蝴蝶定理面积公式书

mst 名校讲座，老唐到底给培优学生讲什么呢？这节课跟着老唐学习蝴蝶定律与坎迪定律，感受 mst 教研课程的魅力。 各位老师，各位优秀同学，大家好，欢迎来到 mst 二轮课堂，我是老唐， 我们能接着给大家来讲解定笔点茶的另一个，还有一个相对而言有点深厚背景的蝴蝶定力与坎迪定力。 虽然说蝴蝶定力和坎迪定力并不是定笔点茶的专利，从另一个角度上说，曲线系也是解决这类型题的一个比较好用的方法。 当然在这里呢，大家不要去质疑什么曲线系是否给分啊，存在，毕竟合理，现在的教学在不断地向前发展， 你们把曲线系的方法放在高考当中，我可以这么说，不可能，阅卷老师他是看不懂的。 好，那么我们先给大家来讲解一下蝴蝶定律，其实蝴蝶定律的就是一个共终点，咱们看一个四边形，你看现在是蝴蝶 a、 b、 c、 d 是 这个四边形啊，内接四边形好。然后呢？屁点，你看在坐标轴上，它是 m、 n 的 终点，那么它你看它是 ef 的 终点啊，这咱们都很清楚 这坐标轴吗？你这里做一个线跟这个椭圆相交，那这里肯定是 ef 的 终点，那它一定是两个边界的终点。 好，左边这个啊，无法剖制，这是一样的，其实你可以利用这个蝴蝶给你的，你可以翻译很多高考的背景， 就是我们说的自己三角形，我们也可以利用蝴蝶点点的进行翻译，二零二零年的全国一卷，二零二三年的全国二卷，咱们都可以用这个背景翻译，当然还有二零二二年的全国甲卷， 当然我们这里没必要去翻那些题啊，我们在这里呢要给大家来讲解一下，就是轴点弦定比点叉以及与这个蝴蝶定律背景一个非常好的一种结合题。 好，关于蝴蝶定律呢，后面有隐藏的一个非常重要的坎迪定律。那么在讲这个坎迪定律之前呢， 我们先看几个题啊，咱们先从这个题讲起，涉及到了坎迪定律呢，我们再回头来解读一下，如何快速的利用这个蝴蝶和坎迪定律呢，来进行一个破解， 这是二零二五年的广东省这个竞赛，其实这题就隐藏一个比较重要的蝴蝶定律。好，咱们先阅读一下， 他说双曲线斜率为负二分之一的直线 l 与 g 的 左右两支分别交于 ab 两点。好，这是左支和右支，咱们对应的 k 好， q 负一二不在 l 上，直线 a q 和 b q， 然后呢分别交替于 c、 d 两点，然后你看这个呢， k 也等于负二分之一，所以说呢，这个很清楚，咱们的 a、 b、 c、 d 是 一个什么呢？是一个梯形 啊，这里是一个梯形，其实关于这种现象，退化曲线当中，它其实是真的一种比较常见的啊。好，那么梯形的话呢，那我们发现这样如果咱们过 好，那咱们做这个 e f 平行于 ab， 然后平行于 cd。 好， 那我们就可以知道呢，咱们也说的啊，你这次调和梯形也是个非常重要，那就所以怎么样 q e 就 等于 q f， 咱们可以根据调和线数平行线中点呢来做一个翻译，因为梯形就是调和梯形， 对吧？啊，可以根据梯形的这个性质。好，那么这个呢，就是我们说的啊调和梯形的性质啊，一定记住，梯形其实就是一个调和点列的生成器， 因为他的对角线的焦点与两腰所形成的点延长线的焦点，他们这四个点是构成调和点列的，这也是我们在最开始在引入调和点列和几点极线的时候呢，就给大家做了一个比较重要的一个普及。好，那么这个呢， q 点呢？ 一定是 e f 的 终点，那 q 是 e f 的 终点，咱们发现是什么啊？这是一条弦，这是一条弦，如果它是弦的终点，那么它一定是什么？一定是曲线的终点，所以咱们这里的 q m 就 等于 q n， 这就是咱们说的蝴蝶定律， 你是弦的中点，你就是弧的中点，所以它就把这个问题呢，咱们体现的非常非常清楚。好，那所以既然是中点，就完成什么？第三定义，中点弦 k o q 乘以 k m n 就 等于 a 方分之 b 方，那么 o q 呢？咱们这节是负二乘以， 那么 a 方等于 b 方等于一， c 方等于根号二，毫无疑问，离心率是根号二。 其实关于这个蝴蝶定律的考题呢，确实也是非常非常多的，你要去翻可以翻一大堆，但是呢，我想说一下，呃，这种有高考题啊，因为有那些，他还是来看一看高考题，他相对而言是更经典的高考题，是不过时的 模拟题呢，你现在去翻二一年跟二二年的模考题，你会发现他非常非常的过时，哪怕你看二三年都觉得过时了，只有二四和二五，我们现在呢，讲的是二五年下半年最近两三个月的模考题为主的，咱们来说下这些考试，他们的三问的一个设计的逻辑，咱们聊这个 啊，一轮就是说大家要把这些什么方法呀，基本方法呀，基本的处理的数据啊，还有基本的技巧要搞清楚，那么二轮就是在做一个非常重要的整合拔高，对吧？那么接下来我们看这里的例题二十二， 这是二零一六年山东卷啊，其实这个题的背景就是一定要看懂它背后的一个蝴蝶定律，咱们来先把第一问给了大家，四分之 x 翻， 那么过点零 m， ok 啊，一看到这个零 m， 咱们就想到这个是什么呢？它肯定是一个蝴蝶定律，你过这个做一个什么与 y 轴平行的， 是不是与 y 轴平行的？因为你这里与 y 轴平行的话，你看你这里两个点是什么终点，你看你这个 m 是 这个，咱们说的好 d 撇一撇，我是 d e 的 终点，那我 m 肯定是两边的 d e 的 终点， 这是它一个特殊性质啊，就是蝴蝶心定力好过 m 零 m， 那 咱们就想到这个呢， m 作为 极点好了，咱们想它的极限，那就是 y 等于二除以 m， 那 咱们把这个极限找出来，这个 n 呢，一定在它什么极线上，因为这是咱们所说的什么直角三角形， 对吧？因为以 ab 和 p q， 它们会交于一点，这是它们的四边形的外交点，然后内交点是 m 是 吧？啊？