辽宁省二模数学几何压轴题汇总
二十二题正正常这道题的难度并不是很大，但是因为他与圆结合，孩子们可能刚拿到手有点发懵，实际他考圆的知识并不多啊，我们来一起看一下。 呃，在一个等腰三角形当中， ab 是 等于 ac 的，是等于三，然后 d 呢，为 ac 上的一个点， ad 是 等于一， 以 a 为圆心，以 a、 d 长为半径，画的一个圆圆 a 啊，并告诉我们有个补角的关系，也就是 c a e 啊，这个角和 b a、 c 是 等于一百八十度的。初步沿第一问啊，第一问呢，他找到了符合条件的 e 点的位置，那么 当 c e 与这个圆 a 相切的时候，可以求 bc 的 长，请你结合图一啊，这里结合图一，就按照这个图中所画的位置去求 bc 的 长。那么因为 c、 e 是 切线，所以这里就是垂直，它的半径是一。 刚才那我们很容易求出他这一个根号十，那么 bc 啊，通过勾股定律直接记得出是二倍根号六，看一下第二问，第二问呢，是先让我们画图啊，他说将 b、 a、 c 啊特殊化之后，提出如下问题，如图二， 告诉我们，这里是一个等腰值了，这里还是三，这里还是三啊， d 还是啊？ a， d 是 e， 那又有一个条件啊，找到一个 g 点，在 b c 上找到一个 g 点，使 b a g 这个角是等于 a、 b、 d 的， 那么我设这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法， 请在圆 o 上找出符合条件的点 e 的 位置。那么圆 o 圆 o 上刚才点 e 是 怎么来的啊？有一个角度的关系， c a， e 是 加上 b， a， c 是 等于一百八十度，那这里 b、 a、 c 已经是等于呃九十度了，那 c a e 就是 等于九十度，我们也很容易找到这个 e 点的第一个 e 点的位置啊。 啊？ e， 那 么 e 二是在哪里？ e 二是不是 c a e 是 等于多少度？是等于九十度，那么这个 e 二是不就在这？哎， e 二是不就在这？好，我们先求 e e 啊，先求 e e， 它说连接 c e， 连接 c e， 然后延长，延长 与 ag 相交于点 h， 让我们去求的是 g a g h 的 长度 啊，求的是 g a 的 长度。首先除了啊这个半径直角这个信息，有个特别特殊的角，这是阿尔法，这也是阿尔法，并且这个阿尔法看这个角度是在一个什么直角三角形中，并且直直角三角形，它还知道它的弹进的值是不是弹进的阿尔法是等于一比三的啊，一比三 好，这个角度是比较特殊的，其实我们是可以去倒一下角的啊，这个一点又是在什么？这个圆上边，所以我们把线段关系都表示一下，这里是一，这里是三，看一下啊，在这里边其实就已经出现了一个解析的思路了啊。一三 是不是共点线段比啊？平行做到底啊？共点线段比，平做到底，那么我们如果做平行的话，看这里是二发，我刚才说二发 是知道他的锐角三角函数值，是不是去构造什么直角三角形，对不对？哎，去构造直角三角形，这种才好用。那么怎么做平行线啊？是不是哎过 h 啊？在这里过 h 去做 啊， ok， 过 h 去做这个垂直，那么在这里过 g 点是不是要做垂直？哎，过 g 点做垂直，那么做完垂直之后，这里是四十五度，哎，我们很容易就说，如果我们这里是 a 的 话，这里是 a， 这里就是三 a， 那 么我们很容易就说四， a 是 等于三的，那 a 等于四分之三，那这里边 这段就是四分之三啊，这段就是四分之九，这段就是四分之九，那么这个 a g 的 长，我们求出是四分之三倍的，刚好时，我们要求的是 g h， 我 们把 a h 求完就 ok 了。看， 这里是垂直，这里是不是又是垂直，哎，又出现一个什么，哎，平行性相似啊，平行性相似，那么啊，这个我是设为 e， 这个设为 m， 那 么这个 h e m 是 相似于三角形 c a e 的 啊，那么我设这里是 x 的 话，因为这个阿尔法的锐角三角函数就是三 x， 所以 它它整个的 am 是 等于三 x 的， 那 a e 是 等于一，所以它这里这里三 x 减一，也就是说 x 比上比上 a， c 比上三等于 三， s 减一比上一啊，求出 x 很好去记啊。 s 是 等于， 呃，八分之三， x 等于八分之三，那么 a h 是 不是很好去求了？ a h 等于八分之三倍的根号十， 那么 ag， 刚才那么 g h 就 等于啊，四分之三倍的根号十，再加上八分之三倍的根号十，那么这个是等于八分之九倍的根号十啊，这是第一个一点，当然还有其他的解题思路啊。呃，这道题的路子也是比较多的啊， 那么我看一下第二个 g e， 如果是在这里的时候 e， 如果是在这里的时候，连接 c e 啊，连接 c e， 那 相交于 h， 这就是 h 啊。看一下交错界上，这是一，这是三。哎，刚才有一个这样的直角三角形吧，一到三的直角三角形，也就是说这个三角形 和这个三角形是什么样子的？哎，是一个对称的图形，是不是？是一个对称的图形对不对？哎，很容易求出啊，这个是一个完全对称的图形，让我们去求的是 c h 的 长度啊， c h 的 长度其实很好去求。呃，为什么呢？我们其实通过这个 倒角你也能知道啊，这里就是一个垂直，这里是垂直，这里是一，所以 a h 的 长是知道的。那么刚才我们求完 a g 是 四分之三，根号十，那么 a a 这个 a h 啊， a h 应该是等于，嗯， 十分之三倍，根号十，利用这个檀筋的 r 发等于三分之一啊，直接代入去求解，那么 g h 长度就等于， 呃，整体的四分之三倍，根号十，再减去 a h 啊，也就是等于啊，算完之后是二十分之九倍的根号十啊。第二位也比较简单。
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04:52查看AI文稿AI文稿大连二模这套试卷当中，几何题仍然是传统的解型思想，如果你解型能力达到一定的程度，这道题简单倒一下角思路，很快就能获得。那么这道题我们应该如何通过解型解决这道题呢？这个视频老李告诉你。 首先这道题的最后一问告诉我们，三角形 a、 b、 c 是 个等腰直角三角形，并且它的腰长是三圆， a 这个圆它的半径是一， 且点 e 在 圆上，且 a、 c 这个角加上角 b、 a、 c 这个角等于一百八，那么从而我们就可以画出两幅图， 这里的点 e 可以 在这这个时候这两个角都是九十度，相加是一百八的，同时点 e 在 ab 上的时候， e、 a、 c 也是九十，它跟角 b、 a、 c 相加也是一百八。所以这道题一定是有两种情况的， 并且这道题又给了我们这两个角的度数是相等的，那么从而我们会发现这个阿尔法角他正好贪 j 的 值等于三分之一，也就是说我们看到了一个已知角，那么有已知角，我们的想法就是要倒角，但是倒角之前我们要知道， 这道题既然圆的半径是一，那这个边是一，那这个边它也是一，那这两个边一定是相等的，并且这两个角又都是九十度，这两个边也都是三，所以我们看到了一个全等， 这个全等能帮助我们更好的倒角，我们会发现那这个是 r， 这个角也就一定是 r 了呗。同时这个角也就是九十减 r， 那 这个角也就是九十加 r。 首先我们知道这里的 r 的 摊 j 的 值是三分之一，那自然这里的九十减 r 的 摊 j 的 值就一定是三了，对不对？并且对顶角这个角也是 r， 所以 首先我们就看到了，并且这两个角它都属于一直角， 自然 a h 的 长度，两角一边我们可以把它解出来。同样的等腰直角三角形里面还有特殊角四十五度，所以说这个角它是四十五度，那么自然阿尔法是已知角，这个四十五度是已知角，这条边又是三。那么在这个三角形里面，我们通过解三角形也能把这里的 a g 这条边求出来， 求了 a j， 再求了这里的 a h， 那 自然 j h 不 就可以知道了吗？首先我们先解一下三角形 b a j， 我 们会发现四十五度和 alpha 都是一致角，所以我在中间做个垂，我们会发现，根据 alpha 的 摊 j 的 值 x 三 x， 根据四十五度，这个就是 x， 而且一比三比根号十，那这条边就是根号十 x， 从而你会发现四 x 等于三 x 的 话，也就等于四分之三，那这里的 a j 正好是根号十 x， 所以就是四分之三倍的根号十。那 aj 求完了以后呢，我们再去求这里的 a h 就 可以了。我们会发现，由于啊这个角九十加 alpha， 他的补角是九十减 alpha， 所以 我们在做垂的时候一定是要往外做垂的，所以这个垂直我们要向外做， 向外做完垂以后呢，这个角就一定是九十减 alpha 了。根据九十减 alpha 的 值是三，所以我们设这个边为 x， 这个边就是三 x， 我 们再根据 alpha 的 贪婪的值，等于的是三分之一，所以这个就是九 x， 对 不对？那你会发现九 x 减去 x， 刚好也就是这条边是八 x， 那 你就会发现八 x 等于一 x， 也就是八分之一了，同时呢，这是三比九比根号十啊，对不对？所以这条边就应该是三倍根号十 x， 那 x 我 们都知道，那这里的 a h 也就应该是八分之三倍的根号十，有了 a h， 有 了 aj， 那 么自然这道题 j h 的 长度也就是把它们俩相加，对吧？也最后就是八分之九倍的根号十了。带着同样的思想，我们再去做下一种情况，其实一样很简单， 我们会发现当点 e 在 这的时候，你会发现，由于圆的半径都是一吗？所以我们能得到一个对称的全等。 当这两个三角形全等之后，方便我们去倒角，你会发现这个是 r， 那 这个角一定也是 r， 根据全等对称性，这个角它还是 r， 那 从而你会发现这个是 r， 那 这个是九十，那这个角也就应该是九十减 r， 然后我们连减三角形都省了，你会发现这是九十减 r 法，那这个就是九十了呗。所以我们会发现，在这个三角形当中，他一定满足的是一比三比根号十啊，对吧？所以我们用一去除以根号十，就能求出 e h 再乘以三，那也就是 a h 的 边就等于十分之三倍的根号十， 那么有了 a j 减 a h， 也就是说 a j 是 刚才求的四分之三倍根号十， 再减去一个十分之三倍根号十，那这道题我们也就可以轻松解决了，刚好就等于二十分之九倍的根号十，那么这道题轻松搞定，同学们，你掌握了吗？点赞收藏，加个小关注，让你的学习少走弯路！
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06:29查看AI文稿AI文稿呃，来看一下大连的这个二模数学题啊，这个题它几何跟这个圆相结合，我觉得还是挺新颖的，挺不错的，挺好玩这道题。呃，然后聊这个题，到时间说明一下。我讲的只是思路，也就是考场中确定性的帮你 确定方向，就是说他求 c 的 长度，我能帮助你求长度是多少，但是你按我这个步骤来，一定会扣分。 当你确定方向之后，然后你再进行，比如说勾股定律啊，相似啊，做垂直啊，这种方法就能把这个结果完善。我只是提供思路啊。好，现在看一下括号一情形， a， b 等于 a， c 等于三，我现在这个括号一，大家在括号上都能做。对啊，这是一对吧，我就直接陷入为主的标条件了，我不读题了， 然后这是二，所以这整个是一三，这应该 c 是 二倍光二，然后他说相切的时候，对吧，所以这直角，然后他问的是 bc 的 长度就是四，二倍光二，一个固定里括号一解决了。好，来看一下括号二这个题吧，我们再来重新审视一下它这个条件啊。 a， d 是 一，我标上 ab 等于 ac 等于三，三，然后呢，圆心半径，然后九十度来看，当 bac 等于九十度的时候， 那 b， a， c 加 c， a 又是九十度，所以 e 应该在这个位置， e 又在圆上，对吧？应该在这同时呢，在 b c 上取点 g， 使得角 b， a， g 等于角， a， b， d 这俩叉相等，这俩叉相等的话，这要三角形，这已经是斜边中线，所以我设它们交为 m， m 一定为 b， c 中点 到这一定得接受。好的，再往下来，求什么 e 的 长度，然后什么射这个东西，然后求这 c e 和 j e？ 我 说实话，因为这一串没有特别清晰的，但是 c e 和 j e 全 c h 和 j h， 不 管它这个 j 还是全能求好。遇到乘法三角形，一个最直接的方法 建立平行数，这个系我射 b， a， c 的 这个中点为 o， o 点的话，零到零我不行，所以剩下点都不要全能表示， 来一打再来啊。呃，我把这个直接到这个位置吧。好，我在这写吧。 a 点应该是零到二分之三倍刚好二。 b 点呢？负三分之，负二分之三倍高二到零，这个我觉得应该是基本功二分之三倍高二到零当二还是原处理。 然后 d 点怎么处理呢？ d 点，我们想一下， d 点应该是圆，和这个 a， d 是 一对吧？ a， d 是 一，既是 a， d 是 一，同时又满足了 啊。这是 d， a 是 一个圆，同时呢， b， d， b， m 是 等于 md 等于 a m， b， d 又等于根号十， b， d 等于根号十，说明啥呀？我设 d 点坐标 m 多 n 吧。好吧， b 等于根号十，是不是 m 加二分之三倍，根号二的平方加上 n 方，应该是等于 十。好，没问题。同时 d 应该是以 a 为圆心的，在它一个圆上，所以 圆的方程我希望大家在初三就是中考之前有必要了解和接触一下，其实一点都不难，所以我直接写了，如果没有圆的方程基础的话。 嗯，那就再说好。 a， d 这个长度是就相当于 a， d 永远是 a， d 永远是长度为一呗。就 a、 d 等于一，都不用圆的基础。所以 m 减零的平方加上 n 减二分之三倍，根号二的平方应该等于一， 这俩方程一连立就能得出 m 等于二分之根号二， n 等于根号二，所以 d 点的坐标就划死了。从 m 到 n 蜕变到了二分之根号二到根号二，这是 d 点，好往下来求呗。 b， d 有 了，刚才特意强调 m 是 b， d 终点，因为角这俩平分，这圈圈平分，这幺三角形斜面中线嘛，对吧？所以 m 点坐标一定能写二，二分之 b， d 就是 应该是负二分之根号二到二分之根号二。好的，然后 m 的 坐标写完之后， am 这条直线能求吧。 y a m 求一下。 y a， m 做完之后应该是二， x 加二分之三倍根号二，然后呢？这点是哪来的？这点是不是 y， a， m 和 a， m 和 b c 的 连利，对吧？我觉得 y 等于零连利，所以这点应该能求出来。 x 应该等于多少呢？负四分之三倍根号二都零，这点也有了啊。这括号打的有点太丑陋了。然后呢，现在求下一点呗。一点怎么求？一点我设为 x， m 勾了。 那还是怎么处理？ e 的 话，首先 a， e 永远等于一，所以，哎，不光 a， e 等于一，同时 e 是 不是在 a b 这条直线上？所以俩方程一个是 y。 算了，我这个换个字母吧，我还是 m 多 n 好 吧，习惯 m 多 n 了。 m 多 n， e， g 在 a b 这条直线上，因为垂，这是垂直吗？ c， d， e 肯定共线，同时又满足 a， e 的 长度 e， 所以 n 应该等于 a， b 这条直线怎么求啊？ a， b 这条直线求求吧。 y a， b 应该等于 x 加二分之三倍根号二，所以 n 应该等于 m 加二分之三倍根号二。同时 a， e 的 长度又等于一，所以 m 方 m 减零的平方加上 n 减二分之三倍，根号二的平方应该等于一搞定，所以我们能求出 m 和 n 应该等于二分之三倍，根号二的平方应该等于一搞定，所以我们能求出 m 和 n， m 应该等于二分之三倍变成一。 横坐标是二分之根号二，纵坐标是二倍根号二。所以其实发现一个事啊，第一这条他俩应该是，就是说白了横坐标相同，平行于 y 轴，但是如果不坐标计算的话，连完第一可能很难发现， 但是，所以，所以辅线可能要想着连接第一，然后证明什么东西其实也很好证，对吧？因为这是垂直这俩半径，所以连完一定四十五度，所以宏观上来看，四十五四十五要虚线延长过来，这一定是直角 也。这也就是为什么我要我想要去聊间隙这个事，就是你通过间隙能发现一些你答案给你的辅助线根本看不懂，答案告诉你，连接第一延长变相胶肯定有。这个我猜的啊。然后这一定是垂直。为啥垂直呢？考场中一定不好想，但是我建完系之后发现，哎， 好像确实啊，横的标相等。那就一定平行于 y 轴呗，一定垂直于 s 轴呗。好，继续没完一点坐标找到了，然后 h 点在哪啊？ h 点是不是 连接 c e 交 a j 于 h 对 吧？ h 点应该在这儿，所以 e 点坐标有了， c 点坐标有了。我求下 y e 呗。 y c e 呗。 y c e 应该连立。求求直线，这个应该很好处理，对吧？然后 y a m 是 不是？这我其实都不用求， y a m 也能求。刚才求完了，应该是二 x 加上二倍根号三， 所以再连累之后 x 啊，我直接写吧。连累之后是不是 h 点坐标？ h 点坐标如果没算错的情况下，我可能计算出错，这个是很常见的一个事，所以 h 点坐标如果没算错就长这样，那 h 点坐标有了。题目问我不管是求 c h 还是求 j h， 不 随便求了吗？对吧？根号下平方结束。
14没事就睡觉
