立体几何斜二测画法相关公式
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05:44查看AI文稿AI文稿这节课我们一起来学习写二册画法。首先我们来了解一下什么是立体图形的直观图。直观图是观察者站在某一点观察一个空间结合体或者图形，比如说这些图形是观察者站在某一点观察一个空间结合体得到的图形。 那么立体图形的直观图该怎么样画呢？我们要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图，那么水平放置的平面图，我们需要学会一种画法是斜二层画法， 利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，这边正方形是原图，那么利用斜二侧画法得到的图形呢？它的直观图会是一个平行四边形，那么这个画法是怎样得来一个平行四边形的呢？接下 下来我们一起来学习斜二侧画法的一个步骤。原图它是一个正方形，而直观图呢，变成了一个平行四边形。怎么样利用斜二侧画法得到这个平行四边形？我们分为几步，现在看。第一步，先建立坐标系。 原图中 s 轴和外轴是垂直的，但是呢，直观图中 s 一撇和外一撇他们是成了四十五度的角。 坐标系建立好了以后呢，我们再进行第二步，坐标轴上的点，我们把它找出来。先来看很坐标，很坐标，也就是说 s 轴上的长度它是不变的，很不变， s 轴上的长度不变。开始的时候 a 点在远点，那么 ab 的长度假设是四横坐标，它的长度不变，所以 a 撇 b 撇，它的长度也是四是不变的。 a 撇呢， 也在原点 b 点的位置，根据 ab 的长度四来确定他的位置，我们也能确定外轴上的长度是减半的。重要减半。 假设 ad 刚才也是讲了，因为是正方形，所以它的长度为四，那么外轴上的长度减半，这边就变成了二。这是第二步，坐表轴上的点，把它标出来。 第三步，平行坐标轴的线平行关系怎么样理解呢？只要平行于 坐标轴的线呢？最后经过写二次画法得到的直观图依旧是与坐标轴平行的。比如说原图中的 ab 和 cd 与 x 轴平行，那么直观图中 apb 一撇， cpd 一撇，这两条线也是与 x 轴平行。那么原图中的 ad、 b 和 bc 这两条线与外轴平行，那么直观图中的 a 撇第一撇， b 一撇， c 撇，这两条线与外轴也是平行的。 那么再进行第三步，连点，我们把所有的点连接起来，然后就组成了我们的直观图，这是有关利用写二字画法画直观图的方法。接下来我们做一个练习题。 已知在平面直角坐标系中，一个平面图形上的一条线段 ab 的实际长度呢，是等于四，若 ab 它是与 s 轴平行，那么现在画出直观图以后呢？线段 a 撇 b 撇 ab， 它是原图。那么直观图的线段呢？用 a 撇 b 撇来标志它的长度是等于多少？我们这里有讲， s 手上的长度是 不变，横不变，因为与 s 轴是平行的，所以它的长度不变。所以 a 撇 b 撇呢？它的长度呢，也是四厘米。 但是呢，如果与外轴平行， ab 与外轴平行，画出直观图以后呢？对内线段 app 呢？他的长度呢，是减半的，外轴上的长度是减半，所以他的长度是等于两厘米。 接下来我们做一下 miss t， 判断下列说法是否正确。相等的角在直观图中仍然相等。刚才我们讲了正方形的直观图， 正方形的四个角都是直角，但是呢，这个角和这个角不相等，这个角等于四十五度，而这个角呢，等于一百三十五度，所以第一个是错误的。第二个，长度相等的线段，在直观图中长度仍然相等。长度相等的线段呢， 刚才这个正方形四条边都相等，但是呢，这边只有对边相等。所以长度相等的线段呢，在直观图中不一定相等，也是错误的。 他的很与 x 轴平行的线段，与原图中的线段是相等的，但是呢，与外轴平行的线段呢，是原来的一半。 第三个，若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍然平行，这个是没有问题的。我们在讲第三步的时候有讲到 第四个，若两条线段垂直，在直观图中对应的线段也互相垂直。不一定，这边呢，四条线段都是，这里都是两两垂直的，但是在这边呢，都不垂直，所以第四个也是错误。最后我们来做下小结，这些课呢，我们就学习了斜二侧画法， 有四步。第一步，我们先画坐标系，坐标系，注意，原图中 x 轴和外轴它是垂直的，但是呢，在直观图中， s 一撇和外一撇呢，他们俩是乘四十五度角。第二呢，坐标轴上的点， x 轴上的长度不变，横不变，外轴上的长度呢，是减半， x 轴上的长度是与原来长度是一样的，但外轴上呢，是减半。平行关系。 开始与坐标系平行的那些线呢？最后还是会与坐标系平行，开始这些线段是平行的，那么最后直观途中还是会平行的。好，我们确定了一二三以后呢？最后我们把剩下的点那些线全部连接起来即可。好，这节课我们就讲到这。
2082滴答课堂
12:38查看AI文稿AI文稿立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。
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05:45查看AI文稿AI文稿斜二侧画法在进入立体结合以后，我们往往会用一种斜二侧画法来画空间图形或者水平放置的平面图形的直观图。这种画法的规则我们通过一个水平放置的矩形来进行说明。 首先在这个原图中分别取 x 轴和 y 轴，他们两个互相垂直，原点是点 o。 画直观图的时候，我们保持 x 轴不变，把它记为 x 撇轴。 而外轴呢，倾斜四十五度，并且标记为外撇轴，圆点不变，于是就变成了一个所乘的角为四十五度的平面坐标系。然后在新的 这个坐标系中，平行关系保持不变。也就是说，原图中平行于 x 轴的，在新的图当中仍然平行于 x 撇轴。原图中平行于外轴的，那么在新图当中仍然平行于外撇轴。 比如说这条线段 a b 在原图中平行于 x 轴，那么跑到了直观图中， 就平行于 x 撇轴。 ad 这条线呢？原来平行外轴，那在新的图当中，他就平行于外撇轴，这是平行关系保持不变。 然后长度的规则是，原来平行于 x 轴的线段长度保持不变，所以说这个 a b 变到 a 撇 b 撇，这来了一 以后，他的长度仍然跟原来一样。