昌平二模数学答案新定义
同学们好，我们继续分享二零二六年昌平二模的新定义问题。 在坐标系中，圆 o 的 半径为一 p q 呢，是在圆 o 上给出如下新定义，三角形 ap q 满足 ap 等于 p q 这个等腰三角形， 且三角形 a p q 与圆 o 呢，有 n 个公共点，那么我们称三角形 a p q 为圆 o， 关于点 p 的 n 点镶嵌三角形点 a 呢，叫做圆 o， 关于点 p 的 n 点镶嵌关联点。 那么我们分析一下 a 点的范围，因为 a p 等于 p q， 所以 说 a 点呢，在以 p 为圆心， p q 为半径的轨迹圆上。 然后我们看三角形 a p q 与圆 o 的 交点个数，不同位置呢，有不同的交点个数，那我们找到临界位置，然后逐段分析。临界位置呢，就是有关联的点，比如说轨迹圆和圆 o 的 交点 ap 呢，跟圆 o 相切的时候， 或者说 a q 跟圆 o 相切的时候，这些呢，都是临界位置，我们可以分别过 p q 做圆 o 的 切线，这些切线呢叫轨迹圆。 这些点呢，都可以去作为临界点来分析，即使不是临界点标出来也可以。然后呢，还要注意其他的一些特殊点啊。好，然后我们逐段分析。 当这个 a 点在圆 o 内部的时候呢，这个三角形 a p q 跟圆 o 只有两个点，就是 p q 两个点，那这个镶嵌三角形最少是有两个点，因为 p q 就 在圆上嘛，那么 a 点不在圆上，所以说它就是二点镶嵌圆点。 当 a 点在圆 o 上的时候呢，这个三角形 a p q 内接于圆 o， 那 这个就是三点，快连点了。 然后呢，当 a 点在圆外的时候呢？ ap 如果跟 a q 都有交点的时候，算上 p q 两个点，那就是一共是四个交点，那这个时候叫四点 关联点了啊。然后继续当 a 点运动到 ap 与圆 o 相切的时候，这个 ap 呢，只跟圆 o 有 一个交点，那现在呢，又变成了三点关联点， 然后继续，这都是三点关联点。那么要注意一种特殊状态，当 a、 p、 q 三点一线的时候呢，三角形不存在，也就不存在这新定义了，所以说 a 点呢，不能取这个空白点 好继续。这些呢，都是三点关联点，一直到 a q 与圆 o 相切的时候呢，这个 a q 线段呢，只跟圆 o 有 一个 q 点交点了，那现在呢，就变成了二点相切关联点， 这些都是二点向前关联点，一直到 ap 再次跟圆 o 相切，现在呢还是二。那么如果说继续运动的时候， ap 跟圆 o 产生新的交点，那就是三点向前关联点啊。我们转了一圈，然后呢 发现不同位置有不同的这个 n 值，那么红色的部分，红色的弧线，包括红色的点都是二点，蓝色的弧和蓝色的点都是三点，然后这一段呢，有四点啊， 好分析了这个圆的状态，我们看他提出的问题 啊， a 一、 a 二， a 三、 a 四四个点，哪些是二点向前关联点，那就是说看这四个点哪个在红色部分呗。 那我们注意标记一下这个 a 点， a 一 点呢是根号二， e 就 在这，它是红色的点，正好它符合要求。 a 二呢是零， 根号二加一就是这个位置啊，这个是三点关联点，这个不能取 a， 三呢是一，二正好也是红色的，能取 a 四呢，就是圆点，它不是这个关联点，所以说结论呢，就是 a 一 和 a 三，然后再看圆圈二，这个 b 呢，是 y 等于 x 加 b 上的点， y 等于 x 加 b 呢，就是这个倾斜四十五度的直线， 然后三角形 b， p q 是 圆 o， 关于点 p 的 三点向前三角形，那就是说这个直线要跟蓝色部分有交点，那个交点呢，就是 b 点。 好，那我们推理一下，先从最上面位置推，那么跟蓝色弧相切啊，这个切点呢，刚好是这个白色点，那我们可以算出这邻接值， 利用一下网格线， 不难发现啊，这个 b 值呢，就是取三啊， 然后因为这个点是空心的，不能取，所以说这个三呢，不能取啊，不能挂等， 然后继续这个跟弧线的交点。哎，一直到这个位置跟 a 点， a 点虽然不能取，但是要注意这个点是可以取的，他们正好在一条直线上，所以说当 b 取到这个临界位置就是一的时候呢，是可以挂等的， 然后继续运动。当这个直线经过 a 一 点的时候啊，这个呢不能取，然后经过 d 点的时候呢，这个也不能取，所以说这两个邻界值呢，是不能挂等，分别对应的 b 值呢，就是负一和一减根号二，这个比较好算。 好，那我们继续看第二个 p， q 为直线， y 等于负 x 加 b 与圆 o 的 两个交点，然后呢，这个 p 点在 q 点左侧， 若点 k 是 圆 o， 关于点 p 的 n 点镶嵌关联点，若存在点 t， 使得三角形 o t， k 为以点 k 为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出小 t 的 极值范围。 那么我们逐一分析，先看新定义，这个 p q 是 倾斜四十五度的这么一个圆上的弦， 然后呢，呃， a 呢，是镶嵌关联点，按照新定义的要求，我们可以以 p 为圆心， p q 为半径挂轨迹圆， a 点呢，就在轨迹圆上， 那么 k 点呢，在不同的位置呢？对应的 n 值也不一样啊，有些位置还不能取啊，像这个我们一会再去研究。然后我们再看另一条，就是这个以 d p 点是什么呢？就是 x 轴上一个动点，然后呢，以 o t k 为直角三角形等腰直角三角形， k 呢，还得是直角顶点，那就是说把 o t 当斜边呗，那我们可以构造正方形，哎， o t 呢，当对角线， 那么另外两个直角顶点呢，就是 a 的 两个值， k 一 k 二啊，都可以当 k， 那 么 t 点运动起来，那么 k k 二呢？也会跟着运动，不难发现，这 k k 二的轨迹呢，就是这两条直线， y 等于 x 和 y 等于负 x。 好，那么我们看这个 k 点呢，既得在这个新定义的这个轨迹圆上，也得在这个规划的直线上，那轨迹圆和这个 k 的 直线轨迹，它们的交点就是 k 的 位置 啊。那这个时候呢，我们探求一下，比如说当 k 在 第一象限的时候，哎，那么 k 点的运动轨迹呢，就是这样一个动态的状，那么对应的这个 t 值呢，其实也是动态的 啊，比如说被 o k 取得最长，那么 o t 呢，也就取得最大啊。同理， o k 如果取得少，那么 o t 呢，也取得少，那我们直接探求 o k 长度的取值范围，就可以直接算出 o t 的 长度，就是正好是 o k 的 根号二倍， 那么看 ok， 怎么样能让它最长啊？这个轨迹圆呢，圆心也在动，半径也在动，这个多动态不太好抓住它。实际上我们可以通过一个几何模型分析一下，嗯， 我们注意这个 d k 和 k q， 这个 p k q 是 个等边三角形，因为 p k 是 等于 p q 呢，在一个圆上的半径，然后这个 o k 呢，是 p q 的 垂直平分线， 因为这个 p q 的 直线状态和 o k 的 状态就决定了它是垂直平分线。那 p k 呢，还等于 p q， 三个边都相等，那这就是个等边三角形， 那就是说动态的弦，然后向外侧做等边三角形，等边三角形的第三个点与 o 点的距离啊，什么情况下最大？那这里边有个几何模型，我们研究一下， 就是动态的弦 p q 啊，向外侧做等边三角形，然后看 ok 长度的最值。方法呢，可以借助旋转，我们再构造一个 s 点，让 s p o 是 等边三角形，用手拉手旋转得到两个全等三角形， 那么 ok 的 长度呢，就转换成了 s q， 然后 s q 最长的时候呢，就是直径，因为 s q 呢都在圆上，所以说当 s q 为直径的时候，就是取二的时候，那 ok 呢，就正好会起到最大值，也是直径， 那这个时候呢，这个角 p o s 是 六十度，那 p o q 呢，自然就是一百二十度，然后呢，这个六点和 p 点呢，还是两个切点？哎， 好，所以说呢，我们就知道了，这个 o k 啊，在右侧部分的对值， 那么最大值呢？这个 k， 其实我们 啊注意， k 只能去到圆上，就是 o k 等于一的时候，如果小于一了，他就不是那个超过二了，就是说就是二点向前关键点了啊，他规定的是，那要大于二，就至少这是三个角点才行， 所以说 k 点呢，必须在圆外啊，所以 o k 的 长度呢，就是一到二倍根号二之间。 