八年级下册几何求角度题
如图， b、 d。 平分角 abc、 c、 d。 平分角 ac， 角 a 等于六十度。让我们求角 d 的 大小，题目当中给出了角 a 的 大小，我们怎么样求出角 d 呢？很多同学觉得没有思路， 这个时候一定要注意，我们还有两个条件没有用， b、 d 平分角 abc 说明这两个角相等，我们把它标为白塔。 那我们要求的这个角的和阿尔法、贝塔有什么样的关系呢？我们来观察一下这个三角形， b、 d、 c。 角 d、 c、 e 实际上是这个三角形的一个外角，三角形的一个外角就等于不相邻的两个内角的和，所以这个角白塔就等于角 d 加上这个阿尔法， 那角 d 实际上就等于白塔减阿法。接下来只要求出白塔减阿法就可以了，怎么求呢？再来观察一下这个六十度角所在的这个三角形， a、 b、 c。 角 a、 c、 e 实际上是这个三角形的外角。外角等于不相邻的两个内角的和，那这个两倍的白塔 实际上就等于六十度。加上两倍的阿尔法，我们把两倍的阿尔法移到等号的左侧，两倍的白塔减去两倍的阿尔法就等于六十度。提取一个二， 白塔减阿尔法就等于六十度，这个时候这个白塔减阿尔法就可以求出来了，它就等于六十度，除以二就等于三十度。
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01:41查看AI文稿AI文稿如图，已知 b、 d 和 c、 d 是 三角形，两个外角的角平分线，角平分线说明这两个角呢？相等，我们把它标为 r， 这两个角也相等，我们把它标为白塔。角 a 等于五十度， 让我们求角 d 的 大小，角 a 等于五十度，那么我们如何算出角 d 呢？我们完全可以采用一种算的思路。 怎么算？我们来看一下。第一步，角 a 等于五十度，那么在这个三角形 a、 b、 c 当中，我们完全可以算出角一加上这个角二，角一加上这个角二就等于一百八十度，减去这个五十度就等于一百三十度。第二步，我们再来算一下这里的两倍的阿帕加上两倍的贝塔 等于多少度？测一下，我们这个角一加上两倍的 r 就是 一个平角，角二呢，加上两倍的 b 的 也是一个平角，那么这些角都加起来实际上就是两个平角，一百八十度乘以二就等于三百六十度， 那我们这个两倍的 r 加上两倍的 b 的 是不是就等于这两个平角三百六十度，再减去这个角一加上一个角二，一百三十度。轻松的求出两边的 r 加上两边的 b 的 就等于二百三十度。 第三步，两倍的算法加上两倍的比特算出来了，那么我们这个一倍的算法加上一倍的比特是不是就等于二百三十度？除以二就等于一百一十五度？ 这个时候再来观察一下我们要求的这个角 d、 r 加比特已经算出来了，等于一百一十五度。那么在这个三角形 b、 c、 d 当中，第四步，我们这个角 d 是 不是就等于一百八十度？减去一百一十五度就等于六十五度。
26木子老师初中数学
01:20查看AI文稿AI文稿先看题目，角点 r 是 七十度， c， d 等于 c a 点点 o， 同时在角点 b 的 平分线上，又再过点 c 的 垂线上 看到角平分线。不要只盯着角，可以先想到到两边距离相等，看到 c o 等于 c d 再加 c o 垂直啊 d 就 能想到垂直平分。过点 o 做三条垂线，到 b， c 到啊 c， 再到 b r 的 延长线。 因为 b 额平分角 r b c， 所以 点点 o 到 b 和 b c 的 距离相等。再连接 r e。 后面要证明 r e 也是一个角平分线。 因为 c o 等于 cd 点点 c 到点 a 点 d 两点距。又因为 c 额垂直 r d， 所以 c 额就是 r d 的 垂直平分线。点点 o 在 垂直平分线上，所以 r 等于 d e 前面已经有 m 等于 h。 在由垂直平分线关系可以得到 o， g 也等于 o h 点点 a 到 r m 和 r c 的 距离相等，所以 r 平分角 c r m 因为角 b， r c 是 七十度外角 c r m 就是 一百一十度。 r 平分外角，所以角 c， r 是 五十五度。 又因为 r 等于 d e 三角形的 d， e 是 等腰三角形，所以角 c d， e 等于角 c e 答案就是五十五度。
8高尔夫
02:31查看AI文稿AI文稿好，角 a、 加角 b、 加角 c、 加角 d、 加角 e、 加角 f、 加角 g 等于多少？那这个它是一个多边形，你怎么把它给合进来？我们来先看啊，那么我们把这个给合过来，你看 这是不是有个，是不是？呃，您把它合过来的话，您看这是 a， a 的 话，这个地方是角一，我们可以发现是角 a 加角 b 加角 c 加上角一，结果是等于三百六的。再看，我再把这个地方给它画出来， 这是角二，然后是角 h 加上角 g， 角 h 加上角 g 加上角 f 加上角二，是等于三百六的。 角二给它乘分，然后再看这个角三，这是角四。角 d 加上角一，加上角三加上角四，结果又等于三百六。你把这个所有的在一二三， 你把这个一二三给加上一加二，加三，我们得 这一大坨，这一大坨啊，这一坨加上角一加上角二加角三加角四，等于三百六乘以三， 那所以说这个圆是就等于，那这个角二加角三是等于一百八， 角一加上角四，结果也等于一百八。拿这个地方一减度就行了，拿一百一千零八十减上三百六，就等于七百二十度， 七百二。好，七百二。就讲到这。啊，好，同学们，拜拜啊，同学们，拜拜。
09:00查看AI文稿AI文稿各位同学好，我们来看一下八下期末提升专题一的第十八题啊。十八题说，呃，这是一个正方形，正方形是期末非常常考的，而且是会做最后一道答题啊，因为正方形的性质特别多，它现在呢，屁点是在对角线 b d 上一个动点。第一小题连接我们的这个 ap 和 c p， 让你证明这个三角形的 apd 和三角形的 c p d 是 全等的。那么我们在第一小题，其实这个东西对称他不就全等吗？但是证明全等，你可不能说对称， 那这个证明全等的依据，首先一个是 a d 等于 c d 啊，然后 dp 等于 dp 是 不是公共边？还有就是正方形的对角线是 平分你的九十的，所以是不是两个四十五度呀，那么这个是性质啊。好，所以第一小题得真。那第二小题，如果学校没有上正方形的同学，各位同学自己先把这个正方形的性质给他背掉，嗯，我们说从边角对角线出发啊， 好，来第二小题。第二小题就我屁点还在动啊，我在这上面做了一个 p e 和 p 和 c p 啊，这两个应该是垂直的，那么直角。好，那么这个第二小题在正方形里面，各位同学来标注一下，这是非常典型的，而且到九年级也会经常考的，叫做化写为直题型啊， 所以我们先标注题型叫化写为直。那就是你的 p e 和 p f 呃，和 pc 啊，它两不都是斜的吗？而且都是在对角线上，所以在这里面我们就来做垂线。好，做垂线来看一下第二小题。 那第二小题做了垂线的话，首先，呃，我们的这个，你要想说明 pce 的 度数其实很简单，我只要说明这是一个等腰直角就可以了。 其实第二小题总思路呢，我们就是想证明这个三角形的 pge 呢？它是全等于这个三角形的 phc 的。 呃，当然这个是在写题过程当中，我没有给你写详细，我只给大家写了一个思路啊，哪里来的依据？ 好，首先一开始的时候，我们的这个 p g b 还有 g b h 就 这四个角，各位是不是直角，那么四个都是直角，可以说明我是一个矩形，那为什么这又是一个正方形当中的？呃，就是 p g 和 p h 为什么又相等？呃，那么，呃，在这里面是不是因为 我们一开始应该是有这个平分的呀？大家看这个 b d 不是 平分这个角 abc 吗？好，然后 p g 和它垂直， p h 不 也和它垂直吗？ 那么这里面是不是有个角平分线？这个角不是四十五度吗？这个角不也是四十五度吗？我们说角平分线上的点到线段两边的距离是相等的，对吧？这个这个 b d 是 整个 abc 的 一个角平分线啊。啊，所以在这里面，首先我们四个九十先推出你的矩形 矩形 p g， 呃，在前面，我给你稍微在这个点我给你写一下啊， 就你这一题，稍微难一点的就是那个 p g 为什么等于 p h？ 好， 首先是因为我四个角啊， p g b 和我们的角 g b h 还有这个角 p h b 啊， 还有一个角是 g p h， 那 四个角是九十，那我们首先先推出这是一个矩形， 矩矩形的 gph。 啊，好，那为什么又是一个正方形，就是 p g 和 ph 为什么相等？那么在这里你要注意我们刚刚说，呃，正方形的对角线啊，这个 b p 应该是为角 a b c 的 一个角平分线， 那既然是角平分线，那就说明角平分线上的点到线段两边的距离相等，所以 p g 和我们的 p h 应该是相等的。