安徽中考还考尺规作图吗
如果啊，你家中考生啊，现在呢，在考试的时候呢，此规作图啊，这道题还不能拿下满分呢。那这本资料呢，你一定要拿回去让孩子好好练练啊。 这本资料里面呢是王老师呢，我精选了我们安徽近三年所有的模考卷里面一些比较好的一些作图题的题型啊，孩子把呢大概这三四道题给他练完，那基本上作图题能够确保拿满分，需要的家长啊，打出作图两个字。
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00:25查看AI文稿AI文稿安徽九年级的啊，我给大家整理了一部分数学答题方法模板，像尺规、做图这个题型的总结，像做相等角以及做角平行线等等一系列的 这个这个做图这个一个答题方法，然后电子版啊，然后你们去拿回去去做一做吧，刷一刷，练一练，安徽初高中资料就找，离不开。
83安徽李不开
00:58查看AI文稿AI文稿今天呢跟大家讲了一下我们安徽中考这个尺规作图这个专题啊，我已经总结过了，不需要同学家长再去单独的去总结了啊， 这个视频呢，我昨天很多家长的私信我，然后我发给了他们两份资料，这个两份资料呢，其中一份是视题总结，就是所有的题型总结啊，还有一个是视题的这个训练， 呃，很多家长呢，不知道怎么用，你可以先让自己的孩子过一遍那个试题的这个题型总结，然后呢把所有的这个无刻度尺作图的方式呢给他过一遍。比如说这个角平分线，他通常在考察的时候就是考察这个角平分线的这个性质， 还有就是等腰三角形里面的一个三性合一的一个性质。你把每一个题型总结完了之后呢，再去做一下这个安徽中考的这个真题卷，基本上这个专题就可以过掉了啊，这个资料呢是免费的，也不需要你去报课，也不需要你去付费啊，纯免费的分享给大家的啊。
191阿涛数学课堂
02:07查看AI文稿AI文稿最近几年的中考做图题出现了个常考的题型，那就是无刻度支持，也是很多同学容易丢分的，那到底该怎么做？我们具体来看一下子到底在考什么题目。首先看二一年的，二一年考的很惭愧，考的是拼一和旋转， 二二年考的也很常规，考的也是平移和旋转，那到第二三年就开始出现了变化，考的是利用格点作图，其实就是利用无刻度指示作图。二三年是利用格点做垂直平分线，那么二四年呢，考的是利用格点找角平分线， 那么二五年的是利用各点找重点。那么到底该怎么做？我们先讲第一个，就找重点，找重点是一个高频考点，比如说想找 ab 的 重点，我们常利用的是矩形的对角线互相平分来找， 我们找出来另外一个对角线 c、 d， 把 c、 d 连接起来，它和 ab 的 焦点就正好是重点。 那么第二个呢，就是三等分点，三等分点也是一个喜欢考的点，比如说如果找 ab 的 三等分点，我该怎么找？那我们就构造相似三角形，上面呢，我们构造一个格子，下面呢，我们构造两个格子，然后这样连接起来就会构造出相似三角形，相似比正好是一比二， 那么这个角点 c、 d 连接起来，角的 o 点正好是 a、 b 的 三等分点，然后再往下呢，就是一个参考的点，叫做做垂直。那怎么做垂直呢？我们喜欢把 a、 b 放到一个矩形里边， 然后把这个矩形给旋转九十度，也就是给放倒，然后连接另外一条对角线 c、 d， 此时 c、 d 正好和 ab 就是 垂直了，这是它的垂线， 那么第四个呢？就角平分线，如果想做角平分线怎么做？那我们就是利用三角形的三线合一的性质，我们找出来他的重点， c、 d、 b、 c 的 重点，然后 b、 c 的 重点，利用三线合一把 a、 d 给连接起来，此时 a、 d 既是三角形的高，又是他的角平分线，还是他的中线，所以不会的，你赶快收藏起来。
600蔡老师说数学思维
00:36查看AI文稿AI文稿面对我们安徽中考的无刻度尺做图呢，很多同学呢，还是没有掌握思路。那最近在给九年级同学复习的时候呢，我就专门做了一个这个专题啊，就是无刻度尺做图的。其实呢，我们安徽中考呢，无刻度尺做图就分这几类，像做中线、高线、角分线、垂直平分线， 还有需要这个做等奖这几类，你基本上掌握了这几类啊，你这个安徽中考基本上就够用了。这个资料呢，可以适合初二初三的同学啊，去领一下，把这个呃对应的试题呢，去给他整理一下，把这个思路清晰下来。
68阿涛数学课堂
01:42
19:49查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们就来讲中考数学最后十讲这样一个系列课程的收官之作。最后一讲尺规作图精讲尺规作图可以说是中考数学必考的内容了，还是老规矩，我呢已经把全套的资料给大家备齐了， 大家只需要先获得资料以后再来学习，这样的话学习效率才是最高的。本讲内容啊，分成两部分，第一部分就是尺规作图的基本方法，这个我说一下，一共是讲多少种呢？讲七种基本的方法， 那么中考考到的都是这七种的排列组合。那么第二部分就是尺规作图在中考中的考察了，就是去年的中考原题。 好了，我们先来看第一部分，那么接下来我们看这个基础篇啊，基础篇的话，第一个就是做一条线段，等于已知的线段 a b， 那 么怎么做呢？你要注意的是尺规作图里边这把尺子呢，你要当成没有刻度的尺子，它只能用来连线。 那么画完之后的话，咱们可以点一个点，比如说左边这个点叫点 c， 当然你做的时候一定要用铅笔啊，我找不到铅笔了，那么我们只需要怎么办呢？你截取长度的话，用的是谁？用的是圆规啊？看好了， 圆规是吧，那么就这么长。然后呢到 c 点这保留作图痕迹。好了，这个点 d 啊，就是刚刚画的这条直线上的交点，这样的话不就保证了 c d 等于 ab 吗？好了，做完了， 那么来看另外一个，另外一个的话就是做一个角，等于已知的这个角我先告诉你原理，原理是什么呢？原理事实上就是边边边的三角形全等怎么画？我画到右边吧，右边呢，先画一条边， 没问题。那么画完这条边以后的话，咱们还是比如说这是 abc， 这就写成 c 吧，然后继续哈，现在注意了，我用圆规它这个半径，它是不变的哈，我没有动过它， 这来一下，这来一下，然后焦点分别是多少呢？那左边的焦点你就写成 a m、 a n 呗。那么显然你可以截取这个 a n 的 长度，是不是 a n 的 长度等于接下来的 谁的长度？等于接下来的 cd 的 长度？好，此时 c d 和谁一样长？和我们的 a n 是 一样长的。然后接下来干嘛呀？然后你首先你把这个弧给做出来不就可以了吗？你可以把完整的弧给做出来的，你画长一些没关系的。 那做完这一条之后，咱们再比比长度 m n 吧，左边这个长度看好了啊，这个是 m， 这个是 n， 咱们比一下。哎，长度正好是这么长，哎，稍微有点手抖了，那行吧，点到这不要动，然后呢，它呀， 稍微长一点点， ok 了。那么接下来咱们以点 d 为圆心，以刚才 m n 的 长度为半径，做一条弧，跟原来的弧 是交于哪的？是交于点点 e 的。 那么现在我们就只需要做什么了，只需要 延长 c e 就 可以了。那么在刚才做图的过程中，其实咱们都是保证了什么呢？当然了，这个给他显眼一点，刚才在做图的过程中，我们已经保证了 a n 等于 cd。 然后呢，你再顺便连接一下 d e， d e 的 长度和左边这个图里头 他这个 m n 的 长度其实是怎么样的？是一样长的，然后他也一样长， 是不是？然后根据边边边的三角形全懂，你说此时的角 a 是 否等于角 c？ 当然等于了，好了，做完了，那么再来看，一定要把基础的先学好。那么接下来就是第三个， 你能不能做出来 ab 的 中垂线啊？能呀，其实你找中点和做中垂线，它的方法是完完全全一模一样的，你只需要以点 a 为圆心，以点 b 为圆心，然后以大于二分之一的 ab 的 长度为半径 做弧，或者说你把完整的圆做出来也行，咱们就做弧就行了，然后你看半径是没有变的。 好，上面这个焦点，咱们比如说就写成 m 点，然后下边这个焦点呢，就写成 n 点，因为刚才半径没有变，所以 m a 等于 mb， 然后 na 等于 nb， 所以 点 m 点 n 都在 ab 的 重垂线上，两个不同点，当然就把这个唯一的重垂线给做出来了，你看这不就结束了吗？这就是保留做错痕迹。那么我们继续来看哪一个呢？ 第四个，第四个的话是谁是做出已知角的角平分线？他的道理我也告诉你，是边边边的全等，来吧，做出已知角的角平分线需要怎么处理啊？