七年级下册图形最简单的做法

来，同学们啊，相交线和平线，这里呢，是我们七年级下册几何里边的第一个难点。 呃，这里边呢，有一种求角问题啊，好多孩子都不会。我们来看一道压轴题，他说若 a、 b 平行于 c、 d 啊，这两条线是平行的，是吧？ e、 f、 a 等于三十度。 大家记住哈，一定要让孩子形成一个在读题的时候就把已知条件标在图形上的习惯，如果没有这个习惯的话呢，是很难形成思路的，是吧？所以 e、 f、 a 呢，等于三十度，我们就顺手给它标上， f、 g、 h 等于九十度啊，九十度，我们画一个直角符号就行了。 h m n 等于三十度， h m n 这个角呢，是三十度，对吧？ c n p 等于五十度， c n p 呢，等于 五十度，这个都标上了，那问的是 g、 h、 m， 问的是这个角啊，我给大家在这里呢画一个问号，那么这是一道难题啊，好多同学呢，读完之后都无从下手。 其实我前面说过啊，只要是我们的拐点问题，我们都有一个原则，你掌握住这个原则，再难的题我们也能轻松解决。什么原则呢？就是过拐点，怎么样啊？啊？做平行线， 哎，就这个原则，这个原则他是通用的。什么？过左来点做平行，因为你为什么要做平行线？因为只有有了平行线，我们才有同一角相等，内侧角相等，同旁内角互补，找到这些角之间的联系，然后用已知角把未知角给求出来， 对吧？那我们这里有几个是拐点呢？ g、 h、 m 都是拐点，那你过谁？做平行线，其实都可以给它求出来，但是难易程度不一样，你看啊，这里有五十，有三十，我们可以过 h 做 a， b， c， d 的 一个平行线啊， a， b， c， d， e， f， g 啊， m n， 那 这是 s 吧，对不对？ h s 假设呢，它与这个 mp 交于点 s 哈，就到时候我好表示，大家来看一下啊， h s 平行于 c d， 那 么这个五十度和这个角呢？就是同一角 哎，它也是五十度，两直线平行，同一角向的，它是五十度，这个角呢， h s p 是这个三角形 h m s 的 一个外角，那么一个三角形的外角等于谁呢？等于与他不相邻的两个内角的和。那所以这里的这个角哈，他等于多少度？五十减三十，他是二十度，对吧？ 好，呃，那么关键是呢，我们要求的是这个 g h m 啊，你只知道他这跟他还邻居求出来了，那有啥用呢？是有用的，我们只需要把这个大角给它求出来。 好，那么减去二十度，是不是就得到了这个角呢？这个大角怎么求呢？上面还有俩，一个三十度，一个九十度没用呢，对不对？继续过拐点 g 做平行线， 做 abcd 的 平行线啊。比如说这是 t gt 和 ab 平行，那么同一角相等，这个角呢，是三十度， 而它是九十度，那这个角呢？是六十度，而 gt 和 h s 也平行，平行的话呢，内错角相等，所以我们这个刚才我画出来这个问号，这个角呢，就是六十度，你明白吧？就是 t g h 和 g h s， 它们是内错角， 内测角啊，那么六十减二十，我们所求的这个角就是四十度，所以我们这里呢，填四十度就可以得满分了是不是？你看这道题是有点复杂啊，而且做了两条辅助线，对吧？这道题你听懂了吗？ 听懂的话呢，老师整理了相交线和平形线常用的辅助线和求角问题啊，每道题都有详细的答案解析啊。回复相交线和平形线拿去练习。

七年级家长注意了，孩子学轴对称图形是不是总卡壳？题型杂，考点散错题反复错，家长辅导没思路，老师讲完还是不会，别愁！ 今天这款二零二六版七年级下册数学简单轴对称图形七大题型解析，整整二十七页干货！ 包含所有高频考点，每个题型配详细步骤解析，孩子一看就通！有电子版不懂下单问客服和打印邮寄版，打印好直接寄到家，左下方小黄车就能拍，部分地区不包邮哦！别让几何拖后腿，赶紧给娃备一份，早用早提分！

七年级下册几何里边有很多模型，那么这个飞镖模型是最常考的一种。好，我们来看一下，他说 m、 d， 平分角 a， m， n， 那 这个两个是平分线 c， d， 平分角 a， c， n， 这两个角呢？也相等，对吧？然后呢，角 a 等于这个是四十度，我给大家标一下，角一等于角二，角三等于角四，是不是？好，在这里我们还有一个角 n 等于十度， 是吧？角 n 等于十度，让我们求角 d 这个轨点的角 d 的 度数，其实你看这里边隐藏着两个飞镖，对不对？那么哪两个飞镖？我先跟你说一下，你看你能不能从复杂图形观察出来，就是这样的一个图形。好，比如说这样的 a、 b、 c， 这个是 d。 好， 那么这就像一个飞镖，那么飞镖模型的结论是什么呢？那么就是这里的角 d， 我 们这样说角 a、 d、 c， 它就等于谁呢？角 a 加角 b， 再加 角 c， 就是 这样的一个结论，那么这个结论想证明也非常简单，是吧？我们连接 b、 d 并延长就可以了。好，那么大家来看一下这个角是不是角一，是不是等于角二加角 a， 因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 这个角三，这个是角四，角三是不是等于角四加角 c， 那 所以角一加角三就是角 a， 加角二加角四，再加角 c， 那 也就是角 a、 d， c 等于 角 a 加角 b 加角 c， 是 吧？那么这就是飞镖模型。好，那么从复杂图形中剥离出来这个两个飞镖，我们看看能得到什么？就是 amc， 这是一个飞镖，大家你看一下啊， a、 m、 n、 c， 是 不是这个能看出来，我就给你擦掉了。那么这个飞镖，那么就是角三加角四， 是吧？那就是角这个谁 a、 c、 n 等于谁呢？等于这个呢？四十角一加角二，哎，就是加角 a、 m、 n 再加十度， 这是我们第一次得到的。好，这是第一个飞镖，好看第二个飞镖，那么第二个飞镖就是 d、 m、 n、 c， 能看出来吧？我给你画一下第二个飞镖，就是这个 能看出来，是吧？