数学七年级下册做对称点画图题怎么画
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02:41查看AI文稿AI文稿江苏七年级的娃看一下，像这种格点作图啊，期中考很常见，但是总有娃在第三问丢点分，那今天教你一招，下回碰到可以试试。来吧，给个边长是一的网格说三个顶点呢，都在格点上，说请用无刻度的直角完成画图， 不能用圆规啊。前两问，平移和旋转我们就不说了，很简单，主要来看第三问，说点 m 是 边 a b 上一个点不在格线上， 那就不能通过隔点去对称嘛。说画出点 m 关于直线 l 的 对称点 m 撇，那像这种呢？和我们尺规作图的思路很像，就是你先看看画好之后呢，大概长啥样。这个 m 对 称过来的话，大概在这个位置。我怎么找到这个 m 撇呢？ 这里注意了，我们只能用无刻度的直尺，而这个直尺呢，只能去画直线。我们知道两个点才能确定一条直线， 而我们又可以通过两条直线的交点来确定这个 m 撇。那顺着这个思路， m 是 在 ab 上，那 m 撇呢？应该是在 ab 关于 l 的 对称线段上， 这个 b 点和 a 点的对称点都好找，因为它是隔点嘛。那有了这样一条线，我们只要再来一条线和这个红线相交，就能确定 m 撇了。 我们刚才说了，得有两个点确定直线吗？那你就找两个特殊的点看一看。怎么找啊？先把这个 a 撇 b 撇写上，再画对称。这块有个常用的方法，举个例子啊，假设我们选择 ab 和 a 撇 b 撇这两组对应点， 我们把这个 b 和另一个 a 撇相连，那就会和对称轴有一个交点，那我只要把另一个 a 点和这个交点一连，这个 b 撇自然是在这个延长线上，这不就对称吗？那利用这一点，我们想画的是 m 的 对称点吗？ 那我们只要找 m 和这边三个里的其中一个都行，也就是 a 撇， b 撇和 c， 这三个点都会和对称轴有一个交点。你看比如我们找这个 b 撇， 他和对称轴有一个交点，这个时候我们只要选择把这个 b 和交点一连，就像我们刚才说的，这两个点就确定一条直线了，确定的这条红线延长，就能通过和另一条直线相交，得到了一个 m 撇，这就搞定了。 就是咱们刚才说的利用两条直线相交来确定这个点，而这个直线怎么来呢？两点确定一条直线。 所以同理我除了找 b 撇呢，我还可以找 a 撇， m 和 a 撇相连，那另一边呢？我就找 a 和这个对称轴的交点并延长也行，那同理找这个点 c 也是一样的，你学会了吗？点赞收藏练起来吧！
469江苏初中数学思维老朱
01:21查看AI文稿AI文稿这个视频咱来讲讲怎么画轴对称图形。我给你一个三角形，给你一条轴，让你画这个三角形对称过来的图形怎么画？这简单，选三角形的顶点，让他关于这条线对称在脸上就好了。 也就是说，想要轴对称图形，只要对称几个点就可以了。那怎么对称点呢？比如这个点 a 怎么做他的对称点？ 你只要过 a 做对称轴的垂线，取这两条线段长度相等，这个点就是 a 的对称点 a 撇了。用同样的方法把每个点的对称点都做出来，再把对称点连线，就完成了图形的对称。 那如果对称轴刚好穿过图形怎么办呢？还是要做三角形 abc。 关于这条线的对称三角形，那就还找对称点点 a 对称过来是 a 撇点， b 对称过来是 b 撇，那点 c 呢？已经过来了呀，别急，你要做的是 c 关于这条线的对称点，既然 c 在右侧，那就这么对称过来，他的对称点在左侧， 依然顺次连接， a 撇， b 撇， c 撇，这个三角形就是对称之后的结果了。总结一句话，画肘对称图形的关键就是画出几个关键点的对称点，然后把对称点连起来，补全图形就可以了。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！
