初中平面几何
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02:54查看AI文稿AI文稿主播刷抖音时，刷到一道初中几何题，正方形边长为四圆，半径为二， p 为圆上移动点，求 p c 加 p b 最小值。主播一下子想到了以 a b 为焦点的椭圆与圆相切， 但这是初中几何，没学圆锥曲线。于是主播重新想了初中方法，把三角形 a p b 顺时针旋转九十度， b 撇撇撇等于 b， p p 撇等于二背。根号二， 求 p a 加 p b 最小值转化为 p a 加 p p 撇加 p p b 的 最小值，贡献时取得最小值 c b 撇再减去 p p 撇得四倍，根号五减二倍根号二。 主播准备发评论区时，突然发现不对， c b 撇与圆的两个焦点所张的圆心角不是九十度，也就是说 c p p 撇 b 撇四点不贡献不能取等 证明了这个最小值严格大于四倍，根号五减二倍根号二。主播看见评论区有人用其他方法算出这个错误值，看上去很有道理，但也是在最后强行让 o f p b 四点贡献，实际 o f p b 也不能四点贡 献。主播用 mate lab 计算最小值，并与之前得到的错误值比较，果然比错误值大。主播去搜了类似的题， 搜到一个跟评论区方法类似的手拉手，最后也是贡献时取得最小值，看它的图，貌似能贡献。我自己画了图，感觉还是不能贡献它。这里很容易得到三角形 a p p 撇是等边三角形，我们只需要验证 o p p p 不 贡献时，角 a p p b 是 否是六十度 连立直线和圆，解出 p p 坐标，再用向量 p p a 和 p p b 点乘就可以验证。主播懒得算，用 matlab 验证了角 a p p b 确实不等于六十度，也就是 o p p p b 不 能四点共线，最小值大于它算出的错误值。 换种直观的方式，我们连接 o p b， 把 p p 逆时针转六十度回去，看看 p 是 否与直线 o p b 与圆的交点， p 二重合， 放大看并不重合。我们在用椭圆相切的方法计算最小值，与它算的值比较可以看到它的值并不是真正的最小值，因为不能取等，所以小于真实的最小值。 主包去搜了古堡朝圣问题竞赛书，给的方法类似光的反射，其实这就是椭圆的光学性质，它和主包说的椭圆与圆相切是等价的， 所以我们用 matlab 算的值才是对的。这些几何方法看似很巧妙，把已知的线段转化为另一个线段，通过贡献来取最小值，但它们却忽略了能不能贡献将军引马这类转化后没有任何限制条件，可以直接贡献。但古堡朝圣问题 背后的刮豆原理有夹角固定的限制，导致不能四点共线，用这种方法算出的最小值就会小于真实的最小值。所以遇到这类问题还是连力椭圆与圆，但是计算量很大，初中生也没学过，所以不学竞赛的可以不用考虑这类题。
2872🌈茉莉🌈
00:56查看AI文稿AI文稿就最近有带九年级的几何压轴题，发现有些题我真的做不了了。不是说这个题我不会做，做不对，这题我会做。用高中解析几何的方法我能做，但是用初中的几何法，用那种连几条辅助线的方法真的有时候想不出来。 常见的模型其实我都会，什么手拉手啊，胡不归啊，阿波里斯啊我都会，但是不是所有的题都能用。最让我不能接受的一点就是有些题他确实是需要这么连辅助线，但是为什么要连这么两条线？为什么要做这两条辅助线？他没有道理。幸好有一点啊，几 何压轴题一般都是填空题的，最后一题不要求过程，所以可以用解析几何的方法，所以我也教了一些学生简单的解析几何的方法。 第二点就是中考的几何压轴大起，呃，大多数是不是不是很难，或者不需要太复杂的一个辅助线？作为一个初高中都带啊？高中为主的老师，我可以负责任说初中的平面几何的难度可以是没有上限的。
6860荆州钟老师
01:53查看AI文稿AI文稿初中平面几何怎么把那些难题做出来？首先先把基础打得很扎实，这是第一步，怎么打扎实基础呢？基本定律的推导，你要会吧？基本定律的证明，你要会吧？基本定律之间是啥关系？你要会吧，就这个东西最好，你能做到，我自己拿个纸笔去画画图，然后我能写证明就这个东西你要把它做出来， 这表明你基础上应该是差不多，同时要做俯卧撑与练习。然后第二个方向就是什么呢？中等题和拔高题到底咋做？其实在平面几何这个地方，就以我们现在的这种考试，它变得越来越复杂。说句实话，你真的是要掌握一些模型呢，模型呢其实就是一些典型的结构，比如说我们说到拉手，拉手里面其实有一些结论，比如说 这个拉手线是不应该是一样长，拉手线的夹角到底是咋回事？就等等啊，就类似于这些东西，其实大家如果把它掌握了以后，你在考试的时候就能快速的反应上来，然后你就能考出来高分。对于这些模型的掌握呢，我们希望就是大家能够不要就题论题， 就是你看到这道题之后，你要能够知道它背后的这个东西是啥，要掌握这个题型的方法，然后再去做各种各样的题，我觉得这个是对大家来说题是最有帮助的一个点。最后教大家一招，怎么把这种复杂的模型能够快速的掌握，就是你做一堆这种题，然后做完之后你再把这题翻出来， 翻出来之后因为这些题你基本都有印象，就是你做一件事这个快速连辅助线，比如我一次连三十道都很难，但是一定是你原来做过的， 你去想一想，你可以试一下，你会发现你一开始是真的想不到的，这个东西要隔几天再试一下，隔几天再试一下，做多了以后你的速度就会越来越快。你像考场上的时候，比如见到这种很难的题，练数线你也能练出来。我是高考学员，满分成小黑，教了一万三千小时数学班课，今天呢给大家 准备了一个东西，我把我教了十五年的数学的经验，还有对于提分考试的规划的认知，筑成了一个家长认知课，长达四个小时啊，希望能够帮到大家。
