唐山二模数学三角函数
哈喽，小宝们，大家晚上好呀，好久不见啊，对吧？那么我们今天还是继续咱们之前讲的三角函数和减三角形的一类大题，那么在之前的时候，老师给大家讲了这道题的第一小问，我们 f x 解析式是怎样去求解的，对吧？那么我们题接上集啊，我们来看一下我们的第二小问，怎么去求我们函数的一个值域。 好，那么从第一小问当中啊，我们已经得出了 f x， 它是等于我们二倍三点二 x 加三分之 pi， 对 吧？好，那么我们来看一下我们第二小问是怎样去求解的，他说函数 将我们 y 等 f x 的 图像向左平移十二分之 pi 个单位。好，那么在这一点的时候，大家一定要注意很多，小宝他们会 进入一个误区，就是左右平移，大家是知道的，向左平移就是左加，对不对？向加右平移就是相减，但是呢，大家会犯一个错误，就是在整体上进行加减，但我们的平移一定是在 x 上面进行加减，什么意思呢啊？我们就通过这道题来讲一下， 它左移我们的 f x， 左移我们的十二分之派个单位，那么它指的就是呀， 形成我们的 g x， 其实就是将我们的二倍三引，你看啊，本来是二倍的，对吧？ x 前面是二的这个系数，我们要将二提出来，在 x 上面进行一个加减，左加，那么加的就是我们的十二分之派， 然后右边这个三分之派不用管它啊，就写上去就行了，得到的就是我们 g x 的 图函数的一个解析式，那么我们将 g x 这个东西它的解析式进行一个化解啊，我们一起来进行一个合并，它就等于二倍三衍， 咱们的一个什么二 x 加上我们的什么六分之派加三分之派，大家知道呀，咱们六分之派加三分之派，它是等于二分之派的，对吧？好，我们就继续写， 等于二 x 加咱们的二分之派。好，那么大家看到这个二分之派的时候，是否会想到什么呢？ 是不是想到我们的一个什么呀？又到公式了，对吧？只要啊大家看到二分之派的倍数 这种形式，大家应该首要先想到是我们的诱导公式啊，因为我们的诱导公式其实就是二分之派的一个倍数，它进行一个什么呀？进行一个周期性的一个变换。好，那么我们知道呀，我们的诱导公式是不是这样讲的，既变偶变，符号，看象限 对不对？好，那么还是写成我们诱导公式的一种形式啊，把二分之派放到前面去啊， 等于这样子有助于大家去理解它，二分之派加二 x。 好， 注意了，你看 二分之派前面系数是不是一对不对？既变偶不变的基，指的就是二分之派前面的系数是基还是偶，那么它等于一，那么就是基数，对不对？那么它叫变，那么最终变的就是直接啊，你可以直接写变成我们的扩散二 x 了。 但是符号看象限前面这个符号是正还是负呢？看的是整体括号里面在第几象限， 那么在第几象限我们是怎么去判断的啊？大家一定要记住我们后边这个根的这一个整体，它其实一直都是我们第一象限的角， 这也是大家特别容易误解的一个东西啊，不管是多少，它反正整体就是第一项线的角，你第一项线的角加了一个二分之派，那就是逆时针旋转了我们九十度，对不对？那么我们的二分之派加二 x， 它就变到了第二项线， 第二象限的三影，看的是变之前的那个函数的正负啊，第二象限的三影为正，对不对？所以说我们这里就是正号，所以说我们的二倍三影二分之拍加二 x， 它进行一个 我们的一个诱导公式的一个变换之后，它就是我们的扩散二 x 啊，好，那就是我们的二倍扩散二 x， 那么我们要去求他的一个直域，是不是事情就变得很简单了，对吧？那么他的直域，我们，哎，大家一定要清楚啊，所有函数 直域他一定有两个东西去决定，有什么呢？一个是我们的地域，第二个是我们的单调性， 那么现在他一定会给出我们的定义域的。看这道题，他给出了我们 g x 在 零到三分之派，那么这个零到三分之派就是我们 x 的 取值范围，也就是我们自变量的一个取值范围，也就是我们的定义域。 给出定义域之后，让你去求值域，哎，这你就知道呀，我们缺少的是什么呀？解啊，我们的一个单调性，对吧？单调性怎么去找？当然是看图像喽，对吧？那么这个时候我们就知道了，其实我们现在要去看的是扩散二 x 它的一个图像， 对吧？啊？但当然我们一直以来都知道三 x 扩散 x 和探间梯 x 的 图像，那么咱们就现在就可以把这个二 x 看成一个整体，看成个体， 那么就是扩散以 t， 扩散以 t 的 图像就是扩散 x 的 图像，那么我们怎么去表述它呢？啊？这样子可以用我们的换元法或者是整体代换的思想啊，因为我们的 x 是 属于我们的零到三分之派的， 那这样是不是就可以说明我们的二 x 或者啊？老师在这里给大家写， t 等于二 x， 它是属于我们什么呀？零到三分之二派，对吧？哎，那现在 t 是 属于零到三分之二派了，你画扩散引 t 的 图，图像是不是很简单了，对吧？咱们来看一下，把图像画在这里啊， 扩散引 t 的 图像是很简单的呀，咱们知道呀，就是扩散 x 的 图像嘛，对不对？它是不是应该这样子，从这里开始跑，往下跑， 跑到这个位置。为什么老师只给大家画这一部分的图像呢？因为他的自变量的取值范围是零到三分之二派，那么大概就是三分之二派是小于我们的派吗？这是不是咱们的派对吧？所以说三分之二派在这， 所以说在零到三分之二拍上，我们的什么啊？函数是越来越小的，那么它就是一个单调递减的一个性值啊，它的一个啊， 单调性，单调性啊，就是这样子的，那么它单调递减，那就说明什么呀？它的最小值一定是在它的右端点进行一个取得，对不对？好，那么这个时候我们 g x 的 一个最小值啊， 是不是就是在我们的整体 t 属于我们的三分之二派的时候，对吧？等于我们三分之二派的时候，那么就是二倍扩散以三分之二派， 对吧？好，那么当然扩散以三分之二派，大家自己去计算啊，如果有问题可以打在评论区，我告诉大家三分之二派怎么算的，因为很多同学他们在算三分之派就是三个特殊角的时候，是知道怎么算的啊， 可以用我们的诱导公式去计算啊，都是可以的，那么它其实是等于我们的二乘以咱们的 负的二分之一就是我们的负一啊，所以说我们七 x 的 一个最小值就是咱们的一个负一啦， t x 的 最小值，那么至此啊，这道题的整体速度就一就是这样子了啊，大家一定要注意啊，所有的止欲的一种题型，我们都是可可以这样去做的啊，就是把我们的 扩散引三引或者是探间题，他那么整体里面的他的一个范围给求出来，然后再利用咱们的图像去看他的单调性，找到他的最大值和最小值，那么他的值域就可以完全确定了。 当然值域知道了，我们的最大值和最小值是不是也就确定了，反正都是我们值域范畴的一些东西啊。好吧，那么这道题老师就给大家讲到这里，那么 如果想继续学习的话，大家可以关注我，我后续会更新非常重要的一些考点啊，知识点，还有我们的一些专题。好，下课。
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图像的这个位置啊，取到它的一个对称轴，对不对？在这个位置取到它的对称轴，所以此时咱们把六分之派带进去啊，那就是二乘以六分之派加派，它其实应该等于什么？是不是应该等于负的二分之派加上 二 k 派，这才是它的这条对称轴啊，那这里 k 呢，是属于整数级的。好，那我们把它呃移向一下啊，那这里是六分之派啊，三分之派。好，那 f 是 不是就等于负的二分之派减三分之派，那就是负的 六分之五派再加二 k 派，那我们 f 出来了啊，那这里呢？呃，一般来说啊，这个 k 啊，一般来说可以取零 k， 取零时，咱们的 f， 它是等于负的六分之五派的。所以啊，咱们这里啊， f x， 它就等于 sine 二 x 减六分之五派，那接下来 f 十二分之五派，你直接带进去算不就可以了吗？那最后算出来结果啊，咱们自己去算了啊，最后结果是二分之根号三选 d。 哎，这是这道题， 那重点呢，就是咱们先要把两个未知数啊，先算出一个，再去算一个，那你要知道哪个条件是去算哪个？呃，参数的。 好，接下来我们再看一道题啊，它说函数 f x 等于 sine， 三分之 x 加 cosine 三分之 x 的 最小正周期和最大值。好，大家看到这样的一个形式啊，让你去求什么最小正周期，最大值最小值的。哎，什么都不用想，我们就用辅助角公式 啊，一个 sine 加一个 cosine 的 一个形式啊，那这里呢？ f x 我 直接用辅助角公式啊，那就变成根号下 a 方加 b 方，那就是一加一乘以 sine， 三分之 x 加 sine 啊，那这里呢？ sine 是 多少啊？哎，很明显啊，这里的 sine 是 四分之 pi。 哎，这下呢，咱们就给它化简出来了啊，那 f x 等于这个啊，那前面是根号二，后面是 sine， sine 的 最大值是一，对不对？所以整个函数它的最大值是不是就是根号二？哎，要 b d 排除 好，再来看最小正周期，那我们最小正周期有公式的，等于二派除以欧米伽，那这里欧米伽是几啊？是三分之一，所以最后它最小正周期是几？是六派选 c 啊，这道题呢，你要会用这个辅助角公式啊，算出来就是非常非常快。 好，接下来再看一道题，已知函数 f x 等于 sin omega x 加 f 啊，如图， ab 是 直线 y 等于二分之一与咱们曲线 f x 的 两个交点，若 ab 等于六分之派，则 f 派等于几？那这道题是不是跟咱们第一道题很像呀？ 对不对？两个未知参数，让咱们去利用题目中的条件去一个个求解。好，我们先来看这个条件啊，他说 ab 的 长度是六分之派，那我假设 b 点啊，对应的这个 x 坐标是 x 二， a 点呢？是 x 一， 那我是不是一定有咱们的 x 二减 x 一 等于 六分之派？我们再来观察这个图像啊，很明显，它们俩都是在这个 y 等于二分之一这个线上的。那我把 x 一 带进去，我们的 sine omega x 一 加 five 等于等于二分之一，那说明什么呀？说明咱们的 omega x 一 加 five， 它应该是等于 咱们的六分之 pi 加上二 k pi 的 这里， k 呢，还是一样的属于整数 啊，对不对？为什么呢？因为你发现啊，啊，在这样的一个周期上啊，这个 x 一 a 对 应的点是在这个偏左边的这里啊，那 b 对 应的点是在偏右边这里。所以说相应的啊，咱们 omega x 二加 five 啊，它就是等于六分之五派，加上二 k 派了，那 k 也是属于整数的。 好，那现在啊，这是一式，这是二式，那我用二式减去一式，我们得到什么呢？哎，我们得到欧米伽贝的 x 二减 x 一， 它等于三分之二派。哎，那此时啊， x 二减 x 一 等于六分之派，那我的 欧米伽乘以六分之派，是不就等于三分之二派？那欧米伽等于几啊？欧米伽等于四 啊。接下来，那我们就用这个条件把咱们的欧米伽啊第一个位置的参数给它算出来了。那接下来还有个斐呀，斐怎么求呢？ 哎，别忘了啊，我们这是带图的一个图像，除了 ab， 哎，他在图像标出来之外，我们是不是还有一个三分之二派标注出来了，对不对？同学可能就会忽略这个地方啊。那么再来看啊， f 三分之二派，它等于什么呢？等于 sign， 三分之八派加 five 等于零，那说明什么？说明咱们的三分之八派加 five， 它应该是等于 二 k 派的，哎，注意啊，它这里的零点是在这里啊，它的零点左端是负的，零点右端是正的。说明啊，它那里面的这个三分之八派 加 f 是 应该等于二 k 派的，那这里 k 呢，也是属于整数啊，这个要注意啊，我们这里可以利用图像来判断它的这个呃，取值。好，那我们再给它化解一下啊，那 f 是 不是就等于负的 三分之八派加上二 k 派，那这里啊，一般来说我们 k 会取零，但是这里呢，你看，负的三分之八派是很大的，我们要尽量让它靠近零啊，所以说这里的 k 呢，我可以取一， 所以此时 find 呢，它就等于负的三分之二派啊，那 find 也出来了，对不对？所以说咱们 f x， 它就等于 sine 四 x 减三分之二派啊，那 f 派你直接带进去就能算出来了，所以说最后答案是负的二分之根号三。哎，这是一道题 好，大家会发现啊，这个考点其实难度都不大，最主要的就是你要去了解，完完全全的去了解 sign 图像的所有的性质，包括它的周期啊，包括它的这个单调性，在某个区间上的单调性，一定要了解的非常清楚啊，是说这种升分题啊，大家还是要细心一些 好，接下来呢，我们讲讲这个第二个考点啊， y 等于 a 倍的 sign， omega x 加 phi 的 图像变换啊。那图像变换啊，这块我相信很多同学其实 就是啊，平时做都会对不对，但是有些同学一上考场啊，就开始做不对了，就开始丢分了，为什么呢？哎，因为你到考场上啊，你很可能会因为紧张忽略到某些小坑。那我们今天就一起来看看啊，这块有什么坑？那这个考点呢，近十年也是考了有十四次啊，那这块考法考你什么？考你平移， 考你伸缩，哎，考你向位变换，就是考你平与伸缩的一个先后变换啊，先后变换，那这里方法呢，我们就要区别啊，你先平移和先伸缩到底有什么区别？哎，一定要做好区别，那左加右减，上加下减这个口诀呢，也是咱们得熟记于心的。 那我们来解释一下先平移和先伸缩的一个区别哈，我们这里有两个函数， y 等于三 x 和 y 等于三二 x 加三分之派，那我要想左边变到右边啊，如果说我先平移啊，我是不是就可以把这个图像我先 去平移多少啊？平移三分之派个单位再伸缩，然后我再对这个 x 进行变换啊，那此时我们这里是先平移个三分之派个单位，然后再进行啊，两倍的一个缩小。那如果我是先伸缩呢？ 啊，那我是不是先把这个三 x 变成了三二 x， 那 我再想从三二 x 变成后面这个式子，我要平移的还是三分之派个单位吗？哎，他肯定就不是了，对不对？所以说这里大家一定要注意啊，我们先平移还是先生说，哎，这个一定要区分清楚。 好，那接下来呢，我们来看一道题，他说函数 sum omega x 加三分之派的图像，向左平移了二分之派的单位长度后，得到曲线 c 且 c， 它是关于 y 轴对称的，那 omega 的 最小值是多少？那我们来看啊，这个图像向左平移，左加右减，哎，这个左加右减是加到哪里的？ 大家要注意啊，这个左加右减一定是加到 x 上的，所以我向左平移一个单位啊，我的 f x， 它其实是变换成这样的一个形式， sin omega x 加二分之派，哎，带括号的啊，再加上三分之派。那现在他说，啊，得到了这个新的曲线 c 啊，它是关于 y 轴对称的。那我们来看关于 y 轴对称说明什么？说明当 x 等于零的时候啊，我的这个 f x， 它要么等于一，要么等于负一 啊，那我也就是说啊，我当 x 等于零的时候，那我里面这里是 omega 乘以二分之派加三分之派，它的一个值是应该等于二分之派加 k 派的， 对不对？我们的 sin 图像嘛，只有在二分之派加 k 派的这里才能取到一或者负一啊，所以这里呢啊，我这里 k 是 属于整数的啊，所以我们就得到了这样的一个整式，那我们把这个式子给它再移向化简一下啊，那就得到二分之派欧米伽等于 六分之派加 k 派啊，那欧米伽呢，等于 三分之一加 k， 那 k 还是属于整数啊？好，现在题目中又说了啊，问的是 omega 的 最小值是多少，且 omega 是 大于零的，这两个信息一定要记住啊，啊，一个大于零且要求它的最小值，那只有当 k 等于零的时候，它才是得到最小值。所以说这道题它的 omega 最小值多少是三分之一。 哎，这个题目中的信息啊，你一定要给它转换成咱们这个可以运算的一个数字。好，接下来呢，最后一道题，把函数 f x 图像上的所有的点啊，横坐标缩短到原来的二分之一，纵坐标不变，那再把图像向右平移三分之派个单位啊，得到这样的一个图像，我们一起来看一下啊。我们 这样的一个图像啊， y 等于 side x 减四分之一，是我们得到后的图像，我现在经过了第一步，再经过了第二步变化得到了它，那现在我要把它往回，我是不是要先进行第二步，然后再进行第一步的变换， 对不对？所以啊，你看第二步是干嘛把它向右平移了三分之派个单位。那接下来我要干嘛？我是不是要向左平移三分之派个单位啊？那这里呢，我们把它向左平移三分之派个单位啊，那就得到什么呢？啊？得到 y 等于 sine x 左加右减啊，加三分之派，减四分之派，那就等于 y 变成 y 等于 sine x 加十二分之派。好，接下来呢，我们 再来看，再进行第一步。第一步是干嘛缩短到原来的二分之一，那现在我是不是要把它放大哎，把它拉伸到原来的二分之一。好，到这一步啊，我们变成什么呢？变成 set 二 x 加上拉伸嘛，乘以二，对不对？十二分之八。 哎，这就是咱们最后的答案啊，不对啊，终于知道同学挖的坑在哪了吧。我们注意啊，我们 set 函数的一个拉伸和这个缩短是相反的， 我的拉伸是把它周期拉长。那我们来看啊，周期变长，周期等于什么？二派除以 omega， 那 周期变大，我们的 omega 是 不是就要变小？那现在它是把周期缩短，横坐标缩短就是在周期缩短，所以我的这个二派比上 omega， omega 是 变大的， 所以现在 x 是 咱们变大后的结果，变大了两倍的结果。那我们先要把它还原，我是不是应该除以二而不是乘以二 啊。所以说这个呢，才是咱们最终的答案啊，选 b 好， 是不是坑还是蛮多的呀？好了，那今天视频呢，咱们先讲到这啊，下一期呢，咱们继续来讲讲啊，三角函数图像与性质相关的考点。好，我们下期再见。拜拜。
496小汪学姐带你冲
