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04:19查看AI文稿AI文稿三角函数计算问题是不是你的噩梦？别再死磕硬算了，今天一招教你解决三角函数计算问题，零基础也可以套用。我们看一下两角和差正弦与弦正切的公式。首先看一下 sin， 正弦的和差 sin 而发三倍，它等于 sin 而发 cosine beta， 加 cosine 而发 cosine beta， 那这是一名相乘，然后符号相同，同样三而发减贝特也是。然后我们再看一下口三而发加贝特和口三而发减贝特，口三而发加贝特等于口三而发口三贝特减三而发三贝特， 那这是口口散散，就是同名相乘，符号相反，一定要注意啊，与弦是符号相反。然后我们看正切正切，它是一个分式， 弹间接而发加贝特，那首先是分子符号相同，分母符号相反。记住是弹间接而发加弹间接贝特比上一减弹间接而发乘弹间接贝特，那弹间接而发减贝特就是跟它是同样的一种情况，分子 符号相通，分母符号相反。然后我们看一下二倍角公式， sin 二 r 发和弹进它二 r 发。如果这个背下来的时候，我们可以把二 r 发写成 r 发加 r 发，用上面那个公式导出来。当然口三二 r 发也可以用上面的公式导出来。 但是我们在做横等变换的时候，经常会出现很多二倍角公式的一个逆匀算，所以我们就要非常熟练的记住这三个公式。 口塞咽而发方减塞咽而发方一减。二倍的塞咽而发方和二倍的口塞咽而发方减一。我们看一下今天的练习题，口塞咽而发加四分之派等于五分之三而发大于二分之派，小于二分之 三派，求口算二 r 发加四分之派。首先我们分析一下这道题的一个思路啊，已知口算的 r 发加四分之派，我们要求二 r 发加四分之派，很显然这块出现了一个二倍，那我就做 r 发加四分之派的二倍，又多了四分之派，那这样的 关系是不就出来了？那关系出来了之后，我们实际上要求这个两个角的什么余弦值。求余弦值涉及到我们要知道 口塞眼耳发加四分之派，也要知道塞耳发加四分之派，那我们就需要知道耳发加四分之派的范围。接下来我们就可以做这道题。 首先求耳发加四分之派的范围。我们已知耳发大于等于二分之派，小于二分之三派，那儿发加四分之派就应该大于等于四分之三派。小于多少四分之七派 cosine r 发加四分之派，它等于五分之三。四分之三派到四分之七派范围内的余弦值是正的， 那说明 r 发加四分之派应该在第四象限，所以 r 发加四分之派应该大于二分之三派， 小于四分之七派，那它位于第四象限的话， sin 而发加四分之派就应该等于负的五分之四。我们求出 sin 了，就可以导出来 cosine 二倍的 r 发加四分之派。 减四分之派的值，那就利用 cosine 二倍的四分之派。然后 cosine 四分之派 加上一个散音二倍的 r 发加散音四分之派，这又出现了 q 散的二倍角，那就是二 q 散音 r 发加四分之派。 括号外的平方减一，再乘以一个 q 三四分之派， q 三四分之派是不是二分之根号二？三四分之派也是二分之根号二，那三也二倍角就可以乘以二倍的三而发加四分之派，然后再乘以 q， 三而发加四分之派。 最后我把这些数都带到里面去，求出最终的一个计算结果，就是负的五十分之三十一倍的根号二。今天我们就讲到这里关注我，我是只讲数学提分干货的飞老师。
367刘老师讲数学
02:08查看AI文稿AI文稿一定要大胆使用辅助角公式，好，大家好，本期视频我们一起来看一下这样的一个题目。已知阿尔法贝塔属于 r， 且满足这样的一个 式子，则扩散贝塔的取值范围是多少？可能首先会有第一个疑问啊，就是已知的这个式子里边有阿尔法角，有贝塔角，为什么最后求的是扩散贝塔的取值范围？阿尔法角相关的一些东西去哪里了呢？我们一起来看一下。第一步肯定是把它打 开啊，相当于就是括号加上括括，再加上塞塞会等于右边的一。