八年级下册数学一次函数定点练习题
一个方案设计的这个课后题的一个练习，这个题干呢，提供的是两个型号的机器人，他们的分减量以及单价，现在公司呢，计划购十台，每小时的分减量总和呢，不少于八千五百件。 那第一问呢，他已经给我们设出来一个未知数，也就一个变量假形机器人的数量是 x 台，我们可以写到这个对应的就是十减 x 台，这是提供的数据。 第一问问购买这十台机器人所花费的总费用。 y 与 x 关系，那其实很简单，就是 y 等于五， x 加上三乘以十减 x， 然后我们化减就可以了，它等于二 x 加三十的啊，这就是第一问的一个结果。 到第二问呢，他说这十台机器人呢，购买几台假型号的机器人，能使所花费的总费用最少，而且最少经费有多少？那么知道假是 x 台， 但是我们要列出它的总费用呢？是在这个函数解析式上，那甲呢，是买的，由于这二是大于零的 y， x 增大而增大，所以甲买的越少呢，它的费用是越低的。 那我们要知道甲它最少能买多少个？最少那就是一个不等量关系，要利用这个不等式来分析，所以看分解量是一千乘以甲的个数，再加上八百乘以乙的个数，它呢应该是不少于是大于等于八千五百的。这个过程中我们很容易解出来 x 大 于等于二点五 啊，当我们解出这个之后呢，我们就知道这里边 x 取整数， x 的 最小值就等于三。那么来分析一下，因为 y 是 等于二， x 加三十的，写这个二是大于零的，所以我们写了这样一句话，也就是增减性分析一下 y， x 增大而增大的 啊，表明我们知道这个函数的分析方法。所以呢，当 x 等于它的最小整数，也就是三十， y 呢，也取的是最小值，我们直接把最小值算出来，它是等于三十六的。那最后我们再总结， 总结的时候呢，是回答它的两个问题，第一是购买三台假机器人时费用最少啊，就把这个抄下来，然后呢最少费用 是三十六万元啊。这里面最重要的分析呢，就是对于一层来说，这个增减性的分析在我们这个减用题的过程呢，要体现出来。另外这个解析式包括取的范围我们是要考虑的，而且还是考虑取正整数。
粉丝1683获赞1.6万
相关视频
08:49查看AI文稿AI文稿这道题一旦考出来，我敢说百分之九十五的学霸都很难做出来，这是一道刮豆原理和一次函数综合考察的一道几何最值问题，它的难点之处在于如何利用我们的一次函数坐标系去寻找我们的动点轨迹，难度系数 特别大。来，同学们，我们今天一起来分析一下这道题，好吧，来题目是这样做的，他说直线 ab 解决是告诉我们是 y 等于三， x 再加六，然后呢， g 点是直线上的一个 动点，然后呢，告诉我们一个定点 h 点为三斗零，然后呢，连接 g h， 以这个边去构造一个正方形啊，形成了两个点， n 点和 m。 好， 最后呢，题目求的是，哎，连接 o m 求的就是我们 o m 啊，这个边的最小值应该等于多少？好来，同学们，哎，我们先来一起分析一下题目当中的动点和定点的运动关系，好吧，首先来题目告诉 g 点呢，在直线 ab 上运动，所以呢，它应该是一个 动点好，题目的唯一的定点呢，就是我们的 h 点，它为三斗零，那么怎么动的呢？哎，相当于以这个边连接 g h， 在 这个边的上方去构造一个 正方形，对吧？那这边是动的，所以正方形呢，也是在变化的，所以 m 点这个顶点呢，也是动点好，所以读到这个地方，如果比较熟悉瓜豆原理同学就看出来了哈，这里面它应该是我们的主动点，它应该是我们的 从动点，对吧？好，主动点相当于绕着这个定点，然后呢，我们的顺时针旋转九十度，因为正方形嘛，它是九十度，好到我们的 h m， 这两个边是相等的， 所以呢，连接解开，应该是一个等腰直角三角形，那么主动点和从动点，我说种瓜得瓜，种豆得豆，哎，主动点和从动点的轨迹应该是保持一致的，主动点轨迹为直线，那么从动点 m 点的轨迹呢？也应该为直线，对吧？那这个直线应该如何去找呢？ 哎，这是我们的难点哈，来，我们一起来分析一下。在我们坐标系里面哈，我们要去证明一个点的轨迹为直线， 那么我们只要证明这个点的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 满足一次函数，它的轨迹就一定是我们的直线，对吧？那如何证明呢？哎，接下来需要从我们这个 等腰值入手，这是我们的限制条件，对吧？等腰值来什么？看到等腰值，我们第一时间应该想到我们的一线三等角的辅助线，对吧？好，这里已经有一个直角了，要构造三等角，所以呢，我再过 m 点 和 g 点啊，这两个点分别向我们的 x o 做两条垂线，这个是 t 点，这个是我们的 s 点。好来，这个时候这个三角形就跟这个三角形是全等的，那么既然有全等，我们就可以倒边了， 但是呢，题目当中没有一个边的长度已知，那怎么办呢？我们需要去设点，因为只要知道坐标，就可以把坐标转化为我们的长度，那 g 点在 a b 上东来，所以呢，会把 g 点这个动点给它设出来， 横坐标设为 a， 好 重坐标呢，它满足这个解析式，所以把 x a 带进去，那就是三 a 再加上六，看到没有好， g 点出来了，那么坐标出来了，长度就出来了呀， g s 正好是它的 重坐标，对吧？这个为三 a 再加六，这个呢，也是为三 a 再加六， ok， 好， 那么我们的横坐标，你看， s h 也出来了啊，这个是三 a 加六哈，那么 s h 怎么表示呢？ h 点的横坐标为三，那么 s 点的横坐标就是 g 点的横坐标为 a 啊，然后这个长度就是大减小，两个横坐标相减，对吧？三，再减 a， 好， 它为三减 a， 那 这个长度也是为 三减 a， 全等倒边嘛。好，我们最终目的是要求 m 点的坐标，你看，没有，重坐标已经出来了，三减 a， 那 横坐标是哪个？ 比如说 o t 嘛， o t 很好算， h t 三 a 加六，我们的 o h 这个边应该为几？应该为三， h 点的横坐标为三，对吧？好，来，所以我们的 o t 就 等于三 a 加六，再加三，等于三 a 再加九来，所以我们的 m 点的坐标就出来了，横坐标为三 a 再加上九，纵坐标为三减 a。 哎，这个时候，你看，我把这个设为 a， 开始， 这个是 y 中坐标，我要求的是 x 和 y 的 关系，对吧？哎，这两个都有同一个参数 a， 那 么所以呢，接下来我们需要去消参，把这个 a 底消掉，那么 x 和 y 的 关系就出来了，相当于 a 是 一个什么呀？中间变量，对吧？来，我就把 x 设为三 a 再加九 y 呢？等于三减 a。 好， 我们的目的消参，这个是一式，这个是二式，把 a 底消掉，那你看，我应该把二式乘以三啊，二式乘以三就变成三 y 等于九减 三 a 啊，这是我们的三式哎，减三 a 加三 a， 看到没有，正好可以递消掉。那所以呢，我们的三式和一式相，加 x 加上三 y 就 等于这两个正好递消掉。好，九加九等于 十八出来了哈，所以整理一下，三 y 就 等于负 x， 再加上十八 y 就 等于负三分之一 x， 再加上， 看到没有，所以呢，我们的 m 点的轨迹呢，它满足 y 等于 x， 再加上 b， 它的轨迹呢，就一定是直线，而且具体是哪条直线，我们也给它算出来了，对吧？好，接下来。哎，轨迹出来之后，那就很好算了， 它求的是 o m 的 最小值， o 点是一个定点。好， m 点呢，是一个直线，在直线上动，就变成一个定点到一条定直线的最小值了。来，把这个叉掉哈，我们来算一下，哎，已经算出来了，这个直线是 y 等于 负三分之一 x 再加上六啊 m 的 轨迹来，接下来我把这个直线给它划出来，首先斜率是小于一的，往下走，经过了，经过零到六， x 为零， i 为六，哎，这个直线 ab， 它也经过零到六， x 为零， y 为六，所以它们都会经过 b 点这个点啊， b 点这个点正好是零到六，对吧？好，然后呢，我 f 点又是直线上的一个点，所以呢，我连接 bm 就是 我们的轨迹啊，轨迹看到没有？好，我们的轨迹大概会转化出来了啊，那么这个时候呢， 他就是结是 y 等于负三分之一 x 再加上六， ok， 好 吧，好吧，那么这个时候看，我们来算算哈，那就非常好算啊，非常好算，你看，呃，怎么算呢？呃，我求的是 o 点到这个直线的最小值啊，最小值，所以呢，我再过 o 点 向它做做垂线就可以了，所以垂足点就是我们的最小值， o m 一 就是最小啊，那 o m 一 该怎么去算呢？接下来就是算这个长度，大家看一下如何去算 啊？首先你看，我们可以用等面积法，这个正好是这个三角形，以这个为底，它的高，对吧？哎，所以呢，我用等面积法，那么我们的 o b 知道吧？ o b 为 六，对吧？那么这个是 o t， 我 们也知道 o t 细点正好是这个直线与 x 的 交点，那么所以当 y 等于零，你把它带进去吧。哎，与 x 焦点 y 为零， x 就 等于等于是十八， 对吧？好，来，所以呢，细点坐标就应该是十八到零，那这个长度就应该是十八 出来了，是吗？那非常好算啊。好，那我的斜边 b t 也出来了， b t 就 等于根号下六的平方，再加上勾定义嘛，十八的平方，哎，等于几呢？等于六倍根号， 六倍根号式啊，斜边为六倍根号式，等面积它又出来了，底乘以高，等于底乘以高，对吧？好，来，下面我们来算一下啊。所以得到我们的 o m e 就 等于 底乘以高，六乘以十八，再除以这个底，六倍根号十等于根号十八，那个十分之 十八倍根号十啊，约掉就等于五分之九倍根号十，所以呢， o m 最小值就出来了，等于五分之九倍根号十。这道瓜豆原理和一次函数的综合问题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！
1123徐老师讲思维（暑假ke报名中）
03:10查看AI文稿AI文稿依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。
85粤数
