中考圆规或无刻度直尺的做法
让你过点 a 做切线，估计是切线难求，提笔犯愁，脑子直接卡了轴。先给你来个简单的过点 p 做圆 o 的 另一条切线。这里我们可以运用对称法，原理如图，还可以运用一线三垂直构造直角，从而找到切点，原理如图。 最后我们讲讲如何运用 pass 卡过盲点做切线，原理如图，先过点 a 做圆的三条割线，然后两两连接圆与割线的交点，从而找到两条切线。
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09:15查看AI文稿AI文稿呃，今天我们讲无刻度支持在中考做图当中的基本考点，那么在网格当中做做图呢？呃，一般情况下只限于利用格点来做。第一种做中线， 做中线呢，主要是找到这个线段的中点，所以我们利用隔点这个长方形啊，这个长方形 用对角线的焦点是中点，这样就能够找到 a、 b 的 中点或中点连线，那么呃，中线就做好。 第二，我们讲做垂线，如果要过点 c 做 ab 的 垂线呢，我们就先查 ab 所在的这个，呃，长方形呢，是 横一竖一二三四五，横一竖的对角线，所以我们过点西跟他做相反的长方形就可以了，就横五竖一连对角线就可以了， 那么这个横五竖一在这，那么这个连对这个点和点斜连线，那么这样 ab 的 垂线就做好了。 第三，我们讲做角平分线，嗯，呃，做一个角的平分线呢，我们可以借助等腰 等腰三线合一来完成啊。由于 ab 所在的这个边，我们看它正好是 三四五，所以 ab 得五，那么 ab 得五呢，我们从点 b 向右叉五格 啊，然后和这个点 a 连上，那么这样这个三角形就是等腰了，也就是说这个 ab 和这个边都得五。 接下来我们找到这个对角 b 对 边的中点就可以了，那么很明显呢，是这个焦点的位置 啊，也可以利用刚才找中点的方法啊，做矩形连另一个对角线 啊，也能找到，这样过点 b 和这个点连线，这样就是角平分线了。这个是利用等腰的三角一。 第四，做中垂线 啊，中垂线我们想象一下，首先是过中点这个位置，它有一个垂直啊，过中点这个位置， 那么垂直呢，应该是中垂线上所有的点到 a、 b 的 距离都是相等啊，到相等，所以我们再找一个点就可以了。另外一个点呢，那我们可以借助 呃，正方形的对角线呢，是中心来完成。也就是说跟刚才做垂线的方法一样，我们先看 a、 b 所在的格点，是 呃，横以竖四的对角线，我们利用这种格点呢，先做一个正方形，然后把对角线连上， 这样我们就过这个对角线，做这个 ab 的 垂线就可以了。 那我们先先找到 ab 的 中点，因为 ab 所在的是横一竖四的长方形，所以把另一条线连上，就是中点，这样过这两点做个直线就可以了。 也可以呢，呃，只做一个 ab 的 垂线，然后把这两个点连上， 然后分别利用矩形法来找这两个边的终点，一个是找这个边的终点 啊，找这个边的终点找到了。第二也是刚才那个 矩形，把这样的对角线连上，这样啊，过这个这两点也可以。 好，接下来我们讲比例分割。呃，比例分割呢，假如说要把 a、 b 分 成一个二比三的线段， 那么我们可以借助相似来完成。 由于上下平行啊，这两个八字形相似，相似比呢，正好是二比三，这样这两个边的交点 就是分成二比三的点。 那最后我们讲对称点啊，对称点呢，我们可以想象一下， 如果做点 a， 关于 b 起的对称点在这个位置，那么这里点 a 和对称点的连线就是一定垂直 啊，所以我们先画垂直。由于 b、 c 经历的对角线是横五竖一对角线，这样我们从点 a 向下叉五， 横着叉一格啊，这就是做垂线的方法。 垂线画完之后呢，我们在这个上截取相等的线段，就是 a 撇在这个位置，那怎么截取这个相等呢？我们可以利用 平行线间的距离处处相等来完成，也就是说我们首先呢过点 a 画 b， c 的 平行线，是 呃经历的格一样，就可以横五竖一，那就这样，那么 点 a 到点 b 是 向左一，左一下二，所以我们从点 b 向左插一格，向下插两格，就是在这个位置， 点 c 向左插一格，向下插两格，就在这个位置，这样我们这三个线， 这三个线平行，并且它们之间的距离处处相等，这样这两个线的交点啊，就是这个点的位置，就是点 a 对 称点的位置， 所以我们今天一共讲六种类型，所以大家记住在 网格当中作图呢，主要就是利用格点查格来完成，嗯，建议大家呢点赞收藏。
21小高手
03:32查看AI文稿AI文稿天津的无刻度知识全国最难，没有记 在六乘以六的正方形网格里面，这是个六乘以六的正方形网格，对吧？每个正方形的边呢，都是 e。 好 线段， a b 两个端点都在格点上， a b a b a b a b 都在上面。好按要求完成下列画图，保留画图痕迹，不要只写出画法好。比方这是一个线段 a b 长度段，不知道 在 a b 上找一点 e， 使得 a e 比 b 等于二比三，我觉得大家能找的会找的悄 e。 好 吧， 哎，练了这个东西我觉得有点麻烦，不知道怎么找窍啊。其实无刻度芝士做的非常简单，简单到不敢想象中考里面所有无刻度芝士，比方说第一个你怎么去做中点，你怎么去做等分点？还有第二个做平行怎么做呀？那做垂直怎么做呀？ 还有垂直平分线做等角又该怎么做呢？而你这点指什么？这是第一个等分点，等分点非常简单，不卖关子。你不是二比三吗？你从一个点往这边走，两个单位从一个点往反方向走，三个单位结束， over。 好，你连一下吧。为什么这么说呢？因为你会发现上下两个三角形一定相似吗？相似比几比几呢？相似比就二比三吗？相似比，既然是二比三，所以你会发现那对边的这个边比这个边不也等于二比三吗？所以你这个焦点对吧？就是我们的一点没了，结束 简单不？所以等分点就是我们利用比例来构造它，其实做平行，做垂垂垂平面等角，你们听了你们自己都会好。那接下来我们再来找一下啊。其实我觉得这个题如果是我肯定不这么做，我肯定比方 cosine 二分之五 你找去了，你肯定找不到吧，那我觉得这个题你看看它是一个什么呢？它是今年哈尔滨，大家有没有看到适应性考试 试一性考试就什么呢？哎，首先让你试一下，既然试一，那就难度不可能更大，所以无刻度就是他出的也很简单，二分之根号，我想问一下什么样的角度，他的余弦值是二分之根号，告诉我很明显吧，四十五度是不是？你不要说这个不会啊， 说白了就是构造一个什么呢？构造一个角，对吧？大概这个角四十五度怎么构造？其实很简单，四十五度它往往出现在等腰直角三角形中，所以也就是你要过 a 点，过 b 点，分别构造两个全等的直角三角形来形成三垂直模型吧，对吧？说白就是这个点， 为什么这个点你会发现，那各位同学们，我这么一画你们就明白了，你会发现其实这个点你连一下，你连一下就是的啊，这个角一定四十五度，好吧，这个就是我们的 c 点， 凭什么呢？呃，我跟大家稍微的解释一下啊，你比方说你连一下，你连一下就是你去找一个，怎么样呢？三垂直的 就可以了，大家能看出来吗？但这个蓝线是不需要的，蓝线是我为了画出来辅助大家理解的，是不是？ 这是直角，这是直角，对吧？你是一个一乘以三的直角三角形，我是一个一乘以三的直角三角形，所以咱们这两个直角三角形一定全等，全等完毕之后呢？那剩下我们知道这个边等于这个边 全等之后，我们知道这个角一定是直角，所以它是个等腰直角三角形。因此 c 边呢？就在这里，你这个角呢？就四十五度， 四十五度的三角函数呢？二分之根号结束。好吧？好，那么也就是考试。你你，你这个东西是不需要的，你这个是不需要的，你这个也是不需要的。懂了没有？这些标记，这些标记这都不需要，明白没有？就像这个样子，理解了不？哎，我们就过了啊，过了跟着亮亮无脑学习。