然后我们再来个最终范围确认啊，当 a 在 圆上的时候呢，这个正好是三点 相切关联点啊，是可以取的。当 o k 取到最大值就是为二的时候呢，这个 o q 和 k q 呢是相切的 啊，然后呢 k p 呢和 o p 呢也是相切的，那这个三角形呢，跟圆 o 呢，只有 p q 两个切点，那么它算二点相切关联点啊，不符合要求， 那不符合要求呢，我们就可以稍稍变通一下，把这个 p q 呢向外挪一挪，或者向里边挪一挪呢，这就是钝角三角形了，那这个还是二点过零点，但是向里边一挪呢，这个 o q a 呢就是个锐角，这样的话连接 p q 呢，会有产生新的角点， 就大于二了，所以说这个邻界值我们不取，它就大于二了。 b 的 范围呢，就是根号二到二倍根号二之间。 同理，我们再分析左侧部分，左侧部分呢就简单一些啊，极端状态就是 p q 为直径，然后呢这 k 点呢，在三倍半径处 啊，那么对应的 o k 的 最大值就是三啊，最小值呢还是一公里。当这个 k 取到三的时候呢，这个 p k q 的 状态是三点一线，不符合三角形的这个法则，所以说这这值呢也不能取啊，这块地方不刮等。 综上， t 的 范围就是负三倍根号二到负根号二到二倍根号二之间。好，谢谢大家。
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06:10查看AI文稿AI文稿大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂搞会，今天我们来看的是二零二六年这个最新的奥尔摩、昌平和西城的题目，这两道题都是关于函数性质的题目啊，它都是让你先判断基数性，然后再判断增减性。 对于这类题，它其实套路也很固定啊。判断奇偶性，我们前面讲过，只需要掌握它关键的一点，那就是首先一定域对称， 如果他让我们判断的话，一般来说他肯定都对称的，不然他就非极非偶了。第二点，如果说我是不是都把负 x 带进去，如果它等于 f x， 那 它就是偶函数，如果它等于负的 f x， 它就是奇函数。 就是这两点，你只要把这两点掌握了，任何题目你只要把它带进去，你都可以判别出来。我们可以 判别一下，首先认为这个 f x 一， 对吧，那就是 f 负 x， 应该等于一减去一的负 x， 再加上一加上一的负 x， 哎，这是我怎么判断呢？我知道，对于指数函数来说，它是不是一减去一 x 分 之一啊？对于这个来说，它就是一加上一的 x 分 之一。 好，我分子分母同时乘以一 x， 我 是不是就可以变化了？一 x 减一，这里是一 x 加一。 哎，这不是，我原先的函数，是一减一 x， 下面是一加 x 分， 分母不变，分子变成了负的，对吧？那我是不是就变成了， 哎，一的 x 加一，一减去一的 x， 让我发现这不就是我的原函数吗？ f x， 因此我就可以直接等于负的 f x， 我 是不是就得出来这是 g 函数呀？好，对于 这个细长的题目， f x 二，它的 f 负 x 应该等于啥呀？它的 f 负 x， 它这都没有用啊。那这就是 g x， g 负 x 应该等于 f x 减去 f 负 x。 哎，这是不是很简单？都不需要我进行变换了，它不就直接等于负的 f 负 x 减去 f x 吗？此时这个东西变成了我的原函数 f x， 呃， g x 是 吧？所以它就等于负的 g x， 因此它也是 g 函数。那我是不是就把这个 a c、 b、 d 都排除了，是吧？ 好，下一步判断增减性判断增减性有哪些方法呢？我们可以稍微总结来一下。第一个定义法，我是不是任取 x 一小于 x 二，则若 g x 一 小于 g x 二，那它是不是单调递增啊？若 g x 一 大于 g x 二，它就是单调递减，对吧？第二个， 那就是我们的导数法，我们学了导数，那是不就是 g p x 大 于零就单增， g p x 小 于零，我就单减，对吧？第三个，我是不是还有可以 运算法？运算是什么样呢？我可以记下，增一个增函数，加上一个增函数，那么他一定还是增函数，一个减函数加减函数，减函数， 一个减函数。如果减去一个增函数，其实也就是把这个增变成减了，对吧？所以他还是减函数。一个增， 减去一个减函数，那相当于这个减负负得正，对吧？减，那就变成了增函数。减去一个减，那就变成了增，对吧？增就变成了，其实就变成增加增， 这就是我们判断这个增减性基本的一个逻辑。我们来看一下，对于第五题来说， f x 唱第一。第一个第五题啊，这俩都是第五题， f x， 我 是不是可以对它进行一些变形啊？ f x 等于一减一 x， 一 加一 x， 它可以等于啥呀？我是不是尽可能的要把这个 e 的 x 给先提出来一下？ e 加上，我不想让分子分母都有 e x， 不 想让它都有自变量，我就可以把它换一下， 这就变成负一减去 e x， 那 我这成了负一，我要想和这个等式能够成立，我是不是就得再加上二把它补齐啊，这样他才能够成为我的等式，不然的话，你这从左到右不就等于不了了？为什么要这样变呢？我们可以看一下，是不是，哎，这一点 就直接变成了我的一个常数了呀，是不是就变成负一了，再加上一加上一的 x 分 之二，好，哎，我的柿子是不是又变成了这个样子？ 负一加上一加一 x 分 之二，那这个 e 的 x， 它是个增函数，但是由于它在分母上，所以整体这是不是一个减函数啊？所以，尤由于这是一个常数，它不影响单角底单调性，最终结果就是减函数。 这道题也可以用导数做，但是，嗯，不要一下子就给他上来，直接去求导去也能做，但是要尽可能的提高我们的做题效率， 因此这道题就选四 d。 那 我们看下面这道题，下面这道题它是一个抽象函数啊，对，这个抽象函数怎么办呢？我们发现这里是 g x， 应该等于 f 负 x 减去 f x， 哎，他是不是告诉我们一个条件啊，因为 f x 在 r 上，它是一个单调递增的函数，那么 f x 是 咋样啊？ f 负 x， 它会与 f x 是 不就关于 y 轴对正的呀，因此 f 负 x 它是一个减函数，那就利用到了我们的这个性质了，对吧？减，减去一个增函数，其实你也可以再得一步减，负的增，那就是负的，对吧？ 它其实就可以是减加减函数，所以最终还是减函数，对吧？所以我们把 a 排除掉，题选 c。
200北京高考数学_李老师
02:34查看AI文稿AI文稿我初三课程的特点就是确定性，就是从题目的核心特征入手，讲解快速满分的考试方法。如果你想深入了解我，这正好有一个免费的公益课，你可以加牛哥报名参加。如果是新初三同学，你可以咨询牛哥的暑假课程安排好。回到确定性。 确定性方法其实就是多提一节的秒杀大招。好，这里有一个昌平按摩的带动，这道题正常做逐步分析，至少十五分钟。那利用确定性呢？你只需要画出原始图这个题就能直接秒，哎，我们就来看一下。我要画原始图的话，哎，我要首先要求出抛物线表达式来， 所以抛物线表达式很容易就能求出 a x 方减去二 a x 啊， a 是 大于零，开口向上，然后我画原始图 这个样子，然后还有直线表达是 y 的 有 a x， 然后它两个的交点分别是零，分别是三，然后所以它中间的最大值，哎，就是两个相加除以二二分之三， ok 吗？然后接下来他说 t 取 t 一 t 二， a t 在 这，哎，这里边叠加了一个比大小，看到吗？比大小， 那比大小的话，开口向上 n 小 的 n 紧，所以三分之 t 减一，是不是小于三，大于负一啊，所以 t 的 范围就是小于三，嗯，大于大于零的， 也就是 t 的， 就是取零到三这一段。好，在零到三这一段里边，取 t 一 t 二， 零到三这一段里去， t t 二分别对应的是第一第二，那么，呃，在这个范围内，第一又大于第二，这是什么意思啊？这是什么意思？ t 变大 d 变小啊，是递减呀，那递减是不就这一段，你看，哎，是不是就是就是这一段， 所以只需要这个范围在这个里边就行了， ok 吧？所以是不是 a 大 于等于二分之三，然后 a 加一， a 加二分之一，小于等于三就行了？所以答案 a 小 于等于二分之五，大于等于二分之三，你看，就结束了， 就秒了。就是从题目的核心特征入手，哎，构建新函数，先看能否画原始图，画出原始图来，这种题就能直接秒啊。 你想这就是考试方法，你想这个方法用在考试的时候是多么爽， ok 吗？别的同学可能没还没开始动手呢，哎，你就严格按照方式可能就出来了好吧。嗯，所以牛哥讲的确定性就是考试方法的一种高度总结。