28:20查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数与方程组和不等式的复习巩固。先看第一个利用函数的图像去解方程，二分之三， x 减六等于零，对吧？那么这里既然要求了让我们用函数图像，那我们就先把图像画出来，好吧， 来看一下，那么我们想要画出来的话呢，就先把它写成函数形式，令 y 等于二分之三， x 减六，对吧？那么你现在当 x 等于零的时候，求出 y 值， 当 x 等于零， y 就 等于二分之三，乘上零减六， y 就 等于负六，所以它就会过零负六这个点，对吧？那么这个点在哪里呢？就在 y 轴上，然后你想求在 x 轴上的点，就当 y 等于零， 那么零就等于二分之三， x 减六，移项六就等于二分之三 x， 那 么这个六除以 二分之三等于 x， 六就乘上三分之二等于 x， 所以 四等于 x， x 等于四，所以它就会过四零这个点，那么咱们再把图像画出来， x， y 与这里的交点是四，零与 y 轴负半轴的交点是零负六，把这两个点画出来 连起来就是依次函数的图像，这个就是 y 等于二分之三， x 减六啊，那我们要通过这个图像看出它的减，就是让 y 等于零的时候，那么 y 等于零的时候，那就是这个点 啊，就是这个点啊，就这个点，所以 x 就 等于四，对吧？所以我们就可以通过图像看出来， 在这个点的时候，它的 y 值等于零，它的 x 值等于四，正好对应了这个 y 换成零，那么这个 x 对 应的呢？就是四，所以我们由图 由这个点四零得出 啊。二分之三， x 减六等于零的减 为 x 减四啊， x 减四，那么有些人可能会说，我在这里都已经算出 x 等于四了，我为什么还要通过画图呢？对不对啊？是不是多此一举啊？那么这个题目它其实是为了让你更好地去理解这个图的意思， 然后这个图像呢，他也可能觉得你自己手里有这个画函数的这个软件，你直接可以通过软件去画，因为前面他也讲了如何用碗软件画图像，对吧？啊？像我们自己这样直接手搓一个图像出来，那肯定是要算出这个 x 等于四的，对不对？好， 再看第二个，利用函数图像解不等式，五 x 减十大于零和负二， x 减四小于零，那么咱们这里呢，也要把它当做函数的形式，那我们就令 y 一 等于五， x 减十， y 二就等于负二 x 减四，那我们要画图吗？画图的话，你就令 x 和 y 等于零，对吧？当 x 等于零的时候，这个 y 一 就等于五乘零减去十等于负十，说明它过零负十这个点。好，这个呢，我们等会再算，不然弄混了。然后当 y 一 等于零的时候， 就零等于五， x 减十啊，把五 x 移过来，负五 x 等于负十， x 就 等于负十，除以负五， x 就 等于二，所以它就会过二零这个点。好，再算这个，再算 y 二， 这里也写个零，好算。当 x 等于零的时候， y 二等于负二乘上零减四，负二乘零就是零，零减四等于负四，所以就是负四，那么就过零负四这个点。然后当 y 二等于零的时候， 这个零就等于这个负二 x 减四，把负二 x 移过来，二 x 等于负四， x 就 等于负二，对吧？所以它就会过这个负二零这个点。好，我们在图像上把它画出来，先画这个图，先画这上面的图， 一个过零复十，一个过二零二零的话大概就在这个位置，零复十，我们就画在这个位置，两个点一连 就是函数解析式，就是函数解析式的图像了，这个直线就是 y 一 等于五 x 减十，好了，他说要这个五 x 减十大于零，对不对？大于零在哪里啊？ 大于零在上方看到没有？大于零，零在这个位置，零在这个点上，那比零大，那么就在他的上方，所以上面这段图像就是 五 x 减十大于零的地方，对吧？啊？五 x 减十大于零，那么又意味着 y 一 大于零，而 y 一 大于零就是在 x 轴上方的图像，而这个图像上对应的所有的横坐标都比这个点的横坐标要大吧，对不对？它继续往后延， 它这里的横坐标往下一一对应，都是比二大的啊，所以这个 x 怎么样就大于二，当然了，你说，哎，我不能直接算吗？我直接算就可以了，对吧？ 好， x 大 于二就可以了，那这里呢？是为了让你理解这个不等式和图像的关系，知道吧？咱们再画第二个图， 一个是零负四，一个是负二零零负四，我们就画在这个位置， 负二零，咱们画这个位置连一下。 好，这条直线的话，就是 y 二等于负二 x 减四，知道吧？那么你看一下它要它小于零，对不对？小于零， 那么零就是在这个位置，这个点的纵坐标就是零，对吧？比零要小，那就在它的下方， 那么就在它的下方，在下方上面的点对应的横坐标是不是都比这个负二要大呀？所以 x 就 大于负二，知道吧？好，所以我们写一下，因为 负二 x 减四要小于零，那意味着 y 二小于零，而 y 二小于零的话，就是对应的是这一段图像，这段图像对应的所有横坐标都是比负二大的，所以 x 大 于负二，就是这个不等式的。解了。 再看第三题，也是叫我们利用函数的图像去解这个方程组，那这里有两个方程对不对？都是带 y 的， 所以我们要先把这两个转换成什么？转换成函数形式。怎么转换呢？第一个是三， x 加上二， y 等于五， 那么角先把 x 移过去，二， y 就 等于负三， x 加五，然后两边同时除以二， y 就 等于负二分之三， x 加上二分之五，这是第一个。 那么第二个函数呢？就是二 x 减 y 等于八，移过去啊，就把二 x 移过去，负 y 就 等于负二， x 加八，两边同时除以一个负一，那么 y 就 等于二 x 减八，对吧？那么现在呢，我们就要画图了， 我们画图的话，一般都是令 x 等于零和 y 等于零嘛，对不对？这是 y 一， 这是 y 二，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之三，乘上零加上二分之五等于二分之五，所以它就会过零二分之五这个点。然后当 y 一 等于零的时候， 那么零就等于负二分之三， x 加上二分之五。好，移项二分之三， x 等于二分之五，同时乘上二三， x 等于五， x 就 等于五，除以三等于三分之五。啊，是三分之五了。好，那么我们就可以通过 这个 x 等于三分之五，判断出它过三分之五零这个点，这个时候 y 是 等于零的，所以重坐标是零，对吧？好，这里也是一样的，当 x 等于零的时候， y 二等于二乘零减八，就等于负八，所以它就会过零负八这个点。然后当 y 二等于零的时候， 就变成了零等于二， x 减八，移向负二， x 等于负八， x 就 等于负八，除以负二，它就等于这个四，所以它就会过四零这个点。 好，再把这两个点画在图像当中，我们来画一下， 这个是零二分之五，那我们在这里就画二分之五零二分之五，然后呢这个点呢？是三分之五零，那我们就画这个位置，三分之五，大概在这个位置， 这条直线的话呢，连起来这条直线就是 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，有点写不下了。 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，就是 y 一 这条直线。 y 二这条直线的话呢，四零，然后另外一个零负八，那么零负八的话，我们就画下面一点， 这可能就比较远了，假设这个点就是零负八吧，这个是零负八，然后这个点的话，就当做是四零，然后把这两个点连起来 延长过来，好，这条直线就是 y 二等于二， x 减八。 好，图像画好了，那么你会发现，你把这两个当做方程组的时候，它的解就是它的焦点， 而这个焦点呢？说实话啊，我没画出来，对不对？我们不知道它的焦点是多少，所以呢，我们要试一下，对吧？因为你不能去算，你不能把它当做去算，所以你要去试一下，你看这个是几啊？这个是 这个三分之五，这个是四，那么比三分之五大一点是几啊？就是二，三对不对？二肯定对不上，二肯定对不上，那么你就找三，所以我们就分别试一下，当他们俩都等于三的时候好不好？好，当这个等于三的时候，当这 y 一， 当 x 等于三的时候，这个 y 一 就会等于负二分之三乘上三加上二分之五，它就等于负二分之九 加上二分之五等于负的二分之四等于负二，所以它就会过三负二这个点。 然后呢，你在当 x 等于三的时候，你再算这个 y 二 y 二就等于二乘三减八等于六减八也等于负二，它也过三负二这个点，发现没有，它们经过同一个点，所以 三负二就是它们的焦点啊。所以我们就看得出来， y 一 与 y 二的焦点 为三负二，所以 x 等于三， y 等于负二，就是这个方程的解，为这个方程 三 x 加二， y 等于五和二， x 减 y 等于八的解就可以了。 如果呢，有些题目呢，他直接画了图，并且告诉我们焦点，那我们这些画图的过程就都可以省略。 再看综合运用第四题，甲乙两个工程队分别同时开挖两段合渠，所挖合渠的长度为 y 单位是米与挖掘的时间， x 单位是小时之间的关系。如图所示，那 红色这一段是假的，然后绿色这一段是乙的，叫我们分别求出假。对在零到六，就是 x 大 于等于六大于等于零小于等于六的时间之内和乙对在 x 大 于等于二小于等于六的这个时间内， y 关于 x 的 函数解析式，那么求解析式的话呢？你可以看得出来，假的话经过哪两个点？ 第一个是圆点，对不对？第二个就是六六十，经过这两个点，我们就可以带入一次函数当中，对吧？好，那么乙呢？他只教我们求二到六这段时间之内，那么你看二到六这段时间，他也经过两个点，一个点是二三十， 另外一个是六五十，对不对？好，我们就把这两对点带入一次函数当中，我们这里就写一下，好吧，先求 设假对，在 x 大 于等于小于等于六大于等于零的时段内，解析式，函数解析式 为 y 假，对吧？等于 k 一， x 加上 b 一， 为什么要这样去写呢？因为你乙对也要去设呀，对不对？它们俩的 k 值和 b 值不一定相等啊， 对吧？所以我们就复制一个出来，改一下数据设，再设一下乙，对，不过可以等会来算，我们把里面改一下，甲对换掉， 然后时间段换掉解析式，这个换掉。好，那我们就写设乙对，在 x 小 于等于六大于等于零的时间内，函数解析式为 y 甲 y 乙 等于 k 二， x 加上 b 二，对吧？好，设一下。那么现在呢，我们就知道甲经过零零，甲经过的点是零零这个点以及六六十这个点。好，我们就将 零零这个点与六六十带入到 y 角当中，那么你就可以得到方程组，对吧？这个方程组呢？等一下啊， 这个方程组呢，就是把这个解析式里面的零和 y 都换成零，那么就是零等于 k 一 乘上零，再加上 b 一。 然后第二个呢，就是六十等于 k 一 乘上六，再加上 b， 那 么这里的话，我们化简一下，就可以得到 b 一 是等于零的，对吧？这个是零，这里也是零， b 一 就等于零，然后你再把零带进去， 对吧？好，那么就是六十等于六， k 一 加上零啊，因为 b 一 等于零，写一下吧，还是写 b 一 吧。好，这两个式子，这是一式，这是二式，你将第一个式子带入到第二个式当中，将 b 一 等于零 带入到二式当中，那么零六十就等于六 k 一， k 一 就等于十，那么我们就可以得到 k 一 等于十， b 一 等于零，所以这个假的解析式就等于十 x 啊，就等于十 x， 同时你再把它的取值范围写上 x 小 于等于六，大于等于零的时候，是这样的。 好，再来求第二个一样的操作啊，也是将这两个点，这两个点我们直接在图上写出来，一个是二三十，一个是六五十，对吧？我们将这两个点带进去， 将二三十与六五十带入到 y e 当中，好，那么我们算一下， 把三十带进去，二三十带进去，是三十等于 k 二乘上二，加上 b 二，把六五十带进去，就是五十等于 k 二乘上六，加上 b 二。两个式子，你拿两个式子一减啊，拿二四减一四，那这里五十减三十等于二十， 这里是六 k 减二， k 减掉了啊，所以我们这里就是负四， k 二 等于负二十， k 二就等于负二十除以负四，那么 k 二它就等于五，然后你再把五带入到其中一个解析式当中，将 k 二等于五 带入到一式当中，那么就三十等于 k 二， k 二已经知道了，就是五乘二，再加上 b 二，那么三十就等于十加 b 二，那 b 二呢？