甘肃省中考数学26题平行四边形类型

你想提高数学成绩吗？免费帮你提高成绩，你还在不乐意啊？八年级数学下册小册的第八十页纸上呢，我们看到第六张的平行四边形。 第一题如图，在平行四边形 a、 b、 c 这种角 b、 a、 d 的 平分线，那么跟着我一起列 b、 a、 d 的 平分线，所以大家做记号，这两角相等 好，加 dc 的 延长线。加什么东西？这就看图了，这里第一个叫做平行四边形，这个叫做平分线好，然后呢， ab 等于四， ad 等于六，好把它做记好。求， e、 c， e、 c 在 哪里呢？哦， e、 c， e、 c 在 这啊，求这这这是 e、 c。 好， 先把图形给我看清楚 好，由于平行四边形呢，这个 a、 d 跟 b、 c 是 既平行又相等的，所以那我们看到这个角一啊，是等于角二的，角二呢，是等于角三，等角再等边，所以这边等于四， 这边等于四， b、 c 等于这个等于六，所以这个 e、 c 等于二。那么因此第一题写的 d 啊，跟我一起练习对吧？其实很多东西都很简单的，但是考试有的同学，现在有的同学真的是刷到我的都都都不愿意跟着我来看啊， 那这里要记住啊，角平分线对吧，两角相等，两这平内侧角相等，得到角一等于角三，也就得到 a、 b 等于 b、 e 啊，这是个等幺三的题目啊，这样呢，未来我们经常有这种题目的。 第二题，又是角平分线，你看角 b、 c、 d 的 平分线，你看角一等于角二，角一等于角三， 对吧？意味着平行四边形也是平行线，所以角二等于角三，所以 d、 c 等于 d、 e。 那 么说 a、 b 等于意思， a、 b 等于什么意思？一是吧，那么平行四边形 a、 b 是 等于 c、 e、 d 的， 那么刚才角二等于角三的时候， d、 c 是 等于 d、 e 的， 哎，这三边不就成了相等吗？三边的相等，这个角就是六十度，也就说这个 c、 d、 e 是 等边三角形，等边三角，这个角六十度，那么这个平行四边的菱角互补，所以角 a， 那 就是一百二十度。 好，我们得到等边三就行。好，这两边相等是平行四边的对边相等，这两边相等呢？是角一等于角二，角一等于角三，得到角二等于角三等角对等边，对吧？嗯，那么这 ab 等于 c、 e， 那是已知的，对吧？所以这个 c、 d 等于 ab 等于 c、 e， 这个，这等于这个三边都相等，所以等边三角等边三角呢，这个就得到六十度。而根据，因为始终这是平行四边形，对吧？所以两边平两组啊，这一组对边平行，同的那角互补，所以这个一百二十度角 比三题还是平行四边啊。 a、 d 垂直于 b、 d 角所在的边呢？斜边一半， 那么 b、 d 等于三，所以 a、 b 就 等于六，对吧？ a、 d 我 们通过勾股定律就等于三根号三，我们就不多说了，那平行四边形的面积就可以等于底垂高，把 a、 d 当做底高就是 b、 d， 哎，就是三根号三乘以三，那就等于九根号三， 对吧，所以这个面积就等于九根号三。平行四边形的面积啊，等于底乘以高，三角形的面积是底乘以高，还要乘个二分之一，因为这个平行四边形就是两个三角形的面积。 第四题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 垂直， bc 于 e， f 垂直于 f， 这垂直了 a， e 比 a， f 等于二分，比三分。 呃，这地方我们要根据什么东西呢？平行四边形的面积啊，可以等于这个 b， c 乘以 a， e， 对 吧？底乘以高也等于 c， d 乘以什么呢？ af 啊，这个式子我们叫做等级式，有这个等级式，我们就可以变成 a， e 比 af， 我 们根据外向的积等于内向的积， a， e 乘以 b， c 等于这个 af 呢？乘以 c、 d， 这个在小学也提到了，虽然我们中学要到后面才学，但是简单呢。呃，这些性质也要知道一些啊。 a， e 乘以 b， c 等于这个 a， f 乘以 c， d。 好， 那就是 a， e 比 a， f 等于 c， d 比 c， d 就 等于二分，比三分 好，那么现在我们看到平行四边的周长是五十，零边的和角等于二十五，也就是 ab， 如果我们说这个 ab 等于 cd 等于二 k， 对 吧？ bc 等于 ad 等于三 k， 那 么这样呢？我们就知道，二 k 加三 k， 对吧？零点和的两倍等于五十，对吧？二 k 加三 k， 五 k 等于五十 k 等于五。好， k 等于五的话，那 ab 就 等于二五一十，所以 ab 就 等于十， ab 等于十， cd 等于十， ad 等于 bc 等于一十五。 好，那么这里我设计了用了一个辅助位的时候 k， 这样呢，可以快速的去解答问题啊，就很简单的了，同时也设计了一个辅助位的时候 k， 这样呢，我们看到第五题， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线交于点， o， a、 c 等于六， b， d 等于十， a， b 等于四。求角 b， a、 c 的 度数。我们看到图形在这里啊， 他刚才说这里是个平行四边形 a、 b、 c、 d， 然后呢？ a、 c 等于六的话， o， a、 o， c 就 等于三， b、 d 等于十， o， b， o， d 就 等于五。由于这个 a、 b 等于四，根据三的平方加四的平方啊，等于九，加一十六等于二十五，刚好等于 o， b 的 平方。根据勾股定律，逆定律，我们得到角， b， a、 c 就是 九十度。 好，第一个，我们得到角， b， a、 c 等于九十度。好，具体的步骤我没有写，我这个口袋儿说了一遍，那么这个第二个呢？这个面积 s 平行。四边形 a、 b、 c、 d 就 等于底乘以高就等于 a， b 乘以什么呢？ a、 c， a、 b 是 几呢？ a、 b 是 四， a、 c 是 六，四六，二十四。好，呃，这都是比较简单一点的呃，练熟了，熟能生巧，考试呢？呃，即使拿不到满分，也可以得到比较高的分数，记得点赞关注哦！

欢迎来到猕猴桃十一节课课堂，今天我们来看平行四边形的判底性质。也是在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 是 角 b、 a、 d 的 平分线，所以 角 e 等于 ab。 求证 b、 e 等于 ab。 因为 ab、 c、 d 使平行四边形，所以 ab 平行且等于 bc， e 是 bc 的 延长线，所以 ab 平行于 b， 则角 e 等于 角三。两直线平行，内错角相等，因为角一等于角二，角一等于角三，所以角二等于角三。即 a、 b 等于 b 一 等角对等边一题得正等角对等边。再问，若 b、 f 平分角 a、 b， 则角 a、 b、 f 我 命为角四等于角 e、 b、 f， 我 命为角五。 求证四边形 a、 c、 e、 d 为平行四边形，由一得 a、 b 等于 b e、 b、 f 为 a、 b、 e 的 角平分线，角四等于角五，所以三线合一 b、 f 垂直于 a、 e， a、 f 等于 f、 e。 求证 a、 c、 e、 d 为平行四边形，已经得到 a、 f 等于 f、 e。 那 么我们只要去证明 d、 f 等于 f、 c 对 角线相互平分的四边形为平行四边形，因为 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， a、 d 平行 bc 及 a、 d 平行 c、 e， 所以 角一等于角三。又因为 af 等于 f、 e， 且对顶角相等，由角边角得到三角形 a、 f、 d 全等于三角形 c、 f、 e， 所以 c、 f 等于 f、 d 由 af 等于 f e、 c、 f 等于 f、 d。 所以 四边形 a、 c、 e、 d 为平行四边形， b 等于 ab。 因为 b、 f 平分角 ab 一， 所以角四等于角五。三线合一。如果有不知道三线合一知识点的同学，前面讲解的中考数学选择题一、等于角三， af 等于 f 一 角 a、 f、 d 等于角 c、 f、 e 对 顶角表边角对角线互相平分的四边形为平行四边形。

今天我们学习平行四边形的判定。平行四边形的判定方法有五个，第一个方法是根据平行四边形的定义，两足对边分别平行的四边形是平行四边形。定力。后边是四个判定，定力。 定力一，两足对边分别相等的平四边形是平行四边形。定力二，一足对边平行且相等的四边形是平行四边形定力。三，两足对交分别相等的四边形是平行四边形定力。四对交线互相平分的四边形是平行 四边形的判定方法。前三个方法都是用边来判定，第四个方法是用胶来判定，第五个方法是用对胶线来判定。 下面我们结合图形看一下。如图，若 a、 d 平行于 b、 c、 a、 b 平行于 d、 c， 则四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。如图，若 a、 d 等于 b、 c、 a、 b 等于 d、 c， 则四四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。 如图，若 a、 b 等于 dc， a、 b 平行于 dc， 则四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。如图，若交 b、 a、 d 等于交 b、 c、 d 交 a、 b、 c 等于交 a、 d、 c， 则四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。 如图，若 a、 o 等于 o、 c、 b、 o 等于 o、 d， 则四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。下面我们看两道例题。例一，已知所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是哪一个？我们逐项分析一下。 我们看 a 选项，它的两组对焦不是分别相等，故不可能是平行四边形。我们看这一组对焦一百度、一百一十度，这一组对焦呢，是八十度和七十度，那么他们不可能写平行四边形。 b 一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形。从图中七十度与一百一十度只能看到这一组对边平行，那不能判定是平行四边形。 c， 我 们发现这一组对边都是五，这一组对边都是六，那么两组对边分别相等啊，那它是平行四边形。 d， 我 们可以看到这一组对七十度，一百一十度这一组对边是平行的，但是这一组对边呢，却不相等，所以他不是平行四边形，故这个题选 c。 例二，平平面直角坐标系中点 a 负一零点 b 三零 c 零二底位平面内一点。若 a、 b、 c、 d 四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点底的坐标为多少？ 对了，一至三个点，叫求第四个点，这四个点恰好构成平行四边形。我们把图形画出来，也叫这三个点描出来。那么第四个点可能在哪里呢？ 需要分三种情况。第一种情况，以 a、 c 和 a、 b 为边做平行四边形，那么第四个点就在这个位置。 然后我们根据这三个点的坐标，可以求它第四个点的坐标是多少。第二种情况，以 ab 和 bc 为边构造平行四边形，那么它在这个位置，在第二项形在这个地方。 第三种情况，还可以以 a、 c 和 bc 为边构造平行四边形，那么这个平行四边形的第四个顶点在这。在第四项线下面，我们分三种情况详细看一下。 如图所示，当以 a、 c、 b、 c 为一组邻边时，因为 a、 d 平行于 b、 c、 a、 c 平行于 b、 b、 d， 所以 d 点的坐标是二负二。 第二种情况，当以 a、 c、 a、 b 为一组邻边时，因为 a、 b 平行于 cd， a、 c 平行于 b、 d， 所以 d 点的坐标是四二。第三种情况，当以 b、 c、 a、 b 为一组邻边时，因为 a、 b 平行于 c、 d、 a、 d 平行于 bc， 所以 d 点的坐标是负四二。综上所述，满足条件的点底的坐标是二、负二、四二或者是负四二。故答案有三个，二负二、四二或者是负四二。 下面看例三。如图， a、 c、 b、 c、 b、 d 相交于点， o、 a、 b 平行于 c、 d、 a、 d 平行于 b、 c、 e、 f 分 别是 o、 b、 o、 d 的 中点。求证四边形 a、 f、 c、 e 是 平行四边形。 如何求证这个四边形是平行四边形呢？我们有一致条件， a、 b 平行于 c、 d， a、 d 平行于 b、 c 可以 得到四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，那么我们可以得到 a、 o 等于 o、 c， o、 b 等于 o、 d。 又说了点一和 f 分 别是 o、 b、 o、 d 的 中点，那么 o、 e 就 等于 o、 f。 那 这样以来，四边形 a、 e、 c、 f 的 对焦线就互相平分，那这个四四边形就是平行四边形。 看一下详细的解答过程，因为 a、 b 平行于 c、 d， a、 d 平行于 bc， 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 所以 a、 o 等于 o， c、 b、 o 等于 o、 d， 所以 e。 又因为 e、 f 分 别是 b、 o、 o、 d 的 中点，所以 o、 e 等于二分之一 o、 d， o、 f 等于二分之一 o、 d， 所以 o、 e 就 等于 o、 f。 刚才又证明了 a、 o 等于 o、 c， 所以 四边形 a、 f、 c、 e 是 平行四边形。理由是对交线互相平行的四边，对交线互相平分的四边形是平行四边形。关于平行四边形的判定，我们就学习到这。

