平行线的性质与判定证明题技巧
平行线的性质和判定的证明题是我们整个初中几何的开端和启蒙阶段，所以这个阶段培养几何思维的话非常重要， 那么对于新的七年级的同学而言，他们在做这类题目的时候呢，还是会非常的头疼，主要的原因是因为他们还没有培养出真正的几何逻辑 好。那么今天我们就讲讲平行线中的判定和证明他的底层原理和标准的思维方式是怎么样的，而且这种方式在我们后期的全等相似和勾股里面都是通用的 好。那么首先我们来看一下平行线的性质和判定的证明题的核心思想，那就是我们一定要利用平行线的性质和判定这两个定理来进行证明 好。那么首先在解题过程中，第一步呢，我们肯定要利用平行线的性质来得到角的相等和互补，那就是同位角和内错角的相等，以及同旁内角的互补关系。 接下来有一个重点呢，那就是我们在得到角的关系以后呢，需要做一次等量代换，目的是为了得到全新的角相等和角互补， 从而进一步的得到新的平行。那么对于复杂的题目而言呢，我们从这里走到头了以后呢，他还会再回去 利用新的平行呢，又可以得到角相等角互补，再往前继续的推导。所以整个证明过程就是一个循环的过程，不断的使用平行的性质，角的等量代换以及平行的判定 好。那么接下来我们用一个经典例题给大家讲讲这个底层的证明思想，他说如图，角一等于角二，角三等于角四，角五等于角六，让我们来求证 c e 平行 b f。 好，拿到这个题目以后呢，你会发现题目条形中没有平行的条件呢？那我怎么去用平行呢？这个时候就注意了，如果题目中没有给出平行的条件，我们就需要利用条件去先挣一个平行出来。那你说角一等于角二能得到平行吗？我们来看一下 角一和角二，很明显他的位置隔的老远了，他并不是我们所对应的三线八角，所以不能挣出平行，没关系，继续来看， 那角三等于角四能得到平行吗？我们来看一下。那么角三在这里，角四在这里，很明显这两个角呢，就是直线 d f 和直线 b c 的 内错角， 所以整道题的切入点我们就找到了，从这个地方的平行开始。好，我们来写一下整个题目的证明过程。首先的话呢，因为角三等于角四这个地方是题目的已知条件， 所以呢，我们可以得到的是 d f 平行于 bc， 注意后面的括号是要写出来的，那么它利用的判定原理就是内错角相等，两直线平行。好，那么得到这个平行以后呢，我们就来开始使用平行线的性质， 那就说这两条直线的平行，我们可以得到哪些角的相等和互补呢？那你会发现这两条直线的平行，它所对应的角特别的多， 那这个时候我们到底是随便找一对呢？还是有要求呢？一定要注意，我们证明的最终目的是为了达到我们的目标以及合理的使用题目的条件，所以你在找角的过程中一定要找题目条件中出现过的， 那你想角三和角四我们已经用过了，那么剩下的还有角一，角二，角五和角六， 那么这个时候我们就应该在剩下的四个角里面去找一找，有没有和他们所对应的三线八角呢？ 那我们看一下啊，这两条线的平行，比如说我找角一吧，你看角一对于黄色的平行线而言，有没有对应的角，没有，没关系，我们角一不用， 那我们看角二呢？角二在这里，那么这两条黄色的平行线和角二对应的角有没有也没有好继续。那还有角五和角六，我们看下角五， 角五的话呢，他在这一个地方，那你发现黄色的线平行，我们可以找到角五所对应的内错角或者同旁内角，那我们肯定是使用一些比较简单的，我们就用内错角。好，假设我把这个角呢叫做角七， 那么根据这个平行，我们可以得到角五就等于角七了，对吧？这就是两直线平行，得到了内错角相等，那么接下来呢，我们得到了角相等，还是标准思路平行角相等，接下来要干嘛呀？要等量代换。 好，那么怎么样等量代换呢？因为角五等于角七，而条件中角五是等于角六的呀，所以呢，角五等于角六啊，这是题目的已知条件，所以呢，我们做一次等量代换，就可以得到新的角角六等于角七了， 对吧？这个地方我们所用到的就是一个等量代换的思路。好，那么等量代换，我们就得到了新的角相等，那新的角相等是为了得到新的平行的， 那我们看一下角六，如果等于角七的话，我们是不是可以看到它们是 a、 b 和 c、 d 的 同位角啊？ 所以呢，我们可以根据同位角相等得到 a、 b 和 c、 d 的 平行，所以我们继续往后得到 a、 b 平行于 c、 d。 那 这个地方的原因呢？就是同位角相等，两直线平行，那么得到了新的平行以后，题目还没有做完，那怎么办呢？我们知道新的平行过来循环呐， 新的平行又可以得到新的角相等啊。我们来看一下 a、 b 和 c、 d 的 平行，我们可以得到什么角相等呢？还是围绕题目中出现过的角来找。那么你看前面的条件中，角三、角四用了，角五、角六也用了，那就剩下角一和角二。 好，我们看一下这两条蓝色的线平行和这个角一有没有对应的角相等。没有啊，不存在角一的三线八角。 那我们看角二呗，你看角二的话，两条蓝色的线平行，我们是不可以找到角二的同位或者内错呀，这就随便你了，比如说我们角一下它的内错，这里呢叫做角八， 所以根据蓝色的线平行，我们又得到了新的角相等，那就是角二就等于角八。 这个地方呢，就是两直线平行，内错角相等，那么得到了角相等以后，我们要干嘛？不断的循环，我们继续使用等量代换。 那么题目中有角一等于角二呀，所以根据角一又是等于角二的，所以我们可以得到角一就等于角八了呀，这个是已知条件，然后呢，用等量代换，我们就可以得到角一等于角八。 好，再看一下，那么新的角相等能不能得到新的平行呢？我们看角一和角八的位置，是不是就是直线 c e 和 b f 这两条线所对应的内错角呀？ 所以这个内错角相等以后，我们就可以得到此时的 c e 不 就平行于 b f 了吗？对不对？那这就是我们最终所需要的结论呐！ 所以你看关于这种证明题，当然这里有括号啊。关于这种证明题的整个思路一定是先去找到平行，然后呢平行得到角相等，再来等量代换得到新角相等，新平行，新角相等等量代换信不信？ 所以这一个整个的思维方法应该是我们在平行线乃至后面初中几何的全等里面也是一样的底层原理。所以大家一定要注意，我们用的就是平行线的性质和判定的定力，再加等量代换就可以解决这类题目，你学明白了吗？
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06:40查看AI文稿AI文稿平行线的判定证明题堪称七下数学入门级的丢分重灾区。你将这道啊，月考期中必考的题，百分之九十的孩子不都是，哎，你给我答案，我看得懂，让我自己写不出来，写乱了，过程丢分了。 别慌，老师今天就用最简单的讲法，把证明题的顺推法、逆推法一次性讲清楚，大家学会以后，考场上写题、写答案，写过程都能特别顺。好，我们来看题， 已知啊，现在给了两个垂直，大家一定要标上去啊， e f 是 垂直的，然后呢？ b d 也是垂直的。我告诉大家，真正的学霸在读完这两个条件，立马知道他俩是平行， 而且立马就要用起来。能懂我意思，你整个题的问题就是在证明平行嘛。所以说，我们首先讲一种方法叫顺推法， 你看他俩平行，我直接跟我相关的，角二跟谁相等？同位角是不跟这里的角四是相等的， 对吧？好，角二等于角四，然后呢，你告诉我，一等于二，那现在一和四也相等？一和四一旦相等，来秒角保平安，是不是内错角出来他俩就平行，是不是顺推？顺推顺推，他俩一平行，角 c 立马等于谁 和它平行，是不是立马等于这个角？角五，角 c 是 不是立马等于角五，对不对？角 c 等于角五，你告诉我角 c 等于角三，所以三和五是不是相等？三和五亦相等，各位是，它俩立马相等， 那因此它和它是不是也平行？大家去琢磨，都平行于 m n a b m n 平行结束，这个题整完了，就这么简单， 能理解了吗？所以你会发现啊，这种题目他就是只要你能看到一个，立马想到下一个，顺推其实是不复杂的。好，我们先把过程给大家书写一下，强调一下，过程中是怎么会改卷扣分的啊？首先呢，我们写个正字， 写个如图，因为我想用到一会这里的角四角五，所以说我必须要把这个如图两个字写上去。好，然后我们来写啊，说，因为 e、 f 垂直于 a c 对吧？ d b 垂直于 a、 c 对 吧？