09:20查看AI文稿AI文稿来，我们看一下这道题，这道题是刚刚结束的沈阳市的一个呃，二模的一个数学的压轴题，几何二十三题，来我们看一下啊。 嗯，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 大 于 bc， a、 d 等于 c， d， a、 d 等于 c、 d， 那 么就是等腰对，等角。所以如果这是 r 的 法，它这也是 r 的 法，这应该是一百八减一个二 r 的 法，对吧？ 然后接着 a、 b、 c， a、 b、 c 加上 a、 d、 c 等于一百八，那我的 a、 d、 c 是 一百八减二二法，那我的 a、 b、 c 就 应该是二二的法，对吧？然后将 a、 d、 c 沿 c 的 翻折，那翻折的话，那我的 d、 c、 d 啊， f、 a、 d 就 都应该相等，那么这个角也是阿尔法，这也是阿尔法，那么我的 a、 c 应该等于 c、 f， 对 吧？ 那好了，那接下来他又给了什么？我的 a、 b 等于 b、 e 啊？然后第一问，他说求证， a、 b， a、 c、 b、 a、 c， 那 么就是这个角，对吧？与 e、 c、 f 相等， e、 c， 那 这个角对吧？那这个东西就很简单了， 如果二 r 的 法加一个圈，对吧？假设这是叉，那么等于一百八十度，一百八十度，那我叉加二 r 的 法，那这个角显然也是圈。所以第一问，我们用等补刀角基本就可以解决了啊，没有什么压力，对吧？ 但是我们刚呃看了这些条件之后呢，如果是周老师的学生的话，一定会很容易的发现，我们这叫什么？这叫一线穿角，对吧？ 一线穿角，并且有等腰，那我们这是什么？这叫一线三等角的一个条件标志， 所以我们之后可以呃，往这个方向去思考，对吧？来，我们继续看第二个角， a、 b、 c 等于九十度，那这是一个直角，对吧？然后主条件还在， a、 d 等于 c， d， 对吧？翻折等于的 f， 对 吧？呃，角互补，那这也是直角，所以这就应该四十五，这也是四十五，那这也是四十五，所以这也是直角。那么一线三等角的话，那我一线穿直，对吧？ 然后象限做等角，对吧？这直角，那我做这边也是做一个直角，然后他说什么玩意 啊？他要求证 b、 g 等于一个 b、 e， 言外之意，他就想求一个什么等腰值呗，对吧？那我们看一看啊。呃，条件给了 b、 e 等于 ab， 那 如果这是 x， 那 这就是 y， 对 吧？那我的 ab 就 应该是 x， 加一个什么 y， 对 吧？ 因为一线三锥直，我的 a、 b、 c 和啊，再来一个 h， 呃， a， b、 c 和我的 c、 h、 f 是 全等的，对吧？所以我的 a、 b 应该等于 c h， c， e 是 y， e， h 就 应该是 x， 对 吧？我的 b、 c 应该等于什么？ f h， 那 这就是 x， 那 我的 e、 h、 f 应该是什么？等腰值，所以这是四十五度，那么对顶角相等，那我这也是四十五度，所以很容易挣出我的什么。呃， b、 g、 e 这个三角形是等腰直角三角形，所以我的什么 b、 g 就 应该等于 b、 e 啊，也不难，是吧？来，我们继续往下看啊。 如图三当角， a、 b、 c 是 一百二十度，一百二十度，对吧？嗯，那我互补，那这就应该是六十度。我们之前的主条件， a、 d 等于 d， c 翻折之后等于 d、 f， 对 吧？那我等腰含六十度，那就是应该什么 叫等边，那这也是六十，那这就是六十，这也是六十，所以我这个角是多少？一百二十度，所以，那我就可以怎么办？叫一线穿角、 象线造，等角造完等角之后，这就是一百二十度，对吗？ 好了，那我们继续啊，他说什么？我要求 b g、 e 的 度数， b g e 也就这个角，对吧？那我应该怎么办呢？我继续。如果这是 x， 那 这就是一个 y， 对 吧？因为从前面我们正过来，如果这是个圈，这就是个叉，这也是个圈，对吧？角相等嘛，对吧？所以，呃，我就会得到什么一线 三等角的一个全等，那么这就应该是，呃， ab 等于 b e， 那 这是 x 加 y， 那 这就应该是 x， 这也是 x， 所以 我这个位置应该多少？三十度，那这就应该是三十度， 那这是三十度，这是一百二十度，它的补角应该是六十度。六十三十，那这就应该是九十，所以我们这个地方多少？九十，对吧？ 那我的呃， b e， b e 等于 ab， 那 就 x 加 y， 应该是等于一个八，所以我可以直接把 y 替换成一个 x， 对 吧？那我的 y 就 应该是什么？呃，八减去一个 x， 对 吧？ 然后我们继续来啊，因为我们在之前已经证出来了，这是一个什么？三十、六十、九十的 一个三角形，对吧？我 b e 等于八，等于 a b 嘛？所以我的 b g 就 应该是个四，我的 g e 就 应该是四倍，根号三，对吧？然后它要求的是什么？它要求 b c， 那 刚好就是我们设的未知数 x， 对 吧？ 那这个时候我们应该办呢？含有特殊角，我们就做垂，这有六十度，那我们做一个垂，如果这是一个 h 的 话，这是直角，那我们很容易可以表述出 b h 就是 二分之 x， 那 我的 c h 就是 二分之根号三 x， 对 吧？ 呃，这个比较简单，然后到这的时候，我们基本上这道题已经结束了，对吧？是不是 来我们再再再做一下啊？圈叉应该等于多少度？是不应该等于一个？呃， 六十度，对吧？圈叉等于六十度，然后我们的 f c g， 也就说我条件给的 f c g， 它有 f c g， 应该是多少度？ f c g 是 一百五十度，对吗？那如果我这是一个 r 的 法，那我这就应该是六十减 r 的 法，对吧？那我这就应该是 r 的 法，对吗？那我这个位置就应该什么一百五十减 r 的 法，对吧？那我这呢？这就应该什么三十度减加上一个 art 法，对吧？这是三十加 art 法，这是六十减 art 法，那么我这就是一个直角，对吧？我角 c 这个位置应该是一个直角，那很容易我们就可以得到。什么？这是直角，这也是直角， 这是一个 r 了法，对吗？那么我会就可以得到什么相似形，对吧？我的三角形，什么？呃， a h c， 它就应该相似于三角形。什么？呃， c h g， 对 吧？那我的 h g 也比较好算，它应该是四减二 x， 那 么我就可以得到比例式，也就是什么 a h 比上 c h 等于 h， c 比上 h g 等于一个 a c 比上 c g， 我 们把条件往里标一下，对吧？我的 a h 应该等多少？是不八加上二分之 x 比上 c h c h 有 吧？ c h 是 一个二分之根号三的 x， 对 吧？它就应该等于。 呃，我的 c h， 那 就是二分之根号三 x 比上一个 h g h g 在 这个位置，那就四减去二分之 x， 到这儿我就可以通过呃方程解决问题，对吧？ 那我应该是八加上二分之 x， 括号乘以四，减去二分之 x 就 等于一个 什么四分之三 x 平方。那下面我们就解一个方程，关于 x 方程刚好 bc 就 等于 x， 所以 我们这道题很轻松的就可以解决了。 来计算，留给学生作为作业。
190念天地之悠悠
08:00查看AI文稿AI文稿我们可以看到这一次的几何压轴题，比较新颖的点是把一个三角形和圆进行了结合，其实它最主要的考点在于旋转全等，和子母形相似。好，那带着这个考点，我们来看一下这道题它是怎么出的。首先告诉我 abc 是 一个等腰三角形， a d 也就是我的这个半径为一，圆的半径为一，其实也就在隐藏的告诉我 a d 和 a e 的 长度都为一。 还有一个隐藏的条件，也就是 c a e 加上 b a c 等于一百八十度。首先我们来看图一这个条件，其实也就是告诉我们 b a e 三点共线。 好，那第一问，现在又知道 c e 和圆 a 是 相切的，让我们求 bc 的 长度对不对？相切我们知道这里是一个直角，但是这个地方一定要注意，根据相切的这个切线能够要写的这些步骤，我在这里带大家回顾 一下。因为 c e 与圆 o 相切， a e 是 半径，一定要这么描述啊，所以 c e 垂直 a e， 所以 能够得到角 a e c 等于九十度。有些同学想当然的说好，因为它是切线，所以直接下结论， a e c 是 九十度，这种直接跳步的证明是不可取的，在真正的考试的时候，这个会容易扣分啊。好， 第一问的话就很简单，也就是让我们解一个直角三角形就可以了，对不对？我们来看第二问，第二问的话，它是将这个角 b a c 特殊化，也就是 b a c 这个角度多少不知道了， 那么这个点 e 在 图 e 里面，它非常特殊的告诉我们了，这个 e 是 在 b a 的 这个射线延长线上。这个题首先告诉我的是 b、 a、 j 和 a、 b、 d 这两个角相等，其实也就是这两个角相等，让我们自己找点 e 的 位置。 这道题我们就要想了，因为 e 在 圆上，所以 b、 a 和圆 它有两个焦点，对不对？所以这道题一定要注意，我们要分情况讨论，如果想当然地去延长了 e 在 b、 a 的 延长线上，那么我们就会失去一个讨论情况。 所以这道题首先是图二和我下面的这个备用图。我们看 e 有 可能是在 b、 a 的 延长线上，也有可能是在 b、 a 的 线段上。首先这个题就是涉及到了两种情况，我们再来看这道题，它涉及到了什么？ 这里其实还是考到了几何的本质倒角，因为角相等， b、 a、 j 和 abd 相等，那我们不妨试它们都是 y 或者都是 x 吧，都是 x， 因为这是九十度， b、 a、 c 是 九十度，所以这是个等腰值，对不对？那么根据外角的定理，我们能够得到角 aj、 c 等于四十五加 x， 对 吧？好， 到这为止，我们再来看 a、 b、 a、 c 这两条边相等， a、 b、 a、 c 相等，还有一个圆半径作为隐藏条件， a、 d 和 a、 e 也相等，这还有相加等于八十度。所以这里有一个旋转型的三角形，全等三角形 a、 b、 d 全等于三角形 c、 a、 e 全等啊，刚刚写成相似了，全等于三角形 c、 a、 e， 那 么这个时候 a、 e、 c 这个角也叫 x， 对 吧？ 那我们能够发现这里出来一个等腰三角形啊，也就是说，我的 a、 j、 c 和 e、 c、 g 这两个角相等，那我们求的 j、 h 是 不是转换成 ch 了？ j、 h 进而转化为 ch， 好，那我们现在目标就是来求 c h 了。来，我们来看一下，这里涉及到了一个子母型的相似，三角形 a， e、 h 和三角形 c a、 h， 这两个三角形相似是不是包含在里面？它们有一个公共角 h， 三角形 a、 h， e 相似于三角形 c h a。 那 这里啊，我们来看吧，是不是把三条边的比例关系找出来，那么就可以求出 g h 也就是 c h 的 长度了，对吧？ 好，讲完第一种这个思路，我们来看第二个 e 在 b a 的 线段上，那这个地方是不是还是涉及到了一个旋转型的全等三角形 a， b、 d 全等于三角形 a、 c、 e， 对 吧？通过旋转全等能够得到角相等，那么 x 还是设角 x x 对 不对？来，这个时候我们发现， 通过第一种情况，我们能够知道这里是隐藏了一个子母形相似吧。来，我们来看这个题，我倒完角之后，是不是这里也隐藏了一个子母形的相似，也就是 a e c， 哎，那我们来看一下这道题哪有子母形相似？ 首先角倒完了 x x， 已知 b a、 c， 这里是九十度，对不对？所以角 a、 c、 e 加上角 a、 e， c 是 不等于九十度，因为它俩相等，所以能够得到。 看好了，激光笔画的这两个角相加是不等于九十度，从而能够得出 a h、 e， 它是九十度的，这里跟上没有来，在这里如果没跟上的话，我们再来标注一下啊，角一、角二， 来辅助大家角一、角二、角三，因为 b a、 c 是 九十度，所以角二加角三等于九十度。通过刚刚我们得到的旋转形全等，还有角互导，能够得到角一和角二相等， 所以角一角三相加等于九十度，能够得到 a h e， 它是不是一个九十度的角，从而能够看到这两条线是垂直的？这里是不是也隐藏了一个子母型的相似，或者是说摄影定律， 对吧？好，那我们来看一下啊。所以我们能够得到三角形 a h e， 它是相似于三角形 c h a， 也相似于大的这个三角形 c a e， 那 我们求 g h， 通过相似我们是不是能够求出 a h 来？然后我的目标是不是在解直角三角形，把 a j 求出来就可以了，对不对？那么 a j 这种求法有很多种，首先我的一种思路是不是就可以过点 a 往下做垂直？ 根据 amg， 这是一个直角三角形，是不是解出 aj 来？所以我的主要目标求 jh 的 目标就是求 aj 减 h， a h， 通过相似来 aj， 通过减三角形即可。好，所以说这道题新颖的点就是在于三角形和圆进行了结合，把 边等隐藏在了圆的半径上，所以这个地方有个旋转型全等，很多同学就掉到坑里了。
22初中数学小宋老师
10:14查看AI文稿AI文稿大连二模几何压轴题二十二题，这真不按套路出牌啊，好多小孩到这块直接心态崩了呀，没见过这么出的啊，我们正常二十二题的几何压轴题应该没有圆啊，我们前面已经出这道圈，前面已经出过圆了，怎么又考一个圆啊， 这有可能是不是南方的那个考试的风格啊，或者是模仿哈尔滨出题方式啊，好多小孩这块就直接就心态炸了。 但是啊，耐心的小孩发现，这道题其实啊，他就是我们一个解三角形跟圆的关系吧，不大啊，所以 稳住，然后听老师怎么去解的这道题啊，我们秒杀方法可以说可以通过我们一二三等模型，那么常规方法那就全等相似呗，所以这道题老师打算用两种方法给咱们小孩去解决一下啊。来， 在三角形 a b， c 中， a b 等于 a， c 等于三啊，这两个边长相等都是三，我直接标三吧啊，然后点对，是在 a c 上一点，而且 a 的 长是一啊，那我就标的具体一点，这是一，这是二啊。以点 a 为圆心，以 a 的 长半径画圆， 圆半径是一啊，那这块也是一，然后这块也是二啊，没毛病是吧。然后点 e， 在 这个圆上写这个角， c a e c a e 加上角 b a c c a e 这个角加上 b a c， 一 百八十度 啊，他俩这邻补角啊，互补是吧。然后分界小组延长， b a 与圆 o 相交于点 e， 找到一个符合条件的 e 的 位置啊，那你这个不就是吗，相当一百八吗？邻补角是吧。 进一步发现，当 c e 与圆 a 相切时啊，圆 a 相切时候，那就一致条件相当于相切了啊，可以求出 bc 的 场 bc， 那这太好求了，你这个半径是一。完了，这块是三，你勾五极，你是不能勾出 c e 了啊，就是三的平方减去一的平方啊，那就是这块这块 c e 的 方，它是不就得八， 对吧？ c e 的 二倍根号二，然后你这个它的方八，它的方呢？就是四，四个平方，十六 十六八加八根号，这不就是我们 bc 长吗？那第一分配分了，相当于是吧，这个等于二十四，完了，开根号四六二十四，二倍根号六，所以啊，我们这个 bc 长二倍，根号六啊。第一问，来个购物经理就解决了。好，下面我们来看第二问， 瑞斯小组将 b a、 c 特殊化，打特殊了，说如图二，让这个 b a、 c 是 九十了， b a， c 是 九十，那你这个 c a、 e 是 绝对的是九十，因为主题当中这两个角的和式一百八十度是不变的，对吧？ 然后连接 b 对 儿，在 b c 上取一点 j， 在 b c 上取一点 j， 使得角 b a， j 等于 ab， 对 儿啊，这两个角相等，你看 b a， j 等于 ab， 对 儿啊，这角就相等， 在原上找到符合条件的点 e 的 位置。那第一种情况还是呗，你把这个 b a 延长，那肯定就符合呗。啊，就是第一种，第一问的，它不就是延长那个 b a 吗？你这临补角互补，而且更特殊一点，都垂直嘛。啊，因为那个 b a、 c 特殊了， 那第一问的时候 b a、 c 不是 个钝角啊，它是个锐角，现在俩都是九十，对吧？然后找到合适的位置，并且做直线， c e 做直线 c e 啊，与 ga， 这个直线与 ga 在 哪呢？在这呢，与 ga 这个直线相交于点 h 啊，这块有点长了啊，咱们给它短一点， 先求点 h 啊，就是让我们求 g h 的 长。那这道题肯定是两种情况啊，一个是买啊，点 e 在 这面，还一个是点 e 在 这也行啊，你个 c e， 它不也得是九十吗？对吧？一个是在右上方，一个在左下方，我们先求这个 这道题。孩们啊，秒杀方法一二三四五模型，这是一，这是不是三？那么弹进的 r 法是不等于二分之一，三分之一，对吧？弹进的 r 法是三分之一，这个弹进的是不是三分之一？哎，然后你这块是不是四十五度？ 孩们，一个三分之一，一个四十五度，你做条垂线，这块我们设为 h， 那 你是不是能求出 a j 和 b j 解三角形吗？对吧？ 啊，那你就算这个，这个你不用一二三四五，你这会解三角形，你正常该写过程是不也能会写啊？你就是这块长度是 a， 他 就是 a， 嗯，他就是刚好二 a， 然后一比三，这块是不是三 a， 那 弹性二法等于一比上这个三吗？对，这块是四个 a， 它等于三，那 a 等于四分之三， a 等于四分之三，你这块是不是根号根号十 a， 这不一比三比根号十吗？啊，所以 a 这长就求出来了， a g 等于四分之三乘以根号十四分之三倍，根号十，是吧？ 然后就差一个这个 h a 呗，是吧？ h a 咋求呢？孩们，刚才老师说了，秒杀方法一二三总模型啊，常规方法咱们就再说啊，常规方法相似，全等呗。咱们先说秒杀方法啊，孩们，这个角正七，我们能求，为什么 它是四十五度啊，它是三分之一，这个一加上三分之一，那么这个正七它就是二 一二三四五啊，这个正七是二啊，我们还知道什么这个正七它也是二，为啥啊？咱们第一问的时候， 就这个角和我们这块这个角就相等，假如说没有第一问，你看这块咋，它为啥这俩角相等啊？为啥这个角它也是阿尔法？因为全等啊。孩们， 你这个 a、 e、 c 和我们 a、 d、 b 它全等啊，为啥全等啊？ a、 c 等于 ab， 是 不是得三？ 完了，这块垂直，这块垂直是不一个角，你这个 a、 d， 它得 a、 e 是 不都是半径是不都是一？你全等完之后，这块是不是 r 法？哎，它是 r 法，这块是不是四十五度，那么四十五度加一个正切三分之一，这个大角正切是不还是二？ 哎，然后 c 这长，你是不是知道，这相当于是不是一个等腰三角形？ h g、 c， 然后你底边长，知道的，因为这是三啊，底边是不是三倍根号二，然后你 b 这长也知道，你减，你这个 g、 c 长是不就出来了 啊？然后就是两角一边，你做垂线剪三角形，这个可以秒杀方法啊，好像计算量也挺大，是吧？那么咱们再讲讲常规方法啊，斜过程怎么写不相似哈。那你这块是 r 法，这块是不是 r 法？ a， 那 么三角形 h、 e、 a 和三角形 h、 a、 c 是 不相似？ h 是 公共角，这是 r 法，这是 r 法，对不相似？比是不就是这个一比上我们这个三 相似比一比三的话，你说这是 x， 这块是不是三 x 一 比三是吧？那么相似比，你这个 h、 a， 它对呢？是不是 h c， 那么 hc 它是不是就等于九 x， 而我们这个 hc 它是不等于我们这个 h e a x 是 x， 加上我们 ec ec 长，你勾股定顶的球啊，这是一，这是三， ec 长不就等于 b d 吗？对吧？一三勾股定顶加上根号十，哎，所以八 x 它等于根号十，那么 x 等于八分之根号十 啊，完了，我们这块是不是三 x 三 x 就是 八分之三倍根号十，然后再加上我们这个 a j a j 它是八分之六倍根号十，是吧？啊，加在一起就八分之九倍的根号十，这是我们第一个答案。 好，这个秒杀方法一二三四五以及常规方法啊，老师都讲了，那么下一个点 e 在 这呗， 我们就在这个图上画，相信孩儿们能看懂啊，这是 e， 那 就更简单了，你此时这个 a d b 和我们这个 a e c 是 不是还是那个啥的全等的啊？还是角边角全等？全等完之后，这个位置它是不还是 r f 啊？这回让我们求啥？ 求啊，这块相交相交于点 h， 这更好求了。孩儿们，你这是 r f， 这是 r f， 那 你这块是不是垂直了 啊？你垂直那不就更好办了吗？你为啥垂直？因为他加他九十，被阿凡跑这个位置了，那么他加上这个也是九十，哎，所以说你通过等面积，这是一，这是三，完了，这是根号十啊，你用三除以根号十，就是我们这个 a h 的 长， 那就是十分之三倍的根号十，然后你用这个 a g a g， 咱们刚才是不是求完了，在这呢，减去十分之三倍的根号十，那就是我们这个 h g 的 长，那你这块通过分吧。 呃，同分的话，呃，用这个四分之三倍刚好十啊。用二十四五，二十十五倍刚好十。减去呃，六倍刚好十，那就等于二十分之九倍的刚好十。所以另外一个答案啊，二十分之九倍的刚好十。 孩们啊，这道题的常规化就是你全等，然后相似 这种方式写过程，那肯定一点不扣分的啊。秒杀方法，一二三四五模型，孩们想具体了解的留言，老师教你们这道题啊，建议咱们大连以外的家长把这道题点赞收藏截图给孩子先做，然后听老师的视频讲解。因为正常我们二十二题出到这个圆，可能孩子就有点蒙啊，特 别是我们这块这个圈等和相似，真的有点不太好想，也有点结合的圆那个知识。好，那么本题我们讲到这。