04:25查看AI文稿AI文稿昌平二模的几宗也在考察边与角构造全等，大家在做题的时候不知道是否有导出我们的核心角度。各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年昌平二模的几何综合题目里告诉我们这个边旋转 r 法度得到这个边，然后让我们去求这个角，这是一个老生常谈的问题了， 旋转三等幺，我们会发现呢，在这道题当中，它是一个等腰三角形，这个呢是一个等腰三角形，这个呢也是一个等腰三角形，尤其是后面这两个等腰三角形有一套壳的形式，我们用这个大的等腰三角形的底角，减去小的等腰三角形的底角，就能求出咱们的已知角。所以说第一题相对来说呢是比较简单的，我们快速的说一下这个结论。好在等腰三角形 a、 d、 b 中，我们可以求出角 a、 d、 b， 它应该是等于呃六十度，减去二分之二法。第二，在等腰 三角形 a、 d、 c 中，我们可以发现角 a、 d、 c 等于九十度，减去二分之二法，所以角 c、 d、 b， 它应该就等于三十度。 好了各位，我们算出来这个角是三十度，这个时候我们心里就应该要想到这个三十度，它很特殊呀，它对于我们来说应该是比较重要的，在我们做的第二题当中，应该要用得上这道题的思路，有点类似于咱们东城一模的思路，我们来看一下第二本，第二本呢告诉我们就是 a、 e、 c 和 d、 b 三边的关系。 我们首先呢可以去猜测下这个结论，发现呢不是很简单的那种 a 加 b 等于 c 的 模式，那接下来我们要去思考这三个边到底怎么才能把它给联系起来，然后呢还能配上这个角度， 当然我们在这个地方呢，还有一个等号三角形，它就到了这个三线合一，对吧？这个时候你会发现 e c， 它应该就等于 d 的， 那对于很多学生而言，我们在这种情况下可能就会想到，你要往通过点 c 往这边做了一个垂直，这样的话呢，你会发现这条边和这条边它的关系就建立起来了，那我们只要再去证明这一边和这边的关系，我们这个思路 也相对来说比较清晰啊，这是我们所说的叫做 plus 版的截长补短模型。好，那我们如果要是从另另外的个角度来看啊，这里边大家要注意，你现在会发现你拿到这个信息啊，其实可以把它更加的全面一点，尤其是角度信息， 在圆综和几何当中隐藏的会比较多。我们会发现这个角它是六十度减去二分之 r 法，那这个角它也是六十度减去一个二分之 r 法，这个角就应该是二倍的 r 法。好，那这样的话呢，我们再来看一下啊，题目中还有哪些角是我们所说的二倍的 r 法呢？它连了一个，它做了一个 a e， 你会发现旋转的原本是阿尔法，你又是一个等腰有一个三线合一，所以这个角也是二分之阿尔法。好了，各位，这个边和这个边是相等的，这个角和这个角是相等的，你在这里做了一个垂直，那很明显我能快速的想到什么，我也去做一个垂直，对吧？找葫芦画瓢，我们在这个 c 处做一个垂直， 这个时候你会发现两者的思路就完全联系起来了，此时你就能得到什么呢？我们就能得到三角形 c h b， 它就一定是全等于三角形 呃， d a e 的 啊，进而我们能得到这样的两个信息啊，第一个是 c h， 应该等于 d e， 等于这个 e c 的 好。第二个呢，我们还能得到这个 a e， 应该是等于 h b 的 好，这是在这个图形当中。然后呢，我们在 r t 三角形 c， d h 中啊， c d h 中，我们又会发现角 c， d h 又等于三十度，所以这条边它应该就等于这边的根三倍，对吧？那这样的话呢，我们就能得到什么叫做 d h， 它应该等于根三倍的 c h， 那 就等于根三倍的 c e， 把这里面的这个东西呢还给往这个边条啊。这个时候呢，我们就能得到这样的一个信息了，用蓝色的笔让大家看的更清楚一点，把它给放过来，对吧？然后呢，我们又知道的是 a e 啊，他又等于这个 h b， 所以 这道题的最终的结果就是 d b， 他 就等于一个 h b， 加上一个 d h， 就 等于 a e， 再加上一个根三倍的 e c， 那 这样的话呢，咱们这道题就做出来了，总体上来说呢，思路还是比较清晰的，根据边与角去构造全等。 但是在考试的过程当中有两个问题，第一个问题，大家可能依旧是模型思想，导致自己思路受阻卡住。第二个 他在这里边，在第一问当中，虽然说给了三十度我们能想到要用，但是呢，第一个问题当中能给我们带来的角度信息并不多，可能很多学生没有进一步的去导出一些隐藏的角度，导致自己的思路受阻。 大家以后要注意了，在做几宗问题的时候一定要注意角度它的重要性啊。如果说你的思路受阻了，你可以去尝试着倒角，看看有没有等量关系辅助我们解决问题。
30小程老师讲数学
12:09查看AI文稿AI文稿新鲜出炉的海淀新概念，看上去很乱是吧？别提天焦虑，面包会有的， c 的 和 k 会有的，这道题还是挺有意思的。然后呢，首先这个定义，同学们给了你 c 的， 给了你这些东西看上去很乱，是吧？首先第一个，按照老谢的哲学，别提天焦虑， c 的 和 k 会有的，面包会有的啊。 然后呢，另外，各位一旦看到一个点，一定要和圆，一定要看圆内圆外，圆上。人家说了圆外，这是个前提，也是个细节确认，因为它会涉及到有些啊，要是虚线的圆。 另外一个呢，看到这种定义很害怕的话，我告诉你，你要用我的决定性思维，你会发现，如果一个 a、 p、 b 这样的三角形，比如说啊， 它给了你 c， 它还给了你这两个边的比例，它不就给了你这个三角形的形状吗？所以这道题它其实已经给了你一个三角形 a、 p、 b 的 形状了 啊。然后呢，并且如果这道题是一个动态的题，很有可能会用我们讲的很多遍的以动致敬，加个体到整体啊，俗话说的瓜豆原理啊，比瓜豆原理更拓展的一般化的一个东西啊，以动致敬，加个体到整体啊。第二个呢， 就是还是跟昨天我录的西城的一样，以圆为背景的心力，只要研究一种情况，因为从圆心看，哪个角度都是正方向。好，第一个的话呢，我们先从负四零切入，我们会发现非常巧，米奇老师这个设计的 就是当他在负四零的时候，你呢，先往这个圆做两条切线，会发现，因为这个长度是四， 这个长度是二，所以这个角正好是三十度，这个角正好是三十度，因为你能看出来六十度杠一，按照这个定义，其实就是他说的是 p a b 是 个等边三角形， 你会发现，当点 p 在 这里的时候，哎，点 a 在 这里，点 b 在 这里，你会发现它正好是一个 p， a b 是 个等边三角形，并且你会发现，如果 p 离的远一点， 这个六十度的角就和圆就没交点了，所以点 p 离圆心的距离不能超过四， 但是如果近一点，肯定有啊，甚至还不止一个， ok， 所以呢，这样的话，第一问就很轻松了啊，零多号五肯定不行了，因为太远了啊，二多号二呢？因为比四近是吧？二多号二到圆形的距离是二倍的，根号二还是小于四的，所以这个 p 一 和 p 三应该是，你们看我有没有算错啊？这第一问 到第二个，各位，我们就要用个题到整体了，是吧？根据定义，根据六十度杠二，就说 a p b 等于六十度，并且 p a 等于 p b 的 两倍。我们不难发现，这面题老师其实给了一个非常简单的三六九 好，那有的同学说，老师我研究这个，研究这个算那个 o， p 的 长度，不好算哎，你要直接算，可能不太好算。这个时候我们可以用以动致静，啥意思啊？就是我们可以看一看啊，咱们这个 ab， 按照我们双题的讲吸引力的方法，这叫埃涅万达法， 我们随便画一个 ab， 点 b 在 圆上，点 a 在 圆上啊，然后呢，咱们可以把点 p 看成什么呀？看成 a 以 b 为圆中心，哎，顺时针，当然你也可以逆时针啊，你算完以后会发现是一样的啊，顺逆时针， 然后呢卷九十度，并且因为三六九，所以这个长度是这个长度的根号三倍，所以这就变成原来的三分之根号三了。 所以你会发现一个点屁，就是一个点 a， 绕一个啊，绕点 b， 哎，逆时针或者顺时针旋转六十度，并且缩小为原来的三分之根号三倍得到的。