看好了，看好了，我们只需要这样 来，半径始终都是没有变的啊，继续好，半径也是始终没有变，从始至终都是一个半径， 长度是没有改变过的，当然了，这一边咱们再画的长一些。好，那么刚才的过程中啊，咱们标一下点，比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，这个焦点咱们写成点 p 吧。那么连接 ap 之后，其实你要想拿满分，你这个时候只用做出 ap 这条射线来，你告诉他，如图， ap 就是 角平分线了，但原因的话，咱们也大概说一下，为什么呀？ 原因很简单呀，因为刚才你半径都没有变的，半径没有变不就代表 a c 还有 a， b 还有 b， p 还有 c， p 的 长度都一样，中间还是个公边，你说边边边上下 a， c， p 和 ab p 是 不是全等？所以角一都就等于角二了，清楚了吧。好，这就没什么问题了。那么继续再来看接下来的哪个图呢？ 好，看到了吧，这个图他说的是过已知直线上的一个点，做出垂线。来吧，来吧，看好了，咱们以点 a 为圆心做一个圆， 其实你只用做圆的一部分，左边有个交点，右边根直线也有一个交点，然后左边这个交点，比如说咱们既为点 b， 右边这个交点既为点 c， 那 接下来做中垂线不就够了吗？是吧？你做出 bc 的 中垂线，那剩下应该就不用多说什么了吧？我直接把这个作图痕迹给大家 表示出来看好了。这这然后呢？以点 b 为圆心，半径不变的啊。 那么此时，比如说上边这个焦点是 m 点，然后下面这个焦点是点 n， 那 么你的直尺没有刻度的直尺就有用了。那只需要干嘛了？只需要连接 m n。 好 了，这不就是过点 a 把这条垂线做出来了吗？那么还有，如果点 a 在 哪？ 如果点 a 在 外部呢？看第六个，如果点 a 在 外部的话，就会形成这样一个情况。呃，哦，现在是点屁啊，过直线 l y 的 点屁做他的垂线怎么做？来吧，我就先不提示了，我直接告诉你，这样， 你以点 p 为圆心做弧，左边跟直线 l 交于一点，右边跟直线 l 呢？也交于一点，是不是？那继续保持不变啊？左边这个焦点继续了，搬进我从始至终其实都没有变过的， 然后左边这个焦点以它为圆来，刚才一不小心啊，我把这个做出来有点好，对，现在可以了。 好，然后呢，半径千万不要变，手不要抖，那不就做完了吗？因为刚才在做的过程中，你半径始终不变，你可以保证 p a 是 等于 p b 的， 然后并且都等于 a q 和 b q， 那 么此时 p q 是 不是就是 ab 的 中垂线？实际上 p q 就是 垂直于直线 l 的？ 那最后一步的话，你只需要保留做错痕迹，连接 p q 这条直线，告诉他 p q 这条垂线就做出来了。那当然了，还是跟垂直有关的，还是用了一下小小的中垂线的这样一个性质。那么最后一个的话，就跟平行有关了，咱们不要光会做这样一个垂线，还得会做平行线。 那么平行线怎么去做呢？考虑一下最后一个，我们可以这么来处理，方法很多啊，因为什么呢？平行线它可以内错角相等，所以平行互补不好做啊。那就用相等也可以同位角是吧？要么同位角，要么内错角。 来吧，咱们随便寻找一个点 n 在 原来的直线 l 上，比如说寻找完这个点 n 之后的话，此时我们这个角一， 它是不是一个固定的呀？那肯定是一个固定的，值嘛？那于是呢，我们只需要过点屁哎，把它另外一个方向上的内错角给画出来就行了，这个套路是固定的，所以我就给大家说了，好，这是有的，没问题吧？ 好，这也是有的，那我们过点屁，半径不变做出来， 那么做完之后还有一条，你还是利用边边边吧。其实刚才我写到这的话，大家应该都清楚了，比如说这是 a， 这是 b， 然后你还得怎么样，你还得让，哎，我知道了，所以我接下来我量一下这个 a b 的 长度，这不就是圆规的作用了吗？ 对，就是这么长了，那么接下来我就做好了。刚才在画的过程中啊， 我们已经能够保证什么 ab 是 等于 qm 了。对啊，你连接一下 qm， 其实连不连 qm 都行，你要是想得满分的话，这个时候你直接保留作图痕迹，然后 做出直线 pm 来就行。因为刚才的话，你根据边边边已经能够保证谁了，已经能够保证角一等于角二了，角一等等于角二啊，你说图中的 pm 是 不是平行于 l 的？ 好了，这不就把平行线做出来了吗？ 那么接下来咱们做一个中考原题吧，是关于作图的啊，这个尺规作图真的很重要，做一下哪道题呢？看一下这道题，这是去年的哪的青岛的原题，他怎么说的？他说如图， 点 d 他 是在哪的？看清楚了，点 d 是 在角 a o b 的 内部，他挺有意思，他是做一个等腰三角形， o c 等于 o e， 但是啊，你还得怎么样？点 c 是 在射线 o e 上， 然后点 e 呢？是在射线 o b 上，你还必须保证谁点 d 在 什么上面，点 d 必须正好在这个 c e 上面，这就有难度了，你要只做等腰三角形，特别简单，但是怎样能够保证这个点 d 在 c e 上面呢？ 这个时候它的综合性就很强了。这道题我相信去年应该有不少同学丢了分，我告诉你怎么做，我们这么来处理，首先，反正是个等腰三角形， o c 等于 o e 嘛，我做不出来。等腰三角形，我做不出来这个 o c 等于 o e。 但是呢，我可以做一个 o m 等于 o n 啊， 这个还是相当轻松的，对吧？那么这种情况下，我就直接连接了，看好了，连接这个 m n， 好， 这个是 m， 这个是 n， 反正这个 o m 是 等于 o n 的， o m 等于 o n， o c 等于 o e。 嗨，你应该知道我的意思了吧？事实上，我想说的是，这个 c e 你 做完之后是平行于 m n 的， 因为都是等腰三角形嘛， 所以它俩是平行的啊，它的底角相等，对不对？你比如说这个地方，你把 c e 做出来，是吧？那平行怎么做？平行的话我跟你说呀，来吧，我们只需要连接一下 m d， 当然你要非要连接这个 n d 也行，没问题。 那么接下来我们只需要构造这个角一等于另外一个内错角，角二就行了。过点地向上做一个角二，跟角一相等，那样的话，平行线不就做出来了吗？所以，于是呢，怎么做？来吧，就是做相等的角这样一个固定的套路了， 这个就不多说了，直接来，咱们是以 m 点为圆心， 做了这一段弧，是吧？然后我以点 d 为圆心呢，我也把这段弧给做出来。那么做完之后的话，行了，那么接下来的话，咱们就需要让这个 p q 的 长度正好等于图中的这个 h i 的 长度了，是吧？你看啊，这个 i 点怎么确定下来？就是这样确定下来的呀， 来，继续做弧，做完了，这就是我们要的这样一个点 i， 是 不是那么点 i 有 了？哎，那么我们只需要连接做出这个直线 d i 来就可以了吧？ 好了，上边就是点 e， 下边呢就是点 f。 刚才你看咱们第一步是什么？先做出等腰三角形 o m 等于 o n 来， 然后再做出 m n 平行于 e f 来。哎，连接 m d， 通过角一角二内错角相等，做完平行就够了。所以你看，你不仅要会做垂直，还得会做平行才可以啊， 这是利益行。刚刚讲的题呢，都是告诉你怎么去保留作图痕迹，用尺规作图的方法把这个具体的图形给画出来。 那么现在变了，就是先告诉你尺规作图的过程，然后问一些问题，比如说这道题它是怎么回事的呢？首先告诉你图中这个 b a c 这样一个角度是三十度， b a c 这三个点都在同一个圆圆 o 上， o 点是圆心。 然后又怎么说？他说分别以点 a 点 b 为圆心，以大于二分之一的 a b。 呃，它的长度为半径作弧，两弧交于 m n， 那 么此时直线 m n 是 谁呀？ 直线 m n 实际上它就是 ab 的 垂直平分线，或者叫中垂线，这是一个意思。那既然做完这个的话，接下来他问什么？他说的是让你求一下图中谁的角度啊？让你求一下图中 a o e 的 角度， 那 a o e 的 话，也许不太好求，但是 a b e 很好求，为什么？因为 a o e 他是圆心角啊，同弧所对的圆周角，那你说是不是存在这样一个二倍的关系？所以我们只需要求出来 a、 b、 e 就 行了。 a、 b、 e 请你告诉我是等于多长的？这个太好算了啊，我们只需要怎么算？你看，因为 d、 a 是 等于什么的？是等于 谁的等于 d、 b 的 吗？