高二立体几何21题答案
一口气讲完逆题集合洁面问题一共三大题型，从做洁面的两种方式，到求洁面面积和周长，带你完善逆题集合压轴小题。 其实很多高一高三的同学都在问我，唐老师如何做洁面，他要是出的话就会出单选或者多选的压轴题， 那我们来看哈，他总共是有两种方式的，第一个呢是相交法去做洁面，第二个呢是平行线法，我一般都是两个结合着来用哈。 首先呢，我们来看相交法，为什么叫做相交法来，就是因为我们现在这个界面呢，很单零的，孤零零的在这个内部，对不对？ 那么此时我们就要使得它的延长线和其他平面的展开面，延长面我们要形成焦点，那 这时候的话，我们连接这个焦点和这里的顶点，我们就会得到节点了哈，你看，我们现在已知了 e、 f 这条边，对不对？我们就延长出来，延长出来，延长出来之后你会发现啊，好，我交右边这个面，你看右边这个面我也会延长，对不对？我就延伸右边这个面， 我就交右边这一个面于这一个点了，这一个点呢，就是咱们交的一个点嘛，所以此时我们再来连接咱们的 c、 e 和咱们这一个交点，就会得到跟右边这个平面的节点，就是在这的哈，这是节点了。 ok， 那 么 此时我们连接这个节点和这一个顶点，我们就会得到这两条接线了，对不对？好，我们继续来做左边我们延伸延伸，哎，你会发现我跟上面这个平面的延伸面，我是不是交于这一个点呢？ 这个点就是咱们的焦点，那么我们继续去连接咱们的焦点和这一个顶点哈，我们就会得到这有一个节点，所以说我们就去连接这个节点和咱们这一个焦点哈，连起来，哎，你会发现我们又得到了这一条结线， 所以总共我们最后得到的结面是一个什么？是一个五边形的，然后我们再来看到平行线法做结面哈，这是我的 e、 f， 是 不是已知的，对不对？所以说我们现在就去寻找另外一条平行线，它是过其他的顶点的哈，那它肯定就是一个平面的， 那么此时呢，你看我肯定是只能去过咱们的 c、 e 做 e、 f 的 平行线，所以呢咱们就做出来哈，做出来，做出来是这个样子的， 然后你就会发现咱们交下面这个平面，你看我交下面这个平面的延伸出来这个平面交于这个交点，对不对？这个交点呢，咱们再连接下面这个 f 点，是不是我就得到了跟下底面的节点，对不对？就得到这个节点， 所以说咱们就可以连接这一条线，它就是两条截线就在这了。然后同理我们上面是不是会得到跟左边平面的一个交点， 那么跟左边平面这个焦点得到了之后呢，咱们再连接一和这个焦点，此时呢我们就会得到他跟咱们的上面这个平面的节点，在这对不对？在这，然后此时呢我们就可以去连接咱们的这个点和这一点，所以最后呢我们得到的仍然是一个结面的五边形， 所以我们现在来看到我们的三个题型，第一个题型来比较简单，就是不全结面，如图，在一个棱长为二的正方体当中， m n 嘞是两个中点， 然后在图中呢画出过底面 abcd 的 点 o 这个中心点，而且与这个 amn 平行的平面，在正方体中的结面。那你想哈， 我现在要去画跟这一个平面平行的平面，那么我只需要使得两组相交的直线平行，我们两个平面就平行了，对不对？ 那你来看我们的 n m， 它肯定是平行于 b、 d 的， 为嘛嘞？因为咱们只要去连接 b、 e， d， e， 那 么我两个中点中位线，则 m n 它是平行于 b、 d， 所以 就会有咱们的 m n， 它是平行于 b、 d 的， 所以现在我们只需要去找到另外一个平行线就可以了。找谁嘞？其实你只需要去看哈， 咱们的 a n， 它可以平行于谁？是不是可以平行于 b， 然后我在这我再去取一个中点，再取一个中点，比方说咱们的一个 g 点吧，所以我去连接了一个 b g 之后，你就会发现，哎呀我去， 我们这一条边，它是不是平行于这条边的，对不对？然后呢，我这一条边它也是平行于这一条边的，对不对？所以我们就得到了两组对边，它都是相互平行的，所以说咱们包含的这一个平面它肯定是平行的。 那么我们再接着来说，我们要过咱们这三个点的一个结面到底是什么样的嘞？你来看哈，我们就用平行线法去做哈，我们 b d 在 这， 我现在来要去找平行于 b、 d 的 线，而且呢，它是过咱们另外一个顶点的，那你直接去取另外一边的中点不就可以了吗？对吧？我再去取个 h 点，我连接起来，那么此时咱们的 h g 它是不是就平行于咱们 b d 啊？对不对？所以此时我们就得到另外一个节点了， 所以我们再去研究 d h 的 时候，你就会发现，哎，确实我每一条截线它都是直接截这个平面的表面的，所以你看我们最后就得到了这一个截面，它是一个四边形，最后来他就问这个截面多边形的周长我们就不用去算了，我们直接在第二道题里面带大家去算一下。 如果你感觉自己学数学总是很迷茫，做不起题，真诚建议你来看看我的主页置顶群聊分享的系统学习路径，我会详细拆解学数学的底层逻辑和刷题方法，让你做一道题就彻底懂一类题。也欢迎大家在评论区留下你下期想看的主题，我一定满足。记得关注我，我是教你解题程序的北大堂，我们下期再见！
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01:59查看AI文稿AI文稿就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。
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04:38查看AI文稿AI文稿这绝对是最近几年最好的一道立体几何问题，这里面呢是三个洞点，然后要求这两个向量的最小值。很多同学根本无法去想象三个洞点还要求向量数量积的最小值应该怎么做。但如果你掌握了画规思想，你会发现非常简单。在 分享之前，先简单介绍一下，我是一名高中数学的独立老师，不会营销，自动提分，要提分平台私信，好回到这道题啊。首先我们画一个简单的矢图， 其实呢，对于 abc 三个动点，我们可以看成它们所在的三个圆的平面，那么这三个圆的平面，我们可以利用投影的方式来进行思考， 也就是说 a 点呢，在 o 一 o 二这个平面的投影呢，是 b 二和 c 二，而 b 点和 c 点呢，在 o 这个面的投影呢，分别是 b 一 和 c 一。 那现在我们对于这个数量机呢，就可以利用向量的预算规则对它进行转换， 也就是 ab 向量和 ac 向量的数量积。根据我们向量的运算规则，就应该等于什么呢？等于 ab 一 向量加上呢？ ab 二向量 与 ac 一 向量与加上 ac 二向量的数量积。那接下来我们可以根据数量积的运算规则把它展开。展开了之后一定要注意在这里面的垂直关系，也就是 ac 一， 它是垂直于什么？ 垂直于 a、 b 二向量的同时呢，这个 a、 c 二向量呢，又垂直于 a、 b 一 向量。那么因此我们展开了之后，你会发现它就应该等于什么呢？等于 a、 b 一 向量和 a、 c 一 向量的数量积，再加上什么呢？ a、 b 二向量 和 a、 c 二向量的数量积。好变成这个之后，大家一定要注意这里面的 a、 b 二向量和 a、 c 二向量的数量积，它的模始终是固定的，也就是 a、 b 二向量的模加上呢 a、 c 二向量的模，它横为这个圆柱体的高等于十。那 a、 b 二向量和 a、 c 二向量的数量积，我们是不是就可以进行处理了？因为这里面 a、 b 二向量和 a、 c 二向量它是反向的， 反向的话，那它的数量积其实就等于什么？就等于负的 a、 b 二向量，再乘上 a、 c 二向量的母场啊，因为它们的夹角是 pi 嘛，所以本身根据数量均计算公式呢，是乘口三一 pi， 那 口三一 pi 就 等于负一， 然后已经有他们两个相加的定值为十了，要求他们的 g， 所以 我们可以利用基本不等式。不过这里注意有一个符号变相的问题，所以它应该是大于等于负的括号二分之 ab 向量 ab 二向量的母加上呢 a、 c 二向量的母也的平方也就等于多少呢？等于负二十五， 当前紧当呢，这两个向量模的长度相等，也就是 a 是 在中间这一个平面的时候呢，取得这个数量积的最小值为多少？为负二十五。但还没结束，还有这一部分又应该怎么处理呢？现在其实我们会发现，这一部分他已经在同一个平面上了， 既然在同一个平面上，那么我们完全可以通过三角函数来进行处理，也就是这里面我们可以间隙，间隙了之后，那 a 点的坐标当然就是负二负零，而 b 一 点的坐标呢，我们可以让它为 二倍的口，因为它在圆上嘛，半径呢是二，那就是二倍的口 sine alpha 和二倍的口 sine beta。 而 c 一 呢，就应该是二倍的 啊， cosine 二倍的 sine alpha， 而 c 一 呢，就是二倍的 cosine beta 和二倍的 sine beta。 那 么 因此呢， ab 一 向量和 a c 一 向量的数量积，我们可以利用坐标表示进行计算，那坐标表示呢，又可以把它转换成三角函数，转换成三角函数了之后，这里注意，这里面有两个角， alpha 和 beta， 我 们在求解的时候呢，一定要注意，我们最终会把它变成下面这个形式， 也就是这里面的 ab 一 向量和 ac 一 向量的数量积等于八倍口三眼二分之阿尔法减贝塔的平方， 再加上八倍口三眼二分之阿尔法加贝塔，再乘以口三眼二分之阿尔法减贝塔，看起来仍然有两个变量，二分之阿尔法减贝塔和二分之阿尔法加贝塔。不过呢，在这里面我们可以利用三角函数的有界性呢，因为口三眼二分之阿尔法加贝塔，它是怎么样？ 它是大于等于负一的，我们要求最小值吗？大于等于负一，那因此呢，我们可以进一步的进行处理，变成大于等于大 于等于完了之后呢，就关于二分之阿尔法减倍，它也是口算二分之阿尔法减倍，它的一个开口向上的二次函数，可以再求出它的最小值，那么最终我们可以求得呢，这一部分向量，它的向量数量及它的最小值为负二，所以整体最小值为负二十七。好了，本次到这里就结束了。
10:41查看AI文稿AI文稿立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。
7.0万加数
12:38查看AI文稿AI文稿立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。
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02:39查看AI文稿AI文稿各位收听的同学们大家好，我是你们的数学张老师，今天我们来看一道立体几何的题，题目他说如图，在四轮锥 p 杠 a、 b、 c、 d 中，他告诉我们 p、 d 是 垂直于底面的，又告诉我们底面它是一个什么 正方形，并且告诉我们 p、 d 和 d、 c 是 相等的，并且 f 点跟 g 点呢，又是对应的中点。现在让我们证明线面平行 对不对？那我们来看一下是哪条线啊？是 f、 g 和 p c、 d 这条线对不对？那也就是说，根据线面平行的判定定律，我们要在这个 p、 c、 d 这个面内 找到一条直线和 g、 f 平行，八，对不对？所以我们要去构造，因为 f 点是不是它的终点？我们可以取 pc 的 终点，假设为 h 吧， 连接 f h， 那 可以得到 f， h 是 不是平行且等于二分之一 bc， 这对我们来说不难。又因为底面是 a、 b， c， d 是 什么 正方形，是不是就等于平，也是平行且等于二分之一 a、 d， 那也就是说哦， g 点是 a、 d 的 中点，那是不是就有 f、 h 是 平行且等于 d g？ 那 这样我们连接 d、 h 是 不是可以轻松地证明出四边形 d， g， f、 h， 它是一个平行四边形， 从而可以得到这个 d， h 是 平行 g、 f 的 下面让我们去证明线面平行就简单了呀，直接用线面平行的判定定律去什么 证明出来？那第一小问老师就讲到这，那么下一期老师将会带你们去验证一下线面垂直判定定律怎么去证明？
13教数学的张sir
