六年级下册数学冀教版基本功图形
听说这是本学期最难的数学试卷技巧版，六年级下册，图形统计计算专项突破四十五页，超厚内容，全是重点题型，每道题都配详细解析。 电子版随时打印，打印版直接寄到家，现在下单，今晚就能发货！也有电子版，电子版也在左下角，不懂的可以咨询客服。做错的题型，重点学答案就在书里找，举一反三，吃透每个考点，考前再练一遍重点题，考场稳了！
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04:06查看AI文稿AI文稿图形绕某个点旋转。啦啦啦啦啦啦啦啦。吼吼 呦，小虎，你今天怎么这么开心？今天美术课上，老师表扬我了。 哦，不可能吧，你可是小马货，不挨批评就不错了。哎呀，是真的，今天美术课上， 老师让我们绘制风车，我就用数学的知识给大家讲解了我画风车页的过程，老师夸我能将知识活学活用，是个聪明的学生。哦，原来是这样呀， 那你也来给我讲讲你是怎么画的，让我也学习学习。好呀。第一步，我拿来一张方格纸，找到方格纸上的一个中间点，作为风车的中心点。 第二步，以这个中心点为三角形的一个顶点，画了一个等腰直角三角形。 第三步，将这个三角形照中心点顺时针旋转九十度，画一个同样的三角形。第四步，哎，等等，第一步，第二步我会了，但是这第三步， 嗯，绕中心点，顺时针方向旋转九十度画线段。我会，但怎么画同样的三角形呢？ 其实方法是一样的，我来演示给你看。先将三角形在中心点上的其中一条边绕中心点顺时针旋转九十度，画出来相同的长度。 再将三角形在中心点上的另外一条边绕中心点，顺时针旋转九十度，画出和原来相同的长度，根据这两条边就可以确定第三条边的位置， 这样就能画出绕中心点，顺时针方向旋转九十度的等腰直角三角形了。哦，这样我就明白了。之后就是将第一个三角形绕中心点，顺时针方向旋转一百八十度， 再画一个同样的三角形。最后再将第一个三角形绕中心点，顺时针方向旋转二百七十度，再画出同样一个三角形，这样四个三角形画完，风车的叶就出来了。 哇，你这果然用到了数学的知识。我发现图形绕某个点旋转画出来的， 而且第四个三角形也可以用第一个三角形绕中心点，逆时针方向旋转九十度画出来。 哇，你这个方法也很对，看来你也学会活学活用了。其实还有很多种方法。那我再来考考你，你能画出图中的小奇绕点 m 顺时针旋转九十度后的图形吗？ 没有问题，看好了，将小奇绕点 m 顺时针旋转九十度，就可以得到这个图形。我还可以绕中心点 m 顺时针方向旋转一百八十度，得到第三个图形， 再绕中心点，顺时针方向旋转二百七十度，得到第四个图形。哈哈，你有一个风车，我也有一个风车了。我们把书本上的知识都用到生活中去，这样就有更大的收获了。嘿嘿， 大风车呀，直悠悠的转，当当当当当当当。
01:50查看AI文稿AI文稿别人的视频平平无奇，我将视频带你学习，今天我将来给大家分享到六下数学期末复习。 首先咱们读题，一个正方形按四比一放大后，得到新正方形与圆正方形的边长比是多少？周长比是多少？面积比是多少？ 呃，他这道题很多同学都会做错，今天我先来教给大家怎么做这种题。首先咱们来画关键词，第一个是四比一， 呃，他说，呃，咱们先看第一问得到的新正方形与圆正方形的边上比是多少？他是按四比一放大，也就是他的边长扩大到四倍，所以他的边长比也是四比一。 周长比呢？周长比也就是等于边长比，周长比也就是也是四比一。 然后，然后注意它的面积比是同学们很容易出错的地方。面积比，它面积比。我们正方形的公式是什么呢？是不是边长乘边长？那，那我们假设， 呃，假，呃，假设新的正方形是四厘米，原来，呃，原来正方形是一厘米，然后它的边长比就是新的正方形，也就是是四乘以四 就等于十六平方厘米，呃，原来的正方形也就是一乘以一 就等于一平方厘米，所以它的面积比是十六比一。同学们，你们听懂了吗？
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28:27查看AI文稿AI文稿好的孩子们，今天我们要来复习图形的运动，在课前啊，我们已经对这部分知识进行了梳理。老师了解到，我们班有三十九个孩子是这样来整理的， 他们把平移和旋转分为了一类，因为他们不改变图形的大小。 把放大缩小分为了一类，因为它们改变了图形的大小。 除此之外，还有十三个同学是这样整理的， 有疑问吗？ 我认为这后面一种呃，梳理的方式，它是有画格子的，而这样我认为应该是可以更好地表现出它平移的一个距离跟旋转的一个角度。 孩子们，我们认真来看一看，两种处理的方式有什么不一样的地方吗？你有疑问吗？ 呃，第二种的话，他多了一个对称轴的。呃，请问一下，这个对称轴的话，是将他和把平移和旋转分为一类还是放大缩小分一类？ 第二幅图的话，他画了格子，而且标注了相对应的数据，这样子可以让我们更直观的看出平移、轴对称、旋转、放大、缩小等各种图形变化的特点。 刚才有个同学说到了这里有轴对称，前面三十九个同学 有吗？你们对此没有疑问吗？大胆说，轴对称它到底算不算是图形的运动？ 跟他一样的，跟他一样的。我也是想问一下，呃，轴对称它到底和是不是属于图形的运动这一类？是啊，我们有三十九位同学，你们没有整理出来有疑问？怎么不敢问呢？轴对称 是图形的运动吗？为什么呢？觉得轴对称不是图形运动的请举手！大胆举 好，认为是运动的举手。好来，刚才认为轴对称不是运动的同学来说一说你的想法在哪里？ 呃，因为我认为这个轴对称的话它是没有运动的，就是把它相对的给它对称过来，我认为是没有运动的。 我要反驳它，因为我认为我们找出轴点是要用点对点的方法来找，然后呢和我们找平移的方法基本是一样的，所以我认为它应该也算是一种呃图形的运动。 