但是原来平行于外轴的线段呢，到直观图当中，长度要变为原来的一半， 所以我们就取 ad 的一半。然后呢，让它平行于外片轴，画到这个直观图当中，于是这个 apd 片就变成了这样的一个线段。 同样的道理， d c 这条线段在原图中跟 x 轴平行，那么在新的直观图当中，也会跟 x 轴平行，并且以 d 撇为一个端点，它的长度与 d、 c 长度相等， 这样我们确定了它的四个顶点以后，再连接 b 片、 c 片，就得到了一个完整的直观图。 所以我们发现，本来一个矩形，用斜二侧画法画出直观图以后，变成了一个平行四边形，这样画也是为了突出立体感。所以如果要画一个图形的直观图，我们抓住这两点，平行关系不变。 原来平行于 x 轴与 y 轴的，现在还平行于 x 片轴与 y 片轴，只不过这个轴呢，它的夹角是四十五度， 原来平行 x 轴线段长度不变，平行外轴的线段长度变为原来的一半。那既然这样，我们发现对于一个平面图形，他画成直观图以后，他的底没有变，他的高应该在这条线段的基础上再 乘以三四十五度，这条线段是原来这个高的一半。所以假设原来的高度是一的话，现在这个长度是二分之一， 而这个长度呢，它是倾斜的，还不能代表现在这个图形的高，应该过地片向底边做垂线，而这个高呢，是四十五度所对的直角边，所以说他又是斜边的二分之根二倍， 二分之一再乘以二分之根二，就应该等于四分之根二。这样的话，它的底长度没有变，它的高变为了原来的四分之根二倍。于是像这样的平面图形，它的面积与直观图面积之间的关系 是 s， 原图乘以四分之根号二，等于 s 直管图。我们来看一个例子，这里给了一个直角三角形 o 撇、 a 撇、 b 撇， 说他是一个平面图形的直观图，也就是用斜二侧画法画完了以后的那个图，若 o 片、 b 片等于根号二，这是他的底边长。 问这个平面图形的面积，也就是原土的面积。我们刚才讲原土乘以四分之根号二，等于直观图的面积。 现在直观图是一个等腰直角三角形，那么它的底和高都是根号二，所以它的面积应该等于 二分之一，乘根号二，再乘根号二，也就是一，于是原图的面积乘以四分之根号二等于一，那么原图的面积就应该等于一， 再除以四分之根号二，等于二倍根二，所以选择 c 项。当然我们也可以通过把这个直观图进行还原，把它的外轴竖起来，保持 x 轴与外轴垂直， 然后利用我们刚才的规则去还原他的原图，再求面积，得到的结果是一样的。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。
2250袁来有数(高中数学)
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23:51查看AI文稿AI文稿上节课呢，我们主要讲了斜二策划法的基本原则，还有两图关系，那么这里先做一个回顾。首先基本原则这一块呢，我们讲了平面直角坐标系中的原图到斜二策划法中的直观图之间的转换关系。 那么我们说总结出来呢，就是八个字儿，平 x 不 变平， y 变半。啥意思呢？就是说原图中的平行于 x 轴的线，那么到了直观图中呢？哎，它不发生改变，那把长度 该是多少还是多少？那么原先平行于 y 轴的线呢？变为原来的一半，那么如果说我想把原图中的一个点迁移到现在的直观图中，那我就得分别过它做 x 轴和 y 轴的平行线，那么再根据这个原则进行转换就可以了。那么之后呢，再来看一下两图关系， 对吧？两图关系呢，主要讲的长度和面积，那么这块呢，我们说长度靠画图，面积呢？靠公式，啥意思呢？首先长度呢，还是觉得把图像还原出来比较靠谱，从图像中呢，直接就可以找到它的几何关系， 那么再根据几何关系呢，去找到具体的长度，那么面积呢？上节课讲了，我的原图和直观图之间是存在一个系数，可以直接转换他俩的。当然，如果说你对这个公式不够熟练的话呢， 我还是建议大家画图可能更稳妥一点。好，那么我们今天呢，主要看一下斜二策划法的一些综合练习，他和其他问题哎，是怎么样进行综合的？那么一起来看这道二四年的福建省的校级期末考试题，那么这道题呢，首先给了一个直观图长这个样子，他说什么？他说这两条边长度都为二， 那么点 c 呢？在这里做了中点，问下列说法正确的事，那么我现在知道什么？知道这个角是四十五度，好，那么依次来看一下 a、 b、 c、 d 四个选项，那么 a 选项呢？说什么？说 oc 和 o b 这两向量数量基为零，那么这里就要求我们还原原图， 这个图很好画，对吧？那这里直接把 x 轴和 y 轴画出来好，那么首先来找平行于 y 轴的线，还在这里，平行于 x 轴的线呢？在这里，对吧？那么 x 轴直接不变，对吧？还是二，该是多少还是多少？那么 y 轴呢？这块变成原先的二倍啊，也就长度为四，那么在连接 ab 啊，就找到了这样一条线， 那么点 c 呢？作为 a 撇 b 撇的中点，它是不是同样的比例不会发生改变啊？那么它同时也做了 ab 的 中点， 哎，那么所以说点 c 呢？还在这里，那么我们把 o c 和 a b 画出来，这俩向量，哎，它俩能垂直吗？很明显不是垂直关系，对吧？所以说 a 选项呢？ 错的。再来看一下 b 选项，他说三角形 a o b 的 面积为二，那么这个三角形的面积呢？很明显不是二呀，对吧？这里是垂直的，所以说底乘高除以二，应该是多少？应该是四，那么 b 选项呢？也是错的。 好，再来看下 c 选项，说啥呢？说 o c 在 o b 上的投影向量为二倍的 o b， 对 吧？这个向量在 o b 上的投影向量，哎，是哪里呢？ 补过点 c 做垂线，那么也就是这一条向量没问题吧？那这条向量呢？很显然它是多少呢？它是二分之一 o b， 而不是二 o b 啊，那这个系数搞错了，哎，那么 c 选项呢，也是错的，那么作为单选择题，哎，是不是只能选 d 了呀？当然，我们要搞清楚为啥要选 d， 对吧？ b 选项呢？说什么 ab 同向的单位向量为这个十分之根号五倍的 ab， 那 么我们说呢，去找一个向量方向上的单位向量， 怎么找呢？哎，比如说，我要找小 a 方向单位向量，就是这个向量比上它本身的模值，对吧？