26:41查看AI文稿AI文稿立体几何最值问题，间隙算不清楚的宝子有救了！无论是线段最值问题，还是线段和差最值，又或是各种角度问题，但凡你用的是几何法，基本没有什么计算量，还等什么，快点开始学习吧， 同学们好啊，本期视频我们来讲解一下立体几何中的最值问题。很多同学在遇到立体几何的最值问题，他的第一个想法就是来间隙，间隙的确是一个比较好的思路，但是他的计算量往往会非常大，所以能不能用几何的方法来处理立体几何的最值问题呢？ 答案当然是可以的了，我们这期视频将会教大家如何用几何法来处理立体几何的最值问题。 先来看考试考的比较多的叫做线段的最值问题，这里给出一个直三楞柱，这是一个直三楞柱角， a、 c、 b 等于九十度，把九十度给标出来，那么还给了一些线段的长度啊，给了 a， c 等于 bc 等于 a 一， 这些线段的长度都是二啊， 并且还告诉你了 p 点是中点啊， e 点是 a 一， p 上的动点 f 是 c， c 一 上动点。问运动过程中这个线段 e、 f 长的最小值为多少？那么遇到这种最值问题啊，呃，当然这个题目可以间隙，它的标答也是用间隙的方法的， 但是呢，我们如果想要用几何方法，你就需要研究一下这两个动点的轨迹是什么呢？一个呢？是不是啊，这个这个线段，一个是这个线段，这两个线段啊，它所在的直线是处于一个什么样的位置关系呢？你会发现它是处于意面直线的位置关系， 那么意面直线位置关系，你可以画一个草图来研究下何时这两个意面直线上面的点之间的距离是最短的，来跟着我一起来找。首先啊，做下面这根线的平行线，跟上面这根线相交， 哎，这个蓝线画出来，然后再做上面这个线平行线跟下面这个线相交，那么一组相交的直线，那他可以确定一个唯一的平面，所以这里确定了一个红色的平面， 然后底下确定了一个紫色的平面，这两平面是什么样的位置关系呢？他们是相互平行的，为什么相互平行呢？因为他平行于他啊，然后呢他就平行于这个面，同理啊，这个蓝色线也平行于这个面， 那么一组相交线啊，分别平行于这个面，那么这组相交线所形成这个面就会有面面平行，那么面面平行跟我们要求的这两个意面直线之间的 两个点之间距离的最小值有什么样关系呢？来我们一起回到最初啊，最初的是两根绿色的意面直线，那我在这里任取两个点啊，比方说 我这里取个点，这里取个点来，你们有没有发现这个点一定在红色的这个面上，这个点一定在这个紫色面上，那么这两点之间的距离一定是大于这两个面之间的距离的， 那什么时候啊，我取一些这个意面直线的点，能够使得这两点之间的距离等于这两个面之间的距离呢？你自己感受一下啊， 这是一个绿色的线，这个这是另外一个绿色线，那么这个绿色线有一个点在上面不断的运动，是不是总有一刻时刻啊？比方说在这个时刻，这个时刻这个点恰好在这个绿色线的正上方，所以只要我取的是这个点和这个点， 那么这两点之间的距离，其实就是两面之间距离，也是这个一面直线的两点之间距离的最小值。 所以这样我们就可以把线段 e、 f 的 长度转化成了什么两面之间的距离。两面之间距离由于是平行关系啊，所以我完全可以选择什么，选择上面的任意一个点到这个面的距离。比方说红色这个面到紫色这个面的距离，我可以把它看成是什么， 看成是这个绿色线上的任意一点到这个紫色面的距离，我求出这个距离就结束了。具体到这道题目怎么样来做呢？啊？跟着我一起来第一步啊，我们先标出 之前对应的这个意面直线啊，是不是这两个意面直线 e、 f 分 别在这两个线段上面动吧。好，接下来怎么办呢？接下来我们把这个紫色的面给画出来。怎么画呢？是不是做了上面这个绿色的一个平行线呢？所以我这边也是一样的， 我做 p q 平行于 c c e 这个点是 q 点，然后连接 a e q。 好，那么这个面啊，其实就是这个紫色的面，看得出来吧，此时他跟他是平行的，对应的是他跟这个紫色面是平行的。好，我现在想要求， 呃，这上面任意一点啊，到紫色这个面的距离，我就可以选上绿色线上面的任意一个点，我可以选 c， 我 可以选 c， 所以 这个 ef 长的最小值最终就可以转化成什么呢？转化成比方说，我可以求 c 一 到面 a e q p 的 距离，变成了一个这样的问题， 那我怎么样来求这里的 c 一 到这个面的距离呢？最简单的方法是不是做垂呀？我过这个 c 一 这个点啊，做 a e q 的 垂线垂足为 m 来，你看它垂直于它， 然后呢，它垂直于上底面吧，然后这里做的是平行，所以它也垂直于上底面，所以它垂直于 cm， 所以 cm 既垂直于它，也垂直于这个面，所以 cm 其实就是 c e 这个点到 a e p q 这个面的距离。好，接下来我们专注求 c e p q 这个面的距 离。好，接下来我们专注求 c e p q 这个面的距离。好，接下来我们专注求 cm 就 行了。我从上往下看啊，画一个俯视图， 这是个俯视图啊，好注意啊， a e c e q 由于 c e q 的 长度啊，是这个长度是整个的一半啊，整个是二嘛，所以说它的长度是一， 这里的 a e c e， 它跟它的长度是一样的啊，那它的长度等于二，所以它等于二，并且呢，这个是垂直的啊，所以上面也是垂直的， 这是垂直的，那不就是求一个直角三角形斜边上的高吗？用等面积法就能求吧，可以算出斜边长度。勾定，你算出来是根号五， 所以二分之一的这个底乘这个高。等于二分之一的这个底乘这个高，那么算出来这个 c m 就 等于二乘一，除以根号五，等于五分之二倍的根号五。这题答案就是它。 接下来我们一起看一道双动点加上线段和的对折问题啊，这里给出了一个长方体，然后给出了长方高的有关信息啊，还告诉你，这个一点是中点 f 在 这个上面动啊， p 点在体对角先动，问这个 p 一 加上 p f， 它的最小值为多少？ 那么遇到这种线段和或者线段差的问题啊，我建议是把它放在同样一个平面中进行分析，如果它本身不在同一样一个平面内，我们还可以进行一个翻折的操作， 我们来分析一下。首先 p 点在这个线上动， f 在 这个线上动，这两个线构成的平面是哪个平面呢？ 是不是这个这个对角面呢？这个对角面经不经过一点呢？你会发现他恰好经过一点，所以你所关心的 p 点、 e 点、 f 点都在这样一个平面内，我们把这个平面给标注出来，并且把它画出来。显然啊，这个平面啊，他肯定是一个矩形，然后长宽高相关的信息啊，我们需要从这里开始出发。题目告诉我这个长度是根号二，这个长度是根号二， 所以自然这个长度就是二吧。然后还告诉我 ab 的 长度是二，所以它跟它还相等。一组邻边相等的矩形肯定是正方形，这足够特殊了。我们把这个正方形给画出来， 这是 a 点， b 点 c 和多一。呃，一点是中点 p 点啊，在这根线上动， f 在 这根线上动，哦，这又变成了一个双动点问题，双动点问题怎么样来处理呢？虽然 p 点和 f 都在动，但是我可以先让 p 点固定下来，我先让 f 动一动来，我要想 p 加 p， f 最小 f 应该怎么样？ 你想想，这是定点啊，这是定点，然后只让 f 动起来，是不是应该是垂直的时候才能使得 p 一 加 p， f 尽可能的小？ 所以我这个 f 它应该始终运动到跟 p 点啊相连的，这个连线垂直于 c 一 多一的时候才有可能使得它最小。 那么现在我再让 p 点动起来，那么 p 点动怎么怎么动呢？你看这两个线段合了，出现线段合，我是不是应该要把它转换到 异侧，而且正方形它是存在天然的对称性的，所以我在这个地方应该是取它的中点啊，这里有个中点 a， b 的 中点 m， 这样我就可以把 pe 这条线转化到 pm， 这个时候它和它就处于 b 多的异侧了。 来，我多画几个 p 啊，比方说 p 点在这里， p 点在这里啊，这样做个垂直在这里啊，在这里这样做个垂直。我问你何时最短的？是不是我直接 过 m 做这个边的垂线，这应该对应的是 f 最小值，此时对应的 p 的 最小值吧。比方说我们对比一下， 刚才有一个这样的折线和这样一个直线啊，你觉得哪个的线段更短？肯定是我直接这样做垂对你的线段最短，所以这题已经做完了， 最短的这个距离之合，其实就是这个的长度。这个长度是什么？是这个正方形的边长，刚才已经研究了这个正方形的边长，它就等于二吧，所以这题最小值就是二。 接下来我们一起看一道角度的最值问题啊，这里给出了底面是菱形的一个四棱锥， a、 b、 c 多为菱形，还给了 abc， 这个角度是六十度吧，所以遇到菱形加六十度，你会联想到什么呢？一个菱形，这个角是六十度， 这两个相等，这不是等边三角形吗？这边也是等边三角形吗？所以你会想到两个等边三角形。题目这里给了个 p， a 等于 a， c 等于 a， 把它标在图上，这是 a， a， c 等于 a， 这不就是那个刚才那个等边三角形的其中一个边长为 a 吗？所以这也是 a， 这也是 a， 那 另外的 这些都是 a 吧？还给了 p， b 是 根号二倍的 a， p 多是根号二倍的 a。 那 写到这里有没有什么想法？你看到 a， a 根号二一倍的 a， 没什么想法吗？ 它的平方加它的平方等于它的平方，它的平方加它的平方等于它的平方。立马能反映出来，这个 pa 就 垂直于 a 多，它也垂直于 ab， 所以 垂直于一个面内的两个相交直线，这根线它其实就垂直于整个底面吧。我们写在旁边， pa 垂直于面 a， b、 c 多好，再往下读啊，这里说点一在 p 多上啊，并且 p 一 比一，多是二比一啊，所以这是个靠近多点的三等分点。 f 是 棱 p c 上的动点啊， f 在 这里动啊，在这里动。问的是什么？问的是直线 b f 与面 p a、 c 所成角的正切的最大值。首先我们先一起回顾一下线面角的求法。这里有一个平面， 然后呢，有一个斜线啊，斜线，这是 p 点，这是 a 点。好，我过 p 点做这个面的垂线 p o， 然后连接这里的 a o， 那 么 a o 和 pa 所呈的这个角啊，其实就是这根斜线 pa 跟皮面 alpha 所呈的线面角。那我也就是要经过什么？经过 f 在 这里， b 点在这里，我要经过 b f 上面的一点啊，做什么？做这个 p a c 的 一个垂线，那我怎么样来做的？ 我肯定是过 b 点，对不对啊？肯定不是过 f 点， f 就 在这个面上过 b 点做这个面的垂线。是不是刚才得出了 pa 垂直于这个底面， 所以我是不是只需要过 b 点做 a c 的 一个垂线，或者我直接把 b 多一连，因为菱形的对角线是相互垂直的，那么连完之后呢，交这个对角线啊，于 o 点， 你就会发现 b o 垂直于 a c。 刚才说了 pa 垂直于底面，所以 pa 是 不是也垂直于这个 bo 啊？ bo 既垂直于 a c， 又又垂直于 pa， 所以 bo 是 不是就垂直于这个面？那么这样我就做出了那个垂线， 那么线面角在哪里呢？把这个 o f 一 零， o f 一 零，这个角就是线面角，这是斜线。然后呢，做垂线的时候呢，把它投影下来啊，这个是摄影，这个是摄影，这两个所呈的这个角就是线面角，那么 我们刚才说了，它垂直于这个面，所以垂直于自然会垂直 o f， 所以 这是垂足，那么这就是一个直角三角形。我要求 tanning， 这个角不就是 bo 比上 off 吗？也就是说我们要求的目标 tanning alpha 是 等于 bo 比上 off， 我 要求它的最大值， bo 是 不是固定的？ bo 是 不是固定的？是的吧，是这个的一半，这是一个一百二十度的等腰三角形啊，一百二十度，所以一比一比根号三，这是根号三倍的 a， 这是二分之根号三倍的 a， 二分之根号三倍的 a， 除以 o f， 我 要求它正切的最大值是不是 o f 要尽可能的小， o f 是 随着 f 的 运动，它在不断的变化的，那么无论怎么样 移动啊，它都是在这个 p a c 这个平面内的，所以我们把 p a c 这个平面给画出来。 好 p a c， 这是垂直的，这是 a 啊，这好像是 a 吧，是 a， a c 的 长度是 a， 所以 它应该是一个等腰直角三角形，过什么？过它的终点， 这点 o 点，然后呢，这是 f o f 长度在不断发生变化。那什么时候 o f 最短呢？是不是我做垂直的时候最短呢？ 过 o 点，做这个垂线垂直的时候最短。那我会发现 o f 的 最小值， 它实际上就等于什么？等于这个长度是二分之 a， 这是四十五度吧，所以二分之 a 除以根号二，也就是 a 除以二倍根号二。直接把这两者一比， tanning 的 最大值 等于它比上它，把 a 约掉了之后，得到就是二分之根号三，除以二倍根号二分之一，再把二约掉，把根号二翻上去，结果就是根号六，所以正切值最大就为根号六。 最后我们再来看一道立体几何的综合性问题，这道题目难度是比较大的，先跟着我一起读一下题目，给出一个正方题啊，一点是棱的一个中点啊，这是中点。 动点 m 是 从 a 一 开始啊，顺着这里啊，不断地走，一直走到这个一点。问，下列三个结论中，哪些是正确的，哪些是错误的？好，先来看圈一啊，不存在点 m， 使得 b 一 多垂垂直于面 m a c b 一 多是一个固定的。然后呢， mac 这个面是随着 m 的 点不断运动而不断发生改变，它们不存在这样的点 m 使得这一面有个线面垂直，那么这底就是考你的基本功了。 你知不知道正方体中 b 多垂直于哪个面啊？ b 多垂直于哪个面啊？答案是，这个体对角线垂直于这个面，还有一个面也垂直于这三个点形成的面。这里我们要用的就是 a 多、 e、 c 这个面呢？来，跟着我一起来啊。首先 c 多一垂直于 c 多啊，因为这个叫做正方形的对角线是相互垂直的。另外还有什么呢？还有你看啊，这个 b、 e、 c， 它是垂直于后面这个面的，所以 b、 e、 c 垂直于什么？垂直于 c 多一，所以 c 多一，他既垂直于他，又垂直于这个一连，那么他就垂直于这个面。你有没有发现这个面是包含那个什么紫色的线的，所以紫色的线跟这个红色的线是垂直的。 同理啊，这个紫色线跟这个红色的线他也是垂直的，为什么？因为他垂直于他，然后这个线又垂直于这个线啊？因为有个线面垂直，所以他就垂直于这个面，就垂直于紫色这个线。 所以紫色这个线既垂直于这个红色面，红色线啊，又垂这个红色线，那么它就垂直于整个红色的面。来，你观察一下，既然现在有一个已知的 跟这个线是垂直，那么我在在这个基础上面往前偏一点点，你看看 m 在 哪里？ m， 你 感受一下，它们是共享了一个公共边，但是呢，这个多一啊，从这个地方往这个地方移了，移到外侧了，所以它肯定不是原来那个面。 那么无论你 m 在 怎么样一个运动啊，它都不可能跟这个什么 a c 多一啊，这个红色面重合，那么也就说不存在这样的 m 使得它成立，那么结论一自然就是正确的。考你的基本功，正方题里面常见的线面垂直。 再来看第二个，第二个给出一个四面体啊， b e m a c 的 体积是逐渐增大的， b e m a c 啊，涉及到这四个点，这四个点中有三个是定的吧，看得出来吧， a 点是定的， c 点是定的， b 是 定的。那么我为什么不能把这三个点当成一个底面，所以它底面的面积就保持不变了。那么高是什么呢？高是 m 到这个面的距离，那么这个问题就变成了， m 到面， a c， b e 是 否 越来越圆？