八年级下册数学一次函数与实际问题
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04:38查看AI文稿AI文稿八、下函数压轴王依次函数的动态问题读题这道题目给到你点 m 呢，是一个动点，并且 a q 平行于 c m， 其中 a 点三斗零， c 点负一斗零是给到你的 m 点呢，它的运动轨迹其实也是可以分析的，你现在不认识它，没关系，我们到了初三好好的了解一下啊， 给你这些条件之后，人家让你求的是 p q 的 长度。来，我们先来做一个简单的分析，由于 m 点是一个动点，那整个 a m 直线应该也在动，那直线与我们 y 轴产生的这个焦点 p 点应该是在不断变化到，所以 p 点应该是一个动点。 同理， a q 平行于 c m， m 在 动的话， c m 的 倾斜程度也就是它的斜率应该也在动，那我 a q 的 斜率是不是也随之运动？所以对应的 q 点的坐标也是不能确定的。 两个点都在动，却让你求这两点之间形成的线段长度是多少？我大胆猜测一下出题老师的想法，这两个点虽然都在动，但是它们所夹的这条线段长大概率是一个固定的值，不然不可能让你去求它呀。 但很多同学分析到这里，已经被整道题目的动点个数给吓跑了，完全不知道应该从何下手。没关系，曾曾老师带你一起来拆解一下这种题目到底应该怎么做，再配合曾曾老师为你贴心整理的一次函数十三大题型解密，手把手的带你从一次函数求解析式的问题，到信息提取问题、 求面积问题、动点最值问题，以及依次函数与方程不等式的联系，带你一次通关依次函数所涉及到的所有高频考题，刷完这套资料，期末还能再提十分来回到这道题目吧。 这道题目最明显的是给到你 m 点的坐标，虽然它在动，但这个信息我是可以用起来的。由于我涉及到的第一个点 p， 它应该是 a m 这条直线与 y 轴的交点，那这条直线的解析式你能不能求呢？当然可以， m 点对应的坐标是给到你的，如果你把这里对应的小写字母 m 当成一个具体的数字来用的话，待定系数法两点求坐标一定是能解的。 当然，如果你看过村村老师之前教你的快速求 k 法，你也会知道，纵比横为 k， 所以 纵坐标做差得到 m 方减二， m 减三，横坐标做差得到 m 减三。 中共都有这里的 m 减三，所以我只需要把这里因式分解成 m 加一乘 m 减三，最后 k 其实就是一个 m 加一了。当然这里再把 a 点的坐标带回去，我的 b 应该也知道了，所以这边减去一个三倍的 m 加一。 注意这里的计算过程我直接省略掉了。如果你觉得这里很吃力的话，记得撕一下孙孙老师我细细的给你讲来，它到底是怎么来的哦。在做这一步计算的时候，你发现啊， m 减三这个整体呢，作为我的分母，所以我的分母不为零， m 是 不能为三的。先把这个前提条件写在这里，我继续往下看。 p 点不是知道直线与 y 轴的交点吗？令横坐标为零，所以纵坐标得到一个负的三 m 减三，我把 p 点就已经找出来了。接下来呢，我应该不遗余力的去把 q 也给表示出来，那 q 怎么表示呢？注意，题目给到了 a， q 是 平行于 c m 的， 这说明什么呀？ 平行嘛，倾斜程度应该是相等的，也就是我的斜率，也就是我的 k 值应该是一样的。那么 c m 的 k 我 能不能求出来？ 大胆动手操作一下？非典坐标是负一到零，根据纵比横为 k， 我 没开二度。我要算的应该是这么一个式子，所以再次英式分解成 m 加一乘 m 减三，约掉之后， m 减三也是一个很好算的数，当然这里 m 加一变成了的分母，所以 m 又有一个范围，它是不能等于负 一的。由此呢， a q 直线所对应的 k 值呢，应该也是 m 减三。那有了它，我的 a q 解析式不就能大胆地写了吗？所以 k 为它加上一个 b， 把 a 点的三勾零带进去，就可以把这个 b 给算出来了，算出这里的 b 值得到一个九减三 m 这个呢，其实也就是我 q 点的纵坐标，因为 q 点呢，也是这条直线与 y 轴的交点嘛，所以截距带进去，零到九减三 m， 这是 q 的 坐标， p q 都用含有 m 的 式子表示出来了， 所以整个 p q 的 长度用它们纵坐标的叉就可以做出来。你也有负的三 m， 你 也有负的三 m 减一，减减没了，那得到就是负三减九，负的十二加上绝对值就是最后的结果，所以 p q 的 长度为十二。注意，大前提， m 不 能等于三， m 不 能等于负一。 这道题目我们反复采用了一个技巧，就是快速求 k 值。当然，如果你对这个技巧不够熟练的话，你也可以用待定性算法从头到尾去计算一遍，算完这道题，依次来数相应的压轴题，你应该也就开窍啦！重数选李家强青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！
529初中数学杨村村老师
13:52查看AI文稿AI文稿好，再来看实际问题与一次函数，生活当中也是有很多一次函数类型的问题，那么我们做题应该按照什么顺序呢？你要先将实际问题抽象为一次函数的问题，再把这个一次函数的解析式求出来， 结合图像就可以分析并且解决问题了。来看到这个例题，它的某玉米种子的价格为每千克的种子，那么它的价格是不变的， 如果你一次性购买超过两千克的种子，那么超过的部分他的价格就给你打六折。 他的问题是这样的，写出付款金额，关于购买量的函数解析式，并且画出函数图像，这个呢，书上有答案，我们就直接来看，对吧？因为他是超过两千克价格，就会有另外一种算法，所以呢， 你看他的图像在二之前和二之后是不是长得不一样啊？对不对？好，那么怎么去画这个图像，怎么去算这个解析式呢？那么这个直接从实际问题出发， 前面的两千克对不对？每千克四十元，你现在把这个数量，咱们把它当做 x， 把它的价格当做 y， 对 吧？那么总价格就等于数量乘以单价就是四十乘上 x， 所以 在两千克之前就是 y 等于四十 x， 那写出来了，对吧？注意他的 x 取值范围必须是零到二之间，那么如果说超过两千克呢？怎么算呢？哎，前两千克你超过了两千克，那么前面的两千克你还是按四十块钱每千克去算的， 那超过的部分呢？我们把这个数量当做 x， 超过两千克的部分，你就用这个数量减去两千克，那么 x 减二就是超过两千克的部分，然后超过两千克的部分干嘛呢？单价打六折，四十块钱打六折多少钱呢？ 是不是二十四块钱，所以超过的部分按二十四块钱去算，那么他这个式子就可以写成， y 等于四十乘二，加上二十四乘上 x 减二，对不对？这个二十四怎么来的呢？我们这里写一下，二十四就是四十块钱打六折 等于二十四元，这个二十四元是这么算出来的，对吧？然后你再把这个解析式化简一下， y 等于四十乘上二，加上二十四，乘上 x 减二，那么 y 就 等于八十加上二十四， x 减去四十八，那么这个 y 就 等于二十四， x 加上八十减四十八等于三十二，跟我们书上写的是一样的， 那么你可以分类讨论，那么书上的话，他这里是分类讨论的，去写这两个解析式，那么我们也可以写成分段函数的形式。那么像这里你把这两个结果写在一块，这个就叫分段函数。 分哪两段呢？是 x 在 零到二之间和 x 大 于二的时候，分这两段去写，知道吗？可以写成这种形式，但是注意一定要把它的什么取值范围写清楚，然后第二问他说，如果一次性购买四千克的玉米种子需要付多少钱？ 那么四千克有没有超过两千克呀？超过了，超过了两千克呢？我们就选择第二种方案，那么第二种方案的话，你就把这个 y 带进去， 那么 x 换成四，那么就是等于二十四乘上四，加上三十二，等于一百二十八元，所以一次性买四千克种子就需要付一百二十八元，就是这个意思。 好了，那么他这里呢，其实还叫我们画图像呢，图像我们没算，对不对？他是直接给我们画出来了，那我们怎么办呢？我们就画这个图像的话，你就 把它当做 x 等于零的时候啊，和 x 怎么样？等于二的时候，这里正好是它的两个端点嘛，对不对？好，我们算一下，这里也写一下，好吧，我们把它计算写出来，好，这里我把它擦掉啊， 这个 y 等于四十 x， x 小 于等于二大于等于零的，对不对？我们这里当 x 等于零，那么这个 y 也等于零，所以就会过零零这个点，然后当这个 x 等于二的时候， y 就 等于四乘二等于八十，所以它就会过 这个二八十这个点。那你看一下，他这里画出来两个点，是不是？第一个点就是零零，第二个点就是二八十啊，对不对？好，那么在第二段的话，你要去画，那么就要画大于二的部分，那大于二的部分的话，那你就让 x 等于二和 x 等于啊， x 等于三和四， 那么就写这个等于二十四， x 加上三十二，那么当这个 x 等于三的时候，那么这个 y 呢？就等于二十四乘上三，就加上三十二，二十四乘三等于七十二，再多写一步啊， 就等于七十二，加上三十二，它就等于一百零四，所以它就会过三一百零四这个点，然后当这个 x 等于四的时候， 他这里给我们算了，对不对？当 x 等于四的时候，这个 y 是 等于一百二十八的，所以他就会过四一百二十八这个点，那么这里呢，他是没有给我们把点画出来的，我们可以自己写一下，比如说这个三往上，对对齐之后 画一下虚线啊， 好，那么我们画出来的这个点，它就是三，一百零四啊，一百零四，然后的话还有四，假如说这里有个四，咱们也是往它往上对， 它的焦点呢？是超过了书上画的这个图的，那么这个点的坐标就是四，一百二十八，对吧？你把这两个点连接起来， 和这个点正好有交点，那么就把图像画出来了，当然你也可以把它的临界点算出来，虽然它这里说 x 要大于二，但是你可以把 x 等于二的时候带进去算一下，知道吧？ 画图的话呢，书上就是没有给这个过程，我就把这个过程补了一下，好吧，其他的都是 ok 的 啊，大家可以自己整体看一下， 再来看练习。第一个，一个实验室在零点到两点之间要保持二十摄氏度的恒温， 在两点到四点要匀速升温，并且是每小时升高五摄氏度， 写出实验室温度 t 关于时间小 t 的 函数解析式，并且画出函数图像，那么根据实际情况来算一下它的解析式。 首先第一个是零点到两点之间温度要保持在二十摄氏度，它是不变的，知道吗？所以我们这里有题可知， 这个 x 小 于等于二大于等于零的时候，对不对？ 这里用 t 啊，这里用 t， 时间是小 t 啊，这个 t 在 大于等于零和小于等于二的时候，那么他要保持二十摄氏度的恒温，那么这个温度 t 温度大， t 就 要等于 二十不变，知道吗？啊？这里我们写当 t 大 于等于零，小于等于二的时候，这个 t 等于二十是不变的，那么下面一个时间段就是两小时到四小时之间，那么当 时间大于等于二，小于等于四的时候，因为前面我们取了等号，我们后面这个二我们就不取等号了， 前面这个二我们取了等号，后面这个二我们就不取等号了。好吧，那么原本就是二十摄氏度的恒温，然后每小时上升五摄氏度，时间是 t 对 不对？好，那我们就用这个时间 t， 它就是本来有二十摄氏度的，然后 每小时上升五摄氏度，但是你不要直接乘 t， 为什么呢？因为前两个小时它是不升温的，所以你要乘上 t 减二，然后再化减，这个 t 就 等于二十，加上五， t 减去十， 那么 t 就 会等于五， t 加上十。好了，那我们就可以把这个写成分段函数的形式， t 就 等于二十，这个 t 是 在 二到零之间的时候，然后呢，第二段是五， t 加上十，这个时候 t 是 小于等于四，大于二的就 ok 了。好，这就是写成分段函数的形式，然后并且画出图像吗？他叫我们画出图像，对不对？那我们就算一下， 当 t 等于几的时候，算一下，当一等于零的时候，这大 t 等于二十，在这里算吧。 当 t 等于零的时候，这个大 t 等于二十，然后当 t 等于二的时候，大 t 也等于二十，当这个 t 等于三的时候， 这个 t 就 用第二段了，就是五乘三加十等于二十五，然后当这个 t 等于四的时候，大 t 就 等于五乘四加十，就等于三十摄氏度，那么这里对应的就是过 零二十这个点，二二十这个点，然后三二十五这个点，四三十这个点。现在来画图像， x， 哦，不是 x， 哦，是小题，大题，小题单位是时间大题的问，这个单位是奢侈度啊，这里是零，我们就写四个小时， 一二三四，然后这里呢是二十摄氏度，这里是十摄氏度，二十摄氏度， 这里还有一个三十摄氏度，中间卡一个二十五就可以了。好了，我们瞄点，首先是零二十这个点就是零二十，再看二二十，那么二二十就在这个位置，然后三二十五， 四三十 四个点描起来了，再把它连起来， 到这儿往上走。好，完事了。那前面这一段就是 t 等于二十的时候，后面这一段就是 t 等于五， t 加十的时候，那图像就给我们画出来了，那么这道题就搞定了。 再看第二个，某市出租车的收费方式是路程不超过三千米的，收费九元，超过三千米的部分呢，它就每千米收两元，即乘客乘坐出租车的路程为 x， 这个 x 呢会大于三千米， 并且乘车费用设为 y 元，叫我们求 y。 关于 x 的 函数解析式，我们先看第一个，这里也是一个分段函数，对不对？分 x 在 三之前，一个是 x 在 三之后，对吧？我们就写，当 x 小 于等于三，大于等于零的时候，就是不超过三千米的时候，对吧？那么这个固定收九块钱， y 就 等于五九。然后第二个，当 x 大 于三的时候，它的收费 前九块钱是不变的，这个九块钱是稳收的。然后超过三千米的部分呢，怎么表示呢？超过三千米的部分，你就用 x 减去三千米，这个时候每千米收两块钱， 乘上二，咱们化解一下， y 就 等于九加二， x 减六， y 就 等于二 x 加三，所以我们再把它写成分段函数的形式， y 就 等于 九，然后二 x 加三。第一段取的范围是 x 小 于等于三，大于等于零。第二段 是 x 大 于三的时候。好了，分段函数解析式咱们就写出来了。第二个，他说若有一位乘客付了二十三块钱的乘车费，那么他的乘车路程是多少？那就反过来去求了，对不对？就是当这个费用是二十三元的时候， 这个解析是用哪个呀？那肯定用这一个，因为二十三块钱是不是大于九块钱的，对不对？好，因为 二十三块钱大于九块钱，所以采取第二段，就是 y 等于二 x 加三的这个式子，把这个 y 替换掉，替换成二十三等于二十三。负二 x 等于负二十 x 就 等于负二十，除以负二 x 就 等于十，所以它的乘车路程为十千米 就 ok 了。
379毕老师细讲数学
