立体几何初步证明题
如果说在高考数学的阅卷过程当中，批卷人最不喜欢批的一个题，那么一定是立体几何的证明题，因为这个题的特点就是不管你前面写多少过程，最终你都可以把结果拍上去， 那么阅卷人他就会非常仔细的在当中去找正确的证明过程。好，那至于什么是正确的证明过程，这个我们到底知不知道呢？好，那这个视频呢，我们就来梳理一下整个立体几何证明题当中最常用的十个定律啊，基本上它可以覆盖百分之九十以上的题型， 那至于都是什么呢？我们就来去这么分分下类啊，线面平行、面面平行、线面垂直以及面面垂直，那么他们分别有各自的判定定律和性质定律。那其实从这个表面上看，其实他们总共是八个定律，但实际上呢， 如果是面面平行的话，它的判定定力和性质定力应该是分别有两个，那么加起来其实正好十个。好，那首先我们明确一个问题，判定定力和性质定力的区别是什么？就这个问题啊，就我带过很多高三的同学，他有的时候区分不出来啊， 我们可以这么理解，判定定律呢，就是我不知道线面平行，我需要证明它就是我从不知道到知道。而性质定律呢，就是我已知线面平行以后就是线面平行作为条件，那么我还能知道一些别的什么。 那其实从底层逻辑来讲，你可以这么理解所有的这个判定定律啊，其实它相当于都是一个升维的过程，比如说我要证明线面平行，线是一维的，面是二维的，那么我们就需要知道线线平行，然后来证明线面平行， 对吧？这是一个升位的过程，那性质定律呢？其实也就是说我们已知线面平行之后，那么我们就可以知道线线平行，那么把面进行个降维，所以说这个所有的性质定律，它都是一个降维， 就是这么个区别啊。好，那么我们来分别看一下这十个定律。 先看第一个啊，线面平行，那说人话来讲，它的判定定律就是平面 r 发外有一条直线， l 与平面内一条 m 平行，那么我们就说 l 平行于 r 发，那图我们就可以这么画啊， 这里面呢，它是 r 发，然后这里面它是 l， 我 们在这个 r 发当中去找一个线，这是 m， 其实从图来讲就是这样的。好，那这个呢？是我们方便理解啊，去用正常的语言来描述了，如果出现在卷面上的话，哎，让你正线面平行，那么判卷人他找的其实主要是三个东西，第一个就是 l， 他 一定是不在 alpha 内的，第二个就是 m， 他 一定是在 alpha 内的，那么第三个也就是 l 平行 m， 主要就是这三个条件好，由它们三就可以证明出来 l 平行 r， 其实我们去细看这三条的话，它们分别对应了三个过程，第一个这个 l 不 在 r 内，这个东西它一定是一个容易漏掉的一个条件， 那么 m 在 r 法内，也就相当于我在 r 法当中找到一个 m， 那 么这个关键点就是在于你的辅助线怎么做，所以这个对应的是你的辅助线。 一般来讲的话，我们都是构造一个中规线，或者是构造一个平行四边形啊，基本上都是这么操作的。好，那第三个呢？ l 平行 m， 其实这个才是我们证明的核心，最终我们证呢肯定是 l 平行 m， 就 这样。 好，那其实除此之外呢，他还有一种判定方式，那这个我们说到面面平行的性质定律的时候再说啊。好，那这个是最常用的，可以说百分之八十的题吧，都可以用这个方式来整。 那性质定律啊，其实现面平行性质定律这个东西，呃，在我看来它应该是一个隐藏最深的，就是平时用的比较少，但是一旦出题，我们最容易忽略掉的这么一个条件。好，那意思也就是说我们现在有一个平面 r 发， 那 l 呢？就是已经它跟这个 r 平行了。好，那接下来我需要去做一个平面为它， 然后这个比特跟 r 发，它一定会有一条交线。 好，那这样的话我们就可以判定出 l 是 平行 m 了。好，那我们把这个东西用竖线笔来翻译一下啊， 第一个也就是 l 平行 r 法，这个一定是一个已知条件，然后再往后啊， m 一定是在啊 l， 是 在这个比特里边， 也就是说我过这个 l 去做一个平面 beta， 接下来呢， beta 会与 r 发相交，是 m， 那 有这三条我们就会得到 l 平行 m， 所以 说一般来讲碰到这种情况啊，阅卷人他找的其实主要就是这三个条件， 那什么时候比较去适合去使用它呢？就当这个题目当中，如果说交线消失的时候， 这个时候我们就要想到去用这个线面平行的性质定律啊， 也就是说我们在这个题目当中明知道它是有一条交线的，但是你在这个体干当中，就是在图当中是没有体现出来的，这个时候就往这上想一想啊，基本上都跑不掉的。好，这是第一组，再看第二组面面平行的判定定律和性质定律啊。 第一个啊，就是平面 r 发内有两条相交的直线， m 和 n 同时与比特平行，也就是这样的， 这个是 r 发，这是比特， 这是 m， 这是 n， 那 如果说 m 和 n 都与比特平行，这个事就完成了啊，其实呢，如果我们给它再延展一下，那么它如果说分别有两条线 是这个，比如说像这样啊， m 撇 n 撇， 其实这个就是它的第二个这个定律，它俩很像啊，那我们翻译成数学圆来说的话，那么就是这样的， 首先这俩相交，比如给这交点去标记成一个 a 点，好吧？那首先说 m 和 n， 他 都在这个 r 法内，然后 m 和 n 相交等于 a， m 平行被它， n 也平行被它。好，那这样呢，我们就可以直接说明 r 法平行被它，或者说呢， m 和 n 都在 r 法内， m 撇 n 撇都在被它内， m 与 n 相交等于 a， 然后这里边 m 平行， m 撇 n 平行， n 撇一样，我们也可以说明面面平行就这样， ok， 下一个那面面平行的性质定律，其实刚才我就说过，这个有一个性质定律是可以用于判定这个线面平行的。你看咱们说这个降维，我们就可以这么理解，你看面和面都是二维的，那他如果降一个的话，那就是他可以证明线面平行， 那如果两个都降的话，他就可以证线线平行。其实这两个性质定律就这么来的，我们来看一下。 第一个，如果说 r 发和比特，那么 r 发内啊，随贝比特内吧，随便找一个线，比如这是个 l 啊，那它如果说在比特内，那 l 一定和 r 平行，那我们换算成数学原来说的话，就是这样的，那 r 平行比特，然后 l 是 在比特内，那么就可以直接说明 l 平行 r 内，那么就可以直接说明 l 平行而发。 好，那我们翻到前面这个，如果说同样的 l， 它如果是在一个平面 beta 内，然后 beta 还平行 r 法的话，那么也可以直接说明这个事。啊。 啊，可以这么说吧，只要说左边这个方法失效的情况下，那么我们就去找这个面面平行。呃，像二零二五年的新高考二卷，它那个题其实更好用的一个方式应该就是来去证明面面平行啊， 好，这是第一个，那第二个呢？同样的 rfa 和 bta 是 平行的， 这样呢，我去引出第三个平面蛤蟆， 好，就这样穿过去，那么这个蛤蟆它会与这个 r 法和贝特相交 m 和 n， 那 么 m 就 平行 n 换算成数学原来说的话，也就相当于是 r 法平行贝特，蛤蟆是交 r 法，贝特 等于 n， 好， 那直接说明 m 平行完事。好，那这个就是关于平行的这么几个定律。接下来看垂直， 首先第一个就是判点定律啊，这个其实挺常用的，那你看线面垂直，那么我们就可以正线线垂直呗。这里边 如果一个 l 和 r 发是垂直的，那么我们只需要知道它垂直 r 发内的两条相交直线即可。 好，用数学语言来描述的话，就是这样啊， m 和 n 都在 r 发内，然后 m 和 n 它是相交的， l 垂直 m， 那我们就说明 l 垂直二法 下一个性质定律，这个其实是特别常用的 l， 如果说已知 l 是 垂直二法的话， 那么它就垂直这个面当中的任意一条直线，那么 m 如果在 r 阀内啊，那我们就说明 l 垂直 m， 这个就是正线线垂直啊，其实正线线垂直的本质就是在正这个线面垂直，你就可以这么理解啊，或者说正线线垂直还有一种方式，比如说啊，你如你要正， 这也是比较常用的一个思想，要正 l 垂直 m， 那 我只需正这个 l 垂直 m 在 这个面上的投影， 哎，就可以啊 啊，比如说吧，建立一个模型啊， 就像这样，这个是就是实际做题的时候会比较实用的一个方法啊啊，比如说现在这一个平面里边， 然后这个是 m 吧，这条线是 m， 然后这个 l 呢？在底下这个面里边，那比如说我们想要去正这个 l 除以 m 的 话， 为什么我正投影就行呢？我们试想一下，如果说我们把 m 给它投影下来的话，你看一下，那么这个虚线实际上本质上来讲，因为它是投影嘛，它跟底面都是垂直的，那么这个虚线它一定会垂直这个 l， 然后呢， 它在跟这个投影是垂的，那你有没有发现这个 l 它就会垂直 m 所在的平面，对吧？然后进而就用了一下这个线面垂直的性质定律就解决了， 其实其实用了两次，对吧？他投影投下来这个地方就用了一次，然后这边再用一次啊，所以很多时候我们真正实际去用这个定力的时候啊，可以通过这个思想去用，还是挺好用的。确切来讲应该是说 m 在 l 所在平面上的投影啊，这个太多了，我不写了，就是这图，明白这意思就行。 好，最后一个，面面垂直，首先说一下判定定律，其实可我们可以这么理解，面面垂直就是线面垂直的一个续集啊。那如果说我们在像刚才的那个步骤当中，比如说 r r， 然后这是 l， 嗯， l 在 已经垂直 alpha 的 基础上，那么我们再找去一个平面，就是 l 所在的平面， 就这样，这是 b 它的话，那么 b 它就垂直 alpha， 所以 说转化成数学语言来说的话，那就是 l 垂直 alpha， 然后 l 在 b 它里边，你直接就说明 alpha 垂直 b 它， 所以本质上来讲，正面面垂直，你就是在正线面垂直，而线面垂直的本质又是正线线垂直，对吧？其实就是不断的升维和降维的过程啊，来性质定力， ok， 我 们就用上面这个图啊，这是 啊，其实图可能都是通用的哈。啊，这里边啊，我写的是 r 发内如果存在一条 l 与这个交线垂直， 比如我们设这个交线是 m 吧，啊，然后垂直， 那么 l 就 垂直被它，你看就是一个降维的过程， 对吧？由面面垂直，那么我们去反推的话，你肯定会推出线面垂直，你线面垂直，你又可以降维，推出线线垂直， 就这么一个逻辑啊。但是这个我觉得就是所有的条件当中，其实面面垂直这个条件相对来讲是最不好用的，但是我们明确一个核心就可以了，你见到面面垂直，你一定要干嘛去找这个胶线啊？所以 r 发垂直比特，然后 r 发跟比特交于 m， 然后 l 是 在 r 发内， l 又垂直 m， 那么 l 就 垂直被它，哎，就是这这么一套路啊，好，那简单来说呢，就是你看到面面垂直啊，面面垂直 找交线，然后垂直交线的线 啊，那么它垂直另一个面， 好，就是这么一个套路， 好，那以上呢，就是这个基本上就是我们呃所有的立体几何的解答题的第一问，证明题能用到的这十条定律啊， 啊，不说倒背如流吧啊，至少说我们把这些东西能背着就是你合上书之后写出来。那这个部分呢，其实正常我们高一刚学的时候会比较蒙，因为我们学的时候是老师一个一个讲的啊，如果说老师不做一个系统性的梳理的话，这个确实是很难受的啊， 如果是高三的话，我们在复习的过程当中，这些东西如果一旦有遗漏，一定一定要去把它补齐了啊，因为我们正常批卷的话， 一定就是找这么几个关键的信息。还有我们在答题的时候，比如说你像证明线面平，线面平行，是吧？那么你就要有意识的，因为整个一个卷，你要把这三个条件你去，哪怕你字体放大一点也好，总之你写的显眼一点，你让批卷老师一眼就能看出来， 省的他在那找半天，你想批批这个卷人真的是非常闹心的啊，哎，不要，还有不要去玩那些伪证啊，对吧？哎，这些东西， 行吧，那关于这个定力呢？我们就说这些啊，那我们就可以看完视频之后，我们就可以照着这一面，我们去把刚才讲的那些东西，你看看自己能不能给它复述出来啊？如果达到这点就 ok 了。
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好吧？然后刚刚说了三个垂直，其实不管题目是让你证的线线垂直还是线面垂直还是面面垂直，它的本质都是要你去证明线面垂直，我才有线线垂直， 好吧？然后，嗯，面面垂直的，一样的，是线面垂直才有面面垂直吗？对吧？然后很多同学就说，为什么不是线线垂直去推出来线面垂直呢？ 但是你在大题里面，你，你随便去看，只要问的是线线垂直的，它里面一定是先正线和面垂直之后才去证明线和我的一个线去垂直的，很绕的，这个等下我们讲题你就知道了啊，好吧， 那我们就看一下，先从简单的开始，然后你看这个就线面垂直嘛，对吧？嗯，刚说的线面垂直就要找线和两条相交的线啊，相交的线， 嗯，然后他说在这个三棱柱中， a、 b 是 垂直于侧面 b， b， e， c， e， c 的， ok， 就 相当于这个这条线啊，垂直于左边那个面的，然后 ab 等于 bc 等于一， ok， 这是一，然后 bb 等于二 就等于二，然后 bcce 等于三分之派， ok， 这个角就是六十度。然后呢，我们证明的就是 c 以 b 垂直于这个底面， 那他一定要找 c， e， b 垂直于两条相交的线，对吧？ 这个简单，这个一眼都看出来。因为我题目里面看 ab 是 垂直于面 b， b， e， c， e， c 的， 所以 ab 是 不是垂直于这个面里面的任何一条直线，刚好里面有谁有 c、 e、 b， 对不对？所以第一条我们就有了，这是第一条，这是第一。第一条垂直， 那是不是再找另外一条垂直就可以了？我们那怎么去找呢？嗯，这里我们没有别的的条件了，因为它里全是 ab， abc， 你 自己看一下啊，我 ab 已经组合了，要不就 abc， 要不就 ac 嘛， 对吧？ ok， 我 们先从 bc 入手，这是很多东西看不到的时候啊，你们就这样自己去量的组合，看能不能证明，然后刚好他给了你边给了你角， 对吧？所以就相当于这里是一，这里是二，这个是六十度。我们要把这个 c 一 b 先算一下，看他有没有可能能算出来，因为 c c 一 他也是二嘛，测能会相等吗？ 对吧？所以刚好你这里啊，很多同学说有个六十度，有个一有个二，那我这里就直接垂直了。你考试的时候你要怎么写呢？你要说口算，以六十度是不等于 b c 的 平方，加上 c c e 的 平方，减掉一个 b， c e 的 平方，去除一个二，乘以 b c 乘一个 c c e， 你 要这么去写，然后我算出来 b c、 e 等于根号三啊，这一步很重要啊，很多东西都直接去写的，所以要用余弦定律去写，所以才有了勾股定律，你写了之后才有了勾股定律。 好吧，所以这里有勾股定律，你们就自己去算，我就不去写了啊。所以你看第二个垂直不就有了， 对吧？所以就是 bc 一 就会垂直于 bc 嘛。好吧，过程，这个总结的过程你们自己去写，这里就就很简单。但是重点是什么呢？重点就是这里，这个是第二条垂直了吧，第二条 垂直于两条相交直线，你看，我就说又因为 bc 交 a b， 对 吧？等于 b 点这个东西就代表我这两条线是相交的，就是我后面的它和后面的 a b， 对 吧？因为都是 c e b 嘛，垂直于两条相交的直线啊，所以 我才有了什么呢？然后还没有，且 bc 和 ab 都是属于面 abc 的， 对吧？所以 c e b 就 垂直于面 abc。 看到没？关键一点就在哪里，这在这一步，很多东西你要是不写的话啊，可能在高考中他会是又做成一个扣分点的啊，好吧，所以这个就线面垂直， 对吧？他，他比那个，呃，我们的平行要简单很多，因为他的平行都很固定。 好吧，那我们看一下这个第二题啊，他说，嗯， p a d 垂直于这个 a、 b， c d 就是 左边这个面垂直于底面，然后 p a 等于 pd 等于二， ok， 然后四边形 a、 b、 c、 d 是 边长为二的菱形， ok， 看到没？菱形出来了， ok， 六十度出来了， ok， 他 肯定有隐藏条件的，不然他不可能这么给你，对吧？ ok， 这也是二，这也是二，这也是二，这也是二。然后 e 是 a d 的 中点， ok， 然后让我们证明的是， b e， b e 在 哪里？ b e 在 这里。 垂直于什么？ p a d， ok， 首先你看到这个东西面面垂直，然后看到这个有个等腰，等腰说明什么？等腰是不是说明 p e 啊？ p e 啊？ pe， 它是垂直于 a d 的， 所以你以后你们看到等腰等边，对吧？有中点，那它不就会垂直吗？然后这个东西刚刚说了，两个面垂直一定会有一个什么性质呢？就是如果 等一下我画个图给你们，就如果有两个面是垂直的啊，哎呀，这笔等一下啊， 算了，就用这个吧，两个面垂直的，对吧？然后他说也没了，但是我们这个结论可以用，就是 p e 是 垂直于 ad 的， ad 刚好是两个面的什么线？ ad 交线嘛，对吧？所以 p e 现在就是垂直于两个面的交线，所以我能得到一个什么线，一个什么结论，是不是 p e 垂直于面这个底面， 对吧？这个就是我们刚刚垂直里面讲的一个两个面垂直的一个很重要的一个性质啊，所以这一步啊，大家是一定不能忘记的，所以你看，我就根据条件我就能推出来 p e 现在在垂直于谁？ 垂直于，垂直于我们底面里面的这根线， b e 嘛，就是我们题目里面有的，所以第一条垂直，这个就是第一条 不就出来了？那么第二条在哪里呢？我说了，你看菱形六十度，会联想到一个什么点，我把它单拎出来， 你看不出来？有一个方法，就是你把我这个底面或者你要的面这样把它单拎出来，字母坐标，终点坐标，对吧？坐标之后，然后 b e 一 连我说了， 呃，他说谁啊？ d a b ok， 这个角等于六十度，所以这不就垂直了吗？ 对吧？你怎么说呢？你就说我连接这个，因为它是菱形，所以 a d 等于 ab， a d 等于 ab 之后有一个角是六十度的，等腰三角形，是等边三角形，所以就等边了，等边了，所以 b e 不 就垂直于 ad 了吗？所以我这个条件就能得到的就是 b e 垂直于 a d 啊，好吧，所以一一个个条件去分析，很多同学看到这个，你看不出来，对吧？