因为你越来越圆，它的高就越来越大，而底面的面积又是恒定的，它对应的这个，呃，四面体的体积自然是在增大。好来分析一下啊， m 到哪个面的距离呢？ 是不是 m 到 a c， b e 的 距离？我们把它连一下啊，这个一连，这个一连， 你只管感受一下啊，就 m 从这里运动一下，往这个方向运动，是不是越来越远了啊？你感觉像，好像是越来越远，但是呢，不太严谨你的感觉， 所以我们可以找一个临界的情况，就是我比方说啊，按照某一个方向运动之后呢，发现，发现啊，这个距离不变， 那，那不就是平行吗？线面平行吗？自然会想到我们把 a e c e 一 连来， 他跟他是平行的，他是不是就平行这个子面？然后呢，这个 a 一 啊，也就是 m 运动的方向是不是往上翘一点点？简单来说是这样一个情况啊，我跟你画一个面， 这是刚才研究的那个固定的平面，然后这是 a 一 c 一。 好，如果说你是沿着这个 a 一 c 一 运动的话呢， 这个体积是保持不变的，但是呢，你偏偏是啊，你偏偏是看到没，这个地方离他更远了，这根线离这个会更远一些，那么就是从 a 一 这个地方往上一点点， 那么随着 m 点的运动啊，这是 a 一 一 m 点的运动， m 从这里到这里，他到他的距离就会越来越远，那么对应的这个体积就会越来越大，所以全二也是对的。 那圈三呢？圈三研究的是 b c e 与 a m 所成角， b c e 在 哪里？ b c e 在 这里吧？ a m 在 哪里？ a m 在 这里吧？来，这两个意面，直线所成角，我，我不能把 b c e 直接挪到 a 多 e 吗？这个时候他们就公共了一个顶点吧。所以其实就是在问， m 在 运动过程中，这个角多 e a m 啊，这个角是在怎么样发生一个变化？ 这个角是由固定的一个边 a 多 e 以及随着 m 在 不断运动而发生变化的一个 a m 这两个边共同所决定的。但是你 a a e e 无论怎么样运动，是不是都在 a a e e 这个面上进行运动？ 好，我给你抽象出来，到底是什么样一个情况啊？这是一个面，然后呢？呃，这是 a 点啊，这是 a 点，这是多 e？ a。 好， m 在 这个面上的一根线上面进行运动，比方说就这根线吧。好，他现在想问， m 运动过程中 啊，运动到哪里？这个角，这个角啊，这个角是在怎么样发生一个变化？ m 顺着这个方向运动 来，你有没有什么感觉啊？因为感觉就是当 m 啊运动到这个位置时候，也就是他投影下来，恰好经过他的投影，经过 m 的 时候，这个角度应该是最小的。为什么这个红色角是最小角呢？可以带你稍加证明一下啊， 不就是这样一个平面吗？然后这里有个斜线，这个斜线啊，我做这个面的垂线得到的这个红色的角，我想证明他比这个面上其他一根线， 然后呢，所形成的这个绿色的角要比他更小吗？不就是要证明这样一件事情，我只需要过这个点，做这根线的垂足，然后呢，再把 这个一列好，就正完了。怎么正的？你看啊，首先他垂直于这个面，就垂直于他， 然后我刚才做的，他和他垂直，所以他和这个面就垂直，那么他自然就垂直于他，所以这个角他也是垂直的， 也是垂直来看啊，我要算 sin 这个角， sin 这个角是不等于它比它，它比它。然后呢， sin 这个绿色的角是不等于它比它， 它比它，然后它们的分母是相同的分子，红色角对应分子是这个长度，绿色这个角对应的分子是红色，这个长度明显它比它长吧 啊，因为这个是点到面的距离，它是最短的，所以红色的这个角对应的 side 值是最小的， side 值是最小的，那么它对应的这个角度就最小。 那么也就是说你 m 在 运动过程中，你可能是大小变成一个小角，然后再变成一个大角，先变小，再变大，那么就思考一下。呃，如果把这个 a 多一啊， 往这个上面投，说白了就是过多一做 a 一 一的一个垂线，这个是垂足，那么所形成的这个角应该是什么角呢？应该是最小角。 哎，我们只需要分析一下过多一做 a 一 一的垂线，这个垂足是不是在 a 一 一这个线段上，而不在它的延长线上？你发现是的，所以 从 a 一 一直到这个垂足的时候呢，对应的这个角是在逐渐减小，一旦过了这个垂足又逐渐增大，所以你不能说他逐渐减小，你只能说先减小后增大。全三是错的， 这题的正确答案就是 b 选项。本期的内容啊，相对来说难度比较高，但是呢， 如果你能掌握我们今天所讲的一些几何方面处理技巧，而不是单纯的去圈系啊，在那里设设点的坐标算半天，那你就能够大幅的提高你的做题速度。希望本期视频对大家有所帮助。
276高中理科郑老师
01:03查看AI文稿AI文稿你要是看到我的答案和我的这个三维模型，你能把这两个联系起来之后，你的空间想象力 肯定远远超过你现在在高中所做的任何一道立体几何题。先把我设计的题目和答案提前发给大家看。
120立体老骑
03:19查看AI文稿AI文稿好同学们，今天我们来看一道正方体中的立体几何综合题。题目给了一个棱长为一的正方体。要判断五个结论的正确个数来，先读题。如图， a、 b、 c、 d。 减 a、 e， b、 e、 c、 e、 d 是 棱长为一的正方体。 下面结论， a、 b、 d。 平行于平面 b、 e、 c、 a、 c、 e。 垂直于平面 c、 b、 e、 d、 e。 直线 a、 c。 一 与 bc 所成的角为四十五度 a、 a。 到平面 c、 d、 e、 b、 e。 的 距离为多少？其中正确结论的个数是几？注意啊，这道题考察的是空间线面关系线、线、角点面距离的综合应用，我们需要逐一分析每个结论。看这个正方体， 先找到各个顶点和关键线段。好，先看第一个结论， b、 d。 平行于平面 b、 e、 d、 e、 c。 注意啊！ b、 d 是 底面的一条对角线，而 b、 e、 d、 e 是 顶面的对角线，它们平行且相等。 再看平面 b、 e、 d、 e、 c。 它包含 b、 e、 d、 e 和 c 点。因为 b、 d 平行于 b、 e、 d、 e， 且 b、 d 不 在平面内，所以 b、 d 确实平行于平面 b、 e、 d、 e、 c。 这个结论正确。来第二个结论， a、 c。 一 垂直于 b、 e、 c。 看这个正方体 a、 c。 一 是体对角线 b、 e、 c。 是 侧面的一条对角线，我们可以连接 a、 e、 c。 一。 注意啊，在正方形 a、 e、 b、 e、 c。 一 第一中， a、 e、 c。 一 垂直于 b、 e、 d、 e。 但这里需要证明 a、 c。 一 垂直于 b、 e、 c。 实际上，通过三垂线定律或向量法可以得出 a、 c。 一 垂直于 b、 e、 c。 所以 这个结论也正确。好第三个结论， a、 c。 一 垂直于平面 c、 b、 e、 d、 e。 注意啊，平面 c、 b、 e、 d、 e。 包含点 c、 b、 e、 d、 e。 我们已经知道 a、 c 一 垂直于 b、 e、 c。 还需要证明 a、 c 一 垂直于另一条线，比如 c、 d 一。 同样通过计算或定律可以得出 a、 c 一 垂直于 c d 一， 所以 a、 c 一 垂直于平面内的两条相交直线。 因此这个结论正确。来。第四个结论，直线 a、 c 一 与 b、 c 所成的角为四十五度。注意啊， b、 c 是 棱， a、 c 一 是体对角线，我们可以将 b、 c 平移到 b、 e、 c、 e。 那 么 a、 c、 e 与 b e、 c、 e 所成的角就是所求。在直角三角形中计算可得这个角的正确值不是一，所以不是四十五度，这个结论错误。 好。第五个结论， a 到平面 c， d、 e、 b、 e 的 距离。注意啊，这个距离可以通过等体积法来求。先计算三棱锥 a 减 c， d、 e、 b、 e 的 体积，再除以三角形 c、 d、 e、 b、 e 的 面积，经过计算，距离为三分之根号三。题目中给出的距离值如果正确，则结论正确。 这里假设题目给出的是三分之根号三，所以这个结论正确。来总结一下，五个结论中第一、二、三、五正确，第四个错误， 所以正确结论的个数是四个好。最后知识点总结这道题考察了线面平行的判定，线线垂直和线面垂直的判定，意面直线所成角的计算以及点面距离的等体积法。 注意啊，在正方体中，体对角线与面对角线有特殊的垂直关系，要灵活运用。
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07:02查看AI文稿AI文稿立体几何如果真的想要学好两个东西，掌握了完全没问题。第一个洁面思维，也就是本道题我们想要讲的。第二则是间隙。 在分享之前，先简单介绍一下，我是一名高中数学的独立老师，不会营销这种题分有问题，平台私信他说啊，有这样的两个三菱锥，三菱锥 d， abc 和 e， abc 都是正三菱锥，然后呢， d a 的 长度啊，也是这条边的长度呢，是三分之二十一， ab 等于 a， e 等于二， 则其内部能放入的最大的球的半径 r 是 多少？那这个题呢，其实我们只需要取它的结面来思考一下，因为他想放入最大的球，当然就是什么他的内切球嘛，你没办法再大了， 那么内切球就是跟这里面总共的六个面分别相切，那分别相切的话，结合它本身是正三能追。事实上呢，我们只需要在 b c 找一个点，我们假设是 m， 我 们连接 dm， 再连接 em， 那 么这个球它要产生的状态是什么呢？ 我们再连接一下，第一就是他的球心，假设是在这里球心，首先球心一定在第一上，这个我不用再额外去说吧，大家应该能够理解，这是他的球心哦，那这个球心呢，一定是与什么？一定是与第一和这个 me 垂直的原因是什么呢？因为内切吗？这是它的面呢，垂直的，那这个垂线呢？我们就假设是什么，假设是 e 和 f， 而且呢，这两个垂线的距离都刚好是这个内切球的半径 r， 那 因此呢，我们就可以把这个结面给单独取出来研究， 我们画一个结面图，那么画了结面图之后呢，大概就是这个样子，只需要研究这个结面里面的几何关系，其实我们就能够找到它的半径 r， 那 具体怎么来找呢？好，首先要知道这个圆相切的是啊， dm 和 em 啊，这里是 m dm 和 e m， 因为 dm 和 e m 呢，是这两个面上的，而且呢是属于这个三角形的三线合一，因为是正三角形嘛，而不能跟 a a d 和 a e 相切啊，因为 a d 和 a e 是 棱，你是内切球，怎么可能跟棱相切呢？这一点大家一定得理解好。接下来的问题就是，我们怎么去得到这个 r 的 长度， 怎么去得到这个 r 的 长度，那这里我们要怎么去建立几何关系呢？好，首先 a d 的 长度是三分之根号二十一，是不是 a e 的 长度呢？是多少？ a e 的 长度是不是就是二？好，题目给我们的。然后 am 的 长度，注意 am 是 什么？ am 是 等边三角形， abc 的 三线合一啊，中线垂线也是我们的角平分线，因为 a a ab 是 等于二的呀， ab 是 等于二的，底面也是个等三等底面，也是属于一个什么等边三角形。所以 am 的 长度我们首先可以算出来， am 的 长度应该等于什么呢？ am 的 长度是应该等于，那就是 ab 乘上二分之根号三，那就等于根号三。 a m 的 长度算出来之后呢，那这个 a m 和这个 d e 其实是有一个交点的，这个交点我们假设是什么呢？假设这个交点是 abcdefh， 那 这个 h 的 长度， hm 和 ah 的 长度，大家能算出来吗？啊，是可以的哈，因为很显然这个 abc 是 属于一个。什么是一个等边三角形啊？等边三角形的话，那这个 h 点刚好就是属于它的。什么属于它的一个三分之二嘛？啊，这几几几个要交相交啊，三个线相交啊，所以它也是属于它。什么 属于它的中心，你看你这边做一个它都是一样的 b 点，这边找一个 n 点，你会发现它都是一样的，这几个结面都是一样的，所以呢，这是属于它的中点， 既然是中点的话，那我们根据它的性质，那 a h 就 应该等于三分之二倍 a m 等于三分之二倍根号三，而我们的 h m h 呢，就应该等于三分之根号三，也就是三分之一倍 a m。 那 现在 a h 和 m h 都有了，接下来我们再思考一下，这个 dh 是 不是也有了， d h 也有了呀？这是一个垂直关系哦，大家注意，这是垂直关系，这是垂直关系，这样这是垂直关系的话，根据勾股定点，那么我们的 d h 也可以算出来， d h 应该等于根号下， 根号下 a d 的 平方，再减去一个 a h 的 平方，我们可以计算一下，计算出来呢， d h 的 长度为一，那同样的道理， e h 我 们也可以利用同样的逻辑来计算， e h 的 长度呢，就为三分之二倍根号六， 三分之二倍根号六。那现在的问题就是这个 r 怎么算呢？我们现在算了半天还是没有算到 r， 是 不是？那这个 r 应该怎么来算呢？那现在第一我是可以算出来的吗？第一的长度是可以算出来的， 第一的长度呢，就应该等于多少？第一的长度就应该等于 dh， 加上 e h 等于三分之二倍根号六，就是一加上三分之二倍根号六。注意了，这个 dh 加 e h 又等于什么呢？又等于 注意，它又等于 e o 加上 d o， 或者 d o 加上 e o 等于 d o 再加上 e o。 看到没有？ d o 加 e o。 好 了，接下来，接下来我们可以再去找一个等式来计算 d o 和 e o。 那 这个等式从哪里来呢？大家思考一下。可以从哪里来呢？大家注意一下。因为这是个内切，这是个垂直的，所以这里的角度，我们是不是可以用三角函数啊？ 这也是垂直的呀，所以这其实是一个共角啊，同样的逻辑在这边也是一样的，能理解吗？所以大家注意了，大家注意啊，我现在要建立一个新的等式，什么等式呢？也就是我们的 d o 乘上 sin 角， o d m 等于什么呢？等于 e o 乘上 sin 角， e o sin 乘上 sin 角什么呢？乘上 sin 的 角 o e f o e m o e m。 原因是什么呢？原因是因为这两个算下来，它都是属于我们的三角函数啊，不属于我们的半径，内切圆的半径，内切球的半径，因此呢，它们是相等的。你内切球的半径始终是相等的吗？所以是相等的。而这里的 d o 和 e o 是 不是又出现了一个等时啊？ 又出现了一个等时，这里已经有一个等时了吗？这里又出现了一个等时。问题就是这两个正弦怎么表示啊？同样的逻辑，这两个正弦又等于什么呢？又回到， 回到这个三角形里面来啊，这样的图画的稍微有一点，有一点，有一点复杂了，回到这个三角形里面来，这个直角三角形里面来，看到没有？在这个直角三角形里面，我们会发现三的角 o d m 是 等于什么呢？是等于 m h。 比上 dm， m h 和 dm 都是计算出来了。那么 sin 的 角 o e m， sin 的 角 o e m。 同样我们可以用到下面的这一个直角三角形里面的，是不是等于什么呢？它是等于 m h 比上什么呢？ m h 再比上一个 e m， 那 因此正弦的值就可以计算出来了。 计算出来了，就可以再建立起一个 d o 和 e o 的 等式。有了这两个等式，这是一式，这是二式啊，我们就可以解除 d o 和 e o。 解除了 d o 和 e o。 再基于这个，这是等于 r 的 吗？ 等于它半径 r 的， 再基于这个就可以计算出它的半径啊。这个版面写不下，我在草稿纸上写一下，最终可以算出来这个那些球的半径就是十五分之三加二倍，根号六。好了，本次分享到这里就结束了。
