西工大附中六模数学标准答案
好，我们继续来看公大六末最后一道答题。先看第一问，如图，已知四边形 a、 b、 c、 d， a、 b 等于 a， d 等于二， c， b 等于 c， d 等于根号十。好， b， a、 d 是 九十度 点， e、 f、 g、 h 分 别是四个边的中点啊，求四边形 e、 f、 g、 h 的 话是个矩形，我们连 b、 d， a、 c。 好，马上出中位线，我们直接来计算就可以了。我们要求 e、 h 的 话，我们就是要求二分之一的 b、 d， 那 么 b、 d 的 话就是等腰直角。一比一比根号二，就等于二分之一的二倍根号二， 也就是根号二。好，那么这是根号二，上面和下面都是根号二，然后我们再算一下，我们这个点写为 o 吧，算一下 oc， 呃， oc 的 话，勾股定律，直接出 oc 的 话就是十减二，也就是二倍根号二。 好，那么 h， g 就是 二分之一的 a、 c 也就是二分之一的三倍根号二， 二分之三倍根号二，那么矩形面积就是根号二，乘以个二分之三倍根号二就是三。好，第一问我们就求出来了。好，我们来看第二问，说 ab 长是两百四，然后点 p 是 ab 的 中点， cd 是 动点， 然后 m 是 a、 c 的 中点， n 是 b、 d 的 中点。好，然后连接 m、 n， np 和 mp 之后，会得到一个三角形 mpn， 它是让这个三角形的面积最大。 好，我们看一下他给的条件，他说 ap 等于 dp 等于 cp， 我 们连一下 dp 和 cp。 好，很明显，那么这几个点都在都是在以 p 为圆心，以 a、 p 为半径的圆上，我们把这个圆画出来。 好，这个 b 点的话也在圆上画的有点不太标准。好，这个时候的话，我们知道三角形 d p c 的 话是个等边三角形，那么这个就是六十度。好，那么 d c 这段弦所对的圆周角就是三十度，这个角也是三十度。 好，然后我们现在来看这个三角形 mpn 的 话怎么来求？通常情况下，我们在中考中如果要考这种题的话，通常要么就是用 呃底乘高，要么就是用两边之积加角正弦值来求它的这个面积的积值啊。这道题的话，很明显是要用到两边之积乘加角正弦值。我们写一下 s 三角形 mpn 就 等于二分之一的 mp 乘以 np， 再乘以三角 mpn。 好， 我们看一下 mpn 的 话， mpn 的 话其实是一个定值， 为什么呢？因为这个角和这个角其实的话，它这个值是一个定值。我们看直径所对圆周角是个九十度，那么这个角一和这个角二之合的话也是九十度，那么这有个三十度，所以 这个角它就等于什么？就等于角二加三十度。我们写一下角 m p a 就 等于角二加三十度， 而这个角呢，这个角是 n p b， 角 n p b 就 等于嗯，角 d a p 好， 那么这两个一加的话，我们就得到了这两个角的和，这两个角的和就是 角二加角一再加三十度，就等于一百二十度，那么这两个角一百二十度，那么角 mpn 的 话就是六十度了，所以角 mpn 就 等于六十度。好，这是一个定角， 我们得到了这是一个定角，然后我们来看一下它的在这种情况下， mp 乘 np 的 最大值是什么情况？ 好， mp 的 话我们知道，因为是在三角形中位线，它是三角形的中位线，它等于二分之一的 bc， 而 np 的 话等于二分之一的 a、 d， 所以 啊，它我们就要求 a、 d 和 bc 乘积的最大值。 那么这两个分散的线段我们之前讲过很多次，几何的核心思想，什么聚散对不对？那么我们要把这两个散开的线段放一块，这块又出现了等线段共顶点，那么毋庸置疑我们是要用旋转的。 好，我们现在把四角形 c、 p、 b 绕点， p 逆时针旋转六十度， 啊，那 b 点就到了这个位置， c 点就到了这个位置，然后我们连接 d、 b 片，我们就完成了这个三角形的旋转，这个时候我们就把 a、 d 和 b、 c 放到了一个三角形里面，这个三角形就是三角形 d、 a、 b 片。 好，问题就变成了 a、 d 和这个 d、 b 片的话乘积什么时候最大？ 好，我们看三角形 b 撇 a、 p 这个三角形，它其实是什么？它其实是一个这个大角的话是一百二十度，为什么呢？因为 b 撇 p 这个边的话旋转六十度，所以这块是六十度，那么这个大角就是一百二十度， 那么 b 撇 ap 的 话就是底角为三十度的一个等腰，那么 ap 等于一百二，那么 ab 撇的话就是一百二十倍根三。好， ab 撇的话是一个定值。然后我们再来看这个角， 这个角的话是什么样呢？这个角其实是这个角加上这个角，我们把它标为 角三和角四，角四是旋转过来的，它等于角二加三十度，角四等于角二加三十度，那么角三加角四呢？ 角三加角四在就等于角二加角三再加三十度，它等于多少呢？等于一百二十度， 因为角三等于角一，而角一加角二加三十度等于一百二十度，所以这个大角的话也是一百二十度。好，那么它就出现了一个定角定边， 那么我们就知道了它是什么时候能取到最大值。定角定边的话就是等腰时候能取到面积最大值。 好，那么我们就知道了 d、 b 撇等于 a， d 的 时候可以取到最大值，也就是它们都等于一百二的时候， 其实这个时候的话，这个四边形就变成了一个等腰梯形， 就成这样的一个图形了， 然后这是中点。 好，我们现在就可以把它的面积算一下了。 s 三角形 m， p， n 就 等于二分之一的 m， p 的 话就是二分之一的 bc， bc 的 话是一百二， 然后再乘以一个 npnb 是 二分之一的 a， d 也是二分之一，乘以一百二，然后最后再乘以加角正弦值。二分之根号三 就等于一万四千，一万四千四百倍的根号三，除以一个十六，最后答案是九百倍的根号三。好，这道题我们就做完了 啊。大家的话，对于这种球面积三角形面积最大至最小时还是要重视一下的，因为这都这种题型的话经常考，而且的话方法的话也比较变化比较多一些。