为什么 d、 a 等于 d、 b 啊？因为你点 d 是 在中垂线上的，所以中垂线上的点到两个端点距离相等，它俩相等的话，所以就可以得出来角 b、 a、 d 是 等于角 d、 b、 a 的， 它都是等于多少度啊？ 它都是等于三十度的。哎，原来最终答案等于二乘三十度啊，是不是 a、 b、 e 和谁呢？ a、 b， e 和 d b a 这不同一个角吗？所以最终答案是六十度，选 c 就 可以了。 那么再来看一道题，济南去年的中考卷题也是吃亏作图，你先看第一部分是干嘛呢？第一部分是在 c、 a、 c、 b 上分别截取 c、 m， 它，然后 c m 等于 c n 啊，好，然后呢，以 m 和 n 为圆心，大于二分之一的 m， n 为半径作弧，这不就是做角盆盆线吗？然后延长 co 之后啊，跟 ab 交于点 d， 所以 图中我们的角一和角二是相等的，所以它是告诉你什么圈一，这个步骤就是告诉你 cd 平分角 a、 c、 b。 行了，我们看圈二，圈二的话，它是分别以点 c 和点 d 为圆心，以大于二分之一的 c、 d 为半径。这不就是哦，交于 p、 q 两点，那此时 p、 q 不 就是中垂线吗？咱们说清楚谁是中垂线啊？ p、 q 它就是 c、 d 这条线段的中垂线。然后呢，这个中垂线分别交于什么点啊？这个中垂线跟 c、 b 交于 f， 然后呢？跟 c a 交于点 e， 那 么现在好了，既然有中垂线，你说中垂线最重要的是什么？中垂线最重要的特点就是中垂线上的点到 线段，两段点距离相等啊，所以当我连接这个 d e 之后的话，它只需要连接 d e 啊。对于这道题，那么此时根据中垂线的点到线段，两段点距离相等， 那么做完这些之后够了吗？还不够，角一等于角二吧？对啊，然后那继续了，角一等于角三吧。所以为什么角一等于角三啊？因为等边对等角啊，然后继续， 又因为角一等于角二，这是圈一做图的过程得出来的，所以传递一下我们图中角谁，这个角二是等于角三的？角二等于角三，角二，角三是什么角？它是内错角相等吧，内错角相等， 两直线平行吧，所以图中就得出来了， d e 是 平行于 bc 的， 平行不就是得相似吗？三角形 a d e， 它是相似于三角形 abc 的， 那么接下来就肯定可以出答案了。那行吧，我们先来看什么？ 先来看一下此时咱们的 a d 比上 ab， 一个是四，一个是六啊， 因为这个题目中是告诉你的嘛，这个长度，那么继续了，它还等，这其实就是相似比啊，四比六，它还等于 d e 再比上 bc 吧。那 bc 的 长度知道吗？知道的啊，实际上就是四比六等于 bc。 bc 是 谁？ bc 是 三倍根号二。那太好了，所以我们可以很快算出来 d e 的 长度，它是等于多少的？它是等于二倍根号二的。行，把 d e 算出来了。 那么算完 d e 之后的话，我想告诉你的是，你这个 c e 和 d e 不是 相等啊，他就都等于二倍根号二倍。那于是最终结果已经出来了，谁还是等于四比六啊？其实还有什么？还有 a e 比上 a c， 它也是等于四比六的。二比三嘛，其实也就相当于 a e。 再来一个 a e 加上 c e 吧。但是 c e 长度咱们已经知道了，咱们直接把这个 c e 写成二倍根号二，它等于 四比六，所以最终咱们 a e 可以 算出来 a e 等于多少，它是等于四倍根号二的。所以这道题的答案就是四倍根号二。那么应该学会了啊，一定要记得领取资料之后，然后再来学习，这样效率最高。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！
1030会放羊的教书匠
01:22查看AI文稿AI文稿二零二六年安徽中考数学的命题趋势已经定下来了啊，那么全省各地的中考命题研讨会已经讲透了，甚至是今年中考到底考什么， 重点在哪里。那么业类的专家呢，已经给出了明确的方向，有四句核心，听完你就知道接下来应该怎么样去帮孩子进行复习了啊！第一个，我们不要再傻练计算器，今年计算难度暴涨，但是性价比最高的办法是每天死磕一道题， 二次函数或者是抛物线的大题，一道题既练了算，又压了拦，血赚啊！第二个是，中考早已不再是初中必卷考试了，现在我们爱考的是高一的内容， 函数、零点数形结合定点定值，初三搞懂这些呢，中考就不会慌了，高一也不会滑坡，一举两得。 第三个，我们看到字数多的大题啊，不要害怕，字数越多其实越简单，全是纸老虎，教孩子一招直接跳过，废话，全部去抓数字和条件啊，题目瞬间变得非常简单。那么第四个也是最容易丢分的，今年的几何球星， 瓜豆原理，引元、定线、定角这些模型啊，不掌握直接被拉开二三十分。以上全是研讨会的真实结论。你想要让孩子精准提分，我们的名师团队呢，已经把中考冲刺压题准备好了，需要的家长私信我，中考冲刺啊，找我领取就可以了。
00:31查看AI文稿AI文稿让你过点 a 做切线，估计是切线难求，提笔犯愁，脑子直接卡了轴。先给你来个简单的过点 p 做圆 o 的 另一条切线。这里我们可以运用对称法，原理如图，还可以运用一线三垂直构造直角，从而找到切点，原理如图。 最后我们讲讲如何运用 pass 卡过盲点做切线，原理如图，先过点 a 做圆的三条割线，然后两两连接圆与割线的交点，从而找到两条切线。
399初中数学压轴多解
31:57查看AI文稿AI文稿哈喽各位，前几天呢，我们更新了河南中考数学二一年到二五年关于尺规做图的题目的考察的一个讲解啊。这个视频更新完之后呢，就有很多家长跟学生来问我，我们在做尺规做图的时候呢，经常是通过死记硬背，然后进行一个做图，但是呢，这里头关于什么角平分线，垂直平分线以及垂线，这些尺规做图经常容易做乱 记混，不太能够理解，他为什么要这样去做尺规做图，他为什么这样做出来的图，他就是符合他垂直平分线的要求呢？ 所以呢，我们数学是不太推崇大家去死记硬背的。那么既然大家有这样的问题，我们就专门出一期尺规做图的一个视频，来讲一讲关于尺规做图的一些做图的步骤，它的原理是什么？对它进行一个详细的拆解啊。我们先来看一下初中的五种尺规做图啊，那既然说尺规做图了， 所以我们先把它的工具，你用什么工具在做图呢？先把它的工具了解一下，取规做图用什么呢？顾名思义，直尺和圆规，但是这个直尺呢，跟我们平时用的尺子不一样，有啥不一样点呢？它是一个无刻度的直尺， 那你想这个直尺啊，它没有刻度，所以它不能干嘛？不能测量长度，它只能干啥呢？只能画线，所以这个无刻度的直尺，它就是用来画直线，或者说画射线。 那圆规呢，既然尺尺不能来测量了，所以呢，给他搭配了一个好搭档，圆规，圆规呢，他的任务就是来测量长度，或者说取相等，取长度啊，取个相等的长度，所以他们两个进行一个搭配，一个是画线，一个是取长度， 就可以把我们五种基本指标做图全部给做出来了。那这五种基本指标做图是啥呢？分别都在我们七年级和八年级进行一个学习啊，八年级上册基本上就已经学完了。首先第一个就是做一条线段等于已知线段，这是在七年级学的，对吧？ 第二个呢，是做一个角等于已知角，这是在八年级全等的时候学的，我说我说的年级的版本是人教的版本啊，以人教为主。然后下面呢，这几个其实都是在八年级学的， 他是在全等学的。角平分线呢，也是在全等的时候学的。垂直平分线和垂线呢，他俩是一块学的，都是在我们的轴对称这一张学习的也是八年级上册， 所以我们八年级上册都已经把五种基本指标做图做完了，学完了。然后呢，我们中考的时候，这个是一个必考点，所有的省市的中考卷都在考啊， 所以他一定是一个我们百分百要去学会学透的一个点。那么我们来看一下啊，做一条线段等于一只线段是最简单的一个了，做一个角等于一只角，就是做一个等角，上面是等线段，下面是等角，这两个呢是指归做图的基础， 然后下面是角平分线，那这俩呢，是在全等的时候进行学习的，为什么放在全等呢？一会讲到它的原理的时候你就明白了啊。然后下面两个是垂直平分线和垂线是在我们轴对称的时候学的，因为垂直平分线画的是线段，那么线段它的对称轴就是它的垂直平分线，所以是在这个位置学的。那为什么同时学到了垂线呢？ 你想垂直平分，垂直平分，你画出来垂直平分线，是不是也就意味着你画出来了垂线？是的，所以呢，学完垂直平分线之后，你就知道了垂线怎么画了啊？但是呢，垂线不太一样的是，它是过直线画的垂线段， 过一点做直线的垂线。