今天我们来讲这道题，已知三角形 a、 b、 c 内接于圆 o， a、 b、 c 内接于圆 o， a、 b 等于 a、 c、 a、 b 等于 a、 c。 角 b， a、 c 等于四十二度 b、 a、 c。 这个角是四十二度，由于 ab 等于 ac， 顶角是四十二度，所以可以求出角 b。 还有角 a、 c、 b， 它们都是六十九度， 好继续点 d 是 圆 o 上一点，点 d 是 圆 o 上一点。若 c、 d 平行于 b， a、 c、 d 平行于 b、 a， 那么由平行呢，可以得到同位角相等，内错角相等。所以呢，这个四十二度其实就可以判断这个角也是四十二度， 好继续连接 a、 d 过点 d 做圆 o 的 切线，过点 d 做圆 o 的 切线，也就是这个 d， e 有 切线连，半径得垂直，所以呢，这道题一定是连接 o、 d， 然后这里就垂直。继续。问题是求角 e 的 大小，求角 e。 现在我们看到角 e， 在 三角形 d、 o、 e 中，它是一个锐角，这个角是九十度，所以我们只需要求出这个角，也就是角 d、 o、 e 就 可以。 而这个 d、 o、 e 呢，它的顶点是点 o， 这是圆心，也就是说，这个角呢，是一个圆心角， 它所对的弧呢，是弧 c、 d。 根据圆周角定里，同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，这是圆心角，而它所对的圆周角是这个 角 c、 a、 d。 所以 现在问题就变成了求角 c、 a、 d。 求出它之后，扩大二倍，就是角 c、 o、 d。 好。 那么角 c、 a、 d。 这个角呢，它是在三角形 a、 c、 d 中。这个三角形我们已经知道了，一个四十二度角，还差一个角 a、 d、 c。 也就是说这个角，那么角 c、 a、 d 就 出来了。 它的求法也比较简单啊，是由于三角形 a、 b、 c， 它内接于圆 o， 而这个点 d 呢？又是圆 o 上一点，所以其实 a、 b、 c、 d 这个四边形，它是一个圆的内接四边形， 而圆的内接四边形对角互补，所以这个六十九度跟这个角是互补的关系，那我们就能求出它应该是一百一十一度。 好，这个是一百一，那么上面这个小角就可以用一百八减去一百一十一，减去四十二，所以它应该是二十七 度，那么这个圆心角就是五十四度。 圆形角五十四度，回到三角形 d、 o、 e 中，这个角就是三十六度，所以角 e 等于三十六度。
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32:47查看AI文稿AI文稿元神启动，嘿嘿，当然是这个元了，归元的中考八大必考题型，咱们今天一次性讲透初中几何，我们不再丢冤枉，分元的通关秘籍，我们正式开启。在我们元中必考的有垂筋定力和我们的圆周角定力。 当然，在我们元中计算与证明呢，常见的有三种，分别是勾股定律，相似于三角函数，那么偶尔呢，他也会怎么样？给你耍阴招对吧，让你使用等面积法。除此之外呢，很多题可能需要你自己主动构造，辅助圆来进行几何的求解。最后呢，这个圆还有可能跟函数结合。 首先第一个垂径定律，那么首先告诉你， a、 b、 b、 c 呢，是圆的两条弦啊，就在这里，现在 a o 垂直， b c 啊，就是 a o 呢，跟 b c 垂直，那我们知道根据垂径定律呢，你这个 b、 d 一定等于 c、 d 的。 好，我们继续往后， 那告诉你圆的直径数，直径数，那就知道半径是二点五了。好，问题来了， b、 c 等于四， 我们刚刚说你整个 b、 c 被平分，也就是这个边是二，这个边也等于二，对吧？好，现在让我们求 a、 d 整个高等于多少，你这个是二点五嘛，所以我们这要求 o、 d 就 可以了，怎么求呢？ 哎，我们连接 o b， 因为圆的半径是二点五，对吧？所以你会发现，喏，在我们这个直角三角形中织到斜边，织到直角边，你用勾股定律，我们可以求出 o d， 这个边长度等于一点五，所以整个呢？ 哎，相加，我们求出来 a、 d 的 长度为四，选 c， 搞定 好第二个和圆周角定理相关的计算。首先我告诉你 a、 b、 c、 d 呢？啊，内接圆 o， 也就是 a 点 b 点、 c 点、 d 点，四个点在圆上，那圆的内接侧变形，我们知道对角互补啦。好， a、 b 是 圆 o 的 直径啊，你是直径。哎，我们又知道直径所对的圆周角九十度， 好一点在圆上，也就是在这里好像没有什么特殊性。现在我告诉你一个条件，就是我们的角 a、 d、 c、 a、 d、 c 是 哪个角？就是这个角等于一百二十五度，对吧？现在让我们求角 bc， 求哪个角 bc 啊？就是让你求这个小角度数，对吧？这个怎么处理呢？首先我们知道 a、 b、 c、 d， 它是个大大的圆的内接四边形，对吧？所以我们知道对角互补嘛，你这个角一百二十五度，用一百八减去它，所以我们求出这个角呢，一定是五十五度。 那你这个五十五度怎么用的？哎，我们这样连接 a、 e 就 可以了，连接它有什么好处呢？首先你会发现呐，这一段弧 a、 c 所对的圆周角是五十五度，所以你这段弧 a、 c 所对的这个圆周角，它也是五十五度，没有问题吧。那么除此之外，你要知道 a、 b 是 直径，记不记得 a、 b 直径，直径所的圆周角一定是直角哦，整个大角九十度，九十度拿走五十五度，所以我们要求的这个角呢，也就是三十五度啦，搞定哎，所以这里我们选 d 选项，挠 好，来到我们圆中的计算与证明，也就是圆和勾股定律了。首先告诉你，三角形 a、 b、 c 的 顶点在以 a、 b 为直径的半圆上，以 a、 b 为直径画个半圆啊，你会发现 a 点、 b 点、 c 点都在圆上。 好，现在过 c 点的切线哦，过 c 点，咱们画了一条切线，我们立马想到，如果你连接 o、 c， 对 吧？ 哎，根据切线的性质，你这个角一定是直角啊，也就九十度，对不对？好，过 c 点的切线啊，过 c 点发射一条切线，那么根据切线的性质，我们知道连接 o、 c 呢，这个角一定是直角。好，我们继续往后了。好，这条切线干嘛呢？跟这个 ab 的 延长线，它交于 d 点。哎， 好，过 a 点直接做 c、 d 的 垂线，我们过 a 点做整个切线的垂线，垂足呢，是我们的 e 点。好，给你标出来了。好，第五步，让我们求证 ac 平分角 e a d， ac 平分角 e a， d 也是怎么样？求证，这两个角相等，对吧？好，这两个角等不等我不知道。好，在这里面，我首先令，这个角是 ar 法，可以吗？因为你是半径吗？ oc 是 半径， 你也是半径了，所以 a、 o、 c， 你 是个等腰三角形，你这个角 alpha， 所以 我们知道这个角也是 alpha， 对 吧？好，那然后呢，你会发现，这条线它垂直于切线， 这条线它也垂直于切线，因此这两条线是不是平行？平行线能告诉我们，就是内错角相等，你是 alpha， 所以 这个角呢，也是 alpha。 喏，你等于我，我又等于他，所以咱们这两个角相等，因此你会发现 a、 c 平分。 搞定。好，接下来我们看第二问，告诉你 c， d 是 四啊，就这个边是四，然后告诉你 b、 d 呢？也就是这个边等于二。干嘛让我们求 b c， 也就是这条线段的长度，那该怎么处理呢？ 其实这个题的方法超级多，但我们首先能够想到的是， o、 c 这个边是半径， o b 这个边也是半径， 所以因此纽法在 o d c 这个大大的直角三角形中，一条直角边的平方啊，半径的平方，再加上另外一条直角边啊，也就加上四的平方，一定等于什么呢？ 等于整个斜边，也就是半径加上二的平方。那最终我们求出来满足条件的半径等于三，哦，也就是这个边等于三，这个边也等于三。那问题来，你可以用等面积法，你可以用三角函数，都可以，但我们用最常见的比方说呢， 啊，我们的等面积法，我们过 c 点直接往下做垂线好不好？比方说呢，这个垂足是我们的 p 点， 我们可以用等面积法把 c p 求出来。比方说呢，你整个三角形的面积等于二分之一的两条直角边的乘积，也就是三，乘以四， 还等于什么？等于二分之一的，你把整个 o d， 对 吧？当做底边啊，底边数再乘以什么呢？高，也就是我们的 c p， 所以 因此整数我们可以求出 c p 等于几呢？等于五分之十二。 o， 就是 这条线段长度，咱们求出来也就是 二点四，对吧？啊，等于五分之十二的好，因此你会发现，那在我们这个大大的直角三角形中，知道斜边是三，知道直角边是五分之十二，所以我们可以通过勾股定律，你求出剩下这条直角边，也就是等于五分之九，对吧？计算过程我们就省略了。 那最后你会发现，这个 o b 的 长度是三，你拿走五分之九，所以这个边呢，等于五分之六。那最终你会发现， 我们要求 b c， 你 只要在 c p b 这个直角三角形中，用勾股定你了一个直角边五分之六，另外一条直角边五分之十二，所以我们求出整个 b、 c 的 长度呢，等于五分之六倍的根号五，搞定。 当这个题你有相似，用三角函数去做，都非常简单，我们就不再多说了。好，第四个，圆和等面积法。首先在一个三角形中，我告诉你， b， a 等于 bc 啊，就是我们这一条红边 b， a 呢， 等于这条红边 bc， 也就是我们给出一个大大的等腰三角形，对吧？ abc， 好， 现在你以 ab 为直径啊，以等腰三角形的某一条腰为直径，你就画个圆， 你发现这个圆呢？它整个三角形的底边一定会产生一个焦点，这个焦点我可以明确告诉你，干嘛呢？这个焦点一定是整个 a、 c 的 中点，这对于我们之前跟大家提到过，对吧？这个叫做等腰圈的模型啊，就你只要给出一个等腰三角形吧， 以这个等腰三角形的腰为直径，你就画一个圆，比方说差不多长，对，这个圆就现在非常标准，对吧？哎，画个 圆好，这个圆呢，和整个底边的焦点，这个点一定是中点啊，就是你这条线段一定等于这条线段，它的证明方法也不止一种，但我个人觉得最常见最好想的连接顶点和这个点，对吧？因为你要知道你这是什么，这是一条直径呀， 以它为直径，所以直径所的圆中角一定是直角。那我这个等腰三角形，你过顶点往下做垂线，根据三线合一，你既是底边上的高，也是底边的中线、 中线，所以两条线段相等，证明完毕。因此呢，它这个中点，对吧？所以在这里面你要去证明也是一样的。你连接 b、 d 嘛，对不对？哎？连接 b、 d， 你 会发现 呐，直径所对圆珠角一定是九十度。哎，你一个等腰三角形，你给我顶点往对边做垂线，所以一定是底边上的中线，对吧？所以这个边一定等于这个边好不好？ 有没有用的不知道，我们继续往后了。好，现在过 d 点做 d 垂直 bc 好， 过 d 点直接垂直 bc 垂足呢？是我们的 e 点。好，让你求证 d 是 圆的切线， 那证明切线非常简单，对吧？也就是我只要连接 o、 d 嘛，我连一下是不是？我只要证干嘛？我只要证出你这个 o、 d、 e， 也就这个角等于九十度，是不就可以了？ 为了方便大家理解，我首先把这里的干扰条件把它清掉，也就是我要证明 o、 d、 e 这个角等于直角。好，那其实非常简单。为什么呢？我用比较笨的方式去证明，比方说我令这个角是 ar 法好不好？ 那你要知道，我是一个大大的等腰三角形嘛， bc 等于 ab， 你 是 ar 法，所以我这个角一定也是 ar 法，没有问题吧？ 除此之外，你会发现这个边是半径，这个边也是半径，所以 o、 a、 d， 它又是个等腰三角形，因此这个角呢，也是 a、 r 法。然后你会发现这两个角是什么角？ 这两条线被我们第三边所截，它产生了同位角，对吧？同位角相等，所以我们知道两直线平行，两直线平行嘛，对不对？两条红线平行， 你现在你会发现这条线它垂直于地，那和它平行的这条线是不是也垂直地啊？因此这个角是个直角。搞定 好，接下来我们把这个图还原，那我告诉你， a， c 等于八，你整个边等于八，所以我知道这个边等于四，这个边也等于四。好， bc 等于五，就是这个边等于五，对吧？所以你放在这个直角三角形中，我们立马可以求出这个边等于三。接下来让我们求什么？ 求 d 的 长，是不是太简单了？其实我跟大家说一下，你可以用等面积法来处理，但我希望各位同学，你们在考试遇到的时候， 希望你的思路比你的过程更快，那我们知道给出一个直角三角形，对吧？ abc， 如果你过直角顶点向斜边做垂线，那么这条垂线段它的长度等于什么呢？ 啊？就这个垂线段一定等于两条直角边的乘积，怎么样再除以我们这个斜边 啊，这个怎么正呢？等面积法，为什么呢？因为整个直角三角形的面积，它等于二分之一的，把它当做底边，对吧？ c 是 底边，那么高是什么呢？高就是这个 h， 对 吧？你把它当做底 高，不就是你吗？哎，二分之一 c， h， 那 么还等于什么呢？等于二分之一的直角三角形面积，两条直角边乘积的一半吧。 