好，那么这个三角形全等的话，那就会有一个边的一个条件啊， 然后各位再看，其实其他条件就结束了，这不是九十吗？这中间 gph 不 也是九十吗？那所以导致我们角一和角二应该是拿九十减公共角，除了这个之外呢，还有 p g 和 ph 刚正的和一个九十度，所以这个全等用到的应该是我们的 a s a。 呃，这里面我只给你写一个分析啊， a s a 第一个是角一等于角二。 好，除了这个之外，还有就是我们的，呃，中间的这个 p g 会等于 p h 啊啊，还有一个是角 p g e， 我 们会等于这个角 p h c， 那 么它应该是等于九十，那结束过后啊，所以我们的 p e 不 就等于 p c 吗？ 然后再加上我们的 p e 是 垂直于 p c 的， 所以等腰直角，那我们就可以推出我们的角 p c e， 那 么等腰直角，它应该是四十五度啊， 好，那这个是我们的第二小题啊，然后再来看我们的第三题啊，啊，第三题要说明什么呢？他说，他说我们去 还是动点，然后呢？做一个 p e 是 垂直于这个 c b 还是垂直啊？在 p 点运动的过程当中，请你直接写出 p b， 还有我们的 p d 和 b e b e 在 这它们三者的之间的这个关系，各位同学一定一定要注意，这种题是常出的，而且这个东西你是要当做这种常规题型去做啊。 好，那么在这里面首先还是会用到前面的这个化简为直的基础啊，因为有第二小题，所以我在这里就不讲那么多了，我就给你简单的去给个思路。那在这里面一开始是不是肯定会有个圈的啊，就三角形的 p g e 啊，跟刚刚一样啊，三角形的 p g e 呢？我是会全等于这个三角形的 p h c 的 好，这个全等说明什么？说明 p g 和 p h 是 不是应该是相等，当然你不全等正方形也能出啊啊，你再来看啊，我们的 b e 好哎， b e 我 可没有办法单独出啊，他只能把这个 g e 给他加上。那各位，我是不是就等于我们的 b g 啊？ 你现在关键就是 b e， g e 还有 b g， 你 要找到和题目当中 p b 以及 p d 的 关系啊，那我们再来啊， p e 是 题目要的，这个东西我不要动啊， g e， 各位，根据全等，哎， 我能不能够把 b g e 根据全等转成 h c 啊，全等就是在这用到了，而 h c， 各位，这里是不是出现了一个矩形呀，那 h c 根据转化，我能不能转化成 p f 啊？完全可以， 但是 p f 跟我的 p d 还是挂不上关系哦，那各位，这是一个什么样的三角形？ 这不但是一个直角三角形，而且我们说正方形的对角线是不是角平分线，所以它是一个等腰直角三角形。那么在这个等腰直角三角形当中，你我们说斜边为直角边的根号二倍吧，所以 p f 和 p d 什么关系啊？ 是不是直角边占了整个斜边的二分之根号二倍这个笔记本笔啊，笔记本上有啊，斜边是直角边的根二倍，那么直角边是斜边的二分之根二倍啊。好， 那接下来我们再来看这个 b g 啊， b g 请问和我们题目的 p b 是 什么关系呢？那它这这是不是又出现了一个等腰直角三角形在这里吗？ b g b 当中啊，那么这个 b g， 各位我能不能转化为是二分之根号二倍的 p b 啊，这不是一样的吗？ 所以在这里面来，你会发现呦，我的这个 g e 转掉了，转成了是二分之根号二倍的这个 p d 啊。然后这个 b g 呢？我是二分之根二倍的 p d， 所以 整体如果说，呃，你想写好看一点，同乘二，同乘二的话， 同乘根二会好一点，会好看一点啊，同乘根二的话，那就是根号二倍的 b e， 再加上一个呃， p d， 右边同乘根二的话，刚刚好是 p b 啊。 那么这个时候你可以呃一个项，一个项的话，那我最终答案可以写成是 p b， 减去一个 p d， 它会等于根号二倍的 b e 啊。好，那综上所述，这一题采用了正方形的画斜为直模型。好，那这是我们的第十八题啊。
88小顾老师吖
07:43查看AI文稿AI文稿你记住，等腰三角形中考百分之百要考八年级数学下册小册子的第五页纸。我们看到第一题， 在图式房屋人字梁架中， a、 b 的 v、 c。 我 们要练习图形 a、 b 等于 a、 c 啊，那就说 a、 b、 c 是 等幺三的心 d 在 b、 c 上。下列条件不能说明 a、 d 垂直 bc 的 啊，这个 d 在 这里，那么 a、 d 是 不是垂直 bc？ 我 们看的第一个角 a、 d、 b 等于角 a、 d、 c 角 a、 d、 b 等于角 a、 d、 c 是 可以说明的，当这两个角下呢，而这两个角的和等于一个平角的时候，这两个角就都等于一百八十度的一半。 第一个是可以说明的，你看了第二个角 b 等于角 c， 那 么 a、 b 等于 c 就 可以得到角 b 等于角 c， 所以 这个角 b 等于角 c 跟 a、 b 等于 c 啊，是相当于，只是同一个条件，没有办法得到这个 a、 d 乘以 b、 c， 所以这个不能够说明的。这里应该是 b 啊，必定选择 b， 那 我们把 c、 d 来看一下，如果 b、 d 等于 c、 d 的 话，那我们可以根据等幺三角形底边的中线，也是底边的高线，根据三线合一可以得到 啊，所以第二个是可以得到的。我们看到第四个 a、 d 平分 a、 d 平分角 b、 a、 c 等腰上的底边，顶角的平分线与底边的高线是互相重合的，如果已知 a、 d 是 顶角 b、 a、 c 的 平分线，那么 a、 d 同时就是 bc 边上的高线，这也是可以得到的。好，这些基本的结论要把它记住。我们看到第二题 第二题，如图， a、 d 是 等边三角形的 a、 b、 c 的 一条中线 啊，那么这个途径啊，它是它的一条中线，等等边三角，注意，这等边三角，那么等边三角一条中线，那等边三角中线，那也是它的高线，也是角平分线了，那就都是了，对吧？ 使得 a e 等于 a d， a e 在 哪里？ a e 等于 a d， 那 么刚才这是等边三角的每一个角都等于六十度，那么这个 a、 d 是 中线，那是底边的高线，也是顶角的平分线。所以刚才我们说这每个角都等于三十度， 现在有了 a、 e 的 ad， 那 就是 ad 是 等腰三角形，那么于是这个角 ad 等于角 e 角 ad， 呃，就是一百八十度减三十度，除以二，一百八十减三十，一百五十除以七十五度。 好，这两个角都是七十五度，好看。提问问，什么角 edc， 那 么这个角 edc 就 等于角 adc 九十度， 对吧？减去七十五度，那就等于一十五度，对吧？七十八十九。呃，那么这样就选择 d。 好， 第二题，选择 d， 我 们看到第三题 第三题，如图，加 m， o n 等于一百度，那么图形在这加 m o n 等于一百度。呃，点 a 呢？在射线 o m 上点 点，在这以 o 为圆心，以 o a 为半径画弧，加设写 o m 为点 b， 那 就说这里是一个扇形， o a b 这个扇形， 那么这里也就是得到 o a 是 o b 的。 现在如果以点 a、 b 为圆心，以什么呢？以 a、 b 的 长为半径画弧，那么这句话的意思是 以 a、 b 啊，分别以 a、 b 为圆心，以 a、 b 的 长为半径画弧。那我们看了以点 a， 以点 b， 以点 a， 以点 b 为圆心，以 a、 b 为半径的长。 这也就是说这里的 a、 b 的 长度和我们这画的这里它的焦点得到的， 那么这样的一个呢？形成的是一个等边三的形啊，等于 c， 所以 这是六十度，这是六十度，这是六十度，那么由于这个是一百度，所以这个 o、 a 等于 o、 b， 那 么这两个角就都等于四十度， 对吧？一百度，一百八十乘以一百八十除以四十度，那么这角等于六十度。好，题目问，角 o、 a、 c 啊，这个加于点 c， 所以 角 o、 a、 c 等于四十加六十，那就等于一百度，角 o、 a、 c 等于一百度。 好，我们看到第四题。呃，第四题的文字在这，如图，在三角形 a、 b、 c 中， 角 b 等于五十度，角 c 等于九十度。在射线 b、 a 上着一点 d， 使三角形 a、 c、 d 为等腰三角形，则角 a、 c、 d 的 度数。是啊，记住，角 c 九十度，角 b 五十度，有个射线 b、 a 上着一点 a、 c、 d 是 等于二三角。求角 a、 c、 d。 好。图形呢，在这啊，好，这个是五十度，这个是九十度，那么这个就是四十度。在哪里找呢？在这个射线 b、 a 上 啊，找一点 d， 使这个 a、 c、 d 好， 比如说这个 a、 c、 d 啊，比如这个 a、 c、 d 啊 d。 在 这儿，比如说，那么这个，当 a、 c 等于 a、 d 的 时候，那么这个角等于二十度，这个角等于二十度，角 a、 c、 d 就 等于二十度， 那么是不是角 a、 c、 d 就 等于二十度呢？请您注意啊，这道题目有很多人把它卡住了，因为他说在射线 b、 d 上找，这里也属于射线 b、 d 啊，所以这个 a、 c。 那 我们看到这里。 如果说 a、 c 等于 a、 d 的 话，那我们可以以 a 为中心，以 a、 c 啊，你看到吗？你看 a、 c 等于 a、 d、 d 也可以在这里啊，当 d 在 这里的话，这也是 a， c、 d 等于二三角形呢，你看这四十度，那这角就等于七十度啊，对吧？ 这个 a， d 等于 c， 一 百八十减四十除以七十度。好，那我们看到这个 c， a 等于 c、 d 行吗？ 那么 c， a 等于 c， d 呢？ a 就 到这边来了。不行，那我们看到 d， a 等于 dc。 好，比如说 d 在 这啊， d， a 等于 dc 这四十度，这四十度加 a， c、 d 就 等于四十度。所以这有三种情况，加 a， c、 d 等于七十度，加 a， c、 d 等于四十度，加 a， c、 d 等于二十度。所以这里的答案 那就应该是二十度或四十度或七十度。好，这道题呢，很容易出错，也是一道非常好的题目，一定要小心，记得点赞关注哦。
