重庆三模数学压轴立体几何
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15:23查看AI文稿AI文稿离体集合大题还不能满分？过程书写总有遗漏，一个视频教会你轻松拿满分！ 为什么你的立体几何大题永远拿不到满分啊？经常看到后台有同学私信我，想让我梳理一下立体几何这一节的书写规范问题。 那么今天距离高考还有最后十四天左右的时间，我将带领着大家从零到一，将立体几何大题常见的一些考法，最后再梳理一遍，助力同学们在高考考场上遇到立体几何不再慌。 有一道例题是二五年的高考真题，那么为什么选它呢？因为啊，它不仅涉及到了平行与垂直的判定啊，没有垂直，只有平行，它还涉及到了一个角度的求法，除此之外，还有一个折叠，我们通过这道题还可以学会折叠的一些性质。 好，我们先看第一问，他让我们证明 a 撇 b 平行于这个平面， cd 撇 f， 那 么就是什么线面平行吧。同学们，你拿到一道题，让你证明线面平行，你要先想，你可以从哪些方向去证明，是不是有两个呀？ 一个是什么线线平行吗？我们可以通过线线平行来证明线面平行，还可以通过面面平行来证明线面平行。如果是线线平行的话，你要说 a 平行于 b 两条线它是平行的，并且 a 它不在这个平面内， b 它在这个平面内，所以你就可以说明 a 这条线它是平行于 ar 这个平面的。好，这是我们拿线线平行来证明线面平行。那如果你想要拿面面平行呢？ 面面平行的话，你得先强调这两个面它是平行的，并且你要证明的是线面平行，所以我们要说一条线，它是在这个面内 ar 的， 它是在 ar 这个面内的， 那我们就可以得到这个 a 啊，他就会平行另外一个平面贝塔。那为什么呢？因为同学们想一下，我既然两个面是平行的，不就会有其中一个平面的任意一条直线都会平行于另外一个平面吗？ 那么我们竟然讲了这个线面平行啊。把平行梳理完之后，我们再强调一下，垂直、垂直、 垂直。同样的，我们是不是也会有两种思路去证明这个线面垂直啊？第一种是什么？是不是线线垂直啊？如果同学们想拿线线垂直去证明线面垂直的话，我们要说的是 一条直线 l， 它会垂直于这个 m 和 n， 也就是一条直线，它会垂直于一个面内的两条相交直线。好，什么叫做面内呢？那你要强调 m， 它在这个平面阿尔法内， n， 它也在这个平面阿尔法内。什么叫做一条直线垂直于 一个平面内的两条相交直线呢？所以你要强调一下相交 m 交 n 会等一个 p， p 是 它的焦点。然后你再强调一下 l， 它会垂直于这个线 m， l， 它会垂直这个线 n， 那 么我们五步就可以把这个线面垂直给它梳理完。 好，那么我们是不是是不是也可以通过面面垂直来证明这个线面垂直啊？ 如果你想拿面面垂直来证明的话，是不是会有先强调一下面面垂直阿尔法，他会垂直于这个贝塔两个平面，两个平面是垂直的，然后阿尔法交贝塔等于 a， 你 两个平面的交线是这个 a 啊，那么我们其中一条线 l 它是属于其中一个平面的， l 它在这个平面 r 法内，那么那么你还要再强调一下， l 它会垂直于这条交线，那你就可以得到 l 它是垂直于另外一个平面的。 好同学们，我们基本上啊，这四个判定定理，如果你都能够很熟练的掌握的话，高考的第一问，我相信你不会再被扣分了。那么我们学会了判定定理，是不是得看一下具体的题目呀？接下来我们就看一下第一题怎么写 啊，让我们证明 a 撇 b 会平行于这个平面， c， d 撇 f， 哎，这是不是一个很明显的线面平行啊？ 如果你想要证明线面平行，我们刚刚是不是说了，你可以通过线线或者面面去推导啊，我们观察一下线线行不行，线线的话，你想要证明出 a 撇 b 平行于后面这一个平面的一条线，光看这个图好像不那么好找吧， 那我们线线这条路先搁置在一边，观察下面面平行，面面平行的话，好像就比较明显了呀，这一个平面，对吧？ a 撇 e， b 和 d 撇 f c 这个平面，他是不是一看他很像是平行的呀？ 很像是平行，我们得正出来才可以，怎么正呢？你要正的话，大概的思路应该就是，我要证明 e b， 它会平行于这个 f c， 然后就可以得到 e， b 会平行于后面这个平面， a 撇 e， 它要平行于 d 撇 f， 所以 a 撇 e 就 要平行于后面这个平面，所以我们面面平行就出来了。那我们看一下能不能挣出来这两条边，这两条边它们是平行的，我们观察一下这个题干 给了我们 ab 平行于 cd， 这一条和这条是平行的，又有了这个 ef 平行于 ab， 这一条和这条也是平行的。那我们不就可以得到这个四边形，它是平行四边形的吗？又有角 a、 b 啊，它是九十度啊，这个是九十度，所以我们就可以得到这是一个矩形，然后这个图形它怎么来的呢？ 这个图形啊，它是我们的四边形， e、 f、 d、 a 沿着 e、 f 翻折得到的，那不就是这个四边形沿着这个 e、 f 往上面翻吗？ 所以底下这个四边形所具有的性质，我上面同样具有。那么讲到这里，相信同学们的思路已经有了，我们来看一下具体过程要怎么规范。 第一步啊，我们先梳理一下折叠前后的基础条件，因为在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 平行于 cd， 那 是题目给的，且 ef 平行于 ad， 所以 这是一个平行四边形。 又因为角 d、 a、 b 等于九十度啊，这个九十度，所以有一个直角的平行四边形，它就会是矩形。那么写完之后，我们第二步来，你先证明一个先面平行， 因为啊，我折叠后，这个矩形，它的性质是不变的，所以我原来 a、 e 是 不是平行于 d、 f， 折叠后就会有 a 撇 e， 它平行于 d 撇 f， 然后利用一下刚刚讲过的线线平行，怎么推出线面平行？ 线在面内，线不在面内，所以线平行于面，这是第一个啊， a 撇 e 平行于后面这个平面，那思路是一样的吧。 eb 来 e、 b 平行于 f、 c， 所以 e、 b 它不在后面这个平面， f、 c 它在后面这个平面，所以可以得到 e b 平行于后面这个平面。两个线面平行是不就可以得到面面平行了呀？我们就可以得到，因为啊， a 撇 e 和 e b， 它相交于点 e 的， 然后 a 撇一和 e b 呢，它都在前面这个平面内，所以前面这个平面就会平行于后面这个平面。又因为啊， a 撇 b， 它是在前面这个平面内的，所以 a 撇 b， 它就会平行于后面这个平面。那我们第一问就很快的得到了。 如果说你按照这个步骤去书写啊，我相信查卷老师他不可能会扣你过的步骤分。好，接着我们来看下一步，我们讲完了这个平行和垂直的问题，是不是要考虑角度的求法了呀？ 角度啊，我们同影像量，因为现在距离高考还有最后的十四天的时间，我们不讲过于复杂的几何法，我们只讲投影向量。好，先强调一下意面直线所成的角，我们取的都是什么角啊？ 都是锐角啊，锐角，呃，这里不书写啊，都是锐角。好，来看， 我们如果想让你求 e 面直线所成的角，你就要想啊，把两个 e 面直线的方向向量给它表示出来，然后利用你在向量那一节学到的向量的数量积公式进行一个变形，是不是就可以得到口算 c 的 会等于这一串呀， 对吧？同学们，因为我刚刚强调了，你 e 面直线所成的角，我们取的都是锐角，所以你要加上一个绝对值， 绝对值啊，绝对值。好，那我们接着来看线，线角。讲完之后我们要讲什么？ 是不是线面角啊？线面角，它指的是直线与平面所成的角啊，那我们同样你要在这个平面内找出它的法向量。我们算线面角的话，是算线面角的正弦值会等于这个 直线直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦值。那同理啊，这个余弦值要取一个绝对值绝对值，那方法呢？方法的话，同样你是利用你在向量那一节学到的公式吗？对不对？ 好，线面角讲完之后我们要讲什么呢？那这里啊，这里有一个易错点，就是同学们要知道你线面角所 我们利用这个方向向量与法向量所求得的这个余弦值啊，是等于我们线面角他的正弦值。好吧，具体为什么呢？在我的八十五天冲刺系列课里面，这个立体几何这一节有讲到的啊，有讲到的 好，接着我们要看什么面面角了吧，那面面角通常是指二面角，也就是两个半平面所形成的假角。我们来看一下，核心是我们要在这两个半平面 找出它的法向量 m 和 n， 然后啊，然后计算这两个法向量他们所成假角的余弦值。 算出来之后呢，要注意，我们算出来的是加绝对值的啊，算出来的值是加绝对值的，那具体我这个二面角它的余弦值是多少？你要回归图形，我们观察一下你的几何，直观来判断你到底是锐角还是钝角， 如果是锐角的话，口算 c 塔肯定结果不变。如果是钝角，你要在你求得的值他的前面再添上一个符号。 好，那么我们角度的求法就讲到了这里，我们就选取这一道具体的题目进行一个讲解，来，我们看，他让我们求这个平面 b， c， d 撇和这个平面 e， f， d 撇， a 撇他们所成的二面角的正弦值。那我们按照思路是不是要求这两个平面各自的法向量呀？ 求出发向量后，我们利用法向量的乘积，再除掉他们各自魔长的乘积，是不就得到这个二面角的余弦值的绝对值啊， 再利用 sine 方加 cosine 方等于一，从而得到这个正弦值吧。好，我们来看，第一步是要间隙怎么建呢？因为我们通过第一问得到了这个角度啊，这里是垂直的吧，所以我们可以以 f 为坐标原点， f， e 它是 x 轴， f， c 它是 y 轴，然后啊，再过这个 f 点做 z 轴，它垂直于这个底面就可以了。 行，我们来看一下第一步，因为他这个题目啊，没有给我们具体的每一条边的长度，他只给了我们比值关系吧，所以我们看 ab 等于三倍的 ad， 我 们可以假设 ad 为一，用一位 cd 等于两倍的 ad， 然后 f 点它是中点，所以啊，这个 d， f 会等于 c， f 都是一，那因为我们第一问得到这是一个矩形吧，所以 a， e 是 不是也是一啊？那 e， b 就 只能是二了吧。好，我们得到这些条件，来观察一下 你要的这个平面 b， c， d 撇是不是坐标都可以写 b 点坐标很容易了，它是不是 x 走上距离应该是一啊， y 走上距离是二吧，然后 z 走上为零，然后 c 这个点的坐标呢，也是很容易的吧，应该是零一零吧。那 d 撇呢？同学们，这一道题重点就是这个 d 撇要怎么求了？ d 撇我们看一下，你不知道这个 d 撇 f 这一段长呀，它是由 d、 f 翻折上去的，所以 d、 f 是 不是为一， 对吧？同学们， d 撇 f 为一，然后这个二面角来看一下 e、 f， d 撇 a， 找一下 e、 f， d 撇 a 这个平面和下面这个平面 e、 f、 c、 b， 也就是说这个平面和这个平面，他们的二面角是六十度，我们观察这一条边是不是垂直于这个交线的， 这一条 cf 是 不是也垂垂这个交线？所以我们的 d 撇 fc 这个平面角，它是不是就是这两个平面所形成的二面角呀？对吧？所以我们 d 撇 fc， 它是等于六十度的啊。 d 撇 fc 六十度， d 撇 f 为一，所以 d 撇 它的横坐标啊，它的啊，不是横坐标，它的 y 轴上的距离是不就是 d 撇 f 乘以 o 三影六十度啊？它的 z 轴距离是不就是 d 撇 f 乘以三影六十度啊？所以我们可以把 d 撇的坐标也算出来，那所有的点坐标都有了向量，坐标是不就出来了？ 我们看一下你想要求得这个法向量，是不是假设先设这个 b、 c、 d 撇，它的法向量为 n、 x， y、 z， 然后啊，我们看到上面这一块，是不是可以写出这个 c、 b 向量乘以法向量等于零， c、 d 撇乘它也等于零。然后你把具体的坐标带进去， 再来，你带进去之后，你要先赋值，我们赋其中一个为根号三，令这个 y 等于根号三，所以这一整串为零的话，它就等于一了，然后 y 等于根号三，你的 x 是 不也得等于根号三呀？ 所以法向量 n 就 出来了，那同理，这个平面法，这个平面 e、 f、 d 撇 a 撇，它的法向量跟上面这一个的算法的格式是一样的，我就不细讲了，那过程就在这里。接着你有了两个法向量坐标，是不是就可以算他们的假角了呀？ 假假就是口算 c 两的绝对值会等于这个法向量的乘积的绝对值，再除掉它们各自抹长的乘积，然后算一下。其实我们这个分子啊，这个分子它应该是绝对值，然后负三再加 一。好分子应该是这一个啊，应该是这一个，然后算出来的话，结果还是不变的。你算出来余弦值之后，我们的正弦值是不是也可以直接利用这个三一方加口三一方，等于一来给它表示出来呀？ 那么我们这道题的第二问是不是就求出来了？因为它是求二面角啊，所以我们算到这里就可以结束，那么我们今天的课就讲到这里。
504小飞龙-Math
07:40查看AI文稿AI文稿开始啊，咱们来讲一下立体几何的相关大题，然后今天咱们解决这道呢，是第一道题，它包含了面面垂直的证明。二、面角计算是高考立体几何的高明考点，然后咱们来一步步拆解。 首先咱们来看一下题目，他说在四棱锥 p a， b， c， d 中， p a 呢，怎么垂直于这个平面？ p a 垂直于这个平面 a， b， c， d， 然后呢， p a 是 等于这个角等于一百二十度， 然后还告诉咱们什么 a c 垂直于 b 的， 就是这个是垂直的，对吧？然后呢，还有条件就是三角形 b， c 的是个什么三角形？是个等边三角形，就是这个三角形 b c 的。 那第一问，第一问的话，你想咱们要证明两个面垂直合一方法是不是证明一个面内的一条直线垂直另一平面，也就是找什么线面垂直，对吧？那这道题咱们来简单写下步骤，首先写个紧，然后证明 因为什么，根据已知条件咱们要找什么，找垂直吧，对吧？所以题目告诉我们 pa 垂直平面 pa 怎么的？垂直于平面 a， b， c 的， 对吧？然后 c 的 是不是也在这个平面内啊？ 在平面什么 a， b， c 的 之内，所以说怎么的 pa 是 不是就垂直于 c 的 呀？对吧？然后呢，又告诉咱们 a、 c 垂直于 b 的， 是不是写因为 a c 垂直于 b 的， 然后还因为什么呀？还因为这个三角形 bc 的 呀？它是个什么等腰三角形，咱们为什么要这么写？咱们要找什么导角度？ 那所以说是不是 a b 等于 a 的， 且什么角 b 的 c 是 不是六十度啊？那你说角 b 的 c 是 六十度，你说角 b a 的是多少度？ b a 的 还是怎么的？它又是一百二十度， 是不是？所以说怎么的？是不是角 a 的 b 是 不是等于角 a b 的 等于一百二十二十三十度？是不是因为顶角是一百二十度的一个等腰三角形？所以说咱们能推出角 a 的 c 是 不是等于九十度？也就是 说明 c 的是怎么的垂直于 a 的， 然后 pa 啊，你看啊， pa 是 不是在平面？怎么的？咱们现在已经正完了什么？ 已经马上要证出来什么？是不是证明出现面垂直，对吧？所以说咱们写 pa 属于平，在平面 pa 得上， a 得呢？也在平面 pa 得上，然后 pa 呢？交 a 得还等于 a， 所以 说 c 得这条线是不是就垂直于平面 p a 的 呀？然后咱们要正这两个面垂直，对吧？所以说因为什么呢？ c 的 在这个平面 p c 的 上，所以说这个平面啊， p a 的 是不是就垂直于平面 p c 的 呀？这第一问咱们解决了，第二问，第二问，让他们求二面角的正弦值， 对吧？二面角正弦值的话，咱们要空间向量法解决，对吧？首先咱们来找一个合适的圆点，间距要细，题目里给咱们的 a c 垂直于 b 的， 那咱们把这个点它的焦点设为什么设为 o， 那咱们以向量 o b 方向为正方向啊，为什么 x 轴正方向以 o c？ 为什么 y 轴的正方向再怎么呢？平行于怎么呢？ p a 向上键这个 y 轴 z 轴， 对吧？咱们一般是键右手系，所以说咱们键完了。然后接下来计算作表， a b 是 不是等于 a 的 等于二角 b， a 的 还等于多少？等于一百二十度，所以说什么呢？ b 的 是不是等于二倍刚好三呢？那 o b 是 不是就等于 o 的 等于刚好三呢？那等边三角形 bc 的 中，你想高， o c 等于三，又因为什么？ a o 是 等腰三角形 ab 的 底面的高？所以说怎么的 o a o 等于一，哎，等下这个 o c 啊， o 看啊， o c 是 等于什么？ o c 应该等于三倍杠三，对吧？ a o 等于一， o c 等于什么？三倍杠三对不对？所以说个人坐标咱们现在就能找出来 b 点是杠三都零都零， c 是 零都四都零， 个是负杠三斗零斗零， p 的 话，是不是零斗负一斗二啊？对吧？然后咱们接下来就要找反向量了，找反向量，首先你要找 p、 c 向量，是不是给它算出来是零斗四斗负二， p b 向量呢？是不是杠三？逗一逗负二？那这一块步骤其实可以简单点写，如果写过程的话，那我就直接跳过前面那些步骤就是，但是你们写的时候要写，所以说咱们正常接下来步骤就是设法向量，对吧？设法向量， n 向量是不是等于 x y， z 呀？然后所以说咱们能列什么？是不是 n 向量乘上 p， c 向量等于零， n 向量乘 p， b 向量等于零，然后咱们代入，代入之后呢，咱们要怎么的？ 是不是得到一个式子，是不是二 y 减二四， y 减二， z 等于零，杠二三， x 加 y 减二， z 等于零，那咱们是不得负值啊？咱们另 y 等于一，接着什么？ 是不是 z 等于二， x 等于杠二三？所以 n 限量是不是就是杠二三到一到啊？到二，对吧？那接下来还得找什么？找另一个平面 p 到 c 的 一个反向量， 那 p 到 c 的 反向量咱们也是一样的步骤我就不写了。那最后咱们能解得这个它的反向量是多少？是不是负？高三到一到二， 然后你看啊，咱们是不得先咱们要求什么？正弦值？正弦值的话在零到派内是不是都是正的？咱们不需要考虑它正负的问题。 那所以说咱们先来算一下它的余弦值，余弦值的话是不是等于它俩点的夹角对不对？是不是就等于多少？是不是二比上二倍，根号二乘二倍，根号二等于四分之一吧。 然后跟接下来求正弦值，就利用什么同角三角函数平方关系，就是塞 n， n 向量 m 向量夹角等于什么？根号下一减 cos 方，这个 对不对？是不是就等于根号下一减去四分之一的平方就等于多少？四分之根号十五吧。 然后这里要注意二面角的大小要反映在内角可能是怎么相等或互补的，但正弦值是不是都是相同的？就像我刚才说的，是不是他们在零到派上的话，你看正弦的图像，他都是正的，对吧？而且是关于什么？关于二分之派是对称的，但是余弦的话他他怎么的？零到派他是有正有负的这个分解点，二分之派， 那所以说你就要考虑这二米角的正负了，但正弦值就不需要考虑。那今天这道题咱们就讲今天这个第一问啊，咱们讲的一个是什么？是不是通过正面面垂直？咱们要想到什么？正线面垂直，线面垂直之后 再来正面面垂直，对吧？线面垂直怎么找？线面就是在这两个平面中找一条线，你看哪个线和另一个平面好，正垂直你就用哪个，然后你就基本上没有什么问题。那今天咱们讲到这。
128AAA高考数学鱼哥
