邢台二模24题几何图形动图
很难啊，可能稍微有点难吧。然后再来看一下这个二次函数吧。第一问，第二我们都不用说了啊，这都是纯基础问题，我们来看一下第三问，第三问。有很多种做法，一个是他让我们判断他是否过点力，判断他不就把他带进去就可以了吗？必的标是六六， 我就把带到这个抛物线里边，我可以直直接带这个横坐标。那先来讲一个吧，就是我带直接把横纵都带去吧，就是三十六减上，这个是十二 m 加 m 方加二， m 减四等于六，那这是 m 方减十 m 加三十二加二十六 等于零。那我就来求一下，如果 m 能求出来，那他肯定就是过完。那求不出来呢？就是过不了呗。那就是 b 方减四 a c 二十六乘四四六二四一百零四吗？ 发现我嘚他是小零，他都无解，无解说明说明我是根本落不到的那圈也是也是这种做法。那我除了这样还可以怎么做呢？我就是把横坐标带进去和这个纵坐标进行比较。我把 x 等于六带入 y 就是 三十六减十二， m 加 m 方加二， m 减四， 就是 m 方减十， m 加三十二。那我去配一下方，看一下它和六的关系。 m 方减十， m 加二十五加七， m 减五的平方加七。又说它的最小值是七呀，那它可能会过这个 粽子标为六吗？可能会过吗？他不会，他应该在他上边，所以说这个是不过，所以说他，呃，这个是不过的啊。这个圈二，呃，琪琪说的和他的都一样，方法一样嘛。然后我们再来看一下最后疑问吧。最后疑问， 嗯，我这个直线 l 和它的边有三个焦点，那我们可以先来看一下它有没有什么不会改变的东西，它的对称轴和呃， 什么顶点坐标都是会改变，我们也可以看出来它这是一个完全平方公式，可以把它写成减 m 的 平方加二 m 减四，也说它的顶点坐标是 这个。还有我们只要他开口向上，是这个吗？就所以说他是一个随便的一个点，然后最关键是三个焦点，那这三个点怎么画？我们可以大概的先试一下啊，你看我们随便来画一个，就比如说这样吧， 对吧？嗯，给你放大，不然不太明显。这是一个点， 一个点，两个点，三个点，四个点。所以说我们要是保证三个点的话，要必须保证什么？我左竖着的各一个，然后我横着的这只能有一个焦点，那我怎么画呢？也就是说只要让我们的顶点落在这， 哎，落在这是不是就可以了？一个、两个、三个，一个两个三个，那顶点落在 s 轴上是谁为零啊？也就是说我的纵轴要为零，也就是我的二 m 减四等于零，我的 m 就 等于二。好，那这个时候又求出来，那当然不可能只有这一种，你可以再想象一下 我还可以怎么画，考试时候你就可以拿着透明垫板给它画出来，然后给它左右移动嘛。剩下就是一个过特殊点的问题了，可以，大概是这样的， 这个有点画， 就是说我是会过圆点的，我让左边这条线和竖的这条线，这两个算一个焦点，一个两个、三个，那这样我是不是就是过零零了呀？ 我就是把圆点带进去，那其实我们第二早在第二问，人家已经有暗示了，我把零零带进去，算出来的 m 应该是一个是负根号五。呃，是几来着？我忘了啊，我得那我再算一下吧，把零零带入， 零零代入，就前边全是 m 方加二， m 减四等于零 配个方嘛。 比如说我的 m 是 等于正负根号五减一呢？那一个是根号五减一，一个是负根号五减一，取哪个？肯定取它嘛。你想一想，我如果 是过圆点的话，如果我是过圆点的话，我对称轴肯定得是在这个 o 和 c 中间呀，所以我不可能是负数吧，如果是负数的话，我大概是这样画，可能有三个吗？所以是不可能的 啊，结果就是一个是二，一个是根号五减一。好吧，然后我们再来看一下最后一位， 最后一问，这个第一问我们就不说啊，这个太太基础了。然后我们直接来看一下第二问吧，这个 e 在 角平分线上， 所以你可以想想，想一下角平分线你最先想到的是什么？是角相等吗？还有呢，是角平分线的性质，也就是说角平分线上点到角两端的距离相等，所以我直接往他的两个端点上做垂线， 这是 n， 这是 m 吧，只要我们挣出来 em 和 e 相等不就行了吗？因为我已经做了垂直了。那怎么挣呢？我们就用全等来做。 首先九十度，九十度一个角，再加上我的边，我的 e q 和 ep， 这是等腰直角三角形，所以一条边了，再加上一个角， 我这个角一加上这个角二是九十，我的角三加角二也是九十，所以角一就等于角三，对吧？我的 a s 就 可以正全等，全等之后我 e m 就 等于 e n 了，那我就可以说明它是在角平分线上， ok， 这个也没有问题了。然后我们再来看第三个，我 p q e 的 外心 o， 那这 p q e， 它是一个直角三角形，好，又是外星，所以说直接取它的中点嘛，斜边上中点数往下做个垂线，最大距离是表示一下 o h， 那 我们其实你可以发现这是一个标准的一线三等角，这是垂直，这是垂直，再加上我的 c p 是 垂直于 p q 的， 对不对？所以我只要给它表示出来就可以了。那表示出来之后配个方，那我们来看一下这两个三角形相似，告诉我们这是 m， 那 这一节呢？ 或者说你来看啊，这在这个 p 三角形 p q a 里边，这是垂直，这是垂直， o 是 终点，所以说 h 也是为 ap 终点的。我平行线分现在成比例，我中位线，我，呃，相似都可以做啊，所以说我的 ap 是 c d， c， d 是 几来着？是四倍，呃，四倍杠三， 呃，四倍杠三减 m， 那 我的 hp 是 不就是四倍杠三减 m 比二， 对吧？那我的，呃，右边这个三角形，我的 p b 是 m b c， 呃，给的是四啊，给的是四。然后我这两个三角形相似，就三角形 o h， p 相似于三角形 p b， c， 这都不用我说了啊，这都比较简单了，因为这个一线三角大概就是相似，之后我们就用一个，嗯，两个直角边一笔就有了，然后我们就可以得到， 嗯，还是给你写一下吧， o h， o h 就是 我要求的 o h 比上这个 p b 是 m， 再加上这个 p h 就是 我们刚说的二分之四倍根号三减 m， 我 的 hp， 我 的 bc 就是 四，然后你就交叉相乘嘛，你就得出来，我的 o h 是 等于负八分之一， m 方加它好变成一个式子啊，又要求最大距离，所以说直接配方嘛，配方我就怎么做都不讲了，答案是 这个开口向下嘛。然后 m 取的是零小于等于 m 小 于等于四倍根号三，我是可以取到对称轴，也就是二倍根号三的，所以说这个时候我就是 m 等于二倍根号三的时候 有最大值，最大值为二分之三啊，我们可以记一下这个答案，因为我们在后边做的时候，他是会有用的。 嗯， m 等于二倍根号三的时候，最大距离等于二分之三。好吧，然后我们再来看一下这个第四本，在 p 的 运动过程中， e 能否会落在 d c 边上， 如果能的话，让我们求 m 的 值，那它让我们求它能否落在 d c 边上，我们就来求一下什么，求一下它的长，然后和 a d 比较一下不就可以了吗？对吧？那求 e h 的 长。 唉，求 e h 的 长的话，我们还是啊。嗯，此时 m 的 值。 哦，刚刚给那个卡就说让我们能否落在它边上，就是往下做垂线，对吧？就是来看一下 em 和这个 a d 的 长， 就是和四的关系，比较一下就可以了。那其实也是啊，也就是来配方吧，我说表示出来，最主要是表示就是往这分别做两条垂线， 对吧？这时候还是啊，这是 m a p 是 四倍根号三减 m， 那 我们这其实应该是一个正方形，所以我就把正方形给它表示出来，表示舍它的四条边都是 y 吧， 对吧？是它都是 y 的 话，那我这个 mp 其实就是四倍根号三减 m 减 y， 再用上我们刚刚的这个角平分线的性质，这个 n q 和它的长是一样的， 那这个 a q 的 长我们也可以求出来，也就是这个 a n 减去这个 n q， 对 吧？就是 y 减去这个四倍根号三，减 m 减 y 就 等于二 y 加 m 减四倍根号三，然后我们要找的是 这个 y， 对 吧？ y 不 就我们使的 em 吗？因为我们直接求出来是求不了，所以我给它转化到这，然后我们再去用相似来做，那这时候还是一线三棱角，正三角形 a p q 和三角形 b c p 相似，那我的 a q b bp 就 等于这个 a p b bc， 那 我就到时候我就，我就不时间有限，就直接把这个数往里一带算出来，我的 y 是 等于负八分之一 m 方加 它加二倍根号三，然后我还要是去要配方的，或者说如果这个你不好配的话，你直接去给他找那个什么找负二 a 分 之 b， 你 直接用这个公式去做。 我说我直接把它求出来之后，发现它这个是二倍根号三减二，它是在我这个范围内，那个范围啊，是 零到四倍根号三，因为它是在上面动着的吗？到这个 a 结束，所以说我的最大值再把它往里带是二加根号三， 所以说你看这二加根号三，他是小于四的，所以说他是不可能落在 d c 边上的。然后我们这个时候也是把这个数先写在这，等会会用啊，我 m 是 等于 二倍根号三减二的时候，我这个最大值，我这个 e m 的 值是等于二加根号三。好，然后我们再来看一下这个圈二，说他的运动路径长， 那其实如果你模型学的好的话，你可以发现这是一个光照原理，那如果学的不好的话，或你都没有听过的话，那我们就硬做，因为他前边这些答案都是告诉我们或给我们提供一个思路的。那那 e 是 怎么运动的呢？ 来看啊，再从头来看一个题，我动点 p 是 从 b 开始动的，到 a 停止， 然后我们可以就当 p 在 这吧，它在这的时候，那我的 q 我是 要做 q p 垂直于它的，交 a d 交 a d 一 点 q， 所以 说我这个点 q 只能在这吧，然后我是把 p q 当做斜边，那这个时候我给大家画一个比较大的吧， 这个图太小， 对吧？我 p 最开始是在这 q 最是在这 p 一 q 一 吧，那这个时候呢，我是以这为斜边去做了一个等腰直角三角形， 对吧？你就可以把这当成一个直角嘛，哎，那这就是那个 e 呗，写个一吧， 然后我是怎么动的？我这个屁在这动了之后，我的 q 也是会 动的，那我们可以简简单单的举个例子，要连接这，我再是做他的垂线交到这于那个 q， 然后去怎样做他的那个等腰直角三角形， 能不能理解，对吧？那就是这样，所以说我们会发现什么呀？它它应该是一个一直在 p， 是 在直线上动着，那这个 e 也是在它动，如果你去过拐角，原理可以直接知道它是在角平分线上动，那如果你不知道，人家也告诉你了吗？前面告诉我们 e 在 角平分线上动，那再加上我们刚刚说它 动的时候，我们数已经算出来了，它动的这个最大距离是二加根号三了呀。所以呢， 我们就把它动到最大的那一刻给它画出来，就比如说这肯定是一二，因为 怎么样？因为我的意是在角平分线上动着，然后那这个时候，呃，我得画一个像一点的给你倒画回去吧，就当这个是一二吧。 然后我是要垂直于它吗？这个可能画的不太像呀， 哎。 嗯，就大概是这样的啊，我这是那个 p 二，我这是那个 q 二，此时它这是最大，就是我们刚求这最高的时候，那我们刚说了，我的 m 是 二倍根号三减二，所以说我这就是 这 一个笔，它给没电了，充了一下电，然后这次我们换蓝笔吧。呃，此时，呃，它的路径长，也就是这个一二一，一段是它第二段就是这个 一二 a 嘛，它先到最高点，再由最高点到我的最低点，就是到结束的时候。那来看一下，那我们得用到刚刚这，当我 m 是 这 五 m 等于它的时候，我才能运到最高点，那最高点的时候呢？就是二加根号三，那对应的我就把这个 e 二 a 求出来了，不就是一比一比根号二吗？所以就是二倍根号二，加上这个根号六， 对吧？然后我再把 e a 也求出来，这是四十五，这是四十五。这两条边，呃，不是也是一比一比杠二吗？所以说我的 e a 就是 二分之根号二，乘上我的四倍根号三，就是，呃，二倍根号六，是吧？应该是二倍根号六 啊。然后这个时候我们再来看，让我们求的这个一二一再写一遍吧。一二一 加上我这个一二 a， 我 就可以给他转换一下。一二一一，我可以给他变成一个大边，也就是一二 a 减去这个 e 一 a， 再加上这个 e 二 a， 也就是二倍的 e 二 a 减去 e e a， 那 e 二 a 是 几？就是我刚求的这个就是四倍根号二，加二倍根号六，我再减去我的二倍根号，答案就是四倍杠二吧？
