高途几何动图教材
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05:56查看AI文稿AI文稿乐多思域题绝对算是高中立体几何的大哥级别人物，常年混迹于选填大题的压轴题之中。这期视频的耗时超十二小时，结合三维动画讲解乐多思域题的四个常考问题。 视频内容较多，建议大家先收藏，接下来跟着张老师一起轻松搞定立体几何的压轴题。 图中的这个三棱锥每条棱长都相等，所以是一个正四面。接下来我们分别以图中这四个点为球心，再以三棱锥的棱长为半径，画出四个球。 老师在图中用绿色的阴影部分来表示这四个球的重叠部分， 现在我们去掉这四个球，留下重叠部分，这就是所谓的乐洛四面体，不得不说它长得像个例子。接下来我们看看乐洛四面体的常考题目， 我们在图中把它的洁面表示出来，给大家直观展示一下。 这是它的平面图，不难看出它可以由这样的三个扇形组成， 并且每个上弦所对的圆心角都是六十度。它面积的推导过程比较简单，大家也可以自己尝试。 接下来我们来看第二个常考的问题， 不难看出，这条弧是在图中的圆上，并且这个圆的圆心恰好在 b c 的 中点。 但是很多同学会有这样一个误区，觉得这个圆心角是六十度，其实不是的，我们来看它的结面就知道了，很明显这不是一个等边三角形， 这就是第二题的答案。接下来我们看第三个场口的问题， 图中的这个球便是乐诺四面体内部能容纳的最大的球，这样子看不太清晰，老师加上四段圆弧，帮助大家更清楚地了解这个球所在的位置， 这些圆弧就是乐诺四面体每个侧面最中间的一段弧，刚好和这个球碰了一下，我们找一个合适的视角研究一下截面， 下面我们开始推导球的半径。 关于正四面体外接球的半径，老师在外接球的合集之中有讲过，可以用斗笠模型解决，这里就不再详细解释，不然要讲的东西太多了，大家感兴趣可以去看看之前的视频。 最后一个问题，关于距离的最大值，大家容易有这样的一个误解，觉得距离最大值就是它的能长，甚至有些题目在这方面会给出错误的答案，大家要注意甄别。接下来给大家看一下距离最大的时候，那两个点要在哪些位置， 那两个点刚好就在这两段圆弧的终点 下面我们来算一下这个距离，待会大家会发现它是要比正四面体的棱长稍微大一点的， 这个最终结果是比四更大。现在我们已经学完了楞柱四面体的常见问题，将。
2676广州数学詹sir
04:21查看AI文稿AI文稿这是 e 点，然后这个为 x 轴，这个为 y 轴，那 a p 即为 z 轴， a 为 z 轴。好，那接下来我们来看，就是我们要求的各个点它的一个坐标。 那首先是我们的 bc 向量，因为 bc 直接是平面 p a、 c 的 一个反向量嘛，那我先把点各个点给写出来哈。好，首先是我们要 d 向量， d 点，我们从这边的一个平面当中可以去看到 d 点的话，我们去做一下垂直， 这是做垂直，这是一，这是六十度，所以说这个地方是二分之一， a， e 为二分之一，然后这个地方是二分之根号三。嗯，同样的，这边也是的哈，所以说我们 d 点它的一个坐标是 二分之根号三，然后负二分之一零，这是我们 d 点的坐标。再接着就是我们要求的 p 点的坐标， p 点的坐标在哪呢？是零零根号三， 零零根号三。好，继续我们再来看，以及我们的，嗯， c 点坐标， c 点的坐标在这边刚好跟 a 是 对称的，所以说我们 c 点的坐标是多少呢？是二分之根号三，然后二分之一零，这是我们 c 点的坐标以及我们 a 点的坐标。 a 点的坐标就是零零了吗？圆点。然后我们还要去写一下 b 点的坐标， b 点的坐标在这里， 这个地方是多长呢？这是一，这个地方是六十度，因为这是六十度吗？都没三角形，所以说这是一，那这个地方就是二，所以 b 点的坐标是零零二零。 ok， 那 我们先写出来 b、 c 向量，它的一个坐标，向量向量的坐标 c 点减， b 点是二分之根号三，然后负二分之三零。那有一只还是用黑笔讲，有一只 b c 向量是平面 p c a 的 发行量。 ok， 这我们已经解决了一个面，然后我们再来看平面 d p c 平面 d p c 当中，那我们我们要找出来它其中的两个边，那我们找谁呢？我们随便找一下，我们找一下 d c 的 dc 的 话是 c 点减 d 点是零，一零 dc 项链。然后我们再来看一下，我们再找一个谁呢？找一个我们的 p c p c c 减 p 是 二分之根号三，然后二分之一负根三。好，我们都找到了，那我们去使我们平面 d p c， d p c， 它的一个发向量 是 n 向量，等于我们的 x， y， z。 