盐城市中考二模数学16题解题过程
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00:25查看AI文稿AI文稿这是今年盐城市中考二模的填空压轴题，你能一眼看出解析思路吗？我们看如图，菱形 a， b， c， d 边长为六， p 为射线， a， d 上一点 a， b， c 的 正切值等于四分之三，求 p b 比 p c 的 最大值。
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00:48查看AI文稿AI文稿这次滨海中考二模数学难度偏高，难于往年中考真题基础题占比稳定，中档题陷阱多，压轴题综合性强，对计算熟练度、几何模型识别、函数综合能力要求很高，十到十一题都有一定难度，十二题双动点非常难， 十七题菱形综合难度大，十八题网格作图加弧不规最直。第二问极难。二十三题一次函数形成问题 难。二十四题平行四边形折叠几何综合。二十五题抛物线综合压轴都是非常难的，绝大部分学生拿不到满分，但是参加王老师押题课以及做过我的数学高分宝典的这些难题都能拿下相似度百分之九十以上。 这次二模数学一百零八分以上就是高分，考到一百一十五分以上的会特别少。总之，数学就是拉开差距的科目，高手较量在数学。
256中高考王老师（滨海新区）
04:00查看AI文稿AI文稿昨天孩子二模数学考完回家，情绪有点低落，孩子主动和我说这次数学卷子太难了，整体计算量很大，题型也比较绕，自己这次数学大概率考不到一百一十分以上了。 其实听完孩子这番话，我内心特别能够理解，本届滨海二模数学本身整体难度偏高，远比历年天津助考要难，并不是孩子不够努力。 接下来我们就来整体的分析一下这次滨海新区二模数学试卷。整体概括一下整套试卷。本次滨海二模数学整体难度偏难， 整体水平明显是高于往年中考的整张试卷，基础题目偏少，中档题目占比大，整体计算量偏大，题型陷阱也比较多，压轴题拔高力度强，整套试卷分数区分度特别大。 首先来看选择题，一到九题全部都是基础必考题型，知识点简单常规，只要细心，大部分同学都可以问问拿分。从第十题开始，难度 提升。十题尺规几何，题型思路迂回，不好思考。十一题旋转几何综合性变强，十二题动点多选，结论题条件复杂，计算量也大，也是选择题主要拉分的题型。 再来看看填空题，十三到十六题为基础数分，填空题难度低，是大家必须拿下的基础分数。 第十七题菱形综合几何，相较中考题型难度持平，但计算繁琐。十八题网格作图搭配胡不归对质问题解析思路隐晦，思维要求高。解答大题部分 十九题不等式组二十题统计大题，题型固定简单，属于中考标准送分题，细心做答便可稳稳满分。 二十一题圆综合大题，第二问步骤繁杂，难度高于中考同类题型。二十二题解直角三角形是天津经典考题，难度中等，题型常规但计算量大。二十三题分段函数应用题，题目设置比 中考更加繁琐。一十分最后两道压轴大题，本次二模二十四题几何折叠压轴是全卷最难的题目， 图形变换复杂，需要分类讨论。面积，题型综合性极强，难度超中考正常的二十四题的水平，简此生也，不容易拿满分。 二十五题二次函数压轴难度持平，中考最高难度融合面积、换算线段比例以及几何综合知识预算量大，综合性十足。整体对比，天津中考数学 中考出题梯度平缓，基础占比更高，整体出题温和。而本次滨海二模压缩基础题增多中档易错题，加大整体计算压力， 刻意抬高集合压轴难度。最后总结一下这套试卷的价值，虽然本次二模考题偏难，但是整体题型结构、出题方向、考点、思路完全贴合天津中考，通过这次二模找出自己的计算短板、 集合漏洞和压轴解题不足。也希望同学们不要因为这次成绩不理想产生焦虑， 认真整理错题，吃透重难点题型。通过本次高难度的模考，后续迎战中考，做题心态会更加从容，应对中考也会更加轻松。
78大港数理化杨老师
01:15:07查看AI文稿AI文稿中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。
11.8万亮亮巧解数学
08:27查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下庭湖盐都的五月二十二号二模的填充 c 位体，它说在菱形 a、 b、 c、 d 当中呢，边长为六， p 点是射线 a、 d 上的一点， 天津的角 a、 b、 c 呢？是四分之三，求 p、 b 比上 p、 c 的 最大值。那么线段的比值问题，通常可以去 转化成其他的一个线段之比比值啊。像这种特殊的，你比如说 p、 b 比上 b、 c， 如果说这两个线段之间其中一个线段是一个固定的一个状态，那么我们只要研究另一个线段的一个坠值，然后再转化成一些什么动点的一些轨迹问题 啊，那像这种两个线段式这种动态的啊，通常他要把它转化成其他的一个啊，两个线段的一个笔直，最好是移动和一定的这样一个状态。 那这里可以怎么去处理呢？我们可以去构造这样的一个相似啊，或者说旋转手拉手这样的一个形式， 观察一下 p 点在这个 a、 d 的 这个延长线上，然后 p 点动的时候，你看 c 和 b 不 动，我们可以围绕这个 b 点，围绕 b 点，为什么呢？因为这个地方给了一个角 a、 b、 c 的 角是四分之三，我们可以围绕这个 b 点 啊，去构造一个什么呢？就是以 b 为旋转中心啊，以 b 为旋转中心。假如说把 b、 p、 c 这个三角形绕着点 b 呢？转了某一个度数，转了某个度数，转了多少不知道，但是呢，我把它转的同时，把这个 b、 p 啊和这个 b、 a 去进行对应， 把它缩短某一个倍数啊，缩短某个倍数。好，我们假装画一下。 好，假如说就转到这个地方啊，转到地方，假如就这个 h， 也就是说你把这个 b p、 c 绕着点 b 转某一个度处，并且呢，它也缩小了多少倍啊？变成了这个 b a h 啊？ b a h。 好， 这个时候你看一下，根据我这个手拉手，我们可以去拉一下这个手啊，你看这个 h 跟 c 连接一下，然后这个 a 跟 p 连接一下 啊，这边稍微擦一下啊，擦一下。好，这时候会得到一个什么呢？因为我是自己去构造的啊，我是构造了这样的一个蓝色的三角形 啊，其实就是跟这个 bcp 是 相似的啊，是相似的，那相似的话会得到一个什么结论呢？手拉手你会得到一个全新的相似三角形，这个 bhc， 它跟这个 bap 是 相似的，这样有一个好处，有一个好处就是你这个 bap 这个角头它是一个固定的， 虽然具体大小不知道，但是我知道它的补角，它的补角的这个啊，正切值是四分之三，那也就是说这个 b h c 这个角，它实际上是一个固定的，因为它补角是一个确定的角嘛，对不对？虽然度数不清楚，没关系，那 b h c 是 一个固定的角，那我们就可以知道了。 很明显这是一个引圆问题，那圆心大概在这个 b c 的 垂直平分线上啊，我们随便标一下啊，假如 o 点在这边大概画一个圆， 好意思一下。好，那这样有什么用呢？那 h 就是 在上面运动啊，在上面运动，那你想一想， 再想，那你想一想，你要求的是这个 p b 比上这个 p c， 对 吧？