04:49查看AI文稿AI文稿第二题，呃， a b 平行 c 倒 e m 平分 角 n e f。 哦，这两个角相等了。那因为 a b 和 c 倒相等，这个角是贝塔，那它这个是内错角，是不是也是贝塔？然后它俩都相等，那不都是二分之贝塔吗？好，把这个先写出来， 因为 a b 平行 c 道，所以角 c n e 等于角 n e f 啊，都等于被它啊。因为 e m 平分，角 n e f， 所以 角 m e f 等于二分之被它。好，我写这里来啊， 好，这是二分之倍大，这也是二分之倍大。继续往下读， m m f 平分，角到 m e， 哦，这两个角有相等， 嗯，那这两个角相等怎么去算呢？它测谁是倍大呀？哦，我在测谁，哦，这个角是 alpha。 好， 然后它还有一个条件是垂直的， 那我就能算出这个角了呀，这是九十度，那这整个一个角跟这个角互余的，对不对？所以这个角就是九十度减倍的。好，那我写出来了哈。 又，因为，嗯， e n 垂直于 f n， 所以 角 e n f 等于九十度， 所以角 n e f 加。角 n f e 就 等于九十度，所以角 n f e 等于九十度减倍它，又，因为角 n m f n 等于 alpha， 所以 这个角就出了，所以角 m f e 就 等于九十度减 beta 加 alpha， 是不是？好，因为这个平行，这里还有一个类错，就是，嗯，这整个一个角等于这个角，这是类错。那我写到这个平行的下面好不好？ 就写这个地方好了，嗯，就是角到 m f 等于角 m f e， 对不对？好，随便就写。所以角到 m f 也就等于九十度减倍，它加 alpha， 就 它 这平分了，所以它是不是也是？好，再写一下。又因为这一块隔开哈， 好，又，因为 m f 是 平分角到 m e 的， 那所以角 e m f 也等于九十度。减倍它加二法，那对三角形 m e f 用内角和 在三角形 m e f 中。我们知道这三个角加起来是一百八十度嘛，对不对？也就是二分之贝塔加九十度 减贝塔加 alpha， 那 这个也是九十度减二，贝塔加 alpha， 那 我乘以二就好了，是不是等于一百八十度啊？ 好，我展开一下。哦，这是二分之 beta， 这个展开是减二分之 beta， 那 就负的二分之三 beta， 这加一百八和右边加一百八抵消了，再加个二 alpha 就 等于零，所以二 alpha 应该等于二分之三 beta 啊。所以 alpha 再除以二四分之三 beta， 所以 alpha 比上 beta 就等于四分之三倍，它以上倍，它也就等于四分之三啊，所以这个答案就是四分之三。
03:15查看AI文稿AI文稿等腰三角形 a、 b、 c 啊， a， c 等于 b c 告诉我们顶角角 c 等于七十度，叫我们求什么？求它的这个对面的这个角 d、 o、 e 的 角度啊。 等腰七十度啊，那就是满一百八减去七十等于幺幺零，那这个角就是五十五，这里也是五十五， 半径相等，这都是二啊，那就是五十五，五十五啊，那我们就可以求出什么这个角 一百一，也是七十七十啊，一百四，一百四，平角一百八减一百四，就是什么四十度 d、 o、 e。 那 第二小题 告诉我们， ab 等于根号， 等于根号二的 d、 e 啊，叫我们求什么？这个角 c、 e 的 度数啊， ab 是 直径，那这都是半径，我们半径给它啊啊啊啊。然后看 d、 e 是 等于什么？跟 ab 的 关系，我们 d、 e 啊， a、 b 除以根号二好，根号根号二等于什么？二分之根号二 a b， 那 a、 b 是 什么？ a， b 是 二 r a、 b 直径 乘以二 r， 那 就什么等于二 r 二个二消掉 好，这个是根号二 r， 而 d、 e 求出来等于根号二 r r r 根号二，那就是什么一。一根号二就是勾股定律，这个角推出它是一个直角， 那我们就可以设差，这个角设为 a 等腰，这也是 a、 b， 那 就 b 啊，要求角 c， 角 c 就是 等于什么一百八，减去什么 a 加 b， 那 我们只要求出什么 a 加 b 就 可以了。 那这个角一跟角二，角一是等于什么？一百八十度减去二 a， 角二呢？ 等于一百八十度，减去二 b 啊，那角一加角二就等于什么九十度，角一加角二一百八减二 a 加上一百八减 二 b 是 等于九十度的。还有一个平角，这边是九十度啊。三百六，那就是二 a 加 b， 二 a 加二 b 等于两百七。好， 那 a 加 b 就 可以求出来。 a 加 b 就 等于一百三十五度 角， c 就是 什么一百八减去一百三十五啊？那就等于什么百八减去三十，一百八减一百三十五，就是什么四十五度求出来。
19福州数学林老师
05:52查看AI文稿AI文稿三角形里边经常让我们用角平分线去求角度，当你碰到这样的题的时候，你知道怎么做吗？欢迎收看老虎讲数学。 我们说对于三角形的概念而言呢，如果出现了角平分线，那一定会给你提供相等的两个角。对于这一系列的题啊，最简单又直观的做法呢，就是把这个数据啊标图里边， 然后呢，你在图里面利用三角形的内角和为一百八，或者是有垂直的时候，利用互余，互补和互余是能帮助解决角平分线带来求角度问题里面常见的套路。比如说这个题 给了一三角形 a d 垂直一 bc 就 九十度了吧，所以一旦垂直，自然会有角度的互余为啥没有边呢？人家那是求角度嘛，咱们这个视频也是聊角度， 然后呢， a e 又平分了角 b a c， 因此作为角的平分线，相等的角呢，是应该给他标一下的。 不过呀， a e 在 右边呢，多了一根线，所以你在标这个符号的时候呢，稍微画的夸张一点，角一等于三十扔进去，角二等于二十写进去，下面这个户余是七十哎，读着题，写着答案，把这些数据已知的先给他标清楚， 然后剩下的呢，看人家问啥角 b 的 度数哦，角 b 的 度数，那么你说三角形里边 c 已经知道了， a 已经知道了，那这个时候 b 肯定是用内角和互补关系喽，对吧？当然了，严格来说是把 a c 看成一个整体，他跟角 b 互补， 那至于角 a 是 多少呢？肯定不能三十加二十，是因为这两个圈圈角平分线的原因，左右它都是三十，所以 a 点对应的是六十， 六十呀，七十呀，加一块一百三，这个地方五十就很显而易见了吧。所以你看，对于内三角形内部有角平分线的求角度问题，把数据都标进去之后，然后再根据呀，什么角相等呀，互余和互补关系是不是比较清楚呢？ 点赞关注不迷路，感谢您的支持。我们接着看下一个题，在这个三角形 a、 b、 c 里边啊，哎，又画了一条高线，所以你看我是不是又里可以写一个余字。 这个时候呢，互与我们都知道是两个角之间的关系，包括互补，但是有些时候，他给你三四个角的时候呢，你完全可以把其中一部分角看成整体，跟另外一个单蹦的单独的角做互补关系。因为互这个字是俩人嘛， 高线有了 a、 e、 b、 f 分 别是角平分线以后， b、 f 做角平分线好标， a e 不 大好整，这有一个高嘛。所以呢，这个位置的角咱可以画的夸张一点，这两部分 行了，还有什么条件啊？这还给了一七十标进去，那七十标完了手痒，上面就是二十喽，对吧？它都有条件反射。那剩下的问题结束，问题是角 a、 o、 b， 找了一下一二三这个钝角的度数。 哎呀，你看我们现在的已知条件，有一个内角七十，有一个角平分线的一部分是二十，这种情况下， a 和 b 完全不知道，就知道一个 c， 结果让去求这个地方跟这个三角形内部又造了一个三角形的角，你看 麻烦吧。