济南市中区二模数学初中多少分
别再小看自家孩子了，四月份下旬，我接手了一个基础特别薄弱的孩子，一摸数学才考了八十多分，孩子自卑，家长更是着急。但是谁也没有想到，就短短的二十来天，我带着孩子针对性刷题，抓解析，思想 不漏洞，这次考试二模直接冲到了一百二十一分。事实证明，没有学不好的孩子，只有坚持不住的努力。距离中考虽然只剩最后二十来天，千万别百万放弃， 稳住心态，全力以赴，咱们的孩子都能逆风翻盘，创造属于自己的辉煌，奔向自己理想的高中。其实孩子从来都不笨， 暂时的成绩落后不算什么，潜力远比你想象的大。别轻易否定孩子，找对路子，逆袭真的特别快！
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06:05查看AI文稿AI文稿哈喽各位，咱们稍微看一下立夏二模这套卷子啊，这套卷子肯定有一大批小孩考不好，因为啥呢？一模考的太好啊，你看一模啊，都有一百二三十分水平的小孩发挥到一百四十多分啊，就就怕什么呢，就怕错把辉煌当永久， 给你形成一种假实力的错觉啊，你可能在心态上就会发生一点点小小的改变。所以说二模考不好的话呢，也正好啊，不见得是个坏事，正好呢，沉淀沉淀，也是个浮躁的情绪啊，为以后的中考去储备能量啊。 我先说一下我对这套卷子一个感受啊，做的一个情况就是你把我老老实实的放到考场上，呃，参加两个小时的考试啊，在时间还有这个氛围都比较紧张的情况下，我撑死这套卷子就考一百四十来分。为啥呢？当然首先基础题啊，中档题包括二十三题，这个入门的压轴都是 比较常规的，没有什么出格的啊，主要就是闪下最后的四道压轴题，就是选择压轴，填空压轴，二次函数最后一问，几何的最后一问。这四道题在这套卷子里边，我撑死在考场上也就会选两道去做，选择是比较好做的，你拿个特殊值，一套 又好理解又好算，这个直接就能做出来。填空这道压轴题也是基本上不需要什么思考啊，就是太常规了， 难度倒是不大，但是呢，二次函数这个最后一问啊，判断这个菱形的，说实话我用考场上能想到的方法，我到现在也没算出来，我真的，我算的我都要燃尽了，我就是很奇怪为啥要出这么一个题呢，计算量真的贼大，没有什么特别巧妙的地方，纯算 这种题，你说你，哎，好吧，就这样吧啊，然后二十五题，这个题啊，比较有意思啊，在一摸里面考一百四十五六分的小孩，这道题，在考场上想破脑袋 居然也没想出来怎么做临交卷了，突然想出来了。当然这个题其实就是一个备长的事，第一问备长出来一个八字的相似，圈二也是备长出来一个八字的相似， 这个题就很邪，如果说你你第一问想出来了， ok， 你 的圈一也没有问题。如果说你连圈一也没想出来什么思路，那这个题就完了啊，这个题吧，撑死能骗来个四分吧。 这个题的圈二把我放到氛围十分激烈的考场上的话，我基本上因为时间问题， 这个题我就会抛掉，虽然你会做了就很简单，但是呢，你整个题你是需要去试思路的啊，我试了好多思路，我才后来确定下来，用背长来搞定的，我想到构造一线三等角，然后我也想到 就是过点去做平线，我还想到去背长这里，背长那里。反正就是因为尝试尝试是需要浪费很多时间的，所以说留给圈儿基本上考场上就没啥时间了。那么整套卷子 两道压轴题，考场上我应该发挥不出来，这就一百四十二分了，再扣点一分两分的小步骤什么的，可能也就是考一百四十分了。所以说，这条题对一莫来说的话，你少考一些分数都是比较正常的。那一莫那套卷子对我来说基本上做的就非常顺利啊，没有什么难题这，但这个吧，也不说有难题，就是你到考场上吧， 他不好做啊，他容易发挥不出来啊。然后我接下来再说那些基础部分，中档部分的题目啊，像这个第九题的得分率估计就不咋地，因为啥呢，都能判断出来，一二 是对的，三是错的，坑就坑在四这个选项，你要不亲自做的话，像这种题四个里边你肯定就选了三个了。但你这个亲自做了之后啊，你才发现四是一个错的 啊。第十题的得分率肯定也不如一摸，因为一摸那个第十题多么好蒙啊，一共给了五个选项，基本上大家都选四个，那这个的话，你就不太好蒙了，这个真得是四分之一的概率啊。填空其实没啥可说的，三角函数呢，字虽然多了一点，但是呢，一点也不难算，题目也是比较好理解的。 接下来就是这个圆，哎，这个圆的第一问啊，跟去年历下二模的那个第一问还是有点像的，不过他是去年二模的那个简化版。第二问我觉得对各位来说也不在话下啊。 二十一题没啥可说的，第四问可能会卡住一小部分同学。关于反比例这个题，我觉得两级分化现在有点重。啥意思呢？就是如果说你平时 基础还不错，你有足够的精力去专门准备这类题型， ok， 那 其实整个大题都是比较常规的问法，但如果说你平时就是基础还不怎么样，大部分时间都弄那些基础题了，对于这种入门的压轴呢，就是随缘的话，那基本上这道题你也就能得个第一问。 整个题其实跟去年市中区的二模题长得挺像挺像的啊，可以说基本上除了问法不一样，但是思路基本上都是一样的，就是一个化协为值啊， 二次函数这个你要圈二，灵活一点的话骗个结论粉，然后那圈一还是比较简单的，一个很简单的化协为值啊，你可以给他化协为 a 字，也可以给他化协为八字都能做啊，你坐标能求，这个题难度就难不到哪去，二十五题基本上 也就是那些平时水平比较高的啊，长年累月保证在一百三十多分往上的这小孩还能争取争取这个题对于咱们一百二十来分的这个题基本上就趴窝了，我感觉大部分人能骗来四分 这个题就合格了啊。整套卷子这个题量计算量真是不小，大部分小孩尤其是一模考的还不错的，你肯定是要比一模低一些分数的哈， 一个基础还不错的小孩会的都不丢分的情况下，平时呢也会准备一些入门小押注的。就这样一个中上游的 小孩来说吧，你这套题考个一百二十多分没有什么问题啊。呃，说不准你运气好，如果能再能蒙准个几分的话，那还能朝着一百二十七八分去使劲哈。模考考不好其实不是问题哈，模考考的太好反而是问题啊，因为暴露不出来问题才是问题哈。 呃，接下来就认认真真踏踏实实的吧，就剩最后几十天了，不要再那么心浮气躁的了，踏踏实实的啊，偶尔靠运气好考好了，那不叫真正的考好啊，就说到这吧，拜拜。
61小马老师干货版
04:19查看AI文稿AI文稿今天市中二模已经考完了，我们一块来分析一下试卷的难度，整体质量感觉怎么样？先说结论啊，他对比着历下二模的话，肯定是要简单一些， 因为历下区呢，是有三模的，所以他的一模相对比较简单，二模难度上去打击一下，三模可能还会再降下来，给点信心。那市中呢，应该是只有二模，所以他还是收敛了一点啊，没有出的特别的难。 然后，呃，对比着适中的一模和二模来说的话，我会觉得一模的难度要比这二模难度会更大一些。一模的题型呢，一个是有创新，另外一个是它的中档题的位置拔的会相对比较高一些，然后难题还保持在原来的这个难度上，没有往下降，然后中档题在该得分的一些位置并不是很好得分， 所以对一些一百二十三左右的同学就没有那么友好。嗯，所以一模上次大家可能普遍考的有一些不是特别理想的 二模，这一次呢，中档题就是该有的中档难度，然后压轴该难也是比较难。而且它的四道压轴题呢，是有一定的层次递进的，中考题的四道题也是这样的啊，它不是四道题完全一样难，你一定要捡着你特别熟悉的好做的去入手。 所以这套卷子呢，上一百四需要有一定的实力加你能够所谓的想到这个事，但上一百三对于平时成绩还不错的同学来说，应该要求不算太高。然后低于一百三的话，一定是在基础和你平时做题的方法或者是知识上是有漏洞的，大家自己去看一看到底哪里有问题，再着重的去补一补。 你像这次这个题目的话，我们从头来看一下吧。第九题，这个题呢，会涉及到一个四点公园，我猜可能会有一些同学想不到，但是这个题很好，选的一个地方在哪呢？就是你能够通过题目的分析，发现 c 选项和 d 选项 要成立的前提条件是一样的，所以在 a 选项很轻松排除的情况下，因为这个题选不正确的呀，所以就很容易也就能选出来。 然后第十题的话，这个题也是用了一个特殊指法，很快就做出来了，没有去计算，你可以把这个选项里边看看，就画画图啊，用画图的一个思想很快就能做出来，所以这个题第十题的压轴从技巧方面的得分率应该会比较好。 