与 b 有 关。当 a 大 于等于零，小于等于一时， 小 m 等于 f 等于二分之一，则 f 一 大于等于 f， 零 有大 m 等于 f， 一 等于一减二， b 加三 a， 所以 大 m 减小 m 等于 b 平方减二， b 加一，故大 m 减小 m 的 值与 a 无关，与 b 有 关。若 b 大 于二分之一，则 f 一 小于 f， 零 有大 m 等于 f， 零等于三 a， 所以 大 m 减小 m 的 值与 a 无关，与 b 有 关。 综上，大 m 减小 m 的 值与 a 无关，与 b 有 关。本题选 a 思维升华。二次函数在 b 区间上的最值主要有三种类型，轴定区间定轴动、区间定 轴定区间动。不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论、跟踪训练。三、已知 y 等于 x 减 m 倍， x 减 n 加二零二三， m 小 于 n， 且阿尔法贝塔阿尔法小于贝塔 是方程 y 等于零的两根，则阿尔法贝塔 m、 n 的 大小关系是，且 y 等于 x 减 m 倍， x 减 n 加二零二三， m 小 于 n 为二次函数。图像开口向上，阿尔法 贝塔是方程 y 等于零的两根，故阿尔法贝塔为二次函数的图像与 x 轴的两个交点的横坐标。其中 f m 等于 f， n 等于二零二三。画出大致图像，如图所示。显然 m 小 于阿尔法小于贝塔小于 n。 本题选 c。 二、函数 f x 等于 x， 平方减四， x 加二，在区间 a 到 b 上的值域为负二到二，则 b 减 a 的 取值范围是。解解方程 f x 等于 x， 平方减四， x 加二等于二，得 x 等于四。解方程 f x 等于 x， 平方减 四， x 加二等于负，二得 x 等于二。由于函数 f x 在 区间 a 到 b 上的值域为负二到二，若函数 f x 在区间 a 到 b 上单调，则 a 到 b 等于零到二，或 a 到 b 等于二到四，此时 b 减 a 取得最小值。二、若函数 f x 在 区间 a 到 b 上不单调，且当 b 减 a 取最大值时， a 到 b 等于零到四，所以 b 减 a 的 最大值为四， 所以 b 减 a 的 取值范围是二到四。接下来我们来学本节第三部分课时精练一、单项选择题。一、若逆函数 f、 x 等于 x 的 a 次方的图像经过第三项线，则 a 的 值可以是解。当 a 等于负二时， f、 x 等于 x， 负二次方为偶。函数图像在第一和第二项线，不经过第三项线， a 不 符合提一， a 等于二十， f， x 等于 x 平方为偶函数图像过圆点，分布在第一和第二项弦，不经过第三项弦 b 不 符合提 e。 当 a 等于二分之一时， f、 x 等于 x 的 二分之一次方， x 属于领导正无穷图像过圆点，分布在第一项弦， 经过第三项线 c 不 符合题意。当 a 等于三分之一时， f、 x 等于 x 的 三分之一次方， x 属于二，为记。函数图像经过原点和第一、三项线， d 符合题意。本题选 d。 二、已知 a 等于二的三分之四次方， b 等于三的三分之二次方， c 等于二十五的二分之一次方，则解由提一得 b 等于三的三分之二次方、小于四的三分之二次方。等于二的三分之四次方等于 a， a 等于二的三分之四次方、等于四的三分之二次方。小于四小于五等于二十五的二分之一次方等 于 c， 所以 b 小 于 a 小 于 c， 本题选 a。 三、若函数 f、 x 等于四， x 平方减 k， x 减八，在四到五上是单调函数， 则 k 的 取值范围是减，因为 f、 x 等于四， x 平方减 k， x 减八的对称轴围。直线 x 等于八分之 k， 且其图像开口向上，所以八分之 k 小 于等于四， 或八分之 k 大 于等于五，解得 k 小 于等于三十二或 k 大 于等于四十，所以 k 的 取值范围是负无穷到三十二，并上四十到正无穷，本题选 b。 四、函数 f x 等于 a， x 平方加二， x 加一，与 g x 等于 x 的 a 次方在同一直角坐标系中的图像不可能为。 对于 a 二次函数的图像开口向下，所以 a 小 于零。此时 g x 等于 x 的 a 次方在零到正无穷上单调递减，与图中符合。对于 b 二次函数的图像开口向上，所以 a 大 于零，此时 g x 等于 x 的 a 次方在零到正无穷上单调递增，与图中不符合。对于 c 二次函数的图像开口向上， 所以 a 大 于零，此时 g x 等于 x 的 a 次方在零到正无穷上单调递增，与图中符合。对于 d 二次函数的图像开口向上，所以 a 大 于零，此时 g x 等于 x 的 a 次方在零到正无穷上单调递增，与图中符合。本题选 b。 五、已知函数 f x 等于负 x 平方加二， x 加五，在区间零到 m 上的值域为五到六，则实数 m 的 取值范围是 解， f x 等于负 x 平方加二， x 加五，等于负 x 减一的平方加六。 f x 的 图像开口向下，对称轴为直线， x 等于一， 画出 f x 的 图像，如图所示，由于 f x 在 区间零到 m 上的值域为五到六，有图可知， m 的 取值范围是一到二。本题选 d。 六、已知函数 f x 等于 x， 平方小于零， 得下列关系一定成立的是，解，函数 f x 等于 x 的 平方减二， x 加 a， 在 负无穷到一上单调递减，在一到正无穷上单调递增。 f m 等于 m 的 平方减二， m 加 a 小 于零， 故 m 的 平方减二， m 小 于负， a 小 于零，解得零小于 m 小 于二等于 a 大 于零 b。 正确。 m 减二属于负二到零。 f m 减二大于 f， 零等于 a 大 于零 d 错误，取 a 等于 e 百分之十九 m 等于五分之一， f m 等于负一百分之十七小于零，满足条件， f m 加一等于 f 五分之六等于负一百分之七十七。小于零 a 错误。 f m 减一等于 f， 负分之四等于一百分之二百四十三、大于零 c 错误，本题选 b。 二、多项选择七、设 a 乘 b 乘 c 小 于零，则函数 y 等于 a x 平方加 b， x 加 c 的 图像可能是解。 a 中 a 小 于零， b 小 于零， c 小 于零，所以 a、 b、 c 小 于零，符合题意。 b a 小 于零， b 大 于零， c 大 于零， 所以 a、 b、 c 小 于零，符合提 e。 c 中 a 大 于零， b 大 于零， c 大 于零，所以 a、 b、 c 大 于零，不符合提 e。 d 中 a 大 于零， b 小 于零， c 小 于零，所以 a、 b、 c 大 于零，不符合提 e。 