但是我说了，题目给你的条件他肯定有特征，面面平行，想到什么？想到这个， 对吧？然后这个等腰或者等边，就想到中线垂直，菱形有六十度，就就就一样的想到这个模型，怎么可能做不出来呢， 对不对？所以啊，你看我现在这里相当于谁垂直于 b 了，就是 a d 垂直于 b 了，这个不就是第二条， 对吧？然后就说明他们两个相交就是 p e 交 a d， 你 自己看一下，看图嘛，这两个相交是不是交于点 e， 不 就证明了两条相交的直线分别和我这条直线去垂直了，所以我不就证明了 b、 e 垂直于 p a、 d 了吗？ 对不对？所以啊，这个就是教你们怎么去用这个题目给你的特征，因为很多高考题他考的很难，等一下我们后面会会讲一道浙江卷的高考题，那一年难倒了很多那个第一位，好吧？ ok， 然后我们来看一下面面垂直啊。呃，面面垂直，其实我说了面面垂直，它还是线垂直于面，对吧？因为我只要证明了线垂直于一个面之后， 那么我过这个线的一个平面看到没，它也就垂直于这个面了啊。 我们看下题，他说四棱锥 a、 b、 c、 d 是 一个边长为二的菱形， ok， 看到没？二就是菱形和六十度啊，所以这个条件我下意识的我就要知道它一定会有个垂直的， 对吧？嗯，然后 e 是 c、 d 的 中点，然后 pa 垂直于底面 ab， 让我们证明 p b， e 垂直于 pa， b， e 在 哪里？ p b 在 这里，对吧？然后 p a、 b 在 那里，前面这个面， ok， 看着就不垂直，对吧？但是图是会欺骗我们的，因为我们会有一个斜二侧画法吗？四十五度的角，我们就要在斜二侧里面画成一百三十五或者四十五吗？对不对？所以我们怎么去做呢？ 你一定要记住啊，证明面和面垂直，刚刚说了要找到线和面垂直，那就要在这里面，或者在这里面去找一根线和另外一个面去垂直就可以了。那怎么找？我们就要根据图像来了， 那么从谁入手，我们现在看不出来，对吧？你不可能一个个去试，题目会给你提示，一定要记住，题目一定会给你提示的啊。好吧，那这里的提示在哪里呢？就是这个，你看我把底面给展开了， 就这样子的点标下 a， b， c、 d， 然后连接的是谁啊？连接是 b、 e 这样子的，然后有个六十度在哪里？ b c、 d 这个角六十度，我刚刚说了，这个角一定是个直角，因为一样的变变成了个等边三角形嘛，所以这个条件它就能推出来谁呢？嗯？ be 它是垂直于 c d 的， 图是看不出来的啊。 好吧，但是我可以根据这个条件去找模型，对吧？ ok， 那 这里的提示不就出来了吗？他不就让你找 b e 吗？所以我是不是就把这个题目我就转换成了找 b e 垂直于面 p a b 了吗？ 对吧？那怎么就证明呢？你看 c d 又平行于谁？ c d 是 不是又平行 ab 的？ 是不是这里就相当于是 b e 垂直于 ab？ 看没第一条有了吧，这个就是第一条， 对吧？那么我们只用找第二条呗。第二条还有一个条件没用啊，看到没？ pa 垂直于面 a， b， c、 d 这个条件我就能推出来 p a 不 就垂直于 a b， c、 d 里面任何一条线刚好 b e 在 a b， c、 d 里面，看到没？ b e， 对吧？所以你看 b、 e 垂直于两条相交的嘛， a b 交 b a a p a 啊，等于 a 点，对吧？所以我是不是就说 b e 就 会垂直于面 p a b， 然后就说又因为，呃，这个 b e 是 属于面 p b e 的， 所以面 p b e 不 就垂直于面 p a b， 对 吧？重点啊，重点就是相交啊，因为垂直里面的第一个扣分，扣分点一定是这个，你写没写这个相交的啊？然后其他的反正我就就用文字给你们说的，我这里就不去写了啊。 好，反正还是那句话，你写的越详细越好，然后要点是必不可少的啊， 相信你们只要能听得懂，相信你们自己去写，一定不会扣分，好吧， 然后再来看一道，比如说这这道这是四轮锥，然后 ab 是 平行于 cd 的， 然后 ab 等于一， cd 等于三， ap 等于二，然后 dp dp 等于二，被勾上三，然后 p a， d 是 六十度， 六十度，对吧？然后 a， b 是 垂直于这个 p a， d 这个底面的，然后 m 在 p c 上面动，然后它又 证明的是 p a b， p a b 垂直于 p c， d。 把这两个面标一下啊，就是 p a， b， 然后就 p c， d， 我 给这两这两个面干脆他们都没有交线了，对吧？所以又更难一点了，对吧？那么这里我还是从 嗯条件去入手，因为我要找到是线垂直于面， ok， 我 现在我不不知道到底是找的 p b 还是 ab 还是还是那个呃， p a 去垂直于后面这个面，还是后面的线垂直于前面的面，对吧？所以先从条件入手， 或者你们有经验之后一眼都能看得出来啊。嗯，看出来之后，应该像我这里看图就是 pa 要垂直于呃， 这个面 p c， d， 对 吧？但是很多人可能有的题看不出来怎么办呢？就根据条件去入手。怎么去看啊？这里有一个六十度，就 p a， d， 然后 a p 等于二，然后 p d 等于二倍杠三，所以这里 先用口塞六十度呗，它是不是等于二分之一，那它是不是就会等于 a d 的 平方加上 pa 的 平方，减掉 pa 的 平方，去除于二，乘以 ad 乘以 pa， 对 吧？然后把数字一代 a d 是 几啊？没有 x 方把它数给 x， pa 呢？ pa 是 四 二的平方，四吗？然后 p d 呢？就是一十二， ok？ 去除以一个二，乘以 a， d， 不知道 x 去，再去乘以一个 p， a 就是 二，下面就是四 x 吗？就是 x 方加四减一十二， 所以四 x， 对 吧？你不能说有个一比二三，那我另外一边有个六六十度，我直接说它是个直角，你要像这么去算啊， 所以就四 x 就 会等于二 x 方，然后后面是减几啊，减去一十六吧，就交叉相乘之后，对吧？所以就是 x 方减去二， x 加上减啊，减， 减去八吧，等于零。你看 x x， 然后就是一个是负四，一个是二，对吧？所以 x 等于四或者负二嘛？所以 x 等于四啊，看到没？所以你要去证明出来， 对吧？所以你要证明出来它那个 a d， 所以 说就说 a d 算出来等于四嘛？等于四刚好就是 有个垂直出来了，就是二的平方加上二倍根号三的平方，会等于四的平方嘛？所以就能推出来 ap 是 垂直于 pd 的， 各位，所以你这样也能知道，我应该是找的 ap 垂直于后面这个面， ok， 那 第一条，这个就是第一条 已经有了，那第二条在哪里呢？第二条我们还有个东西没用，看到没？然后又因为 a b 是 垂直于面 p a d 的， 所以就说， 哦，对，还有一个等一下，然后且 a b 是 平行于 c d 的， 是不是就相当于 c d 嘛？这里就相当于是，对吧？ 所以你看就 c d 垂直于面 p a d 嘛，然后就所以 c d 就 垂直于这个里面的任何一条线， 对吧？ ok， 那 这线里面刚好有 ap， 看到没，所以第二条看到没 ap， 所以 这个就是第二条。 所以你看，不就 c、 d 和 p d 交于点 d 吗？然后又因为 p d 交 c、 d 等于 d， 然后它们两个都属于这个面 p c、 d 的， 所以 p a 不 就垂直于面 p c、 d 吗？然后又因为 pa 是 属于这个面 p a、 b 的， 所以面 p a、 b 不 就垂直于面 p c、 d 了吗？ 对吧？所以我说说了面面垂直，你还是要去证明线面垂直，只是这里又稍微难一点，你要找到这根线，那怎么去找？找题目的提示， 你只用翻译出来一个题目的条件啊，翻译出来一个垂直，那我这这根线不就找到了吗？对吧？ 然后这个看一下啊，下一题就是他说四边形 abcd 为正方形， ok， 正方形先标一下，然后 b、 e 是 平行于 df 的， 就这两根线平行， 然后 ab 等于 b， e 等于 d， f 等于它，那我就先把它啊，比如说我把它设成根号二，那么前面的这三个东西都会等于一嘛， 对吧？所以， ok， 标一下 ec 就是 根号二，然后 ab 是 一， b， e 是 一，这个也是一，然后 d、 f 也是一， ok， 他 说了 ab 是 平，垂直于 bce 的， ok， 然后我们证明的是平面 a、 e、 c， ok， 先标一下 a， e， c 在 哪里， a， c 是 中间这个， 然后 b、 d， f， e 呢？ b d， f， ok， 是 这个， 对吧？ ok， 还是一样啊，我这个条件我还是要转换成线垂直于面，那么找哪一根线呢？题目看上去啊，是 a、 c 垂直于后面这个面，对吧？我，我有可能这个里面是找的 a、 c， 因为看图 对不对？ ok， 然后我们就从题目入手， ok， 这个正方形，这个条件它有什么用呢？正方形不就是对角线垂直吗？所以就是 a c 垂直于 b d， ok， 你 看，这不是有了天然的第一条吗？ 对吧？然后再去找一条就可以了。然后我们这个边还没用到边，起码这里会有个垂直，因为是相当于是一比一比根号二吗？ 对吧？ ok， 先写着 b 垂直于 bc， 对 不对？ ok， 这还有个条件，就是 ab 垂直于 bc， 那 么这个条件一定能得到 ab 垂直于里面的任何一条线嘛，对吧？那是谁呢？你看，这里有个 bc 嘛，那就找 bc 呗， 对吧？那为什么不找 b e 呢？等一下你，你也可以把，你们就也可以想一下，为什么不去找 b e， 因为如果我找了 b e， 你 看啊，就相当于 b e 又垂直于 bc， 又垂直 ab， 是 不是就相当于 b e 要垂直于 abc 啊？ 嗯，这么看呢，好像有用，对吧？所以你看它是不是就相当于我这里，其实你自己要在脑袋里面去想一遍， 那么我先把 b 啊，因为刚刚想了一下，好像有点用，对吧？所以你看， b 垂直于 bc， b 垂直于 ab， 那 么 b 就 会垂直于这两条线构成的面，就是 abc， 对吧？那 b e 垂直于 abc 的 是不是就相当于 b e 不 就垂直于 a c 了？哦，刚好看到没？刚好有了 第二条，所以你看，嗯，是不是 a c， 这有个 a c， 这有个 a c， 是 不是垂直于 b d 和 b e 形成的？然后就 b d 加上 b 等于 b 吧，对吧？然后就又说，他们两个都是属于这个平面 b d、 f、 e 的， 所以我就能得到 a c 不 就垂直面 b d f e 了吗？所以，又，因为，嗯， a c 又是属于 a e c 的， 对吧？ 所以就是 a e c 这个面垂直于 b d f e 这个面了， 对吧？所以，嗯，条件就是一个个去试的啊。好吧，因为高考提的那个图虽然很标准，但是你还是看不出来到底谁和谁是垂直的。 ok， 这个面面垂直还不难，难的是线线垂直啊。 接着就是线线垂直。我刚刚说了，其实线线垂直它还是要你先证明线面垂直，线和面垂直之后我们才有线线垂直啊。这个，嗯，有点绕。先看题， 他说 e、 b 是 垂直于底面这个 a b c d 的， 然后 a、 d 等于 c， d 等于二倍杠三， ok， 二倍杠三，二倍杠三，然后 ab 等于 ac 等于二 表一下，然后 abc 是 一百二十度，然后 g h 分 别是中点，然后 m 是 b 上面的动点，他说让我们求证 g h 永远垂直于 dm， g h 垂直于 dm， ok， 那 我为什么说这个东西要转化到线垂直于面呢？因为线线垂直。 呃，才有了线面垂直吗？但是那个线线垂直是他们在同一个平面，这个就相当于是意面了啊，就所有的意面直线垂直，其实都要转换为线垂直面，那什么意思呢？那这里其实就相当于我 g h 就 要垂直于一个面，然后这个面里面要含有 dm， 我 们一眼都能看出来，应该就是找的就是这个面吧，就是我现在标蓝颜色的这个面吧， 对吧？所以我就这里应该是垂直于面 dbm， 因为它垂直于 dbm 之后我才有 g h 垂直于 dm， 对吧？所以这个是我们能看出来的啊。等一下还有看不出来的，那能看出来就这里就很好证，因为就相当于我如果连接了 b d 之后，就连接 b d 之后，那我是不是就会两边的这个三角形，是不是就会全等呢？就相当于是，对吧？那全等是不是就肯定会有那个能证明出来 g h 这 g h 是 垂直于 b d 的， 对吧？就用全等去正就可以了啊，好吧， 有可能不会这样，你看就是，你看就这两个角它会相等吗？然后 g d 又会等于 d h 吗？然后他们又有他公共边吗？看到没？就两个三角全等，你们就这么去写就可以了。就是比如说，就说三角形嗯， g d 夹的这个点啊，这里有个点，好吧，这里有个点，设成 p， 好 吧。呃，就是 gdp 是 全等于三角形 hdp 的， 你们就这么写，然后才推出来的这个啊，那么就相当于它是个等腰三角形，那么对吧？ ok， 那 第一个垂直 我们有了，对吧？这是第一个，那还要找个谁啊？还有个条件没用吧？就是这里 e b e b 不 就是 mb 吗？所以就相当于 mb， 他 是垂直于面 a、 b c、 d 的， 所以我就能推出来 mb 是 不是垂直于 a b c、 d 里面任何一条线呢？ 里面刚好有 g h， 看到没？所以这个就第二条 g h 又垂直于 b d， g h 又垂直 m b， 所以 就有了 g h 垂直于面 d b m， ok， 所以 g h 垂直里面任何一条线，但是你写的时候就说 就这么写，反正前面的我都教你们怎么写，然后后面的啊，就说又因为嗯 dm 是 属于这个面的，对吧？ 这个要写清楚，所以嗯， g h 就 垂直于 dm， 看到没？所以这个就是我刚刚讲的所有的垂直其实都是线面垂直在哪里？在这里就是要你去找的这个线去垂直于这个面， 他不管是面面垂直啊，面面垂直就是一样的把它转换成线垂直面嘛，然后线线垂直，他也是线垂直面， 对吧？ ok， 然后再看一道啊，这个折叠的啊，折叠的有一点点难度， 他说 ab 等于五， ac 等于七，然后 d 为 ac 上的点，然后 b、 d 等于 c， d 等于四， ok， 所以 这是三，所以三四五刚好这里有个直角， 然后就是以，就是沿着 b、 d 这样折起来嘛，然后得到图案这种，然后 m 点是 b、 c 的 中点， 然后 am 又垂直于 b、 c， ok， 那 这两个东西是不是就是相当于，呃，就是等腰三角形呢？对吧？所以就是 ac 就 会等于 ab， 对 吧？所以你看到这这种很明显的模型问题，你就先把这个结论先写出来，就用铅笔在试卷上面先写出来， 那它的正面就是 ab 垂直于 c、 d， 那 么同理，我这里要找到的是线垂直于面，那线线垂直其实是垂直里面最难的，因为我到底是前面的这个线垂直于后面的一个面，还是后面的线垂直于前面的一个面呢？我都不知道， 对吧？所以还是要根据题目给的提示去做吗？嗯，刚刚我们得到那个 a、 c 等于 ab， ab 是 五，所以 a、 c 它也是。我们先把这里的边修都标一下，然后这是四， a、 d 就是 三，然后 c、 d 就是 四，看到没里边一标就能看出来三是五吗？就是就看这个三角形啊， 对吧？就是 a、 c、 d 这个三角形是不是就是一个勾股定律了？所以这个条件我又能推出来一个什么呢？就是 c、 d 是 垂直于 a、 d 的， 对吧？ ok， 所以 提示不就出来了，是不是？这里我其实就是要转化的 c d 垂直于一个面， 对吧？那么 cd 现在垂直于 ad 了，然后这里我就可以反推了，那 cd 又垂直 ab， 那 是不是就垂直面 abd 了？看到没找面，我就这么去找，所以反推去找面 是很好找的，所以一定要学会反推，懂了吧？就是根据，因为我们能够根据题目算出来的，一般情况下只有一根，对吧？那么我们再结合我们题目要证明的东西再去证明吗？等一下我们要讲的那个浙江卷的题，他更加啊，就要运用运用的这个反推啊， 那么这里我就证明呗，对吧？反正 c d 垂直于 a d 这个东西我们刚刚证明了，那是不是？呃，除了 a、 d 以外，现在题目是让你 a， 让你证明 ab 嘛？所以我是不是只剩下了 b、 d 了？所以我现在还要证明 c、 d 是 垂直于 b、 d 的， 对吧？就相当于我要你证明这个角是一个直角，然后这个角有没有了，有吗？你看我，我把这个三角形沿着它折起来的时候，这个是不是天然形成的， 对吧？所以两个垂直我们就都出来了，所以根据这两个垂直，我就能证明 c、 d 是 垂直于面 abd 的， 所以我才会有 c d 垂直于垂直于那个 ab 啊， 对吧？这道题很简单，好吧，然后我们再讲一段那个， 嗯，这张卷这题啊，这题也是当年很难的，对吧？但是你按照老师的这个反推啊，反推法很简单， 我们看一下题啊，他说四能追，然后底面是个平行四面形，不是这一题啊，应该这一题啊，一九年的这一题啊。 好吧，反正这题你不用反转音，基本上啊，可能很难看出来，除非你对空间想象很好啊。然后他说你这三楞柱，然后 a a e， 然后 c e c 是 垂直于地面 abc 的， 然后 这个角 abc 是 九十度，然后 a a 等于 这个东西，我把它设个值，好吧？比如说设个设个设个二，好吧，这个就是二，然后 a e c， 这也是二能等于 a c， ok， 然后他说，嗯， ef 分 别是中点，然后要我们证明的是 ef 垂直于 bc， 是 哪两条线呢？是这一条线， 然后 bc 是 这条线，对吧？这条线一样的，是意面嘛，所以我还是要先找到这线垂直面，但这里我们怎么去找啊？因为这个图真的， 嗯，很抽象，可以说是，对吧，所以你看我怎么去反推啊？反正我就先把条件去搞清，搞清楚，首先有个等边三角形，然后 e 又是终点，所以一定会有什么， 这个 a e 是 垂直于 a c 的， 对吧？就根据这个条件，然后根据终点能推出来它，那推出来它之后， 嗯，好像没用，你看这是 a c， 这是 a e， 这是 e f 测 bc， 对 吧？没一没一条边可以用的， ok， 那 么我们从谁去入手呢？还有一个条件，九十度，那这个九十度是不是就相当于是 bc 垂直于 ab， ok， 你 看现在不就有了？