二模数学21题解题步骤天津
二零二六南开二模的二十一题，圆这道题，他们说这道题卡住的人比较多，所以呢，我把这个题单独拿出来啊，跟大家聊一聊这道题的一个思路。 他说三角形 abc 呢，内接于圆 o， 然后过点 c， 做了一个切线，既然是做切线，所以你的垂直是一定要连的， 连接 a、 d， 然后与它相交于点 e， 然后告诉我 b、 a、 c 这个角的话呢，等于四十五度。当你看到这样一个角在圆里头扮演一个圆周角的角色，然后又是四十五，所以你 一定要把这个位置的这个垂直给它标上，因为四十五度的圆周角转化成原先角的时候是九十度，九十度再加上 o、 b 和 o c 等，腰值也就出来了。呃，然后又告诉我，角 d 这个位置是一个垂直，当你读到这的时候，你就会发现这条线和这条线是平行的，并且 这个位置还是垂直的。如果我延长过来的话，是不是就会出一个矩形，大家慢慢的要有这种感觉啊，就垂直，垂直一定要往矩形上来想， 尤其是这种平行出来的两个垂直。然后第一个说这个 c、 a、 g 等于十五，你说这个角如果是等于十五度的话，你会发现这个大角是等于六十，这个地方是九十度，然后他俩平行，所以这个角也是啊， 十五度。他问我 o、 b、 c， 哎呀，这个题没啥意思啊，这个角就是四十五度，因为这个地方是九十， o b 等于 o c 四十五度，也就出来了。第二个问 o、 c， a， 也就这个角正好刚刚说了是平行的，所以这个角和这个角也是十五度。 第一问就这么愉快的搞定了，然后我们看第二问，主要是第二问，他说这个三角形 a、 b、 c 内接圆 o， 你 发现没？我把这个题目的条件从头到尾又再捋一遍啊， 他说内接于圆 o 过点 c 呢，做了一个切线，所以这是垂直，然后相交于这个，然后 b、 a、 c 等于四十五度，这个点是四十五，那么这个地方还是垂直，你会发现他把这条线给我们已经延长了，所以隔壁这个位置 也是垂直，包括角 d 等于九十度，你就非常清楚的知道这玩意是一个矩形，你们要注意一件事情，就是矩形出来，你要立马感受到就是他的性质，用的最多的就他俩平行，然后他俩平行，然后如果我知道这个长，就知道这个长，如果我知道这个长，就知道这个长啊，大致上就是这个意思。 呃，然后告诉我 c g 等于，还真告诉我了， c g 是 等于二的， ab 等于根号三十，他给的这个数根号三十， c g 如果是等于二的，那么 o、 f 也是等于二的，是吧？我把这个流光给大家涂一下吧， 这一段是等于二的，然后求圆 o 的 半径和 e、 f 的 长度。刚才聊了一件事情，就是垂直、垂直、垂直，所以这个地方也是垂直，就这几个垂直可能用处没有那么大，但是你推出来的这个垂直想什么？ 一定去想垂径定力啊，一定去想垂径定力。你说当这个地方垂直于 a、 e 的 时候，也就我的 a、 f 和 fe 就 相等了，这是一些非常基础的操作啊，不需要我再去详细的展开来讲了。那我怎么样能够让这个啊，这个地方还有一个二，哎，这个地方还有一个二， 我最终问的就是一个是半径，一个是 ef 的 这种长度，看这啊，就是我问的是 ef， 然后我知道的是 ef 的 这种长度，所以你一定要干一件事情，就是把这连起来 有两个线索，第一个线索就是我求的是 ef 和半径，这是第一个线索。第二个线索这个位置是垂直垂镜镜里得到的，就是这个三角形和这边的这个三角形。一定是啊全等的那个东西，就垂镜镜里相关的这些玩意。但是到了这之后你会发现这个三角形当中啊，有两个不知道的， 你看一个边，两个边有两个不知道的，然后还有一个就是在这个三角形 a、 b、 f 当中。哎，我为什么要想这个三角形？因为这个三角形当中有一个二， 有一个根号三十，就是条件比较集中。那你来观察啊，就对于这个三角形，当然也是一个直角三角形，他也有两个线段不知道，一个是 a f， 一个是啊 o b。 其实到这这个题就已经成了， 你观察一下，就是在这个三角形当中不知道的两个半径画个圈，半径画个圈，也就说点和圈，在这个三角形当中不知道点和圈，在这个三角形当中不知道有两个直角三角形，然后要解两个未知数， 就是一个点一个圈嘛，其实这个地方已经成了，就是两个未知数，对应着两个方程。我再给大家再详细的往后写一写，就是假设这块如果是个 x， 这块就是个 r， 这块也是个 r， 这块也是个 x， 我 为什么要解设这么多东西？因为我在这个方程当中 有两条不知道的，并且这两条都需要我求。我在这个大的三角形当中也是有两条我不知道的，并且这两条跟刚刚那两条是完全一样的。说白了我只要去给这个 x 和这个 r 列式子就够了。那么在这个直角三角形当中，你会得到 x 的 平方，加上二的平方，就等于 r 的 平方，就等于根号三十的平方， 一个式子，两个式子，一个未知数，两个未知数，你解到最后的话，这个 x 和这个 r 都能求出来啊，剩下的活你们自己来干。我主要是给大家分享这个题，你是怎么样来思考，然后怎么样把这两个未知数给他引导出来的。
粉丝6880获赞2.9万
相关视频
14:46查看AI文稿AI文稿好，咱们初三能开去，二模也考完了啊。呃，有不少同学说呢，呃，怎么比一模还难呢，心里有点没底，尤其二十一题啊，第二问，有的同学卡了很久，在我看来，中考用二十一题卡得分率的可能性不大啊，因为呢，百分之十的难题分值相对固定， 二十四、二十五的第八题的第二问，然后就是呢，十二或十七题有点难度啊，比如去年呢，就是十二题难，十七题相对简单。 但就这道题来说啊，就是说能开的这个 r e t， 你 说难吗？其实并不难啊。呃，你啊，要是会编刷熟了，很快就能看出来。咱们经常说第一步啊，我无脑连半精啊，咱们就观察，要求什么呢？看这个 e f 啊，你在这里头，关键你还是要体现一个什么呢，这个方程的思想啊， 哎，也就是说呢，在这个二十一题里边，经常会涉及到一些计算，对不对？哎，这个计算里边往往就体现了方程的思想。有的同学一看，这里头，哎，这个切线怎么没有了，跟之前的不一样了，这就不行了，对不对？在这里头，你是这样，对吧，你把这个 连上，连完了之后呢，你抓住 a f 和这个 e f 相等，把 a f 也表示出来啊，然后呢，这里边呢， a f 也是一个关于二的式子， e f 也是一个关于二的式子， 然后呢，同相等的两段线段啊，用不同的式子来表示，不就得一关于二的方程吗？你解这方程不就求出来了吗？其实这个方程的思想在以往的二十一题当中啊，往往都会用到，对吧？哎，这个咱先不细说啊，我们先来看这个，呃，二十五题啊， 啊，我们看这个二十五题啊，这个第一问呢，它是这样啊，把这个 abc 啊三个数都告诉咱了，对不对？都告诉咱的话呢，那么我们还是先来算一遍吧。啊，我写这个地方吧， 呃， y 呢，等于负 x 平方，加上二 x 加三，对吧？然后呢给它配成一个顶点式，就是这样，呃给它配成一个焦点式呢，就是这样 加上一对吧，所以这样的话呢，呃它求点 a 的 坐标，呃就是负一到零啊，求点 b 的 坐标，嗯 三到零啊，求 c 的 坐标啊，零到三，对吧？啊，这样的话呢就比较容易啊，比较容易。在这个我就不在这个动图里显示这个了啊，我这动图我先把它停一下啊， 哎好，接下来呢，我们来看这个第二问啊，那么这个第二个里边，哎，他去掉了这个里边这三个数，对不对？然后呢说呢， a 的 坐标负 m 到零啊， c 的 坐标是零到三 m， 对 吧？那么这两个呢相当于是， 呃，这不叫给了我们具体的数啊，给了我们用 m 来表示，而啊给了我们这个 b 用 n 来表示，对吧？那么这样的话呢，我们可以先把按照他说的这个把这个抛物线的解析式呢写成 y 等于啊 a 乘以 x 加上 m， 然后是 x 减 n， 对 吧？哎，这就体现了 焦点，是吗？对吧？哎，这个，呃点 a 的 坐标是这个点 b 的 坐标是这个，对吧？哎，然后呢再把零豆三 m 呢给它带进去啊，也就是说呢这个三 m 就 等于 a 乘以零加上 m， 然后这零减 n， 对 吧？ 然后对这个式子呢，我们解一下的话呢，就会得到这个 a 啊等于负的 n 分 之三，对吧？所以这样的话呢，这个解析式呢，你这样给它写出来的话，是 y 等于负的 n 分 之三，然后 x 加上 m， 然后 x 减去 n， 然后我们分别在这个信息始终存在的背景之下呢，哎，我们来处理圈一和圈二啊，这个圈一呢，实际上不是特别的困难啊。好，我把这个地方先取掉， 我们看啊，这个当 n 和 m 等等， m 等于三， n 等于六的时候啊，我们来看一下啊，我给你拖动到 m 等于三， 然后呢，这个 n 等于六啊，哎，呃，其实这个还是呃比较容易能看出来的，对吧？那么在这个里头呢，呃，大家可能觉得这个有点碍事，是吧？我写左边吧，把这个解解释啊，我往这个地方写一下啊， y 等于负的 n 分 之三， x 加上 m 啊， x 减 n， 对 吧？哎，那在这里头呢，呃，显然会有一个呃三垂直，对吧？哎，这个比较容易能够观察出来，因为什么呢？因为按他说的这个旋转，对吧？那么这个三角形 和呢，简单划一下，这个三角形啊，这地方这个垂足 啊，这个咱们比较熟练了啊，我都不愿意给，不，不用给它起名字，你起个名字也行啊，比如说叫这个 h， 对 吧？那么这两个三角形应该是什么呢？应该是全等的，对吧？那么当 m 等于三的时候，显然这段的长是三，对吧？哎，那么这段的长是多长呢？哎，这段的长是九，对吧？所以这段的长呢，肯定也是九，对吧？那么这样的话呢，非常容易就能够 看得出来。这个点 d 的 横坐标是多少呢？也是九，对吧？那么这样的话呢，非常容易就能够看得出来，这个点 d 的 横坐标是多少呢？也是九，对吧？那么这样的话呢，非常容易就能够看得出来，这个点 d 的 横坐标是多少呢？也是九，对吧？那么这样的话呢，非常容易就能够看得出来，这个点 d 的 横坐标是多少呢？也是九，对吧？那么这样的话呢，这样的话呢，非常容易就能够看的出来，这个点 点 d 的 横坐标也是九，因为他是从外轴这开始算的，对吧？然后这段的是三，对吧？所以这样的话呢，他求这个 a 的 值，还有求线段 e f 的 长，那比较容易能够算出来，对吧？那么在这里头呢，这个点 d 的 坐标啊，刚才我们已经说了， 点 d 的 横横坐标，那就是九，对吧？纵坐标呢，就是六啊，九逗六，对吧？然后呢，按他说的，这个呢，点 a 的 也很容易能够求出来，为什么呢？因为在这里头啊， 我们已经知道了啊，这个 c 啊，在这里头它是九，对不对？它是九，如果 c 在 这里边是九的话呢，那我们就给它把这个数都带进去啊，都带进去的话呢，我们一下就能够求得出来这个 a 是 多少呢？ a 是 等于 负的二分之一，对吧？哎，因为在这里头的话，相当于这个，呃， n 就 等于六，对吧？哎，这个 n 等于六啊， 呃，因为这段对吧，和这段是不相等的吗？对吧？所以这个呢，我具体的过程我就不给大家说了啊，那么这样的话呢，呃， e f 的 长度可以由 f 的 坐标和点 e 的 坐标能够给它求得出来，对吧？那么这个 e f 呢，最后求出来长度是六， 对吧？ e f 的 长度是六，这个时候我们会发现这个 f 和这个九它的高度是一样的，对吧？它的高度是一样的啊， 下面我们着重呢来看一下啊。这个第二问啊这个第二问呢？可能有的同学这个，呃既没有出现我们以往熟悉的模型，是吧？哎 也呢没有。这个出现过我们什么线段的这个最小值啊之类的，他在这里头呢出了出现了一个什么呀线段的这个最大值啊。这个最大值是怎么处理呢？按照我们以往的说法啊，哎这个最大值好像得用什么二次函数的最大值，是吧？哎好，我们现在在里头来看一下啊， 现在呢，因为他说这个 m 等于三， n 等于六，这个在圈二里头不存在了，对吧？