七年级三角形飞镖几何模型
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06:01查看AI文稿AI文稿这是一道七下期中考试的压轴，整体得分率不到百分之十，今天薇薇老师带你用飞镖模型了解出答案，一起来看。 b p。 平分角 a、 b、 d 这两个相等的小角，我们标记为 r 法 c p。 平分角 a、 c、 d 这两个相等的小角，我们标记为 b 塔。题目告诉我们，角 a 等于七十度， 角 d 等于二十度，让我们去求角 p 的 度数是多少。薇薇老师已经整理出了几何辅助线构造的核心方法，包括三角形与平行线的四大类型和十五种配套题型。孩子练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一份。 这道题的核心考点呢，那就是飞镖模型和角平分线的综合运用，所以我们先来回顾一下三角形当中的飞镖模型。那什么是飞镖模型呢？ 简单的说，飞镖模型的实质就是一个凹似变形，因为它的形状酷似飞镖，所以我们把它称作飞镖模型，有的时候呢，也称作燕尾模型。 它有一个非常重要的结论，那就是凹进去的这个角等于另外三个角之合，所以我们把它表示为角 b、 o、 c 等于角 a， 加角 b， 再加角 c。 如何证明这个结论呢？很简单，利用转化的思想，把这个四边形转化为三角形，因此我们连接 a、 o 并延长， 这样我们就把这个四边形分割成了左右两个三角形。对于左边这个三角形 a、 o、 b 来说，这个角一呢，是它的一个外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以角一 等于 r 加上角 b。 同样的道理，对于这个三角形 a、 o、 c 来说，角二也是它的外角，因此呢，角二也等于与它不相邻的两个内角之和，所以角二就等于 bit 加上角 c。 然后我们把这两个式子给它连立起来，直接把两个等式相加，这样角一加角二就等于 r 加 bit， 再加角 b， 再加角 c。 而角一加角二呢，刚好就是我们的角 b、 o、 c。 角 r 加 bit 呢，也就是我们的角 a， 所以角 b、 o、 c 就 等于角 a 加角 b， 再加角 c， 也就是凹进去的这个角等于另外三个角之合。有了这个飞镖模型的结论，我们回到刚才那道题当中，在这个图形中呢，有两条角分线 b、 p， 平分角 a、 c、 d， 所以 这两个角我们把它记为 b。 塔 角 a 等于七十度，角 d 等于二十度。让我们去求这两条角分线所形成的夹角角 p 的 度数是多少。 在这个图形中呢，很明显，我们能看出它有两个飞镖模型。第一个飞镖模型 a、 b、 d、 c， 我 们把它抽象出来，这里的凹进去的角角 a、 c、 d 就 对应着我们的二倍贝塔，这个角 a、 b、 d 呢，也就对应着我们的二倍 r 法。 那么凹进去的这个角等于另外三个角之合，所以我们可以把它表示为二倍倍，它大于二倍阿尔法加上角 a， 再加角 b， 我 们把它记为一式。那么这里边呢，还有一个飞镖模型，那就是 p、 b、 d、 c， 我 们仍然把它抽象出来，这里的角 p、 b、 d 呢，就对应着我们的阿尔法。 所以在这个飞镖模型当中，它也有一个等量关系，那就是 bet 等于 r 加上角屁，再加角 d。 哎，回到题目当中，题目中给出了我们角 a 和角 d 的 度数，要我们去求角屁的度数，那很明显就是要去寻找角 a、 角 d 和角屁这三个角之间的关系。因此呢，我们就要想办法 消掉这里的阿尔法和贝塔。要消掉阿尔法，贝塔，所以我们把二四等四的左右两边给它扩大两倍，这样就有二倍的贝塔等于二倍的阿尔法，加上二倍角屁， 再加上二倍的角 d， 我 们把它记为三四。要消掉阿尔法和贝塔，直接把一四和三四相减， 我们就可以得到等式的左边和左边相减，等于零等式的右边和右边相减 r 和 b， 它就被抵消掉了，那也就剩下角 a 加角 d， 再减去二倍的角 p， 减去二倍的角 d， 所以呢，一项就可以得到二倍的角 p 等于角 a 减角 d， 那 么角 p 呢，自然也就等于角 a 减角 d 的 一半。 所以我们来总结一下这两条角分线所形成的这个加角角 p， 它就等于角 a 和角 d 它们两个角之差的一半。 而题目中告诉我们，角 a 等于七十度，角 d 等于二十度，它们之间的差是五十度，五十度的一半，自然角 p 也就等于二十五度。同学们，你学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！
