数学八年级下册第五章几何
本视频呢，将讲解初中几何必考的举行四种折叠模型，那么今天一次性给你讲透，学会了这四种的话，考试折叠题就再也不会瞎蒙了。好，我们来看，那么这个重点折叠题的重点就是折叠前后要注意，边相等要用，角相等也去用，然后就可以找到等腰以及全等。我们来看第一个图形连对角线折叠， 那么我们就找对角线四，矩形四和八，那四都尽量的写，矩形折叠上去，角相等要用啊，你看角相等要用，边相等也用啊，那么在这里我们就可以证出，因为边相等，那这两个三角形就全等。 那题目让我们求面积，这个面积，那这个面积我们就分为底乘高除二啊，那我们就要求一 d， 于是我们就可以假设一 d 为 x， 那 么这一边就是八减 x。 好， 那因为我们刚刚证了全等这个部分就是 x， 所以 我们可以列勾股定点， 这个计算出来 x 零五，所以面积就是底乘高除二十。好，我们再看第二个，翻折后顶点落在边上的。好，继续。首先翻折对应角相等， 对应边相等比较。好啊，这个是对应的边也相等，那于是能算的六十。勾股定律，这个就是八，旁边就是二，题目求 c f， 于是 c f x 这个 x， 那 这个就是六减 x， 于是在直角三角形 e d f 中，我们又可以列勾股定律。 好，这个计算完就可以了。好，我们再来看第三个啊，翻折后顶点落在顶点上的就是翻折点 d 落在 b 这里的。好，那仍然能写的就先写三四，这个地方是五，折叠相相等，它就是五。 好，那么题目让我们求 b、 e、 f 的 面积，那这个三角形的高是四，也就是还是要求 b、 f 啊。那么关于这个折叠边用的角相等，是不要用一下角相等，角一和角二折叠相等，然后矩形有平行，平行就有内错，角相等也可以用啊， 这个是角一和角二是相等，然后角一和角三也相等，于是我们可以推出角二等于角三角三相等了，于是呢，我们就可以由等腰，所以 b、 f 就 也是五， b、 f 就 等于 b 一， 我们要推出等腰啊，那于是呢，这个就是等于五，那面积就是底乘高除二 十就可以了。好，第三个啊，就是折叠之后，我们进行反向延长啊，仍然是先用啊。这里的条件是，一是中点，然后折叠矩形垂直三。好，那宽为三，这个 d、 p 是 一，这边就是二， 那么我们的做法就是右边我们可以连起来，能不能正全等呢？好，我们看找条件，条件有九十度有公共边，还有一是中点，一是中点，所以 b 一 和 e、 c 相等，而折叠 b 一 和 e、 f 也相等，所以 h、 l 就 全等， 所以这个是三角形 f、 p、 e 啊。直角三角形和 c、 p、 e、 h、 l 全等之后，就有对应边相等，这个就也是二了。于是呢，在这个直角三角形里面，我们就可以列勾股定律，求 a、 d 了 啊。所以在直角三角形 a、 d、 p 中，我们求 a、 d 就 可以根号五的平方减一的平方就是两倍根号六。好了，那么这四个折叠是不都可以讲都会了。
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08:19查看AI文稿AI文稿哈喽，机智的你，又见面了，这节课呢，咱们来看一道八年级的小压轴题啊，一道求最值的题型。 同学们呢，依然自己先暂停去思考，思考完呢，咱们一会回来，咱们一会见。好，咱们回来。首先这道题他和我们以前学过的平移型的将军一马，平移加上将军一马啊， 它是非常非常像的，对吧？我们回顾一下，将军印码呢，是有一个动点，两个定点，对吧？你看 上面 a 点这边， b 点在直线上有个 p 点， a p 加 b p 要最小。 平行将军码呢，它就不是移动的点了，它是移动的线段，它会说，哎，在这个线段上呢，有一个长度为，比如说小 a、 e、 f， 它是一个移动的线段，在这条直线上运动，让我们找 a e 加上 b、 f 最小， 或者有的题，它会这么出，它连接 a e， 连接 b， f， 连接 ab， 求 a、 b、 f、 e 的 周长最短。 实际上这道题我们要求周长最短，它有四条边，这是一号边，这是二号边，这是三号，这是四号， 那么一加二加三加四要最短，其中的一加二，实则它就是一个定值，对吧？ 那么求四边形的周长，它的本质依然是三加四是最短，那这就是我们的三，这就是我们的四。哎，当有线段的平移时候啊，线段的移动，我们就叫做平移型的将军嘛， 我们具体是怎么做的，大家还记得吗？你可以暂停思考一下啊，咱们一会回来，那咱们回来 平行的将军马，它的本质依然是划折为直啊，把我们这里的 a、 e 和 b、 f 划到同一条线段或者直线上来， 哎，那将军马的对称我们就少不了。首先以线段所在直线为对称轴做定点的对称点，你做 a 的 对称点也行，做 b 的 对称点也行。好，我们先做一个下来， 这里我们记为 a 一。 我们在刚开始学平行将军马的时候，很多同学还不太好理解，为什么我们要在这边构造一个平行四边形，但是八下咱们现在学了平行四边形以后，哎，它就好理解了。 那我们对称完之后不能直接连接，对吧？如果说我们直接连接看一下啊，我们直接进行连接啊，假设这里是我们的 f， 往回推呢？可能有我们的 e， 对 不对？因为 e 和 f 呢，是一个线段在平移，那么你会发现，如果这里是 e， 我 们连接 a e， 这个 a e 和 b f， 它有在同一条线段上吗？啊？ b f 当然在这，但这个线段显然不等于 a e， 对吧？所以有线段的平行性。将军马我们不能说简单，做完对称之后连接， ok 吧？好，我们一会儿回来啊， 那接下来我们要 a e 和 b f 最短，当然这个对称点我们要相互靠拢才比较好， 所以中间这里的平移，你不能往这边平移，对吧？你应该往这里的定点呢平移，平移到这儿平移多少呢？平移 a 个单位长度，这边呢，我们就记为 a 二了， 这个时候我们再进行连接，连接这里的 b a 二，好，这里呢就是我们的 f 往回推 a 个当 a 个单位长度，这里呢就是我们的 e， 当你把这里的 a e e 连接，哎，你会发现神奇的事情出现了，为啥呢？把它也连接了吧。 如果 a e 这里我记为一号线段，我们做了对称之后，这里的 a、 e、 e 也是一号线段， 那么我们这里它的长度是 a， 它的长度是 a， 是 平行的一组对边平行且相等，所以这是一个平行四边形，那么一号边就跑到这里来了。 好，这里是我们的二号边，是吧？是不是相当于就把 b f 和 a e 划到了同一条线段上？ 哎，你自己思考一下，对吧？哎，我们的平行将军嘛，就是这么做的。做对称，做平移连接， 对吗？那么这道题你会发现它有一点变形，确实有 e、 f， 有 固定的线段在平移，但这里不是两个点，这里是一个点， 对吧？但它的本质是相同的。当我讲完平易近将军嘛，你回过头来看自己能不能解决道题，你先暂停思考啊，一会咱们回来， 这里的步骤呢，依然是相同的，是吧？虽然刚才这边是两个点，我这里一个点，依然以动线段所在直线作对称点，这里是个正方形， a 的 对称点就在 c。 然后呢，咱们进行一定的平移啊，当然这里只有一个点，刚才是两点的时候呢，我们要朝里面个定点进行靠拢，这里是一个点啊，你往下坐或往上坐都 ok 了，我们就往这边坐吧。 平移平移多少单位长度呢？根号二，我们这里呢，记为 c 一， ok 吧？那剩下也就一样了，连接这里的 a c 一， 这个点呢，就是我们要的 f 往回退，根号二，这里呢，就是我们的一，对吧？好，你看连接这里的 c e， 这里 c e f e c 就是 平行四边形。当我们连接这里的 a e， 这里是一号边。好，这里是做了对称，这里也是一号边。平行四边形，这是一号边，所以把这个一号边和二号边的 a f 呀，我们这节呢就是 a e， 把 a e 和 a f 呢就到同一条线段上了， 对吧？哎，我们的目的也就达到了，这会儿 c e a 就是 我们要求的 a e 加 a f 的 最小值，那怎么求呢？显然是不是要去 a e a f a c e 呢？靠着它去找一个 直角三角形，对吧？直角三角形中间我们会发现本身它和它就是对称的，所以两个对称点给它一连接， 这里呢是垂直的，它是对称轴对吗？这里是垂直，我们做的 c e c， 它本身和 e f 又是平行的，那么这个地方就为垂直， 所以 a c e 所在的直角三角形啊，也就出现了，也就出现了。那这里为根号二， 那它的边长是四是吧？那整个这长度呢？是四倍。根号二，根据勾股定律，平方完之后三十二，平方完之后二是吧？所以这里的 a c 一， 也就是我们这里答案应该为根号线的三十四。好，咱们总结一下，除了我们看到有移动线段，能想到平行的将军网， 那这个地方你还要注意啊，对称点，如果以后咱们遇到有对称点，一定要去找找他的对称轴和对称点连线啊，这里有垂直关系，我们是经常常用的一个知识点， ok 吧，那么希望这节课对你有帮助，再见！拜拜！
06:34查看AI文稿AI文稿学习一下间隙法解几何的一些问题啊，在这里头啊，你想用到间隙法，需要牵扯到这几个公式， 第一个呀，就是我们最近学的一次函数，它的这个比例系数，到高中啊，我们管它叫做斜率，它有一个快速的算法叫 y 一 减 y 二，比上 x 一 减 x 二。这个公式呢，我们接下来在算的过程中也可以用到 来，我们去推导一下啊，比如说把这个设成 y 等于 k， x 加 b， 它过 a 和 b 两点。第一个是不要把 a 点给它带进来，那就是 y 一 等于 k， x 一 加上一个 b， 把第二个 b 点给它带进来，那就是 y 二等于 k 倍的 x 二，然后加上一个 b。 我 们接下来啊，用圈一减圈二，是不是变成 y 一 减 y 二就等于 k 倍的括号 x 一 减 x 二， 然后就能解出 k 等于 y 一 减 y 二，除以 x 一 减去 x 二，对吧？那初衷范围内呢？你可以正常去列一个方程，但是呢，你这个 k 算法的时候，不用去解方程，直接把这两个点带进来就行。 好，再来看一下。第二个就是我们的中点坐标公式，比如说告诉我们 a 点坐标是 x 一， 逗 y 一， b 点坐标是 x 二逗 y 二， 那么它的终点啊，就是二分之 x 一 加 x 二，二分之 y 一 加上一个 y 二，相当于给它求一个平均数。那这个终点坐标公式我们初中也不能够直接用，我们可以去推导一下， 比如说啊，横坐标这是 x 一， 这是一个 x 二，那它的终点我们给它设成一个 x， 根据距离相等，那么 x 减去 x 一， 就等于这边的 x 二减去一个 x， 然后你解 x 的 话，就能解出是二分之 x 一， 加上一个 x 二。 好。第三个就是我们两点距离公式最近啊，几何题经常会用到这个， 对吧？啊？叫 x 一 减 x 二的平方，加上 y 一 减 y 二的平方，这里头相当于去给它构造一个直角三角形，然后利用一个勾股定律，比如说这是 a x 一 都是 y 一， 这是 b x 二都是 y 二， 那么这段距离就应该是 y 一 减去一个 y 二，对吧？这段距离呢，应该是 x 一 减去一个 x 二，然后一平方求勾股，就能把 ab 的 距离算出来。好。第四个就是我们 两条直线，如果说是平行的话，那他们的 k 是 相等，但是到高中呢，我们还有一个是两条直线，如果说是垂直，他们的 k 相乘等于负一 啊，这个呢，在初中范围内解决那些不需要过程的题啊，它很有用啊。来，再看第五个，这个是两点式， 来，老师给大家推导一下。比如说这是一个 a， 它是 x 一 逗 y 一， 这是 b 啊，它是 x 二逗 y 二，然后我们这个函数随便给他设一点是 x 逗 y， 根据啊，这两个点，我们能够把它的斜率 k 给它算出来，那 k 应该等于叫 y 减去 y 一， 比上 x 减去 x 一， 然后再根据这两个啊， k 又等于 x 减 y 减去 y 二，比上 x 减去一个 x 二，那因为他们都在同一条直线上，他们的 k 是 相等的，那所以说你让这个和这个相等，就出现了一个这个式子， 对吧？这个两点是有时候也很方便知道两个点直接带进来就行。好，来，我们直接看第一题啊，这是前两天我们考试遇到的一个题， 去解这个 e、 f 的 一个长度，对吧？几何法是可以的，我们把 b 的 给它连接起来，再把 a、 c 连接起来，找到一个中点，然后再一连接这个 o、 e 和 o f， 根据 e、 o、 f 是 一个等腰直角三角形，就能把 e、 f 长度给它算出来， 对吧？这是几何法？来，我们去看一下间隙法。首先你要说一句话啊，以 b 为圆点啊， bc 为 x 轴正方向，然后 b， a 为 y 轴的正方向，建立一个平面直角坐标系， 这样的话， b 点坐标是不是就是零逗零，然后 a 点坐标是不是就是零逗五个点坐标是五逗五， 那么 g 点坐标它就是一个三斗零， c 点坐标是一个五斗零， s 坐标是一个零斗二， 是不是把上面基本上所有的点的坐标都给它算出来了，对吧？那接下来我们想去解 e、 f 的 长度，是不是要把 e 点的坐标给它算出来， f 点的坐标给它算出来， 对不对？然后我们发现 f 是 h 和 c 的 中点，那这样的话，可以利用中点坐标公式五 这个一点坐标啊，他是 d 和 g 的 一个中点，那么利用中点坐标公式五加三除以二，那他的坐标横坐标应该是四，那重坐标呢？是五加零除以二，那就应该是二分之五。 f 是 h 和 c 的 一个中点，它的横坐标应该是零加五除以二，那就是二分之五，重坐标呢，是二加零除以二，应该是一。然后 e、 f 的 长度就等于根号下 四减去二分之五的平方，再加上二分之五，减去一个一括号的平方。好，那就等于 根号下啊，二分之三的平方，再加上这个是二分之三括号的平方，结果就等于二分之三倍，根号二。