所以呢，哎，我给他稍微拖动一下啊，我给挪一下啊， 哎，我挪到别处去，也就是我故意让他不是这个三和六，对吧，那我们来看一看啊，来，但是在这里头我们要注意啊，呃刚才的这个三垂直还是怎么样的还是存在的，对吧？也就是说你如果在这个地方啊还要做一个垂线的话啊，还要做 垂线的话啊，那么这个地方的这个三垂直肯定还是有的，对吧？呃这个三角形，呃和这个 绿色的这个三角形我用两个不同的颜色来表示吧。啊，这个红色的三角形和这个绿色三角形全等还是有的啊，那么特别是在这里头我们要注意这段的长是多长啊？ 哎这段的长是负 m 啊，这个 m 啊，这个 a 的 坐标是负 m 啊，这段的长呢是 m， 对 吧？哎那么这段的长度是 m， 就是 这块的长啊，这个 o c， 那 还是三 m， 对 不对？所以这块的长呢？哎， 这就三 m， 对 吧？那么这块的长是三 m， 这块的长是 m 的 话，那我们就能够知道什么呢？我们就能够知道整个从这个点到这个点啊，它中间的这个就是 e f， e f 这条直线就应该是什么呢？就应该是 x 等于什么东西呢？你可以算一下，对吧？哎，因为这段是三 m， 这段是 m， 那 我们要是取一个平均数的话，相当于什么东西呢？哎，相当于，哎，这个平均数就可以是三 m， 减去一个 m， 对 吧？哎，然后再除以二啊，这个 x 就是 对称轴呢， 就是 x 等于 m， 对 吧？哎，就是 x 等于 m 啊，那么在这里头我们会看到哦，这个 m 和这个这是 m 啊，是关于原点怎么样呢？对称的，这两边是一样长的，对吧？这两边是一样长啊。好，接下去我们现在看啊， 注意这两条黄颜色的线啊，注意这两条黄颜色的线啊，这两个黄颜色的线相当于它是平行且相等的，同时这个点 m 还在哪？还在这个外轴上，对吧？那么为什么平行且线呢？因为他说这是平行四边形，对吧？那我们就利用平行且相等这件事啊，在这里头呢，我们要注意啊，有这样的两个三角形， 这个紫的，看好了吧，和这个紫的啊，对吧？哎， 这两个三角形是什么关系呢？它是全等的，对吧？哎，它是全等的啊，所以这样的话呢，我们可以给它表示成什么呢？哎，表示成这样啊。呃，这个点 b 的 横坐标啊，减去这个点 m 的 横坐标。就这段的长度啊，就这段的长度 应该等于这段的长度，对吧？啊，应该等于这段的长度啊，那可是这段的长度怎么表示呢？就这 ob 的 长度，这个 o b 的 长度等于什么呢？ o b 的 长度本身就等于 n 呐，对吧？因为点 b 的 坐标在这，对不对？那么我们再看这段的长度啊，这段的长度 啊，那这段的长度我们怎么给他来表示呢？因为这段的长度就刚才这个 h d， 就 这块是三 m， 对 不对？所以这块指的是什么呀？是二 m， 所以 我们得到一个非常重要的式子在里头，就是 n 等于二 m， 对 吧？哎， 如果 n 等于二 m 的 话呢，那么说明这个点 b 的 坐标是什么呀？二 m 都零，可以给它表示成这样，对吧？然后呢，原来的这个解析式呢，我们就可以给它进一步处理一下，把这个 n 怎么样？把这 n 给它去掉啊，于是呢，这个 y 呢，就等于，呃，就是我们刚才算的这个 a 乘以 x 加上 m， 然后呢使这个 x 减去二 m， 对 吧？哎，那在这里边，刚才这个 a 呀，等于负的 n 分 之三，对吧？那现在这个 a 呢，我也可以给处理一下了，对吧？于是这个 a 就 等于什么东西负的二 m 分 之三， 于是再进一步处理呢？哎，这个抛物线的解析师，如果我用小 m 来表示的话呢，它就应该被表示成 y 等于负的二 m 分 之三，然后这里边呢是 x 加上 m， 然后 x 减去二 m， 对 吧？哎，是这样，下面呢，我们再来关注一下这个 f 点啊，那么我们现在把这里边其他的线我们给清楚一下啊， 这个 f 点呢，它的横坐标是什么呀？哎，它的横坐标是 m， 对 不对？刚才我们这已经求完了，它的横坐标是 m， 所以呢，我们现在把这个 f 的 横坐标 m 呢，我给带到里边去，带到里边去的话呢，就带到这个式子里去，这一算呢，哎，横坐标如果是 m 的 话，纵坐标算完了什么呢？是三 m， 哎，这个 m 的 纵坐标，横坐标现在就都有了，对不对？哎，那么这样的话呢，我们看啊，在这个里头， 如果呀，这个 f 的 横坐标，纵坐标都有的话，那么我们瞧一瞧啊，这个 m 的 坐标能不能够给求得出来啊？我们现在来观察一下什么呢？观察一下这个这个点 m 的 坐标，是这样啊，你看点 f 的 点 f 在 这，对不对？那么 m 的 纵坐标减去 b 的 纵坐标，是不是等于啊？这个的纵坐标减去这个纵坐标，就是在刚才那两个全等的紫色的啊，这两个三角形里边，现在他的这个直角边和这个直角边 干什么呢？也应该相等，对吧？也应该相等，那么我们现在看啊，那么这样的话呢，他的啊，纵坐标 减去谁呢？哎，减去这个点 b 的 纵坐标，还有，哎，不是他的纵坐标，这个 m 的 纵坐标减去他的纵坐标，还有这个纵坐标减去这个坐标，最后这个长度，它应该等于谁呢？你想想，哎，你思考一下，最后等于谁啊？实际上就等于什么呢？哎，就等于 m， 对不对？那么所以这个 m 的 坐标呢，就是什么呢？就是零度 m， 对 吧？啊，再说一遍啊，因为这段，哎，和这段得怎么样？得相等，对吧？而这段的长度是谁呢？哎，这段的长度实际就是 m 嘛，对吧？哎，因为你给它拉长了，对吧？哎， 没错吧，所以这样的话呢，哎， m 的 坐标我们就有了，如果呢，这个 m 的 坐标有了的话呢，在下边就是我们要如何处理这个事啊？这里边这怎么处理呢？我们看啊，我给你拉动一下，这个点 p 啊， 这个点 p， 你 看上下在这运动，对不对？在这运动，但是这里头要注意啊，这个 p b 和 pa 是 什么关系？哎，这个 p b 和 pa 啊，是相等的，对不对？那么如果 p b， 我 把这擦一下啊，便于你观察。哎，这个 p b 和 pa 相等的话呢，那么左边的这个 p b 减 pm， 实际上就是 pa 减 pm， 对吧？那么我们现在看，当它上下运动的时候啊，这个 pa 减 pm 得是最大值啊，最大值啊，这个 pa 啊，我给它这样画一下，我再往上挪一下， 我们知道啊，三角形啊，哎，两边之隔大于第三边，两边之差小于第三边，对不对？那么这样的话呢？哎，那么这样的话，我们就应该干什么呢？哎，我们就应该注意它那个最大值，就是干什么呀？哎，就是这个，哎，四分之三倍根号二，对吧？四分之三倍根号二啊， 所以这样的话呢，我们最后就能够得到一什么东西呢啊？它这个最大值啊，就是这个 am， 对 吧？就是 am， 所以这样的话呢，我们得到这个 a， m 呢，就是四分之三倍根号二，就等于谁呢？根号二倍的 m， 为什么呢？因为这这块是 m 啊，对吧？这块是 m， 所以 最后算出来的这个 m 就 等于， 哎，这个四分之三 a 呢，就等于负二啊， a 就 等于负二，所以下边呢？哎，最后我们就能够得到这个点 p 的 坐标了啊，就能够得到点 p 的 坐标了。同时呢，这个它的解析是 y 等于负的二， x 加上四分之三， 还是 x 减去二分之三和这个，那这个式子呢，你可以整理出来，也可以不整理出来，最后呢， p 的 坐标八分之三啊和八分之九，哎，好啊，就讲到这，同学们。
136天津数学王天元
06:33查看AI文稿AI文稿好，我们今天来看一下南开二模的这个二十一题啊。第一问非常简单，我们现在先来读一下题啊，三角形 a、 b、 c 内接于圆 o， 好， a、 b、 c， 嗯，然后过点 c 做圆 o 的 切线 cd， cd 是 切线，那说明 o、 c、 d， 它这里就是一个直角，把这个条件标上去，连接 a、 d， 好，连了一下 a、 d， 然后 a、 d 与圆 o 相交于点 e， 圆 o 相交于点 e， 点 e。 在 这若角 b， a、 c 等于四十五度，这个角是四十五度，角 d 等于九十度。好，这里又一个直角。 第一问，如图一，若角 c， a、 d 等于十五度，好，告诉我们这个角等于十五度了。让我们去求 o、 b、 c 和 o c， a 的 大小，也就是这个角 o、 b、 c， 这里还有 o、 c， a， o， c， a 这个小角的大小。我们先来看一下 o、 b、 c。 通过题里边告诉我们条件，这个角是不知道了。 b， a、 c 等于四十五度，那我们学过，是不是同弧所对的圆周角是圆心角的一半，说明什么？说明这个 b、 o、 c， 它就是一个直角呀。 哦，你看 ob 和 oc 不 都是半径吗？所以 obc 它显而易见，它就是一个四十五度的角，这个三角形，它就是一个等腰、等腰直角三角形，对吧？ 所以这个角 o、 b、 c， 它就等于四十五度。那我们再来看一下 o、 c， a 肯定要用到题里边给我们的这个条件了，十五度的这个角 c， a、 d 等于十五度。好，这里是十五度，然后这里是直角，那我们是不是可以知道 a、 c、 d 的 大小，这个角的大小是多少度？是不是九十度，减去十五度等于七十五度？好，角 a、 c、 d， 它就等于九十度，减去十五度就等于七十五度。然后那你看 o、 c、 a， 因为我们看这里是那个 c、 d 是 切线嘛，刚刚标了一个直角，所以 o、 c、 a， 它不就是 九十度减去七十五度嘛， 就等于十五度。 那这个第一问，他考察的这个知识点就是像我之前视频里说过的，同弧所对的圆周角是圆心角的一半啊，或者还有可能会考你这个，比如说直径所对的圆周角是九十度啊，通过这个让你去呃 找角去，然后去找这个角度啊。第一问非常简单，我们重，我们现在来重点看一下第二问啊。第二问，条件我已经标上去了，这个 c、 d 等于二， a、 b 等于根号三十，让我们去求半径，也就是 o、 b 吧，暂且是呃，和这个 e、 f 的 长， 我们看从通过题一。呃这个第一问，我们是不是知道了这个圆里边有一些直角，哪些是直角呢？角 d， 这里是一个直角，然后这个是切线，这里一个直角，然后 o、 b、 c， 因为它是直角，说明这个 c、 o、 f， 它是也是一个直角， 它也是一个直角，我们是不是就可以得到 o、 f、 d、 c， 它是一个矩形，它是矩形的话，那就说明这里这个 o、 f、 e， 它也是直角。好，关键来了，这个信息很关键啊，它是一个直角，那说明什么？说明你看这个 b、 f 是 不是过圆心的，这个 直径也就是 o、 b、 f 是 不是直径，直径干嘛了？直径垂直于 a、 e 这条弦了呀，那要用到什么？肯定要用到垂径定力啊。垂径定力是不是说垂直于弦的直径平分这条弦， 它说平分这条弦说明什么？说明就是平分 a e 啊，所以说 af 就 等于 f e， 那 对于这种问题，我们要求长度一定要找到等量关系，就是 af 等于 f e， 那 对于这种问题，我们要求长度一定要大于 f e， 那怎么去？呃，接下来该怎么办呢？看啊，接着看，我们看知道是不是 c d 等于二， c d 等于二，是不是我们要求的在这儿呢？往上挪，所以说 o f 是 不是就是二， o f 等于二，我们现在暂且利用这个半径是 r， 这里是二啊，另半径是 r， 那 你来看一下 a f 等于 f e， 写到这里， 我们能不能用这个 r 的 这个呃，代数式表示出来呢？那怎么去表示呢？就用到了勾股定力 a f 好 表示吧。 a f 它是不是就是放到这个三角形 a b f 里去看？它就是 ab 方减去 b f 方，三十减去 r 加二的平方 f e 怎么去表示呢？ a 好 像不太好去用到这个在三角形里，因为它这儿没有说这个存在的这个三角形，所以不能用勾股定律。那怎么样就要用到辅助线去构造了，这就是我们要找的辅助线了。干嘛呀？连接 o e o e 不 就是半径吗？是不是 所以它也是 r， 然后你看 o f 不 就是二吗？所以 f e 这个时候能表示出来了吧？ e f 它就等于是不是 o e 方减去 o f 方，然后开根号， r 方减去 四，开根号，哎，上面也得开根号啊。啊，那其实是不是 a f 等于 e f， 所以 a f 方等于 e f 方，那我们把它挪下来，就是三十减去 r 加二的平方，就等于 r 方减四，最后我们可以得到解出来 r 啊， 那 r 就 等于它最后得到一个这个啊。呃， r 方加上二， r 减去十五等于零，然后你可以进行十字相乘了，其实就是 r 减加五 乘以 r 减三等于零，因为 r 正数嘛，肯定，所以 r 解出来就是三，那半径求出来是三了， e f 好 求不？又有一次勾股定力是不是就解决了？那 e f 它就等于 r 方减去四，它根号就是多少呀？三三得九，九减四五， e f 是 不是就根号五？那这个题你看我们像这种求第二位，尤其是求长度的题啊， 多数像对于往年的中考，多数他是都是要找等量关系的，一般都会用到这个购物定例去找等量关系。这个题里边还用到了垂径定例。垂径定例，如果你没有发现垂径定例的话，这个题就是做不下去的 啊，所以说这个是也是有可能会成为这个。呃，就是二六年中考的一个考点，它也是一个重点啊，大家可以重点关注一下。