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11:32查看AI文稿AI文稿呃，熊大六模大家揉，我们拆解一下这个题目啊，先标一个条件， a、 b 为二百四。第一个一个条件，第二个条件， c、 d 到终点 p 的 距离均等于 a、 b 的 一半， 而且 c、 d 等于 p a， 这里面就出现了很多个相等的线段，咱们一起标啊，二百四是 a、 b， 然后中点是 p 啊，所以两边呢，我写俩一百二， 我们这个 p 点呢，到 cd 的 两个点的距离呢，还都等于 ab 的 一半，那就说明这个也是一百二，这个也是一百二，然后 cd 还等于 pa， 所以 它也是个一百二。目光所及，处处是一百二， 这是一百二，这是一百二，这是一百二。这么多个一百二，在这里，我们第一反应其实都不用往下读了，就已经出来这共圆。这共圆是怎么共圆的呢？是 p 点为圆心，一百二为半径 啊，同时这个位置呢，有一个圆心角是六十度，因为它等边的，我们就先把圆画上，如果不需要，一会再擦就行。第一反应啊，很重要。好，这是共圆的圆。第二部分一个条件，咱们继续啊， m 是 a、 c 和 b、 d 的 中点， 看一下， m 是 a、 c 的 中点 n 啊，这个 n 呢，没有映上 n， 在 这 n 呢，是 b、 d 的 中点 p 还是 ab 的 中点？又是一堆中点， 这一堆中点呢，显然它的第一反应也应该很准确，就是中位线， 特别是在这种不规则四边形里边，你连了个对角线，你把对角线的终点找到了，这种图里边很多情况下都是使用中位线来处理的，而这个题目呢，你也不用添加别的辅助线，为什么？因为它中位线很明显，这里有一个中位线，然后呢，这里有一个中位线。 好，这是下一个部分的差，行，咱们继续。现在要使得 m、 p、 n 面积要最大， 我们要研究它的面积是如何解决的。第三部分才是我们研究的重点，面积，也就是 s 三角形 p m， n。 那 么利用中位线的拆解，我们可以先把这个面积给它变成一乘积形式啊，比如说 p n， p n 呢，肯定是 a、 d 的 一半呗， p m 呢，那肯定是 bc 的 一半，我们把它变到圆上的弦上啊，那就是二分之一乘以 a、 d， 然后呢，再来一个二分之一乘以 b， c， 然后再给它乘以二分之一，然后再乘以三的夹角。 好，这个三角值可能对有些孩子来说以前没有用过，但是在座的咱们把这个四边形的面积还有三角形的面都讲的很透彻，就是只要是个三角形放在这里，我的面积都可以啊，变成两个边的乘积，乘以 中间所夹角的正弦值，再乘以二分之一啊，如果你没有之前没有遇到过这个式子的话，你得用高来倒， 高来倒的话，就可能一个是容易想不到，第二个是稍微写出来啊，就浪费时间了啊，就这里做一高，这个高呢就是 mp 乘以四的这个夹角，对吧？它需要这么化解一下哈，我们先不管了，打开八分之一， a， d 乘以 bc， 再乘以三弦的角 m， p n， 也就是说这个三角形的面积呢，跟以下三个量有关系，一个是假角，还有一个呢，就是两个邻边的乘积 a、 d， b、 c 的 乘积。那么在四边形中域线里面，我们八年级下学到中域线升造中域线的一部分的时候，就大部分小朋友知道我们很多个终点所连的这个线的假角是知道的， 如果呢，你在这个题目没意识到也没关系，反正我的中位线产生的效果不光是二分之一关系，还有平行的嘛。所以这完全可以把一个圆周角倒在圆心角的位置，我给他标一下这个角，看一下能不能解出来 m p n， 这是最壮的一个特点，双弧线等于这个双弧线， 还有叉叉角等于这个叉叉角。再看一遍，双弧线等于双弧线，叉叉角等于叉叉角，这都是平行线得到。所以呢，我们要求的这个 m p n 本质上就是一百八十度，减去叉叉，减去双弧线，那在外侧这俩地方看一下这两个角的和能不能解出来， 这是个 y n， 呃，圆的内接四边形啊，我们要求的是两个菱角之和，那么我再看一下别的菱角，这里面不是有六十度吗？有一个等边吗？ 预示着这两个角相加呢，是一百二啊，就是角 p d c 加上角 d c p 是 一百二，所以呢，剩余的这两个角和一共呢，就应该是三百六，减去一百二，二百四。哎，我仔细一看，这不是圆的 圆里面的半径所形成，等于等腰嘛。所以我的等角其实是在我关注到这个内角和的时候，我就应该把这个标完。双弧线，还有一个在这，叉叉呢，也有一个在这， 这是个等腰。两个双弧线，这是个等腰，两个叉叉啊，剩余的呢，这个和这个呢和为一百二，所以我当然可以求出来弧和叉叉。所以接下来呢，我们拆解的就是 角 p m， c 的 度数啊，它这个角的 p， m， c 的 度数是什么呢？是内角和三百六，减去一个六十，减去第二个六十，剩下的是两个弧加两个叉，所以再除以二，就是一个弧加一个叉， 所以它的得数呢，应该是三百六十度，先把六十度一减，再把六十度一减，再除以二，一百二十度 p m。 哎，我这是不是写错了， 这一百二十度指的是双弧加叉叉啊，也就是角 a p m 加上角 n， p b， 所以我最终可以得出来，我们要的这个 m p n， 这个角呢，应该等于六十度啊，那么上面这个式子就打通了啊，它最终可以变成所以 s 三角形， p m， n 可以 变成 八分之一倍的 a， d 乘 b， c， 再乘以三的 m， p n， m， p n 啊三，六十度是二分之根三，所以它就会接下来一步写成十六分之根，三倍的 a， d 乘 b， c。 