它不就转化成了这个 a b 比上 a h 吗？而 a b 是 固定的六，那 a h 只要研究它的一个运动状态就可以了， 那他要求他的最大值，那是表证什么？ a h 最短的时候，那么 ab 比上 a h， 他 就是一个最大的一个状态，那所以要求 a h 最小的时候，那就很明显一箭穿心吧，对吧？一箭穿心就可以了。好，那现在就是我要去求这个 啊，这个 a 点到 o 的 一个距离，然后再减去这个半径啊，再减去半径。好，那现在你看一下，那刚才已知知道的条件就是这个 b h、 c， 它的这个补角 啊，他的正切值是四分之三，对不对？好，那我们想一想，你这边是 b、 h、 c， 这个是一个圆周角，那说明他的这个这个角度，他应该是什么？应该是他的一个互补的角度，对不对？那连接 b o、 c 这个角度呢？是这个角的两倍啊，我们可以标一下， 假如说这个叫阿法，那连接 b o、 c， 这个就是二阿法，对吧？二阿法，那这个角度又跟他阿法是 什么互补的？那它的这个补角，这个角也是阿法，也就是这个 a b、 c 就是 阿法，对吧？好，那做了这边之后呢，我们可以做一下垂直啊，渐弦做垂线啊，那这个角度就是， 就是阿法啊，所以说这边就是一个，他是四分之三啊，所以说他就是啊，他比上这个啊，就是一个四分之三。好了，那么现在 bc 是 一个什么？ bc 是 六吗？他是菱形，菱形 bc 六，那所以一半是三，那这里面就是四， 那所以它就是五啊，所以圆的这个半径呢？是五。好，现在就差一个。什么？就差一个这个 a o 的 一个啊，它的一个直了，一个长度直了啊，好，那这个地方我们可以看一下 啊，要求 a o 的 距离的话，可以做垂直啊，做垂线，做垂线 啊，可以再延长出去。也没关系啊，过 o 点再做这条垂线的垂垂直啊，我们去求这个长度和这个长度就可以了。好，那这边我稍微拿一下，稍微拿一下。这边呢？太好处理， 我们把这个长也拿出来，把这个 a b 啊，假如这这边是 h 点吧，这这边啊是 q q 点 啊， q 点，我们把 a q b 给他拿一下啊， a q b 给他拿一下，这边要稍微处理一下。 a q b 给拿出来啊， a q b， 然后这个地方 a 这个角度，他的正切，这个是六，对吧？他是四分之三啊，所以相当于他是三份，这是四份， 那这是五份，对吧？所以一份就是五分之六啊，所以这个长度就是五分之十八，那他就是啊，五分之二十四啊，五分之二十四，五分之二十四有什么用呢？五分之二十四就是这个长度，对吧？那所以再减去这个三，那这个就是五分之九， 所以这边是五分之九，那这个地方是什么？是四，对吧？它高度是一个五分之 十八，五分之十八。好，所以现在购物厅你可以做了，可以去做了啊，五分之十八，加上一个五，加上一个五分之，加上四啊，五分之二十，也就是五分之三十八。他的平方加上一个五分之九的平方，然后开根号 啊，这边就算一下就可以了，答案应该是五分之根号下三十八的平方加上八十一。好，这边算一下啊，三十八平方进六位啊，三零，然后三八二四进二位， 好，加上一个八十一 啊，一五二五，也就是根号下一五二五啊。这边的话很明显二十五倍数，你可以去提一个二十五出来啊，提一个二十五出来 啊。这边除完之后是五分之再除以五啊，就是一个六十一啊，六十一， 所以除二十五就是五又六十一啊，所以说它就是根号六十一啊，根号六十一啊。好了，那么这个长度就求出来了，根号六十一，那所以说 a h 的 这个最小值就是根号六十一减去五啊，减去五。 好，根号六十一减去五，那它的这个最大值就可以用这个 ab 六除以根号六十一减五 啊。所以说它上面就是六十一减去二十五，然后上面是六倍的根号下六十一加上五啊，根号六十一加上五， 这边除完之后是十一减去，它是六去掉微啊，这边是三十六，哎，三十六，那就是六分之啊，根号六十一加五啊。
407飞镖数学
00:44查看AI文稿AI文稿严晨初三家长快看，别再逼着孩子死磕数学难题了，纯纯浪费冲刺的黄金时间。很多孩子总钻压轴题、牛角尖 难题啃不动，基础题还频频丢分，粉末倒置太吃亏。距离中考越来越近，真心的劝大家认清现实，基础薄弱的孩子大胆直接放弃偏题、怪题。 中考大部分分值都集中在基础题型上，把课本知识点吃透，公式定力记牢，稳住选择填空，简单解答题，就已经拿下了大半分数了。与其耗死在高分难题上，不如专心巩固基础， 整理易错题型，保证简单题不失误，中档题拿满分。最后冲刺，抓准重心，放平心态，稳不备考，不靠难题拉分，吃透基础，一样稳，不提分，轻松迎战中考。
00:25查看AI文稿AI文稿滨海中考二模数学非常难，尤其十七到十八题，二十四到二十五题难度很高，计算量还很大， 如果平时没有完整的思路与方法训练，很难拿到满分。这些题在我的押题课与数学宝典中都有讲解，相似度基本百分之九十以上。这基于王老师对中考数学深度研究与十八年的经验沉淀，才能抓住必考点、核心难题以及全部的答题方法。想参加王老师押题课的六六六。
08:12查看AI文稿AI文稿好，同学们，大家好，我是温老师，很多学生啊，都有一个误区，觉得数学分数提不上去，是因为自己不够努力。 但是啊，我教这么久的初中生，我发现真正的问题，他并不是说不努力，而是说很多学生不会做题。 所以呢，我这个账号不会给你们讲一堆的这个空洞的方法论啊，我会直接拿真题，拿难题，拿易错的题，带你们看清楚这一道题应该从哪里下手， 为什么别人能做出来，你却做不出来？好，所以我，我们不讲废话，我们直接来看一道佛山二模的压轴题目。 好，首先，他告诉我们点 a 坐标，告诉我们这个点 b 这个动点啊，并且这个以 a b 做一个正方形。好，这些图题目读完了，所以呢，我们拿这个题。我，那我们要在脑子里面想啊，这个题，他这个点 b 是 怎么运动的， 对不对？好，我们先看第一题，如果点 d 在 x 轴上，求点 c 坐标，嗯，他告诉我们点 a 坐标是二，这个长度是二，告诉我们这个直线，所以这里是不是四十五度，所以呢， a b 是 不是也是二， 对吧？好，所以我的正方形 a d 这里也是二，所以点 c 坐标很明显的，是不是等于四到二？ 好，这个很简单，我就不讲了。好，我们看第二问，第二问呢，他就考，你这个点 b 是 怎么运动的？好，很多学生想不到，所以呢，在这里我专门做了一个这个图。 好，这个点 b 是 怎么运动的呢？这个情况是我们题目给的情况。好，那我们点 b 是 不可以向上运动，对不对？我点 b 还可以向下运动，对不对？好，他这个题 第二问，他问我们什么呢？他问我们角 o a c 和角 a b o o a c 和 a b o 这个角和这个角有关系？好，所以说他让我们直接写结论， 不要管那么多，不要分析他，他这个点闭怎么动的，我们直接看这个，这个特别标准的这个图啊，这个角度，角一，这个角度多少度啊？四十五度，对不对？好，那我角二这个大角角度多少度啊？是不是等于一百三十五度？这个九十度加上四十五度。 好，所以呢，我们最能知道的一个节奏是什么？这个角 o、 a、 c 是 不是和角 a、 b、 o 是 干嘛的呀？互补的对不对？所以说考试 这这个分是不可以抢到手，对吧？