17:44查看AI文稿AI文稿好，各位同学啊，今天呢，我们继续来高考押题训练啊，今天呢，我们来讲两个三角函数的啊类型啊，第一个呢，就是三角函数，求我们感或者范围的一个求解哈，我们看一下题目， 他说 f x 等于二 x 乘以二 x 加 f， 他 说 f x 在 零到三分之 pi 上呢，恰有一个零点，让我们求这个 pi 的 最小值啊，这个类型呢，我们首先呢，把里面这个啊给它看成一个整体，我们可以令 t 等于二 x 加 pi， 然后呢，因为这个 x 是 属于零到三分之派的，对吧？所以呢，我们这个 t 的 范围呢，我们可以求出来把零带进去呢，应该是派，然后到这个，呃，三分之二派加上一个派， 好，然后这个时候呢，整个函数就变成了 y 等于三 t， 在 什么呢？ f 到三分之二 pi 加 f 上有一个零点， 好，有一个零点这样的一个形式啊。而这个时候呢，我们先去观察一下，你会发现啊，这个 f 到三分之二 pi 加上一个 f， 我 们把这两个东西区间的长，我们发现这个区间长度 是固定的哈，就是三分之二排。什么叫区间长度啊，就是用右边减左边哈，三分之二排，所以说这个区间它的长度我们是固定的哈，长度是固定的，那这个时候呢，我们就画一个相应的一个图像来分析一下哈， 好， 好，这是 t 啊，这是 y 等于三 t， 好， 这是零，这是 pi， 然后这边呢是二 pi， 好， 那我们看下题目，给一个条件， pi 是 大于零的，那我们假设哈，刚好这个 pi 的 时候， pi 就 在零的时候， 你看，假设 pi 在 零的时候，因为这个区间长度是三分之二 pi， 所以 说左边是零。好，右边这个长度呢，就应该是三分之二，我们就画一下， 左边这是 t 等于零。好，右边这个圈长度呢？是好的， t 等于多少？三分之二 pi 啊，所以说中间这个区间啊，就是这个地方这个区间，我们可以想象一下。好，现在呢，因为这啊，这个发这个地方是空心的，这是空心的，所以说现在这种情况下呢，哎，肯定发现它是没有零点，它零点在哪个地方呢啊？在 pi 这个位置哈，零点在 pi 这个位置。好，那现在我们就想象哈，把这个区间 整体怎么样？右移哈，整体右移， 那左边呢？是替等于范哈，右边呢是三分之二 pi 加范。好，现在呢，刚才的这种情况下，把它右移右移呢？我们要产生一个条件，恰有几个零点啊？一个零点，那恰有一个零点的话，这个时候我们会发现右边这个部分应该比这个 pi 要怎么样 大才行哈，所以说我们得出范围就是三分之二 pi 加上这个 pi， 应该是比这个 pi 要大的 啊，比这个派要大的，那能不能取等呢？好，因为这这个地方又呢是实心的，所以说这呢，这个地方等于派的时候是可以的，所以是大于等于派好，那么就可以读出我们想要的范围了，派就大于等于好的三分之派好，所以它的最小值啊，应该是 b 选项可以了。好，这个区间整体右移哈，这个思路，这个区间长度是固定的哈，我们把它进行整体右移，就可以考虑这样的一个做法哈。好，这，这是第一问的一个思路哈，第一问的一个思路，好，接下来我们看第二个题，好，第二题呢，是比较复杂的三角函数的一个分析哈， 我们一起看一下，他说 f x 等于三 x 加上二分之一 cos 二 x 减去三分之一倍 cos 三 x， 好， 这道题呢，首先 ab 两个选项呢，是比较好分析的哈，我们一起来看一下，我们先看 a 选项 好，他说二 pi 是 它的一个周期，那是什么意思呢？意思就是 f x 加二 pi 应该是等于 f x 的 好，如果说我们能够验证出这个东西，那它的周期就等于多少 二派，对吧？好，所以现在呢，我们去把这个 f x 加二派给它表示一下，表示出来就可以了啊， f x 加二派，好，我们代入进去 就应该等于 sine 好 的 x 加二派，然后呢，加上二分之一倍 cosine 二 x 加上二派减去三分之一倍 sine 三 x 加上二派， 好，那根据我们的这个性质哈，在三角函数的计算里面呢，这个二派好，这打括号这地方忘记打括号了， 好，这样的一个形式哈， 好，那现在呢，我们把整个式子给它处理一下哈，因为这儿要把 x 换成 x 加二派哈，刚才忘记给大家打进打括号的这样一个过程哈，好，写成这样一个形式之后呢，我们再去对它进行一个化简哈，打开之后呢，就是 assign 好的 x 这个地方二派可以扔掉哈，加上二分之一去乘以扩散引这个地方整出来呢，整理出来呢，就是二 x 加四派，好，我们知道周期的四派呢，我们是可以扔掉的哈，所以说最终还是扩散引二 x 好， 那这边打开之后呢，是三 x 加上六派哈， 而这个地方六派呢，也是周期的整数倍哈，是正弦啊，周期的整数倍，所以说呢，这呢还是可以丢掉，所以说最终得到的还是减去三分之一倍的塞引 好的三 x 好， 我们会发现这个呢，函数和原来的函数是相等的啊，和原来的函数是相等的，所以这个方 a 选项应该是 正确的啊。接下来呢，我们一起来看一下 b 选项。对于 b 选项呢，我们要搞清楚它的导对称轴，那实际上就是 f 二分之派加上 x 等于 f 二分之派减去 x， 我 们这个成立的话，就可以得出它的对称轴 就是 x， 减什么呢啊， x 等于二分之派好，所以说我们现在呢，就分别去把这两个求出来就可以了。我们看一下 f 二分之派加上 x 好， 带进去应该是 sine 二分之派 好，加 x 加上二分之一倍 cosine 二倍 x， 二分之派加 x 好，再减去三分之一倍 sin 三倍 x 啊，二分之 pi 加 x 好， 那现在用诱导公式去处理一下这儿呢是呃，二分之 pi， 所以 变成扩参，然后呢，根据诱导公式的话写成扩参 x 好， 加上二分之一倍好，这儿这个括号打开之后呢，应该是 pi 加上二 x， 那 根据诱导公式的话，就应该是负的扩参二 x 好，减去三分之一倍好，这个地方打开括号之后呢，应该是二分之三派加上三 x， 那 根据诱导公式呢，就可以写成负的扩散音 三 x 啊，负的扩散音三 x 好， 把这个搞定之后呢，我们再去进行划点整理就可以了哈，来，那就等于什么呢？等于扩散音二 x， 再加上三分之一扩散音三 x， 好，这是第一个的一个处理哈，好。然后呢，同样的道理，我们去算一下， f 二分之 pi 减 x， 那 就等于 sine 二分之 pi 减 x 加上二分之一倍 cosine 啊，二倍 好，二分之 pi 减 x， 再减去三分之一倍三，三倍二分之 pi 减 x， 好， 然后呢，前面这个二分之 pi 减 x， 打开就是括号 x， 这呢加上二分之一倍， 好，打开之后呢是派减二 x 啊，派减 x， 同样是负的扩散二 x 减去三分之一倍，这个地方打开之后呢是二分之三派减三 x， 根据诱导公式的话，同样写成负的扩散 三 x， 好。 整理出来之后呢，就是扩散 x 减二分之一倍扩散二 x， 再加上三分之一倍扩散三 x， 好，那这个时候呢，我们会发现这两个是相等的哈，这两个是完全一样的，所以说这个 b 选项也是正确的哈，所以说这个 a b 都是正确的哈， a b 都是正确的。 那接下来呢，我们再去分析一下这个 c 哒两个选项哈， c 哒两个选项好，对于 c 选项呢，要求它的这个最大值哈，最大值，所以这道题呢比较麻烦，因为这呢，这里面出现了谁啊？出现了这个三引三 x， 所以 这边呢，我们需要去 搞定一个事情，搞定什么事情呢？就是一个三倍角公式哈，我们要熟悉一下，就是这个三 e 三 x， 我 们是可以写成四倍三 x 减去 啊，不写错啊，三倍应该是三倍三 x 好， 减去四倍三 e 的 三次方啊，这是 三引的一个三倍角公式哈，它的证明过程呢，就是就是把这个三引三 x 给它看成二 x 加 x， 然后进行一个操作哈，那 cosine 三 x 呢？ 好，我们可以写成四倍 cosine 的 三次方 x 减去三倍 cosine x， 好， 这是它的一个三倍角公式哈，所以现在呢，你会发现啊，这个地方呢，这两个都和谁有关？都和 cosine 有 关，所以说我们把 f x 给它腾写一下，就是 cosine x 加上。我看一下，对，加上二分之一 cosine 二 x， 好， 减去三分之一倍 cosine 三 x， 好。 而这个 cosine 二 x 呢，我们应该也清楚哈过这个 cosine 二 x 呢，我们可以把它写成啊，什么呢？一减去二倍 cosine 平方 x， 好， 所以说这个时候呢，我们把整个设置给它处理一下，就是 cosine x 加上二分之一倍一，减二倍 cosine 平方 x， 好， 然后呢，再减去三分之一倍，好，对，这个地方就写成三倍三 x 减去四倍三的三次方 x， 好， 那整个式子呢，我们会发现哈，它实际上就是关于三 x 的 一个什么，看到没有，都是关于三 x 的 一个函数，所我们可以令 t 等于三一 x。 那 么清楚啊，它的范围呢，应该是负一到一之间哈，负一到一之间，好，所以接下来呢，我们所以说把整个函数就可以给他写成了这样的一个形式啊，就是 y 等于 t 加上二分之一倍一，减二倍 t 方，再减去三分之一倍三 t 减去四倍 t 的 三次方，好，所以说最终整理出来呢，就应该是三分之四 t 的 三次方， 好，然后呢，减去 t 的 平方，然后再加上什么二分之一，好，所以说我们最终把这个函数就整理成这样子了哈，然后呢，要求他的一个最值哈，我们把这个函数进行一个求导，求导出来之后呢，也是四 t 方减 二 t， 哈，那其这个二 t 就 应该是二 t 减一啊，二 t 减一， 好，所以这个时候呢，我们发现啊，令啊，外一撇大于零，我们得出，那就是 t 小 于零或 t 大 于二分之一， 是吧？然后另外一撇小于零，我们就得出它应该是在零到什么二分之一之间啊，零到二分之一之间，好，所以说这个时候呢， 我们可以得到啊， y 在 什么呢啊？根据题目的一个范围哈，负一加上负一到一这个范围，题目在负一到零上 为增，是吧？然后在零到二分之一上为减，然后在二分之一 到一上为增啊，所以说这边呢，根据它的一个单调性啊，先增后减再增啊，然后这边对应的是 x 等于负一啊，这边对应的是 x 等于零啊，不 t 啊， 好，这呢是 t 等于负一啊，这是 t 等于二分之一啊，这边对应的是 t 等于一， 好，题目呢，要求他的是他的最大值哈，最大值，最大值，最大值，那应该是零或者是一处去进行求解哈，所以现在呢，我们就把零处的值和这个一处的值给大家进行比较哈，那我们看一下零，所以说当 t 等于零时 好， y 等于多少呢？二分之一，当 t 等于一时好， y 呢？应该是带进去应该是多少呢？啊？三分之四乘以一减去一， 好，再加上二分之一，我们看一下，这三分之一加二分之一，应该是六分之五哈，六分之五，好，这两个里面最大的呢，应该是六分之五，所以说 y 的 最大值哈，应该是等于六分之五的好说，这个时候呢，我们会发现啊，这个 c 选项啊， c 选项应该是错的 啊， c 选项也是错的，好，这是关于这个 c 选项的一个思考哈，那大选项呢，它是零到六分之派内是单调递减的哈，单调递减好，所以说对于这个单调性呢，我们首先容易想到的是什么东西呢？就是一个求道， 对吧？求道好，所以说这边呢，我们对这个函数进行一个求道哈，进行一个求道，我们来看一下， 好， x 是 等于三 x 加上二分之一 cos 二 x， 再减去三分之一倍 cos 三 x， 好， 我们对加进行一个求导啊， f c p 就 应该等于多少呢？是啊， cos 求导就应该是 cos 好加上好这个系数二分之一造型 cosine 二 x， 求导呢，应该是负的 cosine 二 x， 再乘个里面求导是二，好，再减去三分之一倍，好， cosine 求导哈， cosine 求导应该是 cosine 三 x， 对 吧，然后呢，再乘个三哈，再乘个三 啊，所以说最终我们去进行一下整理哈，整理出来呢，应该是 cosine x 减去 cosine 二 x， 然后再减去 cosine 三 x， 好， 这样的一个类型啊，这样的一个类型好，这边呢，我们把这个四指哈，再给它处理一下，就写成 cosine x 减去三 x， 我 们写成二倍 cosine x 乘以 cosine x， 好， 减去 好， cosine 三 x 呢，好，这个 cosine 三 x， 这个公式哈，我们要用到刚才这个，这边这个东西看见没有？好，就是四倍 cosine 三方减去三倍 cosine x， 所以 就可以写成四倍 cosine 平三方 x， 然后加上 好看一下啊，三倍扩散 x， 注意哈，这儿有有个减号哈，所以说我们把对对这个地方进行了一个编号哈，四倍扩散三方减三倍扩散 x。 好， 那整理出来之后呢，我们提个扩散 x 出来，那就变成一减二倍三三 x， 然后呢，再减去四倍扩散 x， 平方 x， 再加上三。 好，那这个这个和这个可以进行一个合并，合并之后呢，最后呢，我们再去进行整理，就是扩散 x 去乘以三 啊，二倍三 x， 然后再乘以二倍三 x， 好， 减个一。好，这样的一个类型哈，啊，这个括方啊，我们再处理一下，可以写成一减三方啊，一减三方，然后进行这个化解，就写成这个函数了啊，写成这个函数了啊， 那搞定这个之后呢，我们看一下啊，零到三分之派啊，当然 x 属于零到哎，题目说的是六分之派啊，零到六分之派， 那么知道扩散也是怎么样的，大于零的三 e 呢，也是大于零的，而这个三 e x 啊，三 e x 呢，它的具体范围呢？应该是零到多少呢？零到这个二分之一，对吧？那 好，三 x 的 范围呢？是零到二分之一哈，所以说二倍三 x 啊，应该是属于这个零到一的，所以说二倍三 x 减个一，应该是小于零的。好，你看两个大于零， 这两个大于零哈，这个是小于零的，所以我们得出 f c 撇应该是小于零的，所以 f x 为 减函数啊，减函数。好，这是大选项的分析啊，他应该是正确的啊，所以这道题的答案呢，是 a b 搭三个选项。好，这道题呢，综合性很强啊，综合性很强，考试的时候呢，大家可以去，考试之前呢，可以去理一下。
56xu、不懂先生
10:45查看AI文稿AI文稿好，今天来光速讲解一下，参考部分区二模的二十四，好吧，嗯，考完之后感觉这个卷子非常简单吧，但是依旧错了不少基础啊，好，来看吧。嗯， o a 等于 o b 等于二， 这是一百二十度，然后呢， a 的 坐标咱知道，一百二十度的三角形，一比一比根号三吧，二倍根号三，所以说二倍根号三零，这没啥问题， b 的 坐标也很好，求做个垂线根号三一，没问题。 好，然后看第二问吧，开始折叠了点 p 是 o a 上一个动点，然后做这个垂直， 然后呢，说沿着这个直线折叠， 重叠面积部分为 s， 然后这个这个 o p 是 t， 然后他第一问，让咱求这个四边形面积的这个表解析式，对吧？好，大家分析一下这四边形面积的解析式，咱怎么求呢？ 嗯，他是咱的初步思路，就是用这个大的三角形减去这个小的三角形。好吧，那怎么去实现呢？ 发现这个大的三角形，它全等，就等于底下这个三角形，这俩全等，所以说面积相等。然后呢，上面这个咱可以通过导边过来，明显这也是一个九十、三十六十的一个 三角形，对吧？知道三角形，好，那咱有思路了，咱就先来算一下吧，先算一下底下这个吧， s 三角形 o q p 就 等于什么呢？嗯， 先这么写吧，因为 o b 等于 o a 啊，等于 b a， 且角 o b a 等于一百二，所以角 o 等于三十度，所以啊，又因为啊， l 垂直于 o b， 所以 o p 等于二分之，应该 q p 等于二分之一， o p 等于二分之 t， 所以 我就直接写了 a 三角形 o q p 等于， 嗯，二分之根号三乘四分之 t 方，就是八分之根号三 t 方。好，然后呢？然后因为全等，所以这个 s 三角形 o 撇 q， p 也等于八分之根号三 t 方， 好吧，这个没问题，然后咱看上面这个怎么打？嗯，咱们先把角度说明吧，因为 o 撇等于角 o 等于三十度，且角 o 撇 bc 等于一百八减，角 o b， o b a 等于六十啊，所以角 o 撇 c， b 等于九十度。然后又因为这个 o 撇 b 等于什么呢？啊？咱知道这是， 这是多少啊？这是二分之一 t， 这是二分之根号三 t， 那 所以说整个的全等过来，就是根号三 t， 然后 o b 减去二，所以说 o 撇 b 就等于根号三 t 减去二，好吧，然后再通过它求 bc， 嗯，所以 bc 等于它的一半，等于二分之根号三 t 减二，然后呢，再通过这个面积公式，对吧？ s 三角形 b， c o 撇等于 这个二倍二分之根号三乘上四根号三 t 减二的完全平方， 等于八分之根号三根号三 t 减二的完全平方，然后最后把它俩的面积相减一下，是不就可以了？所以说最后的 s 就 等于八分之根号三根号三 t 减二的完全平方， 用去化简这个式子是不就可以了？好，然后看看 t 的 取值范围吧，要让它成为一个四边形，那怎么看呢？首先咱可以想象到，就是这样，肯定是一个临界点， 对吧？当点 p 在 这的时候啊，这么一一一做垂直，然后一折过去，刚好等于这，刚好这个 o 落在这的时候，为啥这是一个那个点呢？因为你再往上，再往上折，他就出去了，对吧？就变成四边形了，好，那这块等于多少呢？ 那好算啊，这是二，这是一啊，然后这是三分之根号三，这就是三分之二倍根号三， 所以说咱 t 它是要大于三分之二倍根号三，没问题吧？再看最小值呢？最小值也很好找啊，最大最大值也很好找啊，就当这个 l 它这样的时候，对吧？这样的话折，这样的话折过来， 哎，它就是一个三角形了，对吧？那这会等于多少呢？ t 明显，这是二，呃，这是三分之二倍根号三，这就是三分之四倍根号三，对吧？所以它不能到这，因为到这它就三角形，所以说它要小于三分之四倍根号三。好，然后呢？ 嗯，先把 s 再化简一下吧， s 应该等于负的四分之根号三， t 方加上呃，二分之三 t 减去二分之根号三，对，应该是这个， 嗯，然后，然后 t 的 范围也在这，然后看第二个说，当 t 大 于等于二分之一，小于等于三分之五被根号三的时候，求 s 的 取值范围。好，咱们来看一下。呃， 二分之一大概在哪呢？二分之一大概在这，对吧？ 它从这个 t 啊，咱这么看，它从零到多少呢？到咱刚的这是多少？呃，三分之二倍根号三， 它是三角形，就这样，然后呢？三分之二倍根号三到三分之四倍根号三，它是四边形，就是咱们刚第二分解的那个情况， 然后三分之四倍根号三，再到哪呢？再到他到这就是 t 等于二倍根号三的时候， 对，二倍根号三的时候，他是还是变成一个三角形，就这样了，对吧？就是，对， 大概就是，哎，大概就是这样吧，对吧？这么折叠，这个不太好换倒是，对，大概就是这样，然后呢，他这会这个还是个三角形，那么 再来看啊，二分之一它在哪个范围呢？二分之一它大概是零点五，是吧？三分之二被根号三肯定比零点五要大，就说二分之一，这会它还是个三角形，它就大概是在这吧， 然后这是二分之一，这也是二分之一。充电面积是多少呢？二分之一，这是四分之一，那这是四分之根号三，所以说充电面积就是三十二分之根号三，对吧？这是二分之一的时候， 然后慢慢越来越大，越来越大，越来越大，对吧？大到直到这刚好重合，他肯定是越来越大的，这段咱可以不用考虑了。然后呢？嗯，可以用这个四边形的面积公式来求一下。其实为啥呢？因为就是他，当他变到最大的时候， 这一会他肯定也是包含在那个面积公式里头的，对吧？因为他减去那个部分就为零嘛，所以说可以用那个面积公式来囊括一下那个面积公式。咱们给他算一个对称轴吧。负二 a 分 之 b 就 等于 二 a， 负二 a 就是 二分之根号三， b 就是 二分之三，所以它就等于根号三分之三就是根号三嘛。所以说就当 t 等于根号三的时候才最大，那根号三是在哪呢？ 根号三就是 t， 当在这的时候，对吧？然后左垂线，然后这会对，对吧？再对折， 这块数最大，这块面积是多大呢？可以算一下，就是负的四分之根号三乘三，加上二分之三，根号三减二分之根号三，这一块加起来是根号三，对吧？根号三减四分之三根号三，所以说四分之一根号三，这样， 然后他再往后呢？但还是四边形数越来越小，对吧？直到小到这一块， 那到后头包括到后头也是越来越小，所以说也没必要考虑。那你要是觉得如果说就是再去这个缜密一点，就去算一下这一块三分之五倍根号三，大概在这吧， 它总共是二倍根号三，也就三分之六倍根号三，大概这是三分之根号三，然后做垂线。 哎呦，我靠， 对，大概这样充电面就是这一块，对吧？嗯，这得这么折， 大概我就详细的图，我就不画大概充电面就是这一块。那既然这里是三分之根号三，对吧？那这里是多少呢？这是一半，又是六分之根号三， 那他的这个数对角边就是二分之一，对吧？乘一个根号三，所以说他的面积就是二分之一。乘六分之根号三，乘二分之一等于四二十四分之根号三， 对吧？明显是没有这个小的，所以说这个是最小。然后咱刚刚算的那个，嗯，我要算的那个叫四分之根号三，他是最大的，好吧，这道题就解决完了， 比较简单这个折叠，嗯，我感觉和那个比和平的稍微难一点，但是有限，好吧。
144云天😀
