包河区一模数学几何

来吧，朋友们，包河区的异模试卷，这份试卷是我认为这几张异模卷当中最值得推荐的一份，如果我们是安徽其他区的学生的话，一定要打印下来做一做。除了第十四题我没有搞懂他出这个题是啥意思之外，其他的 选择题，第九题，第十题，计算题、圆的题目，二十二、二十三，都非常值得我们去研究。好吧，选择题的第九题，这道题多元变量求最值问题，无论是咱们初中还是高中都是研究的重点， 多元问题一般的是两个方向，要么是给了变量关系让你去消圆，要么就是整体代换。这个第九题考的非常好啊，把这个类型放在二十三题的最后一问，也是非常合适的。 第十题呢，他虽然说和包河区的题目是一模一样的，但是也不妨碍这个题目是一个好的题目。好吧，考的能力非常多，要会画图，要会知道翻着里面的等腰，要会找全等，会找相似，会求最值对不对，非常综合啊，虽然有点难，但是值得我们去研究的。 然后这个填空题第十三题呢，之前的安徽中考卷是考过类似的题目的，只不过之前是一个选择题啊，这里他给的是一个填空题， 嗯，圆当中含有菱形，这个结构也是非常经典的。第十四题，我也没搞懂他这个题目出的是啥意思，我这里写的话呢，是用两个长两个方法，一个是都是高中的，一个是主元法， 一个是主研方，一个是用这个伟大定律求的。这些方法安徽一般都不会考的。好吧，所以我也没搞懂他这个啥意思啊。 然后计算题里面前面题目都是中规中矩，然后难度不算大。呃，从这个圆开始啊， 原这个题目考的也非常好，切线的知识对吧？切线里面非常经典的结构叫弦切角定力结构。这个地方考了考了相似。嗯，考了各部分理，对不对？求关系啊。知识点非常综合，考试的时候 如果说是技术还不错的话，应该是写的出来的，但是基础一般的学生想写出来挺困难的。 然后这二零一题找规律，这个题也挺不错的。好吧，也挺不错的，是一个新定义问题。这种问题呢，也会也是咱们安徽的一个考的主要方向。之前呢，找规律都是比较固定对吧，要么是给你式子，要么是给你图像，让你找规律，但这里这里啊，稍微综合一点点，需要你自己探讨。 然后从二十二题开始就一定好好看一看了。二十二题是非常典型的安徽中考题的这种特征，考全等考相似啊，各种知识综合，还考中卫线，甚至你还可以去倒脚。就是答题方式有很多。 这个第一小问，你可以过点 g 做 a b 的 平行线可以解的出来，你也可以延长 a， a e 交 d， c 去点 h， 这样解也能解的出来，但是方法可能还不止这两种，其他方法也是可以尝试的好吧。第二题 啊，第三题证明这个是一等六三角形，你可以去倒角计算，倒角是可以的，你也可以去用中位线去计算，这就是安徽考试的特特征。呃，图形的结构不算特别复杂。然后呢，解法多，考的知识点也综合非常好啊， 二十三题更是不用说。前面两位非常经典，一种是求三数的值，一种是求面积。 这个球面积呢？呃，没有给你画图对吧？你要会画图，然后面积最值问题非常经典，这是必会的，是必会的。第二题 也是非常好，不能说他模仿模仿中考卷啊，去年中考题不就是考了一个什么呃，与参数无关的问题吗？对不对？考归考，但是这种题目非常好，首先消元 对不对？其次求对直，然后表示一系列的，到最终的时候。哎，你发现还要考察你什么样？还要还要考察你这个等式的变形的能力 好吗？在考试的时候。嗯，有时间敢做的话，这个题目是有机会写的出来的，特别是对于咱们成绩比较好的学生，一定要认真看一看。