公主王子提笔，看，我这道题呢，本来你应该自己做，但是这道题要做辅助线，所以让媛媛再陪你一段吧。我们一起来看一下，这是一个平行四边形，然后他说 a、 e 垂直于 b、 d。 啊，我做好直角，这个地方呢， c、 f 也是垂直，他又说 g 和 h 呢，都是中点。现在让你去证， e、 f 与 g、 h 互相平分，如果是要正到它们平分，那平行四边形对角线就互相平分。所以说我要是正，它是个平行四边形，媛媛把它画一下， 我们连接 e h， 连接 eg， 连接 c， g 连接 f， h。 如果我能正到这个连接的图形是个平行四边形，那这道题我就做到了。所以这个辅助线让媛媛用不同的方法给你正一下。你在互联网上可能看到的方法和媛媛的不一样，我们一起来看， 你知道这个地方是九十度，你知道这个点是中点，你能想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？好，我们来把步骤写一下，证明 我们连接 eg、 f、 g， f、 h 和 e、 h。 因为 a， e 垂直于 b， d， g 又是中点， 所以我们可以得到 a， g 等于 eg 等于 g、 d。 原因，直角三角形斜边上的中线等于斜半边的一半， a， g 等于它等于它。好，那么同理可得。 下面这也是直角，这也是中点，我可以得到 b， h 等于 f， h 等于 c h。 圆圆把边也用换一个颜色描一下。 又因为它是一个平行四边形， a、 b、 c、 d， 我 的 a、 d 是 等于 b、 c 的， 所以这些边是不是都应该是相等的？好，写上， 又因为呢， a、 d 等于 c、 b， 所以 这些边都相等，那最后我们是可以得到 e、 g 等于 h、 f。 现在我们已经正到这个边相等了。我们还有的选择是，我们要么正 e、 h 等于 f、 g， 用对边相等来正，要么呢，我们正这两个线平行， 那这里呢？远远用平行带大家正一下。你看刚才我们正完之后，这两个边相等，那绿色的啊，那这个角如果是 r 法，这个角是不是就是 r 法？ 又因为两直线平行内错角相等，所以这个角是不是也是 r 法？那这个角是不是也是 r 法？你看这两个角都是 r 法了，这两条线是不是就平行了？那这道题就被我们正完了。好，我们再写一下， 前面已经写过这两个边是相等的，所以我们可以得到角 g、 e、 d 等于角 g、 d、 e 等于 r 法。同理， 我们又证得到这两个角相等， f、 b、 h 等于角 b、 f、 h。 又因为这两个角得相等吧，因为它是平行四边形，对不对？又因为平行四边形 a、 b、 c、 d， 角 a、 d、 b 是 等于角 d、 b、 h 的， 所以最后我们就得到这两个角相等了， 那这两个角相等了，我这两条线就平行了。 e、 g 平行于 h、 f。 前面我们已经证过他俩是相等的，现在又证到他俩平行，所以一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形 e、 h、 f、 g 为平行四边形。那你为平行四边形，它们的对角线是不就平分了？这是它们的性质，所以 e、 f 和 g、 h 互相平分。 好了，那圆圆这道题到这里就整完了。第一个，这道题呢，他做了辅助线，对吧？第二个呢，其实我们重要就是用的性质就是一个直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，因为题中呢已经告诉了我们直角，又告诉了我们终点，所以你肯定可以往这上面去想，那公主王子后面的便是就要靠你自己喽，加油。

中学生，你想成绩好吗？跟我一起列八年级数学下册课本一百五十七页纸 啊。一块梯形的布料被呃破损了成三块。发现了这个 a 是 平行 b 的 t 型，他说的是 t 型，那么 t 型两 g 平分，内角互补。角一与角二就是角，角一一百一十度，那么角二呢？那就是七十度，对吧？呃，角四呢，是一百二十五度，那么角三这里的破损到这里，那一百二十就是五十五度， 对吧？五十加五十五度，加一百二十五度，它是等于一百八十度啊，这个两 g 平同内角互补啊，把它搞清楚。我们看到 c t 六点一的第一题， 小明用四个木条钉成了一个平行四边，他说的平行四边啊，那就说这边分别是平行的，不过由于平行四边形呢，具有不稳定性。注意，这里有一个词，很多人可能忘记了，叫做不稳定性 啊，可以改变它的形状，那么改变它的形状之后，我们得到了角 a、 b、 a， 撇是一十五度，角 a、 e， 撇，这里是一百四十度， 这里一百四十度，那这个角就是四十度，因为这两个是平行的啊，同门内角互补，那么角 a、 b、 c 四十加一十五，所以角 a、 b、 c， 那 就应该等于五十五度啊。这里是比较简单的，就是我要搞清楚平行四边形的对边平行得同门内角互补，就是菱角互补的意思。 好，第二个，这个图在平四平中，角 a、 d、 c 一 吧。角 a、 d、 c 在 哪里？这里角 a、 d、 c 一 百二十五度。呃，我说叫大家跟我一起练的，画出来有的时候就不喜欢动笔啊。角 c、 a、 d、 c、 d 在 哪里呢？ c、 a、 d 在 这二十一度。 好，那么这个角 a、 b、 c 应该就等于角 a、 d、 c 也是一百二十五度。平四面的角相等角 c、 a、 b、 c、 a、 b 在 哪里呢？在这， 对吧？这个角 a、 b、 c， 我 们说是一百二十五度。角 c、 a、 b， 那 就等于一百八十度，减去一百二十五度，减去二十一度。哎呀，就是一百八十度，减多少呢？一百二十，一百四十，一百四十六度，一百四十六度，那就等于三十四度， 对吧？角 c、 a、 b 等于三十四度。两直线平行，同门类的互补，我们用这里的也同门类互补。可以我们看到第三题， 那第三题的图在这再平四边 a、 b、 c 的 e、 f 分 别是它上点这个 b、 e 的 d、 f 啊，这两个项呢？由于角 b 是 等于角 d 的， 呃，那么这个 a、 b 呢？是等于这个 c、 d 的， 对吧？所以根据边角 b 三角形 a、 b、 e 三零 c、 d、 f， 边角 b 两个三角去呢？那这很容易，因为它已知的有这个 b、 e 的 d、 f 嘛。 我们的第四个，呃，平四边形的，有的，他是一个，周长是五十，你说一边是一十六，他这边也是一十六，那么零边和的周长的一半，所以一半二十五，那么也就是说他的另外的三边的长度就是九厘米，对吧？一十六厘米， 嗯，九厘米啊，为什么呢？因为这一十六，比如说这一十六，那么九类是二十五，对吧？一十六，二十五啊，这个九，对吧？九六，所以九加一十六就是二十五嘛。啊，其他三面的长呢？这个简单，我们就简单提这么多，我们看到第一百五十八 h 上的第五题， 第五题啊，这里有个单位厘米啊，在平行四边 a， b， c、 d 中，对角线 a， c， b d 加入一点五， b d 乘以 a d， 哦， b d， a d， 哦，这里是直角，嗯，现在这个等于八，这个等于十呢，这个长的就等于六，对吧？给你这个等于六，因为这个是对角线的焦点，所以这个等于三，这个等于三。 那么这个平行四边形的面积呢？那应该就等于底乘以高就等于这个 a d 乘以这个 b d， 对 吧？就是八乘以六就等于四十八。 呃，这个 o b 的 长度，听完还说求 o b 的 长度，对吧？ o b 那 就应该等于三厘米，那么面积等于四十八 cm 的 平方。 好，这些单位呢，在我们的做完的时候呢，我们要不要忘记了把它写出来啊，有的同学可能做着做着就忘记了，所以作为成绩好的同学啊，是每一个小问题都不会错的，记得点赞关注哦！

图，平行四边形 a、 b、 c、 d 中好，那么这是第一个条件， a、 b、 c、 d 是 平行四边形，那读到这里的话，我们就要想这一题应该是要考察平行四边形的性质，好，接着往下 e、 f 分 别是 b、 d 上的点，且 b、 e 等于 d、 f， 那 么求证四边形 a、 e、 c、 f 是 平行四边形 好，那么我们要证的 a、 e、 c、 f 是 内部的，这个四边形是平行四边形好，那么根据平行四边形的基本性质，我们知道它的两组对角线是互相 平分的，所以呢，我们在这里把 a 和 c 给它连接起来，那么我们令焦点为 o， 则此时呢，我们就可以得到 o， a 等于 o c， 同时 o、 b 跟 o、 d 相等。好，那么我们接下来呢，把第一种哈证明方法写下来，证明好，我们呢，这里要连接 a、 c， 那 假设我们交 b、 d 与 o 点， 那么因为四边形是因为四边形， abcd 是 平行四边形好，那这里也写成因为哈， a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 所以呢，我们可以得到 o， a 等于 o、 c， 同时 o、 b 等于 o、 d， 那 么结合题目已知条件好，题目另外一个已知条件是 b， e 等于 df 好， 那么我们仔细观察，这里的 b、 e 和 df 与我们的 o、 b 跟 o d 是 共线，所以呢，我们可以有 o， b 减去 b， e 就 等于 o， d 减去 f、 d， 所以就可以得到这里的 o、 e 与 o、 f 是 相等的关系好，那么现在重点来了，我们呢，结合以上的啊判定 过程，可以得到 a、 e、 c、 f 的 对角线 e、 f 被对角线 a、 c 平分，因此呢，有 o a 跟 o c 相等， o， e 跟 o f 相等，那么对角线互相平分的四边形就是平行四边形啊，所以呢，我们这个时候 就可以得到四边形 a、 e、 c、 f 是 平行四边形，那么这是其中的一种方法， 那接下来我们来看一下还有没有其他方法好，那么从第一种方法一样，我们呢 看一下还可以用哪些方法好。因为平行四边形 a、 b、 c、 d， 所以呢，我们就可以得到 ab 平行且等于 cd 好， 那么既然 ab 跟 cd 互相平行，那两直线平行内错角相等，所以我们有 a、 b、 e 等于 c、 d、 f， 也就说这个角和这个角是相等的关系。 那么结合已知条件， b、 e 跟 d、 f 相等，所以呢，此时我们可以得到三角形 a、 b、 e 全等于三角形 c、 d、 f 条件是 s、 a、 s。 好， 那么我在这里给大家再说一下， a、 b 跟 c、 d 相等，角 a、 b、 e 跟角 c、 d、 f 相等，那 b、 e 跟 d、 f 相等，所以根据 s、 a、 s， 我 们可以整个 这两个三角形全等三角形一旦全等，我们可以得到 a、 e 等于 c、 f。 好， 那么同时呢，我们还可以得到角 a、 e、 b 跟角 c、 f、 d 相等，那么根据等角的补角是相等的关系，因此呢，我们可以得到 a、 e、 b 的 补角角 a、 e、 f 与角 c、 f、 d 的 补角 角 c、 f、 e 相等。好，把它们的位置找出来，这个角和这个角相等，它们是一对内错角，所以我们此时呢，可以得到 a、 e 平行于 c、 f 好， 那么我们现在来看一下， a、 e 和 c、 f 这条边既互相平行又相等，所以呢，根据两种对边 好，所以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。因此呢，我们又可以得到结论，四边形 a、 e、 c、 f 是 平行四边形。好，那么我们下面呢，用了两种判定方法来证明这个四边形是平行四边形。