好，最后一个部分一写，这题就可以收尾了， a， d 乘 bc， a， d 乘 bc， 这图里面 a， d 要乘 bc， 你 就让这两个三，呃，这，这两边怎么了？要挨在一起，怎么才能让它俩挨在一起呢？最后一步，旋转辅助线， 那有时候呢，你要求这个加这个，那也是一样的，你也要让它挨在一起。有时候呢，你要求这个面积和这个面积的和 的最值啊，你也一样，两个离得老远的三角形，你也是把它们转在一起。总之，旋转可以处理两个动态问题啊，综合在一起的一个效果，这可以达到这样的一个效果。所以接下来呢，我们把旋转辅助线给他画一下。 旋转指的是把一个大三角形转到另一个旁边啊，那咱们转这小的吧，小的看舒服。我们把 pcb 给它直接转到这来。 这一点呢，是 b 转的，所以我给它标成 b 撇，然后把 b、 d 给它， b 与 d， b 撇 d 给它一连。好，我画下阴影部分啊，就这部分，转到了这部分，我转这个目的很明显，我本来要求 a、 d 乘 b、 c 嘛，我现在一转就变成了 a、 d 乘 b 撇 d 了。 那要求这个，那肯定要把这个弦连上，我要研究下这个象形和底下这个象形有啥特点，对吧？所以接下来呢，我们把 a、 b 撇也给它连上。连上之后，我们先在图里面关注一下它的这个特点啊， 图放大看一下有没有神奇东西出现。嗯，旋转的话，你要把前后位置看清楚啊，我们的这个角就是这个叉叉角，这个角就这是个叉叉角，这是弧线，他俩挨一起了。叉叉和弧线咱不是刚算过吗？ 双弧线加叉叉是一百二啊，所以当我转到这里来的时候，把叉叉也转这来了，所以这个角不也是一百二吗？那这最后一步的拆解就容易了，我还以为比较复杂呢，看来不然呀， 好，我们来写一下啊。继续往下写， a 三角形 p， m， n 啊，它等于二分之。呃，十六分之根三倍的 ab 乘 bc 啊， ad 乘 bc， ad 乘 bc 就是 ad 乘 db 撇啊，十六分之根三倍的 ad 乘以 db 撇。那我们不就求这个玩意的最小值吗？对不对？这玩意最小值吗？ 这个值，这个 a、 b 撇的长度是一百倍，一百二十倍的根三，这是一百二十度。没错啊，这角加上这个角， 这是一百二十度， 所以 a、 b 撇是一百二十倍的根三， 那上方的这个三角形，我们要求的是两条零面之之间。以前咱们都求的是什么面积最大？定弦内角内面积最大，或者呢这两条边的和最大， 那我们现在要求乘积，乘积和啥是一样？乘积和面积是有联系的，一模一样的，就底下这个三角形不也这样用了吗？两条零边，乘积乘以三弦的夹角乘以二分之一，就面积。那现在呢，我们一样的要求 a、 d 乘以 db 撇， 那不就相当于在求这个面积的问题吗？因为它的面积是 a d 乘 d b 撇乘以三的一百二十度。虽然一百二十度不知道三角值是多少，咱们高中才学，但是呢，它的公式是一样的，就是它乘，它乘以一个三角的定角乘以二分之一， 那不就是面积吗？所以 a d 乘 d b 撇啊，本质上就是要求这个三啊面积的最大值，面积最大值，定弦定角肯定是等腰的时候，等腰的时候就预示着我们的地点走到了弧 a b 撇的终点这里。 那么那么这个图呢，就变成一个菱形，底下是一百二十度的折等腰三角，不是折上去，上面也是个一百二十度等腰，它就是菱形呗。菱形的话呢，这两条边呢，就和 a p p b 撇 p 是 一样，所以底下的这一部分我直接写了啊， 十六分之根三乘以 a d， a d 就是 咱们刚说的它的终点位置的时候，它的长度就是一百二啊， 此时的 d b 撇也是一圆，这来一成，大家就出来了。这最后一步，我觉得拆解没有我想象的那么难，我刚看到题的时候，我以为最后一步还挺复杂，要用代数。那么看来不用啊，用定心定角的面积最大，就这个三角形的面积最大，直接就能把这个问题给搞定啊。
85诗墨数学
04:23查看AI文稿AI文稿今天把西工大初三六模语言的综合这个知识点讲一下，离中考还有不到四十天的时间，大家会发现就是越到中考，模考题其实出的是越简单，包括这道语言的综合也不例外，我们来一起看一看。我是在西安高新讲解数学知识点的张老师，每天三分钟，数学更轻松。 今天的这道星空大六模的题目难度就和咱们中考真题的题目难度差不多的，所以大家一定要听到。最后把圆的综合的细节拿到位 好说。如图， ab 是 圆 o 的 直径， cd 为弦， ab 是 垂直于 cd 的。 那么通过直径弦以及直径垂直于弦，我们就要想到垂径定力、垂径定力 垂直于弦的直径平分这条弦，所以我们就可以得到 c、 e 其实是等于 d、 e 的， 而这个角 a、 e、 d 是 等于九十度， 其实就可以证明两个三角形全等得到 bc 也是等于 b、 d 的， 这是比较简单的两个信息。好继续点 f 为圆外一点，然后连接这些线段说，角 d、 b、 f、 d、 b、 f 等于角 c。 第一问，求证 b、 f 为圆 o 的 切线。切线的正法我已经讲了很多次，在这个题里面，点 b 是 在圆上，所以我们要正的是九十度，角 a、 b、 f 等于九十度，那怎么去正呢？我们已知条件中已经得到了角 d、 b、 f 是 等于角 c 的， 而我的 bc 等于 b、 d、 c 也是等于角 c 的， 所以最终角 b、 d、 c 是 等于角 b、 b、 f 的。 那么就是这两个角一和角二相等， 内错角相等，两直线平行，所以我可以得到 c、 d 平行于 b、 f， 而平行之后同为角是相等的，所以角 a、 e、 d 是 等于角 abf 都等于九十度的，所以最终 b、 f 就是 这个圆 o 的 切线。第一问也就比较简单，一定要记住在圆上的点正九十度，不在圆上的点，证明它是半径垂直好。