那么我现在要找 ab， ab 呢，比上自己的模值是不就可以了？好，那么现在呢，我来算一下 ab 呢，比上自己的模值是不就可以了？好，那么现在呢，我来算根号下四的平方十六，再加二平方，也就是四， 那这里直接得到二倍根号五，没问题吧？好，所以说它就等于二倍根号五呢，分之向量 ab， 那 么算出来，哎， d 选项确实没问题，确实就是十分之根号五倍的向量 ab， 那么这道题呢，就选 d， 那 么这道题呢，也是我们这个斜杠策划法和平面向量呢，进行了个综合，对吧？你发现，哎，通过还原原图呢，这个坐标系里面还可以结合一下向量。继续来看这道二五年的河北省校级期中考试题。那这道题呢，首先给了一个梯形， 它的上底长度是二，下底长度是五，那么并且都是平行于 x 轴的，那么另外呢，又给了一条幺，长度为二，平行于 y 轴，哎，注意了，这是一个直观图。然后现在问题呢， a、 b、 c、 d 四个选项，问谁是对的？那么 这四个选项都是关于什么呢？都是关于原图的，这里就要求我们把原图还原出来，大家可以暂停下视频，自己来尝试一下。那么要还原原图简单，我先在这里画一个直角的，找一下平行于 y 轴的， 首先，哎，它是平行于 x 的， 它是平行于 x 的， 对吧？那么它呢，是平行于 y 的， 哎，我分别在原图中去还原这些线是不就可以了？ 那么还原这些线呢，都需要从点 d 开始，有些小伙伴可能就要问，哎，这个点 d 是 悬空的，怎么确定它的位置呢？ 其实不重要，对吧？我们大概在第一项线呢，找这样一个点 d 就 可以了。那么 d a 长度是五，哎，它平行于 x 轴，长度还是五，那么再来看一下谁呢？再来看一下 dc， 对 吧？ dc 它平行于 y 轴，那么长度为二，在原图中呢，长度就是两倍，也就是四， 那么 c， b 呢？它平行 x 还是二，对吧？最终把口一封，哎，得到这样一个梯形，那么 a 选项呢，我们是不是可以直接做了上底加下底乘以二算出来呢？面积是多少？面积是十四， 所以说 a 选项明显是错的，那么这里呢，也把点 p 牵过来，那么后面三个选项 b、 c、 d 呢？都是关于什么呢？我大概看了一眼，哎，好像都是关于向量，向量还有向量的， 对吧？所以说呢，哎，我们说向量，它是有大小，有方向，但是唯独是没有位置的，那为了方便计算呢，我可以把这个图像移动到坐标原点处啊，移动到下面来，对吧？那么 这样也让我得到的向量相对来说比较简单了。好，来看一下 b 选项。那么既然都是原图啊，我就不需要直观图了，光去看这个原图，那么 b 选项说什么呢？与 ab 同向的单位向量坐标是长这个样子，对吧？那咱们说单位向量，哎，一个方向同向的单位向量怎么表示呢？ 就是这个向量比上它本身的模值，那么我要求 ab 方向上的单位向量表示一下，也就是 ab 比上 ab 的 模值， 对吧？那 ab 的 魔值很好算呀，对吧？这一段怎么算呢？哎，做个垂线对吧？你是四啊，你是二，你是三，所以三四，哎， ab 的 值为五，所以说，哎，它就能被写成五分之一倍的向量 ab。 好， 那么之后呢，我们要做的就是表示一下向量 ab 是 不就可以了呀？那 ab 的 话呢，找到点 a 坐标， 点 a 坐标是五零点 b 坐标呢是二四，那终点减起点呢，就能得到 b 选项呢？是对的。 好，再来看一下 c 选项，这里说啥呢？说 a d 在 向量 a b 上的投影坐标啊，长这个样子，投影向量的坐标，那么我们说啥是投影向量呢，对吧？啥是投影向量呢？ a d 这条向量， a b 这条向量， 就做完投影之后呢，我得到了这样一条项链，如果大家对于投影项链的定义啊，还有什么不是很清楚的话呢，建议点到我的主页去看一下。往期关于投影数量和投影项链那一期视频讲的非常清楚。好吧，那么这里呢，我们说要算投影项链呢，它的公式怎么来描述呢？ 首先两部分组成对吧？第一部分是投影项链方向上的单位项链把，被投影项链是谁啊？是不是项链 a b 啊， 把它方向上的单位向量刚刚是不是已经算出来了，哎，就长这个样子，对吧？那投影数量是多少呢？哎，这里因为全部都是坐标的形式，所以说我们选择通过数量积把它表示一下，所以说呢，最终，哎，我要求的这个投影向量，也就是 a b 乘上向量 a d， 它俩的数量积，比上谁呢？ 比上 ab 的 魔值啊，也就是谁啊，也就是投影数量，对吧？再乘上 ab， 比上 ab 的 魔值，也就是 ab 方向上的单位向量，它俩乘在一起呢，得到这个公式，我们直接往里套就可以了。 那这里还需要谁呢？还需要 ad 的 坐标，对吧？ ad 也就是负五零啊，直接代入计算一下，那么 c 选项呢？也是错的，那么再来看下 d 选项，这里说什么呢？说三倍的 pa 加上 p b 魔值的最小值， 哎，那么这里用到这个动点，点屁了，对吧？点屁在 dc 上做了动点，那么它是不是需要去射一下呀？我就射它的坐标是零 m， 那 么这里注意了，它是不能超过 c， 也不能超过 d 的， 只能在中间这一段上动， 对吧？那么 m 的 范围呢？是有要求的，只能在零到四的 b 区间，那么这里我需要 pa 和 pb， 那 么写一下吧， pa 中点减七点五负 m， pb 中点减七点二，四减 m， 得到它俩坐标之后呢？哎，这个魔值我们表示一下，先把三 pa 加 pb 写出来， 横加横，纵加纵，哎，得到这样一个坐标，那么它的魔值呢？也就是根号下横的平方加上纵的平方，那么这里既然要求的是最小值， 对吧？我希望要什么？我希望要括号下面这一坨最小，所以说当然是这一项，他怎么样？他越小越好，对吧？但他又是非负的，所以说他为零，那肯定是最合适的。 那当 m 等于一的时候，哎，他确实来到了最小，没问题吧？那么最终开个根号之后呢？哎，就大于等于十七，那么 d 选项呢，也是对的。那么这道题呢，选 b 和 d， 你 们学会了吗？ 那这道题的话呢，就相当于是结合了一下我们前面学的平面向量，对吧？你发现我们要考这个啊，斜二策划法和平面向量是怎么综合的呢？其实很简单，对吧？他给你一个直观图，你把它还原成什么？还原成平面坐标系的原图，那么在原图中呢？哎，使用向量 对吧，就能解决它，相当于是两个考点非常生硬的拼凑在了一起，那么我们如果说对其中某一个还不够熟练的话呢， 哎，一定要多费点功夫。