济南中考数学基础题型100练
兄弟，马上就要中考了，那些基础不好老铁呢，你就跟着阿才哥来学喽。你们先暂停一下，把这四道题呢做一做，能不能全部做对呢？一个空是四分啊，一共是十六分啊，重题呢，一定要叫他满分拿下喽！这一块不就是二元一次方程组吗？ 让你求 x 减 y 等于多少？怎么搞呢？很简单喽，你这块是一四，就是二四，这个一四加上二四，马上得到二， x 加上 x 呢，等于三， x 这两个先加呢，就变成减去三 y 了，三加上六就等于九啊，对了，这一块提供因子喽，把三提出来就变成了 x 减去 y 了，等于几？你看， x 减去 y 就是 我们要求的结果啊，那么它呢，就等于九除以三了，对不对？ 那么等于多少？很明显，等于三喽，你看，就这么简单喽。接着音质分解都说了一万多遍了，第一步，优先考虑提供音质最快是不是可以把二提出来啊， 就变成 a 的 平方减去一了，一就是一的平方这一块马上想到平方差公式啊，就等于 a 加上一的和，再乘以 a 减去一的差，这二不变，这一块呢，就是它的结果喽。第三题，分式 首先，分子呢，是不能够等于零的，也就说 x 加一不能够等于零， x 呢，不能够等于负一，这一块呢，也不能够等于零啊， x 呢，不等于这个二，对不对？那么它的结果呢，是零，只有分子这一块呢，等于零啊， x 的 平方 减去四等于零，那很明显， x 呢，就等于正负二，因为 x 呢，不能等于二，那么 x 呢，只能等于多少？等于负二了，你看，就这么简单了。第四个， 让你求这个角的度数，哎，这是圆周角，就等于它圆心角的一半吗？只要把这个角求出来就可以了。
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17:51查看AI文稿AI文稿二零二六中考数学最容易翻车的八大题型，往年平均丢分率高达百分之七十，很多人走出考场以为势在必得，但最后中考成绩会把你直接打蒙。 本期八道题不看答案全作对，你的数学基础才算真的稳了，敢挑战的弹幕扣个应战，我们直接看题， ok！ 先来看我们的第一个题型，关于绝对值的化简，它告诉我们，如果 m 的 绝对值是二， n 的 绝对值是三，并且 m 加 n 的 绝对值等于 m 加 n， 求这个的值， 那其实说白了就是要求 m 和 n 的 值嘛，对吧？那我们依次来看一下，我们来依次拆解第一个条件。首先如果 m 的 绝对值等于二的话，那么它有两种情况，就是 m 等于二或者负二， 然后同理 n 应该等于三或者负三，然后 m 加 n 的 绝对值等于 m 加 n 的 话，我们可以得到 m 加 n 应该是一个正数，这个大家能不能理解？ 因为它的绝对值是它本身，所以 m 加 n 是 一个正数，那这里有些同学会怎么出错呢？他就觉得，哎， m 加 n 是 正数， 那我就觉得 m 也是正数， n 也是正数呀，所以 m 就 等于二， n 就 等于三了呗，对吧？然后 m 分 之 n 就是 二分之三，所以他就直接去选 a 选项了，这样去想的话，错在哪里了？错在你少想了一种情况， m 加 n 是 正数，它是分很多种情况的，我们要给大家讲一下哈， m 加 n 如果是正数的话，第一种情况 m 和 n 它们都是正数，这个时候是不是可以的？那么对应的我们求出来， m 分 之 n 就是 二分之三，这个很明显没有问题。然后第二种情况， m 和 n 的 话，它里面有没有可能一个是正数，一个是负数呢？也是有可能的呀， 对吧？我们依次来试一下，比如说这个是正的，这个是负的，又或者说 m 是 负的， n 是 正的，我们依次来计算一下， 如果 m 是 正的， n 是 负的的话，那么 m 就是 二，然后 n 呢，就是负三，二加负三等于负一，这个时候是负数，跟我们的前提条件矛盾，所以说这种情况直接舍弃，大家能理解吗？ 所以说我们应该要看下面这种情况哈， m 是 负数，负二，然后再加上 n， n 是 三，负二加三等于一，正数没有问题，所以这种情况成立，这个时候呢，就是负二分之三，你看对应的。呃，另外一种情况嘛， 那有没有可能第三种情况， m 和 n 是 全负的呢？那这个时候不可能呀，两个负数的和肯定是负数呀，不可能为正数嘛，对吧？所以第三种情况也不可能，那对应的就是两种情况，二分之三，或者说负二分之三。答案就是我们的 c 选项哈，这是我们的第一题，关于绝对值的化解， 总结来讲呢，就是大家一定要搞清楚，它可能是有两种情况的，然后对于你看一个带绝对值的数，如果说它想去绝对值的话， 它有可能呢，是它本身，也有可能呢，是它的相反数。核心呢，就是我们要先判断正负，再去符号，这是大家需要注意的哈，大家看一下这道题能不能做对， ok， 我 们再往下看，再来看第二个题。 第二个题呢，考察的是代数式的一个公式，这个也是比较常考的，比如说 a 选项负 m 的 七次方，除负 m 的 四次方等于多少呢？那么大家来想哈，它考察的是除法呀， 那对应的应该是负 m 的 七减四次方，对吧？也就是负 m 的 三次方，那对应的应该是它化简可以化简成负一的三次方，再乘 m 的 三次方嘛。 因为这个对应的一个公式就是 a 乘 b 的 m 次方，是等于 a 的 m 次方，再乘 b 的 n 次方的，对吧？所以这个时候它就可以转换成这个哈，你看， 那对应的就是负一乘个 m 的 三次方，不就是负的 m 三次方了吗？所以很明显 a 选项是正确的呀，对不对？这里有些同学容易搞混哈，一定要记清楚，这里是容易出错的。然后再来看 b 选项， 这个的话，考察的就是这个公式了呗，对不对？那对应的呢，就是负二的三次方，再乘个 x 的 三次方，那就是负八乘 x 的 三次方嘛。所以 b 选项不对， c 选项的话，它是对二十五开个三次方， 它等于的这个数呢，应该满足这个数的。我们来给大家写一下哈，这个数的三次方应该是等于二十五的，对吧？那五的三次方等于二十五吗？很明显不是的呀，五的平方才等于二十五吗？所以 c 也不对。再看四 d， 四 d 是 x 加 y 的 平方嘛，这个直接考察为正平方公式，它是等于 x 方加 y 方再加 x y 的， 所以四 d 也不对哈。 然后关于第二个题型呢，主要是给大家复习一下我们在初中常考的这些运算公式哈，非常重要，比如说对于密的运算， 这个它涉及到的四个公式经常常考，如果说是乘的话， a 的 m 次方，乘 a 的 n 次方，上面是 a 的 m 加 n 次方，这个 一定要注意哈，然后 a 的 m 次方括起来的 n 次方等于这个，然后还有这个，还有这个，这些公式是非常重要的，大家需要自己去记清楚哈，考试的时候千万不要记混了。然后乘法公式的话也需要去了解一下，也需要去记清楚哈，考试的时候都是非常常考的。 ok， 那 我们再往下看，再来看第三个题型，因式分解，它这里直接给了一个式子，让你进行因式分解，那大家来看一下怎么去分解呢？我们一般想到的都是要进行提供因式呀，对不对？ 那这个时候怎么去提呢？这里是 a 的 三次方减 a 方， b 减 ab 方，再加 b 的 三次方，我们发现最高是三次，对吧？咱们一般就从三次入手，你看我先把 a 的 三次方拎出来， 他和谁呢？我，我选他跟谁放到一起呢？那你再看一下有没有 a 的 三次方呀？没有的话你就再降一次，再来看一下二次，这个时候很明显有 a 的 平方，那你就可以把他俩放到一块，先进行一下，提供一式，我们先把 a 方提出来，那剩下的呢，就是 a 减 b 了呗，对不对？那后面剩下的这两项我们来看一下， 这个时候呢还是一样的，一个是 b 的 平方，一个是 b 的 三次方，同理，我是不是可以把 b 方提出来，一定要注意哈，提出来以后，这个括号里面剩下的是 b 减 a， 这里千万别写错了， 这个时候一个 a 减 b， 一个 b 减 a， 那 我就在后面这里提个符号嘛，减 b 方再乘，括号里面 a 减 b， 然后都有共音是 a 减 b， 所以 我要把 a 减 b 再提出来，那剩下的不就是 a 方减 b 方了吗？对吧？有些同学化简到这里，觉得这个是最终结果，这就是很多同学出错的地方， 实际上它还可以继续分解，因为第二个式子这里，你看第二个式子这里，它是一个平方差公式呀，对不对？