都垂直于 a c， 那 么所以我的这个角和这个角等于九十，你看，像有些版本直接说垂直就说平行了，黄色就平行了，但是绝大部分版本你必须要通过角度来整，所以我们多写一步啊，就是我们的角 e、 f、 c 等于角 dm c 都等于九十度同位角相等，所以说我们的 e、 f 平行于我们的 d、 b， 他俩一平行，那么所以说同位角角二是不等于角四？两直线平行，同位角相等，是吧？然后呢，因为角二是不等于角一，那所以等量代换角四是不等于角一， 对吧？角四和角一相等，那么我们就可以得到什么呀？各位，角四等于角一，所以说我写在这啊，就是 m n 就 平行于我们的 cd， 是 不是好？ m n 平行于 cd， 我 这个条件是还没有用，注意，大家注意一个细节啊，尤其大家刚学几何证明题，你的条件是必须要用上的，有哪个条件没有用？大概率就是你做题的过程肯定出了问题 好不好？ ok， 那 么它两平行什么好处呢？你会发现它两平行，是不是角 c 和角五扯上关系了，是吧？所以说角 c 等于角五，因为角 c 等于角三，所以角五等于角三，是不是 ab 和 m n 内错角， ok， 所以 说 ab 平行于 m n 结束， ok， 这就是我们所说的什么方法？顺推法。来，各位请截图。好，那接下来我来讲一下逆推法。 逆推法，尤其是做一些中等偏难的题，但这个题本身不难哈，就是我们倒着从结果往前推的一个过程。好吧，来，我们去证明啊，他俩是平行的， a b 平行于 m n， 他 俩是平行的，对吧？我想到了什么？你看，跟这些一二三，他不就一二三吗？有关系在哪？是不是这个角角六吧，我写个角六，你看，我要证明 a b 平行于 m n， 我需要什么？是不是角一等于角六？同位角相等，我需要它，那角一凭什么等于角六呢？这个练习其实很重要啊，很有意义。角一凭什么等于角六呢？你去往上琢磨，因为角一是不等于角二， 对吧？角一是不等于角二好，那角二是不也等于角六？如果都这样的话，是不是角一就等于角六了， 对吧？那咱们思考，角二凭什么等于角六？角二凭什么等于角六？跟角二相等的角是谁？来，再往前找角二，看到，你看这个角瞄一下，这个角瞄一下，这不是平行呀，你再去找条件好，角二等于谁？ 往前去看，是不是角二等于这个角角七。比如我这写个角七好，角二是不等于角七，对吧？然后角七也等于角六， ok， 那 这样的话，是不是角二等于角六了，对不对？好，那角二平什么等于角七？因为这里是不是垂直？垂直平行就是我们的这个 e f 平行于我们的 b d。 好，那现在还有一个角七等于角六，角七为什么等于角六？因为什么呀？条件你还没有用完，是不是？角三等于角 c， 对 吧？因为它角七角六，是不是它两要平行的，对吧？就是我们的这个 ab 平行于 cd， 对 吧？那 ab 为什么平行于 cd？ 是 因为角三是不是等于角 c？ 题目中是不是给了角三？角 c， 对 吧？角三等于角 c， 所以 它两平行，它两平行，所以角七等于角六，你看都等于角七，那是不是二和六相等，对不对？二和六相等来，二和六相等，然后呢？一和二也相等，所以说一和六是相等， 对吧？好，你会发现大家有没有发现这种思路不像刚才顺推那么简单直接发现了吗？但是这样的一个逆推法，其实可以锻炼大家去寻找线索，以及熟悉你的性质，判定这么一个基本功的能力。 ok， 就是 这个方法我也推荐给大家，就是边画边写，边想去通过逆推来实现你最后的目的。那你就你怎么写？过程就是把你的逆推的逻辑给他倒着写上去，你比如说我就写啊，因为他所以平行，所以他两相等， 是吧？然后呢？因为垂直，所以平行，他俩相等好，都等于角七，所以角二等于角六，那一等又因为一等于二，对吧？所以一等于六，所以他就从下往上写就可以了。好吧，这也是一个锻炼思维非常好的方法，各位你学会了吗？
1.1万郭嘉老师数学思维
03:58查看AI文稿AI文稿来五步法教会咱们写出平行线性质判定的这种综合证明。大体有很多，孩子啊，现在证明题过程写不规范，这漏一句那漏一句，导致你满分拿不到手。 其实证明过程这咱们是要从底层就要培养的，老师已经给大家把平行线性质判定这里面历年的预测证明真题都给大家总结了出来。如果孩子现在证明题写不清楚过程的啊，一定要逐个题型把它刷透，这个能力，这个习惯必须在这一学期掌握， 否则到初二，知识点难了，几何题变得复杂了，咱们就很难去完整的书写好一道题的过程了啊。下面呢，我就带着大家看一看这道题。这里说了， a、 b 平行于 c、 d， 我 用红色的线把平行的这两条线先标记出来， 高光出来啊，角一等于角二，这两个角相等，角三等于角四，这两个角相等，貌似啊，这里面能看到的角一等于角二，那这个大角等于这个大角公共角。但是角三等于角四没用啊，因为角三角四他俩没关系，八竿子打不着。 所以这道题的解析思路是，如果题目当中给了我八竿子打不着的角，那怎么才能转化呢？ 你会发现这有一个平行的条件没用呢，对不对？而对应两线平行，同位角相等哦，这个角四和这个角 b、 a、 e 是 相等的，对不对？所以由平行咱们得到角四等于角 b、 a、 e， 而又由于角三等于角四，它俩放在一起就可以实现条件的转化了，得到什么呢？哎，是不是得到角三等于角 b、 a、 e 啊？ 而角三和角 b、 a、 e 能够扯上联系，角三在这呢，对不对？哎，角 b、 a、 e 是 不是在这呢？对不对？ 哎，那这两个角相等，那么对应它就和角二也相等呗。哎，这不就是一个内错角吗？所以在这里啊，你会发现我通过题干，角一等于角二得到谁呢？哎，角 b、 a、 e 等于角 c、 a、 d。 哎，做了一步转化，所以由它俩，咱们是不是又可以得到角三等于角 c、 a、 d 啊？ 那我们这一对内错角不就出来了吗？角三等于角 c、 a、 d， 这不就直接证明出相应的平行了吗？因为内错角相等，上下两线平行啊，你看这个思路咱们现在啊就分析出来了， 所以咱们分析出思路，下一步就可以自己去写解析过程了，对不对？来，我给带着大家写一写证明。先分析这些条件啊，因为我们对应的角一等于角二， 这标一下吧，这个角就是角三，所以咱们就有对应的角一加上角三等于角二，加上角三 a 极，我们角 b、 a、 e 等于角 c、 a、 d。 放在这这块就推完了。接下来找这的引含条件，又因为 a、 b 平行于 c、 d， 所以在这里面我们就有角四等于角 b、 a、 e 了，对吧？这个条件，这个条件都分析出来了。接下来，哎，又因为我们对应的角三等于角四，所以角三等于角 b、 a、 e， b、 a、 e 等于角 c、 a、 d， 所以 我们角三就等于角 c、 a、 d。 而角三和角 c、 a、 d 是 内错角，所以用内错角相等，直接下结论，两线平行， a、 d 平行于 e、 b， 咱们就正完了。所以几何证明题，它就是一个思路分析再重现的过程，当你把思路哎都给它分析出来，那么写证明过程也就不难了。
2523依依老师讲初中数学
07:30查看AI文稿AI文稿初一必刷题，那这是一个平行的证明题，我们说平行的证明题有两类，一类是填表，就是填过程的题，是吧？可以直接做，也可以先做，然后再对比训练自己的思维， 那这种题呢，他就直接必须要写证明过程了。那么这种题呢，我们也可以分为两个步骤。第一个呢，我们把基本的思维的这个过程给他写出来，就是大致的一个你的思维的路径，就是说这种题怎么做，怎么思考，我们把它写下来，然后呢，左边呢，我们再写上证明的过程就可以了， 按照这个思维的路径来写过程，就不会那么容易丢分或者丢。步骤好，我们看一下，他说如图， ab 平行于 c 的这两个是平行的，角一等于角二，这两个角相等，这两个角相等意味着什么呢？意味着这个大角要等于这个大角，对吧？啊？当然了，我们先分析啊。嗯，第二个呢， ab 与 c 的平行， abc 的平行，意味着是没有内错角相的。那么角一和这个角，那为什么用角一呢？因为这个题里面出现了角一，我们尽量用已知角推出条件，对吧？所以角一就等于我们可以标一下等于这个角五， 我们大概分析了，我们就知道由这个 ab 平行 c 灯呢，我们可以知道什么呢？我们可以知道角一等于角五，然后题目中又告诉你，角一等于角二，所以我们可以得到什么呢？那就得到角二就等于角五，然后我们再看角三等于角四，角三等于角四，那有什么特点呢？ 角三等于角四，那么角四还有一个角啊，比方说角四和这个角六是对定角，所以我们就可以知道有什么来。第三个条件，我们知道角三等于角四等于角六好，那么基本上我们就知道这样一些角相等， 他要证明什么？