高考新宠三角函数题型
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05:29查看AI文稿AI文稿好，来看我们这个式子，这个的话， a 是 算几的，各位，他没有 a， 没有，那算一的了，所以算一乘以三 x， 那 同角的啊，然后扩三音呢？ x 了哈，然后再干嘛？然后 b 算几？ b 也算一吧，没有我们就算一了。好，来，我们套入这公式，是不是应该等于根号下 a 的 平方？三音前面的是 a， 就是 一的平方，加上扩三音，前面的是 b， 这个是 ab 的 位置啊，所以 b 的 平方， 对吧？那就一的平方还是四个乘以什么？三音阿尔法，那么阿尔法指的是？就是说前面是什么角，你就抄什么角嘛，这是 x 嘛，我们抄 x， 然后加什么呢？加 five， 加 five 啊，这个，这个念 five 啊， five 啊，这个 five 是 什么意思呢？这有个公式叫做 tan， 加到 five 等于 a 分 之 b。 这道题，我们 a 是 几？ a 是 一， b 也是几？ d 也是一，一分之一等于一。好，那么它加 far 的 一分之一等于一。各位，我们背过什么角？它加等于一的， 我们背过什么等于一的？大家呢？我们背过四十五度，对不对？好，所以 far 呢？等于四十五度等于四分之 pi， 所以 说加 far， 把 far 带进来，四分之 pi， 最后等一段根号二倍的三音 x 加四分之八，结束。好，我再问你，这个函数的 最大值是几啊？是根号二，因为后面这个三永远正负一的呢，最大值呢？负根号二就可以了。那就这么一个公式的一个使用，这叫正，这，这叫做什么？转化成正弦型函数的一个辅助角公式 啊，等它的正弦形式余弦我们不学好，再给各位举个例子啊，那么有些同学学校里呢，可能是这么教的啊，就是我们可以把这个一怎么样，就这个一嘛，我们是可以处理的。处理成什么呢？就是根号二乘以二分之根号二 可不可以啊？可以的啊，然后呢，这个二分之根号二是不等于三阴四十五度， 这个呢，扩散因子四十五度，这样子，根号是有的，然后呢，把根号提出来，然后后面这个是不是 s c c s 用和查找公式刚好是 x 叉四分之一块， s c c s 正好是这个， 这也是一个方法，但我们一般情况下，有了这公式之后呢，就不再会用这个方，因为这个方法呢，它有一个问题在于凑数，你凑不对，有时候 你这个一是要拆成根号二乘二分之根号二的二分之根号二用三音括号音四十五度去代替它，有种配错的感觉，但是你是配不好的，所以我们直接用这公式就完事了，所以这公式一定要学会，一定要学会，叫辅助加公式非常重要。好，再给你们举个例子啊，同样，我们针对这个题目， 再给他再来一个 y 等于三倍的三 x 加上四倍的 cos 三 x 啊， 负四好了。好吧，来怎么化解等于根号下来什么？ a 的 平方是不是三六零九，加上 b， 这个 b 是 几个位？这个 b 是 负四，我们 ab 倒算负号的，那是不是负四啊？负四平方是不是十六十六，然后乘以三多少 x 照抄就好的。照抄加 f， f 怎么说来 f 它加了 f 等于 a 分 之 b， a 是 几， a 是 三， b 是 几啊？负四 好。呃，它的 f 等于负三分之四，你有没有背过什么？加等于负三分之四， 你们背过背过吗？好像没有好，没有的情况下， f 就 不可算，就无法计算，你就写 f， 你 就写一个这个 f 就 好了，没关系的啊，不会扣你分的。那么最后根号下二十五就是五倍的三音 x 加反就好了，所以它的值是五，这样子就负五嘛，这样就看得出来了，这样值了，这样值了，看得出来了。好，就这么一个用法，两种情况，两个情况，一个情况，犯能求咱就求，不能求咱就不求，是这样子的。 好了，这就是辅助角公式的一个使用啊，再给你们举个例子好了啊， y 等于，嗯，要凑一个，凑一个什么呢？ 三 x 加根号三倍的 cos 等于多少？合并一下啊。首先确定好这个形式啊，同一个角的正余弦就好的了。 同一个角的是不是 x， x 的 三角三呀，是不是相加相减都可以的？那么等于根号下来，根号下什么？这个是不是一？默认是一的吧，就一的平方加这个数，根号三啊，根号三的话是啥？ 平方一下是不是三三，然后配上三音这个 x x 叉 x， 然后加 f， 这个 f 怎么算呢？这个 f 是 什么？ a 分 之 b 啊， a 分 之 b， a 是 减， a 是 一， b 是 根号三，等于根号三，它占了 f 来了，请问 f 点多少度？各位， 它加到等于多少？三六十度对不对？好，恭喜你，三分之派写这个弧度值啊，不要写角度结束。
157小铭的课堂
00:44查看AI文稿AI文稿这种题只需要背几个公式，直接描三幺法等于 y 比 r， 括号等于 x 比 r， 然后 r 是 什么？ r 等于根号下 x 平方加 y 平方，然后坐标 x y 你 知道这些直接套 就秒了啊。所以 y 等于一 r 呢？ r 算一下一比根号三比二呢啊，不是二吗？是不是二分之一直接拿下选 boy 选项啊？这里的 x 是 负根号三， 负根号，负根号三比上我们的 r， 一 样的一比根号三比二， r 等于二，所以负二分之根号三直接拿下选 c 啊。自己试一下这里选什么。
834中职数学小郑老师
03:19查看AI文稿AI文稿三角函数的取值范围到现在还不会，只有一个问题，就是你的方法不对，我，所以我一直给大家讲，高中啊，他非常吃师资，来吧，我们来看这道题，我能不能给大家讲明白啊？以及 omega 大 零曲线，一曲线二三个相邻的交点构成一个直角三角形，他问你 omega 取多少？ 这种题哈，在做的时候他一定是竖形结合的方法。来，我们来看啊，相邻的三个焦点，那第一个焦点在哪里？哎？第一个焦点，第二个交，第三个交，所以在三个焦点里边的话，要构成一个什么呀？直角三角形，这个直角三角形特殊吗？我们来看一下啊， 这个 ab 和这个 bc 一定是什么？它满足等腰，所以如果出直角，只可能这个位置是直角，所以在这里边的角度问题，我们怎么去转化？角度问题的话，我们往点坐标去转化，也就什么意思？转化成为数量级，向量的数量级。为啥？因为三角函数的点坐标非常容易求解，来看一下啊， 来，我们来求求这里边的点坐标，那它俩相交，那相当于什么？相当于在这里边 cosine omega x 等于一个 cosine omega x 减去一个三分之 pi， 它俩相等。我们说 cosine alpha 等于 cosine beta， 它俩相等。第一种情况它俩是什么关系？相等关系。第二种的话，它俩是什么相加？等于二 pi， 所以的话它俩相等。很显然不可能，因为它有平移是不是？所以在这里边我可以得到 omega x 加上 omega x 减三分之 pi 等于谁？等于二 k pi， 那 么这一部分可以用右导公式，所以在这里边的话，它俩合并起来二 omega x 是 不是相当于可以解出来 x 是不是把它移过来？三分之 pi 除个二，所以六分之 pi 加上一个 omega 分 之 k pi 好， 拿到这个位置之后，相当于求的是 a， b， c， d， e， f 等等，就是焦点的横坐标，那在这里边焦点的横坐标点 a， 点 b， 点 c， 具体能结吗？能结我们来看一下啊。 如果在这里边儿我令 k 取零，那么这个时候的话，我们把它起成为点 a， 当 k 取零的时候，点 a 的 坐标定的是六分之 pi 啊，这个位置漏了一个 omega 六 omega 分 子 pi， 所以 六 omega 分 子 pi 把它带进去，相当于口。