本题选 a、 b。 八、下列说法正确的是解 a 选项。设 f x 等于 x 的 a 次方，将八分之一二代入的八分之一的 a 次方等于二，即二的负三次方的 a 次方等于二，解得 a 等于负三分之一， 故解析式为 y 等于 f， x 等 x 的 负三分之一次方。 a 错误。 b 选项，因为负五分之四小于零， 所以 f x 等于 x 的 负五分之四次方。在零到正无穷上单调递减有 f x 等于 x 的 负五分之四次方的定义，以为负无穷到零，并上零到正无穷。 f 负 x 等于负， x 的 负五分之四次方等于 x 的 负五分之四次方等于 f x， 故 f x 等于 x 的 负五。分之四次方为偶函数，故 f x 等于 x 的 负五。分之四次方在负无穷到零上单调递增。 b 错误。 c 选项，因为 a 大 于零，所以零的 a 次方等于零， 一的 a 次方等于一，故密函数 y 等于 x 的 a 次方。 a 大 于零的图像始终经过点零、零和一一。 c 正确。 d 选项由题 e 得二， m 的 平方减二， m 减三等于一， 解得 m 等于二或负一。当 m 等于二时， f x 等于 x 的 平方为偶函数，满足图像。关于 y 轴对称，当 m 等于负一时， f x 等于 x 的 负一次方为奇函数，不满足图像。关于 y 轴对称， 舍去其中负 a 的 平方加二， a 减五等于负， a 减一的平方减四小于等于负，四横成立，故负 a 的 平方加二， a 减五的绝对值等于 a， a 减一的平方加四大于等于四大于三。又 f x 等于 x 的 平方在零到正无穷上单调递增，故 f 负 a 的 平方加二， a 减五大于 f， 三、 d 正确。本题选 c d。 三填空题。已知函数 f x 等于 m 的 平方减 m 减一乘以 x 的 四， m 加三次方是密函数，且在零到正无穷上单调递增，则 f 二等于解。由提一可知， m 的 平方减 m 减一等于一， 四， m 加三大于零，解得 m 等于二，所以 f x 等于 x 的 十一次方， f 二等于二的十一次方。十。已知二次函数的图像过点负三零 一零，且顶点到 x 轴的距离等于二，则二次函数的表达式为解。因为二次函数的图像过点负三逗号零， 一逗号零，所以可设二次函数为， y 等于 a 乘以 x 加三，乘以 x 减一， a 不 等于零。 展开的 y 等于 ax 的 平方加二， ax 减三， a 顶点的纵坐标为四， a 分 之负十二， a 的 平方减四， a 的 平方等于负四 a。 由于二次函数图像的顶点到 x， t 的 距离为二，所以负四， a 的 绝对值等于二， 即 a 等于正负二分之一。所以二次函数的表达式为， y 等于二分之一， x 的 平方加 x 减二分之三，或 y 等于负二分之一， x 的 平方减 x 加二分之三十一。已知函数 f x 等于 x 的 平方加 a， x 加 b 的 值域为二到正无穷，且满足 f 一 减 x 等于 f 一 加 x。 若 f x 在 m 到 n 上的值域为二到六，则 n 减 m 的 最大值为解。由 f 一 减 x 等于 f， 一 加 x， 可得函数的对称轴为直线， x 等于一。由函数 f x 等于 x 的 平方加 a 等于一， a 等于负二，所以 f x 等于 x 的 平方减二， x 加 b。 因为 f x 的 值域为二到正无穷， 所以 f 一 等于一的平方减二乘以一加 b 等于一，减二，加 b 等于二，可得 b 等于三。故 f x 等于 x 的 平方减二， x 加三。若 f x 在 m 到 n 上的值域为二到六，令 x 的 平方减二， x 加三等于六， 解得 x 等于三，或 x 等于负一。所以 m 最小为负一， n 最大为三，则 n 减 m 的 最大值为四十二、密函数 y 等于 x 的 m， 次方 m 不 等于零。当 m 取不同的正数时，在区间零到一上，它们的图像是一簇美丽的曲线。如图， 设点 a 一 零 b 零一，连接 a b 线段， a、 b 恰好被其中的两个密函数 y 等于 x， r 法次方 y 等于 x 的 贝塔次方的图像三等分，即有 b， m 等于 m， n 等于 na， 则 r 法贝塔等于减。因为 a 一 零， b 零一， b， m 等于 m， n 等于 na， 所以 m 点坐标为三分之一，逗号三分之二， n 点坐标为三分之二，逗号三分之一。不妨设 y 等于 x 的 阿尔法次方， y 等于 x 的 贝塔次方，分别过 m 点三分之一，逗号三分之二， n 点三分之二，逗号三分之一，则三分之二等于三分之一的阿尔法次方， 三分之一等于三分之二的 beta 次方，则三分之二等于三分之一的 r 法次方，等于三分之二的 beta 次方的 r 法次方 等于三分之二的 r 法 beta 次方，所以 r 法 beta 等于一四。解答题是三。已知幂函数 f x 等于 m 的 平方加四， m 加四，乘以 x 的 m 加二次方，在零到正无穷上单调递减一，求 m 的 值。解 求幂函数的定义，可得 m 的 平方加四， m 加四等于一既 m 的 平方加四， m 加三等于零， 解。得 m 等于负一或 m 等于负三。因为 f x 在 零到正无穷上单调递减，所以 m 加二小于零， 既 m 小 于负二，则 m 等于负三。二。若二 a 减一的负 m 次方小于 a 加三的负 m 次方，求 a 的 取值范围解。 设 g x 等于 x 的 三次方，则 g x 是 增函数，由一可知二 a 减一的负 m 次方小于 a 加三的负 m 次方，即二 a 减一的三次方小于 a 加三的三次方，则二 a 减一小于 a 加三，解得 a 小 于四， 即 a 的 取值范围为负无穷到四十四。已知二次函数 y 等于 ax 的 平方加 b， x 的 图像过点零零五零， 且最小值为负二分之二十五。一。求函数的解析式由提一设函数的解析式为， y 等于 a， x 乘以 x 减五， a 大 于零。 由已知可得二次函数图像的顶点坐标为二分之五，逗号负二分之二十五。待如得负二分之二十五等于 a 乘以二分之五，解得 a 等于二，所以二次函数的解析式为， y 等于二， x 乘以 x 减五， 即 y 等于二， x 的 平方减十 x。 二、当 t 小 于等于 x 小 于等于 t 加一时， 该函数的最小值为负十二。求此时 t 的 值解由一只 y 等于二， x 的 平方减十， x 等于二，乘以 x 减二分之五的平方减二分之二十五。其图像开口向上对称轴为直线， x 等于二分之五，当 当 t 加一小于等于二分之五，即 t 小 于等于二分之三十， y 等于二， x 的 平方减十 x 在 t 到 t 加一上单调递减，所以当 x 等于 t 加一时， y 等于二， x 的 平方减十， x 取得最小值，所以二乘以 t 加一的平方减十，乘以 t 加一等于负十。