深圳二模数学答题技巧
欢迎来到数学写修手册，很多人问牛顿这道生二模大题，第二问有没有好的方法，今天牛顿就给大家揭开这背后的背景。首先引进一个放缩图像给大家看看吧，这个是一个高精度的放缩，由题意可得。函数大于等于一， 要先证这个不等式成立议证得他的最小值是大于等于零，所以就有这个关系， a 的曲子范围就是小于等于一。这道题有很多人会说分离参数就可以做，没有必要用这个方法学习，更多的方法只会对自己有好处。牛顿留一道课后习题给大家，看看有没有掌握这个方法，记得回学校教你们，老师就说牛顿教你的。
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17:34查看AI文稿AI文稿家好，今天我们来看一下深圳市龙岗区二模卷的二次函数压轴题，如果这种题回回考回回错，而感到自己的函数基本知识又没有大问题的同学，今天的这道题可要认真听了，因为这种长题干配运动轨迹的题目， 只需要把题干拆明白，就会变得超级容易理解。话不多说，我们一起来看题目吧。好，我们说这个机器人的跳跃轨迹呢，我们看成一个点的运动轨迹， 然后大概是这样的一个抛物线的形状，然后每次跳跃的轨迹形状是不变的。然后我们来看一下信息二，如图一， 以机器人起跳 o 为坐标原点，也就是说首先的话，这个二次函数它是经过原点零零这个点的，然后说当机器人与点 o 的 水平距离为二，也就说明这个点的横坐标是二的时候 达到最高点，然后这个最大高度是二米，也就是说在横坐标是二的时候，纵坐标也是二，并且这个还是一个最高点。最高点的话，在我们开口向下的二次函数里面，是不是就代表着这个函数的顶点呀？哎，所以我们能够得到的信息就是顶点坐标， 然后还过圆点零零。所以第一问的话就非常的简单了，我们只需要去设一个顶点式就可以了。那我们顶点式的话，一般来说是直接设 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方加 k， 其中呢，这个 h 点是我们顶点的横坐标， 这个 k 的 话是我们顶点的纵坐标。如果说我们已经有顶点的话，那你就分别把你的横坐标和纵坐标带进来就 ok 了。那比方说我们这个题的话，我们的顶点是二二，然后横坐标是二，纵坐标也是二，我们设的时候就直接解 设二次函数的顶点是 为 好。来看一下这个地方，直接就是留个小 a 在 这里，然后把 h 换成 s 减二的平方，然后中的标的话换成二就可以了。然后的话我们是不是还有一个过零零这个点， 直接将零零代入，我们去求出这个 a 的 值就可以了。那看一下这个时候就是零等于 a 倍的零减二的平方加上一个二， 这样的话解得 a 的 值是四， a 加二等于零吗？ a 的 话解出来是一个负的二分之一，所以的话我们的二次函数表达式就是 y 等于负二分之一， x 减二的平方加上二， 这个就是第一小问求这个抛物线的函数表达式，这个非常的简单，我们把它的这个表达式写在这个地方。 好， y 等于负二分之一倍的 x 减二的平方加上二，到这步的话，相信很多同学还是可以做出来的哈。然后我们继续去看第二小问，他说在 o 点正前方的水平地面上有一个正方形台阶 abc 的， 其中呢 o a 的 长度等于五米，看到这里的话，第一反应就是 a 点的坐标是不是有的 a 点是五零，然后的话 ab 的 长度是一，说明 b 点的坐标是六零，然后整个这是一个正方形的话说 b c， a 得得 c， 这些全部都是这个 一的长度。好，然后我们来看一下，如果说这个机器人向右移动一段距离，哎，他是平行向右移动一段距离，其实也就是说我们的整个函数图像是一个向右平移的， 平移之后我们说再跳跃能够越过正方形台阶 abc 的， 则机器人至少需要向右平移多少米？好，这是一个平移的话，我们来看一下我们初中阶段学习到的函数平移的口诀。 我们都说函数平行的话，就是记八个字就可以了，就是上加下减，左加右减，然后我们说上加下减的话，它是针对 y 进行的一个加减， 针对 y 进行的加减，因为我们的函数表达嘛，本身就是 y 等于多少多少 x 这样的形式，所以的话我们直接加在整个函数的后边就可以了，你就不需要跟着 x 去走。 比方说我们简单来看一下这个一般是 y 等于 a s 平方加 b， s 加 c， 我 们是向上平移的 m 个单位，那我们说上加下减往上平移，是不是就是加平移了 m 个单位，我们直接往后加 m 就 可以了啊？就是这么简单。 然后再来看一下，如果是左右平移的话，我们是和 x 一 同变化，也就是说你的 x 后面你给他往左平移就是加，往右平就是减。比方说我们来看一下这个题，这是一个一般式，注意一下这个地方 x 出现了一次两次，我们 x 每出现一次，一定记住跟着他一起平移。 好，来看一下这个是往左平移的 m 个单位，我们来看一下左加右减，那左的话，是不是给 x 后边要加一个 m， 哎，这边的 b 后边也有个 x， 也要加一个 m， 哎，这里出现两次，一定记住所有就是所有有 x 的 地方哈， 所以所有出现 x 我 们都要进行左加右减的这个法则，然后再来看一下，如果是顶点是只出现了一次的话，那你就直接跟着它在这个括号里边去进行加减就可以了。 我们说这个的话是向右平移了 m 个单位，左加右减，前面我们左边是加的话，右边就是减，直接在括号里边减掉 m 就 可以了。哎，那这样的话，我们如果算的话，其实相对来说还是顶点是要好算一下，因为这里的话我们只需要变一次就 ok 了。 好，然后我们再来看一下第二小问，我们说这个机器人向右移动了一段距离之后，这个距离他没有告诉我们，但是他给了我们一个限制的条件，他说，呃，再往往这个平行之后再跳跃就能够刚好越过这个 a、 b、 c、 d， 说至少需要向右平多少米， 那我们遇到这种至少问题的话，我们是不是需要去找他的这个连接点，哎，我们需要在一个点，就是我刚刚好能擦着越过这个正方形的台阶，然后的话我去找这个点，然后我只要比这个点跳的要远是不就可以了？好，然后我们来简单看一下 低温的步骤，先擦掉了。好，我们简单来看一下这个平移之后哈，如果说我想越过整个正方形台阶 a、 b 斜得我们来看一下，呃，我这种情况下我越过了码数没有，是不是这个 c 还留在外面没有 被跳过去？所以的话我想越过这个台阶的话，我起码要过这个最高点 c， 那 如果我往右平的时候刚好经过 c 这个点，是不是此刻我是刚好哎，过点 c 时，我们是恰好越过的， 那假如说我再往右多边多多平一点，我让它多跃一点，是不是这样？这样就是一个非常宽裕的一个跃过的这个方式，哎，所以的话我们就找到这个临界点呢，就是当我们平移之后的这个图像刚好是经过点 c， 所以 我们这个这一问的思路就非常的明显了，就是平移后的函数图像恰好经过点 c。 好来看一下点 c 的 坐标是不是可以求。刚才我们说 a 点的坐标呢是五零，然后 ab 的 长度是一， bc 的 长度是一，很明显 c 点的纵坐标是一，然后横坐标的话是六， 然后 c 点的话坐标就是一个六一，然后咱们的这个平面多少米的话，咱们给它设一个小的这个参数就可以了，比方说我们设呃至少向右平移 m 米 好，向右平移 m 米，然后我们来看一下上一问，我们算出来的这个二次函数的图像是 y 等于二分之一， x 减二的平方是不是再加上一个二？ 如果说我们向右平移 m 米的话，那这里我们是左加右减，是不是整个函数就变成了这样，哎，那我们平移之后 的函数图像就是 y 等于负二分之一倍的 x 减二减 m， 整体的平方再加上二， 然后我们需要满足的是不是就是我们平移之后图像恰好过点 c 就 可以，也就是说把点 c 六一这个点带进去的话，我们的这个方程是成立的，就可以得到关于 m 的 一个方程，其就非常的简单了，我们直接将 c 点 六一代入来看一下，这样的话就是一等于负二分之一倍的六减二减 m 的 平方再加一个二，再整理一下，也就是负二分之一倍的，这里六减二，四减 m 的 平方 再加上二等于一负二分之一 m 方，加上。这里的话，如果说大家觉得不好算哈，可以两边这个时候同时乘个负二，咱们把这个 负二分之一这个系数去掉，这样会显得比较好看一点。要是四减 m 的 平方，然后减这里的话，直接改成加一吧，直接就是减二等于零， 然后的话我们就是 m 方减八 m， 然后加一个十六，再减掉，应该是一个加十四等于零，然后的话我们简单解一下，但是它的话等于六十四减掉四乘以十四，结果应该是等于一个八 好，然后 m 的 话是等于一个二分之负 b 加减根号下 b 方减 c， a c 应该是一个四加减根号二。