邢台二模数学第15题简单做法
看一下这道题，是我们邢台尔摩数学题的第十五题，那么在矩形 a、 b、 c、 d 当中告诉我们 a、 d 这边长是六，然后点 q 是 c d 边的中点， 连接 a q 之后点 p 是 a q 的 中点，然后连接 b p， 连接 c p， 并且告诉我们如果 c p 和 b p 垂直，那么让我们去求的是 c、 d 的 长度，那因为知道 q 是 c、 d 的 中点，所以这两条边它这也就是 c q 和我们这个 d q 的 长度相等。好，通过这道题，我想给大家说一下，就是我们的间隙板， 我们通过建立平面直角坐标系，然后去做我们这个体。一般情况下我们什么情？呃，什么情况下可以用间隙呢？你比如说当我们的几何体当中涉及到长方形、 正方形，我不写了，大家听一下，就比如说有长方形、正方形，还有就是我们的等腰直角三角形， 或者是等边三角形，或者是有一些比如说含有特殊角的这种，比如说三十度、六十度、四十五度等等的这些情况我们都可以尝试着去用间隙法来做。比如我们接着来看一下这道题，我们如何用间隙法去做。 好嘞，那么我们以点 b 为圆点，建立我们的平面角坐标系，我们来看一下，比如说这是 x 轴，好，我们来看一下，这是 y 轴， 这 y 轴，这是我们的 x 轴。那么我们来看一下这道题，因为这个里边要告诉的 a、 d 是 六，所以我们能够得到这个 d 点的横坐标是不是六，也就是 d 点 和 q 点，还有我们这个 c 点的横坐标都是六，对于 c 点来说，我们的纵坐标是零，那么 d 点和 q 点的纵坐标我们不知道，那么我们知道的是 c q 和 d q 相等，所以在这道题当中，我们可以设 d q 和 c q 为 x， 那 这样的话，点 q 的 坐标就是六逗号 x， 点 d 的 坐标是不是就六逗号二 x， 那 么我们接着来看一下，那这道题又跟我们说这个 p， 呃，这个，这个 p 是 我们这个 a q 的 终点，所以在平面直角坐标系当中，我们要知道我们坐标系当中的终点角。是啊，好，我在这儿补充一下。在平面直角坐标系，比如说任意的有两个点，这个 x 一， 逗号 y e， 那 么第二个点 x 二，逗号 y 二，我们需要知道的是 a b 这两个点的终点， 那么就是二分之 x 一 加上 x 二，二分之 y 一 加上 y 二。我们还要知道 ab 这个线段的长度，两点之间的距离公式啊， x 一 减去 x 二的平方， 加上 y 一 减 y 二的平方， ok， 两点间的距离公式以及中点，在我们的这个坐标系当中，我们都要知道。好嘞，我们接着来看，那又因为这个 p 是 a q 的 中点，所以我们是不是能够 a 点，我们先来看一下 那 a 点的红坐标为零，纵坐标是不是二 x， 所以 a 点有了， q 点有了，那么 p 点的红坐标二分之零加六就是三，那么纵坐标二分之二 x 加上 x 就是 二分之三 x， 所以 我们就知道了 p 点的坐标。 那么这道题当中，因为这个 b， 你 看它不是 c p 垂直于 b p 吗？好，这是直角，所以这个三角形 b p c， 它是不是就是一个直角三角形？那么直角三角形，我们知道 b p 方加上 p c 方是不是等于 b c 方？所以我们接下来要知道 b p 它的长度以及 p c 的 长度啊。 好，那么因为 b 点的坐标我们知道是零，逗号零， p c 的 坐标是三逗号二分之三 x， c 点的坐标是六，逗号零。所以我们来看一下同学们， b p 它的长度是不是就等于根号里边？或者你直接写 b p 的 平方也可以啊？那 b p 的 长度我们是不是就能够得到 零减三的平方？加上零减去二分之三 x 它的平方。好，我们接着来看 p c， 那么 p c 它就等于三减六的平方，加上二分之三 x 减去零的平方。 好嘞，那么我们把这个直接化解一下啊，那它就等于根号里边这个是不是三的平方，加上二分之三 x 的 平方，那么这个也是就等于三的平方。 好嘞，那么再加上二分之三 x 的 平方。好。通过这个式子，其实我们能够得到 p c 和这个 b c， 这个 b p 和 p c 它们两个线段是一样的，那么我们接着来看，因为 c p 垂直于 b p， 所以 我们是不是有 b p 的 平方，加上 p c 的 平方是不就等于 b c 的 平方？那么也就是 b p， 它的平方就是三方，加上二分之三 x 的 平方，加上 p c 方也是三的平方，加上二分之三 x， 它的平方就等于 bc 方。 bc 这个长度是六，所以它就等于三十六。那么根据这个式子，我们能够得到 x 的 平方，算出来等于四，那 x 是 不是就等于正负二 x 我 们是边长啊？因为 x 大 于零，所以我们这个 x 它就取的是二这个值， 然后我们接着来看一下那 cd 的 长度是不是就是二 x， 那 就等于四，这是我们通过我们间隙这，然后 根据勾股定律我们去求出来的，也不一定非得用这个方法。那么同学们，在我刚才讲的这个题当中，呃，大家可以参照这种方法去进行思考一下。
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06:21查看AI文稿AI文稿好，同学们，那我们接着往下讲填空题，刚才我们已经把选择题的最后一道讲完了。呃，第十二题难度非常高啊。 那前面的题很简单，就第十二题，他开始上升难度了。那我们后边的填空题和解答题也是一样的，除了少数一两道特别难的之外，其他的难题很少。那我们来看一下第十三题。 某体育馆有三个完全相同的入口，分别通往天津。呃，田径训练场、球类什么健身训练场，三个训练场，一名运动员从任意一个入口进入的可能性相同啊，没有任何难点，我没有任何好说的啊。三分之一， 如果你这个题做错了，好好审题吧。好好审题吧。来看一下第十四题。十四题。呃，图七 是正 n 边形的一部分，还有它的一个外角，我们其实可以知道，这个三 r 法应该是它的一个内角，然后 r 法是它的一个外角，根据图中所给的信息，求 n 的 值。 呃，河北的考试好几年都在考多边形的内角和，你一定要记住这个公式啊，一定要记住公式，你不要说老师我考试的时候我再推呗，太麻烦了。记住公式， 一百八十度乘以一个 n 减二，这个是我们的多边形的内角和 n 边形的内角和。然后如果它是正 n 边形， 听好，正 n 边形，那它的一个内角就是除以一个 n 之后的结果。因为正 n 边形代表它的所有的内角都相同，那我们把它的和除以内角的个数就是它的一个内角。把这个公式记住了，那这个题就非常简单了，那我们看一下，先算它的内角吧。呃，三 r 法 加上一个 r 法等于一百八十度，那么也就是四 r 法等于一百八十度，那么 r 法就等于四十五度，哎，对吧？呃，四十五度没问题，那么三 r 法就等于，嗯，三五一十五，一百三十五度。 然后再怎么办呢？直接带到这个公式里不就可以了吗？带到这个公式里，刚才我们说的多边形，正多边形的一个内角就是我们这个公式，然后我们再算一下，一百八十度乘以 n 减去一个三百六十度等于一百三十五度乘以一个 n， 然后这俩 相减，那应该就是，嗯，五十啊，不对，不好意思啊，四十五度，四十五度乘以 n 等于三百六十度，然后 n 的 话就等于三百六十度乘以一个四十五，呃，八吧， 五八，四十四八三十二。好，那 n 的 话就是八。 如果你这个题做错了哈，看一下 n 边形的内角和是怎么算的就可以。再来第十五题， 我们一块来审一下题吧。嗯，从第十五题开始就就不是刚才那个简单题目了，是中等题了。 矩形 a， b， c d 中 ab 的 长是六，然后呢？呃， q 是 c d 的 一个中点， q 是 中点，连接 a q， p 是 在 a q 上，它是，它也是终点，它也是终点。 我们想它是终点的话，这个如果做垂线的话，它们是不是 他们的垂足？应该也是终点吧。你看这个和这个是平行的，然后这个是终点，所以这个点也 p 点是终点，所以这个也是终点，这个也是终点啊。我这不是说思路啊，我们再往下审啊。连接 b p 和 c p， 那么若 c p 垂直于 b p 那 角， b p， c 是 九十度，求 cd 的 长，求 cd 的 长，我们想一下这个题， 它应该是可以把里头很多的线段求出来吧？它求 cd 的 长， 那我们就来算一下不就可以了吗？我们标一下过 p 点，做一下 b c 的 垂线， 垂足是 m， 然后它的延长线交 a d 于点 n， 刚才我们说了，这个是垂直，这个是垂直，然后 p 是 终点，说明 m 是 bc 的 终点， n 是 ad 的 终点。然后， 哎，这个 p b、 c， 它应该就是一个等腰直角三角形，那它的底是六， bc 的 长是六。哎，那么这个 m p 的 长应该就是三吧，这个就是三，还有别的条件吗？ 啊？ p 是 a q 的 中点，这个是中点， 好像没有别的办法，设未知数吧。我们可以设 p n 的 长是 x， 然后 d q 的 长就是二 x， 对 吧？因为它是一个中位线，然后呢， cd 的 长， cd 的 长应该就是四 x， q 是 cd 的 中点，那就直接算就可以了。四 x 是 等于 m n， 所以 可以算出 x 是 等于一的， 但是我们要算的是 c d， 所以 c d 的 话是四 x， 那 就是四。好，我们来看一下这个题。呃，它用到的知识点的话用到了。呃，中位线，然后呢？用到了等腰直角三角形的一些性质， 但是整个难度并不是特别高啊，你可以想一下。好，这个题没有问题的话，我们再往下看。
08:07查看AI文稿AI文稿我们前两次课已经把前九道题讲完，今天开始我们讲第十题，往后依次讲，那么后面的题型跟前面的是一样的，我们讲的会比较详细，如果你哪个题不会，可以看，直接翻到那个题来听一下， 那觉得有用的同学可以点赞关注啊，然后如果需要冲刺的同学也可以联系我。好，我们来看一下这个第十题。那第十题的话，它涉及到的是分式的化解，分式的化解， 那分式的话是我比较喜欢的一个章节，为什么呢？因为他有一个约分环节，就是分子分母，呃，有相同的部分我们可以约掉。那需要注意的是，我们分式有一个核心的点，就是必考的点，就是因子分解， 他会把我们呃分子分母分解成多 多个音式，多个整式相乘的形式，那这样的话分子分母就可以消掉。那你觉得比较抽象的话，我们来试一下这个题。 那我们把这个 a 实数 a 进行一个化简，那么它里头带着括号呢？我们优先先算括号里的，把它通分一下，一变成 m 分 之 m， 也就是这个式子会变成 m 分 之 m 减二，然后括起来，那除法要变成乘法， 哎，分子分母颠倒一下位置，那需要注意的是，哎，我颠倒的时候，我就直接可以进行因式分解，那分子变成了 m， 分 母是 m 方减四。那你们想到了什么？ 是不是平方差公式，哎，我们因式分解一下，可以得到一个 m 减二，然后乘以一个 m 加二。好，那做到这之后，哎，我可以把前面的括号去掉， 那我们就刚才就到了我最喜欢的环节，刚才说的约分环节，那分子分母相同的部分，我们就直接可以消掉，那么 m 减二 和 m 减二消掉，然后呢？ m 和 m 消掉，那最后的结果就是 m 加二分之一，注意，消了之后剩的是一，剩的是一。 好，那这样的话，我们最后结果是 m 加二分之一，那他现在的问题是什么呀？说这个 a 的 值可以是什么， a 的 值可以是什么？那我们现在看哦，这个零肯定是不行的，因为分子分子是一，它就不可能是零。我们说 m 是 取不到正无穷的，在小学啊，在初中我们就不说另一种情况，所以 c 的 话是不对的。 哎，那我们看 a、 b， d， 我 感觉好像是不是都可以取到你比如说，呃， b 二分之一，那么 m 加二分之加二分之一，如果是等于二分之一的话，那 m 等于零。哎，这不是可以吗？这不是存在吗？ 那这个时候就要注意了，我们分式求值的时候，有一个非常重要的条件，让这个式子有意义的条件是什么呀？分母不为零。 如果你把这两个知识点记住了，因式分解和分母不为零，那这个题绝对是非常简单的一个题目。那分母不为零什么意思呢？就是这里头的式子的化简， 所有的都不能为零，只要出现的分母都不能为零，比如说这里的 m 是 不能等于零的。第一个，哎，分母是不能等于零的，然后后边这个 m 减二乘以 m 加二是不能等于零的，那合起来应该就是 m 不 等于二，或者是 m 是 不等于负二的， 所以 m 取不到这三个数，除了这三个数之外，其他的都可以取到。哎，那，那么你会发现哦，这二分之一是要求 m 等于零，而 m 是 不能等于零的，所以我们二分之一是不是就舍弃了？哎，我们直接把零带到里头，可以得到 a 是 等于 二分之一的，所以这个要舍弃。那么同样的，把二带到这个式子化简的式子里头，哎，那么 a 是 等于四分之一的，那我们应该舍弃，或者你直接写不等于不等于。 哎，我把舍弃去掉，用不等号吧。那负二，哎，带进去，那它是没有意义的，这个我们就不说了，无意义。 好，那这样综合下来，零取不到，二分之一取不到，四分之一取不到，那它是不是只能取得是 a 选项三分之一？ 当然，如果你不确定，哎，你再算一下，你带带进去，那么 m 加二分之一是等于三分之一的，那可以得到 m 是 等于一的，哎，它， 那这个式子是有意义的。所以 m 是 a 等于一的，那么 a 的 值就可以是三分之一。好，这个是我们的第十题，大家可以看一下分式的化解涉及到两个点，刚才我们一直在说，第一个点因式分解，第二个点分母不为零，把这两个点抓住，这个题非常简单。 