7520理学-亮亮聊思维
02:13
03:32查看AI文稿AI文稿一个视频讲透中考无刻度直尺作图。哈喽，大家好，今天晚上讲的是无刻度直尺作图。首先看那个高频考点做对称点的， 这个是不管在武汉的市调还是哪里，还是武汉二零二五年的中考试题中都出现过点关于直线对称的啊，来看一下过点，看这题过点， c 做 ab 的 对称点啊， c 做 ab 的 对称点，那我知道一个点，关于一条直线对称称的这个点肯定在这条 直线的垂线上面。那所以第一步我们要过 c 点，做 ab 的 垂线。垂线怎么做呢？来看一下我们竖格子， ab 是 横四竖三，横着四个，竖着三格，然后我们找 c 过 c 点，找横三竖四，这是横四竖三，找横三竖四的一二三四一二三， 过 c 点了，横三竖四 好，那么 c 的 边缘 a、 b 的 对称点肯定在这条垂线上面。 至于这里怎么做垂线啊，本质是利用相似的横竖，那 a、 b 是 横竖竖三，你找一个横三竖四，那么这两个三角形相似，跟卷边线是全等啊，相似得两个角相等，那所以这里得到垂直线。然后第一步我把做对称的那个步骤写一下，第一步是做垂线， 第二步做对称点，是既要垂直，还要保证相等，那么这一段也就是这一段要等于这一段，那这一段我们不知道在哪里取，怎么办呢？这垂直距离相等我们不好找，我们找斜距离，通过三角形中微线来构造。那么第二步我们是在 a、 b 上取个格点，取个取一个格点。为什么待会取格点，那么看 a、 b 上取格点，取 b 点， 取个隔点，然后对称，我们在对称的直线上取个隔点，并且背长背长，然后过该点做 a、 b 的 平行线。 b 点到他这点，这个被长点是第二步，我写一下第二步是取隔点被长， 第三步什么呢？做平行线分三步，取隔点，被长点做 a、 b 的 平行线，这被长点为 d 点。 那我们看过低点做 ab 的 平线啊，低点到低点是横着左右一两个，下一个 a 点也是右一个，下一个到这里，然后再连接这个点跟低点，那么这个点就是我们要做的对称点。 哎，我解释一下为什么是这样？第一步我们做了垂线之后，那么这你看一下垂线起码保证了这个点，因为一个点关于直线对称的话，那他这个点跟这个对称点连接起来肯定是垂直 a b 的， 然后这主要是保证本句来取个格点，在 a、 b 上取个格点，然后也对称，你看取格点的目的就是为了方便对称，如果随便取个点，你都不知道对称到哪去了。 就是我们勾到这这一段，跟这一段相等，要做平行线，那你看那这个，那这条线，这条线呢？就构成了这条三角形的中位线了，它平行于它，并且 c b 又等于 b、 d， 所以 保证了这一段跟这段平行，并且那这一段的话就是这个三角形的中位线，那它中位线的话，那这一点就保证了，只要这是一点，那就保证了 c e 等于 e f。 好，我们再来看一个例子，过十一点做 a、 b 的 对称点 f， 第一步过十一点做 a、 b 的 垂线，那我们看一下 a b 的 垂线， a b 是 横二一二三四五，横二竖五，那么过十一点找横五竖二，一二三四五五个，两个横五竖二，找到了， 那第二步在对称线 a b 上取个格点，那 b 点很容易找到 b 点，然后被长，被长到了这里点，然后被长点做 a b 的 平行线。啊，这就是平行线，所以对称点，这就是我们要找的对称点 f。
87黄金分割线
00:55查看AI文稿AI文稿三十秒学会做对称点交叉对称法一，做点一关于 a、 c 的 对称点，构造等腰三角形 a、 b、 d。 再利用等腰三角形的对称性，便可找出点一。关于 a、 c 的 对称点 交叉对称法二，做点 b 关于 a、 c 的 对称点，找到 a、 c 的 垂线，再构造等腰三角形 f、 e、 g， 再利用对称性便可找出点 b。 关于 a、 c 的 对称点垂直倍长法一，做点 d 关于 a、 c 的 对称点， 注意到 a、 c、 b 为直角三角形，过点 d 做 b、 c。 平行线交割线于点 e 即可垂直被长法二做三角形 a、 b、 c。 关于 a、 c 的 对称三角形， 先做等距，即做 d 平行于 a、 c， 且 c、 e 等于 c、 b， 再做垂直，即做 b、 g 垂直于 a、 c， 交 d、 e 于点 f。 三角形 a、 f、 c 即为所求整体被长法做点既关于 a、 b 的 对称点，利用对称性在右侧构造一个同样的点 h 即可。
186初中数学压轴多解
05:40查看AI文稿AI文稿中考数学焚绝二，无刻度尺尺乱连大法同学们好，今天的话，我跟大家讲解我们这个中考技巧的第二期 就是无刻度尺尺作图。无刻度尺尺作图的话，在我们的一些省份，它其实有考察的，比如我们江西省， 像旁边的武汉那边，包括这个天津市哈，他都会考察这方面的这个作图。那么我们知道无刻度尺子作图的话，他只能做两件事情，第一个的话是连线， 第二个呢，其实就是延长，你做不了其他事情了，你也不能去做垂直，也不能去测量，他的这个叫做长度。所以呢，我们这里的话有一种方法，但是请注意哈，我这个乱的话打了一个引号， 这也是最近呢，我接到了很多学生的私信，就是问我，他说这个老师，我怎么能够短期内提高无刻度尺子作图啊？其实说句实在话，数学确实没有什么捷径，你得去看，去得练，去得学。 那么接下来就是这四十几天，对于说这种方法，我还是给大家推荐一下所谓的乱的话，我打了引号，什么意思呢？他真的不是说你这个在这里连了一句乱连，他也是有一定套路的。那么我就以三个例子吧，从第一个例子开始看起。 这个例子的话，如果说你要去做这个题目并不简单，但是你就明白一点，他不是要去做 hi 平行于 bc 吗？ 首先的话要结合一个，就是我们的这个路眼观察哈，大概这个位置得向。第二个的话就是所谓的连，他只能连线了，同学们请看哈这里 abc 的 话，这三个点都连完了，只剩下这个圆心，所以没有办法，我们只能去连 a o 连 b o 连 c o。 好， 这个是我们所能连的吧。连完以后的话，那你看一下，能够使得 hi 和 b c 平行的，那应该就是这条，这个时候的话应该是 h 点和 i 点就出现了， 所以的话乱连大法就是我讲的啊，这个叫做。呃，虽然说看上去哈，好像是毫无章法，实际上我们已经算是掌握了他的一个叫做作图的技巧和规律，那么接下来的话，你就要选择把那个多余的，这是我们尝试的这条线擦掉。好， 第四个他是说做 ab 的 垂直平分线，那么看到这个图的时候，我相信我们同学的话可以沿这个，对吧？延长，把这个延长 好，这里有个焦点，这个焦点的话，其实我们把这个一连，你看他不就是中垂线吗？当然我也可以选择什么 连接 ac， 连接 b d 啊，这里有一个焦点，对吧？我也可以选择把它连接，这个样的话， ab 的 中垂线其实就做出来了， 因为你想象一下，看我这个说的话，我 ab 是 不能连的，因为他已经题目给我连完了，所以我只能做的就是 acad， 所以 这样去尝试对不对？好，那同学们想一下，看你可以按下暂停键， 如果说题目要我们去做，做什么呢？他说做一条弦和 a b c d 平行，那也很简单。好， 我把 d o e 连，是吧？好，再把 c o e 连，显然这条弦的话就和 ab 平行吧， 这就是我们讲的这个忙而不乱，但是呢，千万大家不要说这个呃线的太多了，因为线多的话，就是我经常会跟学生讲，就是蜘蛛网啊， 这种蜘蛛网的话不利于你去判断，所以呢，我们像刚开始讲的这个对吧？