好，这个时候问题来了，那其中的一个 m 一 等于四加根二，一个是 m 二等于四减根二，咱们保留哪一个 来看一下，我们还是我把这个图擦掉，我们看一下在不同的这个跳跃的时候，因为你刚开始那个连接点就是你移动最少的时候，你在四减根号，你就可以刚好过这个 c 点， 然后说如果你移动的多了，然后你还是刚好过 c 点，你可能就是一个这样的不行，那这样的话我们是不是就穿模了，就不能说是越过这个台阶，所以说我们应该找的是第一个，就是他跳的比较少的，所以的话我们选择把这个 m 一 给他舍掉，我们保留的是这个 m 二，所以的话 至少向右平移四减根号二个单位 好， ok， 如果大家第二问都没有问题的话，那我们就直接来看这个第二小问，这一小问的话相对来说就要进阶一些， 我们把这个已经写了的擦掉，我们来直接看一下第二小问，他说如图二，为了进一步提升表演的难度与观赏性，现在呢我设置了一个 e f， 其中 o e 的 长度是两米，也就是一点的坐标的话，应该是一个零二， 然后 f 点的坐标的话应该是一个四零，然后我们要从滑梯上起跳，然后设起跳点的横坐标，也就是说起跳点的话，就是在这条直线上符合这个直线 e f 的 表达式， 然后呢起跳之后，我要保证我起跳完了之后，我要能够落在这个 c 的 上。大家还是注意一下哈，因为这个机器人他跳动的这个 就是他跳动整个形状什么这些都是不变的，所以我们相当于还是把这个圆函数图像往右或者说往上去平移。那么大家知道这点之后，其实这题考察的依然是函数平移的内容。 我们继续往下看一下，然后这个起跳点的话，它是符合这个直线的关系式的，所以我们等下第一步的话，是需要把这个直线 e f 给求出来， 求 e f， 求完这个 e f 之后，因为我们一开始这个点的话，他是起跳点是从原点开始吗？然后你从这个起跳点起跳之后，你的横坐标其实是平移了的，然后纵坐标其实也是平移的，平移的这个单位也非常的好算，因为你是从零零，然后你去到你的这个新的起跳点， 对的话你就是向右，你的整个点是向右平了七个单位，然后向上平了多少个单位，是这样去看的，所以的话我们第一步还是需要先把 e f 求出来之后，我们才能够确定我们的函数是怎么平移的。 好，然后我们先来看一下怎么去求 e f， 求 e f 非常的基础哈，就是我们的待定系数法，两个点确定一条直线就可以了。那我们这里简单的写下过程解，我们来设 e f 的 解析式为 y 等于 k， f 加 b 为，然后的话将 e 点和 f 点分别代入一点零二， f 点的话四零代入，于是我们能够得到 b 等于二，四 k 加 b 等于零，直接解得 k 的 话是等一个负二分之一， b 的 话是等于二，所以我们的直线 e f 的 表达式就有了，它就是 y 等于负二分之一， x 加二，这个都是基础中的基础哈，就不跟大家过多强调了。好，然后我们来看一下这个起跳点， 起跳点的话因为它的横坐标是 t， 然后纵坐标的话要符合这个直线的表达式，所以的话纵坐标应该是负二分之一 t 加二。 然后我们来看一下我们的起跳点呢，是从原点零零变到了 t， 负二分之一 t 加二相当于我们的函数是向右平移了 t 的 单位，之后再向上 点的话是从零到 t， 横坐标是从零到 t， 说明是向右 平移了 t 个单位，然后纵坐标的话是从零到这个负二分之一， t 加二，说明的话向上平移了 负二分之一， t 加二个单位。然后我们看一下原本因为我们之前写的这个表达式是顶点式嘛？大家还记不记得？第一问的话，我们算出来应该是 y 等于负二分之一 x 减二的平方，再加上二， 在这个基础上进行了这个向上和向右的平移，所以我们直接能够得到平移之后的抛物线 应该是什么呢？应该是 y 等于负二分之一，注意哈，在 x 减二的基础上，再向右左加右减平移 t 个单位， 然后在这个加二的基础上又往右平往上平移了负二分之一 t 加二个单位，然后这样的话我们整理一下，应该是负二分之一 x 减二减 t 的 平方加上一个四减二分之一 t， 这个是我们平移之后的抛物线图像。 然后来看一下我们要求什么呢？我们要求这个跳跃之后，他要落在这个台阶 c 的 上，也就是说落在这个边缘上也是可以的，然后落在他们中间也是可以的。那我们要求这样的一个范围的话，我们依然去找两个连接点， 第一个连接点是不是就刚好落在这个 d 点上，第二个连接点呢？就是刚好落在这个 c 点上，然后在他们两个之间的话，其实都是符合我们的要求的，也就是说我们的新的抛物线只需要经过 的点和 c 点，我们一算这两个 t 值，然后这个 t 的 范围的话一定是在他们两个之间的。好，我们来看一下，直接就是新抛物线过点 d 点的的话是五一，然后的话把这个五一带到我们的解体式里面去，一等于负二分之一，五减二减 t 的 平方加上一个四减二分之一 t， 然后这个的话不带大家解了哈，解出来一个是二分之五减掉根号十三，一个是 二分之五加根号十三，然后我们舍掉右边这个具体舍的理由跟我上一题讲的一样哈，会穿模， 然后的话再来看一下过点 c 六一的话也是把这个六一带进去，负二分之一六减二减 t 的 平方加上一个四减二分之一 t， 这样的话我们能够解出 t 一 等于二，然后 t 二等于五，照样我们是把这个大的舍掉， 所以的话我们来看一下，想要保证在他们两个之间的话，是不是我最近的话平行的话只能平行到这，所以的话结合图像我们直接得到 t 的 范围呢，就是在二分之五减根号十三到二之间。
163深圳中考数学张老师
01:00查看AI文稿AI文稿跟着春哥我们来看一下深中二轮二阶模考第七题，一分钟快速解决。首先我们知道 f x 的 函数，也知道 f 一、 f 二三三者是相等的，它的取值范围在零到三之间。接下来看一下 f x 如何变。首先 f x 的 立方，它是一次我们都可以把它看成是 三根，这根往上平移一个单位，那么我们把它看成是 x 减一乘以 x 减三，加上 f 一。 当 x 等于一的时候，它恰好是 f 一， x 为二的时候，它是 f 一。 由于 f 一 和 f 二是一样的，所以三根的话，我们就可以把它看成是一二三。接下来就简单了， c 为常数项，它就应该是等于三个常数项的乘积， 负一乘负二乘负三加上 f 一， 我们可以知道它应该等于负六加 f 一。 由于 f 一 的取值范围我们是知道的，它介于大于零小于三之间，所以这个取范围应该是负六到负三之间的。好，这道题我们解决了，学数学咏春歌。
01:12查看AI文稿AI文稿再给大家梳理一遍第八题的两种考法，要么就是锐角、三角函数解直角、三角形这一类型的一个专项，这是第八题喜欢去考的，要么就是竖形结合图像的问题。 第十三题大概率就是三角形、四边形的这种综合类型的题，而且一定是往特殊三角形、特殊角 方向去构造的，那第十九题三种方向，第一个二次函数与这个实际应用相结合的部分，是会在考的过程当中占比会比较高一些。第二种 就是二次函数跟新定义结合，你比如说像刚才罗湖区的反点，那这两种是属于考察的这个趋势概率是比较高的。像宝安中学的二次函数含差问题，考的概率是比较低，因为这已经偏代数。二十题特别喜欢考的就是 两种折叠跟旋转这种类型的题，我们需要去画图，分类讨论，去分析，然后做的过程当中我们不一定能做出来。第三问，我们把图 画出来，然后去看一下这个图是怎么来的，这个旋转过程是怎么做的，下一次我们是不是慢慢的就会有这种感觉？如果说是新定义的话呢？那每一道题的背景都不一样，那我们只能根据题目给的意思来把图像跟图形把它解出来啊，这就是给大家去讲的啊这一个内容。
2帅智数学
00:30查看AI文稿AI文稿深圳压轴题秒了！如图，在三角形 a、 b、 c、 d 中，角 a、 c、 b 的 平分线交 a b 于 d， b， e 交 c， d 于点 f。 若 b f 等于 b d， c、 f 等于四 f d。 求 c e 比 a e。 永远记住等腰必导角，从等腰三角形 b、 f、 d 出发去导出更多等角， 结合已有的角分等角，你便可以找到用于计算的两组相似。
248羽神数学
01:13查看AI文稿AI文稿我手头上的这三份卷子呢，是刚刚考完的三个区的蹦蹦考试的卷子，数学老师整体做完了，出题的水准非常的不错，非常贴合现在中考的方向，他们分别是宝安区，光明区以及罗湖区的卷子，那么非常建议大家去下载领取这些卷子， 当然这些卷子做完之后，我们也发现它的共同的特点，这里面的话，选择压轴，填充压轴，解答压轴，它会符合以下几个趋势，选择压轴呢，特别喜欢考的是竖形结合锐角三角函数的综合，那填充压轴的话呢，就是纯几何三角形综合，四边形综合。 那么第十九题三个考察方向，二次函数与探索，二次函数与应用，二次函数与含餐。最后一道题两个趋势，要么就是几何新定义，要么就是折叠旋转类的问题。那么五一是我们中高考前的最后一个假期，那么为了更好的去帮助大家去克服八十，三十九，二十这四道压轴题， 让大家在五一的时候有题可练，可以针对性的查缺补漏测试。老师呢，整理了四份文件，分别是选择压轴、填空压轴解答，十九题专项解答，二十题专项，供大家在假期的时间去练习。如果大家想去了解或领取这一份电子版的资料的话呢，可以在评论区回复，五一二模就可以领取。
22帅智数学