当然了，咱们这个 b p 和 a q 的 交点呢，也在这里就会形成一个直角三角形。 好，那么极限呢？是这个我们就发现了什么特点呢？因为蝴蝶定律当中的 d m 等于好 m e 好， d m 呢？等于 m e， 我 们先看这里的第一小问， p m 好， p m q m 啊，这个应该还是比较好算的啊，大家一看应该就知道了。 然后第一项线啊，我们看这有什么特点好，过点零 m， 好， m 是 p n 的 终点啊，那这里 m 是 这个点是 n， m 是 p n 的 终点， 零。好，那这个呢，咱们就可以把它写上啊，应该也没什么很大的问题，是吧？你看这个是偏的中点，那我们这里写成一个负 x x 一， 或者写 x 二都可以啊。 好，我们先把这个式子啊，把它表示一下，设为好 p 点 x 零二 m， 那 这个呢？ 好，那 kpm 咱们就可以把它表示出来，二 m 好， 这 qm 呢，咱们就可以写成 x 零， 那么这个 qm 呢，就是负二 m 减 m 除以 x 零。好，咱们就等于啊，这咱们一算就可以算出来，就等于什么负三， 这就是我们的第二问的第一小问，这还是比较好处理的啊，比较简单，我们这里要看，这里是第三问啊。好，咱们先看背景， 那么这个背景是什么呢？它我们求 a b 斜率的最小值，那咱们发现 k a b 就等于 k n d 是 吧？好，那因为 e 点的坐标，咱们就可以写上什么 x 零和什么啊，这就是 m， 所以 d 点的坐标就是负 x 零 m 好， n 呢，咱们也可以做出来，你看这就是 x 零，跟什么啊？这里咱们它在这个直线上， y 等于二，除以 m， 所以 k 就 等于 二，除以 m 减去 m 除以二 x 零。好了，那么咱们也可以发现 这个 x 零呢，你看就变成单动点的模式，单动点肯定三角还原呢，那 x 零就等于二扩散 c 塔二， m 就 等于根号二 散逸 c 塔往这里面一带，本题就算出来了，这就是我们这道题的一个什么背景，咱们用背景呢啊，先做一下分析，它隐藏的就是我们说的蝴蝶定律，它隐藏的就是这一个终点， 咱们平常没有去对这个题做一个深入的挖掘，你要我现在去找蝴蝶定律题，确实也是比较多见啊，就是说咱们得见多识广，各种各样的类型的问题呢啊，都是得要打好基础，是不是 你的打好基础了，然后你去做的话呢，你才可以去很好的进行一个突破。好，接下来呢，我们就开始进入它的书写，那既然你这里要求出一个 a b 的 斜率，那我就得把 a b 两点的这个坐标 就要给它表示出来。好，那么由于这里都是经过 m r， 咱们就令 a m 等于那么大 mb。 好， 然后呢， b m m 倍的 m q。 好， 那我们就可以发现呢，这个 a 点呢？ x 一 y 一， b 点呢？ x 二 y 二， 那我们就因为这里是，所以 x 一 加上 number， x 零等于零， x 二加上 mu， x 零等于零，那 x 咱们就分析出来了，再来分析 y 是 不是好，那么我们就发现呢，在看 a m p， 那 咱们就看看 y 一 就等于二分之几点加极限， 几点减，极限乘以那么大。好， y 二，你看从这里开始啊，几点加极限， 二分之几点减几线乘以六，所以 k 就 等于 y 二减 y 一， 那这里呢，咱们就得出一个这样的一个结果，就等于二除以 m 减去 m 除以二 x 零， ok， 咱们的书写过程呢，定比点差的过程我已经省略了，大家可以去自行把它完成， 然后把这个数字往里面一带啊。接下来计算就比较简单了，它就等于根号二三扇的平方 set 加上四括号 set， 反正你要给它起置化 八扇 set， 括号 set， 最后就等于八分之根号二三倍。 其实这个地理点查的我们发现啊，第三问和第二问并没有一个很直接的一个关联，当然我们给的一个曲线系的解法呢，是给了这个关联，但是呢，我们这里不去给大家重点讲解曲线系，曲线系的在一些题的最佳做法还是在四点共圆的时候，确实有一个降维打击的效果 好，那么这个式子呢，到这里呢，就大于等于二分之根号六啊，单且简单，贪婪的 c 等于三分之二倍，根号三十成立。 好，那么本题呢，我们就给大家解读到这里啊，解读了蝴蝶定律的背景，也解读了这个题的一个最佳的计算方法。 那么接下来我们就讲一种这种坎迪定律啊，这是我们看到居然有个十九题考了这个坎迪定律的背景，嗯，难度也不是很大啊，但是我们在这里给大家好好解读一下， 那么这个坎迪定律呢，到底是一个怎么回事呢？啊，好， 还是一句话啊？调和点列还是一句话啊？调和点列，来，我们来做下分析，由调和点列的这个背景，咱们来说下这个坎迪定律它的来龙去脉， 因为好，我们这里呢，四边形啊，都知道这个是 m， 这是交点，这个点刺激三角形当中啊，都知道几点，这个呢 是极限，那么这是几点？这是极限好，我们都很清楚，根据刺激三角形呢， ab 和 cd 的 交点呢，是一定交于点 p 的， 我相信这个大家都能够理解到位，这个是没问题的啊， ab 和 c 的 它们延长线呢，是交于点 p 好， 所以那么我们这里呢，就做出了一个比较重要的啊，那就是 k a b 比上 k c 的， 那么咱们就可以写上是这个三角形，两个三角形嘛好，那 ab 的 斜率咱们就可以写上是 y p 减去 y e 好， y p 减去 y e， 然后呢咱们说的 x h 减去 x e 比上 y p 减去 y 啊，这个 c d 就是 y g 啊，你看这个点是不是 x 和两个轴点好，咱们这些什么好， x h 减去 x g， 那 这个呢，咱们这一表示就非常非常清楚的，等于 h g 比上 h e， 因为它们走在一个相同的方向啊，等于 h e， h g 比上 h e， 这个大家应该是没什么问题的，因为根据咱们的直角三角形， 接下来呢，他就有一个非常重要的蝴蝶定律，咱们来通过蝴蝶定律呢来看出他的一个斜率关系，好，这是我们说的第一个啊，第二层呢， 我们的这个四边形呢，别忘了好，因为这个 m 呢，再来看这个上下是什么关系，它交椭圆的上下，它是椭圆上的上下，这个分线的终点，那么我们就把这个四边形给他延长上去， 大家看到了吗？