这类题堪称中考二次函数的压轴王，同时啊，也是高频考点，百分之九十孩子呢，都不会做，为啥呢？因为很多孩子面对平行四边形的存在性问题，他不知道对点公式，所以说呢， 千万不要算到崩溃，老师今天用最简单的方法叫做对点法，教你彻底拿下平行四边形存在性的这类压轴题。好，我们来看题目。 首先我们来看一下啊，这个题的大背景我不用多说，就是抛物线对吧？其中呢，它有一个特征是 a 圈起来啊， bcmn， 我 问大家第一个问题啊，这是一个非常重要的点，请问 平行四边形 b， c， m、 n， 如果我是这么写，它有什么要求吗？听好了，它一定你的平行四边形是 b c， m n 或者是 b c m n， 它是有顺序的， 听懂了吧，但是如果题目中它这里明确的说是这样子啊，叫做 b c m n 为平行四边形，它是这样用顿号给你连接的。那么这一类题的一个典型特征就是什么分类讨论 无顺序，也就是说啊，你是 b c m n 可以， 或者是 b c m 等等等等都行， 听懂了吗？啊，所以说教给孩子们啊，拿到题目审题的时候，这是非常关键的一步。好，紧接着我们来看一下 第二点，第二点呢，他这里说了啊，你看，抛物线解析式给到了，其中呢，我们告诉你， b 点的坐标是能直接表示是零，逗号负三 是吧？然后呢， c 点的坐标用我们的什么英式分解， x 加三乘以 x 减一等于零，对吧？ y 等于零，所以 c 点坐标呢，也能出来是负三逗号零啊，这是我们的负三逗号零。 好，那你会发现这个平行四边形的两个点 bc 都已经知道了，那么接下来我们来看一下剩下两个点怎么找， 其中呢？有一个点是在抛物线上，一说到抛物线，大家应该都很清楚，干嘛 无非就是 a 逗号 a 方加二， a 减三，是不是它就是一个抛物线上的解析式的表达？好，这是我们的 m 点，紧接着呢，我们来看一下 n 点在哪啊？ n 点呢？是在 a 抛物线的对称轴上。好，那么大家告诉我，在解析式确定的情况下，请问 n 点的什么坐标是固定的呢？没错，就是我们的对称轴 x 等于负的二， a 分 之 b， 也就是负的。什么呢？二 分之 b 是 二，答案就是负一，所以说对称轴上的这条线是横坐标等于负一。 ok， 那 么我们的 n 点呢？就在这上面来回移动了。 好，那现在我问大家一个问题，你告诉我 m 点难确定还是 n 点难确定？很明显，你 m 点是这条抛物线上面随便跑的一个点，所以说我们要干嘛？听好了，我们要找一个 易得三角形，而这个三角形由谁组成呢？肯定你不找 m， 因为 m 不知道它在哪，是不是相对来说， n 点是比较轨迹比较清晰的，就在这条直线上，对吧？我随便先画一下啊，假如这么一个三角形 好，大家会发现一个什么点呢？当你这么一画，因为我们知道一个平行四边形是不是由两个三角形组成的，对不对？我既然这么一画，那你告诉我 m 点大概率在哪里呢？是不是有可能是这么去画的？有可能啊，先大概画一下，是不是这样的一个情况， 对不对？这是一种情况，还有可能呢，是这样子去画的，对吧？如果 n 点是活动的啊，它不是固定的，比如说有可能是这样去画的一个情况， 对吧？这是 m 点，是不是还有可能怎么画呢？还有可能这么去画，大家先大致了解一下，三角形在这摆着，你的那个是不是这样去画了一个，然后这个点呢？恰好在抛物线上， 各位听明白了吗？所以说呢，这个题我们找到了这个易得三角形，然后给他干嘛？翻一下，翻一下，翻一下，就能把平行四边形是不是先拼凑出来， 是不是？好，所以说这一步呢，大家先了解就可以了。好，接下来整个题目最重要的核心来了，我问大家，像这种两个动点去划平四边形是难，还是我把这个几何问题 转变成代数问题难呢？很明显，你会发现化是一件特别难的事，因为你这个 n 点实际上也是一个动点，是不是也不确定？那接下来我们整个这个题最核心的知识点我来了啊，就是如何把几何中的平行四边形去给他做一个代数化的操作。 ok， 那 这里呢，我给大家讲一个叫做对点法的东西，什么叫对点法呢？我来随便举个例子啊，比如说这里呢，我们来看一下，这个三角形是 b、 c、 m、 n， 这个平行四边形。好，根据平四边形的性质叫什么？叫做对角线互相平分， 对角线相互平分。 ok， 所以 说我连接它，连接它。好，你告诉我什么特征呀？是不是你这个对称中心既是 b 和 m 的 中点，也是 c 和 n 的 中点呢，对不对？好，那这里我就找到了 o， 为什么呀？是 b m 的 终点，同时 o 也是什么 c n 的 终点，有没有问题？好，没有问题的家长我们继续来探讨。您发现，说到终点，终点，我们就要提一个东西，叫什么？对，叫终点。公式 在初一的上学期，其实我们是简单了解过的，你比如说啊，告诉你 a m b， 请问 m 是 他们的中点怎么办？是这段距离等于这段距离。我来写一下，就是 b 点的数值减去 m 点的数值，等于 m 点的数值减去 a 的 数值。 所以我们钟点公式是有个推导过程，是 x b 减 x m 等于 x m 减 x a， 对 吧？所以说，我们得到了一个把它挪过来是二倍的 m 的 横坐标，等于 a 的 横坐标加 b 的 横坐标， 对不对？好，拿到了这个式子，我们就得到了什么？你看是不是 m 点的横坐标等于二分之 a 点的横坐标加 b 点的横坐标， 听懂了吧？那你会发现，哎，很关键的信息来了，就是中点的横坐标等于二分之什么？一左一右两个点， 那它放在平面上是不是也是如此？我来举个例子啊，比如这里是 o 点的横坐标，这里是 b 点的横坐标，这里是 m 点的横坐标，大家告诉我它是中点的话是什么？是不是 等于二分之 x b 加上 x m， 对 吧？同样的道理， o 点还是 c 和 n 的 横坐标，那就是二分之 x c 加上 x n， 各位能不能看懂？ 能不能看懂？可以吧。那你想，既然横坐标是这样，那请问纵坐标呢？ o 点的纵坐标一横一纵两个坐标组成吗？是不是就等于二分之 b 点的纵坐标加上 m 点的纵坐标，再有二分之 c 点的纵坐标加上 n 点的纵坐标？ 能理解？好，这两个公式是我们对点法最核心的两个公式，由竖轴给大家推演到整个坐标系，你看我画一个坐标系， 大家能理解吧？好，那接下来我们来总结一下对点法的核心，对点法的核心是什么？来，就看这个图去说话哈，就是你这两个分子，你看二分之它等于二分之它，所以什么 b 点的横坐标加上 m 点的横坐标加上 n 点的横坐标，对不对？与此同时，纵坐标 b 点的纵坐标加上 m 点的纵坐标加上 n 点纵坐标， 各位是否清楚了解？那现在我随便给大家画一个，你看你是否能直接得到啊？比如说我们画一个勾圈 k、 s， 怎么办？好，我们直接写，看着图就能写，对不对？就是 j 的 横坐标加上 k 的 横坐标，加上 a 的 横坐标，对不对？好， j 的 动作标加上 k 的 动作标，等于 q 的 动作标加上 a 的 动作标， 明白了吗？所以说呢，我们在存在性问题当中，大家只要找到谁的对点是谁，他就一定能组成什么？根据平四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平四边形， 对吧？你答案是不是就迎刃而解了？好，我讲这个对点法跟这个题的必然联系是什么呢？来，各位 好，那么根据对点法呢？我们现在就可以干嘛把这个几何问题转化成哎，代数问题啦？好，我们来看一下怎么分类讨论啊？首先我们重新来画一下那个 n 点呢，大概在，比如说在这个位置，对吧？ b c n 呢？如果长成这样， 好，大家现在自己也想象一下，对吧？那么你怎么分类讨论呢？很明显，我是不是拿这条边去当对角线，对吧？然后呢，那中点就在这里，然后你可以构造一下那个 m 点是不是大概在这个位置，对不对？好，那我们来写一下啊。第一种情况，假如 c n 为对角线， 那么根据你的对点法，你能得到什么呢？想啊， m 和 b 是 不对点，那么我们可以得到 m 的 横坐标加上 b 的 横坐标，等于 c 的 横坐标加上 n 的 横坐标， 对吧？好，然后你会发现，根据这个式子我们来看啊， b 的 横坐标是几？因为 b 点坐标一开始是求了的， b 点坐标是几？是不是零，逗号负三， c 点的坐标是不是负三，逗号零， 所以说 b 点这里呢，我们可以带进去是几零等于好，然后呢， n 点的横坐标是负一，对吧？对称轴能理解，对称轴是不是负二， a 分 之 b， 答案就是负一，对吧。然后呢， c 点的横坐标是几？是不是负三？好，大家现在告诉我能否求出 m 点的坐标， 完全没有问题，对不对？所以说 m 点的横坐标就是负三，负一，是不是负四？那么 m 点的横坐标出来，那么你告诉我解析式在这里是不是纵坐标也能求出来，对不对？我们来求一下啊， m 点的纵坐标的话，就是负四，带进去啊，是十六减去二，四得 八，然后再减三，所以答案就是八减三十五，好，因此第一个答案呢，它在抛物线上，且我们发现它的动作标，你验证一下啊， m 的 动作标加上 b 的 动作标，等于 c 的 动作标加上 n 的 动作标，我们来验证一下是否成立， 对吧？这里是五五，加上 b 的 动作标是负三，就等于二，这里 c 的 动作标是零， n 的 动作标是几，是不是也能求出来，对吧？当然这个这个题它没有求出 n 的 坐标，但大家应该知道 n 坐标是几就是二， 对吧？所以说这个时候 n 的 坐标就是我们的负一，逗号二， m 的 坐标呢？就是几四负四，逗号五，好吧，这就是符合条件的 m 坐标就出来，这是第一种情况，好，那么第二种情况我们再来画个图， 对不对？是不是他可以当对角线？他当对角线，那个中点是不是大概在这个位置，对吧？ n 点你可以画一下，是不是这样一个，是不是这样一个平四边形？好，再根据对点法我们来再继续写啊？第二种就是当我们的 bc 为对角线， b， c 是 对角线的话，可以得到什么呢？你看图说话， n m， 那 就是 n 的 加上 m 的 等于 bc 对 点法， c 的 加 b 的， 好，往里带一下呗。 c 的 加 b 的， c 的 加 b 的是负三，对吧？然后这里是负一嘛？因为 n 点就在这条直线上，对不对？那这里是几？是不是 x， m 就 等于负二， 是吧？他出来了以后，你再带进去纵坐标，对不对？所以说纵坐标是不是又有了，对吧？负二带进去是四减四，减三，是不是减三？所以这个时候 m 点坐标是负二，逗号负三，对吧？因为他只求 m 点坐标好不好？这是第二种情况，好。第三种情况，谁当对角线？ 是不是他去当对角线？他当对角线的话，你会发现那个点大概就在这个位置，对吧？画一下图大概就在这个位置， 图是很难画的啊，但是，所以我就说嘛，几何法是很难画的，但是你用代数思维对吧？你去验证一下这个点是不是在抛物线上就可以了。 ok， 好， 怎么去求呢？好，我们来写一下啊。好，第三种情况，谁当对角线？是不是我们这里的 b n 当对角线， b n 是 对角线， b n 对 角线的话，我们就可以得到什么呢啊？ b n 对 角线就是得到了 a， c 的 加上 m 的 等于 n 的 加上 b 的， 对不对？然后呢， n 的是负一， b 的是几呢？ b 的 坐标是零，对吧？ c 的 坐标是负三，加上这里是几，算一下， 负一，这里应该就是正二，对不对？所以 m 坐标就出来了， x， m 就 等于正二。好，你再带进去取 y 的 坐标， y 的 m 等于几？二带进去是四加四减三，但是五，对吧？所以说第三个答案呢， m 点坐标就是二，逗号五。 ok， 以上呢，就是完整的一道题，直接写答案，根据我刚才所讲的什么方法对对点法来解决什么 平行四边形中的存在性问题，当然大家呢，还是要验证一下啊，验证啥？你把 n 点坐标求出来，看他是否能满足，纵坐标也满足，对吧？同时满足的话，发现三个答案是都可以留下来的。好，各位，关于对点法，你学会了吗？