把分牢牢抢到自己手里面。好，那么他还会有什么关系呢？我们来看这个图， 当我这个点笔向上运动的时候，我的 a、 b、 o 这个角在干嘛呀？是不是在变小， 对不对？那你再看我的 o、 a、 c 这个角在干啥呀？在变大，对吧？好，那我再看点 b， 再往下走的时候，我的 a、 b、 o 这个角在在干嘛呀？是不在变大呀，对不对？在变钝角，我的 o、 a、 c 呢， 反而在变小，所以呢，他们肯定有个临界条件，他们俩是可以相等的，对不对？好，所以他们俩是可以相等的，所以这里他们是含有一个相等的关系。 好，第二问也搞定了，两分拿到手。好，接下来看第三问，第三问，第三问，他告诉我们啊，这里是一个正方形过 c h 垂直于 y 轴。好，这是 h 点问我们 c h 比 ab 是 否为定值？好， 这种，这种是否为定值的题目，我敢打包票，百分之九十九的题目，它都是定值 好吧，所以这种题我们哪怕不会做，在考场上面不会做，我们可以猜出两分的答案，分，我们怎么猜？我们看这个特殊的图形，就看他给的我们这个图形。 好，我设点 b， 坐标为 m， 逗 m 啊，这个题也就是特殊的情况，二逗二，对不对？那我们 o b 长度是几啊？是不是一比一比根号二等于二倍根号二啊，那我的 c h 等于几啊？是不等于四？ 所以呢，我们这里的比值是不也就是等于四比上二倍根号二等于根号二啊，对不对？所以我们这题是完全可以把答案先猜出来，它是定值，并且这个定值是几啊？是二倍根号二。 好，把答案猜出来了，那我们就要分析下这个题目。好，那他是否为定值，那我们肯定就要分析他的这个运动过程吧。那我点 b， 我 们刚刚也看了啊，这个点 b 他 是可以向上运动的，也可以向下运动的， 所以我们要把他们所有的运动情况列出来，这题就做完了吗？好，那我先看，如果点 b 向上运动，那么它的图形啊，差不多是不是这么画呀，对不对？好， a b c d 那 么一样的 过它做 c h 垂直 y 轴，那么好，那么此时我们设点 b， 坐标为 m 到 m。 好，那我们现在知道我的 o b 长度是几啊？是不是根号二 m 啊， 对不对？我 b 现在往下做垂直，这个长度是 m， 这个长度是 m， 假设是 f 点，这里交为 e 点，那我 o b 是 不是根号二 m， 那 我们现在叫求 c h 长度，对不对？好， c h 长度，那我们又知道我们知道什么呢？我们知道我的 h e 这一段是几啊？ 是不是等于 m 啊？所以我们这题主要就是要求这个 c e 的 长，对吧？那么 c e 的 长这题我们就看到哦，这个三角形，三角形 c b e， 它适不适合三角形 a f b 是 相似的呀，一线三等角，这个模型个位出三声，一线三等角是不可以看出来。好，所以这两个三角形全等我们就会有。 c e 等于 b f 等于谁呀？等于 m 对 不对？所以我们的谁？我们的 c h 不 还是我们的 m 加 m 等于二 m 吗？对吧？所以同理，我们的 c h 比 ob 还是等于根号二啊？ 好，这个情况你们会了，那我们再看看它还有哪种情况啊？它是不是还可以一样的往这里运动啊？假设我点 b 在 这，那咱们把图画一画， a b c d 好， a b c d 那 一样的做它 c h 过来，是吧？好，然后点 b， 坐标设为 m 到 m， 那同理，我的 o b 是 不是还是根号二 m？ 好， 那我的 c h 呢？ c h 是 不是还是等于我们的 h e 加 c e 啊？ 对不对？那么我们的 h e 等于几？是不是等于我们的 m？ 那 我们就要求 c e 发现 c e 是 不同样的，这个三角形和这个三角形是一线三等角啊，所以跟我们这个情况是一模一样的， 所以这个题很简单，对不对？佛山二模的这个刚刚考完的压轴题，所以是不难的啊，哪怕说这个题我们十三分，我们不会， 我们第一问和第二问的第一个小题是可以拿分的好，哪怕说第二，这个第二问我的时间真的不够，不够，不够了。那我们是不是可以由这个特殊的情况把答案猜出来，我们把两分拿到手啊，对不对？ 好，所以今天这个题呢，分享给大家，希望大家课下能搞懂这个题目。好，我们以后呢还会不定期的更新一些数学的压轴题目给大家啊，不想迷路的把左上右上角关注点一点。好，谢谢大家。
09:52查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下庭湖盐都五月二十二号阿尔摩的最后一题啊，他说对这个二次函数图像的一个相似探究，他说发现过远点的两条正比例函数图像呢，与二次函数图像交于 a、 b、 c、 d 四个点， 这四点与圆点 o 呢？构成的这样的一个两个三角形是相似的啊。猜想这个 a o 比上 o b 等于这个 c o 比上这个 d、 o 啊，而且在集合这个对顶角，所以得到这两张也是相似的，你看一下他是怎么去说的啊？好，第一问呢， 他取了一个特殊的一个例子，他说这样的一个两个含二次函数啊，都是过圆点的，过 o 点做直线， a、 b y 等于二 x 交函数啊。图像于 a、 b 两点，是求 a o 比 a o 的 一个值，那这个求 a o 比 a b o 的 一个值，这个很简单啊，它是一个直线，对吧？还过圆圆点 o 啊，对吧？所以我们只要求什么呢？你可以过 a 点做它垂直，过 b 点做垂直， 实际上只要求出这两个 b 跟 a 的 它的什么横坐标的绝对值之比就可以了啊，这相似的啊，相似的这个大家自己去正啊， 那直接往里带啊，往里带，二 x 等于二 x 方，二 x 等于负四 x 方，这个第一个解算是 x 等于一，这个第二个解算是 x 等于负二分之一， 那所以说 b 点的这个横坐标是负二分之一 a a 点的这个横坐标，他是一，对吧？那所以 a o 比上 b u 啊， a o 比上 b u 啊，就是 a 点的这个横坐标啊，去比他就是一比上这个绝对值啊，用绝对值长度啊，一比上这个二分之一，答案就是二，答案就是二啊，这个很简单。 好，然后呢，他又说了这样的一个啊，一般的，一般的就是，你不是举一个特殊例子，道理还是一样，跟前面这个结论是一模一样的，没有什么太大区别。而且人家已经规定好了， m 跟 n 都是正数 啊， m a 都都正数啊，那那交于这个 a， 交于这个地方是 a 点，交于这边是 b 点啊。根据刚才的结论，我们可以猜测一下啊，你刚才是什么？是 a o 比上 b u， 那 它是什么？它是这个， 呃，交的这个地方啊，这个这个抛物线啊，这个抛物线是 y 等于二 x 方，下面这个啊，是 y 等于负四 x 方啊，负四 x 方。然后你用的是什么？是这个，这个 a 比上这个 a o 比上这个 b o 啊，实际上你会发现其实跟这个系数是有一定关系的啊，系数是有一定关系的啊，你用 a o 比上这个 b o， 实际上就是这个四比上这个二啊，我们可以通过这个一般的去研究出来啊，一般的去研究出来，你可以画一下大概的样子， 画的胖一点，画细一点都可以，随便啊，这个这边我画的稍微像一点啊。 好，假如说上面这个啊，嗯，下面这个我用蓝色的画出来。 好，这条线啊，这个是线，就是 y 等于 k x， 然后这个蓝色呢？