在六分之 pi 定多少 二分之根号三，好，这是点 a 的 坐标，那接下来我们来看点 b 的 坐标，点 b 的 坐标的话，可以继续赋值，这里边 k 零。接下来的话，我们让 k 一， 所以它对的是六 omega pi 分 之 加上一个 omega 分 之 pi 逗号，它取二分之根号三，往下走取多少？负的二分之根号三，那么同理，当 k 取零， k 一 k 二的时候，我可以求出来点 c 的 坐标，把它带进去，把它带进去相当于是六 omega 分 之 pi 加上一个 omega 分 之二 pi 逗号在上方。二分之根号三。那么 a， b， c 三点求出来之后，它要的是直角三角形，直角三角形数量级， 所以在这里边向量 b， a 点成一个向量 b， c 等于谁？零，向量点坐标是不是有了，把它带进去就知道答案算成的话就是 omega 的 取值，所以 omega 大家自己算啊，算成是三分之根号三等号，把这个点坐标往这里边带，就是求的答案，计算问题教给大家来解决， 所以这种题下次遇到的时候竖形结合，竖形结合是三角函数里边非常好的方法，为什么？因为我们在学三角函数的正弦与弦正确的所有的性质都是从图像里边出来的，所以下次遇到角度转，绳转，那转数量极，那么这一部分也是圆锥曲线的套路。
556张老师讲数学思维
03:01查看AI文稿AI文稿二六高考三角函数送分题是谁还不会？今天显哥带你做最后的查缺补漏，把整体代换诱导公式的用法再巩固一遍，高考遇到同类型的题，一眼就能出答案。我已加入抖音精选高考应援联盟，我为全体高考生精选了一道题，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟持续追更。 在直角坐标系当中，角二法的顶点在坐标原点，使边与 a 轴非负半轴综合。其实我读完这句话我就想到，嗯，这难道是考三角函数的定义啊？ 三角函数的定义不就是使边中边吗？三二法是 y 比二，考三二法是 x 比二，对不对？当二元，然后角二法按逆时针旋转六分之派，然后到达了第二项线。咱们假设这个地方是角二法，然后呢，旋转了六分之派，到达了这个地方，也就说这个地方是六分之派。 好，那么这个终点呢？他就是负的五分之三，然后五分之四啊，你看这道题考什么？当然这个中边是哪个角的中边呢？就应该是二法，这个就应该是二法加六分之派的中边。也就是说肾二法加六分之派等于个 呃， y 比二，就应该是五分之四。考肾二法加上一个六分之派，就应该等于 x 比二，就等于负的五分之三。所以这道题考的第一个第一个定义，他又让我求肾二二法减去个六分之派等于几？所以这道题考什么？ 考到了啥？嗯，凑脚。那我问大家个问题，其实这道题考的挺好的，那问大家一个问题，浙江是一个肾，我，你觉得我是凑脚还是？ 其实就看你是高手还是低手了，反正我是高手，我看的很透。也就说这道题我先想一个诱导公式， 你知道为什么我想一个诱导公式吗？因为诱导公式的话，假设我们不直接凑就是，什么意思呢？也就说二法加上一个三分之派，减去个二分之派，我凑成一个考甚。 谁知道我为什么要凑成一个考甚有关，只和甚，或者是只和考甚有关系啊， 所以我凑成一个，它这个地方和二分之派有关，二分之派有关，函数名就变，就应该是考甚。阿尔法加上一个三分之派。符号看象限，我把这个角想成锐角，锐角减九十度，第四象限考甚是负的，所以加个符号， 然后呢？再考一个负的符号，两倍的考甚方，正好是阿尔法加上一个六分之派，然后减个一， 所以就应该等于一减去两倍的考生方就应该是二十五分之九，等于到一减去二十五分之二九，一十八等于二十五分之七。所以这道题考的非常的好。 选 a， 先想着诱导公式，然后再来一个二维角公式，当然你也可以直接凑啊，一凑到底没有问题，一样的条条大到通罗马。好，所以这道题考的一个凑角。
2636数学赵礼显
04:09查看AI文稿AI文稿今天讲一个高考固定题型，给正切合击求两角和正弦余弦的母题。我们来看一下这道二十四年的真题， 他说已知阿尔法为第一项线段，比特为第三项线段，弹进的阿尔法加上弹进的比特等于四，弹进的阿尔法乘以弹进的比特等于根号二加一，则塞因阿尔法加塞因比特等于多少？这类题型是考过好多年的经典题型， 然后在这些套卷里全都考过一模一样结构的题。感兴趣的同学听完这道题之后，可以自己去找这四道真题去练一下。那咱们来正式解这道题。 第一步的话，咱们先识别题型，看到题干中给了正切的核和正切的基，就是这类题的信号了。我们第一步的话直接套两角核的正确公式，那我们先来回忆一下两角核的正确公式是什么？是不是弹进它阿尔法加上比特等于弹进它阿尔法加上一个 弹进它被它比上一减去，弹进它 r 乘以弹进它被它那 ok 题目中给了弹进它 r 加弹进的被它等于四，弹进它 r 乘弹进被它等于根号二加一，那我们直接代入就是 四比上一减去根号二减一就等于负的二倍根号二。那我们现在知道了两角和的正切值，接下来我们就根据同角关系列方程，然后解方程，那我们知道 弹进它阿尔法加上弹进它贝特，它是不是等于塞耶阿尔法加上贝特比上 口塞耶阿尔法加上贝特。上一步我们求出来它是等于负的二倍根号二。所以我们就有了第一个方程，塞耶阿尔法加上贝特等于负的二倍的根号二，乘以一个口，塞耶 r 加上 b 的。 然后根据三角函数最核心的平方关系，我们能知道 sine 方 r 加 b 的 加上 cosine 方 r 加 b 的是等于一的，我们直接把正弦代入，我们能得到负的二倍根号二的。 cosine r 加 b 的 平方加上 cosine 方 r 加 b 的 等于一。那现在我们就直接能解出 cosine 阿尔法加上比特是不是等于正负三分之一，算出这样的一个结果，那到底是取正还是取负呢？我们题目中还有条件没有用，就是阿尔法为第一象限角，比特为第三象限角这个事，那阿尔法为第一象限角，也就是说阿尔法它是得大于 二 k 派，小于二 k 派加上二分之派的 k 是 属于 z 的， 那 beta 为第三象限角，也就是说 beta 它得大于二 m 派吧。然后加派小于二 m 派加上二分之三派， m 也是属于 z 的。 我们把这两个式子相加，我们就能知道，阿尔法加上比特，它是大于二倍的 k 加上 m pi 加 pi， 小 于二倍的 k 加 m pi 加上二 pi。 简单点说就是阿尔法加比特，它得落在 pi 跟二分之 pi 之间，也就是只能在第三象限或者是第四象限， 绝对不能在第一第二项线。然后我们之前要算出了弹性的 r 加倍特等于负的二倍根号二，根据我们背过的口诀，一全正，二正弦，三正切，四余弦的话，只有第二和第四项弦呢？正切是负数，所以综合一下这两个条件， r 加倍特角只能落在第四项线，第四项线只有余弦是正的，所以 cosine r 加上倍特，它就只能等于三分之一，那我们现在知道弹性的 r 加倍特，知道 cosine r 加倍特，那 cosine r 加倍特是不是等于 cosine 加 sine 乘以弹性的 sine 加 sine 就 等于三分之一，乘以负的二倍根号二，直接我们就能计算出 sine， sine 加 sine 就 等于负的三分之二倍的根号二。最后咱们总结一下这类题型固定的三个步骤，第一步看到正切和正切基的时候，直接套两角和的正切公式。 第二步的话连立平方关系解方程。第三步就是根据题中给到的条件，判断出角的范围，舍去多余的那个符号。那这道题咱们就讲到这里，如果同学们觉得有所收获，关注一下老师，咱们一起解锁更多的高中数学解题方法。
121爽哥高中数学