各位大家好，今天我们一起来看一下包和去一模的选填和大题的一些压轴题啊。我们先来看一下第九题，第九题呢，想要求 s 的 最大值，那我们想的函数问题呢，肯定是要去消圆这个地方呢，如果直接把这两个式子把 m n 进行消掉的话，这题是不太好处理的， 因为前面有个 m 和 n， 跟这个 m 方和 n 方这两配不到一块去，而且就算配方呢，只能求的是最小值，并不是题目所要求的最大值，所以我们希望这个地方需要继续去找它的其他的整体，那么这个整体怎么找呢？这地方提个二出来，相当于有个两倍的 m 减 n， 所以我们在这方可以去配一个完全平方公式，配个 m 减 n 的 括号平方出来，这样的话也可以去进行小圆，所以我们把前面的式子进行处理，那就是 m 减 n 的 平方，那这边呢，需要减去一个我们的呃，是减还是加呀？ 那这边相当于是减了个两倍的 m n， 所以 我们需要再加上一个 m n 就 应该等于我们的二，那这样的话，我们可以就知道我们的 m n 呢，应该等于我们的二减括号 m 减 n 的 平方，我们再进行替换，那我们就知道 s 呢，就应该等于两倍的 m 减 n， 然后再加上一个 m n， m n 就是 二减去个 m 减 n 的 平方，那么这个时候我们可以令 m 减 n 呢，等于个 t， 那就把这个整体看成个 t， 所以 s 就 等于二 t 加上一个二减去一个 t 方啊，那这不就是个关于 t 的 一个二次函数，那我们配方正好它这个二次函数呢是小于零，它就有最大值了，所以我们提个符号出来，这里面就是相当于是我们的 t 方 减二 t， 那 肯定要加上个一，那这边呢就是减去个一，那后面本来一个加二，现在加上个三，所以这样我们就可以了，它的最大值呢应该是三，所以选择我们的 c 选项。 再来看到我们的第十题，第十题想要得出答案挺简单的，但最后的那个选项呢，正确的结果不太好算。题目说呢，这是个矩形的 a， b， c， d， 然后 p 点呢？从我们的 d 出发往 a 走，速度呢是一厘米每秒，然后我们的 q 点呢，是从我们的 b 出发，然后往 c 走，然后速度是两厘米每秒。 当一个点到终点的时候，另外一个点也停止，然后再这样我们的这个四边形沿着 p q 进行折叠，直到这样一个四边形，然后问结论错误的事，第一个他说如果 p q 交对角线于点 e 点，然后求证我们的 q e 等于我们两倍的 p e， 那你想我们就画个这个图了，对于我们的 a 选项而言，他始终呢有个这样的一个两倍关系，所以这也是这题解题的关键所在啊，他说 p e 啊，不是 p e， 就 我们这样这一个关系就是 运动关系点 p 在 这，我们假设他的长度呢是个 t， 那 这边呢就自然是个二 t， 那 这样的话，我们可以知道这是我们的 q 点，这是我们的 b 点， 那我们把 b d 一 连，这地方呢，就会形成形成个这样的一个八字形的相似，那这个相似比就是多少呢？相似比就是一比二，所以这样的话，我们假设这个点是我们的点 e， 我 们就自然可以得到 p e， 比上一个 q e， 也就等于一比二，那也就是题目说的 q e 等于两倍的 p e， 这个是没有问题的。好，再看我们的 b 选项，他说如果点 d 呢？在我们的 a c 边上 啊，这不是点 d 啊，这是 d 一 撇点，这个一撇是吧？如果 d 一 撇点在我们的 a c 边上，那 d 一 撇点在 a c 边上，说明 这个角，这两个角本来就要相等，那 p 一 撇点，又要在这 a c 边上，说明这个角是个零度，那我们只能得到 p q， 此时那是个数值的状态，就这样的话，折过来 p 一 撇点，相当于平着折过来那 d 一 撇点才能在我们的 a d 边上。所以第二幅的图呢，我们重新画一下，它应该长什么样呢？它应该大概长这样子的 啊，这是我们的第一撇点，大概在这，然后折过来啊，那这样的话，我们的 p q 就 在中间，那就是 p， 这是我们的 q， 这是我们折过来的第一撇点，这边呢，就是我们折过来的 c 一 撇点， 他要说 b q 等于两边的 c q， 那 刚刚还是一样，有一个两倍关系永远不会改，这个的两倍关系永远是不会改，所以我们说上面的是 t， 那 下面的自然呢，就是我们的二 t。 然后又是因为这是个矩形，所以我们可以知道我们 q c 的 长度也是个小 t， 折叠过来，所以这也是个 t， 再根据和差关系一减，这也是个 t。 那 题目说 b q 等于两边的 c q， 自然是没问题的。 b q 等于两边的 c q 啊，两边的 c q 啊，在这，所以 b 也是对的。 c 选项，它如果说射线经过我们的 a 一 撇点， 它说明我们的 a p 和我们的 c 一 撇 d 一 撇，它们俩互相平分。那我们再来看一下我们的 c 选项， c 选项我们还是一样画个矩形，他说经过我们的 a 一 撇点，那这样的话，我们先把经过画出来，那这个图大概得画什么样的呢？折叠折成这样子， 好，大概就这样的一个图，这是我们的 d 点，这是我们的 p， 然后这是我们的 c q， 它既是 a 点，也是我们的 c 一 撇点，这是我们的点 b。 然后呢，再把我们的 c 一 撇 d 一 连啊，不行，它应该是经过啊，并不是说重合。那我这个图画的还不对了，它要是经过经过的话，那我们就折小一点， 这边折过来，那 c 一 撇点大概在这，这是我们的 c 一 撇点，做了个垂直，垂到这来，这是垂直，这是垂线。 好，所以这个点是我们的第一撇点，这是我们的 b 点啊， p 点，这样差不太多啊， q 点拉过来， 好，这个时候它想要说明什么呢？它是我们的 a p 和我们的 c 一 撇 q， 它们来干嘛呢？互相平分，那互相平分，说明这个点既是我们的 c 一 撇 d 一 撇的中点，也是 a p 的 中点。那我们想到什么东西呢？平行四边形对角线互相平分，或者说是我们的八字形全等， 那我们只需要证明出来这两个三角形之间是个八字型全等就可以了。那目前我手上有的信息是什么呢？这是个直角，所以这两个线呢？本身是一个互相平行的线，那我们就知道对顶角又相等，直角又相等，他们俩已经是个相似了，那么接下来只需要找个边的关系就可以了。 这个边，这个边的关系从何而来呢？我们目前唯一知道的信息还是一样，它是一个 t， 它呢是一个二 t， bc 的 边长呢，是一个小 a， 那么他的话 c q 就 可以求出来。我们 c q 呢，应该是 a 减二 t 折叠的关系，那我说 c 一 撇 q 也是个 a 减二 t， 那 这方关键藏了个什么东西呢？他藏了个叫有平分，有平行， 必有等腰三角形，这是我们讲过很多遍的一个东西，你看这个线是个角平分线，这个线呢，又是个平行界的内错角相等，所以我们假设这个角如果是个 r 法，那么它就是个 r 法。内错角相等，这个角也是个 r 法，所以我们可以得到这两个边是一个相等的状态， 那么折叠的关系，我们的 d 撇 p 也是个小 t， 那 a p 是 能够求出来的 a p 是 多少呢？ a p 应该是我们的 a 减去一个 t 啊，它是个 a 减 t， 所以折过来到这这条边，整个的也是 a 减 t， 那 我们就可以把 a 撇 c 给它求出来了。那我们 a 撇 c 应该等于什么呢？应该等于 a 减 t， 再减去个括号 a 减二 t 求号，它的结果就等于 t。 哦，原来它的长度是个 t， 那 这题也就搞定了，那我们就可以得到，原来 a c 一 撇等于我们的 p 抵一 p， 那 这两个边相等，中间有个相似的菱角的相等，所以这两个三角形肯定全等，所以这个点必会是他们俩的各自的终点啊，所以互相平分，所以 c 选项也没有问题。 那么 d 选项该怎么解决呢？ d 选项呢？它要求它的距离的最小值，它的关键在于什么呢？它能与我们的 a 选项 u a 得到， u a 得到什么东西呢？对于 d 选项而言，那么 u a 可以 得到。我们刚刚讲了，这个 p q 啊，无论怎么跑，它一定会经过这个点 e， 这个点 e 有 什么特点呢？这个点 e 是 我们的 b、 d 的 三等分点 啊，那这样的话，我们就知道我们的 p q 呢是过定点，这个点呢是我们 e 点 e 点是我们的 b、 d 的 三等分点。 那这个时候我们要求什么呢？我们要求 a、 c 一 撇距离的最小值，那将求最小值，那么就是三角形的三边关系，两边之和大于三边，两边之差小于三边，要么就是同向共线最短，反向共线最长，知道吧？所以我们需要把 a 撇 c 找到，它在什么样的三角形里面呢？它在这样的三角形里面，在 a 一 撇和我们的叫做 c 一 撇中， 所以我们把它一连，那我们就知道，在这样的一个小三角形中，它就满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。所以我们就知道我们的 a e 撇 a e， 加上用我们的 c 撇 e 的 长度就会大于我们的叫做两边之和大于第三边，那就两边之差了。因为它要求的最小值，那就是 a e 减去一个叫做 c 一 撇，一就要小于我们的 a c 一 撇，但这方可以取等号，因为它不一定非得形成三角形，它可以三点公切，那我们只需要把 a、 e 和我们的叫做 c 一 撇一的长度给它求出来可以了，那这个长度怎么求呢？ c 一 撇一就等于我们的 c e， 那 e 点是个三等分点， 那么 c 一 的长度应该等于多少呢？它应该等于根号下，那这块做个垂直，这是个三等分点，所以整个的 bc 呢？ ab 是 我们的三，所以这个地方三等分点，它就是根一，然后这块的长度它是个三等分点，所以这应该是它的三分之一， 那它就是个根号二，那这边呢，应该是我们的二，所以应该是二的平方加上一个根号二的平方，所以应该等于个根号六。 那我们 a 一 的长度应该等于多少呢？ a 的 长度应该等于，那这边就往上做了个垂直，所以这边是我们的一，这边呢应该是个三分之二，就两倍根号二，所以它应该等于根号下二倍根号二的平方加上个一的平方，应该等于三啊，所以它最终结果应该是三减根号六就要小于等于我们的 a c e p， 那说明 a c e 撇它的最小值就应该等于三减根号六，所以确实 d 选项它是不对啊，所以就应该选择我们的 d 选项。好，这是我们的第十题。再来看到我们的第十四题，十四题呢，第一小问非常的简单啊，我们就直接过第一问，答案给的结果是，给的是，看看答案哈，答案给的是一 看第二个问，第二个问，他说这样的一个函数呢，是个关联函数，那说明这个点在我们这个函数上，这个点也在函数上，这是题目说的，所以我们给他代入， 那就是 b 等于 m 分 之一个， a 方减三，这边就是负 a 等于 m 分 之一个负 b 的 平方，那不就 b 方想肯定是一式和二式，那我们来做个叉，一式减二式就可以得到，那就是 b 加 a 等于 m 分 之一个，这边就是平方。差公式， a 加 b 乘一个叫做 a 减 b， 关键的地方在于什么呢？ a 方和 b 方不可能相等，所以 a 减 b 不 可能是个零， a 加 b 也不可能是个零，所以这两边 a 加 b 可以 直接消掉，再把 m 乘过来，所以我们可以知道 m 原来可以写成 a 减去个 b， 那 这地方就涉及到一个转换的思想了。 我这个 m 等于 a 减这个 b， 可以 怎么去理解呢？因为我这个 a 和 b 就是 任意两个字母，所以我可以把 a 理解成是我们常见的就是横坐标嘛，就可以理解是 x， b 呢，可以理解过纵坐标就是 y， 所以 我们这个式子可以理解成是 m 等于 x 减 y， 看的不熟悉，我们进一步可以把它写成 y 等于 x 减 m。 哦，那这不就是我们熟悉的老朋友吗？这就是个一次函数，知道吧？啊，那也就说明我这个点呢，需要满足在这条直线上，那我这个点呢，又需要在这个二次函数上，那我们就可以把它进行连立了， 所以我们把它进行连立呢，那我们就可以得到 y 等于 m 分 之一个 x 的 平方减三。同时呢， y 又要等于我们的 x 减 m， 那 不就是 x 分 之一个 m 的 平方减三，要等于 x 减这个 m。 那么对于这个式子而言，那你想我这个点肯定要存在，所以这个方程呢，他必须得有根，那这个方程既然必须要点，有根的话，说明他的单调要大于等于零，我们得找到他的单调，那么化成一般形式，那就是方程。先化简一下吧。 一个项啊，那就是 m 分 之一个 x 的 平方减 x， 加上一个 m 减三，等于我们的零，所以交叉等于 b 的 平方，那就负一的平方减四。 a c， 那 就四乘一个 m 分 之一，再乘一个 m 减三，需要大于等于零。好，那么打个草稿，那就一减去一个 m 分 之四， 乘以 m 减三，要大于等于零，那就是它乘进去，那就是一减去一个四，再加上个 m 分 十二大于等于零，那就是 m 分 之十二大于等于我们的三，那就是 m 要小于等于我们的四，所以 m 要小于等于四， m 的 最大值就是多少呢？最大值就是我们的四， 所以这些结果应该是四。好，这是我们的二十二和我们的二十三题。 二十二题的第一小问比较简单快速过啊，占个全等就可以了。第二个要求，这个 b 的 长度，这个 b 的 长度呢？先简单看一下题目，题目说呢，这地方他们俩这个边肯定会永远相等，然后呢，告诉我们说这个点是个中点， 既然这个点是个中点，中点会带来什么信息呢？中位线，这地方我是用中位线来解决的啊，那我们只需要过点记呢，往下做个垂直 它。这个图呢，就是有点乱啊，所以我们自己重新画一个图啊，这个图我们是扫描出来的，所以就显得有点乱。 题目意思就是什么呢？这边呢，找了个 e 点，这边呢，找了个 f 点，让 c e 永远等于 c f， 然后再把 b f 一 连，这边呢，把它再一连，连完之后呢，这个点点击恰好呢会是我们的 b f 的 中点。 好，那既然你给我中点，那我就想什么呢？这个 d 连不连无所谓啊，因为它求的是 b 的 长，是吧？也用不到这个它，我们就把这个图图变得简单一点，那我就想着往下做个垂直啊，那这样的话，我们这个点假设就 m 点， 那自然我们可以到点，既是中点，你往下做垂直，这两个线又平行，那这个地方肯定是个中位线。那既然是个中位线呢，我们就不妨假设求的是谁呢？ 求的是 b e 的 长，那本着求的射，求什么？射什么原则，那我们的 b e 呢？我们就射它为 x， 那 我们就知道 c e 是 多少呢？ c e 就 应该是我们的边长，是二嘛，那就是二减 x， 那 么它呢，也是个二减 x。 关键在于来了 g m 是 个中位线，所以 g m 的 长度我们可以求出来是二分之二减 x。 那 我要的目的是什么呢？我要求 x， 我 们建立等量关系。那我们讲初中范围内建立等量关系，求线的长，要么股股定律，要么相似。那我在左边呢，有一个 a 字形的相似， 所以就是二分之二减 x， 比上它的边长是个二，那我还还得再找一个，找谁呢？我只要找出来 m e 跟这个 b e 一 比就可以了。那么 m e 是 多少呢？这个点是中点，别忘了，所以这个部分长度是一，所以 m e 就是 个 s 减一啊，所以它的长度可以求出来。原来它是多少呢？它是个 x 减一， 那我们比一下，那就是 m e 比 ab， 所以就是二分之二减 x， 比上一个二，那这样的话，我们打个草稿就变成了叫做 x 分 之， x 减一等于四分之二减 x， 交叉一下，那就是四， x 减去一个四等于二减 x 的 平方，那这个像移过来，那就是 x 平方加上一个 四， x 减去个六，等于我们的零，这么可以算出来， x 应该等于什么呢？求公式。你负 b 就 负四，正负根号下 b 的 平方， b 的 平方呢？就是十六减去个四， a， c 就 二十四加上一个，那就是四十，四十的话就是。哎，我们算的不对呢，求 b e 的 长。这边是二减 x， 这是个一，这是个 x 减一，所以是 x 减一比下去， x 等于我们的二分之二减 x， 比乘一个二， 那就四分之二减 x， 四， x 减四等于二 x。 啊，错在这啊，这个交叉相乘的时候，这地方 x 乘的不对啊，应该是四， x 减四 等于我们二， x 减去 x 的 平方，所以一个项就是 x 平方加二， x 减四等于我们的零，所以我们算出来 x 应该等于负二加减根号下 b 的 平方，那就是四减四， a， c 就 加十六，就两倍，根号五除以二， a 也就是除以二，所以这样的话，我们可以算出来 x 等于多少呢？ x 应该等于负一减根号五，那不可能的，那就是负一加根号五，所以就是根号五减一，所以这是我们的第二小问。 再来到我们的第三小问，他说这个地方有个中点，你想刚讲的 o 点是个中点， g 点也是个中点，那这条线自然是中位线，所以这个地方中点告诉我们还是一样的信息，就是中位线，你既然是个中位线，那我们就知道 这个 o g 会平行且等于二分之一个 d f， 那 你想点 g 是 终点，那 h 点是终点吗？根据这个对称性，我们整个图形是关于我们 a c 这个对角线是对称的，他肯定也是个终点，但是呢，我不能直接说他这个终点，我得去证明 怎么挣嘞，挣个全等就可以了。我只需要证明出来 b g、 e 和我们的 h d f， 它们俩如果想要挣个全等，如果挣个全等的话，那我们就可以得到。因为本身我的这个 b e 啊， b f 是 等于 d e 的， 那这个时候呢，如果我们挣出来 b g 等于 d h， 那我整个相等，然后我这个是个点，是个中点，是一半，跟你的一半相等，那我剩下一半自然肯定也相等，所以 h 点肯定就是中点，所以只需要转出来这个全等就可以了。那这个全等有什么信息呢？我们有角一等于角二， 因为在第一位，我们就证明了这两个三角形是全等的， bcf 和我们的三角形就 dce 好， 角一等于角二，我还有什么信息呢？ 因为我们的 b c 等于 c d， 然后呢， c e 呢？又等于 c f， 所以 这两个边也会相等，就是这个边 b e 会等于我们的 d f。 好， 所以我们手头有的信息是我们的角一等于我们的角二，以及呢， b e 等于我们的 d f， 那还差一点点，差什么呢？还差一个边或者是一个角。如果找边的话，只能是找 b g 等于 d h， 那 不可能，那我们就拿问题去证问题了嘛，所以肯定要找角， 这个角，这个角从何而来呢？这个角的度数应该是我们的等于它这边有八字形的这个就，那就内错角，说这个角，这个角呢等于它，然后呢，我们的这个角内错过来等于谁呢？就等于我们的这个角 啊，或者不需要这个形式啊，直接乘全等，证明这两个三角形全等也是可以的，是吧？他们俩全等还是比较好证明的，那证完全等之后，我们就可以得到这两个角也会相等，所以就是角三等于我们的角四 啊，所以我们还有个角三等于角四。那这个信息一打包，那就足以说明我们的三角形叫 b g、 e， 就 全等于我们的三角形，叫做 d h f， 所以呢，我们可以得到 h 点，它也为中点， 那 h 点也是终点，那我们的 o h 呢？也就平行且等于我们的二分之一个，叫做 b e， 那 你想 b e 呢？等于我们的 d、 f， 所以 它们俩的一半也肯定会相等，所以这样我们已经知道它是个等腰了，那光等腰肯定还是不够的，它问形状，那有没有可能是等腰直角呢？那其实是完全可以的，因为这个角是多少度呢？这个角是我们的 中位线，所以他跟他相相等，这个角是多少度呢？四十五，所以他也是个四十五度，这边呢，也是个中位线， 所以我们可以知道这两个角会相等，那这个角是多少呢？也是个四十五，所以呢，他也是个四十五度。那平角一剪完之后，中间这个角这个九十啊，所以这样的话，我们就可以知道他是个等腰直角三角形 好，再来看到我们的最后一题，最后一题的第一问和第二问呢，相对来说都不是特别的难啊，所以我们直接就是告诉大家结果信息就可以了。第一个我们求出 a 的 值， a 的 值应该等于几呢？ a 的 值等于负一。 第二问这个面积啊，把这个图一画就知道它其实就是个非常简单的水平宽和间距高啊。随后求 p 点坐标， p 点坐标呢是我们的二分之一，二分之三， 我们主要看什么呢？看第三小，这个第三小问呢，也是现在中考的方向所在哈，就是给你很多的字母的运算，所以首先大家对于这种字母运算不要畏惧，然后我们的核心思路还是什么呢？所有的代数运算，我们的核心思路，第一种是表示， 也就说用这个字母去表示另外一个字母，那表示的目的是为了什么呢？去为了去消元， 用我们的数学啊，讲究最简的结果，所以我们在做的过程中也是一样，我们要去不断的把我们这个复杂的式子进行化解，因为你的三次和二次相比，肯定是二次好算，二次和一次相比肯定是一次好算。那三个字母相和两个字母相比，肯定是两个字母好算。绝大部分情况下都是这样子， 所以我们的做代数问题都是一样，首先你要想着用其中一个去表示另外一个，然后想着能不能再去去消圆。 好，那我们先看他说呢， m 和 n 呢，是这样不同的两个点，然后呢给了这样一个关系， 这个关系我没什么好的形式，那肯定只能是交叉相乘一下，因为还是那句话，那乘法肯定比除法好算。所以我们先把它交叉相乘，那就是 s 减一，乘一个叫做 m 减一就等于我们的 m 乘一个 s， 那我们把它展开一下就可以得到，那就是减去个 s， 减去个 m， 再加上个一，等于我们 m s， 这两个消掉，所以移向移过去，那我们就可以到。原来他们俩相加呢？等于个一。 好，这是我们目前通过第一个条件得到的筹码，这比我们原来的形式就简单多了，是吧？所以你想要形成表示的形式就简单多了，是吧？我们 m 就 可以写成叫做他最后求的什么玩意 没说是吧？那我们 m 就 可以写成叫做一减 s。 好。 第二个，他又说什么呢？他又说这个抛物线存在个最小值，抛物线原来原本是长这样子的，它竟然存在个最小值。所以两个含义，第一个，首先 a 肯定要大于零， 那你既然说是最小值，那我就配方了。那我们的 y 本来是 a 倍的， x 平方减二一 x， 这个 a 出来，这里面相当于是 x 平方减二 x， 那 我肯定要加上个一，那后面要减去个 a， 所以 我的最小值是谁呢？我的最小值是负 a， 你 说最小值是多少呢？是负二， a 再加一，所以它俩肯定得相等， 所以就是负二。 a 方加一要等于我们的负 a。 哦，原来可以得到关于 a 的 个一一元次方程，那我可以把 a 解出来，那就二 a 方减 a， 再加一，等于我们的零 一是分几？二， a 和 a， 这边填个负号，这边乘个正好，好像正好知道吧，所以这样的话，我们可以算出来， a 等于几呢？应该等于负的二分之一，或者是 a 等于我们的一， 刚讲了，它是最小值，所以 a 要大于零，这个负二分之一要被舍去，所以我们算出来，原来 a 呢，就是个一好解决，那么下来他又说给了这样的一好解决，那么下来他又说给了这样的一好解决，那么接下来他又说给了这样的一好解决。 这里面又出现了两个新的字母， t， n 和 t。 t， n 和 t 是 谁呢？哦， t， n 和 t 原来是我们的，叫做 它俩的纵坐标，那这两个点我已经知道了，横坐标有这样的个关系，那你要求纵坐标肯定要往表达式里面带，所以呢，这样的话，我们可以得到 m 等于什么呢？ m 这个点是 s， 多号 t， 那 我已经知道小 a 等于一了，所以我这个表达式又更舒服了。表达式本来写人带 a 的 形式，那我小 a 已经有了，那写成 x 平方减二 x， 它们俩相比，那肯定是它更简单，所以我肯定要拿它去进行计算。那我把 t 要用 s 表示出来，为什么呢？因为我可以知道它们俩的横坐标这样的关系，所以我们的 t 呢，就可以写成叫做 s 的 平方减二 s， 那 与之相同的道理，我还过一个点 m， n 呢，所以 n 呢，可以写成 m 的 平方减二 m。 好，那现在他要把这个式子进行化简，那我们这个式子可以写成什么呢？那我们的 k 就 等于 t 减 n， 加一括号的平方，再除以一个 m 的 平方啊， t 加一 t 就 谁呢？ s 的 平方减二 s 再加上个一 好，那就等于什么呢？ t 就 可以写成什么呢？ s 的 平方减二， s 减去 n 就是 什么呢？ m 的 平方减二 m， 但注好，这个是整体括一下，再加上一个一中括号的平方 除以个什么呢？ s 的 平方减二， s， 好， 那你看我们刚刚给的形式是什么？我是把 m 用一减 s 去替换，所以这地方有 m， 我 们用一减 s 去给它替换掉，这边有 s， 那 就不要动它了。所以我的分母正好可以写成 s 减一括号的平方， 知道吧？那就是 s 不要动，把唯一的 m 替换掉就可以了。那我这里面就只会剩几个字母呢？一个字母，最后他说是不是一个定值，那说明什么呢？极有可能这个字母最后能整体把它消掉，如果消不掉，要么就是我计算错了，要么就是他还存在另外一种答案，他说不是定值吗？那我们就要去范围， 那不管怎么样，我用一个字母来表示，这个数字肯定会舒服很多，所以就是 s 的 平方减二， s 减去一个，这里面是什么呢？ m 可以 写成一减 s， 所以 就一减 s 括号的平方减去个两倍的，叫做一减 s， 中括号括一下，然后再加上个一，再来个大括号的平方， 出一个分母上就是什么呢？ s 减一的平方。好了，目前我没有什么呢？ s 减一的平方。好了，我们打个草稿，分子上就是 s 的 平方减二， s 减去一个， s 减一括号的平方，再加上一个两倍的一减 s， 再加上个一。因为 s 减一的平方和一减 s 的 平方没区别啊，这方最好啊，这方涉及到去括号，所以你每一步要算准了，千万不要算错， 那就 s 的 平方减二， s 减，去个 s 的 平方加二， s 减一。最好去括号，加上个二减二 s 再加上个一， 我会发现二 s 消掉了， s 的 平方消掉了，一和一又消掉了。所以我剩下的什么呢？剩下的就是一个两倍的二减二 s， 但忘别忘了外面有个平方哦，那这些就搞定了， 因为我的分子上剩下一个叫做两倍的二减二 s 的 平方，那我可以提个二出来，所以它可以写成叫做二的平方。乘个一减 s 的 平方， 那不就是四倍的一减 s 的 平方，所以我的分子上就剩一个四倍的一减 s 的 平方，分母上剩个 s 减一的平方，那他们俩自然就消掉了，所以结果等于几呢？四啊，所以它确实是个定值。所以这道题就是我们刚刚讲的形式，就是我们现在中考的 新方向所在了，那就是很多字母的运算，不要害怕，我们的核心宗旨就是什么呢？用其中的某一个字母来表示。那我们的所有做的目的，一切都为了消元，把式子变得更简单，那就更好算好了。这就是咱们本期视频，感谢大家收看，我们下期再见。