对吧？那么是这个上下的一个终点，你是四边形的终点，那么你也会是曲线的终点好，而且上下相等啊，我这里 e f 好 g h 啊，呃， 这上面是 j， 下面是 k， 好， 那么咱们由蝴蝶定律， 我们要得到什么？ j m 就 等于 k m 是 吧？因为你 m 是 这个椭圆上下的中点。好，所以咱们说的 k a b 比上 k c 的 好，那咱们就可以写成什么啊？可以写成这样，你看这两个三角形， 是不是啊？你看好这个三角形和这个三角形，你看这样做出这个蝴蝶是吧？好，那这边呢，咱们也能变成一个什么，就是因为它们的的它 y 是 互为相反数，你的它 y 互为相反数呢？变成的 x 的 倒数比，那就是咱们说的 g m 啊， g m 呢，就比上 me 是 不是等于 g m 比上 me 好 了，那么咱们再根据这个调和点念啊，你们大家看一看，是不是这就形成一个非常重要的式子， m e 比上 mg 等于 h g 比上 h e 好， 我们发现呢，这里一个神奇的啊，通过 ab 和 c 轴的斜率关系，大家发现了吗？这四个是什么？因为 mg 比上 me 等于 h g 比上 h e， 所以 这四点是什么？调和点列啊？就是我们所说的好 h m 好 e g， 并且呢，我们知道 a 一 a 二是它的左右两个顶点，所以同时满足 h m， 那 么这里呢，我们得到了调和点列，那我们就得根据调和点列的数字关系， 那怎么办呢？我们发现啊，这里是以 m 为中心， m 到 h 的 过程当中，它经过了两个点，是吧？ m， 我 们把，所以我们这个就是以 m h 为两个基点。 好，那这里呢， e g 为分点，那这种情况呢，就是 a 一 a 二为分点。 但也会有同学问，那你这个调和点列，为什么它能形成不同调和点列呢？因为它的中心不一样，你的 a 一 a 二的中心是 o 点，那你 e g 的 终点可不是 o 点。好，那根据我们的调和点列数量关系啊，调和点什么数量关系？那就是 m h 分 之二。好，从左往右看啊，咱们从左往右看， m h 分 之二，好，那就是等于往左边 m e 分 之一， m e 分 之一，然后呢，那就是减去啊，你这加的右边是什么？那就是 m g。 好， 那 m h 分 之二，再往左边看，那就是 m a 一 分之一减去，所以根据 m h 分 之二呢，这两个相等啊，对吧？所以， 好，那其实 m h 也是咱们说的用什么减什么都很清楚的，是不是，对吧？好，那这里啊， m 一 分之一减去 m a 一 分之一减去 ma 二分之一，咱们可以直接用蝴蝶定律啊，调和点列来证明，咱们也可以变成这个坎迪定律来解释整个问题的真理。我在书上没有给大家写出这个证明过程啊， 但是我们在这个，嗯，视频讲解的时候，给大家多做了点这样的科普和分析， 如果我们是同学，是学生的话呢啊，可以去就是把这种类型的背景呢，一点点给他画出来。作为老师的话，在介绍蝴蝶和坎迪定律的时候呢，一定要结合 调和点列的数量关系啊，来做出一个分析。因为你看啊， m 到 h 是 左到，是吧？从右到左，那么右到左是一个同向， 同时如果 m 到 h 是 左到右，咱们也可以用什么从哪个点到极点到极限看，是从左到右还是右到左啊？这个就跟我们之前讲的，呃，两个极点在曲线上， ab 两点啊，来看极点极限它是有点小小的区别啊， 其实也是一样的啊，就是咱们说的一个一个调和平均数嘛，是吧，它是一个有大小又有方向的。那么接下来呢，我们来给大家讲解一下这个例题。二十三，第一问呢，我们也先把答案给了大家， 你看第二问，毫无疑问就是一个斜率的一个关系，来，咱们来分析一下啊，这里的第二问，第三问，咱们先分析背景，再来说书写 好背景呢，还是比较好理解的。咱们先因为 a b 和和 d n 呢啊，咱们说的 c d 交于 r， 那 么这个 f 呢？是，这是好， f 呢？是我们说的几点， 那么这个 r 呢，一定在一个极限上啊，就是 x 等于四，对吧？好，那咱们呢把这个点给表示出来啊， a， b， c， d， m， n， 好， 把这个呢写上一个 p 点， 那我们就可以很明确的发现了几个特点啊，好， k 一 应该是好，对，我们到后面再写啊，好，那我们这里直接写背景嘛，这页啊，这页咱们写，直接写背景，背景呢， k 一 比 k 二呢，也是一个比较好用的一个式子啊， k 一 比 k 二， ab 是 k 一， 第一个，咱们呢就等于怎么样啊，你看这两个啊，这两个三角形是不是好，那 k 一 比 k 二就等于 d p 比上 f p， ok 啊，这里是，嗯，抱歉啊，这个不是 d 啊，这里是，我看看啊， r， 哦，这是 q 啊，抱歉啊，我这个 d 应该是，对对对，这个这个符号啊，符号表示有问题啊，改一下， 好，那就是 f 一 啊，好， p q， 因为这个焦点呢，把它设为 q 点，没问题啊， p q 比赛， 那么这个 q 呢，你现在还是不知道的，对吧？你这还是不知道，所以说你真的这个定点是咱们先要求出来的，对不对？ 好，那就等于什么 p q， 咱们说的啊，好，这就是 p q 比上 f e q， 再根据蝴蝶定律，你往上面一交，因为这个 f i 是 什么？是 e g 的 终点，那么你的 f i 就是 mn 的 终点，那我们又变成了 q f r， 是 吧？