28:37查看AI文稿AI文稿每天半小时轻松学数学，这节课咱们来学习依次函数与实际问题的综合运用，用依次函数来解决实际生活中的一些问题 啊。首先呢，咱们都听过这样的一个故事，是乌鸦喝水的故事。据说有一天， 一只小乌鸦飞到一个荒无人烟的地方，口渴的他飞了好久也没有找到水源。哇哇哇，就在小乌鸦感到绝望的同时，他看到了不远处有一个水瓶， 小乌鸦赶紧来到瓶子旁边，想立刻喝到瓶子边的水，可是谁知道瓶子的口太小了，里面的水也只有半瓶，那嘴巴太大的小乌鸦根本无法喝到里面的水。 如果要是你的话，你会怎么办？你会不会放弃呢？怎么办？怎么办呢？这可把小乌鸦给急坏了。原来啊，聪明的小乌鸦看到周围有很多小石块，他灵机一动， 把十几个小石块一块一块的叼起来，放进了瓶子里面，不过一会，瓶子里面的水就升高了，小乌鸦贴近瓶子，脖子一伸，咕咚咕咚咕咚咕咚，一下子喝到了很多的水。 那乌鸦喝水的故事告诉人们，就是遇到困难的时候，要积极的想办法解决问题，只有认真思考才能呢，让问题得以解决。数学问题也是这样，那咱们来 来看，在乌鸦喝水的过程中，假设石块他是均匀的，那随着一个一个的石块不断的扔进瓶子里面，水面上升的高度也是慢慢的在增加。那咱们把它抽象为数学模型进行一个量化， 你能不能够算出来乌鸦丢进多少颗石子，水刚好在瓶口吗？如果把它抽象为这样的一个数学模型，这是一个瓶子，瓶子的水面距离瓶口是十厘米，扔进两颗石子的时候 距离还有九厘米，那么扔进多少石子，水刚好在瓶口。那怎么解决这一类问题呢？那 咱们可以用依次函数来解决类似的相关问题。好，首先咱们来看一个图像题， 某种拖拉机的油箱可以储存油四十升，油箱总油量是四十升，加满油并开始工作以后，剩余的油量 y， 那在这里边动轴表示的是 y 与工作时间 x， 横轴表示的是 x， 单位是小时。那咱们看到图像呢？首先看它的横轴与纵轴 满足一次函数关系。图像如图，第一，求 y 与 x 的函数关系，它既然说是一次函数关系，那咱们就可以用待定系数啊。假设 y 等于 k， x 加 b， 观察图像上面有两个点，一个是点 p， 他的坐标是二，逗号三十。另外一个是点 q， 他的坐标是六，逗号十。那咱们可以把这两个点的坐标分别给代入，那分别代入进去可以得到， 二 k 加 b 就等于三十，六 k 加 b 就等于十。 解这个一元二次方程可以解的 k 与 b 的值。 好，如果这是圈一，这是圈二，用二减一，四， k 等于负二十，所以 k 等于负五，那 b 呢？等于四十，所以解出来 y 等于 k， s 加 b， 还原进去就是 y 等于 负 x 加四十。在这边 x 的范围呢，一箱油可以供拖拉机工作几个小时呢？它总共是四十升，剩余的油量是外升的时候，它是不是就没法工作了？ 对，所以呢，咱们从图像上可以看出来是可以工作八个小时，那如果通过计算的方法呢，也就是 y 等于零的时候，那另 y 等于零。第二问，另 y 等于零，所以负五， x 加四十等于零， 解得 x 等于八，所以一箱油可以供拖拉机工作八个小时，也就是利用 a 次函数，咱们可以有效的解决实际生活问题。 那比如说咱们既然知道他可以工作八个小时，那以后在拖拉机工作的时候，他就有所准备了，可以更好的服于人们的生活与生产。 好，这是第一个例子。然后接着来看第二个例子，黄金一号玉米种子的价格是每千克五元， 如果一次性购买两千克以上的种子，超过的部分打八折，那超过的部分打八折，不超过两千克的时候呢？不超过的就不打折呗。 好，那咱们来看购买的种子，零点五一，一点五二，那在这里边 的话呢，前两千克都是按原价的，每千克五元，所以零点五乘以五，二点五一乘以五，五一点五乘以五，七点五二乘以五得十。 二点五的时候，二点五的时候超过两千克，超了多少呢？超了零点五，那超了零点五，所以这零点五千克按 超过的部分打八折，原来是五元，所以他的八折五乘以零点八，就是按四元，也就是说超过两千克部分的 价格是每千克四元，那所以零点五乘以四等于二，所以十加二等于十二。好，那三千克的时候呢？三 千克是比这两千克超了一千克，那超了一千克，这一千克按四元，所以十加四等于十四。 那在这里边抄了一点五，这一点五按四元，四乘一点五等于六十加六等于十六，那四千克的时候抄了两千克，每千个四元二乘四的八，十加八等于十八。好，这样咱们就可以把这个表格给补充完整了。 咱们可以看出来，他是分为了两部分，一部分是两千克以内的时候，另一部分是超过两千克的时候。 好，那咱们能不能够写出来购买量与付款金额之间的一个函数关系式呢？并画出 函数图像啊？刚才咱们来分析了，在这里边购买玉米的总的付款金额和购买种子的数量是有关系的，那在这里边，而且他是以谁为节点，以两千克为节点， 那如果他购买种子的时候不超过两千克，那种子的价格外外等于啥呢？外等于五 乘以 x， 单价是五，那如果超过两千克的时候呢？超过两千克的时候，那前两千克是按每千克五元加上超过的部分，超过的部分是打八折的，五乘以零点八，那超过部分超过多少呢？ x 比这二超了多少呢？超了 x 减二，然后咱们对它进行化减整理，也就是十加上四倍的 x 减二，也就是四 x 减八。好，又等于啥呢？又等于是四 x 加二 好，所以大于二的时候， y 等于四 x 加二，这样咱们就把函数关于式分别给大家写出来了。 好，那对于这个题画出函数图像，画函数图像的时候，列表秒点连线，咱们可以看出来他是分成了两段，一段呢是零到二，另一段呢是大于 二。所以咱们画图像的时候尤其也要注意啊，画图像的时候也是分为两段来进行画 像，这种咱们来看一看，分成两段分，或者是分成三段等等，分成若干段，这样的函数，咱们把它称为是分段函数。分段函数的时候，书写的时候要注意它的格式。 分段函数，首先咱们讨论出来 x 在不同范围内函数的解析式，其次最后做总结的时候写成 y 等于大括号括起来。 然后第一个解析是 x 的范围标上，第二个解析是 x 范围标上，这是关于分段函数的一个写法。 好，画图像，画图像，看，他们说要注意，咱们把它给分成两段，零到二的时候这是一段， 然后大于二的时候又一段， 从图像上也可以很明显的看出来，它是分成了两段，它是两段折线。好，那咱们来想一想，如果一次性购买一点五千克，需要付款多少元？ 一次性购买一点五千克，那咱们知道 x 等于一点五， 这个 x 是不是在这一个范围内？所以呢，咱们把 x 等于一点五，代入 y 等于五， x， 好，这是一点五千克。那如果是一次购买十千克的时候呢？因为十大于二，咱们就把 x 等于十带入下边的这个，也就是说根据 x 的不同，咱们带入的解析式也不一定相同，要看准。 第二问，三十元最多能够购买多少种子呢？那三十元最多能够买多少种子？咱们通过刚才的计算，如果是 两千克以内的话，最多花的是十元，那现在他花了三十元，说明购买的种子超过了两千克。所以咱们令 y 等于四， x 加二里边的 y 等于三十，也就是说三十等于四， x 加二再解出来 x， 那假如说你让三十等于五， x 解除， x 等于六，这就错了啊，一定要注意分析它在哪一段上好，这是这样的一个问题， 那咱们来做一个相关的练习题目。 为了节约用水，某市呢制定了一下用水收费标准，每户每月用水不超过八立方米的时候， 不超过八立方米的时候，每立方米收取一元，外加零点三元的污水处理费，每立方米收取一元，外加一点零点三元的污水。也就是说你用一立方米的话，产生的费用就是一点三， 当不超过八的时候啊，也就是说，当 x 大于等于零，小于等于八的时候，那在这里边， y 呢，就是等于一点三， x 就是一加零点三乘以 x， 那如果超过八的时候呢？超过八的时候，超 超过的部分，每立方收取一点五元，然后再加一点二元的污水处理费，超过的时候，水价涨了，污水处理费也涨了啊。假设一户呢，每月用水是 x， 立方用，交的水费是 y， 写出来 y， x 的函数关系，那咱们可以看出来， 用这样的水分， y 与 x 的多少有关系。其中八是一个重要的节点，所以咱们讨论的时候呢，要讨论不超过八的时候怎么样大，超过八的时候怎么样，那不超过八的时候， y 等于一加零点三乘以 x， 那如果超过八的时候呢？超过八的时候，超过的部分外加。那如果不超过部分呢？不超过的部分还是按八乘以一点三， 这是不超过部分，加上超过部分，那 x 比这八超了多少呢？超了 x 减八，那这一部分的价格按多少呢？按一立方一点五，加一点一立方按二点七，所以呢，再乘以二点七。 好，再把它画成 y 等于开加闭化减，整理好。这是这样的一个，那咱们分别写出来了这两段之后，最后不要忘了干啥呢？不要忘了下总结。所以 y 等于什么？什么？把它的解析式用这种大括号括起来。好，这是分段函数。 好，最后算出来的结果好， y 等于一点三， x 大于大于等于零，小于等于八的时候， y 等于二点七， x 减十一点二。当 x 大于 八的时候，那如果用水是十立方，求应交的水费。如果是十立方的话，咱们把 x 等于十，带入谁呢？把 x 等于十，带入 y 等于二点七， x 减十一点二。 好，这是第二问。第三问，如果水费是二十六点六，求用水量。如果水费是二十六点六，首先咱们来算出来 八立方的时候，他的水费是最多用十点四，那二十六点六肯定超过十点四了，说明他的用水量超过了 八，所以咱们用二十六点六， y 等于二十六点六，代入哪一个呢？代入这个，也就是说二点七， x 减去十一点二，等于二十六点六， 写出来 x 即可。好，这是第三问。 第二问中让 x 等于十，代入第二个，然后第三个先比较出来，它超过八立方，所以呢，代入第二个。 啊，这个练习题你写对了吗？ 好，看，一个提升题。 某医药研究所开发了一种新药，在实际验药的时候发现，如果成人 按规定的剂量服用，那么每毫升血液中含药量随着 x 的变化而变化。当成年人按规定的剂量服药以后，服药几个小时，血液中含药量 最高达到每毫升多少毫克，接着逐步衰减啊？根据这个图，服药几小时的时候含药量最高呢？服药两小时的时候最高，最高达到了 这是六，每毫升有六毫克，接着逐步的衰减，服药五个小时的时候，含药量为，服药五个小时，含药量为三毫克。 好，这是第二问， 第三问， x 小于等于二，是 y 与 x 有啥关系？那 x 小于等于二的时候，咱们可以看出来它是一个 过圆点的直线，所以呢，假设 y 等于 k 一， x 把二倒号六带入 x 等于二的时候， y 等于六，二倍的 k 一等于六，那所以 k 一就等于三，也就是 y 等于三 x， 那如果 x 大于等于二十 y 与 x 的关系，那 x 大于等于二的时候，可以看出来它是这样的一条直线，所以仍然是依次函数。咱们假设 y 等于 k 二 x 加 b， 那我为啥不假设 y 等于 k x， y 等于 k 加比呢？因为在这里边，正比例比例系数与 e、 t、 m 的比例系数，这两个 k 的值不一定相同，所以咱们要用两个字母给它表示。 好，那咱们知道这一条过的点是二、六和五三，所以咱们把二逗号六和五逗号三带入，把二逗号六带入二倍的 k 二加上 b 等于六，那五倍的 k， 二加上 b 就等于三。好，那所以咱们可以算出来 k 和 b 的值。好用二减一得三， k 二等于三 等于负三，三 k 二等于负三，那所以解得 k 二等于负一，那代入一啊。算出来 b 的值负二加 b 等于六，所以 b 的值等于八，那所以 y 等于 k， 二 s 加 b， 又变成了 y 等于负的 x 加八。好，这是第四，第五个，如果每毫升血液中含量量三毫克或三毫克以上的话，治疗疾病最有效，那么这个有效的时间是几个小时？那从 函数图像上咱们来看一看。从函数图像上咱们可以看出来三毫升或三毫升以上，那在这里边， 这个线代表的是 y 等于三啊，在这个点，这是几呢？咱们可以求出来啊。另， y 等于三，三等于三 x， 所以 x 等于一， 所以这个点呢，是一啊，这个啊，已经显示是五，所以是有效时间是四个小时。五减一等于四啊。这是这样的一个看图像的题目， 你写对了吗？看本节课的练习题。第一个， 小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在了储蓄罐内，准备呢，捐给希望工程盒内的钱。数 y 与存钱的月数 x 之间有如图所示的关系 啊！根据下图回答问题，写出来 y x 关系，那咱们可以看来它是一条直线，所以 y 等于 k， i 加 b， 咱们直接用待定系数法假设 y 等于 k， x 加 b， 通过图像观察它，过点零，逗号四十，其实 b 就等于四十，又过点四，逗号一百二，所以呢，咱们把这两个点带入 好，所以算出来零逗号四十，带入 k 乘以零等于零，再加 b 等于四十，所以 b 等于四十。好，把四逗号一百二带入四， k 加 b 等于一百二，好，所以可以算出来 k 和 b 的值。好，那在这里边解出来， b 是等于四十，那 k 呢？四 k 等于八十，那 k 就等于二十， 所以 y 就等于二十， x 加四十， y 就等于二十， x 加四十啊，这是 x 大约等于零，而且呢， x 为整数。 第二个，根据关系来计算，小明经过几个月才能存够二百元，存够二百元，二百元表示他的存钱数，表示的是 y， 也就是令 y 等于二百。 第二问的话，另外等于二百，也就是二十， x 加上四十等于二百。 好，可以解出来，二十 x 等于一百六，所以 x 等于八，也就是说经过八个月才能存够二百元。好，另外咱们来看这个减薪是 y 等于二十， x 加四十，说明了啥呢？说明他每个月存多少呀？你看 x 每增加一， y 增加二十，也就说他每个月存了二十。而且咱们还可以知道，当 x 等于零的时候， y 等于四十，也就是说第零个月的时候， 他的储蓄盒里边已经有四十块钱了。然后呢，每个月存二十啊，这是咱们从解析式中也应该读懂的一些信息 啊。这是这个练习，然后第二个练习，一个实验室在零点到两点的时候 保持着二十度的恒温，两点到四点的时候呢，是匀速升温，每小时升高五度， 那说明零到二的时候不变，就是二十度。那如果二到四的时候匀速升温，每小时升高五度， 那每小时升高五度。比如说举个例子，他在三点的时候，他这时候温度是多少？ 他这个的温度是二十度，加上三点，比着他这个二点增加了一个小时，一个小时升高五，所以是加上五倍的三减二。 好，这是举个例子，比如说这是三点的时候。好，那假如说是时间 t 是 x 是 t 时， t 时的时候，那温度 t 就等于， 那在这边能直接写吗？好像不能在这里边，因为他是与时间段有关系的，所以呢，咱们要给他分类讨论。那咱们来看一看， 如果 t 的范围是大于零， 大于等于零，小于等于二的时候，那这时候 t 就等于二十度，它的恒温。那如果 t 要是大于二，而且还要小于四 啊，所以呢，咱们来看一看。第二个是 t 大于二小于四的时候， 那这时候的温度 t 等于多少呢？等于原来的二十度，加上升高的，升高的， 它增加了几个小时呢？增加了 t 减二个小时，那每小时升高五度好，化减整理，也即使 t 等于五， t 加十，所以在下一个结论， t 等于分段 啊， t 等于是二十，如果呢， t 的范围是在大于等于零小于的二的时候，然后呢， t 等于是五， t 加十，如果 t 的范围呢，是大于二小于等于四的 的时候。好，这是利润好。画出图像，紧急式画出来函数图样。画函数图像的话呢，列表描点连线要注意分段 好，所以解析式用大括括起来，分段函数给它写好好，然后呢，再画出来函数的图像。 在这里边需要注意的是，第一段就是零到二的时候， t 都等于二十，所以它是一条平行于 x 值的这样的一条线 啊，这是这样的一个题目。第三个，近几年来呢，由于经济社会迅速发展， 用电量呢也越来越多，为了缓解用电紧张，我们电力公司制定了新的用电标准，每月用电量 x 与应付电费 y 函数关系不图。那从图像上咱们可以看出来，刚开始这是零到五十度的时候， y 是这样的，那五十度以后，你看它这个是不是变得更陡峭了呀？那说明它的用电的单价升高了。 好，根据这个图，咱们也可以求出来这两段它的解析式啊。第一问，求出来这两段的解析式，那这两段解析式分别是啥呢啊？ y 等于 k x。 那第一段的话呢，咱们可以 假设 y 等于 k x， 但是这里边有俩，所以咱们可以假设 y 等于 k e x。 第二段，咱们假设 y 等于 k 二 x 加 b。 啊，第一段呢，过点五十二十带入，可以算出来 k 一等于零点五。第二段，把五十二十五带入，还有把一百七十带入啊，这样的话呢，就可以求出来他们的一个解析式。 好，求出来一个呢，是 y 等于零点五 x， 一个是 y 等于零点九， x 减二十。最后下个结论，所以把这个函数的解析式给它写下来，最后要下个结论， 所以 y 等于大框括起来零点五 x， 然后 零点九 x 减二十，把它那个范围分别减上，也就是当 x 大于等于零，小于等于五十的时候，按 y 等于零点五来零点五 x 来算。那如果 x 大于五十的时候呢，按 y 等于零点九， x 减二十。 好，这是第一问，第二问，如果每月用电量不超过五十，不超过五的十的时候，可以看出来，他的每增加一度收费是增加零点五，所以他的收费标准是每度按零点五元，那如果超过五十的时候， 它每度是零点九元，这就是它的比例系数的一个含义。好，这是咱们这节课所学的主要的内容，这节课呢，咱们主要是学习了 依次函数与实际问题，尤其是分段函数的一个解析式，以及分段函数的图像。分段函数要分段求，另外分段函数写的时候要用大括号给他括起来，注明字变量的起值范围。那咱们这节课就上到这里，下一节课再见。
270数学半小时