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17:26查看AI文稿AI文稿凭什么咱们孩子三角形压轴题一分钟搞定，别家孩子十分钟也做不出，他却就在不知道模型的结论证明和构造这个视频，韩老师用一个基础模型，一个变式模型加五道例题，带孩子彻底吃透飞镖模型立体讲义，记得给孩子领去，边听边学，电子班取件码七七八。 三角形的四大重点模型中的第二个模型叫做飞镖模型，那还是一样，我们先要知道飞镖模型的结论以及它的证明方法。那在这里飞镖模型长的就是一个飞镖的样子，这里有四个角，角 a、 角 b、 角 c 以及角 d， 那 这四个角之间有什么样的关系呢？我先告诉你结论，这个结论就是角 d 等于角 a， 加角 b， 加角 c， 就是 外面的这个角，等于飞镖里面的三个角的和。那它的证明方式其实有非常多种的情况， 这里我给大家讲一种最简单的证明方式。我们说遇到这种图形，他的这个倒角，我们的核心其实都是咱们三角形的内角和定力，或者说外角定力。 那么在这个地方会发现没有三角形，那于是怎么办？是不是我们就需要去做辅助线来去给他构造三角形？所以我们的辅助线 a 是 要去构造三角形的， 那于是这里我们可以连接 a、 d， 把它分成左右两个三角形。但是我们会发现，当我们把 a、 d 连接起来了以后，和这个角 d 关系不是特别的大，要倒角可能还稍微有一点麻烦，那我不妨怎么样？我直接连接 a、 d， 并把它延长， 延长以后，那这个时候角 d 就 被分成了左边的角一和右边的角二， 而我们会发现角一其实是三角形 a、 b、 d 的 一个外角，那我们根据外角定理，角一是不是等于角 b 加上上面的这个角叫做角三？三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，那么接着同样是不是角二是三角形 a、 d、 c 的 这个外角， 那么这里我们还是根据外角定里，角二是等于上面的这个角四加上底下的角 c， 那 于是我们角一加角二就等于角 d， 那 我们把左边加起来， 右边就等于角 b， 加角三，加角四，再加角 c， 那 这个时候角一加角二是不是就等于角 d， 而右边角 b 加上角三加角四，是不是就是我们刚才的这个角 a 也叫做角 b a、 c， 然后再加角 c， 所以 这个结论就被证完了， 那么这就是我们的飞镖模型结论在解答题中很有可能会让大家去证明，所以我们说模型你在解答题中是需要证明以后再去用的，而我们的填空选择题是直接可用它的结论的。 那我们说飞镖模型，其实它也会有一类辨识题，它是和我们的角平分线又综合到一起来进行考察。那我们说在这个时候有一个 a、 b、 c、 d 的 飞镖模型，角 b 出现了一条角平分线，然后角 c 也出现了一条角平分线，那么这里我们需要研究的就是角 a、 角 e 以及角 d 的 数量关系。 那其实我们基础模型中，我们这几个角之间的关系已经搞定了，那这里无非会发现，其实这里是有几个飞镖模型，是不是我们会发现这个地方有一个大的刚才的这个红色的飞镖模型，那同样我们这个地方还有一个小的 这个蓝色的飞镖模型，那么说只要它是飞镖模型，是不是它就会满足我们刚才的这个结论？那么在这个大的红色的飞镖模型中，我们是不是已经有了结论？就是角 d 其实是等于角 a 加上这个两个而法 加上两个 beta， 我 们用字母给它表示出来。那么接下来我们再来看一下蓝色这个飞镖模型，角 e， 角 e 是 等于上面的角 a 加上左边这个 r， 加上右边这个 beta。 好， 那要的是角 d、 角 a、 角 e 之间的关系，那这个时候我们不想要 r 和 beta 怎么办呢？就用这两个等式去把 r 和 beta 抵消了， 那这里的抵消方法其实比较简单，我们这里是一式，这里是二式，那所以一式减去二倍的二式，那这个时候二倍的二式，那左边就是角 d 减去二倍的角 e， 那右边呢？角 a 减去两个角 a， 那 是不是得一个负的角 a， 那 阿尔法减两个，阿尔法没了，二倍，它减两个倍它也没了，那所以得到的是不是就是角 a 加角 d 等于二倍的角 e， 那 么这个是这个模型最终的结论 就是上面的角加下面的角等于二倍的中间的角，那这个证明过程我们的解答题是考它的， 那接下来我们知道了这些模型之后，我们就需要看一些咱们的考试真题了，那这种考试真题都是非常经典的，那第一个题我们直接用模型的结论就可以得答案， 他说三角形 abc 中角 a 是 等于四十度的，现在将一块直角三角板放在三角形 abc 上， 是三角板的两条直角边分别经过 b 和 c， 也就意味着这个角是一个直角，直角顶点 d 落在三角形 a、 b、 c 内部，则问角 a、 b、 d 加角 a、 c、 d， 左边这个小角加上右边这个小角的和等于多少？ 那其实我们观察了一下这道题的核心解题技巧，是不是就是非标模型的结论，因为在这个地方，角 d 以及角这个 a、 c、 d， 还有角 a、 b、 d 以及角 a 是 构成了一个非标模型， 那我们根据模型的结论，可以直接解决填空选择题，那就是角 d 等于角 a 加上角 a、 b、 d， 再加上角 a、 c、 d， 那 这个是我们要求的， 而角的是等于九十度，就等于四十度，加上后面这一串，那后面这一串显然等于五十度，所以答案也等于五十度，那所以你记住模型的结论，这种题就会变得非常的简单。 我们再来看一下咱们的飞镖模型的一类拓展题型了，那这种题考到可能就会比较的难，因为题目中没有直观的飞镖模型， 但是我们会发现这个地方有一些凹进去的这样的角，哎，样子长得有点类似于飞镖。那这种题的核心解析技巧就是去构造飞镖模型， 那怎么构造呢？来我们看一下，如图告诉我们说一百零五度，一百二十度，问角 a 加上角 b 加角 c 加角 d 的 值等于多少？