高一下数学必修一立体几何定理
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12:38查看AI文稿AI文稿立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。
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13:36查看AI文稿AI文稿立体几何作为高中数学里头与其他板块知识点明显格格不入的部分，也许各位亲爱的同学的学校的老师会平静的和你说一声，多动脑，多思考。显然这是一句正确的废话。 所以今天咱们借助八个非常经典的立体模型，同时从这本大家熟悉的不能再熟悉，题目质量可以充分放心的高考必刷题中精选四个专题，十分钟时间一并搞定立体几何中的核心计算内容。 当然嘞，任何计算的前提一定得是看得懂几何体是个啥子样子。首先是这样一个正方体，咱们观察一下它的三 d 立体构造，转动、转动再转动， 但是在试卷上只呈现骨架结构，简单对比一下，不难的发现，哎，这红色的虚线是什么玩意？哦，原来是肉眼无法直接看见，但是真实存在的透视虚线。 接着的一个几何体叫做圆锥，相信屏幕前的你并不陌生，那么大家不妨思考一下，红蓝两条线谁更虚呀？显然是藏在圆锥屁股后边的红线。 当然，立方体和圆锥的理解难度并不算大，我们看一下必刷题的固机提升部分，也就是偏基础的，这本套装非常齐全，翻开来从目录中找到我们研究的立体几何专题， 你看，能住、能追，轮胎几乎每一次考试都跑不脱，就比如这个，能追，他可是结结实实有五条侧能在身上的。那么大家边观察边思考， a、 b、 c、 d 五个选项，哪一个是它正确的试卷平面上的画法呀？显然是这个 b 最外沿的黄色一圈， 咱们眼睛一定能看到，一定是实线，边缘一定没有虚线。那这条红色的又是咋回事嘞？ 哦，他是几何体面向我们靠近我们的这一边，可以直接看见的棱也用实线，而除此之外，一定都是透视虚线。并且无论什么时候，这样的结论他是一定成立的。咱们回到书中， 视线左移看，这个棱柱，确实也是长得不是那么美观。五条侧棱五棱柱， 好的， a、 b、 c、 d， 你 认为哪个是对的呀？聪明的你一定想到了操作方法是一模一样的，黄色边缘 b 为实线，肉眼可以直接看见。 而这三条红色的棱呢？在几何体表面靠近我们的这一边，肉眼可以直接看见，剩下的红色虚线就必须要通过透视权线了。 好的，接下来这个会稍微复杂一点，主要是能的条数会稍微多一点。好的，差不多时间请做出选择。这是一道思考题， 基础的讲义部分没啥问题了，我们就可以用对应的练习册来加以巩固。需要注意顺序是固基部分偏基础项的。 简单来说，分成了六十个小专题，写一页就能够掌握一个小型的知识点。在咱们基础题身上的效率方面，性价比是非常高的。翻开看到里头的体积计算 条件，暂不细看，咱们先在脑海中建立三 d 感知，看看这个镶嵌在正方体框架里边的三棱锥是个什么情况，然后再来求体积。 呃，既然要求体积，先得把公式摆上来，任何能追的体积公式都是三分之一底层高，但是这个底面却没有唯一的答案。 你说 b f、 c 一 可以当底面， b 一 c 一， 那也可以， b f 一 貌似也不错。 f 一 c 一 好像还可以。 那究竟哪个好嘞？首先呀，咱们肯定希望他不难算，那怎么才算不难算嘞？ 哦，就是好算，这个 bfc 一 他就挺好算的。为啥嘞？因为呀，他直接干净利索的贴在正方体前表面上了。这里大家注意观察蓝色与紫色平面， 如果突然告诉你这俩平面中间可以直接用等号连接，你是否同意嘞？ 这个的确是对的，它就好像两条直线只要重合就是同一条直线，两个平面只要重合就是同一个平面。咱们看到的蓝色紫色好像面积形状大小都不相同， 为啥呢？像这一切都只是因为我们在画图的时候截取了同一个平面的不同区域，相当于选择性表达，都不是把完整的平面给画了出来。平面本身的面积是无穷大的，就好像我们常说的直线无限长。 好的，回到题目中来，这个紫色三角底边平面面积非常好，求二分之一底乘高，底一高二全知道。 哎，那这个高 h 嘞，也就是能追顶点 e 到这个紫色平面的距离后表面的 e 到前表面的距离 等于零，长等于二，底面和高。都晓得了这一题选择第二项 b， 就 这会看来，好像是刷了几道题目，但是嘞，这套组建绝对不只是单纯的给大家刷题用的， 你看，固机部分给咱们配套了专门的视频课程，七十一节视频精讲，相当于每个不懂的知识点直接送一节网课。而且书中的六百八十四道题主题精讲， 想看视频讲解，但是又懒得问人的，想保持效率，扫个码就完事了。那么用完了固基部分，我们就可以拿对点上分，简单来说就是拔高部分，这个组合键翻开来找到对应的强化辨识， 还是要求这样一个正方体框架中嵌入的棱锥的体积，大致观察一下它的构造， 其中 e 是 棱中点， o 是 底面中心。求黄色棱锥体积。别的先不管，求体积就得摆公式。接着进入选底面环节， 一号、二号、三号、四号，哪个底面不难算呀？ 都不好算，但也都差不多，那都半斤八两。我们就进一步考虑哪一个底面他对应的高更好算，而且高和底一定是线面垂直的吧。 所以这会咱们就认真想一想，能不能在黄色棱锥里边找出一个线面垂直来， 垂直在哪里嘞？思考一下，哎，你看正方体的这个对角，蓝色结面，他是一个矩形，标注好个别数据，然后请重点盯住他。 我发现呀，这个对角矩形面彻底铺平之后，两条黄色线段的紫色夹角好像有点蹊跷，原来呀，他就是九十度角，这个原因不知道你晓不晓得？ 好的，还是盯住他，慢慢放回正方体的对角面位置。根据紫色的九十度符号，两条红线之间是相互垂直的。 但是嘞，我需要的高和底面线面垂直，得有两组线线垂直来加以证明。 a、 d、 e o 和 e o 是 一组， d、 e o 和 c o 会不会是另一组嘞？咱把洁面补全一下。 这个蓝色的洁面三角形，每一条边都是正方体的对角线，所以这是个等边三角形， 中间的红线， d、 e、 o 垂直，底边 c a 也就垂直， c o， 红色、绿色也相互垂直了。 现在就晓得了，红线 d e o 同时垂直于蓝色的 e o 和 c o， e o， c o 都是平面 ceo 中的线段，两条线还互不平行。 当然我们最好不要这样写，只要不平行就一定会有交点，我们写上 e o 交 c o 等于 o， 就 可以完美且标准的代替 e o 和 co 互相不平行这一串花了。 得出红线垂直蓝色底面，那么对于这个黄色三棱锥，红线做高蓝面当底。最后带回公式，三分之一底乘高选择 a 选项， 这本对点上分色，它也是同样的道理。全面配套视频讲解，不会说好像更难更拔高，就敷衍了事，只给一个文字讲解，这个并不会的视频是一节不会少的。 咱们还可以拿出这个巧学速记小本本，这里边就是给大家整理的答题技巧和奇思妙想了。 模块速记这里推荐大家在考前进行快速补充。再就是这个小册子的后半部分，全是重要技巧。比如咱们看这样一道题， 他给到一个四面体， s a， b， c 是 一个棱长都一样的正四面体， 说 e 和 f 分 别是 s、 c 和 ab 的 棱中点，求 e， f 和 s a 的 线线夹角。嘶，这两个， 首先它是一个正四面体，说明很正。其次，既然是求棱和棱的夹角，咱们看正四面体有六条棱，正六，想到啥了不？ 没错，正六面体，这里请认真观察。直接给正四面体塞进这个正六面体中， 凭啥嘞？哦，正四面体的每一条棱，他都是正六面体的每一个面的对角线。 没错，再以后，看到麻烦的正四面体，直接给他塞在正方体框架里边就没得问题了。这时候再看红黄两线的夹角，聪明的你会做了不？ e、 f 分 别是上下底面的对角线交点，所以数值的红线 e、 f 就 平行于任何一条数值的蓝色棱， 比如 st。 现在红蓝互相平行，红线和黄线的夹角就是蓝线和黄线的夹角，显然前边是一个等腰直角三角形 c， 它等于四十五度。 这个就是小册子里边的补习法，能够放在这个小本子里边的技巧还是相当有含金量的。 哎，这还一个小本子，一目了然。核心干货，整个高中三年的核心知识点，它分成十三个大章节，严格按照教科书来的，不管是以前学了容易忘记的三角函数，还是咱才学完但是结论一堆一堆的复述， 再包括我们这会正在学习的立体几何，以及咱以后会碰到的结论重灾区圆锥曲线， 这些浓缩的知识点，说实话太重要了。在视频的最后还是老样子，我们从巧学速记里边取同专题的第二个题目，大家可以思考一下。
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01:06查看AI文稿AI文稿就你还不会立即集合啊？一分钟我教会你学不会我打死你！二十看着点，圆锥的侧面等于 pi 二， l 体积等于三分之一 s h， 圆柱的侧面就等于二。 pi 二乘以 h， 体积等于 pi 二康乘以 h， 圆台的侧面等于 pi 二一加二乘以 l， 体积等于三分之一 h 乘 s 一加 x 二加的高下 x x 二球的表面等于四百二十方球的体积等于三分之四百二的立方。就这么简单的玩意，学校老师教一招你还觉得简单了？给我看这题。 一个圆柱和一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底盘半径根号七，圆台的上底盘半径一，则圆台的下底盘半径是多少？会吗？不会不会，你还装看着圆柱的体积等于 pi 乘以根号七或者平方乘以 h 等于圆台的体积三分之一 h 括号， pi 乘上一的平方加上 pi 乘上二二的平方，加上根号下 pi 乘一乘 pi 乘以二二的平方 h 约为二二等于四。再不会我打死你。
1984数学王超子老师
10:41查看AI文稿AI文稿立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。
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03:55查看AI文稿AI文稿很多同学立体几何学不好，第一反应就是自己的空间感不行，但是郑老师说句实话，高中的立体几何考察你的空间感少之又少，他重点考察的思想并不是空间感，考察的更多的是同学们的推理能力。今天郑老师利用五分钟的时间， 重塑你立体几何的学习思路。关于立体几何的视频，赵老师已经给同学们准备了十七节的一个资料评论六六六，抓紧拿回去下载打印，相信你的立体几何绝对能够学明白。立体几何到底怎么学。第一部分一定是和初中有关系的一些内容，但这个内容只局限于什么呢？认识几何图形 不用考虑太多，我初中不会，怎么办？没关系，不影响，所以第一部分啊，就是认识图形。第二部分我们会写空间一些图形的什么的体积表面积公式，所以我们会学到表面积啊，体积的一些公式， 尤其是像球呀，设棱台啊，像这样没学过的一些内容，他的一些体积表面积公式我们需要单独学一下，其他以前学过的照用就可以了。第三个哈，是什么呢？ 强调同学们的一个画图能力，我们会画一些简单的一些几何图形，像圆柱啊，圆锥啊，棱锥啊，棱锥啊，像这样的图形球啊，我们都要会画，哎，这是非常重要的一点， 那这些的话，整体上就可以认为是什么呢？就是认识一些几何图形与初中有关系，或者说作为一个简单的了解就行。 像这个体积表面积公式里边可能比较难的一点就是什么呢？我们的内切球以及外接球问题，像这个是一个最难的一个点啊，那除了认识几何图形第一部分以外，第二个部分就是我们立体几何高中最重要的一个环节了，就是空间里的点线面的位置关系， 其中包含什么呢？比如说平行关系，然后呢？第三种垂直关系，像这个平行的话，比如说线和线的平行，线和面的平行以及面和面的平行。像这些线线线面面面，他们的一些什么呢？性质定力、判定定力都是我们需要掌握的一些重点， 好，包括垂直，垂直也是包括线线垂直，线面垂直包括面和面的垂直，所以同学们会学一些全新的证明的一些定力，包括性质定力和判定定力，这两点都会学。 那除了这样平行垂直语言进行的下一个内容就是夹角问题，但是这个夹角问题的话，包含的比如说线与线的一个夹角，线与面的一个夹角，两个面的一个夹角这三个问题， 间线先变以及二变这三个问题的话，在高二上学期的时候，我们会学到间线的方法去解决，但是对于高一的学生，反而这一块的话难度比较大，只能用 纯纯的几何法去证明。那历低几何这地方哈，周老师说他考察的并不是空间感，而是同学们的推理能力。为什么这样说？比如说我们看一下这两个证明题， 重点哈就是平行垂直的证明，这是我们高一的学生最需要学会的一些东西。那推理思路讲的是什么？比如说拿线面垂直的证明来说，我们需要用到线面垂直的性质定力，也就是说一个线如果和一个面垂直， 然后呢？ m 呢？恰巧在这个面里，那么我们这个线就会和这个线垂直，那根据定力的话同一位思考一下问题，我们想要解决这个线下垂直，我们就得需要用到线面，那我什么东西能整为线面呢？我们去想我们就需要找线面垂直的判定力理， 而线面垂直的判定定律呢，就是 l 必须要垂直于这个面里的两条相交直线，也就是说你必须要找到 l 垂直 b 就 行，而它俩垂直又变成了线线，再去找它们成立的原因， 也就说推背要体会，慢慢哈。想要证明一个东西，我们需要用到怎么去推理，把它给推出来，而不是看出来。至于例例题和的推理能力怎么去计算，下节课我们结合具体的例子，然后一起来提升一下你的推理水平。关注我，带你看更多更好方法！
137郑肖老师直播号
01:24:16查看AI文稿AI文稿一个视频带你搞定立体几何的线面角问题，五种方法一网打尽，尤其是高一的宝子们，你们还没有学空间向量，不能无脑间隙，那你一定要看完这个视频，详细讲解基本原理，教你怎样做辅助线，怎么写证明过程。 看完这个视频，你就是掌管线面角的神。好了，点击全屏观看，开始你的成神之路，来吧！先来研究一下定义，那什么叫做线面角呢？平面上的一条斜线。什么叫斜线啊？这个线与这个平面斜交，它不垂直，这条斜线和它在平面上的适应 当形成的这个角呢，就叫做线面角了。所以说我想把线面角做出来，必须干啥？是不必须做一条线面垂直啊，做一条腿线，好，这样我才能得到垂足啊。 垂足与斜足之间的这个线段长度就叫做射影。我们看一看这个直线与平面所成角的个曲折范围， 它是大于等于零度，小于等于九十度的，注意它和意面直线所成角这个范围的区别。好，那我们就应用这一个线面角的定义，来看看这一个最简单的入门级别的题目啊。先热热身，大家先看看这个题目，一个正方体当中， 这个直线 a、 b 与 a、 b、 c、 d 所形成角的大小是多少？那我先要找到这个角是谁。好， a、 b 在 这里， a、 b、 c、 d 是 这个底面，那我会发现，哎，这条线和这个面是不是有一个交点啊？但这个交点是什么？ 通过定义，我们会发现，这个焦点是不是就是斜阻？那我在 a、 e、 b 这条线上我又找到一个点，干啥玩意做这一个面？ a、 b、 c、 d 的 垂线，那么这不太简单了吗？当然是过 a、 e 点做这个 a、 b、 c、 d 的 垂线啊，它就是谁？ a、 e、 a 是 不是这条侧棱啊？好把它给找到了，那 a 是 不是就是垂足啊？ b 是 斜足，那说所以说摄影就是谁？ ab， 那 么 a、 e、 b 是 斜线，摄影是 ab， 那 么它们的夹角 a、 b、 a、 e 是 不是我们要找的角啊？那这个角 a、 b、 a、 e 是 多大小啊？ 我一下就发现了，那是不是应该是一个四十五度啊？来，快点看一看这第二个题目，先找到这个角是谁，然后再去确定它的大小。 a、 e、 b 和谁的夹角啊？和 a、 b、 c、 d、 e 的 夹角同样呢，是有一个交点，是谁呢？是不 b 点？ b 点？是不所谓的斜足啊？ 那我要在 a、 e、 b 上找一个点是不？干啥垂直于这一个面儿， a、 b、 c、 d、 e 这个是正方体， 它每一个面都是正方形，那正方形的对角线是什么样的？是不是互相垂直的？也就是说你能不能得到这个 a、 e、 o？ 它就是垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 垂足，就是 o 啊， b、 o 就是 矢量呢？斜线是 a、 e、 b， 那 么它假角应该是哪一个角？ 是不是这一个角 a、 e、 b、 o 啊？那我们具体看看怎么操作，我带大家具体写一下步骤好不好？就是怎么能发现用定义法的呢？这个东西是不大家非常关心的事啊，你怎么就知道我要做哪条线呢？辅助线咋做呢？好处啊，对吧？我们直接给他搞。第二问，他说这个 c、 e、 g 与这个平面 bc， c、 e、 b、 e 所形成的这个角的正弦值是多少？求这个正弦值。 好了，我们先要把这个角给做出来呗。你怎么知道该用定义法了呢？我们对于这种题啊，用定义法就一定有什么出现前提啊？大家把这个东西做做笔记好不好？如果不知道什么时候他就该用定义法，什么时候用等体积，什么时候用垂面。哎呀，这些东西我都会提前告诉大家我是怎么做到的， 那是不是成功就可以复制了？我能做出来，你们也肯定能做出来，那它有一个什么前提呢？我们先找这个平面啊，哪条线和哪一个平面的左乘角，先找平面，找到这个平面，那我一定要有一个平面，有一个平面 或者是一条线和这一个所求平面 和所求平面儿。对于这个题来说，所求平面儿就是谁呀？这不就是 b c c e b 呀，和这个所求平面儿要干什么呢？垂直，也就是说我要么有面面垂直，要么有线面垂直， 能懂不？如果你找不到已知啊，你是从已知当中，或者是从隐藏条件当中去找，而不是你做辅助线做出来的，听听明白没？这一个是已知条件给我们的，是已知条件给我们的，不是我们做辅助线做出来的。 当我发现有这么一个玩意出现，那么它大概率就可以用定义法。这个概率多大呢？百分之九十，所以几乎考试的时候你发现这种情况就可以直接想定义法了。那我这个定义法该怎么去用呢？该怎么去用？ 那一二三步咱开始啊，一看一二三步，第一步干什么呢？找焦点，找这一个斜线 与这一个所求平面儿。焦点 找这个焦点是干啥玩意儿？这个焦点是不就是斜足啊？对吧？对于这个题来说，焦点就是谁？ c e g 和这个面儿 b c c e b e， 你 就不看这个题，你是不是也能马上找到它就是 c e， 对 不对？ c e 就是 斜足， 那我们有很大的可能性就是过另外一个端点，这条斜线上的另外一个端点是点 g， 过这个点 g 做面的垂线呀，我们根据定义法是不要在这条斜线上找一个点垂直于这个面啊， 对不对？好，那么我们就有很大的概率是过另外一个端点，过这个斜线 另一端点的话，它也得是某一个特殊点，就比如说等分点， 为啥呢？因为我们把它给做出来，并不是说我只得到这个角就行了，我才要把这个角的余弦之后某一个三角函数直接给求出来，所以我就要能求这种边，对吧？那做出来的边没法求，那是我没有用啊。所以我一定是过这个斜线 它的另外一个端点，或者是说这个端点上的这条线段上的中点，或者是某一个等分点。什么过它去做面的垂线，过这个斜线的另外一个端点呢？做面的垂线， 但是呢，我们肯定要坐在这个面，这个面是不是用可，可能是用三角形去表示的，可能用细边形去表示的，那我这个面我坐在面上肯定好难受啊，我做不了啊，那我想干什么？垂直于某一条边就能得到线面，垂直行不行？ 好，就比如说这个面儿，它是不是用这个四边形去表示的？是这个面儿表示的是 b c c b， 是 不是一个四边形去表示的？那我想的是什么呢？我过这个特殊点做的这条垂线是不垂直于我，这条垂线是垂直于 b、 c、 c 一 b 一 的某一条边，从哪实现线面垂直的呢？这不一定是往它某一条边做垂线得到线面垂直，这就是这一个前提的重要性了。 因为我们有一个面或者有一条线垂直于这一个平面的，这不就可以先得到一个什么了？从这一个面面垂直或者线面垂直也好，我们最终的目的是不是得到线线垂直？ 大家说是不是这样？以这样这么一个线圈垂直，我再给它干出，另外我是不是做出另外一个线圈垂直？那你说我垂不垂于面啊？我能不能得到线面垂直了呢？对不对？ 好，这就是前提的重要性啊，为什么要有这个前提好，一定是垂直于某一条边啊？垂直于这个面上，因为这个面肯定用三角形或者四边形去表示的，我去垂直于这一个图形的某一条边，从而实现了线面垂直，从而实现线面垂直。 那么我们就可以直接去得到这个线面角是哪一个，明白不？就是用这种操作啊，得到线面角是哪一个？那我们看看这个题该咋整吧，好不好？ 现在读读题啊，他说是一个剩三楞柱来了，剩三楞柱提供了什么？提供了这个侧面是不与剩下两个底面是垂直关系？有没有线面垂直啊？朋友们， 这个出三棱柱是不是又隐藏了一个向量垂直给我们？然后他说所有棱长都是二 e、 f、 g， 分 别是这三条棱的中点，是谁的中点？我们直接看图就行了，这就不用读题了，那么直接看第二问， 现在我们找到了它的这个焦点，也就是说斜足是 c 一， 那么我们要过 g 点另外一个端点，是不是所谓的 g 点？我是不是要过 g 点做 b c c 一 b 一， 它某一条边，是吧？它总四条边，我从哪条边的垂线就可以实现线面垂直呢？ 大家看你坐哪一条边儿？我当然是坐 b、 c 这条边儿了，对不对？ b c 这条边儿，因为我要看这点在哪一个面儿上是不？这点可以是在 a、 b、 c 上，也可以是在 a e a b b 一 上，对不对？ 好，那很明显，它这一个 j 或这点想做 b b、 e 垂线是不是很难啊？ 是不是有点扯淡了？所以说我们就直接干什么过 g 点做 b、 c 的 垂线，好直接实现第二条啊，第二条是什么呢？过这个 g 点做这一个 g h 吧， g h 垂直于 b c， 好 吧， g h 垂直于 b c， 咱把它给画出来啊， j h 垂直于 bc， 然后我们马上的连接这一个 c、 e、 h， 好， 连起来，大家看看啊，我就想请问大家，这个 j、 h 是 不是垂直于这个面？ b c c e b e 的 是不是这个样子？它就是吧，一定是，为什么呢？因为是不是有一个线面垂直啦， 对吧？我面面垂直啊，我们得到这个面面垂直，那这个面面垂直，我也给大家记一个顺口溜好不好？就是我上学那会啊，因为我比较笨嘛，我就想了一些办法，怎么能弥补我和学霸之间的差距呢？我就记一些结论呢， 这就是一个什么比方呢？就比如说我们去加工一堆零件，哎呦，这一堆零件我要组合组成一个什么样的玩具， 是吧？就和我们拼乐高一样，我把它拼成一个什么样的玩具，那我如果从单一零件开始去拼，是不是很复杂，很难？但是如果我们把它拼成某一个一个又一个的小单元，我再去组装的时候是不是就会快的多？ 那我们现在去记这种结论，或者是记这个方法的过程当中是干了一件什么事，是不是提前做一个半成品出来？那我以后看见这一这一个结构，我就可以拿这个半成品出来用，是不是他就会很快，那我和学霸之间的差距就会越来越少，甚至他还没有我做的快。 那这就实现了，我打败了他。好，来吧，那咱看一看，该咋证明呢？朋友们，该咋证明？是不？我们再从已知条件当中搞一个线面垂直出来是不就可以了， 对不对？来了吗？顺口溜啊，大家记一记。顺口溜，对于垂直来说的，对于垂直来说好用啊。有面面， 有面面，有面面是啥意思啊？有面面的意思啊，就是面面垂直，有面面找交线做垂值得线面， 那有线得到这个线面，我有时候就到这就停，还有些时候干什么呢？我要从这个线面是个得线线。 好，这就是我们经常会用到的一个东西，你如果遇到面面垂直有很大的可能性，你就得用这句话，对吧？好，现在我们就看了它有一个什么事， 刚才有没有发现？好，我们看它从已知条件这个正三棱柱，我们得到了这一个 a、 b、 c 和这一个侧面 b、 e、 b、 c、 c、 e 是 不是互相垂直的？互相垂直，它们两个交线是不是 b、 c？ 那么这个 c、 e、 c 或者是 b、 e、 b 是 不都是垂直于这个 bc 的？ 都是垂直于交界的？所以我这个 c、 e、 c 是 不是垂直于底面 a、 b、 c 的？ 那垂直于这个底面 a、 b、 c， 我 们会得到什么有用的东西？ 会得到什么有用的东西？是不是这个 c、 e、 c 就是 垂直于 g、 h 的？ 当然有同学会说，老师，你这不，你你，你这么做，这不费劲吗？对对对对，是费劲，但是我想要给大家稍微解释一下啊，稍微解释一下 是费劲的啊，那，那我们如果直接用的话会是什么样？那我现在是不是干出一件什么事来了？我做了一个线线垂直，是吧？ 我做了一个线线垂直，就是做了 j、 h 垂直于 b、 c。 刚才不也说了吗？那算了，我写下来好不好？我写下来啊，把这个过程给大家写一写，那我从这一个正三楞柱 是不是垂直于这个面 b、 c、 c 一 b 的 呢？对吧？是垂直的，那这个线面垂直，我们刚说了有面面，呃，有面面垂直，有面面找胶线，那么它们的胶线是谁呢？我们发现它的胶线是不是 b、 c 啊？那我又干什么做垂线？做这一个胶线的垂线，我现在做没做，我做的这一次是不是垂直于 b、 c？ 那也就是说我们有了这一个谁呢？垂直于交线，那我这个 j h 垂直于 bc， 那 我们能不能得到一个什么东西啊？这个 j h 就是 干啥玩意的？就是垂直于这个面 bc、 cb 的， 有没有毛病？是不是可以给它搞定啊？对不对？是不是很开心的就解决到这个问题了？那我是不是得到线面垂直了？这一个面是不是所求的面是我们要求的这个面， 对不对？线面垂直有了，那你还不知道是哪个角吗？ h 是 不是就是垂足？ c e 是 斜足，那么顺呢？就是 c h， 它有这个斜线 c e j 的 夹角，那我这一个角 j c e h 是 不是我们要找的斜面角啊？ 是不是就搞定了？好，斜面角就搞定了，现在他想干什么？求做之前值做这个 c 角 j c e h 想去求它，是不就老鼻子简单了？为什么说陷面角比较简单呢？因为我做出这个陷面角来，必定伴随这一个直角三角形。那直角三角形的正弦怎么去求？ 是不？它太简单了，我都不用什么余弦定力啊，什么正弦定力？这这一坨东西是不直接出动知识搞定，那它就什么 g h 比上谁？ c e g c e g 就 斜边啊，斜线就是斜边。好吧，那我现在干啥玩意就行了，把 g h 给出出来，再把 c e g 给搞定，是不就完事大吉了？ 好，那么朋友们啊，这一个 jh 是 不太简单了，它说了是一个正三棱柱，那底面 a b c 就是 一个什么图形，咱把它给画一画呗。大家看一看啊， a b c 就是 什么玩意呢？是不是一个等边三角形啊？ a b c， 那 这个 j 是 不是它的终点啊？我做了这么一条垂线，大家看，这个 h 就 应该是什么是 b c 的， 什么，是不是四等分点啊？朋友们，如果你直接看不出来，我再给你画一条线，你能不能看出来呢？ 这一个 k 吧，这一个 k 是 不是 b c 的 终点？有没有毛病？没问题吧？那么现在你垂直，你也垂直，你说我这个 h 是 不是 b k 的 终点？是不是就是 b c 的 四等分点？那么这个小玩意简不简单呢？ 是吧？这就很简单。我为什么一定要强调 h 是 什么呢？因为我想还得把 c h 给求出来啊。为什么要求 c h？ 因为我要求 c j c e j c e j， 我 必须要勾股才能勾股出来，明白不？所以这么一环套一环啊， 很快的，我们就会得到一个比较好的事情了。这个 g h 你 能不能直接搞定啊？这个 a k， 因为它的边上都是二二， 所以 a k 是 个根三，那么 g h 是 不是二分之根三？中位线嘛，很容易搞定了。 c h 就是 什么？我们说 h 是 靠近 b 点的四分点，所以说 c h 就是 什么二分之三嘛，对不对？这不很快嘛？ 好，我们还知道测棱是啥呢，它每条棱长都是二啊，那也就是说这个测棱长 c e c 是 不也是二啊？你说 c e c 也知道了， c h 也知道了，我想求啥呀？我当然是想去去求 c e h 了，对不对？ c e h， 咱一勾股，咱勾股不了吗？ 它是斜边，对吧？那我这个二分之三，这个二就是多少，这个二是二分之四啊，那你说这个 c e h 就是 多少，是不是二分之五？你建勾股，你千万不要硬上，一定不要平方，不要直接平方，你要看看它们几个数之间有没有满足勾股数啊， 尤其是这种一个是整数，一个是分数的，你敢不敢把它通分一下，把整数变成分数，你看一看分子满不满足勾股数呢，对不对？做题不要硬上你，要不然你为什么做题慢呢？人一歪眼，能做出来的又快又对，你还在平方开平方 干啥呢？这是对不对？好，那么 c e h 有 了，我们再去整什么？这个 g h 也有了，那 c e g 我 还勾股不了是咋地，对不对？好， c e g 再给他勾股一下吧。 好，用。这一个数和这个数现在就完蛋了吗？是不是他一个根三，一个一个五，我是不是用不了了？完犊子了，用不了了，那这个 c e g 就 老老实实的平方去求吧，是吧，他应该是什么呢？根号下二分之根三的平方，然后再加上这个二分之五的平方等于几啊？ 这小数还挺好的嘞，什么根七啊？好了，那咱把它给搞上吧。它就应该等于什么？二分之根三比上根七应该等于什么？ 哎呀，不是什么好玩意啊，十四分之刚好二十一，搞定了没？这一题。唰，这个流程就出出现了，我们第一个题讲的慢，是为了给大家试用条件，什么时候用定义法，我定义法怎么做，然后具体一步一步，然后我带大家做了，做这个 怎么去求值啊？通过这个流程，我希望能带给大家的是什么呢？希望能带给大家的是做题的通法，解题，通法。那我们用这个通去做一做第二题，看看它好不好用。那我再做后面题目，我就不给大家详细求了好不好？我们就做辅助线，咔咔，做几个辅助线就行了，好不好？看看这个通数能不能用啊。 来，我撕掉了啊，需要截图就截图吧。好，不需要截图，那我们就继续搞了。好吧，搞第二个题啦。第二个题，刚才说什么呢？已知这个三角形 a、 b、 c 与这一个三角形 d、 b、 c 所在的这个平面呢？互相垂直，来吧， 面面垂直有没有啊？朋友们？面面垂直是我们想要的，我想要，然后再有了什么呢？ a、 b 等于 b、 c 等 b、 d。 哎呦，标一标 a、 b 等于 b、 c 等于 b、 d。 哦，这三条边相等，然后呢？这一个 说这个 a、 b。 呃，角儿 c、 b、 a、 c、 b、 a 是 这个小角儿啊，然后 d、 b、 c、 d， b、 c 是 这个角儿啊，都是六十度。哎呀，他整的这么费劲，我看见这两个条件，他是不是就想跟我们说，这个三角形 a、 b、 c 呀，和这一个三角形 b、 c、 d 啊，它是全等的， 两个正三角形是不就这么个意思，整了半天整了，这么玩意儿？好，第一问，咱也是不做，直接搞。第二问啊， a、 d 与这个 b、 c、 d 所成角的大小。那第一步干什么来着？第一步， 找焦点对不对？找焦点，这焦点是谁啊？ a、 d 和 b、 c、 d 的 焦点是不点 d？ 好， 第一步，找到点 d 了，它就是什么斜足， 你怕我痛苦不好用啊。然后第二步干啥？是，不过 a 点做什么？做 b、 c、 d 的 垂线，我现在 b、 c、 d 有 没有一个面和它垂直是不？有啊，有，怎么整？找胶线是不就行了？那紧胶线直接做胶线的垂线是不就线要垂直了？朋友们， 所以第二步干什么？有线有面面垂直的太香了。这种题就是送分的，直接连点都不要了，直接就送给我们分是吧？有面面找交线，交线是谁？咔就找到了。 bc 是 交线对吧？那我现在干什么？不就是过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，那我直接过 a 点做 bc 的 垂线不就行了吗？对不对？ 那我做 a、 e 垂直于 b、 c 是 不就行了？那我当然，我这个 e 点就是什么玩意啊？我这个 e 点是不就是 b、 c 的 终点？为啥？因为它是一个正三角形啊。 a、 b、 c 是 不是正三角形？我要利用三线合一嘛，有条件我不用，我大傻子对不对啊？这个 e 点 它就垂直的吧，我取 b、 c 的 中点，直接连接 a、 e 是 不就行了？你做辅助线有很多种描述方式，你爱咋描述咋描述，你自己用起来爽就行了好不好。 嗯，当然了，你一点是终点，你也得用三线合一，是不是正垂直？你这个垂直，你是不是反过来也得正？这个一点是终点，你反正你都得用，你怎么去做弧线，爱咋咋地呗。那我通过这一个线线垂直，那我得到了什么呢？我说就得到了，你这个 a、 e 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的， 我为什么同垂直于交线就垂直于面？是不必须有面面垂直在里头啊？我没有面面垂直，我直接得什么？一得一个错啊，是不是啊？我得到这一个垂直了，那这不就完事了吗？干啥玩意，一点是不就是垂足了对不对？一不就垂足吗？ 那我这个二面角，我呸，我这个线面角就是谁，我们把这一个 d、 e 给连起来吧。我都没画虚线啊，大家在做图的时候要画虚线好不好？我在店铺上我画虚线不好画啊，画出来歪歪扭扭的，比这个扭的更重，我怕大家看不清楚啊，所以没画虚线， 原谅我啊。啊，那我们现在就会得到了，摄影就是谁啊？斜线 a d 的 夹角是不就是我们要找的线面角？所以第三步直接得线面角就是谁交 a d e 就是线面角啊，你再去求的话，那我们去求这种，不管是你看，尤其是他让我们去求所乘角的大小，这个题是不是有点过分了？比较简单是吧？所乘角大小几角求百分之一万，他是个特殊角对吧？你一万你怎么整？ 你是求它角，我能画它，我能求出它是多少度来吗？是不一定是个特殊角，所以你不管是求它的成弦值也好，余弦值也好，是不都行，或者甚至正切值是不也行？你这个题我甚至都不用求，为啥呢？