所以它可以继续分解成 a 减 b， 再乘个 a 加 b， 再乘个 a 减 b 嘛， 那最终对应的你看两个 a 减 b， 所以 就是 a 加 b， 再乘 a 减 b 括起来的平方了，这个才是我们最终的一个结果哈，大家一定要注意，这是我们的第三题，因式分解它一般会怎样容易出错呢？就是最终得到结果的时候，没有分解彻底哈，这是大家需要注意的第三个题型。 ok， 再往下看，再来看第四个题型，关于分式有意义的条件，他说如果这个分式的值为零，求 x 的 值是多少？ 那大家来想哈，一个分式 x 减一分之， x 方减 x 等于零，它等于零的话，那么大家自然可以想到，那肯定分子为零啊， x 方减 x 等于零，也就是 x 乘个 x 减一等于零， 所以 x 等于零或者 x 等于一两种情况，所以答案直接选 c 选项。很多同学会这么去想，但是你一定要注意，分式它是一个分式呀，对不对？分式是非常容易出错的，比如说在这道题目里面，分式我是不是需要限制分母不为零呢？对吧？ 分式有意义的条件就是我需要限制分母不为零，这个是你需要时刻记住的，所以说在这道题目里面，我们需要限制 x 减一不等于零，也就是 x 不 等于一。那对应的这两个条件一连律最终结果应该是我们的 a 选项吗？对吧？这就是第四题哈， 然后再往下看，再来看下一个题型，解分式方程，我们来给大家解一下，你看看到这个方程以后，我们是不是先要把分式转化成整式呢？对吧？然后这分母这里的话，一个 x 减二，一个二减 x， 那 我们先全部给他 变成 x 减二，你看把这个复数哦提个负一出来，那这里不就变成加法了吗？对不对？那对应的我们现在来通分，它就是 x 减二分之一减 x， 再加一就是二减 x 嘛，然后它是等于一的， 它等于一的话，那对应的不就是二减 x 就 等于 x 减二了吗？所以四是等于二 x 的， 所以 x 是 等于二的。 做到这里以后，这道题结束了吗？很多同学出错，就是因为他做到这里就觉得结束了，直接 x 等于二没有了。但是你一定不要忽略了，你现在在解的不是整式方程，而是分式方程呀，对不对？分式方程最后是不是还是有一步的？是不是还有最后一步你没有去写，是什么呢？大家可以在弹幕里打一下哈。 我们这里差的最后一步是什么？是我要检验呀，所以你需要去写上解得 x 等于二后检验。当 x 等于二的时候， x 减二是等于零的，对不对？ 你既然分母为零，那就说明你这个东西是增根呀，所以 x 等于二是这个分式方程的增根，原来的分式方程是无解的，大家能理解吗？原来的分式方程无解，这是我们需要注意的第五个题型的一个易错点哈， ok， 然后再往下看，再来看第六个题型，关于分式方程无解的一个概念，这个概念的话，有些同学可能会不知道怎么去想哈，我们来给大家读题，他说如果关于 x 的 这个分式方程无解， 求实数 m 的 值是多少？有些同学他不理解，无解的话，应该转换成什么方程去进行求解，大家能理解吗？ 就比如说有时候我们提到一个整式方程啊，我们说那个呃运二次方程，它有两个不相等的实数根，那么我们可能会想到得它是大于等于零的，对不对？这个是我们比较好去转换的，但是分式方程的话，如果提到无解的话，有些同学就不知道怎么去转换了， 那我们来给大家讲一下哈，分式方程无解，它对应几种情况呢？大家可以在弹幕里打一下，你觉得无解对应几种情况？是一种，两种还是三种？大家可以自己来猜一下它对应的有几种情况。 我们来讲哈，首先它是不是可以转换成整式方程，对吧？我们一般第一步都是转换成整式方程呀，那对应的我们转换成整式方程以后，直接在这里写吧。 转换成的整式方程，如果说无解的话，那对应的是不是这个分式方程无解呢？是不是没有问题，对吧？这是一种情况。那如果说，哎，我转换成的这个分式方程无解的话，那对应的 这个分式方程就一定有解了吗？是不是不一定呀？因为你这个整式方程有解的话，你包含两种情况，你这个解呢？有可能是增根呀，对不对？ 你如果说你解出来的那个解，你让他的分母为零了，那你就属于增根呀。就像我们刚才讲的这道题，你确实解出来一个 x 等于二了呀， 但是你发现他会让这个分式方程的分母为零，所以他是增根，而增根对应的就是这个分式方程无解。因为咱们现在说的有解没解，说的是分式方程嘛，对吧？所以你整式方程有解，但如果是你这个解是增根的话，对应的分式方程是无解的， 那如果说这个解它不是增根的话，那对应的就属于有解了嘛，就不是咱们讨论的情况了。所以如果你整式方程有解，并且是增根的话，那对应的也是无解的。所以说无解是有两种情况的，大家能理解吗？ 这个是我们需要给大家梳理的哈。就数学题，你需要把逻辑想清楚，那我们现在把它转换成整式方程，我们来计算一下，我们先进行通分，它是 x 加二分之 m， x 再加 x， 那 就是 m 加一倍的 x 嘛，对吧？然后它是等于二的，也就是 m 加一倍的 x 等于二， x 加四，也就是 m 减一倍的 x 等于四。那你想这个是我们的整式方程呀。如果说我们对应的第一种情况，我们想让这个整式方程无解的话，我们可以怎么去限制这个 这个 m 呢？大家来想，是不是零乘任何数都等于零，对吧？那如果说我让 m 减一等于零的话，是不是零乘任何的 x 右边都应该等于零呢？那不就无解了吗？对吧？所以说其实这个是很好去想的哈，一般涉及到无解的时候，就是让它的系数等于零之类的， 所以 m 减一等于零，所以 m 等于一。这个对应的是我们第一种情况，整式方程无解，那如果说我们让整式方程有解，并且是增根的话，那我们来想增根的话，就是我们可以让它分母为零，对吧？那我们可以让它分母为零的话，不就是这个时候 x 加二应该等于零嘛？所以 x 等于负二呀，也就是这个时候它的解是 x 等于负二，因为你只有是 x 等于负二的话，才能让它分母为零呀，分母为零才能是增根呀，对不对？所以这个时候 x 的是 x 是 等于负二的，所以你就把它带到这个整式方程里面， 我们代入以后得到的就是 m 减一乘个是负二，是等于四的，所以 m 减一是等于负二的，所以 m 是 等于负一的，对吧？这是第二种情况，所以最终结果要么是一，要么是负一，应该选什么？ 很明显就是我们的四 d 选项了呗，对不对？所以说我们讲到这里给大家总结一下，你会发现咱们做数学题，很多你觉得刚开始没有思路的题目，我们给它拆解一下， 拆解一下就会发现很简单了呀，对不对？所以说数学题的本质其实就是一个又一个的题型，比如说你现在学会了分式方程的无解问题， 那么接下来不管再给你出多少道题，你都知道无解问题如何进行解决了呀，不就是按照两种情况来讨论了吗？对不对？这个就是题型以及题型对应的解析思路，这是我们学数学的时候要去学的一个东西， 如果说你之前都是按照题型以及题型对你的解析思路去学习的话，那么你会发现你数学成绩提的特别快，你提个二三十分都是轻轻松松的，因为你学的东西一直都是在你看，你都是从应试在学习啊，你学的东西都能立马作用到题目以及考试上哈。 但是大家如果说你现在快要中考了，但是你觉得你的数学成绩死活提不起来的话，你觉得你的老师上课讲的你也能听懂，但是你一到自己做题，哎，你就死活没有思路，你就是想不清楚这道题应该怎么去做，但是你看答案也能看得懂的话，那么大家不用想了，你百分百就是学习方法出现问题了， 因为你之前没有有意识的去按照题型去学习，所以说你现在就看不透数学题，你看不透他应该怎么去做，你就没有思路了。那大家如果也是这种情况的话，你可以在弹幕里打一个真实，你这种情况学校老师帮不了你，但是小曼老师可以帮你，你可以通过这里找到我， 你把你的成绩以及你现在的学习困惑发给我，老师可以来帮你分析一下到底是什么卡着你提不了分，因为老师每年都会带很多中考生在中考前快速提高个三四十分哈，所以说你也是一样的，只要你能找对方法， 你也能跟着小马老师我们快速提高个三四十分，我们中考数学直接逆袭上岸哈！ ok， 那 我不多说了，我们继续再往下看，再来看我们的第七个题型。 第七个题型呢，他讲的是一元二次方程的一个概念，什么意思呢？我们来读题啊，他说如果关于 x 的 这个一元二次方程有一个根为零，求 m 的 值， 那这个很明显，既有方程又有根，这是两个关键的词眼哈，你看方程和根，那对应的解析思路不就是见根回代吗？对吧？这个就叫做学题型，我读完题我就能立马想到他对应的解析思路，以及他是什么题型嘛，对不对？那见根回代，那我就把零带进去，回，带进去以后， 那就是 m 减二乘个零，再减去个五乘零，那这这些全都没了呗，全都是零嘛，对吧？