考试老师给大家找了正方形九个小模型啊，如果考到正方形的话，基本上就是这些东西。好，先来看一下括号一，这是一个十字架模型 啊，告诉这两个线段是垂直的，那么我们就能证出他俩是相等，如果告诉他俩相等，我们也能够证出他是垂直，对吧？好，把这个角设成角一，这个角设成角二，这个是角三， 一加二九十，二加三九十呢？一就等于三，再加上直角和直角，还有一个边， ab 等于 a， 得，是不是这两个三角形全等， 对吧？全等完之后就能证出 b、 f 等于 a、 e， 但是这个题啊，它通常不这么考，它会有一个变形，就是这两个线段它不在那个角上， 比如说这是一个正方形，然后给来一个这样的一个边和这个边是一个垂直，对吧？这样的话，我们也能够挣出这两个蓝边是相等，辅助线依然往下去做个双垂 好，然后就能证出这两个直角，三角形全等。先看边有啥啊，是不是这个 e f 应该等于这个边长，然后这个 c d 也等于这个边长，是不是 e、 f 和 c d 就 相等， 对吧？然后还能证出这是一个直角，然后这是直角，这也是直角，是不对。顶八字就能证出这个圈等于这个圈，然后还有一个直角等于直角，那这两个三角形是不是也全等， 对吧？ ok， 来看一下第二个小模型，就是考察的是正方形的对称性， 我们知道它的对角线是平分这组角，并且都等于四十五度，然后又因为 ab 等于 a 得再加上一个公共边，是不是这两个三角形全等，对吧？好，再来看一下第三个小模型，考察的是 它的对角线是互相垂直并且平分，也就是说这个是一个等腰直角三角形， 然后又因为这也有一个直角，是不是这个圈角就等于这个圈角，再加上这个是四十五，这个也是四十五，是不还能证出这个 o b 等于 o c， 那 这个三角形和这个三角形全等，那么 o m 就 等于 o n， 对吧？这里头还是还有一个叫做四边形对角互补，这是直角，这也是直角。四边形内角和是三百六，说明我们这个单线角加上这个双线角是不等于一百八， 然后他加上旁边这个角也是一百八，所以说这个角也能够直接正出，等于它，对吧？啊？好，再来看一下第四个小模型， 这是我们上一期讲过的一个半角模型，如果告诉我们这个角是一个四十五啊，那就能证出这个边 加上这个边它是等于这个边，那这个题啊，我们应该去不延长啊。 c 的 到达一个点 k， 然后让的 k 呢？是等于底下的 b e， 是不是就能证出这个三角形？然后跟我们的 a 对 k， 它俩就全等， 对吧？它俩全等完之后，是不是能证出 a e 等于 a k 还能证出这个 x 角等于这个 x， 对 不对？那因为原先的这个是四十五，这是九十，说明 x 加上这个 y 是 不等于四十五，这个就是四十五， 对吧？这个四十五等于这个四十五，再加上一个公共边，再加上刚才的 a e 等于 ak， 是 不是这个大的和这个大的就全等，那么啊， f k 就 等于 fe， 然后 f k 呢？又等于绿的加蓝的，那所以说这个绿加这个蓝就等于这个黄， 对吧？好，下一问，下一问。也是一个半角模型，还是把这个角设成一个 x， 这角设成一个 y， 如果这个是四十五，那 x 加 y 就是 四十五，对吧？他想让我们求是这个一号线段、二号线段、三号线段的一个关系， 现在这三条线段共线了，那一定是构造一个旋转，把某两个边或者某一个边给它旋转出来，对吧？好，我们知道这里头啊，有正方形，它就有等腰直， 是不是这个边跟这个边相等，并且这是一个直角，那想去构造旋转的话，我们一定是构造手拉手， 对吧？那也说我们可以去做一个它的等腰值，比如说我们呃让 a k 垂直于一个 a e， 并且 a k 等于 a e， 然后接下来给这个 k 的 连接起来， 是不是这个三角形跟这个三角形就手拉手，全等，对吧？全等完之后，我们是不是能把这个一号线段就给他导到这，然后这个是四十五度，这个也是四十五度，原先的这也是四十五，所以说这是一个直角， 那一号线段加三，一号线段的平方加三号线段的平方是不是应该等于 k f 的 平方？那接下来我们证明 k f 等于 e f 就 行，对吧？是不是又是刚才这个模型证明全等， 那他俩为啥全等呢？先找边啊？有 a e 等于 ak， 还有一个公共边，是不是就证明这个角等于四十五就行？ 它等于四十五是为啥呢？因为这个 x 导到这， x 加 y 是 四十五，这个 x 加这个 y 就是 四十五，所以说它就是四十五，然后这个角也是四十五，所以说全等下一个。 这个是前两天数学课上咱们讲的那个十五个变形，对吧？这是最简单的那一个啊，很多同学肯定是直接往下做垂，做完垂之后你挣不住全等，因为它没有边， 对不对？那这题啊，我们应该在这取一个 b k 等于 b e， 对 吧？一连接，那这个角就是四十五，这个是一百三十五，然后这个角也是一个一百三十五， 对不对？那边是啥呢？因为 ab 等于 bc， 用等量减，等量能减出 ak 是 等于 c e， 对 吧？还有一个角是啥呢？我们知道这个叉角加上九十等于这个大角，大角又等于十加它，所以说这个角是一个叉， 那两个角相等，再加上一个边，所以说全等，对不对？ ok， 再来看一下第七个， 这是一个比较基础的啊，叫做一线三等角。那咱再复习一下一线三等角，现在这个角是一个九十，然后有一根线穿过了这个角， 对吧？我们应该从等腰直的两个端点往这根线上也做一个，跟这个角相等，对吧？那也说过的点往这边做一个垂，过 b 点往这边做一个垂，这样的话就一定能够挣出这个三角形，跟这个三角形全等， 对不对？这个模型类似于刚才的十字架啊。好，再来看一下后两个，后两个啊，是四边形对角互补，对吧？我们知道这个角加这个角等于一百八，是不是？就是这个角加上这个角等于一个一百八， 对不对？