03:28查看AI文稿AI文稿大家好，我们看一下这道压轴题。在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于一，满足这个等式，求三角形 a、 b、 c 面积的最大值，那么我们就要充分的利用这两个条件进行求解。我首先对这个复杂的式子 进行化简，这里面有很多的正弦，我通过正弦定理， a 除以三， a 等于 b 除以三， b 等于 c 除以三， c 等于二二，因此这个式子就化简成 a 方加 b 方等于 c， a， b 乘以 q 三 c， 那 么 q 三 c 就 等于 a 方加 b 方除以四倍的 a 乘 b。 我们求的是面积的最大值，而 s 它可以写成二分之一， a 乘以 b， 再乘以 c， 这里面有 c 乘，还有 a 乘 b， 我 能不能用角 c 的 式子来表达这里的 a 乘 b， 进而求出 s 的 最大值， 那么我们就要根据这个等式进行变形。口算 c 等于 a 方加 b 方，除以四倍的 a 乘 b， 这里面有 a 乘 b， 还有角 c 的 式子，但是这里的 a 方加 b 方是没有用的， 我应该把 a 方加 b 方进行替换，但是怎么替换呢？我们采用余弦定律，根据余弦定律，口算 c 还等于 a 方加 b 方，减去 c 的 平方，再除以二倍的 a 乘 b， 我把这里的 a 方加 b 方，用 c a， b 乘以 cosine c 进行替换，因此这个位置就写成了 c a， b 乘以 cosine c。 我 把这个式子 拆成两项，第一项是二倍的 cosine c， 第二项是 e 除以二倍的 a 乘 b。 这个地方为什么是 e 呢？因为 ab 的 长等于 ab 的 长，其实就是边长 c， 所以这个位置写成了一，所以口算 c 等于二倍的口算 c 减去一，除以二倍的 a 乘 b， 那 么 a 乘 b 等于一除以二乘以口算 c。 现在我们得到了 a 乘 b 与角 c 的 等式关系，因此我把这里的 a 乘 b 进行替换， a 乘 b 就 采用了一除以二倍的 cosine c 经替换 cosine c 除以 cosine c 等于弹力的 c， 所以 s 等于四分之一乘以弹力的 c。 要想求出面积的最大值，我只需要求出弹力的 c 的 最大值就可以了，因此我只需要求出角 c 的 最大值就可以了。 因为角 c 它属于零到二分之派。为什么属于零到二分之派？我们看其干中的这个式子，塞 a 的 平方加上塞 b 的 平方，一定是大而零的，塞 a 乘以塞 b 也一定大而零的，因此口塞 c 也一定是大而零的，所以角 c， 它一定属于零到二分之派， 所以弹性的 c 它一定是大而零的。那么弹性的最大值应该怎么求减呢？我们根据口塞 c， q c 等于 a 方加 b 方。除以四倍的 a 乘 b， 我 们采用均值不等式， a 方加 b 方，它大于等于二倍的高下， a 的 平方乘以 b 的 平方，我们对这个式竟约分，所以 q c 大 于等于二分之一等，而成立条件就是 a 等于 b， 我 们知道 y 等于 q c， x 在 零到二分之派上，它是单调递减的，因此角 c 的 最大值为三分之派，也就是六十度。 角 c 的 最大值我们清楚了，那么弹力 c 的 最大值就是三，就是弹力的三指派，也就是肛二、三，所以 s 的 最大值就是四文指肛二三。点个关注，我们下期见。
138小赵解高中数学
06:32查看AI文稿AI文稿欢迎来到数学奥林匹克小童书高中小蓝本系列三角函数的学习课程，我是主讲人朱成建老师，今天讲解的是三角函数图像与性质相关题型。第二十六题，求正整数 k 使 f x 的 值不依赖于 x， 此时 f x 应该为一个常数，我们令 x 等于零，求出 f 零应该等于零，因此 f x 等于零。 我们观察到题目里面有很多 k， 因此我们取 x 等于 k 分 之派。 f k 分 之派就应该等于负的 cosi 派分之派的 case 米减去 cosi 派分之二派的 case 米。 接下来分情况讨论。第一种情况，我们认为 k 是 一个偶数式，那么当 两个数的偶数次幂相加等于零时，我们可以认为这两个数 都等于零。因此 cosine 开分之拍就等于 cosine 开分之二拍 等于零。 k 分 之拍与 k 分 之二拍，我们观察到它是二倍的关系。因此我们根据 函数图像的性质，我们可以想到，当 k 分 之拍 等于 n 派，也就是说派分之派等于 n 派， n 是 一个正整数时，此时 上市成立，那么我们可以找到 n 派，我们可以找到令派分之派等于 n 派吗？显然不可以， 因为那此时的话， k 应该等于二分之一、三分之一或四分之一之类的分数。而题目里面明确规定了 k 是 一个正整数，因此不可以。 k 等于一也可以，但是我们前面已经规定了 k 是 一个偶数，因此也不可以，所以说此时 k 无解。 接下来我们来讨论第二种情况。 k 是 一种基数的时候，当 k 是， 当 k 是 基数的时候， 此时负的 cosine， cosine 分 之 pi 的 cosine 就 等于 cosine， cosine 分 之二 pi 的 cosine。 我可以将两边同时开 cos 方根，我们可以得到 cosine 负的 cosine cosine 分 之 pi 就 等于 cosine cosine 分 之二 pi 就是 说这两个函数分别是相反数的关系，那么我们根据 r 是 根据函数图像二图像的性质。 当两个函数值互为相反数时，我们可以得到这样的关系，我们可以得到 二 pi 比 k 应该等于正负 pi 减 pi 分 之 pi。 同时，因为三角函数具有周期性，我可以在一边同时加上二 n pi 的 周期， 那么我将式子进行化简，就可以得到 k。 分 之 k 应该等于 k， 分 之一应该等于二 n 减一 或 k 分 之三该等于二 n 加一可以得到 k 应该等于二 n 减一分之一或 二 n 加 e 分 之三 sorry， 这个地方是一，这个地方是加一。因此 我们将 n 代入计算可以得到。当它符合提 e， 也就是说 k 是 一个正整数基数时， k 有 两个解一或三。 而当我们将 k 等于一带入式子后，我们会发现， f x 应该等于 f x 应该等于 sine x 的 平方 加 cosine x 的 平方 减， cosine 二 x 变成了一减 cosine 二 x。 此时 f x 不 再是一个常数零，因此不符合题意。所以说 k 等于三。因此这道题的答案就是 k 等于三。这道题就讲到这里，再见。
25Stephen