安徽合肥包河区一模考完了啊，这样的一套卷子我刚刚也拿到手了，这里面重点讲一下他的最后一道题目前面的整体这个卷的难度啊，并不是很高，特别是这个几何的第二十二题，这个难度比我们平时讲的一些题目难度要低很多的。那么第二十三题 可能大家觉得难集中在我们的第二个问里面，第二个问里面难的点在于他的参数很多，给的字母很多，很多学生看到以后就不知道怎样去动手了。那么对于这种问题的话，其实就是你的计算能力能不能跟上的问题， 你平时在做题目的时候，是否对计算有一定的这个认知？第二道题目我们来仔细看一下， 当然呢，第一个问的这个前提是没有了，也就说这个前提 y 等于 x 方减二 a， x 这个函数减一式呢，依旧还是包含了一个参数 a， 那 么 m， n 是 它上面的两个点，并且满足 m 分 子 s 减一等于 m 减一分子 s， 这里面后面有个后对条件，就告诉我们这个左右两边不可能为零，分母不能为零，分子也不为零，所以根据这个等式性质，交叉相乘一下， 对吧？那么交叉相乘以后呢，就是 s 减一乘以我们的 m 减一等于 sm， 这个式子呢，进一步化解一下， sm 减 sm 加一等于 sm， 这个 sm 呀和这个 sm 就 干掉了，没有了，对吧？那剩下的就是 s 加 m 等于几啊？等于一，要注意，这是 s 和 m 一个非常关键的条件，这是等量关系，也就说这个条件分式的 这个分式两边分式相等，得到的其实就是他，对吧？那么后面他又告诉我们 g 存在最小值，那么你这时候就要想了，这条抛物线 a 呢，是不清楚是多少的，但是他说他有最小值，那就说明他的开口一定是什么，一定是向上的。因为对于所有的 一些实数 x 来说，如果函数存在最小值，它一定是开口向上，所以 a 一定是大于零的，对吧？那么他告诉他的最小值是他，那么这里面这个式子呢？我们是不是可以通过配方的手段，或者是根据顶点坐标的形式，把它的最小值给它算一下？那这样的话，我是不是就构建了一个关于 a 的 等量关系？你比方说 y 等于 ax， 平方减二 ax， 对 吧？我们可以直接把它配方配成顶点式， x 减一的平方减什么？减 a？ 那 么对于这样的一个 函数来说，当 x 等于一的时候，他能够取到的一个最小值应该是多少？应该是负 a， 这个负 a 呢？应该等于什么呢？也等于他，对吧？也等于他，那就是负二， a 方加上一个几啊，加上一个一， 这不就获得了一个关于 a 的 等量关系吗？再结合一下， a 大 于零，你解一下这个 a 的 一元二次方程，这个 a 解出来以后等于几呢？他只能取一，所以这条抛物线啊，我们间接的也就给他找到了等于多少？ 等于 x， 平方减二 x。 那 么这些步骤呢？在正规考试里面，他都是有分数的，一分两分都有的，对吧？你不管你会不会写，你根据这个等式，那么这些关系呢？你都给他找到，都有分数，好吧，那后面我们再来看一下他所问的问题，他说这个式子呢，等于 k， k 是 否为定值， 大概率就是定值问题，那如果是定值的话，我们后面究竟要怎么办呢？你注意看我们左边这个分式有两个参数，一个 t， 一个 n， 那 么在这里面我们需要做的呢就是什么？就是给他进行统一 啊，一般来说是把其中的这里面有两个参数给他统一成啊，其中的一个字母，这样的话，这个分式啊，他的值就能够给他找到啊，这是常规的一些思路。那怎样去统一呢？这里面肯定要涉及到什么，因为参数比较多，你要涉及到一个消元的思想 啊，一个消远思想。那下面我进一步来看一下，这里面这个 t 和 n 是 什么东西啊？啊？是 m， n 这两个点呢？很重坐标吧，那我怎样去表示出它的重坐标呢？那直接把 m n 给他怎么办？给他带到我们这个抛物线里面来，那你得到的是不是 t 等于 s 的 啊？ s 平方减二 s， 对 吧？然后呢？ n 等于 m 平方减二 m， 那 这样的话， t 和 n 是 不就找到了呀？ 对吧？再结合一下上面这个一，这个地方有二有三，你注意看一个等式，你看到没有？哎，这有三个等式，这三个等式里面有几个参数呀？ m， s， n， t 有 四个参数，所以 sm 的 值你是没办法解出来的，那么在这种情况下呢，我们其实呢也是没有必要去解，因为他不是让你算某一个数值，某一个字母的值，对吧？那么这种情况下我怎么办？我们还是要进行消炎，我们所求的是 t 减 n 加一，这是分子吧， 对吧？那 k 等于 t 减 n 加一的平方除以我们的 t 加一，那现在我们就把这个字母给它统一，比方说这里面的 t， t 是 等于 s 方减二 s， 对 吧？ 那你会发现，哎，这个 t 如果改成 s 方减二 s 的 话，那么它的分子就变成 s 方减二， s 减， 那这个 n 等于多少呢？ n 如果也能够用 s 表示一下的话，这个后面就简单了，因为这个分子大家看一下是 t 加一， t 是 多少？ s 方减二 s， s 方减二 s 再加一，下面正好是一个完全平方式吧，对吧？那么上面这个东西关键就在于什么？这个 n 是 多少？那么 n 呢？我们又知道 n 是 等于 m 方， 看一下 m 方减二 m， 那 么这个 m 和 s 又有什么关系呢？在这个位置 m 和 s 又等于什么？和等于一吧，所以我们可以直接把这里面的 m 给它换成什么？ m 是 等于一减 s 的 啊，你把这里面的 m 给它换成一减 s， 就是 一减 s 的 平方减二 m 啊，两倍的一减 s， 对吧？你减一下 s 平方减二， s 加一，减二加二 s， 那 么这个结果呢？实际上是 s 平方减一， 所以你会发现这个 n 呢？我也给他表示出来是它吧，把它带进去减 s 平方，在本来是减一吧，前面一个符号要加上一，加上一个一，后面要注意还有一个加一啊，然后呢，它的一个整体平方， 那么上面这个东西约一下，剩下的就是二减二， s 整体的平方除以什么？下面是一个完全平方，四是 s 减一整体的平方，上面我们可以提取一个二又一平方，就是四倍的 s 减一整体的平方，除以 s 减一整体的平方，那么这一项没有了，所以最终的结果就等于几啊？就等于四， 所以这道题目呢，看上去字母参数很多的情况下，我们在这种方法也是能够把它快速找到它的答案，好吧？