这条线的话，你发现这个就没用了，你要把它擦掉，最后的话，我们中考呈现出来的也是最清爽的一个答案。好，接下来第三个 说，要去在 b d 上找到一个点锯，使得 c g 和 a e 是 平行的，那么你想啊，能连的 a 点， b 点和 d 点都连完了，那你只只能干嘛？只能连 ac 吧。对，毫无疑问的是吧，这里有个焦点。好，这个焦点连完以后的话，那么我们想哈，哎，我想一下，这个 c 一 好像也可以连，对不对？好， c 一 连的话要不要延长，反正我延长试一下看，没关系的，对吧？好， a 一 的话也可以延长， 对不对？好，那么还能连什么点呢？哎，这个点跟他一连是吧？好，那像，比如说像这个点 好，但是你看好他要找到 c g 和 a e 的， 这个叫做平行线，你发现这样连的话没有用，但是同学们请看，我这里还有个没连呢，哪个点？你看 我把这个一连好，当然这个的话还是要连清楚一点哈，怕有的同学看不清楚。你看， 哎，我这样一连，你看，再这样一连，这个的话就很像了，对不对？ 所以当然老师教的这个方法哈，只是针对无刻度纸作图，确实比较薄落的， 但是呢，又没有任何的思路，每次都是乱猜或者乱写，甚至的话，我们同学的话就是还去再去做垂直这种的，那肯定不行的，所以这种方法哈，忙而不乱，送给大家，也希望大家在中考的时候哎，能够稳稳的拿下这六分。
298初高中数学克洛泽老师
04:58查看AI文稿AI文稿无刻度直尺里面呢？对称有两种类型啊，一个是过格点做对称，一个是做过非格点做对称。好，我们来看一下过格点怎样做对称啊？ 第一步要做垂直，第二步要背长， 第三步是平行的。好，我们直接看第四小问，他说过点 b 关于 a、 c 的 对称点，这个点 b 它是一个格点。 好，过格点做对称，第一步是垂直啊，垂过格点怎样做垂直呢？就是与他的步调是相反的，比如说过点 b 做 a、 c 的 垂直，他是中三横二，我就数格子嘛，那我就中二横三，是吧？中二横三 布料是相反的啊，好，延长出来，这个就是垂直的。好，第二个呢，就是背长，我背长 b、 c 啊， b、 c 是 横，横三纵一啊，我也给他横三纵一到这里来。 那么呢，这个点 c 呢？就是中点了啊。好，第三步就是做平行过格点做平行，它的步调是一致的，比如说过点 d 做 c、 a、 c 的 平行线，它是重三横二，是吧？哦，就重三横二，它的步调是一致的， 然后呢，这就是它的平行线了啊，它的这个焦点啊，这个点点记就是我要找的对称点。好，我们这里呢，有个单中点啊，这个点 c， 它是个中点，是吧？单中点 加上平行，那就是中位线啊， 好，这样呢，也就也就是说这个，比如说 h、 c、 h 呢，就是三角形 b、 g、 d 的 中位线，所以呢，它也是它的中点，这样呢，点 b 和点 g， 它是关于 a、 c 对 称的。 好，这是过格点做对称，第一步垂直，第二步倍长，第三步平行。好，我们再来看一下非格点怎样做对称。 飞格能对称分两步走，第一步是相交与对称，走找焦点，第二步相连，再延长出去就可以了。好，是怎样呢？比如说，这是一个等幺三角形啊，这是个等幺三角形。 好，假设呢， a、 d 是 它的对称轴， e 是 a、 b 上的一个点。现在呢，我要在 a、 c 上面找一个点 f， 让点 e 和 f 是 关于 a、 d 对 称的，我们怎样做啊？第一步，相交啊，对 与对称轴，找到一个交点，然后第二步相连，连接之后延长出去啊，这就是我要找的点 f。 好， 怎样证明呢？ 我就证明这个三角形呢， abf 全等于三角形 ac 一 就行了。好，这个角它是公共的，是吧？然后 ab 呢，是等于 ac 的， 这个角一和这个角二它是相等的，为什么呢？这个大角它是相等的。 然后呢，对称轴上的点到对到线段两端点的距离是相等的，所以说这个角也等于这个角，那么呢，角一就等于角二，所以呢， 这两个三角形全等全等之后，就 a、 e 呢，就等于 a f 啊，这样就证明出来了。好，我们看一下这个第五题，他说是三角形 a、 b、 c 的 三个顶点都是格点，点 p 呢，它是 a、 b 上的点，很显然，这个点 p 它不是一个格点，它是一个盲点，是吧？ 然后呢，在点 b、 c 上画一点 q， 使 b q 等于 b p。 好， 这个时候呢，我们来看一下 ab 的 长度啊，勾三股四，它的弦五，是吧，这也是它的四，给它延长出来，对吧？ 那么 b、 d 也等于五了，延长一个 b、 d 等于五，那么 abd 呢，它就是一个等腰三角形。好， 等腰三角形的底边中线就是它的对称轴，我们要找到 a、 d 的 中点， a d 的 中点，你也可以把它理解成这是个矩形，矩形的交点啊，矩形的对角线的交点就是它的中点，或者说你把它理解成一个八字形的全等也可以啊，这个点就是它的中点， 连起来好，假设是点 e， 那 么 b e 呢？就是三角形 abd 的 对称轴。好，我们来找到对称轴。第一步相交 好，找到焦点，第二步，相连啊，连接起来延长出去，这个就是我要找到点 q 啊， b p 就 等于 b q 了。
45初数吴老师
07:06查看AI文稿AI文稿呃，前两天格致中学啊，期中考试考到了叫无刻度尺作图啊，那今天老师把这块给大家汇总一下。先来看第一种做平行线， 比如说给我们一个 ab 这条直线，然后呢让我们过点 p 去做一个 ab 的 平行线，我们知道平行四边形里头会有平行线，对吧？那所以说我们就去构造一个平行四边形就行。 那平行四边形的判定，有一个是一组对边平行且相等，我们知道格点它是互相平行的，那么我们再取它们相等， 是不是？这就是一个平四边形，那么 p q 就 和 ab 平行，对吧？好，再来看一下第二个做垂线，也就是说过 p 点去做 ab 的 一个垂线，这里头应用的原理呢是十字架模型。 之前老师给大家讲过，在正方形里头，如果这两根线段相等，那么这就是垂直，如果说这是垂直呢？那么他们也相等，对不对？这块能正出一个全等，所以啊，这块我们就去给他做一个啊十字架， 比如说这个 ab 是 已知的一个线段，那么这个三角形啊，是这样的，那么我们以 这个 p 啊水平去找三个格，然后再往下找一个格，那这两个三角形就全等，对吧？然后就能挣出那是一个直角。 再来看一下第三种情况，就是过点 p 做 ab 的 一个中线，那就是找 ab 的 中点， 我们知道矩形的对角线是互相平分的，那所以在这个格点里头，我们只需要去做一个矩形就行，好找到一个这样的一个矩形， 然后我们再把这个对角线给它连接起来。哎，这个焦点就是 ab 的 一个中点，然后我们去连接 p 和这个中点就行， 那中线会做的话，还有一个就是做垂直平分线，那也就说不但要找他的中点，还要做一个垂直，对不对？那这里啊，我们相当于给他做了一个正方形， 然后呢再用刚才的方法，把正方形的这个边的中点给他找到，这个边的中点也给他找到， 对吧？好，那也就说这个又能证出它是一个矩形，那这块就是一个垂直。好，又是一个终点，那么它就是它的垂直平分线。 好，再来看一下第五种就是做角平分线，这个考的比较多，比如说让我们去做角 abc 的 一个角平分线， 这里头有两个方法，第一个是等腰三角形三线合一，第二种呢是平行线加等腰就能推出一个角平分线。好，我们先来看一下第一种， 它适用的条件呢是你这边格给的不是太多的情况下，我们知道这是一个三角形三，这是四，那就能求出这个边是一个五。 