就是 y 等于啊，它是 mx 方啊，下面这个红色的就是 y 等于负 x 方，对吧？ 那交于 ab 两点啊，交于 ab 两点，那这个就是 a 点啊，这个就是 b 点， 这就 b 点。那我们可以把这个 a 跟 b 的 坐标给它表示出来吗？给它表示出来，那你这边直接列完那 k x 等于这个， 呃， m x 方啊，那 k 就 等于 mx 啊，那个零就不用看了啊，那 x 就是 m 啊， m 分 之 k 啊， m 分 之 k， 对吧？啊，这个地方他的重读标其实不需要求啊，不需要求啊，你求的话你可以带进去自己去求一下啊。这边不需要，因为我只需要做什么？做这个 a 跟 b 做垂直，求出这个横坐标的这个比值就可以了啊。好，然后 b 点这边也是一样，那么就是负 a 分 之 k， a 是 正数啊， a 是 正数， a 是 正数啊，然后这边啊，我这边是假定 k 是 大于零的啊，假定是 k 大 于零， 因为它是对称的嘛，你 k 小 于零，这边道理是一样的，你研究出 k 大 于零的时候，那，那小于零这个道理是一样的啊，对称的，不用不用考虑啊，就考虑大于零就行了啊，根据对称性，到时候直接说明一下啊。 好，那么这个地方啊， b 点这个横坐标就是负 a 分 之 k 啊，坐标我也不用求啊，不用求，那么它的这个 a u 比上这个 b u 啊，它就等于 x， a 的 绝对值比上 x b 的 绝对值 啊，它就等于 m 分 之 k 啊，比上这个 a 分 之 k 啊，最后化解完之后就是 m 分 之 a 啊，所以说你看下 a 比上这个啊， a o 比上这个 b o， 它实际上是什么？是这个下面抛物线的这个，它的一个这个啊，这个 a 的 绝对值比上这个上面的这个它的 a 的 绝对值。 对 𠲎， 所以 这个结论对下面也是一样适用的啊。好，也是一样适用的。好，我们来看一下下面 操作二次函数归哪结论啊？二次函数图像经过通过这样的一个几何变换化为顶点，在坐标原点的形式， 结合位四的定义以及探求过程可知，上述图像为位四图形，位四中心为这个坐标原点位四呢，为某一个常数，换言之的话，任意两个二三数图像都什么啊？都相似啊，这个就很简单，好，相似。好，我们看一下第四个，我们去运用起来。 好，看到这个二次函数，我们可以先把它画成顶点式啊，顶点式这边就是 x， 减去二分之三的平方啊，这边就加四分之，加四分之九，但是你还要减五呢，所以合并完加四分之九，你，你还要干嘛？你就是减四分之九啊，减四分之九啊， 因为这里面会多出一个啊，这个加四分之九，对吧？你要减去四分之九，然后再减五，所以合并完之后就减去四分之二十二十九啊，减去四分之二九，所以他的顶点坐标就是二分之三。逗号负四分之二九 好了，然后以 a 点这个二零为为四中心啊，为四中心，将二次函数按一比二放大，那我们先把这个顶点先求出来啊，顶点先出来，我们在旁边去画出他的他大致的样子。先求顶点啊，放大之后啊，为四之后的一个啊，坐标， 那这个位置中间是二零，然后这个地方是二分之三负四分之二九，所以第一种情况是往下的啊，往下的，注意啊，他原来头像是这样子，大概是这样子啊，那第一个图是往下的，往下的时候他形状是 放大啊，放大，放大两倍吗？一比二吗？对不对啊？那相当于这个这个点，这个二分之三负四分之二九，其实就是中点吗？所以根据中点公式可以求出这个点坐标。 这个点，这个大概是啊，乘二，这边就是一乘二，它就负二分之二九。好，往上去的话，大家在这边 啊，这边就是相当于是什么啊？这边相当于什么？就是二，零是二逗号，零是中点，对吧？然后这个这个点关于它的这个对称点啊，可以求一下，这边就是三啊，三逗号这个， 呃，二分之二十九啊，三到二分之二九。好，那么两个顶点坐标求出来了，那他图像大概是什么呢？下面这个图像大概是这个样子， 上面这个图像大概是这个样子啊，开口向上和向下啊，开口向上和向下。好了，那么你这个地方要注意问题，就是你图像放大的时候，根据刚才这个结论啊，你会发现你放大的时候，他是按一比二放大的， 对不对？但是他这个 a 是 什么？根据刚才的这个结论，你会发现他是一个啊变小的这样的一个状态啊， a 要除以二， a 要除以二，所以他这个图像原来这个地方是 a， 值是一，那所以到这边的话就是 a 就 等于啊二分之， 那上面的话就是负二分之一，所以我们分别去带就可以了，我分别去带就可以了。那下面这个减一就是 y 等于二分之一 x 啊，顶点是 x 减一的平方减去二分之二九， 上面的就是 y 等于负二分之一 x 减三的平方加上二分之二十九。 好，这边就整理一下啊，就是你仅仅是写也可以啊，不，不拆也可以啊，拆开的话就是一个 x 方减去六 x 加九，然后乘以负二分之一，就是负二分之一， x 方加上三 x 减二分之九，那就是加十啊。加十啊， y 等于负二分之一， x 方加三分三， x 加十，这是第一个，第二个就这个展开是 y 等于二分之一， x 平方减 x 加二分之一， 加二分之一的话再减去二分之。呃，二十九，那就减二分之二十八，那就减十四啊。所以两个式子啊，两个答案啊。
224飞镖数学
12:21查看AI文稿AI文稿好，我们看一下庭湖盐都的五月二十二号二模的解答二十六题，他说在某个这样的一个场地里面，有这样的一个测试的啊，啊，路线，呃，一个是什么呢？就是这个形状是这样的一个直角， a、 d 是 六， a、 b 是 九， c、 d 是 一啊，两个都是啊，直角。那第一问啊，第一问 他说在这个里面规划一个正方形的路线啊，这个正方形是这样的一个状态啊，两条边是在边上啊，然后这个顶点 f 在 这个 c、 b 上， 然后第一问，他求 bc 的 长度， bc 长度的话可以过 c 点做垂直六啊，这里面是八，他就是十，很好求。然后求塞 b 的 话，刚刚才这个是六，这是十，是五分之三啊，五分之三啊，这两个比较简单。 好，然后方案一当中正方形路线的一个就这个，这个正方形它的边长是多少？那还可以继续用啊， 这个地方 a、 e 是 x， 我 们可以设到 x， e、 f 是 x， 那 这个地方是九减 x， 我 们可以根据这两个边的比，是一个三比四啊，为什么三比四？因为刚才这个角的正弦是三比五，对吧？那它不就是三比四吗？ 所以说 x 比上九减 x， 它就等于三比四，所以四 x 等于二十七，减去三 x， 所以 x 等于七分之二七，所以边长就是七分之二七。好，这是前面的。 然后再看一下这个任务三，他说在方二二当中的 f 是 在这个射线 c、 d 上面，当 c、 f 最大的时候， 请直接写出啊，此时啊，直接写出这个，此时这个叫矩形 a、 e、 f、 g 的 面积是多少？ 那我们肯定要先研究一下这个 cf 最大是什么样的一个状态啊？ cf 或者说 cf 最大是多少啊？然后再去求这个矩形的这个面积啊？ 那我们看一下这个 e 点呢？你看这个 f 和 e 点，他都是在一条线上，对吧？都是在条线上，你想想一个直角顶在一条线上，很容易让我们想到的是这个一线三等角，对不对啊？你可以去过 g 点做垂直，做垂直 构造，这样的一个相似啊，也可以过过 a 点做这边垂线，过 f 点做这个 c、 b 延长线。