张家口二模数学答题技巧
大家好，我们继续来一起看一下二六年张家口中考二模的后面大题第二十一题，一起来看一下。 在菱形 a， b， c， d 中， a， d， c 等于六三角 a， d， c 等于一百二十度，那这就是一个这个小角是六十度的 菱形啊，每个小角每个最小的角就是三十度，我画点这些角都是三十度， 其实包括这些角也都是了，是吧？应该都是啊。呃，做 dm 垂直 a， d， 你 看，果然这里是九十，这里是一百二，所以这里都是三十度了啊，这里都是三十度了。呃，将 dm 绕点 d 逆时针旋转一百二十度，那这个角是一百二十度，那这里也是九十。 得到 d， n 连接 m， c， n 求证， a， m 等于 c， n， a， m 等于 c， n 这个地方我们可以直接踏出一个全等来，三角形 a， d， m 全等于三角形。呃， c， d， n 边角边 ad 等于 cd， 然后 d， m 等于 d， n， 然后两个直角啊，边角边，然后接下来再看一下第二问。第二问，求 m， n 的 长度 m， n 的 长度。这个地方，其实我是能看出来 m， n 的 长度跟这个 c， d 的 长度跟这个 a， d 的 长度都是一样的，但是我们依然需要证明。那怎么证明呢？我们可以接着来证明啊， a 三角 a， d， m 全等于三角形 c， d， n 甚至还全等于三角形。这个， 呃，三角形是 c， m， n 没毛病吧？这里啊，我们可以通过角角边来正啊，角角边来正啊，那么 m， n 就 应该是等于六的。 再看一下第三问啊。第三问，将 m， d， n， 我 们画一下这个三角形 m， m， d， n， 这个三角形 绕点 d 逆时针旋转阿尔法度得到 p d， q 啊，请直接写出 p d q 边所在的直线平分 d n， c 是 m m 经过的路径长，那我们来看一下。首先我们要翻译一下条件，什么叫三角形 p d q 的 边就是 p d 和 q d 和 p q 三个边，这叫 p d， q 所在边，所以说这个地方一定是一个 多结果，哎，百分之一百是个多结果，那咱们来一起来看一下。首先咱们就从这条边来开始看吧。啊，这个 d q 来开始看，那咱们来看一看，什么叫所在直线平分 d， n， d， c 呢？那 n d， c 在 哪？ n d， c 也就是这个直角， 那我们来平分所在的直线在这啊，蓝色的是这个直线，那我们来看一下 q d 什么时候能转动这么多呢？那其实就这么多呗，对吧？就能转动这么多。然后这是啊 q d 的 啊，这是 q d 的， 然后你看它还能再转，不？还能再转到这一侧吗？咱们来看一下能不能转这么大的圈。我估计是不能，因为这里有个一百二十度，那咱们需要先算一下，大致算一下这个 q d 能转到这是多少？那咱们来看一下，这里是三十度， 这里是四十五度，因为这是直角垂直平分嘛，所以说四十五，三十一共是七十五度，那么这里一百八十度减七十五度，应该是一百零五度，应该是一百零五度，那也就是他扫过了一百零五度的 长度，然后一百零五再加一百八的话，就超过二百四了，所以说这个不行了，那 q d 就 只有这一个情况。接下来再看一下 q d， 再加上点看 q p 吧。 q p， q p 这个线好像没有办法过这条蓝色的 直线，所以说它没有啊，它因为它一直都绕在外头转的嘛。那三个就是看 p d 啊。 p d， p d 原来从 dm 这出发，然后扫过这么多到平分线上，那这里是三十加四十五吧， 等于七十五度。那我们来写一下这个一百零五怎么来的啊？一百八十减去三十加四十五啊，这么来的。然后呢？呃，这个 p d 赚了这么多，倒打 角平分线，那我们再看一下下一种情况，看他能不能转到这一侧来呗。貌似七十五加一百八还是超过两百四十的，所以说不行。那么也就是说这两种情况就是这个点 m 能经过的路径长的两个结果。 一百八十分之 m， 那 么半径 d m， 我 们可以通过第一问的这个三角形，直角三角形 a m d 来求啊，这里是个三十度， 那么 a d 等于六，然后角 d a m 等于三十度的话，那 dm 应该等应该等于多少？二倍根号三吧，那么一百八十分之 n 派乘以 dm 两个结果。 接下来看二十二题啊。嗯，如图，矩形 a b， c， d 的 顶点为 a d b， 咱们能看到这个 a 是 负三零 啊， d 是 负三 t， b 是 t 减二零，那 c 就是 t 减二。逗号 t， 其中 t 大 于二。直线 l， y 等于 k， s 加 b 与 y 轴交于点零， e 是 零负三，那么 b 就是 负三了 啊。第一问，当直线 l 经过点负一负一时，求直线 l 解析式。那么也就是说，我们把直线负一负一带到 y 等于 k， x 减三里面求出 k 来就可以了，我们解一下啊，我们带一下。呃，应该是 y 等于负一的时候， 这应该是负二 x 减三啊，这是第一问，再看一下第二问，当 k 等于六的时候，那么此时此刻当 k 等于六的话，那就是 y 等于六， x 减三啊。 如果直线经过 cd 的 终点，那么我们先写出 cd 的 终点来，也就是这个点来，然后求 t 的 值，那 cd 的 终点应该是什么呢？ 咱们先写出来啊。首先 c、 d 的 终点应该是二分之一，这个 c 和 d 的 坐标横坐标之合，减二，再减三啊。然后逗号 t， 接下来我们把这个东西带入到 这个方通这个一次函数中去，可以写出啊， t 等于六倍的二分之一， t 减二减 t 减五吧， t 减五减三，那么咱们解一下 t 这个 t 解出来应该等于多少啊？ t 应该等于九 啊，我估计打应该是，咱们接下来看第三问啊。第三问，当 t 等于三的时候，若直线 l 这条直线将矩形分为两部分，且两部分内部的整点啊，那咱们先数一数所有的整点呗。 啊，从 d 开始啊， t 等于三的时候呢，这里就是先改一下啊。三三，这里是三零，这里是一零，这里是，嗯，一三。 ok， 那 咱们数一数里面有到底有多少个点？三负三，三 负二，三负一，三零三一三好了。然后接下来是二，接下来是一，那也就是说这个图形中一共有 这么多个整点，没毛病吧？然后且这两部分的内部的整点不包含边界，他又说了，那也就是说我们的外部的这些点都不要了，边界的点，也就是实际上只有这六个点 是内部的。 ok， 个数比为一比二。这个直线将这个点分为两部分，个数比为一比二，那么实际上我们就可以从一点出发啊，这一定是过一点的，没毛病。那 可以有两种分法，第一种说一下啊，第一种是左二右四，第二种是 左四右二，对吧？这样的个数比就是一直都是一比二的吧，一共六个点嘛。那如果是左二右四的时候呢？那我们来看一下左二右四，那么最边界应该就是这个点喽，也就是这个点是，嗯， 零负三和，这叫负二逗号二吧，这是第一个边界，然后我们一直移动这个，以一点为轴去移动这个蓝色的，那大概到这个位置 是不是就到达另外一个边界了？也就是左边是这，右边是零逗号三，这边应该是负一逗号一吧，这是第一组 k 的 去值范围。 然后咱们再来看右侧的啊，就是这个左四右二的，左四右二的话，左边四个的第一个边就应该是这个吧， 也就是说左四右二，最左最左侧就是零三和和啊，零负三啊，不好意思，零负三和，这个是负一二， 对吧？然后右侧的是零负三，咱们看看一直往这个东西往右边摆，一直摆到什么位置，好像这应该是这样了吧，是不是摆到这的时候，那个边界 就正好了？也就是说咱们随便找一个，大概零零或者是零一都行啊，零一啊， 零逗号一，两个 k 的 取值范围就出来了啊，这是一组 k 的 取值范围，这是一组 k 的 取值范围，两个合在一起就能求出 k 来了，这是两个点啊，这是两个点能求 k 的， 因为现在是 y 等于 k， x 减三嘛， 把这两个点分别往里带就行了啊，就其实就这一个点往里带就可以了，得出的是四个位置，然后求出 k 的 范围来就可以了。 咱们接着来看一下第二十三题，如图十三啊，抛物线这个东西，四分之 x 方加 b， i 加 c， 经过点 a 和点 b， 我 们能看出来这个点 a 跟点 b 是 对称点，所以说这个对称轴应该是负三， 那个位置 x 等于负三啊。接着来看，将抛物线 l 绕点 m， 应该用不着。暂时第一问，求抛物线 l 的 顶点坐标，哎，顶点坐标，那么显然就是它的横坐标是负三嘛，对吧？ 然后纵坐标是什么？不知道了那。呃，我们是不是好像大概或许得把这个抛物线求出来，那咱们在旁边写一下啊。呃，用笨方法吧，这个代入进去啊。呃，负一等于四分之一的，负四的平方 加上 b 乘以负四加上 c， 然后第二个是 负一等于四分之一的啊，负二的平方加上 b 乘以负二，再加上 c 连立，呃，看一下，这个 b 应该等于， 嗯，二分之三， c 等于一啊，那实际上这个抛物线就能写成，咱们正好把它写一下啊， 等于四分之一的 x 方加上二分之三， x 加上一，那咱们的抛物线解是拿出来了。接下来就是顶点坐标，顶点坐标就负二分之 b， 四分之 c， c 减 b 方啊，不过 负四分之五，然后再看第二问，第二问，若 m 等于一，那也就是说这个一零在这呢，然后求抛物线 g 的 解析式，这个地方我们该怎么去分析呢？ 