18:41查看AI文稿AI文稿同学们好，本期视频就来为大家讲解一下我们高中数学的什么立体几何的当中圆柱、圆锥、圆台的他们一些 议题，那么关于圆柱，圆锥，圆台的体积表面积，还有我们的什么，还有我们的侧面几何公式呢？老师呢，有在上节课讲过，那么如果关于这些部分知识点有不了解的同学呢？老师建议大家啊， 去看一下那个视频。那么我们先看一下这个题组一的圆锥，它说设加一两个圆柱的底面积分别为 s 一、 s 二，体积分别为 v 一、 v 二，如果它们的侧面相等，且 s 一 比上 s 二等于九 比四，则 v 一 比一 v 二的值是多少？那么现在搞清楚一下，我们第一步是干嘛？因为他说他说他的什么，他的面积比是九比四，对不对？那么我们面积的展开 是吗？是 s 一 s 一 比上 s 二的平方比较，比较是不是等于什么？ r 一 的平方比上 r 二的平方是不是 等于什么呢？等于九比四，那么 r 一 比上 r 二是不是就等于什么？等于我们的三比二是不是就等于我们的什么？二分之三，对不对？好，这个时候我们的第二步下来分析一下， 他说侧面积相等，那不就是吗？你看我们侧面积公式是二 pi r l， 是 不是 二派 r l， 这是测面积公式。好，那不就是二派 r 一 l 一 加上二派 r 二 l 二吗？对不对？这是我们的测面积来约调约调，它不就是等于 r 一 l 一， 什么 是等于什么？等于二派，哎，就等于什么？等于 r 二 l 二的对不对？它就等于什么是互相等对不对？ 然后我们给他比一个值出来，我们是不是 l 一 比上 l 二等于什么？等于我们的交叉上的是 r 二比上 r 一， 对不对？你看 r 二比上 r 一 为多少为多少呢？我们上，我们上面是不是有求出来？ 求出来，我们 r 一 比上 r r 二是二分之三，对不对？那么 r 二比上 r 一 不就是数字改变就是吗？就是三分之二吗？所以说他这个就等于什么？等于三分之二？好，我们看一下最后一步， 这一步是什么？是让我们求 v 一 比上 v 二的值，那么 v 一 比上 v 二的值，不就是什么底面积乘以高 l 对 不对？当然这个时候用用 l 来表示一下吧，好比上我们的啊，下面的底面积，底的底面积啊，比上 底的对不对？然后呢等于什么？等于这个时候我们题目当中 s 一 比 s 二是不等于乘以我们这一坨，对不对？乘以我们这一坨求出来的什么？ 他是乘以这一坨 l 一， 哎，比上 l 二的值对不对？就等于啥嘞？就等于我们的就乘以我们的三分之二，一约掉约掉二三一，是不是就等于我们的二分之三？所以说这道题目他答案就是 二分之三。好，来圆锥，圆锥呢，这边呢，给给出了三个立体，也就是说我们圆锥呢，它是比较重要的啊，比较重要的，我们来看一下，他说已知一个圆锥的底面半径为六，其体积为三十排，那你求侧面积有多少？ 半球侧面积。来，我们圆锥先画一下，是不是圆锥，先来给他大概画一下，他大概长这样子吧，花草啊，潦草一点，草草一点。好的，不要潦草啊，看看一下就行了啊，大概长这样子，他说他的半径为六对不对？好，这个时候 都是我们 h 是 个未知数，那么关于它的 h 我 们是不是应该用？第一步要用体积退出来对不对？第一步要用体积把它 h 来干嘛？给它求出来对不对？ h 给它求出来。第一步， h v 等于什么？他的题是不是三分之一乘以底面积，是不是？底面积是不是 pi r 的 平方乘以高对不对？来看一下我们三分之一乘以 pi r， r 是 多少？ r 是 六对不对？ r 是 六，这个是 r 的 平方，乘以 h 等于三十 pi， 好， 这个，这个约调，这是有多少嘞？ 就是什么？就是我们的十二 pi， h 等于三十 pi， 那 么 h 就 等于多少？ h 等于二分之五。那么第二步， 第二步，这个时候我们 h 等于 h 的 值，我们就求出来为二分之五，对不对？这个时候我们这个母线长为多少多少我们是不是不知道？ 那么根据勾股定力关系就得到二分之五的平方，加上什么六的平方开根，就等于我们的什么，等于我们的 m 线等于我们的二分之十三。所以说最后一步是干嘛？最后一步是， 最后一步是什么？是侧面积，他说让我们求侧面积对不对？侧面积就是我们的二， pi r l 乘以二分之一，那么首先二乘以 pi r 是 多少？ r 不是 我们题目当中给我们的六对不对？乘以 l l l 是 多少？二分之三对不对？二分之十三，干嘛？再乘以一个二分之一来约掉这个根，二约掉对不对？ 好？约掉这个约掉，约掉三，对不对？所以说是三十九派，所以说这道题目的答案就是什么？就是我们的三十九派。 好，第三题，他说已知圆锥的底面半径为根号二，其展开图为一个半圆，来展开图，我们先画一下 一个半圆，对不对？半圆嘛？这个是 r 对 不对？那么由这个可以得到什么？得到我们 r 就 等于 pi， 对 不对？因为一个 pi 等于一个八十度嘛，对不对？好，我们来把圆锥也画一下， 圆锥长这个样子对不对？这个时候他说我们的半径是为什么？半径为根号二的半径为根号二，他让我们求这个母线长为多少？ 那么在此呢，我们第一步干嘛？我们第一步先把我们的上节课拓展的一个公式给它写在这边，这什么公式呢？哎，大家上一课自己看一下啊，就给你们看一下这个怎么写的好。第二步是干嘛？ 要不你看我们这个图片对不对？可以看我们刚画的图，是不是派等于 r 法，对不对？也就是说我们这个 r 法可以跟派什么平替，对不对？就是派等于二派 r 比上，比上 l 比上 l 啊，比上 l 好， 就说派跟派约调 是不等于二？ r 比上 l 对 不对？是不是？也就说我们推到 l 等于二 r 知道吧？ l 就 等于二 r， 那 么 r 为多少？ r 不 就是根号二吗？对不对？所以说我们的 l 的 值就是什么？就是等于二乘以根号二等于我们的。 哦，背个好答案，选的 b 选项。好，我们看第四题。第四题呢？他比较难啊，他是我们一个往年高考的一个真题，他是一个，他是一个中南版，中南的是属于那个什么男的？这个题目，那么看一下这个图啊，这个图呢？给你们，这个给你们了哈，给你们了。 来看一下，他说一次圆锥 p o 的 底面半径也是我们 o a， 对 不对？ o a 是 为根号三， o b 也是，为什么为根号三的？他说，啊， pa、 pa 和 p b 对 不对？为什么？为母线？他说，角 a、 o、 b 等于一百二十度，若三角形 p a、 b 的 面积等于四分之九倍根号三，则该圆锥的体积为多少？这个时候 我们先把这个 a、 o、 b 给它画在旁边，对不对？ 这是不是我们的 a、 o、 b， 这是我们的什么？一百二十度，这是我们的根号三，根号三，对不对？好，我们看下第一步， 第一步，什么呢？第一步，哎，我们的第一步是第一步， 我们这些公式，三角形 a、 p、 a、 b、 p a b 等于什么？因为他说，他说什么 p、 a、 b 的 面积为多少，对不对？肯定是让我们求什么求，是这样 p e 的 对不对？好， 等于二分之一乘以 a b 乘以 p e， 那 么这个 a、 b 我 们是不是好像不知道得多少，对不对？ ab 等于多少呢？来， ab 等于多少？ a b、 a、 b， 有 些，有些人说，哎，有些同学说，数字等于什么？根号六，根号六吗？是吗？是不是根号六？那肯定不是根号六啊，对不对？ 是不是？那肯定不是，刚好六万，那是为多少嘞？哎，这个呢，就是关系到你们初中的一个掌握点了，你看我们是干嘛？我们是垂直下来，是为 c， 是 不是平分的，对不对？那么这个时候你想一下，我们根据我们的什么，我们的勾股关系可以得到他， 他这个的话是什么？是一个什么是二分之三的，对不对？是一个二分之三的，根据我们的，什么根据我们的。哎，初中知识是什么？对立角关系对不对？对，立角关系当中可以得到 我们这个是二分之三，二分之三，那么中间这个呢？这个中间这个就勾股可以得到什么？得到我们是二分之根号三的。所以说我们这个呢，就是涉及到你们初中的知识掌握点，那么我们高中就不提初中的知识了，所以说如果对这部分有我现在同学呢，可以看一下啊， 可以自己去回顾一下初中的那些知识点。好，我们继续。到底。什么二分之一乘以 a b a b， 什么 a b？ 不 就是二分之三加上二分之三吗？对不对？为什么？乘以 p e a 二分之一乘以三 乘以 p e 等于四分之九倍根号三，那么这个时候等于四分之九倍根号三呢？ 那也就是说我们是二分之三乘以 p e 等于四分之九倍根号三的，对不对？那么则 p e 等于多少？ p e 不 就是等于二分之三倍根号三吗？对不对？ 二分三倍根号三，是不是很很简单？好，第二步干嘛嘞？是求 h h 等于多少？ h， 不 就是什么 p o， 对 不对？ h 就是 p o， 你看，要不我们直接这边写 h 是 p o， 且刚刚求出来的 pc 啊，这是 pc， 这是 pc 啊。这个题目当中它是提 pc， 可是呢，原题当中它什么？它是它是什么？它是一个 pe 的 啊，它是一个 pe 的， 这个呢？可能是打出来它有点问题啊，这不可以啊，也也没有什么影响，这个是 e， 这是 e e。 好， 这时候让你让你什么？ p e 刚刚求出来。什么？ p e 求出来？是我们的二分之三倍号三，对不对？ p e 等于二分之三倍根号三好， p e 是 二分之三倍根号三，二分之三倍根号三。然后是什么？是让你求出 现在让你求它的高高，什么？ p o h 对 不对？它的 h 为多少？那这个时候该怎么求呢？同学们该怎么求？该怎么求呢？ 首先我们刚刚是不是在这边有讲到过我们这个对不对？ 那就对写一下，是不是？这边是不是等于二分之根号二分之根号三，对不对？也就是说我们 o o e， 这个时候，这个时候是 o e 啊？你看这个是 e 对 不对？这个时候我们的 o e， 它是不等于什么？等于我们的二分之根号三。 那么他们这个关系不就是一个狗骨关系且垂直的关系吗？对不对？也就是说，哎，也就是说，我这个 h， 他 不就是等于啥嘞？ 有啥等于我们的什么？有，我们的 p o 是 不是等于我们的 p o？ 那 么这是我们的开根码， h 等于什么？ p o 等于什么？等于我们这个，这个斜就斜边对不对？减去我们的什么？减去我们的。对扁好 大不就是啥嘞？二分之三被根号三的平方，减去我们的什么？减去我们的二分之根号三的平方。记住，这个二分之根号三不是我，不是我，什么不是平数的？是我们求出来的二分 之根号三。好，求下来之后等于什么？等于根号六，这是我们的第二步，那么第三步呢？ 第三步，哎，体积直接求出来对不对？微等于什么？三分之一乘以 s， 这个 s 是 我们的底面积，是不是乘以 pi r 的 平方乘以我们的 h， 对 不对？ 为什么等于三分之一乘以 pi 乘以我们的 r 半径，是不是？题目当中你告诉我们是根号三，对不对？根号三的平方乘以根号六，根号六，根号六。所以说，哎，他这个多少？ 他这个是什么？他这个就是三分之一乘以三，乘以根号六，乘以派 a 调是不是等于根号六派，然后六派对不对？所以答案是吗？答案就是选择我们的 b 选项。好，我们看最后一题，最后一题他是原台的一个题目，他说已知某原台的高为一，上半 上底面半截为一，下底面半截为二，则侧面展开图的面积。那么他这个侧面展开图的面积呢？老师上节课讲过，他就类似于我们的什么某一个什么梯形，对不对？他就类似于我们那个梯形的。好，我们现在把它的原图给它画一下 原图，哎，上面的半径是不是一，是不是？他们大概是长，他们大概是，这关系对不对？好，他说侧面展开图，侧面展开图的面积是什么？长这个样子的，对不对？ 这样子的，他让你求什么？让你求这个的面积，是不是？