然后再加上 m 方减四等于零，所以说 m 方是等于四的呀，所以 m 是 等于正负二的呀，对不对？你看，我是不是就把 m 求解出来了呢？对吧？有些同学就会直接写上正负二， 但是这样去做的话，错在哪里了呢？大家可以在弹幕里打一下错在哪里了，它是有一个前提条件的呀，你需要是一元二次方程，但现在 你这个二次项这里是有系数的呀，对不对？所以说，对于这种英语二次方程问题，求参问题哈， 二次项系数是你特别需要注意的，如如果二次项系数它是含参的，那你注意，这里一定要限制一下，它是不为零的。 m 减二不为零，那就是 m 不 等于二，所以说最终 m 的 值就应该是负二了哈，这是我们第七题，大家需要注意的， ok， 再往下看，再来看第八题， 他说已知反比例函数 y 等于负 x 分 之三，下列说法正确的是哪个？首先， a 选项 y 随 x 的 增大而增大，哎，有些同学会直接上来就选 a 选项，为啥呢？因为画一个图像发现，哎，他不就是 y 随 x 的 增大而增大吗？对吧？这没有问题啊，但是你忽略了一个点，忽略了什么呢？大家可以在弹幕里打一下， 是不是你没有考虑象限呢？对不对？我们只能说它在第二象限外随 x 的 增大而增大，或者说它在第四象限外随 x 的 增大而增大，对吧？你不能直接这么说哈，所以说 a 选项是不对的，我们再往下看， 他说图像和两坐标只有相交，那很明显没有相交嘛。然后 c 选项图像位于二次象限，这个没有问题哈，直接选 c， 四 d 的 话，图像经过这个点，那回代验证一下呗。当 x 等于负二的时候，负二分之负三等于二分之三呀，它这里是负二分之三，所以这个不对。 这道题很明显就是 c 选项了呗，对吧？ ok， 那 以上就是咱们关于中考必错题的一些全部总结了，但是老师说实话哈，你光学会这些基础知识点，顶多只能帮你在中考前打好基础。 你想在中考快速提分的话，拼的根本不是你刷了多少道题，而是你底层的学习逻辑。很多人可能不知道，我以前数学也是一个不及格的底子，我之所以能一路逆袭到多次满分，靠的就是一套极度理性的数学提分系统， 因为题海战术救不了低分，但是对的方法可以，所以我把我自己从不及格到多次满分的所有底层学习方法以及避坑指南全部整理成了一节内部逆袭方法课。大家想彻底打通数学思维的 你可以通过这里加我，这节课我直接发给你，你花半个小时看完就能立刻停止你的低效无效努力。最后千万别忘了三连加关注，小猫老师接下来会继续更新我们中考数学的一些必考题型以及对应的解析思路哈，那我们就下期视频再见大家，拜拜！
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02:42查看AI文稿AI文稿兄弟，十二分啊，重题，在中考里面，它是一个必考的知识点，所以呢，一定要将它满分拿下喽！一题， 这个二十根是有意义根号里面的东西呢，要大于等于零啊。所以你这个 x 减去六呢，要大于等于零，一线过去，马上算出来， x 呢，要大于等于六喽！接下来计算这一块二分之一的负一是八呢，很明显呢，等于二 t n 四十五度呢，等于一二，减去一呢，就等于一了，是不是很简单，有手就行了。接下来第三题，以及关于 x 的 一元二次方程，有习数根，马上想到它的判别式了，背着它大于零呢，有两个不相等的习数根， b 的 塔等于零呢，有两个相等的斜数根， b 的 塔小于零呢，没有斜数根，他说他有斜数根，就说明 b 的 塔呢要大于等于零啊。把它搭进去 b 的 平方，减去四， a， c 呢，要大于等于零， b 的 平方呢，就是负四的平方啊。 减去四 a， c， a 呢？ c， e 啊， c 呢是个常数线，你看，要大于一零就马上缩入来 m 呢，要小于等于四了，是不是很简单？接下来 b c 题让你求这个阴影部分的面积， 结果呢，保留派就很简单了吗？一用这个三角形的面积减去这个扇形的面积就可以了。那么问题来了，这个扇形的圆心角是多少度呢？哎，你看这条线呢，是它极径，马上想到这个半圆极径所对的圆周角，最快呢是九十度啊， 那么现在 b c 最头边呢是二， a， c 最头边呢是四。马上想到，什么鬼啊，在一个直角三角形面，这个角它的对边比上它的斜边二比四等于二分之一， 就是 sin 三十度了，所以呢，这块是三十度，那么没贼了不？ a、 b 的 长度不就是两倍的根号三了，那么这个三角形 a、 b、 c 的 面积比乘以高除以二，就等于两倍的根号三了。那么这个扇形的面积就很简单了， 你看这个扇形的半径呢，就是两倍的根号三，它的平方再乘以 pi， 再乘以它的圆心角乘以这个三十度，再除以三百六十度。你看， 计算要认真哦，两倍根号三的平方呢，等于十二十二，乘以三十呢，就是等于三百六分子分五把它约掉，最后呢，就等于 pi， 所以呢，阴影部分的面积呢，就等于两倍的根号三，减去 pi 喽，就这么简单喽，兄弟你学会了吗？
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01:49查看AI文稿AI文稿兄弟啊，这种类型题呢，在中考里面，它是一个必考的知识点啊，一定要将它满分拿下。如果你不会的，十点钟呢，来才哥直播间，才哥教你嘛，他说如果这个大数是有意义，则 x 的 取值范围。首先第一个分五不能够等于零，也是 x 加二呢， 不能够等于零，马上送入来 x 呢，不能够等于负二，对不对？根号里面的东西呢，要大于等于零了， x 减去三呢，要大于等于零，马上送入来 x 呢，要大于等于三。 那么很明显，综上所述，他的范围呢？ x 呢，要大于等于三喽，就这么简单喽。接下来第二个 分解因式，看到这一块，马上想到平方差公式啊，你这个四等于二的平方嘛，对不对？所以呢，就等于二加上三，再减去 x， 再乘以这个二减去三，负负得正，又加上 x， 接下来二加三呢，等于五，你看这一块变成负一加上 x 写的好看点点，就是 x 减去一了，这一块就是它的结果喽。现在看下第三题，一样的道理喽，让你算 a 加 b 的 值， 你看这两个相乘，同底数相乘，底数相加喽， 对不对？这两个先乘就等于三乘以三分之八喽，三乘以三分之八，等于多少等于八，你看是不是没贼了？然后 八可以写成二的三之八啊，他们是先等的，所以我就马上算出来， a 加 b 呢，就等于三了，你看，就这么简单喽，兄弟，你学会了吗？
5641阿柴哥🔥数学课堂
08:09查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学们，今天我们来做一道二零二五年山东省济南市的中考真题，这道题目呢，涉及到了一个三角形的内切圆的问题。好，我们一起来看一下这道具体的几何题目。如图是圆，是三角形的 abc 的 一个内切圆啊，就是这个圆， 这个圆 o 好， 与 a、 b， a， b， b， c， c， a， a， b， b， c， c， a 相切于点， d， e、 f 啊，也就是这三个点好，我们观察这个三个点，会发现它们都是由圆 o 连接了啊，这个切点的啊，几条半径，好，那这时候我们就应该意识到啊，一条线和圆相切，那么圆心到这个啊，切点的连线应该是垂直于这条直线啊，垂直于这条直线，所以我们得到了 三个直角，给它标注上，好，那角 d， o， e， d， o， e 等于一百二十度。标注上啊， ef 等于一百五十度，一百五十度， 好啊，这，这是我们得到的啊，条件好，继续，那么我们求三角形的三个内角的大小，我们要求三个内角的大小的话，我们来看一下啊，首先我们看到啊，在这个啊，在这个圆里面，我们发现，首先我们可以求一下角 f、 o、 d 啊，因为一个圆周角是三百六十度，那么它就等于用三百六十度减去我们已知的这两个角啊，也就是减去个一百二十度啊，再减去个一百五十度， 好，那我们可以把它求出来，它最终的话是等于九十度，好，就是说这也是一个直角好，这个时候我们会发现，在这个 a、 f 这个四边形 a、 f、 d、 o 中有三个直角， 有三个直角，好，那么四边形啊，这个 a、 f 啊， o、 d， 它就是一个矩形，并且呢，它还有啊，这个相等的这个边，你看它的零边长度相等 d， o 等于 o、 f 啊，这两个边长度相等，所以它是一个正方形， 好，正方形 a， f、 o， d， 好， 这是我们得到了有利条件，好，那么角 a 的 度数自然就出来了，角 a 的 度数的话，就等于九十度，因为它是一个正方形嘛，对吧？