作业大赛 一等奖 三角函数

同学们好，老师好，请坐！今天我们来学习第八节三角函数的简单应用。 首先我们来回顾一下正弦曲线，正弦曲线我们可以通过五点作图法来做出来，也可以用几何画板给大家演示一下。 请同学们看大屏幕。 我们来看一下这个 y 零三 x 图像是由地点运动所留下的轨迹。 那第一点呢？横坐标是什么呢？我们观察一下， y 等于三 x， 自变量是 x， 横坐标自然是 x 的 距离， x 所代表的角是角 a o b， x 是 这个角的弧度数，由于该圆的半径设为几，所以它的弧长和这个角的弧度数是相等的，所以弧 ab 的 长也是 x。 那 d 点的纵坐标是什么呢？我们知道 d 点的纵坐标其实就是三 x 的 值。三 x 单位圆定义当中是角的中边与单位圆交点的什么坐标？ 纵坐标那，因此我们会看到 d 点的纵坐标事实上是和 b 点的纵坐标是一致的，所以你会发现 经过第一点呢，运动，它便可形成正弦曲线的图像。 我们回到第一节水车的示意图上来，水车大家很熟悉，它是可以转动的， 在转动的过程当中，水车上一点 p 到水面的距离。 y 是 随着时间 t 的 变化而变化的。 当让水车停下来，我们会发现 t 取定了一个值 对应的， y 也有唯一的一个值和它对应。我们再让它动起来，再在另一个位置上停下来， t 又取了另一个值，这个时候 y 也有一个值和它对应，因此 y 和 t 是 函数关系。 既然是函数关系，我们需要知道哪些量才能确定这个函数的解析式呢？换句话说， y 与 t 的 关系与哪些因素有关？同学们，我们分组交流一下。 好朋友们，交流完了，我找一个同学来说 水车的大小，嗯嗯，水车的吊速哦，嗯， p 点的出水位置， p 点的出水位置。出哦，出水位置也就是 t 等于零时。 p 点在哪里？还有呢？ 好，请坐啊，还有水面的高低，好，请坐啊！下面我们来看看。这个同学回答的是非常正确的，水车的大小， 水面的高低，转动的快慢以及 p 点的出水位置。那如果我们把这些量给定下来，是不是就可以求 y 与 t 的 关系了？ 好，那我们把这些量给假设出来，请同学们大声的读一下题目， 好，听见没反应。水车大小的是哪一面？ 直径？直径，那它的半径是多少？一点五，一点三，它就等于一点五米。反映水面的高低的是哪个点？比半径，也就是圆心到水面的直径。 逆时针匀速旋转，一周的时间是三分之四分钟，这个反映了水车的转转速，就是转一周的时间出来了。对，其实这也是 函数的周期气，等于三分之四分钟。 我们来看一下最后一个条件，不妨从水车与水面交点 q 开始计时，也就是什么时候开始计时呢？就是 p 点刚出水面的时候开始计时。 是不是这意思？刚出水面，因为它是按照逆时针方向旋转。好，那我们来想一想这些量，知道以后， 我们便可以求出来 p 点到水面的距离，与谁的关系，与旋转时间 p 的 关系。我们设 p 点到水面的距离是什么？ h 的 距离。 好，那让我们画出这个函数的图像，首先我们来看看这个解析式怎么求？ 那我们刚才知道，在正弦曲线当中，我们是可以用一个单位圆给他转出来这个图像，同样这个水车也是转的，我们要考虑类似的方法，因此我们做一条辅助线 o n 把 pm 这个线段分成了几段，哪两段呢？ m p 还有呢？ m p， 那 换句话说，咱们的这个 h 就是 等于 mp 加上 am， 在 这两个量当中，大家发现它们是变量还是说是常量？我们同学们来想一想，是变量还是常量？来观察 am， m 在 这里乘量，它是乘量，它是和 b 相等，那 mp， 那 根据它转动中点的位置有关， 所以它是一个什么量变量？那同学们，我们知道这个就等于 mp 加上 b， 也就等于 mp 加上多少一点二，是吧？等于 mp 加上一点二。 那同学们我们再来想一想 m p 如何来求观察 m p 在 哪个三角形当中 哦，这是一个什么样的三角形呢？直角三角形， m p 是 它的一条直角臂，我们知道什么 斜边，我们知道斜边，对，知道斜边，也就是圆的半径，那知道半径，我们还需要知道什么才能求出来 n p， 那 就说 n p 它应该等于啊乘以 a， 哪个角 角？ p o n 是 不是？那这个 p o n 是 不是变化的？是，是它也跟 p 点的最终位置有关， 那既然跟它有关，肯定跟时间 t 有 关，那下面我们来看看。设一下角 q o n 为半径，大家来看看它的方向 是逆时针还是顺时针？逆时针，因此这个角是一个正正角。那我们再来看一下 o p 一 开始的位置是在 o q 的 位置，它从 o q 转到了什么？ o p 现在的位置，它所经历的时间就是变量 p， 因此要想确定 o p 的 位置，我们需要知道什么时间已经是 t 了，我们需要知道它的 角速度是不是？是。那换句话说，这个阿法角，我们可以看到它是等于角速度乘以时间的。角速度我们往往用哪量去表示？用 omega， 那 它就等于 omega t 五米杆是他的角速度，角速度用什么方法来求吧。二 pi， 二 pi 比 t， 这个五米杆等于二 pi 比 t 这个大 t 是 转一周的时间，这个量有没有呢？有，但是我们来观察一下 h 与 t 的 关系式当中， t 的 单位是秒，而我们大 t 的 单位却是分，因此换算成秒，那它等于多少？八十哦，等于八十秒， 那现在我们来看一下我们一个能不能求了，他就等于二 pi 比上什么八十，然后他就等于四分之二， 对吧？对，那同学们再来回到 n p 上来，它等于 r 乘以撒 in 这个角，那我们来看看这个角和阿萨和贝萨的关系观察角 p o n， 它是等于 r 加减百，那它就等于 r 乘以撒耶 r 加减发。 同学们，这个 five 这个角，我们发现它是一个长量还是一个变量？长量，长量，它就是角 q o 欸，所以它是个长量， 那这个长量是多少呢？我们能不能算出来呢？同学们说一下，这个长量怎么算？那这个发尾在这个位置如果不好算的话，我们能不能找到另一个位置来算？ 给它放到哪里呢？ o q m o q m 它在直角三角形当中， 那因此这个角的正弦值应该等于对边比，斜边这边是谁？ b b 这个是已知吧，斜边是谁？二，因此我们可以看到这个 sign， sign， 它是等于 b 比上什么 r 是 可以计算的。那我们现在来合成一下 h 与 t 的 关系，因此 h 它就等于 从哪儿写起呢？等于 np， np 是 不是在这里观察它到这里来了， 是吧？ r 是 一点五三，然后角 r 法是等于欧米茄 r， 欧米茄又等于四十分之二，这点就等于四十分之二， 减去八八也还没有计算，我们等一会再算 b 有 没有？大家说 b 有 了，刚才已经写过了，他是加上什么一点二。现在我们看看这个解析式当中，除了 h 和 t 这两个变量之外，还有一个字母就是谁法，那我们来想想法怎么求？ 那我们根据三 a 法也等于 b， b 二， b 是 多少？一二 r 呢？一五，因此三 a 法也等于五分之四。五分之四在物理上有没有要求大家记住这个 五十三度约等于五十三度。对，实际上是约等于五十三点一度啊，它也是约等于五十三点一度。 但是我们在三角函数当中，角都是用什么去表示的弧度，所以我要把它画成弧度度。画成弧度是怎么换算的呢？ 那就等于五十三点一乘以。 好，这个女同学你来说一下，一百八十度分之帕耶，一百八十度分之帕耶。如果这个地方带度，这个地方也带度，是不是到最后度可以约掉？如果这前面不带度，我们后边也可以不带度，那就乘以一百八十分之帕。 好，请坐。好，那么这个呢？我们就可以算出来他等于零点二九五啊， 那这个时候我们会发现法也取定了，但是法也是约束，还是 准确的说呢？约束数，那你这个整个变量里边，我们确定的时候，其他的常量都是 确定了数，只有法也是什么约数？那因此 h 与 t 的 关系，我们是用确切的等于号，还是用约等于号？约等于一点五乘以三也四十分之八以 t 减去零点二九五，然后加上一点二， 是不是？那这个函数关系式我们就确定下来了。下面请同学们来看一下我们如何去画它的图像吧。 我们来想一想，画图得经历三步走，第一步是列表，第二步是描点，第三步是行行，行。但是三角函数的图像又有一个非常特殊快速的画法，叫五点作图， 那这个五点作图法对于这个复杂的函数来说，应该是谁取哪五个点？兄弟们好问一下。 好，这个同学你来说一下，嗯，就是可以。呃，可以让四十分之派 t 减零点二九五，派等于分别等于零二分之派，嗯，派，二分之三派和二派算出这个 t 的 值，嗯， 然后还得算出，然后还得算出这个 h 的 值，嗯，他表达的对不对？非常的准确。好，请坐，我们来看一下他跟标准答案一模一样啊，是四分之一快递减去零加二九五取这五个点， 那我们下面要列表，这个表格不同于往常，他多了一行就是哪一行，就是四十分之 pi， t 减去零点二九五 pi 这行其实是过渡行， 我们知道最终描点的时候有没有用到这一行，没有，他用到的是第一行和第三行，第一行是横道表，第三行是对应的纵道表，下面我们去描底， 我们描出来这五个点，然后再用一条光滑的曲线把它连接起来就可以。同学们，我们做好图以后，我们发现这个函数的平衡轴是 y 等于一点二，那你觉得他这个一点二和解析式当中的谁能对应上去？是不是 b b 又是什么呢？实际问题当中，水车中心到水面的高度或者水面的距离都可以， 那我们再来想一想最高点，大家来看看纵轴标是二点七，那又是跟哪个量能够联系上呢？一点五这个最高点到水面或者七点达到最高点时 是不是？那还有负零点三，它是水车上面的 p 点，运行到什么最低点，它的函数值是负零点三。我们再来看一看，我们刚才假设 t 等于零的时候， p 点在哪里？ 是不是出水的位置？对呀，那 t 等于零，那对应的 h 也应该等于零，所以这个函数的这个图像是从哪个点开始的？零零点看到没有？是从零零点开始。好， 那下面我们思考函数的解析式中的几个参数约实际问题的哪些因素有关，我们来看一下 h 约等于一点五，除以四十分之 pi 等于零点二九五， pi 加上一点二，这里面的一点五是什么 半径？水车的半径，这里面呢？四十分之 pi 是 什么？ 水车转动的角度？还有这里边的发也，大家注意发也，我们这个图当中已经明确指出了他是从哪向哪转的，大家来看一下这个箭头的方向 是从初始位置 o q 转向哪点？从 o 点水平指向右侧的射线转到这里， 我们来看一下是不是转出来的这个角，那目前转出来的这个角是一个什么角？正角吗？逆时针方向旋转。好，记住这个角的几何意义。我们用一句话来描述，是圆心指向初始位置的射线旋转到第一次与圆心 出发水平指向右侧的射箭重合所形成的角，它有一个运动的过程，看到没有啊？最后就是 b， b 比较简单，是什么？水和中心到水面的距离是不是 好？同学们，我们刚才探求了 y h 与 t 的 关系，与水车的大小，水面的高低，转动的快慢， p 点的出水位置这些因素有关。 当这些因素发生变化时，他说的解析式会发生相应的变化吗？你们感受一下会不会发生相应的变化？会，会吧，会。那将会发生怎样的变化？首先我们还是要做出假设， 假设什么河水上涨？同学们，河水上涨会影响什么？河水上涨会影响这四个量当中的谁呢？你 会影响 b， 是 不是？对，因为你当河水上涨的时候，那水调中心到水面的距离会怎么样减小？那我们这个题目当中又假设了其他条件不变，我们来看出 水面开始上涨多少？零点三米，那我们这个 b 没有这么长， b 现在是指向水里的，我们把 b 给它收回去， 那这个时候只有谁发生了变化？ b， 你 再看看半径没有变吧，你再看看发了角也没有变吧，那转速我们也假设不变，只改变了谁？ b， 那 同学们，你能直接说出第一题的解析式吗？ 好，我找一个同学来说一下好不好？也可以讨论一下啊。 说一下， h 等于一点五，一点五， g 的 三二四四十分之八， a， t 等于二九五块加上一点点九， 加上零点九， b 变小了，是吧？水位上涨， b 变小了，零点三。好，请坐。大家觉得他说的对不对呢？对，有没有哪点有问题？好，你来说。 因为题目中的在我们是求的约束，所以他应该是约等于，对，这个应该是约等于。很好，请动啊。好，我们来想一想。我们这个其他条件不变也可以，指的是另一种意思， 那就是初十位置还以出水位置来计算，那就是处，咱们不能在水底， 屁股要在哪里呢？要在出水的位置，也就是水面与水槽边缘的焦点，是吧？啊，如果是这样的话，我们观察图给您看， 在这个过程当中，谁发生了变化，发也发生了变化，对不对？那其实这个是在他的基础上变的，又变了，谁发，那大家来看看发也发生怎样的变化，或者是他怎么去求， 我们称为是发一撇，依然把它放到下面三角形来求， 是不是？