那一会啊，要么延长这边这个找他的补角，要么是延长这边找他的补角 好，这种辅助线通常怎么找呢？你一定看到这里头有一个根号二倍的 e a， 是 不是那什么里头才会出现根号二倍的 e a 啊？等腰直，并且 e a 要当直角变，对吧？那接下来我们就去过 a 点 去做一个垂直，对吧？但是啊，这个时候你不能让他俩相等啊，因为我们还想要一对的延长线，所以说我们把这个边给他延长出来，对吧？那这样的话，是不是能构造出这个单线角，应该等于这个单线角， 对吧？然后呢，又因为俩直角叠到一起，是不是这个圈角等于这个圈角？还有一个 ab 等于 a 得，那这个三角形跟这个三角形是不全等全等完之后能证出 e a k 是 个等腰值，那么 e k 就是 等于根号二倍的 e a， 然后呢？呃，又能证出得 k 等于一个 b e， 所以 b e 加 e d 就是 根号二倍的 e a， 对吧？好，最后一问也比较简单啊，因为这块是一个直角，这也是个直角，首先你目测一下，是不是有个对顶八字，对吧？对，顶角相等，那这个角是等于它 对不对？然后我们想找根号二倍的 c e， 那 是不是还是要做一个 c e 的 一个等腰值？做不了等腰值，我们先做一个垂直 啊？先正先知道这是个直角，接下来再证明他是等腰，是不是就证明这个三角形跟这个三角形全等就行， 对吧？全等的俩角，一个是圈角等于圈角，还有两个直角叠到一起，是不是这个叉角等于这个叉角？然后还有一个 c b 等于 c d e 全等完之后，那是不是就能证出 b e 等于 d k， 还能证出 e？ c k 是 个等腰值， 那所以 c k 就是 c e 的 根号二倍。然后 c e k 呢？又是等于的 e 减去一个的 k， 那 所以的 e 减 b e 就 等于根号二倍的 c e。
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4480牛老师数学动画课
05:54查看AI文稿AI文稿中考几何？想拿高分，这个正方形中心旋转模型，你必须刻在脑子里。很多同学啊，遇到这种问题，又是设未知数，又是列方程，算了一整页纸，最后还算错。其实只要掌握这招，不管是求线段相等，还是算阴影面积，通通一眼看出答案！ 看完这期视频，让你在考场上像开挂了一样啊，答题速度直接翻倍！先看模型核心， o 是 正方形 abc 的 中心，让射线 o p 啊，那个顺时针旋转九十度啊，那这这里，它是一个九十度 得到射线 o q， 两条射线分别交正方形的边于 p q 两点，那么这里有两个闭眼入的黄金。结论，一个是 o p 永远等于 o q， 另外一个啊，另另外一个四边形 o p b q 的 面积是正方形面积的四分之一。 那为什么这么神呢？其实证明过程啊，是非常丝滑的，只需要三步，第一步啊，切分啊，第一步，切分， 怎么切分呢？过中心 o 做两条辅助线啊，分别平行于正方形的横竖两边啊，正方形的横竖两边，那也就是说，呃，过 o 点， 过 o 点做 e f， 平行 a c 分 别交于 e f 啊，嗯， m n 平行于 ab， 分 别交于 m n。 那这个时候你会发现，大正方形的面积被切成了四个一模一样的小正方形的面积。因为 o 是 正方形的中心到四边的距离相等，所以在这里， o e 一定等于谁啊？ o n o e 一定等于 o n， 那 下一步找全等啊，下一步找全等！呃，根据你观察，我 po q 是 等于九十度的，那小正方形 e o n 也等于九十度。这里它有一个公共角，就是 po n 啊，等于 po n， 所以 这两个角角一和角二是应该是相等的， 对吧？那角一等于角二， o e 还等于 o n， 那 o p 和 o q 是 不是应该也是相等的？ 所以根据这三个条件啊，这三个条件，我就可以证明出三角形 e， o， p 全等于三角形 n， o q， 对 吧？ 好了，那我就可以得出来 o p 等于 o q 啊， o p 等于 o q 或者是什么呢？其实这里还有这个直角，我们可以用 a s a 模型。 好，第一个，第一个结论直接证完了啊。呃，第三步，转化为面积啊，那第二步是找全等。 第三步，转化面积。 那我们知道啊，既然两个三角形全等，那么面积一定是 全等的啊，面积一定是相等的。我把 e， o p 啊，把 e， o p 给它裁过来啊，平移是刚好补到 o， n， q 这个面积， 对吧？或者是我把 o， n， q 补到 e， o， p 的 面积，那是不是正好？是。呃，正好是，所得的图形就是四分之，就是四分之，一个大正方形就是一个小正方形，对吧？那我们写下证明过程啊。第二个的证明过程， o 是 哦，欧式 欧式正方形 a， b， c， d 的 中心。 呃， o 是 正方形 a， b， c， d 的 中心， e， f 平行于 a， e， f 平行于那个 a， d， m， n 啊，这，这里是 e， f 平行于 a， d， m， n 平行于 ab， 对吧？然后那我就可以得到 o e 哦， o e 等于 o， n 等于 b， n 等于 b， e 又因为角 b 是 九十度，对吧？所以 o e， 所以， 呃，四边形 o， e， b， n 为正方形啊，为正方形，那同理数都是正方形，所以是不是呃， o， e 等于 o， f 等于 o， m 等于 o n， 所以 这四个四边形的面积数相等，所以 s 四边形啊， o， e， b， n 等于四分之一 s 正方形 abc 的。 所以 s 四边形 o， p， b， q 就 等于四分之一 s 正方形 a， b， c， d 好了，那么模型的特点是什么呢？含正方形及其中心，然后过中心的射线，将该射线逆时针绕中心旋转九十度。啊，那听懂了，希望大家给孩子点赞收藏起来。
