2026陕西中考数学填空压轴几何
快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是陕西一位同学发来的，他们二模的几何压轴题，说实话，难度还是不小的。 题目说菱形 a、 b、 c、 d 的 边长是六角， a、 b、 c 是 六十度的， e 点是 ab 边的终点， p 点在 bc 边上运动 做三角形 c p、 q 和三角形 a p、 e 相似，然后让我们求线段 a、 q 的 最小值。 好，我为什么说这道题很难呢？因为像这种旋转相似求最值的问题，我以前也只在自主招生考试里看到过，常规考试里几乎没怎么见过，所以很多同学一时间不知道该怎么下手。 那首先，像这种共顶点的旋转相似，有一个东西大家一定要牢记了，那就是旋转相似必定一转成双。什么意思呢？ 因为三角形 c p、 q 和三角形 a p、 e 相似，所以 c p 比 a p 等于 q p 比一 p， 然后我们把 a p 和 q p 换个位置，于是就变成了 c p 比 q p 等于 a p 比一 p。 如果我们连接 eq 和 ac 的 话，那么根据这个比例关系，我们可以判定三角形 acp 和三角形 eqp 相似， 所以角 eqp 是 等于六十度的，那这个就是一转成双的意思了，就是一组旋转相似会产生另一组相似。 好，那得到了这个六十度，他有什么用呢？毕竟 e p 他 不是定长是吧？ 那这里呢，就需要一点点的注意力了啊。如果我们截取 bc 边的中点 f， 然后再连接 e f 和 q f 的 话，那这个时候三角形 e、 b、 f 就是 一个等边三角形了，所以角 e、 f、 p 是 六十度的。 不知道你们看出问题了没有啊？现在 e p f q 是 不是四点共圆了呀？ 所以角 p q f 等于角 p e f。 而根据题目给的这组相似，我们可以知道角 p q c 等于角 p e a， 所以 这样就得到了角 f q c 是 一百二十度的， 你们看现在是不是有了定边加定角了呀？影圆出来了吧。那接下来问题是不是就很简单了呀？ 我们以 f c 为底边向下做一个底角，是三十度的等腰三角形，那这个 o 点就是 q 点轨迹圆的圆心了。然后我们连接 o q， 还有 o a， 因为 f c 等于三，所以 o f 和 o c 都等于角三，那 o q 也等于角三。又因为 a c 等于六角， o c， a 是 九十度的，所以 o a 是 等于根号三十九的。 最后因为 a q 是 大于等于 o a 减 o q 的， 也就等于根号三十九减杠三。所以说 a q 的 最小值应该是根号三十九减杠三，你学会了吗？
粉丝10.3万获赞118.6万
相关视频
06:57查看AI文稿AI文稿树感在线，逻辑不偏。大家好啊，今天我们来看一下铁一中三模的这个填空压轴题，这一题我认为出的比较好，因为它没有什么模型，或者说大招，就一个东西就是死磕，对吧？就你把关键信息真的能够读透，那么这个题你一定能够做出来， 好吧，我们一起来看一下。说给了一个四边形，四边形 a， b c d， a b 乘以十三， bc 是 十五角， b 的 正切是五分之十二， ef 是 两个动点，然后 a e 要和 af 一 致相等， 并且呢，以 e f 为边，做了一个 e f g 这么一个等腰三角形，那 e g 和 f g 这两条边也相等，对吧？然后呢，接下来呢，告诉我一个重要的角度关系，这个角 b 呢和这个角 g 是 相等的。 最后问说，当 e、 f、 g 的 面积最大的时候，求这个 f、 d 的 长度是多长，而关键信息就这个 e、 f、 g 的 面积最大，对吧？那么它的最值在什么情况下取到？这是我们解决这个题的核心。好，那么接下来呢，我们分析一下，就这个点 g， 它的轨迹很重要。 其实当这个题目读到第一步，就是你发现 a e 和 a f 相等， e g 和 f g 相等的时候，点 g 的 轨迹其实就非常好确认了，我只需要连接 a g 并把它延长。 g 的 轨迹呢？其实嘛， g 在 角 b、 a、 d 的 平分线上，原因其实很简单，是因为 a e， a， f 相等， eg， f g 相等，包括 a g 等于 a g， 所以 说我们能得到三角形 a， e， g 是 全等于三角形 a， f g 的 s s s， 对 吧？所以我们能探求出来点 f 的 轨迹呢？是一个什么？是一个在角 b a、 d 的 角平分线上的？ 好，那么接下来的话，我们需要看一下这里边的核心的一个关键条件，就是角，就是三角形 e， f g 的 面积最大。好，那么接下来三角形 e， f g 的 面积的话，那我就底乘高，我往这做一个垂直记，这个点为 m 啊，然后过 a 点做一个垂直，因为角 b 的 正切是知道的，所以我做一个垂直记，这个点为 n 的 话，那么 abn 这个三角形三条边我都是可以算出来的， 对吧？好，做完这两个垂直之后呢，你会发现啊，其实三角形 a， b n， 它是相似于三角形 f g， m 的 直角直角角 b 和角 g， 这是已知条件相等的，所以它们就有比例关系了，那么就能列式子了。好，接下来来看一下。好在三角形 a b n 中角 b 的 正切呢，我们是知道的，是等于啊， a n 比上 这个 b n 的， 又因为我们知道这个 ab 的 长度等于十三，所以直接其实通过三角函数，我们能算出来 a n 的 长度，它是等于十二的，那么 b n 呢？是等于五的。 好，那么得到这个关键条件之后呢，那么又因为这一组相似关系，所以我能算出来 f m 比上一个 a n， 它就等于 f t 比上一个 ab 好，进而得到 f m 其实是等于十三分之十二，而这个 f g 呢，又和 e g 相等，所以我可以直接写成十三分之十二倍的 e g， 对 吧？那么到这呢，其实它的面积我就能表示了啊， s， 三角形 e， f g， 它就等于什么呢？二分之一 e g 乘以多少乘以 f m， 那 么也就是说啊，二分之一 e g 再乘十三分之十二 e g， 也就等于十三分之六 e j 方好。那么到这之后的话，要找到它面积最大值，也就是我只需要探求 e j 的 最大值就行了，这点的运动轨迹呢，是 a j 这条射线，所以它的最大值呢，就是当 j 在 bc 上啊，当 j 和 bc 的 交点 这个位置取到，那么有时候当 g 运到跟 b c 有 交点的时候，取到此时的 e 呢，就应该在这记为 e 一 撇。好， g 呢，到这记为 g 一 撇，对吧？好，那么同样的这个 f 点呢，就应该在这嘛， 对吧？这个点呢，是 f 一 撇啊，始终要保持 a e 和 af 相等，所以 f 应该在这，对吧？好，那么接下来呢，还有一个很重要的信息你记住了，就是因为我们知道角 b 和角 a 是 互补的，角 b 加角 a b a d 等于幺八零度，所以呢，我们能知道角 e g f， 角 b a d 等于幺八零，对吧？所以呢，我们在四边形 a 一 撇 g f 撇，在这个四边形中，角 a 一 撇 g 和角 a f 撇 g 应该是它们的和，等于一百八十度，所以我们能得到角 a 一 撇 g 是 等于角 a f 撇 g 等于九十度的好，那么这一组垂直关系很关键，是因为我们角 b 的 正确是知道的这里边有一个垂直关系，所以我能计算出来 a b e 撇的长度。我写这， 所以我们能计算出来 b 一 撇的这个长度其实是等于五的啊，因为垂直，所以 b 一 撇的长度等于五，所以那么此时 a 一 撇的这个长度呢，就等于 ab 的 长度减去一个 b 一 撇的长度，也就是说十三减去一个五等于八， 好，那么 af 撇呢？也就是说等于 a 一 撇，它也等于八，对吧？最后呢，要计算 f g 的 长度，那么 f 撇 d 的 长度就应该等于 a d 减去 af 撇，十五减去八，最后等于七，好，这题搞定 好，那么我们简单来理解一下这个题啊，其实你做完之后呢，你会发现哈，来来回回的，他的这个角度关系也好，包括你去表示这个面积的最大值也好，他的核心呢，其实落焦点就是让我们去求这什么啊， e g 的 这个最大值， 而 e g 的 最大值要求的话，必须得确认这个点 g 的 轨迹是什么？ g 的 轨迹，当确认出来 g 的 轨迹之后呢， e g 的 最大值其实很容易就能找到，那这里边关键的一个信息，很多同学可能想不到，就是这里边 a e 撇 g 和 a f 撇 g， 这里这里是两组垂直， 这两组垂直啊，这是我们最后在计算线段关系的时候一个很核心的条件， 当然这两组垂直关系你要把它标注出来的话呢，当然也就不难了，所以我们这个题呢，出的比较好是因为它没有大招，它没有什么所谓的技巧啊，你就一步一步的去死磕，该做垂直做垂直，该找相似找相似，该表示面积表示面积， 最后其实本质就是探求 e g 的 最大值啊，最后接下来就是计算了，加上一个三角函数结束，好吧。