他还是等于 b 比 r， 但是 b 变小了，是吧？哎，这个时候就等于 b 一 撇， b 叉 r 啊，他等于零点九以上，一点五，他就等于三， 那三一撇等于五分之三，三一撇也等于五分之四。哎，我们知道他的平方和恰角是一，又由于他俩都是锐角，所以他们俩的关系是互余，那既然是互余的话，那画一撇就很好求了， 可以利用谁来求？利用他来求啊，那应该等于二等于二，我们用零点五减去零点二九五，然后他就等于零点二零五，那老师写的有没有问题？ 约等于也是什么？约等于，因为你那个发音是约的，那这个时候这个减去是什么？同学们一起说，减去约等于一 等于 i 四乘以 i g 减去二零五， i 加零点九。 好，我们刚才变了什么和什么呀？水面的高度和 p 点的出使位置 还可以做出怎样的变化呢？好，这个大家读一下，是什么发生了变化？他转动一周的时间是原来的一半，其他条件不变。函数解析式当中呢？谁发生了变化 不明白，也就是角速度，角速度发生怎样变化？是变大了还是变小了？你看周期变成原来的一半，是转快了还是转慢了？转快了多少 是原来转速的啊？对，那这个我们能不能直接写出来？怎么写啊？ h 等于一点五二二十分之二七，减去零点二九五二九五， 然后再加上一点二，是不是再加上一点二二？那同学们，我们这个是转速发生了变化及欧米伽发生了变化，还有谁没有变呢？大小？ 水车呢？大小没有变，转速我们也让它变了， 转快了，欧米伽就会变什么大。嗯，好， 那我们来看一下。还有一个没有变，那就是谁没有变？大小没有变，那水车使用时间久了会坏掉是吧？我们要换一个新的，换一个更大的水车，在原来的位置上给它装上。那这个时候我们做的假设是水车的半径增加到两米， 然后还有一个是其他条件不变，那解析式会发生什么样的变化？ 首先我们来看看中间这个图已经不够用了，够不着水车的边缘啊，我们来看一下它的变化，在这个变化过程当中，你发现了 b 有 没有变化？ 没有吧，没有半径可发生变化了，变了，发也可变了。如果没看清，我们再看一遍，这个发也 变了，没有变了，发也也发生了变化，那我们直接把由一点五改成二，那发也我们再算一下。 同学们来看看。翻译依然是翻译，翻译等于啥？ 翻译，翻译两撇，他还是 等于 b 零。 这个第三题的答案我们就能说出来了，是 h 约等于二倍的 sine， 四十分之 pi t 减去零点二零五， pi 加上一点二， 是不是是很快就解决了？我们知道啊，这个水车在水车在 古代是有何用途？哎，它是灌的是吧？我们从它的功能上能够提出来什么样的问题呢？ 啊？我们来看一下，同学们把题目读一遍，把里面的量确定一下。 那我想问一下大家，灌一亩地所需要的时间，我们得知道它需要的水量，需要的水量有没有？有多少？七点二立方，那我们还得知道灌灌的速度， 哎，灌，灌的速度就水车灌的速度，那怎么算呢？我们来看看水车转动一周可以灌多少水？ 水车灌一周可以灌多少水？六十四，六十四，六十四是怎么来？六乘以四等于六十四，六十四升，是吧？那这个用了多长时间？ 三分之四分钟，用了三分之四分钟可以灌多少水量？十六升，那你能不能算出来它的灌盖速度？ 现在速度怎么求？就是一分钟能灌多少水，是不是一分钟能灌多少水？怎么算？就是除以三分之四， 那他等于四十八，这个单位是什么？升每分钟，也就是他每分钟可以灌一个四十八升的水， 那我们灌盖一亩地所需要的水量是七点二七点二毫米，单位不对，所以干啥换算？是不是换算时候收？那就乘以多少？一千乘以一千啊，朋友们，我们这个灌盖所需要的时间， p 一 撇它等于什么？ 那直接列一个算式，就是七乘以十的三次方，七点二，七点二乘以十， 七点二乘以十的三次方，七点二乘以十的三次方。除以 化验的速度，这个速度是怎么算出来的？是十六乘以四除以什么？三分之四，我们知道他等于七千二百 除以四百。呃，四十八，七千二百除以四十八等于多少？一百五十，一百五十，这个很好算呢，约分可不可以九百五十块？那就等于一百五十单位是什么分钟？那折合这个小时多长时间？ 两点五个小时是吧？也就是观察一亩农田需要两点五个小时，速度还是蛮快的，是吧？好，同学们，我们来看一看。刚才啊，我们学习的这个例题， 事实上是一个简单的建模问题，我们在建模的过程当中需要经历这样几个过程，整理数据，引入变量，建立三角函数模型，这个模型是一个三角函数模型， 分析变量之间与哪些因素有关。我们其实是想找 h 与 t 的 关系，但是 h 与 t 的 关系还与其他的因素有关呀， 是吧？我们把这些关系啊，与它有关的因素都给它假设出来值，才能找出变量之间的什么函数关系，对不对？其实我们刚才看这个设当中有几个函数啊， 是不是四个参数，有 r， 有 欧米伽，有 five， 有 b， 四个参数，两个变量，对吧？好，最后呢，我们运用所得的关系还能解决一些实际问题。 好，同学们准备好草稿纸，我们同学来做一下这个题，我们先把题目举例简单的交流一下 好朋友们，如果要是交流好就可以做，他 还有第二个面呢， 好，做，好的请举手。好，请放下，我看多少同学已经做好。我们同学来看一下这位同学在黑板上做， 那这个首先我们应该是设，或者是根据题意可设 h、 e、 t 的 关系，是这个 是不是啊？我们要有一定的语言描述，那从题目当中我们可以看出来， r 等于十八米， b 等于 r， 加三等于二十一米， 我们一个等于二 pi 比 t 等于九分之二 pi， 这里都是对的，是吧？我们还有一个法也，法也，按照我们刚才的设计，它应该等于二分之二，这设的是减法是不是？好，那这个解析式就显出来了。 那第二题我们可以看出来，他是受到这个建筑物的遮挡，在距距离地面多少米时，三十米时才能看到日落，那换句话说就得让 h 超过或者是大于等于什么？三十大于等于三十，让同学们来看一下这个公式，也是利用这个东西，大于等于三十，然后这个大于等于八分之一，意味着他问的是一圈内 这个人能够看到日落的时间，对吧？所以他选择了 t 属于零到九，是什么意思啊？ 是不是在第一圈的时候能看到日落的时间？有没有代表性啊？其实他在每一圈当中能够看到日落的时间都是怎么样相等，所以在第一圈能够看到日落的时间，就可以代表每一圈能够看到日落的时间， 对不对？我们来看看这个三角不等式，它的解法当中这个学生没有体现出来，这个怎么解？ sine x 大 于等于二分之一，我们要求这里边呢？九分之二 pi t 减去二分之 pi 应该大于等于多少？六分之 pi， 六分之 pi 加上二 pi pi 小 a 等于六分之五 pi 加上二 pi pi， 然后 pi 属于什么？ 我们解出来这个同学们七的范围是什么？在这个数字做一下，韭菜加韭菜加上三小 a 等于什么？韭菜加上六六菜水，对 是吧？再配合 t 大 于等于零，小于等于九，就可以减掉 t 大 于等于三，小于等于六。但是这是一个什么实际问题啊？人家问的是此人能够看到日落的时间约为多少分钟， 那我们这个应该再继续写，六减三等于三分钟，对不对？然后在下个结论，所以 四人在一圈内能够看到日落的时间约为三分钟。好，我们来看一下本节课所学习的内容。三角函数模型是研究周期现象最重要的一个数学模型， 有着广泛的应用，其实在物理上也有应用，对吧？大家学过物理，在实际问题当中要学习观察抽象模型，求解出实际问题， 借助三角函数模型解决实际问题。要提升我们的数学建模的思想。我们来看一下这节课的作业，同学们在书上把它画下来，认为 b 做题和选做题两部分， b 做题是 a 组的一二三选做题是 b 组的第一题。

好，上课起立，老师好，好，同学们好，请坐，谢谢老师！上一节课的话，我们学习了两角合叉的正弦正切公式， 这样的话我们就得到了两角和与差的三角函数公式。首先请大家来回顾一下两角和与差的正弦与弦这四个公式。好，崔阿旭同学你来带领大家来回顾一下， 靠三亿阿尔法减白炭，等于靠三亿阿尔法乘靠三，呃，靠三亿阿尔法乘三亿白炭加上三亿阿尔法乘三亿白炭，好，靠三亿阿尔法加白的 靠三亿阿尔法乘三亿白炭减靠三亿阿尔法乘三亿白炭，好，三亿阿尔法减白的 三英二法乘以 cosine 一 百法减 cosine 一 百法乘三一百法加百的三英二法乘 cosine 一 百法加上 cosine 一 百法乘三一百法。好，很好，请坐。看来孙阿玉同学对我们之前讲解的内容理解的非常清楚， 那么之前我们对于这四个公式已经进行了直接使用，那么大家想一下，我们的数学公式除了正用之外，还可以考虑怎样使用， 利用，利用，那这节课我们就从这四个公式的利用出发，来研究一下三角函数的叠加及其应用。 首先我们来看一下第五第一道题目，三英七十二度 cos 四十二度减去 cos 七十二度 cos 四十二度。大家想一下这道题目我们该怎么处理？ 我们应该怎么做啊？利用三角形的正弦公式啊，我们可以去利用两角，两角合叉的就是两角叉的正弦公式。 大家来看，这是正余余正，直接使用公式应该可以得到结果为 三，也就是二分之一，二分之一。很好，那第二道题目呢？二分之一倍的 cosine x 加上二分之根号三倍的 cosine x。 这个题目它的形式结构与上一个题目有什么区别？我们又该怎么样去处理呢？大家思考一下。 好，高香同学你来回答一下，这个题目只有一个角哦。这个题目只有一个角，与上一个式子有区别，那你想应该怎么处理呢？ 因为二分之一的平方加上二分之高三的平方等于一，所以我想可以提取出来一个六分之一派。 你说，因为二分之一和二分之根号三的平方之和恰好为一，所以你想找一个一个角一个角，这个角，你找到的是六分之派啊，找到的是六分之派。 那么这里来看六分之派的什么正弦值和余弦值啊？正弦值，余弦值恰好对应到的就是这里的二分之一，二分之一和二分之三。那这样来看，下面应该继续怎么处理了？ 就是逆用两角和的正弦公式。逆用两角和的正弦公式，最终得到的结果应该是， 嗯， sine 三十三十度加 r 加 x 啊，也就是你这里定义到的六分之 pi， 也就是 sine 六分之 pi 加 x。 很好，请坐。 那这里高香同学他提到了这个式子中他只有一个角，而二分之一和二分之根号三的平方恰好为一。这里高香同学他引入了一个六分之派，因为六分之派的正弦值恰好对应到的是二分之一和二分之根号三。 可以看出来高翔同学分析问题的能力还是很强的，最终就得到了是 sign 六分之派加 x。 那 如果是 cosine x 加上根号三倍的 sign x 呢？我们又该怎么处理呢？ 好，蒋文静同学，你来带着大家来分析分析，你觉得这个题目应该怎么处理啊？ 我从这题中可以看出， cos x 前面系数和 cos x 前面的系数相差是不等于一的，所以我想提是二 cos x 前面的系数， cos x 前面的系数是什么？ 不等于平方不等于一三，加的平方不等于一，平方和不唯一了。所以说你选择的是 提取一个二二，那提个二过后的式子大家来看，这里是二分之一，这里是二分之二三。那你想这个题目现在大家就与什么画成，我想把它画成角，引入六分之派啊，再引入六分之派，对，应该就与上面一个题目相似，哎，相似了， 那最终得到的结果应该是，二倍的三也六分之派加 x， 二倍的三也六分之派加 x。 很好，请做。 那这里我们从蒋文俊的同学回答过程中我们来看，这里他提到了这个 cos 前面的系数和 cos 前面的系数的平方之和并不是一， 但是他做了一个提取二的处理过后，将这里 cos 和 cos 前面的系数转化为二分之一和二分之根号三，他的平方和恰好为一。于上面一个题目就可以对应上引入一个六分之派，就可以将这个式子化解出来。 那也就是说 cos x 和 cos x 前面的系数，如果平方之和不为一，我们最终是不是也可以将它化成一个 三角函数式的形式？那这个具不具备一般性？也就是说，我 a 倍的 cos x 加上 b 倍的 cos x， 在 a b 不 同时为零的时候，能不能将它转化成一个角的三角函数式形式呢？ 可以，那么大家就要思考一下，我们应该如何将它化简成一个角的三角函数形式？请大家先独立思考，然后再小组探讨 好大家自己的想法，可以跟自己的组员讨论一下。 你这样做你谈的目的，你还是想着从两边和他的逆边来处缺一个 x， 那 就可以把这个 x 边对应为一个角的， 哎，这个与弦之合再减，再根据你的平方关系，他们平方之合应该是正好一一的 在平衡的方面，对吧？这里为什么去提出它呢？那你让它的平方和位置， 那么这个更好看的方向盘你到底是怎么找到的？ 你既然想让他们的平方和为一，那你倒不如把它设成一个 x 去求，可不可以我设出来一个 x， 那 这里呢？应该是 x， 这应该是 x 的 边，那我的目的呢？