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04:54查看AI文稿AI文稿中考数学邢台二模这段分析咱们先说结论，邢台二模，这次考试是没有邢台一模难度大，但是这套卷的难度也不简单，因为他只是比邢台一模简单而已，然后咱们前面题也不去看他了啊。第九题，这个对空间能力想象比较弱的同学来说是比较难的。 然后十一题，这个就是涉及到一个换元，你就令这个东西为 t 是 吧？那这个前面就是 t 加二，这就是 t 减二，你展开以后能把 t 算出来。然后十二题，这个难度比较大，首先这个东西你得先去倒倒倒腾角，把 d a 和 d m 正反是相等的，然后 dc 和 ac 包括 d q 这些都也都是相等的，你这时候你就能得出来 d a m 和谁相似，和这个 d c q 是 相似的。然后你也可以通过导角把这个 d c q 正出来，是在一条直线，那这个时候你相似完以后，我知道 c d 是 四，那我就只我需要求出来这个。呃，那 am 呢？刚才 a c 不是 等于 c d 等于四吗？所以说 am 是 二，我只需要把 a、 d 求出来以后 是吧？我求出来 a d 以后，这个通过比例我就能把 c q 求出来来，那然后呢？这个 q b 的 长就是 c q 的 两倍，因为这个 c b 是 等于 c q 的 啊， 那这个就需要用平方和公式了，也就是说你在平行四角形对角线各自的平方加起来是等于两倍，边长平方加边长平方的，所以说你可以设这个边是 x 是 吧？这个边是 x 以后 那这就是二，这个是四，这个 d d 这个也是 x 是 吧？ d b 就是 二 x， 你 是可以把这个 x 求出来的，然后你通过一下相似是能把这个呃 q b 长是求出来的啊。然后十三十四也不是特别难，十五题的话，这个呃利用一下中点是吧？ p 是 中点， p 是 a q 中点，所以说你往这做个垂线，你往这做个垂线以后， 你这个 h p h 就是 斜边上的中线，因为他说了 b p c 是 直角叉形嘛。那所以说 p a b h 的 p h 长度是能求开是个三的，是吧？那你再往这做个平行，然后往这做个平行，那 p p d 也相当于斜边上的中线，也就是说 p d q 是 个等腰 三角形，也就是这和这的比例是一比一，是吧？那而且跟这就是 d q 和 c q 的 比值也是一比一，所以说这相当于占了三份，所以说你能求出来这个 c d 是 四啊。然后这个二次函数这个题，你得保证这个对称轴在五的右侧，而且你得保证这个 y 五，也就是说在这个 x 二的最小值，在这个呃，五到 c 之间，这个最小值，因为你是开口朝下嘛，是吧？你开口朝下，那你 x 二在一的范围内的最小值就是 y 五，是吧？你得保证这个 y 七大于等于 y 五，就能把这个 p 的 范围求出来啊。 然后这两个题就不去看了，十九题也不难，二十题也不难，二十一题第一问也是送分的，呃，第二问，反正你求出来一个 q 的 坐标是挺简单的， a b o 如果等于 b a q 的 话，你可以直接找平行内错角相等， q 的 横坐标和 a 的 横坐标相等，这个是比较好求的。那第二种就相对来说计算量有点大了，你得去做一个这样去，在这可能有一个角和这个 呃，这个 a、 b、 o 是 相等的，你如果用高中那个加角公式是简单的，也可以用。二十二题， 这个题第一问也是比较简单的，就是切线，切线长定律嘛， a q 是 切线， a b 也是切线啊，因为这也是垂直的呀，所以说 a q 等于 a， b 等于二。第二问，一箭穿心是吧，求一下 d o 的 长，然后减个半径就行了。第三问，这个阴影面积也是比较好求的，阴影面积的话，你就需要求出来这个 呃，扇形 d、 o， q， a、 c 的 面积，那这个角等于多少度呢？它为啥给你个 c p 是 三分之二倍等于三是吧，那这个边长是二，那就是想让你去用正切呗，正切求它这三十度， 所以说这个三角形面积可以求出来，三角形面积也可以求出来，最后一相加就行了啊。二十三题，这个二次函数体整体来说是比较简单的。呃，第一问是吧，顶点告诉你了，你得从图像上看出来，还经过零零啊，所以说把这个带进去就行了。那第二问，你就可以把第一问解析式不是求出来了，他说向右平移呃 t， 所以 说就是呃 y 等于左加右减嘛，所以就是 你求出来。第一问，解析式以后怪等于 a 倍的，应该是个 x 减八，你再减个 t 是 吧，再加十六，应该是八多少十六了吧，是吧？八多少啊？八多少十八啊，八多少十八。然后你把这个解析式新的解析式表达出来以后，把这个 a 的 坐标带进去就行了，你可以求出来这个 t 的 值啊，然后取那个 向右平移的那个，嗯，然后还有第三问，第三问也比较。呃，第三问我个人感觉也不是特别难，因为他说要刚好是 c d 的 长度嘛，那 c d 的 长度也已经告诉你是四点九了， 那我只需要设它平移 m 米，是吧？设它平移 m 米，然后这个时候咱们就你就默认成是减减号呗，因为你求出来这个 m 如果是正数，那就向右平，如果求出来负数，那就向左平移呗。你就可以把 y 一 的解析式表示成负十分之一 x 减 m 的 平方加 h， 然后这个 y 二也是， 呃， y 二也是负五分之一 x 减 m 的 平方加上 h， 因为这个横坐标是告诉你了，你把横坐标带进去是吧？带进去以后，这个 y 一 减去 y 二，刚好等于这个四点九，你就能算出来这个 m 值，这个也不是说特别难啊。然后咱们看一下最后一题，最后一题的第一问比较简单，是吧？就用一下勾股定律，或者说三角函数都行。第二问 c n 是 一，这个就是需要 因为他给你画了个图吗？这个图就容易误导你，因为人家这个是在哪运动，是不是在射线 bc 上运动？所以说你是两种情况，有可能 c n 在 这是一，然后你去呃求出来这个 b n 的 长度，因为这个角的余弦值是五分之四，这个角 a 正弦值是五五分之四吗？这个角的余弦值就是五分之四求出来的啊，然后通过一下三角函数能把这个 bm 求出来， 当然虽然也有可能跑到这边啊，是吧？跑到这边一一的时候，这个又又能求出来一个数，所以说你分情况去讨论一下。然后第三问的话，这个因为他让你求写过程，如果这个是直接写出答案，你用如果这个这一个难度还是比较大的啊，你用高度那个向量的点击公式去求是比较简单。
354邯郸小吕老师
14:02查看AI文稿AI文稿同学们好，家人们好，马上就要中考了，今天我们来挑一套试卷来进行一个讲解。是河北邢台的二模试卷，如果你是邢台的考生，或者是河北的其他市的考生都可以来参考一下。 这套试卷的整体难度并不高，但是呢，有一些学生反映说，哎，里头有几道题是偏难的，那今天孙老师是从头到尾每道题都详细的讲解一下，不仅有解答的过程，而且还有知识点的拓展那。呃，觉得有用的同学可以点赞关注，中考需要冲刺的同学也可以联系我。我们从第一个题来开始看， 那第一个题我们一块来审一下题，如图一，一条直线经过点 a， 那 么借助直尺或者是三角板来判断这条直线是， 那这道题是偏简单的啊，那我们直接拿着直尺或者三角板和这个线重合就可以了。比如说和直线 a 重合，那你会发现它无限延长，也经不过点 a， 那 么同样的，我们把直尺放到直线 b， 这你会发现，哎，它是 点 a， 是 在直线 b 上，所以这道题还是比较简单的。那么我们一样的直线 c 延长，那我们会发现它没有经过点 a， 直线 d 延长，那他也没有经过点，差一点点啊。当然，我这个是没有借助直尺啊，你在考试中一定要借助直尺，那这道题也给大家一个提醒啊，我们中考的时候肯定要带直尺，三角板、圆规。 好，那我们再看第一个题，我们可以说是白送分的题目，我们往下看一下第二个题，如图二，在一条不完整的数轴上，那标出 a、 b、 c、 d 四个点，点 b， 它是代表的是正数，点 b 是 代表正数，那么则 这个可以表示原点的是。哎，那我们知道正数全都在原点的右侧，那反过来，原点应该是在正数的左侧吧，那只有一个点 a， 所以 我们就选 a 呀，就非常简单。那我们这个题的话， 带大家来回忆一下我们的数轴的三个要素，那知道的同学可以打在评论区，或者是打在这个弹幕上。那第一个是什么呀？正方向， 正方向就是他，他有个箭头，你会发现他向着右，那这个是正方向，我们说越靠右的数是越大的，右是正方向，然后呢？圆点，圆点的位置。最后一个是什么呀？单位长度， 单位长度。注意单位长度和长度单位是不太一样的，单位长度是它一段代表着一个单位，然后呢，长度单位就是厘米米，分米什么的，这是单位。好，那这个是第二题，也是比较基础的题目啊，我们再往下看， 第三个好。呃，这个题的话也不太难啊，我一直说不太难，不太难，但是有同学做错了， 真的，我看有人反馈说这道题做错了，因为什么呀？他涉及到小学的知识了，那看到这个知识立马就晕圈了，我们把这四个都讲一下。 第一个，乘法交换律，什么叫做乘法交换律呢？就是他们的顺序变一下， a 乘 b 是 等于 b 乘以 a， 像这个就是乘法交换率，那你会发现它没有位置的改变吧，你看负的三分之二五负六，那这也是负的三分之二五负六，它位置是没有改变的，所以它没有用到乘法的交换率。那分配率是什么呢？ 分配率是有加减法或者是加减法和乘法合到一起的，比如说 a 加 b 乘以一个 c， 哎，那就等于 a 乘以 c， 加上一个 b 乘以 c， 那这个是分配率，就相当于把括号里的跟后面每一个项都相成吗？但是这个题里头也没有啊，也没有去括号的过程，所以这个分配率也要舍弃。也不是， 那移项的话，它其实是方程里头的，什么去分母去括号，移项合并同类项，系数化一对不对？移项的本质，比如说 x 减三等于六，我们把减三移过去，应该变成什么呀？六加三， 移动的象移过去，移到另外一边，然后这个正负号会发生改变，那这个叫移象，它的本质是什么呀？是用的等式的性质，左右两边同时乘以或者除以一个相同的数，哎，那么它这个等号的 等号是能成立的，所以我们减三相当于左边，哎，乘加上了一个三，右边也加上了一个三，那减三加三就消了，所以就等于这个，这个，这，这是我们的一项的一个本质啊。当然这是小学的一个写法，我们上初中之后就直接一步到位，直接呃编号就可以了。 好，那这样的话， c 选项也是错的，那么这个 a c 都是错的，那只能是 d 选项了。那什么叫乘法结合律呢？就是如果一个式子全都是乘法连接的，对吧？我们可以 顺序，他们乘的顺序可以发生改变，比如说 a 乘以 b 在 前面，然后再乘以 c， 可以 变成 a 乘以一个 b 和 c 的 g， 那 这个叫做乘法的结合率，所以你会发现他用到的是乘法的结合率，我们选择的是四 d 选项 好，呃，还是不是特别难？但是有一些同学做错了，是因为他把小学的知识忘了，我们一直说初中用到小学的知识比较少，比较少，但是这个题用到了，你看一下你有没有做对，然后我们再往下看。 好，这个是一个作图的啊，尺规作图。呃，尺规作图我们看一下，如图，三杠一，三杠二是一个基本作图的痕迹，那么这个则下列说法正确的是我们自己先看一下这个题是做什么呀？ 我们，我们想一下这个题他是让做什么呀？是，是不是做一个什么呀？相等的角 做一个相等的角，它是做角平分线吗？并不是啊，它是做相等的角和角 a 相等的。我们大概的顺序，先做一个射线 d， e， 先做一个射线 d e 或者是这个地点，然后 过地点的一个这个射线，然后呢，我们用圆规以这个点 a 为半径画一个弧，在这个三杠一上画一个弧， 然后以点 d 为圆心，然后以刚才的长为半径，就刚才我们做的这个长为半径，然后画一个弧， 那交这个下边这段与点 e 上边这个还没画呢。然后下一步是什么呀？以 b 为圆心，或者以 c 为圆心，或者是直接说用圆规测 bc 的 长， 用圆规测 bc 的 长，然后呢，以点 e 为圆心，以线段 bc 的 长为半径画一个弧，哎，交刚才的弧与点，比如说 f， 然后再连接一个 d， f， 那 这个角 d 和角 a 就是 相等的。我们先不看哪个选项是对的，我现在来问你，它这个做相等的角的依据是什么？同学们有知道的吗？它的依据是什么？ 讲到了吗？依据是 s， s， s， 我 写在这里， 它是做一个全等的三角形啊，就是 a， b， c 和 d， e， f 这三这两个三角形是全等的，你想想， a， c 和 df 相等， a， b 和 d， e 相等，然后 b， c 和这个 e、 f 相等，所以它三个边对应都相等啊，那么用到的是 s， s， s 正弦等，那么它对应的角肯定相等了。 所以有些题会说，哦，它这个作图的依据是什么？这个就考察了我们的一个。呃，对这个数学概念的理解啊，千万不要死记硬背，千万不要死记硬背，你要理解 好，那这个题我们选什么？