几何模型题型大全
一二三四五模型在近几年中考压轴中高频率的出现，包括去年中考也出现了，书上没有，学校老师也不教，但很多学霸都已经偷偷学会了，像这道求线断长的题目，常规方法十五分钟，一二三四五模型两分钟直接暴力秒杀。 今天老师用这一个视频一次性给你讲透一二三四五模型，学会后，考场遇到直接满分拿下来。看题 说，在正方形背景之下，给到正方形边长等于六， a e， 线段等于二，连接了 b e 之后，这里边点 f， 注意是线段 b e 的 中点啊，这是一个中点，接着有 f g 这条线段，还给到中间这个夹角，角 e f g 是 等于四十五度的，现在让我们求解的是这一小节线段 d g， 它的长度是多少？ 乍一看呢，题目非常的复杂，那从哪入手呢？说老师这里边正方形背景也没有看出什么我们经典的模型，但是这里头有个小小的突破口啊，就是这个 四十五度，对吧？我觉得那总是要和这个四十五度有一些密切的联系的，所以这里边就给大家补充一个经典的几何模型。一二三四五模型为什么起了这么一个奇怪的名字呢？和这五个数字相关，什么意思？先说结论啊， 如果我有角一角一的什么的，正切贪占特角一等于二分之一，接着我又有一个角是角二，并且我又知道啊，角二的正切贪占特角二是三分之一， 那这时候我一定有一个结论，就是角一加角二度数之和等于四十五度。 来看这里边出现的数字，你看二分之一有二三都凑齐了， 接着角一角二度数之合四十五度，你看最后那俩数，四五也凑齐了，这就是我们说的一二三四五模型。当然，模型从左往右， ok， 从右往左也是可以的。从右往左是什么意思？注意我这里边啊，给大家画三个圈，圈一，圈二，圈三， 已知一二两个条件得圈三可以，但如果我给到圈三这个条件，比如再加上一个圈二条件，哎，那我反推到圈一的结论也是 ok 的， 也就是三者之中已知其中两个条件，都能得到第三个作为结论。 那么已知这个模型之后，这道题我们是可以直接秒杀的。但是我再多说一句啊，说到一二三四五，很多同学都会诧异啊，说，老师这个模型是怎么证明的？那今天老师就用最简单的网格图中带大家稍稍来梳理验证一下这个事情。 那么在这样一个网格图中，每一个小格子它的长度是相同的，都是一个单位长度。那这时候啊，请看我黄颜色的这个角，就是我的角一 角一的正切是什么？在我黄色三角形中，对边比邻边角一的正切刚好是二分之一，对吧？一比二，那我再画一个角角二，他的正切呢，等于三分之一，我在角一的下方啊，共顶点出发，我再做出这样一个角二来， 粉色的这个角是角二角二的正切呢？粉色的这个直角三角形中，对边比上邻边，是不是一比三，角二正切等于三分之一？好，那此时能否得到角一加角二的和是等于四十五度呢？请大家跟我一起来观察一下啊， 如果这个点是 a 点，这个点是 b 点，这个点是 c 点的话，我把 bc 轻轻地给它连起来，大家来看啊，此时我能否在网格图中去求一下整个三角形 abc， 它的三边长呢？当然可以，对不对？这是一，这是二，所以 ab 边长是 根号五，这是一，这是二，所以 bc 边长是根号五，这是一，这是三，所以 a c 边长，根据勾股定律是根号十啊。所以根据勾股定律的逆定律，我知道了这个 ab 方， ab 方 加上了 bc 方，现在刚好是五加五等于十，刚好等于这个 a、 c 方，所以我就一定能够得到的是角 abc 等于九十度。勾股定律的逆定律，那也就得到了啊。此处是一个大直角 大直角，并且这两条直角边长度还相等，所以它一定是一个等腰直角三角形，因此角一角二度数之合确实等于 四十五度，证明得到了结论。这是我们网格图中来证明刚刚一二三四五模型的一个结论的思路。模型有了结论，咱也证明了。再来观察这个题目，出现了特殊角四十五度夹在正方形的内部中间的一个位置， 所以我如何来进行这样一个长度的计算呢？我能否通过已知四十五，把已知角一角二度数和的那两个和为四十五度的角给他找出来， 显然可以，对不对？正方形中，我们充分利用到对边互相平行，邻边互相垂直的这样的条件，所以我过点 f， 我 做水平和竖直方向的两条线，也就是过 f 向 c、 d 做垂啊，做垂，这里是 m， 再向 a、 d 做垂，这里是 n， 做垂之后，你看出现这两个小角角，这个是角一，这个是角二。请大家来观察角一的正切途中， tangent 角一应该等于多少？ 我说角一和这个角角三，它的度数一定是相等的数值，这两条线互相平行，同位角相等，对不对？那么角三呢？在大的直角三角形 a b e 之中，它的正切就是 a e， 比上 a b 也就是二，比上六，也就是三分之一。我还有一个条件啊，角一加上角二，度数之和显然是等于 四十五度的，对吧？因为总共啊，这里是一个九十度大直角呀！已知这两个条件，我就一定能够得到一个结论，叫做 tangent 角二，角二的正切一定等于二分之一啊！所以我在黄色阴影的这个直角三角形中， tangent 角二是不是 g m 比上这个 f m， f m 多长？注意，这有中点啊，所以 e n 是 二的一半，这节是一，那么 d e 呢？就是整个正方形边长， d n 呢，就是六，减一等于五， d e 就是 四，对吧？所以我的 d n 和 f m 相等都等于五，因此 g m 呢， 一比二，五的一半，二点五， d g 竖着这条线段六的一半，这是三，三减二点五，所以 d g 问号线段长等于零点五，长度 就求出来了。所以这道小题已知一二三四五。模型之后，你只需要简单的做垂，做垂之后，直角三角形中三角函数直接求得要求的 d g 线段长即可，你学会了吗？
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05:07查看AI文稿AI文稿好的，欢迎来到冰城老师中考数学三百六十五道几何题精讲系列课程，那这一题属于这个系列的第六十七题，也是我们第四个大专题胡不规模型的第二题啊。那有需要这本练习册的同学可以后台私信冰城老师，每一题都有配套的视频讲解以及详细的文字解析。好，我们一起来把题目读一下啊。那如图， 正方形 a、 b、 c、 d 的 边长已知是四点， e 呢，是 c、 d 上的一个定点，而且角 a、 b、 e 等于七十五度， a、 b、 e 等于七十五度，说明这个角等于三十度，对吧？上面角等于四十五度，那 p 是 对角线， b、 d 上的一个动点，则 ap 加二分之一 b p 的 最小值是多少？好 一个线段再加一个带系数的线段的最小值是多少？好一个线段再加一个带系数的一个形式啊，最基本的特征 啊，这种带系数带分数的啊。那我们第二步就来拆解一下这个后面带系数的这种情况的 值。好吧，我们之前讲了胡不归模型，它实际上就是变相的将军一马模型吧，只不过我们要对带系数带分数的这个线段进行处理。我们来研究一下啊，二分之一 b p， 对 吧？那我们是不是可以啊，在途中看到带有三十度角正好过 p 点啊，我们联想到是不是可以做一个垂直啊， 对吧？比如说啊，交于我们这个 h 点，那同学们，请问二分之一 b p 是 不是相当于啊？是 三十度所对应斜边对吧？正好是二分之一 b p 对 不对？那二分之一的啊， b p 是 不是就等于啊 b p 乘以啊，三的啊，三十度啊，正好利用特殊角函数吧，那是不是就等于 p h 啊？ 请问原提议让我们求啊， ap 加二分之一 pp 是 不是现在转化成了 ap 加上 p h 啊？ 