好， 接下来是我们去列方程乘上与 dc 的 数量积为零，以及它与 pc 的 数量积为零，那我们就得到了 一个方程为 y 等于零，以及二分之根号三 x 加上二分之一 y， 减去根号三 z 等于零。好，那这个我们就得到了， 我们令 s 等于根号三，就是让他们全部成为整数嘛。所以说我们得到其中的一个法向量是根号三零，然后二分之根号三。 好，这是我们两个法向量求出来，两个法向量求出来之后，我们去求他们的余弦值的话，求解出来设为 c 塔，或者我们可以去这样去写哈扣三。嗯， d p c a 也是可以的。 那根据图上我们知道它是一个锐角，所以说我们要加绝对值，然后得到的话是 n 向量与 bc 向量，它的一个数量积的绝对值比上它们各自魔长的乘积。最终我们得到的答案是五分之根号五， 好，这是这一道题目哈，然后我们第一次涉及到了，就是在我们这个大概当中第一次涉及到了我们的这个二面角， 大家注意去掌握一下，同跟平面平面是一样的，只不过二面角我们需要去判断它是锐角还是钝角，那么平面和平面的夹角只有锐角哈，这个地方大家清楚一下。 ok， 今天的打卡就到这里，如果说有问题的话可以私聊师姐哦，拜拜，我们明天再见。
12高途时雨老师😃
03:36查看AI文稿AI文稿hello， 同学们好，我们来看一下我们今天的一个打卡题目。首先我们来读一图题，它如图，在这个四棱锥 p， a， b， c， d 当中， p a 是 垂直于底面 a， b， c， d 的， 读到这里呢，我们就知道，如果说待会儿我们去见习的话，一定是从 p a 去为 z 轴序性见的。好，继续，他说 a， b 是 平行于 c， d 的， 嗯， ad 等于 cd 等于 a， a， d 等于 c， d 等于 a， 这地方先标一下，这等于 a 角， b， a， d 是 一百二十度，这个角说 a、 c， b 是 九十度，这是直角。好，我们来看看它，这个让我们去求什么呢？第一个是求证，说这个 bc 去垂直于这个平面， p a， c， 它让我们去证明 bc 垂直于面， p， a， c 线面平行线面垂直的话，我们要去证明 bc 只要垂直于其中当中两条相交的直线就可以了，对吧？那么根据题上的条件，首先第一个，我们知道 pa 是 垂直于底面的，所以说我们先得到第一个条件， pa 垂直于 bc， 然后还需要一条，第二个从哪里得来呢？我们还有个条件是角， a， c， b 是 等于九十度，所以说我们第二个也找到了 bc 是 垂直于 ac 的， 对吧？那现在的话我们知道了，嗯， pa 和 ac 都是属于平面 p a， c 的， 并且呢，他们两个相交于一点， 而 bc 又不属于这个平面，所以说我们直接正得 bc 垂直于平面， p a， c， ok， 到这里我们就得正了哈， 这就是我们的第一小问，这是我们的第一小问的证明过程哈，好，这个题第一问没问题的话，我们先把第一问给擦掉，然后我们来看一看第二问。 好，我们来看一下第二问。第一问我们去证明了一个，我们先把这个标上 bc 垂直于面，那么人家说没有无缘无故的爱与恨，也没有无缘无故的第一小问，所以说我们的第二问一定是建立在第一问的基础之上的。我们来看第二问，让我们去求什么？第二问他说 p a， 如果说我们等于根三 a， p a 在 这根号三 a， 然后说我们去求二面角 d， p， c， a 的 余弦值，那进入去间隙吗？间隙完了之后，我们把这两个面的发向量给求出来就可以了，那我们看到其中一个面是 p a， c， 对 吧？那么 p a c 面，它的发向量是不是在第一问已经求出来了？也就是我们的 bc 是不是？所以说我们现在只用去间隙，然后找到 bc 的 一个坐标就可以了，然后剩下的我们再去求 dpc 它的一个发行量。好，我们看间隙的话，我们从哪里去进行间隙？首先 pa 一定是 z 轴，那之后呢？ ab， 它这不就 y 轴了吗？那 x 轴应该在哪里呢？ x 轴应该在哪？我们来看一看 这个地方有 ad 和 dc， 等于就是互相相等，等于 a， 这个条件我们还没有用，我们先把这个底面给摘出来，看一看底面它是一个什么情况？我把底面给画出来哈， 可以稍等一下。好，嗯，这个是底面，那我们这个地方是 a， 然后这个地方是 b， 然后次置为 c， d， a， d， c， d 都等于 a， 它这个地方全部用 a 来表示的话，我把 a 设为一吧。第二位，首先我设 a 为一。 好，那剩下的就比较划算了啊，我们来根据条件， a、 c、 b 是 九十度，然后这个地方是一百二十度，那么这个地方为六六十度，这个地方又是一一，所以说 a、 d、 c 为等边三角形，是等边三角形， 我，我是画的这个图形，但是大家记得去写三角形啊。好，那这个地方我们已经知道了，那我只用从 a 点去做垂直就可以了，是不是去做垂直刚好在 d、 c 的 一个中点嘛？所以这个地方就为我们的 s 轴。 好，大家记得去说去证明这个地方的一个过程哈，证明他们是两面互相垂直的。好，那现在我们就去进行间隙了，我们以 a、 b 为 y 轴，以这地方做个垂直，叫做称作 e 点吧。