看来同学们还是有不同的想法。没关系，来把你的想法在四人小组中交流一下，最后达成你们小组的共识来汇报，明白吗？开始 讨论完了吗？讨论完你就可以回到你的座位上啊。 好，经过我们讨论来。现在认为轴对称不是图形运动的举手。 认为是的举手。 请问你不是也没有举手？是也没有举手。你认为？ 呃，我，我认为轴对称不是图形的运动，你认为不是？大胆举手啊，坚持自己的想法很棒来。现在老师想起认为轴对称不是图形运动同学来说一说你的理由。 需要画吗？嗯。 呃，我认为它是轴对轴对称。我们小组的想法是我那个轴对称并不是图形的运动，因为轴对称它只是将一个物体靠一根，那个 靠一层靠一根对称轴，然后画了一个另外一个跟他对称的物体，他并没有将原来的这个物体移移动过去，而是另外再画了一个这样的物体和他对称的物体，所以他不是图形的运动。大家，大家还有什么疑问吗？ 首先的话他这个他说是按一个图形以一个轴来进行来画出另一个图形，那么首先他在画的过程中他这个点是有进行相反，然后呢，这边也有进行移动，所以呢，我们组是坚持认为他是他这个对称轴，他算是一种运动。 大家还有疑问和补充吗？他说完了，你，你觉得，呃，我，我听完他的想法，我还是坚持认为不是图形的运动，因为虽然说他这两个点那个移动了，但是他仍然是另外的画出一个， 画出一个图形， 这两个点的移动只是我们自己想出来的，而他仍然是呃依靠这个对称轴画出的另外一个物体。 我要反驳他吧，毕竟因为我们在学习他这个图形的运动的过程中，平移和旋转是我们先学的，然后轴对称是我们最后学的。为什么？因为我们在进行轴对称的过程中，我们是 我们要先把这个图形移到这边，然后呢？当时我们还是我们还用旋转的方法把它一个中心点给它旋转过来，给它弄成给它当成一个相反的。 我们组的话是认为其实这个轴对正就是平移和旋转的结合体吧，就先把这个图形啊转动转成这个样子，然后再以平移的方式把这个图案移到这边位置而已，所以觉得是轴对正，图形应该是 运动的，有运动。 呃，我觉得他的这个观点是错误的，因为他说他是平平移和旋转的呃，结合体，但是呢，我们通过实践证明来发现他压根就不可能就是这个图形。一，他 他不管怎么平移旋转，他都不可能得到图形。二，所以说我觉得虽然他说的，但是他虽然他的方法是错的，但是我觉得他是图形的运动，因为 他是说他们是借助这个对称轴来发现他这个图形二和图形一，而刚刚这个同 学他说的是，呃，他这个移到这边，而并不是借助这个来画出一个图形，其实他也是借助这个图形，然后画出他的镜像，也就是反着的图形，所以说我认为他也是有借助一号图形来画出二号图形，就是图形的运动。 请问大家还有没有什么疑问和补充？还有没有人？你现在你的想法是，呃，好，呃，应该是运动，被说服了，有没有人还觉得不是的？你觉得不是是吗？是吗？ 好，我有个观点就是赖成业一开始他说了，呃，他是呃图形的运动，他是从一开始一个地方到到另外一个地方，这叫图形的运动。可是，嗯， 图形这里的对称轴是，呃依依靠图图一，然后呃依靠对称轴从图一复制一个到图二，我觉得这不呃，这应该不属于运动。大家还有什么补充吗？ 呃，我想反驳你的观点，因为呢，首先呢，你刚才说从复制一个到这边来，你再从图一到图二，你对这头数点的时候，你算不算在模拟他运动到这个位置？只不过你最后是在这重新画了一个图形而已， 你还有什么要反驳的吗？没了。来，你说说你的观点。你的观点呢？我的观点就是，呃，他是图形的运动啊，就是我刚才说好的。好，先掌声，谢谢上面的同学。 好，刚才同学们都说了自己的想法，现在还有同学认为他不是图形的运动吗？都被说服了，是吗？你还不同意对吗？好，不着急，还有没关系，我们先一起来回顾一下我们学习过的轴对称 三角形， a、 b、 c， 这是一条对称轴，想象一下轴对称之后，它会到哪个位置，仔细看， 现在你觉得呢？轴对称是不是图形的运动？ 我觉得他是同的运动，因为他在这个过程中是照着上一个图形对他进行了呃反呃，一个反方向的给他平移到了轴对称轴，呃，对称轴的另一端，这个过程其实他是一个， 就是根据刚才这个我发现了，其实也就是刚开始这个图形旋转半圈得得到的另外一个图形，也就是在这旋转的过程，他他他是有运动的，所以我认为 应该是图形的运动。大家现在看到了他运动的过程了吗？那刚有一个同学说到了一个词，什么翻转啊？其实这就是轴对称运动的过程，现在这个问题解决了吗？所以轴对称是图形的运动，那我们要把它归在哪一类？ 因为它也不改变图形的大小。 好，那这五种运动还有一个共同点，图形经过这样的运动之后，它们什么都是不变的。不变 好，解决了第一个问题，现在新的任务来了， 看图形一到图形二，除了平移还可以怎样运动得到？图形三到图形四，除了旋转还可以怎样运动得到？ 好，有想法了。来，可以在你的学习单上画画，让别人看懂你的想法。学习单在你们的抽屉里 不完成了，来小组交流一下，两个都是 一个是这样翻转过来，然后再以这条为对角为翻转，水就绝对上，然后再以这样。 这个我就试过一三角形，一三角为 a， 然后呢以 ab 为角，三个分成为 ab 和 cd 四为一， 然后第二个他有一点五六短的地方，然后就翻转，翻转这样子之后他的长地要变成一个圆圈， 然后呢？ 好，嗯，有问题吗？好了，回到位置上。好了，回到位置上。 好，哪个小组来汇报一下你们的方法。 首先我们来看图一如何到图二，我们可以演示一下，你看，首先我们知道图一是这样，是目前这个图形，对吧？我们先把它翻转一次，再翻转一次便可以得到图二， 大家有什么疑问吗？接着走。 