那 ap 加 p h， 这是不是我们前面学的啊？将军立马模型啊，对吧？根据三角形的三边关系， ap 加 p h 大 于等于 a h 的 吧，那实际上现在只要求 a h 的 最小值是多少，行了吧，那 a h 的 最小值是多少？同学们，我们前面说过垂线段最短，对不对？所以我们过 a 点啊，向哪里啊？ 像这个 b e 做垂线啊，分别交于 m 跟 n 点啊，那这个 a h 的 啊，最小值实际上就等于 a n 吧，对吧？ a n 吧，那这题转化求 a n 就 行了吧。那这题的唯一一个难点啊，就是这个 a n 怎么求啊？因为这个 a n 这是垂直啊，这边很明显是多少度啊，是十五度吧，那因为这个等这个底下这个大角等于七十五度，所以啊，放在这样的一个三角形里面，我们怎么去求 a n 啊？是稍微有点难度的啊，有点，至少是有点计算难度啊，同学们，思考思考一下啊，这个 a n 怎么去求啊？ 我们又没有学关于十五度角的特殊的一个函数值吧，对吧，没有学到吧，所以我们一定要想方设法去进行对它进行拆解啊。我们可以在什么在 a n 上取一点啊，取一点，使得 b e b 啊， 啊，比如说我们这个交于 f 点啊， e b f 等于啊，使得 e b f 等于六十度。如果我们设啊 b n 等于 x 的 话，那图中的几个长度关系能不能出来？能不能出来？当然能啊，啊，这个等于六十度的话啊，那 b n 六十度所对应的边 n f 是 不是等于根号三 x 啊，对吧？又因为这个等于十五度，这个大角，对吧？取的等于六十度，那这个也等于十五度，所以啊， b f 是 不是也等于 fa 啊， 对吧？我们的 b f 刚才说了啊，因为它 b n 是 三十度，对的，长度是 x， 所以 b f f 等于等于二 x 啊，对吧？那我们把这个三角形啊，直角三角形啊，单独画出来啊，这十五度是不是就是这样子啊， 对吧？这个是 f 啊，这是 n 啊，这是 a， 这是 b 吧，这个是多少啊？ x 吧， 对不对？这是根号三 x 啊，这个是二 x 啊，这也是二 x 啊，这等于四。那同样，我们利用勾股定律可以构建什么啊？四的平方啊，它是等于底边 x 平方，再加一个二加根号三倍的啊， x 整体的平方吧，对不对？ 对不对啊？这样我们可以利用啊，我们学过的这个解方程的方法啊，解出我们的 x 啊，实际上是等于 四，比上根号六，加根号二，对吧？那我们的这个整个 a n 的 长度是不是等于二加根号三倍的 x 啊，对吧？那我们的这个 a n 是 不是可以求的啊？ n 等于多少 n？ 经过经过计算啊，可以发现 a， 嗯，它实际上就是等于根号二啊，加根号六， 好吧，那这一题有两个难点，第一个呢，是利用弧不规模型转化出我们这个二分之一 b p 啊。第二个呢，就是解含有十五度角的直角三角形，对不对啊？通过这样一个勾股定律的方法，好，同学们，这一题啊，我个人认为是可以值得去收藏的，尤其是我们关于对这个十五度角的一个处理方式，好吧，同学们。
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03:17查看AI文稿AI文稿好的，欢迎来到冰城老师中考数学啊，三百六十五道几何问题精讲系列课程，那这一题呢，是这个系列的第七十题，也是我们第四大专题啊，胡不归最值模型的第五题啊，那今天又开始我们打卡。好吧，那有需要这本练习册的同学可以后台私信冰城老师啊，每一题都有配套的视频讲解，以及详细的文字啊解析。 那今天这题考察的是胡不规模型与尺规作图啊，角平分线的一个结合题目啊。我们首先把题目去读一下，那如图呢，在直角三角形 abc 中啊，已知这样一个直角等于 a、 c， b 啊，等于九十度，那其中呢， abc 等于三十度啊， ac 等于四。 那这个三角形是不是我们最喜欢见到的特殊啊，三角形啊，特殊这样三角形对不对？还有三十度，还有六十度。好，那现在按照下列步骤让我们去做图啊， 我们看一下啊，有三个步骤，首先呢，在 a、 c 和 ab 上取啊，截取啊，用圆规截取 a， d 等于 a， e 啊，那接着以 d 点和 e 点为圆心，以大于二分之一 d， 二分之一 d 的 半径啊，做弧啊，弧交于 m 点，那两弧啊，交于 m 点做射线， a， m 交 b， c 于点 f。 那 同学们，前面的一二三步是不是我们学过的尺规做图对吧，做角的什么 做角平分线的步骤啊，对不对啊，只不过这一题啊，他前面用这么大量的文字告诉你，实际上就一句话啊， a、 f 啊，是角 b， a、 c 的 角 平分线对不对？拐弯抹角说这一大堆啊，实际上就告诉我们这个结论。好吧，那现在呢，告诉我们点 p 是 这个线段 a f 上的一个动点连接 cp， 问， c p 加二分之 a p 的 最小值啊，我们一看到这种形式啊，一个线段再加一个带系数线段的这种形式啊，我们要大胆的去往胡不规模型上去，靠，对吧？我们说到胡不规模型的基本特征啊，是其中一个线段带分数或者带一个系数吧。 我来研究一下 c p 加二分之 a p 啊，都有一个共同的 p 点，对不对？所以啊，我要研究一下这个二分之 a p 怎么去转换，因为这个啊，是三角形 a b c 是 特殊还有六十度角的特殊直角三角形吧，而且有二分之一，且又做了这样一个平分线，这等于三十度，所以我们大短的啊，通过 p 点向底边做垂线，比如说交于 n 啊， 请问现在原式的 c p 加二分之一 a p 是 不是转化成了 c p 加 pe 啊？ p n 啊，为啥？因为 p n 就 等于二分之 a p 吧，为啥？ p n 是 不是直角三角形 a p n 里面三十度所对应的边是斜边的一半，对吧？所以啊，这个模型是不是我们已经熟知的将一般模型啊，那我们很自然的连接我们的 c e 对 不对 啊？连接 c e 根据三角形的两边之角大于第三边啊， c p 加 p n， 三角形的两边之角大于，什么时候去等于啊， 三点共线的时候就等于八，也就是说啊，原式让我们求这个最小值，实际上让我们求 c e 的 最小值吧，这种题目我们做的太多啊，我们过定点做已知直线的啊，这个求最小值，是不是过定点做已知直线的垂线就是我们所谓的垂线段最短，对不对？是最小值吧。垂线段啊， 怎么求啊？我们可以用面积法，也可以用含有特殊角的三角形来求吧，对不对？我们用面积法算一下啊，如果 a c 等于四啊，那这个等于四倍根号三，那 ab 等于八啊，用面积法就是四乘以四倍根号三除以八啊，等于二倍根号三，对不对？ 所以答案最好是第二倍根号三。好这一题啊，只不过有点委婉的告诉我们一个啊，客观条件角平分线，其他的啊，都是常规的方法。好吧，同学们。
49数学老师冰橙