然后题目这里有个 bc 垂直于 e f， 看到没？我就先把这个题目的条件拿来，这是要证明的嘛，我就拿来，我就去反推，到底是要我证明的是哪一条线垂直于哪一条面，对不对？ ok， 然后乍眼看去啊， a b e、 f 好 像都没有交点，但是我们会有一个平行的性质吗？就什么呢？ a b 和谁是平行的？ a e b e 看到没有？所以 bc 垂直于 a e b e。 现在 a e b e 和 e f 是 不是就会有一个交点呢？就是 f 看到没，所以它这个面积是隐藏的很深，它没有画出来， 所以应该是我这个红颜色的面，所以 b c 就 垂垂这个红颜色的面了吧，就是 a e b e， 懂不？所以你看这个题目，其实你如果不会这个反对，你要看半天的， 对吧？ ok， 所以 我现在只用去证明他不就可以了，对吧？那题目这个条件是不能用的， 对不对？但是 bc 垂直于 ab 这个条件我们可以用，所以这是第一条，因为我就可以把它说成 bc 垂直于 ab， 因为这两 ab 和它是平行的，所以这个条件是我们可以用的，那么还差一条，对吧？ 抬出一条在哪里呢？在这里嘛，看到没？面和面垂直。说了，面和面垂直有一个很重要的特征，刚好看到没？它垂直交线，两个面的交线在哪里呢？是不就是 a c， 对吧？这条线就是他们的交线，所以我这里又会多出来一个结论，就是什么 a e 要垂直于底面嘛？ a b c， 所以 它又垂直于底面之后，所以 a e 它不就垂直于谁啊？ b c， 对 吧？所以这个就是第二个，这是第一个，所以两条线看到没？所以第一条线刚刚证明了，就是 b c 垂直于 a e b e， 然后第二条线就是 b c 垂直于 a e e， 对 吧？然后这两条线 a e b e 和 a e e 是 不是都是属于哪一个面面？ a e b e e， 所以 我是不是就得到了 b c 垂直于这个面？ 所以我是不是就能知道 bc 是 垂直这个面里面的任何一条线吧？所以不就垂直 e f， 对 吧？所以这个就是反推法啊，好吧，当然了，如果你第一眼能知道我面面垂直，先推出来它，再再推出来它，再推出来它，一样的也能知道 bc 应该是垂直这个面的啊。 好吧，所以反正两个方向都是去反推，好吧，所以这个就是，嗯，线线垂直。线线垂直是高考题里面就我觉得啊，是属于那种让你证明平行和垂直里面最难的题型了， 好吧，因为线线平行，垂直里面它既有那个，呃，证明线面垂直，对吧？主要是这个线和面就我们很难去找，就这一步啊， 很难去找，所以我们才会用反推法，就是把题目的条件当做已知条件，然后去带入到我们能算出来的条件里面去，然后他才会有线和面垂直，对吧？因为我不知道到底是选 e f 还是选 bc 去垂垂面啊。 好吧，反正原理就是就是这个原理，但是根据他题目的不一样啊，反正第一步 根据题目的提示去啊，一定不要看图。嗯，如果你空间感很强，那你看图就没有， 呃，错误了。但是如果你空间感不是很强，你去看图，对吧？可能会让你白算很多啊。那为什么不把题目条件一个个去翻译呢？对应的模型面面垂直，就去找交线，看有没有垂直的，对吧？然后菱形中点有六十度的话，它也是垂直吗？ 然后等腰、等边它也是垂直嘛？然后要不就是给了你边，给了你一个角，你用口上引去算嘛， 对吧？所以每一每一个条件都是对应一个模型，就就是相当于是，所以你先把这个模型的结论先一定要熟练。好吧？反正我们也讲了这么多嘛，特别是这道高考题，对吧？ ok。
433数学骇客
14:10查看AI文稿AI文稿立体几何的线面关系证明已经不能叫做高频考点了，它是纯粹的必考内容，年年高考，张张试卷，几乎无一幸免。但是大家在第一次学习的时候，可能连线面垂直是个啥意思都不一定知道， 所以今天咱们从纯零基础视角一起来拆解线面关系到底是个啥？ 首先呀，是线面垂直，说直线垂直平面啥意思？大家在生活中有没有见过相关的例子呀？哦，电线杆笔直的插入平坦地面， 咱们引入实物来进行观察，当我们把视角放平、放平再放平的时候，最终平面又被压缩成了一条地平线， 而 l 一 正好垂直于它，这个就是线面垂直的本质。好的了解了基本定义，这时候如果在平面内随便放两条直线，你认为红黄两线之间会是什么关系呢？ 就比如这个 l 一 和 l 二，既然 l 二在平面内，那么当平面也被压缩成地平线的时候， l 二就和地平线重合，红线垂直平面， 红线就垂直平面内的线，而且并非个例。像这样一个更没有特点的 l 三，它也和 l 一 垂直吗？ 还是一样的步骤，在我们的视角给平面不断压缩，直到成为一条地平线，红线垂直平面就垂直平面里边的线。 任何平面中的线压缩后都一定和这个压缩线重合，被红线 l 一 垂直贯穿。 那么简单总结就是，只要红线垂直黄色平面，红线就垂直平面内的任何一条线。当然一定要交代黄线包含于黄色平面，这是已知线面垂直可以推的玩意，记作定里一 接着，如果这个定律反过来说，红线同时垂直于两条黄线 l 二和 l 三，并且两条黄线同属于黄色平面，您认为是否一定能够推出红线垂直黄色平面呢？ 还是老规矩，咱们引入实物平面，先看这种红线只垂直于一条平面内黄线的情况。那么不妨认真思考一下红线和平面之间的角度，它定死了吗？ 显然，在 l 一 和 l 二垂直的情况下，平面完全可以以 l 二为转轴 随意转动，并且这对 l 一 和 l 二的相互垂直不造成任何影响。换个视角看也是同样的道理，平面绕轴转动不影响黄色轴线和红线的相互垂直， 所以这个平面他不是固定的，和 l 一 不必然形成九十度的垂直角度。但是呀，如果我再引入一条 l 三也在平面阿尔法内和红线垂直了，咱们仔细观察一下， l 二和 l 三卡在一块，同时包含他俩的平面，是不是有且仅有这唯一的一个呀？他这下就真的转动不了了， l 一 必然像电线杆一样，从完全竖直的方向狠狠插入这个唯一的平面 l 一 垂直平面阿尔法。 呃，但是，如果 l 二和 l 三不相交，两个是平行关系呢？上边还一定能够推出下边吗？思考一下。 首先，平移是完全不改变几何关系的，而当我们将 l 二和 l 三平移到重合位置时，同时垂直 l 二、 l 三 仅仅相当于垂直平面里边的一条直线，而红线只垂直于平面里边的一条直线，根本推不出红线垂直平面。这是咱们前边最开始就推理过的，平行不行， l 二 l 三就得互不平行。但是试卷上更规范的表达是， l 二交 l 三等于 p， 有焦点就是不平行，直接给他替换掉。那么整个推导过程简单来说就是红线同时垂直于两条黄线，两条黄线互不平行，有焦点 属于同一平面，那么红线就一定垂直于这个平面。以后凡是碰到线面垂直，都需要这样的步骤才能把分数拿全。 就比如这样一道二三年的高考真题，要证明红线垂直黄色平面。根据刚刚的经验，只需要在黄色平面里边找出两条不平行的黄线，被红线垂直，黄色平面也就被红线垂直。 但是这两条黄线分别取谁？好嘞， p a a b 还是 p b？ 咱们先标数据 提杆，右手 pa 垂直，底面 abc 线垂直于平面，就垂直于平面内的所有线。比如面内的 b、 c 就 被 pa 垂直， ac 也被垂直， ab 还被垂直。 哎，这个 pa 和 bc 是 不是刚好就是咱们所需要的红色黄色垂直？对啊，哎，已经找到了一组垂直了。 接着咱们看棱锥的蓝色背面直角三角形底边长度根号二。 再看棱锥底面等腰直角三角形直角边 bc 垂直 b a 又得到了一个红黄垂直对。 接着就是标准的书写流程了，红色 bc 同时垂直于黄色的 pa 和 b a、 pa 互不平行，交于点 a， 而 pa、 ba 又都包含于平面 pa b， 所以 红线 bc 就 垂直于平面 pa b。 再看这样一道二三年的全国二卷实体，要证明红线 bc 垂直于黄线 da， 这线线垂直不应该初中就会了吗？ 但是呀，这俩是异面直线。咱们研究一下红色 l 一， 黄色 l 二，要证明红线垂直黄线，咱们是不是可以引入一个平面阿尔法， 黄线 l 二包含其中？只要我能证明红线垂直面内的黄线呀， 简单过一遍，要证明线线垂直，就得给黄线找个面，红线垂直，这个面红线就垂直黄线。 以上是意面直线的垂直证明方法，大家可以借助这道全国二卷的证明题来应用练习。 再比如，大家碰到这种更坏事了，要证明平面和平面面面垂直，好像又是一个新的知识点，红色平面阿尔法，黄色平面贝塔。如果说这两面相互垂直， 会是啥情况呀？咱们引入实物图一探究竟。凡是涉及平面的几何关系，方法非常明确，把平面都旋转到压缩成线的视角， 压缩线之间的关系就是平面之间的关系。好的，了解了面面垂直的本质之后，咱们得想个办法证明它。比如咱们引入一条 l 一 包含于平面阿尔法， 同时垂直平面贝特，就这两条，能推理出平面阿尔法垂直平面贝特吗？思考一下， 咱们还是引入实物图来加以研究。首先，红线 l 一 垂直这个平面 l 一， 就一定垂直这个平面的压缩线， 这是线面垂直的本质。现在说 l 一 包含于平面阿尔法，比如长这个样子。 这里请大家认真思考。当我以 l e 为转轴去转动这两个平面镶嵌而成的组合体时，不管这个平面阿尔法有多大，他也总有被压缩成线的那一天。 此时的红线 l 一 正好和平面阿尔法的压缩线重合，俩平面的压缩线相互垂直，就等效为面面垂直。 好的整体简单梳理一遍，只要红线 l 一 垂直，平面贝塔 l 一 就一定垂直。平面贝塔的压缩线 l 一 又是平面阿尔法里边的线， 整体以 l 一 为转轴，就百分之一万能够转到这个两个平面都被压缩成线的时刻，而平面阿尔法最终被压缩到和转轴共线，他的压缩线也和贝塔的压缩线相互垂直， 而压缩线相互垂直正是面面垂直的本质。大家同样可以借助一道经典例题来强化理解。 再接着进入第二部分，一条红线 l 一， 一个平面阿尔法。但这一次我说红线 l 一 平行于平面阿尔法，你能想到它的本质是啥不？ 咱们引入实物图，根据前面的经验，只要有平面，就得给他压缩成线，线平行于面，线就平行于面的压缩线，这是线面平行的本质。 那么在更多的考场环境下，如果需要证明线面平行，应该怎么做呀？ 比如在黄色平面内放置一条黄色直线 l 二，通过红线平行黄线来证明红线平行黄色平面，你认为这合理吗？ 当然一定要交代 l 二包含于平面阿尔法，思考一下好，还是引入实物图，凡是有平面，又要找几何关系，第一时间给它压缩成线。 红黄两线相互平行，而黄线又在平面阿尔法内，所以平面阿尔法被压缩成线之后，必然和 l 二位置重合，和 l 一 相互平行， 而线和面的压缩线平行，就是线面平行的本质。综合来讲，定律的大概流程就是，红线平行于黄线，而黄线又在这个面内，红线就一定平行于这个面， 这是线面平行的判，好像还有点瑕疵。这个 l 一 平行于 l 二，好像从来没说过 l 一 不能在 l 二这个平面内吧， 所以他当然是错的。一个平面内的线不可能平行于这个面本身，所以为了简单粗暴的切断这种可能性，我们直接在条件中加一句红线 l e 不 可以包含于平面阿尔法， 这样就百分百隔绝了。而线面平行这样一个判定定律，大家同样可以用一道高考真题来加以巩固。
10.1万加数
11:53查看AI文稿AI文稿一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到立体几何平行的全 体行，在这节课，我会给大家把见面平行，面面平行所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是怂问题。 那么首先呢，我们来看到线面平行，你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b， 使得 b 和咱们的 a 是 平行的，那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈， 那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推导咱们的 a 呀，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢，给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢，就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的， 但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边他是平行的哈， 所以说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n， 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b d 呀，对吧？所以说我们直接连 b d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时来我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的，而此时来咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了， 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目。 那么我们再来看看第二种题型，就是我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点， 然后他说求证 c e e 平行于 c e e， 我 们先找到在哪了， c e 在 这的，我们要去找它平行于平面， a， d d e a e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c e 怎么给它平移过去找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a， d， e 看起来就很像了，但是我要怎么去说明它看起来很像，但是实则它是一个平行关系嘞？你会发现哈， 这看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明它是一个平行四边形嘞？那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a b 平行于咱们 c、 d 的， 所以说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于咱们的 c， d， e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢， dc 为二的哈， dc 为二，那么平移上去， c， d， e 也是为二的，所以说你又有平行，又有相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈，所以呢，我们就来写一下哈， 因为咱们的 c 一， 第一它是平行于 cd 的 cd 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 cd 一 啊，它是平行于 ab 的， 又因为咱们的 a 一， 它等于 cd 等于 cd， 一， 它是等于二的， 所以立刻马上 cd 一， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以立刻推到咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c 一， 它平行于 a、 d 一， 然后你就可以说，哎，因为一个包含也是个平面，另一个不包含也是个平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 咱们再来看到第三个题型哈，就是证明面面平行，大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，他就可以唯一确定一个平面，他就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思。那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行四边的平的平行，那， 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们的四边形 a、 b、 c、 d 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我看到中点我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时来它让你去证明的是咱们的 a、 e、 e、 f， a、 e、 f 来画一下哈， a、 e、 e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a、 d g 的 a d g， 哎，也就是后面这个大的三角形，那大家来观察一下哈，我们这两个平面，它会出现哪两组线线平行啊，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行， 对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么？先正？ 先证咱们的 a、 e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e g 连 e g， 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形 哪一个嘞？