呃，我想请问一下你们，你们，你们是翻转，你们是用翻转的方法还是利用轴对称的方法呢？ 我们只是把轴对称的方法说成了方那个翻转的方法，因为我们刚刚已经知道轴对称轴比较符合一点， 这边是一到把这个一到第一次旋转的地方， 然后再从第二个是这边，从这边到这边的地方，然后下一个， 下面一种我们也可以利用翻转的方法。首先我们先弄好，我们弄一下。哎，不是你们俩我我我画一下你这条。 首先我们在三和第一次翻转的这个地方设立我们的第一条对称轴，然后翻转一次，到这边你还操作，然后呢？ 然后呢，我们再用翻转后的图形再来一次对称轴，然后翻到图形四，这样子我们也可以用刚刚的两次 轴对称得到从三得到图形四。请问大家还有什么疑问和补充吗？看懂他的方法了吗？看懂了他的这两个方法可不可以？他是通过什么样的运动轴对称，两次的轴对称。好，谢谢。你们还有吗？还有不同的是吗？呃，我的方法第一个是跟他们一样的是吗？ 呃，我的方法第一个是跟他们一样的是吗？呃，我的方法第一个是跟他们一样的是吗？呃，我的方法第一个，我的方法第一个是跟他们一样的是吗？呃， 他这样他是可以成这样一个画出这样一条线的。他所以说他其实有两种方法进行可以进行翻转， 可以通过刚才两位同学的先翻到这里来，再翻翻到下面来也可可以先以这条短的直角边进行翻转，再啊用这条长边进行翻转，翻转到得得到图形。由此我们可以看出其实得到一种呃，从一个图形，呃， 通过翻转得到另一个图形的方法是多样的，大家还有什么疑问或补充吗？还有不一样的是吗？ 这第一种方法它是不仅可以用轴对称的，图形也是可以用旋转的。咱们先以这条 这条为点 o 进行旋转一百八十度得到图形三，然后再以图形三用，再用点 o 二 进行旋转一，一百八十度也是可以得到图二的。下面还可以这样的。这条 下面我还有一个方法，就是这条斜对正斜对称轴也可以把图三用这条斜对称轴翻转到图四，比他们用两次方法还好。 呃，我认为他这个呃他第二个图形的这个翻转的方法是不对的，因为如果用图三以这条斜对称轴来翻转的话，他应该是会变成这个样子。 那，那我们可以看见那我画的这个图形跟呃跟图形四是并不符合的。呃，所以他的这个方法是不成立的，大家还有什么疑问跟补充吗？ 虽然他这个图画的不是很好，但是他说了刚才这样的方法可以得到吗？想象一下不可以，对吗？好的 好，还有不同的方法对吗？好，我们有不同的方式，可以让图形一运动到图形二，图形三运动到图形四，来回顾一下这个过程。现在关于图形的运动你有什么新的发现吗？ 来和你的私人小组的伙伴说一说你的发现。就说那个呃，把一个图形变成另一个图形的方式是不一的，呃，也可以可以单一的通过呃一种方式来得到， 呃，各种也可以同时使用多种方式来得到。 然后呢，我们还 更重要的知道就是步行的运动不止有一种方法，还有多种方法。 这个 我认为图形的运动它不止一种。就像我们刚刚所做的两个任务，本来第一个是可以用平移的，而我们利用另外一种轴对称也可以做出这种运动。而下面那一个我们本来是可以用旋转就可以得到，但我们也可以用轴对称再次得到这个图形。 我要补充一下刚才那位同学的，我们组刚才讨论到不只可以用一种方法来得到另外一个图形，还要得用快速的方法来得到这个图形不是用复杂的方法来得到的。 呃，得到一种图形的时候不可以呃，不一定，呃，可以在呃变移动到它的时候只用一种方法，也可以同时运用多种方法，如可以同时运用旋转和平移， 也可以同时运用轴对称和平移，这样组合也可以得到一种，也也可以得到我们想要的图形。 是啊，孩子们，就像你们说的，刚才我们从图形一到图形二，可以用平移的运动，也可以像这样 进行两次轴对称。看来这样的两次轴对称可以实现一次平移。从图形三到图形四，我们可以进行旋转，也可以像这样进行两次轴对称。 看来这样的两次轴对称可以实现一次旋转。他们之间原来还有这样的联系。 下面让我们带着怜惜的眼光看一看这个美丽的图案是什么？认识吗？从这个四叶草中你能看到哪些图形的运动？ 好？为了方便描述，老师给这四片叶子标上 a、 b、 c、 d， 你 能不能像这样来说一说， b 片叶子可以由哪片叶子通过什么样的运动得到？ 哦？我们可以看到这个 b 片叶子其实是可以通过 a 片，可以由 a 片叶子通过旋转，呃呃，就是平移的，加上旋转运动得到 a， 假如我们这个点 a， 然后他变到了这一边，然后 a 的 这个点也可以变到这一边，这样子一旋转过来，就可以平移过来，就可以得到 b 片叶子。 好，接着来，像这样上来边指边说。男生， 呃，首先我们看他是不是说 b 片叶子可以有什么几几片叶子通过什么运动来得到？我们首先可以 这样用画个对正轴，我们发现 b 片 b、 c 和 b 它们是对称的，是可以通过对称轴，然后 c 片叶子，人们 通过什么运动，通过对称对称轴方式来来翻过来，翻转过来变成 b， 所以 它是通过锡片叶子。怎么样，轴对称对吗？好的，还有什么补充和疑问吗？还有吗？快速 他 b 片叶子其实也不止不，不只是可以用 c 片叶子轴对称得到，也可以用 d 片叶子轴对称得到。我们用这条线，我们先把这边给忽略了，这边这边 d 片叶子通过轴对称 对称到这边来，然后呢也可以通过 a、 c、 d 叶子进行旋转，旋转到一片叶子，大家还有什么疑问和补充？掌声送给他，还有吗？男生通过 通过刚才他这个翻转，我们可以知道他这四片叶子的大小是一样的，所以呢，我们还是可以通过 c 片叶子进行平移，然后平移到这边来，进行来得到 b 片叶子。哎，你发现了吗？你想到这个运动了吗？ 通过吸片叶子平移可不可以呀？以前我们见到的平移都是，哎，原来平移还可以好玩吗？你觉得哪里好玩？ 