34:21查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天我们来讲一下高考冲刺第七课三角函数的练习。那如果要做三角函数的题目的话，第一个肯定知识点，你要熟练那个公式什么的，然后还有三角函数图像肯定要熟练的，对不对？所以这边我们就不先讲，直接讲题了，我们先来复习一下公式啊。嗯，初中的 对边比斜三对边比斜边，口三零边比斜边， tanger 对 边比零边好，还有这个一二三三二一一定要知道啊。好吧，然后 tanger 的 话是上比下一比刚好三，一比一 刚好三，然后六分之五派，四分之三派，三分之二派也是一二三三二一啊，只不过口三音干嘛呀，是负的 ok 吧？ 嗯，不会的同学去那个十五课里面的三角函数第一节学一下啊，好，角度转化多少度 好。然后三角函数定义在单位圆里面，横坐标是 cosine 的 值，纵坐标是 sine 的 值过某点，它没有单位圆过某点，而法过某点。第一个先求 r， r 等于根号下 x 方向，外方 sine 等于外边 r， cosine 是 x 比 r， t 是 外比 r， 不知道大家有没有记住， 嗯，塞方加口方等于一， tanger 等于口塞分之塞好，然后塞口塞 tanger 四个象限里面的这副心大家要知道好，接着是诱导公式， g 变偶不变符号看象限 g 或者偶是关于二分之派的 ok 吗？ 接着是和差角公式，塞引是塞口口塞，然后加就是加 ok 吗？减就是比较坏，加变减减变加 ok 吗？ 导数里面也是 cosine 比较坏， cosine 的 话，呃，是负的 ok 吗？但是我更新的导数里面忘了这个我本来每每节课都要提的，但是那边恰巧忘了。 呃，我提到了它坏，我就会提那个导数，对吧？ ok。 tinder 等于 tinder 耳法， tinder 耳法加比特等于 tinder 耳法加 tinder 比特一减 tinder 耳法， tinder 加就是加。这边是减。 嗯，背角的话，三以二而法等于二三而法口三以二法好，口三以二法等于口方减三方，然后二口方减一和一减二三方。好的，这边补充一个公式， 口三以二而法，你把这个而法给它换成二分之二法，那就变成了口三以二乘二分之二法等于口三引，那这边也变成二分之二法 啊。哦，不不不，这边这边这边，这边，二口三引二分之二法方减一，或者是就是一减二，三引二分之二法方 啊。这个公式有什么用呢？就是如果遇到了什么，遇到了二分之二法的式子，我们就要用这个公式，哎。二乘二分之二法就是二法， ok 吗？所以口三引二分之二法减一， 方减一，然后一减二三以二分之二法方， ok 吗？这是这两个公式等会会用的啊。它推导过程很简单，就是让而法变成二分之二法就行了， ok 吗？这边而法变成二分之二法主要是这两个主要是这两个公式啊。 二分之二法，二分之二法二就够了。嗯，好，接着 ten 二二法等于二， ten 除以一减 ten 二法方。辅助角公式， a sin x 加 b， 口在 x 等于根号下， a 方加 b 方 sin， x 加 f。 记住， a sin 前面一定要是正的， ok 吗？然后 ten 等于 a 分 之 b， ok 吧？嗯，然后符号加法是加法，减法是减法啊，你跟我学就跟我学， ok 吗？因为它有两种。嗯，好 啊，正弦函数它长这样子 ok 吗？大家一定要会啊，什么时候增，什么时候减，什么时候对称轴，嗯，什么时候对称中心，这都要会的，可以吧。啊，这余弦函数 口才什么时候增什么时候减，什么时候对称轴，嗯，什么时候对称中心，嗯，都要是要会的啊。 好，正切正切，他长得像 x 的 三次方有影响吧。 x 的 三次方不长这样子吗？对不对？然后这边负二分之派，二分之派， ok 吧，这边是 z 的， 然后他对称中心，这里这里这里对称中心间隔二分之派，所以是零加二 k 派都好，零。嗯，这是对称中心。好的，复习完了我们直接来做题。 好，首先第一个，嗯，天好像天津卷很突出啊，每张试卷里面，呃，就是基本上前面的都是天津的， ok 吗？我们来看一下 x 等于零，然后三 x 等于零，是它等于零的什么条件？好，三以二 x 等于零，三以二 x 等于零。好，三以二 x 长长这样啊，它好多等于零的时候呀，所以解出来 x 可以 好好多个， ok 吗？ 嗯， x 有 好多个。好，首先我们先画三 x 的 图像啊，三 x 的 图像， x 什么时候等于零啊？零加 kpi ok 吗？也就是 kpi 的 时候， x 等于 kpi 的 时候，它会等于零。嗯，那三以二 x， 那 就是二 x 等于 kpi， ok 吗？也就 x 等于二分之 kpi 的 时候等于零，可以吧。 二分之 k 派，嗯，然后 k 等于零的时候，那正好是这个，所以它是范围小呀。这里面好多数啊。 k 等于一， k 等于二， k 等于三，好多好多呀，所以小推大，大推不了小可以吗？充分不必要，过是充分，回来是必要，充分不必要。这边连 a b 都不用设了，太简单。 好，接着我们来看。这边，挑一点哈。挑一点题，然后这个第四题我在那个新，哦，好像没讲，我讲解一下吧，好吗？然后这边也讲解一下吧。 呃呃，这个新一卷讲了好多次了，新一卷不讲了，左加右减，上加下减这种，哎，讲一个吧。 嗯，这个题的话刚才那边讲了，这边就不讲了。然后这个第十题能做做？做不了算了， ok 吗？按正常方法做，做不了就算了，这个比之前的题难一点点。嗯，然后接着就是刚才那些公式了。刚才那些公式，呃，基础的讲一个吧， 然后这边的话再讲一个吧。嗯，然后这边是，呃，跟刚才那个题一模一样，我们就不讲。然后这边，嗯，这边，呃，这边，然后还有这边。多给你们讲点。 怕大家不会啊怕大家不会啊。多讲点吧。好，这期视频应该会长一点。嗯，大家可以点赞一下，或者可以收藏一下。好，那我们开始吧。 它单调递增区间，那我要找它单调递增区间，它前面是正的，那我们它它什么时候增什么时候减，不会受这个影响， ok 吗？负的就会单调性相反。好，我们先别看它，先画三 x 是 ok 吧？三 x 的 图像负二分之派。二分之派， 好啊， x 大 于等于负二分之派，小于等于二分之派。二 k 派加二 k 派啊。三 x 是 在这个时候大家递增， ok 吗？那它呢？那就是 x 减六分之派放进去就行，可以吗？把 x 位置换掉， x 减六分之派可以吗？ 所以左右两边同时加六分之派就会得到 x， 嗯，二 k 派减二分之派加六分之派，那就是，嗯，六分之三派减。呃，负六分之三派嘛，然后就是负六分之二派，负三分之派， 这边也是二分之派加六分之派，那就是六分之四。那三分之二派加二 k 派， ok 吗？好，但是题目不是问的所有的单调递增去减，他是问，哎，一小段一小段的，那我们怎么办啊？让 k 等于零，一二三四五这样子，一般是让 k 等于零就好了，我们画一段就行。 k 等于零的话，就负三分之派，好，然后三分之二派，这个时候是单调递增的， ok 吗？好，注意哈，这边单调递增，那他下面半段是不是就单调递减啊？因为因为正弦函数，余弦函数，他就是这边增，这边就减，这边又增，这边又减，对不对？这边你看 右边，左边都是减的，所以你看这边增，然后他下半个周期。他一半个周期多少呀？啊？他周期是二派嘛？现在这半个周期是派，所以他下面下面一个派，那他就是递减的。我们可以写一下 啊，那就是三分之二派到下一个派，那就是三分之五派。往前也可以推半个周期， 就是再往前推派，不是推，不是推。二分之派。半个周期是派， ok 吗？不是二分之派啊， 负三分之四派，嗯，好，减，增，减。大概有这些我们就可以写题了。我们来看啊，零到二分之派，他问递增区间吗？零零大概在这个位置啊。负三分之派的右边好，二分之派在三分之二派的左边，哎，这边是不是增的呀？对不对？好，所以选 a。 嗯， 好，第二个二分之派到派二分之派到派派在这呢有增有减不行。派到二分之三派派的话在这 二分之三啊减的这边是减的 ok 吗？最后一个二分之三派到二派二分之三派二分之三派大概在这二派大概在这。哦二二分之三派应该比他大在这然后二派在这有减有增也不行啊 ok 吗还是挺好判断的。嗯好我们再来第三个啊。 呃上海的这个口三 x 在 负二分之派到四分之派上的值域。好我跟你说啊就是口三隐和三隐如果没有给告诉你就是 x 没有范围的话那它的值域就是负一到一 ok 吗？ 如果前面有未知前面有系数比如说二口三隐那就是负二到二可以吗。所以好多好多视频说斜修。斜修前面是几那最小是多少最大是多少这根据它图像来的嘛知道吧。这哪算什么斜修啊。嗯 你知道原理就很简单了那一般的话他不会那么简单他会给你定音域。那你就要画他图像。好口三的图像长啥样呀长这样子对不对？好负二分之派在这负二分之派四分之派在这四分之派在这上面的止域 从这到这直域最大是一直域就是 y 的 极值范围最大是一最少是负一。啊。啊说错了，最小什么是负一啊。最小是零啊最大是一啊零和一之间所以直域零和一之间零和一之间可以吗？ 好，接下来我们继续啊新二卷二五年的新二卷我好像之前都没讲今天多讲一点。好我们来看啊。 求斐值值把那个零带进去那就是口算，以斐会等于二分之一， ok 吗？把零带进去，好， 口算多少等于二分之一啊？哎，我们来看啊，斐是没有周期的，它是零到派之间，口算一二三一二三三二一，应该是三分之派，对不对？一二三三二一，不会的同学一定要去十五课里面的三角函数里面学，可以吗？嗯，好，所以斐等于三分之派，第一个就出来了，这是第二个 g x 的 值域啊。三分之派 g x 等于 f x， f x 就 这样括号二 x 加上 三分之派， ok 吗？好，加上 f x 减六分之派，那 f x 减六分之派，就是把 x 等于 x 等于 x 减六分之派带进去，那就是二倍的 x 减六分之派。在这里面我括号还没写呢，我先把里面化简一下， ok 吗？ 比如口三以这一读为 a 嘛，对不对？我先把里面稍微化解一下，二 x 减二乘，那就是三负三分之派加三分之派零。 好，所以就是口三以二 x， 可以 吗？加上口三以二 x， 然后我们稍微化解一下，因为这边是和差角公式啊，所以口口散散，口三以二 x， 口三以三分之派减去三以二 x 三以三分之派 加上口三以二 x， 那 三啊，口三以三分之派二分之一，二分之一加上，且，哎，后面还有一个呢，那就是二分之一加上一，那就是二分之三， ok 吗？好，然后这边， 呃，三引三分之派一二三，二分之根号三，二分之根号三。好，前面还有个符号呢，好说了，哎，三引，口三引是不是用辅助角公式啊？好，用，辅助角公式，前提是三引在前面，而且它要是正的，那是负的，怎么办？提出个符号来，提出个符号来，二分之根号三，然后把三引往前移好， 这边就结束了。然后那他呢？正的提出个负号来，那他是负的了， ok 吗？嗯，考三幺二 x 啊，这样的话就是负，然后里面根号下他的平方，他的平方四分之三加上四分之九。好，三，二 x 减 five， ok， 好，等于负的，这里面四分之三加九等于十二，四分之十二，那就是三。好，负根号三，那这边再引二 x。 好， 这个 f 呢？ taylor f 等于前分之后，等于二分之根号三分之二分之根。呃，三， 他分之他吗？我加的是不带符号的， ok 吗？好，二分之一，二分之一约掉。好，三和根号三能约成根号三，一二三根号三比一吧，对不对？那又是三分之派了，简单不一定要把公式记熟。好吧？好 啊，二 x 二 x 减三分之派， ok 吗？好，那这个时候你直接可以说他值域了，因为前面成了个负啊，负根号三，对不对？所以你直接说他值域为负，根号三到三就行了，可以吗？根号三就行了，可以吗？ 好，单调区间。那你看哈，前面如果是正数，没有这个符号的话，不会影响他单调性，他单他增就是增，他减就减， ok 吗？ 好，但是如果前面有个符号的话，那这里面增的话，是整体的减的， ok 吗？因为它乘了个负的。好，那我们来看一下三亿什么时候增，什么时候减呢？我们来看一下啊， 负二分之派，二分之派，二 x 减三分之派是不是大于等于？本来要写 x。 干嘛干嘛，我要先求三 x 的 嘛，我现在就一步到位了嘛， ok 嘛？直接这一坨在这个范围里面就行了呀，这里面就是单调递增的呀。 负二分之派二分之派，然后加二 k 派。二 k 派这边是负减加二 k 派，然后把 x 减出来， ok 吗？怎么减？ 从二 x 减三分之派到 x 怎么减？左右两边同时加三分之派 ok 吗？然后再除以二。好，加三分之派。除以二二分之派加三分之派。 负二分之派加三分之派是负六分之派。大家这种小预算一定要会二分之派加上三分之派，那这边是六分之三，六分之二六分之五加二 k 派。 好，左右两边加三分之派，然后再除以二。我刚没除二喽，这边除二，这边除二，这边除二。好，就是这好，你写的时候我喊加你哈，解得。 嗯啊， k 派减十二分之派。逗号，十二分之五派加 k 派， 然后记住哈， k 属于 z， k 属于 z 是 单调递减区间，可以吗？哦，你直接写减得单调递减区间。呃，递减区间为单调递减 递减区间为， ok 吧？区间为好，注意哈，求的是增，但是外面是个负的，所以它是单调递减区间， ok 吗？好，同样的单调递增区间也是一样的单调递增区间，然后你减得它是单调递减区间。哦，说错了， 你如果要求递增区间，就是求他递减区间，这边递减区间，然后解的是递增区间， ok 吗？他有点绕，因为他前面有个负， ok 吗？大家清楚这个就行。好，另外半边大家自己解吧。好吧， 好的，结束，那我们来第五题。好，有的同学说解出来不一样哈，就是因为他用口三音和三音解出来是， 虽然长得不一样，但他是一样的东西。你可以问一下你们的老师， ok 吗？我在这边给大家解释的，不清楚为什么，因为我以前也这这里扭不过弯来，我只是现在理解了，但是当时真的没有理解，不过没有关系，你们解到什么是什么 ok 吗？只要对，能解出我这个大类似答案就行 啊。这这这个第一个肯定要解出，我这个第二个也，哎，算了，我都解一下吧。二 x 减三分之派，然后大于等于二分之派加二 k 派， 这边单幺递减区间，这边是二分之三派，二分之三派加二 k 派， ok 吗？好解。 x， 这是单幺递减区间，是整体的单调递增区间。好， 也是一样的。左边跟上面解出来这些一样的嘛，这边这边和这边不是一样的嘛。所以这边十二分之五派加 k 派， ok 吗？好，主要是右边 二分之三派加上三分之派，那就是，呃，六分之九派加上六分之二派，那十二十一派，六分之十一派好，加二 k 派，然后再除以二十二，好，所以 好，递增区间是十二分之五派加 k 派，然后十二分之十一派加 k 派， ok 吗？大家解出来要是这个东西哦，可以吗？好，就是这个，大家截下图吧，我要擦了， 这是那个二五年新高考，就是第一第一题啊，比较简单啊，熟练的就是比较简单。好，我们来到三角函数图像内 啊，三个函数图像就首先是口才，先求口才就是看周期，这是一个完整的周期，然后这里到这里是一半周期， ok 们，所以二分之 t 等于四分之五，减去四分之一，那就是一，那 t 就 等于二二派除以偶敏感会等于二 二 pi 等于二。欧米伽二二约掉欧米伽等于 pi ok 吗？所以就是口三以 pi x 加上 pi 哎，然后这个 pi 那 然后再带数字进去四分之一带进去 口三四分之一 pi， 那 就是加上 pi 会等于零。好，注意，这个是向下的零。那我们口三多少等于零啊？ 口三引往往下的零，那就是二分之派加二 k 派， ok 吗？向下的零它间隔二派嘛。所以这里面四分之派加上派会等于二分之派加上二 k 派， ok 吗？ 派就会等于二分之派减去四分之派，那就是四分之派加上二 k 派， ok 吧？好， 然后啊，这边四分之派加二 k 派给他带回去四分之派加二 k 派。好，这个二 k k 派就是转几圈回来直接不要直接就是这个，然后再通过这个再去求单调递减区间步骤还是跟刚才一模一样，我就不求了， ok 吗？ 好，大家如果这里听得迷糊的话，如果想学的话去那个呃呃十五课里面的三角函数图像以及那个番外里面的三角函数图像可以吗？ 啊，但是如果觉得很特别难的话那就不用管了。没有关系，这个对你来说比较难的话。没有关系，图像确实。呃。对不同人而言他有不同的难度。好吧，好，接着我们继续啊， 往左移十二分之判，那二三引左加 x， 紧跟着 x 左加右减上加下减横中乘关于 x 轴的变换，紧跟着 x 左加加上十二分之判， ok 吗？所以就是二三引 二 x 二 x， 然后加上六分之派。好，然后要求对称轴，三引的对称轴还是一样的，恰恰前面这个二不会影响单调性以及对称轴之类的东西。好，三引 x 什么时候是对称轴啊？二分之派加 k 派，对不对？所以这里面什么时候对称轴啊？二 x 加六分之派 等于二分之派加 k 派， ok 吗？然后二分之派减六分之派，那就是三分之二派。哎，不对，慢一点。呃 呃，慢一点，慢一点，慢一点。二分之派那就是六分之三派，六分之三派的话减六分之派，那就是六分之二派，那就是三分之派。嗯，然后再除以二， 除以二，所以六分之派加二分之 k 派，六分之派加二分之 k 派，然后 k 属于 z， 别忘了哈。啊，那刚才那边下面一个我没写 k 属于 z 啊，注意哈，一定要写 k 属于 z， ok 吗？就如果是大题的话。嗯， 好的，就是这个题直接往下啊。啊，我们来看这边，那我们就是我们的运算了。首先其次画正切一定要知道， ok 吗？嗯， 在十五课里面讲的应该蛮清楚的。然后主要是这个，这个我们来看一下啊，一加三引二而发啊，大家读一下题，一加三引二而发。二 c 它是什么东西啊？三 e c t 加口三 e c t 它能平方一下呀？等于三 e c t 方加 cosine 的 方，前平方加后平方加两倍的前乘后二三 cosine 那 就是一加上二三 cosine， 那 就是 cosine 二 cita， ok 吗？所以这个能通过这一步化简一下变成 cosine cita 加上 cosine cita 的 平方呀。好，下面 cosine cita 加 cosine cita 约掉一个，所以上面就变成了 cosine cita 乘这一坨，那乘进去 cosine cita 方 加上可删息它，删息它可以吗？好，二次的呀，上下都是二次的，有 tanger， 其次划成切啊，偷偷把隐藏的一拿出来。删息它方加可删息它方 等于一。一分之它嘛，还是原数，然后左右两边上下上下同时除以可删息它方，它除以，那就是 tanger seat 方。好，它除以的话约掉一个，那留下一个 tanger seat 好，他除以的话整数 c 的 方好，他除以的话等于一， ok 吗？ 好，这样的话，然后再代数自己去就行。负二负二的平方四减二，除以四加一，那就五分之四减二等于二，五分之二选 c 可以 吗？好，第十三题我们来看啊 啊。三口三英二法减八，口三英二法等于五。问三希特。好，我们注意哈，问三希特。其实你求把口三求出来，三希特也能求，当然直接能求出三希特最好了，但是一般是一般给你这个式子直接求不好求，比如说这个式子里面全是口三英的式子，那这个口三英二法我给它画成 二口三英二法方减一减去八口三希特 哦。口三耳法减五等于零，这样的话全是口三音的式子，直接就能把口三音求出来，口三音求出来了之后三音就好求了，可以吗？啊呃，乘个三三二三得六六口三耳法方减三减八，口三耳法减五等于零， 减三和减五，那就是减八，然后六八八。注意哈，不管是减什么东西，能约分的尽量约分，那就是减八，然后六八八，注意哈，不管是减什么东西，能约分一下，因为一般你不约分更难算。都除以一个二 可以吗？然后再二 a 分 之负 b 加减根。号 b 平方减四 a c 二 a 分 之负 b 加减根号 b 平方 减四， a c 它乘它负，负得正。三，四十二乘四啊，你别着急，四倍的三乘四。嗯，四，四十六，十六乘三，十六乘三。哎，你看能干嘛呀？十六十六能把十六提出来，一加三，一加三等于四好，所以十六乘四， 十六乘四好，十六出去变成四，根号四等于二， ok 吗？二四得八呢。啊，好，然后六分之四加八，十二 或者六分之四减八，那就负四，这边是二，这边是负三分之二， 这个直接排除掉。为什么？因为三和口三他一定是什么负一到一之间的呀，你超过了就不行。所以口三等于负三分之二呀，可以吗？啊，通过口三等于负的，其实我其实呢也他虽然说零到派吗，但是我也能判断他是第二项线，因为第二项线呢，角才是负的吗？