121王磊初中压轴题
05:08查看AI文稿AI文稿不敢再现，逻辑不偏。大家好，今天我们来看一下师大附中的三模的这个填空的十三题啊，确实很多同学经过了一些尝试之后的话，没有特别好的思路啊，技巧性还是比较高的，我们一起来看一下。 说是，呃，给了这么一个圆，然后呢，有一条弦呢？ l， 然后跟圆相交了， 完了，这这个过圆心呢？做这个什么？做了一个垂直于弦的一条线 o a 长度是个定长，等于三，然后呢，过点 b 啊， b 呢是圆上一点，往这个 l 上做了一个垂线 bc， 嗯，然后呢，知道圆的半径是六 o， a 的 这个长度等于三，求的是 ac 加 bc 的 最大值。 我们其实对于这种问题，我们大概率会想到说是，嗯，因为你 ac 和 bc 的 这两条线段， 对吧？哎，我们直接构图法构造就可以了，对吧？然后呢，哎，我们说把 a c 呢往外延长，使得这个地方比如说是个 q， 我 让 c q 长度等于 bc 的 长度，对吧？好，此时呢，我连 b q， 那么这个角是四十五度，对吧？哎，我会发现哦，我有一个定角，对吧？然后呢，通过什么外接圆就能求，但是当你发现你把图做到这个程度的时候，你有一个定角四十五度，但是 bc 这条弦不是个定长， 定角不定弦，你就没有办法去做外接圆，这个题就没有办法解决。当然很多同学可能说，哎，我往下做垂线，其实是一个道理啊，然后呢，连这个 此时这个角度是四十五度定角，然后呢，弦长呢？ ab 呢？又是一个不定弦了， ab 的 长度不定，所以呢，又没法做啊。而这个题其实它最核心的一个点呢，是在啥呢？是在于这个 o a 的 长度是已知的， o a 的 长度是个三，这是一个已知条件。当我已知 o a 长的时候呢，我可以直接什么，直接把它平移到这来，通过 o a 长的垂线记作点 m。 好，那么此时 o a 是 三，那么 a 这个 mc 也是三。好，也就是 o a 等于 mc 等于三，对吧？好，那么到这之后呢，你会发现哦，原来 a c 的 这个长度呢，它和 o m 的 长度是相等的， 也就是说， a c 加上 b c 的 这个长度，就是 o m 加上一个 b c 的 长度，而这个 b c 呢，又等于什么呢？ b m 加 cm， 而这个 c m 呢，是三，也就是说，哎，我可以把它转换成 o m 加上 b m 的 长，再加上一个三，三是个定时，对吧？好，到这之后的话，其实你刚才那个做法就基本成立了，对吧？我只需要往外去什么去延长，去构造一个 等腰直角三角形就可以了。好，到这呢，比如说这是个 n 点，好，我连接 b n， 此时呢，这个角度是四十五度， 对吧？注意哈， m n 和 b n 相等啊，做 m n 等于 这个 b m， 对 吧？好，此时这里是四十五度。然后呢，哎，你会发现，当这等于四十五度的时候，它就会出现定角定弦了嘛，对吧？定角四十五度，弦长是 o b o b 是 个定长，半径十六。 好，那么定角定弦 y 间圆，只需要做一个 y 间圆啊，求它的直径就可以了嘛。所以这题到这基本上就已经结束了啊，求它的直径就可以了。好，我们把这 y 间给它画出来啊， obn 的 y 间圆 啊，这个图有点小，这个，把这个图盯仔细了看啊，好，此时这个外接圆的圆心呢？比如说我们把它记作 o 一 吧。好，外接圆的圆心在这个地方记作 o 一。 好，那么此时想要取得最大值呢？就什么就是什么，就直径呗， 就是外接圆 o 一 的直径嘛，那么这个直径怎么求呢？哈，然后这里边有一个比较重要的点是因为角 o n b 是 个四十五度，必然会存在一个三角形， o o e b 为等腰直角三角形半径，对吧？等腰直角三角形斜边等于六啊，嗯，那么它的半径呢？ o o 一 等于 b， o 一 就等于三倍根号二，直径呢，就是六倍根号二，所以它的最大值就是六倍根号二，加上一个三。好，这题搞定。 来吧，整体难度不算特别大，但是我想告诉大家的事情是，就是当你发现这种题，你大概率可能觉得自己能做的时候，然后画完图发现有一些问题，你得回归到题目本身去看一下。为什么告诉 o a 是 个定常， 当已知 o a 定长时，我能否对于这个线段做一些切割，切割完了之后呢？其实他又会回归到一个什么？哎，就是我往外构造或者往下构造去补一个 r t 啊，等腰直角三角形出来啊，然后呢？定角定弦啊，求直径就可以了，好吧。
69王磊初中压轴题
02:05查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天我们来看一下交大附中三膜监控的压轴体。如图，在三角形 a、 b、 c、 中， c、 e 垂直于 a、 b、 e 的 中点或 b、 c 等于四。三角形 a、 b、 d 的 面积是三和三角形 a、 c、 d 的 面积最小值是多少？ 那根据中点呢？我们知道中点是平分线段，并且平分三角形的一个面积，所以我们可以得出来，三角形 a、 e、 d 的 面积和三角形 a、 d、 c 的 面积是相等的。同样的， b、 d、 e 和 b、 c、 d 的 面积是相等的，所以我们就可以得出来，三角形 a、 b、 c 的 面积就是六， 那么三角形 a、 c、 d 的 面积就可以表示为整个的三角形 a、 b、 c 的 面积减去 b、 e、 c 的 面积，然后再除以二。 那么求这个三角形 a、 c、 d 面积的最小值， a、 b、 c 的 面积是固定的，相当于求三角形 b、 e、 c 面积的最大值。那直角三角形 b、 e、 c 中斜边 bc 知道等于四，那么这个面积，这个最大值是多少呢？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 假设这个 bc 边上的中点是 f， 那 么这个 e、 f 就 等于二分之一的一个 bc。 显然我们就很容易得出来，当 e、 f 垂直于 bc 的 时候，三角形 e、 bc 的 面积取最大值，那也就是二分之一乘以 四，乘以二，所以三角形 bc 面积的最大值就是四，那么整个三角形 a、 c、 d 面积的最小值就是一。那上一期我们说交大负重的这个三毛钱共加周期也可以用均值不等式来做。我们就可以设 b、 e 等于 a、 c、 e 等于 b， a 方加 b 方等于四平方，让你求 a 乘 b 的 一个最大值， ab 是 小于等于二分之， a 方加 b 方， a 乘 b 的 一个最大值是等于个八，所以 b、 e、 c 面积的一个最大值就是四。最终我们也能够求出来这个三角形 a、 c、 d 面积的最小值就是一。
38西安数学郭老师