就等于 三十减十， b 二就等于二十，那我们就可以得到这里的 k 二等于五， b 二等于二十这个解析式， 你就会等于五 x 加二十，并且取之范围是 x 大 于等于二，小于等于六，对不对？好，那么这个就算完了。再来看， 那这里说当 x 为和值的时候，甲乙两个对在施工过程当中所挖合取的长度是相等的，那么你就看它们的焦点，这里是有一个焦点的对不对？那这个焦点是多少呢？哎，我们不知道，我们就可以把这两个 函数当做一个方程组啊，去算 x 等于几就可以了，知道吧，因为它们在这里有焦点的时候，意味着在同一时间内，它们挖的长度也相等，所以就是找焦点。 第二问就是找焦点，所以我们列方程组， y 等于十， x 和 y 等于五 x 加二十那两个式子， 那么呢，我们就把一次当中的 y 等于十 x 带入到第二个式子当中去，那你就可以得到十 x 等于五 x 加二十一项，十 x 减五 x 等于二十， 五 x 就 等于二十， x 就 等于二十，除以五 x 就 等于四，所以那么当 x 等于四的时候，他们所挖的渠道是相同的，知道吗？好，那么这里我们同时也把 y 算出来， 那么 y 就 等于十，除乘上四， y 就 等于四十，所以这里算出来的是 x 等于四， y 等于四十，对吧？好，我们最后再答一下啊，当 x 等于四的时候，加以两对。 施工 的时候，施工过程中，施工中挖的和渠长度 相等都为四十，单位是米就可以了。 再来看拓广探索第五题，在同一平面直角坐标系当中，画出函数 y 一 等于负二分之一， x 加上二与 y 二等于三， x 加九的图像，并且结合图像比较这两个函数值大小的关系。 那咱们就先画图，先看 y 一， 这个 y 一 呢，等于负二分之一， x 加二还是一样的令， x 等于零和 y 等于零，对吧？好，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之一乘上零加二就等于二，所以我们就知道它会过零二这个点，对吧？你其实算多了，你就知道，当 x 等于零的时候，它就一定会等于二，对吧？等于它这个 b 值。然后当 y 等于零的时候， 那么零就会等于负二分之一， x 加上二一项二分之一， x 加上等于二， 那么 x 呢，就等于四，所以它就会过四零这个点。好。再看 y 二， y 二等于三， x 加九一样的，当 x 等于零的时候， 这个 y 就 等于三，乘零加九就等于九，所以它就会过零九这个点。然后再当 y 等于零的时候， 那么这就会得到零等于三， x 加九，一下负三， x 等于九， x 就 等于九，除以负三， x 就 等于负三，所以它就会过负三零这个点。好，咱们再把这两个图像画到什么？画到同一个坐标系当中， 我们这里就画大概啊，就不画那么精确了，因为画太精确了，我会画 y。 然后呢，找到，先画这个 y 一， 找到零二和四零，那零二 大概在这个位置零二四零呢？咱们就画这个位置四零两个点一连 这条直线呢，就是 y 一， 再画这个，这个是零九和负三零，那负三零的话，大概就画这个位置负三零，然后呢？还有一个画九零九的话，九应该很高了吧， 对吧？往上挪一点， 我就在这里画九零九，那实际上可能不止这么高啊，我们这里画个大概 好，这条直线就是 y 二，对不对？好了，那么现在你会发现它会有焦点吗？而这个焦点是多少呢？我们不知道，那我们就把它列成一个方程组，把它的焦点算出来， 因为你要比较大小嘛，对不对？你看在这个焦点的左边是不是 y 一 大， y 二小，而在这个焦点的右边，是不是 y 二大， y 一 小啊？对不对？好，所以呢，我们就把它列成一个方程组， y 一 等于负二分之一， x 加上二， y 二等于三， x 加上九，列一个方程组，那么因为他们的 y 都是相等的，所以就是得到三， x 加九等于负二， x 加二移项，三 x 加上二分之一， x 等于二减九，那么这里算出来的话， 就可以得到是二分之七， x 等于负七， x 就 等于负七。除以二分之七就等于七。乘上七分之二， x 就 等于负二，所以它的横坐标是负二，再把这个负二带进去， y 就 等于三乘负二再加九， y 就 等于负六加九，所以 y 就 等于三。所以他们的这个解就是， x 等于负二， y 等于三，所以我们就可以知道他们的焦点是负二三。好，这个焦点是负二三， 我们写上来负二三，这里对照的横坐标就是负二，这里对照的重坐标就是三。好了，图像画完了，那怎么去做比较呢？其实这个图的话，它画标准了，反而不好比较，我们这里画一个缩略图，好比较一点，那这里 我画一个缩略图，那就简单画一下，看到没有？就这样简单画一下。 好，这个是 y 一， 然后这里有一个焦点是二，它的横坐标是不是二，看到没有？好，我们就以二为分界点，在这个二的左边，你看这个二的左边，负二的左边，是不是？ y 一 在上面， y 二在下面，对不对？好，在它的左边， y 一 在上面， y 二在下面，所以左边对应的就是什么？ y 一 大于 y 二， 而这个左边对应的是 y 一 大于 y 二的时候，你看它们的横坐标对应的是不是都比负二小，对不对？好，所以就可以得到，当 y 一 大于 y 二的时候，它的 x 是 小于负二的，这是第一种情况，看到了吗？好，现在我们再看，在它的右边的时候，你把它延伸过去，这个 y 一 延伸过来，哎，反过来了，现在 y 一 在下面， y 二延伸过去，反而变成了 y 二在上面，这个对应的是它的右边，它的右边对应的是 y 二在上面， y 一 在下面。这个表示的就是当 y 第二种情况，就是当 y 一 小于 y 二的时候，看到没有？ y 一 在 y 二的下面，表示 y 一 小于 y 二，而这个时候，你看这个图像所对的横坐标是不是都比负二大，对不对？它都比负二大，所以这个时候 x 就 大于负二，看到了吗？这是第二种情况，那什么时候呢？它们会相等呢？就是在焦点的时候，所以这个时候我们就写第三种情况， 当它们相等的时候，当 y 一 等于 y 二的时候，这个 x 就 等于负二，那么它们的大小关系三种情况都写出来了。 他们的大小关系一个是大于他，一个是 y 一， 大于 y 二，一个是 y 一， 小于小于 y 二，一个是 y 一 等于 y 二。这三种情况的结果我们都写出来了，都是通过图像去看的，知道吧？这个图像是标准图像啊，标准一点啊，因为我画的也不是特别标准，这个是他的缩略图， 我们通过缩略图就好比较，因为这样的话，这个这个 y 一 在上面， y 二在下面，这个是不对，看过去不是很好比较，这里是 y 二在上面， y 一 在下面啊，其实是一样的，只是这样看的话会比较好看一点，那么我们就是分左右就可以了。
345毕老师细讲数学
00:46查看AI文稿AI文稿八年级下册数学专项训练一次函数全书五十二页，聚焦八年级下册函数与一次函数核心重难点，梳理了十七个高频知识点、二十个必会提分点搭配五个强化专项练， 从函数基础、一次函数定义、性质、不等式与一次函数的关联，到实际问题与一次函数层层拆解考点配套，针对性常考题型搭配，精细讲解， 专项练习与综合练习梯度分明。课后附参考答案与解析，帮学生夯实基础，突破薄弱点，高效掌握一次函数知识。
40:40查看AI文稿AI文稿好，再来看一次函数与方程组和不等式的关系，那么这个知识点呢，理解起来是稍微有点难的，不过呢，你一旦理解之后，做很多题目，你可以直接看图，甚至都不需要计算啊。我们先来看这个一次函数和一元一次方程的联系， 那你要知道一次函数呢，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 如果你知道了它的解析式，那么这个 k 值和 b 值咱们都是知道的啊。你比如说这里给了一个一次函数 y 等于二， x 减一，它对应的 k 值和 b 值分别就是二和负一，对吧？好， 那么他说这个一次函数 y 等于二， x 减一的图像与 x 轴的交点的横坐标是零点五，当自变量 x 的 值为零点五的时候，那么它的函数值是多少？ 你可以直接看图就可以看出这条直线和 x 轴的交点是零点五零，我这里写一下，它这个点的 就是零点五零。那你要知道依次函数上的任何一个点的横纵坐标，横坐标 对应的是 x， 纵坐标对应的是 y， 你 把这个横纵坐标对应 x 和 y 带回解析式当中，那么这个零呢？ 就在这里，零点五呢，就写在乘二的二乘的后面，就零等于二乘上零点五再减一，对吧，这个等式是仍然成立的，任何一个点带回解析式都可以让等式成立， 那么他这里说，当自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值是多少，那就是零嘛，对不对啊？你把这个带进去算嘛， x 等于零点五， x 等于零点五的时候， 这个 y 就 等于二，乘上零点五减一，它就等于一减一等于零，它的函数值对应的就是零， 那么由此可以得出一元一次方程二，这个二 x 减一等于零的解吗？是可以的，那你看这个二 x 减一等于零的时候， 和这个前面部分，这个后面部分和这个前面部分是不是一样的，对吧？好，只不过一个是 y， 一个是零，而我们前面可以得到，当自变量 x 等于零点五的时候，它的 y 值就这个函数值，它就是零的。 那当这个 y 值等于零了之后，那和这个式子有什么区别吗？它没有什么区别，计算上是一样的，对不对？所以我们就可以得到啊，当这个 y 等于零的时候， 这个式子它就会变成了这个 y 等于二， x 减一，就会变成零。等于二， x 减一，你再反过来写，就变成了二 x 减一等于零和这个一元一次方程， 它的形式上是不是一样的？那么计算上也是一样的，你把这个一移过去，二 x 等于一，那么 x 就 等于一，除以二，它就等于零点五，发现了吗？哎，你看 这个一次函数，当你的 y 值知道了是几之后，你就可以直接把它当做一元一次方程来做，对不对？好，所以我们可以直接通过图上的点去观察 这个点的坐标，它的重坐标是零，那么也就说当 y 等于零的时候，它的横坐标就是多少啊，它的横坐标 x 就是 零点五，那么如果说他给出来了一个方程，他告诉你 这个二 x 减一，它就等于零，叫你求 x 等于几，你不需要算，你可以直接看与 x 轴的交点，那就是零点五，就这个意思，看到了吗？啊？你看这个横坐标， 依次函数 y 等于二， x 减一的图像，与 x 轴的交点的横坐标为零点五，它的重坐标是零，那因为这个点的坐标就是零点五，零嘛，对不对？ 这表明自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值为 y， 由此我们可以得出，一元一次方程二 x 减一等于零的解，就是 x 等于零点五。 那么任何，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程，都是可以变形成 a， x 加 b 等于零， a 不 等于零的形式。所以解一元一次方程的时候，从函数值去考虑的话，就相当于什么呢？