69高途时雨老师😃
03:39查看AI文稿AI文稿椭圆的左右顶点分别是 a 一 和 a 二，屁，是椭圆上不统一 a 二的动点，则 k p a 一 乘以 k p a 二等于几？ 哦，老帅师，这个题目我好像见过。没事，我带你做一遍所有版本的参考答案，告诉你应该这么写。根据题目条件，我们会知道，基础参数 a 等于二， b 等于一。如果需要的话， c 方等于 a 方减 b 方， c 等于根号三左顶点。所以 a 一 坐标是负二零，我就不画图了，因为暂时不需要 a 二点，坐标是正二零， p 是 不同于 a 一 a 二的动点， 所以我们设 p 点，坐标是 x 零 y 零，因此我能得到一个方程，这是最固定的套路。有点写坐标有限列方程，接下来来有量代公式。 有点写坐标有限列方程。有量代公式有什么量？我们熟悉的几何量只有长度和角度，角度用斜率表示，所以我需要算的 kpa 一 乘以 kpa 二，根据斜率公式，应该等于几呢？应该等于这个东西， k p a 一 应该等于 p 点减 a 点，所以分子是外零减零，分母是 x 零减负二变成加二。 k p a 二应该是外零减零，除以 x 零减去二，然后整理一下，变成分子是外零的平方，分母是 x 零的平方减去四。一定有同学说，我已经看到了，说帅士，你讲的慢一点，我有点跟不上。 所有这些比较快的东西都是不太重要的东西，你一定可以写，但请你慢慢开始提升速度，因为考试的时候可能比我这个更快，以及我要教你更快的方法能了解。 然后呢，一个 x 零，一个外零，没关系，我们可以带入消元。于是这个题目就变成一道标准的解析，几何题叫坐标方程算， x 零的平方减去四，然后分子是一，减去四分之 x 零的平方。为了方便起见，我们在分子分母同时乘以一个四，乘完之后，分子变成了四，减去 x 零的平方， 而分母变成了四倍的括号， x 零的平方减去四。这个时候我看到，虽然 x 零是一个动点，我不确定是几， 但分子和分母四减， x 零方和 x 零方减四互为相反数，约完之后有一个负一，所以最后我得出了这个题目的结果是负四分之一。亲爱的同学们，各位家长朋友们，你能看到的标准参考答案，你能看到老师给你的讲解，以及你同学做的最快的速度，也就和这个差不多，同意吗？ 对，就是这样子。这叫什么？这叫做基础，这叫做计算，这叫做你学的不好的地方 啊。老师，我学的挺好的，我算对了。有没有觉得很多时候你就是听懂了，做对了，一到考试就废了。为什么？因为你会做的题目做的慢，所以后面的题目没有时间做。因为你做的慢，所以过程长，而过程长就容易错，因此会也会错。无解呀！ 那你有没有想过，也许不是你的问题，也不是题目难度的问题，而是你这个计算方法很有可能就不够。那接下来我来说下一层。老师，哎，这东西我们老师好像讲过。这东西我在什么参考资料上见过这个东西啊，有一个结论， 很多老师喜欢去网上搜去参考资料上学嘛，二级结论，然后教给同学们，跟你说，这结论可好用了，你去用是吧？结论是什么呢？结论是，如果一切条件都满足，那么本题的椭圆中的 kpa 一 乘以 kpa 二，就应该等于负的 a 方分之 b 方。 然后老师跟你说，这个结论你给我记住，很好用啊！然后出十道题，让你用这个结论，让你以为这个结论非常好，结果第十一道题用不上这个结论，这才是常态的。 我们先说这个题目能不能用啊？用上之后等于几啊？应该等于本题的 a 等于二， b 等于四， b 等于一，所以负的 a 方分之 b 方正好等于负四分之一。于是你发现，哎呦，太好了，这个结论能用。
00:28查看AI文稿AI文稿只要会打字，就能做出这样的动画。打开大角几何，直接进入画板，选择 ai 模型，上传静态图片输入，把题目中的几何图画出来， 稍等片刻， ai 就 能帮你画好动图，有哪里画的不满意的，可以让 ai 继续帮你调整。这里为了方便大家观看，做了加速，但没有剪辑，全程没有自己动手画，只是用大白话输入文字要求，最后可以看到动画效果非常好，你学会了吗？
303👀想七螺溪混