26讲数学的陈老师
00:54查看AI文稿AI文稿初中数学有一个很奇怪的现象，就是平面几何他是重点，但是到了高中以后就基本上用不上了。原因很简单，因为初中生他接受能力有限，大部分只能通过看得见的图形来锻炼 从形象感知到逻辑推理的能力。但是现实平面几何差不多就是已经死亡的数学分支了，与后续的数学没有太大的关系。所以很多孩子到了高中就不行了，什么几何模型学了一大堆， 几乎没有任何的用。所以我的建议是，平面几何的学习应付中考足够了。现代数学的方向是抽象化、 功利化和符号化，他摆脱了具体图像的束缚，需要构建更高维、更复杂空间的通用理论。如果有能力的学生，那么可以在代数上多花点功夫，甚至刷一下初中的小蓝本，这对以后的学习是非常有帮助的。
622白胡子小男孩
01:54查看AI文稿AI文稿求证 p d 是 切线，其实第一问就是弦切角定力的一个运用，但是我们不知道这个定力也没有关系。第一问，同样可以很快解答。 要证明是切线，就需要证明这里是直角，要证明它是直角，已经有一部分是可以进行转化的，我们就把它分成两部分， 其中的 c、 b， d 把它转化成 c a b， 这样就可以得到一个更加集中于已知量的式子， 而 o a b， 也就是这里的 c a b 应该是等于 o b a 的， 这两个加在一起就是九十度。 第二问， a m 方等于 o m 乘以 p m， 这很明显是相似等比式交叉相乘后得到的结果。而且 a m 等于 o m 乘以 p m， 就是 瞬移定律的结论。但是我们先不管那么多， 要想证明这两个三角形相似，就能证明这个结论，那要证明相似，这里直角看起来很像，而且如果是直角的话，那这两个角也是相等的，三个角都相等，直接可以推出相似。关键就是这里是不是直角，肯定是啊，因为对称， 对称就是中垂线，这两个是切线长定里也相等，所以就有中垂线的结论。 得到了这里的直角，首先就有一组角相等，还有它 和它是互余的，而这两个角呢？因为这十直角也是互余的，所以这个 o a m 就 等于 a p o 就 可以证明出来相似。
48小阿文数学
03:54查看AI文稿AI文稿几何题中要证明切线都有什么方法呢？在圆 o 中， o d 垂直于 a c 与点 d， a p 为圆 o 的 切线，求证 p c 也是圆 o 的 切线。那要证明切线，我们一般学过的就是距离或者是垂直， 如果是垂直，就是大家非常熟悉的切线定律，而如果是距离呢，就是定义，如果一个线和圆心的距离是半径 r， 那 么就说明它是切线。 但是这两种方法用哪种呢？正垂直的方法相对来说应该是比较多的，所以我们一般选择用垂直。想要证明这里的垂直， 那我们怎么考虑啊？应该需要连上半径，不然根本就没有东西跟它垂直，这样子才能有东西证明跟它垂直。现在要证明它垂直，但是已知条件偏这里的比较多，所以可以把它转化成其角是 p c o， 而显然这里有一个切线，切线翻译出垂直，只需要证明这两个角相等即可。 o a 等于 o c， 半径相等， o p 等于 o p 是 同一个线段， a o p 等于 p o c a o p 等于 p o c， 这个是很显然的，因为这里是等腰三角形，正垂直，三线合一，所以这两个相等。既然有了边边角，可以推出什么全等， 进而可得 o c p 为直角，所以不用把它转换成这边，就直接 o c p 是 直角就垂直嘛，就是切线定律。如果 c a b 是 三十度， a p 是 十，求 b f， 这里是十半径就是五。题目中如果告诉我一些可以直接求出半径的东西，肯定需要标上半径，要求 b f。 我们这时候发现，能不能把 b f 这个线段稍微进行一些转化，而且也可以看到这五五五这三个大概是相等的，但是 b、 f 的 右边需要集中把它放到左边去， 怎么把它放到左边去呢？大家想一想啊， b、 f 能不能把它通过一些什么全等啊？等边和半径建立联系，因为半径就在左边，所以这样子应该是可以 直径所对应的圆周角是九十度， a、 c、 b 是 九十度，这里是三十度，所以这里就是六十度。 而且还有什么呢？这里三十度，也可以把它看作是 c、 e、 b 这条弦所作用的圆周角，所以圆形角 c、 o、 b 应该是 c、 a、 b 的 二倍， 这下就不叫好转化了，因为 c、 o、 b 和 c、 b、 o 都是六十度，两个六十度的三角形肯定是等边三角形，这三条边都是相等的，所以应该都等于半径， 这是已经得到了许多角的条件，而且通过角可以发现转边是比较好转的。继续来求一些角， 显然我们这里的三十度能不能把它转到右边去，如果能转化的话，这两个相等等压三角形应该是比较好做的，所以考虑把三十度进行转换， 这样子实现了这个三十度的等角转化，此时就已经几乎就要站完了，因为这里是三十度，这里是六十度，九十度，这是五，所以这里就是十。
42小阿文数学