它两个是全等的正三角形，你说这个 d e 和 a e 这两条勾 是吧？因为一点是终点吗？是不是它是分别是这两个正三角形的高，那你说这两条高相不相等？全等了，它对应高能不相等吗？是不是 a e 等于 d e 等于直角三角形？你说多少度？我还算。算个屁，是不是直接四十五度搞定了 对不对？开心不是很简单啊，好用啊，随便找题啊，随便找题，通通好用。好这个第三个啊，再看这第三个，第三个巴拉巴拉，说这么多咱不做了，留给你们了啊，自己去看一看我说的好不好用。好吧，这一个题他倒是没给你啥，没给你面面垂直还是给你啥了？ 谢面垂直对不对？是不给我们谢面垂直了？那我再去做的话，哦，这个题我稍微说一说啊。稍微说一说， 大家可能从这个题当中得到什么隐藏条件？请问大家，请问一下大家，我有一个线面垂直，我这个 p a 是 垂直于底面的 a、 b， c 的， 而且我这个 a b， c 是 一个直角三角形，那你能得到啥玩意儿？朋友们， 通过这两条件啊？我划线的这两个条件，大家能得到什么有用的信息，好心里有数了吗？那我给大家说，如果你想的跟我想的不一样，那你做笔记以后，碰见这种东西，你就可以直接得这个结论，肯定好用，明白不好，我们就会得到这一个，是不是？它是一个三棱锥啊， 对不对？这一个三棱锥，三棱锥总共几个面？是不是四个面？好，太好了，四个面全是 二 t 三角形，那这对这个题来说非常有用啊，我全是二 t 三角形，那么你去求边长的时候也好，求你得到其他的线面垂直，也很简单，明白不好，那我们通过这个条件进一步的结论，还可以得到新的 线面垂直，不止一个，明白不？不止一个， 好，就是这些隐藏条件啊，那么第三题大家就能做了，尝试一下好不好？尝试一下啊，留给大家当练习去用了啊，练习好，我们翻页再继续看，要不要再做几个呀？ 这种要不要再做了？我感觉做两个差不多吧，再做一个好，第四个排着来了啊，第四个，看看它是个什么活， 一次能追 a 杠， b， c， d， e， 它又有一个面面垂直来，你看面 a， b， c 垂直于面上， b， c， d， e 啊， 现在又知道了这一个 c， d， e， 找到它， c， d， e 九十度，然后 b， e， d 九十度，哦，这是一个直角梯形对不对？这个底面 b， c， d， e 是 不是个直角梯形啊？ 现在知道了， a、 b 等于 c， d， a， b 等于 c， d 很 重要啊，等于二好， d e 这一个 d， e 等于 b， e 都等于一标上它 a、 c 呢？等于根二。好了，我们现在第一问也是不做了，直接做第二问，求这一个直线 a、 d 与这一个 a、 b、 c 所成角的正弦值。 好，来吧，第一步怎么办？第一步是找公共点，对不对？找公共点？哪个点？公共点 是吧？ a 点，那 a 就是 斜足了呗。第一步是不搞定了，那么第二步是我过要过 e 点做什么？做 a、 b、 c 的 垂线，我是不是要利用面面垂直啊？我怎么利用面面垂直？有面面找交线，交线是谁？ b、 c， 那 我赶快的过一点，做 b、 c 的 垂线是不是就搞定了？我说哎呦，这个玩意是不是又把 c、 d 去延长一下？这个破东西 还整的这么花花，对吧？把它给延长一下是，不过 e 点做这个 e、 f 吧，做 e、 f 啊，哎呦，写不好了， e、 f 垂直于这个 b、 c 是 不就行了？找到角线，我马上的过另外一个端点是不？ e、 f 垂直于 b、 c 与点 f 是 不就搞定了， 对不对？这不就完事了吗？垂直，那这个 e、 f 就 百分之一万是干啥呢？这个 e f， 我 这个 e、 f 是 不就肯定是垂直于这个面 a、 b、 c 的？ 为啥？是不又是通过这个面面垂直得到的？面面垂直，我又垂直于交线了，那你说我这个 e、 f 垂不垂直于这个 a、 b、 c 这个面啊， 对吧？垂直，现在垂直有了，那么现在干啥就行了。那我就需要把谁给连接起来了？朋友们是不把这个 a、 f 给连接起来就行了，对不对？ a f 给连接起来来了，快速的连接一下，那么我们知道这个 f 是 个啥玩意儿？是不是垂足 好，现在矢尾就是谁了？矢尾就是 a f， 那 斜线是 a e， 所以 我这个角是哪一个角找到了，是角 e， a f 就是 现在角 找到了。再求值是不就简单了？不，无非就是求三条边儿，当然不用非得求三条边儿，是不求，求出这个 e f， 求出 a e 来就行了。用个求值哦，正切值。天呐，嘴瓢啦，说得不对啊，正切值呢，就是 tangent 角 e a f， 它应该是谁呢？当然就是 e f 比上谁了，比上 af 了。那你把 ef 给求出来，把 af 给求出来是不就行了？那我怎么去求线的长度呢？之前是大家光看我操作了，那我怎么去求线段长度？给大家说一说啊？你不要用立体几何的思维，听见没？我去求线段长度，把它放在平面图形当中。 所以说大家要有一个非常重要的想法啊，我要把线所求的这条线放在平面中， 那哪个平面它运行起来简单，我放在哪个平面当中？我最好的平面是不就有直角的平面，对不对？我可以勾股定力啊，实在不行是不？我再去用什么余弦定力再去求，对吧？所以它想做出来是不也蛮简单的对不对？ 好，大家就可以自己求一求了好不好？自己求一求吧啊，还是比较简单的 好。呃，第五题，再做一个，再练，再练一个，看看通法好不好用啊？说，我从来就没用多余的东西啊，有没有用多余的东西？你有时候会质疑说，老师，你这个题是你找的，你肯定要找对你有利的呀。 我真没有啊，我这是瞎找的，来再看一看吧。啊，这一个第五个啊，那说如图，等腰直角三角形 a、 b、 d 这一个角 b、 a、 d 呢？是一个九十度哦，它是一个等腰直角三角形，这一个角 b、 a、 d 九十度。并且呢，这个等腰直角三角形 a、 b、 d 和这一底面底面，这个 c、 b、 d 是 吧？它还是一个等边三角形啊，互相垂直来，又有面面垂直了有没有？那我想去求界面角，我该不该直接用定义法就搞定了呢？这不肯定行啊， 好，这个 e 点说是 b、 c 的 中点，然后 a、 e 与面 b、 c、 d 做成角大小，来看看 a、 e 与 b、 c、 d 它们的这个假角。呸，它们公共，它们的公共点是哪个点？这不一下就找到了，是点 e， 是 不是这个 e 点，它是不是就是斜足了？ 那我赶快的干什么？什么？过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我要干啥啊？朋友们？我是不是？你好有面面垂直，我照交线。交线是谁呀？ b、 d 呀，你做 b、 d 的 垂线，能不能很迅速啊？ 你过 a 点做 b 的 垂线，我这个直接找 b、 d 的 中点就行了，我们让它点 f 吧。那我直接连接 a、 f， 这里垂不垂直是不？百分之百垂直啊，对不对？我直接过 a 点做这个 a、 f 垂直于 b、 d 什么就会得到什么呢？就会得到这个 a、 f 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的 线面垂直。搞定了，那么 f 是 不是垂足啊？ 咱赶快的把 e、 f 给连接起来，那么我们就会得到了。把 e、 f 给连接起来，那么 e 点斜足， f 点垂足是不摄影啊，就是 e f 啊，摄影与斜线 a e 的 夹角角， a e f 是 斜面角。 不知道你们有没有笑话，我就说老师你为什么每一次还得再判断一下你为什么这么慢。其实我能一眼看出来， 但是我真怕错，因为以前犯错真的就是挨揍的，你们现在肯定没有这个体验，是不是？这么痛并快乐的体验已经失去了我们那时候，哎，你找不对你会做，做不对那等着挨对上讲台挨揍啊。 现在能有这个想法不？你们肯定经历不经历不着，你可以问问自己比自己大多少岁的一些哥哥姐姐们啊，或者是自己的父母，看看有没有这种痛并快乐的体验。所以说现在你们的生活还缺少一点乐趣啊，是吧。 啊，这个线面角我找到了，找到了再去做的话是不又就去求这些长度啊，是不很简单呐？去求线的长度是不一定要把它放在面当中，各个面当中再去做才能简单起来对不对 啊？画辅助线是不是很容易理解很好做，所以数学很难吗？找到方法而已啊，是不？你现在缺少的是什么？一个人给你把这个方法给你总结下来，那我再去做题，我是不是瞪眼？瞪大眼珠子瞅就能瞅出来这就是所谓的学霸用瞪眼法，学渣跑断腿啊是不是？ 那我们怎么能成为学霸。复制我呀对不对？复制黏贴还不行吗？ 你再不记也能考过这个分啊。我说实话我我当时高考考一百四十多分，但是现在再让我去考现在的新高考我不行，我真不行，考一百四我也考不上。说实话我也考不上，除非他不考新定义了。除非他不考新定义，那我还有可能考上一百四。那我要不然就一百三十多分吧。 那对你们来说够不够？差不多够了是吧？那你复制我完全可以啊，我跟你说，我也是个大傻子呀， 我为什么后来也能可可能考这么好，甚至我现在都能当老师，我也可以把这个方法都给教给你们。你看我的思路好不好，是不是也很好啊？你们也可以的，千万不要否定自己啊，我们都很厉害。来，后边的题不做了，我们看下一种方法好不好？等体积 来吧。够等体积了。那等体积？他为啥我这个定义法这么好用？我不全都用定义法呢？他也有解决不了的问题啊，就比如说这个前提条件他实现不了，那我怎么用？你说呢？对不对？前提条件都用不？都没有，都满足不了，那我咋用？ 我神了，我用不了对不对？所以说它就衍生出了等体积。那我们说一说等体积法什么时候用？呃，这个前提满足不了了就是什么呢？你也是找这个面， a e f 这个面对吧？ a e f 有 没有一个面或者是有一条线垂直于 a e f 呢？ 就是从已知条件当中找啊，你找有没有吗？包括隐藏条件啊。已知条件包括隐藏条件，有没有能找到任何一条线或者一个面垂直于 a e f 能，是不是找不到？找不到怎么办？等体积，明白不？等体积就是为了弥补定义法而存在的。其实我说到这呢，有同学就会研究了，老师你你要讲五种方法呢？我们铁了这一个间隙还有两种缝缝呢， 你丁一凡和等体积都可以把这些事全都干完了。那你后面两种方法是干啥用的？当然是为了我们做题快了对不对？你方法有的是啊，我这两种方法虽然可以解决所有问题，但是 限定有局限性，他就慢呗。那我做选择填空，或者是说有一个题，哎，他给我了一些奇奇怪怪的一些结论，比如说角度问题，给了我很多角度。那我去求线段长度的时候很费劲。那你说我为什么要费劲巴拉的再去求线段长度？我干嘛不用三余弦 对不对？这就是三余弦它的价值。那除了三余弦之外还有一个纯面法，纯面法是对等体积的补充， 对等体积的补充一会说好不好，大家慢慢期待一下啊。哎呀，我这个人比较坏是吧，我讲着讲着就会把后边的一些东西跟大家说一说，是干啥呢？大家别走神啊，你上这么一节课，你不跟在学校里一样啊，你在学校里刷就交那么点学费就学了，你上我这你得不得交钱呀？ 你花这个钱你别花，冤枉了我们，花完这个钱我要学到东西啊，我马上。哎，这节课我收获挺多的。那这才是开心加愉快的事对不对？ 所以我希望大家每一堂课都有收获，所以别走神好不好？有疑问可以提出来啊，好不好？来， 我们还是拿第一个题打个样好不好？我就把它的步骤写一写，思路写一写，思路是啥呢？我们一定是干什么呢？前提条件不满足了，也就是说找不到一条线或一个面 为值于这个面， a、 e、 f 这个面 a、 e、 f 哪来的？是不就是问题啊？就让我们去求的这个面，求证的这个面。好，它就是求证的这个面我找不到，那马上先想等体积， 那什么时候如果你逮着一个等体积，你就会做，那么我们再把垂面法给搞定， 题目就会越做越简单。那这个题是不？我们通过刚才很容易就发现了，没有任何一条线或者是面与 a、 e、 f 垂直，那咋整呢？你说前面的过程也都是一样啊，我们第一步也是找焦点， 找焦点，焦点就是 b、 c 与这个面的焦点。完了没有啊？没有焦点怎么办？平移就是不平行。现在我们遇见了第一个大问题了，我天呐，它没有焦点怎么办？给它搞一个焦点出来，没焦点 做平行啊，做谁的平行啊？当然是做 b、 c 的 平行，接了看看 b、 c 平行于谁，马上地发现它平行于 a、 d， 对 不对？看看四边形， a、 b、 c、 d 是 个正方形嘛，对不对？对边平行， b、 c 平行于 a、 d。 现在告诉我有没有焦点了， a 是 不就是焦点？是不？马上找到了焦点就是 a 啦， a 是 不就是斜足啦？第一步搞定了，那么第二步干啥玩意？第二步是不？这一条斜线上面还有另外一点点 d？ 什么？我过点地做这个面 a、 e、 f 的 垂线？完犊子，为啥呢？因为这个地点，什么做这个 a、 e、 f 每一条边我都垂直不了，是不是就是因为它第一个条件满足不了？那所以说我一做，我能把这个垂足给搞到，但是我就不知道它具体位置在哪，你说呢？什么垂足的具体位置？我不知道在哪， 我就过这个点，这一做 a、 e、 f 的 垂线，是吧？那么我这一个点 d 做 a、 e、 f 的 垂线实际上是什么？是不是地点到 a、 e、 f 的 距离？也就是说我们现在既然， 既然我们找不到这一个线面垂直，是吧？我们要做这个线面垂直，我找不到垂足是不？我们现在面临第二个问题啦，我过地点做这一个 a、 e、 f 做这个面 a e、 f 的 垂线， 回族确定不了在哪儿， 不跟我们做线线垂直一样，我们能直接做出垂足来，那我做这一个过一个点，做一个面的垂线，完了，是不？我们具体画不出来啊，我又不是个机器，对不对？我不是个机器啊，我画不出具体位置啊，我确定不了具体位置，那我就转明白吧，就是第二步，我们就来一个转化， 来个转化，怎么转化？是我们就把这一个垂线就是谁呢？我们就转化成地点到面 a、 e、 f 的 距离。 所以说这第二步就是射距离，我们就是射这一个点 d 到 a、 e、 f 的 距离是啥玩意？是 h 好 不好？我们射它为 h 啊， 这就是第二步，射它的距离为 h。 那 么现在朋友们，我们得没得到一个 三棱锥，注意，我说的是三棱锥，一定是三棱锥，如果这一个面，就比如说 a、 e、 f 这个面，现在它是用三角形去表示的，万一它是用四边形去表示呢？我当然要取四边形的某一部分呢？取三个点是吧？取。正在举手是什么意思？有问题吗？是 你有问题就开麦问啊，反正也没多少个人，好吧。啊，我先继续说啊，我继续说，我把这个东西给补充完整啊，把它说完， 那我们现在一定要注意啊，我要得到一个三棱锥，一定要得到一个三棱锥啊，第三步是我们一定要得到的是一个三棱锥。为啥要得到的是三棱锥？因为它可以用等体积啊，三棱锥是个四面，我任何一个面都可以作为底面出现，对不对？你可以用等体积法去做， 所以这个 h 就 一定能求啊，你说呢？好，我们这个三菱锥啊，而且啊，而且我发现一个特点，朋友们，我发现一个特点不是很准确，不是很准确啊，但是这个特点大部分的题目都有， 如果你是用等体积，如果他是想让你用等体积去求，那么最终求的一定是一个减值，大家看这么减值 那就有见多少，你去求线面角的正弦值就有很大概率超过百分之五十了，也就是说概率是百分之六十多，百分之六十五到七十左右。我没有具体统计啊，我不可能每一个题我都研究研究，因为我现在已经过了这个阶段了哈，就是我，我重点大部分的用等体积法的题，他一定是 用一定不对啊，是大部分用求这个线面角的正弦值啊，我有点打乱同学们的思路了啊，不好意思啊， 呃，我们这个三棱锥一定是搞到一个三棱锥，对吧？就像我刚才说的，哎，我现在如果这个底面或者是所正的这个面 aef 它是一个四连线的面，干什么？我是取三个点啊，是不也要给它强行的搞出一个什么来？搞出一个三角形面来，明白不？那我就可以给它搞出一个三棱锥来了。那这三棱锥就是什么？ 闭眼看就行了，什么过地点，做这个 aef 的 垂线肯定是哪一个三棱锥地方。 aef 是不是 d 杠 a e f d 杠 a、 e、 f？ 那 么我们用等体积的目的是干什么？什么？求 h？ 求 h？ 所以 说等体积是不是现在变成了求体积问题？求这一个三棱锥 d 杠 a、 e、 f 体积问题， 把它变成体积问题了吧。来呗，我们肯定得用到的是哪一个呢？用到它的体积啊，是不是换一个颜色啊？那我肯定要求 v， 哎呦，没换成好，肯定 v， 第一个 a、 e、 f， 我 要给它换一个底面是比较好求的。这个底面那就是谁啦？朋友们，谁你换成谁？它简单。 f 杠什么玩意？ a， d、 e 对 不对？ f 杠 a、 d、 e 是 不就行了？好， f 杠 a、 d、 e。 现在我们就来求 h 了，求 h， 那 么表示一下，它是一个三棱锥对不对？我的公式能不能带？所以它就是三分之一这一个 a、 e、 f 的 面积，对吧？乘上什么？乘上 h 等于啥玩意？三分之一这一个三角形 a、 d、 e 的 面积乘上谁？这笔高是谁？朋友们，高是不是 ab 啊？ 这个等体积咱就不讲了吧。这不，我之前的课已经讲过了，咱就不讲了哈，它就是 ab， 那 么 ab 的 长度是多少？是不是二啊？把它拉掉了换成二。现在我们是不是就求三角形 a、 e、 f 的 面积和三角形 a、 d、 e 的 面积啊？来吧，求一。求 a、 d、 e 的 面积，该咋求呢？哎呦，这个 a、 d、 e 简不简单，好不好求啊？是不比较好求啊？哎呦，我天呐，真是开心啊！三角形 a d e 的 面积，因为它是什么？它是不是一个直角三角形啊？它是直角三角形，那它就应该是什么？ 这个三角形面积 a d e， 大家有没有发现 a d 是 多少？底面是不是一个正方形啊？也就是 a d 是 不是二啊？ 哦， e d 是 不是二啊？所以它的面积二分之一乘二乘二，对不对？等于二。好，这一个我把拉掉了，也是二，那么现在就换成了求这个三角形 a e f 的 面积了，它就难求了。 a e f 是 不是挺坏的？这个角，这个三角形，是吧？这个三角形挺坏的，再把它求一求吧。 那我们去求的话，哎呀，还还好吧，是不可以直接先得到 a e 是 多少？勾股是二根二， 我们是不是还可以得到这一个 a f 多少？勾股，对不对？当然了，我们用勾股的时候，是不是这个 f b 就是 一啊，这里是二，那么 a f 等于多少？是不是根五？好了，那么我们还会得到什么呢？ e f 啊，是不还缺个 e f 了？ e f 咋求呢？ e f， 大家看 e f 的 球，哼，它是不是一个直角三角形？朋友们，是不是，是不是一个直角三角形啊？ 呃，前面应该会用到啊，前面应该会用到，那我直接给大家这一个是一个直角三角形啊，那这个 e f 应该是什么？ 不是不是，呸，我说说的不对啊，不是说它是一个直角三角形，我们要得到的是谁呢？那你去去得，我，我给大家画一画啊。我的问题，我给大家画啊，那我现在把这个 b d 给连接起来好不好？ b d 啊，给连接起来。来吧，会有这么一个图形出现啊。 这一个，这个点是谁呢？ e， 这个点是 d， 这是 b， 这是 f。 来，现在有谱了没有？有没有谱？它是不是二？它是二，它是不是一？你去求它，能不能求？朋友们，能不能啊？不不不，它不是，它不是二，它是 b， d 是 不是应该是二跟二啊？ 啊？能不能求啊？朋友们，你看这个 e、 f， 我 往上做这么一条线，你看我们在求线段长度的时候，我是不是都是附着于平，把它给搞到平面里头了？ 我啥也去搞别的东西了吗？是吧？别的东西我没搞啊，我都是想去求线段长度，我去给他找平面，我最好找的就是有直角，对不对？找有直角的，因为某一条线他可能属于很多平面， 那这是我允许的吗？我当然不想了，对吧？我要给他找他所在的某一个平面，哎，这一个平面的图形是一个什么样？它就是图形，它里面有垂直风气，你因为直接有垂直，你要么三线合一有垂直，你要么菱形对角线会像垂直。说你。总而言之，你不直接告诉我，你也得间接告诉我， 对不对？好，这就是我们能得到的，它应该是多少？它是不是就二分二？二的根，二这一块长度是不是就一？所以你能不能勾股一下根号？下啥玩意？二根二平方加上一的平方。哎呀，太好了，这不得 里面是九啊，什么开根号？就是三， e、 f 也有了。那你看啊，我因为我们发现这个 a、 e、 f， 它不是特殊三角形的，它不是特殊三角形。那怎么办？你不是特殊三角形，你怎么去求面积？ 这用不用到我们前面学的解三角形的题，解三角形的思维，四条边都有了，朋友们，怎么去求面积？我当然先用余弦定力，将余弦值给求出来，再把余弦值换成正弦值。我可不可以用公式了？这不就可以了， 现在苦哈哈的又上线了，什么要求口算用余弦定力啊，这是我最不爱干的事。代数运算，我不行啊，我水平不够啊。 a e 的 平方加上 e f 的 平方，减去 a f 的 平方，比上啥玩意二倍的 a e 乘上 e f 吧，代数呗，好不好，代数我代数总该比我快吧， 八加九减五，对吧，比上什么呢？二乘二跟二再乘三，那么它应该等于多少？呦，这个数还挺好嘞哈，二分之二，哎呀，太好了，那我们就可以得到这个 c 音了，是吧？ c 音减 e f 就是 多少也是二分之二啊，速度嘛，人家对不对？好， 太开心了，我们搞到了，那它的面积能求了不？这一个面积是不就可以求了？二分之一的这一个 a e 呀，乘上 e f 啊，再乘上乘音加 a， e f 啊， 代数呗，它应该是多少？二分之一，哎呀，二分之一乘上二根二，再乘三，再乘谁呢？再乘这一个，二分之根二等于多少？算一算， 咔咔约掉了，然后二二约掉了，剩下个三了，对吧？面积是三，那现在代数吧，把它咔搞里头，它是三，那么现在能不能得 h 啊，通过这一个 h 是 不是就显身了？ h 等于多少啊？朋友们？ 嗯，三分之一，三分之一，咱先约角啊， h 是 不就三分之四？太好了， h 三分之四，那么现在比较劲爆的东西就来了啊，那求且值是谁？我这上面这个角就是 c 塔，我是这个角是 c 塔，那这一个色音 c 塔就应该等于什么呢？等不等于这个 h？ 这个 hr 比谁啊？比斜线，比这条斜线，斜线是谁？是不是 a d 啊？朋友们，是不是 a d？ 现在我们是不是只要知道 a d 是 多少，这活完成了好，是不是？知道的，一定要记住这个这个东西啊， 是不是你只要能把这个这个垂线给做出来，你说我这一个线段角的正弦值是不是 h？ 比斜线对不对？呸，我这个余弦值是不是点比斜线？ 我今天晚上嘴老不好用啊，大家听见错误帮我改一改啊。好什么，就这么一个玩意，代数率算得三分之四等于什么？二等于十三分之二，搞定， 学会呢，好了，整理一下啊，看这第二个啊，第二个题啊，还有这还是全国假卷的，呃，四棱锥 p 杠， a， b， c， d， 呃，趁这个话头啊，跟大家稍微说一说啊，我们这个立体几何，你甭管平常做的多么费劲，多么难，高考， 反正 b 题几何高考题没出现一次难题。哦，也不能这么说，都见过两三次啊，很难的题目出现过两三次，其他的题目都是很平常的题目，就和解三角形一样，它是一个常规题， 都是怎么做呢？很容易得分，第一问肯定正平行或者垂直，第二问干什么呢？去求角度三大角问题。但是一面直线所成角一般不求，一般是斜面角或者是二面角，考二面角角的角的可能性更大，或者是已知二面角是多少度。去求斜面角的这种题目，或者是出现动点的这种题目， 他可能考察的是这个样式，那但是这种题呢，你现在用几何法可能做起来费劲，但是我们慢慢的，如果有学到空间向量的朋友们呢，就会觉着，哎呀，不就是代数运算吗？ 所以说我们假期里讲的这个空间向量就是非常好的一个工具了。那高考的第二问，第三问可能都是间隙去做， 所以说大家现在几何法先好好学一学，我们把这种通法给学到，那么有一些比较复杂的题目，比如说重点问题，轨迹问题，我们就可以用空间向量去做了，所以大家不要害怕。好吧，不要害怕，我们高考肯定考的是常规题 你，当然你现在学的是立体几何，他当然会有很难的题目给我们做了，肯定会有很难的题目。 那这些东西我实在学不会怎么办？先放弃也不丢人嘛，那我们到后来学了更好的方法，再去回过头来再解决这个题，是不也行啊？反正能解决掉就可以，不要在乎是哪一个阶段我能学会。好吧，眼光放长远一点， 那我们就开始喽。这个第二问啊，全国假卷这个第二问啊，呃，四棱锥 p 杠 a b c d， p d 是 垂直于这个底面 a b c d 的， 然后有了一个什么玩意呢？ c d 是 平行于 ab， ab 等于 dc 等于 cd 等于一。哎呦，这是个啥玩意？朋友们，这是个什么东西啊？ ad 等于 cd 等于 cd， 然后它和 bc 是 这么一个关系。那我请问你们看我画波浪线的这个东西讲到的是什么？ 朋友们想到的是什么东西？等腰梯形，而且它们的上底线和腰之间的关系，满足一比一比二，那么它就是一个什么东西呢？百分之百会出现垂直关系， 这个东西百分之百会出现垂直，这就是我们的垂直模型里面有的东西，对不对？垂直模型有的，如果你看见这个已知条件，马上想不到这个事，那你做做起题来就费劲了。 那这一个东西呢？垂直模型可能有有新同学没没上过我的课，或者是说有些他没领过这个资料的，你可以看一看这一个，这个等腰梯形，它满足一个什么关系呢？你看 它们之间的关系，等腰梯形的话，它满足一比一比一比二，那我就一定会得到这一个玩意儿。 b d 是 垂直于 c b 的 是不是？为什么？自己去挣，能不能挣出来， 对吧？自己去挣一挣啊。好，如果你得不到这个东西，说明你这些常见的一些模型你心里做不到，心中有数，那咋办？你做题还能很快吗？隐藏条件你都找不到，你还做个屁，对不对？所以你就要干什么？停下来，反过头来去干，干这些线线垂直的常 见的，那么其他的都是用什么干呢？其他的在这里面没有的就是相似，他有些题目可以用相似去做。 好，你再回过来了啊。所以说大家看见这种条件一定马上想是什么样的结论啊？马上想结论，好吧，马上要想结论呐，来吧，再继续看啊，它让我们去求什么呢？这个 d p 和这个 p a b 所形成这个角的正弦值，来吧， 焊几个标志，一个标志是正弦是不？有可能是等体积。再有就是这一个 p a b 这个面有任何一个面和它垂直吗？有没有有线或者是面能与它垂直 的是不？不行啊，对不对？找不到已知条件当中有这种隐藏条件，找不到，那怎么办？ 等体积喽，对不对？等体积了啊？等体积，那我们第一步怎么搞？是不？找到谁焦点？什么焦点？就是 p 点， p 点就是斜足了呗。 好，第二步干啥？是不过地点做这个面的垂线，我当然就是设了，是吧？设这个 d 到 p a b 这个面啊，我没写面面 p a b 的 距离 是什么玩意儿？为 h 是 吧？下面儿第三步就是干什么了？等体积就上呗，那我肯定会得到。那从第二步就会得到 g 到这个面儿距离当然是哪一个面积啦， 哪一个的体积啦？ d 杠 p a b， 是 吧？然后等体积法就上，干啥玩意是不？我给它换呀，我看底面用谁比较合适？这不就很简单吗？观察一下就发现了， p 点是零点，底面是谁？ a b d？ 喏，完事了，朋友们，搞定了，是不是很简单？ 来吧，第三个题，第三个题目，看一看，他说这一个四棱锥 p 杠 a d c d a d c d 这个矩形呢？ p a 是 垂直于这个底面的。来又有啥了？ 看这两个条件，你得到的隐藏条件是什么？这一个某一条线垂直于了底面，我们之前在前面的时候说过，是吧？定义法的时候说过，一个线和一个面垂直，我这个面是个直角三角形，那我会得到的面，所有的面都是什么？都是直角三角形，那么对于这个来说，它底面是个矩形。哦， 那我得到的结论还能出现很多不一样，呵呵呵，是不？不会啊，它是不？我四个侧面全都是直角三角形对不对？四个侧面是不全都是直角三角形？ 好，这个条件就是什么呢？我通过那个定义法，那个第三题是吧？隐身出来的是不？它的这个四棱锥，它的四个侧面 均为二 t 三角形，那当然了，它也有很多线面垂直喽，对不对？ 然后 e 点是中点，他叭叭的说了这么多东西啊， e 点是中点，然后已知这个 ab 等于二，写上 ab 等于二， a d 等于二，根二 pa 也等于二。让我们去求这个线 a， e 和这个面 p c、 d 所成角的大小。我们看 p、 c、 d 有 哪一条线和 p c、 d 是 垂直的吗？没有吧，或者是面是不是也没有？有没有？有面有没有面？好像是有的哈，面是有的 哦，这个题还可以用别的方法去做，但是我们这题我们用等体积吧，好不好？我假设我没，没瞅见，我没发现，好吧，我是眼有点瘸，我，我有点没发现，那我就用等体积去做啊。那现在第一步干啥玩意儿？是不找焦点？焦点是谁？ a e 和这个 p c、 d 当然是一点喽，一点是不就斜足 下一步干啥？说过点 a， 设这个 a 到这一个 p c、 d 的 距离 v h， 对 吧？然后第三步，然后就是第三步喽，第三步干啥玩意儿啊？ 我现在，哎呀我天呐，我去找这一个面儿，那我跟这个是不？我要看这个第二步啊，你不用去干啥？不要去，你非得跟跟 e 扯上关系，不要这么头铁好不好， 不要非得这么刚啊，对吧？所以我们找的是谁啊？是不是这一个 a 杠 p c、 d 是 不是他一定要出现，那么要给他转换？那 a 杠 p、 c、 d， 那 你转换的话，你该不该连接 ac 啊？对不对？好，连接 ac， 那 就会出现啥玩意呢？朋友们， 好，就会出现了啊？屁，是顶点，那么底边就是 a、 c、 d， 简单了不就搞定了？有没有疑问说你这个对 e 都没有关系了，咋为啥跟 e 点都没有关系呢？你要看嘛，你这个 e 在 哪个面上啊？这不 p、 c、 d 面上你 a 到 p、 c、 d 的 距离， 你或者是说你 a 到 p、 c、 d 的 距离和 a 到 t、 e、 d 的 距离不是一回事吗？啊？过一个点到某一个面的距离还会出现两个？不可能吧？所以你干嘛要难为自己呢？你为什么要非得用上 e 点呢？对不对？我不用啊，那我就不能求了，也能搞定对不对？ 好，也能搞定啊，当然了，你最后要去求它正弦值的时候，你是不是又用到要去求 a 一 啊？是不是？你这时候再用一点就行了对不对？好，学会等体接吗？学没学会，朋友们，学会了我们再继续进行下一种方法了啊。 后面的题目我们就不做了，这些题目我留给大家自己做做研究一下吧，好不好？有题可做。老师，你这个方法到底同不通用呢？你是不是研究一下啊？ 说你老师你讲这标东西你都不好不通用，你给我讲它干啥？他不会的啊，我一定会让它通用的，所以大家试一试好吗？然后下一个就是垂面法了，朋友们，垂面法。但是垂面法是什么意思呢？ 这个垂面法我们之前我刚才说了，就是之前说过这个垂面法是个啥玩意？是不是对这一个等体积法的一个补充？我们为什么忘了等体积法？是不是尽是因为这个垂足我不知道在什么位置？那如果我知道垂足在什么位置了，一幕是不是又变得简单起来？ ok， 好， 那我们就看一看怎么去找垂足在什么位置。这就是所谓的垂面法了啊。找垂足在什么位置？来读读这个题啊，读一读这个题，当然了啊， 能以垂面法的全部可以用等体积，明白不？也就说垂面法要死活学不会，那你不用会，我用等体积能做好不好？它不是说多么漂亮的方法。对对，你就这个方法多牛，它不是， 那你学不会无所谓。好吧，等体积能学会就行，但是我建议大家尽量能学会这个垂面法，因为等体积运算量可能是有点大，对吧？ 所以呢，我们才衍生出了锤面法，就是有一些学霸，他说成了一个事，你这个方法太笨了，我有一个更好的方法，所以就出现了锤面法，这就是什么？原来没有路是吧？走着走着是不就有了？这就是后人走出来的路。锤面法， 你有没有发现有很多的方法，你在学校里没有学，没有听，其实并不一定是你老师不会，而是他觉着不用讲也行，他觉着不用所有人都会。 我，我觉着我不用把话说的特别明白，大家也能知道是这种什么状态，对吧？好，咱详细的把这个题做一做，那这个第一题我们也是当做例题去讲了好不好？ 四棱锥 p 杠 a b c d， 这个 p d 是 垂直于底面的， c d 和 a b 平行，然后又有这么一个东西呢？ 等腰梯形是吧？满足这么一个比例关系，而它和前面这题是不一样的，对不对？是一样的。好，那这个题用回面法该怎么做呢？ p d 我 们就不用等体积了，我直接用回面法是什么意思呢？我们垂足法是什么意思呢？我做出一面和 p a、 d 垂直。 好，我们就是过 p d 的 面儿，我们要做啊，肯定没有，是我们要做一个过 p d 的 面儿， 它同时垂直于 p a、 b， 我 要实现这么一步操作，就叫做垂面儿了，也就是说我要做所求至这个面儿的垂面儿， 能懂不？那我怎么去做这个水面呢？我当然得利用已知条件这个线面垂直了，对不对？我要借助线面垂直啊，也就是已知条件，他一定得给我线面垂直，他不给我线面垂直，我做不了啊， 能懂不？好？也就是说我以前我们研究的是面，现在我们研究的是线，这条线， b d 这条线啊， p d 这条线是垂直于哪个面了？是不是？它肯定得垂直于某一面？那我再去做线面垂直， 那么我去通过这个线上垂直，我去做这一个面面垂直，得到一个垂面。好，具体操作过程啊，我们现在过地点做 a、 b 的 垂线， 我来了哦，过地点做 a、 b 的 垂线，让它是点 h 好 不好？这一个就是垂直的啊，好，具体写一写过程，要不然大家到后来忘了怎么办呢？是吧？因为这一个方法在学校里可能很多的地方都不讲的， 我们做了这个 d h 垂直 ab， 我 就其他的字我就不写了，巴巴的叫 ab 与点 h， 这种话就不写了。好吧，那第一步操作为什么要这样操作呢？因为这个 p、 d 是 不垂直于这个面儿 a、 b、 c、 d 的。 大家这个过程写一写啊，因为你在网上找这个方法，你就用作业帮用所有的搜题软件，你搜出来的都不可能是这种方法，明白不？