其实你在做抛物线的时候，我们能知道这个抛物线的呃， abc 分 别代表着什么含义对吧？其中 a 表示的是抛物线的开口大小和 呃相关的情况，以及它的正负号表示的是开口方向。也就是说，实际上我在旋转抛物线的时候，谁是不变的？ a 的数值是不变的，只是它的符号变了。所以说 a， 其实这个 pi g 的 a 其实等于负四分之一，这是隐藏条件 啊。那 b 和 c 分 别是多少呢？其实说起来也不麻烦，因为我们所有的点都是关于这个一零对称的嘛，对吧？ 都关于一零对称的，那我可以做什么事情？就是你看这 a 和 b 这两个点是不都可以关于一零对称呢？我举个例子啊，这是这是 a， 这是 b， 那 关于一零对称的话，它就到这来了，这怎么个对称法？横坐标 加上个距离纵坐标相反数，是吧？那也就是说，实际上我们随便说啊， a 撇 应该是负四到一是五个格，所以说应该是一加五等于六，逗号一。 然后 b 撇呢，应该是负二到一是三个单位，那一加三等于四逗号， 那其实是吧，也是一样可以算的。这个抛线解析式是白送的啊，甚至你也可以拿顶点坐标。那最最最最最聪明的其实应该是用顶点坐标。我直接写顶点式，因为啥呢？因为第二问的时候，如果你写顶点式，是不是等于 y， 这个 g y 等于负四分之一，括号 x 减 h， 括号平方加上 k 呀？那这是什么？这是它的顶点坐标，那我只需要去改写这个抛线 l 抛线 g 的 顶点坐标就可以了。抛线 g 的 顶点坐标是啥来着？ 抛物线顶点坐标是负三到一，是几个格？四个格，那也就是一加四等于五逗号，然后把它的纵坐标互为相反数四分之五，也就是说这里实际上直接写个五，这边加个四分之五，完事了啊，解析式就出来了 啊，我可以用顶点式来写，是最容易的。第二问，呃，点 n 是 抛物线，记上一点点 n 到 x 轴距离为二十，求点 n 的 横坐标，那么这个地方 实际上在问你什么事情？ n 是 抛物线上的一点，那我们现在能看出来啊，这个抛物线大概长这个形，它的顶点，它的纵坐标距离为二，顶点距离 抛物线的距离是四分之五，是比二小的，所以说他一定是在这一侧吧，上头这个达不到，这地方只有四分之五，没有二那么多，所以说一定是下面两个点啊。距离距离为二的时候， n 点的横坐标两个值吗？是吧？白送出来的啊，白送出来的，那就是 y 等于负二的时候。求解 x 图形啊，从图形能看出来的，这是第二问。第二问，当 y 等于负二的时候， x 一 是多少， x 二是多少啊？第三问，啊，这个第二问的这个 m 等于一，不能用了啊。呃，现在他问， p 和 q 是 抛物线 g 上的两个点，对于 k 小 于 x， 一 小于 k 加一， k 加二小于 x， 二小于 k 加三，总有 y 一 不等于 y 二，请直接写出 k 的 曲率范围来。那咱们来看一下，分析一下这个东西啊，这个 y 一 不等于 y 二是什么意思呢？ y 一 什么时候等于 y 二？咱们其实第二问的时候就已经呃，做过了啊，做过这个事了，那也就是说，当 y 一 等于 y 二的时候，也就是说这两个值关于对称轴是对称的，它就能等于， 那么也就是说这道题实际上他我不让我关于对称轴有能对称的地方，也就是说，现在啊，现在假设 k 在 这里，这里是 k 加一，这里是 k 加二， 这里是 k 加三，我们不希望出现这种情况，也就是说，让我的对称轴要不然在 k 加一的左侧，要不然在 k 加二的右侧，这样就能满足 y 一 永远也不能等于 y 二，因为 x 一 所处的位置跟 x x 二所处的位置，它俩没有对称的部分了呗。啊，不存在对称的部分了呗。那也就是说我们的对称轴啊，我们的对称轴啊，对称轴 得怎么样？得在小于 k 加一，然后同时另外一段对称轴大于 k 加二。那现在就看是看咱们对称轴在哪了呗。 那对称轴怎么找的呀？原来顶点坐标是负三四分之五，那距离 m 啊，原来的 m 是 一零，那现在的 m 是 m， 如果你不知道该怎么求那个新的对称，你就可以知道关于 某个点是不是中心对称呢？那我可以说 m 是 不是应该等于二分之一的负三加上 x 呀， 对吧？这是那个对称轴， x 作横坐标，那 x 是 不是就应该等于二 m 加三，对吧？那完事了，二 m 加三，小于 k 加一，并且二 m 加三， 还得有一个大于 k 加二的这么一个范围，那给它调换一下，直接 k 的 曲率范围就能出来了。 咱们继续来说第二十四题。在 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四， b、 c 等于三， c p 垂直于 b， d 于点 p， 这里是一个垂直，这里是四，这里是三点 o 在 线段 b d 上一点，以点 o 圆心 b o 长为半径，做这个圆交，这个点是 k， ok 啊，交 c p 点 m， 这个点是 m， 然后延长至 n， 连接 b m 延长至 n， 射圆半径为二。然后第一问，是，当直线与 a k 相切，也就是这里是个直角的时候。第一问，求半径， 求圆的半径，我们可以利用相似，这里是呃三比四，比五，那么 b k 等于 呃五分之十六，那 r 就 等于五分之八。第一问， 然后第二问，它求 bc 落在圆内部分边界的长，也就是这个东西的长度，那这个东西的长度是不一样的呀，我知道了， b k 是 五分之十六，那么 这里是不是一样的，这里还是个三四五的呃，直角三角形。所以说啊，我们就 b， 什么玩意啊，这个边界的长度我们也是知道的啊，可求的，自己求就行了。第二问， 当 c m c m 在 这等于 c n 的 啊，不对，不是，是这 c n 的 时候，然后求这个三角形的面积。我们这个地方呃，可用很多种办法啊，你看，比如说， 既然是求三角形面积嘛，就是底和高，对吧？那底我们可以用 c m， 高我们可以用这个地方可以的。当然我们依然也可以用割补法， 大三角形的面积减去小三角形面积，我只要求出这个段就可以了吧，是不是那都可以啊，咱们来看看能用到哪算到哪吧。啊，那 c n 等于 c m， 那 我就设这个 c n 为 x 啊， 我能发现这里是一个对顶角，那么这都其相等。所以说在第二问的时候，三角形 c b n 应该和三角形 m p b 相似啊，应该这两个三角形是相似的，那么我就可以利用三角形 b、 c p 中所有的数据都已知这件事实来进行求解 x 了啊，因为我只要能求解出 x 来，这是什么东西我都能求了，是吧？那我就可以来看一下啊，这个在这两个三角形相似里面，我是不是可以用 bc 除以啊？这个 c n 比 b c 啊，等于，呃， pm 比 b p， 对吧？ ok， 那 bc 等于多少？ bc 等于三， c n 等于 x， pm 是 这什么三啊？这五四三嘛，对不对？应该是五分之十二吧， 五分之十二减去 x 是 pm， 然后 b p 是 五分之九，能解出 x 来啊。一个方程，一个未知数，咱们就能求出 x 来，能求出 x 来呢，自然而然剩下所有东西都能求了呀。 啊，这个 mnc 的 面积就知道了吧，如果你不知道该咋求，你就乘比例呗，对应边乘比例呗。咱看一下第三问啊。第三问， 若 tangent c m n 等于三， c m n 是 这个角，这个角等于三啊，这个角等于三。这不等，不相等了啊，不相等了，对，顶角依然有啊。 这俩角相等， c c、 m、 n 等于三，那么也就是说，实际上这个角不在直角三角形里，所以说它的正弦值是没有用的。但是这个地方 有一个直角三角形，这里是个死的直角，那这个地方有直角三角形，它 c m 等于三，然后 b p 又是一个已知数，它是，呃，五分之九， b p 是 五分之九。所以说啊，依然是可以求解的啊。我们可以这么说一下啊，比如说，呃，这个 b p 已知是这么这么多五分之九，然后这个，呃，三角形 bpm 和三角形 kbm 是 相似的啊，这两个大三角形相似，于是乎 bk 的 值是不已知， bk 的 值已知了， 那么这是不是也已知？因为这个角又是个固定的比例，它又是个五四三，那 b k 的 值已知，那 k h 吧。那么 k h 是 不是也已知？ k h 已知这一段儿 上面这一段是不是也已知了？那这一块是不是已知的？注意，千万别用这个角啊。这个角现在不知道是多少，因为这个 a k 是 可变的，那我这是不是能求出来了？ 这一块求出来了，那这一块是不是用三减这一部分是也能求的吧？所以说这这全知道了。那么 a k 的 长是不是勾顶点就能求了呀？