02:14查看AI文稿AI文稿不光见到等腰，要想三线合一，见到三线合一，也要相等腰。在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于十， a、 c 等于四， a、 d 是 a、 b、 c 的 中线， a、 e 是 平分线， c、 f 垂直于 a、 e， 则 d、 f 等于什么？ 首先，这里有中线，有平分线，还有垂线，这很明显是三线，我们就采取用这里的垂线和平分线来做，这是一个模型， 如果这里是角平分线，这里还做了垂直，就可以通过角平分线和垂直就是三线合一中的两线。三线中只要有两线，就可以说明这个是等腰三角形，这两条边是相等的。 既然是等腰三角形，就可以再推出一些结论。首先这里只有两线，判断出来等腰三角形，自然会想到第三线也是合一的，这是中线，这两个应该相等。 还有等腰三角形，自然两个腰相等，这里是四。 这时候来看 d、 f， 它可以包括在一个三角形中，是 b、 g、 c， 这是终点，这里也是终点，所以 d、 f 是 三角形。 g、 b、 c 的 中位线， 中位线的长度是底边的一半，先求出 b、 g、 b、 g 等于六，又因为 b、 d 等于 d、 c， 所以 d、 f 等于二分之一， b、 g 底边长的一半。 这道题是不难的，但是关键想让大家知道，不光见到等腰，想三线合一，见到三线合一，也要想等腰。
67小阿文数学
19:49查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们就来讲中考数学最后十讲这样一个系列课程的收官之作。最后一讲尺规作图精讲尺规作图可以说是中考数学必考的内容了，还是老规矩，我呢已经把全套的资料给大家备齐了， 大家只需要先获得资料以后再来学习，这样的话学习效率才是最高的。本讲内容啊，分成两部分，第一部分就是尺规作图的基本方法，这个我说一下，一共是讲多少种呢？讲七种基本的方法， 那么中考考到的都是这七种的排列组合。那么第二部分就是尺规作图在中考中的考察了，就是去年的中考原题。 好了，我们先来看第一部分，那么接下来我们看这个基础篇啊，基础篇的话，第一个就是做一条线段，等于已知的线段 a b， 那 么怎么做呢？你要注意的是尺规作图里边这把尺子呢，你要当成没有刻度的尺子，它只能用来连线。 那么画完之后的话，咱们可以点一个点，比如说左边这个点叫点 c， 当然你做的时候一定要用铅笔啊，我找不到铅笔了，那么我们只需要怎么办呢？你截取长度的话，用的是谁？用的是圆规啊？看好了， 圆规是吧，那么就这么长。然后呢到 c 点这保留作图痕迹。好了，这个点 d 啊，就是刚刚画的这条直线上的交点，这样的话不就保证了 c d 等于 ab 吗？好了，做完了， 那么来看另外一个，另外一个的话就是做一个角，等于已知的这个角我先告诉你原理，原理是什么呢？原理事实上就是边边边的三角形全等怎么画？我画到右边吧，右边呢，先画一条边， 没问题。那么画完这条边以后的话，咱们还是比如说这是 abc， 这就写成 c 吧，然后继续哈，现在注意了，我用圆规它这个半径，它是不变的哈，我没有动过它， 这来一下，这来一下，然后焦点分别是多少呢？那左边的焦点你就写成 a m、 a n 呗。那么显然你可以截取这个 a n 的 长度，是不是 a n 的 长度等于接下来的 谁的长度？等于接下来的 cd 的 长度？好，此时 c d 和谁一样长？和我们的 a n 是 一样长的。然后接下来干嘛呀？然后你首先你把这个弧给做出来不就可以了吗？你可以把完整的弧给做出来的，你画长一些没关系的。 那做完这一条之后，咱们再比比长度 m n 吧，左边这个长度看好了啊，这个是 m， 这个是 n， 咱们比一下。哎，长度正好是这么长，哎，稍微有点手抖了，那行吧，点到这不要动，然后呢，它呀， 稍微长一点点， ok 了。那么接下来咱们以点 d 为圆心，以刚才 m n 的 长度为半径，做一条弧，跟原来的弧 是交于哪的？是交于点点 e 的。 那么现在我们就只需要做什么了，只需要 延长 c e 就 可以了。那么在刚才做图的过程中，其实咱们都是保证了什么呢？当然了，这个给他显眼一点，刚才在做图的过程中，我们已经保证了 a n 等于 cd。 然后呢，你再顺便连接一下 d e， d e 的 长度和左边这个图里头 他这个 m n 的 长度其实是怎么样的？是一样长的，然后他也一样长， 是不是？然后根据边边边的三角形全懂，你说此时的角 a 是 否等于角 c？ 当然等于了，好了，做完了，那么再来看，一定要把基础的先学好。那么接下来就是第三个， 你能不能做出来 ab 的 中垂线啊？能呀，其实你找中点和做中垂线，它的方法是完完全全一模一样的，你只需要以点 a 为圆心，以点 b 为圆心，然后以大于二分之一的 ab 的 长度为半径 做弧，或者说你把完整的圆做出来也行，咱们就做弧就行了，然后你看半径是没有变的。 好，上面这个焦点，咱们比如说就写成 m 点，然后下边这个焦点呢，就写成 n 点，因为刚才半径没有变，所以 m a 等于 mb， 然后 na 等于 nb， 所以 点 m 点 n 都在 ab 的 重垂线上，两个不同点，当然就把这个唯一的重垂线给做出来了，你看这不就结束了吗？这就是保留做错痕迹。那么我们继续来看哪一个呢？ 第四个，第四个的话是谁是做出已知角的角平分线？他的道理我也告诉你，是边边边的全等，来吧，做出已知角的角平分线需要怎么处理啊？看好了，看好了，我们只需要这样 来，半径始终都是没有变的啊，继续好，半径也是始终没有变，从始至终都是一个半径， 长度是没有改变过的，当然了，这一边咱们再画的长一些。好，那么刚才的过程中啊，咱们标一下点，比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，这个焦点咱们写成点 p 吧。