八下数学一次分段函数图像像怎么画
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01:29查看AI文稿AI文稿我们知道一次函数的图像呢，是一条直线，我们又知道两个点呢，可以确定一条直线，所以要想画出一次函数的图像呢，我们只要找到两个点就行了，那这两个点要怎么找呢？通常情况下呢，我们是找与坐标的交点， 那么以下面这两个函数为例，我们画一下它的函数图像。我们先看第一个函数，令 x 等于零，则 y 等于负二， 令 y 等于零，那么 x 就 等于负一。那现在呢，我们就已经有两个点了，一个点是零和负二， 另一个点呢是负一，零，我们在平面直角坐标系上把这两个点找到就行，用一条直线把这两个点连起来。好，这条直线就是这个函数的图像 一样的，我们画出下面这个函数的图像啊，令 x 等于零， y 等于一， y 等于零， x 等于负一， 那么它的两个点就是零一，负一，零。在平面直角坐标系上找出这两个点连起来 很简单吧，两点确定一条直线，只要找出两个点，就能把直线画出来了啊，那我们再观察一下，红色的线是往下走的，蓝色的线呢，是往上走的，为什么会这样子？这个问题我下次再给大家讲。
15海口数学蔡老师![[初二数学]一次函数的图象（三）平移法十两点法](https://p9-pc-sign.douyinpic.com/tos-cn-p-694b40/oMkSEpvhEmdSPFea9HCQCgAQPQTSBqD61Q6fJb~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2099055600&x-signature=5jMbplLninmnxsVJVTTwMLwrK%2BQ%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20260710232855C52265D1BD03C01E0D50)
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01:46查看AI文稿AI文稿我们今天怎么画一次函数的图像呢？比如说我们要做出这个 y 等于二， x 加一，他的图像，呃，我们怎么做呢啊？我们要做一次函数的图像，我们用的是秒点法，秒点法的话有三个步骤，第一个步骤，列表格，第二个步骤，秒点，就是要把点找出来。第三个步骤呢？连线， 那比如说像这一道题，我们要做这个函数的图像。首先第一步列表格啊，直线嘛，两点确定一条直线，那我们只要起两个点就行了， 那这两个点的起值你可以是任意的，直线上的点是有无数多个，那你只要任意起两点就行了，那我们一般来说是比较容易计算的，比较容易找的。比如说当 x 等于零的时候， y 等于一， 当 x 等于一的时候，带进去， y 是不等于三啊？我们就可以找两个点，那么这个表格列出来以后，第二步叫描 点，那这两个点哈，一个是 x 七零的时候啊，这个是 x， y 呢？就是等于一，这是一个点，一个是 x 等于一的时候， y 是等于三。第二个点啊，两个点，那所以我们要把这两个点找出来，那么这个点在哪里呢？ x 等于零， y 等于一，那么这边是一。哈， 那所以我们可以知道这个点就在这个地方，一三呢，就是 x 起一， y 等于三，一二三。好，那么是这个 啊，那么第二个点在这个地方，那么这两个点找到了，然后我们用光滑的曲线连起来，那么这条直线就是依次函数的图像。 所以我们要做一次函数的图像的话，我们就用描点法，在这个直线上任意起两点啊，这两点你随便可以起，但是我们一般的原则就是要起比较好计算的，还有这个点比较好找的啊，那么第二描点，把点找出来，第三连线。