各位同学们，家长们啊，今天呢，何老师来分享一下包河区的一模的选择题。第十题，这道题的话，他的 d 选项难度是非常大的啊，前面三个，如果你技术比较扎实，你是完全可以利用排除法把它做对的，但 d 选项确实有点难度，我们来看看这道题。 这题告诉我们，如图啊，在矩形 a， b， c， d 中， p 点呢？从 d 点出发，以一厘米的速度从往 a 进运动， ok， q 点呢，从 b 点出发，以两厘米的速度向 bc， 沿着 bc 进行运动， ok， 一个到达终点呢，另一个也停止。 那将 pdcq 这个四边形啊，能看出来， pdcq 这个四边形沿着 pq 进行一个折叠啊，这是类似的折叠问题，得到了 pdc 撇 d 撇， ok， 下列结论错误的是， 那在这里头们，首先啊，我们要先通过读题得到它，是一个折叠类的问题吗？其次，我们的标记你要注意，我没有任何数据，但是在这里头们，我们有速度之间的差别。如果在时间一定的话，我们假设这个为 t， 那 这个 b q 的 话，就一定是二 t， 这是应该你做好的标记， 因为时间一定，他就有这样的关系。标记好，呃，好，那就折呗。第一个的话，他说如果 p q 交 b d 于点 e， 则 q e 等于二 p e， 那 同学们，这里面我们就要进行一个连接了，对吧？我们连接 b d， 产生一个焦点，假如说咱们把它记为点 e， 好， 那在这里他们非常容易理解这只，我只需要利用平行的八字模型就可以了，是吧？因为在这里啊，你的 q e 和 p e 的 关系，我们直接利用这个八字模型不是平行八吗？ 这个拼音八，你会发现它始终满足上比下是一比二的关系，所以 q e 和 p e 的 比值也是一比二，所以 a 选项显然正确。我们再来看 b 选项，它如果 d 撇要落在 a d 的 边上时， b q 等于二 c q， 这个朋友们，你一定要重新画图啊，因为这里边这个折叠的位置是我的要求 d 撇折到 a d 的 边上，所以你要先画出符合题的图形。我们首先先画一个矩形 b 选项，咱先画个矩形 啊，我们要求了你的这个 d 点啊，要落在这个边上，那你想 d 撇应该在这，是吧？那 p， 因为它是沿着 p q 进行折叠的，所以要想在这边上，所以 p 啊，它们这个时候应该是 p q 在 一条线上，所以的话应该是这样折的， 这样折的 q 点应该在这个位置，是吧？ p d c q 啊， p d c q 翻折过来啊，我们的这个 c 落在这个 c 撇点， 那这个时候才能保证这个 d 撇刚好落在这个 a d 上。呃，那这个时候问我 b q 和 c q 的 关系，我也知道啊，你这个不就是咱的 t 吗？咱刚才标的 t 是 吧？ t 这边 b q 呢，是二 t， 那 c q 不 也是 t 吗？因为它这个时候是一个小矩形啊，所以 b q 和 c q 的 关系也是二倍关系啊。 b 选项也不难， c 选项它说如果线段 q c 撇经过点 a， q c 撇在这儿，同学们， q c 撇经过点 a， 那 这个时候应该是它们共线的时候，我们发现这个时候又不太像，那这个时候又要重新做图了。同学们，首先先画一个矩形， 先画一个矩形啊，然后的话折叠要保证它的贡献，那你可以先画最终的状态啊，要贡献先画最终的状态啊， 然后啊，先画最终状态，这是保证它贡献的状态。然后呢，找一个 p 点 好画这个中态啊，会好一点。在这里我们把点标一标 a， b， q， c 啊， d 啊，好好， 这个 c 选项朋友们是有一定的难度的啊，要么就是这个题呢，要么就是它难点就在于 c 和 d 的 排除，是吧？ c 和 d 的 排除到底哪个是正确的？ 这个 c 选项你注意这个描述啊。首先我们的条件是 q c 撇刚好经过点 a， 那 也就说此时他们属于一个共线的情况，这是咱的条件，则线段 ap， 这是线段 ap 和 cd 撇互相平分， 那在这里他们你就要进行一个思考了，是吧？到底怎么去注互相平分？其实互相平分的话应该是，那既然平分，那在这里如果这有一个焦点，我们把它记为 m 点，那应该会有 a m 等于 d 撇 m 啊，如果你这样想的话，可以的啊，可以通过全等式线，那当然老师的想法在这里进行一个联想，什么时候我们会有互相平分呢？ 哎，我会想到一个东西，对吧？什么呢？是咱们的平行四边形，八下学的是吧？我们说了，如果对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以老师把它转化成，我只需要证明这里边的 a， c 撇 p， d 撇，它是一个平行四边形就可以了。那怎么去证明平行四边形的产生呢？ 平行，平行，那我当然要把目光放在对边的平行相等上我们，所以老师的辅助线是我连接 a、 d 撇 和这里边的 c 撇 p， 我 看一看它的对边有没有平行相等的一些条件。那在这里，同学们我们首先发现了什么呀？因为它是共线的关系，所以你的 d 撇 p 是 一定平行于 c、 q 的， 而他们是共线的关系。所以在这里我会知道 d 撇 p 一定平行于 a 撇， a、 c 撇 平行已经搞定了，接下来要么正这一组也是平行的，要么正这一组平行且相等即可。所以这两个方法啊，平行且相等，那在这里头呢，我会想到平行且相等优先。这个为什么呢？因为题目中是有一定的数据的，是吧？因为有他有 t 和二 t 啊，所以的话，我知道 d 撇 p 是 t， 那 我只要证明 a c 撇他也跟 t 就 就行了，这怎么正呢？ 这怎么证呢？这也是这道题的一个难点之一，怎么去证明 a c 撇和 d 撇 p 相等呢？其实考察了一个东西，同学们考察了什么呢？考察了我们在周这个叫什么？折叠问题中。 折叠问题中一个非常经典的用法就是角平分线加平行出等腰，大家这个可以记一下啊，这个考察的平次非常高。角平分线啊，有的 啊，我们的折叠前后，他们是有对应角的相等的，所以在这里啊，老师会把让你把目光放在老师标的这两个， 是吧？阿尔法，阿尔法，他的折叠前后是对应角相等，那就是我们就类似于角平分线的感觉，而我们本身是四边形，它有平行啊，所以可以进行一个等角的转移，所以阿尔法是可以内错上来的。那在这里我就知道我可以推 a q 是 等于 ap 的， a q 是 等 ap 的， 那然后呢？ a q 等 ap， 然后呢？我发现老师，这我也不知道啊，我发现 ap 和这个 t 有 点关系，是吧？那所以在这里老师又进行了一个射源啊，又进行了一个射源，我假设这个 c q 是 y， 因为因为你这个老师标记啊，你这个 ap 和 t 加起来是 ad 的 总长， ad 呢，又等于 bc， bc 呢？我知道这边，所以咱的射源是射 c q 为 y， 那 你这个 c 撇 q 不 也是 y 吗？ 是这样的吧。那所以 ap 的 话，那我是不是可以拿二 t 加 y 再减一个 t 啊？大家看一看，二 t 加 y， 因为 bc 是 二 t 加 y， 那 ad 不 也是二 t 加 y 吗？再把一个 t 扣掉，所以这边的话应该是 t 加 y 啊， t 加 y， 那 所以 ap 的 话就等于 t 加 y， 那 当然也等于 a q 喽， 也等于 a q 了，所以我会发现 a q 啊，也是 t 加 y， 而他是 y， 那 他不就也是 t 吗？ 他不就也是 t 吗？所以的话，朋友们，我们就可以证明一组对边平行且相等，所以它是个平行四边形，所以对角线互相平分，这个 c 选项是正确的啊。这个，呃，在我们班 考前刚讲过，角平分线加平行除等腰，所以这个题他们已经做完了，单选 dog 啊，我们本身他们如果你的这个出选择题的压轴题，它就是在降难度，我们就是有排除法可以做啊。 d 选项朋友们，难度是有一些的啊。 d 选项我们来简单讲一下， d 选项说，如果 ab 等于三， bc 呢？等于三倍根号二 啊，则 a c 撇两点间的最小距离 a c 撇，那同学们，我们众所周知， a 啊是一个定点 啊，他在这不会动的，我们想求 a c 撇最小的，就是要搞清楚， c 撇再怎么动，那这个 c 撇再怎么动呢？ 其实他们这个题想想就有点有点害怕，为什么呢？因为这个 p q 是 沿着一条动直线在折叠的，沿着条动直线啊，我们动直线这样的不停的折叠，那这个折叠过程中我会发现他就乱七八糟的，我不确定他到底折到哪去了。 c 的 轨迹啊， c 撇的轨迹是很乱的 啊，这也是这个题的难点之一，那到底怎么去发现 c 撇的轨迹呢？要用到老师说的一句话叫什么呢？叫做洞中求尽， 洞中求尽啊，我知道你会感觉这个洞在害怕，那越是动态变化，你越要找到不变的量。什么是不变的呢？ 什么是不变的呢？在这里啊，大家有看答案的同学也发现了，最难的就出来了，什么是不变的，哎，跟我们的 a、 c、 d 什么都没有什么关系，谁是不变的？是一点是不变的， e 点是不变的，为什么呢？就是因为在 p q 运动的过程中，它始终满足上比下是一比二，那既然是上比下是一比二，所以这个 e 点永远是把 b d 分 为二比一这一部分，那所以 e 点在这个我们的 b d 上，它是一个定点， 它是一个定点。那这个同学们，大家先要稍微反应一下啊，就是因为这里边它始终满足 b e 比上 d， e 是 等于二比一的关系啊，所以在这里不管 p q 怎么动， e 啊是一个定点， 那所以我们就可以根据折叠的知识了，你在这里满足 ec 是 等于 ec 撇的 e， 而且是一个定点 啊，是一个定点，所以的话，你会发现 c 撇到 e 的 距离是一个定值，那这里我就可以有理有据的说了，那 c 撇的轨迹就应该是以 e 为圆心 啊，以 ec 为半径的圆上的点，以 ec 为半径的圆上的点。而在这里 ec 的 长度同学们是完全可以求出来的，完全可以求出来，因为他满足三三倍根号二呢，这个 b d 咱不也知道吗？是吧，而且还满足这样的二比一，那 ec 的 长度是完全可求的，完全可求的 求出来之后呢，我们把 c 撇的轨迹划出来，我们就可以求出 a c 撇最小值，连接 a e 连圆心减半径即可。 好吧，这个老师就讲到这为止啊，这个 d 选项你就可以自己在有理有据的算一算。好，这个题我们就分享到这，所以在这里他们对于前三个啊，你如果有能力的话，排除法这个题是一定可以做出来的，整理一下。