可以看一下左角平分线， ok， 错。呃，图弧一，这个一是以 a 为圆心，以任意长为半径画的弧。呃，这个弧应该是对的啊，但是我们先打个对号，哎，因为不确定啊，你你你， 这个选项你看到 b 想感觉是对的，但是不要上来就选再看，因为有可能 c 和 d 有 个更正确的。那 b 你 有没有，你有没有考虑全的地方？好，我们看一下 c， 呃，弧二是以点 d 为圆心，以任意长为半径画弧，那现在这个 b 和 c 肯定是 c 是 错的啦，因为我们这个弧是任意的，弧一是任意的，但这个弧二必须和弧一的半径是相等的呀，所以第二个应该是错的。 呃， d， c 是 错的。呃， d 选项弧三是以点 e 为圆心，以 d， e 的 长为半径画的弧。我把它清空一下啊，这个 d， e 在 哪里呢？ d， e 在 这里，以 d， e 的 长为半径，那肯定是错的，因为我们刚才是什么呀，以 b、 c 这个线段为半径啊，所以 d 选项也是错的，所以我们选二 b。 好，那这个题我们就到这里啊，你现在可以回忆一下，回忆一下我们有一些做的这个尺寸图的题啊， 我帮大家回忆一下。第一个是做相等角，就是我们这个这个图它是怎么做的？如果你这个几个回忆的题不知道，你可以看一下我的视频。呃，做相等角。第二个是做角平分线， 我们可以快速的啊，因为我们的这个知识点把它拓展一下，所以我们讲的会稍微快一点。比如说我要求角 a 的 这个画角 a 的 角平分线，我是以 a 为圆心，以适当的长为半径画弧，交 b、 c 两个点， 再分别以 b、 c 为圆心，以大于二分之一 b、 c 的 长为半径画弧，交于 p 点，然后连接 ap。 好， 那这个就是角平分线的一个画法。那第三个做垂直平分线， 比如说一个线段的垂直平分线，我们应该怎么做呢？我们是以 a、 b 为圆心，然后呢？以大于二分之一 a、 b 为半径画弧，呃，比如说这个弧，这个弧， 这是以点 a 为圆心的，然后现在以点 b 为圆心画弧，那交于 m n 两个点，然后连接 m n。 好， 那这个 m n 就是 它的垂直平分线那。呃，第四个，第四个，我们做高做高线， 呃，做高线应该不太合适，应该叫做做这个垂线，过直线外一点做垂线，那我写在右上角了，右右边了。呃，这有一条直线，然后直线上有一个 a 点，我想过 a 点做这个 l 的 一个垂线， 那我们怎么做呢？以 a 为圆心，以适当的长为半径画弧，交这个 l 与 b、 c 两个点，再分别以 b、 c 为圆心，以超过二分之一 b、 c 的 长为半径，再画一个弧。哎，画两个弧，然后交于这个 d 点，那么连接 a、 d， 那这个 a、 d 是 垂直于 l 的， 那这个是做垂线，那我们根据这一个题啊，拓展很多啊，所以，虽然这个题比较简单，但是它可以让你知道哪些知识点你还不太熟，你做这个尺规作图的时候，你心里想到，哎，我这四个图哪个还不会画 好？再看，这是第四题，看一下第五题。呃，第五题的话， 为什么说它比较简单呢？我就忍不住笑了，为什么简单呢啊？这个题其实出在初一还是比较合适的啊。出在中考上，我觉得有点太简单了。 x 与三的差，那 x 减三呗， 然后得二倍，注意，是差的二倍，所以括起来的二倍是非负数。非负数， 非负数，也就是它不是负数，那不是负数是什么呀？是零和正数，那应该是大于等于零，哎，这个时候，这个知识点啊，看起来很简单啊。这个题非常简单，但是孙老师还是能给你拓展。拓展什么呢？可以看一下。呃，非负数我们知道， 我写在这，非负数我们知道。那么，呃，非正数，你想一下是什么？ 你以为就那么简单吗？还有非负整数是什么？ 还有什么呀？非正整数是什么， 对吧？一个支点给你拓展很多啊。非负数是除了负数的数，那就是零和正数， 然后非正数，哎，就是除了正数之外的所有的数，那就是零和负数，这两个我觉得你应该是知道的，那后边这两个是什么呢？你们想想 后边两个非负整数，我们注意读法，它是非负前面，然后要求是整数，所以它是不是负的整数，那么应该就是零和正的整数。它必须是整数吧？ 它的要求就是整数，那么下面的非正整数，那就是零和负的整数吧？负的整数。 好，那你现在来看一下这个题。哎，要把它记住啊，它里头所有的都包括零的，都包括零的。好，我们第五题就到这里啊，我们再往下看。
09:30查看AI文稿AI文稿我们来看一下这个形态，二模数学的第十二题，那么如图将平四边形 a、 b、 c、 d 这个 a， b， c、 d， 那 么绕着我们这个点 d 逆时针旋转得到四边形这个 m、 n， d， q， 我 们接着来看一下， 那么这个题目当中，它说使得我们这个点 a 落在对角线 b、 d 上的点 m 处。 好的同学们，首先我们根据旋转，因为旋转前后这两个图形是完全相等的，所以我们能够得到 d， a 和我们这个 dm 是 相等的， 那么又因为我们这个四边形 a， b， c、 d， 它本身就是个平行四边形，我们是不是就能够得到平行四边形的性质，对边平行，对边相等，那么也就是 c、 b 和我们这个 d a 也是相等，并且对角线互相平分，所以我们能够得到这个 m、 b 也是等于 dm 的。 所以我们接下来同学们看一下我们画出来的这四条线段， 这四条红色的线段，也就是 d， a， d， m、 mb 以及 bc， 它都是相等的，那么我们接着再来看一下。 然后这道题说点 a、 m、 c、 n， 它是在一条直线上， a， m、 c， n 都在这条直线上， 如果 c、 d 等于等于四，也就是我们这个边它是等于四，则让我们去求 b、 q 两点之间的距离，那么我们去求 b、 q 两点之间的这个距离。那么咱们接着来看一下这道题。因为我们知道 d， m， n q， d， m， n， q 它本身它就是个平行四边形，所以我们能够得到 m， n 这条边和我们的 d， q 这条边就是平行的，那么平行 m 又是我们这个 b、 d 的 中点，所以我们是不知道这个 c 就是 我们这个 b q 它的一个中点。 好嘞，我们把这个延长。啊，好，我们延长。呃，会， 我们来看一下，我们延长这个 b c 到我们这个点 q， 所以 我们是不是就能够得到这个 c 也是我们 b q 它的终点？ 那么我们接着来看，又因为这个 m、 c、 b 这个三角形，它是个等腰三角形，所以这个 q b、 d 这个三角形它就是个等腰三角形。那么我们现在去求， 去求这个 b q 两点之间的距离，就相当于去求的是 d b 这两点之间的距离。好，我们看根据题干当中条件怎么去求这个？ 那么我们接着来看，因为我们题目当中第一个他给了我们旋转，旋转我们是不是就能够得到这个角 d a、 c 和我们这个角 q d m 它俩相等，共同减去中间这个小角，我们是不是就能够得到？比如说这个角一是不是和我们这个角二，它就是相等的， 对吧？好，我们继续再来看。那又因为我们这个 d q n m 它是一个平行四边形， d q 和我们的 n m 平行，所以这个角二和这个角三它就是相等的。我们继续再来看一下。 那么这个里边同学们，又因为 d c b a 它也是平行四边形，也就是我们说 d c 和 a b 平行，所以我们是不是能够得到这个角三和这个角四，它俩是相等的， 我们是不是能够得到？刚才我标注的这四个小角，它都是相等的，也就是角一和角四相等。好嘞，那这样的话，我们就得到了一个母子形的相似，也就是在三角形 a、 m、 b 这个三角形和 d、 a、 b 这个三角形当中，同学们我们是不是就能够得到这两个三角形相似 有角一和角四相等，是不是？还有我们这个角是一个公共角，所以我们通过两个角对于相等得到这两个三角形相似啊。 相切之后，我们去求这个 b、 d 的 边长，那么因为 d、 a 和 d， m 和 mb 都相等，比如说我们设 d， a 等于 d， m 等于 mb， 都为 x， 那 这样的话，我们是不是就可以列出一个相似的这个比式子，对应边的这个式子，然后同学们来看一下，那咱们是不是就能够去根据这个式子去求得 x 的 值？好，我们来看一下， 我把这个过程写一下啊。那么因为这个四边形，平行四边形，因为平行四边形 a、 b、 c、 d 旋转 得到 四平行四边形 m、 n、 q、 d， 所以 我们能得到这个角 a、 d、 c 等于我们这个角 m、 d、 q， 所以 角一等于角二。好，因为 d、 q 平行于 m、 n， 所以得到角二等于角三。因为 d、 c 平行于 ab， 所以 得到角三等于角四，所以角一就等于角四。 那又因为这个角 m、 b、 a 等于我们这个角 a、 b、 d， 所以 三角形 m、 b、 a 就 相似于我们这个三角形 a、 b、 d。 好 嘞，我们接下来看一下， 那这两个三角形相似之后，我们是不是就能够得到对应边成比例啊？那么也就是我们来看一下 mb， 也就是在这个 mba 这个三角形当中， mb 这个边是不是就对应的是 ab 比上 ab 就 等于 ab， 这个边比上 d 比 好了，同学们，我们来看一下，那么我们设刚才忘写，呃，我们设这个 d， a 等于 dm 等于 mb 等于 x。 好 了，这个相等啊，同学们，首先大家知道这个我是没有直接写这个，我现在再给大家梳理一下， 那么我们因为旋转所以得到 d a 和我们这个 dm 是 相等的，又因为我们这是 a、 b、 c、 d 是 个平行四边形，所以 dm 和 mb 它们是相等的，所以我们直接把这三个边相等啊，然后同时都设为 x， 设为 x 之后，我们来看一下，所以 mb x 比上 ab 四就等于 ab 四比上我们这个 d， b 是 不是二 x， 所以 我们是不是就得到这个二 x 的 平方是不就等于十六，所以我们能够求求得 x 就 等于二倍根号二。 好，我们接着来看一下，那 x 等于二倍个二，所以 b、 d 是 不就等于二， x 是 不就等于四倍个号，这是我们去求得了这个 b、 d 的 这个差。好，我们接着来去求 b、 d 和我们 b、 q 它俩相等，那么因为 m 是 b d 的 中点， m c 平行于 d q， 所以 我们直接 e 的 c 是 我们 b q 中点。 好，我们接着来看一下，那么因为三角形 c b、 m 是 等幺三二型， 或者你不写这个直接写因为，呃，因为这个 b m 等于 c b 啊。好，所以我们直接是不是就能够得到这个 q b 是 不就等于我们这个 d 比，那么就等于四倍根号二。好，这是我们这一道题， 那么在这个题的过程当中，大家要学会去倒角得到我们这个角一和角四相等，从而用母子形相似，然后我们能够去求得这个 b、 d 的 长度， 然后再根据相似，或者说我们说三角形中位线的这个推导过程，那么得到这个 q b 和我们这个 d b 相等，从而去求得这个 b q 的 长度。所以这道题啊，同学们，我们选的是四倍杠二二选 a 选项。