2298数学村村长![[初二数学]一次函数图象特征及变化趋势（B）](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/2726ab59191decd3cc47b6c5057a70a7~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2099055600&x-signature=8I6sDUHuunNAuugP%2B%2B4D7w4kZgA%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20260710232855C52265D1BD03C01E0D50)
35:30查看AI文稿AI文稿画一次函数 y 乘以二加三的图像描出图像。画一次函数的图像 通常用两点法对不对？这两点通常又取哪两点呢啊？ 通常取一柱 标轴的角与， 也就是说与 x 轴或者 y 轴的交点。来告诉我们，大家一起来说来与 x 轴交点怎么求 link。 与 x 轴交点，点在 x 轴上，它的特特征是重目标为零对零，另外得有零了， 令它等于零得 o， x 加三等于零，所以 x 等于负二分之三，所以与 x 轴 角点取个字母 a， 括号负二分之三，逗号 坐一下 快速球 y 轴的敲点 五三 hmm 两个写出来了， 两点描上了。 先把它两点描出来，要让字母 a 把这个点描上。嗯，规范 好了啊。行， 他把这条直线画出来了。好，这条直线为把边的标一下， y 等于二， x 加三 包出来了。学会求余坐标轴的焦点坐标。好，下面回答第一个问题。图像特征， 三句话 图像特征，三句话，想一想正比例函数图像的特征，当时是不是三句话，哎， 模仿一下第一句话，与往日走九点一零三在 正半早上 以 y 轴九点零三的 y 轴正反轴上写干什么？第二，第二个特征， 经过哪些象限？先经过下面先经过哪些象限？ 行 经过第一二三向前中间停顿一下，问号 好坐下。第三个图像特征， 从左往右，车身直线上去三，从左往右上升 三个图像特征，再回顾一遍，与 y 轴交点经过哪些象限？第三，从左往右是上升的还是下限下降的？ 不管再次好，下面描述函数的变化趋势， 也是两句话，第一句话， 函数值 y 随着自变量 x 是 怎么变化的？自变量从左往右，自变量的曲值逐渐增大， 比如说 x 等于 four， 分 之三时，函数值是零， x 等于零时，函数值是三。 从左往右，函数值变大了。所以我们的描述是函数值 y 属于自变量 x 的 增大耳 二十八等，它上弦的吗？ x 变到函数的一变的 说，这个是文字语言，还可以用符号语言，对不对？怎么说？ 比如说在这上取一个点横坐标 x， 也对应重坐标 y， 这边取一个点， 横坐标 x 二，重坐标 y 二。 x 一 和 x 二哪个大？ y 一 和 y 二哪个大？所以当 x 一 小于 x 二时， y 一 小雨。哇呀，清楚了吧，回来。行，先留刀来 画一次函数 y 等于负三， x 加减三的图像， 并描述图像特征， 即函数的变化， 等下面快速完成。 let's do it。 来来来来 hmm 哎 ahh。 有机提醒， y 等于负三， x 等于十五，不对吗？ 了解 画图像描述图像特征和变化趋势。 边上写上函数名称。 好，原来湖北话表现优秀，当官心情舒畅。好，那么下面找人描述图像特征， 再找人描述变函数变化趋 势。先仿照，先闪亮往那里来，瞬间发现 橱窗特征。三句话，以瓦尔卓焦点位置经过哪些象棋从左往右是上升的还是下降？ 认真一学就会 好，过来吧， 来过来，上一点变化趋势两条，好好仿呀，模仿啊仿，仿，一点心情都不知道。 来找回来学啊大哥。学 就那个变化趋势，根据这个函数图像是能够看得出的， 从左往右自闭量在增大，如果图像上升，说明函数值也在增大，如果图像下降，说明函数值在减小， 来，各位小朋友看一看哈！