北京中考一次函数取值范围
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01:24查看AI文稿AI文稿求下列函数中自变量的取值范围，好了，大家来看啊。那你先看第一个，哎，这个 x 加三是不是在分母上，所以 x 加三不等于零，那么 x 不 等负三 好，它的范围就是 x 不 等于负三好，再看第二个，哎，第二个，这个自变量的取值范围怎么来确定啊？首先，这个 四减 x 是 不是要被负，对吧？四减 x 大 于等于零，那么 x 是 不是应该小于等于四，对吧？ x 小 于等于四，同时这个分母不能为零， x 减三还不等于零，所以 x 还要不等于三，对吧？哎，那它俩结合起来， x 的 取值范围就是小于等于四，且 x 不 等于三好，这是第二个。再看第三个，哎，那你看第三个 x 的 范围是什么？是不是可以取任意的实数，对吧？你 x 取谁都行，所以这的取值范围就是 x 为任意实数。好，那今天的这道题目大家听懂了吗？
12:19查看AI文稿AI文稿hello 同学们，今天魏英老师带领大家学习二五年北京中考真题，依次函数小综合问题啊。首先这种题型初二初三都可以做了，所以咱们现在要把固定的 解题模板和思路一定要掌握。首先读题，他说了， y 等于 k， x 加 b， 图像经过一逗号三，二逗号五， 那经过这两个点，求 k 跟 b， 那 就是两个未知数呗，直接连立不等式带入进去即可啊。那这个你们就私下算就行，直接写答案， y 等于二， x 加一。第二问， x 小 于一的时候， 对于 mx 的 值既小于 k， x 加 b， 又小于这个 x 加 k， 那 这个时候老师要带大家先复习一下啊， 一次函数都考些什么呀？首先第一个 y 等于 k， 不 等于零，这时候它属于什么呀？叫正比例函数。 还有一种情况叫 y 等于 k， x 加 b， 它呢叫依次函数， 那它考察考察那方面是考察一个 k， 还考察一个 b， 那 咱们来重点分析一下，那 k 呢？负责什么呀？是它的斜率， 考察什么方向？它就是会考察一个平行，还会考察一个相交。 有两种情况啊，所以当它绝对值的 k 越大，那它离外轴啊，就会越近。 那咱们继续说 b 啊， b 呢，它是与外轴的交点有关。 那比如说啊，老二举个例子， y 等于 x 加一呢，那他这个点肯定是横过零逗号一的啊，所以他不可能出现平行的情况，他只会考察相交 啊，这是两种， k 是 两种情况， b 呢，是一种情况，那 k 的 平行什么情况？那就是比如说两个函数图像它平行了，对不对？那我就可以说第一个函数图像比第二个要恒大于，哎，这是平行啊。 言归正传，咱们来看第二题。首先我们先把函数解析式给它标清楚， y 等于 k， x 加 b， 是 咱们刚刚算， y 等于二， x 加一， x 加 k， k 十二，所以 y 就 等于一个二， x x 加二，那咱们先把它的临界值给它标上啊，不等于一吗？ 注意箭头，他说小于一，那咱们的箭头一定要标在左边，方便咱们去判断啊。 那咱们直接把 y 等于二， x 加一，图像给表示出来，一定要把简单数带进去，方便咱们画图啊。那咱们比如说 x 等于零的时候， y 一定等于一， 然后 y 等于 x 等一吧， x 等一的时候， y 是 等于三，这个时候咱们是不是能把图像给它连起来， 好把它的函数图像表示出来？ y 等于二， x 加一，注意它说小于，所以咱们这张图肯定是在草稿上进行的，所以咱右边给它标一个小， 哎，就不用咱们反复再去看草稿纸了啊。继续看第二个， y 等于 x 加二，那 y x 等于零的时候， y 一定等于二，然后那 x 等于一呢？ y 应该是等于三，那我们就发现它其实相交于这个点了。 好，标出来， y 等于 x 加二，同样小于两个，那 m x 咱们所确定的方阵，第一， 我们要从右上开始判断。第二，如果 m x， 那 咱们就是从初审坐标四十五度就可以了。好吧， 那这个时候蓝笔，那就是 y 等于 mx， m 等于四十五度的时候，哎，咱们来开始画啊。那他们转的时候，首先它是小于一，所以这个焦点一定是围绕的这个零界点 走的，对不对？也就这个轴啊。所以首先又想小于这两个函数的话，那横过零点，那转的时候只能是转这个点了呗，老师带大家转一下啊。 哎，横过零点转到这个位置的时候，哎，我们发现了，那 y 等于 m， x 这个时候是又小于 x 加二，又小于 y 等于二， x 加一，所以这个时候我们知道横坐标是一，当我们图画的标准的时候，我们知道是一到号三，那如果我们不清楚或者说不确定的时候呢？ 咱们因为它是经过两条函数解析式，咱们学过了函数解析式中 x 对 应的 y 有 且只有一个，所以把 x 带进去， 哎，现在 x 加一好不好， x 等于一带进去， y 是 不等于三， x 加二呢？ x 一 带进去， y 也是等于三，所以说咱们知道焦点坐标是一等号三带入进去，反带进去， m 等于 y 等于 mx， 所以 说 m 应该是等于三。 那我们想想能不能取等同学们，因为他说是小于一的时候，那咱们取等的时候怎么样？依然是满足提条件的。那老师教给大家，如果题目中他说小于一的话，那么大概率 百分之九十九啊，他的结论应该是带等于号。咱们继续看第二种情况，香蕉，咱们说完了，那是不是该看平行了？那我们看一下，比他两个小，那我们只能转呗，咱们继续往下转啊。 所以这根线我们不论怎么转，是不是都能往下转？他是旋转的啊， 那么重的绳什么时候啊？那也就是平行。同学们，我们能与 x 加二平行吗？可以吗？如果与 x 加二平行，发现没有这个蓝色的笔，蓝色的这个坐标 是不是跟红色的？这个即是相交了，相交的话它就容易就会出现比它大，所以我们需要跟 y 等于二， x 加一怎么样？哎，平行跟它平行的时候， 咱们就要确定一下啊，你看，因为平行的时候斜率一样的，所以我是横比它小， 咱们再确定一下是否满足条件，哎，都比这两个解释小，所以说这个二是满足题的。为什么 m 等于去二？因为它是与 y 等于二， x 加一平行，那二 x 加一 k 是 等于多少？斜率是二，所以 m 呢？也是二， 所以我们看，当它等于二的时候，它还能再往下吗？不可以啊，咱们刚刚说了，如果往下转的时候怎么样？ 哎，让他转一下吧，如果往下转的时候，他就会 相交，对不对？那一旦相交了以后，我就可能比他大，所以说我只能跟他平行。所以咱们刚刚说了，小于一的时候，当他等于一，我们依然是满动 t 的， 所以咱们应该 x 不是 m， 最终的取值范围是大于等于二，小于等于三。好，那这道题就说完了，咱们总结一下解题的过程啊。首，首先就是咱们第二问啊。 第二问，首先咱们要建立平面直角坐标器，统一单位长度啊，所以说老师建议是零点五厘米代表咱们的一厘米。 第二呢，直径标出邻界值，比如说小于一的时候，咱们是不是首先得标出来，因为他的焦点全是围绕着这个邻界值来找的。而且比如小于一，咱们就画一个左箭头， 因为画图的时候咱们在草稿纸上画的，避免咱们再反复看题，咱们直接在一个图里边直接就能看出来啊。第三，要标注函数图像，咱们画函数图像的时候，右上角要写上他的几级式，而且要标清楚是大还是小。 哎，一张图分析明了。第四，咱们画的时候，开始比较早的时候，别着急，从初十点，比如说 k， 那 就四十五度，那如果是 b 呢？ b 不知道，那咱们就按 b 等于零开始算， 要有序的分析啊，不重不漏。第五，转化不等式以后， 你比如说我确定完我就是这条线的话，平行，那我要确定一下，首先，我符合不符合题中的要求啊？是让我大于零还是小于零，还是都小于还是都大于？ 第二，确定完以后，我看看我还能不能再往下移啊，或者再往上移啊？如果再往下移，那我是不是还能确认这不是我的连接点？如果不能再往下，不能再往下移了，那说明咱们已经找到了罪责了。 哎，这是第二个确定点。第三，咱们确定是否取等。一般来说啊，题中他说小于一的时候，比如小于，那咱们等于的时候是满足题一的，因为他说是小于一，我才小于他小于他，那当我等于一的时候，我们都相等满足题一啊。 看第六个，如果 k 的 取值范围包含零，比如说啊，同学们，比如说 k 的 取值范围， k 是 呃， k 是 小于等于一，它包含不包含零啊？同学们，包含。如果同学题目中说了 k 它不等于零，那我算出来，比如说 m 不 等于零，那我算出来 m 取值范围 m 小 于等于一呢？ 那我依然是要写上 m 小 于等于一，且 m 不 等于零，这个时候这个是很重要的啊， 一定要注意。第七，你就老师要提示大家，第一问通常是比较简单的计算问题，一定要算对，很关键，因为第二问的函数图像都是根据第一问去画的。好吧，朋友们建议这块系统步骤呢， 一定要深思熟虑，把它记到笔记本上，真正的内化为自己的学习成果。好，祝大家水到渠成，马到成功，这道题就整到这。
154蔚宁数学
03:11查看AI文稿AI文稿要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课。来看这道题，已知一次，函数 y 等于二， m 加三， x 加 m 减一。 第一问，若该函数的值 y 随自变量 x 的 增大而减小，求 m 的 取值范围。好，这道题我们来解一下。 那它的一般形式是， y 等于 k， x 加 b。 如果如题中所说， y 随 x 增大而减小，则让 k 小于零，即这道题里面的 k 就是 二 m 加三，让二， m 加三小于零，求得 m 小 于负二分之三。 由于这道题跟 b 没有关系，所以 m 减一我们不需要问，所以这道题最终结果是 m 小 于负二分之三。 第二问，若该函数图像不经过第二象限，求 m 的 取值范围。好，我们先画个图， 第二象限在这个部分，如果这个函数不经过第二象限，我们的画法看一下。 也就是说，我们画的所有的图像，这个 k 应该是大于零的，即这道题里面的二 m 加三大于零， 那求得 m 大 于负二分之三。好，这是我们关于 k 的 求解。那想想，如果 b 这一点，或者说 y 等于 k， x 加 b， 我 们都知道它与 y 轴的交点是零。 b 如果 b 大 于零的话，它就会经过外轴的正半轴，而一旦经过外轴的正半轴，这个图像一定就会经过第二象限。你看一下，所以说我们让 b 干嘛 小于等于零，那在这道题里面， m 减一就是 b， 所以 让 m 减一，小于等于零，我们求得 m 小 于等于一。好， 那综合来看， m 最终的取值范围就是小于等于一大于负二分之三，那这道题我们就求出来了。
24宋老师方法课堂
01:35查看AI文稿AI文稿这是一道让很多同学都无从下手的繁琐亚洲题，甚至得分率不到百分之十，大多数同学拿到这道题 都是懵的，无论可以取何指示，都过一个定点。那我们是不是想到了在七年级时候我们学过的，无论可以取何指示，无论参数取何指示，与这个参数的取值无关。这个题，那么解决思路， 那就是让它的系数等于多少？它的系数等于零。好，那这样呢，我们有了这个思路，这道题呢就可以进行解决了。好，我们给这个式子进行一个变形， 先去括号，接下来我们就把含有 k 的 放在一起，就可以写成，二， x 减 y 减一，括号乘以 k， 然后再减 x 减三， y 加十一等于零， 那与 k 的 取值无关。我们就让 k 的 系数等于零，也就是二 x 减 y 减一等于零。 好，那 k 的 系数等于零了， k 乘零等于零，那后面这一部分负 x 减三， y 加十一，是不是也是等于零的？这样等式才成立。好，我们解关于 x 和 y 的 二零一次方程呢，我们能够得到 x 等于 y 是 等于 三的，那这样呢，我们就能够证明这个意思，函数能够横过一个定点二，逗号三，那和 k 的 取值无关，这道题呢，就证明完成了。好，喜欢的朋友关注点赞也可以在评论区交流讨论，看看你有没有更好更简洁的思路方法。
63数学张老师
21:41查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数的复习题，先看它的复习巩固。第一个，王芳现有存款一千五百元，他计划今后三年每个月都存五十元，他的存款总金额是 y 元， 随着时间 x 的 变化而变化，这个 x 呢，单位是 y 啊，写出 y 关于 x 的 函数解析式， 那么他已经有一千五百元了，然后每个月都往这个存款当中再存五十元，对不对？你一个月存五十元，那么加进去两个月，那就一共存了一百元，再加进去，就这个意思，知道吧？那你想一下， 它这里是三年，一年是十二个月，三年就是三十六个月，所以呢，它这个时间也就是 x 月份，它的取值范围一定是零到三十六，知道吗？好，这里我们简单写一下，它的总存款 会等于现存款， 加上每月存款 乘上月份，对吧？每月存五十元，一个月就乘一，两个月就乘二，对吧？好，然后呢，他说这里是三年，对不对？三年等于三十六个月， 等于啊，这是等于不是二三年等于三十六个月，所以呢，这个 x 的 取值范围小于等于三十六，大于等于零，然后我们再根据它的关系式写出来， 总存款是 y 元，对应写 y， 现存款是一千五百元，我们对应写一千五百， 然后每个月的存款呢，是五十元，对应五十乘上月份，他的月份呢，用时间 x 来表示，所以就乘 x， 所以 这个解析是 y 就 等于 五十， x 加上一千五。那么这样写的话呢，就是方便我们对应依次函数的，一般是 y 等于 k， x 加 b， 知道吧？然后呢，你再把它的取值范围写过来，就是 x 小 于等于三十六，大于等于零，那么 关 y 关于 x 的 函数解析式咱们就写出来了，因为这是一个实际问题，所以你一定要把它 x 的 取值范围写出来，知道吗？实际问题一般都是有取值范围的啊，千万不要忘记了。 再看第二题，判断下列各点是否在直线， y 等于二 x 加六上，并且求出这条直线与坐标轴的交点。那么首先判断下列各点是否在直线上，那么你就把它的横坐标当做 x 带进去， 看它算出来的 y 是 否等于它的重坐标就可以了。我这里写一下它的判定标准， 判断点是否在直线 y 等于二 x 加六上面我们就将这个点的横坐标当做 x 带入解析式当中进行计算，算出来的 y 值，看看这个算出来的 y 值是否等于这个点的纵坐标， 如果相等的话，那么这个点就在直线上，如果不相等的话，这个点就不在直线上， 当然你反过来也是可以的。什么叫反过来？就是你把它的重坐标替换掉 y 值，看看它的 x 是 否等于它的横坐标，如果等于也是在这个点上的，就是你无论把 x 带进去还是把这个 y 带进去，都可以，知道吗？啊， 只要你不要带错了就行了，记住，重坐标替换 y， 横坐标替换的是 x 啊。如果你带入的是重坐标，替换掉 y 之后，你就看 x 是 否等于负五。如果你带入的是横坐标，就替换掉 x， 看它的 y 值是否等于负四就可以了。我们来把这四个都算一下就可以了。好吧，来 先看这个点点负五负四啊，带入这个 x 等于负五，咱们得到 这个 y 就 等于二乘负五再加六，二乘负五加六等于几啊？等于负四，你看和它的重坐标是不是相等啊？那既然和它的重坐标相等，是不是说明这个点在直线上啊？对不对啊？我们就写它的判定与重坐标 相等，所以是在直线上。 好，再看第二个，第二个点是负七二十，那我们就代入谁啊？代入 x 等于负七，对不对？就可以得到 y 等于二乘负七再加六，它等于几啊？等于负八，对不对？这里是负十四加六等于负八，而你看负八和这个二十相等吗？它并不等于它的重坐标并不等于二十，所以我们就说不在直线上， 可以了。再看第三个点，第三个点呢，是负二分之七一。 好，咱们就代入 x 等于负二分之七，就可以得到这个 y 等于二乘负二分之七，再加上六，那这个一层的话，它约掉等于负七，负七加六等于负一， 那你看一下负一会等于一吗？负一和一并不相等，对不对啊？所以呢，不在子线上。 好，再看最后一个点，这个点是三分之二，七又三分之一，那么你就代入 x 等于三分之二，你就可以得到 y 等于二乘三分之二再加六， 那这里一层的话，等于三分之四加六，三分之四加六，而这个六呢，等于三分之十八，对不对？三分之十八加上四等于三分之二十二， 然后写成带分数，写成带分数就是七又三分之一，没有问题，对吧？啊？就是拿二十二除以三，二十二除以三等于七于一，那么就是七又三分之一，好，那么是和它的重坐标相等的，所以呢，这个点它在直线上 就 ok 了。那这四个点呢，咱们就判断完了，它还有一个要求，叫我们求出这条直线与坐标轴的交点， 对不对？焦点坐标，那么你看一下坐标轴有几条啊？有 x 轴对不对？还有 y 轴， 那么在 x 轴上，什么坐标为零呢？它的纵坐标为零，如果在 y 轴上呢？在 y 轴上的话，就是横坐标为零，对不对？你要搞清楚。那么这里呢，我们要求这个 y 轴的话， 求与 y 轴的交点，那我们就当 x 等于零的时候，那么这个 y 就 等于二乘零加六等于六，所以 与 y 轴交点 为零六，对吧？