二解的 p 等于一或 t 等于二。溯去，所以 t 等于一。当 t 小 于二分之五小于 t 加一，即二分之三小于 t 小 于二分之五十， y 等于二， x 的 平方减十， x 在 x 等于二分之五时取得最小值负二分之二十五。不满足提议，当 t 大 于等于二分之五十， y 等于二， x 的 平方减十， x 在 t 到 t 加一上单调递增， 所以当 x 等于 t 时， y 等于二， x 的 平方减十， x 取得最小值，所以二 t 的 平方减十， t 等于负十二减的 t 等于三 或 t 等于二。舍去综上否数 t 的 值为一或三。能力拓展十五、设函数 f， x 等于 x 分 之一， g， x 等于 a， x 的 平方加 b x， 其中 a b 属于实数， a 不 等于零， y 等于 f， x 的 图像与 y 等于 g， x 的 图像有且仅有两个不同的公共点， a x 一 y 一 b x 二 y 二，则下列判断正确的是解令 f x 等于 g， x， 可得 x 平方分之一等于 ax 加 b。 设 f， x 等于 x 平方分之一， g， x 等于 ax 加 b。 根据提意， f x 的 图像与 g x 等于 a， x 加 b 的 图像只有两个交点，不妨设 x 一 小于 x 二。结合图形可知， 当 a 大 于零时，如图一， g x 等于 ax 加 b 的 图像与 f x 图像的左支相切，与右支有一个交点。根据对称性可得 x 一 的绝对值大于 x 二，即负 x 一 大于 x 二大于零。 此时 x 一 加 x 二小于零， y 二等于 x 二分之一大于负 x 一 分之一等于负 y 一， 所以 y 一 加 y 二大于零，同理可得。当 a 小 于零时，如图二， x 一 加 x 二大于零， y 一 加 y 二小于零。本题选 b。 十六、关于 x 的 方程， x 的 平方减二， x 的 平方减 k 等于零。 下列命题正确的有解。设 t 等于 x 的 平方减二， x， 方程化为关于 t 的 二次方程， t 的 平方加二， t 加 k 等于零。当 k 大 于一时，方程一无十根， 故圆方程无十根。当 k 等于一时，可得 t 等于负一，则 x 的 平方减二， x 等于负一，圆方程有两个相等的十根， x 等于一。当 k 小 于一时，方程一有两个时，跟 t 一 t 二， t 一 小于 t 二，由 t 一 加 t 二等于负二，可知 t 一 小于负一， t 二大于负一，因为 t 等于 x 的 平方减二， x 等于 x， 减一的平方减一大于等 等于负一，所以 x 的 平方减二， x 等于 t 一 无实根， x 的 平方减二， x 等于 t 二，有两个不同的实根。综上可知， a、 b 相正确， c、 d 相错误。本题选 a、 b。
5.3万青禾学长
24:11查看AI文稿AI文稿警告，本期视频总耗时八百六十三小时制作，沈老师从本期视频开始，会从必修一开始所有课本内的函数内容全部总结一遍，认真看完高中数学函数板块，直接提二十分，先收藏再观看。话不多说，我们进入正题， 这里面呢，我会分三期视频，从函数的概念到函数大题的综合，逐步给大家细细的讲解。 那我们知道函数的概念是一切的开始，可以说函数这个东西，站在高中数学的百分之七十五的考点都与函数相关， 所以说大家说后面的东西学不好和函数有没有关系？我可以负责任的告诉大家，在某一个板块他确实没有太大关系，但是一道道后面的综合练习题当中，他必然要想尽一切办法结合函数。为什么？因为我们高中其实函数通，则所有的内容就都通了。 现在话不多说，我们一起来分析函数概念。首先设 ab 是 非空的数值，如果按照某种确定的关系， f 使对于集合 a 当中的任何一个数 x， 在 集合 b 当中都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f a 杠 b， 它就是从集合 a 到集合 b 的 一个函数，记作 y 等于 f x， x 属于 a。 好， 这里面有什么值得大家关注的点吗？来，我先说一个 好，这件事情，就是这里面提到了叫做 a 集合当中任何一个数。好，这句话大家标重点，第二句话都有唯一确定的数，标重点，第三句话，我们这个时候在写函数的时候，大家是不是 这个位置，是不是一定要写这个东西好，这个东西叫什么？这个东西是叫做定义域， x 的 取之范围叫做 a 函数的，什么叫做定义域？好吧，大家能接受。好，因此我们抓住这三个细节 就可以理解函数的内容，我们来具体的来描述一下这个问题。好，这里面我给大家举了三个例题，比如说这个是集合 a， 这个是集合 b， 现在沈老师要问一问，下面的这三幅图像里，哪个体现了它是函数？是 a 集合到 b 集合的一个函数。给大家讲时间，大家做一个选择。好，首先 a 对 于第一个题目它并不是一个函数，不是函数。 第二个题目这里面它是一个函数，第三个题目它也是一个函数。 那么为什么？因为我们看到刚才的描述，他说 a 级当中的任何一个元素对吗？是不是任何一个元素都要在 b 级当中找到和它对应的一个元素，所以 a 级和当中没有把三给标定出来， 这是他错的地方。好，我们看第二题，那第二题老师， b 集合当中他怎么还有没有对应到的元素？好，大家仔细回顾下，概念当中没有说 b 集合当中要被任取，所以他是正确的，这个没有问题， 得看第三个。这个时候大家发现我怎么好多个数都对到了二上面，一也对二，二也对二，三也对二，这是函数吗？是给你一个数能对应到另外一个数吗？好，我告诉大家，这个一定是函数， 因为它的唯一确定性体现在 a 集合当中的每一个数字， b 集合当中都有唯一确定一个数字。好，稍等一下，老师再给大家补充一道题，大家自行判断， 我们可以对比一下第三题和第四题这两个集合，为什么三它是对的，四它是错的？因为这里面出现了我给你一个数字，三，我出现了对应的是四，对应的是五， 这个就不满足。定义当中的描述叫做 a 集合当中任意一个数在 b 集合当中都有唯一确定的数与之对应，所以我们认为四是错误的，而三是正确的。好，沈老师呢？既然都给大家写了，沈老师给大家总结一下， 按照函数的定义来看，有以下三条总结。第一条 a 集合元素，我们要满足一个任取，就是取权，不能有空着的东西。 第二条 e 集合元素是要可控的，说你没有必要取全，但是你取全了有没有问题？没有问题，你不取全有没有问题？没有问题。 好，第三条，由 a 到 b 当中，它是可以多对一的。