这个是基本上都是我们同学独立完成的。 特征变化趋势变化趋势是 y 随着 x 的 增大而减小， x 增大， x 增大，从左往右， x 的 增大，对不对？但是图像下降的时候呢，函数则在减小，看到吧，你往右，我往下， 所以当 x 也小于 x 啊。有函数自变量增大，函数则反而变小， 这关系不明确。好了，各位小朋友，现在看黑板，我们把这两个函数做一个归呢。这两个函数均为一次函数，但表达式稍有不同。 请看这里的 k 是 多少？来看一下 k 多少哦！ k 是 二， b 呢？ b 是 三。坐下，这个 k 是 正数， 这个 k 是 正数，大于零， b 也是正数。再来看这里，来把它摘一下，这个 k 多少？ 负三， b 呢？也是负三，它们均为负数，好转向。 小朋友现在看好这个 k 的 正数，图像从左往右上升，这个 k 的 负数图像从左往右下降， 这个 b 的 正数跟 y 的 交点在正半轴上，这个 b 的 负数跟 y 的 交点在负半轴上。 小朋友拿我们今天一个重要任务来归纳一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像特征 递接变化趋势函数的变化趋势。一看， 开勒符号有几种情况？两种，两种情况，开大圆领，开小圆领是开的边个符号？ b 的 符号可以大于零，也可以等于零，还可以小于零，对不对？那语文老师， k 也可以等于吗？不能等于，说 b 有 三种， k 只有两种。接下来小朋友看好。 如果说 k 正数， b 正数，它的图像草图是什么样子的函数图像？ 小伟，你看，我画一个草图，你看看哈，很精致的草图。 k 正数跟我有交点， 正半转身对不对？拿，小朋友，你看你看，我画的哎，跟我一直教你正半转身从左往右上升，是不是炒一个 会。完了会了哈，来，这个， 这次不要我看了，都腻了，来，玩着这个，你们在下面干嘛？ 杵着看的是吧。 还有个 打 k 大 于 a， k 大 于我的前提是 k 大 于，所以它从左往右一直是上升的， 干什么啊，哎，瞅对了哈，哎，好极了。来， 下面描述图像特征， 这种情况下图像特征第一句话 与我走交点， 灵璧是不是灵璧站正反走上二经过一二三相向 三从左往右上身是不是都会说了？ 都会说了哈，一二三都好，来，快点来，上来哎，你上来哈，你来写这种情况特征三个，记住啊，来， 小伙，你杵着干什么 啊？好啊，写的好啊，鬼话三次就这么简单。 第三，跟你们写啊， 我等死了哈。第三跟你们写三句话， 刚才你就写哈，你看哈，你在上面写哈， 与 y 轴交点在这个哎， 以 y 的 交点仍然是零 b， y 的 x 等于零吧，它是零 b 在 负半轴上， 它是一三。哦，不用，它有四呢，还经过四啊，对不对？它还经过四，不仅仅三，不仅仅一， 写不下来啊，我来写哈，你说我写是吧，听过哪几个相像？一三四相 从左往右上升。好，中国今天表现来，你看到没？变化趋势，函数的变化趋势， 由于这三种情况从左往右均是上升，所以它的变化趋势应该是 一模一样，所以我把这三个格子变成了一个，你理解吗？来，第一句话，你们说实际关系来，我有嘴。 x 的 增大而增大 可以吗？你们认识我的符号吗？真大真大。第二打 x 也小于 x。 二十， y 和 y 怎么说？ 小于 y 这边半边我写好了啊，还有半边你们知道怎么写吧？ 仿他写对不对？仿他写，仿他写就会了吧。这科你完成好不好？行， 那么小事，留刀老师放来了，小朋友，对，来了啊。已知点气换号， a b q 括号 e c。 再一次，函数 y 等于四， x 加三的图向上，且 a 小 于 b， 比较 b 于 c 的 大小。 小朋友，那你等一会哈，课后完成就会了嘛，你看表现都挺优秀，来，看好一遍，现在读一遍。 你只点屁，你只点屁。 