03:26查看AI文稿AI文稿高心中的这道数学填空项要求是前两天高新的五模考试，一道隐形元问题，最后这一个月的时间了，希望基础弱的孩子也更需要去看一看。我是在西安高新讲解数学知识点的张老师，每天三分钟，数学更轻松。 来看一下题说，如图，三角形 abc 中角 abc 是 等于九十度， ab 等于六， bc 等于八。那么根据这三个条件，我就可以得到 a、 c 等于十。然后说 d 为平面内移动点，连接 d， b 过点， b 做了一个垂线， b、 e 垂直于 b、 d， b、 d 与 b、 e 的 比是四比三。求三角形 b、 d、 e 的 面积最大值，一定要注意是最大值。 好，那么跟着我的思路先想一想三角形 b、 d、 e 的 面积是怎么算的，可明显它的面积是二分之一，底乘以高，底是 b、 d， 而高是 b、 e， 所以 要求这个三角形面积的最大值，其实求的就是 b、 d 和 b、 e 这两条边的最大值。所以我们再看一下题目中给的其他的条件。说 ab 等于六， cb 等于八，我们会发现 ab 比上 cb 是六比八，也是三比四，而 b、 e 比上 b、 d 也是三比四。好，把这两个颠倒一下就可以。那么我们会发现， 他们都是九十度的情况下，角 c 就 等于角 d 了，因为角 c 的 摊成的值就等于 a、 b、 b、 c， 角 d 的 摊成的值就等于 b、 e、 b、 d， 所以角 c 等于角 d， 我 们就会忽然发现，其实角 d、 角 c 还有包括 ab 的 这条线段，他们其实就是一个定弦定角模型， ab 就 可以看作一条弦，而角 d 和角 c 相等， 角 d 和角 c 就是 两个圆周角，所以我们可以把这个隐形圆画出来，做 ab 的 垂直平分线与 ac 的 交点就是我们要找的圆 o， 因为这时 o c 等于 o， a 也等于 o b， abc 都是在圆上的点嘛， 所以三个都是半径，那么把这个圆画出来大概就是这个样子。所以我们会发现，其实 ac 就是直径，所以 b、 d 这条弦的最大值，它就等于直径，就等于十。我们刚才已经算出来， a、 c 等于十，所以 b、 d 等于十之后，那么 b、 e 就 可以得到等于二分之十五，因为它们相比是四比三， 所以最终这个三角形的面积的最大值就等于二分之一，乘以十，再乘以二分之十五，也就是二分之七十五。好，这道题的讲解也就结束了。其实总体上看一下，这道题给的条件 比较简单，只要能够看出来我们的定角之后都是同一条线段对的角，那么一定是定弦定角模型。明白这个道理之后，我们的最大值也就比较好求了。 此类问题对于基础稍弱的孩子来说，是一个练习的好机会，所以希望大家能够跟着我的思路多理解，提议。好。今天的分享就到此结束，希望各位能够继续多多点赞，多多支持，把这些有用的知识分享给身边的每一个人。
01:20查看AI文稿AI文稿二零二六陕西中考生看过来，二十六题大压轴，其实他最爱考的最值也就两种类型，第一个模型是直线型最直，直线型最直。常考两个模型，第一个是将军印马模型，将军印马的核心是 同侧转一侧画折为直，它的原理是两点之间线段最短。造桥选址的核心是，这是第二个模型哦，嗯，造桥选址的模型是平移让 化折为直，同样的原理是两点之间线断最短。好，那我们说第二种类型，曲线型最直。曲线型最直的话，其实涉及到的就是隐形元问题。隐形元问题常考的是两种，一个是定点定长， 一个是定弦定角。定弦定角就是一个固定的线段对，一个固定的角。比如说咱们陕西考过六十度角、九十度角，画出隐形圆之后，我们要用到的 最直模型就是点圆最直，或者线圆最直。其实就是这个线段最终是要经过圆心的，因为它的原理是直径是最长的弦。记住这个陕西中考压轴题，助力你拿满分！
13:57查看AI文稿AI文稿今天我们讲的是全等相似多模型综合，那么我们今天讲到的模型呢，都是大家如果你要去参加中考，就是必须必须要特别特别熟悉的模型了，然后呢，我不会对这些模型做过多的解释了，应该属于就是要去参加中考前的这些基本功了，我只是给大家再过一下，让大家知道是有哪些以及 相关的构造有哪些好吧。首先由平行线带来的第一组由平行线带来的，基本上你看到了平行线就一定要想相似了，那么这里有的相似就是 a 字八字， a 字八字，那么以及你要会构造做平行线构造相似啊，同时呢，你还会做平行线造相似，做平行造相似，哎，比如说这个造相似怎么造呢？ 呃，我在一个三角形当中，比如说这给你个比例分点，这是 a， 这是二 a， 你 造相似的方法一般来说就是两个，你要么过这个点做个平行，这就是造 a 字，要么你连这两个点把它捅出去，这就是造八字。 哎，这就是造八字，要么过，要么捅啊，你就记住这两个词，要么过这个点做平行，要么把它捅出去，这就是 a 字与八字的构造。那么比较特别的，你当你看到了平行线间夹着比例关系，这是 a， 这是三 a， 那 没毛病，那你肯定是要把它捅出去了，只要是平行线夹着 捅出去，就是，这是已有平行，你就捅就行了。来明确一下 a 字八字最基本的相似模型，以及最基本的 a 字八字构造啊，这都是你要参加中考，这都是要非常非常熟的东西，这可以说几乎是必然会遇见的必考内容啊，自己画啊，你千万不要光听啊， 就是随着马哥你一起画。那么与 a 八相对的还有一组就是第二类，就是反 a， 反八反 a 八。反 a 八什么意思？你看 a 字八字，这是这是阿尔法，这是阿尔法，就叫正 a， 那 么如果是反过来，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这就是反 a， 那 么反 a。 还有一种常见的情形，长这样，就是这个角和这个角相等，这是阿尔法，这是阿尔法，这也是反 a。 那 么反八长什么样呢？就是这样， 这两个角相等，这是反八，反 a 八，这是第二组啊，除了正 a， 由平线带来的正 a 八，那么最常见的就是反 a 八，正 a 八反 a 八。那么第三组呢？就是一线三等角、三垂直以及一线三等角，特殊的情况就是三垂直。 好，我们来看一下什么是一线三等角，一根线上戳三个一样的角，这个阿尔法，这个阿尔法，这个阿尔法。 如果这三个角相等，那么这两个三角形相似，不解释啊，今天没有时间去解释这些，你要参加中考，这是你必会的。好吧，一线三等角，这两个三角形相似，那么对于一线三等角来说，比较常见的情景就是这三个角都是多少度？九十度，那么当这些 r 发角是九十度的时候，就会出现三垂直， 三垂直，那么三垂直的本质其实就是三个角就可以导互于正相似。三个直角就可以导互于正相似。阿尔法贝塔互于贝塔和他互于他也是阿尔法，阿尔法和他互于他也是贝塔，那么这阿尔法、阿尔法贝塔，贝塔 相等就相似，好吧，那么这是我们说这是 y 三垂直啊， y 三垂直是在外面的，还可以在里面，你看，如果 啊，如果这有一个直角，哎，这里面来根线，那么这来一个垂直，这来一个垂直，这也会有相似，本质原理还是一样的，就是有直角就可以导弧于正向四， 这叫 y 三，为什么叫 y 三呢？因为这个三垂直是在这个直角的外面，这叫内三啊，因为这组相似是在里面， 外三与内三。总的来说，你学了三垂直，你应该记住的就是但凡出现多个直角，就应该倒库于正等角，有了等角很有可能就会有相似 来。那么还有常见构造，你比如说，哎，当我看到了这，你就看到孤单直角，就应该想三垂直，对吧？或者呢？哎，你看到这样的孤单直角，你应该想着构造三垂直，或者呢，你看到了一个直角， 里面来了一根线，已经有一个直角了，那我还是应该想三垂直，你看三垂直的构造啊，接下来我们说构造三垂直的构造， 看这些线，哎，你看孤单直角三垂直，这也是孤零零一个直角三垂直，哎，那么这一个直角，这已经有了，那我这再来一个，这都是三垂直的构造，就会会造成这些三角形都是三垂直的相似。 那我们今天要练习的是什么呢？我们今天要练习的就是把这些模型综合起来，放到题目当中，哎，咱们去玩一玩，用它们来帮助我们解决 线段比例啊，线段表示啊，因为相似最核心的就是能够帮我们处理线段比例，线段的表示，那我再给大家多说两句啊，就是有了相似可以干什么？两种用比例的方法。再多强调一句啊，两种用比例的方法，第一种就是， 这是 a， 这是二 a， 那 么这是三，这是几？这两个三角形相似啊，这两个三角形相似六，这是利用什么？这是利用相似笔。好，那么还有一种，还有一种看好了， 这是 a， 这是二 a， 这是根号五。 a， 这个是 r 法，而这一边呢， 这是根号五来，这是几，这个也是二法。教这两个三角形相似，你会发现这次我们用的是什么呢？这次用的第二种叫做自己比， 什么叫自己比？