13:36查看AI文稿AI文稿斜修立体几何到底有多强？他能让立体几何的大题瞬间变成小学计算口算题啊？ 那很多同学听完胡老师讲立体几何的垂直，都说以前所有的垂直问题都白学了，那么今天胡老师给大家讲透垂直问题，听完之后我们再也不丢分好不好？好，期不期待，期待好。所有的垂直问题一共分为几大方向？我们来先来看一下，第一个叫什么？ 让你证明的什么垂直？第一个叫做让你证明线线垂直，还有呢，线面垂直很好，让你证明线面垂直，当然这些经常融合在一块，考你啊。还有一个面面叫做面面垂直，咱一个一个来说，我们先来说线线垂直， 只要你把这个模型学好了，那么另外两个学起来就很轻松，跟他一样套模型就可以了。好吧，好，那么线线垂直里面总结过吗？一共有多少种模型？常见的第一个叫做三垂线， 也就是三垂线定律，非常重要，很重要，而且很实用，所以今天我们要把它先讲透的啊。第二个还有什么？ 还有正形模型，第三个，这全是给大家总结出来的啊，勾股模型，还有第四个长方形，对，叫巨型模型。还有第五个就是用面面垂直去证明线线垂直的模型，五大种， 所以咱们先来看第一个叫做三垂线，三垂线就是三垂线定力，大家注意对于这个定力熟悉吗？熟悉，这个叫做三垂线定力，这个定力主要是用来干嘛的？ 告诉我，在老教材里面是直接有的，新教材稍微弱化了一下它。嗯，这个定力主要是用大，让你来证明意面意面垂直的。 对啊，哎，什么 i o 垂直于 m， 但是你俩在不同的面上叫异面垂直，明白没有？来，我说一下三垂线定律是什么？画个图。首先比如说这是阿尔法面， 然后呢？阿尔法面，这，这是一根线，这不是面内的线啊，这叫 l。 然后呢，阿尔法面内有一根线叫做 m， 让你证明 l 垂直， m 是 不？或者 m 垂直于 l， 这叫做意面垂直，没问题吧？没有， 所以三垂线定。你说的是啥呢？两句核心的话，第一句话叫做记下来，垂射臂垂斜， 第二句话叫做垂斜臂垂射。啥意思？ 这根线叫做翘起来的线，与平面有一个交点，这个点我们把它叫斜足，行不行？可以我们过线上的一个点给面打垂线 垂直的吗？这个线是垂直于面的哦，比如说这个点叫做 m 点，这个叫什么？足垂足，这个叫斜足连接，垂足和斜足连完之后，这个黄线就是他在面上的投影。对，摄影 ok 吗？ ok， ok。 所以 什么叫做垂射必垂斜？就是如果我发现啊，这个 m 是 垂直于他的摄影的，把它叫做 l 一 撇吧，行不行？可以垂直于 l 一 撇，我立马能够推出来 m 垂直于 l l， 或者说我如果能够知道 m 垂直于斜线， l 是 不叫垂斜，他一定垂直于他的摄影，这就叫做三垂线定律。需要我证我就来证。需要证吗？需要。那我们来简单证明一下。来证明。 我先给你证明。第一个，为什么要证他？因为证明他的过程就是你大体里面的过程，你大体要写这个过程呢？你不能由这直接到这，为什么？这个过程要写的当模板化操作了，明白没有？明白好，我写的是思路啊，我现在不写过程，我先带你们写一下思路来。 m 垂直于 l 一 撇，垂直于它。为什么能够证明垂直于 l 呢？线和线垂直，核心是证明线和这个面垂直，对吧？我只要和这个面是不是垂直就可以了，因为我 m 还垂直于，比如说这个叫 p 吧，叫做 pm， m 和一个面中的两根相交线垂直，我就能够得到 m 垂直于平面。 p n m， 因为你是平面内的线，所以 m 垂直于 l， l l 是 你中的线吗？我写的是思路， 对，没有问题吧？没有这个为什么垂直？理由是什么？因为 pm 垂直面对了，因为 pm 是 垂直于底面的，这个底面是什么？你写一下 是吧？是理由，就是因为 pm 垂直于他，因为 m 小， m 是 你中的线，所以他垂直，对不对？对，因为因为他，所以他又因为你俩退出，他 能理解不理解，然后你需要把这个过程给他润色一下，加一些关键性的语言。又因为 l 是 这个面中的线，所以你垂直是这个意思，必须先学会写这个思路，然后再去润色。思路成过程没问题吧？没有。好，第一个会了，那第二个是不是也是一样的？ 垂斜臂垂设？比如说 m 垂直于 l， 是 不是又因为 m 还垂直于 pm 了？ m 和一个面中的两根相交线垂直，所以说 m 垂直于平面。 p n m 思路是一样的吗？对，嗯，又因为线在面内，哎， l 一 撇是你面内的线吗？所以 m 垂直于 l 一 撇， 这两个理由是一样的。会了吗？会了，这叫做三垂线定律。接下来我们看一看三垂线定律在我们考试中，包括高考中是怎么考大家题目的来看这道二零二一年新高考卷的真题，考察的就是我们的意面垂直问题。来读题 说下列正方体当中 o 全都是正方形的中点，这 p 都是什么点？ 他的楼上的终点没问题吧？没有说 m n 为正方体的顶点，你看到 m n 都为顶点，然后说，哎呀，满足 m n 垂直于 o p， 这是两个蓝线垂直的事，问哪一个满足？是不是叫意面垂直啊？好， 回顾一下，意面垂直最经典的第一个考法是三垂线。对，三垂线法，你看 m 点是不在面内呢？ 这个，哎呦，是不是翘起来的线啊？对不对？我们垂蛇垂射必垂斜，垂斜必垂射，说的是给翘起来的这根线，说找他对应的 投影摄影，摄影，谁翘起来找谁的摄影，是不是？是。所以对于这种意面垂直问题，以第一个为例，你告诉我找谁的摄影， m n 是 不是就在面上？对，相当于在正方体的那个外面的表面上，我肯定不管 m n 嘛， o p 相当于就是翘起来的线嘛，是不是找他对应的摄影是不就可以了？那 o p 对 应的摄影你会找吗？嗯，会找，给给谁找摄影？找看。 你是不是要证明的是这两个意面垂直吗？是不是这个翘起来的线往这个 m 所在的面是不是去打摄影呀？是的，所以说 o p 是 不是就是这里的？哎呦，该没问题吧？没有打摄影，往哪个面打摄影？想一想，往上面，往 m n 所在的面，对不对？上面下面都可以， 因为 m n 也可以移到下面来，对，是不是往下面打比较容易啊？垂射臂垂斜。看过他给他打垂直，是不是就这玩意？对， 就这玩意，打完就是他吗？对吧？你说 m n 跟他的摄影能垂直吗？不，垂直不可能，所以说第一个排除掉，甚至你都可以不用打垂直。你把 m n 移下来吧。 你把 m n 往这一移，来，我们把 m n 往这一移，我都不用找投影的。你看他俩之间是不是有夹角呀？是啊，这显然不是垂直关系吗？所以我也能把 a 排除掉，是不是？是啊，都可以。来下一个，告诉我 哪个是斜线。我们这个叫 i o 叫斜线。看 m 是 面内的线，哪个叫？这像充当了这根红线来。哪一根线？ 是 m n 还是 o p？ 两个都翘起来了， m n 明明在面内啊。哦， m a 是 不是在面内啊？是啊，对啊，这个 o p 是 不是穿这个？是不是跟侧面？是不是相当于是翘起来了？这是不是相当于是侧面了？懂了，能理解了，不？可以懂了吧。哎，是不是过 o 点给侧面找 什么？摄影打垂线对不对？对，来过 o 点给他打投影，打到了，怎么打过 o 点，是不是？哎呀，给侧面打 是不是垂到这来了？对，这个叫斜足，这个叫垂足。一连是不？这个叫摄影？是的，红线叫摄影，是不是？我只要证明 m n 和红线是否垂直就完了。来，他和红线是否垂直？垂直，这是终点吧？对，对吧，这是终点吗？ m n 跟谁是垂直的？ m n 跟他是垂直的， 你不是中位线吗？对，你俩是不平行关系吗？是的，所以跟他垂直不垂直。 m n 垂射必垂斜，这就是斜线 图像相对翻了一下能看来吗？可以，所以说 b 选项正确。下一个告诉我谁相当于我这里的斜线？一个是意面吗？一个是 l， 一个是 m， 哪个相当于我这里翘起来的 l 来哪一个？ o p？ o p。 为什么？因为 m n 在 右侧面上吗？是的。在面上吗？你是不在体内穿来穿去的吗？面上的线好研究吗？是不是过 o p 是 不给这个面打垂线呀？对，给这个面打也可以，我是不是打到这个面也可以？对，距离哪个近？往那边打都可以吧。可以，因为 m n 是 不是相当于这个吗？ 是不跟这个是平行的吗？是的，可以移到这边来。