矩形， 好，那它四个角的话，显然都是直角，好，我们来看啊，这是 a 角的度数好，关键是我们要求 b 角和 c 角的度数好在这个四边形啊，在这个四边形 d、 o、 e、 b 中，它的内角和是三百六十度， 那我们知道了，这个是直角，这个也是直角啊，这个是一百二十度，那我们直接去减就可以啊，减一百二十度，减去九十度乘以二，那我们就可以把角 b 的 度数去计算出来，那么啊，就等于 啊，角 b 就 等于三百六十度，减一百二十度，是一百四十度，一百四十度，减啊，二百四十度，二百四十度减去一百八十度，那么就等于六十度，这是角 b 的 度数啊，角 b 等于啊，六十度，好，这是我们求的角 b 的 度数，角 c 的 度数也是一样，角 c 的 度数，这个角 f、 o、 e 有 了，这两边都是直角，同样的啊，也是用三百六十度减去一百五十度，减去九十度乘以二，那么就等于啊， 就等于啊，我们来算一下，一百啊，一百，这是一百五十度，二百一十度啊，二百一十度，减去一百八十度，就等于三十度啊，三十度， 好，这是我们求的角 c 的 度数就等于三十度，好，这 abc 的 度数就求出来，那么第一问我们就解决了啊，三个内角的度数。好，那继续，我们来看，我们也可以把我们求出的条件啊，给它标注在这啊，三十度。好，继续。那圆 o 的 直径是 d 啊，直径是 d， 那 么让你证明 d 等于 ab 加 ac 减 bc。 好， 这个时候我们来看啊， ab 就是 这一条边， a c 就是 这一条边， a c b c 就是 这一条边，也就是说它等于 a b 加啊，这个两个直角边的长度减去斜边的长度。好，我们怎怎么进行证明啊？这是第一问好，我们来看第二问 好，第二问好，那这个时候呢，我们会发现啊，我们去连接一下啊，连接一下这个地方，我来做一条辅助线。好，这个地方我来做一条辅助线。 好，这个时候我会发现啊，从在这条这个 o 呢，同时是在这个 b o 直线和 c o 直线上，并且由 o 出发到 由 o 出发，在这个角 a， b， e 中，由 o 出发到 a b 和 c b 的 距离， d， o 和 e o 是 相等的，这说明这个 o b 是 角 a， b， c 的 平分线，角平分线， 因为在这条直线上，这个点到两点的距离相等，所以它就是它的角平分线。好，所以我们找到了角平分线之后，我们自然而然的就可以得到。哎，这两个角的度数是相等的，所以说角啊， d， b， o 等于角啊， o， b， e 好， 那么 o b 本来就等于 o b。 好， 还有一个相等的角，就是角啊，这个 o d， b 等于角 b， e o 啊，当然我们这个地方啊，我们可以写成 o b o， e b 啊，好，那这个时候我们就满足了， a a s a a s 那 么三角形啊， d， o， b 全等于三角形 e o b， 好， 那这个时候我们就会得到了 d， b 就 等于 b， e， 好， 这个时候 d， b 就 等于 b e， 好， 这条线段被转移到这边来了，对吧？啊，转移到这边来了，好，那继续。那同样的道理，我们也可以证得 这个 f、 c 呢，它也是啊，等于 c， e， 同样的也是 o， c 是 角， f c， e 的 一个角平分线， 那么可以证 f， o， c 和 e o c， 它俩是全等的，它俩全等了之后呢，也是 a a s 两个角啊，两个角和一条边 a s， 那 么 f、 c 就 等于 e c 啊，就是这一条边等于这一条边。好，那这个时候我发现这一边儿， 这两条边啊，都被转移到 b c 刚好 d， b， d， b 加上这个 f c 就 等于 b c 了。好，所以 a， b 加 a， c 减掉 b， c 还剩了 ad 和 af， 这是啊， a， b 加 a， c 的 和它俩减掉了这个啊， b、 c 就 等于还剩下了 ad 和 af， 那 ad 和 af 刚才我们正过了，它是一个正方形，对吧？所以说它四边长度都相等， 四边长度都相等，那么这个 a、 d 就 等于 af， 并且就等于圆的半径，所以 a d 加 af 就 等于两倍的圆的半径，就等于 d， 好， 所以我们正出来了， ab 加 ac 减掉 bc 就 等于 d， 好， 最后我们就把这个第二问给正出来。好，这道几何题目你做会了吗？关注我，我是胖老师，我们一起学好初中数学。
77匡老师讲初中数学
00:15查看AI文稿AI文稿见等弦做垂镜，见前中点连半径，见直径连直角，见弧中点连圆心，见切线连切点定点定长画个圆。关注权信老师中考数学轻松拿捏！
521全鑫老师讲数学-斯林姆
02:32查看AI文稿AI文稿我永远相信，只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复现在所有的努力。 要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油，牛马人， 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复现在所有的努力。 要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油，牛马人， 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走还得靠你自己。加油，牛马人！ 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走还得靠你自己。加油，牛马人！ 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油！牛马人！ 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油，牛马人， 我永远相信，只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来，既然没有天赋，那就去不断重复现在所有的努力。要。
15爱学习的曼曼
21:37查看AI文稿AI文稿嗨，同学们好，我是虫虫老师，今天给大家带来淮阴区的二模试卷分析二模的这个试卷哈，还是从第九题开始分析，那么第九题呢，是仿着我们的去年中考来的 天桥二模也同样出现了这个题哈。首先，根据他的作图痕迹，先画了个弧，又打了个叉，我们能够得到 a 的是角平分线，对吧？所以这个点看这个点哈，他就是一个，呃， 角平分线啊，我们现在什么的也得不到哈。那么其次，这一个叉，这一个叉，所以我们能够得到 e h 呢，是垂直平分线， 垂直平分线的话，说明此时的这个点是不是就是 a 的 一个中点啊？其次，这里是垂直，那也就是说，如果我标个字母是个 q 的 话， 那 q 这个点我们就能得到 q 这个点， a q 这条线既是角平分线，又是高线，所以根据三线占两线，我们能够得到 af 是 等于 a e 的， 他说 af 是 五，所以呢， a e 也是五， c e 是 三，让我们去求 ac 的 面积，那到这我们是分析不出来的，所以我们再去利用垂直平分线的性质，到线段两端内的距离相等，这样的话，你会得到，一得等于 a 是 五， f 得等于 f， a 是 五，所以这个图形就是菱形， 这样一得的长度就得到了是五，根据勾股定律能够求出来， c 得是四，这样三角形的面积就可以求出来了。所以考了一个三线占两线，一定是等腰的性质哈，不是很难。 那我们再来看一下第十题，第十题呢，考了一个运动轨迹的问题哈，那么他是这么说的，这是一个正方形，边长是没有告诉我们的，他说 b e 是 bc 的 三分之一， 那么 p 呢？是从 b 往得出发， b 和 p 之间的距离。又说这一段长度是 x， p e 加上 p c 呢？是 y。 这个题是一个图像问题，对吧？但是它给了我们一个 y 的 最小值是根十。 那么你要注意哈， p 是 不是在正方形的对角线上啊？这里有一个，如果我去连接 pa 的 话， pa 的 长度是始终等于 pc 的。 