然后十五题呢，属于一个正常的压轴的难度，但是它这个题也没有特别的知识点，就是纯勾股定律就做出来了，而且我用的勾股和解析给的这个勾股还不太一样，所以方法也不唯一。 然后中间圆的题哈，最近有很多同学反馈说，感觉圆的题第二问不是很好做，但其实圆里边呢，无外乎就是圆周角倒角， 可能大家容易忽略，像这个题也是考到了圆周角倒角，你如果要是忽略这个信息的话，就不是很好做，一定要抓住题干里边的每一条信息。然后倒角的话，主要用圆周角倒角，圆心角倒角倒的比较多，然后再有就是求线段长的话，主要就是要么勾股， 要么相似，然后再有一个就是三角函数，就这几个方向吧。二十三题第三问，这个题呢，用到了高中的一个夹角公式，会相对比较好做。当然你如果要是没有学过夹角公式的话，用初中的角度存在性去构造一线三垂直也是可以做的，但是相对来说过程会比较长一些。 那大家也可以看一看这次用夹角公式，市中区能不能给分哈，从而来判断一下今年的阅卷标准里边用高中的公式会不会给分。去年中考应该是阅卷高中公式统一没给分哈，所以今年还会有一些不确定性 让二十四题的第三问呢。这个题真的是比较巧妙，他属于你。看完答案拍大腿觉得，啊，怎么没想到？嗯，是的，卡就卡在，有些同学想到了就做出来了，很轻松。然后有同学可能没有想到， 那就那就卡在这了。那这个辅助线发现确实不是特别的好想，所以就是建议大家在做基础题和中档题的时候，一定一定要提高速度和正达率啊，天下武功，唯快不破。就是你做的快了，一定能给压轴题多挤出一些时间去尝试，各种可能性，可能你划着划着就做出来了， 你说我为什么想不到，你打眼一看没有思路，然后又没有时间去仔细想，也有可能是做不出来，会受限哈。然后二十五题呢？这个题的前两问也很正常啊，到了第三问呢，这个题的难度就比较大了，这个题需要用到构造相似， 但是构造相似不是很好想哈，就是说我怎么能意识到怎么去做辅助现在去构造相似呢？这个点就能卡住大多数同学， 然后构造完了相似，接下来会用到一个定角对定边的引元，这个就更不好说了。在这个题的难度应该是整套卷子里边最大的。嗯，做出来的同学应该是还是相当有实力的，大家可以看看自己家孩子做的情况，跟我分析的一不一样。
199秋解数学 济南初中
02:24查看AI文稿AI文稿各位家长大家好，市中区的二模刚考完了，我之前说过，上个视频说过哈，市中区的这个二模，它非常接近于咱们的中考的难度，还有这个题型， 然后呢，现在这个成绩也出了，试卷也出了，然后我今天给大家做个对比哈。我们，呃，都说这外行看热闹嘛，我给大家看看热闹，就是这个市中区的二模和去年的真题 哎，有哪些相似之处啊？然后接下来我的这个视频下方左边放二模，适中区的二模，右边放这个中考真题啊，好，首先是第一题，第一题， 好，二模，第一题，原子结构，大家看一下啊，对比一下，好，这个第三题，物料估算， 第四题，声音三大特性，第七题，惯性。然后这个多选题，十一题，压力的压力和蒸发，十二题，电路的串并连计算，然后作图题， 哎，考的电路设计。然后呢？二十二题，大题，速度计算题，二十三题，压强计算，二十四题，电功率计算。你可以看到我拿出来的这些题啊，它都是高度相似的，其，当然其他的知识点重合度也非常高啊，我只是拿出来一个几个典型的例子做个对比， 是吧？那么这几个题大家就是单看哈，就是大家没有学过，但是你看，就你大概能看出来，它相似度是非常高的，所以说这个市中区的呃，二模，他的参考考意义很大，那么作为市中区的同学哈，你就可以看看这次你的这个成绩能考多少分， 然后，呃，赶紧看看哪个地方还有知识点的缺漏，然后其他区的同学，我建议大家可以 尽快啊，赶紧拿到咱们的这个市容区二模的卷子，我会放在评论区啊，我放放在评论区给大家分享一下，然后赶紧拿着这个市容区二模的卷子去做，看自己能考到一个什么样的水平啊。就趁着现在刚好这个二模刚考完 好。呃，这个，呃。二模的市容区的二模，这个参考性啊。呃，这个一我就不用多说了啊，对不对？确实有很多重重点，我拿的就是原卷嘛。 所以说赶紧啊，把，抓紧时间去评论区找到我这个真题，然后赶紧回去做一下按摩的。这个其他的区的同学是这样的哈。 ok。
03:19查看AI文稿AI文稿今天天桥二模的试卷已经考完了，我们来看一下整体的难度。这套卷子呢，我感觉难度算是比较中规中矩，但是呢，他有些题目考的会比较新鲜，或者说平时见的不是很多，包括一模的试卷，给我也是这种感觉啊，就是题目不是特别的常规啊。 然后我们来看一下题目，九题难度比较适中啊。我记得当时天桥一模的第九题考了一个角平分线定律，好多同学就比较懵，没太想出来。这个题呢， 比这一模的难度要小了很多。第十题是一个比较常规的二函数与新定义结合的，这种题型去年考的还是比较多的，今年各个模考里边出现这个题，出现的频率就不是很高。 然后第十五题，这个题的难度我觉得要比这第十题大了不少啊。没有考比较常规的折叠问题，考了一个一线三垂直和构造相似啊，我觉得这个题不是很好做啊， 有就是后面的这个大题啊。二十三题，这个题呢，看起来考了一个新定义的题，叫被边矩形，他外面包的这个壳子特别厚，需要你能先搞清楚这个定义是什么， 有了定义之后去拆分这个被边矩形啊，我实际上是把它拆分成一个直角三角形，有了直角三角形以后，要考虑到跟直角三角形结合比较多的一线三垂直的结合，那我觉得这个题的整体难度来说要稍微的大一点点啊，他没有那么好得分。 我记得天桥一模的试卷，当时二十三题也是考了一个新定义的题，大家对于这种新定义题的做法都是会有一种天然的恐惧感，总觉得读不太懂题，所以这时候其实就是考验了大家的读题分析能力啊。实际上读完了题以后再去做未见得很难，但是很容易糊住一部分同学。 然后这次的第二十四题，整体来说难度不是很大，他的第三问问的比较新鲜，问什么时候这个三角形是一个锐角三角形，其实就是找一个临界状态，看他什么时候是直角三角形，所以他考的是一个直角三角形存在性的问题，如果能分析到这一点的话，剩下的部分就不是很难了。 然后这个题呢，跟二五年的历下三模的反比例函数那道题的第二问考的特别像，大家如果要是想再去练一下对应的这一道题目啊。 然后二十五题，这个题考的是一个十字架模型，正方形、矩形、平行四边形里边的十字架模型。第四问来说，整体的难度就非常大了，近几年在这个各个模考里边，十字架模型没有在大题里边出现过了哈。这个题应该得是 三四年以前的考试题，里边曾经有过类似的题目，但是近几年不太常见了。我记得天桥一模的这个几何压轴也考的 比较新鲜。安桥这两次模考的卷子怎么说呢？你说难吧，他确实有点难。然后问法呢，确实也比较新鲜，就是 感觉没有那么常规，可以在这些题目上多去拓展一下你的思路。哎，中考说不定考到的就是一些比较偏的，这种知识点也不好说，所以大家可以做一做，去拓展一下，看看哪些题型是你没有见过的， 大家也可以做一做，去感受一下这些不同的问法，遇到的时候该怎么去解决。但是呢，也会有一个问题，我总觉得这种题可能会让一些有实力的孩子考不出来特别好的分数，不知道咱们天桥区的同学和家长对这套卷子的感觉怎么样？欢迎在评论区里大家探讨一下呀！
122秋解数学 济南初中
01:15查看AI文稿AI文稿济南初三历下区数学二模。昨天下午已经考完了，试卷我也做了，怎么说呢套试卷难度还是有的，但是也没想象中的那么难，唯一给我的感觉就是他的计算量很大，学生在有限时间内想要 算对他是比较难的。所以这给我们一个警告吧，将来在我们的一个复习规划中考的一个方向， 光要去对题目知识点的把握，还得去对熟练度和你的计算能力的一些呃，把握，你比如说因为计算能力，它也是一个很重要的一个指标，它决定了你的上限。啊，是 这么个情况，但是大家也别因为这次考试没考好啊焦虑，考试的目的它是检测咱们孩子的一个学习状态， 考试考完以后好好回去分析一下问题，去把它改正啊，要不是中考，那就还有希望。另外，我上一期视频预测了这次考试他题目啊，算是预测对了哈。也是，我每年都会给我的学生一个考前预测，然后 最后关注我，私发考试，我会把这录制的这次考试的详细分析和复盘发给你，你可以给你家孩子看看。