那这个时候就需要去做辅助线了。 那我们根据这种凹进去的角，其实你应该知道，我将 d 和 b 连接起来之后，就有两个飞镖模型，上面一个，下面一个，那我们就直接用飞镖模型的结论来去看一下。我们飞镖模型的结论是，这个一百零五度等于角 a 加上假设这是角一，再加上假设这是角二，而这个一百二十度是等于上面的这个角三加上角 c， 再加上这个角四， 那这里我们会发现角 a 就是 本身，角 b 是 角一加角四， 而角 c 是 他自己，角 d 是 角二加角三，那这里是不是我们给他转化一下？咱们求的就是这一串的和那根据我们刚才飞镖模型的结论，我们会发现 角 a 加角一加角二，我们把这几个角给它勾出来，角 a 加角一，再加角二是一个飞镖，它是等于一百零五度的，那么剩下的另外一个就是 角三加上角 c， 再加上角四，是上面的这个绿色的飞镖，那于是它的和是等于一百二十度，所以这道题的答案应该是二百二十五度， 那这就是我们飞镖模型的一类拓展题，就是要需要构造辅助线来解决的。 我们继续来看一下，那这种题又升级了，那在这幅图中给了这些角的度数，依然是让我们去求咱们的角 a 加角 b， 加角 c 加角 d， 角 a 在 这 角 b 在 这角 c 加在这角 d 在 这。那我相信通过上一道题，大家做这道题应该非常的熟悉了， 是不是会发现这里头其实隐藏了好多飞镖模型，因为这个地方我们说有凹进去的这样的角，有凹进去的这样的角，有凹进去这样的角，那么就可以构成飞镖，那所以这道题的核心方法是不是依然去构造飞镖模型？ 那在这里怎么构造呢？是不是我们会发现凹进去的角就可以构成一个飞镖？那于是第一条辅助线是连接 o b， 那 么第二条辅助线就是连接 o c。 好，那么接下来我们会发现，其实在这个地方是有一个飞镖，两个飞镖以及三个飞镖模型，那我们要求的角是 a、 b、 c、 d， 那 我们来看一下 角 a 就是 它自己角 b 由于构造了飞镖，分成了左边的角一加右边的角二，而角 c 分 成了左边的角三加右边的角四， 那我们把要求的东西来代换一下，就是角 a 加上角一，再加上角二，再加上角三，再加上角四，再加上角 d， 这几个角的和，那这里还是一样。通过飞镖模型是不是会发现 角 a 加角一，再加上我们上边的这个角，那么假设这是角五，它是一个飞镖模型，它的和是等于角 p 的， 等于是我们知道了角 a 加角一再加上角五是等于角屁，而角屁告诉我们等于七十二度，这是七十二度。好，那么接着我们再来看 这个地方，角二加角三再加上这里的角六，是不是又是一个飞镖模型？是等于角 q 的， 而角 q 是 六十一度，所以我们有角二加角三再加上角六是等于角 q 的，是等于六十一度。 那么第三个就是角四加上上面的角七，再加上角 d， 是 等于角 m， 角 m 是 八十四度，那就等于角 m 等于八十四度。那么这几个式子写出来了以后，我们要的是这一串的和， 那这一串你会发现它的元素是在第一个式子中，第二个式子中，第三个式子中都有，那我不妨就将这一二、三三个式子给它加起来， 那么加起来以后，左边就变成了角 a， 加角一，加角二、加角五，加角三，加角六，再加角四， 再加角七，再加角 d， 是 等于右边七十二度加六十一度，再加八十四度，是二百一十 七度。那我们发现咱们要的是一二三四 a 和 d， 那 标出来 a， 一 二三四和 d， 那 剩的是五六七，只要我知道五六七是不是上面这一串的和就知道了。 那五六七是多少呢？题目告诉你了呀，角 o 是 八十五度，那是不是角五加角六加角七等于八十五度，那所以剩下的是不就由二百一十七度减去八十五度？所以最终的答案应该是等于一百三十二度。 那接下来我们要看一道非常经典的各种模型的综合题目，这种综合题特别喜欢考在这种五角星的问题中，那它这里头呢，可能用到了不止一个模型，有可能遇到了我们的八字模型，有可能是飞镖模型，还有可能是我们的三角形内角和定力。 那我们一起来看一下这道题，它说的是 a、 b、 c、 d， e 分 别是五角形的五个角，然后减掉角 e 之后，可以得到的是角 a， 加角 b， 加角 c， 加角 d 的 和是等于五倍的角 e 的。 给了一个等量关系， 让我们去求左边的角 b、 m、 n 加上右边的角 m、 n、 c， 它的和是多少。那么这个题我们的解题突破口肯定是这个等量关系了， 那这个等量关系的应用，你会发现我就必须要去找熟悉的模型，把角进行一下转化了，那其实这也是我们的导角， 那么我们说找熟悉的模型，在这里跟角异相关的模型，我们可以先找一下跟角异相关又和 b、 c 有 关系。其实在这里我们可以看出来的是一个非常经典的飞镖模型， 那在飞镖模型中，我们用飞镖模型的结论是不是就有角 e 加上角 b 加上角 c 等于这个角，那这个角假设为角一， 那除了这个飞镖模型之外，我们还要用到什么模型呢？那我们再来看，我们通过这个模型，角 e 出现了，角 b 出现了，角 c 出现了，那么肾呢？