要证明 a 的平行于 b， 我们想要这个 a 的平行于 b， 我们想，那么要么就正角二的用这个角是内错角相等， 对吧？或者这个角等于这个角，就是角 a 得 c 等于角得 c 一，哎，这两个角上面是不是也可以 或者同盘内角互补？就是说这个大角加这边这个角好像不太好正，对吧？就同盘内角互补不好正，然后呢？同外角他这里也没有，对吧？没有梳头，没有内个 f 的标志，我们说同外角是 f 嘛，对吧？同盘内角呢？是 u 嘛？啊？内触角是 j 啊，没有这种 没有这种形式的结构，那么就不看什么同位角，所以同位角我不看，而且同位角互补呢，这里面没有出现互补的关系，也很难证明。只知道角相等，题目中都给的是角相等，所以我们就想同位角相等 用这个来证明，那我们思考一下啊，那我们只能用什么内错角相等？那么内错角相等这里有几种呢？我们知道只有两组，第一种是角二等于这一个角角一，第二种是角的等于角 fc， 那么如果要正角二等于角一，那么有没有方法呢？我们知道角一等于角二，那么要正角一等于角一，那这个题就很麻烦，对吧？所以我正右边这个角呢，好像不那么直观，那我想 左边这个角如果要正角的，那么目的，如果要正角的等于角 fc 呢？如果角的要正面等于角七，怎么卖？能不能正面呢？那我们想角的正面角七，那么角的加角二，加角六是一百八十度，对不对 啊？然后呢，我们想，哎，角七加角五加角三也是一百八十度，那前面已经证明了角三等于角几啊，角三等于角六了，哎，那么还有角五，角五是不是等于角二呢？ 角五是不是等于二呢？是吧？角三等于角六，角五等于角二，一个是三角形的角和一百八十度有两个角相等，不是数五，是三个角的和等于一百八十度，他们也能够有两个角相等，所以第三个角根据等量代换，肯定是相等的， 所以你看这样子，我们就把这个题啊，这就也不是很难啊，有一点点的那个思维，对吧？那我们就把它分析完了，分析完以后怎么写过程呢？我们就按照这个思维的流程去写， 我这里是给大家大致分析一下，那么第一步干什么？第一步要证明加一等于加二，要证明加二等于加五，对不对？所以我们就先把这个东西证明完了，然后再证明这个东西，然后再用这个东西， 是不是三步就解决问题啊？那第一步我们先这边角等于角五，怎么着呢？角二等于角五，因为什么？我们说如图吧，因为你标了几个角啊，你先写如图， 当你前面要写个正名啊，正字，对吧？如果是求角，你就写个解字，如果是证明什么结论，你就写正字，好吧，如图，我们知道什么呢？因为 a b 平行于 c 的，所以你后面如果要写条件的话呢？那么第一个就是已知啊，对吧？所以就得到什么呢？角依旧等于 角五，这是两直线。我这里简写了啊，但是我用语言给你表述一下，两直线平行内错角相等。好，这是第一个。又因为角一等于角二，那这个是不是已知啊？ 又是一只，所以我们知道什么啊？我们要正角二等于角五，对不对？所以你看这样子，把思路理清楚了，你这样写过程就非常的轻松，也不会漏解。那这个是什么呢？这是等量代换，对吧？等量代换简单写一下， 知道角二等于角五了，我们第二步要证明，角三等于角四等于角六，角三等于角四是已知的，那么角四等于角六呢？是对顶角，对吧？ 对顶角的定义啊，又因为，哎，角三等于角四，这也是已知。然后呢，角四又等于角六，这是什么？这是对顶角的定义，所以就得到什么？ 角三要等于角六。哎，是不是我们第二个前提条件已经做完了？角三等于角六是因为什么呢？是因为又是一个等量代换。 好，正完角三等于角六了，角三等于角六，又正完角二等于角五了，那么就走到角七等于角得，对吧？所以我们还得写一个条件什么呢？ 在三角形 a 的 f 中，那我们就知道角二加角六，加角都等于一百八十度，这是三角形的内角合，对吧？ 你可以写个三角形的内角合适一百八十度。好，又因为什么呢？这个角三加角五加角四，角三加角四加角五 是等于一百八十度，对吧？这是什么？平角平角的定义，对吧？这他们不是互补了他们三个角，是吧？所以应该是平角的定义， 平角的地，他们三个加起来正好是一条直线，这个平角，角三加角五加角七啊，这里看错了， 好，所以就可以知道什么了，因为角二等于角五了，然后呢，角三又等于什么角六了，对吧？所以角七就等于什么 角的啊，所以角七要等于角的，这个也是一个什么等量代换，那么角七等于角的，我们就知道哦，内错角相等，对吧？所以就得到 两直线平行，也就说 a 的平行预约，这叫什么？内错角相等，内错角相等，这样的过程呢，在同学们最开始学的时候啊，他要注意几点，第一点呢，你先把这个思维理顺了， 有时候你思路理不顺，你这样子做正面题，你很难下笔，对吧？第二个，你把思路理顺了，你写过程的时候呢，就一步一步来，对吧？不要去跳步啊，也不要什么 后面这个解啊，这个原因一定要写清楚，然后因为所以格式要准确，你不能漏，你漏了之后，你后面就很麻烦，对吧？第三个呢，就是 每一个基础的证明和他的判定，和他的定理，和他的性质，你都要熟练，就是我们要通过这种练习去熟练我们所有的几何证明的说理的体系，以及这个基本的定理和性质的关系，这些东西一定要搞清楚，你不要写错了，对吧？你比如说等待那话，你不要写成别的东西， 是吧？有的同学可能这里写错了，导致丢分，这就很可惜，所以注意这三点呢，基本上经过一些系统的训练，那么几何的正面题呢，你就可以入门了啊，所以平行是几何入门的基础啊， 初中一定要学好，如果这里没有学好后面的几何正面题啊，你就会一直丢分了。好，关注火山哥数学两百分。
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03:35查看AI文稿AI文稿这道题太难了，期下第一次月考的解答题，咱们百分之八十的同学全都全军覆没了啊！那这道证明题其实他给你的条件比较隐晦，你需要有一个技能，就是从 浮在上面的条件找到他背后的隐藏款条件，再来层层递进去深挖，找到最终的答案，真相只有一个，那有关于平行线这里啊， 几何的证明题，大家一定是要重点来进行学习的，那这个假期，老师也给大家把平行线性质判定这里近三年必考的易错真题做了一个总结，大家可以打印出来，每天两到三道题，把对应的几何证明过程书写的规范性，把它分数拿到手啊。 下面呢，我带着大家一起分析一下这道题。写证明题不是要看老师的答案，而是要看老师怎么分析的，这样的话，你听完我今天的这个视频以后去自己做题，也可以按照我相同的方法去进行分析，对不对？ 来，下面咱一起看这两道题啊！说已知角一加角二等于一百八，角一在这呢，角二在这呢，来，碰见这种八竿子都打不着的角，我们该怎么办？对了，两个字叫做转化，还记得吗？ 把它转化成有关系的角，什么同位角、内错角、同旁内角、互补的角等等，对不对？而在这里你会发现，角一加角二等于一百八，虽然用不上，但是我们可以找到与角一互补的角，角三呢，对不对？ 所以由第一个条件，角一加上角二等于一百八十度，而角一加上角三也等于一百八十度，咱们就可以推出角二其实是等于角三的，这就叫做隐藏款的条件。 那角二等于角三，角二、角三什么关系啊？它俩居然是一组内错角，对不对？所以角二等于角三，立马推出我们两线平行的关系， a、 b 是 平行于 e、 f 的。 你来看这道题，我才读了一个条件， 我就得到了这么多的条件，这个叫做深挖挖它背后的隐藏款的条件。继续咱们来看第二个条件。 第二个条件我往下写啊，角三等于角 b， 那 角三等于角 b 有 什么关系呢？三在这呢， b 在 这，他俩也没啥关系啊。八竿子打不着的角，还是这俩字转化，怎么转呢？因为这两线平行，角三和这里的角四是相等的对不对？ 所以由平行咱们得到角三等于角四，而又由角三等于角 b， 咱们就可以综合等量代换推出角四是等于角 b 的。 哎，这条件不就能用得上了吗？角四在这，角 b 在 这，它俩正好是一对 同位角，所以同位角相等，两直线平行，我们有 d、 e 平行于 bc。 好了，我们第一平行 bc 了，下面让我们想要证明的是， a、 e、 d 等于角 c， 是 不是证明这俩角相等容不容易？两线平行，同位角相等，直接就可以证出最终的答案， a、 e、 d 等于角 c 了。 所以大家来看一下我整个分析的思路。我分析的思路叫做从条件深挖，找到隐藏款的条件后，层层递进， 把没有关系八竿子打不着的角转化成有关系的角，进而进行推导，这个叫做我们数学当中的正向思考。下个视频我将用一道题给大家再解释一下，同样的证明题，我们该如何从要求证的这个问题出发，用内向思维的方式推出正确答案？