142佟老师数学
28:01查看AI文稿AI文稿好，我们接下来看沈阳二模第三个问啊，在讲第三个问之前呢，我们先来看一个小模型， 这个模型长什么样呢？咱观察一下啊， b a， c 三角形 b， a， c 是 一个直角三角形， 然后呢， b， c 是 斜边过点 a 向斜边做一个高，是吧？ a 个，那么这个三角形啊， 直角三角形斜边上的高。好了，这个三角形咱观察完了。好，那它会出现什么结论呢？会出现什么结论呢？咱们来第一个结论， 咱们推导一下啊，如果做题的时候，考试的时候要出现了，你不能，这个结论不能直接用，因为他不是定力现在，那么你可以推导，怎么推导呢？第一个结论看， 为了方便咱们设角了啊，设置角是角 e 啊。第一个结论，角 e 和角 c。 好， 那怎么正的呢？看角一加 这个角啊，加这个圈得九十度，角 c 加这个圈，那很明显也得九十度，因为三角形 a 个 c 是 一个直角平行，对不对？两个锐角互余关系，那么角 e 加圈的九十度，角 c 加圈也得九十度， 那么咱们就可以推出角一得角 c。 好， 第一个结论，同理，同理啊，那么角这个 c a 的 等于角 b c a 的 得角 b 啊，那怎么推出 c a 的 得角 b 呢？ c a 的 角 c a 的 等于角 b。 怎么正？一样的原理， c a 的 加角一得九十度， 那么角一加角 b 也得九十度，因为三角形 a 得 b 是 一个直角点形，所以同样的原理啊，角 b 等于角斜的。好了，这是第一个结论，角的关系，那么咱们看第二个结论，推倒，就按刚才的推啊啊，第二个结论， 第一个三角形 a、 b 的 相似于三角形 c、 b、 a。 好 了，那 a、 b 的 这个小三角形三角形 a、 b、 a 相似 好了，那怎么推相似呢？你看啊，怎么推？非常好推，因为你看 a、 b 的 这个三角形和 c、 b、 a 这个三角形都含一个公共角 b， 对 不对？刚刚呢，咱们又推出角一得角 c， 是 不是那一个三角形？一对三角形当中有两个角相等，那两个三角形相似 对不对？好，那么有同学说了，相似干啥用啊？那相似干什么用？找对应边的关系。所以咱们今天推出咱们今天所要讲的 这个模型，叫摄影定理的形式。那么咱推第一个小结论，你看啊，两三角形相似，对应边乘比例，我就有 ab 比 b a 啊， ab 比 c b， a b 比 c b a b c 等于 b 的 b 的 比 b a， 那 么 b a 写成 ab 好 了，那你看， ab 比 bc 等于 b 的 比 什么？ ab， 咱就可以推出什么，咱们就可以推出。所以就有 ab 的 平方交叉相乘等于 b 的 乘 b、 c。 啊。有的同学老师，那咋记呀？啊？咋记？非常好记，你看，既然你起这个名字，你看，设原理， 你这么想，假设一，一束阳光在这照过来，你看 ab， 它的影在不同的时间，影子可以是 b 的 好，在不同的时间，这个影子可以是 b、 c， 对 不对？来， ab 在 这，影子可以是 b 的， 影子可以是 b、 c， 所以 ab 的 平方就等于 b 的 乘 bc。 是 不是？这么记？好，接下来第二格相似，第二格相似我就不正了，我给它写出来，啊， 啊，第二根相似三角形，这个 c、 a 的 相似于三角形 c、 b、 a。 啊，那么也是用同样的方法能推导出。你看咱现在啊，咱先不拿这推，按照我刚才教你记的方方式，阳光搁这照过来， 照在 a、 c 上， c 的 可以是影子， c， b 也可以是影子，所以你就能推出。还是利用这个比例关系。我不写了啊，可以往下了，能推出 a c 方等于 c 的 乘 b， c。 好，第二个结论，那这个结论你是不能直接用的啊，你得先用相似推导，先写相似，先证明相似，再写出别的关系，再推导出这个结论啊。填空选择可以用大题呢，需要证明啊。第三个结论， 三角形 a b 的 相似于三角形 c， a 的， 那同样它能得出的结论是 a 的 方等于 b 的 乘 c 的。 那这个怎么记呢？也是同样的原理啊，也是同样的原理把。 a b 是一根棍，是不是一根杆，那阳光搁这照过来，影子是 b 的， 阳光搁这照过来，影子是 c 的， 所以 a 的 方等于 b 的 乘 c 的。 你可以这么记啊， 加深你记忆。但是如果要写大题，你需要三步啊，第一步，证明两个三角形相似，第二步，写出比例关系，第三步，导出这个结论。 大题不能直接用啊，需要这个三步骤。好了，那么咱们把 这个模型啊，咱给它起名叫射阳定礼，是不是？哎，你愿意叫啥叫啥啊，你就是这么理解它，方便你理解好了，因为现在教科书上呢，初中教科书已经把它删掉了啊， 就是说书上没有没有直接这个结论了，但是呢，很多题当中仍然用这个相似来证明它啊。好了，那么沈阳的这回的二模的最后一个问，用的就是这个小模型 啊，这个小模型的一个小拓展形式啊。好了，那咱现在看沈阳二模的第三个问 好，那么第三个问之前呢，咱们回想一下，咱们已经讲过了第二个问，第二个问呢，咱们用了两种方法讲，那么咱就不 过多赘述它，咱们直接观察这道题，然后呢，直接用第二个的方法，把这个第一个问，把这个括号三第一问直接给它求出来啊。 ok， 读题 ab 大 于 bc， a 的 得 c 的 角 a， b c 加角 a 的 c 等于一百八十度，将三角形 a 的 c 沿 c 的 翻折，得到三角形 f 的 c， f 的 c 啊，这两个是翻折的关系，那只要是翻折，咱们非常清楚， c， a 等于 c、 f 这两个角 相等，对不对？哎，因为是翻折的关系， b， e 等于 ab 啊， b， e 等于 ab。 好了，括号三添了一个新条件，角 a、 b、 c 得一百二十度。好了，那咱第一个问，让咱求圆圈一，让咱求 b、 g、 e 的 度数，求这个角度数， 求这个角，看这个角是多少度。好了，那咱回想一下咱们第二个问，因为这道题已经是第三个问了吗？那前两个问的 方法一定在这个问当中有应用，对不对？因为现在出题的形式就是前两个问的这个结论 或者方法，在第三个问当中肯定或多或少的有应用，那咱们看怎么应用它啊，怎么把这结论应用出来。那么咱们快速回想一下前两个问，咱们证明的 这个结论啊啊，第一个问让咱证明的是这两个角相等，是不是第二个问呢？证明的是这个 be 等于 bg 的 啊，这个问用不上了，但是第一个问的方法咱能用上。好，那咱回想一下 括号一的时候，这两个角怎么正的啊？回想一下来看新的已知角， a、 b、 c 的 一百二十度， 那么 a、 b、 c 加 a、 d， c 的 一百八十度，所以这角是六十度，没问题吧？这是一百二十度，这是六十度啊，那它的补角 a、 b、 c 的 补角也是六十度。好，继续。那么由于告诉你了 a、 d 的 什么 a 的 等于 c 的， a 的 和 c 的 相等，那么等腰三角形当中有一个六十度，所以 a 的 c 是 一个等边，所以这是六十啊，这个角都是六十，那么翻折这个角也是六十度， 对吧？好了，那这时候你观察到一个特点了，说什么 a、 c、 f 得一百二十度，那你回想回想咱们 快二讲的，那马上想到了什么？一线三等角的那种形式是不是好，或者 什么呢？或者你证明的方式，我又教了你第二种截长补短的形式是不是？那今天呢？一线三角我觉得比较简单啊，考试的时候呢？ 呃，他要提高难度呢，因为一夜三等角是八等题，非常经典的一个小模型啊。那么咱们今天用第二种方法，就是说上一个问讲的用截长不短，构造全等的那种形式，咱们扶一下那种方法。那种方法呢？在之前的 沈阳或者这个其他地方的一些考试题当中呢，都出现过啊，就是没有新中考之前，那么都出现过这种构造三角形的形式，咱们今天着重讲福一下这种形式。好了，那么咱回来 a、 b、 c 的 一百二十度， a、 c、 f 的 六十度。上一个问我已经讲了，马上就能挣出这两个点相等，那有的时候老师我忘了，那我再给你说一遍啊，你看一百二十度加小圈 加小叉等于一百八，是不是？那么小圈小叉一百二十度，这三个角相加也是一百八，那圈是公共部分呢，都含的，所以这两个叉就相等，对不对？好，这两个叉相等，那你看 c a 还得 c f。 那 你观察了，边相等，边相等，角相等，角相等，我把这小圈先叉掉啊。叉相等，叉相等，那你看上一个，我已经说了， 边相等，边相等，角相等，角相等是一定可以构造全等的，是不是一定可以构造全等？那怎么构造呢？非常的直接，你看很明显边边角角 a， b 这个边比什么比 c 这个边长太多了，是不是？所以我怎么办？在 a b 上上一根，我已经说了，截取一点 h， 使 a h 等于 c。 好 了，这 a、 b 上截取 a h 等于 c， 连接 c h。 这我就简写了啊，搁不下，因为咱还要写圆圈二呢。 连接写 h 好 连上，那非常明显吧。你看我刚才截的 c， e 等于 a， h， c， f 等于 c， a 角角相等，所以这两个三角形边角边相等呗，所以就简写了啊。三角形 a、 h， c 可以 全等于三角形 c， e、 f。 看这条线 s， a， s 啊，构造三角形等，这种方法一定要会啊，这种方法比较常考，以前沈阳中考题考过啊，就是在 没有新中考之前，沈阳单独出题的时候啊，他们沈阳单独自己出题考过。这种构造全等的形式，你要记住啊，边角相等，边角相等是一定可以构造全等的，那 截取它跟 c 相等就可以了。好了，那这两条线已经全等，所以我就得到什么呢？ a、 h、 c 等于 c， e、 f 啊，全等吧，所以角 a、 h、 c 等于角 c、 e、 f。 好 了，刘静春老师，你这 a、 h、 c， 你 得它有啥用啊？那当然有用了，你别忘了， 你始终别忘了这个条件了， ab 的 b。 好， 那你看， ab 的 b、 e， 你 又截的 a、 h 的 c、 e， 所以呢，等量减，等量，你就能得到 什么 b、 c 的 b、 h 啊。我再说一遍， b、 e 等于 b， a， a、 h 等于 c e， 所以 b、 c 等于 b h。 是 不是啊，这个很好理解。又减写了啊，我就能得到 b、 c 等于 b、 h。 减写了啊，且合在一起写勾下了啊，且角 abc 的 一百二十度。 那所以呢，它是一个等腰啊，是不是 bc 等于 h， 这个角 abc 还是一百二，所以这两个角都是三十度，是吧？所以我就能得到啊，所以角， 哎呀，角，这个我就简写了，跳一步了，要不搁不下了啊，所以我就能得到角 a、 h、 c 等于一百五十度，对吧？我就跳了一步啊，因为我这个 b、 h、 c 不 得三十度吗？所以 a、 h、 c 补角就得一百五，那 a、 h、 c 得一百五，我就能得到谁 角 c、 e、 f， 它俩相等啊，也得一百五。好，这个角是一百五十度， 那如果这个角是一百五十度，他的补角就是三十度啊。那你看，刚才由于 abc 得一百二，我走出他的补角是六十，这是六十，这是三十，所以这个角多少？九十呗，是不是？所以我就能得到角 b、 g、 e， 我 就跳了啊，等于九十度。好了，这是圆圈一看圆圈二，圆圈一，比较简单，是不是？好了，那我还要再说一句话， 这个括号三，有两个问，他突然让你第一个问，求了一个 b g、 e 等于九十度，那他肯定是有应用的，要不然不会两个问，当括号三呢。给你 出了两个问，那这个 b、 g、 e 有 两问肯定是对括号有帮助的啊。对圆圈二有帮助的。那我看帮助是什么？你看 这个角已经证明是九十度，他是三十度，他是六十度。那你看你的条件， ab 得八， ab 得谁呀？别忘了 ab 得 b、 e 啊。那 b e 也得八，那你想到啥了？想到八一，非常经典的一个定力 考试，是必考的班级必考的一个命题。什么三十六角？在直角三角形当中，三十六角所对的直角边等于斜边的一半，对不对？所以我就能得到 b g。 我 就简写了啊， b g 等于二分之一， b e、 b、 e 不 得 a、 b 都得八吗？那就等于四。好，现在告诉你， b、 e 得四没问题吧， ab 还得八， 这是八。看最后一个条件，什么 f、 c、 g 得一百五，有的同学在这就肿迷糊了啊，又正相似又正啥的，肿迷糊了？你看他告诉你 f、 c、 g 得一百五，他想干啥呢？ 考试的时候你就拿铅笔啊，你拿铅笔，你就在身上把这个角都给它标出来啊。拿铅笔标，有的同学拿那个小碳素笔，哈哈，一顿画小图画的 老乱了，后来都看不清。你拿铅笔都给它标上，你要后来觉得乱再擦掉就行了呗，对不对？你看这个角是一百五十度， 这角是一百二。那你马上想到了啊，这角是一百二，这角是一百五，那相加是二百七。那所以告诉你啥呀？间接告诉你啥？ 间接就告诉你这个角是九十度呗， 对不对？这一点是九十度呗。因为周角是多少？三百六啊，所以一百五，一百二，所以这个点就九十呗，所以我就能得到 由。他是一百五。他想告诉你啥呢？他想告诉你，我就简写了，又搁不下了。他想告诉你， a c g 可求 角 a c g 的 九十度。他想告诉你，他是九十度，他是一百五，就这个用的好了。哎，他说，那我知道了，我知道他是九十度，那我干啥呀？你看 九十度数，在这个三角形 a c、 g 当中，你看斜面是知道的， b g 得四， a b 得八，是不是？斜面是知道，其实斜面是十二。好了，那咱看求啥？求 b c， 尤其是 b c， b c 又蒙住了。 那你只要你把角都一标，你并不陌生啊。你看这块是求 bc， 它的这个角是六十度，上面这角是一百二，是不是？那遇见特殊角有求 bc？ bc 边有一个特殊角， 还是拿铅笔，不行咱再插呗。遇见特殊角还是求 bc 干啥？ 反复说过吧。做垂线呗。遇见特殊角做垂线，利用三角函数或勾股定比咱设垂足为 a b c。 呃， q 啊，没有 q， 咱设它是 q 啊，咱设它是 q， 所以呢，看设 b c 是 x， 是 不是？如果我设求 b c 呢？设 b c 等于 x， 那 么折 跟 bc 有 关的这个直角三角形中的每一边都能求。那你看这个角是六十度，刚才咱做的垂直上边这小角是多少度？是不是又给它标上三十度 啊？这个角是吧？三十度角又用上了所对的直角边等于斜边的一半，所以 b q 就 等于 bc 的 一半，等于二十。 好，那么用三角函数啊，或者用勾股定底，我就能求出 c q， 对 吧？在 r 这三角形 c b q 中，用三角函数也行，勾股定底也行，我能求出 c q 啊，那么 c q 求完了，它等于二分之根，号三 x。 大题你不能直接用比例啊。有的同学说，老师你做的麻烦，我用什么勾股定比呀，我用什么三角函数啊，这是三十六十九十的单型，那么 它的边数比是一比根三比二嘛，所以它是二分之一 x， 它就是二分之根三 x 呗。但是呢，大题不能直接用，你得用勾股定比或者用三角函数求一下啊。虽然说你这个结论是正确的，但是大的不能直接用啊。好了， c q 有 了， 那你只要这小垂线你一做出来，你再敏感一些，你就马上看到了。什么玩意， 这个模型摆在眼前了，是不是摆在眼前了？你看我这斜边上的高 a 的 方等于啥来着？等于 b 的 乘 c 的， 所以你现在马上就知道了啊，我这个 c q 方啊，这不是斜边上的高吗？等于两个点， 什么 q g 乘另外一边的影 q a 嘛， 对吧？啊，你脑袋马上就能看见它了。如果你这个非常熟悉的话啊，斜边上的高等于什么？ a q 方等于它俩 b 的 乘其的是不是？好，那你现在看，现在看， 我 c q 方等于 q g 乘 q a， 你 在朝指上啊，这是朝指，那就是二分之根三 x 乘等于 q g， q g 是 多少呢？是四点二分之 x 等于说，为啥？是啊，你看 b q 是 几是 x， 二分之 x 吧。 然后刚刚求完 b g 的 四，这边是四，它是二分之 x， 所以 它就等于四减二分之 x。 那 q a 呢？ ab 一个条件八， b g b q 是 二分之 x， 所以 a q 等于什么？八加二分之 x， 所以你看，你只要在草纸上你写出这个，你发现啊，这是关于 x 的 一个方程，这些答案不就出来了吗？对不对？把 x 解出来就行了，但是你大题能直接用这个结论吗？不能吧，这是什么的？需要证明两三角形相似。好了，两三角形相似，非常的简单 啊，非常的简单。那么正一遍，你看这个角刚刚教的你咋正的吧，这个叉跟这个叉是不是相等？为什么相等呢？叉加这个角得九十， 叉加这个角也得九十啊，所以这俩角相等对不对？俩叉相等，然后呢，这个是九十度，这个也是九十度，有两度角相等，是不是？哎，这是什么？ c q g 和 a q c 两个角相等，都是九十度，所以两三角形相似，这也就是三角形 c q g 相似于三角形。对应啊，一定要对应上 a q c a q c， 所以 就有什么 c q 比 a q 等非常干一些就清楚了啊。然后呢， q g 比 q g 比 q 七， q 七就给它写成 c q 吧，所以就有 c q 方等于 a， c q 比 a q 啊，这是 a q 啊， c q 比 a q， 那 c q 方等于 a q 乘 q 一 啊，你代数就可以了。所以二分之根三 x 的 平方等于 a q 是 八加二分之一 x， t g 是 这个四减二分之一 x 整理完这个方程，整理完还比较简单的，是吧？整理完了是这个方程，整理完是 x 方 加二， x 等于三十二。那这方程有同学说了，老师，我不会觉得配方这数挺大呀，不是公式法挺大呀，用啥公式法？用配方法呗，主要两边同时加一啊，所以左边就变成 s 加一了，行不？ 右边变成三十三呗。所以 x 加一等于正负，根号三十三，所以 x 等于负一 加减，根号三十三，那么很明显负值舍去呗，对不对？因为这线段长嘛，所以就简写了啊。对， x 就 等于负一加根号三十三。咱们写一下顺序，调一下顺序，根号三十三减一，所以 b c 就 等于 根号三十三减一，对吧。好了，那咱回想一下，这样子就完事了。你看，这就是沈阳这个 二模的压轴的几何的最后一个问啊，龙岗也考的是这条卷啊，那这个题整体不是说特别难，但是呢， 就是很多同学被这一百五度给迷惑住了啊，被这一百五度给迷惑住了，不知道他啥意思了。 那你只要把这些角都标出来，用铅笔都给它标出来啊，一定要用铅笔标啊，你别拿那个黑笔上标去，都标乱了啊。标完之后你发现啊， a c、 g 就 得九十度呗。他想告诉你 a、 c、 g 得九十度， 那么告诉你 a、 c、 g 得九十度，然后你已经求出 b g 了，这个 ab 也有，然后还是求 b c， b c 边上跟 b c 接触的角还是特殊角，是不是？所以你这个小垂线 你做一下也无妨啊，你不行再插呗，你做一下，你做一下之后，你马上就如果你要做题足够多的话，马上想到这个小模型了，那你就知道了啊，我中间这个高是等于他俩的乘积，那中间这个高能跟 b c 有 关系， 这两个边也能跟 b c 扯上关系是不是？所以那关于这个 x 就 能列一个方程，这 x 就 能解了， 有没有问题？是不是所以这道题呢，就看上去非常的墨迹啊？但是其实呢，你只要题型足够多，平时多注意总结你就能会啊。但是呢，最忌讳做完题回家不看。 上课老师讲完一遍了啊，还挺明白，各两句话，我给有的学生讲题就是平时说的可好了，我说回家看一遍啊，再重再重新做一遍答案可好了，不做回家。