所以说过 o p 给这个面打可不可以？可以，咋打过 o 做垂线细点是不是就是你与面的 焦点相当于是这里的点，这是不是相当于是屁点了？没有，没问题吧？没有，来吧，给面打垂线是不跟刚才一样的。噔噔噔噔，这个叫做垂足，这个叫做斜足，打完之后垂足和斜足一连，你的摄影是不是就出来了？他的摄影不就这个吗？ 是还是不是？是垂直吗？嗯，这个也垂直。为什么垂直？他刚好也是个终点，哎，很好。这个点是不是应该是终点啊？对，对吧，也是终点。 m n 不 就这个吗？这个跟谁本来是垂直的。 来，告诉老胡，他本来跟对角线是不跟这个对角线垂直的？是的，你是不是对角线相当于一半吗？看到没有，对中位线吗？所以他是垂直关系 没问题吧？没有，没有问题，来下一个。哪个相当于斜线？哎呦，告诉我 p o o 还是 o p？ 为什么？因为艾蒙在背面的面上来？对，也可以认为在前面的面上是不都可以？是的，艾蒙也可以是这条线一样的。对， 哎，对，你相当于翘起来的线。那么你跟我面的焦点是 p， 是 不是就这个点 p， 对， 对吧？过哪个点给给谁打垂线呢？来告诉我。能看来吗？把这个关系要捋清楚啊。 过这个点往面上打垂线，过藕点往前面这个面上是不是打垂线？是的，对了，过藕点给前面的面上打垂线，是不是打到这来了？这叫斜足，这叫垂足。把你俩一连 是不是叫摄影呀？是的，这个就是 p o 在 前面这个面上的摄影，你不断的把这个模型要往这个上面去套嘞，相当于这个 p 点相当于这里哪个点？ o 点相当于这里哪个点跟它要对起来嘞，能理解这个事吧？可以能理解啊，然后人家问 m n 是 否和它垂直， m n 是 这， 这是重点吗？对吧？你说 m n 跟它垂直吗？不垂直咋可能垂直呢？所以说排除掉 叫意面垂直。三垂线定力好用不？好用，真好用。所以说你的脑子里面只要有模型，你没有发现辅助线你就知道怎么打了，是不是就瞬间出来就可以直接秒杀了？是的，很爽吧？爽，但是大家要注意哈，意面的垂直 不仅仅有三垂线模型啊，你只会他，你其他的遇到你不就不会了吗？对不对？你要把线线垂直玩转的很六六六。那么剩余的其他的模型对你的题型你要练习的非常透彻，所以说只有这五大模型全都凑齐，你都整会，你做题才能够做到游刃有余。 那么今天因为时间原因，我们没有办法一个一个带着大家去做，但是胡老师把这五大题型对应的所有的高拿考的真题以及辨识训练全都给大家梳理出来了，所以大家抓紧时间打印，跟着我们的课程训练起来，我相信垂直对于你而言不在话下，行不行？行，好，下课。
331老胡数学思维提升
02:50查看AI文稿AI文稿全等三角形，这里必考有十大模型辅助线非常重要，今天啊，老师要带着大家一起把哎我们出现频率最高的一类模型三垂直模型给吃透。 那有关于全等三角形，这里模型辅助线啊，老师也给大家做了一个系统的总结，都是我们历年考过的易错真题， 如果咱们孩子现在几何模型思维还没有建立起来，几何的综合大体还不会写，证明过程经常丢分， 咱家长一定要帮孩子打印出来，逐个题型逐个模型的去突破，把模型思维养成出来，有题目题型化的思维，你才能千奇百怪，举一反三。好吧，下面咱们就来一起看看这道题啊！这道题不难，但是我要借着这道题带着大家把模型给复习一下。 说现在 bce 三点在同一直线上， a， c 呢等于 c， d 角 b 等于角， e 等于九十度，而且这还有一个垂直。问你下列结论错误的是， 看到这道题，看到一个顶点出发一组相等的线段，而且这又有三个九十度，所以我首先就锁定这是一个什么模型， 三垂直模型。三垂直模型构成的本质是什么？我再说一遍，就是一个等腰二 t 角，等腰 r t 三角形，它有一条过顶点的线，穿上这个三角形三角板， 我把这个三角板绕着这条线可以旋转到任意位置，过它另外两个顶点，像这条线做垂线，它都是可以始终形成一对全等的三角形的，它和它始终全等，这就是三垂直。 所以说到这，我要跟大家强调一个东西，就是三垂直模型，它不是固定的它长成什么样，而是像三垂直模型和手拉手模型，它强调的一个过程都是 动态的全能过程，你不能今天会这样，你会了明天换个样子就不会了，就是你没有理解对应它的本质啊，哎，它是可以转的。 好了，那我们明白这个道理，下面再做这道题就容易多了啊。 a 选项，角 a， 角 d 互为于角，来看一下，这是九十度，对吧？小叉小圈相加九十度， 这是九十度，这是小圈，这就是小叉，这是九十度，这是小叉，这就是小圈。图中所有的小叉加上小圈都是互余的，所以角 a、 角 d 没有问题，对不对？ 第二个角 a 等于角二，那角 a 在 这呢，角二在这呢，都是小叉，没问题。第三个三角形 abc 全等于三角形 c、 e、 d， 这正是我们所说的三垂直的全等，怎么正的啊？一边对不对？哎，一组角，所以你就角角边或者角边角证明都可以，对吧？ 只有第四个不对，因为角一角二，明显它俩是互余的，相加等于九十度。那这种有关于全等三角形三垂直模型的变式体，你现在学会了吗？
324依依老师初中数学
02:58查看AI文稿AI文稿好的，欢迎来到冰城老师中考数学三百六十五道集合母题精讲系列课程啊，那这一题属于这个系列的第六十九题，也是我们第四个大专题胡不归模型的第四题啊， 那有需要这本练习册，同学可以后台私信冰城老师，每一题都有配套的视频讲解以及详细的文字解析啊，那今天这一题呢，考察的继续考察的是胡不归模型与等边三角形啊，或者说胡不归模型与特殊角的一个结合问题啊，也是属于比较经典的一个题目。 首先我们一起把题目读一下啊，那如图三角形 abc 啊，这边少个 c 啊，把它补上为等边三角形，那 b d 呢？平分角 abc， 那 就是说 b d 平分这个六十度对不对？那 ab 呢，它等于二，等边三角形的每一边都等于二吧，没问题吧？ 那 e 为这个角平分线， b d 上的动点连接 a e， 问 a e 加二分之 b e 的 最小值，对吧？同学们，题目读完了，我们首先分析一下，如果这题出现在考试中啊，我们 不提前知道它是胡不归模型，那怎么判别它是胡不归模型啊？那之前在前面几节课冰城老师讲过啊，胡不归模型它有一个明显的特征吧，是其中一个线段带系数吧，或者叫带分数吧啊，这是区分于我们将军一马模型的啊，一个特征，但是最终我们胡不归模型也要转化成将军一马模型去求最值吧。 所以我们第一步要分析一下这个带系数的二分之一啊，是怎么去转化的好，因为由于啊必定是角平分线，所以他分得的每一个角等于三十度，没问题吧？那根据特殊角的一个三角函数值啊，那三十度角所对应的边是斜边的一半，对吧？我们过一点向底边做垂线 e h。 所以 啊， 三进的啊，三十度乘以 b e， 那 是不是就等于二分之一乘以 b e 啊，是不是就等于 e h 啊？同学们，对吧，是不是 e h 啊？那原式让我们求 a e 加上二分之一， b e 就 转化成了 a e 加上 e h 啊，根据三角形的三边关系啊，我们连接一下我们的 a h 啊， 我们连接下我们 a h 啊，三角形三边关系是不是 a e 加 e h 大 于等于啊？我们的第三边 a h 什么时候取？等于啊，三点共线的时候吧，那也就是说，我们要求啊，这个是最小值，实际上我们要求 a h 最小值吧，那 a h 的 最小值好不好求啊？ 是不是这个模型似曾相识啊？对了啊，这个模型就是我们前面学过的将军驿马模型。我们知道定点到直线的啊，最短距离是垂线段吧，所以啊，我们过 a 点向 b c 点做 垂线段啊，交于 m 点，那我们的 a h 的 最小值，它实际上就是等于我们这个所做的垂线段 a m 吧，对吧，这个是很好的利用了啊，一个定点到已知直线的最短距离是垂线段吧，那就说垂线段最短，对不对？同学们， a m 好 不好求啊， a m 放在特殊三角形里面可以秒杀，对吧，是不是等于根号三啊 啊，所以这题选 c 好， 稍微总结一下，那这一题呢，实际上是胡不归模型里面的一个入门啊，入门的一个题型啊，但是从解决，从解析思路啊，包括到计算过程啊，我还是推荐同学们去理解跟收藏一下，每一步都是比较这个经典的啊，都比较经典。