248lansq129
02:53查看AI文稿AI文稿在七年级下册学法上有这么一道题目，如果用手工去画的话比较麻烦，我们尝试用计算机帮下忙。先把题目的图片截下来，打开我们的工具， 选择几何格局， 将题目的图片粘贴过来，点右键改成背景图片， 将这些点先删去。接下来我们先画三角形，按照顺序开始画， 再到最开始的点上，点一下就画完了。然后我们画一条直线，两点确定一条直线。 接下来我们开始进行轴对称，轴对称的方法是先点一下原像， 再点对称轴，我们的直线没有放到最中间， 此时移一下位置，我们看到第一种情形产生了， 把它截下来，继续移动，这一根对称轴得到了第二种情形， 也是隔点三角形，我们把它截下来，如果继续移动，会不会有第三种呢？我们再试一下，又出现了一个隔点三角形，所以这又是新的一种情形，可以把它截下来，我们再尝试继续往左， 继续往左的话，已经超出了格子的范围，如果往右的话，这个也超过边界了，所以竖着的就只有这三种情形，我们再看看其他的，可能可以横着，我们试一下移动这两点。横着之后，我们找到了第四种情形，也把它截下来， 此时继续移动，此时格点已经不符合情信。同样的，如果往上也不符合了，那么横着的就只有这一种，还有没有其他情信呢？我们尝试着斜着看一下，先从对角线下手， 这样子调了之后，又得到了一种新的情信，也是符合情况的。然后现在继续移动对称轴，我们看到无法符合提议，所以只能再换情信， 所以符合提议的情形有六个可能。
01:08查看AI文稿AI文稿下列图案中，点 o 为正方形的中心，图色部分的两个三角形能够完全重合，则图色部分的两个三角形。关于点 o 呈中心对称的事， 我们先来看第一幅图啊。第一幅图的话呢，它是沿着过点 o 的 这条直线是翻折过来的，所以它不是中心对称。 a 选项 啊，也是一样的，这个对称轴呢，是给它斜着画，沿着对称轴给它翻着过来，所以它也不是中心对称。 而对于 d 选项，它是把左边三角形平移的这个方式移到右边 d 选排除 最后留有的 c 选项，它是关于点 o 呈中心对称。中心对称的含义就是绕着点 o 转一百八十度，其中一个三角形能够和另外一个三角形完全重合， c 选项是正确的。
29初中数学赵老师
02:51查看AI文稿AI文稿十一题，哎，又是一分钟来，一分钟之后，我们来讲倒计时，一分钟时间到来，所有同学看黑板，我们来看一下这个题目应该怎么做。一分钟时间到了，对于第一个，请在你图中画一个射线 b， c 上画一个点 d， 使得我们角 d a， c 等于角 b a c。 哦， d a c 等于 b a c d a c 等于 b a c。 哎，这不就做对称吗？嗯， d 简不简单？第一小问，这个超级简单，在上面找一个射线，找一个 d， 在 射线 b、 c 上面找一个 d， 这个 d 在 哪里？哦， d， 它的对称点就这个点，这就是我们的点 d。 第一小问，炮灰啊， 所以使得这两个角相等来送分。第二个，在图二中点 p 呢，为线段 b、 c 上的一个点点 p 为线段 b、 c 上的一个点。 先画线段 a、 b 的 中点 a， b 中点，这个中点会不会画呢？哦，中点肯定是这个点嘛，这个中点是不是大家都能画出来？所以这个中点我们给他取名叫 o 点。题目说了好，那么他就是我们的 o 点。 好，紧接着他又干一件事情，再将线段 a、 b 沿着 bc 的 方向进行什么？进行平移，进行平移，平移至 m n， 是 不是好？平移至 m n， 使它成为菱形。那菱形， 菱形就是五呗，一二三四五，一二三四五。哎，在这，这是 m， 一 二三四五，这，这是 n 啊，这是一个 m， 这是个 n， 这个画图结束了吧？