你这个三角形，既然一号三角形和二号三角形相似，那么一号三角形的三边比就是二号三角形的三边比，他是一比二比根号五，他也是一比二比根号五， 对吧？所以它乘以二得它，它乘以根号五得它，这叫利用自己笔。你有了相似以后，你怎么用相似？你要么就是利用相似比对应边值比，要么就是它的三边比，就等于它的三边比，这就是用相似的两种方法，只是随便画两个相似三角形啊。我们讲了 如何找模型，如何用相似，好了，来看题吧，他说当这条线等分了这个绿色四边形面积的时候，哎，我们要求什么呢？要求 a d 的 长。在我们讲今天的题目的过程当中啊，大家就是把握住两点， 第一去感受模型的发现，第二去感受模型是如何帮助我们处理线段长的，好吧，就是这两点，好，来，我们来读题啊，他告诉我们什么呢？告诉我们这个 a d 转到了 a 撇 d， 那 么这两条蓝色线段相等，又做了一个垂线 啊，又做了一个垂线之后呢？再来就是这是垂直，这也是垂直啊。然后告诉我们这个角，这个角 r 法的正切值是一比二，告诉我们这条边是八啊。还有说这条黄线等分了这个四边形面积， 最后让我们求 a d 的 场，就是求这条蓝线的场。首先这道题直角就特别多，有没有发现这道题直角特别多，在直角特别多的情况下，我们是不是就可以看鱼角？直角特别多，我就可以看鱼角，你会发现这个是阿尔法，那这个是贝塔啊，这个也贝塔。 好啊，这九十度，这九十度，那你会发现，首先这个三角形和大三角形它肯定没啥，说这 a 字相似，对吧？再来这个贝塔，这个也贝塔， 对吧？这九十度，那这个也是阿尔法，那么这个三角形和这个三角形它就是一个反八相似，同时呢，这个大三角形和它也相似。 所以这里你首先观察一下这里面所有的三角形，因为直角很多，所以这些锐角都是互余的，都是相等的，所以呢，导致这里面所有的三角形都相似啊。比如说这两条平行线带来 a 字相似， 这有反八相似。这个小三角形和大三角形其实又是个反 a 相似。 a 字八字反 a， 反正它全相似。你如果一倒角发现它全相似，这里面所有的直角三角形全相似，全是直角，三角形全相似。好了，最关键的一个条件就是这条黄线等分这个绿色四边形的面积， 黄线等分绿色四边形的面积。来，我们来想一想啊，这个等分面积这个条件怎么用的？其实我就是要利用这个等分面积这个条件，写出来一个等式嘛， 斜出来一个等式，哎，那么等式最后呢？我如果表示了这些面积后，就可以得方程了。你比如说等分面积，我翻译一下，等分面积它的本质就是 s 一 等于 s， 二等于二分之一， s， e、 d， b、 c， 好，那么接下来我如果能够把这些面积表示出来，我就会得到什么？得到等式，等式最后就可以解方程，那么表示面积最关键的是要干什么？等分面积就 s 一 等于 s 二等于四边形面积的一半，那么接下来我就要去表示，那么这三个面积到底表示谁呢？你待会把线段长表示出来以后，那么这些面积哪个好，表示，表示哪个 好？那么表示面积的核心，其实你会发现，就是表示什么？表示边，表示线段，所以呢，我们就得感受一下这些线段，哎，到底该怎么表示？来，这个角的正切值是二，那我们就知道这条线段是八，它的正切值这条线段四，这是已知的， 对不对？好，再来，这个角的正切值是二，那我就可以看，在这个小三角形当中，我可以设这条线段是 a， 这条线段二 a 啊，这条线段 a， 这条线段二 a 一 比二嘛，然后再来 a， d 和 a 撇 d 又相等，所以 a 撇 d 也是二 a， 那 么这也是 a。 好，这是最基础的，我用了一个正切值，把小三角形和大三角形，哎，小三角形设大三角形四算出来。好，再来，那么这是 a， 这是二 a， 我 就可以算上是根号为。好。再下来我就可以表示哪个三角形里面的东西了。 哎，你看这个角度是阿尔法，那么这是二 a， 他 两个的比。哎，是不是因为应该和他完全，这都是全等，这都不只是相似的，这是二 a 呢？这也是 a。 好，那么这条线段是 a 的 话，那么这条线段就是，这是二 a， 这是 a， 这是八减三 a， 好， 还有这一段我也可以表出来，这是八减二 a， 对 吧？好，再来，那还有什么可以表示呢？我为了表示这个 s 一 或者 s 二的面积，那我肯定还需要这些线段，那这个三角形和它又相似，这是一个一比二比根号的三角形，所以这一条线段它其实就是 a 除以多少 e， f 是 a 除以多少。这个三角形短直角边、长直角边，斜边的比是一比二比根号五，这斜边是 a， 短直角边应该是多少，短直角边就是根号五。 好，那么这两条线段比又是一比二，那这就是根号五分之二 a， 这些线段我们利用什么？利用这两个三角形相似，一比二比根号五，哎，那我就由它是 a， 它除以根号五，再乘以二，这三条线段就都有了。这就是我们利用相似，我们把这里面所有的线段都表示了。好，那接下来我们说表示线段是为了表示面积，来观察一下 s 一 和 s 二， 现在你感受一下 s 一 和 s 二，哪一个更容易表示？ s 一 显然更容易表示这个 s 一， 我要怎么表示呢？我肯定不会表示它了，大的三角形和小的三角形，我做个叉，是不是就是 s 一？ 所以这个 s 一 就可以表示成什么呢？ s 一 就可以用 s 三角形 a 撇 d， c 减 s， 三角形 a 撇 e f， 这就是 s 一， 对吧？我用大的把小的减掉，大的很好算二分之一，二分之一乘以底乘以高，乘以 a 乘以二 a， 那 么减小三角形 二分之一乘以根号五分之 a， 再乘以根号五分之二 a， 好， 这就是 s 一， 那么这是 s 一， 我们把 s 一 表示出来以后，那么 s 二和这两个我选一个，那你会发现这个大的梯形的面积太容易表示了， 梯形的面积就是二分之一至二分之一梯形的面积啊，梯形面积是二分之一，上底加下底乘以高，上底加下底乘以高，就是 a 加四， a 加四乘以高乘以八减二 a。 好 了，那么这样的话，你会发现这就是四边形面积的一半。好了，那么 s 一 等于四边形面积的一半，我们就得到了一个关于 a 的 方程。解这个方程整个问题就结束了， 那么把这个方程解出来以后，你就会得到 a， 得到 a 以后，最后再乘以二就会得到 a d。 解方程我就不讲了啊，就非常简单的一个方程，那么最后的答案就是十三分之八倍，根号下六十五啊。解方程我就不讲了啊，啊， a 撇 d g 啊，这写错了， a 撇 d g 啊， a 撇 d g。 那 么这道题我们来讲一讲它的这个几个关键点啊。 第一个关键点就是对于等分面积的处理，这道题的第一个关键点是等分面积，如何处理等分面积，它其实就是给了你一个面积关系，你把这几个相关的面积关系摆到这，你看哪个面积好表示，你把它表示出来，它最终是帮助我们得方程的， 这就是等分面积的处理。以后看到不是这道题所有的等分面积都一样，他无非就是告诉你有两部分面积相等，等于二分之一的 s 总面积， 你就把这两个相等的面积以及总面积摆到这，你看哪个面积好，表示就表示哪个，你表示完了以后就会得到方程，这是第一。那么第二呢， 就是注意用相似去表示线段长啊，相似表示线段长，处理线段长，这里面核心的就是这个三角形，这个三角形，这个三角形，它们都相似，所以呢，它们的比例关系我们都是已知的。这道题用的是相似比还是自己比？ 这道题我们核心用的是自己笔，这个三角形的自己笔转到这个三角形，自己笔转到这个三角形，自己笔就结束了。一个是等分面积的处理， 一个是利用相似表示线段啊，核心用的是自己笔，所以通过学习这道题一以后要会处理等分面积，对吧？等分面积无非就是给你一个面积关系，用线段长把面积关系表示出来，就会得方程，这是第一，第二呢啊，注意就是用相似表示线段的方法。
441马哥数学直播
