全国二卷数学选择题蒙题技巧
这里是零零后校长哈，今天教你们全国二卷这个黑鸡了，高考数学怎么蒙啊？如果说咱们高中三年没有好好学习，或者说做选择题，咱们时间不太够了，进行个参考啊， 咱们这个也是依靠这个大数据加统计学院里以及这个考验出卷人的心理学，出了这期视频好不好？有一个最低的要求，就是说这个前五道题，你至少要能做出来三到四道。 呃，所有的这些蓝线的选择题啊，都是非常简单的，上面做了一些标注，尤其二零二五年的这个数学选择，非常的简单，几乎每一道题能做上啊，这有第六题，稍微有一点难度，所以说对屏幕前的你们来说绝对是一件很轻松的事情。现在 我来教你们如何去这个有技巧有技术含量的去蒙啊，因为呢，据我们所知， a、 b、 c、 d 四个选项在数学的选择里面至少出现一次，最多出现三次，并且不会连续出现三次及三次以上。 那么好，我们简单看一下，二四年是 c、 b、 c， 如果说这里没谁没有出现，出现两个 c， 两个 b， 剩下的就是蒙 a 和 d， 所以 你看 a、 d、 b、 c， 我 们可以蒙两个 a， 两个 d， 这样呢，对两个，如果全蒙 a， 能够再多对一个，一共就是单选对了五个，那我们看二三年，好吧，二三年是 a、 b、 d、 b， 假设说我们只做了四个啊，只会做四个 a、 b、 d、 b， 谁没有出现？ c， 没有出现那么好，后面四个我们全蒙 c， 好， 我们只错了一个，那我们就二三年的选择可以使用个三五分钟就能对七道题，非常的可怕，好吧，然后我们看这个二零二二年的好不好， b， d， d， c 啊， b、 d， d， c， b 出现了， d 出现了， c 出现了。我们看二零二二年啊， b、 d， d， c， b 出现一次， d 出现两次， c 出现一次，谁没有出现？如果剩下咱们全蒙 a 啊，全蒙 a， 那 我们就是错了两个， 有八道题，一共对了六个，这个准确率已经很不错了。然后我们看二零二一年的 a、 b， b、 c， 谁没有出现？ d 没有出现，后面全蒙 d， 哎，我们依旧是能够保证对六个以上 这种判断。这种技巧呢，适用于考试时间不够，或者说咱们基础确实薄弱，只能做对前三、四道题的所有同学们发这个视频可以作为一个参考。 然后咱们简单看一下，多选啊，多选，简单说一嘴，多选，我建议就是把第一个多选做出来，如果咱们稍微有点基础的话，把第一个多选做出来，后面咱们要么选一个 a 跑了，要么选一个 c 跑了。呃，根据这个数据表明啊， 选中间比选两边的概率要大，也就是说选 b 和 c 的 概率，呃，是大于选 a 和 d 的 概率的，所以说我们也可以作为一个参考。我是零零后校长，点赞关注加收藏，每天分享各种题分，中考、高考扣分小期，我们继续分享更多技巧。
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05:35查看AI文稿AI文稿看一下全国二比怎么怎么去蒙题啊，这是这个蒙题技巧。呃，但是蒙题我还是有话说到前面蒙题，说是蒙题，但是你还是得规规矩矩的自己先去做，做完之后啊，实在不会的再按我们这个方法去蒙啊。主要还是得自己去做啊，先做好把答案做出来之后啊，如果实在不会的，你再比如说压轴第八题怎么蒙，第十题第十一题怎么蒙，对吧？好啊，说一下这个 啊，他是 a、 b、 c、 d 各各出现一个，然后其他的话就是就就随机了，就不好说了，所以不是说里面 b 有 两个 a， 两个 b， 两个 c， 两个 d， 所以呢，我们做的时候一定要就是到时候你你还是得把前面几个题好好做。嗯，今年的选择题我预估还是不会难啊，我就是前面带我那个学生做那个 就是去年二五年的高考真题的时候，有些同学都说什么说如果今年考这么简单，就算选择题确实挺简单的，二五年我我也带你们做了吗？如果考那么简单，他他做梦都会笑醒你。所以这个确实挺简单的，好多学生不是都选择题全对吗？但如果就是最后一道题可能稍微难一点的话，嗯，你实在不会做，你看我们从这个往届的这个新高考二卷上看的话， 他 a、 a、 c、 d 他 都有，他没有明显的规律，那怎么办呢？就按我们说的啊，就是 a、 b 前八道题啊，前八道， 前八道题 a、 b、 c、 d 啊，必有啊，必有 a、 b、 c、 d 选项。那如果你前面选了，最后发现，哎，没有 b 答案，那你就最后一道题蒙 b， 如果没有 a 答案啊，你就蒙。哎呦喂，主力 p 二，你觉得他会这样子出吗？啊？对， a、 c、 c、 d， 对， 没有 b 好， 二六年蒙个 b， 你 这样太太冒险了啊，不要这样蒙 对吧？不要这样蒙啊，你就看你就好好做前面几道题，然后哪个选项选的最少，嗯，你就选哪个选项啊，实在不会了你就蒙的话，那我们还是有概率的去蒙啊。不要不要，就是随便蒙一个 a、 b、 c、 d， 随便蒙的话，那肯定就是做对的概率非常低了。好，第二个就是， 嗯，还有啥来着？哦，对他他这个选项至少，嗯，就是连续不会超过三个，连续选一个。比如说我举个例子，连续选一个选项，一个选项不会超过三个选项，不能说不会超过三个，不会超过两个 啊。不会超过两个是什么意思？就是你比如说你已经做出来了，选了两个 a， 你 选两个 a， 下一个还可能是 a 吗？肯定不可能了啊，那就不要选 a 了。或者是你如果确定你那两个就是选 a， 那 你剩下的三，第三个和第四个第三个题你就不要选了，就不要选 a 了。他不可能，就是我们所有自从高考到现在为止，他没有一没有说一道题是三个都选 c， 或者三个都选 b， 或者三个都选 a 的， 不可能啊，所以这个大家注意一下啊。好，就是你到时候把你的选择题全部做完之后啊，你再回去复盘一下看一下啊，我 a、 b、 c、 d 是 不是都有第二个？就是我有没有选三个一样的啊？选三个一样的。赶紧啊，看一看，把这道题再再捋一下，看哪个题不清楚是是不是蒙的啊，你就再改一下吧，啊，就不可能啊。好，然后我们再看啊，第三个我们看下这个啊，那压轴题第八题没有明显的这种， 没有明显的这种这个结论的话，那咱就不要不要那啥了，就按照这前两个啊，前二一二两点去蒙就行了。好，第九题看一下。第九题其实呢， 嗯， a 选项会比较多，但是第九题我也不建议大家蒙，为什么？因为第九题他属于他，现在就是按题号去按，看那个难度。就第九题是可以拿满分的选项， 就是那对其他同学来说能拿满分，可能对于我们学习比较弱的学生来说，哎，我拿不了满分，那我第九题拿不了满分，我四个选项，至少我也能算出来其中一个选项吧，一个选项我肯定是选出来的，所以那我就选我最确定的那一个选项就可以了啊。有些同学如果是学的比较好一点的话，你你就是你选你最确定的两个选项就可以了啊，你看啊，而且我们你看通过规律我们可以发现，第九题 一定就是两个选项，一定是两个选项啊，所以你就蒙两两个，你确确确定的啊，如果你没有这个自信，你就蒙你一个就行了啊，要不然错一个就全错。好，然后第十题是有很明显的规律啊，嗯，第九题有两个选项，有两个正确啊，然后第十题优先蒙。第十题啊，优先蒙， 我现在讲这个玄学，我感觉优先蒙 a 啊，这里面 a 绝对是你，你既然是蒙，你就不要多选，你就选一个就行了啊，选一个就行了啊，第十一题优先蒙什么？看能不能看出来大家，我觉得很明显， 优先蒙 c 它，而且 c 和 du 啊， c 和 du 不 行不行，优先蒙 du 啊，优先蒙 du 看差了，优先蒙 du 啊， 优先蒙 du 啊，你看连续四年里面都有 du 的 话，那就优先蒙 du， 别蒙 c 啊，别蒙 du， 优先蒙 du 就 行了， ok 吧？好啊，这就是我要嘱咐的啊，就是，还有就是你做题的时候千万要注意了，千万不要不要多选啊，因为咱们这个程度我我也知道大家啥水平，你就选你最确定的，你看啊，比如说你看我现在选我最确定的，可以拿三分。 第十题，我蒙一个最确定的啊，比如说它是三个选项啊，你就按最多三个选项的话，我可以拿个两分，好，三加二五分了啊，第十一题，哎，我再蒙一个最确定的 du， 好， 两分，好，这七分我就可以拿下来了。那如果你都选错了 啊，这个题大部分人我看就得个两分五分五分都算高的了，所以我们啊，就按照这个去选就行了啊，或者是第九期能做全对六分，再加上这两分十分，这两个两分十分，可以了可以了，十分够了。哎，我之前给你们讲过例子，我之前有学生他 那个数学都能考一百多，一百零几，一百一，他最后他那个多选都就得了两分，或者全错全做错，那就是太贪心了啊，就不要，咱们就是以这个稳为主啊，不要那个啥不要，有些人就想的啊，冒险求一下，没必要，没必要啊。好，行了，这就是我说的这个问题技巧，然后我还要再有几点提醒，就是我们做题的时候要注意 啊，大题是不是大家有些同学不会做啊？不会做，你看下这个里面涉及到的选项，涉及到的公式一定要往上写，涉及到的公式往上写 啊，涉及的公式往上写。举个例子，比如说求导导函数的题，你会不会求导？会吧，你把求导写上呀，前导后不倒，加上前导后倒，把求导写上啊。然后还有就是比如说，你看我要求斜线方程，要求斜线方程必会考到 y 减 y 等于 k 倍的 s 减 s 零，你实在不会就把公式 bia 到那啊，比如说考到数列了，等差数列，等比数列， 我就把等他出来的通向求和公式写出来，等比出来的通向求和公式写出来。他只要是考试的时候，他如果用到那个公式，他会一到一个公式会给你一分的啊，所以大家就就跟那个物理是一样的 啊，就摆公式啊，实在不会就摆公式啊，要涉及到公式写出来，或者是那种证明题实在不会做，那你可以那样子，就是，呃，你先去挖一些条件，比如说那些条件，你可以把它延伸出来，可以得到一些什么啊，你就去挖那些条件，万一考试他那里面肯定就是从题条件，题目里面能得到的吗？那就从题目里面条件你选啊，因为这个，所以我能得到这个，能写多少写多少写多少，这些是有步骤分的，也会给分 啊，这样的话，你每道题你能得个一分两分的，你，你算下来你也能得个十分啊，你你你大题也能多得个十分，好啊，涉及到公式，一定写出原始公式啊。嗯，这个字不好写，写出原始公式。好，这就是我要给大家叮嘱的。好，接下来呢，我就带大家做下题。
1.3万初高数学文老师
02:26查看AI文稿AI文稿各位高三同学和家长们，今天为大家提炼全国二卷数学近五年选择题的隐藏规律，这不是投机取巧，而是为了考场多，争取一个得分的思路，建议家长收藏，转发给孩子备用。 首先针对基础一般的同学，这类同学往往在做前七题的时候如履平地，但从第八题开始寸步难行。针对这一类同学，老师总结出全国二卷选择题的蒙题技巧，大家一定着重记住这几个答案。 接下来我们开始主题来分析一下考场上为什么要选这些答案。 首先是选择题的最后一题。历年出题偏爱重复延续的节奏，二零二五年刚好他的选项为低，按照分布的惯性，二零二六年继续保留，低的概率极高。所以如果你拿不准时，优先选择低。 首先是单选择题的最后一题，历年出题人偏爱重复延续的节奏，二零二五年刚好选项为低选项，所以按照分布的惯性，二零二六年继续保留，低的概率极高， 拿不准时，我们可以优先冲低。第九题是单选择题的第一题， a 选项近几年来几乎从未缺席，即使整体答案有变动， a 也大概率会保留。如果这一题我们实在没有思路，优先选 a 保 第十题，我们应该紧盯 a、 d 选项。近几年答案虽然在 a、 b、 d 和 a、 c、 d 之间反复横跳，但真正的核心不是 b 和 c， 而是 a 和 d。 无论怎么组合， a 和 d 的 概率至少保留一个，甚至同时出现。所以第十题如果你拿不准，我们就选 a 或 d。 第十一题我们一定要抓牢。 c、 d 选项 d 几乎成了常数选项， 近五年从未缺席，大家可以看一下，全部都有 d 选项， c 也是近四年同时出现，只要抓住 c 和 d 这两个核心位置， 蒙对的概率也能够大幅的提升，最后关头多一个思路就多一分胜算。祝同学们考场顺利，超常发挥！更多高考数学套路可以报我的系统课，高一到高三都可以。
96烫嘴数学王老师