好，我们想去做等腰的话，也就说在这边也找到五个格，那他和他就相等，那么我们一连接 这个蓝色的，他就是一个等腰三角形，那么我们想去找他的角平分线，接下来我们就去找底边的中点就行。中点是不是刚才老师教你了，去找到一个矩形，然后把他的对角线给他连接起来。 好，这样的话这个点它就是底边上的一个中点，我们再把 b 和这个点一连接，它是不是就是中线？然后也是角平分线， 对吧？好，第二种呢，就是我们这边的格比较多的时候，我们可以利用平行线加上一个等腰，然后能推出角分线。 好，我们刚才还知道这个是一个五个格，那么我们往这边再找到五个格，是不就能挣出这个角和这个角是相等的？然后我们又知道隔点之间是互相平行的，那这个圈角又等于这个圈角，那所以这块就是一个角平分线， 对吧？好，再来看一下第六种。 好，这种就是前两天格制考到的，让我们去做一个四十五度，对吧？我们知道正方形的对角线是平分一组对角，而且那个角就是四十五度， 那所以啊，让我们去做一个 abc， 等于一个四十五度，我们去可以去构造啊一个正方形，然后这么一连接，这个角就是一个四十五度，那同样道理呢，在这边也有一个正方形， 对吧？所以说这个角也是一个四十五度。第七种是做角相等， 这是我们物理里头学的入射角等于反射角，在我们数学里头可以利用将军印码，比如说把 a 点给他对称过来，那说明这个角和这个角就相等，这是一组镜面角， 然后这个角又对顶等于他，所以说我们就构造了这两个角相等。好，再来看一下第八种，让我们去把一个线段给他，按照二比三去平分，这个需要用到我们初三的相似， 我们把这个边往这边延长两个格，这边呢是三个格，那上下这两个三角形相似，相似比就是二比三，那所以说这个边和这个边它也是一个二比三， 对吧？好，再来看一下最后一种，就是做对称点，现在 p 点在这，然后 ab 这个线段在这做 p， 关于 ab 的 一个对称点，我们可以去构造一个中位线， 这是两个格，然后我们延长出来，这边也是两个格，然后这边啊是一个矩形的对角线，我们再给他做一个倍长， 那这样的话 b 和 a 就是 p m， n 的 一个中位线，那它和它平行， 而且等于他的一半，对吧？那接下来呢？我们再去 p 点，去做一个他的一个垂线，这个利用的就是我们第二种情况，是不是就能保证这个边和这个边相等？
181大连百鸣数学李老师
08:51查看AI文稿AI文稿今天我们来讲一下中考当中无刻度直尺作图的基本考法，总共给大家讲七种类型。第一个做中线，如图，我们要做中线 c、 d， 那 就是取 ab 的 中点，那我们可以把 ab 所在的这个矩形的另一条对角线连出来，两条对角线的交点 d 就是 中点， 然后再连接 c、 d 即可。或者是我们直接连接这个小格子的对角线，那么这个焦点 d 也是中点，然后连接这个 c、 d。 第二个我们看做角平分线，如图，我们来做角 abc 的 平分线。通过第一个例子，我们知道做中线是非常简单的，而等腰三角形的底边上的中线和顶角的平分线是合一的，所以这时候我们可以考虑 以角 b 为顶角，就是把三角形 abc 给它变形成一个等腰三角形， 那就是使得角 b 的 两个邻边是相等的，那么这个 ab 的 长呢？它是三乘四的这个直角三角形的斜边，所以这个斜边长是五，而 bc 的 长度是四，所以我们只要把 bc 往前再延长一个， 延长到这个 d 点，这时候 b、 d 的 长度也是五，然后再连接 a、 d， 那 么此时 a、 b、 d 就是 一个等腰三角形了。 a、 d 是 底边，那我们取底边上的中点，这里就直接取到是这个 e 点，然后再连接 b、 e， 那 么这个 b、 e 就是 角 abc 的 平分线。第三个我们看做垂线，如图，我们做 a、 d 垂直 bc 交 bc 于点 d， 那 么这时候我们只要过 a 点去做一条和 bc 等长的线段即可。因为 bc 它是这样一乘五的这个直角三角形的斜边，那我们只要过 a 点，也去做一个一乘五的直角三角形的斜边， 但是这样的线段有很多，比如说这样是的，然后这样也是的，那你可以观察一下到底是哪一条是和 b、 c 垂直的，那显然是我们做的这条 a、 e， 它和 b、 c 等长，并且是垂直 ab 的。 那有的同学可能会问，为什么这样做一定是垂直的？这个理由很简单， a、 e， 它也是这个一乘五的这个三角形的对角线。那么图中这两个虚线画出来的三角形应该是全等的， 那么角 b， 它就等于角 e， 我 们假设这个角 e 是 阿尔法，角 b 是 阿尔法，那么这里是九十度，所以这个角它就是九十度减阿尔法，九十度减阿尔法加这个阿尔法又等于九十度，所以这个地方就是九十度。 所以我们过一个点做这个已知线段的垂线，我们只要过这个点做一条和它等长的线段即可。 第四个我们来看做中垂线，如图，我们做 a、 b 的 中垂线，我们知道一条线段，它的中垂线肯定是经过这个线段中点的，那我们只要再去找一个点到这个 a 到 b 的 距离相等，然后再把这个点和 o 连起来，这就是中垂线了。 那要找到这个点的话，我们可以以 ab 为边做一个正方形，正方形的这个对角线交点到 a 到 b 距离相等。或者是我们直接以 ab 为边做一个正方形，然后把正方形另外一个边的这个中点取到，然后跟 o 连起来，这也是 ab 的 中垂线。 如图，我们以 ab 为边，先来构造一个正方形，然后再去取 ab 的 中点，这里直接能看出来是这个 c 点，然后再把 ab 对 边的中点找到 d 点，再连接这个 cd 并延长，那么这个就是 ab 的 中垂线， 或者是将这个对角线连起来，那么这个交点 o 跟 c 连起来 就是 ab 的 中垂线，那么有时候可能这个格子画正方形画不下，那我们这里可以构造一个等腰直角三角形，以 ab 作为这个直角边， 然后去做出一个等腰直角三角形，那么这个角 b、 a、 c 是 九十度，然后我们取这个 ab 的 中点 d， 然后这时候如果你这个中垂线做出来的话，它这个跟 b、 c 的 这个焦点应该也是中点，所以我们这时候就直接取 b、 c 的 中点，那就是把这个对角线连一下， 然后这个 e 点是 b、 c 的 这个中点，然后将这个 d e 连起来并延长， 那么这个 d e 就是 ab 的 中垂线。然后还有第三个方法，我们可以先去做一条和这个 ab 垂直的线段，比如说这里过 a 点去做一条和 ab 等长的，然后垂直 ab 的 线段，然后把 ab 的 中点找到地点， 接下来我们只要将这个 a、 c 这条线段平移到经过这个地点的位置，这样就可以确定出 ab 的 中垂线了。 那么假设 a 点平移到 d 点的位置，那是向下平移两格，向左平移了半格，那么 c 点也向下平移两格，向左平移半格，但是这个半格这个地方我们不能用，直接用尺子得出来，所以我们可以连一下这个对角线， 把这个中点找到，那么 c 的 对应点就是这个 e， 然后再连接 d 并延长，这个就是 ab 的 中垂线。 第五个我们看做点关于直线的对称点，如图，我们做点 a， 关于 bc 的 对称点 a 撇，我们知道对称点它是要过 a 点先做 bc 的 这个垂线， 然后 a 到这个 bc 的 距离和这个对称点到 bc 的 这个距离应该是相等的，这样才能确定出这个对称点 a 撇， 那我们先过 a 点来做垂线，就是过 a 点做一条和 bc 等长的线，这个 bc 它是一乘四的这个三角形的对角线，那我们这个 a 点也往 bc 垂直的这个方向去画一条 和 bc 等长的线段 a d， 然后我们再去找到一个 a 撇时的 a 撇到这个 bc 的 距离和 a 到 bc 的 这个距离相等， 这时候可以利用平行线之间的距离处处相等来画。