16:30查看AI文稿AI文稿hello， 同学们，我们来看一下气体，如图，在平面直角坐标系中，只限 y 一 二分之一， x 加三，那我估摸着应该是这条，因为没有直线了， 与 x、 y 轴分别相交于 b、 a 两点。因为我们是直线与坐标轴的交点，所以就需要用到点。在坐标轴上的一个特征，在 x 轴上，纵坐标为零，所以这个纵坐标为零，带进去求出它的横坐标，这里刚好就等于负六。 然后 a 点也是一样的，因为在 y 轴上，所以它的横坐标为零，然后带入进去就求出我们所对应的纵坐标，所以 a、 b 这两个点就确定下来了。然后此时呢，我们要找到一个点，是 c 点 连接 a、 c， 将 a、 c 这个线段呢，绕着 c 点去进行逆时针旋转九十度，逆时针旋转九十度，也就意味着这里有一个直角，这个直角呢是这样子摆的，而我们的平面角坐标系 a、 o、 b 这个位置也有一个直角，而且大点。他说我旋转过去得到的这个角，说明 ac 大， 是个等腰直角三角形，我的大点刚好落到了直线上面，所以对于大点而言，在这个位置它就过大做了大一垂直。所以我们的整个平面角坐标系中就存存在了这么一个一线三垂值，所以这两个三角形大 e、 c 和 c o a 就 全能呃圆一， 一组边相同元音二，一组直角相同元音。三。叉加圈等于九十度，然后叉加圈等于九十度，两组角，所以角角边正得两个三角形全等。那么这一块我们就不再多去写了。第二个，如图二，将线段 a、 c 沿 x 轴负方向去平移，得到 a 漂 c 漂，当 a 漂 c 漂经过大点的时候，求大点的坐标，那不管它经不经过大点啊，这个大点坐标都要求只是 平移之后的这条直线，需要借助大点坐标确定它平移的距离，所以我们可以继续跟着一小问， 一小问，这呢，得到这两个三角形是全等的，那么我们就可以得到了这个纵向的长度。三是跑到这个位置来，然后这个短的边其实不知道的，所以对于我们的二问，我肯定是由一问所得到的一个结论去令出答， e 的 长度和 c o 的 长度都等于 a， 然后去表示出来，我们大点的坐标就记作 三加 a 是 它的横坐标，但是它是在左边负半轴，所以是负 a 减三，就是负三减 a 一 样的，然后它纵坐标的话，就是在 高这个位置吧，就是在上方这个位置，所以就应该是 a 的 一个高度。好了，已知大点的坐标带回到我们的直线集市上面，集二分之一倍的负三减 a 加三等于 a 的， 最终 a 算出来是等于一的 好， a 算出来等于一之后，我们接着要往后看， 大点的坐标就出来了，带回去就是负四负一。那么 a c 平移的距离是多少呢？那你想一个问题，平移的距离是不是就由两个交点去决定了？你只要知道了 c 漂这个交点的坐标大减小，是不是就得到了 c c 漂及我们的平移的距离。 所以此时我们的第一个小点解决了，大点坐标有了，但是平移距离还没有搞定，所以先要求解 a 漂 c 漂的解析式。首先它们是平移的，我们知道两直线平行，它的 k 是 不变的，而 a c 解析式是多少呢？那是不是就得 先求出来，然后再带入两点距离公式，我们可以快速去把它求出来啊。一个带 a 点零斗三，一个带 c 点负一斗零，把这两个点带入进去， y 等于 k， x 加 b 去解得这个二点。一次方程组， 这里就为三 x 加三， a c 为三 x 加三。平行的直线 k 相同， k 就是 x 前面的这个系数，所以这里也是三 x 加几呢？不知道，所以我们就令这一条为 b， 既然它是加 b， 那 我们带带这个负四都移进去，就可以求出我们的 b 处处 b 看一下啊。嗯，在旁边想要算一下，负的三分之，负的负的十二加 b 等于一，说明 b 是 等于十三的，那这就为三 x 加十三好了。直线已有 y 等于三 x 加十三。 我们要去找 c 漂是不才能确定焦点，所以 c 漂就应该是令纵坐标为零，横坐标就等于负的三分之十三。那 c c 漂的长度就大减小吗？大的肯定是负一减去这个小的负的三分之十三，即 三分之十。好了，平移的一个距离， a c 的 长度也为三分之十，这是我们的答案。呃，一个大点在这儿，哎，一个 a c 的 距离是在这里的。 继续读三小问，如图，直线与 l e 交于 m 点，平移 b m 时的 b 的 对应点落到了 y 二上，而 m 的 对应点落到了 x 轴上， p 是 y 以上的一个动点，取 o， p 中点 q 要求二倍的 q， n 加 n， p 的 最小值。读完这个题，我就整个人都是懵的，因为它出现的点呀，线呀，动过来，动过去的东西太多了， 所以我们肯定要慢慢去理，甚至于你可能需要乱画一个图，然后画完之后，你可能还需要画一个更加标准的图，然后来验证一下我们这个答案，或者说他的位置可能长得太丑了，影响了我的判断，这些都是需要的，所以我们来重点看一下这个图。 在题里面出现了一个直线，是 y 二，这个 y 二呢，有一个特征，它只有一个 k， 所以 y 二我们可以记作 k 倍的 x 减一，而它此时就一定过一个定点，过的是一到零， 过定点一斗零，一斗零在哪？大概就在这啊，你看人家都给我们画出来了。所以这个交点呢，就是我们的一个定点与 y 一， y 就是 ab 这条直线哈，不要忘了，这是 y 一， 这是 y 二，它们俩相交于 m 平移线段 b m， 使得 b 落到 f b 的 对应点，落到了 f 这个位置。那我可以这么去理解，就是平移这条线段 之后得到了 f， 谁呢？他写的就是 f n 嘛， b m 对 于 f n， 那 么整个线段平行过来，你想想连接这四个顶点，它是不是必然会围成一个四边形？ 这就是我们平移所非常巧妙的灵活运用的，看似三角形对不对？其实引含了一个平行四边形这么一个 特征和性质在里头。然后现在两点都知道了吗？不管屁为 y e 上面的一个动点哦，你要找 y e 上面有个屁点，那我们就随便找，要取 o p 的 中点， 这画大了也不行，画小了也不行，随便找 o p 连接，取它的中点是 q 点，然后要去求两倍的 q n 加上 n p 的 最小值，我们还是用红色笔描出来吧，这是 q n， 这是 q n， 没问题， n p。 在这个题里面哈，我首先要想到的一个点在于我们的线段和的最小值出现了公共的一个点 n 点，这个 n 呢，是个定点没问题，但是前面是不是出现了一个倍数，就是系数不再为一了？所以遇到这种情况，我们一般都会选择先 思考的过程中，把这个二倍提出来，那就有 q n 加上二分之一倍的 n p， 但是 n p 我 在图上面又没有办法把它割成两半呢，所以我就想了，前面系数又为一了，后面又为二分之一了，真难。 所以我们就要想，其实在初二这个阶段，有线端的二倍关系的时候，更多考虑中位线，要简单许多。所以你想我的 q 点是左边 o p 的 中点，我再在 o n 这条已知线段上面取了一个中点 p q t 吧。 那么只要这样一连接，只要这样一连接， 这条是不是中位线？而且这条中位线是刚好等于二分之一倍的 n p？ 好 了，在这样的加持下，我们这个题就升级了，变成了 q n 加上 q t 二倍可以先不用管了，只需要求出 q n 加 q t 的 最小值。而 q 是 不是此时一个运动的点？关于这个运动的点， 我们是不是要先找到它的轨迹？因为我们图上面只是给我们提供了一条直线，此时 q 所在的一个位置，但是它结合中点这么一个特征，我一定是能找到 q 点的轨迹在哪里的。 找到了 q 点的轨迹之后，是不是要沿着动点所在直线去对称一个定点，你看嘛， q t 和 q n 它们都类似于在同侧，但这里还没有办法去确定，说明它一定是在同侧，所以我们先去把这两个特殊点找到。呃，第一个，因为 p 点在上面运动哈，我们去找两个特殊的点，比如说 p 点在 b 这个位置的时候，我的 q 点就在这， 然后如果我的 p 点是在 a 这个位置的时候，我的 q 点在这，所以其实它很好做。一个原因在于它一定是过 a o b o 中点的两条线，那这条直线一定是平行于 ab 的， 所以它的直线解析式我们可以这么去记， y q 表示 q 运动的这条直线是平行的，平行 ab， 所以 二分之一 x， 那 过几呢？在中点处呀，所以它与纵坐标轴 y 轴的交点是二分之三，所以直线解析式确定好了。那么判断 q t 和 q n 这两条线段是不是在同侧，那么同侧的一个问题，我是不要去变为异侧，那变为异侧就得去做对称，所以 找一条直线去往上对称就可以了。那我们选择短一点的嘛，因为这个 t 在 这个位置呢，它在坐标轴上，呃， n 其实也在坐标轴上，都短，都没有太大的差别。我们换一个颜色去更好的给大家标出来 黑色吧，我们要去做对称，大概的这样一条线段就确定好了，所以这个就是我的 t 漂， 这个是 t 漂，那么连接起来这两条线段就可以互换了。互换就是在 t 漂这个位置的时候，连接 n， t 漂 就取到最小值。所以题我们已经分析好了，我们整个最小值我们用 m i n 来表示，已经变成了二倍的 n t， 还要接着往后变，变成了 二倍 q n 加 q t 的 最小值是不就是 n t e 漂？那我们只需要把 n t e 漂给它求解出来就可以了。 呃，这两个应该怎么去求解呢？我可能更多的就是想把这个 t 漂这个点给他求出来，用两点距离公式。我实在是没有更多的脑子去算了，我就硬算了。那我们就去找这个 t 漂怎么得来的，然后他有什么特征，他 具体应该怎么去完成，所以这里就得用到我们的对称性。那么在对称性这里，我知道这个焦点和 t 间的距离 是相等的，甚至于可以说这条直线上面就存在一个终点。那我们要去求这条直线极值还不容易吗？是不就非常容易了？那我们就去先结合这个终点去带入去求解一下。 利用垂直这么一个特征，我们就可以继续往后去判断一下。那我们首先去找到 t t 漂这条直线，它是垂直于 y q 的， 那么 k 的 乘积是不等于负二啊？等于负一，那么 k 是 不是算出来等于负二，所以这条直线等于负二， x 加几呢？不知道又加 b？ 呃，这个 b 不 太建议出现太多次啊，尽可能少出现几次。 嗯，可以换着换着字母来，然后我这里就简写了，然后再带入 t 点坐标， t 点坐标是 o n 中点吧， n 在 这个位多少呢？哦，突然卡住了，发现在前面我们好像没有把 n 这个点去给它求解出来，所以你就要回一下这个 n 怎么来的呢？因为我们刚刚是分析了整个题， 嗯，它的一个求解方式相当于思路已经非常清晰了，但是还存在一些问题，比如说 t 我 求解不出来，是因为 n 求解不出来，那我们就想办法去求证一下。 然后在这里的话，这个图就比较混乱，可能大家也不是看的特别清楚，我用一个银黄色的笔给大家描出我们所需要的这几个点。首先我们是把 b m 往下平移，所以围成的这个四边形，它就是个平行四边形，而平四边形的 b n 是 在 x 轴上，而好像围错了， b m 少围了一点，哎，就在这。然后这个 m f 呢？ 他也是个对角线，对角线的角点是不是这个点？而这个点是不是我们刚刚提到的过的这个定点？哦，原来这个定点是在此处去利用上的， 我们已经找到了这个焦点是一斗零的一个坐标，同时那根据前面的 bo 是 等于六，然后 o o o h 这个点是一，所以就可以得到 b h 等于 h， n 就 刚等于一半，就等于七，所以右边是七，七加一， n 点的坐标就出来了， 那我们就只需要带入 n 点的坐标八到零，那当然这个 n 点出标，坐标还不能带进去啊，因为我们要找的是 t 点的坐标， t 点是在这条直线上，所以 t 是 它的一半，就是四到零，四到零带回去刚好得到 b 等于正的八，所以 t t 漂 就是 y 等于负二， x 加八，而直线已有，但是直线上来是不是还产生了一个焦点？我们把这个叫做 t 中， 这个 t 中的话就需要连立方程，所以 y 等于负二， x 加八，以及 y 等于二分之一， x 加二分之三，可以去算一下，求出来 x 等于五分之十三， y 等于五分之十四，所以题中就为这么多，那我们反过来是不是可以去求出 t 漂这个点坐标了？这里写不下了，我们就往左边来看一下。 那现在 t 一 漂就应该用中点坐标的两倍去减去横坐标及五分之二十六， 嗯， 五分之二十六减去横坐标就是四，也就是五分之六，那纵坐标的话就是五分之二十八，减去零 来接着来看 t 漂点出现，我们要求 t 漂 n n 点坐标是八到零，所以用两点距离公式去求的 n t 漂的一个长度就等于根号下 五分之六减去八的完全平方，再加上五分之二十八的完全平方，可以看到是大家都有五分之一，所以我们就直接把五分之一给它求出来，然后去把它的分子给算出来就可以了。这里刚好是，呃，四十 四十三十四，三十四的平方加二十八的平方就等于五分之二倍的根号下四百八十五。 啊。这一块算完，剩下就是我们最小值就最后一步的一个计算，因为最小值是两倍的 n t， 所以 我们把它加上的话就是五分之四倍，根号下四百八十五。
00:32查看AI文稿AI文稿八下数学最难的十五大几何模型全部吃透，逆袭班级前三八年级下册数学几何模型汇总，一、平行线加角平分线二、平行线加中点三、斜边上的中线模型四、绊脚模型 六、含六十度的菱形七、中点四边形模型八、十字架模型十、正方形对角线模型十二、一线三等角模型十三、手拉手模型十四、对角互补模型十五、鸡爪模型共十五大模型完整版分享！
74作为世界第一
05:39查看AI文稿AI文稿这道题我们看一下，第一问很简单，是一个十字架模型基本结论，对吧？第一问就是一个十字架模型基本结论。 呃，他说我们知道这个 d 等于 c、 f， 对 吧？那剩下两个边是不是相等的？等边等值，对吧？那十字架，我们通过 s a s 可以 证得这两个三角形，它是全等的，所以呢？你可以得到什么？所以呢，你可以得到 这两个三角形，它是全等的，你就可以到 a、 f 选 b e。 第一问很快就会过掉了啊。第二问，第二问，他说若 f 是 d c 的 中点，对吧？做这个 dm， 您看这种题我们想到什么？这个正方形有平行，平行有个中点，所以平行加中点是啥？对称中线，对吧？平行加中点，永远都要想到对称中线，这是比较基本的思路。 平加中点永远都要想到背长中线， 然后我背长完背，背长完中线之后，啊，你这上下两个三角形是不是全等的呀？对吧？你都平行加中点了，我，我要构造出来这根号 c n， 那 我是不是我想做一个垂直过去，对吧？呃，这个图画的不太标准，我，我把它重构一下， 当然是这样，这上下两个是不是全等的，那么我就怎么想？我这么想，我肯定是要勾一个垂直的，因为我要勾出来根号二 c n， 我 们要用结论往条件上，结论往回推，但有勾来这个垂直，对吧？我勾出这个垂直， 我现在的想法就是，我要挣，我要挣什么？我要挣这个是等，要，这样，对吧？哎，这个也好挣，因为呢，你毕竟他是有两个垂直嘛。 两个垂直，你八字倒角，首先能导出这两个角相等，对，两个垂直于角相等，然后呢，你这个不是平行吗？平行加中点， a d 等于什么？ c， c 等于这条边，对吧？那 c， d 是 不是又等于 a d， 所以呢，你这两个三角形本质上就 a s a 全等， a s a 全等，那么这两边是不是相等，你勾的又是垂直，所以这个就等于这条三角形，其实这个就是根号二 c n 这条边，它就根号二 c n， 这 d n 是 不是转到这了？ 他题目中又告诉我们什么 m n， 对 吧？ m n 等于什么？根号二 c n， 那 我们再想想，这 m n 怎么转呢？ 他说 f n 加 m n， n 是 在这，对吧？那我们就是要把，哎，你这个，你细细给你看一眼，你这，你这两边相等，对吧？ 这是中点，对吧？这是，所以各个地方都中点，所以这也是一个这样这样三角形，所以呢，这两个三角形也是一个全等，所以你可以用拼过来，所以 n f 在 这， m n 就 拼过来，所以呢，这个第二个结论也是成立的， 如图所示，在二的条件成立下，呃，正方形变成为四，直接写出 g h 长。这个东西一般来说有两种做法，第一种是如果你用垂几何法，垂解和法，你会发现呢，应该是用面积法来做， a b 等于四，对吧？嗯，你通过对称中线，你可以导的这两个角相等，那所以呢，这个 b n 也等于四， b n 也等于四，然后呢， b n 是 不是也等于四，对吧？呃，但是因为没有无缘无故的这个第二问，对吧？所以呢，你可以把第二问的条件，第二问的这个东西也可以再用进去， 用进去，但是呢，这种方法还是太不太好想的，主要是，呃，所以呢，这道题一般来说用的更多的是见戏，因为这个正方题而且长得非常的规正，而且还是在第二条件下非常的特殊，对吧？所以呢，你建立平面直角坐标系， 而且他题目中还直接写出，那，那肯定见戏啊，你考试中做完第二道题肯定有时间，对吧？你想想，你考试中做完第二道题肯定有时间，有时间你就见戏呗，那第二道题你也可以见戏，这样，这样，如果有第三道题，你就可以同理了啊，那，那这个是，那 f 坐标是不是能写出来四二啊？对，四二。 然后呢，你再 n 点，是不是这两条直线的一个交点？ n 点，是不是这两条直线一个交点？你把 n 点表示出来，你把 n 点表示出来之后呢？然后我再说，你把 n 点表示出来， 你是不是，然后你就可以表示出来？ b n l b n l b n， 你 c g 是 不是也可以表示出来？ c g 就是 垂直于它吗？垂直于它，然后你再过点 c， 点 c 进行点力，你知道这个 k， 你 肯定也知道这个 k， 对 吧？非常很一致，对，一致， 用 k 乘 k 乘 k， 二点负一，对吧？啊，这个，这个，你就可以得到这个场啊，这个，它让我们求出这个 g h 场， 呃，因为你 b， n， c， g 的 长度也都知道了，对吧？所以呢，这个表达式都知道，对吧？所以你可以求 h 教练，把 h 教练求出来， t 的 教练求出来，然后再用两点坐标公式就可以把 g h 长度给求出来。 呃，所以呢，说像这种，如果你真的想不到的话，像这种第三位，第三位其实呢，不太好想，第三位你得要用面积法来做。 第三问，应该是要用面积法来做的，因为它有垂直嘛？有垂直我们可以导的这个 b n 是 它等于四的，对吧？ 所以呢，呃，很多时候呢，题目不好做，我们就用这解析法，而且特别是图形长的特别规整时候，解析法还是比较好用的。