二分之一 ab， 左右两边同时乘以二， c， h 呢？等于 ab， 对 吧？所以 h 等于多少？左右两边同时除以 c， 左边除以 c， 等于它，右边除以 c 呢？不就等于这么多吗？你发现上面是什么？上面 ab 不 就是两条直角边的乘积吗？ 下面 c 是 什么？ c 不 就是斜边吗？ no， 我 们是不是证明完毕了？所以举个例子，比方说，以后告诉你呐，同学们，如果是选择填空题呐， 过直角，顶点向斜边，最后垂线等于几呢？六八十，对吧？所以把这两条直角边相乘六八四十八再除以它，你立马知道这个边等于多少，等于四点八好不好？那过程我就不再写了。这是一个大大大大直角三角形吗？ 用两条直角边的乘积十二再除以什么？除以整个斜边五，它指的是什么？指的就是这条高，也就是线段 d、 e 的 长度。搞定 好，第五个，圆和相似啊，这个题大概长这个样子？好，首先告诉你， a、 b 是 圆的直径啊，你立马想到直径所对的圆周角一定九十度。 好，现在 c 是 圆上一点啊， c 点在这，对吧？连接 a、 c、 b、 c。 嗯，目前没有什么特殊性。延长 a、 b 到 d 点，延长 a、 b， c、 d 是 哪个角？ b、 b、 c、 d 是 这个角，对吧？ 啊，就这个红角他干嘛？他等于角？ a 也就是等于这个红角啊，两个红角相等，我们把它标出来。好，接下来干嘛呢？让我们求成 c、 d 是 圆 o 的 切线啊，证明他是切线，那你肯定是切点了，说白了，也就是我们连接 o、 c 嘛， 我只要证明什么，证明这个角等于九十度就可以了。在这里量用最笨的方式去呈现出来。比方说，我拎这个红角是 ar 法，那你这个角一定也是 ar 法，因为 o、 c 是 半径， o、 a 也是半径，你是个等腰三角形，所以我可以推出这个角呢，它也是 ar 法。大家不要忘了， ab 是 直径， 直径所对的圆周角，也就是整个角 a、 c、 b 这个角一定多少度？这个角一定是直角九十度，对吧？你在九十度里面拿走 a、 r、 f， 所以 说白了，也就这个角等于多少度呢？这个角我们求出来一定是九十度减去 a、 r、 f， 此时就证明完毕了，你这个角是 a r f， 而我这个角呢，是九十度减 a、 r、 f， 你 会发现这两个角相加，告诉一个直角，也就是九十度，所以 o c 呢？垂直 c d， 因此呢，它是圆的切线。 好，接下来我们看第二问，他告诉你点 e 是 弧 a c 的 中点， e 点是整个弧 a c 的 中点，所以我们知道，也就是这一段弧一定等于这一段弧。好，现在连接 b 啊，把 b 点跟 e 点连接起来，交于 f 点。 好，现在我们过一点，直接做底边的垂线啊，做底边的垂线，垂足之计和圆呢，交圆去点。那么其实我们知道，通过垂进定律，你这条线段一定等于这个线段，对吧？以及你这个角一定等于这个角，根据对称性呢， b 这个边一定等于 b h 这个边。好，我们继续往后了， 现在吭滋吭滋搞半天，告诉你， b d 等于啊，就是这个线段是一，而且 c d 等于二啊，就这个边等于二。让我们求 b f 乘以 b h， b f 是 哪个边？哎，这个边， b h 是 哪个边？ b h 是 这个边，对吧？也就是让我们求这条线段来乘以这条线段二者的乘积。其实你要知道啊，只要让我们求线段乘积的，一定会用到什么？ 会用到相似，为什么呢？我们举个例子吧，其实这个形式就是 b f 比上几等于，呃，谁比上 b h 这种形式嘛，对不对？ 比完之后呢？那我们对角一乘，不就产生了这个东西吗？好，可是问题来了，这里面哪有什么相似呢？好，我们看看通过这个题干，我们可以得出什么条件。比方说我把这个角标做一个蓝角，当然，在这里面，如果你知道我们的共边共角相似模型， 我们做起来会更快一些，但如果你说这样呢？我不知道，没关系，你会发现在 dbc 这个三角形中有蓝角，有红色的 air 板， 以及在整个大三角形中，一样的，我们有蓝角，有红色的阿尔法，所以能看出相似吗？也就是我们的三角形 d b c 对 吧？ d b c 一定相似于我们三角形 d c a 对 吧？哎， d c a， 那 么这两个三角形对边之比呢？你发现这个三角形它的最短边一。哎，你用一比上整个大三角形的最短边呢？它的对边是不是二呀？哦，就是这个三角形的一 和整个大三角形的二，对吧？是对边这两个三角形相似，比是一比二的。好，我们继续往后。那然后呢？ 你想想，如果你用这个小三角形，注意啊，小三角形，你用它红角与蓝角的夹边，用这个二，对吧？ 比上什么呢？比上整个大三角形对应的红角与蓝角的夹边，整个 a d， 对 不对？哎，你这个三角形二，比上整个大三角形的 a d， 哎，你说 a d 可不可以求出来？ 就已经可以求出来，对不对？好，我们继续往后。还等于什么呢？等于用这个小三角形它的 bc 比上什么？比上整个大三角形对边谁？是不是 ac 啊？哦，你发现 bc 比上 ac 对 吧？等于 bc 比上 ac， 所以 在这里面我想问一下，那你对角相乘 ad， 对 角相乘四，所以你这个 ad 等于几呢？我们求出 ad 是 等于四的 啊，你整个边等于四，说明什么？你拿走一吗？也就是我们知道整个直径是三，对吧？好，整个 a b 呢，是等于三的，就是这条蓝边，我把它标出来，可不可以 整个蓝边直径的长度是三？好，接下来，然后我们还可以得到什么呢？举个例子，比方说呐，各位同学们， bc 比 ac 是 不是也是一比二？你这个三角形的 bc 比上整个大三角形，这边 ac 是 多少？一比二的，对吧？所以，如果我令这个边啊，令这条红边，我令你是 x， 其实一比二的直角三角形，它的三边比的关系也是特殊，但不是一比二比刚好三啊。你是 x， 我 这个边一定多少，一定是二 x， 对 吧？ 亮亮，哪有什么直角三角形呢？这是直径吧，所对的圆周角是不一定直角。那我想问一下，可不可以把 x x 求出来，一定可以吗？你的平方加我的平方等于他的平方，对吧？哦，也就是我们可以得到你的平方，我写字吧，加上你的平方 等于什么呢？等于整个斜边三的平方。所以你说我可不可以把 x 求出来，我直接写了啊，等于，哎，五分之三倍的根号五。好吧，计算过程我就省略了。所以整个 bc 啊，整个 ac 我 们就给求出来了。 可是问题呢，你吭哧吭哧求半天，你这个 b f 乘以 b h， 对 吧？这条线段乘以这条线段好像没有任何进展。注意啊，你需要把这两条线段放在不同的三角形中，我们尝试找出一组相似，对吧？可是你会发现，哎，根本没有，对吧？嗯， 这一段弧等于这段弧，两条弧相等，所以它所对应的圆周角，这个角是不一定相等呀。好，接下来，那然后呢？注意，我们求出了 bc， 我们知道 a b， 所以 我能不能把这两条已知的线段放在啊带有等角的三角形中啊，来进行处理呢？比方说，我们连接 e、 c， 哎，我们连一下， 那此时你会发现，弧 bc 所对应的圆周角呢？是这个角，对吧？以及与此同时，弧 bc 所对应的圆周角呢？还是这个角哦，也就是等于这个角了，那 此时你会发现，喏，在我们 c、 e、 b 这个三角形中，我有红角，我有绿角。一，在 f a、 b 这个三角形中，在这个三角形中，一样的，我有红角，我有绿角，所以你会发现，那 这个三角形，对吧？哎，我们可以正中，怎么样呢？下一组箱子我把它清掉啊，就是三角形 c、 e、 b， 哎，这个三角形一定相似于什么呢？ f a， b， 对 吧？哎，相似于三角形 f、 a、 b， 好， 问题，来，那相似，然后你发现，你这个三角形，你用五分之三倍根号五，啊，你用五分之三倍的根号五， 你比上谁呢？这个三角形的 bc 和整个三角形的 b f 是 不对边哦，题干中的 b f， 它不就出来了吗？好，剩下的，那么它等于什么？你想想，你用整个三角形，你的底边 b， 看到没有？整个三角形的底边 b， 你 的底边 b 比上谁呢？比上整个大三角形的底边几，是不是三？哦，比上三。哎，我们可以列出一个比例等式，对吧？你这个 b f 呢？就是我，可是 b h 呢， 你知道 b h 在 哪？ b h 在 遥远的这一边，对吧？我们刚才说了，你过一点做垂线，根据垂线定力这个边，而且我们知道 b、 e 这个边一定等于 b h 这个边，对吧？ 你就等于我的 b， 所以 你说你这个 b、 e， 我 能不能用 b h 去替换它呢？完全没问题，对吧？它就等于 b h， 所以 你把你对角相乘，哎， b f 乘以 b h 不 就是它吗？所以 b f 乘以 b h， 那 么一定等于什么？一定等于 对角相乘，我乘以你，也就是五分之九倍的根号五。搞定 好，接下来我们再来第六题，圆和三角函数一样的，在我们这个四边形 a、 b、 c、 d 中啊， a、 b、 c、 d 整个大四边形，我告诉你 b、 d 等于 c、 d， 嗯？什么呢？就是 b、 d 这个边，哎，它等于 c、 d 这个边，两条红边相等， 我还告诉你，角 c 等于角 b、 a、 d 角 c 是 哪个角？是这个角，对吧？哎，就这个蓝角等于谁？等于 b a、 d， b、 a、 d 也就是这个角了。哎，其实大家要注意啊，我刚说它是个等腰三角形，对吧？所以你这个蓝角一定等于谁？还等于我们这个角，对不对？哎，等于这个角， 现在以 ab 为直径的圆 o 啊，就是以 ab 为直径的，咱们画个圆。哎，叽咕噜啦说半天，好，第一个让我们求证， bc 是 圆的切线啊，就是 bc 呢，是整个圆的切线。 其实，那我发现我已经连接了圆心和你这个 b 点，对吧？所以也是我只要求证什么？我只要求证这个角等于九十度就可以啊，这个角不是已知的，我只要证明这个角是直角就可以了，怎么证呢？为什么？因为你要知道这是个直径， 直径所对的圆周角一定是九十度，对吧？好，现在呢，如果把这个角标做红角啊，那就结束了，对吧？你会发现，喏，在 a、 b、 d 这个大大的直角三角形中，我这个红角跟你蓝角两角相加九十度，那你这个蓝角跟我相等吗？ 我加你这个蓝角九十度，你说我加你这个蓝角九十度不？那这个角一定是直角啊。所以呢，我们正出来它的切线。搞定 好，我们再来看第二问，我告诉你， a、 d 等于二，也就这个边的长度呢，是二。好，紧接着我告诉你， cosin b a d， b， a d 哪个角？ b、 a、 d 好？ 就这个蓝角，它的余弦值是一比三。 呃，什么意思？就是在这个直角三角形中，对吧？你用这个蓝角所零的直角边，比上整个斜边等于几？等于一比三， 我是二嘛，所以整个底边一定是六，对吧？哎，我们知道，也就是半径是三，半径是三，然后你看吧，在一个直角三角形中，知道直角边上知道整个斜边是六，所以我们通过勾股定律，我们可以求出整个 b、 d 的 长度呢，一定是四倍根号。 好，你这个边呢，一定是四倍的根号。好，接下来问题来了，哎，让我们求 b， 求这条线段的长度，怎么办呢？ 你会发现，这个题目告诉蓝角的三角函数是三分之一，而这两个角都是蓝角，并且我是一个等腰三角形，我只要把其中的任何一个角放在直角三角形中，我们依然可以使用这个余弦值。 你说一个等腰直角三角形，我们如何产生直角呢？很简单，我们直接过顶点向对边做垂线，对吧？哎，我们还知道这两个边相等等腰三角形有三线合一的性质吗？ 好，接下来你会发现，喏，比方说在 d b 吧啦，哎，我就放个屁吧，放个红色的屁。嗯，在这个直角三角形中，喏，我的相邻直角边比上斜边等于多少？等于一比三， 就是，我是你的三分之一嘛，你这四倍根号，所以我们知道它是等于三分之四倍的根号，你这个边一样的，也等于三分之四倍的根号，因此你犯整个 b、 c， 也就是整条边的长度等于多少呢？等于三分之八倍的根号。 好，你把整个 b、 c 求出来，那我这个 b 怎么办呢？你可以用相似，但是在正面我直接去倒角， 你会发现，在 d、 a、 b、 e 这个大大的四边形中，它是一个圆的内接四边形。哎，而我们知道圆的内接四边形呢，它的对角是互补的。如果我令这个角是 alpha， 那 我们知道这个角也是 alpha， 圆的内接四边形，对角互补，你是 alpha， 所以 我知道这个角呢，一定是一百八十度减去 alpha， 当我们求出这个角之后，那么它的零补角呢？我们就会表示出来，对吧？我这个角跟你怎么样呢？相加一百八十度，你是一百八减二法，所以我求出这个角呢，它就等于二法了。哦，我也是一个蓝角，那两角相等，所以你会发现 b、 c、 e 呢，它是一个大大的等腰三角形， 我们求出 b、 c 等于这么多，所以我们要求的 b、 e 呢？啊，也等于三分之八倍的根号。搞定 好，接下来我们再看第七个辅助圆。首先我们给出一个正方形啊，告诉你， a、 b 等于 a， d 等于四啊，就这个边等于四，这个边呢也等于四。 好，接下来我们继续往后了，那现在我告诉你一点，是平面内的一点注意，是平面内啊，而不只是整个正方形里面，我可以在这在这在这在这随便都可以，对吧？