第二问已知 c、 d 等于 b、 f， 又因为咱们第一问已经得到了 c、 d 是 平行于 b、 f 的， 所以一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，所以 c、 b、 f、 d 这个四边形是平行四边形，而平行四边形对边相等， 对角也相等，所以 d、 f 是 等于 c， b 等于五，所以都是等于五的，而角 f 是 等于角 c 的， 因为是对角， 所以 c 影 f 也等于 c， 影 c 好， 都等于五分之三， c 影 c 是 等于谁？ e b 比上 c、 b 的， 而 c、 b 等于五， 所以 e、 b 其实就等于三， e b 知道等于三， c、 b 知道等于五，所以我的 c、 e 就 能算出来等于四、三、四五个五数。最终我要求的是 a、 e 的 长度， a、 e 是 由一个半径加一个 o e 得到的，那么 o、 e 怎么算呢？ 其实根据垂径定律，我们就知道一定要连接的是 co， 因为 co 的 平方是等于 o， e 的 平方， 加上 c、 e 的 平方的 c、 o 是 我们这个圆的半径，所以是 r 的 平方就等于 o， e 是 半径减 b， e 也就是 r 减三，加上 c e 也就是四的方，最终我们的半径就能算出来等于六分之二十五。 那么最后 a、 e 的 长度就是 ab 减去 b e， ab 是 我们的直径，所以是六分之二十五乘以二， 再减去 b， e 等于三，所以最后的答案等于三分之十六。这就是我们这道兴隆大六模的圆的综合的题， 其实题目的难度并不大，就像咱们陕西中考一样，每年的题目难度其实都比较简单，更多的是对于每一个知识点的灵活运用。好今天的知识点就讲到这里，希望大家能够继续多多关注，多多点赞，把有用的知识分享给身边的每一个人。
446西安三分钟数学张老师
13:14查看AI文稿AI文稿啊，哈喽，同学们大家好，我是你们的瑞森老师啊，今天来给大家讲一下二零二六年新工大附中初三六模的亚洲题啊， 这个考试其实上周就已经考了，但是我上周有点忙，没有时间啊，等我有时间的时候，我发现新工大附中啊，高新一中，铁中都考试了啊，都考完了。那我说那我要不先把高新的讲了， 然后。但是兴大也得给大家讲啊，这个题还是比较有意思的。行，咱们来看一下，这里的话，我就直接讲第二问了，第一问就不讲了啊，你说老师我第一问不会怎么办？那老师给你的建议是，你先去把基础练熟吧。好吧，因为 你只有把基础练熟了才能碰瓷这个第二问，对吧？如果现在你连第一问都不会做的话，老师给你建议是把把基础你的满分就当做一百一，一百一去做就行了，不要当做一百二，因为压轴题对你来说可能有些难啊，到这个点了，有的时候应该选择性放弃一下，好吧， 呵呵，废话不多说，我们来读题。光影为笔，草坪为卷，某市文化公园要打造一个沉浸式的草皮灯光秀啊，他说有一条长为二百四十米的园区道路， a、 b 设为观众的主要观影不到 啊， a、 b 是 一个不到，而且长为二百四，对吧？其一侧开侧的草坪作为灯光秀的表演区，如图二所示啊。为提升了不拉不拉不拉，管理部门决定在 a 点 b 点固定主光投射灯点就这个 a、 b 就是 两个灯，两个老灯，对吧？然后 表演区设置了移动的移，移动的主灯光头是点 c、 d 啊， c、 d 也是俩老灯，对吧？然后 c、 d 到部到中点 p 的 距离等于均等于 a、 b 长的一半。哎，他发现这句话给的信息很多， 中点 p 说明 p 点是 a p， a b 的 中点，对吧？ a p 和 b p 都是一百二，因为它整长二百四嘛，对不对？然后 c 点到 p 的 距离跟 d 点到 p 的 距离图上是不是没有给你画？那我们应该干嘛？我们应该把 c 点跟 p 点给它连起来 啊？ d 点跟 p 点也给它连起来，对吧？它说 c 点到 p 的 距离跟 d 点到 p 的 距离等于 ab 的 一半，那不就这四条边都相等的意思吗？ 对不对啊？他还说什么？且 c、 d 等于 pa， 那 这五条边都相等，对不对？ c、 d， d p， c p、 b p、 a、 b 都相等，对吧？哎，条件还是很多的。他说现在设计团队要在表演区，表演区之内设 增设两个联动灯光投射点 m、 n， 哎，又多两个老灯，是吧？分别位位于 ac 的 中点和 b、 d 的 中点处， b、 d 的 中点是 n， 哎，咋没有 n？ 没完咱给它加上，可能不小心擦掉了。嗯，然后形成了一个动态光影核心区域 mpn， 就 这个三角形，对吧？然后为了加强视觉冲击力，需要使到这个光影的覆盖面积尽可能大，咋了？哎，也就让这个三角形谁 mpn 的 面积是不尽可能的，对吧？问，是否存在符合要求设计的最大三角形 mpn 的 区域？存在的话，求它最大值，不存在说明理由啊。 换句话说，我们的核心还是找这个三角形 mpn 的 最大值吗？对不对啊？那我们就我来表示一下三角形 mpn 的 面积吧，对不对？他应该等于谁 啊？等于谁好像都不朝我表示，发现没，三条边都不知道，那咱们是不是还是得回到题干去看一些信息了？哪些信息我们可以抓到啊？第一个发现了什么？ d 到 p 的 距离， c 到 p 的 距离， a 到 p 的 距离都咋了？都相等，那不就意味着四点共圆吗？ 对不对啊？这是刚好是圆的定义，对着没？平面上所有点到一个定点的距离都相等，对吧？那，那这些定点组成的图形就是圆，这四个点到它的距离相等，那说明这四个点应该在这个圆上嘛， 对不对？那还发现了，因为 a、 p 和 pb 都是半径，那 ab 是 不是就直径直径所对的圆周角这个角 a、 d、 p 应该是个 a， d、 b 是 九十度，同理，这个角 a、 c、 b 是 不是也是直径所对的圆周角也应该是九十度，对不对啊？这是我们第一个 得到了个信息，四点共圆，还有什么信息啊？还有什么信息？