接下来当大家去回想三角函数相关的这些公式的时候，该用哪一个的时候，一定要大胆使用 辅助角公式，因为我们要求的是括号以贝塔的取之范围，所以说的话呢，要把 r 法看成主圆， 首先它俩呢可以合并起来，提一个括号出来，乘以括号以贝塔加一，然后再加上后面的 sign beta， 乘以 sign alpha， 等于右边的一。紧接着对这个左侧使用辅助角公式，相当于就是根号下 sign beta 的 平方加上 plus beta 加一括号的平方，再乘以 sign alpha， 加上伽马等于右边的一。当然这个伽马是多少我们不用管，我们只需要求出可乘以 beta 的 取值范围就 可以了。这一坨系数乘以它肯定是小于等于这一坨系数的，因为它是小于等于一的。紧接着我们再稍微整理一下，根号下边相当于就是三英寸的平方加上 扩三英寸的平方加上一，再加上二倍的扩三英寸，相当也就是根号下二加上二倍的扩 平方。 beta 其实简化一下，就是一会小于等于二加上二倍的平方 beta， 根据它我们直接推二倍的平方呢会大于等于负一，所以说这个平方 beta 呢，就会大于等于 负的二分之一。 r 法 beta 都是属于 r 的 啊，所以说这里肯定是可以取到等号的，然后这个平方 beta 天然的肯定会小于等于一啊，这一点不用多说，所以说我们最终呢选择第二个选项也就可以了啊。
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04:30查看AI文稿AI文稿二零二五新课标一卷第十一题，你扫了一眼后脑勺，一量三个条件弧在一张题面上，一个面积四分之一，一个 cosine 二， a 加 cosine 二， b 加 cosine c 等于二。再来一个 cos， a 乘 cos b 乘 cosine c 等于四分之一。 四个选项里， a 选项就有 sine 平方 a 加 sine 平方 b， 看着就有故事，你脑子里第一句话冒出来，这怎么连累 你盯着 cosine 二 a cosine 二 b 二倍角，下意识就想降次 cosine 二 a 等于一，减去二 sine 平方 a cosine 二 b 同理， 带回去一加一，抵掉前面的二，整张式子瞬间塌陷，留下来的是 sine c 等于 sine 平方 a 加 sine 平方 b。 哎，这不就是 a 选项原化 a 直接落袋，你笑了一下，开门红 抬头看， b c d b 要 a b 等于根号二， c 要 c， a 加 sine b 等于两分之根号六 d 要 a 平方加 b 平方等于三。 你想带条件三试试，三个角，五个未知量，三个方程，你卡了一下应解，估计要算到下课。笔尖停了两秒，你低头又看了一眼， sine c 等于 sine 平方 a 加 sine 平方 b， 它在三角形里到底意味着什么？ 你突然意识到这是几何特征的密码。先看条件三， cos a 乘 cos b 乘 sin c 等于四分之一，全是正数， a， b 都是锐角。再用正弦定理把 sin 翻译成边，挤出一句话， a 平方加 b 平方等于二，二乘以 c， 再翻于弦定里， c 平方等于 a 平方加 b 平方减二 a b cos c 两个一减， cos c 必须等于零 c 是 直角，一般钛的三角形，它翻折定型， 直角一拿到手，整道题瞬间换了引擎。 sin c 等于一，条件二，立刻它乘 cos a 乘 cos b 等于四分之一， a 加 b 等于 pi 比二，所以 cos b 就是 sin a 赋予角换装， cos a 乘 c， a 等于四分之一，两边乘二， sin 二， a 等于两分之一。你愣了一下，二 a 取六分之派还是六分之五派？两组解都形， a 是 十二分之派或者十二分之五派，反正 a 和 b 互换对称 b， c， d 一个不漏， 角度有了，转身求边面积是四分之一， sin c 是 一，所以 ab 等于两分之一。 直角三角形里， a 等于 c， sin a， b 等于 c， cos a 相乘就是 c 平方乘 sine 二， a 的 一半，也就是 c 平方除以四等于两分之一，所以 c 等于根号二。