一，可以让我们发现更多的图形，就比如 b、 c， 他 们可以用平移平移到对方的那个地方，这让我们明白其实平移可以多样的。 呃，我们之前学的平移就跟老师所讲的只有上下左右这四个方向，但是经过我们这次学到，我们发现平移它不止只有上下左右，而是可以斜线平移的。 我认为我我的感受是我们我们这节课的话复习了我们曾经学习的图形的运动，然后呢，我们就更加的牢牢固的进行巩固这些知识点，然后呢更好的进行记忆这些知识点，更好的运用。 我的感受是很奇妙，因为它不仅可以用从很多个角度进行运动，而且还可以用不同的地方进行运动， 我发现轴对称并不只是单纯的将物体对称过去，而是也可以用来运动，使物体到达我们想要的位置。 好的孩子们，这节课我们有了，有了很多新的收获，大家已经会用数学的眼光去看待问题，那就带着数学的眼光，我们到生活中继续去发现。今天这节课我们就上到这里来，和台下的老师打一下招呼，来，起立。
31:23查看AI文稿AI文稿上课上课，说什么好，老师好，好孩子们，课前呢，我们已经回顾了六个平面图形的面积推导过程， 也根据六个平面图形面积推导过程间的关系，将这六幅图用一副关系图表示出来了。现在请你们拿出学习单一 四人小组交流一下你们的想法，开始吧， 已经同城统一的意见啦，老师也带来几幅图观察这些关系图，你觉得它合理吗？ 有自己的想法了吗？四人小组交流一下， 你们这个小组讨论了吗？呃，我们觉得三讨论了吗？讨论了，那你为什么没有举手？我们就是不太确定，也就是有想法，对，呃，我们觉得呢， 我们觉得三号可能还漏了一个，三号可能还漏漏了一个圆形没有写出来。长方形还可以推导出圆形的公式， 然后把它，我可以把它们拼成一个类近似的长方形， 然后呢，我们就可以把这一这一条当做是 呃，圆形的这个半径也就是二，然后这一条我们可以看出来是圆形的一半的周长，也就是 pi r， 然后用这个又可以推导出圆形的面积公式，应该是 pi r 的 平方， 你们有补充和意见吗？尹浩森，就是我们关于圆形的推导公式，不止就是仅仅把它拼成一个径是长方形的图形，还有一种办法， 简单的来说，我们把一个圆形切成八份，取其中一份， 我们把它看做一个近似三角形，三角形它的高就是我们半径，也就是二，那底呢？我们知道圆的周长是二 pi 二，接着它的底也就是八分之一 pi 二，也就是说四分之一 pi 二， 接着呢，我们用四分之一 pi r 乘以 r 就 得到一块，其中八分之一圆的面积是四分之一 pi r 方， 然后呢一共有八块，那我们就八再乘以四分之一 pi r 方，然后再除以二，因为我们刚露了一步，这个三角形的面积是底乘高除以二，那我们消消乐八根四， 把这把它消掉，剩一个四，这个继续消掉，那我们就只剩派尔方，因此我们推导出圆的面积是派尔方。大家还有什么补充？周世成， 我先来讲讲第一幅图，第一幅图的话，大家看第一上面的第一幅图，他，他把所有的，他把所有图形的面积推导公式都写出来了，但是，但是我们看一下他题目上的要求， 他题目的要求是用一副关系图表示出来，而他并没，而在第一幅图中，他并没有将这六个图形的关系表示出来。所以呢，这个这个图如果从推导公式来看是合理，但是如果放在这里的话，是有一些不合理的。那我们再来看第二个图，第二个图的话，他他不仅写出了每一个推导公式， 而且而且比如圆，他还写写了他推导成正方形，长方形径是长方形，然后写的派啊，乘啊。 所以呢，我认为第二个图其实也是合理的。那第三第三个图的话，不知道大家有没有想到，他其实还漏了一个三角形，三角，三角形，他三角形的话有两种推导方法， 我们先把这个，我们我们先把三角形乘以二复制一个出来，然后呢变成变成一个这个东西，那他就可以用平行四边形的公式来推导了。但是还有一种推导方式就是长方形，你把你把这一小块移到这里来， 他其实就变成了一个长方形。作者在哪里？作者呢？他刚才说你露了一个三角形，你们同意吗？同意。在哪？那这个孩子他说露了一个圆形，同意吗？同意，是这意思。掌声送给两位 一个会说，而且还会表达的孩子，孩子们，其实刚才在你们的表述过程当中，我发现在整理的时候要做到不重复，不遗漏，而且还要注意到他们之间的联系。请看这一个图，他在讲述的是谁跟谁的联系，梯形跟梯形，四边形，这个是 这幅图关注到的是听到一个词，个个什么意思啊？不仅有图形跟图形之间联系，是六个图形都有联系。孩子们，你们的想法是这样吗？ 是这个意思，看明白了吗？什么意思？谁能够结合着结合着这六幅图边摆边说说。 呃 呃，我们先看这个正方形，正方形呢？它，呃，它它，它的推导方法是我们以前是用来数小方格的方式来推导的，呃，就是假如这个边长是三， 那我们就是数三，三块小方格，然后这边也是三，那也是有一共有三层， 那么我们就是得出三乘三得九，呃，九个小方格，一个小方格是面积是一，呃平方米，那一平方厘米，那么正方形它面积推导公式就是边长乘边长。那我们 看一下这个长方形，他的推导方式跟正方形是一样的，只不过是他，他的推导方式。呃，他的这个边长呢？是两个是不一样的，这边是五，这边是三，那么所以说他们的是呃方式，推导的方式是呃一样的。 然后我们看这个平行四边形，平行四边形呢？呃，他就放这上面吧。呃他的推导方式其实就是要把它变成一个长方形，因为长方形我们是懂的。然后那么三角形呢？变成三角形放在这， 他是变成平，他要变成平行四边形了，他就可以推导出这个公式，那个这个梯形呢？也是 看下面，梯形呢也是呃，两个梯形放在一起也是变成一个平行四边形，而圆形我们是把它分开，然后让它分的越多近越近，似于一个长方形。大家还有什么疑问和补充吗？ 为什么说正方形和长方形的推导面积公式是一样的呢？