所以说大家这个题要上点心啊，你用搜题软件搜不到啊，其他的我们强调的可能能搜到 啊，可能因为它大部分可能也是用的间隙的方法去做的，所以说你一搜搜出来的是间隙是非常有可能的。那我给你们的方法步骤就很重要，对吧？ 你在网上搜不到啊，我这个 p、 d 垂直这个面 a、 b、 c、 d， 那 我能得到什么呢？这个 a、 b 是 不是属属于这一个 a、 b、 c、 d 这个面啊，对不对？所以我们能从通过它得到什么？是不是得到这个 dp？ 哎呦，写 dp， dp 垂直于 a、 b 啊， 对不对？所以说你看看嘛，我们做了一个线线推直啊，我们又得到了一个线线推直是不？从线面得线线，那我两个线线，我能通过这两个东西得到啥玩意呢？我能不能得到这一个 ab 是垂直于这个面谁的？我把这个 ph 给连起来啊？朋友们，连起来，那我们就会得到这个 a、 b 呢？是不是垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？是不是？朋友们，是吧？ 那我们还会发现一个事情，还会发现一个事情，是什么呢？这个 a、 b 呢？是属于这个面贴 a、 b 的，是吧？我们现在这么些垂直。哦呦，是不有这么多垂直？现在我能不能得到通过这个线面垂直我再得到， 得到啥呢？能不能得到这个面 p、 a、 b 是 垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？什么通过线面垂直直接得面面垂直？因为面什么？ a、 b 这个 p a、 b， 过这个面，过这条线，过 a、 b 这条线，对不对？ 是不是这样？那我得到我想要的垂面了，得没得到。所以说大家看，我们一定要有的条件是哪一个？做这种垂面法一定一定要有的条件是哪一个？是这个绿色的，这个绿色的条件 g、 d 垂直于这个面 a、 b、 c。 是不是？我通过线面垂直是不可以得到线线垂直两个线线是不得线面得线面是不通过线面得面面。搞定了，我想要的东西就有了。那你说我费劲巴拉的搞出这么一个东西是为了啥呀？我为啥就一定要做一个面面垂直呢？就是因为下边这句话啊。 下面这句话注意，那我用一个黑色，黑色的字体去写吧。哈，那就是什么？我，我现在写这个斜足，是不是点 p？ 我 该干什么？过这个地点，是不是做垂线，做这一个 p a、 b 的 垂线？所以说我过这一个地点做这一个面儿 p a、 b 的 垂线。 维族在这一个面儿 p a、 b， 我 就写的详细一点儿了啊。面儿 p a、 p a、 b 与这一个面儿 p d、 h 的 交线上，对不对？这是一个什么？是不是基本值对不对？你看我过地点做 p a、 b 的 垂线，过地点做 p a、 b 的 垂线，这个垂足 回路是不是既在 p a、 b 这个面上，也在 p d、 h 这个面上，对不对？是不是一定得是这样？那么它既然一定是这样的话，那它是不是在这两个面的交线上呢？朋友们， 是不是？所以说你就要记住了，如我为什么要做这个线面垂呃，面面垂直，是不是？我再去做垂线的话，我就知道垂足在什么地方了，对不对？垂足在什么地方？那我们这个垂足我让它是谁呢？是点 j 好 不好？ 我这 g 没有用啊，我这举重没有用，我就给大家演示一下。好吧，那我们既然知道它在 p h 上，我随便点一个点就是 h， 你 说我这 h 点它在哪？影响我线面角是谁吗？影不影响我线面角是谁？ 是不是影不影响我这个 g 点？你在 p h 上的哪个位置影响我的线面角是谁吗？是不永远不影响，因为我的线面角就是谁啊？ 就是这个 d p g 是 吧？ d p g 也就是谁呀？ d p h 是 不是就是角？ d p h 它和这个垂足有关系吗？是，我们就找到这条交线就行了呀， 是不是我做界面垂直，面面垂直想要找的是谁交线？那我这一个夹角就是谁呢？这个交线与斜线的夹角 对不对？交线与斜线也不能说是假角交啊，就是假角。交线与斜线的假角是不是交线与这个斜线的假角是不就是这一个线面角了？好，就是谁呢？交线与斜线 线面角 好，这种做法就一定会比什么快，就一定会比等面积等等体积法要快，对不对？就一定要快。为啥呢？你现在是不是直接求什么这个角的正弦值？那我写 步骤补充完整了啊？步骤补充完整了，那我先要看看我求的是谁？是我用正弦，对吧？他要求正弦值嘛？求求正弦值，正弦 c 角 dph 就 应该等于谁？就等于 p， 不 对不对。什么 d h， d h 比上 ph 是 不是？那我是不是只要把 d h 给求出来， ph 给求出来就行了， 对不对？那我看已知条件吧，从已知条件当中找 d p 是 不是等于根三？我知道了，那么 d h 呢？ d h 又是多少？朋友们具体看看应该等于多少？ 我很快就可以求出来。 d p 等于根三，这个 d h 我 简单算一下啊，它是二分之根三，那这个 p h 我 们用勾股定律就会得到，它应该是二分之多少？二分之九，然后应该是二分之根号十五啊， 得到了这些东西呢，要往里代数就行了，你看是不会比等体积要算的快一点。二分之根三比上二分之根号十五，那它就应该等于多少了呢？五分之根号五是吧。 你就用这种做法，比间隙做的也要快的，比间隙法做的也要快，懂了没？垂面法有没有看懂？有没有看懂啊朋友们， 看懂了不好，那我们再做一个吧。垂面法再做一个好不好？来，我们把。要截图吗？截图就往上截啊。 那我们看下边这个东西，下边这个东西呢？挺好的。这个题我为什么非常想讲一讲呢？因为我们在做立体几何的题目当中，是吧会遇到这种折叠问题啊，一个平面图形哎，我经过折叠 会得到哦，就做他不太好啊。这二面角咱还没讲哈。二面角还没讲，那这个题咱先保留着吧，好不好？先保留着啊，先保留着，等我们 呃，学完二面角大家再回来过头来用这个纯面法再做做好不好？但是这种题非常好啊，这种题真的非常好，折叠问题非常好，因为折叠问题我们一定要找不变量，对吧？一定要找不变量，在折叠的过程当中它永恒不变， 对不对？或者是说我们折完了之后还用折到哪个点？在折叠过程当中变成了哪个点呢？对不对？哪个点进行变化了？要知道，那这一个平面图形当中的平行关系， 呃，不能这么说，垂直关系会不会发生改变？它某两条线的垂直关系会不会发生改变呢？ 是吧？不会啊，不会发生改变啊。好，后边的题目咱就不做了，吹面法就讲这么一个就行了。讲的太完了， 大家把这个吹面法的过程步骤给整理了吗？整理了啊，如果，如果实在没有听明白吹面法是怎么个东西，那你就用等体积法去做就行了好不好？别难为自己啊，没有必要是不是， 它又不是多么优秀的个方法。三与弦，三与弦，这个方法我建议大家听一听行吗？我建议大家一定要听一听啊， 三与弦，三与弦定律呢？为方便我们去做题，它会提供很多帮助的啊。这个三与弦定律指的是一个什么事呢？我现在是吧，做了一个线面垂直得到了一个摄影，然后呢？我这个摄影所在这个面阿尔法还有这么一条线， 他过了这个斜足是吧？过了这个斜足和射影形成一个假角，那我们就会得到三种角了。第一种角是什么呢？线面角 o、 a、 b 这个线面角。那第二种角是谁呢？第二种角是这一个射影与射影所在平面 当中的某一条线形成的夹角，最后一个角是这条斜线与阿尔法平面当中这个线所形成的夹角，那么他们三个存在这么一个关系，我刚才叭叭这么说你有没有人敢说？哎呀，老师，这个东西真难记啊，我天呐，哪个角是哪个角，好乱呀， 那我给大家来一个节奏好不好？那我们以线定角，然后用这一个结构呢？去记公式，那我这个结构是什么呢？第一条线先写线啊，三条线定三个角，三条线分别是斜线， 就是说平面的这条斜线，这条斜线是不是对于这个图来说就是 o a 啊？对于这个图来说就是 o a， 那 这条斜线，然后嘞？第二条就是射影， 我写上啊， o a， 那 射影是不是就是 a b 啊？第三条线就是和射影在同一个平面并且过斜线的这条线 就是这条线，就是奇奇怪怪的一条线，我也不知道给他起个什么名。好吧，你自己用语言描述一下吧。啊？就是什么呢？和这个摄影所在的平面是同一个面，是不？然后呢？ 当然了，就是在哪个平面内，是不在阿尔法这个平面内啊，并且他过斜线。呃，过斜竹，过斜竹啊，过斜竹是不是与摄影形成夹角的这个这条线 啊？这条线对我们来说就是 a c， 对 吧？三条线写出来了，那么我们就可以斜角了啊，给大家画这两个之间的夹角就是 theta 一， 这个两个之间的夹角就是 theta 二，这两个之间的夹角就是 theta。 看像不像一个笑脸啊？它笑了吗？有没有笑？ 不光笑了，还吐舌头了呢，对吧？有画画天赋，还行，哈哈，能弄不用三条线定三个角，斜线是这样，然后阿尔法平面内的另外一条线， 那要过斜线，要过这个斜足啊，过斜足。那这 c 叉一就是什么？记住了，我这个 c 叉一呢？就是斜面角啊。 c 叉一就是斜面角，记住这个东西就行了。 陷面角，当然你不记也无所谓，这个斜线与射影的夹角你能不知道是陷面角吗？是吧？是我有问题还是你有问题？ 你肯定会知道的，对吧？所以肯定是我有问题了。那我们肯定是什么呢？这个最跨度最长的这一个 cosine theta 等于什么呢？等于这两个小人相乘， cosine theta 一， 乘上 cosine theta 二。看出这个结构了吗？通过这一个图，是不是这个结构我就出现了。看懂了，不？ 看懂了，那我们做这个第一个题啊。第一个题，我不让你用别的方法，就用三鱼弦啊，他用别的方法也能做，不是不能做，而且也挺快的，但是我就我就挺坏的，我非得让你用三鱼弦，我们尝试一下好不好？那么遇见题目不要慌什么，先写三条线，第一条线是什么？斜线着斜线说 ab， a， b， 然后找射影是吧？现在是一个这样四面体，他是不是已经帮我们把回族嘿，是不是已经帮我们把这个线面垂直给搞定了，对吧？线面垂直已经给搞定了，是吧？ ah， 垂直好，也就是说什么呢？我们知道了第二条线射影是什么？是不是 b h， b h， 然后第三条线就是和 b h 过斜轴，有，有这种角的这种， 那么我们用谁用谁都行啊。用 b c， b d 是 不都行啊？我用 b c 吧，好不好？随便啊，是随便，你用 b、 c 和 b、 d 都行，只要他给我协助和这个摄影是在同一条线上，满足这点条件就行，不用纠结是谁，懂不？不用纠结是谁，好，现在画笑脸了。 他两个之间是我要求的 c 塔一，他两个之间是 c 塔二，他两个之间是不 c 塔。然后我们去标这些角度好不好？ 但他既然想让我们去求线面角，我肯定肯定得不到 c 叉一了，对吧？然后我们看 c 叉二是多少？ c 叉二是 b、 h 与 bc 的 夹角。来吧，它是一个正四面体。 朋友们，什么叫做正四面体？什么所有长均相等的三棱锥，所有长均相等的三棱锥，对不对？就是正四面体，所以底面这个 b、 c、 d 是 不是等边三角形啊？那这个 b、 h 通过这个三线合一，咱可以得到。那这个角 c、 b、 d 是 多少度啊？ 说三十度啊，搞定一个。说他三十度，那我再看 c， 他 再看 c， 他 就是谁呢？ a、 b 与 b、 c 的 夹角对不对？ a、 b 与 b、 c 的 夹角，你说这个角是多少？那么 a、 b、 c 当然也是同边三角形了， 那你说 c， 它是多少？六十啊，对吧？那现在用公式，口塞音六十度等于口塞音 c 塔一，是不？这是我们要求的，再乘上口塞音三十度，你说口塞音 c 塔一能不能求？然后反过来求塞音 c 塔一，能不能得了？简不简单？ 当然了，你用定义法是不是也很简单呀，对吧？也很简单，没毛病吧，是不是？用啊，用这一个用定义法是不是也很简单？但是我，我不说了吗？我比较坏，我非得让你们用三鱼弦吗？那三鱼弦学会了没有？ 明白了吗？然后我们做一个浙江卷，好吧，浙江卷比较难啊，比较难。那我们看一看，也是看第二本啊， 这么一个三棱台，我要把它擦掉了啊，要截图的，赶快截好不好？要截图赶快截啊，我要干第二。问了第二题了啊，这个第二题我想给大家补充结论，所以必须你看大家，我必须要把它擦掉，因为地方不够，我要给大家记结论了啊 啊，朋友们，搞定了吗？好，擦掉啦，我们看第二个。呃，第二个题目在这个三棱台 a、 b、 c 杠 d， e、 f 当中，这个平面儿呢？呃， a， c， f d， a， c， f， d 是 垂直于底面 a、 b、 c 的， 然后告诉我，四十五度，四十五度谁呢？ a、 c、 d 标一标吧。 a， c、 d 是 这个角，四十五度，还有哪个角呢？ a， c、 d 这个角， 这个角也是四十五度。好，这两角看到了吗？我用点啦，我点点是不？这两个点点就是都是四十五度的啊。 d， c 等于二倍的 bc， d， c 等于二倍的 bc 啊， bc 呀，等于二倍的 bc。 注意看这个结论，这个条件有什么用啊？ bc， 划错，天呐，我这个眼珠子不好用呢，为什么呢？ d、 c 等于二倍的 bc 有 什么用？咱借助它第一问吧，好不好？咱第一问，它不正了啊，借助它的第一问 d， 呃，这个 e、 f 垂直于 d， b 垂直于 d， b， 那 么，那么 e、 f， 因为它是一个三棱台，对吧？那这个 e、 f 是 不是平行于 bc 的？ 那我们能不能得到这一个 bc 是 垂直于 db 的？ 那我再结合这一个条件，我能不能得到这一个三角形是一个什么样的直角三角形？ dbc， 这里是不是垂直的？是不是？它是二，它是一，它是不是跟三？这只是关系啊，并不是说它具体的值啊，只是说它的关系是不是这样的。多少度？有没有谱？ 六十度，三十度，这不有这么一个结论好。然后这个题不知道大家看见了这两四十五度的想法是什么？ 我不知道大家的想法是什么？看见了这一个 a、 c、 b 和 a、 c、 d 都是四十五度，哎，从一个点分出来的三条线对吧？ c、 d， c， a、 c、 b 两两就是相邻两个的，呸，也不能这么说，就是 a、 c 和 c、 d 的 夹角四十五度， a、 c 和 b、 c 的 夹角也是四十五度。你通过这个蓝色的东西，你能想到的结论是什么？你在心里有没有一个什么样的结论？如果没有，回去弄你的数学老师啊， 他不给你们记是不行的啊。我们有这么一个结论啊，点在平面内摄影的常见结论是什么？ 第一个自己看一看啊，我们用到的是第二个，第一个自己看不是说他没有用啊，你需要看好。那我们用到的结论是什么呢？经过一个角的顶点，引这个角在平面的斜线，如果这个斜线与这个角的两边 假角都相等，那么该斜线在平面内的射影是这一个角角平分线所在直线。你看看我们这个题满不满足这一条线 斜线与这个角两边的夹角相等，有没有？ a、 c 和这个 d c 四十五度， a， c 和 b c 四十五度。那我 a、 c 上有一点，我在 b、 c、 d 上的投影应不应该在这个角 b、 c、 d 的 角平分线上？应不应该， 是不是就应该了？那这一条好不好用？你在学校里老师给记了吗？ 那这会我为什么一定要问？你看见这种这两个等角，那 a、 c、 b， a、 c、 d？ 那 a、 c 什么？ a、 c 什么， 是吧？一定问你这个东西的原因，你如果知道这条，那这个题有很多缝线，如果你不知道，你老老实实地用定义法去用，用，用间隙法去做吧。间隙没有，我这个方法要简单啊， 啊，几何一般，比极限还要简单，一般只是说一般啊，那我们现在它不就是 d、 f 和这一个 d、 b、 c 所成的角吗？ d、 f 我 平不平行于 a、 c 啊？那我们看啊，这个 d、 f 这个标东西是不是平行于这个 a、 c 的？ 我强调这事干啥？我想做辅助线啦，朋友们，我现在咔过这个 d 点做，这个 d、 o 垂直于 a、 c 是 吧？它垂直于 a、 c， 哇，我现在做了这么一条线，那你说我这个 d、 f 与这一个面所形成的角等，不等于这个 c、 o 与这一个面形成的角呢？也就是说啊，我们实现了一步转化啊，是什么样的转化？这个 d、 f 与平面 d、 b、 c 所成角，就等于这个 c、 o 与这一个平面 d、 b、 c 缩成角，是吧？因为它平行。那么现在我们可不可以用这个第二条这个结论呢？那我这个 o 点，我 o 点在这个 d、 b、 c 这个面儿上的 垂线，呸，它的射影是谁呢？是谁在什么位置？ 是不？我们就一定会有这么一个东西出现啊，我们就一定会得到这一个点 o 在 面 d、 b、 c 在 这个面 d、 b、 c 的 摄影，呃，这个摄影，我们说是点 g 吧，好不好？摄影 g 就 一定在这一个角 d、 c、 b 的 角平分线上 就得到它了，明白不？就一定在这个角平分线上？ 好了，那在角平分线上咱把它画出来呗，是吧？搞出来，把角平线给做出来，那这个 g 点就一定在哪啊？ 随便给它来一个位置吧。好吧，我们就假设在这吧。现在，那我们能不能得到这个 o、 g 就是 垂直于这个面儿啊，是不是？我们是不是就可以得到了？噢， o g 呀，你这个标东西就是垂直于这个面儿 b、 c、 d 的， 对不对？好，我写成这个破玩意来，是为了干啥？是为了干啥呢？朋友们，三鱼弦再用一用呗，好不好？三鱼弦用一用啊，来 用线得角，第一条线是什么？斜线？斜线是谁？ c、 o？ 第二条线是谁？摄影啊，摄影是谁？斜足垂足是 j， 斜足是 c， 所以 说它是 c、 g。 第三条线是和过这一个过，这在这个 b、 c、 d 当中找一条线是，不过这个斜足啊，那当然可以是 b， c 是 不也可以是 d、 c 啊？那我们要它是谁，你爱是谁是谁，我就 d c 吧，好不好？ d、 c。 现在来找角，找角第一个是不？这就是线面角，我要求的我动不了，然后这个 c 它是不也能找？来吧，挨着找 c， 它二、 c、 t、 c、 g 和 dc 的 夹角 c、 g 和 dc 的 夹角。来吧，这个 dc， 这个 c、 g 是 什么？是不是减分线？这个角 d、 c、 b 是 多少度？注意看这里 d、 c、 b 多少度？六十度，它的减分线说明它是多少度？三十度， 对吧？好，然后再看 c、 t、 a， 也就是 co 和这个 dc 的 夹角 c、 o 和 dc 的 夹角，是不是？ c 和 dc 的 夹角多少度？四十五度， 能不能做了？简单不？你这个题，你说你用别的方法，你用什么方法能比这个快？我真不信。不服啊。 我是不服的。那我直接代数了。口塞音四十五度等于这个口塞音 c 塔一，乘上口塞音三十度，能不能得口塞音 c 塔一了？能不能得？能得口塞音 c 塔一？它现在要求正弦值塞音 c 塔一搞定了没？ 完事了朋友们，简单不？当然你会说，老师，我用等体积，我能不能做？我能做。我知道你能做不快呀，是吧。
584JQK数学做题家
14:10查看AI文稿AI文稿立体几何的线面关系证明已经不能叫做高频考点了，它是纯粹的必考内容，年年高考，张张试卷，几乎无一幸免。但是大家在第一次学习的时候，可能连线面垂直是个啥意思都不一定知道， 所以今天咱们从纯零基础视角一起来拆解线面关系到底是个啥？ 首先呀，是线面垂直，说直线垂直平面啥意思？大家在生活中有没有见过相关的例子呀？哦，电线杆笔直的插入平坦地面， 咱们引入实物来进行观察，当我们把视角放平、放平再放平的时候，最终平面又被压缩成了一条地平线， 而 l 一 正好垂直于它，这个就是线面垂直的本质。好的了解了基本定义，这时候如果在平面内随便放两条直线，你认为红黄两线之间会是什么关系呢？ 就比如这个 l 一 和 l 二，既然 l 二在平面内，那么当平面也被压缩成地平线的时候， l 二就和地平线重合，红线垂直平面， 红线就垂直平面内的线，而且并非个例。像这样一个更没有特点的 l 三，它也和 l 一 垂直吗？ 还是一样的步骤，在我们的视角给平面不断压缩，直到成为一条地平线，红线垂直平面就垂直平面里边的线。 任何平面中的线压缩后都一定和这个压缩线重合，被红线 l 一 垂直贯穿。 那么简单总结就是，只要红线垂直黄色平面，红线就垂直平面内的任何一条线。当然一定要交代黄线包含于黄色平面，这是已知线面垂直可以推的玩意，记作定里一 接着，如果这个定律反过来说，红线同时垂直于两条黄线 l 二和 l 三，并且两条黄线同属于黄色平面，您认为是否一定能够推出红线垂直黄色平面呢？ 还是老规矩，咱们引入实物平面，先看这种红线只垂直于一条平面内黄线的情况。那么不妨认真思考一下红线和平面之间的角度，它定死了吗？ 显然，在 l 一 和 l 二垂直的情况下，平面完全可以以 l 二为转轴 随意转动，并且这对 l 一 和 l 二的相互垂直不造成任何影响。换个视角看也是同样的道理，平面绕轴转动不影响黄色轴线和红线的相互垂直， 所以这个平面他不是固定的，和 l 一 不必然形成九十度的垂直角度。但是呀，如果我再引入一条 l 三也在平面阿尔法内和红线垂直了，咱们仔细观察一下， l 二和 l 三卡在一块，同时包含他俩的平面，是不是有且仅有这唯一的一个呀？他这下就真的转动不了了， l 一 必然像电线杆一样，从完全竖直的方向狠狠插入这个唯一的平面 l 一 垂直平面阿尔法。 呃，但是，如果 l 二和 l 三不相交，两个是平行关系呢？上边还一定能够推出下边吗？思考一下。 首先，平移是完全不改变几何关系的，而当我们将 l 二和 l 三平移到重合位置时，同时垂直 l 二、 l 三 仅仅相当于垂直平面里边的一条直线，而红线只垂直于平面里边的一条直线，根本推不出红线垂直平面。这是咱们前边最开始就推理过的，平行不行， l 二 l 三就得互不平行。但是试卷上更规范的表达是， l 二交 l 三等于 p， 有焦点就是不平行，直接给他替换掉。那么整个推导过程简单来说就是红线同时垂直于两条黄线，两条黄线互不平行，有焦点 属于同一平面，那么红线就一定垂直于这个平面。以后凡是碰到线面垂直，都需要这样的步骤才能把分数拿全。 就比如这样一道二三年的高考真题，要证明红线垂直黄色平面。根据刚刚的经验，只需要在黄色平面里边找出两条不平行的黄线，被红线垂直，黄色平面也就被红线垂直。 但是这两条黄线分别取谁？好嘞， p a a b 还是 p b？ 咱们先标数据 提杆，右手 pa 垂直，底面 abc 线垂直于平面，就垂直于平面内的所有线。比如面内的 b、 c 就 被 pa 垂直， ac 也被垂直， ab 还被垂直。 哎，这个 pa 和 bc 是 不是刚好就是咱们所需要的红色黄色垂直？对啊，哎，已经找到了一组垂直了。 接着咱们看棱锥的蓝色背面直角三角形底边长度根号二。 再看棱锥底面等腰直角三角形直角边 bc 垂直 b a 又得到了一个红黄垂直对。 接着就是标准的书写流程了，红色 bc 同时垂直于黄色的 pa 和 b a、 pa 互不平行，交于点 a， 而 pa、 ba 又都包含于平面 pa b， 所以 红线 bc 就 垂直于平面 pa b。 再看这样一道二三年的全国二卷实体，要证明红线 bc 垂直于黄线 da， 这线线垂直不应该初中就会了吗？ 但是呀，这俩是异面直线。咱们研究一下红色 l 一， 黄色 l 二，要证明红线垂直黄线，咱们是不是可以引入一个平面阿尔法， 黄线 l 二包含其中？只要我能证明红线垂直面内的黄线呀， 简单过一遍，要证明线线垂直，就得给黄线找个面，红线垂直，这个面红线就垂直黄线。 以上是意面直线的垂直证明方法，大家可以借助这道全国二卷的证明题来应用练习。 再比如，大家碰到这种更坏事了，要证明平面和平面面面垂直，好像又是一个新的知识点，红色平面阿尔法，黄色平面贝塔。如果说这两面相互垂直， 会是啥情况呀？咱们引入实物图一探究竟。凡是涉及平面的几何关系，方法非常明确，把平面都旋转到压缩成线的视角， 压缩线之间的关系就是平面之间的关系。好的，了解了面面垂直的本质之后，咱们得想个办法证明它。比如咱们引入一条 l 一 包含于平面阿尔法， 同时垂直平面贝特，就这两条，能推理出平面阿尔法垂直平面贝特吗？思考一下， 咱们还是引入实物图来加以研究。首先，红线 l 一 垂直这个平面 l 一， 就一定垂直这个平面的压缩线， 这是线面垂直的本质。现在说 l 一 包含于平面阿尔法，比如长这个样子。 这里请大家认真思考。当我以 l e 为转轴去转动这两个平面镶嵌而成的组合体时，不管这个平面阿尔法有多大，他也总有被压缩成线的那一天。 此时的红线 l 一 正好和平面阿尔法的压缩线重合，俩平面的压缩线相互垂直，就等效为面面垂直。 好的整体简单梳理一遍，只要红线 l 一 垂直，平面贝塔 l 一 就一定垂直。平面贝塔的压缩线 l 一 又是平面阿尔法里边的线， 整体以 l 一 为转轴，就百分之一万能够转到这个两个平面都被压缩成线的时刻，而平面阿尔法最终被压缩到和转轴共线，他的压缩线也和贝塔的压缩线相互垂直， 而压缩线相互垂直正是面面垂直的本质。大家同样可以借助一道经典例题来强化理解。 再接着进入第二部分，一条红线 l 一， 一个平面阿尔法。但这一次我说红线 l 一 平行于平面阿尔法，你能想到它的本质是啥不？ 咱们引入实物图，根据前面的经验，只要有平面，就得给他压缩成线，线平行于面，线就平行于面的压缩线，这是线面平行的本质。 那么在更多的考场环境下，如果需要证明线面平行，应该怎么做呀？ 比如在黄色平面内放置一条黄色直线 l 二，通过红线平行黄线来证明红线平行黄色平面，你认为这合理吗？ 当然一定要交代 l 二包含于平面阿尔法，思考一下好，还是引入实物图，凡是有平面，又要找几何关系，第一时间给它压缩成线。 红黄两线相互平行，而黄线又在平面阿尔法内，所以平面阿尔法被压缩成线之后，必然和 l 二位置重合，和 l 一 相互平行， 而线和面的压缩线平行，就是线面平行的本质。综合来讲，定律的大概流程就是，红线平行于黄线，而黄线又在这个面内，红线就一定平行于这个面， 这是线面平行的判，好像还有点瑕疵。这个 l 一 平行于 l 二，好像从来没说过 l 一 不能在 l 二这个平面内吧， 所以他当然是错的。一个平面内的线不可能平行于这个面本身，所以为了简单粗暴的切断这种可能性，我们直接在条件中加一句红线 l e 不 可以包含于平面阿尔法， 这样就百分百隔绝了。而线面平行这样一个判定定律，大家同样可以用一道高考真题来加以巩固。
9.1万加数
05:56查看AI文稿AI文稿欢迎来到空间向量与立体几何的世界，在这里，我们将用全新的视角理解三维空间。看一个正方体，从虚空中浮线金色棱边勾勒出完美的几何形体。 从顶点射出的彩色箭头就是空间向量，它们如同无形的利箭，穿透空间的每一个角落。 黄色的方向向亮指引着直线的走向，青色的法向亮垂直于平面，红色的位置向量标记着点的坐标。空间向亮就是打开立体几何大门的钥匙。 首先建立三维坐标系， x 轴红色、 y 轴绿色、 c 轴蓝色。三条轴线互相垂直。空间中任意一点都可以用三个坐标为一确定。比如点 p 的 坐标是二、三、四， 从 p 向三个坐标平面做垂线垂足，分别对应坐标的投影连接圆点 o 和点 p 的 黄色箭头就是位置向量 o。 p 向量加法遵循平行四边形法则，向量 a 加向量 b 就是 以 a 和 b 为邻边构造平行四边形。对角线就是 a 加 b。 给定空间中两点 a 和 b， 过这两点的直线可以用方向向量来描述。方向向量 v 等于向量 ab， 它指明了直线的方向。 直线上的任意一点 p 都可以表示为 p， 等于 a 加 t 乘以 v， 其中 t 是 参数。当 t 从零变化到一时，点 p 从 a 运动到 b。 值得注意的是，方向向量并不唯一任何非零的标量倍数，比如二 v 也是这条直线的方向向量。 两条直线所成的角可以通过他们的方向向量来计算。设两方向向量分别为 v 一 和 v 二，则加角的余弦等于 v 一 点乘 v 二的绝对值除以两项梁模的乘积， 代入 v 一 等于一，二二， v 二等于一，一零。计算的余弦值等于一。除以三倍根号二。 对于意面直线，它们不共面，此时我们可以通过平移其中一条直线，使它们相交，然后求方向向量的夹角，这就是意面直线所成的角。 平面可以用三个不共线的点来确定过。这三点的平面具有一个特殊的向量法向量，它垂直于平面内的所有向量。法向量 n 与面内任意向量 a 和 b 的 点击都等于零。 例如，已知面内向量 a 等于一，零负一， b 等于二，一零。设法向量为 x， y， z， 通过解方程组 x 减 z 等于零，二 x 加 y 等于零，可以得到法向量 n 等于一，负二一 三。垂线定力是立体几何中的重要定力。如图所示，平面 alpha 上有一条直线 l， 平面外有一点 p， p， o 垂直于平面， alpha 垂足为 o， o， a 垂直于直线， l 垂足为 a 连接 pa， 那 么 pa 也垂直于 l。 这就是三垂线定里平面内的一条直线。如果和穿过这个平面的一条斜线在平面内的摄影垂直，那么他也和这条斜线垂直，立定里同样成立。如果平面内一条直线和斜线垂直，那么他也和斜线在平面内的摄影垂直。 直线与平面的夹角是直线与其在平面内摄影所成的锐角射直线方向向量为 v， 平面法向量为 n， 则夹角的正弦等于 v， 点乘 n 的 绝对值除以两项量膜的乘积， 例如，当 v 等于一，二二， n 等于一，零负一时， v 点乘 n 等于负一， v 的 模等于三， n 的 模等于根号二，所以正弦 f 等于一，除以三倍。根号二约等于十三点六度。 二面角是两个相交平面所成的角，在交线上取一点，分别在两个平面所成的角，就是二面角的平面角。 用向量法求解时，只需要计算两平面法向量的加角 f i， 二面角等于 f i 或派减 f i 取锐角或直角。 例如，在正方题中，对角面与底面所乘二面角，底面法向量为零零一，对角面法向量为一零一，计算的余弦 f i 等于一，除以根号二，所以二面角等于四十五度。 空间中常见的距离有三种，第一，两点距离，直接用距离公式计算。第二点到直线距离，利用向量差基地等于 a p 差乘 b 的 魔，除以 v 的 魔，其中 a 是 直线上任意一点， v 是 方向向量。 第三点到平面距离，利用向量点击 d 等于 a p 点乘 n 的 绝对值，除以 n 的 模，其中 n 是 平面法向量。例如点屁股二负三到平面 x 加 y 加 z 等于二的距离，计算得二，除以根号三。 至于线面距离和面面距离，都可以转化为点面距离来求解。让我们回顾本章的知识体系。 中心是空间向量分支，包括基础概念，空间、直线、平面的法向量、空间中的角以及空间中的距离。 核心公式有两直线夹角公式、直线与平面夹角公式、点到平面距离公式以及法向量的差级公式。空间向量为我们提供了统一的工具来解决立体几何问题，竖形结合是解析的关键。感谢观看！
45P_sir
