八年级下册数学青海版试卷函数
咱们西宁虎台八年级下册这一次的这个期中试卷难度中等，但是想考九十分以上真的还是不容易啊。我刚做了一下 每种题型，前面不难，但是后面分层就特别明显，像选择题，一到六题全是基础，中等生只要细心就能做对。但是从第七题开始就有一点难度了，考的是直角，三角形，斜边，中线，还有四边形的判定，如果概念模糊的话就容易做错。 第八题直接就拉开差距，把正方形旋转，斜边中线定点综合起来考这道题，中等生基本上都丢分。 再看选择题，选择题九到十六题也和填空题的前面几道一样，比较简单。十七题考了一个线段的求解问题，这个里面涉及到一些等面积法呀，还有一些线段的转化。十八题考了一个梯形的动点问题， 这两道题就是分水岭，不会设未知数，不会去分类讨论，基本上就没有办法去做。再看一下这个解答题啊，解答题前面的像这个十九二十题的计算呀，还有二十一、二十二到二十三题，这些题呢，都比较常规，那中等生比较容易犯的错误呢？就是他的步骤 不规范，导致他过程扣了很多分。最重要的就是后面的这个二十四题的这个新定义的勾股四边形， 这是整张试卷最难的一道题，这道题就是用来筛选九十五分以上的尖子生的。总结一下，虎台这一张卷不难，但是比较吃孩子的基础和熟练多。那上不了九十的，那要么就是二次根式计算不稳，或者说是四边形的判定与性质没有记牢， 要么就是折叠动点，这些体型练的太少了。那八十分以下的呢？基础漏洞就很多，赶紧要去补二次根式和勾股定点。八十到九十的呢是中档题，不太稳，重点要去练折叠面积转化还有中卫线这些知识。 九十以上的那你就重高分死磕这个心定一体。还有四边形综合动点问题，八年级下册是四边形的重中，后面学一次性地去练，下次一定能上去。
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24:04查看AI文稿AI文稿好，咱们再来看到函数图像的信息问题，如果这个题目它给了一个函数图像，叫我们从中读取信息，应该怎么做呢？来看到这里的思考，它说这个图是自动测温仪记录的图像，它反映了北京的春季某天的温度 t 如何随着时间 t 的 变化而变化？你从图像当中得到了哪些信息？这个 t 呢？大 t 是 温度， 横轴 t 是 时间，比如说这个就表示四点，这个表示十四点，这个表示二十四点，对吧？ 好，那么我们可以通过这个图像可以看到这个气温 t 随着时间小 t 的 变化而变化。对于时间 t 的 每一个确定的值，气温 t 都有唯一确定的值与之对应。那在这个图像怎么显示呢？就是你看 你 x 轴只要给了值啊，横轴只要给了值， y 轴就有一个值对应，对不对？给一个值就有一个点，给一个就有一个，给一个就有一个，这个就是函数的图像，那如果它的图像哎长这样，那就不行了，那你看给了一个时间点，它有三个温度， 那他就不是函数了，知道吧？好，那么我们可以通过图像看出，对于时间 t 的 每一个确定的值，气温 t 都有唯一确定的值与之对应，因此这个气温 t 是 时间 t 的 函数，这个就是它的函数图像。那么我们看一下可以得到哪些呢？你看 这里，这一天的凌晨四时的气温是最低的，你看这个曲线对不对？在这个点四点的时候，气温最低是零下三摄氏度，对吧？好，下午十四点的时候气温最高，气温最高的时候是八摄氏度，这个是最高气温，这是最低气温，就可以通过图像看出来了。 然后从零时至四时，气温呈下降状下降状态，那看到没有？他从这个温度这里没有告诉我们是多少，但是你可以看到他是逐步逐步的 下降了，他的温度在逐渐的降低啊，也就是说这个气温随着时间的增长而下降。然后你再看，从凌晨四点到下午十四点的时候，他的气温在波动式的上升，对吧？这个时候 啊，是气温上升的一个状态，然后你再看，从下午两点，也就是十四点到二十四点，午夜的时候，这个气温又呈下降状态，你看从这里到这里，他又是 温度下降的一个状态，知道了吧？然后第三个，我们可以从图像当中看出这一天当中任意一个时间，任意时刻的气温大约是多少，这个是没有问题的。比如说我想要看到啊，晚上八点，那么你往前倒， 这个八点到四个小时，那么它大概对应这里，那么你往这里划一下，大概就是三四度的样子，三摄氏度到四摄氏度之间，对不对？好，就可以知道了，这个就是什么，这个就是图像的信息。 咱们再来看一个例题二，如图所示，李明家食堂、图书馆在同一条直线上，那 李明到食堂再到图书馆，对吧？在同一条直线上，李明从家里去食堂吃早餐，然后接着去图书馆查资料，然后直接回家， 那么这个图反映了这个过程当中，李明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系，对吧？好，那么他说 第一个问题就是教我们求食堂离李明家有多远？李明从家到食堂用了多少时间？他第一件事是不是先去食堂吃早点，对不对？先从家里去食堂吃早点，那么这个远点代表什么？代表他在家里的时候， 他在家里的时候，然后你看他八分钟离家零点六千米，他八分钟 就距离家里有零点六千米，对吧？然后有一段时间一直保持零点六千米，说明什么？说明食堂就离李明家相差零点六千米，就相差零点六千米， 他出发用了八分钟，哎，你看这里用了八分钟就到达了食堂，然后坐在食堂吃早点，你看这一段就是这个意思，看懂了吗？啊？李明 从家到食堂用了八分钟，为什么用八分钟？你看这个点对应的是八零点六，他八分钟的时候距离家里的距离是零点六千米，对吧？所以我们可以知道食堂离李明家有多远， 零点六千米啊。然后李明家，李明从家到食堂用了多少时间？你看八分钟就到了，对不对？用了八分钟， 这个就是通过函数图像可以得到的信息。然后接着来看，他在说李明吃早点用了多长时间？他到了早餐店停了一段时间，他从八分钟待到了二十五分钟， 从第八分钟待到了第二十五分钟，中间的时间是不是都用来吃早点了，对不对？因为他中间没有移动过， 一直距离家里都是零点六千米，所以我们这里他吃早点的时间咱们要用二十五分钟，减去前面他走路用了八分钟，那么他就多少分钟？ 他这里就是吃早点用了十七分钟，那他吃早点用了十七分钟，看到没有？接下来再看食堂离图书馆有多远，那他吃完早点是不是继续向图书馆 出发？那你看一下，二十五分的时候吃完了早点，二十八分的时候他又停了很长一段时间，对不对？好，说明什么意思呢？说明这个点，这个点是八零六，这个点表示的是 到食堂， 然后你再看这个点，这个点是二十五到零六，从这个点开始改变了，说明他从这个点的时候，说明是离开食堂， 离开食堂多久之后又没动了，二十八分的时候又没动了，说明这个点 就是到图书馆的时候是二十八零八啊，说明这个点是什么？到了图书馆， 他到了图书馆，然后再继续，他在图书馆待了一段时间，待到了五第五十八分钟，也就是说从第二十八分钟待到了第二十五分钟啊？五十八分钟，中间的这段时间都是在图书馆的， 所以这个点就是离开图书馆的时候。五十八，逗号，零点八， 这个是离开图书馆。 好，这个点就是他离开的时候最后一路到家，到最后一个点的时候，他离家里的距离为零，说明是不是到家了，对吧？所以这个点表示到家。 好，那么他说离食堂，食堂离图书馆有多远？他从零点六千米的地方走到了离家零点八千米的地方，你可以理解为他到这里零点六千米， 他到这里零点八千米，那么中间是不是隔了一个零点二千米，对不对？说明这个中间就隔了零点二千米。这个零点二千米怎么算出来的呢？就是 零点八千米，减去零点二等啊，减去零点六等于零点二千米。 好，再看李明从食堂到图书馆用了多长时间？从食堂离开到图书馆是第二十五分钟到第二十八分钟，所以我们减一个时间，得到这个时间差 二十八分钟，减去二十五分钟，说明中间用了三分钟，他用了三分钟就到了图书馆，是从食堂到了图书馆，然后 第四个李明查阅资料用了多长时间？他到图书馆的时候是二十八分钟，他离开图书馆的时候是第五十八分钟，所以中间停留了三十分钟，那么这个时间就是他查阅资料的时间。五十八减去二十八 等于三十分钟，说明他查阅资料用了三十分钟。然后再看第五个 图书馆离李明家有多远？你看他从这里走回去，从零点相距零点八千米的地方回到了家，你看距离是不是变成了零，说明图书馆离小明家就是零点八千米，对不对？好，就是零点八千米。 那最后再问李明从图书馆回家的平均速度是多少？那么你看一下他从图书馆离开到他到家用了多久？用了十分钟，对不对？这六啊， 这里写一下用时是什么？是第六十八分钟，减去五十八分钟，用了十分钟。 而我们前面又知道了，他离这个图书馆离家是零点八千米，你从这里也可以看得出来，对吧？从零点八千米的地方回到了零这个位置。好，所以他就是等于零点八千米， 除以十，所以他每分钟是走零点零八千米， 这个就它的时间，那这个就它的速度啊，这第四问的啊，好，那么这个就是书上的一个例题，那通过函数图像 从中获取到我们想要的信息。好，那么这道题呢？书上也有完整的答案，大家可以自己看一下。 这个探求里面给了我们两个图，它叫我们构建合适的问题情景，使其中的变量之间的函数关系，可以分别用这两个图来表示。 我们来看一下这个图，这里有一个九百米，这个是二十分钟，然后这里是四十分钟，那我们就拿刚才去图书馆这个事情来说，好吧，像这个呢，比如说啊，我们就说小明去图书馆， 对不对啊？去图书馆走了多少分钟？出发二十分钟之后发现什么？发现自己没有带借书卡，对吧？然后他就回头拿，对不对？好，就这样就可以了啊，去图书馆出发 二十分钟时，离家九百米，发现没带借书卡， 没带借书卡，然后就回家拿， 那这个速度不变 好，就适合这个图像了啊。再来看这个，这个是二十分钟， 离家九百米，然后中途待了十分钟，然后再回家，对不对？然后回来的时候呢？怎么样？速度发生了变化，看到没有？他出发九百米的时候，前面用了二十分钟，后面回家的时候他只用了什么？十五分钟，对吧？那我们就这样写啊，小明去图书馆 出发二十分钟时，到图书馆， 走了 九百米啊，然后呢？在图书 馆选书花了十分钟， 最后就回来了啊，回家时加快了速度， 用了十五分钟到家 就可以了，那这个就符合这里的图像，对吧？去的时候花了二十分钟，停留了十分钟，就花了十五分钟，回家就 ok 了。 再来看到练习，第一个园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间， 已知绿化面积 s 与工作时间 t 的 函数关系如图所示，那它这里中间休息了一段时间，就是这一段，你看它绿化的面积没有增长过，说明停工了，对不对？那这个时候就对应他们休息了一段时间， 那么也就说一开始先工作了一个小时，中间休息了一个小时到两个小时了，然后继续工作到第四个小时，那么也就说中间又工作了两个小时，对不对？好，他说休息前 园林队工作了多长时间？那你看一下，这里就是他工作的时间，对吧？前面就这个是休息的时候一到两小时之间，这段时间是休息的， 这段时间是休息的，所以他说休息前工作了多少时间，你空你就可以从图上可以看出来，零到一个小时之间，他是在工作的，所以我们就说这个休息前工作了一小时， 那绿化面积是多少？那么这一个小时绿化面积是六十，对应的就是六十平方米，对吧？ 那中间休息了多长时间中？从第一个小时结束后到第二个小时，中间是休息的，所以他休息的时间对应的是二减一等于一小时，所以他中间休息了一个小时。这就第二问啊，这是第二问，第三问，休息之后， 园林对每小时完成的绿化面积是多少？休息之后啊，他不是休息之前，休息之，就是休息之后， 他是从两小时干到了四小时，中间干了两个小时，对不对？然后呢，他的园林面积从绿化面积从六十平方米增长到了一百六十平方米，说明这里增加了一百平方米，对不对？好，那我们这里写一下啊，休息后 工作时间从两小时干到四小时，就是四减二，中间说明干了两个小时。 然后呢，这个休息后的绿化面积 从六十平方米增长到了一百六十，说明它是增加了一百平方米，那么它每小时完成的绿化面积就是它的效率， 这效率就是一百除以二等于五十平方米每小时。 ok 了，好，第一问就搞定了。再看第二题，如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的一个图像，它这个蓝色的曲线 表示的是上海的气温，这个红色的曲线表示的是北京的气温。第一个，这一天内北京与上海何时气温相同？那么你就要找他们的焦点 啊，当他们在某一个时刻他的气温相等的时候，你看就会有焦点。那这里两个图像有一个焦点，看到没有？ 这里说明七点的时候，北京和上海的气温都是零摄氏度，然后十二点的时候，北京和上海的气温都大概在七摄氏度左右。啊，但是是相等的，对吧？只不过这里没有标出来而已。所以我们这里就说啊， 这个两条曲线 的交点 对应时间 大约为七点和十二点，此时北京与上海 气温相同。 好，再看第二问。第二问说，这一天内上海的哪个时间段比北京气温高，哪个时间段比北京气温低？那你就看哪条直线在上面， 对吧？好，你看从零点到七点的时候，是不是上海都？上海这条曲线是不是都在北京这条曲线的上面？是不是说明这个时候是比它气温高的啊？所以我们这里分三段来回答，就是零点零零， 零点零零到七点零零的时候啊，上海的气温 比北京高。 好，再看七点零零到十二点零零，那这个时候呢？上海的这条曲线很明显是在北京这条曲线的下面，我们就说上海气温 以北京气温比北京低，好，最后就是这个十二点到二十四点，十二点到二十四点的时候，这个时候是上海气温比北京高， 好，再看第三，问，他说你还能从函数图像当中得到哪些信息？那么这个就是开放性了，那你可以说，对吧？呃，比如说上海的最高气温比北京高， 这个北京的最低气温比上海低，对吧？好，那你就写就可以了啊。上海的最高气温，那这个是它的最高气温，它是比北京高的，对不对啊？上海的最高气温 比北京高， 然后呢，北京的最低气温 比上海低 就 ok 了。当然你如果发现了其他信息，你也可以写上去，只要对就可以了。 那看第三题，如图构建问题，仅仅是其中变量之间的函数关系，可以用图中的图像来表示，那么一开始是一千米，然后呢？用了六分钟走完了这一千米， 然后六分钟之后又重新返回这段路，对吧？用了十八分钟，那么中途就用了十二分钟，就这个意思，那我们设计一个问题出来，让它符合这个图像就可以了。那比如说小明起床去海边看日出，对吧？好，小明起床 去海边看日出， 看日出，然后他距离从家或者是家到他家里到海边 有一千米，对吧？好，那么现在呢？他就比如说一千米，他跑步去吧，或者是他骑自行车去啊，或者是骑自行车啊？从家骑自行车 出发，出发匀速行驶 六分钟到了海边，六分钟到海边， 然后他的他没有做停留，对吧？他没有做停留，他在海边拍了个照就回来了啊啊，然后立刻返回， 好，返回的时候速度降低啊，速度略微 降低， 然后用时十二分钟，回到家里 就可以了，对吧？好，去的时候用了六分钟，回来的时候用了十二分钟，对吧？回来的时候用了十二分钟，那么加在一起就用了十八分钟， 到了家里之后呢？他距离这个什么距离？海边又相距一千米就 ok 了 啊？你设计的问题，只要是符合他这个一千的距离，先降低，再就是慢慢变，又变回一千米的这个实际过程就可以了。
163毕老师细讲数学
40:40查看AI文稿AI文稿好，再来看一次函数与方程组和不等式的关系，那么这个知识点呢，理解起来是稍微有点难的，不过呢，你一旦理解之后，做很多题目，你可以直接看图，甚至都不需要计算啊。我们先来看这个一次函数和一元一次方程的联系， 那你要知道一次函数呢，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 如果你知道了它的解析式，那么这个 k 值和 b 值咱们都是知道的啊。你比如说这里给了一个一次函数 y 等于二， x 减一，它对应的 k 值和 b 值分别就是二和负一，对吧？好， 那么他说这个一次函数 y 等于二， x 减一的图像与 x 轴的交点的横坐标是零点五，当自变量 x 的 值为零点五的时候，那么它的函数值是多少？ 你可以直接看图就可以看出这条直线和 x 轴的交点是零点五零，我这里写一下，它这个点的 就是零点五零。那你要知道依次函数上的任何一个点的横纵坐标，横坐标 对应的是 x， 纵坐标对应的是 y， 你 把这个横纵坐标对应 x 和 y 带回解析式当中，那么这个零呢？ 就在这里，零点五呢，就写在乘二的二乘的后面，就零等于二乘上零点五再减一，对吧，这个等式是仍然成立的，任何一个点带回解析式都可以让等式成立， 那么他这里说，当自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值是多少，那就是零嘛，对不对啊？你把这个带进去算嘛， x 等于零点五， x 等于零点五的时候， 这个 y 就 等于二，乘上零点五减一，它就等于一减一等于零，它的函数值对应的就是零， 那么由此可以得出一元一次方程二，这个二 x 减一等于零的解吗？是可以的，那你看这个二 x 减一等于零的时候， 和这个前面部分，这个后面部分和这个前面部分是不是一样的，对吧？好，只不过一个是 y， 一个是零，而我们前面可以得到，当自变量 x 等于零点五的时候，它的 y 值就这个函数值，它就是零的。 那当这个 y 值等于零了之后，那和这个式子有什么区别吗？它没有什么区别，计算上是一样的，对不对？所以我们就可以得到啊，当这个 y 等于零的时候， 这个式子它就会变成了这个 y 等于二， x 减一，就会变成零。等于二， x 减一，你再反过来写，就变成了二 x 减一等于零和这个一元一次方程， 它的形式上是不是一样的？那么计算上也是一样的，你把这个一移过去，二 x 等于一，那么 x 就 等于一，除以二，它就等于零点五，发现了吗？哎，你看 这个一次函数，当你的 y 值知道了是几之后，你就可以直接把它当做一元一次方程来做，对不对？好，所以我们可以直接通过图上的点去观察 这个点的坐标，它的重坐标是零，那么也就说当 y 等于零的时候，它的横坐标就是多少啊，它的横坐标 x 就是 零点五，那么如果说他给出来了一个方程，他告诉你 这个二 x 减一，它就等于零，叫你求 x 等于几，你不需要算，你可以直接看与 x 轴的交点，那就是零点五，就这个意思，看到了吗？啊？你看这个横坐标， 依次函数 y 等于二， x 减一的图像，与 x 轴的交点的横坐标为零点五，它的重坐标是零，那因为这个点的坐标就是零点五，零嘛，对不对？ 这表明自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值为 y， 由此我们可以得出，一元一次方程二 x 减一等于零的解，就是 x 等于零点五。 那么任何，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程，都是可以变形成 a， x 加 b 等于零， a 不 等于零的形式。所以解一元一次方程的时候，从函数值去考虑的话，就相当于什么呢？就相当于某一个函数值 y 等于 a， x 加 b 的函数值为零的时候，求这个自变量 x 的 值，从函数图像的角度去思考的话，相当于已知直线 y 等于 x 加 b， 求它与 x 轴交点的横坐标。 啊，就是这个意思。那么这一段话呢？它解释起来的话啊，还是比较长的，那我这里给你转换成这个计算语言，就是说函数图像上的点可以作为这个 y 等于依次函数这种形式方程的动态解啊，我这里写一下啊， 依次函数图像上的点可以作为依次函数解析式，作为方程的动态解。什么意思呢？我把这个放大一点，你看这条图像上这条直线，这个图像上它肯定不止一个点吧，对不对？好，那么它除了这个 零点五零以外，他还有哪些点呢？他还有这个点，假如说这个点的坐标，我把它标出来，零负一，对不对？这里也有点，这个点的坐标呢，就是二分之一，那这个点对应的就是四分之一，也就零点二五， 负零点五，这个点对应呢啊，然后呢，往前走，如果他的横坐标对应的是一的话，那么这个点的坐标他是一一 啊，你可以自己算的，你把 x 等于一带进去，二乘一再减一等于一，所以它会经过这三个点，我就拿这三个点来举例，好吧，好，这里是我把它反过来写，把它变成二。 x 减一等于 y， 对 吧？当这个 y 等于 y 等于负一的时候啊，也就是当 y 等于负一的时候，那么这个二 x 减一等于负一的减，它的这个 x 就 等于零，它的减就是零啊。然后呢，当这个 y 等于负零点五的时候， 当 y 等于负零点五的时候，那么这个二 x 减一等于负零点五，那么它的横坐标 x 啊，也就它的减 x 就 等于二点五，你不需要算的，你只要确定点没错，你就可以直接出结果啊。然后再看， 当这个 y 等于一的时候，这个函数就会变成二。 x 减一等于一，那么这个 x 就 直接等于一，你不需要算了啊，当然你说这么简单，我自己口算就看得算出来了，但是如果这个式子这个解析式它特别复杂呢， 对不对？那么有有些题目条件，他会直接告诉你经过某个点，那么你就不需要算了呀，对吧？你就可以直接通过这种方法求出当前 y 等于特定值的时候， x 等于几。 所以依次函数解析式当中，你知道 y 值的时候，你就可以直接把它当做一元一次方程去算就可以了，知道吗？就这就是这个这个知识点的意思啊，这个就是一次函数和一元一次方程的关系。 好，再来研究一次函数与一元一次不等式的关系。先看这个思考，如图，这个图呢，就是上面这个图，我把上面这个图呢挪下来了，画在这里啊。 利用一次函数 y 等于二 x 减一的这个图像，你能得到函数值大于零时， x 的 取值范围吗？函数值小于零的时候， 他的 x 取值范围又是多少？那么由此你能分别得出一次函数不等式这个二 x 减一大于零和二 x 减一小于零的解吗？那么就不等式的计算而言，我们这两个都是可以直接算出来的，你我可以算给你看啊， 你把这个移过去，减一移过去，那就变成了二 x 大 于一，那么 x 就 大于一，除以二，一除以二就等于零点五，对不对？