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23:06查看AI文稿AI文稿张口二模的数学，呃，据说这一次的题难度要大很多，有扣了很多细节的东西，那咱们一起来看看，我希望我是全网第一个发这个试卷的解析的。 呃，第一题啊，一个线段平移的问题啊，向上平移，那么这个图也是显而易见啊，只有这个 p 点是可能会经过的， q 点在外面。 第二题，与负三又五分之三相加得零，这考了一个相反数啊，相加得零是相反数，然后又考了一个代分数啊，这里是 b 三加五分之三就是三又五分之三 啊。第三题，若这个东西有平方根，则 x 满足的条件是，那显然平方根啊，平方一个数要有平方根的话，那这个数得是非负的。所以说这个负三 x 加六要大于等于零 啊。那么注意一下，这个如果 ab 跟 c、 d 都有的话，可能还需要考我们一个不等号的编号问题，因为这个负三 x 前面带了一个负号， 所以可能有同学会在负三 x 这里啊，在不等号编号这个问题上出现问题啊。这一个很可惜的。第三题，非常简单啊。 第四个，呃，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 是 b、 c 边上的中线，然后点 e 在 a、 c 上，且 d、 e 平行于 ab， 那 我这里可以直接画一幅图啊，随便画一个三角形，那应该能看到啊。这个 d、 e 跟 a、 b 之间其实是中微线的问题啊，平行然后 a、 d 又是中线 啊，所以 b、 d 等于 c、 d 嘛，然后做 e、 d 平行于 a、 b， 那 就是个中微线问题啊，那中微线的特点就是二倍呗。所以说这道题选 a 的 啊，一下就能看出来。呃，第五题， 这是一个依然是三式图啊，考的是三式，三式图，对于此几何体的三式图，那我们如果不太好想的话，我们就把三个式图都画出来，然后就能选出来了。 呃，应该是不相同的啊，这个主式图的方块上面的小方块在右侧，左式图的小方块在左侧，然后俯视图是看不到那个小方块了啊，在那个小方块那地方应该是个实线的，在大方块里面，所以说这道题选 d。 呃，第六题，若 x 一 x 二，这是一个考根据系数关系的啊，是方程的两个实数根则。 如果啊，眼疾手快的同学可能会求解这道题，求解没毛病，但是你求解一定会很麻烦，他问的这个东西是 x 一 的平方乘以 x 二加上 x 一 乘以 x 二的平方，这个地方，我们可以显然的 把这个式子做因式分解，变成 x 一 乘以 x 二加乘以 x 一 加 x 二，那我们只需要写这个 a 分 之 c 乘以负 a 分 之 b 就 可以了啊，所以说不需要去真的求解这个二次方程啊，谁求解谁是笨蛋啊，这道题应该选看一下啊。呃， a 分 之 c 是 负二，负 a 分 之 b 是 负三，所以说这道题应该是负六啊，选 c。 第七题啊，甲乙两名同学，这是一道，呃，这个概率的问题啊，概率的问题， 一三四和五六八三张卡片各抽取一张，则抽到两个数字之合适偶数的概率，那么我们很显然的能知道啊，甲乙两个同学各有三张，那一共就有九种 可能出现的结果，那我只需要去列出来就可以了呗。列表法可以啊啊，如果抽到一，那么只能抽五是偶数，如果抽到三，也只能是偶是偶数。如果抽到四的话，六和八是偶数，一共四种结果。所以说是选 c 的 啊。 呃，第八题菱形啊，这个考的是一个几何图形，菱形 abcd， 需要注意一下了啊，需要注意一下菱形的一些性质，比如说对角线互相垂直平分，比如说四边相等，比如说这个对角，呃，这个对角相等，这些条件啊，都是需要我们注意的，需要脑子里面记得的啊。 abc 等于八十度好了， a c， b， d 相交于点 o， 点 m 为 o， c 上一点可以重合。然后他说了， 有两个角平分线，一个是 m b c， 另外一个是 m c b 交于点 n， 则 b n、 c 就是 构造出来的这个新的。呃，三角形的这个大角啊，相当于是它的钝角呗，钝角应该是多少度？ 这个地方啊，这个地方它给了四个选项，然后只给我一种可能性， 那咱们来分析一下吧。如果现在假设啊，我们这个点 m 在 o 点的情况下，当然我是一个比较害爱偷懒的人啊。如果点 m 在 o 点的时候，那么这个 b、 n 和 n、 c 其实是两个直角，三角形中的锐角的平分线，也就是这两个角相加等于九十度，而这两个角的一半相加应该等于四十五度，也就是说，这个 b， n、 c， 如果 m 点 在 o 点的时候，这个 b 角 bnc 应该是九十加四十五，等于一百三十五度。但是这道题说点 m 是 o c 上一点， 也就是说这个角实际上要比这个九十度的角实际上要比 b m c 啊， b m， c 要比九十度更大，所以说，呃，剪出来的角应该是更大的角 啊，两个剩余的角要小于九十度，那么也就是说小于九十度的话，那剩余的这个角要大于九十度，那么也就是说，实际上这个 b n c 一定大于一百三十五度，当你能求出 d 来了啊，这不知道这个八十度有什么用，可能是干扰选项啊。 呃，很显然，这个地方他最小是一百三十五度。如果在这个 o c 上运动的话，我们是可以通过这个直角三角形的。呃，角度的关系，或者是说这个三角形的三个角的关系，内角和来求出来的。 第九题，若关于方程有两个相等实数根，那这个地方我们呃，走常规路线呗。既然他说有两个相等实数根了，那么就嘚它等于零，然后把嘚来求出来，嘚它能求出来等于多少呢？ 呃，二减二， i 二减二， k 的 平方减去四乘以二乘以 k 方减一，那能解出来一个 k 的 二次函数，那么求出 k 值来，我们来算一下啊。 呃，这个式子是 k 方加二， k 减三等于零，然后呢？解出 k 就是 一个负三，一个一呗。那然后剩下的事情就是带入了关于双曲线这个玩意的说法。正确是，我既然能求出两个 k 值来，那咱们来看一看啊。 呃，如果 k 等于负三的时候，这个式子是 y 等于，呃， x 分 之一，如果 k 是 一的话，那就是 y 等于 x 分 之五。好了，看选项吧， a 与 y 等于 x 没有交点，那么显然这个 双曲线无论是 k 等于负三，还是 k 等于一，它都是一三象限的，所以 a 错了啊。呃， b 等一会再说啊， 他让咱们算数 c， 我 觉得不可能吧，对吧？ d 选项在每一项线内 y、 c， s 增大而增大，那显然这个地方为什么不看 b， 因为我 b 需要计算，而 a、 c、 d 都不需要计算。 d 选项跟 c 选项他俩是一回事，因为在一三象限内， y、 c、 x 的 增大一定是减小的，这是咱们反比例函数的特征啊。所以说这道题一定选 b、 b。 我 不用求了啊，不用求，接下来看第十题。哎， 在三角形 a、 b、 c 中， a c 大 于 b c， m 是 a c b 的 平分线上的一点连接。 a m， b m。 啊，这是一道很老的题了。 呃，可得 a c 减 b， c 大 于 a m 减 b m， 这个地方是一道老题啊，这道。这是一道老题。 嗯，图形上跟传统的老题不太一样。这个传统的老题，那个 m 在。 呃，三角形里面。 这道题的做法很简单啊，就是我们因为看到了 m 是 角， a、 c、 b 的 平分线，所以说我们要做的事情其实是把 c、 b、 m 这个三角形翻折， 是把这个 c、 b、 m 的 三角形沿着 c、 m 去翻折，那么我们就会出现 bc 的 b 点会一定落在 a、 c 边上， 那么 a c 减 b， c 就 变成了一小段线段，然后 am 减 b m 这个地方就可以出现一个三角形的三边关系 啊，这是一个老题啊，这是一个老题。那两边之和大于第三，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以说就是 第三边大于两边之差啊。这是一道考三角形三边关系的，然后再加上一个角平分线的特点，就是角平分上的点到两边的距离是相等的。我们要做的事情就是 c m 沿着 c m 翻折啊。 呃，这道题如果你要是不会的话，你有可能会蒙到 d 选项。 d 选项，这是一个很大的问题啊， 因为其实你可以尝试一下，如果是可能，有可能有同学会想，如果这个角 c 是 直角的话，有没有可能是等于关系呢？那你实际去画一下，你就会发现这个角平分线的问题啊。角平分线的问题，呃，他不可能等于 啊，如果 a c 大 于 bc 的 话， ac 等于 bc 有 可能等于，但是 ac 大 于 bc， 他 一定等于不了，所以说我只能从 ab 里面选啊。 呃，看一下第十一题吧，抛物线经过点哦，负一负 t 零负 k 一 t 二负 t 则下来选项中值不变的是这道题啊。 有同学可能会觉得，哇，抛物线怎么出来这么个玩意，然后上面点所有点我都不知道，那该怎么办呢？那其实 这种题型一般都是考对称的，因为，呃，抛物线上面所有信息都没有，有没有图，所以说你只能去利用一些二次函数的呃， 基本性质，比如说这里的啊，与 s 轴交点啊，或者说与 y 轴交点，或者说对称轴这些东西，这些信息啊基本信息。那这里呢，很显然就是利用了对称轴的关系，我会发现负一负 t 和二负 t 这个地方能漏出对称轴来，对吧？ 对称轴大概是二分之一，然后我又发现了零跟一依然是对于二分之一对称的，所以说负 k 等于 t 秒了啊。这作为第十一题啊，他的考点其实非常简单，但是他的考法可能会让很多同学比较困惑啊， 所以值不变呢，就是选 b 了啊， t 除以 k， 他的值是负一，他俩是相等的。好，咱们接着往下看十二题， 这是一道动点移动的问题吧，看起来应该像正六边形，顶点 o 为圆点， o、 a、 o、 d 分 别是 x 轴、 y 轴建立的直角坐标系点 a 等于一零。那么也就是说边长为一的正六边形 啊， b、 c、 d、 e 均在 x 轴上方，接点 p、 q， 同时从 b 出发，正六边形边上点移动。 