33:38查看AI文稿AI文稿各位高三的宝贝们大家好，欢迎来到高考冲刺收官实讲。今天呢，我们讲立体几何，立体几何是高考最稳的满分大题，没有之一，只要你步骤规范，避开固定坑，掌握两套模板，这道大题必须拿满分。本节课不讲废话，概念全程三件事， 第一，阅卷老师最爱扣的分，问一百一十一必保的分值。第二，所有高考立体几何万能满分模板。第三，真题实战冲一百三压轴角度距离存在性难题。首先是第一板块，我总结了所有立体几何的致命扣分点， 百分之九十的同学会因为这几个步骤而扣分。首先第一个是证明题条件写不全。比如说我们在证明线和面平行的时候， 很多孩子呢，只说 l 平行于 m， 所以 l 平行于 alpha 了，没有写什么呢？一定要写上 l 不 属于 alpha， 且 m 呢，它是属于 alpha 的， 要写上这个。 而证明线面垂直的时候，很多孩子呢，只说 l 垂直于 m 一， l 垂直于 m 二，所以 l 就 垂于 r 法了，别忽略了，要写 m 一 m 二呢，是相交直线相交于某个点，这些都是老师最容易关注的一个扣分点哈。 好，接下来第二个是间隙的时候，我们不证明三条线两垂直，就开始写坐标，这也是不行的。第三个扣分点是各类角度不会转化 这一块哈，各类角度的一个转化，比如说对于线线角来说，他们求出来的，我们用向量求出来的，是向量的夹角。那跟线线角有什么关系呢？咱们线线的夹角哈，规定是一个零到二分之派。 c 它是规定属于零到二分之派，而我们向量的夹角求出来，要么是这个夹角本身，要么是这个夹角的补角，所以说需要转化成 q 线 c， 它等于 q 线两个向量夹角的余弦值的绝对值。 还有一个是线面角，线面角呢，因为存在一个互余的关系。不过我们首先也是要清楚的是，线面角规定也是属于零到二分之派， 因为我们求出来的是线和法向量的夹角，要么是这个角，要么是这个角的一个补角，对不对？而我们实际的线面角呢，指的是这个角 c 塔和阿尔法它是互余的关系，因此有三，阿尔法等于 cosine 阿尔法， cosine 阿尔法就等于向量的夹角的余弦值再加绝对值，因为有时候我们可能会求出来补角。还有一个呢，是二面角 的平面角，不过这个二面角，平面角哈，还有平面与平面所成的角，大家一定要注意区分。如果说是二面角的 平面角的话， c 塔范围是属于零到派，而平面与平面所成的夹角是零到二分之派。平面与平面所成的夹角，可以直接说扣线 c 塔等于扣线两个反向量夹角与线值的绝对值。而二面角呢，需要我们结合扣分点四一块去理解 二面角的平面角，它其实范围呢，是零到派，就像我们翻书似的，翻到这种程度是不是一个钝角， 翻到这种程度是不是一个锐角，对不对？如果说翻到这种程度还是一个直角呢，对不对？我们需要结合我们对立体几何的感知，先找到九十度作为我们的一个临界点， 开口比九十度大就是钝角，开口比九十度小就是锐角，这个时候我们判断了锐钝之后，再去答二面角的一个角度的一个大小。如果说我们目测之后发现它是一个锐角，那我们就可以说 cosine c 塔等于绝对值。 cosine 法向量加角 的那个余弦值。而如果说是一个钝角的话，我们无论求出来的是正的还是负的，先加个绝对值，最后在前面再加上一个符号，这样就不容易出错了哈。 第二模块呢，是我们总结的两套答题模板，第一类题型呢，是证明题，可以用空间向量方法去解决。第二类呢，是假角求正余弦值的一个问题。对于证明题来说哈， 无论是无论是证明平行还是垂直，我们第一件事都应该先写出所有关键点的坐标，写出目标向量。对于平面的话呢，我们需要求解他的法向量。 好，如果是证明题，假如说我们要证明线线平行，那说明他们两个所对应的向量是不是也是一个平行，所以向量呢，是一个拉他倍的关系， 而让我们证明线面垂直，线线垂直是不是向量点成为零就行。让我们证明线面平行，那就说明线与面的法向量是不是应该是一个垂直关系？ a 点乘 n 等于一个零， 让我们证明线面垂直，那线和面的法向量是不是应该是一个倍数关系？而让我们证明面面垂直，说明二者的法向量是不是也是垂直点成为零。让我们证明面面平行，那两面都求出法向量， 法向量是不是一个倍数关系？ m 等于拉姆塔倍的 n。 好， 接下来第二个呢是假角求正于弦值。假角求正于弦值。前面我们已经说过了，注意线面角 我们求出来是一个比较特殊的东西，线面角是最特殊的，它是三 c 塔等于 cosine 线和面的法向量夹角于线值的绝对值。另外两个呢，都比较常规，线线都是扣线就等于扣线，对不对？只需要加一个绝对值就行了， 扣线就等于扣线，线和线夹角于线值的绝对值。而如果是平面与平面所成的夹角的于线值，是不是扣线 c 塔就等于扣线面的法向量， 合法向量所求假角余弦值的绝对值。但是注意哈，这个平面与平面有时候他会以谁杠谁杠谁的形式出现，那就二面角阿尔法杠 l 杠贝塔。这个时候我们得需要区分锐钝，锐角的话呢，他的余弦值就达一个正值， 而如果是钝角的话呢，余弦值就达一个负值。注意，这个平面与平面还是二面角，他的一个说辞哈。 第三板块呢，是咱们的高考重难点压轴，一个是距离问题，还有一个是动点存在性的问题。首先我们来看一下第一类距离问题，距离的话呢，我们会考察两个方向，一个是点面距， 还有一个呢是点线距，其他的都可以转化成这两类。好，首先我们来看一下点到平面的距离， 比如说我们现在要求 p 到 a、 b、 c、 d 的 一个距离，那么也就是 p 往这个面上做垂线，那这个推导结果是一个多少呢？先求解一下该点和面内任何一个点连线的一个向量，再乘以面的法向量，除以法向量的模，再加绝对值。 好，那我们不画图直接说 g 到 d， e、 f 的 一个距离应该怎么求？该点和面内任何一个点连线，先有一个向量， 再乘以面的法向量除以法向量的模，距离不能有负的，所以加绝对值对不对？比如说 m 到 c， e， f 的 距离，是不是就选 m c m e m f 是 不是都行？乘以法向量，再除以法向量的模，整体加绝对值对不对？ 好，接下来是点到线的距离，比如说我们现在要求点 b 到 a、 c 的 一个距离，其实这个东西啊，我们需要记一下它的推导过程，方便咱们对这个公式记得更加精准一点。点到线的距离呢，我们需要给它构造一个三角形，先连接一下 b a 向量， 接下来我们再连接一下这个 a、 c 向量，或者说 a b， a， c 都行。哈，好，那这个时候我们可以怎么样求这一段距离呢？利用一个勾股定律，它是不是就等于根号下 ab 向量的平方减去这一段的长度， 而这一段长度能不能认为就是 ab 在 ac 向量上的投影的长度？那就是 ab 点乘 ac， 再除一个 ac 的 膜 在括号平方是不就行了？所以其实 b 到我们 a、 c 的 距离，这是 b 到 a、 c 的 距离，是不是首先我们会得到一个 b， a 也行， ab 也行，对不对？先求出一个 b a 或者 ab 当斜边，然后再求 b， a 在 后者 a c 上的投影向量的平方， ok， 那 比如说我们举一反三，要求 g 到 m n 的 距离，首先斜边是不可以认为是 g m 向量的平方，然后再减去 g m 在 m n 上的投影向量 的平方是不就行了？比如说现在让我们求 a 到 c f 的 距离，那斜边是不是就是 ac 向量了？ a c 的 平方再减去 a c 在 cf 上的一个投影向量的平方， 其实说白了就是一个勾股定律。好，这是我们的第一类距离问题。第二类呢，是动点存在性问题。我们在设动点的时候呢，需要引入拉姆塔，如果是线段上的一个动点，假如说 p 点是，我们画一个图哈， p 点是 a c 线段上的一个动点， 那我们拉姆塔范围就是大于等于零，小于等于一。如果是线段上的一个动点，但是他括号里面说了异于端点，就是说不可能和左右端点重合，对不对？ 那么拉姆塔就大于零小一，而如果他说是直线上的一个点，那拉姆塔范围就属于是一个 r 了哈，好，我们以 p 点在 ac 线段上运动，或者说在棱 ac 上运动为例， p 在 棱或者是 p 在 线段 ac 上运动，那是不是就可以用小向量 ap 等于大向量 ac 的 拉姆塔倍去设哈 设 ac 等于拉姆塔倍的 ac， 因为我们知道 ap 向量的由来是末点减，起点等于拉姆塔倍的 ac， 所以 说 p 点坐标是不是就等于拉姆塔倍的 ac， 再加上我们的起点是不就行了？ 所以比如说下次我们再遇到这个 g 点是 d e 上的一个动点的时候，咱们就设 d g 向量等于拉姆塔倍的 d e。 在 草纸上分析一下， g 减 g 减 d 等于拉姆塔倍的 d e， 所以 说 g 点就等于拉姆塔倍的 d e， 再加上一个 d 点， 是不就能出来这个动点的一个坐标了，有了动点的坐标呢？然后再按照我们正常思路去表示线面垂直，线线平行，面面平行，或者是表示一些夹角，把这个拉姆塔范围给求解出来。 如果说我们题干已经说了是线段上的一个动点，求出来拉姆塔必须得是大于等于零，小于等于一才是有意义的。其他的呢，都是无效解，都需要舍去，如果是无解的话，或者说求出来不在范围之内的有效解，那么都是不存在的。 咱们先一块来看一下这道二五年的全国一卷的立体几何题，这道题的难度系数其实并不低，但是它很具有代表性。我们先看第一问哈，让我们证明的是两个平面与平面垂直。 好，首先我们回顾一下易错点，第一个易错点呢，是我们不给他证明三条两垂直的线就开始间隙， 但是其实背后还有一个东西，咱们间隙的话，最起码是得知道每一个线段的长度。可是我们在证明第一问的时候，结合体感当中的条件，有没有告诉你每一条线段的长度呢？ 并没有说明第一问，我们只能用几何法去证明，不能用向量间隙的方法去证明哈。 好，要证明面面垂直，咱们来看一下哈，一个平面是 p a b， 还有一个平面呢，是 p a d， 要证明面面垂直，是不是需要正面内的其中一条直线垂直于另外一个面即可，对不对？好，我们来看一下题干有没有条件能证出线面垂直。 首先第一个条件， p a 垂直于底面 abcd， 那 是不就意味着 p a 垂直于底面当中这些所有的线 好，又知道 a、 b 呢和 a、 d 垂直哎，我们发现 a、 b 是 不是和 a、 d 垂直，而这个 a、 b 是 不是刚还提到了和 pa 垂直呢？所以这样的话， a、 b 是 不是就垂直于平面？ p a、 d 了？再只需要多说一句，因为 a、 b 属于 p a、 b、 d， 一 问是不是就轻轻松松挣出来了？ 好，先说因为 pa 垂直于平面 a、 b、 c、 d， 我 们要的是 pa 和 ab 垂直，所以只需要说 ab 属于平面 abcd 是 不是就行了？所以说呢， pa 就 垂直于 ab， 又因为 a、 d 也和 ab 是 一个垂直关系，这是题干给的好，那么我们现在发现两条线都和 ab 垂直，一个是 pa， 一个是 ad， 别忘了说他俩是相交直线，不然扣分哈！他俩是相交直线，并且他俩都 都属于平面，是谁都属于平面？ p a、 d， 因此 ab 是 不是就垂直于他俩所在的平面，也就垂直于平面 p a、 d 了？好，最后再只需要多说一嘴，又因为 ab 属于平面， p a、 b 线面垂直，线又属于第二个平面，则第二个平面和第一个平面是不是就垂直了？所以平面 p a、 b 垂直于平面 p a、 d。 有 些孩子上来可能第一问就间隙，哎，发现写完步骤之后没有坐标，那就完蛋了哈。好，第二问给了我们的一些长度， p a 的 长度等于根号二， ab 的 长度等于根号二， bc 呢？等于一个二， a、 d 等于一，加上根号三。好，现在给了这些长度，我们能不能间隙了呢？先看看有没有三条两垂直的线。 p a 因为垂直于底面，所以 p a 是 就垂直于 ab 和 ad， 而 a、 b 和 a、 d 本身又垂直，所以有现成的三条两两垂直的线，我们直接给它间隙就行了。间隙的时候我们就说以 a 为坐标原点，以 a、 p、 a、 d， a、 p 分 别为 x、 y、 z 轴建立空间，直角坐标系是不就行了？好，这个是 x 轴，这个 a、 d 呢，是一个 y 轴， a、 p 呢是一个 z 轴。好，第二问的第一小问呢，让我们求解的是点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内，这个 o 是 一个什么点呢？咱们先来看一下题干。说这个 o 呢，它指的是 p、 b、 c、 d 这个外接球的一个球心。好，其实我们现在发现 p、 b、 c、 d， 它什么模型，也不是直柱直锥模型，也不是漏斗模型，对不对？那怎么办呢？ 我们只好采用最原始的方法，因为咱们知道球心，球心这个点肯定到球面上，每一个点的距离是不是都相等，都是半径，所以我们就射出球心的坐标，满足球心到 p 的 距离，到 b 的 距离，到 c 到 d 的 距离，是不是都相等就行了？ 好，那我们给他设一下球心的坐标，就设 o 点，坐标为 x、 y、 z， 可以 吧？好，那么我们现在先求解一下 o、 p 的 一个长度，再求解一下 o、 b 的 长度，再求解一下 oc 和 o、 d 的 长度，让它们的长度呢都相等，是不是都等于一个 外接球的半径？ r 是 不是就行了？好，我们先看 o、 p 的 长度，该怎么求呢？先把他们所有点坐标都写出来哈， a 点坐标呢是零零零， b 点坐标是根号二，零零 c 点是根号二， 二都是零， d 点是一个零，一加根号三都是零。好， p 点呢是零零根号二。 好， o 点我们也已经设出来了，先求 o p 的 长度哈。 o p 的 长度就等于 p 点的一个坐标，减去 o 点的坐标向量各自平方，再开根号是不就行了？所以是 x 的 平方加上一个 y 的 平方，加上 z 减根号二的平方，好，它是等于个 r 的。 接下来 o b 的 长度，它等于根号下 x 减根号二的平方加上一个 y 方，加上一个 z 方，它也等于一个 r， 还有 o c 的 一个长度 o c 的 长度呢？是 x 减根号二的平方加上一个 y 减二的平方，再加上一个 z 方，也等于一个 r。 还有一个是 o d 的 o d 的 长度呢？等于根号下 x 方加上一个 y 减一，减根号三的平方再加上一个 z 方，等于一个 r， 好。 这几个东西我们看起来是不是特别难解，其实两两之间我们给他做一下叉就能解出来了哈。 比如说像这个 o b 和 o c 这两个式子，我们就可以给他平方之后再做差平方之后是不是就是 x 减根号二的平方加上外方加 z 方，等于一个 r 方，而下面呢，是 x 减根号二的平方加上一个外减二的平方，加上一个 z 方，等于一个。 都是 r 方哈，这些是不是都消了？只能说明 y 方等于 y 减二的平方，说明 y 要么等于 y 减二， y 要么等于二减 y。 是 不是这种情况很明显，零等于负二无解，所以根据这个我们就能 get 到二 y 等于二， y 等于一了， 所以解得 x 先不知道 y 等于一好，再怎么解 x 和 z 的 值呢？现在我们可以也找两个值给它连累一下，看看哪些会比较好连累？ 嗯，比如说我就拿这个 o p 和 o d 这两个长度 y 的 值，不已经知道了吗？所以先可以给他带进去。那就是第一个平方就是 x 方加上一加上 z 减根号二的平方，是不是等于一个 r 方？ 第四个式子呢？是 x 方加上这个是一减一负根二三的平方是不是三，再加上一个 z 方呢？就等于一个 r 方好？这两个式子这些是不是都消了？说明一加上 z 减根号二的平方就等于一个三加 z 方， 一加上 z 方减二倍的根号二， z 加上一个二就等于三加 z 方 好，这个 z 方和 z 方消了，一加二和三消了，所以 z 解出来呢，就是一个零。接下来我们再代入，再代入哪个式子就能把 x 的 值给解出来呢？比如说我们就代入，让这两个式子相等，可以吧？ 那就是 x 减根号二的平方加上一减二的平方就是一加上一个 z 的 平方就是零，等于一个 r 方，而这个是 x 方，加上根号三的平方是三，再加上 z 方是一个零，是不是又等于 r 方？所以 x 减根号二的平方加一，就等于 x 方加上一个三， x 方减二加三， x 方加三都消了，所以解出来 x 呢，等于一个零。因此 o 点坐标是一个零，一零零一零，很明显在不在这个平面内，所以一只 o 是 在平面 a、 b、 c、 d 内的，其实只要他的纵坐标 z 等于一个零，是不是就说明他是在平面当中的，对不对？好，接下来我们再来看一下第二问的第二小问哈。其实这个第一小问有时候我们可能想到了有思路，但是不太敢去写。 好第二小问，让我们求解直线 a c 与 po 所成角与弦值。这个就比较常规了。这个题的难点在于第一小问，哈， 好，来看第二个要求这两个线段的夹角，先求出它们所在的向量夹角 a c 向量等于多少呢？就等于 c 点的坐标根号二，二逗零。还有一个是 po 向量，刚刚我们求出来， 算了，重重新求解一下吧。哈，这是 p， 这是一个 o， 所以 p o 向量是 o 减 p， 那 就是一个零。一负。根号二，要求线和线所成角的余弦值。我们先假设 a c 与 p o 所成的角为 c， 它，那么我们现在是不是就可以说空线 c， 它就等于向量夹角余弦值的绝对值？ ok， 上边是二者的点乘，下面是二者的摩乘， 点乘的一个结果等于多少呢？点乘的一个结果是不是就是零加上一个二，再加上一个零，魔成了一个结果？ a c 的 一个膜是根号下它方加它方，所以是根号六。 而 p o 的 膜呢，是根号三，所以下面是三倍的根号二分之二分母，有理化一下，是不就是三分之根号二了？最后别忘了答答案，所有夹脚题都得答，答案，不答，答案扣分。所以直线 a c 于 p o 所乘角的一个余弦值是三分之根号二。这道题就解决了。 下面我们再来看一道二五年天津卷的高考真题。第一问呢，让我们求证 g f 垂直于平面，要求证线和面垂直，只需要保证线和面的法向量是一个倍数关系是不就行了？ 好，这个是一个正方体，所以特别好间隙，我们直接以 d 为坐标原点，以 d、 a、 dc 以及 d、 d、 e 分 别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系。好，第一问的话呢，我们就能将所有点的坐标都给它写出来。 但是其实我们为了节省时间的话，可以只写咱们所想要的一些点坐标呢，我建议把第二问、第三问的坐标也都给它写出来。 好，先写第一问的坐标哈，这一点的坐标是一个多少？这一点它是 c， g 等于三倍的 g， c， e， 说明这是一个四等分点。又知道呢，棱长是一个四， e 和 f 都是中点哈，好，大概扫一眼，那么这点的坐标是不就是一个零四三了？ f 的 坐标呢？ f 是 在 b， e， c， e 的 中点的位置，横坐标 x 呢，就是一个一半二， y 坐标就是一个四， z 坐标也是一个四。 好，再来一个是 b 点和 e 点， b 点坐标是一个四四零。还有一个是 e 点坐标， e 点坐标是二零四。下面还涉及到谁了呢？ e， b 都涉及到了， g 也有了第三问，还涉及到了一个 d 点坐标，所以我们把 d 点坐标也写出来， d 点坐标是一个零零零。好，先来证明，第一问，先求 g， f 向量， g， f 末减出，所以是二零一。 来求解一下，平面 f， b， e 的 法向量， f， b， e 的 法向量。那我们就设平面 f， b， e 的 法向量 为 n 等于 x， y、 z。 先提前准备好两个向量，比如说，一个是 f b 向量，一个是 f e 向量， f b 向量呢，是 b 减 f， 所以 是二零负四。再来求解一下，嗯， be 向量吧， be 向量等于一个多少呢？ b e， 所以 就是负二负四。四。好，那么满足，首先是 f、 b 向量点乘法向量等于个零，其次是 b、 e 向量点乘法向量呢，也等于个零。代入一下，这是二 x 减四， z 等于个零，这是负二 x 减四， y 加上一个四， z 等于一个零。首先根据第一个式子，我们可以设 x 等于一个二，则 z 是 就等于一个一了。