因为我们在学习正方形和长方形的面积中，老师有跟我们讲到过，正方形是特殊的长方形，说明正方形也可以算是长方形中的一种，所以他们俩的推导方式是一样的。正方形的面积推导方式实际上还有一种，我们可以将一个正方形 变为两个，就也就是拼成一个长方形，那一边是三，两边都，这边总共就是六，那么这边是三，那么我们知道长方形的面积推导公式是长乘与宽，那 正方形的我们两个正方形长乘宽，那么我们知道我们现在这个长方形是由两个正方形推导而成的，所以由此可以证明正方形的面积推导公式和长方形的面积推导公式相同。大家还有什么疑问或补充吗？ 掌声已经说明了一切，是吗？刚才这两个孩子在表述的过程中发现了正方形跟长方形的推导过程实际上是一样的，可以这样子表示吗？对的，孩子们，那观察这幅关系图，你有什么发现？ 呃，首先大家看到这上图，我们发现这个三角形和梯形是先转发转化到这个平行四边形，而平行四边形和正方形还有圆形它是转化成了这个长方形，那由此我们可以得出，长方形它可以通过互相的转化，然后得出多个几何图形的面积公式。 呃，大家还有什么疑问或补充吗？ 啊？我认为不仅是长方形可以转化为不同的图形，其实每个图形都可以互相转换。我们从推导圆形的面积公式我们就可以发现，我们从圆形分割成多个小块之后，我们不仅可以拼成平行四边形，还可以给他拼成三角形，拼成梯形，同样可以推导出圆形的面积公式啊，所以我认为， 呃，每个图形都是可以互相转换的，也就是大家其实都关注到一点，那就是谁呀？长方形？还记得长方形的面积推导过程吗？长方形宽，为什么它会等于长乘宽呢？ 你说就是比如嘛，然后呢，这边是 这边可以给他弄成三厘米，然后呢，假设为这边为五厘米 厘米，这边注意了哈，这边不管多大大小，每一个每一个间隔，就算是一毫米、一纳米、一微米都不能放过，所以三要乘以五，这样子就可以做到密 这个密度，然后呢，它是毫无空隙，然后呢，这样子它的面积它就它的面积，然后这就这一整块，然后呢它就可以给它三乘以五，然后呢最后就等于十五平方厘米。 好，大家还有什么疑问或补充吗？你说。 呃，就是呃，我们可以假设他这个把它分成五格，然后呢？然后再把，然后他他，他每一条他都是三厘米，然后然后他一共就五条， 然后他可以分成很多个，呃，宽是一厘米，长是三厘米的，长是三厘米的长方形，然后他一共有五条，所以说他这边加起呃，乘起来就是三厘米， 然后然后一共有五条，所以呃五个，所以要再乘以五，就等于十五。他的意思是这样子的，对吗？他数的是， 也就是长城光，实际上在算的是每行的个数乘以函数，那这个图形可以，那你觉得右边这些图形可不可以也用每行的个数乘以函数呢？讲道理， 呃，其实它们是都可以的，只不过原型是要经过转化，其他图形我们都可以利用分割或者移补的方式， 三角形也可以用填补的方式， 然后平行四边形我们用切割单纯就可以了。但是我们圆形是不可以直接推导的，因为我们刚刚讲过，圆形是要根据长方形的面积公式来推导的，要转换，大家还有什么补充吗？ 所以孩子们，你们发现了没有，这六个平面图形实际上都可以用通过数方格，也就是在数什么， 听到了再数，然后再算一共有几个面积单位，也就是你们口中的小方格。你看 简单的这样的一副关系图，我们可以读出这么多的信息。老师班上有一个孩子，他也在整理复习，他提了一个问题， 是否全部的图形都可以由一个平面图形推倒而来？ 通过他的整理和复习，他发现用梯形的面积公式可以计算出所有平面图形的面积。思考一下你觉得他说的有道理吗？ 是呢小组可以讨论一下。 你说长长加宽上底加可以吗？可以上底加上底加下底，然后再乘以高乘以二。 我觉得他有理他强求我。对啊， 我们长方形可以啊，来大家看啊切掉他那种 可以吗？ 有想法了吗？有认为可以的请举手。认为不可以的请举手。 这是一个梯形，注意看平行四边形。 你认为平行四边形可以直接用梯形的面积公式吗？ 认为可以的请举手。嗯 可以了，因为呢我发现就是它七型，它其实它是上底加下底乘高再除以二。那所以就比如说像刚才的那个平行四边形它上底加下底，然后再这样乘到最后再除以二，其实它还是跟它原本的面积是一样的。 那可能有些人可能会觉得就是像三角形就可能求不出来，不过其实他上面那个点就相当于没有，所以他上底加下底还是原来那一个还是求得出来的。有什么补充吗？ 你刚刚说错了，是嗯就是漏了个点是上底加下底的和谢谢他的补充。那这两个呢 行吗？他实际上就是特殊的平行四边形。那现在问题最大的是谁啊？圆 形也可以， 其实圆形也是可以的，首先就是我们 那那我就直接这样，首先圆形可以把它切成若干块，接着咱们就可以把每一块当做一个三角形，每一块就是。 嗯一个三角形，接着我们把这些我们平均分完的三角形同时拼凑成一个梯形，我们会发现梯形的上底加下底就是圆的周长，也就是派 d。 而我们梯形它的高则是圆的半径，也就是派 d 乘 r， 最后再除以一个二，简化后就等于派 r 方。 他想说的实际上是， 你想到了吗？真的没有料到他可以用这种方式，值不值得？掌声，其实老师告诉你们个小秘密，如果圆沿着它的半径展开，你可以通过想象， 他可能会变成一个什么图形，如果有兴趣的同学，课下可以去研究一下好吗？好了，孩子们，现在请你们重新观察这两幅思维导图，你现在对这两幅图有没有什么新的想法？ 同桌讨论一下。 就是一开始我们是正方形画中间点，现在估计平行四边画中间点也行，圆形画中间点也行，因为圆形都可以转换成正方形，就是他们是可以互相转换，而且并没有固定的那个什么需要。 呃，我想说的是三角形的面积公式可不可以转化为其他的图形呢？ 谁听懂了？他说三角形的公式能不能推出？ 可以吗？可以可以有这样的思路。那你觉得如果我把这个换成平行，是平行正方形， 甚至换成圆形，你们觉得可不可能？