好，下面这是第二小问结束。第三小问， 在这个二的基础上，先画一个平行四边形， a b p g a b p g， 哦，要一个平行四边，你看平行四边形是不是 p g g 在 这里啊， g 很 轻松就能搞定，应该没有人画不了这个 g 吧啊？ a g， 这个用虚线画 a b p g， 哦，这个 g 在 这里，这就是我们的 g 点好平行四边形画出来， g 有 了之后，下面让你画什么哦？在 a b 上找一个 q， 使得 a q 等于 b q， a q 等于 b q， 你 看一下， a q 等于 b q 怎么画？ a q 在 哪上面找 哦？ a q 等于 b q， a q 等于 a q 等于 b q， 哦，使得这一段跟这一段相等，那其实就使得这一段跟这一段相等，那不就是一个三兄弟画图吗？你只要画这个角的平分线就可以了，对不对？ 是不画这个角的平行线，或者我们也可以怎么样了？你可以看一下，也就意味着我要画这个角的平行线也是一样的嘛。所以接下来我们怎么办？这个角的平行线很好画，它是个菱形，把它一画好，这个菱形一画啊，这个点给它对称过去哦，这就是我们要的 q 点。结束教小朋友们，你第一位画少了，我第一位画少了啊，第一位还要画什么 哦？在 a b 上找个点哦，还要画个点 e， 使得 c e 等于 c b。 哦， c e 等于 c b 啊，那这不送分吗？ c e 等于 c b 怎么画哦，那就是画直角三角形，你看看是不是？我要画这个边，相当于是要使得 c e 等于 c b， 是， 是使这条边是等于这条边吧。好，如果使这个跟这个相等，那其实只是要画什么？画一个直角就行了哦，我接下来这个注意怎么办？ 你看怎么画？我这边是要画一这条边等于这条边，而 c 是 中点，所以我这个角如果是个直角，这不就它跟它相等吗？所以画一个直角就行了。所以过点 d 做这条 a b 的 垂线，咱会画不？哎呀，超级简单，应该没有人。不会吧？把这个点一连连完了之后，这就是我们要的这个点，这个点就是 e 点，对吧？这就是 m。 看。
08:25查看AI文稿AI文稿你可能不知道一个视频讲明白将军印吗？基础型求和画一条直线，在直线上找到一点屁，使得 a p 加 b， p 最小。设两条边为 ab， 只要让 a 加 b 最小就行了。 作 b 点的对称点，那么这条边也等于 b。 a 加 b 最小，就是由 a 点到 p 点再到 b 一 撇点的路程最小，那么两点之间线段最短。 当 p 在 交点处失去最小值，求差 直线上找一点 p， 使得 a p 减 b， p 最大。设三角形的边长，分别为 a、 b、 c。 我 们知道三角形的两边之和大于第三边， 所以 a 小 于 b 加 c， 把 b 移过来，也就是 a 减 b 小 于 c， 那 么 a 减 b 最大值就是 c。 此时 p 点在直线与 a、 b 延长线交点处， a、 b、 p 三点共线。当 a、 b 两点在直线的不同侧时，我们只需做 b 点的对称点，这两条边相等，此时就转换成了刚才的情形。 当 p 点在直线与 a、 b 一 撇延长线的交点处时，取最大值为 a b 一 撇，你学会了吗？
08:05查看AI文稿AI文稿同学们好，我是小狐狸老师，我们这节课来学习平面图形变换的简单应用。这节课内容比较简单，我们今天的学习目标是利用图形的平移轴对称、旋转可以进行图案的设计，进一步理解平移轴对称旋转等变换的概念和性质， 来欣赏下面图案，说出他们分别可以由哪一部分经过怎样的变换得到，并在途中把这一部分图形标出来。那我们第一个图形是不是可以看着第一个图形先向右平移，向右平移，向右平移，然后向下平移， 然后再让这个这个图形可以看到他向右平移，之后再向下平移。