20:20查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数当中实际问题的拓广探索。第八题，图中折线表示刘伟骑车离家的距离 y 与时间 x 的 关系。他是九点离开家的， 十五点三十分回到家，请你根据这个折线图回答回答下列的问题。好，我们先看它这个折线图是怎么画的。 那九点他开始骑车出门了，对不对？在九点之前，他离家里的距离是零，对不对？ 在九点之前，离家的距离是零，说明什么？说明他就在家里啊，他呆在家里，那么他和家里的距离之间不就是零吗？对不对？说明他和家是重合的。然后呢， 他开始骑车，从九点骑到十点三十分，是不是骑了一个半小时，对不对？迟了，骑了一个半小时，那么骑到了哪里呢？骑到离家三十公里的地方， 一个半小时骑了三十公里，对不对？然后到十一点的时候，哎，还是距离家是三十公里，说明什么？说明这段时间他没动，对吧？或者你你可以理解为他下车哎，做一个深蹲，对吧？做个运动，对吧？啊？反正就是他在原地没走，然后 再从十一点到十二点三十分，对吧？好，他从三十离开家三十千米的地方，到了四十五千米的地方，说明是不是又骑了十五公里啊，对不对？又骑了十五千米，然后这个时候他十二点三十分到十三点三十分，这个时间， 这段时间内，他离家的距离一直保持在四十五千米的地方，说明什么？说明他也停下来了，哎，这个时候停下来有可能在干嘛，哎，有可能去吃饭了，对不对？到中午了嘛。然后呢？下午十三点三十分的时候，他又开始骑了，不过这个时候 他离家的距离慢慢的下降，降到了十八千米。 你本来一开始假如说这个是加，这个一开始离加四十五千米，然后过了一段时间，现在离加变成了十八千米了，说明他往回走了吧，对不对？他往回走了， 然后骑到十四点三十分的时候，哎，他回来的这个速度是不是变缓了？你看他这两条折线都是不一样的，一个下降的比较快，一个这里比较稍微慢一点，所以他骑慢一点 啊。骑慢了之后呢，就是到十五点三十分的时候， a 这个时候和家的距离也是零，说明他到家了啊。就是这样的一个过程。我们来看他的问题， 他说何时刘伟离家最远？是不是这个时候？十二点三十分的时候是不是离家最远呢？对不对？十二点三十分到一点三十分的时候，离家是最远的， 有四十五千米，对吧？好。所以他问我们刘伟什么时候离家最远？我们先回答他。第一个问题是十二点三十分到十三点三十分之间，离家最远， 那么这个时候刘伟离家有多远呢？他对应的是什么？四十五千米，所以离家有四十五千米就可以了。好吧，再看第二问， 何时刘伟开始第一次休息，那么什么时候开始第一次不动，就是这个十点半到十一点之间，这个时候他是没动的，对不对啊？我们这里写过来，他是十点半到十一点之间。哎，他是第一次休息， 休息了多长时间？那我们就拿十一点减去十点半，等于三十分钟，所以第一次呢？他休息了三十分钟啊。这个时候刘伟离家有多远？ 这个时候离家对应的距离是三十千米，所以回直接回答，三十千米就可以了啊。再看第三问，他说十一点到十二点半的时候，刘伟骑了多少千米？ 十一点到十二点半这一段，他是不是从距离三十千米的地方骑到了距离三四十五千米的地方？是不是增加了十五千米？所以他就骑了十五千米，所以这个对应的就是什么呢？就是四十五千米减去三十千米，说明他骑了 十五千米就 ok 了啊。再看第四问，刘伟在九点到十点三十分 和十点三十分到十二点三十分这两个时间段，他们的平均速度各是多少？那么平均速度等于什么？平均速度等于总路程除以总时间啊。我们这里写一下， 平均速度等于总路程 除以总时间。 所以它这个九点到十点半是骑了多久？是不是骑了一个半小时，对不对？是不是骑了一点五小时？所以我们这里就写 十点三十分减去九点等于一点五小时，等于一个小时，三十分就等于一点五小时， 那等于一点五小时，那总路程呢？总路程是不是骑了三十千米，对不对？所以是三十除以一点五，所以对应的所以它的速度等于三十除以一点五，那说明什么？说明每小时就骑二十千米，所以是二十千米每小时，这个对应的是九点到十点半。 然后再来看，从十点半到十二点三十分，那么他的总时间是过了两个小时啊，然后齐了十五千米，那在这里已经写了，对不对？好，我们这里就回答， 这个就往这里回答，先算时间，十二点三十减去十点三十等于两个小时。 然后呢，我们再拿他的路程，这个平均速度是路程是十五，这个十五的话，我们就拿四十五减三十， 那从这里骑到这里嘛，对不对啊？四十五减三十，骑了十五千米，再除以两小时，说明这个时候平均速度是七点 五千米每小时。好，这个就是第四问的两个平均速度。再看第五问，刘伟返家的时候平均速度是什么？他返回家是不是从这个时候开始？然后再到这里是不就停了，对不对？所以我们先把他的时间算出来， 他返家的时间是十五点三十，减去十三点三十，用了几个小时啊？啊？是不是用了两个小时啊？ 然后呢？骑完了，从四十五千米的地方骑到家，是不是走完了这四十五千米啊？对不对？所以就是四十五除以二等于二十二点五千米每小时，所以他回家的 这个平均速度是二十二点五千米每小时。好了，现在再来看最后一问，十四点三十分的时候，刘伟离家有多远？那十四点三十分，这个时候比较好回答，对应的就是十八，这个时候他离家的距离家还有十八千米， 那么在回家的路上什么时候？注意是回家的路上啊？刘，何时？刘伟距离家六千米，你找到这个六千米， 找到这个六千米，六千米大概在这个位置，那么这个时候他问的就是等于六千米的时候，他这个时间点是几点呢？是几点，就叫我们求这个点，那么这里的话呢，我们可以通过我们以前的这个速度问题去算， 但是呢啊，我们现在也可以用什么呢？也可以用函数去做，用函数做怎么做呢？啊？这是一，从这个点到这个点，我们从这两个点， 这两个点，这个点的坐标，我们十五点十五点三十分，就把它写成 十五点五逗零，好吧，这个点的坐标是十四点五逗十八。好，我们知道这两个点，你把这两个点 带入直线解析式啊，带入一次函数解析式啊，把这个解析式求出来，然后让它的 y 值等于六，就可以求出它的横坐标，也就是时间了，知道吧？好，我们这里设啊，这里有 x 有 y， 那 就不用设了，对不对？好，我们就将 这个十四点五十八和十五点五零带入到 y 等于 k， x 加 b 当中， k 不 等于零。好，带您算一下，那么零等于十五点五， k 加上 b， 然后这里是十八等于十四点五， k 加上 b， 一式和二式，两式一减，那变成负十八等于 k， k 就 等于负十八，对吧？好，然后呢再算， b 把这个 k 带进去，那么零就等于十五点五，这是一式当中乘上负十八，再加上 b 等于负的二百七十九加 b， 所以 b 就 等于负的二百七十九，所以这个解析式 y 就 等于负十八， x 减去， 不对，是正的二百七十九，正的二百七十九啊，移过去等于正的二百七十九，所以是加上 二百七十九。好，这是这一段的解析式，注意它的 x 取的范围是小于等于十五点五，大于等于十四点五的， 只有这一个范围啊。然后呢，我们这个时候，当它的 y 值等于六的时候，那么六就等于负十八， x 加上二十七点九以下十八， x 就 等于二百七十三， x 就 等于十八分之二百七十三，所以 x 约分就等上下约掉三等于六分之九十一，所以 x 就 等于化成代分数就等于十五又六分之一。 那么十五我们知道是多少？十五就是十五点啊，六分之一呢，你把它化成分钟，对吧？那我们就接着算一下，六分之一乘上六十等于十分钟，所以十五又六分之一 十，它就等于十五点，这个十分啊，十五点十分，所以它什么时候离家的距离是六千米呢？就是十五点十分的时候，所以我们就写 啊，啊，这个直接把它转成十五十十分， 回家的路上，居家，回家时居家 六千米就可以了啊，这个是用函数的性质去做的，用函数的方法去做，那么如果说你说，哎，我不想用函数方法，我就想用常规方法，那我这里也写一下，好不好？方便大家理解。十八公里 是不是从十四点三十分到十五点三十分，是不是就跑完了，对吧？好，那说明什么？那我们就拿这个它的十八千米每小时，把它速度算出来， 它的速度这就等于十八除以十五点三十，减去十四点三十，中间隔了一个小时，所以它的速度呢，就等于十八除以一，就等于十八千米每小时， 对不对？那么他想要距离家里是六千米，对不对？那要跑多少？那往回跑十二千米，对吧？所以是十就是十八，减去六等于十二千米，十二千米他需要跑多久呢？就拿路程除以速度 就等于三分之二小时， 还有三分之二小时呢，就等于四十分钟， 那么你看他从十八千米的地方跑到六千米的地方需要跑四十分钟，那么你再拿 十四点三十加上四十分钟，他不就等于十五点一十了吗？对应的就是十五十十分吗？对不对？好答案是不是一样的，对吧？啊？这两种方法大家都可以理解一下。 再看第九题。快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣两种型号的机器人的工作效率和价格如下表所示。假型机器人每小时 每个小时分拣快递量是一千件，但是呢，它贵一点，每台机器人的价格是五万元。而以机器人 他每小时分拣快递量是八百件，但是他稍微便宜一点是三万块钱一个，对吧？那这个公司计划购买两种型号的机器人，一共十台， 并且使十台机器人每小时分拣快递量总和不小于。什么叫不小于？不小于就是要大于等于吧，对不对？反正不能小于，那就只剩大于和等于了，所以是要大于等于 八千五百件。第一问，设购买甲型甲种型号的机器人 x 台，那么甲是 x 台，那么购买乙台乙的呢？因为机器人一共是十台，那么甲是 x 台的话，那乙就是十减 x 台 啊。购买这十台机器人所花的费用总费用为 y 万元，叫我们求 y 关于 x 的 函数解析式，看价格就看这个对不对。 假是 x 台，那么一台五万，那么就是五 x， 乙呢是十减 x 台，它一台三万，所以就是三乘十减 x， 那 把它价格加起来就可以了。所以第一个是很好表示的，总费用 y 就 等于这个五 x， 这里写一下， 总费用 等于假价格 加上乙的价格，总费用对应的是 y， 甲的价格是五 x， 而乙的价格呢，是三乘十减 x。 咱们再化简出来，五 x 加上三十减三 x 就 等于二 x 加三十，所以这个 y 呢，就等于二 x 加三十。注意 这里的 x 不 能是负数吧，对不对？所以这个 x 取的范围要大于等于零，同时呢还要小于等于十，因为它是机器人，一共就十台，所以你不能超过十，知道吗？好，并且 x 还必须是整数， 这里写一下， x 为整数， 你不能买回来的机器是半台吧，对不对？零点五台行吗？肯定不行，零点二台也不行啊。 再看第二个，在购买十台机器人当中，购买几台假型号的机器人，可以使得所花的费用最少，最少的费用又是多少呢？好，那么这个时候你就要去看第二个条件了， 它挑拣快递量总和不小于八千五百件，那么你就要看这个了，你要跟它 x 曲子，根据 x 的 曲子范围去看了，对不对？好，那么这里呢，我们就看件数，这第一问，件数怎么写呢？件数怎么表示呢？件数 要大于等于八千五百，那假台机器，这个假机器 x 台，那么每台每小时可以分多少？可以分一千件，它的每小时总和要大于等于八千五嘛，所以件总件数，每小时的总件数，它就等于假的， 假的呢，就是一千 x 加上乙的呢，乙的是每小时八百件，所以就是八百乘上它的数量十减， x 大 约等于八千五。好，接下来我们就算一下， 一千 x 加上八千，再减去八百， x 大 于等于八千五百一项，这里这两个一减等于两百， x 大 于等于五百，那 x 就 大于等于五百，除以两百，对不对？那么 x 的 取值范围 就大于等于二点五，那么 x 大 于等于二点五，那么至少因为要它要取整数嘛，所以最小只能取三嘛，对不对？好，然后我们还要让费用最少，费用是什么？它的费用可以用函数表示来，费用 是 y 等于二， x 加上三，对吧？ x 小 于等于十，大于等于零，并且 x 为整数， 是这样去表示的。那么你再看它，这个是一次函数吧，一次函数 k 值是不大于零， 我们想要判断什么时候取得这个钱越少，你就看它的 k 值对不对？ k 值是一个正数，所以 y 属于 x 增大而增大，你想要让费用最小，你就要让 x 最小，因为好，我这里写一下啊，因为 k 等于二， k 大 于零， k 是 等于二的，所以 k 大 于零， k 大 于零， y 随 x 的 增大而增大， 但是我们要让 y 最小，因为要使 y 最小，所以 x 要取最小值。 那 x 的 最小值是多少呢？因为这个 x 是 大于等于二点五的，所以 x 的 最小值为三。 为什么只能取三，不能取二点五啊？因为 x 必须是整数，在这个范围之内能取到的最小整数就是三，知道吧？所以呢，当 x 等于三的时候， 费用 y 费用有最小值 带进去， y 就 等于二乘三加三十，二乘三等于六，六加三十等于三十六万，知道吧？所以我们就说购买 三台甲型机号，甲总型号机器人 为三十六万元就可以了啊，再整体看一下。
80毕老师细讲数学
21:41查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数的复习题，先看它的复习巩固。第一个，王芳现有存款一千五百元，他计划今后三年每个月都存五十元，他的存款总金额是 y 元， 随着时间 x 的 变化而变化，这个 x 呢，单位是 y 啊，写出 y 关于 x 的 函数解析式， 那么他已经有一千五百元了，然后每个月都往这个存款当中再存五十元，对不对？你一个月存五十元，那么加进去两个月，那就一共存了一百元，再加进去，就这个意思，知道吧？那你想一下， 它这里是三年，一年是十二个月，三年就是三十六个月，所以呢，它这个时间也就是 x 月份，它的取值范围一定是零到三十六，知道吗？好，这里我们简单写一下，它的总存款 会等于现存款， 加上每月存款 乘上月份，对吧？每月存五十元，一个月就乘一，两个月就乘二，对吧？好，然后呢，他说这里是三年，对不对？三年等于三十六个月， 等于啊，这是等于不是二三年等于三十六个月，所以呢，这个 x 的 取值范围小于等于三十六，大于等于零，然后我们再根据它的关系式写出来， 总存款是 y 元，对应写 y， 现存款是一千五百元，我们对应写一千五百， 然后每个月的存款呢，是五十元，对应五十乘上月份，他的月份呢，用时间 x 来表示，所以就乘 x， 所以 这个解析是 y 就 等于 五十， x 加上一千五。那么这样写的话呢，就是方便我们对应依次函数的，一般是 y 等于 k， x 加 b， 知道吧？然后呢，你再把它的取值范围写过来，就是 x 小 于等于三十六，大于等于零，那么 关 y 关于 x 的 函数解析式咱们就写出来了，因为这是一个实际问题，所以你一定要把它 x 的 取值范围写出来，知道吗？实际问题一般都是有取值范围的啊，千万不要忘记了。 再看第二题，判断下列各点是否在直线， y 等于二 x 加六上，并且求出这条直线与坐标轴的交点。那么首先判断下列各点是否在直线上，那么你就把它的横坐标当做 x 带进去， 看它算出来的 y 是 否等于它的重坐标就可以了。我这里写一下它的判定标准， 判断点是否在直线 y 等于二 x 加六上面我们就将这个点的横坐标当做 x 带入解析式当中进行计算，算出来的 y 值，看看这个算出来的 y 值是否等于这个点的纵坐标， 如果相等的话，那么这个点就在直线上，如果不相等的话，这个点就不在直线上， 当然你反过来也是可以的。什么叫反过来？就是你把它的重坐标替换掉 y 值，看看它的 x 是 否等于它的横坐标，如果等于也是在这个点上的，就是你无论把 x 带进去还是把这个 y 带进去，都可以，知道吗？啊， 只要你不要带错了就行了，记住，重坐标替换 y， 横坐标替换的是 x 啊。如果你带入的是重坐标，替换掉 y 之后，你就看 x 是 否等于负五。如果你带入的是横坐标，就替换掉 x， 看它的 y 值是否等于负四就可以了。我们来把这四个都算一下就可以了。好吧，来 先看这个点点负五负四啊，带入这个 x 等于负五，咱们得到 这个 y 就 等于二乘负五再加六，二乘负五加六等于几啊？等于负四，你看和它的重坐标是不是相等啊？那既然和它的重坐标相等，是不是说明这个点在直线上啊？对不对啊？我们就写它的判定与重坐标 相等，所以是在直线上。 好，再看第二个，第二个点是负七二十，那我们就代入谁啊？代入 x 等于负七，对不对？就可以得到 y 等于二乘负七再加六，它等于几啊？等于负八，对不对？这里是负十四加六等于负八，而你看负八和这个二十相等吗？它并不等于它的重坐标并不等于二十，所以我们就说不在直线上， 可以了。再看第三个点，第三个点呢，是负二分之七一。 好，咱们就代入 x 等于负二分之七，就可以得到这个 y 等于二乘负二分之七，再加上六，那这个一层的话，它约掉等于负七，负七加六等于负一， 那你看一下负一会等于一吗？负一和一并不相等，对不对啊？所以呢，不在子线上。 好，再看最后一个点，这个点是三分之二，七又三分之一，那么你就代入 x 等于三分之二，你就可以得到 y 等于二乘三分之二再加六， 那这里一层的话，等于三分之四加六，三分之四加六，而这个六呢，等于三分之十八，对不对？三分之十八加上四等于三分之二十二， 然后写成带分数，写成带分数就是七又三分之一，没有问题，对吧？啊？就是拿二十二除以三，二十二除以三等于七于一，那么就是七又三分之一，好，那么是和它的重坐标相等的，所以呢，这个点它在直线上 就 ok 了。那这四个点呢，咱们就判断完了，它还有一个要求，叫我们求出这条直线与坐标轴的交点， 对不对？焦点坐标，那么你看一下坐标轴有几条啊？有 x 轴对不对？还有 y 轴， 那么在 x 轴上，什么坐标为零呢？它的纵坐标为零，如果在 y 轴上呢？在 y 轴上的话，就是横坐标为零，对不对？你要搞清楚。那么这里呢，我们要求这个 y 轴的话， 求与 y 轴的交点，那我们就当 x 等于零的时候，那么这个 y 就 等于二乘零加六等于六，所以 与 y 轴交点 为零六，对吧？