是最终要去利用 你有公式那句话就是这样来看的话，那他们应该分别定义为一个角的余弦和一个角的角尖，这个时候他们的平方和恰好就是应该就是一， 然后放成一节，这个顺序是吧？ 我们想送的就是单位员了，那要考虑的是这个脚的中边是吧？他过的这个点， 可以把这个 a b， a、 b 的 三样，把 c 点扣三样是吧？这个 a b 拿出来，它另一道是一个点，对不对？这个点的话，它应 该有中间是过的一个点的情况是吧？我们要再次确定就是怎么样给它转化到原上的这个焦点处，你就可以从它这个正弦值处对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对。 有什么想法？你单位人这是个点 b， 这是个哎，主要还是要解释清楚为什么要提取它啊，然后这样一批就缴进去了啊，提过后他的平方就是转了，就等于， 那到底是怎么找到这个式子？这个要在死磕，死磕在于为什么去踢他。 我看你画了个单元，应该还是向这个中边上的点去转化了，是吧？可以，这个思路 好，哪一组的同学有思路了，可以跟我们分享一下。好，李同学你来分享一下， 我们来看一下啊。李同学的话，他提出了一个根号下 a 方加 b 方， 这里你要跟大家解释一下你为什么去提取跟 a 方价比吗？啊？那个三一二二发跟 cos 二二发前面的系数 a b 弄一个点 a b 啊，把 cos 二二发和 cos 二二发前面的系数 a b 可以 对应成一个点的坐标 a b 可以。 因为 ab 不 同时为零啊， ab 不 同时为零，所以一定有一个脚发际的终点经经过这一边，所以说一定可以找到一个脚发际。是的，这个脚发际的中边过 ab 这个点没问题。好， 再进入三角函数的定义。哦，那他是想从三角函数定义出发，那你从三角函数定义的目的是要转化到哪？提取根号下 a 方加 b 方。提根号下 a 方加 b 方，那你 a b 这个点就变成了 a b 在 三靠三一法，嗯，等于 a， a 除以根号下 a 方加 b 方。 call sum 法就是 a 除以根号下 a 方加 b 方，那 sum 法就是 b 比上根号下 a 方加 b 方，那这里你提出根号下 a 方加 b 方，就将你 a b 这个点转化到哪了？ 单位圆上的 e 啊，转，转化到单位圆上了，很好，请坐这里。女同学的思路大家有没有听清楚？ 他选择将三幺二发靠三幺二发前面的系数 ab 对 应成一个点， ab 因为 ab 不 同时为零，所以说一定有一个角的中间是过这个点的。 哎，他根据三角函数的定义，提出根号下 a 方加 b 方过后，哎，对应出来了，根号下 a 方加 b 方分之 a， 根号下 a 方加 b 方分之 b， 那 这个时候这个点是不是就转化到了这个角的中边与 单位圆的焦点，那他的恒动坐标应该就对应为了这个角的 a a 余弦，还有这个什么正弦值？非常好，这个思路可以。那有没有同学有别的想法？好，杨同学你来分享一下。 大家来看一下这里杨同学的做法啊，你来跟大家解释一下你这个思路。先提取 x， 提出一个 x， 运用方程的思想啊，是从方程这个角度来去考虑。那你提出 x 来看的话，那你这里提出 x 这一步是什么意思呢？你给大家解释一下，用三角函数的逆用，正弦公式的逆用，还是想着从和差公式的逆用 去化解这个事？那所以说你这样来去对应的话，那这个 x 分 之 a 就是 谁了？ cosine five 就是 cosine five， x 分 之 b 就是 你这里的 cosine five。 那么下面你这个 x 是 怎么解出来的？用待定系数法，用待定系数法可以找到 x 和 a 和 b 的 两关一式，那么你最终这个 x 是 怎么出来的？平方相加啊，平方相加，那这里其实用了哪一点呢？ 你这里平方相加应该是 x 平方倍的 cos 平方加上 cos 平方平方， 那么靠三亿平方加上三亿平方的结果是一啊，是一，你说这里他应该用到了这个 平方关系啊，那最终这个 x 就 解成了根号下 a 方加 b 方。很好，请坐。我们来看这两位同学，一个从定义出发，三角函数的定义，那么一个同学他是用了一个什么方程的思想， 那么这里我们不论是从定义还是从方程的出发来看，对于这里 ab 的 sin 二八加上 b 倍的 cosine 二八。 化简的过程中，这两位同学都提出来了，我们要提取一个根号下 a 方加 b 方， 提取根号下 a 方加 b 方 之后，前面的细数来看，平方之合就恰好为为一，那这个时候我们就可以去找一个哎脚， 哎，这个脚是帮助我们来化解的，我们称之为叫辅助角，引入一个辅助角 fine， 使得 这里的根号下 a 方加平方分之 a， 也就是括号 括号下 a 方加平方分之 b。 那 么最终我们仍然是采用什么公式的逆用最终化简为 根号下 a 加 b 方倍的 sine x 加到 f。 好， 这里来看，我们就得到了应该是根号下 a 方加 b 方倍的 sine 阿尔法加上 five， 这里的 five， 大家来看它是来帮助我们化解这个公式的， five 呢，我们称之为是辅助角，那么 five 的 象限大家想一下应该是由谁来决定？我们从 a b 的 符号哎，就可以决定 five 的 象限， 那么 five 的 值呢？ five 哦，我们这里已经有余弦和正弦，那么就可以将正切等于它音的发音就是 b b 啊，它音的发音就是 a 分 之 b， a 分 之 b。 那 这样来看，我们是不是就将 a 倍的三二发加上 b 倍的 cosine 二发转化成了根号下 a 方加 b 方倍的 cosine 二发加 five。 这里来看，我们最终化成根号加 a 方加 b 方倍的 sine 阿尔法加上法，依然采用的是 逆，用的是两角合差的公式，而且这里大家来看，通过这个公式，我是不是就可以将 sine 阿尔法 cosine 阿尔法同角，但是函数名却不相同哎，我可以将同角不同名的三角函数叠加式化解成一个什么 一个角的三角函数式的形式。那如果我们从函数的角度来去理解这个公式，大家来看 y 等于 a 倍的三 x 加上 b 倍的 cosine x。 根据我们刚才公式化简的思路来看，我引入一个辅助角 five， 最终应该可以化成 y 等于根号下 a 方加 b 方倍的 sine x 加 five。 那 这里得到的形式是不就是 y 等于 a 倍的 sine x 加上 five 的 形式啊？是。而这个函数形式呢，是不是就是正弦型函数？ 是，应该是我们在第一章研究过的函数，那么大家想一下，我转化成了 y 等于 a 倍的 sine x 加 five 的 形式之后， 对于这个函数的性质，我是不是就可以从正弦型函数来进行分析了？可以，那我们来看一下。例六， 这里让我们处理的是 f x 等于三 x 加上 cos x 的 最大值和周期。 那么大家想一下，这里的 f x 是 不是需要先化解了？是，那需要先化解，我应该 怎么化解？提取，提取一个根号二，提取一个根号二， 提个根号过后，这个式就变成了根号二倍的根号二加 x， 加二分之二倍后加 x， 哎，这里的二分之根二，二分之根二平方和应该就为一一，也可以找一个角的 余弦值，正弦值来去对应，这个角是四分之派，我们可以找四分之派来去对应， 也就是根号二倍的三， cosine 四分之派 cosine 四，那么最终我们再去 利用利用公式得到结果应该是德尔斐萨耶是加四分之一， 那么他要最大值，最大值应该就是根二，还有周期二倍，最小正周期应该就是二倍。我们从三 x 和 cos 三 x 这两个函数的叠加来看，最终得到的结果就是根号二倍的三 x 加四倍， 可以化成一个角的三角函数形式。这里的叠加我们也可以从图像的角度来进行理解，这里我们给出三 x 的 图像， cos x 的 图像 再做一条与 x 轴垂直的直线，这个直线分别与三 x、 cos x 交于 cd 两点，这里我们给出 cd 两点的纵坐标， 大家想一下，我三 x 加上 cos， 相当于应该是在相同次变量情况之下的函数值相加。对，那这里我们给出 一点，一点仍然是在这条垂线之上，它的纵坐标是由 c 点和 d 点的纵坐标相加的，那么大家想一下，如果我这个线动起来，那么一点的轨迹应该就是什么， 哎，应该就是哎叠加过后的这个函数函数的图像，那我们来看一下， 那么这里来看一下我们得到的函数图像，我们刚才运算出来的是根号二倍的三 x 加四分之派，那我们将根号三 x 加四分之派的图像给出来，大家可以看一下，与刚才的轨迹恰好是吻合。 哎，我们也可以从图形的角度来解释这种叠加。那么大家想一下，既然说 f x 等于三 x 加上 cos， 它的性质分析我是可以通过。哎，这里我们研究到三角函数叠加公式，转化为一个角的三角函数式的形式， 再从 a 倍的 sine omega x 加上 five 的 角度来去分析它的性质。那你能不能将一般情况总结出来，你能不能求出 f x 等于 a 倍的三 x 加上 b 倍的 cosine x 在 a b 部同时为零的时候的最大值，最小值和周期。 好，我们来看一下，这是仁隆医院所做的结果。我们来看一下 f x 是 a 倍的三 x 加上 b 倍的 cos， 它选择提取根号下 a 方加 b 方，再引入了一个辅助角 five， 最终将 f x 化成根号下 a 方加 b 方倍的 sign x 加 five 的 形式。 哎，就转化成了我们说的 a b 的 三亚欧米茄加法语的形式。再从这个角度来去分析它的性质，它得到了最大值，应该就是根号下 a 方加 b 方，最小值是负的周期 二倍就是最小正周期，也就是二倍。很好，也就是说 我们在去分析 f x 等于 a 倍的三 x 加上 b 倍的 cosine x 性质的时候，我们可以借助我们今天探求得到的公式，将它转化成 a 倍的三 x 加上 five 的 形式来进行分析， 其实原理应该还是从公式的逆用，也说这里我们可以借助两角和与差的三角函数公式，将某些三角函数化简成 a b 的 撒引 omega 加法的形式，以便于我们去研究这类函数的性质。 根据这一点的理解，大家来看一下这道题目，你怎么样分析？ 那我们去求 f x 它的单调递增区间， 这应该是二 k 位差音呢，是二 k 位减二分之半，到了你们减二分之半，对吧？ 你是展开在和民同乐校是吧？但是和民同乐校这里要看清楚，是二分之三减去二分之一倍的，所以说这里面是一倍的，对吧？对， 他要的是单调底层曲线，那你是不是要把它写成啊？对，曲线，这是几何的形式， 不要出现负二开派，我们是二开派减二的派到二开派减二的派，对吧？而且你真的要注意，有一点不要忘了一点，就是楷式整数，对吧？这个要带上， 他要的是区间，那你是不是写成区间或者是几何的形式 少了一个开始整数嘛？对不对？开始整数，是的， 对，可以整数的，是吧？ 所以老师看到的话，有同学采用出了不同的做法，我们一起来看一下。首先我们来看一下第一位同学的处理方式， 这位同学可以看出来，他选择是先正用公式将 cosine 二分之 x 减六分之 pi 拆开，在合并同类项，最终到 sign 二分之 x 减去根号三倍的 cosine 二分之 x。 从这里他再去使用我们刚才得到的三角函数的叠加公式，化成了二倍的三二分之 x 减去三分之派，最后采用整体的算法确定出来的它的单调递增区间是负三分之派加四开派到三分之五派加四开派 开始整书，这个做法可以，那我们来看一下这位同学的做法。可以看出来这位同学的处理方法的话，与刚才这位同学处理方法他是不不同的，他直接提取了一个二， 大家可以看一下二分之 x 减六分之派和二分之 x 减六分之派，这里应该对应到的是同角，哎，也就是说这里我们本来就是同角不同明的叠加形式。 直接提取一个二，那这里将二分之根号三对应为 cosine 六分之派，二分之一对应为 cosine 六分之派，再逆用两角，这应该是差的正弦公式， 最终化成了二倍的 sign， 二分之 x 的 减去三分之二，整体这样法最终确定为递增区间。大家来看一下这个做法也可以。 一位同学想的是，先正用公式合并同类项，之后再根据我们的叠加公式来处理，那一位同学他直接观察到了，哎，这里恰好就是同角不同名的叠加，直接使用公式来去对应。可以看出来大家对于这题目的分析都有一定的思考， 其实我们这里得到的这样一个叠加公式，它不光能在数学中有应用，我们在物理学中也有对应。大家来看一下例题， 已知三个电流瞬时值的函数解析式给出来了，让我们去确定它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的正负。大家在学案上处理下这道题。 