你想要求与 x 的 交点，那么与 x 轴交点，它是纵坐标为零，所以你就当 y 等于零的时候， y 等于零，就零等于二， x 加六，一项一项，那么这个二 x 就 等于负六啊，然后这个 x 就 等于负三，所以呢，与 x 轴交点 为负三零，好，那么它这里的两个要求咱们就都算完了，对吧？判断这四个点是否在直线上，再求出这条直线与坐标轴的两个交点，因为有两个轴啊， x 轴和 y 轴，那么你就要求这两个点就 ok 了。 第三题考察的是依次函数的图像性质，也就是看 k 值和 b 值，那么 k 值大于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，对不对？ b 大 于零呢？那就交于 y 轴的正半轴，如果 b 小 于零的话，就交于 y 轴的负半轴就可以了。好，那我们根据这四个性质 去判断直线经过哪些象限对不对？好，先看第一个， 第一个 y 等于三分之二， x 加上二分之一，那我们要知道，一般式是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那对应的这个 k 值是不是就是负三分之二啊？对不对？所以这里我们写，因为这个 k 等于负三分之二，是正数还是负数？ 它是负数，是小于零的，所以 y 随 x 增大而减小，对不对？所以 y 随 x 增大而减小。 然后呢，再看它的 b 值， b 值是等于正的二分之一啊，因为 b 值等于二分之一，而这个二分之一是正数，是大于零的。所以呢，怎么样与 y 轴交于正半轴，与 y 轴交于正半轴。 好，那我们可以先把它的大致图像画出来，这里你不要先画 y 随 x 增大而减小，不要直接先这样画，你先看它与 y 轴的交点是正半轴，先把这个点 好大致画一下，然后你再经过这个点， y 随 x 增大而减小，那么它经过的象限就是一、二四象限，这是第三象限嘛，对不对？所以它经过的是什么？一二四象限？ 好，那么 y 随 x 的 增大而减小就可以了啊。再看第二个 直线， y 等于三， x 减二， y 等于三， x 减二，当中它的 k 值是什么？它的 k 值对应的是几啊？ k 值对应的是三嘛，对不对？好，它的 k 值对应的是三，因为 k 等于三，是正数还是负数？是正数大于零，对吧？所以我们就说 y 随 x 的 增大 而增大 啊。再看，那因为它的 b 值是等于负二的，而负二呢？是小于零的，所以我们知道 与 y 轴的交点在负半轴。交于负半轴， 那我们也可以把它的大致图像画出来，先画直角坐标系 与 y 轴交于负半轴，就在这个位置，对不对？然后 y 随 x 的 增大而增大，斜着向上画好了，那么它经过的是一三四象限， 所以我们这里就写一三四象限， y 随 x 的 增大而增大 就可以了。再看第四题，根据下列条件，分别确定函数 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。 第一个， y 与 x 成正比例，当 x 等于五的时候， y 等于六，那我们就要知道正比例函数的一般式是什么，对不对？好，我们这里就写，因为 y 与 x 成正比例， 所以呢，我们设比例系数为 k， 并且 k 不 等于零，所以 y 比上 x 就 等于 k， 你 就可以得到 y 等于 k， 乘 x 比号其实就相当于是除法的计算，对不对？你除以 x， 那 移过去就变成了乘 x， 这也是为什么正比的函数可以写成这个样子的原因。好，那么他说，当 x 等于五， y 等于六，因为当 x 等于五的时候， y 等于六，所以我们可以得到啊，你把这个 y 换成六，把这个 x 换成五，所以六等于 k 乘五， 那么这个 k 那 就五， k 就 等于六， k 就 等于六除以五，六除以五，就直接写成六分之五啊，五分之六就可以了，所以 y 等于六，五分之六， x 就 完事了啊。再看第二个直线， y 等于 k， x 加 b， 经过点三六与二负二分之一，那么这个就是一个非常标准的经过两个点，确定直线解析式对不对？好，那么这里直接用待定系数法啊，将 三六与二分之一、负二分之一带入解析式， y 等于 k， x 加 b 当中，我们就可以得到啊， 一个二元一次方程组，注意你不要带错了啊。这个 x 是 可以用横坐标替换的，这个 y 呢，是用重坐标替换的，所以我们把这个六和三替换进去，就变成了这个样子，所以是六等于 三 k 加 b， 那 这里把二分之一和负二分之带进去的话，那 y 就 等于负二分之一， x 就 等于二分之一，所以是负二分之一等于二分之一 k 加 b， 两式一减，你就可以求出来了，一式减二式， 六减负二分之一就等于加二分之一等于六，又二分之一三 k 减二分之一等于二分之五，所以是二分之五 k， 那这个 b 值减 b 值就抵消掉了，就不用写出来了。然后这里通分一下，二分之二六十二加一等于十三等于二分之五 k， 所以 二分之五 k 就 等于二分之十三，除以二分之五，除以二分之五呢？怎么样呢？ 等于乘以五分之十三 k 算出来了，等于五分之十三。你再带入任意一个式子，就可以把 b 算出来了。将 a 等于五分之十三带入到一式当中，那么六就等于三乘五分之十三，加上 b， 那 么六就会等于五，这里三三得九，一三得三，三十九加上 b， 那 么这个 b 就 等于六，减去五分之三十九。通分，这个是 六的话，是五分之三十，五分之三十减去五分之三十九，三十减三十九就等于负九，所以 b 就 等于负的五分之九，那么这个 k b 值我们就求出来了。 k 等于五分之十三， b 等于负五分之九，所以这个解析式就是， y 等于五分之三，五分之十三， x 减去五分之九就 ok 了，那么这个两个解析式我们就都求出来了。 再看第五题，根据函数 y 等于三 x 减十五的性质，或者是图像确定 x 取和值的时候， y 会大于零，和值的时候 y 会小于零，那么这种题目如果是填空题的话， 你如果实在不会看，你就直接算对不对？因为这里的 y 呢，是等于三 x 减十五的啊，这里呢，我先把这种方法给大家讲一下，如果他已经告诉你解析式了，那么叫你求 y 大 于零的时候， x 的 取值范围， 那么这里因为 y 等于三 x 减十五，对不对？所以 y 大 于零就可以变成什么，就可以变成三 x 减十五大于零，那么三 x 就 大于十五， x 就 大于五，那么这个就第一位 啊，那第二个的话呢？一样的啊，因为这个 y 是 等于三 x 减十五的，所以 y 小 于零，你就可以得到是三 x 减十五小于零，那么三 x 就 小于十五， x 就 小于五，那么 x 小 于五啊，就求完了啊，这两个就是它的答案 啊，这个是纯计算，但是有些题目他不会告诉你解析式的，他只会画个图像，而且这个图像呢，一般不会告诉你两个点啊，他就只告诉你一个点，那这样的话，你就求不出来解析式了，对不对？那这个时候怎么办呢？这个时候才是用图像的时候，不过这道题主要是考察我们对图像的理解，那么我们呢， 就先把这个图像画出来，好吧，这种呢是选择填空题的做法，那如果这是解答题的话，你还是老老实实的画图对不对？好，那么这里我们要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零。如果要求与 y 轴的交点，就让 x 等于零，那我们先求 x 的 交点， 先求与 x 轴的交点，当这个 y 等于零的时候，这个零就会等于三 x 减十五，一项算一下，你就会得到三 x 等于十五，就会得到 x 等于五，所以与 x 轴的交点 就是五零，所以它会过五零这个点。如果你要求与 y 轴的交点，那么就是当 x 等于零，那么这个 y 就 等于三乘零减十五，那么 y 就 等于负十五， 所以它就会过零负十五这个点。好，现在我们把图像大致画一下， 这里是 x 轴，这里是 y 轴，这是圆点，零啊，然后过我们这里画小一点，这里是五零这个点，然后还有一个是零负十五，我们放在这个位置，然后把这两个点连起来， 好，把这个点连起来，他说要 y 大 于零，那 y 大 于零在哪个上面呢？那 y 大 于零，好，这里我写一下啊。 y 大 于零，那么翻译成这个什么？翻译成图形语言的话，就是必须在 x 轴上，因为在 x 轴上， x 轴上方的这个图像的所有点的 重坐标是不是都大于零？好，我这里写一下。 y 大 于零，其实对应的就是点的重坐标 大于零，那么这个点的这个图像上的点，它的重坐标要大于零，就在 x 轴的上方，则在 x 轴上方。 在 x 轴上方的话，你再看这个在 x 轴上方的这些点的横坐标是不是都比五大呀？你看这个点的横坐标是不是比这个五要大， 这个点的横坐标是不是也要比五啊？对不对？所以它的结果从从图像上去看的话，就是 x 大 于五，就是跟我们计算的结果是一样的，知道吧？好， 这些在 x 轴上方的点，这些点则在 x 轴上方的点，横坐标 都大于五，所以 x 大 于五。当然你自己写的时候是不需要把这里写出来的，你只需要写因为 x 大 于零，然后由图可知，所以 x 大 于五就可以了，你可以直接这么写，知道吧？ 好，那么第二个通过图像来看，它是要 y 小 于零， y 小 于零对应的就是点的纵坐标小于零， 那么如果一个点的纵坐标小于零，并且在这条直线上，那么只能是在 x 轴下方的部分，在 x 轴下方的这个图像上的所有的点对应横坐标是不是都比这个五要小啊，对不对？这个点的横坐标是不是都比五小，对不对？这些点，所以 则在 x 轴下方的点，横坐标 小于五，所以 x 小 于五啊。然后呢，像这种话啊，如果你看答案，他也是不会告诉你的啊，他也不会写出来，他一般都是 因为 y 大 于零，由图可知，所以 x 大 于五就可以了，他一般都这么写的，所以我们自己写的时候呢，这些你如果描述不清楚，干脆不要写，你把图画出来，你会。
55毕老师细讲数学
28:37查看AI文稿AI文稿挑战一个视频，带你彻底学会一次函数的所有必考题型，让你考试一分不丢。 ok， 我 们直接跟着老师来看。先来看我们的第一个题型，关于正比例函数的一个定义，你 像第一题的话，他就是典型的根据定义来求参，我们这个时候来读一下，他说这个函数呢，是正比例函数，那么我们如何去限制呢？正比例函数的话， 它前面这个系数，你看 x 前面这个系数需要满足 m 减二不等于零呀，对不对？这是第一个需要限制的，因为如果它为零的话，那这个 x 含有 x 这一项不就没有了吗？它就不是，你看它就不含有 x 了，就不能叫做正比例函数了哈， 对吧？然后它这里这里的指数部分的话，我们需要让 m 减一的绝对值，让它是等于一的嘛，因为它是正比例函数，也就是一次函数嘛，对不对？一次函数的一种特殊情况，然后它又加了个 n 减三，那我们肯定要限制 n 减三是等于零嘛，对吧？那我们把这三个条件依次来求解一下， 这个得到 m 不 等于二，这个得到呢？ m 减一应该是等于正负一的嘛，对吧？所以 m 就 等于一加减一，那对应的 m 要么等于二， m 要么等于零了呗。这两个一连立， 因为这里 m 不 等于二嘛，所以我们就可以推出 m 是 等于零的，然后这里 n 减三等于零，所以 n 等于三。那么这道题答案选什么？大家可以在弹幕里打一下这道题最终我们应该选什么呢？ m 加 n 的 值，那就是零加三了呀，很明显就等于三嘛，答案就是我们的四 d 选项了呗，对不对？这是第一题，然后再往下看，再来看第二题，它 说如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 a、 b， c， o 的 边， o， c 是 在 x 轴上的，现在 a、 b 等于四， 那我们立马利用平行四边形的性质，我是不是可以得到 o c 也等于四呢？对吧？所以说 c 点的坐标是不是四，逗号零呢？对吧？然后他现在将这个平行四边形向上平移了 m 个单位，大家注意哈，图形的平移其实就是点的平移，所以我们也就可以看作其实就是这个点 c 点 c 向上平移了 m 个单位，对不对？这个是我们可以推出来的，它告诉我们点 c 的 对应点恰好落在这个直线上， 那我们先把它平移后，对应的这个点 c 撇，我们来表示一下，那这个 c 撇呢？横坐标不变嘛，因为它是往上走，往上平移，所以纵坐标应该是加 m， 那 零加 m 的 话就是 m 了呗，所以说平移后的这个点 c 撇是四 m， 现在这个点在这个直线上，大家一定要注意哈，点在线上， 或者说点在函数上，咱们对应的解析思路非常简单，就是直接代入就可以了，因为你在上面呀，所以直接代入不就行了吗？对吧？我们代入到这个一次函数里面，可以得到二分之一乘四，再加个三就等于 m 吗？也就是二加三等于 m， 所以 m 是 等于五的，这是我们的第二题哈。 然后我们继续往下看，再来看第三个题型，关于我们的图像共存问题，这个题型也非常常考，我们来给大家讲一下这这一类题型对于你的解析思路非常简单，就是我们固定一个，给大家来写一下哈，固定一个， 然后我们再看另外一个是否成立，看另外一个是否成立，这是我们对应的解析思路。比如说这道题，他告诉你依次函数这个和依次函数这个在同一个平面直角坐标系中的图像可能是哪个？那这个时候呢？咱们就固定一个，比如说我把这个固定下来， 我假设什么呢？我假设它是 y 等于 k， x 加 b 啊，对不对？如果它是 y 等于 k， x 加 b 的 话，那么对应的这个时候 k 是 大于零的，那这个 b 的 话，因为交于负半轴，所以 b 是 小于零的，对不对？那这个时候我们再来验证一下另外一个是否成立哈， 那这个就是 y 等于 b， x 减 k 了吗？我们验证一下对不对？这个时候 b x 小 于零，哎，很明显它是单调递减的嘛，对不对？因为你看这个时候它的系数这里对应的就是 b 了嘛， 然后跟 y 轴交给了负 k， 我 们我们刚说了，它这个 k 是 大于零的，那么负 k 应该是小于零，所以它应该交于负半轴，很明显很明显这个图它画的没有问题啊，所以答案直接选的就是 a 选项了。 有些同学可能会说，哎，那我假设这个，你看这条线是 y 等于 b， x 减 k， 行不行呢？其实也是可以的呀，你可以自己去试一下哈，都是一样的。然后我们再来看一下 b、 c、 d 为什么错了？还是一样的？我们假设这条线是 y 等于 k， x 加 b， 那 我可以推出来 k 是 大于零的， b 也是大于零的，因为它交于正半轴了。 那这个时候你再来看对应的这个，如果说我们要画这条线的话，那这里它前面的系数是 b， b 是 大于零的，所以它应该单调递增，但是很明显这里是单调递减的，所以说这里是不对的哈。 再来看 c 选项，同样的，我们假设它成立，那对应的它其实跟我们的 a 选项是一样的呀。你看 a 和 c 是 同一类呀，它都是 k 大 于零，然后 b 小 于零嘛，对不对？所以说对应那个图像肯定是这样画嘛，单调递减，并且交于外轴的负半轴哈。 然后再来看我们的四 d 四 d 的 话，这里我们比如说假设这个，你看假设这个是 y 等于 k， x 加 b 的 话，那 这个时候 k 小 于零， b 也小于零，然后你再画这个 y 等于 b， x 减 k 的 话，那这个时候负 k 应该是大于零嘛？因为 k 小 于零，那负 k 一定大于零啊，对吧？所以说它怎么也得交于正半轴嘛，那这个很明显是不对的哈，所以四 d 也就排除了。 这就是咱们讲的图像共存问题，他对应的解析思路非常简单哈，大家记住就可以了。 ok， 我 们继续往下看。再来看第四个题型，关于图像和坐标轴的一个焦点问题。 像这种题型是非常常考的，比如说这道题，他告诉我们如图，已知直线 y 等于 k， x 加 b 和这个直线，你看这两条直线相交于了一个点， 那咱们对应的解析思路非常简单，我甚至不需要看他后面要求什么，我应该立马先把这两个函数求解出来嘛，对吧？ 它相交于这个点了一个直线，你看一个函数是已知的，那肯定是要把这个点 a 带进去，我把这里面的参数 a 要求解出来呀，对不对？ 咱们这里带带一下哈。这个 y 等于一，那就是一等于负二分之一 x 了呗。那 x 肯定等于负二呀，对不对？所以说这里对应的是负二逗号一，这个是我们的 a 点，那现在 a 点有了，那你再把负二逗号一再带入到这个直线里面， 是不是可以得到一个方程呢？对吧？然后这个直线 y 等于 k， x 加 b， 它除了经过点 a 的 话，它还交 x 轴于点 b 负三零。 那你看这个时候有一个 a 点负二逗号一，有一个 b 点负三，逗号零，你把这两个点全部带入到这个直线里面，是不是就可以把 k 和 b 求解出来了呢？是不是就能求出这个直线的解析式了呢？对吧？所以说你看它第一小问，就是让你去求直线 bc 的 表达式，大家自己直接去带一下就行了哈。 我们最终求解出来它的表达式呢是 y 等于 x 加三，这个计算大家自己下来去算哈。然后我们再来看第二小问，他让我们去求三角形 a、 o、 c 的 面积， 这个也很简单嘛， a 点的坐标是负二逗号一， c 点的坐标的话，你看 y 等于 x 加三，当 x 等于零的时候， y 是 等于三的呀，所以 o、 c 是 等于三的，对吧？