06:16查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，之前答应给大家出的一期蒙题小技巧啊，现在过来了，好，就是全国一卷，全国二卷，近年的就是它的选项都是这么分布的，它第八题看就是二三年就是一卷，先看一卷啊， 二三年，二四年，二五年，他第八题都是 b， 知道吧？所以我觉得第二五，呃，二六年估计也是 b 了，反正我觉得就是先把答案先填着，等会教大家。就是怎么回事啊啊，第九第九题的话你要自己写的哟，第九题不要蒙哦，第九题多选第一个挺好，写的 好，第十是题，第十一题我们都选个 a 就 好了。对，我们不会做的话，首先第八题啊，第八题我建议选个 c 就 走啊， 然后第九题的话第九题也是正常选，然后第十题第十一题都选个 a 就 好了。好，那怎么来的呢？啊？然后我去年就出了一期视频吗？呃，五月三十号出的，然后大家都跟着我蒙对了。 好的，嗯，一般都选两个 b 就 跑了，他们都是都是一卷的。对，好，怎么回事呢？就是这样子，就是 我们来看到全国一卷啊，就第八题的话，你想一下，就是如果第八题比较简单， 他不可能比较简单，比较简单的话都拿分了，所以就是，而且第一个选项很多同学比较喜欢带第一个选项，如果第一个选项带一下答案就出来了，那肯定就 这这个这个题就出的不好，因为都做出来了，是不是所以 a 选项直接排除，怎么都不选 a？ 好， 那最近的就是 b 了，选个 b 就 好了。对，然后 b 和 c， 我 觉得，就是我觉得还是我比较喜欢 b。 对， 所以我觉得，嗯，第八题我觉得蒙个 b 跑路就好了。一卷的同学，然后二卷的同学的话，我建议就是也是一样的，我觉得 b c 的 概率都比较大，因为 a 是 肯定排除掉的，然后三三个里面选一个 d 又不选，为什么？ 我觉得 d 他 又就是有的，就是老师会觉得，哎，你 a 套一下， d 套一下，那不 bc， 那 不可能让你这么简单做出来嘛，对不对？所以我觉得 a d 都错， bc 里面选，然后，然后我偏倾向于 b 哈，对啊，我们可以看一下这个边， 看一下这边，你看你看这边选过 d 吗？哎，选过一次，那选过一次没有关系吗？我们一共这么多张试卷，他选过一次啊，没关系啊，一卷的话我建议是 b 啊啊，然后二卷的时候建议是 c 啊，当然这个看你们临场发挥了对不对？ 看见，反正 b c 里面选就行，好吧。然后多选择题的，多选择的第二个，第三个我跟大家说一下，就是一定会选一个 a， 为什么？然后我们来看一下怎么个事哈，这这这多选的，我们来看一下。 就第十题，第十一题好，第一个选项一般是对的，为什么？因为你一开始带进去选一下他，老师会觉得你 就是不可能，就是一下子给你错的，如果给你错的的话，这边还什么，还有三三分之二的概率还是蒙对的，或者是他选三个极大概率全都对。所以如果哈，如果你实在不会的情况下，你直接选 a 就 好了， 如果会一点的情况下，你自己自己给他，给他给他算一下，算错了的话，你盲选一个 b 就 好了，知道吧。 嗯，如果你想一下啊，就是我要不就都不会，都不会，你直接蒙 a ok 吗？如果你会，你算出 a 错了，你就蒙 b， 为什么？如果 b 也错了，就是举个例子，就是 a 错了嘛， b 又错的，那 c d 就 走人了，就不用算了，能理解吧。所以就是如果你知道 a 是 错的，那一定选 b， 可以 吗？ 然后如果不知道的话，你选两个 a 就 好了，一般第一个都是让你松懈一下，后面的慢慢都加难，加大难度，知道吗？所以我建议就是如果完全不会就选 a， 如果会的话就选，就看一下 a。 呃，去去去去去。给他算出来吗？如果算出来他错了，你就 b 就 选上，然后后面就就可以跑了，拿一个就好了，知道吧。 有的同学问为什么不拿两个？你能写你随便怎么。哈哈，你能写你，你也不至于来这看呀，对不对？好，所以这大概就是我的一些思路吧。你看，我们来看一下啊。就是你看，反正 a 基本都对了，你看见没有， a 对 b 有 可能是错的，但是我不要贪心了，不要贪心了，拿个两分走人，知道吧，不要太贪了，你别说今年选 a 也选个 a， c， d。 有 是有这个可能，但是我觉得拿两分稳一点。嗯， 一分能倒，能难倒多少人啊，特别是第十一题。第十一题也是一样的，它比较难，它比较难，第一问就让你放松警惕，后面 b， c， d 肯定是难算的 啊。我就选 a 就 好了，然后二卷也是一样的，都选 a 就 好了，知道吧。你看选 a 的 概率哈你你看一下，就是 a 卷的话，去去，以前都选 a 了，十一题也是都选 a 了， 然后二卷呢？也是都选 a 了，你看见没有？都选 a 了，你看这近三年他他慢慢往往 a 靠齐了，知不知道？ ok， 好， 当然大家尽量的能多学会一点，试一点吧。好了，这就是蒙题小技巧了，大家可以背背单第八题 啊，一卷的话选 b， 我 觉得然后二卷选 c 啊，嗯，然后十一题十第十题第十一题都选 a 就 好了，跑路就好了，可以吧， 当然，当然，这肯定是你在你不会的情况下去盲选，你不要会也盲选，你在当傻子呢？不，别装傻子啊，别装傻子啊。好吧，然后我们选的时候就自信一点，他就选 a， 知道吗？我今年就拿这四分 ok 吗？就拿这四分可以吗？自信一点 啊，然后的话，如果大家就是前面基础学的不好的话，可以去看一下我发过的那个零基础十五课好吗？零基础十五课，把基础拿稳的话有个五，呃，有个六七十分的话也还好了， 六七十，然后你再把大题解析看了，那大题的第一小问给他拿会掉，那是凭实力拿的，心里有底知道吗？这是迫不得已了对不对？那我希望今年就这样选吧。啊，我二一年高考的时候， 我，我算了一下啊，我，我考了一百一十八分，单选是全对的，我后面就是大题错了，我单选是全对的，还有我们之前有应该是有有两个多选我有点忘了，反正是蒙的全对了。对， 所以希望大家也有这样的运气。好吧，我祝福大家。好了，那感谢大家收听我们下期视频见，拜拜。
9149番茄学数
01:40查看AI文稿AI文稿今天继续给大家分析全国二卷数学选择题的规律，我不是教大家投机取巧，而是总结近五年真题的出题习惯，给大家考场多一个得分的思路，最后冲刺阶段每一分都能拉开差距。觉得有用赶紧点赞收藏！废话不多说，我们来看看全国二卷第 八题单选这位置，特别喜欢走重复延续的逻辑，二一年、二二年连续两年给 a， 二三年、二四年又连续切到 c， 到了二五年突然转成 d， 很多人会觉得二六年该换了，但高考恰恰经常喜欢新答案继续留一年，所以按这分布节奏看，二六年第八题继续出 d 的 概率反而非常高。第九题多选这几年最稳定的核心组合就是 a、 d， 尤其 a 这选项近四年几乎没有缺席过， 很多时候你会发现，就算整体答案变动， a、 e 就 会被保留下来。所以第九题如果你实在没思路，优先保 a、 e， 命中概率会明显更大。第十题多选最近几年一直在 a、 b、 d 和 a、 c、 d 之间反复横跳， 表面看变化很多，但真正稳定的核心不是 b 和 c， 而是 a、 d 两个位置。无论怎么换组和 a 和 d 大 概率都会留下至少一个，甚至双保留。所以第十题真正应该盯住的是 a 和 d。 第十一题多选这位置的规律更明显， c、 d 属于绝对高频答案，尤其 d 几乎成了常数选项。近五年里， d 基本没有调出过选择分布， 而 c 也有四年同时出现。很多时候第十一题你不知道怎么蒙，但只要抓住 c、 d 这两个核心位，正确率就会比乱猜高一大截。那么讲到这里，很多家长和同学都在问我 为什么连续四年压中高考真题，其中更是二五年新二卷考前几天的题源，压题压中原追去线三角形面积，一道大题十几分。 考前六月四号的作品，这都是翻我作品可以看到的，还预测新一卷压轴单选 b 选项，并且在最后阶段还给大家准备了二百个高中数学斜修题分技巧，想要领取后台发送，年级加学科即可。
1.3万高分远神
03:35查看AI文稿AI文稿数学老师一定不会告诉你，只要蒙题密码正确，人人选择题都能拿高分。温馨提示，这条视频仅针对高二高三的同学，因为我的方法对于你提高数学水平没有任何帮助，只能够帮你短期内提高选择题的得分理 解，我只希望实实在在的帮你把分提上。我是高三成功提分三百的黑马学姐，数学从七十分爬到一百四十二，我绝对不是数学讲的最好的，但是一定是帮你涨分最快的。留下你的学科加年级， 需要干货资料的直接找我拿点赞收藏，接受宇宙正能量！我们直接开始重点说前面。我认为数学选择题存在一种隐藏规律，指向正确答案。如果你实在不会做，你可以带着出题人的逻辑和选项的蛛丝马迹去猜答案。接下来讲几个上不得台面的考试偏方。第一个是寻找主干答案， 多数考试题目的选项里会存在一个主干答案，其他选项都是这个答案的分支，分支是可能在计算过程中你会算到的一个值，用来迷惑你的。看你的真题。二零二三年的高考新课标一卷第六题我们直接不读题目，看选项， a 是 一， b 是 四分之根号十五， c 是 四分之根号十， d 是 四分之根号六。先排出这个一嘛，长的都跟后面的不一样。 b、 c、 d 选项里都是一个四分之分子带根号的形式。 十五取因数三和五，十取因数二和五，六取因数二和三，可以推得主观答案是四分之三到十五。所以这道题选 b， 结果呢？这道题真的选 b。 根据题干可以写出圆的公式，写出圆心的坐标， b 写出 a 的 坐标点，根据坐标点可以得到 a b b m a 二分之 r 法就等于算角 m b a 二分之 r 法和 m b a 就是 同一 个角，我现在知道它的边长，就能够知道它的正弦，直接带半角公式就可以求到赛马阿尔法的值。再看一道题，二零二三年高考全国甲卷的第十二题，最后一道题我们只看选项。首先可以排除这个根号在三十五的选项，因为你找不到它的分支，也找不到它的主干，它是完全独立于其他三个选项的， 所以说你先把它排除掉，其他 a、 b、 c 三个选项都可以找到因子。二、三、五的这一步你可以感受到， d 选项是用来在最后一步迷惑你的， a、 c 都是 b 选项的分支，所以这道题就选 b。 第二种是寻找选项的最大交集，就是出现次数最多的，大概率是正确答案。比如说二零二三年的高考新课标二卷第二题， 直接看选项二一、三分之二和负一。 b， d 选项是双胞胎，都出现了因子一、 abc 都是正数，这两个集合相交，正确的答案就应该选 b， 又是正数又是一。再看一题，这道题 选项中负二出现了两次，六出现了两次，所以说答案显然一件事选择有负二和六的共同选项 b。 第三种是按照概率来蒙题。高考数学选择题一般是按照四、三、三、二的答案分布去出的，就是说一个选项可能会出现四次，两个选项出现三次，剩下一个出现两次。新 高考大概率是三二幺，因为只有八道单选，根据这种分布规律，你去猜剩下的那一道题，或者是回去检查的时候，看一下你的答案分布是不是符合这个规律，百分之九十是正确的，前几年的真题都符合这种分布 规律。如果你的答案出现了某一个选项，选了五次，那么你一定要仔细检查一下，你一定有一题做错了，大概率是可以帮你找回五到十分的。 先对高考数学去魅，不要被那些吓人的题型给糊住了，不要害怕，制定好计划，调整状态到最佳。还有什么想攻克的学科题型告诉我，或许我的方法会更适合现在的你。留下你的总成绩，看看最后三十天我到底能帮你提多少分。
53黑马学姐
10:15查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下二六年新二卷的十九题啊，这道题就比较友善了，是一个常规的导数题， 都是常规的方法都能做啊，这个俞敏老师带你们把它按部就班的算一遍就 ok 了。我们先求 a 和 b， 首先呢，它在 f 零处的切线方程为 y 等于负二， x 加一，它的这个切点呢，就应该是零 f 零 f 零是 b 嘛， 对吧？七点零 b， 那 零 b 也要在这个直线上，对吧？所以带进去我们就会可以得到。这个 b 呢，应该就等于负二乘零加一等于一，然后呢，我们再求导，把 a 算出来就可以了，就等于。呃，这就应该是 x 加一倍的 e 的 x 方再加 a， 然后呢， f 导零就应该是负二嘛，就等于 a， 右边这个应该是一加 a 解得 a 等于负三，所以最终我们求完 a 等于负三， b 等于一。我们第一文完成。 好，接下来我们来做第二问啊。第二问，他说当 x 加零的时候， f x 加 m 大 于 m， 让我们求 m 的 取值范围啊，我们就先把 f x 加 m 和 f x 给它往里带，把这个式子看能不能化简。最后呢，再解一个关于 m 的 不等式就行了。 嗯，我们第一问算完之后呢，我们这个 f x 也就确定了，就是 x e 的 x 方减三， x 再加一。 好，我们直接去算这个 f x 加 m 减 f x 啊，这个就等于 x 加 m 倍的 e 的 x 加 m， 次方再减去三倍的 x 加 m 加一，然后呢，再减去这个 x e 的 x 次方再加三 x 再减一，然后呢，这个是大于 m 的， 然后呢，你把这个给它一和一约掉，然后呢，这个负三 x 和这个三 x 约掉，你再把这个 m 整理过来，得到了，我们原不等式，就变成了是这个 x 加 m 倍的这个 e 的 x m 四方， 再减 x e 的 x 方，然后呢，再减一个四 m 大 于零，然后呢，我们要解的就是说，当 x 大 于零的时候，这个不等式同乘律。 好，那我们就设这个函数 g x， 然后呢，我们直接求到 p 到 x 等于，这是我口算一下，它是 x， x 加 m 加一倍的 e 的 x 加 m 次方， 再减去 x 加一倍的 e 的 x 方，这个四 m 求根导就没了。好，然后呢，我们可以提一些公共项啊，就是提个 e 的 x 方出来，它里面就应该是这个 e 的 m 次方，再乘以 x 加 m 加 e， 然后呢，再减去 x 加 e， 那我们要讨论这个单调性，我们肯定是要讨论导函数的正负嘛，实际上你会发现这道题啊，你在 g x 里面去带些特殊值，发现它没有什么特殊点，然后你在这里呢，你会发现呢？呃，它好像也没有什么特殊点，只不过呢，它的这个不等式啊，好像我们能简单估计一下。 怎么估计呢？你看啊，前面这有一个 x 加一，后面这有一个 x 加一，换句话说，只要 e 的 m 次方比一大，也就是 m 大 于零，这个式子显然是正的。然后呢， m 小 于零呢？ m 小 于零的话，相当于是这个玩意儿小于一， 那中间这一坨呢，比 x 加一又小，减完肯定是负的。所以你会发现个，实际上我们只需要对 m 和零的大小关系做一个分类讨论，那我们这道题也就可以做完了。好，我们来讨论一下。第一种情况， m 等于零，那 m 等于零的时候呢？那你这个这道 x 横是零？好，那 g 到 x 横等于零，说明 g x 应该是一个常值函数，那这个 g x 呢？就等于这个 g 零 g 零是多少呢？ g 零，你把这个 m 等于零和 x 零带进去嘛，对吧？这个算完就是零，这个就舍掉了啊，这个就与它大于零，嗯，乘法力就矛盾了啊。第二种情况，当 m 小 于零的时候， 当 m 小 于零的话，我们显然会有这个 e 的 m 次方是小于一的，那我们就有这个 e 的 m 次方乘以 x 加 m 加一，它就是小于 x 加 m 加一，然后因为 m 比零小，它一定小于 x 加一，所以换句话说，我们就有这个 g 到 x 一定是负的。好，那这个一定是负的情况下，我们这个 g x 单倒递减嘛， 我们想让它恒大于零这件事显然是比较困难的嘛，只要证明它，我们能找到一个负的数就可以了，对不对？对吧？那怎么找呢？这个因为它从量级上就肯定是会负过去嘛。对，我们只要做个简单的放松就行了 啊。我们怎么放呢？既然 m 小 于零的话，我们知道这个 e 的 x 加 m 次方应该是比 e 的 x 方要小的， 那我们就可以直接放，当 x 足够大时候， x m 是 正的啊。当 x 大 于负 m 时，我们就要做个放松嘛。那这个 g x 它就一定是小于这个 x 加 m 倍的，这个 e 的 x 方再减去 x e 的 x 方再减四 m 啊，然后这个就等于 m e 的 x 方减四 m 啊。