来看这边哈， 因为你连接 pa 之后，这个 p 的 a 和 p 的 c 这两个三角形四十五度等于四十五度公共边，正方形的边长它是始终全等的， 所以我的 pa 加 pe， pc 加 pe， 就 变成了 pa 加 pe， 那 么最小的时候就是啊，直接连接三点共线的时候，此时这个点 p 就 在这个位置， 也就是说此时的最小值就是 a， e 的 长度是根十。如果我设 b， e 是 x， 那 这个 c， e 是 不是就是二 x？ 正方形的边长是不是就是三 x 啊？正好满足一比三比根十嘛，所以我们就能得到 b e 的 长度是一，正方形的边长是三。 好了，那我们再来看哈，这样知道了正方形的边长之后，我们再往上走的时候，那么我始终把 p c 都转换成了 pa， 那 p e， pe 在 这，对吧？你会发现，哎，要想它最大，那是不是就是让 p 走到得的时候，这样一连是不就是最大的时候啊？ 那 pc 的 话始终等于 pa， 所以 pc pa 要想最大，很明显是不是也是让 p 走到得的时候？我们就知道了，当 p 运动到得的时候，这个 y 值是最大的，那此时的 pe 就是 d 的 长度。勾股定律在 d e， c 里边求出来是根十三， 那么此时的 p a 就是 得 a， 它的长度就是三，所以我们答案就选的是啊 a， 所以 这个题你得随着去动哈，别的方法没有，也不是很好想，几何是最好想的哈，这是我们的第十题， 那么往下的话，这个第十四题没有出，我们常规的一次函数应用，出了一个反比例的 k 的 几何意义哈。 首先这个地方出现了一个垂直，所以我们的想法肯定是一线三垂直，那么由于它的 o a 是 根二倍的 o b， 也就说我往下做垂线之后，这两个三角形相似相似比就是一比根二， 那么我往下做了这两个三角形，是不是我们有一个之前学过的，就是和它的面积相关的一个知识点，就是这两个三角形的面积是不是二分之 k 的 绝对值啊？ 所以既然相似比是一比二，那说明面积比就是啊，一比二，那么这个 k 不是 四吗？所以这个小三角形的面积就是二，那说明这个三角形的面积是扩大两倍，就是四，所以二分之 k 的 绝对值是四，那 k 的 因为他在二四相间啊，这个一定要注意， k 是 负的，所以 k 就是 负八，那这样的话，第十四题就完事了，那么第十五题也不是考的折叠问题，他考了一个费马点哈， 他是这么说的，这个直角，这是个 a c b 啊，是个直角三角形， a c 和 bc 的 长度分别告诉我们了， p 呢，是一个动平面内的一个点 b， p 的 长度始终是一。那么读到这一句话，其实你能够知道， p 的 运动轨迹其实是个圆，它的圆心就是 b， 它的长度就是一个 b 半径哈，它是一个定点加定长的一个问题哈， 好，继续往后读，他说 o 呢，也是里边的一个点，相当于是 o 也是一个动点，让我们求 o a 加 o c 再加 o p 最小值，那么在做这一类问题的时候， o 在 三角形的内部对吧？ o a 加 o c 再加 o p 什么时候最小呢？其实就是我们的分码点问题， 分码点的话，你审肯定是想办法让这三条线段是不是在同一条直线上呀，那么它不在。所以 我们初中所学的三大运动，翻折叠、平移、旋转，我们就要用到旋转，那么转的话，记好了，这个知识点就是转六十度。因为我的目的是为了出等边哈， 所以我把这个三角形 o c p 绕着点 c， 因为这里不是有特殊角直角吗？绕着点 c， 顺时针、逆时针都可以哈，顺时针旋转六十，这样 o c 就 转到了 o c p 呢，就转到了 cp 一。 那么由于我转了一个六十度，所以我连接 o o 一 的话，这个三角形 o c o 一 是不就是一个等边三角形啊？ 此时我的 o a 还是 o a， 我 此时的 o c 就 变成了 o o 一， 此时我的 o p 是 不是就转换成了 o 一 p 一 啊？那什么时候它仨加起来最小？那是不就是三点共线的时候，也就是说最小值变成了 ap 的 ap 一 a p 一， 哈，要想这三条线段加起来最小，只需要让 a p 一 最小就行了。那么由于 p 的 运动轨迹不是个圆吗？那么他转过来，运动轨迹是不是肯定还是个圆啊？所以我肯定让他一箭穿心的时候最小。 那么你的 p 的 圆心不是 b 吗？你的 p 转过来了，你是不是得把 b 也转过来啊？所以我们就连绕着 c 转吗？还是连接 bc 转六十度转到了 cb 一， 这个角是六十，由于上面这个角 a c 一 b a c b 是 九十度，所以此时我拿个黑的哈，此时我们的这个大角是不就是在九十度的前提下，再加上这个角是六十，就是一百五十度啊， 那么这就是你的屁，你的屁是个运动轨迹，是个圆，转过来 p 一 就是一个圆，所以在这边没转之前，它的圆心是 b， 那 么转过来它的圆心就是 b 一， 它这就是它的运动轨迹。要想着我们求这个，刚才说了最小值不是 a p 一 的长度吗？所以我们就是一箭穿心， 半径肯定知道的是一，我只需要知道 a、 b 一 的长度就行了。 a b 一 的长度哈，所以我们的 a b 一 长度是多少呢？因为这个是一百五十度嘛，我肯定要把 a b 一 放在直角三角形里边，所以我们给它连接一下。 a b 一 好连接， 放在直角三角形里边过 b 一 往这做垂线，往谁做垂线呢？往 a c 的 延长线做垂线。一百五的旁边是不是这个补角就是三十度啊？ c b 转过来是四，所以三十度角所对的直角边 b e、 h 这条边就是二， 那么这个 c h 就是 二根三，所以此时的 a、 h 就是 五根三，这样勾股定里五根三的平方加二的平方，所以我们的 a b、 e 长度就是根号七十九，这样半径又是一，所以最小值就是啊，一箭穿心，那就是根号七十九减一， 所以这个题，这是一个飞马点问题哈，当你不知道这是一个飞马点问题的时候，怎么去做呢？原图里边做不出来的时候，我们就想平移，旋转以及折叠，或者说构造特殊三角形， 所以基本上考平移的可能性要少一些，基本上就是旋转呀，或者构造特殊三角形去做哈，这是我们的第十五题， 那么再往下这几个都比较简单，我们来看一下反比例，反比例函数这次考的也很简单哈。 首先这些点坐标表达式我都不再多说，那么第二问，注意， m 是 在正半轴上一个点， m a b 等于二倍的 a o c， 那 么首先 c 点坐标我们是已知的负一斗零， a 点坐标也能求出来是二斗三，所以 a o c 的 面积就能够知道求出来是二分之三哈， 底儿嘛， o c 高就是 a 的 纵坐标，所以我的 m a b 的 面积是不是就是三呀，因为它的两倍嘛。 那我们来看一下 m a b m a 这个点确定， b 这个点确定，那么 m 在 y 轴的正半轴，所以这个三角形是不是一个不规则的三角形啊，所以我们立马套不规则的三角形公式。二分之一铅垂高程啊，水平宽。 那么我们一直说的是过动点铅垂，所以我们过 m 向 x 轴做垂线交对边，那么我标了一个字母，是啊，得，所以我们的铅垂高，就是啊， m 得 水平宽，两个定点间的水平距离，所以 x a 减 x b， 这样一带进去发现 m 的 长度啊，是啊，五分之六，所以得点坐标我们是知道的，因为 ab 的 表达式嘛，所以得点是零度一， 那么从得往上走五分之六个单位，所以 m 的 坐标就是五分之十一，那么如果往下走五分之六个单位，是不就成了零度负五分之一了？所以我们这个答案要舍掉，因为他说了在正半轴哈，这是我们的第二位。 那么第三问考了一个矩形的存在性，而且这个矩形存在性非常简单，为什么呢？因为他说了以 ab 为边了哈，我们矩形呢，是把它当做直角三角形去做，就考虑让谁当直角就行了。首先 a 和 b 是 不动的，所以我们让 p 是 不是在 x 轴上动， q 是 不知道的。这样我们第一种情况，让 a 当直角，所以画一条线和 ab 垂直，那么这个点就是我要的 p， 他 说在 x 轴上。 第二种情况，让 b 当直角，再做一条线和 ab 垂直，那么 p 二就在这个位置，这就是以 ab 为边做的矩形哈。那么 这个题让我们求 p 点坐标，让定点当直角垂直吗？出现了，我们考虑两个，第一个就是需求表达式，哎，发现表达式非常好求，用的方法就是 k 相乘的负一， 又因为过点 a 嘛，所以我们的过点 a 和 b， 所以 我们的 l 一 和 l 二的表达式都比较好求，这样两个点坐标就求出来了哈。