然后点 a 到底边的距离是多少呢？那就是 a 它对应的横坐标的绝对值呀， 它的横坐标是负二，那么这段距离就是二了呗。所以面积不就是二分之一乘三再乘二嘛，就等于三呀，把面积也求解出来啦，对吧？ 然后再来看第三小问，他说如果点 p 是 直线 bc 上的一个动点的话，我们来给大家画一下哈，现在呢，点 p 是 一个动点，它是在这个直线 bc 上的，注意 bc 是 一条直线，这个点 p 在 这个上面， 它说如果三角形 p o、 b 的 面积，你看这个三角形的面积等于二倍的三角形 a、 o、 c 的 面积， 这个时候 a 是 定点， o 是 定点， c 也是定点，所以三角形 a o、 c 的 面积是固定的呀，并且我们在第二问已经求解出来了呀，它面积是等于三的嘛。所以说第三题其实就在告诉你，现在你需要满足三角形 p o、 b 的 面积就等于二倍的 三角形 a o、 c 的 面积，也就是乘个三嘛，然后二乘三等于六，这是我们需要满足的条件。那大家来想，在三角形 p b 啊， p o b 里面， 那很明显我们肯定要让 b o 当个底边嘛，对吧？因为 b o 的 长度是已知的呀，你 p 点一直在动，那你这个 p b 和这个 p o 一 直在变化，肯定不能让 p b 和 p o 当底边了嘛，所以说我们一定是让 这个 b o 当底边，然后呢，过点 p 向下做垂线，对应的这段应该是它的高呀，对吧？那我们这个时候发现了，它的底边是固定不变的，它就是等于三的，因为 b 是 负三，代号零嘛，所以说 b o 的 长度是等于三， 然后它现在面积等于六的话，那就是二分之一乘底边，再乘这个高等于六，那对应的我们来计算一下三和六，消一下，那 h 很 明显等于四了吗？ h 等于四的话，其实对应的不就是屁点的，你看这个是它的纵坐标呀，所以它的纵坐标应该等于四，大家能理解吗？ 然后这里有一个易错点，就是大家可以来打一下，你觉得第三小问它应该有几个解呢？它有几种情况呢？大家可以在弹幕里打一下，这里有一个易错点哈，因为它是在 b c 上面去动的，所以说它也有可能是在这个，呃，在这个 x 轴的下方呀，比如说 p 点在这里， 那这个时候我是不是可以同，我是不是可以同样满足让它的高这一段是四呢？对吧？那这个时候对应 p 点的纵坐标就是负四了呀，大家能理解吗？ 所以说这道题一定是有两种情况的，一个是纵坐标为四，一个是纵坐标为负四，然后我们把这两个同步带到这个表达式里面，那对应的就是 x 加三等于四，以及 x 加三等于负四了嘛？我们来求解一下，这个就是 x 等于一， 这个呢就是 x 等于负七，所以对应的点呢，要么是一逗号四，要么是负七，逗号负四。所以说这道题最终的结果是有两个的，这是我们对应的第四个题型，它的一个解析思路哈，大家可以来看一下。 在咱们一次函数这块的话，它有一个非常常考的题型，就是跟面积进行结合，你看跟坐标轴去进行相交， b 点是焦点， c 点也是焦点，然后去研究面积啊之类的。然后对于这一类题型，咱们的解析思路呢，就是你取一个比较好计算的底边，然后再去求它的高就可以了。 所以说我们讲完这些题型以后，你会发现哈，不管是咱们刚才讲的第三题，他有对应的解析思路，还是咱们现在讲的第四个题型，他也有对应的解析思路。你会发现数学每一道题的本质其实都是题型，而只要你是题型，那么你背后就一定有对应的解析思路。 所以数学的话，其实本质上就是你只要提前学过解析思路，那么你做每一道题都应该能做出来。但是事实是，咱们很多同学你明明也刷了很多道题了，但是你成绩就是提不起来， 或者说某一道题你错了，然后你看完答案呢？你也会了，但是你下次换个形式的话，你还是做不出来，你的成绩的话就是怎么都提不上去。大家看一下你有没有这种情况，你有这种情况的话，你可以在弹幕里打一个真实， 其实咱们所有的这些情况，本质都是因为你学习方法不对，以及没有老师去给你讲不同题型对应的答题思路。没有人告诉你数学题怎么去做，那你怎么可能靠自己的脑思想出来吗？对吧？咱们又不是学霸，所以如果大家存在这些问题的话，那么你可以通过这里找到我 学校老师帮你提不了的分，小曼老师来帮你提，你加到老师以后可以把你的成绩发给我，老师可以来帮你分析一下现在到底是什么卡着你提不了分，并且老师会教会你，你现在应该怎么去做，才能快速提个三四十分哈， 老师会把不同题型对应的解析思路全部告诉你，到底应该怎么去学哈，这是我们的第四个题型，那我们就话不多说，继续往下看了。 再来看我们第五个题型，关于依次函数图像的对称问题，这个也是非常常考的哈，它也是一个比较重要的技术知识点，他说在平面直角坐标系中，如果这个直线 y 等于 k， x 减一和这个直线 y 等于负四， x 加 b。 关于 x 轴对称，问，我们依次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像不经过哪个象限， 那这个时候呢？它很明显研究的是对称问题嘛。那我们来给大家讲一下基础知识点哈，对于 y 等于 k， x 加 b， 对 于一个函数， 如果说它关于 x 轴对称的话，那么得到的新函数应该是什么样子的呢？这里有一个口诀叫做关于谁对称谁不变，关于圆点对称的话，全都变， 那现在关于 x 轴对称，所以说 x 不 变，那么对应的另外一个就要变了，也就是这个 y 嘛，对吧？因为它现在不就是一个关于 x 和 y 的 一个函数嘛，那你 x 不 变的话，肯定是另外一个变了呗。所以关于 x 轴对称，那么 x 不 变，所以变的就是 y， 它就变成相反数了。 这大家需要注意的哈，就是关于谁对称谁不变，然后另外一个变成相反数，那负 y 呢？就等于 k， x 加 b， 是我们关于 x 轴对称，那如果说我现在是关于 y 轴对称呢？那 y 就 不变了，然后 x 呢？变成相反数，那不就是负 k， x 加 b 吗？对吧？那如果说我现在是关于圆点对称呢，那就全都变， x 和 y 全部变成相反数，这是它对应的 关于原点对称以后的一个函数哈，那我们现在知道这些基础知识以后，我们来看，他说这个直线和这个直线关于 x 轴对称，那我们直接来写，如果是直线 y 等于 k， x 减一，关于 x 轴对称的话， 那么得到的应该是负 y 就 等于 k， x 减一嘛，对吧？化解一下， y 等于负 k， x 加一，对吧？ 那你看这个是它对称以后得到的函数，然后现在它说是 y 等于负四， x 加 b， 那 么你一一对应不就行了吗？那负 k 一定等于负四呀，那这个一一定等于 b 呀，所以说 k 是 等于四的， b 是 等于一的，是不是求解出来了呢？对吧？现在它要求的这个一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 话， 那么很明显图像长这样子不经过第几项线呢？答案选什么？大家可以在弹幕里打一下，那么很明显图像画出来以后，答案也就出来了，一、二、三它都是经过的，所以答案应该选四， d 选项它不经过第四项线哈， 这是我们的第五题。然后大家跟着老师继续往下看，再来看我们第六个题型，用图像法解一元一次方程，这个非常常考，但是也非常简单， 我们来读题，他说如图，直线 y 一 和这个直线 y 二相交于点 a， 点 a 呢，是 m 倒号二，这个时候其实我们可以快速反应出来，点在线上嘛，这个点在直线 y 一 上，所以你其实可以立马把 m 求解出来嘛，对吧？这个时候 y 是 二的话，那 x 对 呢？肯定是四嘛，所以说这个 m 就是 四了， 这是我们可以快速去求解出来的，然后接下来呢，他要去求关于 x 的 这个方程的解是多少？大家看到方程的话，你不要直接硬去求解， 就是直接你看 k， x 等于二减 b， x 等于二减 b 除 k， 你 不要直接生硬的非要去解这个方程。你先看一下这个方程有没有什么意义呢？ 这个时候左边 k x 加 b， 你 有没有发现它跟我们的直线 y 二特别像呢？对吧？所以说这个方程它其实代表的就是 y 二等于二嘛，让这个依次函数函数值为二的时候，它对应的自变量 x 是 多少呢？那这个时候你直接看图像就行了呀， 你看纵坐标为二的时候，横坐标呢？横坐标是四呀，所以答案直接就是写四了，是不是就可以快速做出来了呢？对吧？这个就叫做利用图像法去解方程哈，大家一定要学会这种方法，要结合图像去看，这是我们第六个题型。 ok， 我 们再往下看，再来看第七个题型，同样的用图像法解不等式，还是一样的思路，给了你一个函数 y 点 a 呢，是 m， 逗号二。接下来让你去求关于 x 的 这个不等式的解集是多少？ 这道题呢，还是一样的思路，我们去看一下这个不等式，不要去硬解，我们要去看一下这个不等式有什么含义。左边负二 x， 那 正好就是 y 一 啊，右边 a x 加三，正好就是 y 二呀， 所以说它要求的是 y 一 大于 y 二的时候，对应的 x 的 取值范围是多少。那你这个时候直接看图就行了呀， y 一 大于 y 二，就是 y 一 在上方嘛，那很明显是左边这一段呀，也就是以 a 点为界，你看做一条垂直的垂直 x 轴的线， 在它的左边的话，都可以满足 y 一 大于 y 二嘛，对吧？那这个时候 m 的 值是多少呢？那你代入到 y 一 里面就可以求出来了呀。当这个 y 是 二的时候， x 很 明显是负一嘛。所以说 x 小 于负一的时候，很明显很明显满足 y 一 在上方嘛，也就是 y 大 于 y 二。所以答案就是我们的四 d 选项了呗，对不对？ 像这道题呢，咱们甚至都不需要去求这个 a 的 值是多少，虽然说我们可以求出来，就是把这个，把这个负一逗号二我们带进去，可以求出 y 二的解析式嘛，对吧？但是我们根本没有必要去求，这就是图像法比较好用的一个点哈。 ok， 那 我们继续往下看，再来看最后一个题型，关于他的实际运用。在我们后面考试的大题部分，经常会把依次函数和实际应用问题结合到一块。比如说我们拿这道题来举个例子，经常会给你一个类似依次函数的图像哈，他肯定不是依次函数，但是会有很多个直线，你看结合到一块的嘛，一个综合的图像。 我们来读题，他说已知张华的家、画社、文化广场依次在一条直线上，我们来画一个直线， 画社离家零点六千米。那我们假设家在这里的话，那这里有一个画社，画社和家的距离呢？是零点六千米，对吧？这个单位我们就先不写了， 然后文化广场离家是一点一点五千米，那这里还有一个文化广场，对不对？他离家是一点五的话，那就是画社距离文化广场是零点九了吗？这样零点九加零点六正好是一点五，对吧？ 张华从家出发，他从家这里，从这里出发，先匀速骑行了四分钟，到了画设， 那这个时候我们先来想哈，咱们看到下面这个图，我们就猜到了，应该是跟他的骑行有关的嘛，所以这个时候你就可以先看一下这个图像指的是什么，他这里说了， 呃，图像呢，反映了这个过程中张华离家的距离和时间之间的对应关系， x 表示时间外表是离家的距离嘛，对吧？所以说这个时候你可以一边读题一边对应的去看这个图像了。刚开始的时候张华是在家里的，对不对？ 然后他匀速骑行四分钟到了画设，那就说明在这里的时候他正好到了画设，对吧？然后呢，在画设停留了十五分钟，哎，正好这一段长度是没有变的，所以说在这个点的时候他是在画设的，然后他是从画设继续出发，你看 匀速行，呃，匀速骑行了六分钟，到达了文化广场，所以在这里的时候，他是到那个广场上面了，然后在这里呢停留了六分钟，又歇了歇，然后匀速步行返回家，那这里对应的你看还是广场吗？他这个时候还在广场，然后开始回家，这里又就回家了。 所以说你看你读完题，这个图像，你也就分析清楚了，对于一次函数和实际问题结合的情况的话，咱们一定要学会读这个图像哈，那这个时候我们现在把这个思路，你看，把它的过程想清楚了，那我们来看一下他考察的。先看第一小问的第一个第一点填表， 他说张华离开家的时间分别是一、四、十三、三十的时候，对应的张华离家的距离是多少？现在要填的是一十三和三十吗？我们来看一下一 十三三，呃，三十对应的一的话，他是在这段，那这段很明显是一个因此函数呀。所以说这里对应的有两种思路，第一种思路是你把这个一次函数求解出来，他也很好去求嘛。把这个点四逗号零点六代入不就行了吗？我们来代入一下， 那对应的 y 等于 k， x 的 话，那就是零点六就等于四 k 了吗？所以 k 是 等于零点六除四的，上下同除二就是零点三除二，那不就是零点一五吗？所以 y 就 等于零点一五 x 呀，对吧？然后如果说 x 等于一的话， 因为他不是说了吗？要找的时间是一分钟的时候，当 x 等于一的时候， y 等于零点一五呀，所以你就可以先填入零点一五，对吧？这是一种思路。还有一种思路呢，就是我们直接从它物理上面来进行思考，因为他说了嘛，他是， 呃，他是匀速骑行了四分钟到的，画设他是匀速骑行，那我可以求下速度呀，对不对？因为他是零点六公里走了四分钟，可以求出速度吗？然后现在时间也有了，求的时间是一分钟吗？对吧？然后你用速度乘时间，不就得到他这个距离，就就得到这个路程了吗？对吧？两种思路都可以哈。然后十三和三十的话，我们来看 十三的话，很明显是在这一段，那这一段离家的距离是固定的呀，就是零点六吗？所以我们直接填上零点六就可以了。 然后再来看三十三十的话，很明显是在这段呀，也没有变吗？对吧？他是停留的时候，这个时候是一点五吗？所以对应的也就填上去了。这个圈一是很简单的哈，然后我们再来看圈二，他说张华从文化广场返回家的速度是多少， 这个也很好去求呀，你看路程有了，路程是一点五吗？就是，呃，你看这段路程一共走了一点五，然后他用的时间呢，是三十一到五十，中间一共是二十分钟呀，对不对？所以你就用一点五除二十不就行了吗？我们来计算一下， 这个除出来呢，他对应的是零点零七五呀，所以速度也就有了，这个圈也就搞定了。再来看圈三，他说当零到二十五的时候， x 是 从零到二十五的时候，让我们直接写出张华离家的距离 y 和关于时间 x 的 函数解析式，那这个非常简单嘛， 它很明显是一个分段函数呀，所以说你就按照分段函数的思路来写就可以了。首先第一段我们刚已经求解出来了，它是零点一五 x 嘛，所以你就可以直接去写 y 呢，是等于零零点一五 x 的， 这个时候呢，零小于等于 x， 小 于等于四呀，对不对？然后再写第二段，第二段的话，它直接等于零点六呀，固定不变的嘛，它是四小于 x 小 于等于十九，对吧？然后第三段，这个大家自己去算一下哈，你把这个十九逗号零点六和这个二十五逗号一点五，把这两个点带进去 就可以求助他的解析式了，这里大家暂停视频自己去算，我们最终求解出来的结果呢是零点 y 等于零点一五， x 再减去二点二五，对应的就是十九小于 x 小 于等于二十五， 这个对应的你看就是我们 y 关于 x 的 函数解析式了。大家看一下自己暂停视频去算一算，看看有没有算对哈，这就是咱们的第一小问哈，然后我们再往下看，再来看第二小问，他说当张华离开家八分钟的时候， 那就是他刚好走到这的时候嘛，那他就是正好走到了这个画社，对不对？就是当张华走到画社的时候，我们来画一下哈，这里是家，这里是画社，然后这里是广场吧， 也就是当张华刚刚好刚刚好走到画社的时候，他的爸爸从家里出发， 他爸爸在这，大家一定要注意哈，一个是从家出发，一个呢已经到画社了，他爸爸呢是匀速步行了二十分钟，直接到达了文化广场，他走了二十分钟嘛，对不对？ 那我们从画社到文化广场的途中，零点六小于外小于一点五，两人相遇时离家的距离是多少？那这个时候我们来想哈，这个爸爸的话，就直接从家里直接你看匀速往这走嘛。然后这个张华呢？我们来看哈，在这个图像里面，他在这的时候呢， 他还要再歇一会呀，你看从八到十九的话，他还需要再歇十一分钟，对不对？所以其实在爸爸开始往右走的时候，这个张华在这呆着没有动，他是歇了十一分钟的， 所以说我们在想他什么时候相遇的时候，咱们需要先考虑一个点，就是当这个张华在这停着不动的时候，爸爸有没有到达画社呢？我们是不是需要先研究清楚这个点， 对吧？咱们这道题如果说你想做的，你想，你想把这道题想的比较透彻的话，你肯定是要一步一步去想的哈。这道题如果说非要做出来的话，其实你没有必要去研究的这么细，但是为了给大家讲清楚这个过程，所以说我们现在还是要讲的细一点哈，那这个时候我们就可以来算嘛，对不对？我们先来算一下爸爸的速度呀， 他这个 v 呢是等于路程除以时间，他的他的路程一共走了一点五嘛，然后时间用了二十，那十，呃，一点五除个二十不就行了吗？ 然后我们求出来是零点零七五，这个是爸爸的速度对不对？那我们就看一下这个张华呢，他在这里他是不是停留了十一分钟呢？那我们来看一下十一分钟爸爸走了多少多少千米哈，那就是用使一乘个零点零七五，大家自己来算一下， 他乘出来呢是等于零点八二五的，而这个加离画设的距离是零点六了呀。