但是它满足一个什么条件呢？ a、 e 的 平方加 d 的 平方等于 a、 d 的 平方，就是你的平方加我的平方等于谁呢？等于他的平方。那其实我们知道，也就是这个角一定是直角，对吧？啊，就是一点，不管在哪， a、 d 向外所发射的这个角一定是直角。哎，我不知道大家能想到什么好，你一点肯定是个动点嘛，动来动去的啊，比方一点可以在这，对吧？哎，哎，你这有九十度行不行？可以吧？ 一点还可以，怎么样？还可以在这，对吧？挪回回，对吧？我只要保证你这个角是九十度，你会发现 a 一 方加 d 一 方，你的平方加我的平方都等于整个 a、 d 的 平方，对吧？所以一点是整个屏幕动来动去，动来动去，不知道在哪儿 好，那请问在整个运动过程中， b 点跟 e 点啊，两点之间的最大距离最大值是几？其实我们知道整个三年时间里面，辅助圆最常见的有五类，其中非常具有代表性的一类呢，就叫做定边对定角，如果一条边是固定的， 它所对呢？这个角大小也是固定的，那么呢，我们知道一定可以构造辅助圆，怎么构造呢？你把 a、 d、 e 直接把这个定边和定角所在的三角形，直接把它强行放在一个圆里面就可以了。那么你这个一点呢，一定在圆上运动，那为什么呢？那你会发现， 比方说一点在这好不好？那你这条弦所对应的圆周角是九十度，那你这条弦所对应的这个圆周角呢？是不是也是九十度？没问题吧？ 同样，如果一点在这呢，喏，你这一条弦，哎，其实你会发现这九十度吗？对吧？所以你这个键一定是直径，直径所对圆周角呢？他不也是九十度吗？啊，看到了没？所以你会发现，喏，一点，不管在这在这，在这在这，对吧？不管在哪，只要在圆上运动，你会发现 我们直径所对的圆周角呢，永远是九十度，对吧？当我知道他的运动轨迹是圆，那剩下就简单了，比方说在圆外呢，有一个点 b， 在 圆上呢，有一个点 e， 对 吧？ 你说你 b 之间的距离如何是最大的呢？很明显，你只要连接 b 点和圆心，穿行而过就可以， e 点在这里时呢，此时 b 一定是最大的，没有之一。所以因此你把 e 点所在的这个圆的圆心找出来，很明显呢， a 的 直径圆心在这，对吧？我们知道这个边是二，这个边也是二， 此时我们连接 b 点和圆心，并且呢，把它延长，也是当 e 点在这里时呢，此时我们整个 b 一定是最大的。但我们一般情况下，不会直接求 b 点到 e 点的距离， 而是怎么样，而是先求 b 点到圆心的距离，也就是 o b。 那 你要知道，咱们这是一个直角嘛，所以在整个大大大大的直角三角形中，一条直角变四，所以我们求出整条线段长度等于二倍的根号五， 那我们知道圆的半径是二，圆的半径是二，所以你这条边的长度 o e 的 长度也是二，对吧？你的长度是二，所以你会发现，用这条线段，再加上这条线段，就是二倍根号五加二，它就是我们要求的最大值。搞定 第八个函数和圆，那么函数和圆量在这里就没有给出我们比较复杂的什么 r 函数和圆的一些啊，综合大体。因为我个人觉得啊，圆和函数一旦结合，最终跟函数基本就没有关系了，考的基本都是我们圆的内容。 好，在一个平面直角坐标系里面，我们给出一个固定的二次函数，嗯，它的图像呢，与 x 轴交于 ab 两点，其实通过这个函数，我们可以求出 a 点跟 b 点坐标，比方说，我们直接令它怎么样呢？令整个二次函数等于零，对吧？所以四分之一 x 方呢，等于，也是我们令 y 等于零吧。 嗯，那么最终我们求出来怎么样？等于四，也就是 x 方呢，等于十六，我们求出 x 等于正负四， 你干嘛？就是我们知道 a 点的横坐标呢？负四对吧？ b 点的横坐标呢，是四的。现在我告诉你，点 c 的 坐标是零三啊， c 点坐标呢？零三我标一下 啊，既然这么标，我索性就把整个坐标呢写完整好不好？好，现在问题来了，点 p 是 半径为二圆， c 上的动点啊，就是以 c 为圆心画一个圆，圆的半径等于几呢？等于二，而这个 p 点就是圆上的一个动点。 好，我们连接 a p 干嘛取它的中点，那我们知道随着 p 点运动，你这个点一定也跟着运动，对吧？哦，你这个边等于，这个边也是 q 点呢？它是一个中点。好，现在问题来了，干嘛呢？好，让我们求 o q 长的取值范围，也就是 o 点到你这个动点。 很多人可能会想到，我去把 q 点的运动轨迹找出来，可不可以？百分百可以，你用刮的原理一定可以找，但有没有更加简单的方法呢？有，如果求一条线段的最大最小值，或者求它的取值范围，如果你能直接处理，当然最好，如果不能呢？比方说 o q， 你 会发现比较难，对吧？ 你就找到它的相关线段，比方说，有没有一条线段和它呢？啊，有几倍的，你是我的几倍，我是你的几分之几，或者我和你相等，我们处理一下，也就是怎么样呢？利用转化思维， 这里怎么转化呢？你会发现 q 点是 a p 的 中点，根据抛物线的对称性嘛，你会发现 o 点是 ab 的 中点，看到没有？那 o a 等于四， o b 也等于四， 嗯，也就是这两个边呢，也是相等的。那所以你会发现，如果你连接 b p， 能看到吗？哦， o 是 中点， q 是 中点，所以整个 o q 呢，一定是大三角形的中位线，所以我这个边呢，一定等于 b p 的 一半。 哦，也就是我们整个 o q 的 长度，它永远等于什么？永远等于 b p 的 一半，对吧？所以你让我求 o q 的 取值范围，我不，我只要求 b b， 我 只要把它的取值范围求出来就可以。那怎么去求取值范围呢？ b 点是圆外一点 p 是 圆上一点，对吧？那我想问一下，喏，这是圆上的一点 p 对 吧？这是圆外的一点 b， 你 说这条线段它长度满足什么取值范围呢？ 求取值范围，说白了就是把它的最大最小值求出来，可以了吗？那怎么求最大最小值呢？连接 b 点跟圆心，并且延长，对吧？当你屁点在这里的时候，此时呢，我们整个 b p 一定最短。 当你屁点在这里的时候呢，整个 b p 一定最长。好，接下来耶稣干嘛我们连接 b 点跟圆心了啊？连完之后呢？我们并且把它延长，好不好？ 所以你要知道，喏，我们的最小值就在这里，对吧？我们的最大值呢？就在这里。当我们一般情况下，就像我们上题一样，我们不会直接求 b p， 或者直接求 b 点 p 二，对吧？我们干嘛？我们会先求它到原先的距离，这个咋求？你要知道 这个边的长度等于几呢？ c 的 坐标零三，所以这个边是三，整个 b 的 坐标是四零，所以这个边呢？及这个边等于四，对吧？所以因此我们可以勾股定律求出来，整个 b 点到圆心这一段的距离等于几？ 这一段的距离一定是等于五的，对吧？好，接下来剩下就简单了。为什么呢？那你会发现圆的半径过底，圆的半径是二， 我们是在一个半径为二的圆上运动，也就是这条线段的长度呢，它是二，对吧？哎，这个边我标一下是二，所以你会发现，在 整个五里面拿走两个单位，这不就是三吗？哎，你会发现 b p 的 最小值是三，可不可以取到三？可以取到三就在这里，所以你会发现 b p 它的取值范围怎么样？还是大于等于三吧，对吧？那小于等于几呢？一样的，那这个是不是也是半径 二呀？就是这一段对吧？你整个 b c 的 长度几？整个线段的长度你是五个单位，再加上半径二，所以五加二呢？你的最大值是几？最大值五加二七，对吧？啊？ b p r 小 等于七 啊，所以你会发现 b p 是 三到七之间的，而我永远是 b p 你 的一半，所以我们整个 o q 长的取值范围呢？就是你的一半，也就是二分之三。小等于 o q 干嘛呢？小等于二分之七。搞定，跟着亮亮无脑学习。
7.1万亮亮巧解数学
25:52查看AI文稿AI文稿二零二六中考数学，想再提个三四十分的，这期视频请你务必看完。老师花三个月的时间梳理了全国各地过往五年的中考真题，总结出了以下七大必考题型，绝大概率就会出现在你今年的中考试卷上。 弹幕里打出你想冲刺的高中学校，我们直接开始先来看我们的第一个题型，关于科学计数法，这个在我们中考里面几乎是必考题型哈，比如说这道题，让我们把这个数据用科学计数法来进行表示。 对于这个题型呢，咱们比较容易出错的点呢，就是这个零数，不清楚他到底有多少个零，比如说他后面又加了一个 e， 那 他那他到底是多少呢？对不对？ 这里给大家教一个小方法哈，就是我们可以把这个亿，咱们可以先写出来，我们先写一下一亿是多少，我们把这个数据可以看成五六一零零零，然后再乘个一亿，那一亿的话我们来写哈，那就是 个十百千万，十万百万千万亿，你看我们这样写出来就不会出错了哈， 然后我们继续给他合并到一块，那直接把这个叉号和这个一消掉吗？你看直接对应的，这是我们最终得到的那个结果，然后我们现在想知道他用科学计数法来进行表示的话，那我们就从末尾，然后往前移， 这里是你看哈，一二三四五六七八九十十一，十二十三，他是不是需要往前挪十三位呢？所以就是五点六一乘十的十三次方，最终结果是什么？大家可以在弹幕里打一下，很明显就是我们的四 d 选项了呗，对不对？ 大家需要注意的哈，就容易出错的点呢，就在于他后面有多少个零，大家要要知道怎么去数哈。然后再往下看，再来看我们的第二题，他说为了打造清洁能源示范城市，某地投入资金用于安装充电桩，已知第一年投入资金是一千两百万， 预计第三年投入的资金是两千七百万，设第二，第三，这两年投入资金的年利率为 x， 那这个不就是典型的增长率问题吗？对吧？增长率问题，然后问我们可以列出的方程是什么？对于增长率问题的话，其实咱们对应的解析思路非常简单，你看就是如果 a 是 出矢量的话，那就是 a 乘个一加 x 括起来的 n 次方等于 b 嘛， 然后这个 n 的 话就是它增长了几次，然后这个 b 的 话就是它增长后的，然后这个 x 的 话就是它的增长率嘛。我们直接套这个公式就行了呀，对不对？现在呢，它告诉我们第三年 最终得到的是二七零零万元，那对应的那前面刚开始是啥呢？刚开始是幺二零零呀，对吧？幺二零零在乘括号里面，一加 x 括起来的 n 次方，现在增长了几次呢？从第一年到第二年，从第二年到第三年，很明显增长了两次呀，所以说这里是一加 x 括起来的平方， 那对应的就是我们的 a 选项了呀，对不对？大家看一下自己能不能做对，所以说大家会发现你看很多题型背后都是有对应的解析思路的，比如说增长率问题，咱们常见的就是用这个公式来进行求解哈，像我们这期视频呢，给大家讲的基本上都是中档题哈，因为你把基础题和中档题都能做对，以后， 即使你就能拿到百分之八十的分数了。比如说满分是一百二的话，即使你拿个九十多分是完全没有问题的哈，所以说大家一定要重视我们的基础题和中档题。 ok， 跟着老师再往下看，再来看我们的第三个题型，关于图像和实际问题。对于这种问题，咱们对应的解析思路非常简单，就是直接去看图像，把这个图像给他读出来。 看图像的时候，关键看什么呢？关键我们要去看拐点，拐点处是很重要的，比如说这道题，我们来看一下，他说小明家食堂，图书馆在一条直线上， 小明从家去食堂吃早餐，接着呢去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程，那我们就把这个过程在这个图上来标一下呗。他先从家去食堂吃早餐， 他这个外呢代表的是小明离家的距离嘛，所以刚开始的时候在这点，呃，在这个零的时候，他是在家，在家的，对不对？然后从家去食堂， 那就是往前走，走走走，走到这里的时候，他应该到了食堂了，因为每一个拐点都是很重要的，他去食堂吃早餐，你看这里的话，距离不变了，那说明这一段他肯定是正在吃早餐呀，对不对？那吃完早餐呢，接着去图书馆读报，所以说从这里开始再往上走， 他走的这一段呢，就是走到了图书馆呀，对不对？他往上走，又走到了图书馆，然后在图书馆，他在进行读报，所以说距离又就不变了，这段呢，他是在进行读报，对吧？读完以后，然后回家，所以说最终这一段他对应的就是在进行回家。 这个就是关于图像问题，咱们对应的一个解析思路，就是把它和实际问题，你看，把这个图像和实际问题结合到一块，把这个图像给给自己梳理清楚哈，然后我们继续往下看，他说，呃，根据图像，下列说法，错误的是哪个？ a 选项，小明吃早餐用了十七分钟， 吃早餐的话，那就是食堂这一段吗？八到二十五，二十五减八，很明显等于十七，没有问题。 b 选项，小明读报用了三十分钟，那图书馆进行读报吗？那图书馆从二十八到五十八，很明显经过了三十吗？对不对？三十分钟也没有问题。 看 c 选项，他说食堂到图书馆的距离是零点二千米，食堂的话，你看你要注意哈，他在这到这这段是从食堂去图书馆，对吧？然后他的你看离家的距离从零点六变成零点八，那很明显走了零点二公里嘛，所以 c 选项也没有问题。 再看四 d， 小 明从图书馆回家就是这段，他的速度是零点八千米每分钟每分钟。那我们来除一下哈，他对应的距离呢？