我们可以过这个 a 点去画一条线，它和 bc 平行，因为这个 b 点它到 a 点的位置相当于是向上两格，向右一格，那么这个 c 点也向上两格，向右一格。我们确定出这样一个点， e 连接这个 a e， 那 么 a e 到 b c 的 位置就是向左一格，向下两格。然后接下来我们再把 b c 也向右一格，向下两格，这时候 b 的 对应点就是 fc 的 对应点就是 g， 然后再把这个 f g 连起来， 这时候 f g 和 a d 的 这个交点就是 a 撇。第六个，我们看一下这个比例分割， 假设让我们在 a b 上去取一点 p， 使得 a p 比 b p 等于二比三，那么这时候就利用八字相似来实现。这个 a 点呢，它向左 画两格，然后 b 呢向右画三格，然后再把这两点连起来，这样得到的两个三角形的相似比就是二比三，然后这个交点就是我们要找的 p 点。 最后一个我们看作等角，比如说让我们在 p q 上去取一点 m， 然后使得角 a m p 等于角 b m q， 那 这里实际上就是相当于是光的反射，这个入射角要等于反射角， 那我们先做 a 点，关于这个 p q 的 对称点 a 撇，然后再连接 a 撇 b a 撇 b 和 p q 的 交点就是 m， 然后再连接 am， 这时候角 a m p， 它是等于角 a p m p 的， 角 a p m p 又等于角 b m q， 所以 这样的话，角 am p 就 等于角 b m q 了。 好，那么以上就是我们讲的无刻度直尺作图的七种基本考法了。
8227小吴老师讲数学
10:48查看AI文稿AI文稿大家好，今天分享一道注图题，如图， a b 为圆 o 的 一条直径点 p 是 圆 o 上一点，不与 a b 重合。请用无刻度的直尺过点 p 做一条弦 p q， 使得 p q 垂直 a b。 注意无刻度的直角作图啊，它只能在两点之间连线，那我们只能连接 p a 跟 p b， 因为 ab 是 直径，那么这个角 a p b， 它就是九十度。而题中是让我们做这 p q 垂直 ab 的， 那做图题一般的解析思路是把丑图画出来，然后分析它有什么样的特点，然后我们再做出图形。 所以说先把 p q 画出来，这 p q 是 垂直 ab 的， 它有什么样性质呢？因为这个无刻度直尺啊，只能连线啊，那我们把这个 o q 连起来，并延长，跟这个圆还有一个交点 m， 那 这个 m q 它就是直径连接 mp， 那 么这个就这个角 mp q 也是九十度了，也是九十度。 p q 五跟 ab 是 垂直的，那么 mp 一定跟 ab 平行， 那我们就这样想了，那如果过 p 点啊，我们把 pm 做出来，也就是过 p 点做 ab 的 平行线，这个平行线与这个圆有一个交点，这就是 m。 然后我们再把 m o 一 连并延长， 和这个圆有一个焦点 q， 那 连接 p q， 那 这时候 p q 就 垂直 ab 了，这样我们就得到了作图，就是做这个 p q 的 一个思路，就是把垂直 做垂直，转化做平行。那这个平行好不好做呢？因为这题中啊， 给出了这个圆的圆心，也给了 a b 的 直径，那圆心肯定是这个线段 a b 的 中点呐，有中点 p， 是 这个 a b y 这条线的 a b y 一 点，那做平行线。由此我们就想到了三瓦定律。 萨瓦迪尼是什么呢？它就是三角形 a， b， c， a， d， b， e， c， f 交于一点，那就可以得到 a， f 比上 f， b 乘以 b， d 比上 dc， 再乘以 c， e 比上 e， a 就 等于一。如果 f 是 a、 b 的 终点的话，那么 b， d 比上 c， d 就 等于 a， e 比上 e， c， 就可以得到 d， e 跟 a b 是 平行的，并且这个点睛也是 d， e 的 中点。这里面我们看这个图中有有线段 a b 的 中点， 那做平行就可以用三瓦丁零来做。我们只要延长 b p， 在 b p 的 延长线上任取一点 c， 然后连接 c， a， c o， 这时候 c o 跟 a p 有 一个交点为 d， 再连接 b， d 并延长交 a c 于 m， 连接 mp， 那 mp 跟 ab 就 平行了， 那 pm 于这个圆的一个交点，另外一个交点就是 n。 我 们只要连接 m o 并延长与这个圆相交，交点就是 q 点， 再连接 p q， 那 这时候 p q 就是 垂直 a a b 了。那这种作图的方法啊，我们主要是利用直径所对的圆周角是直角和萨瓦迪尼就可以把 p q 做出来。 那么这道题还有没有其他的方法呢？我们首先还是连接 pa 跟 pb 可以 得到角 p 是 九十度，那我们在 ab 的 上方的圆周上再取一点 m， 连接 ma 跟 mb， 那 那么这个角 m 也是九十度。如果连延长 a， m 跟 b p 交于点 c， 那么 ap 跟 bm 啊，就是这个三角形 abc 的 两条边上的高， 三角形的三条边上的高，它是交于一点的，这个焦点就称为垂心，那么 ap 跟 bm 的 焦点低，就是这个三角形 abc 的 垂心。 再连接 c d 并延长交 ab 与 n， 那 么这个 c n 就是 ab 边上的勾呢？ 那么这个题目是要求是去做这个 p q 垂直 ab 的， 那我们就需要过 p 点做 c n 的 平行线，如何做呢？那实际上就可以连接 m n m n 并延长交这个这个圆有一点，这个点就是 q 连接 p q， 这样 p q 就 做出来了，这时候 p q 跟 c n 就是 平行的，为什么呢？我们来看一下， 那么要说明这个 p q 跟 c n 平行，那我们只要说明这两个角相等就行了， 就是这两个角相等就行了，我们记为角一和角二，只要说明角一和角二相等就行了。我们看在这个圆 o 中啊，角二所对的弧是弧 m p， 而弧 m p 所对的圆周角 有两个，这这个角也是弧 m p 所对的圆周角，那角二跟角三是相等的，那下面我们只要说明角一跟角三相等就行了， 因为这里面呢， c n 跟 ab 垂直， b m 跟 a c 垂直，那说明点， a n d m 四点共圆， 角一跟角三都是弦 md 同侧所对的圆周角，角一跟角三是相等的，所以说角一跟角二相等， c n 跟 p n 它就平行了，那么这呃， c n 跟 p q 就 平行了，那这时候这弦 p q 我 们就做出来了。这种方法我们主主要是利用了三角形的垂心 和圆的一些性质来来做的，那我们看在做图的过程当中啊，我们没有用到这个 圆心，所以说这个利益啊，这种方法我们还可以变一下，这题目还可以变，就是变成 a b 为圆的一条直径，它就不给你圆心， p 是 圆上一点，不与 a b 重合，用无刻度的直角过点 p 做弦 p q， 使得 p q 垂直 ab， 那 就可以利用三角形的垂心和圆的性质做出 p q。 那么这道题还有没有其他的方法来做呢？我们来看一下，思考一下。如果我们把这个 c n 啊，把它延长， 这时候 c n， 因为 c n 跟 ab 垂直的 c n 跟圆就有两个交点，这两个交点我们记为一和 f， 这个点跟这个点 e f 这两个点是不是就关于 a b 的 这个对称点呢？ p 跟 q 也是关于直线 a b 对 称，那么根据对称性啊， 那如果我们把 e p 跟 f q 啊连起来，并且延长，那跟这个直线 a b， 它就有一个交点，这个交点呢，就在这个直线 a b 上， 那这样呢，我们就得到了做 p q 的 另外一种方法，那前面利用三角形的垂心不变，那只要连接 f b， 哎，延长 a b， 连接 f p 并延长交这个 a b 于一点 g， 再连接 e g 跟这个圆有一个交点，这个点就是 q 连接 p q， 我们来看一下，这个一点跟 f 点关于 a b 对 称， p q， 关于 a b 对 称，如果把这个 e p e 一 连 f q 一 连，它的交点是不是也是在这个对称中 a b 上啊？那这样我们又得到了另外一种 确定 p q 的 方法，就是连接 e p 与这个 ab 交于点 g， 再连接 f g 并延长与这个原有一个交点，这个交点就是 q， 连接 p q 啊，那这样同样可以得到这个弦 p q。