所以说他们正常来讲的话， 这个爸爸在往前走的过程中，他是在会在画社这里遇到遇到这个张华的，大家能理解吗？ 就是你张华还歇着的时候，你爸爸已经从画社这里经过了，他已经，你看他，呃，十一分钟已经走到前面了吗？那中间肯定在画画社会遇到张华呀。那有些同学可能就会说了，那是不是这里就算一次相遇呢？在画社是不是就算第一次相遇呢？大家来思考一下算不算呢？ 其实如果说这道题他没有给你这个限制条件的话，那么我们是需要这样去考虑的，所以也就是为什么老师现在要给大家详细去讲解，如果说没有这个限制条件，这个其实算做第一次相遇， 但是这道题他不算，为啥呢？因为他说了呀，他这个 y 是 不包含零点六的呀，对不对？在画设的时候正好对应的 y 是 等于零点六的呀，那这个是不包含的呀，所以就不考虑这种情况了，大家能理解吗？ 所以说我们就可以理解为，当十一分钟的时候，张华是在这里，张华是在这里，然后这个爸爸走到了这里，就是爸爸现在已经要领先张华了，然后现在从十一分钟再往后，这个爸爸呢，保持匀速，继续往右走，然后张华继续，他开始以新的速度匀速往前走了， 它不是禁止在画设这里了，那对应的，其实这里我们就可以跟函数进行结合了，我们知道这个章华呢，它从画设到广场对应的是这段嘛？那这段的函数解析式我们知不知道呢？我们知道的呀，我们刚才已经求解出来了，它是 y 等于零点一五， x 再减去二点二五嘛，对吧？这个是 张华对应的一个函数解析式，十一分钟以后他对应的一个函数解析式吗？对吧？我说的这个十一分钟是从这哈，一定要注意哈，是经过八分钟以后，又经过了十一分钟哈，大家千万不要搞混了，然后我们再来研究爸爸的一个函数解析式哈，我们设张华，爸爸呢，他距家是外撇千米， 然后呢，我们同样用这个 x 来表示这个 y 撇，那大家来想哈，因为 y 撇它对应的其实就是距离嘛，那距离不就等于速度乘时间嘛，对不对？所以 y 撇是距离，它就等于速度，速度呢是零点零七五再乘时间，这个时候时间的话，我们不能直接去乘 x 哈，因为 x 代表的是 张华，他出发对应的一个时间嘛。然后咱们是张华离开加八分钟以后爸爸才出发的，所以说我们应该用 x 再减个八呀，对不对？这个对应的才是 爸爸他，你看哈，他对应的离家以后对应的一个函数解析式， y 是 他距家的一个距离， x 呢，就是张华出发他所用的时间是多少？ 那我们对应的，咱们现在求出两个解析式了，我们要求两人相遇时离家的距离是多少？那这个时候我们直接让两个距离，呃，直接让两个，你看函数解析式相等吗？也就是零点一五， x 减去二点二五就等于零点零七五倍的括号里面 x 减八， 这个时候它们对应的函数值你看是相等的，也就是它们均加的距离相等吗？那不就说明它们相遇了吗？对吧？然后这里大家自己来计算一下，我们可以求解出 x x 是 等于二十二的吗？对不对？也就是当张华呃总共从呃从加出发经过二十二分钟的时候，它们相遇了。 那这个时候呢？我们要求的是相遇时离家的距离是多少？那你再把 x 等于二十二带入到下面这个式子里面不就行了吗？然后我们求出 y 撇， y 撇呢？最终求解出来以后是等于一点零五的，然后要加单位哈，单位是千米吗？所以我们就求出最终的结果了，最终的结果是一点零五， 这是我们这道题对应的整体的一个解析思路哈。 ok， 那 我们讲到这里就差不多讲完了，大家可以发现哈，就是比如说一次函数的话，他其实常考的题型就这几个，大家如果说你想数学考高分的话，那你对应的就应该去把不同学不同题型去搞定，比如说实际问题这里他可能还会有销售问题啊， 那咱们现在讲的是一个行程问题啊，对不对？他可能会考察的题型呢？虽然有很多种，比如说销售，比如说行程，但是他一定是有限的。 所以说大家如果说你现在数学想提个三四十分的话，那么你就记住老师一句话，你现在最重要的一定是改进你的学习方法，因为老师我就是从不及格，然后提高到很多次满分的，所以老师非常知道你现在不同分数段， 你应该怎么去学才能快速提分。说白了最重要的不是你有多努力，而是你有没有找对方法，你有没有走在正确的路上哈， 那么大家也是一样的，如果你觉得现在成绩怎么努力都提不起来，并且你想快速提分的话，你可以通过这里添加我，老师可以把我自己当时从不及格逆袭到多次满分，我用到的一些逆袭方法，老师可以全部分享给你哈，老师已经录制成了一节二三十分钟的课程，老师可以发给你， 你下来去学一学，老师相信你，你在期末考试前也能快速提个三四十分哈，因为往年跟着老师学这个方法的同学，他们都做到了，那么你也一定可以做到呀，对不对？ 那以上就是我们本期视频的全部内容了，接下来小曼老师呢会继续更新我们初中数学的一些必考题型以及对应的解析思路哈，大家千万别忘了三连加关注，我们下期视频再见，大家拜拜！
3.0万小曼老师的数学课
41:03查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数的综合运用。第六题，某快递公司省内寄件的收费标准呢？是不超过一千克的物品就需要付十三块钱， 如果超过一千克呢？那么超过的部分每增加一千克，那不足一千克的就按一千克来算，就需要增加快递费两块钱， 设记出 x 千克， x 为大于一的整数，这里不考虑小数的情况啊，他的物品的快递费用为 y 元，写出 y 关于 x 的 函数解析式，这个呢是一个实际问题，那么我们就对 x 的 这个取值范围一定要写出来，知道吧？好， 那么它的收费标准分为两部分，哪两部分呢？一个是不超过一千克的时候，费用是十三元，然后第二个是超出的费用，对不对？好，分两个部分，第一个部分 我们这里就写，当这个 x 怎么样，小于等于一大于等于零的时候 啊，小于等于一大于等于零零的时候，这个 y 就 等于十三，对吧？他说只要不超过一千克，就只需要付十三块钱，你哪怕是半千克也是十三块钱， ok 吧？好，所以这个十三是一个固定的值，然后当 这个重量超过了一千克，也就是 x 大 于一的时候，那么这个收费就分两段了， 第一段，前面的一千克十三块钱是固定要收的，对不对？然后呢，超出的部分怎么去理解呢？ 那么假如说我们这里有三千克，那超出了几千克，超出了两千克怎么算呢？三减一，对不对，他就说明他超出了两千克，那如果这里是 x 千克呢？那超出的部分就是 x 减一就可以了，知道吧？所以这里用 x 减去一，表示超出的重量， 然后这个超出的重量呢？要乘什么呢？要乘上这个二，因为每增加一千克，也就是每超出一千克，它就会增加两块钱的快递费，所以再乘上一个二， 你就可以化简了。那么这个 y 就 等于十三，加上二， x 减二， y 就 等于二， x 加上十三减二，十三减二等于十一，那么这里我们就可以把它写成一个分段函数，知道吗？分段函数，所以呢，这个 y 就 等于十三，等于十三的时候是这个 x 必须小于等于一，大于等于零。第二段是 y 等于二 x 加上十一， 这个时候呢， x 取值范围是大于一的就可以了，这就是一个分段函数的形式啊，咱们把它写出来就 ok 了，记得实际问题一般都要考虑什么，都要考虑这个 x 的 取值范围，你不写出来的话，是会扣分的啊。 再看第七题，甲骑自行车与骑摩托车沿着相同的路线，由 a d 到 b d， 行驶路程 y 千米与行驶的时间七小时之间的关系，如图所示， 叫我们根据下面的图像回答下列问题，这里总共有五个问题。第一个问题，它是说 a、 b 两地的路程是多少千米？那我们先看一下这个图像，对吧？这是假的，这是乙的假呢，它对应的时间是从 t 等于零 开始的啊，然后呢？乙呢？对呢，是 t 等于三开始的，什么意思呢？就是说甲先出发啊，他是以甲出发的时间为准的啊，甲出发的时候就开始算时间了，然后你看甲出发了三个小时之后，乙是不是在发生 这个移动，对不对？所以是甲先出发，然后过了三个小时之后，乙再出发，不过因为这个乙呢骑的是摩托车，所以他骑的非常的快，对不对？你看 他从五小时这个三小时到这个五小时，你看他就行驶到了八十千米的地方，而甲呢，是从零小时到八小时 骑行了八十千米，对不对？所以呢，就可以看得出来，他们都是到达了八十千米就停止了，说明 ab 两地的路程就是这个八十千米啊，八十千米。 再看第二个出发较早的是谁？你看甲这条线对不对？从零就开始了，所以出发的早出发的就是这个甲，然后早了几小时呢？甲的话他是比乙早了三个小时的，从图上就可以看出来了，对吧？ 那么到达比较早的是谁啊？谁先到？你看甲是不是过了八小时才到八十千米的地方，而这个乙呢，到在五小时的这个地方就到了八十千米的地方，那是谁先到啊？是不是乙先到啊，对不对？好，这是乙先到， 那么他找到了多少时间呢？你看这个八减去五就是比他找到的时间，八减五等于几啊？我们这里写一下，八减五是等于三的，所以是找了三个小时啊，而上面的这个找三个小时呢，是用谁减谁啊？ 就用以后出发的三个小时减去它零开始的时间，所以是三减零等于三小时，对吧？自己写的时候只需要写三都可以了啊，写三就可以了，我这样写出来的目的是让你区分这个三，它的意义是不一样的啊，不是同一个意思。 然后甲的速度是多少？你看甲对应的是什么？八个小时骑行了八十千米，所以它的速度我们这里写一下啊。甲呢，是什么？八小时骑行了 八十千米，所以甲的这个速度就是八十除以八等于十千米每小时，所以它的速度是十千米 每小时。那乙的速度呢？乙的速度就是，你看他的时间和路程，他用了多久？他是五三小时到五小时，是不是用了两小时？两小时骑行了八十千米，对不对？好，这里写一下。乙对应的是什么？五减三等于两小时 骑行了 二，所以这个乙的速度呢，就是八十除以二， 所以是四十千米每小时啊，果然这个骑摩托车是要快一点，对不对？好， 再看第五个，你在距离 a、 d 多少千米的地方追上甲，此时甲行驶了多少个小时，对吧？那这个呢，就要用函数去算了，我们只需要求出它的焦点， 这两条直线的焦点，就可以知道它们在什么时候行驶了相同的路程，对不对？那么怎么求呢？好，我们这里呢， 同样呢，把这两条直线都设，为什么？都设为 y 等于 k x 加 b， 我 们这里设这个 y 夹， 它等于 k 一， x 加上 b 一， 然后这里设呢，这个 y 以等 k 二， x 加 b 二。好， 那么这样的话呢？甲，我们就带入这两个点，其中一个点是原点零零，他过零零，这个点呢是八八十，我们将这两个点带进去，将零零以及八十啊八八十带入 y， 甲， 你可以得到一个方程组，那第一个就是零等于 k 一 乘零加上 b， 那 么零乘任何数都得零，所以你可以得到的就是 b 等于零，因为它是正比例函数，所以它的 b 肯定是零的，对吧？ 然后另外一个就是八十等于 k 一 乘上八加上 b， 那 么 b 是 零，你把它带进去算，那么八十就等于八倍的 k 一 加上零，那么 八倍的 k 一 就等于八十， k 一 就等于八十，除以八 k 一 就等于十，你看这个 k 一 和它的速度是不是相等的呀？对不对？其实就它的增长速度，我们就可以得到 这个 k 一 等于十， b 一 等于零，所以 y 假的解析式就是十， x 就 完事了。而另外一个呢，这个呢，你就把这个点带进去，这个点是三零， 这个点呢是五八十。我们将这两个点带进去，将三零和五八十 带入 y， 以这条直线，那么可以得到一个方程组，就是零等于三 k 二加上 b 二，这里是八十等于五 k 二加上 b 二，两式一减，用二式减一式， 二式减一式，八十减零剩八十，五 k 减三 k， 还剩二 k， b 减 b 没了，所以这个二 k 二就等于八十， k 二就等于八十，除以二 就等于四十。然后你再把这个四十带进去，零等于三乘四十加上 b 二，所以零等于一百二十加 b 二， b 二呢，就等于负一百二，所以这里算出来的 这个 k 二就等于四十， b 二就等于负一百二，所以这个 y 以的解析式就等于四十， x 减去一百二啊。当然了，我们要把它的曲值范围写上啊， 由于这里的时间呢，它是用小 t 来表示的，所以我们刚才这里所有的 x 全部换成 t， 全部把它换成 t， 这是题目要求的啊，所以我们就全部把它换成 t 就 可以了。好，再把它的 t 的 曲子范围假，这一段是零到八，所以 t 的 曲子范围 t 小 于等于八，大于等于零。 然后乙呢，是三到五，所以它的取值范围呢，就是这个 t 小 于等于五，大于等于三啊，一定要写清楚，好吧，然后呢，我们把这两条直线的解析式都求出来了，那求焦点，就把这两个解析式连立成一个方程组计算啊， 我这里写一下啊，连立方程组求 y 夹与 y 一 的交点， 那么 y 就 等于十 t， 另外一个就是四十 t 减一百二，然后这两个式子它里面的 t 和 y 都是相等的，那么就可以直接让右边的相等，因为左边的 y 是 一样的，那右边的式子肯定也相等，你就可以得到 四十 t 减一百二，那么三十 t 就等于二，一百二 t 就 等于一百二，除以三十 t 就 等于四，所以这个相遇的时间就是甲骑行了四个小时的时候，就被乙追上了，对吧？好，我们这里写一下， 然后这个 t 呢，也带进去算啊， y 角就等于十乘四等于四十，那么这个交点呢，就是四四十， 对吧？啊，他问我们这个乙在距离 a d 多少千米的地方， 对吧？追上甲，那 a d 出发点 b d 在 这里对不对？所以是距离四十千米的时候，此时甲行驶了多少个小时？那么甲就行驶了四个小时嘛，对不对？好，我们就说 你在距 a d 四十千米处追上甲， 此时假行驶了四小时 就可以了。再看第八题，这里有一个容器，这个容器当中呢，有进水管和出水管，前四分钟只进水不出水，随后的八分钟之内 既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是一个常数，也就是固定的 容器内的水量。 y 单位是升与时间， x 单位是分钟之间的关系，如图所示，前四分钟灌了多少水？灌了二十升，对不对？后面呢？八分钟增加了十升水，到了三十升，对吧？好。第一个，当 x， 也就是时间 在零到四分钟的时候，求 y 关于 x 的 函数解析式，那么由于它这个这条线段，它是不过了原点了，对不对？好，我们就把它设为正比例函数，知道吧？好，我们这里就直接写了啊，先一个一个求下去， 当这个 x 小 于等于四大于等于零的时候，对吧？函数为什么为正比例函数？ 因为它过圆点了，对不对啊？所以我们这里设 y 等于 k 一 x k 一 不等于零， 那为什么要设成这个样子呢？为什么设 k 一 呢？因为后面还一段呢，对吧？后面这条直线解集式的 k 值就是 k 二了，你都可你直接设了 k， 那 后面怎么表示呢？对不对？所以我们就设为 k 一， 然后你现在把这个点带进去就可以了，从这里你就可以看出来，这里有一个点是四二十吧，对不对？好，我们将 四二十这个点带入，那么二十就等于 k 一 乘上四，所以 k 一 就等于五了，就可以得到 y 等于五 x， x 的 取值范围小于等于四大于等于零就 ok 了。好，这个是第一问啊，第一问。 第二个，当这个时间来到四分钟到十二分钟的时候，求 y 关于 x 的 函数解析式，那么这个点呢？你也可以看得出来，它是十二三十，你把这两个点带入解析式当中，对吧？好，第二问， 当这个 x 取值范围在四到十二的时候，对吧？啊？函数为依次函数 设为什么呢？设解析式 为， y 等于 k 二 x 加上 b， k 二不能等于零，对吧？好，将 四二十这个点与十二三十这个点代入，那么你就会得到两个式子，一个是二十等于四， k 二加 b， 另外一个是三十等于十二 k 二加 b， 两个式子咱们进行相减， 你二四减一，四一四减二四都可以看你喜欢三十减二十还剩十，十，二减四还剩八，所以八 k 二等于十，对不对？好，那我们这里除一下 k 二就等于十，除以八， k 二就等于四分之五，然后再把四分之五带入一式当中，哎，你就可以得到，二十等于四乘四分之五加上 b， 所以 二十就等于二十减五， b 就 等于 十五，对不对？好，所以这个解析式 y 就 等于四分之五 x 加上十五 x 取之范围小，小于等于十二大于四。 好，那么这个第二问也搞定了。第三问，每分钟进水和出水各多少深？ 那前面一段是比较好求的，对不对啊？怎么求呢？你看，这就写第三问了啊，他前四分钟是不是只有进水口，对吧？前四分钟只有进水口，四分钟进了 二十升，所以每分钟就是五升吧，其实跟这个系数五有关，对不对？好，所以我们这里写一下元音啊，前四分钟 只进水啊，水量从零到二十升，水量从零升增加到 二十升，所以每分钟进水 就是二十，除就是二十除以四等于五升，这是每分钟进的，知道吧？好， 那出水呢？出水绝对不是这个四分之五升啊，绝对不要这样去写，为什么呢？它是进水和出水是同时进行的，你看后面的这个八分钟是进水和出水同时进行的。那假设啊，你可以这样去想一下， 他如果在后面还是继续只开进水口，不开出水口，那么他到了十二分钟的时候， 他会有多少水？前四分钟每分钟是五升水，对不对？如果继续往后加，是不继续往后加，那么你看我们这里直接拿五升乘上十二，是不是？