那这个显而易见嘛，当这个 x 趋于正无穷的时候，这个玩意儿是趋于负无穷的嘛，对吧？因为这个 m 是 负的，然后这个 e 的 x 方是趋于正无穷的嘛，后面是个常数嘛， 所以我们证明出来了，这个当 x 趋于正无穷的时候，我们会有这个 g x， 它是趋于零，趋于负无穷的，与提升矛盾嘛，就舍掉了。好，那我们最终就只有最后一种情况了，就是第三种情况，就是当 m 大 于零的时候， m 大 于零的话，那根据刚才我们推导嘛， e 的 m 次方是大于一的，所以说 e 的 m 次方乘以这个 x 加 m 加一，是大于 x 加 m 加一，严格大于 x 加一的。换句话说，我们就会有这个 g 到 x 一定是大于零的， 换句话说，我们会有这个 g x 单调递增的，那 g x 单调增的话，我们要让它大于零，横成力 x 大 于零嘛，所以我们只要让 g 赢大于等于零就可以了。我们把这个 嗯 x 点零带进去，看看置零是多少？置零的话就是 m e 的 m 四方减四， m 约个 m e 的 m 四方减四大于等于零，然后呢？ m 大 于等于绕问四就可以，最终答案就应该是绕问四到正无穷。这道题的第二问做完了。 好，接下来让我们来看这道题第三问，当 x 带零的时候， f x 加 k 加上 f， f k 减 x 大 于两倍 f x 函数力求 k 的 最小值。 那我们呢，先去把这个 f x 加 k， f k 减 x 都带进去，然后呢把它给化简一下。那我们这个元不等式相当于什么？相当于就是这个 x 加 k 的 e 的 x 加 k 方减去三倍的 x 加 k， 再加一，再加上 k 减 x 倍的 e 的 k 减 x 方减去三，减去六 k 啊，再加二，然后两边约东西啊，加一和加二约了， 加三 x 和减三 x 约了这个三 k， 三 k 和这个六 k 约了啊，实际上除了那个 e 多少次方之外，全都约完了嘛。我们来整理一下，那就得到了，原不等式，相当于就是当 x 大 于等于零的时候， x 加 k 倍的 e 的 x 加 k 次方，再加上 k 减 x 倍的 e 的 k 减 x 方， 然后呢，减这个二 k， e 的 k 次方大于零，两边约 e 的 k 次方。可以，那我们就设它是个新的函数，被叫 h x x 加 k 倍的 e 的 x 方，然后呢，再加上这个 k 减 x 倍的这个 e 的 负 x 方，再减去二 k。 我 们要证明当 x 大 于零的时候，这个玩意儿是大于零合成力的啊，这只是一个经典的合成力问题，而且 我们去试一试特殊点嘛，你会发现这个 h 零 h 零刚好是零。那我想要证明这道题成立我，我希望它长什么样，就必要去探路。那是不是我们肯定希望 h x 在 零附近是单增的嘛？那我希望它单增的话，那我们就希望什么呀？ 就希望在零点附近啊， h 到 x 得是大于零的嘛，对吧？我们来求到 h 到 x， 就 等于 x 加 k 加一背的 e 的 x 方， x 减 k， 然后负负得乘了啊，再加一背的 e 的 这个负 x 方， 然后这个玩意儿我们可以给它通个分嘛，因为分母是就是 e 的 x 方，肯定是这个正的嘛，它就是 e 的 x 方，分之这个是 x 加 k 加一，被的 e 的 二 x 方，再加上 x 减 k 加一，那这个的正负只取决于分母嘛。我们设分母是 five x 还是算特殊值，你算下 f 零啊，我这好像写错了啊，这应该是 x 减 k 减 e 啊，然后我们来算下这个 f 零，我们算上发现 f 零呢，是零，那我希望 h 到 x 大 于零，相当于就是 h 到 x 的 正负和 f x 正负一样嘛，就我们希望 f x 大 于零嘛，但是我们知道 f x 是 零啊，我们来简单画个图， 那换句话说，我们希望什么呢？我们就希望这个 f x 单增嘛，那自然而然我们就希望能够有这个 f x 在 零附近啊，它也是大于零的嘛。 对，这个 far x 再求导， far x 就 等于两倍的 x 加 k 加一乘以一的二 x 方，再加上这个一的二 x 方，然后呢，再加一 far 到零的话，就是这个把 x 点零带进去，它就应该是两倍的 k 加一，再加一 加二啊，加二写错了，我们希望斐导 x 在 零附近大于零成立嘛，对吧？那你至少要满足什么呀？你至少斐导零，你得大于等于零嘛？可以接受你等于零，但你不能比，不能小于零好。那斐导零大于等于零起起来就应该是 k 大 于等于负二，关键是我们希望 k 大 于等于负二呢的时候，它是成立的， k 小 于负二中。我们去推矛盾，那我们就分两步走，第一步，当 k 大 等于负二的时候，可以比较容易的证明斐导 x 单调递增的啊，所以我们就会有这个斐导 x 大 于等于斐导零，然后呢，我们就会有这个斐 x 单调递增，所以说斐 x 就 大于等于斐零， 所以说就有这个 h 导 x 大 于等于零，所以我们就有这个 h x 单调递增，那 h x 单调递增的话，我们就会有什么呢？就会有这个 h x 大 于等于 h 零，从而呢，我们 就证明完了，当 k 大 于负二的时候，它是能成立的。好，那第二种情况，当 k 小 于负二的时候，我们要证明它不成立。嗯，写法也很固定嘛。你想你 k 小 于负二的时候呢？你这个斐到零是负的嘛？但你斐到零是负的，你不可能一下变成正的嘛，对不对？对吧？那肯定存在 x 零， 使得当这个 x 在 这个零到 x 零上的时候，我们这个斐到 x 是 这个负的， 那所以说在零到 x 零上，那 far x 单导递减，所以说当这个 x 在 零到 x 零上的时候，我们就有这个 far x 就 一定是小于 far 到零。 far 零，那 far x 是 负的，我们就有这个 h 到 x 是 负的嘛， 对吧？那 h x 就是 单调递减，那 h x 单调递减，我们就会有什么呀？你看啊，这个 h x 零就一定是小于 h 零嘛？等于零，这个就矛盾了嘛，就舍掉了。所以最终答案 k 的 最小值应该是负二，我们就把这道题给做完了。这个就是一个非常常规的一个必要性探路的一个导数题。
294道哥聊学习
02:21查看AI文稿AI文稿如果你今年的考试里面有选择题的话，千万不要错过我接下来说的这个蒙题小妙招，我真是要把我的坟都要交出来了，我用我这个方法去试去年的数学统考全国卷八道选择题，我竟然蒙对了六道，比我自己做的正确率都要高。所以说当你在考场上有一些题目你连读都读不懂，你想要蒙题提高蒙题的正确率的时候，你都可以尝试一下。我接下来要说这个小技巧， 如果我们话说到前面这个小技巧的正确率也不是百分百的，一定要到迫不得已的时候再去用，不要完全依赖这个小技巧。首先你需要把这个九宫格背下来，你先画一个九宫格，然后去背带九捋一，左三右七，二四为肩，六八为足，然后把 abcd 像我们这样写上去。写好了之后，我们如何去蒙的？小宝们，记住以下这个公式 题目号加上题干当中出现了多少个文字和字母，然后把这几个数字加起来，得到了一个总数，然后用这个总数除以九，得什么余数？用这个余数对照这个九宫格看，这个数字对应的是 a、 b、 c、 d， 哪一个选项我们就选几。但是如果你得到这个总数是个位数的话， 我们需要在后面再写一个九，把它凑成两位数，再除以九了之后，再得这个余数，再对应这个九宫格。比如说这个第一道题， 题目号是一，题干当中出现字的个数是四，那一加四等于五，五是一个个位数，我们需要在后面写上九，把它凑成两位数，五十九除以九了之后于五，那对照九宫格，这道题就选 c， 答案也确实选 c， 那 第二题错了，我们就跳过第三题，题目号是三，然后题干当中出现字母的个数是七， 那三加七等于十，这是一个两位数，不用在后面写九了。十除以九于一，那一对我们的九宫格，这道题选 d， 那 他确实选 d， 那 第四题题目号是四，题杠当中字母有两个，文字有三个，加起来的总数等于九。九是一个位数，需要在后面写上九，那九十九除以九等于十，一于零，那对应我们的这个九宫格的话，那 就选 c， 那 答案确实也选 c。 这个方法还有一个变种，那就是你需要在刚刚这些相加之后，再加上一个零基数，那这个零基数是怎么来呢？你需要在看这道题的时候，在脑子里去随机想一个一到十之间的一个数字，然后把它加到刚刚的总数里面，再除以九。 小宝们可以去试验一下这两个方法，哪个对于你来说更加准确一些。以上这个方法不是百分百正确率，我只是给你提供了一个当你完全不会的时候，想提高一点蒙题的正确率的一个方法。 距离考试还有一段时间，一定要自己先认真学习，不要觉得有小技巧就可以万事大吉，自己的学习和努力一定是最重要的。还有就是以上这个小技巧是我自己想出来的，是我自己测试出来的，用了我很多脑细胞。那么就是以上这些了，祝小宝们都能天天开心，事事顺利哦，拜拜！
6.8万胡言乱语（海对岸版）
10:49查看AI文稿AI文稿嗨，同学们，由于明天要高考，所以今天就讲一下巨人的高考答题吧。来看第一题， 算乘以一数，先把它们加起来二八十，嗯，这个三十， 这个二十，一加是六十除以五，那就是十二。第一 t 乘 c 毫无压力。第二天已知 a 等于一加 i， 则这个咱们把这个直接看进去，那么一加 i 减一，就是 i i 空之一， 然后都乘 i， 那 么就是负负 i， 很 简单吗？直接秒了。 但我只能看第三题，已知其和 a 和 b， 求 a 交 b 交集。嗯，那我咱们居然就先看看 d 里面有什么吧。首先有零， 这吧负一负一嘛，那就是还有一这这三个，然后挑其 交集的话，就是，嗯， a 和 b 都有的，但就是连一没有负一连一直接杀死的。下一题， 第四题不等于是这个的解集，那我们直接 x 减一， x 减四，然后它一等于二，那咱们把骷髅把二移过来， 它也等于零。然后就是 x 减一， x 减四，把它化成，把那个减二化成， x 减，那个 s 减一，负就是二倍的， 二倍的，这个 x 减一括号很好，然后我们来算， 哼， x 减一，这就是二， x 减二， x 加减二， x 加二，那么 x 一 减就是负， x 加二是减减二，然后除以等于零，然后给上面再提个负一，然后再一乘问号呢？就是 x 加二， 这不是 x 减一，那就小于等于零，这个小于等于零的话，那我们直接，那我们直接 x 加 二，括号乘以 x 减一，它是小于等于零了。然后我们解，像解这种不等式的这种一二乘乘号，我们一端先定上等于零，然后解出来一个是负二，一个是一， 然后因为这一层明显 a 正值开口开口向上嘛，小于减零，所以它要连贯的这里， 但是要除以呢，这里以 x 减一做的是 form， form 它不能等于零。 x 减一不等于零， x 就 不等于一嘛。 x 等于这里就不能取等了，那就是负二，负二到一， f 二到一，自然你可以取。从这里不能去到 c t 四 t 直接闪 c 第五期。哎，这个题直接够死你了呀， e b 凶， 然后，然后这边藏的勾粉直接鱼旋进你了。 cos 呢？ 求 a 嘛 cos a 嘛。等于这两个边的平方和，也就是 e， c 的 平方就是 e 加根三，括号的平方， 加上 e， d 的 平方是根六。根了全直接写六吧，减去 a 的 平方它四， 然后二 b 的 一心乘 a， b， 二 b 的 二乘以括号一加根三，括号再乘以 a， b 的 含义是根六。嗯，好的，然后我们来化写一下吧，这个逆压根三， 嗯，首加一加三对，然后再加上二倍根三加六减四方至，嗯，二倍根六，括号，一加根三， 嗯，数填数，这里是四，这里填四没有。然后乘不约个二 seven 乘以就是三 加根三分之二，根六，一加根三，可你选上面直接 给上面咱们直接提上一个那个根三，那这里就是根三加一了。 这里这里一约你是根六分之根三，根六等于根二乘以根三，那根三约那就是根二。负极一等于二分之根二， 二分之作二，又因它在那个零到一百八十度前后，这个是正的啊，那就是二分之二等于四十五度吗？考三在这个 a 第六题 射破五弦， c 等于 y 方， c， y 方等于二， t x 的 p 等于零。焦点很好，怎么先把后弦画出来的？这是中线，这是焦点 s。 嗯，然后有一个 a， 小 帅操，在这里和这个中线垂直垂，这垂足是 b 吗？嗯，然后咱们知道什么？知道 b s 个连线的方程，那更不好算了吗？ 等 y 等于负 r， x 加二，那么这个 f 我 们就会算出它的坐标了，就是令这个 y 等于零的 x 截出来就是一 f 除以一的话， f 的 坐标就是一零， v ip 好， 就是一零。 既然 x 的 坐标又减出来是一零，那么二分之 p 等于二分之 p 等于一啊， p 就 等于二啊， p 等于二的话呢，这个方程呢，出来了二 p 等于四 x， 不， 然后这个方程出来之后呢？嗯， 看嘛，折出来一位，你也可以至少画正确方程，它正确方程就是 x 等于四一嘛， 那 x 等于负一，知道了的话，那咱们可以把 d 点坐标喊出来， b 点的坐标是能把这个负一再到这个方程里面继续再是负一的话，那 y 就 等于四吗？ b 点的坐标是 负一四，因为这里是那个啥，可以知道吗？这里这个。 嗯，纵坐标也是四吗？那把这个四直接把这个 y 等于四，直接带你去那解得 x 就是 x 就 等于四吗？ x 等于四的话， 说明这个 a 点的坐标呢？ a 点的坐标方就是十四四， f 点的坐标方就是，嗯，一零。嗯，然后让你求 a s 距离了距离两点的坐标公式，一， f 等于四减二 a k 四减一乘以三个平方加四的 k 方 啊，三二三九四十五，二四四十六，二十五五吗？数一对，小心。 ok， 等差数列，你看到等差数列你就知道文了呀。来，咱们先说属相，属相是 a 一， 公差是 d 的 话，那么 s 三就等于三，这个 a 一 加 二分之三乘以二点，这里说等于六，你直接写六，那 s 五等于五倍的 a， 一 加二乘之五乘四点， 等于对负对负。那咱们稍微化解一下就可以得到， a 一 加 d， a 一 加二， d 等于负一等于二，然后我就算出 a 一 等于五， 然后 a， 然后这个 d， d 等于负。三 糖 a 一 和属相和公差都算出来了， s 六都不很简单吗？ s 六就等于六倍的 a 一 加二横值直接写吧。五六三四 d， 那 就等于六乘于五，加上这一除十五乘以。嗯， d 刚才说了，负三 五六三十三十，让我数十五，那就是负十五，垂根闪避 o k 选择题前七道很容易做完了，然后第八道一般我们都不会哦，所以我们看，第一题选 c， 第二题选 d， 第三题选 c， 第四题选 c， 第五题选 a， 第六题选 c， 第七题选 d。 那 很好办了呀，有两个 a 直接第八题选 c， 第八题选上，直接把 a 排除。呦， 有那个有两两三个 c 一 二三 c 直接排出了，这个 b 七八不可能都原样的吧。呃， b 直接排出第八题，足劲喊 d， ok， 我 们下期见。