53鞍山几何思维
03:17查看AI文稿AI文稿这道题是正方形里的八字模型。在正方形 a、 b、 c、 d。 中，点 p 在 正方形外，并且角 b、 p、 d 等于九十度。我们要证明 p d 减 p b 等于根号二乘 p c。 结论中出现了两条不在同一位置的线段 p d 和 p b。 为了把它们放到同一条直线上比较，我们采用截长补短的思路，过点 c 作 c、 q 垂直于 c p， 让它与 p d 交于点 q， 这样点 p、 q、 d 在 同一直线上。接下来比较三角形 c、 b、 p 与三角形 c、 d、 q。 先找第一组等角，因为 c、 p 垂直于 c q， 所以 角 b、 c、 p 与角 b、 c、 q 的 和是九十度。 射线 c、 q 把这个直角分成角 b、 c、 q 和角 d c、 q 的 和也是九十度。这样角 b、 c、 p 和角 d、 c、 q 都与同一个角 b、 c、 q 互余。 根据同角的与角相等，得到角 b、 c、 p 等于角 d、 c、 q。 再找第二组等角。这里要使用圆周角正方形的内角 b、 c、 d 等于九十度。题目又给出角 b、 p、 d 等于九十度。 点 c 和点 p 都是从线段 b、 d 看过去形成直角的点，因此 b、 c、 d、 p 四点共圆，并且 b、 d 是 这个圆的直径。在这个圆中，角 c、 b、 p 与角 c、 d、 p 都是弦 c、 p 所对的圆周角。 根据同弧所对的圆周角相等，得到角 c、 b、 p 等于角 c、 d、 p。 结合点 q， 在 p d 上可直接写成角 c、 b、 p 等于角 c、 d、 q。 正方形的四条边相等，所以 bc 等于 cd。 现在在三角形 c、 b、 p 与三角形 c、 d、 q 中，两组对应角分别相等，并且两角之间的对应边 bc 等于 cd。 由角边角，也就是 a、 s、 a。 全等判定 得到三角形 c、 b、 p 全等于三角形 c d， q 全等三角形的对应边相等。按照 c 对 应 c， b 对 应 d， p 对 应 q， 得到 p b 等于 d q， 同时得到 p c 等于 c q。 再看三角形 p c q， 因为 c q 垂直于 c p， 所以 角 p c q 等于九十度， 又因为 p c 等于 c q， 所以 它是等腰直角三角形。由勾股定律 p q 的 平方等于 p c 的 平方等于二乘 p c 的 平方， 因此 p q 等于根号二乘 p c。 最后处理线段关系，因为 p q d 三点共线，并且 q 在 线段 p d 上，所以 p d 等于 p q 加 q d。 把 q d 等于 p b 代入 得到 p d 等于 p q 加 p b 一 项可得 p d 减 p b 等于 p q， 再代入 p q 等于根号二乘 p c。 最终得到 p d 减 p b 等于根号二乘 p c。 这道题用到的知识点依次是正方形的边和直角性质，同角的与角相等直径所对圆周角的逆用同弧所对圆周角相等 a s a 全等 全等三角形对应边相等等腰直角三角形与勾股定力以及共线线段的和差。
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01:45查看AI文稿AI文稿每次考试最后一道大题是不是正方形？你盯着他看五分钟一个字写不出来。今天把七大必考模型给你盘明白，听完直接起飞！第一个十字架模型，正方形里两条互相垂直的线，他俩居然相等，怎么争一个全等就搞定。 ab 等于 bc， 两个直角角一等于角，二三秒出结论。 对角线模型，正方形里最老实的一个，相等垂直互相平分，四个角都被切成四十五度对角线，焦点就是正方形的绝对中心，绕他转九十度正方形还是他自己 k。 四模型，正方形里随便找个点 p， 如果 pa 和 pc 垂直，那 p， b 和 p d 也一定垂直。把整个图绕 p 转九十度，垂直关系不变量考试看到这结构条件反射，直接写结论。 对角互补模型更简单，正方形对边上的点连起来，对角加起来永远是一百八十度，正方形对边平行，同旁内角互补。初一的知识点，但很多人考试就是想不起来， 已经四个模型了还能跟上的，扣个一，觉得有用的点个赞支持一下，数据不好我就不更下半期了，全靠你们了。八字模型长得确实像个八正方形一组对边上取两个点连出的交叉线，形成相似三角形。看到八字结构第一反应就是找相似准没错， 半角模型七个里面最重要考的最多的一个，从顶点沿两条线加角四十五度，正好是九十度的一半。 b， e 加 d， f 等于 e， f 考试直接用 最后一个外角平分线，正方形一个角往外划角平分线线上的点到角，两边距离永远相等，配合正方形直角和边长比例关系直接出来，压轴题最爱考，记住了， 七个模型全部讲完，正方形从此不是噩梦。评论区告诉我你觉得哪个模型最难，下期想听三角形还是圆，哪个呼声告我做哪个？点赞关注收藏三连，支持一下，我们评论区见！
68阿数学长