是走了零点八千米，然后时间呢？五十八到六十八走了十分钟呀，所以他应该等于零点零八千米每分钟呀，对吧？所以四 d 是 错误的。这道题的答案就是四 d 选项了， 是咱们的第三个题型哈。然后我们继续往下看，再来看第四个题型，关于折叠问题，像这种折叠问题呢，他一般就是考察几何问题吗？对不对？这个在中考里面是非常重要的， 我们来给大家讲一下，对于折叠问题，他对应的答题思路非常简单，就是折叠前后边不变，角也不变，你必须要把这六个字记清楚哈。我们通过这道题来给大家讲一下， 它说如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为二，那我们来标一下呗，它的边长为二点， e 是 b、 c 的 一个中点，那对应的就是 b， e 就 等于 c、 e 了呗。一边读题一定要把条件标上哈，然后它连接了 d， e， 就是 你看把这条线连接起来， 将三角形 d， c、 e 沿着直线 d、 e 翻折到正方形 a、 b、 c、 c， d， c、 d 所在的平面内，也就是你看把 d、 c、 c、 c、 d， 你 看这个三角形，它翻折以后得到的三角形是 d、 f、 e 吗？ 那它既然是进行了翻折，进行了折叠嘛？所以说我们就利用咱们的解析思路，边不变，角不变，我们立马可以得到 d、 f 是 等于二的，对吧？就是一边读题，要把这些条件全部标上哈， 然后我们还知道什么呢？我们还知道 c、 e 等于一，那对应的 e、 f 也等于一啊，对不对？我们全部来给大家标一下吧，这个时候 b， e 等于 c， e 等于 e， f 等于一，所以说这个时候你会发现一个新的条件，就是这个 e、 f 和这个 b、 e 竟然是相等的， 这里说不定后面可能会会用到哈，所以说咱们这里可以额外注意一下。然后现在边的话，我们说的差不多了，再来看角角的话，因为 c 这里是直角，所以说对应的 f 这里也是垂直的嘛，对不对？然后对应的上上面这两个角相等，下面这两个角也相等，我们先把这些条件标出来哈， 然后再往下看，他说延长 d f 交 a b 于点 g， 你 看这里有一个 g 点，他说角 a d j 和角 d a j 相交于点 h d h 的 话，是这条线，那对应的这两个小角是相等的嘛，对吧？我们标成蓝色吧，对应的这两个小角是相等的， 然后呢， a h 在 这里，那对应的这两个小角也是相等的，这里的 a h 和这个 d h 它是角平分线，这个条件也非常特殊，我们先把这里圈出来，我们一会再来讲这个条件应该怎么去用哈，因为你像涉及到两个角平分线了，那我们肯定要去想角平分线有什么性质嘛？对不对？ 咱们现在先不管哈，我们先按照前面推的这些边长，我们来看一下，它现在要求的是角 dgh 的 面积，那你看 dgh 在 这里， dgh 要求这个三角形面积的话，那我们现在肯定想求一下边的长度嘛，或者说尽可能的把边的长度求解出来，那这个时候我们来看一下哈， 在这个三角形里面，我们知道 d f 是 二，但是我们不知道 d j 的 长度呀，所以说现在问题在于如何去求这个 j f 的 长度呢？我们可以设它为 x 呀，对不对？咱们来求一下这个边长嘛，那这个时候 j f 是 x 的 话，对应的我们还可以得到什么条件呢？那你就来想， 你有没有发现这个 b e 和 e f 是 相等的，然后这个 j f 和这个 g b 看起来也也有点相等呢， 因为你看这个东西，它看起来是不是长得很像一个风筝，它看起来是非常对称的呀，对不对？大家来看一下这个图形长得是不是特别对称？对于那种特别对称的类似，你看类似这种图形，咱们对应的解析思路非常简单， 就是我们把这种不规则的多边形，我们可以通过连辅助线给它变成两个三角形，然后我们利用全等三角形来进行求解呀， 这是几何里面常见的一个解体思路，大家刚才没有想到的，你可以去记一下哈。就是我们看到对称图形的话，给大家来写一下，就是我们看到对称图形的话，我们可以通过，怎么呢？我们可以通过 给他做对称轴，把对称轴做出来嘛，对称对称轴做出来以后，左右两边肯定是完全一样的嘛，所以说我就可以得到全等的一个图形了，然后大概率得到的这个全等呢？还是全等三角形。比如说这个时候，你看我们把这一连接起来，这一很明显是它的对称轴呀，对不对？ 这个是我们肉眼看出来的，我们觉得他应该这样对称。然后接下来我们来给大家验证一下，首先我们这个时候知道 be 是 等于 ef 的， 对不对？然后呢，我们还知道 j e 是 等于 j e 的， 然后除此之外，我们还知道角 b 这里一定是直角，然后 f 这里也一定是直角， 因为 d f e 是 九十度，所以 g f e 肯定也就是九十度了嘛，对吧？然后角 b 这里的话就是正方形的一个角嘛，所以肯定是九十度，所以说再来一个角 b 等于角 f， 这不就是 h l 定律嘛，对不对？根据 h l 定律，我们就可以推出全等了，那得到全等以后，我们就得到 g b 也是等于 x 的， 大家能理解吗？ 这个是非常关键的一个条件哈，我们再来给大家总结一下，这一步是怎么想到的，就是我们看到对称图形以后，我们就可以通过做做对称轴，然后得到全能的图形，这个思路大家一定要去记一下哈，在几何里面非常重要。 然后我们再往下看，知道 g b 是 x 以后，那么 aj 就是 二减 x 了，对吧？然后这个 a d 正好是二，然后这个 d j 呢？是二加 x， 哎，很明显这里可以进行勾股定律啊，因为我们设 x 的 目的。给大家来总结一下， 我们设 x 的 目的不就是为了得到方程吗？对不对？通过方程来求解 x 呀，那一般怎么列方程呢？如果说一道题目里面直角比较多，那么我们大概率是通过勾股定律来列方程的，所以说在这道题目里面，很明显我们可以放到直角三角形 d a j 里面吗？对吧？那这个时候我们来给大家求解一下哈， 我们列勾股定律就可以得到二的平方呢？是四再加上二减 x 括起来的平方，就等于二加 x 括起来的平方。我们来化解一下，四加四再减四 x， 再加 x 方，就等于四加四 x 再加 x 方嘛。 左右两边 x 方消掉了，然后四和四消掉了，就可以得到四等于八 x， 所以 x 等于二分之一。 那既然 x 等于二分之一，那对应的我是不是就可以求出 d j 的 长度了呢？对吧？ d j 的 长度就是二加二分之一，就是二分之五，然后 a j 的 长度我也就能求出来了，二减二分之一呢，就是二分之三，然后 a d 这里就是二，对吧？现在我想求三角形 d j、 h 的 面积，那我需要知道高是多少，对吧？ 那我们这个时候给大家再来做一个高，你看过底 h 往这里做一条垂线，是是呃，是有一条高的，对吧？那这个时候这个高怎么去求呢？大家来想一下，我们如何去求这个高 h 的 长度呢？ 那你就看一下，在这道题目里面什么条件没有用上呢？什么条件没有用上？很明显角平分线没有用上呀，对不对？那角平分线有什么性质呢？大家来想看到角平分线，我们就要去想角平分线模型，这个是跟大家讲过的哈。 角平分线模型是啥呢？大家有没有学过角平分线，这里有一个模型叫做垂两边， 大家还记不记得有有一个模型叫做垂两边，也就是比如说现在这里有一个角 a d j， 然后 d h 是 角平分线，那么过点 h 向两个边做垂线，得到的垂线是相等的，大家来看一下是不是可以得到这个条件？所以说这个三角形 a、 d h， 它的高也是小 h， 跟我们做的这个三角形 d h、 j 的 高是相等的，对吧？然后我们现在知道 a h 也是角平分线，那我是不是同样可以过点 h 向这里做一条垂线呢？它是不是也等于这个高小 h 呢？对吧？ 所以说你会发现我们把这个三角形 d、 a、 j 分 成的三个小三角形， a、 h、 d、 a、 h、 j 以及 d h、 j， 这三个小三角形的高是相等的，并且它们的底边我们都知道，然后这个大三角形 a、 d、 j 的 面积我们也能求，所以说你能不能求出高的长度是多少？很明显是可以去求的呀，对不对？我们这个时候就利用加减法，我们用加法， 你看哈，大三角形的面积就是三个小三角形的面积和我们来写一下 s， 三角形 a、 d、 j 的 面积是不是就等于三角形 a、 h、 d 的 面积，再加上三角形 a、 h、 j 的 面积，再加上三角形 d、 h、 j 的 面积呢？对吧？那这个大三角形的面积呢？就是， 呃，二乘二分之三，再乘二分之一，那直接就是二分之三了嘛，它就等于二分之一，乘底边是二，再乘高 h， 再加上 a、 h、 j 的 话，就是二分之一，乘二分之三，再乘 h， 再加上二分之一，乘二分之五，再乘 h， 这个时候我们把二分之一 h 提出来，剩下的就是二加二分之三，再加二分之五，我们继续化简，它就等于二分之一 h， 再乘个二分之八十四嘛，然后二加四是六呀，所以它就等于三 h。 现在呢， 三 h 等于二分之三，所以 h 等于啥呢？ h 就 等于二分之三，再除个三就等于二分之一啊。那你看，我们把 h 求解出来了，然后再来求面积，二分之一乘底边二分之五，再乘高二分之一，那最终结果不就是八分之五了吗？答案选什么？很明显就是我们的 a 选项了吗？ 所以说基于这道题，我们来给大家总结一下，你会发现这道题他考察了很多个知识点，我们最后再来给大家总结一下哈。首先第一个点就是我们看到对称图形以后，我们要想到你去做对称轴，这样可以得到全等的图形，这是大家需要注意的第一个点。 然后第二个点呢，就是我们设 x 以后，我们的目的是列方程，那怎么列方程？如果一个图形里面直角比较多，那你就可以试着去用一下勾股哈， 这个是常见的解析思路。然后第三个点就是碰到角平分线的时候，就要去想我们讲过的角平分线模型，然后最经典的就是垂两边这个模型，也就是角平分线上的点到线段两端的距离相等， 这大家需要注意的啊。然后最后再补充一个，就是这个折叠问题吗？折叠问题的话，咱们对应的解析思路就是边不变角不变。所以说你看简单的一道题，我们给大家总结出了四个模型，四个解析思路，这个是非常重要的哈， 所以说大家会发现一个点，就是所有数学题的本质都是解析模型以及解析思路，所以说你学数学，你想提分的话，就应该对着解析模型和解析思路去学。但是为什么现在很多同学你上课听懂了，但是一道做题就没思路了， 又或者说这道错题你明明也改正了，但是下次换个形式，换个条件你又就不会做了呢？本质就是因为没有人去给你总结这些解析模型以及解析方法。你 像去年我在中考前提了三四十分的那个同学，他就是有一本笔记，里面记的就是密密麻麻的解析模型和解析思路，那大家如果说你现在还是成绩总是提不上去，并且你想在中考前再提个三四十分的话，你可以通过这里加我 老师，我来教你如何去按题型学习，如何去总结不同题型。对的，这些模型老师全部总结出来了，老师来教你不同板块应该如何去学哈。所有想跟着老师去学这些解析模型以及解析思路，你想在中考前快速提分的话， 那你就抓紧去添加老师就可以了哈，因为现在离中考时间真的不多了。 ok， 那 我们继续往下看，再来看我们第五个题型，关于一元二次方程的实数根。这道题看起来非常简单，但是呢，非常易错， 大家可以先在弹幕里打一下你的答案是什么？这道题就是一道典型的易错题，老师放到这里就是为了提醒大家，你们中考一定会出易错题，现在遇到现在跟着老师做一下这道题，中考的时候就千万不要再出错了哈，你错一道题，你扣个三四三四分或者扣个五分，那也太亏了吧。 我们来看一下这道题，他说如果关于 x 的 这个一元二次方程有两个不相等的时数根，问我们 k 的 取值范围是多少？ 那看到两个不相等的实数根，那我们自然快速就可以想到，单调应该大于零呀，对不对？是不是应该限制这个条件，但是只限制这个条件够吗？大家可以在弹幕里打一下，除了限制单调大于零，我还需要限制别的条件吗？ 大家可以打出来哈，很明显是需要限制的，为啥呢？因为这道题典型的你看二次向，这里含参呀， 它是一元二次方程，它已经跟你规定好了，那你既然是一元二次方程，那你必须让这一项的系数不为零呀，所以说我需要限制。一减 k 不 等于零，这是这道题的一个易错点哈，所以说我们来求解一下， 等于它大于零呢，就可以得到二十五，再减去四乘个一减 k， 再乘个五十大于零的，也就是二十五减去二十，再加二十， k 大 于零， 也就是五加二十 k 大 于零，二十 k 大 于负，五 k 大 于负四分之一。然后这个求解出来呢，是 k 不 等于一，所以说这个取值范围呢，就是 k 大 于负四分之一，并且 k 不 等于一。这是我们第五题的一个答案， 大家看一下刚才自己有没有踩坑呢？ ok， 我 们再往下看，再来看第六个题型，统计问题，考试中考里面的必考大题。关于统计，我们通过这道题来给大家总结一下他对应的答题思路是什么哈？像统计问题的话，我们必须拿到满分哈，因为这个是比较简单的。 