继续来看这道二三年的河南省月考题，那么这道题呢，给了一个等腰梯形，他说了上底和下底长度分别是三和十一，而且是平行于 x 轴了，那么两条腰呢，长度都为二倍根号五 点， p 呢，做了 o c， 这条腰上的一个动点存在。现在问下列说法正确的是，那么注意了，这里给的是一个直观图，那么首先 a 选项在说什么？再说四边形圆四边形的面积，哎，是十四倍根号二，他在说原图的面积，但是现在呢，题目中给了什么？给了直观图， 对吧？我们知道原图和直观图之间呢，是存在面积的倍率关系的，原图面积是二根号二倍的直观图面积， 对吧？ s 元等于二倍根号二，乘上直观图面积，所以说，只要我能算出它的面积，再乘上二倍根号二，哎，是不是就能算出原图面积，对吧？即使不用画图也能算，我们一起来体验一下，那这里呢，要算它的面积，还缺少什么？还缺少高，对吧？所以说，我就分别过 c 和 d 呢，做垂线， 好，那么这里呢，因为他是三，那么这里也是三，这一段就是四，哎，这一段也是四，对吧？两条腰呢，长度都是二倍，根号五，所以说高呢，就可以在这个三角形里面，哎，通过勾股定律算出来，那高呢，就等于二， 好，那么我这个 s 值是不是可以直接算了呀？上底加下底，哎，是十四，乘上二，再除以二， 那么 s 值的面积呢，就是十四，对吧？再乘上二倍根号二， s 圆呢，是不是就等于是二十八倍的根号二呀，对吧？和他所说的十四倍根号二还是差别挺大的，那么 a 选项呢？就是错的， 好，那么继续来看 b 选项，再把 b 选项再说什么？再说， o c 长度等于六， o c 在 哪？ o c 在 哪儿？ o c 在 这里，那么这里要算长度了，我必须得把原图还原出来，那么要画原图呢，我要找平行关系，但是问题来了，对吧？首先，平距 x 轴的啊，它和它我能直接看出来， 但是呢，这道题重点在于什么？在于找点 c 的 位置，对吧？但是 o c 呢，它既不平行于 x 轴，也不平行于 y 轴，那怎么确定点 c 的 位置呢？原图中点 c 的 位置， 哎，我们说在你看不清的时候呢，哎，我就去找 c， 撇过它，分别向 x 轴和 y 轴做平行线就可以了，对吧？那么做一下平行线，哎，这里过它向 y 轴做平行线，在这里 过它向 x 轴做平行线呢，在这里，好，那么我们要做的就是算出这一段和这一段具体长度是多少就可以了，对不对？好，那么由于呢，我这个角本身就是四十五度，所以说这个角呢，是不是也是四十五度呀？ 那么这个三角形哎，他是一个等腰直角，好，那么这里是二，这里也是二，那么刚刚算了，这一段总长是四，所以说你是二，哎，我也是二，对吧？那他的长度就有了，长度就为二，对吧？那么我们再来找一下 y 轴，这一段他的长度是多少？ 那么他的长度呢？这段的长度是不是也就等于这一段的长度呀？对吧？那这段是二倍根号二，所以说他的长度呢，也是二倍根号二， 哎，那由此我就可以找出点 c 到底在哪里了。好，把原图的这个直角坐标系画一下，那么首先呢，先把 o a 还原出来，对吧？原来是十一，那么我们说平行于 x 轴，它的长度不发生改变，现在呢，是不是还是十一啊？而且点一的位置呢，我能确定出来哎，他就在距离原点二的位置， 对吧？平行于 x 轴不发生改变，好，那么我们再来找一下平行于 y 轴的，那这里就过点 e 呢？过点 e 做 y 轴的什么平行线，这一段把它的长度是多少？ 它的长度是四倍根号二，而原先是二倍根号二，这里要扩一倍哎，找到点 c 的 位置，好，那么之后呢，我是不是还可以顺势找到点 d 的 位置，对吧？这里呢，平行于 x 轴，长度为三哎，长度为三，点 d 也有了，那由此呢，这个四边形，哎，它的四个点都有了，直接一连，对吧？这个题型就出来了， 好，那么现在呢，我既然要找 o c 的 长，那直接在这个三角形里面啊，使用勾股定律算一下是不就可以了？是根号下四，再加上三十二，哎，那么 o c 长度确实就是六，哎，没问题，对吧？那 b 选项呢？是对的，好，再来看一下 c 选项， 说什么？说 ad 在 a o 上的投影向量是十一分之六倍的 a o 在 哪里？ a o 是 这个向量， 说它在它上，它在它上的投影向量是十一倍的向量， a o， 对 吧？那要找投影向量，哎，我就得过这个向量，怎么办？做垂线对吧？做垂线 垂下来之后呢？哎，我发现投影向量呢，就是这一段，那么我就要找到，哎，这一段和 a o 具体的比值是多少？那由于这里是三，这里是二，垂下来之后这里也是三，那么总长是十一，所以说这段呢，长度就为六，对吧？那么这段就是六，比上十一的 a o 啊， c 选项也没问题， 对吧？如果说对于投影向量还不够熟练的小伙伴，一定要点到我的主页，那么我们从原理到方法哎，都有一期非常非常详尽的视频，大家一定要去看。 好吧，那么再来看一下 d 选项，说 pa 减去二倍的 pd， 哎，取值范围，那么终于轮到这个动点 p 了，那么点 p 呢？你想把它表示出来，哎，它在什么？它在 o c 这条线上移动，那么这里呢，需要怎么办？需要去设一下它的坐标，那么 o c 这条线呢？首先，哎，点 c 的 横坐标，我知道是多少，是 二四跟二，对吧？所以说 o c 啊， y 是 不就等于二根二倍的 x 呀，对吧？那么点 p 的 坐标呢？设一下 x 和 y 之间是不是存在二倍根号二的关系，对吧？我最重要找的是 pa 和 pd 这两个向量。这里先把 a 和 d 写出来了，对吧？也不影响，也不影响，因为这两个都是已知的嘛，对吧？可以完全写出来。好，那么点 m 的 坐标呢？纵坐标是横坐标的二倍，根号二倍。好，那么 m 的 范围怎么确定呢？那我们说它的横坐标范围是不只能是在零到二的 b 区间呀？那么这里一定要注意啊， m 的 范围我们要规划好。好， 那么有了，我们需要的三个点， p a， d， 对 吧？ p a， d 全部都写出来了。首先来看 p a， p a 的 话，中点减起点啊，长这个样子， p d 的 话，中点减起点，长这个样子，那么它俩一加呢？得到 p a 减去二倍的 p d 啊，长这个样子。那么现在呢，我要求模值，也就是根号下横平方加上纵平方展开之后呢，得到一个关于 m 的 二次函数，看起来非常复杂，对吧？