14:53查看AI文稿AI文稿同学们大家好，我们一起来看一下鞍山市刚刚结束的二模考试当中的第二十二题，几何压轴题。那么这道几何压轴题呢？它并不是很难啊，我们在八年其实就做过此类题型，它主要考察的是一个旋转的数学思想， 那其中前两问呢？主要考察的是绊脚模型以及变形啊，那么最后一问考察的是终点的用法。 好，我们先来看一下第一题啊，那第一题呢，其实就是绊脚模型的结论，这里的 e f 应该等的是 a f 再加上 c e 啊，那相信在考场的同学们一定是可以做出来的，那在这里老师就不浪费时间给大家进行讲解这个过程了啊。 好，那接下来第二问，这里的的 f 等于的是五的 e 的 长度等于的是十二，让你去求这个正方形的一个周长啊，那其实绊脚模型当中有很多结论，那其中有一个结论就是三角形啊， f e d 的 周长，它应该等于正方形周长的一半，其实也是根据我们那第一个结论得到的，因为这里的 e f 等于的是 a f 再加上 c e， 所以 我们知道这里的 a d 再加上 c d 就 应该等于的是 d f 再加上 d e 再加上 e f。 根据高普定律，我们知道 e f 的 长度应该等于十三，所以正方形的周长应该等于的是二倍的这个三角形的周长，所以应该是五，加上十二再加上十三，再给它乘以二，就是正方形的周长， 这个相信大家在考试当中也是一定可以做出来的啊。好，那接下来我们看一下括号二相当于是半角模型的一个应用啊，除了已知条件当中 m、 b， n 等于的是一个四十五度角啊。 出题者还给了一个已知条件，是这里的 c、 e 和这里的 a、 f 是 平行的位置关系。 好，那接下来我们看一下求证的是什么啊？它想要得到的是这里 a， m， m， n 和 n、 c 之间的一个数量关系， 那咱们用圈一、圈二和圈三啊，也就是说这三条线段的一个数量关系啊。那还是要借助旋转的一个数学思想，我们可以把三角形 b， c， n 绕着点 b 给它逆时针转九十度。 好，把它逆时针转九十度，其实相当于是得到一组旋转型的全等啊。好，那这个辅助线我们可以怎么样来描述呢？其实我们在八年级就会啊，应该是过点 b 去做 b k 垂直这里的 b， n， 并且使 b k 等于的 b n。 好， 那接下来我们看这个全能可以怎么正啊？由于我们做完了辅助线，我们知道这里的 b、 k 和这里的 b、 n 相等。 其次我们还知道什么呢？正方形 abc 的 这个角应该是一个九十度角，那在点 b 处还有一个九十，那咱们不妨会推导出来，这两个叉号角它应该是 相等的啊，那再加上正方形，它的边长是相等的， ab 和 bc 是 相等的，所以我们会得到这两个三角形应该是一组旋转型全等。那通过这个全等，咱们就可以把圈三这个条线段给它进行转移，转移到这里的 ak。 好，那接下来绊脚模型，它一般是两次全等，先来一次旋转型的全等，再来一次对称型的全等。所以接下来我们应该把这里的 k m 连上，连上我们应该正的是三角形啊， k b m 和三角形 n b m， 它俩是一组对称型的全等。 好，我们来看一下条件，这里的 b k 和 b n 是 相等的， b m 是 一条公共边啊，那它是四十五度角，这里的角 k b n 还是一个九十度角，所以它也是一个四十五度角啊，那么 s a s 就 可以证明这种对称形全等，那么我们就可以把问题线段当中的 圈二这条线段给它进行转移啊，转移到这里 m k 来。 好，那我们会发现啊，这个问题当中的三条线段都被我们首尾顺次连接起来，组成了一个三角形啊。那我们想要探究他们的一个数量关系，不妨去猜测一下，这个三角形应该是一个直角三角形， 那我们只需要去证明这个角它是九十度角就可以啊，那正，它是九十度，还是要利用上我们全等当中的对应角相等， 由于我们的全等，所以我们知道，哎，对应角相等，圈和圈应该是相等的，对吧？那么接下来怎么去正它是九十度呢？那你要看什么已知条件你没用上。首先这里的 a f 和这里的 c e 这组平行的条件咱们就没用上， 根据他俩是平行的，再根据正方形，这里的 a e 和这里的 c f 也是平行的，所以我们不妨会得到一个平行四边形 a f c e。 那 平行四边形有的条件应该是什么？他应该是对角是相等的啊，所以我们会得到这两个对号角是相等的。 好，那再点 c 处圈号角加上对号角应该等于是九十度啊，那我们再来看，再点 a 处圈加对号数也依然是九十，那我们就可以证明他是一个直角，他是一个直角三角形啊， 那根据直角三角形，我们就可以得到它三边之间的一个数量关系，应该是 ak 的 平方，再加上 am 的 平方，等于的是 mk 的 平方啊，那么 ak 我 们给它转化成这里的问题线段就是 c n。 好， 那 am 也就是问题线段不用变好，再看这里的 mk， 应该是这里的 mn。 好，那他们三个之间的一个数量关系就出来了，那么我们的第二问就解决了。好，那接下来我们一起来看一下括号三啊。括号三呢，它主要考察的是终点的用法，给了你一条线段的终点，那我们知道终点它在中考当中呢，一共有四种用法， 那适应这道题的应该是有两种，第一个呢，应该是给他背长啊，另外一个是构造中卫线啊，取中点去构造中卫线，而取中点构造中卫线的思路是大家在考试当中能够想到的啊，但在这里老师给大家做的是背长的视频讲解啊，所以应该是延长这里的 c h 至点 k， 使得这里的 h k 应该等于的是 c h， 然后接下来把这个 k 和 n 连上，连完之后，咱们应该先得到的是一组八字形全等，应该是三角形，这里的 h， c， d 全等于三角形 h k， n。 好， 那通过八字形全等，咱们可以得到 c d 和 n k 之间的一个数量关系啊， c d 应该是平行，且等于这里的 n k。 好，那我们才知道这里的 n c 的 它和 bc 是 相等的，而 c 的 还和这里的 n k 相等，所以我们可以推得这里的 bc 和 n k 是 相等的数量关系啊。 那通过读已知条件，我们还知道三角形 b n m， 它应该是一个等腰值啊，也就是说这两条线段也是相等的，所以我们会发现啊，圈号线段和圈号线段相等，还有什么？ 竖线和竖线是相等的，那我们应该去找这两条线段所在三角形全等，所以接下来我们的辅助线应该是连接这里的 mk。 好， 把 mk 连上之后，我们应该去找这两条线段所在三角形全等，那应该是三角形 m b， c 全等于三角形 m n k， 而这两个三角形全等一定利用的是 s a s， 所以 接下来我们的目的应该是找这两个角是相等的啊。 好呢，来看一下我们如何去推导出角一和角二相等，那就需要利用我们刚才得到的平行的位置关系啊。由于 c 的是平行，这里 n k 的， c 的 还是垂直 bc 的， 所以我们会得到这里的 n k 也是垂直什么呢？垂直 bc 好， 有了垂直之后，这是有一个八字形倒角九十和九十相等，对顶角和对顶角相等，我们说拿外角去倒一下就行，就会得到这里的角一等于的是角二。 好，角一等于角二，那咱们就可以得到这两个三角形全等啊。好，那全等之后，我们就可以得到 c m 和这里的 k m 相等， 还会得到的是对应角相等啊。这个大钝角也应该是相等的啊。由于对应角相等，再减去这个公共的这个角，那就会得到旁边这两个小角相等，也就是说 kmc 这个角应该等的是 bm n 这个角啊，那它是九十，所以它也是九十啊。 好，那咱们就会得到 cmk 这个三角形是一个等腰直角三角形啊，好，写一下。 好，那通过这个等腰直啊，我们就可以得到斜边和直角边之间的一个数量关系啊，所以这里的 c k 应该等的是根号二倍的 c m。 好， 那 c k 还是等于二倍的 c h， 所以 我们可以得到 c m 应该等于的是根号二倍的 c h。 问题搞定 好，那接下来老师再来讲一个方法啊，其实这个题啊，我们在八年级就遇到过啊，那我们来看一下这里的三角形 b m， n 啊，在旋转之前是三角形 b p q， 它俩都是等腰直角三角形啊， 那这里的 bc， 对 呢，它也是一个等腰值啊，那么在旋转之前，它是一个反 a 相似，那我们把这个三角形 b q p 转出来之后，我们就会出现什么呢？反向构造手拉手啊，我们可以借助反向构造手拉手的方法去解决这个问题啊。 好，那接下来啊，这个反向构造手拉手啊，他唯一的一个缺点就是这个辅助线特别多啊，但是他的思路其实特别的简单啊，我们应该是把这个三角形 m， b， n 啊，应该是沿着这里的 b m 给他进行翻上去啊，那翻上去，其实我们做的辅助线就是倍长啊， 应该是延长这里的 n m， 置点 e， 使得这里的 e m 等于的是这里的 m n， 然后接接下来连接这里的 b e， 连完之后，我们就会得到一个大的等腰直角三角形 b n e。 好，那再看啊，这里的 bc 的 这个等腰直角三角形啊，还是做同样的辅助线啊，应该是沿着 bc 给它翻下来啊，所以相当于是延长这里的 bc 至点 f， 使得这里的 c f 等于的是 c 的， 然后接下来把这里的 b f 连上，哎，依旧会得到一个大的等腰直角三角形啊的 b f， 现在我们会发现两个等腰直角三角形共顶角顶点，对吧？那么我们就会出现手拉手的全等啊，那接下来我们直接从这个手拉手的角度来进行切入就行， 相当于是从一个模型的角度来进行切入啊，直接来找他的结论，第一个结论应该是胳膊长度和相等，也就是说连接这里的一对，再连接这里的 n f， 咱们第一个结论应该是 e 的 等于的是 n f。 好， 那接下来第二个结论应该是胳膊的夹角等于的是等腰三角形的顶角度数啊，那么在这里就是 e 的 和这里 n f 的 夹角应该等于的是九十度，所以接下来我们把它俩沿出去，让它俩相交 好，那交上之后，那接下来这个角它就应该等于的是九十度啊，也就是说第二个结论应该是角的 k f 高于的是九十度，相当于都是从手拉手模型的这个角度来进行切入的啊。好，那接下来我们再看问题，问题我们想要研究的是 c h 和 m n 之间的数量关系啊，由于我们刚才这样去做辅助线，其实又多了两个中点 点 c 应该是对 f 的 终点，同时这里的点 m 还应该是这里的 e f e n 的 终点。好，那接下来咱们根据终点终点相连，就会出现中位线，所以这里的 c h 应该等于的是二分之一 n f 同时 c h 还是平行。什么呢？ n f 的 根据中位线啊。好，那接下来再看啊，这里的 m 它也是终点，还有谁是终点啊？ h 是 不是也是终点？所以我们应该把 m h 也连上。 好，那 m h 连上之后，是不又出现了中位线啊？所以看 m h 又平行且等于谁的一半呢？是不应该是这里 e d 的 一半？ 好，那我们还知道通过问题啊，通过我们刚才得到的这个结论，这里的 e d 和 n f 是 相等的，所以我们不难会发现，这里的 m h 就 应该等于的是 c h。 好，它俩是相等的啊，那其实咱们不难猜测，三角形 h m c， 它应该是一个等腰值，也就是说你需要正，它是一个九十度角啊，那怎么去正它是九十度呢？应该借助我们刚才平行啊，因为我们知道这里的 m h 平行， e d， m h 和 e d 是 平行的，所以我们应该把这里的 c h 给它延出去。 好，那接下来看沿出去啊，那同时还有什么平行呢？ c h 数还是平行？ n f 的 c h 和 n f 平行啊，也就是说这两条线段也是平行的，你看它俩如果平行，它还是一个九十度角，所以不难得出它也是一个九十度角，对吧？好，那再看横着的也是有一组平行，它九十是，我们不难得出它也是九十 啊。由此，通过这两个平行，咱们是可以推出角 m h c 等于九十。 好，那它如果是九十度，那么我们会得到三角形 m c h 是 一个等腰值。 好，那等腰值我们就可以得到 c h 和 m c 之间的一个数量关系啊， m c 应该等的是根号二倍的 c h。 好， 这就是我们解决第三问的方法。方法是不为一的，可以从已知条件来进行切入，或者是从模型的角度来进行切入。
17:35查看AI文稿AI文稿这个题啊，既考察了我们几何问题，又考察了我们这种图像拼音变化的问题啊，是目前咱们新中考的一个方向， 刚刚考完呢，大连市二模二十三题，好多小孩啊，很闹心，感觉出题人太难为我们了，特别是我们这个第一问，这个解析式啊，就很闹心， 后边算了一大堆比值，也很闹心。其实孩儿们啊，解析式那个确实啊，有点复杂，但这块求的是比值这个事，咱们根本不用算 x 的 值， 最终东西都能约掉，哎，很好算。那么下面咱们具体来看一下啊。这个如图抛物线啊，给了我们这个与 y 轴交点，然后说与 x 轴的 y 轴交点，分别是点 x， 点 b， 点 c， 点 m 段 m 的 抛物线上，且满足的是这个式子， 然后直线 o c 和直线 ab， 它相交于点 h。 首先我们 o c 这条直线也是知道啊， y 等于 x， 为啥？因为它的横坐标和纵坐标相等啊，这不都是 m 吗？哎， y 等于 x， 然后第一个让我们求 b 点坐标及 m 的 值， b 点坐标简单啊， s 得零，然后 y 就 能算出来了，零度号三，这白给分的是吧。然后第一问，他没让我们求解的式，他让我们求这个 m 的 值， m m 咋求啊？ m 在 抛物线上，那肯定带到抛物线里去啊，带到抛物线里边就是 m， 它等于 am 方加 bm 加三， 然后边还有一个 a m 方那个式子，等我把那式子整理一下啊， a m 方加 b m， 然后加 m 减六，它得零，对不？哦，这都有，这个 a m 方加 b m。 哦，这个我好像知道了，也就是说，等我把这式子整理一下，把 m 写在这， 然后你上下一减，你上下一减，是不是刚好就把 a m 方和 b m 方这俩式给约掉了？哎，就这个式子减，这个式子三减， m 加六是不得 m， 哎，所以这样我们算出来，二 m 的 九 m 等于二分之九。这道题啊，敌方确实好像没见过这样式的，额外也抛物线还给了一个方程，完了，最后，哎，我们还需要约定是吧，有点整体这种校园的思想啊。好，那么 m 的 值二分之九， 这个搞定啊，下一个 a 点坐标是六到零，然后让我们去抛线解析式，你这不相当于是经过了这两个点吗？一个是二分之九到二分之九，完，一个是六到零啊，那把这两个点带下去呗。 啊，带来啊，六到零，零等于六六三十六 a 加上六 b， 然后加上一个三，完了，二分之九到二分之九，二分之九等于四分之八十一 a 加上二分之九 b， 然后加上个三 啊，把这个二分之九先拿过来，这个三是二分之六，二分之六减二分之九等于负的二分之三啊。这边是零，先是把下面的十字化简给它，同时乘个呃，乘个四啊，乘四，然后八是一 a 加上二九于十八 b 啊，然后减去六。哎，所以孩们啊，为什么老师没约你看啊，这块你给他同时除掉个三，你看变成啥了？呃，零等于二十七 a 加上一个六 b， 然后减去个二。 我为啥没那啥呢？没把上面约分呢？就是因为我给他画成统一的不就行了吗？你看，这是六 b， 这是六 b 啊，往上下你做个叉不就把 b 约掉了吗？这个式子和这个式做叉，三十六 a 减二十七， a 是 九 a， 然后六 b 六 b 约了啊，三减负二五，然后得零， 那么 a 他 就等于负的九分之五，所以啊，我们这块啊，算出了这个 a 的 值， y 等于负九分之五 x 方，那 b 就 好做了，你把 b 再往往这里带， 往最简单的里边带。哪个里边简单呢？好像都不简单，是吧？往往这里带吧。负九分之五乘以三十六等于负的二十加六， b 加三等于二 啊，完了，六 b 减十七得零， b 等于六分之十七，哎，这块再加上一个六分之十七 x， 然后再加上个三。这抛线解式啊，六乘十的话是六十，然后七九六十三啊，一九得九，九加六的话一十五，一百五十三，那这超过二了是吧？对，准时候肯定超过二了，然后这个 他给的这个范围没超过二啊，你就知道这个事就行啊，对称轴是超过二了，这个数老师也没约分啊。好，咱们往下来啊， 说过点 p 做 s o 垂线 p 啊，我们假设 p 在 这吧，他没超过那个对称轴是吧？过点 p 做 s o 垂线，这是 p 点，然后做 s o 垂线与直线 o c 相交于点 e 与直线 o， c 相交于点 e， 呃，与直线 a、 b 相交于点 f 相交点 f， 呃，将三角形 p c， e 的 面积， p c， e 的 面积，呃，与三角形 p a、 b 的 面积分别记为这个完，两三根面积的比值等于四分之九减二分之一 啊，完了，求 p e 比 p f。 孩儿们，这都说的是个啥呀？ 整了好多陌生的字母是吧？