然后这里呢，就小于二， x 小 于一， x 就 小于零点五， 你是可以直接算出来的，那为什么它还要结合一次函数呢？因为我们可以直接通过一次函数的图像看出它的取值范围，不需要算，知道吗？你说，哎，我可以算啊，那万一它这里是 k x 加 b 呢？它如何大于零呢？ 你能算吗？你肯定算不了啊，对不对？这里是因为你知道这个 k 值和 b 值具体是多少你才能算，如果你不知道，你就算不了，那我们以后很多的情况他都是不知道的，那你只能看图像，知道吗？他就是逼着你去看图像，所以你必须要学会看图像，来看 我们如何去判。这个函数值大于零的时候， x 的 取值范围是什么？函数值大于零，这个函数值对应的是不是就是 y 的 值？你要知道函数值对应的就是 y 值， 而 y 值对应的是什么？ y 值它对应的又是重坐标一个点的重坐标的值， 而函数值要大于零，那么也就是说重坐标要大于零，而重坐标大于零的点在哪里呢？重坐标大于零的点全在 x 轴上方，我们就可以知道在 x 轴上方， 你来看一下这个图像当中，这个图像当中重坐标大于零的是不是就在 x 轴上方的这个图像上方？这个图像上的所有点的重坐标 是不是都大于零，对不对？这个点的重坐标，那对应正数，这个点的重坐标对应正数，这个点的重坐标对应正数，它在 x 轴上方这条直线上的所有的点， 它的重坐标都大于零，也就意味着什么呢？也就意味着它的这个 y 值是大于零的，也就意味着它的函数值大于零， 那所以我们就可以知道在 x 轴上方的点，它重坐标大于零，对吧？那么也就是函数 y 值大于零，也就意味着它函数值大于零。那么你看一下这个直线在 x 轴上方的时候，你看看到没有， 它这个上面的图像，所有的点的横坐标对应什么范围？那我放大一点 这个图像，它的横坐标它这里有很多个点，你看一下我这多画几个点，它的横坐标对应的是在这里对应在这里对应，在这里对应，在这里，它的横坐标的所有的值是不是都会大于这个焦点？也就是大于零点五， 和我们刚才算出来的这个大于零点五是不是一样的？看到了吗？那么也就是说不等式的计算，我们可以直接通过函数图像去看出来啊。所以你看他说当这个图像上的点的横坐标 重坐标大于零的时候，这个点是在 x 轴上方的，跟我这里讲的是一样的，并且它的横坐标大于零点五，在 x 轴上方这条直线上所有点的横坐标，它对应下去 都是在零点五的右边，那么也就是说大于零点五吧，也就是说函数值大于零的时候， x 的 取之范围是 x 大 于零点五，那么你就可以直接通过函数图像求出了不等式的解， 就这个意思，明白了吗？你再看当函数图像上点的纵坐标小于零的时候，那在哪里啊？ 重坐标小于零，那么在 x 轴上方的重坐标都是大于零的，在 x 轴下方这个图像上所有的点的重坐标都是对应负数的，也就对应小于零， 所以它是在这个点是在 x 轴下方的，那么它的横坐标小于零点五，为什么呢？你看这个上面所有的点，我们描出几个点来， 它这些点对应的横坐标是不是都在这个零点五的左边？在零点五左边是不是小于零点五？所以这个函数值小于零的时候， x 的 曲子范围就怎么样， 就是小于零点五的。由此我们可以得出，不等式的这个二 x 减一大于零的解集是 x 大 于零点五，二 x 减一小于零的解集是 x 小 于零点五，这个我们都是可以直接通过图像判断出来的， 知道吧？那么以后我们怎么去判断呢？你看一下我这里呢，换一个普通一点的图啊， 那实际上它可以，它不仅仅只是算 x 大 于零的，它还可以算 x 大 于一大于二大于三的，知道吧？你只需要知道它的什么，你只需要知道它对应的重横坐标是多少就可以了。比如说我这里它这个焦点， 假如说这个焦点对应的是 m， 这条直线是 y 等于 k x 加 b， 那 么我就可以通过这个图像得到 k x 加 b 啊。这个 k x 加 b 如果是大于零的话，那么它就在 x 轴的上方取点，而这些点的横坐标都是在 m 的 右边的，所以我们就可以得到这个 x 是 大于 m 的。 然后呢，如果你要让这个 k x 加 b 小 于零的话，你要让这个 k x 加 b 小 于零的话， 那么这个小于零，也就是 y 小 于零，明白吗？你看这个 k x 加 b 是 等于 y 的， 那么 k x 加 b 大 于零就是 y 大 于零， y 大 于零就是重坐标大于零，这个点的重坐标大于零，那就在 x 的 上方， 这是一连串起来的啊，要连串起来。然后呢，这个 k x 加 b 小 于零， k x 加 b 是 等于 y 的， 所以意味着就是 y 小 于零， y 小 于零就是它的重坐标小于零，而点的重坐标小于零，必须在 x 轴的下方，而下方这些图像上的所有点的 横坐标对应下来都是比 m 小 的，它对应的就是 x 小 于 m， 这就它的解 明白了吗？我们很多时候他算题目的时候，他不会很准确的告诉你这个 k b 值是多少呢？他甚至会隐藏起来，知道吧？所以你一定要会看图。那当然了，你刚我刚刚说它不仅仅只限于大于零和小于零，那如果说具是具体的一个数字呢？我这里再举个例子， 我这里再举一个例子，我画一个反方向的，好吧？我画一个反方向的，比如说这个图像长这样啊？我这里不告诉你与 x 轴的交点，我告诉你的是它这里有一个点， 它这里有个点，它的这个这个点的坐标明确告诉你，就是多少呢？就是 负二五，好吧？这个点的坐标就是负二五，这条直线还是 y 等于 k x 加 b， 那 这个时候它不比较，它不跟零做比较，它不跟零做比较，因为我这里根本就没有画出 y 值来，对不对？好，我这里也没有画出 y 的 这个 y 轴来 好。跟零做比较的话，其实就是看是在 x 轴上方还是在 x 轴下方，因为在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零。那么现在我要比较的是这个 k x 加 b 大 于五和 k x 加 b 小 于五的时候，它的解是多少？ 那 kb 值都没告诉你了，对不对？好，那么这个时候它大于五，这个点，它的重坐标就是五，那要比五还要大，它的重坐标比五还要大，那在哪里？就是在这个点的上方， 那什么上方？你这里做一条水平线，在这条水平线的上方，那是不是这一段，而这一段上面所有点的什么 横坐标对应下来，那他这个这个点对应下来的坐标就是负二，而上面这一段所有点的横坐标对应下来都是比负二小的，所以我们这里可以推出这个 x 小 于负二， 当这个 k x 加 b 大 于五的时候，这个 x 小 于负二，因为在图像上看到的是在这个点的上方，这里所有的图像的横坐标对应下来都比这个负二要小， 明白了吗？那这个 k x 加 b 要小于五的话，那小于五，这个是五，对不对？比五还要小，就在这个水平线的下面，而下面的图像上所有的点， 它的横坐标对应的怎么样都比这个负二还要大，所以它对应的就是 x 大 于负二。 好了，那么这个呢，就是给大家拓展出来的内容，不要只盯着和 x 轴的比较啊，就是和零的比较，因为它不仅仅只考零，它还可能考其他的数字，你要灵活变通，你再来看下下它下面这段话，他说 对于可以化成 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零的一元一次不等式，在求它的解集的时候，从函数只考虑，当 相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 值大于零或小于零的时候，求自变量 x 的 取的范围，从函数的图像考虑，那么相当于已知直线 y 等于 a， x 加 b 啊，相当于就是这条直线。确定这条直线上的点的横坐标大于零或小于零的时候， 他的重坐标大于零或小于零的时候，他的横坐标的取值范围他的重坐标大于零，那就在 x 轴的上方，在这个 x 轴的上方，小于零的时候就在 x 轴的下方，对吧？重坐标大于零嘛，那就说明在对应的是 y 轴的正半轴， 对吧？小于零的时候，对应的就是 y 轴的负半轴，就这个意思，那么再看他的横坐标的取值范围就 ok 了，那这个就是呢，依次函数和一元一次不等式的关系， 最后再来研究一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的关系。先看二元一次方程， 这里给我们举了一个具体的例子，还是刚才那个 y 等于二， x 减一这个函数，它说方程二 x 减 y 等于一，是可以转换为 y 等于二， x 减一的， 怎么转换呢？就是移项嘛，把这个减 y 移过来，一移到右左边去，它就变成了二 x 减一等于 y， 然后左右交换位置，就可以写成函数形式啊。这里呢，他也说了，这种形式是可以对应依次函数 y 等于二， x 减一的，对不对？ 这个方程和这个方程它是有相同的解的，所以这就是为什么二元一次方程可以转换成一次函数的形式，而一次函数的计算也可以看作是二元一次方程的计算，明白吗？好，那么由于一次函数 y 等于二， x 减一，它的图像 是一条直线，这条直线上的每一个点的坐标 x， y 都是这个方程的解啊。以这个方程的解的 x， y 的 值作为一个坐标的点的话，那么这个点都一定会在这条直线上，都会在这个 依次函数的图像上。那你拿这个来看，刚才那个是二 x 减 y 是 等于一的，对不对？好，我们把它转换成 y 等于二， x 减一，那么你从图像上至少可以看出有两个点， 这个点它坐标是零点五零，这个点坐标是零负一，那么这个东西它就可以看出有两个减，一个减是 x 等于零点五， y 等于零。然后另外一个解就是 x 等于零， y 等于负一，看到没有这个点，这个直线上任意一个点的横中坐标都可以当做这个方程的解，因为这个是二元一次方程，所以它是有无数个解的， 那么也就对应了这条直线上有无数个点都可以作为他的解，就这个意思，所以以后你再看到这种二元一次方程，你就可以把它转换成一次函数，对吧？或者通过一次函数的图像去求二元一次方程的解，对不对？好， 继续来看，由于每个函数 x 和 y 的 二元一次方程都可以转换成依次函数的形式，所以每一个这样的方程都对应一个依次函数，于是也对应一条直线。而这条直线上的每一个点的坐标 x、 y， 它的值都可以作为这个方程的解，以这个方程的解， x、 y 的 值为坐标的点也都在这条直线上，所以它们是相互的， 知道吧？好，这里再来思考，他对于二元一次方程组的话，你能从函数的角度去解这个 方程组进行解释吗？啊？对这个解这个方程组进行解释吗？你看这里给了两个二元一次方程，他把它放在一起就是二元一次方程组，对不对？而前面这个我们是可以直接通过书的这个图看出结果的， 而这个呢？啊，他这里也画了，看到没有？他这里直接给我们画出来了，他把下面这个方程也转换成了一次函数的形式，我们转一下，好吧。啊，你先把这个三 x 移到右边去，变成五 y 等于负三 x 加八， 一开始呢是八减三 x， 对 吧？两边同时除以五 y 等于五分之八，减去五分之三 x， 再交换位置等于负的五分之三 x 加上五分之八，你看就转换成了一次函数的形式吧。 这个图呢啊，我们自己做题的话，肯定要自己画，但是书上已经给我们画好了，我们就不用画了，对不对？他把这两个函数的图像画在一起了，看到没有？这两个函数图像它有焦点，这个焦点就是这个 p 点， p 点的横中坐标都是一，那什么意思啊？ 你看这个方程的解，在这条直线上，这条直线上的任意一个点都是这个方程的解，而这个方程的解 在这条直线上，这个直线上的任意一点都可以作为这个方程的解。那么那哪个点可以同时满足这两个方程呢？哎，那就找他们的焦点，对不对？这个焦点就是他们的公共点。什么叫公共点？ 既在 y 等于二， x 减一这个函数图像上，也在 y 等于五分之三， x 加五分之八这个函数图像上，它满足它同时在这两条直线上，对不对？那就可以满足这个方程， 这个焦点既是这个方程的解，又是这个方程的解。好了，那么这个 p 点的很重要，就是这两个方程共同的解，那既然是它的共同解，那就这个方程组的解，就这个意思。所以你要解二元一次方程组， 那么你就把这两个画成图像，找他们的焦点就可以了，知道吗？所以呢， 这两条直线的焦点坐标为一，一，由此可以得到，这个方程组的解就是 x 等于 y 等于一，这个就是一次函数和二元一次方程组的关系。 这里书上也做了总结，它是一般的由含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组组成的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数呐， 方程组里面有两个方程，这两个方程对应两个一次函数，把它图像画出来对不对？好， 于是也对应两条直线，从数的角度来看，解这个样的一个方程组相当于求自变量，也就是 x 为和值的时候对应的两个函数值，函数的值啊，这个自变量对应的就是 x 这个函数的值，两个函数的值就是 y， 就是 说什么时候 x 相等，而 y 也相等，那不就是它们的解吗？对不对？ 以及这个函数值是和值，从形的角度来看，就是从图形的角度来看，解这样的一个方程组，相当于确定两条直线焦点的坐标是多少，哎，就可以了。 再来看书上的立体，同时释放两个探测气球，一号气球从距离地面五米的高处出发，以每秒一米的速度上升。二号气球从距离地面十五米的高处出发， 以每秒零点五米的速度上升。两个气球都上升了一分钟。第一问，叫我们求出 这个两个气球所在位置高度 y， 关于上升时间 x 的 函数解析式，那这个还是比较好写的，对不对啊？那么这里的话呢，先看第一号气球， 它距离地面一开始是五米，然后一米每秒的速度上升，那么一开始就是五米，一米每秒，那就是一乘 x， 因为它的时间是 x， 单位是秒，对不对？所以是一 x 就是 x， 所以 它就可以写成 y， 一 等于 x 加五， 而这个 x 的 曲值范围呢，是小于等于六，是大于等于零的，因为它只说了上升一分钟，对吧？好。第二个 y 二， 他是从距离地面十五米的高处出发的，所以一开始就有十五米的高度，然后每秒上升零点五米，那就零点五 x， 所以 这个 y 二就等于零点五 x 加上十五，然后他的曲子范围 也是零到六十秒之间，对吧？第一位就搞定了。那第二个，他说两个气球在某一个时刻 是能否位于同一个高度？如果能，这两个气球上升了多长时间，位于什么样的高度？那这个东西呢？你就可以把它列成一个方程组了，因为因为你看对应的 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五，对不对？好， 那什么意思呢？他既然说了位于同一个高度，那么对应的就是什么意思啊？对应就是 y 相等，他的高度就是 y 嘛，对不对？他说了高度用字母 y 表示，那同一高度，那不就是 y 相等吗？那 y 相等的时候 对不对？他说这个时上在同一时间，注意某一个时刻，在某一时刻，也就是说 x 相等时间，他不会。因为什么这个两个物体不同的情况下，他就不一样嘛，对不对？因为他这里说的是 同时释放，所以他的时间经过是一样的啊，所以 x 相等， 他既然是同时释放，那就不可能说，哎，他飞了五秒，而他只飞了三秒，不可能吧？时间都是一样的，对不对？你不可能，你的时间比别人过得快， 对吧？大家过的时间都是一样的啊，你过了一天，他也过了一天，就这个意思。所以在某一个时刻能否位于同一高度？但位于同一高度就是 y 相等，在某个时刻就是 x 相等，那那么过的时间是一样的，它同时啊， 是不是所以 x 相等， y 相等嘛？那不就是把这两个一次函数列在一起，当做 二元一次方程组去算吗？对不对？好，那么怎么去算呢？你看 y 相等，那既然这两个式子的 y 是 相等的，你就可以直接把这个 y 替换掉，把下面这个 y 替换成 x 加五，对吧？好， 你就直接把将 y 等于 x 加五带入到二十当中，这一十，这是二十，那就是 x 加五等于零点五， x 加上十五，一项， x 减零点五， x 等于十五减五， 那么零点五 x 就 等于十， x 就 等于零十除以零点五十除以零点五， x 就 等于二十，那么 y 是 等于二十加上五的，所以 y 就 等于二十五，这里算出来就是 x 等于二十， y 等于二十五，也就是说当时间 过了几秒啊，二十秒的时候 啊，两个气球位于同一高度，两个气球位于同一高度， 并且高度为 二十五米， 这就是第二本啊，当然了，书上呢，它也有完整的答案啊，并且呢，书上还把图画出来了，大家可以看一下它这个图可能会更好理解一点，我这里就是把它计算过程写得详细了一点，大家可以看一下， 好，你看对吧？在某一个时刻，两个气球在某时刻位于同一高度，就对应 x 的 某一个值， 这两个函数有相同的 y 值，那就可以列一个方程组了，他把图像画出来，一个从五米开始 放，一个是十五米开始放，对吧？他们的焦点呢，就这个 p 点，这个 p 点的横中坐标呢，就是二十和二十五，对应的就是 x 和 y， 值对应的就是二十和二十五，明白了吗？啊，所以你想要求这两个啊， 依次函数具有相同解的时候，其实就是求这两，就是看这两个依次函数的图像焦点在哪里就 ok 了。 好，再看。练习第一个画出依次函数 y 等于负二 x 加八的图像，利用这个图像去解方程和不等式 啊，我们先把它的图像画出来，我们一般画的呢，都是与 x 轴和 y 轴的交点，我们先画与 x 轴，那么如果你要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零， 因为与 x 轴上的与 x 轴的交点，它的重坐标都是零，当 y 等于零的时候，那么零就等于负二 x 加上八，那么二 x 就 等于八， x 就 等于四，所以它会过四零这个点。然后你要求与 y 轴的交点， 那你就让 x 等于零，因为在 y 轴上的点横坐标都等于零，那么你就当 x 等于零的时候， 那么 y 就 等于负二乘零再加八，那么 y 就 等于八，所以它就会 y 就 等于八，所以它就会过零八。这个点的话，画图一个是四零，一个是零八，这是 x 轴， 这个是 y 轴，那我这里就不画的那么细了，我们就画个大概。好吧，假如是这个就是四，这个就是八。好，我把这两个点一连， 这个点的坐标呢是零八，这个点的坐标是四零。 好，你要通过图像去看它的解，负二 x 加上八等于零，对不对？那对应的是不是就是它的 y 等于零呢？负二 x 加八等于零，那对应的 对应负二 x 加八啊，不对，是 y 等于负二 x 加八中 y 等于零的时候， 你把 y 换成了零，那不就是这个四字了吗？对不对？好，那么它对应的就是 x 是 等于四的，因为当 y 等于零的时候，它的横坐标是四，所以 x 等于四，这是由图可知啊。 由图可知好，然后呢？求这个。那么负二 x 加八大于零，那也就是对应的就是函数图像的重坐标大于零，对应的就是 y 大 于对应 y 等于负二， x 加八当中， y 大 于零的时候， 这个图像上的点的重坐标大于零，那不就在 x 轴的上方吗？在 x 轴上方，它这个上方的图像上的点横坐标对应的是不是都比四小啊？所以我们这里对应的就是 x 小 于四 啊， x 小 于四，然后再看负二 x 加八小于零的时候， 它对应的呢，就是 y 等于负二， x 加八当中的 y 小 于零的时候， y 小 于零，就是这个图像上点的重坐标小于零。重坐标小于零，说明在 x 轴的下方，因为下方的 图像上点对应的就是 y 轴上的负数，对吧？就是小于零的时候，那么对应横坐标呢？对应横坐标的话，就在这个四的右边，看到没有，所以 x 就 大于四就可以了。当然了，你说老师 我这个都能直接算出来，我为什么搞得这么麻烦啊？因为后面的题目它可能不会告诉你它的 k 值和 b 值是多少，知道吧？ 第二题，依次函数 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的图像，它的焦点坐标为二一，请确定方程组它的解和 x 的 值， 那么这两个函数它的焦点坐标是二一的话，那么你把这两个函数的解析式连立成一个方程组啊，那么这个二和一对应的就是 x 和 y 的 解，知道吧？我们用文字表示一下， 因为 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的焦点 为二一啊，焦点为二一，说明这个点既在前面这个函数解析式上，又在后面这个函数解析式上，对不对？函数图像上啊，所以把它们两个列成方程组，这个就是它的结。所以 y 等于二， x 减三和 y 等于 a， x 加二，它们的解就是， x 等于一， x 等于二， y 等于一。用文字描述一下，所以方程组 这个方程组的解 为， y 等于二， x 等于二， y 等于一，就这个意思。那么既然这个解是 x 等于二， y 等于一，那么也就是说，把这个解带进去算，就可以算出 a 值，对不对？满足这两个式子，所以将 x 等于二， y 等于一， 带入二十当中， 那么 y 换成一就是一， x 换成二就是二， a 加上二，一减二等于二， a 负一等于二， a 二， a 等于负一， a 就 等于负一，除以二等于负二分之一，所以 a 就 等于负二分之一，这个也算出来了。 好，再看第三题。刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游， 在假公司租车，那需要收取固定租金八十元，在此基础之上，再按每小时十四元去计费。如果你在乙公司租车的话，就不需要这个固定租金，只需要直接按每小时三十元收费就可以了。 那么当他将租车为多长时间的时候，租用假乙的这个算法，函数解析式表示出来。好吧， 好，首先是假公司，那假公司呢？他上来就要八十块钱，对不对？然后慢按每小时十四元去收费，那么加十四 x， 好， 这里我们写一下，设设一下啊，不能无中生有，设租用时间 为 x 小 时，租用费用， 租用总费用嘛，啊， 为 y 元，这样去表示就可以了。好，那么这个假的这个解析式就可以写成十四 x 加上八十，对吧？那么乙呢？ 它就是按什么？它就是按三十块钱一个小时算的，那么你经过了 x 小 时，那就是三十 x， 对 不对？就三十 x， 那 你 在什么时候，经过多长时间，他们的费用相同，那也就是说甲和乙相等吧，对不对？那你把它列成一个方程组求解就可以了。 y 等于十四 x 加八十，另外一个就是 y 等于三十 x， 对 不对？好，我把它算一下，因为这个 y 值是相等的，费用相同， 那么左边的 y 相等，那右边是不是也相等呢？当然你直接把这个 y 等于十四 x 加八十带入下面这个式子也是一个意思，对不对？好， 那么 y 相等的话，那么这个右边就相等，十四 x 加上八十等于三十 x 到一项十四 x 减三十， x 等于负八十，那么就等于负十六， x 等于负八十 x 就 等于负八十，除以负十六， 然后算出来 x 就 等于五，对吧？所以经过五小时之后啊，如果他租用的时间为五小时，那么你选择假公司和乙公司都是一样的，对吧？所以我们就答 这里也没有叫我们求出这个 y 值啊，你想要求出这个 y 的 费用也很简单，你拿三十乘上五就可以了， y 就 等于一百五十六，对不对？你如果要用这个式子去算的话，那就是 y 等于十四乘上五加八十，十四乘五等于七十，七十加八十也是等于一百五的，当然了，这里不需要我们求 y 值，知道吧？答，租车时间 为五小时的时候， 五小时租用甲乙两个公司 汽车费用相同。