25高中数学魏老师
02:26查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，今天我们来复盘一下济南二零二六年的淮阴数学二模试卷。这套试卷，呃，一句话总结啊，难度是中等偏下的，基础题很简单，中档题很常规，压轴题很温和。 呃，像第十题呢，考了正方形和将军一马，呃，很典型的线段和最值问题。呃，比较常规啊。那第十五题考了费马点啊，旋转六十度外加了一个圆吧，求线段和的最小值问题，也算是。呃 经典的模型了，思路很固定啊，直接套模式方法就可以做。呃，唯一的难点就是你要选择转哪个三角形啊，转的三角形的不同，你最后求解的难易程度是不一样的。 嗯，所以整体来选填啊，整体来说几乎是没有坑的。还算是。嗯，比较我拿分的吧。 呃，再来看大题啊，大题第二十三题，也就是倒数第三道大题啊，第二三题考的是异次函数跟反比例函数的综合问题。 嗯前两问呢，考了焦点和面积，算比较简单吧。第三问考了矩形的存在性问题，但这个矩形存在性也是也没有考的很深啊，他只考了两种情况，并没有涉及到第三种情况的分类讨论，也算是比较善良了。 呃第二十四题考了手拉手，呃，快考了一万遍的题型了，很常规的题目。前 两问呢，考了手拉手的结论中的前两个，呃，三角形相似和拉线夹角问题很常规。第三问呢，是在前两问的基础上加了一个勾股定律啊，是个未知数就可以做出来。第二十五题是二次函数呃前两问呢，是比较简单的， 嗯求焦点求线段，做一直时啊，动点的坐标还可以啊，至于第三文可能会难一点点。嗯，因为这里面存在线，这里的线段存在根二倍的关系，需要你去发现 o m 和 o n 是 相等的，进而再利用。 嗯，将军一马就可以做出来了。所以整套试卷难度还是偏简单的，这次上一百四的同学应该会。呃，会很多，你觉得难度怎么样呢？在评论区聊一聊吧。
13数学张老师
56:16查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学，大家晚上好啊，欢迎来到大东老师的直播课堂，今天呢，给大家带来的是今天 五二零这个特殊的日子，历城区举办了这个呃，阿莫考试啊， 考完了数学啊，咱那个第一时间呢去把这个试卷拿出来啊，赏析一下，好吧，因为留给大家这个呃时间呢，确实不多了啊，这样的这些真题啊，模考题啊，还是非常宝贵的 啊，大家一定要去用这种成套的试卷去进行一个练习，好吧，呃，咱们那个去把这个压轴题部分过一下，尤其是呃其他区的，咱们后面每周讲一套，好吧，讲一套这个真题或者模考题，一直陪伴大家到这个中考啊， 呃，其中这个呃历城的这次的阿玛考试题呢，可能有的同学他还没来得及做啊，因为今天这是下午刚出来的历城区的同学呢，可能这个考完之后啊，多少还有点印象。好吧， 咱们先检测一下设备吧，大家能听到声音能看到画面的同学，聊天区扣个一啊，能听到声音能看到画面的同学啊，聊天区扣个一。 好的啊，咱们这个去来赏析一下这四个亚洲题啊，其中质疑大家这个学习成绩的肯定是这这个数学成绩的肯定是这四个题，对吧，选择最后一个， 填空最后一个，大题最后两个，那甚至大题的倒数第三题，反比例函数那个压轴题啊，可能有同学这个，呃稍微弱一点计算能力，或者说这个掌握的不够扎实的同学，可能那个中档题部分就会丢分啊，但最终决定高手能不能突破一百四十五的确实是这四个压轴题啊， 其中这个最容易突破的就是选择题的第十题啊，不是说因为他是个选择题，那大家那个蒙也能蒙对对吧。有的同学啊，不是因为这个啊，是因为这个题呢，你可以理解成是一个，呃，纯计算题啊，或者说数形结合的一个计算题啊，就是他考察的难度呢，还算是几个题当中啊， 难度没那么大，发发散性没那么强的一个题啊。呃，给大家这个三分钟的时间去把这个题看一下，因为有的同学他还没来得及做，起码先把题读明白好吧， 先自己来理解一下啊，三分钟读一下题干啊，那整套的试卷是发群里面了好吧， 已经考完的同学呢，可以在聊天区扣一下那个答案。好吧，选的那个答案啊， ahhaha， 做出来，同学可以聊天区把这个答案写一下啊， 好来看一下啊这些，嗯，应该是没有什么歧义啊。刚刚看有同学在聊天区里这个讨论啊， 呃，来看一下它，平面直角坐标 c， 点 p， 坐标 a 度 b， 点 q， 坐标 c 度 d。 如果点 q 的 横坐标是点 b 的， 点 p 的 横坐标的 k 倍纵坐标呢？是点 p 纵坐标的负 k 倍 呃，而且 k 不 等于零，那么就把 q 叫做 p 的 k 级变换点啊，这是这个新定义，你需要先把这个新定义读明白了啊，谁是谁的 k 级变换点是 q， 是 p 的， 如果 q 是 p 的 k 级变换点，那就说明 k 的 横坐标是 p 的 横坐标的 k 倍 p 的 纵坐标 q 是 纵坐标是 p 的 纵坐标的负 k 倍啊，就是先把这个定义读明白。呃，然后呢，他还举了一个例子，说负四斗六是二斗三的负二级变换点，那没问题吧？ 负四是二的负二倍，六是三的二倍。满足横坐标是纵坐标的 k 倍，横坐标是另一个点横坐标的 k 倍，纵坐标是纵坐标的负 k 倍，对吧？ 好，来看一下圈一啊，咱一个一个来分析一下。说这个反比例函数图像上存在一逗二的负三级 k 这个变换点， 那么一逗二，如果进行一个负三级的变换的话，那他的点的横坐标就应该是一逗二横坐标的 k 倍，负三重坐标呢？是二的负 k 倍，那也就二的三倍六百负三度六，负三度六确实在反比例函数图像上， 对吧？它在外等于 x 分 之负八负十八上面的。所以说圈一肯定是正确的啊，这个都没啥问题啊。再来看圈二， 有的圈二就开始不会了，点 a 是 含有图像上一点 a 撇是它的一级变换点，那么 o a 撇的最小值是几？这本质就是一个最值问题啊，最值点 o 是 个定点， a 撇是个动点，你是不是得先确定 a 撇的轨迹啊？那 a 撇的轨迹怎么求啊？ 他是 a 的 一级变换点，那你就可以直接设 a 的 坐标为 m 六 m 减二，对吧？ 所以说 a 撇的坐标呢？一级变换点，那说明什么呢？说明 a 撇的横坐标是 a 横坐标的负 a， 这个负一倍也就负 m 加二呗。所以说这个 a 撇的轨迹是什么呢？他就应该在直线 y 等于负负 x 加二上面， 对吧？韩餐动点确定轨迹啊，这个咱讲过，对吧？韩餐动点纵坐标是横坐标的，呃，负一倍，然后加上一个二，那就是在直线外领负 x 加二上面。直线外领负 x 加二，那咱就可以直接求了， 对吧？点到直线的距离垂线段最短啊。啊，先把这个负 x 加二画出来，是一条这样的直线 啊，与 x 轴 y 轴交点呢，都是二度零和零度二完，那 o 到他的距离的最小值垂线量最短，那不就等于个根号二吗？所以圈二也是正确的啊。 好的，再来看圈三圈三也不难啊。他说这个点 a 与其二级变换点点 b 啊，分别在直线 l 一 和 l 二上面， 直线 l 一， 这个很容易确定，对吧？咱就要把这个 b 的 轨迹确定出来啊。点 a 的 坐标呢，是 t 度二分之一 t 减二，那它的二级变换点的话，那应该怎么找呢？ 是不是说这个点 b 的 横坐标就应该是点 a 横坐标的两倍，纵坐标就应该是点 a 纵坐标的负二倍啊？二分之一 t 减二，乘上负二，也就是负 t 加四， 所以咱可以确定出来，点 a 呢，他是在直线 y 等于二分之一 x 减二上面。点 b 呢，他是在直线 y 等于负的二分之一 x 加四上面， 对吧？咱就可以把这个两个动点所在的直线确定出来了啊，那这就是 y 一， 这就 y 二了，对吧？所以当 x 等于 m 的 时候， y 一 呢，他就应该是二分之一 m 减二， 对吧？ y 二呢，就应该是直线负二分之一 m 加四，所以呢，就可以确定出来， y 一 减 y 二呢，就应该等于二分之一 m 减二，再减去一个负二分之一 m 加四， 哎，取绝对值好吧，哎，整理一下，也就是 m 减去六百，说这玩意等于个二啊，等于个二，那解出来双解呀，肯定是，对吧？解出来 m 等于八或 m 等于 四，两个值啊，两个值？他说 m 等于八，那答案不对啊，应该是八或四，好吧，八或四两种情况啊。