那这一点在什么位置呢？也就有我们的两种情况了，这个点呢，可以是在线上，也可以是在线外，你可以过直线外一点做这条直线的一个垂线，对吧？ 不管是上一点还是外一点，它的尺规作图的过程完全一模一样啊，我们一会来看一下就知道了。 我们先来看第一种，做一条线段等于已知线段。我们做一条线段 a 撇 b 撇等于已知线段 a b， 所以 先给了我们一个线段 a b。 那 怎么做呢？它的工具就两个，一个直尺，一个圆规。 指尺没有刻度，只能画线。圆规是测量长度的，所以既既然要做线段相等，所以我们需要取相等的长度。取相等这个任务就交给了圆规了。那你取相等的前提，你是不是得先画出来一条线呢？ 那画线这个任务交给谁了呢？交给无刻度的指尺了。所以呢，我们第一步应该是先有了这条线，然后再去这条线上取一个相等的线段，对吧？所以第一步就出来了啊，先做一条射线， 我们先用我们的直尺，虽然它有刻度，但是这个刻度我们也不能用，先用直尺画出来一条射线， 这个射线呢称之为 a 撇 c， 画出来之后呢，就是取长度了啊，我们把圆规取长度用的是圆规，对吧？我们把圆规的两个角呢放到了点 a 和点 b 这里，那么这两个角之间的距离就是 a b 这条线段的长度了，然后把它不动移过来，两个角之间的距离不动啊，移过来，移过来之后， 它一个端一个端点，再点 a， 着另外一个端点呢，进行一个画圆弧。 画圆弧，那它的圆弧的半径是谁啊？是不是就是我们 ab 的 长度？所以呢，第二步是啥？以 a 撇为圆心，谁的长度为半径？ ab 的 长度为半径画圆弧，那么跟我们所画的射线的交点就是我们的点 b 撇，那么此时的 a 撇 b 撇就是等于 ab 的 长度了。 所以我们的第二步就是在射线 a 撇 b 撇上截取 a 撇 b 撇等于 a b， 怎么截呢？用圆规截取就可以了，这就是我们的第一个指规，做图做一条线等于已知线段，用直尺画射线，用圆规取长度， 非常简单啊，只有这两步。然后是第二个就是画相等的角了，等角和等线段是最基础的啊，但是等角呢会稍微麻烦一些，你看他左边的步骤，他虽然麻烦，但是其实过程理解上来说也是很简单的，而且他的原理一会跟你说了之后，你就知道为什么他要这样去做了啊。 我们先来看一下，还是同样的，你既然要做一个角， a 撇 o 撇 b 撇，这是一个 b 撇， a 撇 b 撇等于 aob， 那这个角由谁构成呢？由两条边构成，对吧？两条边张开一定的角度就构成了一个角， 那这两条边的话，我们要去画一个角，首先我们是不是得先确定它一条边的一个位置，然后根据它的一个角度去看它另外一条边在哪里，对吧？所以呢，我们还是第一步先去干啥？画线，先把它其中一条边给它画出来，然后再去确定另外一条边的位置，那么我们第一步也是做一条射线， o 撇 a 撇， 我们来做一条射线 o 撇 a 撇，然后呢就是确定另外一条边的长度了，那另外一条边人家这个假角这么大，那我们是这样画呢？还是这样画呢？还是这样画呢？怎么画呢？我们来一步一步看啊。 第二步呢，是以点 o 为圆心，以它原来的角为顶点为圆心，然后呢任意长或者说适当长为半径做一个弧，那么我们还是用我们的圆规 适当长为半径啊，适当长为半径画一个弧，那么这个弧呢，跟我们的这个角它就会有两个焦点，那这两个焦点分别命名为点 c 和点 d， 然后呢同样的再以我们画的这条射线的 o 撇，这个端点为圆心，相等的长度为半径，其实就是全部就是模仿嘛，相等的长度为半径， 那我们得看一下人家刚刚的长度是多长，对吧？所以还是把圆规放到这，先取一个 o d 的 长度，然后呢把它移过来一个端点，再 o 撇另外一个端点呢，画一个圆弧， 那么这个圆弧呢，就跟我们的 o 撇 a 有 了一个交点，这个交点呢，我们称之为点 c 撇，称之为点 c 撇。 然后呢我们继续，因为你画了这个之后呢，你的另外一条边是这样的还是这样的？还是确定不下来，那怎么办呢？怎么确定是这样还是这样呀？是不是就是 c、 d 这个长度你就可以确定下来了？其实就是这条弦的长度嘛，你这个角相当于是一个圆心角了，你这个圆心角所定的这条弦，它有多长？是不是固定的？ 所以呢，我们下一步是干嘛呢？以 c 撇为圆心，谁的长度为半径？ cd cd 啊， cd cd 的 长度为半径，然后做弧，与我们刚刚的这条弧会有一个交点，所以呢，我们还是用圆规来啊， 用我们的圆规放到了 c 撇儿，放到了 c d 上，放到 c d 上之后呢，再把它移过来，移到 c 撇儿这里，然后进行一个画圆弧， 那么这个圆弧跟我们上一个圆弧呢，就会有一个焦点，这个焦点呢，我们命名为 d 撇儿，然后连接一下 o 撇、 d 撇。 连接完了之后呢，我们的角 连接完了之后呢，这条射线我们命名为 o 撇、 b 撇，然后我们的 a 撇、 o 撇、 b 撇就出现了，对吧？那这里头字母的顺序你都可以自己随意的改变啊， a、 b 颠倒也可以， c、 d 颠倒也可以，只要你的弧画对了就行， 所以它其实就是画了三个圆弧。第一步，先画一条线，打基础射线， o 撇、 a 撇，画完了之后呢，在原来的角上再画一个弧，画一个弧 c、 d， 把这个弧呢移到 你所画的射线上面，就形成了 c 撇、 d 撇。那你这个 c 撇、 d 撇知道了之后，这是第二个弧了，那这个角的张开的角度怎么去确定呢？ 其实就是我们 c、 d 之间的一个距离了，所以呢，我们再以点儿 c 撇为圆心， c、 d 的 长为半径，再做一个弧，那这个弧与我们上一个弧呢，有一个交点，这个交点连接我们的 这个角的顶点就形成了另外一条射线，这另外一条射线就是我们这个角的另外一边了，所以它是这样一个做图的过程啊。那这里头为什么画出来的这个角， a 撇， o 撇 b 撇，就等于这个角了呢？这个字母给你反一下吧，看着怪别扭的， 那它为啥就等于它了呢？这里头呢，需要连接一下 c、 d 和 c 撇 d 撇啊，因为毕竟是以人家的长度为半径做的弧嘛，所以根据我们三次做弧，你看一下左边这个角和右边这个角，这里头两个三角形的关系。 通过我们的第一个做弧，是弧，以 o 为圆心，任意长为半径，换了 c、 d 这个弧，然后呢，同样的以 o 撇为圆心，相等的长度为半径，所以这个长度和这个长度是不是一样的？ o、 c 等于 o、 d， 因为都是半径， o d 撇也是半径， o d 和 o d 撇呢，是相等的，因为这两个弧的半径是相等的，所以根据前两个弧，我们可以得到 o c 等于 o c 撇， o d 撇，其实这四条线段都相等，对吧？ 然后呢，最后一个弧，第三个弧是以谁为半径的？ c、 d 为半径，所以你看一下，那么 c、 d 和 c、 d 撇什么关系啊？也是相等的呀，以 c、 d 为半径，产生了 c、 d 撇， 所以它也是相等的。那既然这三条边都相等，也就可以得出来啥了，哪两个三角形什么关系？全等，对吧？三角形 c、 o d 全等于三角形 c 撇 o d， 它的全等的判定方法就是 s s， 所以它为什么画这么多弧呀？因为画弧就会产生半径，半径什么关系呢？半径是相等的，半径相等呢，也就意味着边相等， 所以边相等呢，就可以得到等边，从而证明了全等。所以它的原理就是通过你做图的过程，我得到了线段相等，从而证明出来了全等，所以这两个角相等，这就是它的原理。 然后因为我们只归作图，通常括号里头都会给你写一个什么保留作图痕迹，不写做法，对吧？所以这里头保留作图痕迹的话，保留的是哪一部分呢？给大家看一下啊。这是彩色的线的部分，这个粉色和这个绿色，这个绿色你可以不画，粉色是一定要画的粉色，也就是我们刚刚画的三个弧， 这就是保留这一部分就可以了，因为你画的是弧，不需要画整个圆，其实保留的部分就是你所需要用到的这些弧所形成的焦点， 因为你需要靠焦点去连线啊。这是我们第二个做一个角等于已知角，就是画了三个弧，通过全等证明出来了角相等，这是它的一个原理。然后下面一个呢，是做一个角的平分线，也就是说把这个角呀一分为二，在这个角的内部呢，再画一条射线，让这俩角相等，对吧？那我们来看一下它的步骤是什么呢？ 首先第一步是以点 o 为圆心，因为它做角平分线的话，就是在它本身的图上面去做，不需要另外做图了，所以我们的第一步就不去，不需要再去另外的画线了，对吧？