垂线啊，但这个不太好画，我们可以这样去画啊，过 e 点做这个 ab 的 垂线，我把这个图画到这边， 画的稍微大一点。好，这 d 点，这 c 点好，这个 e 点呢？大概在这个地方啊，大概是这样， 然后这是 a 点，这是 b 点啊，然后矩形的全貌，我就不画了啊，不画了，好， f 在 这啊。然后我们可以过 e 点啊，做这样的一个垂线， 好交这个 d， c 延长线与点 q， 然后这边垂直，这边是 h， 对 吧？然后你看一下这个三角形 f q， e 和这个 e a， h， 它是相似的一线三等角，这很很简单，对吧？这很简单，那我们可以去看一下那 cf 它是要求最大值啊，通常求一个东西的最大值，求线段最大值在几何当中啊？ 求坠值问题啊啊，有一个比较普遍的就是 cf 如果说你能用代数式形式给它表达出来的话，那它是可以去研究转化成什么，研究这个代数式的一个坠值问题啊，通常都是二次，对吧？通常都是二次，所以我们把 cf 的 这个坠值啊给它表达出来， 那就用这样的一个啊，这个相似啊，就用这个相似。好，这里面需要考虑到的就是前面这个角币的这个正弦值呢，是我们可以继续用的啊，不要忘了角币，而且这个 qce 它也是这个啊，角币跟角币一样大。 好，那我们可以去射啊，我们射啊，假如我们射这个 qe 的 长度，就是啊，三 m 好，三 m， 为什么射三 m 而不是射 m 呢？因为这个角它的正切值是四分之三，所以你射 q e 是 三 m 的 话，那么 q e c q 啊， c q 它就是四 m， 四 m 好， 这三 m， 然后刚才这个 q h 这个它是跟 d a 相等的，所以说 e h 呢，就是六减三 m， 对吧？六减三 m， 而且 h b h b 它也是可以表示出来的， h b， 对 吧？三比四，所以说你这个除三再乘四，那就是八减四 m， 然后会发现 a h 也可以表出来是一加 c m 啊，九减去啊，括号八减 c m， 对 吧？好了，那你要表达 cf 的 函数形式的话，你看 cf 它是什么，它不知不清楚，对吧？我这个 f q 它也是不知道的啊， f q 不 清楚，那这个时候 cf 我 们先不着急，我们先把 fc 先写着。 那根据刚才这个相似关系啊，对应关系啊， f c 加上四 m 比上这个三 m， 它是不是等于六减三 m 比上四 m 加一啊， 对吧？好，我们可以把乘过去啊， f c 加上四 m， 它就等于六减三 m， 乘以三 m 除以四 m 加一。好，那四 m 移过去啊， f c 就 等于减去四 m， 对 吧？ f c 等于这个东西 啊，好，现在看一下， f c 现在表达式已经出来了啊，我们把这个稍微通分一下啊，稍微通分一下，通分一下，这边就是一个，呃，十八，上面就是十八 m 减去九 m 方， 然后啊，这边是四 m 加一啊，减去四 m 加一分之，这个给通分完之后是十六 m 加上 cm 加上 cm。 好，把它减一下，减一下，那十八 m 减去九 m 方，减去十六 m 方，减去四 m 啊，减去四 m 整理一下啊，就是四 m 加一分之负二十五 m 方，加上十四 m， 好，它就等于 f c， 好， 为了方便理解，为了方便理解，我把这个式子稍微的改一下，也就这个 m 的 这个曲， m 的 这个字母字母 m 啊，我给它换成 x。 为什么要这样子换呢？有些人他可能看不明白啊，换掉 换了之后呢？我把 f c 啊换成小 a， 我 现在就要求 a 的 一个取值范围啊，取值范围。好，来看一下。你要求 a 的 取值的话，它有一个坠值问题，那说明这个这个东西等于它，它是有解的， 它是有解的，有解就可以转化成一个，怎么呢？可以转化成，因为你把这个下面乘过去之后啊， 它等于四 a， x 加 a， 然后你给它移过来负二十五 x 方， 加上十四减四 a 的 x 减 a 等于零，它不就得到一个关于 x 的 一个二次方程吗？那既然你这个能解得出来，那说明这个二次方程关于 x 的 二次方程，它是有解的，有解就不就表示第二它大于等于零吗？ 所以十四减去四 a 的 平方，减去四倍的负二十五乘以负 a， 好， 整理一下，就是减去一百 a， 好， 大于等于零，好，把这个地方啊，我们把它乘乘下来啊，就是十六 a 方减去这个， 哎，一百一十二 n 加上十六 n 方，哦，这边就是加过了，对吧？那减去加上一个十四的平方啊，一百九十六减去一百，那就是二百二二百一十二 大于等于零啊，大于等于零。好，把这个稍微整理一下，两边同出四啊，就四 a 平方，减去这个五十三 a 加上除以四就是四十九啊，大于等于零。好 好，做到这个地方之后呢？好，这边有一个问题，就是这个问题怎么去做啊？好，怎么去求这样的一个不等式？我没学过，没学过这一元不等式啊，元二次这样的一个不等式怎么去做呢？我们可以用图像去理解，那我们把它看成是一个 啊，啊，这样的一个二次函数，二次函数，二次函数整体要大于等于零，对吧？函数只要大于等于零，我们把图像画出来，我们可以对它进行一个因式分解，这边是 a， 这是 a， 这个地方可以，因为这边是负号，这边就负四十九和负一 啊，所以发现这样正好能够凑出负五十三 a， 所以 它分解完之后就是四 a 减去四十九，乘以 a 减一大于等于零。好了，这个图像怎么去画呢？它是一个经过一零和这个四分之四十九开口向上， 然后它要保证它是大于等于零的，所以说这个 a 的 范围就是 a 小 于等于一或 a 大 于大于等于四分之四十九 啊，打一点四分九。好了，现在就有个问题，就是这个 a 它要求什么？求它的一个最大值，那这很明显的话，你 a 小 一点一啊，那最大值就是一啊，最大值就是一啊， 所以就相当于什么？而题目当中这个 c d 恰好是一，所以就相当于 f 点运动到 d 点，这个时候啊，运动到 d 点，这个时候，此时这个 cf 是 最大的啊，此时这个 cf 是 最大的啊。 啊，有人问了，为什么不是这个四分之四十九啊？你想一想，你这个东西四分之四十九的话，这个 e 点他得在哪边 啊？他的是状态不太对啊。啊，他这个地方 e 点要保证在 c e b 上面，你还要做垂直的话，交于这个 f 点，这个 f c 是 四分之九，是不太可能的啊，不可能的啊，所以这边就舍掉了。 好，那么现在 a 最大值就是 e 呢？也就 f 在 低一点处的时候啊，他的这个 c f 是 最大的，那现现在要去干嘛？求此时的这个 fe 和这个 e a 的 这个他的一个长度啊，长度。好，那现在把图稍微改一改啊。 这个地方可以，呃，就直接写吧，这个 f c 就是 一嘛，一嘛，对吧？好，这个时候我们可以把这个 m 给它解出来啊。 m 给解出来，那还是一样这个道理啊。 m 四 m 加一比上三 m 等于六，减三 m 比上四 m 加一。好，两边平方就是十六 m 方，哎，就对角相乘吧，十六 m 加上八 m 加上一，等于这个十八 m 减去九 m 方，二十五 m 方减十 m 加一等于零。哎，恰好是一个完全平方， 所以 m 等于五分之一啊，五分之一啊，好，这个是五分之一的话，看一下五分之一，那这个长度就出来了， 这长度五分之一，那就是五分之九。好，这里就是五分之三。好，购物典礼啊，这是一比三比二十的，所以它是五分之三跟二十，那同理的话，那这个地方也是一比三嘛，对不对？也是一比三好。 m 是 五分之一带进去啊， 六减去五分之三啊，五分之二七，五分之二七啊，那他就是五分之九啊，五分之九，那他就是五分之九跟二十。所以说这个时候他的矩形面积就是五分之九跟二十乘以五分之三跟二十。 好，底下就二十，五分之二十七乘以十，那就是五分之五十四，所以他的面积此时是五分之五十四。