02:12查看AI文稿AI文稿今天说一个很多老师都在强调，但是很少说透的道理，中考结合不管怎么出题，最后落脚点都在三角形上， 这不是经验之谈，是有理论依据的。听完你就知道为什么孩子要把很多的精力放在三角形上。几何问题脑子都通了。第一个，三角形是几何的终点站，你看历年的中考压轴题，四边形、圆 函数里面套几何，表面上花里胡哨的，最后是不是还是相似，全等勾股定律，三角函数 是不是这些东西全都是这些东西？不用怀疑，全等和相似本身也就是有相似之处的。勾股定律和三角函数，其实它就是在直角三角形里面解析， 知道吧？所以出题绕来绕去，最后都要把所有的题放在一个三角形里面，让你去解，知道吧。所以遇到题的时候想，这里面藏了什么样的三角形，让我要去找 明白吧，一定要往这想。第二个，所有的多边形和圆最终都会被切成三角形，你看平行四边形，对角线一连有没有变成， 然后这个多边形，多边形咱们陕西经常考那种正对边多边形，然后不管是求角度还是求线段长，是不是还是切到三角形里面去了？还有咱们的圆就更不用说了， a 字相似，八字相似，共角相似，这个母子相似， 是不是翻来覆去就是考这个？而且相似完了之后叠加三角函数让你去接。第三个，几何问题要 代数化，这个是陕西报告会强调的内容。什么叫几何问题？代数化其实就是把几何问题最后变成方程的问题，列方程，列比例式，那你相似是不是在列比例式？你 a 平方加 b 平方等于 c 平方，是不是在解一元二次方程？ 所以今年提出这个几何问题代数化之后其实就是这个意思。然后呢？最主要的是啥？最主要的是代数问题要求模型化，几何问题要求代数化，是不是很有意思？
567陕西中考李老师
00:19查看AI文稿AI文稿中考必考压轴题。本题考察垂线段最陡等腰三角形性质、圆的性质。轴对称求最陡路径，矩形性质结合几何最值综合应用考察竖形结合与逻辑推理能力。
20青春日记
16:30查看AI文稿AI文稿好的各位同学，大家下午好。今天下午呢，星光老师给大家介绍一下二零二六陕西万维中考黑白卷的压轴题。是黑卷的压轴题， 考察的是一个引元模型以及相三角形的综合。咱们看其奥说是，哎，如图一， a、 b 是 圆的直径是圆， o 的 直径， a、 b 等于九，就直径是个九，那半径呢？四点五嘛，对吧？点 c 是 圆上的一点过，点 c、 d 垂直， a、 b 与点 d 垂足是 d， 对 吧？ c、 d 的 最大值是多少呢？ 那你 c、 d 的 最大值是不是你点 d 一 直在直径上运动吗？你当点 c 到 a、 b 的 距离最大的时候，你 c、 d 就 最大，那什么时候最大呢？是不是到上半圆的顶点的时候就点 c， 在 这的时候， 对吧？点 d 和点 o 重合，点 c 在 这，那这个时候 c、 d 的 最大值不就是 o、 c 这个半径吗？四点五吗？ 对不对？很简单。好，第二个，我们说是在直角三角形 a、 b、 c 和 a、 d、 e 中， a、 c、 b 和 a、 d、 e 是 九十度，哎，这和这是九十度， 然后呢， c、 a、 b 和 d、 a、 e 都是三十度，那这就隐身出了一个基本的性质啊，就是在直角三角形当中，三十度角所对的直角边是斜边的一半，也就说 c、 b 是 a、 b 的 一半，然后呢， d、 e 是 a、 e 的 一半，对不对？然后说是 c、 d 等于一个 c， d 等于六，求 b、 e 的 长呢？ 那怎么看呢？首先你看 a、 c、 b 等于 a， d、 e 是 九十度，然后呢， c、 a、 b 和 d a、 e 是 三十度，那这两个直角三角形是不是相似呀？我们先写出来就是三角形，这个 a、 e、 d、 a、 d、 e 吧， a、 d、 e 相似于三角形 a、 c、 b， 为啥呢？由两组角相等的三角形，是相三角形呀。然后我们把它的这个边长比写出来，就是 a、 d 比上一个 a、 c 是 不是就等于一个这个？嗯，再看一下 a、 e 比上一个 a、 b， 继续呢？就是一个 d、 e 比上一个 c、 b， 对 不对？我们把三三组对应边的笔写出来， 而且呢， a、 d 比上一个 a、 c 好， 那我们再看啊，因为 d、 a、 e 等于 c， a、 b 等于三十度，那这两侧这两个角就是 c、 a、 d 和这个 b、 a、 e， 它俩一定相等，为啥呢？因为它 他们就是这个。我看这是角一，这是角二，这是角三，你看角一加角三是三十度，角二加角三也是三十度，把角三全扣掉，那角一就等于角二，那你角一等于角二，对不对？然后呢，这个 a、 e， 我 们把这个笔，把这里面这个 a、 e 和 a、 d 这个笔，它交换一下，交换成啥呢？就是一个嗯， 比例的内向可以交换啊，就是把 a、 e 和 a、 c 交换一下，就变成了谁啊？ a、 d 比 a、 e 就 等于 a、 c 比 a d， 对 不对？ a、 d 比 a e 等于一个 a、 c 比 ab， 对 不对？然后呢？角一还等于角二，这样一来的话，是不是这两个钝角三角形，三角形，这个 a、 e、 b 就 相似于三角形 a、 d、 c 了，对不对？这两个钝角三角形相似，那这个时候它们相似以后，那 a、 d 比 a、 e、 ad 就是 ad， 比 ae 等于一个 ac 比 ab 继续等于谁呢？等于一个 dc 比上一个 e、 b 啊，对不对？那 e、 b 是 不就出来了？ dc 是 个六， e、 b 是 不知道。然后我们再看一下 ad 比 a、 e 的 一个相似比是多少呢？因为这个，你看这是个三十度的。这个 什么呀？直角三角形 ad 比 a、 e 不 就是 cosine 三十度吗？ cosine 三十度是多少呢？ 函数的三十度是二分之根三，对不对？就是 a、 d 比上一个 a、 e， 它实际上它等于一个二分之根三，也就说这相似比就是二分之根三。那好，我们现在就是二分之根三，就等于一个 dc 是 个六，比上一个 b、 e， 那 b、 e 不 就是一个 交叉相乘二六十，二十二除以根，三十二除以根三。我们分别由理化，三分之十二倍的根三，就是一个四倍的根三，对不对？也就说 b、 e 是 一个四倍的根三，对不对？我们用了两次相似，对吧？好的， 那我们紧接着再看第三问，压轴小问了，对吧？说某植物园这个原计划设计一个四边形 a、 b、 c、 d， 哎，就是这个比较左边的这个四边形，咱看图三左边这个四边形 a、 b、 c、 d， 其中 a、 b、 c 呢？是个二十， a， b、 c 是 个一百二哦， a、 b、 c 如果是一百二的话，那这个 c、 b 肯定是个六十度，对不对？补角嘛。 然后呢，根据实际需求，先将四边形 b、 c、 d 扩建成 a、 e、 c、 d。 扩建了，就属于把 b、 c、 e 这一部分给加进来了，对不对？然后呢点 e 在 a、 b 的 延长线上连接 a、 c。 然后呢， b、 d、 d、 e 满足 b、 e 等于二倍的 a、 b。 那 你看，刚开始 a、 b 是 二十， b、 e 是 二倍的， ab 就是 四十，那整个 a、 e 是 不是六十，对吧？好，然后呢， a、 c、 d 等于 d， c、 e， a、 c、 d 在 哪？哦，这个角等于这个角哎，这两个角相等，然后呢？ a、 e、 c、 a、 c 在 哪呢？ a， e、 c 在 这，这个角等于一个 d， b， c， 对 吧？ 等于一个 d， b， c 在 这，哎，那我们看下，这马上就有这个相三角形了，就是个 d、 c、 b。 这个，这个三角形和，呃，不是不是 d， c、 d， 呃， 还得再正一下，你看，发现这个提问的是啥呢？说，让我们求 a、 d、 e 的 面积最大，你看 a、 d、 e， 哎，是不是正一个？看左下方这个钝角 a， d、 e 的 面积最大，你看 a、 e， 它的底边 a、 e 是 六十，你要让它最大高， a， e、 e 上的高最大，那就行了，对不对？ 让我们求出 a、 e、 d 的 最大值呢？如果不行的话，说明理由一般都可以，对吧？那你看好，这里面 咱们先看给了两个角， a， c， d 等于 b， c， e， a， c， d 如果等于一个 b， c、 e， 但是我们给 a、 c、 d 把这个中间这个 a、 c、 b 加上，就是 a， c， d 加 a， c、 b 是 不是等于一个 b， c， e 加 a， c、 b， 那 这样一来的话，是不是等于谁呢？