那我们先以点 o 为圆心， 那我们先以点 o 为圆心，然后呢，以适当长为半径进行一个画弧， 那么这个弧呢，就跟我们的这个角的两条边会有一个交点，这个交点呢， o a 的 交点命名为点 m， o b 的 交点命名为点 n， 然后再分别以 m n 为圆心，大于 m 二分之一 m n 的 长为半径做弧。这里头有一个特殊的大于二分之一 m n， 那 你想为什么呢？为什么要这样做弧呀？它上一步做弧的时候，以适当长为半径做弧，然后我们 我们刚刚做一个角等于已知角的时候，是以 c d 的 长为半径做弧。人家的， 那到这呢，出了一个要求，就是以大于二分之一 m n， 你 想想为什么？因为啥它这两个弧啊，要在角的内部交于点 c， 如果说你这一个点，两个点，以这两个点为圆心，它的圆半径非常小，那这两个弧有交点吗？没有， 如果它的半径等于它俩之间的一半呢？相切了大于一半呢，就有相交了两个点了，对吧？所以这就是为什么是以大于二分之一 m n 的 长为半径，就是因为呢，它要有交点，是让这两个弧相交啊，所以我们再来画一下， 我们可以先以 m 为圆心，然后呢，以大于二分之一，大于的话大概在这吧，大于二分之一 m 的 长呢，为半径画一个弧。 然后同样的，我们再来以点 n 为圆心，相等的长度为半径进行一个画弧。 那么画完之后，这个弧呢，它通常会有两个焦点，对吧？其实这两个焦点我们取一个就可以了，因为它还要跟我们的顶点相连接，因为一条线嘛，两点确定一条线，三点当然也没有问题，所以我们把它进行一个连接，它的第三步就是作射线 oc， 它的焦点这个点和这个点你取一个就行。比如说我们取的是这个点，是点 c， 然后我们连接一下 oc， 它是在一条线上的，连接这个点也行，连接这个点也行，都是在一条线上的。那连接完 oc 之后，那这个射线 oc 就是 我们角 a b a o b 的 一个平分线了。那这里头的作图原理又是啥呢？同样的，它也画了三个弧，所以呢，它跟上一个异曲同工之妙， 有弧就有什么半径，就有什么半径相等。所以我们来看一下啊，根据第一个弧 m n 这个弧， 我们可以得到什么 o m 等于 o n， 再根据第二个弧和第三个弧，它要有一个焦点，第二个弧和第三个弧呢？分别以 m n 啊，这里头应该加个逗号，分别以点 m、 点 n 为圆心了，它们的半径呢，是相等的。所以呢，我们可以连接一下 c m 和 c n， 也就是说 c m 和 c n 是 什么关系啊？相等的，因为 c m 和 c n 都是它的半径，以大于二分之一 m n 的 长为半径画弧， c m 和 c n 是 这两个弧的半径，所以它俩也是相等的。那同样的再加上一个啥 o m m c， 还有一个什么 o c 是 个啥？公共边，所以呢，这里头还是用什么来判定的？全等，对吧？所以根据 o m 等于 o n， c m 等于 c n， 这是根据我们作图过程当中的半径相等得到的，然后再根据 o c 等于 o c 这个公共边可以判定谁和谁全等呢？ 三角形 c o、 m 全等于三角形 c o、 n， 所以呢，根据全等的性质对应角相等，所以角 c o m 等于角 c o n 这俩角相等，那不就是平角平分线吗？对吧？ 所以他也是通过我们全等去证明的。所以也就是为什么这两个作图他是放到了我们八年级人教八年级上册的全等这一张去学习，因为他的作图原理是全等，这是我们的作角。那同样的作角呢？你在考试的过程当中也是保留作图痕迹的话，他应该是这个样子的啊，往上移一下，他应该是这样一个样子的， 就是这些彩色的线是我们画出来的线，其实你的这两个弧是可以连在一起的，连不连都可以，中间可以断开，也可以连着啊， 你看一下它所保留的这些弧，其实都是我们过程当中所必要的一些交点点 m 点 n 是 不是留下了，以及最后的交点 c， 这都是一些交点，交点处的弧都会留下来。那后面呢，我们还剩下一个中垂线和垂线，对吧？这俩就简单了，超级简单。 来看一下垂直平分线，也叫做中垂线做线段 a、 b 的 垂直平分线 c、 d 怎么做呢？ 首先呢，第一步是分别以 a、 b 为圆心大于二分之一， a、 b 的 长为半径，这里头这次大于，为什么跟上一个是一样的，为啥大于呢？因为两弧啊，要相交，所以呢要大于二分之一。那我们来画一下， 首先以点 a 为圆心，大于二分之一 a、 b 的 话，在这吧 好画了一个弧，然后呢，我们再把它放到点 b 这里，以相同的半径进行一个做弧，哎呀，那个弧刚刚画的有点小了，把那个弧给它补一下吧。 好，补完之后呢，看一下这两个弧呢，会有两个焦点，两个焦点分别是 c 和 d， 那 么两点确定一条直线，所以做直线 ab 啊，做直线 cd 就 会得到我们的垂直平分线了， 连接 cd， 那 么 cd 这条直线就是我们线段 a、 b 的 垂直平分线了。这种作图方法，它的原理是什么呢？为什么这样做了两个弧之后，有两个焦点，一连线就垂直平分 a、 b 了呢？ 它的原理呢，有很多种解释啊，我们先来一个最正规的，就是教材上是怎么解释的呢？教材上说的是根据我们线段的垂直平分线的一个判定， 也就是与线段两个端点的距离相等的点到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。所以呢，我找到这样的两个点，因为两点确定一条直线， 我找到了点 c 到 a 和 b 的 距离相等，点 d 呢，到 a 和 b 的 距离呢也相等，所以点 c 和点 d 都在 ab 的 垂直平分线上，那么 cd 这条直线就是 ab 的 垂直平分线了，对吧？这就是它的一个原理啊。 那比较斜修的一个方法呢？斜修的原理是啥呢？我们刚刚说角平分线以及做等角的时候，我们连接了半径，根据半径得到的，对吧？那我们这里头也连接一下 a、 c、 b、 c 以及 a、 d、 b、 d， 根据我们的作图过程，半径相等，也就是 a c 等于 a d， b c 等于 b、 d， 同时呢， a、 c 和 b、 d 相等，因为它的这两个弧，它的半径都是以大于二分之一 a、 b 为长度，它是以相等的长度为半径做的两个弧进行了两个交点， 所以呢，根据它的作图过程，我们就得到了 a、 c 等于 b、 c 等于 ad， 等于 b、 d 四条边相等，所以 ad、 bc 是 一个什么四边形？菱形。 所以呢，我们画出来的这个四边形 ad、 bc， 它就是一个菱形了，那菱形的话， ab 是 它的什么对角线？ cd 呢？也是对角线，菱形的对角线什么性质呢？不就是互相垂直且互相平分吗？ 平分垂直，这就是它对角线的性质呀。所以呢，我们也可以用这种斜修的方法来进行一个解释，来进行一个理解啊。当然，最正统的方法还是从人家垂直平分线的一个判定来的，就是与 到线段两个段点距离相等的点在垂直平分线上，所以这两个点到它的距离都相等，那么这两个点都在这条线上，两点确定，一条直线一连接，就是它的垂直平分线了。那你画出来这一条线啊，能顶好几条线，非常厉害。这条线 很多功能，首先它是垂直，你做出来这条线，它是一个高，对吧？是一个垂线，对吧？而且呢，它还平分，也就是说你这个焦点是啥呀？是终点呀， 是终点。所以呢，如果考试的时候让你去画线段 a、 b 的 中点，让你去找到 a、 b 的 中点，你画什么？画垂直平分线？然后呢，让你去做 ab 的 一个垂线，你做什么？做垂直平分线，或者说给了你一个三角形 abc， 让你去做 bc 边上的中线，中线是啥呀？中线不就是确定一个中点吗？ 确定了，中点一连接就是中线了，所以它的关键点还是在中点这里，所以让你画中线，你做的也是垂直平分线，垂直平分线之后，这个焦点就是中点一连接就得到了中线了，所以垂直平分线呀，它真的功能相当多， 让你做中线也是做它，找终点也是做它，做垂线还是做它非常忙碌的一个线，对吧？那我们来看一下，既然做垂线也是做它了，那看一下，那做垂线它是做了一个直线的垂线，并不是做一个线断的垂线，对吧？ 所以呢，这里头跟做垂直平分线有一点点的区别，多了一步就多了一个第一步，下面的两步都是一模一样的啊。我们来看一下做已知直线的垂线，我们刚刚说了，它分成两种，过线外一点还是过线上一点，所以呢，这两种我们也都给大家去画一下。 