33向日葵
01:54查看AI文稿AI文稿各位同学好，我们来看一下八下期末提升专题一的第五题啊。那第五题给了一个矩形， e 点和 f 点分别是在 c d 和呃 a d 上，而且 b e 和这个 c f 是 垂直的，那么矩形里面这个是一个，是不是一个十字架， 然后 g 点呢？为 c f 的 一个中点。哎，在这里的时候，你有没有读出来，这个 b g 既是一个垂直，又是一个中点，所以这一题有一条很重要的辅助线，就是你的 b g 是 作为一个中垂线存在，那么中垂线上的点到线段两岸的距离相等， 所以啊，我们直接连接 b f 的 话，那我可以得到这个 b f 会等于这个 bc 啊。那第一步就结束了，结束过后，接下来我们来看问什么啊？这里的 ab 为八， bc 为十， 那么你给他呃中垂线的话， b f 和 bc 相等是不是都是十啊？好，然后接着你的 a f 是 不是等于六呀？所以整体 d f 不 就是四吗？我这一题是要求这个 b g 的 长的，那我们再来啊， 我要求 b g 的 长来总思路是什么呢？我们说我们经常说斜线段怎么处理啊？把它当成是直角三角形的斜边处理，当然这一题不是斜边，你放在三角形的 b g c 里面，我们当成是一个直角三角形的一个直角边，那我的 bc 为十，我还差一个 c g 怎么办？ 那在这里面，各位是不是可以用勾股定律去把 c f 求出来呀？所以 c f 等于根号下四方加八方，那你算一下，根号八十是四倍，根号五， 那接下来我们的 c g 是 不是占了整个 c f 的 一半，那就是二根五，所以 b g c 这个三角形里面来，我们用勾股定律的话，我可以得到 b g 应该刚刚好是十方减二根五方，所以答案还是四根五。好。那这一题答案选的是 c 选项啊？
35小顾老师吖
02:08查看AI文稿AI文稿那再来看一道中考考过的一个关于函数图像与动点结合综合分析的，也是 f 是 菱形的顶点， a 出发，然后沿 a、 d， 注意沿 a、 d 啊，第一次是拐弯到到 d 点，然后再拐到 b 点，这个过程 也就是 f， 是 这么一个运动路径，它的运动过程中呢，它的重度表表示的是 s， 三角形 fbc， 注意和 b， c 点线以后构成三角形的面积，随着时间 x 的 变化的图像要求 a 的 值， a 在 这里，那么还是找拐点发现拐点呢，就在这个地方是 d 点啊，它拐弯了，说明呢，到 d 点的时候， 这个它的运动时间，由于速度是一啊，时间是 x， 所以 它运动路程呢，其实对应的也是 x 路程。因此呢，我们发现起点是 a 的 时候啊，它的面积呢，指的是 b， a， c 一 直到 d 的 话， b， d， c 的 面积也是 a， 这个大，注意这个面积是 a， 那 么这个信息呢，我们可以得到，第一个啊，三角形 b， d， c 的 面积是等于 a 的， 第二个，它这个运动的路程也是 a， 说明 a， d 长也是 a， 那 也就是等于 bc， 其实也等于 dc， 等于 ab 啊，等于 a， 我 们标一下，其实这些长度都是 a， 然后再往后走，走到 b 点的时候呢，它它的路程变成 a 加根号五，那说明 b、 d 这个长呢，它就是等于根号五的，因为前面有个 a 了啊， b， d 是 根号五的，有这个数据，我们求 a 的 值，这里面还隐藏了一个信息，面积和底都是 a 的 情况下，我们知道这个高能在这里做高的话，由于面积是 a， 然后 bc 这个底是 a， 所以 通过这两个信息得到 d， e 是 等于面积的二倍除以底的底 bc 的， 那就等于二，所以这个长是二，这是个非常隐蔽的信息， 有这个二的话，这个 b、 d 是 根号五，那 b、 e 是 等于一的勾股定可以求出来。那在这个最后这个 r、 t 三角形 d、 e、 c 中，我们可以列出勾股定的方程，也就是一个直角边是二，另一个直角边呢？是 b c， b、 c 正好是 a 减一，它是 a 减一的平方，等于最后 a 的 平方 啊。这个我们把方程解出来就可以了，也就是四加上 a 方减去二， a 加一等于 a 方，发现 a 方抵消了，对吧？ a 方抵消之后呢，得到的就是二， a 等于五，所以 a 等于二分之五。这题目就选 c 了，非常经典的一个题目啊，大家可以认真自己总结一下。
52乐其数学
04:07查看AI文稿AI文稿来看题啊，正方形 a、 b、 c、 d 当中，这个 e 和 f 是 a、 d， 还有 d、 c 的 中点，那第一问呢？让我们判断 a、 f 和 b、 e 的 关系，那我觉得这个还是非常简单的，直接用全等就可以证明， 你看啊，这个 b、 a 和 ad 长度相等， ab 等于 ad， 对 吧？第二个，你的 a、 e 和 d、 f 都是正方形，边长的一半，所以其实 a、 e 是 等于 d、 f 的。 第三个，你会发现这个角是一个九十度，这个角也是个九十度，那就是角 b， a、 d 等于这个角 d， 那 么这三个条件放到一起，我们就可以证明，三角形 b、 a、 e， 它是全等于三角形 a、 d、 f。 那 这个就非常简单，第一问搞定，那关键其实在于这道题的第二问怎么做？第二问让我们证明 c、 g 和 c、 b 相等。那大家看到这个东西的时候就会想，哎，老师，那我要证他是个等腰三角形。很多同学就会琢磨，那你发现在这道题里，其实这么想他不太容易去做。 而这道题有一个非常关键的信息，就是各位同学，你既然已经做了第一问，你得到了 b、 a、 e 和 a、 d、 f 全等，那你这个全等给你带来了什么？ 其实各位同学，如果你稍微了解过正方形的模型，你会发现在这个题目当中， b、 e 和 af 我 们是可以推出来，它是互相垂直的，那因为你的全等全等告诉我们说，这个角一和这个角二是相等的，角一是等于角二的， 这个没有问题。然后你看啊，这个角二和这个角三，角二和角三加起来是不是九十度，角二加上角三等于九十度，所以你会发现我们得到了角一加上角三等于九十度，那角一加角三九十度意味着什么呢？是不是意味着你的 b、 e 和 a、 f 是 垂直的？ 好，那也就是说这个角是九十度，所以 b e 垂直 a、 f。 好， 那么你看到这个地方是九十度，你会有什么想法呢？老师，那你有九十度没有用啊，你没有直角三角形，难道我要连 b、 f 勾到直角三角形吗？ 非也，这道题关键的还是你要利用终点去处理一些信息，你会发现这个地方有一个点， f f 是 dc 的 终点， 我们都说终点你一定要会用，怎么用？尤其是在有平行线的情况下。我举个简单的例子，假如说这两条线是平行线，那只有一条线段，这条线段上有个中点，如果你又发现了这还有一个线段， 那我请问你，我在不跟你做任何的提示的情况下，我就问你，你觉得怎么做辅助线？那我觉得这个辅助线应该很容易做，你直接把这条线延长，延长之后可以得到什么？可以得到这两个三角形是一个八字的全等，这个是非常重要的几何模型。 好，所以你看在这道题当中， a、 d 和 b、 c 是 平行的， d、 c 上有一个中点 f af 连起来，那你觉得怎么做辅助线？是不是你只要把这个 af 延长就行，那延长到哪呢？延长到和 b、 c 所在的直线相交，延长到比如这个点，这个点叫做 h， 那这么一来，你会发现在这里面你就构造了一个八字的全等，那我这个 h 画的没有很标准，因为这边被我自己挡住了，我们会发现 a、 d、 f 这个三角形和 h c f 这个这俩三角形全等。简单写下思路啊，三角形 a、 d、 f 全等于三角形 h， c f， 那 既然全等是不是意味着 bc 和 c h 相等， 所以 bc 就 等于 c h， 那 这就意味着什么？你这个 c 点摇身一边变成了 b h 的 中点。再强调一遍，我这个 h 画的不是很标准， c 变成了 b h 的 中点，那么你的 b、 g、 h 本来是个直角三角形，你现在 b h 是 斜边， c 是 斜边的中点， g c 就是 斜边的中线， 那 g c 就 应该等于二分之一的 b h， 那 就应该等于等于 bc。 所以 这道题搞定整体的思路其实就是这个样子。 你说这道题难呢？其实也不难，但是呢，你很容易想不到这样的辅助线做法。所以建议各位同学，尤其是八下的孩子们，什么时候画辅助线，这件事情很重要， 重要的不是你看了答案之后，你觉得啊，辅助线这么做很正常，平行线加终点，那我们就可以勾造八字的全等去转移线段。
43施老板数学思维
11:36查看AI文稿AI文稿从今天开始，我们将开启一个新的系列八年级下学期期末高频考点复习。根据近两年南昌各个学校的期末正题分析，有一些题型的考察频率是非常高的，那我们今天第一期要讲的是对角互补模型。 首先我们来看一下这两年在我们南昌市的期末考试当中，有哪些学校考到了对角互补模型。首先是去年南昌市期末考试的第二十题， 以及前年南昌市期末考试的第二十题，二五年南昌二中期末考试的第二十二题，以及南昌县去年期末考试的第二十二题。那这些题目考察的都是我们的一个对角互补模型。 那话不多说，接下来我们就正式进入到对角互补模型的一个学习。那首先我们要搞清楚什么是对角互补模型， 他指的是在我们一个四边形当中存在一组对角是互补的，也就是这两个角的度数加起来等于一百八十度。同时呢，这四边形还会满足对角线，是他的角平分线， 或者有一组邻边相等的情况，就是这种情况。对角互补加角平分线，我们这四道题目当中所有出现的对角互补模型都满足这种情况， 以及第二种第二个特征，对角互补加菱边相等的情况。那同样的这些角互补四边形当中也满足菱边相等，也就是我们图中的绿色的线段。 那从角度上来考虑的话，对角互补模型常考的有两种，一种是九十度加九十度的对角互补，一种是一百二十度加六十度的对角互补。 好，那接下来我们来看怎么样来处理对角互补模型。首先我们来看到第一种情况，对角互补加角平分线的情况。根据题目已知条件，角 a、 o、 b 等于角 d， c、 e 等于九十度。 o， c。 平分角 a、 o、 b。 那 这里就是主对角互补以及我们的角平分线。 那么今天我们要讲的这一种做法呢，是去做双垂，我们过点 c 分 别去做 o、 a、 o、 b 的 垂线垂足为 m 和 n， 那我们就可以得到角 c、 m， d 会等于角 c、 n、 e 等于九十度。同时根据角平分线的性质定律，角平分线上的点到角两边的距离相等，那么我们也可以得到 c， m 会等于 c、 n。 同时再根据题目给的对两个九十度，我们可以得到四边形 o， d， c、 e。 对 角是互补的， 也就是角 a、 o、 b 加上角 d， c、 e 等于一百八十度。因为四边形内角和三百六，所以我们可以得到这个四边形的另外两个内角，也就是角 o， d， c 加上角 o， e， c 等于一百八十度啊！这里用角一角二来表示， b 加角二等于一百八，那同时我们的角 o、 d， c 和角 a， d， c， 也就是我们角一和角三，它是一一对零补角，角一加角三也等于一百八。根据同角的补角相等，那我们就可以得到角 o， e， c 会等于角 a、 d、 c。 那 现在我们就可以利用这三个条件， c， m 等于 c， n。 角 c， m， d 等于角 c、 n、 e 以及角 o， e， c 等于角 a、 d， c。 这三个条件，正出三角形 c、 m、 d 全等于三角形 c、 n、 e。 那三角形对应边相等，我们就可以证出 c， d 会等于 c， e。 在 第二问当中，我们要证 o d 加 o e 等于根号二倍的 o c。 好，那么在这里我们 o e 可以 把它表示成 o n 加上 n e， 那 在第一问当中，我们证出了三角形 c m， d 全等于三角形 c n e， 那 么 n e 呢？会等于 dm 啊，我们就可以把 n e 给它换成 dm， 那 o d 加上 dm 就是 等于 o m， 所以 o d 加上 o e， 它就会等于 o m 加上 o n， 那我们可以去证到三角形 o c m 和 o c n 的是等腰直角三角形，那 o m 和 o n 都会等于二分之根号二倍的 o c， 那 也就是 o m 加 o n 等于根号二 o c。 所以 第二个结论我们就可以证出来了。那么第三个结论，三角形 o， c， d 的 面积加上三角形 o， c， e 的 面积等于二分之一 o c 的 平方。 那么根据我们第一问证出来的全等，我们就可以把三角形 c， n， e 的 面积给它转移到三角形 c d m 这里，那么我们这个对角互补的四边形的这个面积就可以转化为这个正方形 o m， c n 的 面积， 那正方形的面积等于对角线乘积的一半，而正方形的对角线是相等的，所以它的面积就会等于二分之一 o c 的 平方。这是我们第一种情况，对角互补加角平分线的情况。 那接下来我们来看到第二种情况，对角互补和零边相等的情况。像我们这里给的条件，角 a o b 等于角 d， c e 等于九十度，那这里就是对角互补的情况， 然后再加上 c d 等于 c e 一 组邻边相等，那接下来要我们去正 o c 平分角 a、 o、 b。 要我们去正角平分线， 那我们同样的过点 c 去做 a、 o、 b 的 垂线，垂足分别为 m 和 n， 那 我们就可以得到角 c、 m、 d 会等于角 c、 n、 e 等于九十度，那同时根据这两个九十度的角 a、 o、 b 和 d， c、 e 等于九十，我们就可以得到它们相加等于一百八， 那根据四边形内角和等于三百六十度，我们就可以得到另外一组对角的，是互补的，也就是我们这里的角一和这里的角二， 那同时角 o、 d、 c 加上角 a、 d、 c 是 一组零补角，它们相加也等于一百八十度，就是我们这里的角一和角三，那我们就可以得到角 o、 e、 c 会等于角 a、 d、 c， 也就是角二等于角三。 那么再加上题目给的 c、 d 等于 c、 e 这个条件，我们就可以去正到三角形 c、 d、 m 和三角形 c、 e、 n 全等， 那全等，我们就可以得到 c、 m 会等于 c、 n。 再利用角平分线的判定定律到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，那我们就可以得到 o、 c 会平分角 a、 o、 b。 