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04:32查看AI文稿AI文稿你平心线的证明还不会写过程吗？是不是遇到大一点的证明题就没有思路了？那今天我们就来一起看一类平心线性质判定必考的解答题，这类证明题该如何分析，如何写过程？ 我们来看这道题，已知告诉你，这里面的角一加上角二等于一百八十度，那角 b 呢？等于角三，我们把相同的角用相同的符号标记上，让你判断角 c 和角 a、 e、 d 对应这个角的大小关系。 那我们该怎么证明呢？别着急啊，证明肯定要利用上题目当中的条件，咱们看看这些条件怎么用。角一和角二，这两个角八竿子打不着，他俩相加一百八十度有什么用呢？我们会发现直接找不到联系，那就要找到他俩之间的桥梁，那我会发现这里我标 注一个角为角四，角一加角四是一百八十度，哎，角一加角二也等于一百八十度，那它俩放在一起等量代换一下，是不是就可以得到角二等于角四啊？ 那角二等于角四，角二和角四，这不是哎一组线所夹的内错角吗？那角二等于角四，是不是就可以说明对应这两线平行啊？也就是 ab 平行于 ef， 所以你看我由这么一个条件就可以推出这么多个条件，二等于四对不对？哎，这里面 a、 b 平行于 e、 f 也可以推出来。下面继续来看另外一个条件。另外一个条件有什么用呢？ 角 b 等于角三，角 b 和角三又是八杆子打不着的角，那他可以怎么用呢？那我们还可以利用现有的条件 进行角度的转移，来看这里面角三是什么呢？角三是这两组线所夹的角，对不对？那角三这个角是不是在平行线当中？利用 平行线的性质，咱们可以推出角三其实和这里的角五是相等的，因为我这里面两线平行，这组对应的内错角一定是相等的， 所以我利用上一个问的结论，我先推出角三等于角五，再利用这个条件，角 b 等于角三，可以推出角五等于角 b。 好了，角五在哪呢？在这呢？角臂在这呢，发现了吗？他俩什么关系？哎，他就是一组同位角，看到了吗？ f 型的同位角， 所以角五等于角 b 就可以推出对应的线第一平行于 bc 了，也就是我对应画出来的这两条粉色的线是平行的， 那继续，他让你判断的是角 c 和角 a、 e、 d 的大小关系，这两组角不是一组同位角吗？那对应的两线平行，这两组同位角必然相等了， 所以由平行我们才可以推角 c 等于角 a、 e、 d。 哎，我就把这道题的证明思路分析完了，我现在都是根据这两个条件不断的发展扩散，找到思路。下面我们来一起写一下证明过程， 思路明白了就很好写了。证明过程就是把你的思路呈现在卷面上。好了，现在我们第一步不是利用第一个条件去分析吗？因为角一加上角二等于一百八十度，而我们对应的 角一加上角四也等于一百八十度，所以是不是就有角二等于角四了？角二等于角四，是不是可以推出 ab 平行 ef 啊？你发现了吗？他就是在写我刚才的分析过程， 那 a、 b 等于 e、 f 由平行线的性质是不是还可平 a、 b 平行于 e、 f 由平行线的性质还可以推角三等于角五啊，内错角相等啊。那由于角三等于角五，而角 b 又等于角三，所以是不是就有角五等于角 b 了？ 所以是不是就有 d、 e 平行于 b、 c 啦？因为同位角相等，两直线平行啊，所以是不是就有角 c 等于角 a、 e、 d 了呢？ a， 这就证明完了，所以你发现了吗？不会写证明过程，就是你的思路不完善，思路不会分析。当你把思 为建立好了，把这个过程建立出来了，那我们对应证明过程就非常非常好写了。那以下证明的过程，证明书写的方式，在我们的春季同步提升训练营当中，都给大家做了详细的讲解。 如果你的证明过程还不会写，思路还不完善，不知道该怎么呈现，那可以去听一听哦。
6989依依老师da数学
10:26查看AI文稿AI文稿尊敬的各位考官，大家好，我是初中数学组一号考生，今天我试讲的课题是平行线的证明，下面开始我的试讲。上课同学们好，请坐在七年级，我们已经学习了平行线的判定方法，哪位同学回忆一下有哪些 好？你来说同位角相等，两直线平行，你也想表达？内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行？回答的非常全面， 这些方法我们当时是通过观察实验得出来的。那大家有没有想过，为什么内错角相等，两直线平行呢？这就是我们今天要探讨的内容，平行线的证明。 首先我们来看第一个定律，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行，减数为内错角相等，两直线平行， 我们把它表示出来。 如图，已知角一和角二是直线 a， b 被直线 c 所截出的内错角，且角一等于角二。 求证，直线 a 平行于直线 b。 请大家思考，利用同位角相等两直线平行这个基本事实可以证明它吗？请大家小组合作试一试，给大家三分钟时间，开始吧！ 好，时间到，谁愿意分享？我看一组代表已经跃跃欲试了，你们是先分析题干的信息，已知角移等于 角二，它们是一组相等的内错角。要利用同位角相等判定平行，就要想办法把内错角相等转化成同位角相等。而角一 和角三是对顶角，根据对顶角相等得到角一等于角三。又因为角一等于角二，所以根据等量代换角三就等于角二。再根据同位角相等两条线平行，我们就得到了 直线 a 平行于 b， 思路清晰，表达流畅。请坐，我们一起来书写证明过程。首先写证明， 因为角一等于角二是已知， 角一等于角三依据的是对顶角相等， 所以角三就等于角二，根据的是等量代化。 那么所以我们就能得到直线 a 平行于直线 b， 依据就是同位角相等，两直线平行， 这样我们就证明了内错角相等，两直线平行这个定律。接下来请大家以小组为单位， 用类似的方法证明第二个定律，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。 给大家两分钟时间，开始讨论 好时间到哪个小组来分享你们的证明过程。第五，小组的代表来说，老师帮你们版书。首先写证明， 因为角一与角二互补，这是已知， 所以角一加角二就等于一百八十度，依据是互补的定义， 所以角一就等于一百八十度减角二等式的性质。 又因为角三加角二等于一百八十度，根据的是平角的定义， 所以角三就等于一百八十度减角二等式的性质， 所以角一就等于我们的角三等量代换， 所以直线 a 就 平行于直线 b， 依据是同位角相等，两直线平行。 证明的过程逻辑清晰，步骤完整。其他小组和他们的证明是一样的吗？啊，都一样，很好，现在我们运用这些定理来解决实际问题， 请看黑板上的例题，大家动手做一做好，都做对了吗？都做对了！看来大家都基本掌握了今天所学的知识，不过老师要强调一下，每一步 推理都要注明依据，这是我们几何证明的规范要求。今天的课程即将结束，谁来分享一下？你有哪些收获？你想分享？ 你学会了证明平行线的两个判定定理，你也想分享？ 你明白了几何证明的步骤要有理有据，逻辑严谨。同学们总结的非常全面。 今天我们以同位角相等两直线平行为基本事实，证明了另外两个平行线的 判定定理，体会了演绎推理的严谨性。在课堂的结尾，老师给大家布置两个作业，一，基础作业， 完成课后习题一、二题二，拓展作业，尝试用不同的方法证明同旁内角互补两直线平行这个定力。今天我们就学到这儿，同学们再见！我的试讲完毕，谢谢各位老师！
785乐水老师