这一段啊， q f r 比上 f 一 f 二，所以呢，这四个点呢，咱们说呢调和点列，是不是咱们就可以用这个方式能直接把它给做出来？但是呢，因为我们这里好像还差一个啊， 对吧？我看看啊，我们在分析背景的时候，好像我看一下我有没有对，书上呢？我给大家做了一个背景的分析，对吧？做了一个背景的分析啊，好，那么所以咱们把这四字一算啊，这就等于 五分之四减 x q 等于负的二分之一减 x q， 所以 x q 等于七分之十三 k 一 比 k 二就等于七分之三，这咱们说的一个啊，蝴蝶定律啊，但这里你要把 q 求出来，就是坎迪定律，因为咱们刚刚也讲了，这里是什么哪几个点是乘调和点掉的，就是咱们所说的 f 一 好 q， 然后呢 f 二 p 等于，那么咱们的什么左右两个顶点啊，咱们这个是 a 一 a 二就等于 a 一 a 二，然后呢 f 二 p， 好，这期咱们说啊，是用什么坎迪定律啊？因为你这是个两组调和点列，两组调和点列构成了这个坎迪定律，所以咱们这就能算出一个呢，从咱们要么从左往右看啊，从左往右，所以 f 二 p 分 之二就等于 f 二 q 分 之一减去 f 一 f 二分之一好了，那这个呢，咱们也能够把这个呃，咱们说 q 算出来，因为这个呢，它就等于 f 二 a 二分之一减去 f 二 a 一 分之一，所以咱们呢，根据斜率的比， 也根据蝴蝶定律，还有咱们说的得出的一个调和点列，两组调和点列，利用这个调和点列的这个关系啊，数量关系，能够把这组数据这个求出来。当然第三个就比较简单了，因为你这个 p 点，你做个 h， 做个垂线，你看是吧， 那就是 p 到这个直线距离的这个 c d 过定点啊，那距的最值就是定点 p 到定点的距离啊，所以第三位还是比较简单的，这个题呢，第三位没给我们设置一个比较大的麻烦，接下来呢，就是我们的书写，是吧，我们对这个题的一个书写 好，当然呢，法一是曲线系啊，大家自己去那个，那我们现在表示一下啊，因为这里要我们来求的是看一下啊， a b 和这个呢，都来表示一下啊，那么 a b y 就 等于 k 一 啊，咱们这个写 好， a 点 x 一 y 一， b 点 x 二 y 二， c 点 x 三 y 三， d 点 x 四 y 四。好，先看啊，第一组， 咱们呢，这个啊，咱们的翻译这只蝴蝶，那就是 a f 二等于那么大 f 二 c， 接着呢， b f 二 六的 f 二 d， 所以 啊，咱们题目检查直接翻译三炮起名啊，咱们把这个过程省略了啊，那么 x 一 就等于 几点是一，极限是四啊，一零，这是 x 等于四，一加四好， x 三，这就等于直接啊，二分之一减去 好。第二组呢，用 mu 表示 x 二等于二分之五，减去二分之三， mu x 四二分之五减去二， mu 分 之三， y 二加上 mu， y 四等于零啊， 那几乎呢，这也没有什么很大的一个问题，所以咱们来看一下 y 三， 咱们把它写成什么呢？好，这就是负的 y 一 除以 number 减去负的 y 二除以 mu x 三 x 四呢，这两个一相减，就是负的二， number 分 之三加上二， mu 分 之三， 那么 y 一 y 二呢？咱们好继续写啊，就等于这个用 k 一 的表示，因为你依照于 k 一 来表示 k 二， 好，再加上 k 一 除以 number， 再加上啊，因为你这里是负负得正，那就是 y 二啊， k 一 二分之五减去二分之三六， 最终呢，咱们基本上也得出来了，负二分之七， 那么大分之一减去六分之一 k 一， 那这里呢？负的二分之三，那么大分之一减去六分之一，这这两个参数都一起，对吧？所以 好，接着呢，咱们看第三位，第三类比较简单了，因为我要得到这里的 k 一 比 k 二，那么我们就分析了， k 一 比 k 二 等于 y 一 比上， x 一 加一比上。好，咱们看看啊， k 一 好， y 一 嘛，好比上，那这个啊，然后呢，那么我们再看看 a c， 那么就是 y 三比上，好，这是 k 一 啊，我们看 k 二，这是 k 二啊， k 二怎么表示的？它过这个 x q， 是 不是啊？看这个 x q， 那 就等于 y 三比上 x 三减去 x q， 那 这就等于 七分之三，所以把它带进去啊，算出 x q 就 等于七分之十三，那么 c d 呢？就过 q 七分之十三零。最后呢，咱们也就知道了啊， p h 这个长度呢，肯定是小于定点嘛，是不是垂直于 c 的 时， 对吧？所以 p h 的 长度小于等于，你看你到 p 到 h 肯定小于。什么 p 到 q 嘛，是不是你 c 的 是不是点 q 啊？ 好，那两点间距离啊，咱们这就等于十四分之，这是送分啊，我没想到这个第三问这么简单啊， 当然它必定也是十八题啊，所以这第三问咱们就搞定了，关键就在于这里的第二问，咱们如何通过定比点差来翻译蝴蝶定律和坎迪定律， 当然这里有两组调和点练啊，咱们也给大家呢，把这个问题呢就翻译到这里啊，这种类型题，大家可以再去找一些这种系统的练习来进行训练，给学生也可以啊，或者咱们同学们自己去练一下，也问题不大。 但是呢，本题呢，我们给大家就说到这里啊，那么定位点叉的内容呢，咱们也给大家解读完毕，咱们呢啊，下一个板块啊，下一个专题，再见！