他就让你求这个的面积吗？那么这个的面积不就是什么？不就是我们上底是不是 pi r， 我 们给他定义为什么 pi r 二，是不是的平方，加上我们的 pi r 的 平方，那么 pi r pi r 一 的平方是这一坨 pi r 一 的平方，这是我们的什么 pi 二二的平方。来，首先我们来看一下，这个时候我们有一个位质量是 l， 对 不对？我们 l 什么 l？ 是 不是老师讲过 l 呢？在上个视频我讲过，他们是不是一个勾股关系，对不对？ 那也就是说，哎，我们这个是为一的，这个这个呢？它是为二的，对不对？那么我们就移过来，是不是？这个数字也是为一？这个这个也是为一，对不对？好，这个一一之后呢？ 我们这个 l 是 根号求，那么他的 l 不 就是等于一的平方加上一的平方，不就是等于什么？等于根号二吗？对不对？好，这个时候我们 l 等于根号二，求出来了之后，我们直接带入到我们的测面积，那么 s 测面积呢？ s 测就等于什么？上底加下 上底加下底的，下底的和乘以高除以二，那么他的他的这个高不就是我们的母线 l 吗？对不对？他他这个高可以理解为我们的什么母线 l， 知道吧？可以理解我们的母母线 l， 因为这是类比我们的一个梯形啊，这是类比的我们的一个梯形。好，我们我们继续。 所以说，哎，我们上底的加上下底的和乘以高除以二，也就是说我们二分之一乘以我们上底是什么？ pi？ r 二的平方加上我们的什么 pi， 呸呸，是，哎，是 pi r 二，对不对？派 r， 派 r 二，派 r 二 r 一， 对不对？加上派 r 一 乘以我们的 l， 对 不对？乘以我们的 l， 也就是我们乘以我们的什么 乘以我们的这个相当于得比他的高，对不对？好，继续乘二分之一 a， 我 们的 r 一 是多少？ r 一 是不是为一，对不对？ r 二是为二，对不对？也就是说乘以二，派加上什么？加上我们的派乘以 l， 那 不就是等于什么？ 这什么嘞？这个时候你要搞清楚我们这个 l 是 什么？是根号二了，对不对？ l 是 根号二了。所以说，哎，我们这边的他们都什么？你看他 跟他之间为多少，对不对？这个时候你看一下我这个二分之一，二分之一我们是不是可以干嘛？ 我们是不是可以直接少了一个关系啊？是要乘以二，对不对？乘以二来月掉月掉是不是？月掉？月掉月掉是不是？所以说它这个的话就是什么？就是我们的 pi r pi r l 加上我们的 pi r l 加上我们的 pi 二 l 就 等于什么？对，就等于我们的 pi 乘以根号二，加上我们的什么？我们 r 二为多少，我们 r 二为多少呢？是不是？ 二倍根号二派就等于什么？就等于我们的三倍根号二派？所以说这道题目答案他就选的是我们的四 d 选项。那么关于我们圆柱、圆锥、圆台啊，他们的 五道典型例题就讲完了，那么这题目的来源都是来，来源于我们往年当中的高考整体，以及各省真正的模拟题，模拟真题。好，那么我们下期视频再见。
31:22查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，欢迎来到我们今天的第四节立体几何的专项，很多同学在咱们立体几何这里一直都拿不到高分，因为是可能普遍存在这几个问题，第一个就是咱们的公式记不牢， 特别是算表面积或体积的时候，容易公式记不牢，容易记混记错。那第二个呢，就是在证明题里面，平行和垂直的一个判定是逻辑不清楚的，证明题写不出来。第三个就是空间想象力 比较弱，比如说咱们看不懂一些图形的折叠或者切界面，或者一些二面角这些问题，他看不清楚这些角他是在哪里， 所以我们今天呢就是专门帮大家去把这些问题一一解决，我会把咱们的核心考点，必备公式，还有咱们的解析存在的套路，一错陷阱全部都讲明白。然后我们每道例题带着大家去一步一步写过程，算结果，让我们看到这些力和 立体几何啊，没有大家想象中的那么复杂，很难，让我们来看一下。其实高考立体几何就考四大板块，第一个就是我们的表面结合体结，第二个是平行关系的 判定，垂直关系的判定和球的切切问题。其中第二块和第三块就是我们常见的 大题的证明，呃，就是咱们通常位置应该是在十七题是必考一道的，并且它就是围绕着我们平行和垂直的去判定，然后去计算我们的体积。 那现在我们就来先看第一部分表面积与体积的计算，这里是我们必须要掌握的一些公式，就比如说 柱体的体积是我们的底面积乘高，那它的表面积呢？就是我们的一个侧面积加两个底面的面积，其中侧面积是我们底面圆周长乘高，然后我们圆的面积的话就是 pi r 的 平方嘛， 然后锥体的体积就是在柱体的体积上乘三分之一，一定要记到这个三分之一，然后它的同样它的表面减就是一个侧面积加一个底面积，那侧面积呢？其实是一个扇形的面积，就是扇形公式要记牢。 第三个就是我们球体的一个表面积表，球体的表面积的话就是四帕尔的平方，体积是三分之四帕尔的平方，所以这个 呃三分之派尔的立方，所以这些公式只要记牢就行。然后我们常用的解析方法，可能有时候咱们的一些利息几何去求体积或表面积的时候，他给的是不规整的，那这种情况下我们就是要把它转化成我们常见的一些几何体 以及啊等体积法，就是比如说他给了一个底面，给了一个高，那这种情况下我们要选择比较容易求的面积，去替换掉他原本 给的一些不规则的面积。然后易错点就是如果是在求表面积的话，一定要注意一些重叠的部分，以及当我们折点的话，他的一个前后的啊边长是保持不变的。第二个考点就是平行关系， 那我们以前学平行啊，只是学过一些线线平行，但在线线平行里面我们知道它平行是有一个传递性的，如果直线 a 和直线 b 平行，直线 b 和直线 c 平行，那么通过传递性我们发现 a 和三也是平行的， 但我们高中这块除了线线平行之外，我们还考线面平行和面面平行。那我们来看线面平行，他指的是平面外的一条直线与平面的一条直线平行，那么他就可以证明线面平行。就比如说我们现在这是一个平面 啊，叫做 r 法，然后现在就有一条直线，它是 a， 然后这个 a 呢？它是不属于不在这个平面上。但是只要你在我们啊平面 r 法里面找到一个 直线 b， 这个 a 和 b 是 平行的，我们就证明了 a 和 r 法它是平行的，这是我们的一个线面平行。所以说咱们线面平行的核心就是在平面上找到一条线，与平面外的一条线平行，就可以证明线面平行。 那面面平行呢？就会发现一个平面内两条相交的直线都平行于另一面。 原本啊，我们要证明面面平行，已经证明好了线面平行，但是怎么去推他线面平行呢？我给大家画个草图来看一下。然后这个是平面而法，这个是平面 北塔。首先呢，呃，要想证明而北塔和而法是平行的，首先如果平面上平面北塔上有一条直线 a， 然后他能够证明，呃，这个直线 a 是 平行 r 法的，就证明了我们的线面平行了吧？要怎么去证明面平行？如果 b 塔上还存在一个线， 他是 b， 然后这俩呢，他必须有一个交点 p， 在 有交点的情况下，确实因为两条直线呢？确定一个平面吗？ 如果当两条直线都平行于这个平面而法的话，那么这个直线所经过的平面，他就一定是平行而法的，所以这就是我们面面平行的一个 呃性质，那关于咱们面面平行的一个几何语言大家也要掌握好。然后这三种平行转换关系呢？我们有就是如果线线平行， 咱们条件再多一点，可以推出咱们线面平行，然后线面平行条件再多一点，可以推出咱们的面面平行，所以它只是一个连锁反应，那注意下这个关键信息。呃，线面平行它是能够得到一个直线与平面无公共点的， 因为如果一旦有公共点，那就说明这个线他是穿过这个平面了，他就不可能是保持平行的。然后如果是面面平行的话，可以推出一个平面内任意直线都平行于另一平面，这也是因为两个平面平行吗？那 平面上所有的直线就不存在交点，那不存在交点情况下，那就任何直线都可以和另一条面是保持平行的关系。关于一些意面直线的变细的话，也是只要没有公共点且不平行的话，它们都可以称之为我们的意面直线， 这是我们平行关系。现在来看我们第三部分垂直关系。垂直关系的话，首先如果在大体里面要你证明线线垂直，我们通常有三种办法。第一种就是我们呃高中阶段所学的一个线面垂直的证明方法，就是 直线垂直，平面内所有的直线就可以得到这个线是垂直平面的，这是我们的几何语言。第二个的话，就是当要证明两个线去垂直的话，就是用勾股定律的 逆定律，比如说我们得到了 a 方加 b 方等于 c 方，那么 a 方和 b 方就是垂直的。 第三个呢，就是根据我们的等三角形的三线合一，然后那么中间那个就是垂直的，这是我们在大体里面常见的一些线线垂直的判定。那第二个线面垂直，线面垂，就是直线垂直平面内的两条交线， 就比如说现在这是一个平面而法，然后平面而法上存在一个直线 a 存在一个直线 b， 如果有一条直线 l， 它是垂直于我们这个 a 和 b， 并且 a 和 b 在 呃那个而法呢是有交点情况下，那么这个 l 它是垂直于我们的面的，这是我们的一个线面垂直呢，就是一个平面经过另一平面的 垂线，就比如说这是我们的一个平面 r 法，然后这是我们的一条直线 l， 它是垂直 r 法的吧，然后另一个平面呢，这个是经过 l 的 一个平面，就比如说这是个 b 塔， l 就 在比特上面，那就可以证明啊，那个阿尔法和比特它是相互垂直的。那这些垂直关系呢？也是以线面垂直是为枢纽，我们得到线面垂直，它既可以推出我们的线线垂直，又可以推出我们的面面垂直。 所以说如果你要想证明线线垂直或者是面面垂直的话，首先是要证明一个线面垂直的， 然后我们面面垂直的话，它是可以推出什么？推出平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面，这是我们的一个几何语言。 大家要证明咱们这些这部分的话，咱们这个几何语言是一定不能出错的，而且这个逻辑也是不能出错的。我们在嗯考试的时候如果有一个步骤缺了，那么就是这块一定要注意这个 逻辑的通顺。然后两直线都垂直于同一平面的情况下，两条直线一定是平行的，就比如说假设这是一个平面而法，然后呢， a 呢是垂直于而法的， b 呢也是垂直于而法，就发现这两条 a 和 b 它是 平行的，这是我们的几何圆，然后排除呢？就是呃，易错点就是直面直线垂直，平面内的一条直线就 不不等于他是线面垂直的，他有可能只是这两条线垂直，但是他们不一定是，嗯，线面垂直的。还有就是两平面同时垂直于第三平面的情况下，也不能得到一个 面面垂直，然后第三个呢，就是我们来看一下这个垂直关系的判定和转化。首先我们在做大体的时候，空间直角坐标系的建立是因为什么？是因为我们有时候做不出来题的情况下，我们间隙就是万能的做题方法。 那在间隙的情况下我们怎么去间隙呢？只优先选择两两垂直的人为做标准，这样子你可以直接去减少一些计算量， 然后同时在计算的过程中可能会用到一些咱们之前所学的向量的一些运算，比如说魔长公式呀，点击公式呀，还有一些夹角公式。同时呢，关于咱们就是平行和垂直，因为间隙他一定是存在向量的吗？那么就回顾一下我们之前向量的平行，向量平行就是向量的共线，有这样的一个方法， 然后向量垂直的话，就是我们呃向量点积数，量积为零，然后之间的这个点到面的距离公式的，咱这个是可以记住的，因为我们大体的时候也经常会考一些， 比如说啊，锥形的体积呀，这种点到线的最大距离，最小距离的情况下，通常也会用到我们点到平面的距离，他们 d 就是 等于 pa 乘 a 向量的模 以上 n 向量的模，其中 n 向量是我们这个平面的法向量，那 p a 向量向量就是点到平面中任意一个直线的一个表示的向量。 那接下来呢，我们来看一下这道题，如图，在这个平行四边形，这不是在这个平面四边形 a， b， c， d 这个 a， b， c， d 中， ab 是 等于 八，我们标一下， ab 等于八，呃， cd 等于三， cd 等于三， ad 等于五倍根号三， ad 是 这个最长的，这部分是五倍 根号三，然后角 a， d， c 是 九十度， a， d， c 这里是九十度，然后 b， ad 是 三十度， b， ad 这个小角是三十度，然后满足 a， e 这个向量是等于五分之二倍的 ad， 你看 a， d， 它给的是五倍根号三的 a， e， 直接就可以求出 a， e 是 等于二倍根号三，然后 ab 等于八， af 等于二分之 ab 呢？ af 是 等于四。然后是将三角形 a， e， f 沿 ef 折叠至 pdf， 也就是说这个三角形 a， e， f 这个三角形和这个 e f， p 这个三角形它是全等的，然后使得 p c 等于四倍根号三，证明 e f 垂直 p d 其实这道题我只呃摘出来第一问啊，因为这个证明是非常典型的一个证明，那现在我们来看一下这个证明的思路。 首先啊，在三角形这个 a， e， f 中，在三角形 a， e， f 中，我们知道了角 f a e， 它是等于三十度， 然后 a e 呢，它是等于二倍，根号三，然后 f， 它是等于 a， 是 ab 的 中点，哎， 那个，呃，二分之一 ab 嘛，所以 a f 是 等于四。我们发现在这个三角形里面啊，又是三十度，又是二倍，根号三，又是四的， 我们觉得他很像我们那个三十度六十度的一个直角三角形，那我们来只用我们的余弦定律去证明一下这个究竟是不是直角三角形嘛。所以我们令 算一下这个口三角 e a f 就是 这个 e a f 这个角，它就等于 a e 的 平方加上 a f 的 平方，减去 e f 的 平方，然后再比上二倍的 a e 乘 a f， 这是我们的之前所学的余弦定律。