那这个飞镖，那就很明显，这里我们仍然是等于谁角四等于角 d， 出现角 d 了，加谁加角二， 再加谁再加一个十度。好，既然这两个都是角平分线，那么角一等于角二，角三等于角四，其实上面这个式子我们就可以给它变一变，那么它就是二倍的角四 等于四十度，加这个是二倍的角二，再加十度，是吧？那么你看我们这里通过这个式子我们就可以得到什么，就是二倍的角四减去二倍的角二等于五十度， 所以我们就得到角四减角二等于二十五度，是吧？那我们得到角四减角二有什么用呢？那你看我们要想求的这个角 d 跟咱们这个角四、角二是不是有着密切的联系？那么通过这个式子，我们就可以得到 角 d 等于什么？你看是不是等于角四减角二，然后再减去十度，那不就是用到了这个整体吗？所以它等于多少呢？二十五度减十度，最终结果是 十五度，那么你看两次飞标模型这道题轻松拿下数轴动点问题八大题型专题资料已经给大家准备好了啊，进主页粉丝群领取。

嗯，讲下这个，我们速客版衔接下侧，很多孩子一看到就蒙了，一个章节就是那个图形的运动，对吧？旋转反折啊，很多孩子一看到这个题就蒙了 啊，我来告诉大家，我不会讲具体的题型，我来告诉大家这个题型这种题目的时候两个原则，第一个原则就是说 以静制动，你不要只看它的动，你不要只看它的旋转，看它反折。你要先去知道一点，把一个大方向，一个前提把握住，就是它有不动的地方， 他反折之后，可反折之前两个图形是一样的，所以在找动什么，在变化之前，先去把那个没有变化的对应边对应角这个不动的东西给他找出来，这些就会成为你做题的一个关键，这就是你的条件。 第二个就是也是个很基本的，你要动手去画啊。很多孩子数学成绩不好，那有一个毛病，就是就那里想啊，坐那里想，两个眼噗嗤噗嗤闪在脑子里开始动，但是不动笔， 一定要动笔去画，特别是几何题，你就要用手啊，用支笔在你的草稿纸上，在这个图形上去画一画，去找一找哪个边和哪个边对应，哪个角和哪个角对应，对吧。 很多这个图形你一画出来之后，这些隐藏条件它自己会浮现出来的，你不动笔是做不好几何题的， 这个是铁律啊，就是同学们，我们在做这个图形的运动有变化的问题当中，无论是反折、旋转还是写这个最值问题的时候，首先要抓住原则，找到他运动过程当中 不变的量，然后第二个去动手画一画。好吧，它的背后其实都是一些很简单最基本的几何功力，好吧？加油啊。

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天继续来学习人教版七年级下册数学第十六节课。用坐标描述简单的几何图形 今天的学习目标是掌握建立适当的直角坐标系。用坐标描述简单几何图形的方法，能够在给定的直角坐标系中写出几何图形各个顶点的位置的坐标，能够根据坐标计算出几何图形的面积。 如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为四。在正方形 a、 b、 c、 d 所在的平面内建立两个适当且不同的平面直角坐标系， 并说一说所建立的两个不同平面直角坐标系中表示正方形 a、 b、 c、 d 顶点的坐标。我们知道平面直角坐标系就是两个垂直的 x 轴和 y 轴就可以， 那我们这个点必须要有一个直角。那第一种方法，我们这个，我们这个正方形，我们知道有一个最中心的点，我们可不可以在这条边的中点以及这条边的中点，这个正中心的这个位置，以它为圆点，这里为 y 轴，这里为 x 轴，建立一个平面直角坐标系啊。 如果说我们以这种方向建立平面直角坐标系，我们看一下他所对应的点的位置应该在哪边长为四，那么他从这个边到这个终点的位置就应该是二，所以我们也可以标出每个轴的单位长度。 那照这种情况来看，我们 a 点所对应的坐标就是负二和二， b 点对应的坐标是二和二， d 点对应的是负二和二。 那除此之外，我们还可以以 a 点为，以 a 点为圆点，这样去画一个平面直角坐标系。我们看如果是这种情况的话，我们 a、 b、 c、 d 四个点的坐标又是什么？ a 点的坐标是不是就是圆点了？零零， b 点的坐标就是四，零 c 点的坐标是四四， d 点的坐标是零四。 所以我们可以建立平面直角坐标系，来描述一些简单的几何图形。我们在描述这些几何图形的时候，只需要用坐标去描述这些图形上关键点的位置，比如说刚才那个正方形，我这样去建一个平面直角坐标系，只需要找到 a 点、 b 点、 c 点和 d 点的位置，就可以把这个正方形给表示出来， 那建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同，你们看刚才我们两种方法得到的坐标就是不相同的， 所以说在规则的几何图形中，一般优先考虑顶点、边长等。建立直角坐标系，那我们第一个平面直角坐标系并不是很好画，因为它没有固定的边长，给我们第二个平面直角坐标系相对来说就比刚才第一个要好画一些。 来我们看一下，在这个平面直角坐标系中给出了我们四个点，我们顺找到这四个点，并顺次连接，我们看一看它是什么形状。 a 点是负二和二就在这里，这是 a 点， b 点是三二， b 点在这里， d 点、 c 点是负二、负一、 负二、负一，这个点是 c 点， d 点是三和负一是这个点。我们连接这几条线， 我们连接这几个点，我们是不是就会发现这是一个长方形啊？而且它的长是 ab， 这一段的长度是五，它的宽是 b、 d， 这一段的长度是三。 今天学的第二个知识点，就是我们要会求平面直角坐标系中图形的面积。已知三角形 abc 三个顶点的坐标分别为零三、九三、一、负一。我们可以画出一个平面直角坐标系，然后标出它的点， 看如图所示，画出平面直角坐标系，找到 a 点在这， b 点在这， c 点在这，那这个三角形的面积怎样去求？ 是不是我们三角形？