那其实啊，如果说 p 的 这个横坐标是 e 的 话，你纵坐标是不是都能表示啊？这个咱们都先不管，咱们先考虑点其他的，考虑什么呢？ 这个 p e c 的 面积，它当然咋求 p e c 的 面积，它是不是等于 p e 乘以？哎，这个高是吧？这个高， 这个横度标是二分之九，这个横度标是 e， 那 你这高是不是就是二分之九减去我们那个横度标 e， 对 吧？底乘高除二，这就是三角形 p e c 的 面积 p e 当底，然后我们那个二分之九减一是高，然后五十二。啊，它比上我们哪个三角形 p a b p a b， 孩儿们，这不水平关系乘以前垂高吗？你 p a b 的 面积，它不就是 p f 乘以这个 o a 吗？ 啊，我，我再解释一下为什么这个事啊？假如说你把这块设为 p h， 你 这个 p a b 这个三角形我刚才是没连在你心里自己知道咋回事啊？它是不是等于 p f b 乘以 p f a 这俩面积的和，是吧？加在一起， 那你 p f b， 你 是不是 p f 乘以 o h 除二，然后 p f a， 你 是不是 p f 乘以 a h 除二？ 哎，所以它就会变成了 p f。 一个是乘以 o h 除以二，然后 p f 再乘以 a h 除以二，那变成啥了？这变成二分之一变 p f 乘以 o h 加 a h p 公式，那你不就是 o h 加上 a h 的 啥呀？是不得 a o， 哎，所以它就是比上二分之一倍的 p f 乘以 a o a o a o 常知道啊， a o 是 不是六啊？ 然后它等于啥呀？等于四分之九减去个二分之一， 而这里边这个二和这个二我们是不能约掉，最终求的就是 p e 比成 p f， 哎，那这个六我们是不是能乘过来？没毛病，是不是？乘能乘过来， 但是孩们先别乘，你看看这个二分之九减 e， 四分之九减二分之一 e 呀，你这个四分之九，我能不能写成这样的二分之九减 e， 就是把这个块你给它提个二分之一出去，你提个二分之一，是不是这样式的了？然后咔嚓一下，它就约掉了， 对不？然后你把这个六乘过来，你六乘过来乘二分之一是不是三？然后左边是不就剩的就是个 p e， 它比成一个 p f， 这就完事了。所以 p 比 p f 的 值啊，那就是等于三。所以说啊，这一问，我们根本不需要把这个它的长度用那个含义去表示出来，然后最后把那个小一再求出来，这个不需要啊， 约掉了啊，看了吗？孩们约掉了，下面我们来看最后一问啊，最后一问是我们这个平行四边形跟抛物线结合问题，并且啊，这个还是动的，然后求这个焦点问题啊。来，我们接着来看一下， 这还是啊，刚才那个抛物线是求完了，是不变的，完了，还有那个什么这些点坐标 c， 点 a， 点坐标什么都是不变的。然后说那啥点 q， 它从点 c 出发， 从点 c 出发，沿着折线 c h 还有 h a， 沿着这个折线运动，运动到点 a 呢，停止， 然后以 o b o q 为边做平四，以 o b o q q 在 这上边啊，在这个 c h 和 h a 上运动啊，为边做平四，而且这个平四啊，它都给你确定了是 b o q h， 那 h 在 那上面啊， b o q h， 它在这个折线上动，对吧？ 设 q 的 横度标是 d 小 d 啊，当这个 b o q n b o q n 这个平四，呃，内部 不含边界啊，这个平行四边形内部的抛物线从左向右是下降的。这句话好好理解啊，平行四边形，它内部包着抛物线的某一段，然后这某一段呢？从左向右是下降的。哎，让你求得的范围， 哎呀，我也不知道那个对的范围在哪，咱们就先画一个吧。咱们先假设 q 在 这儿， b o b o q n， 它如果是平四的话， b o q n 是 平四的话，这个长度是不是三？那这个高度是不是也是三？ 哎，那此时我们看啊，我这样好像这个平四它没包着跑步线是吧？没包着，呃，那啥时候是包着了呢？你看啊，你把这个 q 再给它往右一点， 往右一点啊，哎，到这了啊，然后还是一组对边平切相等。 b o， 这是 q， 这是 n， 你 看此时这个平四，它是不是就包着这个抛物线一小段的，而且从左向右是不是减少的？哎，那从刚才没有交点到现在啊，这个平四和抛物线两交点，它是不是给我临界啊？ 那个临界。那啥是临界？就是刚好我们那个 q 在 这，然后 n 在 这个位置，刚好这高度是三，它就是个临界啊。那此时，那我们好求，你就设坐标呗，你设这个临界的时候，那个坐标 啊，横坐标是 d， 那 这个纵坐标它也是 d， 用 q 点呢？在这个直线 y 的 x 上边嘛，然后这个这这块临近的时候，这个 n n 的 横坐标是 d， 纵坐标往抛物线里带呗。负九分之五 d 方加上六分之十七 d， 然后加上三， 然后上减下，刚好是不等于三。上减下负九分之五，对方加上六分之十七对，加上三，减去我们这个对啊，刚好等于三对啊，然后这个三约掉 负九分之五，对方加上六分之十一对，他得零。完了，你 提个得啊，用一至分解法解，负九分之五得加上六分之十一，然后得零，那一个得得零，那肯定舍了。另外一个呢，就是负九分之五得，呃，加上六分之十一，它等于零 十一，除以六等于九分之五。对，六分之十一乘以五分之九等于对，然后我们这块约个分二三，那么十分之三十三， 所以这个当 d 等于十分之三十三的时候，刚好是个临界，然后你再往右一点点就行了啊，所以我们这个 d 的 范围 d 是 大于十分之三十三，然后你不能无限往下大呀，因为他在这个折线上动呢，你不能超过点 c 啊啊，但等于点 c 的 时候是不行，等于点 c， 你 看， 等于点 c 行，它包着这一段可以啊，所以它等于点 c 行，小于等于 c 的 横坐标二分之九。哎，这是咱们第一个范围，孩们啊，先把这个理解了啊，然后我们再理解下一个范围。来，老师，把这个蹭一蹭啊， 下一个范围，我们这个点 q 啊，它就在在下边这块了，在这啊，那还是临界的时候是不？刚好这个长度是三。呃， b， o， q， n， n 刚好是接头的这个抛物线上，对吧？那此时就是我们 n 的 坐标，还是的逗，负九分之五的方逗号六分之十一的，然后加个三，这是我们 n 的 坐标，而此时我们这个 q 的 坐标，它的横坐标也是的。 但纵轴标是不是得带你 ab 这条直线了？ ab 这条直线啊，这是三，这是六 y 等于负二分之一 s 加三，所以它就是负二分之一，对加三。孩们应该能反应过来是不是你这个 啊？直线解式啊，再用两点，那是写过程方法，或者你用这个点正切二分之一，它就等于负二分之一啊，然后上面减下边负九分之五，对方加上六分之十七，对，加上三，减去这个加上二分之一。对，再减三，然后得三， 上面跟下边啊，然后他俩约掉了。负九分之五，对方加上这是六分之十七，这个是六分之三，六分之二十，对，然后等于三， 呃，六分之二十，约个分用六分之二十啊，是三分之十，然后再乘个九吧，乘个九不就去分母了吗？乘个九乘负九吧。 呃，五，对方乘以负九，呃，负九减三十，对，呃，这个乘负九三九二十七，二十七的话挪过来就正的二十七，然后得零，对啊，这个方程 五的方减三十的加二十七等于零，好像一直分解不了。那你就公式法啊，的等于二分之负 b 三十加减刚二下 b， 方减 c， c 方九百减去四五二十 四 a， c 二十乘以二十七，我们在上面算一下子啊，呃，九百减去这个二十乘二十七，呃，二七是四，呃，二二得四五，算一下啊。零 六，然后三三百六十，三百六十，开根号六六三十六六六倍根号十，然后前面是三十加减，然后这块是十，然后用几月份呢？用 只能用二约啊，二约的话是五分之十五加减三倍，根号十。 那我们取的正的还是取负的那个啊？它就是取加的那个，是吧？减不行，因为你那个十五假如减去三倍根号十啊，根号十是三点多乘以三，那是九点多，九点多的话，你这块相当于就是五点多一点，五点多一点除以五就是一点多，你一点多不行啊，你这一点多太小了， 是吧？你取大的那个，所以啊，我们另外一个的范围就是大于啊，五分之 十五减去加上三倍根号十啊，然后他不能无限往下大下去啊，他顶多到 a 这块重合啊，到 a 这块行啊，你再往下来就不行了，因为它的射线是， 所以它小于等于 a 的 横坐标小于等于六啊。最后我们是这两个答案，那么这道题啊，我们建议大连市以外的城市的那个家长把这道题点赞收藏，然后让孩子先做一下，最后听老师的视频讲解。
170佟老师思维
06:24查看AI文稿AI文稿好，今天我们来讲一下刚刚结束的沈阳二模数学的一个十五题，也是呃，填空压轴题，我们一起先来读一下题。 首先如图，在四边形 a， b， c 对 中， a 对 平行 bc 啊，它是一个对边平行的四边形啊。然后 b、 c 大 于 a 对， 以点 a 为圆心，任意长为半径作弧，与边 a、 b 相交于点 m， 与边 a 对 相交于点 n。 其实后边段啊，就包括从这开始，一直到分别在以点 m、 n 为圆心大于二分之一， m 长为半径作弧，两弧在这个角内部交于点 p。 好，其实中间这一大段我读的有点快，但是熟练的同学，因为我们已经初三了，就要立马判断出他是一个什么尺规操作啊，他在做什么？其实是在做角 b， a 对 的角平分线对不对？也就是说这两个角是相等的啊， ap 是 他的角平分线， 好继续连接 ap 并延长与边 c 对 交于点 e 与边 b， c 的 延长线交于点 f。 若 a 对 等于三，我们标一下数值， a 对 是三，对一是四 啊，刚才这个九十度忘标紧了啊，先标一下，所以呢，立马就能得到 a， e 是 五呀，先写上，要不然一会忘了 c， e 是 二 好，求 b f， b、 f 是 这一段的长对不对？好的，那么不知道在这一步有没有同学能就是已经快速的得到，其实 b、 f 是 等于 ab 的， 就我可能他在后面不一定会用到，但是我是能立马判断出的。为什么？这就是我们在学平行的时候，包括平行四边形，这不仅仅是平行四边形啊，只要在一个平行，呃，在一个四边形中有一组对边平行，然后再加一个内错角啊，再说一下，就是说在一个， 呃，有一组对边平行的四边形里边有一个角的，这个啊， 角平分线，那么就会有等腰。我们在当时在学平行四边形的时候，这个是最常见的一个结论啊，就一个平行，再加一个角平分线，就一个内错，再加一个角平分，就会有 等腰三角形。那么在这里你 a 对 和 b、 c 是 平行的，它有一个角平分线，我们再取一个内错角，也就是这个角 f， 所以 我们就能得到这个角 f 是 等于 b a f 的， 也就能快速判断出 b a 是 等于 b f 的 啊，这个是比较重要的一个结论，我们要知道。好，然后我们继续。 那么这道题要求 b、 f， 我 们根据现有的已知信息，其实刚才这些三、四、五还有 c、 e 是 二，我们应该能快速也是快速判断这道。这里边有一个平行的八字相似，也就是三角形 a 对 e， 其实是相似于这个三角形 f、 c、 e 的， 对不对？一个八字相似嘛，而且相似比是什么呀？对 e 比 e、 c 是 不是正好是四比二，也是 这个相似比是二，那么也就是这个三角形 cf 的 另外两条边，我们就能快速的求出 cf 等于二分之三， ef 就是 二分之五。好，那我们现在要想办法求 bf 或者是 ab， 那么这个时候我觉得应该要加辅助线了啊，那么角对是九十，这块也是九十，所以呢，我们可以这样过 a 点往下做一个垂，对不对？这个时候是为了构造什么呀？ 嗯，加一个 h 吧啊，做一个 a h 垂直于 bc， 这时候就有矩形了呀，对不对啊？三个角是九十度的四边形，就是矩形，这个时候我把对儿 c 相当于哎 倒过来了，也就是 a h 是 等于对儿 c 等于四加二等于六的，对不对？ 好，然后还有 a 对 等于矩形吗？ h c 等于三，这就是三。那在我们 a h f 里边，这个 h f 我 是不是就能通过一个三加二分之三导出来了？我们通分一下二分之九， 那我去导这个的目的，一个六，一个二分之九，有什么目目的呢？这个时候不要忘了，我们刚刚导出来的 b f 等于 ab， 我 们是不是可以勾股定律列方程了啊？他要求 b f， 那 我们就设 b f 为 x， 也就是 ab 和 b f 都可以是 x， 对 不对？嗯，那你看，我们就可以在 r t 三角形 a h b 中勾股定律了吧，也就是 ab 方等于 a h 方加 b h 方，对不对？ ab， 我 们设为的 x， a h 是 六 b h， 你 看我们刚刚求的这个二分之九 h f 是 不是就可以用了？ 那么 b h 我 就可以用一个 x， 也就是 b f 减 h f x 减二分之 九，括号外的平方。好，我们解个方程就可以了啊。这个具体的解方程的过程在这里就不过多的说了，同学们可以自行去解一下它解出来这个答案是 x 是 四分之二十五，所以呢，这道题最后的 b f 结论就是四分之二十五。 好，这道题首先啊，他考察了一个平行啊，考了一个使规作图，一个角平分线的使规作图，这个大家必须要熟的，然后导一个啊，等腰加平行，结合平行导一个等腰，然后又利用了一个八字相似，是一个比较明显的啊，八字相似 导出相应的一些边长关系，然后后面结合了一个勾股定律列方程的思想，就可以求出呃 b f 的 值。好，这道题我们就先讲到这里。
21品翰教育 李老师
14:59查看AI文稿AI文稿学习一百道压轴题，今天学习的是鞍山二模几何压轴题，同学们大家好，我们一起来看一下鞍山市刚刚结束的二模考试当中的第二十二题几何压轴题。 那么这道几何压轴题呢？他并不是很难啊，我们在八年其实就做过此类题型，他主要考察的是一个旋转的数学思想，那其中前两问呢？主要考察的是绊脚模型以及变形啊，那么最后一问考察的是终点的用法。 好，我们先来看一下第一题啊，那第一题呢，其实就是绊脚模型的结论，这里的 e f 应该等的是 a f 再加上 c e 啊，那相信在考场的同学们一定是可以做出来的，那在这里老师就不浪费时间给大家进行讲解这个过程了啊。 好，那接下来第二问，这里的的 f 等于的是五的 e 的 长度等于的是十二，让你去求这个正方形的一个周长啊，那其实绊脚模型当中有很多结论，那其中有一个结论就是三角形啊， f e d 的 周长，它应该等于正方形周长的一半，其实也是根据我们那第一个结论得到的，因为这里的 e f 等于的是 a f 再加上 c e， 所以 我们知道这里的 a d 再加上 c d 就 应该等于的是 f， 再加上的 e 再加上 e f。 根据高普定律，我们知道 e f 的 长度应该等于十三，所以正方形的周长应该等于的是二倍的这个三角形的周长，所以应该是五，加上十二再加上十三，再给它乘以二，就是正方形的周长， 这个相信大家在考试当中也是一定可以做出来的啊。好，那接下来我们看一下括号二相当于是半角模型的一个应用啊，除了已知条件当中 m、 b， n 等于的是一个四十五度角啊。 出题者还给了一个已知条件，是这里的 c， e 和这里的 a、 f 是 平行的位置关系。 好，那接下来我们看一下求证的是什么啊？他想要得到的是这里 a， m， m， n 和 n、 c 之间的一个数量关系，那咱们用圈一、 圈二和圈三啊，也就是说这三条线段的一个数量关系啊。那还是要借助旋转的一个数学思想，我们可以把三角形 b， c， n 绕着点 b， 给它逆时针转九十度。 好，把它逆时针转九十度，其实相当于是得到一组旋转型的全等啊。好，那这个辅助线我们可以怎么样来描述呢？其实我们在八年级就会啊，应该是过点 b 去做 b k 垂直这里的 b n， 并且使 b k 等于的 b n。 好， 那接下来我们看这个全等可以怎么正啊？由于我们做完的辅助线，我们知道这里的 b k 和这里的 b n 相等。 其次我们还知道什么呢？正方形 abc 的 这个角应该是一个九十度角，那在点 b 处还有一个九十， 那咱们不妨会推导出来，这两个叉号角它应该是相等的啊，那再加上正方形，它的边长是相等的， ab 和 bc 是 相等的，所以我们会得到这两个三角形应该是一组旋转型全等， 那通过这个全等，咱们就可以把圈三这个条线段给它进行转移，转移到这里的 ak。 好，那接下来绊脚模型它一般是两次全等，先来一次旋转型的全等，再来一次对称型的全等。所以接下来我们应该把这里的 k m 连上，连上我们应该正的是三角形啊， k b m 和三角形 n b m， 它俩是一组对称型的全等。 好，我们来看一下条件，这里的 b k 和 b n 是 相等的， b m 是 一条公共边啊，那它是四十五度角，这里的角 k b n 还是一个九十度角，所以它也是一个四十五度角啊，那么 s a s 就 可以证明这种对称型全等，那么我们就可以把问题线段当中的 缺二这条线段给它进行转移啊，转移到这里 mk 来。 好，那我们会发现啊，这个问题当中的三条线段都被我们首尾顺次连接起来，组成了一个三角形啊，那我们想要探究他们的一个数量关系，不妨去猜测一下，这个三角形应该是一个直角三角形， 那我们只需要去证明这个角它是九十度角就可以啊，那正，它是九十度，还是要利用上我们全等当中的对应角相等， 由于我们的全等，所以我们知道，哎，对应角相等，圈和圈应该是相等的，对吧？那么接下来怎么去正它是九十度呢？那你要看什么已知条件你没用上。首先这里的 a f 和这里的 c e 这组平行的条件咱们就没用上， 根据他俩是平行的，再根据正方形，这里的 a e 和这里的 c f 也是平行的，所以我们不妨会得到一个平行四边形 a f， c e。 那 平行四边形有的条件应该是什么？它应该是对角，是相等的啊，所以我们会得到这两个对号角是相等的。 好，那再点 c 处圈号角加上对号角，应该等的是九十度啊，那我们再来看，再点 a 处圈加对号数也依然是九十，那我们就可以证明他是一个直角，他是一个直角三角形啊，那根据直角三角形，我们就可以得到他三边之间的一个数量关系， 应该是 ak 的 平方，再加上 am 的 平方，等于的是 mk 的 平方啊，那么 ak 我 们给它转化成这里的问题线段就是 c n。 好， 那 am 也就是问题线段不用变好，再看这里的 mk， 应该是这里的 mn。 好，那他们三个之间的一个数量关系就出来了，那么我们的第二问就解决了。好，那接下来我们一起来看一下括号三啊。括号三呢，他主要考察的是终点的用法，给了你一条线段的终点，那我们知道终点他在中考当中呢，一共有四种用法，那适应这道题的应该是有两种， 第一个呢，应该是给它背长啊，另外一个是构造中位线啊，取中点去构造中位线，而取中点构造中位线的思路是大家在考试当中能够想到的啊，但在这里老师给大家做的是背长的视频讲解啊，所以应该是延长这里的 c h 至点 k， 使得这里的 h k 应该等于的是 c h， 然后接下来把这个 k 和 n 连上，连完之后，咱们应该先得到的是一组八字形全等，应该是三角形，这里的 h c 的 全等于三角形 h k n。 