09:37查看AI文稿AI文稿hello， 各位同学，大家好，我是数学吴老师，今天给大家带来的是营外二模的画图体无刻度，尺尺作图 这个类型的题目。自从二四年登上我们宁夏的中考卷，二四二五两年都在考， 今年呢，模拟完的学校考的难度呢，比之前呢又进行了一个增加。我们来看一下这道题。第一问呢，要划谁是谁的几倍，这个呢，就比较常规了， 我们构造八字形的相似就可以了， a m 要是 b m 的 三倍， a 这一边呢，对应的是三， b 这边对应的是一数就可以了。 过点 a， 我 向右边数三个就数到了这个地方。过点 b， 我 向左边数一个就数到了这个地方。这个时候我们只要把这两个点一连八字形的相似，就会出现 上下这个三角形和这个小三角形属于八字形的相似。看一眼，相似比上面是三，下面是一，相似比是三比一，所以这条边和下面这条边也是一个三比一的关系。 那这样的话，跟 a b 的 交点就是我们所需要的点 m， 此时 am 比 b m 一定是三比一， am 就是 b m 的 三倍。再来看一眼第二个，让你找一个角，需要让它的正切的值变为一。 这个呢，我们在讲这一类题的方法的时候也练过，其实呢，就是搞一个四十五度的角就出来了，而他给的这个网格呢，正好能算出来 ab 的 长度，我放到直角三角形里面去， 这是四，这是二，所以 ab 的 长度呢，勾股定律算出来就是啊， 根号下的二十化简就是二倍的根号五，这个地方我就不化简了， 方便我等一下算，如果我把它当斜边，搞两条直角边有四十五度，那一定是等腰直，每一个都是根号十就可以了。根号十的话， 稍微扫一眼，我就能扫到这个地方了。所以我们把这个点和它这边做一个连接， 跟这边连一下，然后呢跟这边再连一下，立马就能搞定。我先把它点掉， 连完以后，这两个呢正好都是根号十，因为这是三，这是一，它是根号十，这是三，这是一，这边呢也是个根号十， 所以两条直角边全都是根号十，那形成的是勾股的定力，所以这个地方一定是九十度，那他是九十度，我的这个角呢就是四十五度，他是四十五度，他的正切呢就是一， 这就可以了。我们在考试画的时候，多余的这些东西呢是不需要的，保持卷面的整洁就可以了，画到这边来，然后这边再画一条就可以了， 剩下的就是把它挪到该去的地方。 好，这就可以。 这个点点上我们需要的点 n， ok， 第三问，让你过这个点要画它的垂线，垂线呢？我们讲的特别多了， 过一个点向一条线画垂线，先把这条线放到一个横平竖直的直角三角形里面去，然后两条直角边数出来就可以，一个是四，一个是几啊？二， 从点屁，这个地方怎么样？重新去数一遍就可以了，水平的两个变成竖直的 两个就可以了，所以你竖直两个向下就到这个地方来了，竖直的四个要变成水平的四个，但是你会发现这个时候怎么样画不了四个，只能画三个，所以他跟以往的题相比就增加了这么一点难度， 那以往的我们能数出来四个的时候，你画出来是垂直的，其实用的是什么？不就是两个三角形全等去倒角吗？ 全等以后这个角跟这个角不是相等吗？这个地方九十度，这是圈对顶角相等，这是圈，这个点加这个圈也九十，内角和一百八，得到这里垂直， 所以我们平常画垂线是这么去画的。那这个地方你数不了的时候，稍微的再思考一下就可以了。全等能得到对应角相等，你能去倒角，难道除了全等我们就没有了吗？ 相似三角形的对应角也是相等的，我也能构造 相似的三角形去做，是不是呢？那你构造相似三角形，你先看这个三角形，它的两条直角边，一个是四，一个是二，它们之比呢？那不就二比一吗？ 那你再构造一个直角三角形，两条直角边的比值也变成二比一不就行了吗？ 那你变二比一还不简单吗？一个画二，一个画一，这是不就可以啊？那一个画二，一个画一，那我画一， 我是不是能画这么短一点？画二我是不能画到这个地方，然后呢？连起来， 这个时候你两个直角三角形是不一定相似，两边对应成比例，假角相等吗？相似三角形对应角也是相等的，点一下是不就可以了？这个角的对应角跟这个角是不相等， 而这个点加上这个圈，这个地方形成正方形的网格，这个拐角是不是九十多点？加圈九十度的话，那这个点加这个圈是不是也是九十多？ 三角形内角和一百八，所以这个地方就是多少九十度呗，他是九十，那我画的这两条线不就垂直吗？所以立马变成了他的垂线，这是我们垂线另外的一种画法，构造相似也能画 保持卷面的整洁。你只要把这个点和这边这个点做一个连接就可以了， 连接到这儿， 然后呢，这个焦点是我们需要的，谁啊？点 q， 画上这一段呢？是谁啊？ 直线垂直，符号描上就可以了， ok 吧？好，画完以后，每一个里面写上什么东西啊？如图所示，谁谁谁即为所求，这就行。好，第二个里面好像有一条线，是不是要改成实线？这条线 找一个点， n， a， b， n 这个角，那这个角的两边 ab 是 实线， b， n， 我 最好也画成什么线，实线会更好一点， 这就可以了。好，这是这一道题，大家主要琢磨学的是第三问，因为前两问呢，我们已经 在专题里面去学，已经画烂了。第三问呢，我们画的类型也是特别特别的多，但是我们一般利用的是什么？去画， 去数，构造全等三角形去倒角去画，或者说三角形的三条高交于一个点，去找那个点， 构造相似用的比较少，这个地方正好能构造相似，因为一个是四，一个是二，我同时给他除以二，变成二和一了。相当于如果来一个三，你就要变成一点五， 如果来个五再除以三，这个时候构造相似就会比较麻烦了。好，这道题呢，我们就到这个地方。
135伍斌的数学思维
01:18查看AI文稿AI文稿很多孩子一看到无刻度尺作图啊就慌，觉得只能画线，啥也干不了。 但其实套路特别固定，记住这几句，直接拿分的，只用无刻度尺，不能量长度，也不能画圆，只能做三件事， 第一，连两点，第二，延长线。第三，找角点。做题按这四步来，第一，找图里面的平行、对称对角线，这是你最稳的依据。第二，把能连的点呢？先连起来， 对角线一定要画交点，就是突破口。第三，线段不够就延长，延长之后自然会出现新的交点。第四，用新交点再去连线。要的中点、垂线、平行线啊，全靠它。 记住一句话，无刻度尺不靠梁，全靠结构。找交点，有平行，找相似，有对称。想平分， 有对角线就找中心。下次再碰到这种题目，别瞎话，先连线，再延长，找焦点，思路一下子就清晰了。
14一鸣老师