然后我们把已知的公式带进去之后，就等于 十二加十六，减去 e f 的 平方，比上二乘二倍，根号三，再乘四，然后 e a f 等于三十度，那考三 a 三十度呢？等于 二分之根号三，所以这个是四。式子里面，我们很容易就能算出来 e f 的 长度，那这里我们不去做太多的一个计算步骤，直接就是在草稿纸上完成计算，那么算出来 e f 是 等于二，我们发现二 二倍，根号三四，哎，很明显他就是一个三六九的一个直角三角形，那么我们就得到了 e f， 它是垂直于 a d 的， 那我们得到了 e f 垂直 a d。 要想证明 e f 垂直 b d， 我 们发现啊，这个 b d 是 在平面 p e d 上，在这个后面这个平面 p e d 上，所以要想证明垂直于 p d， 就 证明 e f 要垂直这个 p e d， 那 是我们刚刚发现在这个三角形里面啊，它已经得到了 e f 要垂直于 a d。 那 其实只要在证明 e f 垂直 e p 就 行，那 e f 垂直 e p 应该怎么正？ 哎，对，因为是我们三角形 a e f 和三角形 a e f 是 三角形 p e f， 它俩是全等的，因为是折叠过后，它的棱长长度是不变的，全等情况下圆，那么角 a e f 是 不是等于角 p e f， 然后都是因为垂直就等于哎，九十度。所以呢，我们就知道 e f 它还垂直于 p e， 我 们就得到两个垂直了。那现在要想证明这个 e f 垂直于 pd， 就 要证明 e f 垂直这个平面。所以我们把完整的步骤写下来，就是写一下这个几何圆，就是因为 e f 垂直于 ad， ef 垂直于 pe， 然后且 a d p e 含于这个面 p e d 的， 所以有咱们的 ef 垂直于面 p e d， 然后知道了线面平行，线面垂直之后，我们就直接得到了，所以我们的 e f 垂直于 p d。 因为什么？因为 p d 它也在面 p e d 上，所以得到 e f 是 垂直于 p d 的。 那么这道题啊，用这个线线垂直，其实用的就是我们之前的， 你看之前的第一个判定，要想证明啊线线垂直，那就要证明先从 垂直于面就垂直于面上的所有线，所以我们第一步要证明的就是垂直于过 p d 的 那条面，那那条面的话，我们就用我们的呃之前线面垂直的判定方法，线面垂直就是直线，垂直平面内所有的直线即可。 这是我们的理题一来看我们的考点核心四就是球的切接问题，其实球的切接问题啊，咱们大题也不会经常考，一般要考也是考选择或者是填空，我们来简单看一下， 首先外尖球的核心是什么？就是长方体外接球的直径就是我们这个等于他的一个梯队角线， 记住这个直径啊，就等于根号下 a 方加 b 方加 c 方，然后正四面体的外接球半径 r 等于四分之根号六倍的 a， 这个一定要记住啊，这个记住之后我们选填是可以直接用的，就不用你专门的去啊，再计算很多了， 那在这里呢，因为计算过程比较浪费时间，而且考试的话他也不会专门去考你这个正四面体的外接球板，你是怎么算出来的？所以这里大家只需要记住，考试的时候，嗯，直接用能够提高我们的做题速度即可。 然后我们找球心的关键就是找个顶点的一个距离相等，如果考试考出来不是长方体或者正四面体，比如说给了你一个其他的一个楞锥情况下，我们只要找到就是呃，建立用咱们的勾股定律去计算这个半径就行， 然后咱们还有一个圆和直线之间的一个半径就行。然后咱们还有一个圆和直线之间的一个位置 关系，圆和直线之间呢，要么是相离的，要么是相切，要么相交的，相离的话就是没有公共焦点，那没有公共焦点，他就是一个类似于这样子的，这是咱们的圆心，然后这是咱们之间 l 相离的话，就是这个点到线的直线 d， 然后这是我们的半径 r， 它的 d 和是大于 r 的， 那相切呢？就是正好是 这样子的，那么正好他点到直线的距离 d 就 等于我们圆的半径 r， 然后第三个相交呢，相交就是这是一个 l， 然后这是一个 圆，那这里的半径半径到直线距离 d 是 小于我们的半径 r 的， 所以这是我们直线和圆的一些位置关系，也是我们选择和填空经常考的一些内容， 包括我们点到直线的距离，也有咱们的这个直线距离公式，就是比如说这个点啊，它是等于 a 和 b 的， 那么这个点 a b 到咱们直线的距离就是等于啊 a a 加 b， b 加 c， c 的 一个绝对值，比上 a 方加 比方，这个呢是我们点到直线的距离。那现在呢？我们来看一下例题二，直线 l， 它是 mx 加 y 减 m 等于零， 然后与圆这个给了一个圆 x 方加 y 减一的平方等于四交于 ab 两点，我们发现这是一个什么，应该是我们圆与直线是相交的关系，然后得到 d 是 小于 r 的 关系， 问你求 ab 的 最小值。然后这道题我们简单的去画一个草图来看啊，首先这个圆他过的是零一这个圆心，然后他的半径是等于二的，对不对？所以我们简单的来画一下这个 草图，这是 x 轴，这是 y 轴，然后圆形是零一，零一在这，然后半径是二，然后我们画一下半径大概就是这个样子位置，所以我们画一下这个 圆，画完这个圆之后呢，我们再来画这条直线，那这个直线我们能不能看出来他过一个什么定点呢？这样子不好看，那我们把它去做一个化解， m 倍的 x 减一 加 y 等于零，那这样子是不是能看出他是过一个定点一零的？所以我们先找出了一零之后我们去过一个定点， 然后我们这是直线 l， 它交于 ab 两点，那现在要求 ab 它的最小值。我们来看一下，如果一般情况下，我们 a d 应该怎么求？应该是首先 ab 他的一个长度，我们假设如果他过这个线，呃，过这个圆点，然后做一条关于 ab 的 垂线，我们假设 gvc 的 话，那就应该是等于 二倍的 ac， 那 ac 怎么求呢？ ac 是 一个在直角线，只用那个勾股定律就等于二倍的半径，我们圆的半径是等于 r 的， 也就是 r 的 平方减去我们 o c 的 平方，那 r 的 平方减 o c 的 平方就等于 r 方。我们是知道是等于 啊四的，就等于四减去 o c 的 平方，所以我们要求 ab 的 距离应该是求 o c 的 距离，而且 ab 的 距离最小的话，那 o c 的 距离就应该最小，那怎么样情况下是 o c 最小呢？哎，就应该我们是 o c， 就 应该就是 c 点，就是我们刚刚说的这个定点，这样子我们就能保证 o c 是 最小的，所以呢，我们 c 点的距离应该是一零，然后 o 点呢，是我们的零一，所以要求 o c 的 距离应该就是一的平方加一的平方应该是等于 根号二的，那所以我们 ab 最小就等于二倍的根号下四减 o c 的 平方是等于二，应该就是二倍的根号二，所以应该选择的是 c 选项。那这道题呢，其实就是考察了我们一个直线和圆的一个位置关系，如果是相交的情况下，什么情况是距离最短的？应该就是我们圆形到直线的距离是最短的情况下，那么他的一个 呃圆上的一个捷径，他也就是最小的。那这道题呢，就是我们高考常见的一种类型题，高考基本上也就是这种难度，所以这种题大家下去多练， 多去掌握这种方法就可以了。然后我们再来看一下第三题，第三题他说在这个三轮锥 p abc 中，然后 ab 是 等于 二，然后平面 p a b c， 这个 p a b c， 它的一个 呃二面角的大小是等于三分之派的六十度，然后 ac 等于二倍的 bc， ac 等于二倍的 bc， 假设这是 x 的， 这是二 x， 然后问你点 c 到平面 p a b 的 距离最大值是多少？哎，这又是一个求点到 平面的一个距离，那这道题我们来看一下啊。通常情况下，其实这道题如果你用直接的去计算的话，其实是没有思路的， 那这时候我们就想到了我们之前所说的，如果你没有任何思路，我们就间隙，那这道题的难点呢？是其实是在于间隙方面，应该怎么间？哎，那我们假设找一个 a b 的 中点 为 o 吧，然后因为题目不是给了你 p a， b c 的 一个二面角吗？所以我们就以 o 点，然后这个二面角角度为一个切入点，去做一个平面角系。首先中点是 o 的 话，那么我们以 ab 间隙， ab 是 x 轴，然后呢，去找一下咱们 ab 的 中垂线作为 y 轴，然后这样子垂直下来，我们做一个 z 轴，这是我们建立的一个平面直角坐标系。现在呢，建完平面直角坐标系之后，我们就可以对应的去写 abc 它的一些 呃坐标了。那个 a， 首先它是因为在 ab 上，它这二的话，这里是以一，所以 a 点应该是负一零，然后 b 呢？应该是 一零，然后我们设 c 呢，它是一个 x 和 y， 因为我们要求 c 到 p a b 的 距离吗？所以我们 c 的 位置其实不知道，那我们就设未知数，而且因为我们有什么，因为有 a c 等于二倍的 bc， 二倍的 bc， 所以 这应该是一个 我们用来计算的一个等式，对吧？所以现在我们来计算 a c， 它是等于，如果写成向量的话， a c 向量应该是等于哎 x 加 y， 然后 bc 向量呢，它是等于 x 减一， 所以咱们 ac 等于二倍的 bc， 实际上 ac 向量的模等于二倍 bc 向量的模，所以我们来计算 ac 向量的模，是等于根号下 x 加一的 平方加 y 的 平方，然后等于二倍的根号下 x 减一的平方加 y 的 平方，我们同时化减下，其实它会整理得到一个圆，就是这个是 x 减去三分之五的平方，加 y 的 平方等于九分之十六，大家可以自己下去化简一下，就是最终结果。化简成一个圆，是以圆心是三分之五零，半径为三分之四的一个圆，所以我们发现其实这个 c 啊，它是应该是在一个 呃圆，呃是一个轨迹，是一个圆形，首先这个什么，他的一个圆心是什么？ c 点这个轨迹的圆心是 三分之五零，那么他一定是在我们的平面 abc 上，对不对？所以啊，在平面 ab 深 c 上的话，那么我们就知道这个 c 点，他离我们的直线 ab 这个最大的距离是他的一个半径，半径 d 是 等于三分之四的，因为，呃，圆心啊，他是在咱们这个 ab 上移动的，那么 c 点到 ab 最大的最大的距离呢？就是我们的半径呀，对吧？就是垂直情况下，一个半径 就等于 d， 就是 三分之四。那又因为咱们的二面角，呃，这个 p a b c 它的一个大小是六十度的，所以咱们这个最大的最大的距离是等于咱们的三分之四乘三引 三分之派的，因为这个距离是乘一个三引六十度的一个角，所以就等于 三分之四。乘二分之根号三就等于三分之二倍的 根号三，所以选择的是 b 选项。那这道题呢，其实放到我们高考里面就比较的难一点，因为它涉及到了一个间隙的问题，而且它见的还是，嗯， 对于咱们找这个直角来说还是比较困难的，所以难就难到间隙，如果你发现咱们间完隙之后，你就发现啊，其实整体计算来说他不是很难， 所以大家平常在做题的时候，一定要积累去我们常见的一些间隙的点和常见的一些间隙的一些思路 就可以了。那只要提示到这，那这节课呢，其实我们讲的四部分，第一个呢就是我们表面积体积的计算公式，一些球呀，圆柱呀，圆锥呀，这种 公式要记牢，其实考试的频率不那么高，但是如果考出来之后一定要记牢公式。那第二个第三个呢，就是关于平行和垂直的判定，那这一块就是线面平行，线线平行，线面平行，面面平行，还有线线垂直，线面垂直，面面垂直，它的一些几何证明 需要啊几何的证明，几何的一些逻辑思考，包括你在证明几何语言的时候不能丢失的点要大家要注意。然后还有就是一些圆的嵌接问题，比如说 呃，那个半长方体的呃外接圆，还有正四面体的外接圆，这些其实我们要多记的是咱们的二级结论，因为在选择填空里面其实能够提高你的做题速度的。 那这节课就讲到这，然后课后呢，把老师给大家布置的一些题目，大家回去写完咱们的答案，在配套的资料中评论区就可以看到咱们免费的获取方式。那本节课就到这，大家再见。
126期末闪学
02:05查看AI文稿AI文稿同学们好，今天咱们来看一道有关立体几何中线线垂直证明问题。首先这道题它告诉了 p、 a 垂直于 a、 b、 c， 而且 a、 b 等于 b、 c， 哎，等腰三角形出现了，一般见到等腰，咱们就去给它做中线就行，也就说把 a、 c 的 中点咱们给它 标出来，加标个 o， 把 bo 连了就行。此时你就干一件事情，线线垂直，一般情况下要给其中一条线构造面了，到底是给谁构造面？你看你做的辅助线和你要证明的两条线谁首尾相接， 你做的 bo 和 ac 首尾相接，不不，他不是首尾相接，他只是相交了，他与 b、 d 是 首尾相接。既然首尾相接了，就是给 b、 d 构造了个面，其实一看就是 b、 o、 d 这个面。 也就说这个题咱们就需要证明的是谁了， a、 c 垂直于谁 b、 o、 d 这个面了，那不就是证明 a、 c 垂直于 o、 b 和 o、 d 吗？ 然后咱们可以来看看 a、 c 和 o、 b 是 肯定垂直，因为等腰三角形的中线是垂线吗？ a、 c 和 o、 d 呢？大家可以看到 d， 因为是终点， o 也是终点呀。 那 d、 o 是 不是和 pa 是 等价的，而 pa 是 垂直于底面的，自然 pa 和 ac 也是垂直的。这道题咱们也就结束了，由它咱们就可以推出来 ac 和 obd 这个面是不垂直，所以 ac 和面里面的 b、 d 垂直。咱们写的过程是草纸上的过程，如果你要正正规写过程，你必须给人家点名，什么点名？这个 o、 b、 o、 d 是 相交线， o、 b、 o、 d 都在 o、 b、 d 这个面内，然后才能说明什么， 才能说明咱们这个 a、 c 和这个面垂直，和这个面垂直了，再说明 b、 d 在 这个面内，所以这个什么 a、 c 和 b、 d 垂直。好，这道题咱们就先说到这。