就相当于某一个函数值 y 等于 a， x 加 b 的函数值为零的时候，求这个自变量 x 的 值，从函数图像的角度去思考的话，相当于已知直线 y 等于 x 加 b， 求它与 x 轴交点的横坐标。 啊，就是这个意思。那么这一段话呢？它解释起来的话啊，还是比较长的，那我这里给你转换成这个计算语言，就是说函数图像上的点可以作为这个 y 等于依次函数这种形式方程的动态解啊，我这里写一下啊， 依次函数图像上的点可以作为依次函数解析式，作为方程的动态解。什么意思呢？我把这个放大一点，你看这条图像上这条直线，这个图像上它肯定不止一个点吧，对不对？好，那么它除了这个 零点五零以外，他还有哪些点呢？他还有这个点，假如说这个点的坐标，我把它标出来，零负一，对不对？这里也有点，这个点的坐标呢，就是二分之一，那这个点对应的就是四分之一，也就零点二五， 负零点五，这个点对应呢啊，然后呢，往前走，如果他的横坐标对应的是一的话，那么这个点的坐标他是一一 啊，你可以自己算的，你把 x 等于一带进去，二乘一再减一等于一，所以它会经过这三个点，我就拿这三个点来举例，好吧，好，这里是我把它反过来写，把它变成二。 x 减一等于 y， 对 吧？当这个 y 等于 y 等于负一的时候啊，也就是当 y 等于负一的时候，那么这个二 x 减一等于负一的减，它的这个 x 就 等于零，它的减就是零啊。然后呢，当这个 y 等于负零点五的时候， 当 y 等于负零点五的时候，那么这个二 x 减一等于负零点五，那么它的横坐标 x 啊，也就它的减 x 就 等于二点五，你不需要算的，你只要确定点没错，你就可以直接出结果啊。然后再看， 当这个 y 等于一的时候，这个函数就会变成二。 x 减一等于一，那么这个 x 就 直接等于一，你不需要算了啊，当然你说这么简单，我自己口算就看得算出来了，但是如果这个式子这个解析式它特别复杂呢， 对不对？那么有有些题目条件，他会直接告诉你经过某个点，那么你就不需要算了呀，对吧？你就可以直接通过这种方法求出当前 y 等于特定值的时候， x 等于几。 所以依次函数解析式当中，你知道 y 值的时候，你就可以直接把它当做一元一次方程去算就可以了，知道吗？就这就是这个这个知识点的意思啊，这个就是一次函数和一元一次方程的关系。 好，再来研究一次函数与一元一次不等式的关系。先看这个思考，如图，这个图呢，就是上面这个图，我把上面这个图呢挪下来了，画在这里啊。 利用一次函数 y 等于二 x 减一的这个图像，你能得到函数值大于零时， x 的 取值范围吗？函数值小于零的时候， 他的 x 取值范围又是多少？那么由此你能分别得出一次函数不等式这个二 x 减一大于零和二 x 减一小于零的解吗？那么就不等式的计算而言，我们这两个都是可以直接算出来的，你我可以算给你看啊， 你把这个移过去，减一移过去，那就变成了二 x 大 于一，那么 x 就 大于一，除以二，一除以二就等于零点五，对不对？然后这里呢，就小于二， x 小 于一， x 就 小于零点五， 你是可以直接算出来的，那为什么它还要结合一次函数呢？因为我们可以直接通过一次函数的图像看出它的取值范围，不需要算，知道吗？你说，哎，我可以算啊，那万一它这里是 k x 加 b 呢？它如何大于零呢？ 你能算吗？你肯定算不了啊，对不对？这里是因为你知道这个 k 值和 b 值具体是多少你才能算，如果你不知道，你就算不了，那我们以后很多的情况他都是不知道的，那你只能看图像，知道吗？他就是逼着你去看图像，所以你必须要学会看图像，来看 我们如何去判。这个函数值大于零的时候， x 的 取值范围是什么？函数值大于零，这个函数值对应的是不是就是 y 的 值？你要知道函数值对应的就是 y 值， 而 y 值对应的是什么？ y 值它对应的又是重坐标一个点的重坐标的值， 而函数值要大于零，那么也就是说重坐标要大于零，而重坐标大于零的点在哪里呢？重坐标大于零的点全在 x 轴上方，我们就可以知道在 x 轴上方， 你来看一下这个图像当中，这个图像当中重坐标大于零的是不是就在 x 轴上方的这个图像上方？这个图像上的所有点的重坐标 是不是都大于零，对不对？这个点的重坐标，那对应正数，这个点的重坐标对应正数，这个点的重坐标对应正数，它在 x 轴上方这条直线上的所有的点， 它的重坐标都大于零，也就意味着什么呢？也就意味着它的这个 y 值是大于零的，也就意味着它的函数值大于零， 那所以我们就可以知道在 x 轴上方的点，它重坐标大于零，对吧？那么也就是函数 y 值大于零，也就意味着它函数值大于零。那么你看一下这个直线在 x 轴上方的时候，你看看到没有， 它这个上面的图像，所有的点的横坐标对应什么范围？那我放大一点 这个图像，它的横坐标它这里有很多个点，你看一下我这多画几个点，它的横坐标对应的是在这里对应在这里对应，在这里对应，在这里，它的横坐标的所有的值是不是都会大于这个焦点？也就是大于零点五， 和我们刚才算出来的这个大于零点五是不是一样的？看到了吗？那么也就是说不等式的计算，我们可以直接通过函数图像去看出来啊。所以你看他说当这个图像上的点的横坐标 重坐标大于零的时候，这个点是在 x 轴上方的，跟我这里讲的是一样的，并且它的横坐标大于零点五，在 x 轴上方这条直线上所有点的横坐标，它对应下去 都是在零点五的右边，那么也就是说大于零点五吧，也就是说函数值大于零的时候， x 的 取之范围是 x 大 于零点五，那么你就可以直接通过函数图像求出了不等式的解， 就这个意思，明白了吗？你再看当函数图像上点的纵坐标小于零的时候，那在哪里啊？ 重坐标小于零，那么在 x 轴上方的重坐标都是大于零的，在 x 轴下方这个图像上所有的点的重坐标都是对应负数的，也就对应小于零， 所以它是在这个点是在 x 轴下方的，那么它的横坐标小于零点五，为什么呢？你看这个上面所有的点，我们描出几个点来， 它这些点对应的横坐标是不是都在这个零点五的左边？在零点五左边是不是小于零点五？所以这个函数值小于零的时候， x 的 曲子范围就怎么样， 就是小于零点五的。由此我们可以得出，不等式的这个二 x 减一大于零的解集是 x 大 于零点五，二 x 减一小于零的解集是 x 小 于零点五，这个我们都是可以直接通过图像判断出来的， 知道吧？那么以后我们怎么去判断呢？你看一下我这里呢，换一个普通一点的图啊， 那实际上它可以，它不仅仅只是算 x 大 于零的，它还可以算 x 大 于一大于二大于三的，知道吧？你只需要知道它的什么，你只需要知道它对应的重横坐标是多少就可以了。比如说我这里它这个焦点， 假如说这个焦点对应的是 m， 这条直线是 y 等于 k x 加 b， 那 么我就可以通过这个图像得到 k x 加 b 啊。这个 k x 加 b 如果是大于零的话，那么它就在 x 轴的上方取点，而这些点的横坐标都是在 m 的 右边的，所以我们就可以得到这个 x 是 大于 m 的。 然后呢，如果你要让这个 k x 加 b 小 于零的话，你要让这个 k x 加 b 小 于零的话， 那么这个小于零，也就是 y 小 于零，明白吗？你看这个 k x 加 b 是 等于 y 的， 那么 k x 加 b 大 于零就是 y 大 于零， y 大 于零就是重坐标大于零，这个点的重坐标大于零，那就在 x 的 上方， 这是一连串起来的啊，要连串起来。然后呢，这个 k x 加 b 小 于零， k x 加 b 是 等于 y 的， 所以意味着就是 y 小 于零， y 小 于零就是它的重坐标小于零，而点的重坐标小于零，必须在 x 轴的下方，而下方这些图像上的所有点的 横坐标对应下来都是比 m 小 的，它对应的就是 x 小 于 m， 这就它的解 明白了吗？我们很多时候他算题目的时候，他不会很准确的告诉你这个 k b 值是多少呢？他甚至会隐藏起来，知道吧？所以你一定要会看图。那当然了，你刚我刚刚说它不仅仅只限于大于零和小于零，那如果说具是具体的一个数字呢？我这里再举个例子， 我这里再举一个例子，我画一个反方向的，好吧？我画一个反方向的，比如说这个图像长这样啊？我这里不告诉你与 x 轴的交点，我告诉你的是它这里有一个点， 它这里有个点，它的这个这个点的坐标明确告诉你，就是多少呢？就是 负二五，好吧？这个点的坐标就是负二五，这条直线还是 y 等于 k x 加 b， 那 这个时候它不比较，它不跟零做比较，它不跟零做比较，因为我这里根本就没有画出 y 值来，对不对？好，我这里也没有画出 y 的 这个 y 轴来 好。跟零做比较的话，其实就是看是在 x 轴上方还是在 x 轴下方，因为在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零。那么现在我要比较的是这个 k x 加 b 大 于五和 k x 加 b 小 于五的时候，它的解是多少？ 那 kb 值都没告诉你了，对不对？好，那么这个时候它大于五，这个点，它的重坐标就是五，那要比五还要大，它的重坐标比五还要大，那在哪里？就是在这个点的上方， 那什么上方？你这里做一条水平线，在这条水平线的上方，那是不是这一段，而这一段上面所有点的什么 横坐标对应下来，那他这个这个点对应下来的坐标就是负二，而上面这一段所有点的横坐标对应下来都是比负二小的，所以我们这里可以推出这个 x 小 于负二， 当这个 k x 加 b 大 于五的时候，这个 x 小 于负二，因为在图像上看到的是在这个点的上方，这里所有的图像的横坐标对应下来都比这个负二要小， 明白了吗？那这个 k x 加 b 要小于五的话，那小于五，这个是五，对不对？比五还要小，就在这个水平线的下面，而下面的图像上所有的点， 它的横坐标对应的怎么样都比这个负二还要大，所以它对应的就是 x 大 于负二。 好了，那么这个呢，就是给大家拓展出来的内容，不要只盯着和 x 轴的比较啊，就是和零的比较，因为它不仅仅只考零，它还可能考其他的数字，你要灵活变通，你再来看下下它下面这段话，他说 对于可以化成 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零的一元一次不等式，在求它的解集的时候，从函数只考虑，当 相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 值大于零或小于零的时候，求自变量 x 的 取的范围，从函数的图像考虑，那么相当于已知直线 y 等于 a， x 加 b 啊，相当于就是这条直线。确定这条直线上的点的横坐标大于零或小于零的时候， 他的重坐标大于零或小于零的时候，他的横坐标的取值范围他的重坐标大于零，那就在 x 轴的上方，在这个 x 轴的上方，小于零的时候就在 x 轴的下方，对吧？重坐标大于零嘛，那就说明在对应的是 y 轴的正半轴， 对吧？小于零的时候，对应的就是 y 轴的负半轴，就这个意思，那么再看他的横坐标的取值范围就 ok 了，那这个就是呢，依次函数和一元一次不等式的关系， 最后再来研究一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的关系。