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06:41查看AI文稿AI文稿看一下这道题，是我们邢台尔摩数学题的第十五题，那么在矩形 a、 b、 c、 d 当中告诉我们 a、 d 这边长是六，然后点 q 是 c d 边的中点， 连接 a q 之后点 p 是 a q 的 中点，然后连接 b p， 连接 c p， 并且告诉我们如果 c p 和 b p 垂直，那么让我们去求的是 c、 d 的 长度，那因为知道 q 是 c、 d 的 中点，所以这两条边它这也就是 c q 和我们这个 d q 的 长度相等。好，通过这道题，我想给大家说一下，就是我们的间隙板， 我们通过建立平面直角坐标系，然后去做我们这个体。一般情况下我们什么情？呃，什么情况下可以用间隙呢？你比如说当我们的几何体当中涉及到长方形、 正方形，我不写了，大家听一下，就比如说有长方形、正方形，还有就是我们的等腰直角三角形， 或者是等边三角形，或者是有一些比如说含有特殊角的这种，比如说三十度、六十度、四十五度等等的这些情况我们都可以尝试着去用间隙法来做。比如我们接着来看一下这道题，我们如何用间隙法去做。 好嘞，那么我们以点 b 为圆点，建立我们的平面角坐标系，我们来看一下，比如说这是 x 轴，好，我们来看一下，这是 y 轴， 这 y 轴，这是我们的 x 轴。那么我们来看一下这道题，因为这个里边要告诉的 a、 d 是 六，所以我们能够得到这个 d 点的横坐标是不是六，也就是 d 点 和 q 点，还有我们这个 c 点的横坐标都是六，对于 c 点来说，我们的纵坐标是零，那么 d 点和 q 点的纵坐标我们不知道，那么我们知道的是 c q 和 d q 相等，所以在这道题当中，我们可以设 d q 和 c q 为 x， 那 这样的话，点 q 的 坐标就是六逗号 x， 点 d 的 坐标是不是就六逗号二 x， 那 么我们接着来看一下，那这道题又跟我们说这个 p， 呃，这个，这个 p 是 我们这个 a q 的 终点，所以在平面直角坐标系当中，我们要知道我们坐标系当中的终点角。是啊，好，我在这儿补充一下。在平面直角坐标系，比如说任意的有两个点，这个 x 一， 逗号 y e， 那 么第二个点 x 二，逗号 y 二，我们需要知道的是 a b 这两个点的终点， 那么就是二分之 x 一 加上 x 二，二分之 y 一 加上 y 二。我们还要知道 ab 这个线段的长度，两点之间的距离公式啊， x 一 减去 x 二的平方， 加上 y 一 减 y 二的平方， ok， 两点间的距离公式以及中点，在我们的这个坐标系当中，我们都要知道。好嘞，我们接着来看，那又因为这个 p 是 a q 的 中点，所以我们是不是能够 a 点，我们先来看一下 那 a 点的红坐标为零，纵坐标是不是二 x， 所以 a 点有了， q 点有了，那么 p 点的红坐标二分之零加六就是三，那么纵坐标二分之二 x 加上 x 就是 二分之三 x， 所以 我们就知道了 p 点的坐标。 那么这道题当中，因为这个 b， 你 看它不是 c p 垂直于 b p 吗？好，这是直角，所以这个三角形 b p c， 它是不是就是一个直角三角形？那么直角三角形，我们知道 b p 方加上 p c 方是不是等于 b c 方？所以我们接下来要知道 b p 它的长度以及 p c 的 长度啊。 好，那么因为 b 点的坐标我们知道是零，逗号零， p c 的 坐标是三逗号二分之三 x， c 点的坐标是六，逗号零。所以我们来看一下同学们， b p 它的长度是不是就等于根号里边？或者你直接写 b p 的 平方也可以啊？那 b p 的 长度我们是不是就能够得到 零减三的平方？加上零减去二分之三 x 它的平方。好，我们接着来看 p c， 那么 p c 它就等于三减六的平方，加上二分之三 x 减去零的平方。 好嘞，那么我们把这个直接化解一下啊，那它就等于根号里边这个是不是三的平方，加上二分之三 x 的 平方，那么这个也是就等于三的平方。 好嘞，那么再加上二分之三 x 的 平方。好。通过这个式子，其实我们能够得到 p c 和这个 b c， 这个 b p 和 p c 它们两个线段是一样的，那么我们接着来看，因为 c p 垂直于 b p， 所以 我们是不是有 b p 的 平方，加上 p c 的 平方是不就等于 b c 的 平方？那么也就是 b p， 它的平方就是三方，加上二分之三 x 的 平方，加上 p c 方也是三的平方，加上二分之三 x， 它的平方就等于 bc 方。 bc 这个长度是六，所以它就等于三十六。那么根据这个式子，我们能够得到 x 的 平方，算出来等于四，那 x 是 不是就等于正负二 x 我 们是边长啊？因为 x 大 于零，所以我们这个 x 它就取的是二这个值， 然后我们接着来看一下那 cd 的 长度是不是就是二 x， 那 就等于四，这是我们通过我们间隙这，然后 根据勾股定律我们去求出来的，也不一定非得用这个方法。那么同学们，在我刚才讲的这个题当中，呃，大家可以参照这种方法去进行思考一下。
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06:48查看AI文稿AI文稿好，来看一下邢台二魔术学题的第十六题，在平面直角坐标系当中，给了我们任意的两个点 点， p x 一 逗号 y 点 q x 二，逗号 y 是 抛物线这个抛物线上的任意两点，那么通过这个抛物线，我们来看一下， y 等于负 x， 平方加 p， x 加 q， 我 们能够得到这个抛物线，它的开口是向下的， 那么接着他说，当 x 一 在三到五之间，那么 x 二到在五到七之间的时候，都有 y 小 于 y， 那 么我们能够得到横有这个 x 一， 是不是小于 x 二的， 那也就是说当 x 一 小于 x 的 时，二的时候，我们都有 y 一 小于 y 二，那这种情况我们是不是肯定能够想到的是我们在对称轴的同侧这一种情况里边是不是？所以我们接下来再分析的时候，第一种情况， 那么当 x 一 x 二在对称轴同侧时，同侧时啊，间隙啊同侧时，那么因为我们这个函数它是开口向下的， 因为我们抛物线开口向下，那么假如我们现在有这样的一个抛物线开口向下的一个抛物线，那么我们接着来看一下，它说，当我们这个 i x e 在 三到五之间， 然后 x 二在五到七之间的时候，我们横有 y 一 小于 y 二，那么如图所示。同学们，我们来看一下，那是不是当我们能够得到如果我们这条对称轴，这是对称轴啊，那么我们先去算一下，对于我们这个 y 二次方程， y 等于负 x 方， 加上 p， x 加 q， 它的对称轴 x 等于负的二 a 分 之 b， 所以 我们是不是得到它的对称轴就是二分之 p， 好 的，那么我们知道对称轴是二分之 p 啊，这个就是 x 等于二分之 p， 那 么也就是说我们发现当我们这个对称轴，它是恒大于七的时候，我们是不是能够得到？看一下， 当 x 一 在三到五这一段的时候，我们所得到的这个 y 值，这一块可以理解是 y 一 是不是很小于，当 x 在 五到七的时候， 那么这一段它是不是 y 二？假如这是 y 一， 这是 y 二，那么也就是我们能够得到。那么当 x 一 x 二都在我们对称轴的同侧的时候，那么我们横有 x 一 小于 x 二时，都有 y 一， 是不是小于 y 二，那么我们就能够得到。这种情况， 也就是我们的对称轴二分之 p， 它应该是大于等于七的，那也就是 p 它是大于等于十四的。 好，我们接着再往下看，那么想到同侧，我们是不是就会想到了异侧，那么对于这个异侧的时候，我们要联想我们这个知识点啊，我们知道当我们这个二次函数， 哎呀画的有点不太好啊，大家尝试看一下我们这个草图，当我们有一个二次函数，它开口向下的时候，我们是不是能够得到？ 当我们这个点二次函数图像上的这个点到对称轴的距离越远的时候，我们是不是能够得到？大家来看一下，比如说这两个点，那么它到对称轴的距离越远的时候，我们是不是能够得到？它的这个外值是不是就是越小的呀？ 对吧？所以我们接着根据这个值点，我们接着来再去分析一下，那如果我们现在有这两个点，它是在我们这个 呃对称轴的异侧的这种情况下，我们来看一下，假如现在还是先画出一个矢域图来， 因为它这个里边是不是给出我们的条件就是一个是在三到五是我们的对称轴 x 等于二分之 p， 那 么大家来看一下。假如， 好，假如我们来看，比如说我们有一段它是三到五，另外一段我们是五到七，我们会发现，如果我们的对称轴它刚刚好在六的时候，我们是不是能够得到这个？当我们这个 x 等于五和我们的 x 等于七的时候，对应的这个 y 值是不是相等的， 对不对？那这个时候正好我们也能够满足。同学们来看一下， 当我们这个 x 一 在三到五之间的时候，当我们这个 x 二在五到七，呃，五到七之间的时候，是不是横也能够得到我们这个 y 二是不是小于 y 一 的？那么我们会发现，当我们这个对称轴我们继续向右 移动，也就是说，比如说当我们的对称轴它在六到七中间的这段的时候，画出一个图案 好，比如说假如我们这儿马上接近齐了啊，这是绿， 大致的画一下，这个示意图画的不是特别标准，大家凑合着看一下，这是三，这是五。 好。同学们来看一下，那么这种情况，也就说当我们的对称轴在六到七之间的时候，我是不是同样能够满足？ 当我们的 x 一 在三到五之间，我们所对应的这个 y 一 是不是很小于当我们这个 x 二在五到七之间这一段之前 这一段的这个 y 二啊，这个 y 二，所以我们通过这个情况我们也就能够得到当我们这个 x e、 x 二在我们的对称轴的一侧这一部分啊，也就说我们 x 二，它也是在我们对称轴两侧的时候， 那么我们能够得到我们这个对称轴二分之 p， 它应该是大于等于六，小于七的时候，我们是不是都会满足 y 一 小于 y 二，那么这种情况里边我们是不是能够得到这个 p， 它就是大于等于十二小于十四。那么宗上 大家看这两种情况里边，一个是 p 大 于等于十四，一个是在十二到十四之间，所以我们是不是能够得到我们这个 p， 它是大于等于十二。好嘞，这是我们这一道题。
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06:15查看AI文稿AI文稿今天我们来讲一讲唐山市路北区二模的这道压轴题，这套试卷呢，这两天讲了很多遍啊，一直没有抽出时间来录视频，整体上来说呢，这套卷子的难度设置非常的合理， 另外呢，一些个题型啊，创新度也都比较符合我们新中考的要求，建议一些调研员比较示味素餐的县区的同学们可以来做一做这套路北区的二模试卷。 好，那么我们先来看题。在题型 a b c 搭中， a b 等于三， a 搭等于四， a b 等于三， a 搭等于四， a b 平行于 c 搭，角 b a 搭等于九十度过 b c 搭三点的圆，设圆 o 的 半径为 r。 呃，第一问，使规作图，咱们就略过啊。第二问，如图十四杠二，也就是这幅图，当圆 o 与边 a、 b 所在的直线相切时，求 r 的 值。那么读过了题，我们就要知道这道题干里边所给的关键点是什么，也就是题也在哪。首先， a b 三 a 搭四， b a 搭九十度啊，典型的一个勾股数，所以呢，我们第一时间就要把斜边连上，所以斜边 b 搭的长度三四五，勾股数 b 搭就等于五。那么第二个条件呢，圆 o 与边 a、 b 所在的直线相切时，键切线连接点连接 o b， 所以 o b 就 垂直于 a b。 好，那么下边我们再来看 o b 垂直于 a， b 搭 a 垂直于 a b， 所以 o b 就 平行于 a 搭。那么所以角 a 搭 b 就 等于角搭 b， o 这个角等于这个角， 角 a 搭 b 的 三角函数值是已知的，那么所以要求半径我们也要利用直角三角形来做，所以就是渐弦做，垂直做 o h 垂直于搭 b， 根据垂径定律， b h 就 等于二分之一， b 答，就等于二分之五，那么 cosine 角儿搭 b o 就 等于 cosine 角儿。 a 搭 b 就 等于五分之四，就等于 b h b 上 b o b h 我 们刚刚求出来了，是二分之五，那么就是二分之五， b 上 b o。 化简一下， b o 就 等于二，就等于八分之二十五。第二问解答完毕， 下面来看第三问。当角 b c 搭等于一百二十度时，求弧 b 搭的长， b c 搭三点共圆角 b c 搭等于一百二十度，这个角是圆周角，那么所以弧 b 搭所对的圆形角，那么就是二倍的圆周角就应该是二百四十度。 但是呢，我们在初中阶段，如果没有特别定义说要求优弧的长的话，我们都是求的是裂弧的长，所以呢，要求 弧 b 搭所对的圆心角就是三百六十度，减去二百四十度就是一百二十度。好，下面我们就在图里边看一下啊，这个角是一百二十度，连接 o b o 搭，所以呢，角搭 o b 这个圆心角也是一百二十度， 求的是弧 b 搭的长度。我们已知了弧 b 搭所对的圆心角是一百二十度，实际上我们最后要求的也就是这个圆的半径啊。好，已知圆心角一百二十度啊，已知弦长搭 b 是 五， 要求 r， 我 们也是要想到垂径定里，所以就做 o h 垂直于哒 b， 所以呢，角哒 o h 就 等于 b o h 就 等于二分之一角 b o 哒就等于六十度。好，有了三十六十度的直角三角形，我们就可以直接根据三角函数值来求 r 的 长度。 sine 角 b o h 就 等于二分之根三 就等于 b h 比上 r， b h 还是等于二分之一大 b， 那 么所以就是二分之五比上 r， 最后解得 r 就 等于三分之五倍的根三，那么所以弧 b c 的 长度就等于三百六十度，分之一百二十度再乘以二 pi r， 那 么就等于 九分之十倍的根三，再乘以 pi。 