正常来讲，如果你不开出水口，是不是得到六十升？但现在实际上有只有多少升？ 现在实际上只有三十升，那么你想一下，相比于不开出水口是不是少了三十升？ 那少了三十针是什么原因呢？是不是因为他打开了出水口啊？他打开出水口把这个三十针给流走了吧？是不是给流出去了吧？那么你看他花了多少时间？他是不是后面的八分钟才打开的？ 所以八分钟你可以理解为 low， 出去了三十升水，你就拿三十除以八就可以得到，对吧？三十点七五升，所以它每分钟这个出水口每分钟可以出三点七五升水啊， 这个是根据实际情况去考虑，那如果你要列式去计算的话，我觉得可以用什么呢？可以用方程去做，我们这里设一下啊，设一下，设 浮水口，每分钟 浮水 m 毫 m 升，对吧？好，那么根据这个时间是不是十二分钟，对不对？十二分钟，那就是十二乘上五， 就是如果你打开进水口十二分钟，正常来讲是十二乘五，就是六十升，对吧？然后减去出水的量，出水是不是只有后面的八分钟才打开的出水口，所以减去八乘 m 等于剩三十升，剩下呢？就只剩三十升了， o 不 ok？ 好， 那么这里再讲一下啊，前面的这个 每分钟进水是五升，这个情况下是只有只打开进水的，只打开进水口，不打开出水口，那如果全程不打开的话， 不打开这个出水口，他会进水十二乘五，就会有这么多水，对不对？好，但是他打开了出水口，我们这里设每分钟出水 m 升，对吧？他打开出水口打开了八分钟，所以每分钟就是 m 升，那八分钟就是八 m， 要减去 这个流出去的水，剩下多少呢？还剩三十升，对应还剩三十升，所以我们这里把这个方程解出来就可以了，对吧？那就六十减八 m 等于三十，负八 m 就 等于三十减六十，负八 m 就 等于负三十 m 就 等于负三十，除以负八， 所以这个 m 呢，就等于三点七五啊， m 就 等于三点七五，所以我们就可以得到啊。这个进水口是每分钟进五升水，出水口是每分钟流出三点七五升水。好吧，我们答一下， 中上 每分钟 进水五升， 每分钟出水三点七五升就 ok 了。好，再整体看一下吧。 再看第九题。甲乙两家体育用品的商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍 和乒乓球，乒乓球拍每副定价是三十元，乒乓球每盒定价是五元。现在两家商店展开促销活动，在假店每购买一副球拍就赠送一盒乒乓球。 在已店购买一副球拍或者是一盒乒乓球，他都按定价的九折进行优惠，某班需要购买球拍四幅乒乓球若干盒， 就是不，但是不能少于四盒，什么意思呢？乒乓球买几盒咱们是不知道的啊，但是他一定会大于四盒，这样的话呢，他就可以满足假店买一副球拍赠一盒乒乓球的这个情况啊。 第一问，这里设这个班购买兵乓球 x 和在甲店付款的金额为 y 甲，在乙店付款的金额为 y 乙，分别写出在这两家店付款金额 y 甲和 y 乙与兵乓球这个 和数 x 之间的函数解析式，那这里也是分类讨论的，对不对？好，注意啊，这里的球拍四幅是固定的，他不会增加，也不会减少，知道吧？好，那么这里呢，我们先说假电， 假电是买一副球拍就送一盒乒乓球，那么也就是说他买了四副球拍就会送四盒乒乓球， 那么如果他就正好买四盒乒乓球，那么乒乓球就不用给钱了，知道吧？好，那超出的呢？比如说他，他要买八盒，那么他就只需要付四盒钱，对不对？好，我们先说假电 y 夹怎么表示呢？前面四盒它是不打折的，你看就是它只是送兵乓球这个球拍呢，它不打折对不对？三十块钱一副，它要买四副，那就是三乘就三十乘上四，加上 送的送的咱们就不用算了，知道吧？四盒乒乓球送的咱们就不用算了，但是超出的部分啊，这里我们四盒写上这个是赠送的，不用给钱，然后超出四盒的部分呢？假如说他买八盒，他超出了四盒对不对？他买十盒是不是超出了六盒，超出的部分还是要按原价给的， 乘上这个五，所以 y 假的解析式就是一百二十加上零，再加上五 x 减去二十，那么这个 y 假的解析式就是五 x 加一百啊。当然了，你这个 x 怎么样？必须大于等于四，同时呢， x 为整数， x 为整数。好，这是 y 假，那 y e 呢？哦，对了，这里要打上括号啊， 那 y e 呢？那不管你买的是兵乓球还是这个球拍，它都会给你打九折，对不对？那打九折的话，那我们就怎么样乘上零点九就可以了， 球拍三十块钱一幅，它有买四幅，四乘三十打九折乘零点九，对不对？然后呢， 这个兵乓球的和数是 x， 兵乓球的和数是 x， 然后每和呢是五块钱，然后他也打九折，那就是五 x 乘上零点九，那么 y 也就等于这里一乘就等于一百零八 加上四点五 x， 所以 y e 的 解析式，四点五 x 加上一百零八，当然这个 x 也是必须大于等于四，并且 x 为整数啊。好了，那么第一问就搞定了。 再看第二个，购买几盒兵乓球的时候，在假两家商店付款的金额是一样的，那么这个对应呢？就是 y 假要等于 y， 一 对不对？金额一样，那就是 y 相等嘛，对不对？ y 相等的话，把这两个式子拎出来单独算，那就是五 x 加上一百等于四点五， x 加上一百零八，一下五 x 减四点五 x 等于一百零八减一百，所以零点五 x 就 等于八， x 就 等于八，除以零点五， 那除以零点五就是除以二分之一，除以二分之一就乘以二，所以 x 等于十六，对不对？好？因此呢，我们就写，购买十六和 乒乓球十在两家 商店付款金额一样。 好，这是第二问，再看第三问， 如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买呢？那就看谁更便宜对不对？好，第一种是假更便宜，那么就是分情况讨论。第一种， y 假小于 y， 那 么其实计算呢，跟这里的计算是几乎一样的啊。第一种情况 就在这里，就是五 x 加上十一百小于四点五 x 加一百零八，对吧？这里算出来的是什么呢？这里算出来的是 x 小 于十六， x 小 于十六。所以我们这里就写，当兵乓球 和数 不少于四盒且少于十六盒的时候， 假商店更便宜， 假店更划算。 第二个就是这个假店的费用大于乙店的费用的时候， 那这个时候你代入就是五 x 加上一百大于四点五 x 加上一百零八，这里算出来的是 x 大 于十六啊，所以呢，我们这里就写，当 乒乓球 核数 多于十六核的时候， 以电更划算。 好。第三个，那就是两个店的价格收费一样的时候， 那就是五 x 加上一百等于四点，五 x 加上一百零八， x 等于十六啊，所以呢，我们就说啊，两家一样啊，当兵乓球 和数 为十六和十两加一样， 划算就可以了。 再来看拓广探索第十题， a 层有肥料两百吨， b 层有肥料三百吨，现在要把这些肥料全部运往 c、 d 两个箱，从 a 层往 c、 d 两个箱运送肥料的费用是二十元每吨和二十五元每吨。那我们这里写一下， a 往 c 运是二十元每吨， a 往低运是二十五元每吨， 从 b 层往 c、 d 两个箱运送肥料的费用分别是十五元每吨和二十四元每吨。好， b 往 c 运怎么样？是十五元每吨，写上十五元每吨， e 往 d 运是二十四元每吨， 你会发现这里所有的肥料加起来是五百吨，而这里需要的肥料加起来也正好是五百吨，所以我们这要全部都运出去，对不对？那怎样调配呢？我们就可以设一下，咱们这里呢，就设 a 往 c 运 x 吨，然后总费用 为 y 圆，那就可以了，我们可以通过这个 a 往 c 运 x 蹲，把其他的三种全部表示出来，对不对？好，这里我们写一下。那你看， 如果我这里 a 层运这个 x 蹲到这个 c 箱去，那这里运 x 蹲，换一个笔，这里运 x 蹲， 那么剩下的往哪里运呢？剩下的只能往低这里运，对不对？假如说它从这里运了七十吨过去，那么剩下的一百三十吨就要往低运就可以了，因为 这里有的肥料和需要的肥料是一样的，所以这里两百吨和三百吨都要全部运出去，所以他这个 c， 这个 a 往 d 就 要运两百减 x 吨，剩下的就全部给 d 了，对不对？好，再来看。 那么你这里想一下， c 箱需要两百四十吨，它这里已经有 x 吨了，那还需要多少吨呢？对不对？我们就用两百四减去 x。 假设，举个例子啊，假设它从这里运来了一百吨，运来了一百吨， 这里需要两百四十吨，那还需要多少吨？是不还需要一百四十吨？这一百四十吨是不是从 b 层运，对不对？这里我举个例子啊， 不是实际的，那么这样的话呢，我们就需要拿这里已经有的而需要的吨数减去已经运来的吨数，那么剩下的就是还需要的吨数，所以我们就拿两百四 减去 x 吨，这里就需要两百四减去 x 吨。好，那最后一个就是这一个，那 b 层要往低相运多少呢？那你看一下，我们前面已经推算出 b 层往 c 箱需要运二百四十减 x 吨，对吧？那么三百吨已经运走了这么多，那剩下的就要全部给 d 箱，那剩下的怎么表示呢？这个也是最难表示的一个，我们就需要拿已经有的 减去运往 c 箱的，那剩下的就要运往 d 箱，对吧？所以这里就拿三百 减去二百四十减 x， 这里需要化解一下，就等于三百减去二百四十加 x， 所以 这里就可以表示为是 x 加六十，三百减二十等于六十，那么这样的话呢，这几个数据我们就全部表示出来了，对不对？一一对应，在同一条线上， 就表示他需要的吨数，运的吨数和每吨的价格，对吧？这样的话我们就可以串起来了，那么这个总费用呢？咱们就可以直接算了，对不对？总费用 y， 先看 a 往 c 运，运了 x 吨，每吨运费是二十元，所以这里表示的就是二十 x， 再看这个 a 箱， a 层往低箱运，运了两百减 x 吨，然后呢是每吨二十五元，所以我们这里就写二十五乘上两百减 x， 再看 b 往 c 箱运，那么运了两百四减 x 吨，每吨是十五元，那就是十五乘 上二百四十减 x， 最后再加上 b 层往低箱运的 b 乘往低相运了， x 加六十吨，每吨是二十四元，所以我们这里就写出来是二十四乘上 x 加六十，那么所有的运费就是这么多了，对吧？好，我们这里再把它化简出来， 这里乘等于五千减去二十五 x 加上十五，乘以三千减十五， x 加上二十四， x 加上二十四乘六十，等于一千四百四十。好，然后最后我们再把 x 全部合并一下，二十 x 减二十五， x 再减十五， x 再加二十四 x， 那 就等于四 x， 然后这个五千加上加上三千六，再加上一千四百四十，它就等于一万零四十。这里注意啊，这个注意 x 怎么样？ 必须大于等于零，小于等于两百，因为它这个总共 才两百吨，对吧？那你运出去了肯定不能超过两百吨噻，是不是？好，所以就要小于等于两百，但是也不能说他运的是负数，那不可能是负数，所以呢，就大于等于零就 ok 了。好，那么这个函数解析式表示出来了，你再看，这是一个一次函数， 它的 k 值是等于四的， k 值是等于四是大于零的，那么说明这个一次函数是 y 随 x 增大而增大，也就是说 x 越大， y 越大。翻译成这里就是 a 层往 c 层运的越多，这个钱总费用就越高， 所以我们要让这个 a 层往 c 相运的尽可能的少， 那最少是多少呢？它这个 x 取的范围最小，是不是零呢？所以 a 层的肥料，那就不要往 c 箱运，就是一吨都不运，全部往哪里？全部往低箱运 啊，那你说，哎，不是从这里运过去更贵吗？对不对？但是你会发现，如果你把 b 层的这个三百吨肥料 拿两百吨移到运到 c 箱，那你看它的费用十五元每吨，是不是更少啊，对不对？好，所以呢，我们就让 a x 最小就可以了。 当啊，这里先写一下，这里对应的是 y 等于 k， x 加 b 啊，对应的是 y 等于 k， x 加 b， 依次函数 k 不 等于零，而这里的 k 呢？对应是等于四的四是大于零的，对不对？所以 y 随 x 增大而增大， y 随 x 增大 而增大， 所以我们要 x 越小，知道吗？所以 y 值 y 的 y 取最小值时，最小值时 取 x 取最小值， 那么因为 x 的 最小值 为零，所以 y 的 最小值 就等于就为多少，就为 带进去算，把零带进去算零，待到这里面去算，就等于四乘零加上一万零四十，所以 y 的 最小值 就等于四乘零，加上一万零四十，就等于一万零四十，所以他的费用最少是一万零四十就可以了，知道吗？好，这里我们把这个答也答好一点，那你知道了， 他往这个 x 为最小值的时候，就是 a 往 c 相运的是零吨，对不对？所以我们这里答的话，就答完整一点，就写， 当 a 乘往 c 箱运零吨， a 乘往 d 箱运两百减零就两百吨， b 乘往 c 箱运两百四减零，那就两百四， 然后 b 乘往 d 箱运，这里是 x 加六十，那么就是零加六十，就是六十吨， 这个时候，对吧？总费用最少， 最少总费用 为一万零四十元就 ok 了。那所以答的时候你要答这个方案是怎么运的，你不能光说 x 等于零的时候，知道吧？啊，你要说清楚是怎么调运的才行。
73毕老师细讲数学
07:58查看AI文稿AI文稿大家好，下面看一道北京中考的解答题。首先在讲这道题之前，大家还是先先暂停视频做一下这道题。 好，我们讲一下这道题。在平面直角坐标系 x o y 中，函数 y 等于 k， s 加 b， k 不 等于零的函数，经过这个点和这个点，与过点零三且垂直于 y 轴的直线交于点 a。 嗯，第一问，让我们求该函数的解析式以及 a 点的坐标。函数解析式是怎么求的呢？因为它经过点二一和点零负一， 所以说我们就把这两个点代入这个含，这个函数就可以写出来，写出来 k 和 b， 最后就可以求出我们的解析式。嗯，首先我们写一下二代入，就是一等于 二， k 加 b， 然后零零负一代入就是负一等于 b， 这样就可以求出来 b 是 等于负一的， k 是 等于等于多少呢？负一代入这个代入上面这个 k 是 等于一的，是吧？嗯，然后解函数解析式就可以写成 y 等于 x 减一，然后解 a 点的坐标。 a 点坐标是什么意思呢？零三写 垂直于 y 轴的直线交于点 a 零三，咱们画一下图像，零三是在 y 轴上一二三，零三写于垂直于 y 轴的直线，是吧？这条直线 它与这条直线交于 a 点，那么就是当 y 等于三的时候， x 的 值就是 a 点的横坐标。那我们带入看一下， y 等于三，那么 x 就 等于四，所以我们 a 点的坐标就是四，逗号三，是吧？ 嗯，这里再详细说一下与过点零三且垂直于 y 轴的直线，这条它与这条直线交于 a 点， 那么这条直线的纵坐标就是三，我们把纵坐标带入这个函数的解析式，就可以得出它的 x 值， x 值就是 a 点的横坐标，所以说最后我们求得 a 点的坐标就是四。三。 好，讲完第一题，我们来看一下第二题，我们函数解析式，还是第一问的解析式，我们照抄下来。第二问家中的道， 他说当 x 小 于四的时候，对 x 的 每个值函数 y 等于二分之一， x 加 n 的 值都大于函数，这个也就是这个函数 且小于三，直接写出 n 的 值。这个怎么求的呢？这个我们一般用竖形结合的做题方法。嗯，首先我们画出这个的图像， 它的图像是什么样的呢？令 x 等于零的时候， y 是 负一，我们放在这里，当 y 等于零的时候， x 是 等于一， 所以说在这里，那我们两点确定。一条直线图像就是这样的啊，画的不太标准， 这个图像就是 y 等于 x 减一，嗯，且小于三。嗯，这个函数要小于三，小于三就是这个其实也是一个函数，它只是常数的，就是 y 等于三，相当于， 那我们再标一下，大概在这里，是吧？这是 y 等于三， 他说这个函数要大于它，小于小于它，那应该在哪里呢？这个函数，这个函数图像，它的斜率是二分之一，是固定的。嗯， n 是 在纵在 y 轴的截距， 它就是相当于斜率，固定，它就上下移动。嗯，当 x 小 于四的时候小于四， x 小 于四， x 等于四的时候在哪呢？就是这里，它焦点就是 这个点，其实也是第一问中的 a 点的坐标， 当 x 小 于四的时候在这边，那我们那个这个函数，它就应该在这块区域 才能是大于大于它的，大于 y 等于 x 减一小于三的，那我们的函数图像就举个例子啊，举个例子，大概就这样。 嗯，好，说完这一点，我们求求一下这个 n 的 值。 首先当 n， 当 x 等于四的时候，你看 y 等于多少 x， 当 x 等于四时 代入就是 y 等于二加 n， y 等于二加 n， 那 么我们要保证是端点处要大于这个小于三。大于 y 等于 x 加一小于 y 等于三，那么就是二加 n， 它只能等于 等于三，因为它在端点处它不能不能大于，不能大于，不能大于这个，也不能小于这个，所以它它只能只能等于三。最后得出 n 等于一， 它的斜率呢？斜率又又要保证二分之一是要 小于这个斜率小于一的，比如大于零的。 对，如果，如果它大于一的话，它的斜率，呃倾斜程度比这个 y 等于 x 减一要大，那它就会是这样的。这，这就不保证不保证这个这个函数是，这个函数是小是小于它的了。这里是 不能保证这个函数是大于这个函数的。这因为这边是这个函数是小于这个函数的，所以这是斜率，我们要控制一下 斜率有个范围，然后这是端点处，我们要保证 n 等于一， 最后我们得出的结果就是 n 只能等于一，因为这是满足条件的， 所以我们最后得出的结果 n 的 值就是一一。好的，谢谢大家。