同学们，我们今天来看一道关于平行四边形判定的题目，大家先读题。首先，这个大的 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形，点 m、 n 分 别在 a、 b、 c、 d 上，且 a、 m 等于 c、 n， 让我们证明 d、 m 这条边等于 b、 n。 好， 那大家看如何去证明这两条边相等？我如果是能正出四边形 m、 b、 n、 d 是 个平行四边形，那么对边就相等了。 或者说我能证出三角形 a、 m、 d 和三角形 c、 n、 b 全等，也可以证出这两条线的相等。好，大家看一下我们用哪种方法，哎，更好一点。 首先，大的这个图形 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形，那我就能知道 a、 d 这条边等于 bc， 还有角 a 等于角 c， 还有题目中给的 am 等于 c、 n， 题目中已经给这两个了。好，那我们正确的是不是很好整了边角边，边角边这两个三角形就全等了，全等过后，那对应的边 d， m 和 b、 n 就 相等了，哎，这是一种正法。其次呢，我们还可以证明这个四边形 m、 b、 n、 d 是 一个平行四边形，哎，如何去证明他是个平行四边形呢？还是？哎，因为 abcd 是 一个平行四边形，所以呢， ab 平行且相等 cd， 这样的话，因为 am 和 c、 n 相等，那么 ab 和 cd 也是相等的，所以剩下的这一点 m、 b 和 d， n 也是相等的， 那 m、 d 和 b， n 又相等又平行。哎，我们用判定定一一组对边平行且相等，那么这个四边形 m、 b、 n、 d 就是 平行四边形，这样的话呢，对边就相等。哎，同学们，两种方法都可以，你想用全等证明也行，你想用平行四边形的判定这种方法去证明也行。

同学们好，今天继续给大家分享一道中考题里边平行四边形的折叠问题。这个题目咱们前几天分享过，同学们用的是一种方法，今天咱们用一种新的方法来解决它，这个是用咱们初一的拐点问题的方法来解决 还是已知平行四边形 abcd 中，角 c 是 阿尔法，角 c 是 阿尔法。那么提到角 c 是 阿尔法，肯定就要考虑平行四边形的角的性质。朋友们，平行四边形对角啊，相等，邻角互补， 所以说这个角 b、 a、 d 就 等于阿尔法，角 b 和角 d 就是 一百八十度啊减阿尔法， 把这个平行四边形进行了两次啊折叠，那么 d 落到了 d 撇处， b 落到了 b 撇处，那么 ab 撇在这里是一个折痕， a e 撇 a e 也是一个折痕。 那么既然进行了两次折叠，那么角一肯定和角二重合了，角三也和角二重合了。所以这里首先我们找到第一个突破点，角一等于角二等于角三，他就等于三分之一二分了，他们三个是相等的，因为他们三个重合了， 他是阿尔法，他也是阿尔法，所以他们三个都是三分之一阿尔法。那角 b 和角 d 都等于一百八十度减阿尔法，我们上次就让我们来求一求这个角四，听着啊，角四就要让我们用含阿尔法的代数式来表示一下角四等于什么。 那么上一次我们分享的视频求角四的时候，就是用一百八十度减掉它，再减掉它得出来的，也就是把这两个角用含阿尔法的代数式表示出来，然后用平角减掉它得的角四。 那今天看我画的这个红色的痕迹，朋友们，这显然这就是一个猪蹄形，我们初一学的猪蹄形状，猪蹄形状，那么解决这种猪蹄形也就是拐点问题，通常就是过那个拐点做平行线， 我们过点 e 做 e， f 平行于 dc 吧。又因为 dc 和 ab 是 平行的，所以说 ef 也和 ab 啊，平行了，这是 ef 的 意思啊，这是 f， 他 们三个就都平行了。平行之后，我们就可以把角四转化成这个角五了， 角四就等于角五了，显然角六也等于角三等于三分之一阿尔法。这样一做出来是两组内错角，给你们看出来了吧，两组内错角， 角六等于角三等于三分之一阿尔法，我们要求角四，就来求角五就可以了。要想求角五，它里面角六已经用阿尔法表示出来了，所以我们只需要求角 b 撇 e 的 度数就可以了。 那角五显然它等于角 b 撇 e、 a 减角六啊，哎，角六知道了，是三分之一阿尔法，我们去求一求角 b 撇 e、 a 就 可以了。那角 b 撇 e、 a 怎么求？成立？显然它在这个三角形里边，在这个三角形里边， 这个三角形内角和是一百啊八十度角二是三分之一阿尔法，而这个角显然还是角 b 折过去的。角 b 是 一百八减阿尔法，所以他也是一百八减阿尔法，所以这个角就等于一百八减三分之一阿尔法，再减啊，他 再求一下，角 b 撇 e a 等于什么？等于等于一百八十度减角二再减角 a， b 撇 e 等于一百八十度。角二是三分之一阿尔法，它是角 b 折过去的。同学们啊，角 b 又等于一百八十度减阿尔法 去括号整理，一百八十度减三分之一二法，减一百八十度，再加上一个二法， 所以最终结果还是一个三分之二二法，哎，他是三分之二二法，他是三分之一二法，所以他的一减还是一个三分之一二法。跟我们上次的答案是一样的， 哎。这个题就是用一个拐点的问题，猪蹄形过中间的拐点做平行线解决问题。希望这个题目对大家有所帮助。

如果你有数学想考满分的想法，请跟我来把你的数学下册课本一百五十九页纸。 我们看到第二讲平行四边形的判定，这个判定呢就是判断并确定下来，就是判断一个四边形呢，它是不是平行四边形呢？ 那么我们说，呃，要判断一个内容，我们首先要根据它的定义而来。前面我们说一个平行四边形是这么说的，说 两组对比啊，一组对比平行，另一组对比也平行，两组对比分别平行的四边形呢，我们说我们把它叫做平行四边形，这个我们说是平行四边的定义，我们说定义啊，它是第一条性质，也是第一条判定。 好，大家记住这句话啊，定义是第一条性质，也是第一条判定。所以我们判断一个，我们找一个四边形的性质的时候，我们说平行四边的对边是平行的啊，两字对比分别平行。那么现在我们来说平行四边的判定呢？我们要把这个当的第一个哪个呢？就是这个定义 啊，两组这边分别平行的四边形叫做平行四边，是它的定义。那么现在我们说两组这边分别平行的四边形呢？是是平行四边形，就判断出它的平行四边，我们把它当做第一个判断方法，因此我们其他的要判断四边是平行四边，我们都得要根据这句话。 好，下面我们来看到现在我们要得到就是说以这个 a、 b、 a、 d 为零边的一个平行四边形，哎，那我们就可以怎么办呢？那我们可以呃，比如过点电 b 做一个跟 a、 d 平行的， 对吧？然后过点点 d 呢？做一个 a、 b 平行的，哎，根据同位角相等，两直线平行，内侧角相等，两直线平行。哎呀，这东西啊，很麻烦，咱们有一个简单的办法，怎么办呢？咱们在这里来看一下 a、 b 多长。以这个点 d 为圆心， 以 a、 b 的 长度为半径作弧。然后呢，咱们来看一下这个 a、 d 的 长度啊，以这个点 b 为圆心， 以这个 a、 d 的 长为半径作弧，两弧交入一点。好，这点我们说是字母 c、 e。 好， 现在咱们连接 d、 c 连接 bc， 咱们说四边形 a、 b、 c、 d， 它就是一个平行四边形。那么这里我们根据的是什么呢？我们根据的现在就是这句话，两组这边分别相等的四边形是平行四边形。 哎，我们刚才做这个 b、 c 等于 a、 d， 做这个 d， c 等于 a、 b 啊，刚才我们是取回作图，哎，刚才有的同学说，你不是说要得到两组对边分别平行，差这平行四边吗？我们说啊，两组对边分别相等，它就是两组就可以得到两组对边分别平行。 好，我们看到这个图形，也就是说如果这个 a、 b 等于这个 c、 d， 如果这个 a、 d 等于这个 bc， 那 我们说这两个相等，能不能换成是这两个平行呢？ 我们看我们把 b、 d 连起来，那我们说这个 b、 d 是 等于 d、 b， 所以 这个三角形 a、 b、 d 啊， a、 b、 d 和这个三角形 c、 d、 b 啊，它属于相等的理由 s， s， s 啊，一边二边三边，一边二边三边边边两三缺等。所以这里在写这个三角形切等的时候呢，但如果你要写大括号的话，那就是 a、 b 等于 c， d， a、 d 就 等于 c， b， b， d 等于 d b， 哎呦，这里就是个对应的问题啊，对应的问题。 那么这样两个三角形的之后，我们就有前两三角对应，角相等，角三等于角四角一等于角二，对吧？三四内角角相等， a、 d 平行于 bc， 角一等于角二，内角角相等呢？ ab 就 平行 cd 了， 对吧？所以我们说两组对边分别相等呢，我们可以转化为两组对边分别平行的，所以我们现在就说两组对边分别相等的这个视频呢， 也是平行四边形哎，我们通过刚才的证明，我们证出来之后呢，我们就可以把它用一横黑体字把它写出来，我们说叫两朵对边分别相等的四边形，是平行四边形，我们把它做一个定义，那么未来呢，我们可以直接拿它来用， 那么实际上我们还可以拿这一个叫一朵对边平行且相等的四边是平行四边形。好，我们看到这里，比如说这个 a、 b 跟这个 c、 d 是 既平行又相等的，对吧？那么平行了呢？那我们连接 a、 c 之后，这个内侧角就相等了，当然呢，还有这是公共边，对吧？边角边，边角边，哎，这两个三角就相等了，那么刚才 a、 b 平成 c、 d 这两个三角相等呢？哎，我们也可以得到这两个角相等呢，对吧？这两个角相等的时候呢， 所以这两边 a、 d 是 平行 b、 c 啊，所以两者这边就分别平行了，所以它是平行四边形。当然我们课本的例题这里呢，不是这样写的啊，他说这两个相等，当两个三圈等的时候呢，这两边也相等， 所以这一组对比与另一组对比，就是两组对比分别相等，那么他也是平行四边形，就是说有一组对比平行相等的，现在可以转化为两组对比分别相等，但你转换两组对比分别平行也是可以的。 于是我们就把一朵这一边平行于相等的四边形，说是平行四边形，当这里有一个平行且等于的符号，有时也采取这种连写的形式。我们下讲再跟大家讲，记得点赞关注哦！