呃，接着再来看圈四，再来看圈四啊， 再来看这个圈四，他说关于 x 的 r 函数， y 等于 n， x 方减四， n x 减去这个 五， n 啊， x 大 于零，注意，这有个要求啊，叫 x 大 于零，看到没，他必须要满足 x 大 于零这个要求啊。 说他的图像上呢，恰有两个点，这两个点的一级变换点都在直线 y 等于负 x 加五上，让咱来求 n 的 取值范围。那其实这个圈四本质考察的是个什么问题呢？叫做焦点分布问题，这玩意咱秦四班也讲过了，对吧？ 那不就说明那个只抛物线和那个直线和那两个什么一级变换点的直线的两个焦点都得满足 x 大 于零吗？不就这要求吗？对吧？ 好的，那什么意思呢？咱先去把这两个一级变换点先找到啊。你想一想啊，这个点呢，他的一级变换点都在直线外等于负 x 加五上面，所以说呢，他的坐标是可以表示成 m 到负 m 加五的，对吧？ 那这两个点的一级变换点如果是他的话，那说明原来的那个点的坐标咱就可以表示成什么东西呢？横坐标是纵坐标的，呃， k 倍也就是一倍了，对吧？ 也就说明什么东西呢？横坐标相等，纵坐标呢，是他的负一倍，也就是 m 减五呗， 对吧？所以说那两这个所谓的一级变化点能在直线上的话，能在直线 y 等于负 x 加五上的话，那就说明这两个点一定是在直线 y 等于 x 减五上的，那也就说明抛物线 y 等于 n， x 方减四， n x 减五， n 和 y 等于负 x 和这个 y 等于 x 减五，是一定有两个不等十根的好吧，有两个不等十根，而且这两个不等十根还都得怎么样呢？都得大于零， 且两个不等十根 x 一 x 二，他都得大于零，对吧？因为他是在 x 大 于零的上面有两个点没问题吧？就相当于这意思啊。 啊，那按照咱讲的那个来就行了，好吧，首先呢，咱是干嘛呢？先把它转化成，呃，一次转化成这个二次函数和 x 轴的焦点分布啊， 也就是干嘛呢？连累完之后呢，会得到一个一元二次方程，叫 n x 方减去一个四 n， 然后呢，再减一正放框里面啊，也就是减去一个框里面四 n 加 e x， 呃，减五 n， 然后再加五等于零，说明这个方程呢，是由两个大于零的不等式根， 没问题吧？两个不等式根，这是第一步啊，也就相当于函数 y 的 n x 方减去括号里面四 n 加一乘 x 减去一个五， n 加五与 x 轴 有两个大于零的交点，对吧？大于零的交点 好吧，呃，其中呢？这个，呃对称轴呢，它是一个二 a 分 之负 b， 也就是二 n 分 之四 n 加一。 所以咱在画草图的时候第一种情况啊，如果 n 大 于零，那抛物线开口向上，对吧？对称轴呢，是直线 x 等于二， a 分 之负 b， 这玩意它已经怎么样了呢？已经大于零了，所以咱只需要保证 当 x 等于零的时候，函数值大于零就行了，对吧？把 x 等于零带进去啊。呃，负五 n 加五要怎么样呢？要大于零，这样呢，就能解出来了。 n 小 于一， 好吧， n 小 于一不能取等号啊，因为他说的是 x 大 于零，不是大于等于零，这样呢，就能确定出来，当 n 大 于零的时候，范围就应该是大于零小于一， 好吧。第二种情况就是如果 n 小 于零，如果 n 小 于零，抛物线开口朝下，对吧？那图就应该长这样。那 此时就得满足什么东西呢？就得满足 f 零小于零了，也就是 n 得大于一， n 大 于一还要满足 n 小 于零，那是不可能的，这种情况就直接舍掉了啊。所以求出来 n 的 范围确实是大于零小于一，其实你看到这个等于一就能排除掉了，对吧？就是不成立的。 大于零小于一啊，那为什么还会有一个 n 不 等于六分之一呢？他是来源于这个方程呢？他必须要有两个不等式根，也就是那个 d， 它在这里面的话，就是四 n 加一括起来的平方减去一个 c， c 加上一个四 n 乘五， n 减五了。相当于啊，整理完之后呢，十六 n 方加二十 n 方，三十六 n 方三十六 n 方前面有个加八 n 后面有个减去二十 n， 也就是减去一个十二 n， 对吧？乘数上加一这玩意，它得大于等于零，这是个什么东西呢啊？它得大于零啊，两个不等十根，这是个配方，这是一个完全平方公式啊。这不是六 n 减一括起来平方吗？它要大于零，那说明 n 只需要不等于六分之一就行了。 就是，那两个东西怎么来的啊？大于零小于一或 n 等不等于六分之一，这个地方不能取等的啊， n 是 小于一的，大于零小于一的啊，不能取到等号。好吧，答案确实选 c 啊，只有前两个是正确的好吧。 呃，听明白的同学聊天区扣个焦点分布。这个没听明白的同学，一会直播完之后记得微信再跟我要一下那个焦点分布的视频啊， 勤思班也好，创新班也好，还是那个联赛还是那个联赛班的同学也好。那个焦点分布问题，这个忘了同学啊，聊在那个微信上，再跟老师要一下视频啊，这个是万能的方法好吧。 当然，这个题如果都大于零的时候，他有个特殊的解法，就是用伟大定律去做，但他不是不是通用的啊，他不是万能的好吧，如果他说了那两个焦点是介于零和七之间的，那你怎么办呀？伟大定律就没法用了啊，就得只能用咱讲的这个焦点分布的步骤来了。好吧， 就是李大本事还打了个这个交交点啊。抛物线和直线的焦点分布就是他的焦点分布在什么位置。好吧，他给了你一个限定的这样的一个条件，那咱就可以按照咱这个步骤来了啊。 步骤是什么东西呢？叫第一步画草图，第二步就是标这个临界，把那个区间啊，就是那个焦点分布的取值范围给他标上。第二个利用那个图像来列三个不等式，一个是第二塔，一个是对称轴，还有一个是那个临界值的， 有这三个不等式，最后求公共部分就行了啊，就是一个纯计算题。好吧，忘了同学再跟老师要一下这一讲的回放啊。好了，这是这个啊，接下来看那个第十五题填空题的这个最后一题啊， 哎，四分钟，好吧，把这题做一下啊， ok， 题肯定是要有想到一条辅助线的啊，把那条辅助线肯定是要画出来的， 好的，一起来看一下啊。它如图，在矩形 a、 b、 c、 d 当中知道 ab 等于三，长是四，这是它的背景条件。矩形啊， 说沿着这个折痕 fe 折叠，会把这个四边形 f， a， b， c 啊，五边形 f a， b， c， e 折到了 b 撇 a 撇 f e， c 撇的位置。说这个位置有啥特殊之处呢？ 有两个特殊之处，第一个特殊之处呢，说这里面的 e、 f 这个折痕呢，是和这个对角线平行的。第二个特殊之处呢，就是折完之后的这个 b 撇 c 撇呢，恰好经过点 d 恰好经过这个直角顶点，那想不影响这条件干嘛用的？立马想到什么东西， 是不是三垂直相似，对吧？立马想到构造三垂直。把 f 得 e 放在这个相似三角形里面，只需要做一条辅助线，过点 f 去做 b 撇 c 撇的垂线，那么就可以 e 正三角形 f， h， d 相似于三角形的相似。比，咱还知道， 对吧？就是 f 得和得 e 的 比值啊，就应该等于 f h 比上得 c 撇，当然也等于这里面的 h d 比上 c 撇 e。 哎，那这个 f 得比得 e 咱是知道的，这个时候你再把这个平行用上 f 得比上得 e， 这不就是阿尔法的正切值吗， 对吧？那不就应该和九 b a、 c 的 正切值是一样一样的吗？所以说 f 得比上这里面的得 e 的 话，就应该等于四比三呀， 没问题吧？四比三啊，而且 fh 的 长，你是知道了，等于 a 撇 d 等于个三，所以咱立马就可以利用这个三垂直相似求出谁了呢？求出得 c 撇了，得 c 撇的长呢，就应该等于四分之三倍的 fh， 也就是四分之九， 对吧？当你把 f h 等于三带进去的时候啊，得 c 撇的长度呢，就应该等于个四分之九，而且还知道啥东西呢，还知道这里面一撇 c 的 长和 h d 的 比值是不是也得是一个三比四啊， 对吧？也也需要得满足是一个三比四啊。那可以假设这个 c 撇 e 的 长等于个三 a， 那 么 h d 不 就是个四 a 吗？ 对吧？哎，那么 c 撇 e 是 三 a， 那 不就意味着 c e 也是三 a 吗？那就咱就可以利用平行得到什么东西了呢？得到 af 的 长了， 对吧？