2661毕老师细讲数学
03:08查看AI文稿AI文稿八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？
1567初中数学林老师
05:51查看AI文稿AI文稿大家好，我是夏梦老师，今天我们继续来学习正比例函数的图像与性质。 学习目标一、理解正比例函数的图像的特点，会利用两点法画正比例函数的图像。二、掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题。描点法画函数图像的三个步骤，一、列表二、描点，三、连线。 本节课我们研究正比例函数的图像，包括正比例，包括函数图像的画法和性质。第一，画出下列正比例函数的图像。好，我们就按照那个步骤来，首先列表，然后描点， 最后连线，一一画出来。同样，我们也可以画出函数 y 等于三分之一 x 的 图像。经观察发现，这两个图像都是经过圆点、直线，圆点的直线，并且都经过一三相线。 接着我们再继续画，先同样的先列表，然后描点连线，画出函数 y 等于负一点五 x 的 图像，同样画出 y 等于负四 x 的 图像。 我们会发现这两个函数图像都是经过圆点和二四相切。 总结， y 等于 k， x， k 是 常数， k 不 等于零的图像，是一条经过圆点的直线。 y 等于 k， x， k 不 等于零经过。当 k 大 于零时，经过一、三象限，当 k 小 于零时，经过二、四象限。 问题在函数 y 等于 x， y 等于三 x， y 等于负二分之一 x 和 y 等于负四 x 中随着 x 的 增大， y 的 值分别如何变化？ 我们可以通过图像，你可以直接分析。对于函数， y 等于 x， 当 x 等于负一时， y 等于负一，当 x 等于一时， y 等于一，当 x 等于二时， x 等于二。不难发现， y 的 值随着随着 x 的 增大而增大。 观察图像我们也会发现， y 直线 y 等于 x， y 等于三， x 向右逐渐上升，既 y 的 值随 x 的 增大而增大。二、直线 y 等于八分之一 x， y 等于负四， x 向右逐渐下降，既 y 的 值随 x 的 增大而减小。 正比例函数 y 等于 k x， k 不 等于零的性质在正比例函数 y 等于 k， x 中，当 k 大 于零时， y 的 值随 x 的 增大而增大。当 k 小 于零时， y 的 值随 x 的 增大而减小。 思考，由，正比例函数的图像是一条直线，你能想到画正比例函数图像的简单方法吗？我们知道两点确定一条直线，而正比例函数 y 等于 k x k 不 等的图像又是经过圆点的直线，所以只要在确定 确定正比例函数图像上一点，就可以画出正比例函数的图像。一般的这一点可以取作一 k 这个特殊点。 练习，用你认为最简单的方法画出下列函数的图像。好，我们刚刚说呢，由于正品的函数都是经过圆点零零的，所以呢，我们只需要再找出另外一个点，就可以画出它的图像。先列表，然后描点连线。 特别提醒，用两点法画函数图像时，零、零这点必选，因为图像过圆点，而 e k 这点因函数关系式而定。 选举时最好时所选的点的横纵坐标均为整数，这样描点比较容易。如果某函数图像是直线且经过原点，坐标轴除外，那么它对应的函数是正比例函数。当 k 大 于零时，图像过一、三象限。当 k 小 于零时，图像过二、四象限。 第二，已知函数 y 等于三， x 的 图像经过 a 负一， y 一 点， b 负二， y， 则 y 一 和 y 二的大小关系。那我们可以来判断一下这个点 k， 由于 k 大 于零，所以呢，随着随着 x 的 增大， y 也会增大，那现在我们能看出来 a 点 x 的 值是负一， b 点 x 的 值是负二，而由于负一大于负二，所以呢，我们可以确定 y 一 也是大于 y 二的，或者呢，我们可以画图，从图像上也可以知道 y 一 大于 y 二。 总结，正比例函数图像上的两点的纵坐标的大小与比例系数及自变量的大小有关。比例系数是正数时，函数值随自变量的增大而增大。比例系数是负数时，函数值随自变量的增大而减小。 本义的解法中，方法一利用的是求值的比较法。方法二是利用数形结合的方法，用形上的点的位置来比较数的大小。方法三是利用函数的增减性来比较大小。 好课堂练习，大家自己可以暂停了之后做一做，然后呢，来对一下答案。 好，最后总结一下正比例函数的图像与性质，图像是一条经过圆点的直线性质， k 大 于零时，经过一、三象限外随 x 增大而增大。 k 小 于零时，经过二、四象限外随 x 的 增大而减小。
22夏莫老师讲数学
00:29查看AI文稿AI文稿来，各位初二同学，一函数这里呢，一共有二十四个必刷的考点，第一个模块是一函数与正比例函数，这里呢，有六大考点。第二个模块是一函数的图像与性质，有六大考点，第三个模块是一函数与方程不等式的关系。 第四个模块是一函数的应用，有六大题型，这些题目呢，全部都有详细的答案解析，大家有需要的话在粉丝群回复，二十四题型拿去练习。
48梁老师讲初中数学
05:20查看AI文稿AI文稿八年级数学函数第三题如图，点 b、 c 分 别在直线， y 等于三， x 和 y 等于 k， x 上点 a、 d 是 x 轴上两点 已知四边形 a、 b、 c、 d 是 正方形，则 k 的 值为。这道题是一个填空题， 这道题是昨天给八年级学生上课的时候出一道题，本来想昨天晚上更新的，但是昨天上了一天那课有点累了，就是今天休了休息。都是说现在今天更新。 这个题呢，总体来说不是太难，但是对新学函数的人来说比较难。那下阶段正学函数呢？出了一道题，刚学的函数有点难， 完以后当你上上上九年级的时候再看这道题，都比较简单。但这道题呢，就是说昨天给八年级学生上课的时候呢，有的学生能做出来，但是大部分还是做不出来，没思路。 那做啥题呢？都要从一至条下手，这一至条就两个函数，一个三 x 一 k， x 求的是 k 值，然后就是这个正方形， 正方形的话，他得利用正方形的一些性质啊，我说这个也没有对角线啥的，没有对角线啥的，看这意思跟这一条也使不上啊。那就那正方形特点是啥呀？边相等，四个边都相等。 那你做啥的时候还从已知条二出发呀？你看这个题的已知条二是啥呀？从这上下手啊。 y 等于三 x 函数过 b 点， y 等于 k， x 过 c 点，那肯肯定跟 b 点和 c 点的坐标有关系， 跟 b 点和 c 点的坐标有关系。过 b 点的过 c 点，那 y 等于三 x， 这函数过 b 点的，那么 b 点上的这个横坐标肯定符合。 y 等于三 s 这个这个值，这个函数式 c 点的横坐标肯定符合， y 等于 k， x 这个，这个，这个函数， 这个题呢，就要从它的边相等上来考虑，边相等来考虑，那，那你从哪下手啊？那设设一个位置量，那设 a 点坐标设 a 零， 那 b 点 b 点的横坐标也是 a 正方形啊。 b 点坐标是 a 的 话，带进来之后，那么 y 就 等于三 a， 也就是说 b 点的坐标就是 a， 三 a， 这 y 值是 x 的 三倍啊， 然后怎么怎么得整到 c 点上来呀？最终那 c 点坐标也整出来，那 c 点坐标是啥呀？ c 点的坐标这个是三 a， 那 这也是三 a， 这距离也是三 a， b， a 的 长度是三 a， 那 a a d 也是三 a， 那 这还有一个 a 呢？咱们设 a 点作 a， a 点坐标是小 a 零嘛。那么 c 点的 c 点的横坐标是四 a， a 加三 a， 然后它坐标也是三 a， 就是从这个 a 点设一个 a 点的坐标，然后往上走，导出 b 点坐标来，然后再往右导出 c 点坐标， c 点坐标有了之后，这道题就出来了，那 c 点在外等于 k s 上啊，那么 c 点就是横坐标，大家肯定符合呀。你说这个四三 a 是不是这重做标直啊？把 c 点都要带住，带住这里边来，那就等于 k 乘以三 a 也掉，哎，这是四 a， 三 a， 这是三 a， 这是四 a， 卡掉啊，有点乱。 坐标是三 a， 横坐标是四 a， k 乘以四 a， 那 么 k 就 等于四分之三。 这题说难吧，也不难，但是对于刚学函数的人来讲，还没有做，还没，还没积积累多少做题的经验，又结合着这个几何体，又结合着几何的正方形，稍微有点跨度， 但有学生能做出来，但大部分学生都做不出来。还没，还没有，还没有经验，今天就讲这么多，下课。
04:08查看AI文稿AI文稿ok， 同学们，今天我们来讲解一道一次函数关于直线对称的问题来，首先来看这样的一道题目，直线 y 等于二分之一， x 加上二分之一，关于直线 x 等于一对称，让我们去求它直线的解析式是什么？ 那通常做这种题，刘老师的建议呢？还是采用画图的方法，这也因为咱数学毕竟讲究的是数形结合，并且呢，这也是最不容易出错的一种方法哈，好，首先我先把原来的这条函数给画出来， 这一条呢，就是 y 等于二分之一， x 加上二分之一，既然它是关于直线 x 等于一，那我们首先是不是你得把 x 等于这条直线给找出来呀？好，此时这条红色的线就是我们直线 x 等于一。 好，在这里哈，注意了，他既然是关于这条直线对称，那么我们思考一下，咱七年级的时候去，其实就已经学过对称了，对不对？我们是不是可以先把这条直线你给他画出来呢？好，现在问题又来了，那到底应该怎么去画这条直线？ 好，很显然哈，既然他是关于他对称，那么此时我们就把他看成是一个镜子， 镜子左边和右边他一定是可以折叠重合的，是不是？关于对称对称不就是这个意思吗？能够完全重合呀，所以说你看镜子的这一边是往这画的，那所以说镜子另一边他就是这样画，同理，镜子这一边是这样画的，那镜子这一边他就是这样画， 所以说，很显然你会发现我们就画出来了他对称之后的这个图形了，这条直线就是我们所要求的这个直线哈，好，现在问题来了，求直线的解析式，我们应该怎么求来着？需要几个点呀？两点确定一条直线。 所以说现在我们既然求直线，问题就转化成了去找两个点了，只要我找到这两个点，是不是这个直线的结束，我基本上就已经确定了呀。好，现在我们来看看，到底去找哪两个点呢？ 很显然，来直线 y 等于二分之一 x， 它是不是经过了直线 x 等于这个点，对不对？那这个点它既在原来的函数上，也在新的函数上，所以说这个点就是我确定的第一个点了。那这个点的坐标是什么？ 一多少几啊？很简单，你把一带入到原来的这个解析式中，求得 y 是 不就可以了？来，一二分之一加上二分之一，一都一，对不对？好，这是第一个点。那第二个点我们应该怎么找呢？你只要找到这一个点，你确定了另一个点非常简单了哈，你找谁都可以 来，咱通常找的是什么呢？找的是圆函数与 x 轴，或者是说 y 轴的交点。 来，举个例子，就比如说我先找与 y 轴的交点吧，与 y 轴的交点，你发现这个点我其实也知道它坐标，它不就是零度二分之一吗？零度 b 啊，对不对？那关于直线 x 等于一对称什么意思啊？也就是这一块的距离和这一块的距离，它俩是相等的呀， 这块距离是一，那这块距离也是一，所以你会发现这个点我也已经知道了，不就是二一二二，逗号二分之一吗？那你看，这就是我们已经找过的第二个点。当然你，你说找其他的点行不行？也是可以的呀，只不过我们通常去找 这两个点的对称更简单，就比如说你看找这个点吧，这一块的距离和这一块的。嗯，这一块的距离和这一块的距离是不是也是一样的？那很显然这个点你也是可以找到的哈。那综上所述，咱直线咱只需要找两个点就可以了哈。那么我找的呢，是一个是焦点， 另外一个是这个对称点，所以说咱通过这两个点，然后舍 y 等于 k， x 加 b， 当然其中 k 不 为零，将这两个点代入求解它的解析式就可以了哈。好，所以说这道题我们就求解完毕了哈，选择的是 double 选项。
07:44查看AI文稿AI文稿八年级数学一次函数第六题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 的 顶点坐标分别为，负六、零负三、负二、负四零零四 过点 a 的 直线 l， 将四边形 a、 b、 c、 d 分 成面积相等的两部分，求直线 l 的 函数表达式。 你这一个四边形 a、 b、 c、 d， 要你过 a 点做一条直线 l， 将这个 a、 b、 c、 d 的 面积分成两部分， 分成两部分之后，求这个直线 l 的 函数表达式。 这一看，这 a、 b、 c、 d， 这个就是上面的 abc 比上面这个 a、 d、 c 比下面的 abc 要大的多。这个线的方向呢？做辅助线的话，就是说大概齐 画的不准确， 那现在往下画一点，大概其是这样的两个面积相等，这是那直线 l、 a、 b、 c、 d、 e。 咱们假设和 dc 的 交点是 e， 这是那直线 l、 a、 e 是 那直线 l， 大 概其吧。先在图上先画上一个大概， 把面积分成相等两部分，那你先把 a、 b、 c、 d 的 面积求出来， 要往下，你没法做这道题呢，是这周日给八年级学生上课的时候呢，出的一道题，很多人都做不出来。 然后先把这 a、 b、 c、 d 的 面积求出来啊，这是一个不规则图形的面积，不规则图形面积只能给它分割， 分割成规则图形的分割成规则图形，那就是 a、 d、 c 是 一部分， a、 b、 c 是 一部分。三角形 a、 d、 c 的 面积， 这是六，这是，这是四，等于十二分之一乘以十，这是四乘以四二十，这样是 a、 b、 c 的 面积， 这也是十，这，这是二，那是十，那整个面积是三十。 这第一步，首先呢，把 abc 的 面积给求出来啊。第二题，在上课的时候呢，很多人做到这一步，下一步就不好做了，有好好多学生没做出来， 有做出来的不多，就几个人做出来。 那要分成相等的两部分，整个是三十啊，那各是十五。而这边求 a 加 e， 这个面积是十五，咋求啊？ 要这么这么整的话，就是不好弄了，那你那让，那让 a、 b、 c、 e 这个面积是十五，从这个角度来说，因为 a、 b、 c 的 面积求出来了，是十啊，那么 a、 e、 c 的 面积就是五。 三角形 a、 e、 c 的 面积就是五， a、 c 的 面积是五，那么 a、 c 的 长度有三角形 a、 e、 c 二分之一乘以十，那 a、 c 的 长度是十啊，那么这个一点的纵坐标就是它的高， 这等于这等于五， 那么一点的纵坐标就是一。 一点的纵坐标是一的话，怎么求它的横坐标啊？ 一点的纵坐标是一啊，这个长度是一，因为你看这个是零四，这是四零，这等于这三角形点 o、 o、 dc 是 等腰直角三角形，这，这个是一，这四十五度，这是它的这个重坐标，那这也这四五，这也四十五度啊，那么这也是一，那么这个长就是三。 当然有的学生那时候有 dc 这两点的这个坐标，有，那我求 dc 的 这个 一次函数的表达式，那可以求出来呀，一至两点的话都可以求，求完之后，我再把这个 y 等于带进去求 x 也行。但是不如说咱们从几何的这种方法分析， o、 d、 c 是 等腰直角三角形， 四十五度，四十五度，那这个是一，那这个就是一，那这就是三。也就说这时候一点坐标是三，一，那有 a 点坐标，有 e 点坐标，这时候它取出来 a 点坐标是负六零， e 点坐标三一，那这个咱们设下来的这函数是 k， s 加 b 加起来呗，二元一次方组 啊，等于零的时候， y， y 等于零的时候，这是负六， k 加 b， 然后等一的时候等于三 k 加 b， 解出来， 它减它这二减一，这就等于一等于九 k， 那 么 k 呢？等于九分之一， k 等于九分之一，三分之一，那后来是三分之二， b 等于三分之二， 所以这个最终的结果函数表达式是 y 等于九分之一， x 加三分之二。 这个题呢有点难度，涉及到面积方面的题， 那就灵活一点。到八年级之后，明显感觉到有有不少学生对这个函数，对这一次函数不熟陌生，那么在八年级刚结束一次函数的时候，一定要多做题，通过多做题， 然后呢树立一个函数这个意识，在大脑里边树立函数 p， 这一个说，咱们通俗说的话，这函数 p 咋做？ 你这怎么样，再怎么样，你怎么怎么样咋做？有这意识，到九年级之后有二次函数，有反比的函数，如果八年级一次函数，这个这方面的意识不强的话，到九年级会非常吃力。今天就讲这么多，下课。
50:56查看AI文稿AI文稿你这个年龄段，你这个阶段你睡得着觉？ 首先跟大家说一下，本期视频呢，会讲七道以上的压轴题，所以说你们最好要跟下来，然后今天给大家讲的是一次函数的综合与新定义函数问题， 他的压轴题，七种模型的全攻略，那么这个课间呢，完全是根据新课标和新中考来讲的，所以说大家你们要注意听，然后也跟大家说一下，你要是想要这份课间的话，在评论区留下你的年级，我这边会发给你。 好的，那么我们废话不多说，直接来看一下一次函数呢，这里面呢，他会考到哪些问题呢？我这里整理了一些简单的啊，就是比较有代表性的像与三角形的问题，还有呢和三角形全等的问题，包括一次函数和三角形存在的问题， 折叠问题，分段函数，还有绝对值一次函数，包括大家最喜欢的新定义的一次函数啊，所以说本期课程呢，大家记得点赞关注加收藏啊，值得反复观看的。好的，我们先来看一下开胃菜啊，一次函数与三角形的面积问题， 其实这种类型题呢，我们只需要抓住一个什么点呢，你就抓住三角形的面积，很多同学呢，一看到三角形面积，他就开始蒙了，因为你本身吧，我三角形面积和一次函数呢，我分别都知道，你要是放一起的话，我该怎么算呢？ 这里面本身是没有那么难的，大家看啊，三角形面积我们是不是都知道，它是二分之一乘上底， 再乘上个高，对吧？所以说呢，我们这里面可以用他的一个最原始的公式，也可以用什么呢？用面积差来求啊。所以说，我们来看一下，这一页会给大家讲两道啊，一道是例题，然后一道是这个吧， 大家最喜欢的大题，像面积比，对吧？这个面积比呢，很多同学可能会出问题啊，我们先来看下第一个啊，第一个，如图，直线 y 等于负的三分之四， x 加四与 y 轴交于点 a 与直线这个交于点 b， 然后且直线它与 x 轴交于点 c， 求 a、 b、 c 的 面积。这里面呢，大家要看好啊，哪个线？是哪条线？很明显，这个呢，是 y 等于负的三分之四， x 加四的，然后上面这条线是 y 等于五分之四， x 加上五分之四的， 它让你求 a、 b、 c 的 面积。其实这道题是不是感觉还可以，没有那么复杂，怎么求啊？你三角形 a、 b、 c 的 面积，我能不能用什么底层高 在初二啊，那这里面很多同学一看，哎，我会这道题，这个三角形 abc， 他的公式等于什么呢？二分之一乘上 ab， 他 再乘成个 bc， 这不就解决了吗？非常简单对不对？那么恭喜你，你就掉入了你在数学生涯中的第三千零二十四个坑，是什么呢？就是瞎猜，纯是瞎猜啊，谁告诉你这个是直角的对吧？ 没人告诉你啊。然后很多同学，那这个看着不就像吗？你看着像的东西多了去了，对吧，我还看这个面积像二了，那能这么说吗？ 所以说大家注意啊，这种呢，我们没有实质性的，绝对不能够去用啊，绝对不能去用，尤其是像这种解答题，那他怎么做呢？这个很明显啊，三角形 a、 b、 c 的 面积呢，我们可以用个补法，是什么呢？可以用三角形 a、 c， 这个点是点的吧， a、 c、 d 的 面积再减去三角形 b、 c、 d， 它的一个面积不就可以了吗？而且这里面呢，我把这个 垂直符号去掉，总让大家觉得它好像是垂直的，而且这里面呢，我过点 b， 我 还做个垂，这是 b、 h 吧，你看我是不是有 a、 c、 d 的 面积呢？就等于二分之一乘上个 c、 d， 它再乘上一个 a、 o， 它再减去什么呢？ 它再减去一个二分之一，它乘上一个 c、 d， 它就乘上个 b、 h， 看到没有，所以说就等于二分之一的 c、 d， 它再乘上一个 a、 o， 减去个 b、 h， 你 看就完事了。而且这里面呢，你这里的点 a 坐标点 b 坐标点 c 坐标点 d 坐标，你都能求出来啊，那么这道题呢，它的结果是什么？它的结果呢，就得四啊， 大家感兴趣的可以自己算一下。好了，我们再来看一下我们最喜欢的变式训练。