01:50查看AI文稿AI文稿初中几何一共有六十七大模型辅助线，而其中正方形这里的十字架模型经常在我们压轴题当中的变形题当中隐藏着出现。今天一个视频给大家讲清楚正方形十字架模型当中的 四大变形，那有关于平行四边形、正方形这里的模型辅助线，我也给大家做了一个系统的梳理，如果咱们孩子几何思维还不行，遇到题不会做辅助线，识别不出来模型的话，一定要打印出来，咱们逐个题型，带着孩子在这个假期把思维建立起来好不好？ 下面咱们来一起看一下这道题啊。已知正方形 a、 b， c， d， a， p 是 垂直于 e、 f 的， 让你求 a、 e 的 长度，那打眼一看，这道题和我们之前学的十字架模型很相似，它只不过啊，在十字架的基本模型的基础上进行了变形， 我只不过把其中的一条原来在顶点处的线段向下平移了一段距离嘛，对不对？所以我想解决这个问题也很容易，我就是把它变回十字架的基本型不就行了吗？再把这条线向上平移三个单位长度不就行了吗？ 因为这一段不就是三吗？那这样他就变成了原始的十字架模型，而原始十字架模型有什么结论呢？这两条十字你相信光吗？ 有垂直推，相等，同样有相等推，垂直有什么？哎，这两个三角形全等得到的对不对？所以在这里面咱们就可以知道，哎，那这一段的长度就和这一段的长度是相等的，应该是五对不对？ 而这一段呢，又是平移的距离是三，所以想要求这段 a e 的 长度，直接秒了五加三，也就等于八五。
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04:02查看AI文稿AI文稿今天是吴老师录制正方形与全等模型视频的第一期，那么吴老师呢，从正方形的最重要特征，也就是它的对称性开始讲起啊， 正方形呢，它有四条对称轴，其中它的两条对角线呢，也是它的对称轴，所以呢，我们这里可以啊，轻松的得到 一个结论，就是 e b 等于啊， e d， 那 么这个结论对于我们解决啊正方形的证明问题，他有什么帮助呢？吴老师呢，以这道题为例啊，给同学们讲一下，就是正方形 a b， c， d 中啊， e 是 b， d 上的一个动点， 我们做 ef 呢，垂直 a， e 交 b c 于点 f， 那 么 a， e 等于 ef 这个呢，我们属于这个对角互补模型。对角互补模型呢，也两种做平角这个辅助线的方法，一种是利用这个角平分线啊，他最最重要的一个特征就是啊，呃， 等角对等边啊，那么还有一种方法是利用这个啊，这个互补性啊，我们再做一个这个等腰直角上行就可以。 那么吴老师呢，以这个啊角平面性的性质为例，先给大家讲一下，正常情况下啊，如何证明 a e 等于 e f， 我 们做一个啊，垂直啊，做个垂直，那么这里就是 m， 这里是 n， 然后呢，这有两个直角，所以呢，通过这个等角的角相等，就会得到角一等于角二，然后呢直角，然后再有一条这个角平面线的定义，所以我们可以轻松地得到一个三角形， a e m 啊，全等三角形，呃， f e n 全等，判定是 a s a 啊，所以我们可以证明 a e 等于 ef， 那 么有没有一种不用全等的方法来证明呢？这就是要利用正方形的一个对称性啊，我们连接 ec 啊，连接 ec， 那 么利用正方形的对称性，我们要证明 a e 等于 ef 的 话，只要证明什么呀？只要证明这个 c e 啊，等于 e f 即可，那要证明它相等的话，只要证明这两个三角形的底角相等就可以了。角 e f c 啊，等于角啊， e c f， 那 么我们知道这里有两个直角，它是对角互补，也就意味着剩下两个角它也是一个啊，互补的关系，所以呢， 我们就得到了等角的补角相等，角 e f c， 它等于一百八十度减去角 e f b， 它等于角这个 b a e， 然后再用对称性，角 b a e 呢，其实就等于角 b c e 啊，那么这个证明就完成了，那么用正方形的对称性，他可以把一些啊，比较难的问题啊，降维打击啊， 然后呢，正方形这个对称性啊，结合这个折叠问题，他会得到一个特殊角，比如说四十五度角，这里就隐藏了一个四十五度角，因为它是一个等腰直角上行， 这是很容易被同学们忽略的一个性质，因为如果说我在延长 a e 啊，交语点 g， 那 么就会得到更多的一些性质，那么这个就是会比较难的地方，我们下一期再讲，同学们再见啊。
52北大吴老师讲数学
01:09查看AI文稿AI文稿来看这道正方形里的 k 字模型。在正方形 a、 b， c， d 中，点 e 在 边 a、 b 上连接 c， e。 从 b、 d 分 别向 c、 e 做垂线垂足是 m， n。 我 们要证明 d， n 等于 b， m 加 m n。 先比较三角形 b， m， c 与三角形 c、 n、 d。 因为正方形中 b、 c 等于 c， d， 并且角 b、 c， d 等于九十度。 又因为 b、 m 垂直于 c， e， d， n 垂直于 c， e， 所以 角 b， m， c 等于角 c， n， d 等于九十度。角 c、 b、 m 与角 b， c、 m 互于角 d， c、 n 与同一个角 b， c、 m 也互于， 因此角 c， b， m 等于角 d， c， n。 于是两个三角形有两组对应角相等。还有 b， c 等于 c， d 有 角角边， 也就是 a， a， s。 三角形 b， m， c 全等于三角形 c、 n、 d。 所以 b， m 等于 c， n。 同时 c， m 等于 d， n， 而 c， m 等于 c， n 加 m n 代入后得到 d， n 等于 b， m 加 m n。 这类 k 字模型的关键是垂直找与角全等的对应边在做线段加法。
80题阁主
01:52查看AI文稿AI文稿想提升孩子数学成绩的家长看过来，很多注重孩子教育的家长都选它，不少老师也推荐给学生使用， 才发现这本书能帮孩子轻松掌握数学知识，真的把小学六年必考的几何模型都讲透了！这个是一半模型，无论一点怎样变，阴影面积始终是长方形面积的一半，这是等高模型。同底等高，无论位置怎么改变，三角形面积都不会变。三角形有等高模型、鸟头模型、沙漏模型、 片型有一半模型、蝴蝶模型、圆形有曲线模型、方中圆、圆中方、容斥原理等。每个模型都有详细的推导过程，用图解法把每道例题揉碎，教会孩子一步一步推导。这些结论，考试时可以直接套用。而且孩子还可以亲手演示模型的推导过程， 将复杂的几何知识变得可式化。遇到不懂的，扫码还有视频讲解，不怕孩子学不会。还猎取了多种考试辨识题，让孩子学会举一反三，灵活掌握各类题型， 学完后还有相关题型，及时检测学习成果。吃透这套，玩转几何，考试轻松拿高分！这套书不分版本，全国通用，家里有小学生的，抓紧安排一套吧！如果把这些几何模型给你动起来，你会发现几何其实一点都不难，这些都是小升初必须要掌握的几何模型，把它吃透了，小升初考试抓住关键分数！ 小学几何模型一共有九个，这本玩转几何把这些模型全都整理好了，每个模型都精选了经典例题，先教孩子审题，再用图解分析，不理解的还可以扫码看视频讲解和动画演示，帮助孩子快速吸收小学几何不开窍一定要背起来！