46慢慢爬到本科线
02:53查看AI文稿AI文稿马上要高考了，教给大家考前最后一招选择题蒙题技巧，我们分单选和多选来讲。 先说单选，我研究了近五年的高考题，每年全国一卷二卷两张试卷，总共十张试卷，你会发现所有的单选就两个情况， 一个是三二二一，一个是二二二二什么意思？单选总共考八道题对吧？十道试卷里面有八套试卷里面啊，他是这样的，就有一个选项出现了三回，有一个选项出现了一回， 另外两个选项各出现了两回，还有两张试卷是每个选项分别出现了两次，所以在今年的考试中，更大的概率是上方这种情况。也就是说，当你做单选的时候，你最后一道题或两道题不会的时候，你一定要看一看你前面的选项分布， 他不会说一个选项出现了四回，也不可能说一个选项一次都没出现，利用前面的选项去选后面的选项。另外还有一件事你要注意啊， 这五年来没有出现过一次三连选的情况，啥意思？你比如说他不可能连考三个 c， 也不可能连考三个 a， 所以 如果你出现这个情况，大概率是你某个地方算错了。 好，接着我再来给你们说，在我们单选的时候，有时候会涉及到求最大及最小值问题。听好了，四个选项里面， 对于最大值你不会做，你就选第二大的，对于最小值你不会做，你就选第二小的。还有一个事听好了啊，如果四个选项里面 有两个答案高度相似，那就从这两个里面选一个。你比如说一个答案是一，一个答案是七，一个是二分之根三，一个是四分之根三，那一定从这两个里面挑选一个，听明白了吗？接下来我再给你说多选。现在多选啊，是三道题， 多选的时候绝对不可能全选 a、 b、 c、 d， 否则所有人都能得分了，也不可能出现单选，那否则他就不叫多选了，你会发现他这个多选择题里面三道题里面一定是这个规律， 要么有两个是选三个的，有一个是选一个的，有一个是选三个的，听明白吗？明白，你不可能在考试中出现说 a， 一个是 abd， 一个是 acd， 另一个是 a、 c、 d， 绝对不可能，这三个里面至少有一个是选两个的，也不可能说我出了三个题啊，一个选 a、 d， 一个选 b、 c， 另一个选 a、 c， 不 可能的，肯定是有多选的， 你要把控这个规律，把这些把控好了，那我们在考试的时候就会比较有底气，不会的时候也能多拿五分，听明白了吗？
822展神数学思维提升
40:58查看AI文稿AI文稿大家好啊，我是必见玄鹤。今天来给大家讲一下二零二六年全国二卷的数学试卷。整张试卷呢，难度适中，计算量比较大。 中档题有第八题、第十题、十一题以及第十七题，分别考察了周期、函数等比数列的一个放缩。十一题呢，考察了一个解析几何里面抛物线和等边三角形结合起来。十七题呢，考察了一个解三角形。这道题的设问啊，让你去证明一个三角形是钝角三角形， 这个涉问方式呢，就难到了很多同学。然后第十八题和第十九题是整张试卷最难的两道题目，我觉得十八题的难度比十九题还要大一点。 十九题呢，考察的导数横乘力问题，用端点效应和必要性探路，很容易把答案算出来，然后带进去验证充分性就行了，有难度，但是比较常规。而十八题呢，考察的圆锥曲线里面的轨迹方程里面是含有参数的， 他让你去讨论这个参数，不同的参数在轨迹方程里面对应怎么样的一个曲线，整体来说是有点创新的，难度也比较大。接下来我们来讲讲这张试卷。 第一题，以减三 i 的 平方化解一下，等于负八减六 i 选择 b 选项。第二题，看集合 b 根号 x 等于 x， 解出来应该是 x 等于零或者一，所以 a 交 b 应该等于零，一组成的集合选择 a 选项。 第三题，这个数字平方得到 a 的 平方，加上两倍的 a 向量，点成 b 向量，加上 b 的 平方，等于一同样的这个数字平方得到这个东西，两式相减，这边的模的平方都可以消掉。最后 a 向量点成， b 向量等于负二分之一。 第四题带入两个点，求出 a 方和 b 方， a 方等于一， b 方等于十二。渐近线方程是 y 等于正负 a 分 之 b， x， 也就是正负二根号三 x。 选择 b 选项 第五题能抬的体积公式应该是三分之一的高，再乘以括号上底面的面积加上下底面的面积，再加上根号下两个底面的面积相乘。他说上下底面分别都是一个内角为六十度的菱形啊，菱形就这这个样子的 中间一年就是两个等边三角形，上下底面的边长分别是二和三。那我们就算一下上下底面的面积，面积呢？我们把它拆分成两个小的等边三角形， 然后这个角是六十度，利用二分之一乘以二，乘以二，再乘以三加角，然后再乘以两倍的面积，就得到二根号三 下底面一样的算下来是二分之九，根号三，高是根号三，所以体积是这个公式代入进去就等于二分之十九。选择 d 选项第六题排列组合甲乙丙丁等八位员工啊，要分到 ab 两个技术公关组，每组要有四个人， 甲乙同组，丙丁不同组。首先甲乙同组有两种方法，分别是 a 组或者 b 组，所以两种丙丁也有两种分法，丙 a 组丁 b 组或者丙 b 组丁 a 组。那现在一共已经有二乘二等于四种方法。 接下来，为了满足每组四个人的条件，我们还需要从剩下的四个人里面选一个人，把这个人放到三人的小组里面， 然后剩下的三个人再放到一人的小组里面就行了。所以从剩下的四个人里面去选一个人，那还有四种方法，所以最终是二乘二乘四等于十六。选择 c 选项。 第七题让你去化简这个式子，三眼二发等于两倍的三眼二发乘以 cosine 二发，左边等于这个式子，右边 cosine 二发等于两倍的 cosine 平方二发减一。所以根据这个式子，我们可以把 cosine 平方二发减出来，等于五分之四。 因为而发是第二象限角，所以 cosine 而发等于负五分之二，根号五。 sine 而发等于五分之根号五。带入到这个式子里面化解等于二分之一。所以第七题选择 c 选项。 第八题 f x 是 定义域为二的偶函数 f x 加 f x 减二的约定。根据这个条件，我们可以化简得到 f x 减二加上 f x 减四的约定。两式相减，得到 f x 等于 f x 减四。所以这个函数是周期为四的周期函数。 因为它是偶函数，所以 f x 减四等于 f 四减 x。 根据这两个相等，我们又能得到这个函数。 x 等于二是它的一个对称轴，又因为它是偶函数， x 等于零，也是它的对称轴，以此类推下去，零二、四、六都是它的对称轴。 听说 x 属于二分之三到三的时候，函数等于这样一个二次函数，问你 a 和 b 的 值是多少？ 注意，我们刚刚推导出， x 等于二是它的对称轴，而二恰好在二分之三到三这个区间内。因为在这个区间内，我们的函数又是一个二次函数，二次函数正好油，且只有一个对称轴是负二分之 a， 所以这个负二分之 a 一定就是这边的二，这个对称轴 a 就 等于负四。接下来我们求 b 求 b 的 话，我们只需要知道这个范围里面某一点的函数值等于多少。那怎么去求呢？首先根据这个条件啊，我们代入 x 等于一，那么得到 f 一 加上 f 一 等于零。 哎， f 一 又等于 f 一， 因为偶函数，所以两倍的 f 一 等于零，那 f 一 就等于零。 f 一 等于零，又因为 x 等于二是对称轴，所以 f 三也等于零。 f 三等于零，带入到我们的二次函数里面，那 f 三就等于三的平方， 再减去十二，再加上一个 b 等于零，那 b 就 应该等于三。因此这道题 a 等于负四， b 等于三，选择 d 选项。 第九题，圆 o 是 单位圆，圆 a 是 x 方加 y 方减去六， x 减八， y 加 k， 等于有一个参数，把它化简成 x 减三，括号的平方加 y 减四，括号的平方等于二十五减 k。 所以 圆 a 的 坐标应该是三四，而不是负三负四， a 选项是错的。 b 选项当 k 等于九的时候，呃，这个二的平方应该就等于十六，所以而等于四。确实，圆 a 是 与 x 轴相切的，所以 b 选项是对的。 c 选项，当 k 等于负十一的时候， r 等于六。此时我们算一下两个圆之间圆心的距离， 圆 o o 点坐标是零零 a 点坐标是三四，那 o a 的 长度是五圆 a 的 半径是六，圆 o 的 半径是一五，正好等于六。减一，说明两个圆是内切的，内切也是相切，所以 c 选项也是对的。 再看 d 选项，两元相交的时候，要求相交的直线方程，相交的直线方程就是让两个元的方程相减，两元方程相减，算出来应该是六 x 加上八 y 减 k 减一等于零，这边是减二，所以是错的。因此第九题选择 bc。 第十题他说等比数列公比 q 不 等于一首项大于零二， a 三等于 a 一 加 a 二， 那么 a 三就等于 a 一 乘以 q 方， a 二等于 a 一 乘以 q， 化简一下就得到两倍 q 方加一等于 q， 算出来 q 等于一或负二分之一。题目说了， q 不 等于一，所以一要舍去，最终 q 等于负二分之一， a 选项是对的。 再看 b、 c、 d 三个选项，要求这个 sn， sn 根据公式应该等于一减 q 分 之 a 一 乘以一减 q 的 n 次方等于这个东西。哎， b 选项让你去比较 sn 和三分之二 a 一 的大小关系，也就是三分之二 a 一 在这，所以我们要看这个东西和一的大小关系。 注意，这边是负二分之一的 n 次方。如果 n 为偶数，那么就是一减去一个正数，一减去一个正数，那肯定 sn 是 比三分之二 a 一 要小的，如果 n 是 奇数呢？那后面就变成了一减去一个负数，一减一个负数，那再乘以前面这个正数， sn 就 应该比三分之二 a 要大，所以 b 选项啊，大和小都有可能，所以 b 选项是错的。再看 c 选项， c 选项让你去比较这个和这个的关系。我们做一个叉二， sn 加二减去 sn 加一，减去 sn 就等于 s n 加二减去 s， n 加一，再加上 s， n 加二减去 s n 这个东西啊，就等于 a n 加二，这个东西呢，等于 a n 加二，加上 a， n 加一。化简一下，应该是 a， n 加一乘以括号一加上二 q， 哎， q 等于负二分之一，所以代入进去啊，这个式子就等于零， 等于零，就说明我们的这个左边是等于这个，右边的 c 选项是对的。再看 d 选项， d 选项让你求 c 个码 sk， c 个码 sk， 我 们把 sk 带入进去，就是这个东西。这个东西的话，左边这个部分啊，它应该等于三分之二 n 倍的 a 一 就是 n 个，这个东西相加， 右边呢，应该等于三分之二 a 一。 我们把这个东西提出来，里面呢是 sigma k 等于一到 n 负二分之一的 k 次方进行一个求和，那这个又是一个等比数列的前项和。根据公式，应该等于这个玩意儿。 这玩意要化解一下，是负三分之一的括号一减去负二分之一的 n 次方，显然，一减去负二分之一的 n 次方应该是一个正数。既然是正数，再乘以一个负数，那整体应该是小于零的。哎，这玩意是一个负数，我们这个东西减去一个负数，那就相当于加了一个正数， 加了一个正数，那一定是比我们的三分之二 n 倍的 a 一 要大的，所以 d 选项是对的。 因此这道题选择 a c d。 第十一题，抛物线 y 方等于八 x， 斜率为 k 的 直线经过负一零这一点， 等边三角形 a b， c 的 顶点，其中点 a 在 抛物线上， b 和 c 都在我们这条直线上下的结论正确的有 a 选项，准线方程 x 等于负二，显然是对的。因为二 p 等于八，准线方程应该是 x 等于负二分之 p， 也就是 x 等于负二， a 选项是对的。 b 选项说，如果直线 a o 和我们的抛物线没有共用点，那么斜率 k 大 于根号二，没有共用点，我们就先把这条直线射出来，射直线 x 等于 m， y 减一，因为它过定点 和我们的 y 方等于八 x 连立，连立之后呢，没有公共点，就是第二，它小于零，第二它小于零。再结合我们的斜率， k 是 大于零的， k 大 于零，这边的 k 和 m 的 关系是， k 等于 m 分 之一，所以 m 也要大于零，算出来 m 大 于零，小于二分之根号二， k 等于 m 分 之一，大于根号二。 b 选项是对的。 再看 c 选项，当 l 与抛物线有唯一的公共点，唯一的公共点是 b， 那 此时的 k 就 应该等于根号二。等于根号二的时候，我们可以把 b 点解出来， b 点应该是一二根号二。然后题目又说，我们的 abc 啊，是一个等边三角形， c 选项说这个焦点在直线 ab 上，哎，我们的 b 点有了，然后又告诉我们 ab 过这个二零这个焦点， 那我们不就能把这个 ab 的 斜率算出来了吗？所以 ab 的 斜率我们算一下，应该是负二，根号二，又因为我们的 bc 这条直线，它一定过负一零这个点，哎，负一零有了， b 有 了，我们又可以把 bc 的 斜率算出来， bc 的 斜率算一下，应该等于根号二。 这两条直线的斜率都有了，根据倒角公式，倒角公式是什么呀？这个我们一卷也考了，这个角是 c 塔一，哎，这个斜率是 k 一， 这是 k 二，这个倾斜角是 c 塔二，那么其中的加角 tan 的 c 塔二减去 c 塔一，就应该等于 k 二，减 k 一 比上一，加上 k 一 乘以 k 二， 这个公式是数学书上有的，并且证明起来很好，证明用两角叉的正切公式就行了。所以根据两个斜率啊，我们可以把其中的这个加角给它算出来。算一下加角，你会发现啊，天定的 abc， 它并不等于根号三，不等于根号三，就说明一点，说明这个角不等于六十度， 不等于六十度，就说明他不是等边三角形，所以我们的 c 选项是错的，因为根据 c 选项的这个条件，我们解出来他不是一个等边三角形。