好，我们再往下看了第十一题，嗯，呃，到这个题开始，有些同学就感觉，啊，好像有一些难度了。呃，这个上一百分儿 的同学可能还觉得稍微简单一点，如果没有上一百分的人，同学就感觉有有一些难度了。那我们来看一下这个第十一题。呃， m 减二零二二的平方加上一个 m 减二零二六的平方等于四十，然后则 m 减二零二四括起来的平方等于什么？ ok， 这个题的话，那不要说我上来就直接一时问的，就把括号去掉，然后再再整理，你会发现它的计算量比较大， 那有没有减变的算法呢？有的朋友们有的，哎，怎么办呢？我们看一下他的问题，他让这个问题是 m 减二零二四的平方是多少， 那我发现这个减二零二也好，减二零二六也好，他和减二零二四是非常接近的，那我就用换元法来解决这个问题，把这个问题的难度降低一些来换元法。那我们应该怎么办呢？哎，令 这个 a 是 等于 m 减二零二四的。好，那我们想想这个 m 减二零二二应该是什么呀？是不是 a 加二？ 你想这个式子变成这个式子，是不是需要加一个二才能变成这个式子，所以这边也得加一个二，所以 m 减二零二二应该是 a 加二，而不是 a 减二啊，这个需要注意啊，有些同学这个地方写错了，当然对于这道题来说，呃，因为你前面这个写错了，变成 a 减二，那下一个也会写错， 反而是负负得正，哎，错，错得对了，但是我们尽量的要准确一点。那么第二个 m 减二零二六，哎，那应该就是 a 减二， 我们把它的难度降低了。现在我们再把这个题整理一下，看它的问题和条件分别是什么？它的问题就是 a 方等于多少？它的条件是 a 加二破起来的平方，加上一个 a 减二，破起来的平方等于四十。 哎，那这个时候你再把它去掉，你再把这个括号去掉，那应该做起来比较简单了，我们来一下， a 方加上一个四， a 加四加上一个 a 方减去四， a 加四等于四十， 然后呢？加 a 加四， a 减四， a 消掉了，然后变成二， a 方等于四十，减去一个四变成三十六，所以 a 方就等于十。 啊，不好意思啊，这个四加四是八，所以这应该是四十减八应该是等于三十二。呃，三十二除以二是十六，所以 a 的 平方就等于十六。那 a 的 平方就是我们的问题， 这是第十一题，同学们可以看一下有没有疑问？那我们现在开始挑战第十二题。
06:48查看AI文稿AI文稿好，来看一下邢台二魔术学题的第十六题，在平面直角坐标系当中，给了我们任意的两个点 点， p x 一 逗号 y 点 q x 二，逗号 y 是 抛物线这个抛物线上的任意两点，那么通过这个抛物线，我们来看一下， y 等于负 x， 平方加 p， x 加 q， 我 们能够得到这个抛物线，它的开口是向下的， 那么接着他说，当 x 一 在三到五之间，那么 x 二到在五到七之间的时候，都有 y 小 于 y， 那 么我们能够得到横有这个 x 一， 是不是小于 x 二的， 那也就是说当 x 一 小于 x 的 时，二的时候，我们都有 y 一 小于 y 二，那这种情况我们是不是肯定能够想到的是我们在对称轴的同侧这一种情况里边是不是？所以我们接下来再分析的时候，第一种情况， 那么当 x 一 x 二在对称轴同侧时，同侧时啊，间隙啊同侧时，那么因为我们这个函数它是开口向下的， 因为我们抛物线开口向下，那么假如我们现在有这样的一个抛物线开口向下的一个抛物线，那么我们接着来看一下，它说，当我们这个 i x e 在 三到五之间， 然后 x 二在五到七之间的时候，我们横有 y 一 小于 y 二，那么如图所示。同学们，我们来看一下，那是不是当我们能够得到如果我们这条对称轴，这是对称轴啊，那么我们先去算一下，对于我们这个 y 二次方程， y 等于负 x 方， 加上 p， x 加 q， 它的对称轴 x 等于负的二 a 分 之 b， 所以 我们是不是得到它的对称轴就是二分之 p， 好 的，那么我们知道对称轴是二分之 p 啊，这个就是 x 等于二分之 p， 那 么也就是说我们发现当我们这个对称轴，它是恒大于七的时候，我们是不是能够得到？看一下， 当 x 一 在三到五这一段的时候，我们所得到的这个 y 值，这一块可以理解是 y 一 是不是很小于，当 x 在 五到七的时候， 那么这一段它是不是 y 二？假如这是 y 一， 这是 y 二，那么也就是我们能够得到。那么当 x 一 x 二都在我们对称轴的同侧的时候，那么我们横有 x 一 小于 x 二时，都有 y 一， 是不是小于 y 二，那么我们就能够得到。这种情况， 也就是我们的对称轴二分之 p， 它应该是大于等于七的，那也就是 p 它是大于等于十四的。 好，我们接着再往下看，那么想到同侧，我们是不是就会想到了异侧，那么对于这个异侧的时候，我们要联想我们这个知识点啊，我们知道当我们这个二次函数， 哎呀画的有点不太好啊，大家尝试看一下我们这个草图，当我们有一个二次函数，它开口向下的时候，我们是不是能够得到？ 当我们这个点二次函数图像上的这个点到对称轴的距离越远的时候，我们是不是能够得到？大家来看一下，比如说这两个点，那么它到对称轴的距离越远的时候，我们是不是能够得到？它的这个外值是不是就是越小的呀？ 对吧？所以我们接着根据这个值点，我们接着来再去分析一下，那如果我们现在有这两个点，它是在我们这个 呃对称轴的异侧的这种情况下，我们来看一下，假如现在还是先画出一个矢域图来， 因为它这个里边是不是给出我们的条件就是一个是在三到五是我们的对称轴 x 等于二分之 p， 那 么大家来看一下。假如， 好，假如我们来看，比如说我们有一段它是三到五，另外一段我们是五到七，我们会发现，如果我们的对称轴它刚刚好在六的时候，我们是不是能够得到这个？当我们这个 x 等于五和我们的 x 等于七的时候，对应的这个 y 值是不是相等的， 对不对？那这个时候正好我们也能够满足。同学们来看一下， 当我们这个 x 一 在三到五之间的时候，当我们这个 x 二在五到七，呃，五到七之间的时候，是不是横也能够得到我们这个 y 二是不是小于 y 一 的？那么我们会发现，当我们这个对称轴我们继续向右 移动，也就是说，比如说当我们的对称轴它在六到七中间的这段的时候，画出一个图案 好，比如说假如我们这儿马上接近齐了啊，这是绿， 大致的画一下，这个示意图画的不是特别标准，大家凑合着看一下，这是三，这是五。 好。同学们来看一下，那么这种情况，也就说当我们的对称轴在六到七之间的时候，我是不是同样能够满足？ 当我们的 x 一 在三到五之间，我们所对应的这个 y 一 是不是很小于当我们这个 x 二在五到七之间这一段之前 这一段的这个 y 二啊，这个 y 二，所以我们通过这个情况我们也就能够得到当我们这个 x e、 x 二在我们的对称轴的一侧这一部分啊，也就说我们 x 二，它也是在我们对称轴两侧的时候， 那么我们能够得到我们这个对称轴二分之 p， 它应该是大于等于六，小于七的时候，我们是不是都会满足 y 一 小于 y 二，那么这种情况里边我们是不是能够得到这个 p， 它就是大于等于十二小于十四。那么宗上 大家看这两种情况里边，一个是 p 大 于等于十四，一个是在十二到十四之间，所以我们是不是能够得到我们这个 p， 它是大于等于十二。好嘞，这是我们这一道题。
241青桃子🍑
14:56查看AI文稿AI文稿如果没有疑问，那我们现在开始挑战第十二题。那十二题可以说是很多同学哎，做错的，基本上百分之八十以上的同学都做错了，即使做对他也是蒙的。来，我们可以看一下， 看一下第十二题。呃，这个题我说一下，我有四五个同学吧，呃，基本上只有一个同学做对了，应该就是只有一个同学做对了，那这个同学是怎么做对的？ 我们最后再说一下吧，我们最讲完这个之后我们再说，呃，我们先把他的常规解法说出来，然后我们再说他的解变解法，只是你完全不会的情况下可以有。好，我们看一下。这个第十二题出了很多，我们先审一下题， 平面直角坐标系 a， b， c， d 绕着点 d 旋转，哎，得到一个新的平行四边形 m， n， q， d， 哎，那其实就是 da 这个边旋转到 dm 这个边，然后呢？ dc 这个边旋转到 d， q 这个边，对不对？ 然后呢，他现在问你，呃，他条件是 a， m， c， n 是 在一条直线上，那求，呃，就 cd 的 长是四，求 b 和 q 的 距离。 好，那这个题大部分同学哎，就像我说的，没有太大思路，那我们想想，如果是你的话，你有哪个想法？ 哎，如果你做这个题的话，我们想一下这个 b， q 我 们是不是要连起来它，如果你拿尺子测一测，你会发现这个 c 点好像是在 b q 这条直线上，也就是说我们的 b 我 写在这，写在，呃，右上角吧， b， c， q 这三个字母是不是共线呢？ 我们猜测或者我觉得应该是的，那我们现在第一就是能不能证出它是贡献的， 然后再往下做。那我们现在来看一下这个题。那，那如果是贡献的话，我们的思路是什么呀？我要把 c、 q 连接起来， 这个我先说思路啊，这过程我先不写，那我们要把 c、 q 连接起来， 那你会发现，哎，我这个 d a、 m 是 一个等腰三角形， d a m 是 一个等腰三角形，因为 d a 等于 dm， 然后 d、 c、 q 也是一个等腰三角形，而且这两个等腰三角形应该是相似的。 我说思路啊，你想一下，为什么？你看一下就是，呃，这个角 q d b 和 a d c 这两个角是旋转前后的角，标红的，这是两个旋转前后的角，然后它的公共部分， 公共部分是不是这个 c、 d、 m 这公共的角？把这公共的部分减去，是不是就得到 c d q 这一个角和 a m d 这一个角是相等的， 那我把这个其他都划掉，我们就发现这两个红色的角相等，那么 d a、 m 和 d c q 是 不是就是一个等腰相等？呃，等腰角，而且是相似的， 那说明它们的底角也相等吧。那我现在标一下我需要的角，我就把它标一下，角一和角二和角三 和角四。啊，这，这个，这道题，这角非常多，所以我就不用字母了，我就用这个一二三四来表示， 你们看一下啊，这个四，这个边长四我们还没用到，先把它擦掉，角一等于角二等于角三等于角四，这两个 等腰三角形是相似的，然后到这之后还没有结束，对吧？我们要正这个 dcb 是 贡献的，那其实就是让正这个 d。 呃，我写在这，我们要正 bcq 是 贡献的，其实是正角 qc n 是 等于 bc m 的， 哎，这个也是比较麻烦，我把它擦掉，哎，我把它标成一个角五和角六，我刚才说了，用到的角非常多，角五和角六你可以看一下，就是我们要正出角五和角六相等，是不是就可以了？ 那现在我们看角一、角二、角三、角四是不是和他们都相等？感觉是相等的，我们来看一下， 哎，我们会发现什么呀？这个角四好，这个角四和角五是内错角，因为 d q 平行于 m n， 它也是个平四边形， d q 平行于 m n， 所以 角四是不是等于角五？ 我把这个全都写出来，角一是等于角二的，是等于角三的，是等于角四的，也是等于角五的吧。现在啊，这么多相等的角，就差一个角六了。 那我们还是要用到一个一个条件，还是用到了一个条件，就是再加一个角角七。好吧，这角太多了啊，我用到了，我现在用到了，就七个角了，等会我们可能还会，还会用到角，还会用到角。 好，那现在的话，现在的话，我们看一下角六和角七，我们观察一下红色的线段， d a 等于 dm， 因为它是平行四边形，那平行四边形的这个对角线是互相平分的，所以 dm 是 不是等于 bm， 然后呢？ d a 和 b c 又是对，呃，这个对边，那对边也相等，你会发现这四个小段的红的是相等的，哎，那么 b c m 这个三角形是不是它也是等腰三角形， 所以角六等于角七，而角二和角七也是相等的，对顶角嘛，所以我们又可以得到，哎，他们是等于角六，是等于角七的。 好，呃，我，我们把这个结论写出来，把这结论写出来，那我是不是就得到了？写角五等于角六，那是不是就得到了 b c q 贡献？这是我们的第一个难点， 这是我们的第一个难点。当然，当然如果你在考试中，你感觉它特别复杂，很难想到的话呢，那你其实就可以把这步跳过去。 这当然我不是，哎，推荐你说，你说我会做，我还跳，你要严谨一点，当然要做出来。但是如果想拿高分的话，想在短时间内拿更多的分数的话，这个题有些步骤是可以跳的。好，然后我们再往下看， 那贡献之后，这是我们的第一个难点，然后我们再看，呃，你会发现 b c m， 这个 c m 是 这个平行于 d q 的， 并且 m 是 d b 的 中点，所以 c 点应该也是 b q 的 中点。 然后你会发现啊，其实也不用不用整这个，我们就直接再来一个角吧。再来一个角，呃，这个角八，这个角八， 哎，我再等一个角，角七是不是等于角八？因为它平行，哎，同位角相等，所以角七是等于角八的， 那这样的话，你会发现角四是不是等于角八？我用到这个角四等于角八，那它俩是一个什么呀？ 一个三角形的两个角八，哎，那就会得到。等角对等边就会得到 b q 等于 d， b 就是我们，我们的，我们知道这个 b c q 是 共线了，那我们就知道 b q 的 距离就是线段 b q 的 一个长，然后呢，我们就可以通过角得到边。我想求 d q， 呃，这个 b q 比较麻烦，但是，哎，我把它转换成 b d 就 比较简单了。 好到这里，哎，我们可以暂停一下，可以再想想哪个步骤不理解，我换一个颜色的笔啊，你们可以再做一下。