你想要求与 x 的 交点，那么与 x 轴交点，它是纵坐标为零，所以你就当 y 等于零的时候， y 等于零，就零等于二， x 加六，一项一项，那么这个二 x 就 等于负六啊，然后这个 x 就 等于负三，所以呢，与 x 轴交点 为负三零，好，那么它这里的两个要求咱们就都算完了，对吧？判断这四个点是否在直线上，再求出这条直线与坐标轴的两个交点，因为有两个轴啊， x 轴和 y 轴，那么你就要求这两个点就 ok 了。 第三题考察的是依次函数的图像性质，也就是看 k 值和 b 值，那么 k 值大于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，对不对？ b 大 于零呢？那就交于 y 轴的正半轴，如果 b 小 于零的话，就交于 y 轴的负半轴就可以了。好，那我们根据这四个性质 去判断直线经过哪些象限对不对？好，先看第一个， 第一个 y 等于三分之二， x 加上二分之一，那我们要知道，一般式是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那对应的这个 k 值是不是就是负三分之二啊？对不对？所以这里我们写，因为这个 k 等于负三分之二，是正数还是负数？ 它是负数，是小于零的，所以 y 随 x 增大而减小，对不对？所以 y 随 x 增大而减小。 然后呢，再看它的 b 值， b 值是等于正的二分之一啊，因为 b 值等于二分之一，而这个二分之一是正数，是大于零的。所以呢，怎么样与 y 轴交于正半轴，与 y 轴交于正半轴。 好，那我们可以先把它的大致图像画出来，这里你不要先画 y 随 x 增大而减小，不要直接先这样画，你先看它与 y 轴的交点是正半轴，先把这个点 好大致画一下，然后你再经过这个点， y 随 x 增大而减小，那么它经过的象限就是一、二四象限，这是第三象限嘛，对不对？所以它经过的是什么？一二四象限？ 好，那么 y 随 x 的 增大而减小就可以了啊。再看第二个 直线， y 等于三， x 减二， y 等于三， x 减二，当中它的 k 值是什么？它的 k 值对应的是几啊？ k 值对应的是三嘛，对不对？好，它的 k 值对应的是三，因为 k 等于三，是正数还是负数？是正数大于零，对吧？所以我们就说 y 随 x 的 增大 而增大 啊。再看，那因为它的 b 值是等于负二的，而负二呢？是小于零的，所以我们知道 与 y 轴的交点在负半轴。交于负半轴， 那我们也可以把它的大致图像画出来，先画直角坐标系 与 y 轴交于负半轴，就在这个位置，对不对？然后 y 随 x 的 增大而增大，斜着向上画好了，那么它经过的是一三四象限， 所以我们这里就写一三四象限， y 随 x 的 增大而增大 就可以了。再看第四题，根据下列条件，分别确定函数 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。 第一个， y 与 x 成正比例，当 x 等于五的时候， y 等于六，那我们就要知道正比例函数的一般式是什么，对不对？好，我们这里就写，因为 y 与 x 成正比例， 所以呢，我们设比例系数为 k， 并且 k 不 等于零，所以 y 比上 x 就 等于 k， 你 就可以得到 y 等于 k， 乘 x 比号其实就相当于是除法的计算，对不对？你除以 x， 那 移过去就变成了乘 x， 这也是为什么正比的函数可以写成这个样子的原因。好，那么他说，当 x 等于五， y 等于六，因为当 x 等于五的时候， y 等于六，所以我们可以得到啊，你把这个 y 换成六，把这个 x 换成五，所以六等于 k 乘五， 那么这个 k 那 就五， k 就 等于六， k 就 等于六除以五，六除以五，就直接写成六分之五啊，五分之六就可以了，所以 y 等于六，五分之六， x 就 完事了啊。再看第二个直线， y 等于 k， x 加 b， 经过点三六与二负二分之一，那么这个就是一个非常标准的经过两个点，确定直线解析式对不对？好，那么这里直接用待定系数法啊，将 三六与二分之一、负二分之一带入解析式， y 等于 k， x 加 b 当中，我们就可以得到啊， 一个二元一次方程组，注意你不要带错了啊。这个 x 是 可以用横坐标替换的，这个 y 呢，是用重坐标替换的，所以我们把这个六和三替换进去，就变成了这个样子，所以是六等于 三 k 加 b， 那 这里把二分之一和负二分之带进去的话，那 y 就 等于负二分之一， x 就 等于二分之一，所以是负二分之一等于二分之一 k 加 b， 两式一减，你就可以求出来了，一式减二式， 六减负二分之一就等于加二分之一等于六，又二分之一三 k 减二分之一等于二分之五，所以是二分之五 k， 那这个 b 值减 b 值就抵消掉了，就不用写出来了。然后这里通分一下，二分之二六十二加一等于十三等于二分之五 k， 所以 二分之五 k 就 等于二分之十三，除以二分之五，除以二分之五呢？怎么样呢？ 等于乘以五分之十三 k 算出来了，等于五分之十三。你再带入任意一个式子，就可以把 b 算出来了。将 a 等于五分之十三带入到一式当中，那么六就等于三乘五分之十三，加上 b， 那 么六就会等于五，这里三三得九，一三得三，三十九加上 b， 那 么这个 b 就 等于六，减去五分之三十九。通分，这个是 六的话，是五分之三十，五分之三十减去五分之三十九，三十减三十九就等于负九，所以 b 就 等于负的五分之九，那么这个 k b 值我们就求出来了。 k 等于五分之十三， b 等于负五分之九，所以这个解析式就是， y 等于五分之三，五分之十三， x 减去五分之九就 ok 了，那么这个两个解析式我们就都求出来了。 再看第五题，根据函数 y 等于三 x 减十五的性质，或者是图像确定 x 取和值的时候， y 会大于零，和值的时候 y 会小于零，那么这种题目如果是填空题的话， 你如果实在不会看，你就直接算对不对？因为这里的 y 呢，是等于三 x 减十五的啊，这里呢，我先把这种方法给大家讲一下，如果他已经告诉你解析式了，那么叫你求 y 大 于零的时候， x 的 取值范围， 那么这里因为 y 等于三 x 减十五，对不对？所以 y 大 于零就可以变成什么，就可以变成三 x 减十五大于零，那么三 x 就 大于十五， x 就 大于五，那么这个就第一位 啊，那第二个的话呢？一样的啊，因为这个 y 是 等于三 x 减十五的，所以 y 小 于零，你就可以得到是三 x 减十五小于零，那么三 x 就 小于十五， x 就 小于五，那么 x 小 于五啊，就求完了啊，这两个就是它的答案 啊，这个是纯计算，但是有些题目他不会告诉你解析式的，他只会画个图像，而且这个图像呢，一般不会告诉你两个点啊，他就只告诉你一个点，那这样的话，你就求不出来解析式了，对不对？那这个时候怎么办呢？这个时候才是用图像的时候，不过这道题主要是考察我们对图像的理解，那么我们呢， 就先把这个图像画出来，好吧，这种呢是选择填空题的做法，那如果这是解答题的话，你还是老老实实的画图对不对？好，那么这里我们要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零。如果要求与 y 轴的交点，就让 x 等于零，那我们先求 x 的 交点， 先求与 x 轴的交点，当这个 y 等于零的时候，这个零就会等于三 x 减十五，一项算一下，你就会得到三 x 等于十五，就会得到 x 等于五，所以与 x 轴的交点 就是五零，所以它会过五零这个点。如果你要求与 y 轴的交点，那么就是当 x 等于零，那么这个 y 就 等于三乘零减十五，那么 y 就 等于负十五， 所以它就会过零负十五这个点。好，现在我们把图像大致画一下， 这里是 x 轴，这里是 y 轴，这是圆点，零啊，然后过我们这里画小一点，这里是五零这个点，然后还有一个是零负十五，我们放在这个位置，然后把这两个点连起来， 好，把这个点连起来，他说要 y 大 于零，那 y 大 于零在哪个上面呢？那 y 大 于零，好，这里我写一下啊。 y 大 于零，那么翻译成这个什么？翻译成图形语言的话，就是必须在 x 轴上，因为在 x 轴上， x 轴上方的这个图像的所有点的 重坐标是不是都大于零？好，我这里写一下。 y 大 于零，其实对应的就是点的重坐标 大于零，那么这个点的这个图像上的点，它的重坐标要大于零，就在 x 轴的上方，则在 x 轴上方。 在 x 轴上方的话，你再看这个在 x 轴上方的这些点的横坐标是不是都比五大呀？你看这个点的横坐标是不是比这个五要大， 这个点的横坐标是不是也要比五啊？对不对？所以它的结果从从图像上去看的话，就是 x 大 于五，就是跟我们计算的结果是一样的，知道吧？好， 这些在 x 轴上方的点，这些点则在 x 轴上方的点，横坐标 都大于五，所以 x 大 于五。当然你自己写的时候是不需要把这里写出来的，你只需要写因为 x 大 于零，然后由图可知，所以 x 大 于五就可以了，你可以直接这么写，知道吧？ 好，那么第二个通过图像来看，它是要 y 小 于零， y 小 于零对应的就是点的纵坐标小于零， 那么如果一个点的纵坐标小于零，并且在这条直线上，那么只能是在 x 轴下方的部分，在 x 轴下方的这个图像上的所有的点对应横坐标是不是都比这个五要小啊，对不对？这个点的横坐标是不是都比五小，对不对？这些点，所以 则在 x 轴下方的点，横坐标 小于五，所以 x 小 于五啊。然后呢，像这种话啊，如果你看答案，他也是不会告诉你的啊，他也不会写出来，他一般都是 因为 y 大 于零，由图可知，所以 x 大 于五就可以了，他一般都这么写的，所以我们自己写的时候呢，这些你如果描述不清楚，干脆不要写，你把图画出来，你会。
72毕老师细讲数学
09:32查看AI文稿AI文稿我们讲一下伊斯函数的实际应用的练习题啊， 我们看一下核心知识点，一的话是一次函数的简单应用啊。看第一题，母品牌鞋子的长度 y 厘米啊，与鞋子的码数 x 之间满足一次函数关系。 若二十二码鞋子的长度为十六厘米，四尺四码鞋子的长度为二十七厘米，则三十八码鞋子的长度为多少？嗯，这里呢，就是说这个鞋子的长度和鞋子的码数是一个以散数的关系，那我们就可以把它， 把他的函数关系把它表示出来，就 y 等于 ks 加 b， 然后呢，他给了一组两组对应的值哈，二十二码的时候，长度是十六，那实际上的意思就是，当 x 等于二十二的时候 呢， y 是等于十六，那么当 x 等于四十四的时候呢， y 是等于二十七。所以呢，我们把这两组量带入这个函数关系时，就是带定系数法一样的哈，把它带进来之后，就得到这个二元一次防生组，这样的话，就求出 k 是等于二分之一， b 呢，是等于五啊，就是 kb 的直来。 然后呢，就能够得到这个 y 和 x 的函数关系了，是 y 等于二分之一， x 加五，然后他说三十八码的鞋子，注意，三十八码码数的话，是 x 啊，把它带入到这个 x 里面来，就能够求出 y 的值，也就是鞋子的长度了啊， x 等于三十八十，取出 y 呢，是等于二十四嘞，也就是这鞋子的长度是二十四厘米。这道题选 b 啊，这就是一三函数的实际问题啊，一三函数实际问题，就是说他拿一个实际问题，我们把它转换成一个数学的 函数问题来做啊，就是要能够读懂题意，我们再看第二题啊，在弹性限度内，某弹簧的长度外，与所挂物体的质量 x 之间的关系，如图所示，当所挂物体的质量为十千克时，弹簧的长度为多少？注意，这个弹簧的长度 与这个挂的物品的这个质量啊，是一个也是一个一次函数的关系，对吧？那他要求的是 物体所挂物体的质量为十千克，就是说 x 等于十的时候，求这个弹簧的长度哇，也是多少？ 我们只需要取出这个函数的关系式，就可以把这个 x 等于十带进来，求挖一个值了。所以呢，我们先取函数关系式哈，这里注意是他我们已经知道了两个点的坐标了，实际上知道了 b 的值是十，对吧？另外一组呢，就是 x 等于二十的时候， y 等于二十。同样，我们还是设 y 等于 k， x 加 b 啊，把这个零十带进来，就 b 等于十，然后再把这个 x 等于二十， y 等于二十带进来啊，同样得到这个二元一次发生组， 求出 k 的直来，求出 b 的直来，就得到了函数关系式是 y 等于二分之一， x 加十。然后他说，当 x 等于十的时候啊，物体的质量是十千克的时候，那把这个十千克带到函数关系式，就能够求出这个弹簧的长度是十五啊。 好，再看第三题，一到六六个月的婴儿生长发育的非常快，在一到六个月内，一个婴儿的体重 y 啊，与月龄 x 之间的变化情况如下表啊，就是说一个月的时候，婴儿的体重呢，是四千 七百克，两个月的时候，婴儿的体重是五千四百克，三个月的时候呢，婴儿的体重呢，是六千一百克啊，我们注意看一下，从一个月到两个月增加一个月体重增加七百千克 啊，二到三也是提那个月是月份，是增加一个月体重还是增加七百千克，对吧？他都是在增加七百千克，那这就是一个依次函数的关系，所以呢，我们同样还是设 y 等于 ts 加 b， 然后呢，找两组量把它带入进来，任意两组都行啊，只要这个表格中的， 当 x 等于一的时候啊，把它带进来，就 y 是等于四千七百，当 x 等于二的时候把它带进来，然后 y 是等于五千四百，同样这样的话就能够得到这个啊。二元气方程组求出 k 是等于七百， b 是等于四千，那所以的话，函数关系 是 y 等于七百， x 加四千啊。如果要写字边的取值范围的话，那就是 x 要大于等于零了啊，啊，要大于零。 然后我们再看第四题啊，核心知识点二是分段函数的应用。注意，分段函数就是说在自变量的取值范围不同的时候，他的函数关系也不一样啊，这就叫分段函数啊。你看在零到三这个取值范围内的话，他是这个样子， 三到十的话是这个样子的一条直线了，十往上又变成了另外一个样子，就是说他是好几段的函数组合起来的，这就叫分段函数啊。我们先看这道题，某式出租车的收费标准如下，三千米以内含三千米，收费六元，三千米到十千米部分，每 每千米加收一点三元，十千米以上的部分呢，每千米加收一点九元。那么出租车收费外与行驶里程、行驶路程 x 之间的函数关系图像表示为， 最近我们要观察一下，他说三千米以内都是收六元，这里的三千米以内的话，就是你比方说你乘坐一千米，两千米啊，甚至是零点五千米，他都是收六元，那这样的话 a 可以排除 啊，你说他在这个一千一千米，两千米的话，也应该是六元，应该是这个样子的啊，只要是三千米以内，他都是六元啊。然后第二部分呢，他是 三千米到十千米呢，每千米要加收一点三元，那这个时候就要向上来了，是吧？然后 十千米啊，超过十千的密封。嗯嗯，部分呢，每千米加速一点九元，注意他加速的部分是比这个一点三元要高的了，所以他的曲线应该是啊，这条直线应该是升高的更快，所以呢，应该是选 b 啊， 像这个的话，他十千米应该是再往上升啊，这个十千米也应该再往上升啊，他不可能说十千米之后就就收十五元不再收了啊。这道题是选 b 第五题啊，购买一种苹果十，付款金额 y 与购买量 x 之间的函数图像如， 嗯，由如图所示的线段 oe 和设限 ab 组成，则一次性购买三千克这种苹果比分三次，每次购买一千克这种苹果可节省多少元，我们就要看一下一次性购买三千克的话需要付多少钱好，根据这个 函数图像的话，一次性购买三千克只需要付二十六元，对吧？三千克是二十六元，但是然后呢，分三次，每次购买一千克，那购买一千克的话，是在这一段之内的啊，两千克是二十元，那一千克的话就是十元， 那他说分三次购买一千克，就一不购买一千克十元，再买一千克十元，再买一千克十元，总共是花三十元，那比一次性购买三三千克的话，花了二十二十六元，是不是多了四元？也就是说啊，这里应该是选四元？ 好，第六题，小明从家步行到学校需走的路程为一千八百米啊，这是他需要走的全部的路程啊。一千八百米途中的折线 oab 反映了小明从家步行到学校所走的路程 s 余时间 t 的 查处关系。根据图像提供的信息，当小明从家出发去学校步行十五分钟时，到学校还需步行多少米？注意，他问的是还需步行多少米哈，而这个上面的这个 s 呢，指的是他离开家的路程哈，那他说步行十五分钟， 十五分钟的话，是在这一段，差不多是在这个位这个位置啊。所以呢，我们需要求出这个 ab 的函数关系来求出 ab 的函，函数关系，把这个 t 等于十五的十五带进来，对吧？ t 等于十五带进来， 好，我这里是写的是 y 和 x， 那实际上应该是 s 和 t 啊，那要求 ab 的函数关系的话，就把这两个点带入进去就行了。 t 等于八，就 x 等于八的时候呢， y 是等于九百六十 啊，然后 x 等于二十的时候， y 是等于一千八百啊，就把它带入进来求数， k 是等于七十， b 是等于四百，所以呢， ab 的函数关系就是 y 等于七十， x 加四百，然后他说当步行十五分钟的时候，我们就看一下他行驶了多少路程，把 x 等于十五带进来， 求数呢？ y 是等于一千四百五十。这里需要注意的是啊，这个一千四百五十呢，是他已经行驶的路程，而问的是他到学校还需步行多少米，那就用总的路程一千八百米减去他已经行驶的一千四百五十米啊，求数呢是等于三百五十米 啊。啊，这六道题呢，就是一些简单的一些函数问题了啊，函数与实际问题相结合的问题，最关键的就是要搞懂他们之间的函数关系啊， 我们现在学的是依次函数，基本上都是涉及到依次函数与这种实际问题的一个关系啊，要在要把他的实际的这些句子哈，这些话把他 能够弄清楚他是一个一个什么样的数学模型，那对于我们一三二数就是一三二数的数学模型，把它转化成数学题去做啊。好，就讲这些。