我们来看一下二零二六年包河区一模选择题第十题已知矩形 a、 b、 c、 d、 p 点从 d 出发，以一厘米每秒的速度向 a 运动。 q 点从 b 出发，以两厘米每秒的速度向 c 运动。因为速度之比是一比二，所以走过的路程之比也是一比二，那么 p d 比上 b q 就是 一比二。 然后再将四边形 p d、 c、 q 沿着 p q 翻折 a 选项说 p、 q 交对角线 b、 d 于 e 点，则 q e 等于二倍的 p e。 我们连接 b、 d 和 p q 交于点 e， 那 么可以得出三角形 p d、 e 和三角形 q、 b、 e 是 相似的，那么 p d 比上 b q 就 等于 p e 比上 q e， 所以 q e 等于二倍的 p e， a 选项是对的。 b 选项若点地撇在 a、 d 边上时，则 b、 q 等于二倍的 c、 q， 那 我们可以画出图形。 若地撇落在 a、 d 上，那么折痕 p、 q 是 垂直 a、 d 的， 这样四边形 p q、 c、 d 也是一个矩形，那么 p d 就 等于 c q。 因为 b、 q 是 等于两倍的 p d 的， 那么就等于两倍的 c q， 所以 b 选项也是对的。 c 选项射线 q、 c 撇经过点 a， 则 a、 p 和 c 撇、 d 撇互相平分。那我们可以在原图的基础上稍微改动一下，把 a、 q、 c 撇三个点连起来，那么角 q、 c 撇、 d 撇是九十度，那么角 a、 c 撇 d 撇也是九十度。 要证明 a、 p 和 c 撇、 d 撇互相平分，那么设它的交点为 o， 也就是证明 a o 等于 o， p oc 撇等于 o d 撇。那么显然我们证明这两个三角形全等，就可以 由折叠可知。角 d 等于角 d 撇等于九十度，那么 p d 撇和 a、 c 撇是平行的，有一个内错角，还有一对对顶角，所以再找一个边就可以了。 那我们可以关注一下折叠所得到的条件。由折叠可知， p d 和 p d 撇相等，然后 c、 q 和 c 撇 q 相等， 角一等于角二，角一又等于角三，那么角二等于角三，这样 a、 q 和 ap 就是 相等的。 那么这里我们可以设一下 p d 的 长，假设是 x， 那 么 p d 撇也是 x， b q 就是 二 x， 那 么 ap 的 长度就可以用矩形的长减去 x， 那 我们假设矩形的长设为 a 的 话，那 ap 就是 a 减 x， 那 么 a q 的 长呢？就是 a 减去二 x， 那么这个 c 撇 q 跟 c q 相等，也是 a 减二 x， 这样我们 ac 撇就可以知道它是等于 a q 减去一个 c 撇 q， 也就是 a 减 x 减去一个 a 减二 x 就 等于 x， 那 么 a、 c 撇的长度，它和 p d 撇的长度是相等的，这样两个三角形就是全等的，所以这个 c 选项也是对的。 我们再来看 d 选项，若 ab 等于三， bc 等于三倍根号二，那么 a、 c 撇之间的最小距离是根号三减一，要求 a、 c 撇之间的距离。因为 a 点是固定的点， c 撇是动点，所以我们要找到这个 c 撇的运动轨迹。 根据 b 选项我们可以知道，三角形 p d、 e 和三角形 b、 q、 e 是 相似的， 那么 p d 比 b q 等于 d， e 比上 b， e 是 一比二，那也就是说 e 点它是一个固定的点， 那么 ec 的 长度和 ec 撇的长度是相等的，那么 c 撇的轨迹就是以 e 为圆心， ec 为半径的圆，我们画出圆 e， 然后连接 a、 e， a， e 和圆的交点 是 c 撇，此时 a、 c 撇是最小的，那么 a、 c 撇的长度可以用 a e 减去 c 撇 e， c 撇 e 就是 圆的半径 r。 然后接下来我们可以把 a、 e 和 r 的 长度分别求一下。我们已知 d， e 和 b e 的 比是一比二， 过 e 点做 e， f 垂直 bc 可以 构造相似，那么 e、 f 比 dc 等于 b， f 比 bc 等于 b， e 比上 b d， 因为 b e 比上 b， e 是 一比二，那么 b e 比上 b d 就是 二比三， dc 长度是三， bc 的 长度是三倍，根号二，那么 e、 f 可以 求出来，是二， b f 可以 求出来，是二倍，根号二。 e、 f 和 b f 求出来之后，那么 f、 c 就 知道了，是根号二， e、 f 是 二，那么 ec 的 长度可以勾股定底，求出来等于根号下二的平方四，加上根号的平方二，等于根号六， 那么圆的半径 r 就 知道了。然后再求 a、 e 的 长度，我们把这个 f、 e 往上延长，交于这个点 g， 那 么 g、 e 的 长度就是三减二是一。 a g 的 长度和 b、 f 的 长度相等是二倍，根号二，那么 a、 e 的 长度就是根号下二倍。根号的平方八，加上 g， e， 也就是一的平方是一等于三，那么最终这个 a、 c 撇的长度就是三减根号六，所以 d 选项错了。