那么连接 ap 之后，其实你要想拿满分，你这个时候只用做出 ap 这条射线来，你告诉他，如图， ap 就是 角平分线了，但原因的话，咱们也大概说一下，为什么呀？ 原因很简单呀，因为刚才你半径都没有变的，半径没有变不就代表 a c 还有 a， b 还有 b， p 还有 c， p 的 长度都一样，中间还是个公边，你说边边边上下 a， c， p 和 ab p 是 不是全等？所以角一都就等于角二了，清楚了吧。好，这就没什么问题了。那么继续再来看接下来的哪个图呢？ 好，看到了吧，这个图他说的是过已知直线上的一个点，做出垂线。来吧，来吧，看好了，咱们以点 a 为圆心做一个圆， 其实你只用做圆的一部分，左边有个交点，右边根直线也有一个交点，然后左边这个交点，比如说咱们既为点 b， 右边这个交点既为点 c， 那 接下来做中垂线不就够了吗？是吧？你做出 bc 的 中垂线，那剩下应该就不用多说什么了吧？我直接把这个作图痕迹给大家 表示出来看好了。这这然后呢？以点 b 为圆心，半径不变的啊。 那么此时，比如说上边这个焦点是 m 点，然后下面这个焦点是点 n， 那 么你的直尺没有刻度的直尺就有用了。那只需要干嘛了？只需要连接 m n。 好 了，这不就是过点 a 把这条垂线做出来了吗？那么还有，如果点 a 在 哪？ 如果点 a 在 外部呢？看第六个，如果点 a 在 外部的话，就会形成这样一个情况。呃，哦，现在是点屁啊，过直线 l y 的 点屁做他的垂线怎么做？来吧，我就先不提示了，我直接告诉你，这样， 你以点 p 为圆心做弧，左边跟直线 l 交于一点，右边跟直线 l 呢？也交于一点，是不是？那继续保持不变啊？左边这个焦点继续了，搬进我从始至终其实都没有变过的， 然后左边这个焦点以它为圆来，刚才一不小心啊，我把这个做出来有点好，对，现在可以了。 好，然后呢，半径千万不要变，手不要抖，那不就做完了吗？因为刚才在做的过程中，你半径始终不变，你可以保证 p a 是 等于 p b 的， 然后并且都等于 a q 和 b q， 那 么此时 p q 是 不是就是 ab 的 中垂线？实际上 p q 就是 垂直于直线 l 的？ 那最后一步的话，你只需要保留做错痕迹，连接 p q 这条直线，告诉他 p q 这条垂线就做出来了。那当然了，还是跟垂直有关的，还是用了一下小小的中垂线的这样一个性质。那么最后一个的话，就跟平行有关了，咱们不要光会做这样一个垂线，还得会做平行线。 那么平行线怎么去做呢？考虑一下最后一个，我们可以这么来处理，方法很多啊，因为什么呢？平行线它可以内错角相等，所以平行互补不好做啊。那就用相等也可以同位角是吧？要么同位角，要么内错角。 来吧，咱们随便寻找一个点 n 在 原来的直线 l 上，比如说寻找完这个点 n 之后的话，此时我们这个角一， 它是不是一个固定的呀？那肯定是一个固定的，值嘛？那于是呢，我们只需要过点屁哎，把它另外一个方向上的内错角给画出来就行了，这个套路是固定的，所以我就给大家说了，好，这是有的，没问题吧？ 好，这也是有的，那我们过点屁，半径不变做出来， 那么做完之后还有一条，你还是利用边边边吧。其实刚才我写到这的话，大家应该都清楚了，比如说这是 a， 这是 b， 然后你还得怎么样，你还得让，哎，我知道了，所以我接下来我量一下这个 a b 的 长度，这不就是圆规的作用了吗？ 对，就是这么长了，那么接下来我就做好了。刚才在画的过程中啊， 我们已经能够保证什么 ab 是 等于 qm 了。对啊，你连接一下 qm， 其实连不连 qm 都行，你要是想得满分的话，这个时候你直接保留作图痕迹，然后 做出直线 pm 来就行。因为刚才的话，你根据边边边已经能够保证谁了，已经能够保证角一等于角二了，角一等等于角二啊，你说图中的 pm 是 不是平行于 l 的？ 好了，这不就把平行线做出来了吗？ 那么接下来咱们做一个中考原题吧，是关于作图的啊，这个尺规作图真的很重要，做一下哪道题呢？看一下这道题，这是去年的哪的青岛的原题，他怎么说的？他说如图， 点 d 他 是在哪的？看清楚了，点 d 是 在角 a o b 的 内部，他挺有意思，他是做一个等腰三角形， o c 等于 o e， 但是啊，你还得怎么样？点 c 是 在射线 o e 上， 然后点 e 呢？是在射线 o b 上，你还必须保证谁点 d 在 什么上面，点 d 必须正好在这个 c e 上面，这就有难度了，你要只做等腰三角形，特别简单，但是怎样能够保证这个点 d 在 c e 上面呢？ 这个时候它的综合性就很强了。这道题我相信去年应该有不少同学丢了分，我告诉你怎么做，我们这么来处理，首先，反正是个等腰三角形， o c 等于 o e 嘛，我做不出来。等腰三角形，我做不出来这个 o c 等于 o e。 但是呢，我可以做一个 o m 等于 o n 啊， 这个还是相当轻松的，对吧？那么这种情况下，我就直接连接了，看好了，连接这个 m n， 好， 这个是 m， 这个是 n， 反正这个 o m 是 等于 o n 的， o m 等于 o n， o c 等于 o e。 嗨，你应该知道我的意思了吧？事实上，我想说的是，这个 c e 你 做完之后是平行于 m n 的， 因为都是等腰三角形嘛， 所以它俩是平行的啊，它的底角相等，对不对？