比如说我刚才的力 t 三，它是可以一对三、一对二、二对二、三对二的， 但是它不能一对多，它不能够给你一个数，你给我好多个数字与它对应，这个就是不满足。定义当中的与 a 集合当中任一个数 x 在 b 集合当中都有唯一确定的数， f x 和它对应，大家听懂了吗？以上就是沈老师关于函数概念的这里面的笔记的总结。 好，第二个问题，我们会了这个概念之后，我们要从函数的三要素出发。 首先我现在提出一个问题，那么函数的三要素是什么？大家如果了解的可以打在评论区上，比如说你对函数的三要素的理解是什么？ 好，那沈老师告诉大家，它的第一个要素就是定义域，你实际上我给你个函数，它 x 的 取值范围，那比如说一个反比例函数，它这里面的 x 范围应该是 x 不 等于零，这就是它的定义。一般来说我们所有的函数都要优先考虑定义。 第二条就是对应关系，那么对应关系有几种？其实我们在函数当中的对应关系有好多种，包括解析式法，包括列表法，包括图像法。我表达一个对应关系有好多种形式，但是我们平时看到的这些函数，其实百分之九十九都是解析式法。 简单来说，你想表达一个对应关系时候，你可以画图像，我刚才石老师给大家画的那些图像对不对？他表达的就是函数，那像我们未来，比如说我刚才写的这个， 他其实也是一个函数的表达形式。解析式法好。第三个就是止欲 好。什么是止欲？你把 x 告诉我，我把 x 输入进去之后得到的所有的 f s 函数值的范围就是止欲范围。通过这三条我们可以发现，我在确定一个函数或者是另一个函数的时候，我是不是就告诉我三个东西就可以了？你告诉定域关系就可以了，你告诉我止欲就可以了，对吗？好，其实可以简化一下，为什么呢？因为这里 定义域和对应关系，因为定域这里面的 x 它是唯一确定的，能够推导出值域的，所以只要你知道定域和解析式，就可以推出值域了。那么一般来说，我们在给函数的时候是不会告诉你值域的，或者说你在表达一个函数的时候，你写定域和解析式，这个函数就写好了。 ok， 所以 我们来判断一个函数是否为相同函数的时候，就看它的定域和对应关系好。也就是说如果定域相同， 对应关系相同，那么对应关系我可以负责任告诉大家，大家不要害怕，它百分之九十九都是解析式，那么 ok， 这就是同一个函数，它就是相同的函数，大家听懂了吧？好，那我沈老师带大家一起来练习一道练习题目，我们可以看下下面这道练习题，这里面我选择 两道题目给大家讲解一下，剩下题目大家可以做一做，做完之后如果有问题，可以在评论区与沈老师沟通好，我们看一下例题一。首先例题一，我们可以发现后面这个式子根号 x 平方，整理好，它其实就是 g， x 等于 x， 那 我们发现它好像它的解析式是一样的，那么它的定义是否一样呢？这里不一样，因为这个式子 后面的这个式子虽然写成根号 x 分 得平方，但是它仍然具有定域的特点， x 要大于等于零， 所以 x 是 有限制的。那么它俩对于前面的这个解析式，它是 x， 属于 r 的， 那么它的解析式却是一样，但定域确实是不一样的，所以它不是同一个函数。 ok， 我 们再往下看看例题四是同样的道理，我们发现这里面是 x 减二，这里面是 x 方减四。整理好之后，我发现它的结果也是 x 加二， 那么两个函数是一样的吗？我们发现解析式是一样的，但定域确实不是一样的，因为左边这个要加上一个定域， x 不 等于二，恭喜，两个函数它又不是同一个函数。 好，以上是我给大家讲的两道题目，希望大家对函数的问题要注意定域和解析式，这其实就是函数，因为止域你是可以求出来的，你由定域和解析式我是可以自己算的，也是我们未来的终极考点。求止域问题。 好，沈老师继续，下面沈老师带大家来复习一下定域的问题，先过一过基础，对于基础板块，沈老师就不做过多的赘述了，沈老师给大家快速的总结一下 笔记，好，笔记当中给大家展示了四个函数，这四个函数定义，那大家很快的写出来，比如说对于 tangent x， 那 么我们可以勾勒下它的草图。 好，那么大家回顾起正极的图像，大家发现它其实取不到的点位呢？是这个点位是二分之派，大家思考一下，每隔多久出现一次，是不是每隔 k 派出现一次，或者每隔派出现一次，那我们这个位置对不对？和这个位置我们就给它乘个派就可以了。 好，这就是它的 x 的 定义。下面对数，我们管 x 这个位置叫做真数，那我们对数的要求叫做真数大于零，下面叫做反比例函数，反比例函数自然就是 x 减三不等于零，分母为零，最后呢指数的零次方，那么 g x 减二，它是不等于零的。 好，以上高中的四大函数的定义，其他的其实都是我们复合起来产生的一些定义。好，那我们来一起算一下我们这里面的例题。一，这里面会发现我们要把里面所有的限制都找到第一个限制，大家可以做一做来找我核对下答案。好，我直接讲一下。比如这个位置其实是 x 不 等于四，再加上下面的这个位置 对数，这里面儿 x 减一需要大于零， g x 是 要大于一的，再加上它本身是在一个根式下面，而且根式又套了一个 分式，对不对？根式又套了反比的函数，所以我们认为这里面还有一个限制，就是 log 以二为底， x 减一的对数，它其实要怎么样？要大于零，这个对数方程大家解里面就可以了。如果大家对对数函数有点忘记了，那我这里快速给大家过一下。所以这里面 x 减一需要大于一， g x 其实是大于二的。 综上，我们把整个集合来考虑一下，一个限制两个限制，三个限制，所以 x 是 大于二，且 x 是 不等于四。那么严谨来说，我们在答题过程当中，我们还是要写成一个集合形式这样的一个描述法，写好整个题就结束了。 也就是说我们具体函数定义，你只需要把每个位置的定义都写好其实就可以了。好，这个问题就给大家谈到这里，我们继续往下好。那么重点来了，沈老师给大家上第一个比较关键的细节的点，这个知识点可以说是贯穿整个高中，包括高三老师也会拿出来讲一讲，这个概念叫做抽象函数的定义。 什么叫乘法函数的应用呢？我们在看到前后有一个 f， 他 在题后面不久又会出现一个 f， 其实很多我们在做托 f 的 题目，这里沈老师给大家预埋一下，在后面大家遇见托 f 问题的时候，可以回顾这个知识点， 因为你想把一个东西从里面拿出来，你再拿出来，过程当中是一定要考虑定律的，否则你拿出来和没拿出来是不是没啥区别？好，这个就是拖 f 的 一个前置的考点。好，张老师在讲课的时候呢，会把我们需要的一些前置内容都给大家标注出来，包括我们后面要用的东西，我都会给大家讲。好，那么这个时候希望大家可以 呃进群，群里有一些资料的分享，我们过去发的所有视频里面都会有对应的笔记解析，这样也方便大家去快速的问沈老师去看哪个视频来快速提升自己。好，那我们继续往下，我想老老实实做一下这道题，那怎么办呢？