p 是 逆时针， p 的 路线是 b、 c、 d、 e、 o、 a， 而 q 的 路径是 b， a、 o， e、 d， c 啊，一个正着动，一个反着动， 一个速度是一，一个速度是二。然后现在有如下结论，结论 e， 看一下， e 的 坐标是 反了吧，应该是负二分之一和二分之根号三，所以一是错的。解 了二，二零二六点二零二六秒后， p 点位置这地方咱们可以算一下啊，二零二六除以六，因为我能发现，这个 p 点一次一秒钟动一格，六秒钟转一圈，那么二零二六除以六应该等于，呃 啊，三百三十七于四，那么咱们数一下，一秒钟到 c， 两秒到 d， 三秒到 e， 四秒到 o， 也就是说，这个点 p 点的位置应该是零零啊，这个结论二错了， 结论三呢？呃， p、 q 在 第十三次相遇和第十四次相遇，那这个地方的话，如果我们呃想硬求啊，硬去求也可以，但是呢，我觉得我们最好是找点规律啊，咱们看一下规律吧， 咱们可以先看一看啊，这个 p 点和 q 点是怎么进行相遇的？首先，我能发现，每两秒钟他们两个 p 点和 q 点一共会移动六个格，一共六个单位长度，所以说他们是每两秒相遇一次的， 那我们看一下，第一次相遇的时候， p 逆时针走到 d， 而 q 逆时针走到 d， 那 么第一个焦点是 d， 第二个焦点相推，往后推的话就是 o， 第三个焦点推就是 b， 也就是说他们三个焦点的 这个情况就是 d o b d o b d o b 一 直这样去相交，也就是无论他是第十三次还是第十四次，还是第十五次还是第十六次，都一样啊。那么两次相遇之间的距离 就显还是二分之。根号三乘以二呗，咱们拿购物定率就可以算了啊，购物定率可以算就是是不是根号三？对啊，根号三，所以说只有结论三是正确的选二 b 啊，这个地方选择题里面可能啊可能，如果没做过的同学， 像第八题或者第十题啊，没有见过的同学可能会比较难一点啊，你可能想不到，但是剩下的十一十二这两道题呢，老老实实写就行啊，老老实实写就 能看出来。这一次考试可能会把难一点的东西放在中间了，八呀，十呀，呃，可能会稍微的有点不好去想，但是十一跟十二，我觉得考的东西都比较基础， 大家不要觉得特别难，考什么东西我们就找什么东西啊。接下来看填空吧。分解形式，第一题不说了啊，第一题不说了，一定要分解到最简形式，所以说先提个二倍出来。第十四题， 若干张图，长方形，正方形卡片。这是一道考非常简单东西的啊，我们能发现周长为三十二，由呃，六个一二三四五、六个 b 和五个 a 组成，然后我又能发现这个 a 跟 b 的 关系，一元啊，二元一次方程组 能解出 a 加 b 等于一个二，那么 a 加 b 就 等于六。好吧， 十五题，呃，如图，其 a， b， c， d 平行啊， c， e， b， f 分 别平行 d， c， m， a， b， m， 其所在直线交与点 n， 则角 m 与角 n 的 数量关系是。这道题也是一道老题 啊，这考了一个模型叫猪蹄模型，它对这个猪蹄模型进行了一些变化，这地方我们能写出来，能秒答啊。角 m 等于二倍的角 n， 那 么如果你 学过猪蹄模型的话，你可以直接写出来啊，了解过猪蹄模型的话，你可以直接写出来。如果你没有了解过的话，那我对你的建议是，对于这种题而言，你可以假设这两个角平分线平分出来的那两个小角分别是一号角和二号角，然后你把 呃这里面所有的跟一号角，跟二号角相同的角，或者是产生相关的东西都标识出来。比如说有的角是可能一百八十度减呃，角一啊，一百八十度减角二，或者一百八十度减二倍角一，一百八十度减二倍角二。然后你把这所有的跟这个角相等的角都标成角一，相等的角都标成角二。 然后在三角形里面啊，去随便找两个三角形，比如说 m 的 三角形和 n 的 三角形，在这两种三角，在两个三角形包含 m 和角 m 和角 n 的 三角形里面去表示角 m 和角 n 啊，那么最后你一定会变成一个一百八十度啊，和角一个角二的关系，一百八十度和角一角二的关系。最后呃，你就能写出来这个 m 跟 n 的 关系一定是二倍的， m 等于二倍角 n。 那我给你的建议就是，对于这道题来说，如果你没有见过同学呢，就用方程的思想把 m 跟 n 表示出来啊，用一百八十度和我刚才所谓的表示出来的这个第一个平分线产生的角一跟第二个平分线产生的角二 啊，把这些东西都写出来，你就能求出来了，表示出来一定可以的啊。呃，因为还有平行嘛，平行有很多同内角，内错角这些东西的，都是相等的啊。还有这个，呃，这个平角等一百八十度啊，这些都可以都可以用得到的啊。 呃。十六题，如图八矩形， a， b， c， d， a， b， c 等于十二点， p， q 分 别是上面的点连接 p q， d， p 等于四， c， q 等于几？那其实我能把所有的边都表示出来了啊，像 a， d 等于 a， d 等于十二，然后这个 a p 等于八， p， d 等于四， b q 等于五， q c 等于七，然后这个 c， d 等于四嘛，对吧？全都能表示出来，然后他们说什么了？过 m 做直线 l 垂直于 ad， m 是 个动点， 如果直线 l 上存在四个点 n 使 p q， n 为直角三角形，那现在什么情况下能产生四个直角三角形呢？那我们可以去画几个图啊，或找几个位置啊。我们能发现，如果这个 m 在 这个呃 p q 的 外侧啊，左侧移动的话， p q 这条线，我们 m 在 它整个的左侧运动的话，呃，我最多能产生两个，然后，呃，右侧在 p 的 右侧的话，我好像也能最多能产生两个。呃，然后呢？刚好，如果刚好跟这个 呃 m q 垂直于 b c 的 话，呃，我能折到一个垂直，对吧？那这地方我觉得如果让我去直接写答案的话，我可能会写五到八， 这个 t 大 于五，小于八，只有这个 m 在 p q m 垂直于这个 b c 的 这个过程会交 p q 的 时候应该才会产生两四个交点，因为在两侧嘛，这条线段的两侧都会产生。那么如果说我想要去 呃稍微严格的证明一下的话，我可以过 p 点，过 q 点，分别做两条直线垂直于 p q， 这是我想的啊，我想的这个。 呃，这个，这个证明这件事情我我这个答案的方法啊，做两条平行的垂直于 p q 的 两条直线，然后我画这个 m 垂直于 b c 的 时候，我能发现， 呃，两侧分别有几个位置可以构造出直角三角形，那我能发现只有在这个呃交 p q 的 时候我才能左边两个，右边两个。所以说我直接写的五到八啊，五到八。 那么我不保证正确啊不保证正确。这是我秒出来的啊这是我秒出来的。 呃，看一下这十七题，这是一个算数的题，不说了。好吧，不说了。呃，十八题的话，不等式，那么不等式需要我们注意的东西啊。第一问，求不等式，正整数写，那解数 x 吧， 请注意啊，要正整数写，你要注意不等式要可能会变号啊，这个不等式的符号不等符号的方向问题啊，也就是说大于号小于号，你可能需要编号， 剩下没有了，根据提意见要求说吧，人家要正整整数解，咱就写整数解，要写正整数解咱就写正整数解。注意啊，整数解包含零。十八题也不说了，十八题也不说了。哎，连力去就能解出 a 的 曲范围来了。 看下十九题啊。如图， a c 等于 a d， b 在 a c 延长线上射线 a m 平分 b a d。 哎，我们能看到角 c 等于角 d， 然后请注意这个角 b， a， d 是 三角形 a， c， d 的 外角。所以说你的角平分线构造出了四个相等的角，角 c， 角 d， 角 d a m 跟角 m a b 四个角全相等啊，四角全相等。 呃，只会作图，不说了啊。呃，第二个，求证， a， b p 等于 c d a 啊，秒出来了吧，是不是相似？我可以拿 a a 去证两个相等的角，然后他说了 b p 又等于 a p， 是 吧？啊，这个这个两个相等的角，角角就证出来相似了。 呃，二十题统计啊，咱也不算了啊，根据要求写吧。如果你不会写，那你就回去书上去看一看什么是平均数，什么是种数，什么是方差。好吧。
801周卓讲数学物理