你比如说这个地方，你把 c e 做出来，是吧？那平行怎么做？平行的话我跟你说呀，来吧，我们只需要连接一下 m d， 当然你要非要连接这个 n d 也行，没问题。 那么接下来我们只需要构造这个角一等于另外一个内错角，角二就行了。过点地向上做一个角二，跟角一相等，那样的话，平行线不就做出来了吗？所以，于是呢，怎么做？来吧，就是做相等的角这样一个固定的套路了， 这个就不多说了，直接来，咱们是以 m 点为圆心， 做了这一段弧，是吧？然后我以点 d 为圆心呢，我也把这段弧给做出来。那么做完之后的话，行了，那么接下来的话，咱们就需要让这个 p q 的 长度正好等于图中的这个 h i 的 长度了，是吧？你看啊，这个 i 点怎么确定下来？就是这样确定下来的呀， 来，继续做弧，做完了，这就是我们要的这样一个点 i， 是 不是那么点 i 有 了？哎，那么我们只需要连接做出这个直线 d i 来就可以了吧？ 好了，上边就是点 e， 下边呢就是点 f。 刚才你看咱们第一步是什么？先做出等腰三角形 o m 等于 o n 来， 然后再做出 m n 平行于 e f 来。哎，连接 m d， 通过角一角二内错角相等，做完平行就够了。所以你看，你不仅要会做垂直，还得会做平行才可以啊， 这是利益行。刚刚讲的题呢，都是告诉你怎么去保留作图痕迹，用尺规作图的方法把这个具体的图形给画出来。 那么现在变了，就是先告诉你尺规作图的过程，然后问一些问题，比如说这道题它是怎么回事的呢？首先告诉你图中这个 b a c 这样一个角度是三十度， b a c 这三个点都在同一个圆圆 o 上， o 点是圆心。 然后又怎么说？他说分别以点 a 点 b 为圆心，以大于二分之一的 a b。 呃，它的长度为半径作弧，两弧交于 m n， 那 么此时直线 m n 是 谁呀？ 直线 m n 实际上它就是 ab 的 垂直平分线，或者叫中垂线，这是一个意思。那既然做完这个的话，接下来他问什么？他说的是让你求一下图中谁的角度啊？让你求一下图中 a o e 的 角度， 那 a o e 的 话，也许不太好求，但是 a b e 很好求，为什么？因为 a o e 他是圆心角啊，同弧所对的圆周角，那你说是不是存在这样一个二倍的关系？所以我们只需要求出来 a、 b、 e 就 行了。 a、 b、 e 请你告诉我是等于多长的？这个太好算了啊，我们只需要怎么算？你看，因为 d、 a 是 等于什么的？是等于 谁的等于 d、 b 的 吗？为什么 d、 a 等于 d、 b 啊？因为你点 d 是 在中垂线上的，所以中垂线上的点到两个端点距离相等，它俩相等的话，所以就可以得出来角 b、 a、 d 是 等于角 d、 b、 a 的， 它都是等于多少度啊？ 它都是等于三十度的。哎，原来最终答案等于二乘三十度啊，是不是 a、 b、 e 和谁呢？ a、 b， e 和 d b a 这不同一个角吗？所以最终答案是六十度，选 c 就 可以了。 那么再来看一道题，济南去年的中考卷题也是吃亏作图，你先看第一部分是干嘛呢？第一部分是在 c、 a、 c、 b 上分别截取 c、 m， 它，然后 c m 等于 c n 啊，好，然后呢，以 m 和 n 为圆心，大于二分之一的 m， n 为半径作弧，这不就是做角盆盆线吗？然后延长 co 之后啊，跟 ab 交于点 d， 所以 图中我们的角一和角二是相等的，所以它是告诉你什么圈一，这个步骤就是告诉你 cd 平分角 a、 c、 b。 行了，我们看圈二，圈二的话，它是分别以点 c 和点 d 为圆心，以大于二分之一的 c、 d 为半径。这不就是哦，交于 p、 q 两点，那此时 p、 q 不 就是中垂线吗？咱们说清楚谁是中垂线啊？ p、 q 它就是 c、 d 这条线段的中垂线。然后呢，这个中垂线分别交于什么点啊？这个中垂线跟 c、 b 交于 f， 然后呢？跟 c a 交于点 e， 那 么现在好了，既然有中垂线，你说中垂线最重要的是什么？中垂线最重要的特点就是中垂线上的点到 线段，两段点距离相等啊，所以当我连接这个 d e 之后的话，它只需要连接 d e 啊。对于这道题，那么此时根据中垂线的点到线段，两段点距离相等， 那么做完这些之后够了吗？还不够，角一等于角二吧？对啊，然后那继续了，角一等于角三吧。所以为什么角一等于角三啊？因为等边对等角啊，然后继续， 又因为角一等于角二，这是圈一做图的过程得出来的，所以传递一下我们图中角谁，这个角二是等于角三的？角二等于角三，角二，角三是什么角？它是内错角相等吧，内错角相等， 两直线平行吧，所以图中就得出来了， d e 是 平行于 bc 的， 平行不就是得相似吗？三角形 a d e， 它是相似于三角形 abc 的， 那么接下来就肯定可以出答案了。那行吧，我们先来看什么？ 先来看一下此时咱们的 a d 比上 ab， 一个是四，一个是六啊， 因为这个题目中是告诉你的嘛，这个长度，那么继续了，它还等，这其实就是相似比啊，四比六，它还等于 d e 再比上 bc 吧。那 bc 的 长度知道吗？知道的啊，实际上就是四比六等于 bc。 bc 是 谁？ bc 是 三倍根号二。那太好了，所以我们可以很快算出来 d e 的 长度，它是等于多少的？它是等于二倍根号二的。行，把 d e 算出来了。 那么算完 d e 之后的话，我想告诉你的是，你这个 c e 和 d e 不是 相等啊，他就都等于二倍根号二倍。那于是最终结果已经出来了，谁还是等于四比六啊？其实还有什么？还有 a e 比上 a c， 它也是等于四比六的。二比三嘛，其实也就相当于 a e。 再来一个 a e 加上 c e 吧。但是 c e 长度咱们已经知道了，咱们直接把这个 c e 写成二倍根号二，它等于 四比六，所以最终咱们 a e 可以 算出来 a e 等于多少，它是等于四倍根号二的。所以这道题的答案就是四倍根号二。那么应该学会了啊，一定要记得领取资料之后，然后再来学习，这样效率最高。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！