再代入下面这个式子啊，那就是负四减四， y 再加上一个四等于零，解除 y 呢，等于一个零。所以说我们的法向量 n 就 等于先写 x， 再写 y， 再写一个 z， 他的法向量的坐标呢，就是二零一，这就是我们的法向量了。 只要满足线面垂直，也就是线和面的法向量是倍数关系是不就行了？是倍数关系吗？发现 g、 f 和 n 它俩是不是一个一倍的关系？ 因为 g、 f 等于 n 向量，所以说 g、 f 是 不是就平行于法向量 n 向量，所以说 g、 f 是 不是就垂直于平面？ f、 b、 e 好， 用空间向量的方法咱们就正出来了。接下来我们再看第二问，让我们求平面与平面所成的夹夹角。好，这一块我们先回顾回顾两个 e 混小点， 第一个 e 混小点是什么呢？是谁杠谁杠谁，比如说 a 杠 bc 杠 d 好， 这个的话就是有锐有钝，锐钝都有可能， 对不对？润润钝均有可能。接下来如果他说的是平面 a、 b、 c 与平面 b、 c、 d 所成的夹角，那肯定是一个锐角，因为平面可以无限延展，对不对？行，那么我们现在开始求两个平面的法向量 f、 b、 e 的 法向量呢？在上，因为我们已经求解出来了，现在只需要在单独求解下 e b g 的 一个法向量就行了，那我们就设这个平面， e b g 的 法向量为 n， n 就 等于 x 一 y 一 z 一， 可以吧？哦， n 已经用过了，我们是一个 m 等于 x 一 y 一 z 一， 再求出我们的 b e 向量，再求一个 b g 向量，可以吧？ b e 向量，其实我们在上一文已经知道了，所以再单独求解一下 b g 向量吧。 b g 向量 b 和 g 的 好，也就是 g， g 减 b， 所以 是一个零减四是一个负四，四减四是一个零，三减零是一个三。 好，接下来我们就能满足 b g 向量点乘 m 向量等于零，同时这个 b e 向量呢，点乘反向量 m 是 也等于零。好，代入一下哈。 b g 点乘它就是负四， x 加三， z 等于零， b e 乘以它就是负二， x 减四， y 加上一个四， z 等于零，根据上面都是角标，都要加上一哈。根据上面那个式子，我们可以先设 x 一 等于个三，这样我们就能求出 z 一 呢，就等于个四。 再代入下面这个式子，那就是负六减四外一，再加上四，四十六是不等于零，所以也就是负四外一加上一个十等于零，外一，求出来等于一个二分之五， 外一就等于一个二分之五，所以我们的反向量 m 就 等于一个多少呢？反向量 m 是 不是就等于三，二分之五 都是一个四？好，这就是我们的反向量。但有些孩子说，我这个反向量感觉负值有分数，感觉特别麻烦，所以还可以怎么办呢？还可以同比例的放大多少倍，放大二倍是不是就没有分数了？那这个就是五了，所以最后反向量也可以写成六五 八，那这个时候我们要是改的话，都要给他改成六五八哈，好，这就是我们的法向量 m 了，要求平面与平面所成角的余弦值，因为肯定是一个锐角，所以我们就先设这个夹角为 c 塔，可以吧？ 先设平面与平面所成夹角为 c 塔，直接扣在 c 塔，就等于绝对值。两个反向量的余弦值，因为肯定是一个锐角，上面是二指的点乘，下面呢是二指的一个魔乘，再加绝对值。好，我们圈出来这两个向量哈， 一个向量是 n 向量，还有一个是 m 向量，好，先是进行一个点乘点乘，结果二加上一个零，加上一八得八。 两个的膜上面 m 的 膜呢？是一个 n 的 膜，是一个根号五， m 的 膜是一个根号下三十六加二十五，加上一个六十四，所以这是一百二十五， 根号下一百二十五。 ok， 上边是一个二十，这个是不可以写成根号五，再乘一个根号五，再乘一个根号二十五，分别开出来是五和五， 所以是二十五分之二十，也就是一个五分之四，所以我们的余弦值是不算出来了，别忘了所有夹角都得答答案，所以平面与平面所成夹角的余弦值是不是就是一个五分之四了？接 下来我们看第三问，让我们求的是三棱锥 d、 f、 b、 e 的 体积。首先 d 点呢，是坐标原点，我们用荧光笔给它圈出来，让我们求其的是 d、 f、 b、 e， 好， 这样的一个三棱锥，我们给他连起来之后，嗯，看看他是不是一个好求底，好求高的一个三棱锥呢？ f、 b、 e， 按照他的说法，想让 f b， e 做底，想让 d 呢？当顶点，也就是 d 往平面内的垂线当高。按理说三棱锥我们求体积是会有一个等体积法， 可是这个等体积法能不能行得通呢？我们可以试一试，如果换，如果换这个 e 当顶点底面，就是它得求 e 到它的距离，不好求高。要换成这个得求 f 到这个平面，距离，不好求高，要换成这个，得求 d 到它的距离，每一个都不好求高。所以我们就还是按照原始的 d 当顶点， f b， e 当底面，可以吧？那么三棱锥的体积就等于多少呢？ v d f， b， e 是 不是就等于三分之一？ s 三角形 f b， e 再乘一个高 h， h 指的就是 d 到这个平面的一个距离。好，咱们先把 h 给准备好， h 就 等于是 d 到它的距离。那点到平面距离怎么求呢？还记得公式吗？这个是一个嗯白高的一个模板， 点到平面距离，先让该点和平面内的任何一个点连起来，形成一个向量，再乘以 f， b， e 的 反向量，用的是 m， 用的是 n 向量表示的，再除以一个反向量模，整体再加绝对值是不就行了？好，那我们需要提前准备好这个 df 向量。 d， f 向量，我们的点和 f 点坐标都已经写好了哈，在这在这写一下， d， f 向量是不是就是 f 点坐标，所以是一个二四四好， d， f 已经知道了哈， d f 是 二四四 好，反向量我们又知道是一个二零一，所以代入哈二的点乘，那就是四，加上一个零，再加上一个四，只需要除以法向量的模就行了，除以个根号五， 所以就等于根号五分之八，也就是五分之八倍。根号五这个点到平面距离高是已经求解出来了，接下来我们要致力于求三角形 s， 三角形 f、 b、 e 的 一个面积。 f、 b、 e 这三边的边长分别是多少呢？首先 ef 的 长度直接就是棱长， b f 的 长度直接用勾股定律，这个是一，呃，这个是一个二，这个是一个四，所以它是一个二倍的根号五。 再求解一下 b e 的 长度， b e 直接用两点锯就行了，或者是用 b e 的 模，它是就直接根号下它方加它方加它方，根号下四加十六，加上一个十六， 加上一个十六，这是三十六，所以这个长度呢，就是一个六，并且其实我们还注意到他满不满足共五定律呢，四四十六加上一个二十，就刚好等于一个三十六。好，先写好每个边的一个长度哈， e f 等于一个四， b f 长度等于一个二倍的根号五。还有一个是我们的 b e 的 长度是等于一个六， b e 的 长度呢，等于一个六，都是用勾股定律或者用向量的膜去求解出来的，发现满足 e f 方加上 b f 方是不等于一个 b e 方，因此这个 e f 呢，就垂直于 b f， 说明这个角是一个直角。既然直角三角形面积是不就等于二分之一 乘以这个 e f 的 长度，再乘以这个 b f 的 长度，所以就等于二分之一乘四乘二倍的根号五，最后结果呢，就等于四倍的根号五。行所有东西都准备好之后，直接代入三分之一乘一个底，面积再乘一个高 五分之八倍的根号五行，两个根号五，一乘和五恰好就能消了，所以最后的体积呢，就是三分之三十二。 好，有时候求体积哈，咱们需要往两个方向去想，第一个就是等体积法，如果好求高，直接用等体积法换一个顶点做尖就行， 如果不好求的话，咱们只能乖乖的用点面具，用一个空间向量的方法点面具去求高。然后三边的边长呢，都用勾股定律，或者都用向量的模的，向量的球模的方法把长度求解出来， 看看是不是一个特殊的三角形。如果说是特殊的三角形，直接就用二分之一底乘高，比如说是个直角三角形或者等边等腰什么的。如果是非特殊的三角形，咱们得用鱼线令里先求 cos 值，再求 cos 值，再用二分之一 ab 三 c 它的方法去解决。
169跟着西瓜老师学数学
13:55查看AI文稿AI文稿这是一道二四年新高考一卷的立体几何，它的这个第二问据说是用这个间隙法，不是很好解决，但是其实我还是比较推荐用间隙去解决这种高考整体的。呃，比如说我们先看一下这个第一问吧。 第一问，第一问，首先我们看一下它的条件，四轮锥 p a、 b、 c、 d， 然后 p a 呢，是垂直于底面 a、 b、 c、 d 的， 然后给了两条边的长度是什么呢？ pa 等于 ac 等于二， pa 这个是二， ac 也等于二。那我们读到这，我们是不是可以知道 paac 就是 一个等腰直角三角形啊？ paac 等腰直角三角形，那接下来又给了两条边的长度， bc 等于一，呃， ab 等于根号三。那读到之后，我们很显然就可以知道 ab 是 垂直 bc 的， 或者说角 abc 是 直角嘛，因为是一根号三二，所以它是一个直角。那接下来给一下第一问的条件。 第一问，若 a、 d 垂直 p、 d 让你证明给的是什么呢？给的是 a、 d 这条边垂直于 p、 d 这条边啊？给的这条边也就是是一个意面，直线垂直，让你证明 a、 d 这条边平行于 p、 b、 c 这个平面。 那我们首先要思考一下，我们要运用这个什么知识，比方说我要证明 a、 d 垂直于平面 p、 b、 c 理论上它是不是要证明一个线平行面？ 那我们要证明线面平行，是不是要找一个线平行线，对吧？这是我们的核心内容嘛，先分析出来，我要证明线平行面，我本质是要证明线平行线。 那接下来呢？我 a、 d 肯定要证明平行平面 p、 b、 c 中的一条直线，那我们观察一下嘛， a、 d 比方说平行过来，很显然，我如果说 a、 d 证明了平行 bc， 我 就可以了， 那我怎么证明 a、 d 平行于这个 bc 呢？因为我这里是直角，如果说我反过来推 a、 d 平行 bc， 那 我这个也是直角，也就是说我 a、 d 要证明垂直于 ab， 那我如果 ad 垂直了 ab， ad 又垂直了， ad 垂直了 ab， ad 又垂直了 p b， 那 我是不是 ad 要垂直于平面 p a b 啊？ 那我能不能证明 ad 垂直于平面 p a、 b 呢？是可以的。为什么呢？我们再推他题目给了一个 pa 垂直于 ab cd， 那 我 pa 是 不是应该垂直于 ad？ 又因为 a、 d 垂直于 p b， 那 我 a d 是 不是垂直于平面 p a b 了？哎，所以说它整个我们前后都推的话，都可以推出它这个逻辑了。嗯，稍微写一下，因为我这个 p a 垂直于面 a、 b、 c、 d， 我 们第一步证明 a、 d 垂直于平面 p a、 b， 这是我们的第一步，因为 a、 d 垂直于平面 a、 b、 c、 d， 那 我是不是可以得到 a d？ 呃， pa 垂直于这个 a、 d， 这是第一第一个条件。又因为我什么呢？题目给了 a、 d 垂直于 p b， 然后这里一定要注意啊，这个 p a 交 p b 等于 p。 哎，这就代表了你一条直线垂直于平面中的两条相交直线嘛，这个就代表了 相交直线， ok， 所以 说我是不是可以证明了 a、 d 垂直于平面 p a b， 所以 说我 a d 是 不是垂直于 a b 啊？ a d 是 不是就垂直于 a b， 这是一个直角？那我们再证明 a、 b、 c 是 直角就可以了吧。那，那就是用勾股定律证吧，因为 a、 b 的 平方再加 b、 c 的 平方等于 ac 的 平方，所以说 bc 是 垂直于 ab 的， 所以说我是不是可以得到 a、 d 是 平行于 bc 的？ 那写到这，我这样写，又因为我 a、 d 是 不属于平面 bbc， bc 属于平面 bbc， 所以 说我就证明了 ad 平行于平面 p b、 c， 哎，就是我这个一定要写清楚，就是直线外的一条直线啊，平面外的一条直线，平行于平面内的一条直线，这一步是比较重要的，那这个就是第一问，再看一下第二问， 第二问给了。若 a、 d 垂直 d， c， 也是说它给了是这个直角，那我们这个第一问的条件是用不了的，这个直角就没有。也就是说， 嗯，他现在给的条件是这个是直角，又给了一个二面角。二面角有哪个二面角的 a c p a c p d， 这个二面角的正弦值是七分之，根号四十二，让你求 a、 d 的 长度，那我们可能看起来这个题目不太好解析，为什么呢？因为我们要求 ad 的 长度，那我是未知的，对吧？ cd 也是未知，我们只是给了这个二面角的正弦值是七分之，根号四十号。那跟我们一般做的那种比较常见的题目不太一样，那我这里也可以解析，为什么呢？ 我虽然不知道 ad 的 长， cd 的 长，但是 ad 和 cd 这两条边长是满足一个勾股定律的。 ad 的 平方 加上 c、 d 的 平方，是不是应该等于二的平方等于四， a、 d 的 方加 c、 d 的 方等于四嘛？那我在这边你就不要怕，你就设它为这个，比方说，我设 a， d 为这个 m， 长度为 m， c， d 为 n， 因为我 c， 嗯， a， d 垂直 c， d， 我 就可以这么解析，以 d a 为 x 轴，以 d c 为 y 轴， 然后再做一个垂直的，这个直线为 z 轴，以这个地点为圆点进行间隙，那我地点为圆点进行间隙，我就用 m、 n 来表示这个二面角来给它表示一下。那我在这边是不是就可以写这个点的 坐标，把点的坐标给它写完整。那点的坐标怎么写呢？首先 d 点是不是原点，那就是零零零嘛？零零零，呃，我换一个笔吧， d 点是不是就零逗号零，逗号零。那我 a 点的坐标是不是应该写成 m 逗号零，逗号零。 c 点的坐标，那就是零逗号 n， 逗号零。因为我已经设了 d， a， d， c 的 长度分别为 m、 n 了，那我 p 点的坐标是不是 m 逗号零，逗号二， 那我是不是把这几个点 a， c， p， d， a， c， p， d 的 点的坐标全部写完了，那我要求它的正弦值，我这边再设一下吧。令啊，设这个二面角 a 括号 a， 杠 c， p， d 为这个 c 塔，我们先因为我这个是不是可以得到三，以 c 塔 等于七分之根号四十二，那我是不是可以推出它的余弦值是不是七分之根号七啊？我们最终算的一定是余弦值。利用这个解析， 那我们先写一个法向量吧。比方说，我们先写平面 a， c， p 的 法向量，平面 a， c， p 这个法向量，那我要写出 a， c 的 向量， ap 的 向量吧，那写一下吧。比方说， a、 c 的 向量 用 c 的 坐标减 a 的 坐标，那就是负 m 逗号 n， 逗号零。然后 ap， a， p 的 向量比较好写吧，那就是零零二。我 a、 c 的 向量， a、 p 的 向量都有了，我要写平面 a、 c、 p 的 法向量，那就很好写，所以说我就可以直接写。 为什么就可以直接写啊？因为我这个法向量一定是垂直于 a、 c， 垂直于 ap 的， 那我要满足垂直于 ap， 我 这个都是零。零，我只要满足我这个 z 是 零就可以， z 就 写个零， 我要再满足这个乘起来等于零，那我这里就写一个 n， 这里就写个 m 就 可以了，这个是可以直接写出来的。那接下来同理，我是不是再写一个平面这个 c p d c p d c d c 向量就是 c 的 坐标了，零 n 零，再来一个 d p dp 的是 m， 逗号零，逗号二。所以说平面 d， c， p 的 法向量 m， 这不也可以，我用刚刚那个方法给它写出来。 我这里很明显是零啊， y 肯定是零。我这边，呃，这两个向量如果相乘要等于零的话，我这里很明显来一个二，这边来个 m， 但是我这样相乘，我是不能得到零的，我要填一个符号，我不管是在二这边听还是在 m 这边听都可以。我选择这样，是不是验证一下这两个相乘等于零，同时呢，这两个相乘刚好也是零。那所以说我是不是可以先串出 cosine m 和 n 的 夹角，两个法向量的夹角利用公式的余弦，分子是这样，分母是两个模，给它带进去，两个相乘，就这个向量和这个向量相乘， 那就是负啊，我们直接加绝对值吧，那是不是就二 n 的 绝对值， 分子就是 n 方再加 m 方开根号，再乘以这个四加 m 的 平方。 又因为什么呢？我是不是满足这个勾股定律， m 方再加 n 方应该等于四，所以说我给它带进去嘛，这里是四，再开根号是不是就是二？那分子还有个二，那是不是抵消掉又因为 n 大 于零，那我整个式子 是不是就可以写成 n 除以谁呢？呃， n 除以这个二抵消了，就是根号下四加 m 的 平方，就是这这个式子算出来应该是二。二，这个抵消 抵消完了之后，上面是绝对是 n， n 因为大于零，绝对是可以直接去掉，就是直接变成一个 n 了嘛，它应该等于谁啊？它应该等于这个七分之根号七， 对吧？七分之根号七，也就是根号七分之一。那写到这，那很明显啊，那还要满足什么？勾股定律， m 方再加 n 方等于四，这个 m n 很好解， m n 非常好解。那第一种方法，你给他平方嘛，这边平方，然后把 m 方 n 方带进去给解。那你可以观察一下嘛，这个 n 如果等于一，右边，也就是说，嗯， 四加 m 的 平方开根号如果等于根号七，同时呢？ n 等于一，这样解出来是不是 n 等于一， m 应该等于 四，加 m 的 平方等于七， m 的 平方等于三， m 是 不是等于根号三， m 等于根号三，那满不满足？这个 m 方加 n 方等于四啊？刚好满足呀，一个是根号三，一个是一，正好等于四。所以说这个解出来刚好就是分子相等，分母相等嘛。那这里我就可以解出 m 等于根号三， n 又等于这个 e， 那 m 就是 谁啊？我们要求的这个 a d 的 长嘛。所以 a d 就 等于根号三嘛。 所以这题其实就是第二问。我个人还是推荐间隙系数，因为虽然它没有给天然的 x 轴、 y 轴、 z 轴三个轴，但它给了一个平面中的一个垂直， 相当于它只是给了 x 轴、 y 轴，那你天然的你去构建一个 z 轴也是可以间隙的，也是可以把所有的 p， a， c， d， 所有的点表示出来，你再把它的余弦值用这些点的坐标表示出来，还是可以做出来的。但是如果说你通过这个 几何法的话，就需要对这个图形有更深入的这个了解，所以说考试的时候还是推荐用这个间隙的方法。
195悟得数学