但是孩子们，不管你们怎么变，始终有两个不变，那就是图形跟图形之间的关系，还有他们之间的联系，对吗？ 还是这个小朋友，他在学习完平面图形的面积之后，他画了一幅图案，要想计算阴影部分图形的面积，你认为至少要测量几条线段的长度， 认为是四条的请举手。三条、两条，一条，三条在哪里？ 呃，我认为有三条，第一条就是这一条，第二条是这一条，第三条是这一条，然后呢，这样的话我们可以先算出梯形的面积，而呃这个半圆的面积呢？它 这一条其实也就等于它的半径，所以也能算出半圆的面积。还有什么补充？呃，正极面 我认为只需要两条，因为它这个大圆的直径除以二就是 bc， 这一条半径的长度。还有什么要补充的呢？先看 e， 先看 e， 我认为只需要一条，我们只需要测量这个圆形的这个半圆就可以得到这个，呃，这个这个就可以得到了， 这个我们也可以得到。然后这边我们这样画，他是一个等，因为这边是四十五度，这边是九十度，那我们就可以变他是一个等腰的。呃，等腰直角三角形，那么等腰直角三角形，我们就可以知道，这边就只需要这边就相当于这个 也是一模一样的，那么我们只要测量到这一条，就可以求出其他的他们前面说需要的数据，就可以求出这个阴影部分。大家还有什么疑问补充吗？哦，我认为只需要量 b、 c， 而不是量弧，因为量弧的话， 因为如果要量弧的话，你还要先计量，出弧之后还要先计算这条直径，那还要再算这个半径，那我只需要量， 我如果只量我只量 bc 的 话，我就可以知道这一条，然后也同时可以知道这一条，那这这个体面上告诉我们了，这个 这个角它是四十五度，而我们知道这个四十五度，那这个一定也是四十五度，对吧？那既然两个角是四十五度的话，那这么这么一个三角形，它一定是一个什么等腰的这个直角的三角形，那我们知道等腰直角三角形，它两条腰肯定是一样的，所以说这一条就是 bc 的 长度， 那我们既然知道 bc 的 长度的话，这个直径圆的直径是半径的两倍，所以说这个就是二 bc， 进而我们就可以求出阴影部面。呃，部分的面积，大家还有什么补充的？ 我觉得他的方法比我简易，也是一条，但是他的方法是比我先进一点的。其实这两个孩子都很了不起，对吗？孩子们平面图形面积的学习，不仅要关注到图形跟图形之间的联系，其实这个图形当中各部分的 元素，比如说线段跟线段之间也会存在着联系。看来我们至少测量几条，一条还是还是一条线段的长度，现在需要你们想象一下，如果这一条线段的长度是四厘米， 现在教你想象一个组合图形，只要用这一条线段的长度 就可以计算出这个组合图形的面积。想好了吗？拿出学习单。二，请你们试着设计一个组合图形， 画的差不多了，没有， 大家可以四代小祖师不相比一比。 好，请看大屏幕欣赏一下我们班上几个孩子的作品， 看到没？ 他画的是方类圆，想到方类圆，你还想到了圆类方。好了，孩子们，老师今天也带来了一个 方类圆，就这这幅图形，你再想象一下，他在一个圆正方形当中剪出一个最大的圆，如果不是一个圆，还可能是几个圆？ 四个，嗯，十二个，四个，呃，可能是九个， 你觉得这三幅图阴影部分的面积一样吗？一样，为什么 啊？因为它们的直径都一样。先看这一条， 假设这条是六吧，然后这边把六分成了二，一个就是三，然后这边又把六分成了三，除了三，然后这边呢一点二，二二， 然后呢这边二加二等于六，这边三加三等于六，直径都一样，直径一样，那就证明半径也一样，半径一样，就证明这每个空白部分的面积一样，然后同样的纸减去同样的面积，就能得到同样的阴影，大家还有什么疑问吗？ 啊？我认为呢，我们其实可以不需要设这个具体的数据， 我们我们设半径吧，我们做一个半径，它是我们管这个叫大二吧。然后呢我们看这里一个方形里面被分成了两个圆，所以说这里的 r 是 二分之一， 而这里的二呢？因为他被翻成三个圆，所以说这里的二是三分之一，二，对吧？那我们要想先计算每个方中圆的那个面积，那我们先算这个应该就是 pi 大 二方，对吧？而这里的每个圆的面积是二分之一，二分之一的 pi 二平方， 这里就是三分之一的拍二平方，那这个这个方我们可以带过来，就变成了四分之一的拍二，九分之一的拍二。 然后呢我们在这里，我们在这里看到这里是四分之一，而这里面有四个圆，所以说我们再乘上四之后，这总共的圆的数量，呃，面积就是啊，应该这里都带方，然后呢派二平方， 那这里是九个圆，所以说应该也是派二的平方。大家还有什么补充？说成 刚刚受雨讲的方法其实挺好的，但是我，但是我想补充一下，就就说像刚刚他列他列的那个算式一样，他自己都显些，用分数列的话，他自己都显些列错，所以呢？我，所以呢如果要设半径的话，其实我们可以，我们可以三个，三个图的半径都设一个等数， 就就比如说这三，这三条半径，我们把这一条设为 r， 那， 那那么这那我们如果把这条设为二 r， 那 么那这一条就是，那这边就是三 r， 那 么同，那么同理的话这边就是 六 r， 那 现那现在的话我们就可以根据根据刚数学同学方法直接直接去算 pi r 方，就是六六 r 的 平方乘以 pi， 也就是 这个是整体平方，也就是三十六 r 三十六倍的派 r 方，然后呢，那这里的话就是三 r 的 三 r 区，整体乘乘以十一，一模一样。 那好，可以了，孩子们，你们应该听懂了吗？听懂了是不是还有其他想法是吗？好的，孩子们，我们可以课下的时候四人小组或者同桌之间交流一下，可以吗？是的，孩子们，其实啊这个里面可以画几个圆， 只要是平方都平方几个圆，无数个圆。孩子们数学的学习不仅要关注到，比如说这个组合图形看似需要一个很多很多的数据，但是我们可以找到他们之间的关联，用最少的数据就可以求出他们之间的关系。 今天我们这堂课通过整理联系以及应用，在整理过程当中我们要注意不重复，不遗漏，在我们的知识的联系当中，我们要抓关联、循述理， 最后在知识的应用当中，我们要会拓展能解决，今后在遇到立体图形的整理和复习的时候，我们也可以通过这样子的三种方式进行整理和复习。好了，孩子们，希望你们通过今天这堂课的学习，正如我们校标里面所说的，能够成为更好的自己，好下课。