04:33查看AI文稿AI文稿什么？这是什么？他好热啊！新高考新宠小场面！不要怕，今天主播来告诉你他的证明过程以及适用题型。今天讲解一下新高考三角函数中的一个高频二级结论，常用于解三角形的边角互换。 a 方减 b 方比上 c 方等于算 a 减 b 比上算 c。 接下来咱们证明一下。算 a 减 b 比上散 c。 利用两角和差公式把分子打开，那就是散 a 乘以勾散 b 减去勾散 a 乘以散 b 比上散 c。 由正弦定底可得。 根据边角互画散 a、 散 b 散 c 画成边， a 比扣散 b 减去 b 比扣散 a 比上比上 c。 再根据余弦定理， a 乘以二 a， c 分 之 a 方加 c 方减 b 方减去 b 乘以 q 三 a 可以 写成二 b， c 分 之 b 方加 c 方减 a 方 比上 c。 多化解得这个高频的二级公式。适用条件，对于任意的三角形，在解三角形的边角互换、求角度、求边长，判断三角形的形状中非常好用。 接下来运用这个公式快速秒杀高考真题。看真题， 在三角形 a、 b、 c 中，角 a 角、 b 角 c 对 边分别为 a、 b、 c， 且 a 方减 b 方比 c 方等于二分之根号二，散 c 等于一。第一问，求散 a 减 b 的 值秒杀解法， 根据二极公式，直接等于二分之根号三，而散 c， 又已知散 c 为一， 所以算 a 减 b 直接秒杀，就为二分之根号三。 第二问，若 c 得二，求三角形面积，或 a 方减 b 方比 c 方是等于二分之根号三的， c 得二， 那么就有，所以有 a 方减 b 方比上四等于二分之根号三， a 方减 b 方等于二倍，根号三。 又因为三 c 得一，所以 c 为二分之派， 那么三角形就为二 t 三角形。所以有 a 方加 b 方等于 c 方， c 方得四，这是一式，这是二式。一加二得 a 方等于二加根号三。 一减二得 b 方等于二减根号三。 要求三角形面积，三角形面积等于二分之一。两直角边相乘，也就是二分之一。 ab 知道 a 方， b 方求 a b， a b 等于根号下， a 方乘 b 方，那么也就是二加根号三乘以二减根号三，再看根号， 也就等于二方减去根号三的平方等于一，那面积就为二分之一。你学会了吗？
473平泉单招数学大王
09:56查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到数学奥林匹克小童书高中小蓝本系列三角函数的学习课程。我是助教人朱长健老师今天讲解的是三角函数图像与性质相关系列题。第二十三题， 求函数 f theta f theta 如下所示，在零到二分之 pi 上的最大值。那么我们首先将 f theta 进行化减，它应该等于 cosine 二分之 theta 乘以 二倍的 cosine 二分之 theta 乘以 cosine 二分之 theta， 那 么它应该等于二倍的 sin 二分之 t 乘以 cosine 二分之 t 它的 平方。然后 f theta 化简完成，我要向大家介绍一个 方程。我们都知道 a 乘以 b 小 于等于二分之 a 加 b 的 平方，当且仅当 a 等于 b 时取等号，那么下面我要对这个方程进行扩展。 扩展之后我们会得到 a 乘 b 乘 c， 它会小于等于三分之 a 加 b 加 c 括起来的三次密当且仅当 a 等于 b 等于 c 时取等号。那么现在我们可以通过这个新的规律来解决这道问题， 仍然可以将它 写作根号。二乘以根号下二倍 sine 二分之 theta 的 平方乘以 cosine 二分之 theta 的 平方再乘以 cosine 二分之 theta 的 平方。那么这个位置我们就有了三个依次相乘的线。 接下来对根号内的这个整体，我们可以单独拿出来 二倍 sine c 二分之 data 乘以 cosine 二分之 data 的 平方乘以 cosine 二分之 data 的 平方会小于等于小于等于多少呢？ 显然，三分之二倍 sine theta 的 平方 cosine 二分之 theta 的 平方加 cosine 二分之 theta 的 平方 加 cosine 二分之 theta 的 平方扩起来 反的反次方，当且仅当 a 等于 b 等于 c 时取等号，那么 b 和 c 都是 cosine 二分之 d 的 平方，你就不必计算了。所以说应该是二倍的 sin 二分之 zeta 的 平方等于 cosine 二分之 zeta 的 平方十，那么此时 zeta 等于多少呢？ 我们可以求出 zeta 应该等于 arc tangent 二分之根号二， 此时 theta 应该等于 argent 二分之根号二。此时呢，我们可以求出右半边应该等于 三分之二的三次幂。因此 f theta 可以 写作小于等于 三分之二的三次幂开根号，那就是二分之三次幂乘以根号二。最后答案应该写作九分之四倍根号三。 所以 f theta 小 于等于九分之四倍根号三，那么 f theta 的 最大值 就应该等于九分之四倍根号三。当且仅当 theta 等于 arc tangent 二分之根号二时成立。 下面我们看第二，那么接着我们来看第二道题。 j theta 等于化简，可以写作 theta 二分之 theta 乘以一减 theta 二倍的 theta 二分之 theta 的 平方。 那么同样的，根据前面的方法，首先加一个根号，然后将这些部分全部写进根号内，那么就可以得到 sine 二分之 theta 的 平方 乘以一减二倍的三 a c 二分之 z， 它再乘以一减二倍的三 a c 二分之 z， 它 再补一个系数四。前面提出二分之一，那么将根号内的部分单独拿出四倍的 sine 二分之 theta 乘以一减二倍的 sine 二分之 theta 乘以一减二倍的 sine 二分之 theta 要小于等于，显然应该小于等于三分之四倍 sine 二分之 theta 加一减二倍 sine 二分之，它加一减二倍 sine 二分之它 开根的三次幂。之所以要在这个地方补一个系数四，就是为了在这个地方前面有一个四倍的 sine 二分之 theta 的 平方正好可以把后面 减二倍的减二倍的正好可以抵消掉。所以这个东西它就应该等于 三分之一的 三分之二倍的。 thanks me！ 那么当四倍 sine 二分之 theta 的 平方等于一减二倍的 sine 二分之 theta 的 平方，也就是 theta 等于 arc sine 六分之根六时，可以取等号。此时我们可以写 f z 等于二分之一倍的根号。下 四倍 sin 二分之 c， 它的平方乘以一减二倍 sin a c 二分之 c， 它乘以一减二倍 sin a c 二分之 c， 它的平方 它应该小于等于三分之二倍的三次幂。开根号除以二，前面再乘二分之一， 可以得到它是九分之根号六。所以 f theta 小 于等于九分之根号六， f theta 的 大值即为 九分之根号六。当前仅当 theta 等于 arc sine 六分之根号六时， f theta 取最大值。这道题就讲到这里，再见。
20Stephen
04:31查看AI文稿AI文稿hello， 大家，今天我们来看一道三角函数中求 omega 取值范围的题目，一般这种题给了我们零点个数，要求 omega 取值范围，我们搞定图像就 ok 了。但是这个题你看它给的解析式六次不太好处理，所以首先我们是不是可以考虑给解析式 进行降密？降密的时候大家看这个六次的东西，这个玩意是不是可以给它当成谁的平方的三次方，后面统一加上谁的平方的三次方，然后减一照抄就好了，那它就会变成一个三次加三次的形式。这里老师给大家补充一个立方和公 式， a 的 三次加 b 的 三次，它就等于它俩相加，再乘以 a 方减 ab 加 b 方。我们现在就可以把那个三以六次当成三以平方 三次， cosine 六次当成 cosine 平方三次，那它就会得到一个这样子的形式。得到这样子的形式之后，我们给它套进公式，等于 sine 方 omega 加 cosine 方 omega x 以及再乘平方 sine omega x 平方的平方应该是四次方，减去平方乘平方， 再加上 cosine 平方的平方应该是 cosine 的 四次方后减一。不要忘了，那这个式子我们就写成了这样。再来观察这个蓝色部分的平方加平方，它实际上是谁同角公式方加方就是一喽，所以整体前面就是一， 剩下谁剩下四次减两次相乘，再加四次减一。这个时候我们再来看后面这一长条，它能不能再降密了，它再降密，我四再降，它会降成二次。想一下能不能凑成一个完全平方的形式。