又因为 ef 和 ac 平行，这里还有一个平 a 相似呢，所以得 e 比上这里面的得 c 啊，或者说得 e 比上这里面的 e c 啊， 上比下就应该等一个得 f 比上一个 af 直接更比性质。所以说得 e 比上这里面的 f 就 应该等于 c e 比上这里面的 af 没问题吧？平行线分线段成比例啊，得 e 比上 ec 等于得 f 比上 fa， 那 这样的话，咱直接更比得 e 比上得 f 就 等于个 c e 比上 af 啊，那其中得 e 比上得 f 呢？咱知道他是一个三比四， 对吧？所以说 c e 如果设成三 a 的 话呢， af 就 应该是一个四 a af 四 a， 那 么 a 撇 f 不 就是四 a 吗？ b 撇 h 也是四 a 了， 对吧？那你就可以列方程了，八 a 加四分之九等于整个 bc 等于四，所以八 a 等于一个四分之， 呃，四分之七，对吧？八 a 等于四分之七，那让咱求的是谁呢？求的是这里面 af 的 长腿就是四个 a， 四个 a 是 四分之七的一半，也就是八分之七结束。 好吧，一共就用了两个知识点，第一个三垂直相等，第二个知识点平行线分线的成比例，中间呢？射源导边就行了啊，这个倒是不难好吧，聊天区扣个七，听明白的同学，听明白的同学来聊天区扣个七啊。 好了，看二十四题啊，今年那个历城的二模啊，跟这个淮阴区呢，他都比较特殊，他把那个倒数第一题， 呃，就是去年中考和前年中考的那个二次函数的位置和那个几何压轴题的位置给他换了一下啊，不过这也没啥没啥这个区别啊，因为二三年级以前的时候一直都是二次函数在最后一题的位置啊。其实这两个题在难度上相比来说的话，没有一个太大区别，一个是算的难，一个是几何思维想的难， 对吧。先来看二十四题，不过历程的这个二十四题还是相对来说非常的温柔的啊，出题人还是比较善良的，对吧？说有个矩形叫做 a， b， c， d 点 e 呢，是直线 b 的 上的一个动点， 看清楚了这个点 e 它在什么位置上面，它是在对角线上的一个动点，合着说那个矩形 a， e， f， g， 它的大小是随时改变的啊，它不是一个旋转型的 好吧，这个点 e 是 在 b 得上面移动的啊，这直接决定了咱们的第三问该如何处理啊？说连接 a e 以 a e 为边，又做了一个矩形，两个矩形，说白了，长宽之比都等于 m， 也就是两个矩形相似呗， 那共顶点，这不就是手拉手吗？如果 m 等于一的话， m 等于一啥意思呢？就是 a 得等于 ab， 对 吧？哎， aj 呢，又等于 ae， 这里面的这个角 b a e 又等于这里面的角得 aj 都等于九十度。减去一个公共角，那不就可以手拉手得出这里面的三角形 a b e 全等于三角形 aj d 了吗，对吧？ aj aj 了啊，两个三角形直接全等了 好吧，全等的判定条件是啥呢？ s a s 全等出来以后， b e 等于得 j， 位置关系 b e 垂直于得 j 啊，这个垂直咋来的呢？ b e 和得 j 为啥垂直呢？对应角相等啊，角 j d a 等于角 abd 四十五，俩四十五怼一起肯定是九十啊， 这狂一七年级的孩子就会做，对吧？这没啥难点啊，来看狂二是不是也是一个常规的手拉手相似啊？ 说 m 等于二的时候，来猜想它俩之间的数量关系，那么 b e 比上的，这就应该是个一比二，位置关系 b e 和的，这依然垂直。证明方法利用的是什么东西呢？利用的是一个手拉手相似，对吧？先证明那俩 s 啊。 呃，因为 ab 和 ad 的 比值， aj 和 ae 的 比值都相等，这个咱就不用呃，证明了，他直接给咱了啊。呃，因为矩形，咱先推角相等啊。因为矩形 abcd 和矩形 aefj， 所以说呢，可以得到这里面的角 g a e 和这个角的 ab 啊，它应该是一个相等的关系，都等于九十度。所以说呢，这里面的角 b a e 和这个角的 aj 就 应该相等，都等于九十度，减去一个公共角 e a d， ok 吧。那然后呢，接着再利用人家给的 a d 比上 ab 等于 aj 比上 a e， 那么 s a s 的 条件就全了。三角形 a b e 就 应该相似于三角形 a d j， 好 吧，两个三角形一旦相似，那么对应边乘比例， b e 比上 d j 就 应该等于 ab 比上 ad， 也就等于二分之一，好吧，然后垂直怎么正的呢？就是通过角相等，角一就等于这里面的角二啊，所以角一就等于角二啊，因为角二呢，加这里面的这个角三， 角一加这里面的角三呢，它是一个九十度， 所以说呢，角二加角三就得是九十，也就说明这里面的 b e 啊，就应该和这个 d j 就 应该是一个垂直的关系了，好吧， 呃，接着再来看这个考三第三问啊，好同学，这个没做，来把这个题做一下啊，把这个第三问做一下，好吧，四分钟啊，做完的同学呢，可以在聊天区把这个答案打一下啊， 一定要记住咱之前讲的那个台阶理论，好吧，这个几何压轴题的前两位，他一定是给第三位服务的，好吧，一定是给和这个第三位有用的啊， 算来的同学啊，立升学同学，算来的同学，可以聊天去打一下算的值啊， 这个狂三呢，非常常规的一问，就是求线段的最值，对吧？求 c m 的 最小值，点 c 呢，你可以理解成是个定点，对吧？点 m 是 个动点 啊，点 m 是 这个 b j 的 中点啊，它是在动的啊。那这个我要去求 c m 的 最小值的话，那是不得直到这个 c m 的 轨迹才行啊， 这个没问题吧？那这个 m 他 怎么来的呢？你得跟前面两位建立联系啊，对吧？你通过括号二能得到什么结论呢？前面的括号一和括号二 不光能得到 b e 和 g、 d 拉手线之比，一比二还能得到 b e 和 g、 d 两条拉手线是垂直的， 对吧？哎，有时候这个角他是一个直角好吧，角这的 b 是 等于九十度， 然后他又给了你一个特殊条件，叫做终点。那咱就应该条件反射呀，这玩意咱讲过呀，对吧？就是当出现 r t 三角形加钟点的时候，要想到什么东西啊？ 要想到什么东西，很简单，斜边中线上的吧，肯定要用到斜边中线定理啊。也要这个题的话，咱可以做一条辅助线啊，连接 md， 连接完 md 之后呢，咱就能推出啥来。 md 的 长度就应该等于 mb 的 长度， 对吧？永远都是 b g 的 一半啊。为什么要选 m 的 等于 mb 呢？因为这个时候你就会发现 m 它到两个定点的距离相等，所以说 m 的 轨迹就确定了， m 就 应该在 b 的 什么上面 垂直平分线上， ok 吧，那这个点 m 的 轨迹就能确定出来了，过 m 去做垂线就行了，好吧，哎，它永远是在这个垂线 b h 上面吧， 好吧，永远在这条垂线上面啊。呃，那这个咱把这个加粗一下啊，这就是它的那个轨迹。 哇，这就是他的那个轨迹啊，在这条红线上面。好吧，那什么时候 cm 最小啊？那太简单了， cm 的 最小值就应该是过点 c 干嘛呀？ 做垂线了，对吧？假设垂足叫做 n， 那 么最小值就应该是 c n 了， c n 咋求啊？其实很简单，这个角二法的正，这个三角函数已经给咱了，或者你用相似也行啊， 对吧？这个角的 bc 就 应该等于这里面的角 bc， n 就 应该等于个二法，所以利用这个二法的三边比例关系，一比一，一比二，比根号五，求出这三条线段当中的一条线段来就可以了。哪条线段能算出来， 哪条线段可以算出来是不是 hc 啊？为啥呀？既然是钟垂线，那咱还要想到一个东西，叫做见钟垂 连两边呀，对吧？你这中垂线有用的呀，对吧？连两边连接 h d， 那 么 h d 的 长度就应该等于 h b 的 长度，那就可以写成什么东西呢？就是二根五减 x 了， 好吧，哎，这里面这个 h d 的 长度就能写出来了，二根五减去 x 啊，其中 c 得的长呢，又和 ab 相等啊，始终是等一个根号五，那咱就可以列勾股方程了，对吧？ x 的 平方加根五，五的平方等于二根五减 x 的 平方， 展开之后呢，就是一个二十减去四根五 x， 再加 x 方 x 方 x 方直接约掉四根五， x 等于十五，减出来 x 等于四根五分之十五，化简一下，也就是四分之三根五。 好吧， x 等于四分之根，四分之三根五，所以 c h 的 这个 c n 的 值呢，就应该等于几呢？它不是一比二比根号五吗？对吧？ 