132飞镖数学
08:16查看AI文稿AI文稿大家好，讲解下，刚刚进行完了，不问区二模啊，到这套卷子为止啊，就咱们二模区间的十套试卷就都结束了啊， 后来又蹦出来个动力按摩，我一看动力按摩太扯了。除了二十二题以外是原创题目，剩了题目有两道选择题是部分缺一膜的，剩的全是部分缺二膜的，甚至后边那解答题数都不改，哎，大无语啊。咱先看部分缺二膜这试卷啊， 总体难度上来说啊，就客观的说，比一模要简单，用一模的压轴题啊，就出的非常经典。这套卷就比较平，然后选择这块啊，都没什么东西， 前几边的题都也没有什么需要注意的，他的尺规做图啊，垂直平行线，然后倒角，问的也很直白。 十一题略微有一点难度，但是转六十度找等边，你再结合他自身的三十度， b e， f 是 九十度就能计算了。 十二题这题呢，还是啊，新瓶装旧酒还是那些东西？双洞点带一个拐点去求面积， 很像河北一模，河东二一模那块那个题型，然后计算量简单一点，然后注意审好题啊，求的是 b p q 的 面积，然后他俩边表示清楚了。这里边就是我这周给一些学生们讲这块，也说了你一定侧重于 各种解释的使用，先得到都是焦点式，然后他也可以得到顶脸式，这两个式子求面积，带横求纵，带纵求横都比较方便。 然后这里边一肯定是错的啊，对吧，就是有人就好选 a 是 选一是对的，为什么呢？三 t 五分之十八那个 ap 都拐弯了还这样，能值得求吗？ 然后两个来说，你解释，如果写对之后，他的图像表达是很清楚的。其实不用解啊，利用图像区间就可以看出来了。这种题其实以后以后啊，对高一也是有帮助的。定域和直域之间的关系，图像的表达是很完整的， 填空题，总体难度不大啊。然后十七题，这个题在今年来说是比较水的，甚至来说它的终点结合都不太巧妙，这个东西直接一个垂直就完事了，而这个垂直的内容其实就是间隙算的东西，很基础， 做别的也很简单。十八题，这个题啊，我就奔着对称做了啊，但是肯定是挺麻烦的，就是用那种对称盲画，关于致敬的。其实这题还有些邪修的方法啊，也不叫邪修，就挺厉害的方法， 就因为他的格点给的太直接了。这里边咱们可以听过什么东西呢？想正弦等，咱们找弧等弧等，找圆周角等，那么 a、 d 所对圆周角结合网格选这个比较好， 那么往右侧做对称，肯定选这个点了，所以这个点就是点 p， 理由呢？因为这俩角相等，角等弧等先等就出来，等于最后就一条线，这条线都是，这两条线都是虚线， 这两条线都是虚线，都可以不要 啊，就这个方法是最快就一条线。其他的利用对称找这种点的方法也挺多的啊。我那话肯定是麻烦的。 然后解答题的总体难度也比昨天的滨海新区的要简单啊。他这个平均数计算对吧，数字有好多，有人质疑这个中位数，这个中位数自己看书去吧，我都懒得说了，都 偶数个数，怎么求中位数啊。二十一题的圆，第一问这种关联啊，垂影定律的导弧弧等角等，然后第二问，这个就奔着特殊角去了啊，这个导角也挺容易的，比之前河东一模的那些要简单。 然后他的二十二题啊，算的东西挺多的，而且收到两个矩形，但是数据很友好啊，最后那数算的非常正，一百五对吧，对比钻部分区那个，呃，做滨海新区二模那个，那绝对就是一摊的一坨呀，那个垃圾至极的一个数据， 这是正常的，中考一般就这种数据啊，你选择好方法之后算的很清楚的。 他这二十三啊，出的也还行吧，就是也中规中矩，算东西也不难。然后注意他这个数据啊，分数小数都能缩啊，而且好有的地方分数更方便一些。 最后这个焦点关系呢，又能得到一个全等，拿全等算这个焦点位置比较方便。有第二个数值，二十四题总体难度也不大， 这里边他做图，如果做图来说是非常容易的，就是图二前面就一种情况，他后边还是一种情况，两边都是三角形，就他一个四边形，所以面积最值，非常好分析，他肯定取最大，那两个竞争最小，带入完之后看谁更小， 就虽然贵为一个三六九的翻折啊，比昨天滨海新区那个四十五度的还简单，所以这题选的也是比较弱化，就都经过这么一学期的训练了。中等的中等偏上的孩子，这种题对吧，两问甚至三问应该都不在话下。 二十三题，这题啊，非常值得诟病， 第一问直接带入就计算，然后第二问，这东西还是啊，换汤不换药，等腰直。然后这个题我这图画没地了，有人受不了，觉得我这东西意没在炮线上，哎我天， 这个东西做今年做多少道题了，你还纠结这点事，这有什么看不明白的对吧？你问就为了拿三垂直求异的坐标往里带入就行了吗？我要去我这个条线画这图，最后把幅三画完整了，地就没什么地了啊，就这点脑子转不过来。 然后他的第三问啊，真的，这个第三问就是去年，就是去年什么呢？和平二模的那道二十五题的第三问， 一模一样，除了数字啊，剩下方法计算全都不一样。去年这道题也是很多，就是讨论吧，就有人做什么呢，做双对峙 就贡献最小。但是这道题要注意啊，你的最短路径出来之后，一定分析谁是定点，谁是动点，然后第二件事分析动点之间的关系。这道题两个动点之间是有固定的数量关系的，所以它属于造桥类的，造桥选址 那个长度是固定的，所以你不能再用那个贡献去做这题了。 贡献如果做的话，去年和平就是教员设置了一个陷阱，你要拿贡献做必须得正垂直，你不正垂直那就不给你分。所以这个题其实就是一个造桥选址，你把它移过来之后，一贡献就完事了， 所以他容易掉在坑里。然后最后计算来说有细节，他还是一比二比杠三的关系，那么整体计算量就能降下来。 但是这东西啊，你对这些承诺好了，孩子说这题白考对吧？一个区就两次模拟的时间，你最后一个压轴题，二模的压轴题，按理说啊，一模摸底，二模做什么预测， 你根本就没行驶这个卷子的作用，所以这套卷出的啊，就对于现在的当前形势来说，挺拉胯了啊，挺拉胯了。行，这套卷就给大家说到这里。
00:32查看AI文稿AI文稿大家好，今天分享滨海线和建湖线初三统考二模数学试卷填空压轴题，这是一道行程相遇问题，考察初二上册一次函数的实际应用，难度中等，偏简单，请同学们认真思考后留下正确答案。
31景森老师