我先给大家快速的做一下，给大家总结下方法。那首先这里面 x 是 属于一到三的， 这里就说明这个括号内部它是属于一到三的，那么括号内部属于一到三，那么二 x 减一，它就属于一到三，我们两边加个一，再除个二，所以二 x 就 属于一个二到四， 所以 x 就 数一个一到二。也就是说其实我自己在做这个题目的时候，我觉得还是很丝滑的，基本上是不需要花时间的，那到底是为什么呢？这个原理是什么？好，这里给大家。沈老师先给大家总结一下，这里叫做抽象函数的定义域 啊，大家只需要注意两个点，第一个点，定义域永远是指 x 的 取值范围，说我在给你定义域的时候我没提，但是它就是 x 的 取值范围。 好，第二点，我在看到一个题目当中，其实前后同一个 f 括号内的范围，其实它是一致的，这里我说的是括号内的范围。 什么意思？给大家再具体来一道连一题，这里面比如说前面的这个，我如果把这个位置给它擦掉，我不加 x， ok， 我 告诉你，这个题其实是没有区别的，它的答案是一样的。那怎么具体完成的呢？首先第一步联系起前后的桥梁的东西，就是括号内部，因为括号内部的取值范围相同， 而第一个问题就是 x 的 定义域是一到三，也就是说这个题当中它 x 的 范围是一到三。好，于是我想通过这个 x 范围来计算出 x 减二的范围，所以呢，我们可以快速的算出 x 减二的范围，它属于负一逗号一。 这里重讲一下，所以 x 减二的范围应该是属于这个负一逗号一，那么因此后面的这个东西它是括号内部的，这个前后两个括号内部的取值范围是相同的，所以这个范围它应该也属于负一到一。 好，所以我们在求的定律是谁的范围是 x 的 范围，所以我们接下来解这个方程，就应该可以把 x 的 范围算出来，那就结束了。 好，因此的 x 最终范围是属于负二到负一。好，注意两个细节，欧式函数的定域呢？这里面就给大家说这么多，下面一个就是叫做含餐的定域问题。 好，首先这里面因为他没有什么太难的点，所以沈老师直接给大家总结笔记。好，在处理含餐的定域问题的时候，大家只需要注意一个点，我们要保证他是横成立的。 沈老师给大家总结一下，那么韩餐的定义的处理手段呢？就是我们要通过定义为 r 来把它转变成横成力问题。好，也就是说我们所有看到定义为 r 或者一些有限制的问题，它的本质上其实就应该是一个横成力的问题。好，话不多说，我们一起来看看问题。 比如说这个函数的定域为 r， 我 们想要算出来 a 的 数值范围，我们应该怎么做呢？陈老师给大家一步一步拆解一下。首先这里面存在的定域，比如说老师分子这块有定域，分子是拆三字根，兄弟，拆三字根是没有定域的，这里面里面没有限制的。 那我们继续那分母有没有限制？有的分母是有限制的，分母什么限制好？很明显这里面 a x 方减 四， a x 加三。那么这里问下大家，是大于等于零横乘力还是大于零横乘力？没错，显然是大于零横乘力好，所以下一步我们进行一个简单的分类讨论，就可以秒杀掉了。 那沈老师一起来大家看下题目。这道题目的底层逻辑是，我们把所有的定域都给他拿到就可以了，我们发现这里面存在的定域是分子，分子有没有存在定域，这里是三次，他是没有限制的好不好？那下面是不存在限制了，就根式和分式的一双重限制。我们其实只要保证 沈老师黄色写的这个字是不是就可以了？那下面是不就简单了，我把它看成一个二次函数，是不是就可以秒杀掉了？好，那沈老师一起给大家书写下过程。 第一种情况，这里陈老师也教大家分类讨论的逻辑，在分类讨论当中，当 a 等于零时，三大于零，因为你把你带之后，他就说三大正成立是成立的，所以这个时候我是满足要求的，那么 a 等于零就是我的一个范围，这就叫做分类讨论。 好。第二种情况，当 a 大 于零的时候，我们发现这种情况下呢，是一个开口向上二次函数，那么我要求开口向上向上的二次函数要大于零的时候，我们发现嘚它要怎么嘚，它是不是小于零，那是不是就结束了？所以我去解一下嘚它，那么 a 的 范围就大于零，小于四分之三，这就是我们对二次函数横成立问题的分析。第三种情况， 当 a 小 于零，开口向下，那么这个时候无论我 a 怎么取，它都不可能成立的，所以舍掉。综上我们答案就是 a 小 于四分之三， 大于等于零。好，那么关于韩餐的定义问题，沈老师给大家讲到这里，总之一句话，转成函数零问题就可以秒杀掉。 最后沈老师大家复习一下解析式的表达方案。我们说函数的表达方法呢，刚才给大家说过了，有以上几种表达形式，那么我们在最多的情况下，肯定是要学会解析式法的，那么解析式就是如何求解函数的解析式。 好，这里沈老师给大家总结一下，考法主要有以下的三种形式，一种是我们出现了 f x 加一等于 x 方形，这种形式主要的显著特征就是括号内部它是有一些东西在里面 的，那它并不是一个整体，这个时候呢，你的目的是什么呢？沈老师总结是要求解析式，其实解析式主要就是求 f x 是 什么， 那么很简单喽，你只要把前面这个东西换成一个整体，其实我 f x 解释就换出来了。一会沈老师挨个大家做一遍 往下。第二种情况叫做已知类型型的求解决式，我知道函数类型，这个时候我们叫做待定系数法。好，我给大家总结一下这类题型好，这类类型题目它最明显的特征就是它这里面明显告诉你叫什么叫依次函数， 它会告诉你这个函数是依次函数，那么在我们已经知道它是依次函数的情况，我们就用叫做这个方法叫做待定系数法。 最后一种类型是第三种类型，第三种类型他的形式也非常明显，比如说长成这样的一个题目，你会明显的发现这个题当中会出现一个互为倒数的，或者互为相反数的，或者互为相反数负倒数的这种形式，总之他是一这种类似于对称的这种形式，给这么一个奇奇怪怪的东西，他也没告诉你是什么函数， 这种情况下我们选择叫做方程组法好，那具体的方法呢？沈老师先把类型告诉大家，我们具体看到题目具体怎么做，沈老师再给大家慢慢来书写一下， 我们来看以下三道例题，好。第一道题目，沈老师给大家讲这个，那这个很显然是什么方法 好，大家不难发现，它应该是我们的叫做什么方法，是不是叫做待定系数法？好，肖老师具体给大家娓娓道来。那么所谓的待定系数法，就是一开始我们直接假设 f x 为一个一次函数，那么到一次函数 k x b 了，对不对？ 在我们假设好之后，我们去表述他想表达的内容就可以了，那简单来说就是代入好，我们把它代入之后，这里面相信大家负函数的这个代入应该是没问题的，代入是展开，那么这里面就会发现它等于 a 方倍的 x 加上一个 a， b 再加上一个 b。 代入之后，我们这里面发现你表述的这个函数在表达出原式之后，它俩应该是相等的，这个位置和这个位置它应该是同一个内容。 