那么所有点屁呢？就是所有点 a， 所有点 a， 因为点 a 的 身份就是在圆上，所以它能代表圆， 也就是整个圆 o 绕点 b， 哎，顺时针旋转九十度，并且缩小为圆的三分之根号三被得到了。好了，我们接下来要让圆 o 绕着点 b， 顺时针旋转九十度，或者逆时针旋转九十度 啊，并且半径变成原来的三分之根号三，所以各位，这时候我们会发现，基于我的决定性思维，旋转圆就是旋转圆心啊，因为咱们这时候，首先各位啊，首先 我们把这个圆心 o 绕着点 b 旋转九十度，并且这个边变成原来的三分之根号三倍，咱们就找到了圆心 啊，找到了圆心以后，各位，你会发现这个时候啊，然后呢圆心在这里半径呢就变成原来的三分之根号三倍了，也就是二除以根号三，这个半径是二除以根号三， ok， 这个时候我们会发现点屁的轨迹是啥呀各位，这时候点屁的轨迹是在圆外这个圆弧，这个 u 弧差不多啊，各位， 那么咱们这是研究的是任意一种情况，咱们圆心以圆为背景的圆，我们只需要研究点屁到圆心的距离，你会发现根据双截棍模型，最长的时候就是这种情况下， 然后这个长度，这个长度因为三六九，因为它是转了九十度，这个边是这个边的根号三倍啊，那么这个边就是它的二倍啊，是这个 o、 e、 b 的 二倍，所以根号三分之四，加上这个绿圆的半径，所以 o p 的 最大值 就等于根号三分之四，加上根号三分之二，等于根号三六，就是二倍的根号三。 ok， 这个时候我们就会发现，点 p 到 o 最远是二倍的根号三，最近是无限贴近于那个圆 啊，那么这个时候我们就会得到圆环了，这个青色的圆环半径就是二倍的根号三，里边这个就是圆 o 啊，我算了一个答案，你们看对不对啊？因为我着急尽快给你们录视频，这是第二个答案啊，我们接下来再看第三位， 有了第二问答理，我们第三问，至少我们还可以先研究三角形的形状了，别被这个根号七吓着，别被这个七的绝对值吓着，没啥啊各位，我们先随便画出来这样一个 a， p b 等于一百二十度， 并且 pa 等于二倍的 pb， 我 们用初二的知识不难算出来，这个时候你会发现人家给的这个根号七，太巧了，这个时候如果 pa 等于二 m， pb 等于 m， 那 么 ab 就 等于根号七倍的 m， 那 么我们要以动致敬的话，我们要让点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 并且你看啊，原来 a 到 b 的 距离是根号七，现在变成一了，所以就变成原来的根号七分之一， 所以跟第二个是一样的啊，还是典型的从个体到整体好，在这种情况下，各位，我们就知道，哎，怎么通过点 a 得到点 p 了，跟第二个一样，各位 啊，我们随便画一个 ab， 然后各位你们体会体会，我们还是啊，点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 刚才那个 alpha 的 正切值咱们是知道的，就是这个 alpha， 它的正切值是根号三，比上二啊，然后呢，我们让 这个 a 绕着 b 旋转 alpha， 就 会得到点 p， 那 么所有的点 a 就是 整个这个圆 t 啊，整个圆 t 绕着点 b 旋转 alpha 啊，并且变成原来的根号七分之一倍就得到。屁撇。各位，这种情况下啊，你自己可以算一算，也就是说 我们得到这样一个圆以后，我们照样算点 p 到圆心 t 的 距离的最大值，就是那个圆环的外外径啊，我们算一算，根据那个图，这是 t， 这是根号七 t， 这是二 t， 还记得吗？来再看看这个图啊，二 t， 那 么并且这个半径是 t 的 绝对值啊，我都只是说 t， 其实就是 t 的 绝对值，那么这个也是 t 的 绝对值，所以你会发现，最远的这个 p 到 pr 圆心的距离，最大是三倍的根号 t 啊，三倍的 t 的 绝对值不是根号 t 啊，然后呢，最小的话还是啊，但是还不能取等，就是这个半径，所以到这个时候各位，我们就得出来， 就是说我们的这个点 p 的 轨迹还是一个圆环啊，内径就是原来的圆 t 啊，根号七 t 的 绝对值，外径就是三倍的 t 的 绝对值，这个可以去等。 ok， 到这的话呢，各位，我们就把 p 的 轨迹找到了，很多同学看到至少存在两个的时候，可能被两个给吓着了，是吧？这个昨天西城的，今天也是两个， 我告诉你，如果你看不懂，今天老谢关于这道题跟你说了两次，不要提前焦虑，你到了高考要做题的话，也要用我这种哲学，别自己吓唬自己啊，车到山前必有路，把能做的都做了，做着做着就咋回事了啊，就知道咋回事了。 好了，那么接下来各位同学你可以暂停一下啊，然后呢，看一看，给你分析到这以后，你知道了点 p 的 轨迹，然后点 t 还在 y 等于 x 上动啊，你让他全面细致去动，看能不能想到临界情况以及临界情况对应的数值。 好，那我们接下来呢，就让这个点 t， 让它一开始在这个 y 等于 x 的 最右，最右上方啊，对，从右上方啊，不是左上方，右上方向，左下，全面细致有序动啊。然后呢，一开始，因为你会发现这个点 t 在足够靠右上的时候，他这个圆非常大，因为这个这个半径是你的这个这个这个横坐标的根号七倍吗？对吧？就非常大，所以呢，就没有，所以各位同学你就会想到他的第一个临界情况，就是这个点 t 往下走，往左下走，然后呢，正好那个圆环 啊，正好那个圆环，这个圆环的内径是吧，就是还是根号七 t， 外径是三 t， 还记得吧，这是第一个临界情况，然后他再往下，再往下，各位，这是第二个临界情况 啊，临界情况呢，我刚才让邵老师给大家算了一下啊，各位，这个数算的啊，让人真的有点发虚啊，因为这数算的太那什么了啊。然后各位，算完以后，这两种临界情况对应的是啊，一个是 这个二分之一到五分之三倍的根号，十减一，因为他需要俩点，所以虽然零件情况二这是已经是可以取一个了，但是人家需要俩 啊，那你呢？还得这种情况不行，也就说得刚刚从好几个啊，缩小为一个的时候啊，那么其实是无数个了啊，因为一个圆环和一个线段，要么没焦点是吧，要么像现在这种情况，一个焦点，要么再来的话就无数个焦点 啊。 ok， 这是第一个临界情况，第二个临界情况，他继续往下走，哎，这个圆环就这个半径啊，本来呢，往这边走了以后，他因为他这个 t 越来越小，他这个圆越来越小，所以和这就没有了，没有呢，慢慢慢慢过了这个负的这个圆点以后， 因为这个 t 的 绝对值在变大，所以这个圆的半径也在变大，所以呢，又开始接触上了啊，然后呢，这是一个临界情况，然后再大，大到一定程度，这个圆还会很大，因为虽然这个点往这边走，但是它的半径是它根号七倍啊，是它绝对值的根号七倍，所以各位同学请看啊，这是 邵老师给大家啊算的啊。来，各位，这就是 最后这个答案啊，两个临界情况，因为这种怎么算呢？各位，其实这个算倒不难，因为就是两点之间距离吗？因为你只要在圆周上到圆心的距离就是半径吗？是吧，这个整个这四个临界情况的算法都是这样的，然后呢，大家看一看啊，这是我们算的 哎，后边啊，临界三，临界四对应的数，然后呢，这是我们刚才临界一，临界二对应的数，如果答案有问题的话，咱们再探讨啊，发现这道题的思路呢？就是我们这个视频是给大家提供这个思路啊，有新的思路咱们再进行探讨，这是我看到题以后第一时间给大家录出来的。
62谢全民双提数学