你该不会还不知道小学的六大几何模型吧？第一个等级模型，也叫拉窗点，原理是两条平行线之间的距离处处相等，所以不管三角形的顶点在平行线上如何移动，三角形的面积始终不变。 第二个一半模型，蓝色部分面积是长方形面积的一半，可以通过第一个拉窗帘模型来证明，看是不是一下子就看出三角形面积是长方形面积的一半了。一半模型一共有四个常见形式，前三种三角形的面积都是长方形面积的一半，但是第四种例外。第三个蝴蝶模型， 在任意一个四边形中，对角线把四边形分成了四个三角形，头成尾等于赤成赤。第四个沙漏模型，上下两条边是平行的，其原理是初中的相似三角形。第五个鸟头模型， 也叫共角模型，两个三角形有公共角，那两个三角形的面积就等于公共角夹脚边乘积的比值。这就是数学的魅力，一旦亲眼看见了，逻辑就变得无比清晰。 而很多人终其一生都认定自己不是学数学的料，其实是从来没人肯用这种直观的方式帮你把抽象的数学讲透。直到我翻开小学几何解析妙招，才明白，原来数学从来都不是枯燥的公式，而是看得见的逻 辑。它像公式推导一样，把几千年来人类探索的数学真理，全用通俗易懂的方式拆解开来。从等高模型到燕尾模型、相似三角形，再到后来的勾股定律、 百伦公式，这些听起来高深的数学思想，他都用可式化的方式讲明白。不用死记硬背，不用疯狂刷题，让你一眼看懂数学的本质。 他不教你怎么解析，而是给你演示这些公式定律的拼接。读完瞬间明白，原来数学根本不是分散的知识点，而是一套逻辑严密的思维体系。只是之前从来没人告诉我他们本该连在一起。真心推荐给小学生家长们和所有想在碎片化时间内重新捡起数学的人。

很多粉丝要求我讲一下蝴蝶定理怎么来的？首先我们搞明白什么叫蝴蝶模型，就是一个梯形把它的两条对角线连接起来， 形状是不是很像蝴蝶，所以把它叫做蝴蝶模型。为了方便表达，我先标记一下，我们看在这个题型当中，三角形 abc 的面积和三角形 dbc 的面积是相等的，因为他们是同底等高的， 而三角形 abc 他是有三角形二和三角形三相加来的， 三角形 db 色又是三角形三和三角形四相加来的，所以他们也相等。那现在我们同时剪掉这个三角形三 公共的部分，就得到三角形二和三角形四相等，也就是我们所说的蝴蝶的两个翅膀上的三角形面积相等。第一，我们再看，如果我们把 b、 d 这条线作为三角形二和三角形一的底边的话，那三角形二和三角形一的高是一条公共的高。 在高相等的前提下，三角形面积的比和他的底边的比是相等的，那所以三角形二比三角形一就会等于比一比一的，那同样的 三角形三和三角形四也是一条公共的高，那在他们高相等的前提下，具备同样的性质，所以三角形三比三角形四 就等于底边比一比一点，那右边是相等的， 所以左边也会相等，那三角形二比三角形一就会等于三角形三比三角形四。 根据比例的基本性质，两内向的基等于两外向的基，所以得出三角形一乘三角形三就等于三角形二乘三角形四，也就是我们所说的 相对的两个三角形的面积相乘，他们一定相等，这就是定理二，你明白了吗？

今天李老师给大家来推倒一下蝴蝶定制。任意的四边形，连接完对角线以后，我们就可以把这个四边形分成四个三角形。假设这条边的长度为 a， 这条边的长度为 b， 接下来第二步，分别从上面做上面这个三角形的高，从这个顶点做这个大三角形的高。假设上面的高为 x， 下面的高为外，那这个面积就应该是这个三角形的面积，同样的也等于底层高，那等于 这个三角形，它的面积等于二分之一 a 乘外，这个三角形的面积等于二分之一的 b 乘外。这两个三角形的面积相乘等于四分之一的 a、 b、 x、 y， 这两个三角形的面积相乘也是等于四分之一的 a、 b、 x、 y， 这就是我们说的蝴蝶定。

如果你知道这些二级结论，相当于你解析时直接多了几个已知条件，解析思路和效率都会大大提升。这本书把初中七十多个二级结论都总结整理好了，把它们理解吃透，无论是填空选择题还是压轴题， 都能打开解析思路。比如数学七年级高频考察的整体带入法结正式计算，还有八年级等边三角形内点到三边距离公式，九年级的面积公式解反比例函数圆点三角问题，搭配二十八个几何动图，让孩子一看就明白图形原理。物理和化学也是一样， 哪些是重点，哪些是考点，孩子一目了然，重点、难点都有，每个结论都从真实的考题上教你如何快捷，考什么我们就去练什么， 学练结合，方便孩子点对点的集中去攻克，等到下次考试就能举一反三。一本能用三年的书，家有初中生的赶紧安排起来吧！

来五年级的小伙伴看过来，咱们五年级的小伙伴学了多边形的面积，这个地方的题说难还是挺难的，那么在这有一个非常重要的公式叫蝴蝶定理，虽然说我们课内没有学，但是做题的时候他经常用， 什么是蝴蝶定理呢？我们先看一个例题说如图，长方形被分成四个小长方形，求阴影部的面积， 这个面积是二十八，这个面积是十二，这个面积是六，让我们去求阴影部分的面积。那么根据蝴蝶定理，蝴蝶定理有一条，把一个平行四边形 分成四个平行四边形， s 一， s 二， s 三， s 四，那么还是对角线面积的乘积相等，他俩是对角线，那就是 s 一乘以 s 四，他俩是相对的， s 二乘以 s 三，他们是相等的。公式怎么来的？短视频里不说，因为太长了，我们在直播间给大家介绍。那这个题我们是不是就简单了，我们用二十八 乘以六，这是他俩的乘积，如果我们设他的面积是 x， 那他俩的乘积就是十二 x， 然后面积应该怎么样 相等？我们解这个方程非常简单，左边除以六变成二，这边除以六没了，这边除以二没了，这边除以二变成十四，所以说阴影部的面积就是十四，这个方法学会了吗？关注刘邦老师，学好书，博基本功！