但是这里我要再着重说一下，如果这个题他没有这个 ab 为边这个前提，那么我们还有第三种情况，就是让 p 档直角大体画一下图，是不是就是这个状态啊？那么这时候我们这个点如何去求呢？比如说我们今年中考就考了一个以 a、 b 为对角线，让它是个矩形，那如何去求 p 三的坐标呢？ 我们的方法第一个就是设坐标嘛，设 p 点坐标。刚才我说了，我们的主见到垂直有两个思路，一个是 k 强乘得负一，一个是不就是一线三垂直啊？所以我们画一线三垂直是不是正？这个小三角形和这个三角形相似就行了，设出坐标来。 所以无论让谁当直角都要会做，最重要的就是用方法哈，这是我们的这个反比例，按理来说，应该拿满分的会有非常多哈，因为真的不是很难。 再来看二十四题，二十四题不少同学也拿到了满分哈。那么首先，这个第一个题里边，你的 a、 c、 b 是 一个一比三的直角三角形，那么 a、 b、 c 呢？转了九十度和得 e、 c 是 不是全等啊？ 他说 a 的 a 的 长度，我们在这个图一里边是可求的，是根二，那么 b、 e、 b、 e 也是可求的，是不是 b、 e 转过来， c， b 转过来是 c、 e， 是 不是一比一比根二是三根二啊？所以数量关系就是三倍， b， e 是 a 的 三倍， 那么其次位置关系，所以把 a 的 延长，那是不是这个角就是九十度？这个是填空吗？不用正也行哈， 但是我们可以正一下，因为这个角是不是转过来，是等腰直吗？刚才说了四十五度，这个角是不是也四十五度啊？所以他肯定是个垂直哈。那么图二他问我们结论是否成立，那么我们来看一下哈， 它不再是转九十了，转了一个任意角，那么转任意角的话，你的 a、 c、 b 和你的 c、 e 是 不是依旧是全等的？所以九十和九十这个是成立的，那 a、 d 和 b、 e 肯定问我数量关系，既然不是相等，我们首先要证的就是 相似，所以我把 a、 d 放在 a、 d、 c 里边，把 b、 e 放在 b、 e、 c 里边，那么因为你的 c b 比 a、 c 是 不是个三比一？ 你的 e、 c 比得 c 是 不是一个三比一？九十和九十相等，中间夹着一个公共角，所以钝角是不是和钝角相等啊？所以我们能够挣出来相似哈，相似比就是三比一， 那么把得 a 给它延长出去，相交于点 h， 根据我们的相似前后的对应角相等，所以我们是不是能够得到这个角一是等于角二的呀？这里边有个对顶角，看到了吧，所以我们的八字倒角又派上用场了，这是不是那个八字啊？ 哎，这个八字描出来了，这个八字倒角，好，这是那个八字，对吧？所以这两个三角形又相似，那我的这个角是直角，所以我的这个角是不是也是直角啊？言之有理就可以哈。 这个第二问也不是很难，那么有的同学说，老师我不好去找相似，那么给大家教一个快速的方法，看见这个题是不是都是绕着 c 转的了吗？那你就找和 c 相关的三角形， 你看，我不看图，我就能会做 a 的 b e 绕着 c 转，所以一个是 a 的 c， 一个是 b e c， 这样就完事了哈， 正，他俩相似准没错哈。好，第三问。第三问的话，那我的前边的结论，因为他不是说转任意角度吗？所以我前面的结论， a 的 c， a 的 c 和我的 b、 e、 c 是 不是依旧是三比一啊， 它让我们求 b e 的 长度，好求 b e 的 长度。根据前边的什么结论呢？ a c 是 一， b c 是 三。 那在这个题里边，你看我画的此时 a 得 c， 因为你的这个 a 得 c 是 不是个等腰三角形， bc 也是个等腰三角形，对吧？ 让我们求长度的时候肯定没法做哈，所以我就想着，哎，这个图里边我肯定是没法做了，那么等于三角形。我们的辅助线常见的就是啊，三线合一，所以我过点 c 向它做垂线，我求 b e， 我 是不是可以求出来 a 得就可以啊？所以 我的 q 得和 a q 是 相等的，因为三线合一嘛，我设 q 得是 x， c 得不是一嘛，所以我的 c q 是 能表示的，是不是根号下一方减去 x 方啊。 那么整个 ab 的 长度，因为是个一比三，比根十，所以 ab 是 不是根十？所以我的 b 的是知道的根十减二 x， 那 我的 q 的 是不是就是根十减 x 呀？ 这样，这个 q c b 是 不是又是一个新的直角三角形？哎，所以我们就能够得到 c q 的 方，加上 b q 的 方等于 bc 方，这样我们是不是就可以解出 x 来啊？解出 x 来是十分之根十， 这样 a 的是不就是两倍，那就是五分之根十。又因为前面的相似始终是相等的这个比例关系，所以呢， b 是 不就是 c 的 三倍，那就是五分之三倍的根十。 所以这个图三并不是很难哈。考了一个前边的结论之下，又做了一个辅助线，方法叫做三线合一。 那么我们再来看一下最后一个题，最后一个题的话，第一问不在说，第二问考了一个 a 字相似，首先 e f 和得屁是平行的对吧？ 他说 c e 比上一得呢是一比二，所以这个地方一定要看好了哈， c e 比上一得是一比二，那么刚才我们说的 a 字相似，相似比是这个小的比上整个得 c p， 是 不是一比三啊？ 所以 ef 的 长度是一的话，那我们能够得到得屁的长度是三得屁这条线是垂直于 x 轴的，所以我们去求坐标的时候，这条线是不是叫牵垂线呀？凡是牵垂线，第一步来设坐标 表，长度表示得屁是 y 上减 y 下，让它等于三解方程就好了哈。解出来两个答案，我们都要，因为都符合第四项线，并且没有重点的情况哈， 这样第一这个题的话，前两位能达八分。我们再来看第三问，第三问，他是这么说的哈，说这呢是零的负一，好，这是零的负一。 n 和 m 呢，是两个动点，并且 o n 的 长度始终是等于根二倍的 c m， 那 么让我们求 g m 加上 o n 加上 m n 的 最小值。 那么这个题如果要是没有 o n 等于二倍的跟二倍的 c m 的 话，我们之前见过这种题，就是两动嘛，这个是动，这个是动，这个是定， 这个时候我们的最小值。你看，如果单看 m n 的 话，是不是 m 在 这往上做垂直就是最小的呀？比如说再加上这个 g m， 让它俩是不是尽量的贡献就可以了呀？所以我们要做这个 g 关于 bc 的 对称点， 那就做过来，假如说是这撇吧哈，那么做过这撇来之后，往 o b 上做垂线，这个点就是我要的 n， 这个点就是我要的 m， 但是你看啊，此时我的 o n 是 不是在这？那此时我的 c m 是 不是在这？如果我过点 m， 往 y 轴做条垂线的话， 往 y 轴，嗯，往 y 轴做条垂线的话， 往外入做条垂线，哈，这是 m， 刚才说了，这是 n， 这是那个，这一撇，对吧？那么这个 o n 的 长度是不是等于这一块？这一块是不可能等于根二倍的 c m， 因为很明显它是一个等腰直角三角形嘛。这个题里边有隐藏的四十五度， 你的 o n 肯定是比这 c m 小 的，所以说这个方法我们是啊，行不通的哈，这是之前我们讲过的叫两动一定方法，那么行不通的话，我们就要考虑别的方法了，那么你看，我再给它移回去，哈，我们这个方法是这个样子的。 那么首先我是，我，因为这个题里边我刚才说了有一个隐藏的四十五度角嘛，所以我过点 m， 做了一个 y 轴的垂直线，这样一比一比根二，我设这个横着的是 t， 这是 t， 那 c m 是 不是就是根二 t 啊？ 那我又，因为 o n 是 c m 的 根二倍，所以 o n 是 不就是二 t， 那 我得到了这个二 t 之后，哎，我过点 m， 如果往上做一个垂线的话，那这块是不是就是 t？ 这块是不是也是 t 啊？因为这块是 m 的 横坐标嘛，是吧？ 哎，也就说我这条线是不是就变成了中垂线了，既是中线又是高线，所以我如果连接我的 o m， 那 我就能够得到我的这个 o m n， 一定是个等腰三角形啊， 三线占两线吗？对吧？所以我的 g m 加 m n 就 变成了 g m 加 o m， 那 g m 加 o m o 和 g 都是不动的， m 在 动是不就变成我们的两定一动将军印码和最小了？所以我只需要做对称就行了，因为 m 在 bc 上动嘛，我过这个点 o 做 bc 的 对称点， o 撇这个坐标是非常好求的，斯都夫斯 做完对称之后连接我的 g o 撇，这个点就是我的 m 哈，最小值就是 g o 撇的长度，两点间距离公式一套就完事了，答案就是啊五， 所以这就是这个题的一个思路，转化方法哈，行不通的时候我们就转化。以上就是我们怀阴的二模试卷分析，谢谢大家记得点赞关注哦！