首先呢，是过线外一点，我们先来看线外一点这种情况啊，过线外一点 c 做直线 ab 的 垂线，因为它现在这个直线 ab 它不是一个线段了，所以你没有办法去确定它的两个端点，然后以这两个端点为圆心做两个弧，对吧？它没有给我们这俩端点，那我们就没有了吗？我们也可以自己画呀， 所以呢，他的第一步来确定这两个端点，以点 c 为圆心，适当长为半径做弧，这个弧呢，跟 a、 b 这条直线交于了点 d 和点 e， 点 d 和点 e 就是 我们刚刚做垂直平分线的点 a 和点 b， 你 就可以把它想象成我做 d、 e 的 一个垂直平分线，来，我们先来做一下啊， 以 c 为圆心，适当长，那这个适当长，因为它要跟 a、 b 有 交点，所以呢，适当长也是有一点点要求的，它起码得大于它到 a、 b 这条线的距离吧，那就在这吧。 好，画完了之后呢，它跟这个圆啊，不，它跟 a、 b 这条线交于了点 d 和点 e， 那 有了这两个焦点之后，你看一下，其实就是做 d、 e 的 一个中垂线吧，是吧？做 d、 e 的 一个中垂线， 然后呢，下面步骤就是做中垂线呀，怎么做呀？以 d 和 e 分 别以点 d 和点 e 为圆心大于二分之一的长度为半径，画两个弧，这两个弧呢，有两个交点，那么我们先把这两个弧画出来，先以点 d 为圆心大于二分之一的 e， 那 就在这吧， 好，这是他的一个画长一点吧，防止刚刚的那种情况再出现。两个弧还没交点呢，画完了之后呢，我们再以点 e 为圆心，以相等的长度为半径画一个弧， 那么这两个弧呢，就会有这两个交点，我们换个颜色啊，有这两个交点，那这两个交点呢？我们使用其中一个就可以了，因为我们还有一个点 c 呢，毕竟人家是要过点 c 做一个垂线，两点确定一条线，所以我们点 c 和另外其中一个交点就可以， 比如说我们点 c 跟这个交点吧，这个点是 f， 然后我们去连接一下 c、 f， 它就是我们所要做的一个垂线了， f 在 这， c 在 这，那么此时的 c、 f 就 垂直于我们的直线 ab， 这是一个直角，那其实也就是我们的 c、 f， 那 其实也就是我们的直线 c、 f 怎么样？是我们 d、 e 的 垂直平分线，对吧？ 所以它跟我们垂直平分线的区别在哪里呢？就是第一步不一样，我们垂直平分线是它是线段的垂直平分线，它是有线段的两个端点的，然后做它的垂直平分线，但是它呢，它是一条直线，所以我们得先去确定两个端点 d 和 e， 所以 是以 c 为圆心，适当长为半径，跟这条直线有两个交点，那么我们做这两个交点所形成的这条线段的垂直平分线，就可以得到这个垂线了，然后这里头呢，需要说的一条线段的垂直平分线就可以得到这个垂线了。然后这里头呢需要说的一下 c、 d 啊， c d 和 c、 e， 为什么他做了 d、 e 的 垂直平分线，他就一定经过点 c 呢？我们知道他做了垂直平分线一定是垂直的，但是为啥他一定经过点 c 呢？因为啊，我们最开始第一步做的这个圆弧导致 c、 d 和 c、 e 是 什么关系呢？相等的，也就是说我们的三角形 c、 d、 e 是 什么三角形呢？ 等腰，对吧？它是一个等腰三角形，有啥性质呀？三线合一呀， 三线合一啊，那你既然做了这个等腰三角形底边上的垂线了，那根据三线合一，他肯定经过他的顶点呀，他是一个中垂线呀，肯定经过他的顶点，对吧？所以这就是他的一个原理啊， 根据一个等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的一个作图，这就是做垂线，那同样的，这是过线外一点，做垂线线上一点呢？一样的道理啊，过线上一点，我们还是需要去确定这条直线上的两个端点，过这两个端点呢，做他的一个垂直平分线，对吧？所以步骤一模一样啊， 一模一样，第一步还是以点 c 为圆心，适当长为半径做了一个弧。 点 c 为圆心，适当长为半径做了一个弧。那么这个弧呢，就跟我们的直线 a、 b 会有两个交点， 那这个交点呢？还是一个点 d， 一个是点 e， 点 d 和点 e， 之后呢，再去画 d e 的 一个垂直平分线就可以了，那就是分别以 d e 为圆心，换一个颜色， 分别以 d e 为圆心，大于二分之一， d e 的 长为半径画弧。 然后我们 那么这两个弧呢，它就会有两个焦点，那这两个焦点同样呢，我们也是取其中的一个焦点就可以，比如我们用上面这个焦点把它命名为点 f， 然后连接一下 c f， 连接完了之后呢，这个 c f 这条直线就是我们所做的一个垂线了， 所以此时的 c f 还是我们的 d e 的 啥垂直平分线？ 那刚刚说了，刚刚为什么能够确定它所做的垂直平分线一定经过点 d 呢？我们说了它用了一个等腰三角形三线合一的性质，那在这里呢，是不是也是同样的 在这里呢，我们可以去连接一下 a f 和 e f， 那 f 呢？是这两个蓝色的圆弧的交点，那这两个蓝色的圆弧它是以相等的长度为半径画的，所以 a f 和 e f 还是相等的，那同样的还是三线合一，对吧？既然做了中垂线了， 垂直还是中点，所以他就满足他经过了点 c， 他 经过了点 c 啊，那么这是我们五种尺规作图以及他的作图原理，作图步骤。除此之外呢，在我们的数学的初中课标当中，还有另外的一些尺规作图，就是我们所谓的做三角形，做平行线，做等腰，做直角， 那这些尺规作图，它的本质都是我们五种基本尺规作图，那我们来对号入座一下啊。第一个呢是已知三边，两边及其夹角，两角及其夹边做一个三角形， 这是在学全等的时候，尺规作图做三角形，因为我们全等三边不就是全等的 s s s 吗？然后是 s a s s， 然后是 a s a， 那 这里头无论是边还是角，是不是都是做的相等，做等边，做等角，对吧？所以它的原理是啥呢？ 就是这俩圈，第一种和第二种持规作图，做等线段和做等角是我们做三角形的本质原理。 然后第二个呢是做平行线，你想你做出来的这条线怎么得到它是平行线呢？怎么判定它是平行线呢？也就是说我们平行线的判定是啥呀？有啥 同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同班内角互补，两直线平行，对吧？所以就是说我们如果做出来相等的同位角，或者是相等的内错角，那么我们是不是就可以做出来平行线了？所以平行线呢，它的一个本质是我们的作角相等， 做角相等，做等角、做相等的同位角，做相等的内错角，都可以做出来我们的平行线。然后下面呢是做等腰三角形和直角三角形。等腰三角形的条件是什么呢？知道了底边以及底边上的高，那你想你要做等腰三角形，底边上的高有啥性质呀？ 等腰三角形有啥性质？三线合一，这个性质非常重要啊，一定要记得。所以呢，你既然是做高，他还是啥？还是我们底边的中点，那既然有高，也就是有垂直，又有中点，所以呢他需要做什么？线？有垂直，有终点，也就是我们的，哎，垂直平分线也叫做中垂线， 所以呢，我们做等腰三角形，它的本质是啥？做我们底边的什么垂直平分线？ 你先用做一条线段，等于已知线段，这个把底边做出来，做完底边之后呢，再做底边的垂直平分线，然后在这个垂直平分线上去取跟高线相等的部分，然后连接另外两条边，就会得到我们的等腰三角形了，对吧？ 这是我们等腰三角形啊，然后下面呢还有一个直角三角形，它的所给的条件是一个直角边和一条斜边，让你去做直角三角形。直角三角形最大的特征是什么呢？它有啥直角？ 它有直角，所以直角是什么？垂直，那它的本质呢，就是做垂线，给了你一个直角边和斜边，我们先呢画出来这条直角边。直角边画出来之后呢，以直角边的一个顶点 过直角边的一个顶点，做这个直角边的一个垂线，这是不是就是我们过线上一点做这条线的一个垂线了？ 做完之后呢，我们就得到了它这个垂直，然后呢再去做斜边。斜边怎么做呢？以直角边的另外一个顶点为圆心，斜边的长为半径，画一个圆弧，那么这个圆弧呢，跟我们这条直角边的交点 就是我们另外一个顶点了，然后连接一下，它就是我们的直角三角形，所以它的本质是做垂线， 这是我们通过五种基本指标作图，进行了一些延伸的指标作图的一些内容。啊，做三角形的平行线，那么我们还是以这五种为主，他就是我们的地基，把地基打牢了之后，你往上面盖房子，你盖三角形的房子还是盖平行线的房子，都可以，都没有问题了，就啊。
326橙子老师-初中数学