哈喽，同学们大家好，今天我们来看一道特殊平行四边形的综合题，掌握了它，只有对称正方形全等三角形的套路就全通了。题目分三小问，我们一关一关的过，先来看一下第一小问，在图中补全图形，那我们先来读下题目吧。在正方形 a、 b、 c、 d 中， e 是 b、 c 边上的一点点 d。 关于 a、 e 对 称，那我们做它的对称， 先做垂直，取它的对称，点 f 连接 a、 f 和 b f 直线 a、 e， b、 f 交于点 p， p 连接 d、 f。 咱们连接上第一问，我们就做完了，看一下第二小问，求角 d、 f、 p 的 度数。第一步，我们先来看一下对称的性质，点 d 和点 f。 关于 a、 e 对 称，所以我们能得出 a、 f 等于 a、 d。 题目中给出正方形 a、 b、 c、 d， 所以 a、 d 等于 ab， 所以 ab 也等于 ab。 根据等腰三角形的性质，角 a、 f、 b 就 等于 a、 b、 f， a、 f、 d 就 等于 a、 d、 f， 那 我们发现要求的角是 d、 f、 p， 也就是这个角也就等于 a、 f、 b 减去 a、 f、 d， 所以 我们只要求出这两个角的度数，就能算出角 d、 f、 p 的 度数了。射角 d、 a、 e 等于 alpha。 因为对称性质，所以 f、 a、 e 也等于 alpha， 所以 角 f、 a、 d 等于二， alpha。 在 等腰三角形 a、 d、 f 中，角 a、 f、 d 等于一百八十度减二， alpha 除以二，等于 九十度减 alpha。 再来看看角 a、 f、 b， 它等于角 b， a、 d 减去角 f， a、 d 等于九十度减二， alpha 在 等腰三角形 a、 b、 f 中，角 a、 b、 f 等于一百八十度减去九十度减二 f 的 差除以二，等于四十五度加 alpha， 所以这个这个大角等于四十五度加 alpha。 现在我们来看看它的公共角角，也就是角 a、 f、 d 加上角 a、 f、 b 减去一百八十度。但是我们刚才的结果能得出，角 d、 f、 p 等于九十度减 alpha 加上四十五度加 alpha 减一百八十度。等于四十五度，那我们就能把它画成四十五度。 所以角 d、 f、 p 等于四十五度，阿尔法直接消掉了。所以不管点 d 怎么动，角 d、 f、 p 永远是四十五度，是不是很神奇？终于到了最有挑战性的第三文，先来补全图形。先找对称点 f 连接 a、 f、 b、 f 教他们的延长线与点 p， 我 们要找的是 p a、 p、 b、 p、 f 之间的数量关系。我们常用的套路就是截长补短或构造全等三角形。这里我们可以用构造等腰直角三角形的方法。我们的作图方法呢，就是过点 a 做 am， 垂直于 ap， 交 p、 f 的 延长线与点 m， 注意垂直。这里我们就标一个点 m， 因为我们算出了角 a、 p、 b 等于四十五度。现在角 pm 等于九十度三角形 am p 就是 等腰直角三角形， ap 也就等于 am， 所以 pm 就 等于根号二倍的 pa。 角 amf 等于四十五度。 第二步，我们要找一下全等三角形，其中这里的全等三角形很容易就能看出来是 amp 和 afm。 这里的图可能有点不太标准，但是如果细致化的是，我们是能一眼看出来的。由于 a、 b 等于 af， 所以 我们能知道角 a、 b、 p 等于角 af m 等于一百八十度。所以我们能得出角 a、 b、 p 等于角 af m。 我 们已经知道了角 a、 p、 b 等于角 af m 等于四十五度。还有 a p 等于 a m 这三个条件满足 a a s， 所以 我们能证三角形 a b p 全等于三角形 af m。 第三步我们就转化一下线段，全等了之后 p b 就 等于 mp， 而线段 p m 是 p f 和 m f 的 和，也就是 p m 等于 p f 加 pb。 又因为 p m 等于根号二倍的 pa， 所以 我们就得到了最终的关系， p b 加 p f 等于根号二倍的 pa。 好 了，今天这道题我就讲完了，大家觉得我讲的怎么样呢？如果有更简单的方法，也可以在评论区留言哦，拜拜！

数学压轴不用愁，老师带你找方法。欢迎来到魏老师的数学压轴题小课堂啊，那这一次呢，我们来看一下这道题啊，这是在平行四边形中啊，做了一条内角的角平分线啊， 那有这样的角平行线，一定会有什么样的三角形啊？还是一定会有等腰三角形啊？那这个图中有多少等腰三角形呢？我们来看一下啊。角一啊，它是等于角二的，因为角平行了啊，那又因为平行，角一等于角三，角三还等于角四是吧， 那这些角呢，一个二个都相等啊，那角四等于角一，角一等于角二，角二等于角 f， 哎，角四等于角 f， 那 么 c e 等于 c f 啊，那么角 f 肯定等于角一，说 a d 等于 d f 呀，哎，所有的三角形都是等腰的呀。嗯，那这就好说了哈， c e 等于 c f 啊，第一小问，非常简单， 那由此隐身出第二小问啊，就是把这个平行四边形给它转换成了一个矩形啊，也是做这样的内角平分线。嗯， 这回呢，我们是在这个角平分线上取了点 g 啊， g 呢，是 e f 的 中点连接 d g， 让我们求角 b d g 的 度数啊，这个角度数啊，大家看着像多少度啊？嗯 嗯，这是在直角当中啊，这看着应该就是在是四十五度啊，就矩形四十五度做了角平分线，四十五度肯定往四十五度上去靠啊，那怎么去证明他是四十五度呢？哎，我们看到这里啊，那这个很明显啊，如果说要证明他四十五度，咱把这个 b g 一 连，他会出现什么问题 啊？那这里要是明显看得出来，这个 b d g 应该得是一个等腰直角三角形哈，哎，那如果我们能证明他是个等腰直角三角形，那么说他就四十五度了呀，哎，咱们的思路是这么来的哈。嗯，那好，现在咱们就看怎么去证明吧啊，那给这个点 g 是 终点有什么用啊？ 哎，这三角形 c e f 说明显是一个等腰啊，不是一个啊，确实等腰啊，明显是个直角三角形啊，那 g 呢？是 e f 的 中点，斜边上中点，哎，可想到斜边上的 中间啊，哎，我们把 c g 连上啊，那么我们发现啊，这个 c g 一定是等于多少，等于二分之 e f 也是等于 e g 的 啊，哎， 好，这时候大家思路清不清晰啊？啊，这种发现啊，只要我们能证明是三角形 b e g 和三角形得 c g 这两个三角形全等了啊，那么 b g 等于 d g， 哎，等腰有了，还差个九十度。 这里面啊，这个 c e f 刚刚也说了，它是一个等腰直角三角形啊，哎，那这里面它如果是垂直的，对吧，那么这个角等于这个角，那么我们就可以推出 b g d， 哎，也是一个九十度了哈，这就非常简单了哈。嗯， 好，那我们先来看一下怎么证这两个三角形全等呢？找一下已知条件有哪些。嗯，啊，那这里面就肯定要用到这些等腰三角形了啊，因为这个 a b e 是 等腰三角形，那么我们发现这里面 b e 跟谁相等啊？ b e 是 跟 ab 相等的啊，这从上一小问，咱们就推出来这个结论了哈，那 ab 等于 cd？ 好， 两个三角形有这样一组边相等，刚刚也说了，说 e g 跟 g c 啊， c g 它俩是相等的，还差一组角哈，那肯定是这两条线的两条边的和假角啊，哎，那这个角是多少度 啊？说他是一百三十五啊，因为隔壁这个角是四十五度嘛，啊，同理，他呢，哎，这里九十度加上这块啊，是，这个就是等腰直角三角形嘛，三线合一了，他也是四十五度啊，哎，那这样结构就全了哈，好，我们有 b e， 嗯， 它是等于 ab 又等于 cd 的 啊，等于 dc 吧，咱们按顺序来啊，好，还有呢，是角啊，角 b e g 啊，它等于角的 c g 等于一百 三十五度。两个一百三十五度角，还有一个，咱们这个 e g， 它是等于 c g 的 呀，哎， 边角边，我们推出三角形和 b e g， 它全等于 c g 呀，哎， 有这样一组三角形全等，那么 b g 等于 d g。 好， 等腰有了来中间这个直角，咱们也可以推导出来呀，哎，九十度啊，等腰直角，它就是四十五度啊，嗯， 好，第二小问啊，主要这个，嗯，就是这个辅助线怎么去做啊，大家一定要去捋清楚这个思路啊，咱们怎么去引导它？ 我们来看一下第三小问啊，哎，这个图形的话变了啊，变成了角 b a， b c 啊，这个角它是一个一百二十度角哈，那角 b a， d 呢？哎，它就相当于相应的应该是六十度啊，好啊，我们来看 f g， 嗯，它是平行于 c e 的， 哎，而且还等于 c e 哦，那这里面少不了，我们是要把这个 e g 给它连上啊，哎，这里 c e 和 f g 它俩都平行且相等了，这是个什么形啊？说，肯定是一个平行四边形啊，先把它连上 啊，然后连接了 b d b 和 d g 啊，让我们还是求这个角 b d g 的 度数啊，哎，那这种题目啊，很明显又求 b d g， 那 时候一定要参考第二个小问的一个做法呀， 哎，第二小问怎么样？我们是不是根据这个 b g 跟得 c g 全等哎，推出来的，那我们这里这道题也是一样的，我们把几条线都连一下啊，啊，那 b g 再连上一样，我们把 b g 连上啊，哎，那时候还差一个 c g 啊，哎。 嗯，大家可以猜一下啊，这回的话，它应该是多少度啊？看这个角度数，那应该是这里出现一百二了嘛，那么可以想到是有个六十度哈，那么来推导一下，看怎么走到六十度啊。如果说它是个六十度啊，那这你说这个三角形 b d g， 但是它是什么三角形吧 啊，如果说他六十度，他应该是个等边哈，因为咱们要证嘛， b e g 和得 c g 两个三角形全等，那全等之后得 g 等于 b g 啊，如果说他是六十度，那时候肯定是个等边三角形啊，哎，那现在我们思路很清晰，现在要证明什么？说证明他是一个等边三角形啊， 那该怎么去证明等边三角形呢？嗯，首先一个咱们还是要去证明这组全等啊，先把这个全等都证明出来，说 b g 等于 d g 了，哎，就差一个六十度啊， a 是 在这里中间这里找这个角六十度啊，好，我们来看一下怎么全等 啊，怎么去全等，呃，还是 a f 是 角平分线啊，我们还是有 b e， 它等于 ab 等于得 c， 哎，这两条边它俩是相等的， b e 和得 c 啊，然后是角啊，啊，中间这组角角 b g 是 多少度呢？哎，它应该是一百二十度啊，为什么？嗯 嗯，这是一个平行四边形哈。哎，上下都平行嘛？都平行啊，这个角，呃， bcf 多少度啊？哎，它是一百二，这个角得 cb 六十，它一百二，那它是一百二啊， 哎，角 b e g 啊，它是等于一百二十度的，哎，那么这个角得 c g 呢？角得 c g 啊，它的话是多少度？嗯， 这边这个角啊，角得 c b， 它是个六十度。我们知道，那怎么能证明出来这边下面这个角它是六十度呢？ 啊，我们来看一下这个三角，这个四边形啊， c e g f， 它有没有什么特殊之处啊？除了说它是一个这个就是什么是一个平行四边形以外，它还是个什么图形， 它特不特殊啊？很明显很特殊啊？啊，因为它是平行菱形，而且呢，这个 c e f， 因为是角平分线嘛，它是不是有一个 c e 等于 c f 呀？啊，因为这个 c e 啊，它是等于 c f 的， 我们推出，哎，它是一个菱形啊， 啊，好菱形，这个 c e g f 啊，那菱形有什么性质？回顾一下。哎， 那比平行四边形多出来的就有这个角平分线，这里啊，角平分线互相垂直，而且还会平分对角啊，它平分角 e c f， 那 么角 e c g， 哎，这就是六十度啊， 角得 c g 啊，等于角 b c d 啊，加上角 e c g 啊，就等于六十度，加上一个二分之一的角 e c f 呀，哎，它也是一百二十度啊，哎，那么发现啊，这两个角又相等了 啊，那么现在是不是差一条边啊？哎，这个是不是也简单？刚刚我们得到这次这个是个菱形了，是吧？那么这里啊，来看，它是一个六十度哎， c e g 呢？还等于 e c， 哎，是不是就等边三角形 c e g 了呀？啊，又可以推出这个等边三角形啊， 好，是等边啊，哦，等边三角形 c e g 啊，哎，由此可以推出咱们这个 c g 就 等于 e g 啊，哎， c g 就 等于 e g 啊， 好，这三组条件我们又凑齐了，那么下一步是又得到三角形 b e g， 它全等于三角形得 c g 啊。哎， 好啊，我们根据这两个三角形全等要的什么条件？首先要一个 b g， 它得等于 d g 啊，哎，现在是等腰，那然后差什么？差个六十度 啊，这个角已知 egc， 它是个六十度角，因为是等边啊，那么这个角呢？ b e 什么 b？ 就是 b g e 和 d g c， 因为全等又相等了呀，哎，那么就得到它也是六十度啊。角 d g b 啊， 它也等于六十度，哎，推出说等边三角形啊，那个大三角形等边了呀，好，这个是 b d g 哈，哎，那它是等边三角形，那 b d g 就是 六十度吧， 这六十度啊，好，这咱们的整体一个推导过程啊，这里涉及到一些特殊的平行四边形啊，矩形，菱形也好，都有涉及到啊。哎，这个第三小问啊，咱们一定是要参考一下，看第二小问能不能用的上，因为第三小问跟第二小问一样，都是去让我们求角 b d g 的 一个度数， 那么一样也是要求这样的两个三角形去全等啊，有点手拉手啊，但手拉手是根据这个先拉着手，再得到全等，那咱这个时候咱们全等完之后，才知道它是手拉手的呀，它是两个等腰三角形啊。嗯，好，这道题咱们讲到这里，大家呢？把思路好好梳理一下啊。