先看 b 和 c 扮演的角色。 b 在 哪呢？在这里，这是什么？这是重坐标，点的重坐标， c 呢？也是点的重坐标，它同时还对应着函数的函数值，对不对？ 对吧？现在你想比较函数值大小， c 大 一小声，他一下子出来了。来，你跟大家分享一下你怎么做的来，因为 a 小 于一， a 小 于一， a 是 自比量， e 也是自比量啊。 对啊， x 一 小于 a 小 于 c 小 于一，那么就是 y 一 小于 y， 为什么呢？因为刚才是。 为什么这个 y 等于四， k 是 正数？哦，抓住了核心要点，因为 k 等于四大于零大于零。哎呀，在这里 k 大 于零 怎么了？所以 y 随 x 的 增大而增大，对不对？承认吧， x 增大，你看六， a 小 于一，这是不是 x 啊？ x 增大，所以函数值也增大。 b 小 于 c。 一节课的核心解决了一个问题，学会了吗？学会了， 然后好好的把这个表格写完整，并加强记忆。
14野场春城
03:50查看AI文稿AI文稿带绝对值的一次函数不会画，看视频轻松拿捏，那我们来讲解一下啊，带有绝对值的一次函数的图像该怎么画？比如这里的 y 等于绝对值的 x 减二，通过前面的学习呢，我们是比如说画 x 减二的图像，我们是很熟记的，那现在一个问题就是这个绝对值该怎么去掉，把它转化成我们学过的， 那我们想去绝对值的时候，我们应该考虑什么？对啊，考虑这个 x 减二，它究竟是一个大于等于零还是小于零的，所以呢，这里就需要讨论 x 和谁的关系啊？ 对啊， x 和二的大小关系。所以呢，画图的第一步就是什么呢？要确定零点，注意啊，这个零点可不是说让 x 等于零，而是要令绝对值中的式子等于零。那对于这个题来说， 令 x 减二等于零，所以呢， x 就 等于二，我们就可以得到啊，当 x 小 于等于二，那就得到了什么？ x 减二呢？小于等于零，那所以呢，那去掉绝对值的时候，它就要变成什么相反的 好，那另外一种情况呢，如果 x 大 于二，这个时候我们就得到了 x 减二呢？大于零，所以这个时候我们再去去绝对值的话，那是不是就是本身 好？掌握了这个啊，我们就进行第二步，得到这个分段函数的解析式。 y 等于两段啊，当 x 小 于等于二时，我们得到的，想想是什么要取相反，所以呢，就是负 x 加二， 好，把这个范围啊，加一个括号好，那如果说 x 大 于二呢，那就是取它本身啊， 就是 x 减二。通过刚才这两步，我们可以看，我们可以看到啊，一个带有绝对值的函数，其实它可以被拆成一个分段函数，就是不同的范围对应着不同的函数。 那接下来呢，我们就来瞄点连线。注意啊，这两个都是我们熟悉的一次函数本身，在一次函数取点的时候，我们是不进行什么要求啊，但是这里建议大家啊，把这个就是两个范围的交界点取上， 比如说对于 y 等于负 x 加二，这个时候呢，我们取一个点呢，它交界点是 x 等于二的时候，那对应的 y 呢，就是零，我们再取一个点吧。好，这个点呢，我们优先啊，在这个小于等于二这个里头取，比如说 x 等于零吧，那 y 呢，就等于二。好，我们先来画它的函数图像啊， 二零零二，好，注意啊，对于这个直线的话，我们只要小于等于二，也就是二左侧的那一部分， 大于二的呢，我们就不再画了。好，那接下来呢，来画 y 等于 x 减二还是交界处呢，就是二零，再取一个点，再取一个点，在大于二里头取啊，取一个四二。好，我们来瞄点 二零还是这个点，四二，这个好连线啊，我们要的是 x 大 于二的那一部分，那就是二右侧的，那就是这一部分图像啊，这个啊，对于红色的直线大于二的我们不再要，那同样的这个蓝色的线小于二的部分不要。 好，这样呢，我们就得到了啊，这个函数图像呢，它画出来之后呢，是一个 v 字形，那 其实啊，对于这种带有一个绝对值的一次函数，就是没有什么特殊的要求的话，画出来的图像基本上都是一个 v， 有 的呢开口朝上，有的开口朝下，所以呢，这就是刚才啊，在大家取点的时候，建议啊把这个分界点给取上，为什么？因为这两条线，红线和蓝线到时候它会相交到这个分界点处， 如果说啊，你没有取这个分界点，如果画图稍微有点偏差的话，这个就落不到这个二零身上了，所以这是画图的时候需要注意的一点啊。今天这个视频呢，我们讲的是含有一个绝对值的，那之后的话会再更新含有两个绝对值的。好，我们下期见。