46小宁爱数学
01:53查看AI文稿AI文稿试一下这个圆，这道题三角形 a、 b、 c 内接圆， o 过点， c 相切，所以这个地方是垂直的。 b、 a、 c， 这是四十五度，那所以这个地方就是九十度。圆周角定角，然后角 d 也是九十度，那所以这个边和这个边是平行的。然后第一问角 c、 a、 d 是 十五度，那这就是十五度。第一问求角 o、 b、 c 的 度数，这个不用看，肯定是四十五度， b、 o、 c 是 九十度。第二个 o、 c、 a， 那 这也是十五度。为什么呀？两直线平行，内错角相等，因为通过分析咱们就知道 o、 c 平行于 a、 d， 对 吧？所以像他给的这个角度和咱们要求的这个角度正好属于内错角， 所以两直线平行，内错角相等，这就完事了。但第二个四十五度是大标题给的，所以它还成立。这个地方是九十度，还没问题，接线是题目中给的，这个也是大标题给的， 所以这些东西在第二问依然能用。第二问，他接着说了延长，那这个角也是九十度，所以这个四边形它就是一个矩形，这个四边形就是一个矩形，然后有一个边长，正好是半径。 然后屏幕说了 c、 d 是 个二，那 o、 f 肯定也是个二， ab 是 刚好三十，然后让咱们求的是半径和一个长，那把 o、 b 半径设成 r， 那 这也是 r， 这呢也是一个 r， 然后底下怎么办呢？底下你可以连接一个半径，或者连个 o、 a 都行，这不都是半径吗？这也是半径，所以咱们可以选择用一个双勾股。什么是双勾股？像这个 af 这条边， 你在大的 r、 t 三角形 a、 b、 f 中，你可以采用根号三十的平方减去 r， 加上二小个方来表示 a f 的 平方。与此同时， a f 方，它在这个小的 r t 三角形 a o f 中，它也可以写成半径的平方减二的平方， 那这个就叫双勾股，就是用不同的 r t 三角形来表示同样的一条线段的长度，称之为双勾股。 那么现在这一堆和这一堆这两个肯定是相等的，它俩一相等，你就可以把 r 给求出来了， r 求出来这个半径就知道了，而半径知道之后，你这个 e f， 你 要求的这个 e f， 根据垂径定律，它和 af 的 长是一样的。而你的 e f， 你 随便把 r 往哪个数字里面去带入一求 af 的 长也就知道了。那这个题就解决了。
13天津数学葛老师
04:33查看AI文稿AI文稿好，下面我们看一下河西区刚刚考完的奥摩的这一道选择题的压轴 难度。一般般考点在于二次函数的对值问题。好，图像我大体画出来了，只要能图把图画出来，这个题也就多对一半了。 因为他说了点 t 的 坐标是 t 度零，而且他是跟 s 轴垂直的，所以说 a 点坐标减 a 点是在线线上。 a 点多标，我可以写出来是横多标， t 多 b 分 c e t， 这是一点多标， m 点多标我也可以写出来它是 t 逗号， 因为我可以设焦点，多标是 f， 二 c 度零， 那这时候对应的二分之 p 就 等于啊 c， 所以 p 的 话就有二 c。 我 把抛物线方程给它，用 c 来表示，就变成四 c x， 所以 它的动作标就应该是根号下四 c t， 这是 a 点和 m 点，又因为它给的条件是 o m 方 减去 o a 方，它最大值是多少？先求一下这个式子，欧文方减 o a 方，你可以借助两点间的距离公式，那就应该对应的是 t 方 加上四 c t 减去 o a 方 t 方加上 b 方分之 a 方 t 方。 整理完这个式子之后呢，是四 c t 减 b 方分之 a 方 t 方。 我们可以清晰地看出来，我这个可以设成是 y， 它是关于一个 t 的 二次函数，你怎么可以把二次项放前面，就变成负的 b 方分之 a 方， t 方换了一般式加上四 c t 的 形式。关于 t 的 二次函数， 这里他说了是 x 轴正半轴上一点 t， 所以 说 t 的 范围是有的，我可以写一下 t 的 范围， t 是 大于零。 那现在我们只要求一下这个二次函数。关于 t 的 二次函数，它开口是向下的，因为咱要求的是它最大值，是它开口向下，说明它有最大值，什么时候取呢？你对准轴的时候取，所以当 t 等于负二， a 分 之 b， 对 吧？ 对面走的时候取。这个求完之后呢，是二 a 方， c 比上 b 方，这时候 y max 最大值就应该是把 t 等于 b 方之二 a 方 c 代入，整理一下，这个式子，代完之后呢，求出来是四 a 方， c 方比上 b 方，又因为它最大值。题目给了是这个，那说明他们俩是相等关系。五分之四 f 一 f 二的平方，而 f 一 f 二又等于焦距等于二 c， 所以 就变成五分之四，再乘以四 c 方变成五分之十六 c 方。好，接下来的话就是整理一下这个式子了。 四 a 方 c 方比上 b 方等于五分之十六 c 方该约的约掉四十六，约一下四 c 方， c 方约掉。化简一下，这个式子就变成的是 a 方比上 b 方等于四，除以五，再根据 c 方等于 a 方加 b 方， 化成只含有 a 和 c 的 一个式子，用九 a 方等于四 c 方，再根据离心率的公式， e 等于 c 比 a， 那 就等于根号下 c 方比上 a 方， 这时的我可以继续变形，就是 c 方比上 a 方等于四分之九，那开出来就是二分之三。
40@爱数学的刘先森
04:53查看AI文稿AI文稿今天来给大家分享一道二模的填空压轴题， 这道题当时是我上周做的，我发现比较有意思的一个就是这道题反而是给就是刷题比较多的，然后相似掌握的又很扎实的同学来做这道题，他反而可能会卡住。那我们来看一下这道题啊。 嗯，这是一道矩形平移的问题，矩形 a， b， c， d， 它是向右平移形成了 e， f， g， h， 然后它的题干也很简单，它给了我们 a， e 的 边长是二， e， c 是 一， a， e 是 二的话，说明它这个平移的距离是二嘛，那顺势可以推出 c 距的长也是二。然后给了我们一组角相等角， d， a， h 等于角 a， c， d， 然后让我们去求一下 a， h 的 长度。做题我们应该要从条件处吧，这边比较需要去推的条件应该就是这一组角相等了吧，因为我们说平移会有一些相等的角， 比较明显的话 d， a， h， 因为平移的话 a， d 等于 e， h， 这个角是不是可以内错过来？ 哎，其实把这个角相等推出来有一些厉害同学，他已经有思路了，因为是不是会发现有非常多的相似三角形啊，而且它这边是一个直角三角形的相似矩形嘛，矩形这边都是直角，我顺势标一下啊， 这边是不是就已经出现了像 a， d， k， k， h， m， e， m， c 以及 a， d， c 它都是相似的， 甚至 emc 他 知道一条边长 ec， adc 他 也知道一条边长 ac， 那 其实你是可以用相似暴力把这道题做出来的，无非可能设两个未知数，或说好像我看了一下答案，甚至有三个未知数，就是用到了三个 边长表示出来，然后就用了三组相似，最后再用勾股把这道题做出来了。按照答案那个计算量，确实这道题称得上是一道压轴题的一个计算量。 那我们稍微的来看一下答案的方法哈。它这边是用到了三组相似， 那我们稍微去看一下它这个过程，其实也会发现它跟我们传统的相似，对应边比一比，然后把边长求出来，有点不一样。这边还是会有像 a d 啊， c d， a k 它是求不出来的，就只能用线段的表示出来， 到最后还是需要去借助一个勾股定律才能把具体的边长求出来，所以其实整道题的计算量还是非常之大的。好，那回归到这道题，当时我是怎么做的呢？ 当时这个思路其实我也看到，但我觉得这个计算量太大了，我先放一放，那我再去推一推这个条件啊，我们说你条件把它充分的用起来，你多推一推，你的做题思路也会拓展了。那我们看一下，我再去推推脚上的 这一角，相等应该太多了吧，就比如说我继续推，嗯，像 c d， 它平移的话，那 c d 和 h g 是 相等的，我就可以把 t c a 这个角也将等过来，同位角相等等过来嘛。 好，其实停了已经够了，我现在把一些不相关的东西擦掉，好，就盯着这个图看有没有发现一个熟悉的相似，直接就可以把 a h 解出来了，给大家思考三秒钟。 有四的同学答案应该已经截出来了，如果还没看到同学，那我稍微来瞄一下这个地方， 看到了吗？这是不是一个我们熟悉的母子形相似？这里有一个公共角，然后 a h e 等于角， a g h， 那 是母子形相似出来了。母子形相似，我们有一个记忆的一个比例关系啊，公共边的平方 等于它下面这一条乘整一条，这个和摄影定律的记法是一样的，我们可以直接用这个等式把答案做出来， a e 长是二， a g 整条长是五，所以最后 a h 就 等于根号十。 结束，那这道题呢？告诉大家，嗯，到题目它确实是会有很多种方法的，我们还是要选择 嗯，稍微方便一点的方法。虽然我们在考场上是鼓励大家就是想到什么就做什么，但一开始想到那个方法还是比较有计算量的，我们可以再去深挖一下已知条件，看看会不会给你更好的思路啊。 好，那就感谢大家的观看，祝大家中考都能考一个好成绩。
10🏖三傻培优