342骑行选手-赵老师
05:07查看AI文稿AI文稿欢迎来到大王老师的数学课堂，今天我们讲述的是八下一次函数的一道实际应用题，接下来我们来一块看一下题目条件。受新冠一行的影响，一、水果种植专业户有大量水果无法出售，经销商主动从专业户购进甲乙两种水果进行销售。 专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠。对乙种水果 按两元每千克的价格出售。社经销商购进夹水果 x 千克付款。 yy 与 x 的函数关系如图所示， 那很明显，外语 x 是一个分段函数的一个关系。第一段，当 x 大于等于零，小于等于五百的时候，是一个正比例函数关系。第二段， x 大于五百的时候，是一个依次函数关系。那在这里我们就可以用待定系数法分别设出两段的解析式，然后对应的带出点，把我们的解析式求出来 就可以了。好，那第一问的答案我们就直接给出 y 等于，当 x 大于等于零，小于等于五百的时候，求出来是 y 等于三 x。 第二段，当 x 大于五百的时候，求出来是 y 等于二点五 x 加两百五十。好，这是我们的第一小问，接下来看一下第二小问，若经销商一次性购进甲乙两种水果共一千两百千克， 且甲种水果不少于四百千克，不少于及大于等于又不超过及小于等于一种水果的两倍。问，经销商确保完成收购计划至少准备多少资金？ 那这个题相当于又是求这个资金的一个最值的问题，那我们可以用函数的角度来解决这个问题，那函数的话啊，我们需要设两个变量，在低温中，我们在前面，我们已经设好了这个假的啊，购买的啊，这个质量是重量是 x 千克，那我们就可以直接来用甲已经知道是够了 x 千克，那则乙购买的应该是一千两百减 x 千克。 好，这题研究的是资金的一个最值，我们同样的也可以设我们的资金为 z 元。 那接下来我们首先需要做的就是把啊 z 关于 x 的函数关系式给列出来，然后再找它自变量的取值范围。那根据啊不等式啊里面的这个不等关系，我们可以先找到 x 的一个取值范围。第一个补等关系，加重水果不少于四百千克，即 x 大于等于四百。 第二个不等关系，加重水果不超过一种水果的两倍及 x 小于等于二倍的一千两百减 x。 好，那第一小问，我们就可以求得好，且燃灯我们先就可以求得 x 范围是大于等于四百，小于等于八百的，那我们接下来表示一下。哎，用 x 表示一下资金，资金，我们明确他是购买甲乙当中水果，那乙种水果是很好说的，他的啊，数他的那个单价就是二， 数量就是一千两百减 x， 主要就是我们的这个。嗯，甲状水果它表示的这个啊，付款的前数是 y， 它是一个分段函数，所以说我们在表示 z 的话，它同样也是一个分段函数。那我们在这需要注意的点是，我们的第二问中， x 是大于等于四百， 小于等于八百，那我们需要在这个范围内再进行一个细分，当 x 大于等于四百，小于五百的时候，我们就可以确定 y 的这个进行式就是三 x， 好，那接下来啊，我们来写一下。第一部分，当 x 大于等于四百，小于等于五百的时候，那此时 z 是等于 三， x 加二被盗，一千两百减 x， 好，那我们整理一下几。 z 等于 x 加 两千四百，好，那我们家来求这个，嗯，至少我准备多少次性，也就是他的一个最小时，那这道题里面这种情况下， k 是等于一的大于零，所以 z 随 x 的增大而增大， 所以当 x 等于四百时，我们的 z 有最小值，应该是等于两千八百，好，这是第一种情况，那第二个分类的话，就是当我们的 x 大于五百，小雨等于八百的时候， 那此时 z 他应该等于 y， 此时就是二点五， x 加二百五十，再加二倍的 一千两百减 x， 那同样的我们也可以用啊，就是刚刚的这种增减性的方法，求出我们的那个最小值，那在这里我们就不再给大家展示的，直接就给出答案。当 x 等于五百，是我们的 z 最小值是两千九百， 那很明显两千八百是小于两千九百的，我们现在就要找他至少准备的资金数，那我们肯定是选两千八百的这个，那所以当我们的 x 等于四百的时候，此时的资金就是最少 最少，好，那我们就可以达到达，至少准备 两千九百元啊，两千八百元，好，那我们这道题的角兽就到这里，再见。
451大王老师的数学课堂
24:17查看AI文稿AI文稿你这个年龄段，你这个阶段你睡得着觉？ 八年级的同学注意了，本期视频呢，将会讲解一次函数从零到一的一个过程，也就是说，如果你要是没听一次函数，或者是没有听懂这个知识点，那么看这个视频就可以了，所以说建议大家先收藏，不会的反复听啊。 那么一次函数呢？作为小明初中最喜欢的函数，他就在想函数到底是个什么东西呢？那么这句最喜欢的函数呢，也送给大家，为什么这么说，因为你等学到后期的时候，你就会发现一次函数他是非常的友好的。 首先呢，我们先要了解几个词，就是函数，什么叫函数，然后又什么又叫一次函数？那么小明呢，他也想知道函数是什么意思，然后他就想，如果说我卖土豆， 那你说卖土豆能卖多少钱呢？是不是意味着你得考虑到土豆的数量，还有你卖的它的价格，这个是决定的，对吧？那我们假设啊，小明发现呢，我每天卖的土豆好像都是一百个， 那他现在就假设，你说我既然这个土豆数量是一定的，那我价格提高，我是不是每天卖土豆的钱就会增多呀？那也就是说什么呢？ 你看啊，那是不是我可以理解为他呢，就是等于一百，他承受那个价格，那我假设我每个土豆卖多少钱呢？卖十块钱，那你说我今天的收入是不是就是一千呢？那我要是每个土豆卖一百块钱， 就是金土豆啊，那是不是就变成什么就一万呢？哎，小民子越想越高兴，那假设有一天我每个土豆卖多少钱呢？卖一万， 那我这一天是不是就挣一百万，对吧？那么大家其实看一看啊，这里面决定我卖土豆卖多少钱，是不是这个价格啊？换句话来讲，他呢是变的，然后呢，卖土豆的钱是因为价格变了，然后他变了， 对吧？那也就是其实这个逻辑是不是很简单，我只要价格往上涨，我卖土豆他的整体钱就是往上涨，因为土豆数量是固定的， 但是呢，大家都知道，就是我价格上涨呢，土豆数量就不会卖一百个了。只不过呢，这个我们后期再聊，因为这个时候他就不是简单的一个逻辑关系了，我们就得考虑到实际情况了。那么在这个前提限定之后呢，你会发现这个逻辑它就很简单，因为我一百不变，那么你的这个 价格在变化，你的土豆卖出的钱就是在变化的。所以说呢，我们把自己变化的量叫什么？叫自变量，然后呢，因为他变化的量 而变化，这个叫音变量，那么中间这个呢，它不动，它就叫常量，或者叫常数，都可以啊，那么我们在数学里呢，把这个写成什么自变量呢？我们一般定为 x， 然后呢音变量呢，我们一般定成 y， 那 么就是 y 等于这个常量。用什么表示？用 k 啊？这个就是依次函数，它的一个解析式 就是 y 等于 k x， 所以 说我们这里呢，依次函数，我们其实说的是谁呀？说的是 x 的 次数啊，就是依次函数。那换句话来讲，你说 y 等于 k， x 方，这是不是就是二次函数？因为你是关于 x 的， 这个里呢，我们是默认关于谁的一次函数啊？因为你们后期还会说什么呢？还会见到关于 a 的 一次函数，那么这个时候你就要知道啊，我是讨论 a 它的一个次数的，所以说呢， 在这里我们先理解什么叫一次函数，那么一次函数的考点是什么？一次函数其实它考你图像，然后呢？实际应用， 这两个哪个是大考点？图像是大考点，实际应用呢？它也是一个考点，但是没有那么大啊，因为实际应用在后期中考的时候，它不会涉及到太多，但是这个图像呢，它会跟压轴题一起出的。好的，那么我们就来看一下你这个神奇的， y 等于 k， x 这个呢，其实如果说我 x 得一的时候， y 得二，那这个时候你说你能不能把 k 取出来，是不是二等于 k 乘上一啊，就等于 k， 所以 说 k 就 得二，那也就是什么呢？它的解析式啊，这个叫解析式， 它就写成 y 等于二， x， 能理解吧？好的，那么我们再来看这个式子，这个式子，你说我 x 得零的时候， y 是 不得零啊， 对吧？那同理，你说我们再看什么呢？ y 等于 k， x 这个式子的时候，是不是在 y 等于 k， x 中，你 x 得零的时候， y 始终是得零的。那换句话来讲，我在画图的时候 啊，画图像，是不是我就可以知道什么呢？你这样的式子，你是永远过零点的，也就是什么意思呢？大家看好，我给大家简单画个图， 这个呢，我就可以给它写成是 y， k x， 就 它永远都是过原点的。大家记住啊，就是在函数画图像中呢，我们都是在平面直角坐标系里画的，也就是说我们不能够随便画一条直线， 哎，那么你说我 y 等于 x 的 时候，这个图像它可以怎么画呀？是不是我只要带两个点就可以啊？就是 x 得零， y 得零， x 得一， y 得一，能理解吗？所以说呢，你其实画完之后呢，应该是这样的，我画黑色的这条直线， 那这个直线上的点大家发现没有？你如果说你 x 二的时候， y 就是 得二的， 那是不是意味着你这个三角形 a o b， 它是个等腰直角三角形，能理解吧？同样呢，你看 是不是它也是等腰直角三角形，也就是说 y 等 x， 它呢是平分一三相线的，这个与 x 轴的夹角是四十五度啊，这一点比较重要，待会呢，我会详细的讲，因为其他的关于 x 轴的夹角也有大问题，那么我们先来看一下，那这不懂了，哎，那就非常厉害了。 那大家说，你这里我画红色线的这个 k， 他 是比一大还比一小的，他看着是不是在这个黑色线的上面呢？对吧？那你看，就意味着我 x 二的时候，我的 y 是不是对应着要大于二啊？那你看，既然这个它代表着什么呢？是不是二 k 呀？我把 x 带进去， y 对 应的是二 k， 那 么是不是在这里呢？二 k 是 大于二的，也就是说二 k 它大于二，那么 k 就是 大于一的，也就是说我红色线这里的 k 呢，是大于一的， y 的 x 这里它是 k 得一啊，它是 k 得一的，才有这个图像出现。那也就说什么呢，我 y 的 k， x 这个 k， 它又是大于一，它这个图像就像红色这条线这么画的，换句话来讲，我 k 呢越大，你离 y 又是越近的， 而且它都经过原点，它是这么画的，这个很重要啊，这个很重要，就是在你们后期画图的时候非常重要， 能理解吧？那同理，你说我 k 要是小于一呢？那我们就带个数呗。你说你原来是不是 y 得 x， x 得一的时候 y 得一，那如果我现在 y 等于二分之一 x 呢？那你 x 得一的时候， y 是 不是就得二分之一啊？所以说，你看他不就得这么画吗？ 用蓝色啊，用蓝色线来画一下，那也就是 k 小 于一的话，你 k 越小，当然我们前提都是 k 大 于零啊。 k 大 于零， k 越小，你是越靠近 x 轴， 就是你是越扁的，这个能理解吗？就是这个一定要理解啊。所以说，你看，我如果要出一个 y 等于三分之一 x 和 y 等于二分之一 x， 这两个怎么画呀？很明显，三分之一 x， 它是距离 x 轴越近的，那它就大概这么画，二分之一 x 呢？ k 比它稍微大一点，它就这么画， 能懂吗？这个是上面的啊。好的，那么这个到这为止，你要听懂了，证明你非常非常聪明啊。然后接下来呢，我们要讨论 k 小 于零， 我把这个呢移到上面了，是 k 大 于零，是这样的啊，大家注意。那么 k 小 于零，大家记不记得我其实是按照什么呢？我其实是按照 y 的 x 这条图像来画的，那么同样，我还是令 k 的 负一，不就完事了吗？ 对不对？那对应的就是 y 的 负 x， 那 同理，我就令 k 小 于负一，然后呢？ k 大 于负一，不就完事了吗？ k 小 于负一，我取个 y 等于负二 x 吧，然后这个 k 大 于负一，就取个 y 等于负的二分之一 x 吧， 就取几个比较典型的例子啊，那么我们再看这几个函数在图像里怎么画好的，那么大家看到这个呢，是 y 的 负 x， 假设呢？这是负一，然后它对应的是什么？是不是就是正一啊？对吧？ 这个点，那么同样我们再看一眼，那你 y 等于负二 x， 我 x 等于负一的时候， y 是 不是就等于什么等于二啊？那也就是说你同样的 x 的 值，我能取到二， 换句话来讲，它还经过原点，那它这个图像就是这么画的，看懂了吗？这个就是它的一个图像。那你说在 y 等于负二分之一 x 中呢？我假设 x 等于负一，那你这个 y 是 不等于什么？ y 就 等于二分之一啊， 那也就是说他在这啊，所以说他不就这么画，看到没有好的。那么从这个来看的话，我是不是可以理解为，你开小一点的时候，你开越小，你越靠近 y 轴，对吧？然后呢，你再开小一点的时候，假设 你开越大，你越靠近 x 轴。好，那么到这为止，可能大家已经有点蒙了啊，接下来马上要总结了，你比如说啊，我这个第一个，你开大于一的时候，你开越大，你是不是越靠近 y 轴啊？ 对吧？那我开小于一的时候，他越小，我是不是越靠近 x 轴？那我是不是反而可以说你是离 y 轴越远的， 能理解吧？就是，当然你是以圆点为中心旋转的啊这种，那么同理，你说我这个呢，开越小，在 k 小 于零的时候，他是不是越靠近 y 轴？那我就可以理解为，你开越大的时候，你是越远离 y 轴，当然是 k 小 于零的时候， 那这样的话，大家你就可以看到了，规律呢，是找到了，但我觉得还是有点麻烦，那我们怎么办呢？ 你就可以理解为啊，这里 k 越小，那是不是意味着你 k 的 绝对值是越大的，对吧？你想负三小于负二，但是你 k 的 绝对值呢？负三的绝对值是大于负二的，所以说我们就有什么呢，但凡 k 的 绝对值越大， 那么你离 y 轴就越近，你是离 y 轴越近的，记这一句话就可以了，其实他呢，就像中间的一个什么，他就像中间的一个 可以活动的木棍一样，大家可以这么理解，只不过呢，在这呢被钉子钉上了，他可以来回摆动，你，只要是 k 越大，你就离 y 轴越近， 然后呢，你具体你 k 是 大于零，小于零，你只需要看他在第几象限即可啊， k 大 于零呢，他就经过一三象限， k 小 于零，他就是二四象限，看到了吗？这个就是我们最喜欢的 k 的 一个说法， 那么这个理解之后呢，你就会发现，哎，那这个意思，函数他不就是来回这么画吗？对吧？他就这么画吗？那有没有可能啊？有没有可能他是这么画的， 你看我这样画的话，它是不是就不经过原点了？完全是有可能的，所以说接下来呢，我们就要接着往下讲它的图像性质了，我们刚才呢是 y 等于 k， x， 对 吧？其实呢，这个它经过原点，它叫什么呢？它叫 正比例函数。哎，那你说刚才我们讲的不都是一次函数吗？对的，正比例函数呢，是一次函数特殊的一种形式，其实正常的一次函数是 y 等于 k， x 加 b， 这个 b 又是什么呢？它和 y 得 k x 有 什么区别啊？哎，大家你们看到没有，其实它跟 y 得 k x 是 不是在 y 等于 k， x 加 b 中，当 b 得零的时候，就会出现 y 等于 k x， 那 也就意味着什么呢？你这个它是不是经过 x 得零， y 得零， 对吧？ y 怎么来的得零啊？ y 是 不是等于 k 乘上一个零，它得零啊？那如果说你要是 y 的 k x 加 b， 我 x 得零， 我 y 它是不是等于 k 乘上零，还有个 b 呀？所以是不是这个得 b 啊？那也就是说，其实你这里的 b， 它是决定了我 x 得零的时候， y 它是得多少的， 这个能理解吧？这么整抽象的话，我们给它归到一个点上，就是零。逗币，它是一定经过这个点的，换句话来讲呢，就是它与 y 轴的交点，对吧？与 y 轴交点不是 x 得零吗？画个图， 那么我们看假设呢？