特别不了解， 但这道题呢，它最终是要问取值范围，对吧？那不好解也得解啊，对吧？这里是一个什么？这里是一个开口向上的二次函数，其实也没有那么难，对吧？我们大概看一下它的对称轴位置，也就是负的二 a 分 之 b， 负的二 a 分 之 b， 也就是十八分之 六十二，对吧？两边同除一下，也就是九分之三十一，大概是三点几，对吧？三点几，这个对称轴的位置呢？大概是三点几。那么我最终 m 的 范围呢？是不是只能取到零到二呀？那么零到二，那你对称轴的三点几？那零到二呢？肯定是在他左侧的这个位置， 对吧？左侧的位置是一个单调递减的区间，所以说把零带进来呢，能取到最小值，对吧？我分别把零和二带进来 啊。 m 等于零的时候啊，这里是不是就等于根号一百二十九，哎，这是什么？这是最大值。那么 m 等于二的时候呢？这里是什么？这里是 四九三十六，三十六减一百二十八，再加上一百二十九，对吧？也就等于三十七，根号三十七，哎，这里是一百二十四，写错了，他俩一加之后呢，得到这是四十一啊，根号四十一， 对吧？根号四十一，那最小值是根号四十一，最大值是根号一百二十九啊，就直接算出来了，对吧？所以说 d 选项呢，也是对的。那这道题最终三个选项，那 b、 c、 d， 你 发现这种和平面向量综合的问题呢？其实主要难点还是出现在平面向量这一块。 那我们直观图呢，它只是作为一个小小的考点啊，我们在还原上可能会遇到一些问题，对吧？只要把它攻克之后呢，其实啊，它只是算一个比较小的考点。继续来看这道二十四年的福建省校级期中考试题，那这道题呢，首先给了一个梯形， 他说下底长度是上底的二倍，而且长度为二，那这条腰的长度为二。先来问原图中 c、 d 是 多少啊？注意了，给的是一个直观图，我要画原图的一个线段长，对吧？这是第一问， 那么这里就需要还原原图，我把坐标系画在这里，还原图非常简单，对吧？我要找平行关系，平行于 x 轴的，平行于 y 轴的，你把分别找出来， 平行于 x 轴，那么从 a 出发，哎，该是多少就是多少，对吧？你是二，我也是二，好，那平行于 y 轴的呢？哎，长度变为二倍，对吧？这里是二，那这里就是四， 好，那么 b c 呢？也能画出来长度为一，那最终把口封上，哎，找到这条我们要求的谁啊？我要求的 c d， 那 么这里呢，想算它的长度，把它放到一个直角三角形里面就可以了，那么这里是一，这里是一，这里是一，这里是四，那么根据勾股定律呢，斜边长直接算，对吧？就是根号是七， 没问题，非常简单。那主要来看一下第二问，第二问说啥呢？说这个直角梯形啊，他以 a b 所在的这条边哎为直线为轴转一圈，那把所得立体图形 体积是多少？那这里注意了，转完之后是个啥图形啊，对吧？我们说这样一个直角梯形，哎，转一圈一定会得到一个圆台，如果想不来的话，我们大概画一下，那把上面是补成一个圆， 下面呢也补成一个圆，对吧？得到这样一个立体图形，那么要算体积的话呢，有些小伙伴可能记了圆台的体积公式， 那么作为我的话呢，我每次都会去推一下，其实也就是两个三棱锥的体积相减，对吧？如果说把它补齐啊，上面补齐之后呢， 会得到这样一条小的三棱锥，对吧？那么我要算下面这个绿的圆台的体积，是不？也就是总体这个大的三棱锥的体积，减去上面这个小的三棱锥体积， 对吧？也就是微大减去微小，好，那微大怎么写呢？也就是三分之一 pi r 方，对吧？注意了，这个 r 是 谁啊？这个 r 是 下面这个大圆的半径，对吧？ r 方乘上谁乘上总高，对吧？也就是它的高，这就是微大 减去微小三分之一 pi r 方，再乘上小 h， 对 吧？这你注意了，小 r 呢，代表是小圆的半径，那么小 h 呢，代表的是这个小三能追的高。 好，那么这里代值算一下，也就是三分之一派乘上，这里是四乘上总高，哎，这里一比二，所以说两条高呢，也是一比一的，对吧？它的长度，它的长度是四，对吧？根据相似能算出来四乘八， 再减去三分之一派乘一，再乘上他的高啊，是四。好，那么这里呢，是三分之三十二倍的派，减去三分之四倍的派，那最终体积呢？就是三分之二十八倍的派， 对吧？其实也非常简单，那如果说更乐意记公式的小伙伴呢？这里也把公式给大家了，对吧？三分之一派 h 乘上谁呢？乘上 r 一 方 加上 r 二方，再乘上 r 一 乘 r， 对 吧？这个 r 一 和 r 二就是这里的大 r 和小 r， 好 吧，那么这道题呢，最终答案就是三分之二十八倍的派。最后来看这道二五年的黑龙江期末考试题，那这道题呢，首先给了一个直观图，那么是一个直角题型， 他说了上底根号二，下底二根二，现在说呢，原图哎，以 a d 为轴旋转一圈，问得到的体积是多少？那么有了上一道题的经验，这道题我们可以自己来尝试一下了。那首先他告诉我什么？他告诉我这里是个直观图，对吧？要还原原图， 那么我们大概想一下，这个直观图呢，既然已经把四十五度角填满了，把 a 撇 d 和 a 撇 b 呢？把这个四十五度角填满了， 那么原图会是一个怎样的梯形呢？是不是肯定也是一个把那个坐标系的夹角填满的直角梯形啊？对吧？那既然有一个直角梯形哎，那么把它旋转一圈，是不是一定会得到一个圆台啊？ 那既然已经有了原台的体积公式，我们这道题要做的呢，就是还原图形，直接套公式就可以了。好，那么要还原图形呢？哎，我是不是还缺少谁啊？缺少这段的长度，那么简单算一下吧，既然是直角梯形，所以说这里做垂线，做完垂线之后呢，这里根二，这里也是根二， 对吧？那左边这个等腰直角三角形啊，高为根二，那么斜边长呢，就为二，先把它快速算一下，那么来看一下原图，画一个直角坐标写在这里，那么平行于横坐标呢？这一段啊，它原本是二根二，那么现在还是二根二，那么平行于纵坐标呢，这里是二，那么现在变为原先的二倍 啊，变成四，长度为四的 a d 好， 那么 d c 呢？长度还是根二，最后把口一封，得到这样一个直角梯形，那么现在呢，我要围绕 a d 旋转一圈，对吧？旋转之后呢， 肯定是得到一个哎，上底长这样，下底呢，长这样的一个什么圆台，得到一个圆台，那么这次呢，咱们有公式在手哎，直接套公式就可以了，那么它的体积呢，是不是就等于三分之一 pi 乘上 h， 再乘上什么 r 一 方，加上 r 二方，再加上 r 一 乘二，对吧？那么三分之一 pi h 是 多少？ h 是 四， 那么 r 一 方呢？也就是二，他的平方呢？ r 二方是八，对吧？再加上他俩相乘，这里再加四，那么算出来呢，这里是十四乘四，也就是 三分之五十六倍的派啊，那看一下最终答案就是三分之五十六倍派。当然如果说我们不熟练的话呢，还是把它补回两个三棱锥，哎，体积减一下也可以。 完了，这里呢就是关于所有的邪恶策划法啊，他的一些综合问题。我们这期视频就结束了，大家如果说对于我们视频有什么更好的建议或者说想听什么内容的话呢，可以在评论区留言啊，如果要领取我们的免费讲义的话呢，也可以在评论区扣一下。