这道题是这么说的，他说某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了这个什么什么相结合的教学方式，这些都没啥用嘛。然后一段时间后，为了检验学生对此教学模式的反馈情况， 教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就你最喜欢的化学实验是什么进行了问卷调查， 选项为常考的五个实验。咱们不需要关注这个实验是什么，我们只需要知道有 a、 b、 c、 d、 e 五个条件就可以了，每个学生只能选一项调查结果，绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图。这道题核心它就在考这两个图。我们来给大家讲一下， 对于条形统计图和扇形统计图，他们俩应该如何结合到一块去进行，求解一些数据哈，那这个时候问题已经很清晰了，就是调查一下你最喜欢哪个实验嘛，对吧？那我们直接来看统计图，条形是这样子的，扇形是这样子的，那我们先不看这道题考什么，我们先来求解一下， 在这个图里面大家来看哈，我们，我们知道这里的 a 是 不知道的，然后右边这里呢？ b 这里给了一个百分之三十，那么这道题的解题关键一定在百分之三十这里， 因为条形统计图和扇形统计图他们之间是有关联的，他这里对应的是六十人，然后他占的比例是百分之三十。通过这两个数据，我们就可以求出总人数了，因为总人数乘什么呢？乘他占的比例就等于 某一项他的一个人数。比如说在这道题目里面，我们设总人数是 m 吧，那你看 m 乘个百分之三十就等于六十除以三十吗？对吧？ 所以说他之间是有这样的一个逻辑的哈，那就是六十除个零点三，那就是六百除三就等于二百了吗？所以现在知道总人数是两百人了。第一小问，让我们去求 a 的 值是多少，那你就用两百减去二十，减去六十，减去三十，再减去四十不就行了吗？求出是五十， 然后让我们去求 e 所对的扇形圆心角的度数是多少，那我肯定需要知道 e 它占的比例是百分之几嘛，对不对？怎么去求呢？那就用四十你看，因为 e 的 人数是四十哈，那就用四十除总人数两百，然后呢，等于五分之一啊， 所以说我们知道它占的比例是五分之一了嘛，然后所有你看，总共圆周角是三百六十度，所以说这里填的，呃，这个空填的就是七十二了。 然后再来看第二小问，让我们根据调查结果，估计该校九年级八百名学生中有多少人最喜欢的实验室这个四 d， 那 我们来看一下哈，四 d 的 话，他是三十人，那我们要求一下比例呀，那就是三十除以两百了呗，对吧？这个就是喜欢四 d 这个选项的大概的一个比例，然后他现在说一共有八百名学生，那你再乘个八百不就行了吗？对吧？ 然后这里算出来呢，是等于一百二十人的，所以说有一百二十人最喜欢的实验室这个 st 哈，这大家需要注意的统计问题的话，就妥妥的送分题，大家能理解清楚条形统计图和扇形统计图它们之间的一个对应关系就可以了哈。 ok， 最后呢，我们再来看一道第七题，圆综合问题，也是大题里面的必考题型，我们来看一下它说如图，已知圆 o 的 直径为 ab 值，直径在这里。 读到这里以后，你应该立马想到这个角 c， 这里是直角哈，因为直径所对的圆周角是九十度。我们应该一边读题一边往外推条件，然后点 c 在 圆周上， a、 d 呢，是垂直于 c、 d 的， a、 c 是 角 d、 a、 b 的 一个平分线，就是这两个角相等， 那这个时候根据我们推出的条件，大家可以得到什么？你看角 d 等于角 c， 角 d， a、 c 等于角 c、 a、 b， 那 不立马可以得到相似吗？对吧？也就是三角形 d a、 c， 它是相似于三角形 c、 a、 b 的， 这个条件我们应该立马想到哈，数学题就是一边读题一边往外推条件的一个过程，就跟解谜一样，特别有意思哈。 然后第一小问呢，他让我们求证直线 c、 d 是 圆 o 的 切线，证明切线问题。咱们对应的解析思路非常固定，就是连切点，然后呢，正垂直对不对？你看 键切线，我们就要连切点，然后就要正正垂直哈，如果说他直接告诉你是切，直接告诉你是切线的话，那你可以直接得垂直，但是这道题呢，因为他是让让你求正切线的嘛，所以说我们这里写的是正垂直哈，那对应的我们肯定是把 c、 o 连接起来，连接起来以后，我们需要证明这个角 d、 c、 o 是 等于九十度的，怎么去证呢？大家来想一下，利用我们已知条件来推一推，我现在是不是知道这个角加这个角等于九十度，把这个标成点，把这个标成叉的话，我现在是不是可以知道点加叉是等于九十度的，对吧？然后你再去利用题里给的条件呀， a、 c 是 角平分线呀，所以说这个角，你看角 c、 a、 o 是 不是就等于角 d、 a、 c 呢？对不对？然后 o、 a 是 不是又等于 o、 c 呢？ 因为它是一个等腰三角形呀，半径相等呀，所以这个角是不是也可以变成一个点呢？对不对？那你看这个角 d、 c、 u 不 就变成点加叉了吗？然后点加叉一定是等于九十度的呀，因为这个在这个三角形 d、 a、 c 里面，你看点加叉等于九十度呀，对不对？这里老师是通过一个 你看形象的点和叉来带大家梳理它们不同角之间的关系哈，大家要自己去写过程，你就转转一下它们之间的一个相等的一个关系就可以了。然后我们再来看第二小问，他说如果 c、 d 等于三， a、 d 等于五，让我们去求圆 o 的 直径，求 ab 的 长度吗？ 那这个时候也很简单，我们可以先把 a、 c 求解出来，它就等于根号下二十五加九，那不就是根号下三十四吗？ 对吧？然后我们又知道它是相似的，那我们直接来列呗，对不对？你看 a、 d 比上 a、 c， 是 不是就等于 a、 c 比上 a、 b 呢？所以对应的五比根号三十四，是不是就等于根号三十四比上 a、 b 呢？所以 a、 b 它就等于三十四除以五呀，五分之三十四，我们就快速求解出来了， 就是我们第二小问对应的最终的一个结果，大家看一下自己有没有算对？ ok， 那 以上就是咱们这期视频的全部内容了，那跟着老师学会这几个题型呢？其实只是你中考前提分的第一步， 因为咱们数学本质说白了就是一个又一个的题型，以及一个又一个的模型呀，对不对？咱们现在光跟着老师学的这七个题型肯定是远远不够的哈。如果说你想在中考前快速再提个三四十分的话，你本质应该快速的把你的方法改进过来， 你应该用学题型的思路去学数学，那大家如果说你现在想在中考前快速提个三四十分，但是你的方法一直不知道怎么改进，不知道怎么学才能快速提分的话， 那么你可以通过这里加我，大家加到老师以后呢，你也可以把你的成绩发给我，老师也可以帮大家在中考前做一次成绩分析，老师来帮你拆解一下，你现在到底是因为什么卡着你提不了分，因为老师我自己是从不及格提到很多次满分的，所以说老师对于数学的提分是非常有经验的哈。 老师往年代的学生呢，大家都在中考前都是可以很快速的提个几十分是没有太大问题的，那如果说你也想复课，像这些同学的一些提分奇迹的话，那你们尽快去添加老师就可以了， 当然老师的时间也是有限的，所以说如果你不是迫切的想提分的话，你就不要来添加老师了哈，把老师的时间留给那些真的想在中考前再冲刺一把，再提个三四十分的同学哈。 ok， 那 以上就是我们这期视频的全部内容了，老师接下来呢，会给大家继续更新我们中考必考的一些高频题型以及对应的解析思路哈，大家千万别忘了三连加关注，我们下期再见，大家拜拜！
29.5万小曼老师的数学课
04:50查看AI文稿AI文稿我们一起来看一下这题哈，这是样卷二的原综合，这里是放到了八分题哈，主要还是第二问，第一问好像跟我们样卷一的是类似哈，大家看一下题目啊，有很多同学应该也做过了， 已知 ab 是 半圆 o 的 直径，点 c， d 是 在半圆 o 上，且 a、 d 平分角 b a c， 那 么得到这两个角是会相等的哈，这个角 b a c， 然后 d e 这里垂直交 a c 的 延长线与点 e 啊，点 e， d 要求 d， e 是 圆 o 的 切线，因为点 d 是 在圆上的，所以连半径正垂直 好跟我们上样建议的是类似哈，比如说这个角会等于这个角，那么这个角就等于这个角，所以这个 a e 就 会平行 o d。 好， 这样子讲可以跟上吧，那么这两个就同旁内角互补，所以他也是等于九十度的哈，所以这是我们之前讲过的。第一个是平行正切线啊，那第二个是全等， 然后第三个就是倒角，所以基本上就这三种是可以求出来哈，之前我们啊讲了一题是用勾股定律的，什么勾股定律的逆定律哈， 勾股定律的逆定律。好吧，这是第一问，那第二问就是跟我们的解直角三角形一起考哈，那么他就基本上就是相似，因为他们俩是通的哈， 那给的是 cosine 角 b a d 是 吧，那我们肯定要找到直角三，一起来。我们想到 ab 是 什么直径？直径，我们想到圆周角 是直角是不是？所以这里是九十度啊，九十度，然后 cosine 是 等于斜边啊，零边比斜边哈，零边比零边五比四，然后 ab 又刚好等于十，所以我们就可以知道 ab 就 等于多少？ 是啊， a， d 就 会等于八，好吧， a d 就 等于八，那 a d 等于八有什么用？我们去求 d b 吗？这里不是哈，因为这里要求这个 d f 和 a f 的 值。那我们可不可以就说正这两个三型 相似的话，那五十四就可以求得到是不是？好，那其实我们刚刚知道这个角 d， a， b 等于角 e， a d， 所以 cosine 角 e， a d 啊， cosine 角 e， a， d 也会等于四比五啊， cosine 角 e， a， d 也会等于四比五。嗯，那我们看一下啊，比如说会等于 a e 比上 a d 好， a d 是 知道的， a， d 刚刚求了等于八，好，所以我们可以得到这个 a e 的 话，就会等于五 a e 四八，三十二就五分之啊，三十二， 这是 a e 求出来了，等于五分之三十二。然后那我们就去证这两个三角形全等啊，刚刚说这两个角，这个角 a， d o 跟这个角 e， a， d 是 会相等的， 好，然后这两个对顶角相等啊，所以这两个相似是没问题的。三角形 a f e 会相似于 a， 对 的是 d f o。 好， 那这两个叉形相似的话，我们就可以得到 d f 比上 a f 就 会等于啊， d f 比上 a f 就 会等于这个 a e 啊， d f 是 谁的 d f 这个三角形的是不是？那就是 o d b 上 a e 啊 o d， 哈，这里写错了， o， d， o， d 等于多少？ o， d 是 半径等于五，所以会等于五比 五分之三十二哈，所以它就会等于啊，倒过来，所以是三乘以三十二分之五啊， 这是这一题听懂了吧？
86长得像教书的
00:47查看AI文稿AI文稿中考数学圆的题型分值超高，但很多同学容易一遇到直接放弃。今天一个视频带你讲解圆的所有核心考点以及解题思路。首先，圆的核心考点直径与九十度相关，切线与半径与垂直相关，那么垂径定与加勾股。 最后是圆心角与圆中角的关系，其中垂径定力尤为重要，垂直线一定有平分线，平分线一定有垂直线。最后再给你一个考场秒杀技巧， 第一步，先找圆心半径以及直径。第二步，找相等角、直角以及切线。第三步，运用勾股相似以及弧长公式进行秒杀。我是数学思维刘老师，关注我，下期带你整理圆的全部基本公式。
04:29查看AI文稿AI文稿每年这个中考数学最后的三个压轴题，总有一个题是有关圆的知识的，今天呢，咱们用一个视频把所有圆的定律给大家梳理一下。 说第一个定律叫做圆周角定律，它是这么讲的啊，就是说在同圆或等圆中， 相同的弧或者是相等的弧所对的圆周角都是相等的，并且等于它所对圆心角的一半啊，这个是强调的一定是同圆或等圆啊，相同的弧或相等的弧， 然后呢，它还有两个推论啊，两个推论，第一个推论就是什么呢？如果弧相等，那么弦相等， 然后呢，圆周角相等，圆心角相等，还有弦心距相等啊，就是说一个相等的音条件，能推出来三个相等的条件啊，就都是相等的。 还有一个推论就是直径所对的圆周角是九十度，那么反过来啊，如果这个圆周角他是九十度的话，那么他所对的这条弦一定是直径。第二个定律啊，叫垂径定律， 垂径定律是这么讲的，他说垂直于弦的直径平分这条弦，也就是说这个直径跟弦如果是垂直的，那么这个直径就把这个弦平分，并且平分弦所对的弧， 这就是垂径定律。垂径定律还有一个推论啊，推论是这么说的，它说平分于弦的直径垂直于弦，就是说这个直径把这条弦平分了，那么这个直径跟弦肯定是垂直的， 并且平分这个弦所对的两条弧啊，一个就是 u 弧，一个就是裂弧嘛。啊，这是垂径定律以及两个推论。第三个定律呢，叫做切线长定律， 它是这么讲的，说圆外有一个点儿屁，从点儿屁向圆，只能引两条切线，并且这两条切线的长度是相等的 啊，这是一个。第二个呢，就是圆心跟这个呃点的连线平分这两条切线的夹角啊，这是切线长定里。那至于它是怎么挣出来的，这是利用相呃全等啊，利用全等挣出来的，这叫切线长定里。 第四个定里叫做相交弦定里啊，它指的是圆内有两条弦，你比如说 a b 和 c d 是 圆内的两条弦， 并且这两条弦相交于点屁，然后它的结论就是 pa 乘上 pb 等于 pc 乘上 pd。 那 么这个是怎么证出来的呢？这个是用相似做的啊，这是用相似证明，有兴趣的同学可以证一下。 第五个定律叫做割线，一个是 p a b， 一个是 p c、 d， 那么它的结论是什么呢？就是 p a 乘 p b 等于 p c 乘 p d 啊，这个也是用相似证明出来的。 还有一个定理叫做什么？也是咱们常考的啊，就是切割线定理，刚才老师说的叫割线定理，还说了一个相交线定理，一听这个切割线就是又有切线又有割线，对吧？ 你比如说它是这么说的啊，说啊，这个 p a、 b 是 这个圆 o 的 一条割线，那么这个 p c 呢？是圆 o 的 一条切线啊， p a、 b 是 割线， p c 是 切线，那么它的结论就是 p c 的 平方等于 p a 乘以 p b， p c 的 平方等于 p a 乘以 p b。 我 相信同学们都知道了，这个也是利用相似证出来的，对吧？那么刚才老师说的这些定律呢？咱们在填空和选择题的时候都可以直接用啊，直接用根本就不用你去证明，直接用就可以了。