第三问也不难啊，其中这一问里边最关键的两点就是圆内的倒角，以 即通过垂径定里来求半径，已知圆周角，求反向的圆周角和见到弦做垂直，这些都是我们圆里边的基本操作啊，只要你把圆的基础知识学好，那么这一问应该是没有难度的。 下面我们再来看最后一问啊，直接写出点 b 与圆心 o 距离的最小值，给的信息比较少，那么我们要如何来分析这道题呢？分析这一问的关键就是要找到谁是动的，谁是定的。题干里边给了 a b c 搭等于四，然后呢，四边形 a b、 c 搭是一个梯形，然后角儿 搭 a， b 是 九十度，也就是说这条边儿搭 a 的 这条边儿， a b 的 这条边儿以及它们所夹的这个角儿是固定的。点 c 的 位置呢，是不固定的点 c 应该是有一条过搭点平行于 a b 的 直线 在搭的右侧，任何一个位置都可以是 c 的 位置，所以也就是圆 o 不是 固定的。那么因为 a b a 搭以及角儿搭 a、 b 是 固定的，那么所以搭 b 啊搭 b 这条线段也是固定的。 好，我们还是来看图，搭 b 也是固定的，它的长度呢？搭 b 永远是等于五，圆 o 是 不固定的，但是呢，圆 o 是 三角形搭 c b 的 外接圆， 所以这个不确定的圆 o 的 圆心与固定的线段搭 b 是 有三种位置关系。那么第一种 o 一 在三角形搭 c b 的 内部，也就是这个图。那么第二种圆 o 在 三角形搭 c b 的 边儿搭 b 上。第三种呢， o 三 在三角形搭 c b y， 我 们还是来逐个分析这三种情况。搭 b 是 固定的，求的是 b o 的 距离，也就是 还是求的是半径，所以我们继续啊，根据垂径定律作垂直 h e， 然后连接 o e b。 因为搭 b 等于五，那么所以 b h 永远是等于二分之五。因为角 o e h e b 等于九十度，所以 o e b 永远是大于 h 一 b 的。 看第二种情况，显而易见， o 二和 h 二是重合的，那么所以 o 二 b 就 等于 h 二 b 就 等于二分之五 啊。第三点同理啊，还是做 o 三， h 三垂直于大 b， 那 么连接 o 三 b， 所以呢， o 三 b 永远是大于 h 三 b 的， h b 是 固定的二分之五，那么只有是圆 o 二与 h 二重合的时候啊，此时的 b o 二是最小，也就是等于二分之五。所以呢，第四问的答案就是二分之五。 这一问呢，核心点就是要找到谁是动的，谁是定的。当你捋清这个关系之后，然后看动点和定线段的一个位置关系，很容易就能找到 b o 的 一个最小值。整体上来说呢，这道几何压轴题难度并不大， 相较于我们上一次一模各地的几盒压轴题来说，它的难度更趋于平缓，然后更贴近中考的难度。好，这道题就讲到这里，欢迎点赞关注牛哥，牛哥继续为你的初中学习保驾护航！
227吾家学霸初长成
09:08查看AI文稿AI文稿我们来看一下这道题啊，这道题做的很一般啊，做的不是特别好，咱们先读题，嗯，矩形的话给了个三，给了个四，那么这里面看到三，看到四，我们考虑到的是三角函数，而不是所谓的三四五。三四五的话，初二的学生们也都会啊， 然后这又做了垂直，这又做了垂直啊，后面的话就是各种操作啊，这个大家慢慢去读吧啊，至少这题怎么的，读两遍吧。啊？ 读两遍啊，那第一个来看，第一个让我们说这个元欧与 a k 相切时，让我们去求 r， 那 这个题的话，我看大家做了五花八门啊，唯独没有用三角函数的，什么单勾股啊，双勾股啊，又什么等积法啊，做半天啊， 这题最好的是什么呢？你看他这块是这个相切的时候，这里面是不是肯定垂直啊，对吧？那 b k 是 不是就是我的直径，所以我的 r 是 不是等于二分之 b k？ 这题只要把 b k 给求出来就行了啊？那 ab 是 四，我设界角为 r 法，对吧？ 这个 b k 比上四就等于什么呢？是不就等于这个 cosine r 法是不就等于四逼成五啊？所以 b k 就 等于五分之十六，那么 r 就 等于五分之八啊。 然后下一个，他说 b c 落到圆内的部分，圆内的部分是不是就这段，对不对？比如说我们给个 b h 吧，啊，是不是求 b h， 求 b h 怎么求啊？啊？这是求什么？求弦长，弦长当然是垂径定里了，各位， 垂径定里的话，是不是要做垂直啊？从圆心 o 这做垂直，比如说我设这段啊， b t 吧，啊， bt v x 吧， 对不对啊？或者说咱不是 x 也行也，这个东西都知道平分嘛，是不是？然后你看啊，这个 bt 比上我们的这个 bo 啊，是不是就等于什么呢？就等于 cos 角这个，呃， o b c 啊，啊？ o b c， 对吧？然后这个重新写一下啊，咱们可以写这个啊， cosine 角 dbc 就 等于什么呢？就等于我的 b t 啊，比上 bo 啊，这个 b t 的 话 bo 是 多少啊？ bo bo 的 话我们刚才刚求出来是五分之八呀，对吧？是五分之八，然后呢就等于什么呢？就等于这个三 b 乘五啊，三角函数三比五，然后我们能求出来这个 b t 的 话，就等于啊，二十五分之二十四，所以说这个 b h 就 等于二十五分之四十八啊。呃，这样的话，我们第一问这两个小的就结束了， 然后我们说一下这个第二个啊，我们来说下这个第二个，我把其他先擦一下， 说一下这个第二个，然后第二个方法有很多啊，我先说一下啊，我先说一下我学生他们的做法， 就是 c m 跟 c n 是 相等的话呢，那这个是不是自然我做三线合一啊？做垂直是不是做垂直啊？做垂直的话，这里面我们会发现一个什么问题呢？就是 这个角跟这角相等，对吧？然后呢，这边是不是也垂直啊？所以这个是不是八字形，对吧？所以说这个也是不是叉啊？然后还有什么呢？还有就是这个叉加上这个角等于 九十度，那这个角加上他是不是也得九十度？所以说底下这个是不是也是一个叉啊，对吧？说明的什么呢？说明 b n 啊，说明 b n 是 不是平分角这个啊？ d b c 啊， 啊？角平分线吗？是吧？角平分线我可以做垂直啊，我可以做一个垂直，然后注意看啊，注意看我这个角，我蓝色这个角的三角函数是不是知道是不是还是三四五啊？ 对吧？所以说我就设这个为三 a， 这个为五 a， 对 吧？那这个是不是也就是三 a 了？ 所以说八 a 的 话就等于多少呢？就等于五分之十二，因为 c p 是 等于五分之十二等积法， a 是 不是就能求出来了，对吧？啊？这个 a 就 可以求出来了， a 求出来以后，那这段是不是就知道， 对不对啊？这段就知道，这段知道的话，我们的三角函数是不是就知道了？那这个题的话，你看啊，这个题，那我这个边知道了，对不对？然后我这个边就也可以求这个边，是不是就也可以求这个面积，是不是就出来了？是不啊？这是我学生他们的做法， 然后呢？我当时呢也考虑到了这个直接做垂直，但是我知，但是我当时想的是什么呢？我当时想的是我直接做垂直以后，这个角和这个角他们的三角函数不是特殊的，所以说我是怎么处理的呢？我是这样去处理的，你看 这角，这角，这角是不是都相等，对吧？所以说我知道，如果说我从点 m 这做一个垂直的话， 比如说 h， 我 这个角的三角函数和这个角的三角函数，我是不是都知道，对吧？啊？这个都知道，所以说我这个时候呢，我还是一样啊，我怎么处理？就是我发那个图片，我是设这个边为 a， 不好用啊？不，这个不好算，射谁呢？射 c m 为五 a， 那 这就是四 a， 这个呢？就是三 a， 他 是三 a 的 话，因为 c m 等于 c n 吗？这就是二 a， 所以 说，所以说这个角正切就是一比二， 对不？所以说这个角正切也是一比，也是一比二，那这个 pm 就 等于什么呢？等于五分之十二减去五 a， 然后这个边的话啊，这个边是等于五分之九， 所以说五分之十二减去五 a 比上五分之九，就等于一比二，然后这个 a 是 不是就可以求了？ a 可以， a 能求出来的话，他就知道了，他也知道了，然后这个就知道了，明白不啊？ 这是我们的这个括号二啊，括号二，然后我们再看一下这个三啊，这个三，这个三的话，我也说一下这个三的话，他给了一个角的正切是三，对不对？那这个角正切是三，我们能得到什么关系呢？那这个角对顶角吧，正切肯定也是三， 然后他是让我们求下 ak 的 长啊，让我们求下 ak 的 长，你看这个角的三角函数是不是比较特殊啊？是不还是三四五的关系，是不是？所以说我就从点 k 呢？我往这做一个垂直，看到没 啊？呃，如果我能求出来 bk 的 长，我这个边就知道啊，就是 bk 乘五分之四，那他知道了，那他就知道， 那他知道，他知道这个勾五定律就可以了，对吧？所以说这道题最后就转换成，求谁呢？是不是就求 bk 啊？ bk 是 不是等于二倍的小 r 啊？对不对？是不是就求小 r 就 可以了？ 那我们来处理一下，你看这个正切是三，那这个角正切也是三，然后我知道这个 b p 是 等于这个五分之九，所以说我能得到 pm 是 不是等于五分之三呢？ 对吧？啊？ pm 等于五分之三，然后我怎么去构造一个关于 r 的 一个等式呢？其实很简单啊，这是五分之三， 对不？整个的 b p 是 五分之九，你看，我只需要把 o m 给连接，这是 r， 这也是 r， 这一段 o p 是 多少呢？是五分之九啊？是五分之 五分之九减 r， 对 吧？五分之九减 r， 然后我们是不是可以在这个呃，直角三角形当中去看啊？它的这个是五分之九减 r， 然后这是一个五分之三 啊，这是一个 r 购物定例。 r 是 不可以求，对吧？ r 可以 求，那 bk 就 知道，对不 啊？ bk 就 知道了，你 bk 知道了，那这个边就知道啊？这个边知道，这个边也知道，然后他俩就可以勾到勾股定律了。
108石家庄数学陈老师
06:21查看AI文稿AI文稿好，同学们，那我们接着往下讲填空题，刚才我们已经把选择题的最后一道讲完了。呃，第十二题难度非常高啊。 那前面的题很简单，就第十二题，他开始上升难度了。那我们后边的填空题和解答题也是一样的，除了少数一两道特别难的之外，其他的难题很少。那我们来看一下第十三题。 某体育馆有三个完全相同的入口，分别通往天津。呃，田径训练场、球类什么健身训练场，三个训练场，一名运动员从任意一个入口进入的可能性相同啊，没有任何难点，我没有任何好说的啊。三分之一， 如果你这个题做错了，好好审题吧。好好审题吧。来看一下第十四题。十四题。呃，图七 是正 n 边形的一部分，还有它的一个外角，我们其实可以知道，这个三 r 法应该是它的一个内角，然后 r 法是它的一个外角，根据图中所给的信息，求 n 的 值。 呃，河北的考试好几年都在考多边形的内角和，你一定要记住这个公式啊，一定要记住公式，你不要说老师我考试的时候我再推呗，太麻烦了。记住公式， 一百八十度乘以一个 n 减二，这个是我们的多边形的内角和 n 边形的内角和。然后如果它是正 n 边形， 听好，正 n 边形，那它的一个内角就是除以一个 n 之后的结果。因为正 n 边形代表它的所有的内角都相同，那我们把它的和除以内角的个数就是它的一个内角。把这个公式记住了，那这个题就非常简单了，那我们看一下，先算它的内角吧。呃，三 r 法 加上一个 r 法等于一百八十度，那么也就是四 r 法等于一百八十度，那么 r 法就等于四十五度，哎，对吧？呃，四十五度没问题，那么三 r 法就等于，嗯，三五一十五，一百三十五度。 然后再怎么办呢？直接带到这个公式里不就可以了吗？带到这个公式里，刚才我们说的多边形，正多边形的一个内角就是我们这个公式，然后我们再算一下，一百八十度乘以 n 减去一个三百六十度等于一百三十五度乘以一个 n， 然后这俩 相减，那应该就是，嗯，五十啊，不对，不好意思啊，四十五度，四十五度乘以 n 等于三百六十度，然后 n 的 话就等于三百六十度乘以一个四十五，呃，八吧， 五八，四十四八三十二。好，那 n 的 话就是八。 如果你这个题做错了哈，看一下 n 边形的内角和是怎么算的就可以。再来第十五题， 我们一块来审一下题吧。嗯，从第十五题开始就就不是刚才那个简单题目了，是中等题了。 矩形 a， b， c d 中 ab 的 长是六，然后呢？呃， q 是 c d 的 一个中点， q 是 中点，连接 a q， p 是 在 a q 上，它是，它也是终点，它也是终点。 我们想它是终点的话，这个如果做垂线的话，它们是不是 他们的垂足？应该也是终点吧。你看这个和这个是平行的，然后这个是终点，所以这个点也 p 点是终点，所以这个也是终点，这个也是终点啊。我这不是说思路啊，我们再往下审啊。连接 b p 和 c p， 那么若 c p 垂直于 b p 那 角， b p， c 是 九十度，求 cd 的 长，求 cd 的 长，我们想一下这个题， 它应该是可以把里头很多的线段求出来吧？它求 cd 的 长， 那我们就来算一下不就可以了吗？我们标一下过 p 点，做一下 b c 的 垂线， 垂足是 m， 然后它的延长线交 a d 于点 n， 刚才我们说了，这个是垂直，这个是垂直，然后 p 是 终点，说明 m 是 bc 的 终点， n 是 ad 的 终点。然后， 哎，这个 p b、 c， 它应该就是一个等腰直角三角形，那它的底是六， bc 的 长是六。哎，那么这个 m p 的 长应该就是三吧，这个就是三，还有别的条件吗？ 啊？ p 是 a q 的 中点，这个是中点， 好像没有别的办法，设未知数吧。我们可以设 p n 的 长是 x， 然后 d q 的 长就是二 x， 对 吧？因为它是一个中位线，然后呢， cd 的 长， cd 的 长应该就是四 x， q 是 cd 的 中点，那就直接算就可以了。四 x 是 等于 m n， 所以 可以算出 x 是 等于一的， 但是我们要算的是 c d， 所以 c d 的 话是四 x， 那 就是四。好，我们来看一下这个题。呃，它用到的知识点的话用到了。呃，中位线，然后呢？用到了等腰直角三角形的一些性质， 但是整个难度并不是特别高啊，你可以想一下。好，这个题没有问题的话，我们再往下看。