最后一个图形也可以看到第一个图形向右平移，再向下平移啊，然后我们第二个图形 是不是可以看作这个图形折叠，折叠之后就到了这个图形啊？折叠也可以看作通过轴对称得到的，是不是？那第三个图形我们是不是可以看到其中的这个一部分？我们就把它先让 顺时针旋转一个角度得到这里，再顺时针旋转一个角度，这里。顺时针旋转这里，顺时针旋转这里。所以第一个图形经过左右平移和上下平移得到。第二个图形通过轴对称得到。第三个图形经过旋转得到 来以图的右边缘所在的直线为轴，这个图形以它为轴，将该图形做轴对称，再绕中心按照顺时针方向一百八十度得到的图形是先轴对称，轴对称之后得到的图形，就应该是 我们先把它进行一个轴对称，它轴对称之后得到的图形是不是与它完全重合呀？折叠之后完全重合，所以说应该是 d 向与它是一个轴对称， 然后我们在这个的基础之上顺时针旋转一百八十度，顺时针旋转一百八十度，我们就找其中的一个点吧，我们就拿这个角，这个角顺时针旋转一百八十度，是不是到了这个角的地方？所以说这个，然后这个圆对应的这个圆是不是就就应该在这里啊？圆应该是在这，那对应的，那不是只有 a 吗？所以说答案选 a 好。如图是正方形塑料板的示意图，用四块这样的塑料板拼成一个正方形图案，那很好吧，先让他按照这个线去 这样，这样先让他轴对称，再按照这边就让他轴对称，是不是可以？然后再让这个图形旋转一百八十度，得到这样的一个图形，这是不是我们得到一个图形？这种图形类型有很多，第一种、第二种、第三种 来用十六块这样的塑料板设计一个轴对称图形，我们只需要画出一个对称轴，然后让它左右两边一样就行了，这是不是其中一种？其实也不止这一种，我们可以把它的方向完全相反，是不是也可以？ 那我们设计图案的步骤，第一步就是确定图案的表达意图，设计图案给定的基础图形，然后通过平移、旋转、轴对称的变换，设计出形式清晰、寓意明确的图形。 那在读清要求之后，我们可以根据要求对方案进行一个尝试。一般的话，我们在设计的这个过程都是一个不断修改的过程，能够使得问题在修正中得以解决，最终画出我们所需要的图形 来。我们看几道随堂练习题。下图中三角形二、三、四是由三角形第一个平移、旋转和轴对称得到的，分别指出这些图形变换的名称，并指出其对应的边，这是第一个，这是第二个，这是第三个，这是第四个。 第一个和第二个是不是通过平移就可以得到？这个点和这个点对应，这个点和这个点对应，这是对应边，这是对应边，这是对应边，对吧？好，我们再来看第二个图形， 第二个图形这个点到了这里，那显然是平移做不到的，平移做不到，而且他的这个方向是不是发生了完全的改变，这个线完全到了上面去，那到了上面，我们是不是可以去 旋转得到呀？这个点和这个线的位置发生了互换，那肯定是旋转，所以说第二个是通过旋转得到的旋转，而且这个边是到了这里，这个边到了这里，这个边到了这里。好，下面我们来看第四个图形，第四个图形这个点 在这，但是我们这一条边的这个点跑到了这里来，这个点跑到了这里来，这不就是我们的轴对称得到的吗？是不是因为关于这个对称轴，他们两个是不是可以完全重合？所以说第一个平移，第二个旋转，第三个是轴对称。 那第二题如图所示，在方格纸上有两个形状大小都一样的图形，说明如何运用平移、轴对称、旋转这三种变换，将其中一个图形与另一个图形重合，那其实就是在问我们这个图形到这个图形是怎么得到的？或者上面这个图形到下面这个图形怎么得到的？是不是我们可以先把下面 这个图形往下去平移，平移到这个地方来， 可不可以？平移到这个地方之后，我们这个点最终是要到这个边上，到这一条线上来，到这条线上来，你看我们这一条线是不是可以旋转，旋转到这里，绕着这个点去旋转，这个点是不是就到了这里？到了这里之后，我们的这个新的图形是不是就成了这样？