好， 那通过八字形全等，咱们可以得到 c 的 和 n k 之间的一个数量关系啊， c 的 应该是平行，且等于这里的 n k。 好，那我们还知道这里的 n c 的 它和 bc 是 相等的，而 c 的 还和这里的 n k 相等，所以我们可以推得这里的 bc 和 n k 是 相等的数量关系啊。 那通过读已知条件，我们还知道三角形 b n m， 它应该是一个等腰值啊，也就是说这两条线段也是相等的，所以我们会发现啊，圈号线段和圈号线段相等，还有什么？ 竖线和竖线是相等的，那我们应该去找这两条线段所在三角形全等，所以接下来我们的辅助线应该是连接这里的 mk。 好， 把 mk 连上之后，我们应该去找这两条线段所在三角形全等，那应该是三角形 m bc 全等于三角形 m n k， 而这两个三角形全等一定利用的是 s a s， 所以 接下来我们的目的应该是找这两个角是相等的啊。 好呢，来看一下我们如何去推导出角一和角二相等，那就需要利用我们刚才得到的平行的位置关系啊。由于 c 的是平行，这里 n k 的， c 的 还是垂直 bc 的， 所以我们会得到这里的 n k 也是垂直什么呢？垂直 bc 好， 有了垂直之后，这是有一个八字形倒角九十和九十相等，对顶角和对顶角相等，我们说拿外角去倒一下就行，就会得到这里的角一等于的是角二。 好，角一等于角二，那咱们就可以得到这两个三角形全等啊。好，那全等之后，我们就可以得到 c m 和这里的 km 相等， 还会得到的是对应角相等啊。这个大钝角也应该是相等的啊。由于对应角相等，再减去这个公共的这个角，那就会得到旁边这两个小角，那就会得到旁边这两个小角啊，那他是九十，所以他也是九十啊。 好，那咱们就会得到 c m k。 这个三角形是一个等腰直角三角形啊，好，写一下。 好，那通过这个等腰直啊，我们就可以得到斜边和直角边之间的一个数量关系啊，所以这里的 c k 应该等的是根号二倍的 c m。 好， 那 c k 还是等于二倍的 c h， 所以我们可以得到 c m 应该等于的是根号二倍的 c h。 问题搞定 好，那接下来老师再来讲一个方法啊，其实这个题啊，我们在八年级就遇到过啊，那我们来看一下这里的三角形 b m， n 啊，在旋转之前是三角形 b p q， 它俩都是等腰直角三角形啊， 那这里的 bc， 对 呢，它也是一个等腰值啊，那么在旋转之前，它是一个反 a 相似，那我们把这个三角形 b q、 p 转出来之后，我们就会出现什么呢？反向构造手拉手啊，我们可以借助反向构造手拉手的方法去解决这个问题啊。 好，那接下来啊，这个反向扣到手拉手啊，他唯一的一个缺点就是这个辅助线特别多啊，但是他的思路其实特别的简单啊，我们应该是把这个三角形 m b， n 啊，应该是沿着这里的 b m 给他进行翻上去啊，那翻上去，其实我们做的辅助线就是倍长啊， 应该是延长这里的 n m 至点 e， 使得这里的 e m 等于的是这里的 m n， 然后接接下来连接这里的 b e， 连完之后，我们就会得到一个大的等腰直角三角形 b n e。 好，那再看啊，这里的 bc 的 这个等腰直角三角形啊，还是做同样的辅助线啊，应该是沿着 bc 给它翻下来啊，所以相当于是延长这里的 bc 至点 f， 使得这里的 c f 等于的是 c 的， 然后接下来把这里的 b f 连上，哎，依旧会得到一个大的等腰直角三角形啊的 b f， 现在我们会发现两个等腰直角三角形共顶角顶点，对吧？那么我们就会出现手拉手的全等啊，那接下来我们直接从这个手拉手的角度来进行切入就行， 相当于是从一个模型的角度来进行切入啊，直接来找他的结论，第一个结论应该是胳膊长度和相等，也就是说连接这里的 n f， 咱们第一个结论应该是 e 的 等于的是 n f。 好， 那接下来第二个结论应该是胳膊的夹角等于的是等腰三角形的顶角度数啊，那么在这里就是 e 的 和这里 n f 的 夹角应该等于的是九十度，所以接下来我们把它俩沿出去，让它俩相交 好，那交上之后，那接下来这个角它就应该等于的是九十度啊，也就是说第二个结论应该是角的 k f 到于的是九十度，相当于都是从手拉手模型的这个角度来进行切入的啊。好，那接下来我们再看问题，问题我们想要研究的是 c h 和 m n 之间的数量关系啊，由于我们刚才这样去做辅助线，其实又多了两个中点 点 c 应该是对 f 的 终点，同时这里的点 m 还应该是这里的 e f e n 的 终点。好，那接下来咱们根据终点，终点相连就会出现中位线，所以这里的 c h 应该等于的是二分之一 n f 同时 c h 还是平行。什么呢？ n f 的 根据中位线啊。好，那接下来再看啊，这里的 m 它也是终点，还有谁是终点啊？ h 是 不是也是终点？所以我们应该把 m h 也连上。 好，那 m h 连上之后，是不是又出现了中位线啊？所以看 m h 又平行且等于谁的一半呢？是不是应该是这里 e 的 一半？ 好，那我们还知道通过问题啊，通过我们刚才得到的这个结论，这里的 e d 和 n f 是 相等的，所以我们不难会发现，这里的 m h 就 应该等于的是 c h。 好，它俩是相等的啊，那其实咱们不难猜测，三角形 h m c， 它应该是一个等腰值，也就是说你需要正它是一个九十度角啊，那怎么去正它是九十度呢？应该借助我们刚才平行啊，因为我们知道这里的 m h 平行， e d， m h 和 e d 是 平行的，所以我们应该把这里的 c h 给它沿出去。 好，那接下来看沿出去啊，那同时还有什么平行呢？ c h 数还是平行？ n f 的 c h 和 n f 平行啊，也就是说这两条线段也是平行的，你看它俩如果平行，它还是一个九十度角，所以不难得出它也是一个九十度角，对吧？好，那再看横着的也是有一组平行，它九十是，我们不难得出它也是九十 啊。由此，通过这两个平行，咱们是可以推出角 m h c 等于九十。 好，那它如果是九十度，那么我们会得到三角形 m c h 是 一个等腰值。 好，那等腰值我们就可以得到 c h 和 m c 之间的一个数量关系啊， m c 应该等的是根号二倍的 c h。 好， 这就是我们解决第三问的方法。方法是不为一的，可以从已知条件来进行切入，或者是从模型的角度来进行切入。
144【辽宁】智囊团初阶数学
14:50查看AI文稿AI文稿同学们大家好，接下来给大家讲一下大连刚考完的二模第二十二题。首先说几点变化，第一个二十二题呢，又回归到了几何综合， 跟一模不一样，这第一个，第二个，这道题和前面我们所做过题呢，这个首先问数就变少了，现在这里面只有两问， 只有第一问和第二问，也没有小问，所以这个分值啊，相对来说会比较大。其次，这里面又考察了圆这道题，很显然这个图里面又有圆了，而且需要自己作图 分类讨论， 而且这题啊，他没有给备用图，那么自己在做图的时候呢，尽量的准确一点，所以这个呢，对于同学们做题的时候呢，心理压力还是 比较大的，那么我们在做这题的时候，一定要冷静，让自己保持专注，图呢，给他画标准一点。然后呢，具体来做这道题，如果你能够做到非常的专注，那么这道题其实相对来说是不难的，具体呢，我们来看题啊， 在综合与实践活动中，数学老师呢，给出了如下条件，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 边等于 a， c 边等于三等腰，三角形腰等于三 点 d 在 a、 c 上， ad 等于一。然后呢，以 a 为圆心， ad 长为半径画圆， 点 e 在 圆上，且角 c， a， e 加角 b， a， c 等于一百八十度。好，具体的呢，我们研究一下，对于这个图而言， 幺等于三， a， d 等于一。以 a 为圆心， a， d 成为半径画圆，他说点 e 在 圆上满足 c a e， 我 们找这个角 加上角 b， a， c 也等于一百八，那我们乍一看，这显然就是一百八吧，所以我们在研究这句话，他没有说点 e 在 延长线上，没说在 b a 延长线上，只说在圆 a 上，所以满足两个角互补。 除了点 e 在 射线 b a 上啊，在 a 的 右侧还有种情况吧，点 e 也可以在另外一个位置把 c a e 翻折一下，这个 e 是 不是可以在这个位置， 所以呢，我们在读题的时候就要考清考虑清楚这个 e 啊，可以有两个位置。好，紧接着我们 来看第一个分界小组，通过延长 b a 与圆 o 交于点 e， 那 么就如图 e 吧，找到了一个符合条件点 e 的 位置。其实啊，这句话也是在提醒咱们，这个点 e 它不仅仅只有一个位置啊，这跨 e 只是其中的一个位置啊。顺着这个，我们来研究一下 连接 c e， 进一步发现，当 c e 和圆 a 相切时，可以求出 b c 的 长，请你结合图一写出求 b c 长的解答过程，那么这句话我们就是把它当条件吧，此时相切，那么这是垂直的， 这个长度是一，这个 a c 等于三，那么根据垂直勾股定就能求出来了。所以这个由直角三角形 a e、 c 可知，这个 e c 就 等于三的平方，减去一的平方等于二倍根号二， 由勾股定律求出来长度，然后呢，求 bc， 那 显然勾股定律吧， b e、 c 这个三角形中直接求吧，所以第一问呢，还是比较简单的， b e c 直接勾股定律 b c 就 等于 b e 呢是四， e， c 是 二倍根号二， 所以呢，这是十六加八二十四，二十四呢是二倍根号六， 那这样的话，第一问就搞定了，这个呢，相对来说难度不大，但是呢，也意味着得完这个分之后， 那后面这个分就比分这些比较大吧，没有中间地带。好了，我们来看第二个瑞斯小组，将角 b、 a、 c 特殊化，如图，角 b a、 c 九十度，它是九十度， 那么 c、 a、 e 也是九十度吧， c a、 e 九十度，那就两种情况嘛。第一种情况，点 e， 同样的还在 b、 a 的 延长线上，共线的点 e 搁这儿，那么另外一种情况，点 e 是 不是就在这个 这个位置？好了，接下来看连接 b、 d， 在 b、 c 上取点 g， 使得角 b、 a、 g 等于角 a、 b、 d 作标记， b、 a、 g 和 a、 b、 d 相等，这两个点相等，请你在原 a 上找出符合条件的点 e 的 位置，并作直线 c、 e 与直线 a、 g 交于点 h。 好， 那这个图呢，我们先按照第一种情况， 连接 c、 e 并做直线，它就延长，并且与直线 a、 g 交于点 h。 求 g、 h、 t 长好这道题我们来看一下。首先， a、 e、 c 这个三角形也是一个直角三角形吧，而且 ab 边呢，是等于 a、 c 边的，也就是说 abc 等于直角 a、 e、 d 也等腰直角三角形 abc 和三角形 a、 d、 e 都是等腰直角。那么所以首先第一个是个手拉手旋转全等，也就是三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e 这第一个。然后呢，长度一是三，那么 b、 d 是 根号十吧，一比三比根号十，然后呢？其次，全等之后呢？角相等，说明这个角也是点， 然后呢，这个延长之后呢？对顶角这个角是不是也是点？那么我们就能得出来，角 a、 c、 e 等于角 a、 b、 d。 那 同时是不是等于角 b a、 g 还等于角 h、 a、 e。 那 大家看这两个点 h a e 等于 a c e， 那 么我们是不是能推出来子母相似， 也就是三角形 h a e 相似于三角形 h c a， 然后呢，这些边长也有，嗯，显然这个比例 e a 和 a c 是 不是一比三就是二，那所以相似比呢？就是一比三，相似比是一比三，那这里面的 h e h a 是 不是都能求出来 h e 比上 h a 等于 h a 比上 h c 还等于 e a 比上 a c 等于一比三，所以这里面我们就可以设它为 x， 那 么 h a 是 个三 x， 那么我们带进去，这是 x， 这是三 x， h c 就是 x 加根号十，所以呢，这样的话，我们就能把 x 算出来，等于 这个 h c 相当于九 x 了，那么八 x 等于根号十 x 等于八分之根号十，所以这样的话就能推出来 a h 就是 八分之三倍根号十了。现在呢，就差 a g 了，那 a g 怎么取？ 大家看啊，我要求 a g 这条边，那么这里面这个点所在的三角形是不是成比例一比三比刚好十，所以呢，解三角形知道了这个角，那么做垂，用三角函数解三角形做垂过点 g 做 e m 做点 e m g m 垂直 a b， 所以 这样的话做 g m 垂直 a b， 那 么这个 这个相似就来了吧。或者三角函数三角形 a m g 就 相似于三角形 b a d 相似比是一比三，所以呢，我可以设 m g 等于 y， 由于等腰直角，这个 y 是 不是 y， 然后呢，这个是三 y 吧，所以我就能得出来 四 y 等于三，那么能推出来 y 等于四分之三，那 y 等于四分之三， a g 就 等于根号十 y 吧，一比三比根号十吗？勾不定算，所以它就等于四分之三倍根号十， 那所以就能推出来，这两个一结合，能推出来 g h， 就 等于它俩相加四分之三倍根号十，加上八分之三倍根号十，也就是八分之 十一倍，刚好十好搞定。相对来说还不是那么难，只需要一步子母相似，然后呢一个解三角形，把这两条边分别求出来，相加就搞定好。然后呢，我们再来第二种情况， 先把这个图画一下， 然后 差不多，然后我们看一下，这个是点 a， 这是 b c， 然后连接 b， d， 这是点 d， 此时点 e， 在 这个位置吧，连接 c e， 哦，然后呢点 g， 同样的，大概在这个位置， 那么这个焦点就是 h， 那 这种情况下，我们的解析思路和前面呢，基本上就差不多了。好，具体我们来看， 这是直角，这是一，这是二，那同样的，这是一，这是二。 首先我们来倒角，这个点，这个角，这个角，然后这个角是一样的，相等 还是全等，也就是对称啊，三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e， 对 吧？翻折全等，对称全等，那么这些角是不是还相等？角 a， c、 e 等于角 a， b、 d 等于角 b a、 g， 那 么这两个 a、 c、 e 等于 b， a、 g， 那 是个同样的子母相似，那这个时候就跟前面的思路是一样的， 三角形 a、 c、 e 相似于三角形 a、 c、 e， 相似的是 h a e， 那 么说明这个是个直角， 所以呢，我们看看这个三角形大三角形还是一比三，那么这个是不是也是一比三，一比三比根号十吧，所以我就能求出来， e h 就 等于十分之根号十，然后 a h 就 等于十分之三倍根号十。 a e h 一 比三比根号十。那好， a h 算出来了， a g 不 变吧， a g 是 和前面是不一样的，四分之三倍根号十， 那所以就能推出来 g h 此时只需要做减法，四分之三倍根号十，减去十分之三倍根号十，那就等于二十分之十五倍根号十减二十分之六倍根号十，十五减六，那就是二十分之九倍， 刚好十就搞定了。所以综上这个 g h 算出来两个答案，八分之十，一倍，刚好十，或者二十分之九倍等， 这就是这道题。所以呢，总结一下同学们这个题，冷静下来， 好好分析题，把这个图画出来，只要你专注一些，冷静下来，这题还是相对来说比较好做的。
25初中数学 敖老师
04:56查看AI文稿AI文稿刚刚考完的二零二六辽宁省丹东市二模数学填空压轴第十五题，全校没几个同学做出来，看着是旋转难题，其实只考两个，中考必考模型 旋转不变性加直角三角形斜边中线性质，听懂这道题，中考几何最直直接通关！在读题之前，我们先简单的复习一下旋转的性质。 第一，旋转是一个全等变换，对应角、对应边全部相等。第二，旋转中心到对应点的距离都相等。第三，对应点与旋转中心的连线所形成的夹角都相等，都等于旋转角。 好，接下来我们先读题，干抓核心条件，如图，直角三角形 abc 角 bc 等于九十度， a， c 等于四， bc 等于二倍的根号十三。这样我们可以用勾股定律快速的得到 ab 的 长度等于六， 那么 d 为 ab 的 中点，那么这样我们就可以得到 a， d 等于三， b、 d 等于三。现在呢，将三角形 abc 绕着点 d 逆时针旋转一个 c， 它角度得到了三角形 a 撇 b 撇 c 撇。那么这个旋转角我们不知道，但是我们知道它旋转角是零到九十度， 而且根据旋转的性质，我们可以知道角 a 撇 d， a 其实就是那个旋转角 c， 它 好连接 c、 c 撇。若 c 撇 b 撇刚好经过点 a， 让我们计算 c、 c 撇的线段长度。首先我们可以利用旋转的性质得到 a 撇， c 撇 也等于四， a 撇 d 等于三， b 撇 d 也等于三。当我们标注完这些线段长度之后呢，你会发现两个特殊的数字，三和四， 而且我们发现三和四呢，还在一个直角三角形里，所以我们自然会联想到连接 c、 d 和 c 撇 d， 因为连接完之后呢，他俩的长度直接就是五， 这时候呢，细心的你就会发现，在地点出现了四条线段， a 撇 d， a、 d 长度都等于三， c 撇 d， c， d 长度都等于五，而且角 a 撇 d， a 等于角 c 撇 d， c， 这是一个很标准的旋转相似， 所以这时候我们自然想到把 a 撇 a 连起来，三角形 a 撇 d， a 和三角形 c 撇 d， c 就 相似，相似的原因呢是 s a s， 而且相似比正好是三比五， 所以 a 撇 a 比上 c 撇 c 就 等于三比五。那么我们只需要计算出 a 撇 a 的 长度，就可以利用相似比求出 c 撇 c 就 等于三比五。那么 a 撇 a 到底要怎么求呢？我们接着看， 我们观察地点呢，还会发现一个特点，也就是 d a 等于 d， a 撇等于 d b 撇，这时候呢，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的这个性质定律的逆定律， 我们就可以得到三角形 a 撇 a， b 撇是一个直角三角形，或者你也可以通过导角最终可以导到 a 撇 a， b 撇等于 九十度。这时候呢，题目当中就会出现一个共边共角母子形相似的特殊情况，也就是摄影定律的基本图形。我们看三角形 a 撇 b 撇 c 撇 a 撇 a 垂直于 b 撇 c， 这就是一个很标准的摄影定律的模型。所以我们直接利用三角形 a 撇 a， b 撇相似于三角形 a 撇 b 撇 c， 那 么相似的元音呢，也很简单，就是 a a， 然后利用对应边乘比例，我们就可以求出 a 撇 a 的 长度，最后将 a 撇 a 的 长度带入到上面的比例关系中，我们就可以求出 c 撇 c 的 长度等于十三分之二十倍的根号十三到这呢，这道题就计算完毕，因为时间原因，可能还有别的方法也可以解决这道题， 欢迎大家评论区进行交流。最后呢，我们把这道题呢做一个总结。这道二零二六丹东二模数学填空压轴题，核心考点就是，第一，旋转的三个性质。 第二，直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半。第三，等腰三角形，旋转相似。第四，摄影定律知透这道题中考旋转几何题就掌握了一半。关注我丹东中考数学压轴题，一道一道给你讲透！