不满足提议再看 d 选项，若 k 等于二， 问三角形 abc 的 最小值是多少？ k 等于二的话，我们画下图，大概是长这个样子，只是 c 点在这， b 点在这， a 点在这，构成一个等边三角形， 那面积的话， a a 点其实是最好设出来的，因为 a 点在抛物线上设 a 点坐标是八分之 m 平方 m， 那 bc 这条直线斜率有了，那 bc 的 直线就是 y 等于二 x。 加二，我们要求等边三角形面积的最小值，其实就是要求 a 点到 bc 直线距离的最小值， 那距离公式应该是根号五分之这个式子，这个式子你发现它的分子是一个二次函数，配方一下就是这个东西整体就大于等于根号五分之一， 能不能取等啊？完全是可以取等的，那现在高的最小值根号五分之一，那面积的最小值就有了，应该是十五分之根号三，所以 d 选项是对的， 因此这道题选择 abd。 第十二题， a 一 等于负一， a 四等于五，等差数列，所以三 d 应该就等于五，减负一等于六， d 就 等于二，所以 a 六就应该等于九 s 六的话就是首项加上末项，再乘以项数除以二，等于二。十四、 十三题，这个函数有两个零点，发现二的 x 次方，二的二减 x 次方，其实就是四比上二的 x 次方，令二的 x 次方整体等于 t 换元，那 t 是 大于零的，所以 g t 新的函数就等于 t 加上 t 分 之四，再减 m 令它等于零，也就是这个方程啊，在 t 属于零到正无穷上要有两个解，这是一个对勾函数，画一下图，像是这个样子的，那 m 就 应该大于对勾函数的最小值四，所以最终答案是 m 大 于四，应该要写四到正无穷。 第十四题，球的体积是四，根号三派，所以可以直接把它的半径算出来，三分之四派尔三方等于四，根号三派尔等于根号三。 abcd 四点均在求 o 的 球面上， 三角形 abc 为等边三角形，因为它是等边三角形，所以我们就把 abc 放到同一个面上， 同一个面上我们画下图就这个样子的，然后点三个点 a 点 b 点 c 点构成等边三角形。再看 d 点在哪， d 点满足 d， a 等于 d， b 等于 dc 等于根号二，非常的对称， 所以我们的地点啊，把这个 a、 b、 c 所构成的这个结面给它画出来之后，地点就应该在它的正上方。这个点画完图之后，你会发现 d， a 等于 d， b 等于 dc 等于根号二，然后底面是一个等边三角形。现在我们把球心标出来， 把 d、 o 连起来，和我们的等边三角形应该有一个交点，交点 h 就 应该是等边三角形的中心， 中心之后呢，我们发现这边有很多勾股定律的关系，因为 o a 等于根号三，这边的 o d 也等于根号三，然后 d h 方加 a h 方等于根号二的平方， a h 方加 h o 的 平方等于 a o 的 平方， 所以我们可以把这边的边全都求出来，怎么求呢？我们设 d h 等于 d， 那 么 h o 就 等于根号三，减 d， 那 a h 的 长度也可以用 d 表示，然后可以在这个三角形里面用一个勾股定律，我们写一下，应该就是这样的一个式子，就可以把 d 解出来，是三分之根号三， d 解出来之后， a h 的 长度可以用勾股定律算出来，等于三分之根二十五， a h 的 长度有了，哎，这又是一个等边三角形，相当于这个中心，然后这个长度等于三分之根二十五，那我们的这个长度就应该等于根号三，再乘以三分之根二十五，应该就等于根号五。 等边三角形的边长有了面积也能算出来，应该等于四分之五根号三。第十五题得到一个频率分布值方图，哎，这个里面测试的是某种电子产品首次出现故障的时间，而问你这个首次出现故障的时间的第一次分位数，哎，这个就是下次分位数，也就是百分之二十五处的数据， 中位数是百分之五十处的一个数据，我们来看一看。首先我们来确定一下这个百分之二十五和百分之五十大概在哪个地方，呃，这边是零点五，然后 到这边一共是零点五加零点一等于零点一五，再到这边应该是零点一五加零点二等于零点三五，所以我们的零点二五就应该在这个部分里面， 接着我们零点三五再加零点二五就变成零点六，所以零点五应该在这个部分确定部分之后我们就可以去算了。那下次分位数零点二五，他现在在三百六十五到三百七十五之间，中位数零点五应该在 三百七十五到三百八十五之间，所以下次分位数应该是这边出使的三百六十五，再加上一个比例，比例应该是零点二五减去零点一五，再比上零点零二，等于三百七。 中位数呢，应该是这边的起始三百七十五，再加上零点五减去零点三五，比上零点零二五， 最终算出来等于三百八十一。再看第二小问，第二小问说，屁，是一件电子产品首次出现故障时间小于三百六十五天的概率估计值，我们先把这个概率估计值给他算出来，应该是什么呀？ 应该就是我们小于三百六十五，这边就是零点零五加上零点一等于零点一五，所以概率是零点一五。再看这位小问，销售一百件电子产品， x 为这个首次出现故障时间小于三百六十五天的件数，然后满足这样一个二项分布， 求二项分布的期望和方差。哎，这个直接套公式就行了，二项分布随便的 x 满足一百和零点一五的二项分布，那么他的期望就是一百乘以零点一五，方差应该是一百乘以零点一五，再乘以一减零点一五，就这个东西等于十二点七五。 十六、题，立体几何三能锥 a、 b、 c、 d 中点 e 在 b、 d 上满足 a、 e 垂直于 c、 e， 并且 a、 e 要垂直于 d a。 根据这个条件，又因为 c、 e 和 d、 e 有 一个交点 e， 我 们可以推出 a、 e 垂直于面 d， c、 e 就是 这个是垂直于底面 d、 c、 e 的， 然后他又说 c、 d 垂直于 a、 d， 让你证明 c、 d 垂直于 ab。 根据这个条件啊，我们的 c、 d 是 在平面 d、 c、 e 上的，所以 a、 e 又垂直于 c， d， a、 e 垂直于 c， d， c、 d 又垂直于 a、 d， 所以 可以推出 c、 d 垂直于面 a、 d、 e 也就是 c、 d 垂直于面 a、 d、 e 这个面， 因为我们的 ab 就 在这个平面上，所以可以推出 cd 垂直于 ab 来看。第二小问，第二小问说， d、 e 等于二， b， e 等于一， a、 e 等于根号二， c、 d 等于二，根号三、求直线 a、 d 与平面 abc 所成角的正弦值。 这个题目间隙应该是最好写的，因为这边的 a、 e 就 垂直于底面， a、 e 就 作为 z 轴，然后这边底面又有一个垂直关系，因为这边的 cd 刚刚说的是垂直于整个平面 abd 的， 所以 c、 d 就 垂直于 b、 d。 这个角是一个九十度，我们先把底面所有的边都解出来来看一下，我们把底面划到一个平面上，就是长这个样子。刚刚说的 c、 d 是 垂直于 b、 d 的， 然后这边 e 点在这， d， e 等于二， e、 b 等于一， c、 d 等于二杠二三，所以这边的 c、 b 什么长度全都能算出来，那我们就间隙吧。间隙的话，以 e 点为一个坐标原点，然后 b、 e 为 x 轴，我们再把这个 c、 d 平移到这边来做一个垂线，那么 y 轴就在这个地方， z 轴呢，就是我们的 e a， 然后我们把所有点给它表示出来， a 点的坐标应该是零零，根号二，这边根号二， b 点的坐标呢，应该是一零零， c 点的坐标， c 点在这，哎，我们把它平移到这边 y 轴上来，那 c 点的坐标应该是它的 x 值应该是这边的负二， y 值呢，就是这边的二根号三， 所以是负二二杠三零，那地点的坐标就是负二零零。所以 ad 向量等于这个东西。题目还要求 abc 平面的一个法向量，那 ab 向量等于这个， ac 向量等于这个设法向量是 x， y， z， ab 向量点成 n 向量等于零， ac 向量点成 n 向量等于零。得到这个方程， 根据这个简单的条件，我们就令 x 等于根号二， z 等于一。代入到第二个式子里面，可以把 y 算出来，等于二分之，根号六，所以法向量是这个东西。 接下来让求这个夹角，那么 sin x， 它就应该等于绝对值 cosine ad 向量和 n 向量之间的一个夹角，然后代入公式就等于这个式子，这个式子代入进去，最终化简出来是三分之根号六 十七。题解，三角形 cosine b 等于四分之三。还有这样一个式子，这个式子看到 a 加 c 我 们就知道了， cosine a 加 c 应该是等于负的 cosine b， 而 cosine b， 我 们这边值又有，所以我们可以求出 cosine 乘以 cosine c。 我 们来写一下，求出 cosine 乘以 cosine c 等于一减十六分之九，等于十六分之七。但是要注意，题目让你去证明三角形 abc 为钝角三角形，钝角三角形怎么去证明啊？ 想想啊，钝角三角形就是要证明有一个角是大于九十度的，大于九十度的角用三角函数表示，就应该是存在某一个角。 cosine 值小于零 a， cosine 值小于零，但是我们现在有的是 cosine a 乘以 cosine c， 不要忘了，我们现在还有一个 cosine b， 而 cosine b 它又是等于负的， cosine a 加 c 的， 而 cosine a 加 c 展开来之后，就会得到 cosine a 乘以 cosine c 和 cosine a 乘以 cosine c。 所以我们来写一下 cosine a 乘以 cosine c 减去 cosine a 乘以 cosine c 等于负 cosine b。 这个值是有的，这个值也是有的。代入进去，我们就可以把 cosine a 乘以 cosine c 算出来，它等于负十六分之五， 负十六分之五是小于零的，小于零就说明这两个数里面一定有一正一负，一定有一个负数，就说明我们一定存在这个角。 cosine 值小于零，也就是它是大于九十度的钝角， 所以第一题就证明出来了。我们再看第二小问，第二小问说面积等于四分之根号七，我们来看看。首先根据条件， cosine 平方 b 加上 sine a 乘以 sine c 等于一。 哎，一减去 cosine 平方 b， 它不就等于 cosine 平方 b 吗？ cosine 平方 b 等于 cosine c。 根据正弦定理，应该得到 a 乘以 c 等于 b 的 平方。又因为我们的面积等于四分之根号期，现在这边 ac 等于 b 方，所以我们利用三角形的面积公式，二分之一 ac 乘以 cosine b 等于四分之根号期 cosine b。 题目告诉你的 cosine b 也可以求出来，所以 a c 算出来，它应该等于 b 方等于二，那 b 就 有了 b 等于根号二。 接下来我们再算 a 加 c 等于多少？ a 加 c 怎么算呢？哎，我们还是利用这个 cosine b， cosine b 应该等于 a 方加 c 方减 b 方，比上二 a c 这面 b 方和二 a， c 都可以代入进去。所以我们得到 a 方加 c 方等于五， a 方加 c 方等于五， a， c 又等于二，所以我们可以把 a 加 c 算出来，它等于根号下， a 方加 c 方加二， a， c 等于三， a 又等于根号二。所以最终周长应该是 a 加 c 加 b 等于三，加根号二。 这十八题是整张试卷最难的一道题目，我们来看一看。椭圆 e 满足过 e 的 右焦点，且与 x 轴垂直的直线被 e 截得的线段长度是根号二。就是这样的，这边有一个椭圆， 然后过焦点做一条垂线，这个长度是根号二，这个长度是根号二。那根据对称性，这个长度是二分之根号二，所以这个点的坐标就可以表示成焦点横坐标 c。 然后呢，二分之根号二。 所以这个点在我们的椭圆方程上带入进去，就能得到 a 分 之 c， 也就是离心率等于二分之根号二。当然我们就可以把 a 和 c 解出来了， a 等于根号二， c 等于一，所以椭圆方程是二分之， x 方加 y 方等于一。第二项，我们说给定定点 g， g 点坐标是 t 零， t 不 等于零。 还有一个 a 点， a 点是我们椭圆上的一个动点，过 a 点呢，做 y 轴的一个垂线，垂足是 b 点。 现在连接 o， a 和 b， g 两条直线，交点为 p， 求 p 的 轨迹方程，那轨迹方程我们怎么求呢？肯定是要用已知的一些条件，比如这边的 t， 这边 x 零 y 零去表示这边 p 点的横纵坐标， 然后去看看它的横纵坐标能得到怎么样的一个关系，怎么样的一个方程。所以我们一定先要用这边的 t x 零 y 零去把这个 p 点坐标表示出来，来写一下吧。首先 o 点坐标零零， a 点坐标 x 零 y， 那 么 o a 的 直线方程就是 y 等于 x 零分之 y 零， x b 点坐标零 y 零， g 点坐标 t 零。所以 bg 的 直线方程可以用拮据式来表示。为什么用拮据式啊？因为这个拮据有了，这个拮据也有了，那拮据式就应该是 t 分 之 x 加上 y 零分之 y 等于一 两个方程连立起来，我们就可以解出 p 点的横纵坐标是这个东西和这个东西。当然我们可以记作 p 点的横坐标是 x 一， 纵坐标呢是 y 一。 接下来我们就是要去找 x 一 和 y 一 有怎样的一个关系。 为了找 x 一 和 y 一 的关系，我们来看看这里面的变量有哪些关系呢？有一个关系，我们的 a 点啊，它是在椭圆上的，所以 x 零和 y 零呢，它就满足二分之 x 零方，加上 y 零方是等于一的。 因此我们就先把这边的两个方程，其中把 x 零用什么什么 x 一 表示出来， y 零呢？用什么什么 y 一 表示出来， 这样的话，我们就可以把这个 x 零和 y 零带入到我们的二分之 x 零方加上 y 零方等于一这个方程里面，这样的话就把 x 零和 y 零这两个变量消掉了，消掉之后，剩下的就是我们的 t 还有 x 一， 还有 y 一。 我们来写一下 这两个方程，改一下形式，就变成 x 零等于 t 减 x 一 分之 t 乘以 x 一 y 零呢？