然后到了这一步之后，我们再向左平移，是不是就可以得到了？ 其实这种方法它不止一种，它也可以通过其他的方法，比如说我这个先向这边平移，再旋转，然后再向下平移，是不是也是可以的？一样的方式？好，我们看我说的那种，第一种，先将图形一平移之后得到图形二，再让图形二绕着点 p 旋转，得到图形三，图形三再经过平移就可以得到我们的图形四了。 好，第三题如图，这是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，帮他完成余下工作。将圆图形绕着点 o， 逆时针旋转九十度，逆时针往这个方向来 绕着点 o， 那 也就是它每条线都要逆时针旋转九十度，这个线逆时针旋转九十度，是不是到了这个位置，这条线逆时针旋转位置就到了这个位置，而这个 o a 的 旋转逆时针方向就到了这个位置，所以说这就是我们逆时针旋转后的图形， 进一步设计图案，让图案变得更加美丽，我可以继续旋转啊，是不是继续旋转，继续这样旋转不就得到了我们一个好看的图形，是不是这样是不是都行？ 好，下面我们来做两道拓展拔高题。如图，一、认真观察四个图形中的阴影部分构成的图案，其中每个小正方形的边长都为一。回答下列问题，这四个图案都具有的两个特征，特征一就是它们都是轴对称图形， 我们见到阴影部分，是不是大部分都会考虑它的面积啊？我们会观察到第一个小图形它的面积这部分， 第一个阴影部分面积，这一部分加这一部分是不是等于这个两个正方形的面积，这一部分加这一部分也等于两个正方形的面积，所以说第一个图形阴影部分面积是四。第二个图形阴影部面积是四。第三个，这是一，这是一，这是一，这是一，面积也是四。 第四个，这两个看着一个，这两看着一个，这两看着一个，阴影部分的面积也是四。所以说第二个特征就是面积都是四。 那请在图案中设计一个你心中最美丽的图案，使它也具备你上述所表述的特征。那这种方式不止一个呀。第一种，让他看，这样一画，只要他的面积等于四，他是一个轴对称图形，是不是都可以任意画一个都行？ 好，这就是我们这几个学习的内容。我们这几个的内容比较简单，其实就是一个图形的设计，通过一些轴对称呐，然后平移啊，旋转呐，去得到我们一些比较好看的图案就可以了。 好，这是我们的作业题，大家自己截图，然后去看。选一个答案，第一个选 c， 第二题选 c， 第三题， 选 b， 第四题，选 a， 第五题，选 a。 好 了，我们这几个的内容到这里就结束了，同学们再见。
30小狐狸课堂
00:53
00:46查看AI文稿AI文稿七年级同学停笔轴对称，间间一码，还在慢慢画图算，记住这几句，考试直接秒杀！记住核心就一句，定点做对称连线得最短， 看到两条直线中间一个动点求线段和最小，直接三步走，第一步找其中一个定点做对称轴的对称点，第二个，把对称点和另一个定点直接连直线。第三个直线和对称轴交点就是动点位置，这就是最短路径。 口诀记死！对称一找点连线定交点距离就是线段长，不用绕弯，不用算边长，只要是将军引马求最短路径，全按这个套路来。七、下周对称考题直接拿捏。
17李老师深度陪跑
01:45查看AI文稿AI文稿同学们大家好，我是诚意培训的王老师，今天呢，我们学习的是四年级下册的轴对称图形，我们先来看一下题上给我们说的，画出下列各图形的所有对称轴。哎，我们先想一想，对称轴是什么呢？ 是不是一条线两边去平分一个图形。第一个是长方形的对称轴，首先是先在这个中间画一下啊，其次呢， 在这横着是不是也要画一下啊，但是同学们一定要注意啊，要用尺子去比着画这个图形呢，它有几条呢？