就是要的是角 a 和角 d， 看看能不能把它转化到某一个位置上面去， 那角 a 在 左边，角 d 在 右边，它们两个有一个交叉的这样的线，那我们要转化的话，那这个时候我们可以通过飞镖，但是更简单的方法应该是去构造一个八字模型，那构造了八字模型以后，你会发现在这里有一个蓝色的八字， 那我根据咱们以前学过的八字模型的结论，是不是就有角 a 加上角 d， 是 等于这里的角二，加上这里的角三，角二加角三， 那这里我们出现了角一，出现了角二，出现了角三，我们会发现一二、三其实是一个三角形，它们的核是不是是三角形的内角核等于一百八十度，那我通过这几个等量关系，看看能不能将我们的这个角的核给他解出来呢？在这里我们会发现，其实你这个地方是做了一个代换， 角 a 加角 d 可以 代换为角二，加角三角 b 加角 c， 其实可以代换为我给它换一下位置，是不是是角一减角 e， 那 所以这个式子就会变成角二加角三加上角一减角 e 等于五倍的角 e， 而这三个等于一百八十度，所以就是一百八十度等于六倍的角 e， 那 么角 e 就 等于三十度，那角 e 是 等于三十度的，这两个角的和，那不是太简单了吗？我们先求它上面这两个角的和是一百五十度。由于三角形的内角和， 那么上面两个角的和是一百五十度，这两个大角是两个平角是三百六十度，他的和，那所以他最终应该就是用三百六十度减去上面的两个的和是一百五十度，那得到的就是下面两个的和为二百一十度。 那所以这道题我们用到的核心解体技巧是不是是飞镖模型，八字模型以及三角形的内角和他可谓是一道综合的压轴题。 那么最后呢，我们就来看一下咱们飞镖模型中的压轴题必考题型，也是一个飞镖模型的辨识问题。那么这里呢，用到的就是咱们飞镖模型加上角平分线 dc 平分角 adb ec 平分角 aeb， 若 角 d、 a、 e 等于五十度， d a、 e 这个角是五十度，角 d、 b、 e 等于一百三十度，问角 d、 c、 e 的 度数是多少度？那么这道题我不知道大家还有没有印象，我们可以翻过头去看一下 咱们这道题是不是其实在我们之前的模型中就已经给大家总结和证明过它的结论了，就是中间这个角的两倍是等于上下的和， 那我们直接用这个结论，是不是这道题就直接给描解了？就直接用咱们中间的那个角的两倍， 角 c 的 两倍是等于角 a 加上角 b， 那 于是角 a 是 五十度，角 b 是 一百三十度，那么就等于一百八十度，那所以角 c 是 不是等于九十度？ 那当然如果我们在解答题中考这种模型，咱们一定要学会去证明，记得帮孩子领取奖励哦，跟着韩老师，孩子有方法，家长不焦虑。
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02:58查看AI文稿AI文稿今天我们来给大家讲一下七年级下学期期中考试一个必考题型，飞镖模型，看一下这类模型题大家会不会做。我们来看一下这道题， b、 f 平分角 a、 b、 d、 c、 e 平分角 a、 c、 d 则角 a 等于多少度？ 好，读完题目的话，我们来看一下，题目中还告诉我们两个关键信息，一个是角 b、 g、 c， 这角它是一百二十度，还有一个就是角 b、 d、 c 等于一百五十度，那关键就在于我们要如何利用上这两个关键信 息。那这个的话，我们就来给大家说一个我们平行线的模型题，那就是飞镖模型， 那这个样子的话，就是我们飞镖模型的一个基础的样子。好，那飞镖模型的一个结论就是角一加角二加角三等于角四，这三个角的和是等于这个角的，那我们是怎么得到这结论的呢？其实很简单，我们这里连接一下 ac， 然后连接 ac， 再延长一下的话，我们就会发现说这里角一是被分割成了左右两部分，角四也被分割成了左右两部分， 那接下来角四的左边这一部分就等于角一的左边这一部分加角二。因为我们知道三角形的外角是等于它和它不相邻的两个内角的和的， 所以说左边的这一部分，角四左边这一部分是等于角二，加上角一的左边这一部分，那同理可得角四的右边这一部分就是等于角一的右边这一部分和角三的和，所以说在合并在一起就是角一加角二加角三等于角四。那这里就是我们推论结论的一个推理过程。 好，那接下来我们来看一下，再利用这个结论来做本道题目。本道题目当中 v f 平分角 abd， 那 我们可以设这个角和这个角都为阿尔法，那同时可以得到 c 平分角 acd， 这个角和这个角我们都命名为贝塔， 那我们现在来用微标模型的结论的话，就可以得到两个方程，也就是可以构成一个方程组， 那分别是角 a 加尔法加贝塔等于一百二十度，还有就是角 a 加阿尔法加二贝塔等于一百五十度，那我们分别命名为 一式和二式，那我们现在题目中让我们求出这角的度数，那其实就很好求了，我们这边可以用角 a 一 式，给它乘上两倍，就可以得到两倍的角 a 加阿尔法加二贝塔是等于二百四十度， 那我们把这式子命名为三式，再用三式减去二式的话，那这边两边角 a 减角 a 是 就算一个角 a， 然后阿尔法阿尔法抵消掉，二贝塔和二贝塔抵消掉，那就是角 a 等于右边的二百四十度，减去一百五十度等于九十度， 所以我们就可以求得角 a 度数就是九十度。那这一道飞镖模型题我们就解决到，怎么样这类飞镖模型题你学会了吗？