先看二元一次方程， 这里给我们举了一个具体的例子，还是刚才那个 y 等于二， x 减一这个函数，它说方程二 x 减 y 等于一，是可以转换为 y 等于二， x 减一的， 怎么转换呢？就是移项嘛，把这个减 y 移过来，一移到右左边去，它就变成了二 x 减一等于 y， 然后左右交换位置，就可以写成函数形式啊。这里呢，他也说了，这种形式是可以对应依次函数 y 等于二， x 减一的，对不对？ 这个方程和这个方程它是有相同的解的，所以这就是为什么二元一次方程可以转换成一次函数的形式，而一次函数的计算也可以看作是二元一次方程的计算，明白吗？好，那么由于一次函数 y 等于二， x 减一，它的图像 是一条直线，这条直线上的每一个点的坐标 x， y 都是这个方程的解啊。以这个方程的解的 x， y 的 值作为一个坐标的点的话，那么这个点都一定会在这条直线上，都会在这个 依次函数的图像上。那你拿这个来看，刚才那个是二 x 减 y 是 等于一的，对不对？好，我们把它转换成 y 等于二， x 减一，那么你从图像上至少可以看出有两个点， 这个点它坐标是零点五零，这个点坐标是零负一，那么这个东西它就可以看出有两个减，一个减是 x 等于零点五， y 等于零。然后另外一个解就是 x 等于零， y 等于负一，看到没有这个点，这个直线上任意一个点的横中坐标都可以当做这个方程的解，因为这个是二元一次方程，所以它是有无数个解的， 那么也就对应了这条直线上有无数个点都可以作为他的解，就这个意思，所以以后你再看到这种二元一次方程，你就可以把它转换成一次函数，对吧？或者通过一次函数的图像去求二元一次方程的解，对不对？好， 继续来看，由于每个函数 x 和 y 的 二元一次方程都可以转换成依次函数的形式，所以每一个这样的方程都对应一个依次函数，于是也对应一条直线。而这条直线上的每一个点的坐标 x、 y， 它的值都可以作为这个方程的解，以这个方程的解， x、 y 的 值为坐标的点也都在这条直线上，所以它们是相互的， 知道吧？好，这里再来思考，他对于二元一次方程组的话，你能从函数的角度去解这个 方程组进行解释吗？啊？对这个解这个方程组进行解释吗？你看这里给了两个二元一次方程，他把它放在一起就是二元一次方程组，对不对？而前面这个我们是可以直接通过书的这个图看出结果的， 而这个呢？啊，他这里也画了，看到没有？他这里直接给我们画出来了，他把下面这个方程也转换成了一次函数的形式，我们转一下，好吧。啊，你先把这个三 x 移到右边去，变成五 y 等于负三 x 加八， 一开始呢是八减三 x， 对 吧？两边同时除以五 y 等于五分之八，减去五分之三 x， 再交换位置等于负的五分之三 x 加上五分之八，你看就转换成了一次函数的形式吧。 这个图呢啊，我们自己做题的话，肯定要自己画，但是书上已经给我们画好了，我们就不用画了，对不对？他把这两个函数的图像画在一起了，看到没有？这两个函数图像它有焦点，这个焦点就是这个 p 点， p 点的横中坐标都是一，那什么意思啊？ 你看这个方程的解，在这条直线上，这条直线上的任意一个点都是这个方程的解，而这个方程的解 在这条直线上，这个直线上的任意一点都可以作为这个方程的解。那么那哪个点可以同时满足这两个方程呢？哎，那就找他们的焦点，对不对？这个焦点就是他们的公共点。什么叫公共点？ 既在 y 等于二， x 减一这个函数图像上，也在 y 等于五分之三， x 加五分之八这个函数图像上，它满足它同时在这两条直线上，对不对？那就可以满足这个方程， 这个焦点既是这个方程的解，又是这个方程的解。好了，那么这个 p 点的很重要，就是这两个方程共同的解，那既然是它的共同解，那就这个方程组的解，就这个意思。所以你要解二元一次方程组， 那么你就把这两个画成图像，找他们的焦点就可以了，知道吗？所以呢， 这两条直线的焦点坐标为一，一，由此可以得到，这个方程组的解就是 x 等于 y 等于一，这个就是一次函数和二元一次方程组的关系。 这里书上也做了总结，它是一般的由含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组组成的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数呐， 方程组里面有两个方程，这两个方程对应两个一次函数，把它图像画出来对不对？好， 于是也对应两条直线，从数的角度来看，解这个样的一个方程组相当于求自变量，也就是 x 为和值的时候对应的两个函数值，函数的值啊，这个自变量对应的就是 x 这个函数的值，两个函数的值就是 y， 就是 说什么时候 x 相等，而 y 也相等，那不就是它们的解吗？对不对？ 以及这个函数值是和值，从形的角度来看，就是从图形的角度来看，解这样的一个方程组，相当于确定两条直线焦点的坐标是多少，哎，就可以了。 再来看书上的立体，同时释放两个探测气球，一号气球从距离地面五米的高处出发，以每秒一米的速度上升。二号气球从距离地面十五米的高处出发， 以每秒零点五米的速度上升。两个气球都上升了一分钟。第一问，叫我们求出 这个两个气球所在位置高度 y， 关于上升时间 x 的 函数解析式，那这个还是比较好写的，对不对啊？那么这里的话呢，先看第一号气球， 它距离地面一开始是五米，然后一米每秒的速度上升，那么一开始就是五米，一米每秒，那就是一乘 x， 因为它的时间是 x， 单位是秒，对不对？所以是一 x 就是 x， 所以 它就可以写成 y， 一 等于 x 加五， 而这个 x 的 曲值范围呢，是小于等于六，是大于等于零的，因为它只说了上升一分钟，对吧？好。第二个 y 二， 他是从距离地面十五米的高处出发的，所以一开始就有十五米的高度，然后每秒上升零点五米，那就零点五 x， 所以 这个 y 二就等于零点五 x 加上十五，然后他的曲子范围 也是零到六十秒之间，对吧？第一位就搞定了。那第二个，他说两个气球在某一个时刻 是能否位于同一个高度？如果能，这两个气球上升了多长时间，位于什么样的高度？那这个东西呢？你就可以把它列成一个方程组了，因为因为你看对应的 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五，对不对？好， 那什么意思呢？他既然说了位于同一个高度，那么对应的就是什么意思啊？对应就是 y 相等，他的高度就是 y 嘛，对不对？他说了高度用字母 y 表示，那同一高度，那不就是 y 相等吗？那 y 相等的时候 对不对？他说这个时上在同一时间，注意某一个时刻，在某一时刻，也就是说 x 相等时间，他不会。因为什么这个两个物体不同的情况下，他就不一样嘛，对不对？因为他这里说的是 同时释放，所以他的时间经过是一样的啊，所以 x 相等， 他既然是同时释放，那就不可能说，哎，他飞了五秒，而他只飞了三秒，不可能吧？时间都是一样的，对不对？你不可能，你的时间比别人过得快， 对吧？大家过的时间都是一样的啊，你过了一天，他也过了一天，就这个意思。所以在某一个时刻能否位于同一高度？但位于同一高度就是 y 相等，在某个时刻就是 x 相等，那那么过的时间是一样的，它同时啊， 是不是所以 x 相等， y 相等嘛？那不就是把这两个一次函数列在一起，当做 二元一次方程组去算吗？对不对？好，那么怎么去算呢？你看 y 相等，那既然这两个式子的 y 是 相等的，你就可以直接把这个 y 替换掉，把下面这个 y 替换成 x 加五，对吧？好， 你就直接把将 y 等于 x 加五带入到二十当中，这一十，这是二十，那就是 x 加五等于零点五， x 加上十五，一项， x 减零点五， x 等于十五减五， 那么零点五 x 就 等于十， x 就 等于零十除以零点五十除以零点五， x 就 等于二十，那么 y 是 等于二十加上五的，所以 y 就 等于二十五，这里算出来就是 x 等于二十， y 等于二十五，也就是说当时间 过了几秒啊，二十秒的时候 啊，两个气球位于同一高度，两个气球位于同一高度， 并且高度为 二十五米， 这就是第二本啊，当然了，书上呢，它也有完整的答案啊，并且呢，书上还把图画出来了，大家可以看一下它这个图可能会更好理解一点，我这里就是把它计算过程写得详细了一点，大家可以看一下， 好，你看对吧？在某一个时刻，两个气球在某时刻位于同一高度，就对应 x 的 某一个值， 这两个函数有相同的 y 值，那就可以列一个方程组了，他把图像画出来，一个从五米开始 放，一个是十五米开始放，对吧？他们的焦点呢，就这个 p 点，这个 p 点的横中坐标呢，就是二十和二十五，对应的就是 x 和 y， 值对应的就是二十和二十五，明白了吗？啊，所以你想要求这两个啊， 依次函数具有相同解的时候，其实就是求这两，就是看这两个依次函数的图像焦点在哪里就 ok 了。 好，再看。练习第一个画出依次函数 y 等于负二 x 加八的图像，利用这个图像去解方程和不等式 啊，我们先把它的图像画出来，我们一般画的呢，都是与 x 轴和 y 轴的交点，我们先画与 x 轴，那么如果你要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零， 因为与 x 轴上的与 x 轴的交点，它的重坐标都是零，当 y 等于零的时候，那么零就等于负二 x 加上八，那么二 x 就 等于八， x 就 等于四，所以它会过四零这个点。然后你要求与 y 轴的交点， 那你就让 x 等于零，因为在 y 轴上的点横坐标都等于零，那么你就当 x 等于零的时候， 那么 y 就 等于负二乘零再加八，那么 y 就 等于八，所以它就会 y 就 等于八，所以它就会过零八。这个点的话，画图一个是四零，一个是零八，这是 x 轴， 这个是 y 轴，那我这里就不画的那么细了，我们就画个大概。好吧，假如是这个就是四，这个就是八。好，我把这两个点一连， 这个点的坐标呢是零八，这个点的坐标是四零。 好，你要通过图像去看它的解，负二 x 加上八等于零，对不对？那对应的是不是就是它的 y 等于零呢？负二 x 加八等于零，那对应的 对应负二 x 加八啊，不对，是 y 等于负二 x 加八中 y 等于零的时候， 你把 y 换成了零，那不就是这个四字了吗？对不对？好，那么它对应的就是 x 是 等于四的，因为当 y 等于零的时候，它的横坐标是四，所以 x 等于四，这是由图可知啊。 由图可知好，然后呢？求这个。那么负二 x 加八大于零，那也就是对应的就是函数图像的重坐标大于零，对应的就是 y 大 于对应 y 等于负二， x 加八当中， y 大 于零的时候， 这个图像上的点的重坐标大于零，那不就在 x 轴的上方吗？在 x 轴上方，它这个上方的图像上的点横坐标对应的是不是都比四小啊？