我们首先来看一下，首先这道题呢，看起来呢，还是挺友好的。第三问的直接是在线段 a 的 上，是否存在有一个点 m， 使得 abm 的 面积与四边形 bm 的 c 的 面积 a， 它的面积比是四，比上二十一，若存在， 则求出点 m 的 坐标，若不存在呢？请说明理由。那么我们整体来看一下这道题吧。如图，在平面直角坐标系中，依次函数它的图像 与 x 轴、 y 轴分别交于点 ab， 那 也就是这两个，对吧？然后 y 二等于负三分之一， x 加 b 的 图像与 x 轴、 y 轴分别交于点的和 e， 就是 交于这两个，且两个函数图像相交于点 c 就交会证，那么其实大家看到没有哎，你这里我好像能求出来你们的一个点坐标吧， 就是点 c 坐标，包括你这个 b， 我 也能求，怎么求啊？大家看一下，简单给大家写一下，它是不是等于 x 加二啊？ 然后下面这个等于什么？它是不是 y 等于负的三分之一 x 加 b 啊？那我们就可以知道，什么他们两个交于这个点，它的坐标呢，是 m 到五，那也就是说你点 c 呢？它是在这条线上的，所以说呢， 五就等于 m 加二，那么什么是不是 m 他 就等于三呢？你看就完事了吧。所以说 c 点坐标呢，我就可以写成什么是三斗五，那么三斗五呢？他还在这条函数图像上，所以说就等于 五，等于负的三分之一乘上个三，再加上个 b 就 等于什么？是不五等于负一加上个 b， 那 么 b 就 等于什么？ b 是 不是等于六啊？所以说他就得六， 看到没有？那么第二问呢？他说求 a、 c、 d 的 一个面积，那这个就太简单了吧，因为你这个面积是不是等于二分之一，乘上一个谁呀？ o d 再乘上一个就是 c 点它的纵坐标啊， 就等于二分之一 a d 它等于什么？点 a 坐标是多少啊？点 a 坐标呢？是负二到零，根据这个求来的，所以说是负二到零，点 d 坐标呢？根据这个我们可以写成负三分之一 x 加上六，对不对？那么 d 点坐标啊，它实际上就是十八，所以说呢，它就是十八到零，那么 a、 d 的 长不就是二十吗？所以说二分之一乘上二十，再乘上一个五就等于多少啊？是不是等于 五十啊？好， a、 c、 d 的 面积求完之后呢？紧接着我们再来看大家最喜欢的第三问啊， 在线段 a、 d 上是否存在一点 m， 使得 abm 它的面积与四边形它的面积比是四比上二十一，若存在，求出点 m 的 坐标，若不存在，说明理由。好，那么既然这样的话，我们就给它擦掉， 对吧？因为我们现在呢，要画图了。他说啊，是 a b m， 那 就假设 m 点在这儿，他说在线段 a、 d 上啊，那 m 它就是在 a d 中间嘛，面积比为四比二十一，那我就假设呗，我可以设 m 的 坐标是 t 到零，那么 s 三角形 a b m， 它的面积怎么求啊？是不是二分之一乘上一个 a m， 它就乘上个 b o 就 等于什么？是不是等于二分之一，它乘上 a m， 大家注意啊，它是 t 加二， 为什么？因为你是 m 在 这， a 在 这， m 在 a 的 右边，所以说是，咱是大减小，是求距离的，也就是说什么呢？ t 再减去个负二，所以说变成 t 加二，然后再乘上一个 o b 多长啊？ b 点坐标，咱是不也知道是零到二，所以说再乘上个二，也就是说它等于什么呢？ t 加二， 然后他说呢，面积比为四比二十一，那也就意味着我们是把五十，还记不记得它的面积是五十啊？五十分成了二十五份吗？那一份是多少？是不是一份就是 二啊？对不对？那也就是说，你这里呢， abm 的 面积呢，它是四份，那么它就等于八，所以说 t 就 等于什么？ t 得六，也就说 m 的 坐标呢，就是六到零，看到没有就完事了啊，怎么样 做两道开胃小菜？还可以吧，我们再来往下看一下啊，再来往下看一下。第二个呢，就是大家最喜欢的全等问题啊， 全等问题呢，在考试中确实是一个考点，而且大家发现没有，就是我们在讲一次函数这类题型的时候，实际上你真的不会的是这些题吗？其实不是的，你真正不会的点是它隐藏在这些题里的几何知识，函数知识，你不会的是这些东西啊。 那么我们来看一下，还是啊，先讲个例题，如图呢，直线 y 等于二 x 减四，你就是这条呗，和 y 轴分别交 ab 两点，射线 ap 垂直 ab 于点 a， 然后点 c 呢，是射线 ap 上的一个动点，那就是 c 点。在这儿， 你看，我也是随便画的啊，点的呢，它是 x 轴的一个动点，且以 a、 c、 d 为顶点的三角形，与 a、 o、 b 全等， 则 o 的 长。这里面那个条件是比较明显的，因为大家看好啊，你角一加角二是不是得九十度？你角二加角三是不还得九十度？也就是说我们有角一，它等于角三，那么你这里你既然有三角形 a、 o、 b， 它是全等于三角形，谁呢？它是 c a， 我 就是随便写一下，因为这里能确定的就是你这个角三得角一。所以说呢，我这 a 对 应着一个 b 啊，就是这个三角形，它的点 a 啊。好，那么我们看，如果说你们两个三角形全等的话，你这里面 三角形 o、 a、 b， 它是直角三角形，那么你这个 a、 c、 d 啊，它肯定也是个直角三角形。现在呢，这个角它是定了的，那无非就两种情况嘛，要不然你就是 c 点，它为 直角顶点，要不然你就是 d 点，它为直角顶点，所以说两种情况，那么 o d 的 长，你这很明显，如果说它要是这样的话， 就是按照我现在怎么画，那是不是这两个三角形，它是 k 字形相似啊，就是一线三等角。那么你这里你看我们是不是有，它是 y 等于 二， x 减四的，那么我们可以通过什么呢？可以通过直线看到啊，你这个 x o a 的 什么是不是得二啊？然后你这个 o b 是 不是就得四？那么此时是不是我们有 a、 d 是 得 o b 的， 所以说它就是四，那么点 d 的 坐标就是六到零，所以说就得六。 那么第二种情况呢？那就非常明显了，它应该是什么？是不是 c 点，它为直角顶点的时候，就在这 这种情况，那也就说什么呢？你这个时候我们是不是有 a 的，是得 a、 b 的， 因为我对应着你是斜边相等，那也就是说这个你是二，你是四，他是二倍根号五，因为是一比二比根号五啊，够五厘米，所以说你这个就是二倍根号五，那么就是六或二，加上二倍根号五，看到了吗？这样就求完了，求完了。 好的，那么这道题完事之后，我们再挑一道啊，再挑一个，就挑个这个吧。第四个吧，这是八年级浙江绍兴的 已知，如图呢，平面直角坐标系中一次函数，它的图像分别与 x 轴、 y 轴交于点 a 和 b， 点 c 的 坐标呢，是三到零，那么我们能知道什么呢？大家看好，我们是不是可以把 b、 c 的 解析式求出来，因为你看我可以通过这个函数把点 a 的 坐标什么 二分之一到零，还有零到负一写出来，那么 c 点坐标是三到零，所以说它的表达是 得多少啊？因为你与 y 轴交点是负一，所以是 y 等于 k， x 减一，然后呢，因为你的什么呢？ o b 比上 o c， 它是一比三，然后呢，它还是这么画的，所以说呢，就是 k 得正三分之一，就是三分之一 x 减一啊，完事了， 刚才这部没听懂的同学呢，建议你去看一看我之前发的一次函数的视频，在这里呢，详细讲了这个 k 怎么求得的啊？希望呢，你能在中考之前学会我这个方法，因为你要学会了的话，在中考考场上你至少能省下来很多时间的啊。 好的，我们再来看一下，就是 ab 上有一点 p， 且 pbc 的 面积，它等于二倍的 abc 的 面积。哎呀， 那么我们看一下啊， p、 b， c 的 面积和 a、 b， c 的 面积，这两个面积有什么相同的点呢？ 大家看好啊，我在这里呢，标个点 p 吧，假设这个是 p b、 c 啊，这里面呢，三角形 a、 b、 c 的 面积，它等于什么？是不是等于二分之一乘乘个 a b， 他再乘上一个谁呢？他再乘上一个 c 到 a b 的 距离呀？我就简写了是 h。 哎，那么同理，大家看啊，你这个三角形 p、 b， c 的 面积是不是就等于二分之一乘上谁啊？乘上 p b， 他 再乘上点 c 到 ab 的 距离呀？ 看到没有？就是这两个，大家能不能看懂，你要是能看懂的话，那就非常好了，因为你会发现这里面二分之一相同， h 是 相同，我要求的呢，仅仅就是 p b 和 ab 它的一个关系，那么因为你的面积是二倍，所以说呢，我就知道我的 p b 也是你 ab 的 二倍，就相当于我高一样，我底是你的二倍长， 能理解吧？所以说，从这个角度来讲，这道题呢，它就很简单了。但是呢，大家注意啊，你们是跟着我走的，实际上呢，我们不一定在考试中一下能找到哪个是底，哪个是高，所以说你们要在考试的时候自己注意一下。好的，那么我们既然找到了，那就很简单了，你这里面呢，你 ab， 它是不是等于 二分之根号五？怎么求的二分之一一啊？一比二比根号五，然后那你 p b， 那 自然而然不就得等于根号五吗？所以说呢， p 点 就很明确了。第一个 p 点呢，在上面，你这个时候 p b 呢，它恰好是等于二倍的什么 ab 的， 那么此时点 p 坐标怎么求啊？ 有很多种方法，讲一个比较简单的直接钟点公式啊，直接钟点坐标公式，你可以设它是 x y， 然后呢，这个点 b 不是 零到负一吗？那我们是不是具有二分之 x， 它再加上一个零，它是等于 x， a 就是 a 点的横坐标，还有什么呢？二分之 y， 它加上一个负一， 等于 y， a 也就是 a 的 纵坐标，那也就是什么呢？ x a 是 不是等于二分之一啊？ y a 是 不是等于 零啊？那么也就推出来，你这里的 x， 它是等于谁呀？ 是不是得一的？然后呢，你这里的 y 是 得谁呀？是不是也得一呀？所以说 p 点坐标求出来了， 第一个就是一到一，没有去玩的。第二个是不是我们说你这个 p b， 你 得等于二倍的 ab 啊，所以说第二个肯定就在这呗，那就是点 p 的， 这你 p b 的 长呢？是根号五，你这个 ab 的 长是什么？他就得 二分之根号五。那么这个时候呢，就再教大家另外一个方法啊，你这里面如果说我过点 p， 我 还做个垂啊，我们是不是有这个三角形，他跟这个三角形相似的？如果说你现在听不懂什么叫相似的话，你要注意啊， 就是这个三角形，他的三边比是一比二，比根号五的，那么这个大的三角形，他的三边比也应该是一比二比根号五。换句话来讲，你这个斜边是二分之三倍，根号五的话，那么你这个就是二分之三，你这个他就得三， 能理解吗？所以说此时 p 点，他的横坐标就是负一， 因为你是这个是二分之三，你这不二分之一吗？所以说它横坐标是负一，纵坐标是什么？就是负三啊，看到了吗？当然大家这种方法呢，可能有些地区没有学，你比如说相似，我还没学，没关系啊，直接怎么样？因为你这样你可以直接得答案吗？ 这个答案一定是对的。那有些时候你比如说我知道这个题该怎么做，不就是 p b 的 长，它乘上这个高，对吧？它等于什么呢？它等于 这个三角形的面积，等于二倍的 a、 b、 c 的 一个面积。那么我是不是可以设 p 点坐标是 x， 横坐标是 x， 纵坐标呢？是什么？因为它在这个图像上，所以说就是 x dot 二 x 减一，那么 两点之间距离公式也求出来了吧，那是不是它就等于二倍的它呀？你看式子列完答案一写就完事了啊。好的， 紧接着呢，就是到了我们最喜欢的第三题啊。第三题呢，在直线上方是否存在一个点 m， 使得 m、 b、 c 三点构成的三角形与 abc 全等？那也就是说什么呢？他说要与他全等， 哎呀，那你与他全等的话，你 bc 肯定就相等了，那也就意味着有一个边固定了，那个两个边其实位置不也已经固定了吗？ 无非就几种情况，他说若存在，请直接写出点 m 的 坐标，若不存在，请说明理由。好，我们来看一下这道题呢， bc 很 明显它是固定了的，那么既然你是跟 a、 b、 c 它全等的话，我们为什么不直接过点 a 做一条与 bc 相关的平行线呢？然后呢，我们在这啊，求个点是什么呢？ 就是我们要求他点 m， 这个时候 bmc 他 是不是就是 a 跟他全等的，因为我们只需要令 mc 等于 ab 即可。那么他说让你求 m 的 坐标直接写出，其实直接写出就意味着，要不然你就直接算， 那就比较复杂，要不然你就有解面方法。这道题呢，是有解面方法的，你可以直接算的。首先，大家看好你这个 b c 解析式，我们是不是求出来了， b c 它等于三分之一 x 减一，那就意味着你 am 这条线，它就等于三分之一 x 加 b， 对 吧？我现在只需要把 b 求出来即可。 那么你 m 点在这个函数图像上，那我是不是可以设 m 的 横坐标是 a， 纵坐标就是三分之一 a 加 b 啊？然后那我 m c 得 ab 得二分之二五，不就完事了吗？ 这样用勾股定律就直接求出来了，而且呢，求完之后应该是两个结果，还能把这个点求出来，因为他没有说 m 不 能跟 a 点重合呀，对吧？所以说这样求完之后呢， m 和 a 它分别就是两种情况，第一种呢是什么？ m 他 就是二分之一到零，第二种呢就是 m， 他 是二到二分之一啊，这两个大家你们都要自己回去算，因为我在这里要算的话，那么这个计算量就特别大了， 毕竟接下来我们还有五部分呢，对吧？好的，我们再来看一下依次函数与三角形的一个存在问题，那么考点三呢，他就是三角形的存在性，那无非就是求什么 等腰直角三角形或者是其他三角形，对吧？我们来看一下这两个呢，我们就做下这一篇吧，好吧，这两道题， 然后这里面大家可以直接看这个问啊，因为前面呢都是求三角形面积的一个问题，那么接下来他说呢，第四象限内是否存在一个点 p 使得 p a f 是 以 a f 它为直角边的等腰直角三角形，那也就是说什么呢， 我要不然就是以 a 点他为直角顶点，这么画对不对？然后这样出来一个直角三角形，要不然呢，我就以 f 点他为直角顶点，这么画这来一个 直角三角形。不过目前你不管哪种情况，你好像肯定是有一个点，大概率是在第四象限的，那么我们就简单看一下啊，这里面他如果要是这样画的，那么点 p 就 在这。 那么此时我们再看一下题目中哪些可用的条件。依次函数 y 得 k 加 b， 分 别与 x y 轴交于 a 和 b， 就是 交于这个两点啊，那这条线就知道了。那么垂直这条线它的解析式我就能够知道， 点 f 呢，是线段 a b 上的一个动点，连接 o f， 设点 f 的 横坐标为 x 啊，那也就是这个是 x x 都是什么呢？还是得求依次函数解析式吗？ 因为它是这么画的，所以说它的 k 小 于零， k 小 于零的话， o b 比 o a 得多少啊？是不是得二分之一？所以说你的函数解析式就是 y 等于负的二分之一， x 再加上一个五，那么你 f 点它的纵坐标不就是负的二分之一， x 加上五， 对吧？这里呢，跟大家说一个点，你但凡在函数中看到什么呢？看到等腰直角三角形的话，首先要想到什么？首先要想到一线三等角啊，也就是 做垂直，那么换句话来讲，我过点 f， 往这做个垂，和我过点 p 往这做个垂，一个是 m， 一个 n， 你 这两个三角的内折叠啊，内折叠模型，所以说呢，这个角 为什么全等呢？边等都是直角，你还有个角等，然后那你看我们是不是就有三角形， 我简单写一下，三角形 a f m， 它是全等于三角，是谁呢？ e p， n 的， 对吧？然后判定方法是角角边啊，那么其实我们就有你这个 a p， 它是等于 af 的， 包括你谁呢？你 an 就 等于 fm， 还有就是你的 a m， 它就等于 p n， 能理解吧？所以说，其实我们想求点 p 的 坐标，那么我不就是求 an 的 长和 np 的 长，不就是在求 fm 的 长和 am 的 长，那么 fm 和 am 这里面该怎么求？ 然后这里呢，大家看一下题干啊，我们呢，因为刚才是直接看的第二题，所以说呢，第二题的题干它有一个小的条件，当这个 o a f 的 面积等于二分之一的 o a b 的 面积的时候，那一下不就知道了吗？那我不就一下知道，你这个 f m， 它实际上不就等于二分之一的 o b 吗？ 因为你 a o f 的 面积能等于它的一半，你底是 o a， 那 你高只能是一半啊，所以说你这个就是二分之五，然后你 an 就是 二分之五，那么你接下来 f 点不就求出来了吗？对吧？然后第二种情况呢？就是什么？第二种情况，我们还是 过点 f 往这做个垂，然后呢点 p， 它是在这的，此时呢，你这个 a p e f， 它是等腰直角三角形，其实呢，我们还是要万变不离其中，什么意思啊？因为你既然是等腰直角三角形的话，我是不是还是过点 f 做个垂，你这个点是 h 的 话，我再给它延长， 然后呢，交于这个点为点 k， 那 么我是不是有三角形 a f h， 它是全等于三角形，谁呢？ f p e k 的， 对吧？所以说还是啊，你这个 p e、 k 不 就等于谁呀，不就等于 f h 吗？ 就得二分之五啊。那么此时你这个 p e 点的坐标不就相当于是谁呀？不就相当于是点 f， 它往下先平移 f k 个单位，对吧？然后呢，再往哪啊？再往左平移 p e k 个单位就求出来了。 所以说呢，是两个角，第一个呢是什么？是二分之五都负的二分之五。第二个是什么呢？就是二分之十五都负五啊，这个记住，所以说你看 第四项线有两个点啊，然后我们就接着来往下看啊，就下面这个便是训练，他说呀，这里面呢，在平面角坐标系中，直线 a b 呢？ y 等于这个与 x 轴交于点 c， 写点 a 是 负一逗 m， b 是 n 逗负二。那其实这里面是不是我能把 c 点坐标和 ab 点的坐标都求出来呀？对不对？ 所以说呢，第一问，你看 c 点的坐标呢，我就直接写上了是什么五分之七逗零，然后呢，第二个求圆点 o 到 ab 的 距离， 那么他求的是什么？那这里面很多同学，哎，他求这个我不知道怎么做呀，其实不是你不知道怎么做，而是说你这个线没画出来，他求的不就是这条线吗？ o h 这个长，因为你是点到直线的距离，那就是做垂啊，那这个的话其实就有点明显了，就没有那么难。那这个其实怎么做呢？我们可以用等面积法啊，大家看好，假设这个是点的，那么我就知道你这个三角形 o c 的， 它是等于 二分之一，乘上谁啊？乘上 o c， 再乘上个 o d， 然后还等于谁呢？二分之一乘上个 c d， 然后再乘上个 o h 嘛，对吧？就是等面积法，所以说我们具有谁呢？你这个 o c， 它乘上 o d， 等于 o h， 它乘上个 c d， 这里面你这个点 d 坐标是不是能求出来呀？ 所以说你看这样做是不是就是比较简单，那么直接呢，这个结果呢，就等于四十一分之七倍，根号四十一啊，不是什么特别好的一个数，但是你要说它难度呢？其实还可以，我们看下最后一个， 在 x 轴是否存在点 p 使得三角形 a c p 是 直角三角形，若存在点 p， 看好啊，他说使三角形 a、 c、 d 是 直角三角形，这种题怎么做呀？ 这种题它但凡要正哪个三角形？是啊，什么三角形？你就看这个三角形它的一个特征，直角三角形它最大的特征，那不就是直角吗？九十度。所以说我们归根结底呢，我们就可以看一下你这个三角形 a、 c p， 我可以令谁为九十度啊？是不是角 a， 角 c 还有角 b 啊，对吧？所以说你看，那这样的话，我就先令角 a， 它是九十度，那我们就怎么样啊？我们过点 a 呢，做 ab 的 一个垂线，然后呢交 x 角，你看 是不是有一个点 p 啊， p 一 对吧？对应的 p 一 啊，那 p 一 怎么求啊？ p 一 呢？我们直接可以用什么呢？因为你 a b 这条线不是 y 等于这个吗？所以说与它垂直的不就是 y 等于什么 五分之四 x， 然后再加上个 b 吗？那这里面它是不是同时过 a 点坐标啊？ a 点坐标得多少？ 他是负一逗三啊，这个你要算第二个的话就会算出来，我这里给大家讲的是思路，因为如果要正常讲这样一个大题的话，可能得需要二十分钟左右， 但是那样讲的话，我们可能这期视频就奔着好几个小时去了，所以说呢，大家你们听着也会很累。那么你看这里面呢， 我就紧接着再把点 a 的 坐标带进去，就是 a， 点坐标是负一到三，那么我就可以把这个解析式求出来，它与 x o 的 交点坐标，不就是点 p 的 一个坐标吗？ p 一 这不就求出来了吗？ 这个呢，求完是负的四分之十九到零啊，然后呢，第二种情况，你说角 c 得九十度， a c， 哎，大家发现没有，你这个 a c p， 你 不管是 p 在 这还是 p 在 这，你这个角和这个角它都不可能是九十度，对吧？因为你这个角它已经是定了的， 那么就意味着第二种情况它是不存在的，就是这个它是不行的啊。那么第三种情况呢，就是角 p， 它是九十度，哎，这个呢，就有意思了，其实这里才是最简单的，就是我过点 a， 我 还做个垂， 这个就是 p 啊，对吧？ p 二不就直接求出来吗？负一斗零，因为你点 a 的 坐标不是负一斗三吗？你看是不是没有想象那么难，对吧？ 依次函数，大家注意啊，就是他这个题，虽然说看着挺难，但实际上他真的没有那么难。我们其他的题也是，不管你是几何还是函数，唯一的呢，你就是先把题读懂啊，这个是需要注意的。好，我们再来看下一个，下一个呢，就是大家最喜欢的折叠问题，折叠问题呢， 我们还是，那就这页这两道吧啊，大家可以暂停，然后看一下题，自己先做一下啊。这里面呢，我就直接来做了， 如图一，在同一平面构造波形中，直线 ab 是 它与直线 ac 是 它相交于点 am， 四与 x 轴交于点 b， 负四到零， 哎，那你说 ab 是 哪条线啊？是不是 y 等于二， x 加 b 啊？因为你的 k 大 于零啊，那么你这个 ac 是 哪条线呢？是不就是 y 等于 k， x 加三呢？ 他是这个交于点 a， 这点是 m 就是 四。那其实你这个 m 是 不是能求出来呀，因为你不还有一个点 b 坐标呢，负四到零，对吧？