13:09查看AI文稿AI文稿警告高中数学，球与多面体的洁面问题绝对是例题几何里最容易丢分的压轴小题。今天宋老师一条视频把球与多面体的洁面问题一次性讲透，听完这套方法，遇到洁面题直接稳稳拿分！ 数学想提分关注宋老师，高中数学难题我带你们全部攻破！言归正传，我们来看题目 前面的视频都在为新阶段的高一学生在服务，那么高三正在备考同学也对力敌几何部分有这么一丝的疑惑，其中比较经典的一个问题，或者说比较大众的一个问题，就是这个球与多面体的洁面问题。 当然洁面问题其实也是一个大类，它其实也有平面与多面体的洁面问题，但球与多面体的洁面会更挑战我们的这样的一个空间想象能力，所以对于大家来说难度也会更高一点。那么今天宋老师就带大家一起来理解一下球与多面体 会如何去产生洁面以及洁出来的东西，它那个胶线的长度，我们该怎么样去求解。 接着往下来看一看我们今天的正式内容。首先我希望各位能够去回忆一下的，应该是我们在初中就学过的一个定律，叫做垂进定律， 当时我们学习的是一个平面图形圆和一条直线相交，那么它很自然就会产生 ab 两个交点，而 ab 的 一个弦，那这个弦的长度怎么来求？我们当时的做法是把 o 点，也就是我们的圆心去连接到我们的其中一个端点，比如说 b 点， 再去过 o 点做垂直于我们的弦，希望我们这边比如说是 h 点，那实际上我现在阴影部分所描述出来的就是一个非常朴素的直角三角形，而这个直角三角形呢？三边分别是什么？分别应该是我们圆的半径，还有我们圆心到直线的距离，以及我们的弦长的 一半。哦，一定要注意，是一半，所以我现在写出来勾股定的式子是弦长的一半的这个平方啊，应该会等于斜边的平方，再减去我们的距离的平方，也就是我们的耳方，再减去我们的地方。 所以这样我只要知道了半径，再知道了我们的圆心到直线的距离，我就可以求出我们的弦的一半，那乘二就是我们的弦长。所以当时我们在平面图形里面去求解相交弦的弦长，就只需要这样来做就行。 而他到了三维的世界里面，圆变成了球，而我们的直线变成了平面，再去相交，产生的就不再是形，而是相交的一个平面，就是截面。 那一个西瓜拿刀怎么切？切出来，其实它的姐妹都是个圆，对不对？像圆锥，圆锥，我斜着切，横着切，或者说我竖着切，切出来可能是椭圆抛物线，或者说双曲线，可能不一定，但如果是一个完整完美的球体的话，你不管在什么位置，只要你切到了这个球，切出来一定是圆，那么这个圆， 它的半径就是它最重要的特征是多少呢？其实只需要在右侧的图中，我们稍微看一下，球出本来的球心到不再是线了，应该是到这个平面的距离，以及我们球的半径大耳。接下来上面的这个 o a 其实就应该是我们洁面的半径小耳， 而他们之间依然也会满足一个非常完美的勾股定律，就应该是我们的小耳的平方，就是洁面的这个圆的半径的平方，应该就会等于我们的大耳方，再减去小 d 的 平方。 所以说如果这个平面是我们在一个理想的平面，就是一个可以无限延展的平面，那么此时这个平面 与这个球产生的结面必然是一个完整的圆。注意是完整的圆，那这个完整的圆，只要我知道了这个半径，它的周长也好，它的面积也好，它的什么什么无所谓都好，我都能求得出来。 但很多高中的题目，尤其到了高考的时候，他会非常的恶心，他不再是一个平面和球的结，而是拿一个多面体。 什么叫多面体？多面体的每个面其实是很受限的，有没有看见？比如我现在提出了最朴素的两个，一个就是长方或者说正方， 另外一个就是这样的一个，其实是个墙角模型，就是三轮锥，一个简单三轮锥做了一个这样的动图给大家稍微来观看一下，我现在左边这个，左边这个最简单。我现在这个正方体有什么特色？它其实是一个六面体，讲白了，其实它有六个表或者六个这样的 平面，侧面都会和这个球有可能相交。那我现在画这个球呢，微微的小了一点，它只和左侧的阿尔法，后侧的贝塔以及下侧的伽玛是不是产生了 啊？交面，而这个时候阿尔法贝塔伽玛，我们必须要说它不是一个完整的平面，它应该是一个局部的平面，平面的一部分，所以它和这个球截出来的，比如说贝塔和这个球截出来的图形也不再是一个完整的 这样的一个圆了，对不对？你现在过的就是球心，我们假设到过球心只是举个例子，那这个 d 就是 零，那你截出来的截面的半径也就应该是本身这个球的半径就应该是大 r， 但是现在我发现它真正能在上面展示出来的只有九十度的一个圆形角，有四分之一的圆，所以你想让我求，比如说胶带的弧线的这个长度，那也是圆的整个周长的四分之一， 我没说错吧？所以这个环节相对而言就会多那么一步。我们并不是一个完整的平面和一个球的结面了，而是平面 的一个局部和球去产生结面，那会有什么影响？来我们看一下右边，右边这是一个墙角模型，它的平面也是比较局部的，每个平面其实都已经不再是完整平面，而是一个一个小三角形。 那教出来会怎么样？我们一起来动态的感受一下。各位观看一下这个视频，这是我拿鼠标稍微先拖动了一下，立体的感觉，让大家稍微建立一下，这个球的大小会变好。你看它变小的过程里面，它和 a 导 c， a 导 b， 还有我们的下方的 bc 导，其实都是有 交线的，对不对？而这个交线呢？因为我去把球形放的比较简单，就放在了我们这个正中间，就放在了我们这个顶点导上，所以你此时交出来的也就是应该是半径为这个球的半径的 球体，注意啊，就相当于此时这个半径，也就是我们此时这里应该就是什么，是不是就是球的半径？球的半径也就是这个黄色的点点到导点这个位置就应该是球的半径，就应该是不变的，没问题。紧接着如果它再去转动，再去变大，来注意看 它现在怎么样和前面的 a、 b、 c 那 个斜置的平面是不是也产生了相交的地方？一开始我太小了，还没有够到这个 a、 b、 c 是 这个平面， 现在我终于粘到了 a、 b、 c 这个平面了。那么现在怎么样？我就可以把我们的问题变得更加复杂了，让你去求它和 a、 b、 c 交出来的交线的长度，那这个问题就比较难了。首先我们要求出导点是不是到 a、 b、 c 这个平面的距离， 这是刚刚的 d 小 d， 上一页 ppt 里面是不是小 d 求半径我是知道的，那么整个结面就交出来这个平面的半径是可以用勾股定律把它求出来， 当我把勾股定律给它求出来之后，是不是这个完整的圆就是我们的交线的周长呢？或者这个完整圆都在呢？不是。你看此时此刻，其实我这个圆只有三段，就在上面黄色的点点在最前面的时候，黄色的点点是不是有三段在上面？来，我们再放大一点，你看 甚至都会没了，再变小，再变小，小小小小小，它就会浮现在这个位置的时候，差不多这个位置的时候，就是 a、 c、 a、 b 还有 bc 这三条棱上面那个边上的那个黄点点重合的时候，那个时候才是什么？ 才是刚刚刚刚好，是我们的什么？是不是一个完整的圆都在上方？刚刚好好都是一个完整的圆，是不是都在上方？那么这个时候的话呢？这个完整的圆才能够全部算。但如果说我这个球还比较大的时候，比如说像这样的一个状态的时候， 那其实在 a、 b、 c 上的交线其实也只有什么？是不是只有三段弧？乃至现在你比如说你把你的目光盯向 a、 d、 c 这个平面， a、 d、 c 这个平面和这个球体产生的交线，其实也只有两段 圆弧，也只有两个圆弧，并非是完整的一个扇形的弧长， ok 吗？所以它可能会有这样的一些考量，你就需要去考虑我这个圆，这个结的圆到底在这个局部的平面上究竟呈现了几成，或者呈现了几分之几，然后再去求它的面积，再去求它的什么周长，是这样一个做法。 那么相对的，这样向南的题目我们放在群里的配套练习之中，如果各位可以的话，到群里面找我来要电子版就可以了。好，那接下来的话，我们来看一道非常经典的高考题，这道题目是清高考一卷，还有一道高考真题， 它是这样说的，是直四棱柱，直四棱柱， a、 b， c 倒 a 一 b 一 c 倒，一能成均为二。开始画图，这个图其实并不难画，然后呢角 b、 a 倒呢？又是六十度，其实就是一个什么？ 是不就是一个菱形，这里是 b， 这里是 a， 然后这里是 c， 这里是倒嘛？然后直四人柱，所以这样坐下来，坐下来人长均为二。这画的也不要太夸张，应该各个面其实都是 正方形，除了上下底面是菱形以外，侧面呢均为正方形，这样的情况，他说以倒一点来，倒一点，在这个位置以倒一为球心，根号五为半径，然后与谁的交线长是与后面这个平面 b c、 c e、 b e 的 这样一个交线的长度。那么现在我们来思考一个问题， 我要去做这个交线，要把这个结面做出来，刚刚讲的关键量是哪些？还记得吗？第一个应该是球心到平面的距离 来，我们俯视图里面底面是一个菱形哦，相当于是一个呃，六十度，非常标准的二二二二，然后假角是六十度一百二十度是这样的一个菱形，这里是 a 一 点，这是 b 一 点，这是 c 一 点，这是倒一点。倒一点是我们的球心 b 一 c 一， 就是我俯视图里面的 b 一 c 一 c 一 c 这个平面的一个 攀缩后的一条线，对不对？所以我现在倒一点，这个球心到我们 b 一 c 一 的距离应该是根号三， 也就是说刚刚那个公式里面的小 d 应该是等于根号三的球的半径，其实里面直接给了就这里应该是画出来一个球，球的半径应该是根号五。所以把这些标准量、基本量要写出来，那就意味着如果这个平面 b c、 c 一 b 一 是一个完整的平面的话， 它和我们这个球产生的结面的半径一定等于多少呀？是一定等于根号呗。再开个根号，其实就是根号二喽， 所以小耳应该是等于根号二，小耳如果等于根号二的话，按道理说，我现在应该是画一个根号二为半径的圆，然后周长每每一算二 pi 耳不就是二倍根号二 pi 吗？ 就完事了，对不对？但实际上这道题不是的，这里的这个球做出来过以后，在这边的结面的圆心应该在 b、 e、 c 的 中点，也就是我们刚刚做这个垂线，这个 h 点，这个 h 点，这结面也长这样。 紧接着呢，我们画出来的应该是一个半径为根号二的原理，不要忘记 b、 c 一 整个的长度。来，我们把这个面给它拎出来，这是一个，其实是一个正方形，这里是 b 一， 这是 c 一， 然后这里是 b， 这是 c， 中间这个点应该是 h 点，整个 b、 c 的 长度其实只有二哦， 然后你现在却要画一个半径为根号二的圆，那按道理说，你画画画画应该画这么大，但是我现在的洁面只有 b、 e、 c、 e、 c、 b 这么大，所以真正能在这个图上面体现出来的，应该是我绿色的笔记所描出来的这段 圆弧的长度，也就是从这里的 p 点到这个 q 点弧， p q 才是我真正的结果。而 hp 和 h q 就是 我们刚刚求的小耳，就应该是根号二，这边呢，应该是一，因为 h 点是 b、 c 的 中点，所以 h 点的两边应该是一和一， 那这里也是根号二喽，所以这边也是一喽一喽，很基本这样的几何量，那么此时这里就也是四十五度，所以一目了然。中间的 p、 h、 q 这个圆心角就应该是九十度， 所以你现在这个 p、 q 这个弧，就是题目里面要的这个交线的长度。而这个交线的长度呢，其实就应该是一个根号二为半径的圆的周长的四分之一，所以应该等于四分之一再乘上二派小耳， 二派小耳呢，其实就应该是二倍根号二派，再乘上一个四分之一，其应该是二分之根号二派，所以这道题的交线长度就应该是二分之 考二倍牌，所以这道题目非常非常的经典，非常的经典。但距离今年的高考其实也有一定的年头了，在平时的高一下的期末考试，期末考试，我相信如果有高一同学在听的话，也一定会看到过 啊，一定有一部分同学看到过，做到过。这样的题目对于高一的孩子来说，难度还是有一点高的，但对于高三的孩子来说，你们的立体几何空间想象能力已经培养了，少说两年有余了吧， 对吧？所以想这些问题可能会稍微简单一点，但是呢，多想想准没坏处。现在新高考卷对于我们的立体几何的要求也在逐步的提升，只会单纯的间系这种暴算的方法可能不够了， 去年的外接球问题，可能看准经典建系统的方法，你有没有用透啊？可能也没有吧，所以，路漫漫其修远兮。各位，虽然距离高考的时间并不长了，但是能进步一点，总能进步一些， ok 吧？好了，关注宋老师，每个视频，送你一招，解决一个小问题。好，那今天的内容我们就讲到这，拜拜各位！
192宋你一招解数学
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26:10查看AI文稿AI文稿今天我们要学习内容是高中立体几何这块的洁面问题，那么说到洁面问题，很多小伙伴都会比较头疼，为啥呢？ 因为它确实比较考验我们的空间想象能力。那么举个例子，比如说在这个正方体中，哎，出现了 a、 e、 f 这样一个平面，那么我们来观察一下这个平面它有哪些特征好，那么首先呢，我们看到 a e、 f 这条边，它是怎么样的？它是出现在整个正方体的前面的，对吧？它是在表面上出现的，但是呢， 相反呢， e f 和 a e 这两横边呢，它是深深嵌入到正方体内部的，从中间穿插而过的，所以说遇到这种情况呢，我们是很难对它进行处理的，为啥呢？因为这个平面它首先是一个不完整的平面， 我们说什么能称得上一个完整平面呢？也就是它的每一条边都出现在我的立方体的表面上，哎，这才算完整。但是呢，出现了 e、 f， 出现了 a e 这种从中间穿插而过的， 我们无论是想求面积也好，求体积也好，或者说求动点轨迹问题也好，哎，他都是不好进行操作的，所以说呢，哎，我们先来看一下，先把它扩出去，把它变得完整，会变成什么样子，哎，会变成这个样子，那么我们来观察这个图像 平面呢？还是这个平面，只不过这一次呢，它的面积变大了，哎，变成了这个绿色框框，对吧？所以说这个绿色框框带来的这条边，这条边，这条边，还有这条边，这几条边是不是全都是浮于表面的， 全都出现在了立方体的表面上呀？那么这个平面呢，它就是完整的，那么从这一步到这一步，那我们进行了扩平面的操作，那么扩平面有哪些方法呢？ 这块给大家介绍两个方法，那么第一个方法是可以通过平行来扩平面，第二个方法呢，可以通过相交来扩平面，对吧？我们说根据立体几何的基本事实，一平行可以确定平面，相交呢，也可以确定平面 啊，这就是这两个方法的由来。那么平行扩平面呢，他属于是比较简单，也比较好想，而且呢也足够应付大多数问题了。但是呢香蕉扩平面比较难想，比较抽象，而且呢他的出现场景也会相对来说比较少，但是呢有些问题他确实只能通过 香蕉来解决，所以说两个方法我们都要会。好吧，那么依次来认识一下，首先来看一下平行怎么扩平面，比如说这块出现一个平面 abc， 那 我想把它扩出去，那么我就可以过它的一个端点，比如说这块呢，我过它的端点 c 去做谁呢？去做 a b 的 平行线。好，那么我现在是不是就得到了 c d 和 a d 这样一组平行关系啊？那么根据它俩平行，我是不是就能确定一个平面，那么再去连接 b d， 好， 平面就出现了，这就是怎么通过平行扩平面，非常简单， 那我们往往只需要过它的一个端点做什么？做对边的平行线，哎就可以了。好，那么之后呢，再来看一下相交扩平面还是这个平面，哎，只不过这一次呢，我需要干嘛？我需要延长它的某一条边，比如说我去延长了谁啊？延长了 a b， 把它延伸出去，哎，找到点 d， 找到点 d 之后呢，再去连接 c、 d， 同样的我这个平面也得到了扩张，但是呢，哎，这块比较抽象，就是这个为啥非要去延长 a b 呢？对吧？为啥它的延长中点 d 呢？对吧？很多小伙伴会有这样的疑惑， 所以说我们依次来看一下相交扩平面在实操中应该注意哪些点？那比如说这样一个平面，我们首先要关注的是啥？就关注的它的一条边和一个端点，那么一定是这条边和它所对应的这样一个端点， 那么我分别把这一条线和点呢放到哪里啊？放到两个平面中，把这条线呢放到 alpha 平面中，把这个点呢放到 beta 平面中，好，那么这条线呢，就是我们要做延展的线，对吧？我要把它延伸出去，那么同样的话，我也得过这个点 去让它俩相交，那么我们来想一下它的交点会出现在哪里？是不是它的交点一定会出现在两平面的什么交线处，这个点 p 呢？一定是线通过延伸之后和交线的交点，那找到点 p 之后呢，我再去连接这两个点， 是不是我就成功的进行了扩平面了？那么原本的话，这个平面这条边它是出现在立方体的内部的，那么通过扩平面之后呢，变成了这条边和这条边是不是全都是怎么样 出现在 r 法面和 b 堂面中的？最终完成了我们的诉求。好，那么了解完橡胶扩平面之后呢，我们一起来看一下例题。那么首先告诉个棱长为六的正方点 e 呢？是做了中点 点 f 呢？在这里做了三等分点，分别去连接之后呢，得到这样一个紫色结面，现在问题是这个结面它所结的完整面积是多少？那首先我们来观察 aef， 它是不就是我们所说的不完整的平面，为啥呢？因为首先 a f 出现在正方体的表面上没问题，但是呢， a e 和 e f 它都是内嵌在里面的，都是从中穿插而过的，所以说面对这种图形，我们需要干嘛？ 我们需要扩平面，那么扩平面两个方式既可以通过平行来做，也可以通过相交来做，那么在一般情况下呢，我建议大家能选平行，尽量选择平行，为啥呢？因为它相较来说比较简单，需要考虑的也比较少，对吧？那么这里回顾一下怎么通过平行扩平面，比如说这里给了一个需要扩大的平面。 好，那么第一步呢，我们先去观察一下它的每一条边，哎，它的每一条边有没有出现在所给立方体的表面上，那比如说这条边它出现在立方体的表面上，我就可以过它所对应的端点， 怎么样做平行线让它俩平行之后呢，再去连接，哎，平面就扩出去了。那么回到我们这道题，哎，对于这个 a e f 来说，你会过哪条边做平行呢？是不是肯定是过谁啊？过 af， 而且 af 它所在面呢，正好是正方体的正面，所以说 af 所对应端点呢是点 e， 哎，我就需要把点 e 放到哪里啊？放到正方体的反面，对吧？也就是这个面，哎，正面和反面它俩本身所在面呢，就是平行关系，所以说这次我过点 e 去做 af， 平行线肯定也是能做出来的， 好，那么直接做啊，做出来之后呢，得到这样一个端点，那么别急，哎，我们把这个端点找到之后呢，先去确定他的位置，对吧？那么由于平行的关系，我能得到这个三角形和这个三角形他俩是相似的，那么下面这个三角形呢，长直角边比短直角边呢是六比四， 也就是三比二，那么上面这个三角形呢，同样也是三比二的，由于点一是中点，所以说这块长度呢就是三，哎，这块长度呢就是二， 所以说这个端点的位置呢，我就找到了，那么给它起名叫点 h， 那 么我再去连接 a h， 好， 那么左边这条 a e 是 不是就成功把它括出去了？那么 a e 有 了之后呢，我们还要扩水，还要扩 e f， 那 么一样的道理，我们再来看一下，还有哪组平行可以找呀？ 这一次哎，我可以把 a h 放到侧面中，那么点它所对应的端点点 f 呢，也放到这个侧面中，哎，两面平行，所以说呢，我肯定能过点 f 做它的平行线嘛，所以说这一次呢，我继续来做平行，找到这样一个端点，对吧？那么这个三角形和这个三角形它俩就是相似的关系， 那么下面这个三角形，这块是四啊，这块是六，对吧？同样也是三比二，那么这段呢，长度是二，这段长度呢就是三， 所以说找到点 j 的 位置呢，就位于哎，这条线的中点，好吧，那么找到点 j 之后呢，再去连接 e j， 好， 那么由此呢，我就成功把它的平面补齐了，补齐之后呢，我们之后是要干嘛？是要求得面积，对吧？所以说我们来观察一下，这样一个不规则的多面体，怎么来求面积呢？ 那么我们说这块要使用割补法，把它割补成我们熟悉的三角形啊，或者说梯形啊。那对于这道题来说呢，我就可以连接 h f， 把它分割成下面这个三角形和上面这样一个梯形。它为啥是梯形呢？ 很简单，因为这里都是中点，所以说这条线呢，他和我这个正方形的对角线是平行的，对吧？他俩平行，那么又由于呢，这两个点，对吧？都是位于这里是二，这里也是二，所以说呢，这里和这里是不同样也平行啊，对吧？那他俩平行长度又不相等，所以说上面是个梯形，好吧， 把它分割出来之后呢，先看下面这个比较好求的三角形，那么这里是四，这里是六，所以说它的长度呢，二倍根号是三。那么继续来求一下 h f， 刚刚我们不是说了吗， h f 是 不是和这条对角线长度是相同的呀？对吧？那么对角线长度是六倍根号二，所以说它也是六倍根号二。 好，那么下面这个三角形的面积是不是已经可以求了？我们再来看上面这个梯形，上面梯形的话呢，首先你发现，哎，直接求的话不太好求，那这块呢，我的选择是把它补成什么？ 补成三角形，那首先来算一下 e j， 因为这里是终点，这里是终点啊，他是三，他是三，所以说这块是三倍根号二，那么我同样我就可以把这个三角形补出来，对吧？把它补回三角形。 好，那么由于呢点 e 是 做了它的终点，它为啥是终点？原因很简单，因为这块和这块平行啊，它的长度又是它的一半，所以说 e j 呢，是做了整个三角形的中位线，所以说呢，上面这个小三角形的面积就是整个大三角形面积的多少呀？四分之一，这里是多少三分。 那么这个大三角形面积呢，又和下面这个大三角形啊，他俩是全等的，所以说俩面积呢又相等，我又知道下面三角形面积是 s， 所以 说整个面积呢，是不是就是四分之七倍的 s， 我 只要把 s 算出来 好，那么再乘上系数，整个面积就有了。所以说下面这个三角形呢，单独把它拿出来，腰长是二倍，根号十三啊，底边是六倍，根号二，那么三线合一之后呢，这块是三倍根号二，有底有高，哎，面积就可以直接算了， 那么最后面积算出来呢，就是这个东西。那么这道题呢，我们说除了通过平行来做，也可以通过什么？也可以通过香蕉来做，那么我们一起来感受一下，要通过香蕉来做，我们需要干嘛？我们刚刚已经具体讲了，对吧？它的几步，哎，首先呢，要找一条线和它所对应的端点， 对吧？那么线的话呢，这次又能选择谁啊？是不是只能选择 a f 呀？ a f 所在平面在哪里？是不是在这个正方体的 正面，那么它所对应端点呢？是点 e， 点 e 呢，既可以被视作是在上面，也可以被视作在反面，对吧？那么这次呢，我为了让两个面产生什么交线，只能选择在上面，所以说呢，我把 a f 放进这个面中，哎，把它放到这个黄色面中，把点 e 呢放进蓝色面中， 好，那么选择完两个面之后呢，我去找到他俩的交线，也就是 a 一 b 一 这条线，把它延伸出来，那么之后呢，再去延长谁呢？再去延长 af， 找到他俩之间的交点，那么有了交点之后呢，再去连接点 e 和这个交点，那么点 e 在 这里相交于一点，哎，那么这个点呢，就是点 j， 当然点 j 的 位置在这块，我们还是通过相似的，对吧？那这里是四 啊，这里是二，对吧？所以说是二比一，那他是六，他就是三，那么这个三角形和这个三角形呢， 他俩是不是也是相似的呀？不仅相似，还全等，因为这块也是三啊，这块也是三，所以说呢点 j 呢，就做了这条边的中点，好，那么确定完位置之后呢，我们来看一下这个图像， 是不是已经把右边这块扩出来了，那左边这块还要继续扩，所以说香蕉还能继续发挥它的作用，那么这次呢，我们选择谁呢？我们选择这条 e j， 那 么 e j 所对应的端点呢？是点 a， e j 可以 放到上平面中，那么点 a 的 话呢，既可以放到这个面，也可以放到这个面，也可以放到正面中， 对吧？所以说呢，他的选择有很多，那么我们选择逻辑是啥呢？是不是肯定是要产生交线，所以说我就选择把它放到哪里，把它放到侧面中，把点 a 放到侧面中，好， 那么两个面呢，会产生交线，也就是 a 一 d 一， 把交线延伸出去，再找到它和 e j 的 交点，那么这个交点呢，再去连接点 a， 好， 连接完成之后呢，这块这个交点，再把它连接之后，我这个平面是不是就出来了，对吧？那由此呢，同样也能得到这样一个无边形，那么最后呢，面积的 求解方式呢，都是相同的，对吧？所以我们说呢，在看完香蕉和看完平行之后，哎，你会发现平行来讲，一般都会比较简单，那么我们在方法选择上呢，尽量是能选平行就选平行，那如果实在不行的话呢，再去选择香蕉。继续来看第二题，那么还是给了一个棱长为六的正方体，现在告诉了点 e 是 a， b 中点，点 f 呢是 b， d c 中点分别连接之后呢，又得到一个紫色平面，哎，现在还是求什么？求它的周长，求完整洁面的周长。那么首先给我这个洁面呢，它是不完整的，哎，你发现 d e e 和 d e f， 它又说什么？又是内嵌在里面的，对吧？所以说要把它括出去，两个方法，平行或者相交， 那么秉着平行比较简单的原则，哎，我们先去尝试平行，但是你就发现，哎，如果要使用平行的话，我是不是只能去做 e f 的 平行线，因为只有 e f 在 面内好，那么我要做他的平行线肯定是过第一做， 做完之后呢，我就发现这条平行线跑到哪里去了，是不是跑到我的立方体外面去了，这是不是表示着平行是不能做的呢？ 哎，其实是可以做的，但是呢，过程会比较麻烦，为啥呢？因为我需要把这个立方体给它补出去，对吧？在这块呢，我得再加上一二三三个立方体，把它扩出去，这么一来才能把这条平行线用起来，对吧？所以说你发现平行比较复杂的情况，哎，我们不妨去尝试什么？ 去做香蕉，去做香蕉，那么还是选择谁呢？还是选择这条 e f， 那 么 e f 和它所对应的点，也就是第一，我得分别把这条线和这个点放进什么？放进香蕉的平面中，那么 e f 呢，它所在的肯定是底面，没有问题，那么第一的话呢，可以把它视作是在背面这个面上， 也可以把它视作是在这个面上，也可以是在这个面上，哎，我们就看哪里是相交的，那么在这里选择背面，或者说选择侧面，是不是都会和底面发生交线，对吧，所以说选择他俩都是可以的，那么我们先选择谁呢？先选择背面，那么选择背面之后呢， 我就需要把它们两个的面，对吧这个黄色面和这个蓝色面的交线找出来，也就是 dc， 再把 dc 做个延长，延长之后呢，再去延长谁？延长 e f， 找到它们之间的焦点，那么有了焦点之后，再去连接 d e 和这个焦点，这里这个焦点是不是就是我们要找的 好，那么连接找到点 h 之后呢？把它补出来。注意了，我们每找到这个点啊，一定要先去确定一下它的具体位置，那么在这里呢，确定位置用的最多的就是相似。首先由于点 f 是 中点啊，所以说这个三角形和这个三角形不仅相似，而且还全等，因为这条边和这条边是相等的， 那么这里是三，所以这里也是三。好，那么相同的，我是不是也可以得到这个三角形和下面这个三角形，它俩是相似关系啊，而且呢点 h， 哎，就在上面，对吧，这块是三，所以说这块是六，他俩之间是二比一的相似关系，那么点 h 呢，就出现在哪里啊？是不是出现在三等分点，这段长度是二，这段长度呢 是四，好确定点 h 的 距离之后呢，其实我们这块外扩呢，已经完成了一半了，对吧？相当于把这条边呢给他扩出去了，现在还剩一边左边没有扩，那么怎么做呢？ 是不是还是可以继续从 e f 出发呀？那么刚刚我们说了，做了背面的交线，它的侧面交线还没有做呢，所以说这一次呢，我还是找到 e f 和 d e， 这次把 d e 呢放到旁边这个黄色平面中，找这个平面 和底面的交线，对吧？那么交线是谁呢？交线就是 a d， 那 么继续把 a d 延长出去，继续来做 e f 左边的延长线，好找到它这一次和交线的交点，那么再去连接，哎， d e 和交点， 那么在这里呢，我是不是又找到了第二个点点 j， 那 么再去补其他啊？当然点 j 的 位置呢，也是咱们通过相似获得的，首先呢，我能得到这个三角形和这个三角形，他俩是什么？他俩全等，对吧？所以说这里是三啊，这里同样也是三， 然后呢，我就可以得到这个三角形和这个三角形，哎，他俩也是相似的，所以说点 j 在 这里呢，是不是又是，哎，因为这里是三，这里是六，对吧？二比一的相似关系， 所以说点 j 呢，同样是在三等分点上，好，那么确定点 j 位置之后呢，我是不是就把这个图像补齐了呀，对吧？这个东西呢，就是完整的平面， 那么我们来算一下周长，那之后其实就是通过不断的使用勾股定律就能把它搞出来。那这块呢，因为这里是三，这里是二，所以它的长度呢，三倍根号二啊，那这里的话是四，这里是六，所以说二倍根号是三，所以说你发现哎，这块其实 一步一步算哎，都能把它算出来，最后呢，五条边相加就能得到周长啊，是这个大家做对了吗？好，那么通过这道题呢，我们得到一个启发，就是有的情况下呢，平行也不是说完全不能用，对吧？但是你发现 做的平行线，如果说出现在了什么立方体的外部，那这种情况下呢，为了保证图像还是比较简单的，我们尽可能的还是去选择相交会比较合适一些。那么相交呢，也是大家学习这块的弱项，所以说今天的例题呢，主要都是关于谁啊？ 关于相交会多一点，继续来看练习三，那么首先给了一个正三棱柱，啥是正三棱柱啊？同学们，就是他的上底和下底呢，都是等边三角形，这里又说了，所有棱长呢，均为二， 所以说两个等边三角形呢，都是边长为二，并且三条高的长度呢，也都是二哎，每一条线段你能看到的长度都为二，那么点 e 和点 f 呢，分别是中点。那么首先呢，又给了一个不完整的结面，我们需要干嘛？ 是不还是要把它括出去啊？那么平行和相交两种方式都可以选择，我们能选平行，尽量选择简单的平行。那么所以说呢， 平行我得先找什么？先找在我立方体表面的线，那么 a f 和 a e 好 像都算，那么在这里呢，就可以做两组平行线，我既可以过点 e 去做 a f 平行线，在这里， 我也可以过点 f 呢？做 a e 的 平行线是不在这里，但是你发现线确实能做出来，但是问题也来了，因为我这个立方体它不够大呀，我这个线呢，直接做到立方体的外面去了，那我就需要把立方体扩大，再扩大平行 才能用，所以说你发现使用平行法经常会遇到这个问题，但是相交的话，虽然说过程比较复杂，但是它相对来说是更万能的方法，那么我们还是选择相交。那么这块呢，选择相交，我就得找到一组线和点，那么也是两组选择，我既可以选择 a f 和它对应的点点 e， 这是一组线和 点，我也可以选择，谁呢？选择 a e 和它对应的点点 f， 因为它俩呢，都是在什么在我的立方体表面上嘛？ 好，那么这块呢，我们就以 a f 和点 e 为例，带大家来过一下。那么选择好了线和点之后呢？我是不是需要把线和点放进各自所在平面内呀？对吧？那么先看 a f， a f 的 话，它没得选，它是不是只能放在哪里啊？ 只能放在背面，对吧？只能放在这个黄色平面中，那么点 e 的 话呢，它就会面临选择点 e 的 话，它既可以选择放进这个面里面，是不是也可以选择放进这个面里面，对吧？两个选择都可以，那么咱们的选择标准是啥来着？是不是 选择出来这个面必须和黄色平面产生交线，那你就发现两个面好像都有交线，两个面都可以，所以说在这里呢，我们选择这两个面也都能把它做出来，那么我们就以选择这个面为例，让大家继续来过一下。 好，那么选择完面之后呢，我需要关注什么？是不是需要关注两个面的交线，也就是 c e c 这条线，那么把它延长出去， 延长出去之后呢，再去延长谁啊？ a f， 找到它和延长线的交点，那么有了交点，再去连接交点和点 f， 好， 那么它和立方体呢，在这里产生了交点，那么我就可以把它括出去了，对吧？给 它起名叫点 j， 那 么再去连接 f j， 那 么我这个平面呢，就成功的括出去了，当然这还没算完，为啥呢？因为我们还需要确定点 j 的 具体位置， 那么要求周长，它的每一条边是不是都要算出来，所以说呢，点 j 怎么求具体位置？这块要借助相似了，首先发现这条边 a c 长度是二，这里是一，所以说呢，你发现上面这个小三角形和外围的大三角形，它俩是组成了 a 字相似的，而且相似比呢，就是二比一， 对吧，所以说这段长度是二，这里是中点，这段长度呢，同样也是二，那么一组相似，那么这一块呢，又出现一组八字相似，对吧？你发现 用的最多的往往都是八字相似，所以说一定要关注他，那么他俩的相似比呢是多少？因为点 e 是 中点，所以说这里是一啊，一和二，那么相似比呢，也是一比二的， 那么这段比这段呢，也是一比二，所以说点 j 呢，是做了这条边的什么三等分点，那么 b 一 j 的 长度呢就有了，哎，它的长度就是三分之二，那么点 j 的 位置呢？就能确定了。 好，那么之后我们来算一下周长，首先 a e 和 a f 很好算，那么它们直接用勾股定律，哎，就能推导出来，这里是二，这里是一，所以说它是根号五，这里是二，这里是一，所以它是根号五，那么 e j 的 话呢，也能快速算出来。 刚刚我们说了，这里是三分之二，那么这里就是三分之四，那么它是三分之二，它是一，所以勾股定律算一下， e j 长度呢， 就是三分之，根号十三，还剩谁？还剩 f g， f g 怎么算呢？ f g， 首先我知道这段长度，哎，它的长度是一 没问题吧，因为点 f 是 中点，那么这段长度呢，又是三分之四，那么中间夹角呢？又是六十度，哎，所以说这个三角形，我们知道什么边角边，可以直接通过什么余弦定理对它进行计算， 那么第三条边呢，算出来，哎，它的长度呢就是三分之二十三，那么每一条边相加之后，哎，答案 c 就 等于这个东西，所以说这种方式呢，我们通过相交确实能把这道题做出来。那么刚刚也有小伙伴说，如果我在这里选择了谁呢？选择了 a e 和点 f， 能不能把它做出来呢？也可以。那首先呢，把 a e 放进它所在的平面，那点 f 的 话呢，是不是可以放进上面，对吧？这个面是不是也可以放进背面？咱们选择标准呢，肯定是要让两个面产生交线，那你发现，哎，两个面好像都有交线，所以说 还是两个面都可以选，那么这块我的选择还是把它放进上面，那么找到交线，把交线延长，再去延长谁？延长 a e， 找到焦点， 再去连接点 f， 同样呢也能帮助我们找到点 j， 只不过这种方式的话呢，通过相似再去确定点 j 位置，稍微有点繁琐，但是也能确定，那也能做出来。好， 那么这道题就结束了，继续来看这道练习四，那么告诉一个棱长为二的正方题，又告诉了点一和点 f 呢， 分别是两条轮上的中点，那么分别连接之后，得到这样一个紫色平面，先来问洁面面积是多少，那么我们说方法选择上呢？还是平行和相交两种方法，那么我们首选平行，那么我就发现，哎，我可以过点 b 去做谁啊？做 e f 的 平行线对吧？因为 e f 的 话呢，在这个侧面上， 那么点 b 的 话呢，是不是也在这个侧面上？他们面面肯定是平行的，所以说过点 b 呢，肯定是能做出 e f 的 平行线的，那么由于点 e 和点 f 呢，分别是他们各自所在边上的中点，所以说，哎，做他的平行线是不是也就是这条 b c e 啊，那么这条边和这条边，它俩一定是平行的。好， 那么再去连接谁呢？再去连接 f c 一， 那么我这个平面呢，就成功把它扩出去了。那么现在咱们要求什么？要求它的鞋面面积。那么对于这个梯形来说，因为它的上底和下底是平行，所以它是梯形，把它的每一条边啊，我们都可以通过勾股定底算出来，这里根号二啊，这里根号五，这里根号五，这里二倍根二， 所以说梯形做高，直接就能把面积算出来，非常简单，那么 s 呢，就等于二分之九，那么这道题能不能使用相交方法来做呢？也可以，我选择的是 e b 和点 f 啊，选择它俩，那么把 e b 呢，放进它的面儿中， 点 f 的 话呢，既能放在左边，是不是也能放在背面，对吧？咱们的选择标准一定是它所在面要和现在这个面产生什么交线，对吧？所以说两个面呢，都可以啊，我就把它选择放在背面中，那么找到交线是 c、 d， 把它延长出去，再去延长谁呢？再去延长 e b， 哎，找到焦点 再去连接他们俩好，那么同样呢，也能把这个面补齐，对吧？补齐之后呢，也是这样一个题型，所以说呢，殊途同归，两个方式对于这道题来说都是完全可以的。继续来看这道练习五，那么给了一个棱长为二的正方题，又告诉了点 e， 点 f， 点 j， 分 别是三条边上的中点， 那么三个点就可以确定这样一个紫色平面。现在问题是洁面面积到底是多少？那么我们说这个图像呢，在学习正方题的时候还是经常会出现的，对吧？三个都做了中点，那么我再找到 b， c 的 中点再做，找到 c， d 中点，再找到 d， d， e 的 中点，分别去连接它们，连接完成之后呢，得到一个什么？ 得到一个正六边体，这就是最终的结果。那么这个图像是咋来的呢？还是通过平行或者说相交？那我们说先找平行，平行毕竟比较简单嘛。那要做平行的话呢，我先看到它，我是不是可可以过点 e 呢， 做它的平行线呀，对吧？那么平行做出来了，结果你发现它捅到立方体的外面去了，哎，确实不好用，所以说呢，肯定不选它，那么再换一个思路，如果说我先看到的是它，那么过点 j 呢？做它的平行线是不，同样也是捅到外面去了，所以对于这道题来说呢，平行并不好用，那咋办呢？那么咱们就选择 相交，选择相交的话呢，那么我在这里就锁定这条线和它所对应端点，把它们放进各自所在平面中，那么首先 f g 呢，能把它放进哎，上底面中，那么点 e 的 话呢，它就有两个选择了，既可以放进正面，也可以放进侧面，咱们的选择标准呢，就是和已知面怎么样产生交线，哎，就可以了， 对吧？那么我在这里就选择把它放进正面，其实正面和侧面的都可以，那么两个面呢，产生的交线是不是就在 b e c e 这条线上，把它延长出去，再去延长谁呢？再去延长 g f， 找到焦点，哎，再去连接它俩， 那么找到他和谁啊，他和我立方体的交点，那么就可以找到哎，这样一个点 h 了，那这个点 h 具体在不在终点呢？哎，我们还是要借助全等去证明一下，对吧？首先呢，这个三角形和这个三角形啊，他俩是全等的，那么这里是一，那么这里就是一， 那么这里是终点，所以说呢，第二组全等也出来了，我是不在这里呢，同样也能得到他俩是八字全等，那这里是一啊，那这里也是一，所以说点 h， 终点的位置呢， 就把它做实了。那么做到这步之后呢，我们这个图像是不是已经补齐一半了？那么刚刚我们用相交是不得已而为之，那么现在呢，我们是不是就可以选择用平行了呀？我可以过点 h 呢，做 f g 的 平行线，对吧？那么焦点呢？在这里是点 i， 我 还可以过点 i 呢，再做谁呢？ 做 e f 的 平行线，那么焦点呢？就是点 g， 对 吧？再去连接他俩，好，那么这个正六边形呢，就把它补齐了。那么最终要算面积呢，也非常简单，你可以把它视作梯形，毕竟每一条边都能算出来，那么梯形做个高哎，是不是就 两个梯形，对吧？两个梯形再乘以二就可以了，对吧？那么面积算出来呢？就是三倍根号三。