所以我们这里对应的就是 x 小 于四 啊， x 小 于四，然后再看负二 x 加八小于零的时候， 它对应的呢，就是 y 等于负二， x 加八当中的 y 小 于零的时候， y 小 于零，就是这个图像上点的重坐标小于零。重坐标小于零，说明在 x 轴的下方，因为下方的 图像上点对应的就是 y 轴上的负数，对吧？就是小于零的时候，那么对应横坐标呢？对应横坐标的话，就在这个四的右边，看到没有，所以 x 就 大于四就可以了。当然了，你说老师 我这个都能直接算出来，我为什么搞得这么麻烦啊？因为后面的题目它可能不会告诉你它的 k 值和 b 值是多少，知道吧？ 第二题，依次函数 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的图像，它的焦点坐标为二一，请确定方程组它的解和 x 的 值， 那么这两个函数它的焦点坐标是二一的话，那么你把这两个函数的解析式连立成一个方程组啊，那么这个二和一对应的就是 x 和 y 的 解，知道吧？我们用文字表示一下， 因为 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的焦点 为二一啊，焦点为二一，说明这个点既在前面这个函数解析式上，又在后面这个函数解析式上，对不对？函数图像上啊，所以把它们两个列成方程组，这个就是它的结。所以 y 等于二， x 减三和 y 等于 a， x 加二，它们的解就是， x 等于一， x 等于二， y 等于一。用文字描述一下，所以方程组 这个方程组的解 为， y 等于二， x 等于二， y 等于一，就这个意思。那么既然这个解是 x 等于二， y 等于一，那么也就是说，把这个解带进去算，就可以算出 a 值，对不对？满足这两个式子，所以将 x 等于二， y 等于一， 带入二十当中， 那么 y 换成一就是一， x 换成二就是二， a 加上二，一减二等于二， a 负一等于二， a 二， a 等于负一， a 就 等于负一，除以二等于负二分之一，所以 a 就 等于负二分之一，这个也算出来了。 好，再看第三题。刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游， 在假公司租车，那需要收取固定租金八十元，在此基础之上，再按每小时十四元去计费。如果你在乙公司租车的话，就不需要这个固定租金，只需要直接按每小时三十元收费就可以了。 那么当他将租车为多长时间的时候，租用假乙的这个算法，函数解析式表示出来。好吧， 好，首先是假公司，那假公司呢？他上来就要八十块钱，对不对？然后慢按每小时十四元去收费，那么加十四 x， 好， 这里我们写一下，设设一下啊，不能无中生有，设租用时间 为 x 小 时，租用费用， 租用总费用嘛，啊， 为 y 元，这样去表示就可以了。好，那么这个假的这个解析式就可以写成十四 x 加上八十，对吧？那么乙呢？ 它就是按什么？它就是按三十块钱一个小时算的，那么你经过了 x 小 时，那就是三十 x， 对 不对？就三十 x， 那 你 在什么时候，经过多长时间，他们的费用相同，那也就是说甲和乙相等吧，对不对？那你把它列成一个方程组求解就可以了。 y 等于十四 x 加八十，另外一个就是 y 等于三十 x， 对 不对？好，我把它算一下，因为这个 y 值是相等的，费用相同， 那么左边的 y 相等，那右边是不是也相等呢？当然你直接把这个 y 等于十四 x 加八十带入下面这个式子也是一个意思，对不对？好， 那么 y 相等的话，那么这个右边就相等，十四 x 加上八十等于三十 x 到一项十四 x 减三十， x 等于负八十，那么就等于负十六， x 等于负八十 x 就 等于负八十，除以负十六， 然后算出来 x 就 等于五，对吧？所以经过五小时之后啊，如果他租用的时间为五小时，那么你选择假公司和乙公司都是一样的，对吧？所以我们就答 这里也没有叫我们求出这个 y 值啊，你想要求出这个 y 的 费用也很简单，你拿三十乘上五就可以了， y 就 等于一百五十六，对不对？你如果要用这个式子去算的话，那就是 y 等于十四乘上五加八十，十四乘五等于七十，七十加八十也是等于一百五的，当然了，这里不需要我们求 y 值，知道吧？答，租车时间 为五小时的时候， 五小时租用甲乙两个公司 汽车费用相同。
2591毕老师细讲数学
03:11查看AI文稿AI文稿要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课。来看这道题，已知一次，函数 y 等于二， m 加三， x 加 m 减一。 第一问，若该函数的值 y 随自变量 x 的 增大而减小，求 m 的 取值范围。好，这道题我们来解一下。 那它的一般形式是， y 等于 k， x 加 b。 如果如题中所说， y 随 x 增大而减小，则让 k 小于零，即这道题里面的 k 就是 二 m 加三，让二， m 加三小于零，求得 m 小 于负二分之三。 由于这道题跟 b 没有关系，所以 m 减一我们不需要问，所以这道题最终结果是 m 小 于负二分之三。 第二问，若该函数图像不经过第二象限，求 m 的 取值范围。好，我们先画个图， 第二象限在这个部分，如果这个函数不经过第二象限，我们的画法看一下。 也就是说，我们画的所有的图像，这个 k 应该是大于零的，即这道题里面的二 m 加三大于零， 那求得 m 大 于负二分之三。好，这是我们关于 k 的 求解。那想想，如果 b 这一点，或者说 y 等于 k， x 加 b， 我 们都知道它与 y 轴的交点是零。 b 如果 b 大 于零的话，它就会经过外轴的正半轴，而一旦经过外轴的正半轴，这个图像一定就会经过第二象限。你看一下，所以说我们让 b 干嘛 小于等于零，那在这道题里面， m 减一就是 b， 所以 让 m 减一，小于等于零，我们求得 m 小 于等于一。好， 那综合来看， m 最终的取值范围就是小于等于一大于负二分之三，那这道题我们就求出来了。
02:35查看AI文稿AI文稿我们来学习一下依次函数这一张的应用题，考察的一个方案选择的问题啊。这是一个购物的场景，购买乒乓球拍送乒乓球的这样一个背景。 第一问呢，它让我们来解的是购买乒乓球 x 和这个 x 是 不少于四和，也就是大于等于四，这是前提对应的甲店的付款金额，外甲和外移对应的，还有提示 我们看外甲甲呢，他是买一副球拍送一盒乒乓球，那球拍的价格呢？是三十，他需要四副，再加上购买乒乓球呢，是需要的是 x 减去四，因为他已经赠送了咱们四盒，是吧？这样一个写法，所以很容易得到。外甲是等于五， x 加上一百二减二十是一百，这是我们第一个假的函数解析式，当然我们可以写出它的指数范围， x 是 大于等于四，那 y 呢？它是打九折，所以是三十乘以四加上 y x， 然后乘以零点九打九折，所以我们可以可以求出 y， 它是 四点五， x 加上一百零八，它也是大于等于四的。这第一小份我们求出了外加和 y e， 这个乘以是。然后第二份他们买几盒付款是一样的，这个也比较简单，我们让外加等于外 e 即可，可以算出来是五 x 加一百等于四点五， x 加一百零八， 这样解出来 x 等于十六，所以这个写答就可以了，购买十六和乒乓球的时候呢，两家的付款金额相同的 啊。第三问，他问的是如何购买苹果的数量，选择哪一家啊？根据数量来选择的话，这个我们分三种情况的。 第一种是当这个假的呢，它的费用是小于一的，也就是我们选择在假商店去购买的时候，它的费用低的时候，那么对应的解式是五 x 加一百小于四点五 x 加一百零八。这个其实很容易解出 x 是 小于十六的。 第二种呢，我们再写外加等于外一，但是由于前边已经写过了，我们直接写外加大于外一就可以了。 如果前面没有第二分呢？我们这个要写成外加等于外的情况，那也是五 x 加上一百大于四点，五 x 加上一百零八，当然这个是 x 大 于十六。 好，最后在总结的时候要写清楚，当 x 大 于等于四小于十六时，我们选择的是假商店， x 等于十六时呢？假乙一样， x 大 于十六时呢？我们选择乙商店就可以了。 所以这是方案选择问题的答题的一个基本的格式。我们在做第最后一本书，尤其要注意他问你选择哪家店的时候，我们一定要根据不等式来进行细致的分析，不能冲动的只答选某个店，而是根据平方计算的数量不同，选择店是不一样的。
39乐其数学
00:57查看AI文稿AI文稿八年级下册一次喊诵专项特训，重点突破。首先以思维导图的形式，帮助学生梳理单元知识框架，搭建知识脉络。 翻过来就到了我们的知识点讲解环节，知识点划分详细，逐一解读，包括定义概念、核心考点提炼，助力学生吃透知识点。 接着就是我们的学练结合环节，给出考点指导，解析思路，分析解析过程，举一反三，巩固提升。 最后就是我们的专项练习，针对前面讲解的知识点，精选多种常见的典型例题，举一反三，强化提升。 本书五十二页，一本，纸张厚实，印刷清晰，正规出版出版，助力学生吃透一次函数相关知识点。
02:20查看AI文稿AI文稿这是我们去年期末新考的一次函数与不等式组的结合，它和以往有点不一样，以往呢，就是给到两条函数，求的是两个函数之间的代数关系，而这一次呢，它是两条函数，求两个不等式的关系。 那这样的题目呢，实际上啊，也是换汤不换药，我们来看一下啊，今天通过两步轻松解决它，它都给到了两个焦点，一个 a 是 负三六零， b 呢是一六零，而且呢，两条函数， y 等于 x 加 b， y 等于 mx 加上 n， 要求这个一个大于零，一个大于零的剪辑就是 x 的 范围。那怎么办啊？很简单，我们首先第一步啊，这种题呢，就分别的去看图，求范围可怎么办呢？我们先看第一个 a， x 加 b 大 于零，也就是说我这个 y 啊，比如说我这 y 一 吧， y 一 大于零的时候，那么说 y 大 于零，小于零的时候，我们先找到 y 等于零的时候在哪里啊啊？ y 等于 x 加 b， 是 这一条，那么找到这个地方，这个地方 y 等于零嘛，大于就往上面走嘛，对吧，上大下小嘛。哎，符合要求的就是这一段啊，我们可以画条竖线在 a 点这个地方啊， 那我们这一条函数上，这个不等式啊，对应的 x 在 哪个范围呢？一开始是负三，那右边符合要求就是往右边走的，所以 x 要怎么样呢？大于负三，这个是我们第一个不等式的解集，我们再看第二个，而第二个我们把它划掉啊，第二个呢，这里是一到零， 他说这个 mx 加大于等于零，那就是 y 二啊，也就是说 y 二大于等于零，这我们是 y 二。标记一下啊，先找到等于零的地方，就是 b 点这个位置画一条竖线， 那么大于就往上走，上大下小。哎，左边相对于说我这条线的左边符合要求，那么 x 呢？是从一出发也要往左边走，那这个时候我们的范围就是多少呢？ x 小 于等于一，因为有等号，保持一致。 好，那这个时候我们再来看啊，把这两个解集啊，再来取公共解就可以了。那这个地方口诀啊，大小小大中间找啊啊，大小小大中间找 啊，就是比小的这个要大，比大的数要小，取中间，那就是 x 大 于负三，小于等于一就可以了。