28昊哥跃动数学
05:22查看AI文稿AI文稿大家好，我是数学徐老师，这节课我们学习斜二侧画法， 大家先来观察一下这本书，它本身是一个矩形的形状，但是实际上我们观察时呢，它给我们的直观感觉呢，它并不是矩形的形状，它更像一个平行四边形。那这节课我们就学习一下水平放置平面直观图的一个斜二侧画法，如何把我们直观感觉的图形给它画出来。 那我们先来看一下这道题啊。在画平面直观图的时候，在圆图形当中呢，我们需要建立平面直角坐标系，那这里呢， ob 跟 o 的是垂直的，建立一个平面直角坐标系， 那这角 x o y 呢，等于是九十度。那直观图当中呢，我们需要建立一个新的坐标系， x 撇 o 撇 y， 新的坐标系当中呢，要使得这角 x 撇， o 撇， y 撇等于四十五度，或者是一百三十五度， 那么选择四十五建立一个新的坐标系。 圆图形当中呢，在 x 轴上的我仍然保持呢，在 x 撇轴上长度是不变的。那圆图形当中，跟 x 轴平行的仍然保持呢，跟 x 轴平行，它的长度呢，也是不变的，比如说横向的 这个位置关系呢，是不变的， 并且呢长度 它也是不变的。所以这个 o b 呢，在 x 轴上，那新坐标系当中呢，这个 o 撇 b 撇在 x 撇轴上长度是不变的。那在 y 轴上的这个纵向的我们保持呢，它在 y 撇轴上，这个长度呢，要变成原来的一半。 y 轴上的啊，要在 y 撇轴上，这个长度要变成原来的一半。 如果原来跟 y 轴平行的，那保持跟 y 撇轴平行，长度呢，也变成原来的一半。所以这画的时候呢， o 撇得撇在 y 撇轴上，长度呢，变成原来 o 的 长度的一半。完，嘚瑟，一根 x 轴平行，保持跟 x 撇轴平行，这个长度是不变的。我最后把 c 撇 b 撇给它连上啊，连完之后呢，我们把多一部分就给它擦掉，得到这个图形， o 撇 b 撇， c 撇得撇，这个图形就我们所画出的直观图啊。 那么先来看下第二期这个矩形呢，它是水平放置的平面图形的直观图，那给出直观图，我们如何去还原这个圆图形？这个方法呢？还是一样的，那在这里呢，他给出矩形 o 撇 a 撇的长度呢，为六。 o 撇 c 撇，长度呢为二。这个 c 撇得撇，长度呢为二。那我发现呢，这是一个等腰直角三角形，所以这角四十五度，所以这角呢，它也对应是四十五度。那 x 撇 o 撇 y 撇四十五度，那在还原成圆图形时呢，它又变成九十度。 那 o 撇 a 撇在 x 撇上圆图形当中呢，在 x 上这个长度不变的，原来是六，这个仍然是六。 那 o 撇得撇呢？在 y 撇轴上圆图形当中呢，需要在 y 轴上，长度要变成原来的二倍，这是二，二，这是两倍的根号，所以它的长度呢，这里要变成四倍的根号。二，然后 c 撇得撇，跟 x 撇轴平行，这个长度还是不变的， 然后再把 o c 连上，然后这里呢， c 撇 b 撇， c 撇 b 撇跟 x 轴平行，所以这 c 撇 b 撇呢，给延长一下啊，保持跟 x 轴平行，长度不变，所以这面的长度呢，整个的也是六，然后最后再把这个 a b 连上啊， 这样我们得出它的圆图形，那这个长度呢是二，这是两四倍的根号，根据勾股定律呢，我们求出 o c 长度呢，也等于六，所以圆图形呢，它是一个菱形， 那我再来看一下它的面积是多少，那我需要分析一下圆图形跟斜二侧图形它俩面积之间的关系，这个横向长度不变的，说明它的底是不变的。 那么再看高的关系，原来高是 h， 那 在这里呢，把这高呢在里变成 y， 撇轴上长度变成原来一半，这个变成是二分之 h， 然后你二分之 h 呢，再乘以三元四十五度，才变成新图形的高，所以它的高呢，会变成原来的一半，再乘上 三元四十五度。这时候我们会得出直观图的面积与圆图形的面积之比 等于二分之一，乘上三点四十五度，二分之根号等于四分之根号二， 那在这里呢，它直观图的面积呢是二六，是一十二，所以十二呢，比上圆图形的面积等于四分之根号二，那这又根据这关系呢，我们可以算出圆图形面积呢，等于这是四十八，除以根号是二十四倍的根号二， 那这里呢，带单位的啊，比方把单位加上去平方厘米，那当然呢，求这个面积时呢，也可以根据所还原出的图形去求它面积也是可以的。
35高中数学徐老师
03:20查看AI文稿AI文稿同学们，今天我们来学习一下这个斜二画法，画这个直观图，看一下这个题，如图所示，梯形 a、 b、 c、 d 中 a、 b 平行， c、 d， a、 b 等于四， c、 d 等于二角， d， a、 b 等于三十度， a、 d 等于三缩，画出它的直观图。 那在课本书中呢？我们描述喜鹊画法的步骤有这么多，但同学们，你看见这个步骤你还喜欢去看吗？不喜欢看吧，我来教大家怎么去做这个喜鹊画法。首先第一步，我们把这个 ab 这边用 x 轴啊画出来，然后在这用一个外轴，在平面图形中把 x 轴和外轴都画出来， 然后这是第一步，把它的原图形的这个 x 轴外轴描出来。第二步，做出我们要画的这个直观 图形的 x 轴外轴，但是此时的 x 轴和 y 轴它应该是一个乘四十五度角方向的一个图形，然后你做出来之后，你的这个 a、 b 的 长度与 x 轴平行的这个长度，它是保持不变，且它的坐标也不会改变。比如说 a 点距离这个圆点 o 的 距离和这个 a 一 撇距离，圆点 o 一 撇的距离也应该相等 啊，差不多 a 点在这一点，对吧？然后 b 点在差不多在这一点，对不对？当然到时候我这没有指尺，你们大家课下有指尺自己去量一下，然后 d 点不是刚好在外轴上吗？我们把 d 点的坐标缩半，差不多缩半就缩半到这，对吧？