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03:54查看AI文稿AI文稿我初三课程的特点就是确定性，就是从题目的核心特征入手，讲解快速满分的考试方法。哎，我这有一个免费的公益课，你可以加我参加试听，如果你是新初三的同学，也可以咨询我的暑假课程。 哎，我们回到这个我说的确定性，这个确定性方法其实就是多题一解的秒杀大招，比如这道长平耳模的几何综合，这道题正常做逐步分析至少十五分钟，而利用确定性呢？哎，你会非常轻松加愉快的搞定这道题。 好，我们来看一下几何综合的确定性啊。几何综合的确定性是从图形到结论再到操作的 好，也就是一定要先看图形，这个地方图形有什么？有等边三角形， 还有一个垂直 a、 e 垂直于 c、 d。 哎，你看这个是不是就特别像对称啊，是不是对称的模式？图形中这就是典型的对称模式，就是特殊三角形的对称啊。 好，那么特殊三角形对称，在确定性方案里边就有特殊角六十度，在对称轴上有特殊角六十度，哎，就是这个角， 这个图形里边这个角是六十度。哎，我们假设这个点 p 啊，点 p 数是六十度，但是，但是， 但是什么呢？在己中里边有一个默认的或者不成文的规定，就是 a、 a、 e 和 b、 d 相交，这个点没有字母就是点 p， 它是没有标字母的，那么代表这个地方没有用。好吧，这个地方六十度不得用， 哎，不能用没关系，至少当下我们就能知道角 b、 d、 c 等于三十度。 ok， 那 b、 d、 c 等于三十度，又因为有直角一除有直角，是不是？也就是这个题，我们要往三六九这个三角形去考虑， 这就是从图形入手的确定性，然后接下来图形就这些东西，然后结论，再看第二步结论，结论的红外三边的数量关系，三六九三边的数量关系，根三倍啊，根三倍啊， 是不是，哎，你可以去测量一下，那很明显就是根三倍的 c e 等于什么东西啊？你光看这个图 c e 等于 d e 吗？肯定是根三倍的感觉吗？ 那么这个地方我要把它放进三六九里边去，一定要满足这个图形的确定性之后的结论，三六九啊，哎，就是往往三六九里去放， 那往三六九里去放，然后这个结论是根三倍怎么去放？我是不是要构建一个新的三六九三九？行啊，因为点屁这个地方不能用啊， 怎么构建？我还得用到点 d 的 三十度啊，哎，所以我能想到的方法是不是辅助线做 c h 垂直于 b d 啊，哎，辅助线就是这样来的， c h 垂直于 b d。 好吧，哎，你看，这就是我说的考试的现场的那种，还原回考试的节奏，考试的啊，考试现场那种感觉，他不是说，哎，一上来讲这个辅助线这样去做，他要有原理啊，他要他，他要满足于考试， 我课程的方法就是就是考试方法啊，我只讲考试方法。好吧，所以这样做垂直，做完垂直之后。哦，好巧啊，所以三角形 c e a 全等于三角形 c h b 非常好整 证完了之后，所以 b d 减去 a e 就 等于根三倍的 c e。 好， 答案就出来了啊，就是这么简单，确定性，所以啊，确定性啊，我说的确定性就是考试方法的一种高度总结，是不是 so easy？
11:14查看AI文稿AI文稿西城二妹的新定义有点意思，定义里面竟然带核，比划快，带出稳，新定义还能提智商！大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的西城二妹的新定义。 这道新定义有点意思，为啥呢？因为他的定义里面竟然带核。好在啊，老谢在二零一九年中考以后，专门为带核的新定义写了一句诗，叫定义带核找锤足 啊！如果你找垂足，你会发现这道题会非常简单了啊。另外呢，这道题第二个的时候一定要注意前提确认，以及全面细致有序动。还有就是线段如果遇上圆环必有坑，一定要全面细致有序动 啊。另外呢，以圆为背景的题目，其实找轨迹呢，有一个快捷方式，咱们第三个会讲啊，包括一定要全面细致有序动。好，首先呢，我们先看一下定义啊，各位， 咱们随便画了一个 ab 这个弧，他说等腰三角形，那咱们就以 a 为圆心是吧？画个圆，以 b 为圆心，画个圆，画两个蓝圆， 那么蓝圆上的这些点只要连一下 a， 他 就能组成一个。哎，等腰三角形当然还要注意别是三点共线啊，但是这道题基本上用不上啊。那么另外，怎么叫定一带弧找垂足呢？各位，因为他要求这个三角形要把整个裂弧全包上， 你啊，如果听了我的定一带弧找垂足，各位同学，你就直接让点 a 当垂足，啥概念呢？让点 a 当垂足，画一个切线。 各位啊，咱们先看看其中一个圆吧啊，这个圆别在这捣乱了，然后同理，你再让点 b 当垂足，画一个切线。 各位，你会发现，首先因为等腰三角形，所以点 p 一定得在这个蓝圆上，但是在蓝圆上都行吗？你比如，如果蓝圆上在这呢， 你会发现这样的话，连一下这个三角形，这个绿色三角形，哎，他就不能把整个裂弧 a b 全包在里边了。 嗯，所以大家看啊，这时候你会发现，我教给你的这两个垂足，让点 a 当垂足做两条切线就起作用了。什么作用呢？你会发现这个点就是个临界点， 哎，你会发现，如果它连一下点 a 点 b， 你 会发现当点 p， 在 这时候，这个三角形，这个裂弧 a b 正好在三角形 p a b 里边， 包括在这时候，你会发现也没问题，哎，各位看了吗？然后呢，在这的时候也没问题，但是如果在这，你会发现点 p， 如果在这，你会发现这段裂弧又包不进去了，又跑到三角形外边了。所以各位，你有没有发现， 因为等于三角形，我们马上画个圆，当然还有一个以 b 为圆心的圆啊。然后呢，再一个就是，如果你学会了老习的这个经验，定义带弧找垂足，你马上以 a 当垂足做个切线，以 b 当垂足做个切线，你会发现点 p 的 轨迹就是这对，哎，这个定义咱们就大概明白了 啊。 ok， 那 是所有的这个弦都有这一段吗？哎，我们看一个特殊情况，各位，如果，哎，这个弦这么长， 你做了这两个垂足以后，你会发现正好就这个点啊，有一种临界情况，你会发现，除了这个点，别的地方都不行 啊。你比如，如果在这这样的话，如果点屁啊，这是点 b， 如果点屁在这里，你会发现这一段又没有在三角形里边了，对不对？所以你会发现，哎，当这个时候这种情况下是一个什么情况呢？你会很容易发现这种情况，这个紫色的是一个等边三角形， 这是六十度，这是九十度，这就是一百二十度，所以当这个弦的圆心角是一百二十度的时候，正好有一个点 啊，如果它超过一百二十度，各位请看，你们可以暂停一下啊，你会发现啊，在这个圆上，在这个蓝圆上，你会发现没有一个点可以了 啊，也就是当这个弦超过一百二十度就不行了， ok， 这对定义的解读啊，然后呢，正好命题老师挺善良，他怕你看不出来一百二十度，他还提醒你啊，其实这道题最后也没怎么用上一百二十度啊，然后提醒你什么呢？你会发现 df， 这个它正好是一个圆心角一百二十度的 啊，所以 df 是 正好可以， e 就 不可以了啊。 ok， 这是第一问， 第二问呢，哎，也有点意思。各位，按照我刚才讲的，你们如果把一个根号二的弦随便画出来，各位，你看，咱们画的一个红色的这个啊，就是根号二的一个弦，然后你用我刚才的那个方法，然后呢， 把比如说，呃，这个点 a 画出来啊，然后点 b， 在 这里咱们随便点一个点啊，有人说，老师，这个弦 a b， 你 怎么画那么巧啊？各位啊，我想告诉大家，以圆为背景的轨迹， 其实从圆心往哪个方向看，都是正方向，你只需要画了一种情况。然后呢，你看啊，根据咱们刚才定义的解读，是不是就是以 a 为圆心的时候，就是这个等腰三角形以 a 为顶点的时候，你有没有发现这段弧 它就是可以是点 p 的 轨迹啊。那么同时呢，你会发现，在 a b 这个弦跟着转的时候， a b 这个弦可以不在这里，在跟着转的时候，你会发现这个紫色的圆也会跟着转，但是这个紫色的圆离圆心最近的距离， 各位你可以算一算啊，你会发现这个长度是一，因为这个 a b 的 啊，这个长度是根号二，所以这个以 a 为圆心这个半径啊，这个圆半径也是根号二，所以你会发现，哎，这正好是根号三， 所以它离圆心最近的距离是根号三。你算一算，你会发现这个最近的距离啊，最远的距离是根号五。所以当 ab 在 转的过程中，你会发现，这个点它到圆心的距离永远是根号三，而这个点到圆心的距离永远是根号五。所以各位你会发现，其实 如果让这个弦 a b 转一圈啊，各位，我换个颜色啊看看，哎，你会发现，就是这段弧啊，就是这段弧，这段弧它的轨迹就是这样一个圆环 啊。 ok， 轨迹明白了，咱们再看，这是一条什么线呢？首先必要大于零，其实这道题大于零啊，明天老师给你降低难度了，毕竟是第二问。另外它它的斜率是一，咱们让它全面吸了去动，但是请注意是线段 g h， 我 告诉大家啊，线段遇上圆环必有坑，你一定要全面吸了去动。 大家，哎，从上到下全面吸水运动，在这种情况下，各位你会发现就是一个临界情况，然后这个时候呢，因为这个绿圆，它的半径是根号五，所以这个点的动作标就是根号十，所以 b 是 小于等于根号十。 