1039会放羊的教书匠
03:34查看AI文稿AI文稿线段分散，需要把它们集中在一起。问，三角形 e、 d、 f 的 周长是什么？这里是二，这里是四十五度， e、 d、 f 是 这三段相加，这三段是首尾相连的，但是它们并不在一个直线上，所以不那么好求， 所以可以说在求周长上，他们三个是分段的，虽然他们三个看起来在一起，但是没法求啊，所以我们需要把它集中在一条直线上，或者两条直线上，两条已知的直线上。 还有这里四十五度，这是一个正方形，四十五度是九十度的一半，这就是半角模型。当然学几何也不一定非得记那么多的模型， 就看这里是一半一半，一半来说是角平分线，但是这是中间的一个四十五度，那我们就可以想办法把四十五度变成边上的四十五度。 e、 d、 f 是 我们要求的，不能随便把它进行变动，而且即使不求它也不行，因为 e、 d、 f 和 b 没什么关系，应该要转 a、 e、 b 和 b、 c、 f 中的一个，我就转 a、 e、 b。 做题的时候不要写旋转 a、 b 到 b、 c， 一 撇，最好这么写。旋转 a、 b 至 b、 c， 就 把 a、 b 转到 b、 c， 这 那时候这里 b、 c 已经有了，所以我们可以不写这句话也行。我们需要保证的是这两个角相等，取角 c、 b 一 撇，应该是 a、 b、 e 这两个角相等，边也相等，接下来还差一条边，但是勾到这个三角形的时候，直接延长 d、 c， 而且是延长 d、 c， 不是 延长 c、 d， 延长 c、 d， 就是 往上跑， 这样子就确定出来了。一撇而一撇确定出来，这个三角形也能确定出来了。要求它的周长， 关键是要转化这个很长的边，而且这两边其实都挺好求的，我们能发现他们都是在边长上的，但是这个斜边不在，我们需要把把它转化成横着的或者竖着的这里他和他看起来是不是差不多长啊？ 所以我们就可以尝试正他俩全等，而且这样子四十五度是角平分线，这样子正全等就轻松过了 角边这个共用的边，还有这条边，我们现在不把它看作 b、 e、 f 中的边，而把它看作 a、 e、 b 中的边，这条边应该和这条边是相等的， 三个在一起， s， a、 s 推得了三角形， e、 b、 f 全等于三角形 一撇， b、 f 一定要注意对应的写这两个既然相等，就可以把这个斜边转化为这条边， 剩下的就好求了，因为他们全都在数值或者水平的方向上，这个在这一串我们可以将它转化到这里来，就是两个边长为四。
93小阿文数学
02:12查看AI文稿AI文稿圆中看到半径垂直于另外一个弦，就可以想到垂径定里圆 o 的 半径 o、 d 垂直 a、 b 于点 c， 这就是半径垂直于一个弦，所以就是垂直的半径。用垂径定里连接 a、 o， 并延长交圆 o 与点 e， 所以 a、 e 是 直径连接 e、 c。 若 a、 b 等于八， c、 d 等于二，则 c、 e 等于什么？看到垂直可以想到垂径定律。垂径定律的时候，这里有三角形，所以用通过直角三角形和勾股定律可以求出一些长度。 这个关于垂径定律的三角形以后都是很常见的，大家需要做出垂径，然后找到这个三角形，就可以求出一些边的长度，这里是半径，这里也是半径， c、 d 是 二，所以 o、 c 应该是 r 减二， 半径为五。圆中两个重要的点就是圆心和半径，基本上圆心在初中不怎么考，因为没有坐标，所以关键的是要求出来半径等于多少，因为半径决定的是圆的大小， 此时求出来了半径，再求 c、 e、 c、 e 就 很明显需要通过连接 b、 e。 用勾股定律来求 e， b、 a 是 直角，因为这里是直径，直径所对应的圆周角就是直角。 这个面 c、 b 的 平方已经知道，因为这里是八，所以 c、 b 是 四， c、 b 的 平方就是十六，而 b、 e 呢？ b、 e 需要求 这里是平方，所以整体求 b 一 平方。在这个大三角形中已知量比较多，所以把 b 放到大三角形中来求，是 a 一 方减 ab 方， b 就是 六的平方，等于三十六，要八十， 十六加三加三十六是五十二，五十二就是四乘十三，所以把四开出来二倍跟十三。