58粤数
03:32查看AI文稿AI文稿我们来分析一个利用一次函数解决实际问题的经典例题。某玉米种子的价格是四十元每千克，若一次购买不超过两千克的种子，其价格不变。一次购买超过两千克的种子，超过部分打六折。第一本写出付款金额关于购买量的函数关系式，并画出函数图像。 那我们解决这个题的时候，先把这两个变量给设出来，设付款金额为外元，因为它是相当于我们函数的一变量。关于购买量呢，那就是再设出 购买量为 x 千克这两个变量，我们把它给找出来。然后根据题意呢，首先分为两类，第一类呢，当这个 x 小 于等于二十 y 呢，是等于四十 x 的。 当 x 大 于二十， 首先前两千克呢，还是价格不变？后边的 x 减二超过部分是打了六折，打六折，也就是四十乘以零点六。好，我们稍微化简一下。 然后后边是二十四 x 减去二十四乘二是四十八，最终 y 是 等于二十四 x 加上三十二的。 好，我们第一位呢，给它整理一下，写成一个分段函数的表达， y 是 等于四十 x 的， 后面备注一下， x 的 系数范围大于等于零，小于等于二。还有一个是二十四 x 加上三十二 x 是 大于二的啊，我们以这样一个总结的形式把它总结出来，那还得画出函数图像， 正常的我们还是要列表描点连线，我在列表的时候发现啊，就是首先第一段是一个正比函数， 所以我们可以选择过圆点，再借助一个关键拐点，也就这里是二，在零和二之间呢，它的纵坐标。我们可以选一部分数据，比如说四十八十 啊，因为我们知道一对的这个点是四十二呢，对的是八十。第一段函数这个正比函数一部分，我们把它画出来，在大于二的时候呢，我们也是呃，从这个位置，因为这个大于二，我们可以找到三和以及四这些点去找一下，我们找到三，我们看一下啊，三对的值是 二十四乘以三，再加上三十二，三四一十二，二三得六七十二，加上三十二是一百零四，对吧？这个下面我们就可能搞到了，这个一百二，一百零四呢，可能比它稍微低一点， 在这个位置好，也就第二个第二个图像这样子，那我们第一个图像呢，旁边的标注一下， y 等于四十 x， 第二个图像是 y 等于二十四 x 加三十二，这就是整个它的函数图像。 那第二问，购买四千克玉米种子，那我们知道四首先是大于二的，所以我们要带入第二段函数图像上，也就是当 x 等四时，我们把它带入到第二段， y 等于二十四乘四，加上三十二，算出这段结果是一百二十八。 那最后再总结一下，再答一下，就是一次性购买四千克玉米种子呢，需要一百二十八元就可以了 啊。整个题目呢告诉我们一个道理，也就是我们在做这个题目的时候，首先要知道分段的那个关键的数据，就是字面量在哪个位置，以此为界限，我们来画出对应的图像。
18乐其数学
01:35查看AI文稿AI文稿这是一道让很多同学都无从下手的繁琐亚洲题，甚至得分率不到百分之十，大多数同学拿到这道题 都是懵的，无论可以取何指示，都过一个定点。那我们是不是想到了在七年级时候我们学过的，无论可以取何指示，无论参数取何指示，与这个参数的取值无关。这个题，那么解决思路， 那就是让它的系数等于多少？它的系数等于零。好，那这样呢，我们有了这个思路，这道题呢就可以进行解决了。好，我们给这个式子进行一个变形， 先去括号，接下来我们就把含有 k 的 放在一起，就可以写成，二， x 减 y 减一，括号乘以 k， 然后再减 x 减三， y 加十一等于零， 那与 k 的 取值无关。我们就让 k 的 系数等于零，也就是二 x 减 y 减一等于零。 好，那 k 的 系数等于零了， k 乘零等于零，那后面这一部分负 x 减三， y 加十一，是不是也是等于零的？这样等式才成立。好，我们解关于 x 和 y 的 二零一次方程呢，我们能够得到 x 等于 y 是 等于 三的，那这样呢，我们就能够证明这个意思，函数能够横过一个定点二，逗号三，那和 k 的 取值无关，这道题呢，就证明完成了。好，喜欢的朋友关注点赞也可以在评论区交流讨论，看看你有没有更好更简洁的思路方法。
64数学张老师
00:20查看AI文稿AI文稿八下数学重难点，一次函数八大题型专练题型一，一次函数与三角形的面积综合题型二，一次函数与全等三角形题型三，一次函数与等腰三角形 有完整空白版，附带详细解析打印，给孩子练会吃透，考试遇到同类型也能快速理解思路，高分功课宝籁。
03:36查看AI文稿AI文稿某学校在计划总费用不超过两千三百元的情况下，租用客车送这么多学生和老师呢，去完成活动，现在要求每辆客车上至少有一名教师，然后载客量以及租金。那第一问到的是共需要租多少辆客车？ 首先这里边体现了一些数据呢，都是不等式关系，什么不超过是吧至少，所以咱们先第一问解决的时候呢，就利用不等式来解决。呃，设共需要租 x 辆客车， 那么首先满足不等式要求就是每辆客车至少一名老师，所以这个客车的总数量呢，肯定是小于等于六的，因为只有六个老师。然后载客量这一块加客车呢，载客量比较高的，四十五乘以它这个总量数，它应该是大于等于总人数的，也就是二百三十四加六是二百四十。 我们通过这个不等式组来解出 x 的 值范围大于等于五六三分之一，小于等于六的，在这里 x 呢肯定是取整数， 所以我们就能够锁定这个 x 呢， x 只能等于六，再打一下就行了，共有六辆啊，主要一个这个不是咱们常规的方程来解决的，是一个不等式来锁定这个整数解的问题。 然后第二个是给出最省钱的租车方案，我们首先要分析有哪些租车方案了，这里还有一个要求就是总费用它是不超过两千三百元的，那这里再重新设计一下是假呢，这个车呢有 m 辆， 那乙对应的就是六减 m 量。好，那我们在这里呢列出它的这个不等式的一个 m 的 距离范围。首先还是载客量，四十五 m 加上三十乘以六减 m， 它应该是大于等于二百四十的， 然后呢，费用四百 m 加上二百八十六减 m， 它是小于等于两千三百的 啊。我们解这个不等式组呢，解出来 m 是 大于等于四，小于等于五又六分之一啊。我一直在这里写的是一个代分数，目标是看出整数。解啊，因为 m 也取整数， 所以 m 可以 取呢，是四或五。然后分析哪一种更省钱呢？我们第一种方法是可以把这个具体的甲四辆，那乙就是两辆，甲是五辆，乙就是一辆，分别带你求出两种租车的费用。 然后比较一下啊，因为我们学了一次函数呢，这个时候我们可以把这个费用设出来，假如 w 圆，我们再结合一个一次函数来分析一下，最后的费用其实是四百 m 加上二百八十六减 m， 这个结果最后换的结果是一百二十 m 加上一六八零。 然后我们要选择最优的最省钱的方案，就先分析这个函数的增减性，一百二十是大于零的，所以 w 随 m 的 增大而增大 这句话非常重要啊。所以当 m 取它的最小值的时候，它的费用是最低的，最小值是等于四的时候， w 是 由最小值而等于二一六零元， 所以给出最优惠的最省钱的注册方案的时候，就是这个时候，我们再把六减四等于二算出来，是吧？这是以车的量数最后写答就行了。 总结一下，应该假四辆，以呢两辆，对吧？两辆最优惠的最省钱的方案就是这样的，然后费用是二一六零元就可以了啊，这是结合了不等式这个取舍的一个分析，也是我们中考挺常考的一类题型了。
97乐其数学
02:34查看AI文稿AI文稿这道题太难了，当时这道题出现在中考当中，咱们不少同学就栽跟头了，不知道怎么做辅助线，不知道从何入手。 如果咱们孩子啊，去做这种一次函数和几何综合的问题，经常没有思路，家长们一定要带着孩子分题型，学方法。老师呢，也给大家把一次函数这里常考的题型都做了一个系统的总结，只有咱们把每一类题目都题型化，固定出来方法步骤，咱们才能预在 题目的时候能够举一反三。下面呢，咱们就来一起看看这道题。这道题啊，说一次函数，它的图像啊，给了你交 x 轴， y 轴与 a、 b 两点解析式给你了，那 a、 b 两点的坐标其实也已知了 a 点，那它对应不就是二分之一零吗？ b 点不就是零负一吗？好了，继续我们来看，说把这个直线啊，绕着点 b， 顺时针旋方向旋转四十五度。现在说问你 b、 c 的 表达式是多少？ 想要知道 b、 c 的 表达式已知一点 b 了，还差一点，我得求出任意在线上一点的坐标。哎， 这个时候用待定系数法才能求出解析式。那怎么求这个坐标呢？你看，这道题入手的关键点就在于这个四十五度，看到四十五度，你想啥？ 对了，看到四十五度，我想构造直角三角形啊，来，继续看这道题，这已经有一个坐标系的直角了，那四十五度这个直角我们该怎么构造啊？ 对了，在这我做一条线，他和 ab 是 垂直的，然后垂直在过去，这出现了什么模型？ 对了，出现了三垂直模型，因为一条线穿了一个垂直，两个垂直，三个垂直，这不就是一线三垂直吗？那左右两边这两个三角形一定是全等的呀？两个三角形全等，对应边角 是不是都是相等的？这一段是二分之一，那这一段是不是也是二分之一？说明点 f 这一点的纵坐标就是 负的二分之一，它在第四象限吗？那横坐标怎么求啊？哎，那我们就求一下这段是多少吧。这段和这段的长度相等，这是一，那这段的长度也得是一，对不对？那这是一，这是二分之一，横坐标不就是二分之三吗？ 所以点 f 正好在这个直线 bc 上，我们想要求 bc 的 解析式，带入 b 点和 f 点两点带定系数法就可以求出来。那求出来 bc 的 解析式就是 y 等于三分之一， x 减一了。
618依依老师da数学