02:50查看AI文稿AI文稿这道题对于我们期下的孩子来说太难了，因为他对应每一步证明都需要挖掘内部的隐含条件，才能层层递进进行推导。今天啊，老师就教大家五步法，轻松搞定这种平行线性质判定证明题的申写过程。 如果啊，咱们孩子证明过程还经常跳步，写不清楚扣分。家长们可以把我这一块平行线性质判定易错的真题三十道打印出来，每一道题都特别的经典，带着孩子趁着这个假期就把卧床这一块刷透学会。 下面呢，咱就来一起分析一下这道题，我来教大家如何根据题干当中的隐藏引含这个条件，挖出对应内部的信息再来推了。 好了，来一起读题。角一加角二等于一百八十度，角一在这呢，角二在这呢，这两个角八杆子都打不着，一百八十度有啥用呢？ 没用。所以我们有一个思想叫做转化的思想，我们要把它转化到能用的角上去来进行使用，谁能用呢？我们发现这还一个角是一百八，假设我标记成小五， 也就是角一加上角二是一百八十度，而角一加上角五还是一百八十度，咱们是不是由它俩就可以导出角二等于角五啊？对不对？而这个引含条件等角二等于角五是什么角啊？ 是一组内错角，所以内错角相等，可以推两直线，平行 a， b 平行于 h， 那 也就是说这两线是平行的了， 哎，太高兴了，有了平行线，这道题就更好做了。来看第二个条件啊，这是第一个条件，第二个条件说了，角三等于角 b， 来看，角三在这呢，角 b 在 这呢，仍然是八竿子打不着的角，咱怎么用呢？ 因为上一个问已经有平行线的条件了，对不对？两线平行，你会发现角三是不是就和这里的角六是相等呀， 对不对？所以由平行可以得角三等于角六，而这里面角三又等于角 b， 他 俩综合在一起，是不是又碰撞出新的火花了，对不对？也就是角 b 就 等于角六了，这两个角是相等的，看没看见 好了，那这两个角相等它有用啊？因为这两个角正好是一组同位角，所以同位角相等可以推的直线平行 d e 平行于 b c。 好了，他让你证明的是角 c 四等于角 c， 这两个角是什么关系啊？正好角四和角 c 是 这一组平行线所夹的同位角位，所以两直线平行，正好推出角四等于角 c， 你 看整个的卧上不就顺下来了吗？
493依依老师讲初中数学
05:38查看AI文稿AI文稿拐点模型是初一下册平行线章节的难度天花板，经常作为期中期末的压轴填选出现试卷当中百分之九十的孩子呀，看到这种题压根没思路，白白丢分。 其实啊，解决平行线问题的关键在于拐点模型的应用，但是很多孩子压根不知道什么是拐点，导致做题根本没有第一步。 别慌，老师今天就把拐点模型中最核心的拐点以及操作的步骤过程一次性教给大家，学会以后考场遇到任何平行的题型，拐点直接满分拿下。好，我们来看题， 这个题特别有意思啊，我在网上呢看到很多老师去讲啊，大概思路呢，无非就是啊，延长，他这边也延长，然后把脚一呢啊，通过这里的平行倒在脚三的位置，然后这里做条平行去倒倒倒倒。 但是呢，我说一下这个方法的好处啊，特别好理解，但是很多孩子他是理解不了我为什么要延长，我为什么要这样倒脚的。那今天我就换种思路，给大家分享一个万能的通法，我不按这种方法去讲了，什么叫万能的通法呀，就是我只要看到了拐点， 我的方法就是做平行，然后去通过传递性，平行的传递性去倒脚， 各位能理解吗？就是这里面有哪些是拐点？你看啊， e 点不在平行线上，他肯定是拐点，对吧？地点在不在？很多小孩觉得在哦，老师，延长，你告诉我延长凭什么相交于地点对不对啊？你不要想当然哦，就是地点呢，也不在，所以说我这里也做平行 是吧， c 点在不在？也不在，我也做平行。好，那这里就有个问题，做谁的平行？来，我们来思考一下啊。首先呢，这里面我们先看他啊， 这 cm 吧，好吧， cm 离得比较近的就是 ab， 所以 说第一步啊，我先是做所有的辅助线啊，就是 cm 平行于 ab， 好 吧，是我做的辅助线，可以吧？好，第二个，这里是 n 啊，这里是 p， 好 吧，那就是做我们的 d n 平行于 f g， 且做一条 e p 平行于 f g。 大家想啊，就是我过这个点做一条线和它平行，为什么？我一定要讲明白为什么？因为你这里一会会用到这个角一，对吧？那跟角一比较明显的模型是不是这个猪蹄模型啊，能想到吗？是不是长成猪蹄的样子？ 所以说我要做平行，对不对？那证明猪蹄是不是要过拐点做平行去证明的呀？所以说我这里的这个 e p 和它是完全合理的。 ok， 那 你顺势写啊，都平行于它传递性，所以说 d n 是 平行于 e p 了， 你看我该正的平行我都正完了，各位，接下来我们开始倒角啊，第二步，开始倒第三步吧，开始倒角好，倒哪些角呢？你就要写如图两个字， 看好啊，角一，呃，这里二，有了加角三是不等于这里的角四加角五， 对吧？我写一下啊，怎么倒？首先呢，我们通过平行嘛，是不是角三是不等于角四内错角，所以说角一加角三是不等于角四加角五， 我看到什么我就自然的把它写出来。好吧，题干中呢，还有个条件是他俩平行，这条蓝啊，画条红的吧，比较明显一点啊，这条红的和这条红的平行就可以倒呀，对不对？然后就继续写，对吧？因为我们的什么呢？ c d 平行于我们的 e f， 对不对？那所以我干嘛呢？我，所以我的角四加角五，这个内错角就等于这里的，你看，这里是内错角，等于角三加角六，角三加角六， 各位，可以吧？好，那我们来看一下啊，现在你得到了啥？首先四和五是等于三加六的，四和五等于一加三的好，等量代换怎么办？ 是不是三加六等于一加三，所以角一是不是等于角六？顺理成章，对吧？他现在是跟角一相等的，那就可以用这条了呀， 是不是因为你要跟你看六二，是不是这个角？角七同旁内角是不是？好，但是我还不知道它是同旁内角，我还不知道它是平行的啊，你要证明的，对不对？你就说因为角一加角二等于角 abc， 那 现在一是不等于六啊，所以角六加角二是等于 abc， 对不对？然后你前面是不是已经正过平行了呀？各位，这里是做过平行了，是吧？那么有了它平行 c m 和 ab 平行，所以说角 abc 加上角七是不是一百八，对吧？那它是等于 abc 的， 所以角六加角二加角七也是一百八， 对不对？好，你看啊，六加二加七一百八，那当然，所以我们的 c m 就 平行于我的 d n 了。各位，大家现在全串起来了，你看我做的辅助线，这里是平行的，对吧？这里是不是也是平行的？都平行于 d n， 所以 说我们的什么 c m 平行于我们的什么啊？平行于我们的这个 e p， 平行我们的 f g， 对吧？我看啊，这里是 d n， 就是 我们的 c m， 你 看 c m 平行于 d n， d n 平行于它，对吧？然后呢，我们就得到了这个 e p 和它平行是平行 f g 的， 对不对？好，那么 c m 和 f g 平行最后一步差一点了，差在哪了？是不是 c m 和 ab 也平行，对吧？那就是因为 c m 平行于 ab， 对吧？ c m 平行于我们的 f g， 所以 说 ab 和 f g 是 平行全部倒完。你看我的过程，虽然稍稍麻烦了一点，但他的思路是完全单一的， 就你只要过拐点做平行去倒角，你就能完成。这样类型的所有的题目都可以用这个核心方法来解决。当然呢，也鼓励大家一题多解，多去思考这种题的。别的解法评论区可以把你好的解法告诉我。
7551郭嘉老师数学思维
03:19查看AI文稿AI文稿我们今天要讲的内容为七年级下册数学里边的平行线的判定。那么这些题这个题呢，经常会出现在的几何证明题中，给出你很多条件，让你去证明这两条直线是什么位置关系，是平行啊还是垂直啊？ 那么如何证明两条直线是平行呢？那么只需要找对应的角就行了。 那么我们跟着理论呢，就是同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行。所以我们要去证明他去平行的话，只需要找这些角相等就行了。比如说 如何证明 a 和 b 相等啊？我只需要找到看一下角一和角二什么关系啊？同位角，只要是证明角一和角二相等，那么这两条直线就平行的，同位角相等，两直线平行，同样的，你告诉我角二和角六什么关系啊？ 角二和角六为内错角，或者角三和角五呢？也是内错角，我要想证明他们两条这两条直线平行，我只需要得到角二和角六相等就行，或者是角三和角五相等就可以。 那么如何根据同旁内角互补证明两条直线平行呢？假设还是证明他俩平行的话，角二和角五是什么关系啊？ 是不是为同旁内角？那只需要证明角二加角五等于一百八十度，或者是说角三和角六也是同旁内角，他们两个相加等于一百八十度。 得到这些条件，我们就可以通过他得到两条直线平行。所以总结一句话就是想证明两条直线平行，只需要找到同位角相等，内错角相等，或者是说什么呢？同旁内角互补就可以了。 那么经常要错的一个点是什么点呢？看一下假设说我这画一个平行四边形，经常要错的，搞不清谁是截线，谁是平行线。 那我们看一下，这是 ab cd 角一和角二，你告诉我 什么关系啊？是内错角了，也说了角一和角二为内错角，我通过它可以判断 a c 平行于 b d， 对 吗？ a c 和 b d 平行是根据角一和角二来的吗？这是一个容易错的点。那么看一角一和角二是内错角，这个是没没有毛病的。那我们看角一和角二是不是截线呀？截线的话 谁是背斜直线，是不是 ab 和 cd 啊？所以角一和角是内错角相等，证明了谁呀？ ab 和 cd 平行，这个一定要去把它搞明白就行了。关注大哥老师，我们每天学一点，争取我们开学以后我们能跟上我们的大部队。