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07:07查看AI文稿AI文稿一个视频讲透七年级最短路径问题。哈喽，大家好，我是博教教育数学张老师，今天我们来看一看初中平面几何最短路径七年级做对称 啊。我们先来看看了解一些的在七年级上下册都有哪些点是有关最值的问题， 就这三点，没有第四个，就这三个，第一个啊，基本四十一，哎，我们就常见两点之间线段最短。上体育课，哎，肯定有小孩看到视频的小孩肯定有啊，就是上体育课，老师说让你去跑圈，趁着老师不注意，人家直接穿过去了。这这这是一个 第二个，基本四十叫什么呢？垂线段最短，哎，就这跑完圈热身吧，热完身了，老师说来开始跳圆了，或者是要撇铅球啊， 那你说有些同学从 a 这点跳到这边来了，有些同学跳到这边来，哎，无论是跳到哪侧取得有效成绩，体育老师一量，哎，脚后跟这个水平距离到这个你的起跳点就叫垂线段最 短。第三个什么呢？叫基本是在三角形的三边关系，两边之隔大于第三边，两边之差小于第三边啊。然后我们来看看这里边，我们在整个初中平面卷，尤其在期下我们正在学的小伙伴。第五张走对称当中有一个 还有名的典故，将军印马的问题啊，他不就是主要是针对什么哎，对称，然后去求最短路径问题，那我们看看，我们这里边将军印马就第一个，哎，我们叫两个定点，一个动点，两定一动，这是一个最最基本的啊，你要分清这个定点 a， 定点 b 在 这个 固定直线的同一侧，你想要去求 ap 加 pb， 这个路径最短的时候需要做一个做对称，这里边你看我写的定点，定点，定点，那我改用这个 基本四十一，就是因为两点之间，你这个两点必须得是两个定点，两点之间线长最短啊，这是这个。然后呢，我们看第二个有关垂线段最短，当中这里边除了这个以外，还有一个也是两点之间两，一定两动，比如说这个啊，这个一定两动，这里边比如说这个 将军呐，哎，这个千张马到这边，让马先吃点草，吃完草有点口渴了，到这边河岸先去喝点水啊， 所以我们要找的是 a p 加上 p q 这样的一个锯短路径，那这时候我还是选择了这个 a 点的，这是一个定点均赢嘛，定点 去做了一个对称点， b， 它还是一个定点，所以这时候 a p 加 p q 就 转成了 b， p 加 p q， 但是现在还是只有一个点， b 是 固定点，而 p 和 q 依然为动点，好在这个 q 是 在这个线上，所以这时候我们就可以利用。什么，哎，垂线短、锯短， 那除了这点以外，还有就是那他吃完草，喝完水又怎的回到了均为变成一个三角形周长最小的问题，那这个时候我就需要做两次对称， a 对 称到 b， 同时关于这个和弦再对称到这边，所以这时候我们就是定点，定点就回到这个问题了，两点之间线段最短，就相当于把这个三角形啊掰开，让它变成直线，变成两点之间线段最短， ok 吧？ 啊，就是这个，还有一个这个我们，哎，这个三角形 a b c 当中有一个三动点，这个三动点我只能透露一点，叫三垂足三角形，你看到视频的小伙伴，如果说你想了解这个，下方私信我啊，好了，就是这几个方面，哎，就这三点，没有第四个啊，好了，我们往下看例题啊， 那比如说第一个，我们垂线段最短，哎，七年级有关。第四张三角形啊，虽然我们没有学勾股定律，但是我们要如果要解三角形，现在有一个什么面积方法好看题，三角形 abc 典型的五五六， 那这个时候没学过五六，我只能给你说高 a 对， 是四分三线和一分成三个三好了， p 和 q 分 别是两个动点，这时候要求的是 p q 加上 b q 最小值的问题，哎，此时此刻我是不是 把这个 a 对 啊，以为分界线 p q 和 b q， p q 和 b q 是 不是在这个 a 对 里同一侧啊？那我这时候我就可以选择什么，哎，将这个什么 p q 给它进行什么 对称，对称到哪了？哎，对称到 c， 这是不是就可以了？让 c p q 三点共线，那你 p 和 q 都在动，是不是我们刚才所说的这个问题，什么时候垂线段，所以这点得是什么？那现在这个 c p 相当于 ab 边上的高了，要求高，我们就想到了什么 面积，此时此刻我们叫等面积解法。三角形 a b c 的 面积既可以是四乘六除以 二，也可以是 c p 乘 ab， ab 是 五就是五倍的 c p 除以二，然后我们就会解得 c p 的 长度就是五分之二十四，那这就是什么刚刚的 b q 加 p q 最小值啊，这是这个。再来往下，你看我们这个，如果我给了一个定角三十度，那这个时候 p 是 在内部，虽然它是动点，但是给了一个定长， o p 是 二。好了， e 和 f 在 射线 o m o o n 上是两个双动点。 好，这时候我们看第一个问，如果要求三角形周长 p e、 f 最小的时候要求这个角多少度，那通过我刚才的分析，我是不是可以做双对称？双对称那就在哪了？哎，是不是下对口，我把 p 对 称到 b， 再把 p 对 称到 c 字，这个知道你要找的 p、 e、 f， 我 又把这三角形掰开了，掰成了 b、 c 的 长度，对不对？ 好，那你说我要求这度数在这，你也没求来呀，是不是咋整呢？哎，这里边我们说对称，考虑到对称的完整性，我就可以把谁呢？把 o b， o c 连上，同时这个 o p 我 给它还原出来，你会发现 o p 是 不是通过 e 这个对称到这边以后， o p 和 o b 是 相等的，同时你如果要以这条线翻折条 o p 还和 o c 也怎的相等，那此时此刻这个角是三十度，我 o p 分 成，比如说一个 r 发，一个比特，这 r 发是不是翻这边来了？比特是不是翻到下边来了，你会发现这个角原来的 m n 三十度变成了多少度？ 六十，他要是六十度，哎，那你这个角你要求的 e、 t， f 的 度数， e t f 度数，如果把这个画上一个圈， 这边换了右侧，下边换了个叉，这个圈是不是也看我这手型是翻到哪去了？翻到了 b 字，这个叉呢？翻到了下面这个什么 c 字，我会发现在这样的一个三角形里边，我已经知道了顶角六十度，我是不知道他俩相加得一百二啊啊，那就说明了此时此刻角 e p、 f 度数为一百二十度，当然了，这里边此时此刻圈叉还怎的相等？ 最后一个，那你说要求周长最小值的时候，我现在就要求 b c， 我 给的这个特定的三角角是有用的，这时候 o b c 已经为什么三角形了， 六十度的等腰，那么他就是等边三角形，所以 b c 是 能够等于 o b 的， 当然也就等于 o p。 告诉你条件的 o p 等于二，所以它的周长最小值即为二 啊。这是我们这个整个期上你所能碰到的当中比较常见的几个啊，基本四十一，两点之间线段最短。基本四十二，全线段最短啊，还有这个三角形三边关系，这个问题咱们继续保留。我还有一个两边之差求最大值的问题，也是，如果你想了解，下方私信。