13:08查看AI文稿AI文稿今天我们来最后一课系列之例题几何第一课，熟练运用综合法和坐标法，高考多拿十分。好，各位同学，今天我们来最后通关 例题几何第一节课啊。好，我们大家自己读题，他在这上面 都是正方形，然后这个垂直于下底面，然后 a b 是 二 a a a 一 a 一 比，一是一 a 一 a， 二是 a a 一 是二啊，棱呢？是 e 是 棱 c c e 的 中点。好，其实告诉我们这个呢，哎，我们以前说过，说看到台要把它补成什么， 看到台要把它补成这个锥啊。但是呢，这道题目呢，比较的特殊，因为它底面下底面，上下底面都是正方形，且有一条侧棱，是垂直下底面的。这道题目就其实非常好做的，其实就不用把台补成锥啊 啊，其实不需要。当然如果底面是比较的不规则一点，比如说不规则，但不是说那种不规则，就是比如他是平行四边形，然后他侧能取，没有垂直于下底面的啊，那我们直接开始做题， 他第一题让我们说 a c e 平行于平面 b 多一。好，我看到这个又因为这个条件啊，我就直接连接 a c 这个记作 f 吧。好，连接 ef 啊，好，我先写连接 a c 交 b 到于一点， f 连接 e f。 好， 因为面 abc 到为正方形，所以。所以什么呢？ 所以 f 为 a c 中点，又因为 e 为棱 c c e 的 中点， 所以 ef 是 什么？平行于 a c e 的 平等于不用写，因为不需要啊。好，又，因为 ef 属于面 b 多 f 呃， b 多 e a c e 不 属于面 b 多 e， 所以 a c e 就 平行于面 b 到 e 用到了线面平行的判定。定啊。好，我们来做第二题。第二题其实就非常的简单了， 因为它侧棱已经垂直于下底面了，底面又是个正方形，是不是就有两两垂直，是不是 啊？如图间隙。那大家记住，在考试的时候，坐标系一定要写在答题纸上 啊。好，我们来写点 a， 呃，呃，长度先标一下，二一二。好， a， b 向量是二零零， a， c 一 向量是等于多少呢？它是不是一一二啊，对不对？ b， 呃，然后多点是这个零二零， 所以 b 多向量是等于负二二零。好， 这个 e 呢？我们要写出 c， c 一 的坐标已经写出来，这 c 的 话就是二二零，所以这个 e 点的坐标就是什么？就是 这个二分之三，二分之三一，所以 b， e 向量就是负二分之一，二分之三。好， 我射，呃，这里可能不够写了，我就写到下面来吧。射面面 a， b， c， e 的 法向量 为 n 向量等于 x、 y、 z。 我 说过向法向量的速算啊。抄两遍， 掐头去尾，零负四二，所以 n 向量就等于零负二，一， 好，同理啊，同，里面的这个 b 到 e 的 法向量，我设为 m 向量等于 x、 y、 z。 好， 依旧抄两遍， 掐头去尾， 二二，这是负三，这是加一，就是负二，所以 m 向量就等于一一负一。没有算错啊，检验一下， 没有算错啊，好，那这个 cosine 就 等于二，根号五，根号三 等于根号十五分之二，他让我们求这个正弦值嘛，所以 sine 它就等于根号十五， 十五减九就是六，就根号六了嘛，对不对？那就约个根号三，根号三的话，下面是根号五分之，根号二等于五分之，根号十。 啊，好，下结论就可以了啊，好，我们来看 第二题。第二题呢啊，图在下面啊，我们先来看一下题目先，大家先读一下题目里面是矩形啊，矩形侧棱垂直下，里面 a 到是二，我写在这里啊，把这个数据都标过了， a 到是二， 这个是四，这个也是四啊， a b 是 四吗？因为矩形的话， c 道也是四，所以 amn 分 别是这个 pbc 道的中点啊，好，我们来直接， 他说让我们证明 m n 平行于面 p a 度。好，我们说过，看到这个中点，我们一定要想到中位线啊，有可能用中位线中位线定啊， 那我就在这里取一点，取一点 e 吧，连接这个 e m 和 e 动好，取 pa 中点即为 e。 连接 连接 e m e d 好， 因为 m 为 p b 中点，所以 e m 首先会平行等平行且等于二分之一的 ab， 这个时候一定要写这个长度了，因为我们一直看，其实它像这个平行四边形了吧，对不对？好， 又，因为面 abc 为矩形 呃，矩形，所以 ab 平行且等于 c 道，所以 e m 平行且等于二分之一的 c 道。而又因为 n 为 c 道中点， 所以 e m 就 平行且等于道 n， 所以 面 d e m n 为平行四边形。我就用图图像来表示大家，当然我为了 更方便一点啊，所以 d e 就 平行于 m n 好， 还是线面平行的判定定律？因为 d e 属于面 p a 的， m n 不 属于面 p a 动，所以，呃， m n 就 平行于面 p a 动啊， 好，第一题结束了，第二题还是间隙，因为这个太规则了啊，全国卷基本上不会出比较难的题目啊，就例题几何应该会比较好，容易间隙一点，当然他如果放到压轴题的话，可能就不太好做了啊。 好，我们来写点先，如图间隙，如图间隙 p 点是零零四， b 点是二四零， c 点是零零四， a 点是二零零，所以 m 点是什么？ 一二二嘛， n 就是 零二零嘛，对不对？那 pm 向量就等于一二负二， pm 向量就等于负一二二 a， n 向量就等于 负二二零。好，依旧射，我就不射了，我就这样简单略过。第一个是这个 n， 反向量是 n， 这个反向量是 m 向量啊，大家自己要去完成补充起来啊。 抄两遍，一二负二，一二负二啊，不对，这个后面不是吧，这是零二负四，零二负四，好，掐头去尾，这是负八，负八加四 是这个负四，这零这正四，这个就是二嘛，所以 n 向量就是 负二二一，好，依旧抄两遍，负一二二，负二二零，负二二零，好，掐头去尾， 这个是负四，这个是负四，这个是负二，这是加四就是二嘛，所以 m 向量就是负二负二一 啊，所以 cosine 它就是四减四加一， 好，这是四加四加三嘛，这刚好三啊，开出来嘛，三乘三嘛，就是九分之一嘛，对不对？大家自己下结论就可以了。好，我们来总结一下，其实拿到 这例题，几何的题目啊，九九跟十是一样的啊。第一题基本上是用什么综合法去做 啊，他让你正平行的话，那我们就用线面平行的判定定理，如果正垂直的话，比如线面垂直，就线面垂直的判定定理啊，有些时候会用到一些判定一些线面平行的性质定理啊，或者面面垂直的性质定理啊，或者线面垂直的性质定理啊。 然后第二题的话基本上都是间隙去做，因为他基本上两种方法去做的嘛，第一道综合法，第二道，奥，这个坐标法啊系比较好建的，就去把它间隙建出来去做就可以了。好，今天我们就讲到这里。
14:40查看AI文稿AI文稿立体几何千万别看老师遇到这种像洞点探索的问题，很多同学脑子直接卡壳，好不容易我咬着牙把答案看懂了，下次换道题，是不是还是不会做？是辅助线不会画吗？ 为什么？因为你在瞎找线。所以今天胡老师给大家讲的这招降维打击，就让你一眼能看出辅助线怎么画 别人可能题还没有看完，你就拿分走人了。期待不期待？期待好，我们来先看一下什么叫做动点探索的问题。读题，你看是否存在 p c 上的动点？ f 是 问你是否存在一个点，使得线和面平行，对吧？对，来这里棱上的一点是谁不知道，问他是否使得线面平行， 这叫做动点探索，使得它平行，可以探索，使得它垂直，是不是也可以探索？是的，哎，使得夹角是多少线？线角线面角面面角都可以考你。咱一个一个来说，先说平行的问题好吗？好，好。那么对于这种平行的问题，我们的方法几个字， 核心思路叫做谁不动？注意哈，谁不动，这是大方向啊，咱们就平移谁，就这， 你比如说像这道题目，你看，这是问你线面平行，大家也要注意一个点，线面平行的题目。探索问题，我们都是从后往前读题，不要从前往后读，就从后往前读，缺谁咱们就找条件吗？对吧？ 使得 pa 就 这根红线是否和这个蓝色的面平行，谁是动点？这个 f 点是动点，那意味着这个面就是移动的，对不对？那我们的核心是谁不动，平移谁？你告诉胡老师，本道题平移的是线还是平移的是面 平移线还是平移面？线谁不动？平移谁？对啊，谁不动，平移谁。 p 和 a 是 不是固定的？是的， f 运动导致这个面是不就运动的，所以谁不动嘛。就是这个线是不动的，所以我平移的是线。我为什么要平移线呢？ 因为你要证明线面平行。我们的原理是，你看这里啊，我给你画一个面，这是阿尔法面，这是 l， 如何证明线和面平行？ 线是不是只要和面中的一根线平行就可以了？对，如果能证明 l 平行于 m， 因为 m 来自于这个面，所以 l 就 和这个 alpha 面平行了，没问题吧？没有。所以线面平行的核心就是只要证明线和面中的某一根线 平行就可以了，没问题吧？没有。那么我平移线的目的就是为了找到这个面中的哪根线跟他平行，这是目的，能理解不？可以。那怎么去平移呢？ 我们平移的方法就是拿着你的尺子注意。哎哎哎呦，我的天呐，拿着你的尺子对着这个 pa， 把这根线推到面内去， 那这个线显然是比较长的，比较大的，你推到这个面内去，线会变小，会变短，对吗？对对，我们推的时候要让这个线尽可能的给他完全放到面内去， 一旦放进去，线就会变短。哎，这是第一个你要认知到的，第二个短就短呗。那怎么推进去呢？推的原则一般是保证线的某一个顶点和面的某一个顶点重合。那你告诉老胡屁点和谁重合？ 噔噔噔噔，推推推推推推。你看平行移动吗？这是你的卷子。来，拿着你的尺子移移移移移移，是 p， 推到 f 这来了，对吧？平行，你就画一根跟他平行的线，那么 a 是 不是就移到这来了？是，我们给他起个名叫做 m， 你 找到了，你只要证明这个红线跟他平行，是不是线就和面平行了？对，对吧？这根线我们就找到了， 接下来就是你刚才是强行平移找到的，但是你写题的时候，你总不能给人家说我把它往前推吧？不是这样，这是你脑海里面的思路，我们写题过程不这么写，我待会教你们过程怎么写，好不好？好好，那接下来你倒是找到这根线了， 你得给到严密的逻辑推理与证明，怎么正？告诉我怎么称正。 当你把线推进去之后，注意这根线的长度改变没有？改变了，线的长度发生改变，我们证明的方法叫做三中。什么叫三中？ 三角形？中位线，你看，比如说我让你证明这两根线平行，咋证啊？三中哪个三角形呢？边边一连，边边一连，这是 a， 这是 b， 这是 c， 就 这个 abc 的 三角形， 是不是这个三角形就找到了？对，对啊，所以啊，那你告诉我要把他俩放到一个三角形里面去。把他俩放到哪个三角形里面去？你来告诉我， 放到三角是不是也是一样的？边边一连，对不对？这个三角形辅助线你不就会做了吗？一连，然后呢？把这个边边是不给他连起来？对，看到没有？边边把这两边边一连。 对啊，然后延长，延长，延长，直到跟另外一个是不是有交点到 c 这了，所以在哪个三角形里面去正呢？在 p a c 红色三角形面去正就好了， 对吧？然后呢，平行线分线段对应成比例，看这个点是你的几等分点，那么 f 点就是 pc 的 几等分点，那么这个 f 点不就找到了吗？对，关键是先看这个 m 是 几等分点，自己看能看出来吗？ 对啊， m 点是几等分点呢？ m 点在哎呦，对角线上，对角线的什么位置？ 对啊， m 在 这看，这是对角线吗？这个是，你可以把它理解为半对角线。哦，这是中点。看题， e 为 a， d 的 中点，这个是中点，所以这个 m 是 几等分点。 拿什么去看相似？哦，聪明，点个赞。相似在立体几何里面用的非常多，是吧？这个三角形 是不是和大三角形，这个三角形是不是应该是相似的？一比二吧，所以呢？这段一比二，所以这是二 x， 这一段应该是 x， 是 不是应该是二比一，所以这一段应该是 二，比如说二 y， 这是 y， 是 不应该是二比一就完了。所以人家题目问你说在 pc 上是否存在动点 f， 你 上来给人家写啥？第一，第一句，上来给大家说什么？上来先给人家说存在， 存在吧，存在。然后立马你找到这个 f 点是不应该是二比三的关系，或者说二比一存在。你说此时 cf 比上一个 cp 等于二比三，就你找到这样的 f 了。对对，你就直接找到它的比例关系了。对，然后你带着这个比例关系去证明线面平行是这样写的， 能理解不？可以，你写的过程你不能说，哎呀，把这个线往进推，这是你心里的行为和操作，正儿八经写，就是存在，然后这个点是几等分点，直接表明，然后现在开始证明如下，就是你已经知道是几等分点了，对吧？然后再说这个是几等分点，平行分线的对应成比例吗？ 当然，在证明之前，你要把该连的线全给人家连了。这个思路能听懂吗？可以，我就不写过程了，因为黑板确实写不下。带大家分析一下思路没问题吧？没有，没问题， ok， 这就是我们的平行的探索。 那这样一做，大家觉得题目还难不难了？不难了，是不是辅助线就很好好找了？对，好，我们再来一道题目，看看你能不能找出来辅助线。然后这是我们在考试的过程中，以及你们参考资料里面出现频率极高的动点探索的小题来看题， 他是不是也是说，哎，一点是棱上的一个点，没说是哪一个点，然后说，哎，使得红线与这个蓝面平行， 没说是哪一个点，我们把它也理解为动点的探索吧，就让你探索这个点是几等分点，能理解不？可以。好，那你现在告诉胡老师，现在是谁不动平移谁，我们要平移谁？ 嗯，平移线，平移线，因为第一和 b 就是 正方体的顶点吗？固定的吗？这个一点是不确定的，把它理解为动点，动点，谁不动平移谁？拿着你的尺子把这个线往面内去推， 推的过程中，长度变了还是没变，长度变了还是没变？变了，长度变了，所以我们应该用的也还是三中，没问题吧？没问题，这是你心里的大方向。来，在推的过程中， d 一 和 e 重合吧。对，请问这个 b 点和谁重合？自己看 b 点和谁重合。你是不是认为 b 点应该到 c， 这 很多同学决定到 c， 这是吧？不是。那是不是这根线就变成这个线了？不是 是吧？如果是这根线，我问大家行不行？不行啊，他俩平行不平行我再说一遍，你肉眼看出来平行更好，但是如果你肉眼看出来不平行，不代表人家真的不平行，你得去用理性去证明能理解不？ 所以说，如果按照绝绝大多数，有的同学刚才觉得应该是这根线，如果是这根线，你看能不能把它们放到一个三角形里面去，如果能就 ok， 如果不能，说明这个点便宜到账是不成立的。忒矛盾了，能理解不？那他们能放到一个三角形里面去吗？ 思考一下，连吧，你这一连噔噔噔，这是不是有个一条线啊？对，这边一连噔噔噔噔，这有一条线，请问是不是就放到哎这个三角形里面去啊？ 是还是不是？不是。为什么？不是，因为这两条线不在面，不在一个面类。你们还挺聪明的哈。有的时候胡老师，这不就交于一个点了吗？这是你人为交的。 其实这根线是在上面的面上，这根线是在底下的这个面上，这两个面是平行的，永远不相交，你觉得面中的线能相交吗？ 不可能吧，所以你把 b 移到 c， 这是不成立的。我解释明白了吧？明白了，好，那不在 c 这在哪？ 连接 bc 不 在 c 这。你想一下，他肯定跑这个棱上来了嘛，对不对？对，比如说在棱上这个位置我也不知道在哪，随便给个位置有可能平移过来之后噔噔噔噔到这了，我随便拉了一个。那以后说，胡老师你画的这也不平行啊。 好像看着不平行，但是你得正啊，这图目标准呗，是不是来正吧，肯定是在这个线的某一个位置了。那在哪一个位置呢？不知道是哪个位置，跟刚才的做法是一模一样的，干嘛？看他能不能放到一个平面的三角形里面去，我把你的脸 是吧？来吧，我再把你俩看。从这到这一连吗？是不？刚才那个思路，这个辅助线不就会画了吗？噔噔噔噔，连完交到这来，能放到一个三角形里面去吗？ 能不能？可以？可以啊，这个点是已经有一点了，这个点是 f 点，请问 f 点是什么点？ f 点是不是得在这条红线上来？我刚才连的 f 点还得在这个蓝线上，你告诉胡老师这个 f 点是什么点？中点， f 点是侧面正方形对角线的焦点，所以它是中点。完了， 这不找到了吗？找到了，所以当你技术比较高的时候，其实你一眼就能够看出来，往这一平，一啪一拉，左上下一连，这个三角形就找到了。 所以不是说看答案，答案跟你说，把这些一连，把这些一连，你顺着答案去看，你觉得答案说的好有道理，但是你发现你自己下次连不出来。所以这个线是怎么连的？我刚刚都教会你们了，把两个线的端点，两个线的端点延伸出来一个三角形，这个三角形是 ok 的 吧？ ok， 对 吧？所以我要证明的话，我是不是就在这个 d 一、 bc 一 这个三角形中去证明吧？是，那你这个 f 点是终点，我得保证两根这个线平行，这个得跟这个平行。你告诉我这个一点是什么点？中点， 中点。对，终点一点只能是终点，这事不就结束了吗？是的，当我知道一点是终点之后，你让我求 c e 的 长度，这是 d 一， 这是 c e 背面那个面啊，这是 d， 这是 c， 你 让我求 c e， 是 不是求的是它？是的， 这是直角三角形啊，二分之一，边长为一，这是一，这是二分之一。根据勾股定律，一加四分之一，四分之五，二分之根五小小探索问题，直接拿下，有问题吗？没有，这叫做什么的探索，平行的探索， 这只是平行探索的入门啊。今天的动点问题，这个面你是没有延展的，稍微难一点的题目就是这个正方体已经不能够满足你了，需要把这个某一个面给他，把这个体给他延展出来，需要拓展，这个题 就现出题了，就是升级难度的题目，没有问题吧？没有，所以这是第一个我们的平行探索，你知道他怎么去考你，难题怎么去考你？有了平行，前面讲过了，还有什么垂直，还有什么？还有夹角，这是一系列的探索问题，你都得会。 今天我们讲的是谁不动平移，谁平移的是谁线，是不是已经觉得很爽了？是的，但是动点探索里面更坑的是平移谁面面面还可以，平移的思路一换，难度又翻倍了。所以百分之九十的学生同学们，大家会栽在这种平移面上。 所以说，不管是平移线还是平移面，还是说平行垂直夹角的整个探索问题，胡老师把这种类型的题目全部给大家放到了立体几何二十五大的必考题型专项训练里面了，里面全都是你们在画辅助线的过程中特别容易出错的那种辨识题， 你把这二十五大题型能够整明白，那么你立体几何这块的分就拿的死死的了，所以大家赶紧下载打印，跟着胡老师训练起来吧，好不好？好好下课。
397老胡数学思维提升
04:41查看AI文稿AI文稿我查 ai 查不到， ai 查不到，但是我给做出来了，我们要研究这么一个问题，如果这个正多面体啊，正多面体呢？能长知道的，能长知道了， 那么他的啊，外接球的半径啊，我们用二表示啊，内切球的半径，我们用小二表示，他的能切球的半径，我们用二二零表示， 怎么样用 a 表示出来呢？因为你的 a 的 长定了以后的时候，那么他的外接球的半径，他的内切球的半径，还有他棱切球的半径就固定了，就可以用这个棱长啊来计算出来了啊，那么这个公式怎么计算？ 我查了查这个，这个 ai 啊，这个结论是有，但是它没有证明的过程，没有推导的过程啊，包括元宝啊的 ai 啊，这是我都查过了， 你查不到，为什么查不到呢？因为啊，我们推导这些式子的时候需要画图，这个图是很复杂的，大家看看我做这个答案呢，是吧？你们看看这个图啊，这个图， 这个图就是正十二面体啊，正十二面体在这个平面上的示意图啊， 大家注意啊，我们在纸上绝对画不出来啊，这个三维图形画不出来，他差一维呢啊，差一维呢，我们只能画一个平的面的一个示意图，大家看这个图是很复杂的， 我们要通过这个福字这个图，我们去推到这个公式的时候，我们需要啊，很多知识啊， 做出来的呢，那就是我通过啊，我做的这个空间模型啊，这个这个三维这个模型，我找到了一个平面， 我这个平面的这个边呐，我都用红的表示，大家看这红的从 a 开始， a， b， c， d， e， f， 大家看是不是这么一个也算一个平面呢？大家看这个啊，这，这是正二正二十面体，我也找出一个平面来， a， b， c， d， e， f， 又回到 a 这了，就是一个完整的平面啊， 大家看这个正八面体，我也找出这个面来了啊，啊， ab 啊， b 在 这呢，然后 c 在 底下呢， d 回来了啊， 大家看见这个吗？找出这个，这个算，这个算这平面的，这个六也一样，大家看，从从 a 开始啊， a 从这开始，从 a 再到哪呢？ a， e， g， 啊， c， 大家看，这形成了一个完整的啊，这是正四面体，这个啊，这个面也找出来了， a， d， b， 或者说 abd 也行，大家看这个红线构成的这个面，那我为什么要找出这个面来呢？ 也就是说这正多面体，他的外接球半径 r 啊，大小的 r， 他的内切球半径小 r， 还有他内内切球的半径啊，大二零都在这个面上，都在这个面上，并且他的这个棱长啊，也在这个面上， 通过这个面，我很容易很直观，很快的就可以把他们的关心式子推倒出来了， 因为我有一个实物，有一个啊正多面体，他的三维的啊，真正的石图， 在这个图上，我就可以把这个重要的面，我就给他找出来，找出来以后，在这个面里头啊，在这个面里头，我就可以找出来啊， 这个边长啊，棱长和那个外斜球半径，内斜球半径，还有啊棱斜球半径，他们这这关系，很容易就找出来了这个答案啊，我给出的这个答案就是啊，这个血 啊，这个求做啊，求解的过程，所以我不仅仅是光推出来啊，这个三维啊模型，而且要有答案能解决啊，这多媒体啊，一些主要的问题啊。