你其实这里的 b、 m、 k 就 都求出来了啊，你把负四到零带入到这里， 你这个 b 不 就求出来了吗？然后你再另 y 得四 m 不 就求出来了吗？对不对？这个呢，直接给大家写上了，是 b 呢， 带进去它是得八 m 的 负二 k 等于负的二分之一啊，就完事了。第二个如图，二点的为线段 bc 上的一个洞点，将 a c 的 沿直线翻折，得到 三角形 a e 的 就是它将这个翻到这了。线段 a e 交 x 点 f， 它交于这个点，是点 f， 求线段 a e 的 长，那 a e 不 就是 a c 的 长吗？对吧？ 换句话来讲，你 a 点坐标是什么？负二到四 c 点坐标是不是六到零啊？ 两点之间距离公式直接就能求出来 a e 多长啊？ a e 就 等于四倍根号五啊，因为它是得 ac 的 啊。 当然这里其实大家发现没有，你这个 a e 呢，它其实是固定不变的。换句话来讲，一点的运动轨迹是什么？ 你是不是你不管在哪， a e 都这么长，对吧？都是四倍根号五，那你是由一个定点，然后呢？还有定长，那不就是他的运动轨迹是个弧吗？ 如果大家听不懂的话，那就是个圆。我这么说啊，第二问啊，当点 e 落在 y 轴上的时候，求 e 点的坐标，他要落在 y 轴上，哎，右边他没有图，对吧？点 e 落在 y 轴上，那就是在这，那我们看一下， 此时呢 a e 是 知道的四倍根号五，那么实际上点得不就在这吗？那其实我们是不是有你这个得 e， 他 得 c 得啊， 对吧？那我 o c 是 不是得六啊？因为你点 c 坐标不六到零吗？所以说他得六的话，我设 o d 是 x， 那 这个不就是什么？这个就是六减 x。 哎，那你说我现在求一点坐标，我是不是就求 o e 的 长就可以了？ 那你要这么看的话，我是不是在三角形 o d e 中直接用勾股定律，谁呀？ o d 方再加上个 o e 方等于 d e 方即可呀？因为你现在你 o d 不是 x 吗？你 d e 不是 六减 x 吗？所以说你就是它呀， 我把你表示出来不就完事了吗？你是 x 也好，还是你是个数也好，能算出来就行呗。那么我们就看一下你这个 o e、 o e 的 话吧，你这么一看好像没有什么思路， 然后，但是别忘了，我们知道 a e 它长是四倍，根号五，你既然有 a e 的 四倍，根号五， a 点坐标呢？是负二到四，那我就知道，如果我说我过点 a 往下做个垂，这个是点得 a d， 它是不是得二啊？那么你同时还有 a e， 它得 四倍，根号五，我是不是就有什么呢？我其实就有，在三角形 a d e 中是不是有勾股定律啊？就是 a e 方 减去 a d 方，它是等于 d e 方的，也就是说什么呢，根号下八十减去二的平方就等于二倍，根号十九，所以说呢，你这个 d e 它就是二倍，根号十九。 哎，那你说你 o 的 它是多长啊？ o 的 是不是四啊？因为你 a 点的纵坐标不是四吗？所以说呢，你 o e 它是多长？就是二倍，根号十九减四，它求什么？ 他是不是求点 e 的 坐标啊？哎，那你看，其实这个时候我们这个高股定律好像是不是不用了？我们现在是不是都已经知道 o e 多长了，那一点坐标不就能求了吗？就是什么四减去啊，四减二倍，刚好十九，为什么？因为他不是小于零吗？对吧？ 好，那么这个点 e 坐标就是零到四减去二倍，刚好十九。我们再来看第三个， 若这个三角形它为直角三角形，谁啊？的 e f、 f 呢？是线段 a e， 它与 x、 o 的 交点，那也就是说什么呢？我这么画吧，假设点的在这， 然后呢点 e 在 这连接，这个之后呢，它与 x、 o 的 交点，这个是 f， 它说三角形的 e、 f， 它是直角三角形。 好，那么还是啊，这里面根据我们刚才跟大家讲过的，你要是他属于什么三角形，那直接我们就看他属于这个三角形有什么特点。直角那是不是还是九十度？ 九十度的话还是分三个啊，第一个呢就是角 f、 d， e， 它得九十度。第二个呢就是角 e， 它得九十度。第三个呢就是角 d、 f、 e， 它得九十度， 三种情况啊，看看哪个我们能用。这里面其实角 e 这个可以排出来，因为这个角 e 不 等于角这个 a、 c、 b 吗？ 所以说这个首先排除，那么我们就分两种情况，第一个角 f、 d， e， 它是九十度，那我就画个九十度呗，这个是点 d， 然后呢？这个是点 e， 这是点 f， 然后呢我们是沿着 a、 d 这条线它翻折的。 哎，那么大家这里发现没有啊，你这个既然是九十度的话，然后他们两个角等，所以说这个是不是就一百三十五度啊？这个也是一百三十五度，那么同理我就在这写了，大家跟上这一块，他是不是就四十五度？ 四十五度我们首先想什么？是不是得想到等腰直角三角形啊？那换句话来讲，我要过点 a 往下做个垂，这个是 a h， 我 们是不是三角形？ a h 等于它就是一个什么呢？等腰直角三角形， 然后你 a h 还得四，你这个还是二，所以说你 o d 不 就得二吗？那么你看点 d 的 第一个坐标不就求出来了吗？他求什么？都点坐标吗？所以说第一个坐标就是什么二到零啊。那么第二种情况呢？我把它写在这吧。 第二种情况就是它角的 f e 得九十度的， f e 要到九十度。哎，我们重新画一下，这个其实还挺好画的，为什么呢？因为只有这种情况，你只有说 a f 它垂直于 x 角，它才可能，对吧？那你要这么看的话，好像这个就 更简单了，因为大家记不记得我们刚开始用勾股定律来做的，那其实这个完全可以用啊，我如果要设它是 x， 它就是 x， 你 这里面呢？ a 点的横坐标是负二，你 c 点的横坐标是什么？是不是六啊？那你这个距离不就能知道是多少啊？是不是得八，对吧？然后呢？ f 得不就是八减 x？ 同理呢，你 a c 还得四倍根号五，然后你 a f 还得四，所以说你 e f 不 就能求吗？ 那么它不就是四倍根号五减四吗？三个边都知道了，然后来用一下勾股定底，对不对？所以说第二个点都是坐标呢？ 就是什么？就是二倍根号五减四啊，大家感兴趣的话可以回去算一下。那么听到这呢，你已经非常非常厉害了，非常厉害了，再坚持一下，再坚持一下啊，至少把这道题听完，然后我们再休息一会，好吧， 好，我们来看一下，这个也是大家最喜欢的折叠，当然这个呢，没有那么难已知呢，直线 y 等于四分之三， x 加六与 x 就 y 轴分别交于 a 点和 b 点，点 c， 在 线段 o a 上将这个折叠后，哎，它是什么意思？ 它是把 a b o 沿 b c 折叠点 o 恰好落在点得数，那么你这里呢？我们是不是就默认它是个直角啊？然后你这个直线 y 等于四分之三， x 加六，那么你说你这里是不是 o b 就 得六， o a 它就得八呀， 对不对？因为你不是四分之三嘛，所以说你 o b 比 o a 就是 三比四，看到没有，那么点 a 的 坐标呢，就是 负八到零，注意啊，点 b 的 坐标呢，就是零到六，紧接着 a b 多长， a b 多长呢？我们来看一下，那不就是十吗？六八十，对不对？ oc 呢？ oc 的 话，它其实就看我们用什么方法， 如果说你要对一二三四五模型特别了解的话，那直接就出来了，这个就是什么，这个直接就得三。那如果咱要不知道的话，哎，也没有关系， 我们可以说它是 x， 这个就是 x， 因为你是十，这是六，所以说这是四，然后呢，这个是八减 x 勾股定律啊， x 方加上四的平方等于八减 x 的 平方，看到没有？所以说解出来 x 就 得三啊，所以说 o c 得三。 听到这，你已经超过百分之八十的同学了啊，还有最后三类，希望大家坚持住分段函数呢，这个给大家讲一道题吧，因为看这题干就比较友好。 在依次函数中呢，我们经历了列表瞄点连线画图像，结合图像研究函数性质的过程。小红，哎，对函数它的图像和性质进行了如下探讨，请同学们认真阅读探索过程的一个解答。 第一个，请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中啊画出该函数的一个图像，那么我们来看一下，首先就是补充完整呗， x 的 二的时候， y 的 什么？ y 的 一， x 的 三的时候，哎，是不是带不进去了？ 因为这里大于等于三，那他就去二，所以说这个图像大家发现没有，我在大于等于三的时候，我的 y 全是二，那么也就意味着三的话在这，二的就在这，那么他是这么画的， 就是在 x i 等于三的时候，那在他之前，你比如说 x 得二的时候呢？他是不是得一啊？因为这个 x 减一很好画，那么他就是大概这样画的。好的，那么到这为止，哎，大家发现没有，你这是 y 得 x 减一吗？你这个是 y 得二吧， 因为 y 的 二十条横线啊，大家注意啊，它是个横线。哎，那你说你这段怎么画呢？这个时候我们就睡到一个点，叫临界值，是不是 x 的 三的时候是它的一个临界值啊？那也就是说什么呢？ 我得看一下你上面，虽然说你取不到三，但当我无限接近于三的时候，就是我 x 得三的时候，你上面这个等于什么？是不是也得二？那也就是说，其实你在无限接近于这个点的时候，你这个图像也是在无限接近于二的，所以说我们这个图像他就可以这么画， 他是连上的这块。那么根据函数图像以下判断该函数的性质，说法正确的是。第一个函数图像关于 y 轴对称，这个对吗？很明显不对啊，此函数无最小值， 这是对的，因为你 x 的 范围是无限的，所以说呢，第二个是对的。第三个，当 x 小 于三的时候， y 随 x 增大增大，当 x 大 于等于三的时候， y 的 值不变。小于等于三的时候，是不是 x 越大 y 越大，然后再大于等于三的时候， y 是 不变的， 第三个也是对的，所以说这个也是对的。那么你看啊，若直线它与函数的图像只有一个焦点，则必得多少？好，那么涉及到焦点问题了， 这个怎么做？他说他与他只有一个焦点。那首先你看啊，这个时候我们就学到了之前教过大家的，该怎么画这个 y 的 二分之一 x， 它的 k 是 二分之一，你 y 的 x 是 这么画，那 y 的 二分之一 x 就 在下面大概率是这么画的， 他呢？如果要是这么画的话，那你看什么时候会有一个焦点呢？是不是在这啊？对吧？在这种状态下会有一个焦点，那也就是说他得恰好过这个点是什么呢？是不是三到二啊？ 对吧？所以说呢，就是当 x 的 三的时候， y 的 二，那么就是什么二等于二分之三，加上 b b 就 得二分之一，看到了吗？ 就是其实大家发现没有，我这边讲完之后好像，哎，还可以，没有想象那么难，但是呢，你在自己做的时候，你可能就蒙了，因为我刚才呢，前提是啊，我们看到 y 的 二分之一 x 一下就知道他这图像是要比 y 的 x， 他 是更靠近 x 轴的， 所以说，当意识到这个的时候，这道题就非常容易了。但如果说你之前你要不知道这个的话，哎，那其实这道题就有点难。 好，我们再来看下面这个考点啊，就是绝对值的一次函数。这个呢，我们来看一看哪道题呢？看看幸运观众，这个我们来看一下河南的吧， 毕竟是考试大神。我们来看一下有这样一个问题，探求函数它的图像与性质，下面是小明的探索过程，请补充完整函数它的自变量 x 的 取值范围。哎，这个是什么？ 他有说 x 不 能得什么吗？是不是没有啊，所以说他的取值范围就是任意实数啊， 不要不敢写，有可能同学就是不太敢写，然后不知道怎么去做，其实本来没有那么难的，下表的是 x 与 y 的 几组对应值，哎，那么大家看一下，其实这里就往里带就可以了，他这里有个 m， 那 肯定就带进去呗，那就是 m 得一。然后呢，第三个， 他说在如图网格中建立平面坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点， 并画出该函数的图像。其实呢，这道题鸟是描点的话，确实是做题的一个方法，但是呢，我更希望说通过这道题来给大家讲一下依次函数的绝对值，它到底是怎么画的， 大家看一下，以这个函数图像为例， y 等于 x 加一的绝对值。如果说你要每道题你都这么描点连线的话，那别人都做完了，你可能连一半还没描完 呢。那这个时候我们来看，原来这个函数是不是 y 等于 x 加一的绝对值，它其实难，是不是就难在哪呢？它就难在你这个绝对值，那么绝对值我们怎么处理？它一般是不是去掉，去掉的话，我不就得讨论一下你绝对值里面是正负吗？ 那么我就知道了，当 x 加一它大于等于零的时候，我 x 是 不是得大于等于负一啊？此时你这个 y 是 不得 x 加一，就本身不变， 那么当我 x 加一小于零的时候，我 x 是 不就小于负一啊？ y 呢，就等于负 x 减一， 看到没有，我就整体给加了个符号，这里面呢，这个等号啊，前面呢，不用纠结放在哪里，你要是放在一部分，另一部分就不带就可以了啊。那其实做到这，我是不是就知道，实际上你这个函数图像呢，它是在 x 负一这条线 作为一个分界线，大家注意啊，在我做过戏的时候，有很多细节，因为我要知道，我待会呢，要以负一到零这个点，他所在的这条竖线作为分界线，所以说我会把 y 轴画的偏右一些， 看到了吗？那么这个是 x 等于负一这条线，在 x 大 于负一的时候，图像是不是 x 加一啊？那也就是说此时图像是这么画的，这个呢，是实心点啊，因为你不是能取到负一吗？ 在 x 小 于负一的时候， y 是 不是负 x 减一啊？那也就是什么呢？他是这么画的，大家看好。所以说，其实这个就是我们要求的 y 的 x 加一的绝对值，它的一个图像。但是吧，在考试的时候呢，我仍然不建议大家这么画，为什么呢？因为你画的还是太慢了，大家可以怎么样呢？ 我们可以把原来 y 的 x 加一这条直线呢，给它补全，你就会惊喜的发现，假设我 x 它得负二的时候，我原来啊，是得什么，是不是得负一啊？ 但是现在呢，我 x 的 负二代入到这个式子中，是不是对应着得一啊？对不对？同理，你负三代入进去，你发现黑色的线和绿色的线，它们 同一个 x 值，对应的 y 值是互为相反数的，也就是说什么呢，我们从图像的意义来看啊，你这个画的线，你不管画的什么线，你对应的是不是都是 y 得多少啊？那么在这个前提下，你这个 y 是 不是就不可能是小于零， 对吧？因为你加起对值了，所以说你原来函数图像，你令 y 取得小于零的，这些都要翻上来 看到了吗？实际上他们两个是关于 x 轴对称的，也就是说，以后你看到这种绝对值，你首先要想到关于 x 轴对称，这样的话呢，你就会省去大量的时间，因为这道题，你比如说我来看到这个了， x 加一的绝对值啊，直接这么一连往上一翻就完事了， 你看这样理解是不是更快？好的，那么这个图像就画完了啊，我就不在左边画了，大家听懂为主，听懂为主，学会了才是自己的。小明根据画出的函数图像写出此函数的两条性质，那就是太简单了，你比如说 x 小 于负一的时候， x 越大越小，然后呢，第二条 x 大 于负一的时候， x 越大越大，都可以啊。好的，那么这个就是这道题接下来 最后一道啊，最后一道呢，我们就来看一下第一个吧，新定义型啊，新定义是大家最喜欢的函数图像了， 它在平面状坐标系中，函数它到两坐标轴的距离之和等于 n 的 点，叫做该函数图像的 n 结合点。例如二度一为依次函数 y 得 x 减一的三结合点。 好的，那么我们看啊，它其实是不是就是这个点，它与 x 轴作垂和 y 轴作垂，然后两个距离相加呀，不就这个意思吗？那么若点负二都二是 y 关于 x 的 正比例函数 m 的 n 结合点，则 m 的 什么？ 那就带进去呗，带进去 m 就 得负一，然后 n 呢？ n 就 代表着它们两个距离相加呀， 就是这个点到 x 轴和 y 轴的距离吗？那不就是四吗？因为你二加二，对吧？好，那么第二个，若 y 关于 x 的 依次函数，它的图像经过这个图像的期结合点。好，我们重新读一题啊，可能大家没有太读懂 这个函数，它经过这个函数图像的期结合点，那就意味着在 y 等于 x 加一，这个函数图像上含有 一个点点 a， 假设这个点 a 呢，它是 x 到 x 加一，我们这里呢，是不是 x 的 绝对值加上 x 加一的绝对值，它是得七的， 对吧？这个才叫它的七结合点嘛。然后呢，我们还有你他呢，还经过这个点 a 啊，那我不就相当于要把 x 求出来吗？ 对不对？而且这里呢，大家发现没有啊，你这里好像只有两种情况，要不然你就全去到绝对值，要不然你 x 和 x 加一就都大于零，就是 x 加上 x 加一，它是得七的，此时你 x 得三， 那 x 加一不就得 y 不 就得四吗？所以说你第一个坐标就是三道四，那你第二个坐标呢？就是他俩都小于零，为什么？就是他是这么写的，负 x 减去 x 减一得七，那此时 x 不 就等于负四吗？然后 y 得负三。好，那么这个要给大家讲一下，为什么我这么写， 正常来讲，我们不应该分着讨论吗？你 x 大 于零，然后 x 加一小于零，这也有可能啊，那为什么我只讨论它俩同时大于零或同时小于零？ 因为大家发现没有，你在 y 等于 x 加一这条函数图像上，你会发现啊，我们刚才如果要讨论 x 它大于零， x 加一小于零的情况呢？就是它们两个符号不同，就是 x 和 y 的 符号不同，那也就是只有在第四象限，对吧？因为它经过一三四象限， 只有第四象限，这符号是不同的。那么在这个象限中，你不管你到 x 轴的距离还是到 y 轴的距离，你怎么相加，你都不可能等于七，因为你这两个点，一个是一斗零，一个是零斗负一， 发现了吗？所以说其实他这种情况就是不存在的，他只有可能是同时都大于零和同时都小于零，所以说咱们直接带第二种就可以了，那么这两种带完之后， 记住它是两个点，第二个点是负四到负三，把它们都带入到 y 的 k， x 减二中，然后呢？ k 这不就求出来了吗？ k 一 呢就得二， k 二呢就等于四分之一啊，两个值。好的，那么听到这给自己鼓个掌啊， 大家要是想做其他的，记得去评论区留言，然后我会发给你。整体来讲呢，就是跟大家简单讲了一下， 做一些题，然后一次函数的一些定义。其实呢，归根结底大家发现没有，按照目前的新课标趋势呢，他是没有一些固定的解析模板的，但是呢，我们要根据这个题来理解啊，每道题他要考你什么？ 好，那么本期视频到这，我们下期视频再见。
230三观超正的数学爱好者
08:28查看AI文稿AI文稿一次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题，今天我们来学习它其中内容费用最低的问题， 下面来看一下这个题目啊，这是我们珠海去年的期末考试题，那他说去年有个热播电视剧长安的荔枝啊，你看这个东西就每年都会出现一些与热点的内容相结合的题目啊，这个这题出的挺好的啊，这个珠海， 那么现在看一下，他现在要运荔枝啊，运这个荔枝，现在呢有两种的方式，一种是走水路，一种呢是路路， 那走水路的时候呢，有百分之三的损耗，走路路的时候呢，有百分之五的损耗来，他现在说如果要用五艘船，十辆马车来运输这两百筐的荔枝，中间不改不改变这个运输方式，最终的损耗是八，呃，八筐， 我们看第一问啊，他说问每艘大船是多少筐啊？每辆马车可以运多少筐。那看到这个问题呢，那就是问什么就设什么就可以了啊， x 筐， y 筐啊，我们要设未知数啊，设， 那接下来呢，我们就列方程啊，那有两个未知数就要列什么样呢？两个方程啊，我们要找到两种关系，这种关系呢就是要总共要运两百筐啊，五辆的这个五艘船，那就是五 x， 加上十辆车，十 y， 最终等于两百筐。 第二个呢就是它的损耗，总共损耗了八筐哎，那这个水路呢，损耗百分之三，那就在这个基础上乘以百分之三。 那露露呢，损耗百分之五，那就在这个的框数基础上乘以百分之五，最终刚好等于八框。损耗。好，方程列出来，了解得 最终减出来 x 和 y 分 别等于多少呢？你像这种啊，非常大的时候，我们在运算的时候，我们可以有点小技巧，我们可以怎么样啊？两边同时乘以一百，把它改变一下，里面乘以一百啊，那就是这里剩三三五就是十五， x 加上啊，五乘十就是五十，等于多少呢？等于八百对不对？ 然后我们再同时呃约小一点，同时除以多少乘以五，呃，大家去算一下对吧？ 应该是一百六，对不对？好，那接下来你看这个和这个就可以直接相减相加，对吧？所以这地方我们就过程就不再详细讲啊，最终啊， x 等于二十， y 呢？是等于十的啊，等于十的。 好，那接下来呢，我们来看一下啊，打这个自己去打啊，那就说我们每辆大，每艘大船呢，能够运二十筐，每辆马车呢可以运十筐啊，这我们的第一问，那第二问就是我们今天重点了啊， 他说水路运输啊，每艘大船需要一千两百文，山路运输呢，每辆马车的费用是八百文，为了控制成本， 总的运输费用不能超过一万四。看到这个不能超过，要注意啊，我们给他标注一下啊，不能超过的意思怎么样啊？就是小于等于的意思，小于等于一万四千文，而且大船的数量不超过，你看又有不超过了，这又是一个不等关系啊，就小于等于 吸收啊，那么恰好运完了这两百筐的荔枝啊，而且不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量才能使得这个费用最低。 那这个时候呢，我们一定要有函数的思维啊，既然有函数，我们就要去，怎么样呢？就要去列关系式了啊，然后列了关系式，要探讨最值的话，那也求范围呀，所以第一步我们先去啊，设未知数啊，列关系式，那设谁呢？既然安排大车大船和马车的数量，我们肯定要设未知数啊， 那么可以设大船，大船是多少呢？因为前面用了 x y 啊，我们用 m 啊，然后这个马车呢？ 马车这个地方要注意啊，因为他这个题稍微的哎，难度增加了一点，他不像以前啊，说这两个相加总共有多少多少收，对吧？多少量，他没有这样子，他什么都没给，只是给了一个， 给了一个怎么样呢？恰好是两百筐，给了一个总的筐数，所以这个地方我们必须得通过这个筐数要再去表示我们马车的数量。这马车数量怎么表达呢？就是我总共两百筐， 我马这个大船呢，有 m 艘，它运了多少筐呢？我们知道大船一艘是二十筐嘛，所以它运了二十 m 筐一剪呢，剩下的就是马车的这个运的筐数，那再用这个总的马车的筐数除以它每一车能运的 啊，运的是多少呢？是十筐。那这个时候呢，我们就可以表示出马车的数量了，我们可以化简一下，它得多少呢？就是二十，减去二 m 啊，我们可以要打上这个小框，哎，这个是量对吧？ 那个是收，那还有一个呢，就是费用啊，说他的费用为多少元呢？费用为 w 元，一般是这样啊，收尾数我们就收完了啊，这个地方相对于他增加的一个难点，我们要注意一下啊， 那接下来呢，我们叫列关系式， w 等于什么样呢？费用分成了两个部分啊，大船的费用和马车的费用。呃，每收呢是一千二，那就是一千二百 m， 这个马车呢，每每一辆是八百八百乘以二十减去二 m。 那 么接下来化简一下啊， 一千二啊，我们这里减去一千六，对不对？负的四百啊，四百 m， 再加上一个一万六 啊，一万六。好，这个关系式出来之后呢，我们探讨他的最大值或者最小值得求范围范围在哪里呢？就是刚刚我们标出来的这两个啊， 那接下来求范围范围的话，有两个，一个是他的费用，费用实际上就是这个啊，负的四百 m 加上一千啊，一万六，要小于等于一万四。还有一个呢，这个大船的数量，大船就是我们的 m 啊， m 要小于等于七。 好，那接下来呢，我们就把这边擦一下啊， 那接下来我们就解得把这个解出来， 解得我们的 m 呢应该在哪里呢？是大于等于五，小于等于七的。好，有了不等关系，接下来我们就要通过函数的性质来求对值啊。接下来我们要这是一个固定的模板，因为怎么样呢？先说一下这个前面的系数， 负的四百是小于零的，所以当我们的 m 等于多少呢？那么要知道啊，在这个一算数里面，我们这个系数小于零的时候，那这个 w， 也就是我们的 y 会随 x 的 增大而减小，对吧？那在这个里面就相当于说是 w 随着 m 的 增大而减小， 你想啊，增大而减小，我 m 取多少的时候他会最小呢？肯定是取的是最大的那个，对吧？在这个范围内最大的那一个，那么就肯定取是七啊，当 m 等于七的时候，这个 w 啊，有怎么样呢？有最大值 啊，最大值，那既然要求最低费用是多少，我们就得为多少呢？那么就需要把这个 m 等于七啊，带到我们这个表达式里面去，那这个求出来的就是负的四百乘以七，哎，再加上我们的一万六，最终是一万三千两百。 好，那接下来我们就要打，对吧？他说怎么运输啊？啊，怎么安排啊？就是当这个大船有多少收嘞啊？为七收 啊，为七收，那我们的马车有多少呢？多少辆啊？相当于是二十，减去二乘七啊，就是六辆，对不对？有六辆是费用呢？最低啊，有最低费用， 有最低的费用，费用多少呢？一万三千二百文啊，这里是文， ok， 所以 这里的话我们要，哎有怎么样呢？依次函数的这种探讨的意识啊，要知道是怎么探讨的，大家反复看一下这个过程和解析的一个思路。