07:29查看AI文稿AI文稿二零二二年的高考可以称为史上最难，像这个立体几何题，也是近十年里面最难的一个平行题。 这里首先给同学们最大的冲击就是这个图长得有点太空间感了，对于空间感稍微弱一点的同学来说，简直就是灾难。像这种非常抽象的立体几何平行题，我们如果单纯的使用眼睛去看的话，这个题可以说基本上是做不出来的。所以像这种复杂的这种平行题或者垂直题， 我们使用的唯一的方法就是推理，可以这样说，越复杂的图像用推理越好用， 那什么怎么去推？这个题怎么去做？我们来一块分析一下。首先说线面平行，我们思考一个问题，如果让你正一个线和一面，你怎么去正？ 那我们脑海里呈现两种方法，第一种方法，正线平面，只要正线平面里的一条直线就行，可能是中微线，也可能是其中的一个边，也可能是怎么的，反而要在这个面里做一条它的平行线。 第二方法的话，就是我们要把这个线放在一个面里，只要是这个面和这个面平行，那这个线和这个面就是平行的。这两种方法的话，哈，可以说证明所有的线面平行题， 那这个题的话，你也不例外，因为我们线面平行的几何法就只有这两个方法，没有。第三个，所以用方法，用推理思路去看的话，你就不要去想别的了。首先证明 o e 平行于这个 p a c， 利用方法一的话，你就要在这个 p a c 里 找到一条 o e 的 平行线，那在 p a c 里找 o e 的 平行线的话，那首先说你肯定是过特殊点做 o e 的 平行线，那过特殊点的话，你想过 a 或过 c 过 p， 这个地方同学们大多数能看出来应该是过 p 做，哎，这个平行线这样的话相对而言是比较好的。这样的话，做一条 p o 平行于 o e， 那 做是做出来了，也是说这个题大概率哈，大概率是证明 o e 是 平行于什么呢？ pm 的， 那我们做出来这种关键的问题还是需要去正，那这样好，我们再去思考一个问题，我们想要正这个线和这个线平行，同 学们仔细再观察这两条线他们的长度是不是一种一长一短的关系，但凡你看出来他的长度一长一短，那么可以了。两个线一长一短，还要证明他俩平行，那同学们就不要去想别的了，那这两条线一定会在一个什么呢？一定会在一个三角形中， 三角形中的话，这个点如果是这个点边的终点，这个点也必然是这个边的终点，如果他是三等分点，他必然也是三等分点，这就是我们的推理思路。我们想要证明这条线和这条线平行，那没有什么别的方法，你一定要把这两条线放在什么呢？同一个面中，那放在同一个面里的话，这个题你仔细观察， p e 延长过来是经过 b 的， 那换句话说，这个 o m 就是 这个 mo 延长过来，是不是应该是很有可能是经过 b 的？ 要想平行的话，它是不是必须得经过 b 啊？ 好了，那这样的话，我们连了之后，这样的话出来了一个什么三角形 p m b， 那 同学们仔细观察，这里边有一些问题就已经呈现出来了，这个步骤我该怎么去写？ 有同学说，哎，我做了一个平行线，我直接过屁做 pm 平行 o e 啊，直接写，那这样写首先是不合理的，因为我们目标是证明他俩平行，你肯定不能在试卷上写，哎，我做一条平行线，肯定不能这样说，那怎么说呢？那我只能就是先什么延长 b o， 延长 b o 交 a c 与 d m 连接 pm 啊，所以这个辅助线得这样去做才行。 那这样去做之后，我们呢，想要证明他俩平行，然后看这个 e 啊，是一个什么呢？是一个终点，所以这个题的所有的压力就出来了，我们只要证出 o 哎是 b m 的 终点来，哎，这个事就万事大吉了，这个题咱们就成功的给解决了。那 o 点是 b m 的 终点，如何去证呢？ 首先观察这个 o 点应该是底面 a b c 里边的一个点啊，这个 o 点是 b m 的 中点的话，那底面 a、 b、 c 长什么样子，我们就得好好研究一下这个底面了，对吧？好，我们来看一下这些信息， 想要研究底面的话，同学们可以哈，先把底面 a、 b、 c 啊，先把它给摘出来，先随便先画一下，这是 a， 这是 b 啊，这是 c。 然后呢，题干里说了， ab 和 ac 是 垂直的标上，那读完条件之后，这上有个 p 和 pp 相等， 同学们想根据推理思路，两个边相等， p 和 p b 相等，干什么用的嘞？同学们想两个边相等，根据推理思路，就是想告诉我们，三线合一的，就是说 p 和 p b 相等，你取一个 ab 的 中点 n， 然后呢，把它给连起来， 那连起来之后，这样话，我们就能得到一个信息，就是 ab 的 话一定是垂直于这个 pi 的。 哎，他要说你怎么想起来连这个东西，我怎么就想不到呢？这就是我们的推理思路。赵老师说过很多的正推反推法，正推的话题，概率给了我们两个边相等， 他的目标就是为了让你推这个三线合一，要不然他给你这两边相等干啥？只是为了告诉你这是个等腰三角形吗？不是的，他想利用这个等腰的这个特征推出来一个垂直。明白这个道理之后，咱可以推理思路，两个现象，垂直给我们的目的是啥？ 线线垂直，同学们，记住，它的作用就是让你证明线面垂直的，不要去怀疑别的，就是线线垂直的唯一目的就是想让你推线面，怎么去推呢？ ab 垂直于 c 啊，咱写下来，那这样的话，你会发现一个问题， ab 是 不是垂直两条线？ ab 垂直于它， ab 垂直于它， ab 就 必然垂直于它两条线所在的这个平面。然后再去思考这地方还有一个东西很容易忽视的哈，就是 p o 和底面是垂直的，那 p o 呢？和底面垂直是不是也和 ab 是 垂直的？那这样哈，同学们仔细观察这地方， ab 垂线太多了， ab 垂线太多了， ab 垂线干什么用的？是不是推线面垂直用的？好了，我们来看一下图， ab 垂直于什么呢？偏 ab 垂直于 p o， 那 出来了，他俩是不相交的呀，他俩相交形成了一个平面，是 p o n 呀，所以 ab 一定是和 p o n 垂直的，所以连起来。哎，有时候他两个推出来了一个哈 ab 垂直平面， 什么呢？ p o， n， ab 和中间这个三角形垂直是不是？ ab 是不是就和这个面里的啊？是不是这个 o n 垂直啊？然后呢？ a b 垂直， o n a b 呢？又和 a c 是 垂直的，那说明是没问题啊，是不是它两个就能说明这个 o n 是 平行于 a c 的 呀？那既然它俩平行，同你想想， n 是 我们自己取的一个终点，对吧？它两个如果平行的话，那这个 o 的 是不是就是 b m 的 终点？所以进而就能推出什么呢？就是因为这个 n 是 终点哈 啊， n 为终点，最后推出来什么？这个 o 是 是 bm 的 终点，我们就把这个题解决出来了， 推出来 o 是 他的终点， e 是 他的终点，所以这个线和这个线是不是这个线就中线，这个线就和这个线平行啊？ g r， 最后加上线在面内，线不在面内，所以这个线和这个面平行。按这个题第一问就正确了， 也就是说，同学们观察出来，为什么我把这个题定义为史上最难，原因是线面平行题。大多数情况下，只要简简单单正线平面的一条线就行了， 而这个题表面是一个线面平行题，实际上里边最重要的思想，同学们看大幅的篇幅都在证明什么呢？线线和线面垂直，也就是说这个题啊，是一个什么呢？套着平行的一个垂直题，所以导致比较难一些。
601郑肖老师直播号
04:41查看AI文稿AI文稿我查 ai 查不到， ai 查不到，但是我给做出来了，我们要研究这么一个问题，如果这个正多面体啊，正多面体呢？能长知道的，能长知道了， 那么他的啊，外接球的半径啊，我们用二表示啊，内切球的半径，我们用小二表示，他的能切球的半径，我们用二二零表示， 怎么样用 a 表示出来呢？因为你的 a 的 长定了以后的时候，那么他的外接球的半径，他的内切球的半径，还有他棱切球的半径就固定了，就可以用这个棱长啊来计算出来了啊，那么这个公式怎么计算？ 我查了查这个，这个 ai 啊，这个结论是有，但是它没有证明的过程，没有推导的过程啊，包括元宝啊的 ai 啊，这是我都查过了， 你查不到，为什么查不到呢？因为啊，我们推导这些式子的时候需要画图，这个图是很复杂的，大家看看我做这个答案呢，是吧？你们看看这个图啊，这个图， 这个图就是正十二面体啊，正十二面体在这个平面上的示意图啊， 大家注意啊，我们在纸上绝对画不出来啊，这个三维图形画不出来，他差一维呢啊，差一维呢，我们只能画一个平的面的一个示意图，大家看这个图是很复杂的， 我们要通过这个福字这个图，我们去推到这个公式的时候，我们需要啊，很多知识啊， 做出来的呢，那就是我通过啊，我做的这个空间模型啊，这个这个三维这个模型，我找到了一个平面， 我这个平面的这个边呐，我都用红的表示，大家看这红的从 a 开始， a， b， c， d， e， f， 大家看是不是这么一个也算一个平面呢？大家看这个啊，这，这是正二正二十面体，我也找出一个平面来， a， b， c， d， e， f， 又回到 a 这了，就是一个完整的平面啊， 大家看这个正八面体，我也找出这个面来了啊，啊， ab 啊， b 在 这呢，然后 c 在 底下呢， d 回来了啊， 大家看见这个吗？找出这个，这个算，这个算这平面的，这个六也一样，大家看，从从 a 开始啊， a 从这开始，从 a 再到哪呢？ a， e， g， 啊， c， 大家看，这形成了一个完整的啊，这是正四面体，这个啊，这个面也找出来了， a， d， b， 或者说 abd 也行，大家看这个红线构成的这个面，那我为什么要找出这个面来呢？ 也就是说这正多面体，他的外接球半径 r 啊，大小的 r， 他的内切球半径小 r， 还有他内内切球的半径啊，大二零都在这个面上，都在这个面上，并且他的这个棱长啊，也在这个面上， 通过这个面，我很容易很直观，很快的就可以把他们的关心式子推倒出来了， 因为我有一个实物，有一个啊正多面体，他的三维的啊，真正的石图， 在这个图上，我就可以把这个重要的面，我就给他找出来，找出来以后，在这个面里头啊，在这个面里头，我就可以找出来啊， 这个边长啊，棱长和那个外斜球半径，内斜球半径，还有啊棱斜球半径，他们这这关系，很容易就找出来了这个答案啊，我给出的这个答案就是啊，这个血 啊，这个求做啊，求解的过程，所以我不仅仅是光推出来啊，这个三维啊模型，而且要有答案能解决啊，这多媒体啊，一些主要的问题啊。
353立体老骑
06:51查看AI文稿AI文稿大家好，今天给大家带来立体几何当中一个非常经典的问题，就是类似于咱们小学或初中那种，呃，奥数题当中那种蚂蚁爬，然后最短路程问题啊，那具体是什么问题呢？我给大家去画一个图来试一下，然后咱们来找一道题实战一下啊， 说如果这是一个正方体， 然后我们说这个棱长是二，然后在这个点处呢，这是 a 点，有一个蚂蚁在这个点处呢，是 b 点，是有一块糖，现在我要求啥呢？要求这个蚂蚁是啊，要在前面这个面上爬， 爬完之后呢，经过一个这个棱上的一个洞点洞，然后呢再爬到这个 b 点，问你这个 a 洞 加的 b， 它的最小值是多少啊？这种问题在小学二书或者说初中的一些题目里面呢？它是啊有出现过的 啊，这个呢相对比较好理解啊。那我们看啊，我们的思路就是把蚂蚁它的这两个路径所在的平面给它展开一个平面，那 a 的 这个路径，它所在平面是前面这个面是一个正方形，然后的 b 所在面也是 两个正方形，对吧？好，那 a 点在这， b 点在这展成一个平面了，那什么时候最短呢？两点间线段最短，所以这个 d 点在这的时候，也就是说最短的距离呢，就是这样一个直角三角形的斜边 啊，这就是这种最短路路线问题的一个思路啊。那我们来看一道具体的题目，在具体的题里面呢，他可能不是一个正方题啊，是一个呃，稍微复杂一点的图形， 比如说这道题啊，已知直三棱柱啊，直三棱柱侧棱跟里面垂直，然后呢棱柱的侧面均为矩形啊，然后 a a 一 的长度是以高，是以 a b 等于 b， c 等于根号。三、 cosine 角 a b、 c 啊，这个角的 cosine 值是三分之一， p 是 a、 e、 b 上的动点， 然后问你 ap 加上 p、 c、 e 的 这个最小值。好，那么刚才讲了就是这种题的思路，就是你要把 ap 和 p c、 e 这两个路径它所在的这个面给它展开， 也就是说无论你这个 p 怎么动， p 不是 这个 a 一 b 上的动点吗？无论怎么动，它在哪，你这个 a 一 p 所在面都要把 ap 包含， p c 一 所在的面都要把这个 p c 一 包含，那么你找到这样两个面，把这两个面给它展成一个平面就可以了，原来这两面是有角度的，对吧？所以你看啊，你这个 p 点在这个 a 一 b 上动的过程当中，你看这 a、 p 是 不是这样，这样， 这样，这样，对吧？那所在平面是哪个呀？是不就是 a、 e、 a、 b 这个平面啊？然后呢，这个 p 在 动的过程当中呢？这个 p、 c、 e 呢？是，就是这样啊，这样画呀，这样画呀，这样画呀，所以所在的面是不就是 a、 e、 c、 e、 b 这个面啊？ 对不？所以现在咱们就是要把这两面给他展开一个平面，那么在展之前，我们要先计算一下这两面他有没有什么特殊的这个地方啊？比如说这两面可能是直角三角形啊，等腰三角形啊，啊，那那你展开之后，你有目的的去画，对吧？首先我们先用一下与弦定律，先算一下这个 a c 的 这个长度， ac 方等于 ab 方加上 bc 方，再减去二倍的 ab 乘 bc， 再乘以口在 b， 这样啊啊，这个乘完之后是三，三乘三，三乘一啊，是一，所以右边是二，左边是六，所以这是四，那也就是说这个 ac 的 长度是二， 那这个是二。然后呢，因为这个是一个直角度，所以侧楞，它垂直于顶面，那么这个 a 一 a， 它就垂直于底面，所以 a 一 a 就 垂直于底面上所有的线，这个是直角，那这是一，这是高三，所以这个斜边 a 一 b 就是 二， 可以吧？好，然后刚才说了，咱们要展开的面呢，是这两个面，一个是这个面啊，这次发现了，这是一个直角三角形，而且还是有一个是六十度的，对吧？还有一个面就是这个面 啊，那这个里面的 b c 一 怎么算呢？你看这个 c c 一 是浓度的高，是一，这是刚好三。同样这个 c c 一 是侧棱，它垂直于底面，所以这是直角，那一刚好三，所以这个长度呢？哎，也是二，所以你要展开到另外一个面，是一个等边三角形。哎，那这就很好了， 我们把它展开， 这个是 a 一， 这个是 a， 这个是 b， 这个是一，这是个号三，然后这个是二，那我们要展开另外一个面呢，是等边三角形， 这个是 c 啊，然后这长度是二，这长度是二。那么现在我们要求的是啥呢？求的是从 a 到 c 的 最小值，两点之间线段对准，求的是它。哎，这就很简单，这个呢是六十，这个是六十，所以整个这个就是一百二十度，对吧？ 那么我要求的这个 a c 一 的平方用于限定就可以了，等于 a 一 c 的 平方加上 a 一 a 的 平方，再减去二倍的二乘以一，乘以口在一百二十度， 余弦定律等于五，减去啊，二乘二乘负二分之一等于是五加二等于七，所以 a c 一 等于根号七，那答案就是 b， 可以 吗？同学们，好，我们在最终再总结一下这种题的思路，就是你要把 要求的这两个路径所在的平面给他展成一个平面，在展之前你要分析一下你要展的这两个平面，或者说这个三角形他是什么样的三角形，有没有特殊性，然后你再去展开，展完之后再结合解三角形那块的知识，正弦定律，余弦定律 啊，或者说那个三角函数公式那块的知识，我们去算出这里边的这个你要求的这个最短线段，甚至有些题可以结合初中的几何去做一些辅助线去做出来啊，都可以，那这个就得看具体的题目的设置了。好吧，那我们今天就到这里。