41虫虫老师讲数学~
02:34查看AI文稿AI文稿各位济南中考的家长选择题第九题啊，使规做图，看着简单，确是孩子极易丢分的隐形坑。今天呢，咱们把底层考点彻底讲透。 这道题官方考纲核心锁定两类啊，做图，第一呢绞平分线啊，第二个就是垂直平分线，很多孩子死记啊，做图的这个过程，忽略了核心的这个逻辑。嗯， 所有尺规作图的这个底层原理，本质上就是通过啊，构造等线段，推倒三角形全等啊，最终呢，实现这个定位目标直线 孩子只背过程，不理解原理啊，题型一变呢，就会立刻出错，这是很多孩子这类型嗯，频繁失分的根源。 结合近两年全省及本济南本地命题的趋势，考题呢啊，新增加了尺规作矩的这种考法，但是它的核心依旧是构造相等的线段啊，本质上是没有改变的， 但对孩子的这个审题的这种能力，嗯，是要求更高的，尤其是注意济南本地的这个特色的。这种命题的陷阱啊，就是两线合一型 哦。何为两线合一型呢？题干要求做垂直平分线，结合题型的特殊条件啊，了解这种平分线的属性，这是本地命题人最热衷设置的易错点，孩子如果稍不留意呢，就会掉进命题的陷阱里。 很多家长认为这道题是选择的倒数第二题啊，难度一定特别高。其实不是啊，受限于这个考点的本身呢，题目不会设置，非常难，但是呢，他会在出题的形式上去做创新，就是结合的条件会更加灵活。 所以，建议孩子在做题的时候，一定要去一个字一个字去审题啊，去圈画关键条件，如果考场出现卡科，一定要通过排除法进行一个逻辑验证。 呃，我们进行保底拿分哈。中考一分一操场看着是不太起眼的。第九题其实也是区分孩子基础扎实与否的，这个分水岭，家长一定要提醒孩子吃透原理啊，千万不要机械性的刷题。
20济南初高数学
05:00查看AI文稿AI文稿中考最后三十天，每天只花五分钟，跟着老师吃透基础必考题型，再加一道中考压轴经典题型。我们来看平行线的性质的题，第一个题目给了 l 一 和 l 二平行 a， b 是 等于 bc 的， 也就是这个角 b， a， c 和 b c， a 相等是吧？题目又说角 e 是 六十五度， 所以呢，这题我们可以直接利用两直线平行内错角相等，那么这个角也是六十五度内，错角嘛，又等腰，所以这个角 d， a、 c 也是六十五度。题目让我们求的是角 d， c， a 是 吧？题目还说了这个角 c， d， a 是 九十度，所以呢，我们的 d、 c， a 就 等于九十减六十五等于二十五度，所以答案选 b。 我们来看这个根的判别式的题，题目说一元二次方程根的判别式的值为五，是吧？那直接考察我们一个公式，判别式带入它等于 b 方减四 a， c， 我 们直接带入 b 方就是 b 方是吧？减四 a， c 是 加四等于五，所以呢， b 方是等于一的，所以呢， b 等于正负一。选 b， 看一道关于一元二次方程的应用题，题目说了一个围成的篱笆是吧，一面靠墙三，面积是六百四十，然后呢，三边的和是八十的一个栅栏是吗？ ab 是 x， 那 么我们可以知道 cd 也是 x， 那 既然三条边相加是 八十不，那所以第三条边等于八十减二 x 是 吧？那题目又给了我们这个面积是六百四，所以我们直接就是 x 乘以八十减二， x 等于六百四，所以呢，这题我们答案就出来了，选 c， 看一道关于科学计数法的一题，科学计数法呢，我们只要记得他用表示成 a 乘十的 n 次方，其中 a 的 绝对值要大于等于一小于十。哈，那我们这题就很简单了，所以呢，这题呢，写成五点一四六，是吧？乘以十的多少次方呢？我们就把小数点从五这里 后面开始往后挪，一二三四五六七八九九位，是吧？就成十的九次方。我们来看一道二次函数的焦点式的问题，题目说给了我们二次函数解析是 s 减二零二三和 s 减二零二四加上一个五，它说向下平移五个单位，那我们知道根据平移的口诀是吧？上加下减，左加右减，是吧？所以呢，下移五个单位，那我们就是 x 减二零二三乘 x 减二零二四 减五，是吧？加五减五就没了，所以呢，他解析式就变成这个，他说跟 s 轴两个交点 p 和 q， 那 交点就是另 y 等于零，是吗？因为这刚好是交点式，所以他两个交点，一个就是二零二三，一个就是二零二四，那这两个点的长度就是两个相减，是吧？所以二零二三减二零二四等于一。 好，我们看一个关于圆的一个角度的题目，给了我们一个 c、 d 是 切线是吧？然后呢，角 c 是 二十度，求角 c、 a、 d 像相切的，我们很简单连接切点和圆心，是吗？这个是九十度，那因为这个二十，所以这个是七十度， 又根据圆半径相等，也是 o d 和 o a 上的一个等腰，是吧？所以呢，这两个角相等，加起来等于外角七十度，所以它等于三十五度，所以 c a、 d 就是 三十五度。 我们来看一道关于正方形用旋转和相似结合的综合题，题目给了一个正方形 a， b， c， d， 他 说这个三角形 a， d， e 啊，绕点 d 转九十度转到这边，那么也就是这个 b， d， e 转到 d f， d， e 等于 d f 是 吧？而且 d， e， f 是 个等腰直角三角形。然后呢，题目说 b， e 是 等于四的，然后呢， d g 是 等于五的，也就是这条是等于五的， 然后呢，要求我们 a， d 也是求这个正方形的边长是吧？那我们要求 a， d 边长，我们当然给的四，我们可以先设个未知数，例如设 a， e 是 s， 可以 吧？那边长就是四加 x 是 吗？ 所以这些边长都等于四加 s， 我 们再来看一下 d， g 是 等于五，大家记住，旋转啊，旋转只有两种方法，一种是旋转相似，一种是旋转全等， 题目已经给了我们这两个全等了，是吧？所以这条也是四加 x 正方形。那既然题目给的 d g 是 五，所以呢， c g 我 们可以求出来等于四加 x 减五是吧？也就是 x 减一，我们可以求出 c， g 是 x 减一，我们再来看一下，怎么求这个 x 减一和 s 呢？题目说全等，那 x 这个 c， f 是 也是 s 啊，旋转全等嘛？然后呢，我们可以根据这个看一下 b， c 还是边长四加 x。 题目还有个条件， b， e 是 四，大家看到没？那这里就有一个 a 字相似，也就是这个 c， g， e 和这个 d， e， f 是 不是相似啊？我们写出相似比来，也就是 x 减一，比上四会等于 x， 比上四加 x 再加 x 是 吧？我们可以直接交叉相乘，得求出 s 来四 x 等于 x 减一，乘以四加二 x， 那 么也就等于负二 x， 那么也就等于四 x 加二， x 方减四减二 x， 那 我们合并化简是吧？也就二 x 方减四 减二， x 等于零，我们再处理一下，变成 x 方减 x 减二等于零，是吧？我们十字相乘，直接 x 减二乘 x 加一等于零， 也是我们可以减出 s， 一 是等于二的 s， 二等于负一，当然这个就舍去了，是吧？所以答案我们 s 等于二。那题目要求 a d 我 们出来了，二加四刚好就等于六。
356腾飞说数学
01:48查看AI文稿AI文稿一分钟搞定一个牙周题，今天我们来讲繁衍变换现生源。咱们先判断题型，题目中 b、 c 等于九是固定长度， c 点就是定点， a 的 位置可上可下，当 a 移动时，就带着 d 点跟着也运动， 所以 a 是 主动点， d 就是 从动点。题目给了定机 c， a 乘 c、 d 等于五十四倍的根三，图里还有现成的固定夹角，九十度定角定机就都齐了，直接符合反野变换的模型。那么第一步，找特殊位置。 a 在 a、 b 上运动，最特殊的位置就是垂线段了，也就是 a 和 b 重合的位置，咱们记作 a 撇，这时候 c、 a 撇等于 b， c 等于九。接着用定基计算长度，此时的 c、 d 撇等于五十四倍的根三，除以九算出来是六倍的根三，就找到了 d 撇连接 a， a 撇和 d， d 撇可以正两三角形相似 三角形 c、 a、 a 撇中角 c、 a 撇 a 是 等于九十度的，由相似对角相等，咱们就可以得到角 c、 d、 d 撇也等于九十度。 c、 a 撇长度和位置都固定，那算出来的 c、 d 撇也就是固定的， 因此出现了定弦定角辅助圆地点，在以 c、 d 撇为直径的圆上运动。第二步呢，求 b、 d 最大时的 c、 d 长度。我们知道穿心线有最值吗？ 所以连接 b、 o 并延长，这时候 b、 d 就是 最长的。设圆心为 o， 圆的半径呢，就是二等于三倍根三，已知 bc 等于九，两条线段的比是一比根三 一得三十度的直角三角形。在等腰三角形里，外角是六十度就能推出顶角是个一百二十度。那代入计算，我们来看， c、 d 撇呢，等于三倍根三乘以根三，最终结果就等于九。关注权信老师，中考数学轻松拿捏！