三角形的面积公式是二分之一底乘以高，是不是我们这个三角形可不可以把这个 ab 当做底？它的高是不是就是从 c 点往下去做一条垂线，我们看这条线是不是就是我们的垂线？ 那这条线的长度是多少？是不是这个 a 点的纵坐标加上这个 c 点纵坐标的距离啊，它的相反数，所以说这段的长度就是四，而这段它的 ab 的 这段距离是不是就是 b 点的这个横坐标啊？所以我们这个三角形的面积公式就是二分之一乘以个， ab 乘以个。假如说这个点是 c， 不是 d 乘以个 cd， 结果就等于二分之一，乘以九乘以四，结果等于十八 来。在平面直角坐标系中，已知点 a 是 三二，我们画一个平面直角坐标系 x y 零 a 点是三，二，这里是三，这里是二， 这里是 a 点三二， b 点是三四三四，再往上找到四的点 四，这是 b 点 o a b 是 不是这个可以做底， 这个做底儿，然后这里 o 点去做 ab， 这条线所在的高就是它的垂线，这里是不是它的高， 所以它的高是三，它的底儿是，这段是二，因此它的面积是二分之一乘以二乘以三，结果就应该是三。那么看第二题，已知点 o 零零点 b 一 二，点 a 在 坐标轴上，且三角形 oab 的 面积等于三， 求满足条件的点 a 的 坐标。我们可以先画出一个平面直角坐标系 x 轴 y 轴零，点 b 的 坐标在一二的位置一二， 这是我们点 b 的 坐标。已知点 o 零零点 b 一 二，点 a 在 坐标轴上，三角形 oab 的 面积等于三，求满足条件的点 a 的 坐标。我们先画出这个平面直角坐标系 x y 零，标出点 o 和点 b， 点 b 是 一、 二，这是点 b 的 位置，点 a 在 坐标轴上，所以说点 a 的 坐标要么是在 x 轴上就是 x 零，要么是在外轴上表示零 y， 那 三角形 oab 的 面积等于三。我们先看，当这个点 a 在 x 轴上的时候，假如说点 a 在 这里， 那么它的这个三角形 o a、 b 的 面积是不是就等于 o a 这个底儿，乘以这个 b 的 这个纵坐标，乘以它这个高，乘以二分之一啊，所以就是二分之一。乘以个 o a 的 长度，乘以个 b， 点的纵坐标是二，结果就是 o a 的 长度等于三，所以说 a 点的距离到，所以说点 a 到点 o 的 距离是三。因此点 a 有 两个位置，一个是三，一个是负三这个位置。因此点 a 此时的坐标有两个，一个是 负三零，一个是三零。那我们再看，当我们的呃点 a 在 外轴上的时候，这个坐标是零，外点 a 在 外轴上， 假如说点 a 在 这里，那么三角形 o a、 b 的 面积是不是就等于这个仍然是 o a 的 距离，然后乘以点 b 到外轴的距离，这是一个横坐标，因此我们此时三角形的面积公式是，二分之一乘以 o， a 乘一个一，结果等于二分之一， o， a 等于三，所以我们的 o， a 等于六， o， a 等于六。也就是说，在外轴上，点 a 的 这个位置到点 o 的 距离的这个距离是六，所以说点 a 仍然有两个值，一个是零六，一个是零负六。所以说满足的点 a 的 坐标有四种情况。 好，我们看几道学堂练习题，已知点 a 负一零，点 b 二零，在外轴上还有一个点 c， 我 们把这个点画出来， x 轴外轴，点 a 是 负一零，这是点 a， 点 b 是 二零， 这里是点 b， 在 外轴上有一个点 c， 使得三角形 a、 b、 c 的 面积等于六。我们这假如说点 c 在 这里，三角形的 a、 b、 c 的 面积是不是就等于 a、 b 的 长度加上这个 c 的 这个纵坐标啊？所以三角形面积二分之一乘以 a、 b 的 长度 乘一个 c 的 总坐标 y、 c， 结果等于六，二分之一乘以 ab 的 长度，这里是负一，这里是二，是不是等于三呢？三乘以 y， c 等于六，所以说 y、 c 就 等于 四，因此我们点 c 的 总坐标就是四，所以说点 c 的 坐标就有两个，一个是零四，一个是零负四。 好，我们第二看第二题，解出下图中多边形 a、 b、 c、 d、 e、 f 各个顶点的坐标。这个题简单吧，点 a 在 x 轴上，所以点 a 的 坐标是负二零。点 b 在 外轴上，所以它的坐标就是零。负三。点 c 在 第四项线，它的坐 标是四零。点 e 在 第一项线，它的坐标是三三 点 f 在 外轴上，它的坐标是零。三。看第三题，如图，长方形 b、 c、 d、 e 各边分别平行于 x 轴或 y 轴。物体甲和物体以由点 a、 零、二零出发，这里是点 a 二零出发，沿长方形 b、 c、 d、 e 的 边做环绕运动。 物体假按逆时针方向，逆时针方向以每秒一个单位长度的速度运动物体以按照顺时针方向以每秒两个单位的长度这样运动。 那则两个物体运动后的第二、零二四次相遇的点的坐标是多少？我看这是不是就是我们呃七年级上册所学的那种环形跑道的问题啊？ 我们先来看到他第一次相遇的这个点的位置是多少，他们的他们两个跑过的这个路程和是不是就是这个长方形的周长啊？这个长方形的长是负二到二的这个距离是四，长方形的周长 就等于二乘以个四，加上长加它的宽，它的宽是二，所以就等于二乘以六等于十二是长方形的周长。也是我们的物体甲和物体乙第一次相遇，假如说他们相遇的点在这里，那么甲走过的这个路程是这段，乙走过的路程是这段路程和是不是等于它的周长， 因此第一次相遇所经过的时间就是十二除以个一加二，这是他所经过的时间是四秒，那四秒之后，那四秒的时候，我们的这个甲 四秒的时候，我们的甲移动了四个单位长度，所以说我们的甲走到了哪里？甲从这里走了一个单位长度两个单位长度，三个单位长度四个单位长度。所以说此时他们第一次相遇的点在这里，这是第一次相遇， 然后从这个点出发，我们再看第二次相遇的点在哪里？第二次相遇，甲仍然走了，是四个单位长度，是不是仍然是按这个方向走了四个单位长度？