大家好，我们今天来带来一个平行四边形存在性问题，这个是八年级下册期末考试特别经常考的一个点，然后呢他与那个菱形矩形存在性问题呢？然后构成了这个我们期末考试然后最容易考的三大题型。 首先我们看这个最简单的平行四边形对称性问题，三个移动，然后第一种方法呢就是几何法，因为它这个三个移动的话，它这个确定因素比较多，所以说我们可以非常呃非常方便的画出它的图来。 那比如说这里我们知道 a、 c、 b 要求它与这个 b 点构成一个平行四边形，那我们就可以将这个 ab 沿这个 bc 方向平移，然后得到 d 一， 然后以 a、 c 用 a、 c 向 bc 方向平移得到第二，然后 a、 b 向 a、 c 方向平移得到第三，然后这个时候呢 我们会发现它构成了好像是一个三角形，然后经过事实证明呢，这个确实是个三角形。然后这个最简单的方法是我们在网格纸上画一下就可以了，然后如果没有网格纸的话，我们可以用这个代数法，然后来进行分类讨论。 这个分裂的标准其实是以谁谁谁为对角线的啊。比如说这里分 a、 c、 b、 d 为对角线， a、 d、 c、 d 为对角线， a 得 bc 为对角线，然后对角线互相平分，根据这个呃，根据这个四平行四边形这一条性质，我们可以得出这个对角线互相平分，可以列出一个方格， 然后这个方格怎么列的呢？然后我们首先在这里画一个四边形，然后这个时候我们 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形，那么它们共呃它们这个对角线互相平分，也就说它们共用一个中点 o， 那 么这个 o 既是 a c 的 中点，也是 b d 的 中点，那么这个时候我们就可以利用中点坐标公式，比如说这个它是在这个这个平面状坐标系里的， 那么这个 a、 c、 d d， 这个假如说我们的坐标都知道的话，那么这个 a c 列终点坐标公式就是二分之一 x a 加 x c， 然后得到这个它们终点的横坐标， 然后然后这个 b、 d， 我 们列次终点坐标公式，得到它的这个横坐标相等的，然后同理我们再对正坐标列次终点坐标公式，得到了这样一个方程，然后这两个我们连理一下，这其中我们不知道是 y d 和 x d， 然后所以说这个我们只需要把这个 x d 和 x 和 y d， 我 们设一个 x， 设一个 y， 这样就构成了一个二幺一四方程组，然后这个我们就可以非常方便的求解。之后我们还有一种列方程思路，就是 这是一个平行四边形，然后它这一块是 x， 是 y a 减 y b， 这一块是呃 x a 减 x b， 然后因为这个他们是平行的，所以说就得到这两个直角三角形全等，然后所以说这个呃这块长度是 y d 减 y c， 这块长度是 x d 减 x c， 然后这个时候我们就可以根据它们两个相等可以得出这样一个乘法组，然后但是我们平时用的不是这两个，而是另一个乘法组，它是这么写的， 我这里写不开了，就这样写一下，就是呃，他是两个对的一个顶点，然后他两个横坐标相加，等于另外两个对点的横坐标相加，两个纵坐标相加也等于这两个，呃，纵坐标相加，然后这个是根据我们这个同时乘以二就可以得出来， 然后这个东西我们稍微移一下向，也可以得出来同样的结论。呃，所以说其实这三种方程我们其实都可以用的，只不过这个计算大家简易一些， 这个就是平行四边形的问题，然后三定一动情况，其实还有另一种情况，现在是第二个板块，就是两定两动的，这个两定两动，这两个动呢，其实是两个半动点，因为如果他这个如果横动坐标都不确定的话，这个列方图的话，就会出现这个四个未知数。 那么半动点什么意思呢？就是说他的这个一个点的这个啊啊横动坐标， 然后其中一个它是定值，比如说如果 x 为定值，就是在那个与 y 轴平行的直线上，然后如果 y 为定值，就是与 x 轴平行的直线上一个动点。 然后还有一种就是说这个 y 是 x 的 关键式，或者是 x 是 y 的 关键式，然后这种就是在一个函数图像上，然后我们就可以这样列成。 比如在这个题里面，然后这个点 d 是 外点， k f 加 b 上的一个动点，然后点 c 是 外周上一个动点， 那这样我们就得到两个未知数，然后这两个未知数的话，我们再根据这个刚才我们讲的这个 呃一个情况来分类讨论，这样列出方程来，然后只不过就是把 c 和 d 坐标，然后都换成这样来表示，然后这个就可以很容易的解出这个 a 和 d 的 这个数值。 nice。

hello， 可以 听到啊， ok， 我 找了一道关于这个 ps v 性质的题，还有这道重做题，大家可以来一下看一下。我们平常做题的话，平常分三步走啊。第一步，划重点， 去找这个题他问的问题，看这道题他就是问什么呀？最后问 c、 e 的 长是什么？紧接着再去审题， 就看问题前面的这些内容，有哪些关键的地方，你要圈起来，然后对这些关键的地方进行翻译，就是标记在这个图形上面。 先来先来直接看题吧，在这一步走， 它让求 c、 e 的 值啊。然后再看题具体的内容说，在平行四边形 a、 b， c， d 中， a， b， c， d 啊， a， b 等于八，咱把它写到这个图形上面八角 a、 b、 c 等于六十度，这个等于六十度。接着 b、 e 平行平分啊，角 a、 b、 c， 所以 说明这个 b、 e 是 角形的线，我们把它画起 交边， a、 d 于点 e 啊，角平分线交于 a， d 于点 e 连接 c， e， a， e 等于两倍的 e、 d， 说明它们的比例是什么呀？二比一嘛。 那最后让求 c、 e 的 长，那咱们来想一下，这道题它可能用到哪些知识点呢？ 首先它是平四边形，它肯定会用到，这个可能会用到什么性质，对吧？性质有哪些？关于边的性质， 对边平行且相等，对吧？可以根据条件可以直接得出来，根据这个性质， a、 b 直接就平行，且等于 c、 d 也等于八。 然后这是根据支点得到的条件几件了呢？平行四边形也有关于角的性质，对吧？角 abc 等于六十度，那么角 a、 d、 c 也等于六十度。 既然 b、 e 平分，角 a、 b、 c， 那 说明这边三十度，这边也是三十度， 这咱们可以得到的。 这边三十度呢？根据这个平四边形的性质，对边平行且相等 a d 是 不是平行 b c 啊？这个 角 a e， b 是 不是跟角 e b， c 是 内错角啊？说明这个角跟这个三十度角是相等，这个也是三十度，哎， 两个角相等，等腰三角形，对吧？这边也是八，那根据条件 a e 等于两倍一 d， 说明这个是四， 那最后让求 c e 的 长。其实咱们做这种题关于三角形又具体的数字的时候，可以想到它肯定会用到勾股定律，这样你没法求这个长嘛， 求 c e， 这是六十度。 关于直角三角形，它有特殊的角，六十度，三十度、九十度，这可以算出来其他条其他边的长了，咱们可以做个辅线， 做个 e f 垂直 c d， 哎，现在这个角是六十度，对吧？有一个直角，这个是直角，这个是三十度，那么斜边是不是等于最短的那条边的两倍啊？那么这个 d f 就 等于二，对吧？ 那么 c f 呢？一减就等于六，这个勾股定律 e f 就 等于两倍，根数三嘛。 你再用购物定率算 c f 就 很简单了。这个题用到的知识点就平行四边形的性质问购物定。