呃， 换个黄色的。好，然后我们第一个问题已经解决了，贡献，并且我们把 b q 的 长转换成 b、 d 的 长了。那第二个问题，我把它裁这个换一下， 黄色的，这个三角形和这个大的黄色的三角形 是相似的，就是我们说子母相似。那我们现在来看一下，来看一下怎么来做。呃，我想一下，嗯，你可以这么来， 就这角一、角二、角三、角四、角五、角六、角七、角八，这八个角都相等的，我们用这个小一点的这个角也行，或者是大一点的。呃，写在这 黄色的角吧。呃，角九和角十太多了，角九和这个 就是 d a、 b 角十，证明他俩相等是不就可以了？好，我这是，我这是思路啊，所以写的是比较简单的，等会讲完题之后，你可以自己从从头到尾写一遍，看一下能不能写出来。那么角九是等于角十的， 怎么来证呢？你会发现角七和角九是互补的， 角七和角九是互补的，对不对？ 然后，呃，其实好像不用啊，我们我们用这个旋转应该就可以了，角九角十，这再加一个角十一，角十一。呃，我们我们会发现角十一和角十是旋转前后的角， 也就是角十是等于角十一的，然后呢，角十一又和角九是一个对顶角，所以它也相等，所以很容易得到这两个黄色的三角形有两组相等，一个是公共的角 a、 b、 d， 一个是角九和角十。我还是用红色的吧，这个看起来有点费劲。 好，那得到这两个三角形相似，写一下就是 a， m b 相似于三角形， d a b 用到的是两个角相等，那我们就可以来算出来。我要求的是 d b， 那 我设 m b 等于 x， 那 d b 就 等于二 x， 那 我就可以得到它们的边的关系。 ab 是， 刚才我们知道它是四，已知条件嘛， cd 是 四，所以 ab 也是四，那这样的话， 这样的话我们就可以得到它们的一个。呃，相似比，就 m b， m b 这个边，比上一个 ab 这个边，比上一个 d b 这个边，然后你再把这个数代一下。 呃， m b 是 x， ab 是 四，然后 ab 是 四， d b 是 二 x， 所以 可以得到。呃，我就位置的问题，我写在 写在这啊，我们可以得到二 x 方是等于十六的，那么 x 方就等于八， x 就 等于正负二倍根号二，当然我们只要正数二倍根号二， 然后我们要求的是 db， db 是 二 x， 二 x 就 等于四倍根号二。好，整个题思路就是这样的，你们可以想一下， 我没有写完整的过程啊，因为它是一个选择题，而且过程比较繁琐，所以我就把它的所有的思路给你讲解了一下，如果你感觉哪个地方不没听懂，你再返回去再听一遍， 然后听好了，然后，哎，把我这个题重新拿出来，然后从头到尾做一遍，如果你能做出来，就代表这个题你是学会了，如果没有做出来，你可以再听一下我的讲解过程。 好，那我们这个题就到这里啊，说最后一个方法，刚才我们提到的就是我说有一个同学，他是唯一的一个学生做出来的，他是怎么做出来的？ 它是用直尺，直尺量出来的，哎，那那，那你说我直接拿直尺量 b q， 假如是三， 那那那里头没有的正确答案，那怎么办？我们要借助的是它原有的线段的长度，它说了 c、 d 的 长 是四，那你就要测一下。比如啊，假如你拿直尺量了 c、 d 的 实际的长，假如是两厘米， 那么他说了是四，所以你用这个两厘米出一个四，那就代表着他的每一厘米代表着，呃，或者他每一格是代表零点五厘米， 然后你再量一下这个 b q 的 长， b q 的 长，假如是这个三，然后你三厘米出一个零点五，哎，就是六，那说明 b q 的 长是六， 当然最后它应该是这数是我随便说的，因为我没有这个拿尺子量这个方法，你们试一下看一下结果应该是也是约等于 a 的 啊，根号二，约等于是一点四一四， 然后根号三是约等于一点七三二，然后根号五是约等于二点二三六，这个如果你知道的话，那应该就没问题了。好，那第十二题，哎，我们就到这里啊，你看一下这个题有没有掌握。
14:02查看AI文稿AI文稿同学们好，家人们好，马上就要中考了，今天我们来挑一套试卷来进行一个讲解。是河北邢台的二模试卷，如果你是邢台的考生，或者是河北的其他市的考生都可以来参考一下。 这套试卷的整体难度并不高，但是呢，有一些学生反映说，哎，里头有几道题是偏难的，那今天孙老师是从头到尾每道题都详细的讲解一下，不仅有解答的过程，而且还有知识点的拓展那。呃，觉得有用的同学可以点赞关注，中考需要冲刺的同学也可以联系我。我们从第一个题来开始看， 那第一个题我们一块来审一下题，如图一，一条直线经过点 a， 那 么借助直尺或者是三角板来判断这条直线是， 那这道题是偏简单的啊，那我们直接拿着直尺或者三角板和这个线重合就可以了。比如说和直线 a 重合，那你会发现它无限延长，也经不过点 a， 那 么同样的，我们把直尺放到直线 b， 这你会发现，哎，它是 点 a， 是 在直线 b 上，所以这道题还是比较简单的。那么我们一样的直线 c 延长，那我们会发现它没有经过点 a， 直线 d 延长，那他也没有经过点，差一点点啊。当然，我这个是没有借助直尺啊，你在考试中一定要借助直尺，那这道题也给大家一个提醒啊，我们中考的时候肯定要带直尺，三角板、圆规。 好，那我们再看第一个题，我们可以说是白送分的题目，我们往下看一下第二个题，如图二，在一条不完整的数轴上，那标出 a、 b、 c、 d 四个点，点 b， 它是代表的是正数，点 b 是 代表正数，那么则 这个可以表示原点的是。哎，那我们知道正数全都在原点的右侧，那反过来，原点应该是在正数的左侧吧，那只有一个点 a， 所以 我们就选 a 呀，就非常简单。那我们这个题的话， 带大家来回忆一下我们的数轴的三个要素，那知道的同学可以打在评论区，或者是打在这个弹幕上。那第一个是什么呀？正方向， 正方向就是他，他有个箭头，你会发现他向着右，那这个是正方向，我们说越靠右的数是越大的，右是正方向，然后呢？圆点，圆点的位置。最后一个是什么呀？单位长度， 单位长度。注意单位长度和长度单位是不太一样的，单位长度是它一段代表着一个单位，然后呢，长度单位就是厘米米，分米什么的，这是单位。好，那这个是第二题，也是比较基础的题目啊，我们再往下看， 第三个好。呃，这个题的话也不太难啊，我一直说不太难，不太难，但是有同学做错了， 真的，我看有人反馈说这道题做错了，因为什么呀？他涉及到小学的知识了，那看到这个知识立马就晕圈了，我们把这四个都讲一下。 第一个，乘法交换律，什么叫做乘法交换律呢？就是他们的顺序变一下， a 乘 b 是 等于 b 乘以 a， 像这个就是乘法交换率，那你会发现它没有位置的改变吧，你看负的三分之二五负六，那这也是负的三分之二五负六，它位置是没有改变的，所以它没有用到乘法的交换率。那分配率是什么呢？ 分配率是有加减法或者是加减法和乘法合到一起的，比如说 a 加 b 乘以一个 c， 哎，那就等于 a 乘以 c， 加上一个 b 乘以 c， 那这个是分配率，就相当于把括号里的跟后面每一个项都相成吗？但是这个题里头也没有啊，也没有去括号的过程，所以这个分配率也要舍弃。也不是， 那移项的话，它其实是方程里头的，什么去分母去括号，移项合并同类项，系数化一对不对？移项的本质，比如说 x 减三等于六，我们把减三移过去，应该变成什么呀？六加三， 移动的象移过去，移到另外一边，然后这个正负号会发生改变，那这个叫移象，它的本质是什么呀？是用的等式的性质，左右两边同时乘以或者除以一个相同的数，哎，那么它这个等号的 等号是能成立的，所以我们减三相当于左边，哎，乘加上了一个三，右边也加上了一个三，那减三加三就消了，所以就等于这个，这个，这，这是我们的一项的一个本质啊。当然这是小学的一个写法，我们上初中之后就直接一步到位，直接呃编号就可以了。 好，那这样的话， c 选项也是错的，那么这个 a c 都是错的，那只能是 d 选项了。那什么叫乘法结合律呢？就是如果一个式子全都是乘法连接的，对吧？我们可以 顺序，他们乘的顺序可以发生改变，比如说 a 乘以 b 在 前面，然后再乘以 c， 可以 变成 a 乘以一个 b 和 c 的 g， 那 这个叫做乘法的结合率，所以你会发现他用到的是乘法的结合率，我们选择的是四 d 选项 好，呃，还是不是特别难？但是有一些同学做错了，是因为他把小学的知识忘了，我们一直说初中用到小学的知识比较少，比较少，但是这个题用到了，你看一下你有没有做对，然后我们再往下看。 好，这个是一个作图的啊，尺规作图。呃，尺规作图我们看一下，如图，三杠一，三杠二是一个基本作图的痕迹，那么这个则下列说法正确的是我们自己先看一下这个题是做什么呀？ 我们，我们想一下这个题他是让做什么呀？是，是不是做一个什么呀？相等的角 做一个相等的角，它是做角平分线吗？并不是啊，它是做相等的角和角 a 相等的。我们大概的顺序，先做一个射线 d， e， 先做一个射线 d e 或者是这个地点，然后 过地点的一个这个射线，然后呢，我们用圆规以这个点 a 为半径画一个弧，在这个三杠一上画一个弧， 然后以点 d 为圆心，然后以刚才的长为半径，就刚才我们做的这个长为半径，然后画一个弧， 那交这个下边这段与点 e 上边这个还没画呢。然后下一步是什么呀？以 b 为圆心，或者以 c 为圆心，或者是直接说用圆规测 bc 的 长， 用圆规测 bc 的 长，然后呢，以点 e 为圆心，以线段 bc 的 长为半径画一个弧，哎，交刚才的弧与点，比如说 f， 然后再连接一个 d， f， 那 这个角 d 和角 a 就是 相等的。我们先不看哪个选项是对的，我现在来问你，它这个做相等的角的依据是什么？同学们有知道的吗？它的依据是什么？ 讲到了吗？依据是 s， s， s， 我 写在这里， 它是做一个全等的三角形啊，就是 a， b， c 和 d， e， f 这三这两个三角形是全等的，你想想， a， c 和 df 相等， a， b 和 d， e 相等，然后 b， c 和这个 e、 f 相等，所以它三个边对应都相等啊，那么用到的是 s， s， s 正弦等，那么它对应的角肯定相等了。 所以有些题会说，哦，它这个作图的依据是什么？这个就考察了我们的一个。呃，对这个数学概念的理解啊，千万不要死记硬背，千万不要死记硬背，你要理解 好，那这个题我们选什么？可以看一下左角平分线， ok， 错。呃，图弧一，这个一是以 a 为圆心，以任意长为半径画的弧。呃，这个弧应该是对的啊，但是我们先打个对号，哎，因为不确定啊，你你你， 这个选项你看到 b 想感觉是对的，但是不要上来就选再看，因为有可能 c 和 d 有 个更正确的。那 b 你 有没有，你有没有考虑全的地方？好，我们看一下 c， 呃，弧二是以点 d 为圆心，以任意长为半径画弧，那现在这个 b 和 c 肯定是 c 是 错的啦，因为我们这个弧是任意的，弧一是任意的，但这个弧二必须和弧一的半径是相等的呀，所以第二个应该是错的。 呃， d， c 是 错的。呃， d 选项弧三是以点 e 为圆心，以 d， e 的 长为半径画的弧。我把它清空一下啊，这个 d， e 在 哪里呢？ d， e 在 这里，以 d， e 的 长为半径，那肯定是错的，因为我们刚才是什么呀，以 b、 c 这个线段为半径啊，所以 d 选项也是错的，所以我们选二 b。 好，那这个题我们就到这里啊，你现在可以回忆一下，回忆一下我们有一些做的这个尺寸图的题啊， 我帮大家回忆一下。第一个是做相等角，就是我们这个这个图它是怎么做的？如果你这个几个回忆的题不知道，你可以看一下我的视频。呃，做相等角。第二个是做角平分线， 我们可以快速的啊，因为我们的这个知识点把它拓展一下，所以我们讲的会稍微快一点。比如说我要求角 a 的 这个画角 a 的 角平分线，我是以 a 为圆心，以适当的长为半径画弧，交 b、 c 两个点， 再分别以 b、 c 为圆心，以大于二分之一 b、 c 的 长为半径画弧，交于 p 点，然后连接 ap。 好， 那这个就是角平分线的一个画法。那第三个做垂直平分线， 比如说一个线段的垂直平分线，我们应该怎么做呢？我们是以 a、 b 为圆心，然后呢？以大于二分之一 a、 b 为半径画弧，呃，比如说这个弧，这个弧， 这是以点 a 为圆心的，然后现在以点 b 为圆心画弧，那交于 m n 两个点，然后连接 m n。 好， 那这个 m n 就是 它的垂直平分线那。呃，第四个，第四个，我们做高做高线， 呃，做高线应该不太合适，应该叫做做这个垂线，过直线外一点做垂线，那我写在右上角了，右右边了。呃，这有一条直线，然后直线上有一个 a 点，我想过 a 点做这个 l 的 一个垂线， 那我们怎么做呢？以 a 为圆心，以适当的长为半径画弧，交这个 l 与 b、 c 两个点，再分别以 b、 c 为圆心，以超过二分之一 b、 c 的 长为半径，再画一个弧。哎，画两个弧，然后交于这个 d 点，那么连接 a、 d， 那这个 a、 d 是 垂直于 l 的， 那这个是做垂线，那我们根据这一个题啊，拓展很多啊，所以，虽然这个题比较简单，但是它可以让你知道哪些知识点你还不太熟，你做这个尺规作图的时候，你心里想到，哎，我这四个图哪个还不会画 好？再看，这是第四题，看一下第五题。呃，第五题的话， 为什么说它比较简单呢？我就忍不住笑了，为什么简单呢啊？这个题其实出在初一还是比较合适的啊。出在中考上，我觉得有点太简单了。 x 与三的差，那 x 减三呗， 然后得二倍，注意，是差的二倍，所以括起来的二倍是非负数。非负数， 非负数，也就是它不是负数，那不是负数是什么呀？是零和正数，那应该是大于等于零，哎，这个时候，这个知识点啊，看起来很简单啊。这个题非常简单，但是孙老师还是能给你拓展。拓展什么呢？可以看一下。呃，非负数我们知道， 我写在这，非负数我们知道。那么，呃，非正数，你想一下是什么？ 你以为就那么简单吗？还有非负整数是什么？ 还有什么呀？非正整数是什么， 对吧？一个支点给你拓展很多啊。非负数是除了负数的数，那就是零和正数， 然后非正数，哎，就是除了正数之外的所有的数，那就是零和负数，这两个我觉得你应该是知道的，那后边这两个是什么呢？你们想想 后边两个非负整数，我们注意读法，它是非负前面，然后要求是整数，所以它是不是负的整数，那么应该就是零和正的整数。它必须是整数吧？ 它的要求就是整数，那么下面的非正整数，那就是零和负的整数吧？负的整数。 好，那你现在来看一下这个题。哎，要把它记住啊，它里头所有的都包括零的，都包括零的。好，我们第五题就到这里啊，我们再往下看。