04:08查看AI文稿AI文稿图形的运动，嗯，长条长条，你再来一个长条耶，完美。 哼哼。哎，小虎，你在玩什么呢？这么兴奋？哼哼，俄罗斯方块呀，这个小游戏中也蕴涵着很多数学知识呢，你看，知道这个是利用什么知识吗？嘿嘿，当然知道了，这个是利用我们学过的平移和旋转的知识。 嗨呀，不错呀，数学是不是无处不在？嗯，是啊，哎，快快平移，旋转，旋转。哦，对了，我今天给你带了技巧板哎，那这个是不是也可以进行图形运动？哼哼，快拿出来，咱们一起去桌子那试试吧。嗯，好啊， 哎呀，你看，七巧板中有两个图形移动了位置。嗯，哎，你能通过平移将它移入七巧板相应的位置吗？嗯， 哎，你看它只是位置发生了变化，自身方向没有发生变化，所以通过向上向左两次平移就可以得到。可以先将它向上平移四格，再向左平移十格。 哼哼，没错，也可以先将它向左平移十格， 再向上平移四格。在平移的过程中，我们一定要注意平移的两要素，方向和距离。 那这个我们也赶紧将它平移到相应的位置吧。哎呀，别急，你看它的位置和自身方向都发生了变化， 所以只平移是不行的啊，那应该怎么办呢？哼哼，我们可以先通过旋转再平移，或者先平移再旋转，将它移入气球板的相应位置，先将它绕直角的顶点逆时针旋转九十度，再向左平移九格。 嗯，或者也可以先将它向左平移九格，再绕直角的顶点逆时针旋转九十度。 哇塞，为你点赞，哼哼，在描述图形的旋转时，要确定旋转中心可以是这里、这里或这里或者其他位置。旋转方向可以是顺时针，也可以是逆时针和旋转角度。 耶哎，别高兴太早了，再考考你，你能将图形 a 绕着点 o 顺时针旋转九十度，得到图形 b， 然后再将图形 b 向右平移五格，得到图形 c 吗？嘿嘿，没有问题， 先将图形 a 中以点 o 为端点的两边分别绕点 o 顺时针旋转九十度，再将这两边的另外两个端点连接，即可得到图形 b。 再将图形 b 向右平移五格，即可得到图形 c。 哇，不错，看来这个难不倒你。敢接受更难一点的挑战吗？哼哼，敢！嘿嘿，你能通过卡片的平移和旋转将图二还原为图一吗？ 嘿嘿，张飞吃豆芽，小菜一碟。我已经将平移和旋转的要素老牢记在心里了。平移二要素，方向距离旋转三要素，中心点方向旋转角度 a 卡片向右平移两格 b 卡片先向上平移两格，再向左平移两格，最后绕右下点逆时针旋转九十度。 嗨呀，看来还真是难不到你了。记住，平移和旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小哦！小朋友们，你们知道了吗？再见！
08:41查看AI文稿AI文稿孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例，比例的应用的例式，图形的放大与缩小。今天呢，王老师给大家带来了一幅图，一起来看，你见过这些现象吗？ 在这些现象中，哪些是把物体放大，哪些是把物体缩小呢？来看第一幅图，小朋友在这照相，照相是把物体放大还是缩小？对照像是把物体缩小，用放大镜看书， 对，这是把物体放大，用投影仪来演示，那这叫把物体放大，用显微镜观察细胞的结构，这叫把物体放大。不管是把物体缩小还是放大，大小变了，但是它的形状变了吗？ 对，没有变。那大家思考怎么样把平面图形放大与缩小呢？那要想使平面图形不变形，一定要按 b 放大或者缩小，一起来看。例四， 按二比一画出下面三个图形。放大后的图形按二比一放大是什么意思呢？ 二比一我们可以把它看做一个比例尺，那它表示的就是图上距离比，实际距离等于比例尺，这里的实际距离其实就是指原来这些图形的大小，所以它指的是原来的图形。那图上距离呢？指的是 放大以后的图形，也就是变化后的图形。那按二比一放大，那就表示变化后的图形是原来图形的二倍。注意 怎么样放大呢？是按照个边的长放大到原来的二倍。要想把这三个图形按二比一来放大， 那我们要找到这些图形原来各边的长度。我们来看正方形，它的边长是三格，那按二比一放大，所以三乘二等于六格，那这就是按二比一放大后的正方形。 再看长方形，长四格，宽两格都放大到原来的二倍，所以长八格，宽四格，那这就是放大后的 长方形。再看这个直角三角形，这条直角边四格，这条直角边三格分别扩大到原来的二倍，那么它的直角边就变成了八格和六格，然后连起来就是斜边的长度。那大家思考 斜边的长度是不是扩大到原来的二倍呢？那孩子们你可以来测量一下，也会发现斜边的长度也是原来斜边的二倍。接下来大家观察放大后的图形，与原来的图形比较，它们的内角 边长、周长什么变了？什么没变？你发现了什么？首先看这些图形的内角变化了没有，因为我们知道 角的大小与边的长短没有关系，虽然他们的边变长了，但是这些角度是没有变化的，所以他们的内角是不变的。 接着再看他的边长是不是扩大到了原来的二倍，那同样周长也扩大到了原来的二倍。 那么什么变了，什么没变呢？从图上我们直观的看出来，它们的大小确实变了，大小变了，但是呢，它们的形状并没有改变。 除了直观的观察，我们通过求出它们的比，也证明形状没变。比如原来的长方形，长与宽的比是四比二，那化简以后就是二比一， 放大到原来的二倍以后，它的长与宽的比是八比四，化简以后仍然是二比一，它们的比不变，从而也证明它们的形状是不变的。