对不对？好， 然后再零边比斜边二比三嘛，对不对？三角形反折嘛，然后把对边求出来。根号下九，三的平方减二的平方三三得九，九减二。呃，九减四， 九的平方减四的平方等于五嘛，所以根号五嘛。啊三以对边比斜边，根号五比三， ok 吧，所以选 a 好， 接着往下。 哦，我们来看一下啊，塞口塞舌，塞口塞舌，本来二十度十度，二十度十度正好呢，但是这边来一个 cosine 一 百六十度，那怎么办呀？把这变成一百八十，一百八十减去二十可以吗？哦，不变。哦，不变，那就 cosine 是 吗？ 啊，口三也二十，然后一百八减一点点，第二下线是负的好，所以负负又得正，所以是正的。口三也二十，可以吗？然后塞口，口塞是塞耳塞加贝塔，对不对？所以塞，哎呀，塞耳二十加十，那是三十一选 d。 好，接下来来看到十六题，我们来看到这个题啊，首先它是这边 sine alpha 减 beta 等于三分之一，那就是 sum cosine sine alpha， cosine beta 加上 cosine alpha， sine beta。 一般的话他给你东西，你一般直接给他先写出来就行， ok 吗？写出来和差角或者是倍角之类的，一般都是直接化减， ok 吗？先直接化减，嗯，然后你看口塞耳法塞音塞音贝塔，哎呀，慢一点，这边是贝塔啊，塞耳法贝塔往里填，耳法贝塔往里填啊， 他说口塞耳法塞音贝塔告诉你是六分之一， ok 吗？他是六分之一，那他是多少嘞？ 啊，不对，慢慢慢减减减减减减，我怎么变成加了慢一点啊？所以三而法加倍它等于把它移到右边去，就是三分之一加六分之一，那就是二分之一，可以吗？二分之一 就把它移过去嘛，减六分之一变成加六分之一嘛？三分之一加六分之一等于二分之一嘛？ ok， 那 他和他知道了。嗯，那我们要求什么东西啊？ 口塞引二 r 加二比特。哎，那我们能不能提出个二出来？口塞引二倍的 r 法加比特呀，可以吗？那就是二倍角公式展开喽，因为我知道三引 r 减比特，那能不能尝试把它变成三引 r 法加比特？因为三引 r 法加比特也是在口口塞呀，对不对？ case 口塞我们刚得到了呀，对不对？所以是呃呃，二三呃，一减一减二三啊，阿尔法加贝特括号平方， ok 吗？我们先把 size 阿尔法加贝特求出来， 就等于 sum 口口三嘛，三以 r 法口三倍加上口三以 r 法三倍，那就是二分之一，这边是六分之一加六分之一，那就是三分之二，可以吗？也就这一坨是三分之二，然后那就一减二乘以三分之二的平方， ok 吗？九分之四 那就是九分之八，一减九分之八等于九分之一 b。 好 的，就是这个。好，接下来二二年这个也是类似的，所以二二二三二四没考，二五年没考。 那，那我觉得二六年，哎呀，反正都都考的概率比较大了，公式熟练就好。嗯，好，这边三耳法加北塔，根号二，根号二，口三，耳法加四分之派三以北塔一般就直接展开就好了。三耳塞口 口三，这样这边口口三三 好，往左移一点点。好，右边右边我们偷偷先给他画剪一下，这边里面口口剪塞塞 ok 吗？ 好，三以四分之派，口三以四分之派都是二分之。根号二能提取共音式 ok 吗？ 好，前面有一个二乘根号二 ok 吗？根号二，根号二约成二，二二约掉。哦，就是二倍的，然后后面还乘了个三倍，它 ok 吗？好，三倍它能不能乘进去啊？乘进去那二口三而发三倍它 减去二也也再乘进去，那就是二。 sine alpha， sine beta 乘进去吗？这个号和这个 sine 都乘进去吗？ ok 吗？好，这样的话我们左左右观察一点一下一定要观察一下。口 sine alpha， sine beta， 口 sine alpha， sine beta 是 不是一样的？那把它移向过去可以吗？呃，加一个减两个，那就是减一个。移到左边就是减一个，可以吗？ 好，这边减两个。哎，这边和这边不是一样的吗？那移到左边就是加两个，加两个和之前减一个，那就变成加一个等于零，哎，这又凑成了新的公式，凑记号好吗？三引而发减倍它这边呢？ 口三引而发减倍它吗？可以吗？哎，等于零。口三引丢到右边去，移到右边变成负的 等于负的，然后再除过去， ok 吗？再给他除过去。哎呀，口三分之三等于负一，哎，等于负一不就是 ten 而法减倍它等于负一吗？选 c 看到没有？好，接下来十八题就是我们刚才说的那个半角公式。 口三而法等于二，口三二分之二法方减一，或者是一减二二三。哎呦， 二三二分之二法方 ok 吗？好，我们来看这边塞口，口塞三耳法，口塞四分之派，加上口塞耳法啊，减减减减减减减减减减减减减，慢一点慢一点，别总是加哈。口塞耳法三倍，它 四分之派就是，你要注意他的正负吗？ ok 吗？我以前，呃，我一般出小错误，估计就是正负号的问题，或者加减乘除有一些小问题。 嗯，好，我们来看。口三以四分之派，三以四分之派。哎，是不是二分之根号二提出来要多学会提取公式，好吧，好，给了你。口三以二分之二法，那怎么去求这两个东西呢？那就是套这个公式吗？那就是等于二倍的它的平方，它的它的平方是多少呀？ 二十五分之五就是五分之一吗？ ok 吗？所以它的平方五分之一写五分之一，那就五分之二， 五分之二减一，那就负五分之三， ok 吗？口三等于负五分之三，注意哦，负五分之三前面还有个括号呢， ok 吗？好，口三，你知道了三一怎么去求啊。哎，还是一样的呀。啊，怎么怎么这么熟悉啊。邻边比斜边 ok 吗？ 然后对面是四 ok 吗？三四五吗？那三也就是四比五吗 ok 吗？然后零到派第一第一第一二下限是正的吗？所以就是二根号二，然后括号五分之四负负的正加上五分之三 ok 吗？那就是二根号二， 五分之四加三等于七，所以说十分之七根号二选 d。 好 的， 大家如果有点听不懂，自己一定要自己尝试一下啊。对，因为讲的确实比较快一点点，但是步骤思路都是清晰的，如果看不懂一定要动手做 ok 吗？这边确实难一点点。好，那我看啊，而法等于零到二分之半二三影 二倍的三影二，而法等于口三影二，而法加一。好注意啊，口三影加一或者口三影减一，一定要把口三影公式列出来。口三影而法等于二口三影方加一， 二减减减一啊，这个减一移到左边不就变成这个了吗。所以就是二塞引二耳法等于二口塞耳风 二二约掉，然后塞引二耳法等于二。塞口嘛，塞引耳法，口塞引耳法嘛，可以吗？口塞引耳法口塞引耳法又约掉了，所以，哎，要问的是塞没关系啊，我先把口塞引移过去啊。口塞引移到这边好，除一个。对，除这边，口塞引除口塞引就等于一嘛，然后二再除过来 o 二再除过来。 tiger， 尔法等于二分之一， tiger 是 对边比零边一比二，那这边斜边就是根号一方加二方就等于根号五了。三隐对边比斜边 五分之根号五了。选 b 好， 来到最后一个 tiger 等于。好注意啊， tiger 等于三与可三赢的士子一定要把 tiger 换成可三赢三赢， ok 吗？问 tiger， 你 先别管它，你就先画减它就行了，等会儿肯定能得到它。好 taker。 等于口三分之三引，口三二法，分之三引二法， ok 吗？交叉相乘一下，口三耳法，口三耳法 等于三引二耳法，然后乘以二减三耳法， ok 吗？好，我们再观察一下这个式子，三耳法先给它化简。为什么？因为看到左边有一个口三耳法，因为这边是二塞口呀。二三耳法，口三耳法，可以吗？口三耳法，口三耳法约掉。嗯， 好。呃，然后这边就是二三引，然后二三引这边全是三引的式子。那把这个口三引二二法用用那个公式转化，转化成三引的式子呗。那就是什么 一减二三引二法方，对不对？好，右边二三引成这个，那就是四三引，二三引 减这个，那就是乘乘这个负的那个，那就负的二三而法方， ok 吗？左右两边都有负二负二三而法方，那就约掉， ok 吗？那三而法把四移过去，三而法一比四， ok 吗？ 啊，三引是对边比斜边，那零边呢？根号下四的平方减一，那就是十六减一十五，好，口三引啊，要求什么东西啊？要求天数，天数一比根号十五等于十五分之根号十五， ok 吗？好了， 这就是本期视频的全部内容了。呃，这边前面对于来说，前面是不是还会比后面还简单一点？为什么呢？是因为后面的公式太太就是太考验熟练度了，知道吧，所以大家不会也没有关系，看一遍答案，然后自己再做一遍就可以了，好吗？ 好了，那本期视频就到这，如果觉得不错的话可以给我点赞关注哦，感谢大家收听我们下期视频见，拜拜。
2641番茄学数
40:10查看AI文稿AI文稿同学们大家好，欢迎来到我们今天的第三节课，呃，专门是一个三角函数的专项题，因为我们知道啊，大家平时学数学，其实 嗯比较头疼的就是三角函数，因为这块呢是公式又多又乱，而且符号总是看错，图像呢也是变化绕来绕去， 而且我们大体的减三角形呢，还经常的去漏解或者是判断错误那个角，而且考试其实我们考的不难，但总是会莫名其妙的去丢分，其实不用怕啊，因为我们三角函数是我们高中数学里 最套路也是最好拿分的模块之一。咱们把核心逻辑还有我们必须要背的公式，以及我们常见的类型题和遇到这种题之后你要做的一个步骤整理清楚，那我们基本上这段，嗯这块部分是不会丢分的。 那首先来看一下，我们今天要从这三个核心考点进行学习。首先第一个就是我们三角函数的定义式，然后诱导公式和和差公式。其中诱导公式和和差公式呢，是我们高考 经常考的两个公式，是我们必须必须要背会且背的非常熟练，然后非常容易运用的公式。 那第二部分呢，是我们的三角函数的图像和性质，这部分也是我们嗯选择和填空经常考的一部分。然后第三个呢，就是解三角形，解三角形的话，其实我们常考的部分是在 呃大题里面，也就是十五题的那个位置和数列式二选一的。今天我们把这三部分内容学扎实之后，其实呃高考这部分的分基本是能够拿稳的。 那我们先来第一部分，首先就是啊三角函数的定义，其中最实用的定义。第一个就是单位元的定义，单位元定义什么？中角，而法中边交于单位元 p， 也就是说这个角是我们的，而法角 而法角，然后交于这个单位圆 p， 它是坐标，是 x y， 然后我们这里是 x， 这里是 y， 那 在这种情况下，我们通常令三引，而法就是纵坐标 y， 然后口三引，而法呢，是我们的横坐标 x， 然后它们进它，而法呢，是我们的纵坐标比横坐标， 但因为呃这里面 x 它做了分母，所以我们在此情况下， x 是 不能等于零的。如果你想，如果 x 等于零的话，那么也就是交到了这个点上，那这个点我们的角 其实是没有定义的，这是我们第一个单位元的定义。那第二个呢，就是直角三角形的定义，我们来看这个是左边这个三角形，它是一个 a、 b、 c， 它是一个直角三角形，然后我们通常这个角是而法角的情况下，我们对于三眼而法它的一个定义是等于 a a 比 b， 那 也就是说我们的 a、 b、 c， 也就我们的对边比斜边，这是三眼而法那口三眼法呢，是我们的零边比斜边，也就是 b、 b、 c， 那我们的弹琴的二法呢？就是我们的对边比邻边，就是我们三角形的一个定义。 然后第三部分呢，其实就是我们的一个嗯，中边相同角。什么是中边相同角呢？其实顾名思义和我们的三角函数的一个周期相关。我们来看一下我们这个图啊 啊，三引 r 法加二 k 派，也就我们二派是一个周期三百六十度，也就是从这个坐标 x 轴，然后绕着这个圈转了一圈之后， 我们发现如果这里是 r 法角在这里，然后我们绕了啊一个二派之后，它还是回到了原来的地方， 那么我发现三引他还是 y， 然后发现如果他绕两圈之后呢，我们发现他的纵坐标还是 y， 所以 我们就用三引阿尔法加二 k 派之后，他的呃值还是等于三引阿尔法。 那同样对于 cosine 耳法呢，也是，我们不管是绕了一圈还是绕两圈，还是绕了三圈，还是绕了 k 圈，我们发现啊， cosine 啊，他的一个值永远是保持不变的，也就永远是 x， 所以 我们有 cosine 耳法加二 k 派，也是等于 cosine 耳法。 那关于贪进他呢？因为我们发现贪进他是等于 y 比 x 吗？当我们这个转了 半圈，也就转了一百八十度之后，他也是 y b x， 虽然原来在第一项线他是同正的，但他变到了第三项线之后，他是同负的，他的值还是相同的，所以我们贪婪的阿尔法，他就不是二 k 派，他就变成了 k 派，然后他的值还是保留不变的。这个呢，其实和我们后面要学的一个三角函数的周期是 挂钩的，这是我们第一部分三角函数的定义的那个第二部分诱导公式。这个诱导公式这一块，其实我们高考，特别是三角函数里面， 嗯，一定要记牢且记熟的公式，就是考试中一旦看到了相关公式是，嗯，不要花太多时间去思考的公式。那首先我们来看一下这个诱导公式的一个记忆法则，即变五不变符号看象限。 我相信啊，就是但凡只要是你上课听了一点的，你肯定知道三角函数的这个经典的口诀，即变偶不变，符号看象限。那到底是怎么即变偶不变？为什么怎么去看那个符号，怎么去看象限呢？ 我给大家稍微解释一下啊，就那个即变偶不变，看的是谁的倍数，看的是二分之派的倍数，如果二分之派是基数倍的话，那我们的名称互换， 因为基数倍的情况下，名称呼唤就是由三引他变成了靠三引。那如果是偶数倍的话，他原来是三引，他之后还是三引，原来是靠三引，他之后还是 靠三引，那符号看象限是在此基础上，一定要把尔法永远视为一个锐角来看，然后我们再去看它原函数是在第几象限，然后是正的还是负的， 这就是我们诱导公式，即变五 b 符号看象限。然后我还给大家整理了一些高频公式，大家这个东西看完之后要直接背，因为这是我们考试呃，只考这几种， 剩下的东西啊，就是大家用口诀去判断，但我列出来的这几个公式一定要是能看到就直接背会的，首先就是负角，三引，负二法等于负的三引，二法考三引，负二法等于考三引。二法贪婪的负二法等于 负的弹紧它而法，然后三引拍减而法等于三引，而法考三引拍减而法等于负的，考三引而法弹紧它，拍减而法等于负的弹紧它而法，然后三引二分之拍减，而法等于考三引。 尔法考三以二分之派，尔法呢？二分之派减，尔法呢？等于三以尔法，然后最后一个就是三以派加尔法等于负的三以尔法考三以派加尔法等于负的考三以尔法，然后弹紧的派加尔法等于 弹紧尔法。这个是需要你考试啊直接去写的，所以要花时间去背。 这里提醒一个易错点，就是贪婪他在二分之派加 k 派的时候是没有意义的，因为这个后期后面的时候我们会学一个贪婪他的函数，我们就知道为什么在二分之派没有意义了。 然后我们解析的时候记住啊，化简的时候优先用这个即变偶变去快速的转化，然后特殊角呢，我们要结合一个定力去推导，咱们也不需要去死记，然后实在不行的话，我们就是画图去看他的正负。 那关于诱导函数呢，就是先化解吗？然后再用我们同角关系去求值。然后我们第三个考点就是和差公式，和差公式同样和诱导公式一样重要，也是我们考试必考的公式。那首先就是正弦方面的 合角公式，就是当三以 a 加 b 等于三以 a， 口三以 b， 加口三以 a， 三以 b， 然后三以 a 减 b 呢，等于三以 a， 口三以 b 减去口三以 a， 三以 b。 我 们发现正弦的情况下，它中间是加号，然后分解开之后还是加号， 中间是减号，它分解开之后还是减号，这个很好记。然后余弦公式呢是 cosine a 加 b 等于 cosine a， cosine b 减去 cosine a， cosine b， 然后 cosine a 减 b 呢，等于 cosine a， cosine b 加上 cosine a， cosine b。 那 这个呢，我们就发现 考三与余弦函数中间是加号，它外面变成了减号，中间是减号，外面变成了加号，这个也是大家注意去写的时候不要忘了这个符号的变化。 然后正切函数呢，有一个贪心，它 a 加 b， 就 等于贪心的 a 加贪心的 b 除以一减，贪心的 a 乘贪心的 b， 然后这里是加号， 同样这里加号，那对应的下面就是减号，那贪婪的 a 减 b 呢？就等于贪婪的 a 减贪婪的 b 除以一加贪婪的 a 贪婪 b， 我 们发现这里面是减号，它上面也是减号，但是下面是 加号，所以这些公式其实相对来说它前后都是相同的规律，但是一定要把加号和减号记牢，考试的时候不要记混了， 这也是我们常见的一个易错点。然后关于角的一个范围呢，就是求之后一定要去结合实际的范围，然后根据我们三角形内角的定域啊，内角的一个和或者是我们题目给出的一个定域，请检验一下我们这个符号 究竟是正还是负，这是我们常见的一个易错点。然后现在我们来看第二个考点，就是三角函数的图像与性质，因为三角函数我们在高中阶段常学的就是三个三引， 靠三引和弹紧的。首先我们来看一下三引它的这个图像，我们发现它是一个哎，首先它这里是过的，是圆点，然后我们发现它从这里到这里哎，它是一个周期，然后后面之后呢，它跟着 又是一个周期，所所以说它这里是负派，这里是 派，这里是圆点，那它的一个周期就是二派，以二派为周期的。然后它的定义域呢，就是在整个 x 轴上它都可以取到值，所以定义域是 r。 然后值域我们发现它是在 负一和一之间去正荡的，但是它不可能超过负一和一，所以它的值域是在负一到一，并且它是关于圆点，是一个 奇函数对称的。那我们来看一下单调性和对称性。首先我们发现当他在这一块到这一块的时候，他是单调增的，然后这一块到这一块的时候，他是 单调减的，这只是在我们一个周期上，那在于其他周期上呢？它同样是有相同的单调性，而它的周期呢，是二派，所以我们去自己写一下它的一个。嗯，单调性，首先它是在负二分之派， 是在负二分之派加上二 k 派，因为二 k 派代表的它是周期的倍数。然后在二分之派加上 二 k 派，这个周期上它是单脚蹬的。然后在二分之派加上二 k 派， 一到二分之三派加二 k 派，在这个周期上它是单调减的，这是它的一个单调性。那对称性呢？对称性我们分为中心对称和轴对称。那首先来看中心对称就是它和 x 的 交点，它一定是中心对称的，那 x 的 交点呢？应该是 k 派 零，然后是中心对称，那他的对称轴呢？哎，我们发现他这的一个是对称轴，这也是一个对称轴。我发现他们对称轴的一个周期并不是二派，他的周期是派。所以当 x 等于 二分之派加 k 派的时候，这是它的一个对称轴，这是我们呃正切函数，呃，正弦函数。现在我们来看我们的余弦函数，余弦函数它的一个走势其实和呃我们的正弦函数是 一样的，但是他的一个对称性和单调性又有不同。我们来看，首先这里是我们的 y 轴，这里是圆点，然后发现，哎，他是从这里到这里是从这 到这是一个周期。然后从后面呢又是一个周期，首先我们发现他的周期依旧是派， 它依旧是二派。然后发现它的止于同样，它依旧是在负一和一之间正到，而且它的定于同样是在我们的 x 轴上，是全部能取到的。而且我发现 它这里是 y 轴，它是关于 y 轴对称的，所以它是一个偶函数。那我们来判断一下余弦函数的一个单调性。 哎，我发现单调性它是在呃这块到我们的 y 轴是单调增的，然后我们的 y 轴到这块它是单调减的，并且由于它的周期是二派， 所以我们发现在每个周期上它的单调性都是相同的。那我们继续去写一下它的一个单调性。那考三 e x 呢？它是在二 k 派到 派加二 k 派，二 k 派同样表示是它的一个周期是单调减的。然后再派加上二 k 派， 二派加上二 k 排上是单调增的，这是呃余弦函数的一个单调弦。那同样它也存在我们的轴对称和嗯中心对称，我发现轴对称就是 哎这一块，同样它也是以派为中心的，所以当 x 它是等于 k 派的情况下，这是它的一个轴对称，那中心对称，同样它也是我们跟 x 轴的交点是中心对称的，那跟 x 的 交点，发现它是 二分之派加 k 派零，这是它的一个中心对称。 