90昊哥跃动数学
29:21查看AI文稿AI文稿今天我们要学习内容是高中立体几何这一块的基本事实，也被我们称之为宫里，那么宫里呢，一共有四条，大家如果说翻过教材的小伙伴都知道，哎，这四条呢，多了哪些内容？那么你会发现这四条说的都是有理有据，而且完全正确的，都没问题，但是问题可能会出在哪里 呢？就是对它的使用上，对它的翻译上，那么你会发现这些话好像都完全正确，但是真正做题中还是存在一定差距的。那么今天呢，浩哥就帮助大家把这条红勾给大家填平， 那么从两个方向，哎，我们再来深度认识一下基本事实。那首先第一步，我们先来翻译一下这四个基本事实到底说了哪些东西， 我们说学好数学本质上就是在翻译条件，那么我应该从哪些角度来理解基本事实一二三四呢？这是我们要做的第一件事，那么第二件事呢，就是通过一些题型进阶，还通过一些例题，带着大家一起来感受一下这些基本事实，在做题中他会怎 出。那么我们先来看一下这四个基本事实都说了什么东西，大家如果第一次见这个东西的话，可以暂停下视频，自己想一想，那么你会发现这四个基本事实呢？哎，说的都是完全正确的，对吧？举个例子，比如说 基本事实一，他说什么？他说过不在一条直线上的三个点啊，而且只有一个平面，那么这句话完全正确，对吧？举个例子，比如说空间中点 a， 点 b， 还有点 c， 存在这样三个点，那么他们三个呢，自然是能确定，这样唯一确定的一个平面的没问题。那 剩下三条呢？其实想完之后也都是对的，但是关键在于怎么去理解他。那么这一块呢，我们主要是通过他说了啥，能干啥，还要怎么干三个角度哎，来剖析他。那么这块为啥只列出了基本事实一二三呢？哎，我们说基本事实四呢， 他是最简单的，所以说我们先把他搞定好吧。那首先来看一下基本事实四，他说了一句什么话呢？他说 平行于同一条直线的，两条直线相平行，哎，这句话如果说咱们初中学习几何学的比较多的小伙伴，就会觉得有点眼熟，对吧？在我们初中学习平面几何的时候，是不是也会有平行延伸的关系，对吧？我们说两条线哎，他是各自平行的，那么是不是能推出另外一组平？ 只不过到了高中之后呢？我们从平面中变到什么？变到空间中了嘛？所以说基本式是四啊，非常好理解，对吧？也就是拿符号来表示，假如说 l 一 平行于 l 三， l 二呢，也平行于 l 三，他俩各自都平行于 l 三，那么是不是就可以说明 l 一 是平行于 l 二的？又说了这么个事，所以说基本式是四呢？ 很简单，我们来一道例题来感受一下啊。这是一道二零二五年的河南省的月考题，那么说在一个四边形 a、 b、 c、 d 中，点 h 和点 j 呢，分别是做了 c、 d 和 a、 d 的 中点，然后这里又说了点 e 和点 f 分 别做了两条边的三等分点，对吧？把它分割成了一比二，把它呢也分割成了一比二，现在让我们证明中间这个东西，这个蓝色的四边形，它是个什么？ 它是个梯形，哎，同学们，我们先来想一下，要证明梯形需要满足什么条件，这不，证明梯形也就是在找平行啊，对吧？我们只需要去证明这条 g h 是 平行于谁，平行于 e f 就 可以了。当然啊，这块也不要漏了一个细节，就是我们证明平行的过程中 也要看一下长度，对吧？避免它变成什么，变成平行四边形，对吧？所以说呢， g h 同样还不能等于 e f， 那么只有这两点都满足之后呢，我这个梯形才能正出来。好，那么我们来看一下，哎，这块呢，是不是出现了比例关系啊，对吧？这里是中点，这里是中点， 所以说，虽然我没有办法直接得到 j h 平行于 e f， 但是我能得到什么？我是不是先能得到，哎， j h 它是平行于 a c 的 呀，对吧？那么相同的道理， e 和 f， 因为它俩都是各自的三等分点，所以说，我就可以得到 e f 呢，也是平行于 a c 了。 那么由于基本式是四，哎，它们俩都是，它和它都是平行于 a c 的， 所以说，哎，我是不是就可以说 e f 是 平行于 j h 的？ 而且呢，它俩的长度也是由于比例关系，哎，能够预测出来，对吧？你是三分之二倍的 a c， 你 是二分之一的 a c， 长度大小呢，也是不一样的， 所以说，哎，梯形就正出来了，没问题。那么我们来看一下过程应该怎么写。那么首先这是我们的目标，那么我们既然不能直接得到，我就分别把 j h 平行于 a c 正出来，还有 e f 平行于 a c 正出来好，那么这块分别连接之后呢，由于这里是中点，那么平行呢，也就直接得到了， 对吧？不需要写特别特别详细的过程，那么这块呢，就可以得到 j h 是 平行于 a c 的， 而且 j h 长度呢，也是二分之一 a c， 那 么 由于第二组也是存在比例关系，所以说得到 e f 也平行 ac， 而且 e f 等于三分之二倍的 ac， 没问题。好，那么现在 e f 和 h j 分 别都平行于 ac 了，那么根据基本式是四，我是不是就可以得到 e f 是 平行于 j h 的， 而且呢，由于 e f 是 大于 j h 的， 对吧？除了平行关系之外呢，还存在长度关系，它比它要更大，所以说呢，哎，我这个四边形就是个梯形，哎，就解决了，对吧？这是我们 解决一道证明题的完整过程，那么这里就使用了基本事实四，我们说基本事实四这一块呢，主要也就是把它从初中的平面内哎迁移到高中的空间中了，对吧？所以说，哎，理解它还是比较轻松的。让我们来看基本事实一，基本事实一说过不在一条直线上的三个点啊，尤且只有一个平面， 那么这句话我们仔细揣测一下，你会发现无比正确，比如说空间中呢，存在这样 a b c 三个点，他当然能够帮助我确定这样一个平面完全正确没问题。 但是呢，你会发现，可不是每道题都会老老实实告诉你三个点，让你确定平面的，我们用的更多的呢？还是线之间的关系，所以说呢，有了这三个点， 对吧？我们往往需要对它进行翻译，那么比如说点 a 和点 b 能够确定这样一条线，那么点 a 和点 c 呢？同样也能确定这样一条线，那么你会发现两条线相交了， a b 和 a c 相交了， 那么有了两条相交直线之后呢，我是不是就可以通过相交来证明这三个点是共面点？好，那么我们来看一下它的推论一。说一条直线和直线外一点可以帮助我确定一个平面， 哎，这一次的话，就不是离散的三个点了，而是两个点组合成了一条线，以及和外面一个点，那么我再去连接 a c， 是 不是同样能够帮助我确定什么？ 确定两条相交直线，从而得到这样一个平面，没问题吧？好，那么我们再来看一下推论二，那么推论二呢？就更赤裸裸了，哎，这块直接让我们证明 abcd 这四个点是共面的，那么你发现 ab 可以 相连， cd 也可以相连，而且呢，两条直线中间存在这样一个交点， 那么根据相交定平面，哎，是不是也可以得到这样一个共面关系？那举个例子，比如说告诉我这样一道题，说 p 和 q 分 别是重心，让我们证明这四个点是四点共面的，对吧？那你发现，哎，出现要证明这个东西，那往往我们需要干嘛？往往需要把 p、 q 和 b、 c 放到各自的线中， p q 又是一条线，然后 bc 是 一条线，我们要做的呢，只是证明他俩怎么样会产生交点，好吧，那么共面就能出来了。那么最后再来看一下推论三，哎，我们要证明共面，除了相交的方式之外呢？平行同样也能帮助我们得到共面，那么比如说 ab 和 cd 啊，在空间中他俩是平行关系， 那么平行呢？也可以得到共面，对吧？那还以刚这个例子为例，如果说我想证明他们四点共面，那你发现相交的方式行不通，那咋办呢？ 去找一下平行关系，对吧？还是把它们放到各自的线段中，对吧？比如说 p q， 比如说 bc， 在 图像中呢，它们各自是一组， 那么来看一下它俩到底有没有平行关系，那么有平行哎，同样也能证明共面，那么这就是我们基本事实一的三个推论，我们还是总结一下。首先基本事实一，他说了个啥？他说香蕉和平行 可以帮助我们得到共面，对吧？咱们的目标是得到共面，那手段有两个，既可以通过香蕉，也可以通过平行，那么能干嘛呢？能够帮助我们证明往往是多点共面问题，好吧，那么具体应该怎么办呢？就找香蕉，找平行嘛， 把这块总结一下。好，那么我们来看一下例题，说给了一个三棱锥，那 s、 a、 b c， 点 p 和点 q 呢？分别是两个面的什么重心？ 重心是啥呀？重心是三条中线的焦点，而且呢，这条中线也会被重心分割成二比一的两段，那我们对重心的性质呢，一定要熟悉，它用的非常非常多。 然后这里要证明什么呢？要证明这四个点， p、 q、 b、 c 共面。所以说要证明共面两条路，要么选择平行，要么选择相交。 那么首先第一步呢，我发现，哎， p q 和 b c， 光从图像上看，你看它俩是啥关系？ p q 在 这里， b c 在 这里啊，你来看一下，是不是你会发现它好像就是平行的呀，对吧？我们说虽然说斜二测画法会改变线段长度，也会改变角度大小， 但是呢，平行关系会得到延伸，那它该是平行还是平行？看起来就是平行的，所以说呢，哎，我们使用平行就是水到渠成的，所以我想要证明 p q 和 bc 他 俩平行直接证好证吗？哎，你发现不太好证，对吧？那这块肯定要借助点 p 和点 q 是 重心的性质，那么我要干嘛？ 我要去利用重心啊，去连接什么？去连接中线？中线结合重心能够帮助我们得到一比二的比例关系，比例关系呢？哎，是不是又能得到平行啊？对吧？那这块写一下，就是重心 能够得到比例，比例呢？又能得到平行，没问题吧？好，那么这块呢，我分别把 sp 以及 sq， 哎，这两条中线延出来，那么他俩分别交于 a c 和 ab 于点 m 和点 n， 那么这一段比这一段就是二比一啊，这一段比这一段呢，也是二比一，对吧？这都是中线的性质，那么有了相同比例关系之后呢，我是不是就可以得到 p q 是 平行于谁啊？ 平行于 m n 的， 那么又由于呢？ s m 它本身是一条中线， sn 呢，也是一条中线，所以说这里又有两个中点，是不是同样呢？我还可以证明 bc 也是平行于 m n 的， 哎，这块是不是又回到基本事实四了呀， 对吧？我这条 m n 呢，既平行于 b q 啊，我又平行于谁呢？ bc， 哎，那么是不是我就可以说 p q 和 bc 他 俩是平行的，就正出来了， 那么由于他俩平行，所以说呢，我就可以得到什么，就可以得到这四点是共变的啊。那么之后呢，我们一起来看一下证明过程，哎，具体应该怎么写？那首先呢，先描述一下辅助线，哎，连接谁？连接 s q， 交 a b 于点 n， 那 么最后还需要连接谁，还需要连接 m n 啊？这块是描述辅助线，又告诉了点 p 和点 q 呢，分别是重心，那么 m 和 n 呢，是不是就是中线，对吧？ sm 和 sn 分 别就是中线，那么这两个点呢，就会作为中点存在， 好，那么 sp 和 sq 啊，各自在它的线段上存在比例关系，那么有了比例关系，是不是就可以证明平行呀？对吧，那么我就能得到什么？我就能得到 bc 是 平行于 m n， 而且呢， p q 呢，同样也是平行于 m n， 那么再根据基本事实四来，我就得到 b c 是 平行于 p q 的， 哎，那么这四点就是共面完了。这一块呢，哎，我们使用平行来证明，确实很丝滑，确实也比较好想，但是能不能使用香蕉来证呢？哎，也是完全可以的， 我们一起来看一下它的第二种方法。那么要使用相交的话呢，这块是不是就需要干嘛？需要让它们交于一个点，那么还是放在这个平面中，我们来看一下，点 p， 点 q， 点 b， 点 c， 哎，它们各自在什么线上能够使得相交呀？那比如说我让 c p 在 一起，对吧？我让 c p， 这是一条线， 那么我让 b q 在 一条线上，那么它俩延伸出去，哎，是不是就有可能产生相交？如果你还是选择 p q 和 bc 的 话，哎，因为它俩平行了，对吧？所以说你无论怎么延长，它都是不可能产生交点的， 所以我们要换一组嘛，那么我们就瞅准谁啊？瞅准 c p 和 b q， 把它俩延长之后呢，在这条 s a 上，哎，会得到一个点， 那么这个点呢？哎，我们需要干嘛？需要证明它是相交的，那怎么证明相交呢？这块就需要干嘛？需要去设下，对吧？比如说 c p 延长出来，这里焦点是点 m， b q 延长出来呢，这块焦点是 m p， 如果说我能证明两个点它是重合的，那么这两条线 就怎么样就一定是相交的，对吧？所以说关键在于这个落点，哎，到底是不是重合关系呢？我们来看一下这块应该怎么正。那么这块先描述一下辅助线啊，分别延长之后呢，交于 m 和 m 撇，那么又由于点 p 和点 q 呢，分别是做了重心，所以说点 m 呢？是谁啊？ 点 m 是 s a 的 终点哎， m 撇呢，同样也是 s a 的 终点，哎，既然都是 s a 的 终点，所以说它俩当然是 重合关系了。那么由于这个 c p 和 b q 呢，相交于点 m， 对 吧？两条相交直线可以干嘛？可以确定一个平面，所以说呢，这四点他们就是 共面关系。然后我们来看基本事实二，基本事实二说了个啥呢？说一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内，这条定律单独拿出来用呢？往往基本事实二是要结合基本事实三来看的。 那么首先我们先来理解下这句话，画下图像，比如说这里出现一个 alpha， 点 c 和点 d 呢，分别都在平面内，那么当我去连接 cd 找到这条线的时候呢？哎，我就可以说这条线中的每一个点是不是都在平面内，那么通过数学语言的方式，我们把它写出来，点 c 如果属于 alpha， 点 d 呢，也属于 alpha， 则 cd 它就怎么样包含于 r 法。那这块我们要强调一下，在点线面中包含于属于他们之间的包含关系到底是怎么写的？那么首先我们会遇见点、 线、面这三个东西，那么点的话呢，首先它作为最小的元素出现啊，它是个啥？它是个个体户，所以说对于线和面呢，它属于是个人，属于集体这样一个关系， 没问题吧？好，那线和面呢，他俩作为两个集合，那么只能是小集体，包含于大集体，对吧？所以说呢，线和面之间啊，要通过这个符号来链接。好，那么我们把这块搞清楚之后呢，再回到基本式十二，那么刚刚说了这么多，对吧？基本式十二，你感觉说了好像跟没说一样，那总结一下，就说 线上两点在平面内，则所有的点都在，那他就说了这样一个事，那么他能帮助我干嘛呢？那往往是能帮助我们证明点 在面内。举一个最简单例子，比如说题目中告诉我了，哎，一个平面，这个平面呢，起个名吧，叫 abc， 对 吧？ abc 的 话呢，你在图像中也能找到对应的 abc 三个点啊，这里是 a， 这里是 b， 这里是 c。 好， 那么现在呢，我需要去用一个东西啊，我现在需要去证明什么？ 需要去证明点 d 呢？也在 a、 b、 c 内，那你说，哎，这不看一眼，点 d 就 在 a、 b、 c 内吗？对吧？直接用不行吗？哎，还真不行，对吧？你会总觉得怪怪的，因为这个平面呢，它叫 a、 b、 c 啊，所以说呢，这块我只能先干嘛先去说明啊， b、 c， 它是怎么样 包含于平面 a、 b、 c 的？ 那么点 d 呢？又属于 b、 c， 所以 说点 d 呢，它就属于平面 a、 b、 c， 这就是基本事实二的使用。哎，它可以帮助我们 证明点在面内这样一个东西。好，那么怎么干呢？具体应该怎么干啊？证明点在线，线在面，这就是基本事实二的使用方式，那么往往用的更多的是把它和基本事实三 啊相组合去证明什么？多点共线的问题。好吧，那举个例子，比如说啊，点 a 在 线中啊， bc 呢，这条线啊在平面内，则我就可以说这个点在平面内，这就是基本事实二的使用方法。 我们继续来看基本事实三啊，他说如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们尤其只有一个过该点的什么共直线？这句话呢，看似信息含量包含的非常多，然后也非常绕口，那么我们就依次来剖析一下。首先第一句话呢，说两个不重合的平面啊，那既然不重合，那就必然怎么样？ 必然相交嘛，对吧？所以说，图像画出来，阿尔法和贝塔这俩平面啊，它俩会产生相交，那么存在一个公共点，那么点屁呢，既在阿尔法中，又在贝塔中啊，确实是公共点，它俩所共有的，那么这个点呢，它就怎么样？ 他就有，且只有一条过该点的公共直线。哎，我们说两个平面相交，必然会产生什么？必然会产生一条交线，对吧？点屁呢，就身处这条交线上，哎，这就是基本事实三，所以说通过图像来理解他还是非常轻松的。 那么我们这块总结一下，哎，这句话到底翻译成人话，他说了个啥呀？他就是说公共点呢，必须在两平面相交的唯一交线上，哎，就说了这么个事， 那么这句话能帮助我们干嘛呢？它有什么作用呢？这里注意了，对吧？它能干嘛？它往往能够帮助我们证明多点贡献。那怎么证呢？我只需要证明这些点，哎，分别都在两平面中，对吧？那一个点既在这个平面中，又在另外一个平面中，那么可想而知，这个点呢，必然会在两平面的交线上嘛， 没问题吧？那么比如说举个例子啊，比如范力一告诉我要证明谁啊？要证明 p q r 三点贡献。那如果说在学习基本事实三之前呢，你会觉得要证明三点贡献，对吧？那往往我需要干嘛？先需要让两点组成一条直线，再证明第三个点呢？在这条直线上，那么如果要这么做的话，基本上就走远了 啊，我们这块呢，使用基本事实三啊，比如说点 p 在 这里，点 q 在 这里，我只需要干嘛？我只需要分别去找到这三个点呢， 都身处这两个平面中，对吧？点 q 呢，既在贝塔中，又在阿尔法中。点 p 呢，既在贝塔中，又在阿尔法中。 点 r 呢，既在贝塔中，又在阿尔法中。所以说这三个点呢，都在哪里？是不是都在两个面的交线上呀？对吧？由此呢，三点共线，哎，就能挣出来。那么除了证明多点共线之外呢，它还有另外一个功效，叫做，哎，证明多线共点。 那么这个呢，我们待会也会通过例题的方式带大家来理解一下。好，那么到此为止呢，基本事实三个最难的一、二、三啊，我们就理解完了，为啥不带基本事实四，因为它太简单了， 对吧？那么我们分别来看一下，基本事实一，它主要能帮助我们干嘛？往往是证明多点共面啊。如果说我们遇到多点共面问题啊，往往需要 通过相交或者平行啊来证明它，那么基本事实二呢？哎，它主要起一个辅助的功效，对吧？它能干嘛？它能证明点在面内，那点怎么在面内呢？点在线上，线在面内。哎，那就可以得到。哎，我这个点在面内， 对吧？那基本事实三呢，它往往能干嘛？它能帮助我们证明多点共线，或者说证明多线共点，那么我们只需要证明这些点呢，都在两平面中，那么这些点呢，就肯定是在两平面的交线上，这就是我们怎么来理解这些基本事实。 好，那之后呢，开始我们的例题环节，搞清楚基本事实三之后呢，我们一起来看这道范例一，这是一道二零二五年的福建省校级期中考试题，告诉了一个正方题，在这里他说了 a、 c 和 b、 d 相交于点 o， a c， b d 是 谁？ 是我这个底面的对角线对吧？相连接之后呢，找到点 o， 这里又说 a、 e、 c 交平面于点 e， 对 吧？ a， e， c 在 哪里？ a， e， c 是 我正方体的体对角线，那么平面呢，是 d b、 c、 e 它俩相交，找到这样一个点 e 的 交点， 现在让我证明 c、 e、 e、 o 三点是共线的，哎，大家可以暂停下视频，自己来考虑一下这道题。那首先我要证明三点共线，放在以前的话，我们的思路呢，一定是，哎，先证明两点，能够确定一条直线，再证明谁呢？剩下这个点， o 哎，在这条线上对吧？我是不是也就可以说明三点共线，但是放到现在呢，如果还这么想的话啊，基本上这道题是做不出来的，那么根据基本事实三哎，我们的思路，想要证明三点共线需要干嘛？需要找到这三个点，哎，既在这个平面中，又在另外一个平面中，那么三点呢，是不是就在两平面的交线上？ 所以说他们三点是共线的关系，那么我们来观察一下 c、 e、 o 哎，这三点， 你能看出来它在哪个平面中吗？是不是这块显而易见，首先 c、 e、 o 它都在这个蓝色平面内啊，那都在 b d c e 里面， 这块的话，我们直接观察题目中，就等于说直接告诉我了。好，那么现在还需要找到第二个平面，来看一下是哪个平面呢？那这块可能稍微有点费劲，对吧？但其实呢，也不难看出哎，当我去连接 a e、 c e 的 时候，就能找到这样一个黄色平面， 把这个平面和刚才的蓝色平面相交呢？是不是就会产生 c、 e、 o 哎，这三个点对吧？那么由于呢，这三个点既在这个平面中，又在另外平面中，所以说它们三个呢，都在交线上， 没问题。好，那么一起来看一下证明过程应该怎么写。那首先第一步呢，先去描述一下辅助线啊，既然做了辅助线，就要把它写出来连接 a、 c 一， 好，那么这两个面呢，相交于 l， 对 吧？两个平面相交于 l， 蓝色和黄色的面， 那么这现在我需要干嘛？我现在是不是需要说明这三个点呢？既在这个平面中，又在另外一个平面中呀？所以说，哎，想要一见 c 一 呢，既然做了两平面的端点，那么它既在第一个平面中，哎，又在第二个平面中，所以点 c 一 呢？首先它在交线上没有任何毛病， 但是呢，点 o 和点 e， 对 吧？这两个点如果说直接说他在这个平面容易在另一个平面中会出现问题，为啥呢？因为他俩没有做谁啊？平面的端点，对吧？对于蓝色平面来说啊，他既不是点 b， 又不是点 d， 又不是点 c、 e， 所以 说这里呢，还需要借助基本事实二， 说明一下，点 o 和点一会出现在两个平面中，好，一起来看一下。点 o 呢？首先它在 b、 d 上，对吧？点在线上，那么线呢？又在面上，所以说点 o 呢？是不是就在平面 b、 d、 c、 e 中啊，对吧？这一块我们使用的是基本事实二，那么 o， 哎，就出现在蓝色平面中，好，那么 o 呢？也在 a、 c 上， a、 c 在 平面中，所以说 o 呢，也在另外一个平面中，哎，没问题。那么同理呢，我是不是也可以得到点 e 呢？是在这两个平面中，所以说点 o 和点 e 呢？是不是都在谁啊？都在两平面的交线上， 那么再根据基本事实三，哎，那么这三点呢，就是贡献的，哎，来看一下，对吧？我们使用基本事实来推导这种点贡献的问题呢，其实并不复杂，我们要做的呢，就是先找一个平面，再找一个平面， 找到谁啊？找到他们的交线哎，就可以了。基本事实三呢，除了帮助我们证明多点贡献问题呢，也可以帮助我们证明多线共点。啥叫多线共点呢？ 就是说，哎，有很多条线，他们不断延伸，最终呢，都会汇聚到一个点上，他们会相交。那比如说来看这道题，这是一道二零二四年的广州校区期中考试题，告诉了 a、 b、 c， d 呢，是个空间四边形，又说了点 e 和点 h， 分 别是终点，哎，它是终点，它也是终点。 那么点 f、 点 g 呢，分别是三等分点，把它分割成了一比二，把它呢也分割成了一比二，让我们证明这三条紫色的线啊，他们最终会交于一点。那么我们说解决这类问题啊，一般大体上的思路呢，一定是先去找到两条线，对吧？比如说他和他 好，那么他俩不断延伸，不断延伸，哎，最终呢，会汇集到这样一个点屁。那么最终呢，我再来看一下，点屁会不会出现在哎第三条线上，对吧？如果说他正好出现在第三条线上，好，那么最终就证明完毕了， 对吧？这是我们大体上思路。但是我们说两条线呢，最终产生一个焦点，这两条线需要满足什么要求啊？他俩可以是异面的线吗？对吧？比如说我的手指和这根笔啊，他俩是异面的，那么他俩不断延伸下去，会产生焦点吗？是不一定是不会的呀， 所以说，哎，首先我选择的这两根线，他俩必须得保证什么在同一平面内，对吧？那么这里的话，就需要借助一下我们的基本事实四了， 对吧？你发现这个图像，哎，告诉你了很多比例关系，这里是中点，这里是中点，这里是三等分点，那么通过平行关系，我就可以证明这条线和这条线它俩是共面的，来看一下怎么证，来看怎么证，哎，这是证明过程， 对吧？首先呢，点 e 和点 h， 哎，我们锁定上面这个大三角形 a、 b、 c， 这里是终点，这里也是终点，所以说 e h 和 b、 d 呢，它俩是什么关系？平行关系没问题吧？而且 e、 h 的 长度呢，是二分之一 b、 d， 那 么我们继续来锁定下面这个三角形，那么由于这里都是三等分点，所以说 f a、 j， 它是怎么样？平行于 b、 d， 而且呢长度是 b、 d 的 多少？三分之二，这块我们描述一下。好，那么我这条 b、 d 啊，它既平行于 f g 啊，又平行于 e h， 所以 说我就可以得到 e h 是 平行于 f g 的， 对吧？它俩平行，它和它平行，它俩一平行之后呢？哎，我是不是就可以说这条边和这条边它俩一定是共面的呀， 对吧？但是它俩想要产生交点，它俩还怎么样？不能是平行的，对吧？因为平行下去呢，也是不可能产生交点的，所以说还需要描述一下长度啊，是不一样的，对吧？因为 e h 是 大于 f g 的， 对吧？这条边和这条边啊，长度不一样，所以说呢，这两条边延伸下去一定怎么样？ 会产生交叠？好，那么证明完梯形之后呢，我这里就设它俩相交于谁啊？相交于这样一个点屁啊，把它写出来。好，那么知道点屁之后呢？我现在需要干嘛？我现在是不是需要证明点屁呢？同样出现在 a、 c 这条交线上呀， 完的这块呢？还是回归基本事实三，这条交线是谁的交线？是不是既是 abc， 又是 adc 这两个面相交的线？所以说，我现在只要说明，哎，点 p 呢，它既存在于 abc 这个面啊，又存在于 adc 这个面，所以说点 p 呢？它一定是存在于两个面的交线上的， 没问题吧？好，那么交线呢，又正好是我们要找的 a、 c， 所以 说，哎， a、 c 一定会穿过点 p。 所以 现在呢，我要先说什么？先说点 p 会出现在两个面中 完，那这块还需要借助一下基本事实二，点 p 呢，因为它在 fe 上， fe 又在平面 a、 b、 c 中，所以点 p 呢？是在 a、 b、 c 中，那同理呢？ 点 p 是 不是同样也在 a、 c、 d 中啊？好，同理也在 a、 c、 d 中，那点 p 既在这个面中，又在这个面中，所以说点 p 呢，就存在于两个面的谁啊？交线上 没问题吧？那么这根儿交线呢，正好是谁？正好是 a、 c， 所以 说呢， a、 c 一定会穿过交点点 p。 哎，那么最终呢，三点就汇聚于一点，哎，我们就把多线共点问题 也证明完毕了。继续来看这道范例三，那么首先给了个四棱锥， p a， b， c， d， 他 说在底面 a、 b， c、 d 中呢？哎，这两条边是平行关系，而且 b、 c 长度是小于 a、 d 的， 所以说，底面 a， b， c， d 是 个啥？是个梯形， 对吧？这里又说平面 p a、 b 和 p c， d 呢？交于 l， 让我们画图确定 l 的 位置，并说明理由。 哎，这里在问啥呢？在问两平面的交线具体位置在哪里？那么交线呢，在以后无论是学习平行也好，学习垂直也好，他都会扮演一个非常重要的角色，所以说我们一定要培养好自己找交线的能力。好，那么我们说要确定交线怎么找呢啊？交线在本质上呢，也是一根线呀， 对吧？所以说两点能够确定一条直线，我只需要找到什么，找到两平面的两个焦点啊，把它相连， 是不是就能说明，哎，交线就在这，没问题吧？那光从图像上来看，一蓝一红两个平面，哎，有没有已知现存的交点，能不能一眼看出来？是不是首先点 p 呢？就是个交点，没问题吧？它就是个交点，那么当我去找谁啊？比如说 pa 和 pd 啊，它俩相交于点 p， 那么 p b 和 p c 呢？同样也相交于点 p， 对 吧？我们说要找到这样一个焦点啊，一个还不够，那么焦点是怎么产生的呢？就是这样两根线啊，各自在平面中相交找出来的，对吧？你可以把它视为是它俩的焦点，也可以把它视为是它俩的焦点。 好，那么找焦点的方式我们会了之后呢，来看一下第二个焦点在哪里，是不是只有两条边没有用了，也就是 a b 和 d c， 哎，他俩延长出去会不会产生这样的焦点呢？那么我们说两条直线想要满足产生焦点需要什么？是不是需要他俩首先是共面的，而且呢必须不平行， 对吧？所以说第一步呢，题目条件给的这个东西，再说明 a b c d 是 梯形，那么也就说 a b 和 c d， 哎，分别延长出去，肯定呢会产生这样一个焦点，对吧？那么这个焦点呢，给大家起个名，就叫点 q， 那 当我去连接 p q 的 时候， l 就 出现了。 好，那么我们一起来写一下证明过程。那首先先描述辅助线啊，分别延长交与点 q， 那 么我是不是就要说点 q 呢？一定会产生在两平面的交线上，对吧？所以说点 p， 点 q 一 连接，哎，这就是谁？这就是交线，对吧？所以说呢，我们这块还是要使用基本事实三， 那么在使用基本式三之前，我是不是还要说点 q 呢？既产生于这个平面中啊，又产生于这个平面中，对吧？这块还要用到啥？还要用到基本式十二，对吧？它主要是个起个辅助作用。说明什么？说明点在面上， 对吧？点 q 呢？首先在 a b 中， a b 呢，又在平面中，所以说呢，哎，点 q 就 在面上，对吧？那相同的道理，点 q 呢，同样也在 p c d 上，那点 q 既在这个面，又在这个面，所以说根据基本式是三，那么点 q 呢，就出现在什么？ 就出现在两平面的交线上，没问题吧？所以说连接 p q， 那 么点 p 和点 q 呢，是不都在交线上？所以说它就是谁，它就是 l， 哎，咱们就证明出来了。
74昊哥跃动数学