通过观察，我们发现每个图形各边的长都扩大到原来的二倍， 周长扩大到原来的二倍，内角不变，图形变大，但形状不变。那如果我们把放大后的正方形按一比三，长方形按一比四， 直角三角形按一比二缩小，各个图形又会发生什么变化？在方格纸上画画，看，你又发现了什么？ 根据这三个比，我们怎么知道是把图形放大还是缩小呢？来看一看。变化后的图形是原图形的三分之一， 变化后的图形是原图形的四分之一，变化后的图形是原图形的二分之一。从这里我们也知道，是把现在的三个图形进行缩小。先看正方形， 它的边长占了六格，那么变化后的图形是原来的三分之一，也就是六格的三分之一。那所以缩小后的图形，它的边长就是两格，这就是缩小后的正方形。 接着看长方形，变化后的图形是圆图形的四分之一，也就是把它边的长度都缩小到原来的四分之一， 八格的四分之一就是两格，四格的四分之一就是一格。所以按一比四缩小后的长方形就是 长两格，宽一格。再看直角三角形，按一比二缩小，就是变化后的图形是原来图形的二分之一。那我们把它两条直角边缩小到它的二分之一， 八格的二分之一，四格，六格的二分之一是三格。所以缩小后的直角三角形，这条直角边占四格，这条直角边占三格。 我们观察这些缩小后的图形，你发现了什么？对，缩小后的图形与原来图形相比，大小变了，形状仍然不变。 那好了，孩子们，我们回忆一下，图形的放大与缩小，其实与我们比例尺的意义是不是紧密相关，那他们在图形的放大与缩小的时候，表示的就是变化后的图形比原来的图形。那如果 不给你图形，只给你一个比，你能判断是把图形放大还是把图形缩小吗？来给大家带来了四个比，八比五、四比一、一比七、二比五。 通过这些比，你能判断哪些是把图形放大，哪些是把图形缩小吗？ 好了，孩子们，请你按一下暂停键，动脑思考一下，一起来看。八比五表示变化后的图形是原图形的八除以五等于五分之八。 四比一表示变化后的图形是原图形的四倍。发现它们都大于一，所以这两个比 都表示把图形放大。接着看一比七，那一除以七表示变化后的图形是原图形的七分之一。 二比五表示变化后的图形是原图形的五分之二，我们发现它们的比值都小于一，所以这两个比表示的是把图形 缩小。孩子们，现在给你一个笔，你能判断是把图形放大或者缩小了吗？来总结一下，通过这节课的学习，你有了什么收获呢？首先，我们知道了在方格纸上按一定的笔画放大或缩小后的图形的方法， 回忆一下第一步干什么？一、数原图形各边分别占几格。二、算按给定的比计算放大或缩小后各边占几格。三、 画按计算出的边长，画出放大或缩小后的图形。另外，我们还知道图形按一定的比放大或缩小后， 大小变了，但形状不变。好了，孩子们学会了把图形放大与缩小。一起来看教材，五十八页的做一做，那这道题就教给你啦！
1575大王教数学
02:36查看AI文稿AI文稿别人的视频平平无奇，博轩视频带你学习，今天博轩来给大家分享一道六下数学期末复习图形，允许和。首先咱们读题，一根铁丝可以围成一个半径是三厘米的半圆，这根铁丝有多长？ 它所围成的半径的面积有多大？首先咱们来画下关键词，第一个是三厘米， 很多同学做这种题都会出错，今天同学来呃给大家讲解一下，他们都会出错，呃，在求半圆的周长。 首先同学们，我们半圆，我们圆的周长是什么呢？是不是 r 配 r， 那 我们求半圆是不是配 r， 配 r 是 哪部分呢？配 r 就是 这到这同学们都会漏算这里的直径， 因为它是一个封闭图形，所以我们要把这个直径加上，然后我们来算一下这个呃面那个它周长是多少？周长， 呃，三点一四乘以三， 加上我们这里的直径，直径是直径，也就是三乘以二， 也就是十五点四二。 然后我们再求面积，面积的话他就没有那么弯弯绕绕的面积就是用我们呃圆的面积再除以二就可以了。圆的面积是什么呢？是不是派压方，也就是用派压方除以二。然后我们现在来求下面积， 面积是用三角一四乘以三个平方再除以二，就等于十四点一三 平方厘米。呃，所以这道题我们需要答一下，它的周长是十五点四二厘米，面积是十四点一三平方。呃，厘米，同学们，你们听懂了吗？
29博轩小课堂
02:34查看AI文稿AI文稿按比例放大或缩小是常考题型，这类题不难，但是要拿满分还需要一些技巧。这些图形按二比一放大，二比一 就等于二，除以一等于二放大二倍。图形分为有直角边的和没有直角边的， 有直角边的就比较容易，找到一个直角数格子就可以了。这个长方形的长，一二三，扩大二倍，变成六一二三四五六，宽是一，扩大二倍变成二一二，然后把它们分别连接起来， 这是四条边的，我们再看一个三条边的，先找直角，再数直角边的格子，一二扩大两倍，变成四一二三四。 另外一个直角边一二破到两倍也变为 s， 一 二三四，然后剩下的斜边连起来就可以了。这种有直角边的比较容易，难的是没有直角边的技巧。做高。 第一个梯形，它的高我们画出来，然后对高进行放大或缩小。这个图形是放大，我们先把高放大二倍。圆图形高占两格，放大后占四格， 再画与高有顶点连结的这条边，一二扩大两倍，十四，一二三四， 然后再数几边高的，右边一二，再加个半格，两个半扩大两倍就是五格，一二三四五，左边有半格，扩大二倍就是一格。最后连接剩余的两条边， 当然我们要把圆图形中没有的这条高涂掉，这样这个图形才算画好。 再试一个这个三角形，我们先做它的高，然后把高扩大两倍，一二三四。顶点连接的没有直线，我们就看另外一个点连接的直线。右边一格扩大二倍，两格，左边一格扩大二倍也是两格。把斜边连起来， 除掉我们添的高，完成放大后的图形，这个知识点不难，一定要动手试一下。
135大鹏（奥数）