那我们来看我们的正切函数，那正切函数其实和我们的正弦和余弦，他的走势就不一样了，我发现他的走势，嗯，他是 从这里到这里，这是一个周期，从这里到一个这里又是一个周期，我发现他的周期要比正弦和余弦的周期要少一半，所以他的一个周期形式等于太， 并且他在我们二分之派以及他的一个周期倍数上是取不到的，所以他的定域是在二分之派加 k 派上是取不到，但是他的值域呢？我发现他是能够上下无限延长出去的，那他的值域是 r， 所以 这个正弦函数的定域值域周期性要单独记一下，并且他也是我们关于圆点中心对称的，所以他是一个 奇函数。那我们继续观察这个图案，我发现它整个图里面它单调性只有一种，就是 单调增的，但由于它不是在我们定义上连续单调增的，所以我们的单调区间要哎，要概括一下，那它的一个单调性应该是在负二分之派 加上 k 派，到二分之派加 k 派上，它始终都是 单调增的。然后他有对称轴吗？我发现他不是一个对称图形，他没有对称轴，但他有周那个中心对称的点，所以他的中心对称点应该是二分之 k 派零，这是他的一个 中心对称这个表大家一定要记得非常非常的牢。还有我们这个四正弦与弦正弦函数的一个单调性对称性一定要记得很牢，这是我们选填常考的。那说到这，我们就直接 来看一下他三角函数的第二个，呃，图像和性质，也就是我们的图像变化。呃，考试经常考的是三个变化，第一个就是平移变化，第二个伸缩变化，第三个纵深变化。常考的其实是平移和。呃，这个 伸缩啊，那平移我们分的两个方向，第一个是左右平移，第二个是上下平移，那左右平移呢？有一个口诀就是左加右减，那向左平移就是加，向右平移就是减，那这个加和减呢？单独的是只针对 x 的 情况下，那比如说如果是三 x 呢？那三 x 加 f 就是 相当于把我们三 x 哎向左移了 f 个单位，那上加下减呢？是我们对整体的 y 进行一个上加下减，比如说我们向上平移了 b 个单位，就直接在后面加个 b， 那 向下平移了 c 个单位，就直接在它的整体后面，哎，变成减 c 就 可以了。这我们的平移左加右减。 然后关于这个伸缩呢？其实伸缩它对于的是我们 x 前面这个欧米伽进行一个伸缩，实际上它直接影响的是我们这个函数的周期性。 那比如说如果它是缩了欧米伽倍，那我们就在 x 前面乘一个欧米伽，如果它是扩了欧米伽倍呢？我们就变成了，哎，我们就成了 y， 等于三欧米伽分之一倍的 x 加 f， 所以 阔的情况下，它应该是乘欧敏感分之一，这个是我们要重点去记的，不是说你缩了就乘欧敏感分之一，它正好是一个相反的。 那第三个呢？纵深呢？也就是说啊，正负变了，正负怎么变呢？就是在整体前面乘一个 a， 比如说它， 呃呃，变高了多少，那么他就是在前面乘一个多少，比如说变矮了必背，那就在前面乘个 b 分 之一。这个其实呃对于众生来说是非常简单的，只要你前面的一个正负变就行。但是平移和伸缩大家一定要注意 一些核心的性质呢，它其实是可以直接用的，就比如说对于一个函数 y 等于 a 倍的散引 omega x 加反，然后加 b， 那 此时呢，它的值域呢？就是 b 减 a 的 绝对值到 b 加 a 的 绝对值。这个考试其实我们可以用，而且经常在选择和填空里面遇到这类型的题的时候，是直接很容易去计算出它的一个 值域的范围的。那第二个就是周期呢？正弦和余弦函数来说，它的一个周期 t 是 等于二派除以欧米伽的，但单独的正弦的时候，它的 t 是 等于派除以欧米伽的。 第三个就是中心对称，那对于这种题型中心对称要怎么说呢？我们可以先令 t 是 等于欧米伽 x 加 f 的， 由于我们三也 x， 它是一个 呃呃，它的一个中心对称点是 k 派零嘛，所以我们令 t 的 与 k 派情况下，我们就可以得到 x 等于 k 派减负外，除以 omega， 那 这样子我们就可以得到它具体的一个值了。 那同样对于对称轴来说也是对称轴，因为三 x 是 关于二分之派加 k 派对称的，所以我们令它等于二分之派加 k 派的情况下，我们就可以算出来 x 的 值。 那说到这，我们直接去做一道例题，这道例题和我们前面学的就非常的相关，首先它考的是呃点 a 零，其中 a 大 于零，然后函数是 y 等于二倍的贪记的 x 减三分之派的一图像的一个 对称中心，那请问你 a 的 最小值是多少？首先我们按照刚刚的步骤，第一个我们可以先令 t 是 等于 x 减三分之派的，那如果是一个函数啊，摊进它 t 的 话，那它的 中心对称中心应该是，哎，我们说这里是二分之 k 派 零，对不对？所以呢，我们要想去求他的一个对称中心，那我们就令 t 等于二分之 k 派，然后去求一下，而我们刚说 t 是 等于多少， t 等于 x 减 三分之派，所以我们就得到了一个 x 是 等于几啊？ x 应该等于三分之派加上二分之 k 派，那知道了 x 等于三分之派加二分之 k 派之后，那么他呃 y 的 一个对称中轴对称对称中心就应该是三分之派加上二分之 k 派 零，对吧？所以 a 他 应该是等于他，但是我们说了 a 他 这应该是一个最小值为多少？并且 a 他 有一个范围是 a 大 于零，那么我们就看三分之派加二分之 k 派， 他最小值是等于啊，哎，应该是等于，在 k 等于零的情况下，应该是等于三分之派的，所以我们这里选的就是 c 选项，那这里的其实就是考察的一个贪婪他的对称中心，以及我们要怎么去在他平移变换之后求他的一个对称中心。所以说对于贪婪他，还有我们之前学的正弦与弦的对称中心，一定要去记，少记喽。 这我们第一部分，那我们来看第三个考点，就是解三角形，那解三角形我们通常就是正弦定力与弦定力和 面积公式，那面积公式其实是根据我们的正弦和余弦定力去求的，那最重要就是正弦公式，正弦定力和余弦定力，这是我们考选填常考的，有时候我们解三角形大题的时候，也会经常用到的 两个定律，那我们来看一下具体的公式。首先正弦定律就是 a b 三以 a 等于 b， b 三以 b 等于 c， b 三以 c 等于二 r， 其中这个 r 是 外接圆半径。 有的同学不知道，那什么是外径圆半径啊？这里我给大家画了一个图，就这个三角形呢，是 abc 这个三角形，然后角 a 角 b 角 c， 然后它的边呢，就是所对应的 a 角对应的是 a 边， b 角对应的是 b 边， c 角对应的是 c 边，然后它的外径圆呢，就是相当于在也过这三角形 abc 三个顶点去做了一个相接的一个圆，那么它的半径，这个你的半径就是我们的 r。 然后了解这些之后呢，大家只需要记住这个公式以及后续的一些变形，那这个变形公式就是 ab 三 a， b 比三以内 b， c 比三以内 c， 我 发现哎，它是对应乘比例的，且是等于二的，那经常就有 a 比 b 比 c 就 等于三以 a 比三以 b 比三以 c， 那 情况下就是 a 还能等于哎等于二二倍的三以内， 然后 b 呢，等于二二倍的三以内， c 呢等于二二倍的 三以 c。 这些公式呢，其实在我们大体里面也是经常考，并且你要习惯去呃转换的。 那呃正弦定律的一个适用条件就是已知两角及一边的情况下，要么你知道了两个角和它的斜边，要么就是知道了两个角和它中间的夹边， 然后要么就是知道了两个边移其中一个边的对角，在这种情况下就要注意一个多结了，明白吗？就和我们之前初中学的一个全等一样， 就会有一个角是在这边，一个角是在那边的情况，这个是注意一个可能会存在两个结的问题。 那第二个呢？就是我们的一个余弦定力，余弦定力这里是同样， a 是 我们代表 a 角的对边， ab 就是 b 角对边， bc 就是 c 角对边的 c， 然后它有一个 a 方等于 b 方加 c 方减二 and b 考三 a， 那 同理，其他角就有 b 方就等于 a 方加 c 方减二 a， c 靠三引 b， 然后 c 方就等于 a 方加 b 方减二 a， b 靠三引 c。 这个正弦定力和余弦定力大家一定要记住啊。然后余弦定力所使用的条件呢？就是知道了两个边及一个角，或者是知道了三条边的情况下， 我们常用的是余弦定律。那了解了正弦定律，余弦定律之后，我们来看我们三角形的面积公式，它是等于二分之一 a， b 三乘以 c 加二分之一 a， c 三乘以 b 加二分之一 bc 三以 a。 呃，那这张 ppt 上面展示的所有公式，大家一定要记得，非常非常的牢，包括我们余弦定律。后续关于考三 a， 考三 b， 考三 c 的 一个变形也要记牢， 然后解三角形呢？这里有一些常用的结论，大家是需要记牢的，而且我们考试的时候是可以直接用的，特别是选择题和填空题的时候是可以直接用的，而且在这种情况下，其实做题的速度会提高吗？ 那第一个就是三角形内角和当 abc 加起来等于 pi， 为什么？因为三 a 加 b 是 等于三 a pi 减 c 的 吧，然后三以派减 c 就 等于三以 c， 那 同样考三以 a 加 b 呢，就等于考三以派减 c， 然后考三以派减 c 呢？是等于负的考三以 c。 其实整个过程是这样算，但是你遇到然后填空题的时候，你直接这么 用结论就行。那第二个就是对于大边对大角，如果有三角形里面呃 a 边大于 b 边，那直接可以得到 a 角大于 b 角，三以 a 大 于三以 b， 这个也是我们考试直接用的，而且在考试的时候其实能够判断出很多的选项来。 那第三个就是关于锐角三角形的一个判定，这是我们大题啊，经常出错的一个 范围，就是有时候你去忽略了他的一个角的范围呢，你有时候得到的结论就可能会比较多，那一定要注意一下这个三角形的判断就是锐角，三角形一定要是三个角都为锐角， 那现在我们来看一下我们的例题。例二，在三角形 abc 中，角 abc 的 对边分别是 a、 小 a、 b、 c， 然后三角形 a、 b、 c 的 面积是二分之一 b 乘 b 倍的。三以 b 减 a 倍，三以 a 减 c 倍等于 c， 问你角 b 是 等于几度？那首先我们来回顾一下三角形的面积，我们 a 它是等于二分之一 a， b 三以 c， 二分之一 a， c 三以 b， 二分之一 bc 三以 a 的。 那这里我们既然要求角 b 的 话，我们把三以 b 直接列出来，就是可以得到 三角形的面积等于二分之一 a， c 三以内，然后这是我们知道的一个呃原本的面积的公式，但是题目给出了它的面积，那我们令它两边等起来数，它是等于二分之一 b 倍的 b 倍的三， a 减去 a 倍的 三 a， 我 们把两边同时把二分之一约掉之后，就可以得到左边 a， c 三以内就等于右边。我们把 b 直接乘进去了，就等于 b 方 三以内减去 abc， 三以内减去 bc， 三以内 c， 我 们用我们之间所的这个正弦定律， 它三以 a 就 等于 a 除以二 r， 三以 b 呢，就等于 b 除以二 r， 三以 c 呢，等于 c 除以二 r， 那 左右两边二同时约掉之后，哎，我们直接就可以得到哎。 abc 等于 b 的 三次减 a 方 b， 然后减去 bc 方，我们能发现左右两边又同时有一个 b， 我 们可以把 b 约掉，那就是 a c 是 等于 b 方减 a 方，然后减 c 方的。他其实我们发现他是不是和我们的一个余弦定力长得有点像呀？你看是和我们这个是不是长得有点像？所以我们把 b 方移过来之后，就等于 b 方，就等于 a 方加 c 方，然后加 a c， 那 我们余弦定里原本是等于 a 方加 c 方减去二 a， c 靠三，隐蔽的是不是？那我们两边等了之后， a 方 a 方约调， c 方 c 方约调之后，应该是有 a， c 等于负的二 a， c 靠三引币，那靠三引币等于多少？靠三引币应该是等于负的二分之一，因为 a 和 c 一定是大于零的，因为是三角形两条边嘛，那靠三引币等于负二分之一，那角币应该是就等于一百二十度，也就是三分之二排，所以选择的是 四 d 选项。那这道题呢，其实就是一定要考察我们对于余弦定律和正弦定律以及我们的一个面积公式的考察，所以这些公式一定要是记牢并且运用非常熟练的， 这是我们解三角形里面的一个选择题，那我们大体呢，常也常考一个解三角形题，那我们来看一下这道题 题目给出了啊，三角形 a、 b、 c 中角 a 角 b 角 c 对 应的边分别为 a、 b、 c 问你 b 方减 a 方等于 a、 c。 求证，第一问求证 b 等于二 a， 第二问，求证。如果三角形 a、 b、 c 是 锐角三角形的小编 a、 b、 c 的 一个取值范围，那其实这也是考的我们正弦定力和 弦定律，我们再去巩固一遍我们的正弦和余弦定律，那现在我们的求第一问角 b 角 b 是 等于两倍的角 a， 那 这个我们的出发点是什么？哎，其实我们的出发点啊，是等于哎我们的 这个公式的对不对？然后我们来看啊，首先你 b 方它是等于我们用这个公式 b 方移过来是等于 a 方加 a c 对不对？但由于移弦定了，我们用原本就能知道 b 方是等于 a 方加 c 方减二 a， c cos 等于 b 的 对不对？然后我们发现两边 a 方 a 方约掉之后就可以得到 a， c 是 等于 c 方减去二 a， c 靠三引 b 的， 然后我们发现其实等式两边是同时有一个 c 的 对不对？所以我们两边同时把 c 约掉之后，就变成 a 等于 c 减去二 a 靠三引 b， 让我们用正弦的定律可以到他们的比是相等的，就得到一个三引 a， 是 等于三引 c 减去二倍的三引 a 靠三引 b， 然后我发现等式左边是 a 角，然后等式右边呢？又是 a 角和 b 角，而这里突然出来一个 c 角，我们是不是因为 a 加 b 加 c 是 等于一百八十度，所以我们三引 c 直接能变成三引 a 加 b 啊？所以就等于三引 a， 就 等于三引 a 加 b， 然后减去二倍的三引 a 靠三引 b。 那 我们把这个三引 a 加 b 这个合角公式拆开之后，就等于三引 a 靠三引 b 加上三引 b， 靠三引 a， 然后再减去二倍的三引 a 靠三引 b， 我 们化简一下，就得到了三引 b 靠三引 a 减去三引 a 靠三引 b， 它就等于我们的三引 b 减 a， 让我发现三以 a 等于三以 b 减 a， 而且它们又都是在零到派，所以说就等于 a 是 等于 b 减 a 的。 那我们是不是有一块钱就得到 b 等于 二 a 了，对不对？所以我们第一问就这么证明出来了，那我们来看我们的第二问。首先第二问，你看啊，三角形 a、 b、 c， 也就是 a 角、 b 角、 c 角都是 锐角，那么就有 a， 它是一个大于零小于二分之派的。然后 b 呢？ b 也是大于零小于二分之派，那 b 是 等于二 a 嘛？所以二 a 也是大于呃，大于零小于二分之派的。 然后同样 c 角，那 c 角应该是派减去 a 减去 b， 就是 派减三 a， 它 c 角也是要一个小于 九十度的，所以它 c 角也是大于零小于二分之拍的。那最后我们就得到了一个 a 的 范围， a 的 范围应该是大于六分之拍，小于 四分之拍，那同样的，我们关于三 a 呢？它就是大于二分之一，小于 二分之根号二的，这是我们算出来一个三引 a 的 范围。那题目要求的是 a 比 c， 对 吧？等等我们来看啊， a 比 c， 他 就能写成一个三引 a 比上 三以 c， 那 我们刚说 c 是 等于拍减三 a 的 吗？那三以拍减三 a， 就 等于三以三 a， 所以 就写成了三 a b 圈三以三 a， 那 三 a 我 们又能写成 a 加 二 a， 是 吧？三 a 加二 a， 那 我们把这个分母上的 a 加二 a， 用我们的核角公式化简之后，就变成了三 a a 背的三 a 括号三 a a 加上 三 a a， 括号三 a a， 然后我们去把三 a 二 a 和三 a 括号三 a 二 a 去啊代换掉，又全部用三 a 代换掉之后，就变成了三 a 倍的，下面是三引 a 倍二倍的三引方的 a 减去一加上二倍的三引 a， 靠三引平方 a， 然后靠三引方 a 呢，又能化解成一减三引方 a， 所以 我们就化解一下，变成了三引 a b 以上四倍的一减 三引平方 a 被的三引 a， 然后去减去三引 a。 我 们化解完之后，哎，都有三引 a， 而 a 呢？三引 a 呢，是大于二分之一，小于二分之二的，它不等于零，所以可以上下直接约，就约成了一 比上我们的三减去四倍的单引平方 a， 所以 我们发现 a 比 c， 它能够化简成这样一个式子，那这样一个式子要求它的取值范围，实际上就要求我们的三以平方 a 的， 也就是三以 a 的 一个取值范围。那我们刚刚已经得到了三以 a 的 一个取值范围在二分之一到二分之根号二， 那它的平方呢，是等于四分之一到二分之一之间，然后我们看分母，它的一个范围就是在我们的一到二分之一之间，一到二之间，对，一到二之间，然后分母一下，那说明它的一个结果应该是属于一个 二分之一到一的，所以它的一个取值范围就是我们的二分之一到一。所以这道题呢，其实就是我们标准的高考的十五题的考法，那基本上呢，就是会考一些我们 正弦定理与弦定理的一些应用和翻过来绕过去的一些公式的考验。所以说我们这这块呢，整体来说就是要把我们的公式一定要是记牢记，熟 悉会，并且能够快速的去应用，快速的去找准问题的一个解决方案。 那我们这节课呢，就是讲的哦，我们三角函数正弦与弦还有正切，那我们首先必备的公式，就我们三角函数的公式，诱导公式和 和差公式。然后一些性质就是三角函数与弦函数，正弦函数的图像和性质，比如说我们的单调性呀，对称性呀，还有一些周期呀，止于啊，这些是我们一定要非常了解的性质，包括我们一些变化，就是呃变化有 拼一生疏，还有一个严扎，这三个也要牢记，那关于必须要掌握的定律，就是我们的正弦定律，余弦定律，包括他的一些变形，还有我们的一些面积公式，这些是我们一定一定要记牢的，这些是必须要背会的公式， 而且我们在整个计算过程中一定要认真，就是不绝对不要因为一些粗心去丢分。 那这节课后呢，我给大家相应的出了一些呃，选择填空，还有一些大题，那大家下去之后呢，可以 自己做一下，做完之后呢可以和答案对一下，咱们的习题答案呢，在配套的资料中评论区呢，我们可以有免费的获取资料。那这节课就到这，我们下节课见。
150期末闪学