85数学老师冰橙
04:06查看AI文稿AI文稿手拉手模型，两三角形共顶点，转一转全等利线中考几何必考压轴利器。 题型设定，两个等幺三角形三角形 o、 a、 b 与三角形 o、 c、 d 共用顶点 o 满足 o、 a 等于 o b， o、 c 等于 o、 d， 且两顶角相等，连外侧顶点 a、 c 和 b、 d 即可。政权等。 为什么叫手拉手？把两个三角形想成两人各自一只手握在共同顶点 o， 另一只手互相拉着连线 a、 c 和 b、 d 就是 拉手全等，随之而来， 等边手拉手，看上图，两个等边三角形共顶点 o。 无论小三角形怎么旋转连线 a、 c 始终等于 b、 d， 这是最纯粹的手拉手。 一般等腰也成立，看下图，只要两组腰相等，两顶角相等，结论同样成立，不必是等边三角形 假角相等的关键推导，角 aoc 等于角 aob 加角 boc， 角 boc 加角 codd。 由于顶角 aob 等于顶角 codd， 所以 角 aoc 等于角 bodd。 这是 sas 的 核心条件， 本质就是旋转变换，以 o 为中心旋转顶角比特点 a 精确转到点 b， 点 c 精确转到点 d。 旋转宝距，所以 a、 c 等于 b、 d。 两连线夹角也横，等于顶角比特。 记住三步政权等法。第一步，找共顶点 o， 确认两组腰相等 o， a 等于 o b， o、 c 等于 o、 d。 第二步，分析假角，利用公共角 b、 o、 c 推出角 a、 o、 c 等于角 b、 o、 d。 因为两者都等于公共角，加上各自的顶角，而两顶角相等。 第三步， s、 a、 s 正全等。在三角形 a、 o、 c 和三角形 b、 o、 d 中， o、 a 等于 o b。 角 a、 o、 c 等于 o d 由 s、 a、 s 得两三角形全等，从而 a、 c 等于 b、 d。 口诀，两腰相等，夹角相等 s、 a、 s 锁全等 a、 c 等于 b、 d。 夹角等。顶角 演示， o， a 等于 o， b 等于二， o、 c 等于 o， d 等于三等边三角形顶角均为六十度角 a、 o、 c 等于角 b、 o、 d 等于九十度。由 s、 a、 s 得全等 ac 等于 b、 d。 利用勾股定律计算，均为根号。十三 中考典型题如图，三角形 o、 a、 b 和三角形 o、 c、 d 都是等边三角形共顶点 o、 o， a 等于 o， b 等于二， o、 c 等于 o， d 等于三。其中 o、 a 沿 x 轴方向， o、 c 沿 y 轴方向连接 a、 c 和 b、 d。 求证 a、 c 等于 b、 d， 并求 a、 c 的 长度 解，因为三角形 o、 a、 b 等边， o、 a 等于 o， b 等于二角， a、 o、 b 等于六十度 c、 c、 d 等边 o、 c 等于 o， d 等于三角， c、 o、 d 等于六十度， o、 a、 o、 c 等于九十度 角 b、 o、 d 等于角 b、 o、 c 加六十度等于三十度，加六十度也等于九十度。故角 a、 o、 c 等于角 b、 o、 d。 在三角形 a、 o、 c 和三角形 b、 o、 d 中， o、 a 等于 o， b 角 a、 o、 c 等于 o， d。 由 s、 a、 s 全等 ac 等于 b、 d。 右角 a、 o、 c 等于九十度。所以 ac 等于根号， o， a 平方加 o、 c 平方等于根号。四加九等于根号。十三三大易错点，第一，两顶角必须相等。加 o、 c 平方等于根号，四加九等于根号。十三 三大易错点，第一，两顶角必须相等，不等就不能用 s、 a、 s， 这是前提条件，不能省略。 第二，夹角推倒必须写出公共角 b、 o、 c 直接说相等会被扣分。第三，结论，只有 a、 c 等于 b、 d 千万别误写 a、 c 垂直， b、 d 垂直只在特殊角度才成立。 记住共顶点，两腰等顶角等，夹角等 s a， s 全等手拉手必出 a， c 等于 b， d。
34学习嘎嘎好
04:15查看AI文稿AI文稿全等三角形啊，这里有十大必考的模型和辅助线，每一个都特别重要，而且我们以后学到的四边形的时候，也会用到这些模型和辅助线的做法。 今天一个视频我就带着大家搞清楚绊脚模型以及截长补短这种辅助线的方式。那有关于全等这十大模型辅助线，老师也给大家做了一个系统的总结，如果咱们孩子 还经常做几何题，没有思路，家长们一定要帮孩子打印出来，逐个模型的去突破，把所有模型的结论都整清楚以后，这种题咱们就可以轻轻松松秒答案了啊！下面呢，咱们就来一起看看这道题。 这里说正方形 a， b， c， d 当中中间这个角是四十五度， m， a， n 绕着点 a 顺时针旋转，它两边分别交这两条边于 m 点，让你求证 b， m 加 d， n 等于 m n。 这道题啊，入手有两个关键信息，一个信息呢是这个四十五度，看到九十度当中含四十五度，我们就想到绊脚模型，啥是绊脚模型啊？看， 由于九十度当中含四十五度，四十五是九十的一半，所以这就是一半了。绊脚绊脚模型剩余的两个小角是不是有小叉加小圈等于四十五度？那这种情况下我们 解题的方法是什么？哎，老师教大家一个绝招，就叫做拼好角的方式。由于小叉加小圈能拼出新的四十五度，所以我的想法就是把小叉叉如果能挪到这来， 小叉小圈再团圆，再相聚的时候，拼成一个新的四十五度角，那这个时候我们就可以继续去正全等三角形了，那必然呢，我们有新的全等，哎，这个和这个三角形全等就出来了，这是一种思路啊。 另外一种思路就是从这里 a 加 b 等于 c 形式的式子入手，看到 a 加 b 等于 c 形式的式子， m n 肯定是那个哎，比较长的，所以我们可以利用截长或者是补短来去解决这道题。这个思路我们一会再去说，先把拼好角说完 好了，那我们在这里如果能把小叉挪在这，就拼成新的四十五度了，那怎么挪呢？哎，在这咱们就去，哎，直接 把我们这个小的三角形旋转过来就可以了。那有同学说，我们现在没学旋转，那怎么办呢？我们在这可以做一个新的直角，也就是哎，过点 a 做 a e 垂直于 am， 这是垂直的，那这也是垂直的，所以这两个小角一定是相等的，对不对？那这两个角相等，那我们又知道这是正方形的一边，这是正方形的一边，对吧？这又是一个直角，这也是一个直角，所以由 asa 咱们就可以证明这两个小的三角形全等。 三角形 a， b， m 全等于三角形 a d， e 啊， a s a 两个三角形全等，必然有对应边相等啊，所以我们就有 a m 等于 a e 了，哎，也就是这一段和这一段是相等的，看见了吗？ 现在啊，这一段等于这一段，这是公共边，中间这两个角都是四十五度，如我们所愿，就有二次全等了。也就是在这，我们继续由三角形 a、 m、 n 全等于三角形 a、 e、 n 两个三角形怎么全等啊？看一边一角一边对不对？所以由 s a s 可以 判定全等这两个三角形全等我们对应边就相等了， m n 就 等于 e n 了， 所以这里的 m n 就 转化到谁身上 e n 身上啊。而在这里 e n 看图说话，不就等于 e d 再加上 n d 嘛，对不对？哎？加上 d n 嘛，对不对？而 e d 是 谁呀？ e d 这条边不就是第一组全等三角形的一高对应边吗？所以 e d 我 们会发现， 在第一个全等三角形里有 b m 等于 d e， 所以 e d 可以 替换成谁 b m 对 不对？ d n 写在这咱们就可以发现， e n 就 等于 b m 加 d n， 而 e n 等于 m n 呢？所以 m n 就 等于 b m 加 d n， 咱们就正出来了。