好，因此呢，我们利用系数相等，依次依次的系数相等，长数长相等就可以解除方程了。所以这里面我们不妨先解第一个方程， a 算出来等于正负二，我们把 a 等于二，再带入第二个方程当中，就可以算出 b 的 值。把 a 等于负二，再带入，就可以算出 b 的 另外一个值。好，所以第一种情况 a 等于二， b 等于负三分之一。 第二种情况这样子我们的解析式呢就算好了，所以这个题有两个答案。解析式，第一种情况是 f x 等于二， x 减三分之一，第二种情况是负二 x 加一。好，以上呢就是我们的待定系数法。下面沈老师再给大家一起来看一道叫做换元法。这里面我们发现 我要算这个题目的时候，这个原题它长相是什么样子，我要加以分析，它肯定是什么方法？石老师教的第一种方法叫做换原法，那我们来书写一下。首先换原法的核心逻辑呢？五个字，换元换范围，所以我们令，我们令 s 加一等于 t， 这里面我们相当于把括号内的整体换成了一个整体，我们接下来要用 t 来表达 x， 换句话说，我们这个方程当中就不要再出现 x 了，全换成 t 就 完事了。好，所以这个时候我们再把 x 带进去就可以了，我们展开给它加以整理一下，这样我的 f t 就 求好了。你说沈老师这样做完了吗？那我认为我们做完了一小半， 还有两个关键的细节点，这里给大家说一下。第一个细节点就是我们换元一定要换范围，我们发现我们这里 x 没有限制，如果这个题有限，比如说这题的限制 x 是 属于个一到中无穷， 我发现这个 t 是 不是范围变了，那么 x 加一等于 t， 所以 t 的 范围是属于二到中求，因为它是个函数，所以定域在不是 r 的 情况下，我们一定要把它写出来。那下一步还有什么细节吗？因为我要求的是 f x， 不是 f t， 所以 你把它换名字，这样这个题就完美的做好了。好，沈老师还是把这两个方法呢，给大家稍作一个 总结。在待定系数的这个过程当中，我们要依据函数是什么，我们就待定成什么。常见的待定形式有二次函数、一次函数、反比例函数这三类。我们待定好之后，我们接下来要做的事情，我们把要表达的东西表达好，表达好之后和原式做对比 好，这个呢就是待定系数法，下面就是换元法了，第一步，换括号内整体，第二步，换元换范围，第三步，换名字，第二步，换元换范围第三步，换括号内整体的名字。 这里重点大家标注一下换元换范围，因为最后的定域如果有变化，大家一定要写好定域，因为函数三要素包含定域、解析式还有直域，那么这个解析式和定域你写好之后，直域自然就能算出来，所以我们一般来说是不让你写直域的，所以前两点一定要写好。 好，以上是两种方法，最后一种方法叫做方程组法。好，当我们看见类似于这样的一个问题的时候，我们发现他明显满足方程组法的一个形式。我们第一步要干什么呢？第一步，大家把两个括号内部的内容找到他俩的关系，我发现前面括号 和后面括号之间差了个符号，我们只需要整个 x 赋值一个负 x 就 可以了，所以先得到一个另外的一个方程。好，当我们做好这样之后，我们现在要换一个思路，我们把一号 和二号这两个方程看成一个未知数的方程组，谁是未知数？我们发现红色的这些部分其实它就是未知数，黄色的部分它也是未知数，其实黄色它们一样的，红色一样的。那我问你，我如果想把黄色的解出来怎么办？是不是小学的二元一次方程组，那其中未来的右侧等号右侧这个东西就是这个， 我们可以把它看成什么，看成长数就可以了。好，那我们来用一下加减效元或者代入效元其实都可以。好，我们这里用这个加减效元由一的变形，一撇减二就可以得到结果了。 接下来我们由一的变形一撇减二就可以得到。三， f x 等于个六 x， 所以 f x 等于二 x。 好， 结束以上的沈老师的最后一种方法叫做方程组法，给大家还是最后再总结一下，第一步，我们往往需要去把整个的方程组给它构建一下，也就是一般来说填个括号或者取个相反数啊，构建出对称的另外一个方程组。 第二步，我们可以把比如说我们构建的当中的这个 f x 或者 f x 这种东西看成一个未知数，把 x 看成长数，加减效元， 消掉 f 负 x， 总之你留下的东西一定是 f x 对 不对？核心其实就是将我们 f 类型看成长，看成一个就是要消掉的函数，这个 x 看长数对不对就可以了。当我们把 f x 和 f 负 x 看作未知数的时候， x 看成长数的时候呢？我们只需要做简单的加减乘元就可以了。 好，以上是沈老师给大家总结的练习好，那么沈老师为了保证大家能够学懂，沈老师随手给大家出两道练习题，第一题， 剩下两道题目大家可以回去练习一下，写好可以发在评论区，沈老师会给大家看一看大家会出现什么样的问题。 好，那么关于必修一函数这个板块的一些细节题目，沈老师给大家讲到这里， 下一阶段会给大家讲函数的基有性和单调性，具体的内容同学们可以和沈老师在评论区讨论。最近我的视频更新频率是比较高的，所以会提取评论区的大家的一些声音， 大家有什么想法，有什么不会类型的题目都可以给沈老师发过来，沈老师会以视频的形式给大家呈现出来。我是数学沈老师，关注我，带你看透数学的本质。
2.0万本质数学沈老师
05:07查看AI文稿AI文稿二次函数问题年年考，但很多同学还在用笨方法，一步一步算，一次一次错。今天拿出三分钟博宇来，带你十秒出答案。欢迎来到高考百日百科，把笔准备好，我们一起来做笔记。来，先看到这里啊，这个呢，就是二次函数，今天最重要的一页，没有之一。我们就是通过图像来分析一个函数的最大值和最小值，这 个视角一定要有我自己在我的长期班上啊，因为你现在是新高一的学生，我呢给高三的学生去讲课，也特别强调一点，就是如何去理解函数呢？我们需要建立一个视角，那就是函数就是图像， 图像就是函数，不好是没有抽风，我必须把它反复念一念，我希望你首先呢被我这个 bgm 先影响，然后接下来呢，慢慢的去深刻的认知，这是个非常重要的一个视角，研究函数的问题都要通过图像去解决 好。大家注意，现在呢， a 大 于零，假定开口向上，当然二次函数呢， a 也可以小于零，开口也可以向下，你 a 大 于零的时候呢，开口朝上，这时候呢，我们给定一个区间，什么叫区间呢？就是说我 x 呢，现在在初中嘛，我们研究 x 的 时候， x 呢，是可以全部，什么叫全部啊？就说在初中的时候，比如说我们画一个二次函数的图像，这时候我的 x 想怎么取就怎么取， 想取负数就取负数，想取正数就取正数，想取零就取零，就是我可以全部取。我的图像是一个完整的一条抛物线，这是叫初中的内容。那我们高中呢，他会做文章，让我的这个 x 范围受到限制，比如说大家看到这里只有这里是实的，而旁边这些都是虚的，虚的就代表取不到。比如说此时我的 x 呢， 我们要求 m， 现在呢是小于等于 x， 小 于等于 n。 