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02:00查看AI文稿AI文稿七、下期中考试的压轴题一定会考三角形非标模型，另外七下所有必考压轴题型已经全部整理好了，每个版本六十道题，电子版取件码四五四，我们一起来看下这道题求角 a、 加角 b、 加角 c， 再加角 d 的 度数和是多少？ 对于这种多个角求和的问题，一定要去观察图中的模型，图中有一个一百零八度的角是凹进去的角，有一个九十六度是凹进去的角，那对于这种凹进去的角，我们应该马上想到咱们的飞镖模型中就有一个凹进去的角，而飞镖模型的结论是，而法 加上 beta 再加上 theta 是 等于这个角的，那所以说这个角的度数是 alpha 加 beta 加 theta。 那 我们看一下左边的图，其实你将 c、 b 连起来之后，左边有一个飞镖模型，右边也有一个飞镖模型，那于是这个一百零八度就等于角 a 加上角一加上角二，这个九十六度就应该是等于角三加上角四，再加上角 d， 那 所以说此时我们将角 b 相当于拆成了角二加角四，将角 c 拆成了角一加角三， 那现在我们求的就是这几个角的和的度数是多少度，那在左边会发现 a a 加一加二是一百零八度，右边是三加四加 d 是 九十六度，所以等于一百零八度。加上九十六度，那么他就等于二百一十四度。那接下来我们来证明一下飞镖模型，如果是解答题的话， 我们可以通过连接辅助线将它分成左右两个三角形，左边的三角是等于和他不相邻的两个内角和， 那么右边的三角形也有一个外角，也等于和它不相邻的两个内角和，那所以这两个外角的和加起来就是里面这四个角的和，那也就是 alpha 加 beta 加 theta， 你 听懂了吗？
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02:17查看AI文稿AI文稿七、下期中考试的压轴题一定会考三角形、飞镖模型与八字模型。另外七下所有必考压轴题型已经全部整理好了，每个版本六十道题，电子版取件码七八七， 我们一起来看下这道题。已知角 a 角 c 的 度数， b， e 是 角平分线， d， e 是 角平分线，求角 e 等于多少度。那对于这种题，首先相等的角，我要学会去射圆， 用相同的位置数来表示，那左边是两个 r 发角，右边就设为两个非大角。接下来呢，我们就要观察题目中有没有熟悉的模型，去列等量关系。这里会发现 a、 b、 c、 d 是 我们常见的飞镖模型， 飞镖模型的结论是角一加上角二，再加上角三是等于这个大角角四的，那它的证明方式有三种，其中有一种非常简单，可以用外角来证明。 我们知道三角形呢，一个外角是等于和它不相邻的两个内角和，那么左边我们有这个外角定律，那同样右边也可以用这个外角定律，那也正得三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，所以角四是等于角一加角二再加上 角三的。那么在这里我们可以列到的等量关系就是两个 beta 是 等于两个 r 加上八十度再加上十度 物的。那接下来我们再来看角 e， 又在一个非常熟悉的模型，叫做 a、 b， d， e 这样一个八字模型中，而八字模型的结论更简单，角一加角二等于角三加角四。 它的证明方法就是左右两边是内角和为一百八十度，其中有一对对顶角相等，所以角一加角二就等于角三加角四，那我们根据八字模型可以列出来的是八十度加上 r， 法等于角 e， 加上贝塔， 那接下来其实就是减这两个式子即可了。那我对第一个式子进行化减化，减下来就是二，贝塔减二，而法是等于九十度的，那所以说贝塔减去，而法就等于四十 五度。那么接下来我们再把这个东西带到第二个式子里头，会发现是八十度减角 e 就 等于贝塔减，而法等于四十五度，所以角 e 就 等于三十五度，你听懂了吗？
806韩佳·数学思维
07:14查看AI文稿AI文稿这道题一旦考出来，我敢说百分之九十五以上的孩子都拿不到分。这是一道初一半期关于三角形倒角模型的填空压轴题，它的难点之处就是它综合了我们的飞镖模型和我们的设而不求思想的 综合考察，难度系数特别大。来，同学们，今天我们一起来分析下这道题。好好，题目呢，是这样做的，它说 f、 d， 平分角 a、 m、 n， 所以呢，这两个小角呢，是 相等的对吧？好，再来， c、 d 呢？平分角 a， c， n， 所以 这两个小角呢，也是相等的啊，设为贝塔好，角 a 呢，这个角等于四十度 角， n 呢，这个角等于十度？好，最后呢，题目求的是角 d， 这个角应该等于多少度？徐老师已经把初一下册所有考试重难点板块，包括平行线压轴十大题型、逆运算十二大题型、三角形七大倒角模型等 必考易错题型，再结合往年考试真题，优中选优、讲练结合整理成了初一下半期必刷一百题，刷完半期考试直接拿满分，需要的家长我发你一份。 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题啊。那么这道题呢，主要考察了我们三角形当中一个非常重要的模型，叫做飞镖模型。来，我们先来简单回顾一下飞镖模型是如何证明的。好吧，大家看这个图啊，那么这个模型呢，它酷似我们的飞镖，所以称之为叫做 飞镖模型。那飞镖模型用什么结论呢？哎，它的结论就是外面这三个小角角 a， 加角 b， 加角 d 结合呢，正好等于中间这个大角 b， c、 d 啊，如何证明的呢？