let's take a look did this push you over at your back， just over the car。 这是展开过后的合并同一下子是吧？提个分号三十次啊这是找一个 c 大 角就等于 c 大 角是第几线一角呢？ 第一线一角是吧？那靠三也是正，三也是正，所以 c 大 角应该是个第一线一角，正贴纸也没确定是吧？ 进入了一个 r 方是吧？他的余弦是对的，他的正弦是对的。下面我们就再去逆用公式来去处理花， 我们来看一眼，这是徐玉婷同学处理的结果， 二等于二，一加二，二加上二三，根号二倍的三 e omega t 加上二倍的三 e omega t 减四分之派。加上四倍的三 e omega t 加四分之派。那这里可以看出来徐雨婷处理的方式应该是先正用公式拆开， 因为这里大家看一下这是不是通角，不是能不能直接就使用我们这里得到公式，所以说他选择的是先拆开， 那这里得到了四倍的根号二三 omega t 加上根号二倍的 cos omega t， 应该是合并同类项之后的结果，那在这里来看，应该就对应到的是同角不同名的叠加形式。 采用我们今天探求得到的三角函数叠加公式提取根号三十四，引入了一个 sine 来帮助我们化解， 最终确定出来是根号三十四倍的 sine omega 加上 five， 而这里的根号十七分之四其实就是 cosine， cosine 根号十七分之一，也就是三 five， 也就是泰宁的 five 应该是四分之一。最终 i 就 出来了根号三十四倍的 sine omega 加上 five， 它的正负就是根号三十四，处理的非常好 好。根据徐一婷同学处理的结果，我们来看，这里的 i 一 i 二， i 三是三，三个电流顺时值 可以看出他们的振幅以及出像是不都不相同，但是这三个电流值的什么是一致的 频率周期啊？这周期一致的，也就说频率应该是一致的。那我们叠加过后得到的 i 呢？ 正负出向可能不一致，但是，哎，频率肯定是一致的。 你说我们从物理的角度来去理解，相当于是几个正负出向不同但是频率相同的正弦波叠加，最终我们得到的仍然是一个频率相同的正弦波， 这也就是我们得到的公式在物理中的应用。好，以上就是我们本节课探索公式以及应用公式的过程，那么根据本节课，你在知识方面和思想方法方面都有哪些收获呢？ 好，于群同学，你带着大家来总结总结你有哪些收获？学习了三角函数的叠加，它的推导过程以及应用啊，就是学习了三角函数，这里我们对应到的叠加公式，它的推导 以及应用，我们是分别在数学还有在物理的角度对他进行了使用。那在思想方法上面你有什么收获呢？你想一下我们推导的一个过程，从特殊的到一般，是一个从特殊到一般的过程。 哎，我们从例五的第二道题目又给出来了，考三 x 加上根号三倍的三 x， 最终总结出来了一般情况分析还有没有别的？嗯，其中还是用了转化的思想。哦，还有转化的思想很好，请坐 啊。转化思想的体现应该是在于我们分析函数的过程中，在分析 f x 等于三 x 加上 cos x 的 性质，我们是不是将它转化成了根号二倍的三 x 加上四分，其实也就是我们在逆用两角合差的公式， 借助我们的三角函数的叠加公式，将它化成了一个角的三角函数式进行分析。 好，这是我们本节课的作业，大家课下处理。这节课我们上到这里，下课起立，老师再见。好，再见。

同学们好，老师好，请坐！首先请同学们观看一幅图片，大家猜猜这是哪？ 这是哪的？哪的可以回去了，是不是大人访？是，可见大家平时呢每少个购物，那么大家在购物的时候肯定会推一个购物车，是不是啊？是那购物车在上下楼的时候，我们要经过这一个自动的人行道扶梯，大家都走过没有走过， 在这个扶梯中，老师发现了一个这样的问题，当扶梯长度为二十三点七米的时候，一楼和二楼的之间高距为四点八米，那如果此时老师想求出电梯的坡面与地面的夹角，我该怎么求呢？ 为了方便我们观看，老师把刚才的问题呢抽象出一个数学图形，自动人行到了一个扶梯，这是二楼与一楼的高度差为四点八米，一楼的地面以及扶梯 与地面的夹角为角二法。那么如果老师想求出这角二法的度数，我该怎么做呢？大家想这种在这个当中，实际上他是已知什么，让我们去求什么呢？大家思考一下。 来过去我们试一下已知直角三角形的两条边，求一锐角的度数啊，很好切割直角三角形，已知两边，求一个锐角的度数。但是大家思考一下，在直角三角形的五个，除了直角的五个元素当中的关系，我们都学了哪些关系了？ 嗯？学过了哪些关系？谁来说一说？哎，刘佳宁，试一试直角三角形，两个锐角互余啊，那这个是什么之间的关系啊？是角与角的关系啊，很好，还有补充的吗？还有其他的吗？来，你接着说一下两直角边的平方和等于斜边的平方计勾股定律啊，这是什么之间的关系？这是边与边之间的关系，非常好记错， 那咱们研究了边与边之间的关系，角与角之间的关系。那黑板上的这样的题应该属于角与边之间的关系，咱们还没有探讨过，那么就让咱们一起来探讨这些知识点，一起来走进这一章的新课。 今天咱们来完成它的第一课时，学过这一章的知识点，咱们就能解决这样的实际问题了。 这是哪大家知道吗？海盗对吧？海边栈道，大家是不是暑期经常去逛啊？嗯，找一个同学来给大家读一下。来，星星 星城首山栈道建成于二零一五年，由山脚下一开始有一段较长的笔直梯路，为方便游客休息，在图片位置处修建一座平台，若梯路与水面地面夹角为三十度，平台处高度为三十五米。求这段梯路的铺面长度很好，请坐。 那么这个实际问题可以被咱们归解为一个怎样的数学问题呢？同学们思考一下， 在实际的情景中，抽象出数学的数学的元素是怎样的一个问题呢？来，谁来回答一下？好，今天你来试一下。在一个直角三角形中，一个锐角为三十度，嗯，它的对边为三十五米。嗯，求斜边的长，求斜边的长很好，请坐。大家看， 他说的是一个直角三角形啊，一个角，其中呢，一个锐角等于三十度，三十度角的对边等于三十五米。让我们求斜边的长。归解为这个问题之后，同学们看看有什么想法， a b 的 长究竟多少呢？来，谁来回答一下，回进试试。 a b 等于七十米， a b 等于七十啊，那很好，来给老师看。既然 a b 等于七十米，那如果老师改变 a b 的 长度， 如果 ab 的 长，如果改变 bc 的 长度啊， bc 的 长为五十米了，那么 ab 多长呢？ ab 等于一百米， ab 等于一百米，老师再次改变， 改变 bc 的 长度，如果 bc 是 a 米呢？那 ab 等于二 a 米，大家同意吗？同意，非常好，既然我们得出了这个结论，让你们老师继续观察，那就说明了，在三十度角的一个锐角三角形中，三十度角的背边与它的斜边有怎样的一个固定的数量关系呢？ 啊，那你还试一试，在直角三角形中，三十度角所的直角边与斜边的比值是固定的，为二分之一。嗯，这是因为我们学过三十度角所对边等于斜二，所以三十度角的对边与斜边的比值 就是二分之一，是固定的啊。那我们看一下，刚才我画成个三角形，又改变了 b、 c 的 长度，也就是三角形的大小也随之的改变，比值有没有发生改变？ 没有，那说明了这个比值与三角形的大小有没有关系啊？与直角三角形的大小无关。那么我们就会得到如下的一个结论， 在直角三角形中，如果一个锐角的度数是三十度，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值是一个固定值，为二分之一， 写成比的形式，大家看记。三十度角的沸点比，斜边等于二分之一啊，那这是三十度角的，如果老师改变三十度角的大小，大家猜猜比值还会十二分之一吗？ 会试吗？让我们再用这个猜一下，来看一下这两幅图片。黑板上有两个三角形，分别是两个直角三角形，角 a 四十五度，这个角 a 是 六十度。现在让我们分小组来探求这两个。问东四十五度角的直角三角形，它的对边与斜边的比值，以及六十度的直角三角形 对边与斜边的比值。好，现在请同学们在学案上来完成这个探求。 第一组的同学完成四十五组奖了，第二组的同学来完成六十组奖了。 你做完了吗？ 怎么样？有结论了没有？先看看第一组准备看哪个同学来回答一下。 你再回答一下啊，有个自告你的啦，你来说一下吧。四十五度角的对边与斜边与斜边的比值为二分之根号二，二分之根号二， 同学们看一下啊，是不是二分之根号二，对不对？对啊，那你能给大家说说你是怎样做出来的呢？嗯，我是设两只角，边为 x， 嗯，则根据勾股引力可得斜边为根号二 x， 他是用代数方法解决了什么几何问题啊。接着说，斜角边与斜边的比值为二分之根号二，二分之根号二。那么刚才老师说的是任意画出了一个三角形，这说明比值与三角形的大小有没有关系？无关，既然无关，那么你会累以三十度角所得的结论得到一个怎样的结论呢？ 嗯，当直角三角形的一个锐角为四十五度时，嗯，那么我觉得它角如何？呃，它的这个角的对边与斜边的比值是一个固定值，为二分之高二，嗯，很好，请坐， 表示的非常清晰，在直角三角形中，如果一个锐角的度数是四十五度，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值，为二分之。很好很好，第一小组的同学完成的非常好，那么我们来看一下 第二小组的题目，六十度角的来，谁来发表自己的意见？谁来？说来，你来说一说。六十度角的对边与斜边的比值为二分之根号三，二分之根号三。你是怎么处理的？我和李欣萌用的是同样的方法啊，同样的方法，二分之根号三， 那我这也是任意画出来的一个三角形，说明他与三角的大小无关，那你会得到一个怎样的结论呢？在直角三角形中，如果一个锐角的度数为六十度，那么不管这个三角形的大小如何，它的对边与斜边的比值为二分之根号三。嗯， 二分之根号三。记，六十度角的对边比斜边等于二分之根号三。好，同学们继续跟老师思考。刚才我们分别探讨了三十度角、四十五度角和六十度角这三个特殊角的对边与斜边的比值，发现只要这个角 三十度，四十五度、六十度确定的时候，那么对边与斜边的比值都是怎样的？固定的，都是固定的啊！既然都是固定的， 那么同学们看一下下面的问题，如果老师改变角度的大小呢？如果把三十五、三十度，四十五度或六十度改变他们的大小，大家说这个固定值会随之改变吗？ 大家说随之改变吗？会啊，还有第二个问题，如果角 a 的 度数即使改变了，那么如果变为其他一定度数的锐角的时候，他的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？是啊，让我们带着这个猜想一起来看一下，好吧， 同学们看，已知三角形 a、 b、 c， 此时角 b、 a、 c 等于多少度？同学们观察一下。那么二十一，测得出 b、 c 和 ab 的 长度，并且求出了 b、 c 与 ab 的 比值，同学们观看一下，当三十度的时候，比值为多少？ 二十一，刚才我们探求了四十五度的，四十五度的时候是多少二分之根号，二六十度的时候是多少二分之根号，对吧？那么大家看，返回三十度， 接下来老师又做了一个，大家看一下啊。又做了一条线段， b 一 撇， c 一 撇，也是垂直的，也就是说这个点是可以移动的，大家观看一下。下面请同学们观看一下啊，改变一下它的值，它会发生什么现象？你们看啊， 大家看线段的长度有没有发生改变，有，有没有发生改变，但是这两个线段的笔直有没有发生改变，没有没有发生改变，对吧？这是三十度的，大家观看一下。四十五度的，看 笔直有没有发生改变，没有。再看六十度，笔直有没有发生改变，有没有，是不是也没有？嗯，好，接下来咱们跟老师继续往下看啊。如果老师改变角 a 的 度数，同学们看，如果改变，如果他是个任意角，大家看一下，角开始变化啊， 大家看这角是不是发生改变了？嗯，看见没有？当角在改变的时候，他们的固定值有没有随之改变，有，有随之改变，但是只要这个角固定了，改变的过程中变成一定角的时候，他的笔直又变成了一个什么值？固定值又变成了固定值，我们看一下 看是不是固定值，嗯，就是任意的一个角。那么通过这个动画，我们可以得到一个怎样的结论呢？ 在直角三角形中，当锐角 a 的 度数一定的时候，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比肯定是一个固定的式。 既然我们得到了这个结论，就让我们用理论证明的方法来证明一下刚才的结论是否正确。好，大家看一下，任意画三角形 a、 b， c 和三角形 a 撇， b 撇 c 等于角 a 撇，那么 bc 与 ab 的 比值与 b 点 c 撇与 ab 的 比值有什么关系？你能解释一下吗？现在请同学们 讨论一下，并且在学案上来完成这个证明，有 疑问的同学可以讨论一下啊。