154木子数学
09:35查看AI文稿AI文稿八年级数学函数第四题如图，已知一次函数 y 等于 k s 假币的图像经过点 a 负一，逗一逗负一和点 b 一 逗负三。 第一小问求一次函数解析式， 已知两点，已知过两点，这两点坐标有求的函数解释解析式，第一小题是最基本的题， 那 y 等于 k， s 加 b， 把这两点代入，那只有 k 和 b 这两个，这两个不知道的这两个系数， 这带进去之后，正好二分之一次方成组可以求出来。减去方成组等于负一的时候， y 等于负一的时候， i 等于负一，负 k 加 b， 等负三的时候， i 等于就是 k 加 b， 这是一，这是二。 一减二等于二，这个减这个等于负二。 k， 那 k 等于负一， k 等于负一的代数呢？ k 等于负一，单下来这个正因，正因负二， b 等于负二，所以说这个第一问，它的函数的解析式是， y 等于 k 等于负一，负 x， b 等于负二减二。 第一小问就是最简单的啊，就是在函数这里边是最基本的，最最最基本的一种题型，已知两点，已知过两点，求这个直线的解解析式，或者函数被表达式就带进去二元一次方程组，把 k 和 b 求出来就行了。 这个没啥说的啊，这是最基本的题， 第二个必要呢， 好写这啊， y 等于负，点 x 减二。刚才咱们解出来第二小问，请在 x 轴上找到一点 p， 使得 p a 加 p b 的 值最小，并求出 p 的 坐标。这题属于最值题， 最值和最小都属于最值题。最值题是在中考当中的一个重点， 而且最值这种题呢，涉及到咱们初中数学的方方面面，你想你初一从开始就有最值题，最大值的这种题。 第二个呢，就在 s 上找一点 p， 使得 p a 假 p b 的 值最小。第一小问呢，这是这道题呢？是今天给八年级学生上课的时候做一道题，第一小问都能做出来，第二小问只有一个人做出来， 别人都没，没思路。你看这个，你看这个。第二小分，这个系数熟不熟啊？在 s 轴上找一点 p， 使得 p a 加 pb， 那 直接 p a 和 pb 是 已知点的， 这就是看你咱扒进去上册学轴对称的时候，那个那一章最后那一部分最短路径， 最短路径这种题，这是一，这是一条马路，这有两个村庄，一个 a， 一个 b。 在 网上建一个超市，使这个，呃，超市到 a 的 距离和到 b 的 距离两个夹角最小。 这种题肯定熟啊，怎么在这个网络上找公路上找一点 p 耶，使 p a 加 p b 的 值最小啊？ 做其中一个点的，咱们做 a 点的， 关于这条，这条直线，咱们这条叫 l 吧，对称点， a 撇做对称点，然后连接 a a 撇 b 和这个 l 的 交点，就是所求的 p 点， 这肯定熟一讲，今天给学生上课一讲，这大伙都想起来了，但是自己要，人家不提示，他想不起来。 这学期教收的这学生好处太少了，只有一个学生做出来， 这跟那一样。 在在 s 上找一点 b， 使 pa 角 p b 最小。那做一个对称点呢？做 a a 的 对称点， a 撇 a 撇，坐标是啥呀？还是负一呀？那是正一呀，对吧？是 a 坐标是负一，逗，负一，那么 a 撇的对成点。关于 s 对 成点的负一，逗一， 在在 s 上找一点 p 呀，然后对成点之后连起来呀， 连起来之后，那么求这个 a 撇 b 和 s 的 角点就行了， p 点就在这了，怎么求这个呀？ 求 p 点呢？这个 a 撇和 b 坐标都有，这我再求 a 撇 b 的 函数表达式，然后呢就能求出和 s 的 角点。 就在学已知函数的时候，最基本的就说，如果已知两个点，那么一定能求出这两个点所连直线的函数解析式。 这是第一个非常重要的啊。已知两点的话，这两点组成的直线的解析式。已知函数解析式一定能求列二次方组。 另外一个，如果已知一个直线，这已知函数值到了已知了，那么它和 s 轴的交点和 y 轴交点一定能求。 因为一个函数确定之后，不管是 x 轴还是 y 轴，它总有一个横，横坐标和纵坐标里边总有一个是零，把零带进去都能求另一个。 说在学生大脑里边也要形成这种意识。咱们刚才说两两两点啊，已知两点的话，一定求能求出它的已知函数解析式了。如果已知一个函数解析式，那么一定能求出它和 s y 轴的交点坐标。 当你读已知条件的时候，你读的话，你大脑跟着走就相当于，这是相当于已知条件了。有了解析思路了， a 撇 b 的 一次函数带进去吧。还是我假设它它是 y， y 等于 k， s 加 b 啊，再带进去。呃，这个等一的时候，那么负一负 k 加 b， i 等于负三等于 k 加 b， 然后一减二，这个是一式，这是二式，二也是方阵组，你待几也中，咋弄都中它减去它都是四，它减的负二， k， k 等于负二， k 等于负二，就正二，正二的话， b 等于负一，也就是说这个 a 撇 b 的 这个一次函数啊，是 y 等于负二， x b 是 负一减一。 然后说已知一个函数呢，求它和 s 轴和 y 轴的坐标，一定能求，因为 s 轴、 y 轴坐标肯定有一个是零，把零带进去之后，一定能求出另外一个。 求 p 点坐标， p 点坐标 s 轴上呢？它是 y 是 零啊， y 是 零，负二， x 减一，那么 x 等于二分之一，负二分之一。 嗯，这是负二分之一，那就是所求屁眼的坐标就是负二分之一。零呗，都零啊。刚学函数，对函数的这个感觉还不深， 那只有通过做题，通过做题呢，完了再老师再讲解，再把一些这个一次函数基本套路呢，大脑里边先熟一点。 今天还有两道题也错的比较多，没时间讲，今天咱们就只讲这一道吧，下课。
02:19查看AI文稿AI文稿e 函数这里呢有十大体型，其中有一类呢，就是从函数的角度看方程和不等式。咱们一起来看一下这道题目。说如图，直线 y 一 等于负， x 加 m 与 y 二等于 k， x 加 n 相交于点 a， 若点 a 的 横坐标是二，问下列结论错误的是哪一项？好，那我们先看这个图，你看这儿的 k 是 负一，也就是说这个函数的图像过的是二四象限， 所以这个是 y 一 等于负， x 加 m， 那 么这个就是 y 二等于 k， x 加 n。 好， 那先看 a 选项， a 选项说 k 大 于零，你看这个函数图像，它过的是一三象限，所以 k 大 于零，这个是对的。那么再看 b 选项， b 选项说 m 带 n。 好，你看啊，这条直线与 y 轴的交点是谁啊？就是零 m， 那 么这条直线与 y 轴的交点就是零 n， 你 看 m 在 n 的 上方，所以 m 打 n， 这个是对的。 那么再看 c 选项， c 选项说当 x 小 于二的时候， y 二大于 y 一， 那么 x 小 于二的时候，也就是看二左边的这一部分，对吧？那么你看二左边的这一部分， y 一 的图像在外二图像的上方， 所以 y 一 大于二，那么 c 选项不对。好，再看 d 选项， d 选项说二， k 加 n 等于 m 减二，你看它俩交点的横坐标是二， 也就是说当 x 等于二的时候， y 的 值是相等的，那我把 x 等二带入，上面就是二， k 加 n 带入，下面就是 m 减二，所以二 k 加 n 等于 m 减二， d 选项也是正确的，那么错误的是 c 选项。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套一函数必刷的十大题型拿去练习，就能轻松解决这类问题！
181梁老师讲初中数学
02:23查看AI文稿AI文稿一个方案设计的这个课后题的一个练习，这个题干呢，提供的是两个型号的机器人，他们的分减量以及单价，现在公司呢，计划购十台，每小时的分减量总和呢，不少于八千五百件。 那第一问呢，他已经给我们设出来一个未知数，也就一个变量假形机器人的数量是 x 台，我们可以写到这个对应的就是十减 x 台，这是提供的数据。 第一问问购买这十台机器人所花费的总费用。 y 与 x 关系，那其实很简单，就是 y 等于五， x 加上三乘以十减 x， 然后我们化减就可以了，它等于二 x 加三十的啊，这就是第一问的一个结果。 到第二问呢，他说这十台机器人呢，购买几台假型号的机器人，能使所花费的总费用最少，而且最少经费有多少？那么知道假是 x 台， 但是我们要列出它的总费用呢？是在这个函数解析式上，那甲呢，是买的，由于这二是大于零的 y， x 增大而增大，所以甲买的越少呢，它的费用是越低的。 那我们要知道甲它最少能买多少个？最少那就是一个不等量关系，要利用这个不等式来分析，所以看分解量是一千乘以甲的个数，再加上八百乘以乙的个数，它呢应该是不少于是大于等于八千五百的。这个过程中我们很容易解出来 x 大 于等于二点五 啊，当我们解出这个之后呢，我们就知道这里边 x 取整数， x 的 最小值就等于三。那么来分析一下，因为 y 是 等于二， x 加三十的，写这个二是大于零的，所以我们写了这样一句话，也就是增减性分析一下 y， x 增大而增大的 啊，表明我们知道这个函数的分析方法。所以呢，当 x 等于它的最小整数，也就是三十， y 呢，也取的是最小值，我们直接把最小值算出来，它是等于三十六的。那最后我们再总结， 总结的时候呢，是回答它的两个问题，第一是购买三台假机器人时费用最少啊，就把这个抄下来，然后呢最少费用 是三十六万元啊。这里面最重要的分析呢，就是对于一层来说，这个增减性的分析在我们这个减用题的过程呢，要体现出来。另外这个解析式包括取的范围我们是要考虑的，而且还是考虑取正整数。
61乐其数学
07:51查看AI文稿AI文稿依次函数的应用题是我们八下期末常考的题型，而且像这个数形结合的应用题是我们依次函数的应用题中最有难度的题型。他要求我们对这个运动的状态和图形要能够一一匹配，而且又要求我们从这个复杂的图形里面去探讨多种的情况， 所以今天的话，我们通过一个视频把它完全搞清楚。现在读一下题目，他说这里有两个人约好去爬山，那么甲和乙呢？他们攀爬的高度就是距离地面的高度和他们攀爬的时间的图像是这样子的，那一看这个图像就非常的复杂啊， 那么现在初步的分析一下，这个甲和乙他分别是怎么爬的啊？可以看到这一条已经标出来了，他是甲的一个呃，图像，甲的图像呢？他一开始这里从一百开始的，说明了什么？他一开始爬的时候就已经距离地面是一百米了， 他整个过程当中都是一条直线，说明他的速度啊，都是保持一致的。然后呢，我们可以看啊， 以呢就分成两段了，一开始 o a 这一段他是从零开始爬的，就说距离地面从最底下开始爬的啊，爬到这个地方他的速度啊，你看这个图像啊，变抖了，说明他的速度变快了。 哎，这是第二段，他有两段的一个过程啊，而且这两条 ab 这段和 cd 这段有交点，说明此时啊，他们在统一高度上啊，同样的一个高度上。 好，这是大概的我们图形的一个解答啊，接下来我们看一下，第一问他求什么呢？ t t 在 哪里呢？是 a 点对应的时间，就说我的这个乙啊，从零走到了三十米的地方，然后他用了多少时间？ 那这个很简单啊，我们知道在一段上他的这个变化啊，速度变化是一样的，所以他们速度一样，速度怎么求呢？速度是通过路程除以时间得到的，所以我们可以看到这里有一个标了，一和十五的啊，一个点， 也就说他从零走到十五用了多少分钟啊？用了一分钟，所以他的速度就可以怎么样呢？用十五除以一就等于十五 米每分钟，这是他的速度。那现在我要求这段里面，他走了三十米的情况下，用了多少时间呢？就用三十这个这个路程除以他的速度就三十除以啊，十五就等于两分钟了，所以说 t 等于二。好，第二个问的第一个呢，他说 如果一提速之后，乙提速就是指 a、 b 这一段他的速度将是谁呢？甲的三倍，他就会问甲的上升速度是多少？ 那甲的这段只有一个数据，要算他的速度还是比较难的啊。那我们可以通过先算乙这段的速度来求，对吧？那乙这段怎么办呢？依然是用怎么样啊？速度等于路程除以时间，路程是怎么样看的呢？ a 点到 b 点，从三十到三百，他走了多远呢？走到二百七十米， 然后他用了多少时间呢？这里是二刚我们已经算出来的，两分钟的时候，到十一分钟的时候，一共用了十一减二，用了九分钟，那就用二百七除以九等于三十米每分钟， 这是谁呢？这是乙的速度，那乙呢？又是甲的三倍，那除以三，那甲的速度就是十米每分钟。好，第二问他求什么样呢？甲，在登山的过程当中，他的这个函数表达式，这个也很简单啊，我们已经知道了什么样呢？ 知道他是一条一次函数，而且没有过圆点，所以他是啊，一次函数，我们可以设来解数， y 等于多少呢啊？ y 等于 k， x 加上 b， 接下来我们代入两个点的坐标就可以了，就是零到一百和我们这个点到三百，但这个点呢，没有，我们可以也可以计算啊， 因为我们已经知道假的速度了，速度就是三百减一百，这个路程除以这里的时间就是这个减去零嘛，就是这个 t 啊， 那我们速度已经知道十了，他走的路程是两百，那我们就可以求出他的时间啊，就是两百 除以十就等于二十，比如说用了二十分钟，所以这个地方就是二十啊。现在我们就可以把这两个点啊，二十到三百，零到一百带进去，就可以求出他截式，这个求出来是多少呢？ y 就 等于呃，十， x 加上一百加一百， 那你说这个有没有更快的方法呢？有，首先我们要知道啊，这个 b 是 什么？是函数与 y 值的焦点，它已经是一百了，所以我们直接可以得到 b 是 等于一百的。第二个呢，这个 k 是 什么？是变化的趋势，在这个图形里面，变化的趋势就是速度的变化， 这个速度是等同于 k 的， 我们已经算出速度是十，所以它 k 就是 等于十的，直接可以得出它几个式也是可以的啊。好，第三问 啊，这是 y 甲的，然后现在他说甲乙两个啊，距离高度差为五十米，那么请写出满足条件的这个时间 x 的 值。那这个是我们这个题当中最有难度的部分， 那怎么来探讨是最好呢？他的情况到底有多少种？我们通常是找到这个拐点和交点，比如说这个是拐点，这是交点，这也是拐点，用线啊，把它画下来。整个过程呢，我们就分成了四个部分，这条线左边的，两条线之间，两条线之间，这条线右边的。 那每一种，每一个区域呢，都有可能相差五十，那这个五十，所有的五十，就是说要么假在前面啊，假在上边或者移在上边，他们一减就等于多少呢？等于五十在图像上表示。为什么样呢？在这个区域内，上面的这个 y 减去下面的这个 y， 刚好等于五十啊。 那么先初步从左边这个部分开始出发，看判断一下他否不符合要求啊。那很明显第一个阶段是不符合要求的，为什么呢？ 第一个阶段，我的这个乙啊，爬到最高的地方才是三十，这个甲一开始就是一百了，所以说我的最高和他的最低都相差七十了，所以在后面的过程当中肯定会越来越大啊，所以不可能相差五十。第一个阶段呢就排除掉。 那第二个阶段呢，那就是甲是在上面的，也就是说甲还是爬爬的比较高的，乙呢，要矮一点，他们两个一减呢，等于五十是有可能的啊，有可能。所以这个时候我们怎么来列式呢？就用甲的这个，呃， 我们的这个结式减去怎么样呢？乙的结式，那这个时候呢？乙的结式我们要去求啊，乙的结式呢，这里有两段啊， 第一段我们就判断它已经不成立，我们就不用求了，我们求出啊， a y a b 这一段， y b 呢，两个点都知道了，我们就直接设结式啊，带两个点的坐标进去就可以了啊，这个算出来呢，就是 y 等于三十， x 减去三百啊，三百 啊，减去三十啊，这个等于三十。好，接下来我们就可以探讨这种情况了啊，哎，上面减，下面就属于呢，甲减去乙，哎，甲的在这里啊，十 x 加上一百，减去我们的三十， x 减三十，最终相差五十， 哎，相差五十，这个是可以算出来的， x 等于多少呢？ x 等于四啊，这是一种情况。第二种呢，哎，他跑到哪里呢？经过这个交点处啊，他们相等了，然后已跑到前面去了，这个时候也有可能已减角是可能的啊，已减角就反过来了， 哎，三十 x 减三十，减去十， x 加一百，哎，加一百等于五十，最终算出来 x 呢，是等于九的，这也可以， 还有一种呢，是怎么样呢啊，来到这里呢，这个乙呀，已经爬到三百米，他就不爬了，接下来就是甲一直在爬，对吧， 哎，一直在爬呢，他们的距离啊，逐步在缩小，也有可能是相差五十的情况，那这时候呢，我们就怎么列式呢啊？第三个式子啊，我们写这里就是用上面的三百，哎，减去我们甲的这个关系式啊，就是 十 x 加上一百等于五十，那这个也能算出来是等于多少呢啊，这个 y 是 等于 x 等于十五的，那所以总的来讲呢，我们这里啊，所有的 x 的 值呢，就有三个 x 就 等于四或者九或者是十五。
43木子数学
03:11查看AI文稿AI文稿要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课。来看这道题，已知一次，函数 y 等于二， m 加三， x 加 m 减一。 第一问，若该函数的值 y 随自变量 x 的 增大而减小，求 m 的 取值范围。好，这道题我们来解一下。 那它的一般形式是， y 等于 k， x 加 b。 如果如题中所说， y 随 x 增大而减小，则让 k 小于零，即这道题里面的 k 就是 二 m 加三，让二， m 加三小于零，求得 m 小 于负二分之三。 由于这道题跟 b 没有关系，所以 m 减一我们不需要问，所以这道题最终结果是 m 小 于负二分之三。 第二问，若该函数图像不经过第二象限，求 m 的 取值范围。好，我们先画个图， 第二象限在这个部分，如果这个函数不经过第二象限，我们的画法看一下。 也就是说，我们画的所有的图像，这个 k 应该是大于零的，即这道题里面的二 m 加三大于零， 那求得 m 大 于负二分之三。好，这是我们关于 k 的 求解。那想想，如果 b 这一点，或者说 y 等于 k， x 加 b， 我 们都知道它与 y 轴的交点是零。 b 如果 b 大 于零的话，它就会经过外轴的正半轴，而一旦经过外轴的正半轴，这个图像一定就会经过第二象限。你看一下，所以说我们让 b 干嘛 小于等于零，那在这道题里面， m 减一就是 b， 所以 让 m 减一，小于等于零，我们求得 m 小 于等于一。好， 那综合来看， m 最终的取值范围就是小于等于一大于负二分之三，那这道题我们就求出来了。