因为三角形 a、 b、 c 的 三条边分别为三、四、五，那这样我们根据勾股定律的逆定律，是不是很容易判断出三角形 a、 b、 c 是 一个直角，三角形好，也就是能够得到角 b、 a、 c 等于九十度，里面有三个等边。三角形等边三角形的性质呢，就是三边相等，三个角都是 六十度，那这样呢，是不是能够得到这两个角是相等的，两个角加上中间同一个角等于六十度嘛？那同样的六十度的角，减去中间这个小角，是不是能够得到角 d、 b、 f 等于 角 abc， 同样的道理，角 a、 c、 b 等于角 e、 c、 f。 好， 那这样呢，我们在里面是不是能够判定出两对三角形全等， 三角形 d、 b、 f 全等于三角形 a、 b、 c， 那 通过 s、 a、 s 判定这两个三角形全等，三角形全等之后，是不是能够得到 d、 f 等于 bc， 那 同样的道理，三角形 b、 c、 a 和三角形 f、 c、 e 这两个三角形是不是也是通过 s、 a、 s 判定这两个三角形全等？那全等以后，我们是不是能够得到 b、 a 等于 f、 e 是 等于三的？好，这样呢，我们就能够得到 d、 a 等于 f、 e 等于三， d、 f 等于四，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这两个三角形全等嘛？ b、 d、 f 是 不是等于角？ 角 b、 a、 c 等于九十度，我们是不是能够得到角 f、 d、 a 等于三十度？ 好，三十度呢，我们只需要过 a 点做一个垂线啊，就能够得到 a、 g。 三十度所对的直角边等于斜边的一半，等于二分之一， a、 d 等于二分之三。四边形 a、 e、 f、 d 的 面积啊，是一个平行四边形。平行四边形的面积呢？ 底乘高 d， f 乘以 a， g 就 等于四，乘以二分之三等于六。好，喜欢的朋友关注点赞也可以在评论区交流讨论。

八年级数学是中学生成绩好坏的转折点，你呢，想往哪儿转呢？ 八年级数学下册小册八十二页之后，我们看到第三题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，这个图形在这儿啊，它说了平行四边形对角线 a、 c、 b、 d 交于点 o。 我 们说对角线呢，是互相平分， o， a 的 入 c， o、 b 的 入 d。 呃， e、 f 经过点 o， 我 们说 e、 f 经过点 o 的 任何一条过对称中心的这个点，都将把它分成两部分，全等的图形，其面积相等。现在 a、 b 等于三， a、 c 等于四， a、 d 等于五， a、 c 等于四，这个 a、 c 等于四。呃， a、 d 等于五，就是 bc 等于五，那就说这个角是九十度，也就 b、 a、 c 的， 这是三、四、五这样的直角三角形。因此，这个平行四边形 a、 b、 c、 d， 它的面积面积等于底，乘以高就等于三，乘以四等于一十二。 呃，题目问的是，图中的阴影部分的面积很小，你看这个阴影部分跟这个阴影部分是相等的啊。那么这样呢？ b、 c、 d 呃，就可以成为整个阴影部分面积，所以它就等于整个平行四边面积的一半。刚才说平行四边面积等于一十二，所以它的一半就等于六。 那么 o、 e， a、 o、 o、 f、 c 两个三平对吧？ o， a， a 等于 o、 c 对 吧？内错角相等，内错角相等。哎呀，这很容易证明，我就不多说了。我们看到第四题， 在平行四边 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行于 b、 c。 呦，说错了啊，不是平行四边形在四边形，现在只有 a、 d 平行于 b、 c。 呃，然后 a、 b 等于 c、 d 等于二，那就说它这个等腰梯形了。呃， b、 c 等于五，加 b、 a、 d 的 平行线 b、 a、 d。 好， 看到这里，角一等于角二， 角一等于角二呢？角二等于角三。因为刚才说了上下平行，所以角一等于角三，等角的两边。 b， a 等于 b、 e， 这个就等于二。那么刚才 b、 c 等于五的话， b 这二，那这就三， e、 c 就 等于三， e、 c 等于三。那么这样呢，我们就可以得到什么东西呢？嗯，得到 a、 d。 哎，他说了 a、 e 是 等于 c， 平行于 c、 d， 刚才 a、 d 是 平行于 e、 c、 e， 所以 平行四边形呢？呃，两者对比，分别平行，那么这个梯形的面积，那就可以等于什么东西呢？上底加下底乘以高除以二，梯形的面积。哎，高，写错了啊，高不是这么多。 呃，刚才这个二是幺，那么它的高呢？我们来看到这里，刚才我们说这个 a、 e 啊，应该也等于 c、 d 等于二。哦，那它就是个正三角形了。正三角形 a、 b、 e， 对 吧？呃，那二，这就是一，这就根号三 啊，这就是根号三啊，根号三啊，这个是一，这是根号三啊，所以，那就是八，二分之八就四，所以它就是四，根号三， 它的面积等于四，根号三。我们看到第五题，平四边的对角线交于点啊，平四边交于点的话，我们说对角线互相平分， o、 d 等于 o b， o a 等于 o c。 现在这个 e、 f 是 对角线的 o a、 o c 中的重点。刚才说 o a 等于 o c， 那 么 o f 等于这个 o、 c 的 一半， o e 呢？等于 o a 的 一半，所以 o f 等于 o a。 那 么当然这个对顶角也是相等的， o、 d 是 等于 o b 的。 嗯，那我们就有了三角形 o、 b、 e 前等于三角形 o、 d、 f。 呃，理由，我们可以根据 b a。 角 b a， o， b 等于 o d， 对 吧？角 b o e 等于角 d o f。 呃， o e 等于 o f， 那 么这样呢？我们两个三圈了之后呢？ b， e 就 等于 d f 了？好，这里的基础的证明呢，都难度不大。 好，我们看到下面这个题，身体平行四边形的对角线 a、 c、 b， d 交于点 o， e、 f 经过点 o， 且于相交。好。第一个，我们说证明这个 o、 e 的 o、 f， 那 是很容易的啊，咱们随便找两个三角形的，你比如找这个三角形 b， o、 e。 三角形 b， o e 前等三角形 d、 o、 f 的， 你看这个 o、 b 的 o、 d 的， 呃，这个角 b、 o、 e 等于角，这个 d、 o、 f， 这个角叫做 o， b， e 等于角 o， d、 f。 当然这个角 o、 f， d 等于角 o e， b， 这也是相等的啊，所以你可以可以根据角边角 a、 s a， 其实你根据 a、 a、 s 也是行的，对吧？你根据 a、 a、 s 也是可以的。这两个三角形等的话， o、 e 就 等于 o f 了啊，这，第一个，嗯，这个很容易， 我们来看到第二个，如果这个 a、 d 等于一 b， d， b， d 在 哪里呢？ b、 d 等于二， b， d 等于二，那个 b、 o、 d、 o 也等于一啊，这个 o、 b 也等于一啊，因为这个对角线呢，是互相平分的， a、 c 平分 b， d， b， d 平分 a， c 就是 o， a 等于 o c， o， d 等于 o b。 现在 a、 c 等于二根号，那 o， e 就 等于根号二，哎，这样我们就可以得到 a、 d， o。 三角形 a， d， o， 它就是一个什么东西呢？叫等腰直角三角形等于二 c。 三角形。好，这里就是直角，而且这个角和这个角都是四十五度 啊，角 d o a 角 d a o 等于四十五度。第一个，当角阿尔法是多少度的时候， e f 乘以 a c， e f 要乘以 a c e 角 a o f 等于九十度。刚才我们说角 a、 o d 是 四十五度，所以只要这个角阿尔法等于四十五度就可以了， 对吧？角 alpha 等于四十五度，那么角 a、 o f 不 就是四十五加四十五等于九十度了吗？那第一个还是很容易的。第二个，在一的条件下，现在要求三角形 a、 d、 f 的 周长。 三角形 a d f 周长，那个周长是什么呢？就是 a d 加 d f 加 a f， a d 是 等于一的， d f 加 a f 是 什么呢？ 我们能不能证明 a f 等于这个 f c 呢？而 dc 又等于几呢？ dc 应该等于 ab 啊，那么这个 ab 又等于几呢？ ab， 刚才我们这直角，这边是一，这边是二，那就一的平方加二，平方四开，根号根号五， 也就是说这个 d f 加 f c 就 等于根号五。好，现在我们就要想办法证明 f a 等于 f c。 这里有一个关键的东西，你看到了吗？就是当阿尔法为四十五度的时候，在 e 的 条件下， o a a 等于 o c 直角有一个关键的 啊，就是我们要得到这个 e、 f 啊，是 a c 的 中垂线， 你要没看到它，问题就麻烦多了。你要看到 e、 f 是 a c 的 重叠线，那我们就能够找到重叠线上的点。 f a 等于 f c， f a 等于 f c， 那 么所以 f d 加 f a 等于 f d 加 f c 就是 d， c 就是 ab 就是 根号五，所以它的周长那就是一加根号五。记得点赞关注哦！