上课，老师好！同学们好，谢谢老师，请坐！ 上节课我们学习了两角和余差的余弦公式，这一节课我们继续来研究。在第一节中，我们借助单位元研究了同角三角函数的两个基本关系， 平方关系和商数关系。上一节课，我们又借助平面向量得出了两角和余差的余弦公式。在三角函数这一章，我们主要研究了角的正弦、余弦以及正切。 上节课我们研究的两角和余差的余弦公式，也就是 cosine f 加减比特 等于 cosine f， cosine f 减加 cosine f。 哎， cosine f 很好， 那么大家想一想，两角和余差还有没有其他的公式呢？ 什么正弦正切，正弦和正切，可不可以像 两角和一叉的余弦公式一样，用 f 贝塔角的正余弦来表示呢？可以，应该可以。同学们看一下问题，对任意的角， f 贝塔，三 f 加贝塔能否用 f 贝塔的正弦函数值来表示呢？ 如何表示呢？大家想一想。这个时候我们就要寻找已知和未知的联系，大家看我们已知的是什么？ 对，我们已知的是两角合一差的余弦公式，以及刚才我们所复习的平方关系啊，三数关系这些。那么我们要表示的是 两角和的正弦，那么大家想已知和未之间的联系我们如何建立呢？ 他们的大家看到了角是相同的，什么是不同的呢？哎，韩松明不同，所以要想用这个公式，我得怎么办？ 哦，对，我要用诱导公社去将正弦转化成余弦。哪组诱导公社五或六，五或六。好，张浩然来讲一讲五或六分别是什么？ 嗯， 等于扩散 f 扩散二分之 pi 加 f 扩散二分之 pi 加 f 等于负的三 f， 对 不对？对，哎，很好，请坐。这组诱导公式 就可以帮我们完成由正弦转化成余弦，那么同学们试着用这组诱导公式 去将正弦转化成余弦，然后用 f beta 角的正弦函数值来表示 sine f 加 beta 吧，小组之间可以互相讨论一下。 嗯，用假来表示对的。是的，可以啊， 这个诱导公式也是对的呀。可以啊，可以二分之派。你想想二分之派加 f 是 第几项线角？ f 如果是对角的话，二分之派加 f 是 第二项线角，第二项线角正弦值是正负。 对呀，你看鱼咸是富，我们三角函数名怎么加，是不是是符合诱导公式的吧。哎，是对的啊。好， 每组都可以用。你们自己想用的 就不行了吗？ 从哪写？你自己写就好，我来看看。 但是我是两个脚，但是我把孩子拍的没问题。这个脚怎么拍的没问题，这样是不好一点， 你这个小，你就表示的是他是不是你这个， 你这个，你看，李帅已经推出来了，我们看一下啊。首先，借助优导公式， sin f 加倍等于 cosine 二分之 pi 减去括号 f 加倍它用的是这个是可以的，它也是我们诱导公式五和六中的一个。然后呢，将脚展开以后注意，我提醒大家一下，刚刚有同学也就有这样一个问题， 我们二分之 pi 减去括号 r f 加倍它以后，这个式子中有几个角？三角？对，有三个角，而我们马上要用的是两角合于差的余弦公式，所以我要将这三角转化成两角。 那我可不可以将二分之 pi 看成一个角， f 加贝特看成一个角呢？不可以。对，大家尝试了就会发现你这样展开又会回去了，所以我们要把这个原有的结构形式打破，重新进行组合。 李帅，这里很好，将二分之 pi 减 f 看成一个整体，减去贝特， 然后再用两脚叉的余弦公式展开。展开以后，我们看式子里边有了扩散二分之派减法和三二分之派减法，他又用诱导公式给他化简了，所以我们得到了今天的第一组 柿子，山药 f 加贝特等于山药 f 和山药贝特加乘以 a 山药贝特。很好， 这样我们就用 f 贝塔角的正余弦来表达了 f 加贝塔的正弦值。同样 f 减贝塔的正弦值如何来表示呢？ 大家可以想一想，上一节课我们是如何利用两角叉的余弦公式推出两角和的余弦公式。我们借助了一个想法，有同学记得吗？换圆，换圆，那么同学们自己再试一试， 采用换圆的方式，能不能用两角和的正弦推出两角叉的正弦呢？ 对吧？然后再缓解一下。 好，这两位同学都已经推出来了，我们来看一下。这两位同学用了两种不同的方法，我们一起来看一下。首先第一个 就用刚才我们讲的换元法，三 i f 减倍等于三 i f 加负倍，这样就转化成了两角和的正弦，然后代入刚才我们所推出的两角和的正弦公式，化简得到。 我们发现这个数字是等于大家看三 i f 乘以和三 i f 减三 i f。 我们再看这一位同学，大家看他是用什么方法推出来的，用诱导方法，对，就刚才我们推出两角和的正弦公式一样，借助诱导公式将两脚叉的正弦转化成了 两角的余弦公式，其实也是用两角和的余弦公式来推出来的，结果相不相同，相同哎，相同，所以我们用换元的方式，由两角和的 正弦也可以推出两角和的余弦。借助诱导公式，也可以由余弦公式推出两角差的正弦。 有了这两组公式，同学们看一下它在结构上有什么共同或不同的特征呢？嗯，多少钱一个数字来，我们来 就是结构上面，他们两个都是二十二项式啊，结构上都是二十二项式，都是一个数加减另一个相同的， 第一项和第二项这两项是一样的。嗯，好，那不同点呢？有没有不同点？就符号就是，嗯，前面是括号，这边是加，然后 后边那个拆开之后就是加，然后括号这边是减，后边就是减。也就是说，展开式的这个运算符号和前面两角的运算符号是相同的，哎，相同的，一致的，哎，很好，请坐，这就是我们这组公式的共同的特点。 等号的右边都是一个二次二项式，第一项都是 sine f 乘以 cosine beta， 第二项呢，都是 cosine f 乘以 sine beta。 而它们不同点在于呢，运算符号不同，两角和的正弦展开适中，就是这两项的和。两角叉的正弦展开适中，就是这两项的叉。哎，很好，有了这组公式，可以帮助我们解决什么样一类问题呢？ 下面请同学们看例，已知 sine f 等于负五分之三， f 为第三象限角，求 sine 四分之 pi 减 f 与 cosine 四分之 pi 加 f 的 值， 两角和的余弦扩散乘以。 好了，我们一起来看一下， 我们看张青宇写的减，因为三 e f 等于负五分之三，由 f 为第三象限求出 cos 减 f， 利用刚才我们所讲的两角叉的正弦公式代入 代入特具体值求出结果等于负的十分之根号二。 cosine 四分之 pi 加 f 也是利用两角和的余弦公式展开代入具体值也等于负的十分之根号二。 大家算的结果也是这一组吗？是，我就不由得要问了，是因为三 e f 等于负的五分之三， f 为第三象限，才导致了三四分之 pi 减 r 等于 cos 三四分之 pi 加 r， 还是 不管 f 为任意时数三分之二减 f 都等于扩三分之二加 f， 这是一个偶然现象还是一个必然现象呢？必然现象，嗯，那同学们能不能给出证明呢？可以可以。嗯，大家思考一下， 黄海 就是把他们都展开就是上演的政治派件啊，他就等于靠上一次我们借助于张天龙的这个势子展开以后是不是到这一步？对，嗯，到这一步 我们不用三 f 等于负五分之三是不是到这，科三四分之差加 f 是 不是也到这，然后呢？然后他就把那个就是三四分之差跟科三四分差都求出来，最后是不是， 嗯，它两个是相等的啊，这个是二分之根号二倍的科三 f 减二分之根号二倍的三 f， 这个我们发现 也是，哎，这里我就没有用 i f 式 第三项线角这个条件哎，所以这个结论他是偶然现象还是必然的？必然的，是必然的，很好，请坐，那同学们还有没有别的方法呢？ 有，嗯，六个是来，我想讲一下，就是我先用换元把那个四分之派减 r 化一个整体，他那个整体，然后呢？用诱导公式五个六都可以转换一下之后 可以判断成二分之派呃，如果是二分之派减去那个整体的话，那就可以把里呃那里面的四分之派减阿尔法，就会变成那个四分之派加阿尔法，然后同时前面的三也变成靠三，大家听明白吗？请做。简单讲，就是 四分之 pi 减 f 这个角于角，四分之 pi 加 f， 这两个角是互互余的，其实也不能叫互余，这两个角的和等于二分之 pi， 所以 四分之 pi 减 f 就 可以转化成二分之 pi 减去括号四分之 pi 加 f 对， 我们就可以借助于刚才同学们用的诱导公式就可以得出三四分之 pi 减法，也是等于 cosine 减法。咱们推出了两角合差的正弦公式以后，刚才我们讲了还有两角合差的正弦呢， 如何由我们现在所已知的两角合差的正弦公式推出两角合差的正切公式呢？ 我们这里就涉及到闲话切的问题了，闲话切怎么完成？商数关系很好，借助于这里的商数关系好，同学们自己做一下 来来， 好，我们看徐梦茹利用上述关系将 tanning ef 加 beta 转化成了 tanning ef 加 beta 除以扩散 ef 加 beta。 这里老师要提醒大家一点，因为这是一个分式，对，所以我们这里扩散 f 加北，他不能为零，哎。然后再借助于刚才我们所推出的两角合叉的正余弦公式代入即可， 这样我们就用 f 北他角的正余弦表示了两角和的正切。 那我不禁要问，在数学公式中有一个统一性，我们前面用 f 贝塔角的正于弦表示了两角和差的正于弦， 这里我们又用 f 贝塔角的正于弦表示了两角和的正切。切，能不能切表示切呢？可以可以的话，我们就要将这里的弦如何画成切呢？ 数号波就将这个式子分子分母同时除以 cos 二十八乘以 cos 一 倍的。好，我们来一起试一下 分子分母同时除以扩散一倍乘以扩散一倍。那第一项分子的第一项哎变成餐厅 f， 第二项变成餐厅 b 特， 然后这一项变成一个一，一就是 tanning 二八， tanning tanning 八哎， tanning 二八乘以 tanning 北塔。这里我们除了扩散 l 乘以扩散北塔这一项吧。所以这一项 c 三亚法乘以 cosine beta 也是欸，不能为零的欸，很好，请坐！我们就利用前面弦化切的想法，将分子分母同时除以 cosine 法乘以 cosine beta 这一项， 将分式中的弦转化成了切，用 f 贝塔角的正切表示了两角和的正切。 tanning f 加贝塔就等于 tanning f 加 tanning b 比上减 tanning f 乘以 tanning b， 同样有了两角和的正切公式，那么有没有两角叉的正切呢？有，那同学们想用什么方法表达换圆哎，换圆比较方便，同学们想一想换圆以后是什么样呢？ 我看大家都画好了。刘浩，我们讲一下 tanif 减为它结果是多少， 我们发现跟两角和的正切公式非常相似，是不是只是符号不一样哎，很好，请坐！ 我们利用负倍特替代上次中的倍特就可以得出两角差的正弦公式。在刚才我们推出两角和于差的正余弦公式中呢，我们知道 f 贝塔角的范围是一切指数，大家看在这组正切公式中， f 贝塔角还可以取一切值吗？不可以，不可以。那么 f 贝塔的范围是什么样的呢？ 郭永恒，因为你前面那个那个他两角和的公式的时候， 分子分分母不能为零。嗯，然后呢，就是 cosine 阿尔法加上白塔不能等于零。还有一个你就是同时除以 cosine 阿尔法和乘以 cosine 白塔啊，这个也是不能等于零的。嗯，所以说你就 结合要么是 cosine 阿尔法不能等于零，要么是 cosine 白塔不能。哎，对啊，阿尔法和白塔是在 k 二分之二分之 k 乘以 k 的 时候，它不能取到零，所以说阿尔法加白塔不等于二分之 k 乘以 k， 是 二分之 k 乘以 k 吗？ 来想一想，是不是二分之 pi 乘以 k， 二分之 pi 乘以 k 就是 二分之 k pi 是 二分之 k pi 吗？是 cos 等于多少等于零？ cos 与 alpha 等于 alpha 等于多少？二百三十。哎，请坐请坐。有一点问题，张浩然 和阿尔法不等不等于零的时候，阿尔法不等于二分之派加派派对派属于，为什么给我们解释那个他在 就是划那个单位医院重轴上，嗯，取的值都是零啊。对的，重轴是就是二分之派与二分之三派加，就是加三百六十度的那个 那个周二分之派和二分之派加 k。 哎，请坐。 我把张浩然解释了，给大家再讲一遍，我们讲角的三角函数值，我们是在什么地方研究的？单位圆中，单位圆中，所以一个任意角的余弦，我们刚刚讲的是扩散，看的是中边与单位圆交点的 横坐标，大家想一想，在单位圆上哪个点的横坐标为零？ 对中边位于外走上的点，而中边位于外走上的角，我们是如何表达的？ 对，很好，这个时候大家是同意了二分之派加 kpi。 我 们正切函数的定义域是什么？ x、 x 和 kpi？ 对， 大家记得不记得，咱们正切函数的定义就是 x 不 等于二分之派加 kpi， 也就意味着 这个角的正切值如果有意义，该角就不能等于二分之派加 k 派。大家看在这组公式中，它出现了哪些角的正切值？ 