354立体老骑
06:14查看AI文稿AI文稿伽林三模的第十八题，考场上做真的太难了！如果我们间 c 的 话， p 点的坐标怎么设是一个大问题，直接设字母，或者说通过夹角去设它，最终都会有很大的计算量。今天我想用几何法来讲一下这道题，做起来又快又简单。 先来看条件，在平行四边形 a b c d 当中呢？ a c 是 e， b， c 也是 e， a c 垂直于 b c。 将三角形 a c， d 沿着 a c 翻折点 d 翻折到了 p 点的位置，形成了三人追 p 杠 a b c 现在 pp 上有两个点， m 点 n 点满足啊，这两个面面垂直非常关键。 第一问，我们就不看了，来看第二问，在翻折过程当中，当点 n 是 线段 p b 上靠近点 b 的 三等分点，求点到平面 a c p 的 距离。这道题用几何法做，关键就是画出二面角的平面角。 比如说 p a、 c 与 a c b 所成的二面角的平面角，我们该怎么画呢？可以过 a 点做 a q 平行且等于 bc 啊，也就相当于这里形成了一个矩形 a c b q， 那 也就得到了 a c 垂直于 ap， a c 垂直于 a q 角 p a q 就是 p a c 这个面和 a c b 这个面所形成的二面角的平面角。再连接 p q。 怎么画 p a c 与平面 a c n 所形成的二面角的平面角呢？我们可以把面 a c n 延展一下，过 n 点呢？做 n h 平行于 a c 连接 a h。 根据刚刚我们已经推得 ac 垂直 ap， ac 垂直 a q， ac 自然会垂直于平面 p a q， 所以 ac 垂直于 a h， 所以 角 p a h 就是 平面 p a c 与平面 a c n 所成二面角的平面角。 根据题干说的平面 a c p 和平面 a c n 是 垂直的，所以角 p a h 就是 九十度 n 点是 p b 上的三等分点，那根据 h n 和 b q 是 平行的， h 点就是 p q 上靠近点 q 的 三等分点。 再来看看我们要求的点， n 到平面 acp 的 距离。由于 n h 平行于平面 acp， 所以 说 n 点到 acp 的 距离就相当于 h 点到面 acp 的 距离， 而 h a 垂直于 a c h， a 垂直于 ap， 所以 h a 垂直于平面 p a c h a 就是 我们要求的距离。 接下来就很简单了，我们把线段长度标一下， bc 是 一，那 a q 也是一， ad 是 一， ap 也是一。把平面图画出来 如图所示啊！我们就可以设 h q 是 x， p h 是 二 x。 把角屁呢，分别放在三角形 p a h 和三角形 p a q 当中呢？利用角屁的余弦值得到等量关系 口算，以 p 等于一比上二 x 也等于一加三 x 的 平方减一比上二乘一乘三 x。 这个方程解一解，很快得出， x 等于三分之根号三， 所以 p q 呢，整个就是根号三啊。所以角 p 就是 三十度， a h 的 长度就是 三分之根号三。再来看第三问，在翻折过程当中呢，是否存在向量 m n 等于四分之一向量 p p 若存在，求出 a c p 与平面 abc 所成角的余弦值， 那也就是求角 p a q 的 余弦值呗。这里我们可以仿照 n a g 的 做法扩展平面 a c m 做 m g 平行于 a c 连接 a g。 那 么平面 abc 与平面 a c m 所成角呢，就是角 g a q， 因为 a c 垂直于 g， a， a c 垂直于 a q。 再根据题干说的面 a b c 垂直于面 a c m， 所以 角 ga q 就是 九十度条件中的向量 m n 等于四分之一向量 p b 也可以同步转换成向量 g h 等于四分之一倍的向量 p q。 我 们也画出平面图形来分析一下，如图有 h， a q 是 直角，角 p a g 是 直角。再设 h， g 是 y， p q 的 长度就是四 y， 可以通过正三角形 p a g 和三角形 q h 全等得到 a h 等于 a g 啊，同理， p h 也等于 g q， 所以 p h 的 长度呢，就是二分之三 y g q 也是二分之三 y。 如果能把 y 求出来，角 p a q 的 余弦值就可以求出来了。做 af 垂直于 h g， 根据 a h 等于 ag， 得出 h f 等于 f， g 等于二分之一外， 再得出 p f 等于二外。那 af 呢，就是根号下一减二外的平方四外方 a g 呢，就等于根号下 p g 方减 pa 方， p g 是 二分之五 y， 也就是四分之二十五 y 方减一 af 有 了 a， g 有 了 f， g 有 了各五。定义一下，就可以把 y 求出来。 计算得出 y 等于五分之根号五，所以 p q 就 等于五分之四，根号五 口算一角 p a q 呢？用余弦定理直接求出来。最后答案就是负五分之三。几何法做这道题是不是超级简单， 再总结一下，关键哦，就是把 b c 平移至 a q， 把所有平面的二面角全部转移至平面 p a q 当中。如果这个视频对你有帮助的话，记得点赞、收藏加关注哦！
153小小闪闪发光
02:38查看AI文稿AI文稿历史体格经常被大家诟病的是，这道题如果没法见戏怎么办？或者是这道题我怎么去见戏？这期视频点点关注点点赞，就一个思想，来吧，黑吧，老演员了啊。今天是历史体格急段位置，我就举一个啊，我就举一个高考题为例啊，二二年二卷的高考题， 你题里边已知 pa 等于 pb 啊，还知道 a b 垂直于 a c 啊，原题就是这样图画的，非常之恶心，告诉你， a c 和 a b 是 垂直的。大部分孩子到这蒙了，第一问是让你去证明 o e 平行于 p a c 这个平面， 有的孩子看完这道题，我去，这咋见习啊？而且第一问基本上都是不见习的，对吧？在讲这道题之前，我先给大家翻译一下部分题的常规套路啊， 来，镜头往下。首先，如果题里边有等腰或者等角，基本上就是中卫线没跑了，怎么去找呢？你拿一个这么长的格尺，你去沿着这个线去平移啊，平移，懂我意思吧？平移，哎，你格尺跟哪条边有交？有交点了， 你再把这个点跟这个连上，哎，这么去找中卫线，懂我意思？能追能住的面积了，那你基本上等体积就没跑了，等体积一般求啥？求二面角对吧？哎，之后呢，如果说体里边有外接圆，内切圆这个字样了，想补形啊，去想补形法，基本上都会补成长方体或者正方体的， ok 吧？那么好，我们回到这道题啊，回到这道题，我们仔细来看，我们要求 o e 平行于 p a c 对 吧？ ok， 那 我 o e 在 这，我是不是拿格尺去找啊找啊找啊找啊找啊找啊？哎，是不是肯定在 a c 上有一个点要跟它平行啊， 对吧？哎，省略版，废话不多说，我把过程， ok， 那 我们废话不多说，我们把这个点找到， ok， 那 我们找到了之后啊，这个 f 点，我们，那我们找到了这个 f 点之后，我们是不是只需要证明 o 是 f b 终点就可以了？所以说我们把这三角形自然而然的，这个图不好看，我们把这个三角形自然而然单拎出来，我把 a o 一 连啊，我把 a o 一 连，现在是不是要证明 o 是 f b 终点，对吧？那我们再回来再去看题，里边还有啥条件咱没用 pa 等于 pb 啊， pa 等于 pb， 那 么好，我连接 oa 啊，我连接 oa poa 是 不是全等于三角形 pob， 那 oa 是 不是就等于 ob 了？那如果我说 oa 等于 ob 了，那我 o 是 不就是中点了， 对吧？那我 o 是 终点了。我在我在这条，我在这个平面是不是找到了一个 f 之后，过程不用我多说了吧，我也会在高考之前呢，我也会找个时间，找个晚上给大家串讲一下啊，给大家开直播讲一下，分析一下每个题的考点啊，如果有需要的可以点主页进我粉丝群。
14:56查看AI文稿AI文稿大家好，应粉丝的要求呢，我们讲一讲线线成角，线面成角和面面成角，也就是立体几何部分的内容啊。 首先呢，我们先来讲一面直线的成角，大家看这有一个长方体， a b c d a e b c d e 是 这个角啊， a b c d a 一 b 一 c 一 d 是 这样的一个长方体。那在这个长方体中呢，我想给大家找一找两条直线的位置关系。 第一种是平行，有哪条呢？ ab 和 cd， 第二个呢是香蕉，香蕉有哪些呢？我们找了一条 aed 和 a d 一， 没问题吧？还有就是我们新学的意面，我们找的是谁呢？ a e d 和 c c 一， 也就是说这个长方体中呢，能够感受到平行相交意面三种位置关系。 那么好看下一道题啊，同样这还是 a b c d a e b e c e d e。 我 们来看直线 ab， 也就是绿色的和红色的 c c 一， 以及这个蓝色的 a d 一 和 c c 一。 这两组直线有什么共同点和不同点？ 大家看他的共同点是什么？他们都是意面直线，那他们的不同点是什么呢？我们好像直观的一种感觉啊，好像咱们所成的角度好像有些偏差，有些不同， 这是一种直观的感觉。那么好，我们继续看还是 abcd， 大家看这个题啊，我希望大家呢，通过直观的感觉，你找一找 与 ab 和 cce 所成的角度相同的两条直线，还有没有？你就凭着直观的感觉去找啊， 那其实我们可以找到谁呢？ a 一 比一，好像感觉角度一样，其实你感觉 d c 和 d e， c e 的 角度呢， 也有点一样，对吧？那么好，那这三组呢，有什么区别呢？第一组也就是 a b 一 和 c c 一 是异面的，而后两个呢？ d c 和 d c 一 与 c c 一 呢，好像是相交的。 那好，我现在希望大家呢能够记住这样的一个感觉啊。那么提出这样一个问题，如何规定两个一面直线的夹角呢？你有什么困难？ 我想同学们，首先的困难是这个意面之线，它不同在一个平面内啊，不同在一个平面内，那也就是说这是一个立体几何的问题， 怎么解决呢？我们一般情况下会把立体的问题把它平面化， 大家想想刚才那道题，好像是不是有点感觉了啊？那这样呢？我们是不是能够帮助处理这样的问题？ 大家想一想，那其中蕴涵的数学思想是什么呢？是种转化的思想，将立体的问题转化为平面问题。好，大家带着感觉，咱们来看定义 一面直线所成角的定义，已知两条一面直线， a 和 b， 注意经过空间中的任何一个点 o， 我 分别做 a 撇和 a 平行， b 撇和 b 平行， 那么此时这个是一个立体图形，现在我们就把它平面了，对吧？ 那么我们把 a 撇和 b 撇所成的角叫做一面直线所成的角，或者说加角。 那这所中的角有一二三四四个角，我们取哪个呢？我们要取的是什么？取的是它的锐角或者直角，也就是这里头的一，或者说是四一四是相等的，对吧？ 好，下面继续追问，如何定义两条线段的取值范围又是什么呢？ 那两条一面直线所成角呢？为九十度的时候，我们认为它是垂直的，那取之范围呢？就是零度到九十度，那如果阿尔法等于零度，说明这两条直线是什么？这两条直线是什么样的？应该是平行的，对吧？ 好，下面我们根据所学做几道课堂例题。 那么我们来看第一道题啊， 我取 a、 c 的 中点， n 在 这里啊，连接 c， e、 n， 那 我们很显然知道，因为 m 它也是中点，所以 a， n 和 m c， e 是 平行且相等，那因此 a、 n， c， e， m 就是 一个平行四边形， 所以就得到了 am 和 c， e， n 是 平行的，那也就是相当于我们把 am 平移到了 c， e、 n 这个位置。这里 c， e 呢，就是我们规定中的那个什么 o 点，我们去把 o 点放在 c、 e 上， 那么角，所以 b， c， e， n 或其补角就是意面直线所成角。这里为什么要加一补角呢？因为我们并不能直接看出来这个角它到底是锐角还是钝角， 所以呢，有可能它的补角是它的意面直线所成角。第一步，这步我们叫做什么呢？叫做定位，我们一定要先定位， 定位完了以后，我们可以计算了，因为呢，我们可以所有棱长都相等，我们就可以设这个是二了，设它的棱长为二， 那不难得到。 c， e， n 是 根号五 bc， 一 是二倍根二， b， n 是 根三、 b， n 怎么算？ b， n 可以 在三角形 a， b， c 里算，对吧？ 那根据余弦定律，我们就可以算出来，它加角的余弦值是四分之。根号十。一定要注意，是在哪个三角形呢？在 b， n， c， e 里， 因此一面直线所剩角的余弦值为四倍，根号十。那第二步，这是干嘛呢？叫计算，我们一定要先定位再计算， 这是一类题，这类题呢，我们看一看平移是怎么过来的， a m 平移到了 c n， 我 们可能叫做什么呢？等长平移好看。第二道题， 同样，我们来看取 a c 的 中点 p 在 这里连接 pm 和 pin， 因为 n 和 m， 根据已知条件哈，它都是中点， 对吧？所以 pm 是 平行且等于二分之一。 abpn 平行且等于二分之一的 cd， 相当于我们把 ab 平移到这来了， cd 平移到这里来了，那这个 p 点就是我们 在规定中的那个 o 点，所以角 mpn 为 ab 与 cd 所成角，这样我们也得到了 p m， n 为 ab 和 m n 所成的角，就是这个角。 由于已知条件中， ab 与 cd 所同角是六十度。这块有一个易错点啊，它是六十度，但是 mpn 有 可能是六十度，也有可能是一百二十度，这是一个重点啊，这是一个重点。 那又因为 ab 和 c d 相等，所以 pm 和 p n 是 相等的。那么我们研究下这个三角形，假如 m p n 是 六十度，那这个三角形就是一个等边三角形， p m， n 呢，也是六十度， 那这两条直线的成点也是六十度。还有一种可能呢，就是 m p n 是 一百二十度，但是呢，我们当他知道 pm 和 p n 是 相等的，所以它是一个等腰三角形， 那因此呢， p m n 就 可以等于三十度，那它的成点就是三十度。因此呢，答案有两个，一个是六十，另外一个是三十。那这种做法，我们发现是将两条边 采用了中位线给平移过来的，对不？那我们一道中位线平移法。当然，这里有一个易错点，一定要记住，大家注意啊，一定是乘甲或齐补甲，有两种可能。 好，下面我们来看第三题。 根据直棱柱的特征，大家看啊，人家本来是一个 a 一 b 一 c 一 是一个直棱柱， a、 a 是 垂直下底面的，注意看啊，这里头，也就是这里也是一，这里是一，这里是一， 所以呢，我把它补成了，其实这里应该有一个 d， 补成了一个图形，这是一，这是一，这是一，这也是一，那这就变成了一个什么 正方体，我把它补出一块来，对不？那补完了以后，我们就可以得到 a、 b， 很 显然和 d、 c、 e 这两条边是平行的， 那因此 a、 c、 e、 d 这个角就是这两个异面直线所成角或其补角，对不？这块应该加一个或其补角啊， 然后再连接 a、 d， 那 很显然知道，你看 a、 d， d， c、 e 和 a、 c、 e， 这都是面对角线，因此它是一个正三角形，所以这个角是三分之八，那它的大小也是三分之八， 那这种做法呢？我们把它叫做补行平移法。大体上呢，如果用立地几何的方法来做，求一面直线呢？就是上面三种方法。 随后呢，我给大家补一个小方法啊，用第一道题再给大家补一个小方法，大家来看啊， 依据基本公里四以及向量相等的定义，其实我们可以利用向量来求解这个直线的夹角，大家看怎么操作。我们可以知道 am 这个向量，可以把它拆成 a、 a 一 和二分之一的 a c 一 b c 一 这个向量，我们可以拆成 bc 和 bb 一 这个向量。 如果我们设它的边长为二，因为人家说所有棱长都相等，我们就设它的边长为二， 很容易得到。 am 是 根号五， bc 一 是模，长是二倍根二。那么我们怎么用求向量加角呢？还需要一个什么它的点乘， 那我们把这两个向量点成完了，就是 a a 一 和 b c， a a 一 和 b 比一，二分之一的 a c 一 和 b c 啊，二分之一的 a c 和 bc， 二分之一的 ac 和 b 比一，我用后面乘啊。那再看图， a a 一 和 bc， 这是垂直的，所以这应该是得零。 a a 一 和 b b 一 呢，这俩是相等向量，就可以写成它的平方。 a c 和 b b 一， 这也是垂直的，也就这项也是零。那也就只需要算一下这项，我们继续看 ac 和 bc 的 数量积。怎么算呢？是哎，它俩的模，它们的夹角是六十度， ac 和 bc 的 夹角是六十度啊，那 ac 和 bc 的 长度也知也知道了。那因此我们可以算出数量积为五， 然后我们去算它的余弦值，就等于它们的数量积与它们的模，它们的数量积除以它们的模相乘， 代入相关数据，得到四分之根十。因此呢，我们也可以得到两条直线的所称的余弦值为四分之根十。这是利用向量的做法。我觉得呢，利用向量的做法有一个核心的， 或者说是很重要的一个方向，我用一个词就是拆，也就是说把你所需要的项链向哪拆呢？向已知多的地去拆，向边上去拆。 这样呢，我们可以解决这样的啊，求一面直线加小的这种题，这是补的一个小方法啊。好的，以上呢，就是本节课的内容，谢谢大家收看。
83白学