哎，是不是发现了这个三角形 d、 p、 c 咋了？三条边都相等，所以说这个三角形 d、 p、 c， 为什么三角形等边？三角 形三条边相等，三个角度设六十度，对吧？还有什么信息？是不还有这个终点？终点是咋了？说到终点我就想到了中位线，那你看一下题中有中位线吗？ 好像有的吧， m 点是 a、 c 的 中点， p 点是 ab 的 中点，那 mp 不 就是三角形 c、 a、 b 的 中位线吗？所以 mp 就 等于二分之一倍的 bc， 是 不是也平行于二分之一倍的 bc？ 我 们可以写成 mp 平行且等于二分之一倍的 bc， 对 吧？同理，那 n 点有没有同样的特点呢？ n 点是 d b 的 终点，那 p 是 不是还是 ab 的 终点？那这个 p n 不 就是三角形 a d p 的 终点吧？啊，所以说这个 n p 应该平行且等于二分之一倍的 a d， 对 不对？哎，是不是我得到了两组中位线？那我们看，你要表示三角形 m p n 的 面积。我发现这个 m n， 哎，这，这个 m p 是 不是被我写成了二分之一倍的 ab p n 被我写成的是二分之一倍的 a d？ 我 尽量是用这两条边来表示三角形 m p n 的 面积，写一下吧，是不是该等于二分之一倍的两条边的乘积，再乘加角的正弦值？哎，二分之一乘 p m， 再乘 p n， 再乘 sine 角 m p n。 啊，这个公式已经讲了非常多遍了，还不知道，同学的话，大家可以翻一下我以前的视频，这里老师就不推了。 好吧，那你看 m p 是 不我表示出来了，对吧？ np 表示出来了，还差个谁？是不是这个角 m p n， 这角 m p n 是 多少度呀？大家知道吗？ 哦，好像不知道，是吧？那我们来看一下哪些角呢？跟 m 角 m p n 度数一样，或者我们看下这个角是怎么来的，对吧？ np 平行于 bc 的， 对吧？ np 平行于 ad 的。 那我这两条线的夹角不就应该等于谁直线 a d 和直线 bc 的 夹角吗？因为他们都是平行的呀，对不对？来，我给他，比如说把 bc 延长延长到这，再把 a d 给他延长延长到这里啊，比如说我交余一个点，交余点 e 吧，好吧，交余点 e， 然后我们再把多余的线给它擦掉。 大家可以这么去理解啊，是不是 e b 这条边给它平移到 m p 这来了？ a、 e 这条边给它平移到 n p 这来了？你平移后的两条边加角是固定的，那我平移前这两个加角是不是也应该是固定的？这两个角应该怎么了？ 是不应该相等的？所以我们可以得到角 m p、 n 其实是等于角 e 的， 我只要能把角 e 的 度数给它求出来是不就好了？那你看题目中哪里出现度数了？ 是不是还是我们的等边三角形啊？只有等边三角形能够提供度数对不对？内角是六十度，内角是六十度，说明角 dpc 是 六十度。写一下角 dpc 是 六十度，这刚好是一个 dc 所对的圆心角对不对？那 dc 所对的圆周角是不应该就是六十度的一半，也就是三十度？来写一下角 dac 等于三十度。 那大家发现什么了？我们刚才这不说了，角 a、 c、 b 是 一个九十度，那说明这个角是不是也是直角，对吧？ a、 c 是 垂直于 b、 c 的 啊。发现了这个三角形， a、 c、 e 是 一个直角三角形，一个角是三十度，那最后这个角 e 是 多少度？ 是不是六十度？哎呀，一下就写出了角 e 的 度数，也就得到了角 m、 p、 n 的 度数。哎，那接下来我们把数值往里去代二分之一 pm， pm 是 谁？ 是不是二分之一倍的 bc 写成二分之一的二分之一倍的 bc 再乘 p n， p n 是 谁啊？按二分之一倍的 a、 d 还有嘞 sine， 角 m p、 n 是 不是三点六十度？应该是二分之根号三， 看分母四个二相乘二的四次方应该是十六啊，分子是根号三，接下来就剩了一个 bc 乘 a、 d 了吗？对否？太对了， 那我们想求这个东西的什么值？最大值？其实我求的就是谁的最大值啊？是不是求 b、 c 乘 a、 d 的 最大值，对不对？ b、 c 在 这呢啊， a、 d 在 哪？ a d 在 这呢？那你看这两条线段是不是离得好远？我想求它们的乘积最大值，好求不是 不好像不好求啊，我可能还是得做辅助线吧，怎么做？起码得让这两条边给他贴在一块吧，或者他俩有一个公共的顶点吧， 对吧？那我可以怎么做？是不可以把这个 c 点给他对称到这来对着没？或者是你直接给他构造个矩形矩形， a c b f， 对 吧？我这样构造个矩形之后，是不我就可以把边给他代换了，对吧？ 我先给大家把矩形画好，哎，大概是这个样子，比如说这个矩形叫做 a f bc 矩形的对边是不是相等？ a c 跟 a， b c 是 不是跟这里的 af 就 相等了，对吧？那我本来要求的是谁？是不是求的是 b、 c 乘 ad 的 最大值？那我把它变成谁了？ 哎，是不是把它变成 af 乘 ad 的 最大值了，对吧？我构建了个矩形，把它移过来了吗？这个角是不是应该是九十度，对吧？这个角谁？ f ac 是 不是也是九十度？ 哎，那大家发现啥了？我要求的是 a、 f 乘 a、 d 的 最大值，对不对？ a、 f 和 a、 d 有 什么关系？是不？它俩的夹角刚好是一百二十度，写下角 f a、 d 是 一百二十度，哎，那我如果把这里的 d、 f 一 连，大家发现这里是不是应该有个定弦定角吧，对吧？其实只要发现这个角是一个圆周角，而且圆角是个定值，大家第一反应肯定是定弦定角了，对不对？是不是这个三角形 a d f 中角 f a d 是 一百二十度，对吧？那它这个弦 df 所对的圆周角是个定的，那 df 也是咋的？ df 是 不是也是个定值，对吧？