再数四个单位。 我们先把第一次相遇的这个点写出来，第一次相遇的这个点是在负一一这个点。第二次相遇，这个甲再走四个单位长度。 第二次相遇的时候，他们就在了这个点，这个点是负一和负一。第三次相遇，甲再次走四个单位长度一、二、三、四，甲就回到了原点， 甲就回到了他们起始的这个点， a 就是 二零。然后到了第四次他们再相遇的时候，这个甲是不是就又走到了第一次相遇的这个位置？因此他们相遇的点的坐标就是三个数，一个循环。我们的二零二四除以三 等于六百七十四，余上一个二，余上二。所以说我们的第二零二四就会走到这个位置。第二跟第二跟第二次相遇的位置应该是同一个位置，所以说我们第二、零二四次相遇的点的坐标就应该是负一负一，负一负一。 那第四题，四边形 a、 b、 c、 d 所在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度建立以点 b 为圆点哎，点 b 是 圆点， 以 ab 边所在的直线为 x 轴的平面直角坐标系，是不是？这是 x 轴，这是 y 轴。点 b 就是 我们的圆点， 然后写写出此时 abcd 的 坐标，那么点 a 此时的坐标就是一、二、三、四，就是负四零点 b 的 坐标是我们的圆点零、零点 c 的 坐标是一、二，这里是横坐标是二，纵坐标是一、二 二二点 d 的 坐标就是一二，三就是零三，那求出四边形 a、 b、 c、 d 的 面积。我们这个四边形是不是可以把它分成两个三角形来求？先求三角形 a、 b、 d 的 面积等于等于二分之一，底乘高，二分之一乘一个底是 ab， ab 的 长度是四，乘一个 b、 d 的 长度等于三，结果就等于六。那第二个三角形 b、 c、 d 的 这个面积等于它的底 b、 d， 二分之一乘以三，乘以个 c 点的这个横坐标等于二，结果就等于三。所以说四边形 a、 b、 c、 d 的 面积就是六加三等于九。 我们来看今天学习的内容是用坐标描述简单的几何图形，要会建立坐标系，求出图中点的坐标，然后我们一般会考虑它的一些面积公式，或者是周长公式。 然后我们建立的平面直角坐标系不同的时候，图形上的点的坐标也不同，一定要记准关键点的位置，优先考虑顶点边长去建立直角坐标系，这样比较方便。 我们再利用坐标描述几何图形中最长做的一种题型就是利用平面直角坐标系去求图形中的面积。今天的课到这，这就是我们这节课学习的内容，你掌握了吗？

在相较版七年级下册的数学书中，有一个用计算机做几何变换图形的活动， 但这个软件的话比较少见，我们尝试用 ppt 来做一下，先将它的最基本元素复制 粘贴过来，我们对照着它的样子去画一个三角形点插入形状， 三角形是这个 画完之后发现一个问题，它的图形的话这一部分是没有的，所以我们想办法把它切掉，我们再拆一个三角形， 此时我们将两个三角形合并，选择拆分模式，删去多余， 这样就得到了我们最基础的一个单元，然后涂成它的样子。有了基础部分之后， 我们就可以继续往下做了，将这两个组合一下复制一份，此时我们将它进行镜像操作， 水平翻转， 再将它组合起来， 对齐之后我们再将它两组合 继续复制一份。现在我们把副本旋转，这个旋转功能的话只能旋转九十度，但这是不行的，我们从设置对象格式找 有一个三维旋转，三维旋转里面我们把 z 改成六十度， 第一次旋转已经成功了，将它的点对应起来， 这时就已经出现两个了，我们继续操作，继续旋转，再加六十度，即一百二十度， 重重复以上操作一百八十度，再次操作两百四十度， 再次复制一次三百度。 这样我们就得到了一幅漂亮的图形，跟它的对比一下， 可以改一下颜色，比如说轮廓，我们取它的颜色 里面的填充，我们也可以选它的颜色， 跟它的再次对比一模一样。

朋友们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学迁移下册第七张相交线与平行线，七点一点三，两条直线被我们第三条直线所截，我们来看一下我们这节课的一个学习目标，其实我们这节课呢，整体的一个学习目标呢，就是教大家认识什么叫做相线八角， 以及认识什么是同位角、内错角和同旁内角。在我们的复杂图形中呢，能够识别我们的同位角、内错角和同旁内角。 好，我们先来复习一下，前面我们已经学习了两条直线呢相交的情形，我们知道啊，当两条直线相交的时候，是不是会形成四个角，也就角一角二，角三角四， 并且呢，我们也知道了我们形成这四个角中有什么样的关系呢？我们知道有邻补角，比如说角一和角三，角二和角三，还有还有什么呀？角三和我们的角四和角一这样的关系呢，都叫做我们的邻补角， 还有什么角呢？是不是含有对顶角呀？我们知道我们的角一和角一和角三，角二和角四，都是我们的对顶角，对吧？ 好，这是我们上节课所学的内容，再来看一下，那我们来想一下，如果说我们的有三个直线相交的情况下，如如我们下面的图所示，你看啊，当我们 ab 和 cd 被我们 e f 所截的时候，它会形成几个角呢？ 这就是我们今天重点的内容啊，我们知道三条线所结三条线这样的关系呢，是不是存在一个三线八角，这就是我们所说的三线八角，那我们来看一下我们 ab 和 cd 呢，就是被称为被结的直线，那我们 ef 呢，就叫做结线， 我们简称我们的三线八角，所以说当大家看到一些资料写的三线八角呀，或者是大家在说三线八角的时候，就是表示这样的一种图像，好吧，大家要知道， 好，当我们知道这样的图像的时候，我们来研究一下我们这里面八个角，看看他们之间有没有什么样的关系呢？大家肯定知道角一，角三是对零角，这些是对零角，还有他是零不角，我们就不说了， 那我们关键来研究一下我们的角一和角五，那你看角一和角五有什么位置关系？好，我向大家现在想不起想不到，或者是我给大家讲一个，后面你就能想到了，那你看一下第一个。