这个后面的第二、 第二个结论和第三个结论的和我们刚才的正法是一样的啊，我们这里就不再正了，那由此我们可以得到我们这种对角互补四边形的一个做法啊，首先是去做双垂， 接下来再去找边和面积之间的一个关系。好，那接下来我们通过一道例题再来强化一下我们刚才的一个方法啊。我们来看到去年南昌县期末考试的第二十二题， 大家可以先暂停一下，看一下题目。好，那我们可以看到我们这道题目三问都是出现了比较明显的一个对角互补模型啊。我们接下来我们就依次来看一下。接下来我们先来看到第一问， 已知 p、 q 分 别在菱形 a、 b、 c、 d 的 边 b、 c、 c、 d 上滑动，且角 p a、 q 等于角 b。 如图一，若 a、 p 垂直于 bc， 要我们求证 a、 p 等于 a、 q， 那 根据菱形的性质，我们可以得到角 b 和角 b、 c、 d 是 互补的，那同时角 p a、 q 又等于角 b， 那 我们就可以得到角 p a、 q 和角 c 相加等于一百八十度。那也就是我们这个四边形 a、 p、 c、 q， 它是一个对角互补的四边形， 同时菱形的对角线会平分一组对角，那我们连接 a、 c 之后，就可以得到 c、 a 会平分角 b、 c、 d。 这里也就出现了我们刚才所讲的对角互补加角平分线的情况。好，那接下来我们来证明一下。 首先根据平四边形 a、 b、 c、 d 为菱形，我们可以得到 a、 b 平行于 c、 d， c， a 平分角 b、 c、 d 等于一百八十度。 又因为角 p a、 q 等于角 b， 所以 角 p a、 q 加上角 b、 c、 d 等于一百八十度。又因为 a、 p 垂直于 b、 c， 所以 我们就可以得到角 a、 p、 c 会等于角 a、 q、 c 等于九十度， 就可以得到 a、 p 会等于 a、 q。 好， 那这是第一问。接下来我们看到第二问，若 a、 p 与 b、 c 不 垂直，一中的结论还成立吗？ 好，那么它是成立的。好，根据我们刚才的分析， c、 a 会平分角 b、 c、 d， 那 这里就有我们的对角互补加角平分线。所以我们过点 a 去做 双垂，作出 a、 m 垂直于 c， b， a、 n 垂直于 c、 d， 那 么我们就可以得到角 a、 m、 p 等于角 a、 n、 q 等于九十度。同时四边形 a、 b、 c、 d 为菱形，我们可以得到 ab 平行于 c， d， c， a 平分角 b、 c、 d， 那 么我们接着就可以证出 a、 m 等于 a、 n。 利用角平分线的性质定律，那同时 通过倒角，我们又可以去证出我们的角角 a、 q、 c 会等于角 a、 p、 m， 也就是我们这里的角一会等于角。二，因为对角互补，所以角 a、 q、 c 加上角 a、 p、 c 会等于一百八十度。好，那现在我们就可以证出我们三角形 a、 m、 p 和三角形 a、 n、 q 全等，那全等的话，我们就可以得到 a、 p 等于 a、 q， 那这是我们的第二问好，接下来第三问， a、 b 等于四角 b 等于六十度。要我们直接写出这个四边形 a、 p、 c、 q 的 面积。 好，我们同样的是去连接 a、 c， 然后过点 a 去做两边的垂线，那么我们可以正到我们三角形 a、 m、 p 会全等于三角形 a、 n、 q， 那么我们这个四边形 a、 p、 c、 q 的 面积，它就会等于三角形 a、 m、 c 的 面积。加上三角形 a、 n、 c 的 面积， 那因为角 b 等于六十度，它是菱形，所以我们可以得到三角形 a、 b、 c， 它是一个等边三角形。等边三角形，那么 a、 c 的 a、 c 就 会等于 ab 等于四，那根据三十度角所对直角边等于斜边的一半， c、 m 就 会等于二。 在勾股定律可以求出 a、 m 的 长等于两倍的根号三好，所以它 a、 m、 c 的 面积就等于二分之一乘以二乘以两倍的根号三。 好，那同样的 a、 n、 c 也是啊，这里也是六十度，它的面积是跟 a、 m、 c 的 面积相等的，所以我们这里给它乘一个二就可以了，所以最终我们得到这个四边形的面积，它就是四倍的根号三。 好，那这就是我们用双做双锤的方法来解决我们八年级下册常考的对角互补四边形。 那么最后给大家留一道同类型的题目，作为我们这个视频的作业，那这道题来自去年南昌二中教育集团初中部联考八年级下学期期末考试的第二十二题， 大家课后可以认真完成，画出辅助线，写出详细的解题过程。你把你的解答过啊，发在我们的评论区，到时候老师会一一进行解答。
00:54查看AI文稿AI文稿如图，在三角形 a、 b、 c 当中，角 b 等于八十度，角 c 等于六十五度。 现在将三角形 a、 b、 c 绕着 a 点逆时针旋转，得到了 a、 b 撇、 c 撇，也就是说我们把此时的这个 a、 b 转动到了这个跟 a、 c 共线。 所以我们知道旋转角相等，从 a、 b 转到 a、 c 撇也是在旋转角，因此这俩角应该是两个相等的角。 题目要去求角 b、 a、 c 撇的度数，那我可以先去求出角 b、 a、 c 的 度数，乘上一个二就可以了。 b、 a、 c 怎么算？一百八十度 去减去八十度，减去六十五度是不就可以了？也就是一百减去六十五等于三十五。三十五度，一个小角，两个小角就是三十五度，乘上一个二，答案是七十度。
58:20查看AI文稿AI文稿本视频耗时一年制作共计一百五十分钟，带你一口气学完八年级数学所有几何模型，先点赞收藏再细品吧！孩子们，接下来继续 看十一个模型 k 子模型 k 子模型讲究一线三垂直，就一根线上有一个垂直，两个垂直，三个垂直，并且它告诉你了， ab 等于 ad， a b 等于 a d， 然后你又发现这个角一加上这个角三是不九十度，角一加角二又又是九十度，所以发现角二是不顶就等于角三好，角二等于角三的话，那你这两个三角形是不就全等了？ 全等完之后好，接下来全等完之后，你就会发现这个 a e 是 不就等于 bc 好，这个 a c 是 就等于 d e， 所以 我的 c e 是 不就等于 d e 加 b c 了，也就一个红的加一个紫的好。还有，如果说是这种一线三垂直的话，哎，那么它结果什么呢？还是你主要的就是正，这两个三角形它是全等的 好，全等完之后，所以就会发现 a e 是 不就等于 bc， 然后呢， d e 是 就等于 a c， 所以 c e 等于 a c 减 a e， 那 a c 等于 d e， a e 等于 bc， 然后就证完了。好，接下来看 哎！第十二个手拉手模型手拉手模型的结论非常多，咱们一一讲解。什么叫手拉手模型呢？第一个，它的条件是 c a 等于 c b c d 等于 c e， 并且两个的顶角相等，那么这种模型都叫手拉手模型。好看一下，那它怎么去证明呢？ 好看，首先第一个它全等，你会发现这个 b c 是 不是跟 a c 相等？ 哎，还有呢，这个 c d a 是 不是和 c e 相等，再加上这两个大角，它是不是相等？所以你会发现，我把这个 b d 一 封，然后我把 a 一 封，这个红的算型跟这个紫的算型是不就全等？好，全等完之后， d 给郑华拉第二个。 好，他说这两个这角 o， 欸，这个角 o 肯定等于它那个顶角度数，又等于这个角 bca， 为什么呢？欸，这又发现你这个角四是不等于角五用钢中全等了呢？ 然后呢，这个对顶角值不白相等，所以你又发现这个八字模型，欸，这个八字模型当中的这个角 o 是 不是跟这个角 bca 就 绝对相等了呀？是吧，这个非常的简单呐。然后接下来咱们继续这个就正完了。 o c 是 不是平分角 b o e？ 好， 还记得吗？刚刚咱们说的这个三角形 a c e 和这个三角形 b c d， 它是全等的呀。好，全等完之后，你会发现我做对应边的高，也就这个 c m 和这个 c n， 这叫对应边的高角相等了，对应边高相等的胎角对在角平面线上了，为什么呀？因为一个点到两边的距离相等念那，所以这个点 b 在 角平面线上，所以我就正完第三个了。好，接着居气，然后第四个，第四个说，这个 c g 呀和 c f 相等，这个怎么正啊？ c g 和 c f 相等，你会发现 这个 c b 呀，是不是等于 c a 呀？ a， 然后呢，这个角四啊，是不等于角五啊？ 还有什么呢？就这两个角是不都等于六十度啊？那所以我所形成这个紫的三角形跟这个红的三角形是不就全等了？全等完之后，这个 c j 是 不跟 c f 就 相等了，我就完事了。好，所以我第四位证完了，然后再看第五个，第五个说的呀， 哎，第五个他说这个角是等边三行，那肯定的，因为 c j 等于 c f 嘛，这个角六十度啊，所以这它也等边嘛？好，第六个等边之后，它就是六十啊，那所以它是六十，那所以它和它就是内错角 a， 所以 说 g f 就 和 b e 就 平行了嘛，所以就正完了。 好，接下来咱们继续讲。模型是三倍长中线，模型也倍长中线呢，就是我把一个三角形当一个中线进行倍长，哎，有中点可倍长，然后倍长之后出八字嘛， 因为我把这个 a d， 哎，背长到了 d e， 然后 d e， b e 呢？又等于 d c， 所以 说你会发现我这两个三角形，它是不是就全等了？因为还有个对顶讲的，对吧？全等完之后，哎，我第三步就正完了， 然后呢，你就会发现，全等完之后，这个 a c 跟 b e， 它是不是就相等啊？哎，跟这个 b a c 跟 b e 相等之后，而然后呢，它这个 a， 这个这个角是不是角 d a c 相等，所以说 b e 和 a c 是 不就平行了？ 当中一组对边平行且相等四边形，那就是平行四边形，所以我这第二个月转化了，对吧？哎，然后咱们再继续看，哎，因为这个 a c 啊，这个等于 b e， 哎，所以你会发现 a b 加上 a c， 其实就是 a b 加上 b e， a b 加上 b e 是 不是大于二倍的 a d 啊？三角形的三边关系，然后再把二除过去，我是不是第一个就挣完了？好，接下来再站在更高的层面看，这个倍长中线，其实就是倍长中线就是倍长，所有共中点的线段，所有过中点的线段，我都可以倍长。比如说 a， 我 把 e、 d， a 倍长，我是不是形成这么一个八字结构？ 然后呢？我把 e、 d 再倍长，是不是形成这么一个八字结构？然后我把 em 再倍长，是不是形成这么一个八字结构？哎，然后我就可以看到这个倍长中线的作用了。好，接下来继续咱们看第十次平行线中点模型， 也就是如果有一条平行线，然后呢？中间出现了一个中点，就 e f 之中点 o， 然后有中点有平行，那么轻轻延长就能行。好，你只要延长，你就跟 n、 q、 o、 q 相等吗？所以我是不是又形成这么一个八字结构？ 好，八的结构它就是全等的了。好，这些详细的证明过程。好，接，咱们继续看雨伞模型。雨伞模型就是如，如果 a、 p 是 这个角 b、 a、 c 的 角平线，然后又告诉你个垂直， 哎，既垂直又是角平线，那么它肯定就是中线了，也就是这个 a、 o 是 不是三线合一当中一个非常重要的一条线，那么把它放到哪个三线，哪个三线就等幺，然后我只需要把 b、 o 延长到这儿，你又发现这个 a、 b o 和 a d o 全等，为什么呀？哎，因为你可以正这个 a、 b、 o 和 a d o 全等嘛。 哎，签单完之后让 a、 b 就 等于 a d 了，同时 o， b， e、 d 就 等于 o d 了，因为它是个中线嘛。哎，这是详细的证明过程。好，接下来咱们继续好看模型十六，这个非常非常重要，叫半角模型， 半角模型就正方形当中本来九十度，它非得出得四十五，哎，那疼，那么它就是半角了。好，第一个结论，这个 b e 加 d f 等于 f， 怎么去证呢？哎，咱说你把这个 a、 d、 f 呀，把它旋转，哎，旋转到 a、 b、 g， 好，你又翻 a、 b 和 a、 d 相等，所以肯定能转了，是吧？转完之后，然后你又发现，哎，这个红角，哎，我这个角，你是不是就转这来了？ 哎，然后呢，这个红角加这个直角是不是 e？ 是 不是九四十五度？所以这个红角加这个直角是不是也是四十五度？这个是不就四十五？哎，这个是不四十五， 然后 a e 又等于 a e， 你 这个 af 又等于 ag， 那 所以所形成的这个三角形 a、 e、 f 和这个 a g、 e 是 不就全等了？去吧。啊，全等完之后，也就是说我现在费了很大力气证明了这个 黄的和这个粒都是全等的，全等完之后，你这个 b e 加 d f， 你 这个 b e a b e 加 d f 是 不就变成了 b e 加这个 g b 了？那它和 e、 f 呢？绝对相等啊，因为刚我不正勾了嘛，是吧？第二个， 他说 a b e， 这个 a b e， 这个三角形的面积和这个 a、 d、 f 的 面积，它这个相加是不是就等于这个黄的这个黄的面积和这个绿的面积，它就绝对相等了，对吧？好看。第三个， 好，第三个说这个周长，这个周长很有意思啊。这个，呃， c c、 f 的 周长，你翻这个 e、 f 这个边呢？是不是摊成了 e f 和这个 f d， 把它分成这两个线段了？ a， 再加上本身就有个 c e 和 c f， 那 所以 a， 这个 c、 e、 f 的 周长是不是就等于二倍的边长啊？好，我就挣完了， 好，家人们继续来看 a， 说第二个结论，说这个第二个，然后 a e 平分角 b e f， 这个很简单，因为咱们刚刚正过了嘛，这个，这个，这个红的和这个绿的是不是全等？全等完之后，这个角一是不是等于角二？那所以角一等，角一等于角二等完呢？那我这个 e a 不 就是角平行线吗？ 同理，我这个角三跟角四是不也能正相等？相等完之后，这个 fa 是 不是也是角平行 a？ 所以 我就把它记住就行了呀，还继续继续第四个， 第四个来，这个 a h， 哎，这个如果出现半角模型，哎，我往这个 e、 f 做个高，这个 a、 b 相等了呀。啊，这儿咱们当看上一上一个模型啊， 咱们说刚刚我已经说了呀，这个绿的和这个黄的是不是相等？相等全等完之后，它对应边是不是也相等 啊？对应边就是，哎，比如 e f 对 应边上的高，那跟这个 a b 对 应边上的高，跟这个这个 a b 这个高是不是相等？那所以 a b 和这个 a h 是 不是就相等了？ 那所以这个 a b 和 a h 是 不是就相等了？那我就挣完了呀？是吧？看第五个，而第五个呢？他说的是，如果说我把这个 a、 b、 d a 连起来，连起来之后我会发现这个 b m 的 平方和这个 d n 的 平方 a 就 等于这个 m n 的 平方，也就这个结论，这该怎么挣啊？ 来，我还是我把这个，呃，这个三角形 a、 d、 n 转过来，转到 a、 b g， 因为 a b 和 a d 相等，嘴肯定能转过来，转过来之后你会发现还是那个问题，欸，刚刚这个红的欸，加上这个紫的是不是四十五度？而这红的被转哪去了？红的被转这来了，所以这儿是个四十五度，这儿也是个四十五度。 四十五的话，用 a m 等于 a m， 然后 an 的 等于 ag， 所以 所形成的这个啊， agm 和这个 an m， 它是不是圈，等圈等完之后，你这 m n 转哪去了呀？ m n 是 不是转到 g m 了呀？ m n 转 g m 去了，然后这个 d n 转哪去了？ d n d n 是 不是转这儿来了啊？转这儿来了，所以再加上这个是四十五，这个是不是也角 g b m， 这个是不是九十度啊？