32:00查看AI文稿AI文稿本视频时长三十二分钟，带你搞定立体几何几何法求空间角综合训练，从题目出发，解决各种综合题型，讲透底层逻辑，回复立体几何，领取视频讲义。 第一道题告诉我们一个三能锥，然后说这个 a、 b 啊，是垂直底面的，然后告诉我们底面还是一个直角三角形就是 b、 d、 c 是 直角，然后 ab 等于根三。 然后接下来有两个比较模糊的条件，需要你精准的去处理和翻译一下。第一个说最长的棱是等于多少根号十三。 第二个说当这个棱锥体积最大的时候，最后要求 a、 c 和 b、 e 所成的角，所以你想求这两个意面直线所成的角。首先看一下这个根号十三在说谁，这是你要解决的第一个问题。第二个体积最大的时候代表着什么？ 那我相信大家思考过了，然后接下来我们一起带着你的思路，带着问题我们来感受一下。第一个问题 说最长的棱，根号十三，谁是根号十三，你分析完之后，整个题里边最长的那个棱说的是谁？这是咱们要搞清楚的第一个问题，这个问题你解决不了啊，你进行不下去，对 ac 是 吧？ 所以看的时候呢，在这道题里边啊，怎么看最长的？那你看我们整个三角形，因为这里是垂直，这里也是垂直，有很多直角三角形，那直角三角形中什么斜边是最大？你先看一下扮演斜边的， 这个扮演的是底面的斜边，这个扮演的是斜边，所以这三个首先都是斜边，另外两个不用考虑。接下来再看这三个斜边， 这个斜边在这个三角形中相对于他又扮演了什么啊？直角边，所以他也不用考虑，然后最后就剩下这两个扮演斜边，那这两所在的直角三角形，你发现有个公共边是根号三， 他俩谁大？看他俩，他对应的另外一个直角边是他，而他对应的另外一个直角边是他，谁对的另外一个直角边大，那很明显是这个边对应的另外一个直角边是底面的斜边，而他对应的另外一个直角边是底面的什么啊？直角边，所以这个相对大一点，最终最大的是谁啊？ ac， 好 了，所以第一个条件咱们就处理清楚了，原来在告诉 ac 等于根号十三，我们标上去。然后第二个问题， 他说当这个体积最大的时候，那这个体积最大，又在告诉我们什么体积最大，又在告诉我们什么样的特点，或者什么样的特殊性？其实这些呢，多少都是一些非常基础的概念性的问题，他只是把非常简单的问题串联在一块。对 底面积最大，那底面积最大的时候又告诉我们什么呢？好，那我们就一起来分析一下啊。来，从不到有 等腰直角没问题，你看整道棋啊，体积最大体积看什么？底面积和高，这条线垂直底面，他就是高，那这就是底面， 所以我们要求体积怎么样？最大，就是要求底面积最大。然后接下来你看一下底面积有什么特点，因为整个这里是一个 r t 三，这根号十三，这根号三，所以这根号十， 所以你发现底面是一个什么？斜边为根号十，然后对应的直角是直角，那我们说这个点 d 的 轨迹在哪里啊？这是我们初中学过的什么定边定角吗？这刚好相当于一个圆的什么直径，然后呢，这个点 d 就 相当于永远在这个圆上运动， 那它在圆上运动的时候啥时候面积最大呢？就是等幺 r t 的 时候。所以第二个问题就在说底面为等幺 r t 的 时候体积最大，说白了也就是在告诉我们 b、 d 等于 dc， 都等于根号五。 坐到这里，你看他题目在告诉你条件的时候告诉的相对来说都比较委婉。那我们对条件的翻译，第一个来自于什么？我们初中知识对这种边的理解。第二个，体积最大的时候，首先要知道体积最大到底是谁最大？是面积最大，面积又是怎样一个图形呢？定边定角的一个三角形， 你把这两个条件完全处理清楚，那接下来还有什么综合性完全确定的？一个三棱锥要求里边两条意面直线的什么所成的角，那它就变成 一个单一知识点，就是求意面直线所成角的问题来最后一步了啊，那么求哪一条呢？求这两条，我们说意面直线所成的角要用几何法求的，关键是什么？平移让他两相交。那么这道题你看到这个点就在这个线的面里边，而且是中点，直接做个中位线，那 就这就是我们要找的什么角了。这个角找到之后怎么求呢？第一个是通过做平行找角，第二个只要找到就放在一个三角形中，正弦定力解，三角形拿下，所以你去求长度就行了。 根据刚才这个是根号五，这个是多少？二分之根号五，这里是直角，根据勾股定律，那 b f 就 算出来了二分之五，这里是中点，这里是中点，这里有个根号十三，根据中位线二分之根号十三，然后接下来剩下这一个长度，它在哪里？ 他也在一个 rt 三角形中，而且他是斜边上的中线，那他就等于斜边一半，你只要知道斜边就行。两个直角边，根三和根五，斜边二倍根号二，斜边中线根号二结束了，所以在这个三角形中，三边长度都知道，根据余弦定律算一下， 算出来它好像是一个什么负的，但是因为两条线所成的角必须是小于等于九十度的，所以你取它的绝对值就 ok 了，所以这就是最后的答案。所以说这道题看似好像是一个小小的什么空间角的综合，其实它就涉及到了三个问题。 第一个啊，就是你要掌握清楚怎么去判断最大的棱，其实主要是根据直角三角形三边关系 逐步找到最大的，判断清楚。第二个体积的最大值，那本质上是看体积是怎么构成的，底面积和高转化到 s 最值之后，看这个三角形的特点， 变成一个什么初中知识，这就是它综合的两个你曾经学过的基本点，你搞明白之后，第三个才是真正这几天咱们学过知识点，就是意面线的两步找角， 然后求角就 ok 了。所以我们经常讲，在高中呀，很多综合题是怎么综合，就是把你学过的一个一个知识点在一道题里边叠加串起来，跟串糖葫芦一样，串成一个完整的题就 ok 了。 这道题把，这道题因为是个翻折问题，我带大家把图画一下，然后大家再看啊。这道题的话，先告诉我们个平行四边形，然后说 a、 d 等于三，对角线等于四，然后还告诉我们这个角是个什么啊？ 余弦值是个五分之三，那说明了这个三角形中一个条件，两个条件，三个条件，一个三角形有三个已知的条件 代表着什么呀？代表着这个三角形的所有条件都已知，对吧？所以通过正弦定力也好，余弦定力也好，最终你发现这个三角形是个直角三角形，而且它是一个三边为三四五的直角三角形，再根据是平四，那这边对应的也就是五和三，这里也是一个什么啊？直角。 然后接下来他说将这个三角形 d， a、 c 啊，你注意沿 a、 c 将它翻起来啊，翻起来，你看啊， 我翻的时候稍微挪了一下，这就是刚才的，我给你对应一下，你把图先对应上，这是这里的这个直角三角形，现在做底面，然后把这个货翻上来， d 就 变成了 p， 所以 它变成了一个三棱锥，所以最终要让我们处理的是 p a、 b、 d 这个三棱锥，你发现 p a 首先是垂直 a、 c 的 这个直角底面也是啊，所以接下来回到这个题当中，告诉我们 p b 还等于根号三十四，然后要求 a、 b 与 p b、 c 所成角的什么正弦值， 那这就是一个线面所成的角啊。这道题看到这一步的话呢，剩下的已经比较简单了，首先图是确定的，告诉你这个等于根号三十四，往往在告诉你一些垂直关系，你就看一下 有没有勾股定律，他在哪个三角形，他在这个三角形当中三的平方加五的平方刚好等于三十四，所以他在说这里也是垂直，那么这里也是垂直的话，说明这个线是垂直底面的。那么接下来要求的是啥呢？要求的是这个线和这个面所成的角。 那我们说线面所成的角用几何法核心操作是过这个线的端点，向这个面找垂线，找到垂足，连垂足和交点，找投影， 那么这个角就是我们要找的角，那么你看一下这个点， a 垂直，这个面垂直在哪里？你知道不？我放弃了，一眼看不到，我就默认为我能力不行， 所以我们说在线面角找不到的时候咋办来，找不到不是问题，找不到不代表问题解，找不到对等体积法， 因为我们说你随便向这个面做个垂线，这个除了找到这个角用几何法算之外呢？你随便画一个这个线，有一个啊，叫做 专业名词。其实点到面的距离可以看作是一个追起的什么高，那这看作高，这是个线。那三引阿尔法不就等于 h 比上 ab 吗？对吧？所以 ab 知道只要求 h 就 行了，求 h 非得知道垂足在哪里吗？不用 咱们上上周讲的几何量中的什么，但凡球点到面的等体积，那么接下来第一个表示体积，就是这个面和它上面的高。第二个要选择一个能求的，那选谁呢？正常的底面和正常的高， 所以我先表示出来两边的三分之一，我就不写了啊，反正都就约掉了。 p、 b、 c 的 面积乘以它所对应的高，等于 abc 的 面积乘以它所对应的高。咱带个直，先看这个，这里呢，也是个直角三角形，为啥呢？因为这个线它和它垂直， 也和这个垂直，所以它垂直侧面的面，这是直角，那它的面积就是三乘五除以二乘以 h， 那 这边 abc 呢？三乘四除以二，再乘以高是多少？三，二和二约掉了，三和三约掉了 h， 等于五分之十二， 拿下，对吧？带进去，这等于五，这等于五分之十二，非常简单，二十五分之十二。所以你理解透了，你走到每一步，你都知道 对应不同的现象，对吧？能找到怎么解，找不到怎么算，都能轻松拿捏。好了，那这个就结束了，接下来继续向下看。啊，还是个翻折的问题。这道题呢，又告诉个平行四边形，告诉我们这个是一，这个是根号二，这个四十五度，两个奇特别的像。那这不是又知道三个根据什么 正弦定理就得到，这也是个直角三角形，整个是个平四，这也是个直角三角形，对吧？然后他也把这个棋翻了一下，他咋翻？他沿着这个翻， 沿着这个翻，说明原来的底面 b、 d、 c 还是个等腰直角三角形。把另外一个等腰直角三角形翻上来，就是把 a 翻到这了，对吧？那把条件梳理一下，翻上来之后，这个是一，这个是一，这个或原来的它根号二。 b、 c 根号二，这个角就是原来这里的角直角，这个角，原来这里的角直角。这就是咱翻完的图啊，我给大家换一页，画大一点， 这是他翻完的图。翻完之后，这道题要求什么呢？他要求的呀？嗯，不止线面角，他先是给你条件的时候给了个二面角，他说翻到 p、 b、 d 和这个面所成的角， 要你自己去梳理，同时还要求一下此时这个 p、 d 和底面所成的角是多少。这道题呢？首先第一个，但凡咱们看到了空间角，你选定了小棋嘛，优先选择几何法。 你选定了几何法，你一定要把这个角找到，不管是已知的，就是它必须是平面角，最好放在一个三角形中，它才能用得上。你要求的这个角，它也必须是一个什么啊？你初中所学的这个角的样子， 然后放在三角形中，你要能够怎么样去算它？所以这是基本意识。那首先第一个看二面角，那么两个面所成的角咋表示呢？我们说先找到交线，交线是 b、 d 嘛？然后每一个面向交线做垂线， p 刚好 p、 b 垂直它， c 向它做垂线， c、 d 垂直它唯一不幸的就是没垂在一个地方。我们说当这两条线垂交线没垂在一个位置的话，二面角还是没出现， 那接下来只要怎么样平移就可以了。那接下来比如说我把 c、 d 过点 b 做他的平行线，那我一平移就平移这去了。 平移之后原来是个三角形面，因为这个线和这个线平行的，他们还是共面，所以整个底面呢，就变成了一个什么四边形的面。所以那我就找到了这个二面角，再说这里是四十五度，然后我把它放在三角形里边啊， p、 b、 c 撇这个三角形里边有个四十五度。 第一个条件找到了，接下来要找的是线面角，这个线和底面所成的角和底面所成的角，那也简单过，什么 过端点向面做垂线，所以点屁要向面做垂线来，垂足在哪里？知道不对，在 bc 上。为啥呢？你看啊，这条线是垂直这个面的吗？ 对吧？你要看到关注垂直嘛，这个垂直的话就是绿色的，面和底面是垂直的，这个面和底面垂直的。你屁要向底面做垂线，肯定在 b c 撇上， 所以做垂线连接 d h 这个小小的角就是我要求的角。好，找到了，接下来咱也放到三角形中了，就剩下算了嘛，要算关注长度来， 这个是一个直角三角形，这里有个一，有个四十五度，那这个 p h 是 二分之根号二，然后这个线本身就是二分之根号，假设这个是个 r 法，那这个 sin r 法就等于二分之根号二，除以根号二，就等于个二分之一， 所以这个角三十度轻松拿下。你看这个难度也在逐渐上升。前两道题呢，他是跟我们学过其他知识结合，但是只处理一个角，然后这是第一题和第二题、第三题的话条件， 嗯，一个角，一个二面角，对吧？然后要求的要是一个什么线面角，所以一个棋里边多个角出现的话，那都是咱们 这些知识在串联。那接下来咱看一个更多的线面角，线线角二面角都有，我们看一个多选题啊，哎，这个题啊，这个题还有一个平移的方式，忘了说了，就平移的时候大家方式可能不一样，比如说刚才找到 这两个都垂直，没垂在一个位置。在平移的时候，有些人一想垂直这来都不知道垂在哪，他可能不想再再 几何体外边去做，所以还可以怎么样？你就选个中点，都平移到什么中间也可以的啊，一模一样的。 然后你比如说在这选中点，他两个平行，他两个平行，那这个角就是我们要找的角。然后在这个图形中，只是你向下找垂线的时候，从这去做就行了啊。 f 向下做垂线一叠，在这里，两个跟刚才的是相似的，只是要求的三角形小一点， 所以这没啥区别啊。所以说你在平移的时候，平移到中间位置，两个都去平移一下也可以啊。好，接下来看我所说的这个多选题，那这道题先给大家看一下一个正三能柱，首先 那他上边下边都是正三角形，其次正能柱肯定是直能柱，所以侧能一定是垂直底面的啊。然后接下来说 e、 f 分 别是它上边的点，这两个点在哪？不知道啊，你可以认为是动点， 不是中点，也不是三等分点。然后接下来说 e f 与 a a e 所成的线面角为阿尔法， e f 与底面所成的线面角是贝塔。然后 f b c 这个面和底面所成的二面角为伽玛。 接下来要处理接下来这个四个选项，这道题我觉得出的非常好，值得大家下去反复把它通透几遍。你真的把这个题里边的这些点想明白了， 那你对于空间的这些角，在几何法的角度去找去算啊，就会有很大的进步啊。好了，第一个先齐到了三个角，一个一个找。首先 e f 与 a a e 它俩所成的角，那要怎么样平行相交，然后去找这个角， 那么过哪个点做平行线呢？一个是这个线，一个是这个线， e、 f， 对 吧？ 过哪个点做个平行线啊？对，肯定过 f， 因为 a、 e、 a 和 f 明显在一个平面，在一个平面内做平行线最简单，所以 f 向下做个什么平行线， 那他俩所夹的角就是这个，或就是阿尔法，把这个阿尔法放在三角形中。好了，那阿尔法有了。接下来看第二个角叫贝塔。 e、 f 与底面所成的角， 那么 e、 f 与底面所成的角，线与面所成的角。咋找？过点向面做垂线来？ f 点到底面的垂足在哪里？ 那不就是 f d 吗？那么这个投影和这个线所夹的角就是谁啊？线面角，所以这是贝塔， 当你贝塔画出来的时候，你就知道 a 选项，这个分拿到了，再难的多选区，往往有一两个选项，就是考你对概念或者说基本功有没有扎实的理解。可以了啊。好， 接下来我们接下来看第二个选项，贝塔与伽玛。伽玛是啥呢？那又得找第三个角，第三个角叫二面角，哪两个面呢？一个是 fbc， 一个是 abc， 二面角找交界，交界就是 bc， 那 他俩要分别向交界去做垂线 这个棋。咱们过哪个点做垂线呢？如果一个面内刚好有像另外一个面有垂线，你就过这个垂足直接做，然后根据三垂线定力，或者根据线垂面， 这个角直接就是什么二面角了。所以咱过点 d 啊，向它做个垂线，做完之后，因为你发现 bc 和谁啊？ d h 垂直， bc 和 df 也垂直，所以你连一下 f h， 它一定垂直。 bc， 那 这个角就是伽马了，所以伽马直接找到， 在这个棋里边呢，我们要的不管是线线所成的角，线面所成的角以及二面角都肉眼可见了，也都放到三角形当中了。但是这个 b 选项它要比较的是这两个角，但凡要比较两个角，那你就得看它俩对应的三角函数， 要看三角函数各自放在一个 rt 三角形中，贝塔在这个 f、 d、 e 当中，然后这个伽玛呢？在这个 f、 d、 h 当中来看这两个角的什么值，正弦余弦正切，看它的什么值会舒服一点。 你要看这两个三角形，要去比较，就要看一下这两个角有没有对应的一样的定量，因为在这两个三角形中，这个量是个定量，所以它俩对边都是定量的话，你看正切，那就是它俩相同的量，一个比 d e， 一个比 h， 如果你看正弦是相同的量，一个比 f e， 一个比 f h， 所以 表示出来去比较的时候，往往只看分母了，分子都不用看，因为分子是一样的， 所以要关注他俩的定量，或者叫做相等的量，要会选就是这种细节是很重要的。来接下来把他俩的正切值啊，贝塔对应的是 f d， 比上 d e， 然后伽马对上的是 f d， 比上 d h， 所以 你就看一下 d h 和 d e， 哎，都是从点 d 与 bc 上点连线，但是 d h 肯定最小，那 d e 肯定是大于等于谁啊？ d h 的， 那么这个分母大，说明他整个值小，或者什么等于，那正切值越大角越大，所以贝塔小于等于伽马也没有问题，所以 b 选项也选定了，所以前两问本质上还是在于谢谢角，谢面角，还有二面角，你能不能找的很， 怎么样很扎实？就是你对在空间中把他先找到，放在三角形里边，基本功扎实，那处理起来啊，也就轻松拿捏了啊。 好，那么接下来我们再看一下这个 c 和 d 选项，这个选项里边，首先啊，它要比较贝塔与四十五度的大小，还有阿尔法和伽马，但是都有个前提，再处理角，那它给一个这个边和这个边的大小， 那大家想一下这个到底是这个条件，到底是咋用？都在研究角给这两个长度跟角怎么能建立上关系，或者说这两个长度跟哪个角有关系。你就想 这两个边对应的角肯定是放在一个三角形中，就是这个角，所以告诉它俩的大小关系，从某种角度上是在告诉这个角的范围，因为这个边比这个边大，那贪定塔 c 塔就等于 a e a 比上谁啊？ a b 肯定是大于一的，说明摊定塔 c 塔是怎么样，说明 c 塔肯定是大于四十五度的。那么这些你看在咱们线线角、线面角二面角的基础上，它又给出了一个角，直接写成 c 塔，它等于谁啊？ a e a 比上 ab， 然后呢，他是大于多少一的，所以 c 塔大于四十五度。但是这道题比较的是谁啊？不是 c 塔与四十五度的关系，是贝塔与四十五度的关系。那你就看一下贝塔和 c 塔对应的正切值，哪里是相同的分子，他的分子 df 和这个 c 塔的分子 a e a a e a 和 d f 是 相同的，你就看这两个分母谁大。所以贝塔其实看似跟四十五度比较，其实是在和 c 塔比较，对吧？是不是 ab 更大，那么 ab 更大， 分母更大，角更小，所以 c 塔小于贝塔。第二 b 选项又知道贝塔小于等于伽马，又知道它大于四十五度， 所以贝塔肯定大于四十五度，这胡说八道呢。然后接下来他说还是这个条件，阿尔法是不是小于伽马的？那阿尔法是什么呢？阿尔法是九十减贝塔，贝塔比四十五大， 那阿尔法肯定比四十五小，阿尔法肯定小于伽马。结束我觉得这道棋出的还是非常的好，所以最终在一个棋里边陷陷角，陷面角，二面角，最终还出现了一个参考角，对吧？跟他们之间还要进行一个比较， 所以这道题你要研究透了，我相信你对空间角几何法的角度下啊，一定有比较不错的理解啊。好了啊，然后如果在清的过程中觉得，嗯，自己还是想不到，那你下去之后拿重新把甲乙打印出来， 然后扎扎实实的把这些题再就是重复个一两遍吧。每周每每个细节，关键点，为什么想到这里？为什么要做这样的选择？包括你看刚才 首先找角，然后选这些角的三角函数，选什么三角函数，为什么这个条件要朝角去思考，因为他比较的是角，对吧？那么朝哪个角去思考，你就看这两个边的比值跟哪个角有关，他就是跟这个角有关， 然后这个角有了对应的是正切值，看他的正切值和贝塔的正切值之间的关系，其实你会发现每一步还是比较丝滑的。 接下来我们要处理的后三道，这三道题有个公共的特点，就是一般情况下会给你一个两个半平面，然后在这两个半平面中有一个线段交线的啊，大概的模型就长成这个样子，告诉不同的已知条件，去求不同的东西，但是他们有相同的底层逻辑， 我们一起来感受一下啊。第一道题做一个例子，这道题告诉我们，二面角为一百三十度的两个半平面啊， b、 d 和 a、 c 分 别在两个平面内，它们都垂直它们的交线 l。 然后在这还告诉一些长度，说 ab 等于二， ac 等于二， b、 d 等于二倍根号二。最后要求一下 cd， 首先不管他给我们的什么条件，当你看到二面角来，只要一个题目中出现了二面角，这道题，你选择了几何法，这些题都可以用空间向量啊。 我说一遍，这接下来讲三道题，以前我讲的时候是几何法加空间向量啊，今天呢，我不讲想讲向量，我只想讲几何法，咱们就说几何法， 所以站在几何法角度上看到一百三十五度，这个一百三十五度必须怎么样？只要二面角出现，你只要用空间角，这个角必须还是那句话，呈现在某个三角形中，首先他是平面角，其次放在三角形中，所以找到公共的，他俩都垂直平移，你平移 a、 c 吧， 这样二面角一百三十五度就出现了，出现了来放在一个三角形中。所以说这个操作应该很简单，二面角 在哪？你但凡用几何角，只要提到这个角，要求这个角，你都要问自己在哪，你找到了，那这个问题解决了， 对吧？那找到之后能得到什么呢？那你在平移 b 撇 c 的 时候啊，你平移完之后，其实的这个肯定要放封闭图图形中，所以这个棋很重要，就是一定会联系一下 c、 c 撇，联完之后你就会发现 c、 c 撇始终是垂直这个面的，这两件事情干完之后结束了，所以通过找角， 只要构造出现垂面这组关系，要求啥都解决了，不管给的什么条件，走一遍吧。题目告诉我们这个是二倍根号二，题目告诉我们这个是二，这是一百三十五度， 你就可以求出这个是二倍根号五。具体咋求呢？你用鱼弦定里也行，你用你初中的玉特殊角做垂线也可以啊，在这做个垂线，然后呢，这是 d， 这是二，这是二倍根号，这也是二，这也是二，一个直角边二，一个直角边四，你也可以求出二倍根号五。 好，这是二倍根号五，这 c c 撇就是 ab， 是 二，这又是什么啊？直角嘛，线垂面做一个勾股定里，求个 c d 二倍根号六，直接就搞定。 所以棋本身很简单，但是你只要看到这里，你会发现，你要找到这个角，你必然平移，平移完找到这个角必然出现线垂面。 只要想明白这道棋里边要干的这两件事情，接下来随便他怎么考，都可以顺利的把它拿下啊。那最后梳理一下，所以我们接下来讲的这一类棋都说了，两个半平面，两个面里边都有两条线，对吧？有些时候垂直，有些时候不垂直， 在你最终一定要找到两个垂直的平移产生什么二面角，产生二面角的基础上，把它放在一个三角形中， 平移的这个端点连线一定和这个面是什么垂直的，有了这样的一个什么关系？这些题都可以轻松拿捏来练两道。这道题的话，一样的，告诉一个二面角为一百二的这两个半平面， 说 a 点到这个距离是一， b 点到这个距离是四，然后这回把 a b 告诉了二倍根号七。那他这次要求的是什么？他要求的呢？这次不是长度了，他要求这个公共的棱和这个 a b 所成的角是多少。好，老规矩，按照刚才的思路再来一遍，你会发现轻松拿捏第一个。但凡这种告诉你二面角还是那句话， 都有二面角，用几何法在哪呢？分别向他做垂线，有了平移嘛，比如说我平移了一下谁啊？ b c 平移到 b 撇 c， 然后这就是一百二十度啊，一百二十度在这里，然后接下来会产生平移后的这个线垂面，那你就在这里边去求，那你先找一下角在哪呢？ 本来是他俩所成的角，那这不就是我要求的角吗？那这个的话，我知道这里是二倍根号七，我要去求他求出 a 撇 b， 或者求出 b b 撇都行。那这道题知道啥呀？知道这里是一，知道这里是四，知道这是一百二十度，画出来求一下吧。这里是一百二十度， 这里是四啊，这里是一，那这是二分之一，这是二分之根三。哎呦，这个好难算啊，四分之三，这个二分之九，二分之九的话，一平方四分之八十一，四分之八十四等于二十一。好了啊，初中方法也能算根号二十一。 所以当你发现 ab 撇是根号二十一，那这个角的对边是根号二十一，斜边是二倍，根号七，所以这个角的正弦值二分之，根号三，那所以这个 c 它不就等于啊，它只求正弦值， 那我写完了，对吧？所以你发现跟刚才一模一样，只要看到这种，你首先要平移，找到什么二面角放一块， 第二个就一定会垂直，什么出现什么线垂面，从而问题就一定可以解决。这道比较简单啊，接下来最后一道还是稍微有点难度的，这道题也是两个半平面，也告诉 m a 等于三， a b 等于二， b n 等于一，然后接下来告诉这里是一百二十度，还有这个 n b a 啊，这里也是一百二十度， m n 还等于三倍，根号三，它最后要求的是异面直线 m a 和 b n 所成的角，那这道题唯一不一样的就是没有垂直了。看一下 你学完之后能不能灵活解决这道题的话。看到之后啊，二面角给了这么多，还是得平移。平移呗，你要求他俩所成的角叫做空间角，他必须出现，那你平移了就是求这个角，那求这个角就得放在这个三角形中， 放在这个三角形中数条件，我知道这个是三，我知道这个是一，没了，那没了肯定不够嘛，对吧？你只有两个条件，肯定求不出这个角。然后我们就想在这种一定要出现线垂面，但是这道题 有两个半平面，没有二面角怎么办？没有就自己做呗。所以没有就自己做。所以咱过 n 向他做个垂线，过 m 向他做个垂线。 做好垂线干什么呢？平移，所以你平移之后，这就是谁啊？二面角，然后把这个面做出来，这个线就会垂直这个面，那么对于这种两个半平面的，你始终要坚信 有两个半平面要做二面角，然后就会出现线垂面，然后要解决很多，就都可以迎刃而解。来看一下，我们知道哪些长度啊？因为这里是一百二十度，这是六十度，这里是一的话，这一段是二分之一， 然后这一段是个二，这里也是六十度。因为刚才告诉这一百二，这里是三的话，这是二分之三，二分之三，二二分之一，你就会发现整个这个长度等于多少？等于四， 整个这个长度等于四，其目又告诉这个长度等于三倍。根号三，根据勾股定律，二十七减去十六等于十一，所以 m n 撇等于根号十一。 好了，有了根号十一，我们说我真正要求的是这个角，我缺的长度是这个长度，我得求这个长度。这直角三角形这一段，这一段是二吗？和它相等，剩下也是二，这根号十一，这是二。直角三角形，根号十五，完了， 这里是三，这个是一，一三，根号十五。说要求这个角于弦定力，拿下搞定。所以说你看最终没有垂直，也得自己去找到垂直平移，垂直产生线，垂面顺利拿捏。
321老赵高中数学
05:15查看AI文稿AI文稿大家好，我是星云，欢迎来到我们的全新系列，五分钟一道例题几何，每天五分钟掌握一个做题技巧，那么十级看下来呢，相信你就不会再怕例题几何了。今天我们先来看中位线段，中位线段是什么意思呢？就是当你在题目中看到他给出中点的时候啊，往往我们会去构造中位线，比如说这道题， 他说在 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 c d， a、 b 和 c、 d 的 夹角是三十度， e、 f 分 别是 b、 c、 a 的 的中点，你看这里就给了你两个中点，让你求 e、 f 和 ab 所成角的大小， a、 b 是 这一条， e、 f 是 这一条，显然它俩不是共面的，对不对？那像这种 e 面直线的夹角就是大家最近头疼的题，但是啊，它告诉我 e、 f 是 终点哦， f 是 这个终点， e 是 这个的终点，这个时候我们去构建中位线。中位线是啥哟？比如说这里有一个 a、 b、 c 嘛，那我 a、 b 的 中点的 a、 c 的 中点 e， 这个得 e 就是 三角形 a、 b、 c 的 中位线，是吧？所以今天那我们也要再去找一个中点，就可以构建出中位线啦，找谁呢？这个中点我们也不是随便找的，你可以去针对我们今天要求的对象，比如说 a、 b、 a、 b， 你 看到它是在这的 题目给了一个 e 是 b、 c 的 中点，所以如果我在 a、 c 上找一个中点 g， 那 你一连你发现这个 e、 g 是 不是就是 abc 这个三角形的中位线喽？于是 a、 b 就 和 e、 g 平行了，对不对？所以今天我们的中位线就是这么构造的， 取 a、 c 的 终点 g， 带大家一起写一下过程，取 a c 终点 g， 那 我们的中位线就是这个 e g， 我 们把它连起来，所以呢，连 e g， 那 因为 e 为 bc 终点， g 为 a c 终点，所以我们的 e g 是不是就平行且等于 ab 的 二分之一啦？题目本来是让我们求 ab 和 e f 的 夹角的，现在既然 ab 跟 e g 平行了，所以我们就去求 e f 和 e g 的 夹角就行了，对吧？那这个夹角怎么去求呢？大家要学会把角啊放进三角形里去求，哪个三角形呢？那你可以连接 f g 是不是就是 f g e 这个三角形里的一个角哟，所以 f g 我 们也连起来，那你会发现，哎， f 也是一个中点， g 也是一个中点，所以这里的 f g 是 不是就是 c 的 二分之一呀？我们可以补充一下， 连 e g， 而且呢，还要连 f g， 并且呀，我们的 f 为 a 的 中点，所以说 f g 它也是平行且等于二分之一的 c 的 平行。关系出来了，接下来我们要求这个角度怎么求呢？看一下题干还给了一个信息哦，叫做 ab 和 c 的 角是三十度， ab 和 c 的 也是两条异面的直线吧， abc 的， 我们怎么把这个异面直线变成共面呢？就用上刚才写出来的这个平行结论嘛。 大家看到 c 的 是不是跟 f g 平行的，然后 a b 呢，又跟 e g 是 平行的，所以这个 a b 与 c 的 所成的角，我们是不是就转化到了这个平面上？其实就是这个 f g e， 当然了，也有可能这个 f g e 是 一个三十度的补角，一百五十度的，对不对啊？因为它两条线成三十度，那这个角呢，有可能是一百五，有可能是三十，那我们把这个结论也写下来。所以啊，角 e g f， 它可能是和你俩成的夹角一样是三十度，也有可能呢，是你们的补角一百五十度。 而我们想题目想让我们求的 ab 和 e f 的 夹角，现在由于 ab 跟 e g 平行，是不是也转化为了 f e g 的 这个角的补角？那接下来我们的目标就是求出这个 f e g 就 行了，对不对？那接下来我们的目标就是 f e g， 这个角怎么求呢？ 我们要放进 f e g 这个三角形中来。看到这个三角形里啊，这个角我们已经知道了三十度或者一百五。 然后再看题目，还有个条件没用哦， a b 等于 c 的。 刚才我们讲过， e g 是 a b 的 一半， f g 又是 c d 的 一半，那既然因为 a b 等于 c d 的， 那是不是所以我们的 e g 就 会等于 f g 了哟，那到这里其实我们就知道了，你看 e g 等于 f g， 所以 这是一个等腰三角形，看到吗？然后它的顶角呢，是一百五十或者三十。那我们就分类讨论一下，角 e g f 等于三十度时，角我们要求的 f、 e g 是 不是就是二分之一的一百八十减 三十，那就是七十五度。那当它等于一百五十的时候呢？我们这个角就是一百八十减去一百五十，再除以二。题干要我们求的是 ab 和 ef， 那 我们就告诉人家，因为刚才我们已经证明过了， ab 是 平行于 eg 的， 所以你今天想让我求的 ab 与 c 的 夹角就是等于角 f eg 或者其补角的。 那既然这里哎七十五跟十五都是小于九十度的，所以没问题，直接拿过来就行了。所以呢，你让我求的 a、 b 与 c 的 夹角就为七十五度 或者十五度啦。所以这题呢，就是非常经典的看到终点呐，我们就去构造中位线，然后你就可以将这种意面的直线给它放进同一个平面里去求啦，对不对？然后你就可以将这些意面直线的夹角啊，给它移动到同一个平面或者是同一个三角形里去求啦。 如果这个视频有帮到你，可以点赞、收藏和关注哦！还想听什么也可以发在评论区，我是新云，我们一起加油，下期视频见！
1905爱喝酸奶的心云