首先呢，我们知道啊，我们的角一和角五 都在 e f 的 什么呀？同一侧，也就是在它的右边，那有的同学说了，我角四和角八也在同一边，对，它们这四个角都在同一边，对吧？或者是这四个角也在同一边，这是我们能满足的第一个条件呢，就是在 e f 的 同旁。那我们再看我们第二个条件， 第二个条件呢，就是说我们要在我们 a、 b、 c、 d 的 同一侧，也就都在它的上方，那是不是这两个和这两个都在上方，这两个和这两个都在下方呀？ 但是你同时满足在它的右边，并且呢在我们的同一侧，是不是就是角一和角五，那角四和角八也是，或者说角三和角二呀？角三和角， 角二和角六，角三和角七都是，所以说我们先研究一对啊，角一和角五是不是满足这样的条件，在 e f 的 同旁，然后在 a b 的 同侧，那我们把这样的角呢叫做什么呢？叫做我们的啥？ 叫做我们的同位角？同位角大家能理解吗？所以说在让你找同位角的时候，你要知道在我们 e f 的 同旁，然后在我们 ab 四、 c、 d 的 同侧，这样的角呢，才能叫做同位角。那我找一道角一和角五，大家再找，是不是还有呀，比如说我们的角三和角七，是不是在 e f 的 同 同旁，对吧？并且呢，在我 ab 的 同侧也都在下方，角二和角六，角四和角八，都是这样的一个关系，所以说大家要认识我们的同位角，当我们知道我们同位角的时候，来 再来看一下我们其他的角，你就会找了。所以说这个同位角大家一定要理解啊，在我们 e f 的 同旁，并且在 ab 的 同侧， 再来看一下我们角三和角五。哎，你会发现呢，此时呢，他在我们 e f 的 哪两个呀？是不是不是同行了？那就是叫做在我们 e f 的 两侧， 再来看一下它在 a b 和 c d 的 同侧吗？也不在。那在 a b、 c d 的 什么呀之间，那是不是满足这样的条件，在 a、 b、 c、 d 之间，那并且呢，在 e f 的 同侧，对吧？ 不是不同侧，在它的两侧，对吧？所以说这样的角呢，叫做我们的内错角。同样的，你看角四和角六，是不是也满足我们所说的这个在它的什么呀？ e f 的 两侧，并且在 a、 b 之间，这样的角呢？我们把它称为什么啊？称为内错角。所以说我们图中有两对，那我们来看， 现在我们已经讲了两种，一个叫做同位角，一个叫做内错角，大家重复一遍，同位角呢，是在我们 e f 的 同侧，在 ab 的 同侧，那我们内错角呢？在 e f 的 两侧，在 ab 的 之间，这个大家要记住，好吧，再来看我们最后一个，所以说角四和角五，你会发现呢？第一个 来，角四和角五，是不是在 e f 的 同侧，这个应该能没问题，那并且呢，在 a、 b 之间，对吧？你看角四和角五，那角三和角六是不是也满足我刚刚所说的那个条 条件呀？所以说我们来看一下在他的同旁，在 a、 b 之间，那这样的关系的角呢？叫做我们的同旁内角，所以说这六个，这这几个角的概念，同位角，内错角以及同旁内角，大家现在如果说还没有听懂，我们再回过来去听，这几个角一直要用到我们 中考，对吧？所以说我们一直，所以说我们这几个角一定要把它搞清楚了。同位角，同旁内角和内错角，当我们来，当我们知道这几个角的关系的时候，我们来看一下第一道题， d、 e 和我们的 bc 呢？被，被我们谁啊？被我们 ab 所截，这是不是我们刚刚所说的那个 三线八角呀？当我们知道这几个角的之后，我们来看一下他问题。第一个角一和角二，我们来看角一和角二是什么呀？在我们两线之间，在我们这条线两边，所以说他是内错角，没问题吧？ 来，同样的角一和角三，那角一和角三呢？在两侧，并且呢在它的同旁，那就是同旁内角，对吧？好，角一和角四，那角一和角四是在它们 e、 d， e 和 b、 c 的 同一 同都在它上面，并且呢在 ab 的 同侧，那所谓那是不是就是我们的什么呀？同位角，对吧？好，第一道题没问题，那我们再来想， 角一和角四相等，那你想一下，角一和角四是同为角，它俩相等，那角一和角二是什么关系呢？那是不是角一和角四相等，那角四又和角二相等，那角二和角一是不是就相等了？ 同样的角一和角三，你看一下，角二和角三是互补的，是邻补角，那角一和角三是不是也是我们的邻？嗯，也是我们互补的呀，所以说这几个关系，大家根据我们之前所学的，我们的内错角，同一角以及同旁内角就可以推出来，对吧？ 一块来看一下我们的随堂检测。来，第一道题，我们来判断一下我们下列各组角的类型。第一个，我们来看一下第一个角一和角二属于什么角呢？是不是在他的什么呀？在他的同一侧，并且呢在我这两条线段的上边，所以说我们第一个角呢是什么呀？同位角， 同样的，我们来看一下我们第二道是不是？我第二道也是呀，在我们的这个同一侧，并且呢是在我的两个的 都在他的右边，是吧？所以说我们也是这样的角呢，也叫做我们的同位角，同样的第三个也是，第四个也是，对吧？那我们看第五个，你会发现呢？我们第五个呢来 是不是被他所截，你会发现呢？他所截的话，但是呢，又不是，所以说这两个之间呀，不存在任何的关系，也就是说我们他们没有什么什么样，也就是无，对吧？ 好，再来看我们的第六个，其实第六个呢，也是我们的什么呀？同位角，你会发现呢，在这两个线段的什么呀？都在他的上方，并且呢在这个线段的同一侧，所以说我们第六个呢，也是我们的什么呀？同位角。 好，再来看我们第七个，第七个，第七个是什么呀？第七个我们可以仔细的来观察一下，你会发现呢，这个和这个被谁所截呢？不管是被他所截还是被他所截，其实他两个之间都没有任何关系，所以说我们第七个应该是五，再来看我们的第八个， 我们知道是不是他和他来，他和他呢被这条直线所截，那你会发现呢，我们角一和角二在他的两侧，并且在这两个之间，那应该是我们的什么呀？内错角，大家能看明白，对吧？ 那我们第九个我相信大家已经会判断了，那你看角一和角二，会发现，角一是这里，那角二呢？