是不是咱们的 a e g， d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a、 e、 d e 平行于咱们 e g 啊？对吧？ a e、 d e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于咱们的 b e、 c e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的，所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形，所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了。我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段，他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来？ 正，咱们的 a、 d 一 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b、 c、 d、 e 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了，你再去证 a、 b 它是平行且等于 d、 e、 c、 e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写了？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢，我这里和这他是什么？他是相交直线哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得整两个平面是平行的。那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，它是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢？是一个点一个动点， 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e b f 时， p a 它要平行于 e b f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的， 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 off， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这一段 off， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 ap 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？ 此时 p f 比上 p c， 也就是 e 比上 p c 就是 四的，所以最后大家来选咱们的 d 选项。讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在立体几何里边平行线来，它是永远追不上的，但是它们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大北 伟大，从来不是因为追上了某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行。你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货， 分别是四十页的逆袭北大解题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页，这里群聊数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！
2.1万北大糖的魔法数学
04:45查看AI文稿AI文稿大鹏老师不讲秒杀，只讲实战最有效的方法，今天我来讲一下立体几何如何正平行。 首先线面平行，咱们要知道判定条件是某条线需要平行于这个平面内里的一条线就可以。那比如说看这个题，现在我想要正 pa 平行于平面 etb， 只需要在平面 etb 中做出一个辅助线，和 pa 平行即可。然后辅助线的做法呢，就是可以将 pa 去平移，往这个面去平移，然后和这个面产生交线，那么这条线就一定能平行于 pa。 如果你家里有条件的话，你最好是找个格尺给他平移一下。我现在呢，就找张纸平移一下啊，咱们 顺着这个 pa， 这个 pa 这条线往 edb 这个平面去移动，在移动的过程中，让他穿过点 e， 这样的话就能和 bd 产生一个焦点， 穿过点 e 和 bd 产生一个焦点。因为啊，这个平面嘛， edb 产生一个焦点之后，假设这个焦点如果是 o 的话，那么这个 eo 就一定能平行于平面 pa。 所以呢，咱们做辅助线的方式啊，这么说，由于 bd 呢，他是位于四边形 abcd 的一条对角线，那么我就可以说连接 ac， 让他交 bd 与点 o， 这样的话，这个点 o 就自动就出来了。然后咱们再连接 oe， 就能得到 pa 一 定和 oe 是平行的。至于咱们的证明过程，我给大家写一遍，可以这样说啊，取连接 ac 交 bd， 余点 o， 再连接 oe， 在三角形 cap 中，大家就能看出来啊，这个 o 呢是 ac 的终点， e 是 cp 的终点，最后 oe 就一定能平行于 pa。 只不过呢，你要把题干中的条件呢，都抄一遍，因为他是正方形，所以 o 才是 a 系统点， 点一又是终点结束，这就证完了。最后别忘了咱们还要说一句， pa 的不包含于平面 e， d， b， 且呢 oe 包含于平面 e， d， b， 这样的话皮也就能平行了。 这是第一题，咱们用同样的思路啊，来快速的算几道题，看这个一二八一。 要想说我正出平面 pb 啊，这个条线 pb 平行于平面，夜息只需要平行这里边一条线即可。还是你拿一个尺啊，你拿 pa 向夜息这个面去平移，平移的时候呢，让他经过点翼， 经过点 e， 这样的话就会和 a、 c 产生一个焦点。由于 a、 c 是四边形 a， b， c， d 的对角线，那么我就可以说连接 b、 d 交 a、 c 与点 o， 这样的话一眼就能看出 oe 这条线是平行于 pa 的，咱们只需要强调在四边形 pbd 中 是中微线就可以了。再来看一道，来看一道比较复杂的说，现在有一个正三中柱想要满足 a e b， a， e b 平行于平面 a， d， c， a， d， c 啊，就这个面长得非常小的这个面想要让他平行，还是刚才这个套路，你拿个格尺将 a、 e、 b 呢向这个面去平移，在平移的过程中让他穿过，让他穿过点地， 穿过点地的，这样的话就能和你，当你穿过点地的时候，还剩俩字母，就和 ac 一一定产生一个焦点。接下来就问自己， ac 一是哪个面的对角线？ 应该是 a c， c a 一的对角线，那么咱们选择连接另一条对角线，这个点就自动出来了。如果这个点点 o 出来了，那很显然呢，这个这条辅助线就是 od 呗。 然后咱们再说在三角形 a、 e、 b、 c 中， od 是中微线，这样的话就正完了啊。把它连实在这个三角形里，他就是中微线，此题正完。
1.0万大鹏老师高中数学（肇东）
14:03查看AI文稿AI文稿哈喽同学们，立体几何不用愁，解析套路全吃透，今天我们来说说立体几何中那些抽象的地理三大基本事实和共点共面，证明这个小板块可以帮助我们更好的建立空间思维，干货满满，如果你还在云里雾里不会做题，那就跟着我一起学习一下吧。 哈喽同学们，今天我们来接着来讲立体几何当中，哎，一些相对来讲，对我们刚开始学哎稍微有一点抽象的概念 和定理之类的东西。首先呢，我们先来讲一下这个空间啊，立体几何当中的一个三大基本事实。首先第一个基本事实呢，就是我们说过不共线的 啊，这个地方打错了啊，这里应该是三点啊，过不共线的三点，尤其仅有一个平面，也就是说不共线的三点，我可以确定一个平面啊，这个是我们对应的第一个基本事实啊，或者说你就可以 用符号元表示的话，就三点。不共线则尤其仅有一个平面，使得 a、 b、 c 均在平面上，也就是 a 属于阿法， b 属于阿法， c 属于阿法。一定要去注意了，就是如果点在面上，我们一定用的是这么一个符号，因为我们说对于点，首先是用大写字母去表示啊，就 a、 b、 c 啊，以此类推，这个对应的是点 点，我们说相对于直线和这个面来讲，它对应的是元素的一个位置，所以我们给它看似啊，看成是一个元素。而对于直线而言， 线的话呢，我们一般用小写字母去表示，常见的 l、 m、 n 啊，或者小 a 小 b 都可以，那这个时候它就我们说线可以看成是由无数个点构成的，所以对于线来讲，它其实是一个集合的概念。 好，然后接下来对于面，面就更不用说了，对吧？面可以看成是无数个线，其实也就是无数个点，所以面呢，一定也是一个集合。我们一般来说用阿法、贝塔伽马啊，类似于这种字眼去做一个表示， 那这个时候它对应的也是一个集合，所以你就会发现了，如果你要去表示点在面内，点在线上，这个时候是写的点元素和集合之间的关系，所以用的一定是这个符号啊，这个一定要搞清楚。那如果说我要说的是线在面上，那这个时候一定用的什么是 l 属啊，这个包含于这个阿法啊，所以这个概念上的一个区分写法要注意好，这是基本事实一，然后基本事实二呢，指代的是如果一条直线上的两点在一个平面内啊，就或者说，呃，这个 至少两点吧，那就至少两点，或者说有两点啊，都可以在 同一个平面内，那么这条直线在一定会再次平面内。这个其实考察是直线和平面的位置关系，因为我们说直线和平面要么平行没有交点，要么呢就是相交，那我们一条直线穿过一个平面的话，这个时候是不一定只有一个交点，那我有两个交点就意味着什么呢？意味着这条直线必须在面上啊， 那这里对应的也就是比如说 a 属于 l， b 属于 l， 同时我又能满足 a 属于阿法， b 也属于阿法，那这个时候就可以推线 一定会在阿法上，这个时候我们一般来说在这写的时候啊，这个横线我们是可以去省略掉，忽略掉的。好，然后接下来基本事实三对应的是，若两不重合，平面有且仅有一个啊，没说有且仅有一个， 两不中和平面有一个公共点，那么它有且只有一条过该点的公共直线，这个其实也就意味着什么。因为我们说两个面假如说相交，相交是不一定会有一条交线， 那这个时候如果有一个两个面的公共点，那这个公点必然要在交线上，它其实就是这么一个实际含义啊。好，那你要用符号语言去表述的话呢，这个时候对应的就是 p 在 alpha 面内，就 p 属于 alpha， 同时 p 属于 beta， 而 alpha 和 beta 交汇 l， 那 你就可以说明 p 属于 l 就 可以了。好，这是我们三大基本事实。那我们真正在用的时候怎么去看呢？它往往也是设一套概念变式题，那我们来结合例题看一下 下列命题，正呃为真命题的是，也就正确的是 a 选项。若两平面有三个公共点，那么这两个平面重合。 好，那来思考一下，两个平面有三个公共点，这两个平面一定重合，这个其实在说什么呢？其实相当于说的是两，呃，相当于是三点。确定一个平面，也就回到我们最开始的讲的基本式是一， 但是要注意，我们前面讲的是确定唯一平面是什么情况，必须是三点，必须是满足不共线的三点，而这里我没有强调，所以也就意味着什么，我没有满足不共线，那这时候你的平面是可以随便去定的，并不是唯一的平面，那我也就不能说它是重合的，所以 a 选项错误。 好，然后我们来看 b 选项，若四点不共面，则其中任意三点不共线，那这个怎么去理解呢？我们可以倒过来，如果四点不共面，但是其中任意三点，如果 我假如说不管这个 b， 假如说他如果共线，如果共线就意味着什么，我这个时候是不是就可以看成是三点共线就像是一条直线和一个点， 这个地方其实是涉及到基本事实一的一个推论。等会我们来补充一下。我们说直线和直线外一点是可以确定一个平面的，为什么直线上你可以看着是有两个点，那这个时候这三个点可以满足三点不共线，它一定可以确定一个平面， 所以这个时候也就意味着如果三点贡献了，那四点一定共灭，那所以我要求不共灭，那就是他不能贡献，所以我们可以用倒推的角度去理解他啊。所以这个时候 b 选项是正确的，因为我们发现如果不让他成立的话，如果我让这个条件不满足，他就 不成立了，所以他必须要满足啊，好让 c 选项空间中交于相同一点的三条直线在同一平面内。好，那这个很好理解了。最典型的是什么墙角， 我们在学空间向量未来，我们会经常遇到这个墙角的问题啊。墙角我们说对应的是不是可以看成是三条相互垂直的直线，这个时候你可以发现，哎，三条相互垂直直线交于同一个点，就是墙角这个点好，那他能不能满足三条直线在同一个平面内 显然不能，对不对？这两条直线我可以看成在同一个平面内，那这条直线就必然与它垂直，并不能满足线三线共面。所以 c 选项错误，然后 d 选项三个不重合的平面，最多可以将空间分成七个部分。 这个地方是一个小结论啊，可以去记一下，我们说对于三个平面去切割空间的话，它能形成的这个区域，我们说有四种情况，可以是四个，可以是六个， 可以是七个，也可以是八个，怎么去考虑？首先啊，最典型的就是我这几个面是平行的面，那这个时候就相当于是直接一二三， 其实也相当于切牙吸管吗？对吧？你切牙吸管咔咔咔切三刀，它一定分成四份，那这个时候也是一样的， 我相当于是这样竖直下去的一个平面，哈，相当于三个竖直的平面，这样可以把分间啊，这个空间分成四份。好，这是我们说四份怎么来，那六份怎么来的呢？这个时候把其中一个面 给它倾斜一下，变成这种形式，那这个时候就把空间分成一二三四五六，分成了六份啊。然后呢，七份对应的是怎么来呢？那就是我两个都歪一下， 好比如说这里有一个这样的，这里有个这样的，这里有个这样的，对吧？那这个时候是一二三四五六七啊，这是七份怎么来的？那八份又怎么来呢？八份是最典型的，你从魔方的角度去理解， 也就是相当于是一个什么呢？就相当于是一个二节的魔方，他其实就相当于是水平一刀、竖直一刀，再横着一刀， 这个时候正好是分成八个平面啊，所以这个时候这个结论是可以去记的。对应的四，呃，三个不重合并面，可将空间分成四六七八啊，这个是会考填空题的。好，然后接下来我们来接着往后看，接下来我们来讲一下是一道共点共线，还有这个共面的一个证明。 好，那这个地方首先最常规最常见的是涉及到四点共面的证明，这个四点共面的证明，正好我们前面把那个三大基本事实我们给他去做一个拓展啊，四点共面，比如说 a、 b、 c、 d， 我们前面刚才讲最基础确定一个平面是什么？是说，哎，三个不共线的点，对不对？好，那除此之外，我们刚做题又延伸到了，我还可以把三个不共线的点去变成直线和直线外一点。三个不共线点， 好，我可以衍生成啊，直线和直线外一点。好，那我既然可以变成直线和直线外一点，那我又可以把这个点再给它拓展，我可以去给它拓展成两条相交，直线或平行。直线 相交或平行都可以啊，为什么可以这样去转换？我们画一个图就知道了。我们最开始是三个不共线的点，确定一个平面，对吧？然后变成我任意连个两个点， 那他就变成了线和线外一点。那现在两条相交直线就相当于什么？首先还是这条线，只不过说这个时候我过他，哎，我可以做一条直线，这个时候是相交，或者说我也可以过他，哎，做一条直线和他平行都是一样的， 他都是可以回归到我最开始的三个不共线的点去确定一个平面，那我们说一般来讲就比较简单的四点共面问题，我们都是选择去找相交或平行直线会更好找。 我们一般做题的时候很少会说啊，这个点和这个点它对应的不共线，我们很少以这种写法去写，我们一般来说都直接去找线和线之间的关系，或者面和面之间关系。所以我们一般来讲啊，去找的是相交或平行直线，那你在写的时候就是对应的，因为 ab 平行 cd， 这个是平行的情况，或者如果是相交，那我们就是写成 a、 b 交 cd， 因为是集合啊，线和线都是集合，所以是交集，对应的是一个点，就意味着两直线交于一点，那这个时候都可以说明此时 a、 b 和线段 cd 是 共面的， 线段共面，那意味着啊，其啊直线共面啊，意味着直线上的点必然共面，所以我就可以推出 a、 b、 c、 d 四点共面就真出来了啊，这是我们第一第一种啊共面的证明。然后接下来呢，我们再来看，涉及到三系三点共，呃，三点共线， 三点共线的证明呢，这个时候我们怎么去理解呢？我们一般来讲啊，都是涉及到两个平面，比如说啊，这个画一个简图好，比如说呢，这个时候有两个平面，一个是阿法，一个是贝塔，两平面内的都有一条直线啊，假如说这个是 l， 这个是 m， 好， 这两条直线呢，首先啊，我知道它一定会交于一点 好，同时呢，这两个平面由于相交啊，这相交的这个直线上还有一个 m， 还有一个 n， 然后它们交于的这个点呢，是 p， 好， 那这个时候让我们去证 m n p 三点共线。好，那这个时候结合什么呢？结合我们前面讲的这个基本事实当中的我们来回到，回到前面来讲一下基本事实的这个， 哎，去哪了啊？基本事实二啊，没问题，我们说两个不重合的平面，有一个公点的公点是不一定在交线上，对不对？好，那其实也就是放在这里，现在我已知的是 l 在 a 方面内， m 在 贝塔面内，同时我又已知 l 交 m 于 p 点。好，那这个时候就代表着一件事情， p 既在 l 上，又在 m 上，所以其实也就相当于什么？ p 既在阿尔法上，也在贝塔上， 那这个时候是不是就相当于 p 是 两平面的交点？而我们说了两平面交点一定在两平面的交线上，而交线是谁？交线是 m n， 对 吧？这 m n 是 以条件，因为阿尔法交贝塔与 m n， 所以我就可以确定 p 在 m n 上，那它在这条直线上，我不就说明了 p m n 三点共线吗？对吧？这个时候我就说说这个证明出来了。好，然后接下来第三个对应的是证明三线共点。 三线共点其实和我们前面刚才讲这是第二类啊，它是很像的，它还是借助这么两个平面。然后呢，现在让我们去正啊，假如说交线呢是 l， 这是 a 方面，这是 beta 面啊，然后呢，这个平面内有一个 m 线，这个平面内有一个 n， 好， 然后呢，这个时候已知 m 交 n 与 p 点，但是这个 p 呢？我没有划出来。然后接下来让我们去正，正的是 l m n 三点共线啊，三线共点啊，写说法了， 好，那这个时候怎么去？正还是借助我们刚刚讲的基本事实三，这个时候由于我已知 m 在这个 alpha 面内啊，然后呢， n 在 beta 面内，同时 m 交啊啊，交 n 于 p 点，所以还是可以推出 p 既在 alpha 面上， p 又在 beta 面上，所以这个时候还是一样可以推出 p 在 交线上，也就 p 在 l 上。又，因为，哎，这个 p 是 不是记在 m 和 n 上，所以我就可以说明此时 m、 n， p 三点啊，三线共点，共的是哪个点？就是这个 p 点， 那你就证明出来，所以这两个其实我们说很大程度上他的证明思路其实是非常相像的。啊，这个就是我们是一道这种的常见的这个证明。啊，那接下来呢，对应的这里有一道例题，可以自己课下的话，结合我们刚刚前面写的这个步骤符号语言的描述，自己尝试的去占一下。