然后请注意，别以为小于等于根号十，大于零就行了啊。你再走走走，走到这的时候，你会发现，各位，咱们问的是线段啊，各位，人家问的是线段 g， 所以你会发现这是线段 g h， 你 在这个这个线再往下一点，请问这个线段 g h 和这个圆环还有交点吗？没有交点，这种情况下，哎，因为这个成色的圆，它的半径是根号三，所以大于等于根号三。各位，这就是第二问的答案啊，你可以再回顾回顾，我们接下来要讲第三问了，各位， 第三问。首先，第三问这句话可能有歧义，有的人说，尤且仅有两个弦 m n 的 关联点，这是两个弦 m n 还是两个关联点呢？有的同学可能在考场就会有歧义了，按照老谢啊，一个很重要的技术叫视角分析法， 哎，我们站在主角的视角，你看这道题，什么是主角呢？他说， m n 是 圆 o 的 一条弦，就是整个第三文。这个故事是站在 m n 先有个 m n， 人家说，哎，这道题啊，我跟你们说啊，有一个弦 m n， 它的长度是一，所以这个弦 m n 就是 某一条弦。 然后这个故事从 m n 的 视角开始的， m n 确定了，然后再看看这个时候，哎，这个 y 等于一条蓝线上有没有 m n 的 两个关联点，各位能理解吗？ 所以呢，是两个关联点，而不是两个弦啊。 ok， 按照我刚才对定义的解读，各位同学，你们能画出来这种情况吗？就是我们还是先随便画了一个这个红色的这个弦 m n 等于一， 并且我们发现特别巧，按照我刚才定义的解读，哎，各位，你会发现这个时候呢？哎，它的关联点就是这个橙色的弧和这个橙色的， 这个时候你会发现，哎，正好在外等一上，有这两个点，这种情况是可以的啊，这种情况是可以的， 然后呢，各位，我给你们画个动图啊，然后也就是说咱们干那种情况可以，然后在 m n 转的过程中，他对应的关联点，你看啊，就是这两个紫色的叉子，你就知道他什么情况，和这个红线 y 等于一， 有两个焦点，有两个焦点就符合 t。 各位啊，另外请注意，像暂停的这种情况下，有一个焦点也不行，所以一定要全面、细致、有序动。 ok， 各位，这是一种情况，我们知道他在转的过程中， 然后呢？哎，他是有复合题的，然后呢？但是转到正好过这一个点的时候，要排除这个点，咋回事呢？各位，你有没有发现这个粉色是一个菱形啊， 因为以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，它是个菱形，菱形。这个时候的点 k， 他正好是这个蓝色的啊，这个线段的中点，而这个点的纵坐标是一，这个点的纵坐标是零，所以中点的纵坐标就是二分之一，所以这二分之一要 pass 啊，然后最后转到这种情况，有时候老师，这种情况怎么一下子找到呢？各位还记得一开始的起始状态吗？一开始的起始状态，这个绿线 它就过 n 的 切线，过 n 的 切线，这个时候正好它和哎这个关联点的轨迹正好有俩交点，只不过我们转到绿线正好就变成 y 等一了，也就是点 n 正好是这个切点了。 各位，这个时候你可以算一算，很好算啊，因为这个时候 omn 是 一个等边三角形，所以呢，这个角是三十度 啊。各位，你会发现，或者说这个时候点 m， 它的纵坐标是二分之一，这个点是一个中位线，所以这个长度也是四分之一，所以 k 是 四分之三。所以这道题的答案就是 k 啊，大于等于咱们刚才一开始的答案。一个是四分之根号三啊， k 呢，大于等于四分之根号三，小于二分之一或啊，哎， k 大 于二分之一，小于等于四分之三。 对啊，这道题你体会体会看看。通过这道题跟老谢对心地一吐诗啊，我这个心地一吐诗可以解决所有的心地的题，通过这道题可以好好体会体会这四句诗怎么帮你解这道题了。
80谢全民双提数学
21:00查看AI文稿AI文稿这道题的最后一问特别有意思啊，然后呢，对阅读能力有点差的同学，或者看到任意存在就晕的同学，你会彻底晕的啊，我希望你在听讲第三问之前，你先吃一个眩晕片啊， ok， 好 了啊，首先呢，我们先看看定义，这个定义呢还是比较简单的是吧，他说呢，给了一个弦是吧？比如说咱们画了这个橙色的弦 ab， 他所对的列弧上也就是 ab 之间这一部分是吧？然后呢，大家看，就这一部分还包括啊，可以和 ab 重合，哎，这就是一个细节确认啊，可以和 ab 重合， 然后呢说，哎，使直线 q m q n 啊，与圆 p 相切，这个跟我上节课给咱们初三和啊顶尖班和 top 三的班讲的那道题一样的啊。然后呢，又是玩这种相切， 那么这个时候，因为 m n 的 轨迹是 a b 之间这段裂弧，根据老谢快速帮大家找管啊找轨迹的这个极端性原理，我们可以先猜猜什么呀，先让比如说 m n 和 a b 重合，先找到这样一个区域 啊，比如说先找到这个点，然后我们再看一看，这样的话，比如说给这个点起名叫 k 吧，对，那这种情况下呢，我们就会发现 k a b 组成了一个三角形。首先呢，我们知道这个点 q 呢，它肯定在外边是吧？人家说了在院员外， 另外呢，这个点 k， 你 会发现他和 ab 呢组成了一个三角形。我们先用极端易性原理猜出来这个以后，我们看一看，是不是这一部分的每个点就是员外以及三角形 ab 内部它俩的交叉啊，交集部分，然后呢，看看是不是都满足， 对吧？那么咱们可以怎么确认呢？第一个，你在里边随便找一个点，看看他做的切线， 各位啊，他向圆做切线是不是一定是在这个裂弧 a b 上，以及你在这个三角形外部找一个点，你看一看他往外做切线，是不是至少有一个切点不在这个 a b 裂弧上，各位能理解吗？ 哎，经过我们确认以后，发现轨迹没错，如果一个弦确定了他的弦弧啊切切弧点，就是以这个弦的两个端点先做切线，得到一个点 k 得到一个三角形 kab， 然后呢，这个三角形内部以及圆外部的这一部分就是切弧点的轨迹，这个找到了对不对 啊？同时呢，注意，因为他是切，他是圆弧上啊，所以还要注意细节确认最后呢，关键时候能不能取等号？ ok， 在 讲第二问之前呢，我先给大家讲一个老谢，给啊，老谢的学生讲过的一个一二三四五模型啊，这个圆综合里边经常考啊，当然你不知道也没关系啊，但是如果有直接写答案的题，你知道了，你会做的很快。什么呢？ 你会发现三四五的直角三角形和一比二比根号五的三角形和 一比三比根号十的三角形，他们之间有非常严重的亲戚关系，你会发现他们是一个家族的，怎么着呢，各位同学，我给你点一下，你自己可以正一正啊，特别好正。 然后呢，你会发现，如果把这个大锐角哎分成角平分，找着一个角平分线，你会发现这个长度就是二分之三，你可以算的出来啊，你可以用角平分线轴对称可以算设 x 啊，初二的应该同学就会做，也就是说这个大锐角， 它的一半就是一比二比根五的这个角，并且有意思的是这个小锐角，哎，再来一个角平分线，你会发现这个呢是三分之四，也就是哎是一比三比根十这个角， 所以你要看到一个一比二比根五的三角形，然后呢，如果他哎这个角翻了一倍，他的二倍角，二倍角其实在直角三角里边是三四五的那个四所对的角， 你如果知道这个模型啊，这道题的第二问呢，会算的稍微快点啊，这道题第一问咱们就不讲了，咱们看第二问，第二问，各位，因为他是说要找到 a c 的 切弧点哎，本着老谢四大意识的，第一是剪软柿子捏， 我们首先肯定先可以画出来点 a 的 切线，对不对？过点 a 的 切线啊，然后呢，发现了他和这个蓝线啊，也就是 这条直线 l 这个焦点，咱们给它起名叫 e 啊，然后呢，你会发现，哎，过点 e， 如果做一个这样的一个切线，然后这个切点 c 的 话，你会发现，如果 c 在 这里， 各位啊，你就会发现这个圆，这个 l 上就会出现它的切弧点了啊，因为这个点 e 是 可以是切弧点的啊，因为人家定义上说了，就是说它可以和 ab 重合啊，也就说这个弦的两个端点的切线的交点也可以。 好啦，那么这种情况下，我们就会发现点 c 是 可以的，是吧？然后呢，我们会发现，如果这条线在这么转， 也就是 c， 如果再往左走，你会发现，按照咱们的定义，这个三角形啊，内部圆，外部都可以当切啊，这个切弧点，那么这样的话，显然这个蓝线上一直有，所以呢，这道题咱们只需要找到，现在啊，就是刚才这个点 e 这个层次的这个切点， 你会发现他的横坐标最大啊，最小值是负一，并且不能取等，对不对？