03:22查看AI文稿AI文稿hello， 各位同学，大家好，我是数学吴老师，带你三分钟解析北塔填空的亚洲题。 给出一个三角形 a、 b、 c， 告诉我们角 a 呢是九十度，这条直角边的长是六，这条直角边的长呢是八，那我们利用勾股定律可以求得斜边的长呢？是十 点 p 是 斜边上的一个动点，过点 p 向两直角边分别做垂线。 做完垂线，我们会立马发现这个四边形里面有三个内角是九十度，那么他一定是矩形。矩形有一个非常重要的限制，对角线的长度相等，所以 ap 的 长度和 ef 的 长度一定会相等。 最后呢，我们要求的是什么呢？ pm 的 最小值，而 m 呢，他又告诉你是 ef 的 中点， 那你看，我得到是矩形，这个角一定是九十度，所以我们三角形 e、 p、 f 一定是一个直角三角形。 你告诉我直角三角形斜边上的中点，那他一定会考斜边中线等于斜边的一半，所以我们立马会得到 pm 的 长度等于二分之一倍的 e、 f 的 长度， 而 e f 和 a p 相等，所以它又可以等于二分之一倍的 a p， 那 你要算 pm 的 最小值等于在求 a p 的 最小值。 a p 的 最小值怎么去算？点 a 和点 p 做一个连接， 点 a 呢是一个固定的点，点 p 呢是 b、 c 上的一个动点，那它的最小值相当于我们再去求一个点到一条线怎么样去最短。 那一个点到一条线怎么样最短呢？我们知道点到线的距离，是啊，垂线段最短，所以竖直向下，我们点 p 跑到这个位置的时候， a p 的 长度，是啊，最短的， 这个时候你正好是 bc 上面的高，那高怎么去算面积？面积等面积法就可以了。三角形 abc 的 面积可以用六乘八乘二分之一，两直角边相乘乘二分之一来算，也可以斜边乘斜边上的高乘二分之一来算。 所以我们可以求得 ap 撇呢，正好是四点八，而我们 pm 呢，是二分之一倍的 ap 撇，所以就变成了二点四，所以 pm 的 最小值填二点四 即可。这道题呢，其实跟我们课本上的原题呢，是特别像的一道题。我们课本上的原题长这个样子， 你看两个题呢，几乎呢是没有区别的，这个地方是九十度，两边做垂线，形成的是矩形。 我们现在呢，求的是 e、 f 的 最小值，还是要转换成 a p 的 最小值去做。而这道题呢，只不过我们多加了一个知识点，直角三角形斜边中线等于斜边一半而已。好，这道题听懂了没有？
56伍斌的数学思维
17:28查看AI文稿AI文稿嗯，同学们大家好啊，今天咱们把那个刚进行完的滨海二模的试卷，咱们分析一下 这套卷的总体难度啊，比那个一模要难不少，主要体验在那个选择题的后几道，然后再有一个十七题的计算，还有后边有几个基础解答题的计算，都非常麻烦。 所以这道卷呢，就是同学做题节奏来说，会被折磨的支离破碎，尤其对比我上次说的吸铅二模试卷，那个节奏就是 比较照顾学生的节奏啊，也吻合就是最后你坐到中考考场里那种感觉。但这套不是这套，就是有点像河东区啊，河北区那种风格。 行，咱具体说一下啊，选择题前面前两页还都正常，然后像这种第五题科技术法，我觉得这样挺好的，之前有些题根本就不用看那个有效数字的位数了，就直接就看小点，太幼稚了。这种还好一些， 然后那个第八题注意符号，第九题这个东西不难啊，他没考成那个行程问题的分式形式，这种还是比较好做追击问题。 然后到第三页开始风云突变了，由于他的那个尺规作图需要加入计算，这个计算挺麻烦的，一上来说了角平分线，又说垂直平分线，其实这里边就出来菱形了， 菱形的出来都是要借助边等做勾股，跟翻折什么道理是一样的？这个做完之后呢后还没完，你 d f 还要构造一个相似才能去算他的底边的总体长度， 所以这个难度就是比较大了，等于他计算上就用到两种知识点，这在往常来说是很少见的。 十一题这个旋转难度更大，因为从二五年开始，十一题不是那种选择选项题了，就看哪个对，而是要去做计算。这个计算来说啊，落在边上，落在边上天然等腰， 然后他这里边呢？想求地力撇，其实跟求 b、 b 撇道理是一样的，这个里边利用天然等号要做三线合一，那么这三线合一出来之后，其实是一种相似，拿相似去构造， 如果这个辅线想不到啊，这题是很难做的，五十二十三，高线是十三分之六十，然后通过相似再得到 a、 n 的 长度， 然后进而得到 d、 b 撇，想到这个层次之后，其实直接就可以去求 b、 b 撇跟 d、 b 撇的相似了，就那个高线是个辅助啊。 然后十二题难度不大，其实这题是在考二五年中考题之前就出现过的双重点，但是没有拐点，就是原始位置去做求面积，求勾固定里都有 这道题啊。第三问，问了四边形面积，有的孩子真傻，不唧唧去算了，别算四边形面积，你 abc 的 总面积是不变的，你还算 p、 b、 q 的 面积， 四边形面积大意味着三角形 b、 p、 q 面积小不就行了吗？对吧？所以这个题就一个转弯的事， 填空题里边前面也都是比较正常的啊。然后十七题，这题其实条件是好挖掘的两件事，一件事六十度菱形， 六十度菱形出等边，那么他的点这一根点 f 两个中点其实就能形成一个等边，再加上 a、 c， 其实是一种手拉手的关系。然后还件事还是七十五度，这七十五度就是模仿题型了，做过去年中考题的，包括今年的河东区的题目，河北区的题目都有七十五度， 把七十五分成三十跟多少呢？四十五。但这道题注做题的细节要注意啊， 他这七十五跟四十五这块相当一个解值的方程。计算你的未知数的设温一定要设好了。从短边开始设啊， 设 f h 为 x， 这样话 n h 是 跟上三 x， m h 也跟上三 x， 这样结好结。你如果直接设 n， n 为 x 什么的就太乱了，或者有人设 n h 为 s 都不好。说完之后计算就行。 他这十八题其实考一个胡不归，胡不归这个特殊角是个难点，做完头角之后再做垂直又是个难点。记住网格的关系就行了。有条线其实不用换，我看标答算没换那条线 不等式挺正常的啊。统计统计，这数太恶心了，二十二，二十三，二十四，二十五，二十六，就这几个数乘起来都没有细节，都没有特点， 然后往里一算，算之后再去除谁，就就是硬算了。这个题硬算哎，感觉就是哎，不习惯，不正常， 但是别着急，你等做到二十二的时候，那数更难算啊。到圆圆这第一问很好做，这种切线又是平行模型，倒角就可以了。然后第二问呢， 照猫画虎，依旧还是平行模型。但这块呢，当你去算 a c， d， 算出来 a c 等杠上三的时候我多想了， 我想去倒特殊角，让角一角二角三乘以三十度，这样画一比一比杠上三更协调。就是倒了半天，就那块写挺啰嗦的，但是后来一看，人家定睛观瞧一看，他求 cf， 所以其实前面有些东西都白写了，求 cf 最好的理解的东西就正全等不就行了。它跟 a c 很 典型的全等，所以打到角的关系，又有天然半径，很容易出全等啊。单别的方法也行啊。就这题我想偏了， 有时候我发这种解析啊，就是底下总评论还可以这样做，还可以那样做。对，肯定很多题目方法都不唯一，但是我这时候是一气呵成写完的，就是当时想到什么就写什么， 追求速度带追求准确度啊，肯定是有一些需要在权衡的东西。很正常啊， 写对着最关键，然后二十二这解值，我天，就严重怀疑啊。滨海新区江源啊，周末啊，或者上周坐九号线啊，找河东江源一块吃饭去了。是一些不太干净的东西， 就这数怎么想的啊。这题挺简单的啊，也有一个台阶式的一个矩形，然后上面呢是一个背靠背模型做计算解方程。最后那个数啊， 二点五七 x 就是 一点七三，跟那个零点八四结合，二点五七那边九百三十五，然后也要乘一点七三，乘零点八四，那边乘完之后是个六位数，还不算小点六位数，再出个三位数， 这是纯纯有病的，一个题就没有任何意义。中考考一个比较类似的这种背靠背模型的。二一年中考题， 航行问题，灯塔之间关系，那里边有数是二五七也二五七一模一样，那二五七最后消了，人那边也有个二五五七的倍数，这是技巧，这是细节，能够看出来一些梯度给同学分层，这是什么玩意呢？ 