06:02查看AI文稿AI文稿我昨天发布了这个二模的数学十六题啊，大家 反馈好像没太讲听明白啊，确实，当时讲的时候也都是口头那么一说，没有仔细，特别仔细看，好像确实是不太稳妥，那么今天咱们就一块把这个十六题说清楚啊 啊，一起来看一下吧。呃， a、 b、 c、 d 中， ab 等于四， bc 等于十二， ab 等于四， bc 等于十二点 p q 分 别是 a、 d 和 bc 上的点连接 p q， 那 么这个 p q， 嗯，应该是可以算得出来的啊， d p 等于四， c q 等于七，那么 b q 就是 八， 那从这个地方我们也可以算出这个 p q 的 长度来啊， p q 的 长度来，应该是也是五啊，点 m 在 线的 a、 b 上，我昨天就忽略了这个条件啊，很重要的啊，它限制了这个 t 的 范围，过点 m 做 直线 l 垂直于 a、 d， 若直线上存在四个点 n， 使得 p q n 为直角三角形，那么四个点 n 成为直角三角形，咱们同学肯定会很迷惑 啊，如何去构造呢？那咱们来看看啊， p q n 这三个点中， p q 很 显然是两个定点， 那么 p q 可以 作为直角三角形的直角边或者是斜边， 那也就是说，实际上这四个点 n 分 别可以构造两个直角边，两个斜边同时满足就可以得到四个点 n， 咱们一起来看一下，当 p q 作为直角边的时候，其实还蛮好找的，我们只需要去做两个平行线， 这样的话，我就能永远的保证角 p 或者角 q 是 直角，因为你看我画一条蓝色的线啊，无论怎么画，我是不是都可以构造出一个直角， 两个直角，哪怕是说，哎，我在里头，我也是左侧一个直角三角形，右侧一个直角三角形， 对吧？所以说呢，这个问题我们解决了啊，这个直角边的这个问题我们解决了，构造两个直角三角形 啊。那接下来我们就同时满足这个 p q， 既能做直角边，又能做斜边。那如果说想要让 p q 做斜边的话， 什么时候有一个定长为斜边的直角三角形呢？那么显然，很显然，这里需要有一个圆儿吧，只要 这个直线 l 能与圆相交，那么就能构造出两个以 p q 为斜边的直角三角形了。 于是乎，是不是我们找到了它们相重合的部分了，既能满足 p q 为直角边，又能满足 p q 为斜边的这个位置。比如说，你看，这里就是只能做直角边，不能做斜边的， 那这里就是既能做直角边，又能做斜边的。因为你看在这两条平行线上找两个点， 直角边在圆上有两个交点做斜边，一共正好四个点。那么接下来我们现在就开始求 具体的点位了呗，从哪开始啊？从相切开始啊，从相切开始，怎么求呢？咱们看一下啊，咱们这个直角三角形能用上了，这里是四，然后这里是 斜边，是五，所以这是二分之五，那这里是三四五的三角形，那这里是二分之三，这里又是二分之五，那这里还是个四，那四四，那这里就还是四啊，那就是 t 呢？应该是大于四的时候 开始相切啊，当然相切肯定是只有一个点了，所以说不能等于啊。然后咱们开始把 l 向右移动，移动到什么位置呢？我会发现，当这个直线穿过点 q 的 时候， 穿过点 q 的 时候，这个斜边跟直角边同时重合在了一点上， 这样是没有办法给我带来三角形的，所以说还不能等于 q 的 这个位置，也就是说小于五。 越过 q 的 这个位置呢，就既能又恢复到了这个，又能有斜直角边，又能到斜边的程度。但是注意 m 点在 a p 上，那 p 点的位置在哪呢？ p 最圆等于 八吧，所以说这个答案就是四到五，然后还有五小于 t 小 于八啊两段，这样就能保证在这两个范围之内了，这个范围之内 四个点，然后除开与 q 的 交点，这段也是四个点，十六题就是这样。
100周卓讲数学物理
00:37查看AI文稿AI文稿二模以后做好这三点题，分三十家不是难事。一、二模以后千万不要再盲目刷题，刷题要刷，但是主要是保温，这时候最重要的是复盘， 分析试卷，找到不入环节，分析十分的原因，读题错误，计算错误，步骤扣分，知识点掌握不牢固，找到自己的十分的原因之后及时进行总结。二、不要做无头苍蝇，就剩下二十几天，规划很重要，不是每天随便拿本作业就写写的，老板效率不高的一定要合理安排， 什么学科，花多少时间，语文的虚词诗词，英语高频词汇，物理公式等等。三、心态比什么都重要。这时候焦虑，患得患失，想赢怕输，兵家大忌，一定调整好节奏，相信自己，你能行！
162初高中数学克洛泽老师
04:02查看AI文稿AI文稿初中数学考试啊，万能的答题技巧，考场能够直接用！明天啊，二模考试了，今天我在这里再啰嗦几句啊，之前也就重复给大家说了好几遍了。考前五分钟，一定要先浏览全卷，分清简单题、中档题、压轴题，心里规划做题的顺序， 把公式易混的知识点在草稿纸上快速的写一遍，防止考卷上忘记了。第二个就是选择题的技巧，第一个就是代入法，把选项直接代入题目验算，比硬算要快很多。第二个，排除法， 先排除明显错误的选项，缩小它的范围。第三个，特殊指法，遇到代数式函数，不懂式，代零一负一，简单的这些数秒出答案。 第四个，估值法，几何的长度，角度，不用精算，看图估算，排除。第五个，不会的题一定不要空着，绝对不能留白凭直觉选一个。 第三个，填空题的技巧等。腰三角形，直角三角形，方程动点一定要考虑多种情况，注意单位正负号取值范围，整数的限制。 结果一定要化成最简的讲分式约分，根式的化简分数，你不约分，你肯定直接扣分的，能够用特殊图形特殊位置秒杀的，不用常规硬算。 第四个，解答题通用的技巧，步骤分，一定要拿满，大题是按步骤给分，哪怕结果错，过程写对也是能答 一大半的分的。第二个，先写解，证明格式规范，不跳步，不省略关键的理由。 第三个，不会做，也写相关的公式列式，能蹭步骤分。第四个，做完立刻带入验算 方程啊，应用题一定要检验。第五个，计算题，解方程一定要变号啊！第二个，一向 就是必须要变号的，不懂事，系数化为一，负数要反转，不懂号。第三个，分式方程必须写，检验分母不能为零，一定不能忘。第六个， 几何题的技巧，一个先标图，把已知的角边长相等的线段给它标在图上，一目了然。实在不会的角度，咱用量角器量，大概知道个呃方向。 第二个，像那个辅助线，不会做的像正点连正线，角平分线做垂线，平行线，我就是什么截线段。第三个，证明题，按照条件、定理、结论去写， 条理清晰才能不扣分。像折叠旋转动点，抓住不变的边长，不变的角度进行解析。应用题，比如说方程类的，还有函数类的， 先设未知数，再找等量关系列式子。实际问题，字面量的范围必须要写，结果要符合实际啊，比如说人数的长度不能为负，小数是不是？第三个，最值问题，看顶点，看区间，端点看整数点。第八个，考场的时间分配， 选择填空题，大概二十五分钟左右到三十分钟啊，不纠结难题。第二个，争当解答题，稳做稳拿分。压轴题，先做前两小问，最后一问，能写多少写多少。 第三个，留十分钟，整体检查有没有漏题，有没有看错数的，有没有符号出错了，单位我漏写的， 呃，有没有多结，我少写了的。那么最后再整体检查一下，先查正负号，小数点抄错的数，再查有没有漏解，漏单位，漏范围， 呃，向大题看步骤，我缺不缺格式，规不规范。总之，希望大家明天考出一个好成绩！
62初中数学胡老师
09:08查看AI文稿AI文稿我们来看一下这道题啊，这道题做的很一般啊，做的不是特别好，咱们先读题，嗯，矩形的话给了个三，给了个四，那么这里面看到三，看到四，我们考虑到的是三角函数，而不是所谓的三四五。三四五的话，初二的学生们也都会啊， 然后这又做了垂直，这又做了垂直啊，后面的话就是各种操作啊，这个大家慢慢去读吧啊，至少这题怎么的，读两遍吧。啊？ 读两遍啊，那第一个来看，第一个让我们说这个元欧与 a k 相切时，让我们去求 r， 那 这个题的话，我看大家做了五花八门啊，唯独没有用三角函数的，什么单勾股啊，双勾股啊，又什么等积法啊，做半天啊， 这题最好的是什么呢？你看他这块是这个相切的时候，这里面是不是肯定垂直啊，对吧？那 b k 是 不是就是我的直径，所以我的 r 是 不是等于二分之 b k？ 这题只要把 b k 给求出来就行了啊？那 ab 是 四，我设界角为 r 法，对吧？ 这个 b k 比上四就等于什么呢？是不就等于这个 cosine r 法是不就等于四逼成五啊？所以 b k 就 等于五分之十六，那么 r 就 等于五分之八啊。 然后下一个，他说 b c 落到圆内的部分，圆内的部分是不是就这段，对不对？比如说我们给个 b h 吧，啊，是不是求 b h， 求 b h 怎么求啊？啊？这是求什么？求弦长，弦长当然是垂径定里了，各位， 垂径定里的话，是不是要做垂直啊？从圆心 o 这做垂直，比如说我设这段啊， b t 吧，啊， bt v x 吧， 对不对啊？或者说咱不是 x 也行也，这个东西都知道平分嘛，是不是？然后你看啊，这个 bt 比上我们的这个 bo 啊，是不是就等于什么呢？就等于 cos 角这个，呃， o b c 啊，啊？ o b c， 对吧？然后这个重新写一下啊，咱们可以写这个啊， cosine 角 dbc 就 等于什么呢？就等于我的 b t 啊，比上 bo 啊，这个 b t 的 话 bo 是 多少啊？ bo bo 的 话我们刚才刚求出来是五分之八呀，对吧？是五分之八，然后呢就等于什么呢？就等于这个三 b 乘五啊，三角函数三比五，然后我们能求出来这个 b t 的 话，就等于啊，二十五分之二十四，所以说这个 b h 就 等于二十五分之四十八啊。呃，这样的话，我们第一问这两个小的就结束了， 然后我们说一下这个第二个啊，我们来说下这个第二个，我把其他先擦一下， 说一下这个第二个，然后第二个方法有很多啊，我先说一下啊，我先说一下我学生他们的做法， 就是 c m 跟 c n 是 相等的话呢，那这个是不是自然我做三线合一啊？做垂直是不是做垂直啊？做垂直的话，这里面我们会发现一个什么问题呢？就是 这个角跟这角相等，对吧？然后呢，这边是不是也垂直啊？所以这个是不是八字形，对吧？所以说这个也是不是叉啊？然后还有什么呢？还有就是这个叉加上这个角等于 九十度，那这个角加上他是不是也得九十度？所以说底下这个是不是也是一个叉啊，对吧？说明的什么呢？说明 b n 啊，说明 b n 是 不是平分角这个啊？ d b c 啊， 啊？角平分线吗？是吧？角平分线我可以做垂直啊，我可以做一个垂直，然后注意看啊，注意看我这个角，我蓝色这个角的三角函数是不是知道是不是还是三四五啊？ 对吧？所以说我就设这个为三 a， 这个为五 a， 对 吧？那这个是不是也就是三 a 了？ 所以说八 a 的 话就等于多少呢？就等于五分之十二，因为 c p 是 等于五分之十二等积法， a 是 不是就能求出来了，对吧？啊？这个 a 就 可以求出来了， a 求出来以后，那这段是不是就知道， 对不对啊？这段就知道，这段知道的话，我们的三角函数是不是就知道了？那这个题的话，你看啊，这个题，那我这个边知道了，对不对？然后我这个边就也可以求这个边，是不是就也可以求这个面积，是不是就出来了？是不啊？这是我学生他们的做法， 然后呢？我当时呢也考虑到了这个直接做垂直，但是我知，但是我当时想的是什么呢？我当时想的是我直接做垂直以后，这个角和这个角他们的三角函数不是特殊的，所以说我是怎么处理的呢？我是这样去处理的，你看 这角，这角，这角是不是都相等，对吧？所以说我知道，如果说我从点 m 这做一个垂直的话， 比如说 h， 我 这个角的三角函数和这个角的三角函数，我是不是都知道，对吧？啊？这个都知道，所以说我这个时候呢，我还是一样啊，我怎么处理？就是我发那个图片，我是设这个边为 a， 不好用啊？不，这个不好算，射谁呢？射 c m 为五 a， 那 这就是四 a， 这个呢？就是三 a， 他 是三 a 的 话，因为 c m 等于 c n 吗？这就是二 a， 所以 说，所以说这个角正切就是一比二， 对不？所以说这个角正切也是一比，也是一比二，那这个 pm 就 等于什么呢？等于五分之十二减去五 a， 然后这个边的话啊，这个边是等于五分之九， 所以说五分之十二减去五 a 比上五分之九，就等于一比二，然后这个 a 是 不是就可以求了？ a 可以， a 能求出来的话，他就知道了，他也知道了，然后这个就知道了，明白不啊？ 这是我们的这个括号二啊，括号二，然后我们再看一下这个三啊，这个三，这个三的话，我也说一下这个三的话，他给了一个角的正切是三，对不对？那这个角正切是三，我们能得到什么关系呢？那这个角对顶角吧，正切肯定也是三， 然后他是让我们求下 ak 的 长啊，让我们求下 ak 的 长，你看这个角的三角函数是不是比较特殊啊？是不还是三四五的关系，是不是？所以说我就从点 k 呢？我往这做一个垂直，看到没 啊？呃，如果我能求出来 bk 的 长，我这个边就知道啊，就是 bk 乘五分之四，那他知道了，那他就知道， 那他知道，他知道这个勾五定律就可以了，对吧？所以说这道题最后就转换成，求谁呢？是不是就求 bk 啊？ bk 是 不是等于二倍的小 r 啊？对不对？是不是就求小 r 就 可以了？ 那我们来处理一下，你看这个正切是三，那这个角正切也是三，然后我知道这个 b p 是 等于这个五分之九，所以说我能得到 pm 是 不是等于五分之三呢？ 对吧？啊？ pm 等于五分之三，然后我怎么去构造一个关于 r 的 一个等式呢？其实很简单啊，这是五分之三， 对不？整个的 b p 是 五分之九，你看，我只需要把 o m 给连接，这是 r， 这也是 r， 这一段 o p 是 多少呢？是五分之九啊？是五分之 五分之九减 r， 对 吧？五分之九减 r， 然后我们是不是可以在这个呃，直角三角形当中去看啊？它的这个是五分之九减 r， 然后这是一个五分之三 啊，这是一个 r 购物定例。 r 是 不可以求，对吧？ r 可以 求，那 bk 就 知道，对不 啊？ bk 就 知道了，你 bk 知道了，那这个边就知道啊？这个边知道，这个边也知道，然后他俩就可以勾到勾股定律了。
108石家庄数学陈老师
02:41查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学好，各位家长好啊，我是数学马老师啊，哎，这段视频呢，帮着各位冲刺中考的学生，咱们剖析一下二模考完试以后有什么新的趋势和特点啊。咱们今天啊，说一下二十四题，二十四题各位同学都知道， 平移折叠考的是最多的那玄砖，最近啊，这两次的一模二模里边没有去考玄砖，但是这里面也有特点， 二模考完的室内六个区里边已经有三个区考的已知 s 求 t 啊，原来呢，前几年的一模二模里边有一个区考到已知 s 求 t 就 不错了，今年三个区，也就是六区里有三个区都是考的已知 s 求 t 啊！马老师再强调一遍，这样题的方法啊，常规咱们见的是不是已知 t 求 s 很 简单，到了第三问，怎么花三分钟就能快速解的出来呢？ 马老师教的方法就说了，第一步，先画竖轴分析趋势对吧，至少标出来第二问和第三问里的四个 t 值啊，分析他的状态。第二步，如果左右状态对称，先求中点是最大值，再求离他远的位置是最小值，看两个端点谁离他远谁最小。 然后如果不对称呢，先求最小值在两个端点处，再求最大值在中间状态的解析式的顶点，对吧？啊，所以这是咱们方法，但是已知 s 求 t 呢， 还得结合抛物线注意了，如果已知 s 的 值，求 t 的 值， s 就是 二次函数里的 y， 所以 已知 y 求这个 s 会有两个 t 值，已知 s 求 t 会有两个 t 值啊，但是如果已知 s 的 范围，求 t 的 范围呢， 对吧？ s 的 范围。马老师画个图给各位同学说一下啊，这糊了吗？这是一个抛物线吧，对吧？我用红颜色的笔吧， 哎，这不是一个抛物线吗？对吧？已知 s 的 范围，这就是 s 一， 这就是 s 二，是不是这会对应有一个 t 一， t 二， t 三， t 四，它会有两段的，所以在这个 t 一 到 t 二是一段，在这个 t 三到 t 四又是一段，所以已知这个 s 的 范围，求 t 的 范围，它会有 四个题，两端都要求啊，所以在对于这样的题形式来说，计算量就会要大一些了，所以今年的趋势极有可能会考到这个点。好，各位同学，各位家长，只要点击马老师的头像点击关注 啊，评论区输入中考复习四个字，中考复习四个字，马老师会把最近的啊三十天的冲刺讲一，还有二十四题的难点专项讲解视频发给各位同学。
26马晨老师讲数学
01:48查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学好！各位家长好啊，我是数学马老师啊，哎，最近呢，应该是所有学校二模考完以后开家长会了，基本上这个班级的排名，学校的排名，包括区里排名，各位家长也都知道了啊，马老师利用这几个视频啊，分别 剖析一下今年的一二模有什么趋势。首先，最近啊，室内六个区里上周都已经考完了啊，这个咱们的二模试卷了对吧，都考完了，分数也下了，排名出了第一个特点。马老先公一下这个第十七题啊，第十七题发现今年的趋势了吗？不像去年一模了， 去年一模六个区有三个区都考了相似三角形，今年的二模六个区都没考相似， 考的是什么多呢啊，六个区里有两个区啊，比如像是啊，虹桥区，河北区对吧，考的是什么呀？已知线段长度了要，或者求线段长度了，构造直角三角形做垂线辅助线。有两个区考的这个同时剩下四个区考的都是终点的四个用法， 以及全党的八大模型啊，终点四个用法哪四个呢？已知终点和党幺三线合一， 已知终点和九十度斜边中线，斜边一半已知了多个终点，中卫线和平形夹中点，构造八字全等。就考这四个点啊，市内六区有四个区都考出来了， 还有两个区考了手拉手模型，三锥锥模型，还有呢，半角模型也考到了，所以今年的趋势啊，第十七题的趋势，各位同学听好了啊，就是模型侧中 辅助线的难度会增加啊，考这两点啊，好，各位同学，各位家长啊，只要点击马老师的头像点击关注啊评论区输入中考复习四个字啊！中考复习四个字！马老师把最后三十天啊，最后冲刺中考三十天的讲义以及专项发给各位家长。
46马晨老师讲数学
01:15查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学好，各位家长好啊，我是数学马老师啊，哎，今天这段视频啊，给各位同学啊，剖析一下最近一模二模都考完了对吧，那么透露出来新的一个中考趋势是什么？今天来说一下二十五题 啊，二十五题，第二问还是会考到两点距离公式，已知等式就得用两点距离公式吧，千锤法三垂直考特别多，其中第二问第三问涉及三垂直，让各位同学很惊讶。六个区里考完的二模里边有五个区都考了三垂直模型，呼应了二五年的天津中考的一个特点 啊。同时到第三问呢，有两个区考的将军印码吧，还是排在第一位的。还有呢，比如河西区啊，一模就考二模，河西区考的胡不归 啊，还有呢，将军马的两定两东对吧？啊，还有呢，河东区考到的一条线段求最值，那就是引援模型啊，这些模型都是一定要掌握的，而且马老师在一轮二轮总复习里面都会反复讲的，第三轮总复习，本周咱们也会开始在最后一轮再复习一遍这些二十五题涉及到的难点模型 啊。好，各位同学，各位家长，只要点击马老师的头像点击关注评论区输入中考复习几个字，马老师会把最近三十天的冲刺讲义以及二十五题的啊，涉及到难点模型的讲解视频发给各位同学，发给各位家长。