你想提高数学成绩吗？免费帮你提高成绩，你还在不乐意啊？八年级数学下册小册的第八十页纸上呢，我们看到第六张的平行四边形， 第一题如图，在平行四边形 a、 b、 c 这种角 b、 a、 d 的 平分线，那么跟着我一起列 b、 a、 d 的 平分线，所以大家做记号，这两角相等 好，加 dc 的 延长线，加什么东西？这就看图了，这里第一个叫做平行四边形，这个叫做平分线好，然后呢， ab 等于四， ad 等于六，好，把它做记好。求 ec， ec 在 哪里呢？哦， ec， ec 在 这啊，求这这这是 ec。 好， 先把图形给我看清楚 好，由于平行四边形呢，这个 a、 d 跟 b、 c 是 既平行又相等的，所以，那我们看到这个角一啊，是等于角二的，角二呢，是等于角三，等角再等边，所以这边等于四， 这边等于四， b、 c 等于这个等于六，所以这个 e、 c 等于二。那么因此第一题写的 d 啊，跟我一起练习对吧？其实很多东西都很简单的，但是考试有的同学，现在有的同学真的是刷到我的都都都不愿意跟着我来看啊， 那这里要记住啊，角平分线对吧，两角相等，两这平内侧角相等，得到角一等于角三，也就得到 a、 b 等于 b、 e 啊，这是个等幺三的题目啊，这样呢，未来我们经常有这种题目的。 第二题，又是角平分线，你看角 b、 c、 d 的 平分线，你看角一等于角二，角一等于角三， 对吧？意味着平行四边形也是平行线，所以角二等于角三，所以 d、 c 等于 d、 e， 那 么说 a、 b 等于意思， a、 b 等于什么意思？一是吧，那么平行四边形 a、 b 是 等于 c、 e、 d 的， 那么刚才角二等于角三的时候， d、 c 是 等于 d、 e 的， 哎，这三边不就成了相等吗？三边的相等，这个角就是六十度，也就说这个 c、 d、 e 是 等边三角形，等边三角，这个角六十度，那么这个平行四边的菱角互补，所以角 a， 那 就是一百二十度。 好，我们得到等边三就行。好，这两边相等是平行四边的对边相等，这两边相等呢，是角一等于角二，角一等于角三，得到角二等于角三等角对等边，对吧？嗯，那么这 ab 等于 c、 e， 那是已知的，对吧？所以这个 c、 d 等于 a， b 等于 c、 e， 这个，这等于这个三边都相等，所以等边三角等边三角形呢，这个就得到六十度。而根据，因为始终这是平行四边形，对吧？所以两边平两组啊，这一组对边平行，同的那角互补，所以这个一百二十度角 比三题还是平行四边啊。 a、 d 垂直于 b、 d 角所得的边呢？斜边一半， 那么 b、 d 等于三，所以 a、 b 就 等于六，对吧？ a、 d 我 们通过勾股定律就等于三根号三，我们就不多说了，那平行四边形的面积就可以等于底垂高，把 a、 d 当做底高就是 b、 d， 哎，就是三根号三乘以三，那就等于九根号三， 对吧，所以这个面积就等于九根号三。平行四边形的面积啊，等于底乘以高，三角形的面积是底乘以高，还要乘个二分之一，因为这个平行四边形就是两个三角形的面积。 第四题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 垂直， bc 于 e， f 垂直于 f， 这垂直了 a， e 比 a， f 等于二分，比三分。 呃，这地方我们要根据什么东西呢？平行四边形的面积啊，可以等于这个 b， c 乘以 a， e， 对 吧？底乘以高，也等于 c， d 乘以什么呢？ af 啊，这个式子我们叫做等级式，有这个等级式，我们就可以变成 a、 e 比 af， 我 们根据外向的积等于内向的积， a、 e 乘以 b， c 等于这个 af 呢？乘以 c、 d， 这个在小学也提到了，虽然我们中学要到后面才学，但是简单呢。呃，这些性质也要知道一些啊。 a、 e 乘以 b， c 等于这个 a、 f 乘以 c、 d。 好， 那就是 a、 e 比 a， f 等于 c， d 比 c、 d 就 等于二分，比三分 好。那么现在我们看到平行四边的周长是五十，零边的和角等于二十五，也就是 ab， 如果我们说这个 ab 等于 cd 等于二 k， 对 吧？ bc 等于 ad 等于三 k， 那 么这样呢？我们就知道，二 k 加三 k 对吧？零点和的两倍等于五十，对吧？二 k 加三 k， 五 k 等于五十 k 等于五好， k 等于五的话，那 ab 就 等于二五一十，所以 ab 就 等于十， ab 等于十， cd 等于十， ad 等于 bc 等于一十五。 好，那么这里我设计了用了一个辅助位的时候 k， 这样呢，可以快速的去解答问题啊，就很简单的了，同时也设计了一个辅助位的时候 k， 这样呢？我们看到第五题， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线交于点， o， a、 c 等于六， b、 d 等于十， a、 b 等于四。求角 b， a、 c 的 度数。我们看到图形在这里啊， 他刚才说这里是个平行四边形 a、 b、 c、 d。 然后呢？ a、 c 等于六的话， o， a， o， c 就 等于三， b， d 等于十， o， b， o， d 就 等于五。由于这个 a、 b 等于四，根据三的平方加四的平方啊，等于九，加一十六等于二十五，刚好等于 o， b 的 平方。根据勾股定律，逆定律，我们得到角 b， a、 c 就是 九十度。 好，第一个，我们得到角， b， a、 c 等于九十度。好，具体的步骤我没有写，我这个口袋儿说了一遍，那么这个第二个呢？这个面积 s 平行四边形 a， b， c、 d 就 等于底乘以高就等于 a， b 乘以什么呢？ a， c， a， b 是 几呢？ a、 b 是 四， a， c 是 六，四六二十四。好呃，这都是比较简单一点的呃，练熟了，熟能生巧，考试呢？呃，即使拿不到满分，也可以得到比较高的分数，记得点赞关注哦。

中学生想提高成绩吗？请跟我来八年级数学下册课本一百五十八页。我们看到第六题， 以至于图点 o 是 平行四边形对角线的终点， b、 d 的 终点。我们说平行四边形呢，是中心对称图形对角线互相平分，也就是 o 是 b、 d 的 终点， o 肯定也是 a、 c 的 终点 啊。当然这题 a、 c 没连起来啊，我们看的就是我们这里的已知条件，我们告诉了什么东西呢？告诉了第一个平行四边形，第二个告诉中点过点 o 的 直线交这个 b， a， d， c 延长线，这，这个就看图，关键这题的已知点还是平行四边形中点 有了平行四边形，我们就有了 a b 平行于 cd。 有 两直线，平行就有内错角相等，角一等于角，二 有 o 是 中点，那就有了 o， b 等于 o d。 当然呢，这里它们直线的交于点过点，所以这个角 a b o e 等于角 d o f 嗯，这两个角相等， 这两个角相等。很显然，你看一角边角角边角这两个三角形 b o、 e 是 前等于三角形，叫 d o f。 理由， a s a a s a 那么这样的两个三角形切等，那我们就知道了， b e 等于 d f 吧， b e 等于 d f。 当然还有这个 o e 等于 o f。 哎， o b 等于 o d 呢，刚才我们就说了好，呃，由于这个 ab 呢，是等于 cd 的， 对吧？ ab 平行四边形的这个对边是相等的， ab 是 等于 cd 的， 那么这样呢？ b e 解 ab 等于这个 d， f 解这个 cd， 所以 a e 等于 c f， a e 等于 c f， 它具体的证明过程我就没有写。那么第二个说，你还能在图上找出哪些相等的线段？你看刚才我写了 o e 等于 o f， 是 不？刚才写了 b、 e 等于 df， 是 不？我们当然还可以得到。你比如说这个 a g 等于 c h， 比如我们还给他 a g 等于 c h。 呃，那哪来 a g 等于 c h 呢？我们还可以证明三角形 a、 g、 e、 c、 h、 f 两个三七呢。那么刚才我们得到 a、 e 等于这个 c、 f 的 时候，你看这个角是不是等于这个角的， 对吧？那么我们说平行四边形的对角相等角 b、 a、 d 等于角 d、 c、 b， 而根据等角的补角相等，这两个互补，这两互补，所以这两个角相等啊。当然呢，两只线 a、 b 平行于 c、 d， 角 e 是 不是也等于角 f 呢？ 当然了，你说这个角等于这零角，这个角等于内错角，内错角等于这零角，所以这两个角线呢？哎，也就是说，每个同学的证明方法不一定是一样的。总之，我们可以得到这个三角形 a、 g、 e， 如三角 c、 h、 f 两三七呢。当然呢，我们也可以得到三角形 o、 d、 g、 e 与 o b、 h 两三角形圈呢。所以，当然也有这个 o、 g 的 o、 h， 有 这个，当然也有这个 d、 g 的 b、 h。 哎，总之很多很多吧。哎呀，到底有多少，我也没理清楚啊。呃，大家知道能够找很多就行了。好吧，蒙了，第七题 是不是要全部都找出来？大家有时间全部找出来？那这里我没有时间跟大家说的第七题。平四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，若直线 m 经过点 b， 点 d， 那 么他就将平行四边分成形状大小完全相同的两个部分。这两部分我们说他们是全等的 啊，这个两个三角形，三角形 a、 b、 d 与 c、 d b 的 a、 b 是 等于 c、 d 的。 对，这个内错角等于这个内错角，这个内错角等于这个内错角，对吧？根据这个，当然了你根据这个共边也行，反正你就这两个三角形呢，是很容易正的。 那这两个三角形呢，它的周长相等，面积也相等，那么就是把其中的一个三角形可以转到另外一个三角形上去，让哪转呢？让 b 的 中点呢？ b 的 中点其实也是 a、 c 的 中点 啊， b 的 中点其实也是 a、 c 的 中点，也就是这个 b、 d 和 a、 c 的 中点 o 就是 它的这个对称中心。平行四边形 abc 是 中心对称图形， 那么他说现在叫我们请再画出一条具有这样作用的直线，就是说一条直线把这个平行四边呢分成完全相等的两个部分。当然刚才分成的三角形，其实你能看到，我们过这里我们分成的，你看到这个叫做 a、 b、 e f 和 c d f e 这两部分呢，它属于四边形。这两个四边形呢，也是呃形状大小完全相同的全等的图形，那么这样他具备什么特征呢？我们说啊，他们都经过 平行四边形 a、 b、 c、 d 对 角线的交点，对角线交点，因为平行四边形是中心对称图形。二、要注意，平行四边形是中心对称图形， 所以你始终要记住这个内容，那么也就是图形的一部分 绕对称中心，也就是对角线的交点。不管顺时针还是逆时针，只要斜了一百八十度，都与另一部分重合， 而另一部分重合，所以另一部分重合，也就两部分的形状大小完全相同，面积相等，所以这里具备什么特征呢？他就是都要经过，就是这节线的交点，所以我们这样过这节线的交点，随便画一条直线，所以这样可以画无数条啊，这样可以画无数条这样的直线。 好，所以这个平行四边呢，中线对等图形的这种性质啊，过这个对等中线的任何一点的直线，都将它分成两个全等的图形，但不一定是三角形啊，也或者是四边形，刚过这节线的顶点的话，是三角形。我们的第八题， 这把呢，在前面我们已经证明了啊，这就叫等腰梯形的两个底角相等。好，这里告诉 ab 平行 c， d 啊， a， d 平行 bc。 哦，这个这上下平行，然后呢，这两个相等。好，那么这两项呢？我们由这个平行，我们可以过点 a 做， 比如做 a， e 平行于这个做 a， e 平行于 c， d 加 bc， 如 e， 对吧？则由于 a、 d 平行 b、 c， 我 们就得到平行四边形 a， e， c、 d。 那 么平行四边 a， e， c、 d， 我 们就得到这个角一等于角 c。 还有呢，这个 a， e 啊，也等于 d c。 平行四边形的对边相等的，已知 a， b 等于 c， d， 所以 a， e 等于 角角 b 就 等于这个角 e， 角 e， 所以 角 b 等于角 c。 好， 大家不知道是否听懂了，把它背下来 啊，那么还有我这里所抄的平行四边的定义，它的性质，呃，特别这个等压梯形的两压相呢，同一底下的两个角相等，下一节我们再讲它的判定。好，这些是后面要背下来的内容，记得点赞关注哦！