12:41查看AI文稿AI文稿比较多，没有给大家及时的去录讲解，那今天给大家慢慢补啊，不着急，先说河西区的这耳膜，河西区呢？据说是今年河西区又命名又给那个中考命题，是吧？所以这套卷就挺不错的。 整体来说呢，十七、十八、二四二十五这几道题比平时做的其实差不多，是吧？平时做的，然后可能会比一些其他区的稍微简单一点，这几道题不算是太难，但其他比如一些第十第十一题， 就会比咱们平时做的稍微难一点了吧？第十第十一比二十一，这几个题可能比平时做的稍微难一点，但是你的十二、十七、十八、 二三十五这几个还是挺常规的，所以大家必须把这几个练明白了，行吧，因为毕竟是核心出题嘛，所以这套卷就相当于一个考前的全真模拟，所以在二十天之后的一个中考的话，其实题型就跟它差不多，是吧？那所以咱们给大家说说这些题，那像 比平时做的稍微难一点的那些，十十一呀，这什么二十一呀，你看看大家其实完全能看懂。行吧，我就给大家说一下咱们还是这几个难题了， 那比如第十二题，十二题大家做了很多动点面积类的，那如果又变回你的实际问题，那你还会不会做？那这个题其实前年和期就考了一个扇形面积最值的问题，所以这个扇形面积公式背下来，扇形面积公式除了 三百六十分之 n 派二方，如给角度的话，别忘了弧长乘半径除以二这个公式，所以被熟了，弧长乘半径除以二，所以那你自己想一想，周长是四十，那整体你这个扇形周长是不是也是四十？那这两个占的 x 是 四十减二 x 吧，面积就是 弧长乘半径再除二，那化简出来是一个二次函数，那你代数就行了吧，八的时候九十六，没错，两个不同的值，错了，只有一个最大值是一百，只有一个最大值是吧？那第三个 a e 和 ab 最大，那 s 等于十的时候是不是有最大？那十的话是不是正好是 ab 的 长度，所以这没错了吧。所以这个题咱们选的是 c， 那 然后往后 第十七题，这个题不行就间隙，其实算也不是太麻烦，只是这个数看着恶心而已。所以首先你自己看看题目说的是这一堆终点，他们做过类似的，那这个长度 b、 e 和它是相等的，对了吧？那又借助 a d 和 ab 相等，所以这俩三点你连上 a e 是 不是一定是全等的？ 那记二就得到 e， a 等于 af， 并且 b， a d 等于 af 呢？九十度，那这是个等腰直，然后咱们取中点那直角，三角形斜面中线斜面一半，相当于，对了吧？等等。所以咱们首先来看第一个 af 和 a e 相等，就是一个简单勾股定律吧，根号二十方加五的平方 没问题吧？那第二个考你的是让你求 a h， 还挺常规的吧？那 a h 的 话，你两种方法，要么你去求 a j j h 去，要么你渐细去，对吧？求解析式去，要么直接就求 ad， 已经有了二十，你只要把它求出来就行了吧。这里面其实你用不用半角都行，背下来半角最好，知道这是四十五度 最好，对吧？所以背下来半角的结论，因为这不就是一个半角的证明吗？相当于对了吧。那所以题目为啥有些人说为啥这是半角呢？因为等腰直啊， 对吧？那等腰直的话，那这个角是四十五度，那四十五度的话，那是不是半角的结论咱们就有，或者你如果看不出半角的话，也没必要，那这个东西 你移到了这来，对了吗？所以呢，咱们可以根据什么？是不是根据全等就行？对，扇形全等。所以这个和这个是不是全等的？和这个三角形 a e h 和 a f h 对 了吗？所以呢，相当于我想 d h 想确定是 x， 那 上面 s 加五，这不 s 加五了吗？那底下就是一个二十减 x， 这是个十五，在这里面它勾股定律 x 是 不解出来了，算下来十二，所以最后再套勾股定律数就可以了。那实在不行你就析去呗。 对了吧，那 a 的 坐标很好标，那这个坐标相当于是 e 和 f 的 终点，那 aj 解析式一求 aj 解析式求完之后求 h 坐标是不就可以了？ 没问题，对吧？ aj 坐标有了， a h 不 就有了吗？都可以啊。那第十八题考了一个，其实还不错，考了一个，最后转化，其实其实 看着好像画垂直，你直接画垂直可不好做。那转化，转化成什么？第一个最好写两个，不知道写一个给分应该是两个的吧。 九十度互补嘛，互余嘛， b 和 c 都是互余的，那第二个的话，让你过 e， 其实就是做它的垂线，那这焦点是 p， 那 怎么做垂呢？所以那咱们想一想，利用题目已经给你提示了，大家来想，比如 a 是 x， 那 d 是 不是 x 这两角相等的，那我做垂的话，比如这是 y， s 加 y 是 不是九十度，那这本身这是九十，那这是不是 x 了？那所以相当于我，比如这是一个 h 的 话，我 a h 和你的 e h 要相等，这是个等幺儿，对了吧？那并且 s 加 y 是 九十，这是不是 y 的， 对吧？ s 加 y 是 九十吧，木有问题吧？那所以 那你相当于怎么办？这不就是 y 了吗？ s 两个 y， 所以 相当于，这是一个什么呀？直角三角形的斜边中线，斜边一半，我只要找到 a b 的 中点是不就可以了？找 a b 的 中点，所以就转化成找 a b 中点，把 a b 中点和 e 连上，焦点就是要找的 p， 对 吧？那中点的话很好找，你想想， a b 的 话， a 在 格线上， b 不 在格线上，所以咱们利用的是你想想，我想找中间这条线不好找，只要左右这俩好找，终点两个一连中间终点，是不就找到了所任取的一个点，因为 a 往下数， a 到这个点的话，比如这是个 m， a 到 m 的 中点是很好找，然后把 mb 延长构成了一个，比如 n a m n 这样一个三角形 an 的 中点也好找， n 在 格线上，数值格线上，所以找到中点，两个中点 连上，那中间的焦点就是咱们的 h， 也就 a b 终点了吧，再把 h 和 e 连上，这个题就结束了。然后二十四题也挺常规的，那折叠，折叠的话需要大家知道的是，第一问不多说了行吗？这两个算的仔细一点， 第二个也非常好算四边形的时候你标清楚这是 t 除根三，对吧？这也是除根三，然后再除个二就行了吧？所以最后咱们得到的是六分之根三 t， 那 范围怎么去？求分界线是谁恰好过他的时候，这最后一个三角形折叠部分，对了吧？所以从三角形的话，从 零到三，他是越来越大的三角形，然后再往后的话，也就说什么时候一直是四边形，是不是这个线恰好过 b 的 时候，当你发现 我动到一个位置的时候，他恰好经过了 b， 那 此时是不是最后一个三角？最后所以又开始变三角？再往上是不是等变三角形了，所以它下面是四边形嘛？所以，那你自己看看这种情况下是什么情况？那标 t 这是几的时候呀？ 那这个是 t 没问题吧？那前面这是想想，这是你的根三，那一加三 t 不 就四了吗？ 可以吧？那所以从三到四，那第三问的话，三角形是越来越大的，从一到三，那从三三到四四边形应该是不是先增后减的了？所以呢，咱们去算面积的时候，你怎么去算？你可以用梯形去减三角，我用的是这个等边三角形去减等边 可以吧？等边怎么去？求你用等边减去上面小三角就行了吧？所以你自己看看，这是 t， 那 你标个数去， 这占了三，那这丢丢就是 t 减三，那再除根三就行了吧。这俩是相等的，所以你的 o d 和它我先标出来，没问题吧？那这个 d j 是 它的二倍，那我算出来，那所以你这个 o j 有 了，那 b j 是 不是就算出来了？ b j 用整体去减吧， 然后把 b d 也算出来。 b d 是 等边的边长吧，所以相当于是等边的面积减去一个 b、 g、 h 这样一个直角三角形三六九的面积， 那所以说化解出来是这样一个式子，那对成轴是七分之二十四，那七分之二十四发现在三到四之间，所以在轴处取最大，带一次项除二吧，所以我带一次项除二，再加 c 有 七分之四十八倍根三除二，七分之二倍根三，所以七分之三倍根三， 可以吧？然后它的轴是七分之二十四，那咱们从三到四的话，是不是四是七分之二十八，然后你的三是七分之二十一， 所以你其实也能知道，一定是一处取一，你三和四的话，四离他是七分之四，三离他是七分之三，当然三离得近，四可能取最小。所以按理来说，把四带进去等边看一下，其实没必要了，一定是一的时候比他更小，是吧？一特别小了，把一带进去 自己去算一的时候，那这是几啊？一的话，这个是一，那这是一半，这是二分之一吧。二分之一除根，三是六分之根三，所以二分之一乘六分之根三除二是二十四分之根三， 这面积就有了，行了吧。二十五题也挺常规，那第一问的话不多说了，那第二问的话，其实他们之前给你背过一个结论，也就是说 你一个它，你这三角形，如果是一个等边三角形，得它是几？如果是一个等腰，值得它是几？方法很套路，因为 ab 的 长度咱们是 a 的 绝对值，分之根号得它，你还记得不记得？ 如果你忘了的话，用求根公式 a 和 b 求根公式两个一作差是不是也行？那这个长度是几啊？四 a 分 之四， a c 减 b 方，四 a 分 之四， a c 减 b 方，也就是负的它，对了吗？它的长度没问题吧？加绝对值就是四 a a 的 绝对值， 然后等腰值底下这个是它的耳背就行了吧？也就是说 a 的 绝对值分之根号的，对吧？等于两倍的，它也就是 二 a 的 绝对值，分之 d 它吧，所以把 a 的 绝对值，所以咱们就消掉了，没有问题吧？左右平方，那 d 它等于的是四分之 d 它方，所以 没有问题吧？那 d 它等于四，咱们就算出来了，所以是不是我这也 d 它等于四，没问题吧？那 d 它是四的话，那所以往里一带就可以了吧。 这个结论，那如果这等边的话，把系数变一下是不就行了？把系数变一下跟三比二的关系了，就对了吗？所以看清楚最后算出来是两个答案，那最后一个，一个菱形，一个，这其实很像你的那个 二五年那个改编，是吧？但其实也不是太一样，反正是四边形的存在性，他这个菱形。那首先 a n b m 是 个菱形的话，是不是你的 ab 和 m 垂直，并且你的 d m， d n 相等，那现在 m n 是 二了，那 m 的 纵坐标是正移， n 的 纵坐标是负一对伸轴，不确定对了吗？然后 题目说的是你这个 a e f， m 是 一个平行四边形，所以你这个 m 一定在 f， 一定在一个 y 等于一的这条线上，对了吧？ 然后那这有了之后的话，那现在题目让你求的是 n e 加 n f 一定得转化吧？从 n e 和 n f， 那 这俩的和的话，那本身你自己想一想， 这两个四边形，一个菱形，一个平四，它的公共边是不是 am， 所以 am 如在平四上，它等于的是 ef， 这平四的结论吧。那 am 是 不是等于 b n， 对吧？所以 b n 和你的谁就相等了？ ef 是 不是相等了，对吧？这写这写的不对啊，应该是 b n 和 am 也相等，是吧？菱形， 所以 ef 和 b n 就 相等了吧。所以那 ef b n 相等。所以本来要求的是你的谁，是你的 a e 和你的， 那不是 n e 和 n f， 那 利用这俩 e f 和 b n 也是平行且相等的，所以并且平行，是吧？它也是一个平行四边形，所以我的 n e 就 转化成了 b f， 对 了吗？那 b f 再加一个 n f， 那 b f 加 n f 的 话，这不就是你最基础的将军页码了吗？我做 b 的 对称点， b 撇，然后两个 e 连 线就行了吧。所以咱们我设的是 n 的 坐标，行吗？然后把 b 的 坐标表出来， 你们对称性吗？轴是 m， 那 a 又是负一，那对称 b 就 有了吧。那所以 b 撇坐标是关于 y 等于一对称，所以是二 m 加一的二是有纵坐标变，横坐标不变，所以两点之间线段最短，算出来一或负三，但是 一定不是负三吧。因为 a 是 左侧段的，它是负一三，所以把负三舍掉。 m 有 了，这几个点，坐标就有了吧。那我求 f 坐标，怎么求？ f 坐标的话，就把 b 撇 n 解的式求出来。另外等于一求出横坐标来， n f 有 了，那现在 a 坐标有了， b 坐标有了，然后 f 坐标有了， 可以吧？然后你自己去求就行了吧。求 a 的 话，求解析式我就不求了，负二十分之九，行了吧？三个点做完就有了，换另一个对称轴是不是也可以？那这是咱们这一块大家跟上了吧？这是河西这一套，大家好好做做，毕竟河西是出题区，大家认真去算一算，听明白了吗？
84教数学的川哥