所以刚才我们提到那个字眼，互余和互补是两个角之间的关系，但有些时候呢，我们完全可以把两个角看成一个整体，跟另外一个角进行互补关系。 简而言之呢，对于三角形 abc 来说，如果把 ab 看成一个整体，那这个整体的角度和 c， 他 不就互补关系吗？对应的是不是 a 加 b 等于幺幺零啊？那是七十，这不一百一吗？然后呢， ab 又分别，你看两个叉两个圈，那不是角平分线，那因此他俩的一半一个圈加上一个叉，是不是对应了五十五度？ 那你看吧，五十五度了，这个角，这个角相加等于五十五，那在这个三角形 a、 b、 o 内部，这个跟它互余的角，你说这东西是多少度？这就好算了吧。 所以啊，这是求内部的角，很多时候，互余互补关系，不要单纯的只看两个独立的角，你完全可以把其中一个看成一整体，再往里面找互余互补关系。 所以啊，第二问，角 abc 等于六十，嗯，那行了，接着那个已知条件角平分线，咱给他劈开两个三十， 对吧？那写到这了，先不管问题，七十六十还剩一搭档，谁合适啊？五六七，所以角 a 等于五十，结果角 a 呢，又被平分成两个角，所以一个叉就是二十了，所以在中间的缝就是五。 那一句话带来的所有已知条件标完了，求 d、 a、 e 的 度数的啊。呃，有猴直接出答案了。 你看三角形内部啊，角平分线用来求角度的时候，很多时候就是利用互余互补，但这个时候，你一定要建立一个概念，千万不要只沉迷于两个角，完全可以把三个角四个角其中的一部分当成整体，跟另外一个角继续互余或者互补呀， 希望对你有所启发，点赞关注不迷路。感谢收看咱们下个视频见。
23爱数学的胡老师
16:30查看AI文稿AI文稿hello， 同学们，我们来看一下气体，如图，在平面直角坐标系中，只限 y 一 二分之一， x 加三，那我估摸着应该是这条，因为没有直线了， 与 x、 y 轴分别相交于 b、 a 两点。因为我们是直线与坐标轴的交点，所以就需要用到点。在坐标轴上的一个特征，在 x 轴上，纵坐标为零，所以这个纵坐标为零，带进去求出它的横坐标，这里刚好就等于负六。 然后 a 点也是一样的，因为在 y 轴上，所以它的横坐标为零，然后带入进去就求出我们所对应的纵坐标，所以 a、 b 这两个点就确定下来了。然后此时呢，我们要找到一个点，是 c 点 连接 a、 c， 将 a、 c 这个线段呢，绕着 c 点去进行逆时针旋转九十度，逆时针旋转九十度，也就意味着这里有一个直角，这个直角呢是这样子摆的，而我们的平面角坐标系 a、 o、 b 这个位置也有一个直角，而且大点。他说我旋转过去得到的这个角，说明 ac 大， 是个等腰直角三角形，我的大点刚好落到了直线上面，所以对于大点而言，在这个位置它就过大做了大一垂直。所以我们的整个平面角坐标系中就存存在了这么一个一线三垂值，所以这两个三角形大 e、 c 和 c o a 就 全能呃圆一， 一组边相同元音二，一组直角相同元音。三。叉加圈等于九十度，然后叉加圈等于九十度，两组角，所以角角边正得两个三角形全等。那么这一块我们就不再多去写了。第二个，如图二，将线段 a、 c 沿 x 轴负方向去平移，得到 a 漂 c 漂，当 a 漂 c 漂经过大点的时候，求大点的坐标，那不管它经不经过大点啊，这个大点坐标都要求只是 平移之后的这条直线，需要借助大点坐标确定它平移的距离，所以我们可以继续跟着一小问， 一小问，这呢，得到这两个三角形是全等的，那么我们就可以得到了这个纵向的长度。三是跑到这个位置来，然后这个短的边其实不知道的，所以对于我们的二问，我肯定是由一问所得到的一个结论去令出答， e 的 长度和 c o 的 长度都等于 a， 然后去表示出来，我们大点的坐标就记作 三加 a 是 它的横坐标，但是它是在左边负半轴，所以是负 a 减三，就是负三减 a 一 样的，然后它纵坐标的话，就是在 高这个位置吧，就是在上方这个位置，所以就应该是 a 的 一个高度。好了，已知大点的坐标带回到我们的直线集市上面，集二分之一倍的负三减 a 加三等于 a 的， 最终 a 算出来是等于一的 好， a 算出来等于一之后，我们接着要往后看， 大点的坐标就出来了，带回去就是负四负一。那么 a c 平移的距离是多少呢？那你想一个问题，平移的距离是不是就由两个交点去决定了？你只要知道了 c 漂这个交点的坐标大减小，是不是就得到了 c c 漂及我们的平移的距离。 所以此时我们的第一个小点解决了，大点坐标有了，但是平移距离还没有搞定，所以先要求解 a 漂 c 漂的解析式。首先它们是平移的，我们知道两直线平行，它的 k 是 不变的，而 a c 解析式是多少呢？那是不是就得 先求出来，然后再带入两点距离公式，我们可以快速去把它求出来啊。一个带 a 点零斗三，一个带 c 点负一斗零，把这两个点带入进去， y 等于 k， x 加 b 去解得这个二点。一次方程组， 这里就为三 x 加三， a c 为三 x 加三。平行的直线 k 相同， k 就是 x 前面的这个系数，所以这里也是三 x 加几呢？不知道，所以我们就令这一条为 b， 既然它是加 b， 那 我们带带这个负四都移进去，就可以求出我们的 b 处处 b 看一下啊。嗯，在旁边想要算一下，负的三分之，负的负的十二加 b 等于一，说明 b 是 等于十三的，那这就为三 x 加十三好了。直线已有 y 等于三 x 加十三。 我们要去找 c 漂是不才能确定焦点，所以 c 漂就应该是令纵坐标为零，横坐标就等于负的三分之十三。那 c c 漂的长度就大减小吗？大的肯定是负一减去这个小的负的三分之十三，即 三分之十。好了，平移的一个距离， a c 的 长度也为三分之十，这是我们的答案。呃，一个大点在这儿，哎，一个 a c 的 距离是在这里的。 继续读三小问，如图，直线与 l e 交于 m 点，平移 b m 时的 b 的 对应点落到了 y 二上，而 m 的 对应点落到了 x 轴上， p 是 y 以上的一个动点，取 o， p 中点 q 要求二倍的 q， n 加 n， p 的 最小值。读完这个题，我就整个人都是懵的，因为它出现的点呀，线呀，动过来，动过去的东西太多了， 所以我们肯定要慢慢去理，甚至于你可能需要乱画一个图，然后画完之后，你可能还需要画一个更加标准的图，然后来验证一下我们这个答案，或者说他的位置可能长得太丑了，影响了我的判断，这些都是需要的，所以我们来重点看一下这个图。 在题里面出现了一个直线，是 y 二，这个 y 二呢，有一个特征，它只有一个 k， 所以 y 二我们可以记作 k 倍的 x 减一，而它此时就一定过一个定点，过的是一到零， 过定点一斗零，一斗零在哪？大概就在这啊，你看人家都给我们画出来了。所以这个交点呢，就是我们的一个定点与 y 一， y 就是 ab 这条直线哈，不要忘了，这是 y 一， 这是 y 二，它们俩相交于 m 平移线段 b m， 使得 b 落到 f b 的 对应点，落到了 f 这个位置。那我可以这么去理解，就是平移这条线段 之后得到了 f， 谁呢？他写的就是 f n 嘛， b m 对 于 f n， 那 么整个线段平行过来，你想想连接这四个顶点，它是不是必然会围成一个四边形？ 这就是我们平移所非常巧妙的灵活运用的，看似三角形对不对？其实引含了一个平行四边形这么一个 特征和性质在里头。然后现在两点都知道了吗？不管屁为 y e 上面的一个动点哦，你要找 y e 上面有个屁点，那我们就随便找，要取 o p 的 中点， 这画大了也不行，画小了也不行，随便找 o p 连接，取它的中点是 q 点，然后要去求两倍的 q n 加上 n p 的 最小值，我们还是用红色笔描出来吧，这是 q n， 这是 q n， 没问题， n p。 在这个题里面哈，我首先要想到的一个点在于我们的线段和的最小值出现了公共的一个点 n 点，这个 n 呢，是个定点没问题，但是前面是不是出现了一个倍数，就是系数不再为一了？所以遇到这种情况，我们一般都会选择先 思考的过程中，把这个二倍提出来，那就有 q n 加上二分之一倍的 n p， 但是 n p 我 在图上面又没有办法把它割成两半呢，所以我就想了，前面系数又为一了，后面又为二分之一了，真难。 所以我们就要想，其实在初二这个阶段，有线端的二倍关系的时候，更多考虑中位线，要简单许多。所以你想我的 q 点是左边 o p 的 中点，我再在 o n 这条已知线段上面取了一个中点 p q t 吧。 那么只要这样一连接，只要这样一连接， 这条是不是中位线？而且这条中位线是刚好等于二分之一倍的 n p？ 