我们先来画一下，这是不是一条，但是我们发现好像这个每个角是不是都能画出来一个， 你们发现下面的这个是不是也能再画一个呀，对不对，所以说需要数一下啊，好，这个同样也是的哈，同样也是在这个上面画一个，在这个上面画一个啊， 还有没有了，一定要找准啊，不仅是两个角，那么中间的这种边长的一半，这种也能去画哈，那么这个图形呢，除了我们大家能看出来的常规的一横一竖之外呢啊，还有这种 是吧，那么这个图形呢啊，一样的，我们也是从中间画一下，然后呢竖着去画一下啊，但是同学们，我在这演示一下啊，如果是一个圆，他让我们画对称轴，注意下，圆的对称轴是有 无数条的啊，好，那么这个呢，像雪花的一个形状呢啊，就是有很多条了啊，同学们一定要数一下，按照老师的这种方法啊，每一个楞都要去比较一下啊，在这里呢，就不再去一个一个去画了。好的，你们学会了吗？
6成一培训
07:07查看AI文稿AI文稿一个视频讲透七年级最短路径问题。哈喽，大家好，我是博教教育数学张老师，今天我们来看一看初中平面几何最短路径七年级做对称 啊。我们先来看看了解一些的在七年级上下册都有哪些点是有关最值的问题， 就这三点，没有第四个，就这三个，第一个啊，基本四十一，哎，我们就常见两点之间线段最短。上体育课，哎，肯定有小孩看到视频的小孩肯定有啊，就是上体育课，老师说让你去跑圈，趁着老师不注意，人家直接穿过去了。这这这是一个 第二个，基本四十叫什么呢？垂线段最短，哎，就这跑完圈热身吧，热完身了，老师说来开始跳圆了，或者是要撇铅球啊， 那你说有些同学从 a 这点跳到这边来了，有些同学跳到这边来，哎，无论是跳到哪侧取得有效成绩，体育老师一量，哎，脚后跟这个水平距离到这个你的起跳点就叫垂线段最 短。第三个什么呢？叫基本是在三角形的三边关系，两边之隔大于第三边，两边之差小于第三边啊。然后我们来看看这里边，我们在整个初中平面卷，尤其在期下我们正在学的小伙伴。第五张走对称当中有一个 还有名的典故，将军印马的问题啊，他不就是主要是针对什么哎，对称，然后去求最短路径问题，那我们看看，我们这里边将军印马就第一个，哎，我们叫两个定点，一个动点，两定一动，这是一个最最基本的啊，你要分清这个定点 a， 定点 b 在 这个 固定直线的同一侧，你想要去求 ap 加 pb， 这个路径最短的时候需要做一个做对称，这里边你看我写的定点，定点，定点，那我改用这个 基本四十一，就是因为两点之间，你这个两点必须得是两个定点，两点之间线长最短啊，这是这个。然后呢，我们看第二个有关垂线段最短，当中这里边除了这个以外，还有一个也是两点之间两，一定两动，比如说这个啊，这个一定两动，这里边比如说这个 将军呐，哎，这个千张马到这边，让马先吃点草，吃完草有点口渴了，到这边河岸先去喝点水啊， 所以我们要找的是 a p 加上 p q 这样的一个锯短路径，那这时候我还是选择了这个 a 点的，这是一个定点均赢嘛，定点 去做了一个对称点， b， 它还是一个定点，所以这时候 a p 加 p q 就 转成了 b， p 加 p q， 但是现在还是只有一个点， b 是 固定点，而 p 和 q 依然为动点，好在这个 q 是 在这个线上，所以这时候我们就可以利用。什么，哎，垂线短、锯短， 那除了这点以外，还有就是那他吃完草，喝完水又怎的回到了均为变成一个三角形周长最小的问题，那这个时候我就需要做两次对称， a 对 称到 b， 同时关于这个和弦再对称到这边，所以这时候我们就是定点，定点就回到这个问题了，两点之间线段最短，就相当于把这个三角形啊掰开，让它变成直线，变成两点之间线段最短， ok 吧？ 啊，就是这个，还有一个这个我们，哎，这个三角形 a b c 当中有一个三动点，这个三动点我只能透露一点，叫三垂足三角形，你看到视频的小伙伴，如果说你想了解这个，下方私信我啊，好了，就是这几个方面，哎，就这三点，没有第四个啊，好了，我们往下看例题啊， 那比如说第一个，我们垂线段最短，哎，七年级有关。