如果老师把这个东西给你改写成假如说我 a 等于散方， b 等于 cos 方 方，那现在呢？它就会乘 a 方减 a， b 加 b 方。我们又知道，因为外方加扣方是等于常数一的， a 加 b 是 等一的，所以我们往 a 加 b 的 方向努力，现在给它配凑成 a 加 b 的 完全平 方。接下来本来是减 a b， 后面要保持等号成立，我们后面多减三 a b 好， 从这样之后我们把它套进去，它这个式子就会整理出来。三、 a b 好， 从这样之后我们把它这个式子就会整理出来。三、 a b 加 cosine 方，然后括号方减三倍的，它俩相乘，再方乘 cosine 方， 照抄减一，这个不要忘，接下来请大家再来看同角公式。方等于，所以最后只剩下它带符号等于负三倍的方乘 q 方， a 方乘 q 方，我们又可以理解为在先乘 q， 然后括号再平方，那它实际上又是一个二倍的公式，我们给它化简成负二分之三倍的 sign。 括号里边二 omega x 的 方。 要想求零点，我们是不是让它等零，等完零之后我们就可以得到二 omega x 等零，那它一等零来看它给范围了吗？给了， x 是 属于零到三分之派的，前 b 后开，那么二 omega x 是 不是对应也有一个范围？二 omega x 是 属于零到 三分之二， omega pi 同样也是前臂后开。好结合图像去看，画出来它的原始图像。 sine 的 图像看，要从零开始，那就从这个点位开始数几个零点呢？三个零点，这里有一个，两个， 三个到，这就是第四个了。要想有三个零点，那它右边的这个界它应该是卡在这个点位之后，以及这个点位 之前没问题，又因为它这里是一个开的，所以实际上这是取不到的，但是这取不到的情况下，我们又要保证它有三个零点，所以前面我们去写范围的时候一定是三分之二， omega x 它是要大于这个点位。第三个零点位零派二派。同理，因为这里取不到，在这里又要保证仅仅有三个零点，所以这个位置反倒是要小于等于 三派，那这个不等式我们给它解出来，我们就会有 omega 大 于三，小于等于二分之 九。选到这个题重要在首先我们先能够将六次利用同角公式进行降密，降密完之后结合零点个数去卡出来这个 omega 的 范围，但是这里要注意什么时候可以取等，什么时候不能取等，要分析好这个题就可以结束了，嘿嘿。
02:34查看AI文稿AI文稿今天给大家分享一道二十年的高考题，我们来看这道题目。三、以阿尔法加贝塔加 cosine 阿尔法加贝塔，顶二倍的根号。二， cosine 阿尔法加四分之差乘以三以贝塔。我们来看这个长式子，它看起来很复杂，而且我们又没有什么思路，所以这时候我们应该怎么办？我们应该能怎么办就怎么办，我们能做的是什么？是把所有的所有的每一项都拆开，所以我们先拆开看一看。 我们这个等于三引阿尔法扣三引贝塔，加上扣三引阿尔法，三引贝塔，再加上扣三引阿尔法扣三引贝塔，减去三引阿尔法，三引贝塔 就等于二倍的根号。二乘以二分之根号，二扣三引阿尔法减三引阿尔法， 再乘以三亿贝塔。啊！接下来我们就发现这个好像每一项每一项都有阿尔法和贝塔，所以我发现他关于阿尔法贝塔都是其次的，他每一项都有一次，所以我们两边同时除以考三亿阿尔法，考三亿贝塔，所以我们这个数字就变成了第一项就变成贪婪的阿尔法，第二项就变成了， 嗯， tangent 贝塔，第三项就变成了一，第四项变成了 tangent 阿尔法， tangent 贝塔就等于二倍的， 呃，这里边除以它，嗯， cosine 阿尔法就等于一减去 tangent 阿尔法，再来乘以 tangent 贝塔，所以我们这个数字就变成了 tangent 阿尔法加 tangent 的 贝塔 加一，减去贪整特阿尔法，贪整特贝塔，就等于二倍的贪整特贝塔，减去二倍的贪整特阿尔法贪整贝塔。 我们就发现他这个，他这部分好像跟这个贪整阿尔法加贝塔和贪整阿尔法减减他展开是他的上下，他这样子是关于他跟跟他的这个上下，他的这个长得很像，所以我们来继续看，这个就变成了贪整阿尔法 减 tangent beta 就 等于把这这些移过来，等于负 tangent alpha， tangent beta 减一，所以我们这就能读到什么。我们再进行展开，我们发现它这个 tangent alpha 减 tangent beta 比上一加 tangent alpha， tanthan beta 就 等于负一，所以我们这道题 tanthan alpha 减 beta 就 等于负一，所以我们这道题选 c。
00:18查看AI文稿AI文稿原来三角函数也可以列项，瞪眼发现 n 加一减 n 等于一，那就把三一表示成三。 n 加一减 n， 再用两角叉正弦公式化简等于 tangent n 加一减 tangent n。
3533数学国度
01:00查看AI文稿AI文稿遇到这种题，不要怕，学会三角换圆，我们直接秒杀它！先简单回顾一下三角恒等式与题目中的地推式长得最像的莫过于正切二倍角公式， 直接令内恩等于坦廷西塔安，内恩加一就等于坦廷西塔安加一。把他们带进地推式。根据正切二倍角公式，新的地推式右边这一坨就等于坦廷二西塔安。 连立一二两式，坦廷西塔安加一就等于坦廷二西塔安。于是就有西塔安加一等于二倍西塔安加 k 派。为避免溶于令 k 等于零， 于是我们就得到了公比为二的等比数列西塔安求出它的通项，再反推回去求出 a n， 你 学会了吗？
858乘数xM
01:45查看AI文稿AI文稿这道题你的同学可能不会，我不允许你也不会。先看题目给的地推式 usa， 那 就不能让他见到明天的太阳。搬出我们的古法消失处， sn 消失了。但这个地推式过于复杂，观察到左边都含有四的 n 次方，右边却没有。必须想办法让左右两边变成相同的形式，同时乘一个二的 n 次方看看效果。左边约分化简。 这时候左右两边的形式相同。搬出我们的换元大法，令 c n 等于二的 n 四方程 a， n 上面的地推式就简化成了这样，稍微变个形。接下来就要搬出我们的葵花宝典。第二招，运用恒等式进行三角换元， 上面的地推式转换成一式， 运用上面的三角横等变换得到二式。由于二两式可得阔坦亭， c 塔， n 减一等于阔坦亭二。 c 塔 由三角函数性质得二为 c 塔， n 等于 c 塔， n 减一，加上 k 牌 有已知条件，这里 k 等于零。于是我们就得到了一个公比为二分之一的等比数列 c 塔。恩，求出它的通向公式，再反推回去，求出 n 的 通向公式。 最后给大家留一道练习题，期待评论区看到你们的答案。
500乘数的课