14:56查看AI文稿AI文稿如果没有疑问，那我们现在开始挑战第十二题。那十二题可以说是很多同学哎，做错的，基本上百分之八十以上的同学都做错了，即使做对他也是蒙的。来，我们可以看一下， 看一下第十二题。呃，这个题我说一下，我有四五个同学吧，呃，基本上只有一个同学做对了，应该就是只有一个同学做对了，那这个同学是怎么做对的？ 我们最后再说一下吧，我们最讲完这个之后我们再说，呃，我们先把他的常规解法说出来，然后我们再说他的解变解法，只是你完全不会的情况下可以有。好，我们看一下。这个第十二题出了很多，我们先审一下题， 平面直角坐标系 a， b， c， d 绕着点 d 旋转，哎，得到一个新的平行四边形 m， n， q， d， 哎，那其实就是 da 这个边旋转到 dm 这个边，然后呢？ dc 这个边旋转到 d， q 这个边，对不对？ 然后呢，他现在问你，呃，他条件是 a， m， c， n 是 在一条直线上，那求，呃，就 cd 的 长是四，求 b 和 q 的 距离。 好，那这个题大部分同学哎，就像我说的，没有太大思路，那我们想想，如果是你的话，你有哪个想法？ 哎，如果你做这个题的话，我们想一下这个 b， q 我 们是不是要连起来它，如果你拿尺子测一测，你会发现这个 c 点好像是在 b q 这条直线上，也就是说我们的 b 我 写在这，写在，呃，右上角吧， b， c， q 这三个字母是不是共线呢？ 我们猜测或者我觉得应该是的，那我们现在第一就是能不能证出它是贡献的， 然后再往下做。那我们现在来看一下这个题。那，那如果是贡献的话，我们的思路是什么呀？我要把 c、 q 连接起来， 这个我先说思路啊，这过程我先不写，那我们要把 c、 q 连接起来， 那你会发现，哎，我这个 d a、 m 是 一个等腰三角形， d a m 是 一个等腰三角形，因为 d a 等于 dm， 然后 d、 c、 q 也是一个等腰三角形，而且这两个等腰三角形应该是相似的。 我说思路啊，你想一下，为什么？你看一下就是，呃，这个角 q d b 和 a d c 这两个角是旋转前后的角，标红的，这是两个旋转前后的角，然后它的公共部分， 公共部分是不是这个 c、 d、 m 这公共的角？把这公共的部分减去，是不是就得到 c d q 这一个角和 a m d 这一个角是相等的， 那我把这个其他都划掉，我们就发现这两个红色的角相等，那么 d a、 m 和 d c q 是 不是就是一个等腰相等？呃，等腰角，而且是相似的， 那说明它们的底角也相等吧。那我现在标一下我需要的角，我就把它标一下，角一和角二和角三 和角四。啊，这，这个，这道题，这角非常多，所以我就不用字母了，我就用这个一二三四来表示， 你们看一下啊，这个四，这个边长四我们还没用到，先把它擦掉，角一等于角二等于角三等于角四，这两个 等腰三角形是相似的，然后到这之后还没有结束，对吧？我们要正这个 dcb 是 贡献的，那其实就是让正这个 d。 呃，我写在这，我们要正 bcq 是 贡献的，其实是正角 qc n 是 等于 bc m 的， 哎，这个也是比较麻烦，我把它擦掉，哎，我把它标成一个角五和角六，我刚才说了，用到的角非常多，角五和角六你可以看一下，就是我们要正出角五和角六相等，是不是就可以了？ 那现在我们看角一、角二、角三、角四是不是和他们都相等？感觉是相等的，我们来看一下， 哎，我们会发现什么呀？这个角四好，这个角四和角五是内错角，因为 d q 平行于 m n， 它也是个平四边形， d q 平行于 m n， 所以 角四是不是等于角五？ 我把这个全都写出来，角一是等于角二的，是等于角三的，是等于角四的，也是等于角五的吧。现在啊，这么多相等的角，就差一个角六了。 那我们还是要用到一个一个条件，还是用到了一个条件，就是再加一个角角七。好吧，这角太多了啊，我用到了，我现在用到了，就七个角了，等会我们可能还会，还会用到角，还会用到角。 好，那现在的话，现在的话，我们看一下角六和角七，我们观察一下红色的线段， d a 等于 dm， 因为它是平行四边形，那平行四边形的这个对角线是互相平分的，所以 dm 是 不是等于 bm， 然后呢？ d a 和 b c 又是对，呃，这个对边，那对边也相等，你会发现这四个小段的红的是相等的，哎，那么 b c m 这个三角形是不是它也是等腰三角形， 所以角六等于角七，而角二和角七也是相等的，对顶角嘛，所以我们又可以得到，哎，他们是等于角六，是等于角七的。 好，呃，我，我们把这个结论写出来，把这结论写出来，那我是不是就得到了？写角五等于角六，那是不是就得到了 b c q 贡献？这是我们的第一个难点， 这是我们的第一个难点。当然，当然如果你在考试中，你感觉它特别复杂，很难想到的话呢，那你其实就可以把这步跳过去。 这当然我不是，哎，推荐你说，你说我会做，我还跳，你要严谨一点，当然要做出来。但是如果想拿高分的话，想在短时间内拿更多的分数的话，这个题有些步骤是可以跳的。好，然后我们再往下看， 那贡献之后，这是我们的第一个难点，然后我们再看，呃，你会发现 b c m， 这个 c m 是 这个平行于 d q 的， 并且 m 是 d b 的 中点，所以 c 点应该也是 b q 的 中点。 然后你会发现啊，其实也不用不用整这个，我们就直接再来一个角吧。再来一个角，呃，这个角八，这个角八， 哎，我再等一个角，角七是不是等于角八？因为它平行，哎，同位角相等，所以角七是等于角八的， 那这样的话，你会发现角四是不是等于角八？我用到这个角四等于角八，那它俩是一个什么呀？ 一个三角形的两个角八，哎，那就会得到。等角对等边就会得到 b q 等于 d， b 就是我们，我们的，我们知道这个 b c q 是 共线了，那我们就知道 b q 的 距离就是线段 b q 的 一个长，然后呢，我们就可以通过角得到边。我想求 d q， 呃，这个 b q 比较麻烦，但是，哎，我把它转换成 b d 就 比较简单了。 好到这里，哎，我们可以暂停一下，可以再想想哪个步骤不理解，我换一个颜色的笔啊，你们可以再做一下。呃， 换个黄色的。好，然后我们第一个问题已经解决了，贡献，并且我们把 b q 的 长转换成 b、 d 的 长了。那第二个问题，我把它裁这个换一下， 黄色的，这个三角形和这个大的黄色的三角形 是相似的，就是我们说子母相似。那我们现在来看一下，来看一下怎么来做。呃，我想一下，嗯，你可以这么来， 就这角一、角二、角三、角四、角五、角六、角七、角八，这八个角都相等的，我们用这个小一点的这个角也行，或者是大一点的。呃，写在这 黄色的角吧。呃，角九和角十太多了，角九和这个 就是 d a、 b 角十，证明他俩相等是不就可以了？好，我这是，我这是思路啊，所以写的是比较简单的，等会讲完题之后，你可以自己从从头到尾写一遍，看一下能不能写出来。那么角九是等于角十的， 怎么来证呢？你会发现角七和角九是互补的， 角七和角九是互补的，对不对？ 然后，呃，其实好像不用啊，我们我们用这个旋转应该就可以了，角九角十，这再加一个角十一，角十一。呃，我们我们会发现角十一和角十是旋转前后的角， 也就是角十是等于角十一的，然后呢，角十一又和角九是一个对顶角，所以它也相等，所以很容易得到这两个黄色的三角形有两组相等，一个是公共的角 a、 b、 d， 一个是角九和角十。我还是用红色的吧，这个看起来有点费劲。 好，那得到这两个三角形相似，写一下就是 a， m b 相似于三角形， d a b 用到的是两个角相等，那我们就可以来算出来。我要求的是 d b， 那 我设 m b 等于 x， 那 d b 就 等于二 x， 那 我就可以得到它们的边的关系。 ab 是， 刚才我们知道它是四，已知条件嘛， cd 是 四，所以 ab 也是四，那这样的话， 这样的话我们就可以得到它们的一个。呃，相似比，就 m b， m b 这个边，比上一个 ab 这个边，比上一个 d b 这个边，然后你再把这个数代一下。 呃， m b 是 x， ab 是 四，然后 ab 是 四， d b 是 二 x， 所以 可以得到。呃，我就位置的问题，我写在 写在这啊，我们可以得到二 x 方是等于十六的，那么 x 方就等于八， x 就 等于正负二倍根号二，当然我们只要正数二倍根号二， 然后我们要求的是 db， db 是 二 x， 二 x 就 等于四倍根号二。好，整个题思路就是这样的，你们可以想一下， 我没有写完整的过程啊，因为它是一个选择题，而且过程比较繁琐，所以我就把它的所有的思路给你讲解了一下，如果你感觉哪个地方不没听懂，你再返回去再听一遍， 然后听好了，然后，哎，把我这个题重新拿出来，然后从头到尾做一遍，如果你能做出来，就代表这个题你是学会了，如果没有做出来，你可以再听一下我的讲解过程。 好，那我们这个题就到这里啊，说最后一个方法，刚才我们提到的就是我说有一个同学，他是唯一的一个学生做出来的，他是怎么做出来的？ 它是用直尺，直尺量出来的，哎，那那，那你说我直接拿直尺量 b q， 假如是三， 那那那里头没有的正确答案，那怎么办？我们要借助的是它原有的线段的长度，它说了 c、 d 的 长 是四，那你就要测一下。比如啊，假如你拿直尺量了 c、 d 的 实际的长，假如是两厘米， 那么他说了是四，所以你用这个两厘米出一个四，那就代表着他的每一厘米代表着，呃，或者他每一格是代表零点五厘米， 然后你再量一下这个 b q 的 长， b q 的 长，假如是这个三，然后你三厘米出一个零点五，哎，就是六，那说明 b q 的 长是六， 当然最后它应该是这数是我随便说的，因为我没有这个拿尺子量这个方法，你们试一下看一下结果应该是也是约等于 a 的 啊，根号二，约等于是一点四一四， 然后根号三是约等于一点七三二，然后根号五是约等于二点二三六，这个如果你知道的话，那应该就没问题了。好，那第十二题，哎，我们就到这里啊，你看一下这个题有没有掌握。