240依依老师讲初中数学
13:57查看AI文稿AI文稿立体几何学不好，就是你垂直没有学明白，因为所有的立体几何的问题本质上都是 垂直的问题，所以一旦遇到正垂直，你看咱很多同学脑子就燃成一锅粥了。那么今天这节课，胡老师就给大家讲透所有的垂直模型，听完这节课，你去做任何一道关于垂直的高考真题，是既快又爽，期不期待？期待 所有的垂直问题一共分为几大方向，我们来先来看一下，第一个叫什么？让你证明的什么垂直？第一个叫做让你证明线线垂直，还有呢？线面垂直很好， 让你证明线面垂直，当然这些经常融合在一块，考你啊。还有一个面面叫做面面垂直， 我们先来说线线垂直，只要你把这个模型学好了，那么另外两个学起来就很轻松，跟他一样套模型就可以了。好吧，好，那么线线垂直里面总结过吗？一共有多少种模型？ 常见的第一个叫做三垂线，也就是三垂线定律，非常重要，很重要，而且很实用，所以今天我们要把它先讲透的啊。第二个还有什么？ 还有正形模型，第三个这全是给大家总结出来的啊，勾股模型，还有第四个长方形，对，叫巨型模型。还有第五个就是用面面垂直去证明线线垂直的模型，五大种， 所以咱们先来看第一个叫做三垂线，三垂线就是三垂线定律，大家对对于这个定律熟悉吗？熟悉，第一个叫做三垂线定律，这个定律主要是用来干嘛的？ 告诉我，在老教材里面是直接有的，新教材稍微弱化了一下它，嗯，这个定力主要是用大，让你来证明意面意面垂直的。 对啊，哎，什么 i o 垂直于 m， 但是你俩在不同的面上叫异面垂直，明白没有？来，我说一下三垂线定的是什么？画个图，首先，比如说这是阿尔法面， 然后呢，而法面，这，这是一根线，这不是面内的线啊，这叫 l， 然后呢，而法面内有一根线叫做 m， 让你证明 l 垂直， m 是 不？或者 m 垂直于 l， 这叫做意面垂直，没问题吧？没有。 所以三垂线定里说的是啥呢？两句核心的话，第一句话叫做记下来，垂射臂垂斜， 第二句话叫做垂斜臂垂射。啥意思？ 这根线叫做翘起来的线，与平面有一个交点，这个点我们把它叫斜足，行不行？可以我们过线上的一个点给面打垂线 垂直的吗？这个线是垂直于面的哦，比如说这个点叫做 m 点，这个叫什么？足垂足，这个叫斜足连接，垂足和斜足连完之后，这个黄线就是它在面上的投影。对，摄影 ok 吗？ ok， ok。 所以 什么叫做垂射必垂斜？就是如果我发现啊，这个 m 是 垂直于他的摄影的，把它叫做 l 一 撇吧，行不行？可以垂直于 l 一 撇，我立马能够推出来 m 垂直于 l l， 或者说我如果能够知道 m 垂直于斜线， l 是 不叫垂斜，他一定垂直于他的摄影，这就叫做三垂线定律。 需要胡老师做简单证明吗？需要，需要我证我就来证。需要证吗？需要。那我们来简单证明一下。来证明， 我先给你证明。第一个，为什么要证他？因为证明他的过程就是你大题里面的过程，你大题要写这个过程呢？你不能由这直接到这，为什么？这个过程要写的当模板化操作了，明白没有？明白好，我写的是思路啊，我现在不写过程，我先带你们写一下思路 来。 m 垂直于 l， 一 撇垂直于它。为什么能够证明垂直于 l 呢？ 线和面垂直，线和线垂直，核心是证明线和这个面垂直，对吧？我只要和这个面是不是垂直就可以了？因为我 m 还垂直于，比如说这个叫 p 吧，叫做 pm， m 和一个面中的两根相交线垂直，我就能够得到 m 垂直于平面 p n m， 因为你是平面内的线，所以 m 垂直于 i o i o 是 你中的线吗？我写的是思路，对，没有问题吧？没有这个为什么垂直？理由是什么？ 因为 pm 垂直面。对了，因为 pm 是 垂直于底面的，这个底面是什么？你写一下 是吧？是理由，就是因为 pm 垂直于他，因为 m 小， m 是 你中的线，所以他垂直，对不对？对，因为因为他，所以他又因为你俩退出，他 能理解不理解，然后你需要把这个过程给他润色一下，加一些关键性的语言，又因为 i o 是 这个面中的线，所以你垂直是这个意思，必须先学会写这个思路，然后再去润色。思路成过程没问题吧？没有。好，第一个会了，那第二个是不是也是一样的？ 垂斜 b 垂射，比如说 m 垂直于 l， 是 不是又因为 m 还垂直于 pm 了？ m 和一个面中的两根相交线垂直，所以说 m 垂直于平面 pm 思路是一样的吗？对，嗯，又因为 线在面内的线吗？所以 m 垂直于 l， 一 撇， 两个理由是一样的，会了吗？会了，这叫做三垂线定律。接下来我们看一看三垂线定律在我们考试中，包括高考中是怎么考，大家题目的很重要，来一起看题目，我擦下黑板。好吧，好， 来看这道二零二一年新高考卷的真题，考察的就是我们的意面垂直问题。来读题说，下列正方体当中 o 全都是正方形的中心，没问题吧？没有屁为所在棱的中点，这屁都是什么点？ 它的棱上的中点没问题吧？没有说 m n 为正方体的顶点，你看到的 m n 都为顶点，然后说，哎呀，满足 m n 垂直于 o p 就是 两个蓝线垂直的，是问哪一个满足？是不是叫意面垂直啊？好， 回顾一下，意面垂直最经典的第一个考法是三垂线。对，三垂线法，你看 m 点是不在面内呢？ 这个 l 是 不是翘起来的线啊？对不对？我们垂舌垂射必垂，斜必垂射，说的是给翘起来的这根线说找他对应的 摄影，摄影谁翘起来找谁的摄影是不是？是啊，所以对于这种意面垂直问题，以第一个为例，你告诉我找谁的摄影， m n 是 不是就在面上？相当于在正方体的那个外面的表面上？我肯定不管 m n 吗？ ok， 相当于就是翘起来的线吗？ ok， 是 不是找他对应的摄影是不是就可以了？那 o p 对 应的摄影你会找吗？嗯，会找，给谁找摄影？找看 你是不是要证明的是这两个异面垂直吗？是不是这个翘起来的线往这个 m 所在的面是不是去打摄影呀？是的，所以说 o p 是 不是就是这里的？哎呦，该没问题吧？没有打摄影，往哪个面打摄影？想一想，往上面，往 m n 所在的面，对不对？对，上面下面都可以， 因为 m n 也可以移到下面来。对，是不是往下面打比较容易啊？垂射必垂斜。看过他给他打垂直，是不是就这玩意？对， 就这玩意，打完就是他吗？平行的对吧？你说 m n 跟他的摄影能垂直吗？不，垂直不可能，所以说第一个排除掉，甚至你都可以不用打垂直。你把 m n 移下来吧。 你把 m n 往这一移来，我们把 m n 往这一移。我都不用找投影的，你看他俩之间是不是有夹角呀？