29张老师讲学习方法
07:07查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学大家好，我是数学吴老师，今天给大家带来的是北塔二摩的二十四体圆的综合，我们一起来看一下。这道题给了一个三角形 abc， 告诉我们角 a、 c、 b 呢，是九十度， 又给了一个角的角平分线，角平分线，立马得到两个角的大小相等，画了一个圆，这个圆呢，经过点 b 和点 d， 两个点原先落在了 a、 b 上面。第一小问，让你去正圆的切线。 正圆的切线，我们首先要搞清楚线和圆有没有交点，因为有交点，我连半径正垂直就可以了，如果没有交点，没有交点，我需要做垂直正半径， 他是两个类型的。那这道题圆和线有没有交点呢？有， 这个地方清楚的告诉我们，圆经过了点地，而点地呢，又在 a、 c 上面，所以点地呢，是这条线 a、 c 和圆的交点，那有交点，我们要去正切线， 需要连半径，所以我们把 d、 o 做一个连接，连完 d、 o 以后，它是半径，它也是半径，所以我们得到 b、 o、 d 这个三角形呢，就是一个等腰三角形，那这个角呢，和这个角相等，都是一个底， 立马得到这个角和这个角呢也相等，而这两个角呢，正好是啊，内错角， 内错角相等，两直线平行，平行以后，我把这个地方的九十度就可以挪到这个地方了， 所以我们立马得到 a、 c 和半径 d、 o 是 垂直的，垂直一定会相切，剩下的就是你把这个思路完完整整的写出来就可以了。 如果你还不会写切线的证明过程，你联系我，或者说写完有没有问题，你发给我，我给你看。接下来我们再看第二问。第二问呢，这个地方给了这样的一个条件， 这个条件我们在做题的时候，首先你要把它转移成比的关系。 为什么要转移成比的关系呢？因为我们在初三的这个地方，我们学完相似以后，谁是谁的几倍，其实就是谁和谁的比值是多少， 那涉及到比值的东西，考的就跟相似会挂钩了，所以我写成比的形式，方便我去找相似三角形对应边乘比例的比值。 第一问的辅助线我们划到旁边这个干净的图上来，两个垂直也挪过来， 那你看我现在呢，得到他和下面这条边的比值呢，是根号三，那我就看他们所在的三角形相似还是不相似就可以了。 第一问呢，我们已经得到了这两个角相等，而对顶角相等我可以直接用，所以我们立马得到这个三角形和旁边这个三角形两角对应相等，两三角形就会啊相似。 那接下来我们看一看，立马得到。我就简单写了，三角形 b、 e、 c 相似于三角形 d、 e、 o， 所以 我们现在知道的是 c， e 和 o， e 的 比值是根号三，那其他的对应边的比值呢，也是根号三，所以 bc 和 d、 o 的 比值是根号三，我们 b， e 和 d， e 的 比值呢，也是根号三。 至于要用后面这两个的哪一个，你等一下看求的东西哪个方便你去用哪个就可以了。我们现在要求的是这个角的正弦值，也就是这个角， 那你求正弦值，首先放到直角三角形，它现在在两个直角三角形大的三角形 a、 c、 b 里面，如果能知道这条边和这条边的长度，两个比一下就可以了， 也在小的直角三角形 a、 d、 o 里面知道它和它的长度，做一个比值也可以。但是这道题没有数据， 只有比值，说明你要设未知数。设未知数的时候我们也是有技巧的，小学或者一上初一的时候就会告诉大家，设小不设大， 设加，不设减，设成不设除，所以我们挑小的边去设， 挑小的边去射的时候去尝试看看怎么样好算这道题我们射 a、 o 的 长度会特别好算， 为什么会特别好算呢？我们第一问得到这条线和它是怎么样平行的，所以我们立马是不是也能得到这个小的直角三角形和我们大的直角三角形也会怎么样相似？ 那对应边是不是也成比例？它比值是多少呢？这条直角边和这条直角边是不是对应边？ 长的比短的是不是根号三？所以我们的斜边长的比短的也是根号三，就是它是它的根号三倍。所以我设 a o， 如果是 x， 那 我们的 ab 的 长度一定是啊，根号三个 x， 那剩下 b、 o 的 长度我就能表示出来。 b o 的 长度我就可以表示成根号三 x 减掉 x， 那 b o 是 半径，我们 d o 呢？是不是也是半径？所以 d o 的 长度也可以用根号三 x 减 x 来表示。那这样的话，你看我们这个角的正弦值 就等于所对直角边比斜边，我换成这根两的比值就可以了。 上面用根号三 x 减 x 代替，下面是谁呢？ x 上下同时把 x 除掉，前面除完以后剩 a， 根号三，后面剩个一，所以它的正弦值就是根号三减一， 剩下的把这个思路转换成完整的过程就可以了。好，这道题呢，我们就讲到这，拜拜。
86伍斌的数学思维
03:27查看AI文稿AI文稿好，今天沈老师来讲一下萧山一模的解答压轴题啊。这个第三问还是有一定难度的，几个条件注意下， a、 b 呢是直径，这三段弧相等，每段弧是六十度啊，一会有用。第一问比较简单啊，自己正了。 第二问呢啊，我呢是连接 b 到，连接 b 到，然后正。这个三角形 c， f， b 啊，相似于 三角形到 h， b， 首先角 c 和角到都对弧比，所以相等，然后这两个角，这两个蓝色的角呢，都是三十度啊，所以两对角找到， 然后这个比例的话，就是 c f， b 到 h 就 等于 c b， b 比到，然后 c， b， b 比到，是一个定值，根号三。好，这个理解一下。那第三问啊，主要是第三问，我呢是这样，先把 a、 c 连起来， a， c 连起来，那 ab 是 直径，直径所对的圆轴角，九十度啊，这个垂直，不要忘了。 好，那接下来呢，就是一个旋转的说，放，我把三角形 c 比一啊，其中这个三十度，这个 a， c 比 b， c 啊， a， c 比 b， c 一 比二，三，这个清楚的，对吧？好，我把 c 比一，绕着点 c 啊，逆时针旋转到这里， 好，这里垂直， 这个是 g 点啊， c， g 呢，是垂直，这里注意啊， c g 垂直 ec， c g 垂直 ec 啊，所以啊，这个旋转中，这个三角形 c， g， a 就 相似于这个三角形 c， g， a 相似于这个三角形 c， e， b 啊，这个旋转过来，好，那这个旋转的这个相似比是几比几呢？就是一比根号三，它们的相似比是一比根号三，然后这个 c， g 又垂直 c 一 的啊，旋转过来， c g 垂直 c 一 啊， c 极垂直 c 一 好， e， a， g 是 三点共线的。好，那接下来你就知道 a g， a g b 比一啊， a g b b 就是 一比根号三啊，比一就是 a g 的 根号三倍，那接下来这个 g c 一， 这个是不是也是三十度 啊？他所对的弧是 a c， 对 吧？六十度，所以这个圆珠角三十度，所以这个直角边 c 一 比一 g 啊， c 一 比一 g 就 等于根号三比二 啊， c 一 比一 g， 是 不是就扩散三十度？根号三比二有没问题？好，数据带进去啊，数据带进去 c 一 的话啊，就是 c 一 啊，写成 ec 啊，题目做 ec， eg 的 话就是 ag， ag 的 话就是三分之根号三 比一，三分之根号三比一，然后加上 e a 加上 e a 等于二分之根号三，然后你把这个式子整理一下，就得到了。这个啊，你可以去试一下。所以这个是旋转中的一个缩放啊，不太常见，好好理解一下。
62@沈老师
01:28查看AI文稿AI文稿这道圆的大题，有很多同学卡在了第一步，明明给了直径还有角平分线，却不知道怎么去证明平行。那今天教你一个辅助线的技巧，直接把整道题的思路全部打通，说 a b 是 它的直径， 然后 c、 d 在 圆 o 上连接 o d， o c 还有 bc， 他 说 o d 平分角 a o c， 说明这个角等于这个角。 再来，然后让你第一问求证 o d 平行于彼此，要你求命证明这个边要平行这条边， 那我要证明它平行的话，我首先是不是要做一条辅助线，做一条哪条辅助线？我是不是应该做的是将 a c 连接起来， a c 连起来之后交 o d 于点 h 点，我把它交成点 h， 然后你会发现，那的 a b 就是 a o 这条和 o c 这条是不是这条圆的？什么是半径？ 那半径知道了之后等边对等角，哎，那这个角是不是跟这个角是不是也相等？那由此可得，我是不就能得到 o h 是 平行于 a c 的， 而 o h 是 垂直于 a c 的， 那说明这个角是不是直角？又因为 a b 是 直径，直径所对应的圆周角是九十度。好，那这个角是不也就是九十度？ 你会发现这两个角是不是同旁内角？那同旁内角互补，两直线平行，我就把第一问证明出来了。
19教数学的小张老师
08:25查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享中考题里边圆的综合型的题目。同学们啊，这个题也是比较新颖的，跟大家分享一下。已知一个三角形， a、 b、 c， a， b 为圆 o 的 一条弦， a、 p 为圆 o 的 直径， b， c 为圆 o 的 切线。一说切线，我们当然立即要想到，一提切线，马上就要想到连接圆心和切点，那么这就会产生垂直。 第一位，就让我们求证，角 c 加二倍的角 a 等于九十度。第一位一般都是非常简单的那一位啊，属于简单的梯形， 那么我们这里连了这个切线，切点之后出垂直了。朋友们，显然这个角 c 加这个角一，他是九十度的角 c 加角一是九十度，那么咱们顺藤摸瓜，肯定角一就应该等于二倍的角 a 呀， 而角 a 的 二倍怎么产生？显然这个角一是这个三角形 o、 a、 b 的 一个外角，而 o a 和 o b 呢？又啊相等，所以角 a 等于的就是这个角二了。 那角一等于角二加角 a， 他 俩又相等，所以角一就等于二倍的角 a 了，所以二倍的角 a 加角 c 等于九十度。第一位非常的简单哎，第一位非常的简单，就是一个基础的题型啊，就是一个基础的题型。那么接下来咱们主要来看第二位。第二位， o， d 垂直于 ab 于点 j， 交圆 o 于点 d， 让我们自己补全这个图形，那咱们就过点 o 向 ab 做垂直呗。 过点 o 向 ab 做垂直，与圆 o 交于点 d 与圆 o 交于点 d， 与这个弦交于点 j， 过圆心了，同学们做垂直了，这写着这就是垂尽定力的形式。过圆心了，垂直于弦了，那就说明 a j 和 b b j 它是相等的， 而且还知道 og 比 g d 是 啊，三比二， og 比 g d 是 啊，三比二，这是我们最常用的，最常见的这种方式。我们就设一份是 x， 那 这个 og 是 三份，就是啊，三 x 了。 d j 是 两份，那就是二 x 了，显然半径就是三 x。 半径是啊，半径就是五 x 了。那么 a o 也是啊，五 x o b 也是啊，五 x o d 也是啊，五 x 了。那同学们再观察 ap， 这个数就成多少了。 a p 就是 十 x， 那 这是三 x， 这是五 x， 这里又垂直，那 aj 就是 几 x 等于吗？显然 aj 就是 四 x 了，勾三股四显五吗？而垂线定律之后， aj 和 b j 又相等，所以这里也是四 x， 那 ab 的 长度就是一个八 x 了。有八 x， 有 十 x 等于，咱们想什么呀？ 有八 x， 有 十 x， 想什么？一出直径，我们就要想直径所对的圆周角，是啊，直角，所以这里必然要想到连接 b p 啊。 连接 b p 之后，这是十 x， 这是八 x， 所以 b p 显然就等于六 x 了。