01:45查看AI文稿AI文稿看过我们之前视频的小机灵鬼这道题有没有用关关老师的方法秒杀呀？首先还是一起来开发条件，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度， ac 等于 bc 等于六，所以这是等腰直角三角形，角 b 等于四十五度。 再看 d、 b 等于二倍的 c、 d， 所以 c、 d 等于二， b、 d 等于四。由此开发出隐藏的三角函数值。在直角三角形 a、 c、 d 中发现 tangent alpha 等于三分之一，过点 c 做 c、 f 垂直 a、 d。 还是那句老话，多垂直必倒角，得到角 d、 c、 f 也是 alpha。 因为角 d、 c、 f 和角 c、 a、 e 都跟这个两道杠的角是互余的， 有阿尔法的正切值，要放到直角三角形中，四十五度也要放到直角三角形中用，所以这根辅助线呼之欲出，就是过 f 做 b、 c 的 垂线，设垂足为 h。 先看右边的直角三角形 b、 f、 h。 根据三边比例关系，射参射 f、 h 等于 b， h 等于 x。 再看左边的直角三角形 c、 f、 h 根据 tangent 尔法等于三分之一得到 c、 h 等于三 x。 此时根据 bc 的 长列方程， bc 等于四， x 也等于六，所以 x 等于二分之三。 现在让我们把三 x 和 x 一 起还原出来， f、 h 等于 x 就是 二分之三， c、 h 等于三， x 就是 二分之九。减去 c、 d、 d、 h 就是 二分之五。 问题问的 d、 f， 此时就在直角三角形 d、 f、 h 中，根据勾股定律求得 d、 f 的 长等于二分之，根号三十四。最后的答案就是二分之根号三十四。 show case 哪里？
53深圳双提数学
01:34查看AI文稿AI文稿别管问法有多怪，总能挖出熟悉才是真厉害。这是光明区二模天空小鸭轴。方法众多，咱还是讲一个必加学生就能稳拿分的方法。首先还是开发条件， 在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度， a、 c 等于 b、 c， 所以 这是个等腰直角三角形。两个锐角都是四十五度，过地做 d、 e 垂直 a、 b 一个垂直两直角，下面这是个直角。从这个点出发，有一种四点共圆的解法，感兴趣的可以自己去探索一下。那现在我们要讲的是从角 b、 e、 d 等于九十度得到的另一种思路。此时这个三角形 b、 e、 d 就是 等腰直角三角形，又有点 g 和点 e。 关于直线 b、 d 对 称， 对称即全等，所以连接 d、 g 就 发现左边三角形 b、 e、 d 和右边三角形 b、 g、 d 是 全等的，那么 b、 g、 d 就 也是个等腰直角三角形。 结合题目给出的 b、 a、 c 这个等腰直角三角形，各位小机灵鬼不难发现，一组旋转形相似，就是三角形 a、 b、 d 相似于三角形 c、 b、 g。 证明方法就是两边对应成比例， a、 b 比 bc 等于 b、 d 比 b、 g 都等于根号二。切记假角相等角 a、 b、 d 等于角， c、 b、 g 都等于四十五度。所以我们得到这两个蓝色的三角形相似，那么对应边 a、 d 比 c、 g 就 也等于相似。比根号二， c、 g 是 二，所以 a、 d 就是 耳背根号二。 show case 哪里？
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03:19查看AI文稿AI文稿一、招教会你剖析线面三种位置关系。先证二模六提为例。第六铁刀已知 l 和平面就一条线，一个面，而 l 不 在 r 法内，那我们想一想，线和面之间有几种关系？ 线和面还可以，意面，它应该是有三种关系，或者是三种位置状态，是吧？第一种，看这平行是吧？还有在面内还有有一个焦点是吧？所以总共是三种状态，你一定要区分清楚。这个题出的非常好，那就是线在面内 啊，线与面交一点，还有 l 平行于 alpha， 这应该是三种状态。好来看，第一个存在 m 属于 alpha， 能够使得 l 和 m 相交，我们先画一个平面吧。 啊，这是 r 法，它说在我这个 r 法这个平面内一定能够存在 l 和 m 相交，不可能。如果说我这个 l 是 这样的， 你在这个 r 法内找得到，找得到的不，永远找不到，是不是？哎，不可能的啊。所以呢，第一种是当 l 平行于 r 法的时候，不行， 就你把这三种情况都要考虑进去好不好？来看第二个存在 m 属于 r， 能够使得 l 平行于 m， 他 说我这个里头啊，有一条线， 比如说这个是 m， 能够使得 l 平行于 m。 存不存在？存不存在？不存在。什么情况？不存在？交一个点的时候，你看你交一个点，你比如说这样的一条线， 你这样一条线，你交的时候，你看你在这个平面内能够找得到跟它平行的线吗？哎，肯定找不到，是吧？哎，这是第二个就是当啊 l 与阿尔法交一点的时候， 你再想一个最最极端的情况，当我 l 垂直于阿尔法的时候，也阿尔法这个平面的任意一条线都跟我 l 垂直，怎么，怎么可能平行呢？听懂没有啊？所以第二个肯定是不对的。 好，来筛选一下，存在 m 属于 r 法，使得 l 和 m 的 夹角为六分之百。不行哎，举个例子，垂直，哎，你看，当我们这个 l 是 这样的一条线， 这个跟移，不对，这 l 是 这样，当 l 垂直于阿尔法这个平面，现在你在阿尔法这个平面呢？能不能找到跟它是六十度的？找不到任何一道线跟大家讲讲都是九十度，所以这个又不对，关注大河老师成绩嘎嘎提升。
01:26查看AI文稿AI文稿这是深圳福田区刚考过的初三二模第十二题，班上一半学生第一步就做错了。我们先看看直线， y 等于 x 减三， 他和 s 轴交于点 b 坐标容易算出来是三斗零。我们过点 a 向下做一个垂角，交 s 轴于点 e。 这条直线的解析式是 y 等于 x 减三。我们很容易看出来，它的斜率是一与 s 轴的夹角，那自然就是四十五度角。已知 ab 等于根号二的长度，所以直角边 a、 e 和 b， e 的 长度是一点， a 的 坐标就是四都一，那我们把点 a 坐标代入反比例解析式， y 等于 x， 分 之 k 就 可以解出来 k 等于四。再看平移之后直线，它的斜率是不变的，还是一 c、 d 的 长度，根号二 d 在 外轴上，坐标是零， b 顺着四十五度角的方向向右一格，向上一格，就能得到 c 的 坐标，所以 c 的 坐标就是一逗 b。 加一把 c 点代入反比例函数解析式就可以得到。加一乘以横坐标一，咱们这个可以省略，不写等于 k 的 值。四 随 b 等于三。这道题综合了一次函数反比函数平移性质和勾股定律，关键就是把四十五度角和线段长度转化成我们熟悉的坐标差来计算。不怕题目绕，就怕没找对思路。关注老师，每天一道题，帮你理清思路！
02:08查看AI文稿AI文稿这道题是福田区二模刚刚考过的填空题的压轴题，班里的正确率不到百分之二十，如果你也不会做，别急，今天教你折叠问题三部曲，听完你也能拿分！好，咱们一起来看这道题。 题目说，正方形 a、 b、 c， d 中 ab 等于三。将点 a 折叠到 b、 c 上的点 g 折叠的折痕是 d f， 并且 a e 等于二倍的 b e， 问 d f 是 多少？第一步，先别慌，找已知条件。正方形的边长是三，那么 a、 d 等于 ab 等于三。四个角都是九十度。折叠的本质是什么？ 对，就是对应点连线的线段被折横垂直平分，所以 a e 折过去就变成了 e g， 因此 a e 等于 e g。 第二步， 利用比例求边长。题目给出了 a e 等于二倍的 b e。 因为 ab 等于 a， e 加 b e 等于三， 所以 b e 等于一， a e 等于二，那么 e j 等于 a， e 等于二。第三步，发现特殊直角三角形。 在直角三角形 b e j 中， b e 等于一， e j 等于二。你有没有发现直角边是斜边的一半？对，所以呢，这 b 这个角就等于三十度，那么 b j 这个角就等于六十度。第四步，折叠带来角度的相等，因为折痕是 e， f 是 对称轴， 所以角 aef 等于角， b e、 j 等于六十度。第五步，辅助线是关键。从 f 向 ab 做垂线 f h， 那 么四边形 a h、 f、 d 就是 矩形，所以 f h 等于 a， d 等于三， a h 等于 d f。 在 直角三角形 f h e 中， f e h 等于六十度，所以角 e、 f、 h 等于三十度。三十度角所对的边是斜边的一半，但这里更方便，也可以使用正确 h， e 等于 三，除以根号三等于根号三。第六步，最后一步大功告成， d， f 等于 a， h 等于 a， e 减 e， h 等于二减根三。所以最终答案是二减根三。 这题问题不可怕，怕的是你不会找对称，不会用特殊角。记住，几何题的突破口往往藏在已知条件和辅助线里。如果你也想中考几何不丢分，记得点个关注，咱们下期继续拆解真题！
20张老师-学有方