因为不能是直径啊，人家说了，上面你看一看，然后呢，这个呢是可以取等的，咱们就算出来这个时候的横坐标，这个时候横坐标，如果你根据一二三四五模型几秒钟就出来，为啥呀？各位，你看啊， 因为点 e 做切线 ec 和切线 e a， 它们肯定是轴对称的，各位，你会发现有意思的点是什么呢？哎，这个角就是一比二比根五的这个小锐角， 这个角也是，所以它是两倍，哎，它是两倍，各位，你就会发现，就是三四五的，所以这个角的它的正弦值就是四比五， 对边啊，比斜边等于四比五，所以我们会发现，那么你看啊，这个角咱们给标为叉，大家知道老谢讲言中何呢？基本上就是点叉，这是叉的话，这个角就是点，点的正切值就是三比五， 那么因为这是垂直，所以这个角又是叉，哎，各位请看这个叉，它的对边是五分之四，对不对？长度，因为这个是一，是吧，然后它的呢，邻边是五分之三，所以它的横坐标就是负的五分之三， 所以你会发现， m 只要小于等于负的五分之三，大于负一就可以了。哎，第二问就出来了，对吧？这个一二三四五模型呢，考场上不能直接用啊，但是做圆综合的时候，你很多时候可以帮你快速看出来答案啊。这道题呢，第二问就搞定了。来，咱们要开第三问了啊，各位， 第三问这道题的难度百分之八十啊，各位，就是在阅读上这道题的，阅读对阅读的要求太高了，你如果阅读不准的话，这道题累死你可能也做不出来 啊。 ok， 这道题呢，我慢慢给大家读。各位啊，我在这先发出警告啊，预警，这个阅读可能会非常绕啊！我呢，最后还会给你假设，换一种说法，可能跟你想的一样。各位，这道题呢，首先给了个点滴和点一， 他说若存在半径为根号三的原题，哎，这个故事交代了 d 和 e 以后，然后告诉你，哎，存在一个根号三的原题。首先说啊，存在不存在一个原题，那么存在原题，这个原题就是确定的 啊，你可以让它的位置不断的变，但是一旦选好了，这个圆 t 就是 固定的了，它的半径是根号三，并且它的位置你可以随便放，但是它总得在某一个位置。这句话能理解吗？存在半径为根号啊，根号三的圆 t。 然后接下来重点来了， 使得对于三角形 o d e 上任何一点任意点 s。 各位， o d e 已经画出来了啊， o d e 上任意一点 s 都存在。请注意，这个故事得搞清楚，对于谁都能什么，比如说，对你来讲啊，对于你来讲，总能找到男朋友或者女朋友，那就是我们先看你，然后看看你怎么去找去。也就是说，我们是这道题是先找到某一个点 s， 然后再给他去找长度为 t 的 弦。各位，这种题有点绕啊，也就是说，对这个点 s 来讲， 它可以找到一个长度为 t 的 弦，如果 s 在 这里，各位，我们还可以再存在，因为他说了，对于三角形 o d 上任意点 s。 各位，我在这讲的慢一点啊，就是说人家这个故事讲的是 找到一个啊点 s， 随便找一个点 s， 然后看看是否存在长度为 t 的 弦， 那么如果 s 在 这，咱们就可以找一个长度为 t 的 弦 s 在 这可以找一个长度为 t 的 另外一个弦，只要长度为 t 就 行。各位，这是这道题的关键 啊，也就说每一个点 s 都能找到一个长度为 t 的 弦，不是说各位所有的点 s 都找到一个固定的一个同一个弦 f g， 各位能理解吗？ 嗯，因为如果是按你的理解那样的话，如果你们这么理解的话，那他就是说对整个三角形 o d 以上的每个点来说 啊，对于整个三角形啊来说，存在一个长度为 t 的 弦，能让三角形上每个点都是这个弦的切弧点， 他没有说每个点都是这个弦的切口点，各位能理解吗？这个故事是先说对于一个 s， 然后，哎，每个 s 都存在，各位，每个才每个 s 都存在一个长度为 t 的 弦，但是没说所有的 s 对 应的都是同一个长度为 t 的 弦， 各位，这能听懂了吗？ ok， 所以呢，各位啊，这道题你要得理解到这种程度啊。 ok， 那 么这种情况下，各位，咱们接下来思考第一个啊， 如果弦长度为 t 固定了啊，比如说这是 f g， 什么啊？ f g， 比如长度为啊为 t 的 f g， 这个弦固定了，咱们画出来极端的情况就是以 f 为切点，以 g 为切点，这种情况，哎，各位同学，你看啊，那么这个时候这是圆 t 都不是圆 o 啊，别忘了。然后呢，你看一看， 你会发现我们能找到所有的 f g 长度为 t 的 弦，它对应的切弧点的轨迹 啊。首先，我们先画出来某一个位置下长度为 t 的 f g 这个弦，然后你会发现它的切弧点的轨迹就是这个。注意啊，中间这个圆，它是虚线，因为切弧点不包括这个圆啊，不包括圆 t， 那么如果 f g 他 在绕着圆转一圈的过程中，你会发现这个阴影部分是不是也会绕着圆转一圈？这样的话，他转完以后是不是就会得到一个外圆？是蓝色的内圆是吧？是这个橙色的虚线， 那么也就是说，你们能理解这个圆环呈圆外蓝圆上或者蓝圆内这些点是不是都是切弧点？只不过每个切弧点可能对应的是不同的 f g 的 弦，但是它们长度都是 t， 各位这能理解吗？所以也就是说，这个三角形它只要能啊 o d e， 它能在这个圆环里边就行，而不是说这样的，也就是对 f g 固定了啊。然后呢，比如说啊，三角形 o d e 必须它上面的每个三角形上啊，比如说这是 o d e， 它上面的每个点都要在某一个固定的 f g 的 这个切弧点的轨迹内，不是这样的，各位能理解吗？ 啊，所以呢，也就是说，只要三角形 o d e 在 整个这个圆环里边就行，不是说啊，不是说让你在 f g 固定的情况下，在这样某一个切弧点的轨迹中，这个难度就差别很大了 啊，各位，你可以啊，如果不明白，暂停再看看啊，然后如果明白了这一点以后，咱们就想办法找到这样一个 a 圆的啊，这个外圆环，这个蓝圆的半径的最小值，因为它肯定越大越好，越大越能装得下 o、 d、 e， 对 不对？然后呢，其实我前两天正好讲了一道题，各位，你会发现，也就是说，如果这个外圆的这个半径 r 它确定了， 咱们可以算一算。各位，因为这是垂直的，这是根号三，你会发现，如果 r 确定以后， r 直接可以表示出来 f g 啊，我们可以表出来 f g 的 一半，然后再乘以二。咋着呢？你看一看，比如说这是根号三，这是 r， 根据勾股定律，这是根号 r 方 减去根号三的平方，也就是三，这个也就是根号 r 方减三。那么咱们可以根据等级法算出来这个等面积法啊，这个给它起名叫 k， 你 会发现三角形 t f k 的 啊，面积它首先可以等于二分之一乘以根号三，乘以这个是吧，一个档底边，一个档高， 然后呢，还可以让 t k 当底边啊，等于二分之一乘以 r， 哎，再乘以 f g 的 一半。 大家看，这样的话，二分之一，二分之一消了，你会发现 f g 等于啥？各位， 我把 r 和二分之一啊， r 除过去，二分之一乘过去，那就变成了二倍的根号三，再乘以根号一，减去 r 方分之三，我把这 r 除过去，直接除到根号里边了，各位，哎，各位，你会发现，如果 r 它越大， r 方越大，对不对？因为 r 是 正数，那么 r 方分之三就越小，因为分母越大，分母越小。然后呢，再加个符号呢，它又变大了，加个一呢，也变大了，再开方也变大，所以你会发现 r 大， 那么 f g 就 大， 所以我们想找到 f g 的 最小值，因为 f g 越大越好，对不对？它只要小于根号三就行，小于二倍的根号三就行。然后我们只需要找到它最小值 啊，那么我们只需要找到想找 f g 的 最小值，就找 r 的 最小值。这有一个关联性，前两天我刚讲了一道题啊，然后呢，所以呢，我们就找到这个蓝圆半径的最小值。 好，这个蓝圆半径它最小值怎么求它？各位，咱们呢，可以动手操作一下。各位啊，稍等，我把这里边都锁定， 然后各位请看，我们随便把这个三角形 o、 d、 e， 各位，哎，它就这么摆着，我们动一动，我们看看什么情况下有可能把这个三角形装进去，我们会发现，至少它这个高啊， 大家看看它得怎么着？各位，至少它这个高， 你会发现，你在别的地方的时候肯定是装不进去，如果装进去这边都不一定出奇不出奇，待会咱们可以再验证，至少得保证这个高加上这个半径，这个是不是理论上的最小值。 