05:30查看AI文稿AI文稿三角函数里的辅助角公式，我看好多同学貌似都学的不太明白，这个视频我来给大家讲懂辅助角公式就是，首先我想带大家先给大家简单说一下辅助角公式是个啥？说当题目中你遇到这种形式啊，就是多少倍的 sine 加上多少倍的 causing， 这种时候你遇到这种形式的时候，你可以消掉一个变量，变成只有 sin 或者只有 cosine 的 情况，那么怎具体怎么来做？你认真听我讲，让你能听懂啊。 首先的话，你先记一下，我写啥你记啥，好吧，等于根号下 他是啥意思呢？就是说第一步的话，要先给他俩提系数，看懂了没有？然后提系数，然后各自平方相加开根号，就是我来带大家练一个就能瞬间明白啊。比如说我举个例子， 呃，咱们就拿 sin x 加上根号三倍的 cos x， 拿这个来看啊，首先你先看 sin 前面系数是多少，是不是一， 那 cos 前面系数是多少，是不是根号三，那么 t 系数的话就是 t 系数了，平方相加开根号， 你算出来，你看等于多少，是不是等于二，那么看好了，你就把二写到前边，然后里边呢？你看原来是一倍的 sine x， 那 么为了保证不变，外边乘以了二，里边是不是要除以二，那么也就是二分， 那么也就是二分之一倍的 sine x， 再加上谁呢？那么请问加上多少倍的 cos 三 x， 那 之前是根号三倍，现在外边乘以了二，那么为了保证 整体不变的话，是不是里边要除以二，也就是二分之根号三倍的 cos 乘以 x， 那么你看啊，外边儿这个二先不要管，那么里边儿呢？ 眼不眼熟？二分之一的话是不是一个特殊角？咱们是不是可以写成 cosine 六十度？三 把二分之一个完全可以写成 cosine 六十度，对吧？那么再加上谁呢？你看二分之三的话，是不是又可以写成 sine？ 你 有十度 cosine x， 那 么你看这个，你能想到啥？ 这个能想到啥呀？这是不是正弦的两角和公式呀？它等于啥？是不是 sine？ 这个是不是展开刚好等于上面这个东西？ 好，那么你看啊，现在再把外边的二加进来，那么最后答案就是二倍的三 x 再加上六十度，看懂了没有？那么你看啊，如果说他上来， 嗯，如果说上来让你用求这个东西的最大值，最小值或者最小正周期之类的这些要素，那你是不是第一眼没法直接判断？但是当你把它变成只有 sin 或者只有 cosine 的 时候，是不是再求这些就一目了然了呀？ 啊，这个题也可以用，也可以变成只有 cosine 的 形式，怎么变？我再来带大家练一下。我先把这一块清一下啊， 首先的话，前面的步骤还是一样，还是说先提它俩系数，然后各自平方相加开根号？ 然后下一步的话，你看还是把二写在外边的话，你看二分之一倍的 sin x 加上根号三倍的 cos x， 那么你看左边的话，咱们是不是可以写成二分之一？可以写成三是多少？是不是三以三十度 加上啥？ 加上 cosine 三十度 cosine x， 这没有任何问题吧，就是给他俩等等加替换过来， 好继续看啊，就看的话，里边是不是是正 余弦的？里边是不是余？这个是不是就是余弦的念的两角叉公式，对吧？那么这儿你应该也就能看明白，我就节省时间不继续往下讲了，咱们有哪里没听懂，一定要抓紧时间问。
13:42查看AI文稿AI文稿我们接着来看中职数学基础模块上册零基础的讲解，这一节我们来学习第四章三角函数，先来看一下他的知识结构，三角函数这一章内容是比较多的，这一章也是非常重要的一个章节，可以说是我们考试必考的题目， 在很多省份考试的大题中也会出现。这一章我们主要讲解七个内容，第一个内容，角的概念推广，第二个就是弧度值，第三个任意角的三角函数。前三个内容呢就是我们基础的讲解，这里面如果考试出题，基本上都是选择题或者是填空题。 第四个内容，同角三角函数间的基本关系。第五个诱导公式，这个知识点超级重要，可以说是我们考试必考的题目，他不但可以自己出题，还可以和其他题目相结合。 第六个三角函数的图像和性质，这里呢主要就涉及到正弦函数和余弦函数，它的图像以及性质。最后已知三角函数求指定范围内的角，后面这几个内容呢是非常重要的，大家一定要掌握。当然了，学好前面的几个是为后面这几个内容做基础的， 我们来看具体内容的讲解，我们先来看第一个内容，角的概念的推广，第一个内容，任意角，那我们看到这个名字任意角，那么在我们以往的学习过程中，我们所学到的角度大部分都是锐角、直角、钝角、平角、皱角等等， 这些角度呢，它都是在零到三百六十度范围内的，那我们如果遇到超过三百六十度这样的角度，或者是负的角度，比如三百九或者是负的六十度， 这些我们应该如何来表示呢？这里我们就统一做一下规定，如果一条射线绕其端点，按照逆时针的方向旋转形成的角度呢，我们就称为正角。 相反，如果这条射线呢，按照顺时针的方向旋转所成的角度呢，我们称为负角。那我们这里呢，就可以记四个字，逆、正、顺、负。 比如呢，我们就可以看下面两个图片。先来看第一个，如果我们把这条射线围绕起端点，按照逆时针的方向，也就是这样的一个方向进行旋转，得到的角度，我们就称它为正角。比如这个射线围绕着圆点 o， 他 转到这里，那就是这样的一个旋转，这样得到一个角度呢，我们就称它为正角。 同样呢，如果他按照顺时针旋转得到角度，我们就称它为正 负角。如果一条射线没有做任何的旋转，那这里呢，我们也认为它形成了一个角，这个角呢，我们称它为菱角，也没有任何角度。 比如我们在教室里面悬挂的钟表，如果这个钟表按照逆时针的方向旋转两周所形成的角呢，我们称它为正角，那是多少度呢？两周就是七百二十度。比如我们这个下面的图页，它是按照逆时针的方向旋转， 如果按照顺时针的方向旋转两周呢，我们称它为负角，它所形成的角度呢，是负的七百二十度。比如我们可以看到第二个图，它顺时针的方向进行旋转， 这样呢，我们就得到了有七百二十度和负的七百二十度，我们看到它呢，不在零到三百六十度这个范围内，所以呢，我们就把角的概念呢推广到了任意角，接着我们来看一下这角呢应该如何来表示呢？ 那我们通常使用角的顶点，或者是顶点的矢边中边上的字母来表示角，比如我们第一个图，我们就可以表示为角 a、 o、 b， 或者是呢，我们直接可以表示为角 o， 这个同样也是可以表示为角 a、 o、 b， 或者是角 o， 也可以用小写的希腊字母阿法贝纳伽玛来表示，我们直接可以记住角阿法，如果不出现字母混角的情况下呢？哎，我们这个角也可以省略掉，可以直接描述为阿法，那我们就默认为呢，它是角阿法，比如我们阿法呢，它等于三百八十度，或者是贝塔呢，等于负的一百八十度。 那我们在学习的过程中，通常呢都是在平面直角坐标系中来讨论这个角，我们将角的顶点与圆点进行重合，那这个圆点呢？比如我们在直角坐标系中，就是这个圆点 o 角的矢边呢，它是与 x 的 非负半，也是我们 x 的 正半中进行重合，一直在我们 x 轴上面， 那最终角的中边在第几象限，我们就称这个角呢为第几象限角。比如我们下面给的角阿法呢，是等于四百二十度，它呢就是我们这个射线通过 逆时针旋转得到的，我们可以看到他是逆时针到这里，那得到的这个角呢，这个就是四百二十度，我们看到他是在第一相线，那我们就称他为呢第一相线角。再比如背叛了他，等于负的一百三十五度，那我们看到他呢是顺时针到这里， 这里呢他刚好是在第三象限，我们就称他为第三象限角，这里技术比较差的同学大家熟悉下，那这里呢，就是第一象限，第二、第三、 第四象限，这是四个象限。大家有个印象，如果一个角的中边在坐标轴上面，也就是说他可以在 x 轴的正半轴，或者是 x 轴的负半轴， y 的 正半轴， y 的 负半轴。那这个角呢，无论停在这个 x 轴还是 y 轴上面呢？ 我就认为这个角呢，它是不属于任何一个象限，那我们称它为界限角，比如它是零度，那就是 x 轴的正半轴。九十度，那就是在外轴上面一百八十度，那就是 x 轴的负半轴啊，三百六十度呢，就是外轴的负半轴上面， 后面还有很多，那这里界限角 r 呢，我们就可以表示为它是等于 k 乘以九十度的， 这里呢， k 呢，他是属于整数的，这里大家有个印象，这是他的概念，这内容主要还是让大家进行理解。接着我们来通过具体的题目来看一看。先来看例题，四点一判断下列各角是第几向前角。先来看第一个四百九十度是第几向前角。 我们这里呢，首先你要知道它是怎么来的，那我们这里统一让这个角的矢边呢，以 x 轴的正半轴也这里呢，它重合，那我们看到这个四百九十度，如果是四百九十度减去三百六十度的话呢，它还等于一百三十度，对吧？ 这里呢，我们可以看到他是一个正角，正角呢就是逆时针，你说我们这里旋转三百六十度，再到这里一百三十度，大概就是这里，如果我们画出来的话呢就是这样的一个角度，这就是他大概的结果，那他呢是通过逆时针，因为我们到这里，哎， 这里呢我们可以看到他是呢在第二项线，所以呢这个就是第二项线角。接着我们再来看第二个负六百五十度是第几项线角，那么这个负六百五十度呢？他有一个负的三百六和一个负的二百九十度，那么在坐标上来表示 就是顺时针转一圈，这个呢就是三百六，再转两百九，哎大概呢就是到这里，所以呢我们就可以画出来他是在这里，这就是他的一个大概图像，那我们表述出来呢就是哎转一圈他是顺时针的，我们可以看到他呢是在第一象限，所以呢他是一个第一象限角。 接着我们再来看第三个三百二十度是第几象限角，这个呢就比较简单了，我们直接来表示他是逆时针转三百二十度，大概呢就是在这里，那这个角呢大概的也就是这样， 我们如果描述出来的他就是这样哎得到这个角度，那这个角呢他是在第四象限，所以呢他是一个第四象限角。 接着再来看第四个负的一百七十度是第几相交角，那我们描述就是他是顺时针转一百七十度，那我们顺时针转一百七，到这里， 他的大概图像呢就是这样的，我们描述出来他就是这样的一个转一百七十度，那他呢是在第三相沿，所以呢他是一个第三相沿角。那这些题呢是比较基础的，如果我们后面学完中边相同的角，这样做起来会更加简单，接着我们就来看第二个中边相同的角， 首先我们可以先看一下下面那个图片，我们就可以看到三十度角，三百九十度角，负三百三十度角，我们可以看到这几个角的中边呢，哎，都在这里，那我们这里呢就会发现，在平面直角坐标系中，三十度负三百三十度，三百九十度或者是 七百五十度等等，还有很多这一角的中边呢，都是相同的，而且呢，这些角都可以表示为三十度与 k 个三百六十度的和，这 k 呢是属于整数的。比如三十度呢，我们就可以写成三十度加上零乘以三百六十度， 负三百三十度呢，我们就可以三十度负一乘以三百六十度，三百九十度呢，就可以写成三十多加上一乘以三百六十度。如果是七百五十度呢，我们就可以写成三十多加二乘以三百六十度。从上述角的描述形成过程中，我们就可以看出，与三十度角中间相同的角呢，它是有无数多个的， 这一角，他们与三十度角均相差三百六十度的整数倍，因此呢，与三十度角中间相同的所有角，我们就可以表示为比特，它就等于三十度加 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的。 这里细心的同学可能就会发现，这个三十度呢是可以替换的，也就是说如果我们把它替换成 r 法，哎，这个就变成了 r 法， 那我们看下面的一般来说与角 r 法中边相同所有的角组成的集合呢，就为 s 的， 大家看到这里呢就变成了 r 法，加上 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的，它呢，也就是所有与角 r 法中边相同的角都可以表示为角， r 法与三百六十度整数倍数的和， 这是它的概念。接着我们来看一下具体的题目。先来看第一个 a t 四点二，写出与负九百五十度角中边相同的所有角组成的集合，并且呢，在零到三百六十度范围内找出与其中边相同的角， 这里我们只需要把这个公式记下来就可以了，我们直接套用公式，那它的集合呢，就是 s， 它等于这里就是 beta， beta 呢，等于这个 alpha 呢，就是负九百五十度， 加上 k 乘以三百六十度，其中这里的 k 呢，它是属于整数的，这就是它的集合。接着呢，我们来看一下，在零到三百六十度范围内找出与它中边相同的角，这里呢，它给了一个范围零到三百六十度，也就是说这个贝塔呢，它要大于零度， 小于三百六十度。那我们看到 t 杠里面呢，是负九百五十度，那我们就可以判断出 k 的 大概率呢，它是等于三的，那我们假设令 k 等于三，我们代入一下， 悲叹完就等于负的九百五十度加三乘一个三百六，那这个呢，就是一零八零，就等于负九百五十度加一零八零度，最终结果呢，就是一百三十度，那这个一百三十度呢，刚好是 在这个范围内。所以呢，在零到三百六十度范围内，中间相同的角呢，是一百三十度，这是第一个离体。接着我们再来看第二个离体，写出中间在射线 y 等于 x， 这里面要求了 x 呢是大于等于零的，这个上面他的角所组成的集合。那我们呢，首先给他的图像画一下， 那我们知道 y 等于 x， 它出现的大概就是这样的，我们要求 x 大 于等于零，所以呢，我们只需要取它的第一项线位置就可以了。接着我们直接套入公式就可以， s 呢，它就等于被它， 被它，这里大家就可以发现这个角度呢是四十五度，所以呢它就等于四十五度，加 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的，这是这题的答案。接着我们再来看例题，四点四写出中间在外轴上的角组成的集合，我们把它图像呢画在右边。 这题呢要求是外轴上面他没有说是正半轴或者是负半轴，那也就是他在我们整个外轴，如果在外的正半轴，那就是九十度，如果在外的负半轴，那就是两百七十度，也就是这样的。 接着我们直接代入公式，那我们分成两种情况，第一种情况呢，就是它是等于九十度的时候，那 s 一 呢，它就等于 贝塔，贝塔等于九十度，加 k 乘以三百六十度， k 呢它是属于 z 的。 第二种情况，两百七十度，那我们把它记为 s 二，它就等于贝塔，贝塔等于两百七十度，加上 k 乘以三百六十度，其中呢 k 它也是属于整数的， 当它等于九十度的时候，也就是我们在外的正半轴，当它等于两百七十度的时候，它在外的负半轴，那我们要的是整个外轴上面的，所以呢，就取一下并集就可以了， 把它们两个合并在一起，这里呢我们可以观察一下，从这个九十度到这个两百七十度，它们中间呢其实就差了一百八十度，那它最终的集合呢，就等于 s 一， 并上 s 二， 那么就直接可以写为这个悲惨了，它是等于九十度加上 n 倍的一百八十度， n 呢，它是属于整数的，那这里有同学可能看到这个答案，哎，这个中间过程怎么来的？或者是就感到有点迷惑，其实呢这里很简单，就是我们这个 九十度，这个大家好理解，那我们这个两百七十度呢，它就等于九十度加上一百八十度， 当那个角在正半轴的时候，那只要他转一百八十度，就来到了一个负半轴，当他在负半轴的时候，只需要转一百八十度，他就回到了正半轴， 所以呢我们就可以统一写为九十度加上 n 倍的一百八十度，最终呢就是他的答案。这是我们第一节的内容，这节内容呢是比较简单的，如果这个视频对你有帮助的话呢，大家可以多多点赞转发分享一下，我们下个视频见，拜拜。
695李师傅上课啦
03:00查看AI文稿AI文稿今天我们讲特殊角的正弦值与弦值还有正切值，那不需要死记硬背，我们只需要掌握两个特殊直角三角形的三边比例即可。我们看这两个特殊直角三角形是三十度、六十度、九十度，还有四十五度、四十五度、九十度的直角三角形，那么我们对于三十度、六十度、九十度这个直角三角形来说，必备的一个口诀就是三十度 所对指直角边等于斜边的一半，那根据这句话我们就可以给三边进行取直，那么我们取三如所对的这条直角边，给他取一个比较简单的一，那么我们这条直角边是斜边的一半，所以我们斜边就是二， 那根据勾股定律，我们另一条直角边也就可以求出来了，那就是斜边的平方减去咱们这条边的平方，就是咱们要求的这条直角边的平方，那就是四减一等于三，再给三开根号即可，就是根号三，所以我们三十度、六十度、九十度这个直角三角形的三边比例就是一比根号三比二。 那么我们看四十五度、四十五度的直角三角形，它是一个等腰直角三角形，所以我们两条直角边给它分别可以取一，那么斜边根据勾股定律就可以求出来了，是根号二， 所以我们四十五度、四十五度、九十度这个直角三角形的三边比例就是一比一比根号二。那接下来我们需要记住的就是正弦与弦正切它们的公式。首先如果求一个角阿尔法的正弦值，也就是三阿尔法，那它就等于角阿尔法的对边比，斜边 cos 阿尔法是角阿尔法的零边。比斜边，它的阿尔法是角阿尔法的 对边儿，比邻边儿，那么我们怎么记住这三个三角函数值的求法呢？首先我们散影跟 cosine， 它分母上都是斜边，四影的分子上是对边， cosine 的 分子上是邻边儿。 那么我们看贪婪的算法，它正好是散，跟 cosine 的 两个分子相比，也就是对边。比零点，那三数的对边就是一，斜边就是二，那就是一比二，二分之一。 cosine 三十度就是它的零边。比斜边，那就是根号三比二，贪婪的三十度就是它的对边。比零点，那就是一比根号三。咱们分母上的数字一般不带根号，所以我们上下同时乘以根号三，那就是三分之根号三。 四十五度的，咱们就放在第二个直角三角形里边去求那三四十五度，我们任取一个四十五度，就是它的对边。比斜边，那就是一笔根号二，上下同时乘以根号二，就变成了二分之根号二。 cos 四十五度也是一样的，那就是二分之根号二。它认得四十五度，就是一比一，就等于三六十度。我们还是放在第一个直角三角形里边去求，那就是它的对边。比斜边等于根号三比二 扣散六十度就是它的零点。比斜边，那就是一比二。贪婪六十度就是它的对边。比零点，那就是根号三比一即根号三。那我们剩下的这三个钝角正好是三个锐角的补角，他们也是特殊角，那我们互为补角的两个角的正弦值是相等的，所以散一百二十度是等于散六十度的，六十度跟一百二十度互为补角， 也是二分之根号二散，一百五十度等于散三十度，那就是二分之一，那互为补角的两个角的余弦值还有正切值都是相反的，所以我们把它也写出来， 那我们就把这些特殊角的三个三角函数值都求出来了，大家学会了吗？我们总结一下，我们只需要绘画两个 特殊的直角三角形，知道它的三边比例，还有正弦、余弦、正切这三个公式，把它记熟，就可以灵活的去求这些特殊角的三角函数值了。如果没听懂的，咱们建议多听几遍，先收藏起来吧，记得点赞关注哦！
123雨珊单招数学