17:49查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天我们一起来看一下宝安区二模的几何压轴题，来看一下这道题的难度的话相对来说是比较高一点的，然后第一问的话基础题，第二问的话比较常规，然后第三问的话可能需要我们多花一点时间去进行一下分类讨论， 然后我们一起来读一下这道题目。我们说已知这个 abc 的是一个平行四边形，然后这个 b a 的 度数是阿尔法，然后与此同时的话，这个 e 点是一个动点，连接 a e 之后把 a e 也绕这个点 a 逆时针旋转阿尔法度，所以的话我们首先可以利用这个等角去倒角啊，然后的话直接来看一下第一小问， 当这个阿尔法等于九十度的时候，哎，也就是说此时这个 abc 的 的话变成了一个矩形，然后这个旋转的话也是一个九十度的角，这样的话我们就可以去转化很多的。这个条件 好，直接来看一下第一小问，他说这个如果 a 的 等于 ab， 也就是当这条等于这条，然后连接这个的 f， 让我们去证明这两个三角形 a， b， 还有这个三角形 a， d， f 全等，那这个太好证了哈， 直接角一加角二等于九十度，角二加角三等于九十度，能够推出来角一等于角三，然后 ab 等于 a 的， 然后直角直角直接 a s a 的 话，就可以得到这两个三角形全等了。 好，然后来看一下第二小问，我们说如图二，现在给了我 ab 的 长度是四， b 的 长度是一，然后这个直线 ef 呢？和 ab 相交于点 j， 然后并且刚好经过点的让我们去求 a 的 长度，好来看一下整个 a 的 长度的话，我是可以把它划分一下的， 因为你做的第一小问，对于你的第二小问，他是一定有一个提示作用的。我们第一小问去证明了这个 a、 b、 e 他 是全等于这个 a、 d、 f， 然后第二问的话，这个 a、 d、 f 现在不是一个直角三角形，那我是不是可以创造一下，我直接从这个 a f 往这边去做一个垂线， 那我形成这个新的三角形 a f m， 因为上和上一问一样的原理，一定是全等于这个三角形 a、 b、 e 的。 好，那这两个三角形全等之后，首先我这个 a 得的一部分 am 的 长度就可以通过等于 ab 得到，然后再想办法去求这个得 m 的 长度，再来看一下得 m 的 这个长度，换个颜色 得 m 的 这个长度的话，如果说我没去做这个垂线，我可能找不到一个三角形去放它，但是我现在我继续往下去做一个垂线，这样有什么好处呢？ 大家看一下我底下的话，会形成一个八字相似，呃，并且八字相似的话，因为我们刚才利用了这个全等能够得到 m f 的 长度是等于 b f 等于一的，这个是一，这个是一，然后 ab 的 话是等于 m n 这个整体它一定是一个矩形， 既然是矩形的话，那 ab 的 长度是四，然后 m n 的 整体长度也是四，然后 m f 是 一的话， f n 的 整体长度就是三，那么上下的这个相似比也有了。 然后再来看一下这个 a m 是 等于四，然后这个 b n 的 长度也是四，也就是说这个底边 e n 的 长度我是有的，然后相似比也是有的，那我是不是可以通过相似把这个得 m 求出来，然后这个 a 的 长度的话就是一加就可以了。 好，然后这的话给大家简单写一下过程就是我去做了一条 m n， 这个垂线是过 f 点的，然后呢构成一个矩形， 然后直接由一得得到这个全等的这个结论，然后证完之后，把这些相关的这个数据算出来之后，然后利用这个八字相似求出这个各种线段长度之后代入这个相似比一比三，然后把 m 的 长度给求出来，求完之后 a 的 长度就是 am 和 m 的 相加。 好，这个第二小问的话，我们先来看一下这个圆体是怎么表示的哈，他说这个阿尔法等于六十度，也就是说这个平行四边形的一个内角是六十度，然后 a 得等于 ab 等于六。 ok， 这是一个含六十度一百二十度的一个菱形。 在这个点 e 的 运动过程中，直线 e f 和直线 ab 相交于点 j， 然后给了我们一个 b j 的 长度，然后让我们写出 c e 的 长度。 好，我们先就是这个题目，先来看一下哈，当这个 a e 在， 他可能是在这个内部，是不是 a e 也有可能在外边， a e 也可能在这，哎，也有可能跑的更远一点，跑到跑到很远，跑到这个地方来， 然后我们根据这个 a e 跑。这个情况我们可能要分为三类，第一类的话就是当这个 a e 依旧是在这个 abc 的 这个 图形之内运动的时候，那么第二种情况就是 a e 跑出来，但是 af 没跑出来，然后第三种情况的话，就是 a e 跑出来了，然后 af 也跑出来了，我们基本上就的大体思路呢，就是按照这三个 情况去讨论，然后我们先来，然后我们继续来看一下条件哈，给我们的条件是这个 b b j 的 长度 好， b j 他的这个长度是一点五，然后我想去求这个 c e， 我 肯定是想用上相似的，但是我这个相似的话，大家看一下，如果说我用这个 c e， 然后这个点不知道是什么，假如说是 h 点吧， 如果说我用这个 c e h 的 话，那这个地方我这个 c h 的 长度我是求不了的，因为这个 h 得我根本就没办法求，然后我也用不上这个 a e f 这个旋转的这个 东西，因为什么呢？因为这个当 alpha 等于六十度嘛，然后 a e 等于 a f 的 话，它是有一个等边的这个旋转的过程的，所以说我没办法去借助这个，直接去借助 c 的 这条边上的 h 点，所以我想办法能和这个 e f 扯上关系的话， 我们优先构造思路就是，哎，和这个 e f 扯上关系，就是说我去延长一下，我去延长一下的话，然后把我的这个图形构造成这样，这样的话我们看一下我们的新三角形哈，假如说咱们的 h 点构造在这里， 这样的话我们依然能够根据这个平行关系，或者说相等关系，然后去推，然后去证明这两个三角形圈的相似， sorry， 是 相似，证明这两个三角形相似，然后根据这些条件我们再继续去推下一步，这是我们这个题的一个大致思路，然后的话我们再来看一下具体的这个解题过程， 是当这个 a e 仍然在这个 abc 的 内部的时候，这种情况那刚才我们已经分析过了，这个 h 点的话，我们最好是去找和这个 e f 有 关系 的一个地方，所以的话我们选择直接去延长这个 e c， 然后让他和这个 e f 能够组成一个三角形，然后的话我们去想办法去证明他和这个 b e j 相似，然后去求出他们的这个线段长度关系。 好，那这样的话我们想一下我们这个延长这过程，要么是我去构造一个平行，要不的话就是我去找这个相等，然后去证明他们有这样的一个位置关系。 我们先简单来看一下，那我们这个题的思路呢，是我去构造了一个 b e 等于 c h 等下，这样的话我们就可以直接在这个里边利用等量关系，这样构造的好处是什么呢？大家看一下，因为这里边有长度的，我们的菱形边长是六，这里写一下， 我们是一个菱形哈，然后我们的边长的话一定是一个六，然后等如果我构造这个 b e 等于这个 c h 的 话，那其实 b e 等于 c h， 那 这样的话我的 e h 它就是一个固定的长度，大家看一下 e h 的 话，是不是等于 e c 加上一个 c h e c 的 话，它是等于一个 bc 减 b e 啊？ 哎，再加上一个 c h， 然后它俩又相等的话，所以 e h， 这样我就能够保证它是一个固定长度六了，哎，这样我后边去算这个长度的话就比较好算，所以我选择去构造一个 b e 等于 c h， 然后我们去连接 f h， 这样我们和 e f 有 关的一个三角形就被我们构造出来了。 好，然后的话我们简单来看一下这个过程。首先的话先证明这个 abc 灯呢是一个菱形，然后边长都是六，然后再来看一下这个角度哈，这次这个角度给的这个旋转角和这个里边这个内角都是六十度，然后我们去找一下， 好，同样的一依旧是角一加角二等于六十度，然后角二加角三等于六十度，是不是能够得到这个角一是等于角三的，哎。然后的话我们看一下这两个三角形，这样的话我们就可以通过这个方法正出来这两个三角形全等 a b e 和这个 a 得 f， 这里的话得 f， 可能需要我们自己动手去连一下。好，那这两个三角形依依旧是和第一问的思路是一样的哈，去证明这两个三角形全等，然后这两三角形全等之后，现在我能够得到的长度关系是这个得 f， 它也等于这个 b e， 然后它也等于这个 c h， 现在这个场上有三条边已经是相等的了。然后再来看一下这个角度关系，角度关系的话，我们能够看到这个 b a 的 它是一个六十度的内角， 然后的话 abc 的 话，因为它是另外一个内角嘛，所以 abc 的 话是一个一百二十度。然后我们再来连接一下 b 的。 好，然后我连完 b 得之后，我们再看一下这个 a 得 f， 刚才我们是不是刚正完全等，刚正完全等的话， a 得 f 和它对应角 a b e 是 不是一定是相等的一百二十度， 然后我连接完了这个得 b 之后，因为我连完这个对角线之后，他一定是会被等分为两个等边三角形吗？所以这个地方 a 得 b 的 话也是一个六十度。哎，我发现 a 得 f 加上这个 a 得 b 刚好是一个一百八十度，所以的话说明他们两个是互补的，也就变相的能够说明这个 a 得 f， 这里太乱了。