01:15:07查看AI文稿AI文稿中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。
11.9万亮亮巧解数学
17:14查看AI文稿AI文稿看一下第六题。好，这个是一个二次根式的题目，二次根式的题目。然后我有一个学生做错了，所以我们把它讲了很多， 讲了很多，因为我觉得这一个题做错的话，就代表着你有很多知识点不太熟啊。那我们一样的假设，这道题你做错了，我们先讲知识点，再讲这个题。我们先讲知识点，再讲这个题。我们看一下这知识点用到了什么？呃，用到了几个点？第一，第一个是加减乘除， 就是根号下的数加减乘除应该怎么办？ 来看一下。先说乘除，先说乘除，乘除的话，就是根号 a 乘以一个根号 b， 就 等于根号下 ab。 举个例子，根号二乘以根号三，就等于根号六。 很简单除法，根号 a 除以根号 b， 就 等于根号下 a 除 b。 比如根号二除以根号三，就等于根号下三分之二。来看一下，看一下。 呃，当然这个 b 不 能为零啊。那这乘除很简单，那加减是不是也很简单呢？有些，有些学生说，老师，我知道了，根号 a 加根号 b， 等于根号下 a 加 b， 对 不对？同学们， 错啊，错，这个是错的。我们来说一下。呃，加减法的话，就涉及到一个新的概念啊。我们这个这样吧，我把它分成两这个乘除，然后第二个是加减， 那加减的话，第一个词我们要知道，呃，就是这个最减二次根式 和同类二次根式。 好，如果把这两个字搞懂了，加减法就会了。首先最减二次根式。什么叫最减二次根式呢？我们要求是根号下的数没有完全平方数，比如说根号五十，你会发现它的音式分解。呃，它的它这个它的音式音数里头应该有二十五吧， 那二十五是个平方数啊，那它可以开出来的，它就可以变成根号二十五乘以一个根号二。哎，我们用到了这个的逆定里啊，反过来那应该就是五倍的根号二吧。 所以如果里头有平方数，我们要开出来，那第二个就是根号下不能有分母，或者是这个分数里头的分母不能带根号。什么意思呢？比如说根号加三分之二。 哎，那这个时候是不是最减二次根式，那我们应该怎么办？我们应该上下同时乘一个根号三，那这个根号三乘以根号三就变成三了，然后这个根号二乘以根号三，就变成根号六了， 这个叫做这个最减二次根式，它的分母有理化这个步骤，这个步骤叫做分母，它本来是无理数，我们把它变成有理数， 然后呢叫做分母有理化。哎，上高中的话也会用到这个知识点啊，也会用到知识点，因为我教一个高中的学生，他基础比较薄弱，他竟然问这个什么叫分母有理化，所以这个知识点还是很重要的。 呃，还有一个，既然说到这，我们再把它拓展一点，比如说根号二减一分之三，我想把它分母有理化，你们可以试一下。可以暂停试一下。 做出来了吗？我们来看一下这个怎么进行分母有理化呢？就是我们的分子分母同时乘以它的什么呀？根号二加一，就是我们看这个符号是减法，我们就乘以个加法， 如果是个加法的，我们就乘以个减法的负平方差公式可以看一下，就是根号二减一，乘以一个根号二加一， 那分子分不成了，那分子也要乘一个根号二加一，带上括号。那这样有什么好处呢？ a 加 b 乘以 a 减 b， 是 不是等于 a 方减 b 方， 哎，那就可以错出根号二的平方是二，一的平方是一，那么上面是三倍的根号二加三，然后就等于三倍的根号二加三， 那这个就叫做分母有理化两个，一个是简单的，就是只带一个根号的，你就乘以它就可以了。分子分母同时乘以这个根号的数，比如根号三，然后呢，如果是分母比较复杂一点，有加减法的， 我们乘以它的另外一个有加法，我们就乘以减法的，有减法我们就乘以加法的凑平方差公式， 那现在我们是，我们明明讲加减法呢，孙老师，你给我拓展了那么多，把我搞晕了呀。这个最简二次根式讲完之后，这个有什么用呢？对我们加减法有什么用呢？那就是第二个概念，就是同类二次根式。 同类二次根式就是你化简成最减二次根式之后，这个时候你看根号下的数是不是一样的，比如说三倍的根号五和这个减二倍的负二倍的根号五，你会发现它根号下的数都是 一样的，而且它是最减二次根式，那这个时候它们就可以进行加减法了。那比如说，哎，我把它合到一起，这个三倍的根号五减去一个二倍的根号五，应该等于什么呀？等于根号五，为什么会这样呢？ 为什么会这样呢？哎，它和同类项的计算是一样的呀。三 x 方 y 减去二 x 方 y， 你 想想同类项的计算是怎么算的？ 是不是后边的字母和指数不变，它前面的系数相加减，那也就是三减二，那就是一，所以是 x 方 y， 那 这个就叫做同类项，而我们上面这个叫做同类二次根式，所以加减法的时候就是这样的一个计算。 好，那我们现在回来这个题啊，拓展了非常多，拓展非常多。这个题如果你做对了，哎，你觉得这个知识点非常简单，那你就稍微看一看，如果说你这题做错了，哎，我们的知识点都要审一遍，就知识点都要过一遍啊，看一下哪个地方不理解。 好，那我们现在来把这个题写一下这个题。那首先，呃，乘除你可以直接算啊，应该比较好看。你比如说，呃，根号二乘以一个根号下二分之一，就等于根号下二乘二分之一，就等于根号一，也就是一， 所以乘法是不行的，那么除法根号二除以一个根号下二分之一， 也就是等于根号下二乘二，那就是根号四，也就是等于二。哎，这个除法是对的来，但是，但是我们先不写，刚才说了，我们选项要看全的，对不对？要看全的，那我们，呃加减法，你们可以试一下根号二， 哎，这是怎么回事？没事，不影响根号二，加上一个根号下二分之一和根号二减去一个根号下二分之一，你们可以尝试算一下，看它的结果是多少。 好，呃，我现在给你们说答案。呃，首先他不是同类二次根式，所以你要就是他不是最简二次根式，你要先化简一下，那下面这个根号二，我们可以变成，呃，根号加二分之一，可以上下同时乘一个根号二，可以变成二分之根号二。哎，这个时候变成同类二次根式了。 那，呃，前面系数是一，这个系数是二分之一，所以加起来是二分之三倍的根号二，那这个也是一样的，根号二减去一个二分之根号二，就等于一减二分之一就是二分之一倍的根号二，当然你也可以写成二分之根号二，都可以。 好，呃，大家可以看一下，这个讲，讲的时间比较多，虽然比较简单，但是我们拓展的内容是非常多的。 好，我们再往下看，再往下看。呃，第七个，第七题。好，我们来看一下这个第七题。那第七题的话，它是呃，一个平面直角坐标系的题。啊？不对， 应该跟这个类似吧，我们来一块省下题，它是方向的问题。嗯，在四乘六的正方形网格中，位于 a 点， a 点南偏西，南 a 点， 呃，上北下南南偏西，那应该是在这个方向，在左下角，在他左下角。呃，六十度的南偏西六十度，那大概的位置大可能是这样， 这是六十度，所以有可能是 p 点，有可能是 p n， 但是我们还是要省钱啊。没，没完呢，同时又是在点 b 点 b 的 西北方向，注意西北方向。我们说了，西北方向是什么呢？ 是北偏西四十五度，就是正好是角平分线，这种的话就西北方向，西南方向，然后呢，东北方向，东南方向。像这种没有说度数的，你就认为是角平分线四十五度，所以应该是在他的左上角四十五度方向。 哎，那符合两个的要求的只有 p 点，所以这个题选 a 还是比较简单的。如果这个题你做错了，你要对这个角度问题再找一些同样类型的去练一练，看一下哪个知识点还不会 好。那我们第七题就到这里啊，看一下第八题。第八题好，它涉及到几个知识点？我们先读题，第八题是已知 m 是 一元二次方程，两根之和 受到的。涉及到第一个知识点是什么呀？伟大定律，一定要记住。当然有些有些学校已经不讲这个名词了，什么叫伟大定律？我们学过，呃，我们课本上叫什么呀？根与系数的关系，根与系数的关系， 但是意思是一样的，那第二个是什么呀？双曲线，也就是我们的反比例函数。 那如果这道题你做错了，那你现在看一下，是伟大定律的问题还是反比例函数的问题。那我们一个一个来说，第一个伟大定律，你要记住啊，什么叫伟大定律？就是如果它是一个一元二次方程，然后呢，你可以设它的根分别是 x 一、 x 二， 那它们这两个根的和就等于负的 a 分 之 b 就 等于负的 a 分 之 b， 那 ab 就是 二次项系数，一次项系数 c 是 常数项，所以这个就是负的负的 a 分 之 b。 然后那我们还要再说，它们两个根的积 x 一 乘以 x 二，就等于 a 分 之 c， 就 等于 a 分 之 c， 所以， 哎，要算对数啊。呃，有一些学生，他把符号给记反了， 就是我我我这个做完之后，这套这套件做完之后，有一个学生跟我说，老师，这个题我做错了，为什么呢？一看，原来他他他写成负的 a 分 之 c， 然后这个 x 一 加 x 二，当成了什么呀？ a 分 之 b 了，所以符号要记住了，要记牢了，如果这个符号记错了，那你肯定是拿不了分了呀。 我们算一下， x 一 乘以 x 二， x 一 加 x 二，那是负的 a 分 之 b， a 是 一， b 是 负五，所以它就等于五。 那么，呃， x 一 乘以 x 二，我们也算一下吧， a 分 之 c， 那 应该就是一分之三，也就等于三。好，这就是伟大定义，没有别的要求。背过，背过，如果背不过，哎，花时间，现在暂停，花十分钟默写，默写，把它背出。 好，那看第二个反比例函数， ok， 反比例函数，那它就一个什么呀？双曲线，那就是 y 等于 x 分 之 k。 你 要搞清楚，搞清楚这个什么几个知识点，我，我帮你先回忆一下， 如果 k 大 于零，它是过一三项线的，我写在这，如果 k 大 于零，那它是过一三项线的， 然后你会发现什么呀？它，它，它是一个递减的，它这个下降的趋势吧？它这个下降的趋势，但是呢，它它是什么呀？每个象限内是下降的，所以你要加一句话，加一句话是在每一个象限内， 然后呢？ y 是 随着 x 的 增大而减小的， 然后你也可以说，哎，在每一个象限内，然后这个函数图像是下降的，函数图像是下降的，这个递减就是下降。好，那这样的话，你会发现，只要知道这四个中的任何一个，那其他三个都是 都可以推出来的，他们是相等的关系的，是完全一样的。那如果 k 小 于零，我就不写了， k 小 于零，那他就是二四象限，然后在每一个象限内外，是随着 x 的 增大而增大的，然后呢？呃，在每个象限内，然后这个函数图像是上升的。 好，那现在我们来看，这个我们已经算出来了， m 是 两个根之合，也就是 m 是 等于五的， m 是 等于五的，那我们的这个反比例双曲线啊，那应该就是 y 等于 x 分 之四减五，也就是负的 x 分 之一，或者是 x 分 之负一，那 k 是 小于零，那应该是二四象限吧， 二次象限，然后呢？这个 y c x 增大而增大，这个好像对了，但是它没有加什么呀，在每个象限内，所以 a 也是错的，然后 b 选项也是错的，负一负一带进去，它俩成绩是一呀，而不是负一，所以 b 选项也是错的， 那只能是 c 选项了。注意，其实如果这个题你比较熟悉的话，对，你对双曲线比较熟悉的话，你就不用看，你就直接选出 c 了啊。当然，我不建议这么做啊，我就说，如果你特别熟的话，你其实可以直接选出 c 了，为什么呢？因为 这个双曲线，只要是双曲线，它永远是关于两条直线对称的。呃，一个是 y 等于 x， 一 三象限角平分线，一个是 y 等于负 x 二四相线的角平分线，所以这个题他选了，他有 c 选项，这个题出的就不是那么高明，因为这个题你可以不用看条件，你就直接选 c， 或者简单的看条件，你就直接选 c， 所以 没有那么高明。好，我们第八题就到这里啊，看一下你是维纳定律不会还是反比例不会？我们再往下看啊，看一下第九题。第九题是一个空间想象的能力的一个题 啊，这种题一般情况下不太好讲，但是我们也可以看啊，我们来看一下。呃， 第九题，如图五杠一，它是一个正方体的平面展开图，那么它是如图所示，现在屁是不知道的，但是它展开之后它是，呃，它合上去之后是右边这个图二，那么现在问你屁这个图图像是什么？我们来看一下这一个， 这一个我可以标几个点你就知道了。这个我标成 a 点，这个我标成 b 点，那这个 a 点， 你可以想一下他的下边，或者是他这个是横着的一个，呃，矩形是这个正方形的一半，所以我们可以看一下这个应该是 a 点，这个应该是 b 点吧，对不对？ a 点， b 点， 那么呃再往下推，呃，假如这个是 c 点，那你会发现这个是 c 点吧？ 那这个我标成 d 点，那这个应该就是 d 点。好，那对应的展开之后，呃 p 的 位置，那 c 应该是在这里， 然后 d 应该是在这里，你观察一下 d 的 话，它是正好是一个直角三角形，等腰直角三角形的顶点上的一个点吧，所以我们可以画一下它，应该是这样的。 好，那我们看一下这个题选什么？是不是选四 d 啊？ 好，这个题没有别的方法，它好像就这个方法更简单一点。嗯，当然你如果说我脑海里一下就想到了，那就可以直接直接做。