这个九十度的话，那所以这个 b m 方也加上 b g b 方就肯定等于 g m 方嘛， 哎，然后呢？哎，我，所以我就挣完了嘛。说啊，这就想起了一个证明过程。好，家人们看第十七个模型叫斜适应定律。什么叫斜适应定律呢？这个咱们在初中经常遇到，也就是说， 哎，他告诉你，角 b a p 等于角 b c， 哎，角 b a p， 哎，等于角 b c a 等于这个角。你有发现，因为角 b 等于角 b， 所以 说 a 可以 轻易地得到这个 b a g a 是 不是和这个大的 b c a 它就相似？相似完之后你会发现这个 b a， 哎，对应的谁啊？对应的是不是 b c？ 然后呢？这个 b p 定的谁？ bp 定的是不是 b a？ 哎，然后对面乘比例，然后我再交叉相乘吗？ 交叉相乘是不？ b a 方就等于 b p 乘以 b c 了，所以我可以这个奇面。这个斜式影定律就是，如果说两个三角形相似，并且共边，共谁啊？共 b a 共 b a， 共谁是一平方，那共 b a 的 话就是 b a 方等于 b p 乘 b c， 这跟式影定律是不很像，所以起了个名字叫斜式影定律吗？ 好，接下来咱们一口气讲完将军引马的十种考法。好，第一种啊，什么？什么叫将军引马呢？说有两个定点，也分布在河的两侧，其中这个河上呢， l 上有一个动点。屁，那让你去求 p a 加上 p b 的 最小值，这种叫将军引马问题。好，咱们看一下， 那什么时候最小呢？你又发现这种比较好做，直接把 a b 相连， a b 相连之后，哎，与热核相交于点 p 点，那这若 p a 加上 p b 绝对最小，对吧？好，看。模型二，那如果说两个 a 和 b 两个定点在核的同侧，这个 p 点还在合上，这个手仍然让你去求 p a 加上 p b 最小值，这该怎么办？哎，你又发现 p a 加上 p b， 你 可以代替你把 b 点关于和对上它 b 撇，这时候 p b 是 不就永远等于 p b 撇了？那所以 p a 加 p b 就 变成了 p a 加上 p b 撇的问题。 p a 加上 p b 撇什么最小啊？哎，咱们说刚刚你讲过了，直接相连呢？直接相连就是最小值？好，那这个 p 点就在这里，最小值呢？就是 a b 撇。好，所以我就求完了。大家来看 模型三，模型三的形容有个角 a o b， p 点为角 a o b 内的一个定动点，一个定点，那 o a 和 o b 上有两个动点 m n， 但求 p m n 的 周长最小值 y， 你 发现 p m 的 周长是不就是 p m 加上 p n 再加 m n 呢？其中 p m 可以 替代我只要把 p 关于 o a 对 称到 p 一， p m 是 不就等于 p e m？ 好， 我 p 关于 o b 对 称到 p 二，那你 p n 是 不就等于 p 二 n， 那 所以这个就换成了这个了。好，再加上 m n， 你 会发现 p e m 加 m n 再加 n， p 二什么最小啊？是不把 p 一 和 p 二直接相连最小啊？好，所以这个时候你就知道了，最小值就是 p e a p 一 p 二。 好，那再来看模型四，模型四呢，是心如有，还是一个角，其用 m n 两个定点，其用 o a 和 o b 上有两个动点 p q， 让你去求这个周长四边形的， 而周长最小值，你看这个四边形是不是还是跟咱们刚刚讲那个同理的，它是不是 m n a 加上一个 pm， 再加上一个 q n 再加上一个 p q 的 问题？ 你又发现我这个 m n 绝对是没有办法动的 pm 是 不是可以有？把 m 关于 o n 对 称到 m 撇儿，那是不就是 pm 撇儿了？ 好，再加上你 q n q n， 你 是不是可以把 n 关于 o b 对 称到 n 撇儿，那 q n 是 不是就是 q n 撇儿， 再加上 a p q 被这个时候你突然发现了，跟我刚刚处理那个一模一样了，是吧？也就说这三个相加 a p 撇， m a 加 p q 再加 q n 撇是不是最小？是不直接相连？最小 直接相连，这个时候 p 点在这儿， a q 点在这儿，所以它的最小值就是它肯定大于等于 m n a 再加上一个 m 撇 n 撇，这就它最小值。好，接下来咱们来看 m n， 看一下模型五。模型五呢，是形容 a p 点还是角内的一个定点？ o a 和 o b 上两个动点 m 和 n， 但是按去求的不一样了，求的是 pm 加上 m n 的 最小值好，还是你发现我只要把 p 关于 o n 对 成到 p 撇儿，你这个 pm 是 不永远等于 p 撇 m 了？类似于 pm 加 m n 是 不等于 p 撇 m 加 m n 了。 那 p p m 加上 m n 是 不就直接相连？那 p p n 呢？哎，就是 p p n 最小， p p n， 你 犯 p p n 的 线段很多碳去求最小值，最小值是不就让 p p r n 垂直于 o b 啊？所以最小值就是 p p n 垂直的时候它最小。好看。模型六，模型六它就变了，变了一个花样了。 是有两条河， a l 一 和 l 二，其中它平行河的宽呢？是 p q， 它是不动的，这个时候让你去求 a p a， 让你去求 a p 加上 p q 再加 q b， 什么是最小的问题？这个时候比较固定啊，咱这个做法还是 你就想，我就把这个定点 a 向前推进。河宽。什么叫河宽呢？就是 a a 撇儿等于 p q， 为什么呢？因为这个时候你发现它们相等且平行的，这个是不就都平次边形了？哈？平次边形的话，那你想想，我 ap 是 不就等于 a 撇 q？ ap 是 不等于 a 撇 q 好，那我 a p 加上 p q 是 不就是 a 撇 q 加上 p q 再加上 q b 了，对吧？我 a 撇 q p q 可以 念，这个是不能变的，这个是个和宽，对吧？能变的是谁啊？ a 撇 q， a 撇 q a 加上 q b 什么最小啊？是不直接相连最小直接相连 a q 点就在这儿 好，所以它就大于等于 a 撇 b 直接相连 a 撇 b 再加上 p q 好， 这个是详细的证明过程，它就是这么做的。好，记下再看。那如果我辨认这种程度， a a 和 b 在 和的同侧，刚刚是异侧在和同侧了，那这个时候还是按求求 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题。 这什么最小？这个时候是一样的了，你把 a p， 我 a p 怎么办呢？你把 a p 是 不等于 a p 啊？ 那你 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题，是不又变成了 a 撇 p 加上一个？哎，这，这儿，这儿， a 撇 p 加上 p， q 加上 q b 问题了，这跟他们刚刚讲的没啥区别。它怎么做呢？它只需要把 a 撇推进 a 撇撇推进什么？推进 p q 的 长度，这个是不又个平次边写 平行四边形 a 内，你发现 a 一 撇儿 p， a 一 撇儿 p， 是 不是就变成了 a 一 撇儿 q， a 撇儿 q， a 撇儿 q 加上 q b， 再这样 p q 有 没有问题？这俩什么时候最最小啊？那就是把这个 a 撇撇儿跟 b 相连啊， q 就 在这儿，是吧？最小值是不是就 a 撇撇儿 b， a 加上一个 p q 啊？ 哎，咱们要学会类比。接着再看将军与马，还有一种不止和的最小值问题，他就说让你去求差的最小值问题啊，这个更简单， 哎，比如说 a 和 b， a 是 两个定点，在和的同侧， p 呢，是在 l 上一个动点，第一个让你去求 p， a 减 p， b 什么最小？嗯，最小？那就是零呗。哎，零的时候就让我让 p a 等于 p b 啊，这种情况怎么就能实现了呢？做 a b 的 垂直平分线呢？ 垂直平分线相交于 l 一 点 p， 哎，我就搞定了嘛。是啊，看模型二、模型九， a 模型九是同样 a， b 是 在和的同侧两个定点 p 呢，是合上一个动点 p， a 减 p， b 的 最大值。最大值是什么？最大呢？你发现这是不是一个三角形？ p a 减 p b 是 不是属于是两边之差？两边之差是不小于 a b， 我 又没有说它可以形成三角形，不形成的时候是不共线的时候，刚好等于 a b 啊。 所以当 a b 直接延长 a 交于这个点， p 就是 咱们求的那个 p 点，这时候你发现 p a a 减 p b 不 就是 a b 吗？所以最大值就是 a b 了， a 我 就搞定了。 好，再来看。哎，这个时候它如果 a b 叉的时候， a b 分 布在核的两侧都是定点， a p 点是合上一个动点还是 p a 减 p b 什么最大？哎，我怎么搞？我搞不定啊，这时候怎么办？你只需要把 b 把这个 b a 关于这核对正过几对，它要 b 平啊。 你发现这个 p a 减 p b 的 问题，哎， p b 撇是不永远等于 p b 啊？哎，那是不就 p a 减 p b 撇 p b 撇的问题了？这个是不跟咱们刚刚讲的模型九又一样了，小 e 等于什么呀？小 e 等于 ab 撇， 哎，那有 p 在 哪？把这个 ab 撇相连吗？让这个 p a b 撇三点共线的时候最大呀？是啊，哎，那我就把所有的将军马模型讲完了，你学会了没有？ 好，接下来咱们来看模型十九海盗埋榜模型，也叫逆旋转相似来看下这种模型特点。第一个，它形容的是两个等腰直角三角形再进行旋转，比如说三角形 a d c， 这个是个等腰直角三角。再来看三角 c b e， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转啊。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连下来之后，取它终点 f， 一 旦取点 f 终点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相挨之后呢？ f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也只四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个 a 三角形是不也是等腰直角三型？也是它垂直的？好，你看一下这个红的和这个紫的，是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是叫左手啊？ e 数也是左手， p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好，那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，相等完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了， pe 等于 d q 也有两个拉数线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢， f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下， f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二坡罗墨迹的模型，也叫坡式模型，哎，这它是由三个模型 衍生的。咱们来看第一个模型，垂直垫中点什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b、 e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b、 c 和 d b、 e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转。旋转的话，它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个要是直角，那么把 m b 进延长，延长了之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b， a b d 边相等。第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。哎，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把啊 b n 它进行延长，延长了之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后，大家看一下我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再这样它都垂直，那所以所形成的这两个三角形小的三角形 d、 q， n 和 a p n 是 不全等。全等完之后，那你 n、 a 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 大家看一下，这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是？咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个 c、 e 等于二位的 b、 n、 c、 e， 你 看一下，给我把这个擦掉。 好，那重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 me 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ me 呢？ me 一 线三垂直， me 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b two 嘛。 啊？ b p 就 等于 b n 减去 np， b two 等于呢？ b n 加上 q n 这两个相加一定等于二倍 b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直还是 a b c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转了之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿是垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p b 径延长到这儿，肯定垂直。 好，那看一下，这个为什么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造全等，就是构造平行四边形。平行四边形的话，这个角 b e m 加上这个角 c b e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a b d a b d 加上 a b d 加上这个 c b 是 不是也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等， a 这两个直角应该相等。好，这样再看这两个直角相等，那我给我换一个颜色， 那我看一下我这个 b e、 m e 是 不和 bc 相等？