擦一下，我们来看一下这几个点， f 点得点，然后这个 b 点一定是一个三点共线的。好，然后的话我们来看一下这个长度关系，我们的这里把字母盖住了，好，稍微改一下，这里 把这个我们把得 f 连把得 f， 然后 b 连起来， b 得 f， 三点共线。好，接下来继续往下看， 我们现在想要去证明这个相似的话，我们是不是一方面的话去找他为什么相似，另外一方面的话就是去找他这个对应的这个长度。好，我们先来看一下这个相似关系，先来找一下吧，因为这个地方的话，我们的这个 b j 在 这，然后我们的这个 e、 f、 h 在 这，我们目前的话只有这个长度和全等关系，现在还没有证据去说明他们两个是这个相似的，所以我们需要先去找一下， 然后这个里边的话，因为你的 f、 h、 e， 你 的角度其实是不好找的，因为你没有预先去说它是一个平行线，所以的话我们选择从长度呢是等于一个 bc 加上 c h， 然后这个 b f 的 长度呢是等于一个 b 得加上得 f。 来看一下这个得 f 和 c h 的 话是一个，刚才我们说的是一个相等的关系，因为得 f 等于这个 b e 等于个 c h 嘛， 然后 b 得和这个 c d 的 话也是一个相等的关系。然后再来看一下，那这样的话，我是不是能够得到这个 b h， 它一定是等于这个 b f 的， 哎？并且的话这个角的话是一定是六十度，所以的话我能够说明 b f h 的 话，它是一个等边三角形，这样的话我是不是能够说明 h 角 h 这个角的话，它也是一个六十度。然后再来看一下那 j b e 这个 角的话，因为这个 ab j 的 话也是一个三点共线，然后 b， 呃，这个叫这个角叫什么？ j b e j b e 这个角的话，这里是一百二十度，然后三点共线的话，这边这个补角的话是不是也是六十度？好，现在六十度，六十度，然后一组对顶角，我现在是不是能够说明这两个三角形是相似了？ 好，说明这两个三角形是相似。之后我们来取一下这个长度，我们现在呢直接去设一下 c e 是 x， 求谁是 x， 咱们就设谁是 x 哈。 c e 是 x， 然后 bc 是 六，是不是能够说明这个 b e 的 长度的话，就是一个六减 x， 然后 e h， 刚才我们求了说 e h 是 个定长吗？是六。 然后再来看一下那 f h 的 话，它是一个等边三角形， f h 的 长度是不是等于 b h 的 长度等于一个十二减 x， 因为这里是 bc 是 六吗？然后这个 c h 的 话是一个六减 x， 这样一加的话就是十二减 x， 然后我们能够说明他们两个相似了。然后就直接看一下是 b j， 它的对应边是这个 f h， 好， 等于一个 b e， 它的对应边是这个 e h， 我 们直接把所有的长度全部带进来， 然后能够得到关于 x 的 一个一元二次方程，这样的话解出来是有两个解哈， x 的 话是等于一个九加减三倍根号二。来看一下我们这种情况的前提是什么？前提是这个 e 点的话，应该是在 bc 内部的， e 点在 bc 内部的话，说明这个 c 的 长度应该是要小于 bc 的 一个长度的， 所以的话我们就把这个九加三倍根号二，这个明显要很长的这个舍掉，取这个九减三倍根号二，好，这是第一种情况，当这个 a e 在 这个内部的时候， ok， 我 们来看一下第二种情况，那么第二种情况的话，就是当这个 a e 已经到了这个 abc 的 外部，然后这个 af 的 话还留在里面，这种情况，然后的话其实大部分的数据都和前面是完全一样的哈，这个时候我们来看一下， 我这个时候找了这个点，这个时候我找这个点 h， 我 直接去取这个 b f 等于 b h， 因为这边的话是有一个六十度的角，我就能够直接得到 b f h 是 一个等边三角形，这样的话等一下我去算这个长度就会变得非常好算。 然后我们来看一下，就是你所有的这个关系其实和前面其实都是一样的。然 然后呢？我们这里依然是设 ec 是 x， 这个时候注意 ec 变长了之后，整个 b e 的 话就变成了 x 减六，因为 bc 是 六嘛。 然后 b h 的 长度注意一下 b h 的 长度，它是等于一个 b f 的， 然后 b f 是 等于得 b 减掉得 f， 然后得 b 是 一个六，然后得 f 呢，是等于 b e 的 b e 是 一个 s 减六，所以 b f 的 话等于个六减掉括号 s 减六等于 b h。 好， 同样的方法，我们就把这些所有的这个长度关系给求出来了。然后呢这个 b e j 来看一下 b e j 和这个 e f h， 这里的话，因为这里这个角是六十度，然后这个角的话是不是也是六十度？所以根据这个平行的话，是不是直接就是一个平行相似，我依然能够得到它们两个是相似的，然后它们两个相似之后， 我把这个所有的这个长度带进来 b j 一 点五，然后 h f， 刚才我们算了是十二减 x， 然后 b e 的 长度是一个六，然后这个 e h 的 长度 是一个定值六，然后的话 x 就 算出来等于九，所以的话这种情况下 c e 等于九。然后第三种情况，我们来看一下这个图，可能有点模糊了，我们稍给它补充一下。 好，依然是我们的平行四边形 a b c d， 然后这个时候呢， e 点跑的比较远，他跑到外面来了。好， e 点这个时候在这里，然后 h 点的话，那肯定跟着他也一起跑到外面来了，就比较远的一个地方， 然后的话这里是 ab 的 这个延长线，然后得 b 的 延长线相交于这个 f 点，在这里。好，大概图是这样的，我们补全一下。 ok， 然后前面剩下步骤其实和前面大部分都是一样的哈，就是这个得 f 呢，依然是等于这个 b e， 然后现在依然是设这个 c e 是 x， 然后这个时候因为 c e 还是比较长，所以 b e 的 话依然是等于个 s 减六， 然后来看一下这个 b f 的 长度就等于 b h 等于这个 h f， 然后主要是我们去看这个 b h 是 好求的哈， b h 的 话，我们就直接是拿这个大的 c e 对 不对？然后减掉这个 bc， 然后再减掉这个 e h bc 的 长度是六，然后 e h 是 个定值，它始终也是这个六， 所以的话就是 x 减六，再减六等于 x 减十二。然后的话我们看一下这组的话，依然是可以去证明一个它的平行相似哈，这个 b h f 的 话依然是个等边，它是六十度，然后这边的话这个夹角 这里是六十度的话，这个夹角对顶角它也是六十度。好，依然是平行，平行的话我就可以直接用这个相似，相似的话我们就把各个这个长度带进去，然后把这个这个时候 h f 的 话，把它换成 s 减十二，然后 b j 的 话定值一点五比上等于这个 e h 六， 然后比上这个 e b 是 x 减六，这样的话我依然算出来这个 x 是 等于一个九加减三倍根号二。那我们看一下这个地方的话，因为这个 c e 明显已经很长了，是一定比六要大的，所以这个时候我选择的这个 x 呢，这个我就把这个九减三倍根号二，这个比六小的要舍掉了。 这个时候我想求的这个 c 就是 九加三倍根号二，那么这三种情况的话，其实都是符合的。所以最后的话我们写一句综上综上的话， c 的 长度等于九减三倍根号二，或者是九，或者是九加三倍根号二。
21:23查看AI文稿AI文稿好，今天我们来一起看一下深圳三十四小联考二模卷的第十九题，这道关于二次函数的综合与探讨题。首先我们来观察一下我们需要探讨的这个二次函数， y 等于 a， s 平方减二， a x 减三， a 如果说把这里面的每个 a 提出来的话，就变成了 a 倍的 x 平方减二， x 减三。 哎，那大家发现这个括号里边这个函数呢？它是一个我们能够确定它的顶点，包括它和 s 轴两个交点的一个函数。好，继续继续往下观察， 他说当这个小 a 等一的时候，那这个就非常简单了，我们直接把小 a 等一带进去，得到 y 一 的话是等于一个 x 平方减二， x 减三， 并且要求我们在图一的平面直角坐标系画出其函数图像。那我们在学习画二次函数图像的时候，我们是不是一般都是列列表瞄点，然后作图， 然后大家注意一下，如果是，我们在这样一个就是不需要我们列表的这样的一个情况下，我们可以观察二次函数那几个特征，就是说如果我们需要画图的话， 哎，首先第一点我们一定要去找一下这个二次函数的对称轴，我们做所有的二次函数题，对称轴都是我们第一步需要去关注的。好，那这样的话，我们找一下这个二次函数的话，它的对称轴应该是 x 等一，我们先把它对称轴标出来 好。其次第二步我们一定要去观察它和 s 轴的交点， 那么在这一步的话，我们令这个方程 x 平方减二，四减三等于零，这样的话，我们解得 x 一 的话等于负一， x 二的话等于一个三，一个是负一零，一个是三零，刚好图像上这两个也是已经标好了。好。第三个就是我们要去找顶点， 那么我们把这个 y 等于 x 平方减二， x 减三，化成顶点式的话，就是 x 减一的平方加四，所以它的顶点的话应该是一，哦，这里是负四 减四，所以它的顶点的话是一负四，来找一下一负四顶点在这个位置，然后的话我们用平滑的曲线把它们连接起来来看一下，有对称轴， 有 s 轴，焦点，有顶点，然后往上的话，这个地方如果你不确定，你可以再另外的去找两个点，其实就足够了。