26初中数学侯老师
34:54查看AI文稿AI文稿我要去找一些更有意思的题做，就要它了，哈哈哈哈， 好，今天给各位来录制一个非常特殊的一期，我相信天津的考生们啊，最近在中考复习的 已经把十七十八、十二十一啊，什么二四二五都做吐了，对吧？看见那个折叠就烦，看见二次函数也烦。咱们今天来做一道非常不一样的一道题，这是二五年北京的传说中的新定义问题。好吧，咱们一起来看一下。 其实在看之前我先做个总结，这道题我做的时候啊，嗯，我说一说一句比较冒犯的话，就是这道题的难度，我觉得个人觉得远不及天津的十八题， 但是他难度就是我认为他难度就是在他的这个计算上，或者说在他的这个去推理的过程。但是你最难的点这道题是读懂他的题在说什么，这个是这道题特别的难，我觉得他这个在这方面他是比十八题要难的， 就各有各的难。好吧，然后咱们来看一下这道题，他说对于点 a 和圆 c 给出下列定义，如果圆 c 上存在两个不同的点 m n， 咱们先画出一个圆 c， 以便理解哈。存在两个不同的点 m n， 嗯，瞎瞎点两点哈。然后对于圆 c 上任意满足 ap 等于 a q 的 两个不同的点 p q 都有这个不等式的关系。嗯，所以假如说现在这个点 a 它在圆外， 然后呢？角 a m a n 大 于等于角 q a p， 对 吧？ 这是 m a n， 然后他说要大要大，永远大于等于这个三角形 p a q， 而且 a p 等于 a q。 我 不知道同学们可不可以想象一个画面，就是就是这个 a 啊，他开始，比如说从这，哎，这两个有相等的线，这是 p， 这是 q， 这时候这个角 p a q 可能是小于这个 m a n 的 复合体，对吧？然后这个 p q 俩人同时，哎，一个往上一个往下，开始运动，我不知道同学们能不能想到这个画面就是这个两个 p q 同时啊，同样的速度， 嗯，然后就从这个点开始往左往右移，然后你要保证一直移啊，屁，这么走，这么走，这么走，走到这边湖中的位置，然后 q 也是这么走，这么走，走到这个位置，我不知道同学能不能想象到啊？做这种题一定要有这个想象能力，然后呢，说到这个 p a q 永远要小于这个小于，或者等于这个 m a n， 那这是什么情况？也就是这个 m a n， 它是这个点 a 像这个圆做出的最大的一个角，对吧？那什么角最大呀？同学们能想象一下，就是这个， 咱这个过点 a， 咱现在不画 m n， 咱就从，咱就画一个点 a， 咱怎样才能说把这个角，哎？还得过这个圆，哎？把它画到最大， 是不是大概就是这样的，对吧？就是大概就是这样的，对吧？这个图这样，他这个角是最大的，对吧？你再大，你说你这角再大，他和圆不接触，哎，那，那咱这不就倒出要点了， 他再大就和圆不接触，那就说明他现在只有一个焦点，这个可以理解吗？只有一个焦点，那这是什么线呢？ 这不就切线吗？也就说这个点 m 和点 n 的 实质就是过这个点 a， 像这个原作的两条切线，哎，这就是 m 和 n， 对 吧？然后这时候你在想这个点 a p q， 点 a， 点 q， 这个 p q 他 怎么移？他最撑死了，他和 m n 重合了，那不也就等于吗？对吧？他不可能再大，于是这个道理吧。 ok， 明白提议在说什么，其实这道题 的确就非常简单了。 ok， 咱们来看一下啊。看一下，第一文，元欧的半径是一，然后点 a 一 这个坐标，点 a 二这个坐标，点 a 三这个坐标。他问你点什么是元欧的关联点，也就是咱们刚说分析的那个， 且其与元欧的关联角度小于九度，咱还没看关联角度是什么啊？关联角度就是这个切线，就是这个 过点 a 做切线之后，这个夹角的这个大小就叫关联角度，对吧？好，咱们来看一下吧。首先他说这三个点，问他哪个是关联点，而且这关联角度小于九十度，哎，那咱先把这三点描出来吧， a 一 是二分之一， 嗯，在这 a 二是四分之三，是吧？啊？三分之四，那在外头了，比一大一点，大概在这 a 三是二。好， 咱先分析哪个是关联点吧。然后，呃，首先你看 a 一 他是不是关联，哎，咱刚考虑的是元外的，对不对？咱还没考虑元内的，咱就以这个图为例，考虑考虑元内。 那你说，哎，他题目中还有一个非常的关键，就是说本定义中的角均值，锐角、直角、钝角或平角，也就是说这是零到一百八十度角，对吧？最大的也就是平角。那你想 a 一 他什么时候他是平角，是不是这样的时候是平角， 对吧？不说就是这样儿，就其实怎么连他都是平角，对吧？只要连一条直线穿过他 这个，比如说 m n， 哎，他也是平角，没问题吧？那他也是最大的，对吧？题目里说了最大也就一百八，所以说没有再能比他大的，对吧？所以说 a， 首先他肯定是这个圆 o 的 关联点，对吧？但他关联角度是多少呢？咱刚分析了，就平角嘛，一百八，所以说 a 一， 不是啊，他关联角度为一百八， 那 a 二呢？ a 二，咱来看一下，这就是咱刚说的圆外的这种情况，对吧？咱刚说要往这个圆上做切线，对吧？好，咱们做两条切线， 然后那所以他肯定是关联点，咱刚分析了，只要这个圆在圆外啊，这个点在圆外，他像这个圆做两条切线，那么他肯定就是关联点，对吧？因为这个切线他夹角肯定是最大的，所以说在员外的点肯定有关，肯定是关联点 啊，然后咱就再来分析这个关联点的大小就行。他刚说这个圆的半径是一啊，然后 a 二，这是 三分之四，然后呢？圆咱知道过切点，对吧？这是咱做的切线，那他肯定切点垂直，而且半径是一，那么咱就分析分析。咱要问这个角他是大于或者小于九十度， 那咱就来分析他每个小角吧，因为有什么有切线长定律，对吧？切线长定律呢？那这个角就等于这个角没问题吧？因为有全等，对吧？然后那这样话，咱就分析一个小角他跟四十五度的关系是不就可以了， 能理解吗？如果说这个小角一个小角大于四十五度，那他这个整个角不就大于九十度？如果说这个小角小于四十五度，那这个整个角他就小于九十度，对吧？ ok， 大家分析这个，咱可以把这个三角形啊，把它再单独画出来 四分之三，这是直角，这是一，对吧？咱要问这个角，那这个角怎么判断他是大于还是小于四十五度的呢？ 咱是不是可以用一个什么值啊？用一个，这应该叫啊，可以先把这个边求出来的呗，有勾股定律，然后这是十六分之九减去一，就是，哎，应该是三分之四， 九分之十六减一就是九分之七，然后再开个根号，就是三分之 根号七，对吧？好，然后再要看这个角，哎，那你想，假如说这个三角形刚刚好好是等边直角三角形，那他每个角是不是正好是四十五度？那他的贪婪的值是不是一？这个角贪婪的值，那么假如说这个角啊，他大于四十五度， 得大于四十五度，那明显这个边这比这个边得长，对吧？那他的贪婪值是不得大于一，那咱就判断这个，同理啊，假如说这个角小于四十五度啊，这样一个角，那他的贪婪的值肯定小于一，对吧？所以说，咱就来判断一下这个角的贪婪的值。 这脚摊直就是一比上根号七，呃，三分之根号七化简一下就是三比上根号七就是七分之三倍根号七啊，约等于多少呢？四十九分之九乘七，就是 根号下七分之九，对吧？所以说呢，这个值肯定大于一，哎，所以说这个角它也大于四十五度，哎，那这个小角它大于四十五度，那大角它是不大于九十度，哎，那 a 二也不符合，对吧？ a 二也不符合，那 a 三肯定是了。 那咱来分析分析 a 三为什么是？好吧， a 三呢？他在这，他是二零，他做切线，哎，这是二，然后咱连切点这一， 这不咱最熟悉的吗？一比二比根号三，对吧？那这个角多少？三十度吗？啊，整个角是六十度， 所以他即使关联角，哎，他也，他即使关联点，他又小于九十度，这个关联角度，哎，那第二第二个空咱也求出来了，他的关联角度不就是二乘三十度，六十度， ok， 第一问的话，就是首先让你熟悉这个具体这个关联点是什么意思， 对吧？然后呢，然后再去简单的进行一些应用。好，咱们来看第二个说点， b、 e、 m 在 第一象限，对于任意长度小于一的线段， b、 d、 b、 d 上所有的点都是圆 o 的 关联点，则与 m 的 最小值是， 首先给 b 了一个横坐标，对吧？然后纵坐标不知道 b， 那 b 是 不是就在这条直线上，在这个隔线上，对吧？然后他说呢？呃，对于任意长度小于一的线段， b、 d、 b、 d 上所有的点都是圆 o 的 关联。 任意长度小于一的线段， b、 d、 b、 d 上所有的点都是圆 o 的 关联点， 哎，过一个点，然后任意长度的线段，还所有的线段，哎，那是不是正好是个圆啊？ 你就说他长度小于一，那比如说这个点 b 在 这，他所有线段长度小于一的，是不就是，哎，我以一为半径画个圆，但是我这最外边这一层不要，要不了是这意思吧，就是最外头这个边他取不到， 那你看 b、 d 上所有的点，而且都是圆 o 的 关联点。咱刚分析了，哎，在这个园内的点肯定是关联点，在园外的点也是关联点，哎，那要是在园上呢？比如说我这个点 a， 我 这个点 a 就 在这园上，那它是关联点吗？这咱得思考思考，对吧？ 那 m n 注意到这句话，两个不同的点 m n， 但知道假如说要是想要它的角最大，如果过点 a 的 话，是不是就是 m n 和 a 重合的时候？这，但这会其实也没有角，对吧？所以说它这个咱分析完之后，再原上的点应该它就不是关联点， 对吧？那要让他所有的点都是关联点，那就说明他不能和这个圆有交点，因为他既然产生了焦点，那就会有不是关联点的点，对不对？他们俩相交的点肯定不是关联点，那就很明白了， 既然不能让他这个产生这个焦点，那咱就正好相切，不就行了吗？ 对吧？这个点 b 在 这，然后正好相切，哎，也是一为半径，正好相切，那有人问他，相切不也是正好有一个交点吗？对不对？那相切为啥行？ 相切行是因为咱刚说了，题目里是小于一的线段，就是最边上这个点，咱是取不到的，所以说画出来这个圆是相切，但实际上他们是没有交点，对吧？然后呢？ b 是 一，然后 m， 对吧？ em， 然后咱可以连一下吗？相切，既然是相切，他们连一下肯定是能连过来这个圆心的，对吧？圆心相连，然后呢？这是一，这也是一，那这不二吗？这是一，这不就根号三吗？对吧？ 所以说这个 b 呢？ m 的 最小值， 那他问 m 的 最小值 啊？他他说了在第一象限啊，那就没有第二种情况，对吧？那就是这会最小值，他这会他才能说和这个圆没有交点，对吧？他往下来的时候，他在下面的时候，怎么画都有交点，他再往上啊，那就不是最小值了，好吧，那咱就考虑 m 的 最小值，那就是根号三，对吧？ 这一问也比较简单。好，咱们来看最后一问啊。最后一问他其实是一个比较大的一个分类讨论吧，如果说掌握了这个关联点，他的最底层的逻辑的话，还是比较简单。好吧，但这道题确实需要画不少图。 好，再来看，他说 e 一 三，嗯， f 四三， e f t 是 这个动点，对吧？然后圆 t 经过圆心啊，经过圆点，圆 t 就是 以 t 为圆点的，以 t 为圆心的一个圆，对吧？然后还是这个问题 说线段 e f 上所有的点都是关联点，咱这就说明了什么呀？咱把这个题目翻译一下，就是 e f 与圆 t 无交点 这个翻译过来，然后咱就很好理解，然后这个关联角度最大为阿尔法。 然后啊，就说这些点，所有的 e f 上所有的点和 t 的 这个关联角度最大值是阿尔法，要说这个阿尔法在这个范围里求出 t 的 曲值范围，好吧，咱先把 e f 连一下， ok， 然后咱从左往右开始考虑吧，因为他没说这个 t 是 大于零小于零了，对吧？所以说咱可以 t 可以 在左边吧，没问题吧？然后你想想， t 要是在左边的话，哎，咱画一个圆， 那画一个圆之后就是点 t， 那 么他的他要满足什么呢？首先你要在左边的话，他肯定没有焦点，对吧？符合这个点，所有都是关联点，那咱就看这个关联角度的范围就可以。 关联角度的范围，他说关联角度的最大值，那最大值你想想，呃，就这么来看的话，是这个点 e， 这取最大值，是这个点 e， 这做切线取最大值， 是这点 e， 这做最大值，还是说这点 f 这最大值？ 这个画出来也能看到，你用这个三角形的三边关系也可以解释，对吧？因为这是点 f 的 关联角度，这是点 e 的 关联关联角度。如果说这个角 e 啊，用角 e 和角 f 来表示， 是不是角 e 等于这个 r 法加上角 f， 所以 说角 e 肯定要大于角 f， 对 吧？所以说当这个， 当这个 t 在 圆点左侧的时候啊，肯定是从点 e 做的这个关联角度，它是最大的，那它的这个范围呢？咱先求这个等于九十度的时候，刚好等于九十度的时候， 对吧？这是一个零节点。咱刚开始的时候，比如说 t 在 这这么小的时候，咱一划，哎，肯定小于九十度，对吧？这一看，这是个锐角啊。 那咱就说这个 t 一 直往左移移，移，移到什么呢？刚好这个关联角度是九十度，那这会求这个 t 的 曲值， t 的 值，对吧？这个怎么求呢？ 咱先把已知的条件标一下，哦， o t， 这是 t 长度吧，咱们写长度，这是负 t， 然后呢，咱们点 e， 这做个垂线，这是一，这是三，对吧？ ok， 没问题。然后呢，咱能求什么呢？ 咱刚说的，这是过做切线，对吧？我可以把切点包括中间这个，咱可能都会用到，咱就都连上， 然后你发现这个圆心和这个点 e 的 连线，咱是不可以用这个 t 表示出来，因为 o t 这里是 t 负 t， 然后这里是一，然后这里是三啊，这肯定是直角，所以说这个 t e 就等于啊 t 一 方吧，咱就写就等于这个，呃，一减 等于这个一减 t 的 完全平方，加上九，没问题吧？用，用了一个勾股定律表示出来，然后呢，咱刚说了，咱这个角等于九十度，对吧？而且它是角平分线，所以说这俩是不都等于四十五度， 对吧？这个用切线长定律，这俩都是四十五度。然后呢？哎，咱这还有切点，切点是不是垂直，对吧？切点既然垂直，之后，咱刚说了，这个咱求出来，对吧？然后呢， 切点和圆心和切线，切点的长度不就是 t 吗？呃，负 t 吧，对吧？所以说根据这个等腰直角三角形，咱还可以列一个，就是这个负 t 呢 啊，咱也别负 t 了，咱就写 t 方吧。比如说设这个点是点 p 啊， t p 方， 因为它是 t p 方，加上其实应该是 p e 方，对吧？等于这个 p e 方，那 p e， 因为这是个等腰值嘛，这是四十五度，这直角是个等腰值，所以说 p e 它等于 tp 啊， 那就说这个二倍的 t p 方就等于 t e 方，哎， t p 方不就是 t 方吗？所以说二 t 方就等于一减 t 的 完全平方加九，然后解一下，也就是 t 方，呃，然后减二， t 加二， t 加十，减十等于零，对吧？ t 加一的完全平方等于十一啊， t 加一等于正负根号十一。好， t 就 等于负一加减根号十一。哎，咱看取哪个吧，咱们说了，前提是这个，这会是这个啥呢？这会，这整个呀， 整个情况是 t 在 呃，外肘左侧吧，对吧？这是第一种情况， 这是第一种情况。好，然后呢？所以说这个 t 呢，也就说变相说这个 t 啊，它小于零没问题吧？然后呢，所以说这个 t 咱要取负值， t 就 等于负一减，根号十一，所以说当 t 等于负一减，根号十一的时候， 刚好符合这个咱这个，对吧？刚好符合咱的所有要求，既是都在都是关联点，而且阿尔法还在这个范围里头，那咱想咱这个 t 要是说越来越往左移，再往左移呢？ 那是不是还是咱刚分享点 e 区最大值，对吧？你想哪怕这个 t 原 t 无限大，对吧？这 e 都做做切线都得这么做啊，他是不是也是小于一百八十度？他不可能达到一百八，对吧？因为你这个圆，他就在整体，他就在对称轴这个外周左边的， 所以说他有这个 t， 他 有最小值吗？在这个里头没有最小值的，咱就说这个 t 他 只要小于等于负一减，根号十一就行，对吧？再小再再往左，越来越小，再小，小到无限， 他也没关系，他也符合条件，对吧？这种情况咱就理解完了。第二种情况呢，就是咱的 t 啊，他在 y 轴右侧的时候，哎，这就知道好好好好分析了， 哎，这得考虑就比较复杂，咱们还是把 e f 做出来， e f， ok， 然后点 t 呢，咱从这画个小圆，对吧？ 那这时候他过哪个点？首先点，当点 t， 他 在这的时候，没那么大的时候，他肯定和 e f 也是没有交点的，对吧？ 这会儿它会不会有情况？就是刚好满足的？肯定有，咱就用极限的思想，假如说这会儿啊，它就 这个原 t 啊，它就和这个 e f， 它就，哎，它就差一点相交， 假如说这会这个圆 t 啊，它就刚好和这个 e f 呀，哎，它就差一点相交。那你想想，这会咱比如说咱就取这个点，咱也甭管它是多少，咱做一个角，这肯定都大于九十度了，对吧？所以说当这个圆 t 它和这个 e f 在这会就是在这个 e f 下面的时候，他还没有相交的时候，肯定有一个值啊。就是说这个原上这个线上某一个点，做他这最大的这个角刚好等于九十度的时候，那大家分析分析这会他过哪个点，他做的这个关联角度他是最大的。 