是这里，他俩跟你们之间没有任何的关系，也就是我们的五。再来看我们最后一个。 好，角一和角二在这两条线段什么呀之间，对吧？并且呢在他同一旁，所以说这个应该是我们的同旁内角。好，如果大家能够把这十道题能够分清楚，我相信大家的同位角内错角以及同旁内角已经掌握的差不多。 再来看一下我们第二道题，问你角一和角二是同位角的事，那大家再想一下，什么是同位角呢？在我们两直线的同一侧，并且在 结线的同旁，所以说角一二同一侧，他的上面是不是都一样？角一二 是不是都在他的上面，然后呢在他的这边，对吧？好，那你会发现角这两个，这两个，这个肯定不是吧，那你看这个也不是，你会发现这个线和这个线如果说，呃所结，但是我和这个线的角角假假角，你会发现这有多少个呢？是不是？ 所以说不就不是我们所说的那个三角八角，所以说他也不是啊，所以说我们这道题正确答案选 a。 再来看 下列说法正确的是，我们来看一下这个呢，大家只要看仔细都能判断出来啊，你看一下，首先角一和角四，你会发现呢，角一和角四是不是被他所截呀？你看角一和角四， 来，我们来看一下啊，角一和角四是在这里，然后呢是被这个直线所截，那你会发现角一和角四他俩在我们的两侧，并且呢不在中间，所以说角一和角四什么都不是啊。 再来看角三和角四，来角三和角四，你会发现来依旧是我们这两个和这两个，那你会发现是不是来角三和角四在这两个直线之间，并且呢在他的两侧，所以说他是内错角所， 那大家能看到吧，所以说我们正确答案应该选 b。 再来看下我们第三个角五和角六，来角五，角六在这里，角五在这里，你会发现我们角六是和他形成的，角五是和他形成的， 是不是根本没有任何的关系啊？再来看角二和角五，那同样的，我角五是这条线和这条线形成的，那我们角二和角五是什么呀？角二和角五明显他是在我们两， 在我们这两条直线的中间，在他的两侧应该是我们的内错角，他说同位角是不对的啊。好，那我们来总结一下我们这节课的所学的知识点。第一个我们学了两条直线，被第三条直线所截呢，会形成我们的三线八角。首先我们来看一下结构特征， 第一个我们同位角呢是 f 型，这里为什么是 f 型呢？是不是我们在他的同侧，然后呢 在他的同旁，对吧？好，所以说我们简称为 f 型。那我们来看一下我们内错角是 z 型，是不是这两个角两侧在他之间是我们的内错角。再来看一下我们的 u 型是同旁内角，为什么呢？是我们这里是不是同一侧，两 两侧两两个线之间，所以说我们结构特征根据我们的 f z 和 u， 同位角，内错角和同旁内角，大家一定今天要把务必把这个给他记明白了啊。 好，再来看一下我们图中如果说让我们画我们三线八角，如何来画呢？可以根据老师最后的一个讲解，就是根据我们描图法看看，把两个角给它描出来， 找到两个角的公共直线，然后观察两个角的一个类型，看看到底是否是我们上面所说的同位角呀，还是内错角以及同旁内角。好，那我们这节课呢就上到这里，我们下节课再见。

同学们好，我是小狐狸老师，我们这节课来学习平面图形变换的简单应用。这节课内容比较简单，我们今天的学习目标是利用图形的平移轴对称、旋转可以进行图案的设计，进一步理解平移轴对称旋转等变换的概念和性质， 来欣赏下面图案，说出他们分别可以由哪一部分经过怎样的变换得到，并在途中把这一部分图形标出来。那我们第一个图形是不是可以看着第一个图形先向右平移，向右平移，向右平移，然后向下平移， 然后再让这个这个图形可以看到他向右平移，之后再向下平移。最后一个图形也可以看到第一个图形向右平移，再向下平移啊，然后我们第二个图形 是不是可以看作这个图形折叠，折叠之后就到了这个图形啊？折叠也可以看作通过轴对称得到的，是不是？那第三个图形我们是不是可以看到其中的这个一部分？我们就把它先让 顺时针旋转一个角度得到这里，再顺时针旋转一个角度，这里。顺时针旋转这里，顺时针旋转这里。所以第一个图形经过左右平移和上下平移得到。第二个图形通过轴对称得到。第三个图形经过旋转得到 来以图的右边缘所在的直线为轴，这个图形以它为轴，将该图形做轴对称，再绕中心按照顺时针方向一百八十度得到的图形是先轴对称，轴对称之后得到的图形，就应该是 我们先把它进行一个轴对称，它轴对称之后得到的图形是不是与它完全重合呀？折叠之后完全重合，所以说应该是 d 向与它是一个轴对称， 然后我们在这个的基础之上顺时针旋转一百八十度，顺时针旋转一百八十度，我们就找其中的一个点吧，我们就拿这个角，这个角顺时针旋转一百八十度，是不是到了这个角的地方？所以说这个，然后这个圆对应的这个圆是不是就就应该在这里啊？圆应该是在这，那对应的，那不是只有 a 吗？所以说答案选 a 好。如图是正方形塑料板的示意图，用四块这样的塑料板拼成一个正方形图案，那很好吧，先让他按照这个线去 这样，这样先让他轴对称，再按照这边就让他轴对称，是不是可以？然后再让这个图形旋转一百八十度，得到这样的一个图形，这是不是我们得到一个图形？这种图形类型有很多，第一种、第二种、第三种 来用十六块这样的塑料板设计一个轴对称图形，我们只需要画出一个对称轴，然后让它左右两边一样就行了，这是不是其中一种？其实也不止这一种，我们可以把它的方向完全相反，是不是也可以？ 那我们设计图案的步骤，第一步就是确定图案的表达意图，设计图案给定的基础图形，然后通过平移、旋转、轴对称的变换，设计出形式清晰、寓意明确的图形。 那在读清要求之后，我们可以根据要求对方案进行一个尝试。一般的话，我们在设计的这个过程都是一个不断修改的过程，能够使得问题在修正中得以解决，最终画出我们所需要的图形 来。我们看几道随堂练习题。下图中三角形二、三、四是由三角形第一个平移、旋转和轴对称得到的，分别指出这些图形变换的名称，并指出其对应的边，这是第一个，这是第二个，这是第三个，这是第四个。 