21:41查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数的复习题，先看它的复习巩固。第一个，王芳现有存款一千五百元，他计划今后三年每个月都存五十元，他的存款总金额是 y 元， 随着时间 x 的 变化而变化，这个 x 呢，单位是 y 啊，写出 y 关于 x 的 函数解析式， 那么他已经有一千五百元了，然后每个月都往这个存款当中再存五十元，对不对？你一个月存五十元，那么加进去两个月，那就一共存了一百元，再加进去，就这个意思，知道吧？那你想一下， 它这里是三年，一年是十二个月，三年就是三十六个月，所以呢，它这个时间也就是 x 月份，它的取值范围一定是零到三十六，知道吗？好，这里我们简单写一下，它的总存款 会等于现存款， 加上每月存款 乘上月份，对吧？每月存五十元，一个月就乘一，两个月就乘二，对吧？好，然后呢，他说这里是三年，对不对？三年等于三十六个月， 等于啊，这是等于不是二三年等于三十六个月，所以呢，这个 x 的 取值范围小于等于三十六，大于等于零，然后我们再根据它的关系式写出来， 总存款是 y 元，对应写 y， 现存款是一千五百元，我们对应写一千五百， 然后每个月的存款呢，是五十元，对应五十乘上月份，他的月份呢，用时间 x 来表示，所以就乘 x， 所以 这个解析是 y 就 等于 五十， x 加上一千五。那么这样写的话呢，就是方便我们对应依次函数的，一般是 y 等于 k， x 加 b， 知道吧？然后呢，你再把它的取值范围写过来，就是 x 小 于等于三十六，大于等于零，那么 关 y 关于 x 的 函数解析式咱们就写出来了，因为这是一个实际问题，所以你一定要把它 x 的 取值范围写出来，知道吗？实际问题一般都是有取值范围的啊，千万不要忘记了。 再看第二题，判断下列各点是否在直线， y 等于二 x 加六上，并且求出这条直线与坐标轴的交点。那么首先判断下列各点是否在直线上，那么你就把它的横坐标当做 x 带进去， 看它算出来的 y 是 否等于它的重坐标就可以了。我这里写一下它的判定标准， 判断点是否在直线 y 等于二 x 加六上面我们就将这个点的横坐标当做 x 带入解析式当中进行计算，算出来的 y 值，看看这个算出来的 y 值是否等于这个点的纵坐标， 如果相等的话，那么这个点就在直线上，如果不相等的话，这个点就不在直线上， 当然你反过来也是可以的。什么叫反过来？就是你把它的重坐标替换掉 y 值，看看它的 x 是 否等于它的横坐标，如果等于也是在这个点上的，就是你无论把 x 带进去还是把这个 y 带进去，都可以，知道吗？啊， 只要你不要带错了就行了，记住，重坐标替换 y， 横坐标替换的是 x 啊。如果你带入的是重坐标，替换掉 y 之后，你就看 x 是 否等于负五。如果你带入的是横坐标，就替换掉 x， 看它的 y 值是否等于负四就可以了。我们来把这四个都算一下就可以了。好吧，来 先看这个点点负五负四啊，带入这个 x 等于负五，咱们得到 这个 y 就 等于二乘负五再加六，二乘负五加六等于几啊？等于负四，你看和它的重坐标是不是相等啊？那既然和它的重坐标相等，是不是说明这个点在直线上啊？对不对啊？我们就写它的判定与重坐标 相等，所以是在直线上。 好，再看第二个，第二个点是负七二十，那我们就代入谁啊？代入 x 等于负七，对不对？就可以得到 y 等于二乘负七再加六，它等于几啊？等于负八，对不对？这里是负十四加六等于负八，而你看负八和这个二十相等吗？它并不等于它的重坐标并不等于二十，所以我们就说不在直线上， 可以了。再看第三个点，第三个点呢，是负二分之七一。 好，咱们就代入 x 等于负二分之七，就可以得到这个 y 等于二乘负二分之七，再加上六，那这个一层的话，它约掉等于负七，负七加六等于负一， 那你看一下负一会等于一吗？负一和一并不相等，对不对啊？所以呢，不在子线上。 好，再看最后一个点，这个点是三分之二，七又三分之一，那么你就代入 x 等于三分之二，你就可以得到 y 等于二乘三分之二再加六， 那这里一层的话，等于三分之四加六，三分之四加六，而这个六呢，等于三分之十八，对不对？三分之十八加上四等于三分之二十二， 然后写成带分数，写成带分数就是七又三分之一，没有问题，对吧？啊？就是拿二十二除以三，二十二除以三等于七于一，那么就是七又三分之一，好，那么是和它的重坐标相等的，所以呢，这个点它在直线上 就 ok 了。那这四个点呢，咱们就判断完了，它还有一个要求，叫我们求出这条直线与坐标轴的交点， 对不对？焦点坐标，那么你看一下坐标轴有几条啊？有 x 轴对不对？还有 y 轴， 那么在 x 轴上，什么坐标为零呢？它的纵坐标为零，如果在 y 轴上呢？在 y 轴上的话，就是横坐标为零，对不对？你要搞清楚。那么这里呢，我们要求这个 y 轴的话， 求与 y 轴的交点，那我们就当 x 等于零的时候，那么这个 y 就 等于二乘零加六等于六，所以 与 y 轴交点 为零六，对吧？你想要求与 x 的 交点，那么与 x 轴交点，它是纵坐标为零，所以你就当 y 等于零的时候， y 等于零，就零等于二， x 加六，一项一项，那么这个二 x 就 等于负六啊，然后这个 x 就 等于负三，所以呢，与 x 轴交点 为负三零，好，那么它这里的两个要求咱们就都算完了，对吧？判断这四个点是否在直线上，再求出这条直线与坐标轴的两个交点，因为有两个轴啊， x 轴和 y 轴，那么你就要求这两个点就 ok 了。 第三题考察的是依次函数的图像性质，也就是看 k 值和 b 值，那么 k 值大于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，对不对？ b 大 于零呢？那就交于 y 轴的正半轴，如果 b 小 于零的话，就交于 y 轴的负半轴就可以了。好，那我们根据这四个性质 去判断直线经过哪些象限对不对？好，先看第一个， 第一个 y 等于三分之二， x 加上二分之一，那我们要知道，一般式是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那对应的这个 k 值是不是就是负三分之二啊？对不对？所以这里我们写，因为这个 k 等于负三分之二，是正数还是负数？ 它是负数，是小于零的，所以 y 随 x 增大而减小，对不对？所以 y 随 x 增大而减小。 然后呢，再看它的 b 值， b 值是等于正的二分之一啊，因为 b 值等于二分之一，而这个二分之一是正数，是大于零的。所以呢，怎么样与 y 轴交于正半轴，与 y 轴交于正半轴。 好，那我们可以先把它的大致图像画出来，这里你不要先画 y 随 x 增大而减小，不要直接先这样画，你先看它与 y 轴的交点是正半轴，先把这个点 好大致画一下，然后你再经过这个点， y 随 x 增大而减小，那么它经过的象限就是一、二四象限，这是第三象限嘛，对不对？所以它经过的是什么？一二四象限？ 好，那么 y 随 x 的 增大而减小就可以了啊。再看第二个 直线， y 等于三， x 减二， y 等于三， x 减二，当中它的 k 值是什么？它的 k 值对应的是几啊？ k 值对应的是三嘛，对不对？好，它的 k 值对应的是三，因为 k 等于三，是正数还是负数？是正数大于零，对吧？所以我们就说 y 随 x 的 增大 而增大 啊。再看，那因为它的 b 值是等于负二的，而负二呢？是小于零的，所以我们知道 与 y 轴的交点在负半轴。交于负半轴， 那我们也可以把它的大致图像画出来，先画直角坐标系 与 y 轴交于负半轴，就在这个位置，对不对？然后 y 随 x 的 增大而增大，斜着向上画好了，那么它经过的是一三四象限， 所以我们这里就写一三四象限， y 随 x 的 增大而增大 就可以了。再看第四题，根据下列条件，分别确定函数 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。 第一个， y 与 x 成正比例，当 x 等于五的时候， y 等于六，那我们就要知道正比例函数的一般式是什么，对不对？好，我们这里就写，因为 y 与 x 成正比例， 所以呢，我们设比例系数为 k， 并且 k 不 等于零，所以 y 比上 x 就 等于 k， 你 就可以得到 y 等于 k， 乘 x 比号其实就相当于是除法的计算，对不对？你除以 x， 那 移过去就变成了乘 x， 这也是为什么正比的函数可以写成这个样子的原因。好，那么他说，当 x 等于五， y 等于六，因为当 x 等于五的时候， y 等于六，所以我们可以得到啊，你把这个 y 换成六，把这个 x 换成五，所以六等于 k 乘五， 那么这个 k 那 就五， k 就 等于六， k 就 等于六除以五，六除以五，就直接写成六分之五啊，五分之六就可以了，所以 y 等于六，五分之六， x 就 完事了啊。再看第二个直线， y 等于 k， x 加 b， 经过点三六与二负二分之一，那么这个就是一个非常标准的经过两个点，确定直线解析式对不对？好，那么这里直接用待定系数法啊，将 三六与二分之一、负二分之一带入解析式， y 等于 k， x 加 b 当中，我们就可以得到啊， 一个二元一次方程组，注意你不要带错了啊。这个 x 是 可以用横坐标替换的，这个 y 呢，是用重坐标替换的，所以我们把这个六和三替换进去，就变成了这个样子，所以是六等于 三 k 加 b， 那 这里把二分之一和负二分之带进去的话，那 y 就 等于负二分之一， x 就 等于二分之一，所以是负二分之一等于二分之一 k 加 b， 两式一减，你就可以求出来了，一式减二式， 六减负二分之一就等于加二分之一等于六，又二分之一三 k 减二分之一等于二分之五，所以是二分之五 k， 那这个 b 值减 b 值就抵消掉了，就不用写出来了。然后这里通分一下，二分之二六十二加一等于十三等于二分之五 k， 所以 二分之五 k 就 等于二分之十三，除以二分之五，除以二分之五呢？怎么样呢？ 等于乘以五分之十三 k 算出来了，等于五分之十三。你再带入任意一个式子，就可以把 b 算出来了。将 a 等于五分之十三带入到一式当中，那么六就等于三乘五分之十三，加上 b， 那 么六就会等于五，这里三三得九，一三得三，三十九加上 b， 那 么这个 b 就 等于六，减去五分之三十九。通分，这个是 六的话，是五分之三十，五分之三十减去五分之三十九，三十减三十九就等于负九，所以 b 就 等于负的五分之九，那么这个 k b 值我们就求出来了。 k 等于五分之十三， b 等于负五分之九，所以这个解析式就是， y 等于五分之三，五分之十三， x 减去五分之九就 ok 了，那么这个两个解析式我们就都求出来了。 再看第五题，根据函数 y 等于三 x 减十五的性质，或者是图像确定 x 取和值的时候， y 会大于零，和值的时候 y 会小于零，那么这种题目如果是填空题的话， 你如果实在不会看，你就直接算对不对？因为这里的 y 呢，是等于三 x 减十五的啊，这里呢，我先把这种方法给大家讲一下，如果他已经告诉你解析式了，那么叫你求 y 大 于零的时候， x 的 取值范围， 那么这里因为 y 等于三 x 减十五，对不对？所以 y 大 于零就可以变成什么，就可以变成三 x 减十五大于零，那么三 x 就 大于十五， x 就 大于五，那么这个就第一位 啊，那第二个的话呢？一样的啊，因为这个 y 是 等于三 x 减十五的，所以 y 小 于零，你就可以得到是三 x 减十五小于零，那么三 x 就 小于十五， x 就 小于五，那么 x 小 于五啊，就求完了啊，这两个就是它的答案 啊，这个是纯计算，但是有些题目他不会告诉你解析式的，他只会画个图像，而且这个图像呢，一般不会告诉你两个点啊，他就只告诉你一个点，那这样的话，你就求不出来解析式了，对不对？那这个时候怎么办呢？这个时候才是用图像的时候，不过这道题主要是考察我们对图像的理解，那么我们呢， 就先把这个图像画出来，好吧，这种呢是选择填空题的做法，那如果这是解答题的话，你还是老老实实的画图对不对？好，那么这里我们要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零。如果要求与 y 轴的交点，就让 x 等于零，那我们先求 x 的 交点， 先求与 x 轴的交点，当这个 y 等于零的时候，这个零就会等于三 x 减十五，一项算一下，你就会得到三 x 等于十五，就会得到 x 等于五，所以与 x 轴的交点 就是五零，所以它会过五零这个点。如果你要求与 y 轴的交点，那么就是当 x 等于零，那么这个 y 就 等于三乘零减十五，那么 y 就 等于负十五， 所以它就会过零负十五这个点。好，现在我们把图像大致画一下， 这里是 x 轴，这里是 y 轴，这是圆点，零啊，然后过我们这里画小一点，这里是五零这个点，然后还有一个是零负十五，我们放在这个位置，然后把这两个点连起来， 好，把这个点连起来，他说要 y 大 于零，那 y 大 于零在哪个上面呢？那 y 大 于零，好，这里我写一下啊。 y 大 于零，那么翻译成这个什么？翻译成图形语言的话，就是必须在 x 轴上，因为在 x 轴上， x 轴上方的这个图像的所有点的 重坐标是不是都大于零？好，我这里写一下。 y 大 于零，其实对应的就是点的重坐标 大于零，那么这个点的这个图像上的点，它的重坐标要大于零，就在 x 轴的上方，则在 x 轴上方。 在 x 轴上方的话，你再看这个在 x 轴上方的这些点的横坐标是不是都比五大呀？你看这个点的横坐标是不是比这个五要大， 这个点的横坐标是不是也要比五啊？对不对？所以它的结果从从图像上去看的话，就是 x 大 于五，就是跟我们计算的结果是一样的，知道吧？好， 这些在 x 轴上方的点，这些点则在 x 轴上方的点，横坐标 都大于五，所以 x 大 于五。当然你自己写的时候是不需要把这里写出来的，你只需要写因为 x 大 于零，然后由图可知，所以 x 大 于五就可以了，你可以直接这么写，知道吧？ 好，那么第二个通过图像来看，它是要 y 小 于零， y 小 于零对应的就是点的纵坐标小于零， 那么如果一个点的纵坐标小于零，并且在这条直线上，那么只能是在 x 轴下方的部分，在 x 轴下方的这个图像上的所有的点对应横坐标是不是都比这个五要小啊，对不对？这个点的横坐标是不是都比五小，对不对？这些点，所以 则在 x 轴下方的点，横坐标 小于五，所以 x 小 于五啊。然后呢，像这种话啊，如果你看答案，他也是不会告诉你的啊，他也不会写出来，他一般都是 因为 y 大 于零，由图可知，所以 x 大 于五就可以了，他一般都这么写的，所以我们自己写的时候呢，这些你如果描述不清楚，干脆不要写，你把图画出来，你会。
73毕老师细讲数学
41:03查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数的综合运用。第六题，某快递公司省内寄件的收费标准呢？是不超过一千克的物品就需要付十三块钱， 如果超过一千克呢？那么超过的部分每增加一千克，那不足一千克的就按一千克来算，就需要增加快递费两块钱， 设记出 x 千克， x 为大于一的整数，这里不考虑小数的情况啊，他的物品的快递费用为 y 元，写出 y 关于 x 的 函数解析式，这个呢是一个实际问题，那么我们就对 x 的 这个取值范围一定要写出来，知道吧？好， 那么它的收费标准分为两部分，哪两部分呢？一个是不超过一千克的时候，费用是十三元，然后第二个是超出的费用，对不对？好，分两个部分，第一个部分 我们这里就写，当这个 x 怎么样，小于等于一大于等于零的时候 啊，小于等于一大于等于零零的时候，这个 y 就 等于十三，对吧？他说只要不超过一千克，就只需要付十三块钱，你哪怕是半千克也是十三块钱， ok 吧？好，所以这个十三是一个固定的值，然后当 这个重量超过了一千克，也就是 x 大 于一的时候，那么这个收费就分两段了， 第一段，前面的一千克十三块钱是固定要收的，对不对？然后呢，超出的部分怎么去理解呢？ 那么假如说我们这里有三千克，那超出了几千克，超出了两千克怎么算呢？三减一，对不对，他就说明他超出了两千克，那如果这里是 x 千克呢？那超出的部分就是 x 减一就可以了，知道吧？所以这里用 x 减去一，表示超出的重量， 然后这个超出的重量呢？要乘什么呢？要乘上这个二，因为每增加一千克，也就是每超出一千克，它就会增加两块钱的快递费，所以再乘上一个二， 你就可以化简了。那么这个 y 就 等于十三，加上二， x 减二， y 就 等于二， x 加上十三减二，十三减二等于十一，那么这里我们就可以把它写成一个分段函数，知道吗？分段函数，所以呢，这个 y 就 等于十三，等于十三的时候是这个 x 必须小于等于一，大于等于零。第二段是 y 等于二 x 加上十一， 这个时候呢， x 取值范围是大于一的就可以了，这就是一个分段函数的形式啊，咱们把它写出来就 ok 了，记得实际问题一般都要考虑什么，都要考虑这个 x 的 取值范围，你不写出来的话，是会扣分的啊。 再看第七题，甲骑自行车与骑摩托车沿着相同的路线，由 a d 到 b d， 行驶路程 y 千米与行驶的时间七小时之间的关系，如图所示， 叫我们根据下面的图像回答下列问题，这里总共有五个问题。第一个问题，它是说 a、 b 两地的路程是多少千米？那我们先看一下这个图像，对吧？这是假的，这是乙的假呢，它对应的时间是从 t 等于零 开始的啊，然后呢？乙呢？对呢，是 t 等于三开始的，什么意思呢？就是说甲先出发啊，他是以甲出发的时间为准的啊，甲出发的时候就开始算时间了，然后你看甲出发了三个小时之后，乙是不是在发生 这个移动，对不对？所以是甲先出发，然后过了三个小时之后，乙再出发，不过因为这个乙呢骑的是摩托车，所以他骑的非常的快，对不对？你看 他从五小时这个三小时到这个五小时，你看他就行驶到了八十千米的地方，而甲呢，是从零小时到八小时 骑行了八十千米，对不对？所以呢，就可以看得出来，他们都是到达了八十千米就停止了，说明 ab 两地的路程就是这个八十千米啊，八十千米。 再看第二个出发较早的是谁？你看甲这条线对不对？从零就开始了，所以出发的早出发的就是这个甲，然后早了几小时呢？甲的话他是比乙早了三个小时的，从图上就可以看出来了，对吧？ 那么到达比较早的是谁啊？谁先到？你看甲是不是过了八小时才到八十千米的地方，而这个乙呢，到在五小时的这个地方就到了八十千米的地方，那是谁先到啊？是不是乙先到啊，对不对？好，这是乙先到， 那么他找到了多少时间呢？你看这个八减去五就是比他找到的时间，八减五等于几啊？我们这里写一下，八减五是等于三的，所以是找了三个小时啊，而上面的这个找三个小时呢，是用谁减谁啊？ 就用以后出发的三个小时减去它零开始的时间，所以是三减零等于三小时，对吧？自己写的时候只需要写三都可以了啊，写三就可以了，我这样写出来的目的是让你区分这个三，它的意义是不一样的啊，不是同一个意思。 然后甲的速度是多少？你看甲对应的是什么？八个小时骑行了八十千米，所以它的速度我们这里写一下啊。甲呢，是什么？八小时骑行了 八十千米，所以甲的这个速度就是八十除以八等于十千米每小时，所以它的速度是十千米 每小时。那乙的速度呢？乙的速度就是，你看他的时间和路程，他用了多久？他是五三小时到五小时，是不是用了两小时？两小时骑行了八十千米，对不对？好，这里写一下。乙对应的是什么？五减三等于两小时 骑行了 二，所以这个乙的速度呢，就是八十除以二， 所以是四十千米每小时啊，果然这个骑摩托车是要快一点，对不对？好， 再看第五个，你在距离 a、 d 多少千米的地方追上甲，此时甲行驶了多少个小时，对吧？那这个呢，就要用函数去算了，我们只需要求出它的焦点， 这两条直线的焦点，就可以知道它们在什么时候行驶了相同的路程，对不对？那么怎么求呢？好，我们这里呢， 同样呢，把这两条直线都设，为什么？都设为 y 等于 k x 加 b， 我 们这里设这个 y 夹， 它等于 k 一， x 加上 b 一， 然后这里设呢，这个 y 以等 k 二， x 加 b 二。好， 那么这样的话呢？甲，我们就带入这两个点，其中一个点是原点零零，他过零零，这个点呢是八八十，我们将这两个点带进去，将零零以及八十啊八八十带入 y， 甲， 你可以得到一个方程组，那第一个就是零等于 k 一 乘零加上 b， 那 么零乘任何数都得零，所以你可以得到的就是 b 等于零，因为它是正比例函数，所以它的 b 肯定是零的，对吧？ 然后另外一个就是八十等于 k 一 乘上八加上 b， 那 么 b 是 零，你把它带进去算，那么八十就等于八倍的 k 一 加上零，那么 八倍的 k 一 就等于八十， k 一 就等于八十，除以八 k 一 就等于十，你看这个 k 一 和它的速度是不是相等的呀？对不对？其实就它的增长速度，我们就可以得到 这个 k 一 等于十， b 一 等于零，所以 y 假的解析式就是十， x 就 完事了。而另外一个呢，这个呢，你就把这个点带进去，这个点是三零， 这个点呢是五八十。我们将这两个点带进去，将三零和五八十 带入 y， 以这条直线，那么可以得到一个方程组，就是零等于三 k 二加上 b 二，这里是八十等于五 k 二加上 b 二，两式一减，用二式减一式， 二式减一式，八十减零剩八十，五 k 减三 k， 还剩二 k， b 减 b 没了，所以这个二 k 二就等于八十， k 二就等于八十，除以二 就等于四十。然后你再把这个四十带进去，零等于三乘四十加上 b 二，所以零等于一百二十加 b 二， b 二呢，就等于负一百二，所以这里算出来的 这个 k 二就等于四十， b 二就等于负一百二，所以这个 y 以的解析式就等于四十， x 减去一百二啊。当然了，我们要把它的曲值范围写上啊， 由于这里的时间呢，它是用小 t 来表示的，所以我们刚才这里所有的 x 全部换成 t， 全部把它换成 t， 这是题目要求的啊，所以我们就全部把它换成 t 就 可以了。好，再把它的 t 的 曲子范围假，这一段是零到八，所以 t 的 曲子范围 t 小 于等于八，大于等于零。 