等于 t 减 x 一 分之 t 乘以 y 一， 带入到我们这个方程里面，就能得到这个式子。得到这个式子之后，我们大概化简一下，左右同时乘以 t 减 x 一 的平方，就得到了这个式子。 最后我们再把 x 一 和 y 一 还原成 x 和 y， 就 得到了轨迹方程。轨迹方程写出来之后，你还要注意有没有哪些点它取不到呢？注意这道题， y 是 不等于零的，为什么呀？注意题目还有个条件， y 零不等于零， y 零不等于零，就说明我们的 a 点它不能在这个地方， a 点不能在这个地方，不就说明最终 p 点它的纵坐标不能是零吗？因此 y 不 等于零也要写上去。我们再看第三小问，第三小问说，当 t 为和值的时候，我们第一小问求出来的 m 有 对称中心， 当他有对称中心的时候，把这个 m 平移之后啊，得到曲线 m 撇，使得 o 为 m 撇的对称中心。问， m 撇是一个什么样的曲线？其实啊，你看到这个问你他是什么样的一个曲线？我们整个高中只学过哪些曲线啊？圆锥曲线， 还有一些圆直线这样的东西，对吧？所以这个答案啊，肯定和我们学过的圆锥曲线是有关系的。我们来看看刚刚求出来的轨迹方程这个东西， 这个东西怎么去化简呢？首先我们观察一下呀，左右关于 x 和 y， 它最多就是 x 和 y 的 二次式，对不对？ 所以这是一个关于 x y 的 二次曲线，那二次曲线我们高中学过的，就是椭圆双曲线抛物线，所以我们把它化简成我们最熟悉的什么什么 x 平方， 什么什么 x 平方加什么，什么 y 方加什么，什么 x 加什么，什么 y 加什么什么常数。这样的形式化解一下，应该是二分之 t 方减一， x 方加上 t 方乘以 y 方加上二， t x 减 t 方等于零。 哎，首先题目说的 t 是 不等于零的，所以这个不可能等于零，这个不可能等于零，这个不可能等于零，但是这玩意是有可能等于零的呀。因此先讨论一下，当二分之 t 方减一等于零的时候，也就是 t 等于正负根号二的时候， 代入进去应该是 y 方加减根号二， x 减一的给它写成我们熟悉的形式就是 y 方等于根号二， x 加二分之根号二， y 方呢？或者等于负根号二，乘以括号 x 减二分之根号二，这什么意思啊？ 这不就相当于把我们 y 方等于根号二 x 这个抛物线左加右减向左平移二分之根号二个单位得到这个抛物线吗？ 所以这两个东西啊，他都是抛物线，既然是抛物线，他就没有我们题目上说的对称中心，所以 t 等于正负根号二的时候不行。 那接下来就讨论 t 不 等于正负根号二的时候呢？不得于的时候呢？我们就先把这边的 x 方和 x 放到一起，给他做一个配方。同时我们还发现这边的长输项是一个 t 方，把长输项变成一， 那化解一下就变成这个式子，这个式子呢， x 方加上什么什么 x？ 我 们可以对这个式子进行一个配方， 配方之后就变成 x 加 t 方减二分之二 t 括号的平方。当然我们这边相当于多了一个长竖向，那我们就要剪掉这个长竖向，变成这个东西，哎，仔细观察一下这个式子啊，它和我们的双曲线椭圆是非常接近的，它的对称中心就是 这边等于零的时候，还有 y 等于零的时候，也就是负 t 方减二分之二 t 零没问题吧？因此当我们的 t 不 等于正负根号二的时候，这个式子一定是一个中心对称的图形，并且对称中心我们已经求出来了， 接下来他要把这个曲线平移，平移之后的对称中心不再是这个了，而是零零 变成零零之后，那我们这个曲线 m 撇，它就应该是什么呀？应该是二分之一减 t 方，分之一 x 方再加上 y 方，是等于 t 方比上 t 方减二的。所以现在我们肯定要对这个东西进行一个分类讨论。 首先第一种情况，当我们这个东西大于零的时候，哎，它大于零，我们还要去看右边的这个常数是大于零的还是小于零的， 化简一下，应该是二 t 方分之， t 方减二大于零。哎，这个东西大于零，不就说明我们的 t 方比上 t 方减二也是大于零的吗？所以这种情况下，它是正数，它也是正数，这两个都是正数，就说明我们的这个曲线啊，大概是比如三 x 方加上 y 方等于四， 那这显然是一个椭圆啊，所以这种情况下，我们的曲线是一个椭圆。还有第二种情况，当我们这个数小于零的时候，那它小于零，它就应该也小于零。那小于零之后呢？就应该是举个例子， 负三 x 方加上 y 方等于一个负四，那就应该是三 x 方减去 y 方等于一个四，那这显然是一个双曲线，对不对？ 所以啊，最终答案还要再分两种情况，当这个东西大于零的时候，它是椭圆，当这个东西小于零的时候呢，它是双曲线，并且对称中心是负 t 方减二分之二 t 零。 第十九题，已知函数 f x 等于 x 乘以一的 x， 四方加 a， x 加 b， 在 x 等于零处的切线方程是 y 等于负二， x 加一，那么我们的 f 零就应该等于带入进去，等于 b， b 呢？再带入到这个里面就应该等于一，所以 b 等于一，同样的，这边的斜率是负二，那我们把 f 撇零带入到这个式子里面，应该得到一加 a 等于负二，算出来 a 等于负三， b 等于一，就是第一小问。我们再看第二小问， 第二小问说 x 大 于零的时候，有这样一个式子很成立，求 m 的 去值范围。这个式子呢，我们先带入到第一小问，现在 f x 求出来的是 x 乘以的 x， 四方减三， x 加一，带入进去之后，化简一下得到这个式子大于零很成立。 这个式子还能化简，这边三 x 和这边的加三 x 消掉了，所以化简之后得到这个式子，那这个式子处理方法其实非常的多。其实我们还可以用同构的方法去处理这个式子。哎，我先给大家大概讲一下同构的一个思路， 这个式子减去四 m 是 大于，右边就是我们的 x 乘以的 x 次方，哎，这个式子和这个式子非常的像啊，对不对？ 但唯一的区别就是这边是减四 m， 而我们右边没有减任何东西，那我们能不能左右同时再减去一个四 x 呢？减四 x 的 话，右边就变成 x 乘一 x， 四方减去四 x， 左边呢？再减去一个四 x， 这两个合并起来就变成这个式子。 哎，现在左右不就是一个完全同构的式子的吗？我再写一下，就变成了 x 加 m 乘以 e 的 x 加 m， 四倍的 x 加 m 是 大于 x 乘以 e 的 x 次方减去四 x 的， 那我们就构造一个新的函数， h x 等于 x 乘以 e 的 x 次方减去四 x， 那 左边这个东西就应该是 h x 加 m， 右边这个东西就应该是 h x， 所以 题目就转化成了 h x 加 m 大 于 h x， 所以 接下来就去研究我们 h x 函数的单调性，然后去判断我们的 m 的 范围。 当然这边还可以做一个简单的判断，就是我们的这边是 x， 这边又是 x 加 m， 所以 可以根据 m 的 正负性来进行一个判断。 m 等于零肯定不行， 因为 m 等于零的时候， h x， 左边是 h x， 右边也是 h x， m 小 于零呢？小于零之后，哎，根据它的单调性也是不行的。 m 大 于零呢？那大于零之后，就根据一些必要条件进行讨论就行了。所以同构写这道题也是非常简单的，那如果不用同构，你没有想到同构呢？没有想到同构就正常的去写，也是能写出来的。 化简一下，刚刚说的是这个式子大于零很成立，那我们就直接记这个式子是 g x g x 这边可以做一个简单的化简啊，我们把 x 乘以 e 的 x 次方提取出来，就得到这个式子， 把 m 再提取出来，就得到 m 乘以。这个东西我们可以先做一步必要性探路，因为题目说了，当 x 大 于零的时候，这个式子大于零很成立，那就不妨取 x 无限趋近于零的右边一点点的时候，也就是我们直接取 x 等于零。直接取 x 等于零，那我们的 g 零应该要大于等于零， 因为如果你的 g 零他如果小于零的话，因为这个函数一定是连续的，那他连续的话，你的 g 零小于零，那他在零的右边一点点一定也是小于零的。不管递增还是递减，所以就肯定是不行的呀。因此我们的必要条件是， g 零要大于等于零。 g 零大于等于零，带入到这个式子里面，就能得到 m 乘以一的 m 次方减四大于等于零。哎，这个式子大于等于零很成立。那我们肯定要讨论 m 的 正负性啊，因为 m 乘以这个整体大于等于零，你 m 如果是正的，那这个也是正的， m 是 负的呢？那这个也是负的，所以要讨论 m 的 正负性。 讨论正负线，我们来看一看。首先， m 等于零行不行？ m 等于零的时候， m 等于零。我们代入到题目这个式子，那 m 等于零，左边就是 f， x 减 f， x 左边就是零啊，那右边也是零，零大于零不成立，所以 m 等于零不行， m 小 于零呢？ m 小 于零。实际上你去讨论一下这个式子， 你会发现， m 小 于零的时候，最终你的 x 趋于正无穷，这个式子是占一个主导地位的，它占主导地位，那负的这个东西就占主导地位，它是一个负无穷， 那 x 趋于正无穷，那这个式子趋于负无穷。负无穷小于零显然是不成体的，但这边我写的比较粗糙，有的地区它可以用这种 无穷的语言来写，有的地区它不能用这种语言来写，那你就要老老实实的去证明一下，它小于零是不行的。如果用刚刚同过的方法同过，刚刚得到什么 h x 加 m 大 于 h m h x， 那 你 m 如果是一个负的话，你的 x 加 m 肯定是小于 x 的， 然后你的 h x 函数后面又是一直是单调递增的，所以一下子就能判断出来， 所以用同共的语言这个角度比较好证明。当然，如果你不用同共，你去取一些点也是没问题的。等于零不行，小于零不行，所以最终一定是 m 大 于零。 m 大 于零再带入到我们这个必要条件里面，就应该是 e 的 m 次方减四要大于等于零，它大于等于零，也就是 m 要大于等于 lo 四， 所以最终答案应该是 m 大 于等于 lo 四，但这只是一个必要条件，这个必要条件我们还要去证明它是不是充分条件， 验证一下充分性。当 m 大 于等于 lo 四的时候，哎，我们刚刚为什么给它化简成这个式子呀？因为 m 大 于等于 lo 四的时候啊， x 就是 大于零的，所以这个东西大于零， e 的 m 四方减一也是大于零的。因为 m 大 于零的时候， e 的 m 四方减一就本身就已经大于零了， 所以这个整体就已经是大于零的。然后右边这个东西， e 的 x 加 m 减四，它应该怎么样？它应该大于等于 e 的 loon 四次方减四， e 的 loon 四次方，哎，就是四，所以四减四就是零，所以这个东西本身就大于零。 因此我们就验证了充分性，当 m 大 于等于 loon 四的时候，整体 g x 一定是大于零的。因此最终的答案第二小问就是 m 大 于等于 loon 四。 接下来我们再看第三小问，第三小问还是一个横乘的问题， x 大 于零的时候，这个东西横乘的求 k 的 最小值，我们来看一看，记一个新的函数 h x， 我 们就把这个二 f k 移到左边去，相减作差，得到这个式子。 哎，现在你发现啊， x 大 于零的时候横乘的，但是我 h 零，它本身就等于 h 零，它等于 f k， 再减去两倍的 f k， 它就是等于零的呀。 所以我们在零这一点，他本身这边就是一个等于号的关系，那我们就要去思考端点效应了，端点效应是什么呀？既然他要大于零很成立，那我们在零这一点的导数值就应该要大于等于零。 我们求一下导， h 撇 x， 他 等于这个东西，哎， h 撇零带入进去，他就应该等于 k 加一乘以一的零次方，这是等于零的呀。 导函数等于零，那我们再去求它的二阶导，那二阶导算一下，应该是这个式子，二阶导在零这一点的函数值应该是二 k 加四，二 k 加四，它不一定等于零了，但是它一定要大于等于零。 因此根据端点效应，我们算出来 k 要大于等于负二，这是一个必要条件，并且端点效应这个东西有的地方认，有的地方不认，你最好也不要写在这个答题卡上，这只是帮助你去分析，帮助你去算出答案的一个过程。 好，现在你大概知道了，我们有一个必要条件， k 要大于等于负二，那接下来就去围绕 k 大 于等于负二和 k 小 于负二来进行一个证明。 首先，当 k 大 于等于负二的时候，哎， k 大 于等于负二的时候，我们刚刚二阶导函数是这个东西啊，二阶导函数是这个东西，我们来仔细观察一下呀。此时 k 大 于等于负二，那 k 加二是大于等于零的。 k 加二大于等于零，那我们这个 x 加 k 加二，它一定是大于等于 x 减去 k 加二的，这个比这个大。又因为我们 x 加 k 加二，它一定是大于等于 x 减去 k 加二的，这个比这个 e 的 x 次方显然是 比这个 e 的 负 x 次方要大的，对不对？哎，这两个又都是一个正数，那很显然这个东西一定是大于这个东西的，所以 h 撇撇 x 一定大于零， 没问题吧？你仔细去考虑一下，但这边还有讨论，他有没有可能是正的，有没有可能是负的，那如果是负的也没问题，因为这个东西如果是个负的，那负的一个负数，那是一个正的，那正的还是大于零的呀？ 所以二阶导大于零，就说明我们的一阶导函数是递增的，一阶导函数递增，那 h 撇 x 就 大于 h 撇零， h 撇零刚刚算了，它是等于零的，所以一阶导函数也是大于零的，那我们的原函数就是一个递增的，所以原函数大于 h 零， h 零又等于零， 所以我们就证明出来了，当 k 大 于等于负二的时候， h x 大 于零， h x 大 于零，那就完美的符合我们的题目。接下来我们再去证明， k 小 于负二的时候是不成立的。 当 k 小 于负二的时候，我们的 h 撇撇零小于零，因为这个函数是一个连续的函数，所以在我们零的右边一点点都有 h 撇撇 x 小 于零，在零的右边一点点微小的一个区间里面一定有这个成立，所以我们就能找到一个点， x 零大于零，使得我们的 h 撇撇 x 在 零到 x 零上都小于零。 所以在这个范围上啊， h 撇 x 递减，那它就应该小于 h 撇零， h 撇零又等于零，所以我们在零到 x 零上， h x 也是递减的，那 h x 在 这个范围上就小于 h 零， h 零也等于零。所以就证明出来， k 小 于负二的时候，存在那么一点点范围里面， h x 不 大于零，它小于零， 小于零就不符合条件。因此最终我们算出来，要满足恒成立的话，那 k 要大于等于负二， k 大 于等于负二，那 k 的 最小值就是负二。所以最后一题就写出来了， 可以发现这个最后一题啊，必要性探路端点效应整体来说是非常常规的，有点难度，但是大家平时训练这个题型应该非常非常多了。