抬头看 b， a， b 等于根号二， b 锁定 还剩 c 和 d， sin a 加 sine b， sine b 就是 cos a， sin a 加 cos a 等于根号二乘 sine 括号， a 加四分之派代 a 等于十二分之派，括号里是三分之派，算出来正好两分之根号六， c 对， 最后是 d， c 是 直角勾股定力直接砸 a 平方加 b 平方等于 c 平方等于二。选项写的是三叉一擦肩， d 翻车 回头看。你刚才其实做了四个动作，第一步，二倍角降次 sine 平方加 sine 平方等于 sine c， a 落带。第二步，用乘积条件确认 a， b 锐角再挤出 a 加 b 等于 pi 比二或于 c 是 直角。 第三步，直角配面积，配条件二，带出 sine 二， a 等于两分之一， c 等于根号二。 第四步， b， c 比对，再用勾股验出 d 是 二，不是三差一，详互代验。四个动作正好对上四个选项，答案揭晓， a， b， c 留个钩子，把面积四分之一改成两分之一， ab 等于多少？你猜是几？
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07:39查看AI文稿AI文稿正弦平方差，余弦平方差，光记结论可不够，高考不仅考公式应用，也会涉及推导思路，险哥带你双向推导，每一步都讲的明明白白，让你真正掌握这两个高频考点。 我们今天给大家深挖的是书教版必修二的一个非常有名的公式，这叫正弦平方差，还有余弦平方差，他做题的时候，有的时候特别特别简单啊，正弦平方差，余弦平方差，我们给大家证明一下啊， 所以这个公式希望大家背下来，特别好背，二发加贝塔，二发减贝塔，二发方减贝塔方，这个公式特别好背余弦的时候，你就想，哦，有点不一样，他就要等一个考甚二发方减去甚贝塔方， ok， 来，我们证明一下，我们先证明第二个， 先证明第二个，那正弦平方差啊，特别好背，甚二发加贝塔，乘以甚二发减贝塔，有点像平方差公式，所以我们叫正弦平方差，实际上它和平方差公式没关系啊，只是形式上像， 所以怎么去证明呢？当然 so easy 了啊，它就应该是 send 二法加上一个贝塔，乘一个 send 二法减去一个贝塔， ok， 所以 这时候怎么办？我们直接来一个和差公式，把它打开就可以了，和差公式打开，它就应该点个 send 二法，然后敲成贝塔， 然后呢，再加上一个考甚二法，然后甚背他， ok， 这就没问题，是吧？然后后面呢，我们也来一个和他公式甚二法，然后呢？考甚背他，然后减去一个考甚二法，然后甚背他， ok， 所以呢，正好用到了一个平方差公式，平方差公式的话，他就应该等于个甚二发方， 然后呢？乘一个考甚二发方，然后减去一个考甚二发方，然后乘一个甚背他方， 没错吧？这一步非常的简单，平方乘公式。那然后呢？我们下一步怎么办呢？我们下一步把这个肾背他方考肾背他方，我们换掉， 换成一个一减去一个肾背他方。这个地方呢，我们把这个考肾二发方也给他换成一减肾二发方都换成肾， ok， 到这步没问题，那到这步没问题的话，你看我们把扣打开肾二发方减去一个肾背他方，然后这个地方有个加上负负得正肾方乘以肾方， 所以最终的答案就是肾二方减去个肾背塌方。 ok， 所以 就证明完了，就是这种最基本的公式，我们就基本上就能够啊，证得出来了啊，所以非常的简单。 好，那么这道题还可以怎么去做呢啊？当然还可以这么去证明啊，这是第一种方法，上面那个方法我就尽量讲一种了啊。第二种方法的话，我们从右往左正，从右往左正的话，也可以肾二发方减去个肾背塌方。 当然这条有一个平方差公式，甚二法，再加上一个甚贝塔，你能猜到我想用什么公式了不？然后乘一个甚二法减去个甚贝塔， ok， 所以 这一步很简单啊， 那么然后甚加甚，嗯，哎，这不有点像和差化积吗？所以我们来一个和差化积公式，也就是他就应该等于两倍的甚相加除以二，也就说二法加倍，它除以二，然后这样乘一个考甚相加除以二，相减除以二，二法减贝塔除以二。 