17马晨老师讲数学
02:59查看AI文稿AI文稿看一下河北奥模考察的这一道题，十七题，这道题的计算量还是可以的。题目的话还是蛮简单的，根据题目要求 说的是四边形 a、 b、 c， d， b， c 是 六， cd 也是六边形的角， c 是 九十度，说明三角形 b， c、 d 是 等腰直角三角形。让求线段第一位，让求线段 b、 d 好， 根据一比一比根号二，所以第一位的话就直接是六倍根二就可以了。然后再接着看第二问，给条件是 ab 和 b、 d 相等角， abd 呢？是三十度 a、 b 和 b、 d 相等的线段 ad 的 长是多少？那我得想着求 ad 的 话，要么是勾定里，要么是特殊角，而现在的话，我需要把 ad 放在一个 r t 三角形里面，而且这个题目中他没告诉我终点之类的，因此中位线的话就先不考虑 那，那么我可以把这个三十度好好运用一下，那就是勾到一个 r t 三角形，那就作图中线解 过点 d 做 d， e 垂直， a， b 于点 e， b， d 是 六倍根号，所以嘛，在 r t 的 三角形 b， d、 e 中 角 a、 b、 d 等于三十度，那么根据三十度角所得的直角边为斜边的一半，所以 d、 e 就 等于二分之一， b、 d 等于三倍的根号二。 借助一下勾股定律，那 b、 e 就 等于根号下 b、 d 方减去 d， e 方，我们可以把 b、 e 给它算出来，算完之后求出来是三倍的根号六， 那么所以 a、 e 的 长度就等于 a、 b 减去个 b、 e。 这地方因为 a、 b 啊和 b、 d 啊是相等的，听不说了，都等于六倍的平方二， 所以这个地方的话就等于六倍根二，减去三倍根六，然后再二 t 三角形 a、 d 一 中，我接受勾定点 a， d 就 等于根号下 a 一 方加 d 一 方等于 根号下一四四，减去七十二倍的根号。三、整理完之后呢？开出来之后是六倍根，三减六。
58爱数学❤️爱生活
03:57查看AI文稿AI文稿这个是本次河北区二模的第十七题，主题干给了这是一个等腰值六六，所以第一问很容易得到，这是一个六倍根号二，第二问他说 b a 等于 b d， 这是一个等腰了， 还给了一个三十度，那我们很快给他标一个，这两个角都是七十五度角吧，七十五度角，我们标完了这几个角之后，我们就发现三十、四十五、四十五、七十五，他的核心方向应该是特殊角度的运用。我先说第一种方法， 突破口在于这个七十五度角上，七十五度角他可以分成四十五度加三十度，那么这有一个三十度角的话，我从这给他分一个四十五，三十就是这么过来， 那么就会出现三十度三十度的一个等腰三角形。三边之比是一比一比根号三，一比一比根号三，所以我这边是六倍根号二，给他除以一个根号三过来，就应该等于二倍根号六了啊，二倍根号六，这两边都是二倍根号六， 当然我标了三十三十，我就会发现这地方应该是个六十多角，这还有一个四十五、四十五跟六十，我们就应该知道这两个角应该分到两个三角当中去，所以我又做了这个辅助线啊， 分成两个三角形，那么这个 a、 d 就 在这个边这个三角形当中了，我们只要找到一个边长就可以了， 那这个长度呢？这不是六倍根号二吗？这是二倍根号六，所以我用这个六倍根号二减去二倍根号六就是他，所以我标了这个，那么我们除以二来，除以二就到这来了啊， 这就是三倍根号减，减这个根号六，给他除以二，就到这来，那我们可以用这个二倍根号六，二倍根号六减去，他就到这来了，再乘以根号二就过来了， 当然也可以，这是短直角边吗？三十度、六十度的，我们从这，从这，从这个三角形当中，你乘以根号三到这来，再乘以根号二到这来就可以了。啊，是一样的。 第二个方法呢，还是围绕着特殊角度的展开，我们标了三十四十五、七十五、七十五，那还有这个两个是六、六六倍根号，这怎么用呢？我们往外一延长，就会发现这有一个六十度角，当然这还有一个九十，这还有一个六，那么 在外边肯定存在一个三十度六十度的一个直角三角形，我们不妨给他扩一下，往外扩 有六十，当然三十有六，那么我们很容易得到。这个边是六倍根号三，那这个边长是他的二倍，也就是十二 这个边。那延完了之后，我们能看到这个角是三十度，也能知道这是七十五、七十五，所以大的三角形，大的三角形它是一个等腰，等腰，这两个都是七十五度角，那么这个边长其实就出来了。六倍根号三加六，这就是六倍根号三加六， 那这个边长呢？是等于这个边的六倍根号三加六，减去这个十二，那这就出来了。这个是向外扩的一个方向，也是特殊角度的运用。 第三种方法呢，我们围绕着这个等腰直角三角形和 b、 a 等于 b、 d 的 这个等腰三角形出发，等腰直会存在三垂直模型，那么六十三十，这是六，这是三三倍根号三，那么这个长度就等于这个长度等于三倍根号三。 三角形 b、 a、 d， 它是个等腰三角形，那么我们可以给他来一个左垂三线合一，那么就会出现这样一个矩形啊，矩形这个三倍根号三，那么这长度就是三倍根号三了。很明显这个 a、 d 分 成两部分，它这两部分是一样大的三线合一吗？ 那这个长度是三倍根号三，减一个三，就是它再乘一个二就过来了。所以第三种方法是围绕着三垂直模型的展开，构造一个矩形等腰三角形的三线合一展开的。
05:36查看AI文稿AI文稿同学们好，我是刘老师，我们今天用画画来把这道压轴题给解决一下。好，这道题目呢？作为一个资深的数学老师，资深啊，资到什么程度了？就是就是，就是很资深。上次的时候我到学校里面去做讲座，一个校长就这么介绍我的， 我心里觉得特别的难过，真的特别的难过，为什么？说到资深两个字，我就会联想到我是不是一个上古神灯？好， 我们一起来看一下，我把这相等的角度给大家标了一下啊，标完了之后，第一问答案也就出来了，为什么？因为这个角是共用的，对不对？ 这两个角相等的，所以问题就解决了，它就是相似。然后第二问的时候，大家注意啊，这个 d e 啊，这个 d e 跟它是相等的， 那就相当于是他比他是一比二的关系，也就是 em 比上一个 cd 等于一个一比二的关系。如果他一比二的关系，那我的问题就解决了，那我怎么去证明他是一比二呢？ ok， 你 就用这个图里面的条件就够了，就这个三角形， emc 有 三角形， d、 b、 c 两个三角形是相似的关系啊，也就是这个边，这个边比上一个这个边。大家看一下，这个红色的角对的是这个边，对不对？这个红色的角对的也是这个边，对吧？它们俩的比等于什么呢？ 是不是就等于这个边比上这个边啊？你看，我们完全是在画画啊，我充分的把我小时候的优势发挥出来了，我小时候在上，大家在家，这个年纪啊，上初中的时候，我真的是拿了很多很多很多画画的奖。 哎，不能这么说啊，我放弃了我心中挚爱啊哈哈哈。嗯 当然了我觉得就是每次的时候就做出来的视频得到了大家的认可以及同学们跟我说帮助他解决了问题我就是一件非常非常开心非常快乐的一件事情同时我觉得我的工作是特别有意义的。 首先说的这两个位置关系是长这个样子的。那其实这个最后一问的话就是涉及到一个背叛角构造的问题吗 然后他说他等于四的我看看我们怎么样能够顺其自然的想到这些勾股啊想到这些浮线的问题对吧 就是我怎么顺其自然的发声而不是非常的刻意对不对装作是我们不经意的偶遇。好那怎么偶遇呢你看他长这个样子对吧你你说的是这个但是你求的是这个对不对？你求的是这个那我能不能把它搬过来。那必须可以搬过来啊你看我一点都不可以的。 那你看我是不是偶遇啊就是说这一段的话他等于十一的对不对然后但是他求的是 c f 的 长就是这段。这段 啊瞅好了就这段子场 ok 到了这个地方的时候我好像已经卡住了啊已经卡住了。这个鱼刺夹在了喉喉咙里你说我是吃鱼还是不吃呢。上不上下不下。哎这个时候你就要注意了啊 你现在没得选你就必须要把它吞下去。怎么吞你看这个条件咋没用上这没用上的话其实在出生阶段的时候我们经常会说这个被绊脚构造的问题对不对？那就是如果说我要构造这个角的一半怎么办？半径对吧？半径啊，半径， 然后背呢？背推是不是你？你通过构造这两边相等腰三角形去构造的这个角 c t c t 两 c t， 那 这两个边相等，那这个地方就应该是四 c t， 很 简单啊，很简单。 ok， 好， 那我在这个地方的时候构造的时候就小心一点啦，小心一 点，我在这个地方我做了一个这两个边相等，然后这个角呢，就跟 这个红色的角是相等的，但我也知道这个角比跟他是相等的，那显然跟他也是相等的。那我在射的时候要注意啊，不要不要去直接射，有的时候我们射的时候了，但我是很喜欢用，就是说一些巧妙的做法，我不喜欢就是说。嗯， 就是，怎么说呢？就是射它是一个技巧吗？就是你动动脑子，你看这个地方是四，对吧。 其实我可以设它为 x 啊，因为你求的不是 f c 吗？我设它是 x， 那 它不就是十一减去 x 吗？你也可以直接设，但是我觉得那么设的话它是不方便的啊，你看那有的答案写的又臭又长，反正我是不不会选择的。就是十一减去 x， 我觉得我在数学上我永远是追求这个思想上的极简啊，十一减就二 x 啊，十一减就二 x， 容易激动啊，不好意思啊，好颤抖的心，激动的手。哈哈哈， 把这个答案给写出来了。 x 等于几？等于三，就这么简单， x 等于三，所以这个 f c 对 断， m c 就 等于八。没了没了，就这样了啊，撤了撤了，算了算了啊，问 cf， cf 就 这样了。嗯，很简单吧，就这么简单。 你看我们洋洋洒洒的分析下来，是不是感觉非常的干脆的，非常的利落，是吧？也没有什么，就是说很刻意的怎么 怎么怎么样，是不是你看像我们能不做辅助线的时候，那这个东西的话，你完全是经过你这个画图画出来的，你说我们有刻意的就是证明什么全能啊？我觉得都是不对。 我们能够帮学生去省时间，或者说追求那种极简的顺其自然，我们要尽可能的去引导学生，引导我们亲爱的小朋友们往这个方向去想，对吧？帮助他们就是说能够更好的需要给大哥点点关注。