孩儿他爹，哈哈哈，帮我看看这道题。哎呦我的妈，哈哈哈，这题我都不会，怎么给孩子讲啊！教孩子一点点蝴蝶模型，就能瞬间秒杀它。开始你的蝴蝶模型。何为蝴蝶模型呢？两条平行线之间 倒是有两个同底等高的三角形。那它们的面积当然是相等的啦。对，那我们去掉中间重合的部分哇，剩下的两边的面积是不是也是相等的呀？对，这就是所谓的蝴蝶模型的最基本的原理，小孩子呢，也都 不知道。于是乎，我们就将这里的两点与这里的两点分别连成线。嗯，就构造出好多对蝴蝶的翅膀。哦，那这里是三，那这个小翅膀是不是也是三了？对，这边是不就是六？六，那这个翅膀是六，那这个翅膀是不是也是六？ 那这个翅膀是不是也是五啊？这阴影部分的面积就是六，加五等于十一。觉得有用的家长点个收藏，带孩子试试吧！

六年级小升初必考模型预测，考前极限押题！本期视频带你全面了解蝴蝶模型和风筝模型的原理和区别，多学一道，多长五分，在弹幕里打出超常发挥。我们直接开始，今天我们要系统性的学习两个模型，一个叫蝴蝶，一个叫风筝。 当然，这两个模型也绝对是我们小升初考试中非常非常重要的模型。好，我们来看一下啊！首先我们要先来掌握第一个模型，什么叫做蝴蝶模型呢？非常好理解啊。比如说，我先给大家取一组平行线， 在平行线之间，老师找一个红色的三角形，顶天立地，再找一个蓝色的三角形，同样也是顶天立地。那你会发现同学们，这两个三角形，他们的面积是什么关系呢？是不一样的，看这个红色和这个蓝色的三角形，他们的面积关系就是一个同底 等高的关系，可以吧？那么在同底等高的基础之上，大家再注意看，我把左侧描成红色，把右侧描成蓝色，那你同样也会发现，这两个三角形，它们的面积是不是也是一样的？为什么呢？同学们，等式的性质 对吧？这的面积即为一，这的面积即为二，这的面积即为三。首先，红色三角形的面积，一号加上二号是等于蓝色三角形的面积，二号加上三号的， 是不是？那此时等式两边同时去掉一个二，所以说一号的面积就等于三号。大家发现没有，相等的两个地方，特别像蝴蝶的两个翅膀，哎，所以说这个模型我们起个名，它就叫做蝴蝶 模型。当然啊，蝴蝶模型的前提条件要记住，一定是上下平行，左右两个小翅膀才能相等，是不是？那根据这个模型，同学们，我们来看题， 他说长方形里面有两块面积，现在我要求的是阴影部分，对不对？那根据我们的平行线，上下平行，左右相等，那么左侧的翅膀如果是十的话，来，各位，右侧的翅膀呢？很简单，看好，我只要连接这两个点， 注意看啊，那么左侧的面积是十，右侧的面积呢？当然也得是十平方厘米。 哎， sorry 啊，也得是十平方厘米。好，那接下来我们再看，那只有这个十，同学们，够不够呢？很明显不够，因为这的面积我们还是不知道。但是同学们，如果你知道什么叫风筝模型，下面这块空白我是完全能计算的。好，我们还是展开说一下啊，什么叫做风筝模型？比如说 这里，老师给大家找一个三角形，我把这个三角形从中间给它分成两个部分，左边这个三角形呢，我记为 s 一， 假设它的底边长为 a， 右边这个三角形叫 s 二，假设它的底边成为 b 来，同学们是不是不难发现，这两个三角形它们的高是一样的， 对吧？你看一个钝角三角形，一个锐角三角形，它们的高都是过顶点向底边做垂线，这个高我记作 h 一。 接下来我们要研究一下啊，如果两个三角形的高是一样的，那它们的面积和底边是什么关系呢？看好啊， s 一 比上 s 二，就等于 s 一 的面积，底是 a， 高是 h， 一 底乘高除以二。 s 二的面积呢？底是 b， 高也是 h 一 底乘高再除以二。好，此时我们约分 高和高约调，二和二约调，那么剩下的就是小 a b， 小 b 发现没有高一样面积之比就等于底边之比，这个模型我们就叫做等高模型，可以吧，那如果大家知道什么叫等高了，风筝就更简单了，是不是看好反方向，我再画一个等高， 这的面积呢？我记为 s 三，这的面积我记为 s 四，那同学们，三和四的高一样吗？当然啊，你看一个钝角，一个锐角，他们的高都是过这个点向底边 去做的一条垂线，这个高我记为 h 二，那根据我刚刚说的，高一样面积之比就等于底边之比，所以说 s 三比上 s 四，是不是也是等于它的底边？看好啊， s 三的底边是小 a， s 四的底边是小 b， 也是等于 稍等啊，也是等于什么？小 a 比上小 b 的 对不对？那此时大家就会发现，它也等于 a 比 b， 它也等于 a 比 b， 就 说明什么？说明它俩就是相等的，可以吧，那就有 s 一 比上 s 二等于 s 三 比上 s 四，但是呢，同学们，比例的形式不好记，对吧？或者分数的形式不好记，那我们通分一下，或者根据比例的性质，内向之基等于外向之基，一打开，那就是 s 一 乘 s 四，就等于 s 二乘 s 三。来，同学们，这个好不好记？这个太好记了，怎么记？按照它们的位置关系去记，看好啊，一乘四，那就是它乘它， 二乘三啊，就是它乘它，对不对？大家发现没有，是不是感觉跟打了个叉一样？那这个东西我们一句话就可以总结叫做交叉相乘，乘积相等， 可以吧，交叉相乘，乘积相等，但是老师告诉你哦，风筝模型我们在用的过程中是不需要考虑平行的， 记住啊，各位，不需要考虑平行，平不平行无所谓，这个风筝模型它是在任意的四边形中都可以，对吧？任意的四边形中交叉相乘，好，那有了这样的模型来，同学们，下面这一块好不好算？太好算了， 十乘十等于一百，一百再除以五，所以说下面这块的面积就是二十平方厘米，对不对？再根据咱们的一半看，好啊，一半，那下面就是十 加二十等于三十，那下面是三十，上面呢，也得是三十吧，三十减去五，所以说阴影部分的面积就是二十五平方厘米，可以吧？好，那根据这两个模型，我们的难度再往上走一走啊，好， 稍微移动一下啊，好，接下来我们来看第二道题，这个题其实也差不多，对不对？首先，各位，根据我们刚刚所说的蝴蝶模型，叫做上下平行，左右相等，那这的面积是四，那这的面积呢？同学们是不是也得是四 平方厘米，可以吧？