练傻小子了这不是对吧，就没有意义啊，有时候练计算不就，家长有时候也说练计算多好啊，好没有这样好的，侧重点不一样对吧？就打比方说，那时候我写评价何东就是你你你给学生报的是什么呢？你报游泳 啊，你练练吧，对吧？你报一百米，二百米游泳，自由泳，来个专家给指导你下。对，你跳水吧，来个三米板，来个十米跳台， 你跳一下我看看。 come on， 我 砸死你再没有意义知道吗？就是初中的计算的难点不在于这，在于二十四，二十五那种韩餐的计算，字母的计算，代数式的化简求值 那是核心，整数乘务应用分也是核心。你这是什么玩意？小学计算对吗？我都没算，我拿计算器算呢，这什么破玩意，这一看一点价值都没有。 然而三你这题啊，第三问问的就最后一问，问的特别有意思，特别好啊，这不得不夸人家，该说就是咱们客观公正啊，不是说对他有成见， 前面还都正常，然后最后一问呢，他哥哥怎么怎么样，然后最后就设问答题与分析啊，有人还读不懂，这题 就是比大小，然后呢？路程差是零点七五。南柯尔摩也是路程差，但他问的路程差是一个定值，但是求 x 的 曲值范围， 按理说路程差是个定值的话，一个点两个点天了，对吗？算两个节点。哎，他这一范围，他这范围都是固定值，所以你结合前面解释了，求解。 他哥哥的解释跟第一段的解释斜率是相同的， k 相同，所以平行的，所以只有在平线之间距离相等才能满足在一段时间内，在一段路程内距离永远是零点七五，所以现在这块很明显了，就求你减两关就行， 然后一球带入 cd 那 块就可以了啊。这个题特别有价值。有道理，对学生是一种非常好的一种锻炼。 二十四题出的也不错啊。但是这种题现在做多了之后啊，他第三问就那意思了，他话多，其实是有难度的，很难出现一个等腰值的折叠问题。有计算难度，这道题能做到了。这这道题出的也不错， 之前等幺纸考计算，像二零一一年，二零二一年的中考题，就根本就根号二，没有参与进去。这道题参与进去的挺好的，然后选择和差，谁减谁也需要费些四两 啊，尽量别出现特非复杂了。你的线段计算就不好做，他第二个那个面积需要很细致的线段的思考去选谁，然后他的情况去分析来说，刚一折叠是个小三角形， 这个范围特别好分析，就是 o 撇落在 c 的 时候正好是几呢？正好是二，这样的话，他给那个三分之四在二内部， 那么容易想到一开始的三角形应该占一个最小值，然后最大值呢？你再把其他图一画，最大值应该就是是第二问的难度倒不大，有了还第三问，主动放弃了，其实不太应该。 你第三个面都求完了，你求他一个最值，就是那个最大值，然后呢，三角形那块应该就是最小值。 后面情况你可以看后面情况来说，他卡在二分之九五之前，所以后面情况也是个四边形，不是三角形。所以后面情况二分之九呢？应该不是，我也算了，确实没有三角形小。 他前面的构造挺有价值的啊，挺不错的一种对学生那种全方位的考察。就是最后计算啊，还是下手没那么重。考虑情况简单一点，他如果把那三至四改成三至七，这题价值更大。 然后最后一道题二十五题。这个啊，这个今年考角度还挺多的，因为去年是第二问，等腰值吗？今年有些区也等腰值，然后有些区像红桥为首的， 借助一些特定角度，这道题也是个角度，而且这个角度呢，很吃咱们这个一三三炮线的具体细节， a、 o、 c 就是 一个一比三， b、 c、 d 是 个一比二啊， b、 c、 d 也是个一比二，说错了，就它里边还有一些一二三四模型的东西 啊，上周我也刚讲过这一块，所以这里边第二分 e、 b、 a， 你 要满足一比三就行了。所以去做另两个 f 点坐标，然后再去做什么呢？做焦点。焦点的话你能用伟大定律去计算，它有个计算细节，计算技巧。 你如果就是直接拿动点啊，设个坐标，横向距离和纵向距离一比三，那比较难算。而且那种动点方法来说，你用不了北大定力，因为没法往北大定力上去说，只有焦点才能说北大定力。 最后一问，这个挺乱的，然后他呢？初始模式呢？还是一九年那种模式，给个坐标分点，你把外那个关系写出来，会给你来一分， 一九年就这样。然后后面那事呢，有点麻烦。面积五分之根号五这数最后就特别恶心，这五分之根号五没有任何细节， 按理说根号五里边有一比二比根号五，他这没有就是硬算，所以算的时候呢，你如果把这种系数关系撇清了，他那根号五甩到最后一出结果就完事了。你要是一直带着这个倍数算这题巨麻烦。 他这里边你把东西画出来点 p 在 bc 正上方，也不用画炮线面积， 面积一比根号五，五分之，根号五就一比根号五。对，这里边多说一句，解值那道题的标答是五三零，我写是五三一，原因是什么呢？就是三分之根号三和根号三分之一这两个原本相等的数， 由于根号三取的是一点七三，会造成比较大的误差，所以这俩数值都没问题啊，都没问题。这个题来说，你结合根号五画，你把图画协调一些， c p q 小 一点， o c p 大 点， o c q 里边跟 p c q 里边同底，所以它的比值就比高。你把高画出来，有人就算这高这高斜着别算啊。更有甚者啊，有些老师啊，没事就教学高中东西点到直线距离公式加减公式什么的。 这个在之前的二模判卷时有一些区啊，就这种，第一个是第二本，第二本用高中东西没有推导过程会扣分的 就明确说了。第三问看情形，如果这题特别难得，分率低，可能就基本就算你对了。但如果这题出了简单，像二零二零或二零二二那种中考题，可能也会扣分，尽量不出题。人不是傻子的， 他不会用这种知识点的。那种断叉会区分学生不会的啊，不能这样考，就这东西莫名其妙对吧？你你你要是这样靠这样考的话，你还不如把一堆男男学生放一块，你教他们生孩子了 对吧？这这这不是那么回事，不是说你知道东西就是好，就是秘籍啊什么什么的，我挺看不起这种的。 然后这个题来算来说啊，关于 b c b c 是 核心从，尤其二十三年啊，一九年这条直线啊，大行其道四十五度， 所以关于这条直线的距离，你完全可以转化成什么呢？把垂直距离变成千锤距离一算，而且 o g 的 千锤距离就是 o c， 这样的话你等于就一个参数了，就是 p j p j e， 求完之后呢，直接跟 c 产生关系，后边计算量也不大了， 这个不大，是你化解那个关系不大，但是他最后这个方程还是很恶心的。好的方程公式把解 配方应该也行吧，就，但是我们用配方了，这公式解燃之后就头一次看到这么复杂的求公式的里边的数值，最后呢，做筛选就完事了。总体上来说啊，这个套试卷啊，使的劲有点过， 就你想考察他对这个难题的掌握，整体的试卷的得分点来说，你前面设的障碍太多了，太重了，对吧？好，你你你想，你想让孩子跑慢点对吧？你买俩地雷对吧？你给孩子炸死了， 你挖个小坑弄点水不就完了吗？对吧？好，我这就是太过火了有点。所以这套卷子啊，就是前面 跟跟某些区的毛病一样，不该刁难人的地方刁难人。所以挺好的题啊，有二十三题，二十四题，都挺好的题，就怕有的学生写不到这，写不完这， 所以你的题出了就价值没那么大了，有些小遗憾啊，尤其这题的破数，这题要拿手算这算会了这数 就正常来说，九三五跟二五七，哎，应该有倍数关系。这没有，哎，很遗憾。行，这道就用，给大家介绍到这。