缩半到这，我们平移过来，移的过来，差不多在这个点， 然后 dc 的 这个长度是不是和 a、 b、 x 轴这个平行的，对吧？平行的长度我们保持不变，那 dc 有 多长，我们在这边延长出去有多长是多长，这是 c 一 撇，这个是 d 一 撇，然后把这一些点全部连起来， 连起来之后，我们要求了 a 一 撇、 b 一 撇、 c 一 撇、 d 一 撇的直观图，就是这个样子。注意这里他是四十五度角，必须得把这个四十五度角给他画出来，这就是我们用十二画法画直观图的一个整个流程呢。来我们总结一下， 第一步，我们是不是在这建了一个 x 轴和 y 轴？然后第二步，我们是不是在这边建了一个 x 轴一撇和 y 轴一撇，它的这个角度形成四十五度角的这一个隙，对吧？然后第三步，我们去找 a、 b、 c、 d 对 应的点的时候，与 x 轴平行的 这些线段，它的长度保持不变，但与外轴，与外轴平行的，与外轴上那个点，它的那个长度要发生折半一半，懂吗？然后第三步，我们就是把 a、 b、 c、 d 对 应的点连起来，连起来的所形成的封闭图形就是我们要求的这个直观图形。 再来一个题，他说已知正三角形 a、 b、 c 的 边长为，那么三角形 a、 b、 c 的 平面直观图，三角形 a、 p、 b、 p、 c、 p 的 面积为多少？那么先把这个正三角形的这个直观图画出来嘛，先画出它的圆图形，对吧？然后我们在这个圆图形的基础上做出它的 x 轴和外轴，对吧？ 做出来之后，那我们就要去画它的直观图，是不是？第二步是四十五度角，对吧？四十五度角，这是 x 轴一撇，这是外轴一撇，然后在 x 轴上的长度应该是保持不变的， 比如说这是 abc， 那 么这应该是 a 一 撇， b 一 撇，那 c 呢？ c 它过来的时候长度要砍半，比如说 c， 它这长度为二的时候，我们这边就只能设为一，那 c 一 撇，就在这，我们把这第三步，把这个连起来，把这些点连起来，所形成的这个封闭的三角形啊，就是我们要求的这个直观图，那么 他已知这个正三角形的边长为 a， 你 说这一个直观图它的面积为多少？大家把答案打在评论区，有疑问我们去评论区解答。今天的喜奥画法知识点就讲完了，有需要这一方面高考题的同学私信我，我把今天的奖励发给你。
74高中数学阳学长
03:36查看AI文稿AI文稿立体几何这一章呢，我们主要从这个四个方向出发啊，那我们最开始在这本书上，第一个要先学的其实并不是一些几和几的相应的计算。首先先教大家怎么来画图，这个画图直观重要啊，很多我也不会画图， 我们在书上其实第一节学的叫做习二策划法，我们首先先讲一下这个习二策划法怎么来画，对吧？那我们在初中阶段呢，其实就接触过这个立体图形的一个三维式，对吧？直观读， 那我们在高中呢，需要把这种立体图给他画准确，才能把他的相应的一些五样东西求出来啊，那这个斜二画法就是把我们的立体图，对吧？给他转转换到平面上，给他画的非常非常立体。哎，你让他看出来啊，那首先呢，我们画这个斜二画法的时候呢，实际上他是从我们的这个平面直角坐标系开始，对吧？由他还是演变出来的 好，大家在笔记上画一个直角坐标系啊，我们直角坐标系呢，水平方向跟数值方向对吧？ x o y， 那 么我们把这个图形对吧？如果在空间当中，对吧？给它展示出来它对应的画法，咱怎么画？首先呢，我们在直角坐标系中，我们先画出一个边长为二的正方形。好，我在这呢直接给大家用带颜色笔来画啊。好，这是一个边长为二的正方形， 那这四个点的坐标呢？大家也都可以给他，对吧？算出来标记出来啊，那在这我们表记了，是吧？标个通常就可以了啊。好，那么这张图呢，他如果对应的是某一个几何体的表面，比如说上表面，对吧？哎，我们最常见的几何体就是正常体，那这个上表面，如果我们想把它画的立体的话，大家知道上表面，我们通过以人眼直观去看的话，它的 肯定不是正方形，对吧？你从侧面看，肯定不是正方形，他应该是一个平四边形啊，我没看，他要到处看，对吧？比如说这个面，我们从正面看，从这个面看，是不是正方形，对吧？但是如果你要从这个方向看，很明显他这个图形不是个正方形，对吧？他应该是个平四 啊，所以我们其二做二法，需要首先先把坐标轴先给他变化一下，对吧？那在这，我们在高中啊，规定水平方向的 x 轴挺好，他是不变的。把数值方向的 y 轴倾斜四十五度来画啊，当然也可以倾斜一百三十五度，就是这个方向 啊，这个是我们的 y 轴哎，我们把它记为 y 撇，它俩之间的夹角呢，就是四十五度，哎，这个位置就是四十五度，好，那此时呢，这个正方形它的位置，对吧？就会发生，哎，扭曲便斜了啊，好，那么这个时候这四个点都跑哪来了，对吧？原点 o 的 位置不变，还在这啊，水平方向的 a 点它也不变，还在这 啊，对吧？因为大家可以看到你从主视图跟俯视图上看，是不是这个图像的宽度是不变的，对吧？哎，好，所以 o a 的 长度是不变的啊，所以我们把这两个点，对吧？同样再给它连起来啊，这样啊， y 轴上的 c 点，它的位置会发生改变了， 对吧？大家知道从上面往下看和从前面往往右看，是不是这个边的长度是不是不一样，对吧？他肯定会变阻，因此我们在斜二次方程中规定什么呢？在数值方向的长度要化为原来的一半 啊，比如说我们现在是边长，是二，对吧？那这条变长也是二，那么他一半之后变成几呢？一，对吧？我们就在 y 撇这个轴上取一个单位就可以了。所以 c 撇啊，他的位置在立体图中，就画在这个位置啊，哎，就画在这个位置，他的长度就变成了一，哎，这个长度就变成了二， 那老八，但实际长度是没变老八，只是我们观察他的时候，他的长度是感觉上，感觉上是变短的啊，但实际上长度还是二啊。 好，这个点找到了，同理，那么 b 撇他的位置也就找到了，对吧？我们在这做平行且相等，对吧？那这条线对应的这个点就是 b 撇，把他跟 a 如果连上的话，哎，这样形成了这样的一个四边形，对吧？就是一个平次，他就相当于我们在大家在做图当中立体，立体图当中正方体的上表面 啊，就这个好，我们就把这样的斜二乘法法得到的这样的一个图，对吧？称之为直观图啊，把这一保持，哎，也就是立体啊，立体就叫直观图，就是人眼看到的形状，是这样的。
65郭谦数学