13:52查看AI文稿AI文稿好，再来看实际问题与一次函数，生活当中也是有很多一次函数类型的问题，那么我们做题应该按照什么顺序呢？你要先将实际问题抽象为一次函数的问题，再把这个一次函数的解析式求出来， 结合图像就可以分析并且解决问题了。来看到这个例题，它的某玉米种子的价格为每千克的种子，那么它的价格是不变的， 如果你一次性购买超过两千克的种子，那么超过的部分他的价格就给你打六折。 他的问题是这样的，写出付款金额，关于购买量的函数解析式，并且画出函数图像，这个呢，书上有答案，我们就直接来看，对吧？因为他是超过两千克价格，就会有另外一种算法，所以呢， 你看他的图像在二之前和二之后是不是长得不一样啊？对不对？好，那么怎么去画这个图像，怎么去算这个解析式呢？那么这个直接从实际问题出发， 前面的两千克对不对？每千克四十元，你现在把这个数量，咱们把它当做 x， 把它的价格当做 y， 对 吧？那么总价格就等于数量乘以单价就是四十乘上 x， 所以 在两千克之前就是 y 等于四十 x， 那写出来了，对吧？注意他的 x 取值范围必须是零到二之间，那么如果说超过两千克呢？怎么算呢？哎，前两千克你超过了两千克，那么前面的两千克你还是按四十块钱每千克去算的， 那超过的部分呢？我们把这个数量当做 x， 超过两千克的部分，你就用这个数量减去两千克，那么 x 减二就是超过两千克的部分，然后超过两千克的部分干嘛呢？单价打六折，四十块钱打六折多少钱呢？ 是不是二十四块钱，所以超过的部分按二十四块钱去算，那么他这个式子就可以写成， y 等于四十乘二，加上二十四乘上 x 减二，对不对？这个二十四怎么来的呢？我们这里写一下，二十四就是四十块钱打六折 等于二十四元，这个二十四元是这么算出来的，对吧？然后你再把这个解析式化简一下， y 等于四十乘上二，加上二十四，乘上 x 减二，那么 y 就 等于八十加上二十四， x 减去四十八，那么这个 y 就 等于二十四， x 加上八十减四十八等于三十二，跟我们书上写的是一样的， 那么你可以分类讨论，那么书上的话，他这里是分类讨论的，去写这两个解析式，那么我们也可以写成分段函数的形式。那么像这里你把这两个结果写在一块，这个就叫分段函数。 分哪两段呢？是 x 在 零到二之间和 x 大 于二的时候，分这两段去写，知道吗？可以写成这种形式，但是注意一定要把它的什么取值范围写清楚，然后第二问他说，如果一次性购买四千克的玉米种子需要付多少钱？ 那么四千克有没有超过两千克呀？超过了，超过了两千克呢？我们就选择第二种方案，那么第二种方案的话，你就把这个 y 带进去， 那么 x 换成四，那么就是等于二十四乘上四，加上三十二，等于一百二十八元，所以一次性买四千克种子就需要付一百二十八元，就是这个意思。 好了，那么他这里呢，其实还叫我们画图像呢，图像我们没算，对不对？他是直接给我们画出来了，那我们怎么办呢？我们就画这个图像的话，你就 把它当做 x 等于零的时候啊，和 x 怎么样？等于二的时候，这里正好是它的两个端点嘛，对不对？好，我们算一下，这里也写一下，好吧，我们把它计算写出来，好，这里我把它擦掉啊， 这个 y 等于四十 x， x 小 于等于二大于等于零的，对不对？我们这里当 x 等于零，那么这个 y 也等于零，所以就会过零零这个点，然后当这个 x 等于二的时候， y 就 等于四乘二等于八十，所以它就会过 这个二八十这个点。那你看一下，他这里画出来两个点，是不是？第一个点就是零零，第二个点就是二八十啊，对不对？好，那么在第二段的话，你要去画，那么就要画大于二的部分，那大于二的部分的话，那你就让 x 等于二和 x 等于啊， x 等于三和四， 那么就写这个等于二十四， x 加上三十二，那么当这个 x 等于三的时候，那么这个 y 呢？就等于二十四乘上三，就加上三十二，二十四乘三等于七十二，再多写一步啊， 就等于七十二，加上三十二，它就等于一百零四，所以它就会过三一百零四这个点，然后当这个 x 等于四的时候， 他这里给我们算了，对不对？当 x 等于四的时候，这个 y 是 等于一百二十八的，所以他就会过四一百二十八这个点，那么这里呢，他是没有给我们把点画出来的，我们可以自己写一下，比如说这个三往上，对对齐之后 画一下虚线啊， 好，那么我们画出来的这个点，它就是三，一百零四啊，一百零四，然后的话还有四，假如说这里有个四，咱们也是往它往上对， 它的焦点呢？是超过了书上画的这个图的，那么这个点的坐标就是四，一百二十八，对吧？你把这两个点连接起来， 和这个点正好有交点，那么就把图像画出来了，当然你也可以把它的临界点算出来，虽然它这里说 x 要大于二，但是你可以把 x 等于二的时候带进去算一下，知道吧？ 画图的话呢，书上就是没有给这个过程，我就把这个过程补了一下，好吧，其他的都是 ok 的 啊，大家可以自己整体看一下， 再来看练习。第一个，一个实验室在零点到两点之间要保持二十摄氏度的恒温， 在两点到四点要匀速升温，并且是每小时升高五摄氏度， 写出实验室温度 t 关于时间小 t 的 函数解析式，并且画出函数图像，那么根据实际情况来算一下它的解析式。 首先第一个是零点到两点之间温度要保持在二十摄氏度，它是不变的，知道吗？所以我们这里有题可知， 这个 x 小 于等于二大于等于零的时候，对不对？ 这里用 t 啊，这里用 t， 时间是小 t 啊，这个 t 在 大于等于零和小于等于二的时候，那么他要保持二十摄氏度的恒温，那么这个温度 t 温度大， t 就 要等于 二十不变，知道吗？啊？这里我们写当 t 大 于等于零，小于等于二的时候，这个 t 等于二十是不变的，那么下面一个时间段就是两小时到四小时之间，那么当 时间大于等于二，小于等于四的时候，因为前面我们取了等号，我们后面这个二我们就不取等号了， 前面这个二我们取了等号，后面这个二我们就不取等号了。好吧，那么原本就是二十摄氏度的恒温，然后每小时上升五摄氏度，时间是 t 对 不对？好，那我们就用这个时间 t， 它就是本来有二十摄氏度的，然后 每小时上升五摄氏度，但是你不要直接乘 t， 为什么呢？因为前两个小时它是不升温的，所以你要乘上 t 减二，然后再化减，这个 t 就 等于二十，加上五， t 减去十， 那么 t 就 会等于五， t 加上十。好了，那我们就可以把这个写成分段函数的形式， t 就 等于二十，这个 t 是 在 二到零之间的时候，然后呢，第二段是五， t 加上十，这个时候 t 是 小于等于四，大于二的就 ok 了。好，这就是写成分段函数的形式，然后并且画出图像吗？他叫我们画出图像，对不对？那我们就算一下， 当 t 等于几的时候，算一下，当一等于零的时候，这大 t 等于二十，在这里算吧。 当 t 等于零的时候，这个大 t 等于二十，然后当 t 等于二的时候，大 t 也等于二十，当这个 t 等于三的时候， 这个 t 就 用第二段了，就是五乘三加十等于二十五，然后当这个 t 等于四的时候，大 t 就 等于五乘四加十，就等于三十摄氏度，那么这里对应的就是过 零二十这个点，二二十这个点，然后三二十五这个点，四三十这个点。现在来画图像， x， 哦，不是 x， 哦，是小题，大题，小题单位是时间大题的问，这个单位是奢侈度啊，这里是零，我们就写四个小时， 一二三四，然后这里呢是二十摄氏度，这里是十摄氏度，二十摄氏度， 这里还有一个三十摄氏度，中间卡一个二十五就可以了。好了，我们瞄点，首先是零二十这个点就是零二十，再看二二十，那么二二十就在这个位置，然后三二十五， 四三十 四个点描起来了，再把它连起来， 到这儿往上走。好，完事了。那前面这一段就是 t 等于二十的时候，后面这一段就是 t 等于五， t 加十的时候，那图像就给我们画出来了，那么这道题就搞定了。 再看第二个，某市出租车的收费方式是路程不超过三千米的，收费九元，超过三千米的部分呢，它就每千米收两元，即乘客乘坐出租车的路程为 x， 这个 x 呢会大于三千米， 并且乘车费用设为 y 元，叫我们求 y。 关于 x 的 函数解析式，我们先看第一个，这里也是一个分段函数，对不对？分 x 在 三之前，一个是 x 在 三之后，对吧？我们就写，当 x 小 于等于三，大于等于零的时候，就是不超过三千米的时候，对吧？那么这个固定收九块钱， y 就 等于五九。然后第二个，当 x 大 于三的时候，它的收费 前九块钱是不变的，这个九块钱是稳收的。然后超过三千米的部分呢，怎么表示呢？超过三千米的部分，你就用 x 减去三千米，这个时候每千米收两块钱， 乘上二，咱们化解一下， y 就 等于九加二， x 减六， y 就 等于二 x 加三，所以我们再把它写成分段函数的形式， y 就 等于 九，然后二 x 加三。第一段取的范围是 x 小 于等于三，大于等于零。第二段 是 x 大 于三的时候。好了，分段函数解析式咱们就写出来了。第二个，他说若有一位乘客付了二十三块钱的乘车费，那么他的乘车路程是多少？那就反过来去求了，对不对？就是当这个费用是二十三元的时候， 这个解析是用哪个呀？那肯定用这一个，因为二十三块钱是不是大于九块钱的，对不对？好，因为 二十三块钱大于九块钱，所以采取第二段，就是 y 等于二 x 加三的这个式子，把这个 y 替换掉，替换成二十三等于二十三。负二 x 等于负二十 x 就 等于负二十，除以负二 x 就 等于十，所以它的乘车路程为十千米 就 ok 了。
353毕老师细讲数学
04:38查看AI文稿AI文稿今天我们来继续探讨求斜率 k 的 范围，上期两个视频，我们研究了一次函数与焦点的问题，从而求他的斜率 k 的 范围。那在周末作业里面了，我们发现很多同学在求这个范围的时候，哎，他的核心思路 也是根据老师这个竖形结合找零件，然后第一步找出他的横过定点，然后第二步画图，第三步找零件直性好，一直到这个第三步啊，他这个 都完全没有问题。然后到了第四步，最终要确定这个 k 的 范围到底是选择 k 大 于等于 k 一 小于等于 k 二，还是选择 k 小 于等于 k 一 的部分，然后或者是 k 大 于等于 k 二的部分的时候，哎，很多同学出现了这样或者那样的错误， 到底是取中间还是取两边呢？其实它是有技巧的，我们来看，如果直线在旋转过程中，从一个边界到另一个边界没有出现过垂直于 x 轴的情况， 那么斜率范围就取这两个边界值中间的部分，也就是我们说的 k 要大于等于 k 一， 小于等于 k 二。那如果在直线旋转过程中， 经过了垂直于 x 轴的位置，那么斜率范围就取两个边界值两边的部分啊，两边的部分肯定是小于 小的，大于大的，也就是这样一个 k 一 在这里， k 二在这里，应该是这样或者是这样取等号的时候取到就是实心的点，是这样一个情况。那具体的我们看一下运用到例题里面是不是符合呢？来看这道例题， a 负二一 b 二三是平面直角坐标系中的两点，若一次函数 y 等于 k， x 减一的图像与 a b 有 交点啊？有交点，看一下。好，第一步我们来确定一下这个一次函数横过的定点，因为 y 等于 k， x 减一，对不对？然后我们来进行一个整理， k x 减一，减 y 等于零，然后令系数等于零，也就是 x 等于零 一减 y 等于负一，所以这个定点就是零负一这个点。 好，再来要让这个一次函数和这个线段有交点，我们找出它的两个零件部分，一个是过这个点，零负一和 a 点连接一条直线，然后呢，还有一个就是过这个零负一和我们 b 点连接一个直线。 那我们来看一下，从一号线到二号线这样一个状态里面，他们之间是不是都有交点的，对不对？而且在这个零负一旋转到大概是这个位置，也就是垂直于我们 x 轴的时候，就是他 这样一个旋转过程里面，他是有一个经过垂直于 x 轴的一个位置的，是不是？所以我们此时是选他边界值两边的部分，那我们把这个 a 带进去啊， a 负二，一在 y 等于 k， x 减一上代入，你说负二 k 减一等于一，负二 k 等于二， k 等于负一，然后再来当这个 b 点二三在 y 等于 k， x 减一上，也就是二 k 减一等于三， 然后呢，二 k 等于四， k 等于二。所以我们最终 总结这个范围的时候，取两边的部分就是小于等于负一大于等于二的部分，所以要让他俩有焦点，得 k 小 于等于负一或 k 大 于等于二，这样就解出来了，而不是像有些同学的答案是什么，哎，负一到二那就不对了啊。好，这就是我们今天增加的一个 焦点部分答题技巧的一个内容，我相信通过这个技巧大家在做题的时候会有很大的帮助。好，今天的视频我们就录到这里。
71会教数学的陈老师