第四张三角形啊，虽然我们没有学勾股定律，但是我们要如果要解三角形，现在有一个什么面积方法好看题，三角形 abc 典型的五五六， 那这个时候没学过五六，我只能给你说高 a 对， 是四分三线和一分成三个三好了， p 和 q 分 别是两个动点，这时候要求的是 p q 加上 b q 最小值的问题，哎，此时此刻我是不是 把这个 a 对 啊，以为分界线 p q 和 b q， p q 和 b q 是 不是在这个 a 对 里同一侧啊？那我这时候我就可以选择什么，哎，将这个什么 p q 给它进行什么 对称，对称到哪了？哎，对称到 c， 这是不是就可以了？让 c p q 三点共线，那你 p 和 q 都在动，是不是我们刚才所说的这个问题，什么时候垂线段，所以这点得是什么？那现在这个 c p 相当于 ab 边上的高了，要求高，我们就想到了什么 面积，此时此刻我们叫等面积解法。三角形 a b c 的 面积既可以是四乘六除以 二，也可以是 c p 乘 ab， ab 是 五就是五倍的 c p 除以二，然后我们就会解得 c p 的 长度就是五分之二十四，那这就是什么刚刚的 b q 加 p q 最小值啊，这是这个。再来往下，你看我们这个，如果我给了一个定角三十度，那这个时候 p 是 在内部，虽然它是动点，但是给了一个定长， o p 是 二。好了， e 和 f 在 射线 o m o o n 上是两个双动点。 好，这时候我们看第一个问，如果要求三角形周长 p e、 f 最小的时候要求这个角多少度，那通过我刚才的分析，我是不是可以做双对称？双对称那就在哪了？哎，是不是下对口，我把 p 对 称到 b， 再把 p 对 称到 c 字，这个知道你要找的 p、 e、 f， 我 又把这三角形掰开了，掰成了 b、 c 的 长度，对不对？ 好，那你说我要求这度数在这，你也没求来呀，是不是咋整呢？哎，这里边我们说对称，考虑到对称的完整性，我就可以把谁呢？把 o b， o c 连上，同时这个 o p 我 给它还原出来，你会发现 o p 是 不是通过 e 这个对称到这边以后， o p 和 o b 是 相等的，同时你如果要以这条线翻折条 o p 还和 o c 也怎的相等，那此时此刻这个角是三十度，我 o p 分 成，比如说一个 r 发，一个比特，这 r 发是不是翻这边来了？比特是不是翻到下边来了，你会发现这个角原来的 m n 三十度变成了多少度？ 六十，他要是六十度，哎，那你这个角你要求的 e、 t， f 的 度数， e t f 度数，如果把这个画上一个圈， 这边换了右侧，下边换了个叉，这个圈是不是也看我这手型是翻到哪去了？翻到了 b 字，这个叉呢？翻到了下面这个什么 c 字，我会发现在这样的一个三角形里边，我已经知道了顶角六十度，我是不知道他俩相加得一百二啊啊，那就说明了此时此刻角 e p、 f 度数为一百二十度，当然了，这里边此时此刻圈叉还怎的相等？ 最后一个，那你说要求周长最小值的时候，我现在就要求 b c， 我 给的这个特定的三角角是有用的，这时候 o b c 已经为什么三角形了， 六十度的等腰，那么他就是等边三角形，所以 b c 是 能够等于 o b 的， 当然也就等于 o p。 告诉你条件的 o p 等于二，所以它的周长最小值即为二 啊。这是我们这个整个期上你所能碰到的当中比较常见的几个啊，基本四十一，两点之间线段最短。基本四十二，全线段最短啊，还有这个三角形三边关系，这个问题咱们继续保留。我还有一个两边之差求最大值的问题，也是，如果你想了解，下方私信。
56数学狂人张老师