01:07查看AI文稿AI文稿圆作为我们济南中考的一道必考证明题，有几个常用辅助线，大家一定记得及时点赞收藏！首先如果是在圆里面看到一条弦， 一定想着由圆心向我们弦去做底线，那么垂直于弦并且平分弦，这是第一个。然后简单的第二个呢，就是如果有弦或者说弧上的中点，也是需要去连接垂直于弦，平分弦、 平分线所对的幽弧、裂弧以及平分啊，圆心角，哎，这是我们前面这两个。然后紧接着第三个呢，就是如果是在圆里面出现了直径，一定要去想到我们直径所对的圆周角，为啊九十度，一定要去找到圆周角。最后一个， 如果是在圆里面他出现了切线，一定要去连接切点和圆心，这时候一定是要互相垂直。这四大辅助线可以说是我们圆里面必考题型，大家一定要及时点赞收藏，记得点赞关注哦！
00:43查看AI文稿AI文稿好帅哥，同学们看这个题是不是特别复杂呀？如果我们直接去计算，可能一年也能复杂，但是如果我们转化我们的思维，可能几步就能做出来。首先我们要知道一点，一般成立，那特殊一定成立。同学们可能想到了特殊执法，那把它变成哪个特殊值呢？ 我们根据条件可以六， a 等于一， b 也等于一，那么 c 又等于什么了？哎，等于负二。我们把这些数我们要带入这个式子里看一下。然式就等于什么啊？减去两倍的 一加一。好，我们化解一下这种答案就等于负三。好，现在我们用透支法是不就能简单解决了呢？好，下课。
18济南数学-张老师
04:30中考·题型【数学（概率计算）】全考点精讲 中考数学的必考内容，通常以选择题、填空题或解答题的形式出现，分值稳定在3-8分之间，是每位同学都必须拿下的基础且核心的得分点。#中考数学考点 #星点九九资料铺查看AI文稿AI文稿同学们，今天我们复习中考数学类，思路最固定，方法最统一，只要细心就能拿满分的内容。概率计算，我先把考勤给大家说清楚， 概率在中考里一般占三至八分，选择、填空解答题都会考，而且越来越贴近生活，他不考难题，不考怪题，只要你把几种方法练熟， 这几分就是稳稳的送分题。今天这节课我们就抓核心，记方法，避陷阱，保证大家听完就会一做就对。首先，我们先把最基础的概念快速过一遍。第一，事件分三类，必然事件、不可能事件、随机事件一定发生的概率是一， 一定不发生的概率是零，可能发生也可能不发生的就是随机事件，概率在零和一之间。第二，概率最核心的公式大家一定要记牢， 屁案等于目标事件，结果数除所有可能结果数，不管题目怎么变，最终都要落到这个公式上。第三，频率和概率的关系。试验次数很多时， 频率会稳定在概率附近，所以我们可以用频率来估计概率，这也是常考的一个点。接下来就是中考概率最核心、最常用的三种解题方法， 这是我们今天的重点。第一种，列局法，适合一步试验，比如掷一次骰子，摸一次球，把所有可能结果列出来，再数符合条件的，直接套公式就行。第二种，列表法和数状图法。这是中考最常考的 适合两步或两步以上的试验，比如抽两次卡片，摸两个球，列表法适合两步，树状图适合两步及以上更清晰。这里我必须强调一个超级易错点，放回 vs 不 放回，放回总数不变，下一次还有同样多选择， 不放回，总数越来越少，下一次少一个，一不留神就会算错，大家一定要看清楚题目。第三种， 几何概型，当结果有无限多个时，比如点落在某个区域线段上，某一段就用面积或长度比公式，概率等于目标区域度量。除总区域度量，算面积，算长度，再比一比， 答案就出来了。下面我们把中考四类高频题型一次性讲透套路，全部给你们总结好。第一类，基础古典概型，摸球、抽卡、掷骰子、转转盘都是这个类型，方法列表或画树状图，不中不漏数，结果再套公式。第二类， 几何概型，在图形力求概率，看面积比，长度比关键先算总面积，再算阴影面积，一比就行。第三类，统计与概率结合，给你条形图，删形图，让你算概率。步骤一，从图例读出数据。 二、算出总数。三、找出目标数量。四、代入概率公式。第四类，游戏公平性判断，这是解答题常考题型， 方法很简单，一、分别算出双方获胜的概率。二、概率相等，公平不相等，不公平。思路固定，步骤固定，满分稳稳拿。我再把最容易丢分的几个大坑提醒大家，一、不放回，当成放回，结果属算错。 二、数状图或表格漏写多，写不完整。三、几何概型，算错面积。 四、解答题不画树状图，不写步骤，只写答案。五、审题不清，看错至少恰好不同。这些关键词，这些都是低级错误，只要我们细心一点，步骤写全， 完全可以避开。最后给大家最简单高效的复习建议，一、牢记概率核心公式 二，熟练化树状图列表格。三、分清放回和不放回。四、解答题一定写规范步骤 五，整理错题，重点看看错条件、算错结果的题。同学们，概率这一张真的不难，它是中考数学里套路最清晰，得分最稳定的模块，只要你记住，一步用列句，两步画图表，放回不放回要看清 几何、概型、算面积、游戏公平比概率这几分就一定能稳稳拿到手。希望这节课之后大家再遇到概率题都能做的又快又准，一分不丢！祝同学们中考顺利，金榜题名！
39星点九九资料铺
01:27查看AI文稿AI文稿新版一本初中数学计算题满分训练，九年级加中考，适用于人教版，内容同步。课本包含上下两学期知识点，题量充足，题型丰富。含常规计算、应用题计算、函数计算。 每篇练习有难度星级标注，从易至难，循序渐进，逐步提高计算速度和准确率。 还有一题多解，拓展思路，发散思维。最后还有期末集训以及中考专题全面复习，备战中考。 随书赠送答案详解重难题可扫码看视频讲解初中数学计算题总丢分的孩子 准备这本数学计算题满分训练，内容与教材同步。七年级需要掌握的计算题型都归纳总结好了。一本书不仅可以复习上学期的内容，还能预习下学期的新课，每个模块练习都有方法指导， 帮助孩子快速把握答题关键。还特别设计了周末集训、月考集训以及期中、期末集训不会的题，还可以看名师视频讲解，答案详解，单独成册，有详细答题步骤，帮助掌握答题思路。每天十五分钟，提高运犯速度与准确率。
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02:08查看AI文稿AI文稿这可是中考必考的一道压轴题！什么？你不会，你怎么可能不会呢？来学！题目中有两条长度为三的线段，没有限制夹角啊，所以它们可绕点 a 旋转。已知 a、 b 等于三， b、 c 等于四根三夹角固定， 那三角形 abc 就是 固定三角形，那么 ab 就是 固定边啊，则点 d 是 在以 a 为圆心，三为半径的圆上运动。接下来观察图形，题目标有一组相等的夹角，这种错位等角对应反 a 相似吗？ 可以证出黄色三角形 b、 d、 c 和绿色三角形 b、 e、 c 两组三角形是相似的。利用共边反应相似的结论，公共边的平方等于短乘长，也就是 b、 c 方等于 b， d 乘 b、 e。 代入题目，已知条件 b、 c 等于四根三，就能计算得到 b、 c 方等于四十八，即 b、 d 乘 b、 e 就 等于四十八， 这不就是定积吗？而这道题 b、 d 和 b、 e 重合，所以夹角为零，出现了定角定积。哎，正好符合反演变换。因为 d 在 圆上运动，穿心线有最值 延长， b、 a 交源于 d 撇，此时 d、 d 撇等于六。利用定积 b、 d 乘 b、 e 等于四十八，这个就可以算出 b、 e 撇等于八， 而 d、 e 两点又是共线的延长， b、 d 撇就得到了一撇的位置，连接 d、 d 撇 e、 e 撇得到相似三角形，再结合直径所对的圆周角为直角，就可以推出 e、 e 撇 b 就 等于九十度。 所以啊，点 e 在 与 b、 e 撇垂直的直线 e、 e 撇上运动。题目，让咱们求 c、 e 最小时的 e 的 长度。记住几何口诀，点到直线垂线段最短，我们过 c 向 e 的 轨迹直线做垂线，此时 c、 e 最小，构造直角三角形，已知两条直角边的长度，哎！利用 勾股定律，根号下八的平方再加上四根三的平方，哎，算出来就这个题的答案了，是四倍根号七。关注全新老师中考数学轻松拿捏！