07:02查看AI文稿AI文稿一个超好理解的方法，带你直接拿下理解几何压轴的二面角问题，当别人还在辛辛苦苦间隙计算的时候，你已经十秒钟把这个题拿下了。三号猫独家总结的办法，一、垂面，二垂直，三连接。核心就是这个一垂面， 直接找一个平面的垂面，在里面做垂直即可。因为二面角是有两个面的，我找一个平面的垂面，在这个垂面里面做一个垂直。好，直接看题，实操一下，保证让你轻轻松松拿下一体几何的二面角压轴体。 看第一题，哎，让求这个二面角 b 杠 f c 一 杠 c 的 余弦值观察一下里面两个平面 b f c 一 以及 f c c， 呃，这个 f c 一 在这是交线，另外两个顶点 b 和 c 分 别在这里。 好，一平面儿，我们先找其中一个平面儿的平面儿，那比如说第一个平面儿，呃，这个二面角的 f c b 它的平面儿，哎，能找到吗？ 不能呀，因为它是这个往后仰的，它这个平面儿不好找嘞。那另外一个是哪个平面呢？哦， f c c e 它的平面儿，哦，太好找了呀！因为题目告诉你了， c c e 是 一个定海神针，是一个垂线，它是不是垂直底面儿呀？ 哎，那这个平面蓝色的平面就和底面垂直了，那所以我就找底面这个垂面。好，第一步，垂面已经找到了，那咱刚刚说了，找一个平面的垂面在里面做垂直，那就在这个垂面 fcb 中做垂直。 过谁做垂直呀？过我的这个二面角的顶点 b 往谁呀？只能往 f c 做垂直了呀。因为 f c b 是 个等边三角形，所以做完垂直之后，哎，这个垂线段，它的垂足肯定落在 f c 的 终点 q 上，那 q b 就 来喽， 最关键的第一步已经完成了，二垂直三连接，意思就是二垂直呀！第二步，我只需要过这个 q 往交线，也就是二面角的这个交线做垂线啊，这么一做，好，假如落在这里，我记为一个 t 三连接连接这个 t b， 哎，漂亮！ 各位小小猫前方高能一句，我要告诉你，这个角 q tb 这个 c t 就是 我要求的二面角了，请把六六六扣在弹幕里。 好，这个截得到流程我也放在这里了，大家可以直接看。那最后我只要求这个 qtb 的 余限制就完事了， 因为 qb 啊，它垂直于 f c 了，我们做的，并且 qb 还垂直于 c c 一， 那么 qb 是 不是就垂直整个平面了？那所以其实这个红色的三角形是个直角三角形哎，角 tqb 是 直角，那么 cos 角 qtb 哎， 就是 q t 除以 q b 了。而根据平面几何的知识，咱很轻松的算出来，等边三角形 i q b 是 根号三，这边等腰直角三角形 q t 是 斜边，这个 f q 再除以根号二，那么就是二分之根，从而非常轻松的算出来。勾股定律，勾一下 i t b 就是 二分之根十四，那 q t 除以 q b， 我 家毛都会散，不就是根七分之一，七分之根七吗？请把 nice 扣在弹幕里！一，水面二垂直三连接，牢记 这个口诀啊，几乎可以把所有的几何法求二面角全部拿下！因为几何法求二面角也是今年高考的一个热点，所以各位同学们呀，不要再老老实实见戏了，赶紧想想几何法是不是也非常快呀， 能拿到满分的证明。过程我也写在这里了，好，拿下系统课，接着再用刚刚的方法来试几道题，因为三花猫说了，它是一个万能的方法，几乎这种二面角的几何法都能用。入座时看第二题，让求二面角 p 杠 b m 杠 d ok， 交线 bm， 两个平面分别是 pbm 和 dbm。 那 第一步找垂面，哎，你说哪个平面的垂面好找啊？很明显，是不是这个底面 dbm 的 垂面，它的垂面就是谁呀？就这个 abd 了，因为题目告诉你了，哎， abd 和 bcd 是 垂直的，第一步就完成了， 那接下来开始操作流程，咱只需要在平面这个 a b d 中做垂线，因为咱的顶点是 p， 所以 应该是过点 p 做垂线，哎，平面 a b d 只有一个 b d 啊，那就往这个 b d 做垂线呗。啊，这一坐舒服了， 好，先给他接一个 q 吧。接着二，垂直做交线的垂线，做 b m 的 垂线，过 q， 哎，那我就做一个 q 大 或者 q t， 哎，垂直 b m。 最后一步，三，连接连接 t p 好， 那么这个二面角很明显就是角 p t q 了。 那最后这一球 tan 的 角 p t q， 也就是 tan 的 c t， 它在这个直角三角形 p q t 中，它不就等于哎 p q 除以 t q 吗？ 那剩下你只要算这两个边上是不是就好了？这我家猫都会算的，自己用这个平面几何知识算一下哈。那最后算完之后，哎，上面是一个二分之根号三，这个 p q， 而 t q 呢，就是一个十四分之三倍根号十一， 那答案五就是三分之根号七。我嘞个骚杠嘞， nice， 请把六六六扣在 w 那既然是万能的，再看一道二零二一年全国卷的一个真题，重点翻一下这句话，二面角 e 杠 bc 杠 d 的 大小，能不能找出来呀？ 哎，刚刚我们说 e 垂面，先找垂面，交线是这个 bc， 那 么有两个面了，一个就是 ebc 啊， ebc 它的垂面不好找呀，这个面是斜的，另外一个是 dbc， 哎，这个面好找， dbc 是 下面这个面，哪个和它垂直呢？题目说了 a b d 和它垂直， 那 abd 和 bc 的 垂直 abd 就是 这个垂面的呀，第一步启动，找完了， ok， 核心在里面做垂直，在这个平面 abd 中，我做一个啊，因为顶点是 e， 那 只能做这个 eq 垂坠 bd 了。 接着二垂直，哎，我们是不是要做这个 q 与交线垂直了呀？所以做一个 qt 垂坠 bc 三连接，直接连接这个 t 和 e， nice， 小 子看好了，这一笔会很帅！连接 t e， 那 么这个二面角就是角 e t q， 题目说了是四十五度，所以这个就是四十五度了，那么这个 e q t 就是 一个等腰直了呀，一比一比根儿 nice！ 翻一晚了，那这个题就迎刃而解了，接下来这些东西都非常的好求，这道题呢，也输入在我的必修系统课中啊，这个方法呢？再比如题的方法以及这个二面角的绝招，都在必修系统课中讲过的。 藏猫讲数学，用最通俗易懂的语言，拿下最难的数学题，带你上大分！最后呢，这个二面角也给大家留了一个小作业，可以做一下，把答案扣在评论区， 需要更多练习题的，在我的 b c r 系统课中，以及更多的方法讲解整个 b、 c、 r 的 系统讲解。
722三花猫讲数学