37:50查看AI文稿AI文稿本视频时长三十七分钟，带你搞定立体几何四个基本事实，从原理出发，讲透说了啥，能干啥，配合立体代练，掌握解析思路，回复立体几何，可领取视频讲义。 今天我们要讲的这个内容呢，叫做立体几何中的基本事实。啥叫基本事实呢？就是有四个不用证明的，大家认为它成立的这样一个事实，一、二、三、四，那对应的是啥呢？就是这四个东西， 比如说一本事实一过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，那你想一下，你随便画一个不在一条直线上的三点 abc， 我 们用常识去想一下，它就只有一个平面，就是这个平面 abc 所 说，你一想这好像说了什么，又好像什么都没说，所以基本事实或者说公理，他给我们的感受就是他说这句话是对的，但是这句话说了之后又等于没说这种感觉，那没错，所以就是因为这种感觉，我们会产生一种好像我把公理学了， 但是到真正去用公理，或者说用公理，或者叫总之我说公理，大家就知道说的就是这个基本事实啊。这个说基本事实还是我不习惯的一个方向，就是我们用公理真正要去证明一个问题的时候， 我们小伙伴可能就会联系不起来，因为真正要去挣的东西，和他描述的这个东西在很多情况下会差一些。所以今天呢，咱们就围绕这几个基本事实，他到底说了啥？他能挣啥， 对吧？比如说刚才所说的过不在一条直线上的三点，有些只有一个平面，其实它能够去证明多点共面，那怎么正呢？其实就是正这几个点所构成的两条线是平行或者相交都能得到它们几个点是 面的，那包括后边的也是一样，这个公理描述的很绕，但是他可能能正的和这个建立不起关系。所以我们今天一起先来感受一下公理聚焦的说人话，他到底说了什么，然后以后遇到要去证明哪些问题的时候，哦，他考的是这个公理，对吧？ 那你知道了，考的是这个公里，然后他正的时候到底是怎么正的，过程是怎么写的啊？要把它整清楚，这是咱们这节课的目标。当然了，这四个公里呢，更重要的在后续咱们要对一些 几何体去找面与面的交界，或者说要去找结面，要把一些结面补充出来或者画出来，其实 本质上考察的也是大家对什么对这四个公理的理解。所以我们今天就聚焦于这四个基本共识啊，说了啥，能干啥，然后怎么干？ 解决这三个问题，那基本上公里所产生的这些证明题你就会了。那我们首先从第一个大家最好理解的这里没出现的基本事实四开始，因为这个是所有人都能够理解，也都能用得上的，他说的比较明确，平行于同一条直线的两条直线平行 那么在初中就学过，只是当时是指在一个平面内平行，同一条直线的两直线是平行的， 那么今天再扩充一下啊，放在空间内，平行于同一个直线的两个也是平行的。我们用数学语言或者用符号表示，就是 l 一， 比如说平行于 l 三， l 二也平行于 l 三，那么 l 一 和 l 二也是平行的， 那这个具体的咋用？或者说特别是过程咋写？我们通过一个非常简单的题带大家认识一下。如果说考个题啊，你感觉好像这就是成立的呀，这还要写过程吗？那我们主要看一下过程咋写啊。比如说这里有一道题，在一个空间四边形 a、 b、 c、 d 中， 那也就是什么三棱锥， a、 b、 c、 d 中， h、 j 分 别是这两个或的什么中点啊？ h 点、 j 点是这两个棱的中点，然后 e 点、 f 点呢？分别是这两个线段的三等分点。 现在要让我们证明四边形 e、 f、 g、 h 是 一个梯形，想一想，要证明它是梯形，本质上是在证明什么？本质上是不是在证明 h、 j 和 e、 f 平行，当然了， e、 f 和它还不能怎么样相等，如果这两个货再相等， 那就变成平四了啊，那我把这个证明的思路和过程都给大家过来，这非常简单，本质上你要证明它两平行，那它两又没有直接的条件能正平行。但是你看到这里终点你就会想到啊，这是中位线，所以它平行于 a、 c， 然后接下来在这个三角形当中呢，在三角形当中，当然就是在一个平面当中了，对吧？然后呢啊，两边对应成比例，所以这两个也平行， 所以你看这里就用一个点，就是咱们基本共十四，在空间中平行于同一条直线的两个直线是什么平行的？再结合它等于这个的多少二分之一， 它等于这个多少三分之二，然后它俩是不相等的，所以整个图形是七行 啊，这就是考到了基本共十四的时候，我们对它的理解，那有了这个理解非常简单，然后呈现一下过程，在这道题里边，从它给的图，它没有连接这两条线，所以首先你连接一下 e、 f， 连接一下 g、 h， 然后接下来在第一个三角形 a、 c、 d 当中，也就是在这个平面 a、 c、 d 当中， h、 j 分 别是这两个边的什么啊？中点，所以呢， h、 j 平行于它，这靠的是什么中位线，而且等于它的一半就有了。 同样道理，在三角形 a、 b、 c 中，这有一组比例，所以 e、 f、 e、 f 也平行于这个线，并且等于它的三分之二。那在这种情况下，你会发现 平行于同一个直线的两条线是平行的，它俩平行，并且 e、 f 比 gh 要大， 所以它俩平行却大小不等，所以四边形 e、 f、 gh 是 梯形，所以这是一个我相信，就是可能在这老丈没梳理，大家也会理解的非常清楚， 他只是把在平面中平行的传递性延伸到了什么空间中，依然是成立的，所以我们优先把最好理解的基本共十四说完。那么接下来的话，我们就基本式十一，基本式十二、基本式十三一起来看，这几个稍微会比较抽象一点，比如说这句话，就是不在同一条直线上的三个点， 能够确定唯一一个平面，对吧？这就是啊，他说的对，但是这有啥用呢？咋用呢？对吧？那么这个本质上大家可以理解为不在同一条直线上的三个点 啊，任意两个连线，他们都是，这两个线都是什么相交的？举个例子啊，比如说这两个连线啊，我们画出来他俩是相交的，这两个连线他俩画出来也是相交的，对吧？ 这两个连线画出来也是相交的。所以说你对这个公里或者是基本事实的理解，可以理解为什么相交可以正共面，如果两个直线相交的，他就可以正共面， 那这刚好和他引申出来的推论就完全一致了。比如说推论一，他说一条直线和直线上任意一点一连线，他还是一个什么 两条线相交的关系，所以说我们能得到的就是相交还是可以正这些点是怎么样的共面的。 那再来，这就更赤裸裸，两条相交直线确定一个平面，所以相交可以正共面好了，这是基本事实一，和它对应的推论一、推论二，在这给大家说一下什么叫做相交能正共面， 那这样的话，你就对于你学的基本事实一未来能干什么有一个认识了。因为我们以后会看到的题，比如说你不管它条件告诉我们什么，它最终会经常说证明哪几个点是共面的，那你就要知道啊，相交可以正共面。比如说 啊，我把这四个点看成一个线， p q 和 bc， 如果我能够证明 p q 与 bc 相交，那就能正共面了。 所以这样基本事实一，哎，一下子就有了什么作用了。本来你想着不共线的三个点确定一个平面，那除了它，你好像感觉跟这个靠不拢，但是你把它理解成 相交的两条线可以得到一个面啊，那就可以得到它们共面，那相交就可以去正四点共面了。以后遇到多点共面，你也就想到基本事实一，通过相交可以正好接下来看它通中三。通中三是指两个平行直线，也可以确定一个平面。 那也很简单，那刚才是相交直线能够正共面，这回就是平行也能正共面。感受一下，还是刚才这个例题，你看到这个问题，现在就能想到了啊。我，那我看一下 p、 q 和 b、 c 是 不是平行的，如果我能证明它俩平行，我就能解决这个问题。所以 基本事实一，你结合它的三个推论，你想明白了，就是在告诉你，同样一件事情，相交和平形都可以得到这些点是共面的，所以它能干啥呢？它就能挣多点共面。但凡你以后像刚才一样看到证明哪几个点共面， 那你就看它们构成的两条线，能用平行正，还是能用相交正？能正它们平行结束了，能正，它们相交也就结束了，这就是基本事实一，用来要干的事情。好，接下来就看题。那咱就看刚才这道题。 这道题告诉我们，有个三棱锥， s、 a、 b、 c 啊，一个三棱锥，然后点屁，是这个面啊，所在三角形的重心，点 q 是 这个面，所在这个三角形的重心。 现在要证明 p、 q 和 bc 啊，这四个点是共面的重心，是三条中线的焦点啊。首先第一个啊，有人可能不知道重心，重心是中线的焦点，而且分中线为一比二两部分啊，一比二两部分。 这道题的话呢，老赵就用两个方式都带大家过一下重点还是一想明白。二呢，咱们要会写过程啊，证明其写过程。那这里你一看四点共面，你脑海中马上想 正共面的方式有两个，一个是证明平行，一个是证明相交。所以你在这先做个选择。这道题大家选正平行还是正相交？看到 bc 与 p q， 啊？平行是吧？这看着就平行，对吧？啊？我们说立体图形中，因为斜二侧画法会导致可能角 变得跟以前不一样了，相等的角看着不相等，相等的长度看着不相等，但是平行看着永远是平行的，所以平行永远可以用眼睛一看。嗯，看着平行，所以我也选平行， 所以我就要试着去证明这两个是平行的，要正正，这两个平行直接正肯定正不了，因为它是重心，我们就想一下重心是什么？中线的焦点，而且它分中线为一比二，那就连一下呗， 它是中线的焦点，我就连接一下 s p， 我 就连接一下 s q， 连完之后呢，我设这里的焦点是 m， 这里焦点是 n， 那 m n 是 什么呢？ m n 就是 这两个边的什么中点，因为它是中线的交点，那这里是中点的话，首先我们就知道 m n 肯定和 b c 是 平行的中位线嘛。然后又因为这是二比一，这是二比一，所以 p q 和谁啊？ m n 也是平行的，所以它俩都平行于谁啊？ m n， 那 所以它俩平行， 所以这样的话，我们就知道 p q 平行于 bc 了，那 p q 平行于 bc， 所以 它们四个点一定共面，整个思路就结束了。 所以这就是我们看到四点共面，你马上想到的方向是正它们平行，或者正它们对应的组成的线是什么？相交的。然后你看了一眼平行，那你就朝平行去正就行了啊。好了，那接下来老赵写一下过程。那么这道题首先做的辅助线是连接 sp 加 ac 于 m， 连接 sq 加 a b 于 n 啊，再连接一下 m n， 那 第一个证明的时候是因为 p q 分 别是重心，然后呢， m n 就 会是中点，因为重心，所以连完之后就会得到这是中点，并且呢， s p 还等于二 pm， s p 等于二 pm， 这些初中所学过的性质就不用证了，可以直接写，对吧？所以这里是二比一，那我们就得到 bc 会是平行于 m n 的， 为什么？根据的是中点加中位线，也会得到 p q 是 平行于 m n 的， 对应的是什么？三角形中两侧边乘比例对应边平行， 所以 b c 平行于 p q， 所以 p q b c 四点共面结束了。所以说你看，当你理解清楚了，看到四点共面，你的方向是很明确的，我就是正平行，或者正什么香蕉，然后怎么选啊？你选了平行， 那么像我永远经常上课的时候给大家讲，我总是那种比较另类的，我就在想，那香蕉行不行？你们都用平行，我也用平行，显得我很没个性，对吧？来香蕉行不行？我看到这四点的时候，我看到的是 p c 和 b q 这两线一看就不平行吗？ 那他俩不平行，我要去正，我就想，那我能不能证明这两货是相交的？那我要证明这两是相交。最关键的，我相信很多人脑海中会打个问号， 咋才算证明他俩相交了？没听过正相交这个词呀，对吧？所以接下来咱们就正一下。那么要证明他相交，你就先把这个线延长，他和谁啊？ s a 肯定会有个交点，你设成 m， 然后你把 b q 也延长，它跟 s a 也会有一个交点，但是你也不能说是什么 m， 要不然你发现那一延长就像交完了呀。啊，那不能这么说，你只能说交它于 m 撇， 那么接下来怎么证就能说明他俩是相交了。哎，不是反证法，你一个延长过来看，他肯定是相交 m 的， 这个延长过肯定是相交的，你设为 m 撇，然后你接下来怎么证就说明他俩相交了？对，证明重合， 所以接下来你只要证明 m 和 m 撇是重合的，那他俩就一定相交了。哎，有人问为啥一定会在 s a 上相交？ 首先你要知道 c p 和 s a 这是一个平面问题，在一个三角形是一个平面内过重心肯定和对边是相交的啊， 这是一个平面问题，所以一定相交。所以接下来要正就很简单了，连接 c p 交射，连接 c p 交它于点 m， 连接 b q 交于 m 撇。然后接下来，因为 p q 都是这两个三角形的重心，所以 m m 撇重合，所以 两条直线相交于 m， 所以 四点共面。所以你看，反过来一道题，我说了，平行可以正共面，香蕉可以正共面，那这就是利用香蕉正它们共面，而且用香蕉正好要过程还更简单一些。好了， 那到这里的话呢，咱们宫里一及其他的推论咱们就讲完了啊。就是，所以宫里一就是说不共线的三点确定一个平面相交，直线确定一个平面，直线和直线外一个点确定一个平面，三个合起来都在说相交可以正共面， 然后平行直线确定一个平面平行可以正共面，所以以后看到多点共面，你的方向就是，那我要证明由它们四个点组成的线分成两条线，对吧？ l 一 l 二，我们要么证明它们相交于一点，我要么证明它们平行 就行了。那到底证明相交还是平行？你通过图看呗，你看到了平行，你正平行，我看到了相交，我正相交。总之 至少有那么一种方法一定是能挣出他的。好了，这道就先过了一个期，先带大家从两个角度把 事实、基本事实一感说明白，我们接下来就说基本事实二，基本事实二就感觉更加废话了，他说若一条直线上有两点在一个平面内，那整条直线在这个平面内，那你这个要一想啊，就是那么回事，因为面是无限延伸的吗？对吧？你两个点在，你整个直线在，你说的对， 所以说这句话你看说了好像也啥也都没说，那么这个能干啥呢？说实话，这么多年了，我也没见他能够直接去证明什么，其这个定律往往是用来辅助我们把过程写的更严谨。 你这个，呃，公理，他经常和公理三会一起去证明多点贡献或者多线共点，所以他在描述的时候主要是为了给我们描述点在面内。 那我具体说一下啊，那这道题的话，它写出来就是用字母表示， c 属于 r 法， d 属于 r 法，那直线 c、 d 一定包含于什么 r 法啊？在这些刚好把这个属于啊，还有这种包含关系的。这说一下，后边的话就不再强调了。首先 我们在空间中的元素是点的什么集合，面是点的什么集合？ 所以点与线面之间的关系用什么？你想你站在集合的元素与集合之间，一定用什么属于关系啊？所以你看，只要是点与线，点与面都是属于， 那线与面之间，两个集合之间是什么包含？而且线和面不可能相等，还是真包含，所以线与面之间独有的真包含经常就这么来表示。好吧，这就说完了，所以以后当你想不清楚是什么，就站在集合的角度， 点是元素，线和面都是点的集合，它们之间的这种关系属于还是不属于？包含还是不包含，你一下就通透了。 好了，接下来我们说这个说了啥？就是线上有两点在这个平面内，那所有点都在，它能干啥？它比如说我看到了平面 abc， 哎，看到平面 abc， 我 肯定知道 a 是 什么属于这个平面的，对吧？因为 a 就 在这个面上， 但是如果说我这个平面 abc， 我 看到是这样的，那我如何说 d 在 ab 上，我如何描述 怎么得到 d 在 这个平面上呢？所以说好像直接说 d 在 这个平面上，好像有点欠缺，因为从描述的方式上，这个平面里边也没提到 d， 对 吧？所以说在描述的时候，有些时候它能干啥？就是正点在面， 比如说啊，我们先说点在线上，然后线在面上，那最终你就一定能得到这个点也在面上，这就是他所说的。所以这个描述的时候，主要在公里二和公里三合起来做一些证明其的描述严谨性上。比如说我已知的是 bc 啊， 这两点在这个平面上，那我怎么说明 a 也在？那你只要 a 在 这个线上，线在这个面上，那 a 就 在这个面上， 所以他不会作为一个独立的证明其去证。所以你未来想证明一个点在一个面上的时候，很多时候你发现你要先说这个点在他上面其中一个线上，从而得到他在一个面上， 所以这是我们描述点在面上的一个非常严谨的过程啊，所以说这个大家理解一下就行。然后这里我说了，他不会独立去证，他会结合谁啊？公里三一起去证，公里三中一定会用到这样的描述，那接下来我们就说基本事实三， 基本事实三呢是如果两个不重合的面，那不重合的面要么平行，要么怎么样相交，那么能有一个公共点，那他俩自然是什么相交了。比如说点屁，就是他们的公共点， 那他告诉我们过点屁，有些只有一条直线啊，有些只有过该点的一条公共直线啊，是公共直线。然后你看这个话说的特别的绕啊，我都不知道说啥，那说白了就是说如果两个面是相交的， 他俩的公共部分是唯一的一条直线，或者说两个平面公共部分是一条线，两个平面相交 是一个交线，那你的公共部分肯定都在这个交线上，只要这个点是公共部分，肯定在这个线上。你看这要说成白，就是咱们人话就特别的简单，特别的通俗，所以说他再说了个啥，就是公共点一定是在唯一的交线上， 那还是那句话，那它能干啥呢？它能挣多点贡献。如果你没有这样去了解的话，你会发现啊，比如说你遇到了其说证明 p、 q、 r 三点贡献。站在我们正常的角度会去想，我怎么证明这三点贡献呢？像公里、一公里、二公里、三公里四中，没有一个说是点贡献的问题，对吧？那我就会想啊，我先证明两个点一定是贡献的，我再证明另外一个在他上边，那这样就走远了， 我们真正的以后只要你遇到了，证明多点贡献，咋证啊？只要证明这每个点都在这个交线上， 那他们不都就贡献了吗？对吧？点 p 在 交线上，点 q 在 交线上，点 r 在 交线上，那你说他们共不贡献，那他们一定贡献，那我咋证 它在交线上呢？咋证一个点在交线上，如何去证明啊？空间中一个点在两个面的交线上，很简单，就是证明这个点同时在两个平面。 你想，如果你能证 a 属于平面 r 法，你也能证明 a 属于平面贝塔，那你想 a 等于啥？ a 的 这个功力就是在告诉我们，如果两个平面有个公共点，那这不就是两个平面的公共点吗？那它一定在这个唯一的直线上。所以你要证明这三个点共线是证明 a 同时在两个平面 啊， p 同时在两个平面， q 同时在两个平面， r 同时在两个平面，其实他们三个各自挣各自的，他们三一点关系都没有，最后他们三个都在交线上，所以他们贡献。 所以你只要遇到了，证明三点共线啊，想都不用想。在例题集合中，嗯，跟刚才先证明两个点，确定一个线，把另外一个证明他也在上边啊？不是，这就直接证明他们都在交线上就行了啊。所以说公里三学完之后他能干啥你就想明白了， 只要遇到多点贡献，考的就是基本是十三。那咋正呢？就是每一个点你都证明他既在这个面上，又在那个面上，那他就能正，当然了，他还能正什么？多线共点，这个一起待会，这个在这个图上说不清楚，待会通过例题再给大家讲。好吧，好了，到这里呢，我们说 关于啊，基本是十一、二、三，咱就四也说了啊，四太简单了，四大家都能想明白，所以就不用整在这了，所以他们分别说了什么。 那么公理一，主要就是说如何去判断共面啊？就是正多点共面就是正他们相交，或者证明他们所啊几个点构成的两个线平行嘛，然后这两个结合起来，主要是在证明多点共线或者多多线共点，那么咋正都是正点在这个两个平面内。举个例子吧， 比如说这道题，你看结果说证明 c、 e、 e、 o 三个点贡献，你一看到这三点贡献呀，哎，考基本是十三嘛，这就是你理解之后知道它能干啥的时候，你就觉得这很丝滑的，就对应啥。那那咱们找一下， o 是 啥呢？ o 是 底面对角线的焦点， 然后这个 e 是 啥呢？ e 是 起对角线与这个面啊，一条线与这个面的一个交点啊，就是 a、 e、 c 与 c、 e、 d、 b 这个面的交点， c、 e 是 这个。 那你想一下，要证明这三点共线，我们说啊，跟这三点没关系，要同时证明它们在两个平面内。 那首先你看，很明显现在已知的它们三个都在哪个平面内？第一个就是我画的这个 c、 e、 b、 d 嘛，那第二个你还要再找一个，那你给大家找第二个，那还要再找一个跟这个面相交的，而且它们都在的，那那个面是谁啊？大家说 a、 e、 a、 c， 你写成这个面的话，你你，你发现你如果只说这个三角形构成的面的话，这个 c 一 不太好说，所以咱们直接说成四个点，好不？你就把它也包上，那第二个面是不是就说明 a 一、 a、 c、 c 一 它们，你如果能证明它们同时也在这个面上， 你说跟线有啥关系没有？你只要证明都在蓝色面上，然后都在什么黄色面上，然后两个面是相交的，结束了，这就是我们要证明的。我们说你学完他之后，你会发现他要挣的三点贡献，跟这个基本公里三 直接描述的这个就根本挂不上钩。但是你把它想明白理解清楚了，你就知道他能干啥了，你知道他能干啥了，你也知道怎么干了，那就太简单了。那接下来就剩下如何严谨的写出过程。首先我们接下来一个点一个点的来写，比如说我来先写点 o 啊， 当然辅助线先做一下，因为原来里边是没有谁啊， a 一、 c 一 的，所以先连接 a 一、 c 一， 然后设两个平面的交线为 l， 因为在这个正方起中，它俩很显然是正方起中是相交的，你就设它们的交线为 l。 然后 首先第一个 c 一， 因为它很明显，你看你描述的这个平面，它就属于这个平面，那同样 c 一 是不是也属于 b、 d、 c 一， 而这两个直接可以描述， 那说明 c 一 在什么？ c 一 一定属于 l， c 一 就证明完了。接下来比如说我要证明 o， 你 会发现 o 在 证明的时候还有点说道，你没办法直接说 o 就 在这个平面内， o 在 这个平面，因为从 你所描述的这些字母来看， o 没在这个平面内，对吧？所以为了严谨就要用公里二， o 在 哪里呢？ o 在 b d 上， 所以 o 属于 b d， 那 b d 呢？在平面 b d， c e 中，所以 b d 包含有它，所以 o 属于它，这就是在用公里二， 点在线，线在面，所以点在面。所以我说公里二不单独考。但是很多时候在证明三点共线的时候，为了把一个点在这个面上能描述清楚， 你会发现它要从点在线，然后现在面，然后得到点在面。在这里写过程的时候，还原了一下 基本事实二，他描述他是干什么，就是让大家在这写过程的时候严谨的，没有给人感觉从这里脱离了你的这个图，你根本就看不出。哦，为啥在这个平面？你这么说肯定就说清楚了， 然后同样 o 在 ac 嘛， o 在 ac， 那 ac 在 哪里？ ac 在 这个什么面上，所以 o 在 o 同时在两个面上， o 属于 l， 同理， e 属于 l， 三个点都在 l 上，所以 c、 e、 e o 三点共线结束了。 所以这道题的话，就是咱们理解了基本式十二，基本式十三知道了它在说什么，它能干什么， 写过程就是怎么干，除了你要证他同时在两个面上，还要怎么去写他在两个面上。那到这里呢？我们说基本事实二和基本事实三能干的第一件事情，证明多点贡献就说完了，你会发现那个谢 并不，他们之间没啥关系，各挣各的，挣完了，这，哎，你也在这个线上呀，哎，你也在这个线上，给人一种这样的感觉，而不是，哎，咱俩一起去那个线上啊，没有这种感觉啊。好了，接下来我们说第二个，第二个他能解决的问题叫做证明好几个线交于一点，就是老赵所说的多线共点 啊。那我先帮大家读一下，这个七又是个空间四边形，啥意思呢？就是个三轮锥吗？这两个点是中点，这两个点三等分点。好像在今天第一个描述基本事实的时候， 一模一样的条件证明了个啥？谁还记得？我看有没有人从十一开始就跟进来。今天我们基本事实四用的利奇跟他一模一样，证明了这个线啊，证明他是七行，这证明这这两个线是什么？ 平行的，对吧？证明这两好了，那这其实就换句话说，我们如果一开始就清的话，看到这里我们就知道这两线是平行的，用什么呢？用咱们的基本事实四，也就是平行的传递性很快就能证明出来。但是接下来这道题人家不是，人家还证明这三条线交于同一点， 证明三个交于一点的时候，往往是先证明两个交于一点，然后你比如说你先选两条，它交于一点，假设是点屁，然后你再证明这个点屁在最后一条上， 那么要证明点在一条线上，你想想往往是证明点在一条什么线上。根据咱们上一个证明三点共线，我们往往证明一个点在什么线上比较拿手， 是在交线上，所以看一下这个棋里边哪个扮演交线会比较好？那我们发现这个线扮演交线比较好，你看这个线刚好在这个面里边，这个线刚好在这个面里边，他扮演了两个交线。 所以我们第一步如果说先能证明这两条线是什么相交的，假如他们相交于点 p， 然后我们设这条线 a、 c 是 l， 我 们再证明点 p 什么属于 a、 c， 那 是不是就可以证明三线是共点的？那么我们首先第一个要解决的就是，那这俩是不是相交的呢？是不是相交得看它们是不是共面的， 然后他们所共面的这个能不能是平行，哎，就是不平行的，那这个很简单，这就是为啥我刚才给大家说，今天一上来咱们讲基本事实四的时候，就证明了这是一个什么七行。为啥快速的说一下啊？在三角形 a、 b 啊这里 abd 中啊， a、 b、 d 中，在 a、 b、 d 中， e、 h 分 别是中点，所以 e、 h 平行于 b、 d， e h 也等于二分之一 b、 d。 好， 然后接下来呢，在三角形 c、 b、 d 当中，因为一比二、一比二， 所以这个线也平行于 b、 d， 并且等于 b、 d 的 多少三分之一，从而你就得到了这个货和这个货是平行的，并且它两之间不相等，不相等的话，那这个四边形 e、 f、 g、 h 就是 一个什么啊？是一个梯形， 如果它俩是梯形，两腰 g h 和 e f 是 不平行的，所以我们就可以设两腰 e、 f 和 g h 交于点 p， 你 可不敢上来，直接设 e f 和谁啊？ g h 交于点 p， 你 得证明它俩是共面并且不平行的，你才能假设它俩相交于点 p 不 敢上来，你说你会了，你就直接写了它俩相交人，然后再证明这个交点在什么交线上，那你写的那个过程也不会得分啊，所以这里一定要写严谨。好了， 到这里呢，我们已经证明啊， e f 和它相交于点 p， 所以 第二部分就很简单，要证明点 p 在 a c 上， a c 是 交线，怎么证明点在 交线上呢？只要证明点 p 同时在两个平面上，因为点 p 是 e f 和 g h 的 交点，所以点 p 一定你看属于 e f， e f 又包含于平面 abc， 所以 这就点在线，线在面，所以点在面，是不是又在这里用基本式十二写过程？同样道理， p 点属于什么？ g h， 因为它是这两个线的交点，肯定在它上边， 那 g h 又在哪个？ g h 又在这个平面内，所以 p 在 线上，线在面内，那点在面内，那这两个点都在这个面内，所以假设两个面的交线，哎，从图中知道是 a c， 所以 p 在 a c 上，那你看 它俩交于点 p， 点 p 在 a c 上，所以三线交于一点，那非常严谨，也非常的清晰，所以到这里你才算把基本式十二、基本式十三， 什么叫做证明多线共点怎么证？什么叫做证明多点共线怎么证？整明白了，好，那这是前两个，我们说通过这两个带大家感受了一下，他能干什么呀？他能挣点共线，多线共点。当然了， 在后续我们在解决平行啊、垂直啊、洁面问题的时候，为什么要把这个我们说基础在这讲了，那你未来比如说要去证明个平行，找个交线你都找不到，所以还有这种考法啊，比如说已知 p a、 b、 c、 d 是 个四棱锥，然后 b、 c 和 a d 是 平行的， 然后 bc 小 于 ad， 啥意思呢？七型设，它两个的交线是 l， 然后请你做图确定 l 的 位置，并说明理由，就是你做出来还得证明一下它是交线。 那这个是对咱们未来影响最大的，因为我们在做垂直的时候，会有交线相关的性质定律，我们在去正平行的时候，会有交线相关的性质定律。那有些时候，有些图的交线就是看不到， 你要想去证明，有些时候就得做出来。当然了，以后去处理洁面的时候，也经常要去做胶线，所以这个能力很重要啊，做一个试试看。那要找胶线其实很简单， 首先你知道两个平面相交啊，公共部分是胶线，怎么样确定一个胶线呢？两点确定一个胶线吗？那你就找到两个他俩的公共点。 什么是他们的公共点呢？就是既在这个平面，又在这个平面的点，那么一画一放啊，只有一个点。屁， 这么大的两个平面公共点只有一个吗？那不行，还得找一个，那咋找呢？那你就得去找，就是公共点是什么？哎，你看这个假设个阿尔法好说，阿尔法面内的一条线与贝塔面内的一条什么线的交点，你比如说点屁，可以看作是这两个，也可以看作是这两个。 所以你在两个平面内，首先要各找一条线，然后让这两个线相交。哎，那这个点不就是两个平面的公共点吗？ 那你就盯着你看这四个线啊，一号、二号、三号、四号都交于点 p 了，那你要关注的就是五号这两个平面内肉眼可见的六号线，看一下这两个会不会相交， 如果会，你能不能把它的交点做出来。那么题目你看，告诉你这两平行说明什么？这四点共面，那 a、 b 和 c、 d 是 共面的， 你就看它们平行不平行，只要不平行，共面的一定相交，因为这两平行是七型，所以这两延长一定会交于点 q， 所以 连接 p q 就 一定是这个交线。所以要找很简单，就是在两个平面内各找一条线，让它们相交， 只要他们相交，找到这个交点，两个一点就是交线。思路没问题的话，接下来我再说一下，那咋咋正呢，人家还让说理由呢。好吧，来，我接下来说过程。所以接下来你要证明它是交线，那也很简单，你只要证明点 q 同时在两个平面内， 点 p 同时在两个平面内，那同时在两个平面内的点肯定在交线上。两点确定一个什么直线， 所以接下来我们延长 a、 b 和 c、 d 交于点 q， 这是我们对在这道题中的什么啊辅助线完了之后呢？我们说啊， q 是 属于 ab 的 啊，因为它延长，那么这样 ab 是 属于平面 abp 的 啊。 pab， 所以 点在线，线在面，所以点就在什么点就在平面内，就 ok 了。然后第二个也是一样， q 属于谁啊？ cd， 因为它在它的延长线上点在线，那 cd 又在这个平面 pcd 上点在线，线在面，点在面，你看两个都是在描述什么？公里二，或者基本是十二， 它俩同时在两个平面内，那它俩一定在交线上，所以此时 q 一定是属于 l 的， 在交线上。 那么根根据这个题目，我们发现点 p 也是属于两个平面的，所以点 p 也在交线上，所以直线 p q 为交线 l 就 证明完了，这就是我们最终要写的过程。对，就是 p q 两个点都同时属于两个面就 ok 了。那到这里的话，就是你对基本事实最终的理解就是 应该要停留在这简洁而且通俗易懂的就是他说了啥，他能干啥，你发现这个就是他不会去考题，但是他是为了让我们对于点线面的关系描述更怎么样，更严谨。 所以在很多时候，但凡要用公里三去证明多点贡献，多线贡点的时候，都要用公里二来证明点在什么 面上，对吧？所以写点的面上就要用它，那么证明多点共线，多线共点，你以后只要看到，只要看到你就知道啊，他考的就是公里三。那到底怎么用公里三？你只要描述出这两个点，这个点同时在两个平面上，他就在交线上，就整个就结束了。 那么对于公里基本事实一也是一样的，看似一个公里加上三个推论，本质上他都在说怎么证明几个点是共面的，那么证明的方式无非就是两个，看着相交，正相交，看着平行，正平行 就完了。那么正平行有正平行的方式啊，香蕉有香蕉的方式，正平行在这用的比较多的就有咱们的基本事实 几了，基本事实四啊，所以这是从理论上用人话翻译出来，然后刚才讲的这些例题呢，就是让你更直观的啊，想到这个东西的时候，别人如果看你笔记，看到这些字，就是这些字，他未必能够彻底的理解，这 看似是人话，好像还是不知道咋用。那么这些例题就是来印证具体用的时候咋用，过程咋写，最重要是过程啊，最重要是过程，因为只要是证明其例题结合的过程，对严谨性要求是很高的。
970老赵高中数学
02:53查看AI文稿AI文稿高一逆题几和必考题解便是平行，怎么证线线平行？今天用线面平行的性质定律一步给你讲透。那我们首先要先明确呃线两条线的位置关系呢？它只有三种啊，平行 香蕉还有一个阴影。那接下来呢？我写过程的时候会逐步把另外两个排除掉。那我们先看题啊，四面体 a、 b、 c、 d 被一个平面所截，截面 e、 f、 h 锥是平行四边形，求证 c、 d 平行锥 h 这道题核心是线面平行的性质，地理也是立体几何。你证明线线平行的万能钥匙。 我们先回忆一下定律啊，如果一条直线平行于一个平面，那么经过这条直线的平面与和这个平面相交，那么这条线和交线平行啊，说人话，说人话是什么？就是 我们只要能证明这个平行这一个面，然后再找第二个面这边有个交线，那这两条线呢？他就会平行啊，这就是人话啊，当然定律的话，他肯定是要严谨一点，所以同学们一定要转成自己的语言去描述。那我们先看这道题啊，因为他是 e、 f、 h 最是平行，所以 e f 平行 h。 大家跟上节奏啊， e f 平行做 h 啊，我这边写关键步骤就行了啊。然后我们可以看到 e、 f 是 在平面 a、 b、 c， a、 b、 d 里面，而且它平行做 h， e、 f 不 在平面 b、 c、 d 里面，然后做 h 在 b、 c、 d 里面，所以我们可以得到 e、 f 平行 b、 c、 d。 好，当然大家写的时候记得要写那个不包含包含，相信有看这个视频的大家肯定是学到了这个阶段啊，格式问题肯定是要把握清楚的，那我们现在得到 e、 f 平行 b， c、 d， e， f 又在 a、 c、 d 里面，同学们有没有问题啊？ e、 f 它又在 a、 c、 d 里面 啊？我忘记做一件事情， e、 f 平行 b， c、 d。 那 e、 f 跟 b、 c、 d 里面的线就不可能相相交，所以 e、 f 不 可能跟 c、 d 相交。 那 e、 f 包含平面 a、 c、 d 啊，平面 a， c、 d 跟平面 a、 c、 d 是 不是交于 c、 d 啊？那说明 e、 f 跟 c、 d 它就在同一个面，它们都在平面 a、 c、 d 里面嘛。 e、 f 跟 c、 d 都在平面 a、 c、 d 里面，那他们就不可能异面，所以我们只剩最后一种情况， e、 f 它会平行 c， d， 那 e、 f 又平行锥 h， 对 吧？所以锥 h 它会平行 c、 d 啊，这道题得正，当然大家格式的话自己要去写清楚。然后最后呢，给大家总结一下这类题的万能步骤。一、从平行四边形梯形里面找一组线，线平行。 二、线面平行的判定定律证明其中一条线平行于目标平面。三、找到包含这条线的平面和目标平面的交线。四、利用线面平行的性质定律证明这条线和交线平行。五、通过平行公里传递平行关系得出结论，这道题是立体几何的基础模型。 呃，性质定律其实大家在高一下这个单元都掌握的不是很好，所以收藏起来，下次遇到直接套用。
82福清数学陈老师