14:27查看AI文稿AI文稿北塔九年级的二模最后的两道大题，这是其中一道，我们来看一下它的难度。如图，抛物线 y 等于 x 方加 b， x 加 c 交于 x 轴于 ab 两个点。抛物线 ab 两个点，其中点 a 的 坐标是一零，我们先标到图上啊，一零 好，与 y 轴交于点 c 零负三， c 是 零，逗号负三，求抛物线的解析式。我们说求解析式，其实它无非的就是三个点，第一个求抛物线解析式，就是找点 啊，找点，第二个带式啊，啊，找点带式三，解方程 啊，就是解方程，找点求你哪个函数解析式求二次一次还是反比例，你就找这个函数上对应的点就行了。第二个带式，将点的坐标给它带入函数解析式。第四个带入进去之后肯定是有方程的，看你是一元二次方程还是一元一次方程， 对不对，然后给他解出来就行了。已经知道 a， b， c， a 知道是一，所以说我只需要求一个 b 和 c 就 行了。那我将 a 点，将 a 点的坐标一零和 c 点的坐标多少零，负三代入 y 等于 x 平方加 b， x 加 c 中，好得到划括号。我们说方程一般是方程组嘛啊，带进去得一零，所以说零就等于一加，这个是 b x 啊，一加 b 加 c 好， 零负三，所以说负三就等于零加零加 c， 那 解出来来解得 解得 b 等于几， b 等于几？解得 b 等于二， c 等于负三，对吧？没问题啊， b 等于二， c 等于负三。好的， 所以解析式为 y 等于 x 平方，加二， x 减三。好，我们来看下第二个，在对称轴上找一个点 p， 在 对称轴上二次函数对称轴，在，这使得 p b 减 p c 的 值最大， 求点 p 的 坐。标。题是这样的，我们先将第一问的结果，然后写到这，并且把图上各个点能解出来，给它解出来好不好？先解出来。那解析式为， y 等于 x 的 平方加二， x 减三。好，这个是解析式。那我们的这个对称轴呢？ 啊，负的二 a 分 之 b 等于负的二乘以一乘以一分之二，所以结果等于几？负一对不对？好，我们来看一下。它说在对称轴上，所以说我们先画个对称轴好不好？先画个对称轴。 好的，我们来看一下，先画个对称轴。画个对称轴之后，你看一下我们说对称轴 x 等于几？负一对不对啊？我们说二函数是不是轴对称图形？ 轴对称图形上的对应点到对称轴的距离是相等的，因此这块为几？这块为一零。啊，我们给这标一个叫 q， 我 们给这标一个叫 q。 好，那你告诉我， q a 的 距离是不是为二？ q a 距离为二，请问 q b 距离是不是也为二？ q b 距离为二， o q 距离为四为一，所以说 o b 的 距离为三，因此点 b 的 坐标是 负三零。好的，那咱这会也标题，在对称轴上找一个点 p。 好， 这是对称轴上找一个点 p， 使得 b p b 减 pc 的 值最大， p b 减 pc 的 值大最大。我问你个问题啊， p b 减 pc 的 值最大。请你回顾你初中三年你学习的内容，你在哪块见到过这种线段求最值，问题， 对将军印码求两个线段之和的最小值对不对？而最大值呢？ 考的就是我们七年级下册第四章的三角形三边关系，任意两边之和大于第三边。看黑板，任意两边之差小于第三边，对不对？你看一下啊，我问你啊， p b， 我 们先标个 p 码 给他，先标一个 p 啊，先标一个 p， 他 说 p b 减 p c。 好， 我们先把 p b 给它连接起来。 嗯， p b 减 p c， 我 问你个问题啊， p b 等于谁？ pb 等不等于 pa？ 请问 pb 等不等于 pa？ pb 等于 pa 吧？因此我要将线段 pb 减 pc 的 最大值，我能不能化成 pa 减 pc 的 最大值？ 能不能行？ p a 减 p c 的 最大值？根据我们三角形三边关系，当时说第一个任意两边之差 小于第三边，这个小于第三边是谁？是不是 a c？ 而这个前提是不是说明是 p a c？ 这三个点怎么了？不贡献的时候，也就是不贡献，也就是什么可以构成三角形， 可以构成三角形，所以利用三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，对吗？对不对？但是我们现在要求它的最什么值？最大值？ 我问你，按照这种情况， p a 减 p 永远都比 a c 小， 对不对？他永远都达不到他，对不对？于是你想让你最大，因此什么情况？这这种情况你就要得打破。所以说将 p a c 不 贡献得化成 p a c， 怎么了？ 要怎么了？要贡献。因此将三角形其实化成一个，什么叫线断了， 对吗？所以说这个时候我们可以将你看，所以我们是 p a 减去 p c 的 绝对值，想让它最大的话，它比它小，它的差比要想最大的话，当它等于它的时候是不是最大？ 所以此时此刻三点不贡献的时候，它才能取得最大值，也就是将不等式可以化成一个等式了，对吗？ 对不对？对不对？好，所以说 p a 减 p c， 这个时候我们可以画出来，其实我们只需要求谁就行了，是不？求 a、 c 长度就可以了，对不对？所以说你去求 a、 c， 正好题目他没有问求 a、 c 长度，但我们知道这个情况就行了。好，因此他们三个贡献请看 p， a、 c 想贡献在求点 p 的 坐标， a 点 b， a 点 c 点两个点的坐标，知道吗？ 两个点的坐标知道，你能不能两点确定一条直线就是依次函数，依次函数都知道了，这次将 a、 c 的 函数解析式，依次函数解析式给它解出来， a、 c 的 依次函数解析式解出来了。其实真正的点 p 是 不是应该在这呢？因为它说点 p 是 在是对称轴上的一个点，解析式出来了点 p 的 横坐标。我问你，点 p 的 横坐标是不是负一纵坐标，我们给它设一个嘛？ 是不是说 m， 所以 我们将负一 m 带入函数解析式，能不能行？能不能行？ ok， 好， 那我们来做一下啊。 ac 解析式我们不知道，他也没有告诉，所以我们自己要来设好。设直线， 设直线， a c 所在函数解析式为 y 等于 k， x 加 b， 还有吗？ k 不 等于零啊，听到吗？好，我们将 将 a 点坐标是多少一零， c 点坐标是多少零，负三给它带入，听到了吗？好，带入 y 等于 k， x 加 b 中得到， 得到零就等于 k 加 b， 负三就等于 b， 所以 我们解得 b 等于负三， k 等于几？ k 等于三， b 等于负三， y 等于月 三， x 减三，对不对？依次函数解析式都知道了，你的点 p 是 负一 m， 你 在这或这，你提前先说一下，你说设点 p 的 坐标是负一 m， 听到了吗？嗯，那我在这补充一下吧， 然后这再写，正好设他解心式，你就设点 p， 坐标是负一 m， 将点 p 的 负一 m 代入 y， 等于三 x 减三中，好解得，所以 m 是 不等于负六，所以说点 p 的 坐标是多少， 是不是负一负六？明白了，没有听得清楚吗？哪，哪块不理解告诉我，从头到尾哪块不理解？你咋不问我这个？你说 pa 减 pc 为什么带绝对值？ 因为万一要用那个小边减去大的边，它就是复数了，所以你要带个绝对值，听到了吗？ ok， 好， 那这就是按照底层逻辑去给你去讲。其实我们刚才这这些题，你看轴对称是考的是七年级下册的第五张， p b 减 p c 考的是七年级下册的第四张，所以说我们的二模难度慢慢的降下来了，发现了吗？ ok， 好， 咱们看一下。第三个 d 为 y 轴上的一个点哦，点 d 为 y 轴上的一个一个点。直线 b、 d 与直线 bc 的 夹角为十五度，求线段 c、 d 的 长度， 根据它的情况去画图。我们的函数最好的解决方法叫做竖形结合函数一定是竖形结合好，根据它的情况我来画图嘛。 b d 与 bc 的 夹角为十五度 哦，我们先画一下，叫 b d。 我 问你，刚才我们说 o b 长度其实是几是三，对不对啊？我们先把距离先标出来，这块长度是三，那么 o c 呢？是不也是三？ 所以这就是平面直角坐标系，因此 o b c 是 等腰直角三角形，所以说两个角等于四十五度，所以这块也为四十五度，所以这块也为四十五度。但是题目人家却说夹角为多少十五度？ b、 d 与 b、 c 的 夹角，看一下， b、 d 与 b、 c 的 夹角是十五度，哎，这块为四十五度，这块为十五度，所以它为 三十度。在求谁？求 c、 d 的 长度好简单呐，求 c、 d 的 长度，是不应该用 o、 c 的 长度减去 o、 d 的 长度，对不对？求 o、 d 的 长度怎么做？ 就直角三角形当中三十度一组边都知道了，你用的叫什么三角函数啊？你是不是要求这个边？你已经知道对边，还知道什么零边，还知道三十度，所以说我们应该用对边比零边是什么？谭锦特，谭锦特， 三十度就等于 o、 d 比上几三？我问你它，它三十度等于多少？三分之根号三好，因此是交叉相乘三倍的， o、 d 就 等于三倍的根号三，所以 o、 d 等于 根号三， o、 c 等于三， o、 d 等于根号三，所以说 c、 d 等于三减根号三，听到了吗？因为 o、 c 等于三，所以说 c、 d 就 等于三减。根号三，可以了吗？没了吗？ 你都九年级了，它会考你一个答案吗？难道 b、 d 和 bc 的 夹角十五度就只有一种情况吗？还有可能在什么？下面？来，我们看一下 有没有可能是这样。那我们标一个 d 撇好不好啊？我们标个 d 撇，当这个角是十五度的时候，哎，它为四十五度，这又为十五度，所以说这个核心角这一部分等于多少度 多少度？ yes， 六十度，九十度，这就是多少三十度。哎，三十度在这还是在求 c、 d？ 没关系啊，我把 o、 d 求出来，减去 o c 就 行了嘛。 同样的直角三角形，三十度，六十度，所以说你看你用哪个？我用三十度的对边和零边，所以说还是贪婪的三十度来看。第二种情况， 我仍然用贪婪的三十度。 o b 比上 o d 撇， o b 比上 o d 撇等于 三分之根号三。我问你， o b 等于几三，对不对？三比上 o d。 sorry， 这个不在这啊，在，在这啊，你看我这标的吗？所以等于三分之根号三。因此根号三倍的 o d 就 等于九。 o d 就 等于根号三分之九分。母。有理化结果就等于三分之九倍的根号三。等于 三倍的根号三，对不对？ o d 等于三倍的根号三。 o c 好。 继续再因，因为 o c 等于几三，所以说 c、 d 撇的长度等于三倍的根号三减三。好。再来四个字，叫什么？叫什么？综上所述， c、 d 的 长度是三减根号三或三倍的根号三减三。
661宁夏李老师（全托➕晚托）
08:45查看AI文稿AI文稿大家好，我是姚老师，今天给大家讲解三角函数的图像和性质常考题型。这种题目对于高一刚开始学三角函数或者是高三复习技术比较薄的同学来说，都是非常致命的。 今天老师用一个视频给大家把正内的题目搞清楚，搞明白，大家拿起笔，跟着姚老师把这道题写一下。 视频的开始前，希望各位同学给姚老师点个赞和关注，感谢各位同学了。我们来读题，他说已知 f x 等于 cos， omega 等于 x， 加上个 five， 其中 omega 是 大圆的，绝对是 five， 是 小于二分之 five 的 部分图像如图所示。下列说法正确的是， 一个考周期，第二个考单调区间，第三个考对称轴，第四个考对称中心。啊，这个题目啊，你记好了啊，他就是把 把那个三角函数四个能考的地方全部都考了，那怎么去写呢啊？我们在写这种题目，一定要对 sin 和 cosine 的 原始图像要搞清楚，比如说这题考的是 cosine， 我 们把 cosine 的 原始图像给它画一下 啊，我们把 cosine 的 原始图像画一下。 好，我们来看啊，这是扩展的原始图像啊，这个，这个图像，你们自己要要清楚啊，这个位置是零，这个位置是什么呢？这个位置是派，这个位置是二分之三派啊，这个位置是负的二分之派，这个位置什么呢？是负派。 好，你要清楚，我们说在三角函数中，你记好了啊，就是这一上一下， 一上一下，这个加在一块，他才是一个周期，一个整周期，知道吧？所以你想想看，那如果我从这到这，这叫什么？这叫四分之一个周期 啊，那从这再到这呢？这叫二分之一个周期啊，一定要清楚啊，就是一上一下，他是一整个周期，所以我们看这道题，你看啊，你是不是这个正好是一整个向下的部分呢？所以这一整个是什么？是不是叫二分之一个周期， 对吧？二分之一个周期等于什么呢？等于五分之七派，减去个五分之二派等于什么？等于派，所以周期等于什么呢？等于二派，这样的话 a 就 错了，是吧？就这么求的。 然后在三角函数中，尤其是三角和 cos， 我 们有什么呢？我们有这个 t， 它是等于二派除一个 omega 的， 知道吧？通过这个公式，我们可以把 omega 求出来， omega 等于什么？ 呃，这个写我看一下，二派除以 t 是 不是得二派除以个二派等于几？就等于一，也就说 omega 是 等于一的，所以你这里 f x 变成什么呢？ 等于 cosine， 什么 x 加上个 five， 然后我们接下来求 five， five 怎么求呢？你记住， five 往往是带点去求，就比如说你看题目中给了你这个暗示，这个点是不是叫五分之二派多少零？但是在真实的情况下， 就是在括上引函数中，这个点通常是什么位置啊？是不是？是不是叫二分之差多少零啊？对吧？那为什么是五分之二？这个图像中为什么是五分之二差多少零呢？我们可以这么理解，是把五分之二差多少零这个点带到这个函数解析式中去，它是等于什么呢？等于二分之差的， 对吧？所以我们有什么呢？我们有这个东西，我们有。当 x 等于五分之二差的时候， 你看啊，我们是不是五分之二派加上个否等于什么呢？等于二分子派加上个二 k 派。你说老师为什么要加二 k 派？在三引和口三引中，二 k 派表示周期，因为你那个函数是连续的， 它可能会出现多个二分子派，知道吗？但是在一个周期内只会出现一个二分子派啊，所以我们这个解的否等于什么呢？等于十分子派加上个什么呢？二 k 派。 好，由于啊，这个范围啊，题目说了是小于二分之八的，你这个 k 啊，在三角函数中只能取整数，包括正整数、负整数和零，所以中整数 k 只能取零，那范围就等于什么呢？十分之八， 知道吧？啊，所以这里的函数解一次我们 f x 就 等于什么呢？ f x 它就等于啊，叫括号 x 加上个十分之八啊，这样的话，我们解一次就解出来了啊。解一次解出来过后，然后我们看一下单调区间啊，单调区间我们看啊，我们看单调区间。 我拿绿色的笔给同学们画一下，你看空上的单调递增区间，是不是从这到这，没问题吧？单调递减区间，我拿这个棕色的笔给同学画一下，是不是从这到这？ 没问题吧？啊，所以我们可以看出他真区间啊，就是减区间是什么呢？嗯，我写个减区间啊，写写这个啊，我们看啊，真区间是什么？是不是叫负派加上个二 k 派啊？ 到什么呢？到零加上个二 k 派啊，对吧？那减区间呢？是不是叫零加上个二 k 派？到什么？到派加上个二 k 派？ 这是括上引的啊。这道题很好，如果各位同学把这个括上引改成三引，我现在把这个括上引改成三引，你尝试一下能不能把这四个选项都算出来， 知道吧？就是我给大家出一题，如果这题你举一反三，你把括上引改成三引，你看能不能把四个选项的标准答案给它选出来。好，我们就要这道题。好，所以你看啊，我们现在解释是不是有了？你现在要求他的什么？要求他的争取是不是，是不是给这个，是吧，所以我们看啊，是你里面这个整体啊， 叫什么呢？叫 x 加上个十分之派，它是小于等于什么呢？小于等于二 k 派，加上个零零就不写了。大于等于什么呢？二 k 派 减派，复派加二 k 派，不就二 k 加减派吗？好，这个解得我们 x 干嘛呢？小于等于二 k 派减派大于等于什么？二 k 派 减去个什么呢？十分之十一帕啊，所以啊，到此为止，我们的争取间就解出来了啊。就是什么？这个，呃，减这个就解错了啊，减去个十分之帕，不好意思啊，大家看一下，减去个十分之帕，所以这个 b 选项对不对啊？ b 选项是不是对的啊？对啊，没问题吧，是不是减去个十分之帕， 这个，这个写错了啊，笔误啊，大家可以稍微看一下啊。好，所以 b 选项就对了，那你想想看，如果我让你求他的减区间，各位同学会求吗？啊，写这种题目，大家一定要养成举一反三的习惯啊，就是你如果这一类题目一道题会了，你可以列出好几道题目， 知道吗？啊，好，我们看一下。对正轴啊，对正轴，你记好了，在商议和库商议中，我们对正轴是什么是最值的时候取啊？所以你看库商的最值在什么地方呀？ 宽的锥子在什么地方？是不是这里或者是这里啊？这栋楼是直线啊，知道吧？那这里和这里有什么特征呢？你看零派或者这里负派，对吧？ 说明什么？他是不是在整数值，整数派的时候去，对不对？所以我们可以什么呢？ c 语言我们可以这么算。令什么呢？令 x 加上个十分之派啊，你注意啊，一定是这里面这个整体啊，这里面是一个整体， 听懂吧。他等于什么呢？是不是等于 k 派？那你想想看，如果换成三赢他的税值是什么学？他最大值是什么学？哎，是不是 k 派加二分之派，对吧？好，这里我们解出来什么呢？解出来 x 等于什么？等于 k 派减去个什么十分之派，对吧？ 不是这个二分之 k 派减去个十分之派吧。所以这个 c 选项是不是错的呀？对不对啊？所以说不能选啊。 好，他说关于这个点，关于圆点对称，关于圆点对称就是什么，就说明你把它带进去他什么？他是不是扇影直接转换成了 q 扇影，对吧？那我们带进去试试看吧，对吧？那就是 f， x 加上个四分之 四倍的 f 还等于什么？是不是等于 q 扇 x 加上个四四倍的 f 是 什么？嗯，是四，我们看一下。嗯。 f 是 什么？是不是？ 是发根就是什么十分之派，四乘一个十分之派，对吧？再加上个什么范，呃，再加上个十分之派嘛， 对吧？就变成这东西原本不是有范的，对吧？所以就变成了什么？就变成了 q 上什么呢？ x 加上个二分子派， q 上 x 加二分子派，根据月老公式，它等于什么？是不是等于负的三 x， 对 吧？那你说你说这个东西关不关原点对称包关原点对称了吧，是不是 啊？啊？因为上下数不是不是计算数吗？计算数肯定是关于原理的，是不是啊？我们就这道题就讲完了，大家一定要拿起笔写一下，因为讲的题目比较基础，也算是考前给大家把不会的地方给大家看一看了，带大家过一遍啊，大家可以拿起笔用心的去算一算，我们今天就讲到这。
66姚老师讲数学
03:01查看AI文稿AI文稿二六高考三角函数送分题是谁还不会？今天显哥带你做最后的查缺补漏，把整体代换诱导公式的用法再巩固一遍，高考遇到同类型的题，一眼就能出答案。我已加入抖音精选高考应援联盟，我为全体高考生精选了一道题，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟持续追更。 在直角坐标系当中，角二法的顶点在坐标原点，使边与 a 轴非负半轴综合。其实我读完这句话我就想到，嗯，这难道是考三角函数的定义啊？ 三角函数的定义不就是使边中边吗？三二法是 y 比二，考三二法是 x 比二，对不对？当二元，然后角二法按逆时针旋转六分之派，然后到达了第二项线。咱们假设这个地方是角二法，然后呢，旋转了六分之派，到达了这个地方，也就说这个地方是六分之派。 好，那么这个终点呢？他就是负的五分之三，然后五分之四啊，你看这道题考什么？当然这个中边是哪个角的中边呢？就应该是二法，这个就应该是二法加六分之派的中边。也就是说肾二法加六分之派等于个 呃， y 比二，就应该是五分之四。考肾二法加上一个六分之派，就应该等于 x 比二，就等于负的五分之三。所以这道题考的第一个第一个定义，他又让我求肾二二法减去个六分之派等于几？所以这道题考什么？ 考到了啥？嗯，凑脚。那我问大家个问题，其实这道题考的挺好的，那问大家一个问题，浙江是一个肾，我，你觉得我是凑脚还是？ 其实就看你是高手还是低手了，反正我是高手，我看的很透。也就说这道题我先想一个诱导公式， 你知道为什么我想一个诱导公式吗？因为诱导公式的话，假设我们不直接凑就是，什么意思呢？也就说二法加上一个三分之派，减去个二分之派，我凑成一个考甚。 谁知道我为什么要凑成一个考甚有关，只和甚，或者是只和考甚有关系啊， 所以我凑成一个，它这个地方和二分之派有关，二分之派有关，函数名就变，就应该是考甚。阿尔法加上一个三分之派。符号看象限，我把这个角想成锐角，锐角减九十度，第四象限考甚是负的，所以加个符号， 然后呢？再考一个负的符号，两倍的考甚方，正好是阿尔法加上一个六分之派，然后减个一， 所以就应该等于一减去两倍的考生方就应该是二十五分之九，等于到一减去二十五分之二九，一十八等于二十五分之七。所以这道题考的非常的好。 选 a， 先想着诱导公式，然后再来一个二维角公式，当然你也可以直接凑啊，一凑到底没有问题，一样的条条大到通罗马。好，所以这道题考的一个凑角。
2634数学赵礼显
00:43查看AI文稿AI文稿高中数学最难的三角函数公式全部吃透，逆袭班级前三三角函数与解三角公式一特殊角的三角函数值、 角度值与弧度值的转化，弧长及扇形面积公式任意角的三角函数同角三角函数的基本关系 诱导公式两角合叉公式。正余弦定里三角形中的相关公式完整版。
35抹茶包