01:01查看AI文稿AI文稿沈阳初三二模的数学终于不像物理那么抽风，整体难度非常的贴合中考。今年你发没发现，无论是沈阳还是大连，在模拟当中都用几何压轴代替了代数压轴，说白了今年想要拿满分，中考大概率最后拼的就是几何。这次沈阳的压轴题说实话有点放水了，那十五题简单到只要相似加个购物地理方程， 三分钟就能拿满。而二十二级也只考了二次函数的零一， f 在 负三到一之间那是明灯眼漏，很多孩子我也发现了啊，于是苦苦跟他说，结果马虎了吧， f 不 能和 a 重合你忘了吧，这一分扣的让你不长记性，这得亏是模拟啊，这中考这一分扣的老冤了吧。那么二十三级的压轴，说实话我觉得 出题没有什么水平，后到一线三角题目直接就瞬秒，这对于常年补课的孩子来说，这不手拿把掐了吗？模型一套满分拿到，感觉在去模型化的今天，这中考指定不能这么出，我感觉出的都没有去模，出的也有水平。那么最后一问，谁能想 到，就是让你找个九十度列个五定的方程解三角形，你只要酷酷一顿，列一顿算个号，三十三减一也是轻松能拿到手。如果想要这套卷子和答案的，回沈阳，二模各科我都有。
839辽宁中高考（东风老师）
13:52查看AI文稿AI文稿我们一起来看一下今天刚刚考完的这个大力士二模数学哈。这张卷，呃，这张卷整体的难度我觉得是比一模要稍微难一点点的哈。 然后，嗯，我把这个小压轴做了一下，还行，然后我们一起来看一下啊。呃，第十五题的话，就是一个二次函数的问题，比较简单，就是一个开口向上，然后对称轴， 然后这个没有任何变量哈，里仁在这个位置，二在这离对称轴越远的，哎，最大值最小值带进去求出来就是四哈，这是十五题， 其他题都比较常规哈。嗯，十八题考了一个这个二元一次方程组的应用，哎，这个初一下学的也比较经典的哈。然后十九题考了一个一次函数和反比例函数，哎，这个也比较常见啊。 然后二十题考了一个三角函数，然后二十一题的话，这个圆相对来说还是挺简单的哈。第一个问，他让你求边等，那肯定要倒角对不对？你可以设小角为 r 法，这是，嗯，这个是 r 法，这就是阿尔法。 然后呢，我可以把谁连上呢？连不连都行。这个同弧所对，圆周角相等，这个角就是 r 法，哎，这个是 ab 是 直径，直径所对，圆周角是九十度，它是 r 法，这就是九十度减 r 法，这是二 r 法，这是九十度减 r 法。倒角就能倒出来，它是九十度减 r 法。等角对等边， dc 和这个 d、 b， 它就是相等了， 这是二十一题的括号一哈，然后去看括号二，括号二的话，他给了角 a、 e、 d 等于角 cbd， 哎，来看一下角 cbd， 刚才不正好角 cbd 等于这个角吗？ 对不对？然后他说这个角等于它，那你把这个 d a 连上， d a 一 连上的话，同弧所对的圆周角是不是相等？那说明这四个蓝色的角是不是相等？哎，这是一个等腰三角形，这也是一个等腰三角形， 嗯，绕着一个公共顶点，这是不是手拉手全等吧，对不对？所以说这两个三角形他就应该是全等的。那在这个直角三角形中，我知道 ab 是 四，这个是刚好十五，那 ac 长应该是多少？ ac 长是不是应该是一吧？ 哎，所以说一个全等就能得到我的 b 一 长就是一，哈，这是二十一题。然后来看一下二十二题， 二十二题的话，这个题的第一个问的话，他给了 ab 等于 ac 是 一个等腰三角形哈，然后 a d 长给的是一，哎，他说以 a 为圆心， a d 长为半径画圆，这个把圆和这个几何题给它结合到一起哈，我觉得这个还是蛮好的，考的还是挺挺好的哈。 然后呢？说这个延长，然后相切，相切的话，就说明这块是垂直的，哎，那这个长是一，这个是三倍刚，这是三，这是垂直，这是不是二倍杠二啊？那在这个三角形里面，我是不是就可以列勾股定力， 他的平方就等于什么？哎，三方减一方就能得到，他是二倍杠二，然后再在大三角形里面，大直角三角形里面再列个勾股定力， bc 是 不就可以解出来了，对不对？哎，最后 bc 就 等于二倍杠六啊， 这是括号一，然后来看括号二，哈，括号。他说将这个特殊化后，哎，提出如下问题，给它变成九十度了，那你的画图还要沿用第一个哈，就不能用括号一的，嗯，这个是怎么呢？ 依然是点 e 在 这上，然后他俩加一起等于一百八十度。那你看这个角 b a c 是 不是九十度啊？这是九十度，那说明角 c e 是 不是应该也是九十度？他是九十度，这是九十度，哦，给他延长在这上啊，那 e 可能在这边， e 是 不是有可能在左边？所以说 e 有 两种哈，我先画第一种， e 在 这个位置的时候， 然后他又说了什么？他说，呃，并做直线 c e， 这是直线，这也是直线，并做直线 c e 和这个 a g， 哎，相交于点 h， 相交于点 h， 哈，然后让你求 g h 的 长，哎， g 在 这， h 在 这，我给他一延长之后，你就会发现这里边，你看这是不是有等腰直啊， 对不对？哎，这两个角还相等，这块给了角 b a g 看没看到角 b a g 等于角 a b e d。 好， 这个角和这个角是相等的哈，然后你一延长出来，这不就像在这个边和这个边相等，这是直角，这是直角，然后 ab 还等于 ac， 那 这两个三角形是不是相当于是全等的了？他俩一全等的话，那这个角和这个角是不是应该是相等了？ 这就是那个点角，哈，这个就是相等了，哎，然后他一相等之后，我就可以知道很多事情了。 嗯，那比如说这个边是一，这个边是三，这个边肯定是根号十，哎，同理哈。然后现在让你求的是谁场？求的是 j h 场，哎，求这个场。 第一个，我可以先把 a g 长求出来，我怎么去求 a g 长？我知道这个角这个大的 abc 是 不是应该是个等腰值啊？我就它是四十五度，看见四十五度可以往这边做个垂，对不对？做个垂之后，这个是不是应该是个小的等腰值？我就设它是 x， 这个也是 x， 哎。然后你看在这个小三角形 a m g 和 a e c 这里边，这个点角所对的弹键的值是不就是一比三呀？那我就设它是 x x， 这是不是三 x？ 所以 说总长是不是四 x？ 四 x 是 不应该等于我这个三吗？这不一，这是二，四 x 等于三，所以我就可以把 x 解出来，就等于四分之三， 那 x 等于四分之三，这是一比三比，根号十吧。所以说他是不是就应该是 a j 上就应该是四分之三倍，根号十，哎，可以的。然后我再利用右边这个小三角形和这个三角形他俩相似，他俩一相似的话，你去看相似比，是不是应该是他比他， 因为它比它比上它，等于它比上它，等于它比上它，这不还是这个弹性的值吗？所以说是不是应该是一比三，那我就设它是 y， 这是不是三 y， 哎。然后这个三角形和大三角形相似，是不是就应该有它的平方，等于它乘它呀？ 我就可以把这小 y 解出来就是八分之二十。小 y 解出来的话，你可以把 a h 的 乘，实际上是不就是 a g 加 a h， a g 长是刚才求出来的，四分之三倍，刚好十。而我的 a h 是 不是三倍的 y 呀？也就是八分之三倍，刚好十哈，哎，合在一起就是八分之九倍，刚好十，八分之九倍，刚好十哈。这是第一种情况，第二种情况，我把这图画一下，一样的，就是 e 在 这个位置，它说 c e 和 a g 相交于点 h， 我第一个先把 a h 求出来， a h 的 话，你可以用等面积法，对不对？哎，一乘三是不是应该等于刚好十？乘以 a h， 你 就可以把 a h 解出来，就是十分之三倍，刚好十哦， 哎。然后你用 a g 减去 a h， 是 不是 g h， 哎，刚才 a g 也求出来了， a h 也知道一做叉是不是就是二分之九倍刚好十啊？ ok 哈，这道题我觉得整体考的还是挺好的哈。嗯，首先考了你这个画图能力，还考了圆和这个几何结合在一起哈，然后我们来往下看哈。所以说你看这这张卷的正常单独出的这个圆相对来说简单一点，二十二题结合了个圆，哎，他就稍微加了一点点难度哈。 然后我们来看一下这二十三题哈。二十三题的话，他说抛物线这道题，我觉得这个二次函数题是难的哈，难在哪？他的计算量就求这个解释，求完之后的话，你的心里都没有底， 就觉得这个解释跟我们平常练的求解释的数不一样，你做的时候你就很慌哈。呃，要反复检查，把那个点带回去，然后验证一下成不成立啊。他说他抛物线，他与 x 轴、 y 轴分别相交于点 a 和点 b， 哎， c 点在抛物线上，满足这个式子， 那这个 b 点坐标一定是 x， 一定是 x， 等于零去解 y 啊，对不对？ b 点坐标是零到三，然后他让你求小 m 值，第一个你可以把这个 m c 点坐标带回去，得到一个关系。 第二，你把它打开，你可以对应系数相等啊，是不是三减 m 就 等于 m 减六，我的 m 是 不是等于二分之九？ 哎，这个第一个就出来了哈，第二个他说是给点 a 的 坐标，是六斗零两个点，你知道那个 c 点坐标，你还知道这个 a 点坐标，你是不是就可以把这个小 a 小 b 给我解出来了？哎，你解出来这小 a 小 b 竟然是一个是负九分之五，一个是十六分之七，看着就很奇怪哈，但是就是这个答案， 嗯，带回去就是他哈，然后这个圈二哈，非常的具有迷惑性，这个圈二出的我觉得真的挺好的，看着很复杂哈，你做到最后的话，你会发现 还行，还可以算哈，他说过点 p， 我 做 x 轴的垂线与 o， c 交于点 e 与 b， a 交于点 b， a 交于点 f， 大 概这么画，那这三个点他的横坐标可能都是小 e 啊，他给你这个东西就没有让你去求他的意思， 然后他说三角形他的面积和他的面积分别是这个，然后比完之后是这个，这看着好复杂呀，我这我的第一想法是能不能把它表示出来，然后椰汁分解，然后那个约掉一些哈，然后把这小一解出来再带回去， 哎，但是你在算的过程中我尝试了一遍哈，我发现算的过程中他因式分解不了哎，然后后来我一想，那可能不不是这么做哈，那可以怎么办？我看一下这个 pce， 这个三角形，哎，这个 pce 他 肯定是以 pe 为底， c 往这边做垂线为高吧，哎，你这 pe 是 多少 pe？ 不 就是你看他是不给你要求的 pe， 那 这个 c 往这边做高，实际上是不是二分之九减去 e 啊，哎，二分之九减 e 哈，而你看右边这个，你可以给他通分，通分完之后，是不是四分之九减二， e 和这个二分之九减 e， 其实他是可以约掉的哈。 然后你这个 p a b， 这个三角形，哎，这个三角形 p a b， 他 是不是可以以 p f 为底？哎，这不也要你求 p f 吗？是不是？他往这边做垂线为高，他往这边做垂线为高，那是不是就他俩的水平的距离，哎，也就是六哈，也就是六二分之一以 p f 为底，然后做完差就是六， 哎。然后给他表示出来之后，你会发现二分之一，二分之一可以约掉，对不对？而右边这个四分之九减二分之一，其实你可以提出个什么， 你提出一个二分之一好像就会更简单，我不这么提，我提个二分之一看起来会更舒服一点啊。我提二分之一这块是不是就是二分之九减一？这样的话，你二分之九减一是不是直接就约掉了？ 哎，二分之九减一哈，哎，直接约掉了，那左边这个分母剩个六一乘过来，是不就是剩三了？哎，六除以二，剩的是不就是三？ 这个题就很巧妙哈，这个圈二很巧妙哈。然后来看圈三圈三，他说当点 q 从点 a 出发， 点 q 从点 a 出发，哎，沿着折线 c h h a， 那 他肯定分两段，对不对？他说以 o b 和 o q 为边做他这道题的难点在于，他没有让你直接写出， 你还得写过程，对不对？求 d 的 曲值范围哈。那首先我就要去分析一下，当 q 在 这个位置的时候，你要按照顺序哈，他说的是平行四边形， b o q n b 在 这， o 在 这， q 在 这， n 肯定在上面，不可能跑到下面哈，他是 要么你是顺时针，要么逆时针哈。那我就想第一个，我想的是找到什么临界值，这临界值就是当我这个 q n 等于三的时候，这是不是临界情况， 哎，这个时候这条直线肯定是 y 点 x， 我 就说 q 点坐标是 t 对 t， 那 你这个 n 这第一个哈 q 一 n 一 点的坐标一定是这块加个三就是 t 对 t 加三，你把它带进去，能解出两个 t 值， 一个 t 是 零，这肯定要折了，就是这哈，另外一个 t 等于十分之三十三，哎，这是一个界点临界的情况，那我在想他往左还是往右，往哪呢？你如果要是往左，你会发现和他都没有没有这个抛物线吧， 只有你往右，哎，你往右，你看这块是不是就会有抛物线，它是不是就会向下，哎，它就会向下的哈。这个题正常情况下，你要算一下这个 h 点的坐标，你会发现它是在对称轴左边，所以 当你 q 往这边走的时候，它不可能有 y 衰的增大，而增大它都是从左到右都是下降的哈，然后你去看，哎，当它到哪块的时候，当这个 q 和 c 重合的时候，在这块， 哎，你看这里边是不是还是下降呢？而且这个点是能取到的，刚才这个临界的情况，这个取不到，这个连上的话，这里面没有没有二次函数图像，没有抛物线，对不对？所以说就是十分之三十三到二分之九，右边是可以取，等，左边取不到等哈。 然后第二种情况啊，就是在这个 q 点在 h a 上哈， q 点在这块的时候啊，我可以哎列一下， 然后我依然要找借点哈，我就往上做一个平行 y 轴的直线，让这个长度是三，这条直线可求哈，这条直线是 y 的 负二分之一， x 加三，它的坐标就是 t 到负二分之 t 加三上面，那是不是 t 到负二分之 t 加六啊？哎，你把这个点给我带进去， 带进去之后你就会解出两个 t 值，那 t 左边的肯定不要了， t 三减去五分之三倍，刚好十，这个不要， 哎，然后我只要右边这个哈，右边这个，那我现在想知道他和这个二分之九，因为你的 c 点的坐标不是二分之九都有二分之九吗？我要去看这个二分之九和他俩谁大谁小。我做个叉之后，然后你去比较一下，你发现他大于零，他大于零就是说明他比二分之九大呗， 他比二分之九大的话，那他跟刚才那就合不到一起去了，他俩就该分开，哎。到哪块到六，你往下面走，你看你这块，如果 q 跑到这了，哎，你看这是不是可以啊？在他俩之间的这一部分是不是都是 y 衰的增大而减小，从左到右是下降的趋势， 哎，你再往这边就不行了，你再往左边，你左边这块，你看你做平行四边形一组，对边平行且向等，中间没有抛物线肯定不行，哎，那就是这个界点 q 的 情况，往右走可以啊， 你看你这往右走是不是就可以的，这里边就都有，哎，你接着往右走，这个就是临界情况哈，就是当他在这块的时候， 就过 a 点的时候， a 点这块是几是六六又可以取到，所以说分类讨论了，那你要把这两种情况给他综上一下，合到一起就可以了哈。 呃，整体来说，我觉得这个大连二模题考的还是挺好的哈，就是有难度。然后，嗯，也给大家一点点这个得分的空间，就是你把你能力范围内该做对的做对就行了哈。拜拜。关注刘刘丹老师，我们下期再见。
162大连倍多分刘丹数学