08:27查看AI文稿AI文稿今天一招搞定，绝不会算我的！其实秘密是掌握在自己手中的，给你自己点信心，你行的，要有自信啊，你是最好的，知道吗？ ready go！ 这个是一道三角函数的题啊，相当权威了！这题嘎嘎全，咱们看咋回事？他向右平移， 左加右减， cosine 平移。切记！关键点就是把这个二一定要提出来。二提出之后了，变成左加右减 s 减四分之 five， 再加三分之 five， 等于 cosine 二 s 减去二分之 five， 加上三分之 five， 等于 cosine 二 s 减六分之 five。 搁这放着，这是 cosine 的 变完之后的得到 gs。 那 你说 gx 减 s 不 得 cosine 二 s 减六分之 five 了吗？这不 gx 解释吗？第一问，在这大家递增还是递减这种题，那就太 easy 了，由 x 求整体嘛， x 大 于等于 负六分之五派小于等于负二分之派。由 x 求整体，那就二 x 大 于等于负三分之五派小于等于负派嘛？乘二嘛。再减六分之派大于等于。这个是 负的不六分之十派吗？再减六分之派负的六分之十一派吗？小于等于，这个是负派，再减六分之派。负六分之七派呗。口塞，直接画口塞最标准的图像，最标准图像的话， 看他咋回事，这个是零。这不是负二派吗？负六分之十一派没到负二派呢吗？不是 负六十一百不在这位置吗？负六十七派，负派是不在这位置呢？负六十七派，负派再往左边点呗，再往这位置呗。所以在这块他说单调递减，一点毛病没有。 由 x 求整体，切记，这是必须得会的。完了，画一个口塞标准图像就完事了， so easy！ 第二根对称轴，咱们直接来一个秒杀的方法，就是把它直接往里带，取得最值好是对称轴，如果不取对值好，啥也不是。 六分之派往里边一带之后了，变成口塞也三分之派。减六分之派呗，不口塞六分之派了吗？那啥也不是啊，二百零八三，不是最大值，也不是最小值，所以啥也不是，连他得零都不是，得零，他是对称中心，不得零，啥也不是， 所以这个就没啥意义。那可以直接求一手对称轴啊，到复习了，求一手对称轴头赛的对称轴方程。 这是对称轴，这是对称轴。是对称轴吗？这是零，这是 pi， 所以 二 s 减六分之 pi 等于 k pi 把 s 一 减，看有没有这个值，有就是，没有就不是。这也是搜一 z 的 题 理解好了之后了，那这题就好做了。第三问，观察对称，那这个就咣一下往里带一下子呗。变成口塞是不是三分之二派了？减六分之派三分之二不一百二十度吗？减去三十不口塞那个九十吗？不得零吗？所以他就对了。 那嘎嘎，对啊，你咱们也可以求它的对称中心，口在对称中心图像不这呢吗？不是幺二 s 减去六分之派等于二分之派加 k 派吗？把 s 一 减 完，看有没有这个值，也可以通过调整 k 去求他，也是可以的。最后一个，这个稍微有一点麻烦，可能口算二 s 加上三分之派，减去口算二 s 减去三分六分派， 这个也是有一个小窍门。啥窍门呢？看看这俩角啥关系？仔细看，口算二 s 加上三分之派，先不动减去。口算不是偶函数吗？你口算负 s 得口算 s 吗？所以说把这个值里边 a 减 b 变成 b 减 a， 不是 一样的吗？ 变成口算六分之派不减二 s 吗？他俩一相加得二分之派，那啥关系了？豁， 呼鱼吗？呼鱼角正弦值不等于这个鱼弦值吗？所以这个口塞这个值可以前面先不动，二 s 加三分之三可以变成三音括号二 s 加三分之三， 他的鱼弦等于另一个的正弦，这是呼鱼角正弦值等于弦值，鱼弦值等于弦值也等于弦值。 能不能看明白？那这俩紧接着咱们就得用到什么了呢？辅助角公式辅助角公式就提出根号下 a 方加 b 方吗？嗯，提出根号下 a 方加 b 方，就提出一个根号二二分之，根号二口在二 s 加上一个三分之派，减去二分之根号二 三二加三位菜。咱们想用口塞呢？也可以行，用口口塞塞也可以塞口口塞也可以，用哪个都行啊用哪个都行就塞口口塞也行，口口塞塞也行啊。那咱们用哪个呢？用口口塞塞吧。 根号二不动，这不就口塞音那个四分之派了吗？这个口口点击它是不是就变成里边变成加了就变成啊？口塞音二 s 加三分之派，再加上四分之派了， 这不最终的结果吗？化简之后，根号二被的口塞音二 s 加上十二分之七派了， 能不能看懂？那它会有五个零点？还是由 x 求整体？画画图像由 x 求整体，咋求整体呢？ x 是 大于负派，小于派乘以二二， x 大 于负二派小于二派二 s 再加个十二分之七派， 大于啥？小于啥，他变成十二分之二十四加上七变成十二分之三十一派呗。这个负二派再加他负的 他是十二分之七，这不是十二分之二十四吗？七减二十四负十七嘛，就负的十二分之十七派呗， 这个一定要看明白，他说有五个零点，那就画个图像呗。画谁图像？这不扣赛的图像吗？扣赛他这个问他有五个零点吗？画图像看他有几个焦点就完事了呗。扣赛的图像 负的十二分十七呗，他大概是多少得知道这个值不是负派吗？他肯定比负派要小了。 这个值不是负二派吗？他没到负二派呢吗？这个值不是负的二分之三派吗？负二分之三派就通下分乘以六吗？变成负的十二分之乘以六十八派吗？ 那负十二分十七派到没到十八派呢？没到，所以他不就在这个位置吗？也就他搁这是起点吗？ 七点话，这不就少了一个零点吗？十二分之三十一派，看看这块的值不是二派吗？二派不十二分之二十四派吗？还多了一个十二分之七派吗？十二分七派是不是比二分之派要大呀？ 十二分之三十一派吗？你这值不二分之派吗？你十二分七比他的值大，所以就是再往右边串一小点呗。这块位置吧。 那零点个数就是找它与 x 轴的交点个数，一个，两个，三个，四个。它这个题说是五个零点嘛，所以就错了。 永远记住，像这种都是 u x 求真体，完了之后画图像去找他的零点，这个往里带，这个往里带，这个也是 u x 求真体。 u x 求真体是相当相当好做的。 u x 求真体 就是这么简单。
15:32查看AI文稿AI文稿如何在二十天将高考数学从零到八十分的速成？我们今天来讲三角函数每年必考的一个知识点，分值大概在十五分左右。好，应粉丝同学们的要求啊，我们在讲题的过程中呢，我把语速放慢一点。 好，首先呢，我们来看到三角函数，三角函数里面我们要记哪些东西呢？第一个图像，图像啊，一定要记住，因为它在我们解析过程当中的话，能给我们带来很多方便啊，以及让我们去检验这个结果对还是错啊。 然后第二个呢就是固定值，第三个呢就是计算公式。好，首先我们来看到第一个图像，来，图像的话，我们在三角函数里面是不是有三个啊？一个是 sin， 一个什么 cosine， 一个是 ten。 来，这个图像是什么呢？来 sin 函数，它的图像怎么画？来，跟着我一起画，你们也可以在自己的草稿纸上画一遍，这样能记得更清楚。来， sin， 这里是 x， 这里是 y， 对 不对？ in 的 话，他是经过了这个圆点啊，然后这有一个点我们怎么画呢？一个波浪线，一上一下，一上一下，他一直都是这样延续过去，这边呢，我再把它补过去啊， 然后这些点我们怎么去记呢？这一个点是个中心点，零，对不对？每到一个高峰，这一个高峰他就是二分子派，记清楚，二分子派， 这里呢，他又是有一个焦点了，对不对？这里是再加二分之派，那就是派了，对不对？还剩下一个，下面一个高峰是哪里？这里这个地方就是二分之三派，一样的，以此类推啊，以此类推，这边呢，一样的道理，这是负二分之派，这里呢是负派 这个地方，一样的道理，负二分之三派，后面是一样的，依次类推啊。来我们看这个图像，我们能看到什么？对称中心，对不对？对称中心是哪一个点？这一个点再加这一个点， 我们能看到图像里面，我们能看到什么？对称中心，还有什么？最高最低点吧？是不是最值，对不对？这里是一，这里是负，一，能看到最值，其实还能看到什么？他在每一个地方，他的正负正负关系啊。来我们看 零到派的时候，是不是这一段？零到派是这一段，他 y 值就是他的一个值吧，对不对？他是不是都是大于零的部分？都在上面，对不对？好。 派到二派的部分呢？这下面了，那他是不是负的部分？那我们到后面如果说遇到哪种题目，比如说三影一百 三十五度，那我们是不是去看他的位置一百三十五度在哪个地方？那他是正还是负？是不是很好去判断，对不对？还有或者说后面我们去验算的时候，是不是很好去判断？这个图像是能告诉我们很多信息的，所以一定要记住。那我们看 cosine 的 图像， 还有一个就是什么三眼的图像，他是经过原点的，经过原点，那扣三眼的图像呢？他跟三眼的图像差不多，但是呢，他的这个在这个零点的位置啊，在 y 轴的位置，他是什么向上的，他是这样的，然后再往下走， 再往上走，再往下走，一样的道理。这边呢，我再把它补过去啊， 看到没？