这是个定弦，这是个定角，对了没？哦，那就是定弦定角呗，对吧？那我把这个图再给大家简化一下，或者在一个地方先画一下，因为原图有点乱了，对吧？简单来说是这个样子的， df 是 个啥？ df 是 个定长，比如说 df 在 这啊，有点他靠上了，重来一个，比如说 df 在 这，好吧，这是 df， a 点在哪呢？ a 点是不是在上面呢？对吧？然后我告诉你，这个角 a 是 一百二十度，那什么时候 df 乘 d a 最大， 什么时候 d f 乘 d a， 那 肯定等于三角形的时候最大呀，对吧？如果还是不理解的同学，咱可以拿面积去推，怎么去推这个 s 三角形 a d、 f 可以 等于谁？是不是应该等于 二分之一乘 a， d 乘 af， 再乘谁，再乘上个三一百二十度吧，对吧？咱是不是之前说过三一百二十度就就等于谁就等于三六十度吗？对吧？就算你不知道它的度数，你也知道它是个定值， 对不对？那 a f 乘 a d 最大的时候，不就是面积最大的时候？那我只要找这个三角形面积什么时候最大就可以了。那你看，如果 a d 比 a f 小， 你看底边 d、 f 是 定的情况下，它的咋了？它的高是不是又小了？只有 d a 等于 d f 的 时候，它高是最大的 啊，所以说我只需要让这里的 d a 等于谁是不等于 df 就 好了，明白了不啊？那所以说我就看一下 d a 等于 df 的 时候，这是个等腰三角形的时候，它俩多大了，对吧？那我还是一样把圆心角给它标一下，比如说这是个 o 点，是它的圆心，对吧？圆心 o d 跟 o f 一 连，上面是一百二十度，下面是不是也是一百二十度，对吧？而且这两条边是不相等，这两条边相等，中间是相等的，对了没？那 d o 和 f o 是 谁啊？ 第五个 f o i 不 就是半径吗？对不对？那 ad 和 af 是 不是也应该是半径？换句话说，当这两条边为半径的时候，面积就最大值。回到我们这个图，半径是谁？ 半径是谁？二百四的一半一百二嘛，对吧？所以你可以写当谁 af 等于 ad 等于二分之一倍的直径，也就是一百二十十，咋了？ 有最大值或者是它们最大，对吧？那我就写下 s 三角形 mpn 的 最大值，最大值是哪个字母 max， 对 吧？等于谁等于十六倍？根号三乘谁乘一百二，再乘个一百二， 对吧？然后接下来大家自己算吧，算完之后答案应该是九百倍根号三啊，答案就是这个东西啊。总的来说，这题还是比较有难度的啊。 先刚开始的时候，你得能想到要用中位线去推去表示一下这个三角形 m、 p、 n 的 面积，后面的话就是一个定弦内角，到后面其实比较好理解，对吧？然后，但是一定要知道这个面积公式啊，三角形的面积等于两条边的乘积，再乘上加角的正弦时，则除以二， 对吧？啊？再除以二。好了，那这道题我们就讲完了，还有其他问题可以私信瑞瑞森老师，想听什么知识点或什么题也可以直接跟我说。好吧，我看到了都会给大家讲的。那咱们今天到这就结束了， see you next video。
04:13查看AI文稿AI文稿那修那六模小鸭轴轴对称啊，我从去年就开始给大家讲过很多的这个轴对称问题，因为我觉得这个轴对称我们研究的不够深入啊，就是这么多年。 呃，但是它又是一个出动点题目以及最值题目，一个很好的类型啊，轴对称非常容易出定长，所以把定长这俩字也标在屏幕上了，咱们先看一下这个是怎么处理的。呃，题目很简单，就把这个东西折上去， 折上去折的光中呢，它有一个限制条件，就是 b、 f 和 d、 e 的 限制条件，这是二比一， 在矩形或平行四边形里面出现这种二比一，或者出现这种二比一处理模式本身上都是相似，这相似咋构造的？比如说如果是这和这只比二比一，我可以非常轻松的构造这八字型，这是八字型相似，如果上下之比是一比二，那我可以把它反向延长一下 啊，在这里形成一个 a 字型的相似。总之这种的啊相似构造要比那个相似旋转要简单很多，他就是只用最简单的八字型和 a 字型来构造。那所以在这种折叠里面，我们看到这个信息的时候，我们先把它的对角线给他，一连 得到一 o 啊，此时呢，上下三角形的相似比呢，就是一比二，就把这个一比二倒上，那么因为这个矩形一般都是定的啊，像这个题目， a boy 是 三 boy， c 是 三倍根二，那么就预示着这这里面眼睛目光所及所能看到的定点小象的都能算， b o 也能算， b o 也能算。我们最终要研究 p 的 运动轨迹啊。轴对称最后一步，定点定差，定点定差咋出来呢？就是这玩意是对称轴嘛，它是对称轴，这个点呢，随便来这俩就相等，随便来这俩就相等， 对吧？它就容易出这种定差。我们要研究 p， 所以 o p 给它一连， oc 给它一连 o p 和 oc 就是 相等，那么它就是半径， o 就是 圆形。这本质上这个考点就这么两种啊，第一种呢是勾相似， 第二种呢是点定长引元。来，我们给大家标注一下，看数字好算吗？ bc 是 三倍的根二， ab 是 三。 好，这是一比二关系啊，斜边长度一个是三，一个是三倍根二，一比二比三，三倍根三， b 指三倍根三，所以 o d 是 根三， o b 是 二倍根三。 我们要解的是什么呢？要解的是这个半径啊，要解的是半径，半径在这个三角形里面去解就行。这个角是个定角，上面这个角是个定角。呃，因为它在 dbc 这个三角形满足一比二比三啊，所以我们再来一个， 再来一组相似，那么上面这个算角也应满足，是吧？一比根二比根三，那么 d h 就是 一， o h 就是 根二， h c 就是 二， o c 就是 算出来了，这是根六， o c 根六， o p 就 根六，所以轨迹就出来。 好，这是点 p 的 轨迹，半径为根， 然后一箭穿心 ap， ap 的 最小值就是 a o 减半径， a o 连一下，这 a o 咋算？不一样的吗？你这边都能算，这边算不了吗？一模一样的哈，这个长方形它做完 好 m 的 m dog 是 根二， a m 是 二倍根二， o m 是 一，这是 d h 挪过来的，所以一比二倍根二比三啊，所以半 a o 就是 三， a o 是 三减半角可得还了 轴对称，轴对称咱们大半同学在同步学习过程中，对轴对称的这个研究不够深入，所以最近呢，你可以看一看轴对称里面常见的 等线以及等角，还有这种相似以及引援定点定长的引援是怎么出来？稍微有一个研究就可以，嗯。