哎，这个是六 x， 也就是三角形 p b a 的 三条边，我们都用含 x 的 代数式来表示出来了。来，这就是他们三个都表示出来了。有十 x， 有 六 x， 有 八 x， 还知道 c p 等于的是六， c p 这里等于的是六。就这么求一求这个半径 r， 也就是求 x 就 可以了。你把 x 求出来，半径是五 x， 那个同学观察这个里边有直角三角形，可能可能会用到勾股定律再观察。还有母子形相似，你们能看出来吗？哪两个三角形是相似的？母子形相似， 母子形相似，那么找相似，那肯定要找六啊，六 x 啊，十 x 啊这些边所在的三角形相似啊，你找别的那就没用了，你说我上这边来找吧，我找 a、 o、 b 和 a、 c、 b 相似， 显然他俩是不相似的。对面这是一个等腰三角形，这是一个等腰三角。而我们不知道这个角 a 和角 c 相等不相等，不知道这个角 a 和角 c 不 相等，典型的母子形，在这个六和六 x 围成的六和六 x 围成的是三角形啊， p、 b、 c， 六和六 x 围成的是三角形 p、 b、 c。 那 么再来看六和五 x 围成的这个是十，十 x 加六，而这个又是八 x， 八 x 和十 x 加六，还有 bc 为成，就是大的三角形啊， abc 啊。哎，我们要证明的就是这对母子形相似的同学们， 首先，这里有角 c 等于角 c 了一个公共角，角 c 等于角 c 了一个公共角。那么接下来我们再来看切线之后的同学们，这里的这个角角，角一吗跟这个角二加起来是九十度， 而这里的角三加这个角二加起来也是啊，九十度，显然这个角一它就等于角三了，而角三又等于角 a， 因为 o a 等于 o b， 哎，角三等于的是角 a， 所以 等量代换，角一就等于角 a 了。哎，我们需要的就是角一等于角 a， 角一等于角 a， 角角，这两三角形就相似了，相似关键就是去找这个比例式。朋友们啊， 这个小三角形里边的公，这个公共角对的边是那个六 x， 这个大三角形里边公共角对的那条边是八 x 对他们的相似比就出来了啊，那么在这个小三角形边，最短边是六，在这个大三角形里边，最短边的就是 bc 了，六比 bc 就 等于这个小三角形里边最长边 bc 比上这个大三角形里边的最长边 ac， 哎，最长边 a c， 那 同学们观察，六 x 比八 x， 显然这就是三比四了，那么根据这个三比四，我们就可以求出六比 bc 也是三比四，那 bc 显然等于就是一个八了， 哎， bc 这里是八年的啊，那接下来再来看这里六比八就等于八比啊， ac 呀。往后看，所以说这个 ac 就 出来了， ac 就 等于八八六十四，再除上一个六，约二，也就是三分之三十二，哎， ac 出来了， ac 出来了，而 pc 又等于是六，所以 a p 就 出来了， a p 就 等于三分之三十二，减掉一个六啊，这就是直径，求出直径来，再除以二就是我们需要的半径了， 这是根据这个相似三角形的三组对应边，你把三组对应边列出来，一目了然，什么都有了，这是根据相似来找，你也可以继续这样来做题，你看看啊， 就是这里我们找到了这个六比 bc 等于啊，六 x 比八 x， 那 么根据这个比例是我们能求出 bc 等于八，求出 bc 等于八来之后，那么你继续勾股定力，在这里边也可以在这个三角形里边勾股定力，那就是五 x 的 平方 加上这个八的平方，哎，继续勾股定力，也可以求出这个 x 来， 那么也可以继续利用另外一组对应边 bc 比 ac 来列这个比例式，六比八等于八比 ac 也能求出 ac 来。实际上就跟摄影历的那个结论一样，母子型里边典型就是 bc 的 平方就等于 cp 乘上一个 ca 啊，朋友们，实际上就是用的它，那就是八的平方就等于六乘上一个六加十二 x， 哎，八的平方就等于六乘上一个括号里的六加十 x， 就是 我们后面这里啊，就是这一层，你看这里不就是八的平方等于六乘以 ac 吗？ ac 不 就是六加十 x 吗？哎，就是用的后半层，将它俩让它俩交叉相乘， bc 的 平方就等于六倍的 ac， 其实就是用的这个， 这里面用的内容有母子相似形，也可以借助勾股定律，这个内容非常的丰富，希望这个题目能够帮到大家。
64初中数学柳老师
01:07:12
02:58查看AI文稿AI文稿初三同学请注意，这类题必须要会圆切线证明相关问题，同学们先暂停一下视频，审一下题目， 那么这道题是证明切线，那么证明切线有两种方法，第一个有交点连半径正垂直，我们的方式是倒角。第二个无交点做垂直正半径，那么方法是全等，或者是用角平分的线性质去证明。我们来看一下第一问，求证 a、 c 是 圆 o 的 切线， 那我们看一下它到底是有焦点还是没有焦点呢？它这个地点就是焦点，它给出来了，所以我们利用连半径正垂直的方法， 先连接 o、 d 好， 连接上之后我们采取的是倒角。那我们看一下题目中给的条件，角 a、 d、 e 等于角 d、 b、 e 啊，这个角和角 d、 b 相等，角 d、 b、 e 标成角二，角 o， d、 e 标成角三，那么在这里大家一定可以看出来了，那么角一和角二是相等的 啊，因为它是等腰三角形，角一等于角二，角一又等于角 a、 d、 e 对 不对？所以我是不是可以等啊？代换角二等于角 a、 d、 e， 这样的话我就可以得出来一组角相等了。那么因为 b、 e 是 直径，直径所对的圆周角是九十度，所以角角二加上个角三等于九十度，这样我们就可以等量代换得出来，角三加上角 a、 d、 e 等于九十度 a， 我 们就挣出来这个垂直了，所以 o、 d 是 垂直于 d、 a 的 啊， o， d 又是半径，所以我们这 a、 c 是 它圆 o 的 切线啊，所以第一问就迎刃而解了。第二问，我们来看一下 c、 d 等于三， c、 f 等于一，让你求圆 o 的 半径，那么在这里老师要给你分享一个方法，如如果在圆的几何图形当中，它出现了两个直角三角形，并且又告诉你 c d 等于三， c f 等于一。那么这类题我们采用矩形法， 采用矩形法的方式去求这个半径，怎么做矩形呢？就通过点 o 做 b e 的 b f 的 垂线，我们垂足标个 m， 你 们用这个虚线去连接啊。那么利用垂直逆理我们可以得到 b m 等于 m f 啊， o d 是 第一个链接的，那这样我们就可以发现，那么 m c， m c 等于 o d， 它是不是等于半径 r 对 不对？然后我是不是就可以得出来 m f 其实就是等于二减一，因为这是一，这是三， 这样的话我是不是就可以得出来 b m 它等于二减一啊？然后 o m 它是一个三，因为这个 o d 四边形 o d c m 它是一个矩形， o m 和 c 等于三，那么 o b 又是 r， 我 们可以利用勾股定律 r 在 r 的 三角形 b m o 中， r 减一的平方加上三的平方等于 r 的 平方，这样的话我们就可以列出来 r 的 方程， 而解出来 r 等于五，这道题我们就迎刃而解了，想要必考题型清单的同学们，评论区请扣一。
02:37查看AI文稿AI文稿离初中的决赛还剩五十来天，我建议后进生们把时间精力放在容易突破、分值较高的地方，比如几何大题的前两问，他们难度不算大，并且有固定套路。 最常出现的其实就两个，圆和四边形。拿圆来说，第一问常出现的是切线，证明就只有两个动作，不是连圆心就是做垂线。第二问会有五个常考的类型， 前面两个的对应方法是找半径和圆心，后面三个的对应答题方法则需要结合三角形 这道题要求正切线和三角函数。前面的方法说了，要正切线先连圆心，所以连接 o、 d 得到等腰三角形 a o、 d， 那 角 a 就 等于角 o、 d、 a， 而 abc 也是等腰三角形，所以这个角 a 等于角 c， 那 么 o、 d 就 平行于 bc， 而 d、 e 垂直于 bc， 那 d、 e 也就垂直于 o、 d， 切线就正到了四分拿下。 第二问求三角函数。前面的方法也说了，需要结合直角三角形给的两个已知都在直角三角形 b、 e、 f 中，所以就拿它入手。 b、 e 是 一， b、 f 是 三，所以三 e、 f 就 等于三分之一。角 f 同样也在直角三角形 o、 d、 f 中，所以也就有 o、 d 比上 o、 f 等于三分之一，而 o、 d 是 半径， o、 b 也是半径，所以得到 r 比上 r 加三等于三分之一，就能够求出半径，进而得到 a、 b、 bc 以及 e、 c 的 长度。下一步则需要连接 b、 d。 这个思路是从遇到直径连圆上的点来的，如果想不到，那只要做到上面那一步，这道题也有七分了。好，那我们继续把它完善。连接 b、 d 以后，得到角 b、 d、 a 是 个直角三角形， 由于角 b、 e、 d 也等于九十度，所以三角形 b、 e、 d 相似于三角形 b、 c、 d。 那 b、 d 比上 bc 就 等于 b、 e 比上 b、 d， 由此就可以得到 b、 d 的 长度，算出角 c 的 正弦值。 好，我们从这道题跳出来，是不是它两个问的入手点都是前面总结的那张图？所以家长们需要注意，题目千变万化，但解决方法不会变， 不要让孩子盲目刷题，而是去总结一类题的方法，再用专题训练去强化记忆，形成习惯，哪怕是后进生，也能做到让数学不再拖后腿。
57老严数学补差
01:10查看AI文稿AI文稿你是不是一看到中考圆的压轴题就头皮发麻？别慌，其实全国中考考来考去就盯住两个核心点，只要吃透这两个点，再复杂的图形也能拆解的明明白白。第一个关键点叫倒角，不是随便倒，而是有章法地倒。 比如用圆的切线性质切线，垂直于过切点的半径，用圆周角定里同弧所对的圆周角相等。还可以借助平行线的内错角、 同位角，或者利用垂直关系构造互与角来推到角度相等。第二个核心点是相似。三角形。在圆的综合体里，相似几乎必考，可能是共用一个角的共角相似，也可能是由平行线结出的 a 字形或 x 字形相似， 还常见的是直角三角形中的摄影定力模型。而很多时候，相似前提恰恰就是前面说的倒角。先正出两个角相等，再顺势推出三角形相似。 所以，记住，面对圆的压轴题，别被复杂图形吓住，抓住倒角和相似这两根主线，像解谜一样一步步推例，答案往往就在你梳理清楚角与角、三角形与三角形关系的那一刻浮现出来。全国中考，万变不离其宗，练熟这两个点，压轴题也能变成送分题。
10:28查看AI文稿AI文稿圆中的辅助线你还不会画吗？今天一个视频帮你梳理四种最常用的圆中的辅助线构造思路，学会就能直接套用做题。下面来看。第一个，遇到弦做垂径，那这是什么意思呢？ 指的是我们在遇到求弦长或者是半径时，可以考虑过圆心做弦的垂线， 也就是做 oc 垂直 ab， 那 么可以得到 oc 平分 ab， 然后我们再连接半径，这样构造出直角三角形，再去计算。 或者是题目中有等弦出现，也就是两条相等的弦，那我们可以过圆心分别做两条等弦的垂线， 这样可以得到对应的弦心距相等好。第二个是遇直径够直角， 也就是圆上的任意一个点 a， 然后我们连接 a 和直径的两端点，那么这时候可以得到角 b， a c 是 九十度。 第三个弧中点连圆心，也就是如果我们知道这里的 c 点，它是弧 a b 的 中点，或者说弧 a c 等于弧 bc 时，那么可以考虑连接 oc， 那 么 oc 就是 垂直 ab 的， 然后接下来就可以应用垂进定里。 再一个就是我们连接 o a 和 o b， 那 么可以得到角 a， o c 等于角 b o c。 第四个，预切线连半径， 这也是最容易发现的一条辅助线了，如果我们知道这里的直线 l 与圆 o 相切于 a 点，那么我们可以连接 o a， o a 就是 垂直直线 l 的。 或者是我们在遇到要我们证明这个直线是圆的切线的时候，那么如果切点已知的情况下，也是去连半径 好，那么了解了四条辅助线之后，接下来我们看在题目中是怎么应用的。第一小题如图，圆 o 的 两条弦 a、 b 与 c、 d 互相垂直，并且 a、 b 等于 c， e 等于一， e、 d 等于三，那么圆 o 的 半径是多少？ 那么这道题让我们求的是半径，所以我们先得把半径连起来，比如说连接这里的 o、 a 和 o、 d。 另外就是它这道题呢，给了两条垂直的弦，并且这两条弦是相等的，所以可以考虑做弦的垂线，对吧？与等弦做这个垂线，那么这里的 o、 f， 它就是垂直平分 ab 的 o、 h 呢，是垂直平分 c、 d 的， 而我们知道 c、 d 的 总长是四，那么 c、 h 等于 h， d 等于二，所以这个 e、 h 的 长度就是一。 然后因为这个两条弦 a、 b， 它是等于 c、 d 的， 所以我们做的弦心距 o、 f， 它就等于 o、 h， 所以 相当于这里的这一个小的四边形，它是一个正方形， 有三个角是直角，并且邻边 o、 f 和 o、 h 是 相等的，所以是一个正方形。那么这里的 o、 f 的 长度， o、 h 的 长度都是一。