对，出现了 f 角 倍特、 f 加倍特、 f 减倍特，所以这些角都不能等于二分之 pi 加 k pi， 所以 咱们正确公式成立是有定域限制的， f 倍特以及 f 加减倍特 都不能等于二分之 pi 加 k， pi， k 属于整数，这样我们就把这个公式推到完整了。 这组公式的结构上有哪些特点呢？我们一起再来看一下啊。分子与他那个里边号是同号，分子是同号，分子是同号，分子是同号，这是符号上的特征。对， 结构上还有分子，然后上面分子都是 对分子，都是贪听 f 和贪听 f 的。 和与差分母都是一于贪听 f 乘以贪听 f 的 差于和前面两角和的正弦分子就是和式， 分母就是差式，两脚叉的正确分子就是差式，分母就是一个合适，所以这里我们叫分子同分母异。这组正确公式可以帮助我们解决什么问题呢？大家再来看例二， 我看很多同学都写的差不多了，我们一起来看一下。在例二中，我们已经知道贪听 f 等于二，贪听 bet 等于负三分之一，其中呢， f 是 大于零，小于二分之 pi 小 于 bet 小 于 pi。 第一问，求 tanning f 减倍它。同学们都知道，刚才我们研究了两角叉的正切公式，用 f 倍它角的正切值表示出了两角叉的正切。 所以呢，我们要求 tanning f 减倍它。我们直接利用公式展开 twenty f 减 twenty f 减 twenty f， 然后代入已知值就可以。 twenty f 是 二减负三分之一，一加二乘以，结果是多少？七，哎，很好。第二问，我们要求角 f 加倍它， 这个时候我们应该怎么办呢？哎哎，我们先求出贪听 i f 加贝塔， i f 加贝塔等于 i f 加贪听贝塔除以一减，带入公式，结果是多少？一，很好，贪听 i f 加贝塔等于 i f 贝塔，这个角是多少呢？ 范围，对，这个时候我们要看到第二个条件范围，我们看 f 是 大于零小于二分之 pi， 贝塔大于二分之 pi 小 于，所以 f 加贝塔 小于二分之三派。那么在二分之派到二分之三派之间，哪个角的正切值？四分之五派等于一，四分之五派， 这样我们就借助于两角和的正切值以及 f beta 的 范围，确定了 f 加 beta 这个角的值。同学们接着来看例三， 我看很多同学都算好了，我们一起来回答一下。第一个，不团结， 第一个，我求的是一，给我们解释一下为什么是一，嗯嗯，他这个式子是三， x 乘 cosine 加上 cosine 乘三，就可以用两角和的正弦公式就是等于三五十五度，加上 三十五度就是三一九十度等于一。好，大家是这个结果吗？哎，我们看它刚好符合我们刚刚讲的两角和的正弦公式的展开式，所以我们可以借助于这个正弦公式将它们合并， 等于三一九十度等于一。第二位， 嗯，第二个的话就呃，它上面是加，然后下面是减，然后刚符合那个呃正切的它那个呃正切公式，然后就直接就 呃等于呃太极的四十三度加十七度，然后就等于太极的六十度等于呃根号三。很好，请做是这个结果吧，刚好也是符合刚才我们所学习的两角和的正确公式，所以等于弹平四十三度加十七度等于根号三。 第三问跟前面两问稍微有点不一样了，没有那么直接了。第三问，我们应该怎么办呢？伤痕 把那个二分二分之二三换成三英六十度，然后又二分之一换成 cosine 六十度，然后刚好就是 三六十度。 cos 三十五度减去 cos 三六十度， cos 十五度，然后就刚好符合就是两角叉的正弦公式，然后就是 cos 六十度减十五度，就是 cos 四十五度，就是二分之二。我问一个问题，你是怎么发现 二分之根号三二分之一刚好是符合三六十度？因为二分之根号三的平方加上二分之一的平方等于一， 大家看二分之根号三与二分之一这两个数的平方和刚好等于一，所以他们一定能转化成同一个角的正余弦函数值。 这里张恒选择的是六十度角的正余弦函数值，所以这个式就可以化成三，一六十度乘以扩散一十五度减，扩散一六十度乘以三，一十五度等于三，一四十五度等于二。好，最后一个 刘浩，嗯，最后一个，我是把分子的那个一转化成探探进的四分之派，然后，嗯，分母它是一加探进的二十二分之派，可以在探进的十二分之派后面再乘个一， 把转化成乘以它的四分之派。化成两脚叉的正确公式，正确公式，转化成两脚叉的正确公式了，注意到了一的特殊性，一等于餐厅四分之派，所以我们代入以后等于餐厅 四分之派减十二分。结果是多少？三分之刚好三，三分之刚好，三，请坐。 所以大家看，我们学习了两角和余差的正弦、余弦以及正切公式。我们不仅要熟悉这些公式的从左往右的展开式，我们还要熟悉 这些公式从右往左的形式。当给出右边这种形式的时候，同学们利用公式将它转化成两角和余差的正余弦，从而进行化简求值。 好，这节课的主要内容我们就上到这里，我们一起来回忆一下这节课我们是如何完成的。 首先，我们利用两角和与差的余弦公式对，借助什么关系？右角公式，五六六角公式，推出了 两角和的正弦对。在这组和到差的过程中，我们用了一个想法叫做什么换元元很好。 然后又借助于交叉关系，由两角和差的正余弦公式推出了两角和差的正切公式。很好，在这组公式中，同学们一定要注意他的 对角的范围，角的可能性，所有角的正切值，有意义的情况下，该角都不能等于二分之。派加可以派咱们这节课的课后练习， 这节课就上到这里，下课，老师再见。再见。

起立老师好，同学们好，请坐！ 请大家欣赏这幅美景，知道这是哪里吗？对，我们聊城的摩天轮坐落在东昌湖南岸，有水城之眼之称。那摩天轮正常运行时在做什么运动啊？ 圆周运动。在我们现实生活中，具有圆周运动的现象还有哪些呢？风车？风扇？钟表？如果我们把摩天轮抽象为一个单元， 游客坐在摩天轮上，摩天轮逆时针旋转一定角度时，游客的位置是确定的吗？ 是，那能否建立游客位置关于角度的函数呢？我们这节课就来一起学习三角函数的概念，请大家通读本节课的学习目标和核心素养。 学习目标，一、了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系。二、借助单位员密切任意角的三角函数点一一 三，利用角的中间上每年的坐标一切三角函数点一二四能利用。一、解决相关的问题。 核心素养，通过对正弦函数与弦函数、正弦函数定义的理解，重点提升学生的数学抽象和直观想象素养。 前面我们已经把角的范围扩展到了任意节，任意角在上节课，并用弧度制来度量角，将角与实数建立一一对应关系。 接下来，我们将建立一个数学模型，刻画单位圆上点 p 的 位置。关于旋转角之间的对应关系， 我们借助于单位圆，以单位圆的圆心为圆点，以射线 o a 为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系，因此点 a 的 坐标为 我们设点 p， 坐标为 x， 半射线 o a 从 x 轴恢复半轴开始绕点 o 按逆时针方向旋转角阿尔法中指位置为 o p， 大家思考 点 p 的 坐标 x y 与角 alpha 之间有什么对应关系呢？接下来我们采用从特殊到一般的判据过程，请大家快速地完成。学院上以上两个问题。 好，有哪位同学来说一下，当阿尔法等于六分之派时，点 p 的 坐标为什么 来？米加豪，嗯，点 p 的 坐标是二分之一，二分之一三，嗯，你是怎么算的呢？就是利用那个，呃，那个，呃，就是 通过嗯勾股定力来。就是嗯，用嗯勾股定力来求勾股定力是在直角三角形。直角三角形怎么来的呢？直角三角，就是就是嗯，从 p， 从 p 点往下往 s 轴做垂线，嗯， 然后通过知道那个嗯阿尔法等于六分之忒，嗯，然后通过嗯，那个就是 嗯，通过嗯，通过。 sin alpha 等于嗯，横坐标比上纵坐标等横，然后用来比 sin alpha 等于什么？ sin alpha 等于什么？哦，等于纵坐标比上那个单元的一， sin alpha 等于什么？对边对边比斜边是吧？对， 又因为斜边 o p 等于什么？是单位圆半径为一，所以 pm 是 不是就等于二分之一？同理 q 三二。

比较缓， a， 比较抖。好，那抖与缓呢？在我们生活中非常常见的两个字，比如说图片中有一个长梯子和短梯子，哪个看起来更抖呢？短梯子，短梯子更抖，大家是怎么看到的？怎么感受得到的呢？ 进来说一下。好，你说一下。呃，我觉得应该是梯子和地面的夹角之间的大小。呃，夹角越大，它就会越抖。哪个角？你给大家演示一下。就是这个角，如果它越它越大的话，它就会越抖，如果它变小的话，这个梯子就会变坏。 好，非常好，掌声送给他。这个梯子边线和地面的夹角，我们称之为倾斜角，在数学中啊，倾斜角，刚才这位同学说了，倾斜角越 怎么样？梯子越陡越大，倾斜角越大，梯子越陡。 好，老师，现在把梯子顶端和地面啊这个点 连接出来，一条线段，出现了我们非常熟悉的几何图形，是什么？直角三角形，这样我们就把生活中的实际问题转化为了数学问题。好，接下来老师画的梯子都是直角三角形的斜边， 这里有三幅图，大家还可以用刚才的方法来判断哪个梯子更陡吗？大家目测能感受到不呢？ 不能，不能了，是不是？那想要用倾斜角越大，梯子越陡这个结论需要用到什么？两脚？两脚，可以用两脚去测量一下哪个脚大对不对？还有什么方法可以办到？想一下，谁知道？ 好，你说可以用叠合法，可以用叠合法，非常好啊，请坐。说明我们七年级学的比较角的大小，不错啊，老师，这里就不让大家操作了，我们停一下，用叠合法比较一下哪个梯子更陡呀？ 黑色啊，这是蓝色啊，蓝色梯子是不是更陡？好，第二个图呢，哪个梯子更陡？因为这个倾斜角是不是更大一些啊？好，我们来看第三个梯子， 一样抖，一样抖，是吧？好，我们用倾斜角的大小会比较梯子的抖缓。那现在老师 不用倾斜角的大小，老师把它的两条直角边的长度测量出来了，同学们有没有别的办法去度量梯子的抖缓程度呢？好，首先大家先观察图一、图二、图三，这些数据有什么特点，你发现了什么？ 仔细观察好，有发现的请举手。 好，你说一下。呃，图一，呃边 a、 c 和 e、 d 在 三角形 a、 b、 c 和 e、 f、 d 中。呃边 a、 c 和 e、 d 一 样大，一样大。图二呢，图二，呃，在三角形 a、 b、 c 和 e、 f、 d 中， 边 b、 c 和 f、 d 一 样大。嗯，图三呢，图三三条边都不一样大，都不一样大，非常好，请坐，这是他的发现，大家还有别的发现吗？没有了，就这个发现，大家。

上课起立，老师好，同学们好，请坐！ 春秋昼夜寒星数，似曾相识闲归来。那么下面就开始我们本节课的活动探究。首先我们看学案的活动，一， 东西升日月，昼夜如转珠。自然界的公转现象是如此的奇妙，那么我们如何用学过的数学模型来刻画这个点的位置坐标呢？好，谁可以起来说一下。 好，这位同学， 我们可以将地球抽象为一个洞点，将轨道抽象为一个圆， 将太阳抽象为一个圆心，再将嗯，地球的位置抽象为一个坐标坐标。那么我觉得这位同学利用了数学的抽象，将我们的这个公转问题转化成了圆的一个模型。 可是学园长还提出了另外一个问题，地球到公转轨道半径是一点五亿公里，数值太大，不利于计算，怎么办呢？ 可以将它整体乘倍数增减小，将它抽象为一个单位圆。好，他提到，根据上一课时我们就学过的一个模型，借助于单位圆模型进行简化 啊，那么可见同学们对周而复始，匀速圆周运动的解决非常有经验，请坐。 那么接下来我们再回顾一下前一单元学习的函数的有关学习经验，来补充一下我们的学习路径，谁可以尝试一下？好，请你来说。 首先，函数的三要素，嗯，函数的三要素是它的定义域，值域，还有对应关系，其中对应关系也是我们本节课学习的重点。那么我们的表示法还有什么呢？ 嗯，表示法还有解析式法，还有解析式，那么解析式法是我们之后学习的难点，那么请你总结你的学案上我们可以按照怎样的学习路径研究新的问题呢？ 嗯，首先我们先要研明确我们所要研究的对象，明确对象，呃，然后我们再进行对应关系的分析，对应关系的分析，呃，然后呃再呃呃进行呃呃 呃。解析法的，呃，用对应解析法的总结好总结， 呃，然后最后再归纳，呃他的性质和应用，归纳他的性质和应用，找到我们的学习的落脚点，那老师这里也归纳了一个学习的路径，同学们可以有自己不同的结果，请坐。 那么这次我们就达成了第一个学习目标，下面请同学们相互检查学案，检验一下我们的预习效果，互相评价，好达到水平三，有三颗星水平二，两颗星水平一，一颗星， 那么能达到两星以上的同学请举手，非常棒，说明同学们的预习效果是很好的，请放下。那么我们紧接着进入到我们的活动二， 下面我们先观察 g g p 软件做出的一个动态图像，请注意仔细看， 在刚才的演示当中，我们观察到随着点 p 在 单位圆上逆时针旋转，旋转角变化，我们点 p 的 坐标也相应的发生了变化。那么接下来你可以填写我们悬案上的这个表格吗？ 谁可以说一下你的结果？好，你来说一下。 呃，首先第一个是一斗零，然后坐标是一斗零。好，同学们对照一下答案， 呃，第二个是二分之根三，二分之一，坐标是二分之根三斗二分之一，第三个是零斗一，坐标是零斗一。呃，第四个是负二分之一斗二分之根三，第五个是负一斗零，下一个是零斗负一，最后一个是一斗零。好，大家同意他的结果吗？ 同意啊，是肯定的答案，那么说明同学们都具备良好的运算素养，没有出错。那老师还想考考大家 在刚才求结点 p 的 坐标及步骤应该怎么总结？点 p 的 坐标被为确定吗？来，你来回答。呃，他求点 p 坐标的步骤是，首先是先画中边，然后找呃中边和圆上的交点，然后算数值，算数值。那么我们就归结为 划中边，找焦点，算数值这样的三步。还有第二个问题哦，我认为他是唯一确定的，因为求点 p 坐标的每一步他都是确定的，所以说他最后结果也一定是确定的啊。那如果老师在表格再增加一行， 当 x 不 为零时，求解 y 与 x 的 比值，你认为他还是确定的，显然也是确定的。那么接下来我们还可以帮大家回忆我们之。