12:36查看AI文稿AI文稿高考数学题分必会二五年一卷十七题例题，几何第一视角讲解第一视角沉浸式带你完整拆解高考真题！ 粉丝宝宝想听主播讲什么题型，直接私信可以加粉丝群讨论数学题，有想线上一 v 一 的宝宝私信主播，如果觉得主播讲的还可以的，点个关注不迷路，动动考高分的小手点两下屏幕，你们的支持是主播更新的动力！ 主播祝大家考上理想的大学，成功上岸！哈喽，宝宝们大家好，今天为大家带来二零二五年全国一卷的第十七题，这是一道呢立体几何题，我们先看第一问，他说如图所示的四棱锥 p a， b， c， d 中 p a。 垂直面 a， b， c， d 而且 b c 平行 a d， a， b 垂直 a， d。 第一问，他让咱们证面 p a， b 垂直面 p a， d 那我们根据面面垂直，首先呢，我们得找出来一个线面垂直，看看是 p a、 b 面的一条直线垂直平面 p a、 d 还是平面 p a、 d 的 一条直线垂直平面 p a、 b。 那 我们根据已知看一下， 由于 pa 垂直平面 a、 b， c、 d， 这个 a、 d 又在平面 a， b， c、 d 内，则 pa 我 们可以得到 pa 垂直，我们可以得到 pa 垂直 a、 d。 同时 a、 b 又垂直 a、 d， 那 我们我们就可以找到 a、 d 垂直了。 平面 p a、 b。 平面 p a、 b 内的两条直线写出来呢，就是由于 p a。 垂直面 a， b， c， d， a、 d 包含于面 a， b， c， d， 则呢， a、 d 垂直 p a。 同时我们还有这个 ab 垂直了 ab， 那 就有呢， 由于 pa 包含于面 pa， b， a、 b 包含于面 pa b， 且 pa 交 ab 有 公共点，等于点 a， 则呢，我们就有 a、 d 垂直面 p a、 b。 那 现在根据面面平行的定理，由于 a、 d 包含于面 p a、 d， 则就有面 p a、 d 垂直面 p a、 b。 这个是我们的第一问，接下来呢，我们看第二问，第二问，它的第一小问说，若 p a 等于 a、 b 等于等于根号二， a、 d 等于根号三加一， b， c 等于二点 p、 b、 c、 d 在 同一个球面上设这个球面的球心为 o， 正第一问，他说证明 o 在 平面 abcd 上， 那这个 o 在 平面 abcd 上，首先的话，那就是我们要想怎么证明呢？那我们就可以利用这个 球心的性质，球心到 p、 b、 c、 d 四个点的距离相等，因为都是半径， 那根据这个性质，我们去间隙。然后呢，算出来这个 o， 看看他的，看看这个 o 的 性质，看看这个 o 的 坐标是不是在平面 abcd 内。由于我们知道这个 pa 垂直面 abcd， 同时呢， ab 还垂直 abd， 那 我们就可以进 借以 ab 这条直线为 x 轴 ad， 这条线为 y 轴 ad， 这条线为 z 轴，就有呢，以 a 为圆点。第二题的第一问， 以 a 为圆点， 建立空间直角坐标系， 那咱们因为要求的这个 o 具体的坐标是多少，我们不知道，是要带求的，所以呢，我们设 设 o、 x、 y、 z， 那 现在我们算一下 p、 b、 c、 d 的 它们的坐标都是多少？首先呢， p 就是 因为它在 z 轴上就是零零，根号二， b 呢，就是根号二，因为它在 x 轴上根号二零零， c 呢，就是是根号二 二零， d 呢，它在 y 轴上零，根号三加一零，则呢则有这个 o、 p 等 o、 p 的 长等于 o b 的 长，等于 o c 的 长等于 o d 的 长， 那根据两点间坐标公式就有根号下，根号下这个 x 方，再加 y 方，加上再减根号二的平方等于 根号下什么什么？那我们就直接可以给他平方就是呢？ o p 的 平方等于 o b 的 平方等于 o c 的 平方等于 o d 的 平方 g 呢？我们先看 o p 的 平方是多少，就是 x 方加 y 方， 加上 z 减根号二的平方等于 o b 的 平方就是 x 减根号二的平方。加 y 方加 z 方 等于 o c 的 平方就是 x 减根号二的平方，加 y 减二的平方，加 z 方等于 o d 的 平方就是 x 方加 y 减根号三加一的 平方，再加上 z 方，这个式子两两相等， 那接下来我们就要去连利，然后那接下来我们就要去连利，求得 x、 y、 z 究竟是多少？那我们可以先让这个前。嗯， 那我们可以先让前两个式子连立，我们给它编个号吧，一二三四，一二连立一下 就有，因为一二共同有 y 方，所以说那 y 方就约掉了，就有 x 方加上 z 方减去二倍根号二， z 加二等于 x 方减二倍根号二， x 加 z 方，那这里呢？我们 x 方和 z 方都约掉了， 这有呢？还有二二也都约掉了，就有负二倍根号二， z 等于负二倍根号二， x 得出来 x 等于 z 就是 一二连立， 那我们再连立一下二三呢？因为二三这里面都有 x 减根号二的平方和 z 方，那我们就直接得到 y 方等于 y 方减四， z 再加上四，得呢啊，不是等于我们就得到这个 y 方等于 y 方减四， y 加四就得到零等于负四， y 加四，我们得出来 y 等于一， 那接下来我们再来再另再连立一下，三四 三四连立呦，因为这里面我们都共同的含有 z 方，所以呢， z 方就可以约掉了。 我们代入 x 三呢，就是 x 方减二倍，根号二， x 加二，再加上 y 等于一，我们代入代入，这里边就是一减二的平方，还是一等于 x 方，再加上 y 等于一，代入一，减去根号三加一，就是根号三的平方就是三，我们就能得到 x 方加三减二倍，根号二， x 等于 x 方加三，则呢，负二倍，根号 x 等于零， x 等于零， 所以呢，同理我们也能得出来，因为 x 等于 z， 则呢， z 等于零，所以说 o 的 坐标就是 零一零。所以呢，我们知道看一下这个图，我们看零一零，他在 y 轴上，那这个，而且，但是这个同时呢， a d 的 长是根号三加一，肯定是把这个一给他包含在内了。所以呢，这一问，我们证明了 求出来了球弦的坐标，它确实是在平面 a、 b、 c， d 上。那第二问，求直线 a c 与直线 p o 所成角的余弦值。我们知道意面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦的绝对值。 那我们先求出来这个向量 a c 和向量 p o 都是多少？向量 a 呢，是零零零，不是 a 点 a 呢，是零零零，则向量 a c 就是 根号二二零， 向量 p o 呢，就是用 o 的 坐标零一零，再减去 p 的 坐标就是零一负根号二 则呢，我我们计算一下这个 cosine c， 它就等于 向量 a c 乘上向量 p o 的 绝对值，比上 a c 的 膜，乘上 p o 的 膜就等于 根号二乘零，再加上二乘一，再加上零乘负，根号二分子呢就是二。然后分母呢是根号下，根号二的平方就是二，再加二的平方四乘上 根号下一的平方一，再加上根号二，加二的平方就是二，等于二。比上 分母是根号六乘上根号三就是根号十八。根号十八呢是三倍，根号二等于六分之二倍，根号二就等于三分之根号二。那这道题呢，我们就算到这里，感谢大家收看，我们下期再见。
101数学超甜
04:17查看AI文稿AI文稿今天呢，我们来看一道和平高三三模数学当中的选择压轴题， 这道题呢，延续了和平一模和二模一如既往的平面图形立体化的一个立体几何的小题 啊。作为选择压轴题来说呢，这个题呢，对于一部分学生来说啊，不算特别难，但是对于有的啊，一百二三十分的学生来说，如果空间想象能力没有那么强的话，这道题可能就会难倒一少部分人。 我们来看一下这道题啊，经典的矩形 a、 b、 c、 d 长是二倍，根号二，宽是二。沿矩形对角线折叠的问题，将 abc 三角形折起来成为一个四面体， a 变成 a， 一 问四面体 a、 e、 b、 c、 d 的 外接球体积，我们知道要求外接球或者是内切球的体积的话，直接就是求球的半径 r， 那 么球的半径 r。 在 这个题里边，我想介绍的是一种双垂法，因为利用双垂法的话，你的视觉效果会非常直观的看到本来是一个平面图形的矩形， 经过 a 和 c 做 b、 d 的 垂线，因为它是折痕，我们利用做双垂线，也就是和以前学这个二面角的时候用的方法是一致的。 通过添加二面角啊下边左边这个图，你就会把这个平面图形本来是长得一模一样的，但是通过添加这个二面角之后，你会看到 a、 c 啊，立马变得立体化了，如果这时候还觉得没有那么立体的话，那可以看一看下边这个。 通常你想把一个平面图形变得立体化，我的画法是，首先你右下角这个折痕的一部分保持不动，也就是说它的 b、 c、 d 的 部分可以 保持不动，然后呢，另外一部分本来是 d、 a、 b 这个三角形，那我们只需要 a 点本来靠的是 左下侧，我们把 a 点靠刀右上侧，这样的话，你会让它的图形立马变得立体化，这时候再把 a、 c 连接，就能够利用想象能力想象出这个图形了。所以左边这个图形就是这样子画出来的啊，应该双垂法用虚线来画比较合理。 当画出来之后，这个题其实就已经迎刃而解了，为什么呢？因为所有的答案都在这两个图中，我们一定要利用思维想象一下 圆心啊，也就是球心到这个 a、 b、 c、 d 的 距离是相等的。这四条线平面图形上来看，矩形的对角线互相平分，那很明显半径其实就是 o、 b 啊，四条线段都相同，以 o、 b 举例，那矩形的对角线的一半很容易求二二倍，根号二考的是一根号二和根号三的关系，所以它的半径就是根号三。那放到立体图形中来看 啊，右上角这个图呢，我们也能看到，从 o 点出发，因为你外接球到四个点的距离都是相等的，所以这些半径啊，应该和啊这个根号三都是一致的。 我们怎么去想象呢？因为你这个球心到每个点的距离都相同，那我只需要看 在每一条线段的中垂线上啊，不论你从中垂线出发，也就是说下边这个直角三角形，这不是斜边中点吗？那你中垂线的焦点就在斜边的正中点，这是我们很经典的结论。那另外一边 a 和这个 o 自然而然也在斜边中点 连接 a、 o 这个中线都可以，那么我们这个半径就是 o c o b o a o d 任意一个啊，这样来看的话，如果知道半径是对角线的一半，那这个题的啊，外接球的体积就变得非常简单，利用外接球体积公式啊，就可以迎刃而解了。
59不凡数学
05:39查看AI文稿AI文稿一口气讲完逆题集合洁面问题一共三大题型，从做洁面的两种方式，到求洁面面积和周长，带你完善逆题集合压轴小题。 其实很多高一高三的同学都在问我，唐老师如何做洁面，他要是出的话就会出单选或者多选的压轴题， 那我们来看哈，他总共是有两种方式的，第一个呢是相交法去做洁面，第二个呢是平行线法，我一般都是两个结合着来用哈。 首先呢，我们来看相交法，为什么叫做相交法来，就是因为我们现在这个界面呢，很单零的，孤零零的在这个内部，对不对？ 那么此时我们就要使得它的延长线和其他平面的展开面，延长面我们要形成焦点，那 这时候的话，我们连接这个焦点和这里的顶点，我们就会得到节点了哈，你看，我们现在已知了 e、 f 这条边，对不对？我们就延长出来，延长出来，延长出来之后你会发现啊，好，我交右边这个面，你看右边这个面我也会延长，对不对？我就延伸右边这个面， 我就交右边这一个面于这一个点了，这一个点呢，就是咱们交的一个点嘛，所以此时我们再来连接咱们的 c、 e 和咱们这一个交点，就会得到跟右边这个平面的节点，就是在这的哈，这是节点了。 ok， 那 么 此时我们连接这个节点和这一个顶点，我们就会得到这两条接线了，对不对？好，我们继续来做左边我们延伸延伸，哎，你会发现我跟上面这个平面的延伸面，我是不是交于这一个点呢？ 这个点就是咱们的焦点，那么我们继续去连接咱们的焦点和这一个顶点哈，我们就会得到这有一个节点，所以说我们就去连接这个节点和咱们这一个焦点哈，连起来，哎，你会发现我们又得到了这一条结线， 所以总共我们最后得到的结面是一个什么？是一个五边形的，然后我们再来看到平行线法做结面哈，这是我的 e、 f， 是 不是已知的，对不对？所以说我们现在就去寻找另外一条平行线，它是过其他的顶点的哈，那它肯定就是一个平面的， 那么此时呢，你看我肯定是只能去过咱们的 c、 e 做 e、 f 的 平行线，所以呢咱们就做出来哈，做出来，做出来是这个样子的， 然后你就会发现咱们交下面这个平面，你看我交下面这个平面的延伸出来这个平面交于这个交点，对不对？这个交点呢，咱们再连接下面这个 f 点，是不是我就得到了跟下底面的节点，对不对？就得到这个节点， 所以说咱们就可以连接这一条线，它就是两条截线就在这了。然后同理我们上面是不是会得到跟左边平面的一个交点， 那么跟左边平面这个焦点得到了之后呢，咱们再连接一和这个焦点，此时呢我们就会得到他跟咱们的上面这个平面的节点，在这对不对？在这，然后此时呢我们就可以去连接咱们的这个点和这一点，所以最后呢我们得到的仍然是一个结面的五边形， 所以我们现在来看到我们的三个题型，第一个题型来比较简单，就是不全结面，如图，在一个棱长为二的正方体当中， m n 嘞是两个中点， 然后在图中呢画出过底面 abcd 的 点 o 这个中心点，而且与这个 amn 平行的平面，在正方体中的结面。那你想哈， 我现在要去画跟这一个平面平行的平面，那么我只需要使得两组相交的直线平行，我们两个平面就平行了，对不对？ 那你来看我们的 n m， 它肯定是平行于 b、 d 的， 为嘛嘞？因为咱们只要去连接 b、 e， d， e， 那 么我两个中点中位线，则 m n 它是平行于 b、 d， 所以 就会有咱们的 m n， 它是平行于 b、 d 的， 所以现在我们只需要去找到另外一个平行线就可以了。找谁嘞？其实你只需要去看哈， 咱们的 a n， 它可以平行于谁？是不是可以平行于 b， 然后我在这我再去取一个中点，再取一个中点，比方说咱们的一个 g 点吧，所以我去连接了一个 b g 之后，你就会发现，哎呀我去， 我们这一条边，它是不是平行于这条边的，对不对？然后呢，我这一条边它也是平行于这一条边的，对不对？所以我们就得到了两组对边，它都是相互平行的，所以说咱们包含的这一个平面它肯定是平行的。 那么我们再接着来说，我们要过咱们这三个点的一个结面到底是什么样的嘞？你来看哈，我们就用平行线法去做哈，我们 b d 在 这， 我现在来要去找平行于 b、 d 的 线，而且呢，它是过咱们另外一个顶点的，那你直接去取另外一边的中点不就可以了吗？对吧？我再去取个 h 点，我连接起来，那么此时咱们的 h g 它是不是就平行于咱们 b d 啊？对不对？所以此时我们就得到另外一个节点了， 所以我们再去研究 d h 的 时候，你就会发现，哎，确实我每一条截线它都是直接截这个平面的表面的，所以你看我们最后就得到了这一个截面，它是一个四边形，最后来他就问这个截面多边形的周长我们就不用去算了，我们直接在第二道题里面带大家去算一下。 如果你感觉自己学数学总是很迷茫，做不起题，真诚建议你来看看我的主页置顶群聊分享的系统学习路径，我会详细拆解学数学的底层逻辑和刷题方法，让你做一道题就彻底懂一类题。也欢迎大家在评论区留下你下期想看的主题，我一定满足。记得关注我，我是教你解题程序的北大堂，我们下期再见！
2298北大糖讲数学（10分钟速通版）
13:06查看AI文稿AI文稿一口气讲完逆题结合洁面问题，一共三大题型，从做洁面的两种方式，到求洁面面积和周长，带你完胜逆题结合压轴小题。 其实很多高一高三的同学都在问我，唐老师如何做洁面，他要是出的话就会出单选或者多选的压轴题， 那我们来看哈，他总共是有两种方式的，第一个呢是相交法去做洁面，第二个呢是平行线法，我一般都是两个结合着来用哈。 首先呢，我们来看相交法，为什么叫做相交法来，就是因为我们现在这个结面呢，很单零的，孤零零的在这个内部，对不对？ 那么此时我们就要使得它的延长线和其他平面的展开面，延长面我们要形成交点，那这时候的话，我们连接这个交点和这里的顶点，我们就会得到节点了哈，你看，我们现在已知了 e f 这条边，对不对？我们就延长出来，延长出来， 延长出来之后你会发现啊，好，我交右边这个面，你看右边这个面我也会延长，对不对？我就延伸右边这个面， 我就交右边这一个面于这一个点了，这一个点呢，就是咱们交的一个点嘛，所以此时我们再来连接咱们的 c 一 和咱们这一个焦点，就会得到跟右边这个平面的节点，就是在这的哈，这是节点了。 ok， 此时我们连接这个节点和这个顶点，我们就会得到这两条接线了，对不对？好，我们继续来做左边我们延伸延伸。哎，你会发现我跟上面这个平面的延伸面，我是不是交于这一个点呢？ 这个点就是咱们的焦点，那么我们继续去连接咱们的焦点和这一个顶点哈，我们就会得到这有一个节点，所以说我们就去连接这个节点和咱们这一个焦点哈，连起来，哎，你会发现我们又得到了这一条结线， 所以总共我们最后得到的结面是一个什么？是一个五边形的，然后我们再来看到平行线法做结面哈，这是我的 e、 f， 是 不是已知的，对不对？所以说我们现在就去寻找另外一条平行线，它是过其他的顶点的哈，那它肯定就是一个平面的， 那么此时呢，你看我肯定是只能去过咱们的 c、 e 做 e、 f 的 平行线，所以呢咱们就做出来哈，做出来，做出来是这个样子的， 然后你就会发现咱们交下面这个平面，你看我交下面这个平面的延伸出来这个平面交于这个交点，对不对？这个交点呢，咱们再连接下面这个 f 点，是不是我就得到了跟下底面的节点，对不对？就得到这个节点， 所以说咱们就可以连接这一条线，它就是两条截线就在这了。然后同理我们上面是不是会得到跟左边平面的一个交点， 那么跟左边平面这个焦点得到了之后呢，咱们再连接一和这个焦点，此时呢我们就会得到他跟咱们的上面这个平面的节点，在这对不对？在这，然后此时呢我们就可以去连接咱们的这个点和这一点，所以最后呢我们得到的仍然是一个结面的五边形， 所以我们现在来看到我们的三个题型，第一个题型来比较简单，就是不全结面，如图，在一个棱长为二的正方体当中， m n 嘞是两个中点， 然后在图中呢画出过底面 abcd 的 点， o 这个中心点，而且与这个 amn 平行的平面，在正方体中的结面。那你想哈， 我现在要去画跟这一个平面平行的平面，那么我只需要使得两组相交的直线平行，我们两个平面就平行了，对不对？ 那你来看我们的 n m， 它肯定是平行于 b、 d 的， 为嘛嘞？因为咱们只要去连接 b、 e、 d， e， 那 么我两个中点中位线，则 m n， 它是平行于 b、 d， 所以 就会有咱们的 m n， 它是平行于 b、 d 的。 现在我们只需要去找到另外一个平行线就可以了，找谁嘞？其实你只需要去看哈， 咱们的 a n， 它可以平行于谁？是不是可以平行于 b， 然后我在这我再去取一个中点，再取一个中点，比方说咱们的一个 g 点吧，所以我去连接了一个 b g 之后，你就会发现，哎呀我去， 我们这一条边，它是不是平行于这条边的，对不对？然后呢，我这一条边它也是平行于这一条边的，对不对？所以我们就得到了两组对边，它都是相互平行的，所以说咱们包含的这一个平面它肯定是平行的。 那么我们再接着来说，我们要过咱们这三个点的一个结面到底是什么样的嘞？你来看哈，我们就用平行线法去做哈，我们 b d 在 这， 我现在来要去找平行于 b、 d 的 线，而且呢，它是过咱们另外一个顶点的，那你直接去取另外一边的中点不就可以了吗？对吧？我再去取个 h 点，我连接起来，那么此时咱们的 h g 它是不是就平行于咱们 b d 啊？对不对？所以此时我们就得到了另外一个节点了， 所以我们再去研究 d h 的 时候，你就会发现，哎，确实我每一条截线它都是直接截这个平面的，所以你看我们最后就得到了这一个截面，它是一个四边形， 后来他就问这个结面多边形的周长我们就不用去算了，我们直接在第二道题里面带大家去算一下，那么我们来看到第二道题型哈，求结面的周长。在一个正方题当中呢，咱们的 ab 是 等于四的，咱们的 e 呢，是为一个中点，也是二二的，而咱们的 f 呢，是一个四等分点靠近第一的哈，所以这里为一，这里为三的。那 那么此时我要过 aef 去做一个结面，你们观察一下啊， aef 中咱们的 ae 和 af 它已经是结线了，结线就是说跟这个正方体表面所结的线段哈，那我们来看其他的几个结线到底在哪里嘞？哈， 我们先来用一下平行线法哈，我们先看我们要去找 a、 e 的 平行线怎么找嘞？其实就是去看，呃，在咱们的上平面怎么找到这个平行线哈，你会观察发现 这里是不是一个四比二的一个关系，对不对？那么我们如果说在这找到一个点哈，假设是咱们的 m 点，那么呢它也是满足一个四比二的关系，四比二就是二比一嘛，所以这如果 m 点我们取的是中点，那么他们俩绝对就是平行的， 但是这个平行咱们要怎么去证明呢？同学们其实也非常的好证明，你们知道为什么吗？因为我不妨哈，我在上面，这，我在左边这我再去取一个中点，假设说哈，我们取的是一个什么点呢？取的是一个 h 点， 那么我们去连接一个 c、 e、 h 的 哈，我们连接了 c、 e、 h 之后呢，你会发现咱们的这一个 f 和 m 肯定是咱们的 d e h 和 d e c e， 它的终点，对不对？所以说咱们的 f、 m， 它肯定是咱们这个三角形的中位线的，所以呢，它肯定是平行于它的。而咱们这一条为什么平行于这一条嘞？因为你看我连接起来，我连接起来之后，你就会发现我这一条边是等于这条边的， 而我这一条边是等于这条边的，它绝对是平行于这条，所以同理，这里肯定是平行于这里的， 就我们就会得到了第一个平行线哈，我们得到了平行线。然后呢，我们继续来看一下，我们接下来还可以怎么去找哈，因为右边还是没找出来的， 我们继续来找平行线，哎，这里有一个多少是不是三比四的？