哎，飞镖模型证明的核心思想 就是通过构造辅助线，把我们这个不规则的飞镖模型呢变成我们规则的三角形，好吧，来，如何去连接 a、 c， 对 吧？什么 这个时候呢，我就把这个飞镖模型变成了两个规则的三角形，一个是 a、 b、 c， 一个是 a、 b、 c， 对 吧？好，来，我们来看一下啊，那么我把这个角呢 设为角一，这个角呢设为角二，好吧，这个角呢设为角三，这个角呢设为角四。来看看，这个时候你会发现，角三这个角正好是割补以后 a、 b、 c 这个三角形的外角。哎，我们说三角形的外角 等于与他不相邻的两个内角之合，对吧？所以角三应该等于不相邻的两个内角，角一再加上角 b。 哎，我们得到一个等量关系，角三就等于角一，再加上角 b。 好， 第二个再来看，角四同样也是三角形 a、 d、 c 的 外角，对吧？那角四就等于角二再加上角 d 来，所以角四 等于角二再加上角 d， 好， 现在呢，我们要求的是 b、 c、 d 这个大角，我应该把角三和角四 相加，对吧？来，角三正好在一式当中，角四呢正好在二式当中，我要想角三和角四相加，我应该把角一和，哎，我们的一式和二式给它什么相加就可以了，对吧？那么所以一式加二式就得到这里面，左边加左边，右边加右边，那就是角三， 再加角四就等于角一加，角二，再加角 b， 再加上角 d。 ok， 看，角三加角四正好等于 b、 c、 d 来，所以证明出来了，角 b、 c、 d 就 等于角一加角二呢，正好等于 b、 a、 d 啊，等于角 b、 a、 d 好， 再加上另外两个小角角 b， 再加上角 d， 对 吧？哎，这个就是我们的飞镖模型的结论。好，有了这个模型之后，来学习这道题，那就非常简单了，同学们来先来找一找哈，这个图当中有没有飞镖模型，大家认真观察一下。 哎，一定是有的，而且是有两个，来，我们去瞄一下，第一个，哎，这有一个大飞镖，对吧？好，这呢，还有一个什么 小飞镖，总共有两个飞镖，对吧？好，下面呢，我们来标一下我们的角度，第一个， md， 平分角 amn， 把这个角呢设为 r 法，这个角呢也设为 r 法角平分线嘛。啊，把这两个相等的小角用相同的字母给它表示出来， ok， 好， 在 c， d 平分角 a， c， n， 那 这两个小角 我们设为多少？设为被他， ok， 好， 再来角 a， 这个角呢等于四十度，他等于四十度，好，小， n 呢，等于，这是十度。最后求的是哪个角 d， 这个角 应该等于多少？来，这里面有两个飞镖模型，那就有两个等式，对吧？来，我们先把这两个等式呢，根据飞镖模型给他列出来。来，先，根据这个飞镖， 我们可以列一个什么？列一个等式，那么就是哪个这三个角，对吧？等于这个大角，我们的 a， c， n， 好， 来，我们看一下啊，那么这个大角就是，呃，二倍的贝塔， 等于这三个角是和等于二倍的阿尔法，再加四十度，再加十度。啊，这第一个飞镖，好，第二个飞镖呢？哎，就是我们这个飞镖， 对吧？好，这三个角是和等于这个大角，没问题吧？来，所以呢，我们就会得到贝塔，哎，是等于我们这里的 r 法，再加上要求的角 d， 再加上这个十度， ok， 好， 下面呢，我们求什么？求的是这个角 d 应该得多少？来，我能不能够通过这两个方程把这个角 d 给它求出来呢？来，我把这个设为一式，这个设为二式，你看没有？这里面有两个参数，一个是 r 法 啊，一个是贝塔。那这道题呢，我只要把参数阿尔法贝塔给他抵消掉，我们这个脚底不就出来了吗？怎么能够抵消掉呢？大家观察一下，这个系数为二，这个系数为一， 这个系数为二，这个系数为一。来，我如果要抵消掉的话，我可以把二是整体乘以二，那么乘以二之后，那就是二倍贝塔， 二倍阿尔法，那么我们的一式和二式就可以什么上下给它抵消掉了，对吧？来，我们先把它的什么系数统一，哎，所以呢，我们先把二式给它 乘以二，就变成二倍的贝塔，等于二倍的阿尔法，再加二倍的角 d， 再加二十度，好，这是我们的三式。那我们最有结果是要让这个阿尔法和贝塔 抵消掉，哎，然后呢，所以把一式和三式呢给它相减，就可以把参数给它抵消掉，对吧？来，所以呢，我们三式 减去一式就可以了。来，我们的左边减左边二倍，贝塔减去二倍的贝塔，好，右边减右边，你看没有。那么二倍 r 法，再加二倍的角 d， 再加二十度，好，再减去它，减去二倍的 r 法，这个呢，是五十，再减去五十，你看没有。 哎，贝塔，贝塔抵消掉，阿尔法和阿尔法抵消掉，那么这个方程里面我们就只剩下一个未知数角 d， 对 吧？好，所以这边等于零，这边就等于二倍的角 d， 再减去 三十，所以呢，二倍的角 d 就 等于三十，算出来角 d 就 应该等于十五度，所以大家这题角 d 呢，就应该等于 十五度。哎，这道飞镖模型和我们的韩餐思想的结合，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路。
504攀攀讲思维