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04:07查看AI文稿AI文稿二十六 c 功大副轴六模小压轴好题，快看哈喽啊，给大家分享一下二零二六年功大六模的小压轴啊，这是六模六模，来吧，咱们看一下。 上来说这是个矩形，给的数据是 a， b 是 三，这个总长是三倍，根号二 b， f 等于两倍的 d， e， 那 假设这是 x， 就是 二 x， 然后呢，将四边形折叠一下之后呢？ c 对 应的是点 p， 请问求请求 a p 的 最值，想求 a p 的 最值这种问题呢？ a 是 固定的，那就大概呢是画 p 的 轨迹，但现在好像没有明显的谁等于谁这样的特点。我不知道 p 板有什么条件， 那怎么办呢？就是提供这个关键的条件，左右它和它是二倍的关系。一比二的话，一般来说是在相似当中，但它俩好像不在于相似。 平行线和带比例的话，它即便不再相似，我们可以给它构造个相似，我们连接一下 b、 d， 假设这个焦点为 o 的 话，那这个时候我是不是可以说这个三角形和这个三角形相似， 对吧对吧？三角形 o、 d， e 相似于三角形 o、 b、 f， 并且相似距离是 x b 二 x， 也就是一比二， 相似之比。一比二，那说明什么？我的 b、 d 可是确定的，因为 b、 d 是 掉线，我们可以把 b、 d 算反嘛，这是三，这三倍根号二，所以 b、 d 呢，是三倍根号三，它又是一比二的，说明这个长度是根号三，这个长度是二倍根号三。 哎，这样来说，为什么说明 o 这个点是固定的点？也就是说你 e、 f 不 管怎么运动，不管它的一比二是怎么变的，总是要过这个 o 点，它总是一个固定的点，哎，固定的点，那这个时候我们就可以算出 o 到 c 的 一个长度， 对吧？因为它是两个固定点之间的距离吧。怎么算呢？简简单单一个垂直个固定就行了，这是根号三。则我们说这个上行和这个小上行，它也是相似的，相似之比是根号三，比三倍高，三也就是一比三，如此就可以确定这个是一，这个是根号二。 那这样一来的话，是不是在这个场中再来一次购物定律，就可以算出 o c 的 场三个平方呢？它这是二二的平方加根号平方等于根号六，它是根号六，你知道啥意思？不代表着我翻折之后的 o p， 我 翻折之后的 o p， 它也上根号六， 是吧？是吧？没问题吧？因为以 c 的 对应点是 p 点嘛。那如此说明什么？说明 p 的 轨迹就出来了，因为它到一个固定点的距离是确定的，定点定长，所以呢，它的轨迹就是这样的。圆就是以 o 为圆心，以根号六为半径的这样的圆。当然呢，圆其实画不画无所谓， 画上啊，初三的学生还是习惯于把这个圆画上。呃，你要是初二的话，我们不画圆也行。 哎，它是这样，一个圆到一个洞点，那你说 a p 中会有最小值， a p 是 不是 一箭穿心？当 p 点在这儿的时候，会有最小值，对吧？所以 a p 它有最小值。最小值多少呢？与圆相关的最值呢？都是先算出它到圆心的距离，也就是算出 a o， 再减去半径 o p 最小。 那么 o p 我 们知道半径是根号六，现在就差个 a o， a o 会算吗？也很好算啊，因为 a o 它两个都是固定点嘛，还是一样的方法，再来一次呗。比如说我们过 o 点往上做垂直，则这是一的话，这就是一。 然后呢，下面是根号二，所以这就是根号二。那我又知道总长是三倍根号二，所以这就是二倍根号二。 那如此给这个三角形来个勾股定律，一的平方加二倍根号二的平方，也就是三。哎，由此算出 a o 等于三，所以这个值就是三减根号六，所以 a p 的 最小值是三减根号六。 好的，搞定。如果说你做亚洲题没有思路，尤其是在陕西中考的填空做黑道和大亚洲题，那你可以去看一下老师的橱窗，我们有一本专门讲亚洲题的书，一百一十分以下的。不要去啊，没有意义。好吧，拜拜。
34数先生工作室
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03:11查看AI文稿AI文稿九大六魔，这给大家说，你在考场上到底想到了哪一步？是不是完完全全的把每一个拆解的步骤已经都想到了，如果没有想到呢，我们课后也要去复盘一下啊，就考后也要复盘一下，看一下到底是哪一部分的辅助线， 或者说哪一部分的拆解。你在考场上没有想到啊？什么原因可以简单的去复述一下啊？比如说这个题目呢，第一个条件好多个，一百二，这是一百二，这是一百二，这是一百二，这是一百二，你有没有在脑子里面第一时间就蹦出共圆呢？ 这是这个圆呢，是做这个题目的一个基础啊。画一下， 当我认为在座的大部分小朋友都是把这个圆直接画出来了，这是第一个问题。第二个拆解的部分呢，就是你意识到没意识到这个题在考各种各样的中位线， 这个中位线正好可以把中间这个三角形，也就要求的这个三角形面给它表达出来，也就是把它的面积翻译成 a， d 的 一半乘以 b， c 的 一半再乘以这个角，三角之乘以二分之一。意识到这个问题没有 啊？