17:14查看AI文稿AI文稿看一下第六题。好，这个是一个二次根式的题目，二次根式的题目。然后我有一个学生做错了，所以我们把它讲了很多， 讲了很多，因为我觉得这一个题做错的话，就代表着你有很多知识点不太熟啊。那我们一样的假设，这道题你做错了，我们先讲知识点，再讲这个题。我们先讲知识点，再讲这个题。我们看一下这知识点用到了什么？呃，用到了几个点？第一，第一个是加减乘除， 就是根号下的数加减乘除应该怎么办？ 来看一下。先说乘除，先说乘除，乘除的话，就是根号 a 乘以一个根号 b， 就 等于根号下 ab。 举个例子，根号二乘以根号三，就等于根号六。 很简单除法，根号 a 除以根号 b， 就 等于根号下 a 除 b。 比如根号二除以根号三，就等于根号下三分之二。来看一下，看一下。 呃，当然这个 b 不 能为零啊。那这乘除很简单，那加减是不是也很简单呢？有些，有些学生说，老师，我知道了，根号 a 加根号 b， 等于根号下 a 加 b， 对 不对？同学们， 错啊，错，这个是错的。我们来说一下。呃，加减法的话，就涉及到一个新的概念啊。我们这个这样吧，我把它分成两这个乘除，然后第二个是加减， 那加减的话，第一个词我们要知道，呃，就是这个最减二次根式 和同类二次根式。 好，如果把这两个字搞懂了，加减法就会了。首先最减二次根式。什么叫最减二次根式呢？我们要求是根号下的数没有完全平方数，比如说根号五十，你会发现它的音式分解。呃，它的它这个它的音式音数里头应该有二十五吧， 那二十五是个平方数啊，那它可以开出来的，它就可以变成根号二十五乘以一个根号二。哎，我们用到了这个的逆定里啊，反过来那应该就是五倍的根号二吧。 所以如果里头有平方数，我们要开出来，那第二个就是根号下不能有分母，或者是这个分数里头的分母不能带根号。什么意思呢？比如说根号加三分之二。 哎，那这个时候是不是最减二次根式，那我们应该怎么办？我们应该上下同时乘一个根号三，那这个根号三乘以根号三就变成三了，然后这个根号二乘以根号三，就变成根号六了， 这个叫做这个最减二次根式，它的分母有理化这个步骤，这个步骤叫做分母，它本来是无理数，我们把它变成有理数， 然后呢叫做分母有理化。哎，上高中的话也会用到这个知识点啊，也会用到知识点，因为我教一个高中的学生，他基础比较薄弱，他竟然问这个什么叫分母有理化，所以这个知识点还是很重要的。 呃，还有一个，既然说到这，我们再把它拓展一点，比如说根号二减一分之三，我想把它分母有理化，你们可以试一下。可以暂停试一下。 做出来了吗？我们来看一下这个怎么进行分母有理化呢？就是我们的分子分母同时乘以它的什么呀？根号二加一，就是我们看这个符号是减法，我们就乘以个加法， 如果是个加法的，我们就乘以个减法的负平方差公式可以看一下，就是根号二减一，乘以一个根号二加一， 那分子分不成了，那分子也要乘一个根号二加一，带上括号。那这样有什么好处呢？ a 加 b 乘以 a 减 b， 是 不是等于 a 方减 b 方， 哎，那就可以错出根号二的平方是二，一的平方是一，那么上面是三倍的根号二加三，然后就等于三倍的根号二加三， 那这个就叫做分母有理化两个，一个是简单的，就是只带一个根号的，你就乘以它就可以了。分子分母同时乘以这个根号的数，比如根号三，然后呢，如果是分母比较复杂一点，有加减法的， 我们乘以它的另外一个有加法，我们就乘以减法的，有减法我们就乘以加法的凑平方差公式， 那现在我们是，我们明明讲加减法呢，孙老师，你给我拓展了那么多，把我搞晕了呀。这个最简二次根式讲完之后，这个有什么用呢？对我们加减法有什么用呢？那就是第二个概念，就是同类二次根式。 同类二次根式就是你化简成最减二次根式之后，这个时候你看根号下的数是不是一样的，比如说三倍的根号五和这个减二倍的负二倍的根号五，你会发现它根号下的数都是 一样的，而且它是最减二次根式，那这个时候它们就可以进行加减法了。那比如说，哎，我把它合到一起，这个三倍的根号五减去一个二倍的根号五，应该等于什么呀？等于根号五，为什么会这样呢？ 为什么会这样呢？哎，它和同类项的计算是一样的呀。三 x 方 y 减去二 x 方 y， 你 想想同类项的计算是怎么算的？ 是不是后边的字母和指数不变，它前面的系数相加减，那也就是三减二，那就是一，所以是 x 方 y， 那 这个就叫做同类项，而我们上面这个叫做同类二次根式，所以加减法的时候就是这样的一个计算。 好，那我们现在回来这个题啊，拓展了非常多，拓展非常多。这个题如果你做对了，哎，你觉得这个知识点非常简单，那你就稍微看一看，如果说你这题做错了，哎，我们的知识点都要审一遍，就知识点都要过一遍啊，看一下哪个地方不理解。 好，那我们现在来把这个题写一下这个题。那首先，呃，乘除你可以直接算啊，应该比较好看。你比如说，呃，根号二乘以一个根号下二分之一，就等于根号下二乘二分之一，就等于根号一，也就是一， 所以乘法是不行的，那么除法根号二除以一个根号下二分之一， 也就是等于根号下二乘二，那就是根号四，也就是等于二。哎，这个除法是对的来，但是，但是我们先不写，刚才说了，我们选项要看全的，对不对？要看全的，那我们，呃加减法，你们可以试一下根号二， 哎，这是怎么回事？没事，不影响根号二，加上一个根号下二分之一和根号二减去一个根号下二分之一，你们可以尝试算一下，看它的结果是多少。 好，呃，我现在给你们说答案。呃，首先他不是同类二次根式，所以你要就是他不是最简二次根式，你要先化简一下，那下面这个根号二，我们可以变成，呃，根号加二分之一，可以上下同时乘一个根号二，可以变成二分之根号二。哎，这个时候变成同类二次根式了。 那，呃，前面系数是一，这个系数是二分之一，所以加起来是二分之三倍的根号二，那这个也是一样的，根号二减去一个二分之根号二，就等于一减二分之一就是二分之一倍的根号二，当然你也可以写成二分之根号二，都可以。 好，呃，大家可以看一下，这个讲，讲的时间比较多，虽然比较简单，但是我们拓展的内容是非常多的。 好，我们再往下看，再往下看。呃，第七个，第七题。好，我们来看一下这个第七题。那第七题的话，它是呃，一个平面直角坐标系的题。啊？不对， 应该跟这个类似吧，我们来一块省下题，它是方向的问题。嗯，在四乘六的正方形网格中，位于 a 点， a 点南偏西，南 a 点， 呃，上北下南南偏西，那应该是在这个方向，在左下角，在他左下角。呃，六十度的南偏西六十度，那大概的位置大可能是这样， 这是六十度，所以有可能是 p 点，有可能是 p n， 但是我们还是要省钱啊。没，没完呢，同时又是在点 b 点 b 的 西北方向，注意西北方向。我们说了，西北方向是什么呢？ 是北偏西四十五度，就是正好是角平分线，这种的话就西北方向，西南方向，然后呢，东北方向，东南方向。像这种没有说度数的，你就认为是角平分线四十五度，所以应该是在他的左上角四十五度方向。 哎，那符合两个的要求的只有 p 点，所以这个题选 a 还是比较简单的。如果这个题你做错了，你要对这个角度问题再找一些同样类型的去练一练，看一下哪个知识点还不会 好。那我们第七题就到这里啊，看一下第八题。第八题好，它涉及到几个知识点？我们先读题，第八题是已知 m 是 一元二次方程，两根之和 受到的。涉及到第一个知识点是什么呀？伟大定律，一定要记住。当然有些有些学校已经不讲这个名词了，什么叫伟大定律？我们学过，呃，我们课本上叫什么呀？根与系数的关系，根与系数的关系， 但是意思是一样的，那第二个是什么呀？双曲线，也就是我们的反比例函数。 那如果这道题你做错了，那你现在看一下，是伟大定律的问题还是反比例函数的问题。那我们一个一个来说，第一个伟大定律，你要记住啊，什么叫伟大定律？就是如果它是一个一元二次方程，然后呢，你可以设它的根分别是 x 一、 x 二， 那它们这两个根的和就等于负的 a 分 之 b 就 等于负的 a 分 之 b， 那 ab 就是 二次项系数，一次项系数 c 是 常数项，所以这个就是负的负的 a 分 之 b。 然后那我们还要再说，它们两个根的积 x 一 乘以 x 二，就等于 a 分 之 c， 就 等于 a 分 之 c， 所以， 哎，要算对数啊。呃，有一些学生，他把符号给记反了， 就是我我我这个做完之后，这套这套件做完之后，有一个学生跟我说，老师，这个题我做错了，为什么呢？一看，原来他他他写成负的 a 分 之 c， 然后这个 x 一 加 x 二，当成了什么呀？ a 分 之 b 了，所以符号要记住了，要记牢了，如果这个符号记错了，那你肯定是拿不了分了呀。 我们算一下， x 一 乘以 x 二， x 一 加 x 二，那是负的 a 分 之 b， a 是 一， b 是 负五，所以它就等于五。 那么，呃， x 一 乘以 x 二，我们也算一下吧， a 分 之 c， 那 应该就是一分之三，也就等于三。好，这就是伟大定义，没有别的要求。背过，背过，如果背不过，哎，花时间，现在暂停，花十分钟默写，默写，把它背出。 好，那看第二个反比例函数， ok， 反比例函数，那它就一个什么呀？双曲线，那就是 y 等于 x 分 之 k。 你 要搞清楚，搞清楚这个什么几个知识点，我，我帮你先回忆一下， 如果 k 大 于零，它是过一三项线的，我写在这，如果 k 大 于零，那它是过一三项线的， 然后你会发现什么呀？它，它，它是一个递减的，它这个下降的趋势吧？它这个下降的趋势，但是呢，它它是什么呀？每个象限内是下降的，所以你要加一句话，加一句话是在每一个象限内， 然后呢？ y 是 随着 x 的 增大而减小的， 然后你也可以说，哎，在每一个象限内，然后这个函数图像是下降的，函数图像是下降的，这个递减就是下降。好，那这样的话，你会发现，只要知道这四个中的任何一个，那其他三个都是 都可以推出来的，他们是相等的关系的，是完全一样的。那如果 k 小 于零，我就不写了， k 小 于零，那他就是二四象限，然后在每一个象限内外，是随着 x 的 增大而增大的，然后呢？呃，在每个象限内，然后这个函数图像是上升的。 好，那现在我们来看，这个我们已经算出来了， m 是 两个根之合，也就是 m 是 等于五的， m 是 等于五的，那我们的这个反比例双曲线啊，那应该就是 y 等于 x 分 之四减五，也就是负的 x 分 之一，或者是 x 分 之负一，那 k 是 小于零，那应该是二四象限吧， 二次象限，然后呢？这个 y c x 增大而增大，这个好像对了，但是它没有加什么呀，在每个象限内，所以 a 也是错的，然后 b 选项也是错的，负一负一带进去，它俩成绩是一呀，而不是负一，所以 b 选项也是错的， 那只能是 c 选项了。注意，其实如果这个题你比较熟悉的话，对，你对双曲线比较熟悉的话，你就不用看，你就直接选出 c 了啊。当然，我不建议这么做啊，我就说，如果你特别熟的话，你其实可以直接选出 c 了，为什么呢？因为 这个双曲线，只要是双曲线，它永远是关于两条直线对称的。呃，一个是 y 等于 x， 一 三象限角平分线，一个是 y 等于负 x 二四相线的角平分线，所以这个题他选了，他有 c 选项，这个题出的就不是那么高明，因为这个题你可以不用看条件，你就直接选 c， 或者简单的看条件，你就直接选 c， 所以 没有那么高明。好，我们第八题就到这里啊，看一下你是维纳定律不会还是反比例不会？我们再往下看啊，看一下第九题。第九题是一个空间想象的能力的一个题 啊，这种题一般情况下不太好讲，但是我们也可以看啊，我们来看一下。呃， 第九题，如图五杠一，它是一个正方体的平面展开图，那么它是如图所示，现在屁是不知道的，但是它展开之后它是，呃，它合上去之后是右边这个图二，那么现在问你屁这个图图像是什么？我们来看一下这一个， 这一个我可以标几个点你就知道了。这个我标成 a 点，这个我标成 b 点，那这个 a 点， 你可以想一下他的下边，或者是他这个是横着的一个，呃，矩形是这个正方形的一半，所以我们可以看一下这个应该是 a 点，这个应该是 b 点吧，对不对？ a 点， b 点， 那么呃再往下推，呃，假如这个是 c 点，那你会发现这个是 c 点吧？ 那这个我标成 d 点，那这个应该就是 d 点。好，那对应的展开之后，呃 p 的 位置，那 c 应该是在这里， 然后 d 应该是在这里，你观察一下 d 的 话，它是正好是一个直角三角形，等腰直角三角形的顶点上的一个点吧，所以我们可以画一下它，应该是这样的。 好，那我们看一下这个题选什么？是不是选四 d 啊？ 好，这个题没有别的方法，它好像就这个方法更简单一点。嗯，当然你如果说我脑海里一下就想到了，那就可以直接直接做。
00:37查看AI文稿AI文稿啊，这次二模物理试卷没有什么可太多分析的地方啊，整个偏基础一些啊，只有拓展题稍微难一点，就是在读题的时候稍微难点。其实你读懂也比较简单啊，而且即使你读不懂啊，这个出题人还怪好的啊，让你 选择一个正确或错误，这个就是蒙，也也是百分之五十的概率，对吧？啊，所以说整个考完试可能给大家一个 定定心丸，也就是说你只要把这个基础知识打牢了，然后基础分不丢，基本上你物理的这个成绩不会太低啊。好，所以在接下来的二十多天，大家继续努力吧。
54邢台杜老师讲物理