05:32查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天要讲的题目是飞镖型和风筝型。第一种飞镖型又称燕尾型。这四个角之间有什么关系呢？做一条辅助线， 把角 a 和角 d 都分成两个小角，角一是三角形 a、 b、 d。 的 外角角二是三角形 a、 c、 d。 的 外角等式，两边相加，得出角 a、 加角 b、 加角 c。 等于角 b、 d、 c。 即三个内角相加，等于一个外角或者延长 b、 d。 到点 e。 标出一个角。一角一是三角形 a、 b、 e 的 外角角 b、 d、 c。 是 三角形 c、 d、 e 的 外角。两式合并，得出 角 a、 加角 b、 加角 c。 等于角 b、 d、 c。 第二种，方正形。 这四个角之间又有什么关系呢？做一条辅助线，把角 a 和角 d 都分成两个小角，角 b、 e、 d。 是 三角形 a、 e、 d。 的 外角角 c、 f、 d。 是 三角形 a、 f、 d。 的 外角等式，两边相加 角 b、 a、 c。 加角 e、 d、 f。 等于角 b、 e、 d。 加角 c、 f、 d。 即上下两个内角相加，等于左右两个外角相加。 方正形有一种特殊形态，翻折三角形 a、 e、 f。 沿 e、 f 翻折到三角形 d、 e、 f。 角 a 等于角 d。 根据方正形结论，上下两个内角相加，等于左右两个外角相加或者二倍角 a。 二倍角 d。 等于左右两个外角相加。 接下来看例题。例一，如图凹四边形 abcd 的 平分线交于点 e， 探求角一与角 b、 角 d 间的数量关系。 题目中出现两组角平分线，标出四个小角，观察一下，图中出现非标形角一、加角 b、 加角一等于角三，还有八字形 角二、加角 d 等于角四、加角 e。 两式相减，得出角 b。 加两倍角 e 等于角 d。 例二，如图是可调躺椅的示意图 a 一 和 b、 d 交于点 c， 且角 a、 角 b。 角一保持不变，为了舒适，需要调整角 d 的 大小，使角 f 等于一百一十度， 则角 d 应如何调整？先标出角 f， 观察一下途中是不是出现八字形。不是，而是非标形角 d、 c、 e。 加角 d。 加角 e 等于角 f。 角 e 是 三十度 角 f 是 一百一十度角 d、 c、 e 是 多少呢？其对顶角是角 a、 c、 b。 根据三角形内角和是一百八十度角 a 是 五十度角 b 是 六十度，得出角 a、 c、 b 是 七十度， 则角 d、 c、 e 也是七十度，计算得出角 d 等于十度。 例三，如图在四边形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f 分 别是 a、 d、 b、 c 上的点。将四边形 a、 b、 c、 d 沿 e、 f 折叠，若角 a 等于一百三十度，角 b 等于一百一十度，求角一、加角二。 第一种方法，先标出角 a 和角 b。 题目中出现折叠 角 a 等于角 g、 角 b 等于角 h。 观察一下图中出现六边形六边形内角和等于 n。 减二扩弧，乘一百八十度，得出七百二十度 角 a、 e、 g。 加角 b、 f、 h 等于六边形内角和减其于四个角，结果是两百四十度。又因为角一和角 a、 e、 g 互补，角二和角 b、 f、 h 互补，两式相加， 得出角一加角二等于一百二十度。第二种方法，题目中出现折叠 延长 e、 a、 f、 b 交于一点，延长 e、 g、 f、 h 交于一点，标出两个角，角三等于角四。根据方正形结论，上下两个内角相加，等于左右两个外角相加。 还有 a 字形角三加一百八十度，等于角一 a、 b 加角 f、 b a 角一 a b 是 一百三十度，角 f b a 是 一百一十度，计算得出角三是六十度，所以角一加角二等于一百二十度。 同学们在做题的时候要先熟练掌握基础知识，从而根据题目中的条件加以运用。这就是今天讲的飞镖型和风筝型，同学们再接再厉，未来可期。
6七纨骓纡
01:43查看AI文稿AI文稿来让咱家孩子挑战一下这道正在学马上考的三角形角度计算问题。另外本学期所有会考的压轴题，每个版本六十道都在这里了，电子版取件码七七八。 拿到题目，首先观察图形，图形 a、 m、 n、 b 其实是我们非常常见的一个飞镖模型，那首先我们先来分析一下飞镖模型的角度之间的关系。这里我们可以通过做辅助线来进行倒角， 我们先将中间的两个点连起来构成两个三角形，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，那假设这是阿尔法，这是贝塔，那这个外角是阿尔法加贝塔。那么假设右边是 c 塔和伽马，那它的外角就是 c 塔 加伽马，那所以说底下整个大角的度数就等于里面三个角的度数和。那么现在我们看到角 a、 b、 n 等于角 a、 m、 n 加四十度 加十度。由于 c、 m 是 角平分线，那我不妨设这两个角作为而法角那，所以这个大角就等于两个，而法加上四十度，再加上十度，那么就等于两个，而法加上五十度，那接下来由于 b、 c 又是角平分线，那所以说它们各分得一个，而法加上二十五度。 说到这要求角 c 等于多少度，那在这里又有一个非常熟悉的模型或一个八字模型。八字模型我们依然可以通过三角形的内角和证得，角一加角二 等于角三加角四，因为它们加上这个对应角都等于一百八十度，所以那在这个地方就是四十度，加上阿尔法等于阿尔法加二十五度，再加上角 c， 那 左右两边阿尔法抵消，所以角 c 就 等于十五度搞定。