好 了，在这样的加持下，我们这个题就升级了，变成了 q n 加上 q t 二倍可以先不用管了，只需要求出 q n 加 q t 的 最小值。而 q 是 不是此时一个运动的点？关于这个运动的点， 我们是不是要先找到它的轨迹？因为我们图上面只是给我们提供了一条直线，此时 q 所在的一个位置，但是它结合中点这么一个特征，我一定是能找到 q 点的轨迹在哪里的。 找到了 q 点的轨迹之后，是不是要沿着动点所在直线去对称一个定点，你看嘛， q t 和 q n 它们都类似于在同侧，但这里还没有办法去确定，说明它一定是在同侧，所以我们先去把这两个特殊点找到。呃，第一个，因为 p 点在上面运动哈，我们去找两个特殊的点，比如说 p 点在 b 这个位置的时候，我的 q 点就在这， 然后如果我的 p 点是在 a 这个位置的时候，我的 q 点在这，所以其实它很好做。一个原因在于它一定是过 a o b o 中点的两条线，那这条直线一定是平行于 ab 的， 所以它的直线解析式我们可以这么去记， y q 表示 q 运动的这条直线是平行的，平行 ab， 所以 二分之一 x， 那 过几呢？在中点处呀，所以它与纵坐标轴 y 轴的交点是二分之三，所以直线解析式确定好了。那么判断 q t 和 q n 这两条线段是不是在同侧，那么同侧的一个问题，我是不要去变为异侧，那变为异侧就得去做对称，所以 找一条直线去往上对称就可以了。那我们选择短一点的嘛，因为这个 t 在 这个位置呢，它在坐标轴上，呃， n 其实也在坐标轴上，都短，都没有太大的差别。我们换一个颜色去更好的给大家标出来 黑色吧，我们要去做对称，大概的这样一条线段就确定好了，所以这个就是我的 t 漂， 这个是 t 漂，那么连接起来这两条线段就可以互换了。互换就是在 t 漂这个位置的时候，连接 n， t 漂 就取到最小值。所以题我们已经分析好了，我们整个最小值我们用 m i n 来表示，已经变成了二倍的 n t， 还要接着往后变，变成了 二倍 q n 加 q t 的 最小值是不就是 n t e 漂？那我们只需要把 n t e 漂给它求解出来就可以了。 呃，这两个应该怎么去求解呢？我可能更多的就是想把这个 t 漂这个点给他求出来，用两点距离公式。我实在是没有更多的脑子去算了，我就硬算了。那我们就去找这个 t 漂怎么得来的，然后他有什么特征，他 具体应该怎么去完成，所以这里就得用到我们的对称性。那么在对称性这里，我知道这个焦点和 t 间的距离 是相等的，甚至于可以说这条直线上面就存在一个终点。那我们要去求这条直线极值还不容易吗？是不就非常容易了？那我们就去先结合这个终点去带入去求解一下。 利用垂直这么一个特征，我们就可以继续往后去判断一下。那我们首先去找到 t t 漂这条直线，它是垂直于 y q 的， 那么 k 的 乘积是不等于负二啊？等于负一，那么 k 是 不是算出来等于负二，所以这条直线等于负二， x 加几呢？不知道又加 b？ 呃，这个 b 不 太建议出现太多次啊，尽可能少出现几次。 嗯，可以换着换着字母来，然后我这里就简写了，然后再带入 t 点坐标， t 点坐标是 o n 中点吧， n 在 这个位多少呢？哦，突然卡住了，发现在前面我们好像没有把 n 这个点去给它求解出来，所以你就要回一下这个 n 怎么来的呢？因为我们刚刚是分析了整个题， 嗯，它的一个求解方式相当于思路已经非常清晰了，但是还存在一些问题，比如说 t 我 求解不出来，是因为 n 求解不出来，那我们就想办法去求证一下。 然后在这里的话，这个图就比较混乱，可能大家也不是看的特别清楚，我用一个银黄色的笔给大家描出我们所需要的这几个点。首先我们是把 b m 往下平移，所以围成的这个四边形，它就是个平行四边形，而平四边形的 b n 是 在 x 轴上，而好像围错了， b m 少围了一点，哎，就在这。然后这个 m f 呢？ 他也是个对角线，对角线的角点是不是这个点？而这个点是不是我们刚刚提到的过的这个定点？哦，原来这个定点是在此处去利用上的， 我们已经找到了这个焦点是一斗零的一个坐标，同时那根据前面的 bo 是 等于六，然后 o o o h 这个点是一，所以就可以得到 b h 等于 h， n 就 刚等于一半，就等于七，所以右边是七，七加一， n 点的坐标就出来了， 那我们就只需要带入 n 点的坐标八到零，那当然这个 n 点出标，坐标还不能带进去啊，因为我们要找的是 t 点的坐标， t 点是在这条直线上，所以 t 是 它的一半，就是四到零，四到零带回去刚好得到 b 等于正的八，所以 t t 漂 就是 y 等于负二， x 加八，而直线已有，但是直线上来是不是还产生了一个焦点？我们把这个叫做 t 中， 这个 t 中的话就需要连立方程，所以 y 等于负二， x 加八，以及 y 等于二分之一， x 加二分之三，可以去算一下，求出来 x 等于五分之十三， y 等于五分之十四，所以题中就为这么多，那我们反过来是不是可以去求出 t 漂这个点坐标了？这里写不下了，我们就往左边来看一下。 那现在 t 一 漂就应该用中点坐标的两倍去减去横坐标及五分之二十六， 嗯， 五分之二十六减去横坐标就是四，也就是五分之六，那纵坐标的话就是五分之二十八，减去零 来接着来看 t 漂点出现，我们要求 t 漂 n n 点坐标是八到零，所以用两点距离公式去求的 n t 漂的一个长度就等于根号下 五分之六减去八的完全平方，再加上五分之二十八的完全平方，可以看到是大家都有五分之一，所以我们就直接把五分之一给它求出来，然后去把它的分子给算出来就可以了。这里刚好是，呃，四十 四十三十四，三十四的平方加二十八的平方就等于五分之二倍的根号下四百八十五。 啊。这一块算完，剩下就是我们最小值就最后一步的一个计算，因为最小值是两倍的 n t， 所以 我们把它加上的话就是五分之四倍，根号下四百八十五。
05:43查看AI文稿AI文稿第六题，这道题呢，如果我们学完相似，做这题特别简单，但是目前我们没有学完，没有学过相似，所以我们就用换别的方法来做，可能做起来稍微麻烦一点，但是也能做啊，一个四边形 d、 b、 f、 e 与四边形，这两个四边形，它都是什么形啊？都是正方形，已知 a、 d 的 长度我们在图中标等于一， b、 d 的 长度等于三，所以这是三，没错吧？好，此时则图中阴影部分的面积是多少？当然，如果我们学完相似，这就超级简单。为什么？你看这个三角形跟这个三角形是不是相似啊？ 形状肯定一模一样，因为这个角等于这个角啊，这个角两直线平行，同一角相的这个角也是两直线平行，同一角相的三角角都相等的，三角形，形状是一模一样的。既然一模一样，你这个是一比三，我这个是不是也是一比三啊？ 好，那如果学问相似，我们怎么做？这是 k， 这个可以是三 k， 那 这个是不是也是三 k 啊？所以你看 e、 f 是 不等于 e、 f 的 长度等于几 k 啊？四 k 等于它的边长，边长是几？边长是三 啊？四 k 等于三，所以 k 就 等于四分之三， k 等于四分之三，所以我们阴影部分 g、 f 这条长度等于什么？等于三 k 就 等于四分之九。所以很快 s 阴影部分面积立刻就有了，等于四分之九的平方就等于十六分之八十一。当然，这个方法呢， 初三绝绝绝对很快啊，但是目前我们没有办法用这个方法来做，因为这个目前我们没有学过。那怎么处理呢？我们可以利用什么方法？用面积法来解决这个问题？首先我们的核心思想，先把 b、 c 求出来， 那我们现在你看这个是一，这个是三，这个是三，这个是三，这个是三，那如何求出 bc 呢？哦，面积法来，我们简单的连一下这个 b、 f， 哦， b、 e。 啊，那这时候你会发现，比如说我在旁边写 s 三角形，整个大三角形 abc 的 面积，三角形 a、 b、 c 的 面积，是不是立刻就被我分成了三角形 a、 b， 什么 a、 b、 e 加上 s， 三角形 b、 c、 e， 大家想想我为什么要这么分？因为我分完了之后，大家看这两个三角形，它们的高都相同，都是三， 是吧？哦，高度相同，都是三，那唯一的就是这个底，不知道，那这个底，不知道这个 bc 是 不是就可以求出来？那你看一下这个啊，二分之一乘以什么？乘以 ab， 再乘以 bc， 你 看这个最终的式子中是不是只有一个 bc， 这个未知数， 加上二分之 ab 乘以这个高，高是第一，再加上这个二分之一，什么？ bc 乘以这个高，这个高是 e、 f， 你 看所有的式，这个式中所有的条件里面只有一个 bc 位置吧。所以接下来是二分之一乘以四，再乘以 bc 等于二分之一乘以四，再乘以三， 再加上二分之一 bc 再乘以三。