就是整个，哎， 整个谁呢？整个 d， c、 b。 这黑角和两个黑角相等，对不对？然后呢，他又说， a， e、 c， a， e， c 等于 d， b， c， a， c 在 这等于 d， b、 c， 那 这个时候三角形相相三角形出来了，是谁呢？我给大家写一下啊，先把这个去掉。 首先，那这个三角形，这个 d、 b、 c 相似于三角形，这个 a、 e、 c。 为啥？你看 d， c， b 等于 a， c、 e 一个角 d， b， c 等于 a， e、 c。 第二个角有两组角相等三角形是相三角形，我们再把它的这个边对应边的比例写出来，这个 d、 b 比上一个 a， e 就 等于一个 d， c 比上一个 a， c 等于一个 dc， 比上一个 ec， 对 吧？除此之外呢，这里面还有两个角相等的，就是这个角角一和这个角角二是不是相等的 对应角，对吧？我给大家标用黑笔标吧， 就是这个角一和这个角二是相等的，对不对？ 那好，那紧接着这里面会出现一个八字模型，就是 d c a、 b， 这是一个八字模型，我们根据八字模型，你看这里面有一个这个， 有一个这么个角，就是这个角 dca 和这个 abd， 你 看 dca 加角二就等于 abd 加角一。那角一和角二相等了呀，对不对？角一等于角二了，那是不是直接就可以得出来这个 dca 角， dca 就 等于角这个 abd， 对 吧？我们先把这个写出来，这是八字模型，然后紧接着我们再能干啥呢？看还有没有相似啊？ 呃，你看刚刚开始的时候，还有一个 a， c， d 等于 b c e， 那 a c d 这个角等于一个 b， c， c e 这个角，这两个角相等，然后我们再看一下，呃，看还有哪个三角形能相似了？我们看看下边，你看这个 d， b 比 a， e 等于 dc 比 ac， 等于 bc 比 e c。 我 们看这边能不能把一个比例内向交换一下，然后用用另一个相，三角形的证明方法就是，呃，两组，两组对应边乘比例，这两组对应边呢？夹角相等来正，对不对？你看夹角相等是个。呃，首先这个 dca 和 bce 是相等的，那我们只要证明 c d 比 c， b 就 等于一个 c， a 比 c， e 就 行了。那你看 c a， 那 在哪呢？我们把后两个一交换得到啥？就是 dc 比 dc 就 等于一个 ac 比 ec， 对 不对？ dc 比 bc 就 等于一个 ac 比 ec， 然后呢？ dc 和 ac 的 夹角还相等，那这样一来的话，是不是就三角形？这个 dc 它相似于三角形 b、 c、 e 了，对不对？这个用的是就不是两组角相等了，是两组对应边乘比例啊，就两组对应边的比值相等，然后呢？它们两组的夹角也相等，对不对？那 d c a 和 b c、 e 如果说它两相等了以后，那就全相似了，以后能得到什么性质呢？ 能得到什么性质？那 c、 b、 e c b e 这个角一定等于 c 什么呀？ c、 b、 e 这个角一定等于 cda， 对 不对？你 c、 b、 e 不是 六十度吗？那 cda 也是六十度呀， 对不对？也就是说 cda 这个角我们证明出来是六十度了，对吧？角 cda， 它等于角 cde 等于一个六十度，这个六十度证出来了，那该怎么办呢？接下来该怎么办？ 我们是是要去找到点 d 到这个 a、 e 的 最大值呢？点 d 到 a、 e 的 最大值不就是那个 a、 d、 e 的 高斜边，不是斜边就是底边上的高吗？那我们怎么办呢？我们有六十度啊，其实一般来讲就是我们得再勾到一个三角形，然后利用这个 啊等角等高模隐元模型，对吧？这样我们把这个 ab 就是 b a 向左延长，延长，延长多少？延长一个四十出来，因为 ab 是 一个二十， b a 是 个四十，我们延长一个四十出来， 对吧？延长到哪呢？延长 b a 到一个 f 连接 a， f 连接 a f， 那 你看 a、 f 是 不是就是一个四十？整个 f b 是 不是就是一个六十，对吧？然后我们再看一下， 呃，那，那也就是说 b f 和 a e 是 相等的，我们现在看之前哈，之前在这个里面我们算这个边长底，这里面有没有和 a e 相关呢？就在这 d b 比 a e 对 不对？那我们现在看一下这个还是换一下，把 d、 b、 c 和 a e 一 换，就是 b b 比上一个 dc， 就 等于一个 a e 比上一个 a c， 对 不对？ b b 在 哪呢？ b b 比上一个这个？呃， dc， 哎，再等于一个 a e 比上一个 ac a e， 我 们换成一个谁啊？把 a e 换成 b f， 因为 a e 和 b f 都是六十嘛。我们把 a e 换成 b f， 看一下这个能不能 db 比上一个，这个 db 比 dc 等于一个 bf 等于一个 bf 比上一个 a c， 那 你看这是哪两个三角形相似啊？这是哪两个三角形相似呢？ d b 在 哪呢？ d b 在 这条红线这一块，然后比上一个 d c， 对 吧？ d b 比 d c 等于一个 b f 比上一个 a c， 也就意味着看 d b 和 d c 是 一个对应边，然后呢， b f 和这个 a c 是 对应，而且我们刚刚证明了这个 d c a 对 吧？ d c a 和 abd 这两个角相等， 那是不是刚好就满足了这个两组对边成比例？这两组对边夹角相等，因为 dc 和 ac 的 夹角，呃，以及 db 和 bf 的 夹角是相等的，那这样一来话，是不是直接相三角形出来了，对不对？就是这都没地方了，我我我，腾点地方吧，我看腾哪了，就腾下一个。 好，那也就是说这个三角形，这个谁呢？ dca， 它相似于三角形，谁呢？ ddf， 你看 dc 和 db 比值等于一个，这个 ca 比 bf 的 比值，而且呢，这个 dc a 和 dbf 这个角相等，这咱们刚刚用八字模型正出来，因为角一等于角二嘛，然后呢？八字模型肯定相等嘛，然后这样一来的话，是不是 这个你看 cda， cda 那 角 cda 就 等于一个 bdf， 对 不对？ c、 d、 a 是 多少度呀？ c、 d、 a 我 们刚刚已经证明出来， c、 d、 a 和这个 c、 b、 e 相等，是六十度，那意味着 d、 b、 d、 f 是 不是六十度啊？也就是说 这是六十度，那在三角形 d、 b、 f 当中有一个角是六十定定弦定角，那肯定是 b 为圆呀，那点 d 肯定是在这个圆上运动呢，对不对？那我们大概画一个圆， 怎么画呢？ 大概就是这样子，这画的不太好， 就画这个 a、 b、 d 的 外接圆， 大概就这样吧，画一个外接圆，那你什么时候这个点 d 到这个它这个 b、 f 的 距离最高呢？ 是不是在顶点的时候，当你到顶点的时候，这个 a、 这个 d、 b、 f 是 变成一个等腰三角形了，而且它顶角是六十度，是变成一个等边了，那等边三角形的边长是六十，它的高是多少呢？高是多少？ 边长是六十，高肯定就是一个边长的二分之根三倍，对不对？用三角函数可以解，用勾股定也可以解，那你这个我们做一个，做一个高下来，做一个 d、 h 下来， 你 d、 h 这就是一个定角定，呃，是一个定角定高，就是你这个 d、 h 最大值，肯定就是当这个呃点地 点地过这个圆心的时候，点地过圆心，你垂下来，这其实是一个等腰三角，等等腰三角形，而且它是六十度，是一个等边，对吧？这块正的话，之前新郎老师正过，其实是一个定角定高模型的时候，正过他最最大值就是一个。呃，你算出来是不等式小于是一个带小带等于号的不等式，当他三点共线的时候 就圆心，大概在这，当这个 d、 o、 h 它们三点共线的时候，这个 d h 是 最大值，那 d h 最大值多少？你看 d f 是 个六十，对吧？然后 f h 是 一个三十，那六十三十你勾股定，你算，或者用这个，嗯， 烤散三十度也可以啊。烤散三十度就是 d h 比六十等于一个二分之根三，对不对？对吧？然后我们这个六十倍的根三再除以一个二，三十倍的根三，对不对？三十倍的根三， d h 呢？那 d h， d h 最大值就是它是一个最大值，是一个三十倍的根三。那 a， d e 的 面积呢？ a d e 的 面积 它就是 a e 六十， a e 是 六十，乘以三十倍的根三，再乘以二分之一是多少呢？九百倍的根三，对吧？这就是它的一个最大值。各位同学，还有四吗？啊？ 整个就是啊，就是我们最终是要在左边做出一个引圆出来，然后呢？定角定弦，定角定弦的话你最，你这个高的，你这个最。呃，他如果说要求这个 d h 的 最最大值的时候，你点 d 是 一 d h， 就 在这个上上部分这个圆弧的这个顶点的时候，对吧？好，那各位同学，这道题呢？咱们今天就到这，好不好？各位同学再见。