02:58查看AI文稿AI文稿来说一下南开区初三这次二模的数学试卷，因为我们这次考完数学之后，大家的反应还是蛮激烈的， 这很多同学可能在数学上考的不是特别好，但是我们这次数学啊，大家你要分清楚我们这次数学到底的卡点在哪里？二十一题，实际上我们这次会形成一个两面，第一个第一种类型就是他能做对二十一题 过关的人，你另一类就是做不对二十一题的人，对你大概是可以分为这两类，那显然我们的卡点就是二十一题吗？对吧？由于我们二十一题卡住同学，所以导致了会整在整个题干上，嗯，会比较难，特别你都没有时间去做二十四、二十五题， 那么这里面可能更多的涉及到是我们考场上这个时间分配，包括你的考场的应用规则的方式的一种能力，我们大家一定要注意，你看我之前给大家抽视频里面就给大家说过，就是我们数学考试应该怎么去考， 就是不能去浪费时间在卡点上。例如你像如果你在选择十一、十二题，如果你在 十几秒，二十秒你都没有看出来任何的方向的话，你肯定要马上调过。像十七题，你在二十秒钟之内你都没有一点点的几题速度的时候，我们这个时候也要迅速去调过 二十一题。像二十一题这种题，如果你五分钟都没有寻找出来我们真正的解题思路，你还在跟他较劲，你除了浪费时间和影响到你后面答题以外，还能起到什么作用？且我们现在数学计算量都很大， 你包括我们南开区这次计算量也很大，但是我们这次的二十四、二十五实际上并不难。 如果你有充足时间，我觉得大部分同学你至少前两问都是能做出来的。当然二十五题的第三问对吧？他还相对来说计算起来还是比较难的。 但是你能把这两问都做出来，或二十四题第三问也能做出来的话，是不也就拿到了？然后如果你还有一点时间的话，你是不是再回头看一下二十一题没准就能做出来了。所以这里面涉及到我们一个做题方法的问题，大家千万不能 在数学考试中过于轴，就非得给每某一道题或是每一道题都给死磕到底， 这种方法不可取。所以这次考试难或不难不重要了，因为已经考过了。更重要是你从这次考试过程之中， 你吸取到了什么样的经验，对你的中考有什么样的帮助才最重要，明白了吗？大家记住做题规则。
302左岸说天津教育
04:19查看AI文稿AI文稿二五年和平二模。他说 ab 是 直径，又遇见直径了，有直径连直角，我可以连 a、 d， 也可以连 a、 c， 暂时先不动它， c、 d 是 一条弦，然后 b、 c 的 长是等于五的，这个的长度是五。图一，若直径 ab 的 长等于十，也就是说半径是等于五的，这是五，然后半径也是等于五的。说求 b、 d、 c 的 这个角度，也就是角 g 的 这个角度。 什么角色？在圆里边的这个 b、 g、 c 是 不是一个圆周角？圆周角看弧，当你看完这个弧之后，发现这个弧好像所对的目前没有任何的圆周角或者是圆心角，所以我刚刚讲的那个连直径是不就有用了？ 我把这个位置连完了之后，这段弧所对的圆周角是不就是这两个？然后这条边是等于五的，这条边是等于十的，又因为这个位置是九十度，那么三十度角就出来了。呃，应该是用的是三十度角，所对的直角边是斜边的一半，反过来的那个定力。好了，第一问三十度， 第二问又不能用第一问的条件了，我们再从头开始来过啊。 ab 是 直径， cd 是 一条弦， bc 的 长是等于五。如图二，过点 c 做圆 o 的 切线，这条线是一条切线，所以连接 oc 有切线连半径，这条线是必须要连的，因为他没有任何的意义，他跟那个直径不一样，我到底是连这边的这个直角，还是连另外的一个直角？这个你可以稍微等一等，但是切线的这个是必然要连的，这边是垂直，又告诉我们说得 b 垂直于 c、 e 这个位置也是垂直，这也垂直，这也垂直，所以这两条线是平行的， 告诉我们 b e 的 长等于三 a 这么好呢，这个地方是五，这个地方是三，所以这个地方就等于四。问 ab 的 长，问直径，其实也是问半径都可以， 然后你就开始琢磨这个地方等三四，然后五求的是 o c 也好， o b 也好， o a 也好，其实应该就是在这个 o c 和 o b 里边来进行选择，因为 o a 离得有点远嘛，我怎么样让这三个数用上呢？ 你再品一品，我之前说如果一些东西在这个圆的外头啊，我不太好使上劲，所以我肯定是要往里边来转移转移你感受这垂直，这垂直，呃，有一年的中考真题就是，我得跟谁结合呢？既然有两个垂直了，那我是不是可以这样做一个垂直？我在这写一个 h， 我为什么想到在这做一个垂直？首先第一个线索就是这垂直，这垂直，我如果把这个垂直再加上的话，这个四边形就是一个矩形，那么矩形的一些性质就可以用到了这第一个。第二个看这条线了吗？半径，我如果这样做一个垂直，其实我没有把这个地方补全啊，如果把它补全的话，是不是垂径定律的那套东西， 哎，就是因为这两个线索，所以这条辅助线是这么加进来的。这个是你需要慢慢的积累的一个过程。我其实在整个的零到幺幺八境界之路里边提过一句，我说圆这个部分你就是去积累辅助线，慢慢的就会有些感觉 这地方是三，所以这段就是等于三的。我刚刚竟然聊到了垂径定律，所以说在这个三角形当中，这玩意是四，这条边是不就等于啊四， 在整个的垂径定理当中，知道这是三，这块，不知道这个，那我是不是就可以设半径了？求半径，设半径这块是 r， 这块是 r 减三，在这个三角形当中，这条边是四，这是 r 减三，这个半径就能求出来半径，求完了之后，直径也就有了。来聊过程。 第一步，先写辅助线怎么做的？连接 o c， 这是一条过点 b 向 o c 做垂线，交于点 h， 或者说做 b h 垂直于 o c， 交 o c 于点 h。 我 不写，我说啊，然后设未知数啊，求半径，设半径，半径是 r， 则 o h 的 长就是 r 减三。第二步，我们来想怎么样来思考的这个问题。首先是这是五，这是三，得到的这个位置是四，当然也有这个垂直的作用，所以我先得求出来 c e 是 等于四的，这一步比较简单，然后我需要把四转移上去，把这个三转移过来，怎么样转移的？是不是需要让这个四边形 是一个矩形， o 不 h b e c， 然后四上去，三过来，然后垂镜定里第四波就是在二 t 三角形 o h 啊 b 当中来解决问题。这个题最后的答案也就是直径的长度就等于三分之二十五。
26大超数学（天津）
01:32查看AI文稿AI文稿二六年天津中考数学的风向标来了！核心二模这套数学卷子就是命题区的中考亲妈卷，如果你家孩子不做核心二模这套数学卷子的话，中考怎么白考？从现在开始，距离天津中考不到二十天的时间，其他区的模考只能叫做练习核心二模。这套数学卷子中考难度、对标题型、命题思路全部符合天津中考方向， 所以家长朋友们重点关注十二题、十七题、二十四题和二十五题。二次函数这一块，大概率不会再考特殊点的问题了，一定要侧重于最值和自变量的取值范围。 像二十四题的综合大题，这道题围绕的是切线、相似三角形以及勾股定律的组合出题。中考二十四题依旧也会以圆为核心， 辅助线优先连接半径等等。这种证明垂直是固定解析的逻辑，也是完全复刻了今年中考压轴出题的框架。二十五题也是压轴的函数 二次函数搭配动点像面积最直，线段最直，完全也是复刻了今年中考的压题的出题的框架。我这里做一个补充提醒。从核心的数学卷子，大家能看出什么吗？ 二六年中考的大变化，也就是说简单题的难度不变，压轴题的难度不变，但是整张试卷中等题的占比将会提升，创新程度会提高，也是今年全科统一的命题趋势。但是我家长问了，那我必须只做核心二模的试卷吗？其他题我可以不用做了吗？并不是啊。家长朋友们， 今年中考，因为河西主出数学，和平主出语文，南开主出历史，滨海主出物理，河北主出化学，河东主出道法。各区都会有出题的风格，所以押题方向也是有迹可循的。留下押题，考前一周的学科规划，我们只帮您做对的事情。
1528天津冲刺中高考
00:30
14:30查看AI文稿AI文稿当天津中考二十四题考平移时搞定了，考折叠时 啊杀！今天咱们来讲解一下这个让同学们非常头疼的今年要中考也要考的这个折叠问题。 这个也是一个比较难的一道题吧，比较应该计算量比较大，咱们来分析下这道题吧，这是和平二模的二十四题，我觉得难度非常适中，这个折叠，嗯，基本上就是中考难度。好吧，咱们来看一下。 先来读一下题，呃，这个梯形纸片 o， a， c， b， o， a， b， c 放在这个纸片纸平面直角坐标系里，然后点 c 五零，所以说 o， c 等于五，然后 ab 都在第一象限， ab 平行于 o， c， o a 等于 b， c 等于二。 ok， 然后看一下他又说，角 b， o， b， c， o 等于九六十度， 哎，咱是不是很容易得到，这也是六十度啊，对吧？然后咱来看一下他第一问，第一问很简单， a 的 坐标还有 b 的 坐标，那 a 的 坐标对吧？咱往这做个垂线，一根号三解决了，对吧？ b 的 坐标也不难，也往这做垂线，一根号三也解决了，对吧？ 然后 a 呢，就是一根号三， 点 b 呢？点 b 是 五减一是四，四根号三， ok， 这第一问就解决了。然后看第二问，第二问，他就开始折叠了， 他说这个点 p 在 o c 上，然后过点 p 做直线， l 平行于 bc， 然后过点 l 折叠，然后这个点 o 的 对应点是 o 撇，设 o p 等于 t， 这等于 t。 然后我看第一小问，如图二说这个有一个点 q， 然后点 a 的 对应点为 a 撇，然后重叠部分为四边形， 然后相当于点 e， 然后让咱用 t 表示 o 撇 e， 写出 t 的 取值范围。我给大家分析一下，这个 o 撇 e 呢，很明显，它不在一个特别明显的几何图形里，那咱只能用线段的和和叉来解决，对吧？那和肯定不行了，咱用叉吧。 o 撇 p 减去 e p 是 不等于 o 撇 e 啊？这是咱的初步的一个思路，对吧？咱就要用这个 o 撇 p 减去这个 pe， 因为为啥呢？咱一看，哎，这折叠过来肯定全等，这 o 撇 p 不 就等于 o p， 它不就是 t 吗？ 但是 pe 呢？哎，这 pe 在 这个三角形里头，这三角形一看就挺规整，对吧？然后，为啥规整呢？其实是个等边三角形，哎，这是六十度，然后咱前面说了，这有平行，这平行，对吧？那同位角这也是六十度， 然后折叠呢？折叠它不全等吗？这不也是六十度，然后呢，这不也是六十度，所以这是个等边三角形啊。那 p e 不 就等于 p c？ p c 是 啥？ p c 不 就是 o c 减去 o p 不 就五减 t 吗？ p e 不 也是五减 t 吗？哎，那是不是就可以求了，没问题吧？ ok， 咱把过程写一下， 先来说这个 o 撇 p 由折叠之， o 撇 p 等于 o p 等于 t 啊，可以把角也先写一下，角 o p q 等于角 q， p o 撇， ok， 然后， 然后又因为刚说的平行，对吧？ l 平行于 b c， 所以 角 o p q 等于 角 c 等于六十度，没问题吧？所以呢，角 e p c 等于一百八十度，减去二倍的角 o p q 就 等于六十度，对吧？现在咱说了，这是六十度，这是六十度，所以呢，三角形 e p c 是 等边三角形， 所以这个 p e 就 等于 p c 等于 o c 减， o p 等于五减 t， 没问题吧？然后呢， 所以这个，呃， e o 撇就等于 o 撇， p 减 p， e 等于 t 减去五减 t 等于二， t 减五， ok， 这个 e o 撇咱就求完了， 然后呢，他让咱写出 t 的 取值范围，那这个 t 他的条条件是什么呢？就这句话，这中间部分为四边形式， 对吧？咱就来一步一步分析吧，点 p， 从这出发，咱一路分析到这，行吧，正好为咱最后一问打基础。点 p， 刚开始 咱这咱就可以把这个面积大概的给表示出来，对吧？因为咱第三问肯定要用， 也是表示一下这个变化的趋势，好吧，刚开始肯定 t 为零的时候，面积就是零，然后在想这个点 p， 假如说在这移动了一段距离，它充电面积是不是个等边三角形？ 就折过来一个等边三角形，对吧？为啥呢？这是六十度，哎，这也是六十度，因为平行，对吧？那么这不就是等边三角形，那折过来，他也是个等边三角形，对吧？ 然后呢，再折，哎，在这，哎，还是个等边三角形，直到什么时候啊？只要这个点 p 在 这，它折过来，哎，这就是基本上就是最大的那个等边三角形，对不对？这会这个等边三角形边长就是二了， 那这会他刚好是重叠的，就是刚好完全是重叠的，那么这会咱记为一个转折点，好不好？因为你明显的你再往右折，哎，他就要出去了，对吧？他就出去了一部分，就说这是一个转折点， 那么这会呢， t 等于多少呢？在前面说了，这是个等边，这是二，那 o p 就是 二，那 t 就 等于二，对吧？那么在 t 等于二之前，它这个等边三角形是不是慢慢变大？所以说面积的变化趋势，咱也可以表示的就是慢慢的变大， 变达到二，这，对吧？ ok， 咱接着分析，那可以把这个二，这的这个面积求一下，对吧？ 这是二，那这个等边三角形面积四分之根号三 a 方，这个这个同时知道吧？好吧，乘四就是根号三， 好，然后咱接着看 当点 p 越过这个点，越过这个二这个点啊，在这的时候，假如说 再看它是一个怎样的一个图形，是不是大概是这样的，对吧？折过来之后，那你看这会，哎，这重叠部分面积，哎，好像还是个等边三角形，对吧？怎么正呢？这是六十度，这是六十度，平行上来这也是六十度。 边长还是这个 a p， 呃，还是这个 q p， 这 q p 等于什么呢？ q p， 因为平行于这个 bc， 这也平行，那它横等于 bc 吧， bc 不 就是二吗？哎，这面积还是这个等面就边长为二的等边三角形，对吧？ 哎，那咱们再想点 p 在 这的时候再往右移， 再往右移， 哎，那还是二，对吧？那什么时候他不是二，对呢？这会他就刚刚好好背啊，是吧？ 这也是一个临界点，为啥呢？咱明显的咱再往右移，就变成他题目里给的这种情况，那这会他 t 等于多少呢？这会他这个乘以二的等边三角形，他这会 t 等于多少呢？ 咱们肯定得看这个三角形 b p c， 对 吧？这会这个 p o 撇，它是刚好经过点 b 的， 对吧？ 那么这会它的这个 bc 是 二，这是六十度啊，这也是六十度，那这不也是二吗？这会 t 等于三，对吧？那 t 等于三，二到三这段时间，它的面积是不变的，咱刚分析的都是这个等边三角形， 对吧？然后呢，再过了三呢？过了三咱就不用画图了，对吧？过了三就是他题目里给这种情况，那咱来分析一下，这会是四边形，刚三的等于三的时候，它还是一个这个三三角形，等边三角形，这会它是个四边形，那它的面积怎么变呢？ 咱们把不妨把刚刚那个二给编成为二的等边三角形给画出来，是不是这样？这是二，对吧？六十度，六十度没问题啊，那你看，这会，哎，它缺了一块， 那它面积肯定变小了，对吧？然后所以咱要抛弃那个那种想当然就是说这个边数越长，它的面积就越大，是不是有这种说法，肯定这道题就颠覆了，对吧？那么咱再看点 p， 再往这边走，哎，走到这的时候， 走到这的时候，你看，哎，咱还可以用那个方法，这是二补出这个等边三角形，发现他少的面积更大，所以说他越往右，他过了三，越往右，这个面积就越小， 而且这会还是四边形，对吧？那什么时候他不是四边形了？很明显就说点 p， 再点 c， 这的时候他俩重合了，压根就没有重合的这个面积了，对吧？那这会 t 等于多少？ t 就 等于五了，对吧？那 t 等于五的时候， 哎，他又回到这，他面积又变为零了，哎，那咱这图像不就画出来了？具体他什么时候是四边形，咱刚分析了，三，这里取不了，五，这里取不了，对吧？ t 的 面， t 的 范围就有了，这个 t 他 就大于三，小于五，对吧？ 大于三，小于五，这会他又是一个四元系， ok， 这第一问咱就解决了。那第一问如果你像这样分析的话，第二问就特别特别简单， 你看啊，第二个，他让你求当 s 在 这个范围，呃，当 t 在 这个范围里头让你求 s 的 取值分，咱标一下吧。这是，呃，这是一点五，这是四点五，一点五， 四点五， 我用蓝色的标一下，是不是这一段他让你求 s 的 取值范围，那最大值一眼就看出来了，对吧？最大值就是小于等于根号三嘛， 最大也就根号三了，对吧？最小值呢？你会发现这是二啊，这也是二，哎，那这个图形是不是关于这个？ 关于这个 t 等于二分之，呃，这应该是二分之五，是不关于 t 等于二分之五，它是一个一个对称的呀，对不对？是不是一个对称的？ 那咱要是根据对称来看的话，很明显，那就这个点比较低，对不对？这个点低，它对应的 s 的 最小值也就低，那咱就只用求这个点就行了。这个点就是当 t 等于四分之五的时候，哎，对吧？咱可以用这个图来看，这个图好看一点。 t 等于四分之五，那总体是五，这是一，咱们就取这是终点，对吧？现在这个 p 就 在这，大概在这作一下， 一定要画图，通过画图来理解这种题，对吧？然后这会儿充电面积，咱刚说了用这个补全这个等边三角形的方法来思考， 哎，他补全了三角形之后，他的总体的面积就是根号二，根号三，对吧？这个大的等边三角形的面积是根号三，那减去这个小的不就完事？小的是多少呢？知道边长就行了。 这是二分之一，对吧？咱刚说了四点五吗？还差二分之一到五，那你看这是不是平行四边形，哎，这也是二分之一，那总体是二，这不就二分之三吗？然后呢？边长为二分之三的等边三角形， 是不是就这么算一下？最后算完这个东西应该是十六分之九倍根号三，然后用根号三减去这个，那就是十六分之七倍根号三，对吧？这个就是咱的最小值，也就特别简单的就求出来了， 那么如果说你说不确定他到底是不是一个对称的，对吧？ 那么你就可以怎么着？你就可以去再算一下这个，这边的最小值吗？这边是等于二分之三的时候， t， 哎， t 等于二分之三，这是 t 等于二分之三的时候折过来，对吧？然后呢？那这会这个重叠面积，哎，不就是二分之三为边长的一个等边三角形吗？ 四分之根号三乘二分之三的平方，哎，这是不刚算过呀，对不对？就是十六分之九倍根号三嘛，那明显一比是大于这个十六分之七倍根号三的，对不对？ 就是这个，对吧？很严谨的，也很巧妙的，很快速的就把这道题解了，对吧？ 这道题就是非常比较简单的一道折叠，但是很贴近中考，我感觉。
465云天😀
00:59查看AI文稿AI文稿河西二模数学就是我们二六年中考生最应该关注的试卷了啊。当然我说是他的题型，毕竟说这个难度来讲，他根本没给大家起到一个增强信心的作用，纯属是语文。 但是咱今年中考就是以何须须主导的呀，所以说就题型而言，他这两次补考还是可以给我们些暗示的。今天我们来说几个比较典型的，像第十二题和第十七题，和往年考的不太一样， 相对来讲比较新颖，但他难度确实不大，需要我们注意一下啊。还有第二十一题，他的重点放在了角度的一个拆分，拆分成特殊角，看起来比较新颖，但是说实话，他就是我们去年十七题第二问，他的考法是一致的。 还有第二十四题啊，二十四题他确实比较难，我觉得参考价值不是那么的大，但因为他考察了平移加折叠，所以咱今年二十四题重点就要放在平移加折叠上了，很有可能就是这样的一个考法。还有值得特殊注意的是，我们综合题型， 像比如说和平三模啊，又出现了物理和数学相结合的一个考法，但这类题它整体难度不大，我们只需要做到认真读题，好好作答就行。
575郝好奇天津数学
18:20查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天我们来讲解二零二六年和平二模的二十五题。首先我们先来审题，题目中读到的有两个参数， b 和 c。 第一个关键条件是 c 大 于一，它的作用还是我们常说的确定位置，排除答案。紧接着我们读到这里的顶点， p 需要求 a 点和 b 点需要求与 y 轴的交点， c 需要求对称轴与 x 轴的交点需要求。 这些点呀，都没有办法求出来，我们只需要再找到一个已知条件，也就是说解析式中能留下一个参数。知识就是我们开始进行求解知识， 现在我们看到新的一个动点 e， 它已经出现，但是现在我们还无法研究。这句话我们稍后再读。 我们来先看第二大问中给的第一个条件，这个条件中啊，给了 a 点的坐标为负 c 都零，说明我们现在可以将这个点带进去，看一看能否只剩下一个参数， 很明显能够进行因式分解，分解完以后就是负 c 减 b 加一等于零， 说明一个问题。这两个东西中有一个为零，很明显 c 大 于一，它不可能为零，只有可能它等于零。而这个式子中，我们可以让 b 或 c 中的一个人留下。我们的原则是哪个字母出境率比较高，我们就选择留下谁， 很明显 c 的 出境率更高，我们选择用 c 来表示 b， 得到这个以后，我们就将解式可以解出来了，所以 y 等于负 x 方，加上一减 c 倍的 x， 再加上小 c。 对 这个式子呢，我们优先考虑因子分解，先将负号提出来，注意到其中有一个根叫负 c， 根据焦点式的规律，我们可以知道必定有一个因子为 x 加 c， 另外一个音式也不难猜，我们只要注意到将来这两个人相乘，再乘以负一会得的这个 c 就 行，那么这个数不是一就是负一。 我们对符号进行简单的观察就可以发现，如果他是负一的话，将来他们俩相乘再乘负一正好得正 c， 所以 我们断定这个根应该叫做一斗零， 所以呢我们就可以得出来一个重要的点坐标， b 的 坐标应该为一斗零，自然大 c 的 坐标就能得到零斗小 c。 对 称轴呢，我们也可以快速求出来 它的两根，一个角负 c， 一个角一相加，除以二角二分之一减 c。 得到这些点坐标以后，我们现在来往后读， 首先刚刚没读完的话，现在可以接着读了，但这句话需要我们结合着图来完成，我们下边整理一下，我们考虑先画一个坐标轴，把这里边的确定的点一对零画进去， 注意到这里边的一它靠近 y 轴，所以现在我们准备将 y 轴靠右一点换。又注意到呢，我们的 c 点呢，它是在正半轴，所以我们考虑将第二项线稍微放大一些，我们把这里的 b 点一斗零给它标进去， 这个 a 点的位置呢，我们大概标在一个负三左右的位置啊，这个是我们一般的经验之谈， 紧接着把它取名叫为 a 点，注意到 c 点呢，也是一个小 c， 说明这里必定出现四十五度，要用四十五度的三角板严格划出来四十五度，方便我们后期求解，这个点呢就是我们的大 c 点。 紧接着对称轴画出来，它与 x 轴的交点就是我们的大 m 点。 e 点的描述说是在对称轴上，所以我们不妨拿笔在对称轴随便找一个位置， 然后紧接着以 a e 为边，它的做了一个正方形啊。所以这个小题中的第三个关键信息是 a、 e、 k、 j 为正方形。这个条件呀，表面上很新颖，但它其实与我们之前常考的等腰值是非常接近的，所以我们可以考虑将正方形理解为多个等腰直角三角形。 那么现在我们来开始按照它的字母顺序来进行画图， a、 e、 k、 j 画完以后呢，我们注意到对这点的要求必须要在 x 轴的下方，这个对我们将来排除答案有一定的帮助。现在我们图像正好符合要求， 下边我们来看 f 点， f 点为 a e 的 中点。第一种方法我们还是利用几何思路为优先，我们来接着往后读要求对角线 ak 以及 e j 它们的交点相交于 h 点。 我们知道正方形的简单性质， h 点自然就是它的中心了。这个小题中让我们求三个线段之和的最值，我们看到第一个是 h f， 第二个是 fm， 第三个是 m j。 这三条线呢，表面上看确实符合将军印马的特征，但是我们要注意，除了公共点为动点这个要求以外，还要要求动点和定点之间没有联动关系。 我们注意到题目中 f 点呢，随着一点的运动而运动，而这里的 m 点很明显它是个定点， 所以由此可知它并不是一个将军一马，但是我们还是往将军一马的这个方向上靠拢，我们下边来分析一下。第一个呢，我们要注意到的是 f， 它是一个中点， 而且呢它处在 a e m 这个直角三角形中。我们很容易能想到的是 f m 应该等于二分之一的 a e， 这是斜边中线的性质。 我们又注意到这里的 h 为正方形的中心，所以 f h 自然是我们正方形边长的一半，所以我们可以知道 f h， 它也是二分之一的 a e， 所以我们可以得知 f h 其实等于 f m。 这个小题就相当于在求两个 f m 加上一个 m j 的 最小值了。 那么我们继续来转化公共点 m 为定点，这是肯定不行的，所以我们现在考虑将公共点 m 转移到别的地方去，比如把这点这种动点或者 f 点这种点来当做我们的公共点。 