那像在这里的话，我们就直接能够往上延展一下，把这个二次函数给画出来了。好，那这就是我们第一问画图， 第二小问让我们观察特例中的图像，并且结合学习函数的经验，写出这个 y 等于 a 倍的 x 平方减二， a x 减三， a 的 两条特征来看一下特征哈，大家注意一下什么叫做特征，就是不管你 a 等于多少， 只要不等于零哈，不管 a 等于几，你都有的特点叫做特征。 这个地方，因为我看有些同学他写错，可能是写在就是 a 大 于零的时候和 a 小 于零的时候，开口方向可能说不一样，但是这种的话就不能够叫做特征。所谓特征就是一定要去找它的共同点，一定是去找共同点。 好，那我们返回来看一下这几个函数的共同点，来看一下我们的 y 一、 y 二和 y 三有什么共同点。首先的话开口方向是大小不一的，因为这个是由 a 的 正负决定的，我们的 a 的 话，它是有正有负的。 其次的话我们来观察一下，那就可以按照我们画图的时候来看的第一步来看一下对称轴，那么这几个二次函数对称轴非常非常明显，他们的对称轴其实都是同一条直线， x 等于一，所以的话，我们的第一个特征就直接去写对称轴，都是 x 等于一这条直线。 好，再来观察一下第二个特征。那除了对称轴的话，刚才我们还观察到 x 轴的焦点始终都是负一零和三零这两个点，哎，所以我们可以说这个图像的话，始终经过两个定点， 图像始终经过两个定点，哪两个定点呢？是不是就是负一零和三零这两个定点， 哎，这个是我们找的，就是不管你 a 等于多少，它都符合特征的这样的两个共同点。好，这是第二小问，然后第三小问，第三小问的话，其实是一个非常明显的给定 x 的 范围，求 y 的 取值范围啊，当然我们这也是求最值， 给定 x 的 范围，求 y 的 范围， 我说求 y 的 最值，对于这种给定范围求最值的话，一般来说我们就是去找这个 区间看来看一下 x 的 范围。比方说这个地方 x 的 话，它是大于等于负二，小于等于二的，那么你一个是去观察负二， 一个是去观察二，观察他这两个，一个最大值和 s， 一个最大值和 s， 一个最小值。另外的话就需要观察下对称轴，来看一下对称轴是否包含在给定的这个 x 的 范围里面。 像我们对称轴的话是 x 等于一，这条直线的话，来看一下一的话是不是一定是在负二到二之间，所以的话它相当于是包含对称轴，那我们就需要重点去关注负二、二和 s 等于一，这三个 x 取值的时候， y 是 等于多少？好，我们来看一下。对于这个函数，当 a 小 于零，那我们做这种二次函数范围题的话，是一定一定要去画一个草图的，我们来看一下开口向下的一个二次函数，好，大概画一下它的图像 经过负一零和三零这两个点，然后对称轴的话是 x 等于一，然后我们怎么去画出 x 在 负二到二的时候， y 的 曲值范围呢？来，我们找一下，首先在 s 轴上找一下负二， 然后做一条和 s 轴垂直的这样一条虚线，会和我们的二次函数产生一个交点，再来找一下 s 轴上找一下等于二，在这里，好，同样是去做一条这样的垂线，和我们的二次函数相交于一点，然后我们用红颜色的笔 把负二到二这个范围标出来，于是这个红色的部分就是当 x 在 负二到二之间， y 的 取值范围。那我们来看一下，首先的话，大家记住哈，如果给定的 x 范围， 假如说包含对 称轴，那么对称轴一定承包了它的一个最值，一定在对称轴上有个最值， 但是具体是最大值还是最小值呢？我们要根据 a 的 正负去确定。来看一下，当 a 大 于零的时候，我们是一个开口向上的二次函数，那么很明显我们在顶点这个地方取到的是最小值，那如果是 a 小 于零的话，开口向下， 我们很明显就在顶点的这个位置取到的是最大值，哎，所以说一定会有一个最值，但具体是最大还是最小呢？需要根据这个 a 的 正负来判断好。对于我们这个题目来说， a 是 不是小于零，他的开口是向下的，所以说我们应该是在顶点这个地方能够取到我们的最大值来，我们用一个星星给他标出来， 一定是在顶点这个地方取到最大值，好，最大值搞定了，我们来看一下最小值在什么地方取到，那大家记住哈，在函数图像里面，只要你的 y 在 上面，就说明函数值大， y 在 下面说明函数值小， y 在 上，函数值大， y 在 下，函数值小， 哎，那这样的话我们看一下就这个红色的部分，我们来看一下这个红色，哎，从这一路一路上来，一路上来，哎，然后一直到到到这个最大点，往下滑落一点点，然后能不能看到在哪个点的时候最低啊？哎，非常聪明，我们已经看出来了，是不是在这个最低的点 取到最小值，哎。这里我们有一个蓝色的星星来表示它，在 x 等于负二的时候，我们能看出来函数是最小的，因为二和负二的话，很明显是负二，离我们的对称轴更远一些，哎，所以这个地方的话，我们就非常明显，当 x 等于一的时候， y 我 们能够取到最大值，最大值的话就直接把 s 等于一代入到我们的这个二次函数里面就可以了，他就是 a 减二减三，哦，减二 a 再减掉三 a， 结果是一个负五 a， 然后最小的话，是不是当 x 等于负二的时候，哎，当 x 等于负二的时候， y 的 最小值还是把这个负二带进去，它等于一个四 a 减掉二 a 乘以负二，相当于加上四 a， 再减掉一个三 a， 然后这个算出来的结果是， 哦，上面这个地方应该是负四 a， 下边这个我们算出来结果是五 a， 然后我们看一下， 他说 y 的 最大值与最小值的差为六，那我直接拿这个最大值负四 a 减掉这个最小值五 a 是 不就可以了？哎，由题直接负四 a 减掉五 a， 结果是一个六负九 a 等于六，解得 a 的 话是等于一个负的三分之二，那么这个题我们就解完了。 好，然后我们来看一下第四题，这个第四题的话，其实思路上不是太难，但是你可能需要考虑到好几个点，我们一起来 分析一下。首先依然是这个带 a 的 二次函数，在这个地方，他没有像第三问一样告诉我这个 a 直接是小于零的，他只告诉我 a 不 等于零，说明我是不是需要去讨论一下这个 a 大 于零还是 a 小 于零。 那我们简单现在画一个草图看一下。当 a 大 于零的时候，我们的函数图像是开口向上的，我们简单画一个图像， 同样还是经过负一零和三零这两个点。然后我们再来观察一下我们的直线，直线是 y 等于 x 加一，我们一定要去观察一下这个直线有什么特征， 呃，这个直线的话，我只知道它的斜率是一 k， k 的 值是一，然后的话 y 等于 x 加一，它是不一定会过一个定点，它一定会过，哎，一定会过负一零这个点，为什么这个题我要这么说呢？因为它一定和二函数有一个我们本身已知的焦点，就在这个地方。 好，大概，大概我们的图像哈经过负一零，然后斜率是一的话，大概就是这个样子的。然后来看一下这种情况下，要求他在负二到二之间的图像，那像上一问我们刚才画的负二到二之间的图像的话，这是三， 二的话，大概在这个位置我们还是用红色把它标出来。现在在负二到二之间的图像应该是这样的。那大家看一下这段红色和我们的直线是不是只有一个交点，因为你二，你在 s 取二的时候， 你的 y 一定是小于零的，你不可能和直线在这个上方产生交点，所以 a 大 于零这种情况本身就是不成立的，所以我们直接去讨论 a 小 于零的这种情况就可以了啊。这个地方可以简单的写一下，就是当 a 大 于零的时候，就是不会有两个交点，就这样提一句 就可以了。然后我们具体来看一下，当 a 小 于零的时候，我们就和上一文化的图像大概是类似的啊， 好，同样的经过负一零这个点，然后对称轴的话是 x 等一， 然后经过三零这个点。好，然后我们来看一下同样的还是一个 直线，然后我想让它和我的这个有两个交点。我们先来画一下正常的情况，假如说二，我在这个地方取到的话， 是不是这样直线和我们红色，来用红色标示表表表示一下这个负二到二的这个部分哈，我们叫做图像 j， 来找一下图像 j 是 哪部分，我们用红色来表示图像 j 好， 大概就是长这样的时候，大家会发现刚好有一个两个，两个交点，那么这种情况下的话，就是我们需要找的这个 a 的 曲值范围， 那我们找 a 的 曲值范围的话，我们要确定一下什么时候他刚刚好是那个临界点，什么时候就是可能你的 a 比这个值一小，或者说比这个值一大，我们就不符合我们的题目的条件了，这个是我们要找的这个结论。首先我们来想一下 有两个焦点，有两个焦点第一步反应的是不是就是连立，连立倒数大于零，那什么情况下只有一个焦点？因为我们是确定一定会有一个焦点负一零，这个点他是一定会过的。所以我们说在第一种特殊情况的时候，就是相切， 当你的直线刚刚好和二次函数相切的时候，我们是只有一个交点。然后另外一种情况的话，大家看一下刚才我画的这个点比较比较显，刚刚好在这个上面一点点，如果我再稍微往下压一下， 比方说可能长这个样子，这是我的直线，好，大概大概的话是长这个样子，然后假如说我的二在这里，哎，我的二在这里。 