第一个和第二个是不是通过平移就可以得到？这个点和这个点对应，这个点和这个点对应，这是对应边，这是对应边，这是对应边，对吧？好，我们再来看第二个图形， 第二个图形这个点到了这里，那显然是平移做不到的，平移做不到，而且他的这个方向是不是发生了完全的改变，这个线完全到了上面去，那到了上面，我们是不是可以去 旋转得到呀？这个点和这个线的位置发生了互换，那肯定是旋转，所以说第二个是通过旋转得到的旋转，而且这个边是到了这里，这个边到了这里，这个边到了这里。好，下面我们来看第四个图形，第四个图形这个点 在这，但是我们这一条边的这个点跑到了这里来，这个点跑到了这里来，这不就是我们的轴对称得到的吗？是不是因为关于这个对称轴，他们两个是不是可以完全重合？所以说第一个平移，第二个旋转，第三个是轴对称。 那第二题如图所示，在方格纸上有两个形状大小都一样的图形，说明如何运用平移、轴对称、旋转这三种变换，将其中一个图形与另一个图形重合，那其实就是在问我们这个图形到这个图形是怎么得到的？或者上面这个图形到下面这个图形怎么得到的？是不是我们可以先把下面 这个图形往下去平移，平移到这个地方来， 可不可以？平移到这个地方之后，我们这个点最终是要到这个边上，到这一条线上来，到这条线上来，你看我们这一条线是不是可以旋转，旋转到这里，绕着这个点去旋转，这个点是不是就到了这里？到了这里之后，我们的这个新的图形是不是就成了这样？然后到了这一步之后，我们再向左平移，是不是就可以得到了？ 其实这种方法它不止一种，它也可以通过其他的方法，比如说我这个先向这边平移，再旋转，然后再向下平移，是不是也是可以的？一样的方式？好，我们看我说的那种，第一种，先将图形一平移之后得到图形二，再让图形二绕着点 p 旋转，得到图形三，图形三再经过平移就可以得到我们的图形四了。 好，第三题如图，这是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，帮他完成余下工作。将圆图形绕着点 o， 逆时针旋转九十度，逆时针往这个方向来 绕着点 o， 那 也就是它每条线都要逆时针旋转九十度，这个线逆时针旋转九十度，是不是到了这个位置，这条线逆时针旋转位置就到了这个位置，而这个 o a 的 旋转逆时针方向就到了这个位置，所以说这就是我们逆时针旋转后的图形， 进一步设计图案，让图案变得更加美丽，我可以继续旋转啊，是不是继续旋转，继续这样旋转不就得到了我们一个好看的图形，是不是这样是不是都行？ 好，下面我们来做两道拓展拔高题。如图，一、认真观察四个图形中的阴影部分构成的图案，其中每个小正方形的边长都为一。回答下列问题，这四个图案都具有的两个特征，特征一就是它们都是轴对称图形， 我们见到阴影部分，是不是大部分都会考虑它的面积啊？我们会观察到第一个小图形它的面积这部分， 第一个阴影部分面积，这一部分加这一部分是不是等于这个两个正方形的面积，这一部分加这一部分也等于两个正方形的面积，所以说第一个图形阴影部分面积是四。第二个图形阴影部面积是四。第三个，这是一，这是一，这是一，这是一，面积也是四。 第四个，这两个看着一个，这两看着一个，这两看着一个，阴影部分的面积也是四。所以说第二个特征就是面积都是四。 那请在图案中设计一个你心中最美丽的图案，使它也具备你上述所表述的特征。那这种方式不止一个呀。第一种，让他看，这样一画，只要他的面积等于四，他是一个轴对称图形，是不是都可以任意画一个都行？ 好，这就是我们这几个学习的内容。我们这几个的内容比较简单，其实就是一个图形的设计，通过一些轴对称呐，然后平移啊，旋转呐，去得到我们一些比较好看的图案就可以了。 好，这是我们的作业题，大家自己截图，然后去看。选一个答案，第一个选 c， 第二题选 c， 第三题， 选 b， 第四题，选 a， 第五题，选 a。 好 了，我们这几个的内容到这里就结束了，同学们再见。

长方形纸片按图折叠，若角一等于五十度，求角二的度数。 图中的长方形的左边部分被折叠，这条折横就是对称轴，那么对称轴的左右两个部分是完全相等的， 那么角二就等于角三。我们都知道长方形的两处对边是平行的，那么直线 l 一 就平行于直线 l 二。 根据平行线的性质，两条直线平行，内错角相等，我们可以得到角二等于角四， 这样的话，角二、角三、角四就是相等的。折叠回来的部分 的两珠对边也是平行的，我们把它叫做 l 三和 l 四。根据平行线的性质，两条直线平行同旁，内角互补， 那么角三加角四加角一等于一百八十度，角二、角三、角四的度数是相等的， 角一等于五十度，那么我们不难求出角二的度数，下面我们把过程写一下。

今天这道七下折叠变换的题目类似于动点动角问题，需要分类讨论，找全所有满足要求的位置。 题目是有三角形纸片 abc 角 b 三十度，角 c 五十度。 d 点在 ab 上位置固定，且 b、 d 小 于 ab 的 一半， e 点在 b、 c 上。将纸片沿 d、 e 折叠后，点 b 对 应到点 f 处，若 e、 f 与三角形的某一边平行， 求此时角 b、 e、 f 的 度数，实际就是以 b、 c 边上某一点到 d 点的连线为折痕。求折叠后的角 b、 e、 f 为多少时， e、 f 与三角形的某一边平行。我们可以大致看一下 e、 f 的 变化范围。 当 e 点从 b 点位置刚开始向右移动时， e、 f 在 b、 c 边下方，随着 e 点的右移， e、 f 也逐渐旋转至 b、 c 边上方，最终 e 点到达 c 点位置， e、 f 位置如图所示。因为条件中说明了 b、 d 小 于 ab 的 一半，所以沿 dc 折叠后， e、 f 仍然是在 ac 的 左侧。 那么我们就是看一下在这两个范围之间的 e、 f 旋转过程中，什么时候会与三角形的某一边平行。