我们注意到 f m 呢，它其实是正方形边长的一半，所以二倍的 f m 其实就是正方形边长， 而 j 这里很明显就有一个正方形边长，就是 a j， 所以 我们考虑这个小题，即求 a j 加上 j m 的 最小值，此时完美符合了我们的将军一马，我们只需要找到这点所在直线就行。这个小题比较巧妙，第一步利用了我们的几何性质，将我们的线段进行了转移。 第二步呢，他还要利用我们的刮豆原理，将一点和这点的联动关系找到，并且求出来这的运动轨迹。 这个其实呢，我们并不难求，我们只需要让一点处在一个特殊的位置，就能够找到这点的轨迹，比如说我们让这一点放在与 x 轴的交点处，我们再画正方形，那显而易见，这一点应该在这个位置， 我们再找一个特殊位置，就是让 e j 同在对称轴上，那么很明显他这个时候在的位置和刚刚的位置一连线，就是我们的轨迹。 其实各位同学很明显能发现这个轨迹和这个轨迹应该互相垂直，我们就可以知道这一点的轨迹，只需要找到 e 在 m 处时的正方形就行，它的四边都相等， 那么我们只需要求出来对称轴与 a 的 距离就是我们要求的这一点的所在。轨迹的纵坐标 我们下边来开始。首先呢，我们用这个对称轴去减去 a 点的横坐标，就能求出来它的长度，最终放在负半轴就能求出来它的轨迹， 所以我们准备把这一点的纵坐标给求出来。好了，求完了这的轨迹以后，我们就可以来重新作图，进而求出来我们的最小值。好图像我们已经简化完成，现在我们来开始进行将军印码的求解。 首先我们选择 a 点，关于 y 这条线进行一个对称，得到的点叫 a 撇点， 这个 a 撇的坐标并不难求，横坐标还是负 c， 纵坐标应该是 y j 的 两倍，也就是负的小括号一加 c。 然后紧接着连接一下我们的 m 点，此时交轨迹于真正的最小值时的这点， 这个图像呢其实是高度对称的，这是一个八字形全等，所以这一点其实就是他们的终点。所以我们求得最小值的 g 的 坐标， 它的横坐标呢应该是 m 点和 a 点横坐标之合的一半。我们进行一个求解，叫四分之一减三 c 纵坐标呢，应该就是 g 的 轨迹叫负的二分之 一加 c， 求完这一点坐标以后，我们注意到这条边，它的长度就是题目中所说的最小值，那我们下边把它列成一个方程， 这里边我们要注意到它的长度和它的长度是一样的，那么这个长度和它又是一样的，说明这是一个一比二的直角三角形， 我们利用一个比例就可以求得这个斜边应该等于 am 长度的根号五倍，所以 a 撇 m 应该等于根号五倍的 am 的 长度，那个长度我们刚算过一次，叫二分之一加 c 应该正好等于三倍，根号五，那么我们就可以求出来 c 应该等于的是五。 求完以后，我们就可以把 g 的 坐标真正的求出来，它的横坐标应该求得等于负的二分之七，而纵坐标可以求得等于的是负三，进而我们就可以还原此时的 e 点， 我们连接 a j， 利用一线三垂直可以画出来大概的 e 点位置，进而连接 e j， 那么我们根据一线三垂直的全等，要用这个三角形和这个三角形全等就可以求出来。那么现在一点的横坐标就是对折，这个应该比较好求。 横坐标呢，我们把它带入到对称轴中，应该是一减五除以二，应该等于负二，而纵坐标的长度跟这个长度相同，这个就等它的一半，我们只需要求得二分之一加 c 它的一半就行，所以一点的坐标最终就求出来了。 这个呢，是利用几何法，要求学生有极强的几何的思维能力，这个题就可以顺利求解。但如果有的同学几何方面并不是很擅长， 我们还有代数法这种思路供大家来学习，下边我们来准备用代数法求解同一道题，我们来分享一下代数法。当我们图已经画到这个程度，现在我们几何思路有点卡顿，那么我们可以考虑使用我们的代数法， 那么代数法呢，要求学生的计算能力要非常强，那么首先第一个原则就是将题目中的点坐标尽可能的表示出来，那么按照顺序，我们应该先表达一下一点坐标， 一点坐标对称轴应该是二分之一减 c。 纵坐标呢，由于是动点，我们暂时假设为 t 点， 进而呢，我们来看一下这里边跟一有关系的点，叫这点，利用一线三垂直，我们就可以将这点坐标表示出来。首先我们来先看一下他的这个横坐标，我们注意到这个长度与这个长度是相同的， 所以它的长度等于 t， 这个长度自然也等于 t， 我 们就可以求得这一点的横坐标应该是负 c 加 d。 纵坐标呢，应该跟这个长度有关系啊，也就是我们的 m 点与 a 点的距离之差，我们就可以求得它应该等于负的二分之 一加 c。 进而呢，我们来看一下这里边的 f 点，它是 a 和 e 的 中点， 我们来求一下它的横坐标应该等于的是对称轴与负 c 之合的一半，进而呢，纵坐标应该等于二分之 t。 求完它以后呢，我们来看问题中还有哪些点需要求出来， 比如说 h 点，这个 h 点是 e 点和这点的中点，我们来找到 e 点和这点， 我们把它相加除以二，做一个简单的计算，纵坐标呢，我们就可以求出来，应该等于的是 t 加上它的一半。求完之后我们就可以表达一下题目中三线段的长度。第一个是 f h， 我们找到 f h 横坐标的叉正好可以消去它们俩得到的是四分之 t 方，纵坐标呢，可以消去它们两个，正好得到十六分之一加 c 的 平方。进而我们表达第二个线段 f m 算出来以后等于四分之一加 c 平方之后等于十六分之一加 c 的 平方。纵坐标比较好算，等于四分之 t 方。 我们可以明显发现 f h 应该和 fm 是 完全相等的， 而且我们明显能知道这里边的 f h， 这个呢，在有的同学没有发现两个线的关系的情况下，通过式子就可以明显得到它们的关系，我们下面来求解， m j， mg 呢，我们注意到它的横坐标之差应该等于的是。我们现在呢，先要对问题进行一个简单的变形，我们要求的是两个 fh 加上 mg 的 最值， 而两个 f h 就是 两倍的。我们下边呢，做一个重要的变形，就是将二放入到根式之中，我们就可以将分母同时乘以四就行，第一个根式变成的是替方， 第二个变成的是四分之一加 c 的 平方。那么第二个式子需要怎么变形呢？我们现在可以发现 c 是 常数，一个正好是常数的平方，一个是含有 t 的 平方，这个式子是完全符合我们要求的。 那么这个式子呢，现在也是一个含有参数的平方，一个是常数的平方，那么我们直接利用数形结合来解决，那么现在呢，我们把它理解为两个直角三角形 斜边的长度之合，我们要注意它的口诀是常数在左右，第一个里边的常数应该是二分之一加 c， 第二个里边的常数也是二分之一加 c， 参数在中央，然后我们还有一个要求，参数必须互为相反数， 现在我们把它补成较大的直角三角形，最终用勾股定力来进行求解。我们注意到这条边就是一加 c， 那 么这条边呢之和等于二分之一加 c， 进而呢我们就可以求得最小值，三倍根号五就是一加 c 的 平方，加上二分之一加 c 的 平方，它等于的是三倍根号五的平方， 我们可以得出来的结果和刚刚完全一样，二分之一加 c 的 根号五倍就等于三倍根号五，所以 c 就 应该等于五， 而剩下的和刚刚就一样了。当我们求完 c 以后，还需要把我们的异点的纵坐标求出来，这里边只需要我们的一个相似就可以求解。 我们首先把这里边的一加 c 除以二，简单的算出来应该等于三，把这个边三和这个边的三给它标上，我们可以明显发现它是一个一比二的关系，所以 t 的 值应该也是它的一半，进而求得 t 就是 一个二分之三， 然后将它带入到我们 e 点的坐标中，就可以求得 e 的 横坐标就是我们的负二，纵坐标是我们的二分之三，这就是代数法和几何法它们两个的不同之处。
36聪聪那年张老师
01:18查看AI文稿AI文稿哈喽，各位天津出山的家长同学们大家好，我是金门老师，金南区二模数学、语文已经考完了。一句话总结，这是二模难度大放水，专为提振中考信心。整体比一模简单太多，正常发挥分数一定比一模高或者持平， 但凡分数掉下去，不是不会，是有漏洞，赶紧查漏补缺。先说语文，整张卷子没有新题型，难度平稳，作文是感悟类话题，作文结合生活，结合科技，不偏不怪，孩子们都有话可写。唯一丢分重灾期就是阅读的易运，分析题 普遍得分率极低，这是接下来语文提分的重点。再讲数学，这次看着简单，但高分特别难拿，选择、填空基础大题全是常规题，十七题二十五题，第二问高频考点一线三垂直， 二十一题原难度大幅降低，但是这次暗藏大坑，往年折叠题全是算线段，今年二十四题改考面积，很多孩子惯性审题，直接丢分， 而且整张卷子计算量偏大，看着都会一算就错，非常拉分。总的来说，这次二模拼的不是难题思维，拼的是细心和计算。后续我会持续更新二模全科解析，还有二模分数对标高中路线，关注郝老师，带你稳稳冲刺天津中考！
17津门郝老师
01:49查看AI文稿AI文稿这两天总有学生问我，刘老师，二模各区基本上都考完了，哪些区的题值得刷一刷呢？那今天呢，我就来给大家聊一聊语文一定要去刷和平的试卷，和平的语文试卷出的真的是太好了，他出的非常思变，也是咱中考的出题方向。 数学呢，刷刷南开区的。南开区出的数学试卷考的全是中考范围之内的，但是很多孩子在考场上会感觉如坐针毡，这是为什么呢？ 就是因为这次考试出题很灵活，计算量呢又非常大，以前是给 a 求 b， 现在呢，是给 b 求 a， 非常考验孩子的倒推能力。 南开区的数学试卷值得所有的孩子在考前刷两遍，让孩子找到这个考点，从不同的方位去考的话，该怎么去推理英语这个学科呢？单选去刷和平的阅读，刷河西和和平的作文，刷河西和河东的 物理一定要刷刷南开的。哎，南开区的这个试卷，很多孩子考完之后呢，觉得并没有那么难，但是这套试卷非常有区分度，化学要去刷刷和平和和谐的 和平，文字量大，河西图像多，这都是中考化学为难孩子的方向，所以也要让孩子在中考之前把化学的和平和河西的试卷至少刷两遍。道法历史刷难开的这两科给孩子的感觉就是，我好像在书里看过，但是呢，我用书里的原话回答不了， 所以很考验孩子的总结规划能力，以后道法和历史考书上原话的概率会越来越少，他肯定是更希望孩子通过自己的理解去写出答案。这就是南开区二模试卷的一个答题风格，甚至南开区的历史，还考察了天津本土话， 这一定是天津中考的出题方向。看你们手里的二模试卷全吗？刘老师已经把二模各区所有的试卷都整理完了，没有的来找我。