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02:10查看AI文稿AI文稿如图，两条红色线段相等，证明红、蓝三角形全等，即可得出结论。如图，两条红色线段相等， 证明红、蓝三角形全等，即可得出结论。如图，两条红色线段相等， 证明红、蓝三角形全等，即可得出结论。 如图，两条红色线段相加，等于蓝色线段，证明红、蓝三角形全等，即可得出结论。如图， q、 b 减 b、 q、 d 等于根号二倍的 c、 q 构造与三角形 c、 q、 d 全等的三角形，即可得出结论。 如图，两条红色线段相加，等于根号二倍的蓝色线段 构造与三角形 a、 d、 q 全等的三角形，即可得出结论。 如图，两条红色线段相等，证明两红色三角形全等，即可得出结论。 如图，两蓝色线段相加，等于红色线段。现将红色三角形旋转九十度，再证明红、蓝三角形全等，即可得出结论。 如图，两蓝色线段的平方和等于红色线段的平方。现将红色三角形旋转九十度， 再证明红、蓝三角形全等。最后证明红色三角形为直角三角形，即可得出结论。
4657会动的辅助线
04:56查看AI文稿AI文稿我们再看一下三垂直全等在证明中的一个应用啊，这是两个正方形，然后呢， a n 呢？是垂直啊 d g 的， 要证明 b n 等于 n e， 那 么要证明它是终点的话，是有固定套路的， 就是要用八字形全等，所以很自然的啊，我们会做这个 b p 啊，垂直这个 n a， 然后呢，再做这个 e q 啊，垂直这个 an 啊，交延长线于点 q 啊，做 b p 垂直 a n 啊， eq 垂直 a n， 那 我们只要证明啊， 等价于证明这个 b p 等于啊 eq 就 可以了，那如何来证明 b p 等于 eq 呢？那你看一下，这有正方形啊， 你很容易想到这个三垂直全等，所以呢，我们利用 a n 垂直 d g， 我 们就延长 a n， 交这个 d g 与点 h 啊，那么这个是垂直的，那你可以发现啊，这里就有啊，两对三垂直全等，这里一对，然后呢， 绿色的啊，也有一对 三角形啊， a， d， h 全等三角形 a b p 啊， a a s， 这个可以推出来这个 b p 等于 a h 啊，那么三角形，这个 a c h 全等三角形。呃， a， 不是 啊，这里有错啊，三角形 a g h 全等三角形，这个 e q e a q a a s， 我 们就可以得到这个 q e 等于 a h， 那 么利用等量替换，那么就完成了这一步，那就可以挣出来 n 就是 中点啊，那我们其实还可以挣出来这个三角形啊， a d， g 的 铭记是等于三角形 a b e 的 铭记的，那么它的证明呢，也啊，非常的简单，就是三角形 a， d， g 可以 拆成三角形 a， h d， 加上三角形 a h g， 三角形 a h d 和这个三角形这个 a b， p 全等，所以它面积相等。三角形 a， h， g 和我们的三角形 a， q， e 全等，然后呢 a， q， e 呢？又可以啊， 拆成三角形，这个 a， n， e 再加上三角形 q， n， e， 然后呢 q， n， e 呢？和我们三角形这个 p， n， b 也是全等的，所以呢，我们就变成三角形 a， b， p 加上三角形，这个 a， n， e 再加上三角形。呃， p， b， n 啊，所以这个这两个可以拼成 a， b， n， 那 也就是三角形 a， b， e 的 面积。好， 那么这个模型我们就讲到这里啊，当然它也可以往外做。这个等腰直角三角形也是 ok 的 啊，所以它不一定是要正方形。嗯，这个需要注意下，同学们，再见啊。
59北大吴老师讲数学
04:49查看AI文稿AI文稿今天给大家讲一下啊，正方形当中的十字架模型啊，这个模型呢，是这样的，我在正方形的 两个对边上分别取点啊，然后呢连成两条线段，一定是在两两组对边上，这个取点啊，这个也是在这两组对边上分别取点连成线段。 如果是说这两条线段相互垂直的话，那么这两条线段呢，一定相等，如果他们相等的话，那么他们的位置关系呢，叫做一定垂直。 这个问题是怎么来的呢？通过这两幅图啊，我稍微正一下，你看啊，这种的证明形式是最简单的，这个它是过顶点的，过顶点以后呢，这个，而且这个位置啊，它相互垂直，垂直的话，我就很容易去证明这个三角形 abm 和这个三角形 bnc 垂直。呃，全等条件啊，你看这个位置有一个直角， 这个位置也有一个直角啊，然后呢有一条边，就是这个 bc 和这个 ab 相等。另外 你能看到的是这个角一加上这个角二等于九十度，而角二呢，加上这个角三等于九十度，所以就会出现角一和角三相等，这样的话，这个三角形 abm， 它就全等于三角形， 这个 b c n 啊，所以呢，我们知道这个 a m 呢，它和这个 b n 就是 相等，出现这种形式的时候，它的正反呢，也不也不困难啊，你可以从这个位置做一个垂线 啊，再从这个位置做一个垂线，你去证明这个三角形和这个三角形全等。