那我们来看，我们在这一个右侧可不可以找到一个三比四的比例哈，这里为二，那么我要找到三比四的话，假设这个高度为 x， 三比四，也就是说二 以上 x， 它应该要比等于三比四，所以算出来了 x， 它是等于三分之八的哈，所以呢，在这的高度应该是为三分之八。我们再去取一个点，比方说 n 点的，那我我们再连接一下 e、 n， 它， 它就是平行于咱们的 a、 f 这一条线的哈，那么它是怎么证明的呢？其实跟刚才的证明方式是一样的哈，我在这取一个点时的这一条边为三，那么我在连接这一条边哈，那么此时呢，我这一条边和这一条边是平行的，而我这一个四边形，它又是一个平行四边形， 所以此时嘞，我们就会得到这条边平行于这一条边哈，然后你又会得到这条边又是平行于这条边的，所以你就会得到这条边平行于这条边的哈，所以它是同样的证明的方式， 那我们再去连接一下， ok， 我 们现在就会得到这个结面的五边形。我们来算一下周长哈，我们先来算一下咱们的 a e 是 等于多少？是不是根号下四方加二方的？而咱们的 a f 嘞，是等于根号下，这里是四三方加四方的。而咱们的 一 n 呢，它是等于根号下二方加上三分之八的平方。而咱们 m n 呢，它是等于根号下，这里，是啊，四减三分之八，也就是三分之四的 三分之四的平方，再加上一个，这里是二的，二的平方的。我们再来看最后一个，咱们的 h m 呢，它是等于根号下一方加二方的，所以最后把它们加总在一块， 所以答案就出来了哈。我们再来看到第三个题型，就是求结面的面积，哎，已知一个正四棱柱，他指的是说我的上下底面都是正四边形，而且是一个直角柱，我并不是说我正四棱柱，我的高和我的长宽是相等的哈，你要理解。 然后呢，咱们的 b e 等于二， b e 等于二哈，所以这是二的，而 b b 一 是等于四分之一乘过去等于八的哈， b b 一 是等于八的，也就是说这段为六，这一整段就是为八的。 然后此时呢，四倍 a b 等于三倍 a a 一， a a 一， a a 一 在这，它是为八的，那么三倍 a a 一 就是二十四的，那么 ab 就是 等于六的哈， ab 等于六， ok， 这是六的，那么底面是一个正方形，就是六六六的。 这时候我们继续来看，则该四棱柱过，咱们的 a 一 a 一 在哪？在这，然后呢？ c 在 哪？在这，然后呢？过一这三个点，它的平面所截的了截面的面积。 那你来观察一下喽，我现在只要去做两组平行线就可以了，你看这组平行线是不是平行于后面这一个，我在这也相应的去取， 这是二，这是六，对不对？我就去取。所以说这一条和这一条它也是平行的，哎，这一条和这一条它也是平行的，所以我们直接就把这个结面给它取出来了，我们不妨看拿出来看一下哈， 它不一定是一个长方形，它可能是一个平行四边形哈，所以呢，我们先画出来看一下，则此时咱们的 e、 c 是 等于多少啊？它是不是等于根号下二方加六方就等于二倍根号十的， ok， 然后呢，咱们的 a、 e、 f， 它也是一样的二倍根号十。然后我们再来看 a、 e， 它是等于多少？六六，也就是六倍根号二的六倍根号二的。 那么此时我们要怎么去算这个平面所截得的截面面角？那么我们肯定是说，呃，把它看成是两个一模一样的三角形去计算的，但关键是咱们的 a、 e、 c 怎么去计算嘞？ a、 e、 c， 你 会发现至这个长方体的 t 对 角线， 那么体对角形怎么算呢？根号下长宽高的平方加在一块哈，也就是为这么多。然后呢，计算出来之后，它是等于二倍根号三十四的。 ok 了，那么接下来我是不是要先在一个三角形里面，我去用一下余弦定理啊，对不对？我就可以把这个角给它算出来。 所以说，由于弦定里咱们的 cos 也角 e， 它是等于六倍根号二的平方，加上二倍根号十的平方，再减去二倍根号三十四的平方，除上二乘六倍根号二，乘上二倍根号十的，解得嘞，它是等于负十分之根号五的。 现在咱们的三也 e 也已经出来了，等于根号下一减这一坨的平方的有等于十分之根号九十五的。 最后呢，咱们的这个面积是不等于二倍，这个小三角形 a、 e、 e、 c 的 面积，你入二倍二分之一，乘上六倍根号二，乘上二倍根号十，再乘上撒盐角一，也是十分之根号九十五的。 算出来结果非常简单，十二倍根号十九。所以只要你听完我这节课，掌握了做结面的两种方式，你就会发现，这些题你全部会做 视频的。最后我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大，借题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的评论区置顶蓝色链接，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序，我是北大堂，我们下期再见。
21:48查看AI文稿AI文稿来高考百日百科的试卷好题精讲系列啊，咱们今天继续讲讲这个哈，三中三模 这个第十八题啊，出的非常好，也是我平时上课啊，总跟大家强调的这种间隙困难的几何题啊，应该怎么办？万一间隙不好算咋办呢， 是吧？当然，如果大家还有哪道题想让我讲一讲的话啊，可以在评论区留言啊，也希望大家多多点赞关注啊。当然，我也加入了抖音精选高考应援联盟，里面有很多的高考内容，大家可以去抖音精选搜索高考应援联盟，追更我的高考百日百课 来，废话不多说，开整来，咱们先读题啊，在一个斜的三棱柱啊，他就告诉你了啊，这个本身的三棱柱是斜的，也就是说侧棱啊，跟底面不垂直，对吧？他说 a b 啊，等于二，然后 a c 呢，也等于二 角 b a c 等于九十度，也就说底面啊，这个，哎呦，我这个直角啊，画的也是非常够意思啊，但是呢啊，咱们就凑合看吧，是吧，他说 a a 一 侧棱啊，等于三 啊，然后呢，这个 a e a b 啊，这个角啊，是六十度啊，这是告诉你了的。然后呢， a e a c 啊，也就是说另外一个测棱啊，它这两个测棱之间的夹角是六啊，是谁的啊？不知道 啊，当然第一问呢，他告诉你，当谁的等于六十度的时候啊，他让你证明这个 a a e 点出发的三条棱两两之间的角度， 对吧，也就是说 a b 与 a c 的 夹角，我知道是直角 a e a 啊，与这个 a b 的 夹角我知道是六十度，然后呢， a e a 啊，与这个 a c 的 夹角也知道也是六十度，比如说这个点出发的三条棱两两之间的夹角，我全知道，只不过呢，有不是九十度的， 那么这种题我们呢？又如果要是想用间隙的话，那么我们就不知道，就比如说你想数值间隙，那么这个 z 轴与 a a 一 的夹角多少度啊？你不知道 a a 一 跑到哪去了你也不知道，所以说这种题啊，不适合间隙，那么间隙啊，实际上是一种特殊形式， 什么特殊形式呢？你必须得是 x 轴， y 轴 z 轴两两之间夹角必须得是九十度，对吧？但是我们如果能够用空间向量的模的运算的话，那不需要九十度啊，你两两现在夹角爱多少度多少度，我只要知道你具体的角度，我都可以算。 所以说解决这种啊，邪不愣登的啊，几何体的相关问题的时候，我们的法宝是什么啊？就两点，第一点就是空间向量的模的计算啊，我不用坐标计算不就完了吗？第二个就是三余弦定律啊，对于这道题来说，这两个法宝全都能用，派上用场，而且非常非常好用， 对吧？来，咱们看一看。那么这道题啊，他想让我证明 a a e 垂直于 bc， 我 看 我们要直接用模的运算呗，也就说这道题他想让我证明的是啥？ a a 一 与 b c 向量的乘积等于零啊，就这意思， ok， 那 就 开整，对吧？第一问啊， a a 一 向量乘以 b c 的 向量，那么我们怎么去求呢？因为我们都知道 a 点出发的三条零两两这个角度， 所以说我们一定要把 b c 往这个 a b 与 a c 还有 a a 一 上转化，那么很明显， b c 向量是否可以等于 a c 减 a b 啊？哎，这样的话，我们就直接啊，然后呢，乘的还是 a a 一， 就是这三条棱了，那就解决了吗？就这么简单点事，对不对？所以说啊，它等于 啊， a a 一 啊，向量乘以 a c 减 a b 呗，对不对？那么乘以 a c 减 a b 打开，那就是 a a 一 向量，乘以 a c 向量，再减去 a a 一 向量，乘以 ab 向量啊，就等于这个。那么 彼此啊，每条棱棱长知道不知道，假角知道不知道，那就模棱计算开整，对吧？那 a a 一， 那就是三，对吧？乘以 a c 二 啊，乘以它们之间夹角多少度啊？六十度啊，口算六十度，再减去 a a 一 三， a b 二，乘以它们之间夹角也是六十度，那你说能不等于零吗？一定等于零， 马上就挣完了，你看多简单呐，对不对？ ok， 那 么既然我们能够证明 a a e 是 垂直于 bc 的， 那么也就是说明 a e a 啊， a e 这个点呐，到底面的投影，也就是说，这个点 o， 它一定是在这个 b a c 的 角平分线上。 而对于这道题来说啊， b a c 这个三角形，它是一个等腰直角三角形啊，虽然说画的非常离谱啊，这是直角， 因此它你就可以取 b、 c 的 中点啊，就假设啊，哎，我们连接 a， 对， 也就是说 a、 e 的 投影啊，一定是在 a 对 上的 啊，一定是在 a 对 上的，也就是说，其实这个 a 点，虽然说它不是数值的，它是偏的，但是它偏，也并没有偏离这个三角形啊。 a b c 的 这个中轴线， a 对， 并没有偏离这个 a d 上，也就是说，它并没有以 a、 d 为中心，往左偏或者往右偏，它都没有往左偏往右偏，它就一直都在 a、 d 上啊， 那我们再来看这个第二本呢，他说啥？他说过 a e 啊，做这个 a、 e、 o 啊，垂直于底面，相交底面于 o o 点呢，一定是在 b a、 c 的 内部。 然后呢， a o 向量与 a b 和 a c 向量， a o 的 向量与 a b 与 a c 的 向量分别啊？假角分别是一个，是 r 法呢，这是 r 法，这是贝特啊，我画一下 换个色哈，那就相当于是这个是 a o 是 吧？哎，然后呢，这个角是 r 法角啊，这个角呢？是贝特角啊，这两个角分别是 r 法跟贝特。那么我们称 啊， int 的 r 法和 int 的 被它相减比上，它们俩相加的绝对值是它的投影偏差率。其实你看，跟我说的这个刚才说的这个意思是一样的，也就是它俩是其实是没有偏差的，它一投影点一直在啊，这个 b、 c 的 就是在三角形 a b、 c 的 这个 这个中轴线上，他一直在这条线上，所以说他俩肯定 r 法角跟 b 角是相等的啊，这俩角一定是相等的，那么怎么做呢？哎，那你看这俩角那相当于啥呀？这不就是三余弦定里吗？就是三余弦定里啊，那好多同学都都忘了啊，啥叫三余弦定里啊？哎，那咱们简单说一说啊， 比如说这是一个平面啊，然后呢，有一条线啊，这是直线 l 啊，那么相这个直线呢，跟这个平面呢，相交于点 a 啊， ok， 那 什么叫线面角啊？是不我得在这个直线上啊，找一个点 b 做这个平面的这个投影啊，我管这个投影叫 b 撇，那么我连接 a b 撇，是不？这个假角，我管它叫角 c， 那 这个角是不是有线面角啊？ ok， 那 么假如说平面上呢，还有一点点 c 啊，在这个平面里，然后呢，我管这个 b 撇 a c 的 假角呢，叫做角 b 它， 然后呢，我再把这个直线 l 与这个 a c 的 夹角叫做角蛤蟆，那么这三个角啊，就有三余弦定律，也就是说 cosine 蛤蟆一定是等于 cosine theta 啊，乘以 cosine b theta 的， 一定有这个，这就是三余弦镜比，也就是说，从这个角度来看，这个大角一定，那余弦值一定是等于这两个小角的余弦值，其中一个小角就是线面角，另外一个小角就是这个。这个线啊，其中一个点到底面的投影的一条线和任意一条线所 加了这个夹角叫夹北的啊，他们一定有这个，那么我们看这道题啊，看到这道题，那你看这个 a e、 a o 啊，就这个角啊， a e a o 这个角是不是就线面角？那你看这是线面角，然后呢，它这个角是角 r 法，就是 a o 与 ab 的 夹角是角 r 法。 而整个这个夹角我们还知道，也就是说 a e a b 这个夹角，我们还知道它是六十度，这不就正好构成了三余弦的三个角吗？ 那么另一边也一样啊，这是角贝特，然后呢， a e、 a o 呢，是线面角啊，这个线面角和角贝特这两个角都是分别是小角，而 a e a c 这个角是大角。这个角啊，在第一问的时候，他也是六十度还是六十度， 所以说这个三鱼弦呢，在大题当中也可以直接用的啊，没有问题啊，所以说这道题太简单了。第二问，如果你大家想到了三鱼弦啊，那这道题就纯纯白给，对不对啊？第二问的第一小问啊， ok， 根据啊，咱们先设一下这个线面角，比如说设啊，这个角 a e a o 啊，我管它叫这是阿法，别的谁的都有了，那叫角蛤蟆啊，我管这个线面角叫角蛤蟆啊，然后怎么的，根据三鱼弦定律， 那么就有啥呀，哎，有两个对吧？第一个就是什么？就是 cosine 角 a e a b 啊， a e a b 就是 这个大角啊，它一定等于啥呀？一定等于 cosine gamma 啊，也就是线边角再乘以 cosine alpha 啊，这提的给我的这个 alpha， 它等于多少啊？因为这个角等于六十度嘛，所以说它等于二分之一， 对不对？然后我还能列出来一个，就是 cosine theta 啊，对于数学题来说，这 cosine theta 不 就还是大角吗？它也应该等于 cosine gamma 乘以啊， cosine beta， 因为这个第一位第一小问里边 theta 等于六六十度，所以说它还是等于二分之一，因此我们能发现怎么的？ 因为虽然说我不知道 cosine gamma 多少，但是这干么都能约掉啊，所以说 cosine 算法跟 cosine beta 一定是相等的， 所以说 cosine alpha 一定是等于 cosine beta 的， 你看用三域协定一下就挣出来了，对不对？而且又因为 alpha 加 beta 等于九十度，所以说 alpha 等于 beta 就 等于四分之二， 对不对？因为它俩相等，只能 alpha 等于 beta， 因为这两个角都是这个锐角，对吧？那么 alpha beta 等于四分之一，那我们是不也能把 cosine 算出来啊，也就是线面角，也就是说这个 a e a o 的 角，那 cosine 角有多少啊？大到任何一个式子里边都行，因此 cosine 角啊， 应该等于二分之一，再除以 cosine， 那 相当于乘以一个根号二呗，是不是 cosine 等于四十五度嘛？二分之根号二，那相当于乘以根号二，因此它也等于二分之根号二。也就是说，线面角，也就是说 a e a 啊，与底面的夹角，实际上是四十五度 啊，也就是说 a e a o 啊，这个角啊，它这个夹角是四十五度， ok， 那 么知道这个了，那我们就其实啊，先算它有用啊，后边有用，是吧？来，咱们继续，我们就先算它的这个投影偏差滤得呗，是吧？因此啊，得 啊的应该等于绝对值啊，弹进的 alpha 减去弹进的比特啊，那它俩都等于四十五度，还是得相等，那就肯定等于零了，对吧？弹进的比特啊，写一下啊，它等于零，完事了， ok， 然后呢，接下来他还让我求什么呀？求啊，此时平面 a e b c 啊，平面 a e b c 啊，这个平面啊，与，这是 a e b c 与底面的夹角， ok， 那 你告诉我，你现在能不能知道？当然这道题啊，其实间隙也行啊，但是我觉得间隙太麻烦，因为这两个角很明显就能看出来。首先， a e b 和 a e c 他 俩这两条线一定是相等的，为什么相等？因为在这个三角形 a e a b 里边，这是三，这是二，这是六十度。 所以说 a e b 不 管多长和在这个三角形当中，就是在 a e a c 里边，这也是二，这也是三，这也是六十度啊。所以说 a e a c 跟那 a e c 和 a e b 它俩一定相等， 那么既然相等，那如果我连接 bc 的 终点得，哎，我连接 a 一 得，那 a 一 得一定垂直于交线，对吧？然后呢，又因为底面是个等腰直角三角形，因此 a 一 得也一定垂直于 bc， 因此啊，这个夹角就是这两个平面的夹角， 对吧？当然，这个角如果他是钝角的话，那么这个角的补角就是这两个平面的夹角啊，因此，我们很容易就能把这两个面的夹角做出来，那我们就求他就行了，那求他的话，我们知道这是二，这是多长啊？因为底面啊，是一个等腰直角三角形，所以说这是根号二吗？ 所以说就差这了，那这个长怎么求呢？这个角我知道，刚求的线面角，这个角是四十五度啊，啊，所以说这是四十五度，因此我可以这不两边一个角吗？于先定底，直接求 a 一 对就完了， 那么 a， e， d 求完，我再求这个夹角，这题就完事了，对吧？所以说这题非常简单。当然，我们首先呢，得一定得先连接一下 a， e， b， 是 吧？然后呢，连接这个，这个点就叫点 d 啊， bc 的 中点。然后呢，我再连接 a， e、 d， 那么这个角啊，就是这两个平面的假角啊，就是 a 一 对 a， 是 吧？然后再连接一下 a， c， a， e， c， ok， 那 这是一个等腰三角形啊，对吧？刚才我说的这个东西都得正啊，都得正一下，是吧？ ok， 那 么咱们写呗，那么再三角形 留着啊，在三角形谁呀？ a 对 a 一 种啊，在三角形 a 对 a 一 种啊， a 对 a 一 种？对啊，根据余弦定律， 我可以先求这个 a 一 对的长度啊，那么可以得到啥呀？啊？ a 一 对啊，它就应该等于啊，根号下啥呀啊，根号二的平方，那么二加上三的平方九，减去二乘以根号二 乘以三，再乘以个它们之间的夹角线边角啊，二分之根号二，啊，二分之根号二，对吧？这一乘完之后，这是啊，十一减六，根号五， 因此 a 一 的等于根号五。那么所以说，我们要假设啊，我们要求的这个二面角，我说角的这个都射没了呀，是吧？ 那我就射这个角的角 k， 是 吧？所以说 q 三 k 啊，哎，他就应该等于，哎，绝对值。 q 三 a 一 的 a， 对 吧？ a 一 的 a 这个角就是这两个平面夹角啊，他应该等于 算一下，那就加绝对值啊，分子加就行了。那么应该是等于根号二的平方，加上根号五的平方，再减三的平方， 然后呢，这底下是二乘以根号二乘以根号五，对不对？所以说应该等于就是上面二二约掉了十分之根号十呗，对不？ 哎，因此啊，它等于十分之二十，所以说这个第二问里边，这个第一小问就算完了。然后我们再看这个最后一个小问，最后一小问，他说呀，这个的是关于角谁特的一个函数解析式， 那角谁特，那现在的这个角是角阿法跟角贝特的，所以说这道题你想变成贝特，找到阿法贝特与谁特之间的关系啊，你得找到阿法贝特与谁特之间的关系， 若存在两个不同的锐角，谁的一，谁的二，使得它俩相等，证明口算谁的一，乘以口算谁的二，等于四分之一。 ok， 那 么首先不管咋地，你得先找到阿法比特与塞特之间的关系，从而把这个的这个表达式 的里边的阿法跟比特全都换成塞特，就这点事，那么根据第二问啊，我们知道了这个， 知道这个，对吧？我还知道他，我知道这两个，那我们知道这两个的话，我们就可以直接看出来啊，对吧？虽然说现在这个角谁他啊不等于二分之一了，但是我可以通过这个啊，能够判断出来 cohen beit 啊，哎啊，先算他吧，先算他 是不？ cosine 比特应该等于 cosine 比特除以 cosine 算法啊，那个嘎嘛啊，是吧，换个色啊，这个第二个小问啊，根据 啊，这个一中可得啊，对吧？