你告诉我，如果你这个圆这种情况下都装不进去，那你告诉我，咱们再往上一点啊，各位，你告诉我这个高，他这么着是不是更装不下去了？ 所以呢，咱们先锁定一个某一个角度上理论的最小值，也就是说，如果这个三角形，当它的某一条边和这个橙色的内部的圆 t 相切的时候，你会发现这个边上的高 啊，你会发现，加上这个半径是理论上蓝圆的最小值，这种情况下还不一定符合题意，但是你得满足这种情况才有可能啊。如果说这种情况下， 各位他能行的话，那基本上就就可以了，因为某种程度上不能再小了，是吧？如果是这么摆着啊，咱们先考虑三角形他的三条边的某一个边和成员相切的情况， ok， 在 这种情况下呢，那我们就知道想求这个蓝圆的最小值，蓝圆半径的最小值，这个高要最小。其实对三角形 o、 d、 e 来讲，各位，你告诉我哪个边上的高最小啊？还是根据等级法，二分之一乘以底 乘以高，等于三角形 o、 d、 e 的 面积，三角形 o、 d、 e 的 面积是固定的，你们告诉我，你要想高最小，是不是底边最大呀？所以是不是 d、 e 边上的高最小啊？大家看看 d、 e 边上的高最小是多少？嗯，这是一 是吧？你会发现，因为这是六十度，这是二分之根号三，所以各位咱们就可以看一看，当，也就是说我们让再看啊，来往上一点 来，各位，也就是说我们让 d、 e 这个边上的高，这是根号三，这个半径啊，是根号三，这个是二分之根号三。我们看一看这种情况下，这个蓝圆能不能把整个三角形 o、 d、 e 装下去， 装下去以后，唯一的不确定的就是这个点 e 它是在圆外还是圆内 啊？各位，咱们现在这个蓝元的半径，目前来看呢，它是二分之三倍的根号三，就根号三加上二分之一倍的根号三，咱们再算一算看这种情况下，它的长度是比这个大还是比这个小？比这个大它就装不下，如果比它的小，哎，就搞定了。 各位啊，我们经过计算，你可以自己算一算啊，因为这个长度是二分之三，购物定律，算完以后这个边确实比他小，所以这种情况下就可以了。各位啊，这种情况下就可以了，这个时候蓝圆的半径就是二分之三倍的根号三。 来，咱们根据刚才上面这公式，因为 f g 等于二倍的根号三，就是 t 啊，乘以这个咱们算一算是多少呢啊？我把它复制过来， 这种情况下， r 是 二分之三倍的根号三，所以 f 这就等于二倍的根号三。乘以根号一减去三，比上它的平方，它的平方呢？是四分之二十七，是吧？就是三，除以四分之二十七 啊，那就是乘以二十七分之四，是吧？乘以二十七分之四三，乘以二十七分之四啊，那就是二十七分之十二。然后呢，再除以一个的话啊，上下再除以一个三的话，就是九分之四啊，九分之四一减去九分之四是九分之五， 九分之五呢，是三分之根号五，二分之根号三啊，然后乘以三分之根号五， 哎，等于三分之二倍的根号十五，哎，这道题就做出来了，这样的话 t 的 最小值注意，相切的话还不行，因为这个点当不了切弧点啊，因为圆周上的点没法再做切线了，所以这道题最终的答案就是 t 大 于不能取等三分之二倍的根号十五， 肯定要小于直径二倍的根号三。这道题就做好了。各位，这道题我认为他出的好啊，这道题出的真好，我觉得就是给了这样一个存在， 这里一个对于任意，这又一个存在，一个长为 t 的 弦。各位，你要想提高自己对这种抽象逻辑的理解能力、驾驭能力，你就好好把这道题做五遍以上。
05:12查看AI文稿AI文稿朝阳二模的这道代沟题，如果你看完答案或者听老师讲完之后，好像懂了，一点用都没有，因为那是老师他自己理解之后喂给你的，你必须掌握一个方法，能够自己在考场上理解他，你才有可能下次做出这种题型来。 这道题的第二小问明显就是偏向新定义，所以我们把新定义的主干备注法在这个地方讲一下，用一下，大家会发现非常好用，而且这个方法也是可以明确尝试，掌握的时候也会去讲这种方法，练这种方法。 什么方法呢？非常简单，就是找主干添备注，因为他给的这个体干非常的复杂，我们读完之后完全不明白他的重点在哪里，无从下手。那这个时候我们就要去找到主干，主干在哪里啊？你读完之后，你会发现最关键的就是这个结论， t 随 m 的 增大而增大，我把它写在下面这个位置了啊。然后我再去找题目中它是怎么描述这个 t 的， 怎么描述这个 m 的？ t 是 什么呢？ t 是 m n 的 最大值，其中呢？ m 呢？它有一个大于零的条件， 还有一个大于 m 零的条件。当我读到这个地方的时候，我就有点晕了，一个最大值还要随着增大而增大，怎么会和什么 m 零扯上关系呢？那就不要着急，我们要分布去理解，我们先找到这个位置，也就是去观察一个最简单的情况啊，来了一个 m n， 看右图， 这个 m n 如果只能取到这个位置，只能取到这么远，什么时候最大啊？很显然就是我现在画的这个蓝色位置最大，如果我能给他往右再取一点，那很显然就是紫色的位置最大，如果我能给他往右再取一点，那这个时候就不好说了，到底是紫色更长还是红色更长呢？这时候我们发现，我们需要知道， 在这样一个所夹的范围内，什么时候取得最大值，我才能继续往下去分析。这个地方是大家都会很擅长的，也很好，算是拿一次函数到这个 x 减去二次函数的这个值，我们就可以 得出一个关于 m n 长度的什么一个式子啊？这个式子呢，就比较容易算出来，当 x 等于一的时候， m n 取得最大值，二，也就是我标的 m 撇 n。 好 了，有了这个东西之后，我们可以继续往下分析了。我又画了一条黑色的线， 哎，那这条黑色的线很显然在变小，那变小的过程中，请问什么时候取得最大值呢？那还是 m 撇 n 撇，那这个最大值有没有继续增大呢？没有说明啊，他就不符合我们说的继续增大而增大了，哎，这时候不要着急再往下去想继续变小， 对吧？继续变小，一直到零，然后变大，哎，停，再去想从零开始。跑跑跑跑跑跑跑，一直跑到这个位置，此时最大值在什么位置？在 m 撇 n 撇最大值有发生变化吗？还是停留着一直跑到什么位置呢？一直跑到 这有一个 m 撇撇 n 撇撇，此时长度也是二。如果继续往右跑，比如说来到了绿色的这条线，那我们会发现这个最大值进一步的变大了，也就是从零一直跑跑跑，跑到这个绿色的这个位置， 那他这个最大值就会比刚开始的要继续变大，所以他又出现了增大而增大的情况，这一条绿色的线再往后呢， 一样继续增大。这我就理解到了，整个不考虑 m 零的情况下，这个最大值会出现先变大， 然后不变，一直到这个 m 撇撇， n 撇撇的位置依然不变，然后继续变大的过程，再往后都一直变大。好了，那我们再来看 m 零，他说存在 m 大 于 m 零，使得这个 t 一 直变大，就是我得让 t 一 直变大，也就是说，我刚刚其实取到某一个位置，那就是什么卡到了某一个位置，而题目问的是什么？从某一个位置开始，我让他 往右跑好了。哎，那我来想一想啊，假如我在这个位置取一条蓝色的，我让他从蓝色的位置开始跑，他能够一直变大吗？不能。 哎，你这时候就能理解了，从什么开始，从这个 m 撇撇、 n 撇撇开始，他才能够一直变大，就不会经历中间这个不变的过程了。 所以我们要求的就是 n 撇撇的横坐标就出来了。那 n 撇撇的长横坐标怎么求啊？那就是利用 m 撇撇、 n 撇撇，它的值也是二即可，所以就是二次函数的高度减去一次函数的高度等于二，于是我们就可以达到 x 方减 x 减去 x， 它等于二。哎，这样一解呢？解出来两个值，一个是一减根号二，一个是 一加根号二，为什么还会出现一减根号二？因为你算的是长度等于二，这个位置其实也会出现一个长度等于二，那很显然它不符合我们题目的要求，所以我们把这个舍掉，这个保留。所以 m 从什么时候开始， m 就 从 m 零就从这个位置开始 啊，因此 m 零的最小值就是一加根号二。好了，本期就结束了，我们用到了新函数嘛，其实不需要我一直在强调啊，这种数形结合的方法才是中考更想考察你的本质。 而我们在这个过程中用到的主干备注法其实是最后一道压轴题。新定义中非常常用的一种方法，尤其是对于那种新定义本身给的比较复杂，不太好理解，我们需要用的。
76北京初数程老板
24:47查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。
32栗子老师教数学