或者是说你稍微干脆一点，你把这个线呢 g h 平移， 把这个 g 呢移到点 a 上，那个 h 呢弄过来啊，所以说你就把它变成了这样的一条线啊，所以说你就把它变成了这样的一条线啊，所以说你就把它变成了这样的一条线啊，所以说你就把它变成了这样的一条线啊， 好，那你看现在这种形式是不是和这种形式就是完全一样的，对吧？所以啊，你也可以直接得到这个结论啊，这个 e f 呢？它等于这个 g 值啊，如果论到口诀第一的话， 就是相等既垂直或者是垂直既相等， 那么这个十字架模型主要去处理什么问题呢？它其实主要来处理啊，我们当一种折叠问题啊，你看，你看这个题，这个题呢，它给的一个框架就是一个正方形，正方形呢，这里边有一条线段 m n， 然后它把这个 把这个沿着这个 m n 呢翻折，翻折了以后呢，点 a 落到了点 e 上啊，他告诉你这个 d e 的 长是一，然后呢他说折痕 m n 的 长是根号十七，这个 是一个根号十七啊，他让你求正方形面积，求正方形面积呢，其实就是去求这个正方形的边长啊，那么这个边长怎么处理呢？ 出现了折叠问题，一定会出现轴对称，对称轴呢，就是个 m n， 那 这个点 a 和这个点 e 是 关于 m n 啊，对称的点，所以如果我把这个 a e 连起来的话， 那你发现这个位置就出现了直角，那你看从对边上取点构成线段，然后呢又出现了垂直，是不是就是刚才我们说的这个相等既垂直，垂直就相当于这种问题，所以说 现在哈，呃，你能得到的这种结论是什么？是不是这个 a e 的 长和这个 m n 的 长它就是相等的，嗯，对吧？所以 a e 呢？它也等于根号十七，它等于根号十七的话，那么现在你的视线就应该是转到这个直角三角形那里 啊，在这个直角三角形的边斜边的长，根号是七，这个直角边是一，那么根据勾定，你是不是勾出来就等于四，对吧？所以说这个正方形的面积是不是在十六？嗯， ok。
216老李讲理
00:26查看AI文稿AI文稿都说十字架模型了解中考正方形翻折题，为啥一半人算出的数字不一样？先自己算一遍， 别盲目劣势翻折。核心式对称折痕垂直平分第一。这不错，全盘十分正方形内两线垂直，直接套用十字架模型，三角形全等，无需额外证明。没记住十字架模型的来我的初中数学动画课，动画拆解一看就会。
190牛老师数学动画课
03:16查看AI文稿AI文稿这道题不会考试难上九十分，咱们呢先来看题，他说呢，两个正方形的面积差是六十，让咱们求阴影部分的面积， 那这阴影部分说规则，它是规则，像三角形说不规则，的确 他边长也没给，面积也没给，咱也没法求呀。我呢先来看这半边，我们可以发现，这里呀，它构成了一个三角形， 而这个小三角形呢，它里面不仅有阴影部分，还有一个空白部分。 而这个小三角形呢，他的直角边是小正方形的边长和大正方形的边长，这个三角形他还挺特殊。那么我们再来看这边这个稍微大一点的三角形， 这个三角形呢，咱们可以看出来，它的直角边呀，是大正方形的两个边长，而它的这个 这一条斜边是大正方形的对角线，也就说明这个三角形是大正方形的一半。 而这边这个空白的小三角形我们也可以看出来，那这呢这一条线 是小正方形的对角线，那我们看他这个边不是大正方形的边长吗？ 这个大三角形的这个边也是大正方形的边长呀，他俩是一样的呀，刚才不提到旋转法吗？我就给他转过来，哎，咱们来转一下，转过来之后呢，我们可以发现， 这回两个阴影部分的面积是拼到一起了的，而这个空白的小三角形的面积也不变， 这么一看是不是就简洁了不少，我们直接用大三角形的面积减掉空白小三角形的面积，就是阴阳部分的面积了呀。 而这个大的三角形，我们可以知道它是大正方形的一半。小的三角形呢，在刚才我们也知道是小正方形的一半，上面呢还有一个关键信息，它的面积差是六十， 我俩正方形的面积差是六十，我大正方形减小正方形等于六十， 那我大正方形的一半减掉小正方形的一半，是不是他们的面积差也得有一半，那也就是六十除二等于三十。 答话一写，这道题直接满分，你学会了吗？关注一姐，教你更多数学小妙招！
316壹姐数学小课堂
00:08查看AI文稿AI文稿八升九暑假衔接必学正方形九大必考模型动态拆解辅助线，详细证明过程就在我的初中数学动画课！
460牛老师数学动画课
07:26查看AI文稿AI文稿这是正方形与全等模型的第二期，我们讲一下正方形与三垂直全等，那么我们在证明勾股定律的时候，就使用了造反形图， 那么造反形图里面其实就蕴藏了正方形与三垂直全等模型，那我们来看一下啊，这里有三个直角啊，第一个 b e 垂直 a e， 第二个 d f 垂直啊， a e， 第三个啊，这个正方形自带的直角，这样子有三个直角，然后再结合正方形的两条边长相等， 所以呢，我们就得到了三垂直全等三角形 a b e 全等三角形 d a f 啊，那么它的全等判定的是 a a s， 所以 我们得到了对应的边相等，也就是 b e 等于 af， 然后 a e 等于 d f， 所以 我们要证明的目标就是 d f， 它是等于 a e 就等于 a f 加上 e f， 然后呢， a f 呢，又用等量替换，它等于 b e 加上 e f。 这个三垂式全等呢，是很容易被同学们忽视掉的，就是我们啊，比如说等腰直角三角形 啊，再加一个直角或者是正方形，再加一个直角，就会有两个直角，然后呢，等腰直角三角形相等，正方形呢，四条边都相等， 所以呢，他其实已经具备了三锤式全等的两个条件了，他只要再够到一个全等就可以了啊。那么很多同学呢，可能不太会做辅助线啊，除了这个造反邪途以外，我们还有一个啊，这个 正方形的一个垂直弦啊，如果两条弦垂直的话，它是相等的，那么这是一般情形啊。