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23:06查看AI文稿AI文稿张口二模的数学，呃，据说这一次的题难度要大很多，有扣了很多细节的东西，那咱们一起来看看，我希望我是全网第一个发这个试卷的解析的。 呃，第一题啊，一个线段平移的问题啊，向上平移，那么这个图也是显而易见啊，只有这个 p 点是可能会经过的， q 点在外面。 第二题，与负三又五分之三相加得零，这考了一个相反数啊，相加得零是相反数，然后又考了一个代分数啊，这里是 b 三加五分之三就是三又五分之三 啊。第三题，若这个东西有平方根，则 x 满足的条件是，那显然平方根啊，平方一个数要有平方根的话，那这个数得是非负的。所以说这个负三 x 加六要大于等于零 啊。那么注意一下，这个如果 ab 跟 c、 d 都有的话，可能还需要考我们一个不等号的编号问题，因为这个负三 x 前面带了一个负号， 所以可能有同学会在负三 x 这里啊，在不等号编号这个问题上出现问题啊。这一个很可惜的。第三题，非常简单啊。 第四个，呃，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 是 b、 c 边上的中线，然后点 e 在 a、 c 上，且 d、 e 平行于 ab， 那 我这里可以直接画一幅图啊，随便画一个三角形，那应该能看到啊。这个 d、 e 跟 a、 b 之间其实是中微线的问题啊，平行然后 a、 d 又是中线 啊，所以 b、 d 等于 c、 d 嘛，然后做 e、 d 平行于 a、 b， 那 就是个中微线问题啊，那中微线的特点就是二倍呗。所以说这道题选 a 的 啊，一下就能看出来。呃，第五题， 这是一个依然是三式图啊，考的是三式，三式图，对于此几何体的三式图，那我们如果不太好想的话，我们就把三个式图都画出来，然后就能选出来了。 呃，应该是不相同的啊，这个主式图的方块上面的小方块在右侧，左式图的小方块在左侧，然后俯视图是看不到那个小方块了啊，在那个小方块那地方应该是个实线的，在大方块里面，所以说这道题选 d。 呃，第六题，若 x 一 x 二，这是一个考根据系数关系的啊，是方程的两个实数根则。 如果啊，眼疾手快的同学可能会求解这道题，求解没毛病，但是你求解一定会很麻烦，他问的这个东西是 x 一 的平方乘以 x 二加上 x 一 乘以 x 二的平方，这个地方，我们可以显然的 把这个式子做因式分解，变成 x 一 乘以 x 二加乘以 x 一 加 x 二，那我们只需要写这个 a 分 之 c 乘以负 a 分 之 b 就 可以了啊，所以说不需要去真的求解这个二次方程啊，谁求解谁是笨蛋啊，这道题应该选看一下啊。呃， a 分 之 c 是 负二，负 a 分 之 b 是 负三，所以说这道题应该是负六啊，选 c。 第七题啊，甲乙两名同学，这是一道，呃，这个概率的问题啊，概率的问题， 一三四和五六八三张卡片各抽取一张，则抽到两个数字之合适偶数的概率，那么我们很显然的能知道啊，甲乙两个同学各有三张，那一共就有九种 可能出现的结果，那我只需要去列出来就可以了呗。列表法可以啊啊，如果抽到一，那么只能抽五是偶数，如果抽到三，也只能是偶是偶数。如果抽到四的话，六和八是偶数，一共四种结果。所以说是选 c 的 啊。 呃，第八题菱形啊，这个考的是一个几何图形，菱形 abcd， 需要注意一下了啊，需要注意一下菱形的一些性质，比如说对角线互相垂直平分，比如说四边相等，比如说这个对角，呃，这个对角相等，这些条件啊，都是需要我们注意的，需要脑子里面记得的啊。 abc 等于八十度好了， a c， b， d 相交于点 o， 点 m 为 o， c 上一点可以重合。然后他说了， 有两个角平分线，一个是 m b c， 另外一个是 m c b 交于点 n， 则 b n、 c 就是 构造出来的这个新的。呃，三角形的这个大角啊，相当于是它的钝角呗，钝角应该是多少度？ 这个地方啊，这个地方它给了四个选项，然后只给我一种可能性， 那咱们来分析一下吧。如果现在假设啊，我们这个点 m 在 o 点的情况下，当然我是一个比较害爱偷懒的人啊。如果点 m 在 o 点的时候，那么这个 b、 n 和 n、 c 其实是两个直角，三角形中的锐角的平分线，也就是这两个角相加等于九十度，而这两个角的一半相加应该等于四十五度，也就是说，这个 b， n、 c， 如果 m 点 在 o 点的时候，这个 b 角 bnc 应该是九十加四十五，等于一百三十五度。但是这道题说点 m 是 o c 上一点， 也就是说这个角实际上要比这个九十度的角实际上要比 b m c 啊， b m， c 要比九十度更大，所以说，呃，剪出来的角应该是更大的角 啊，两个剩余的角要小于九十度，那么也就是说小于九十度的话，那剩余的这个角要大于九十度，那么也就是说，实际上这个 b n c 一定大于一百三十五度，当你能求出 d 来了啊，这不知道这个八十度有什么用，可能是干扰选项啊。 呃，很显然，这个地方他最小是一百三十五度。如果在这个 o c 上运动的话，我们是可以通过这个直角三角形的。呃，角度的关系，或者是说这个三角形的三个角的关系，内角和来求出来的。 第九题，若关于方程有两个相等实数根，那这个地方我们呃，走常规路线呗。既然他说有两个相等实数根了，那么就嘚它等于零，然后把嘚来求出来，嘚它能求出来等于多少呢？ 呃，二减二， i 二减二， k 的 平方减去四乘以二乘以 k 方减一，那能解出来一个 k 的 二次函数，那么求出 k 值来，我们来算一下啊。 呃，这个式子是 k 方加二， k 减三等于零，然后呢？解出 k 就是 一个负三，一个一呗。那然后剩下的事情就是带入了关于双曲线这个玩意的说法。正确是，我既然能求出两个 k 值来，那咱们来看一看啊。 呃，如果 k 等于负三的时候，这个式子是 y 等于，呃， x 分 之一，如果 k 是 一的话，那就是 y 等于 x 分 之五。好了，看选项吧， a 与 y 等于 x 没有交点，那么显然这个 双曲线无论是 k 等于负三，还是 k 等于一，它都是一三象限的，所以 a 错了啊。呃， b 等一会再说啊， 他让咱们算数 c， 我 觉得不可能吧，对吧？ d 选项在每一项线内 y、 c， s 增大而增大，那显然这个地方为什么不看 b， 因为我 b 需要计算，而 a、 c、 d 都不需要计算。 d 选项跟 c 选项他俩是一回事，因为在一三象限内， y、 c、 x 的 增大一定是减小的，这是咱们反比例函数的特征啊。所以说这道题一定选 b、 b。 我 不用求了啊，不用求，接下来看第十题。哎， 在三角形 a、 b、 c 中， a c 大 于 b c， m 是 a c b 的 平分线上的一点连接。 a m， b m。 啊，这是一道很老的题了。 呃，可得 a c 减 b， c 大 于 a m 减 b m， 这个地方是一道老题啊，这道。这是一道老题。 嗯，图形上跟传统的老题不太一样。这个传统的老题，那个 m 在。 呃，三角形里面。 这道题的做法很简单啊，就是我们因为看到了 m 是 角， a、 c、 b 的 平分线，所以说我们要做的事情其实是把 c、 b、 m 这个三角形翻折， 是把这个 c、 b、 m 的 三角形沿着 c、 m 去翻折，那么我们就会出现 bc 的 b 点会一定落在 a、 c 边上， 那么 a c 减 b， c 就 变成了一小段线段，然后 am 减 b m 这个地方就可以出现一个三角形的三边关系 啊，这是一个老题啊，这是一个老题。那两边之和大于第三，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以说就是 第三边大于两边之差啊。这是一道考三角形三边关系的，然后再加上一个角平分线的特点，就是角平分上的点到两边的距离是相等的。我们要做的事情就是 c m 沿着 c m 翻折啊。 呃，这道题如果你要是不会的话，你有可能会蒙到 d 选项。 d 选项，这是一个很大的问题啊， 因为其实你可以尝试一下，如果是可能，有可能有同学会想，如果这个角 c 是 直角的话，有没有可能是等于关系呢？那你实际去画一下，你就会发现这个角平分线的问题啊。角平分线的问题，呃，他不可能等于 啊，如果 a c 大 于 bc 的 话， ac 等于 bc 有 可能等于，但是 ac 大 于 bc， 他 一定等于不了，所以说我只能从 ab 里面选啊。 呃，看一下第十一题吧，抛物线经过点哦，负一负 t 零负 k 一 t 二负 t 则下来选项中值不变的是这道题啊。 有同学可能会觉得，哇，抛物线怎么出来这么个玩意，然后上面点所有点我都不知道，那该怎么办呢？那其实 这种题型一般都是考对称的，因为，呃，抛物线上面所有信息都没有，有没有图，所以说你只能去利用一些二次函数的呃， 基本性质，比如说这里的啊，与 s 轴交点啊，或者说与 y 轴交点，或者说对称轴这些东西，这些信息啊基本信息。那这里呢，很显然就是利用了对称轴的关系，我会发现负一负 t 和二负 t 这个地方能漏出对称轴来，对吧？ 对称轴大概是二分之一，然后我又发现了零跟一依然是对于二分之一对称的，所以说负 k 等于 t 秒了啊。这作为第十一题啊，他的考点其实非常简单，但是他的考法可能会让很多同学比较困惑啊， 所以值不变呢，就是选 b 了啊， t 除以 k， 他的值是负一，他俩是相等的。好，咱们接着往下看十二题， 这是一道动点移动的问题吧，看起来应该像正六边形，顶点 o 为圆点， o、 a、 o、 d 分 别是 x 轴、 y 轴建立的直角坐标系点 a 等于一零。那么也就是说边长为一的正六边形 啊， b、 c、 d、 e 均在 x 轴上方，接点 p、 q， 同时从 b 出发，正六边形边上点移动。 p 是 逆时针， p 的 路线是 b、 c、 d、 e、 o、 a， 而 q 的 路径是 b， a、 o， e、 d， c 啊，一个正着动，一个反着动， 一个速度是一，一个速度是二。然后现在有如下结论，结论 e， 看一下， e 的 坐标是 反了吧，应该是负二分之一和二分之根号三，所以一是错的。解 了二，二零二六点二零二六秒后， p 点位置这地方咱们可以算一下啊，二零二六除以六，因为我能发现，这个 p 点一次一秒钟动一格，六秒钟转一圈，那么二零二六除以六应该等于，呃 啊，三百三十七于四，那么咱们数一下，一秒钟到 c， 两秒到 d， 三秒到 e， 四秒到 o， 也就是说，这个点 p 点的位置应该是零零啊，这个结论二错了， 结论三呢？呃， p、 q 在 第十三次相遇和第十四次相遇，那这个地方的话，如果我们呃想硬求啊，硬去求也可以，但是呢，我觉得我们最好是找点规律啊，咱们看一下规律吧， 咱们可以先看一看啊，这个 p 点和 q 点是怎么进行相遇的？首先，我能发现，每两秒钟他们两个 p 点和 q 点一共会移动六个格，一共六个单位长度，所以说他们是每两秒相遇一次的， 那我们看一下，第一次相遇的时候， p 逆时针走到 d， 而 q 逆时针走到 d， 那 么第一个焦点是 d， 第二个焦点相推，往后推的话就是 o， 第三个焦点推就是 b， 也就是说他们三个焦点的 这个情况就是 d o b d o b d o b 一 直这样去相交，也就是无论他是第十三次还是第十四次，还是第十五次还是第十六次，都一样啊。那么两次相遇之间的距离 就显还是二分之。根号三乘以二呗，咱们拿购物定率就可以算了啊，购物定率可以算就是是不是根号三？对啊，根号三，所以说只有结论三是正确的选二 b 啊，这个地方选择题里面可能啊可能，如果没做过的同学， 像第八题或者第十题啊，没有见过的同学可能会比较难一点啊，你可能想不到，但是剩下的十一十二这两道题呢，老老实实写就行啊，老老实实写就 能看出来。这一次考试可能会把难一点的东西放在中间了，八呀，十呀，呃，可能会稍微的有点不好去想，但是十一跟十二，我觉得考的东西都比较基础， 大家不要觉得特别难，考什么东西我们就找什么东西啊。接下来看填空吧。分解形式，第一题不说了啊，第一题不说了，一定要分解到最简形式，所以说先提个二倍出来。第十四题， 若干张图，长方形，正方形卡片。这是一道考非常简单东西的啊，我们能发现周长为三十二，由呃，六个一二三四五、六个 b 和五个 a 组成，然后我又能发现这个 a 跟 b 的 关系，一元啊，二元一次方程组 能解出 a 加 b 等于一个二，那么 a 加 b 就 等于六。好吧， 十五题，呃，如图，其 a， b， c， d 平行啊， c， e， b， f 分 别平行 d， c， m， a， b， m， 其所在直线交与点 n， 则角 m 与角 n 的 数量关系是。这道题也是一道老题 啊，这考了一个模型叫猪蹄模型，它对这个猪蹄模型进行了一些变化，这地方我们能写出来，能秒答啊。