281张张讲数学
15:45查看AI文稿AI文稿垂直证明就是四大题型，线面垂直、看点和性质面面垂直综合应用。听完我这节课，卷子上的垂直题全都是元喽，欢迎来到立体几何垂直的全现场，在这里呢，我会给你讲清楚线面垂直，面面垂直所有的题型哈，保证一个不漏， 而且记忆方式也非常简单，没有一个会让你彻底忘记哈。那么首先来我们来看到第一类题型，就是我们要去证明线面垂直，哎，大家注意哈，我们线来知道，线就是线，而面它其实是模子，它其实是由一组相交直线所构成的， 一组相交直线就可以唯一确定一个平面，所以说你知道一个平面的 logo， 也就叫做这一组相交直线哈，就是它的标志。那 此时呢，如果你要去证明线面垂直的话，其实就是在证明我的这个线和这一组相交直线垂直，也就是在证明，哎，我跟他垂直，哎，我也跟他垂直，所以我们要正线面垂直，只需要去正两组 线线垂直就可以了哈。那么我们常见的线线垂直有什么呢？我给大家讲一讲， 比方说第一个 number one 就是 非常常考的，只要你看到菱形，我们菱形的对角线连起来，它就是垂直的哈。那么其次， number two 如果说有一些矩形或者正方形的， 那么它的角是不是为九十度的，对吧？然后其次第三个，如果题目在第一问之前，它就告诉你了很多的数字，那么跟数字有关的一定是跟谁有关？同学们，勾股定律， 你们要思考一个逻辑，如果说我在第一问之前我用不上勾股定律的，我为什么不在第二问的题干再告诉你说，哎，我现在定了 哪一条边长为多少，哪一条边长为多少，我为什么不在第二问告诉你，非要在第一问之前告诉你，也就是因为他一定是会用上勾股定律的哈，那么他就可以证明垂直。然后第四个是什么嘞？如果说题目告诉了你线面垂直或者面面垂直，我告诉你哈， 线面垂直是世界上宇宙间最强的条件，他给你线面垂直不是为了给你线面垂直，而是给给为了给你其他的线线垂直的哈， 所以此时来一共是有这四步的。那么我们来看到这一道题目，他说有一个平行六面体了，底面是一个菱形好菱形的对角线相互垂直，已经有了一个垂直了。 其次呢，他说 b a d b a d 为六十度哈， b a d， 那 这里是一个六十度，而 a e 是 一个根号六哈，他不知道为什么给你数字好，数字来了，那就是什么就是勾股定律了。然后此时呢， a e a b 等于 a e a d a e a b， 哎， a e b， 也就是说这一个角度等于 a e a d， 哎，等于这个角度。 然后呢，咱们的 a e a o 等于四十五度， a e a o 哎，也就是说这一个角度哈，它是为四十五度的。那么此时第一问，他让你去证明，哎，咱们的 a e o， 它是垂直于咱们的底面的。 那么我们来看一下这道题目哈。首先呢，你看我们的 a e o 看起来就跟谁是垂直的，我们先来用一下咱们的勾股定律哈， 呃，一定是用谁呢？ a e o 垂直于咱们的 o a 的， 我们放在三角形 a e a o 这个三角形中来哈，我们来看一下它的长度，里面呢是边长为二的菱形，这里是二，这里就是一哈，因为这一个角是六十度，那么这个角就是三十度，所以说这一段是为根号三的， 所以此时你就会知道咱们的 a e a 嘞， a e a 它又是等于根号六的，而咱们角度 a e、 a o 又是等于四十五度的，所以呢，这里你可以由一个余弦定会得到咱们 a e、 o 的 平方，它是等于根号六方，也是六，再加上一个根号三方就是三，然后呢，再减去二倍，根号六乘根号三，再乘上扩散四十五度哈，也是为二分之二的， 对呢，最后你可以算出来，咱们的 a、 e、 o 为模子啊，他是刚好为根号三的，所以你会发现根号三方加上根号三方，他是等于根号六方的，所以马上可以推得咱们的 a o， 他 就垂直于 a e o 了。所以当题目给了你数字的时候，一定是暗示你，他就一定绝对可以用勾不定的，那 那么我们就推走了第一条哈， a o 垂直于 a o 的， 那么其次第二条我们来看菱形可以怎么用哈，你会发现不行，这里用不了菱形对角线，因为菱形对角线就是说这条垂直于这条嘛，但是我们要证的是 a e、 o 垂直于底边， 那就不行了，那我们再怎么来看呢，你会发现哈，我可以去证明 a e o 垂直于咱们的 b d 的 正， a e o 垂直于咱们的 b d 的。 那么你就想一想，我为什么有一个垂直来，你会发现啊， o 为 b d 的 中点 哎，它是中点的情况下哈，如果说咱们的 a、 e、 d b， 它是一个什么，它是一个等腰三角形，那么我们就可以证明这个线线垂直哈，所以呢，我们的下一步是去证明咱们的三角形 d， b， b， a、 e， 它是为等腰三角形的。然后呢，我要怎么说明它是等腰三角形的？其实就是说明我怎么去说明 a、 e、 d 它是等于 a、 e、 b 的 嘞？你就会发现哈， 就是我的 a、 d， 它是等于 ab 的， 对不对？然后呢， a、 e 等于 a 的 题目还告诉你说，哎，我的这一个角是等于这个角的，所以说你就会得到一个三角形，它是全等的三角形。然后呢， a、 d， a、 e， 它是全等于咱们的三角形 a、 b， a、 e 的。 所以呢，它是由一个 s a s 证明全等的哈， 那么此时呢，我们一层一层往上面推，我们就可以推得这一个垂直了。然后你再去说明咱们的 a o 啊，交 b d 于 o 点， 就因为呢，他们这一组啊，他都是在咱们的平面 a、 b、 c、 d 上的，所以你最后就可以说明咱们的 a、 e、 o 就是 垂直于这一整个平面的哈。所以第一题就结束了，这几个的讲义和扣细节我全都整理好了，点击我的主页这里去聊。 我们再来看到第二个题型哈，就是它还是证明线面垂直，但是呢，它会用上咱们的面面垂直，用上咱们的线面垂直哈。 如图，在一个四棱锥当中，咱们平面垂直平面，宝贝们，平面垂直，平面，他不是为了给你这个条件的，是为了让你继续往下面推倒的，就是只要你在这两个平面上找到有一个线，他垂直于这两个平面的交线的话， 所以说你就可以发现什么咱们的 l 他 就垂直于另外一个平面的，你就会得到宇宙最强的一个线面垂直的条件。 那么你来看一下哈， p a b p a b， 就是 说咱们的下平面嘛，垂直于 a、 b、 c、 d， 也就是咱们的后平面嘛，然后呢，它们俩的交线就是为咱们的 ab 嘛？然后此时呢， p a 垂直于 ab， 也就是说我的 p a 垂直于咱们的交线之后，你就可以推得马上 p a， 它就垂直于咱们的后平面儿的，对不对？ 也就是垂直于咱们的 a、 b、 c、 d 的。 然后呢，你得到线面垂直一定是为了推得下一个线线垂直的，这才是它最终的一个目的地。而最后呢，它问的是 b、 c 垂直于咱们平面， p a、 c， 那 肯定跟 b、 c 没跑了。所以说你又去取 b， c 是 包含于这个平面的，你就可以推得 pa 啊，它是垂直于 bc 的， 对吧？ bc 包含于后平面，那么此时我们就推得了第一组垂直哈，这是跟咱们的面面垂直，一层一层往下面垒的。 然后我们继续来看后面呢，他说底面 a、 b、 c、 d 为一个等腰梯形， a、 b 平行于 c、 d， 然后此时嘞，咱们的 a、 b 等于二， c、 d 来等于一的，然后你就会发现哈，你就会发现模子嘞，就是这里出现了数字，那么数字肯定是跟谁有关的，肯定是跟勾股定律有关的。所以说第二步就是说我们要去用一个勾股定律，哎，我们要证明的是 b、 c 呀，它是垂直于谁？ p a、 c 一 日垂直于这一个 面，我们刚才已经证明了它和它垂直，那么我们只需要证明它和它垂直就行了，所以这时候嘞，只要我们来证明三角形 a b c， 它是为一个直角三角形就可以了哈， 那么这时候怎么搞嘞？我们先要去得到咱们 a c 的 长度，对不对？ a c 长度其实外号求哈，你去过 c， 你 做一个垂直下来 作 c m 垂直于 ab， 那 么此时你会发现我这是一个等腰梯形，对不对？所以说这个一一平移下来，那么我这应该是二分之一，这应该是二分之一的，所以呢，我这一段是为母子，是不是为一个二分之三的？ 然后你们继续来看哈，我这为二分之一的情况下，那么此时呢，我这个角肯定就是为三十度的，对吧？他为三十度的情况下来，我们就知道了，这条边他就应该是为二分之根号三的，哎，他为二分之根号三，他为二分之三，你就可以推得这条边为多少，是不是为根号三的。 所以此时哈，你由计算，你可以得到咱们的 a c 呀，它是等于根号三的。那么我们再放到这一个三角形里面来，我们是不是有根号三的平方，再加上一的平方，等于底边 ab 也是二的平方， 所以呢，你就可以推得了，这里确实是一个直角的，所以你就得到了 a c， 它是垂直于 b c 的， 那你看，我现在又有两个垂直了，然后你就可以说咱们的 pa 啊，交 a c 于哪一个点呢？于 a 点，又因为 pa 和 ac 都是包含有平面 pa c 的， 所以最后得到 b c 垂直于平面 p a c 就 结束了，那么我们来看到第三个题型哈，证明面面垂直，那么大家要注意这里跟平行不太一样的一点是什么嘞？就是在垂直的世界里边是线面垂直，他是老大，他是王中王的， 所以说只要你有线面垂直，很多东西都能推导出来，你看哈，如果说在这幅图里边，你能够推导出来咱们的 a， 它是垂直于下面这个平面的，那么 但凡是包含 a 这一条直线的平面，他都垂直于下面这个平面的，所以说你只要有线面垂直，那么包含这个线的所有平面，他都是垂直于另一个平面的， 大家理解吧哈。而我们要去证明线面垂直，刚才已经讲过了，只需要去证明哎，这一个线和下面这个平面的那一组相交直线都垂直就可以了，所以本质上还是线线垂直的问题。 那么我们来看到这道题，他说在一个四面体当中， ab 等于 ac， 等于 ad， 等于 bc， 等于 b、 d 等于二，哈，好多的东西，好多的二，那么此时你就会发现有很多的等腰三角形和等边三角形， 那么等腰三角形和等边三角形有一个很大的特征是什么？就是你只要连接了中点中线之后嘞，那么此时你只要连接了中线，它也是垂线的哈，所以说这就会出现一个垂直了。 那么无论这道题他问没问这个条件，只要他让你证明垂直，你就马上去连接这一个中点， ok， 那 么第一问，他让你去证明 a、 c、 d， 他 是垂直于 b、 c、 d 的 a、 c、 d。 来，我们来画一下哈，就是右边这个平面，他是要垂直于咱们的啊， b b c d 的 b c d 就是 说下面这个平面，所以我们真正要证明的是右平面垂直于下平面。首先同学们，我们先去取一下哈，取 c d 中点 m， 然后嘞，我们去连接 b m， 连接 am， 那 么此时我就会得到两个垂直，对不对？首先 number one b m 是 垂直于 c d 的， 其次咱们的 number two am 是 垂直于 c d 的， 那么得到两个垂直的情况下，我们再来看要用什么哈，这就是有两个垂直了。我们再来看，还可以用一个勾股定律，因为题目涉及到了很多数字，那肯定是跟勾股定律有关的哈。 然后大家来看一下，我在这说了一个什么，我说咱们的 bc 是 垂直于 b 的， 哎，感情好，咱们在底面上这还是有个垂直的，又因为底面我是不是一个等腰只有三角形啊， 所以说我这条边长它就出来了哈，它是为啊，根号二的，这里也是为根号二的，那么这又是为一个二，这里也是一个垂直的，所以这也是为根号二的。 所以呢，你就可以推得俺们的 a m 也是等于根号二的，而咱们的 b m 也是等于根号二的。 你就会发现，在三角形 b m a 中是不是有根号二的平方，加上根号二平方等于二的平方，马上快就很推得咱们的 b m， 它也是垂直于 a m 的。 那么你就来看哈，咱们同时出现了两个大的垂直，一个是 b m 垂直于 c d， 另外一个是 b m 垂直于 am， 你 就可以说咱们的 am 啊和 cd 啊，它是交于 m 点， 因为呢，咱们的 a m 和 c d 都是包含于右边这个平面 a、 c、 d 的， 所以可以快准很推的。咱们的 b、 m 是 垂直于右边这个平面的。然后你再去说明，又因为 b、 m 它是包含于咱们的平面 b、 c、 d 的， 所以咱们两个平面是垂直的。所以说你就是要先证明线面垂直，就可以得到面面 垂直了。我们再来看到最后一道拔高难度的垂直的综合应用，如图，在一个四棱锥当中， pa 垂直于平面 abcd 的， 此时线面垂直移过来，马上可以得到所有的线材垂直。最后你看它要证明的是 a、 b 垂直于咱们的 p、 c 的。 那么我们这时候可以先说明咱们的 p、 a 它是垂直于 a、 b 的 哈。然后我们继续来看说 a、 d 呢是平行于 bc 的， 而咱们 a、 d 呢，它是垂直于 c、 d 的。 哎，就是说我们的底面是一个 的直角梯形，而且此时 p、 c 等于 b， c 等于二倍根号二， p c 等于 b， c 啊，二倍根号二，然后呢， a、 d 等于 c， d 等于根号二，呃，这里根号二，根号二等。 然后我们继续来看， pa 是 等于二的。然后此时哈，我们如果要去证明 a、 b 它是垂直于咱们的 pc 的， 你会发现这两个东西它是隔得很远的，你是意面直线，你是看不出来它到底是不是垂直的。那可以怎么做嘞？我就直接证明咱们的 a、 b 是 垂直于这一整个平面嘛，对吧？ 所以说上一步是要去证明咱们的 a、 b 它是垂直于平面 p、 a、 c 的， 而我怎么去证明它是垂直于这个平面嘞？我就去找到说它的一组相交直线嘛。 所以呢，我们如果能找到 a、 b， 它是垂直于 a， 我 们已经有了垂直于 p a 哈，有了。然后呢，我们再来找一个 a b， 它是垂直于谁？ a c 嘛，就可以了。而 a b 垂直于 a c 呢？那肯定是要跟勾股定律有关了，对不对？因为 题目出现了非常多的数字，所以这时候来我们要去证明的，就是说 a b 垂直于 a c， 就是 要证明它是一个直角，所以我们在三角形 a b c 中，我们要去把每一个边长都给它写出来哈，而 这时候我们的 a c 等于多少来？这里是根号二，这里是根号二，又是直角，所以说它是为二的哈。然后我们继续来看，呃，这里是为多少来 a b？ 你 确实是不知道的哈，但是呢，我们可以过 a 点，我做一个垂直下来， 用了，一个垂直下来，这段是为根号二的，这段是为根号二的，那么他也是为根号二，然后这段和这段又是平行的，他是为根号二，所以说 ab 又出来了，是为二的。 所以此时哈，你会发现，在咱们三角形当中，二方加上二方又等于二倍根号二的平方，所以呢，你就可以得到咱们的 ab 又是垂直于 ac 的， 所以这一个条件也可以得到了。那么我们就可以推到上一层，他是垂直于这个平面。那 你又需说明，因为 pc 它是包含平面 pac 的， 所以可以得到咱们 ab 是 垂直于 pc 的。 那么如果你听完我这一课，你就会在证明垂直的所有题型中如鱼得水。 视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大解析一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 接下来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这边群聊数学想要考年级第一从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见。
2.0万北大糖的魔法数学