我们再来讲一下二零二六年合肥包和一模的选择题压轴题啊。第十题，我们看一下啊，题目说啊，有一个矩形， 然后呢，这个沿着 p q 往这边翻折，把这个直角梯形给它翻折到这边去啊，就这么一个情况。然后呢，这个 p q 的 位置啊， p q 的 位置的话，呃，他这个 p 点是从 d 点往这边是移动， 速度是一厘米每秒，然后呢，这个 q 点是从 b 点往 c 这个方向移动啊，这个速度是两厘米每秒，所以其实这两个关系就一比二的关系啊，大概就这个情况，我们看 a 选项，若 p q 交对角线，交 b 对 角线，余点 e， 则这个 q e 等于两倍的 p e， 这个对不对啊？这很显然是对的啊，这两个三角形是相似，而且相似比正好是一比二，所以 a 是 肯定是正确的，没有什么问题。我们再看 b， 他 说啊，如果点 d 就 翻折过来，这个 d 一 撇仍然在 a d 上， 那什么意思啊？那其实就是翻折过去啊，他这个就是翻折的夹角，就是九十度，是这样吧，那只有 d 翻折的九十度的话，他才能在 d 一 撇，还是在一条线上，所以这个 d p 啊， d q， 他 就是跟 ab 跟 cd 是 平行关系 好，那这样子的话呢，这个是 x， 就 翻折呢，这个圆是二 x， 对 吧？二 x 呢，这个也是 x， 所以 他问的是这个 b q， 这个啊，等于两倍的 c q， 那 很显然是正确的，所以 b 也是正确的。好，咱们再看 c c 啊，如果说这个翻折到这边来，这个底下这个 q c 一 撇，它的延长线正好也经过 a 的 话， 然后他就说啊，他就说这个 a p 跟这个 c 撇 d 撇是互相平分，哎，互相平分啊，所以简单的，咱们简单的看一下这个题目啊。呃，互相平分呢，实际上就是正，你看这两个直角三角形占他们全等吧，因为这两个直角三角形的话相似是很容易正的， 然后如果说他这对应的边如果也相等的话，那么这两个三角形不就全等吗？所以就是正全等关系啊。 ok， 我 们来看一下啊。呃，首先呢，我们就找边的关系，我们起初呢设的这个边是 x， 对 吧？那这个不也是 x， 那 这边就是二 x 好，呃，所以其实很容易就能发现啊，这个三角形跟这边这两个小三角形是相似关系吗？因为这个圈叉角都是对应相等的啊，相似关系，那么相似关系这底下是二 x， 这底下是 x， 那 所以这两个三角形相似之后，它的相似比是二比一啊， 所以他这条直角边是不是也是二比一，对吧？这个直角边也是二比一，那咱们看啊，这个 a b 他 跟 c d 相等的吧，而 c d 翻折过去跟这个 d 撇 c 撇是不是也相等的啊？那这是二，这是一，那这是不是就是一 啊？因为这个两段的和加在一起相等吗？等于二，对吧？所以这是二，这是一，这是一，那这两个不就相等了吗？就找到了一组对应边相等，所以这两个三角形全等啊，全等的话，我们 c 选项就是正确的。 最后我们看一下 d 选项， d 选项，这个长方形的长和宽都告诉我们了啊，一个是三，一个是三倍根号二，然后他就问这个 a 点跟 c 一 撇，这个距离 最小值啊，那这个数字当中呢？这个题目当中呢，这个 a 是 确定的，是固定的，也就是说这个 c 一 撇是个动点，对吧？而且是个翻折后的动点，如何确定翻折后动点的这个运动轨迹？ 哎，我们看一下啊。呃，刚才呢，我们看了第一问，第一问呢，他说啊，这两个三角形是相似比，是一比二，对啊，就恒定不变的。也就说大家发现没有，这个 b d 这条直线是固定的，所以这个 e 点它竟然是一比二的比，所以这个 e 点的位置是不是也是恒定不变的， 对吧？ e 点是不变的啊，那么 e c 一 撇跟 e c 也是不变的呀，对吧？为什么呀？因为这个 c 一 撇，它的位置将受到 e 的 这个影响，大家发现了没有，这个 e 间是固定的，而 e c 一 撇跟 e c， 哎，它是两个动点，是不是就可以理解为，可以理解为以 e 为圆心，这个 e c 一 撇为半径的这样一个圆， 哎，是不是这样？因为角度不变，所以这个 c 一 撇，它是在这个圆上运动， 可以理解不？ c 一 撇是在这个圆上运动，所以运动到哪里，它到 a 点的距离最短，其实大家都发现了吧，我们直接连接 a e， 对 吧？直接连接 a e， 当 c 点在这个位置， c 一 撇在这个位置的时候， a c 一 撇最短， 所以我们要求出 a c 一 撇，是不是就要求出 a e 再减去这样一个半径就可以了，对吧？半径的很好求啊，根据这个三角形，咱们用这个相似笔啊，我自己已经求过了，你们自己求一下。 好，那然后呢？我们只要求出 a e 是 不是就行了？这个 a e 其实也很简单啊， a e 的 话，咱们直接这个三角形做垂线，看到没有？用这个相似比啊，就这个三角形。呃，就是其实就直接用这个三角形啊，做个高就可以了啊，对吧？相似比我就不做了啊，这个地方求出来应该是几啊？应该是三是吧？ 然后呢，最终答案就是这一段减去这个半径啊，就得到了这一段，所以结果很显然不是这个根号三减一啊，所以这个 d 选项是错误的。好吧，所以这题错误的这个选项选 d 啊。

今天分享两套卷子啊，一套是去年的包河区一模，一套是去年的包河区二模。为什么分享这两套卷子呢？因为这个今天咱们教育员讲了啊，包河区的模考卷啊，要值得推敲， 相信去年参加过中考的孩子们都知道，去年的那个几何压轴题啊，跟这个包河区的二模的卷子压轴题非常的相似，对吧？咱不能说题目一模一样啊，就是有这个有一些解题方法，解题思路是差不多的，所以很多写过包河区二模卷子的孩子就 有灵感的，对吧？所以说呢，嗯，教育员这样讲的，肯定是有他的原因的啊。需要这两套卷子的可以私聊我，我给你发，给你写一写啊，咱们中考还有八十多天，加油！

合肥中考预谋各个区的数学试卷，哪些题目考的最好？几个盘点出来，让孩子去刷一下！第一个，先说蜀山区，别看蜀山区难度不够大，题出的真好，十三题，十四题，二十三题，非常值得刷！我们说第十四题啊，难度很大，十个孩子至少九个不会写。 第十三题虽然在十三题的位置，但是考的反比例和几何结合的问题特别优质。二十三题，第三问啊，务必刷一下，考的是初高中，结合问题横成力思想，很值得刷！ 第二个，我们说包河区，包河区最值得刷的是十四题和二十三题，二十三题经典定值问题，非常值得刷。 第十四题除了考试过程中有些已知条件有点歧义之外，其他没毛病，非常好的一道初高中衔接问题，一定要让孩子刷一下。 我们最后说瑶海区，瑶海区第十题、十四题、二十二题、二十三题都值得刷！这里面我重点说一下第十题，这是一道非常重要的折叠加重点问题，里面的隐形元 很少见，孩子务必要刷一下。最后说一下，瑶海区的二十二题出的非常好，是一道双屏模型，在结合 a 字、八字模型综合的一道题辅助线，真的好值得一刷。以上三个区的重点题型你知道了吗？一定要去刷一下！