那肾减肾的话，他就应该等于什么呢？他就应该等于两倍的考肾，相加除以二， ok？ 然后肾的话也是啊，就是相减除以二。 所以你得需要会背啊，核察化积公式啊，不会背，前面说过，你可以推导一下，现推导就可以了。你会发现两倍的肾啊，乘以啊乘以考肾，两倍的肾乘以考肾。 正好来了一个 sin 的 二倍角公式，然后这个地方两倍的 sin 乘以考 sin， 正好又有一个二倍角公式，所以来两个二倍角公式。 前面的话，二倍角公式就应该等于多少呢？ sin 二倍加倍，它看到吗？ sin 没错吧？ sin 二倍角公式就应该是 sin 二倍加倍，它没错吧？后面呢，来一个公式的话，它就应该等于个 sin 二倍减倍它 二角角公式，所以正弦平方差就正完了，就这么简单两种方法。这角正弦平方差需要大家掌握的啊，非常有名的一个公式。好，来我们再证明一下余弦平方差，那余弦平方差，当然证明也非常的简单，也是这两种方法都没问题啊。 首先我们来看第一种方法，第二种方法，正，乘以二法加贝塔，乘一个乘以二法减贝塔， 前面的话，他就应该等于一个考圣二法考圣贝塔，加的话就是减，减去圣二法圣贝塔，然后乘一个什么呢？乘一个考圣二法考圣贝塔，减的时候就加，加上一个圣二法，乘一个圣贝塔， ok， 所以 课本上还是挺难的，对不对？然后来一个平方差公式，平方差公式的话，就应该顶个考甚二发方，乘一个考甚背他方，然后呢？减去一个甚二发方，乘一个甚背他方，没错吧？ 然，然后怎么办呢？还是一样的道理，我把它变成一减肾背他方，我把这个地方变成一减考肾二发方，所以他就应该等于个考肾二发方，然后呢？乘一个，一减去肾背他的平方，然后减去一个， 这样写成什么呢啊？一减去一个考肾二发方，然后乘一个肾背他的平方， ok， 所以 我们开始结合一下，你看，考肾方， 减去个肾背塌方，然后考肾方，肾背塌方加上一个，这是，这是减，对不对？前面有个符号，负负得正，加上一个考肾方，肾背塌方正好抵消掉，整整好好抵消掉，你看看不到了是吧？ 整整好好抵消掉啊，大家可以看一下，所以它就应该等于等于什么呢？直接等于考肾二方，然后减去一个肾背塌方， ok， 所以 就出来了。好，这是第一种方法，从左往右正，那么从右往左正也非常的简单，直接用一个什么呢啊？和差化积公式就可以了，所以我们给大家再证明啊，证明方法很多啊， 我们还是从左往右正，看到吗？考肾考肾，没错吧？来一个积化和差，那就应该是二分之一啊，多少呢？就应该是考肾， 然后呢？相加相加就是阿尔法，能听懂吗？然后呢？减去一个考甚，相减就应该是二倍，他就直接出来了，刚才做的还笨了点，直接就出来了。再说一遍，计划，计划和差是 他俩，这将想成 a， 这将想成 b， 那 考甚 a 加 b， 对 不对？然后呢？再加上一个考甚 a 减 b 正好，甚甚约掉了，然后呢？二分之一就可以了， 他俩相加相加，那就应该是阿尔法，他俩相减就应该是二倍，他能听懂不？然后呢？我们再来一个，嗯，二倍角公式， 没错吧？再来一个二倍角公式的话，这点是两倍的考生方减一，这点我来一个二倍角公式，一减两倍的肾倍他方，两倍的考生方减一，然后这个地方，是啊，一减两倍的肾倍他方，对吧？ 啊？这俩是加，我就说怎么写错一个方，他俩是加，刚才说了啊，他俩是相加，因为考甚考甚把甚甚约掉，所以这样的话正一和负一约掉，然后二和二约掉，他正好就应该顶个考甚二发方， 然后呢？减去个甚，被他方。听懂了吗？刚才这个地方也可以这么去做啊，怎么做都是可以的。也可以从啊，从左往右来一个什么呢？ 积化和差也可以出来，从这往这来一个和差化积也没有问题，听懂了吗？一定会背公式。这辆是加啊，所以这个公式非常有名。这叫正弦平方差，余弦平方差公式做小题特别好用。特别好用啊，尤其是在解三角形当中，这是超高平高点，高考特别喜欢考。
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