1102敝槛玄鹤
02:14查看AI文稿AI文稿今年新高考二卷的单选压轴题已经出炉了，这道题实际上是改编自二一年假卷单选压轴题，还是非常经典的。咱来看一下说 f x 为偶函数，满足这样一个式子，这个式子我们可以推导出它的周期等于四。经典的周期函数模型讲过无数次了， 又因为题目中说是偶函数，那么 f x 就 等于 f x， 所以 这个式子会变成它。 而这东西是啥？是中心对称，说明 f x 是 关于负一零对称的。又因为周期等于四， 所以 f 负一就等于 f 三，正好相差一个周期，而 f 负一就等于零，所以 f 三等于零。啊，那 f 三等于谁？我代入这个式子，就是九加三， a 加 b 等于零。 接下来我们再来分析，还需要一个条件，现在给了你这部分的解析式了，我们想要利用偶函数，我这么干， 我给他减去个二，那会变成负二分之一到一。所以我这样思考，我假设 x 属于负二分之一到一，这个时候 x 加二就属于 二分之三到三，然后我再利用它，我稍微一做变形，我能得到 f x 等于负的 f x 加二。这步你要反应过来啊，把它变下形，把 x 换成 x 加二， 现在 x 加二正好在这个范围内，可以代入这个式子，它就等于负的 x 加二，括起来的平方减去 a 倍的 x 加二，再减 b。 现在解析式出来了， 这时候我们思考，利用偶函数 f 负二分之一等于 f 二分之一， 把它带入这个式子，由这个我又能得到一个 a 和 b 的 关系式。那两个 a 和 b 的 关系式我都知道了，于是我就可以算出 a 和 b 来，我会算出 a 等于负四， b 等于三，于是本题出答案了，各位爱徒，你学会了吗？
1361展神数学思维提升
03:20查看AI文稿AI文稿you are watching me。 我是 我们也想过了失去的生活的每个片段，教我如何善解。我根本想不到我们最后只能对生活做到叛变。是因为你才让我 down， 因为你才让我 round， 因为你才让我变得更加强壮。可 为什么现在的你比我还懦弱，当初是因为你的坚强才让我没错苦。当我拿到我的第一 民族的千里马，遇到你像佛了一样给我力量，让我重新认识自己。就像是当初割破手腕热血四天后，突然觉得生活充满意义。 never forgotten and feel。
14.2万高中数学老师程哥
01:41查看AI文稿AI文稿今天继续给大家分析全国二卷数学选择题的规律，我不是教大家投机取巧，而是总结近五年真题的出题习惯，给大家考场多一个得分的思路，最后冲刺阶段每一分都能拉开差距。觉得有用赶紧点赞收藏！废话不多说，我们来看看全国二卷 第八题单选这位置，特别喜欢走重复延续的逻辑，二一年、二二年连续两年给 a， 二三年、二四年又连续切到 c， 到了二五年突然转成 d， 很多人会觉得二六年该换了，但高考恰恰经常喜欢新答案继续留一年，所以按这分布节奏看，二六年第八题继续出 d 的 概率反而非常高。第九题多选这几年最稳定的核心组合就是 a、 d， 尤其 a 这选项近四年几乎没有缺席过， 很多时候你会发现，就算整体答案变动， a 一 就会被保留下来，所以第九题如果你实在没思路，优先保爱，命中概率会明显更大。第十题多选最近几年一直在 a、 b、 d 和 a、 c、 d 之间反复横跳， 表面看变化很多，但真正稳定的核心不是 b 和 c， 而是 a、 d 两个位置。无论怎么换组合， a 和 d 大 概率都会留下至少一个，甚至双保留。所以第十题真正应该盯住的是 a 和 d。 第十一题多选这位置的规律更明显， c、 d 属于绝对高频答案，尤其 d 几乎成了常数选项。近五年里， d 基本没有调出过选择分布， 而 c 也有四年同时出现。很多时候第十一题你不知道怎么蒙，但只要抓住 c、 d 这两个核心位，正确率就会比乱猜高一大截。 那么讲到这里，很多家长和同学都在问我为什么连续四年押中高考真题，其中更是二五年新二卷考前几天的题卷，押题押中原追去线，三角形面积，一道大题十几分。考前六月四号的作品，这都是翻我作品可以看到的，还预测新一卷压轴单选 b 选项， 并且在最后阶段还给大家准备了二百个高中数学斜修题分技巧，想要领取后台发送，年级加学科即可。
1.5万高分远神
18:04查看AI文稿AI文稿看着很唬人，实际上老掉牙的东西，这道题你得十分以上是没问题的。第二位横乘以求餐，第三位还横乘以求餐。数学难题千千万，横乘以求餐占一半。近五年全国卷年年考二十七届，别再错了。这道题它很难，计算量很大，但是呢，它很常规。 就说白了，第一问的话，他说，呃，在零 f 零数的切线为它， 那当然这个 f 零就应该等于一，因为切点是公共点，把零带进去，那 f 零还等于什么呢？ f 零还等于 b， 所以 b 就 应该等于一 f 导零，我们先求个 f 导，它就应该等于个 x 加一。你看这道题，你哪一步想不到？确实计算量很大，加上一个 a， 那所以这个切线的斜率就应该是 f 导零。我们把零一代，就应该是一加 a， 它就应该等于个负二，所以 a 就 应该等于个负三，所以第一位就出来了。那这句话的意思就是说，我们看第二位了， f x， 它就应该等于个 x 乘以个 e x 再减去一个三 x， 再加上一个 b。 这道题我不知道出的是啥意思。第二位横乘以求差，第三位还乘乘以求差。 所以高考题型有的时候挺有意思。我们一般情况下，他不可能说三位两位考的知识点是一样的，对不对？所以他说第二问的时候，当 s 大 于零的时候，他说这个数值大于 m， 横成力求 m 的 取值范围。第三问，当他大于 f 二 k 的 时候，横成力求 k 的 最小值， 求 k 的 取值范围，说白了就是。所以我们先看第二问，这道题，我们把零带进去，因为横成力求三的时候，我们全国卷考的最多的一种方法就是把定义的端点值带进去，两边数是一模一样的， 这叫端点验证法，考的最多，不用加之。一听明白了，你把零带进去的话，这是 fm， 这辆减去个 f 零，这辆是个 m， 那 这两边数不一样，那这就说明这道题不是端点验证法。 横成列求参。我们常用的方法，你看分类讨论，参面分离、端点验证法什么必要性，探路还有什么同构。 这常用的方法基本上就这么多，所以这道题我选择哪一种方法？你只要能分析出选择哪一种方法，这道题是有机会做对的。 我认为这道题二三位应该颠倒一下，我觉得第三位简单一些，你看第三位是什么呢？你把零带进去，这辆是 f k， 这辆是 f k， 对 不对？你看看这边是两倍的 f k， 也就说你把零带进去，两边数是一模一样的，那当然这道题是锻炼验证法了，很有可能是锻炼验证法，所以第三位简单一些。第二位，我觉得你得动脑子想一想。 那这道题它既然不是端点验证法，那是分类讨论吗？我把它带进去，你看就应该是 x 加 m 乘一个 e 的 x 加 m 确实长得挺丑，减去三 x 是 不是不敢写了？减去三 m 加一，不用写了，一会剪掉了。减去一个 x 乘 e x， 再加上一个三 x， 他大于 m， 我 就减去 m 大 于零吧。我刚才说过了，这道题你得想我选择哪一种方法。我问你，这道题参面分离可不可以？总之他俩是约掉了， 我再给你合并一下 x 加 m， 这道题参面分离可不可以？我靠，确实长得挺丑，减去个四 m， 他 是恒大于零的，恒成立参面分离可不可以？ 这道题很明显不能拆分的，为什么？这呢？有 m， 这呢？有 m， 这呢？有 m， 对 不对？也不太行。那我你你觉得这道题分类讨论可不可以？我就这样导分类讨论，你觉得你导一次他会变简单吗？不会，所以这道题分类讨论我觉得也挺难。所以你说我们这道题应该选择什么？同步是一个思路。可以， 我觉得有更好想的方法，是不是我们必要性探路一下？什么叫必要性探路呢？他说 x 大 零的时候他恒成立，那说明我当 x 去进零的时候， 实际上这个零是正零，当 x 去进零的时候，他一定是大一等零啊。因为这个零取不到，所以我这个 m 的 范围就求出来了，他可能就是答案，所以我们可以必要性探路。因为这道题不好分类讨论，也不好参选分离， 所以我把零带进去，正好是 m e 的 m， 再减去个四 m， 那 就应该等于个 m 乘一个 e m， 再减个四，它就应该是大于等于零。为什么能有等号？因为这个零取不到， 把零带进去，它是有可能等于零的，那所以这样的话，它就应该是两根之外。那所以我们就能算出来 m 是 大于等于零的，或者是 m 是 大于等于四的。 ok， 那 所以这道题答案我们都算出来，有可能就是这个答案，那所以我就算一算，这个答案对不对呢？我们一个一个讨论，当 m 小 于零的时候，或者 m 等于零，我先写 m 等于零吧， 因为我不知道这个对不对？当 m 等于零是最好做了，当 m 等于零的时候，这是零，这是零，零大于零矛盾。也就是当 m 等于零的时候，他对不对呢？实际上他也不对。我们做导数题的时候，大家一定要有极限思想， 就是 m 小 零数，它为什么不对呢？你比如当 m 小 零的时候，这个数比这个数要小，这个数比这个数要小。又因为指数函数它肯定是起更大作用嘛，因为它爆炸式增长嘛。所以你们告诉我这个是指当 x 去进正无穷的时候，它去进多少？我们假设它是个 g x， 我 们假设它是 g x， 必要性探路，也就说当 x 去进正无穷的时候，你在公屏上打出来 g x 去进多少？ 我再说一遍，因为当 x n 正无穷的时候，由于 m 小 零这个数，咱就说指数函数吧，这个指数函数比这个指数函数要小， 那是不是它就应该是趋近于负无穷，与 g x 大 于零又是矛盾的？明白了，也说这个 m 小 零也不是答案，那所以这道题难道就是它？也就说这道题 m 大 于等于等于四的时候，难道就是答案？ 很有可能那 m 大 一点，乱世的时候是答案，那你告诉我，我怎么去做呢？来大家思考一下，你说我已经知道 m 的 范围了，我要证明他大一点。我们常用的方法是什么？全国叫考过好多好多次了，什么端点音的话，基本上都是哪种方法？是不是我们放缩参数， 那要是放出参数的话，我这个参数能不能把它换成六二四？这个 m 都写成六二四，那你如果能够放出参数的话，是不是它是关于 m 的 单调函数才可以，但是呢，这是关于 m 的 单调递增，但是它它又减去一个增增的，减增的，它是不确定的，所以我想放出参数， 那方数参数的话，我看不出来它是关于 m 的 真函数，假函数，所以我把 x 当成变量，我求个导，我对 m 求导还是同一个函数，为什么呢？我想放缩掉参数，我觉得第二文比第三文难，当然都是我们全国这常用的方法。那所以这时候我们求一下导，需要注意， m 是 变量， 前面求导就应该是 x 加 m， 再加一 e 的 x 加 m， 那 后面求导是四，为什么呢？这个求导是零，因为 m 是 变量，这辆为什么求导呢？前面求导是一，后面不变， 再加上一个前面不变，后面对 m 求导，所以合在一起就它 ok。 那 大家想一想，这个时候谁能看出来这个导还是有什么特点？ m 是 变量，如果你能够看出它单调性来，如果你能够看出它正负来就 ok， 如果看不出来，你需要继续求导。谁能看出来这个导函数有什么特点？是不是相当于浙江是正函数， 这点也是正函数。关于 m， 又因为这个函数值都是正的，正乘正是正，也就说这个式子它一定是关于 m， 代表递增的，所以它一定大于等于 x， 再加上一个 lo 四，再加上一个一乘，一个 e 的 x 再加 lo 四，那就是四倍喽。 e 的 拉式是四，再减个四。明白了，所以它关于 m 单调递增，我们就把 m 搞掉了，因为前面是增，后边是增，函数值都是正的，那这时候这个数它大零吗？由于这 x 大 零，那这个数很明显它是大于一的， 这个数呢？是大于一的，乘以四，它大于四，四减四，很明显它是大零的，因为前面大于四，那这就说明这个 h 倒 m 是 大零的，说明 h m 在 这个浪四到正无穷上，它就应该是单调递增的， 它在这个浪四到正无穷上单调递增，所以我就把参数放错掉了。也就是说我们就写 g x 了， g x 它一定大于，等于就它，我把所有的 m 都换成浪四， 我证明它大零嘛。加上一个 x 是 劳恩四 e 的 x， e 的 劳恩四是四，再减去 x 乘 e x， 再减去四倍的劳恩四。 ok， 好， 有没有挡住？好，你再思考一下，我就把参数放缩掉了。说白了，这个地方它一定大于，等于把。 因为 m 大 等于四，这还是关于 m 单调递增，所以我把所有的 m 换成 m 四，那所以这道题如果我能够证明出它大于零来，那这就答案了。那我们能不能证出它大于零来呢？我们需要求导吗？不清楚，所以我们就看一眼，化简一下。需要求导吗？ 好像不需要求导，也说小于四。 x， 这个题很简单了，你看它是四 x， 减去 x 是 三 x， 再加四倍的小于四， 这个地方是 e x， 再减去四倍的拉恩四， ok， 那 是不是这个数肯定是大零的，你看我写错了没有？那这个地方是四 x， 再加四倍的拉恩四，再减去 x， 那 就三 x 它 那。由于这个数是大一的，因为 x 大 零，那这个数很明显大零，那所以这个数很明显是大零的。都不用求导了， 我们就证明出 g s 大 零了，所以中上这个 m 的 曲值范围就应该是属于 l n 四，比如说两倍的 l n 二到中求，你觉得南木他肯定有难度，你能准备到，这些方法你应该都练过才可以。所以这道题是必要性，探路就能做出来。这个题的答案来，我们再看第三位，我觉得更简单， 因为全国卷考了十几次了，来，我们怎么去做？