包括去一模数学家做题，做完这道题以后，我最直观的感受，这道题充满了浓浓的中考气息，用四个字来评价，无懈可击。那这道题具体好在哪里？一块来分享一下。首先第一问给了二次函数表达是，如果题目中给了这种形式，我们的同学能不能看出什么门道来， 只不过定点问题你看出来了没有？好，这是第一个知识点。第二个知识点的话，二次函数和 a 次函数相交的问题，这个呢，也是后面中考考察的重点知识。 然后第一问的第二小问考察的是面积最大问题，面积最大问题还是转化成含有横坐标的 e o 二次函数显示求最大值啊，常规题型。好，我们再看一下第二大问。第二大问的话，上来给了两个莫名其妙的点坐标，然后他们横坐标给了一个比例关系式。 我们的同学如果刷了中考题以后，你会发现，然后利用一个横坐标代替另外一个横坐标，求出对应的函数值，然后把函数值带入了 k 的 表达式里面。然后你整理完，发现 我们的分子和分母可以约掉，约掉完之后剩余的就是个常数，就 k 是 个常数。但这道题我想提醒一下同学们，如果我以后再考察的话，这个可能考察的就不再是， 不再是内向积乘外向积找很多表和重的表的关系，或者你使用内向积外向积去处理很多表重的表关系的时候，可能你处理不出来的。这个时候你要注意一点啊，我们的九年级上册学的等比性质。

大家看，随着这个 p q 两点的运动啊，对吧？这个 c 撇点的轨迹是不是这样一个圆形在运动？ 各位同学大家好，今天呢，老师给大家分享一下二零二六年合肥包河区初中数学一模的这个近 轴题啊，一个几何压轴题，这个题目呢，和我们瑶海区的一模试卷的第十题 基本是一个一个题目出现这样的一个，呃，是他们出现这样一个同样的题型，是他们提前商量好的，还是说是一种巧合， 还是说预示着今年中考会出现这样的一个翻折动点问题，呃，不管是哪一种原因，对吧？我们今天呢，一起来把这道题搞明白， 大家看对吧？呃，这第十题呢，我们一起来分析一下啊！动点翻折的一个最值问题，在矩形 a， b， c， d 中动点 p， 从 d 点出发，以一厘米的速度向 a 点运动， 同时 q 点呢？以两厘米的速度向 c 点运动，这句话意味着什么呢？意味着它俩同时运动的话，就会什么， 一个动点到二点，另一个停止，对吧？它们一起运动，所以也就意味着想告诉你的是， b q 等于二倍的 d p， 对 吧？哎， b q 啊，等于二倍的 d p， ok 啊，然后它进行了一个翻折啊， p d c q 这个四边形以直线 p q 为轴进行翻折啊，以这个翻上去，得到了 p d 一 撇 c 一 撇 q。 对 于这种翻折问题 啊，我们一定要抓住什么呢？不变量啊，不变量，先把它搞透彻， 对吧？我们会发现，你看这个角是不是等于这个角啊，然后这个边等于这个边，也就是这地方还可以等于什么？两倍的 d 一 撇 p， 对 不对？嗯，他说下列错误的是， 呃，这题呢，比较难一点的选项呢？就是 d 选项，所以呢，老师先大家进行把 d 选项进行解释一下，比如说 ab 等于三，对吧？然后 bc 等于三倍根号二， 然后问你， a c 一 撇两点的距离最小值，那又是一个 a 是 定点，对吧？ c 一 撇是一个动点，这又是一个什么动点最值问题 啊？最值问题，那动点最值问题，我们该怎么去解决呢？对吧？我们之前讲过思路就是两个，一个是直线形的啊，直就是动点的轨迹，是一个直线形的，还有一个就是引元， 对吧？隐元就 c， c， c 别点在一个圆上运动，那这个 c 别点在哪上面运动呢？来，老师大家分析啊。首先大家看，我们首先把这个图形啊，三倍根号二啊，首先把基础的给它分析了，就是画一个这样的一个，嗯 啊， 这样的一个矩形啊， a， b， c， 然后这个是三，这是三倍根号二。首先呢，我们连接这个 b d 啊，然后，呃，咱们过这个 a 做垂线啊，这是三倍根号二，那么就可以算出 b d， 用勾股定律算出是三倍根号三， 对吧？然后做一个垂线，做个垂线之后啊，然后我们九根垂足是 h 啊，我们这个 a h 算一下，你可以用等面积法算出 a h 等于什么， 对吧？呃，杠六啊， a h 等于杠六，那这个 b h 呢？对，等于杠三，同理，我们在这边也做，做个垂线 啊，这样做个垂线，这个叫 n， 对 吧？然后也会得到什么？同样的 c， n 也等于这个根号六，这个也等于根号三啊，所以这是一个画的不够，尺寸不够，对啊，这是一个三等分点啊，这边也是根号三，这边也是根号三，把这个先分析出来 啊，这是数据的特征导致的这样一个情况啊，分析到这个位置之后，然后我们接下来再分析啊，大家看，我们刚刚讲过， b q 等于两倍的 p d， 这是固定的，对吧？所以我们连接什么 啊？这个 b d， 然后会交这个什么呢？交这个 p q 与点，呃，比如说 o 吧 o 啊， p q 与点 o， 那 大家想的一个问题没有，这个 o 点，是不是因为这两个三角形相似啊？对吧？就是三角形 b q o 是 不相似于三角形 d， 对 吧？啊？ p o， 那 下次之后呢？因为下面这个边的比是二比一，所以就会导致你这个 b o 啊比上 o d 是 不是也是二比一，对吧？哎，这个二比一就会说明这个长度啊，是不是固定下来的？ 就是 o d， 是 不是就固定下来等于根号三？那就是说我们把这个一点是不是正好是它三的文点， 对吧？也就是说 c o 一 年是不是正好应该肯定是根号六啊？因为这样我们刚刚研究过了嘛，这个做垂直，对吧？哎，所以这个 c 口是根号六啊，那翻折过去啊，翻折过去，那这个这个 o c 一 撇应该也等于根号六，对不对？所以 c 一 撇点到 o 点到这个定点的距离是不是始终是根号六？所以 c 一 撇是以 o 为圆心 啊，以根号六为半径的圆啊，就 c 一 撇点是以 o 为圆心，以根号六为半径的一个圆。在这个运动啊，因为 p q 在 动的时候呢， c 一 撇点也在动，它动的轨迹就是一个这样的圆， 好吧，呃，那这样的话，我们来看一下这个，我带着老师呢，也给大家看了一张一个图，我们看是不是这样一个运动轨迹啊？ 大家看，比如说这样一个图，也是 ab 是 三，然后 bc 是， 呃，三倍的二啊，然后 b q 永远等于两倍的 pd 啊，然后我们看一下 dc 撇点的轨迹啊，到底是什么样的啊？开始跟踪啊，大家看一下， 大家看随着这个 p q 两点的运动啊，对吧？这个 c 撇点的轨迹是不是这样一个圆形在运动啊？大家能理解吧？哎，所以我们把这个暂停， 所以这个 c 撇点的轨迹啊，就是这样的啊，所以呢，我们把它嗯截个图啊， 啊，放在这个位置， 哎啊，然后我们来看这个题目该怎么做啊？你看啊，既然我们一直到以这个，对吧？ b d 连起来这个点为圆心，然后以这个为半径，以根号里为半径的圆，在这运动对不对？在运动的时候，那么嗯， a b 撇最短，是不是应该是一箭穿心啊？那是不是连接圆心减一个半径，是不是在这地方最短， 对吧？所以我们现在要算 a o 的 长度，是不是算 a o 的 长度呢？这个是三等分点，我刚才给大家演示过了，我们是不是呃往下做个垂线，就做对角线的，这个垂线在这里，对吧？做完垂线之后，这个是不是应该是垂直的， 对吧？而且这个长度是刚好六，然后这个长度是不是刚好三，对不对？所以这个 a o 的 长度是不是三对？不对啊？所以这个 a b 一 撇， 对吧？啊？最小值一箭穿心嘛，最小值就是啊，三减根号六，好吧，三减根号六，所以这个 d 选项是错的啊，这 d 选项是错的 啊，这是根号六嘛，这是根号三，这也是根号三嘛，所以这个是三减根号六，好吧。啊，然后剩下的这个 a 选项就非常简单啊， a 选项刚才已经解释过了，对吧，因为这个相似嘛，所以 q， 对 啊，还有 b 的 交点是 e 是 吧？ e 也没关系啊， q e 等于两边它相似得到的，没问题啊，那第一撇在 a d 边上时，第一撇，哦，在 a d 这个边上，那我们来也来展示一下，第一撇在 a d 边上是什么时候一个状态啊？我们来看，嗯 啊，我们来看一下啊，在，这样啊，在，哎，在这里是不是正好是 d 一 撇在 a d 这个边上，对吧？就是翻折过去了嘛，能理解吧，哎，所以我们把它对吧，也截个图一起看一下 啊，那个动态问题嘛，对吧，你自己要想象出来 啊。所以第一撇在 a d 边上的时候，这时候我们开始算一下，算下这个是不是满足题目讲的这个意思啊，这个 b q 等于二倍的 c q， 这个非常好算，这样在这上面的话就是一个矩形，就是一个矩形， 所以大家看，这时候就是往这边运动，这是它的两倍嘛，所以我们设这个是 t 啊，那这个不就是这个是二 t 吗， 对吧？这是二 t， 因为它它速度差两倍嘛，然后这个因为这个矩形，所以这个 t 也下去了，所以整个是一个什么三 t 啊，所以它是它 p q 等于两倍的 c q 没问题啊， p q 啊，确实等于两倍的 啊，等于两边的 c q 啊，没有问题，好吧，这个也对的，然后再到这个 c 选项啊， c 选项它运动之后啊，经过这个 c 一 平垫，呃，这个状态呢？老师也截一个图啊？ 啊？这个状态就要大致的估计一下了啊，大致的估计一下，呃，大概在这个位置啊，大概在这个位置，好吧，大概在这个位置 啊，我们来看一下这个是不是它等于它的这个长度啊？他说什么说 q c 一 撇经过点 a 啊，那我们来画一下 q c 一 撇正好经过点 a 啊，然后问你这个是不是这条边，这条边会是不是互相平分的， 对吧？啊？ a p 和 c 一 撇，第一撇就是这个 a p 跟着 c 一 撇，这两个角也相同，然后这是直角翻过去的， 对吧？那这个角也是直角，那这个角也是也是翻过去的，也是一个直角，所以只需要证明什么呢？你只需要证明 a c 一 撇等于什么？ pd 一 撇就可以了，对吧？哎，那怎么正呢？我们来测一下啊，你看，比如说这个是 t 啊，这个下面就是二 t， 对 吧？啊？这是二 t， 然后，呃，整个这个长度呢？ 有时候我们设整个长度，就比如说我们就用这个三倍根号二来用啊，然后大家发现没有，这里有个非常重要的点，就是角平面线碰到碰到了平行线 啊，模型，这是角一，这是角二，然后这两个又平行，这是角三，所以角一等于角二，角二等于角四，角一等于角二，角三等于角一，所以是不是永远得到角二等于角三，也就是角二等于角三，也就是说我们这个地方的 ap 是 不是永远等于什么 a q， 对 吧？啊？ ap 永远等于 a q， 所以 我们这个地方是不是 a q 的 长度是不是 三倍根号二减一个 t， 对 吧？ a p 的 长度不三倍根号减一个 t 吗？那么 a q 的 长度是不是也是三倍根号减一个 t， 然后这个 b q 是 不是应该等于三倍根号二减二 t， 对 吧？然后又又翻上去了，不变形嘛？所以 q c 撇是不是也三倍根号减二 t， 所以 我们是不是就得到了 a a c 撇？对啊，所以我们就得到了什么 a c 一 撇啊。 a c 撇是不是就等于，对吧？啊？这个它来减一下嘛，有三倍根号二减 t， 减去括号，三倍根号二减二 t， 那 这样是不是得到圆也等于 t？ 哦，也就是说这个长度也是 t， 那 这是 t， 这也是 t， 那 这两三角形不全等呢， 对吧？全等之后不就是边不就是下载了吗？下载不就互相平分了吗？所以 c 选项也是对的，所以这题 a、 b、 c 都是可以判断出来的，如果 d 选项判断不出来，没有关系， a b c 啊，好好的思考一下，它是可以解决的啊。这是 d 选项，就是一个引元问题啊，是一个引元问题，很经典的引元 啊。然后我们看下这个二零二六年合肥市瑶海区初中数学一模的几何压轴题啊。第十题他思路是一样的，同样的图，只不过他这个第十节直接用了这个长度，一个是三， 一个是三倍根号二，你看问的方法其实也都一样的，你看 b 选项也对了，对不对？然后 c 选项是不是也对了？然后只有这个 a 选项和这个什么 d 选项，对吧？ d 选项呢？其实 我们完全可以用刚刚这个图就是 c 一 撇点，我就直接画了，好吧，您先临界什么？对， b d 找到找这个点，这个点表示 o， 那 么 c 一 撇 o 是 不是一个 根号六的一个引元，对吧？啊，这样一画一个这样的圆啊，对，这样一个圆，明白吧？所以这个 bc 一 撇最短距离也是一箭穿心，就是 b o 啊，减去一个半径就行了，对不对？那这个长度是多少呢？其实我们刚刚这个基础已经讲过了，这个一年这块就是垂直啊，所以这个是根号三，所以这个 bo 是 啊，二倍根号三，然后再减一个什么呢？减根号六，所以最小值应该这个二倍根号三啊，总共是三倍根号三吗？这是根号三吗？所以这是二倍根号三，减根号六，所以这个 d 选项也是 d 下错的啊， 那么这个 a 选项呢？其实 d 一 撇 p 跟 p d 的 时候求 p d 的 长，对吧？啊，这个挺好办的啊，这个就我们也把这个稍微搞一下啊， 对，看一下，这个到垂直的时候啊，哎，大家看一下，就这个垂直的状态啊，也带大家看一下， 对啊，大家看一下，这个垂直状态下，它这个是不是根号二减一呢？这个挺好判断的啊，大家看， 嗯，因为这个是 t 吗？因为这个，嗯，因为这样翻折过去，这个角是直角，那这两个角是不是都在一百三十五度？就这个是应该是四十五度啊，四十五度，明白吧？它不垂直吗？啊，这四十五度，那么接下来设这个是 t， 那 这个是二 t， 对 吧？ 那这个是二 t， 然后这条边是不是翻上去了？翻到这上面去了，所以这个边是三，这个边是三呢？那这个边也是什么三？这个边是三，总共加起来不就是二 t 加三加 t 等于啊，三倍根号， 对吧？啊，所以整个就是三 t 等于三倍根号二减三，所以 t 啊，也算出来是根号二减一啊，所以对的好吧。啊，所以这个题目大家要重视起来啊，这是一个经典的引援问题啊，那老师今天给大家分享的这道题，希望大家认真对待。