因为一点在 bc 边上，所以排除掉和 bc 边平行的可能， 即只会与 a、 c 边或 ab 边平行。从左侧的出使位置开始，最先是会旋转到与 a、 c 边平行，此时有内错角角 c、 e、 f 和角 c 相等， 那么所求角就是一百八十度。减去角 c、 e、 f 得到等于一百三十度。 继续旋转后的下一个位置是与 ab 边平行，基本就是题目中图形的位置，此时有同位角角 c、 e、 f 和角 b 相等，那么所求角仍然是一百八十度。减角 c、 e、 f 得到等于一百五十度， 再继续旋转的话， ef 就 会又一次与 ac 边平行，相当于 ef 从第一张图的位置又继续旋转了一百八十度。从图中关系也可以得出，同位角相等，所求角就等于角 c 等于五十度 之后再旋转至终点位置的话，就不会有其他平行位置了。这样我们是按折叠变化的趋势辨别出了所有的三个位置不存在遗漏的情况。以上就是对这道题的分享，希望对大家有所帮助。

如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形啊，为了增加难度呢，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的哪里 好？如果是一个中心对称图形，我们应该绕着我们的旋转，这个对称中心旋转一百八十度啊，与自身重合，所以我们可以找到下一个放的这个棋子的位置，然后你 看看他绕着这个对称中心旋转一百八十度，是否有跟他对应的棋子就可以了啊。那比如说 a， a 这个点啊，他咱们绕着这个对称中心旋转一百八十度，就相当于是关于这个对称中心对称啊，那你就看吧，关于他对称的没有啊，所以 a 不 行。然后再看 b， 这个 b 啊，对称的在这，这也没有，所以也不行。再看这个 b， 这个 b， 关于我们的对称中心对称的，哎，这里有一个白色的棋子，哎，那说明他是 ok 的 啊。然后再检验一下这个 a， 这个 a 的 话，来 关于对称中心对称的，在这这也没有，所以说只能是这个点啊，那这个点的话，应该是在我们的西南方向的 b 处。

每天三分钟学会一个几何模型，今天我们学的是截长补短法。首先先认识一下什么叫截长补短法，它在什么时候会出现，要求一条边等于两条边的和的时候，就会用截长补短法。比如这边要求 ab 等于 cd 加上 e f， ab 是 长边， cd 和 e f 是 短边， 证明他们俩相等。所以我可以采用的是先从长边里面截取一段，使得和其中一条边相等，所以你只要证明他们俩相等就可以了，这个叫截长法。补短呢？ 把短边补齐，我们从短边延长，使得这条边和上面相等，所以你只要证明这条长边和下面的 ab 相等就可以了，这种就叫补短法。 我们来看看一道具体的题是怎么用的。说是在三角形 a、 b、 c 当中， a、 d 是 作为角平分线，而且告诉你角 b 等于两倍的角 c 两倍关系。最后让你求 a， c 等于 ab 加上 b、 d， 看到了吗？ 这就叫一条边等于两条边的和，所以你会想到截长补短法。我们先看截长，从长边 a、 c 里面取出一段 a、 e， 使得它等于 ab， 所以 接下来只要证明 e、 c 等于 b、 d 就 可以了， 而他们俩分数两个不同的三角形，所以你还要进行中间一个转换。很明显他们两个三角形是全等的，有角平行线，有空空边，还有一条另外的边 s， a s 就 可以，所以把 b、 d 转换成了 d e， 而 d， e 和 e c 是 相等的，他们俩全等之后，他等于二啊，下面两个都等于一，所以 b、 d 就 等于 e c， 进而我们就可以得出 ab 加上 b、 d 等于 ac， 这种叫截长法。 看看在同一个题当中能否用补短法。补短就是把短边延长，取出 b、 f 等于 b、 d， 所以 它们就放在一块了，你只要证明 af 等于 ac 就 可以，他们俩要相等，不在一个三角形，所以你要用的是全等方式 啊。这两个三角形它是全等的，因为有角平分线，有公共边，再找一个角就可以了。题目中告诉我们的两倍关系，这里同样是适用的，所以得出最终的结果是 a c 等于 ab， 加上 b、 d。 我 们最后总结一下截长补短，第一个你要知道它是什么。第二个在什么时候用， 当一条边等于两条边的和的时候，我们可以用截长补短法总在几何证明题当中会经常出现的。

我们讲解非常经典的一个最短路径问题，最短路径呢，他基本上不常考，但是他考的时候基本上都是一个三到五分这样的样子， 他实际上本身逻辑并不复杂，但是如果你这个思路没想到，你就基本上做不出来。 最短路径呢，他基本上都是两个折线相加，让你距离最短。那个这个时候我们其实潜意识的 就要想到一定要变折线为直线这样一个概念。那这道题呢，他非常好的去权势了一种方法，就是变折线为直线的方法，他通过轴对称的方法，我们来看一下这个轴对称的方法呢，也是 大家可以记忆和利用的一个点。我们先看啊，它通过两问很好地衔接了一个我们的这样一个思维。第一个思维呢，我们就是做 a、 b、 c、 d 这样的一个 轴对称的一个四边形，那轴对四边形，我们知道啊，这个比较简单，是不是？那以 m 点 m 呢？作为一个垂直平分线，我们去找对应的啊， a、 b、 c、 d 的 四个对称的点啊，连接就可以了。 好，我们看一下第二题，说在直线 m 上确定一点 p 是 pc 加 p d 的 距离之和最短，哎，乍看我们在想啊， pc 加 p d 怎么证明最短呢？证明最短那就得是直线。 哎，我们有一个感觉啊，那 p d 和 p d 撇，或者是你 p c 和 pc 撇，它都是对称的，那我如果连接一下它的这个镜像的这个点，哎，是不是已经变成直线了？那 p d 撇它是不是又等于 p d 本来就是垂直平分线？那这样的话，我们把 p c 加 p d 完美地变成了在同一条直线上的三个点的线段之合。