再根据我们的第二个模型叫做风筝模型，任意的四边形中交叉相乘，所以说四四一十六，二八 一十六，可以吧。然后呢，再根据咱们的一半模型，对角线平分，上面的面积是四加八十二，说明下面也得是十二，十二减二，再减四，这一块，它的面积就是六平方厘米，没问题吧？这个题难吗？各位，也不难，好，我们的难度再往上走啊， 来，我们一动一息啊！好，接下来我们再来看第三道题，同学们，我们来观察一下，首先这个题容易做错的一个点是什么呢？很多同学这样做，他说，老师，蝴蝶就是两个翅膀相等，所以说这的面积就是七， 对吧？那七乘七等于六乘以 s 一 乘以阴影部分，所以说这的面积就是六分之四十九， 可以吗？各位，不行，记住啊，蝴蝶模型它一定是要求上下平行左右才能相等，是不是？那题目中有没有告诉你它和它是一组平行线呢？没有啊，所以说这的面积和这的面积那肯定不相等， 对吧？那我们只能利用什么呢？只能利用我们刚刚说的风筝模型，因为风筝模型它是在任意的四边形中。好，那有了这样的结论，看好啊，这的面积即为 s 一， 这的面积即为 s 二，所以说大家很明显能发现 s 一 比 s 二是等于六 比七的，可以吧？那写成比例的形式就是 s 一 比 s 二等于六比七，这个题我们用解比例的方法做，要不然 如果列方程太麻烦了，对吧？好，题目中第二个条件告诉你，整个面积为五十二，那 s 一 加 s 二等于多少？ s 一 加上 s 二就等于五十二，减六再减七等于三十九，对吧？那接下来同学们不就是一个解比例的问题吗？你看 s 一 比 s 二等于六比七，就说明 s 二就占了六加七十三份里面的 七份，再乘以总和，就是单个的量余分，三七二十一直接搞定。好吧，但是老师告诉你，要风筝模型他可以考的很难。来，我们再来看一道题 调整一下啊。首先老师告诉你，这个题他一般会怎么考呢？这个题如果在我们初二，他会考你构造前途，怎么构造前途？这样子，你这个边找上中点，这个边找上中点。好，你我看看啊，这样子一连， 这样子一连，对不对？然后你会发现他俩的面积就是整个正方形的五分之一，对吧？但是构造玄图，我们要证明全等是不是？而且玄图我们是在初二才学的，但这个题如果真的出现在小升初的考试试卷上怎么办呢？来，老师告诉你，风筝就可以搞定了。 好，我们简单分析一下啊。首先我要求的这个阴影部分，它是不是一个规则图形呢？当然不规则，五年级就学过了，对吧？怎么处理不规则图形呢？要么分割，要么去补全，那很显然，这的面积能不能补全？各位，你不能补全了 是不是？你说你往哪补呢？你这不越补越大了吗？对吧？那我只能分割。那最好的分割方法就是连接两个中点，看好我竖着分啊， 为啥你横着分算不了？你看你横着分，这两个三角形一个都不知道，对吧？但是我竖着分这个题就完全不一样了。首先下面这个三角形你是一定能算的，因为题目中告诉你，正方形的边长是八厘米，那这一段就是四， 这一段也是四，它是一个直角三角形，它的面积就是八平方厘米啊。 同学们，那接下来我只要想办法把这一块算出来不就好了，对吧？那这的面积怎么算呢？如果你没有学过什么叫风筝，同学们，你直接去找关系，根本找不到，因为这三个三角形的面积你不会找，对吧？没有面积关系，但是如果你学过，模型就不一样了，看好 a、 b、 c、 d， 那 你很容易想到，各位，我连接 a、 d 去构造这个模型是不是？那么此时这四个三角形什么关系一目了然了吧，它们的面积关系就是对角相乘或者说交叉相乘，乘积是相等的。那么接下来我们只要把这四块面积怎么样表示出来不就好了吗？ 怎么表示来看？好啊，我先把这一块阴影部分的面积为小字母 a， 可以吧？来，我们一起来算一下啊！三角形 a、 b、 c 的 面积等于多少？三角形 a、 b、 c， 它的底是四，它是一个钝角，三角形它的外高也是四，所以说底乘高除以二， a、 b、 c， 它的面积是八， 可以吧？那么此时我只需要用八减去这一块阴影部分的小 a， 那 么下面的空白我就可以表示成为八减 a， 是 不特别好理解，来，我们再来算啊！那么三角形 b、 c、 d 的 面积等于多少呢？三角形 b、 c、 d， 它的底是四，它的高是八，哎，底乘高 再除以二等于十六平方厘米，对吧？来，注意看啊，整个是十六减去下面的八减 a， 那 就有十六减去 八减 a， 就 等于八加 a， 所以 说这的面积就可以表示成为八加 a， 对 不对？来最后一块啊， 这个三角形的面积好算吗？三角形 a、 c、 d， 它的面积就是正方形的一半一半模型，对不对？底是八，高也是八，底乘高除以二，八、八、六十四除以二就是三十二，所以说 a、 c、 d 的 面积是三十二，用 a、 c、 d 的 面积减去这一块，剩下的不就是这一块吗？ 对吧？那就有三十二减去八加 a 就 等于二十四减 a， 所以 说这的面积就是二十四减 a， 那 么此时同学们，你的脑子里面会出现一个特别神奇的等式，就是我们刚刚说的风筝模型，对吧？那就有 a 乘以 八加 a 等于二十四减 a， 乘以八减 a， 看见没有， 对不对？交叉相乘，乘积相等。那这个时候有人说，老师，那你这里面不是有二次项吗？这我也不会解呀，在小学老师告诉你，你打开之后没有二次项的来看，好，那左边就是八， a 加 a 方 就等于一百九十二减去八 a 减去二十四 a， 再加上 a 方，没算错吧？嗯，好看， a 方 a 方相互抵消掉了，所以说最后整理就是四十 a 等于一百九十二，是不特别简单，对不对？那 a 就 等于四点八 平方厘米，然后呢，它再加上它不就是整个阴影部分的面积吗？对不对？那就有四点八加上八，所以说整个阴影部分的面积就是十二点八平方厘米，对吧？