所以同学们看一下，这里面唯一未知的就只有 bc， 你 看一下，这边是两个 bc， 这边是二分之三个 bc， 挪过去就变成半个 bc， 二分之一个 bc， 这边等于几？二分之一 bc 等于六，所以 bc 等于十二，所以立刻就有 bc 是 等于十二。 当你发现 bc 等于十二之后，瞬间我们的 fc 就 有了， fc 是 不是就用 bc 减去 bf 啊？ 就等于十二减三，不就等于九吗？所以这段长度等于九，这个长度等于九，这个长度等于三。哎呀，接下来我们要求这个小的阴影部分的这个面积，同样也是同样的手法，一样的手法，那么构造一个什么 面积？比如说我把它一粘，这个图有点浅啊，我干脆换一个深一点的颜色粘，我用红色的把它粘起来。 连完了之后，我把 f h 一 连，连完了之后，你会发现我们要求的这个面积，这个面积是不是三乘以九，再除以二？那你看可以分成这个面积和，这个面积是和，而这两个面积是和。二分底层高，二分底层高，唯一不知道就是这个高吗？ 所以这个方程是不是也很快能求出高高？就是我们阴影部分的边长。好了，那么第二个同样 s 三角形来看，整个三角形 e、 f、 c 瞬间就被分割成了两个三角形， e、 f、 h， e、 f、 h， 再加上 s 三角形，还有 f c h， f、 c h， 那 么代入数据，整个面积是二分之一， e f 再乘以 c f 等于三角形， e f 是 等于二分之一， e f 再乘以什么？乘以 g h 再加上二分之一，这是什么？ c f 再乘以 h i。 好，我假设我现在不知道这个边长是几，那么他这个边长就是小 a、 小 a， 小 a， 小 a， 对 吧？四个都是小 a。 好， 那紧接着下面我们直接代入数据，把已知的代进去，二分之一乘以三，再乘以 c f 就是 九， 就等于这边是二分之一乘以 e f， e、 f 是 三，乘以我们的小 a， 再加上二分之 c， f 是 九，再乘以这个小 a， 所以 大家看看这个式子中是不是只有一个小 a 是 未知的？所以小 a 对 于我们来说有困难吗？啊？完全没有困难，这是二分之三个，这是二分之九个，所以二分之十二个就是 多少？二分之少就六个小 a。 六个小 a 等于，这是二分之三。九二三九二十七。啊，二分之二十七个小 a。 这边是啊，嗯，等于六个小 a， 所以 很快就有小 a 就 等于二十七，除以二乘以六。二乘以六的话，约掉一个三变成四，他约掉一个三的，呃，变成二啊，他约这个三变成九，所以就是四分之九吧。小 a 等于四分之九，也可以算出来， 小于等于四分之九，所以阴影部分面积是不是也能够有啊？等于四分之九的平方，就等于十六分之八十一。同学们看一下，在没有学相似之前，这个题目做起来是特别困难。 当然，如果你这直播课上杨老师讲过的黑魔法你也知道，你就直接用我们刚刚说的那个黑魔法，反正是填空选择题吗？两个三角形形状相同，说明他的个边是成比例的。其实这个结论就是我们相似里面所学的这是一比三，所以这个也是一比三，用刚才那个方法会更快一些。啊， 我把答案填上去，就是这个答案是多少来着？就是十六分之八十一。
01:31查看AI文稿AI文稿一分钟学会一个几何模型，给出一个等边三角形和内部三条线段长度，让你求角的度数。如果这道题你完全没有思路，那你一定不知道鸡爪模型。为什么叫它鸡爪模型呢？因为它长得像个鸡爪子。 从题中我们不难发现，给出的线段长度三四五。如果能放在同一个三角形中，根据勾股定律、逆定律，不就能成为一个直角三角形吗？所以我们要通过一定的手段将它们转化到一个三角形中。 我们把图中三个小三角形标记成一号、二号和三号。因为大三角形是等边三角形，我们以点 a 为例，可以发现等线段共端点，那我们必然要旋转。 同理， b 点和 c 点也是一样，所以我们旋转哪个三角形都可以。因为要求三号三角形角的度数，所以我们以点 b 为顶点旋转，三号旋转完长这个样子。这里一定要注意，旋转后一定要使我们的 bc 边和 ab 边重合。 此时黄色三角形和三角形全等，我们将线段长度标记上，于是提出一个问题，我们旋转了多少度得到的黄色三角形呢？ 我们将这个角设为阿尔法，这个角设为 beta， 因为全等，所以这个角也是阿尔法。又因为是等边三角形，所以阿尔法加 beta 等于六十度，于是轻松可得三号三角形。旋转了六十度得到的黄色三角形有六十度，又有两个相等的边，我们马上想到连接 dp 构造等边三角形，所以 dp 等于四角一等于六十度。 至此，我们通过旋转已经将三条线段转化到绿色三角形中，再根据勾股定律、逆定律，这个三角形不就是直角三角形吗？我们的角二就是九十度，你让我求这个大角的度数，因为全等，我只需求出角一加角二的度数，答案不就出来了吗？等于一百五十度，同学们，你学会了吗？
90正能亮数学
02:13查看AI文稿AI文稿同学们好，我是专会新的李克老师，今天我们一起来探讨一道就是初一他这个三角形章节部分的题，大家一起来看第十七题。首先我们一起来读题，一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，然后若角三等于五十度，角一加角二等于多少度？ 通过读完题，然后我们再看到这个图案之后呢，我们发现他可能会跟角有关系，对吧？考察的是角部分的问题，然后他这给出了正方形，那么角有关，我们是不是想到四个角都是六十度？好，知道这个条件之后，我们一起来看来看图，角三是五十度，然后 这是一个正方形，这两个等边三角形，那么这就是九十度，这就是六十度，这就是六十度。好，现在我们一起来放大他，现在让我们求角一加角二的和是多少？那么从问题入手，我们要想知道这个角和这个角，那你能想到什么？ 一出现和我们第一感觉就是肯定是跟角的和呀，角的差呀，是不是内角外角，我们就有这些知识点，所以现在来看，老师这里 我这画的是一个什么？平角，平角，对吧？那么这是九十度，这是角一，那这个角呢？是不是跟角一有关系？就是角一加这个角，我们可以给他先标上，这是角四，这是角五，这是角六，好吧，那么角一加上角四，我们就能够得到是九十度，那么再继续来用一条粗的线来看， 那么角二和这个角这是不是又是一个平角，那么这个角是不是六十度？那么角二和我们的角六的和就是一百八十度减六十度，也就是一百二十度，那同理角三和角五 一百二十度。因为通过这个我们现在知道题，题目中已经给了角三是五十度，角三是五十度，然后另外呢，角四加角五加角六，他是不是在一个三角形内角和是一百八十度，那么我们把他们这一堆都加起来，就是角一加角二加上角三，加上角四加角五加角六，加上一百八十度，就等于三百三十度， 对吧？那么角三是五十度，角一加角二就是三百三十度，减去五十度，减去一百度一百度。那么这个题是不是就结束了？他问的我们正好是一百度， 所以我们需要把关于角，做题之前需要把关于角部分的知识点都想到内角和内角，外角然后等边三角形，然后正方形、长方形这些常见的图形的角的度数。好，我们今天的题就到这里，你学会了吗？如果有哪一个知识点不明白，可以在评论区联系我呦。
06:15查看AI文稿AI文稿你想提高数学成绩吗？免费帮你提高成绩，你还在不乐意啊？八年级数学下册小册的第八十页纸上呢，我们看到第六张的平行四边形。 第一题如图，在平行四边形 a、 b、 c 这种角 b、 a、 d 的 平分线，那么跟着我一起列 b、 a、 d 的 平分线，所以大家做记号，这两角相等 好，加 dc 的 延长线。加什么东西？这就看图了，这里第一个叫做平行四边形，这个叫做平分线好，然后呢， ab 等于四， ad 等于六，好把它做记好。求， e、 c， e、 c 在 哪里呢？哦， e、 c， e、 c 在 这啊，求这这这是 e、 c。 好， 先把图形给我看清楚 好，由于平行四边形呢，这个 a、 d 跟 b、 c 是 既平行又相等的，所以那我们看到这个角一啊，是等于角二的，角二呢，是等于角三，等角再等边，所以这边等于四， 这边等于四， b、 c 等于这个等于六，所以这个 e、 c 等于二。那么因此第一题写的 d 啊，跟我一起练习对吧？其实很多东西都很简单的，但是考试有的同学，现在有的同学真的是刷到我的都都都不愿意跟着我来看啊， 那这里要记住啊，角平分线对吧，两角相等，两这平内侧角相等，得到角一等于角三，也就得到 a、 b 等于 b、 e 啊，这是个等幺三的题目啊，这样呢，未来我们经常有这种题目的。 第二题，又是角平分线，你看角 b、 c、 d 的 平分线，你看角一等于角二，角一等于角三， 对吧？意味着平行四边形也是平行线，所以角二等于角三，所以 d、 c 等于 d、 e。 那 么说 a、 b 等于意思， a、 b 等于什么意思？