然后大家看一下这种情况下 红色部分，哎，又是指和这个直线有一个交点了。假如说这个二次函数呢？我们叫 y 二，这个一次函数呢？我们叫 y 一， 大家来看一下，当 x 等于二的时候， 当 x 等于二的时候，这个时候我们的函数值 y 二，它比函数值 y 一 要大， 那这种情况下我们就产生不了交点了。来看一下左边，正常能够产生交点的时候，这个时候很明显 是 y 一 比 y 二要大的，所以我们要保证至少有两个交点，我起码要保证 y 一 它是要大于等于 y 二，我们才能产生两个交点， y 一 等于 y 二的时候，刚刚好这个交点，就最后一个交点嘛，就刚好落在这里，所以等于是可以的哈，但是大于就不可以了， 哎，那右边我看了，左边我是不是也需要看一下？我们再来看一下左边，如果说这二函数比较趴，可能长这样，然后呢？我们的负一零在这个位置， 然后同样还是这条直线，他可能，哎，负二可能在这个位置已经过去了，然后我还是用红色把我们的这个范围表示出来，可能大概在这个位置， 大家看一下，哎，这个时候是不是同样只会有负一零这一个焦点，因为另外一个焦点落在了 x 小 于二的这部分，小于负二的这部分，所以说我们需要考虑， 一方面是相切的这种情况，我们要给它舍掉，刚好相切这个值，我们要给它舍掉，就是倒数等于零的这个情况，我们要舍掉。然后第二种情况，那就是在右边这个边界，要求一次函数在 x 等于二的时候，一次函数的值要大于二次函数的值。 第三种情况，哎，就是在 x 等于负二的这个地方，大家看一下，在 x 等于负二时，如果说这里二次函数的值 比一次函数值要大，那么发现还是产生不了交点，所以我们只能向左边一样，当 s 等于负二时，同样是 y 一 要大于等于 y 二。所以的话，我们可以得到三个式子，第一个式子就是得它不等于零。 第二个式子是当 s 等于二的时候， y 一 要大于等于 y 二。第三种情况就是当 s 大 等于负二的时候， y 一 要大于等于 y 二。来，这样的话，我们来简单的写一下这道题的过程， 来简单写一下这个题的过程。好，第三问。呃，第四问解。 我们首先来看一下我们说已知直线 y 等于 x 加一，它是一定过负一零这个点的，因此我们的直线 y 等于 x 加一，与我们的 y 等于 a 倍的 x 平方减二 a， x 减三 a， 它一定是至少有一个交点的。 那我们先来研究一下当有，就是当刚好相切的这种情况，当 y 等于 x 加一，刚好与二次函数相切的时候， 相切相切，求交点。还记得吧，我们是不是连立， 直接连立我们的直线 y 等于 x 加一，以及连立我们的二次函数 y 等于 a 平方减二， x 减三 a， 这样的话我们能够得到一个连立方程。这里我简单给大家写一下，应该是 a s 平方减掉二 a 加一倍的 x， 再减掉一个三 a 加一等于零，这样我们来简单算一下德尔塔， 德尔塔的话应该是负的二 a 加一，这个整体的平方减掉一个四倍的 a， 乘以一个负的三 a 加一。 好，这个我们简单计算一下，算完之后应该是一个十六 a 方 加八 a 加一，要求这个点它等于零。大家看一下这个是不是刚好是一个完全平方公式呀？ 哎，也就是四 a， 首项是四 a， 尾项是一，中间是加号四 a 加一的平方等于零，这样的话解得 a 等于一个四分之一，也就是说在 a 等于四分之一的时候，刚好我们是一个相切的，所以到最后我们一定要把 a 等于四分之一这个值从我们的范围里面 分离出去啊。最后一定记得加上 a 其实是不能等于四分之一的，所以 a 的 曲值范围是不能等于四分之一的，因为当 a 等于四分之一的时候，是刚好相切的。好，我们再来看一下第二种情况，当 x 刚好等于二的时候，我们要求二次函数的值要大于一次函数的值，那我们直接把它带进去算一下就可以了。当 x 等于二的时候，我们的一次函数 y 一 的话，它应该是等于一个 x 加一，也就是二加一等于三，那我要求这个 我带，我带你来。这个 y 二 y 二的话，应该是等于四 a 减四， a 减三， a 等于个负三 a， 我 要求这个负三 a 呢？要哦，这里应该是 y 一 大于等于 y 二， 好，要求这个 y 二，这个负三 a， 它要小于等于三，这样的话，我们能够解得 a 的 话，是要大于等于负一，一定记得不等号方向要改变好。然后再来看一下，当 x 等于负二的时候， 此时我的 y 一 应该等于负二加一等于负一，我的 y 二呢，应该是等于一个四 a 加四， a 减三， a 等于个五 a， 要求这个五 a 它要小于等于负一， a 的 话，要小于等于一个负五分之一。然后最后我们把这几个放在一起，又要满足 a 大 于等于负一，又要满足 a， 小 于零 又要满足 a， 小 于等于负五分之一，还要满足 a 不 等于负的四分之一。所以最后我们能够得到一个结果，就是 a 的 范围要在负五分之一到负一之间 哦，这里应该反过来， 且 a 不 等于负四分之一，这个大家一定要加上 a 不 等于负四分之一， 并且这个负一和负五分之一的位置大家注意一下，不要写混好，这个就是我们的第四题，一定要结合函数的属性结合，找到刚刚好符合条件的临界点。
08:55查看AI文稿AI文稿hello， 来，我们今天看身外二模的第十三题，那么我们知道最近考这个线段长度考的是最多的，老规矩，线段长度有三个，咳，这个解析的这个路径，第一个就是解三角形，也是目前来说 出现的频率和用的最多的解三角形，大家要知道有两个基本的工具啊，第一个就是勾股定律，这个三边关系嘛，对不对？在直角三角形里面三边关系，那么第二个就是你有三边关系，我可不可以通过角度沟通角度和边长之间的关系呢？当然可以，初中学了，我们已经学了三角函数嘛，对吧？ 简单写一下三角函数，那么第二个除了解三角形，第二个就是相似，这个也是用的非常少，好吧， 好，那么讲完之后我们来看看题吧，说这个边长为三的正方形里边 e 是 边长上边上 a b 边上的一点，并且呢，有这个二倍关系，所以我们知道 a e 等于二， b， e 等于一，对吧。又将这个三角形 d， c， e 这个三角形 下面这个三角形啊进行了一个关于 c e 进行了一个折叠，所以这两个三角形就是全等的，并且呢， b 点的对应点是 f 点，所以我们可以连对应点，中间这个对称轴肯定是垂直平分的嘛，对吧？ 哎，那么在这两个条件下，让我们求什么呢？让我们去求这个还是删掉啊，求这个 p b 的 长度， 也就是上下面这个三角形折叠上去， b 点得对称，得到了一个新的 f 点，然后连接这个 d f 延长和这个对称轴。原来有个对称轴吗？相交于点 p， 最后把这个 p b 连起来，求这个 p b 的 长度， 老规矩，优先考虑解三角形，所以优先去看 p b 所在的三角形，目前我们看到有三个，那么我们选条件最多的那一个去尝试，哎，发现 p b e 和这个 p b c 条件都还可以，对吧？ 条件一样的啊，一样多， p b e 里边有个一啊，那么这个角也是知道，因为它隔壁这个角的三角函数知道嘛，就相当于这个也是知道，所以我们还需要一个条件，在这个三角形，当然你放到 p b c 也行，这个是三，这个角度知道我们还需要一个条件，对吧？ 两个逻辑是一样的啊，因为这两三角形有重合的地方了。那么接下来就来看刚才给的这个折叠的条件，能否给我们 把新的条件带到这个三角形里面去，比如说这些角啊，这个边呢，是不是能够求到，好不好？那我们就来看啊。其实这个题平时有积累的同学是比较清晰的，他的他的这个逻辑， 因为我们知道 c b 等于三， c d 等于三，这一开始就是一个共点等线的这个结构，然后又加折叠，所以这个题我们先写到这里啊，共点等线加折叠是这个题的主线，也就是这个题考的其实是半角啊，主线折叠也叫对称嘛，对吧？ 其实这里就会出现绊脚，我们给大家讲一下这个逻辑啊，我们说听题也好，做题也好，一定要干嘛？一定要拎出你遇到的每个题的主线，因为通过主线的分析，我们能找到什么呢？找到可以复制的逻辑， 有可复制的方法也好，可复制的逻辑也好，方便我们下次用才能够举一反三嘛，对吧？那你说一个题里面除了主线以外有很多细节的东西，我不可能说全部，当然你要都知道对不对，但是我们抓住主线之后，那个可复制的逻辑就会很清晰，所以大家一定要去学会抓主线啊，抓主线之后 盯着那个主线去弄啊。所以这个题为什么叫说半角是主线呢？你给大家讲一下啊。比如说你发现有一个 o a 等于 o b， 其实这是一个等腰的这个结构，我们 ab 没连而已，对吧？但凡在这个状态下，我们把其中一条边关于某条线进行一个折叠，比如说我们先画一个对称轴吧， 我们说这个是对称轴，这条线叫 a 了，然后把 o a 关于这条线进行一个对称，得到了一个 o a 一 飘，当然他很多时候是把 o a 所在的某个三角形， o o a c 之类的，对吧？对称过来， 那你会发现 a 和 a 一 漂是对称的，我们把 o a 一 漂连起来之后，你会发现这个条件中出现了。