角 m 等于二倍的角 n， 那 么如果你 学过猪蹄模型的话，你可以直接写出来啊，了解过猪蹄模型的话，你可以直接写出来。如果你没有了解过的话，那我对你的建议是，对于这种题而言，你可以假设这两个角平分线平分出来的那两个小角分别是一号角和二号角，然后你把 呃这里面所有的跟一号角，跟二号角相同的角，或者是产生相关的东西都标识出来。比如说有的角是可能一百八十度减呃，角一啊，一百八十度减角二，或者一百八十度减二倍角一，一百八十度减二倍角二。然后你把这所有的跟这个角相等的角都标成角一，相等的角都标成角二。 然后在三角形里面啊，去随便找两个三角形，比如说 m 的 三角形和 n 的 三角形，在这两种三角，在两个三角形包含 m 和角 m 和角 n 的 三角形里面去表示角 m 和角 n 啊，那么最后你一定会变成一个一百八十度啊，和角一个角二的关系，一百八十度和角一角二的关系。最后呃，你就能写出来这个 m 跟 n 的 关系一定是二倍的， m 等于二倍角 n。 那我给你的建议就是，对于这道题来说，如果你没有见过同学呢，就用方程的思想把 m 跟 n 表示出来啊，用一百八十度和我刚才所谓的表示出来的这个第一个平分线产生的角一跟第二个平分线产生的角二 啊，把这些东西都写出来，你就能求出来了，表示出来一定可以的啊。呃，因为还有平行嘛，平行有很多同内角，内错角这些东西的，都是相等的啊。还有这个，呃，这个平角等一百八十度啊，这些都可以都可以用得到的啊。 呃。十六题，如图八矩形， a， b， c， d， a， b， c 等于十二点， p， q 分 别是上面的点连接 p q， d， p 等于四， c， q 等于几？那其实我能把所有的边都表示出来了啊，像 a， d 等于 a， d 等于十二，然后这个 a p 等于八， p， d 等于四， b q 等于五， q c 等于七，然后这个 c， d 等于四嘛，对吧？全都能表示出来，然后他们说什么了？过 m 做直线 l 垂直于 ad， m 是 个动点， 如果直线 l 上存在四个点 n 使 p q， n 为直角三角形，那现在什么情况下能产生四个直角三角形呢？那我们可以去画几个图啊，或找几个位置啊。我们能发现，如果这个 m 在 这个呃 p q 的 外侧啊，左侧移动的话， p q 这条线，我们 m 在 它整个的左侧运动的话，呃，我最多能产生两个，然后，呃，右侧在 p 的 右侧的话，我好像也能最多能产生两个。呃，然后呢？刚好，如果刚好跟这个 呃 m q 垂直于 b c 的 话，呃，我能折到一个垂直，对吧？那这地方我觉得如果让我去直接写答案的话，我可能会写五到八， 这个 t 大 于五，小于八，只有这个 m 在 p q m 垂直于这个 b c 的 这个过程会交 p q 的 时候应该才会产生两四个交点，因为在两侧嘛，这条线段的两侧都会产生。那么如果说我想要去 呃稍微严格的证明一下的话，我可以过 p 点，过 q 点，分别做两条直线垂直于 p q， 这是我想的啊，我想的这个。 呃，这个，这个证明这件事情我我这个答案的方法啊，做两条平行的垂直于 p q 的 两条直线，然后我画这个 m 垂直于 b c 的 时候，我能发现， 呃，两侧分别有几个位置可以构造出直角三角形，那我能发现只有在这个呃交 p q 的 时候我才能左边两个，右边两个。所以说我直接写的五到八啊，五到八。 那么我不保证正确啊不保证正确。这是我秒出来的啊这是我秒出来的。 呃，看一下这十七题，这是一个算数的题，不说了。好吧，不说了。呃，十八题的话，不等式，那么不等式需要我们注意的东西啊。第一问，求不等式，正整数写，那解数 x 吧， 请注意啊，要正整数写，你要注意不等式要可能会变号啊，这个不等式的符号不等符号的方向问题啊，也就是说大于号小于号，你可能需要编号， 剩下没有了，根据提意见要求说吧，人家要正整整数解，咱就写整数解，要写正整数解咱就写正整数解。注意啊，整数解包含零。十八题也不说了，十八题也不说了。哎，连力去就能解出 a 的 曲范围来了。 看下十九题啊。如图， a c 等于 a d， b 在 a c 延长线上射线 a m 平分 b a d。 哎，我们能看到角 c 等于角 d， 然后请注意这个角 b， a， d 是 三角形 a， c， d 的 外角。所以说你的角平分线构造出了四个相等的角，角 c， 角 d， 角 d a m 跟角 m a b 四个角全相等啊，四角全相等。 呃，只会作图，不说了啊。呃，第二个，求证， a， b p 等于 c d a 啊，秒出来了吧，是不是相似？我可以拿 a a 去证两个相等的角，然后他说了 b p 又等于 a p， 是 吧？啊，这个这个两个相等的角，角角就证出来相似了。 呃，二十题统计啊，咱也不算了啊，根据要求写吧。如果你不会写，那你就回去书上去看一看什么是平均数，什么是种数，什么是方差。好吧。
793周卓讲数学物理
04:57查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢，我们来看一下省实验中考二模的第十五题，这个题目呢属于隐元问题，下面我们一起来看一下这个题目。如图，在平面直角坐标系中，以 g 点为圆心， g 点坐标已知，所以我们能够得到 o， g 等于二。 现在呢说半径为四的这个圆，分别与 x 轴交于 ab， 与 y 轴交于 c、 d 两点。既然半径是四，那我们就知道了 c g 等于四。如果我连接这个 a g， a g 长度也是四， 那此时我们看到了在直角三角形中， a g 是 o g 的 二倍，所以是不是能够得到 g， a o 等于三十度呀？ 好，下面又说这个点 e 呢，是这个圆记上的一个动点，做了一个 c， f 垂直于 a， e 于点 f， 让我们来求这个线段 f g 长度的最值。那我首先来先来分析一下这个线段 f g 它是怎么构成的呢？有两点， 一个 f， 一个 g。 那 首先我知道 g 点是一个什么点， g 点是一个定点， f 呢？ a f 很 明显是一个动点，一定一动，让我们来求它的一个长度的一个最值。那是不是要分析一下我们这个动点的一个运动轨迹啊？ f 是 怎么形成的呢？它是做了这个 c f 和 a e 相交之后的一个什么呀？垂足，也就是说无论这个点怎么动，始终有 a f， c 等于九十度，而且它所对的这个边 a c 也是个定值，那我们就知道了，定长 定角，我们就能够做出来我们的隐形圆，做出来我们的 f， 它是在以 a c 为直径的圆上， 那它的圆心呢？应该就是 a c 的 一个中点，我们给大家记作是 q， 好， 半径就是二分之一 a c， 我 们把这个圆来给它画一下， 好，把这个圆画出来之后呢，下面我们就可以来分析我们的这个最值了，那我们知道 f g 它就属于我们的什么呀？一个点圆最值，问题点圆最值问题，我们做题的核心是什么呢？就是一箭穿心， 我们的问题关键点应该在这个圆心上面，圆心是 q， 定点是 g， 那 么一箭穿心连接我们的这个 q g， 并给它进行一个延长，交这个圆 q 与 f 一 和 f 二两点。 那同学们可以观察一下，在 f 一 位置的时候，此时我们的 f g 是 最大值还是最小值呢？哎，很明显是我们的最大值，那此时是不是就等于我们的 f 一 q 加上 q g 啊？哎， f 一 q 也就是这个半径加上我们的这个 q g， 那 在 f 二位置的时候，应该是我们的什么值呢？最小值了，这时候最小值是不是等于我们的 f 二 q 减去我们的 q g 啊？ 好，我们知道 f r q 也是我们的半径，也就是半径减去我们的 q g 是 不是就可以了？好，所以说我们就知道这个题的关键就是求谁呢？求出我们的半径和我们的 q g 是 不是就可以了？求半径，下面我们来看一下，求半径是不是就是求我们的直径，求 ac 啊，那求 ac 咋求呢？就 ac 可以 逆风到这个直角三角形 a o c 中， 我们来看下这个直角三角形有什么特别之处吗？哎，这个时候我们三十度的角就能派上用场了，这个时候 g a o 是 三十度，那 ag o 就 等于六十度，那我们的 ag c 是 不是就是一百二十度啊？ 那此时我们这个三角形 a c g 顶角是一百二十度，它还满足我们的 c g 和这个 a g 是 相等的，那也就能够得到我们的这个底角 a c o 应该等于三十度。 好，那下面的话，我们要求这个 a c， 也就求 o a 是 不就可以了？好，那我们来看下 o a 等于多少呢？在这个小的直角三角形 a g o 中，我们就知道了一个直角边和一个斜边 好，是不是就能够快速的利用三十度直角三角形的三边比例关系，一比根，三比二，可以求出我们的 o a 应该等于二倍根号下呀。好，那所以我们的 a c， 我们半径等于二分之一， a c 是 不是等于二分之一乘以四倍根号三呀？好，也就是等于二倍根号三，我们的半径就出来了。好，下面我们再来看一下我们的这个 q g， 我 们要求这个 q g 肯定是放到哪个三角形中来看呢？也就是 q c g， q c g， 你 来观察一下它是不是特殊的三角形呢？ 当然是的，因为 q 是 a c 的 中点三角形， a c g 是 一个等腰三角形，等腰三角形有个非常重要的考点是三线合一，那它不光是中点，也是一个垂线，所以说三角形 c q g 就是 一个三含有三十度的直角 三角形。那我们知道这个 q g 是 不是就直接等于二倍根号三除根号三等于二呀？ 好，那我们的半径和 q g 求出来之后就能得到的我们 f g 的 一个最小值就等于二倍根号三减二，最大值呢，就是二倍根号三加二就出来了。
09:30查看AI文稿AI文稿我们来看一下这个形态，二模数学的第十二题，那么如图将平四边形 a、 b、 c、 d 这个 a， b， c、 d， 那 么绕着我们这个点 d 逆时针旋转得到四边形这个 m、 n， d， q， 我 们接着来看一下， 那么这个题目当中，它说使得我们这个点 a 落在对角线 b、 d 上的点 m 处。 好的同学们，首先我们根据旋转，因为旋转前后这两个图形是完全相等的，所以我们能够得到 d， a 和我们这个 dm 是 相等的， 那么又因为我们这个四边形 a， b， c、 d， 它本身就是个平行四边形，我们是不是就能够得到平行四边形的性质，对边平行，对边相等，那么也就是 c、 b 和我们这个 d a 也是相等，并且对角线互相平分，所以我们能够得到这个 m、 b 也是等于 dm 的。 所以我们接下来同学们看一下我们画出来的这四条线段， 这四条红色的线段，也就是 d， a， d， m、 mb 以及 bc， 它都是相等的，那么我们接着再来看一下。 然后这道题说点 a、 m、 c、 n， 它是在一条直线上， a， m、 c， n 都在这条直线上， 如果 c、 d 等于等于四，也就是我们这个边它是等于四，则让我们去求 b、 q 两点之间的距离，那么我们去求 b、 q 两点之间的这个距离。那么咱们接着来看一下这道题。因为我们知道 d， m， n q， d， m， n， q 它本身它就是个平行四边形，所以我们能够得到 m， n 这条边和我们的 d， q 这条边就是平行的，那么平行 m 又是我们这个 b、 d 的 中点，所以我们是不知道这个 c 就是 我们这个 b q 它的一个中点。 好嘞，我们把这个延长。啊，好，我们延长。呃，会， 我们来看一下，我们延长这个 b c 到我们这个点 q， 所以 我们是不是就能够得到这个 c 也是我们 b q 它的终点？ 那么我们接着来看，又因为这个 m、 c、 b 这个三角形，它是个等腰三角形，所以这个 q b、 d 这个三角形它就是个等腰三角形。那么我们现在去求， 去求这个 b q 两点之间的距离，就相当于去求的是 d b 这两点之间的距离。好，我们看根据题干当中条件怎么去求这个？ 那么我们接着来看，因为我们题目当中第一个他给了我们旋转，旋转我们是不是就能够得到这个角 d a、 c 和我们这个角 q d m 它俩相等，共同减去中间这个小角，我们是不是就能够得到？比如说这个角一是不是和我们这个角二，它就是相等的， 对吧？好，我们继续再来看。那又因为我们这个 d q n m 它是一个平行四边形， d q 和我们的 n m 平行，所以这个角二和这个角三它就是相等的。我们继续再来看一下。 那么这个里边同学们，又因为 d c b a 它也是平行四边形，也就是我们说 d c 和 a b 平行，所以我们是不是能够得到这个角三和这个角四，它俩是相等的， 我们是不是能够得到？刚才我标注的这四个小角，它都是相等的，也就是角一和角四相等。好嘞，那这样的话，我们就得到了一个母子形的相似，也就是在三角形 a、 m、 b 这个三角形和 d、 a、 b 这个三角形当中，同学们我们是不是就能够得到这两个三角形相似 有角一和角四相等，是不是？还有我们这个角是一个公共角，所以我们通过两个角对于相等得到这两个三角形相似啊。 相切之后，我们去求这个 b、 d 的 边长，那么因为 d、 a 和 d， m 和 mb 都相等，比如说我们设 d， a 等于 d， m 等于 mb， 都为 x， 那 这样的话，我们是不是就可以列出一个相似的这个比式子，对应边的这个式子，然后同学们来看一下，那咱们是不是就能够去根据这个式子去求得 x 的 值？好，我们来看一下， 我把这个过程写一下啊。