32:12查看AI文稿AI文稿请注意，本视频共计三十二分钟，主要讲解的是高中数学立体几何之平面的基本性质与推论的解析分析。自用版仅分享，如有侵权可联系下架视频。 哈喽，大家好，之前的视频介绍了关于平面的三大公里，它们是学好立体几何的逻辑基础，要学好立体几何，还要掌握另一大基础，符号语言。 啥叫符号语言呢？翻译成人话，表示几何元素和几何关系的数学符号，比如这个符号表示平行，这个表示垂直。 在初中就知道使用符号表达起来更精准，更简单。像这样一道题目，用符号写是这样的， 如果只用文字呢？就是这样的，木有对比就木有伤害。如果不想以后活在被文字支配的恐惧中，那就来愉快的学习立体几何中的符号语言吧。 先说最基本的几何元素，点、线、面这三的符号都学过了，列在这里不啰嗦了。那用什么符号表示他们的关系呢？ 比如点 a 在 平面阿尔法上如何表示呢？要发明新的符号吗？还真不是，懒惰的数学家们是这么解决这个问题的。所有的图形都是由点组成的，所以把点看成元素， 那具体的图形，比如线和面就是点的集合，那点和面的关系就是元素和集合的关系。要用属于和不属于点 a 在 平面阿尔法上用符号表示，就是 a， 属于阿尔法。 点 a 在 平面阿尔法外就是 a， 不 属于阿尔法。够简单吧，来考考你，点 ab 都在直线 l 上，怎么用符号表示呢？ 相信大家都选了 ab 选项大概是火星符号吧，咱们不管它。 那如果要表示直线和平面的关系，那就要看成是集合和集合之间的关系，就得用包含余和不包含余。比如直线 l 在 平面阿尔法上可以写成 l， 包含于阿尔法。 除此之外，这种奇和化的符号还可以表示更复杂的图形关系。比如直线 l 和直线 m 交于点 a 就是 l， 交 m 等于 a。 注意，严格来讲，两个集合的交集还是一个集合，因此这里应该写成 l 加 m 等于集合 a。 不 过在例题集合中，咱们规定一个点组成的集合可以不写大括号，所以这么写就可以了。 除了这些例子，点线面之间还有其他的关系都列在这里，只要把它们分别当成元素和集合，再按照集合的关系表示，就不会出问题了。内容比较多，共有两部分，你自己看一下吧。 掌握了这些，那立体几何中的符号语言就达到了初级水平。想要到高级水平，还需要掌握用符号语言表示公理和定力。 怎么表示呢？和初中差不多，只要分清楚条件和结论，并把所有的元素和关系都用符号表示出来，不要遗漏就可以了。那现在就来试试用符号语言表达刚刚学过的三大功力吧。 这条公里怎么用符号表示呢？首先，这里涉及到了四个元素，两点一直线一平面。先将它们符号化，点 a， 点 b， 直线 l， 平面阿尔法。 然后分清楚条件和结论。这个不难，前半句是条件，后半句就是结论。 下面就是重点了，把每一部分出现的所有关系逐个翻译。先看条件，一条直线上的两点， 这意味着点 a， 点 b， 在 l 上用符号表示，阿尔法内用符号表示 a 属于阿尔法， b 属于阿尔法， 这样一来就完整的表示出了条件。再看看结论，直线在平面内，也就是 l 在 阿尔法内，怎么用符号表示呢？ 选 b 不要忘了，直线和平面都要视为集合，所以用包含余。这样条件和结论都表示完了，加上因为所以就是这条公里的符号化表示了。 下面你自己来试一下这条公里它怎么用符号表示呢？左边有提示，想清楚就可以继续了。 出现了四个元素，两个平面表示成平面，阿尔法平面贝塔，一个点用点 a 表示，还有一条直线就用 l 吧。 下面先看条件不重合的平面，平面不重合，这也是一个几何关系，不过这个关系已经表示出来了，阿尔法贝塔是不同的字母，没有特别交代的话，当然就表示不同的平面。 继续有一个公共点 a， 也就是点 a 同时在两个平面上，这个就是 a， 属于阿尔法交贝塔。 这里有一个经典的错误，就是表示成阿尔法加贝塔等于 a， 为啥他是错的呢？因为我们并不知道阿尔法加贝塔中是不是只含有 a， 所以 不能用等号。 再看结论，两个平面有且只有一条过该点的公共直线。这句话呢，表达了两个几何关系。第一，两个平面相交，得到一条直线，阿尔法交贝塔等于 l。 另外这条直线 l 经过点 a， a 属于 l， 完整地表示出来，加上因为，所以就是这样啦。 好了，两条公里介绍完毕，相信肯定有小伙伴迫不及待的想知道，那还有一条公里呢？比较可惜这条公里不太适合用纯符号话表示， 这里面出现了四个元素，三个点和一个面。可能会有同学觉得那还有一条直线呢？注意这里的不在一条直线上，描述的是三个点的位置关系，它并不是这个公里中出现的研究对象。 三个点分别是 abc， 平面是阿尔法，这个公里可以表示成这个样子， 三点不共线和有且只有一个平面都用了文字，因为并没有合适的符号表示这些关系，所以符号虽然好用，但也不必强求，该用文字时就用文字 好了。这个视频介绍了立体几何中的符号语言，要点呢就两个，一是把点看为元素，其他图形看为集合。二是表示具体结论时，要找到所有的几何元素和几何关系逐个表示。 在以后大家每学习一个立体几何的结论时，都要试着将它符号化，这样能检验你是不是真的理解了这个结论。好了，这个视频就到这拜拜。 之前的视频我们介绍了研究立体几何的基本想法，就是将元素也就是点和直线放到一个一个的平面上研究，并且由此衍生出来了三大公里以及公里二的三条推论。 那在具体的问题中，哪些点和线是在同一个平面上呢？这个视频我们就来看一下怎么应用这些公理和推论来证明点和直线在同一个平面上 来看。第一题读题，这有一条直线 l， abc 是 直线 l 上的三个点，点， p 呢是直线 l、 y 一 点，然后分别连接 pa、 pbpc。 要证明的是这三条直线共面， 相信不少同学都有着跟狗蛋一样的想法，但是数学是严谨的，不经过证明的结论怎么能放心用呢？其实啊，你之所以不太会证，主要是因为你不懂证明 p a、 p b、 p c 这三条直线共面这句话到底有什么意思？ 来，瞪大耳朵仔细听好。证明三条直线共面，就要先找到一个平面，然后证明这三条直线都在这个平面上。 不过呢，题目中只有点和线，并没有平面，看来得先确定出一个平面来。想想看，哪些结论能够确定平面呢？ 就是公里二和它的三条推论嘛，它们四个就是专门用来确定平面的，那根据条件看看能用上哪一条吧。 在这个图里，既能找到不攻线的三点，也能找到一条直线与直线外的一点， 还能找到相交的两条直线，所以这三条随便用哪一个都能确定平面，那就用这个好了。一条直线与直线外的一点，比如直线 l 和点 p， 他 俩就能确定一个平面，就将这个平面叫做平面阿尔法吧。 接下来为了辅助思考，咱们在旁边画一个平面，就表示 alpha， 现在直线 l 和点 p 就 在这个平面上，把它们也都画上去。 接下来就要证明 p a、 p b、 p c 这三条线都在平面 alpha 上，那要怎么证呢？想想看什么结论能证明直线在平面上？ 不就是公里一吗？如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内。这条公里就是用来确定直线是否在平面内的。选 a 的 同学可得好好复习一下三大公里及其推论了。 拿 pa 来说，要证明它在平面 alpha 上，就要在 pa 上找到两个点，证明它们在平面 alpha 上。 那就盯着图中的 p、 a 这两个点来看看吧， p 点已经在 alpha 上了，那 a 呢？它在直线 l 上，对吧？而直线 l 在 平面 alpha 上，所以 l 上的所有点都在 alpha 上，当然也包括点 a。 在 下面的图上标一下， 现在 pa 这两个点就都在平面 alpha 上了，那么根据公里一，直线 pa 就 在平面 alpha 上。同样的道理， bc 都是直线 l 上的点，那它们也都在平面 alpha 内。 结合已经在平面上的点 p， 我 们就能证明 p b 和 pc 也在平面 alpha 上，所以 pa、 p b、 pc 这三条直线共面标准过程在这你可以暂停来看一看。 回顾一下解析过程。想要证明几个点或者直线公面，主要有两个步骤，首先要通过已知的元素找到这个平面。具体来说，就是通过已知条件中的部分元素，利用公里二和三个推论确定出一个平面， 然后再将目标点或者直线放到这个平面上。具体方法就是以确定的平面上的元素为基础。如果一条直线在平面上，那么它上面的所有点也在这个平面上。 如果有两个点在平面上，那么经过这两个点的直线也在平面上。思路有了，那用同样的方法来看看接下来这道题吧。 读题已知直线 a 和 b 互相平行，直线 c 与他俩分别交于 ab 两点，要证明的是 abc 这三条直线共面。 那按照前面的思路，想要证明共面，首先要用部分已知的元素确定一个平面，然后证明目标直线都能放到这个平面上。 根据公里二的推论，任意两条相交或者平行的直线都可以确定一个平面，所以这三条直线中任取两个都能确定一个平面。那就先拿 a 和 b 这两组平行直线试试吧，他俩确定出一个平面，二方 还是在旁边。先把 alpha 画出来，那 a 与 b 就 都在 alpha 上。接下来只要证明 c 也在 alpha 上，就能证明 abc 共面了。这个很简单，直线 c 上有两个已知点 ab 对 吧？因为直线 ab 在 alpha 上，那点 a、 点 b 当然也在 alpha 上。 现在直线 c 上的点 a、 点 b 都在 alpha 内了，那 c 自然也在 alpha 内。证明完 b， 来看一下标准过程。 做完题，咱们来说一下解这类题的一个坑。可能有的同学会想到用 a、 c 这两条直线来确定平面，这样也不是不可以做，不过这样一来，直线 b 上就只能找到一个点在这个平面上了，没法直接把直线 b 放到这个平面上。 正确的做法是用 ab 再确定一个平面，然后证明这两个平面是同一个平面。不过这样做就太麻烦了，而且最终你还是会用到 ab 这两条平行直线来确定平面。 所以在这种直线比较多的题目中，如果条件中有平行直线，那么优先使用平行线来确定平面会更好一点。 好了，题目都做完了，相信大家对如何证明线共面已经有感觉了。总的来说，思路就是先通过某些元素确定出平面， 然后把目标元素放到这个平面上。在确定平面时，如果条件中有平行这个条件，要优先用它。好了，这个视频就到这了，拜拜。 之前的视频我们介绍了意面直线所成的角，在具体的图形中，可以通过平移做出意面直线所成角。 有了角，自然就解锁了一个进阶任务，求出来这个角。那这个视频我们就通过两道题看看如何求出意面直线所成的角。 这有一个折棱柱，每条棱长都是一里面呢，是一个菱形角， a、 b、 c 是 六十度。让我们求 a、 a 一 与 b、 e、 d 所成角大小。 这第一步当然是要把它们俩平行到一起，先把所成角给做出来，毕竟只有找到具体的角才能算大小嘛。 观察后发现， a、 a 一 这条棱显然比 b、 e、 d 好 平移，把它平移到 b、 b 一， 或者平移到 d、 d 一 都可以， 那就平移到 b、 b 一 吧。 b、 b 一 和 b、 e、 d 的 夹角就是角 b、 b、 e、 d， 它看起来像个锐角，那应该就是 a、 e、 a 和 b、 e、 d 的 缩成角了。 不过我们说过，在立体几何里，光靠眼看是不太靠谱的，所以还是要严格的计算一下，万一算出来这是个钝角，那答案就应该是它的补角了。 那该怎么求角 b、 b、 e、 d 呢？注意了，计算空间中的元素始终要抓住一个重要想法，把它放到平面里研究。那这个角可以放在哪个平面里研究呢？ 只要我们连接 b、 d 角， b、 b、 e、 d 就 变成了三角形 b、 e、 b、 d 的 一个内角，那先在旁边画出来三角形 b、 e、 b、 d。 下面通过解三角形就可以求出它的度数了。 来看这个三角形已知的只有 b、 b、 e 等于一，那除此之外，这个三角形里还有哪些边角可以通过已知条件求出来呢？ 答案选 c， 它们俩都能求。首先，由于 b、 b 一 是直棱，住了侧棱，所以它与 b、 d 垂直角比， b、 d 就是 九十度。 其次， b、 d 是 底面菱形的一条对角线，而且已知角 a、 b、 c 等于六十度，那 b、 d 也可以求出来了。身经百战的小伙伴已经直接报出了答案根号。三、 不太熟的话也没关系，只要把这个菱形也画出来，再过点 a 做条垂线，同样可以很快的算出来， 那把这两条信息也标在三角形里。现在这个三角形我们再熟悉不过了，角 b、 b、 d 就 等于六十度，因为它是个锐角，所以 a、 a 一 和 b、 d 一 所成的角就是六十度数算好了，最后，我们来看看标准的解析过程吧。 写过程时需要注意这两个细节，第一，通过平移找两直线夹角的这个操作，在标准过程里要写成两直线平行。 第二，在找到角 b、 b、 d 时，由于暂时无法确定它是锐角、直角还是钝角，所以为了严谨，需要先声明两条直线的左乘角是角 b、 b、 d 或者是它的补角。 回顾一下这道题，在立体图形里，不论是想求出边长还是角的大小，最重要的想法都是要把元素放到一个平面里进行研究。 比如在找到角 b、 b、 e、 d 后，我们通过连接 b、 d 补出了三角形 b、 b、 e、 d 把球空间中的角转化成了平面上的。解三角形问题， 而想求 b、 d 的 长度，同样要把它所在的平面 a、 b、 c、 d 给找出来，在平面中完成计算。如果你的空间想象能力稍弱，那就要多动动笔，在旁边画出这些拆出来的平面图形，利用它们帮自己找到图形中的关系。 不过话说回来，刚才这道题里，我们补出来的三角形 b、 e、 b、 d 恰好是一个直角三角形，所以计算都特别简单。而如果补出来的是一个奇形怪状的三角形，那我该怎么办呢？比如我们来看第二题 读题，这次的题目给的是一个立方体 e、 f 分 别是这两条龙的中点，把它们分别和 b 一、 c 这两个顶点相连，要求的是这两条直线所成角的余弦。 这回第一步的找角就交给你吧，它们俩应该怎么平行到一起呢？ 不难找吧，只要把 b、 e、 e 往右推就可以了。当 e、 c 重合的时候， b、 e 也就顺势挪到了 b e、 c、 e 的 终点。只要取 b e、 c e 的 终点 g， 那 c g 就 平行于 b e， 那 b e 与 c f 的 左乘角就是角 f、 c g 或者它的补角。想求角 f、 c g 跟上一题一样，连接 f g， 把它放进三角形 c、 f g 里，它看起来好像就不是直角三角形了，那还能求出角 f、 c、 g 吗？ 当然可以了，别忘了，咱们可是学过正弦定力和余弦定力这两大武器的，可以在任意一个三角形里进行边角转化。仔细观察这个三角形，它的三条边分别在立方体的三个面里，长度都能直接表示出来， 而已知三边求内角，这不就进入余弦定律的射程了吗？思路想清楚了，那就动手计算吧。先看 c g 这条边，把平面 b、 c、 c 一 b 一 单拿出来， g 是 b 一 c 一 的中点，假设立方体的棱长是二 a， 那 c g 的 长度就是 a。 根据勾股定律， c g 就 等于根号五 a， c f 和 f g 这两条边也是一样的，只要单独画出来这两个平片长度，就能轻松地计算出来。动手算一下， c f 是 根号五 a， f g 是 根号二 a， 三个数都有了。最后一步就是套余弦定理了，你自己来算一下 cosine 角 f、 c g 的 值吧。 答案选 b。 只要规规矩矩的写出余弦定律的计算式，大家应该都不会算错。 这里角 f、 c、 g 的 余弦值为正，这就说明它是锐角，那它就是这两条直线的所成角。因此要求的答案就是五分之四。完整的解题过程放在这里，你自己来看看吧。 题目都做完了，总结时间到，这个视频学习了如何算出两条一面直线的所成角。思路很简单，先通过平移找角，然后通过构造三角形，把角放到平面里边。求 常用的计算方法就是先算出来边长，然后再用余弦定理解三角形。想要计算空间中的长度和角度，关键的想法还是要把它们放到相应的平面里研究。 在一开始我们可以把用到的平面都单独画出来，等熟练之后就可以省掉这一步了。 哎，狗蛋同学可别高兴的太早。在大多数求一面直线加角的题目里，难点并不在于怎么计算角，而在于如何构造出两直线的加角。很多时候，我们没法像今天这两道题一样，一眼就能看出平移的方法， 那这种情况下该怎么办呢？下个视频告诉你吧，拜拜。 大家好，欢迎回来。上个视频说了，计算意面直线所成角，关键就在通过平移找到所成角，然后把角放进相应的三角形中。求解。 不过在不少复杂的图形里，平移可不是一件简单的事，如何找到合适的平移才是这类题最大的难点。那这个视频咱们就通过一道题来研究一下如何平移直线。 读题，在立方体里， e 是 b、 c 这条边的中点，要求的是 a、 c、 d、 e 这两条线所成角的余弦。那首先要干的还是平移，得先把它俩的所成角给做出来。那你想想该怎么平移呢？ 是不是感觉想把他俩挪到一起去，怎么操作都不太顺？这么挪或者这么挪，这稍微一挪就跑外头去了，完全想象不出来图形长什么样，这可怎么办呢？ 要解决这个问题，就要升级一下对平移的理解了。看这个图，直线在空间中不论朝哪个方向平移，划过的轨迹都是平面的一部分吧。 也就是说，只要平移直线一定是在一个平面里进行的。再重复一遍，平移直线一定是在平面中进行的。你之所以不知道该如何平移，是因为没有找到用于平移直线的那个平面， 因此我们可以盯住直线所在的某个平面，让直线在这个平面里移动。那如何操作呢？我们以 d、 e 为例来演示一下。 首先来找 d、 e 所在的平面，最明显的就是底面 a、 b、 c、 d 了，在这个平面里， d、 e 可以 朝任意方向平移，到底该平移到哪呢？ 咱别忘了平移的目的，与 a、 e、 c 相交形成角， a、 e、 c 与平面交于点 c， 那 就把直线往 c 点平移呗。说准确点，就是过点 c 做一条与 d e 平行的直线， 虽然这条直线没有落在正方体内部，但只要把底面往这边延展开，就能找到 c f 和 a d 延长线的焦点 f 了。那角 a、 e、 c、 f 或者它的补角就是两条直线所成的角，只要盯着它来计算就可以了。 回头看看找角的过程。直线在空间中平移，本质是沿着某个平面进行平移，所以只要盯紧直线所在的平面，就可以找到合适的平移了。 相信不少空间想象能力爆表的同学已经开启了和小锤一样的吐槽模式了。不过啊，先别着急吐槽，这种借助平面来找平移的方法，最大的便利就是当图形变得复杂，空间想象能力受阻时，也能帮我们找到目标。 比如说我们一般不会选择平移 aec 来找夹角吧，毕竟这条线的位置最为诡异。但是借助平面进行平移，哪怕是挪动 aec， 我 们也能轻松找到它与 d、 e 所成的角， 不信跟着我一起看看吧。