第三个问题呢，就是我刚已经把公式已经说了，就是这三角形面积，它当然是一个六十度的三角啊，三角形了，是一个六十度，你能否意识到它的面积其实是这乘这乘以三以六十度乘以二分之一呢？ 啊？或者说你没有不知道这个公式有是不是把这个高做出来研究过呢？所以第三个考点呢，是面积公式， s 二型 p m n， 它呢等于 pm 乘以 p n 乘以三引的六十度，再乘以二分之一， 有没有意识到这个问题？那你写到这儿的话呢？基本上我就确定了，我只需要求 p m 乘以 p n 的 最值，也就是 a d 乘以 b c 的 最值，两次中线导一下，那么最后一个问题， a d 乘 b c 的 问题， a d 乘 bc 啊，你要求 a d 乘 bc， 你 有没有意识到这玩意是一个旋转辅助线呢？也就是我要把 pcb 三角形要转到 pd 旁边去呢，然后让它们形成在同一个三角形中，进行进行最值的研究呢， 就这个 d b 撇，我们通过旋转的方式把这个三角形，把这个三角形转到这个位置，进而呢让 a d 乘以 bc 变成 a d 乘以 db 撇， a d 乘以 db 撇，你就需要把这条弦一连，有没有意识到上方这个三角形是一个定弦定角呢？一个新的定弦定角角度是一百二，底下这个 ab 撇是一百二十，一百二十一百二十倍根三。有没有意识到这个问题？ 如果意识到了这里的新的定向内角之后，之后我要求两个编织机，有没有意识到这个两个编织机本质上就是这个三角形的面积最大值的位置呢？ 我这一系列都做出来了，那么这个题我认为就拆解的很好啊，最后答案是九百倍的根三。
60诗墨数学
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02:47查看AI文稿AI文稿刚刚考的西安西工大附中，第七次这个检测是棋，可以说此棋的分量是相当的重，看来西工大附中这次拿出了真家伙， 看了下十七，很有典型性，完全切近于陕西省中考的这个考题命题趋势啊。小亚洲棋十四题，嗯，考了一个四点公园，通过四点公园要进行线段的最值转化去求解， 那么同时又考了一个同弧所对的这个圆周角相等，那么按照线段比例那么去进行求减，那么最后呢？ p q 的 最小值转化成求这个 e c 点的最小值，也就是说通过等面积法，我们求的最小这个最值。哎，仔细综合性是相当强， 各个知识点进行这个串联去考察，大亚洲棋二十六棋考的更是这个有一定的这个 含金量啊。第一棋宋分棋，那么考了一个平移啊，在现在中这个坐标属于这个七年级以下的这个知识点。融教版那第二期主要考了个四点共圆的这个分析啊， 同弦所对的圆轴角相等，那么再推的是等腰和三角形，进而去求进，考的相当灵活。嗯，此题我感受比较深刻，而第三题压轴题型令其相当的有水平， 很是陕西省这个命棋这个趋势。那八年级人教版上学了这个手拉手全等三角形，那么随后在九年级要学习手拉手这个相似三角形，而此棋就是通过手拉手相似推得出来动点 的运动轨迹，那么确定是在一条直线上，从而在进行这个求近。而一系列这个计算没有多大的这个花哨的这个招数都是基本功的考量计算，那么勾股定律的应用，三角函数的应用 是非常重要的，包括手拉手相似地去求解，从此期可以看出来 源于课本，但是高于课本，一定要先把个基础打好，那么才能升华你基本功，不杂，实用算量欠缺四对用算结果错误，那么 也没有意义啊，主要在思路判别清楚的同时，必须把用算搞上来，也是我一直在强调的是用算啊，陕西这个秘籍特色，所以接下来 不管是七年级、八年级，包括九年级，将应考的学生把用算量必须要记起来，才能合理的应考，基础知识掌握牢固，再加上用算量，那么拿到这个时期的满分是没有问题的。
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02:42查看AI文稿AI文稿西安西工大附中第六次适应性检测试题，可以说这套试题完全接近中考的难度，呃，题型考的知识点非常的这个扎实和通透。十三题小压轴题型 考了一个轴对称，看我们对轴对称的理解程度啊，那么通过轴对称，我们知道有眼缘，从而求这个对值啊，这是轴对称，轴对称来源于八年级 上啊，人教版学的这个课程，而原综合啊，还是比较这个传统，通过平行，那么求得牵线，那么进而再通过三角函数啊，再进行这个求解，主要还是要发现平行四边形，也就是说依旧是八年级以下， 两桥现在平行且相等，那么必有平行四边形出现。而二十五期是九年级二次函数，这与实际应用性结合，此类题型考察的灵活度是非常高的，也是各大名校这几天模考呃 的一个出题点，要不是考图形存在问题，要不是考实际应用，而实际应用又与往年陕西省这个中考试题有截然不同的点，那么就是要在函数当中套函数啊，理解它的最大值去求解。而此类题型这几年中考还没有 陕西省考的比较少，这也是一个趋势。大洋洲二十六期，呃，那么主要是考察了一个中位线加旋转， 发现两次演员的存在，从而确定这个线段的成绩， 也就是说面积的最大值。这里这道题出的是相当精彩，对于中卫线的理解要非常的这个精准。中卫线也来自于八年级啊，八年级以下平四边形学习啊。人教版，呃，通过这类题型的这个这个猜解，我们看了下期中考 难，也确实难，但是他还是来源于你的基础啊，对于基础不管是考了一个 轴对称还是中线以及旋转，旋转也是这年热点出击方向啊，你要掌握基本的。所以这个八年级 为什么说是拉开差距的这个学习阶段呢？是风水理论，是从这个命题就能看出来啊，那么所以这个课程 学习一定要立足于这个基本功，把八年级上和下一定要打好，基础久上也很关键。这样话把各种这个题型组合起来，你就能够快速的这个求解，起码经过训练，你各个知识点没有盲点出现，就能很好的应考。
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