这个 cosine， 它的顶点呢，是在 y 轴上，但是 cosine 呢，它是从这个圆点开始走，对不对？我 cosine， 我是 从负开始走吧，这样一个相当于一个 n， 对 不对？我写一个 n， 然后再一个反写的 n， 就是 一个 u 嘛，对不对？这里是零，这里呢 是二分之派，这个地方呢，他是派啊，加一个二分之派，那这个地方呢？再加一个二分之派，那就是二分之三派啊，这里好一样的道理，他这里顶峰是一，这个负顶峰呢，他是负一，对不对？这边呢是负二分之派， 再过来，这里是负派啊，一样的道理，这边都是这样。好，来，我们看 ten 函数，它的图像是怎么样的呢？一样的，我们每一个点呢，它我们都是用二分子派去定义啊。然后这里是二分子派，这里再加一个二分子派呢，就是二分子二派啊， 写这样会更清楚一点来，这样是二分之三派，再过去就是二分之四派，负，这边呢，也是一样的，负二分之派，负二分之二派。那 tan 函数它的函数是什么样的呢？来，我们去画虚线，每个地方我们去画。 记好啊， time 函数他是经过原点的，一定记好。经过原点，他是类似于什么？从这里往下走，一直走，走走走，但是他不会贴近这根线啊，老是这里画的可能有点丑啊，但不要没事啊， 能理解就行。然后这里呢？进来这里经过了零点，那我是不是跳一个点，再经过谁啊？再去这样经过，他去这样画啊， 这边呢？左边呢？是不是一样的道理啊？因为画板的问题啊，老师，这里不好画啊。来，这些，我们图像里面是可以看到很多很多信息的啊。来，对，正中心最直以及什么？以及它在每一个区域，每一个范围内的正负，对不对？ 好，我们再来看到第二个固定值，固定值的话是吗？是不是几个固定特殊的角度啊？三十度，四十五度，六十度，对应的 sign， cosign change， 这里三十度，他对应的三引是多少？二分之一，对不对？四十五度呢？对应的是二分之根号二，我们会发现二分之一其实就是二分之根号一，对不对？那这里是根号一，根号二六十度呢，他是二分之根号三啊， 好，来，我们看扣三引，他是不是跟他刚好反一下啊，对不对？记好，三引是从小到大，那扣三引呢？从大到小，他这里是二分之根号三， 这里是二分之根号二，这里是二分之根号一。好，那 ten 呢？他这里是什么？这里有一个根号三。那我是不是跟他一样写个根号三啊？然后呢？再把根号去掉，他是三分之根号三啊， 然后呢，他的四十五度是等于什么？乘以一个根号三，过来乘个根号三，他会变成什么？三分之三，那就是一，对不对？然后呢，再去乘一个根号三，他过来会变成一个什么？根号三，所以很好去记啊，这几个特殊角。好，我们再来看到计算公式，也是最重要的一点啊。 好啦，计算公式里面有什么呢？我们一定要记清楚的是什么？一个是 sine 平方 alpha 加 cosine 平方 alpha， 它会等于一，还有一个呢？ change alpha， 它会等于什么？是塞引阿法，去比上一个 cosine 阿法啊，好。还有一个合脚公式啊，塞引阿法加贝塔。这里我们用加减吧，因为加号也有可能，减号也有可能，对不对？它会等于什么呢？塞引 算法乘以扣三倍它加。减。加减什么意思？前面是加，那我后面就是加，前面是减，我后面就是减啊。来这里，你看三引算法乘以扣三倍它，那我还要再重新去写三引，扣三引，对不对？三引 扣三引，那我怎么去写的呢？我肯定不可能继续把这个阿法写在三引后面，对不对？如果说我继续写过去的话，我前面直接加个二倍就可以了，对不对？那我这里只需要把它反一下，这里是贝塔，这里是阿法啊，好，这里是三引的，那我们扣三引呢？ cosine 的 alpha 加减贝塔，它跟我们三引的有点不太一样，我们三引它是三引在前，那 cosine 呢？它是 cosine 在 前啊。但是还有一点，这个我们是不变的啊，一样的是 cosine， 那 我这里是 alpha 贝塔，那我是不是一样的 cosine？ alpha， cosine， 贝塔。 记住，扣三引的话，他跟三引的不同点。还有一个就是后面的正负关系，如果前面是正，那我后面一定要是个负，如果前面是个负，那我后面就是一个正啊。好吧，然后这里呢是扣三引，扣三引，那我后面呢？是三引， 三引，对不对？那三引三引我只能写什么？是不是阿法跟贝塔就把这两个角写回去，对不对？好， ten 阿法加贝塔呢？这里是加减 ten 阿法加减 ten 贝塔 比上一减加 ten 阿法乘以 ten 贝塔。 好，我们再来看背角公式，背角公式是什么意思呢？就是他的两倍对不对？或者是几倍对不对？那背角公式里面有什么？ sine 的 二 alpha， 它会等于什么？两倍的 sine alpha 乘以 cosine alpha， 这个要记清楚啊，他也是一个常考的知识点。然后呢， cosine 的 二倍角呢？来 cosine 二算法，它会等于什么？记好，它是等于 cosine 的 平方减去 cosine 的 平方算法，减去 sine 的 平方算法， 其实他还有别的公式。那别的公式是什么？等于两倍的 cosine 算法，平方减去个一等于一减两倍的三平方算法。 这两个呢，其实不用去记，他是怎么来的，他是由这一个公式以及三平方算法加 cosine 平方算法等于一 跟它去转变而来的，由这两个公式去转变而来的，得到的下面这些啊，所以它可以不用刻意的去记 tangent 二 alpha 呢，一样的道理啊，它会等于两倍的 tangent 二 alpha 去比上 一减 tan 平方阿尔法，他们两个呢，也不用刻意的去记啊，因为什么 tan 二阿尔法，其实它就会等于什么呢？三，二阿尔法去比上一个 cosine 阿尔法来的啊，所以有些东西呢，都是可以转变而来的。好，来，我们接下来看到题目。 好来，我们看到二零二五年全国高考数学一卷第四题考的是一个三角函数的，对不对？他考的是吧，考的是个图像的，图像的对称中心。好，我们刚刚知道太卷图像他是个什么样子的，是不是画一个，先画一个坐标，他的图像大概就是这个样子的，对不对？ 好，我们通过这个图像，我们知道他对称中心点是什么，如果说这个是个太卷算法他的图像的话，那他对称中心点应该是什么？ 对称中心是不是应该是多少？二分之 k 派，对不对？零二分之派，二分之二派，二分之三派，所以这个 k 属于 n？ 好，我们知道它的对称中心是二分之 k 派，那我们看题目告诉我们让我们去求的什么？ tangent x 减三分之派，让我们去求它的一个对称中心点，怎么办呢？那它的中心对称中心点是不是 x 减三分之派要等于什么？等于二分之 k 派就行啊？ 是不是？那这样 x 会变成几呢？是不是二分之 k 派再加上三分之派啊？对不对？ 好，我们怎么去？他说什么？已知点 a 在 这个函数图像里面，这个点 a 在 图像里面，是不是 a 代表的就是什么？是不是这个 x 它代表它的意思？好，我们看我们 x， 我 们知道了它等于这样， 那他让我们去求它的 x 最小值，那我当 x， 第一种情况，当 k 等于一的时候，我解的 x 会等于几呢？是不是把这个二分之一 派带进去，那就是二分之派加三分之派，对不对？他会等于几？六分之五派对不对？好，第二种情况，如果我 k 等于零的时候呢？ x 他 会等于几？是不是等于三分之派？ 好，第三种情况，那我 k 等于负一的时候呢？那是不是什么？负二分之派加三分之派，那就是几？是不是 x 会等于负六分之派？ 负六分之派他虽然是更小，对不对？他为什么不能取呢？因为什么？题目告诉我们了， a 要大于零，那就是什么？这个能得到什么？ x 他 要大于零，对不对？