00:59查看AI文稿AI文稿今天我们来讲一讲如何用圆规做已知角的等角。咱们先画一个已知角，角 a、 o、 b。 角画好之后，咱们来注意看做图的步骤，你准备好了吗？ 第一步，以 o 为圆心，画弧，交 o， a 于 c 点，勾 b 于 d 点，先描上弧与角的两条射线这两个交点，第一步咱们就搞定了，接着第二步，咱们来画一下射线 o 一 撇， b 一 撇， 以 o 一 撇为圆，同半径画弧交 o 一 撇， b 一 撇，于 d 一 撇， 然后画弧，找到弧与射线 o 一 撇， b 一 撇的交点， d 一 撇点，以 d 一 撇为圆心， c， d 长为半径，画弧交前弧于 c 一 撇， 这样咱们就得到两个弧的交点是 c 撇点，得到角四一撇， o 一 撇， d 一 撇，即为角 o b 的 等角，你学会了吗？
05:54查看AI文稿AI文稿这是一道中考新题型，学会它，中考便可轻松多拿六分。给出一个无限网格，让我们仅用无刻度尺画出中线、高线以及线段 b f， 让 b f 的 长还要等于二。先来看画中线， 如果你想画中线 a m， 一定要确定边 bc 的 中点，观察发现呢？边 bc 呢，正好是矩形的 一条对角线，那么我们就可以利用矩形对角线的特点，连接矩形的另一条对角线，跟 bc 有 一个交点，矩形的对角线互相平分，那么这个交点呢，就是我们编 bc 的 中点。我们在考试画的时候保持卷面的整洁，你只要连接这个点和这个点，就是它的中点，写上字母 f。 这个时候我们画中线，用你的直尺把点 a 和点 m 做一个连接，这条线呢就是中线 am。 再来看画高线 cp 通过点 c 要向 ab 呢，画一个垂线， 怎么样画垂线呢？我们这个地方是构造的全等三角形，往 ab 上面，我要去画垂线，先把 ab 放到一个横平竖直的 直角三角形里面，看他的边各有几个直角边，这条水平的直角边一共有三个。 这条竖直的直角边呢，一共有两个，那我从点 c 要向 ab 划垂线，我从点 c 去数就可以了。数什么？竖着的两个变成水平的两个，那这个时候我水平呢，分左边和右边两种情况， 其实你可以尝试，有一种情况一定是不合适的，这个地方呢，我们要画的时候只能干什么？向左边数两个，因为你要向这个方向干什么？画垂线 好，竖着的两个变成水平的两个，那水平的三个要变成竖着的三个，向下数数不了三个，所以我们只能干什么？向上数，向上数三个到这个地方， 那这个时候呢，我们找到了这个点，只要把这个点和点 c 做一个连接， 我们得到的这条线和 ab 一定是垂直的，为什么会是垂直的呢？这个地方我们构造的两个直角三角形，其实是啊，全等三角形，那么全等三角形对应边相等，这个角的大小和这个角的大小就相等， 而这个角加上旁边的这个角形成九十度，所以他加上这个圈呢也是九十度。三角形内角和一百八，剩下的这个角 也是九十度，那么两个直线呢就会垂直，垂直呢就是高线。我们在考试画的时候呢，这些图形呢，全都不要数的，这个过程你只要 内心的去数，找到那个点就可以了，我们数完以后，最终找到的是这个点， 考试画的时候把这个点描出来，然后用你的直尺把这个点和我们的点 c 用虚线先连起来， 跟它有一个焦点，这个焦点呢就是我们要的 p 垂直符号标上它，让你画的这半段呢描成实线，这样的话高线 c p 我 们就画完了。再看第三个， 让我们在 b c 上面找一点 f， 要让 b f 的 长度变成二。无刻度的直尺怎么画 固定长度的线段呢？我们先观察一下 bc 这条线，它呢正好也在一个横平竖直的 直角三角形里面，水平的这条边是三，竖直的这条边是四，那我们根据勾股定律立马得到 ab 呢，它是一个五， 我想得到一个二的线段，那我们把 bc 只要分成二比三五份，那你两份呢？不就是二吗？我们把线段 bc 呢想分成二比三的两份，这个地方利用我们以前讲的构造八字前的相似就可以了， 点 f 离点 b 呢更近，我们从点 b 这个地方数两个就可以了。水平的数我可以数到这个地方来，从点 c 这个地方记着反方向的去数，它向左，那它呢就向右去数， 数掉三个以后呢？在这个地方我们只要连接就可以了，那么上下形成的两个三角形一定要相似，相似比呢是二比三，那么它和它作为相似比也是二比三，所以这个焦点就是我们需要的那个 点 f， 此时线段 b f 的 长度就等于二，那考试画的时候你怎么去画呢？这些多余的东西同样的通通的不要。 我们找到的点这个地方有一个瞄一下，这个地方有一个瞄一下，这个时候用你的直尺把这两个点做一个连接， 跟 bc 的 交点呢？就是谁啊？我们的 d f， 此时 b f 的 长度就等于二，来学会了没？
104伍斌的数学思维
06:07查看AI文稿AI文稿大家好，今天再分享一道题，这个题目说是小明在数学兴趣小组中与同学们研究三角形的时候啊，发现了一个有趣的现象，如图，三角形 a， b， c 中啊 a e 使 b c 边上了中线，在 a e 上任取一点 g 连结 b g， c g 并延长分别与 a、 b、 a、 c 交于点， d 和 e 则 d f 平行 bc。 李小文，你觉得小明的发现正确吗？如果正确，请证明，不正确说明。那这个实际上我们就是我们之前讲的萨瓦丁尼的一个特殊情形，它的证明就是利用 三角形的面积来占这边，我们就不占了。这个第一个小弯啊，他给出了我们如何做一个一条线的平行线的一种方法。 我们再看第二小文，点 p 为圆 o 上一点，请用无刻度的直尺做出过点 p 的 圆 o 的 切线。主要讲解第二小文，无刻度直尺啊，只能在两点之间连线， 比如说我们只能连接 p o 并延长交这个圆 o 与 q 点，这样我们就得到了这个圆的一条直径。 直径有什么用处呢？用处是直径所对的这个圆周角是九十度。那我们在这个圆周上任取点， 任取一个点与 p p 点跟 q 一 连，所成的角啊，都是九十度，那这个有什么用处呢？ 用处就是可以得到各造一个三角形的垂心啊，然后利用这个垂心的性质可以做出这条直径的垂线。 那怎么做呢？我们之前讲过，就是在这圆外任取一点，连接这个点与 p 点跟 q 点一连，与这个圆有两个交点， 然后连接 c q 和 b p， 那 么这个 c q 就 垂直 ap， bp 就 垂直 a q， 它就是直径所在的圆周角是九十度，那这这两条线有一个焦点，即为 d 点，这个点 d 就是 三角形 p q a 的 这个垂心， 因为这也就是说这个三角形的这个三条沟都是交于这个点的，那只要连接 a d 并延长这条线呢，就是就是垂直于 p q 的， 那么我们把这 a d 这条线与圆的两个交点记为 m n， 呃，这条线就是垂直 p q 的， 而题目中是要求是过 p 点做圆 o 的 切线，也就是过 p 点做这条直径 p q 的 垂线，那实际上啊， 就是过 p 点，也也可以看着是过 p 点做这条直线 a m 的 平行线， 那平行线怎么做呢？我们来看一下，这个 a m 与 p q 是 垂直的，那么这个焦点啊，即为基点点进就是这个 m n 这条线段的中点，这是根据圆的对称性，点进是 m n 的 中点，有中点， 这个点 p 是 m m y 的 一点。那怎么做平行线呢？可以根据底小问，实际上就是记住中线来做平行，也就是萨瓦迪尼。那怎么做呢？我们看一下， 首先把 mp 连起来，然后呢我们在 mp 上面呢，延长线上取一个点，这个点意是任意的点呢， 连接 eg 跟 em， 那 这时候这个 eg 就是 三角形 emn 这个 mm 边上的中线， 然后我们再连接这个 mp， mp 跟 eg 有 一个交点，是 f 点， 再连接 n f 与 e m 交于一个点 h， 那 么这个连接 p h， 这个 p h 就 跟 m n 是 平行的， 那么当然这个 p h 就是 这个圆 o 的 切线了，这样我们就挣出来了。那这个做图题，我们也可以把它分为两步，第一步是做出这条直径 p q 的 一条垂线， 那方法就是利用三角形垂线的性质和直径所对的圆周角是直角，来得到一条线与 m n 是 平行的。 第二步，然后我们利用塞瓦定力，或者是利用或者是借助中线呢三角形的中线做平行线，从而得到这个圆二的切线。