按照刚才的思路，首先要选一个 aec 所在的平面， 虽然图里没有现成的，不过可以自己手动构造一下，比如连接 a、 e、 b 就 可以找到 a、 e、 b、 c 这个平面。那现在你能不能在这个平面里平移 a、 e、 c， 找到它与 d e 之间所成的角呢？ 还是和刚才样，先找 d e 与平面的交点，也就是 e， 然后过 e 在 平面里做 a、 e、 c 的 平行线，与 a、 e、 b 交于点 g 那 角 d、 e、 g 就是 锁成角或者锁成角的补角。你看，如果不借助平面的话，光盯着这张图，很难想象做 e、 g 这条平行线吧。 除此之外啊，如果连接 ac 找到平面， a、 e、 c a 还可以过这个焦点，这样做一条平行线，找到第三个满足要求的角。 所以我们只要记住这样一套流程，先找平面后平移，就再也不用担心找一面之线所成的角了。 做完平移，找到角，下面就可以任选一个来计算这个角的余弦了。上个视频讲过，要找到角所在的三角形，先算出三边长，然后用余弦定理计算。 提前说一句，像这种棱长没有给定的题目，可以任意设一个方便计算的数，毕竟单位长度可以随意规定嘛。因为这里出现了终点，那干脆就把棱长设为二吧。 先用第一张图来算，要计算 cos 角 a、 e、 c、 f， 就 要先算 c、 f， a， e f， a e、 c 这三条边长。虽然 f 点的位置暂时不确定，但不用着急，我们画出平面图就可以算了。 cf， 在 底面的这个三角形里， c、 d 是 二， c e， d， f 是 个平行四边形，所以 d、 f 等于 c， e 等于一，那根据勾股定律， c、 f 就 等于根号五。 再看 a、 e、 f， 它在侧面上，这两条边的长度分别是二和三，那它的长度就是根号十三。 最后看 a、 e、 c 这条体对角线，只要把 a、 c 一 连，就能利用这个直角三角形算出它的长度是二倍。根号三 边长都算好了，老老实实带进公式里。最后算出角， a、 e、 c、 f 的 余弦值等于十五分之根号十五，结果大于零，说明这是一个锐角，那它就是答案了。 如果选择另外两幅图，一样可以计算出结果，方法都一样，先计算三角形的三边，然后代入于心定里。 想要正确计算出三角形的三边，重点在于确定点的位置。比如第二幅图里 g 是 a、 e、 b 的 中点，而第三幅图里通过底面这两三角形相似，我们可以得到 m 是 a、 c 的 三等分点。 直接原因这里的计算细节就不多说了，大家自己看看吧。 总结一下，求意面直线所成角，关键是通过平移找到所成角。 今天教给大家一个好用的平移方法，先找到平移的直线所在的平面，然后找到另一条直线与平面的交点，最后把直线沿着平面平移过去即可。 具体操作时，可选的平面一般不止一个，刚开始可以多练几种不同的方法，等练熟以后就在考试中找到计算量最少的一种就可以了。这个视频就到这里了，拜拜。
01:59查看AI文稿AI文稿就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。
1.3万数学王超子老师
30:56查看AI文稿AI文稿高考一百二十加系列的收官之作，咱们来讲一讲中档题最爱考的立体几何，毕竟教育局都已经明牌了，今年立体几何难度大概率会上升。所以呢，本期视频还是基于图形确定性的分析方法，教你怎样白得十五分。 ok， 那 这期视频呢，咱们来分享这三道题目。那首先呢，再次强调一下啊，所有的立体几何体，不管放在什么地方，首先呢，都得做一波分析，而分析的核心就是这个图形的确定性， 就是你得看一下图形当中哪些点是定点，哪些点是动点，如果是定点，它是由哪些条件确定下来的，如果是动点，它是怎样运动，受到哪些限制，运动的轨迹是一个什么图形？把这些分析清楚，思路大概率就有了。 ok， 那 咱们就带着这样的分析方法，先来看第一题啊，这道题目呢，来自于二六年的宁波二摩，首先呢，给了一个三角形 abc 给出了很多条件，那这里呢，咱们自然得关注一下，这些条件之下，这一个三角形是否是完全确定的 啊？知道呢，角 c 是 六十度，知道呢， a c 是 等于四的，然后呢， bc 等于二， 各位同学，三角形两边夹角一致，这个三角形是完全确定的，对吧？同时呢，不难发现，这应该是一个直角三角形， b c 和 a c 一 比二，加角六十度，肯定是三十，六十、九十的直角三角形有没有问题？ 好，如果你要严格证明的话，那就拿余弦定力把 ab 边给它求出来，然后呢，用三边长度验证一下勾股定力就可以了。这里呢，我就不算了啊， ab 边应该是二倍根三，这个角九十度 好，然后呢，知道点 m 是 a c 的 中点，所以 amcm 全都等于二，点 m 也是一个定点。 那么同时呢，分析到这里，大家呢，不难发现，三角形 m b c 两边相等，加角六十度，这是一个等边三角形 b m 也等于二 啊。继续啊，说呢，沿着 b m 将三角形 c， m b 翻折到三角形 d m b 看一下，这个三角形做了一个翻折，那么 d m b 呢，也应该是一个等边三角形 啊。那么接下来的问题就是，这个点定是一个定点吗？哎，如果只看翻折这个条件，不一定点定呢，可以绕着 b m 做旋转，对吧？但是呢，后面给出了这么一个条件，叫做 d a 等于根号十， 那这个长度就把点 d 的 位置给它定死了，所以呢，这是一个完全确定的图形，全是定点，发现了吧， 好，但是呢，根号式这个条件不是一个特别好的条件，他没办法直接告诉咱们点 d 在 什么地方， 就是这个条件确实能确定下点 d 的 位置，但是点 d 具体在哪暂时说不清楚，所以将来呢，肯定得把这个根号式的条件转化成更容易让咱们说清楚点 d 位置的这样一个条件。 那这个呢，其实就是第一问，他让咱们证明平面 dmb 垂直平面 abm 就是 这个等边三角形和底面是垂直的，所以呢，点 d 就是 旋转到 bm 的 正上方，能理解吗？啊，那咱们来考虑一下这个面面垂直如何证明？ 那我讲两种得到思路的方法，就是后续的证明过程都是一致的，但是思考路径不太一样。 第一种方法呢，就是从面面垂直出发，想证明面面垂直，那就是要在一个平面内找到另外一个平面的垂线，咱们都很清楚，优先去找交线的垂线，对吧？那你看一下 d m b 和底面，它俩的交线就是 b m 啊，所以呢，咱们可以考虑在其中一个平面做交线 b m 的 垂线，那这个非常简单， d m b 是 一个等边三角形，那就取 b m 的 中点 o 啊，这个是中点，然后呢，把这个 d o 给它连起来， 那么 d o 呢？和 b m 肯定是垂直的，那么接下来只要证明 d o 垂直底面就可以了。好，这是第一种思路分析的方法，那么第二种分析方法呢，就是从点 d 的 确定方式出发，你看点 d 呢，是从点 c 旋转过来的，对吧？绕着谁做旋转呢？ 就是这个三角形是绕着 b m 做旋转的，但是如果你只看点 d 的 话， 那么应该是从点 d 向 b m 做垂线，这个垂足就是刚才的中点 o， 点 d 是 绕着点 o 做旋转的，应该从 c o 转到 d o， 那 你想吗？ 所以这个地方呢，肯定得把 d o 给它做出来，那么所谓的确定点 d 的 位置，其实就是确定 d o 到底旋转了多少，那你想吗？ ok， 那 么两种思路分析呢，都给大家说完了，咱们呢接着往下走啊，其实到这里就已经非常简单了，你想证明 d o 垂直底面，那就是证明 d o 和底面上的两条相交直线互相垂直，第一条呢就是 b m， 那 么第二条找谁呢？ 来，为了利用上 a d 这个条件，得把 a o 给它连起来，那么第二条呢，肯定是证明 d o 垂直， a o 用一下勾股定律，所以呢，咱们把这个三角形定 a o 给它画出来。 好，这条边呢，已知是根号十， d o 呢，是等边三角形定 b m 的 高，边长为二，这个高根号三。 然后呢，这个 a o 来，咱们呢，把底面三角形 abc 单独画出来三十度的直角三角形斜边中点为 m， 点 o 呢是 b m 的 中点，把这个 a o 连起来。那这里呢，咱们可以看一下三角形 a m o， 你看 a m 呢，应该是 a c 的 一半等于二，然后这个 m o 是 b m 的 一半等于一，那么这个角应该是一百八十度，减去角 b m c， 这是一个等边 b m c 六十度，那这个角一百二十度，所以 y 斜定律 a o 肯定能取出来，这个我就不算了，应该是根号七。 好了，验证一下，三边的平方三加七确实等于是满足勾股定律，所以呢，这个 d o 和 a o 也是垂直的，这样以来 d o 垂直底面，那么这两个平面自然就垂直了。好了，那这个第一个我说清楚了吧， 那咱们继续来看第二段。说到线段 a b 上是否存在点 p 好， a b 上有一个点 p， 使得呢点 p 在 平面 d a m 内的射影恰好落在直线 dm 上。 来理解一下这个问题什么意思啊啊？在这个平面内的射影，就是从点 p 向 a d m 这个平面做垂线，然后呢，这个垂足要刚好落在直线 dm 上，对吧？好，咱们来假设这个垂足是点 q。 哎，所以这同学，其实呢，这个条件可以换一种理解方式，咱们就从 p q 两点的确定性上出发去理解，就是点 p 是 线段 ab 上的一个动点， 然后呢，这个点 q 它得在直线 dm 上，对不对？最后呢，还得要求这个 p q 和平面 d， a m 是 垂直的。 哎，这两个点是根据这些条件确定下来的，能理解吗？啊，那么这个呢，我觉得怎么呢？就间隔器就可以了，因为确定 p q 的 这些条件在坐标系当中都非常容易表示出来， 那么考虑到这里这个角 abc 是 一个直角，所以呢，咱们可以以 b a 为 x 轴， bc 为 y 轴啊，这种呢就不给大家画了。 ok， 好， 那么接下来呢，先把 p q 两点坐标给它表示出来啊，点 p 呢，在 x 轴上作为一个动点， 咱们呢可以设点 p 的 坐标，设一个 p 零零好，点 q 呢，在这个直线 dm 上，那么想表示点 q， 得先有 dm 两点坐标，点 a 的 坐标 ab 是 二倍根三，二根三 零零啊，点 c 呢，在外轴上 b c 等于二点 c 的 坐标零二零，那么 m 作为 a c 的 中点 m 点的坐标根三一零。好，然后呢，这个点定 啊，上一个呢，咱们证明过了，定 o 和这个底面是垂直的，那么点 o 呢，是 b， m 的 中点，点 b 呢是圆点，点 o 的 坐标二分之根三，二分之一零。 所以呢，点 d 的 坐标 d， o 呢，是根号三就是二分之根三，二分之一根三。好了， d 和 m 的 坐标都有了，那咱们来表示一下点 q 的 坐标 啊，可以用下这个定比分点的公式啊啊，点 q 的 坐标呢，就可以表示成 t 倍的点 d 坐标，再加上 e 减 t 倍的 m 坐标 t 乘上这坨二分之根三 t 二分之一 t 根三 t， 再加上这坨乘一减 t， 根三减根三 t， 一 减 t 零。好了，这两个加起来那么点 q 的 坐标 根三对不起，减去二分之根三 t， 然后呢是一个一减去二分之一 t， 最后根三 t， 那 到此为止呢，这两个限值条件已经用完了。最后一个限值条件 p q 垂直，这个平面如何理解？其实呢，就是 p q 向量是这个平面的一个法向量，这里呢，有两种处理方式啊，咱们呢，先把这个 p q 向量给它取出来 啊，就是根三减二分之根三 t， 再减 p 一 减二分之一 t 根三 t 啊。第一种处理方式就是 p q 向量和这个平面上两个不共线的向量分别点乘等于零。那么第二种处理方式就是你先把这个平面的以个法向量给它求出来，这样 d a， m 三点坐标都有了，以个法向量大家肯定都会求 啊，这个呢，我就不算了啊啊，算出来呢，应该是一根三一啊，那么这个 p q 向量和这个反向量应该是平行的，对吧？ 那么两个向量平行，就是所有的坐标对应成比例 来，第一个坐标根三减二分之根三 t 减 p， 它呢除以这个地方的一，然后呢就等于 一减二分之一 t 除以这个地方的根号三，同时呢，就等于根三 t 除以最后一个坐标除以一啊，这个一呢，就不写了， ok， 那 么这样一来呢，就得到了一个关于 t 和 p 的 方程组，这个方程组相当好解，后面两个方程可以算出 t 啊，一减二分之一 t 等于三 t 一 等于二分之七 t， 所以 t 就 等于七分之二。然后呢，随便带回到哪个方程，把这个 p 给它求出来， 算出来应该是七分之四倍根三，那么 t 和 p 全都有了。最后呢，这道题让你求 a p 的 长度，来，各位同学看一下 啊， a p 的 长度，其实呢，就是 ab 减去 b p， 然后呢， ab 是 二倍根三， b p 呢，就是这个地方的 p 七分之四倍根三，所以算出来七分之十倍根三，那这道题就做完了。 好，所以大家呢，会发现，其实呢，这个分析的思路就是看一下每个点是如何被确定下来的，每个点受到哪些条件的限制，然后把这些条件合理的表达出来，就可以了，理解了吗？好了，那这道题就说到这里， 那咱们再来看这道来自于甘肃二摩的题目，图形呢，乍一看好像有点小复杂，但其实这道题啊，分析起来还是很舒服的 来，他呢，给了一个多面体，知道呢，底面 a、 b、 c、 d 是 一个矩形啊，那么看到矩形，咱们自然要关心它的长和宽是否是确定的，对吧？来到后面找一下啊，这里呢，知道 a、 d 等于二以及 a、 b 等于三啊，这边三，这边二，所以底面完全确定 啊。接下来呢，知道这个 a、 e、 c、 f、 d， 七分别和平面是垂直的，看一下 a， e、 c、 f、 d， 七，所以呢，这三条线的方向是确定的。然后呢，又给出了 a， e 等于二， c， f 等于三，这段等于二，这段等于三。 好，那么这样一来的话，点 e 点 f 这两个点也是定点，对吧？现在呢，就只剩点进是一个动点了。最后呢，知道 m、 n 分 别是 b、 d 和 e、 f 的 中点，看一下两个大中点 m n 也是定点， 所以呢，看来看去，这道题的动点只有点进这一个动点， 但是呢，这个动点的运动方式相当简单，就是在定界上上下移动，只要定界的场动确定了，那整个图形就完全确定了，发现了吧？ ok， 那 带着对图形的理解，咱们先来看第一问，让你证明 m n 平行平面 d， c f 七 m n 呢？在这个地方， d， c， f 七是后面这个平面 啊，我个人觉得这个思路还是挺容易看出来的，因为这个图形给的实在是太规整了，很明显就是证明 m n 和 c f 平行就可以了，这两条线看上去就像是平行的，对吧，那具体怎么证明呢 啊？考虑到这里，点 m 是 b、 d 的 终点，咱们可以把这个 a、 c 给它连起来，那么底面呢，是一个矩形，所以 m 同时也是 a、 c 的 终点。 好，然后呢，咱们看到这个平面 a、 e、 f、 c。 注意啊， a e 和 c f 都跟底面垂直， a， e、 c、 f 是 平行的，这四点确实在同一个平面上。 好，它俩平行，所以呢，这是一个梯形，那么 m 是 a c 的 中点点， n 是 e、 f 的 中点，所以呢，这个 m n 就是 梯形的中位线，那么梯形中位线的性质和上下底边都是平行的，那不就正出来了吗？ 所以 m n 和这个 a， e 以及 c f 都是平行的。 好了，所以 m n 呢，和这个平面 d， c， f， g 也是平行的。 ok， 第一问呢，就要结束了， 来第二问啊，说呢，点进点 e 点 b 点 f， 四点共面，求这两个平面所成角的余弦值。看一下这四点共面 啊，一开始呢，咱们分析过啊，点记呢，应该是一个动点，但是加上四点共面的条件，点记的位置就被定死了， 对不对？所以这道题呢，其实就是根据四点共面，先把定记的长度给它求出来，那只要这个长度有了接下来间隙，算坐标都是相当简单的。这道题有大量的垂直，比如说呢，这个是 x 轴，这个是 y 轴 啊，只要根据四点共面取出 d、 g 的 长度，所有点的坐标都能取出来，发现了吧？好，所以咱们来考虑一下这个四点共面如何使用呢？ 来这里呢，给大家讲三种不同的方法啊。第一种方法呢，就是非常常规的坐标的方法，这个就给大家说一下思路啊，就是你先把其他点的坐标都给它写出来，那么点 g 的 坐标呢？比如说可以设成是零零 p， 可以 吧？ 好，那么所谓的四点共面，用坐标是这么去表示的，先找到平面 b、 e、 f 的 法向量 啊，反正呢，这三点坐标能求出来，这个法向量的坐标也能求出来。然后接下来因为四点共面点进也在平面 b、 e、 f 上，所以 b、 g 向量和这个法向量 n 向量一定是垂直的，各位同学想一下有没有问题？ 好，那根据这个垂直就能把 p 给它取出来了，那理解吧。 ok， 这是第一种方法好，然后呢，第二种方法处理四点共面，咱们还可以用向量的方法 啊，具体来讲呢，就是这样的，你在这个平面之外任选一点，比如说选这个圆点 d， 然后呢，从点 d 到这四个点会形成四个向量，把其中一个向量，比如说 d、 g 向量， 用另外三个向量给它表示出来，也就是呢，表示成 a 倍的 d， b 向量，加上 b 倍的 d， e 向量， 再加上 c 倍的 d， f 向量。那么一旦表示完成之后，根据四点共面， a 加 b 加 c 系数和必须等于一，根据这个东西就能把这里的 p 给它取出来了啊，这种方法呢，给大家具体的演示一下。 ok， 那 咱们从递进向量出发，目标呢，是把它转化成这三个向量啊。首先呢，可以看到 m n 这个向量，因为 m n 分 别是 b， d， e， f 的 中点， m n 将来可以转化成这四个点。 那么上面呢，咱们证明过啊， m n 和 c f 是 平行的，所以 m n 和 d g 也是平行的，因此呢， d g 向量一定可以表示成 t 倍的 m n 向量，哎，将来只要把 t 给它求出来， d g 的 长度自然就有了。 好。然后呢，继续对 m n 向量做转化这一道呢，这些向量都是从点 d 出发的，所以把 m n 向量转化成 m d， 加上 d n。 