55和我一起刷数学
14:40查看AI文稿AI文稿立体几何千万别看老师遇到这种像洞点探索的问题，很多同学脑子直接卡壳，好不容易我咬着牙把答案看懂了，下次换道题，是不是还是不会做？是辅助线不会画吗？ 为什么？因为你在瞎找线。所以今天胡老师给大家讲的这招降维打击，就让你一眼能看出辅助线怎么画 别人可能题还没有看完，你就拿分走人了。期待不期待？期待好，我们来先看一下什么叫做动点探索的问题。读题，你看是否存在 p c 上的动点？ f 是 问你是否存在一个点，使得线和面平行，对吧？对，来这里棱上的一点是谁不知道，问他是否使得线面平行， 这叫做动点探索，使得它平行，可以探索，使得它垂直，是不是也可以探索？是的，哎，使得夹角是多少线？线角线面角面面角都可以考你。咱一个一个来说，先说平行的问题好吗？好，好。那么对于这种平行的问题，我们的方法几个字， 核心思路叫做谁不动？注意哈，谁不动，这是大方向啊，咱们就平移谁，就这， 你比如说像这道题目，你看，这是问你线面平行，大家也要注意一个点，线面平行的题目。探索问题，我们都是从后往前读题，不要从前往后读，就从后往前读，缺谁咱们就找条件吗？对吧？ 使得 pa 就 这根红线是否和这个蓝色的面平行，谁是动点？这个 f 点是动点，那意味着这个面就是移动的，对不对？那我们的核心是谁不动，平移谁？你告诉胡老师，本道题平移的是线还是平移的是面 平移线还是平移面？线谁不动？平移谁？对啊，谁不动，平移谁。 p 和 a 是 不是固定的？是的， f 运动导致这个面是不就运动的，所以谁不动嘛。就是这个线是不动的，所以我平移的是线。我为什么要平移线呢？ 因为你要证明线面平行。我们的原理是，你看这里啊，我给你画一个面，这是阿尔法面，这是 l， 如何证明线和面平行？ 线是不是只要和面中的一根线平行就可以了？对，如果能证明 l 平行于 m， 因为 m 来自于这个面，所以 l 就 和这个 alpha 面平行了，没问题吧？没有。所以线面平行的核心就是只要证明线和面中的某一根线 平行就可以了，没问题吧？没有。那么我平移线的目的就是为了找到这个面中的哪根线跟他平行，这是目的，能理解不？可以。那怎么去平移呢？ 我们平移的方法就是拿着你的尺子注意。哎哎哎呦，我的天呐，拿着你的尺子对着这个 pa， 把这根线推到面内去， 那这个线显然是比较长的，比较大的，你推到这个面内去，线会变小，会变短，对吗？对对，我们推的时候要让这个线尽可能的给他完全放到面内去， 一旦放进去，线就会变短。哎，这是第一个你要认知到的，第二个短就短呗。那怎么推进去呢？推的原则一般是保证线的某一个顶点和面的某一个顶点重合。那你告诉老胡屁点和谁重合？ 噔噔噔噔，推推推推推推。你看平行移动吗？这是你的卷子。来，拿着你的尺子移移移移移移，是 p， 推到 f 这来了，对吧？平行，你就画一根跟他平行的线，那么 a 是 不是就移到这来了？是，我们给他起个名叫做 m， 你 找到了，你只要证明这个红线跟他平行，是不是线就和面平行了？对，对吧？这根线我们就找到了， 接下来就是你刚才是强行平移找到的，但是你写题的时候，你总不能给人家说我把它往前推吧？不是这样，这是你脑海里面的思路，我们写题过程不这么写，我待会教你们过程怎么写，好不好？好好，那接下来你倒是找到这根线了， 你得给到严密的逻辑推理与证明，怎么正？告诉我怎么称正。 当你把线推进去之后，注意这根线的长度改变没有？改变了，线的长度发生改变，我们证明的方法叫做三中。什么叫三中？ 三角形？中位线，你看，比如说我让你证明这两根线平行，咋证啊？三中哪个三角形呢？边边一连，边边一连，这是 a， 这是 b， 这是 c， 就 这个 abc 的 三角形， 是不是这个三角形就找到了？对，对啊，所以啊，那你告诉我要把他俩放到一个三角形里面去。把他俩放到哪个三角形里面去？你来告诉我， 放到三角是不是也是一样的？边边一连，对不对？这个三角形辅助线你不就会做了吗？一连，然后呢？把这个边边是不给他连起来？对，看到没有？边边把这两边边一连。 对啊，然后延长，延长，延长，直到跟另外一个是不是有交点到 c 这了，所以在哪个三角形里面去正呢？在 p a c 红色三角形面去正就好了， 对吧？然后呢，平行线分线段对应成比例，看这个点是你的几等分点，那么 f 点就是 pc 的 几等分点，那么这个 f 点不就找到了吗？对，关键是先看这个 m 是 几等分点，自己看能看出来吗？ 对啊， m 点是几等分点呢？ m 点在哎呦，对角线上，对角线的什么位置？ 对啊， m 在 这看，这是对角线吗？这个是，你可以把它理解为半对角线。哦，这是中点。看题， e 为 a， d 的 中点，这个是中点，所以这个 m 是 几等分点。 拿什么去看相似？哦，聪明，点个赞。相似在立体几何里面用的非常多，是吧？这个三角形 是不是和大三角形，这个三角形是不是应该是相似的？一比二吧，所以呢？这段一比二，所以这是二 x， 这一段应该是 x， 是 不是应该是二比一，所以这一段应该是 二，比如说二 y， 这是 y， 是 不应该是二比一就完了。所以人家题目问你说在 pc 上是否存在动点 f， 你 上来给人家写啥？第一，第一句，上来给大家说什么？上来先给人家说存在， 存在吧，存在。然后立马你找到这个 f 点是不应该是二比三的关系，或者说二比一存在。你说此时 cf 比上一个 cp 等于二比三，就你找到这样的 f 了。对对，你就直接找到它的比例关系了。对，然后你带着这个比例关系去证明线面平行是这样写的， 能理解不？可以，你写的过程你不能说，哎呀，把这个线往进推，这是你心里的行为和操作，正儿八经写，就是存在，然后这个点是几等分点，直接表明，然后现在开始证明如下，就是你已经知道是几等分点了，对吧？然后再说这个是几等分点，平行分线的对应成比例吗？ 当然，在证明之前，你要把该连的线全给人家连了。这个思路能听懂吗？可以，我就不写过程了，因为黑板确实写不下。带大家分析一下思路没问题吧？没有，没问题， ok， 这就是我们的平行的探索。 那这样一做，大家觉得题目还难不难了？不难了，是不是辅助线就很好好找了？对，好，我们再来一道题目，看看你能不能找出来辅助线。然后这是我们在考试的过程中，以及你们参考资料里面出现频率极高的动点探索的小题来看题， 他是不是也是说，哎，一点是棱上的一个点，没说是哪一个点，然后说，哎，使得红线与这个蓝面平行， 没说是哪一个点，我们把它也理解为动点的探索吧，就让你探索这个点是几等分点，能理解不？可以。好，那你现在告诉胡老师，现在是谁不动平移谁，我们要平移谁？ 嗯，平移线，平移线，因为第一和 b 就是 正方体的顶点吗？固定的吗？这个一点是不确定的，把它理解为动点，动点，谁不动平移谁？拿着你的尺子把这个线往面内去推， 推的过程中，长度变了还是没变，长度变了还是没变？变了，长度变了，所以我们应该用的也还是三中，没问题吧？没问题，这是你心里的大方向。来，在推的过程中， d 一 和 e 重合吧。对，请问这个 b 点和谁重合？自己看 b 点和谁重合。你是不是认为 b 点应该到 c， 这 很多同学决定到 c， 这是吧？不是。那是不是这根线就变成这个线了？不是 是吧？如果是这根线，我问大家行不行？不行啊，他俩平行不平行我再说一遍，你肉眼看出来平行更好，但是如果你肉眼看出来不平行，不代表人家真的不平行，你得去用理性去证明能理解不？ 所以说，如果按照绝绝大多数，有的同学刚才觉得应该是这根线，如果是这根线，你看能不能把它们放到一个三角形里面去，如果能就 ok， 如果不能，说明这个点便宜到账是不成立的。忒矛盾了，能理解不？那他们能放到一个三角形里面去吗？ 思考一下，连吧，你这一连噔噔噔，这是不是有个一条线啊？对，这边一连噔噔噔噔，这有一条线，请问是不是就放到哎这个三角形里面去啊？ 是还是不是？不是。为什么？不是，因为这两条线不在面，不在一个面类。你们还挺聪明的哈。有的时候胡老师，这不就交于一个点了吗？这是你人为交的。 其实这根线是在上面的面上，这根线是在底下的这个面上，这两个面是平行的，永远不相交，你觉得面中的线能相交吗？ 不可能吧，所以你把 b 移到 c， 这是不成立的。我解释明白了吧？明白了，好，那不在 c 这在哪？ 连接 bc 不 在 c 这。你想一下，他肯定跑这个棱上来了嘛，对不对？对，比如说在棱上这个位置我也不知道在哪，随便给个位置有可能平移过来之后噔噔噔噔到这了，我随便拉了一个。那以后说，胡老师你画的这也不平行啊。 好像看着不平行，但是你得正啊，这图目标准呗，是不是来正吧，肯定是在这个线的某一个位置了。那在哪一个位置呢？不知道是哪个位置，跟刚才的做法是一模一样的，干嘛？看他能不能放到一个平面的三角形里面去，我把你的脸 是吧？来吧，我再把你俩看。从这到这一连吗？是不？刚才那个思路，这个辅助线不就会画了吗？噔噔噔噔，连完交到这来，能放到一个三角形里面去吗？ 能不能？可以？可以啊，这个点是已经有一点了，这个点是 f 点，请问 f 点是什么点？ f 点是不是得在这条红线上来？我刚才连的 f 点还得在这个蓝线上，你告诉胡老师这个 f 点是什么点？中点， f 点是侧面正方形对角线的焦点，所以它是中点。完了， 这不找到了吗？找到了，所以当你技术比较高的时候，其实你一眼就能够看出来，往这一平，一啪一拉，左上下一连，这个三角形就找到了。 所以不是说看答案，答案跟你说，把这些一连，把这些一连，你顺着答案去看，你觉得答案说的好有道理，但是你发现你自己下次连不出来。所以这个线是怎么连的？我刚刚都教会你们了，把两个线的端点，两个线的端点延伸出来一个三角形，这个三角形是 ok 的 吧？ ok， 对 吧？所以我要证明的话，我是不是就在这个 d 一、 bc 一 这个三角形中去证明吧？是，那你这个 f 点是终点，我得保证两根这个线平行，这个得跟这个平行。你告诉我这个一点是什么点？中点， 中点。对，终点一点只能是终点，这事不就结束了吗？是的，当我知道一点是终点之后，你让我求 c e 的 长度，这是 d 一， 这是 c e 背面那个面啊，这是 d， 这是 c， 你 让我求 c e， 是 不是求的是它？是的， 这是直角三角形啊，二分之一，边长为一，这是一，这是二分之一。根据勾股定律，一加四分之一，四分之五，二分之根五小小探索问题，直接拿下，有问题吗？没有，这叫做什么的探索，平行的探索， 这只是平行探索的入门啊。今天的动点问题，这个面你是没有延展的，稍微难一点的题目就是这个正方体已经不能够满足你了，需要把这个某一个面给他，把这个体给他延展出来，需要拓展，这个题 就现出题了，就是升级难度的题目，没有问题吧？没有，所以这是第一个我们的平行探索，你知道他怎么去考你，难题怎么去考你？有了平行，前面讲过了，还有什么垂直，还有什么？还有夹角，这是一系列的探索问题，你都得会。 今天我们讲的是谁不动平移，谁平移的是谁线，是不是已经觉得很爽了？是的，但是动点探索里面更坑的是平移谁面面面还可以，平移的思路一换，难度又翻倍了。所以百分之九十的学生同学们，大家会栽在这种平移面上。 所以说，不管是平移线还是平移面，还是说平行垂直夹角的整个探索问题，胡老师把这种类型的题目全部给大家放到了立体几何二十五大的必考题型专项训练里面了，里面全都是你们在画辅助线的过程中特别容易出错的那种辨识题， 你把这二十五大题型能够整明白，那么你立体几何这块的分就拿的死死的了，所以大家赶紧下载打印，跟着胡老师训练起来吧，好不好？好好下课。
391老胡数学思维提升