11:34查看AI文稿AI文稿刻度尺尺作图是这两年中考考察的新题型，也是各位同学丢分的一个重灾区，如果难度出的稍微再高一点，那得分率会相当的低。 今天的这两道题正好是我们宁夏某个市中考模拟考的原题， 难度呢比平常做的呢是要稍微高一点。这里呢，拿过来给大家做一个讲练。先看第一个，让你画 a、 c 边上的高 b、 d， 那 你画高线无非就是怎么样做一个垂线就可以了，但是你的直尺怎么样没有刻度，直接画不了。 直接画不了的时候，我们常规的也是有方法的，你要通过某个点往某条边上面去画垂线，我们首先呢，需要把这条边放到一个横平竖直的直角三角形里面去， 把它的两条直角边数出来，这是第一步。第二步，你通过哪个点要向它上面去画垂线， 就通过这个点把这两条直角边重新的数一遍就可以了。但这个地方我们数的时候一定要反着来，怎么反着来呢？水平的四个要变成竖直的四个 竖直的你通过点 b 想去数四个向上是不可能了，只有一个你再数呢，就到外面去了。 向下的话也是不可能的，你只能数三个，再数呢也到外面来了。所以我们常规的画法呢，已经不行了。至于我们为什么要这样去数着去画， 如果还有不太明白的，就是在班里上课还是听的有点问题的，你可以好好的看一下前面的作品。 好，那这道题呢，我们常规的方法不行了，那我们怎么样去画它呢？我还是想得分，对吧？这个时候你就去琢磨你无刻度尺画考的其实就是什么， 我觉着他就两个东西吧，第一个就是网格的特性，第二个你的无刻度的直尺只能连谁和谁，那这个谁你怎么找到的？根据什么找到的呢？不就是几何的原理去找到的吗？ 所以他考的呢，就是你把这两个能不能结合起来吧。那现在呢，我们做 a、 c 上面的高，常规的方法已经不行了，我们看看有没有什么几何原理能辅助一下。 我们观察观察这个三角形 ab 这条边，我们可以数出来他的边长是多少， 这不就五个吗？ a、 c 这条边我们刚刚呢放到了一个直角三角形，它的两条直角边，一条是三，另外一条直角边呢是正好，是啊四，所以我勾股定律能算出它的长度呢，也是个五， 那正好是一个特殊的等腰三角形，这是第一个我们要去做高， 对吧？那这个时候呢，我们就可以稍微的想到一个知识点，什么知识点呢？三角形的三条高，它其实是交到一个点的， 如果我能找到这个点，那我把点 b 和这个点连延长，这不就是垂直的吗？ 所以我现在想办法去找这个点吗？你三条高交于一个点，那你这条边上的高不好画，我画另外两条边上的高不就行了吗？ 先来看 ab 这条边上，它的高线呢，特别简单，网格的特性稍微用一下就可以了，这个地方它不就是 ab 上面的高吗？ 所以剩下的就剩个 b、 c 上面的高了，而 b、 c 上面的高，我们发现呢，它又是一个以 b、 c 为底的等腰三角形， 等腰三角形底边上有三线合一，画高线等于在画中线，画中线我只要找 b、 c 的 中点就可以了。中点呢，我们是会找的 矩形对角线的特性吗？所以我只要把这个矩形的另外一条对角线连出来就可以了。和我们 bc 的 交点一定是它的中点， 这个时候你用你的直尺把点 a 和这个点做一个连接， 连接完以后，三线合一，得到这个地方一定也是垂直的，所以我们画出来了这个三角形另外两条边上的高，这两条高呢，有一个焦点在这个地方， 三条高都是交于一个点的，所以 a、 c 上面的高一定也经过这个点，它又经过点 b， 那 根据两点确定一条直线，我把点 b 和这条线怎么样连起来， 跟 a、 c 有 一个相交的地方，这个呢，它不就是垂直的了吗？ 好，他让我画的这条线呢，我改成实线，剩下辅助的线全部都是虚线，标上垂直的符号，垂足呢，他说用点 d 表示，那我表示上就可以了。 这是第一问，我们再来看一下第二问，让你画一个线段，既要跟 a、 c 平行，又要保证线段的长度呢，等于三。 那你看画平行这个东西，我们是会的，对吧？平行呢，我们有两种画法，第一种呢，平移就可以了，你看他是某个矩形的对角线，把这个矩形整体移过去就可以了， 这是第一种。第二种呢，我移这个三角形也可以吗？那平移前后的线不就是平行的吗？三角形的对应边平移前后也是平行的吗？ 这是我们画平行线的方法，这个地方他让你去画平行，你就得想清楚，随便画条线，如果平行，那这个地方一定会出现学过的什么知识啊？ 相似的三角形，或者说平行线分线段成比例，一定会出现这个知识， 对吧？这个地方呢，它又要让这条线段的长度等于三，那长度等于三的话，长度有关系的。我们第一问已经算出来这个长度不等于五吗？你不是要相似吗？ 那相似它不就有一个相似比吗？如果有条线段和 a c 的 比值， 它们的比值呢？等于三比五。那现在呢？我已经知道 a c 的 长度就是多少五，所以你画的另外一条线段的长度自动就变成了几啊三吗？ 所以有了平行，对吧？有了 a c 的 长度，它其实就是想让你构造一个相似，让相似比变成三比五，那剩下的线段自动长。就是啊三。怎么构造这个三比五的相似呢？ 来这条边的长度，第一问我也数出来是几啊？是五呀？三比五。那我从点 b 这个地方数三个不就可以了吗？ 不就轻松地数到了这个点吗？接下来我只要过这个点做 a c 的 平行线不就可以了吗？ 过他做 a c 的 平行线。我们刚刚讲我可以平移直角三角形吗？那这个三角形 我要去平移的话，你去盯这两条直角边就可以了，这条直角边肯定竖直的，怎么样？平移到了这个地方，他呢？向右是不是移了几个 两个吗？ 或者说从这个地方平移，不改变线段的长度，它现在的长度是四，你往前数四个不就可以了？我不就数到了这个点吗？ 只要把它哥两个一连得到的这个三角形一定就是前面这个直角三角形平移得到的两条斜边，它跟 a、 c 一定平行， 那这样的话平行线也有了三比五，我在这个地方就得到了三比五，它是三，整个 a、 b 是 五，所以有平行，有三比五的相似三角形了。 我们画的时候保留一个比较干净整洁的卷面，这些复杂的东西怎么样？或者说辅助我理解的东西都怎么样？擦掉，找到了这个点，剩下的找到这个点，两个做一个连接就可以了。 好，把这两个连接完以后和这条边呢有一个交点， 这两个点一个是我们的一一，一个呢就是 f， 因为这个时候形成的这个小三角形和整个大三角形 abc 相似，相似比，在这个地方我已经数掉了三比五， 那你是五，他跟 a、 c 是 三比五，他的长度一定是三。搞定，这就搞定了，画的这一段记着最后的给他干什么，改成实线就可以了，你把它重新的描一遍就行。 当然这个地方呢，我用手直接画掉了，大家用你的直尺连的直直的就可以了。 好，这是今天给大家带来的两道无刻度支持作图，大家一定要认认真真的去听去记， 希望能帮助大家中考的时候多拿六分。如果你还有哪道题有问题需要讲一下，你可以联系我。
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