这是稍微难一点，难道老师还有没有更难的呢？当然有，来，同学们， 平面几何的难度没有上限呀！好，我们再来看这个题啊，同学们两种做法，第一呢就是如果之前你跟我学过燕尾模型，应该可以直接做出来， 对不对？但这个题老师我没有学过燕尾，那风筝模型能不能解决呢？来，老师告诉你，当然没问题。好，我们先给大家标上几个点啊， abc， 这个点叫 d， 这个点叫 e。 首先同学们，我们刚刚所说的风筝模型是在任意的四边形中去做交叉相乘，对吧？那当你掌握了这个模型，你告诉老师，这个题的辅助线你还能不会连吗？你肯定会连啊，我只要连接 d、 e， 这不就出来了吗？对吧？无需考虑平行线，因为他是在任意的四边形中交叉相乘。所以说，看好啊，在这 四边形对角线有了交叉相乘，二乘三等于六，四乘多少等于六啊？四乘一点五就等于六，所以说这的面积就是一点五 平方厘米，哎，就这么简单，对不对？那老师下面这一块怎么算呢？来，老师告诉你啊，下面这一块我们还是需要利用等高来利用，等高去列什么？利用等高去列个方程就可以了。看好啊，我们先看这个三角形， 在这个三角形中，大家发现没有，它和它是等高的，我们写一下啊，比如说三角形 b、 d、 e 比上 s 一， 哎，看好啊，三角形 b、 d、 e 和 s、 e 它们是等高的，它们的高都是过一点向下做垂线，对吧？那高一样，它们的面积之比呢？ b、 d、 e 的 面积是二，加上一点五就是三点五，比上 s、 e 等于什么？等于底边之比，那底边就是 b、 d 比上 c、 d 好。 我们再来看，同学们在这个大的三角形里面这样子分了一下，那左侧和右侧是不是也是等高的？也就是说三角形 a、 b、 d 比上三角形 a、 c、 d。 看好啊，这个三角形和这个三角形它也是一个等高的关系。那么既然是等高面积之比， a、 b、 d 是 四加二，等于六， 没问题吧？那 a、 c、 d 呢？ a、 c、 d 是 三加一点五是四点五，四点五加上 s 一， 那就是四点五，加上 s 一， 它就等于底边之比。看好啊，底边同样是 b、 d 比上 c d， 可以 吧？那你会发现老师它也等于 b d 比 c d， 它也等于 b d 比 c d， 那 就是三点五比上 s 一 就等于六， 比上四点五，加上 s 一 来，同学们去解个比例不就好，是不是最后 s 一 的面积就等于六点三 平方厘米，然后呢，用六点三，再加上我们刚刚用风筝算出来的一点五，所以说整个阴影部分的面积就等于七点八 平方厘米。同学们，风筝模型学到这个份上就差不多了对吧？你只要能够把这道题考准，考试的过程中出现再难的同学们你应该都会分析了。然后呢，从现在开始一直到我们中考或者说小升初考试结束， 每天呢，老师都会给大家去分享一些比较重要的知识，以便在考试的过程中能够帮助各位同学。所以说同学们 看完之后，如果大家觉得 ok， 没问题的话，一定要记得给老师点个赞，点个关注。然后呢，我们每一期视频都会给大家分享一些当下非常重要的知识点。好，那同学们，我们下期视频再见，关注小白，轻松学奥数！

平行线上拉一拉，面积不变。咦，你瞧，这里正好是一个梯形，那这两条线就是梯形的对角线。看来连接梯形的对角线就能得到两个面积一样的三角形。那除了他们俩，还有没有其他三角形面积也一样呢？ 发现没，他俩都有这一块，如果把它挖掉，剩下的面积也应该是一样的。也就是说，梯形对角线分出的四个三角形里，腰上的俩三角形面积相等。你看他们俩是不是很像蝴蝶的一对翅膀，这对翅膀面积一定相等， 如果他的面积是九十九，那他的面积也一定是九十九，这就是传说中的蝴蝶模型。注意提醒，你的蝴蝶翅膀 说的是腰上的两三角形，你只要找到腰，翅膀就不会找错了。比如这个题型，腰在这，那翅膀就是这俩三角形，而这个题型里，他们俩平行，他们俩不平行，所以腰在这，那翅膀就是这俩三角形。 只要有梯形，你就可以很轻松的找到翅膀。可如果梯形被藏了起来呢？比如这个图，大正方形的面积是五百，那阴影部分的面积是多少呢？ 我的天呐，这可怎么求？别急，看看能不能用到蝴蝶模型。先找梯形， 他们俩平行，他们俩不平行，所以这个四边形就是梯形。梯形里不平行的对边是腰，腰上的三角形就是翅膀， 他俩面积一样，咱就可以把这块阴影面积转化到这里，这样的话，原来的阴影部分就变成这个三角形了， 他的面积很好求，就是大正方形的一半及五百的一半二百五，所以原来阴影部分的面积就也是二百五。好了，这个视频我就给你讲了，蝴蝶模型在梯形里对角线分出了四个三角形， 腰上的两三角形面积一样，简单来说就是梯形里的蝴蝶翅膀面积相等。现在问题来了，这有个梯形，如果这个三角形的面积是三三三，那这个三角形的面积是多少呢？

这道题是利用模型求面积，为了方便观察，我们把每一部分都标上面积符号。首先根据一半模型，我们知道三角形 bcf 的 面积就是平行四边形 a、 b、 c、 d 面积的一半，那么三角形 bcf 外面的面积也是平行四边形 a、 b、 c、 d 面积的一半， 所以我们就能得到 s 加 s 三的面积和就是九加五加六，再加上 s 二的面积和四边形 b、 c、 e、 f 是 蝴蝶模型。 蝴蝶模型的特点之一就是两翅面积相等，也就是 s 一 和 s 二的面积相等，由此我们就能推出 s 三的面积等于二十。蝴蝶模型的另外一个特点就是头乘尾等于翅乘翅， 所以五乘二十就等于 s 一 乘 s 二，而 s 一 又等于 s 二，因此我们就能推出 s 一 和 s 二的面积都是十，此时平行四边形 a、 b、 c、 d 中各个区域的面积都是十，此时平行四边形 a、 b、 c、 d 的 面积就是六十。你学会了吗？