呃，这个是特殊情形，那我们可以证明第一句等于 a e 嘛，是可以的，它其实本质上也是三垂直啊，这里有 两个直角，然后这有个直角，然后一个 a b 等于 a d 啊，我们照样可以证明三角形，这个 d a， g 全等三角形 a b e， 那 么它的全等判定呢，是 a s a， 所以 我们就可以得到这个垂直的两条线， d g 等于 a e， 那 么这个结论呢，显然可以进行推广啊，显然可以进行推广啊，就是这个模型， 这个带大家看一下啊，正方形 a b， c， d 中 e f， 垂直 g h， 要证明 e f 等于 g h， 那 么这个结论呢，非常好用啊， 有些非常难的题，可以用这个方法来秒杀啊，那么我们来看一下，呃，怎么来证明呢？还是一样，我们还是要去做这个全等，我们要把线段放到 三角形里面去才能啊证明相等，那么这里是 m 啊，然后呢，这里 是啊 n， 然后我们知道 m h 呢，是等于 e n 的 啊，然后这个再通过倒角，我们可以啊得到两对角相等啊，两对角相等，这个角和这个角相等，外角等于啊，内对角看，这个是直角，直角对角互补，所以可以证明外角等于内对角， 那么这两个对角加起来再加一个直角边相等，所以三角形 h m， a g 啊，全等三角形，这个 e n f， 它的全等判定是 a a s 啊，所以呢，这个 ef 是 等于啊 gh 的 啊，这就是正方形的啊，垂直弦的一个性质啊。那么 我们再来看一下这道题啊，这个题呢，是学生来问我的，然后呢，他发现不了这个关系，那么一起来看一下这道题啊，这里是隐藏了一个三垂之全等正方形 a， b， c， d 中 a d 等于啊 d e， 那 有等腰三角形，然后呢？ a e 呢？告诉你一声啊，我们要求的是这个呃， a b e 的 面积，那么我们知道底边的话，只要知道它的高就可以了，对不对？然后看到等腰上角形，你又会做一条什么呀？做一条高 三线合一啊，这个是 m， 然后，哎，我们要求面积是不是也要做一条高啊？所以吴老师很自然的也会做一条高这样子垂直，他啊，垂直， 垂直是 n， 那 你可以发现这里有一个造反形图，对不对？那就是这就是为什么要有这个模型的思想，他不是说让我们死记硬背， 而是让我们更好的找到辅助线的一个做法，如何来做这个辅助线，对吧？你看到等腰你就会做垂直啊，你要求面积你就要做高啊，然后 看到终点你就要被缠，看到鞋边上的终点，你就会想到鞋中心地理啊，所以说这些只是说让我们啊更快的做出辅助线，不是让我们去死记硬背，他是培养我们几何直觉的一种方法和技巧。 那么这两个三角形，全等三角形， a m d 全等三角形，这个 b n a 啊，那么全等判定是 a a s， 所以呢，这个 b n 就等于 a m， a m 呢，又等于二分之一的 a e， 所以呢，这个三角形 a b e 的 面积，它是啊，有公式的啊，对于任意的这样一个模型，它都是可以套用于公式，它的底 乘以高除以二，那就是四分之 a e 的 平方啊，那么这道题可以改变成选择题，对吧？他会说，如果要求啊， a d 这个 a， b， e 的 面积需要知道哪条边的长度？当然了，这种题很好去猜的啊。你不可能会说知道正方形的边长，知道正方形的边长是没有用的，这个图形是任意的。所以呢，有时候好像不能做的题，你可以通过这个适当的排除法， 可以马上得到你的答案。如果作为选择题，那我自己出成了一道计算题，所以他的思路是比较简单的明了的，对吧？ ok， 那 么这道题就是答案就是一。那么这就是三垂直全等啊。好，同学们，再见啊。
36北大吴老师讲数学
01:32查看AI文稿AI文稿来看这道正方形里的对角互补模型。在正方形 a、 b、 c、 d 中，已知角 b， p、 d 等于九十度。我们要证明 p b 加 p d 等于根号二乘 p a。 这题采用截长补短 过点 a 做 a q 垂直于 ap， 交 p b 的 延长线于点 q。 因为正方形的角 b、 a、 d 等于九十度。又 a、 q 垂直于 ap， 所以角 b a、 q 等于角 d a、 p 由角 b p d 等于九十度，与角 b a、 d 等于九十度。四点 a、 b、 p、 d 共圆圆内接四边形的对角互补，所以角 a、 b、 p 加角 a d， p 等于一百八十度。 又因为 q、 b、 p 三点共线射线 b q 与射线 b、 p 互为反向射线，所以角 a、 b q 加角 a b、 p 等于一百八十度。 比较这两个式子，得到角 a、 b、 q 等于角 a、 d、 p。 同时正方形给出 a、 b 等于 a d， 所以 由角边角三角形 a、 b、 q 全等于三角形 a、 d， p 由全等得到 a q 等于 a p， 并且 b q 等于 pd。 现在三角形 p a、 q 在 a 点是直角，且 ap 等于 a q， 所以 它是等腰直角三角形得到 p q 等于根号二乘 p a。 又因为 p q 等于 p b 加 b q 等于 p d， 所以 p q 等于 p b 加 p d， 最后得到 p b 加 p d 等于根号二乘 p a。 关键是做出 a q， 把两段长度拼到 p q 上，再利用等腰直角三角形的斜边关系。
69题阁主