当这个比如说当这个点 t 啊，它还在这块时候，就说这个点 t 啊，它还没过点 e 的 时候啊，没过这个，这不 e 吗？没过 e 的 时候说 t 小 于 e 的 时候， 这不就跟刚咱们这个前面情况一样吗？我就不画那个图去解释了，肯定是点 e 做的时候最大，对吧？没问题吧？那这会他能达到九十度吗？咱这会咱就画一个，哎，半径为一的一个，咱就画一个半径为一的一个圆， 这点 t 假如说就跟这个点 e 就 在这，对吧？点 e， 然后做一做一个这个，咱来判断，判断这是一，这是三，对吧？然后呢？ 连一下啊，这也是一，这是三，然后咱们这个角，这是九减一，这是二倍根号二，没问题吧？它这个二倍根号二，然后咱判断这个角它小不小于四十五度，对吧？还是用那个探点的值吗？一比上二倍根号二，二倍根号二明显大于一吗？ 所以说它的探针的值小于，没问题吧？所以说它这个它的这个角它就小于四十五度，所以说这会它还没满足要求，对吧？它这个关联角度还小于小于九十度。 那咱就看过点 e 的 情况，好吧？假如说过点 e 了，现在这个圆已经过点 e 了， 过点 e 了之后呢？然后假如说这会这个 t 在 这过点 e 了啊，那他这会什么时候哪条线就是到他的关联角度最小呢？呃，最大呢？ 其实想一想就能想出来，肯定是他正上方这个点，他做这个关联角度是最大的， 对吧？可以理解吗？因为你就是不管从这坐呀，还是从哪坐，还是那个道理，对吧？三角形外角这个角，它等于这个角加上某个角，所以说这个这个时候它是最大的， 没问题吧？那这会假如说他就等于九十度啊，这个图确实不太标准，不好意思。然后咱这会来来求一下 t， 好 吧，这是 t 啊，这会 t 就是 正的了。然后 咱假如说，嗯，因为这是九十度嘛，然后咱连一下，再连一下，切点，这是 t， 这是三，对吧？因为它 e f 的 高度就是三。然后呢？那这是多少？ 刚刚说这是四十五度，对吧？因为刚好等于九度，这是四十五度，所以说这也是 t， 那 不就是 t 方加 t 方等于九吗？二 t 方等于九， t 方等于二分之九， t 等于这个正负 二倍根号十八，就等于正负二倍，根号十八，就等于正负二倍根号二， 没问题吧？这会咱肯定取正的呀，他就是二分之三倍刚好。所以说你看这道题，其实他，你说 其实思路都一样，连切点啊，连这个切线长，就是这个中间这条线，然后根据这个直角，三角形，还有特殊角四十五度，然后去构造方程去解 t， 这会 t 刚好等于二分之三倍，根号二，对吧？ 就像思路一样，难就难在，其实就在第一步，就是你明白这个关联点还在说啥，对吧？那这会 t 它等于二分之三倍，刚好二，它，这会它是刚好可以的，对吧？那么什么时候它不可以呢？ 是不是就是有焦点的时候？因为你想你这个圆，哪怕无限接近这个 e f， 对吧？无限接近 e f， 它只要没有焦点，它都是关联点，而且都满足这个大于九十度，大于等于九十度，小于等于一百八，那什么时候 t， 它就和这个 e f 相交了呢？相交的话，比如说这个点相交，那你连接 t 的 话 啊，还得过去点圆 o， 所以 说这是 t， 这不也是 t 吗？这会 t 不 就等于这个 e f 的， 它的纵坐标不就是三吗？所以说当 t 等于三的时候 有一个，嗯，其实这会怎么说呢？这会这个 e f 就 刚好是切线了，对吧？ e f 为圆 t 切线啊，所以说这个有切点， 这个切点呢，我就不写解释了，这个切点它就不是关联点了，就不满足咱的这个所有的点都是关联点，就是它的可以等于三吗？啊？不可以等于三，那这会咱可以分个小 a a， 这个圆在 e f 下十啊，所以说这会呢，它这个 t 的 范围，它得大于等于二分之三倍更好啊，就说这会刚好的话，它这个最大值是九十度， 它还得什么呀？它还得小于三，等于三的时候，它就不满足这个关联点了。 ok， 这个情况呢，就说这个 t 它足够大啊，特别大， 他把 e f 给包括在自个身，包括在自个的圆里头，那这会 e f 上的点是不是也都是关联点？而且甭管哪个点，它的关联角度是不是都是一百八，没问题吧？这会他是不是也符合咱的要求？好，咱再来写小 b 啊？圆 t， 哎，咱刚说的是圆，哦，圆在 e f 下，那圆 t 在 e f， 嗯，这个分类其实不应该这么写，这个怎么说呢？ 应该这么写，说 e f 的 关系， e f 在 圆外，然后 b e f 在 圆内， 对，然后呢？这会咱就大概画个图，还是找零界点的思想，这个其实跟咱们天津的二十四题有点像啊，就思思路上有点像， e f o， 对 吧？这会咱要的效果是什么呀？这个点 t， 哎呀，足够大，对吧？足够大，那你就想吧，什么时候是零界点呢？ 都有可能吧。那这个咱怎么思考？你想想这个点 t， 假如说在这儿， 假如说在 e f 的 终点下面，这是点 e， 那 它这会假如说它，呃，这是点 t， 假如说这会这个圆 t， 它就刚好，哎，它就刚好把这个 e f 给包住了， 那所以说他下一秒他是不是就把两个点都抛出去了，对吧？那假如说他没有呢？ 假如说他只是，比如说他把这个点，就说这个他还是相交的一个状态，那怎么办？其实他可以算出来 ef， 它这是一三，它这是四三，对吧？那它是终点的话，这个 t 的 坐标不就是二，哎，这是一，然后不就是二分之五零，对吧？ 咱就来算这个呗，算他们这个长度呗，哎，就算一个就行了，对吧？这是一呢，这是二分之三，这是三，他长度是多少呢？咱就因为咱要看这个一和这个圆心的距离和半径的关系，对吧？就是这个半径是二分之五啊，我再来看一下这个， 呃，一，咱来看这个 e t 是 多少？咱发现这个是一，然后这个是他的二倍，那这就是二分之三倍根号五，对吧？有一比二比根号五的一个关系，然后呢，二分之三倍根号五是多少？咱把它放进去 四分之四十五，它是多少呢？十一根号十一就是在三三左右，对吧？那它肯定大于二分之五， 那说明这会它这个画出这个圆啊，它是就是这样的一个，它是这个把这个点 e 和点 f 没包括在里头的， 那这个点呢？讨，为什么要讨论这个点呢？因为咱把这个点讨论出来之后，假如说这个点 t 他 还没有把这个 e f 包括在里头的话，他再往右走的话， 你想他再往右走，他距离点 f 的 距离是不是永远比距离点 e 的 距离要短？ 那这会的话咱过点 f 很 轻松。那过点 e 是 不就是需要考虑的问题？因为肯定是先过点 f 再过点 e 了，因为点 f 它的距离比较短，对吧？ 所以说咱就看咱其实分析到这咱就明白了，咱就考虑这个圆，他过点亿的时候就可以了，对吧？因为他肯定是最后一个过点亿，这会他才满足咱们的这个这个要求的。 大概画一下，哎，就这会儿的情况，然后呢？这会儿呢？再要求点 t， 对 吧？啊？点 t 的 圆心，然后呢？这会儿因为 o e 都在圆上嘛，所以说 这是 t， 这也是 t， 然后呢？啊，这是一，这不就 t 减一吗？然后这是三解，这个直角三角形就行，他的思路完全一模一样。 t 减一的平方加上九等于 t 方啊， t 方加 减二， t 加十等于 t 方二， t 等于十， t 等于五，对吧？ t 等于五的时候，满足咱这个情况，那咱能取五吗？不能取，对吧？所以说 t 要大于五 啊，然后它还有别的限制吗？大于五之后呢？大于五之后，这个圆越来越大，越来越大， 然后大到什么情况呢？那他一直 e f 都在园内，对吧？那就一直满足嘛，再大的话 e f 也在园内，所以说咱其实咱就求完了，也别也没别的这个情况了，对吧？咱从这个外周左侧一直研究到右侧，咱就研究完了呀。 所以说这个总的范围咱就写一下吧。第一个范围它是 t 小 于等于负一，减根号十一或啊。第二个范围它是 t 大 于等于二分之三倍，根号三，呃，根号二 小于三或 t 大 于五。就这道题本质啊，难点首先在你要看懂什么是关联点，然后这第二个难点就是这个第二个的这个分类讨论，其实你要说在考场上做的话，可能难度确实非常大， 对吧？但是你要说静下心来去好好去想这个关联点他代表着什么，因为他哪怕是新定义，他肯定也是结合着课内知识，对吧？如果他给你一个情境，让你去分析啊，这是跟哪个课内知识有关？分析出来之后呢？就根据他的题目要求去， 也是，其实最后都是用的课内知识，对吧？就很简单，最后求出来。其实我觉得，嗯，对于我来说啊，这道题要比天津的十八题要有头绪一点，要有思路一点，好吧？这道题就讲到这。
50云天😀
03:12查看AI文稿AI文稿要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课。我们来看这道题。甲乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量价格一致，每张办公桌八百元，每张椅子八十元。 假一两个厂家推出各自的优惠方案，假厂家买一张桌子送三张椅子，以厂家桌子和椅子的价格全部八折优惠。现在某公司要购买三张办公桌和若干张椅子， 若购买的椅子张数为 x 等，而且已经给出了 x 取折范围大于等于九。我们来看第一问， 分别用含 x 的 式子表示假以两个厂家购买桌子所需的金额。我们来看一下假厂家。 由于要购买三张办公桌和若干张椅子，假厂家的优惠是买一张桌子送三张椅子，三张桌子的价格就是 八百乘以三。由于购买的椅子的数量 x 大 于等于九，加上加前九把椅子是免费的，所以我们只需要算九把椅子之外的价钱，也就是 八十乘以 x 减去九。那我们化简一下，最终结果是一千六百八十加上八十 x。 我 们再来看已成交， 已成交桌子和椅子全部按原价八折优惠。我们来表示一下原价是多少。八百乘以三，加上八十 x， 然后打八折，我们就乘以零点八，化简一下是一千九百二十加六十四 x。 好， 第一问我们就写完了，我们来看第二问， 购买的椅子至少多少张，是到移厂家购买更划算，更划算的意思就是花的钱要少，也就是说移厂家的钱数要小于等于假的厂家。 由于第一问，我们已经求出来甲乙两个厂家的金额，我们让乙厂家小于等于甲厂家，也就是一千九百二十，加上六十四 x 小 于等于一千六百八十，加上八十 x。 好， 我们化简之后求得 x 大 于等于十五。也就是说当我购买十五张 椅子的时候，这两个厂家的钱数是一样的。当我购买十五张以上，也就是十六、十七、十八张的椅，十八张椅子的时候，到椅厂家购买更划算。这道题我们就求出来了，最后写出答案。
20宋老师方法课堂
08:55查看AI文稿AI文稿hello hello hello， 今天的这个视频呢，我们将跟大家分享的是一道一词函数压轴题， 一看到寒餐，一看到两点间的这个线段，也就是距离问题。一看到解不等式，很多同学就会自由地放弃，哎，我干脆不看。 那么莫老师今天想解决一个什么问题呢？想带领大家把这个寒餐 以及距离问题加上解不等式数形结合的问题啊，用一个典型的案例讲清楚啊，好的，求图一中直线 o a 的 解析式超级简单，点 a 的 坐标是二，纵坐标是 三，然后呢，直线 o a 是 一个正比例函数，所以我们可以设成 y 等于 k 倍的 x， 然后呢，将这个点 a 代入，可得这个两倍的 k 等于三， 这样得出直线 o a， a 就是 二分之 三倍的 x 啊，好，这是我们的第一问。哎，这个图呢，我们暂时把它去掉了啊，暂时把它去掉了。然后呢，紧接着我们来看第二问，第二问啊， 这是我们的直线 o a 那 么一个颜色啊，这是我们直线 o a 的 解析式， y 等于二分之三倍 x， 它说如图二，点 p， 点 p， 横坐标是 m， 重坐标是三， 那么重坐标是三的意思是，勾找一条线段，显示一个颜色为 玫红色，重坐标是三的意思是我们这个玫红色的这一部分长度 a 是 三啊，那 a 的 坐标呢？横坐标是二，重坐标也是极啊三，所以我们的 p a 啊，很明显，它就是直接是与 l 轴平行的啊。 他说现在过点 p 轴，这个 l 轴的垂线交直线 o a 于点 c， 直线 o a 于点 c 啊，交直线 o a 于点 c。 诶，这个垂线标错了位置啊，应该是这一段 好的直线 o a 与点 c 啊，交这个直线 y 等于负 x， 减去一于点 d。 哎，交这条直线，把它弄个颜色看得清楚一些啊。于点 d， 于点 d 啊。 他问，当 m 在 零到二之间，点 p 的 横坐标是零的时候，很显然是与 y 轴重合， 然后点 p 的 横坐标是二的时候，很显然就与我们的点 a 重合，那么它在零到二之间，所以呢，反映的就是我们现在的这样一个状态。他说是用含有 m 的 式子表示 p c 的 长， 那 p c 的 长度不就是用什么呀？构造一条线段，弄一个颜色，弄一个什么颜色呢？嗯，橘黄色啊。 哎， p c 的 长度我们知道，就应该是等于什么呀？等于点 p 的 重坐标。点 p 的 重坐标是几啊？是三，减去谁减去点 c 的 重坐标，减 c 在 谁上？点 c 在 直线这个 o a 上，而我们的 o a 算出来是 y， 等于二分之三倍的 x a， 点 p 的 横坐标是 m， 那 意味着我们点 c 的 横坐标呢？也是 m。 重坐标是什么？ a 将 x 等于 m 带进去，重坐标是二分之三倍的 m， 所以 p c 的 长超级简单。就是纵向而言，上减下就是点 m 的 重坐标，是三 点 c 的 总坐标呢，是二分之三 m， 所以 这就是我们的 p c。 简不简单，超级简单。横向而言，哎，右减左，纵向而言，上减下。由于这里是有前提的啊， m 呢，是在大于零，小于这个二的范围之内，所以此时我们点 p 始终是在谁， 始终是在点 c 的 上方， ok， 上减下啊。好，现在第二个用含有这个 m 的 式子表示线段 c d 的 长，同理，线段 c d 的 长怎么表示啊？哎， c、 d 的 距离构造一条线段， 弄一个不同的颜色，弄一个什么颜色？紫色啊？ 好，那个指示。那现在 c、 d 的 长同样啊，就应该是用点 c 的 重坐标二分之三倍的 m 减去，谁减去点 d 的 重坐标。点 d 在 哪里？点 d 在 直线， y 等于负 x 减一上，它的横坐标是谁？横坐标就是 p， c、 d 在 同一条直线上， 所以点 d 的 横坐标依旧是 m。 重坐标呢，就是带进去负的 m 减去一。在这里我们用整体的数学思想，负的 m 减去一，然后负负得正二分之五倍的 m 加上一，是不是超级简单？是不是超级简单，你看一下啊，由于点 p 在 零到二的这个范围之内，所以我们的点 c 始终是在我们点 d 的 哪里，点 d 的 上方。 好，第二文说，在 e 的 条件下， e 什么条件呢？ m 大 于零小于二的时候，若 p c p c 就是 三减去二分之三倍的 m 大于等于 c， d 大 于等于 c d， 即我们可以列一个这个方程，就是三减去二分之 三倍的这样一个 m 是 大于等于 c， d 大 于等于二分之五倍的 m， 加上一的 r。 好， 我们可以将这个解出来，弄一个不同的颜色。 哎，我们可以将这个解出来啊，将这个解出来的话，就是可以将这个移在方程的右边，就变成了正的二分之三倍的 m， 加上二分之五倍的 m， 就 应该是四倍的 m 移到右边以后去，这个是小于等于啊，就是变成小于等于。为什么呀？尖尖是在 m 的 位置，然后呢，将这个一移过去，就变成二，所以这样解的 m 的 曲子范围是小于等于二分之一的， 而我们是在一的条件下， m 的 取值范围又是什么呢？又因为 m 是 大于零而小于二的，所以结合这两者 从小取小可以得出， m 的 取值范围呢，是在大于零小于等于二分之一的 范围之内啊。好，这就是我们的第二问的第二小问。好的，今天的这个讲解呢，就到此结束。那韩餐加上距离问题，加上这个 横坐标的曲子范围，哎，然后呢，加上不等式啊，综合起来的的确确是有点复杂，但是呢，它是可以解决的啊，它是可以解决的。好的，今天的这个讲解呢就到此结束，感谢大家的这个收听，谢谢大家。
63莫老师的数学花园