刚刚全等，是吧？ 那 bc 呢？又和 b a 相等，那所以这个 b a 是 不是和 m e 相等？那我在这一封，这一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？ 好，我就证完了。全等完之后。好，全等完之后，接下来看非常关键的。全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一 a， 这角二吧，用刚 b 二，角二，这儿是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，那个角二加角三，这也也是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了， 对吧？而这第一个结论就是垂直好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好，正吧，刚刚我说了，我这个三角形钢刀不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这里是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，哎，就是说我这个 a p 等于二二， a d 等于二倍的 b p a d， 咱们刚输了，全等， a d 这个三角形和这个三角形刚，不是正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不是就是 b p 的 二倍？所以说我就证完了，哎，就是二倍啊。好，那接下再看 最终的破罗模型的模型，演下定例，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形， 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直。那么如果说我其中这儿是垂直的，这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的颇治定力。好，咱们来正一下，为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？对啊，这是角 e 在 这儿呢，角 e 是 不是在这儿呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角 e， 这个角 e 是 不是在这儿呢？为什么呀？因为同弧 cd 所对的这个角 e 是 不是在这儿呢？为什么呀？因为同弧 cd 所对的这个角 e 是 不是相等啊？ 所以其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等，相等完之后， f m 是 不等于 f a， f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点，好，看一下，我这个角在哪呢？我这个角 a 是 不在这儿呢？ 为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不是相等？再来看，我这个红角是不是在这呢？因为他们同时加上这个角，都是九十度吗？对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加周角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢？ 好，那这两个红角是不是相等？相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d， 那 c f 是 终点，所以我就正完了，好，大家学会了没有？趴下再看第三个 模型，二十一，哎，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你个三角形 a， 制药伞形 abc， 角 c 九十度 a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 pc 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过 p 点做这边一个垂直，哎，因为角平分定里 f d 是 不是等于 i， 这个 p d 是 不是等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊，好，那见了带锯看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不是也是 x， 那 它是不是就是八减 x 啊？所以你所形成的这个算式是不是叫勾股定律啊？ 勾股定律以后解出 x 是 不？解出 x 之后我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速的解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 pb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊，哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对啊，直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三对吧。来，咱们继续看模型。二十二， 矩形翻折模型好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二、角三，然后第二个结论和第三个角，咱们看。 当你折叠时候，咱们记住折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，但这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d、 e 等于 df。 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e、 b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应变相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种，这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，应发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等。所以说 e、 a 是 不等于 e c 啊？ e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e， a， c 等于角， e c 也就成立的只有角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等，这儿有个直角，所以说这个三角形 f b c 和 a f e 是 不是又全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a c 上，然后就以结语把 a、 d， f 折到了 a， e f， 这如你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c e 等于 a c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a d 数跑到 a e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不都等于 a c 减去个 a e 也等于 a c 减去 a d 啊？所以这个决定成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c f 的是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c， d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了，这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠说像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个地点对应点折掉了 g， 这个 g 刚好是 ef， 是 它中间那个折痕。这个时候你要看一下 a j 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边相等对应边，是不就是 a d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a j， 你 这个时候你发现 a， j 是 不就等于 a， d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看被这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a， e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所在的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折对对角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽衔图模型赵爽衔图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型好，进来看一下，说在正方形 a、 b， c、 d， 哎，内部，然后在 a、 b， b， c， d， d， a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e， h， g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c， f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两个直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样？它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 e f 是 不是就等于 g， f 啊？同理也等于 f， e 也等于 h g， 所以 这个就成个正方形了，所以我就正完了，是吧？这是详细的一个证明过程。我再来看二四 风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖给好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就这个地方是三尺， 那你一看发现，哎，这种咱们用勾股定力结建方程，比如说咱们说折断后的那个高度是 a x， 也就这一段是 x， a 总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎，由竖的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定力，用它有个直角，对吧？你这 x 方加三方， a 就 等于十减 x 方，然后追截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹竖轴形是勾股定力的一个应用。再看 出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型，什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？你就这一段 a b 出水三尺，用它漏在水面上三尺嘛？ 然后接下来一风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢，它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 晚上后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。哎，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x 值， 那发现 p b 是 不等于 p c， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a， 它是不是加上 a c 方就等于 p c 方，是吧？ p a 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢这个 p c 呢？就是 x 加三呢？所以直接解得 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看，我想二十六、三七八和五七八模型，这个非常非常重要。有时候咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛？一个赛线三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形，为什么呢？咱们可以尝试一下， 诶，比如说有这么一个三角形，等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a、 d 勾股定律， a、 d 就是 四根，四倍根，三四 b 跟三。好，你再看 e、 d 这个 b、 d 是 不是四？ b、 d 是 四的话，这是三，那这是不就是个一，这就是个一。所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形，这是四 b 跟三，这是一，所以勾股定律是不是直接可以求出 a e 啊？ a e， 你 求完之后发现 a、 e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满炭足够的敏感，它们一旦一拼就是一个等变三角形。 好备好，咱们继续进来看蚂蚁爬行模型，哎，这也是勾股定律，那块经常会导出蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，去把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面儿，翻成平面儿之后，诶，这边儿就是个 b， 这边儿就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方就是这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖儿这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和 s， 让 b 和 c 也延长一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样的。