这一道积分题你会做吗？那很多同学一看到背极函数这么复杂，直接就放弃了，既有三角函数，又有根号，而且全都在分母啊，是不是分母越复杂，这个积分就越难算？但是我告诉你，其实很简单， 因为凯哥在全程班里面反复强调过，如果一个三角函数的积分，你把背极函数里面的 sin 换成负 sin， 并且把 cosine 同时换成负的 cosine， 那 么你这两个都换了之后，你的背极函数如果不变，那么这个时候就一定可以去凑 d 函数的 x， 一定可以的。 但问题是，有同学会说，他说，凯哥，你这个题不对呀，你把三引换成负三引括号，三引换成负括号，三引之后，这根号里面是两个相乘，这负负得正。这这倒没问题， 但是你前面的三引跟括号三是相加的，所以你把三引换成负三引，括号三引换成负括号三引之后，整个背极函数是变成了原来的相反数，而不是跟原来一样，那就用不了这个方法。所以听清楚，这就是我们今天每日一题的大标题，就是不要死记硬背， 你哪怕是试一下呢，对吧？尝试一下，万一做出来了。所以说，这个题，咱们的第一步仍然是想去凑 d 贪婪的，那我们是不是需要构造一个十二根的平方 x d x， 然后把十二根的平方凑到 d 后面去？ 为此呢，我们分子分母同时除以一个 cosine 平方，那分子是不是如愿以偿的就出现了 cosine 平方 x 的 一次方，那就变成了贪婪的 x， 再加一个一， 然后这个根号要除以 cosine x 的 话，那是不是相当于根号里面除了一个 cosine 平方，对不对？那根号里面不就变成 sine， 除以 cosine， 那 不就是 tangent 了吗？ 对吧？这是不是非常完美啊？那么我们把分子的 x 平方凑到 d 后面去，是不是就是 d tangent？ 那 再把所有的 tangent x 看成一个整体，比如说把它看成 t， 那么换元必换线，上线对上线，下线对下线，当 x 在 零到二分之派的时候，我们的贪界的 x 是 不是零到正无穷啊？对吧？那背接函数，分子就是一分母就是 t 加一再乘以一个根号 t d t， 那 这不就是一个送分题了吗？我们直接根号换元令根号 t 等于 u 就 可以把根号消掉， t 就 等于 u 平方，那么带进去 u 的 范围也是零到正无穷， t 加一就变成了 u 平方，加一根号 t 就是 u， 而 d t 呢？是不是就是 d u 平方，也就是二 u d u 嘛，对不对？我们分子分母把 u 约掉，那把二提出去，那一加 u 平方分之一积分，那就是 ark， 它间的 u 带上下线零到正无穷，带上限进去 ark， 它的的正无穷就是二分之派，带下限进去 ark， 它的零是不是就是零？所以二乘以二分之派，那就是派搞定嘛。 所以说我希望大家不要死记硬背这个题。确实，把三眼和 cosine 都换成自己的相反数之后，背极函数并不是不变，而是变成了原来的相反数。但是我们也可以试一下嘛，就是你学东西不要学的那么死。好吧， 好，听到这之后，如果你觉得这个视频对你有帮助，或者说开拓了你的视野的话，给凯哥点个赞，点点关注。好吧，那我们明天每日一帖，再见。拜拜。拜拜。

起立老师好，同学们好，你坐。 今天我们来学习五点七三角函数的应用。在我们前面已经学习了函数的应用以及建立函数模型解决实际问题的基础上， 我们上一节课又学习了三角函数的知识，还学习了正弦型三角函数的一些性质。那我们这节课就用这些性质来通过我们自己动手操作来解决一些生活中的实际应用问题 来。首先给大家看一组图片，大家来观察一下，看看这是哪个城市呢？ 济南，济南，济南，都看出来了啊，这就是我们的故乡济南。那济南又称什么？ 泉城啊，素有四面荷花三面柳，以城山色半城湖的美誉啊。那在这样的一个美好的城市里，为什么 有一直那么多的人都喜欢来济南定居呢？就有两个原因，第一个是有丰富的水资源，其中以泉水资源为独具特色。第二个是有适宜的气候环境， 那济南是属于温带季风气候区，四季分明， 那他每个月的气温是怎么样的呢？我们由中国气象局三十年的数据统计，找了一到七月的平均气温，给大家拟合出来了以下的函数图像。 有函数图像，请拿出来你的学案，在你的学案上写出这段曲线的函数解析式。 根据求解出的函数解析是预测济南全年月平均气温低于七摄氏度的是哪些月份，请大家边做边思考，你在做的过程中用了哪些三角函数的性质呢？ 我看大家都写的差不多了啊，来，我找同学来讲一讲你是怎么做的？张一宁， 呃，首先这一个，第一个让我们求这段虚线的函数解析式，由图观察可以知道，呃，这段函数的最高点和最低点分别为二十八和零，所以 a 等于二十八减零的差除以二，也就是十四， 然后同时这段函数向上平移了十四个单位，所以说我们可以看出 b 等于十四。然后我们现在接下来来求欧米伽，欧米伽等于二派比 t， 所以 我们先要把 t 求出来， 嗯，有图可以知道，这个 t 的 这个半周期，也就是，嗯，七，所以说 t 等于二乘七，呃， 半周期是多少？你再看看从一到七中间是叉几叉六，叉六啊，嗯，所以呢， 所以说就可以得到这个整一个周期是二乘上七减一，也就是十二，然后 omega 就 等于二派比 t， 也就是六分之派。 所以我们可以得到现在的函数解析式就是 y 等于十四分之二十四倍的 sin， 六分之 pi， x 减 f 加十四。呃，然后我们要求 f 就 可以带点将一斗零带入， 嗯，可以求得六分之 pi， x 加 f 等于负二， pi 加二 k， pi 啊， k 是 属于 z 的， 然后取 k 等于零的时候，那么 pi 就是 负三分之二 pi， 所以 说这段曲线就可以满足函数， y 等于十四乘六分之 pi， x 减三分之二， pi 加十四。 嗯，那他这个讲的非常的清晰啊，而且自己写的这个过程思路也非常的严谨， a 怎么来的， b 怎么来的， t 怎么来的啊？欧米卡怎么求的，包括刚才带点都讲的非常的清晰，但是，哎，我们来 找找茬有没有问题。这个如果是一个考试的卷子，哎，我刚才为什么走到那就拍了他的啊，这走到其他人啊，都是在用签字笔作答，到他那少了。

老师好！同学们好，请坐！谢谢老师！ 现实世界中有许多运动变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律我们称之为周期性，例如昼夜更替、四季变化、月亮圆缺、潮汐变化、圆周运动、单板运动等。 这些现象都可以用三角函数来刻画。那什么是三角函数？它是如何定义的呢？那就让我们一同进入这节课，来学习三角函数的概念。 我们先来看段小视频，视频里向我们呈现的是桶车，桶车是我国古代发明的水利灌工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，是我古人智慧的结晶。 那我们学习数学呀，就要用数学的眼光来观察世界。在这里同学们看，我们可以将这个桶车抽象一个成一个什么几何图形呢？ 圆圆，那桶车上的某一个盛水桶，我们把它冲向成一个点，我说他的初始位置为点 a。 那 同学们看问题， 点 p 以 a 为起点，在圆 o 上做逆时针方向的旋转。如何建立一个数学模型来刻画点 p 的 位置变化情况呢？坐标，建立一个坐标系，建立一个坐标系非常好，那在这里面同学看一下点 p 在 运动过程当中， 哪个量随之发生改变？角角，我们可以把这个角设为是 r 八 a o， 因此角 a o p 对 不对？对，那因此呢，我们就可以借助于这里的角 r 八的大小变化来刻画点 p 的 位置变化。 根据我们学习的弧度制，角的大小与圆的半径无关无关，因此我们不失一般性。我们先来研究单位圆中点的运动， 那刚才男同学已经提到了，我们在研究建立一个函数模型，根据我们研究函数的经验，我们首先说要建立平面直角坐标系。啊，是，那这里我以谁为坐标原点呢？ 以圆心 o 心 o， 那 么射线 o a 就 为 x 轴的非负半轴起， 那这里 a 点的坐标就是什么了？以到二零二零，我们不妨设 p 点的坐标为 x y， 那 因此呢，射线 o a 就 从 x 轴的非负半轴开始，绕着 o 点逆时针旋转角二方到达了中指位置 o p， 那这里的角二八呀，是一个任意角，那既然它是一个任意角的话，我为了用它来研究点 p 的 位置变化，在这里面，我们不妨让角二八先取些什么可缩值， 比如说，当角二八等于六分之派时，我们看一看这里的 p 点的坐标是什么？ 那同学思考一下，这 p 点的坐标如何来求呢？ 那同学们来说一下如何来求 p 点的坐标？来，商家换，嗯，可以从 p 点向 x 轴引出线，嗯，嗯， 然后呢？因为角呃勾 m 是 三十度，嗯，然后圆的半径是 o p 等于一，嗯，所以 pm 就是 二分之一，嗯，所以 o m 就是 二分之一。相间，所以它的坐标都是正的，嗯，所以 p 点坐标就是二分之二分之 二分之三等于二分之一，嗯，很好，对平面几何知识掌握非常牢固。好，请坐，那我们就得出了， 当 r 为六分之 pi 时，点 p 点的横坐标就是二分之根，三纵坐标就是二分之一。那大家思考 r 为六分之 pi 时， p 点的坐标是唯一确定的吗？是，是，我们已经求出来了，那当 r 求其他值呢？比如说二分之 pi， 四分之三 pi， 那 又是怎么样的呢？同学们在学案来完成这个问题。 好，跟他们完成差不多了啊。哪位同学来说一下你的答案。 好，王阳来，嗯，当二百的二分之一时，它的，嗯，横的标的函数值是零，嗯，横坐标 p 点的横坐标为零，做坐标是一。一。好， 四分之三。判时呢，他的分值标是负二分之根二，嗯嗯，分值标是二分之根二，嗯，非常准确。那你说他们是唯一确定的吗？是唯一确定的，是唯一确定的，非常好，请坐啊。 那在这里面同学们看一下，我们刚才给角二发取了几个特殊值。那发现对于给定的，给角二发他的。

老师好，请坐，请看大屏幕， 这是什么呀？摩天轮，其中有一个摩天轮离我们还很近，是吧？对， 同学们会看到许多各式各样的摩天轮，那么有坐过摩天轮的同学吗？有，有，你恐高吗？ 恐高，是不是有的？有恐高的是吧？对，那么你是不是想要知道，当你坐在摩天轮很高处的时候，时间转动的一定的时间，在很高的时候，你会想知道他你离开地面 多高的距离，对吧？对，嗯，让我们走进今天的课堂，三角函数在生活中的应用。 首先我明确一下学习目标和我们要培养的核心素养。 看下面的资料， 摩天轮最高点距离我们的地面的高度是一百二十米，转盘直径为一百一十米。 摩天轮轮外装挂四十八个三百六十度透明座舱，每个座舱呢可称作八个人，可共三百八十四个人呢，同时观光，然后转一中所需要的时间呢是三十分钟。 到达最高点时的时候，我们能够看到方圆四十公里的所有的景致，被誉为天津之眼，非常雄伟壮观。 那么问题提出来了，当尤克卡坐上摩天轮坐舱的时候，开始转动 t 分 钟后距离地面的高度为 h， 求转动一周过程当中 h 关于 t 的 一个函数解析式。同学们想一想，这是一个怎样的一个数学问题呢？ 怎样一个数学问题？摩天轮转动是匀速的吧？是高度随着时间的变化是不是在不断的变化？是，那么高度是不是也随着角度在不断的变化， 我们的转动是不是匀速的？嗯，所以这是一个与什么有关的数学问题啊？函数，哪个函数？这个函数是不是与角度三角函数有关的一个问题啊？嗯，哎， 我们研究与角度有关的函数，那我看一下，小组讨论一下摩天轮匀速转动过程当中某点距离、地面高度随时间变化，具有怎样一个特点呢？ 怎么样一个特点呢？商议商议，探讨一下哪个模型符合这样一个特点，到时候看 三十分钟饭一周，三十分钟。哪位同学来回答一下？ 哪位同学来回答一下？惠香文，你知道吗？有什么特点？具有周期性对吧？那么哪个函数符合这个特点？ 对，猜想应该是这个函数具有周期性，能够描述我们这个函数模型，对吧？嗯，好， 在上一节课呢，我们学习了正弦型函数，而且有关正弦型函数的政府啊，周期出象，物理意义我们都了解了， 来看看大家的导学案啊，把这个图填上，一会儿找同学来回答哥哥啊的意义。物理意义，哥哥细数的物理意 义， 找同学来分别回答。第一个，镇府，镇府，谁会 默然？镇府是 a， 是 物体离开平衡位置的最大距离。哪个是镇府啊？ a， a 是 镇府 物体离开的最大距离是吧，好不好？好，哎，好，周期，再找同学来说一下周期。