你原来是 y 等于二 x， 那 是不是按照我们刚才理解的，它就是这么画的，它会稍微比 y 的 x 呢更靠近 y 轴一点， 那你看我是不是 x 得零， y 得零，那如果你要是 y 得二， x 减一呢？那你此时 x 得零， y 是 不得负一呀， 对吧？那也就是说你是经过零度负一这个点，它就是这么画的，因为你 k 不 变，能懂吗？你看它就是这么画的，这里呢？ y 的 k x 加 b 中 k 就 得二， b 得负一，看到了吗？啊？那你说我再写一个 y 等于二， x 加一的话，你这个 x 得零， y 是 不是就得正一啊？那就是它经过零度正一这个点，那么它还是这样画 的。好的，那么大家观察黑线和红线啊，是不是你红线是最基础的？我上面这个黑线是不是可以看作你往上平移啊？往上平移一个单位， 下面这个他是可以看作往下平移一个单位。所以说呢，这个时候我们就可以说，当你 k 相等的时候，你这个函数图像是互相平行的，然后呢，你这个 b 我 是不是可以看作你在原有的基础上向上平移或向下平移？你如果 b 大 一点，你就是往上走，你要是 b 小 一点，你就是往下走啊， 能理解吧？所以说，换句话来讲，你 y 等于三 x 加五和 y 等于三 x 加上二，他们两个是不是相当于上下平移了三个单位，你别管是向上还是向下，就是我要是变成你就向下，你要是下面变成我的话，二变成五，那就是向上， 是不是还挺简单？所以说对于 b 来讲，它是控制的依次函数的上下平移的，也就说我们有个口诀叫什么呢？上加下减， 大家记住啊，上加下减谁呢？他是关于 b 的 啊， b， 他 是控制他上下平移的，他是掌握上下的一个神，那么你说你都有上下了，那我左右呢？哎，大家可以看一下左右呢， 就很有意思了。这个呢，大家能听懂就听啊，听不懂的话直接记口诀啊，叫左加 右减，什么意思呢？谈好它呢，就不是 b 了啊。假设呢，有一个 y 等于 k， x 加 b 这个函数图像，它是这样画的， 它与 x 轴交于什么呢？它与 x 轴的交点呢？是一六零吧，行吗？那么你看我现在呢，把它向左平移 两个单位，那你说此时它的什么变了？是不是与 x 轴的交点变了？大概在这， 它就是这么画的，那这个时候它这个点是不是相当于是什么？是不是负一都零？那你看，原来式子是不是它的零的时候， k 这个呢？是 x 一 的时候再加上一个 b， 对吧？但是现在呢，他不一样了，这个呢， y 的 k x 加 b 中，是不是你得是零等于 k 乘上一个负一，然后再加上一个相应的 b 呀？对吧？ 哎，那你说这两个有什么区别呢？我是不是向左平移两个单位，这里面谁变化了？就这两个式子，是不是一和负一有变化？你原来是一啊，原来是一， 你呢？因为往左啊，向左平移两个单位，你变成了负一，那你说我是不是对应的 x 是 往左边减少两个呀？ 那么我们看，你原来这个式子是不是零等于 k 乘上一，再加上个 b， 你 现在呢，是不是相当于是零等于 k 乘上一个什么负一，它再加上个 b 啊？ 你现在这个式子是不是得加上两个才能够变成原来的式子？那么你现在这个式子里，他的 x 啊，是不是得加上个二才能变成你原来这个 x， 能理解吗？所以说，你看啊，我们既然是向左平移两个，你原来的 x 是 不是这个？你因为向左平移着，你变成 x 加二了，所以说我们就把什么呢？你向左平移两个单位，我们就变 x 就 可以了。 换句话来讲，你原来这个式子它往右平移，是不是就得减二啊？就是 x 减二啊。所以说你这个新的式子就是 y 等于开倍的 x 加二， 它再加上个 b， 这个就是向左平移两个单位所形成的新的式子啊。 那我们举个例子呢，就是 y 等于二， x 加一，它向左啊，平移一个单位就变成什么，就变成 y 等于二倍的 x 加一，再加一，看到吗？左加右减变的是 x， 那 同理，右的话就是 x 减，那就是 y 等于三， x 减五，它向右 平移两个单位，就变成 y 等于三倍的 x 减二，再减五，左加右减，这么来的就是，其实这个过程还是有点抽象的，你要是记不住，你就直接记。左加右减啊，它是变 x 的， 上加下减呢，它是变的是 b 的， 这里一次函数是变 b 的 啊，这个先理解，一定一定要理解好，因为考试的时候真的会考你这个的。好的，那么接下来讲的呢，就是稍微有点难的了， 大家注意啊，那你说我们在图像中呢，刚才是不是讲到好几个假设啊，我这个画的是什么呢？是 y 等于 x， 我 这个呢，画的是 y 等于二 x， 哎，那你说你们两个画的就确实，我知道你这个 y 的 二 x 要比 y 的 x 离 y 轴更近一点，那你说我想更好的理解一下这个该从哪个方向去理解呢？那么大家都涉及到勾股定律了，你说我 y 的 x， 它这里 涉及到这个三角形 o a b 啊，它是不是三角形 o a b 是 等腰直角三角形， 对不对？你这个 oac 呢？ oac 它是不是只是一个直角三角形？换句话来讲，我能不能找到啊？你这个 k 和你这个三角形 oab， 但是 oac 它的一个关系呢？因为你要是能找到这个关系的话，你在解析中通常你就非常非常快，直接能够解出很多的东西。什么意思？大家看好啊，你这里面 k 是 不是得一啊？你这里面 k 是 不是得二啊？那你说你这个一和二在哪体现的呢？是不是当我 k 得一的时候，我 o a 等于 ab， 对 吧？那当我 k 得二的时候，我是不是对应着我 x 等于什么？我 y 是 等于它的二倍啊， 对吧？那也就是什么呢？我这里的 a c 也就是 y， 它是对应着等于二倍的 o a 的， 那么在三角形 o a c 中，我是不是就可以看作是你与 x 轴夹角它的一个对边和邻边的相比就是二比一啊， 对吧？那么其实我如果要是看到你 k 得二的话，我就能够知道你所对应的这样一个直角三角形，你的三边比就是一比二比根号五， 看到没有，这个就出来了，跟我们勾股定律就对应上了。那同样，你比如说我要 k 得三呢？ k 得三的时候，你 y 等于三倍的多少？那在这里你假设我再画一个更高一点的在这吧， a d， 那 是不是就是 a d， 它是等于三倍的 o a， 那 换句话来讲，你三角形 o a d 中，你是不是就是一个什么 一比三比根号十的一个三角形，能理解吧？这个尽量的去理解，因为他对于你几何的理解非常非常重要啊，非常重要的。那你说我 k 小 于零怎么办呢？那就很简单，因为我只考虑距离的比啊，对吧？你是负， 你取他们绝对值就可以了。那你比如说我现在 k 呢？他不是一个一二三了，他是一个分数， k 等于四分之三。 好，那么你看我此时我就这么画呗，因为你 k 不 小于一嘛，所以说我大概就这么画的，但是没有关系，大家看好你横坐标仍然是 o a， 这个长的话， 我是不是相当于 y 等于四分之三倍的这个 x， 那 也就是说我这里的 a h 吧，是不是 a h， 它比上 o a 就 等于三比四，换句话来讲， 你这个 o a h， 它是不就是三比四比五的一个三角形，熟悉吧？所以说，哎，大家发现没有，这里面呢，它就会涉及到很多的 k 和三角形的一个关系，也就是说，其实我可以通过你 k 的 这样一个值呢，来探讨你这个三角形三边比是多少， 那这个就是更进一步的理解了。对于你做这种难题呀，一次函数的难题啊，是非常非常重要的，因为我讲的是一个思维体系，而不是说讲的固定的一个解例方法 啊，这个是非常非常重要的，一定要联合起来去看。如果说你这个理解了，那么你勾股定力一次函数，乃至后面的锐角三角函数 就是三张，你是打通了的，包括将四三角形也是打通了的，因为我可以理解为，我只要是与 x 做个垂线交于你的图像，然后呢再形成这个直角三角形，你三边比都是这个三比四比五，你看这样的话不就打通了吗？不就全明白了吗？ 是不是还可以？好的，那么依次函数，如果说你要是能够理解到这，那就证明你真的真的没有什么太大问题。那么本期视频呢？听到这给自己鼓个掌，如果说有哪里没听懂的地方，赶紧去问一问， 或者说多看两遍啊，我们下期视频再见。
2130三观超正的数学爱好者
41:03查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数的综合运用。第六题，某快递公司省内寄件的收费标准呢？是不超过一千克的物品就需要付十三块钱， 如果超过一千克呢？那么超过的部分每增加一千克，那不足一千克的就按一千克来算，就需要增加快递费两块钱， 设记出 x 千克， x 为大于一的整数，这里不考虑小数的情况啊，他的物品的快递费用为 y 元，写出 y 关于 x 的 函数解析式，这个呢是一个实际问题，那么我们就对 x 的 这个取值范围一定要写出来，知道吧？好， 那么它的收费标准分为两部分，哪两部分呢？一个是不超过一千克的时候，费用是十三元，然后第二个是超出的费用，对不对？好，分两个部分，第一个部分 我们这里就写，当这个 x 怎么样，小于等于一大于等于零的时候 啊，小于等于一大于等于零零的时候，这个 y 就 等于十三，对吧？他说只要不超过一千克，就只需要付十三块钱，你哪怕是半千克也是十三块钱， ok 吧？好，所以这个十三是一个固定的值，然后当 这个重量超过了一千克，也就是 x 大 于一的时候，那么这个收费就分两段了， 第一段，前面的一千克十三块钱是固定要收的，对不对？然后呢，超出的部分怎么去理解呢？ 那么假如说我们这里有三千克，那超出了几千克，超出了两千克怎么算呢？三减一，对不对，他就说明他超出了两千克，那如果这里是 x 千克呢？那超出的部分就是 x 减一就可以了，知道吧？所以这里用 x 减去一，表示超出的重量， 然后这个超出的重量呢？要乘什么呢？要乘上这个二，因为每增加一千克，也就是每超出一千克，它就会增加两块钱的快递费，所以再乘上一个二， 你就可以化简了。那么这个 y 就 等于十三，加上二， x 减二， y 就 等于二， x 加上十三减二，十三减二等于十一，那么这里我们就可以把它写成一个分段函数，知道吗？分段函数，所以呢，这个 y 就 等于十三，等于十三的时候是这个 x 必须小于等于一，大于等于零。第二段是 y 等于二 x 加上十一， 这个时候呢， x 取值范围是大于一的就可以了，这就是一个分段函数的形式啊，咱们把它写出来就 ok 了，记得实际问题一般都要考虑什么，都要考虑这个 x 的 取值范围，你不写出来的话，是会扣分的啊。 再看第七题，甲骑自行车与骑摩托车沿着相同的路线，由 a d 到 b d， 行驶路程 y 千米与行驶的时间七小时之间的关系，如图所示， 叫我们根据下面的图像回答下列问题，这里总共有五个问题。第一个问题，它是说 a、 b 两地的路程是多少千米？那我们先看一下这个图像，对吧？这是假的，这是乙的假呢，它对应的时间是从 t 等于零 开始的啊，然后呢？乙呢？对呢，是 t 等于三开始的，什么意思呢？就是说甲先出发啊，他是以甲出发的时间为准的啊，甲出发的时候就开始算时间了，然后你看甲出发了三个小时之后，乙是不是在发生 这个移动，对不对？所以是甲先出发，然后过了三个小时之后，乙再出发，不过因为这个乙呢骑的是摩托车，所以他骑的非常的快，对不对？你看 他从五小时这个三小时到这个五小时，你看他就行驶到了八十千米的地方，而甲呢，是从零小时到八小时 骑行了八十千米，对不对？所以呢，就可以看得出来，他们都是到达了八十千米就停止了，说明 ab 两地的路程就是这个八十千米啊，八十千米。 再看第二个出发较早的是谁？你看甲这条线对不对？从零就开始了，所以出发的早出发的就是这个甲，然后早了几小时呢？甲的话他是比乙早了三个小时的，从图上就可以看出来了，对吧？ 那么到达比较早的是谁啊？谁先到？你看甲是不是过了八小时才到八十千米的地方，而这个乙呢，到在五小时的这个地方就到了八十千米的地方，那是谁先到啊？是不是乙先到啊，对不对？好，这是乙先到， 那么他找到了多少时间呢？你看这个八减去五就是比他找到的时间，八减五等于几啊？我们这里写一下，八减五是等于三的，所以是找了三个小时啊，而上面的这个找三个小时呢，是用谁减谁啊？ 就用以后出发的三个小时减去它零开始的时间，所以是三减零等于三小时，对吧？自己写的时候只需要写三都可以了啊，写三就可以了，我这样写出来的目的是让你区分这个三，它的意义是不一样的啊，不是同一个意思。 然后甲的速度是多少？你看甲对应的是什么？八个小时骑行了八十千米，所以它的速度我们这里写一下啊。甲呢，是什么？八小时骑行了 八十千米，所以甲的这个速度就是八十除以八等于十千米每小时，所以它的速度是十千米 每小时。那乙的速度呢？乙的速度就是，你看他的时间和路程，他用了多久？他是五三小时到五小时，是不是用了两小时？两小时骑行了八十千米，对不对？好，这里写一下。乙对应的是什么？五减三等于两小时 骑行了 二，所以这个乙的速度呢，就是八十除以二， 所以是四十千米每小时啊，果然这个骑摩托车是要快一点，对不对？好， 再看第五个，你在距离 a、 d 多少千米的地方追上甲，此时甲行驶了多少个小时，对吧？那这个呢，就要用函数去算了，我们只需要求出它的焦点， 这两条直线的焦点，就可以知道它们在什么时候行驶了相同的路程，对不对？那么怎么求呢？好，我们这里呢， 同样呢，把这两条直线都设，为什么？都设为 y 等于 k x 加 b， 我 们这里设这个 y 夹， 它等于 k 一， x 加上 b 一， 然后这里设呢，这个 y 以等 k 二， x 加 b 二。好， 那么这样的话呢？甲，我们就带入这两个点，其中一个点是原点零零，他过零零，这个点呢是八八十，我们将这两个点带进去，将零零以及八十啊八八十带入 y， 甲， 你可以得到一个方程组，那第一个就是零等于 k 一 乘零加上 b， 那 么零乘任何数都得零，所以你可以得到的就是 b 等于零，因为它是正比例函数，所以它的 b 肯定是零的，对吧？ 然后另外一个就是八十等于 k 一 乘上八加上 b， 那 么 b 是 零，你把它带进去算，那么八十就等于八倍的 k 一 加上零，那么 八倍的 k 一 就等于八十， k 一 就等于八十，除以八 k 一 就等于十，你看这个 k 一 和它的速度是不是相等的呀？对不对？其实就它的增长速度，我们就可以得到 这个 k 一 等于十， b 一 等于零，所以 y 假的解析式就是十， x 就 完事了。而另外一个呢，这个呢，你就把这个点带进去，这个点是三零， 这个点呢是五八十。我们将这两个点带进去，将三零和五八十 带入 y， 以这条直线，那么可以得到一个方程组，就是零等于三 k 二加上 b 二，这里是八十等于五 k 二加上 b 二，两式一减，用二式减一式， 二式减一式，八十减零剩八十，五 k 减三 k， 还剩二 k， b 减 b 没了，所以这个二 k 二就等于八十， k 二就等于八十，除以二 就等于四十。然后你再把这个四十带进去，零等于三乘四十加上 b 二，所以零等于一百二十加 b 二， b 二呢，就等于负一百二，所以这里算出来的 这个 k 二就等于四十， b 二就等于负一百二，所以这个 y 以的解析式就等于四十， x 减去一百二啊。当然了，我们要把它的曲值范围写上啊， 由于这里的时间呢，它是用小 t 来表示的，所以我们刚才这里所有的 x 全部换成 t， 全部把它换成 t， 这是题目要求的啊，所以我们就全部把它换成 t 就 可以了。好，再把它的 t 的 曲子范围假，这一段是零到八，所以 t 的 曲子范围 t 小 于等于八，大于等于零。 然后乙呢，是三到五，所以它的取值范围呢，就是这个 t 小 于等于五，大于等于三啊，一定要写清楚，好吧，然后呢，我们把这两条直线的解析式都求出来了，那求焦点，就把这两个解析式连立成一个方程组计算啊， 我这里写一下啊，连立方程组求 y 夹与 y 一 的交点， 那么 y 就 等于十 t， 另外一个就是四十 t 减一百二，然后这两个式子它里面的 t 和 y 都是相等的，那么就可以直接让右边的相等，因为左边的 y 是 一样的，那右边的式子肯定也相等，你就可以得到 四十 t 减一百二，那么三十 t 就等于二，一百二 t 就 等于一百二，除以三十 t 就 等于四，所以这个相遇的时间就是甲骑行了四个小时的时候，就被乙追上了，对吧？好，我们这里写一下， 然后这个 t 呢，也带进去算啊， y 角就等于十乘四等于四十，那么这个交点呢，就是四四十， 对吧？啊，他问我们这个乙在距离 a d 多少千米的地方， 对吧？追上甲，那 a d 出发点 b d 在 这里对不对？所以是距离四十千米的时候，此时甲行驶了多少个小时？那么甲就行驶了四个小时嘛，对不对？好，我们就说 你在距 a d 四十千米处追上甲， 此时假行驶了四小时 就可以了。