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀，比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就 a 一个长方， a 一个长的棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看有的之后呢，他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀，是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆的周长？圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面 a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话，也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去行了？他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就说你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜，这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路程最短，哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形，就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值，该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的一叫什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型 好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇，然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就是 最短，什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b。 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续讲 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a、 d、 c、 d 面积就就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方？ a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论，第二个结论，它的面积 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不是二分之一的 b d 乘以 a 啊？下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊？我把二分之一 b e 提出出来， a 加 c， 那 是不就二分子力的 a c 乘 b d 啊？所以我就求完了。 好，咱们继续看模型二十九，叫终点四边形的模型。什么叫终点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m n， p q 是 这个任意四边形的一个中点， 它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，哎，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b d 的 一半，然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等？ m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形啊，对吧？好，第二个，像这种的，这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行界等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 科，这个 n p 是 不是就平行且且相等？那所以它是不是还是个平次边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n， m n 是 不是平行等于 ac 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 ac 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不是就跟 p q 平行且相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么叫以要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了。 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形就是个菱形 耶，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等，是不意味着它和它相等啊？本来一个平四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看。如果对角线垂直且相等四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个拼四边形，对吧？因为对角线垂直，对二垂直的话，它就垂直了。用对角线相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了。所以说它既是矩形，又是菱形，那么它就是个正方形了。 大家看，凡是十字架模型，这在正方形那儿会正常出现，说在正方形内部，哎，有这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么我也结论就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f 只要垂直，文中 b e 和 b f 它相等，为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b、 e， 它是全等的，哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？俩直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 上再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以跳全等了，是吧？加角 b 全等，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线 a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 动成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的吗？全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？ 好，他说这种，哎，比如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要正这个三角形和这边的三角形全等就行，对吧？还是全等，全等就仍然相等嘛？那还有一种是吗？非常极端的就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是你只需要正它 和他这两个三角形全等，全等完之后，哎，他就又成立了。所以记住，正是正方仪内部，如果说有垂直，那叫必相等，俩如果相等也必垂直，所以这两个是互逆的。好，朋友们，好，咱们看一下模型三十一，梯子模型。什么叫梯子模型呢？就形容在这么一个墙上，他跟地面是垂直的那么一个墙。 哎，然后呢， a 和 b 在 墙上滑动，也就是 a 和 b 是 动点，那么啊，让你求，首先 o q a a b 有 个中点 q， 然后让你去求 o c 什么时候最大， o c 什么最大？好，咱们结论就是当 o q c 它共线的时候， o c 最大。好，咱们求一下为什么这样吧，首先看一下，在三角形 a o b 当中，因为 a o b 是 直角，那所以说咱们由斜边中线理论， a q 是 中点，所以 o q 是 中线，由斜边中线理论可以得到 o q 直接是二分之一 a b 好 几下再看，那你在三角形 b q c 这个 之中，然后由勾股定律可以得到 c， q 是 不等于 q， b 方加上 c， b 方开根。好，那么 q b 是 不就等于二分之一的 a b 啊？所以就二分之一的 a b 扣入平方，加上 c， b 方开根。 也就说，哎，你把谁呢？哎，你把 q c 也求出来了。好，接下来看一下最关键的一步，最关键的一步，咱们在三角形 o q c 当中是不有个三边关系啊？什么三边关系呢？ o q 加上 q c 是 不是大于 o c 啊？两边之隔大于第三边，它没有说 o q c 必须三角形，所以说可以是等于圆，等于就知道了。那这个 o q 是 不就是二分之一的 a b？ 那你的 q c 呢？ q c 是 不就刚我求的这个根号 a， 你 加上这个，那 c 是 不是大于等于 o c？ 所以 o c 是 不是小于等于它啊？也就是说那 o c 最大值小于等于它， o c 最大值是不是就 o c 等于 a b， 再加上后边这串， 哎，也就是说 o q c 贡献的时候， o c 最大值就是这个后边这一串。好，那么咱们接下来继续 看模型。三十二，对角互补模型。什么叫对角互补模型呢？首先他形容的是对角是互补的，比如说，哎，九十度，九十度，这两个九十度，那么对角是不互补啊，相应的，我这两个角是不是也互补啊？这两个角是不也互补啊？好，互补之后和进来的，咱们看一下。 那么 a d 等于 a c 啊，它结论就是第一、第二、第三。好，咱们证明一下。哎，为什么这三个结论成立？首先咱们要进行旋转，怎么旋转呢？你把这个 a、 b、 d， 把 a、 b、 d 旋转到 d、 c、 e， 它为什么能够完全旋转过来呢？首先第一个就是因为 d、 a 等于 d， c， a， d、 a 等于 d、 c。 第二个，因为咱们杠出的这个角 a 和这边这个角 c 又互补的，所以你这个角 a 转到这完全是个平角，所以转过来之后没有任何的问题。好，那我们看一下，转完之后，那咱们就好多了。那第一个，他说 结论， bc 加上 ab， 你 这个 bc 加上 ab， 此时 ab 是 不就是 ce 啊？所以 bc 加上 ab 是 不就是 be 啊？是吧？就是 be， 你 这个 be 看一下，因为它是一个直角，那 be 是 不就等于根号二倍的 bd 啊？ 所以第一个结论我就证完了，好，看一下。哎，这是详细了一个证明过程。好，咱们看第二个结论，说 a、 b、 c、 d 的 面积被求下 a、 b、 c、 d 的 面积，它为什么就等于二分之一的 b、 d 方呢？好，那当然，接下来咱们继续， 你会发现所谓的他说的这 a、 b、 c、 d 面积，因为我已经把 a、 b、 d 转到了 d、 c、 e 了，所以 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 a、 b、 d、 e 的 面积？我 b、 d、 e 的 面积，我这是九十度。好，我在求的时候，你想一下，因为 d、 b 是 不等于 d、 e 啊？因为 d、 b 转到了 d、 e， 是 吧？这两个边是相等的，所以说这个象形的面积就是二分之一的 a、 d、 b 是 不乘以 d、 e 啊。 然后呢，你这个 d、 e、 u 等于 d、 b， 那 是不就二分之一的 b 地方啊？好，我就挣完了呀，对吧？那接下来咱们继续，咱们继续看第三个结论， 也就说 b、 d 是 角平分线，这更简单了， b、 d 为什么角平分线呢？我说了，你把 a、 b、 d 已经转到了谁呢？转到了 d、 c、 e 啊，这两个角平行相等啊， 这两角相等，因为什么呢？因为 a 这个是个直角， d、 b 等于 d、 e， 所以 是等腰直角。这个红的是不等于这个紫的呀？那所以这个红的是不跟这个紫的也相等，所以说它就是角平行线了， b、 d 就是 角平行线了，所以第三个这轮位就正完了啊，这就是详细的证明过程。好，继续 对角互补。还有一种就是六十度和一百二十度，也就是他是六十度，他是一百二十度，他们是互补的。那所以你别忘了这个角互补，是不？这两个角也互补啊，好，互补之后再来看他。还有个就是 a、 d， a、 d 等于 d、 c， 跟刚了填一样，那所以说 a 第一个结论，第二个结论，第三个结论，咱们接着开始整，它的道理都是差不多的。好，首先咱们还是咱们把 abd 进行旋转，你用反欧把 a、 b、 d 旋转，是不是完全能够转到 d、 c、 e 啊？是吧？为什么能够转到呢？第一个，你的 d、 a 是 不等于 d、 c？ 第二个，你它和它是不互补， 他和他互补的话，那你想一下，那我这个这个角不就转到这儿了吗？这两个不也是互补吗？所以说他就是大平角，所以转过来完全没有任何问题哈，是不跟刚刚那个没有什么区别，对吧？转过来之后，接着咱们开去正，那第一个结论， bc 加上 ab， bc 加上 ab， 是 不就 bc 加上 ce 啊？ 那么 b c 加上 a b 是 不就是 b e 啊？ b e、 b e， 你 会发现咱说它是六十度，它这个转完之后，给这个角加上这个角是不是一百二？那所以这个角加对角是不是也是一百二？那咱们就输了，那也就是说我现在， 哎，现在也就是说我这个三角形，是不是这是一百二十度的一个等腰三角形？等腰三角形，咱们说一百二十度等腰三角形，那我这个 b、 e 这个边就等于多少三倍的 b、 d， 所以 证完了第一个结论，对吧？第二个结论， a、 b、 c、 d 的 面积，咱们说 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 b、 d、 e 的 面积啊？对吧？