三余弦呐，我们可以得到啥呀？ cosine 比特是等于啊， cosine 比特比上 cosine 嘎嘛的就在这嘛，对吧？ 这虽然说他现在不知道不不等于二分之一了，因为这个等于二分之一六十度呢，是第一小问里面告诉我们现在第二小问没有这个条件了啊， ok， 我 们还知道啥？根据他，因为这个角是一直等于六十度的啊，这是可以用的，对不对？所以说通过这个里边我可以把这个 cos 阿法表达出来，对吧？我还能知道 cos 阿法，对吧？它等于啥？等于啊，二倍的 cos 伽玛分之一， ok， 那 cosine 赶上没有用，所以说我们怎么两式相除就可以了啊，则 cosine beta 比上 cosine alpha， 它就应该等于这一除完之后就等于二倍的 cosine theta 啊，对吧？等于二倍的 cosine theta。 而又因为 alpha 加 beta 等于九十度啊，这是 alpha， 这是 beta， 它整个是直角啊， 所以说又因为 alpha 跟 beta 是 九十度，所以说 cosine 等于啥呀？是不等于 c in alpha 啊，它就等于 c in alpha， 所以 说 就可以写成啊，它又等于 c in alpha， 比上 cosine alpha， 哎，那所以说它正好等于贪心的 alpha 至此。哎，这个原来的这个的这个式子里边的弹进的阿法，我就可以用二倍的口算谁的来表达了。又因为阿法跟比特他俩是互余的，所以说弹进的比特就等于弹进的阿法分之一，所以说我就全可以换了。 因此，那这道题我是不是首先我就可以表达出来这个的谁他了啊的谁他，哎，他等于啥呢？ 先把原式抄下来啊，原式是看一眼，弹进的 r 减弹进的比特比上他俩相加 啊，弹进的 r 减去弹进的比特，那就相当于减去弹进的 r 分 之一是吧，然后比上弹进的 r 加上啊弹进的 r 分 之一，这样的话，先把这个比特整没，然后呢， r 弹进的 r 跟口在谁的关系？在这往里套啊，那就等于 这是二倍的 cosine theta 减去啊二倍的 cosine theta 分 之一。其实这道题啊，跟这个式子跟这个立体图形也没有关系了，变成纯函数的问题了， 对吧？减去啊，加上二倍的 cosine theta 分 之一就得这个，那么这个式子分子分母还都有分式，所以说肯定得先同乘一个分子分母同时乘以一个二倍的 cosine theta， 是 吧，然后就变成了， 这是四倍的 q 方 c 减一啊，然后比上这是四倍的 q 方 c 加一，那四倍的 q 方 c 加一，它肯定是正的，所以说这个绝对值啊，只有分值有 啊，只有分子有。那么他说呀，这个式子啊，存在着两个不同的锐角啊，锐角 c 特一和 c 特二，然后呢，使得的 c 特一就这个式子相等啊，这两个式子有两个式子相等，那么怎么能让这俩式子相等呢？那就肯定是一正一负嘛， 对吧？这才能相等。所以说这个题就很简单，当然写这口在 c 特一， 然后呢，再令 t 二呢，等于口方 c 二，因此啊，这个式子一定有啥呀，分子一定是一个取正，一个取负，也就是说啊，则 这个四倍的 t 一 减一，比上四倍的 t 一 加一，就应该等于一减四倍的 t 二，比上四倍的 t 二加一， 那就交叉相乘呗，对吧？那就是十六倍的 t 一 t 二减去左上乘右下啊，减去四倍的 t 二，加上四倍的 t 一， 再减一，就应该等于 四倍的 t 一， 减去十六倍的啊， t 一 t 二，再加一个一，再减一个四倍的 t 二。约分啊，不不，那个和平同乐像这都约掉了， 没有了，那就剩啥了？那就剩三十二倍的 t 一， t 二就应该等于二，所以说， t 一 乘以 t 二，应该等于十六分之一，而 t 一 乘以 t 二等于啥呀，在这呢，对吧？所以说，换回来，那也就是说， cos 方 c 特一乘以 cos 方 c 特二啊，应该等于十六分之一。又因为这个，这两个角啊，都是锐角啊，都是锐角，所以说它一定都是正的，所以说，开根呢，就是正的。 所以说，哎，我挣完了，扣三 c 的 一乘以扣三 c 的 二确实等于四分之一，你看这道题有啥难的，对吧？所以说，我们在做这种邪不愣登的图解析困难的题的时候啊，记住两大法宝， 第一个就是这个三鱼弦定律，第二就是我们可以用空间向量的模的运算，有了向量的拆分并不一定非得间隙啊不要，可这一棵树上吊死啊，对不对啊？所以说这道题总体来讲， 如果大家能够掌握三文先定礼和这个模拟算，那么这种题啊，还是白给 ok 啊，如果想让我再更什么哪道题，可以这个评论区告诉我啊，拜拜朋友们。
1550老林搞数学
05:21查看AI文稿AI文稿去年吴老师压中例题，几何几乎圆题了，还不来看一下？今年吴老师预测，这种题型大部分同学做的少，综合性也很强，所以考的概率非常大。这道题如果出现在二零二六年高考当中，我相信很多同学都做不出来， 为什么这样说？因为这类题型我们碰到很少，对吧？高考考的就是很少的题型，所以今天吴老师来给大家分享一道好题。这道题是二零一八年的浙江卷，高考成绩浙江卷特别喜欢考这种题，这种题啊，考察我们的几何思维，好吧，我们看下题，他说四人追 的底面是正方形，然后侧棱均相等， e 是 ab， 上面的动点就相当于是。然后 se 与 bc 所成的角是 c 叉一， se 与平面 abcd 所成的角是 c 叉二，安面角 s 杠 ab 杠 c 是 c 叉三。 那其实这里就相当把线线角、线面角和二面角都考到了，所以这一题的综合能力很强。那在你考场上面，你怎么去做呢？我就更加推荐啊，如果你没有别的思路，你就用什么特殊指法， 我就把这个 e 当中边呗，然后我就把边窗都设出来呗，比如说我把底边对吧，设个二，对吧，然后这个我就设个四呗，然后我就渐细呗， 对吧？我去以这个中心去间隙，然后再去做，因为三个角度我都能用间隙的方法求，但是就是计算量会大一点。但是吴老师今天带来一种方法，就是我要讲的方法叫几何法， 就纯几何方法去做。首先我们先把这个角先画出来，嗯，先画一下线线角，线线角就是我要把它平移到这里来把 bc， 对吧？所以这个角是不是就 set 一， 然后线面角， ok， 让你要线面角的话，我是不是要这样做一个垂直下来？我用黑颜色笔啊， 假设这个有个中心 o， 好 吧，然后我连接的是它，对吧？哎，那我得到的这个角是不是应该就是就是我的 set 二， 同理还有一个二面角， s 杠 abc， ok， 那 s 杠 abc 在 哪里呢？是不是我要三垂线法，我要 这样做个垂直，然后这样做个垂直，对吧？所以就相对这个角就是 c 大 三，相信看到这里很多同学都知道了，其实他有另外一个方法，叫什么叫三余弦，三正弦定力， 他也叫什么角嘞？也叫最大角和最小角定力啊，好吧，三余弦就是最小角嘛，最小角定力，然后上面就是最大角定力， 你只要知道这两个定律，你其实这个我都不用算，我都能出来，好吧，但是我这里主要是讲几何法，那几何法我现在啊，哎，那我要把这个角都用边去表示出来呗，对吧？比如说我再把 s 点这样延长出来， 我过这个点啊，中点啊，好吧，这是个中点。然后贪婪的 c 塔一等于什么呢？是不是这个角就是个直角？ 呃，是 s f 比上 e f 啊，上面是，好吧，贪婪的 c 塔二，这里才是 o 点啊，就是 s o 比上 o e， 应该是这样子的啊，那贪婪的 c 打三呢？会等于什么呢？是不是就会等于 s o 比上这个点？我把它设成 m 点比上 om 出来了吧。那我是不是可以量量去比啊？然后我们就可以比了，一和二，我们发现分子分母都不一样，所以不好比，我们看一下一和三，一和三，我们知道 o m 和 e、 f 是相等的，所以我们只用比较谁，只用比较我的分子，那分子有 s f 一定大于等于 s o， 对 吧？ 如果那个点共线的时候就会取等嘛，所以就相当于什么 c t e 就 会大于 c t 三快吧。那还能怎么比呢？二和三可以比，分子相同，那这个 o e 一定会比较大，那是不是相当于 c t r 小于等于四的三都是带等于号的啊？就共线的时候就会相等啊，所以这个题目不就直接出来了？呃，一是大于等于三，二小于等于三，所以选什么？选 b 看吧。所以这道题啊，我觉得很好，因为全国卷里面算新题了，假如出现的话，所以去年吴老师押中了例题集合， 对吧？几乎一模一样。那个那道大题跟吴老师出的几乎一模一样。所以啊，你们一定要重视起来这类题，因为我特别喜欢研究高考题。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里。
1735高中数学吴老师
08:05查看AI文稿AI文稿立地几何一点都不难，题型非常固定，第一位永远就是平行或垂直，第二位永远就是一个夹角问题。但是立地几何为什么拿不到满分？原因就是里边有一些难的点。像这种结面问题，往往处在选择或填空题的最后一题 作为一个压轴题存在。既然郑老师利用三分的时间带同学们理解一下结面问题该如何去考察。像这种结面问题的话，往往使用的一个方法就是扩展平面。你要像这个题，三角形 a m n， m n 是 这两个边的中点， 在这个正方体中，把这个三角形 a m n 扩出去，然后研究出它的结面。有些同学说这个 a m n 所在的结面不就是 a m n 这个三角形吗？ 其实不是，为啥呢？因为 ama 在 整个这个几何体里边，它画的并不完整，我们需要把这个三角形 ama 往外进行扩展，扩展到与六个侧面，或者六个侧面中的其中几个面有交线。哎，把那些交线都找出来，那所以结面问题的话，一定会牵扯到一个知识点，就是扩展平面问题。 那如何把这个 amn 这个三角形进行一个扩展或延展呢？方法的话，我们常见的就这两个方法。第一种方法的话就是做平行线，我们根据平行线的性质，平行线一定可以确定唯一的平面，所以我们只要过 a 点做 bc 的 平行线，这样做出来。 过 c 点做 ab 的 平行线，这样做一下。过 b 点做 ac 的 平行线，这样做一下。朋友们，看我现在画出来这个大三角形， 是不是就比刚才这个小三角形 abc 更大一些，所以你这个面大了之后扩出去的面大了之后，你和外边哈他的一个延长线，或者说他的交线是不是就出来了和其他面的交线。 所以把三角形 abc 扩展的第一个方法就是过顶点做另一组边的平行线，根据平行线性质，所以他们这些所有的点一定是在一个面里的，这些面还是一个 r 法啊，这是第一种方法， 那第二种方法的话就是什么呢？延长直线找焦点，我们想要把这个面进行延展，哎，我们可以把相应的边进行延展，哎，把 a c 往两边延一延， 那延出来一个，比如说 a 一 延出来一个 c 一， 然后呢，你把该连的连一连，就出来一个大的三角形，这个三角形变大了之后，是不是和其他面可能就会有交线了？那所以第二种方法是延长直线找焦点，而且这个焦点往往是其他一条线的一个延长线上的一个点。 我们结合这个题目，我们看一下这个题的一个做法，这个题的话，我们拿到题之后常见的方法哈，常见的方法是方法二就是做延长线，因为能做平行线的，往往这个题都比较简单，所以这个地方延长谁呢？我们看这三条边，一定记住延长 m a 延长谁呢？这个线一定要在其中的一个面上的这样的线去延长它，不要去延长，延长 am 和 an， 因为 am 和 an 在 这个立方体里边，它是在空中穿过的一条线，像这样的话，你延长直线找焦点，它往往是没有焦点的， 但是 m a 不 一样， m a 这个两点形成的这个线的话，在底面 a， e， b， e， c， e， d， e 中，所以把 m a 进行延长的话，同学们想哈，因为 m a 是 在底面上的，在底面上的，所以它延长过来之后，一定和 a e， d， e 它的延长线是相交的。 你说这地方假设出来一个 p e， 它一定是相交的，因为这两条线，这两条线都在底面上，它们都在底面上，所以这地方肯定会有一个交点。 而且这个焦点的话，同学们仔细观察，他除了在这个 m a 上，他还在 a 一 d 上，换句话说，这个 p e 呢，还在后边那个侧面上，而这个 a 点呢，是不是也在后边那个侧面上？所以导致你把 a 点和这个 p e 点把它连起来， 哎，把它连起来，把它连起来之后， a 和 p e 这两个，这个线是不是在后边那个侧面上的？而 d， e， d 是 不是也是在后边那个侧面上的？所以这个点其中就是一个焦点 啊，这个点就是其中一个焦点，这样的话，这个三角形哈，同学们仔细看哈， a， m p 这个三角形看到没有？是不是相当于把刚才 a， m a 那 个三角形进行往外扩了一部分，就是用的这样一个思想，那这样哈，把它给连起来， 把它连起来，哎，这样的话，右半部分我们的结交线就已经出来了，哎，就这么一个形状的，有没有看出来这么一个形状啊？好，那继续把 m 往左这边去延伸，同样的道理，他延过来之后，是不是应该和 a 一 b 一 的延长线会有一条交点？这个点记住啊， 片吧。哎，这个地方，那这个线的话，同学们仔细观察哈，这个点是不是在底面上的啊？他不平行，必然会相交，就一点，这个点在 a 一 b 的 延长线上，那肯定这个点是在左边这个侧面上的，而这个 a 呢，是不是也在左边这个侧面上，所以把它给连起来， 哎，是不是就可以了？这样的话，这条线和左边侧面上的 b b 一 这个点，这地方是不是有一个线，有个焦点 f 啊？这样的话就出来了，把它连起来好了，同学们，仔细观察，我现在画出来一个什么呢？本来是 a， 本来是 amn， 本来是 a m a， 把 a m n 括出来之后形成的那个三角形，就是这个三角形，就是 a p 一 p 二这个大三角形。我们仔细观察一下哈，那这个大三角形和整个立方体啊，整个正方体和长方体， 大三角形和这个长方体和正方体，它的交线的话，交面结面是不是就已经出来了？就是这个 a f m n、 e 啊？ 那这样的话，得到这个面之后，这样的话，如果说他让你求周长，或者求这个洁面的一个面积的话，那怎么去求呢？我们只要把每个长度是不是研究出来就可以了， 而这个每个长度怎么去研究？同学们，记住，主要问题是要考虑 e 点、 f 点，这几个点是几种分点，那想要求这个 e 是 几种分点，往往我们使用的方法是什么呢？需要摘取一些平面，比如说我们想要研究 e 是 几种分点，我们就得知道这个长度是多长 啊？这个长度是多长，那想要研究这是多长的话，我们把底面这个 a 一 b 一 c 一 d 一 啊，把它给摘出来。所以像这种题啊，往往还会用到一个摘取平面进行一个计算的问题哈，啊，这是 m， 这是 n， 那 所以它沿过来之后，同学们看哈，这个 p 一 点应该在什么位置？假设是个正方体，边长是二，那这样哈，这是二 啊，这个长度是不是一啊？这是一，那这样的话，这个长度应该是多少？你仔细看，这地方是不是有一个什么八字形的一个什么相似或者是全等啊？因为这两边是相等的，所以这条有个八字形的一个什么全等，那全等，这是一，这是不就一啊？ 所以这样的话，我们就找到了第一点，第一点，这个地方哈，这是一，这是二。然后仔细同学们再看这个三角形，看到没有？这个三角形， 看到没有？这个三角形和四个小三角形是不是应该是相似的？那相似比是几比几啊？这是一，这是三，所以相似比，是不是一份比三份，一份比三份，所以这个长度是二的话，这个长度是不是应该是三分之二？所以你们看啊，这个长度并不是一个终点三分之二，根据 这个长度，这个长度，利用勾股这个理，求这个边长，没问题吧？啊，这样的话，就可以把这个长度求出来了。同样道理，像这个长度呀，这个长度啊，或者 f 点是极陡分点。同学们不妨分析一下左边这个侧面，以及分析一下这个 p 二这个点的位置哈， 这个 p 二点的位置，通过 p 二点以及左边这个侧面研究出来，他是一个极陡分点。哎，这样就行了， 这是这一类问题的一个解决办法，所以同学们哈，学会了做洁面之后，有时候我们还会有时候犯一些什么的经验主义错误，或者是想当然那些错误。 比如说像这个一点，哎，做完之后有种对称性感觉，怎么感觉怎么感觉这个一点就是个终点，实际上这个一点是一个什么？是个三个分点， 但是下次这个点有可能就变成一个终点了，因为这个 m n 不 见得就是终点，他说 m n 可能是三等分点之类的。所以像这种问题，洁面问题一定要牵扯到立体几何的摘取平面。
1342郑肖老师数学思维
03:59查看AI文稿AI文稿各位高中家长注意了，孩子数学成绩上不去，我建了数学典型例题打卡群，每天发一道高频必考易错题加变形题，带孩子免费打卡练习题配详细解析思路，避坑要点， 不用家长费心辅导进群，还直接送年级易错题汇总。今天徐老师就用这道例题几何的四棱锥题，帮你彻底告别死记硬背 高中立体几何压轴题，孩子一看就懵，掌握这套方法，考场直接秒解！先看第一问，线面平行的几何证明很多孩子只会硬套中位线，却根本不知道为什么要构造辅助线，一换题型就卡壳。 我在课上会带着孩子从线面平行的判定定里底层逻辑讲透。核心思路是取中点构造平行四边形，线线平行，推线面平行。 第一步，看到中点加平行等长线段，优先取 p a 中点 n 连接 b n m n。 第二步，证明 m n 与 b c 平行且相等，得到四边形 b c， m n 是 平行四边形，推出 c m p a。 第三步，根据线面平行判定定理，证明 c m 平面 p a b 这种题我会出三种不同变形题，让孩子吃透构造逻辑，而不是只会被取终点的结论。再看第二问一间隙法求面面角， 这是很多孩子的丢分重灾区，要么间隙出错，要么求法向量算错，最后算错加角。 我会教孩子用间隙求法向量、向量、夹角公式、三角横等变换的通用解法，把复杂的立体几何问题拆解成基础计算题。核心思路是建立坐标系，写出点坐标求平面法，向量计算夹角于弦，求正弦值。 第一步，利用 p a 底面 a、 b、 a、 d 的 天然垂直关系，以 a 为圆点建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标。第二步，分别求出平面 p、 a、 b 和平面 p、 c、 d 的 法向量。 第三步，用向量夹角公式计算法向量夹角的余弦值。这就是我们课上的题型通用解法，孩子学一道会一类，再遇到类似题直接秒杀。 再看第二问。二，参数化加点面距公式的存在性问题，很多孩子不知道怎么设点，怎么列方程，完全无从下手。 我会教孩子用参数化设点求平面法向量面距公式列方程判断解的有效性的通用解法，把动点问题转化为解方程问题。 核心思路是参数化点 q 的 坐标，求平面 p a、 q 的 法向量，带入点面距公式列方程求解并判断参数范围。第一步，设用 lambda 表示出点 q 的 坐标。第二步，求出平面 p a、 q 的 法向量。 第三步，代入点 d 到平面的距离公式列方程求解 lambda， 并判断解是否在零小于等于 lambda 小 于等于一的范围内。这种题我会出多种辨识，让孩子吃透参数化的思想，再也不怕动点存在性问题。 为什么我的学生做这类题不丢分？因为我不搞盲目刷题。我们的课上这类立体几何压轴题会同步配套预习笔记，提前梳理线面平行间隙法点面距的模型原理。 课上精讲拆解构造辅助线求法向量的易错点和通用步骤。课后变形题巩固方法，避免换个立体图形就不会错题。复盘，把这类题整理进专属错题本，下次遇到直接描解 这道题的完整解法和配套变形题，我整理成了资料，私信回复，立体几何免费领！关注徐老师每晚直播讲题，带你系统提升数理能力！记得预约我的直播哦！
186初高中数理伴学徐老师