87大高老师
09:07查看AI文稿AI文稿尊敬的各位评委老师，大家下午好，我是面试初中数学的一号考生，今天我试讲的题目是平行线的判定，下面开始我的试讲，上课，同学们好，请坐！同学们，在之前的学习中，我们知道两条直线都有怎样的位置关系， 相交或者平行。那么上节课我们也学习了平行线的相关知识，谁能来说一说你是怎么判断两条直线是否平行的？ 你来哦，利用定义无限延伸两条直线，看看是否有焦点，请做是一种好方法。但是在实践过程中，我们发现利用定义的话，哎，非常局限。比如我们看大屏幕中的这个图片， 泳池的泳道线，你是如何判断两条泳道线是平行的呢？ 能否利用我们之前学习的同位角、同旁内角、内错角的相关知识来判断两条直线是否平行呀？ 哎，看到大家都露出了疑惑的表情，不要着急，相信通过今天的学习，你一定会发现其中的奥秘。让我们一起进入今天的课堂。平行线的判定， 请同学们在你的练习本上，利用上节课学习的三角尺和直角的作图方式，画一组平行线 l 一， 平行 l 二，在画的过程中，想一想怎样操作能使两条直线是平行的？ 是什么？在固定不变？三角尺的作用又是什么呢？哎，带着这三个问题啊，请同学们快速开始，然后和同桌交流一下。 好，时间差不多了，看到大家都放下了手中的笔，我们一起跟着老师再来画一遍。首先利用三角尺的这一边 紧挨着我们的已知直线 l 一， 将直尺紧贴三角尺的另一边，我们将直尺的这条线画出来， 然后平移三角尺，在合适的位置画出 l 二， 所得的 l 二与直线 l 一 就是平行的关系。好，那现在同学们对刚才老师的这个问题有没有什么想法呀？你来说， 哦，你知道直角是固定不变的，三角尺的作用是为了固定角度不变。固定哪个角啊？ 哦，是固定这个角，如果我们把它记为角一和角二，那角一和角二就是相等的关系，因为都是我们这个三角尺的这个角， 角一和角二又是对了，同位角，那么角一等于角二，它俩又是同位角，那是否说明如果同位角相等，两条直线就是平行的呢？ 哎，这个呀，就是人们在实践过程中总结出来的一个基本事实，如果两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线就是平行的。 简单来说就是同位角相等，两直线平行。 如何用符号语言来描述这个事情呢？因为角一等于角二，所以 l 一 平行， l 二 这个呀，就是这个判定的符号语言了。好，现在请同学们想一想，如果我利用三角尺的另一个角呢？能否画出这样的一组平行线呀？哦，也可以。那如果是这个直角呢？ 现在请同学们在你的练习本上再画一下，利用这个直角画出一组平行线，看看你有什么发现，然后前后桌四人交流一下，讨论一下，给大家三分钟时间。 好，看到大家讨论的都非常激烈，我们一起来看老师黑板上的这幅图， a、 b、 c、 d 同时被直线 e、 f 所截，其中角三和角四都是九十度，也就是它们都是垂直的。 哎，谁发现了什么？来？第五位小组代表你来说，哦，他发现 a、 b 垂直 e、 f、 c、 d 也垂直 e、 f， 而 ab 和 cd 又是平行的关系，所以它得到的结论是，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。嗯，非常好，思维非常敏捷，请坐。看来你们小组刚才讨论非常高效， 那这个呀，也是我们从刚才得到的一个事情，垂直于同一条直线的两条直线平行， 同学们发现有什么问题了吗？你来说，哦，他观察到了教室的墙角，这条线和这两条直线都是垂直的关系，但它们并不平行。 哎！所以刚才我们发现的这个问题，和刚才我们发现的这个事情要加一个大前提，就是在同一平面内， 在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的。哎，这才正确的。好，那现在同学们已经有了初步的了解，现在请接受老师的小挑战， 如果我将这个角定为角三，如果角三等于五十度，角一也等于五十度，请问 l 一 和 l 二是什么关系？ 你来说，哦，是平行的关系，你怎么知道的？哦，角二和角三是对顶角的关系，所以角二等于角三等于五十度。又已知角一等于五十度，所以角一等于角二，由此 l 平行 l 二。 嗯，非常好思，思路非常清晰，请坐。看来大家掌握的都不错，那么本节课也要接近尾声了，今天我们主要学习了利用同位角来判定两条直线是否平行。 课后，请同学们完成术后习题，需要余力的同学想一想，还有没有其他方法来判断两条直线是平行的呢？好，本节课我们就上到这，同学们下课。
305理理理事国
02:44查看AI文稿AI文稿期下平行线，这里必考有十三大拐点模型，其中啊有三大家族对应的结论非常重要，那今天依依老师一个视频，带大家搞清楚这类模型的二次结论以及推导的方法。那有关于平行线，这里啊老师也给大家总结了近三年考过的易错真题三十道， 还有我们对应这十三大拐点模型的易错真题。如果啊，我们的孩子做几何题，经常辅助线，没有思路，不知道该怎么做， 家长们可以带孩子啊，把它打印出来，假期一天功课一个类型题，积累起来水滴石穿。下面啊，咱们就来一起看一下这些平行线当中常见的模型吧。 第一个啊，我们所说的这个模型啊，是铅笔家族，铅笔家族研究的是这三个角之间的关系，也就是这三角之合是三百六十度，其实就是做完平行线之后，有两个一百八十度的同旁内角， 同样拓展到铅笔眉尖型。我们可以做两条平行线，三组一百八十度的同旁内角，所以这几个四个角度之合就是一百八乘三了。 同样拓展到 n 个角，我们会找规律发现三个角之合一百八乘二，四个角之合一百八乘三，那 n 个角之合一百八十度乘 n。 建议 继续我们来看猪蹄家族，猪蹄家族其实他的模型结论非常通用，叫做蹄尖尖之核等于蹄丫丫，这是蹄尖尖，所以他俩之核等于蹄丫丫， 同样他们也是蹄尖尖之核等于蹄丫丫，只不过在这里面两个蹄丫丫，三个蹄尖尖，所以我们总结叫做左凸角之核等于右凸角之核，拓展到 n 个角也是一样的。 最后来看英足，英足对应的结论是什么呢？鹰嘴的这个小嘴巴嘴等于与哎鹰嘴的一条边与平行线所夹，这两个角当中大夹角减小夹角 怎么判断大和小来？只需要移一移这条线平移到这，你就会发现这个角大，这个角小，那嘴不就等于大减小了吗？那它也是一样。 所以无论鹰嘴是低头鹰、抬头鹰还是抠脚鹰，咱们只需要找到嘴的这个角，找到大夹角和小夹角，就可以轻松用我们对应的结论来进行秒杀了。 最后呢，我们这个类型属于鹰嘴的变形，它四不像了，找不到踢尖尖和踢丫丫怎么办？ 利用我们拐点模型解析问题的通法，过拐点做平行，做一条平行线，再利用平行线的性质来推导相等的角做角度转化，就可以迎刃而解了。那有关于这几类平行线常见的拐点模型，你现在学会了吗？
450依依老师讲初中数学