所以这个肯定要舍去。那三分之派跟六分之五派谁更大谁更小呢？ 肯定是三分之派更小对不对？所以他的最小值应该几啊？三分之派，所以是哪一个选 b 啊？好，来，我们看到第二题，这一题呢是二零二四年的全国高考数学一卷的真题啊，来，我们看这种题目， 关于啊，三角函数的计算怎么去做？来，已知告诉我们。 cosine 阿法加贝塔等于 m 啊，我写出来 cosine 阿法加贝塔，他会等于 m， 那 他我们能得到什么呢？是不是 cosine 阿法 cosine 贝塔，这里是加，那这里是减了对不对？减去什么？ cosine 阿法乘以一个 cosine 贝塔， 它会等于什么？等于 m， 对 不对？好，后面还告诉了我们一个已知条件， tangent alpha 乘以 tangent 贝塔等于二。我们都知道啊， tangent alpha， 它是由什么来的呢？这一个公式 tangent alpha， 它会等于 sine alpha， 比上一个 cos sine alpha 对 不对？好，那我这里是不是能得到什么 sine alpha sine 贝塔去比上一个 cosine 阿尔法 cosine 贝塔，它会等于二啊，那它还能得到什么？ cosine 阿尔法 cosine 贝塔是不是会等于二？乘一个它就是两倍的 cosine 阿尔法 cosine 贝塔吧。 好，我们再来看第一个式子跟第二个式子，我们能得到什么呢？来，这里是 cosine alpha cosine beta 这里呢也是 cosine alpha cosine beta， 这里是 cosine alpha cosine beta， 这里呢也是 cosine alpha cosine beta， 对 不对？那我跟他 他们俩之间相等，我是不是可以把这一部分换成他呀？那就是 cosine 阿尔法 cosine 被它减去什么？两倍的 cosine 阿尔法 cosine 被它对不对？ 一个减去两个，那会变成几个？是不是负一负 cosine 阿尔法 cosine， 被它题目告诉我们等于几啊？等于 m， 对 不对？ 好，得到他，最后他得到什么？其实很多步骤我们可以不用去写，但是我写出来的话，你们都能看的更清楚一点，然后最后我们得到什么？扣三引阿尔法，扣三引贝塔， 通过它，我们是不是可以得到它为的一负 m 啊？好，题目，让我们去求什么？ cosine alpha 减贝塔，好，这一个我们公式是什么呢？是不是 cosine alpha？ cosine 贝塔，这里是减，那我变成加对不对？加上 sine alpha， sine 贝塔， 好，我们看这一个我们已经知道了，它等于负 m， 对 不对？好，那这一个呢？三引二法三引贝塔，三引二法三引贝塔，是不是在这里啊？这里是加，那我就是加上两倍的它，那就变成几啊？三倍的扣三引二法扣三引贝塔吧。 扣三引二法扣三引贝塔等于什么？负 m， 那 三乘一个负 m 是 不是负三 m？ 好， 选 a？ 好，那既然大家都会了，我就留道题给大家做啊，这一题他选什么呢？不要只写答案啊，不要只写答案给我，可以把整个过程写出来，可以私信发给我啊，有问题的呢，我会去给你们一一去纠正一下，好吧？
1.8万小昇讲邪修数学
04:46查看AI文稿AI文稿hello， 同学们，大家好，今天我们来分享一道四川内江的模拟题。第十四题，我们来看题干。若 sine 十分之 pi 是 函数 f、 x 的 一个零点，则 f 一 是多少？ sine 十分之 pi， 那 么十分之 pi 呢？是十八度， 也就是说，如果我们要解出三十八度，带入这个函数当中，解出 ab， 从而我们就可以求出 f 一， 那么三十八度怎么计算呢？大家可以利用三角函数计算出三十八度，或者呢，利用三十八度满足的方程解出这个题目。 那么其实我们想一想，我们在初中的时候就学习过如何计算三十八度，我们需要构建一个黄金三角形，这个三角形呢，两个底角是七十二度，顶角是三十六度， 我们不妨设这个三角形是 a、 b、 c 顶点三十六。然后呢，我们做出角 b 的 角分线， 那么这两个角都是三十六度，我们不妨设这角分线与 a、 c 交于点的，那么此时呢， b、 c 的 七十二度， b、 c 也是七十二度。那么为了方便计算呢，我们不妨设 b、 c 的 长度是二， 那么 b、 c 的 长度也是二， a、 d 的 长度是 x， 那 么则 ab 的 长度就是二加 x。 那么接下来呢，我们利用相似这个小三角形 b、 c、 d 和大三角形 a、 b、 c 是 相似的，因此就会有二比上二加 x 会等于 x 比上二，那我们整理一下，就会有 x 方加二， x 等于四，也就是我们可以计算出 x 等于根五减一， 所以 a、 c 的 长度也就是根五加一，那么这样我们就可以计算出 c、 e 十八度了。我们来做一个垂线， 我们做 a、 e 垂至 b、 c， 那 么角 c、 a、 e 就是 十八度，所以呢，就会有 c e， 十八度 就会等于 c， e 除以 a， c， 也就是一除以根五加一，也就是四分之根五减一。 那么接下来我们将三十八度代入 f、 x， a 乘以四分之根五减一的三次密，那么不妨就写成六十四分之根五减一的三次密， 减掉四分之 b 倍的根五减一加一等于零。那我们同时乘以六十四，就会有 a 倍的根五减一的三次幂减掉十六， b 倍的根五减一， 加上六十四等于零。那么根五减一的立方如何计算呢？我们可以利用二项式定律将其展开，也就是有 a 倍的五倍根五减掉十五 加上三倍根五减一，减掉十六， b 加上六十四等于零。 我们整理一下，也就会有八倍根五， a 减掉十六， a 减掉十六倍根五， b 加上十六， b 加六十四等于零。因为题目当中说 ab 全都是正整数，因此呢，这个方程成立就一定会有 八倍跟五， a 减掉十六倍跟五， b 等于零。负十六， a 加十六， b 加六十四等于零。从而我们就可以推出 a 是 八， b 是 四， 所以呢，就会有 f， x 等于八 x 的 立方减掉四， x 加一， 从而 f 一 就是八，减四加一，也就是五。所以这题正确答案就是五。小伙伴们听懂了吗？点赞加关注，明天我们继续更新！
76吉米多维奇
01:23查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到我们的每日一题三角函数，那么我们请看题，此题涉及到我们的负函数同增异减问题。首先我们来观察内次函数三分之 pi 减二 x， 因为 x 前面的系数是负二，所以它是单调递减的。 我们再来看外次函数二倍的单调递减才能求出该函数的单调递增区间。接下来我们就来求该函数的单调递减区间。首先我们可以画出我们正弦函数性， 如图所示，之后我们继续进行抓操作，三分之派减二 x 应该处在我们的二分之派加二 k 派到二分之三派，在二 k 派这个区间内， 它才属于单用递减的，当然这个是针对外侧函数的。之后我们再进行化减，这个求出 x 范围是负 k 派减十二分之七派到负 k 派减十二分之派的， 后续我们再进行化简即可。到最后结果为 x 大 于等于 k 派加十二分之五派，小于等于 k 派加十二分之十一派。因为 k 的 取值是随意的，我们可以加减 k 派，包括 k 可以 取零、二、三、四、五、六、七、八等数字， 所以说最后答案选二 b。 或者说你也可以一开始就利用月角公式将其进行处理，将内测函数也写成二 x 减三分之派或者其他的，即利用月角公式将进行变换。稍后我会将完整解析方案进评论区，大家如果不懂的也可以在评论区发问，谢谢大家。