34:08查看AI文稿AI文稿本视频时长三十四分钟，带你搞定立体几何基础洁面问题，从原理出发，结合题型带你通透底层逻辑，掌握剪题思路，回复立体几何，领取视频讲义。 我们今天要处理的就是去把一个洁面给它扩充补全完整。我们经常会遇到的题，就是比如说像这道题过 a 点、 f 点、 e 点做一个这个正方形的洁面，但你发现这三点连完之后做出来这个洁面没有完全做出来，不通透。 所以在这种情况下，我们就得去扩平面，把它最终这个完整的 a、 f、 g、 e、 h 这个五边形围成的这个结面给它扩出来。所以我们今天要做的事叫做扩平面。那扩平面呢？主要有两个不同的角度，一个是通过平行去扩平面， 这个就跟咱们讲到锐角三角形背景下去求一些最直的时候，你用角的角度去处理，属于你们比较擅长的。 那么接下来还有另外一个就是相交扩平面，这个就是你们好多人相对会比较弱的。所以今天我们在做很多棋的话，咱不追求说你把它光做出来，咱们叫做要追求平衡，平行扩平面，咱要会相交扩平面咱也要熟练，所以今天我们就是以这些棋为载棋，带大家 从原理上去感受一下，为什么平行可以扩平面，为什么香蕉也可以扩平面。然后第二个就是从它具体的操作上一定要非常熟练，因为各自有各自的优势。有些棋它用平行去扩非常简单，用香蕉去扩就有一点麻烦了，但是有些棋它用平行扩不了， 或者说要扩，你得把力立即几何这个图再给他先扩大再去扩，那你如果还要用平行的话，有些时候可能就会出问题，所以那在那种其中啊，很多情况下相交就比较好处理，这是这两个方法各自的优势。 然后接下来我们先说一下原理，功力一和它的三个推论的本质就是在说相交可以确定一个平面，平行可以确定一个平面，所以当我们平常去看到这种结面比较小，那大致看起来就像它用一个三角形来表示了一个平面，那我想把它去扩大， 那我哎过其中一个点做另外对应的这个边的什么一个平行线就行了。比如说我做到点 d 平行定平面，那 a、 b 和 c、 d 肯定还是同一个平面，你再连接一下 b、 d， 你 就会发现啊， 从一个用三角形表示的面，现在变成了用四边形表示的面，所以通过做平行，你会把它扩大，而且它们依然共面。那么接下来到你们比较软肋的，那比如还是这个或怎么用相交去扩呢？ 相交呢？往往也是看作一个点和一个边，你把这个边延长一下，那你延长一下，你想这个肯定还在这个面里边，然后你 把 c 和你延长到这个点，第一点从一个小的三角形面扩大到了一个大的三角形表示面，所以从面积的角度是把它扩大了，所以说 两个都能实现。对原来小小的一个面进行再扩一扩，扩一扩，那变大一点，从我们这个样子上来看，其实说白了就是面积变大了，就算扩大了，虽然说面其实是无限延伸的，对吧？好，那么本质上他用的就是咱们宫里，也就是基本事实中的相交 确定平面和平行确定平面。那么接下来这个这么说，说完之后你说你在其中能不能做出其其实是做不出来的。香蕉扩平面，真正在其中要去做的时候， 其实我们是要经历五步才能够把它扩出来。所以接下来我就把你们软肋的相对薄弱的这个点拿出来，咱们细细的看一下，我们真的用香蕉把它扩大的过程中走哪五步啊？ 接下来把这个理解清楚，掌握扎实。第一个我们说刚才说了，你把这个三角形表示面还是要看作一个点和一个线，那么看作一个点一个线的话，你延长，你延长到哪去呢？你说，哎，有人延长到这，有人延长到这，有人延长，是不是都行呢？ 那放在具体其中肯定就不行了，所以真正在具体题当中呢，找到对应的点和线了，把它俩各自放在一个平面里边。比如说我把这个线放在了阿尔法平面里边，其实在图中往往这个线本身就在一个平面里边，然后我把这个点放在贝塔平面中， 真正在其中去做的时候，就是你要看这个点在哪个面里边，这个线在哪个面里边。好，然后接下来那我说我把他延长一下，再过他做一个，最终这两个要相交， 你要对他们焦点在哪里要有个预判，焦点在哪里，这是这里的精髓和关键啊。我把这个线在这个面里边，要做个线跟他要相交，交点在哪里？这个焦点肯定 在这条线上，交点在这个线上，交点也在这个线上，交点一定在对交线上，对吧？啊？所以说你要 找到真正他们的交点，那个交点不是随便延伸的，这就是为啥你要把一个放在阿尔法，一个放贝塔内，是要找到这个线所在的面和这个点所在面的两个面的交线。 你找到这个交线，你只要把这个线延长到根交线，找到一个点，然后接下来你把这个点和这个交点一连，肯定还是这个平面，而且扩大了，这才是真正我们在棋木中通过相交扩平面的原理和本质方法。好了，总结一下， 所以说刚才说五步，你想第一个就是你记住看到的这个小三角形面呢，看作一个点与一个什么一个线啊，你首先把这个面看作一个点和一个面啊，在真正的棋里边各放一个面， 各放一个面。之后第三步是找什么？找交线，找两个面的交线，你一定要先找到这个交线， 然后第四步你的线延长一下，与什么交线？找焦点，然后最后第五步就会实现啊，扩平面了，你把你原有的点与这个焦点一连就 ok， 所以 你不用说把这个死背下来，你就通过刚才我们思考的原理脑海中过一下，看你 消化了，通过相交扩平面整个这个思路和原理。整明白原理了，咱来看题啊，来看第一道题，第一道题呢，告诉我们一个棱长为六的正方体，然后说点 e 是 c， e， d， e 的 中点 f 点在线段这个霍上， 他说这一段等于四，那这一段等于二，说白了他就是个谁啊，三等分点啊，离 b 一 近，然后说过这三个点截正方起截面的这个面积， 要求这个截面截得正方起这个截面的面积，那说白了你就是要把这个截面给他补完整，找到，看他是个什么图形，求出他的面积。我们说虽然咱们会的比较多啊，又会相交又会平行， 但经验告诉我们，但凡一道题能用平行的时候，往往平行会比用香蕉扩平面简单一点， 那除非他用不了平行，你硬要用的时候，那就难了，对吧？我先说一下，我先选择的方法是平行扩平面，为啥呢？因为只有这一条线在几何棋的表面，其他的都在内部，所以我看表面的这个线，然后再关注这个点，那么我就看过这个点能不能做这个点 线的。什么平行线，能的话不就平行可以扩平面了？那我就关注他俩各自所在的面来，线在的面刚好在正面这个面里边点在的面刚好可以在反面，这个面点和线所在的面是平行的，那就一定可以做出平行 线，对吧？你想嘛，假如一个点在我手上，拿这个讲义上，那要做地面上任何一个线的平行线，他都能做出来，因为两个面是平行的， 所以在这的话呢，我就过这个点 e 做一个跟它平行的线，那么做出来，你看它与这个侧能有一个交点，假设 h 那 a h 再一连的话，那这个线不就是在侧面里边的交线吗？所以这半边我做好了，我发现这个线还在内部，还要扩出来。那接下来的话，我你们看一下，我如果还要做平行过哪个点还可以做平行，就 我继续选择平行，一平行到底啊，这个是棋木告诉的，棋木告诉所有能长都等于六啊，所有能长正方体嘛。然后他又告诉这个 b f 等于四的话，那这是二，这就三等分 点对过 f， 你 发现这个线在这个侧面里边，哎，这个点在这个侧面里边，两个面平行过，它是不是就可以做它的？再做出来，再一点，那整个这个五边形就做出来了， 这个是用啥呀？就是他能用平行，你快速的用平行画起来会非常的快，然后画出来之后这个或就是个五边形， 这就是他整个洁面。来看一下第一个方法用平行扩平面，讲明白了吗？然后接下来老赵也不是那种选择简单方法的人，咱也没苦硬吃，用香蕉的也做一下。好了，那接下来先把这道题做完吧，人家要的是洁面面积， 来一起求一下，因为在做平行的时候还要注意一点，你做了这个平行呢？这个焦点在哪里，对吧？那么这个在处理的时候呢？因为这里往往会有对应相似的三角形啊，这是个直角三角形，他会和他对应面上的这个直角三角形，两个是什么啊？ 相似关系，这是六比四，对吧？六比四，说白三比二，然后这里是中点的话，这是三，这个点就是多少二，所以这个 h 呢，其实也刚好在 d d 一 的三等分点处， 然后接下来你知道这个长度了，那这就是四，这就是六，根据勾股定律，这个测能也就求出来了啊，所以求完之后呢，这个和这个一样的四六对应的这个长度是二倍，根号十三。然后接下来 f 点和 h 点 在同样的位置，所以这条线和对角线一样长，也就是六倍根号二。然后这个呢，我们说这里是二，这里是三，这里是中点嘛，这是三等分点，这就是根号十三，这是根号十三，这是三，这三倍根号二。所以 整个这个结面的所有长度，你要去求就求出来了。但是这道题要的是结面的什么啊？面积，面积的话，出现这种图了，我们一般会用割补。首先我连了 h f 之后，下边就是一个什么啊等腰三角形， 那么这个上边呢，本身是一个梯形，你按梯形做好像也不太好做，所以再延伸一下，也把它延伸成一个三角形， 然后你会发现这两个点，哎，刚好也是这个边的什么啊中点，然后上边延伸出来的这个三角形和下边这个三角形的面积是相等的，我假设下边是 s 撇，那上边这个七行占三份，上边这个小的占一份，根据什么？根据相似， 所以上边这个梯形就是四分之三 s 撇，所以整个大 s 就 等于四分之七 s 撇。然后你只要求出下边这个等腰三角形的什么面积就行了。 简单的这画一下啊，这都变成了初中指示二倍根号十三，然后你在这做个高，他就是三倍根号二，你就能求出这个是根号三十四，所以高和底都知道，底乘高除以二，这个面积也就求出来了，所以这个面积呢，最后不难，二分之二十一倍的根号十七啊。好了， 这是计算的过程，包括确定点位置的方式。接下来我们说同样一个方式，咱不以把它解出来为目的，咱们以总共给了大家两个方向，我一道题能不能通过不同的方向去感受一下， 那么在这道题能不能通过相交扩平面呢？刚才大家给的答案都说自己选择是相交，那我们就一起去感受一下，比如说这次我还是选择把它看作线，把它看作点，那这次 我要把他们分别放在第二步，是不是要分别放在一个面里边？那这个现在的面肯定就在这个面里边， 那么这个点现在你必须把它看作在哪个面里边？如果用香蕉扩平面的话，此时这个点必须看作他在 上下左右前后哪个面里边。对，你要虽然说他这个点既在上边这个面，也在后边这个面里边，但是我们用香蕉扩平面的话， 线所在的面确定之后，这个点必须在跟他相交的面里边，是不是才能继续去相交扩平面？所以你现在只能看作他在上平面里边。 好了。点在上平面线在正面两个面的交线是谁啊？这条线，然后你把线延长一下，跟他交于一点，找到这个交点之后，那这个交点呢？跟点 e 也在一个平面里边，连一下就 ok 了，这样的话你就会找到这个线与他所在面边界的交点一下就 ok 了，这样的话你就会找到这个线与他所在面边界的交点， 然后根据相似算出这个在哪里就行了。那这里咋算呢？其实也很简单，因为这里是谁啊？三等分点， 所以这里是两份，这是一比二，直接可以得到，这里是三啊，直接最简单的方式应该在这个相似里边。好，这里三，这里六，这里是多少？一比二，这里得到，这里是三的话，因为这个也是三，所以在这里根据这两相似你看就确定了，你最终要确定的就是 他与这个边界交点的位置啊，所以我们就确定了这个点，这在这里，这里是中点啊。那这样的话，我们就找到了这边上边面里边扩出的这部分，然后这两个一叠，那我们这边你看从刚才的三角形面就扩到了四边形面，但是你这边还没扩出来，对吧？ 这边还没扩出来的话，那比如说我现在把这个看作线，把这个看作点，朝着就往这边去扩，那线所在的面在哪里？在上边， 那这个点呢？它可以在侧面，它也可以在下面，它可以在正面，对吧？它因为是一个端点，它同时在三个面里边，你要跟它相交，扩平面，反正你要看做跟它相交的一个面里边， 比如说我就看作哎，在这个面里边，在这个面两个交线就是这个线，然后我把这个线延伸，先跟他怎么样相交，然后接下来这两个一连接，哎，你会发现你也就找到了在这个里边的什么，这一段交线，你也就把它括出来了。所以当我们找到这一段，这两个再一连 整个就 ok 了。所以说这就是用相交，那你看平行我们做了，相交也做了，在这道能用平行的问题中，你发现用相交的话，你走过的过程， 包括它的细节肯定是要比平行复杂一些。所以说香蕉与平行在能用平行的时候，往往平行会作为我们的优选，因为简单。这也是为啥我说大家在平行这块会更熟一些， 因为它更简单，更容易学会，香蕉这块的话更复杂啊。然后接下来的话，第一个我们说我们用香蕉和用平行都把它处理过了，然后接下来我们看第二个， 接下来这些棋，两个方法具体的其中都展示过了。所以说你以后看到一个平面，它是一个什么 不完整的结面，需要你去把它哎扩充一下。在这个过程中，首先你要想到第一个，我有两种方法，我可以通过平行去扩，我也可以通过香蕉去扩， 那么优先看平行，因为平行确实会更简单一些，但是平行用不了的时候，咱们再去选择香蕉，然后香蕉一定要按照香蕉的流程去做啊。好了，接下来我们看第二题， 还是个正方体，然后这回它告诉我们的是 e 点呢？是 ab 的 中点， f 点呢？是 b、 c 的 中点能长还是六？然后说过三点 d、 e、 f 把这个正方体切成了什么两块，要求这个结面的 周长。来这个你扩一下试试看。首先说一下还是结面问题，一看啊，你看这个 d、 e、 e 还在整个几何体内部， d、 e、 f 也在内部，这种面就是没切透啊，你得把它补出来。那么你脑海中就得想啊，我有两个方法，第一个平行，平行不行了我再用香蕉，那么要平行的话选线，你只能选面上的线，选谁呢？ e、 f 是 这道题里边唯一在面上的线， 那你要就要过点 d 做 e、 f 的 平行线，但是你发现你过点 e 做出来的平行线在不在现有的这个几何体里边？不在，你想用它把它做出来怎么做？你下去可以试一下啊，再把它扩大一下， 现在给你是一个小的正方体，你把这个正方体再给他复制个一二三四，扩成一个大的长方体，然后你再去做，一样可以做出来。只是说在现有的途中你要做个平行，好像画不出来， ok， 不 听明白。用平行其实可以，但是需要把这个几何体再去给他扩大扩大， 但是在这种情况下我们就觉得没必要。那么接下来用相交的话，那我还是把它看作线，我把它看作点，那我们说用相交就是把线所在的面确定出来在底面， 那这个点现在你要让它在哪个面呢？它同时在这个面，在上边面，在后边面，因为它是个顶点，肯定同时在三个面。但不管怎么样，你必须放在和线所在的面的什么 相交平面，你选这个也可以，选后边这个也可以，比如说我就选的是后边这个。那么选好之后，第三步最关键找两个面的交界，就是它延长，然后让 e f 先与它相交好了，交于假设这个点是个点 p， 然后接下来再连接这个点与他，那这样的话，你看这个点所在背面里边，这个平面里边的线就扩出来了，就是绿色的部分，然后你只要找到这个点一连，那这一部分啊，你看从三角形的这里边的一个面，现在我就把它扩成了一个什么四边形的面，那一样。 写到这一步的话，你说你把它完全解出来了吗？没有，那这边还没漏出来，所以呢这个点呢，我也可以把它看到这个面里边， 那这样的话，线所在的面和点所在面的交线是 a d， 那 我再连接 ef 与它交于一个点，然后再连一下它，那它在这个面里边的交线也就找出来了。假设这个点 g 你 一连，这就是我们整个找出来的这个结面， 也就是个五边形，看一下能过了四啊。这就是这道题，用相交就是以这个为点，然后看这个点，在这个面和在这个面两边都去扩一下，最终把整个图扩出来了，它就是个五边形， 那求周长的时候，还是得去看具体的比例。刚才说这里是中点的话，这两个小三角形就是什么关系啊？它就是全等的吗？边长为三，这里也就是三，对吧？ 这里是三的话，那我们这个小三角形和这个大三角形的相似比就是多少。这个相似比的话，你看这里是三，这里是九， 就是一比三吗？那在这个情况下，那我们看这个，或者说看这个小的，每次看这相似的时候，你知道了这里是三之后，也可以看这里这个八字相似，三六一比二， 那这两个也是什么一比二长度就知道了。所以我们在这标一下，这里就是二，这里就是四，从下到底啊，这一模一样，这里是二，这里是四， 所以这里是三，那你求这个长度，这个长度根号十三，然后接下来你求这个长度，这是四六二倍，根号十三，对应的这边是一样的，然后这三，这三，这三倍根号二，你把五个边 加起来就行了啊。所以说这是这种情况下，找出来之后，要确定这个与边界交点的位置，位置的话一般都是靠这八字相似啊，你看上下是一个初中学过的八字相似，把这个比例整出来就行了。好了，那这个咱也就结束了啊。这是这道题， 你会发现如果他给的你这个图形中没有直接的平行，那你没有办法，你要再用平行去做可能要做的事，比这更复杂，那此时相交扩平面的优势就出现了。你看咱们从学这学期学几何以来，平面、向量， 我们学个数量积，给大家讲间隙、基底、投影、极化很等式啊，四种方法你每个都要学会，因为各有各的优势，对吧？然后我们学到解三角形的时候，很多题又给大家，比如说一个比例线出来了， 那他又有哪些方式可以用向量的方式，可以用倍长的方式，可以用找关系的方式。我们学到了解三角形的时候也是一样，不同的题型下，有些可以用角，有些可以用边，所以他各自有各自肯定，更高效、更简洁的题型中有他的体现。所以学的时候一定 不要光注重啊。这类题我会不会做？我这道题有没有做出结果，而是对于这类题，他用不同的角度去思考，他有哪些角度去思考，要整明白。 好了，接下来我们再列第三个啊，这道题再补充一句，刚才我们比如说先相交扩平面，扩到这边之后呢？比如说你扩成这个样子了，也不是说我今天用相交扩平面，我就要相交到底， 因为咱啥都会，你发现你扩了一边之后，哎，你发现可能又可以用平行了，为啥呢？因为这还有个面上的点，哎，过点地可以做他的什么平行线， 所以在有些时候背面有一个线在正面过点 e 也可以做他的平行线，做完之后这两一连啊，整个面也就出现了。所以说在这种情况，你发现第一下你平行做不了，你就相交去扩一部分， 扩出来之后，你当这个面变得大一些的时候，又可以用平行了，所以相交结合平行两个方法一起用，也可以把它解决，也不用一条道走到黑，关键是你把两个方法都学透，学明白了， 好吧，那么因为大家相对擅长的是平行，所以我今天选的前几道棋就是引导着大家朝相交去做，为啥呢？比如说在立方棋或者长方棋里边，有太多的对面都是什么平行的， 所以你做平行也比较好做。但是这种结面问题如果出现在三棱柱呀，甚至有些时候可能出现在三棱锥里边，或者说在一些台棋里边， 你要去扩平面的话，就没有平行就很不好做了。因为没有那么多对应平行的面，所以那大部分题就只能用香蕉，所以咱好好练一下香蕉。那看这道题，这道题告诉我们所有棱长都是二，那就说明上边是一个什么 边长为二的正三角形，下边也是高线，也是二这样的一个棱柱，然后说过这个棱的中点，还有这个棱的中点以及 a 点这三个点结这个三棱柱，那么接下来要求这个结面周长。如果三个点的连线都不在表面上 的本质，你要想清楚，是三个点都在内部，或者说大部分点，好像是所有点都得在内部，大部分点的内部也可以所有线不在啊，就你有一个点，比如说你有一个点在外部，其他点都还在这个几何体的内部，所以你画出的线都不在表面上，那不都都不在表面上， 只要延长，因为这些点都还在内部，比如说在这里，在这里你先要把这两个线延长， 把这两个点也先延长，你延长完之后再去看。所以当这些线没有在表面上的时候更简单。那这道题你会，你会发现你要过平行。做平面，你首先得关注什么在表面上的线， 这个线在表面上，你说你过这个点，要做这个线的平行线，那这个点所在的平面要先和这个线所在的面平行，有吗？没找着对吧？ 行不通。那同样道理，换一个过这个线，那过这个点要做他的，你做出来也不在这个几何体内部，所以在这种情况下，特别是三棱柱的话， 平行你要做又得去把几何体扩大、扩大、再扩大，那没必要。在这种情况下，当我们知道咱们的做法又不是指一个，咱们还会相交，所以接下来这道题我们依然选择相交。扩平面， 香蕉阔平面，你就定一个线，我让他扮演线，我让他扮演点，先点线分离，接下来确定各自所在的面，线所在的面只能在这个面里边，点所在的面只要和线所在的面相交就行了，那你会发在这个面，这个面也行，在这个面也行 啊，随便选一个，我就选这个点在这个面里边。好了，选好之后找两个面的交线，就是他们延长来延长一下，让这个线先和交线交于一点，然后接下来你把这个点在他的面里边连交线就行了， 那你很明显就扩除了这个面里边的这一一连，找到了这个面就是我们通过相交扩出来的。那 这里的话完了之后，你也要去算一下，那这个点的位置在哪里啊？咱们会画了，这个点是终点，这个点是终点，这个点是终点。这道题你扩出来之后要想算值，最关键就是这个点在哪里？来大家看一下这个点在这个线的什么位置， 我们说算这个点的位置主要是根据相似吗？你看这里是中点，所以这里的话这两段是一样的，因为这个你坐上去之后，就相当于这是一比二的两部分，对吧？所以这个长度是二吗？那么这个长度是二了，然后接下来你要算的是 这两个永远关注这个八字相似，在这个点在这延长，这是个八字相，这是二，这个长度是一，一比二，所以这一比二点，这是靠近 b 一 的三等分点， 三等分整个是二的话，那两份三分之四，对吧？一份的三分之二，然后这里是一勾股定律，就可以算出它，然后这里的话勾股定律二，一根号五，这里一二根号五，就剩下这个了。这个长度咋算呢？也非常的简单，这里的话 长度是一，这个长度是三分之四。两个边知道了，要求对边看这个夹角，因为上面是个等边三角形，你用余弦定，你就可以求出 f g 啊， 值稍微冲下一点，三分之根号十三，然后呢都知道了，加起来就是咱们对应的这个结面的周长。刚才有朋友又问他，比如说找的是另外一个的，其实就是你看作一个线， 我刚才说我在看这个点的时候，我把这个点看作在背面这个面，对吧？线一定在这个面，但是这个点的话，他不一定，他还可以在什么上边这个面啊？可以在上边这个面，只要他所在的面和线所在的面是相交的就行了， 所以你发现它上面这个面的话也是相交的，只不过交线是谁啊？ a 一 b 一， 你只要这个线跟它能相交，然后这个点连一下，交点你一样找出来。是，所以刚才有个朋友问，这么做行不行？ 你学明白了就直接画出来，画出来肯定行啊。好，当然到这里的话，我们说为什么要反复练相交？你看在这种三棱柱，包括以后的台体，包括以后的甚至一些锥体当中，你真正去做的时候没有那么多相对平行的面，所以平行就 很难操作，所以相教学扎实之后，相对万能，平行式的能做的时候相对简单，所以你两个方式都要掌握扎实。好了，接下来练一些啊，不一样的来看下边这道题，这道题的话告诉我们的又是正方题了，能长为二，然后点 e、 f 呢？是这两个的什么啊？ 中点，然后过 b、 e、 f 啊？过这三个点，做个结面，结面面积是多少？这道题拿出来，那你还是要选一选， 你看这道题面上的线有他有他，我过这个做这个，这个点所在的面和线所在面都不平行，不好做。然后我接下来以这个线看做一个线，以他看做个点，这个线在的面在这里，这个点在，哎，这个点可以在这个面，两个面平行，肯定可以做平行， 所以一平行来一连一连结束。所以说你看这个用平行它就很简单，所以当咱方法多了，也不要照着一个方法拿起来就用，对吧？可以选择一下，选择那个最优级，这是咱们的追求，对吧？好了， 那你要求洁面面积，这个也就很简单了，首先它整个就是个梯形，上底下底，这腰都知道，你要扩一下去球也没有问题，看做一个三角形，然后接下来梯形占四分之三，也会非常简单啊。好了，当然了，香蕉也给大家说一下啊， 我们要用香蕉去做的话，一样的，你先定一个线，比如说我就定这个线，他在底面里边，那我就要看这个点在哪里，这个点所在的面在这个面也在这个面，不管这两个面哪一个面，反正都跟他是相交的，随便选一个都行。比如说我选背面 点所在的面啊，是这个线所在的面，是下两个交线是什么？两个交线是 c d， 你 把 c d 延长一下，线先跟它交于一点，然后你让你的 f 再跟它一连，刚好是过 c e 啊，所以最后就找到在这个面里边线也是它，你再一连也就 出来了。所以说相交是相对万能的方式，那能用平行的时候，平行会简单很多啊。好了，这个也过了， 接下来的话，我们再看例五这道题的话，他还有点不一样，他说这个点，这个点，这个点啊，这个叫做你熟悉的话一笔就画出来了。那么今天呢，我们就认真的说一下，他为什么是个正六边形啊？你就用咱们今天所讲的相交也好、平行也好合适的方法把它括出来。 这道题就是按理来说学到例题几何，大家在学学校应该都见过，这他就是把对应的这几个棱上的中点点起来，连完之后整个图形刚好截出了一个什么正六边形，这在正面，这个线在底面，这个线在侧面，这个线在背面， 所以他截完之后刚好是这个熟练的话，你就一把画出来了。但是没关系，我们今天把它放在这里，就一起去感受一下，我也要去扩它，我到底用怎样的方法去扩？ 那首先你看表面上的面，我把它看作一个线，那这个点所在的面都不平行，平行不好处理。我把它看作一个线，这个点所在的面跟他也不平行，也不好处理，所以平行不处理，不好处理的时候咱就怎么样，咱就可以用胶线， 我把这个线看做一个线，它所在面是上底面，我肯定要把它看做一个点，这个点所在的面在哪里呢？它可以在正面跟它是相交的，它也可以在侧面跟上面也是相交的，所以随便选一个，比如说我就选到了侧面，那它俩的交线就是 b 一、 c 一 延长一下，首先线交交线与一个 点肯定是确定的。然后接下来把这个定点和这个点再一叠，你整个延伸，因为这里的话这两个是什么全等的，所以这两也是全等的，这是终点嘛， 所以这也就是终点。这样的话，我们把它在这个结面里边的线就找出来了。找完之后呢，你看这一个，这一个从刚才的三边形把它变成了四边形，那你变到这一步的时候，接下来咋做呢？我们说咱们会的方法比较多，刚才是没办法用平行， 那我用香蕉扩了之后，接下来看能不能用平行。你发现过这个点，这回可以做他的平行线了，做一个。过这个点呢？接下来可以做他的平行线了，做一个。 过这个点呢？接下来可以做他的平行线了，做一个。所以说当你两个方法都学熟练的时候呢，你就相交平行结合着用，对吧？因为有些时候他不能用平行，也就把它串起来了， 这样的话用平行效率会更高一些。用香蕉的话，毕竟他还是做，虽然他通用，但是做起来会更慢一些啊。这应该是在正方棋的结面中会经常见到的一个结面啊。 这道棋跟刚才有点不一样了啊，他不再是阔平面了，就是我们说平行啊，香蕉有些时候除了阔平面，就是过点座椅之面的平行平面或者垂直平面。 那这道题告诉我们个什么呢？说一个棱长为三的正方体，当中点 e 为 a、 e、 d， e 上靠近它的三等分别一比二，过点 e 做垂直于这个线的 平面。其实你要去过一个点，记住啊，我们讲了过点做平行平面，你要过点去做垂直平面，其实非常难的，所以过点做垂直平面啊，记住，点做垂直平面 要转化成什么点？做平行平面，那咋转化呢？往往就是基于这个图，你就看一下 b、 e、 d 有 没有和它已知的垂直的面。如果你在题目中能找到和 b、 e、 d 已经是垂直的面，那我只要过点 e 做这个面的什么平行平面？你想你做平行平面，现在对你来说是不是非常的简单？但是做垂直平面不会的时候转成平行平面， 所以这道题主要是要找到一个和其对角线怎么样垂直的，那这个就很简单了，在这个途中，我们说有两个等边三角形和其对角线一定是垂直的，一个是 a e b c， 一个是谁啊？ d e a c 这两个面呢，都和体对角线垂直，而且它两个与体对角线的交点刚好吧，体对角线分成了什么？三等分。那么所以这就是以后你可能还会遇到的一类奇，就是做垂直平面啊，不要吓到， 本质上还是做平行平面，关键是已知的线，先找一个他一定垂直的面。那这道题就随便，我只要过点 e 做这个紫色面的什么平行平面就行了， 所以说垂直的就是转化成平行的，这是这道题唯一一个咱们不会的点啊。你知道了，做这个题就很简单快速过了啊，就是做平行呗，你过点 e 首先能做谁啊？你发现，哎，我能做 a 一 c 一 的平行， 然后做完之后还能做谁的呢？你发现你过这个点呢，你还可以做谁啊？这个因为它的背面你一定可以做这个起对角线的什么平行， 然后你过这个点呢，就一定可以不是起对角线啊，面对角线，你过这个点呢，一定就可以做这个面对角线的平行线随便做。有了这个点又可以做谁啊？ a e b 的 平行线，所以啊，最终连一下， 他画出来之后呢，是个五边形啊。那到这里呢？那咱们今天不管是平行还是相交扩平面是咱们今天要讲的，最重要的 还是基于咱们所讲的公里一二三四的基础下，结面为什么可以通过平行去扩？本质上就是平行定平面，平面为什么可以通过什么相交去扩？一样的本质上还是相交定平面， 对吧？所以接下来最重要的就是在扩的时候他的细节操作是什么？明白了原理，每次能操作清楚就搞定了。第二个就是有以后你除了扩平面还会去做平行平面或者去做垂直平面， 你记住本质上都是做平行平面，垂直的话就是你找到已知的垂直平面，然后做他的平行平面就行了啊。
713老赵高中数学
08:23查看AI文稿AI文稿平行如果是三级难度的话，有辅助线的垂直一定是六级难度。很多同学力的技巧学不好都是从辅助线开始的， 但是这个辅助线到底怎么做出来的？答案还是老师也罢，往往都是一笔带过。既然郑老师利用正推法和反推法两个方面分析辅助线到底该怎么去做，郑老师先给结论， 所有的辅助线都是什么呢？推出来的，而不是看出来的这一点哈，反直觉，很多同学觉着立体几何我没有学好，是原因，是我的空间感不好，我这个图根本想象不出来他长什么样。错，很多同学做不出来的原因都是因为你的推理能力的问题。 那什么是推理能力？怎么去推？咱来看一下，常见的推理方法就是两个，一个是正推法，一个是倒推法。什么是正推法？这个题的关键信息是什么呢？这个消息正推里边最有用的条件就这一个，为什么是这个是最有用的一个条件？ 同学们想，两个面垂直往往有一个什么呢？唯一的结论，但凡带上唯一这两个字的都是重点。这个推论是这样说的，两个面如果垂直，有一条交线，其中一个面里头一条线如果和 bc 垂直，那么这个线就和另一个面垂直， 也就是说两个面垂直，先找交线，那这两面的交线就是谁啊？就是 bc。 那 第二步你就思考一个问题，在 pbc 或者在 a、 b、 c、 d 中，哪条线适合交线？ bc 垂直的， 那很多同学说，我看到这地方就已经看不明白了，这个 bc 的 垂线我找不到，那找不到正常的，如果找不到的时候，这就是我们做垂线的原因了，我们就把它干什么做出来，因为两个面垂直，刚才说这个结论是一个唯一结论， 也就是说题干给了这两个面垂直，它就是想让你用上刚才这个定律，你必须要找到交线的垂线， 必须要找到交线的垂线，在心里默念三遍，所以我必须要找到 b、 c 的 垂线，那么怎么找？要么在 p、 b、 c 中找，要么在 a、 b、 c、 d 里找，找不到怎么办？找不到你就画上。 那这个地方，咱做 b、 c 的 垂线的时候，首先考虑一下 p b 和 p c 是 否相等，如果这两边相等的话，咱只要取一个中点，哎，连起来 这个 p o 就 和 b c 垂直，但是你找来其他条件，你仔细观察会发现你并没有找到这个 p b 和 p c 是 相等的，也就是说这个中点和这个 p o 啊和 b c 垂不垂直不一定不知道，那怎么办呢？ 那不知道我们也必须要找到 bc 的 垂线，那我干脆啊就直接做好了，直接做 bc 的 垂线， 那至于这这个垂线是不是终点，对不起，不知道，因为这个地方题干上并没有给我们一些 pbc 这个三角形的一些有用信息，关于 pbc 这个三角形，它只告诉我们了这是四，这是六十度，其他都没有这个长度啊什么的，这个长度都不知道，那所以这个地方我们就直接强行的做 p o 垂直于 bc， 那这样话，根据我们的分析哈，这两个面垂直，我们就通过自己的做辅助线的方法找到了 p o 和什么呢？和 b c 垂直，继而又推出来了 p o 和底面 abcd， 哎，是垂直的，这就是我们的推理， 那这样的话，我们推出这个 p u 和底面 a b c d 垂直来之后呢？干什么用呢？再怎么用呢？后边又陷入了沉思，这个题又不知道怎么做了，那后面的方法我们就使用的这个题的什么呢？反推思路。那什么是反推思路呢？ 我们的目标是证明 ab 垂直于 pd 啊， ab 和 pd 垂直，那证明两条线线垂直。我们在高中里使用的方法可以说也是唯一的方法，就是说在线线垂直里边就是正线面啊，这样同学说你线面平行线垂直方法很多呀，什么菱形、对角线，勾股定力。 强调一下，咱说在高中里你学的这个力线线主要就是通过线面来挣的啊，可以说就是用线面来挣的，也就是说，根据我们的推理思路，我们证明的就是什么呢？要么证明 ab 垂直一个面，要么你去证明一个什么呢？ p d， 哎，垂直于一个面，这两个都是可以的，要么正 a b 垂直于一个面，要么正 p d 垂直于一个面。至于其他方法呢？没有哎，没有。好了，那到底是 a b 垂直于一个面，还是 p d 垂直于一个面？我们再去想， 你想要找 a b 垂直于一个面，这个面就是 a b 的 垂面，对吧？那你就需要什么呢？需要找 ab 的 垂线，因为只有 ab 的 垂直于两条线 啊，只有 a b 垂直于两条线，你 a b 才有可能垂直于一个面。所以同学们根据这个思路去想，你必须要找到 a b 的 什么呢？垂线，而这个地方同学们看 已经就出来了，为啥呢？ p u 垂直于这个 a、 b、 c、 d。 那 这样的话， p u 是 不是就和 a、 b、 c、 d 里所有的线都垂直啊？也就是说这个 p u 就 肯定是垂直于谁啊？是不是垂直于 ab 啊？正好和我们前面呼应上了，哎，我们需要 ab 的 垂线，因为你只要找到了 ab 的 垂线，你才能找到这个垂面。 所以基于这个思想， ab 垂直于 p o， 哎，我们把它写在这个地方哈，就是说 ab 垂直于 p o， 那 好了， ab 垂直于两条线，看见没？有一个是 p o， 目标是 pd， 那 ab 就 必然垂直于 p o d 啊， p o pd 所在的平面，也就是 p o d。 然后我们只要证明什么呢？ ab 垂直于 p o d 就 可以了。那我们看图， p o d， 哎，需要把它该连的把它给连起来，自然而然这条边你就做出来了。所以很多同学辅助线，辅助面怎么做到底怎么去想的，我怎么不知道？同学们体会出第二个这个 p o， 我 刚才怎么做出来的？同学体会出来没有？ 第二个我，这个 o、 d， 我 为什么要连起来？同学们体会出来没有。所以同学们一定记住，立体几何垂直最难，最难的就是要把这个 p o d 找出来，真正当你找出这个面来之后，你去证明，哎，你会发现简单很多。那这样的话， ab 垂直 p o d， 我 只要证明 ab 垂直 p o d 的 两条线就行，对吧？然后这个地方我们稍微换一下策略， ab 啊，底面是一个平行四边形哈， ab 的 话，我换成 c d， 为什么换成 c d 呢？因为底面 ab 和 c d 首先说是平行的，第二个 c d 和这个面啊，它更近一些，它这地方夹角啊，或者这长度 包括长度一些东西，它更什么更多一些，所以换句话说，这个地方哈， c d 和这个面它的联系啊更密切一些， 所以你把这个 ab 转化成 c d 垂直于 p o d， 哎，这样就简单很多，那这样的话，只要正 c d 垂直于这个面里了，是吧？是不是两条线就行了？那两条相交直线一条是谁？ c d 垂直于 p o， 对 吧？ 原因是不还是这个原因啊？哎， p o 和这个面垂直另一个 c d 要想垂直这个面是不是另一个，是不是只要证明什么，这个 o d 就 可以了？哎， c d 垂直于 o d， 这个刚才已经通过这个地方挣出来了。那 c d 垂直 o d 的 原因，我们来分析一下， c d o d 他 两个为什么会垂直呢？就说这个角为什么是个直角， 那么一下，现在好多的时候长度还没有啥，那这个是四，我们自己做了个垂直，那这是六十，这是三十，哎，这个是六十度，对吧？这是六十，这也是六十。一二六十能不能算出来？这个边是跟三 对吧？一二六十度是不是能用余弦定律算出来叫根三，这是根三，这是一，符合勾股定律吧，所以这个长度的证明使用的是什么呢？是不是勾股定律啊？啊，这是用勾股定律啊，挣出来的，最后别忘了加上 p o 加 o d 等于 o 啊，这个答案就出来了， 也就是说这个题同学们思考一下哈，例题，几何最难的，咱讲就是如何去做这个辅助线， 那这个辅助线的话，首先说，不是说简简单单看出来的，也不是说答案给了之后我一看答案就会， 也不是说老师说，哎，你就应该在这个地方做，你是看到他你就做个垂线，做个重点，并不是这样，都是靠一步一步的推理 逻辑把他给推出来的。由于时长有限，关于立体几何常见的推理思路包括什么？内切球、外接球的一些推理方法，这老师的十七节视频里边都已经有了，有需要的同学评论六六六，拿回去下载打一关注，我带你看更多更好方法。
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