02:43查看AI文稿AI文稿这道题实在是太难了，这是我们上次第一次月考的解答题，我们百分之八十的同学都没有拿上分，原因是因为他的正面题给你的条件比较的隐晦，而你需要做的是 把这种浮在表面上的条件，隐晦的条件给他往深层次的去挖掘。而如何挖掘呢？就是今天我们老师重点要给你讲的 量大技巧。所以有关平行线证明题，这里大家一定要重点来进行学习和分析。那么老师呢，也给大家把平行线的性质与判定，这里近三年未考的易错题给大家总结出来了。所以咱们家长一定要给孩子练腿， 带着孩子咱们逐个题型进行练习和攻破，我们考试的时候要拿满分。同学们，让我们来看一下啊，他说已知角一是五十五度，角二是一百二十五度， 角 a 等于角 f， 让我们去证明角 c 等于角 d。 首先第一个技巧，同学们要知道一件事情，就是边读题边标条件，比如说角一是五十五度，我就标下角一，标的时候你还要注意把显而易见能推出来的角度给它标上，比如说我可以知道对连角相等，那么这个角呢？它也是 五十五度。那再来看角二是一百二十五度，而五十五度和一百二十五度刚好是互补的关系。所以说第二个技巧，同学们他给我们角度的关系，往往是给我们两条线的位置关系， 或者是说他给我位置关系。王老师想让我去倒角，我要去找角动之间的关系。这两步技巧大家在做题的时候一定要用起来，一来观察角二和这单角 d、 g、 f 互补，所以我就可以得出 b、 d 和 c、 e 是 平行的关系，那么 b、 d 就平行于 c、 e。 紧接着你要想这种平行能带给我哪些角相等正点要找的是我们要正的这两个角，所以大家来观察这两条线平行的话，那么我们的角 b 是 不就等于我们的角 c、 f？ 同时我们的角 c 也等于我们的角 a、 b、 d 写一对即可，我用算法来表示它俩相等，那简单的再看后面还有一个条件是角 a 和角 f 相等，那我们知道给我们角的数量关系，一定是让我们去证明两条线的平行关系。所以你来观察角 a 和角 f 相等的话，我们是刚好把这两个角描述来，这里有一种内错角相等，也就是 a、 c 在 这里是平行于 d、 f 的， 那 a、 c 和 d、 f 平行的话，我们又可以去倒角等谁呢？就是我们的这个角 c 呀，就是刚好等于角 c 也是内与错角相等，所以它又可以推角 c 等于角 c、 e、 f， 这样一来我们就可以推出角 c 等于角 d， 就 证明出来了。好了同学们，那以上呢，就是王老师今天的内容，关注王老师每天一个满分技巧。
190梦如初中数学
04:26查看AI文稿AI文稿这道题太难了，就期下咱们考到这种解答题，很多同学都空在那没有写这种题目，最关键的就是做出辅助线，没有辅助线思维，真的啊，很难把这道题做出来。 所以我们经常说啊，语文不会，你可以瞎写，英语不会抄阅读理解，数学题不会，你真的只能写写个解。那今天这个视频，我就带着大家把这种复杂的平行线拐点模型的压轴大题的证明思路搞清楚。 掌握了这个分析方法，无论你看到再难的题目，你都能分析把正确的思维呈现出来。 那有关于平行线啊，这里面性质判定，我们近三年考过的易错真题，我都给大家整理了出来，家长们可以带着孩子在这个假期把孩子整个的几何证明的书写过程给他落实清楚。 下面呢，咱们就来一起看看这道牙周题哈。已知 c d 平行于 e f， 角一加角二等于 abc。 那 你说给了我们这么点条件， c d 平行于 e、 f， 这两线平行该怎么用啊？又让我证 a b 平行于 g f， a b 平行于 g f， 这两线平行怎么用啊？哦，咱们找到了这种问题的解决方式，如何正两直线平行。我们讲当时平行线判定有四种方法， 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。第四种方式叫做平行公里的推论，平行于同一直线的两直线平行。 所以这道题它的解析技巧非常的清晰，解析思路很清晰啊，这是拐点，我过拐点做平行假设，我就做 c h 平行于对应的 f g。 那 这道题不就转化成了如何证 c h 平行于 ab 的 这个问题了吗？ 因为我已经做了 c h 平行于 f、 g， 哎，平行于同一直线的两直线平行就 ok 了，下一步咱们再想啊。那怎么让 c、 h 平行于 ab 呢？我得找这两个角之间的关系， 这两个角之间的关系不好找。为什么呢？因为现有的条件我还没用到呢，中间肯定要倒一步角才能找到它。 怎么倒角啊？你会发现这个地方有一个什么角一加上角二，那我们角一和角二是八竿子打不着的两个角，我把角一和角二得转化成有关系的角，这个 相加合等于 abc 才能用啊，怎么转化呀？咱们在这里直接延长 c、 d 交 g、 f 的 延长线于一点 m 好了，那现在我们会发现，这两线平行就转化成了这两线平行了，对吧？那就有条件可以用来，角一不就等于这里面的角三了吗？对不对？ 那角一转化成角三了，这个条件随之也发生转变了，也就是角三加上角二等于角 abc 了，对不对？ 好了，那由于在这里面角三、角二还有这个角角四，它是有关系的，因为这两线平行，所以我们有角三加上角二加上角四等于一百八十度，对不对？ 而在这里面，咱们是不是想知道，哎，它和 a、 b、 c 之间的关系啊，对不对？因为我们对应角三等于角一，所以角一加上角二加上角四不就也等于一百八十度吗？ 而在这里面，角一加角二就等于角 abc， 那 不就是 abc 加上角四等于一百八十度吗？我们要正的不就是它吗？ 这一对同旁内角是互补的，所以对应推出两直线平行 c h 不 就平行于 ab 吗？那 c h 平行于 ab， 题里又有了 c h 平行于 f g， 所以 我们等量代换，是不是就可以推出 a b 平行于 f g 了？这道题直接正出来，所以你发现了吗？姐，这道题它像 破案的过程层层推理，没有条件的时候创造条件，怎么创造条件？拐点模型的解析通法，过拐点做平行。在这个过程当中，题目当中出现一些哎，挨不着的角的时候，我们要注意做转化，把它转化成能挨着的角，才能用这个结论进行后续的分析。
1890依依老师讲初中数学
04:22查看AI文稿AI文稿占初一下一期三分之一内容的这个平行线的板块啊，实际上就这三句话，你知道这三句话你不用去背模型，不用去背公式，也不用去熬夜刷题，可以轻松解决整个章节平行线的所有问题。 今天呢，我们用这个猪蹄类模型的题型啊，帮大家感受一下三步法到底有多么的好用。那么首先我们先来看第一个例子啊，第一个例子给你两条平行线， a， b 平行 c， d 中间呢有拐弯，有个 e 啊， 他问你这个角 e 和 b 和 d 的 关系好？三步法，第一步啊，过拐点，做平行线要注意啊，我们这个拐点呢，是 除了平行线以外的中间的点，我们叫拐点，所以大家很明显可以发现这玩意呢叫拐点，所以我们沿着这个点呢做一条平行线， 一步结束。第二步，找一字母来包角。什么字母呢？我们学了三种字母，三种角啊， f 是 同位角， z 是 内错角， u 是 同旁内角，那么在这个里面呢，我们需要去找到合适的字母，把我们要求的角给它包裹起来。 好，我们发现这个我们要求的角是右侧和左侧的这种交错的一个模式，那么交错的模式你看是不是属于 z， a 字母比较符合这个形状，所以你看啊，我们画一个字母，把这个角包起来，包了 b， 还包了 e 的 一半，我们再画一个 z 啊，你看我们再画下边的这个 z， 是 不是就可以把 e 的 另一半和这个 d 给包起来，包完了以后呢，开始找关系计算。我们说 z 型啊，平行线的话呢， 内错角是相等的，所以我们可以看到上边这个 z， 右侧的尖等于左侧的尖，下边这个 z 呢，也是一样，右侧的尖等于左侧的尖。所以总的看下来，实际的结果是 什么呀？就是右侧的这个尖角等于左侧的尖角，所以很明显 b 加 d 是 右尖， 左角是 e， b 加 d 等于角 e。 当然这是一个最最简单的图形，我们现在呢，要加大一些难度。我们看啊，现在的整个的拐点啊，它的个数变多了，怎么来处理？一样的，你不用管那些用不着的东西啊。第一步，过拐点，做平线好截拐点 除了平线以外的中间的点叫拐点，对吧？所以很明显，一二三三拐点做几条平线，做三条平行线好，做完了。第二步，还是去找字母来包角，跟刚才的图形一模一样，你看这里边我们要求的角啊，都是这个尖尖，对吧？有靠右的，有靠左的， 那么左右还是怎么样找 z 型啊？ z 型的特点呢？是左尖等于右尖，所以一个道理啊， 你这里边是不是每对平行线中间都可以画一个 z 呀？可以画很多 z， 但不管你画几个 z， 你 画一万个 z 也无所谓。最终的结果还是这个 z 的 右尖角等于左尖角，现在我们把它擦掉，擦掉的结果你看还是右边的这些尖给它加起来，等于左边这些尖加起来。 答案是什么？一一加一二，它是左尖等于右尖。 bfd， 这个我中间的拐点增加了啊，那假设我再夸张一点， 我现在呢，给它变成无穷多个拐点，我给它变成一万个，一亿个，十万个无所谓，你不管变成多少个，根据我们刚才这三步法，你会发现你第一步首先还是要过拐点做平行线，对吧？你中间你不管有几个所谓的什么 e、 f 啊，各种各样的点啊，你就 每一个地我都做一平行线，做完平行线以后，第二步，字母包角左右尖还是去找 z， 每个平行线我都有一个 z， 你 会画出无数个 z 出来， 你不管你画几个 z， 你 一万个 z， 一 亿个 z， 你 这还是右肩等于左肩，反正你每个 z 都是平行线，平行线就是右肩等于左肩内错角相等，所以你不用管中间有几个点，你只要是这样的一个来回来去勾的一个图形，那么永远是左肩角之和等于右肩角之， 那么左肩角之角你就是这堆 e 的 角相加，右肩角之角呢，是中间这堆 f 的 角相加，加上两头的这个 b 和 d， 所以 你看求和相等。就算再复杂的这种几何图形和模型，我们只要严格的按照咱们的三步法，第一步 过拐点做平行线，第二步呢，找对应的字母，把我们要求的角给包裹住。第三步，根据提议要求稍微计算一下，就可以很轻松的得到答案了。 面很多很多的难题和重点的题型，我们也可以用这种方法来解决。我在后续的视频当中会逐步的跟大家去详细讲解，大家可以先关注我，然后可以发送六六六，就可以领取我总结的关于平县章节的一些常考必考的典型的内容资料了。