01:36查看AI文稿AI文稿各位合肥的城南家人们，这条视频呢，一定要点赞收藏给咱家孩子看！中考数学遇到难题千万别空着，今天教你几招拿分的野路子， 带上量角器和直尺，能多拿好几分。第一招，量角器量角度。凡是求角度的选择题、填空题，直接用量角器去量图上的角。中考的几何图都是精准绘制的，量出来多少度，可以选最接近的答案。你还可以先量个一只角，比如说图里标了三十度，量出来也是三十度，那么说明图形没变形， 那你要算的角一量，答案直接出，正确率在百分之九十以上。第二招，全等相似看着像，就是碰到证明三角形全等或相似， 实在证不出来，千万别空着，图形里面看着两个三角形长得一模一样，你就直接装模作样的把所有条件给写出来，你证明不出来的话也要写。然后呢？比如说你可以得到三角形 a、 b、 c， 全等于三角形 d、 e、 f， 然后得出对应边相等， 继续往后算边长求角度，看着相似就按照相似去推中考图形标准，你的直觉往往其实就对的，前面结论没对，后面不入分，自然就拿到了。第三招， 只尺量长度比例出答案，求线段长度已知某线段长是二，你在图上量它是二厘米，那么比例其实就是一比二，再量你要求那条线段长一点五厘米，实际长度就是三二次函数综合体例。求点坐标也能用尺子量焦点离 坐标轴的距离有时候比硬算还要快。这些方法平时不提倡，但到了考场就是证明稻草多拿一分是一分，记得带好工具。
114新宇数学
05:39查看AI文稿AI文稿中考倒计时三十天，我发现有的孩子只会做图，还在丢分，这种题明明是套路题，掌握了方法，那五分完全可以全部拿到，你家孩子是不是也是这样呢？单独让画一个角平分线，画一个中垂线，都画的挺好，可以放到大题里，就不知道到底该做哪个了。今天呢，我就把中考必考的五种基本作图全讲一遍， 再教孩子一个倒推法，不知道怎么选的时候，咱们先画草图，倒着推就知道该做哪个了。最后咱们再说说面积相等这类复杂作图，怎么转化成基本作图。 第一步呢，就是五种基本作图，咱们必须闭着眼睛都能画，全国中考指挥作图，翻来覆去就这五种。那第一种呢，就是做一条线段等于已知线段。它的做法，第一步呢，就是画一条射线，然后第二步， 以已知线段长度为半径，在射线上截取。三呢，就是标记端点，然后截弄写线段 a、 b 即为所求。 然后第二个呢，就是做一个角等于一只角。做法呢，第一步，以一只角的顶点为圆心，画弧，交两边与两点。二、以目标位置顶点为圆心，相同半径画弧。三，以刚才两点距离定半径， 在第二条弧上截取，得到焦点。四呢，就是连线，它的核心用途就是做平行线，通过同位角相等可证。然后三呢，就是做一只角的平分线。 做法呢，是，一、以顶点为圆心，画弧，交两边与两点，然后分别与这两点为圆心大于两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点。然后第三步呢，就是连接顶点和这个交点，它的用途就是到角两边距离相等，常用于找内型。 然后第四个呢，就是做已知线段的垂直平分线，也就是中垂线。做法第一步，分别以线段的垂直平分线，也就是中垂线。做法第一步，分别以线段的两弧交于上下的 两个点，然后过这两点的连线就是。那用途呢，就是到两端点距离相等，通常用于找圆心，找对称点，然后解决 pa 等于 pb 的 问题。第五个呢，就是过一点做已知直线的垂线，也就是高线。这里咱们要分两种情况，第一种，点在线上，这时候 先以点为圆心画弧，交直线呢于两点。第二部分，分别以这两点为圆心，大于两点，距离一半为半径画弧，两弧交于一点。第三步呢，就是连接点和这个交点。 然后当点在线外的时候，首先呢，我们要以点为圆心，然后大于点到直线，距离为半径画弧，交直线于两点。然后再分别以这两点为圆心，大于两点，距离一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接这个点和焦点就可以了。它的用途呢，通常就是做三角形的高求点到直线的最短距离等。 注意每种作图完成后，必须保留痕迹，并且建议写上一句解弄，比如如图设限 oc 即为所求。虽然有些地区不强制写文字，但写上解弄能帮助孩子理清思路，也防止阅卷时因为没指出解弄而扣分。稳妥做法就是痕迹加一句话，解弄。第二步， 考试不知道选哪个，用倒推法教孩子一个方法，先画草图，再倒推。具体操作，第一步，先假设题目要求的图形已经画出来了，就咱们画个草图 二呢，就是看这个草图里的关键点有什么几何性质，是到角平分线，角两边距离相等，角平分线还是到两端点距离相等，中垂线还是某个角要等于已知角？做平行线还是需要做垂直做高线？ 三、由这个性质在反推，我应该做哪个基本作图？举个例子，题目说在直线 l 上找一点 p， 倒推就是 p a 等于 p b， 说明 p 在 p 到 ab 距离相等，那 p 一定在线段 ab 中垂线上，所以先做 ab 的 中垂线，然后与 l 的 交点就是 p。 第三步呢，就是复杂作图，咱们如何转化成基本作图？以面积相等为例，面积相等的核心原理呢？是同底等高，如果两个三角形同底， 要面积相等，那高必须相等，高相等意味着第三个顶点在一条平行于底边的直线上。怎么做这个平行线呢？做一个角等于一只角，利用同位角相等，两直线平行即可。咱们举一个具体的例子， 已知三角形 abc， 求做一条过点 a 的 直线，将三角形分成 a、 d， 中线呢，就分成两个三角形等底等高 等底同高面积相等，这里需要做中垂线，找到 bc 中点。所以第一步呢，就是做 bc 的 中垂线，找到中点 d， 再连接 a， d 完成。 再比如，求做 ab 边上一点 p 是 三角形 pbc 面积等于三角形 dbc 的 面积，那倒推，如果说 d 不是 ac 的 中点，那么 p 也不是 ab 中点，所以需要过点 d， 做一条平行于 bc 的 直线，这时候高相等，面积也相等，所以就需要做一个角等于一只角来构造平行线，那我们记住一句话，面积相等先想等高等高需要平行，平行需要做角。等于一只角，那如果说等高不平行， 等高不用平行，比如说中线，那么就用中垂线找中点。所以尺规作图呢，咱们先熟记五种基本作图的步骤，再用倒推法从结论反推该做什么，最后把面积相等这类复杂问题转化成 做平行线或者找终点。那冲刺阶段呢？让孩子把这套方法练熟，考场上五到八分就可以稳稳拿到手了。现在呢，我把中考持规作图真体会编以及模拟体会编放在视频的结。需要的呢，可以让孩子在考前过一遍这类套路题，咱们争取不丢分。我是博老师，祝孩子中考顺利，加油！
09:15查看AI文稿AI文稿呃，今天我们讲无刻度支持在中考做图当中的基本考点，那么在网格当中做做图呢？呃，一般情况下只限于利用格点来做。第一种做中线， 做中线呢，主要是找到这个线段的中点，所以我们利用隔点这个长方形啊，这个长方形 用对角线的焦点是中点，这样就能够找到 a、 b 的 中点或中点连线，那么呃，中线就做好。 第二，我们讲做垂线，如果要过点 c 做 ab 的 垂线呢，我们就先查 ab 所在的这个，呃，长方形呢，是 横一竖一二三四五，横一竖的对角线，所以我们过点西跟他做相反的长方形就可以了，就横五竖一连对角线就可以了， 那么这个横五竖一在这，那么这个连对这个点和点斜连线，那么这样 ab 的 垂线就做好了。 第三，我们讲做角平分线，嗯，呃，做一个角的平分线呢，我们可以借助等腰 等腰三线合一来完成啊。由于 ab 所在的这个边，我们看它正好是 三四五，所以 ab 得五，那么 ab 得五呢，我们从点 b 向右叉五格 啊，然后和这个点 a 连上，那么这样这个三角形就是等腰了，也就是说这个 ab 和这个边都得五。 接下来我们找到这个对角 b 对 边的中点就可以了，那么很明显呢，是这个焦点的位置 啊，也可以利用刚才找中点的方法啊，做矩形连另一个对角线 啊，也能找到，这样过点 b 和这个点连线，这样就是角平分线了。这个是利用等腰的三角一。 第四，做中垂线 啊，中垂线我们想象一下，首先是过中点这个位置，它有一个垂直啊，过中点这个位置， 那么垂直呢，应该是中垂线上所有的点到 a、 b 的 距离都是相等啊，到相等，所以我们再找一个点就可以了。另外一个点呢，那我们可以借助 呃，正方形的对角线呢，是中心来完成。也就是说跟刚才做垂线的方法一样，我们先看 a、 b 所在的格点，是 呃，横以竖四的对角线，我们利用这种格点呢，先做一个正方形，然后把对角线连上， 这样我们就过这个对角线，做这个 ab 的 垂线就可以了。 