06:03查看AI文稿AI文稿挑战六分钟让你成为初中数学兼职生！今天我们来学习一次函数最值一，我是哈老师，善于总结，微大小逆袭找哈哈哈喽，同学们，今天我们一起来看一次函数 规律。好，有些同学一看到这题就蒙了，但这类题虽然说一般也是出现在压轴题的部分，但是我们不要害怕这种题，这种题一般他是看起来比较吓人，但实际上我们我们找到技巧之后，他也没有那么难。 这类题，那我们看对于像这种看起来特别复杂的题，我们怎么办？一般我们只有两个字，那就是规律，那就是规律。像这类题， 比如说我们今天像这类题，我们就是找规律就行了，我们看这题之后不要害怕，沉着冷静找规律就行了。好，那我们来一起看题目说正方形 a、 e、 b、 e、 c e o、 a 二、 b 二、 c、 c 二、 c 一， 按如图方式，点 a 一、 a 二、 a 三和 c 一、 c 二、 c 三分别在直线 y 等于 x 加一和 x 轴上面 折点 b 六的坐标是什么？让我们看，他又求，让我们求这个 b 六的坐标，那我发现这个，那这类题我们看像这种 b 一、 b 二、 b 三，那这我们一看这题就知道是找规律的，但是这个 b 的 规律是不是不好找？ 但是我们发现他这些都是正方形吧， a 三、 c 二、 c 三 b 三吧，那我们发现 a 三、 b 三、 c 三是不是都有紧密的关联型的，那我们看我们是不是，如果说我们要求 b 三，我们是不是把，如果说我们把 a 三求出来了，那我们是不是一定能求出 b 三，为什么？如果说我们把 a 三的坐标求出来了， 那因为他这个是正方形吧，因为我们这个图形是正方形吧，那我们 a 三的 a 三的坐标我们求出来之后，那我们肯定是能推出 b 三的坐标的吧？ b 三的坐标的吧， 对吧？然后结合我们这个 a 在 直线 y 等于 x 加一上，那所以说我们这个题我们不直接找 b 的 规律，我们找，我们找找谁的规律呢？我们找 a 的 变化规律，我们把 a 的 变化规律找出来之后，我们就可以顺理成章的找到 求出我们的 b 吧，对吧？那比如说我们要求这个 b 六，我们是不是可以把 a 六求出来，对吧？那我们把 a 六求出来之后，那是不是进而根据正方形的性质，我们可以推出 b 六吧， 对吧？好，那我们现在来看题目，那我们现在看怎么解答？那我们现在开始尝试找一下 a 的 规律，首先因为首先因为我们这个直线是 y 等于 x 加一吧，那我们 x 等于零的时候， y 就 等于一吧， 对吧？好，那所以说我们这个我们现在就可以推，那我们就可以求出 a 一 a 一 a 一 的这个是重坐标， a 一 的横坐标，让我们看 a 一 的话，那横坐标应该是零吧？重坐标是不是零加一，我们带入到这个市子当中去吧，那就等于一吧。好，那我们看 a 二 a 二，我们看一下他的横坐标是不是应该变为一了吧？因为因为这个是正方形吧，对吧？这个稍微有一点不不规则，但是他还是正方形，这个图他可能不是特别规范， 那我们正坐标是不是一加一等于二，对吧？ a 三 a 三的横坐标是不是应该是一加二，对吧？我们这里是一吧，然后这一段是二吧，还有一加二， 那 a 三的横坐标应该是一加二等于三吧？那重坐标是不是三加一等于四，对吧？那我们 a 四，我们看一下 a 四的话，那是不是三吧？这，那这里应该是三吧， 对吧？那就是一加二加三等于一加二加三，不对，应该是一加二加四啊，因为我们这个 a 三 c 二应该是等于四的吧， 这应该是等于四啊，那说一加二加四应该是等于七吧，对吧？那我们的这个 b 四应该是等于我们的，等下，我看一下我们 b 四是不是应该就是等于我们的七加一等于八吧？ 好，那我们先把 a 一、 a 二、 a 三、 a 四的很重坐标都求出来之后，我们看能不能找到规律，那我们首先观察重作表，那这重作表我们看有没有规律，对吧？我们就，我们，我们怎么找规律呢？我们就观察他的数字变化，观察，我们就观察他们的数字变化， 观察这些数字的变化，一二、四、八，我们看有什么规律，我们能不能用一个四字总把它总结一下，但我发现他有个这个规律吧，一是不是等于二零次方？二是不是等于二十一次方？二十二次方吧，八是二十三次方吧？那他是，但他中这边应该是符合这个规律的吧， 对吧？那这个是不是现在就是二的零次方减一，这个就是二的一次方减一，二的二次方减一，二的三次方减一吧，对吧？那我是不是就可以根据这个，那我是不是可以推出 a n？ a n 应该是等于多少？是不是就是二的 n 减一次方，减一重置位，是不是应该是二的 n 减一次方，对吧？ 那我现在是不是就可以推出 a， 推出 a 六的坐标了？我们看能不能把 a 六的坐标推出来？好了，我们这边推导一下 a 六的坐标，好，到这边来了，到这边来了，那我们 a 六的话，那是不是就是二的六？二的六减一，是不是二的五次方？减一，然后它的重坐标 就是二的五次方减一吧，对吧？那应该是啊，二二二五次方，这应该是二的五次方，我写错了，二的五次方吧。好， 那所以说我们 a 六的坐标取出来吧。那我们 a 六的坐标取出来了吧？那 a 六的坐标取出来之后，我们怎么求？怎么推断出怎么求 b 六呢？大家根据我们这个后，根据我们这个正方形的规律，把 b 六的结果算出来， 把你们的答案打在评论区里面，大家可以观察我们这里正方形的结构。把 b 六算出来，我们 a 六已经算出来了，大家把 b 六算出来，把你们的答案打在评论区里面。下集评论区里面，我们我为你们解答 b 六的结果。好。
22刘哈哈数学
10:43查看AI文稿AI文稿hello， hello， 今天呢，王老师给大家带来一期特别的视频，什么视频呢？是八下以及中考常考的题型，也是重点，非常重点是一次函数里边的什么一次函数与不等式，还有二元一次方程组的关系。 今天呢，一次性给大家利用数形结合的思想去给它搞明白。记住，以后一考一次函数一定要记得画图。好吧，画了图以后才能够解出答案了。看第一个， 如果图一是直线 y 等于 k s 加 b 的 图像，他说当 x 什么的时候 y 等于零，通过图像看什么时候为零，什么时候 y 为零。我就问你们一次函数是怎么形成的？ 当时你们学长短与变量，以及一次一次学函数图像的时候怎么画出的函数图像，是不是有无数个点去组成的？这些点又怎么确定的？是因为你知道点的坐标了，所以才能才能在平面直角坐标系上画出来， 对不对？那现在 y 为零，老铁， y 为零，所以这条直线上是纵坐标为零，你就找纵坐标为零的点呗，哪个纵坐标为零？ 纵坐标为零在哪家轴上？横轴上纵坐标都为零吗？所以 x 等于几等于一时纵坐标不是为零吗？那他后面又问，当 x 什么的时候纵坐标是大于零的呢？你看 他说找纵坐标大于零吧，那纵坐标大于零说明怎么了？是不是？其他点的坐标咋了？但纵坐标是不是在横轴的上面对不对？这图像上哪些点的坐标 在横轴的上面？是不是从一的这半部分呀？对不对？那这半部分点你看是不是这样子落下来了？这些点 x 有 什么特征呢？ 是不是都比一什么的？横坐标都比，你看都比一，什么都比一小吧，所以小于一什么对不对？所以做这种题你要干嘛？需要描一描，明白了没？那什么时候 y 小 于零呢？重坐标小于零呢？ 在图像上看是在外在 x 的 什么下边吧？沿着这方图像，你看在 x 的 时候，下方的点是这样的，对不对？一是当 x 等于一的时候，在 x 轴上嘛，对不对？那这边你看，你落下来一定要记住，这道题一定要做 x 垂线才能看到横坐标。 发现和坐标都比一什么比一大吗？这个 s 大 于一。十会了没？很简单吧，那再看下一个呢？说当 x 什么的时候， k x 加 b 小 于二。哎呦， k x 加 b 小 于二。老铁， k x 加 b 是 谁？ y 等于 k x 加 b 是 不是 y 啊？ y 小 于二是说明让什么让点的，什么重坐标小于二吧？那点的重坐标小于二，说明比二什么？ 在二的哪？在二的下边吧。那看图里边哪个纵坐标是二？这个点的纵坐标是几？是不是二？那在二的下边是什么？这这半部分下面就都在二的下边呀， 对不对？纵坐标是都比二小，对吧？那说明咋了？它的横坐标有什么特点呢？你看都在零的哪边？都在零的右边吗？是不是 x 大 于零时？那什么时候纵坐标大于二呢？在二的什么上边吗？在二的上边不就完事了吗？ 对不对？纵坐标在二的上边，哪个部分超过二了？是这部分超过二了？这部分的横坐标有什么特点？都在零的哪边左边吗？这不小于零。 所以这种做这种题干嘛？你要先干嘛？分为几步法？你看第一步干嘛呢？要先理解图像，这个图像呢，是什么组成的？是由什么组成的？是由无数个点组成的，对不对？ 那些点又怎么确定的呢？是由点的坐标组成的。那说白了，找图像干嘛？就找点的坐标，这不是转换过来了吗？对不对？那找点的坐标的时候记住 一定要找零界点。你看这种题干嘛？先找到是 y 等于零的时候， y 等于零的时候，什么时候等于零呢？ x 等于一的时候，对不对？然后找大于零是在哪？重坐标大于零吧，就在零的上边，重坐标小于零呢，就在零的下边。会了没？就这种题， 然后再看下面第二问路途二当什么的时候， y 等于 y 二， y 一 和 y 二是什么？是不是两条直线？是两个解析式吧，对不对？那两条直线，老铁什么时候相等？ y 一 和 y 二， y 一 什么时候和 y 二相等？你看呗， y 一 是由是由 y 一 上面所有的点组成的，对吧？ y 二是由 y 二上面所有点组成的吧？那它俩如何相等呢？有共同点呀？有公共点啊。什么是有公共点？公共点两条直线。什么是有公共点？公共点不就叫交点吗？对不对？那上面有交点的时候什么有交点呢？那这不有交点吗？ 此时和坐标为几？此时焦点的和坐标 x 为负一嘛，对不对？负一的时候把一等于二都等于几？都等于二嘛，这不就完事了。 他又说什么时候把一小于外二，你看外一和外二是重坐标，对不对？那说白了， y 一 的中数标比 y 二的中数标咋了？小吧？什么时候开始小的呢？说明找到什么小于等于，先找到什么？先找到等于的一个点， 他俩相等什么时候相等呢？在这时候相等对不对？二的时候等于 y 一 等于 y 二的时候等于二，对吧？都等于二的时候，他俩相等吧。那 y 一 比 y 二小呢？说明咋了？他没超过二在二的下，甚至二的什么下边吗？ 这这半部分你看在二的下边的时候，你看 y 一 都比 y 二，咋了？都比 y 二低吗？比 y 二低对不对？那这半部分你看 s 有 什么特点呢？都在负一的哪边右边把 s 大 于负一时大于等于，现在有等于号吗？对不对？那什么时候 y 大 于 y 大 于 y 呢？ 是不是 y 一 的纵坐标比 y 二高呀？比 y 二大呀？在图像上怎么体现呢？ y 一 比 y 二高，但是还要找到什么？找到它们相等的点，临界点， 所以以后记住，这种比大小的干嘛？先找到相等的点，临界点就好找了。 y 一 比 y 二大，对不对？ y 一 比 y 二高，从这你看 什么时候相等呢？都等于二的时候，说明咋了？ y 一 比 y 二大吗？要比比二大吗？对不对？在二的上边，你看这不从这相等点以后， y 一 在这， y 一 永远比 y 二高呀，对不对？所以 x 这半部分有什么特点呢？你看做垂线都在负一的哪边左边吧，小于负一就这么简单啊， 会了吧，这个下一个，他说直线 y 一 和 y 二，对吧？在同一平面，平面直角坐标系中，让你方程组，方程组，什么叫方程组？是不两个方程的公共解对不对？那两个方程的公共解如果放在一次函数或者是坐标里边呢？是什么？ 是两条图像什么？共同满足的一个解吧？共同满足的解，什么时候共同满足？说这个点的坐标既满足一又满足二，说明咋了？ 不就是和上面一道题相等，和上道题一样吗？是什么？他俩交点的时候呀？公共点公共点的坐标怎么了？既在 l 一 上，也在 l 二上， 对不对？以后？所以找方程组的解，通过数形结合，干嘛？就找他俩的交点的横坐标就行，横中坐标就行了。所以这不交点的横坐标吗？ f 等于几负二， y 等于几三，就这么简单。 然后下一步说，让你说这个 k 二 s 比这个 k 一 s 加 b 大， 对不对？说明咋了？这不是吗？ y 二大于 y 一， 你找两个函数的大比较大小的时候要干嘛？找零界点吧，什么时候相等呢？找到我们相等在这轴线呢，对不对？ y 二比 y 一 大，说明咋了？ y 二永远比 y 一 怎么了？高吧？ y 二比 y 一 高，怎么是哪一个呀？ y 二比 y 一 高，这是临界点，对不对？ y 二比 y 一 高，这不是 y 二，这是 y 一 比它高呀，对不对？对吧 对吧？临界点是三吗？说明他怎么了？都大于三吗？对不对？你要生存到临界点，你们这这个应该能懂吧？在三的上面对不对？肯定要考虑三的下上面，你们千万不要这样，考虑 考虑三的下，如果考虑三的下边的话就错了，如果考虑三的右边的话也不行。你要是大于三吗？大于三的话只能是三的上面，对不对？这半部分是三的上面对不对？这半部分不就完事了吗？那这半部分有什么特点呢？ 哎，不不不，我说错了，考虑三的上面的话，你看怎么找怎么找呢？如果你要是刚才是这样找的话就是错了，为什么说错了呢？这样的话就是什么？就是，嗯，虽然是都在三的上面，但咋了？ 我要找什么？找的是对对对应的吧？就是他们在一个范围里边，这个应该能懂吧？就是刚才一模一样，在一个范围里边应该是什么？在三的上面对不对？在三的上面的一个点在一个范围，什么叫在一个范围里边啊？就是在公共点 公共点的同一侧比较，而我刚才是什么，你看 l 一 和 l 三对不对？ l 一 和 l 二他俩如果都在上面的话，这是什么？在公共点的预测了就不行了，所以干嘛？所以你要找的时候一定要认真思考啊，在三的上面对不对？ 外二肯定是在三，要找外二大于三的对不对？外二大于三这部分外二大于三对不对？在三的上面以后外二大于三的话，你看这不是 l 一 就出来了吗？什么时候呢？在负二的左边吗？这个 s 小 于负二就会了吗？ 对不对？如果要是到底变一变呢？如果这改成小于号呢？小于号的话就是什么？外二小于外一对不对？外二小于外一的话，就说明外二在哪？外二在一的外，外二在三的 下边对不对？而外一呢？在三的上边，这样这样不是好找了吗？你要去理解明白不？然后呢？所以这部分是落在哪呢？负二的右边吗？ 对不对？而现在呢，是问的是 k， 二大于 k 就是 y 二大于 y 一， 对不对？大于对吧？是不是在三的上边呀？找理解点。这三的上边， y 二在三的上边，对不对？ y 一 在三的哪 下边吗？这不是他在外，二在三的上边， y 一 在在三的下边。是这半部分符号吗？会了没？你要去理解。好吧，那么今天就到这里了，谢谢大家。古德拜。
46讲数学的王老师
02:17查看AI文稿AI文稿我们来看一道关于一次函数定义的题目，如果 y 等于 m 减二， x 的 m 方减三次方啊，加二是一次函数，那么 m 的 值是多少？ 那我们先回忆一下啊，什么是一次函数啊？我们课本上告诉了我们， y 等于 k， x 加 b， 诸如此类的，它就叫一次函数啊，其中呢， k 它不能等于零， 那么这里面为什么叫一次函数，不叫二次函数，三次函数啊？哎，大家知道是这个自变量 x 的 次数啊，它是一啊， 不是二，不是三，所以这里面实际上给我们提供了两个信息，从定义上来讲，那第一个信息呢，就是 m 减二啊，大家看一下，这个 m 减二呢，它是 x 的 系数啊， k 啊，也就是 k， 它不能等于零，那么对应的就是 m 减二不能等于零。 那第二一个呢，就是这个自变量 x 的 次数啊，是一，那也就是 m 方减三要等于一， 在这里面我们去解一下，那么通过解第一个呢，肯定是 m 不 能等于二， 那第二个我们看啊， m 方减三等于一， m 方减三等于一，那 m 方是不是就等于四啊？那 m 等于几呢？哎，它可以等于正负二啊，都可以，所以这里面 m 等于正负二， 好，两个都要满足。这里面我们看到 m 不 能等于正二，那也就是说 m 它要等于负二啊，所以 m 的 值就是负二。 所以说对于这种一次函数的定义的题目啊，让我们判断它是不是一次函数，我们就看一下其中的两个条件能否满足，第一个就是 k， 它不能等于零。 第二一个呢，就是这个自变量 x， 它的次数啊，要是一啊，其他的都不可以，所以说我们不管他出什么样的式子啊，我们只要抓住这两点啊，去解这两点， 就可以得出对应的函数的值了。如果大家觉得我的视频有帮助啊，欢迎大家关注点赞收藏。
54冉老师
01:31查看AI文稿AI文稿这种一次函数图像题，百分之九十的同学都会看错，教你一招满分逻辑，直接秒杀看题。直线 y 等于 k x 加 b 于直线 y 等于 k b x， 它们在同一坐标系中，它的图像大致应该是什么样子的？这题它的方法就是看一次函数，去定 k 和 b 的 取之范围，然后再去算 k b 的 符号，去匹配正比例函数。首先先看 答案， a， 我 们先看他的一次函数，一次函数，从图像上看，他是过一、三项线，过一三项线，那说明 k 应该是大于零。 另外，它与 y 轴交于 y 轴的负半轴，说明 b 应该是小于零，那我们就可以得到，由它可以推出 k 乘 b 应该是小于零。如果 kb 小 于零，那正比例函数应该是过二、四象限。题目里面正好过的是二、四象限，说明 a 选项正确。再看二、 b 错误选项， 还是先去确定一次函数，从一次函数上它过的是二、四象限，说明 k 应该是小于零。再看它与外轴交于外轴的正半轴。 b 大 于零，那可以推出 kb 应该是小于零，那正比例函数就应该是二四象限。再看 c 选项，还是先看一次函数， 它是过一三象限。 k 大 于零，与外轴交于正半轴。 b 大 于零，那可以推出 k 乘 b 应该过一、三象限，而题目里面它的正比例函数过的是二、四象限。四 d 选项 先看一次函数，一次函数的它是过一、三项线，那 k 大 于零。另外，它与外周交于外周的负半周。 b 小 于零，它可以推出 k 乘 b 应该是小于零，那就可以得到正比例函数，它应该是过二、四项线，而题目里面的正比例函数过一三项线，听懂的同学扣六六六。想看更多题型点关注！
00:22查看AI文稿AI文稿初中的一次函数和正比例函数中考必考的知识点和万能解题技巧已经给大家整理好了，大家拿着用就可以了。