那么因为这个四边形，平行四边形，因为平行四边形 a、 b、 c、 d 旋转 得到 四平行四边形 m、 n、 q、 d， 所以 我们能得到这个角 a、 d、 c 等于我们这个角 m、 d、 q， 所以 角一等于角二。好，因为 d、 q 平行于 m、 n， 所以得到角二等于角三。因为 d、 c 平行于 ab， 所以 得到角三等于角四，所以角一就等于角四。 那又因为这个角 m、 b、 a 等于我们这个角 a、 b、 d， 所以 三角形 m、 b、 a 就 相似于我们这个三角形 a、 b、 d。 好 嘞，我们接下来看一下， 那这两个三角形相似之后，我们是不是就能够得到对应边成比例啊？那么也就是我们来看一下 mb， 也就是在这个 mba 这个三角形当中， mb 这个边是不是就对应的是 ab 比上 ab 就 等于 ab， 这个边比上 d 比 好了，同学们，我们来看一下，那么我们设刚才忘写，呃，我们设这个 d， a 等于 dm 等于 mb 等于 x。 好 了，这个相等啊，同学们，首先大家知道这个我是没有直接写这个，我现在再给大家梳理一下， 那么我们因为旋转所以得到 d a 和我们这个 dm 是 相等的，又因为我们这是 a、 b、 c、 d 是 个平行四边形，所以 dm 和 mb 它们是相等的，所以我们直接把这三个边相等啊，然后同时都设为 x， 设为 x 之后，我们来看一下，所以 mb x 比上 ab 四就等于 ab 四比上我们这个 d， b 是 不是二 x， 所以 我们是不是就得到这个二 x 的 平方是不就等于十六，所以我们能够求求得 x 就 等于二倍根号二。 好，我们接着来看一下，那 x 等于二倍个二，所以 b、 d 是 不就等于二， x 是 不就等于四倍个号，这是我们去求得了这个 b、 d 的 这个差。好，我们接着来去求 b、 d 和我们 b、 q 它俩相等，那么因为 m 是 b d 的 中点， m c 平行于 d q， 所以 我们直接 e 的 c 是 我们 b q 中点。 好，我们接着来看一下，那么因为三角形 c b、 m 是 等幺三二型， 或者你不写这个直接写因为，呃，因为这个 b m 等于 c b 啊。好，所以我们直接是不是就能够得到这个 q b 是 不就等于我们这个 d 比，那么就等于四倍根号二。好，这是我们这一道题， 那么在这个题的过程当中，大家要学会去倒角得到我们这个角一和角四相等，从而用母子形相似，然后我们能够去求得这个 b、 d 的 长度， 然后再根据相似，或者说我们说三角形中位线的这个推导过程，那么得到这个 q b 和我们这个 d b 相等，从而去求得这个 b q 的 长度。所以这道题啊，同学们，我们选的是四倍杠二二选 a 选项。
226青桃子🍑
03:54查看AI文稿AI文稿今天呢，我们来讲一下啊省实验刚刚考过的这个二模题的第十五题，题目上说点 g 的 坐标是零逗二，那么以点 g 为圆心，半径为四的这样一个圆，与 x 轴交于 a 和 b 与 y 轴交于 c 和 d， 那 么这个点 e 呢？是一个动点， 我们去过点 c 做 c， f 垂直 a， e 与点 f， 那 么我们知道一般来说我们牵涉到动点的问题，我们就要研究这个动点所运动的轨迹， 它让求线段 f、 g 的 最大值和最小值。那我们看一下角 c， f、 a 不管怎么动，它都是一个直角，那么根据直径对直角，也就是说我们点 f 的 运动轨迹是一个圆，是一个什么样的圆呢？它是以 a、 c 为直径， a、 c 的 中点 为圆心的这样一个圆上运动。我们来观察一下它的运动轨迹，它始终是在以 a、 c 为直径，以它的 终点为圆心的这样一个圆上运动。我们知道了它的运动轨迹之后，咱们就可以根据一箭穿心来求 f、 g 的 最大值，最小值了。当点 f g 和我们隐形圆的圆心 p 在 同一条直线上的时候，那么咱们的 f、 e、 g 就是 最小值。那我们来看一下该如何求呢？ 我们连结 ag， 因为 og 的 长度是二，咱们 ag 的 长度是四，根据一比二，我们就知道角 ago 是 六十度，那么因为 ga 等于 gc， 所以 这个等腰三角形的底角分别是三十度， 根据我们顶角为一百二十度的等腰三角形，三边之比，一比一比刚好三，那么咱们的直径 a、 c 的 长度就是四倍的根号三，那么我们的半径 hp 就 等于二倍的根号三， 那么我们还要去求 p g 的 长度，因为咱们的最大值就是 hp， 加上 p g， 最小值就是半径减去 p g， 那么我们三十度所对的直角边 p g 等于斜边 a g 的 一半，那么 p g 的 长度就是二，因此我们的最小值 f e g 就 等于半径二倍的根号三。减去 p g 的 长度二， 咱们的最大值 h g 就 等于半径二倍的根号三，加上 p g 的 长度二。
65硕姐教数学
40:32查看AI文稿AI文稿今天我们来看一下河东二模。河东二模第一题，我们重点呢，就可以看到音调的高低，可以探究，音调高低的话是震动快慢频率，所以选择 b。 a 探究的是响度， c 说明声音可以传递能量，然后四 d 在 这说的是真空不能传声。 然后二十四第二题二十四节气，嗯，我们直接看选项就行了。雨是液化， 露也是液化，霜是凝华， 雪是凝华，所以这边自己去多背一背物态变化，嗯，第三题光学作图光学作图的话，第一个 a 考察的是光的反射， 箭头过来的应该叫入，射出去的才应该叫反射。 b。 平面镜成像，象和物到镜面的距离是相等的，象与 雾连线与镜面应该是垂直的，它这个地方明显不是直角了，所以它错了。 从水中照射到空气中，空气中的角度要大一些，是往下偏的，所以 c 在 这是对的。四 d 凸透镜过焦点 应该是与主光轴平行，它往外偏了，所以它错了。 然后第四题接入后灯泡都能发光的，所以你要选都是导体的， 然后 a 都不算导体， c 也都不算导体，然后 b， 嗯，都是四 d 的 话，竹牙签跟橡胶棒不算，所以选择 b 最接近实际的二 b。 铅笔大约是十八厘米左右，可以说是十七点五，两个鸡蛋质量应该是一百克，零点一千克， 中学生体重约五百牛。对的，嗯，山顶上的气压应该要低一些左右，所以我们在这就选个一乘十的五次方帕， 然后下面六，然后我们要先来看，嗯，通电螺线管，它的磁场分布应该跟条形磁体相同，都是从 n 指向 s， 然后再由这个 n 跟 s 自己去握手，判断一下电流的方向，电流从正极出发回到负极，然后小磁针的话，应该是同名磁极相互排斥，异名磁极会相互吸引，所以这边 s， 这边 n 通电。螺旋管右端我们刚标了是 f 四，小磁针的左端为 s， 它对上了选 b 电源的左端，我们标的是正极。 第七题考察的是平衡力与相互作用力，平衡力的话，你要找受力物体为统一物体的，而且还得方向相反。第一个，杠铃所受的重力向下的，运动员对杠铃的支持力向上的， 所以他就是对的，所以在这里就直接选 a 就 好了。杠铃所受的重力，这是杠铃的和杠铃对运动员，这是运动员的受力物体，不是同一个。 杠铃所受的重力和地面对运动员的那受力物体还不是同一个。杠铃对运动员的压力，运动员对杠铃的支持力，这个叫做相互作用力。 八题，嗯，八题我们看到有这个信息。然后第一个他说电水壶比电风扇消耗电能多， 由于在这里消耗电能是由功率和时间一起决定的，所以是他没有说时间。这句话就不对。正常工作应该是正常功率，所以就是等于一百瓦，所以他不对。 都正常工作时，电流通过风扇做功更快，做功的快慢就用功率来表示，功率大的做功就是快的。所以在这里的话，我们要去选功率大的应该是电热水壶，所以在这风扇就不对了。 电水壶接在一百一十伏的电压工作时，实际功率我们根据 p 等于 u 方比二来写，然后 u 方现在是一百一十伏的平方， 然后那接下来的话，我们电阻不知道，但是电阻上边有，我们又得根据这个二，它是等于 u 方 比屁来写，所以在这的话应该是二百二十乘二百二十，除一千两百，把这个除一千两百的话，我就给它翻上去了，就乘一千两百， 一百一二百一二百二，消完之后应该是得四分之一，所以四分之一乘一千两百就等于三百瓦，所以在这四 d 是 对的。 这个地方的话，我们也可以记一个信息，如果对于定值电阻来说，如果电压 变为原来的二分之一，那它的功率就会变为原来的四分之一。是根据当电阻保持不变时， p 一 比 p 二应该是等于 u 一 方比上 u 二方， 这个可以自己多看一下，所以这道题选择的就是四 d 了。然后九题，嗯，所示的动画轮先后将两个不同的种物在相同的时间内匀速提升相同的高度， 这动相同，然后 h 也相同。克服动滑轮重力做功叫做额外功，所以我们可以得出额外功是相同的， 所以在第一次中额外工占百分之二十五，第二次中额外工占百分之三十，所以在这的话，第一次他的总工应该要多一些，所以 a 选项第二次，哦，他说的是有用工，那 c 选项第一次做的总工比第二次的多， 所以在这里 c 就是 对的。第一次总功多，所以第一次的有用功也就多，第二次的应该是比较少。第二次额外功跟第一次是相等的 功率，根据 p 等于 w 比 t 时间相同，把时间消了，第一次的总功多，所以第一次的大 实体电路故障。嗯，象限是带电的，中性线是不带电的，所以我们就可以认为电象限来。 然后它下面的话，接触 a、 b、 c、 d 四个点时，只有 b、 d 发光，那就走到 b， 然后能够走到 d， 但是到不了 c 了，到不了 c， 那 中间就坏了嘛，所以坏的就是它了，所以就直接 a 灯泡断路。 嗯，如图所示，光屏上承接到了等大的象，如果是等大，我们就可以看焦距了。 f 应该是十厘米，应该是这个物距二十厘米的一半，将蜡烛调至十厘米处，所以在十这画一笔， 画完一笔以后，物距应该是 u 大 于了二 f， 所以 光屏上能够承接到的应该是一个缩小的像，所以先选择 b， 然后相距就应该在一倍焦距，二倍焦距之间，所以就选择了 c， 然后它的应用应该是照相机，所以就不选它。 然后十二体 r 一 是定值电阻，然后 r 二是滑动变阻器，然后就没有其他信息了。在这我们看十二题时，需要注意，上方标的电流，底下标的电压， 往上走的这条线代表是定值的，往下的这条线代表的是滑变的。由于他给了两条线，我们找电流相同时，两个电压坐标值相加， 就是电源电压，也可以找定值电阻最高的，这一点他也代表电源电压，所以在这的话，电源电压就是六伏，所以 a 是 对的。二一的阻值，二一是定值电阻应该是 r 等于 u， b， i 就 拿六伏除以零点六安，就应该是十欧，所以 b 就 错了。 c、 r 二的阻值变化范围，当 r 二分到的电压为零时， 他的阻值就是零，然后这一点电流最小的时候，他的阻值最大，所以在这的话就是四比零点二就是二十欧，所以他也是对的。 然后四 d 选项，电路消耗总功率变化，在这我们由于题中给的是电流跟电压，所以直接是 p 等于 u i 功率小，那就选电流小的时候， 然后也就是拿电源电压六伏乘以零点二安，应该是一点二吧，最大的时候就应该是 六伏乘以最大的电流零点六安，那就应该是三点六瓦，所以它错在了前面这个值上，所以在这里我们最终选择的是 a c， 嗯，十三题，十三题开始的话，进入水中的深度 h 零，它给你标到图上了，所售福利 f 一， 然后漂浮，有个词漂浮，有个词 两次都是漂浮，所以我们可以得出的信息是浮力等于总的重力， 那两次浮力就应该是相等的，所以就有了 a 这个选项，然后木块进入水中的深度，第二次的是零点九，模型受到的浮力就是 f 二，然后金属球的密度跟水的密度就没有其他信息了。 b 选项让我们求木块与金属球的质量，嗯，在这里我们无从下手了，无从下手的情况下，从前面的信息找第一次 f 一， 那我是不是就可以写成 f 浮等于幺幺，就是幺零小 j v 排，假设它的底面积为 s， 所以 在这的话 v 排就应该是 s h 零， 那第二次的浮力，现在这个木块的话，进入水中的零点九倍的幺幺 s h 零， 加上了金属的话，那我们可以看一下金属，我们可以说是 ro 零，小 j s h 零，零点一倍的 h 零。在这儿的话，我们可以得出一个信息，左右两边得相等吗？所以这个金属球的体积 它应该是零点一倍的 s h 零，那现在的话我们可以去找了， 然后金属球的体积找完了以后，那有金属球的密度，我们就可以求出金属球的重力，金属球的重力它应该是零点三倍的 rh 零，小 j s h 零。上边这两个式子啊，左边写的是 f 一， 右边写的是 f 二，然后底下写的这个式子的话，是表示它们的总重力可以认为， 然后这边的话表示金属球的重力，那就应该加上木块的，木块的就应该是零点七 rh 零，小 j s h 零， 所以在这木块与金属球应该是零点七比零点三，七比三，所以他写的不对，反了三种情况，哦，还有第三种，他说金属球脱离木块后沉入水里， 金属球在底下，木块飘上来了，由于木块金属球脱离了，沉到水里了，木块往上漂浮了，漂浮后露出水面， 然后现在的话这个页面就得往下降，页面往下降，所以在这的话压墙就不相等了，第三次的要小一些，前两次的甲跟乙是相等的，屁甲是等于屁乙的，然后呢还有一个说法就是变化的压墙， 你们要去找变化的压力啊，变化的压力的话，你们最好看的就是变化的浮力，变化的浮力在这里的话，小球沉到底以后受到了一个支持力，所以浮力会变小，就等于支持力。 然后第三种木块进入水中的深度直接从这个式子漂浮，它自己漂浮，浮力等于它自己的重力，所以在这就是零点七倍的 h 零深度，所以在这的话，选择 a 跟 d。 