05:14查看AI文稿AI文稿沙漏模型是小学数学必考的经典模型，堪称求几何图形的思维破壁器。就比如说今天这道题，很多会模型的家长可以用很多种方法将它求解出来，但仍然有部分家长说这道题缺少已知条件，怎么算也算不出来。 但这道题考察的呢，其实就是沙漏模型。那今天浩文老师就用一条视频教你扒透沙漏模型的核心逻辑定理解论以及应用场景。还没有思路的同学跟着老师来一起来看看这道题。 题目说两个正方形边长分别是四和六，求阴影部分的面积。我们观察到阴影部分图形呢，它的底可以以 o c， 它的高呢，可以是 bc， 那 么现在我们只知道它的高， bc 为六， oc 的 长度我们求不出来，所以我们不能用普通的思路去做这道题。那我们观察 aoc， 它存在于一个大三角形 a c、 e 当中，所以想求阴影部分的面积，我们不妨先把 a、 c、 e 的 面积算出来。 a c e 底， c e 为四高，也就是大正方形的边长为六，所以 三角形 a c、 e 的 面积即为四乘六除二， 也就是等于十二。好，那我们如何去求 a c、 o 的 面积呢？我们需要去观察这两个图形，它们之间有什么联系。不难发现， a c o 和 a c e 它们其实共用了同一条高， 那么这其实是一个等高模型，等高模型两个三角形的面积之比，也就是底之比。 所以呢，我们想求这 a c、 o 和 a、 c、 e 的 关系，只需要求出它们底的关系，也就是 a o 和 a e 的 面积就可以了。 好，那这个时候 a o 和 a e 的 关系怎么求呢？就要用到我们今天的重难点沙漏模型了。什么是沙漏模型？给你一组平行线，我们交叉得到两个三角形 a、 b、 o、 c、 d， 那 么这两个三角形的底 ab 和 cd 共处在平行线上， 它们用了一个共角， o 对 菱角是相等的，所以这就是沙漏模型，因为它长得特别像一个沙漏。沙漏模型的结论是什么呢？就是对应边比例都相等，也就是 ab 比上 cd 就等于 o， b 比上 o c 也等于 o a 比上 o d。 好， 那我们就把沙漏模型运用到我们这个题目当中，我们会发现 a、 d 和 c、 e 它就是一组平行线， 且这里有一组对顶角相等，所以我们能得到三角形 a、 o、 d、 a、 o、 d 和三角形 o、 c、 e、 o、 c、 e 即可组成沙漏模型。 好，而且我们知道 a、 d 和 c、 e 分 别为这两个三角形的底，那么 a、 d 比上 c、 e 即为六比四，也就是三比二。 a o 和 o e 刚好是这两个三角形的斜边，所以呢，斜边之比和底之比就应该是相同的，这是沙漏模型的结论。那么 a o 比上 o e 也等于三比二，相当于 a o。 如果是三份的话，那么 o e 就是 两份，那么整体 a、 e 的 长就应该是三加二，是五份，所以我们能得到那 a o 比 a e 就 应该为三比三加二，也就是等于三比五。好，那现在我们已经通过沙漏模型得到 a、 o 比上 a e 等于三比五， 那么底之比为三比五，所以在这个等高模型当中，面积之比应该也为三比五，那么阴影部分的面积 就应该是 a、 c、 e 面积的啊，五分之三，那么阴影部分 a、 c、 o 的 面积其实就应该为 a、 c、 e 面积的五分之三，即等于十二乘以五分之三， 所以最终答案呢，就为七点二。好，那总结一下这道题呢，我们就用了小升初必考的一个考点沙漏模型的结论，对应边的比例都相等来去解决的好。那这个结论你学会了吗？
4760超尘浩雯思维进阶(小)
03:36查看AI文稿AI文稿初中几何一共有七十四个常见的模型和辅助线，而这里的绊脚模型它既在全等当中应用，又在旋转当中考察，又在我们正方形性质当中出现，所以它出现的频率太高了。今天我一个视频再带大家复习一下我们绊脚模型解析的 宗旨，那我这里只把绊脚模型相关的题型就都能秒出答案了。 那有关于咱们初中几何必会的这些模型辅助线，我都给大家梳理出来了，如果咱们孩子做到复杂压轴题，还没有思路，做不出辅助线的，一定要打印出来啊，咱们逐个模型的配合着老师的讲解来去学习好不好？ 下面咱们就来一起看一下这道题。已知 a、 b、 c、 d 为正方形角， f、 d、 e 等于四十五度。来，下面呢，我们有了正方形的直角，有了四十五度，那在九十度当中包含了一个四十五度的角，这个我们就叫做半角。 后期呢，我们还会研究到一百二十度当中包含六十度，这也叫绊脚。那无论是哪一类绊脚模型，咱们解析的本质永远都有一个哎，我们用一个技巧就可以解决这类题了，我们叫做拼好角的方式， 哎，大家都完成过拼好饭是不是？拼好饭系统对不对？今天我们用拼好角系统来解决这种题， 什么意思啊？就是你看九十度当中含一个四十五度，剩下这俩角我标上小叉和小圈，你就会发现小叉和小圈相加，永远都等于四十五度， 哎，这也是四十五度，他俩拼在一起也是四十五度，你有没有一种冲动想把他俩拼在一起，拼好角，拼成新的四十五度角，所以这种题解题的思路就有了。我们其实可以把哎，这里的这个大的三角形怎么样？ 哎，旋转到这里，这个时候你会发现两个小叉，哎，一个小叉，一个小圈，这个时候不就拼在一起拼成一个四十五度角了吗？ 那有一些初一的孩子说，我没学旋转，那这里怎么做呀？那你用截长补短的思路就行了，这不是九十度吗？你延长出来这一段，让他和谁相等啊？和这一段相等，你也是可以证明这两条边和这条边相等，看没看见， 所以在这里面我们就实现了通过全等三角形把角度进行转移，小叉挪到这，和小圈拼成好朋友。四十五度角，原本有一个四十五度角，两个四十五度角出现了，它是相等的角， 中间又有一堵公共的墙，叫做公共边，所以这里有一边有一角来，只要再找一个条件，就能正全等了。又有一组新的三角形，而这个条件在哪呢？ 是不就在这啊？这两个三角形全等，所以这里面蓝色的这个 f、 e、 d 和这边的三角形，假设是 m a、 e、 d， 它俩就是全等的喽。那两个三角形全等，我们就有对应的边角关系啦，对不对？哎，那剩下的这些边角关系就可以为我们后续的证明提供更多有利的条件了。 那这就是绊脚模型。总结一下，核心就是利用拼好角。你说旋转全等也好，截长补短正全等，构造全等也好，我们只要把它拼到一起，就能构造出二次全等的三角形，为我们后续的证明提供更多的条件，那你学会了吗？
413依依老师初中数学