56数学狂人张老师
02:22查看AI文稿AI文稿来看几个相似中常常遇到的小结论。第一个，射脸定律，由于这里有直角，说明有三组相似，一、二相似，一和总共相似。 a、 c、 d 和 abc 就是 二和总共相似，它们有一个共角，这两个角是同角的，与角所以相似，得到相应的结论。 c、 b、 d 和 abc 是 一和总共，同样有一个共角，还有同角等于角， a、 c、 d 相似于 c、 b、 d， 左右两边都有直角，而且它和它也是同角的余角。得到的这三个结论应该怎么去记呢？经常需要用到 a、 c 方等于 a， d 乘 a、 b， 我 们就这么去记，从 c 是 不是有三条线段，从 c 出发，那这三条线段我们就分别找到它底面的端点，然后从这个端点就能引出两条线， 比如 c、 a 就是 c， a 方等于从 a 引出的两条线， ad 乘 ab， 这里是 bc， 所以 bc 方等于从 b 引出的 b、 d 乘 b a、 c、 d 从 d 引出的 ad 乘 b、 d。 第二个，由于没有直角的条件，所以就少两个结论。因为一和 a、 d、 b 不 相似，所以关于 a、 d、 b 那 两个结论就都没了，只有一和总共相似的结论。 这个好整，因为它们有共同的角，还有一个相等的角，已知得到 c， a 方等于 c， b 乘 c b， c， a 方等于 c， b 乘 c、 b。 一 样的，从 a 开始往 c、 e、 c、 d 乘 c、 b。 第一个叫做射影定律， 第二个呢，这个就是正常的等角相似或者共角相似。 第三个呢，这是旋转相似，它相当于是旋转的，但只不过是越旋转越变大，这里是边旋转边变大。那么这两个三角形 d、 a、 c 和 c、 a、 b 就是 相似的，因为有两独角相等吗？那很容易记， a c 方等于 a b 乘以 a d， 这个中间的等于两边的。
30小阿文数学
02:48查看AI文稿AI文稿平面几何你是不是你缺的就是基础思路，今天我们学习等腰三角形的三线合一，最为经典的一个辅助线的应用。什么叫三线合一啊？叫做角分线、中线、高线，它三线合一。就比如说我们 来一个题，说 a、 b、 c 呀， a、 b 等于 a、 c 等于五，底边 b、 c 是 六等腰三角形的位置，现在我们要去求 a、 c 边上的高 b、 d 的 长度，该怎么做呢？ 好，我们看到一个三角形啊，不管三七二十一，我们直接先来一个三线合一。等腰三角形，哪来三线合一，过我们这个顶点做底边的垂线段，也就是我们的高，你看做了一个高，那么角分线、中线、高线是三线合一的，所以也就用到 a、 h， 既是我们 b、 a、 c 的 角分线，又是 b、 c 边上的高线，那我们三线合一， 那三线合一这有什么用呢？你看我们的数据，底边的是一个六，那么既然是中线，说明这里一半，这是个三，这也是个三，好看。右边 a、 h、 c 这个三角形是一个直角三角形嘛？三线合一，这里是高，那么这是三，这是五，那 a、 h 是 多少啊？四嘛，小学生都知道三四五的直角三角，所以呢，我们在这里边呢，第一件事情我们就先通过三四五的直角三角，所以呢，我们在这里边呢，第一件事情，我们就先通过三四五的直角三角。所以呢，我们在这里边呢，第一件事情，我们就先通过三四五的直角三角。所以呢，我们在这里边呢，第一件事情我们就先通过三 h 是 等于个， 那么又因为我们的这个 a、 c 呢，是等于个五，我们在直角三角形 a、 h、 c 里面，我们就可以得到咱们的 a、 h 是 等于个四，这是三线合一加勾股定律。那么第二个我们要去求 b、 d， b、 d 是 a， 那我们在三角形中间求高有关的这个方法用什么方法？等面积法，那么等面积法也就用到我们这个三角形啊，面积求算的方法，我可以是二分之一 b、 c 乘以 a、 h 来，二分之一的 b、 c 再乘以 a、 h， 也可以等于二分之 a、 c 乘以 b、 h 当作高，我可以把 a、 c 看作底， a、 h 当作高，那不就可以了吗？所以啊，我们等于二分之一乘以 a、 c， 再乘一个 b、 d。 来把数据咱们一起带进去吧。来这里面的话，二分之一乘以一个 b， c 是 一个六，再乘以 a、 h 是 我们的，刚才算出来二。这面四等于二分之一乘以一个 a、 c 是 我们的五，再乘一个 b、 d。 所以呢， b、 d 算出来来， b、 d 口算一下，二分之一抵消了，等于 五分之二十四。所以啊，各位同学们，我们的等幺三角形经典的辅助线就是三线合一，但 你看到一个三角形，特别它是等腰的时候，如果题目你发现自己现有的条件不够，现有的图不够，一定要先想三线合一，那这道题我们就学习了一个辅助线，还有一个经典的等面积法。
76大风二帅讲数学