17阿源教你口算压轴
04:15查看AI文稿AI文稿作为名校的压轴，我觉得出卷老师是非常仁慈的，这道题目同学们是完全可以拿到满分的。首先在第一问上，第一问上直接带 你看这个是不是给你个送分呐？那同学们看到这个问题的时候，我觉得第一问是完全不能拉开差距的， 第二问的时候呢，有那么一点点小差距，为什么他总有傻子，他会往里面带？他不知道是被谁蛊惑的啊。我再跟大家说一下，你遇到这个问题的时候，下次再往里面带的时候，我要打你屁股了啊，就 直接应该是这个样子，这个样子。他是 k， 他 是 k， 他 是二，他是二。加 b， 我 们说过很多次，只要是一样起的，只要是一样起的把，麻烦你把他们俩加在一起就是对称轴，看清楚了吗？好， 你看不清楚，戴个高倍望远镜，使劲看啊，看清楚啊，考试之前认真看都是来得及的。二 a 分 之 b， 所以 应该是长这样，所以 b 呢？也就等于负二，对吧？你看我这就傻瓜式的操作，你说你们不会，怎么可能， 也就是 x 平方减去二， x 减去四，好了，你再把二带进去，也就得到了这个 k 就 等于负四。结束收工，到手了，到手了，别嘚瑟啊，最后一问最后一问。最后一问也很简单，超级简单，来，我们一起来 往这边写写啊。下次再遇到这个问题的时候，你要有个大局观，就是你在打仗的时候，你一定要把自己当做一个将军，你要会布局，你看他问的是什么？问的是什么？问的 曲直范围跟谁来的？跟他来的从上到下。麻烦你阅读理解阅读一下，啥叫阅读啊？ 阅读跟这个改卷老师沟通一下。出题老师沟通一下。人家想告诉你什么？想告诉你范围的就是他。那我这些都是等量关系，等量关系，等量关系，等量关系，四个等量关系，四个等量关系啊，那我在 初一的时候，咱们在初一的时候就说过这个问题， t 等于一个负的 r 分 之 b， 等量关系全部用连立符号连立起来，对吧？我们要对齐颗粒度。 m 等于什么？ a 减 b 减四， n 等于什么？ 九 a 九 a 加上一个三， b 减去一个四， m 减 n， 它是等于八的。好了，一共有几个位置数？一个，两个，三个， 四个，五个，五个位置数。四个方程一定解不出来，所以他让我求范围，那么我可以用 a b 去表示，用谁表示？用 t 表示。麻烦同学们帮我算一下 a 减 b 等于多少？直接 带呀，带完了之后的话，它是等于一个这个样子的式子啊，就是 t 减一，一加上一个二 t， 那 么这个地方的处理它是有一点小小的技巧的，就是分子分母里面都有的时候，我们一定要把它分离掉。分离怎么分呢？就是把这个 分子里面配的有一个跟他一模一样，这个处理的话，我相信对大家来讲应该说是非常简单的，但是我出于对大家负责任，我必须要把饭喂到你的嘴里，所以他就应该是七减三，有了这样的话，那就结束了。七减一的范围是什么？ 大于一，小于三，所以七减一分之一应该是大于啊，三啊。上面的分子是三，所以应该大于一。小于几，小于几少？小于三对不对？小于三对吧？嗯，那就没了，彻底结束了。没有了，真的没有了。 你再加上一个二呗，也就是三到五， a 减 b 大 于三，小于五，没了， 彻底结束了。你说这个题目你这么分析下来，洋洋洒洒的写下来不帅吗？我觉得是非常帅的，你就是那个考场里面最帅的一匹小马，对吧？又希望同学们真的新的一年马到成功。也不算新的一年了， 就是新的一年中考马到成功。反正我是一个数学老师，说错话也没关系啊，只要咱们的题目收拾的很漂亮，合合逻辑就行了。好了，今天我们就到这里了，同学们散会，给大哥点点关注。
72阿源教你口算压轴
01:33查看AI文稿AI文稿保定二模的数学终于考完了啊，试卷整体呢，中等偏易，难度是低于我们中考整体的，特别适合考前复习，巩固基础。查了补缺，基础题呢，占百分之六十，中档题百分 之三十，难题仅仅占百分之十。难题呢，集中在选择第十二题，填空十六题，还有二十三、二十四两道压轴大题，主打综合，几何各占百分之四十五，概率统计占百分之十， 全面覆盖中考高频核心知识点。那么题型划重点了，选择题一到七题，填空题的前两题都是我们基础送分题，务必稳稳拿满分。八到十一题和填空的十四十五这两道题是中档题，拉分题，侧重几何推理和数学的建模。 四道压轴难题呢，考察正六边形的旋转面积比例，二次函数整点、几何折叠对质问题，完全贴合中考压轴的出题风格。 那么试卷特点呢，是侧重基础考察和几何模型覆盖、折叠相似旋转和圆函数的出题呢，很常规，很贴合我们本地中考的命题规律。 最后呢，给大家提供三条中考的备考建议，第一是抓牢基础，简单题坚决不留分。第二是攻克中档题， 练手几何推理还有应用题的建模。第三呢，就是专项练压轴题，吃透几何变换函数最值的这些常考模型，稳不提升综合题的得分。那么大家需要完整版试卷和解析的取件码八八八。
00:42查看AI文稿AI文稿六十二分的孩子，二模考了一百一十六，我是这样做到的。春节后一个家长带着孩子找到我，期末数学呢，只有六十二分，开学以后每天中午来我这里学习半个小时，这半个小时只做一件事，就是从初一开始做每张的课后复习题， 做题的过程中哪里有漏洞就去补哪里，每天这样雷打不动。同时要求孩子老师布置的作业呢，能做多少做多少，但是前提是要保证十点半以前睡觉， 就这样坚持了两三个月。二模考试一百一十六，这个孩子中考数学一百二，重点高中没问题。
04:03查看AI文稿AI文稿初三二模结束后，接下来就进入中考最后的冲刺关头，今天咱们就聊聊二模过后该如何高效复习。越到最后时间越宝贵，大家千万避免出现精力错配，要是把时间耗费在提分低效的地方，很容易耽误整体成绩。 在这里给同学们分享三条实打实的冲刺复习原则，照着执行，复习效率就能大幅提升。第一条原则，择优提分，各科分数同等重要。冲刺阶段没有主科副科的区别，哪一科提分空间大，就把时间重点偏向哪一科。 虽说我主讲数学，但客观来讲，中考比拼的是总成绩，并非单科，分数同样进步十分。背诵文科知识点提分和钻研难题提分，分值价值完全相同，不存在优劣之分。 平时不少成绩拔尖的同学，数学分数已经接近满分，还一味死磕刷题，其实稳住优势分数就足够，多余时间要主动补齐。薄若科目， 只有各科均衡发力，总分才能稳不上涨。基础偏弱的同学也要认清现状，短时间很难攻克重难点科目， 与其死科难懂内容，不如主攻背诵类、文科基础题型，这类内容上手快，提分性价比更高。 优势学科保持现状即可，别凭着个人喜好盲目深耕，避开低效学习误区。第二条原则，扎根课本基础，拒绝盲目刷题。每到冲刺期，很多同学陷入题海战术，刷题刷到身心麻木， 看似不停做题，却慢慢模糊了完整的知识框架，越刷心里越没底气。知识体系才是考试底气的根本，只顾埋头刷题，脱离课本做题，就如同悬空行走，心里慌乱没把握。 无论每天学习任务多繁重，都必须留出时间复盘基础知识。有错题笔记课堂笔记的同学，反复翻看自己整理的知识点，错题总结，这是最贴合自身学习情况的复习资料。 没有整理笔记，也不用慌张，拿出学校配套复习教辅，顺着板块梳理知识点复习，不要单纯走马观花。翻看， 拿出白纸尝试默写知识点，写完后对照书本查漏补缺。看过的知识终究是别人的，能熟练书写，灵活运用，才算真正掌握吃透。 牢牢沆实基础，硬是心态才会沉稳踏实。第三条原则，保证充足睡眠，劳逸结合，提升效率。最后阶段，不少学生熬夜苦学，误以为睡眠时间都是浪费， 实则恰恰相反，睡眠不足才会严重拖累学习效率。大脑运转消耗大量精力。一整天高强度学习后， 需要依靠睡眠代谢疲惫修复状态。长期熬夜休息不够，大脑始终处于疲惫迟钝的状态，根本没办法高效思考做题。犯困时，大脑会本能抗拒学习， 强行熬夜刷题只会磨洋工，耗费时间却收效甚微。而且睡眠短缺会直接缺乏意志力，做题容易烦躁分心，很难专心沉下心学习。 大家常常疑惑，有些同学学习时长不算久，成绩却稳居前列，核心原因就是作息规律，学习效率更高。日积月累下来，作息差距慢慢就变成了分数差距。哪怕作业任务繁重，也尽量保证合理休息。 试着调整作息，你会明显感受到精力充沛之后，听课做题的状态都会焕然一新。 总结一下三条冲刺准则，优先攻克提分快的科目，回归课本，注牢基础，坚持规律作息，养好精神，稳稳把控复习节奏，脚踏实地，查漏补缺，从容走完初中最后备考路程， 祝愿所有初三学子都能金榜题名，交出满意答卷！我是郭老师，专注初中数学提分，关注我，中考备考不走弯路！
19初中数学壹盘清