本来你是一条抛物线，我现在只要这么一个小段，弱水三千，只取那一瓢。 那么这个时候我去研究你的最大值什么时候取到呢？那在这里最大值这个概念，在初中的时候，你总是认为肯定是在顶点处取得到，但是今天得改变认知， 今天是改变认知的一节课啊，因为我取的是这一段所有的最大值，当然是 x 等于 m 的 时候能取到最大。那什么时候取到最小呢？在你初中的时候，你总是认为最小肯定跟顶点有关系嘛？但是注意这个顶点，我这边画一个空心啊，是不是虚的是取不到的？也就是说你的最小呢，其实是在 n 处取得到。 那在高中的话，我们秋季的时候呢，不二时候跟你去讲，我们会把这种东西呢叫做 x， 在 这个区间的单调递减，就随着 x 增大， y 呢，是在减小的，就在这一个，比如说这里黑色的才是我要的。接下来这些虚线都不是不要的，已经你忘了，初中的学过的最大值，最小值必须在顶点出来取得到， 因为我们得以事实为准绳，对吧？实事求是嘛，你那个顶点是不是挖虚的，这怎么能取得到呢？再看下中间，中间这个是什么呢？ x 还是有范围？ m 呢，是小于等于 x， 小于等于 n。 然后这时候我们会发现，按到高一秋季的时候，长期班呢，我跟你去讲，这个呢，叫函数的单调性，就随着 x 增大呢， y 也跟着增大，你会发现这时候最大值呢，是不是在 n 处取的最小值呢？我们看图是不是在 m 处取的道， 那你会发现这两个图为什么最大值最小值好像颠了一个道呢？原因是在于这里是不是有个文字，这时候是不是这个区间是在对称轴的左侧，那么我就会去写小于等于负的二分之 b， 这个呢是轴，当我开口朝上的时候， 在对称轴的左侧，随着我的 x 增加，你的函数值是不是越来越小，你看你这个是不是越来越往下走啊？而这里呢，轴呢，还是负二分之 b， 这个没有发生改变，但是呢，此时我这条黑色的区间呢，就这一段， 是不是在轴的右侧？在开口朝上的时候，那意味着此时呢是什么呢？是负的二 a 分 之 b 小 于等于 m， 小 于等于 x， 小 于等于 n， 它是不是这么一种情况，取决于你这个东西在轴的左侧还是轴的右侧，现在这个区间呢，是在轴的左侧，而这一段呢，是在轴的右侧，所以会导致 我们的最大值角值发生改变，一个呢是在 n 的 时候取到最大值，一个是在 m 的 时候取到最小值，那这个呢，代表是什么呢？轴还是负二分之 b 没有发生改变，它是不是在这一条的中间？我不妨写个中字，也就是说是 m 呢，此时是还是小于等于 x， 小 于等于 n， 然后这时候呢， 我的另外呢，我的轴呢，刚好呢也在这个 m 和 n 之间，这时候呢，什么时候取到最小值呢？哎，那跟初中一样，那就是在顶点的时候取到最小值，那为什么这时候能取到最小值呢？因为我 顶点的话，是在这个实线的实的曲线上嘛。而至于说最大值什么时候取得到呢？要么是在 m， 要么是在 n， 那 结合初中的所学，谁离对称轴越远，谁的 y 就 更大。比如说在我这个图中线的 n 是 不是离对称轴比 比 m 离对称轴要更远，那么这时候就 n 的 时候最大。或者说听不懂的话，你最后呢，就做这么件事情啊，就是 x 点 m 和 x 点 n， 你 带到这个二次函数中，看谁的值大，谁大谁就是大哥， 那就取谁最大呗。当然这里呢会比较抽象啊，你能现在能马上听懂，就说明数学基础会非常好，你现在呢，只能听懂百分之五十，都算你厉害。因为这个东西呢，确实跟大家初中学的时候有最小值是在顶点，对吧？最低处 大，只能是开口朝下，在顶点在最高处。但现在呢，我们呢，是弱水三千，只取那一瓢是吧？我不需要完整的这个抛物线，我只需要这么一段。然后呢，根据我们高一秋季内容，这个呢叫单调递减，这个叫单调递增，这个呢叫不单调。对了啊， 我加入了抖音精选高考应援联盟，大家可以来我的抖音精选追根我的百日百科。
2663北大傅博宇讲数学-
09:40查看AI文稿AI文稿如何在二十天将高考数学从零到八十分的速成？来，我们今天来讲解三角形。解三角形是在我们全国高考一卷里面几乎每年都考的一个题型，它的分值也是比较大的。来，我们看在解三角形当中有哪些公式？首先正余弦定里，这里面有什么呀？来，第一个是什么？ a 比上一个三 a 等于 b 比三 a， c 等于二 r， 这个 r 呀，他是三角形 abc 的 外接原半径。 第二个是什么呢？ a 的 平方等于 b 的 平方加 c 的 平方减二 bc cosine a， 那 cosine a 呢？会等于 b 平方 加 c 平方减 a 平方比上二 bc， 那 我们看下这里是什么？这里是一个 a， 三角形里面是不是只有 abc 啊？来，我们看前面这个是 a， 那 后面是 b 跟 c 了，对不对？它跟 a 没关系，对不对？然后这里也是二 bc， 那同样的道理，如果说让我们去求 b 的 平方呢？是不会等于什么？ a 的 平方加 c 的 平方减去二 a， c cosine b。 来，我们看这个公式好不好记啊？来，我们看 b 的 平方，好， b 的 平方，我 abc 里面，我后面是不是等于 a 跟 c 啊？因为把 b 除去对不对？ a 等于 a 的 平方加 c 的 平方减去二 a， c 还是 a c 对 不对？二 a， c cosine 一个 b 对 不对？那同样的道理来， c 的 平方 是不是会等于 b 的 平方加 a 的 平方减去二 a， b cosine c。 这一个式子 cosine b cosine c， 它是不是由前面这个变化而来啊？对不对？ 就把这个 a c 挪到左边去，然后再把这个负二 a c 除下来，对不对？它会变成什么呢？ c 的 平方加 a 的 平方减 b 的 平方比上二 a c， 这里是 a 的 平方加 b 的 平方减 c 的 平方比上 a b， 是 不是记一个式子，其实就把这三个都记下来了，很好记啊，这个公式啊，然后在解三角形当中呢，还经常会考到一个，就是面积，面积公式是什么呢？来 s， 它会等于二分之一 a b c， 他还会等于什么？二分之一 a c 三以 b 也一样会等于二分之一 bc 三以 a。 来，我们看这个公式。来，二分之一 a b 三以 c， 我 们看 ab 是 不是少了个 c， 所以 什么 a 三以 c， 然后我们再看二分之 a， c 是 不是少了个 b 啊？就是三以 b， 这里也一样的啊，二分之一 bc 少了个 a， 那 就是三以 a 啊，在解三角形当中，还会常用到一个几个公式，是什么呢？ a 加 b 加 c， 它会等于 pi， 这是什么？三角形的内角和对不对？所以这一个我们能推出什么？ a， 它会等于 pi 减去一个 b 加 c 啊，以及还有什么呢？ sin a 等于 sin b 加 c， 同样的，我把这些字母换一下，是不是都是一样？那就是 sin b 等于 sin a 加 c， sin c 呢？等于 sin a 加 b。 好， 这些是在我们解三角形当中需要用到的公式啊， 来，我们看，其实这些公式呢，没有很难，都是很简单，我们看来 a 比三， a 等于二啊，我们是不是记一个就能记住其他两个，对不对？还有这个呢？ a 的 平方等于 b 平方减二 bc cosine a， 他 是不是记一个也能记到这这其他的两个 同样的这一个呢？我们根本就不用记对不对？他是由前面这个推倒而来的，是不是还有面积？公式的话是不是也是记一个就能知道另外两个呀？ 用公式呢，是不是也很好记啊？ a b， c 呢？它是一个三角形，它三角形的话，它是不是内角和会等于一百八十度啊？所以是不是也是记一个公式，我们就能知道剩下的两个。其实总的下来我们只需要记几个公式啊？四个对不对？ 第一个，什么？ ab 三 a 等于二 r。 同样的其他我也是，对不对？第二个呢？ a 的 平方等于 b 的 平方加 c 的 平方减二 bc cosine a。 记这一个就知道另外两个来，第三个是什么？ s 等于二分之一 a b 三引 c， 对 不对？好，还有呢？第四个，三引 a 会等于三引的 b 加 c， 对 不对？其实记这四个就可以了啊，剩下的其他都是跟他一样的格式。好，我们接下来看到题目， 我们看到二零二四年的全国高考一卷的十五题，他这一题呢，是在解三角形当中，是个大题啊，这一题他的分值也挺高。来，我们看解第一问，这种题目怎么去做呢？ 来题目告诉我们什么三角形 abc， 它的内角分别为 abc， 对 边是小 a、 小 b、 小 c， 已知什么？三以 c 等于根号二扣三以 b。 还有个呢？ a 平方加 b 平方减 c 平方等于根号二 ab。 好， 我们通过什么？ a 平方加 b 平方减 c 的 平方等于根号二 ab， 我 们通过公式是不是这个平方平方加 b 的 平方减去二 ab cosine c。 通过它们我们能得到什么呢？这一个式子转变一下，它会变成什么？ c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方减去根号二 a b 对 不对？好，这两个 c 的 平方，这也是 c 的 平方，这两个式子连累一下，我们能得到什么呢？是不是 a 的 平方 加 b 平方， a 平方加 b 平方，所以什么二 ab 扣三以 c 是 不是会等于什么？根号二 ab 对 不对？根号二 ab 能看得懂吗？所以我们能得到，最后还能得到什么？ ab 跟 ab 也是一样的，那就是什么？ 二， cos 等于 c， 它会等于根号二，再得到 cos 等于 c 等于二分之根号二，那 cos 等于二分之根号二 abc， 它是内角，所以是什么？它 abc 的， 它的角度都会属于零到派当中，是不是 c 属于零到派？我们能得到什么？ c 的 角度是不是会等于 四分子派？那 sin c 呢？ sin c， 它是不是等于 sin 四分子派啊？那它会等于几？是不是也是二分子根号二？好，我们看题目告诉我们， sin c 会等于根号二 cosine b 来 cosine c， 算出来值等于几？二分之根号二，二分之根号二等于根号二 cosine b， 这一个能解出什么呢？ cosine b 会等于几啊？等于二分之一 b， 它的角度是不是也属于零到派当中啊？所以最后 b 等于几啊？它是不是等于三分之派啊？ 好，第一问解决了。好，我们再来看第二问，通过第一问，我们知道 b 它会等于几啊？是不是三分子派 c 呢？等于四分子派，对不对？好，其实 a 我 们也是知道等于几了， b 是 六十度， c 是 四十五度，它总和会等于一百八十度，对不对？所以它等于多少度啊？是不是等于七十五度？但是解答题我们不能去这样去 是写啊，我们要算出来，那我们看第二题，他说若三角形 abc 的 面积为三加根号三，那我们去求 c， 这个长度对不对？怎么办呢？来，我们看 bc， 我 们都知道了 a， 它会等于什么呢？是不是派减去 b， 再减去个 c 等于什么派？减去一个六分之派，再减四分之派等于几？它等于十二分之五派啊，那我们能知道三 a 会等于几呢？三 a 会等于三十二分之五派， 把十二分之五拆分一下，拆成什么？三四分之派，再加上一个六分之派，这个我们通过计算是不是很好算啊？算出来三 a 会等于几呢？是不是四分之根号六加根号二呀？ 好，我们算出来这个以后呢？怎么办呢？来，再，还知道什么三角形面积 s， 三角形 a、 b、 c 的 面积，他说会等于什么？等于三加根号三对不对？他的公式里面的话，会有什么？二分之一 a、 c 三隐 b 也会等于二分之一 a、 b 三隐 c 会等于三加根号三，对不对？我们由第一问可以得到什么三隐 b 会等于二分之根号三， 所以这个式子三隐 b 是 我要知道的，对不对？所以什么二分之一 a、 c 三隐 b 等于什么？把这个三隐 b 换成二分之根号三 a、 c 会等于几呢？ 三加根号三是它的面积，对不对？好，这里我们还能得到什么？ a、 c 会等于什么？把这个，呃，四分之根号三过右边去，那就会变成几四根号三加四。好，到了这里怎么办呢？来， a、 b 三 a 是不是会等于 b 比三 b 等于 c 比三 c 等于二 r 呀？这里我们又能得到什么呢？ a 比上一个三 a 会等于 c 比三 a c， 那 我们看现在是 ac 只有 ac 了，对不对？ ac， 那 我们这里能得到一个 a 会等于什么？ a， 它会等于把这个三 a 除到右边去，那就是什么 c？ 三 a 比上一个三 c 没问题吧？好，我们现在知道 a 比上一个三 c 没问题吧？好，我们这里是不是有一个 ac， 那我把这个 a 换掉对不对？把 a 换掉会变成什么？ c 乘以三 a 比上三 a， 再乘一个 c， 那 就是什么 三 a 比上一个三 a c 再乘一个什么 c 的 平方，对不对？它会等于四根号三加四。好，三 a 三 a c， 我 们知不知道这里再能推导出什么？三 a？ 三 a 是 几？ 在这三 a 是 四分之根号，六加根号二。比上一个 c 三 c， 我 们知不知道三 c？ 找一下三 c 在 哪里？ c 是 四分之 pi 对 不对？那三 c 是 多少呢？是不是二分之根号二？二分之根号二。 好，这一个式子他会等于这个式子吧，对不对？他，然后呢，再乘一个 c 的 平方等于什么？四根号三加四，这一个现在出来这个了，好不好？算算出来， c 的 平方会等于几呢？是不是等于八？所以 c 呢？最后等于几啊？是不是二根号二。
1779小昇讲邪修数学