05:55查看AI文稿AI文稿欢迎收看二零二五年高考三角函数大题精讲，本期视频将通过生动的几何图形与函数图像，为你详细解析三道高考三角函数大题，帮助你深入理解数形结合的解析思想。 第一题来自二零二五年天津卷第十六题。在三角形 a、 b、 c 中已知 a 被塞 nb 被扣塞 nb 减二， b 等于一， a 等于根号。期 要求角 a、 边 c 以及塞恩 a 加二 b。 第一问，求角 a 根据正弦定理， a 被塞恩 b 等于 b 被塞恩 a 带入已知条件得到 b 被塞恩 a 等于三， b 被扣塞恩 a 两边约去 b 得到塞恩 a 等于三，被扣塞恩 a。 极坦詹特 a 等于根号三，因此角 a 等于三分之派。 第二问，求边 c 由余弦定理， a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 扣塞 n， a 将 c 等于二， b 加一和 a 等于根号七，代入。同时角 a 等于三分之派，扣塞 n a 等于二分之一， 整理后得到三， b 方加三， b 减六等于零。一式分解得 b 加二，乘以 b 减一等于零，解得 b 等于一，因此 c 等于三。 第三问，求塞恩 a 加二 b。 首先由正弦定理，塞恩 b 等于 b 倍塞恩 a 除以 a 代入， b 等于一，塞恩 a 等于二，分之。根号三 a 等于根号七，得到塞恩 b 等于十四分之。根号二十一。 在直角三角形小图中可得扣塞恩 b 等于十四分之五倍，根号七。接着计算塞恩二， b 等于两倍，塞恩 b， 扣塞恩 b 等于七分之五倍。根号三，扣塞恩二 b 等于一，减二倍，塞恩方 b 等于负七分之二。 最后用两角和公式，塞恩 a 加二 b 等于塞恩 a， 扣塞恩二 b 代入数值计算的七分之四倍根号三。 接下来我们来看第二题，来自二零二五年新高考二卷第十五题。这是一道关于三角函数图像与性质的题目。 第一问，求 f x 等于寇塞恩二 x 加 f， 且 f 零等于二分之一，代入 x 等于零，得到寇塞恩 f 等于二分之一。由于 f 在 零到 pi 之间，所以 f 等于三分之 pi。 第二问，设 g x 等于 f x 加 f x 减六分之 pi， 先计算 f x 减六分之 pi 等于寇塞恩二 x， 因此 g x 等于寇塞恩二 x 加三分之 pi 加寇塞恩二 x。 使用和插画机公式得到 g x 等于根号三倍寇塞恩二 x 加六分之 pi。 由此可知， g x 的 值域是负根号三到根号三。 当二 x 加六分之派从零到派时， g x 单调递减，从派到二派时，单调递增， 即单调递减区间为 k， 派减十二分之派到 k p 加十二分之五派。单调递增区间为 k p 加十二分之五派到 k p 加十二分之十一派，其中 k 为任意整数。 最后我们来看第三题，来自二零二五年新高考一卷第十九题的第一问，这是一道三角函数与导数结合的综合题。 设函数 f x 等于五倍寇塞恩 x 减寇塞恩五 x， 求在零到四分之派上的最大值。首先会制函数图像，先分别画出 y 等于五倍寇塞恩 x 和 y 等于负寇塞恩五 x 的 虚线，再叠加得到 f x 的 实线， 求导得 f x 等于负五倍塞恩 x 加五倍塞恩五 x， 即五倍塞恩五 x 减塞恩 x。 使用和插画机公式，塞恩五 x 减塞恩 x 等于两倍扣塞恩三 x， 塞恩二 x， 所以 f x 等于十倍扣塞恩三 x， 塞恩二 x。 在零到六分之 pi 上， f x 大 于零，函数单调递增。在六分之 pi 到四分之 pi 上， f x 小 于零，函数单调递减。 因此 x 等于六分之 pi 是 极大之点。代入计算， f 六分之 pi 等于五倍，扣塞恩六分之 pi 减，扣塞恩六分之五 pi 等于五倍二分之根号三等于三倍根号三，所以最大至为三倍根号三。 通过这三道题，我们复习了以下核心知识点，第一，正弦定理与余弦定理是解决三角形边角关系的基础工具。第二，三角恒等变换，包括两角和公式、二倍角公式以及和插画机公式。 第三，三角函数的图像与性质，如周期性、单调性和值域。第四，导数作为研究函数单条性与极值的重要工具，总结一下这三道题的解析思路。 第一，边角互化。遇到边与角混合的条件时，优先考虑用正弦定里或余弦定里，统一成边或统一成角。第二，公式选择。明确目标后，选择恰当的三角横等变换公式，如两角和公式和插画机等。 第三，竖形结合。对于三角函数性质问题，绘制图像可以帮助直观判断单调区间和值域。 第四，导数分析。对于求最值问题，先求导，找临界点，再通过导数符号判断单调性，从而确定极值点。
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00:26查看AI文稿AI文稿妈妈们，别划走三角函数啊，其实就一个口诀，你记住了，孩子瞬间开窍，考试不会低于九十。这个方法既不用花钱补课，也不用熬夜刷题，能够帮你省下五万块的补课费，家长们可以先点个小心心收藏一下。 一周之后呢，我就隐藏了口诀就是，一二三三二一三九二十七，所有跟号别忘记，三十二考三十二正切小三做到底，都给孩子点赞收藏好吧！
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16:03查看AI文稿AI文稿好啊，那我们接下来啊，继续看到这个啊，二十五题这个新定义了，他说有一个凸四边形，有一个角是直角啊，而且这个直角的顶点引引出的对角线，把它的对角分成了一个直角和一个锐角，那就是双垂直四边形啊。若 abc， abc 等于这个 ab 等于九十度，那就是双垂直四边形啊，给出了这个定义，那这个定义我们看下有有一个什么好处啊？ 那首先呢，你的角一加角二是九十度，角二加角三也是九十度，那所以这个角一一定会等于角三啊，你要得出更多的结论，你才好去做这个题目啊。好， 角一等于角三呢，这个 cbd 就 会等于这个角 a， 那 就等于六十度啊，这个结论很很重要啊，虽然是一个简单东西啊，他在后续啊，不管是为我们的全等还是相似，他都是非常重要的，因为他提供了一组角相等， 那我们去不管去构造相似还是去正相似啊，都是一个有利的条件啊。好，下一个，他说这个 g d 四切线，我们可能把这个 co 把它连起来啊，连起来之后，这个 c d o 它就是直角啊， 他又给了一个啊，类似等下的条件呢，我们肯定要用萨姆士吧啊，把这个 a c 连起来连起来之后，那我们发现，我们发现啊，这两个蓝色的角会相等， 然后你把这个 c o 连起来之后呢，这两个黑色的角又会相等啊，那一个蓝色角加一个黑色角等于九十度，那下面这里蓝色角加黑色角，那肯定也是九十度 啊，那九十度之后，那其实这个 d a 它也是切线嘛啊，但是它没有让我去证这个 d a 是 切线啊，但这种这种方式啊，同学们可以学一下啊， 有的老师呢，这个呢，是通过政权等啊，政权等也是一种重要重要的方法啊，因为可能在某种特定的条件下，你只能去通过政权等，然后再去挣牵线啊，这个在去年的这个啊，最后一题去提去提体现的比较好了啊。 好，那现在正出现在正出这个角是九十度，然后这这个平分线一分，那这里也是九十度，是吧？那所以我们就是正这个，这个 a a o 这个角等于这个啊， d c o 这个角等于九十度，所以正出来它是双垂直四边形啊。 然后第二问，第二问的话呢，是这个 bc 等于两倍的 cd， 那 bc 等于两倍的 cd， 我 们就只能用代数去表示，去看一下啊， 看一下之后呢，他现在要求这个 tangent 角 b 的 平方，那这个 tangent 角 b 的 平方你就要想的想的这个内容啊，大致肯定啊，要往直角三角形的相似去想啊。直角三角形 首先摊准了吗？那直角三角形想直角三角形还不够，你要想到直角三角形相似，如果没有直角三角形相似，那你还要去怎么样？还要去构造直角三角形相似啊，就是往往这个思路啊，首先直角三角形，然后相似，然后构造直角三角形相似啊，好，这个思路啊，大家多去用用啊。 那我们首先来看一下吧，你填准角 b， 填准角 b， 它是这个 a c 比上 b c， 但是 a c 没有边呢，没有边的话，那你就要去去设一下了啊，当你你你去设的话，你去设它为什么会比较方便呢？那我们来看它这是二 a， 那 你不如就设这个 a c 为二 b 吧。啊， 好，那你这样子啊，你，你最终的这个比值也看起来简单一点啊。好，然后我这里还是也用了这个第一问的这个内容， 因为你这两个角加起来是九十度，然后这加起来是九十度啊，所以这个角 b 是 等于他的啊，那等于他的这个作用呢？就是我非常想往这个相似去靠啊，尤其是这出现这个三角函数的时候，我要往直角三角形的相似去靠，这就是这个我规划的这个 就做一个题目的一个规划吧。好，那我们就去设啊，设这个 c d 等于 a， 则 b c 等于二 a， 然后 a、 c 等于二 b， 所以 在 r t 三角形 a、 b、 c 中还是要给它多说一下啊，不然的话，你不说只要三角形，你直接用添准的啊，可能还在会扣你分啊。 t 整数 b 等于 a c 除以 b c， 那 就是等于 b 分 之 a， 那 他的目标就是要求这个 a 方分之 b 方的一个值，那像这种 a 方分之 b 方的值，那我们往什么方向去想呢？整体思想的一元二次方程啊， 整体思想的一元二次方程，那你整体思想的一元二次方程，你现在只是去设未知数，你还要还列方程呢，列方程的依据是什么呢？ 你要么是勾股定力，你要么是相似三角形交叉相乘会有一个算式啊，那这里很明显勾股定力是形不通了，那很明显你就要去勾到相似了。那你看啊，你要么是用勾股定力得到等量关系，要么是相三角形得到等量关系啊， 那这的话呢，因为你这两个角相等了啊，而且，而且他这又是等腰，所以你这个标出来是非常关键的，是吧？你等腰之后，你这一做垂直， 那三线合一，那你二 b 就 分成了两个 b， 是 不是好好做，垂线过低做这个垂线交于点 h， 做 d h 垂直 a c 交于点 h， 因为 d a 等于 dc， 所以 a h 等于 c， h 等于 b 啊， 好，然后因为角 dha 等于角，这个 a c b 等于九十度，然后这个角是吧，角 b 又等于它，所以三角形 a d h 相似三角形 b a c a d h 啊， b a c 好， 角，对应，对应好了啊， 对应好了之后，那我现在就是，那就，那就要还要把这个 d h 给它表示一下啊，这个勾股定律这里表示一下啊， 这个 e h 等于根号 a 方减 b 方啊，直接 a 方减 b 方。那所以啊，去比吧，比的话啊，看，我看一下已知的啊， abc 已知的两条边只有什么呢？只有这个 ac 比上 bc 啊， ac 比上 bc， 那 就会等于这个 dh 比上啊， 比下啊， d h 比上 a h 等于 ac。 写一下好，这个等量关系就出来了啊，比上 a h 是 b 等于 ac， ac 比 bc， 他 就是二比一，比三二 a， 那 就直接就 b 比 a 吧。好，那这里交叉相乘啊， b 方等于 a 倍的，他不要慌啊， 我们看到这里两边平方四次，二次，四次减去，这个好，到这里啊，我们看一下我们的目标，目标是 a 方分之 b 方啊，不是啊，目标这个他应该是啊，是 b 除以 a 平方啊， b 除以 a 的 四次方得到。好， 然后我们再令 t 等于等价大于零啊，等于之后，那就是 t 方加上 t 减去一等于零，一等于负一，加上根号 b， 平方减 c， c 根号五，然后除以二。好， 所以 a 方分之 b 方等于根号五，减一除以二，所以 tangent b 的 平方等于它就刚好等于这个，它都是整体来表示啊。 好，这是第二大问，第二大问的第二小问。好。看到第三题啊，你看他考来考去，其实还还是一些比较重复的内容啊，每个学校考的这些重点都比较相似， 那你说中考会不会出现一点点变化呢啊，我，我感觉还是大概率会啊，只是说大家的一些这些基本的想法啊，还是要把它练熟，你才能在中考里面最后两题拿到更多的分啊。 好，下一个啊。已知这个 b c 等于两倍的这个 c e， 那 这里我们我们就去设这，这个 c e 等于 x， 那 么 b c 就 等于二 x 啊。垂直的地方先给他标标好了啊，这，这垂直，然后，然后这个地方垂直啊，双垂直四边形吧啊，这两个地方垂直，然后 我标标了的地方啊，这个由一的，这个角一等于角二的啊，角一等于角二，这这这个是要注意一下 这个锤子自己知道就行了啊。角啊，这个由一得角一等于角二，这个很重要，你看角二，他在直角三角形内啊，那，那你在这个角一这个地方，你肯定是要去构造相似了， 因为条件很少的时候，那就看看你自己啊，找到一些关键内容，然后配合最近训练的熟练度啊，就相当于一种条件反射就要出来的一个处理的这个办法啊， 但这一组相似自己要有一个感觉，一组相似肯定是无法解解完这道题的。那你就看一下有有没有三角形啊，又会相似啊？有的啊，你比如说我，我这标了一个红色角，一个蓝色角啊， 我看到什么呢？反正这里这个三角形内角和肯定是一百八，然后四点共圆，对角相加，又是一百八啊，这个都都是一个熟练度。角一又等于角二呢，这个角三肯定是等于角四的啊，那这里我我们怎么说一下呢？就是的啊，这个角一加角三加上角 b a e 等于一百八， 角二加角四加角 b， a e 也是一百八，所以角三等于角四啊，那你看你这锤子一坐下来， 角三和角四，角三和角四又相又这个相等了啊，那就，呃，直接多说一些吧。那首先啊，你的这个三角形啊，这里来个 h 吧，三角形 a b h 相似，三角形 b 得 c， 然后三角形这个 a e h e h 啊， a e h 就 会相似，这个 e c h 也是它和它相似，那它又会和它相似啊，这样看起来就很漂亮啊。这个四面形里面啊，刚好拼成了什么？刚好是由这个四个这样三角形去去拼成的啊。 好，那相似完之后啊，你再来看这个题目，这里有有有一些 s 啊，标一下啊， a b d s 一 c， 这个 c b d s 二， 然后啊，不是，是这个是 s 二，然后这个下面这是 s 二啊， s 三，然后最后一个是 s 四，那我们刚刚好是啊， s 一 啊， a b d 是 s 一 啊，好，没关系啊，他要求出 m 与 n 的 这个等量关系，我们先看看下 m 它是怎么来表示啊？ m 它是写完整吧， s 一 等于这样子，那这个 m 就 会等于 s 一 除以 s 四， s 一 除以 s 四。看一下啊，那，那只能是我，我们肯定是要把面积变成长度的啊，变长度变成长度的话，那就是二分之一，这里是 b 的 乘 a h s 四的话呢，刚好也有这条算式，是二分之一， 二分之一 c d 乘得一啊，那把这个二分之一抵消之后就是 b 的。 好， 那这里呢？这像这样的线段我们要怎么去看啊？我们我们要分开两部分来看，就是 b 的 比 c 的， 看一下是不是哪两个相似的这个这个这个线线段的比，是吧？然后 a h 比上这个的 e， 是 不是两个哪两个三角形的这个啊，相似的这个比啊。好，来看一下 b 的， b 的 比 c 的， 看一下吧， b 的 比 c 的 啊， b 的 比 c 的 刚好是天旋角二啊，这是天旋角二啊，然后看下这个 a h 比上得一，比上得一啊，好像是什么呢？好像是这两个三角形的， 刚刚我们说这两个三角形是相似的吧。啊，那就是这两个三角形的相似比，这两个三角形的相似比转化成谁会比较方便呢？那就，那就转移到这个 a 一 比上这个 c 一， 看看会不会方便一点，是吧？ a 一 比上 c 一 啊，好，那这里这里啊，我们要写一个 a h 比上啊， a h 比上 e 的 等于 a 一 比上 e c 啊，把这转移掉，能转移的我们先转移掉啊。 好，那接下来啊，我们同理，同理，这个 n 等于 n 等于 s 二比 s 三， s 二的话， 它是二分之一的一乘 ah， s 三是二分之一 b 的 乘 cd。 好， 来看一下这个 a h。 原来是，原来是，原来是比了这个的的一了，那现在 a h 比上 cd 看看有有没有 什么好的内容呢？应该是没有的，那应该是 a h 要比上谁了？ a h 要比上这个 b 的 才有，是吧？那，那，那把它写一下， a h 比上 b 的， 以及 这里是得一比上 c d 看一下。得一啊，得一比上这个 c、 d， 那 就是 tangent 角四。这地方啊， tangent 角四，这，这里也，也，也是。要啊，这个能写的要，要，先写一下啊，前面的这个看一下啊。 b d 比上 c d， 这是 tangent 角二。好， 这三角角四，那 a h 比上 b d 比上 b d， 要给它转移，转移到什么地方呢？转移到这个， 原来是转到这这两条斜斜的边吗？那我们也转转到这两条斜的边来看一下啊，就 ab 比上 bc 嘛。好，这里这里啊，再再补充一下， a h 比上 c d 等于 ab 比上 b c、 d， 应该这叫 b c d 等于 ab 比上 bc。 好， 现在这里看一下啊， 到这里。看完之后，那我们还要想一个什么内容呢？就是最关键的啊，因为刚刚我们不是标了这个角是直角吗？ 这个直角标出来有什么作用啊？那他是圆周角九十度，圆周角九十度他所对应的就直径啊，那刚好直径的话，你这个 aoc 那 就是三点共线的啊，那刚好 ac 就是 直径啊。 ac 直径，你把这一连啊，那把这一连的话，这个有直角出现，那，那就就相当于你这个斜划子就成功了啊。 好，那就说明你这个 a、 e、 c 它也是直角啊。刚刚我们不是有一个要要转移到这个 a e 去比上这个 e、 c 吗？在这里是吧？那 a e 比上 e c 的 话，它就是 tangent 这个角 啊，这个角，那这个角会等于谁呢？啊？这个角又等于这个 tangent 角 e， 是 吧？好，那就是这里的话是 tangent 角一。 tangent 角一与 tangent 角二是什么关系？是相等的关系是吧？那所以它最终它就是得到一个什么，就得到一个 tangent 角一的平方啊， 就 m 就是 弹性角一的平方啊，那同样道理，那这个 n 的 话，他会不会是这个弹性角角三的平方呢？因为角三等于角四吗？啊， 好，这些都是要非非常的这个细致啊。 a h 比 b， d 等于 ab 比 bc， ab 比 bc， 他 是这个角，这个角等于弹性角三啊，好，写清楚，这是弹性角三啊。 好，那最终它也会等于 tangent 角啊， tangent 角四才是有的 tangent 角四的平方啊，好，那，那接下来我们把这个 tangent 角一和 tangent 角四用代数给它表示出来就可以了啊，好， tangent 角一，它会等于 tangent 角二，还是用 tangent 角二的平方会会相对好一点啊？ tangent 角二的平方，因为你这里才有这个 x 可以 用嘛。 tangent 角二的平方，那这个 tangent 角四也是了啊， 那我们再去设一个 c、 d， c， d 等于 y， c d 等于 y 之后，这个 b 的 b 的 就会等于二 x 的 平方减去 y 的 平方，开根号等于根号四， x 平方减 y 的 平方，那这个的一它就会等于 x 平方减 y 的 平方。 好，那我们来看一下这个 tangent 角二它是等于什么？等于 b 的 比上 c d， b 的 比 c， d， d 是 y 啊，就是这个样子。 那 tangent 角四啊， tangent 角四，它是等于 a 一， 比上 c， d 有 根号不怕啊，因为它这都是平方是吧？那所以 m， m 是 等于 tangent 角二的平方，等于四倍的，它 n 是 等于 pend 角四的平方，就 x 平方，减 y 的 平方啊，好，这个 y 分 之 x 平方，它是等于 n 加一，所以 m 等于四倍的 n 加一，再减一， m 等于四， n 加三啊， 好，那这个呢，确实就是把相似啊，或者说直角三角形相似与这个三角函数的这个结合，三角函数它也转化成这个啊， 两两边之笔的这个关系啊，考到一个比较极致的方向啊，那这个还是锻炼大家去找找相似的能力，找这个对应角的这个正切值的这个笔直啊，这两个线段的笔的一个转化啊。好，那这个思路就分析到这里啊， 这两题还是值得大家多去学习啊，都有值得大家学习的这个部分啊，几何就极致的去找相似，极致的去构造直角三角形相似啊，你的斜画值的这些内容，他都是一些难题的思考的一个方向啊。