09:20查看AI文稿AI文稿同学们大家好啊，老师讲解一下沈阳市的二模的二十二题啊。那么题中说这个二次函数是 y 等于 a， x 方减 x 加 c， 所以 b 知道是负一， 然后和 x 轴交于呃， a 点负一到零，还有和 y 轴交于这个零到负二分之三啊，就是网络上流行的这个符号和分数线有点像挨在一起了，但其实我们看图像，它这个是负的，因为它交在 y 轴负半轴了啊， 所以它一定是负的二分之三。那么把这两个点代入求表达式，就是 y 等于二分之一， x 方减 x 减去二分之三啊，就这样的。 然后第二个它说 p 点是二次函数， y 等于啊， a， x 方减 a 加 c， 图像上一点，且在对称轴的右侧，在直线 b， c 上方的是 b 点。关于 y 轴对称点，那我们看一下 b 点啊， b 点呢？我们需要先解一下这个 b 点坐标，那就让这个 y 的 零解出 x， 一 是负一， x 二是正三， 所以负一就应该是 a 点的啊，这是 a 点坐标，负一逗零，然后它就应该是三逗零。那么关于 y 轴对称，所以得点就应该是负三逗零啊。这块好，再往下往下。题中说这个连接 p 的 交二次函数图相对应轴一点， e， p， e 和得 e 相等， 那我们看一下啊， p e， p， e 和得 e 相等，它俩相等，它俩相等。那我过 p 点向下做垂线，根据平行线分线段成比例是不是？呃， 这个点咱们放个字母 m， 这放个垂足是 q， 对 吧？那是不是得 m 和 m q 也相等，那得 m 长度负三到一四个单位，所以 m 点到 q 是 不也是四个单位？那么 q 点坐标就应该是五到零， 那 p 点横坐标就应该是五，对吧？横坐标是五往里边带就可以求纵坐标，求完之后， p 点坐标就应该是五，逗号六。 这是第二题，还是比较简单的啊。第三个题它说的是将这个二次函数图像沿着射线 bc 方向平移， b 点坐标是三斗零， c 点坐标是负的 啊，啊，零度二分之三啊，零度负二分之三，所以第三个问啊，第三个问， bc 直线是可求的， y 等于 二分之一， x 减去二分之三，对吧？这是可以提出来的。然后它沿着 bc 这个方向平移的话，平移后的二次函数与 x 轴有两个交点，右边的是 f 连接 ac 和 c， f 之后求平移之后对称轴是 m， 然后说面积啊， a、 c、 f 的 面积是小于二分之三的时候，然后他问的是 m 的 取值范围啊。那我们先看一下整个这个图来说， a、 c、 f 是 这个三角形的啊，对吧？ a 点个字， a、 c、 f 的 面积 o、 c 长度是知道的， 所以其实三角形 a、 c、 f 的 面积我们要算的话，应该是二分之一乘以 a， f 乘以 o， c 底乘高，对吧？那这个数就应该是二分之一， o、 c 是 二分之三， a、 f 是 不知道的，所以这个数它是小于 给的面小于二分之三的，这呢？啊，小于二分之三，那这个时候我们去解 af 的 范围，那 af 就 应该是小于二的，对吧？ af 小 于二作为线段长度， af 小 于二，那说明 f 点在 a 点左侧的话，那就是 f 点横坐标重写啊， f 点横坐标 在左侧就应该大于负一，嗯，不对，它是负一，对吧？那就是负三 在右侧就应该是小于一对吧，题中右数它不重合，所以 f 点横坐标，且 横坐标还不能等于负一，那这就是 f 点横坐标的范围，那接下来他说要求以此来求出 m 的 区域范围啊。那这块呢，我们可以用一下小道具，老师给你说一下啊，看这，我们把这个透明纸啊给它贴，这圆函数呢，是这样式的 圆函数，然后对称轴，这是对称轴，那平移之后，这个就是直线 i 等于 m， 那 假如说我平移到这个位置，你看啊，我平移到这个位置 搁这，那如果 f 点在这对称轴必然是有一个位置的，对不对？所以 f 点的位置跟对称轴的位置是一 一对一的，就一个 f 能确定一个 m， 那 f 点你看它从负一开始啊，我就画一下啊。假如说我只看横坐标啊， f 点从这个一开始到负三，那你 f 点从这开始，然后你每次你从一到三的时候， m 点是不依次向左去，所以对应着 m 也有个范围。那这道题就是分别将这个 f 点坐标 一斗零啊，不是 f 点坐标取不到一斗零啊，就一斗零和这个负三斗零带到这个表达式当中去。然后我们去求一下，还要算一下 负一斗零所对应的 m 值，然后这个 m 值是舍掉的啊，这舍掉的，那现在的问题是啊， b 是 什么样的？你在平移过程当中， a 是 不变的，对吧？ a 不 变，那对应轴会发生变化，然后 c 也不知道是这样吗？ 但是我们知道啥呢？这道题中说它是沿着 b、 c 这个射线方向平移的，那么是不是，是不是所有点都沿着 b、 c 这个方向平移，包括这个顶点，对吧？所以咱们先求出原函数的顶点，原函数的顶点应该是是一到二， 然后因为它平移的方向跟 b、 c 是 一样的，所以这条直线应该也是 y 等于二分之一， x 啊， k 也是二分之一，然后加上一个 b， 把这个点带进去， 就可以求这幺减幺，这是 y 等于二分之一 x 减五了啊，减二分之五啊，减二分之五。所以这个抛物线你平移之后，它的顶点它对称轴是 m 啊，这啊对称轴是 m， 所以 顶点横坐标就是 m， 然后再带到这个 直线里边，就应该是纵坐标就应该是二分之一 m 减去二分之五，对吧？ 所以新的函数 y 撇啊，他就应该等型顶点式是二分之一倍的，然后括号 x 减去 m 的 平方，再加上二分之一 m 减去二分之五，是不？这个然后再把刚才说的三个点都带进去，就可以求了啊。来，我们算一下， 刚才那三个点是一斗零，负三斗零，然后往里边带负一斗零，是舍掉那个 m 值。抛物线表达式，咱们生成这样的啊。那我们来算一下， 第一个把这个一斗零带进去，那是不就应该有二分之一倍的一减去 m 的 平方，加上二分之一 m 减去二分之五等于零， 应该是这样的，然后这个方程咱们化减啊，化减之后应该是 m 方减去 m 减四等于零，所以减完两个值求根公式就行，一个是二分之一，减去根号十七，另外一个是二分之一，加上根号十七，那么要哪个呢？这里边 f 的 边界那个点是一斗零，对吧？然后你这个 m 值比一斗零这个点还要，又还要靠右说这边了，那不符合提议了，因为提供说 f 点是右边的那个焦点，对吧？所以 m 应该在这个位置，那应该选它啊。所以此时对应的 m 值就应该是 二分之一，减去根号十七，然后同样把负三逗零也带进去啊，那带入负三逗零，就应该是二分之一倍的负三减 m 的 平方 加上二分之一 m， 减去二分之五等于零啊。这个一般是化简，是 m 方加上 m 方加上七 m， 然后加上四的零，也是两个值，一个是二分之负七，加上根号三十三，另外一个是二分之负七，减去根号三十三，那道理一样，这个是舍掉的啊， 要的是这个值，所以此时 m 的 范围就应该大于二分之负负七 减去根号三十三，然后这边是小于二分之一，减去根号十七啊，这是负七。是这样的，那还差一个点呢，就是你把这个点带进去，把负一逗零带进去，带入负一逗零，就是负一二分之一倍的负一减去 m 的 平方， 然后再加上二分之 m， 减去二分之五等于零啊。解这个，解完这 m 也两个值，一个 m， 是 啊，正一和负四， 然后这个舍掉了啊，这个舍掉了，要这个，所以最后就应该是且 m 不 等于负四啊，应该这个就是答案了，这就答案了啊，明白了吗？拜拜。
9周舟数学
09:54查看AI文稿AI文稿大连二模数学刚考完，大家觉得难度怎么样？今天我给大家分享几何压轴题目，很多学生看到这道题目有一些懵，他们看到几何压轴题目和圆一起考察啊，觉得很难， 其实这道题目跟圆基本没有多大关系。好，我们来看一下。在三角形 a、 b、 c 当中， ab 等于 ac， 等于三 点 d， 在 a、 c 上， a、 d 等于一。以 a 点为圆心，以 a、 d 的 长度啊为半径，我们画一个圆点 e 在 圆 a 上，并且角 c、 a、 e 加上角 b， a、 c 等于一百八十度。 好，我们来看第一问，但是分界小组通过延长 b， a 与这个原 a 相交于点 e， 他 找到了一个符合条件的点 e 的 位置，连接 c、 e， 进一步发现，当 c、 a 与原 a 相切的时候，我们可以求出 bc 的 长度， c， e 和 圆 a 相切，又因为 a、 e 是 半径，那我们是不是很容易得到角 a， e， c 为九十度，因为 a、 e 是 半径，那我们是不是可以得到 a， e 的 长度也是等于一， 又因为 a、 c 是 等于三，那我们用勾勒你是不是很容易把 c、 e 勾出来？那么 c、 e 的 长度应该是等于根号下九，减去一， 就是等于根号八，那就是二倍的根号二。然后在三角形 b、 e、 c 当中，我们是不是可以再用一下勾定你啊，就可以把 b、 c 的 长度求出来， b、 e 的 长度等于四， c， e 的 长度等于二倍根号二。所以说 b、 e 的 平方就是四的平方，再加上二倍的根号二，括号的平方， 他应该是等于根号下十六，加上八等于根号下二十四，就是等于二倍的根号六。那么这个第一问啊，比较简单啊，只要大家把这个题目读清楚啊，把这个条件全部挖掘出来，那么这个第一问就是一个送分题目， 我们来看一下第二问。瑞斯小组将角 b、 a、 c 特殊化后，提出如下问题， 它是角 b、 a、 c 等于九十度啊，是一个直角三角形，连接 b、 d， 使 b、 a、 g， 这个角等于角 a、 b、 d。 比如这个角，请你在这个圆 a 上找到符合条件的点 e 的 位置，并做直线 c， e 与直线 a、 g 相交于点 h， 让我们求 g h 的 长度，那我们先把这个点 e 的 位置找到，我们看一共有多少个点， 因为这个题目告诉我们的角 c、 a、 e 加上角 b a、 c 等于一百八十度，而角 b、 a、 c 等于九十度，那我们是不是可以得到角 c a、 e 也等于九十度，那我们很容易得到这个 e 点 在这个 b a 的 延长线上，并且在这个圆上，所以说这个 e 点应该是在这个地方。第二种情况，这个 e 点是不是在这个地方啊？对不对？你看是不是一共两种情况啊？那我们先把这个图画出来，那么这个 e 点一共有两个位置，一个是在这个地方啊，一个是在这个地方，然后我们连接 c e 与这个 g a 相交于 h 点。好，我们先看一下这个图，它让我们求 g h 的 长度，那么 g h 的 长度，它应该是等于 a g 加上 a、 h 三角形 b， a、 c 等于九十度，又因为 ab 等于 ac， 那 么这个三角形就是一个等腰 r、 t 三角形，所以说这个底角它应该是四十五度，因为 ab 等于 a c， a、 d 等于 a e， 角 e a、 c 也是等于九十度，那我们是不是很容易判断出来三角形 abd 和三角形 a、 c、 e， 它应该是全等的，就这个三角形和这个三角形应该是全等的，因为 ab 的 长度等于三， ac 的 长度等于三，那么 a、 e 的 长度等于一， ad 的 长度等于一。 在三角形 b a、 d 当中，我们可以把 b、 d 勾出来，那么这个 b、 d 应该是等于根号十，所以我们可以得到 c e 的 长度也是等于根号十。 这个题目告诉我们的，角 b a g 等于角 a b、 d， 那 么这个有什么用呢？我们刚刚是不是已经得到一个全等了？所以我们可以得到角 a、 b、 d， 它应该是等于角 a、 c、 e， 又因为角 b a、 g， 它应该是等于角 h a e， 它是一个对顶角，那么这个时候是不是出现了一个子母相似啊？就是三角形 h a、 e 和三角形 h c a， 它应该是相似的，因为这个角 h， 它是一个公共角啊。角 h a、 e， 它等于角 a、 c、 e 相似之后，我们是不是可以得到对应边乘比例？所以我们就可以得到 h e 比上 h a， 它应该是等于 h a 比上 h c 等于 a e 比上 a c。 大家发现没有， a e 的 长度等于一， a c 的 长度等于三，那我们是不是可以得到这个相似比，就是一比三。那么这个时候我们可以设 h e 为 m， 那 么 h a 就是 三 m。 有这个式子，我们就可以求出 h c， 它应该是等于九 m， 所以 我们就可以得到 c e 的 长度应该是等于八 m， 又因为 c e， 它是等于 a d 等于根号十，那么这个时候我们是不是可以求出 m， 它应该是等于八分之根号十， 所以我们可以得到 a h 的 长度，它应该是等于八分之三倍的根号十。我们要求 g h 的 长度，那我们是不是还需要求 a g 的 长度？ 因为这个地方角 a b g 等于四十五度，而这个角的三角函数值是不可以求出来啊， 这个角等于这个角，这个角的三角函数值应该是贪金，这个角等于三分之一。那么在一个三角形当中啊，已知一个角，另外一个角的三角函数值也是已知的， 又因为 ab 的 长度，它是等于三，那我们是不是很容易想到我们要过继点向 ab 做垂线，这个地方非常妙哈，大家一定要去体会。 那我们可以设 mg 等于 a， 那 么 b m 是 不是也是等于 a？ 又因为贪金角 b， a， g， 它是等于三分之一的，那我们是不可以得到 a m， 它应该是等于三 a， 所以 我们就可以得到四。 a， 它应该是等于 a， b 的 长度就等于三，所以我们可以得到 a， 它应该是等于四分之三。那么在三角形 a， m g 当中，我们用一下勾股定律就可以求出 a g， 它应该是等于根号下 九 a 的 方加上 a 的 方，所以说 a g 应该是等于根号十， a， 它应该是等于四分之三倍的根号十，所以我们就可以得到。第一种情况， g h， 它应该是等于四分之三倍的根号十，再加上 八分之三倍的根号十，等于八分之九倍的根号十。好的哈，那我们再来看一下第二种情况，如果这个 e 点在这个地方，那么这种情况和这个第一种情况是不是类似的？ 因为这个角 b a g 等于角 a c e， 又因为 e a c 等于九十度， 那我们是不是可以得到角 a e h 等于角 c a h， 就是 说这两个三角形是不是相似的？为什么呢？因为第一种情况是三角形 h a e 和三角形 h c a 是 相似的， 所以说我们要看一下第二种情况，这两个三弦是不是也是相似的？那通过我们的分析，这两个三弦也是相似的，所以说这个式子还是成立的。那么这个时候我们可以设 h e 等于 n， 那 么 h a 是 不是等于三 n， 那 么在三角形 a h e 当中，我们用勾定你，那我们就可以得到 a e 的 长度，应该是等于根号十。 n， 又因为 a e 它是等于一的， 所以我们就可以得到 n， 它应该是等于十分之根号十。我们要求 g h 的 长度，那我们要把 a h 求出来， 那么 a h 它应该是等于三 n， 所以 a h 等于十分之三倍的根号十。因为 ag 和这个第一种情况的 ag 是 不是相等的？因为这个图形没改变呢？所以说 ag 它还是等于 四分之三倍的根号十，那我们就可以得到 g h， 它应该是等于 ag。 再减去 a h， 他应该是等于四分之三倍的根号十。再减去十分之三倍的根号十，他应该是等于二十分之九倍的根号十。 那么这个就是第二种情况，所以说最终的答案应该只有两个啊，第一个是八分之九倍的根号十，第二个是二十分之九倍的根号十。 那么这道题目大家听懂了吗？其实大家做起来哈，一点也不难哈。大家如果想要大连市二模的数学试卷，大家可以在评论区留中考冲刺。好，我们下期视频见。
04:30查看AI文稿AI文稿我们一起看一下沈阳刚考完的二模考试卷，这个题的考试核心呢，也是一线三等角的证明和构造。我们看第一问啊，第一问呢，想让我们证明 b、 c 和 e、 c、 f， 这里我们先通过导角，之后 通过三等角常见的一些导角思维，哎，一个圈加一个叉，加上这个一百二十五减二，一百二十五减二法，同样这个位置也是用一个圈一个叉加一百二十五减二法，这个就是一线三等角常见的一些证明方式啊。然后第二问呢， 它还是利用了一千三角角的证明方式，同时当它为九十度的时候，我们可以借助这个手把手构造去轻易地证出这个 b、 e、 g 等于四十五度。 我们先连接 a、 e， 为什么连接？因为题中给了一个五十度角， a、 d、 c 等于九十后呢， b、 e 还等于 a、 b， a、 d 等于 d、 c。 当然呢，我们能得到两个等效值，是 a、 c、 f 为等效值，同时呢，这个 a、 b、 e 也是等效值，那么两个等值我们一旦呃 是公 a 点啊，连接 e 啊，公 a 点，就能得到一个相似，这里的相似指的就是这个 a、 b、 c 和 a、 e、 f 是 相似的，那么得相似之后呢，这个 a、 e、 f 就是 九十度，同时这个 a、 e、 b 是 四十五度，那么 b、 e、 g 就 等于四十五度，这个就很轻易我们就得到了，所以 b、 g 和 b、 e 啊，就非常轻松的找答案。看下最后一问，最后一问呢，当 a、 b、 c 等于一百二十度时， a、 b 的 延长线和 f、 e 的 延长线交于点， g 连接 c、 g， 让我们求 b、 b、 g、 e 的 度数来分析题。根据上一位，我们连接 a、 e 构造一组手拉手，利用手拉手去倒角，那么这一位我们同样去连接 a、 e 啊，这个 a、 b、 e 呢？它是一组呃，一百二十度等腰， a、 c、 f 同样也是一百二十度等腰，那我们就先得到一组相似，这里的相似指的就是 a、 b、 c 相似于 a、 e、 f， 那 我们把表示的边都标标好，角度呢也都标好。然后呃，我们能得到 a、 e、 f 等于一百二十度， a、 e、 b 等于三十度， 那么这样 b、 e、 g 就是 三十度，同样的 e、 b、 g 呢，是六十度，那么垂直我们就答完了，所以答案就是九十度。然后最后一问，我们来看一下啊，它给了 a、 b 的 八， f、 c、 g 等于一百五十度，求 b、 c 的 长。 由于我们前面一直在证明一个三角角，所以最后一问呢，我们可以把一个三角角给它构造出来，我们也可以延长 c、 e 到点 h， 把 f、 h、 e 呢给它画成一百二十度。这样呢，我就拼成了一线三等角，这个一线三角呢，就是 a、 b、 c 和 c， f、 h 呢，就是全等的啊，全等的。然后我们来分析， 他说题中给的八，让我们求 b、 c 的 长度上一问，我们九十度依然能用，那么叠加了这个一百五十度之后，能得到什么新的东西呢？我们先做好准备工作，由于 f、 c、 g 等于一百五十度， a、 c、 f 等于呃，这个一百二十度，所以新加的内容就是什么呢？就是这个九十就是角， a、 c、 g 等于九十度。好，那我们来倒推，如果它是九十， 我们设这个角为角圈，那么这个角叫 c、 g， a 就是 角叉，由于 b、 g、 e 横为九十度，所以这个角就角圈好，也就意味着 a c g 等于九十。我们能倒推出这个角和这个角都是角圈，那么由于三等角的原因，这两个角是相等的啊，所以我们又能倒推， 倒推出什么？这三个角相等，那么也就意味着我们能倒推出，想证明出这个 b、 c、 f 相似即可，顺着这个线去找相似， 那好，找相似的话，那我们看一下这个，呃，三角形 c、 e、 f 和 f、 c g 中我们能有哪些边？呃，在这里呢， 我们需要先求一下这个 b g 和 e g 的 长度啊。这个我们通过连接 a c， 由于 a b e 呢是一个三一八度的等腰，所以我们能列出式子，我们可以先设 b g 等于 a， 那 么 e g 呢？就是刚好三 a， 然后我们再利用 e g 比上 a g 等于一比高三， 因为这里 a g e 呢，它是一个三十度的直角三角形，然后我们就能轻易的得出这个 e g 呢是等于四倍高三，那么 b g 就 等于四啊，这个比较容易啊，好，然后我们想求 b c， 这里我把 b c 设为二 x 了，方便求值。那么 c g、 c e 的 长度呢？就是八减二 x， 八减二 x， 然后接着往下推 e h 呢就是二 x， 那 么我们能推出这个 e f 呢，就是二倍根号三 x。 好， 那么我们在这组相似里，现在有对应的边是 e f 呢？就是二倍根号三 x。 好， 那么我们在这组相似里，现在有对应的边是 e f 比上 e f， 那么 c e 比上 e f 等于什么呢？它和 c g f 相似，它能推出 c e 比上 e f 就 等于 c g 比上 c f。 我 们知道 c f 是 等于 ac 的， 所以我把 c f 换成 c 后呢，这个 c g 比上 e c， 它俩现在是没有对应边的，我们还需要再再次转化。这里我过 c 点向 a g 做一个垂线交汇点 m， 刚才我们设 b c 为二 x， 那 么 b m 就是 x， c m 呢？就是杠三 x， 然后 c g 比上以 c 接着转化，转化成 cm 比上 am。 这样呢，我们就能得到串联的一个式子，这个 c e 比上 e f 就 等于 cm 比上 am 啊，这个式子里是我能利用上这个边长。最后我们列出比例式，求出 x 值，就是二分之二三三减一。由于我们设的 b c 为二 x， 所以 二 x 呢，就是二三三三减一。