08:07查看AI文稿AI文稿我们前两次课已经把前九道题讲完，今天开始我们讲第十题，往后依次讲，那么后面的题型跟前面的是一样的，我们讲的会比较详细，如果你哪个题不会，可以看，直接翻到那个题来听一下， 那觉得有用的同学可以点赞关注啊，然后如果需要冲刺的同学也可以联系我。好，我们来看一下这个第十题。那第十题的话，它涉及到的是分式的化解，分式的化解， 那分式的话是我比较喜欢的一个章节，为什么呢？因为他有一个约分环节，就是分子分母，呃，有相同的部分我们可以约掉。那需要注意的是，我们分式有一个核心的点，就是必考的点，就是因子分解， 他会把我们呃分子分母分解成多 多个音式，多个整式相乘的形式，那这样的话分子分母就可以消掉。那你觉得比较抽象的话，我们来试一下这个题。 那我们把这个 a 实数 a 进行一个化简，那么它里头带着括号呢？我们优先先算括号里的，把它通分一下，一变成 m 分 之 m， 也就是这个式子会变成 m 分 之 m 减二，然后括起来，那除法要变成乘法， 哎，分子分母颠倒一下位置，那需要注意的是，哎，我颠倒的时候，我就直接可以进行因式分解，那分子变成了 m， 分 母是 m 方减四。那你们想到了什么？ 是不是平方差公式，哎，我们因式分解一下，可以得到一个 m 减二，然后乘以一个 m 加二。好，那做到这之后，哎，我可以把前面的括号去掉， 那我们就刚才就到了我最喜欢的环节，刚才说的约分环节，那分子分母相同的部分，我们就直接可以消掉，那么 m 减二 和 m 减二消掉，然后呢？ m 和 m 消掉，那最后的结果就是 m 加二分之一，注意，消了之后剩的是一，剩的是一。 好，那这样的话，我们最后结果是 m 加二分之一，那他现在的问题是什么呀？说这个 a 的 值可以是什么， a 的 值可以是什么？那我们现在看哦，这个零肯定是不行的，因为分子分子是一，它就不可能是零。我们说 m 是 取不到正无穷的，在小学啊，在初中我们就不说另一种情况，所以 c 的 话是不对的。 哎，那我们看 a、 b， d， 我 感觉好像是不是都可以取到你比如说，呃， b 二分之一，那么 m 加二分之加二分之一，如果是等于二分之一的话，那 m 等于零。哎，这不是可以吗？这不是存在吗？ 那这个时候就要注意了，我们分式求值的时候，有一个非常重要的条件，让这个式子有意义的条件是什么呀？分母不为零。 如果你把这两个知识点记住了，因式分解和分母不为零，那这个题绝对是非常简单的一个题目。那分母不为零什么意思呢？就是这里头的式子的化简， 所有的都不能为零，只要出现的分母都不能为零，比如说这里的 m 是 不能等于零的。第一个，哎，分母是不能等于零的，然后后边这个 m 减二乘以 m 加二是不能等于零的，那合起来应该就是 m 不 等于二，或者是 m 是 不等于负二的， 所以 m 取不到这三个数，除了这三个数之外，其他的都可以取到。哎，那，那么你会发现哦，这二分之一是要求 m 等于零，而 m 是 不能等于零的，所以我们二分之一是不是就舍弃了？哎，我们直接把零带到里头，可以得到 a 是 等于 二分之一的，所以这个要舍弃。那么同样的，把二带到这个式子化简的式子里头，哎，那么 a 是 等于四分之一的，那我们应该舍弃，或者你直接写不等于不等于。 哎，我把舍弃去掉，用不等号吧。那负二，哎，带进去，那它是没有意义的，这个我们就不说了，无意义。 好，那这样综合下来，零取不到，二分之一取不到，四分之一取不到，那它是不是只能取得是 a 选项三分之一？ 当然，如果你不确定，哎，你再算一下，你带带进去，那么 m 加二分之一是等于三分之一的，那可以得到 m 是 等于一的，哎，它， 那这个式子是有意义的。所以 m 是 a 等于一的，那么 a 的 值就可以是三分之一。好，这个是我们的第十题，大家可以看一下分式的化解涉及到两个点，刚才我们一直在说，第一个点因式分解，第二个点分母不为零，把这两个点抓住，这个题非常简单。 好，我们再往下看了第十一题，嗯，呃，到这个题开始，有些同学就感觉，啊，好像有一些难度了。呃，这个上一百分儿 的同学可能还觉得稍微简单一点，如果没有上一百分的人，同学就感觉有有一些难度了。那我们来看一下这个第十一题。呃， m 减二零二二的平方加上一个 m 减二零二六的平方等于四十，然后则 m 减二零二四括起来的平方等于什么？ ok， 这个题的话，那不要说我上来就直接一时问的，就把括号去掉，然后再再整理，你会发现它的计算量比较大， 那有没有减变的算法呢？有的朋友们有的，哎，怎么办呢？我们看一下他的问题，他让这个问题是 m 减二零二四的平方是多少， 那我发现这个减二零二也好，减二零二六也好，他和减二零二四是非常接近的，那我就用换元法来解决这个问题，把这个问题的难度降低一些来换元法。那我们应该怎么办呢？哎，令 这个 a 是 等于 m 减二零二四的。好，那我们想想这个 m 减二零二二应该是什么呀？是不是 a 加二？ 你想这个式子变成这个式子，是不是需要加一个二才能变成这个式子，所以这边也得加一个二，所以 m 减二零二二应该是 a 加二，而不是 a 减二啊，这个需要注意啊，有些同学这个地方写错了，当然对于这道题来说，呃，因为你前面这个写错了，变成 a 减二，那下一个也会写错， 反而是负负得正，哎，错，错得对了，但是我们尽量的要准确一点。那么第二个 m 减二零二六，哎，那应该就是 a 减二， 我们把它的难度降低了。现在我们再把这个题整理一下，看它的问题和条件分别是什么？它的问题就是 a 方等于多少？它的条件是 a 加二破起来的平方，加上一个 a 减二，破起来的平方等于四十。 哎，那这个时候你再把它去掉，你再把这个括号去掉，那应该做起来比较简单了，我们来一下， a 方加上一个四， a 加四加上一个 a 方减去四， a 加四等于四十， 然后呢？加 a 加四， a 减四， a 消掉了，然后变成二， a 方等于四十，减去一个四变成三十六，所以 a 方就等于十。 啊，不好意思啊，这个四加四是八，所以这应该是四十减八应该是等于三十二。呃，三十二除以二是十六，所以 a 的 平方就等于十六。那 a 的 平方就是我们的问题， 这是第十一题，同学们可以看一下有没有疑问？那我们现在开始挑战第十二题。
02:07查看AI文稿AI文稿我们来看一下邢台二模数学题的第十一题，那么给了我们这样的一个等式， 然后让我们去求 m 减去二零二四的平方的值，那么我发现 m 减二零二二， m 减二零二六， m 减二零二四，它们之间有关系，那么二零二四是二零二和二零二六的平均数， 那么所以这道题我们就可以用换元法去做，比如说我们令这个 x 等于 m 减去二零二四， 那这样的话，我们实际上就是去求的就是 x 的 平方。然后我们可以用含这个 x 的 式子分别来进行表示这个和这个代数式，那么我们来看一下，那如果 x 等于 m 减去二零二四，那么我们会得到那 m 减去二零二二，是不就是 x 加二， m 减去二零二六，就等于 x 减二，所以 我们这个式子是不就变成了 x 加二的平方，加上 x 减二 的平方等于四十。好的，我们把这个式子计算，就可以去得到 x 平方了。我们来看一下，那么每一个都是完全平方公式啊。那么第一个 x 平方加上四， x 加上四， 再加上这个式子， x 平方减去四， x 加四等于四十。正的 x 负的四， x 抵消掉了，所以变成了二 x 平方加八等于四十， 那么二 x 平方就等于三十二，所以我们得到 x 的 平方就等于十六，那么我们要去求的这个就是相当于就是 x 平方，所以这道题我们选 c。
151紫*
05:36查看AI文稿AI文稿同学们好，我是刘老师，我们今天用画画来把这道压轴题给解决一下。好，这道题目呢？作为一个资深的数学老师，资深啊，资到什么程度了？就是就是，就是很资深。上次的时候我到学校里面去做讲座，一个校长就这么介绍我的， 我心里觉得特别的难过，真的特别的难过，为什么？说到资深两个字，我就会联想到我是不是一个上古神灯？好， 我们一起来看一下，我把这相等的角度给大家标了一下啊，标完了之后，第一问答案也就出来了，为什么？因为这个角是共用的，对不对？ 这两个角相等的，所以问题就解决了，它就是相似。然后第二问的时候，大家注意啊，这个 d e 啊，这个 d e 跟它是相等的， 那就相当于是他比他是一比二的关系，也就是 em 比上一个 cd 等于一个一比二的关系。如果他一比二的关系，那我的问题就解决了，那我怎么去证明他是一比二呢？ ok， 你 就用这个图里面的条件就够了，就这个三角形， emc 有 三角形， d、 b、 c 两个三角形是相似的关系啊，也就是这个边，这个边比上一个这个边。大家看一下，这个红色的角对的是这个边，对不对？这个红色的角对的也是这个边，对吧？它们俩的比等于什么呢？ 是不是就等于这个边比上这个边啊？你看，我们完全是在画画啊，我充分的把我小时候的优势发挥出来了，我小时候在上，大家在家，这个年纪啊，上初中的时候，我真的是拿了很多很多很多画画的奖。 哎，不能这么说啊，我放弃了我心中挚爱啊哈哈哈。嗯 当然了我觉得就是每次的时候就做出来的视频得到了大家的认可以及同学们跟我说帮助他解决了问题我就是一件非常非常开心非常快乐的一件事情同时我觉得我的工作是特别有意义的。 首先说的这两个位置关系是长这个样子的。那其实这个最后一问的话就是涉及到一个背叛角构造的问题吗 然后他说他等于四的我看看我们怎么样能够顺其自然的想到这些勾股啊想到这些浮线的问题对吧 就是我怎么顺其自然的发声而不是非常的刻意对不对装作是我们不经意的偶遇。好那怎么偶遇呢你看他长这个样子对吧你你说的是这个但是你求的是这个对不对？你求的是这个那我能不能把它搬过来。那必须可以搬过来啊你看我一点都不可以的。 那你看我是不是偶遇啊就是说这一段的话他等于十一的对不对然后但是他求的是 c f 的 长就是这段。这段 啊瞅好了就这段子场 ok 到了这个地方的时候我好像已经卡住了啊已经卡住了。这个鱼刺夹在了喉喉咙里你说我是吃鱼还是不吃呢。上不上下不下。哎这个时候你就要注意了啊 你现在没得选你就必须要把它吞下去。怎么吞你看这个条件咋没用上这没用上的话其实在出生阶段的时候我们经常会说这个被绊脚构造的问题对不对？那就是如果说我要构造这个角的一半怎么办？半径对吧？半径啊，半径， 然后背呢？背推是不是你？你通过构造这两边相等腰三角形去构造的这个角 c t c t 两 c t， 那 这两个边相等，那这个地方就应该是四 c t， 很 简单啊，很简单。 ok， 好， 那我在这个地方的时候构造的时候就小心一点啦，小心一 点，我在这个地方我做了一个这两个边相等，然后这个角呢，就跟 这个红色的角是相等的，但我也知道这个角比跟他是相等的，那显然跟他也是相等的。那我在射的时候要注意啊，不要不要去直接射，有的时候我们射的时候了，但我是很喜欢用，就是说一些巧妙的做法，我不喜欢就是说。嗯， 就是，怎么说呢？就是射它是一个技巧吗？就是你动动脑子，你看这个地方是四，对吧。 其实我可以设它为 x 啊，因为你求的不是 f c 吗？我设它是 x， 那 它不就是十一减去 x 吗？你也可以直接设，但是我觉得那么设的话它是不方便的啊，你看那有的答案写的又臭又长，反正我是不不会选择的。就是十一减去 x， 我觉得我在数学上我永远是追求这个思想上的极简啊，十一减就二 x 啊，十一减就二 x， 容易激动啊，不好意思啊，好颤抖的心，激动的手。哈哈哈， 把这个答案给写出来了。 x 等于几？等于三，就这么简单， x 等于三，所以这个 f c 对 断， m c 就 等于八。没了没了，就这样了啊，撤了撤了，算了算了啊，问 cf， cf 就 这样了。嗯，很简单吧，就这么简单。 你看我们洋洋洒洒的分析下来，是不是感觉非常的干脆的，非常的利落，是吧？也没有什么，就是说很刻意的怎么 怎么怎么样，是不是你看像我们能不做辅助线的时候，那这个东西的话，你完全是经过你这个画图画出来的，你说我们有刻意的就是证明什么全能啊？我觉得都是不对。 我们能够帮学生去省时间，或者说追求那种极简的顺其自然，我们要尽可能的去引导学生，引导我们亲爱的小朋友们往这个方向去想，对吧？帮助他们就是说能够更好的需要给大哥点点关注。
17阿源教你口算压轴
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