因为转过来了嘛， b、 d、 e 的 面积等于什么呢？等于二分之一的 b、 e 是 不是乘以个高？那高谁呢？你可以做一下做这个这个高嘛，因为它等二直角上面是一百二，这是不是就是三十三十度三九，这是 dm 吧？那三十度化，所以 dm 是 不等于二分之一的 b、 d， 所以， 哎，二分之一的 b e 乘以 dm 就 等于二分之一的 b e， 你 算 dm 是 不等于二分之一的 b d 啊？ b d 是 吧？那所以你看一下接下来二分之一，这个 b、 e 是 不是等于咱说等于根号三倍的 b、 d， 对 吧？等于根号三倍的 b、 d 再乘以二分之一的 b、 d， 你 就发现了，这俩相乘不就是四分之根三吗？这个 b、 d 乘 b、 d 不 就 b、 d 平方吗？所以我就挣完了。好，这就是第二个结论， 这都是详细的一些证明过程啊，大家一会可以看，接下来咱们看，我把这擦掉，咱们继续，咱们继续来证第三个结论。第三个结论就是说明，哎，为什么这个 b、 d 就 又是角平分线了呢？那这个肯定难了，单说，因为只有两个角相等，对吧？ 然后呢，这个角是由谁转来的？这个角是不由他转过来的呀，所以说，哎，这三个小赤背都相等了，所以第三位就正完了，对吧？好，咱们接下来继续 一百八十度转对角互补的模型，还有一个，也就是这样，一百二在这儿，六十在这儿，是不是也互补啊？这样的话，它也是，你道理是一样的啊，它是把这个三角形，然后呢转到这个三角形， 嘿，转完之后咱们解要去说明一下啊。首先第一个 o d 加上 o e 是 不是在这儿呢？所以 o d 加 o e 是 不是就是 o b 啊？这儿是不是就是 o b？ 为什么 o b 等于 o c 呢？很简单呀，因为你这个上面是六十度啊，上面六十度的话，你又意味着我这儿是不是六十度？这儿六度的话，你撞了之后， a， 我 这个 c、 o 和这个 c 比，是不就全部相等六十度，所以它是个等边呢？那等边的话，那我 o b 就 等于 o c 了，我第一给撞完了，哎。第二个， a、 b、 c、 d 的 面积， a、 b、 c、 d 的 面积，是不是就是三角形 c、 o、 f 的 面积，对吧？哎，就是三角形 c、 o、 f 的 面积，也就是，哎，咱们刚刚说的这个 c、 o、 f， 哎，这个三角形的一个面积，反而等边塞形的面积，公式是四分之根三倍的 边长平方也就是四分之根三倍的边长，边长不就是什么呀？ b、 d 边长不就是 b， 在 这儿应错了，而是 b o， b o， 边长不就是 b o 吗？所以就是 a、 b、 o 的 平方。 好，那所以绕角面积也就正满了。第三个角点， c、 d 等于 c e， c、 d 等于 c e， 而 c、 d 为什么等于 c、 e 呢？这个咱们看一下，也很简单， a、 c、 d， 咱们刚输了， 我这个三角形，哎，是不是撞到了这个三角形，那你会发现 c、 d 跟谁相等啊？ c、 d 是 不是就在 c、 e 呢？ 验 c、 d 撞到了 c、 e、 z、 i， 我 就结束了，对吧？好，接下来，好，咱们来看第四个，哎，咱们杠住，对角互补，哎，都是九十加九十，六，十加一百二，这儿来一个更普通的阿尔法，加上一百八减阿尔法 是它操作是一样的，也是把这个 a、 b、 d， 然后进行旋转，旋转到什么呀？旋转到 d， c、 e， 咱们刚刚都这么操作的，对吧？旋转完之后，所以第一个结论，第二个结论，第三个结论全部成立啊，这儿就不再讲了，因为下边有详细的一个结论，大家可以看一看。 好，接下来咱们看一下模型三十三，奔驰模型。为什么要奔驰模型啊？你看这个图形像不像个奔驰？它对不起啊？对啊，所以跟姓名叫奔驰模型好，奔驰模型，它有些什么定律呢？它就其实形容在三角形 a、 b、 c 还是个等边三角形 a、 b、 c 当中，如果告诉你 p、 h 是 三， 而 p b 呢，是四啊， p c 呢是五，然后呢？ a、 p、 b 就 这个角，它等于一百五十度，一百五十度好，但去正啊，它是结论，结论是它一百五十度。第二个结论就什么呀？就 a、 b、 c 的 面积等于四分之根，三倍的 ab 平方，等于这个 等于它，哎，为什么呢？好，记着，咱们挨个去正，旋转。第一个就是正，这个 a、 p、 b 是 一百五十度的问题，这个怎么正呢？哎，记住，旋转，旋转，怎么旋转呢？我们可以这么着旋转，你把 a、 p、 c， 把 a、 p、 c 来进行转， a、 p、 c 转到哪呢？逆时针转来，转到这个地方，装这个地方。为什么这儿能完全转过来？因为 a、 c 等于 ab 嘛，等边在行，完全贴合嘛，对吧？所以在转的过程当中，还转到 a、 p 是 不是就等于 a、 d 啊？ a、 p 等于 a、 d。 好， 接下来看啊，见证奇迹的时刻，你在转的过程当中，这个红角是不是转这来啊？ 好，接下来再看。我这有个直角，这个红角加这个直角是不是六十？那所以这个红角加这个角是不是也是六十度？所以这个角是不是六十度啊？ d 角六度，所以你会发现，本来 a、 d 是 等于 ap 的， 这个是六十度，那所以这个呢？这个是不是什么三角形啊？这是个等边三角形，非常的漂亮。对，它就是个等边，等边的话，三三，那这是不也是个三呢？这是三，咱们刚说了，这是个四，对吧？ p、 c 是 个五，这五转哪去了？五转这来了，所以三、四、五，太棒了，这就是九十度，这是六十度，六十度加九十度，多少啊？一百五十度啊， 对吧？所以我就挣完了，哎，又挣完了，好，咱们在这再清晰的表示一下，哎，就说这个角，咱们刚挣出来是六十度，这个角是九十度，所以是一百五十度。那第一个教练就结束了。 好，第二个结论， a、 b、 c 的 面积， a、 b、 c 面积，它是个等边三型，然后等边三面积公式等于四分之根三倍的 a、 b 平方，也就是现在你要求出什么呀？求出 a、 b 的 平方，给我表示出来就行了。好，咱们刚说了，这是一百五十度，这是一百五十度，这是多少？这是不是三十度？三十度，这是不是四，这是四的话，这是几， 这是几？哎，一半啊，三十度，这不就是二吗？这呢二倍根三呢？二倍根三，所以这是三，那所以整个这一条是不是三？加上一个二倍根三，这是二，然后这是做的垂直勾股定律，直接求入 ab 是 吧？好，直接求取 ab， 然后这是具体的证明过程， ab 的 平方最终就求出来了，它是这个东西，那所以算形 abc 面积等于四分之三 ab 平方，然后把它一带入，就是它啊，这是一个详细证明过程，大家可以再详细的看一看。 好，接下来。哎，咱们发现刚刚旋转的时候，咱们旋转是不是 a、 p、 c 转到 a、 d、 b 啊？那其实这种奔驰模型有好多种转法，有好多种转法。哎，比如说，你说我就想把它转，我就想转它，行不行？ 行啊？它怎么转啊？你把它转的时候，转到你把 b、 d 是 不是转这来了呀？那是就转成这个样子了吧， 它直接转是转这儿，这也能解决问题啊，咱这儿用了一个非常好的技巧，就是等边向量的面积公式，等于四分之根三倍的边角平方，那这个怎么正呢？很简单，等边向量 a， 如果边上是 a 的 话，这儿是不值个三十度， 这儿三十度，这个呢？哎，这个是六十度，所以这儿是 a 的 话，这儿是不是就二分之根三 a， 那 面积等于二分之根三二分之一，哎，底儿乘以高，二分之根三 a， 所以 一乘是不是四分之根三 a 方，这个是需要记住的啊。四等边赛一面进攻是等于四分之根三倍的，哎，边上平方。
7565数学思维阳老师
00:36查看AI文稿AI文稿八下数学最难的十五大几何模型全部吃透，逆袭班级前三！一、平行线角平分线七、中点四边形模型 十四、对角互补型十五、鸡爪模型 失误最短路径问题圆柱长方体完整版分享！
110小芋绵绵
08:41查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，我们一起来看一下第六题。在学习全等的过程中，发现了这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置发生变化的时候， 呃，会组成一组全等啊，这就是我们所熟记的手拉手。而在这呢，这个引导型学习型的一个材料问题告诉我们，手拉手模型就是我们这个题的关键。那我们来看一下 就是什么叫手拉手呢？或者说这个模型怎么去运用的？那它的一个变形和演变应该是什么样的？比方说，在一小问里面得到两个等标，一个是 a b c， a b 等于 a c， 一个是 a 大 e， a 大 等于 a e， 我 分别用一条杠两条杠去表示，并且 d a e 和 b a c 这两个顶角是相同的，那么旁侧两个相同的角，那么一般我们就会用到叠角模型，所以这两个弧度角也是相等的， d a、 b 是 等于 e a、 c 的。 在这样的一个连接情况下，我们就把连起来连接 b 大 这两只手，以及连接 e、 c 这两只手，得到这两个橘色三角形，它们俩是全等的。 呃，两组边相等以及中间的夹角相等，就可以得到我们的第一个 a 大 b 三角形全等于 a， e、 c 这个三角形用的是边角边。 第二个，在一问的条件下，要求求证 fa 是 c f 大 的角平分线。其实这个问题很简单，你就只需要去想它有一个什么特征是叫角平分线。角平分线的一个特征在于怎么去证呢？ 在初一这个阶段就需要回忆一下。嗯，我们讲过，如果有角内部的一个点到 这个角两边的距离垂线段是相等的，那就可以证明这个点在角平分线上，那么连接起来是不是就是个角平分线了？所以我们就只需要去证明垂直的两条边就可以了。那如果你想要得到垂直两条边，你想一问的条件下是什么条件？是不是在告诉你等腰 成立的情况下，左手拉左手，右手拉右手，这两个三角形是全等的。 在这两个三角形全等的条件下，再让连接 a、 f 去证明角平分线，那我们刚刚提到了要做垂线段，所以新的辅助线是不是还得做？那过 a 点去做 a p 和过 a 点去做 a、 q 是 垂直的，这两个三角形全等，那么对应边上的高是不是也应该是相等的？ 所以 ap 就 等于 a、 q 垂线段相等，所以 a、 f 就是 一条角平分线。好了，我们就根据垂两边去证明出来了，但是写一个完整的过程，并不像我们的一小轮填个空就结束了的。首先你要利用刚刚提到的 边角边这组全等是怎么证明得来的？ a、 c、 e 全等于三角形， ab 大 是利用边角边正得的，那得到完全等之后，一定要再去说，既然这两个三角形全等，第一，它的底边是不是相等的，这个最长的 c、 e 和 b 大 就相等。第二，底边上的高也是相等的，但是这个高呢？你又不能直接说，你可以借助于面积相等，也就是 a、 c、 e 的 面积是等于 ab 大 的面积的 底相同，面积相同，所以对面上的高相同。所以我们要去做两条辅助线才能得到 a、 p 是 等于 a、 q 的， 再结合它们俩是分别做的垂线段，所以才有了 fa 是 c、 f 大 的角平分线。这是二维 三问，如图三在三图里面哈，这两个等腰三角形变得更加特殊，不仅等腰还直角，所以这里是垂直，这里也是垂直的。那么通过我们刚刚所得到的全等，再去找一下，左手拉 左手，右手拉右手，分别是 a、 c、 f 和 ab 大 两个三角形全等了就有一个好处了。那我们刚刚所提到的一个结论里面的拉手线 c e 就 等于 b 大， 并且它这道题呢，给了一个有点奇怪的条件，叫 f， c a 是 三十度，如果 c f 乘 b f 是 等一加根号三的去求 acf 的 面积是多少。 在这样的一个问题之下，我们就去结合一问和二问去做。我们就借他的一个结论啊，一拉手线相同， 而且对应角相同，所以这两个顶角就是相等的。然后再因为对顶角是相等的，所以这里都是直角，所以在这一块也出现了一个垂直，但是他给我们标出来了， 就是 b、 f、 c 这块是等于九十度的。这是由以上的两个结论一起推导出来的，除了拉手线相等以外，这个夹角是等于九十度，而 f a 是 角平分呀， 那平分之后，它的格子角为多少？是不就是四十五度？所以我们在这儿用红色笔来标一下。现在呢，在要求的 a、 c、 f 里面， 需要去求解的是这个三角形的面积，而这个三角形呢，只有一个角， f c a 是 等于三十度的，以及刚刚提到第二个角角平分，所以把这个直角平分成两部分，四十五度以及 还有吗？没了吧，没了之后你就要去找 b f 乘上这个 c f 的 乘积是一加刚好三，所以太棒了。这就是给我们的唯一的一个已知的有关的 数据条件，那我就需要根据它去做，那在未知具体的长度的情况下，我们就只有去多设未知数了，而设完未知数五，希望大家去做一步，叫做减三角形。比如说我们把这个图放大， 你要去求它的面积对不对？然后有一条边是不是 c f， 那 么 c f 边上的高是不是还没有？所以我们过 a 点去做一条高， 新做的这条高，我们令它为 w 做 a， w 垂直于 c f， 之后令短的这条边为 x， 这条边也为 x， 这条边就为二 x， 而这条边就记作根号三 x。 所以 现在 c f 已有是根号三加一倍的 x 以及 b f 是 多少呢？这里就得依赖于我们刚得到这个角度，大家不要忘了这个地方仍然是三十度，那通过这个三十度，我们再放大一点点来看，我们刚刚设的是这一整条为 x， 但是其实通过这里为 x， 我 可以去求出这一段 这段，然后再去减，是不是得到这段。这段因为是三十度，它的三边的一个比例大家都知道，等于一比，刚好三比二，所以这个 b f 是 不是能算出来，我们来试着做一下。呃，在这的话是 x， 所以 就除以根号三，所以就是三分之根号三 x。 好 了，就这一小段写的特别丑， 然后这个的话就应该是一减去三分之根号三倍的 x， 这是 n f， n f 的 长度是这么多，再乘上根号三倍，所以 b f 在 此时乘上根号三倍就根号三，乘上根号三就减一倍的 x 就 出来了。 好啦，那通过我们的一个条件哈， c f 得到了 b f， 刚刚也求解出来了。推推推推推推出了，是根号三减一倍的，乘以三加一，乘上根号三减一倍的 x， 乘 x 就是 x 平方，等于一加根号三。 所以在这你就不要去求了，你就得到一个 x 平方就够了，因为说不定你的三角形的面积并不需要去把 x 求出来，没必要多此一举。左边是等于二，所以这里为二分之一加根号三就是 x 平方，要去求 a、 c f 的 面积。怎么办呢？ 接下来我们继续来细想，这个 c f 等于几啊？ c f 在 这边是等于根号三加 x 的。 呃，在这，然后高等于几呢？高是等于 x， 所以 它就变成了根号三加一倍的 x， 再乘了 x 即可。而 x 平方等于这么多，所以根号三加一，再去乘二分之 一，加刚好三，就是刚好三加一。我们去把它算出来是二分之，上面是四，四加上 还少了一个，还少了一个二分之一。你底乘高还乘二分之一，所以这里还得乘个二分之一，所以是四分之四加二倍刚好三。好啦，除以二，最终我们就可以得到二分之二，加上刚好三。
00:51查看AI文稿AI文稿八年级下册的一个一次函数，你把基本的概念性质学会以后，更重要的一定是要会去解综合题， 综合题要和几何相连在一块的，所以各位，函数本身可能没有那么难，难就难在于几何的综合啊。我们到了这个九阶要学二次函数， 那一次函数作为基础，二次函数难也是难在几何，所以函数与几何的综合这个压轴一定是要花大量的时间 认真的去学习，各个题型，逐个题型进行逐一突破，反复看你的错题，给他彻底搞定。