我们设 o a 等于 o b 等小 a 吧，那么 o a 一 漂也等于小 a， 又发现出现了共点等线的三条等线段，那么这个图里面一定有三个等腰三角形。明白啊，三条等线段相互组合， 一定会出现三个等腰三角形，所以这就是出半角的地方，我们发现它因为折叠这个而法就等于这个而法，那么又因为这个 o a 等于 o b 出现了新的等腰，我们给它连起来等腰。最直观的辅助线应该是三线合一，我们做一个三线合一，你会发现这里又出现了两个等角，我们设为 b 塔好了， 原来的角 a、 o、 b 就 被两个 alpha 和两个 beta 给平分掉了，给分掉了，对吧？那么二倍 alpha， beta 就 等于角 a o b， 如果说这个题里面的 a o b， 这里的角 b c、 d 其实就是这个结构，它告诉你等于九十度的话，那么这个 alpha 加 beta， 也就是中间这个部分是不是就应该四十五度？ 如果它告诉你是六十度，那中间这个部分是不是三十度？如果它告诉你 a、 o b 等于一百二十度，中间这个角是不是六十度？朋友，我们现在正在分析的就是可复制的主线逻辑， 对吧？今天给九十度，明天你遇到一个菱形，这里是菱形，两边也是相等，对不对？就是这个结构，假设他给的是一百二十度，那么同样又做了一个折叠，你是不是能想到这里就有这种结构呢？对不对？好， 那么这个题的主线就在这里，我们先想到这里啊，我们说刚才我们需要这个三角形和这个三角形多一个条件，那我们看啊，这个做一个三线合一，因为 c f 等于 c、 d 嘛，我们得到了这三个都是三嘛，那么这里就是九十度， 我们发现中间这个角一定是四十五度，为什么？因为这个阿尔法，这个阿尔法这个 beta， 这边是 beta， 那 么阿尔法加 beta 必然是四十五度。 现在注意啊，这个四十五度，这里是一个直角九十度。你看一下四十五度和九十度所在的三角形，应该是有一个三角形，对吧？ c， 假设这个角 o 点 c o p， 所以 这个角 o p c 这个角就等于四十五度等腰直角三角形， ok 啊，那么因为刚才是对称的，所以这个角也应该是四十五度。好了，整个问题到这里就已经解完了，我们熟悉解三角形的同学会知道，哎，这里四十五度，这个角我们也是知道的，我们在这个三角形 p、 b、 c 里面搞吧。好吧，都行啊，你放到 p、 b、 e 也行， 这个角的角度，我们知道它的正切值应该是一比三，对吧？我们要把两个知道解三角形，要把两个知道的角都放在直角三角形里面，所以我们过这里做一个垂直假设，叫 b h 吧，那么我们就知道，因为这个设为 alpha， 它减去 alpha 是 一比三，对不对？所以我们就可以设这个 b， h 是 a， 这个 c， h 是 三 a 好，那么 bc 就 应该等于根号十， a 等于三，那么 a 就 应该等于十分之三倍根号十，对吧？ a 知道了，那么 a 所在的三角形，我们发现 p、 h、 b 就 应该是一个等腰直角三角形，对吧？那么 p h 也应该是 a， 所以 p b 就 应该是根号二 a， 我 们要求的这个就是根号二 a， 那 就等于根号二乘以十分之三倍根号十，稍微约一下就等于五分之三倍根号五。那么这个问题到这里就结束了。 当然其实你发现这个是折叠是对称的啊，你连接 b、 f 之后，如果我们正到这里四十五度，这个就应该是九十度，对吧？又是一个等腰直角三角形吧，因为这两边是对称的， p d 等于 p f 的 等腰直角三角形，你也可以去用什么呢？连接 p d 用什么？用这个手拉手的这种方式去处理都行，但是其实 解三角形的逻辑，在得出四十五度这一瞬间，你就知道这个题结束了，就不需要再去做更复杂的这个变化了，好吧？逻辑是这样，所以请大家在之后练题和练考的过程中，一定要有这个思路，就是每个题你一定要抓它的主线，那么主线是什么？这个题的主线 等腰的这个场景，对吧？其中的一个边做了一个对称或折叠，出现了共点等线的三条线段，当然我们是往内部折叠的，本来原来这个角知道往内部折叠，关于这条线对称，那么如果说往外部折叠呢？对称轴在这儿，比如说这个圈圈折叠到这边去，对吧？大家去思考一下这个问题， 为什么我们讲抓住主线之后，你要去反复的推演这个逻辑结构呢？对吧？第一个要思考，要提怎么推演，就是提问题。第一个大家要提的问题就是今天遇到九十度， 明天如果这个角度变了呢？变成一百二，变成六十，你依然能够锁定它，这个就是我们 通过主线找可复制逻辑的基本准则，对吧？明天变一个场景，你也能够识别到它。那么第二个大家要问的问题就是，你看 今天是关于这个 c、 e 做对称，对吧？其实是往角度这个九十度角的内部进行折叠嘛？那明天我可不可以关于这条线进行对称，让这个 c、 b、 e 对 称到这边来呢？ 那如果说外部向外部的这种折叠和对称，这个半角是否还存在呢？ 如果存在的话，那他的角度又是怎么变化的呢？哎，这个就是通过提问题，拎住主线去找到新的可复制的逻辑的核心办法。其实就是提问题他没有那么玄乎啊。那同学们去解决一下这个问题吧，好不好思考一下？那么这个题就到这里。
01:53查看AI文稿AI文稿难题都是日老虎，这题一根辅助线都不用补。首先还是开发条件，直角三角形 a、 b、 c、 b、 a、 c 等于九十度， a、 d 为斜边上的中线。命题老师明摆着让咱用斜中定律， 直角三角形斜边上的中线 a、 d 等于斜边的一半，就等于 b、 d 也等于 c、 d。 据等边对等角可以知道这两个底角相等。 又说 b、 e 垂直， a、 d 多垂直， b 倒角，由此推到角 a、 b、 e 也是 r 法非常，因为角 a、 b、 e 和 d、 a、 c 都跟点点角互余。再看下一个条件， a、 e 等于二， a、 c 等于根号三倍， b、 e 看到两条线段之比就要强相似，所以要把这两个线段放到三角形中。 结合之前推到的等角阿尔法，发现 b、 e 在 直角三角形 a、 b、 e 中，而 a、 c 也在含阿尔法的直角三角形 a、 b、 c 中。根据两组角相等，可以推到这俩三角形确实相似，而且 b、 e 和 a、 c 都是阿尔法角的邻边，确实也是对 对应边。为了让同学们看着更清晰，老师把相似三角形的对应边写出来，由 a、 c 等于根号三倍 e 得到相似比是根号三， a、 e 等于二，由此得到对应边 a、 b 的 长就是二倍根号三。在直角三角形 a、 b、 e 中用勾股定律求得 b、 e 的 长是二倍根号二，所以 b、 e 的 对应边 a、 c 是 二倍，根号六。直角三角形的两条直角边已经出来了，那么直角三角形 a、 b、 c 的 面积就等于二分之一乘二倍根号三。乘二倍根号六等于六倍根号二。 而我们又知道中线把这个三角形分成面积相等的两部分，所以问题问的 a、 c、 d 的 面积就是大三角形面积的一半。六倍根号二乘二分之一等于三倍根号二。 show case 哪里？
39深圳双提数学
02:48查看AI文稿AI文稿难题都能变，简单跟官官一起来闯关，这是南山实验二模填空小压轴，有点难度，跟紧了，还是一起来开发。条件 o 为变 a、 b 的 中点，所以 a、 o 等于 o b。 下一个有效条件 c， o 等于 o， d 加 b、 d。 这是咱七八年级常见的截长补短，说白了就是 o、 c 被分成了两部分。那怎么把一条线段分成两部分呢？ 取个点就完了。我有权在 o、 c 上取一点 p， 使得 o、 p 等于 o、 d。 那 么根据这个等式和图可知，剩下的这条线段长 c、 p 就 等于 b、 d。 到这儿还没完，我们会惊讶地发现，这出现了 a、 b 和 d、 p 互相平分，所以 判定出四边形。 a、 p、 b、 d 是 个平行四边形，那么这两组对边就分别平行且相等，就可以倒边倒角。 好，我们一起来开发这个角度清晰角， d、 a、 b 在 这呢条件说的是它俩积压，那么就要把它俩拼一块去。所以根据平行四边形，对边平行内错角相等，我就把点点角转移到这里了，这俩角就拼成了一个大角， 那么这个条件就可以翻译成 d、 b、 p 等于 d、 c、 b。 出现等角要小心。共边且共角。我们把角的两边无限延长，无限延长，发现它真的拼成了一个公共角， 真的考到了这个热门共边且共角的相似，也就是三角形。 b、 d、 p 相似对应边乘比例。列出来 最后一个条件， a、 d 等于四，用上 a、 d 的 对边， b、 p 也就等于四，也是相似的一条对应边，所以把这个空填上。 此时问题问的是 b、 c， 那 我们就知道方向了，去求相似比，用后面的这个等式构建一个方程出比例一起来设参 b， d 设为 x 就是 x， d， p 设为 y， 此时天空得到 x 比上 x 加 y 等于 y 比 x 交叉相乘并整理，就得到外方加 x， y 减 x 方等于零。解方程解得 y 比 x 等于二分之根号五减一。因为 y 比 x 就是 相似比，所以数据代入得到二分之根号五减一等于四比 bc 计算可得 bc 等于二倍，根号五加二。所以这就是最后的答案了。 show case 哪里？
143深圳双提数学