那么接下来求半径是不就可以在 r、 t 三角形 o、 h、 d 中去求了？ 这个 o、 d 它等于根号下 o、 h 的 平方，加 h、 d 的 平方，所以等于根号下一加四，等于根号五，那么这道题的答案就是根号五。 再来看第二个问题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 以 ab 为直径的半圆啊。这里看到直径的时候，我们就把这个九十度的圆周角给画出来，比如说这里的角 a、 e、 b， 它是九十度， 然后这里的 d 呢，它也在圆上，所以辅助线也可以考虑连接 b、 d， 然后这里是垂直的啊。当然你再看后面的条件，再去决定这条辅助线要不要做好，然后 e、 f 等于 a、 e。 第一个小问，证明四边形 a、 b、 f、 c 是 菱形，要正它是菱形的话，要么先从平行四边形开始正，要么直接正，这个四个边都相等。 而我们根据题目条件已经知道了它这里的对角线是垂直的，所以只要证明出它是一个平行四边形，加上这个垂直，它就是菱形了。 那么怎么来证它是平行四边形呢？啊？也是根据题目条件来，题目条件我们知道 a、 e， 它是等于 ef 的， 这就是这个对角线 a、 f 被平分了，所以接下来我们只要证明出这个 c、 e， 它等于 b、 e 就 可以了。 而我们知道 a、 e， 它是垂直这个 bc 的， 而 a、 b、 c 它又是个等腰三角形，这个 a、 c， 它是等于 ab 的。 那么根据等腰三角形三线合一，我们是可以知道 c、 e， 它等于 b、 e 的 啊，然后所以这个平行四边形我们就挣出来了， 然后再根据它对角线垂直，那么第一小问，这个菱形就挣出来了。好，第二个小问，若 a、 d 的 长度等于二分之七， b、 e 的 长度是一，那么求半圆的面积，那 c、 e 也是一， 要求半圆的面积，就是求这个半径或者是直径，要求的是 a、 b， 那 么我们现在又已知 a、 d， 所以你说这个辅助线我们该怎么去做呢？哎，显然是连接这个 d、 b， 我 们构造一个直角三角形。好，那么现在我们直角有了，怎么去求这个 ab 的 长呢？我们发现在直角三角形 a、 d、 b 中缺了一个条件，就是这个 d、 b 长是不知道的， 而这个 d、 b 呢？它是在这个直角三角形 c、 d、 b 中，这个斜边 c、 b 的 长我们是知道的，是二，又缺一个这个 d、 b 的 长。但是我们再想一下，如果这个 d、 b 的 长知道的话，那么 a、 c 长相当于也知道，而 a、 c 它又等于 ab， 所以这时候我们就可以考虑去设一个未知数，我们把 dc 设为 x， 那 么 a、 c 长度就是二分之七加 x， 那 么 ab 的 长度也是二分之七加 x， 那 么这时候这个 d、 b 的 长度，它就可以在直角三角形 c、 d、 b 中表示出来。这个 d、 b 的 平方，它是等于 c、 b 的 平方，减去 c、 d 的 平方，也就是二的平方。四减 x 的 平方， 而这个 d、 b 的 平方，它看成是在这个三角形 a、 d、 b 中的直角边的话，那么 d、 b 的 平方，它又等于 a、 b 的 平方，减去 a、 d 的 平方，也就是 ab 是 二分之七加 x 的 平方，减去 a、 d 是 二分之七的平方。然后再啊，根据这两个式子相等，我们可以去列出方程，求出 x 的 值 啊，然后 x 算出来之后，后面的就好算了，我们再把 ab 这个直径算出来，然后再算圆的面积， 再来看第三题。如图， ab 是 圆 o 的 直径，又看到直径了，所以这里的角 a、 c、 b 是 九十度，而 e 它也在圆上，所以这里后面可以考虑要不要连接 b、 e， 这样 a、 e、 b 也是九十度啊。我们先来看题目， 我们 a、 c 长知道是六，然后上角 c、 e、 a 是 五分之三。 第一小问，求圆 o 的 直径 ab， 那 这里关键的条件就是上角 c、 e、 a 是 五分之三，怎么用啊？因为这个正弦值，那我们肯定要放到直角三角形才能用，所以这里面这个 c e a 我 们可以可不可以把这个角转换一下， 我们发现它是等于角 b 的 吧？它和角 b 是 同弧所对的圆周角，所以相当于知道上角 b， 它是等于五分之三的，也就是角 b 的 对边 a c 比斜边 ab， 它是等于五分之三的，然后 a c 又等于六，所以这个 ab 就 等于十，那么第一问就算出来了。 好，再来看第二问，他说点 e 是 弧 bc 的 中点，那么弧 c e 等于弧 b e 出现弧的中点，我们要干嘛？要把这个弧中点和圆心连起来啊？把这个 o e 连起来，那么 o e 它是垂直 bc 的， 并且平分 bc， 那 么这里的焦点 f 点就是 bc 的 中点。 然后让我们求 c e 的 长，我们现在已知的有直径是十，然后 a c 是 六，所以这个 c b 的 长可以勾股定你求出来是八，那么这个 c f 就是 四，然后 b f 也是四， 那么要求 c e 的 长的话， c e 现在是在一个直角三角形 c e f 中，那么我们还缺哪条边？ 还缺这个 ef， 所以 要把 ef 求出来，然后 ef 呢？它可以用半径 o e 减去一个 o f， 所以 只要把这个 o f 求出来就行了。 然后 o f 你 看有什么特点啊？ o 点它是 ab 的 中点， f 点它是 bc 的 中点，所以这个 o f 相当于是中位线，它是等于三的啊，等于这个 ac 的 一半， 或者是你在这个直角三角形 o f b 中取勾股定你求也行。这个 o b 是 五， b f 是 四，所以这个 o f 是 三。好，那么 e f 的 长度不就可以知道了？是用半径五减去这个 o f 三，那么 e f 就是 二，所以这个 c e 的 长度我们勾股定，也就是等于根号下 e， f 的 平方加上一个 c， f 的 平方等于根号下二的平方，加四的平方等于 二倍根号五。好，那么以上就是我们所讲的圆中四种核心的辅助线构造思路了，只要我们同学们把每一种都吃透了，练熟了，你会发现再复杂的题型也是这四种基础思路叠加起来的。
150小吴老师讲数学
01:21查看AI文稿AI文稿我把步骤缩到最简，一看就会记得收藏起来，这是一个圆，然后告诉我它的半径是五，给了一个特殊角的度数，一个七十五度角。我们都知道七十五可以拆成我的四十五和三十度，那这里肯定是要用我们的四十五度角，甚至三十、六十、九十来解决问题的。 这道题它重点在于辅助线的画法，你要知道如何去构造，只要三角形放相应的角进去，以及它给的线段长度能不能给过角关系。连接我们的 o、 b， 它延长交我们的圆 o 与我们的点 f， 然后再去连接 a、 f， 这样子是不是就出现了一个直径，且直径所对圆周角是九十度。知道这个圆周角是九十度，然后又告诉我们这有一个五倍的根号，三的长度以及圆的半径给了是五，那么 b、 f 自然就是十，那么勾股你自然能解出我们的 a、 f 就是 五，这样子你是可以得到一个特殊的角度出来，这是三十度， 那么自然这里就是一个六十度。再用我们圆同弧所对圆周角相等，这里再去给它连一个 a、 c， 你 就会同样得到这个角也是六十度。那么放在我们的三角形 a、 c、 f 里边，你就可以解得一个 特殊角出来，这个角的位置四十五度角，那当然这个角在我们的圆上，它是一个圆周角，圆周角找到它所对应的弧弧所对的圆心角自然就是我们的九十度。那这个题是不是就可以迎刃而解了？知道了九十度的，然后又有半径构成的直角三角形给他去解题就变得很简单。
26王老师初数思维
06:32查看AI文稿AI文稿今天继续给大家分享中考题里边圆的一个综合性的题目。同学们啊，这个还是涉及到内心的问题，但是这个内心不是来种切线的，也不是来种相似的。今天这个题目他比较新颖，同学们观察已知条件， 已知 e 是 这个三角形 abc 的 内心，而这个圆是三角形 abc 的 外接圆，外心在什么地方没有，咱们也不需要只知道 e 是 内心， 就给了这么一个有效的已知条件。求证， s， 三角形 a b f 与三角形 a c f 它俩的面积之比等于 a b 比啊， a c， 这是第一问，涉及到这个内心，朋友们，咱们知道内心首先要想什么呀？ 一提三角形的内心，我们首先要想的就是内心是这个三角形 abc 的 角平分线，那么显然这里的角一和角二是相等的，这两个角相等，让我们求的是这两个三角形的面积之比。 哎，涉及到角平分线了，求面积的问题里面，那要涉及到面积问题，肯定要出底边和高线，你才能求出这个面积的问题来，对不对？而且这 ab 和 ac 它的面积，这里是 ab 和 ac， 那 肯定我们就要去找 ab 和 ac 上的高线啊， 而且这里恰恰有啊角平分线，而且它里的面积之比是 ab 比 ac， 那 我们就去找一找 ab 和 ac 他 们俩边上的高线就可以了。过点 f 做 f m 垂直于他，再过点 f 做 f， n 垂直于他，那他就观察我做出来的这 f n 和 f m 他 俩是什么关系啊？他俩是什么关系啊？ 显然这是一个角平分线，角平分线的点到这个角两边的距离啊，相等。当然有的同学见到这个角一等于角二，还是想去挣啊，全等可以的嘛，挣全等可以，就是咱们学的这个定力你用不上。 哎，做了这两条垂线段，一个角平分线加双垂，我们就可以得 f m 和 f n 相等了。那显然左边这个三角形的面积就可以表示为啊，咱们设这个高线都是 h 的， 左边这个三角形的面积就可以表示为二分之一的 a b 乘上一个 h， 而右边这个三角形的面积咱们又可以表示成二分之一的 a c 乘上一个 h， 它两个的高线是相等的呀，角平分线的点到角两边的距离相等， 所以它俩的面积之比，这就出来了。哎，约完了分二分之一和二分之一约分， h 和 h 约分，所以它就等于 ab 比啊 ac 了。这是第一问，你得首先要想到去做 ab 和 ac 上的高线， 你要涉及面积问题，有 ab 和 ac 做底了，那肯定去找 ab 和 ac 边上的高线，角平分线的点到角两边的距离啊，相等就 ok 了。这是第一问，第二问。求证。 ab 比 ac 等于 b， f 比 c f。 我把刚才咱们做的这个高线擦掉，朋友们啊，这个高线已经没用了，影响我们分析。那么观察咱们这个结论，朋友们啊，让我们求证， a、 b 和 a、 c 之比等于的是 b f 和 c f 之比。 哎，他俩之比等于他俩之比。显然这里啥跟啥都联系不上，实际上这是老师上学的时候，上初中的时候一个角平分线定律，对吗？啊， 那么正，谁比谁等于谁比谁。我们第一思维方式就是正相似，但是这里面显然没有相似三角形，没有相似三角形的情况，我们还学了一个出比例线段的定律，叫平行线分线段乘比例定律。 哎，平行线分线段乘比例定律，那就是这个样子的。如果三条直线是平行的，上比啊下，就等于这边的上比啊下。 哎，他们三个平行上比下就等于上比下，当然上比权也等于上比权，这是平行线分线段成比例定律。既然找相似找不出来，你们这里边肯定没有相似三角形啊，这边是个对角三角形，这边是个锐角三，他肯定不相似， 那么我们就给它构造平行来解决这个问题。那么看一看他们啊，怎么来构造平行线？我们要找的是 a b 比 a c 等于 b f 比 f c， 显然这里有一个分割点，有一个分割点的啊，我们过点 c 做这个 a d 的 平行线和 b a 的 延长线交于点。对， 那我做这个平行线的目的是干什么的？你们看一看，这就构造出了一个大大的 a 字形啊， 哎，这就一个大大的 a 字形就产生了。这个时候呢， b f 比 c f， 它不就等于 ab 比啊 aj 了吗？我做的是它俩平行的一个 r， 那 么这个时候的 b a 比 aj 就 等于 b f 比 fc 了。 也就是说，咱们这个结论里边的三条线段都出来了。哎， b f 有 了， b 啊， c f 有 了， ab 也有了，还差一个 ac， 还差一个 ac， 那 我们找到的这个 b a 比的是 aj， 你 只要能证出 aj 和 ac 相等不就可以了吗？ 那么咱们挣他们俩相等，就借助于我们这个平行，还有这一对角相等就 ok 了。显然角一和角这构成的是一对啊，同位角，而角二和这个角三构成的是一对啊，内错角。同学们看一看， 角二和角三是一对啊，内错角，角一和角这是一对啊，同位角，哎，角一等于角二，所以角这就等于啊，角三了。 讲 g 等于讲三，那 aj 不 就等于 ac 了吗？哎，这显然它比它就等于它比它。这个跟咱们以往的这是一个创新题。朋友们啊，其实就是把以前的角平分线定理给它重新 拿出来改良了一下，当然还有别的条件啊，我只是拿出了其中的两个关键的点给咱们讲一讲。这是典型的构造平行线推比例线段的问题。朋友们啊，希望这个题目能够帮到大家。
39柳老师讲初中数学