一是吧，那么平行四边形 a、 b 是 等于 c、 e、 d 的， 那么刚才角二等于角三的时候， d、 c 是 等于 d、 e 的， 哎，这三边不就成了相等吗？三边的相等，这个角就是六十度，也就说这个 c、 d、 e 是 等边三角形，等边三角，这个角六十度，那么这个平行四边的菱角互补，所以角 a， 那 就是一百二十度。 好，我们得到等边三就行。好，这两边相等是平行四边的对边相等，这两边相等呢？是角一等于角二，角一等于角三，得到角二等于角三等角对等边，对吧？嗯，那么这 ab 等于 c、 e， 那是已知的，对吧？所以这个 c、 d 等于 ab 等于 c、 e， 这个，这等于这个三边都相等，所以等边三角等边三角呢，这个就得到六十度。而根据，因为始终这是平行四边形，对吧？所以两边平两组啊，这一组对边平行，同的那角互补，所以这个一百二十度角 比三题还是平行四边啊。 a、 d 垂直于 b、 d 角所在的边呢？斜边一半， 那么 b、 d 等于三，所以 a、 b 就 等于六，对吧？ a、 d 我 们通过勾股定律就等于三根号三，我们就不多说了，那平行四边形的面积就可以等于底垂高，把 a、 d 当做底高就是 b、 d， 哎，就是三根号三乘以三，那就等于九根号三， 对吧，所以这个面积就等于九根号三。平行四边形的面积啊，等于底乘以高，三角形的面积是底乘以高，还要乘个二分之一，因为这个平行四边形就是两个三角形的面积。 第四题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 垂直， bc 于 e， f 垂直于 f， 这垂直了 a， e 比 a， f 等于二分，比三分。 呃，这地方我们要根据什么东西呢？平行四边形的面积啊，可以等于这个 b， c 乘以 a， e， 对 吧？底乘以高也等于 c， d 乘以什么呢？ af 啊，这个式子我们叫做等级式，有这个等级式，我们就可以变成 a， e 比 af， 我 们根据外向的积等于内向的积， a， e 乘以 b， c 等于这个 af 呢？乘以 c、 d， 这个在小学也提到了，虽然我们中学要到后面才学，但是简单呢。呃，这些性质也要知道一些啊。 a， e 乘以 b， c 等于这个 a， f 乘以 c， d。 好， 那就是 a， e 比 a， f 等于 c， d 比 c， d 就 等于二分，比三分 好，那么现在我们看到平行四边的周长是五十，零边的和角等于二十五，也就是 ab， 如果我们说这个 ab 等于 cd 等于二 k， 对 吧？ bc 等于 ad 等于三 k， 那 么这样呢？我们就知道，二 k 加三 k， 对吧？零点和的两倍等于五十，对吧？二 k 加三 k， 五 k 等于五十 k 等于五。好， k 等于五的话，那 ab 就 等于二五一十，所以 ab 就 等于十， ab 等于十， cd 等于十， ad 等于 bc 等于一十五。 好，那么这里我设计了用了一个辅助位的时候 k， 这样呢，可以快速的去解答问题啊，就很简单的了，同时也设计了一个辅助位的时候 k， 这样呢，我们看到第五题， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线交于点， o， a、 c 等于六， b， d 等于十， a， b 等于四。求角 b， a、 c 的 度数。我们看到图形在这里啊， 他刚才说这里是个平行四边形 a、 b、 c、 d， 然后呢？ a、 c 等于六的话， o， a、 o， c 就 等于三， b、 d 等于十， o， b， o， d 就 等于五。由于这个 a、 b 等于四，根据三的平方加四的平方啊，等于九，加一十六等于二十五，刚好等于 o， b 的 平方。根据勾股定律，逆定律，我们得到角， b， a、 c 就是 九十度。 好，第一个，我们得到角， b， a、 c 等于九十度。好，具体的步骤我没有写，我这个口袋儿说了一遍，那么这个第二个呢？这个面积 s 平行。四边形 a、 b、 c、 d 就 等于底乘以高就等于 a， b 乘以什么呢？ a、 c， a、 b 是 几呢？ a、 b 是 四， a、 c 是 六，四六，二十四。好，呃，这都是比较简单一点的呃，练熟了，熟能生巧，考试呢？呃，即使拿不到满分，也可以得到比较高的分数，记得点赞关注哦！
06:08查看AI文稿AI文稿如果你想数学考满分，请坚持跟我一起来做八年级数学课本一百六十页以上的。我们看到这个利益， 在看利益之前呢，我们先看我们上一讲当中讲到平行四边的判定，我们说首先两个字对边，分别平行的四边形是平行四边形，这是第一条判断四边形是平行四边形的方法。 然后我们讲了两组这边分别相等的四平行四平行说一组这边平行，其相等的四平行，四平行，那就是说我们这里已经说了这三条好，我们通过练习来巩固一下 好这里的利益。在平行四平行 a、 b、 c、 d 中， e、 f 是 a、 d 和 b、 c 的 中点， 那么这个终点，那我们就知道 d、 e 是 的 a、 d 的 一半， b、 f 等于 b、 c 的 一半。而已知 a、 b、 c、 d 是 平行四边形的话，那就是 a、 d 跟 b、 c 是 既平行的又相等的，于是 d、 e 跟 b、 f 呢， 是平行的，也是相等的，对吧？ a、 d 平行于 b、 c 就是 d、 e 平行， b、 f、 d 等于 a、 d 的 一半， b、 f 等于 b、 c 的 一半，那么 a、 d 等于 b、 c， 所以 它的一半也相等。好，具体的证明过程，这例题上有，我就没有多说了啊，自己学会就理清楚。那么这里根据的是 e 组这边平行且相等的四边是平行四边形。看括号练习。 呃，这里说这个 a、 d 啊，是 b、 c 平移过来的，那我们根据平移的性质，我们说，呃， 它的这一边呢，是平行且相等的，所以我们就根据 a、 d 和 b、 c 平行且相等得到四平行。 a、 b、 c、 d 是 平行四边，我们就可以根据啊，一组这一边平行且相等的四边是平行四边形。 当然呢，我们也可以换一种说法，比如说我们怎么说呢？我们说啊，这个从 a 到啊，从这 b 到 a， 从这个 c 到 d， 就是 它平行的距离，我们说平行的距离始终是相等的， 就说我们经过平行，对吧？平行的距离是相，所以 a、 b 呢，跟 c、 d 是 相等的，而且这个 a、 d 呢，是 b、 c 平了，它们是相等的，所以我们根据 a、 b 等于 c、 d， a、 d 等于 b、 c， 两者对边分别相等的四边是平行四边。 哎，你喜欢根据哪个？只要有正确的好，我们前面呢？当然呢，您根据两者对边分别平行也是可以的，我们的定点所连的线呢？平行或者在同一条直线上，当然今天这里是平行，所以你你在这一题当中，你可以根据三个方法，哪三个？我再重复一遍啊？ 第一个平行平行，两者对边分别平行的四边是平行四边。第二个相等相等，两者对边分别相等的四边是平行四边。第三个平行又相等一组对边平行就相等，对吧？那么这个四边是平行四平行。我们看到啊，第二个， a、 c 等于 b d， a、 b 等于 c、 d 好， 那么两者对边分别平行相等，这个四边是平行四平行。 然后呢， c、 d 又等于 e、 f 啊，这个 c、 e 呢，又等于 d、 f 好， 这里呢，又是两则对边分别相等的四边是平行四平行，所以这里有两个平行四边。那么如果是根据现在他要找出互相平行的，我们说这样呢， a、 c 是 平行于 b、 d 的， 对吧？那么这个 a、 b 呢，是平行 c、 d 的， 而这个 c、 d 呢，是平行 e、 f 的。 哎，我们可以采取连写的形式，当然这个 c、 e 呢，是平行 d、 f 的， 对吧？所以有这个平行啊，我们啊，有这个相等，得平行，有平行呢啊，得平行四边形，然后我们得到这个对边分别平行， 其实要判那个四边形，平行四边形呢，我们课本上还要继续。还有，我们看到这里，就是如果说这个 o a 等于 o c， o b 等于 o d， 我 们能不能得到这两个平行，这两个平行我们看到啊， a、 o、 d， c、 o、 b 对 菱角相等啊，如果说 o a 等于 o c， o b 等于 o d， 那 么很显然这两个三角就相等，你看这角一就等于角二。 哎，当然呢，这个 a、 d 也等于 bc， 你 可以根据 a、 d 跟 bc 一 组对边平行且相等的四边是平行的。当然呢，有的人说，我再来把 a、 o、 b 和 c、 o、 d 再证明一遍，对吧？ a、 o、 d 等于 c o 角， a o b 等于角， c、 o、 d 等于 o d， 你， 你再来证明，然后你再来证明这个角等于这个角加 b， a、 o 等于角 d c、 o， 然后你说 a、 b 平行是 c d 啊，总之这都可以啊，两的对边分别平行，两的对边分别相等，一的对边平行相等，这样得到的四边形呢，都是平行四边形。