11:11查看AI文稿AI文稿同学们大家好啊，咱们把那个今天刚进行的河西区的按摩啊讲评一下，这套卷子太有特点了， 粗略的看一下，就是如果你们刚拿到试卷，拿烟扫一眼，尤其那带图的那些题，感觉平平无奇对吧？尤其二十二题解值应该都做过二零一四年的中考原题，但是写起来，我去， 别有冬天啊，这套卷子里边他藏的坑太多了，而且这其实也不叫坑，他还不是说像那个河东啊，滨海那种纯刁难你， 他就是在题目里边去挖掘题目的潜力，就看这个题还能出成什么样。 我觉得这里边反正从我的角度来看，这套卷子其实挺值的。 然后我评论那页写了啊，就这套卷子如果出在中考，真的啊，哭天抹地惊天动地啊，头天下午晚饭都估计吃不下去。但是他在中考前出现了，其实对很多同学来说是一件好事， 选择前面还都是比较正常啊，然后那个反比例函数需要画图了，这题， 然后填空题的选择题的十，十一啊十这块其实也已经有一点难度了，他的计算就需要利用分数，然后再结合勾股， 然后十一题的难度是真大。他其实就是之前那个二零一八年的中考题改编旋转那个二零一八中考二十四题， 当时这块做的思路来说呢，就连接 a c 正两侧全等，然后再得到谁呢？ a d i 跟 c e i 全等，就那么一个套路，当然问了角度跟那个题还是不太一样的，就我当时我粗略做完之后，我会发现这四个感觉都是对的， 然后后来再一做，感觉 a b、 d 都有可能对，然后我一度怀疑这题是不是念错了，下来，结论不正确的是， 但这也不对啊，对吧？然后当时网上也没有消息说考场上改题了，然后再一做 发现，哎，就费对，就一下一个大反对，这个大反转费的计算非常麻烦啊，就是你那块得用固定理了，就是你眼睛感觉出来东西不对， 因为如果 a 要对的时候，后几个都太顺了，就是，尤其 a 和 d， a 和 d 肯定是捆绑的， 所以这就有点不对了。那么咱们点做别的了。二 b 这块肯定是不好证明，那八字全等就没信息， 而且其实也是跟四 b 捆绑的，那就是 c 计算，然后选择构建里用的 a h g 和 a h d 导这么一个关系啊，这难度非常大。然后十二题，这题还行，但是呢，肯定对一些孩子不友好。 二零二四年的和平三模也是类似一个题，除了咱们篱笆墙的面积外，就是一个矩形面积外，又多了一个扇形面积，而那个扇形面积的公式是推导出来的公式，二分之一的弧长成半径， 你得拿它去做分清关系。当时那道题呢，也是用篱笆墙围的，少了一条半径的周长，这道题是两条半径加一个弧长的周长，拿它去推导关系。其实计算量不大，但是这个公式我想不到， 这个很有可能想不到学那公式的时候是一月份学的，或者说十二月份学的，现在已经六月份了，估计很多孩子都已经早忘博后去了，那么这道题可能对一些孩子冲击也是比较大。 然后填空题还好啊，填空题十七题，这题的模型对吧，你说是那个半角模型也行，说旋转模型也行，说那个他是那个四点公园模型也行， 就 a e c f 就是 共圆，你说什么都行。然后做题方向来说呢，其实还是以半角模型为其准导关系解构定律，然后 a h 的 话就靠 adh 去做计算。你要对这模型熟，这道题啊，手到擒来，如果不熟干瞪眼。 这这一学年里边十七题啊，好多都根本间戏戏，一点戏都没有，就千万别往这想，后边红墙那套，就像你们那事，如果你想间戏俩一反肉巨麻烦，所以尽量去想媳妇关系。 他的十八题也很奇葩。十八题，今年河西的好多十八题，包括他九上棋末的也是，都是属于忙化法这种的就忙化什么分割，忙化平行，忙化垂直，其实就是体系上来说，没有什么知识点了，没有知识点的支撑， 中考往这方向考的概率很小，因这种路属什么？属于信息差。哎，知道这事了，一下就能做了，不知道，一点都不知道怎么办。中考不会这样出题的啊。 然后那个解答题这期还行，语文又出问题了，这语文这题啊，他就是把七十五度这个中考十一题这个板块搬到这题目里边， 你七十五度怎么接力？前期证明非常多，结合平行四边形，再结合它里边切线倒一个，等腰直有了四十五度之后，你后面有六十度，你七十五度才能动手。 就也是非要分一很多，只不过他这里边就是如果你们前面十七题那种板块练的比较多，练的比较深，这个方向性还是比较明确的，就死皮八裂的要把七十五度拆成三十根四十五， 到时如果想到这层窗纸捅破了，哎，这题就 ok 了。然后二十二刚说了就是二零一四中考原题啊，一点都没那改的， 二十三题也是要大书特殊一下的啊。他的最后一问非常棒。这个最后一问问什么呢？他妈妈的速度范围。 所以这里边要明确了解一函数 k 的 一个意义，它的几何意义是正切值，然后它的实际意义是速度，速度就 k 的 绝对值是速度，所以这里边你把两个 k 算完之后，就是它的速度范围， 其实也是对这种题型的一种拓展，也是对咱们整个天津市的所有考生来说都是非常有价值的一个题型，这也非常棒。 然后那个翻折这题没什么，跟去年的那个和平三模那个那个题特别像，他的情形比较单一，就是一头一尾加中间那个四边形，所以最大最小值就是很明确，四边形应该去求最大值，两个三角形均能最小值。 然后计算来说比较啰嗦，就你倒边翻折的难点就在这，他那边不像平移给那么顺，你要反复去转换图形。然后呢，你第二问的格式步骤利用翻转函数的利用构定义的都要写清楚啊，这个分尽量不要去无缘无故去给他扔了。 然后二十五又出问题了，他这个二十五这道题出了，反正第二问杀伤力极大， 因为这几招我给学生们讲东西来说讲，也是往前推了一些学联，就是那阵的二十五，那阵还有的时候还二十六题了，从一四年才赶上二十五题。 就他的第二问也是让学生无从下手，就现在都是爹前两问白给第三问叼了一下。你以前第二问都不好写， 就是你有着甚至知道是什么，但是无从下笔。这个第二问就有点那意思。我看彪兰拿顶点式写的，我觉得顶点式那块更不好讲，因为他用这些东西跟顶点式关系并不大，除了 m 以外，但你 a b 没法解决，小 b 没法解决，对吧？他最后你要用顶点式 h k， 你 还是拿小 b 转， 我就拿一般式做了。这里边核心来说，你了解这正方形，其实了解是等腰值，你把这等腰值想清楚之后，它 ab 的 距离其实是 m 纵坐标的二倍。 这里边其实有个固定结论，但是那个固定结论来说过圆点，这道题没过圆点，所以只要去找关系， ab 得到一个式子，再去算 o m 一个式子。 ab 那 式之前九上的时候有个小公式，绝对值 a 分 之根号得儿的， 然后拿它去做计算，然后后边很多同学写到这了，就有的同学还问我怎么出来三字方四字方什么的， 他这块必须用换元，之前我忘了哪个区了，是红桥的还是哪个区的。 r 五题第三问，那其实也要用换元，你要是拿那个原式去展开解大方程，太啰嗦了，不提倡那样做。所以照整体计算 你都会发现 b 方减八 b 啊，都会发现这个。对，还有河北一模也有类似的一个计算， 你把这种 b 方减八 b 提炼出来，而选一个次数低的作为基础，一个字母，然后做换元计算，后面就能算出来了。然后你结合这个图来说了， b 应该是什么？左同右异是负的，但是啊，他的条件没说那么深， 你的顶点对称轴也可以在哎，外轴左侧，所以必得正也行，这两个必都重要。 相反的，第三啊，别看说的更邪乎了，说菱形说什么？而且还有双平四边形，除菱以外还有个平四边形， 但是他的本质还是平移，就你通过平移转换线段，然后发现在同侧，同侧还要再做一个对称，所以这个图比较好画，你可以试探性去画，画完之后贡献方式明确了，就是切入点比第二位还要好。想些 啊，就是看最后你敢不敢写了，反正那个数也是不太好算。所以整个这道卷里边，选择也好，填空也好，解答也好，处处有埋雷啊，处处对你有些突袭 警醒。你们之前河西的一模二模啊，之前河西的杰克和一模，尤其一模略显平淡， 一模还有一个那个福利的二十三题有点新意，其他其实也都挺平淡的，甚至就是原体改编。但是这个二模啊，价值很大，虽然很多题型最后你们两二十多天之后看到卷子，跟他不见得是有多大关联， 但是在您这个二十多天的复习的一个指导的作用还是非常大的，就是咱们要多样化去学习，别寄希望于考原题，考固定题型那种，对理科是太亵渎了，理科没有这么优质。行啊，这套卷呢，给大家说，到时。
07:36查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天我们来讲解二零二六年和平区阿尔摩的十八题。首先我们先来审题，题目中说到的第一个条件是 a、 b、 c 均在格点上。 第二个大问中给出的条件，我们看到题目中说到了圆心即为 o 点，说明这个小题需要把圆心找出来。那么后边呢，我们要看到这里边有一个屁，它在弧 b 上，这是我们对 p 的 一个限制。 紧接着关键可用的信息是这个角度的关系，我们不妨先画一个草图 pad， 我 们要先找到 b、 e 这个弧线，把它当做 p 点，然后连接 pad， 我 们不妨把这个角呢假设成 r 法。 紧接着我们来找到 p、 o、 d 这里边的圆心呢？我们还没有确定，我们大概划一个位置为圆心，我们知道 p、 o、 d 这个位置应该是三 r 法。 我们来进行一个简单的导角，看看能不能导出了一些关键的关系。首先我们能看到这里的 p、 o 是 一个半径，所以我们来看这里边呀 用到的是一个简单的外角的模型，我们就可以知道这个角的大小应该是阿尔法， 那么我们来根据半径的相等，就可以很快得出来有一个角跟阿尔法是完全相等关系，而看到这个阿尔法呢，又可以和这个阿尔法 组成了一个外角结论，我们就可以推出来这个角也是尔法。由此我们能够断定出来这个圆心和这个 a 点呢，它中间应该有一条中垂线，这样的话就可以实现这个角度的关系。 所以现在我们明确只需要做出来圆心到 a 的 中垂线这个小题就能够解决好，我们下边呢，先完成第一步， 确定圆心。下步我们看到这里边有三个格点 abc， 我 们想确定圆心，可以从圆上的格点 b 和 c 入手，很明显能够发现圆心 b 在 它的中垂线上，我们只需要再画出来一条直径，就可以将圆心确定下来。 我们注意到格点 b 它横平竖直，它的焦点就可以连接，就是直径，此时它与格线的焦点就是我们的圆心，我们不妨把这个点叫做 f 点。 圆心确定完以后，我们来看第二步，想办法做出来 o a 的 中垂线。我们一般有两种思路，第一个呢，就是直接 直接法呢，就是直接找到 a 和 o 的 终点，我们注意到这个圆仅仅经过格点 bc， 对 于第三点呢，并没有准确的限制， 所以找到 o a 的 终点其实有些困难。但当然这里并不是不能实现啊，是可以找到终点，但是呢， a o 它的终点的位置不太好找。 第二个呢，我们做完终点以后，还要在这个终点的上边做一条垂线，我相信这个应该是这个题的真正难点，所以直接求有两个困难，第一个直接找到中心，第二个在这个中心上做一个垂线。 第二个方法呢，就是间接法，我们考虑找一找这里边有没有其他的中垂线，恰好也是我们要的中垂线，这样就可以顺利完成。 我们观察到这个题目中啊，还有一个 a 格点没有使用，所以我们下边要考虑 a 格点它如何来应用，我们不妨可以连接这里的格点与 o 的 连线。 此时我们能够发现，在这个三角形中，我们能够轻而易举的找到这条边的中点， 而这条边的中点呢，就是割线的焦点。在这个三角形中，我们找到两个边的中点，第三边的中点必定可以找到，所以 a o 的 中点并不是非常难实现，但是过他的垂线将会有困难。 现在我们假如已经找到了这个终点，如果想做他的垂线，我们注意到这条隔线正好是一条与 a o 垂直的线，如果能过这个终点做他的垂线就好了，而我们想到的自然就是中位线， 所以我只需要过这个终点，能做出来他的中位线，这个小题就能够顺利解决。很 明显这条边的中点也是现成的，我只需要连接这两个中点，最终就能找到钟垂线。好思路已经确定，我们来把这个格点取一个名字叫做这点， 我们现在呢找到这里边的一个格点叫做 h， 是 a j 的 中点，我们再找到 o j 与格线的交点，我们把它取名叫 i 点。紧接着我们来连线， 首先连接一下我们第一条中线，第二条中线他们的中间有一个焦点，就是我们的重心，连接 g 点和重心并延长，就是我们与 a o 的 中点，这是利用重心的性质来完成找中点， 这个焦点呢，我们可以给它取名叫这点。紧接着我只需要连接 f g 并延长，自然就是我们的中垂线。 有了钟垂线以后呢，我们就可以找到我们刚刚所说的屁在 b 上的那个屁点了。我们把这里边钟垂线与圆的交点，我们把钟垂线与圆的交点 取名叫做 k 点，然后连接 ak 并延长，此时这一点就是我们的屁点，那这个小题就整完了，我们总结一下刚刚所用到的思路呢，是第一种方法， 利用的是重心加上我们的中位线来完成中垂线的构造。 下边呢，我们来看一看答案中所给的方法。首先呢，我们还是找到刚刚的格点，连接我们的 o 和这个格点这点，进而呢又找到这边对称的点，此时我们连接这两个点， 直接找到他们与格线的交点，我们可以给他取名叫做 i 点和 j 点，然后连接 i 和 j， 这条线就是我们整个这个三角形的一个中位线， 自然他也能够是成为 o a 的 中垂线。那么这条辅助线的做法呢，就非常巧妙，我们来看一下此时他与圆的交点取名叫做 k 点， 最终连接 a k 并延长胶原与 p 点， p 即为所求。第二个方法呀，利用的纯粹就是我们的中位线， 这个中位线呢，它的整个的思维角度比较大，加了一些对称性在里边。好，这个小题我们就讲完了。
13聪聪那年张老师