合着这里面的这个 h n 就 应该是四分之三，两倍的四分之三，所以算出来答案呢，有二分之三啊，一点五啊， 最小值一点五。好吧，这个题呢，就是第一个考点，就是考验大家的类推能力，你要牢牢记住咱们这个几何压轴题的第一问和第二问，还有第三问，他是前后有联系的啊，前后有衔接的。 第二问给第一问服务了，第二问的结论一定要在第三问当中体现出来才行啊。呃，然后接着下一个考点呢，就是直角三角形加中点，要想到斜边中线定里， 好吧。第三个考点就是中垂线的性质，以及中垂线的辅助线见中垂连两边，好吧。第四个考点就是勾股方程，好吧，最后一个考点相似求值或者三角函数求线段值就 ok 了啊。听明白的同学聊天区扣个一点五。 听明白的同学来聊天区扣个一点五啊。 好的，接下来看这个最后一题啊，二次函数的压轴题，来把这题做一下啊，一分半把第一问先做了， 怀疑这个应该问题不大啊，他已经告诉咱经过负二负一了，那就直接把负二负一带进去，得到负一呢，是等于一个 呃，四减二， b 再减一的啊，这样呢，就能求出来 b 的 值，对吧？二 b 等于四，求出来 b 等于二。所以说抛物线呢，这个表达式呢，就应该是 y 等于 x 方，呃，然后呢，加上一个二 x 再减一， 好吧，外边 x 方加 x 减一啊，然后他的顶点坐标呢？直接代公式就行了，对吧？应该是横坐标呢，二 a 分 之负 b 也就是负一纵坐标呢，带进去呢，是一减二再减一啊，也就是负二啊，负一都负二， 这样呢就可以求出来这个顶点坐标了啊。接下来看第二个，他把这个 p q m 呢，呃，做出来之后呢，说这个刚好顶点落在 q m 上面，这是什么东西呢？他说从抛物线的第一项线上找了一个点，叫 p， 设横坐标为 m， 设它的横坐标为 m， 那 纵坐标不就能表示出来了？ m 方加二 m 减一，对吧？那它连接 p o 并延长，使得 o q 呢？是 o p 的 两倍。那你想一下啊，我过点 q 做完垂线以后，假设焦点叫做勾和凯， 那么你这里面的三角形 q 勾 o 肯定是和三角形呃， p k o 两个三角形相似的，而且相似比是二比一啊，对吧？相似比，既然是二比一，这个咱写一下啊， 勾和这里面的 x 轴垂直，那么三角形 q 勾 o 呢，自然就相似于三角形 p k o， 那么这个 o 勾的长度呢，就应该是 o k 的 两倍，也就等于个二 m， 对 吧？呃，勾 q 的 长度呢，就应该等于个 p k 的 两倍，对吧？这个地方那个点 p 的 坐标自然就设成 m 度， m 方加二 m， 然后再减一了， 对吧？ m 方 m 方加 m 减一啊。那么勾 q 的 长呢？就应该等于个 p k 的 长，也就等于这个 o 勾的长，等于两倍的 ok， 等于个二倍的 m， 勾 q 的 长等于两倍的 p k， 也就是二 m 方加上一个四 m 减二呗， 对吧？这就勾 q 的 长。他说了这个经过抛物线的最低点，那抛物线的最低点是谁啊？ 过哪个点？不就是它顶点负一负二吗？那也就说明这个二二 m 方加四 m 减二，等于啥呀？等于几啊？ 注意它的长度，它是等于它，它是在第四象限啊，第四象限，那它的坐标应该是个负数，长度就应该等于二，对吧？顶点到对 x 轴的距离不就等于二吗？那解方程就行了， m 方加 m 减二等于零，来，快速算一下，看谁算的快啊， 一分钟，抓紧时间算一下啊。 负一加减根三对吧？负一加减根三啊，就是因为它在第一项线 m 大 于零，所以说 m 它只能等于个负一加根三了。根三减一啊，所以说求出来点 q 的 坐标呢，就应该是负二，根三加二都负二。 好吧，这是第二问啊，前两问没问题的同学来聊天区扣个二。前两问没有问题的同学来聊天区扣个二啊。 这个应该不是特别难啊，应该还可以啊。 好了，看到考三，来把这个考三做一下啊，这个是这个难题对吧？这这里面比较难的一个题了啊，抓紧时间啊， 做了爱同学可以在聊天区扣个一啊。 好，来看一下这个题的第三问啊。呃，抛物线在 p q m 内部的点的纵坐标为 c， x 的 增大， r 增大来求 m 的 取值范围。呃，那其中呢，咱肯定是需要先满足这个点 p 第一个要求啊，满足这个点 p 是 在第一象限的。 呃，如果不满足这个要求的话，那没法解，对吧？因为人家说了这个点 p 必须要在第一象限啊，那点 p 的 坐标咱是不是已经表示成 m 到 m 方加二， m 减一了？所以说在第一象限的话，需要满足 m 大 于零， m 方加二， m 减一也得大于零， 这样的话可以解出来 m 的 一个取值范围叫做大于。呃，根二减一是吧，大于这个根二减一啊。 然后第二个要求呢，就是需要满足这里面的这个 y， 它是随着 x 的 增大而增大的，那哪一种情况不行呢？是不是就是顶点在内部的时候是不行的？ 如果这个顶点在三角形内部的话，那它必定往左延伸出去，往右延伸出去，就会出现先下降再上升， 对吧？所以呢，咱们就把顶点在内部的范围算出来，然后取它的补集是不就 ok 了？那怎么样保证这个顶点它在内部呢？首先就是它要在这个直线 p q 的 啊下方，如果在 p q 上的时候啊，那它，呃一旦跑到 p q 的 下方啊，这个是不可以的 好吧，呃，那么此时的这个不等式怎么去列呢？咱可以利用这个点 p 的 坐标 m 到 m 方加二， m 减一， 去把这个点 q 的 坐标表示出来，应该是负二， m 到负二， m 方减去一个四 m 加二。所以呢，就可以把这个 p q 的 表达式算出来，先算 p q 的 斜率啊，斜率就应该是三 m 方加上一个六 m， 然后再减三，比上一个三 m 啊，那整理一下，就应该是 m 减 m 分 之一，然后再加二，所以它的表达式呢， p q 的 表达式就是 m 减 m 分 之一加二，括起来乘上 x， 那 么令 x 等于负一，顶点坐标不是负一度负二吗？令令 x 等于负一， y 呢，它是等于一个负 m 加 m 分 之一啊，减二的。如果顶点在它下方的话，那也就是说这个 y 它是要大于负二的， 也就是说这个负呃，这个 m 分 之一减 m， 它要大于零，也就是一减 m 方大于零，呃，解出来 m 呢，它是 呃大于负一小于一，大于负一小于一啊，所以此时要取它的补集的话，那就应该是 m 大 于等于一 啊，因为这个小于负小于等于负一的话，不可能，因为必须满足 m 要大于根二减一啊，所以 m 大 于等于一是可以的好吧。然后第二个小的要求呢，就是需要满足这个顶点呢，它要在这个 qm 的 上方，相当于也说 q 它要在顶点的左边， 好吧， q 在 顶点的左边，或者说这个点 q 呢，它需要满足在呃抛物线的下方， 在抛物线的下方，好吧，那点 q 的 坐标它是多少呢？是负二 m 到负四 m， 负二 m 到负负二 m 方，然后呢减四 m 再加二。 那么当咱令 x 等于负二 m 的 时候，见到 y 是 啥呢？是负二 m 的 平方变成四 m 方，然后减去一个四 m 再减一，对吧？这个要怎么样呢？他得呃，按照咱画的这个图的话，他是需要满足这个呃， 在这个点 q 的 上方，也就是大于这个负二 m 方，减四 m， 然后再加二。整理一下，也就是六 m 方，需要大于三 m 方，大于二分之一，也就是 m 要小于负的二分之根二，或者大于二分之根二，取补集的话，那就是 m 小 于等于二分之根二， 小于等于二分之根二，还得满足大约根二减一的要求。所以说最后综上所述，这个 m 的 取值呢，需要满足，呃，大于根二减一，小于等于二分之根二， 或者是 m 大 于等于一啊。比如说这个题呢，咱可以这分析的方法是这样的，就是怎么样能保证 y c x 的 增大而增大呢？就是保证这个顶点不落在内部就行了。 那你就画一个点在内部的，找出它的要求来，然后再取呃它的补集就 ok 了啊。这列题的括号三。