155韩佳老师数学~
02:02查看AI文稿AI文稿期下第一次月考的押注题一定会考三角形飞镖模型，如图，求这四个角的和是多少？这是一道期下月考真题，难倒了百分之九十的孩子，韩老师带你用飞镖模型，十秒钟直接破题得答案，同时这套马上要考的月考真题卷， 家长一定领取，包含了人教、北师、苏科、浙教等全国十二个版本，看看咱家孩子到底能得多少分。 对于这个图非常的复杂，很多同学难以找到解题突破口，那这个地方认真观察，它是我们非常常见的两个飞镖模型。飞镖模型长什么样子呢？你把 b、 d 连起来以后，左边和右边都是咱们的飞镖模型，它长得非常的形象，那飞镖模型的结论又是什么呢？ 非标模型的结论是这三个角的和是等于底下这个大角的。那这里的证明方式也非常的简单，证明方法也非常的多，这里我用一个外角的方法来给大家进行证明，会发现咱们的这个大角被分成了左边和右边两个部分， 那么左边其实是等于角一加上角二的三角形的两个内角和，那么右边就等于角三加上角 四，那同样是三角形的外角定里，那所以整个大角就是角一加角二再加角三再加角四，就等于上面三个角的和，那你会发现这个一百度其实就等于角 a 加上角一，再加上角二。这个一百二十度就等于角三加上角 c 再加上角四。那这里我们来看一下角 a， 我 们说就是图中的角 a， 角 b 被拆成了角一加角四， 角 c 就是 图中的角 c， 而角 d 被拆成了角二再加角三，那于是乎会发现，角 a、 角一、角二是一个飞镖模型，它们的和是等于一百度的。那么角四、角 c、 角三也是一个飞镖模型，它们的和是一百二十度。所以这道题的答案就是二百二十度，你听懂了吗？
194韩佳老师·讲数学
01:31查看AI文稿AI文稿这是谁的那个啥作业，把二单元所有的题再抄一遍。好，我们一起来看一下这道题，你们会吗？会。大伟会吗？ 人家都会，就你不会。咱们之前讲过什么模型又忘了？飞镖模型，飞镖模型啊，飞镖模型是针对一个凹进去四边形，这是不是像一个飞镖？飞镖模型的结论是这三个角可以合成几个角？合成一个角，飞镖模型三合一，那对应的话，我们想要证明飞镖，怎么样去证明呢？辅助线， 所以一般情况下，如果一道题目中如果需要去倒角的时候，你要借助什么图形？三角形，所以你得出现三角形，我们可以延长一下，这时候是不是把一个飞镖变成了两个三角形？ 是不是？那这两个角就可以变成合成这一个角，对不对？外角等于不相邻的两个内角和，那这一个角和这一个角就可以合成最大的角，所以这不就是几合一？三合一， 所以你想一想，如果想要出现飞镖的话，那这个图形怎么样出，出现飞镖只需要连接谁呢？连接 a、 c 没有问题。 两个飞镖是不是左边是一个飞镖，右边是一个飞镖？那接下来飞镖模型，这个角加这个角加这个角合在一起是多少度？三个圈合在一起是一百度。好，那接下来这三个叉角合在一起是多少度？八、 八十度，所以最后 a、 b、 c、 d 合在一起是多少？一百八，一百八，这不就出来了吗？
504刘梦亚讲数学
02:36查看AI文稿AI文稿马上要考的期中考必考这种三角形飞镖模型，我们一起来看下这道题已知 b、 f 和 c、 e 分 别是角平分线， 那角 a 等于多少度？这道题难度很大，得分率不足百分之五。今天韩老师通过这道题，带孩子彻底学会飞镖模型的结论，五秒钟直接搞定。同时三角形每个板块的基础知识和重点题型讲一字的 老师都准备好了，每道题都有视频讲解哦，带孩子轻松搞定这个章节。电子版取件码五五七。那对于这类型的题，首先我们先把角平分线分成相等的角，给它标注出来。 其次我们去观察图形的样子，图形会发现它是由两个飞镖模型构成的，那我们用飞镖模型的结论即可解决。首先飞镖模型长得像飞镖， 那么他们的角之间的关系由角一加角二，再加角三是等于角四的，那么这里会有三种方式进行证明，都需要加辅助线，那我不妨把中间连起来以后，变成左右两边的三角形，用三角形的外角来证明。 这个时候会发现咱们这个角是等于角一加上这里的角五，角一加角五，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和， 那么右边这个角是等于角三加上角六的，那所以说你会发现整个大角就等于角一加角五加角六加角三，也就是咱们刚才写的这样的一个结论，那观察图形会发现上面的 a、 b、 g、 c 就是 一个非标模型，那它可以得到的结论就是角 a 加上 r 加上 beta 是 等于一百一十度的这个大角的度数，那同样 a、 b、 d、 c 也是一个非常模型，那它可以得到的结论是角 a 加上左边的两个，而法加上右边的两个贝塔是等于这个大角一百四十度的。那么通过这里去解方程，既可以求出角 a 的 度数，这里其实就是要消去而法和贝塔， 我们可以将这个一式去乘以二，一式乘二以后是二倍的角 a 加上两个贝塔是等于二百二十度的， 那么这里我们得到的三式和咱们的二式作差，既可以把 r 法和贝塔进行消除，那于是左边减左边是一个角 a， 那 就是三式减去二式 等于二百二十度，减一百四十度为八十度，所以角 a 的 度数即为八十度。搞定，跟着韩老师，孩子有方法，家长不焦虑。
321韩佳·数学逻辑思维
04:15