再看第八题，这里有一个容器，这个容器当中呢，有进水管和出水管，前四分钟只进水不出水，随后的八分钟之内 既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是一个常数，也就是固定的 容器内的水量。 y 单位是升与时间， x 单位是分钟之间的关系，如图所示，前四分钟灌了多少水？灌了二十升，对不对？后面呢？八分钟增加了十升水，到了三十升，对吧？好。第一个，当 x， 也就是时间 在零到四分钟的时候，求 y 关于 x 的 函数解析式，那么由于它这个这条线段，它是不过了原点了，对不对？好，我们就把它设为正比例函数，知道吧？好，我们这里就直接写了啊，先一个一个求下去， 当这个 x 小 于等于四大于等于零的时候，对吧？函数为什么为正比例函数？ 因为它过圆点了，对不对啊？所以我们这里设 y 等于 k 一 x k 一 不等于零， 那为什么要设成这个样子呢？为什么设 k 一 呢？因为后面还一段呢，对吧？后面这条直线解集式的 k 值就是 k 二了，你都可你直接设了 k， 那 后面怎么表示呢？对不对？所以我们就设为 k 一， 然后你现在把这个点带进去就可以了，从这里你就可以看出来，这里有一个点是四二十吧，对不对？好，我们将 四二十这个点带入，那么二十就等于 k 一 乘上四，所以 k 一 就等于五了，就可以得到 y 等于五 x， x 的 取值范围小于等于四大于等于零就 ok 了。好，这个是第一问啊，第一问。 第二个，当这个时间来到四分钟到十二分钟的时候，求 y 关于 x 的 函数解析式，那么这个点呢？你也可以看得出来，它是十二三十，你把这两个点带入解析式当中，对吧？好，第二问， 当这个 x 取值范围在四到十二的时候，对吧？啊？函数为依次函数 设为什么呢？设解析式 为， y 等于 k 二 x 加上 b， k 二不能等于零，对吧？好，将 四二十这个点与十二三十这个点代入，那么你就会得到两个式子，一个是二十等于四， k 二加 b， 另外一个是三十等于十二 k 二加 b， 两个式子咱们进行相减， 你二四减一，四一四减二四都可以看你喜欢三十减二十还剩十，十，二减四还剩八，所以八 k 二等于十，对不对？好，那我们这里除一下 k 二就等于十，除以八， k 二就等于四分之五，然后再把四分之五带入一式当中，哎，你就可以得到，二十等于四乘四分之五加上 b， 所以 二十就等于二十减五， b 就 等于 十五，对不对？好，所以这个解析式 y 就 等于四分之五 x 加上十五 x 取之范围小，小于等于十二大于四。 好，那么这个第二问也搞定了。第三问，每分钟进水和出水各多少深？ 那前面一段是比较好求的，对不对啊？怎么求呢？你看，这就写第三问了啊，他前四分钟是不是只有进水口，对吧？前四分钟只有进水口，四分钟进了 二十升，所以每分钟就是五升吧，其实跟这个系数五有关，对不对？好，所以我们这里写一下元音啊，前四分钟 只进水啊，水量从零到二十升，水量从零升增加到 二十升，所以每分钟进水 就是二十，除就是二十除以四等于五升，这是每分钟进的，知道吧？好， 那出水呢？出水绝对不是这个四分之五升啊，绝对不要这样去写，为什么呢？它是进水和出水是同时进行的，你看后面的这个八分钟是进水和出水同时进行的。那假设啊，你可以这样去想一下， 他如果在后面还是继续只开进水口，不开出水口，那么他到了十二分钟的时候， 他会有多少水？前四分钟每分钟是五升水，对不对？如果继续往后加，是不继续往后加，那么你看我们这里直接拿五升乘上十二，是不是？正常来讲，如果你不开出水口，是不是得到六十升？但现在实际上有只有多少升？ 现在实际上只有三十升，那么你想一下，相比于不开出水口是不是少了三十升？ 那少了三十针是什么原因呢？是不是因为他打开了出水口啊？他打开出水口把这个三十针给流走了吧？是不是给流出去了吧？那么你看他花了多少时间？他是不是后面的八分钟才打开的？ 所以八分钟你可以理解为 low， 出去了三十升水，你就拿三十除以八就可以得到，对吧？三十点七五升，所以它每分钟这个出水口每分钟可以出三点七五升水啊， 这个是根据实际情况去考虑，那如果你要列式去计算的话，我觉得可以用什么呢？可以用方程去做，我们这里设一下啊，设一下，设 浮水口，每分钟 浮水 m 毫 m 升，对吧？好，那么根据这个时间是不是十二分钟，对不对？十二分钟，那就是十二乘上五， 就是如果你打开进水口十二分钟，正常来讲是十二乘五，就是六十升，对吧？然后减去出水的量，出水是不是只有后面的八分钟才打开的出水口，所以减去八乘 m 等于剩三十升，剩下呢？就只剩三十升了， o 不 ok？ 好， 那么这里再讲一下啊，前面的这个 每分钟进水是五升，这个情况下是只有只打开进水的，只打开进水口，不打开出水口，那如果全程不打开的话， 不打开这个出水口，他会进水十二乘五，就会有这么多水，对不对？好，但是他打开了出水口，我们这里设每分钟出水 m 升，对吧？他打开出水口打开了八分钟，所以每分钟就是 m 升，那八分钟就是八 m， 要减去 这个流出去的水，剩下多少呢？还剩三十升，对应还剩三十升，所以我们这里把这个方程解出来就可以了，对吧？那就六十减八 m 等于三十，负八 m 就 等于三十减六十，负八 m 就 等于负三十 m 就 等于负三十，除以负八， 所以这个 m 呢，就等于三点七五啊， m 就 等于三点七五，所以我们就可以得到啊。这个进水口是每分钟进五升水，出水口是每分钟流出三点七五升水。好吧，我们答一下， 中上 每分钟 进水五升， 每分钟出水三点七五升就 ok 了。好，再整体看一下吧。 再看第九题。甲乙两家体育用品的商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍 和乒乓球，乒乓球拍每副定价是三十元，乒乓球每盒定价是五元。现在两家商店展开促销活动，在假店每购买一副球拍就赠送一盒乒乓球。 在已店购买一副球拍或者是一盒乒乓球，他都按定价的九折进行优惠，某班需要购买球拍四幅乒乓球若干盒， 就是不，但是不能少于四盒，什么意思呢？乒乓球买几盒咱们是不知道的啊，但是他一定会大于四盒，这样的话呢，他就可以满足假店买一副球拍赠一盒乒乓球的这个情况啊。 第一问，这里设这个班购买兵乓球 x 和在甲店付款的金额为 y 甲，在乙店付款的金额为 y 乙，分别写出在这两家店付款金额 y 甲和 y 乙与兵乓球这个 和数 x 之间的函数解析式，那这里也是分类讨论的，对不对？好，注意啊，这里的球拍四幅是固定的，他不会增加，也不会减少，知道吧？好，那么这里呢，我们先说假电， 假电是买一副球拍就送一盒乒乓球，那么也就是说他买了四副球拍就会送四盒乒乓球， 那么如果他就正好买四盒乒乓球，那么乒乓球就不用给钱了，知道吧？好，那超出的呢？比如说他，他要买八盒，那么他就只需要付四盒钱，对不对？好，我们先说假电 y 夹怎么表示呢？前面四盒它是不打折的，你看就是它只是送兵乓球这个球拍呢，它不打折对不对？三十块钱一副，它要买四副，那就是三乘就三十乘上四，加上 送的送的咱们就不用算了，知道吧？四盒乒乓球送的咱们就不用算了，但是超出的部分啊，这里我们四盒写上这个是赠送的，不用给钱，然后超出四盒的部分呢？假如说他买八盒，他超出了四盒对不对？他买十盒是不是超出了六盒，超出的部分还是要按原价给的， 乘上这个五，所以 y 假的解析式就是一百二十加上零，再加上五 x 减去二十，那么这个 y 假的解析式就是五 x 加一百啊。当然了，你这个 x 怎么样？必须大于等于四，同时呢， x 为整数， x 为整数。好，这是 y 假，那 y e 呢？哦，对了，这里要打上括号啊， 那 y e 呢？那不管你买的是兵乓球还是这个球拍，它都会给你打九折，对不对？那打九折的话，那我们就怎么样乘上零点九就可以了， 球拍三十块钱一幅，它有买四幅，四乘三十打九折乘零点九，对不对？然后呢， 这个兵乓球的和数是 x， 兵乓球的和数是 x， 然后每和呢是五块钱，然后他也打九折，那就是五 x 乘上零点九，那么 y 也就等于这里一乘就等于一百零八 加上四点五 x， 所以 y e 的 解析式，四点五 x 加上一百零八，当然这个 x 也是必须大于等于四，并且 x 为整数啊。好了，那么第一问就搞定了。 再看第二个，购买几盒兵乓球的时候，在假两家商店付款的金额是一样的，那么这个对应呢？就是 y 假要等于 y， 一 对不对？金额一样，那就是 y 相等嘛，对不对？ y 相等的话，把这两个式子拎出来单独算，那就是五 x 加上一百等于四点五， x 加上一百零八，一下五 x 减四点五 x 等于一百零八减一百，所以零点五 x 就 等于八， x 就 等于八，除以零点五， 那除以零点五就是除以二分之一，除以二分之一就乘以二，所以 x 等于十六，对不对？好？因此呢，我们就写，购买十六和 乒乓球十在两家 商店付款金额一样。 好，这是第二问，再看第三问， 如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买呢？那就看谁更便宜对不对？好，第一种是假更便宜，那么就是分情况讨论。第一种， y 假小于 y， 那 么其实计算呢，跟这里的计算是几乎一样的啊。第一种情况 就在这里，就是五 x 加上十一百小于四点五 x 加一百零八，对吧？这里算出来的是什么呢？这里算出来的是 x 小 于十六， x 小 于十六。所以我们这里就写，当兵乓球 和数 不少于四盒且少于十六盒的时候， 假商店更便宜， 假店更划算。 第二个就是这个假店的费用大于乙店的费用的时候， 那这个时候你代入就是五 x 加上一百大于四点五 x 加上一百零八，这里算出来的是 x 大 于十六啊，所以呢，我们这里就写，当 乒乓球 核数 多于十六核的时候， 以电更划算。 好。第三个，那就是两个店的价格收费一样的时候， 那就是五 x 加上一百等于四点，五 x 加上一百零八， x 等于十六啊，所以呢，我们就说啊，两家一样啊，当兵乓球 和数 为十六和十两加一样， 划算就可以了。 再来看拓广探索第十题， a 层有肥料两百吨， b 层有肥料三百吨，现在要把这些肥料全部运往 c、 d 两个箱，从 a 层往 c、 d 两个箱运送肥料的费用是二十元每吨和二十五元每吨。那我们这里写一下， a 往 c 运是二十元每吨， a 往低运是二十五元每吨， 从 b 层往 c、 d 两个箱运送肥料的费用分别是十五元每吨和二十四元每吨。好， b 往 c 运怎么样？是十五元每吨，写上十五元每吨， e 往 d 运是二十四元每吨， 你会发现这里所有的肥料加起来是五百吨，而这里需要的肥料加起来也正好是五百吨，所以我们这要全部都运出去，对不对？那怎样调配呢？我们就可以设一下，咱们这里呢，就设 a 往 c 运 x 吨，然后总费用 为 y 圆，那就可以了，我们可以通过这个 a 往 c 运 x 蹲，把其他的三种全部表示出来，对不对？好，这里我们写一下。那你看， 如果我这里 a 层运这个 x 蹲到这个 c 箱去，那这里运 x 蹲，换一个笔，这里运 x 蹲， 那么剩下的往哪里运呢？剩下的只能往低这里运，对不对？假如说它从这里运了七十吨过去，那么剩下的一百三十吨就要往低运就可以了，因为 这里有的肥料和需要的肥料是一样的，所以这里两百吨和三百吨都要全部运出去，所以他这个 c， 这个 a 往 d 就 要运两百减 x 吨，剩下的就全部给 d 了，对不对？好，再来看。 那么你这里想一下， c 箱需要两百四十吨，它这里已经有 x 吨了，那还需要多少吨呢？对不对？我们就用两百四减去 x。 假设，举个例子啊，假设它从这里运来了一百吨，运来了一百吨， 这里需要两百四十吨，那还需要多少吨？是不还需要一百四十吨？这一百四十吨是不是从 b 层运，对不对？这里我举个例子啊， 不是实际的，那么这样的话呢，我们就需要拿这里已经有的而需要的吨数减去已经运来的吨数，那么剩下的就是还需要的吨数，所以我们就拿两百四 减去 x 吨，这里就需要两百四减去 x 吨。好，那最后一个就是这一个，那 b 层要往低相运多少呢？那你看一下，我们前面已经推算出 b 层往 c 箱需要运二百四十减 x 吨，对吧？那么三百吨已经运走了这么多，那剩下的就要全部给 d 箱，那剩下的怎么表示呢？这个也是最难表示的一个，我们就需要拿已经有的 减去运往 c 箱的，那剩下的就要运往 d 箱，对吧？所以这里就拿三百 减去二百四十减 x， 这里需要化解一下，就等于三百减去二百四十加 x， 所以 这里就可以表示为是 x 加六十，三百减二十等于六十，那么这样的话呢，这几个数据我们就全部表示出来了，对不对？一一对应，在同一条线上， 就表示他需要的吨数，运的吨数和每吨的价格，对吧？这样的话我们就可以串起来了，那么这个总费用呢？咱们就可以直接算了，对不对？总费用 y， 先看 a 往 c 运，运了 x 吨，每吨运费是二十元，所以这里表示的就是二十 x， 再看这个 a 箱， a 层往低箱运，运了两百减 x 吨，然后呢是每吨二十五元，所以我们这里就写二十五乘上两百减 x， 再看 b 往 c 箱运，那么运了两百四减 x 吨，每吨是十五元，那就是十五乘 上二百四十减 x， 最后再加上 b 层往低箱运的 b 乘往低相运了， x 加六十吨，每吨是二十四元，所以我们这里就写出来是二十四乘上 x 加六十，那么所有的运费就是这么多了，对吧？好，我们这里再把它化简出来， 这里乘等于五千减去二十五 x 加上十五，乘以三千减十五， x 加上二十四， x 加上二十四乘六十，等于一千四百四十。好，然后最后我们再把 x 全部合并一下，二十 x 减二十五， x 再减十五， x 再加二十四 x， 那 就等于四 x， 然后这个五千加上加上三千六，再加上一千四百四十，它就等于一万零四十。这里注意啊，这个注意 x 怎么样？ 必须大于等于零，小于等于两百，因为它这个总共 才两百吨，对吧？那你运出去了肯定不能超过两百吨噻，是不是？好，所以就要小于等于两百，但是也不能说他运的是负数，那不可能是负数，所以呢，就大于等于零就 ok 了。好，那么这个函数解析式表示出来了，你再看，这是一个一次函数， 它的 k 值是等于四的， k 值是等于四是大于零的，那么说明这个一次函数是 y 随 x 增大而增大，也就是说 x 越大， y 越大。翻译成这里就是 a 层往 c 层运的越多，这个钱总费用就越高， 所以我们要让这个 a 层往 c 相运的尽可能的少， 那最少是多少呢？它这个 x 取的范围最小，是不是零呢？所以 a 层的肥料，那就不要往 c 箱运，就是一吨都不运，全部往哪里？全部往低箱运 啊，那你说，哎，不是从这里运过去更贵吗？对不对？但是你会发现，如果你把 b 层的这个三百吨肥料 拿两百吨移到运到 c 箱，那你看它的费用十五元每吨，是不是更少啊，对不对？好，所以呢，我们就让 a x 最小就可以了。 当啊，这里先写一下，这里对应的是 y 等于 k， x 加 b 啊，对应的是 y 等于 k， x 加 b， 依次函数 k 不 等于零，而这里的 k 呢？对应是等于四的四是大于零的，对不对？所以 y 随 x 增大而增大， y 随 x 增大 而增大， 所以我们要 x 越小，知道吗？所以 y 值 y 的 y 取最小值时，最小值时 取 x 取最小值， 那么因为 x 的 最小值 为零，所以 y 的 最小值 就等于就为多少，就为 带进去算，把零带进去算零，待到这里面去算，就等于四乘零加上一万零四十，所以 y 的 最小值 就等于四乘零，加上一万零四十，就等于一万零四十，所以他的费用最少是一万零四十就可以了，知道吗？好，这里我们把这个答也答好一点，那你知道了， 他往这个 x 为最小值的时候，就是 a 往 c 相运的是零吨，对不对？所以我们这里答的话，就答完整一点，就写， 当 a 乘往 c 箱运零吨， a 乘往 d 箱运两百减零就两百吨， b 乘往 c 箱运两百四减零，那就两百四， 然后 b 乘往 d 箱运，这里是 x 加六十，那么就是零加六十，就是六十吨， 这个时候，对吧？总费用最少， 最少总费用 为一万零四十元就 ok 了。那所以答的时候你要答这个方案是怎么运的，你不能光说 x 等于零的时候，知道吧？啊，你要说清楚是怎么调运的才行。
89毕老师细讲数学
03:08查看AI文稿AI文稿八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？
1567初中数学林老师