148新刚学习圈
02:10查看AI文稿AI文稿二零二六西安铁一冰河七年级下的其中压轴题难度是三颗星。已知三角形 a、 b、 c 为等腰直角三角形角 b， a， c 等于九十度点 o 是 线段 bc 上方的一点连接 a、 o， c， o。 线段 c、 o 交 a 点角 b， o， c 等于九十度做 a， d 垂直于 c， o， d 垂直于 c、 o。 三个直角垂足为 d。 请找出线段 c， o， b o， d、 o 之间的数量关系，并说明理由，一起来解一下。重点是一个截长补短。首先截长补短做辅助线，在 c、 o 上截取 c， g 等于 b， o 连接 a， g， 那 我们看这两个三角形。二、证明三角形 a， g， c 全等于三角形 a， o， b， b， o 等于 c g。 这是我们刚才做的线段 ab 等于 ac， 这是题目的已知等腰直角三角形 角 obn 等于九十度，九十度减，这个角等于九十度，九十度减去 a nc， 也就是说等于角 a， c， n， 那 么边角边。所以这两个三角形全等。通过全等我们可以得到 a， o 等于 ag， 这两条线段相同，角 o， a， b 等于角 g， a， c， 这两个角相等。 好，第三步，我们再来观察一下三角形 a、 o， g， a， o 等于 ag， 证明它的顶角 o， a， g。 因为角 o， a b o， a， b 等于角 g， a c， g， a c 而 g a， c 加 n n， a g 等于九十度，所以 o， a， b 加 n， a g 也等于九十度。那证明这个三角形它是一个等腰的直角三角形，那 ad 是 底边的高 ad， 也就是底边的平分线 o， d 就 等于 d g。 好 了，那结论就出来了，结论 o， c 等于 c， g 加二倍的 o， d。 好， 今天我们就讲到这里。
31彩虹数学思维营
00:5429物理资料库
12:01查看AI文稿AI文稿前两讲呢，我们讲的是非常基础，也是非常核心的内容。比如说今天我们会讲全等相似，对于等量和比例的处理。全等相似，它最核心、最核心的价值 就是给我们提供了当你在几何问题当中遇到了等量关系，遇到了线段的比，应该怎么去处理，对吧？我给大家举个例子，大家现在拿出来一个本子或者一张纸，你跟我一起画图来感觉一下。比如说， 哎，这有一个三角形，这有一条线段 a， 这有一条线段 b， 这个加角是 r 法，然后这条线段是 c。 好 了， 那现在呢，我给了你一组等量，我这又有一个线段也是 a， 好， 这有一个 a， 这有一个 a。 那 么题目当中呢，相当于你就看到了一组等量关系，一组等线， 那么这组等线怎么样才能用起来呢？他如果在同一个三角形当中，那等线对等角，你就把它用起来了，对吧？但是他们俩离得这么远，你唯一能够想的是去干什么？兄弟们来想一想，现在两条等线不挨着离得这么远，他们不可能放到同一个三角形去处理，那只能放到不同三角形去处理了 啊。那么不同三角形，哎，离得这么远，你会有什么想法？你只能把它放进全等三角形了。怎么放进全等三角形呢？那我们观察一下，因为这给了一个角度而法，所以呢，我给这也来一个角而法，并且在这条射线上，我截取一条线段等于多少？ 我再截一个线段等于 b。 好 了，那这个时候你观察一下，这是 a， 这是 a， 这是 r 法，这是 b， 这是 b， 那 么这两个三角形就怎么样了？是不是就全等了？ 全等以后呢？我可以拿来干什么？我就可以同步信息了。你比如说这条线段是 c， 我 就可以得到这条线段也是 c， 同时这个角是 beta 呢，这个角也是 beta， 这个角 c， 它这个角也 c， 它，你会发现，我就由原本的一组等量，通过构造全等三角形，就得到了一堆的等量关系，我还把这个已知量 c 挪了位置， 这就是通过全等去用起来等线，这叫全等对等量的处理，这是最底层，最底层的我如何用好全等？当你看到了等线怎么办？想办法把它放进三角形，放进全等三角形，勾到全等。 好，这是第一个逻辑，这是处理等量啊。那假设我这有一个 a a， 那 么这有一个线段二 a， 哎，你看，我这有一个 a， 这有一个二 a， 我 给了你一个一比二的比例，线段看给了你比例，那这个比例我又应该怎么样才能把它用起来呢？我刚才说了，有等量我就可以造全等，那如果有比例呢？我就造相似，并且我还知道我造出来的一定是相似比为多少的相似， 相似比为一比二的相似，那同样呢？这有一个角 r 发，我给这也来一个角 r 发，那么并且呢，这次我在这条射线上应该截取一个线段等于多少二 b 嘛？对不对？我截一个二 b 出来。好了，这下观察， 我把这一条这两个端点一连，你会发现这是 a， 这是二 a， 这是 r 发，这是 b， 这是 b， 两边成比例加角相等，那么这两个三角形它就是什么？它就是相似的关系， 对不对？那么同时呢，我可以得到这个是 c， 这个就是二 c， 哎，我通过造一个相似，我就把这个 c 挪到这，并且还给它乘了二，同时呢，依然可以得到贝塔等于贝塔， c 塔等于 c 塔，得到了等角，得到了乘比例的线段，这就是 通过构造相似去处理什么比例关系，处理线段的比，这就是我全等相似对等量对比例的最基础的使用逻辑，非常非常的底层了。就是你其实造所有的相似，比如说未来我们会用模型来造相似，他的逻辑其实是一样的。比如说，哎，我这看到了一个， 这是 a， 这是二 a， 这是阿尔法角，这是阿尔法角，那这时候怎么办呢？这个 a 和二 a， 我 也得想办法把它放进一比二的相似里，怎么放？只不过这次这已经有等角了，我只需要再把它捅出来，这是，这是 c， 它，这也是 c， 它，那么这两个三角形就相似，我就可以得到，这是 b， 这是二 b， 这是 c， 这是二 c， 这就是八字相似的构造。哎，虽然它是用模型思想，我去就直接解决了，没有那么多分析了，但是它的底层逻辑还是当你看到了比例线段，我得想办法把它扔进相似三角形当中，这个逻辑可以解决解释一切的相似构造。什么是底层？ 就一个逻辑，越底层，他能够帮助你解释的问题就越多，对吧？像这个你就不能仅仅记一个，我把他捅出去，你更重要的是什么？去理解他为什么能这么干？因为你一旦把他捅出去，等角和比例关系就进到三角形，就会有相似，这是我们处理了，这叫什么？等线？ 从他到他叫处理等线，从他到他叫处理比例线段。那么还有一种啊，就是纯粹看到了等量，除了等线还会有什么？还会有等角吗？比如说， 哎，我这有一个 r 法角，并且我知道这是一，这是二，这是根号五。哎，我在这看到了这样的一个三角形，同时呢， 我在这这也有一个 r 法角，那这次呢？怎么利用这组角相等？大家想一想，处理等角，离得这么远的两个等角，我怎么样才能把它用起来？我就做垂线嘛，你想，已经有一组等角了， 这有一个直角，那我给这也凑一个直角，我给这也凑一个直角。那么这个阿尔法和这个阿尔法，这个九十度和这个九十度是不是就造成了这两个三角形相似？那么这个三角形的比例关系是不是就完全可以复制出来？我就知道这是 x， 这是二 x， 这就是根号五 x， 你会发现这就是对等角的处理。我看到了两个角度相等了，离得这么远，我只能想办法把它干什么？放进带有等另外一组等角的三角形，就造成了相似，所以这叫等角造相似。好，你看我们讲了哪些东西？ 等线造全等比例线段造相似，如果只有等角，离得又很远，等角离得很远能干嘛吗？ 