第三位，我们答案一看，由于我把 s 等于带进去，它正好是两边一样的数，所以我就勾造出一个大 f x 来，等于个 x 加上一个 k， 再加上一个 x， f k 减 x， 再减去两倍的 f k， 那 这道题更简单，比刚才的题简单多了，只是他有一步计算，你可能不好想，由于我们把零带进去，这个式子正好等于零，你看把零带进去正好是零，那他又因为这个函数是大于等于了，这就说明一开始他得横增， 他只要减就完蛋，所以他必须得满足 f 导零大于等于零，这叫端点验证法，这是全网教考的最多的方法。那所以这时候我们就应该求导，求导的话需要注意， 你应该有这种意识，我们把 f s 超过来，你觉得是我先求导再带数，还是我先带数再求导？你得有这种意识，你看 f s 他 我把他带进去再求导，还是先求导再带数？简单， 我们建议你先求导，因为它只是用到一个负函数求导而已。 f 导 x 的 话，那就应该是 f 导 x 加上一个 k， 中间的话是一个负函数求导，先求导，再对里边求导，里边求导是负的，负一这个量是常数，它求导就是零， 他应该让 f 导零大于一等零，但是你一带不要紧，全物件套路出来了，你把零带进去，他正好是零，就说白了，这个量正好是零，你求不出参数的范围来，那你求不出参数的范围来怎么办呢？你肯定是继续求导，你让 f 导到零大于等零， 你得让 f 导到零大等零。全物件经常这么考，为什么 f 导到零大等零？因为如果 f 导到零负的，那就说明 f 导带的递减， f 倒单调递减，又因为 f 倒零是零，说明 f f 倒一开始是负的，说明一开始单调递减圆，还是单调递减就错误了，他只要单调递减就完蛋， 理解不？所以 f 倒倒 x 也得大于等于零，所以我们还是先求倒，那先求倒的话，那这点就变成加，因为里边求倒，所以我们还是带个零，这是大 f， 这是大 f， 那 我们带个零，他就应该等于个两倍的 f 倒 k， 对不对？两倍的 f 导 k， 你 会发现它是一个不恒等于零的数，所以我们现在可以求导了。你看求完导之后是它，我们对于它求一次导，求一次 x 加一乘一个 e， x 减三， 我们再求一次导，他就应该等于个 x 加二乘一个 e x， 所以 他就应该等于个两倍的 f 导 k， 那 就应该是 k 加二 e 的 k 次方，他应该大一等于零，从而我们求出来 k 大 于等于负二，这就是最后的答案。仔细理解这一过程， 懂了吧？短点验证法求出这个 k 大 于等于负二来，那是这个题，我们怎么求它的证明过程呢？我们先讨论 k 大 于等于负二，所以你看参考答案，他说他先讨论的 k 大 于等于负二，那你应该知道这个 k 大 于等于负二怎么来的？少了个倒，少了个倒。比如我少了个倒，我求倒了，但是少了个倒。对， 所以这时候你看答案是先讨论的 k 打等负二，他就这么来的。 ok， 那 k 打等负二的时候，我得证明他确确实实他是打等零的。怎么证明呢？我们把它带进去， 带进去之后你会发现这就是这两年高考题的特点，把 x 变成 s 加 k， 带这里边，这是二角档。哼，算死你。 这就是你的计算能力了。所以把它 x 写成它，把所有的 x 变成 k 减 x 加二，乘的一的 k 减 x。 我 靠，怎么算吧，给你点时间，把所有的 x 变成 x 加 k， 这就你的计算能力。你觉得谁和谁结合在一起？我不可能再倒吧？再倒其实它也很复杂。 现在这道题我告诉你和哪道题很像？二零一四年新考本二卷和这道题很像很像的。那道题也是锻炼验证法。所以放出参数。参数单调吗？ 单调吧。我告诉你，我，我怎么想的，我第一次怎么想的，我得抽出它来，因为开大等负二看清楚，发现新大陆了没有？这辆是 x 乘一个 e 的 x 加 k 啊。我不知道这个 e 的 k 题不提，我先这样写， e 的 k， e 的 a 加 k， 再加上一个不对，就说白了，我想提个公式， 它最起码有个 e 的 k 次方，我一步一步提吧，它有个 e 的 k 次方没有用，所以这将是 x 乘一个 e 的 x， 再加上一个 k 加二。你看我怎么想的。我 k 加二一定是深度绑定在一起，因为 k 加二等于负二， 所以 e 的 k 提出去了之后，还剩一个 e 的 负 x， 那 所以减去一个 x 乘一个 e 的 负 x， 还剩一个 k 加二乘一个 e 的 负 x， ok， 你 看看我这样写对不对？就是 k 加二乘一个 e 的 负 x， 然后减去 x 乘 e 的 负 x， 我 们再结合一下，你可以看一下是不是 x 乘一个 e 的 x， 再减去个 e 的 负 x。 所以考你的计算能力对你的计算能力要求太高了。我们看看这里边函数正负。首先这个是个正函数，正函数双取正弦函数，它是个正函数，在零的时候是零，所以 x 大 零数，它是正数。 x 大 零，它是正数。 k 大 等于负二，所以它是正数，这个正包括零。后面的话显得更正，所以决不决，也就说它是大等零的。 这道题几乎就做完了，他是大等零的。二阶导大等零，所以一阶导就应该在零到正无穷上半调底增，一阶导半调底增，说明一阶导就应该大于 f 导零，这道题就做完了。而 f 导零永远都等于零， 那说明 f 导都是正的， f 导都是正的，说明 f x 在 零到正无穷上都是正的，他是正的，说明 f x 就 应该大于 f 零， 而 f 零就是零，对吧？说嘛，断点验证法， f 零一定得零，这不就证明了吗？他恒大零了吗？所以当 k 打等于负二的时候，他显然是对的。 那如果你做的更加的严谨一点，其实这样题这样做就对了，你再证明一步也可以。第二种情况，就 k 小 于负二的时候，你证明他不对，那怎么证明他不对呢？来，我把它复制过来告诉你，这时候你要看单调性不好看， 那怎么办呢？极限一下就可以了。你看，这是 f 倒吧，这是 f 倒倒。那你想一想这个函数值，你看，我们这样写，这时候他也不横正了，因为有个 k 小 于负二吗？ 当 k 小 于负二的时候，你证明他不对。你看，因为 f 倒倒零全无卷，也是考过好多次二零二三年新高考二卷也是短带减数法和三角函数，也是这个意思。那么这道题 f 倒倒零是多少呢？我们把零一代 一得 k， 不 用看了，这是个正的，我们把零一代，这是零，我们把零一代两倍的 k 加二，看到吗？一得 k， 显然它是小零的。 我们再带一个，当 x 去进正无穷的时候，你想想，这个数是个正无穷吗？这个数是个正无穷吗？前面这个正无穷更厉害，虽然这个数是个负数，为什么？因为它俩都是指数函数，它是个常数乘整数函数，它是 x 乘整数函数。 听明白了，所以它显然这个 f 倒倒 x， 它是趋近于正无穷的。又因为这个函数是连续不断的，它有个负数，它有个正数，那所以有零点存在定力， 它一定是有个零点的，明白了不？ f 倒倒， x 在 零到正无穷上一定存在一个零点， 好理解不？我们记住是 x 零，那所以它存在一个零点，这辆是负的，那所以我们就一定存在一个 f 到 x 在 零到 x 零上横负，明白了，都是负数，它肯定存在的单调性，我不管，它肯定会存在那么一个小区间，它在这个区间横负，那说明 f 到 横负的话， f 倒在这个零到 s 零上，他就应该是单调递减，那他单调递减的话，说明 f 倒就应该是小于 f 倒零，而 f 倒零是零。我们刚才说了 f 倒零是零，那这就说明 f 倒都是负的， f 倒都是负的，说明 f x 在 这个区间上单调递减，这是很常规的东西。 f x 在 这个区间上单调递减，说明 f x 就 应该小于 f 零，而 f 零就是零，与 f x 大 于零矛盾。 这样的话你所有的 k 都讨论完了，所以中上 k 的 最小值为负。二，你说难吗？他肯定是有难度的，但是他很套路，他相对来说套路一点。二阶导数这个单调性不好确定，不好确定，这样写没问题，因为二零二二年新高考二卷也是这样，你很难确定，就这么写就可以。
3556数学赵礼显
01:59查看AI文稿AI文稿高考数学直接让孩子多考五分，十分的蒙题技巧，前几天李老师发全国二卷的蒙题技巧被十六万人看过了，那今天咱们这个视频呢？李老师继续讲多选题的蒙题技巧，连续五年全部应验，看完绝对让孩子开悟。首先我们要知道，在高考的 多选择题里边，出题人是不希望用排除法快速选出来的，而是想让你看完所有的选项，因为这样才能达到区分学生层次的效果。所以根据这个原则，记住第一条规律， a 错则 b 对。 就是说如果做题的时候发现 a 是 错的，那 b 大 概率就是正确的。因为多选择题至少选两个选项，如果 a 错 b 错，那 c、 d 看都不用看，直接选了，直接就跳下一道题了，这就违反了出题人要刁难我们的一个原 择。第二点， a 错 b 对 时， c 对 的几率极大，因为如果这个时候 c 错了，那你可以直接选 d 挑下一题了。如果说 c 是 对的，那我们为了得到满分，我们是不是还需要去看一下 d 对 不对，出题就达到了让我们把选项看完的目的。然后第三点， a 对 b 错， c 肯 定对，而且 d 大 概率也对，这点原因和上一条差不多，因为 a 对 b 错时，如果 c 还是错的，那 d 就 不用看了，直接选。所以说 c 肯定是 对的，那为什么剩一个的大概率也对呢？因为如果 d 是 错的，就会导致很多孩子选 a、 c 以后不用看 d、 d 不 用看也能打满分，这就体现不出来差距了。最后第四点， a、 b 都对的时候， c、 d 中大概率只有一个对的，而且很有可能是 d， 那 为什么很有可能是 d 不是 c 呢？因为如果 a、 b、 c 这样少看了一个选项也能打满分，也不符合出题人的原则。而如果 a、 b、 c 这样少看了一个选项也能打满分，也不符合出题人的情况。最后三道多选择题答案很少重复 出现，也就是说不会出现两道题答案是完全一样的。那多选的技巧咱就分享到这里，我们知道研究技巧只是为了在不确定的高考里边给自己多一点确定的胜算，多拿这五分十分的不会让我们的分数发生颠覆性的变化，但是也能让咱们孩子在填志愿的那一天能有更多的选择。
55沈阳李术数学
01:31查看AI文稿AI文稿新高考二卷难度如何？与去年相比有什么特点？简单，比去年简单二卷还是比较稳的，也没有创新题。先每一道题都点评一下，第一道题送分题，第二道题送分题，第三道题送分题，第四道题送分题，第五道题送分题， 第六道题送分题。然后这道题送分题。送分题。送分题嘛，这道题算是送分题，然后这道题的话，我觉得也算是中档题，和去年持平吧，谈不上压轴。然后送分题。送分题。这道题很明显比去年的第十四题要简单一些。獠牙的一个东西是一个正三棱锥，它的外界求问题，它有二级结论，你推导一下就可以了。 填空选择是没有任何一道难题的，和去年差不多。然后第十五题是送分题，第十六题是送分题，第十七题是送分题，第十八题最后两道压轴题，倒数和圆锥曲线。难点全都放在最后两道题上。他就是对计算要求极高。今年高考考的十八题，我觉得和去年的新高考卷的十八题很像， 算没有任何思维量，只要你能算的准就差不多。然后这道题看着很唬人，实际上老掉牙的东西。比如像第三问，他就是横城里求餐端点验证法，这是我们全国这考的非常非常多的题型。给你提个醒，如果你被占二零二七年高考，他考哪个模块我们是不 清楚的。圆对曲线倒数概率。轮着来呗。这三年还真是轮着来了。二零二四年考的是数列和那个双曲线，二零二五年考的概率，二零二六年考的倒数新高考二卷，他就是相对来说他是比较传统的， 如果你想考高分的话，就是先搞创新，你先把全科卷考过的所有的概率题，全科卷考过的所有的导数题，全科卷考过的所有的原理曲线题，不分一卷还是二卷，玩的足够溜，做的足够熟练，明白了不？
6374赵礼显数学
03:14查看AI文稿AI文稿上一期分享了多选题的蒙题方法，这期是单选，我还是敢肯定，这个视频你看完后一定会收藏，因为下面这几个方法真的能很大提高你单选蒙对的概率。高考数学多考个五分，十分他不香吗？话不多说，直接上结论。 嗯，今天我们主要看单选择题啊，也就是前八题，那么有一些比较简单的规律呢，是什么呢？就是这个选项比例。单选择题的选项比例啊，大概率是三比三比一比一，或者说是三比二比二比一，有极少数情况呢，是二比二比二比二。 那么新歌和二卷，基本上啊，这五年我没看错的话，应该是都符合这个三比二比二比一的规律的。好吧，那他告诉我们一件什么事呢？就是说一个选项啊，他最多出现三次， 最少出现一次。比如说我们看二零二五年，他的前七题都怎么了，没有出现 d， 那 第八题要你蒙的话，你肯定要蒙 d， 是 吧？这样就蒙对的概率很大。除此之外呢，我们还能知道， 这个同一个选项，他最多出现三次，但是他不会连续出现三次。比如说他二零二一年五六题都出现 c 了，那第题第七题我就不蒙 c， 这个两个 d， 下一题不蒙 d， 然后两个 c 不 蒙 c， 两个 a， 我 就不蒙 a 嘛。啊，包括星河二角也是符合这个规律的啊，他比较简单啊，我就再不想掉了。那么还有什么呢？剩下两个方法就是主要蒙最后两道题了。 你想啊，如果我前六题都没有出现某一个选项，比如说我没有出现 b， 那如果你蒙的话，你可能七八，你会怎么样？你可能会连蒙两个币，但是高考出题人肯定不希望你这么轻易就作对啊，那他还怎么区分呢？对吧？所以说他大概率是什么呢？首先肯定得有一个币 啊，就是说七八里得有一个币，那另一个呢？肯定是其他的。这个也有例子啊，比如说我们看这个新高考一卷的二零二一年， 他的前六题呢？都没谁啊，都没有这个 d 选项。那你看这个七八是连续两个 d 吗？ 不是吧，第七题是 d， 那 第八题他变成了 b。 再比如说这个新高考二卷的这个二零二五年，嗯，他前 六题也是没有出现这个 d 选项，那第七题是 c， 第八题他选了 d， 明白吗？再说一遍，前提啊，是前六道都没有出现某一选项，比如说你看这个，他虽然是两个 b， 但他前面出现过 b 的 啊，这个方法是有前提的啊，是前六题都没有出现某一选项，那么单选蒙题技巧大概就这么多啊， 主要还是用来蒙最后几个选项的啊，或者说你确实有一个不会，你可以按比例蒙一下，也就是说告诉你件什么事，一定要重视这个前面的基础题和中档题，千万不要做错啊。那么下期我们分享一些大题的投分技巧。