02:58查看AI文稿AI文稿历下区初三的二模考试已经结束了，成绩呢也都出来了，很多家长呢，看到成绩后有点不知所措，成绩比一模下降的不知所措，成绩比上次提高的也不知所措， 什么原因呢？今天呢，我们就来说一下，就历下区这套二模卷如何来看待成绩，关注我，你不会吃亏！先给视频点个赞，谢谢！第一，家长们一定要先承认孩子的努力呢， 有很多家长啊，只要这次成绩比上次分高，首先想到的呢，这次试题是不是简单啊，是不是这次运气好啊，你反成先想到的肯定不是孩子这段时间的真努力了，这是病，咱们得治。 作为家长呢，一定要知道，孩子比之前成绩提高了，他们最想得到的就是爸爸妈妈的一句表扬和鼓励。第二， 这次历下区二模考试，如果孩子的成绩与上次持平，就说明孩子比上次进步了，因为二模的试卷呢，比一模的难度要大，所以呢，大家不用担心。第三，刚才我说了，成绩提高的家长呢，也有点担心， 因为听说二模比一模难度还大，孩子提高了二十分，三十分，提高的越多，家长越没底，到底是咋回事啊？我跟你说咋回事， 说明孩子在一模之后，到二模考试的这一个月，这个二轮复习起到了关键作用，孩子是真下功夫了。有的孩子按照我说的，把各区的一模试卷呢都刷了个遍， 并且综合做了试卷分析，错题整理，并针对错题呢，找到试卷加强训练， 查缺补漏的非常到位。那你说到了二模考试，即使是难度大一些，他也会成绩提高的，因为孩子努力的程度已经超过了二模比一模难度的这个比例， 所以孩子二模提高了，家长们一定要鼓励表扬，继续坚持通过各区的二模试卷呢，再查缺补漏一遍，好好做好三轮复习。 第三，如果孩子这一次比一模低了二十分以内，说明孩子呢，在原地踏步，没进步，也没后退。如果低了二十分以上，那就得正儿八经的找他聊聊天了。 到底是哪里出了问题，能不能说说出理由，帮孩子一起来分析分析。记住啊，是分析，不要骂，更不要打，他们比谁都紧张，考差了比谁都难受，咱们不要再火上浇油，可能他们此时此刻最需要的就是我们的安慰和鼓励， 可能这一次的安慰和鼓励对他们在中考之前会起到决定性的作用，我们家长千万不要做让自己后悔的事，都这个时候了，孩子的情绪稳定是最重要的。关注我，我是你的好朋友宋老师。
01:15:07查看AI文稿AI文稿中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。
11.9万亮亮巧解数学
01:02查看AI文稿AI文稿预测一下二模的成绩有没有一模好？哈哈哈，没有一模好，没有一模好，没有一模好的话，他们就白学了，二模的试卷比一模要简单多了。是的，二模试卷比一模确实简单。现在让我们来分析一下二模的试卷 选择题啊，基本上这次正确率还是很高的，是吧？对，你也感觉是吧？嗯，好，基本上错一个，对，基本上错一个，好多同学应该都能全对。然后你看一下十一题，十二题和十三题都是上一次我们考过的那个信阳市二模的那个，你看一下，对，拿不到九分的都是，哈哈哈，拿不到九分，而且他那个计算题也很类似，你看了吧？嗯， 所以就是我感觉咱们这个，咱们县里的这个二模考试好像是类比着市里的二模考试出的题很像，然后大题，你看那第二十题，前一天我们去听公开课的时候，那个老师还讲了 二十题。啊，好像讲了这个呀，这个二十题，咱按摩试卷这个二十题，这个两个相似。那讲了讲了，讲了，对吧？我就因为我就听他的公开课，我看他讲了，然后我回去我讲了，你讲了没？讲了，我专门考前前一天还在他们练了。你也是考前一天练的？对，我也是练了，然后他这次做的好像还好，比比不练强一些。
1137周小希💦
00:42查看AI文稿AI文稿六十二分的孩子，二模考了一百一十六，我是这样做到的。春节后一个家长带着孩子找到我，期末数学呢，只有六十二分，开学以后每天中午来我这里学习半个小时，这半个小时只做一件事，就是从初一开始做每张的课后复习题， 做题的过程中哪里有漏洞就去补哪里，每天这样雷打不动。同时要求孩子老师布置的作业呢，能做多少做多少，但是前提是要保证十点半以前睡觉， 就这样坚持了两三个月。二模考试一百一十六，这个孩子中考数学一百二，重点高中没问题。
20纪老师｜五娃爷爷
02:31查看AI文稿AI文稿这次沈阳二模数学考不到一百零八分都不过关，真不是我夸张，这次卷一点都不难，压轴题也没有故意为难孩子，沈阳这次出题真的是手下留情了啊。有可能这次考完之后，老师那还没考一百零八咋整啊，完蛋了吗？这不，这我得好好说说，我好好骂骂他啊，没有必要啊。这 次考试几个变化啊。第一个，十八题考三角函数。首先十八题这个位置它本身就不是难题的地方，三角函数放到这了更简单。而且这次三角函数考的就是一个给了一条边，让你 依次进行导边的一道题，没有其他任何东西，都不需要设方程，也不复杂。然后二十二题和二十三题跟以往我们的考试形式调换了个位置。二十二题以前我们考几何，这回考的是函数，但是函数挪到这个地方之后，它变简单了， 绝对要比在二十三那题的时候要简单一些。然后你说二十三题现在考几科，是不是几科贼难呢？也不难，就省了一个手拉手。就说手拉手这个东西，在正经八北大考里好几道题用着了，这两道题用到手拉手他 也不太常见，所以说难度也不大。但是二十三题的最后一问就是括号三的圈二，还是稍微有点难度的，但不算超纲。多了个相似呗。多了个相似，咱们一相似，一导编一表示勾股一整完事，但是你说老师这回咱就没打好，或者是估计咱家孩子可能老师到不了一百零八呀。一定要做试卷分析， 一定要对照试卷去找问题哪，除了二十二题和二十三题，最后一问，前边你哪错了，哪就一定有问题，因为前边都不难，就算是二十一题的圆，它难度也不大。 这回可得找一找了啊，哪扣分哪不会抓紧时间练哪？还有一个月的时间，你练个一块两块时间足够用。最后这一段时间一定要针对自己的弱项，这样的话才能提分最快。很多孩子可能也不清楚自己的不足点在哪， 家长没有办法帮我分析，有的知道哪里不足了，也找不到合适练习题，不知道该刷什么样的题才能贴合考试。我这边有平时我给我的学生整理好的信 息资料啊，按照辽宁历年真题划分出的必考题型，你哪不行，你就专攻那个位置中考题去，我都整理好了，直接拿去就用。如果说有需要的评论区跟我说一下中考真题，然后我给您发过去，会编版的啊。但是呢，各位家长老师，孩子考八九十分咋办？就考这点分怎么整？老上火了也别上火， 还是那个问题，除了二十二二十三，找薄弱点去补，不是补课啊，去学学明白，这就完事了啊，把自己的漏洞 补平了，这就 ok 了。如果说是外室的这些家长啊，想让咱孩子练一练的，也要拿去练，直接去评论我们的二模题啊，或者是数学卷，评论啥都行，你告诉我一声，你想要。
224沈阳数学徐老师
02:54查看AI文稿AI文稿今天来解析一下淮阴区二模的语文试卷，嗯，难度真的是拉满了，我估计很多同学考完了语文这个学科都比较也累，来看一下第三题，修改病句啊，他考察的是一个搭配不当，结合我们一模的这个难度来说，一模的那个就相当于送分题 啊。然后第四题是让我们给六号线大明湖写一个宣传标语，按理说这个题型应该是一个送分题，但是他后边接了一个体现历史与地铁的融合，再加一个修饰词，不少于二十字 这个要求来说，一下子把难度就给拉升了，一个是字数的限制，一个是修辞，再一个就是我们内容上要体现历史与地理的一个融合，这个难度系数应该是在五颗星啊。然后第五题真的是， 呃，我就想去审考一下我们怀庆区的教员为什么要出的这么难？第五题是一个语言表达与情景的运用啊，他让我们既能保留这个遗址的特色，又能符合文物的要求。我觉得缺乏一些社会实践的同学来说这个题，我估计他们根本就读不懂， 更何况让他们再去提上两条建议，就是给屏幕前的家长说，如果在中考的时候遇到个这样难题，大胆想象啊。接下来说一下我们的这个文言文，文言文对比我们一模来说也是难度系数直接拉满了。 一篇文言文，他考察的其实是一个说理的散，我们对比一模，一模考察的是人物传记啊，会分析人物的形象啊，人物的一个志向。而说理性的散文，首先你要通过文言文要读懂他要表达一个什么样的道理？ 其次呢，我们还要捕捉到作者的一个志向啊，去探求我们整个文章的一个主旨。那第十一题，他考察的也是托物言志以及我们主旨的一个分析方法啊， 这个比较符合我们中考的一个命题的标准，但是难度来说的话，要比我们一模要难一点。那第十六题是我们名著的一个考察，他考察的是人物与苦难之间的一个关系。那这个题目呢，更侧重于我们对名著精神内核的这么一个理解， 我们中考考名著的一个命题方向是完全一致的。那最后是现代文阅读，现代文阅读二十一题考察的是片段作用分析，二十二题考察的是情节设置的作用。 二十三题呢，是标题的含义理解，相对于题型来说，都是一些常规性的题啊，并不是很难。大部分同学结合着模板去答题呢，都会能得到相对应的分值。 但是在这篇文章，文章的内容是比较新颖的，需要学生有一个思辨的能力。那二模他更侧重于理想与现实的这样一个碰撞，更侧重于思辨能力。答题呢，也需要结合多种层次来去分析，难度呢，是明显上升的。 那二模的这个材料作文，跟我们市中区的材料作文其实本质上是一模一样的一个题型，它更侧重于内音与外音，过程与结果的这么一个关系。 所以这个题刚已读出来的时候，我觉得大部分同学他会选择写继续文，因为继续文相对来说比较好写，结合着成长与努力、奋斗与收获这样的一个话题来去写一篇继续文就 ok 了。那如果你要上升到议论文的话，相对来说难度就有点大，偏哲理性的这种议论文要更贴切于我们这篇文章的一个题目要求。