是啊，这显然不是垂直关系嘛。所以我也能把 a 排除掉是不是？是啊，都可以。来下一个，告诉我 哪个是斜线。我们这个叫 i o 叫斜线。看 m 是 面内的线，哪个叫这充当了这根红线来。哪一根线 是 m n 还是 o p？ 两个都翘起来了。 m n 明明在面内啊。哦， m n 是 不是在面内啊？是，对啊，这个 o p 是 不是穿这个？是不是跟侧面？是不是相当于是翘起来了？这是不是相当于是侧面了？懂了，能理解了，不？可以懂了吧。哎，是不是过 o 点给侧面找 什么摄影打垂线对不对？对，来过藕点给他打投影，打到了。怎么打过藕点是不是？哎呀，给侧面打 是不是垂到这来了？对，这个叫斜足，这个叫垂足一连是不？这个叫摄影？是的，红线叫摄影。是不是？我只要证明 m n 和红线是否垂直就完了。来，他和红线是否垂直？垂直的 m n 跟他是垂直的。 你不是中位线吗？中位。你俩是不是平行关系吗？是的，所以跟他垂直不垂直？ m n 垂射， b 垂斜，这就是斜线， 图像相对翻了一下，能看来吗？可以，所以说 b 选项正确。下一个告诉我谁相当于我这里的斜线？一个是意面吗？一个是 i o， 一个是 i o， 哪个相当于我这里翘起来的 i o 来哪一个？ o p o p。 为什么？因为 m n 在 右侧面上吗？是的，在面上吗？你是不在体内穿来穿去的吗？面上的线好研究吗？是不是过 o p 是 不给这个面打垂线呀？对，给这个面打也可以，我是不是打到这个面也可以？对，距离哪个近往那边打都可以吧。可以，因为 m n 是 不是相当于这个吗？ 是不跟这个平行的吗？是的，可以移到这边来。所以说过 o p 给这个面打可不可以？可以，咋打过 o 做垂线细点是不是就是你与面的 焦点？相当于是这里的点，这是不是相当于是屁点了？没有，没问题吧？没有，来吧。给面打垂线是不跟刚才一样的？噔噔噔噔，这个叫做垂足，这个叫做斜足，打完之后垂足和斜足一连，你的摄影是不是就出来了？他的摄影不就这个吗？ 是还是不是？是垂直吗？嗯，这个也垂直，为什么垂直？他刚好也是个终点，哎，很好。这个点是不是应该是终点啊？对，对吧。 m n 不 就这个吗？这个跟谁本来是垂直的。 来告诉老胡，他本来跟对角线是不跟这个对角线垂直的？是的，你是不是对角线选的一半吗？看到没有，对中位线吗？所以他是垂直关系， 没问题吧？没有没有问题，来下一个，哪个相当于斜线？哎呦，告诉我 p o o 还是 o p？ 为什么？因为 m n 在 背面的面上来，对，也可以认为在前面的面上是不都可以？是的， m n 也可以是这条线一样的。对， 哎，对，你相当于翘起来的线，那么你跟我面的焦点是 p， 是 不是就这个点 p， 对， 对吧？过哪个点给给谁打垂线呢？来告诉我。能看来吗？ 把这个关系要捋清楚啊。过这个点往面上打垂线，过藕点，往前面这个面上是不是打垂线？是的，对了，过藕点，给前面的面上打垂线，是不是打到这来了？这叫斜足，这叫垂足。把你俩一连 是不是叫摄影呀？是的啊，这个就是 p o 在 前面这个面上的摄影，你不断的把这个模型要往这个上面去套嘞。相当于这个 p 点，相当于这里哪个点？ o 点相当于这里哪个点跟它要对起来嘞，能理解这个事吧？可以能理解啊，然后人家问 m n 是 否和它垂直， m n 是 这， 这是重点吗？对吧？你说 m n 跟它垂直吗？不垂直咋可能垂直呢？所以说排除掉 叫意面垂直。三垂线定力好用不？好用，真好用。所以说你的脑子里面只要有模型，你没有发现辅助线，你就知道怎么打了，是不是就瞬间出来就可以直接秒杀了？是的，很爽吧？爽，但是大家要注意哈，意面的垂直 不仅有三垂线模型啊，你只会他，你其他的遇到你不就不会了吗？对不对？你要把线线垂直玩转的很六六六，那么剩余的其他的模型对应的题型你要练习的非常透彻， 所以说只有这五大模型全都凑齐，你都整会，你做题才能够做到游刃有余。那 今天因为时间原因，我们没有办法一个一个带着大家去做，但是胡老师把这五大题型对应的所有的高拿考的真题以及辨识训练全都给大家梳理出来了，所以大家抓紧时间打印，跟着我们的课程训练起来。我相信垂直对于你而言不在话下，行不行？行，好，下课。
625老胡模型数学思维提升
01:33查看AI文稿AI文稿七年级下册数学期末考试大概率会考的三个几何模型选择填空题直接用。我们先来看第一个，在三角形 a、 b、 c 中， b、 o、 c、 o 分 别是角 abc 和角 a、 c、 b 的 角平分线，且它们交于点 o。 这个时候我们有一个结论，角 b、 o、 c 就 等于九十度，加上二分之一角 a， 我们做选择填空题的时候直接用好。现在我们来看第二个角 d、 b、 c 和角 b、 c、 e 是 三角形 a、 b、 c 的 外角， 且它们两个外角的角平分线 b、 o 和 c、 o 交于点 o。 那 么这个时候角 b、 o、 c 和角 a 也存在一个数量关系， 角 b、 o、 c 等于九十度，减去二分之一角 a。 再来看最后一个角 a、 c、 d 是 三角形 abc 的 外角 b、 o 是 它的内角 abc 的 角平分线， c、 o 是 它的外角 a、 c、 d 的 角平分线。这两条角平分线也交于点 o。 那 么这个角 b、 o、 c 和角 a 有 怎样的数量关系呢？ 角 b、 o、 c 等于二分之一的角 a。 同学们把这三个默性记住，我们做选择填空题的时候直接用。
01:52查看AI文稿AI文稿全等三角形这里啊一共有十大必会的几何模型，其中最常见的一种就是有关于这里面三垂直模型以及它对应的变形了。 那老师啊，也给大家把全等三角形这里必会的模型辅助线做了一个梳理，分题型，总结了这样必刷的三十道题。家长们，如果咱们孩子做几何题经常写不出来，证明过程 需要做辅助线的，没有辅助线思路一定要打印出来，逐个类型题的，带孩子去学习并且学透啊。下面呢，我就带着大家一起来看一看这道题。这里说在直角三角形 abc 当中， abc 等于九十度， bc 等于四， 过点 c 呢，做对应的 c、 d 垂直于 a、 c， 这是垂直，而且告诉你 c、 d 是 等于 a、 c 的， 这两段是相等的，让你求三角形 b、 c、 d 的 面积来，你看啊，求 b、 c、 d 的 面积，现在 b、 c 这个底边是已知了是四，还缺啥 缺高。所以这道题辅助线咱就有思路了，我们过点 d 啊，做这么一个高出来就可以了。当然这道题啊，咱们做辅助线还有第二个思路，那就是利用我们之前所说的三垂直模型，三垂直模型构成的基本要素是谁来的？ 对了，就是这个东西，等腰直角三角形，我们把等腰直角三角形顶点这拴根线啊， 它挂在这条线上，它是一个动态全等的过程，它可以绕着这个线啊，任意在旋转，旋转过程当中过它另外两个顶点，向这条线做垂线形成的这两个三角形是始终全等的， 所以我们由三角形全等，我们知道 bc 是 四，那么 d、 h 就 也是四了，那么三角形 b、 c、 d 的 面积就可以用二分之一乘以四，再乘以四来进行求解了，也就是八了。
167依依老师讲初中数学