26:20查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数当中实际问题的综合运用。第五题，某剧院的观众席座位数从前向后依次增加，部分数据如下所示，那 这个 x 表示排数，这是第一排、第二排、第三排、第四排，他的座位数呢？是 y， 第一排的座位有五十个，第二排座位有五十二个，第三排座位有五十四个，第四排座位有五十六个。好，依次往后。那么按照上表所示的规律， 当 x 每增加一的时候， y 如何变化？那么这个我们可以直接从表格里面看出来，你看 x 从一到二加了一，从二到三加了一，从三到四加了一，对不对？那你再看它的座位数，从五十到五十二，加了几啊？ 是不是加了二啊，对不对？从五十二到五十四也是加二，从五十四到五十六也是加二。所以呢，按照 x 增加一的时候， y 如何变化， y 如何变化，我们就直接写在这里， y 就 增加二。 好，这个就是第一问的规律啊，回答一下就可以了。第二个 y 是 x 的 函数吗？如果是写出座位数 y 与排数 x 之间的函数解析式，那么这个东西呢？ 我们在上个单元啊，有一个非常关键的话，就是判断是不是函数，就是对于 x 的 每一个数字， y 是 不是都有唯一对应的值，与之对应，就放在这里知道吧，我把它写出来， 就是对于每一个排数 x 都有唯一确定的座位数， y 与之对应，对不对？你看一 排数是一的时候，座位数是五十，对吧？这个五十，这个数是不是唯一一个数？有没有另外的数？没有吧，没有五十或者是其他数吧，对不对？所以它只有唯一一个 y 与之对应，所以咱们这个 y 是 x 的 函数，你要先把这一问回答清楚，知道吗？这句话是不能省略的好，再看他说如果是好了，现在是对不对？写出座位数 y 与排数 x 之间的函数解析式， 那么这个东西我们现在也是知道自己学了一次函数，所以你肯定是带入 y 等于 k， x 加 b， 当中 k 不 等于零，对不对？但是如果以后我们学了其他的函数呢？那如何判断它就是一次函数呢？你就看 他的增加是不是均匀增加的，你看 x 增加一，他增加二， x 增加一，他再加二， x 再加一，他再加二，你看他是不是均匀增加的， 他没有说，哎，这个加一，这个加二，对不对？这个加一，这个加四，他没有，这样吧，对不对？所以你以后记住，均匀增加的啊，一般都是依次函数啊。这个考虑到这个 实际问题当中对 x 有 一定的要求，就是自变量有一定的要求，所以呢，我们这里是用说一般的严谨来讲，好吧，好，所以我们这里说，因为这个是均匀增加的 个位数 y 随牌数 x 均匀增加，所以我们令 y 等于 k， x 加 b。 现在你随便带两个数据进去就可以了，这是一组数据，这是一组数据，这里有四组数据，你随便带两个，就是 当 x 等于一的时候， y 等于五十，对不对？好，这里我们写一下，我们带两个吧，将带前两个 x 等于一， y 等于五十和 x 等于二， y 等于五十。二，代入解西施 就可以得到啊，这里的 y 啊，就换成后面的数字，这里的 x 就 换成前面的这个数字，知道吧？所以就是五十等于 k 乘一，那还是 k， 第二个代入去就是五十二等于二， k 加倍。好，我们稍微算一下， 两式一减，我们拿二式减一式五十，二减五十等于二，二 k 减 k 等于 k， b 减 b 没了，所以 k 等于二。然后再代入第一个式子里面， 五十就等于二加 b， 那 么 b 就 等于五十减二，对不对？就等于四十八，所以这个解析式就是 y 等于二， x 加上四十八啊。同时你这里要说 x 为正整数，要说一下取值范围， x 为正整数， 实际问题当中一定要说 x 的 取值范围，知道吗？因为有些人他可能会取到负数，你没有说范围的话，那就分不清楚了。再看第三问， 按照上表所表示的规律，第二十排有多少个座位？第二十排，所以是 x 等于二十还是 y 等于二十啊？哎，是 x 等于二十，因为这个是排数，知道吗？好，所以我们这里就写第三问。当 x 等于二十的时候， 这个 y 就 等于二乘二十加上四十八，那么 y 就 等于四十加四十八， y 就 等于八十八，所以第二十排 有八十八个座位 就 ok 了。再看第六题，甲乙两家商场平时都以同样的价格出售相同的商品，春节期间两家商场都开展促销活动， 都有优惠了，其中甲商场所有商品按八折出售，它是直接打八折。乙商场对一次性购物当中实付金额超过两百元的部分 打七折，也就是说他前面的两百块钱是没有优惠的，超过两百块钱的部分才会打七折，比如说你买东西花了三百对不对？那前面两百你照给 啊，一分不少，那后面多出来的一百块钱呢？哎，他给你打个七折，乘上十分之七，或是乘上零点七，对不对？那么你的十付金额就是两百，加七十就是两百七，你可以这么去理解，知道吧？好，那么这个假呢，就没什么套路，直接打八折，所以他是最好表示的。我们先把 假表示出来，第一问，以 x 就是 这个原表示商品原价， y 呢？表示购物实付金额， 分别就两家商场促销方式写出 y 关于 x 的 函数解析式，那么这个假的比较好理解，对不对？好，所以我们就直接写假就等于原价怎么样？打八折就是原价是 x， 我 说我这里写一下关系式吧，假收费或者是假电实付， 就等于原来的价格打八折， 那么假十负的金额用 y 来表示，那我们就写 y 假 原价就是这个 x 元，对吧？ x 表示原价，那就是 x 打八折，八折是乘十分之八，或者是乘零点八，或乘百分之八十，这三个都可以啊。我个人喜欢写小数，写零点八，所以 y 假的解析式就是零点八 x， 注意 要写取值范围，对吧？你不可能是负数吧，所以这个 x 要大于等于零啊，这个是假的，那乙的呢？ 以是要分段的，它前两百是按原价收的，知道吧？所以我们这个以商场分两种情况，第一种，当 x 小 于等于两百，大于等于零的时候，对吧？它的实付金额 就等于原价前两百块钱，一分都不少，对不对？所以它对应写出来的就是 y 等于 x， 然后 x 的 取值范围是小于等于两百， 大于等于零就 ok 了啊，这是 y， 你 的第一段，那第二段呢？当这个 x 大 于两百的时候，哎，你超过两百了，好了，就可以有优惠了，对吧？它的时赋 就等于什么呢？就等于原价，就等于前两百块钱不优惠，前两百按原价， 然后加上超出两百的部分 打七折，所以它这里对应的一对应二， 这个乙的时赋前两百元按原价，那就是两百不变了，对不对？超出两百的部分怎么表示啊？你就用原价减去两百， 对吧，然后再打七折，打七折乘零点七，好，再把它化简出来就可以了。所以这个 y 这个乙的解析式就是两百加上零点七， x 减去两百乘零点七，就减去一百四， 对不对？所以第二段就是零点七， x 两百减一百四，它就等于六十，对呢？就是 x 大 于两百， 好，那我们再把这个以综合来写一下，综合写一下就写成分段函数的形式。那么就是这个 y 以的话， 等于 x 的 时候，就等于原价的时候，它的 x 取值范围是小于等于两百大于等于零的，然后等于零点七， x 加上六十，它这个 x 取值范围是大于两百的。 好，这样的话，我们就把第一问的解析式表示出来了。第二问叫我们在同一平面直角坐标系当中画出一当中的函数图像，就是把甲的图像和乙的图像都画出来。好，那我们在这里画一下 同甲的解析式，我们可以看出它是一个正比例函数，所以它一定会过零零，对不对？我们再设计一个点，比如说两百，对吧？我们就说 x 等于零， 当 x 等于零的时候，这个 y 角就等于零点八，乘上零就等于零，所以它会过零零这个点啊。然后当这个 x 等于两百的时候， 这个 y 角就会等于零点八，乘上什么呢？乘上这个两百就等于一百六，所以它会过这个两百 一百六这个点，好吧，啊，那么大概这样画，假如这里是一百，这里是两百， 这里是一百，这里是两百，这里是三百，这里是四百，这是 y 轴，这个是 x 轴， 三百四百这里。我是大概画一下啊，这里是零。好，首先先把 y 假算出来，这个是零，零这个点，先过零零这个点，再过两百一百六，两百一百六。大概在这个位置， 有很多同学说，哎，这个虚线我要不要画？那你可以不用画这个虚线，知道吧？你只要把点标出来就可以了，因为我这里呢，是为了让大家看的更清楚，你连接这两个点，这条直线叫什么呢？就是 y 加 等于零点八 x， 好 吧，我们就画出来了，那乙呢？那我们在这里算一下好不好？或者是我把这个图挪过来，把这个图挪过来， 这里是第一位， 现在下面写第二位，对吧？好，那么第二个呢，就是算乙，不过乙呢？有分两段，对不对？所以我们就取三个点，零两百，再来个四百， ok 了，好吧，再来个四百，好，当 x 等于零的时候， 这个 y 以呢，它就等于零，因为当 x 在 零到两百的范围之内，它是等于 x 的， y 就 等于 x， 那 x 等于零， y 就 等于零，所以它就会过零零这个点，所以它也会过零零这个点。再看第二段，等于两百的时候， x 等于两百的时候， 这个 y 以呢？就等于这个两百，那在零到两百的时候，它是等于 x 的， 对不对？所以它就会过两百，两百这个点 好。第三个，当 x 等于四百的时候，这个 y 以 就等于零点七，现在超过两百了，你就要用第二段解析式了，知道吗？啊？零点七乘上四百， 再加上六十啊，加上六十，这里算一下，四七二十八，二百八，二百八加六十，二百八加六十就等于三百四，对吧？ 所以它这个这个说明它过的点是四百三百四，那我们就画成紫色的线，首先过圆点，零零也过这个点，对不对？过两百两百，那就在这里 好。还有一个是四百四百三，四百三啊，三百四，三百四，大概在这个位置， 如果我这样画的话，应该是画错了啊，我这个图画的不是很标准，实际上呢，这个点应该在这个 y 以上面一点，那我就把这个点画上面一点吧，好吧， 大概在这个位置啊，大概在这个位置，知道吧。你们如果用尺子画，应该不会画成这个样子啊，好，这里长这样。然后呢，第二段是这样的，他们会在后面会有焦点，在前面暂时没有焦点， 在这个位置暂时是没有焦点的，他们要继续往后延伸，哎，才会有焦点，大概在这个位置会有焦点，知道吧？好，所以 前面的这一段就是 y 以等于 x 这一段，后面这一段呢，是 y 以等于零点七， x 加上六十这一段， 这一段对应的是这个，这一段对应的是下面这个。好了，图就给大家画好了啊。再看第三问，他说春节期间选择去哪家商场购买更便宜呢？那我们就要知道 什么时候他俩会相等啊，就是当这个原价金额是多少钱的时候，你去甲乙两家价格是一样的啊。如果你能找出这个来，那么在此之前，在这个焦点之前，那么很明显，乙是不是在甲上面说明乙更贵， 然后在此之后呢？在这个焦点之后呢？这个乙在甲的下面，说明甲比乙贵，那么说明乙更划算，知道吗？所以通过这个图你就知道， 这个乙呢？你买的少是没有那么大优惠的，但是你买的多，优惠就很大，对吧？你买的多，到后面呢，就比这个甲店会怎么样？会更优惠啊？好，所以我们先把它的焦点求出来。 怎么求焦点呢？把这两个方程，注意是这一段和这一段，你不要带这一段啊，是这两段有焦点，所以我们要带入 y 加 等于零点八， x 和 y 等于零点七， x 加上六十啊，对不对？好，你看把它列成一个方程组， y 都是相等的，那么右边肯定也相等，所以零点八， x 等于零点七， x 加上六十，移过来零点八， x 减去零点七， x 等于六十，所以零点一 x 等于六十， x 就 等于六十，除以零点一，所以 x 等于六百， 那么 x 等于六百的时候，这个 y 呢？随便代入就零点八乘上六百等于四百八。好，这里解出来是 x 等于六百， y 等于四百八啊，四百八什么意思呢？就是说当 这里我把这个延长出来啊，稍微延长出来一点， 那他们的焦点呢？这个焦点或者是欧化绿色的点，这个焦点它对应的呢？就是六百，横坐标是六百，重坐标呢？ 这里对应的这个点是四百八，也就是说如果你买你原价买的商品价格是六百块钱的话，那么你去甲店和去乙店都是收你四百八，价格是一样的，知道吧？所以这里是当 x 等于六百的时候， y 甲的价格是等于 y e 的 价格的，就是一样，知道吗？价格一样都等于四百八，价格都等于四百八，那么怎样才会那么在这个四百八左右就不一样了，如果你的价格小于 你的价格小于这个六百的话，那么收费呢？就是这个乙的会更便，而乙的会更贵，甲的会更便宜。所以我们就写，当 x 小 于六百 大于等于零的时候，怎么样？甲更划算，对吧？甲更省钱， 当这个 x 大 于六百的时候，那就是以更省钱。 刚才可能存在一些口误啊，那写出来就这个样子啊，写出来就这个样子， 看到没有？他们的焦点呢？是六百四百八啊，他们的焦点就是这个六百四百八，也就说当他们买的商品价格原价是六百四百八，也就说当他们买的商品都是一样的，知道吧？价格都是一样的， 那么当这个价格在零到一六百之间的时候，那么你看，从图像上看，就是甲在下面，乙在上面，说明甲更便宜，就这个意思，那后面呢？就是延长出去了，对吧？延长出去就是甲在上面，乙在下面，说明乙更便宜，就这个意思，好吧，这个就是我们通过 这个函数图像去解不等式，你就不需要算了嘛，对吧？好，这就整体过整，这个是题目，再整体看一下，好吧，再整体看一下， 再看第七题。某外卖平台招聘外卖起手，并且提供了如下两种月工资方案。第一种方案有底薪，底薪每个月是两千块钱，并且每完成一单外卖业务再提成两块钱。 方案二没有底薪，每月无底薪，每完成一单外卖业务再提成六块钱。好，假设骑手每个月完成的外卖业务量为 x 单， x 为正整数。 方案一，方案二当中的骑手月工资分别为 y 一 和 y 二，叫我们写出，叫我们分别写出 y 一 和 y 二关于 x 的 函数解析式。好，那么这里呢，我们可以直接算的啊，这个没什么技巧，你看 方案一的话，底薪两千块钱，这两千块钱是实打实的，对不对？好，是固定不变的，然后你每送一单 就增加两块钱，那么这里是设了送 x 单，那么就是二 x， 所以 是加上二 x 啊，所以呢，这个 y 一 就等于二 x 加上两千，这个是 y 一， 这里写上 x 为正整数。 再看这个 y 二，它是没有底薪的啊，每单六块钱，那么就直接就是六 x， 当然这个 x 也为正整数， 好，直接就出结果了，对吧？再看第二个，若李明是此外卖平台的一名骑手， 从月工资收入的角度去考虑，他应该选择哪种月工资方案，并且说明理由。那么这里从月工资的收入去这个考虑，那么你就要看他的单量是多少，对不对？如果你一单都不送，或者是你一个月就送一两单，那么肯定要从这个 有底薪的考虑啊，对不对你，你干活干的少啊，对吧？那么有底薪两千块钱，实打实的，这个是不变的，如果你一个月干活干的多，对不对？那么你就赚提成了，你干的越多，提成就越多吗？是不是？所以这个是要进行比较的，那这里没有像上一道题那样叫我们去画图， 又要做我们比较，那我们就可以直接通过计算做分三种情况，第一种情况 是第一种方案小于第二种方案的这个情况。第二种方案，第二种情况是两个方案他的月收入是相等的，第三个方案 是第一种方案大于第二种方案。那么我这里建议呢，把这个交换一下啊，交换一下， 好，那我们就直接算了，这个 y 一 呢是这个 y 二是这个直接带入计算就可以得到，二 x 加上两千 大于六 x， 移项啊，移项二 x 减六 x 大 于两千，对吧？所以是负四 x 大 于两千啊，这里移过去是负两千， 而 x 就 小于负两千除以负四，因为你除的是负数，那么两边就要编号，对吧？这个不等号就要发生变化，那么这里一除两千除以四，它就等于五百，所以 x 小 于五百，所以当它每个月的送单量 不到两，不到五百的时候，那么选择方案一，它的月收入会更高。那等会儿我们再来总结，再看第二种情况。 第二种情况是两个相等，那么你就可以得到二 x 加上两千等于六 x， 计算是一样的啊，计算是一样的，只不过换成了等式， 负四 x 等于负两千 x 就 等于五百，所以当它的送单量达到五百单的时候，正好是五百单的时候，那么方案一和方案二它的收入月收入是一样的。第三种情况 二， x 加两千小于六 x 还是一样的计算， 这里两边同时除以浮尸要编号变成大于，所以 x 就 大于五百，所以我们这里回答的时候，你就可以这样去总结啊，这样去总结，当 送单量这个外卖业务量 x 小 于五百单的时候， 方案一对吧？这个方案一月收入更高， 等于五百单的时候， 方案一和方案二的月收入一样高。 那么第三种情况就是当这个业务量大于五百的时候， 那么方案二它这个月收入会更高，那就分这三种情况知道吧啊。
98毕老师细讲数学
05:27查看AI文稿AI文稿最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？
853初中数学林老师