十四题第一个影子，它应该是光的直线传播， 然后倒影大小的话应该是不变。 嗯，旋转时通过产生大量热旋转有动作的，这种地方我们就填做工， 然后会切成碎块，说明可以改变形状。给电瓶充电时，那电瓶就相当于是用电器把电给了它了嘛。 空气开关跳闸可能是因为短路，根据空气开关跳闸的话，是因为电路中的电流太大了， 电流大有两个说法，一个是 i 等于 u 比二，电阻太小就是短路嘛。 i 等于 p 比 u， 所以 是总功率过大，所以在这里你写用电器 总功率太大或者总功率过大都行。 十七题， a 在 十五牛这边标十五，然后 b 相对于地面静止弹簧侧力机时数三牛，在这标 b 受到了摩擦力， b 处于静止的话，它那一个就应该是平衡状态。平衡力，所以它是三牛， 三牛的话，这个三牛应该与拉力方向相反的，所以是水平向右的。 十八题考察的是杠杆。第一个平衡条件嘛， o a 这段是一， ab 这段是二，所以总的动力臂应该是 l， 一 的话应该是三，所以在这里我们就直接说 f 等于 j l 二比 l 一， 这个物体的重力题中给了没三十六乘以一比上三就等于十。 下一个，他说方向始终与 o b 垂直，这里不理解的话，你就画一个图呗，然后现在垂直， 所以这一段长就是我们的利弊，跟原来没有变，还是这个杠杆的长，而 a 这个点往上移了以后啊，他没有办法到这个点，他应该会往左边偏了， 他是绕这个这个点画圆，所以是偏到了这个位置，他的力臂就是这一段了，所以在这是 l 二变小了， l 二变小，其他的都不变，所以 f 也应该是变小。 十九题，六伏三瓦，那现在的话，有这个六伏三瓦的话，我一般习惯性的，就算电流零点五安，然后是 i 等于 p 比 u， 公式你们自己多写几遍啊。二等于 u 方比 p， 然后就等于六六三十六十二欧，你也可以用二等于 u 比 i 定值，电阻阻值八欧，小灯泡正常发光，小灯泡如果正常发光的话，那小灯泡两段电压就是六伏， 定值电阻是八欧。电路中，现在我们来判断一下电流啊，判断电路的时候把电压表遮住，不看电压表，然后电流就应该是从正极出发走过 a 一， 到达这一点，是分一个往灯泡这边走，经过 a 二， 然后一个是直接自己走二，所以在这的话它是一个串联。 a 二测的是小灯泡 l 的， a 一 测的是干路的，由于是串联电压表都测电源的， 由于小灯泡是正常发光，所以它的电压值等于额定电压，电源电压也就是六伏并连电压相等。它问你 a 一 a 二是数值比，嗯，在这的话，我建议你们先把具体的情况写出来， 然后呢，现在的话我们可以得出，就直接用笔直了啊，直接说，嗯，小灯泡的电阻我在这写了，所以是 r l 比上这个二 就应该等于三比二。然后呢，现在的话，那通过它们两个的电流 i l 比上 i r 的 话，就应该与电组成反比，就应该是二比三，那我就可以在这标一下，它的电流是二，它的电流是三， 他问的是 a 一 a 二 a 二，刚分析的测小灯泡的就是二， a 一 测的是干路的，应该是它们两个之合，所以是五，所以在这里的话应该写的是五比二， 可以自己多看一下比值，有时候它这个电表它不代表电阻的。 二式题，这些水产生的热量，这种题你们就直接往上写公式就行了。 q c 等于 c m 得它 t， 现在的话你们写的是 t 减 t 零 c 四点二乘十的三次方 m， 嗯，题中没有给，但是它给了一个体积，所以在这的话应该说的是 m 等于 rov， 等于 rov 的 话，我们就带一 一克，每立方厘米，这是乘以五百立方厘米，它就等于五百克，也就是零点五千克的。 然后下面的话可以带过来零点五千克，然后乘以温度 八十减二十，摄氏度八十减二十的话应该是六十，六十乘零点五的话应该是三十，再拿三十乘四点二的话，就应该是一点二六乘以十的五次方。角二， 第一问解决了，若百分之七十的被水吸收了，则实际的功率百分之七十被水吸收的话，那我先求 w， 应该是 q c 比上一，它就应该是一点二六乘以十的五次方， 比上百分之七十，就我就直接写零点七了，除以零点七的话，应该得的是一点八乘十的五次方加二。 然后下面的话实际功率，那我们得去看，这是消耗电能，还得找他工作时间 三分钟，所以三分钟的话就是 t 等于三分钟一百八十秒，然后呢就是 p 等于 w 比 t 就 等于一点八乘十的五次方角比上一百八十秒，然后现在算完之后就是一乘十的三次方，哇，然后这边就结束了二十一题， 为了使衡量平衡，应该将平衡螺母左偏右调，看这个图，然后它现在是往右偏，所以我们需要往左调， 然后下边的话，请你指出图中的错误，看以图去，以图在使用过程中不应该调节平衡螺母，所以在这我们就写它的错误，是 测量过程中调节 平衡，这就是它错了的地方。 然后下边要填写数据了，两桶内牛奶的体积它对应的是四十， 就看的是这个地方，然后下面他说烧杯与剩余牛奶的质量，这边总共是六十，这边刚好对应到了二，所以他就剩下六十二嘛， 哎，他这边又给了个四十四，那我们会发现这个一百零六减六十二刚好等于四十四，所以这个地方应该就是倒出去的，倒到了两桶内，所以在这我们就写的是 两桶内牛奶的 质量 m 三加个单位，然后它让你求牛奶的密度的话，也就是 ro 等于 m 比 v， 所以 找质量四十四，找体积四十，那现在四十四比四十就是一点一就结了 二十二 t 牵引力做的功，那不就是 w 等于 f s 吗？ 如果在这的话，你需要注意的是 s， 他 给的是六千米，我们应该带成六乘十到三次方米单位换算。需要重点强调的 w 就 等于 fs， f 是 一百八十牛， s 的 话是六乘十的三次方米，然后，嗯，这边我们就得自己去算一下了，一六得六六八四十八，然后呢，也就是一点零八 乘以十的六次方角，然后下边一块满电的电池存储的能量，它给了电容，电容不理解，你就分开看，十二安 一小时，然后下面的话是五十伏。所以在这里的话我们就应该说 第二问， w 等于 u i t u 带五十伏， i 带十二安 t 的 话应该带的是三千六百秒，然后这边 五十乘十二应该是六百六百乘以三千六，你们自己去算啊。六六三十六三六一十八二幺六点个点， 然后后边挂了三个零，四个零两次方，所以是十的六次方角。二、 哎呀，二十三题，嗯，排开液体所收的重力，这不就是阿基米德原理吗？阿基米德原理合理的操作顺序应该是先测空桶的，也就是先测四 d， 然后剩下的 d， a， b， c 就 行了。 d， a， b， c 由实验数据可得。结论直接背去吧。浮力就是等于，你如果按题目写全浮力的大小，等于 排开液体所受重力就行了。如果实验中没有完全浸没在液体中，能得到上述结论， 没有完全在液体中的话，那他受到的浮力不就小吗？受到的浮力小，那他排出来水的重力也少呀，所以两个都少，不影响，仍然是相等。 然后再下一个是让我们推导压墙，推导液体压墙。 p 等于 f 比 s， f 等于大 j， 大 j 等于 m， 小 j m 等于 u v， 然后 row v 的 话就等于你多写一个 row s h， 小 j b s row j h 就 ok 了。然后以上的话，它是建立了一个模型的，所以在这你们学的话就应该是模型法。 嗯，二十四， 这个里边有一个电源，有一个二零开关电流表， 然后未使用时开关断开，电流表无示数，说明现在就应该整体都是断的，使用时 g r x 通过开关断开闭合，断开闭合就应该测两个数值。在这啊，考试的时候，你们这个地方 这个二 x 你 们不画啊，我只是现在画上比较好看，然后现在我想了电流表，我们想的肯定是给电源连在一起的， 然后呢，我就构成一个并列开关 s 定时电阻二零，然后你们自己得验证一下画完的图对不对， 外边不接东西，开关断开，它确实就是一个断开的，没有实数，如果连上二 x 电流表，马上会有一个实数，测的就是二 x 自己的。如果开关再闭合，测的就是干路的，请写出测量的步骤和需要测量的物理量， 那就是第二问括号一。然后我们直接就按照电路图连接电路，没必要写这句话，因为连不了啊，因为它内部是个盒子照着的。然后我们直接就可以写 b 和开关 s， 记录电流表示数为 i 一， 这个 i 一， 分析一下它是干路的。第二个步骤就是断开开关 s， 记录电流表，时数为 i 二，分析一下这个电流表的话，时数 i 二就应该是二 x 的。 所以现在由于是并列 括号里边的都是分析啊，你就不写在答题卡上写草稿纸上去。由于是并列，所以电压相等，所以我们就说是 i 二 r x， 这就是电源电压，那你应该用二零表示，二零的话，就应该是 i 一 减 i 二 二零，它们两个相等，所以你才得出的是二 x 等于 i 一 减 i 二比上 i 二乘以二零，这样的话就结束了，自己可以看一下这一部分。草稿纸上见。草稿纸上， 嗯，二十五题还是电，他把二十四二五都出成电了， 我们来看一看。温度太低，他想制作一个多档位的加热器，把二十四连起来了， r 一 r 二，然后进行测量。当他把 a b 连接啊，把 d 跟 a 连接， d 跟 b 连接，哎， d a e b， 那 不就是只接入了一个 r 一 吗？ 连接时把滑片移动到某一位置，此时电流表的示数为零点五安， 电流表在这零点五安，电压表的示数为三。哎，那刚好都测的是二一了，可以了没？所以我就可以求出二一啊。那第一问就是求二一，所以直接是二一等于 u 一 比 i 一， u 一 的话就是三伏比上零点五安，怎么才六欧啊？ 然后我们先把六欧标上了，然后下面他让我们求电源电压，求电源电压，他滑动变阻器移至某一个位置，他也没说是哪，所以现在求不了。 求不了的话，那继续看后变信息呗。接着它断开开关位置，保持滑动变阻器位置不变，位置不变，那也就是它的电阻不变啊。把 e 改接到了 c 身上，改接到 c 身上以后， 那是不是就是两个都进来了？电流表示数变为了零点二安，那我们前面的数据是三伏零点五安，现在变成了零点二安，电压表的示数变成了七点二伏。 试着求电源电压，求电源电压的话，在这我们应该先解决滑动变阻器的阻值，这个地方有两个方法，你们一个利用的是 r r p 吧，等于 delta u 比 delta i， 因为在这个过程中 r p 的 阻值是保持不变的，所以我们用 delta 值去求就应该 delta u 七点二减三就等于 四点二，变化的电流是零点三，四点二除零点三等于十四。 oh， 感觉也怪怪的，都不是整数。这是一个方法，还一个方法是利用电源电压保持不变。第一次电压表的示数是三伏 加上了第一次的电流是零点五安乘以二 p， 它就应该等于第二次七点二伏，然后加上了零点二安乘二 p， 我 们由此可知 二 p 还是等于十四 o， 然后现在解救完了，再将二 p 带入到原式中就可以了。所以在这的话， u 应该是等于了 u 一 加 u p， 然后就应该等于了 u 一 加 i 一 二 p， 然后 u 一。 刚才我们说的是三加零点五乘二 p， 二 p 是 十四，然后三加七等于 十，所以电源电压就是十伏，这边就解决了十伏。最后这个值看起来是比较合理的。 然后三体用上述的电源电热丝添加了一个单刀双指开关，在一二点切换三档， 三档的话无非就是串并再加一个简单。嗯，无论怎样拨动开关不会出现电源短路，那我们来看一下啊。 这边的话，我们最简单的，这边肯定要连上的，然后 a 肯定也要跟电源正极连上的，电源正极连完了以后，我们会想，如果是串联，那就应该是从 c 这边进来，如果是 串，那就应该是肯定得接 c 这个点的，如果是简单的， 那肯定是得接 b 这边的，所以在这的话，我们就先把简单的画上了， 简单的我接过来了 b， 然后如果是要构成并连，就是在简单的基础上再加一个嘛，反而电流是从这边过来，走到了二一， 走到了二一，然后走到这个点，然后呢，再来一个的话，就应该是往上走，让他自己去找二， 去找二的话，我就接一个一，然后现在这样的话，电流就可以走这个方向，然后走一，然后走这边回到这个点，这样都完成了，然后现在的话还差一个串联并连跟简单的就设计完了， 串联的话也得从 c 这边来，从 c 这边的话我们就说 我们得接到 c 身上来，接到 c 的 话，电源从正极出发，然后直接走 r 一 跟 r 二，然后走 c， 那 就不能走底下这条线了，要不然就直接回到负极， r 二短路了。所以底下这个开关就别闭合，它不能走下边， 走这边的话也不能接一，就只能接二，接一就又回去了。接二的话我们得绕过这个开关 s 一， 如果没绕过它的话，它一断开，那就把 s 二这边也断开了，所以连在这边了。 现在连接完这个图以后啊，你们连完了以后，要验证一下，如果当我的开关 s 一 是闭合的会是什么情况？ s 一 如果闭合，那我还得分析下 s 二它假如接的是开关一，然后呢？现在电流的话就应该是一个并列电路，如果开关 s 一 闭合， s 二接二， s 二接二， s 一 闭合，那现在的话相当于是 r 二没什么作用， r 二被短路了， r 一 的简单电路， 那再来，如果 s 一 是断开的， s 二接一 断开就没有，这就不看中间这边了。然后 s 一 接一的话， 那就应该是往上往这走，走走走走走走都是断的，然后这边也断了，这里也断了，就通不到这个负极，所以就整个电路会发生断路。 那 s 一 如果是断开， s 二接二 电流正极出发，走，走到这，往这边走， s 二接二，往下走，往下走，走这走这走这，所以它是一个串联，要进行一个验证。好，今天呢，我们就到此结束了，然后如果有什么疑问可以单独留言，然后后续可以根据你们问的问题来讲。