255清华史大爷数学思维
03:11查看AI文稿AI文稿这道七下数学平行线的证明问题，堪称是天花板的难度，很多孩子一看到他就无从下手。 但是这种题呢，我们期中考试、期末考试、月考，又是年年必考，还特别容易丢分。那今天呢，某老师就一分钟教大家正推加倒推两步法，咱们专治这种压轴证明题， 再配上某老师给大家整理好的平行线压轴题提分宝典，大家拿回去让孩子去练习，我们期末考试的时候稳稳拿分。 好，下面让我们来看一下啊。如图， a、 b 平行于 c、 d， 角一和角二相等，角三和角四相等，让我们去证明这组平行线。首先我们要知道两个角相等，我们在做题的时候要用相同的字母把它俩给标出来，比如说角一和角二相等啊发啊发， 角三和角四相等，背他背他。同时你要注意，遇到很明显的对零角相等，我们也要给它标出来，比如说上面这个小角，它也是一个背他。那接下来让我们去证明 a、 d 平行于 e、 b。 我 说我们一共两步，叫做正推加倒推。 正推指的是要仔细分析我们的已知条件，看看有哪些信息我们还没有挖掘出来。比如说这里面有一组平行线 ab 和 cd 平行，我们还没有用，那接下来我就要考虑 ab 和 cd 能不能帮助我去导这些已知的等角。小哈法和小维塔和这些角是有关系的， 那我会发现，哎，它俩平行，刚好角 e 和这里的小小的角 a、 c、 d 是 相等的，那么它也是 ar。 好， 那还能再导其他的吗？发现 可以了，那就结束，那接下来我们再倒推法去反推我们要证的这个结论去想什么可以帮助我们去推。你俩是平行的呢？思考一下，要么是内错角相等，要么是同旁内角互补，要么是同位角相等。那我们在题目中把这两条线描出来，去分析一下 a， d 和 v， e， ok， 跟这两条线有关系的。在这两条线上角度上的有哪些呢？你看是不是一个是这个 r 法 和一个是下边这个北塔，我们逐步的去分析。如果我想用这个 alpha 了，我就想如果我能挣出来角 e 也是 alpha， 那 这道题是不是就迎刃而解了？那你来观察角 e 是 不是 alpha 呀？仔细观察，你看角 e 在 三角形 e， f、 c 中，如果你知道我们的拖鞋模型呢？这个题秒出， 它是 alpha 加 beta， 这个是 beta， 那 这个 b 是 alpha。 所以 说老师我不知道拖鞋模型啊，没关系，我再给你敬一下哈。你来看这个角，如果我给它标一个数字，把它标成 角五，那大家来看，角 e 加上 beta 加上角五，内角和就是一百八十度， 然后角 b、 c， e 是 个平角，也就是说 alpha 加 beta 加角五也是一百八十度。 那么这个式子和这个式子是相等的，我就可以得出角 e 和阿尔法是相等的，所以在这可以得出角 e 就 等于阿尔法，也就是等于角二 内错角相等。两直线平行，我就可以得出 a， d 和 e、 b 是 平行的了。好了，同学们，那今天内容你学会了吗？我们下期再见！拜拜。
1042梦如初中数学
13:10
02:58查看AI文稿AI文稿我不知道新化的初一家长，你们有没有这样一个感受，就是孩子呢，最近在学这个拼音线的性质和判明判定，对吧？然后呢，他们很多人最近没学好，直接就不会了。 原本这个呢，是属于我们速刻版期下的第一章节内容，但是新课改之后呢，他直接放在期上的最后一个章节。你想一下，这个角本来他就属于一个难的章节，什么动脚问题，什么证明两个脚的关系， 这个就没学好。紧接着，平行线又用到什么？同位角同旁内角，所以这条经络他基本上就读起来了。那很多家长就说， 老师，我家这个平行线学的不好，我告诉你，我教你怎么去把它学好。这个视频你们可以先点赞，先收藏一下，等孩子放学之后给他看一遍。 首先呢，很多孩子初一平移线学的不好，他们不是粗心，你不要怪孩子什么上课没有认真听，并不是百分之九十的孩子呢，他们都卡在同一个核心思维上。核心思维是什么呢？就是条件转化思维。 平行线这一张剪呢，表面上全是各种拐来拐去的图形，但核心就一件事情，大道至简嘛，就是给你一个已知条件，你能不能把它翻译成另外一个等价有用的条件。 比如说题目告诉你 ab 平行 c d， 那 么你脑子里面不要孤零零的，平行就平行呗，你要像条件反射一样，瞬间弹出三样东西，比如说同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。这样呢，就叫做什么呢？已知条件的第一次转化， 但我告诉你，很多孩子呢，只做到了这一步，所以中等题还能应付真正的分水。你是在第二次转化，就是题目中他没有直接给出平行，他反而让你证明两条线平行，两条直线平行，那么你就必须倒过来，想要证明两直线平行，我需要什么？ 这时候你的思维就必须从有平行得角关系逆向转为有角关系正平行。这个逆向思维切换就是学霸和普通生的分界点。怎么念？我给你个绝招，每天只练两道题， 但记住，一定要把它题给讲出来，要说题就拿道题不写。步骤，先用嘴巴说。 第一步，题目已知的这个条件，能直接翻译出什么隐含条件，得出什么脚相等，自己用嘴巴讲。第二步，要证明的结论，反过来需要满足什么样一个条件？第三步，我手里的条件和需要的条件还差什么？桥梁，这个桥梁往往就是你需要做的那条辅助线。 好，各位家长，方法已经分享完毕，你们回头可以反复观看，坚持用这个方法练习一周，你会发现平行线的题突然就有了清晰的路径。最后，各位新化的厨艺家长可以点赞关注一下，后续我将分享更多的干货给到大家。
314上善若水
02:49查看AI文稿AI文稿一招带你搞定平行线当中的证明问题。今天我们来学习锯齿型模型。锯齿型模型其实就是猪蹄的那个脚丫，再多了几个，变成了这种形状。那想要求当 ab 平行 cd 时，角、 aefg 之间的关系，我们应该怎么样去求解呢？ 乍一看，这几个角没有任何关系。那怎么样让没有关系的角构造上联系呢？这就需要我们搭建一个桥梁，而数学中的桥梁就是辅助线了。我们只需要用老办法过拐点做平行的方式，就可以做出那个桥梁。 我们过点 e 做 l， 一、平行于 ab， 过点 f 做 l， 二、平行于 ab， 过点 g， 我做 l， 三、平行于 ab。 由于 平行功底的推论，平行于同一直线的两直线平行，我们其实可以正得图上啊，这么几条直线都是互相平行的， 那有的平行下面倒角是不是就轻松很多了？我们其实有两直线平行内错角相等，就可以知道角一和角二相等。同理，角三和角四相等，角五和角六相等，角七和角八相等。 那也就是说，在这个图上，咱们搅一，再加上搅四，加上搅五，再加上搅八， 其实就等于角二再加角三，再加角六，再加角七了。而原来的角一不就是那个角 a 吗？角四加角五的和 不就是那个角 f 吗？角八不就是那个角 c 吗？同样角二加角三不就是角 e 吗？角六加角七不就是角 g 吗？那图中这几个角 对应的关系，咱们是不是把它找到了？那我们就摇角 a 加上角 f， 再加上角 c， 等于角 e 加上角 g。 这就是锯齿形模型所对应的结论。来看一看角 a 在哪呢？角 a 是不是在这呢？ 我们会发现角 a、 角 f 和角 c 他的开口都是朝右的，那同样角 e 和角 g， 他的开口都是朝左的。所以我们推得一个结论，在这样的锯齿形模型当中，无论他有几个尺，那么他这里 所有朝左的角度之和都永远等于朝右的角度。那在这样的锯齿形模型当中，咱们就可以找到结论了。在这个图中，所有朝左的角度之和等于所有朝右的角度之和。锯齿型模型你学会了吗？
1367依依老师da数学