但是现在的已知是对角线互相平分，那么对角线互相平分，现在未来我们就不不不用刚才的方法了，咱们直接说对角线互相平分的四边形 是平行四边形。好，我们看到这里的练习，呃， 这说什么呢？说 f、 e、 f 是 对角线上的两点，并且 a、 e 等于 c f。 好， 现在证明这个里面的这个 b、 f、 d， e 啊，是平行四边形， 那我们这里书上的例题已经说了，把 b、 d 连起来，由于本来这个 a、 b、 c、 d 外面的大的是平行四边形，所以我们有 o a 等于 o c e， 有 o b 等于 o d， 现在这个 a， e 呢？等于 c f， 所以 o a 减 a， e 等于 o c 减 c f， 那 么这样我们就有得到了这个 o， e 等于 o f， 再加上刚才的 o b 等于 o d， 对 吧？我们不就可以得到里面的 b、 f、 d， e 是 一个对角线互相平分的吗？这样我们就得到它是一个平行四边形。 好，大家把这个判那个四边是平行四边的这四句话，把它牢牢的背下来，我再读一遍。两者对边分别平行的四边形是平行四边形。两者对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形。平行对角线互相平分的四边形是平行四边形。背熟记得点赞关注哦！
08:41查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，我们一起来看一下第六题。在学习全等的过程中，发现了这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置发生变化的时候， 呃，会组成一组全等啊，这就是我们所熟记的手拉手。而在这呢，这个引导型学习型的一个材料问题告诉我们，手拉手模型就是我们这个题的关键。那我们来看一下 就是什么叫手拉手呢？或者说这个模型怎么去运用的？那它的一个变形和演变应该是什么样的？比方说，在一小问里面得到两个等标，一个是 a b c， a b 等于 a c， 一个是 a 大 e， a 大 等于 a e， 我 分别用一条杠两条杠去表示，并且 d a e 和 b a c 这两个顶角是相同的，那么旁侧两个相同的角，那么一般我们就会用到叠角模型，所以这两个弧度角也是相等的， d a、 b 是 等于 e a、 c 的。 在这样的一个连接情况下，我们就把连起来连接 b 大 这两只手，以及连接 e、 c 这两只手，得到这两个橘色三角形，它们俩是全等的。 呃，两组边相等以及中间的夹角相等，就可以得到我们的第一个 a 大 b 三角形全等于 a， e、 c 这个三角形用的是边角边。 第二个，在一问的条件下，要求求证 fa 是 c f 大 的角平分线。其实这个问题很简单，你就只需要去想它有一个什么特征是叫角平分线。角平分线的一个特征在于怎么去证呢？ 在初一这个阶段就需要回忆一下。嗯，我们讲过，如果有角内部的一个点到 这个角两边的距离垂线段是相等的，那就可以证明这个点在角平分线上，那么连接起来是不是就是个角平分线了？所以我们就只需要去证明垂直的两条边就可以了。那如果你想要得到垂直两条边，你想一问的条件下是什么条件？是不是在告诉你等腰 成立的情况下，左手拉左手，右手拉右手，这两个三角形是全等的。 在这两个三角形全等的条件下，再让连接 a、 f 去证明角平分线，那我们刚刚提到了要做垂线段，所以新的辅助线是不是还得做？那过 a 点去做 a p 和过 a 点去做 a、 q 是 垂直的，这两个三角形全等，那么对应边上的高是不是也应该是相等的？ 所以 ap 就 等于 a、 q 垂线段相等，所以 a、 f 就是 一条角平分线。好了，我们就根据垂两边去证明出来了，但是写一个完整的过程，并不像我们的一小轮填个空就结束了的。首先你要利用刚刚提到的 边角边这组全等是怎么证明得来的？ a、 c、 e 全等于三角形， ab 大 是利用边角边正得的，那得到完全等之后，一定要再去说，既然这两个三角形全等，第一，它的底边是不是相等的，这个最长的 c、 e 和 b 大 就相等。第二，底边上的高也是相等的，但是这个高呢？你又不能直接说，你可以借助于面积相等，也就是 a、 c、 e 的 面积是等于 ab 大 的面积的 底相同，面积相同，所以对面上的高相同。所以我们要去做两条辅助线才能得到 a、 p 是 等于 a、 q 的， 再结合它们俩是分别做的垂线段，所以才有了 fa 是 c、 f 大 的角平分线。这是二维 三问，如图三在三图里面哈，这两个等腰三角形变得更加特殊，不仅等腰还直角，所以这里是垂直，这里也是垂直的。那么通过我们刚刚所得到的全等，再去找一下，左手拉 左手，右手拉右手，分别是 a、 c、 f 和 ab 大 两个三角形全等了就有一个好处了。那我们刚刚所提到的一个结论里面的拉手线 c e 就 等于 b 大， 并且它这道题呢，给了一个有点奇怪的条件，叫 f， c a 是 三十度，如果 c f 乘 b f 是 等一加根号三的去求 acf 的 面积是多少。 在这样的一个问题之下，我们就去结合一问和二问去做。我们就借他的一个结论啊，一拉手线相同， 而且对应角相同，所以这两个顶角就是相等的。然后再因为对顶角是相等的，所以这里都是直角，所以在这一块也出现了一个垂直，但是他给我们标出来了， 就是 b、 f、 c 这块是等于九十度的。这是由以上的两个结论一起推导出来的，除了拉手线相等以外，这个夹角是等于九十度，而 f a 是 角平分呀， 那平分之后，它的格子角为多少？是不就是四十五度？所以我们在这儿用红色笔来标一下。现在呢，在要求的 a、 c、 f 里面， 需要去求解的是这个三角形的面积，而这个三角形呢，只有一个角， f c a 是 等于三十度的，以及刚刚提到第二个角角平分，所以把这个直角平分成两部分，四十五度以及 还有吗？没了吧，没了之后你就要去找 b f 乘上这个 c f 的 乘积是一加刚好三，所以太棒了。这就是给我们的唯一的一个已知的有关的 数据条件，那我就需要根据它去做，那在未知具体的长度的情况下，我们就只有去多设未知数了，而设完未知数五，希望大家去做一步，叫做减三角形。比如说我们把这个图放大， 你要去求它的面积对不对？然后有一条边是不是 c f， 那 么 c f 边上的高是不是还没有？所以我们过 a 点去做一条高， 新做的这条高，我们令它为 w 做 a， w 垂直于 c f， 之后令短的这条边为 x， 这条边也为 x， 这条边就为二 x， 而这条边就记作根号三 x。 所以 现在 c f 已有是根号三加一倍的 x 以及 b f 是 多少呢？这里就得依赖于我们刚得到这个角度，大家不要忘了这个地方仍然是三十度，那通过这个三十度，我们再放大一点点来看，我们刚刚设的是这一整条为 x， 但是其实通过这里为 x， 我 可以去求出这一段 这段，然后再去减，是不是得到这段。这段因为是三十度，它的三边的一个比例大家都知道，等于一比，刚好三比二，所以这个 b f 是 不是能算出来，我们来试着做一下。呃，在这的话是 x， 所以 就除以根号三，所以就是三分之根号三 x。 好 了，就这一小段写的特别丑， 然后这个的话就应该是一减去三分之根号三倍的 x， 这是 n f， n f 的 长度是这么多，再乘上根号三倍，所以 b f 在 此时乘上根号三倍就根号三，乘上根号三就减一倍的 x 就 出来了。 好啦，那通过我们的一个条件哈， c f 得到了 b f， 刚刚也求解出来了。推推推推推推出了，是根号三减一倍的，乘以三加一，乘上根号三减一倍的 x， 乘 x 就是 x 平方，等于一加根号三。 所以在这你就不要去求了，你就得到一个 x 平方就够了，因为说不定你的三角形的面积并不需要去把 x 求出来，没必要多此一举。左边是等于二，所以这里为二分之一加根号三就是 x 平方，要去求 a、 c f 的 面积。怎么办呢？ 接下来我们继续来细想，这个 c f 等于几啊？ c f 在 这边是等于根号三加 x 的。 呃，在这，然后高等于几呢？高是等于 x， 所以 它就变成了根号三加一倍的 x， 再乘了 x 即可。而 x 平方等于这么多，所以根号三加一，再去乘二分之 一，加刚好三，就是刚好三加一。我们去把它算出来是二分之，上面是四，四加上 还少了一个，还少了一个二分之一。你底乘高还乘二分之一，所以这里还得乘个二分之一，所以是四分之四加二倍刚好三。好啦，除以二，最终我们就可以得到二分之二，加上刚好三。