268济南任老师语文规划
05:33查看AI文稿AI文稿初三二模考砸了，中考真的还有救吗？二模出分的那一刻，很多初三同学的心态直接崩了。明明每天熬夜刷题背书刷卷子，拼尽全力冲刺，结果分数不升反降，排名直接滑坡。看着成绩单瞬间心态崩塌，忍不住怀疑，是不是我天生就学不好？是不是已经定型了？是不是无论怎么学都来不及了， 中考彻底没希望了？我特别懂这种无力感，也想直白告诉所有此刻失落的同学，二模考砸，从来不是中考的终局，而是你最后一次逆风翻盘的绝佳机会。首先，大家一定要记住一个核心真相，二模的作用从来不是给你的中考定分数，而是帮你查漏补缺，排雷纠错。一模考基础，二模考综合考，心态考硬是节奏。 很多同学二模翻车，不是实力不行，是复习方向做题习惯，硬是心态出了问题。距离中考还有三十多天，足够改掉所有短板，拉回分数。今天只讲能直接落地，每天照着做就能提分的干货，帮你把二模的漏洞全部变成中考的加分项。一、先找根因。你二模考砸，大概率逃不出这四个原因。 一、基础不牢，综合题型直接崩盘。一模只考单一知识点，背过公式，记过定理就能拿分。二模全是夸张节，综合题一道题融合三四个考点。很多同学看似基础学完了，实则是假性掌握，单独做题会混合，出题就懵，题型一遍就出错。 二、刷题只追数量，不复盘无效。努力每天刷几十道题，刷整套试卷，但错题从不整理，同类题反复错。刷题的意义是找漏洞，你刷了一千道题，不改错，不总结，本质就是重复犯一千次错误，分数自然上不去。 三、做题节奏混乱，考场时间分配极差，二模很多同学不是不会做，是做不完。前面简单题纠结细小选项，导致后面大题、压轴题没时间思考，仓促乱写，白白丢分。还有同学过度追求压轴满分，忽略基础题，中档题捡了芝麻丢了西瓜。 四、心态浮躁，考前复习状态松散，进入冲刺后期。很多同学陷入疲惫期，看似坐在书桌前，实则走神，假装学习知识点，越学越乱，越背越模糊。考试一、紧张，原本会的题也频频失误。 二、提分改正方法，不用再盲目熬夜，盲目刷题。这套方法专为二模失利同学定制，每天照做，稳不提分。一、放 弃题海战术，执行错题清零法。最后阶段提分最快的不是刷新题，是吃透旧错题。把二模试卷、近三次模考卷错题全部整理出来，不用抄题，直接剪贴标注即可。重点做好三步，标注错误原因，基础知识点遗忘，审题失误，计算错误题型不会思路偏差。二、回归课本，溯源错题对应的知识点，立刻翻课本，看笔记， 重新背诵理解，彻底搞懂原理。同类题复盘巩固，每种错题找二到三到同类题型重做，确保下次遇到同类型题绝不二次出错。核心原则，宁可少刷十道新题，也要吃透一道错题。二、狠抓基础分，守住百分之八十的保底分。中考百分之七十到百分之八十都是基础题加中档题，压轴题只是拉分点缀。二模考砸的同学 普遍基础漏洞多，现在立刻调整重心，语文默写古诗文课内文言文基础并句自音自行。每天固定背诵复盘数学公式定义基础题型简单计算放弃偏难怪压轴小题 优先保证选择填空前三道大题零失误。英语单词反语固定句型作文万能句式，每天背诵默写完型阅读，重点练基础题型，理科基础计算题逐个过关，杜绝基础扣分。三、刻意训练考场节奏，解决做不完 粗心问题。每次模拟刷题，严格按照中考时间计时，完全复刻考场状态，先易后难，遇到卡壳的题，超过五分钟没思路立刻跳过，决不恋战！二、做完简单题立刻检查，杜绝计算错误、审题漏条件等低级失误。三、最后预留十到十五分钟整体复盘试卷，补全遗漏题目，坚持一周就能彻底改掉做题拖沓、 考场慌乱的问题，有效挽回十几二十分的粗心失分。三、各项学科提分方法，重点抓基础分，加高频考点，确保基础分稳拿一、 一。语文板块抓重点，一百八十个识字早晚过一遍。古诗文必背四十篇，每天抄三篇，错一个字整句抄十遍。作文素材分类整理， 人民日报京剧每天摘抄三句，万能开头结尾反复打磨，阅读理解背模板加高频考点，中考反反复复就考这十二个名著导读都整理好了，背下来直接用。二、数学板块必须拿下，死磕基础，每天花十五分钟背诵并默写这些快速解析技巧，直接套用圆的模型集合，反复熟悉 二次函数破题大招，直接秒七十道核心母题刷三遍小题大题都不再怕错题本必须写清错音，加正确步骤，加同类题标记。 三、英语板块每天不能停九六零，此按高频顺序背完心填空背九幺幺法则。五十篇语法填空逐句分析六十个核心句式拆解结构。阅读题按模板找答案，万能作文模板背到脱口而出，考场直接默写八篇中级押题预测作文，中考就从这里出自的。每天练衡水字体十分钟，卷面分五分不是白给的。四、物理化学篇，物理学会搭积木。 九十四个核心考点刻进 dna 里，把十五个必考实验题重点做成思维导图，考前过一遍直接开挂。计算题背公式步骤分必须拿到手。化学抓住三大命门重要方程式汇总，每天默写工艺流程，答题套路必须吃透。二十二个必考实验汇总，考前过一遍，酸碱盐必考重难点我也给你整理出来了。 五、道法历史篇政治大题背模板，选择题背满分答题技巧，材料题总丢分，码住这篇满分话术成绩不下九十加，每天花十分钟看时事新闻，并思考他能和课本上哪个知识点结合。历史时间轴加因果链论述题背景事件影响，抄材料也能拿分。 大题背大题模板，怎么答都是踩分点。以上提到的资料已经整理成合集，包括数学大招、语文英语模板、文理综全套素材，需要的直接来找我拿。最后想跟所有二模试卷说几句心里话，二模考差 真的不可怕，可怕的是你因为一次失利否定自己所有的努力，开始摆烂焦虑，自我内耗，白白浪费最后的冲刺时间。每年都有很多学生二模成绩平平甚至垫底， 最后三十几天逆风翻盘，稳稳考上理想高中。中考真正比拼的从来不是谁前期考得好，而是谁最后稳住心态，找对方法，坚持到底，别认输，别放弃。稳住心态，找对方法，你一定能考上理想的高中！中考加油！
01:36查看AI文稿AI文稿相关二模数学难度如何？跟一模比难度怎么样？那跟一模比呢？难度还是相对是持平，也没有说二模比一模简单这一说，而且看起来这个二十四题的难度还属于降维。然后前二十题保留了 去一模的一些原有的题型和新题型一直在出现，只是十八题改成了一个一次函数求取值范围 二十二题的网格作图呢，无耻划给了旋转，模仿了南杠区的模拟考试，然后求了一个线段长度，没有求三角函数。总结一下，前二十五题难度不大，有机会得一百，退而求其四九十七九十六都是可以得到的，不太难。 而二六二七的二十六题呢，还是给了背角，如果能把条件倒明白的情况下，二六题第三个还是可以做出来。 r c 的 第三位呢，就看你时间够不够，蹭分还是可以，因为这里面含了一个基本型的手拉手连接 n c 就 能得分，所以总结难度和一模基本持平。然后 二六二七亚洲大题难度一般，不算难，如果你没有时间答二六二七，说明前二十五题你练的还是不够到位，速度上还是有问题，所以你留给二六二七的时间可能是不够，所以你还要压缩你前二十五题的做题时间，把那些所谓的新题型练六，把前二十五题时间压缩出来， 二六二七去做第三位，特别是二六三，以目前剩余的时间还是够用去得分啊。我给你的建议就是二七三无所谓了，扔就扔，但二六三你现在的水平还是建议你练一练，得分还是可以。
67大宏老师讲数学