04:10查看AI文稿AI文稿半角模型旋转一刀，把两段线拼成一段，中考几何必考压轴利器！ 题型设定，正方形 a、 b、 c、 d 中，从顶点 a 引出两条射线 a、 e 和 af 分 别落在邻边 bc 和 cd 上，且角 e、 af 恰好等于顶角的一半，即四十五度。问题如何求 ef 的 长？ 为什么叫半角模型？正方形顶角是九十度，而角 e、 a、 f 是 四十五度，刚好是顶角的一半。这个半角是旋转变换的触发器，只要角度是一半，就能旋转。拼接 看上方。正方形 a、 b、 c、 d。 角 e、 a、 f 等于四十五度， e 在 b、 c 上， f 在 c、 d 上。两条射线把直角分成三份，角 b、 a、 e 角 e、 a、 f。 四十五度角 f、 a、 d 前两份与后两份各为四十五度。 看下方。把三角形 a、 d、 f 绕 a 逆时针旋转九十度， a、 d 转到 ab， f 转到 g、 g 在 b、 c 的 延长线上，且 b、 g 等于 d， f、 g、 b、 e 三点共线，所以 g、 e 等于 g， b 加 b， e 等于 d， f 加 b， e。 因为旋转使 a、 f 等于 a， g 又 a、 e 公共边角 f， a、 e 等于角 g、 a、 e 均为四十五度，由 s、 a、 s 得三角形 a、 e、 f 全等于三角形 a、 e、 g。 从而 e、 f 等于 e， g 等于 df 加 b、 e。 本质是旋转变换，以 a 为中心旋转九十度，把含 f 的 小三角形 a、 d、 f 转到另一边，变成三角形 a、 b、 g。 旋转宝距，故 a、 f 等于 a、 g。 关键角相等，故两小三角形全等 e、 f 等于 e、 g。 记住，旋转拼接三步法，第一步，确认半角，找顶点 a 确认角 e、 a、 f 等于四十五度，即顶角的一半角 b、 a、 e 加角 f， a、 d 也等于四十五度。 第二步，做旋转，以 a 为中心，逆时针旋转九十度，将三角形 a， d， f 转到三角形 ab， g， a， d 与 ab 重合， f 落到 g， g 在 bc 延长线上， b， g 等于 d， f。 第三步， s， a， s 全等。在三角形 a， e、 f 与三角形 a， e， g 中， a， e 等于 a， e， a， f 等于 a g。 旋转宝句角 f， a， e 等于角 g， a， e 等于四十五度。由 s a， s 得全等，故 e， f 等于 e， g 等于 b， e 加 d f。 口诀半角触发旋 s， a， s 正全等， e， f 等于 b， e 加 d， f。 三段合并成一段， 演示正方形边长四， b， e 等于一， d， f 等于二点四。旋转后 g 在 b 正上方， b， g 等于二点四， g， e 等于 b， e 加 b， g 等于三点四。由 s， a， s 全等， ef 等于三点四。 看一道中考典型题，正方形 abcd 边长为六， e 在 bc 上， f 在 c， d 上角， eaf 等于四十五度， b， e 等于二。求 ef 的 长 写设 d， f 等于 x。 旋转三角形 a， d， f 到三角形 a， b， g， b， g 等于 x。 由角 b， a， e 加角 f， a， d 等于四十五度。正切和差公式给出，一比三加 x 比六等于一减 x 比十八解得 x 等于三， 故 d， f 等于三， e， f 等于 e， g 等于 b， e 加 b， g 等于二加三等于五。 三大易错点，第一，旋转方向要对逆时针九十度使 a、 d 对 齐， a， b 方向反了， g 就 不在延长线上。第二，必须写出旋转后 a， f 等于 a， g 直接断言全等会被扣分。第三， e， f 等于 b， e 加 d， f 不是 b， e 加 b f。 别混淆 f 的 位置，记住半角必旋转三角形 a， d， f 绕 a 转九十度， s， a， s 得全等， e， f 等于 b， e 加 d f。 一 招解半角。
58学习嘎嘎好
02:18查看AI文稿AI文稿从 a 点出发，经过这条直线再到 b 点求最短路径，我们就叫他将军印马模型，只需做对称即可求出最小值。 如果 b 点刚好在这条直线上，那么就变成了胡不归模型。如果系数为一，那么两点间直线最短，就太简单了，所以通常会给他加个系数。 此时从 a 点出发到 p 点，但是终点变成了动点，无法确定，所以我们需要根据系数旋转特定角度， 从 p 点做垂线二分之一， p b 就 转换成了 p c。 终点虽然还是无法确定，但是它一定在这条直线上点到直线做垂线最短。 像这样的几何模型，这本书把初中几何必学必考的四十二个模型都整理好了，孩子可以像查字典一样，快速找到解析方法。从猪蹄模型到飞镖模型、 将军营马模型到废马点模型、胡不归模型到十字架模型，每个模型都从思维导图、模型、讲解、模型立体三个方面帮你把公式、定力、 辅助线、画法、证明过程梳理得清清楚楚。大体有思路，小题套模型，看不懂的直接扫码就能看。名师视频讲解。每个模型就像是请了一对一的数学老师在家辅导孩子搭配一本函数、一本应用题， 把初中数学这三个拉分项全搞定。数学次次考试不下一百一，一套书用三年，孩子省力，家长省心，赶紧安排。初中数学拉开距离的就是几何题，初中几何再难也就这四十二个模型，让孩子把它吃透了，考试也就不怕了。 你看，像八字模型、飞镖模型、手拉手模型、费马点模型、阿式圆模型和四点共圆模型都整理在这本初中数学几何模型里了，每个模型的结论是什么，证明过程怎么写，怎么套用到真题里，全都整理的清清楚楚，让孩子把它吃透。 遇到选择填空题就能直接套用结论写出答案，看不懂也没关系，扫码还有视频讲解，学完再做对应练习，有学有练才能更快掌握答案。单独成册讲解也超详细。配套的还有一本函数和应用题，让孩子把它们都吃透，初中三年的数学都不用愁！
44优品家百货
01:11查看AI文稿AI文稿全等三角形这个章节太重要了，它是我们整个初中几何的基础，那全等三角形对应的判定定理一共就有五大类，分别是什么呢？边边、边角、边角边角、角角边和 h l。 这个呢是我们在初中阶段非常啊重要，且需要大家熟练掌握的一部分内容。那有了判定定律，那接下来就是判定定律高级应用了，我们该解一些压轴题，怎么解呢？那这就需要我们孩子有一种思想，叫做几何模型的思想。 那有关于初中几何全等这里的模型辅助线一共就有十大类，分别是什么呢？北长中线法、 截长补短法、一线三垂直三等角模型、手拉手模型、半角模型考旋转、 对角互补模型考延长以及角平分线的四大名辅。那有关于全等三角形这十大模型辅助线，老师啊都给大家做了一个针对性的梳理，每一类题型的方法技巧都总结出来了， 如果孩子还没有答题思维，哎，大题、压轴题没有思路，不会做辅助线，证明题写不清楚，答题过程一定要打印出来，带着孩子逐个去刷透。
1882依依老师初中数学
00:38查看AI文稿AI文稿阴影部分球面积是五年级期末必考的，几何题是重难点，但凡期末能考满分的孩子，都是在考前就把他们给吃透了。就是这本几何三十六模型，他把整个小学要掌握的几何题型都整理了，比如等级模型、一半模型、蝴蝶模型等，每个模型都有详细的推导过程，搭配动画演示，让几何图形 形式化，孩子更好理解。还有核心母题的分析，以及举一反三的练习，不会的看视频讲解。再比如六年级正在学的弓形模型、圆环模型、捆圆模型等等，让孩子掌握一个模型，就会一类题型，搭配一本练习册，查缺补漏一本书，从四年级用到六年级，性价比超高，赶紧安排起来吧！
33启华学霸课堂