ok， 那 么这里的 m d 注意到 m 是 b d 的 终点， m d 就是 负二分之一 db 向量，再乘 t 负二分之 t 乘 db 向量好， db 呢就有了。 然后直接说，这里的 d n 点， n 呢是 e， f 的 中点，所以 d n 向量就是二分之一，定义向量加二分之一， d， f 向量，再乘上 t 二分之 t， d， e 向量加上二分之 t， d， f 向量。 好了，各位同学，那咱们的这个目标就完成了。那么最后呢，根据系数和等于 e 这三个系数相加 啊，正好呢，就是二分之 t， 它等于一，所以呢， t 就 等于二。哎，这样以来， d g 的 长度应该是二倍 m n 的 长度， 那这个 m n 的 长度又是多少呢？那非常简单，上一个呢，咱们说过啊， m n 应该是梯形 e， a， c， f 的 中位线，那么中位线的性质应该等于上下底边和的一半， 所以呢， m n 的 长度就是二分之一 a e 加上 c f。 好 了，这个 a e 等于二， c， f 等于三， d， g 等于五 行了，那有了 d g 的 长度，接下来间隙算坐标这些东西都不困难吧？ ok， 那 接下来呢，咱们再来说一下四点共面的第三种处理方法。 那最后一种方法呢？是一种纯几何方法，咱们呢，还是看到这个点 n 就是 点， n 是 ef 的 中点，所以点 n 肯定在平面 g e， b， f 上，对吧？咱们把这个平面呢设成是平面二法好，所以这样以来， g、 n、 b 三点都属于平面二法 啊。同时呢，咱们刚刚说过了， m n 和 g d 会确定一个平面， 咱们呢，假设它俩确定的平面是平面贝塔，那么这样以来， dm 两点都在平面贝塔上，那么点 b 是 直线， dm 上一点点 b 也在这个平面上，所以 gnb 三点同时也属于平面贝塔。 好了，各位同学，那么这三点同时在这两个平面上，而咱们都知道两个平面相交得到的是一条直线，所以这就能说明 g、 n b 三点共线。 好了，那看回到这个平面， g、 d， b， 你看这个 m 呢是 b d 的 中点，然后 g n、 b 三点共线， m n 和 g d 又是平行的，所以很明显点 n 只能是 b， g 的 中点， m n 就是 中位线，所以 g d 等于二倍 m n 和刚才推出的结果完全一样， 看懂了吗？好了，那这个 d g 的 长度有了，剩下的就不给大家仔细说了，说一下最终的答案，大家呢自己算一下好吧， 啊，就是接下来呢，可以算出这个平面的法向量，咱们用 m 向量来表示，是一个九十六，然后呢，这个平面其实就是 y o z 平面，法向量幺零零。那么最后呢，假设两个平面所成角是 c t， 可以 算出 cosine c t 是一个二百一十七分之九倍的根号，二幺七是一个还比较复杂的数，但是呢，这个没有什么太大的关系，因为这道题的核心就是四点共面，如何处理？这盘我说清楚了吗？ ok， 那 第二题就分享到这里， 那来看最后一道来自于深圳中学的题目，依然是基于图形的确定性去做分析 啊，这个图呢，给的不像是一个很规则的图形，咱们先看一下条件哈。啊，知道呢， p a， p d， a， d， c， d 都是二，看一下， p a 等于二， ad 等于二， pd 等于二。好，那么三角形 p a d 是 一个等边三角形，所以这个三角形完全确定。 然后呢，知道 ab 是 等于一的， ab 平行， cd， ab 垂直， ab 这个地方是垂直的， ab 和 cd 是 平行的，那咱们把底面这个四边形单独画一下。 好，这里是 abcd， 这里呢是垂直的，那么这个地方也是垂直的，知道 ab 等于一， cd 等于二， a d 呢也等于二，那很明显，这个梯形也是完全确定的，对吧？所以呢，这个多面体当中有两个面都是确定的，那整个这个多面体是确定的吗？ 哎，这个呢，还不一定，为啥呢？因为你可以把这个 a， b， c， d 给它固定下来，然后让 p a， d 绕着 a d 做旋转，相当于这两个面形成的二面角的大小还不确定，对吧？所以接下来呢，在看问题的时候，要关注一下这两个平面的夹角是否确定 好，咱们先来看第一问啊，知道呢，平面 p a、 d 垂直平面 a， b， c， d 啊，这个条件呢，给的非常好，就是刚刚提到过的这两个平面互相垂直，面板垂直加角九十度，那整个图形就完全确定了，对吧？然后呢，让你证明平面 pbc 和平面 pcd， 看一下这个平面，这个平面是垂直的， ok， 这两个平面所在的位置呢，不是那种特别好看的位置，所以我个人觉得考场上直接选择间隙就可以了，因为第一的话，有已知的面面垂直，这个坐标器会比较好见。第二，因为整个图形完全确定，所以每个点的坐标一定都能写出来，能理解吗？ 啊，那么这里间隙的思路呢啊，我个人觉得就以点 a 为圆点，这里呢是 x 轴，这里是 y 轴，可以吧？ 啊，那么点 a 坐标零零零，点 d， 坐标零二零，点 b， 坐标幺零零，最后呢，点 c 坐标应该是一个二二零好，然后呢，还差一个点 p， 你看 p a、 d 呢，是一个等边三角形，面面垂直，如果你从点 p 向底边做垂线，这个垂足应该是 a、 d 的 中点，对吧？然后呢，这个高是根号三，所以呢，点 p 的 坐标零一根三。 好了，现在呢，所有点的坐标都有了，那么这两个平面的法向量应该非常容易算出来，就不给大家仔细算了，说一下最终的结果啊， p b c 的 这个法向量， 它呢是一个二负一跟三，然后 p c、 d 的 反向量零跟三一，那么这两个向量点成显然等于零，那面面垂直就正出来了，有没有问题？ ok， 咱们呢，再来看第二问。 好，第二问呢，说 b c 垂直 p b， 看一下刚才的面面垂直就没有了，知道的是这个 b c 和这个 p b 它俩是垂直的， 然后让你求两个平面夹角的余弦值，那么这面的光线呢，还是要想清楚啊，就是因为底面的这个条件是不变的，所以 a b、 c、 d 四点一定是定点，那么此时点 p 是 不是定点？ 这它也是定点，一开始说过了，相当于啊，三角形 p a d 绕着 a d 做旋转，然后旋转到 b c 和 p b 垂直的这样一个位置，那么点 p 的 位置一定是被定死的，对吧？ 所以呢，这面的关键就是根据这个垂直条件，把点 p 的 坐标给它求出来，然后这两个平面的夹角一定就能求了，那这个坐标要怎么求呢？哎，因为点 p 是 一个定点，所以你得去找点 p 是 被哪些条件限制出来的 好，首先第一个现实条件呢，就是之前提到过的 p a d 绕着 a d 做旋转，那么如果说到点 p 的 话，就是从点 p 向 a d 做垂线垂足呢，即为 h， 那 么这个 h 的 坐标应该是 a d 的 中点，也就是零一零。 好，就相当于啊，点 p 绕着点 h 做旋转， 那么在这个旋转的过程当中，你会发现 p h 和 ad 始终是垂直的，这是第一个限制，同时 p h 始终应该等于根号三，这是第二个限制。 最后呢，再加上 b c 垂直 pb 第三个限制，三个限制就足以把点 p 的 坐标取出来了，对不对？ ok， 所以 这里呢，咱们先把点 p 的 坐标给它设出来 好，这道 p h 和 a d 是 垂直的，所以点 p 的 第二个坐标一定等于一，那就把坐标设成是 x 一 z， 这样以来呢，第一个限制就用完了。然后呢，第二个限制， p h 等于根三 来点 p 坐标点 h 坐标 p h 的 长度应该是根号下 x 方加 z 方，它等于根三，所以 x 方加 z 方等于三。好，最后呢，就是这个 bc 垂直 p b 来吧， bc 向量点 c 减点 b 一 二零。然后呢，这个 b p 向量 点 p 减点 b， x 减一，一 z 两个向量点成 x 减一加二，也就是 x 加一等于零。 行了，这样一来呢，点 p 的 坐标就有了，第一个坐标负一，第二个坐标一把 x 等于负一，代入这个方程， z 方等于二啊， z 呢，就取正的这个就可以了，根号二有没有问题？ ok， 那 点屁的坐标有了，这道题呢，其实就已经做完了，剩下的就是一些纯粹的计算环节了，所以到这里咱们再次总结一下这个思路， 其实呢，关键就是从几何的角度去分析这个点到底是不是定点，然后如果他是定点，这个点是由哪些条件的限制确定下来的，再把这些限制条件转化成方程，求出点屁的坐标就完事了，理解了吗？ 好，然后呢，最后呢，再给大家说一下这两个平面的法向量， p b c 的 法向量用 n 三来表示 啊，应该是一个二根二，负根二五。然后呢， p c d 的 法向量用 n 四来表示，应该是零 根二一。那么最后呢，这个加角的余弦值答案呢？可以告诉大家，三十五分之根号一百零五。好了，各位同学，那这三道题目我都说清楚了吗？ ok， 这期视频就分享到这里。
161北大数学王鹏老师
00:53查看AI文稿AI文稿九八五二幺 b 也可能三四千。我不上学，学工地打灰不行吗？你学不明白，给你几分？你去工地 打灰更不比别人少。比如领导让你交出一个四轮锥的水泥底座，但交出时突然想在 m n 处放几根钢筋。 m 是 pp 的 重点， n 是 d， c 的 重点。问你钢筋多少，你咋整？我下去量量不就行了吗？你不怕谁给你买里啊？你要学会，你给你 证明，你就不用下去。 m 是 pd 重点， n 是 dc 重点。咱们再取一个 pd 重点， e 连接 em， 再连接 ed， e， m 平行等于 ab 的 一半， e， n 也平行等于 ab 的 一半，所以 em 和 dna 平行且相等，所以它是个平行四边形，所以 m n 和 ed 平行， c 相等。你只需测量 ed 的 长度就可以了，不用下去了。你的意思是学会这个，我就可以在工地赚钱了，咱非得在工地干吗？
261数学王超子老师
12:38查看AI文稿AI文稿立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。
12.6万加数
13:36查看AI文稿AI文稿立体几何作为高中数学里头与其他板块知识点明显格格不入的部分，也许各位亲爱的同学的学校的老师会平静的和你说一声，多动脑，多思考。显然这是一句正确的废话。 所以今天咱们借助八个非常经典的立体模型，同时从这本大家熟悉的不能再熟悉，题目质量可以充分放心的高考必刷题中精选四个专题，十分钟时间一并搞定立体几何中的核心计算内容。 当然嘞，任何计算的前提一定得是看得懂几何体是个啥子样子。首先是这样一个正方体，咱们观察一下它的三 d 立体构造，转动、转动再转动， 但是在试卷上只呈现骨架结构，简单对比一下，不难的发现，哎，这红色的虚线是什么玩意？哦，原来是肉眼无法直接看见，但是真实存在的透视虚线。 接着的一个几何体叫做圆锥，相信屏幕前的你并不陌生，那么大家不妨思考一下，红蓝两条线谁更虚呀？显然是藏在圆锥屁股后边的红线。 当然，立方体和圆锥的理解难度并不算大，我们看一下必刷题的固机提升部分，也就是偏基础的，这本套装非常齐全，翻开来从目录中找到我们研究的立体几何专题， 你看，能住、能追，轮胎几乎每一次考试都跑不脱，就比如这个，能追，他可是结结实实有五条侧能在身上的。那么大家边观察边思考， a、 b、 c、 d 五个选项，哪一个是它正确的试卷平面上的画法呀？显然是这个 b 最外沿的黄色一圈， 咱们眼睛一定能看到，一定是实线，边缘一定没有虚线。那这条红色的又是咋回事嘞？ 哦，他是几何体面向我们靠近我们的这一边，可以直接看见的棱也用实线，而除此之外，一定都是透视虚线。并且无论什么时候，这样的结论他是一定成立的。咱们回到书中， 视线左移看，这个棱柱，确实也是长得不是那么美观。五条侧棱五棱柱， 好的， a、 b、 c、 d， 你 认为哪个是对的呀？聪明的你一定想到了操作方法是一模一样的，黄色边缘 b 为实线，肉眼可以直接看见。 而这三条红色的棱呢？在几何体表面靠近我们的这一边，肉眼可以直接看见，剩下的红色虚线就必须要通过透视权线了。 好的，接下来这个会稍微复杂一点，主要是能的条数会稍微多一点。好的，差不多时间请做出选择。这是一道思考题， 基础的讲义部分没啥问题了，我们就可以用对应的练习册来加以巩固。需要注意顺序是固基部分偏基础项的。 简单来说，分成了六十个小专题，写一页就能够掌握一个小型的知识点。在咱们基础题身上的效率方面，性价比是非常高的。翻开看到里头的体积计算 条件，暂不细看，咱们先在脑海中建立三 d 感知，看看这个镶嵌在正方体框架里边的三棱锥是个什么情况，然后再来求体积。 呃，既然要求体积，先得把公式摆上来，任何能追的体积公式都是三分之一底层高，但是这个底面却没有唯一的答案。 你说 b f、 c 一 可以当底面， b 一 c 一， 那也可以， b f 一 貌似也不错。 f 一 c 一 好像还可以。 那究竟哪个好嘞？首先呀，咱们肯定希望他不难算，那怎么才算不难算嘞？ 哦，就是好算，这个 bfc 一 他就挺好算的。为啥嘞？因为呀，他直接干净利索的贴在正方体前表面上了。这里大家注意观察蓝色与紫色平面， 如果突然告诉你这俩平面中间可以直接用等号连接，你是否同意嘞？ 这个的确是对的，它就好像两条直线只要重合就是同一条直线，两个平面只要重合就是同一个平面。咱们看到的蓝色紫色好像面积形状大小都不相同， 为啥呢？像这一切都只是因为我们在画图的时候截取了同一个平面的不同区域，相当于选择性表达，都不是把完整的平面给画了出来。平面本身的面积是无穷大的，就好像我们常说的直线无限长。 好的，回到题目中来，这个紫色三角底边平面面积非常好，求二分之一底乘高，底一高二全知道。 哎，那这个高 h 嘞，也就是能追顶点 e 到这个紫色平面的距离后表面的 e 到前表面的距离 等于零，长等于二，底面和高。都晓得了这一题选择第二项 b， 就 这会看来，好像是刷了几道题目，但是嘞，这套组建绝对不只是单纯的给大家刷题用的， 你看，固机部分给咱们配套了专门的视频课程，七十一节视频精讲，相当于每个不懂的知识点直接送一节网课。而且书中的六百八十四道题主题精讲， 想看视频讲解，但是又懒得问人的，想保持效率，扫个码就完事了。那么用完了固基部分，我们就可以拿对点上分，简单来说就是拔高部分，这个组合键翻开来找到对应的强化辨识， 还是要求这样一个正方体框架中嵌入的棱锥的体积，大致观察一下它的构造， 其中 e 是 棱中点， o 是 底面中心。求黄色棱锥体积。别的先不管，求体积就得摆公式。接着进入选底面环节， 一号、二号、三号、四号，哪个底面不难算呀？ 都不好算，但也都差不多，那都半斤八两。我们就进一步考虑哪一个底面他对应的高更好算，而且高和底一定是线面垂直的吧。 所以这会咱们就认真想一想，能不能在黄色棱锥里边找出一个线面垂直来， 垂直在哪里嘞？思考一下，哎，你看正方体的这个对角，蓝色结面，他是一个矩形，标注好个别数据，然后请重点盯住他。 我发现呀，这个对角矩形面彻底铺平之后，两条黄色线段的紫色夹角好像有点蹊跷，原来呀，他就是九十度角，这个原因不知道你晓不晓得？ 好的，还是盯住他，慢慢放回正方体的对角面位置。根据紫色的九十度符号，两条红线之间是相互垂直的。 但是嘞，我需要的高和底面线面垂直，得有两组线线垂直来加以证明。 a、 d、 e o 和 e o 是 一组， d、 e o 和 c o 会不会是另一组嘞？咱把洁面补全一下。 这个蓝色的洁面三角形，每一条边都是正方体的对角线，所以这是个等边三角形， 中间的红线， d、 e、 o 垂直，底边 c a 也就垂直， c o， 红色、绿色也相互垂直了。 现在就晓得了，红线 d e o 同时垂直于蓝色的 e o 和 c o， e o， c o 都是平面 ceo 中的线段，两条线还互不平行。 当然我们最好不要这样写，只要不平行就一定会有交点，我们写上 e o 交 c o 等于 o， 就 可以完美且标准的代替 e o 和 co 互相不平行这一串花了。 得出红线垂直蓝色底面，那么对于这个黄色三棱锥，红线做高蓝面当底。最后带回公式，三分之一底乘高选择 a 选项， 这本对点上分色，它也是同样的道理。全面配套视频讲解，不会说好像更难更拔高，就敷衍了事，只给一个文字讲解，这个并不会的视频是一节不会少的。 咱们还可以拿出这个巧学速记小本本，这里边就是给大家整理的答题技巧和奇思妙想了。 模块速记这里推荐大家在考前进行快速补充。再就是这个小册子的后半部分，全是重要技巧。比如咱们看这样一道题， 他给到一个四面体， s a， b， c 是 一个棱长都一样的正四面体， 说 e 和 f 分 别是 s、 c 和 ab 的 棱中点，求 e， f 和 s a 的 线线夹角。嘶，这两个， 首先它是一个正四面体，说明很正。其次，既然是求棱和棱的夹角，咱们看正四面体有六条棱，正六，想到啥了不？ 没错，正六面体，这里请认真观察。直接给正四面体塞进这个正六面体中， 凭啥嘞？哦，正四面体的每一条棱，他都是正六面体的每一个面的对角线。 没错，再以后，看到麻烦的正四面体，直接给他塞在正方体框架里边就没得问题了。这时候再看红黄两线的夹角，聪明的你会做了不？ e、 f 分 别是上下底面的对角线交点，所以数值的红线 e、 f 就 平行于任何一条数值的蓝色棱， 比如 st。 现在红蓝互相平行，红线和黄线的夹角就是蓝线和黄线的夹角，显然前边是一个等腰直角三角形 c， 它等于四十五度。 这个就是小册子里边的补习法，能够放在这个小本子里边的技巧还是相当有含金量的。 哎，这还一个小本子，一目了然。核心干货，整个高中三年的核心知识点，它分成十三个大章节，严格按照教科书来的，不管是以前学了容易忘记的三角函数，还是咱才学完但是结论一堆一堆的复述， 再包括我们这会正在学习的立体几何，以及咱以后会碰到的结论重灾区圆锥曲线， 这些浓缩的知识点，说实话太重要了。在视频的最后还是老样子，我们从巧学速记里边取同专题的第二个题目，大家可以思考一下。
3.2万加数