然后乙呢，是三到五，所以它的取值范围呢，就是这个 t 小 于等于五，大于等于三啊，一定要写清楚，好吧，然后呢，我们把这两条直线的解析式都求出来了，那求焦点，就把这两个解析式连立成一个方程组计算啊， 我这里写一下啊，连立方程组求 y 夹与 y 一 的交点， 那么 y 就 等于十 t， 另外一个就是四十 t 减一百二，然后这两个式子它里面的 t 和 y 都是相等的，那么就可以直接让右边的相等，因为左边的 y 是 一样的，那右边的式子肯定也相等，你就可以得到 四十 t 减一百二，那么三十 t 就等于二，一百二 t 就 等于一百二，除以三十 t 就 等于四，所以这个相遇的时间就是甲骑行了四个小时的时候，就被乙追上了，对吧？好，我们这里写一下， 然后这个 t 呢，也带进去算啊， y 角就等于十乘四等于四十，那么这个交点呢，就是四四十， 对吧？啊，他问我们这个乙在距离 a d 多少千米的地方， 对吧？追上甲，那 a d 出发点 b d 在 这里对不对？所以是距离四十千米的时候，此时甲行驶了多少个小时？那么甲就行驶了四个小时嘛，对不对？好，我们就说 你在距 a d 四十千米处追上甲， 此时假行驶了四小时 就可以了。再看第八题，这里有一个容器，这个容器当中呢，有进水管和出水管，前四分钟只进水不出水，随后的八分钟之内 既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是一个常数，也就是固定的 容器内的水量。 y 单位是升与时间， x 单位是分钟之间的关系，如图所示，前四分钟灌了多少水？灌了二十升，对不对？后面呢？八分钟增加了十升水，到了三十升，对吧？好。第一个，当 x， 也就是时间 在零到四分钟的时候，求 y 关于 x 的 函数解析式，那么由于它这个这条线段，它是不过了原点了，对不对？好，我们就把它设为正比例函数，知道吧？好，我们这里就直接写了啊，先一个一个求下去， 当这个 x 小 于等于四大于等于零的时候，对吧？函数为什么为正比例函数？ 因为它过圆点了，对不对啊？所以我们这里设 y 等于 k 一 x k 一 不等于零， 那为什么要设成这个样子呢？为什么设 k 一 呢？因为后面还一段呢，对吧？后面这条直线解集式的 k 值就是 k 二了，你都可你直接设了 k， 那 后面怎么表示呢？对不对？所以我们就设为 k 一， 然后你现在把这个点带进去就可以了，从这里你就可以看出来，这里有一个点是四二十吧，对不对？好，我们将 四二十这个点带入，那么二十就等于 k 一 乘上四，所以 k 一 就等于五了，就可以得到 y 等于五 x， x 的 取值范围小于等于四大于等于零就 ok 了。好，这个是第一问啊，第一问。 第二个，当这个时间来到四分钟到十二分钟的时候，求 y 关于 x 的 函数解析式，那么这个点呢？你也可以看得出来，它是十二三十，你把这两个点带入解析式当中，对吧？好，第二问， 当这个 x 取值范围在四到十二的时候，对吧？啊？函数为依次函数 设为什么呢？设解析式 为， y 等于 k 二 x 加上 b， k 二不能等于零，对吧？好，将 四二十这个点与十二三十这个点代入，那么你就会得到两个式子，一个是二十等于四， k 二加 b， 另外一个是三十等于十二 k 二加 b， 两个式子咱们进行相减， 你二四减一，四一四减二四都可以看你喜欢三十减二十还剩十，十，二减四还剩八，所以八 k 二等于十，对不对？好，那我们这里除一下 k 二就等于十，除以八， k 二就等于四分之五，然后再把四分之五带入一式当中，哎，你就可以得到，二十等于四乘四分之五加上 b， 所以 二十就等于二十减五， b 就 等于 十五，对不对？好，所以这个解析式 y 就 等于四分之五 x 加上十五 x 取之范围小，小于等于十二大于四。 好，那么这个第二问也搞定了。第三问，每分钟进水和出水各多少深？ 那前面一段是比较好求的，对不对啊？怎么求呢？你看，这就写第三问了啊，他前四分钟是不是只有进水口，对吧？前四分钟只有进水口，四分钟进了 二十升，所以每分钟就是五升吧，其实跟这个系数五有关，对不对？好，所以我们这里写一下元音啊，前四分钟 只进水啊，水量从零到二十升，水量从零升增加到 二十升，所以每分钟进水 就是二十，除就是二十除以四等于五升，这是每分钟进的，知道吧？好， 那出水呢？出水绝对不是这个四分之五升啊，绝对不要这样去写，为什么呢？它是进水和出水是同时进行的，你看后面的这个八分钟是进水和出水同时进行的。那假设啊，你可以这样去想一下， 他如果在后面还是继续只开进水口，不开出水口，那么他到了十二分钟的时候， 他会有多少水？前四分钟每分钟是五升水，对不对？如果继续往后加，是不继续往后加，那么你看我们这里直接拿五升乘上十二，是不是？正常来讲，如果你不开出水口，是不是得到六十升？但现在实际上有只有多少升？ 现在实际上只有三十升，那么你想一下，相比于不开出水口是不是少了三十升？ 那少了三十针是什么原因呢？是不是因为他打开了出水口啊？他打开出水口把这个三十针给流走了吧？是不是给流出去了吧？那么你看他花了多少时间？他是不是后面的八分钟才打开的？ 所以八分钟你可以理解为 low， 出去了三十升水，你就拿三十除以八就可以得到，对吧？三十点七五升，所以它每分钟这个出水口每分钟可以出三点七五升水啊， 这个是根据实际情况去考虑，那如果你要列式去计算的话，我觉得可以用什么呢？可以用方程去做，我们这里设一下啊，设一下，设 浮水口，每分钟 浮水 m 毫 m 升，对吧？好，那么根据这个时间是不是十二分钟，对不对？十二分钟，那就是十二乘上五， 就是如果你打开进水口十二分钟，正常来讲是十二乘五，就是六十升，对吧？然后减去出水的量，出水是不是只有后面的八分钟才打开的出水口，所以减去八乘 m 等于剩三十升，剩下呢？就只剩三十升了， o 不 ok？ 好， 那么这里再讲一下啊，前面的这个 每分钟进水是五升，这个情况下是只有只打开进水的，只打开进水口，不打开出水口，那如果全程不打开的话， 不打开这个出水口，他会进水十二乘五，就会有这么多水，对不对？好，但是他打开了出水口，我们这里设每分钟出水 m 升，对吧？他打开出水口打开了八分钟，所以每分钟就是 m 升，那八分钟就是八 m， 要减去 这个流出去的水，剩下多少呢？还剩三十升，对应还剩三十升，所以我们这里把这个方程解出来就可以了，对吧？那就六十减八 m 等于三十，负八 m 就 等于三十减六十，负八 m 就 等于负三十 m 就 等于负三十，除以负八， 所以这个 m 呢，就等于三点七五啊， m 就 等于三点七五，所以我们就可以得到啊。这个进水口是每分钟进五升水，出水口是每分钟流出三点七五升水。好吧，我们答一下， 中上 每分钟 进水五升， 每分钟出水三点七五升就 ok 了。好，再整体看一下吧。 再看第九题。甲乙两家体育用品的商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍 和乒乓球，乒乓球拍每副定价是三十元，乒乓球每盒定价是五元。现在两家商店展开促销活动，在假店每购买一副球拍就赠送一盒乒乓球。 在已店购买一副球拍或者是一盒乒乓球，他都按定价的九折进行优惠，某班需要购买球拍四幅乒乓球若干盒， 就是不，但是不能少于四盒，什么意思呢？乒乓球买几盒咱们是不知道的啊，但是他一定会大于四盒，这样的话呢，他就可以满足假店买一副球拍赠一盒乒乓球的这个情况啊。 第一问，这里设这个班购买兵乓球 x 和在甲店付款的金额为 y 甲，在乙店付款的金额为 y 乙，分别写出在这两家店付款金额 y 甲和 y 乙与兵乓球这个 和数 x 之间的函数解析式，那这里也是分类讨论的，对不对？好，注意啊，这里的球拍四幅是固定的，他不会增加，也不会减少，知道吧？好，那么这里呢，我们先说假电， 假电是买一副球拍就送一盒乒乓球，那么也就是说他买了四副球拍就会送四盒乒乓球， 那么如果他就正好买四盒乒乓球，那么乒乓球就不用给钱了，知道吧？好，那超出的呢？比如说他，他要买八盒，那么他就只需要付四盒钱，对不对？好，我们先说假电 y 夹怎么表示呢？前面四盒它是不打折的，你看就是它只是送兵乓球这个球拍呢，它不打折对不对？三十块钱一副，它要买四副，那就是三乘就三十乘上四，加上 送的送的咱们就不用算了，知道吧？四盒乒乓球送的咱们就不用算了，但是超出的部分啊，这里我们四盒写上这个是赠送的，不用给钱，然后超出四盒的部分呢？假如说他买八盒，他超出了四盒对不对？他买十盒是不是超出了六盒，超出的部分还是要按原价给的， 乘上这个五，所以 y 假的解析式就是一百二十加上零，再加上五 x 减去二十，那么这个 y 假的解析式就是五 x 加一百啊。当然了，你这个 x 怎么样？必须大于等于四，同时呢， x 为整数， x 为整数。好，这是 y 假，那 y e 呢？哦，对了，这里要打上括号啊， 那 y e 呢？那不管你买的是兵乓球还是这个球拍，它都会给你打九折，对不对？那打九折的话，那我们就怎么样乘上零点九就可以了， 球拍三十块钱一幅，它有买四幅，四乘三十打九折乘零点九，对不对？然后呢， 这个兵乓球的和数是 x， 兵乓球的和数是 x， 然后每和呢是五块钱，然后他也打九折，那就是五 x 乘上零点九，那么 y 也就等于这里一乘就等于一百零八 加上四点五 x， 所以 y e 的 解析式，四点五 x 加上一百零八，当然这个 x 也是必须大于等于四，并且 x 为整数啊。好了，那么第一问就搞定了。 再看第二个，购买几盒兵乓球的时候，在假两家商店付款的金额是一样的，那么这个对应呢？就是 y 假要等于 y， 一 对不对？金额一样，那就是 y 相等嘛，对不对？ y 相等的话，把这两个式子拎出来单独算，那就是五 x 加上一百等于四点五， x 加上一百零八，一下五 x 减四点五 x 等于一百零八减一百，所以零点五 x 就 等于八， x 就 等于八，除以零点五， 那除以零点五就是除以二分之一，除以二分之一就乘以二，所以 x 等于十六，对不对？好？因此呢，我们就写，购买十六和 乒乓球十在两家 商店付款金额一样。 好，这是第二问，再看第三问， 如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买呢？那就看谁更便宜对不对？好，第一种是假更便宜，那么就是分情况讨论。第一种， y 假小于 y， 那 么其实计算呢，跟这里的计算是几乎一样的啊。第一种情况 就在这里，就是五 x 加上十一百小于四点五 x 加一百零八，对吧？这里算出来的是什么呢？这里算出来的是 x 小 于十六， x 小 于十六。所以我们这里就写，当兵乓球 和数 不少于四盒且少于十六盒的时候， 假商店更便宜， 假店更划算。 第二个就是这个假店的费用大于乙店的费用的时候， 那这个时候你代入就是五 x 加上一百大于四点五 x 加上一百零八，这里算出来的是 x 大 于十六啊，所以呢，我们这里就写，当 乒乓球 核数 多于十六核的时候， 以电更划算。 好。第三个，那就是两个店的价格收费一样的时候， 那就是五 x 加上一百等于四点，五 x 加上一百零八， x 等于十六啊，所以呢，我们就说啊，两家一样啊，当兵乓球 和数 为十六和十两加一样， 划算就可以了。 再来看拓广探索第十题， a 层有肥料两百吨， b 层有肥料三百吨，现在要把这些肥料全部运往 c、 d 两个箱，从 a 层往 c、 d 两个箱运送肥料的费用是二十元每吨和二十五元每吨。那我们这里写一下， a 往 c 运是二十元每吨， a 往低运是二十五元每吨， 从 b 层往 c、 d 两个箱运送肥料的费用分别是十五元每吨和二十四元每吨。好， b 往 c 运怎么样？是十五元每吨，写上十五元每吨， e 往 d 运是二十四元每吨， 你会发现这里所有的肥料加起来是五百吨，而这里需要的肥料加起来也正好是五百吨，所以我们这要全部都运出去，对不对？那怎样调配呢？我们就可以设一下，咱们这里呢，就设 a 往 c 运 x 吨，然后总费用 为 y 圆，那就可以了，我们可以通过这个 a 往 c 运 x 蹲，把其他的三种全部表示出来，对不对？好，这里我们写一下。那你看， 如果我这里 a 层运这个 x 蹲到这个 c 箱去，那这里运 x 蹲，换一个笔，这里运 x 蹲， 那么剩下的往哪里运呢？剩下的只能往低这里运，对不对？假如说它从这里运了七十吨过去，那么剩下的一百三十吨就要往低运就可以了，因为 这里有的肥料和需要的肥料是一样的，所以这里两百吨和三百吨都要全部运出去，所以他这个 c， 这个 a 往 d 就 要运两百减 x 吨，剩下的就全部给 d 了，对不对？好，再来看。 那么你这里想一下， c 箱需要两百四十吨，它这里已经有 x 吨了，那还需要多少吨呢？对不对？我们就用两百四减去 x。 假设，举个例子啊，假设它从这里运来了一百吨，运来了一百吨， 这里需要两百四十吨，那还需要多少吨？是不还需要一百四十吨？这一百四十吨是不是从 b 层运，对不对？这里我举个例子啊， 不是实际的，那么这样的话呢，我们就需要拿这里已经有的而需要的吨数减去已经运来的吨数，那么剩下的就是还需要的吨数，所以我们就拿两百四 减去 x 吨，这里就需要两百四减去 x 吨。好，那最后一个就是这一个，那 b 层要往低相运多少呢？那你看一下，我们前面已经推算出 b 层往 c 箱需要运二百四十减 x 吨，对吧？那么三百吨已经运走了这么多，那剩下的就要全部给 d 箱，那剩下的怎么表示呢？这个也是最难表示的一个，我们就需要拿已经有的 减去运往 c 箱的，那剩下的就要运往 d 箱，对吧？所以这里就拿三百 减去二百四十减 x， 这里需要化解一下，就等于三百减去二百四十加 x， 所以 这里就可以表示为是 x 加六十，三百减二十等于六十，那么这样的话呢，这几个数据我们就全部表示出来了，对不对？一一对应，在同一条线上， 就表示他需要的吨数，运的吨数和每吨的价格，对吧？这样的话我们就可以串起来了，那么这个总费用呢？咱们就可以直接算了，对不对？总费用 y， 先看 a 往 c 运，运了 x 吨，每吨运费是二十元，所以这里表示的就是二十 x， 再看这个 a 箱， a 层往低箱运，运了两百减 x 吨，然后呢是每吨二十五元，所以我们这里就写二十五乘上两百减 x， 再看 b 往 c 箱运，那么运了两百四减 x 吨，每吨是十五元，那就是十五乘 上二百四十减 x， 最后再加上 b 层往低箱运的 b 乘往低相运了， x 加六十吨，每吨是二十四元，所以我们这里就写出来是二十四乘上 x 加六十，那么所有的运费就是这么多了，对吧？好，我们这里再把它化简出来， 这里乘等于五千减去二十五 x 加上十五，乘以三千减十五， x 加上二十四， x 加上二十四乘六十，等于一千四百四十。好，然后最后我们再把 x 全部合并一下，二十 x 减二十五， x 再减十五， x 再加二十四 x， 那 就等于四 x， 然后这个五千加上加上三千六，再加上一千四百四十，它就等于一万零四十。这里注意啊，这个注意 x 怎么样？ 必须大于等于零，小于等于两百，因为它这个总共 才两百吨，对吧？那你运出去了肯定不能超过两百吨噻，是不是？好，所以就要小于等于两百，但是也不能说他运的是负数，那不可能是负数，所以呢，就大于等于零就 ok 了。好，那么这个函数解析式表示出来了，你再看，这是一个一次函数， 它的 k 值是等于四的， k 值是等于四是大于零的，那么说明这个一次函数是 y 随 x 增大而增大，也就是说 x 越大， y 越大。翻译成这里就是 a 层往 c 层运的越多，这个钱总费用就越高， 所以我们要让这个 a 层往 c 相运的尽可能的少， 那最少是多少呢？它这个 x 取的范围最小，是不是零呢？所以 a 层的肥料，那就不要往 c 箱运，就是一吨都不运，全部往哪里？全部往低箱运 啊，那你说，哎，不是从这里运过去更贵吗？对不对？但是你会发现，如果你把 b 层的这个三百吨肥料 拿两百吨移到运到 c 箱，那你看它的费用十五元每吨，是不是更少啊，对不对？好，所以呢，我们就让 a x 最小就可以了。 当啊，这里先写一下，这里对应的是 y 等于 k， x 加 b 啊，对应的是 y 等于 k， x 加 b， 依次函数 k 不 等于零，而这里的 k 呢？对应是等于四的四是大于零的，对不对？所以 y 随 x 增大而增大， y 随 x 增大 而增大， 所以我们要 x 越小，知道吗？所以 y 值 y 的 y 取最小值时，最小值时 取 x 取最小值， 那么因为 x 的 最小值 为零，所以 y 的 最小值 就等于就为多少，就为 带进去算，把零带进去算零，待到这里面去算，就等于四乘零加上一万零四十，所以 y 的 最小值 就等于四乘零，加上一万零四十，就等于一万零四十，所以他的费用最少是一万零四十就可以了，知道吗？好，这里我们把这个答也答好一点，那你知道了， 他往这个 x 为最小值的时候，就是 a 往 c 相运的是零吨，对不对？所以我们这里答的话，就答完整一点，就写， 当 a 乘往 c 箱运零吨， a 乘往 d 箱运两百减零就两百吨， b 乘往 c 箱运两百四减零，那就两百四， 然后 b 乘往 d 箱运，这里是 x 加六十，那么就是零加六十，就是六十吨， 这个时候，对吧？总费用最少， 最少总费用 为一万零四十元就 ok 了。那所以答的时候你要答这个方案是怎么运的，你不能光说 x 等于零的时候，知道吧？啊，你要说清楚是怎么调运的才行。
89毕老师细讲数学
05:19查看AI文稿AI文稿依次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题啊，今天我们来讲利润最大问题，哎，这一道题也是之前的一个期末考试真题，你看，他也是结合了当年的一个热点啊，冰墩墩，雪融融。哎，上一个我们讲的是 另外一个热点啊，荔枝，那今年大家也要关注一下，今年我们有没有后续有没有一些热点的新闻啊，也有可能结合来考，然后看一下啊，这道题， 他说啊，在三月呢，购进一批冰墩墩，雪绒绒，已知呢，一个冰墩墩啊，进价比一个雪绒绒要多七十块钱啊，这是一个关系。然后购买八个冰墩墩和十五个雪绒绒，金额一样啊，这是一个等量关系。那下面看第一问啊，第一问， 选啊，第一问，他说求冰墩墩和雪融融两种玩具的进价分别是多少？按道理来讲呢，我们可以算 x， y 也是可以的，但这个地方呢，我们实际上用一元方程会更简单，因为他题目当中明确了这个啊，冰墩墩、雪融融之间是有关系的。而且呢，你看啊，这里 说冰墩墩进价比这个什么样啊？雪绒绒多七十块钱，那我们可以选择设其中一个为未知数，而且通常我们设的是后面那个量为 x， 比如这里面我们设的是雪绒绒为 x， 那 这时候我们的冰墩墩呢，就是 x 加上七十。 好，这里是未知数啊，接下来我们就列方程啊，未知数呢，只有一个，我们只需要一个方程就可以解决了，所以这里有一个关系式可以列方程啊，八个冰墩墩，八个冰墩墩，就是八乘以多少呢？ x 加上七十等于十五个，雪绒绒就十五 x， 那这个呢，很好解决啊， x 就 等于八十啊，这是我们的雪绒绒的啊，八十，那所以呢，这个八十加上七十呢，等于一百五啊，这是我们什么样呢？这是我们冰墩墩的钱，对吧？一百五十 啊，答，我们要答啊，冰墩墩一百五十块啊，雪绒绒八十块啊。第二问，我们的最大利润啊，来了， 那依然是啊，我们第一步设未知数，列关系式啊，列不等式，求范围，我们现在设未知数，他说两者完全共四十只，哎，这比上一个题呢，哎，就上上题要简单一些啊，我们就可以设其中一个啊，我们可以设冰墩墩 m o， 许蓉蓉呢，四十减去 m o， 依然要设未知数啊 啊，四十减 m 个，然后还要还要特别要设一个。什么样呢？设它的利润啊，利润，设它的利润为 w 元啊，设利润为 w 元。好，接下来我们就先列这个关系式， 这个总的利润应该等于怎么样呢？两个部分啊，冰墩墩的钱，雪绒绒的钱。冰墩墩，他的进价是多少呢？哎，是一百五，卖多少钱呢？卖两百块，所以他一个的利润就是两百元，一百五就是五十块钱，有 m 个五十 m， 再加上呢雪绒绒，哎，卖呢一百块，进呢八十块，每一个就是二十块钱的利润，四十减去 m， 最终化简一下啊，化简一下应该是三十 m 加上八百，哎，不等这个关系式呢，我们就列出来了啊，接下来我们去找不等式，求 啊，范围不等式哪里呢？你看这里有不超过这个字样？没有哎，不超过就是小于等于的意思，但是够进这个，那就是进价喽啊，总共不能超过三千五， 那么看啊，冰墩墩进价是一百五，那是一百五十， m 加上，哎，雪绒八十块钱的进价有四十，减去 m 个，最终要小于等于三千五，那最终 m 算出来应该是怎么样子的呢？ 小于等于七分之三十，好，有了关系式，有了范围，接下来我们就要通过函数的性质求对值，那么因为 m 什么样呢？ 呃，这个地方啊，因为我们的三十是怎么样呢？大于零的，而且 m 为什么啊？为整数啊，为整数。 那所以呢，我这个当怎么样呢？当 m 等于多少的时候啊，我这个 w 会有最大值啊，它有最大利润嘛，对吧？那么要知道，当这个前面这个系数啊，我们 y 等于 x 加 b 里面啊， 我这个系数大于零的时候， y 随 x 增大而增大吗？那在这个题里面，就是 w 会随会随着 m 的 增大而增大，所以 m 越大，我的利润越大，那所以在这个范围内，我要取到的 m 应该是这个范围内的最大值， 那么呢，先估一下，七分之三十应该是多少呢？应该是四点几，对吧？四点几的话，在这个范围内的最大值应该是谁呢？是四啊，所以当 m 等于四的时候呢，我这个 w 就 什么样呢？有最大值啦 啊，有最大值，那最大值的话，他并没有让我们求这个最大率是多少，所以在这里就可以结束了啊，所以打打这时候我们的 m 是 谁呢？ m 是 冰墩墩啊，等于四个，那雪绒绒呢，一减就到了三十六个的时候 啊，那我们的这个利润就会最大，哎，所以依然是这个格式啊，就先列关系式啊，求范围，然后通过函数的性质来探讨最值。
974木子数学