那我们先先找到 ab 的 中点，因为 ab 所在的是横一竖四的长方形，所以把另一条线连上，就是中点，这样过这两点做个直线就可以了。 也可以呢，呃，只做一个 ab 的 垂线，然后把这两个点连上， 然后分别利用矩形法来找这两个边的终点，一个是找这个边的终点 啊，找这个边的终点找到了。第二也是刚才那个 矩形，把这样的对角线连上，这样啊，过这个这两点也可以。 好，接下来我们讲比例分割。呃，比例分割呢，假如说要把 a、 b 分 成一个二比三的线段， 那么我们可以借助相似来完成。 由于上下平行啊，这两个八字形相似，相似比呢，正好是二比三，这样这两个边的交点 就是分成二比三的点。 那最后我们讲对称点啊，对称点呢，我们可以想象一下， 如果做点 a， 关于 b 起的对称点在这个位置，那么这里点 a 和对称点的连线就是一定垂直 啊，所以我们先画垂直。由于 b、 c 经历的对角线是横五竖一对角线，这样我们从点 a 向下叉五， 横着叉一格啊，这就是做垂线的方法。 垂线画完之后呢，我们在这个上截取相等的线段，就是 a 撇在这个位置，那怎么截取这个相等呢？我们可以利用 平行线间的距离处处相等来完成，也就是说我们首先呢过点 a 画 b， c 的 平行线，是 呃经历的格一样，就可以横五竖一，那就这样，那么 点 a 到点 b 是 向左一，左一下二，所以我们从点 b 向左插一格，向下插两格，就是在这个位置， 点 c 向左插一格，向下插两格，就在这个位置，这样我们这三个线， 这三个线平行，并且它们之间的距离处处相等，这样这两个线的交点啊，就是这个点的位置，就是点 a 对 称点的位置， 所以我们今天一共讲六种类型，所以大家记住在 网格当中作图呢，主要就是利用格点查格来完成，嗯，建议大家呢点赞收藏。
21小高手
01:57查看AI文稿AI文稿最近呢，二六年安徽中考数学命题这个话题啊，热度非常高，今天呢，周老师呢，就一条视频给大家讲清楚，感悟满满，赶紧收藏起来。首先呢，我要明确， 今年中考数学，他的备考逻辑确实发生了很大的变化，他主要表现在以下五点，第一个，几何证明直接降维打击，从我们之前的三道直接压缩到了两道题，人的综合啊，还有复杂辅线难题呢，我们直接砍掉了，那几何呢，不再是拉分的主战场，当然不是说它不重要。第二个呢，就是我们的函数的分值啊，增大了 一次二次反比例函数，它的分值现在已经飙升到了五十五分。代数推理，代数式变形方程的应用才是我们新考察的什么重点难题呢？全在函数综合和代数应用的里面，所以呢，这一点大家值得注意。第三个呢，就是我们之前说过的韦达定米呢，正式进入必考。 这个呢，我在前面的视频呢，也发了伟大定义，他到底考哪些题型发的有，那大家可以去看一下，他一般呢就是在选择填空啊，解答题啊，的方程啊，函数综合题啊，都有可能会考。所以呢，伟大定义啊，你必须要练到什么条件反射，因为他这个基础的 分呢，一定要拿住，这个一定要把握住。第四个是什么呢？就是我们的新增的新定义阅读题。这个我之前视频也说过了，他呢要么是在我们的选择题第十题， 要么呢就是在第二十二题解答题，他现场呢，就给你什么新的规则，新的公式，他不考，你背的知识点你背，背再多也没用。所以呢，他专考知识迁移，还有你现场学习的一个能力。所以呢，你之前的一些刷题套路啊，大概就没有用了。这个一点你要注意。 第五点就是什么呢？统计概率分值呢，也飙升了，涨到了十五分。全市生活调查数据统计的一些场景题，他弱化了之前我们讲的纯计算， 它主要是重你的数据分析能力和判断能力。所以呢，你不要再去练那些呃，又偏又难又怪的一些计算题，这是没必要的。总的来说呢，今年你如果想让你的数学能够提分，一定要抓住这五个核心， 一定要吃透函数，要练熟伟大定律，同时要适应新定义的题型。关注我，持续分享深学的干货，咱们中考一起加油！
2585启航-周 数学（天长暑假班）
01:32查看AI文稿AI文稿家人们大家好，我是在蚌埠教初中数学的小陈老师。很多家长在问，最近网上疯传的那个二零二六安徽中考教研会到底是真的假的？咱们先不纠结文件真假，但里面提到的数学学科的变化是最大的，我们蚌埠的家长应该都要重视起来。 这次调研会明确了三个变化，第一个变化，函数分值暴涨，几何证明题从三道压缩到两道复杂辅助线，难度下调，而函数板块总分值直接拉到五十五分，代数推理方程应用成为压轴的重点。 往年孩子可能死磕几何，今年必须把火力转向了函数。第二个变化，伟大定律正式纳入了中考考点， 往年安徽考官没有，他很多学校八年级讲过就忘了，但今年明确要考，而且很可能结合二次函数出选择填空或解答题， 比如刚考完的包河区二模。第二十二题就是伟大定律加函数焦点题目本身不难，可孩子要是连两个知己、两个知和都忘了，那这份丢的太冤了。第三个变化，固定，新增新定义阅读理解题。试 卷里面必然有标题，现场给一个新定义、新预算规则，让孩子现学现做。这考的不是双体量，而是知识迁移能力和现场学习能力。 平时只会死记硬背的孩子，遇到这种题容易直接蒙圈。所以最后这段时间，别再让孩子刷难题偏题了，重点就三件事，第一，把函数综合吃透，尤其是韦达定律在二十函数里的应用。第二，每天保持练习一道新定义阅读理解题，练习手感。 第三，规范答题步骤，解公式步骤答一步不能少！今年阅卷会狠抓格式分！
29蚌埠数学陈老师
01:04查看AI文稿AI文稿安徽中考考场这几样东西啊，带错直接算违纪！最后三条百分之九十大家都不知道，一定要点赞收藏好！第一条，证件类缺一不可，准考证至少打印三份，家长要备一份身份证、临时身份证，没有身份证的用户口本加学籍证明来代替。 第二，文具类，零点五毫米的黑色签字笔两到三支，二臂铅笔一到两只，无封套的橡皮一块，齿齿三角板、圆规一套，全部装透明文件袋。再说，绝对禁止带的 包括手机、智能手表、手环、蓝牙耳机、涂改液修正带、透明胶带、水杯，撕掉标签的透明屏放在指定的位置。官方的原话，大家一起来看一下。 考生入场，除零点五毫米黑色墨水、铅笔外，直尺、圆规、三角板、橡皮外，其他任何物品都不准带入考场。二零二六年安徽中考安检要进行升级，部分考点会有金属探测仪加智能安检门， 不要穿带金属拉链或金属纽扣的衣服。清单整理好，已经放在视频的最后了，大家点赞收藏，防止用到找不到。
1001鹏哥说合肥升学｜中考｜小升初
01:06查看AI文稿AI文稿中考数学的尺规作图那么简单，五分拿不下，这就是因为我们那五种作图的内容都已经忘记了， 做一条线段等于已知线段。第一种这是初一学的，第二种是做一个角等于已知角，也是初一学的，忘记了。第三个呢，就是做一条线段的垂直平分线。 第三个呢，做一个角的角平分线，这是初二学的。第四个啊。那第五个最后一个，那就是过直线外一点，做这条直线的垂线段。那这个都是基本的尺规作图有初一初二的， 基本上就是初一初二的喽。那到初三的时候我们在总复习呢，竟然忘记了我每次考试都有吗？对不对？ 所以持规做图还是要先分析清楚他到底是让我们做什么，然后再去做。相当于是我们先要解一个简单的几何题，然后再去着手去画图而已嘛。啊，加油啊，一定要找到呃，这个内容再去做。好，拜拜。
01:07查看AI文稿AI文稿终于终于终于等到咱们安徽中考数学的预测卷出来了！磨了我们泸州智慧教研组的何老师整整十天，终于要和大家见面了。这套卷子呢，完全是按照安徽中考的结构和考纲来命题的， 题目编排是有梯度的，前面选择填空的基础题覆盖了科学技术法、一次函数、反比例函数这些必考知识点。中间的解答题像不等式组、二元一次方程、应用统计这一些，好的就是你的规范性和计算的准确度， 那真正能够拉开差距的就是后面的几道亚洲题，难度和计算量都是跟安徽中考的亚洲题一比一对标的。而且这一套卷呢，不光有题目，何老师还在后面附了几十页的完整解析，每一道题都有分析思路和详细的解答过程。 你做完之后，可以自己对照去看一看在哪里扣分了，哪里出现了问题。所以建议大家一定要拿回去下载打印现实去做一遍，按照中考的时间来做啊！完了之后呢，对照去解析，自己去批改， 把错题和不会的题标出来，这些就是你接下来需要提高的地方。那电子版呢，我已经准备好了，有想要的扣中考数学公益分享给大家。
799合肥程校