嗯，刚刚上午刚考完的合肥蜀山一模和包河区一模啊，两套数学试卷，张老师刚拿到手，大概的看了一下。嗯，包河区的一模试卷的难度包括他的中考的命题，跟中考命题方向的贴合度要更高一点。嗯， 可能是比较符合接下来二零二六年的一个中考吧。我觉得各位家长们，如果你的孩子没有做过包河区的一模试卷，嗯，可以拿出来做一做，尤其第二十三题的一元二次函数，包括第二十二题的那个几何证明难度系数还是比较大的。包河区的孩子考的不应该不一定很好。

合肥一模数学哪个区最难？今天一个视频直接告诉你，记得点赞关注！第三名，蜀山区，难度呢，四颗星！建议所有的合肥学生一定要去刷一下十四和二十三题， 第十四题非常新颖，常规的方法用起来会特别麻烦，但是用米乐园加切克星的定力，两分钟就能直接搞定。那么第二十三题是典型的初高结合题，本质就是高一的高频考点，横成力思想必须要去刷一遍。 第二名是我们的包河区，难度呢，四星半，第十四题出的也特别好，又是初高中的，这个结合思路非常值得去刷。那么第二十三题考的是定制类问题，出的也不错，但也不算特别懒。那么第一名妥妥的瑶海区啊，难度，五颗星！一句话总结就是，很多老师去考都不一定能考一百四以上， 像第十题、第十四题，第二十二题、二十三题，一定要全部的刷一遍。其实由此可见啊，现在出题的方向也是越来越新颖， 和高中的关联度也是越来越高，重思路轻计算的特点是越来越明显了。好在接下来的六十多天就中考了，也希望我们合肥的学子都能够金榜题名。好，如果还有不懂的可以随时找我聊，点赞关注，升学有帮助！

合肥一本数学哪个区最难？第三名，蜀山区，难度系数，四点二颗星！强烈建议所有合肥的学生啊，必须要刷一刷蜀山区的第十四题和第二十三题！ 十四题非常新颖，常规方法非常的复杂，但是你一旦用米乐园模型和切割限定理解题，两分钟直接秒第二十三题啊！典型的初高中结合题型，题目的本质是高一最常考的横成力思想一定要刷一遍！ 第二名，包河区，难度系数，四点四颗星！第十四题出的非常好，又是一道初高中数学结合的思想问题，除了题目有歧义之外，别的没毛病，非常值得刷！第二十三题，定制问题考的非常不错，但是不算难。 第一名，瑶海区，难度系数，四点六颗星！一句话，哪怕很多老师考也不一定考到一百四十分以上。第十题、第十四题、二十二题、二十三题，一定要全部刷一遍！关注杰哥，等着庐阳区经开区试卷出来以后继续全面分享！

今天咱们包河的一模已经开始了，我们到这个学校门口采访一个学生，顺便问一下这个一模的这个到底难不难？ 不想说话，哎，怎么了？晕了，肚子不舒服了吗？来，我们对着他已经崩溃了，看来怎么了？ 哈哈哈，我的天呐，我身后的四十八中旺湖啊，在包河区属于一个非常前二档的一个初中，今天下午呢，他这个一模考试也刚刚结束啊，很多孩子反应这个 试卷非常的难，但是没有关系，一模他考的就是难啊，就是偏门，就是把你平时全部会的揪出来，所以作为家长们，这个时候咱们一定要找问题，发现问题并且解决问题。一模的也在变相的提醒孩子们啊，自己找找漏洞，我手里面有一些一模、二模、三模啊，像这个学校或者其他学校，四十五中，三十八中呀， 或者是往年的一些试卷及解析答案，所以家长们趁这个假期把这些试卷打包啊，给你们孩子们的一些试卷打包啊，或者是往年的时候必定能捡一波大漏。

哎呀，这个上午的数学一模考完了，难啊，几个区的卷子都比较有难度。 蜀山区最后一题啊，计算量非常的大啊。包河区呢，还是比较贴近中考的。这样的一个难度的和题型啊，也比较和去年中考比较像啊，这个卷子出的比较有质量。 嗯，考炸了。没关系，心态要放好，对吧，你要适应这种难度。为什么呢？因为你现在不适应中考也难是不是？你看去年前年的数学卷也难。好吧，加油， 想要这几套卷子啊。马上，我考完之后全科全部整理出来。合肥的卷子一定要写，一定要写！讲了多少遍？好吧，私聊我，我发给你。加油。

合肥哪个区的一模最难呀？合肥的一模还没考完啊，考的最早的两个区呢，是包河和蜀山。总的来说啊，两套卷子呢，其实都是有难度的啊， 相对更难的。包河区的，你像包河区的，那这套试卷啊，选择了第九第十填空十四题的第二问以及二十三题，这几道题呢，都是有难度的啊。王老师，我强烈建议呢，我们安徽考生啊， 把这套卷子第十四题的第二问和二十三题的时候，这两道题呢，认认真真的去研究一下。你像数三的呢，第十四题的第二问以及呢第二十三题呢，也是比较有难度的。 所以这两套卷子呢，如果说孩子呢，能考考到一百三以上，那其实是还不错的，中考是完全有能力冲到一百四十分以上的啊。如果说家长呢，需要这两套模拟试卷啊，你打出一模两个字。