社会上的热点话题和买房需要考虑的因素有很多，今天我们就其中的一个因素，采光来进行探索。 陈老师也想买套房子，下面两个房间，哪个房间大家更加愿意居住呢？一个一个，因为它不仅美观，而且采光效果更好。好了，陈老师也想买一个采光效果好的房子，看中了， 选中了中间楼层，发现夏天正午有太阳光照。到了秋，到了秋天 发现也有太阳光照，但是到了冬天这一天，特别是冬至的正午，有没有太阳光照呢？没有光照了。所以说啊，我们确定是冬至这一天，看房选楼层，考虑考虑采光。 那么冬至确定了具体楼层是多少层呢？接下来还需要经过精确的计算。我们将所得到的数据通过数学建模，将生活问题转化为平面几何问题。 长沙市冬至正太阳高度角约为三十八度， 好照射的这个点做一条地平面的平行线，交线段于一个点，此时为了方便表示，我们对应的点标上字母， 这个角等于九十度，锐角等于约等于三十八度。 结合楼盘的数据，因为有三十三层，层高三米，所以楼高是南北楼间距为 好，说明 a、 c 的 长度是。现在我们已知了在直角三角形 a、 b、 c 中， 锐角 a 的 大小和零边长度。下面要求的是哪一段线段的长度呢？ b、 c 对 b、 c 的 长度，因为 b、 c 的 长度等于有太阳光照的长度。那如何求 b、 c 的 长度呢？ 我们学过正弦和余弦的概念，我们知道正弦指的是对边与斜边的比值，是一个定值，余弦是零边与斜边的比值是一个定值，类比正弦和余弦。 我们对于这个问题可以提出怎样的猜想呢？请同学们说一说。好，你说。 嗯，我们可以在三角形，在直角 a、 b、 c 中呃，当对角 a 的 度数大小确定时，我们可以猜想为，呃，角 a 的 对边就是 b、 c 和角 a 的 邻边 c， 它们之间的比值是定值。好，猜想是一个定值。同不同意？哎，讲得很好，请坐。 那么接下来我们通过几何画板直观地验证我们的猜想。 在直角三角形 a、 b、 c 中，首先度量出对边 b、 c 和邻边 a、 c 的 长度。改变长度， 我们发现数据会有所变化。接下来度量出它们的比值，再次改变长度， 我们会发现随着长度的改变，比值却没有发生变化。也就是说，当角 a 确定的时候，它的对边与邻边的比值是一个 b 值。 我们度量出角 a 的 大小，在角 a 约为三十八度的时候，比值约等于零点七八。改变角 a 的 大小， 我们发现比值会随之变化。也就定的时候，在直角三角形中，它的对边与邻边的比值是一个定角值，也就证明了我们的猜想。我们把这个定值叫做正切， 这就是正切的定义。正切可以用符号 tangent 来进行表示，角 a 的 正切值用 tangent a 来进行表示。 如果说对边用小写字母 a， 零边用小写字母啊 b 来进行表示的话，那么对边与零边的比值也可以写成 b 分 值，正好 b 分 值。 我们学习了正切的概念，到目前为止，我们学习了正弦、余弦和正切的概念， 这三者都随角 a 的 变化而变化。当角 a 为一确定的时候，这三者的值也是为一确定的，所以我们可以把这三者看成是关于角 a 的 函数，称为锐角三角函数。 那么内角三角函数和这三者之间的关系老是通过一个思维导图来进行呈现， 这就是它们之间的关系。好了，我们学习了知识，我们还需要利用知识去解决实际的问题。接下来通过三个大小的已知 对边和正切值求零边。第三小题，已知零边和正切值求对零。 从这三个题目中间，你有什么发现？找到了什么规律？请一位同学说一说来。罗成新，呃，从这三个小题中我可以得出一个结论就是，呃，知道两个样可以求出另外一个样，好吃到 表达式中间的两个量可以求出另外一个量可以简称为只二求一，只二求一请做。讲得很好， 完成了第一小题，接下来我们一起再看一个小题，同学们动笔做答， 他的高也是他的中线，所以 b 的 长度是 bc 长度的一半，那已知 bc 的 长度为四， ab 长度为十，可以根据勾股定你求出 a 的 长度， 再利用角 b 和对边比上邻边来求出他的正切值。这位同学写的好不好，好好，那么从这个题目我们可以看出来， 当图中间没有给出直角三角形，要要你求它的正切值的时候，我们可以采取什么方式呢？采取做高的方式或者做垂线的方式来构建直角三角形。 好了， 最后我们学习了知识，并且通过练习题积累了经验。接下来我们还要解决这一道问题， 那这道问题又该如何解决呢？请同学们结合今天所学的知识来动手计算吧！ 其实正确的知识啊，不仅在买楼房、选采光的问题上有所应用，还在 中国古代的土规和日规中有所体现。古希腊天文学家测量太阳、地球、月亮之间距离的比值，包括现在的遮阳棚和太阳能热水器的安装和设计达到最大的效果中也有所禁用。 正确的知识运用如此之广泛。所以呀，我们要学好数学知识。好，今天我们学习了知识之后，请同学们做课堂小结，你有怎样的收获呢？ 请为同学说一说，做几样，他说的好不好？好， 包括我们在证明过程中啊，也用到了类比的思想，类比了正弦与弦的证明过程。 好，那除了这一些，我们还经历了整个提出问题和解决问题的过程。从生活热点出发到地理知识，再通过数学建模把生活问题转化为数学问题， 通过探索发现新知，然后获得新的知识。最终我们还通过应用积累了经验。

大家观察到弹簧震子的运动轨迹是一个什么样的图形呢？三角函数 不单单弹簧镜子的运动轨迹可以用三角函数模型来刻画，那么下面的摆动的钟摆，上下浮动的浮标，振动的琴弦，这些物理上的运动，我们都可以用三角函数模型来刻画。 在物理上和数学中，在物理上和生活上，都有许多的具有周期性的运动都可以用三角函数来刻画。那么这节课啊，我们就来研究三角函数在物理中的应用。 首先我们来看一下这节课的学习目标和需要培养的核心素养。 走进今天的第一个实际问题， 弹簧挂着的小球做上下运动，他在 t 秒时相对平衡位置的高度 h 由关系式 h 等于两倍的三 t 加四分之派来确定。 那么在课前任务清单中呀，我们已经讨论了 h 等于两倍的三 t 加四分之派这个三角， 这个三角函数，它的各个物理参变量的意义。那么我们下面来看一下大家的完成情况。 首先我们来看从字迹上来说，右边的同学要比左边的同学认真了许多，这一点值得表扬。那么以后呢，大家也需要注意一点，因为呢，我们高考的时候阅卷采用的是 机器阅卷，大家往上阅卷，所以一定要注意书写，这是第一个问题。来我们继续来看答案的正确性。 那么在正弦型函数 y 等于 a 位的，在 omega x 的 加倍中，它的各个参数包括了 制伏符号 a， 周期 t， 频率小 f 向位 omega x 的 加倍。看两位同学给出的答案都是正确的，我们一起来分别看一下他们的物理意义是什么？ 首先制服 a 表示小球偏离平衡位置的最大距离，那么这节课我们需要用到这些 参数，他们的物理意义分别是什么？所以大家需要记住第二个周期 t， 它的计算公式为两派比欧米伽绝对值，它表示的物理意义是小球完成一次运动所需要的时间。 继续第三个参数小 f， 我 们称它为频率，它的计算公式为小 f 等于七分之一，等于奥密克的绝对值比二倍，它表示的物理意义是 单位时间内小球能够完成运动的次数。最后一个奥密克 x 的 加倍总体，我们把它叫做向内， 而当其中的自变量 x 等于零时，我们把 f 叫做出象。这是男同学给出的答案，那么下面我们来看一下标准答案是什么？ 看标准答案和我们同学给出的是一样的，也就是说大家在客户的学习中用心了，这一点值得表扬。那继续。 那么物理中这个正弦形三角函数中各个参数的物理意义我们已经知道了，那么就让我们进入今天的 消毒合作，一起来看第一个怎样画出这个正弦形函数的图像。下面进入消毒讨论 怎样画出造型的还是不一样，我认为他肯定有了我的第二种造型， 我们俩团队一定要跟你吧爱在一起，我们来。 然后那个他要不要连线的话五点，五点的话可以去那个五点，最起码 在五点的话是二十块一块，三块二十块，然后 十块三块。

稍后起立，老师好，同学们好，请坐！经过了一次函数这一章的学习，在昨天完成前置作业的情况时候，我发现大家同学对一次函数的知识， 以及如何利用一次函数去解决实际问题，包括研究函数的一般路径都有了一定的认识。那这节课我们就将利用本章所学的知识综合解决实际问题。 回顾函数概念，我们对比一下这两位同学举的函数例子，哪一位同学说的更准确一些呢？ 第二个是什么呢？好，这两位同学都有两个变量， 而第二位同学更清晰的说出了两个变量之间的依赖关系。 那么对于两个变量 x 和 y， 除了 y 和 x 要有依赖关系以外， y 还要满足怎样的条件才能说 y 是 x 的 函数？ 好了，请这一组来一个同学回答一下这个问题。 呃，对于每一个面料， x， y 都有唯一的值与这个 x 对 应。好，很好，请坐！它就提到了要有每一确定的一个 y 值 与 x 对 应。那我们来看一下这位同学举的例子，正方形的边长为 x， 面积为 y， y 是 x 的 函数吗？是，那是什么呢？ 对对对，那这个每个同学背起来说， 因为我没判定它是函数，是因为它首先它有一个带 y 的 x， y， 其次它是不带关系，最后是因为 x 的 每个值都有一个 y 值，它是它。嗯，对，对任何零距离函数需要满足的， 所以 y 是 x 的 函数。好好好，请坐。那。在回忆了函数的概念以后，在昨天的解释作业中，我发现大概也回顾了函数的三种表示形式以及依次 函数的相关知识。那么通过本节课的学习，我们在综合利用本章所有知识以后，我们将进行回顾与思考，进一步完善我们本章的知识框架。截个图， 汽车是我们生活中常见的一种交通工具，而汽车的制动系统是行车安全的重要核心之一。 那在这个情境中有哪些变量？ 速度？还有什么时间语？自动距离？好，来，请你说一下。有速度，呃，自动距离，反应距离？好，请坐。还有没有补充的？ 好，来，请。这位同学，好，还有没有？好，请坐。那？这些变量实际上就是大家从现实情景中抽象出来的核心元素，而这些关键的元素之间存在着一定的联系。那基于这些变量， 大家能够提出哪些问题？好，请这位同学。呃，这些变量中是否存在有一些问题？很好，还有没有别的同学有怎样的问题？ 好，来，请这位同学，这些变量之间是否存在某种关系？好，很好，某种关系，请坐。还有没有？ 我们可以具体一些这些变量，这里的变量有很多，好，请这位男同学，这些变量中哪些？哪个是自变量，哪些是应变量？好，请坐。你们觉得哪些是自变量？哪些是自变量？速度，速度是自变量的？ 好，所以我们沿着刚才的研究思路一起来解决。哪些变量与速度之间成一次函数？ 那各个小组进行小组讨论，你们通过讨论探讨小组合作一会进行同伴之间的交流来回答第一个问题，这些变量与数，速度之间哪些可以判为一字二数？ hello， 大家，好 啊， 好，那我们现在就依次每一个小组进行一个分享， 那从你们组开始，你们组每一组选一个代表啊，每一个。 好，其他同学齐军来，你要不到前面来也可以吧？呃，不用了，就是。好，可以大点声。我们组讨论的是速度杯和成都距离 s 之间 s 一 之间的关系，速度杯是自变量，成都距离 s 一 和 d 变量， 速度为从二十到三十，呃，现在停车距离增加四点二八，而速度从三十到四十，呃，停车停车距离增加了四点五，四点八五，呃，速度为从八十到九十， 你说距离增加到八点到八分，而变化量不同，因此我们我们就看你的判断做核酸。好好，请坐。他们说到了在每一次速度增加十千米每小时的时候，他们讨论的 他们讨论的什么距离，每一次的差别是怎么样的？不一样的，所以他们判断这两个之间， 所以他们判断停车距离与速度之间不是一个角度，后面那个叫做什么？ 我们组是分析的是停车时间 t 与速度 v 之间的关系，速度 v 是 四变量，然后停车时间 t 是 零变量。 我们先去从表格中相应的两个数据进行计算，发现，呃，相应的两个数据之间速度的差都是十，然后相应两个数数据之间停车时间的差都是零点三，然后。