放进三角形内造相似吗？哎，怎么放进三角形内？再给他凑一组等角，这就是全等相似。对等量和比例关系，等线等角比例线段的处理，最底层、最底层的全等相似的使用逻辑，就是我们平常所说的什么逆等线问题啊。这那那这那些看起来花里胡哨的东西，它的底层逻辑全部都在这里， 你理解了这个底层逻辑，你就不需要去背一个什么题型，背一个什么模型，而是你知道它原理是什么，怎么想到的去那么干。那如果把这些听懂了，哎，那核心就是一个什么 核心，其实标设放列的里面的哪个字，在这里特别特别的重要？放我们平常所说的四字习惯里面的放就非常非常的关键了， 你看，你就是要把给你的等线，给你的等角往三角形里放，放进合适的三角形造全等相造相似。你看你把这个阿尔法放进这个三角形，把这个阿尔法放进一个带有直角的三角形， 放是核心，就是当你看到了一堆等线等角怎么办？怎么组合？把它们往三角形里去放好，自己一定要动手画啊，自己一定要动手画，自己画好啊，觉得没问题了啊，我们接下来通过四道题目， 咱们来感受一下啊，如何真正的在题目里面如何去构造的。好了，来，我们来看题，好了，来吧，我们来看看这道题，感受一下啊。首先他告诉我们 a、 d 是 等于 c、 d 的 这两条绿线相等， 然后呢，角 b 和这个角相等，那我就都设为 r 法，这两个 r 法角相等。最后呢，让我们证明 c、 e 等于 ab， 要正这两个圈线段相等，要正这两个圈线段相等，已经有 r 发角， r 发角相等，绿线和绿线相等， 大家想一想，我最终证明这两个圈线又离得这么远，它不像，如果是在同一个三角形内，我要正两个圈线段相等，我是不是正等角就行了，但是这两个线段又离得这么远，我想要证明这两个线段相等，我就只能去想什么思路，他一定是正全的， 对吧？方向就是这样，它离得这么远，你不正全等，你怎么证明这两条线段相等对不对？而且全等也有了很多等量关系，我已经有 r 法角等于 r 法角，绿线等于绿线好了， 正全等。但是你会发现呢？如果我想直接正全等这两个，哎，你会发现，目前这个圈线段只能放进这个三角形，这个圈线段你只能放进上面或者下面这两个三角形。考虑到 r 法角，你其实只能往这个圈三角形里放， 而这两个三角形显然怎么样？不全等。为什么说显然不全等？一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，这两个三角形肯定不会全等的，所以我们得造全等，而造全等的过程就一定得想着我得利用好什么？利用好 r 发角和 r 发角， 我得把圈， r 发角还有这个绿色线段是不是往一起凑？来，我再说一遍啊，你看这个逻辑，圈 r 发角和绿色线段，我得把这些等量关系往三角形内放，等量放进三角形， 对不对？而你会问，这个圈，这个阿尔法，这个绿色线段已经在底下这个三角形了，那这个绿色线段，这个圈，这个阿尔法感觉也在一个三角形，但是这两个不全能，那怎么办呢？我得调整一下位置。怎么调整？哎，我现在阿尔法角肯定得用上这个圈和阿尔法圈和阿尔法我肯定得用上， 对吧？但是这个绿线呢？好像不太美，目前人家题目直接给的三角形不全能，那怎么办？连接 b， 你 看，如果你连接 b e， 如果你连接 b e， 你 是不是把这个等角就拆掉了？ 你肯定不能干这事嘛？你肯定不能把 r 法拆掉嘛，对不对？你 r 法要完整的保留，那怎么办，对吧？连接 b e 肯定不行。我能不能在这上面截取一个啊？比如说 b g 这个叉等于这个叉，然后呢，我再把这条线段连接起来，正这两个三角形全等， 哎，我截取一个叉等于叉，我只要能够证明这两个三角形全等就 ok。 哎，这个思路有点意思，而且我们造出来的三角形，是不是看起来它就一定是全等的？ 这个思路有点意思，但是你会发现这个思路有个问题。这个思路有啥问题？它最大的问题是 a d 等于 c d， a d 等于 c d 这个条件 用得上不？兄弟们，你这个条件用不上，有没有发现？这个条件用不上，你会发现，那这两个三角形你要想正全等，正不了。为什么你只有个叉等于叉， r 等于 r， 你 缺条件。为啥缺条件？这个条件没用上，这个条件没用上，你就弄不出来。 那怎么办？旋转等线，其实旋转不旋转都无所谓，你既然他和他没有办法构成一个全等三角形，而这他和他又相等，那怎么办呢？我在这直接做一个 a f 等于 ad， 这可以做吧？我肯定可以在这找到一个 a f 等于 ad， 做 a f 等于 ad， 哎，这样的话，绿线和绿线相等了， r 法角和 r 法角相等了，哎，这次等量关系我就用上了，对吧？原本的这个等于这个，现在我造他等于他，所以这三条线呢？都相等。等量关系用上了，现在呢？最终我要证明这个圈等于圈，就是证明这两个三角形要全等。 我现在要证明这两个三角形全等。已经有绿线等于绿线了，阿尔法等于阿尔法了，还缺一组条件，能不能看到补角相等？因为我给这造了一个等腰，那你会发现这个 beta 等于这个 beta， 那 就会导致这个 c 塔等于这个 c 塔。好了， c 塔等于 c 塔，阿尔法等于阿尔法， 绿线等于绿线，这两个三角形全等，最终我就可以得到 a， b 等于 c、 e。 结束好整个的思路是什么？整个的思路就是当题目给等量，要我们正等量，我就得把这些等量关系放三角形 造全灯，得到这个灯亮，这就是它的底层逻辑。我们刚才的试错，我们刚才的分析，我直接做它等于它的这些这些尝试都是非常非常有价值的。 最终我们通过探索，我发现我就是要尽可能的利用好题目给我们的等量关系，把它们扔进同一个三角形，让它们去得到全能。你看原本这条线和这条线没办法扔，怎么办？我把它转过来这条线、这个角，这条线这个角，最后再结合等腰出一组等角， 等量关系放进三角形造全等，这就是全等。对等量的使用。以后什么时候会这么想问题呢？给等量，正等量，那我肯定要把想办法把等量往三角形里放去造全等，这才是核心啊，这才是核心。怎么想到的？就是这么想到的。
784马哥数学直播
01:07:12
02:58查看AI文稿AI文稿二零二六年陕西中考数学压轴大题预测，旋转 啊！这个旋转我们从初二开始学，一直用到初三，但是呢，习老师预测今年我们中考出旋转的概率非常大。我们从初二的手拉手模型开始着手， 如果有两个等腰三角形，并且顶角相同，共顶点的情况下，我们把其中一个三角形绕着一定的顶点旋转一定的角度，这样呢，我们就可以左手拉左手， 右手拉右手，我们形成的两个三角形就全等三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e。 为什么全等呢？因为 我们 ab 等于 ac， 题目告诉的啊， ab 又等于 a、 e， 题目告诉的，又因为我们的顶角相等，那么旋转的一定的角度，那我们可以用 一定的思维把这两个角算出来，这样的话呢，我们就可以用边角边，边角边证明这两个三角形全等， 这是旋转手拉手构造的全等。那我们在旋转也可以手拉手构造相似呀， 比如说，我们有一个三角形 a、 b、 c 和 a、 d、 e， 它们都是直角三角形，并且这两个直角三角形还相似。 我们绕着点 a， 把三角形 a、 b、 e 旋转一定的角度，这样的话呢，我们把左手拉左手，右手拉右手，我们就可以得到 a、 b、 d 相似于 a、 c、 e。 为什么呢？因为呢，我们看一下，在三角形 abc 中， ab 比上 ac， 那 是不是就等于 ab 比上 a、 e， 因为我们开始 abc 和 a、 d、 e 就是 两个相似的三角形嘛，对吧？然后呢，再看这个夹角和这个夹角相不相等呢？ 因为 a、 b、 c 和 a、 d、 e 相似，所以角 b、 a、 e 等于角 d、 a、 e， 它们旋转一定的角度之后呢？我们这个角是不是就等于 b、 a、 c 减上 d、 a、 c， 那 么我们这个角是不是也等于 d、 a、 e 减上 d、 a、 c 两个相同的角减上一个共同的角，那剩下的角不就相等了吗？这样的话呢，我们 边角边类似于边角边的相似，好吧，我们就得到了这两个三角形相似。