73言语徒劳
04:48查看AI文稿AI文稿带一个绝对值的一次函数图像的画法被我们轻松拿捏，含有两个绝对值的一次函数怎么画呢？通过这个视频轻松搞定。上一个视频呢，我们讲解了含有一个绝对值的一次函数的图像的画法，画出来的形状呢，是一个 v 字形，这个顶点的位置呢，其实就是分界点。 今天呢，我们还类比这个思路来讲解含有两个绝对值的一次函数的图像该如何画。这里给出的函数啊，是 y 等于绝对值的 x 减二加上 x 减三。对啊，那首先呢，我们还是要考虑去绝对值，去绝对值时，我们就要考虑啊， x 减二，还有 x 减三，究竟是正还是负，所以这里呢，我们还是要先求零点， 然后呢划分区间来去绝对值，我们令绝对值中的式子呢，等于零。好，好，这样呢，我们就得到了， x 等于二， x 等于三。好，我们把它画在数轴上呢，就可以看到啊，现在数轴对应着三段，二左边的呢，我们记为 x 小 于二，二和三之间的啊，记为 x 大 于 二，小于三。注意这里啊，我们把这个等号呢，都加在这个范围上面，也就是你这个等号如果是在 x 小 于等于二身上的话，那你下面不写，反正只能出现在一处。好，那第三段呢，就是三右侧的，那我们写成 x 大 于三，接下来呢，该干什么了？对啊，该去绝对值得到分段函数。 好，我们逐段来考虑，首先当 x 小 于二时，那我们看这时候 y 等于什么？ x 小 于二，那这一项就是负的，那负的话，去绝对值要写成相反，写相反的时候啊，减少错误，我们只变符号，不变顺序，所以负 x 加二，然后加上 x 减三呢，也是个负的， 所以这时候呢，就是负 x 加三好，整理一下，就是负 x 加上五好。第二段， 当 x 大 于等于二，小于等于三十， y 等于好，我们再重新判正负 x 大 于等于二，好，这一项呢，大于等于零，所以呢，拒绝对值，就是本身 x 减二，加上 x 小 于等于三十呢，这一项小于等于零，所以呢，那拒绝对值变相反，还是负 x 加三好，整理一下啊，结果就是一 好看。第三段，当 x 大 于三十，那可以看到啊，前后两个绝对值现在都是大于零的， 那我们呢，直接按本身来写就可以了。 y 等于 x 减二，加上 x 减三等于二， x 减五，这样呢，我们就把分段的结果写出来， y 等于好。第一段，负二 x 加五，对应的范围呢， x 小 于二。第二段，直接 y 就 等于一了，范围呢，是 x 大 于等于二，小于等于三。 第三段呢，就是二 x 减五，范围是 x 大 于三，这样呢，我们就把含有绝对值的一次函数拆分成成了分段函数，那很明显可以看到啊，这仍然是一次函数的形式，所以我们在画图的时候，依旧是两点确定一条直线，结合着上一个视频，我们说了啊，在选点的时候，那个分界点，我们把它选上，这样画出来的图呢，就会更加准确。 好，我们先来画 y 等于负二， x 加五的图像。好，这里呢，我们选的点啊，选一个二临界点，还有，那这时候对应的 y 就是 一，然后我们在啊，在小于二这个范围中再取一个，那这时候我们就取取零， x 等于零的时候， y 呢就等于五，好，我们先来找一下点，二，一 零五，好，这个点啊，好，注意，画图的时候啊，我们只取 x 小 于二的这一部分，我觉得可能有疑惑，这个 x 小 于二，这不是没有取等号吗？这个位置不应该画空心吗？有这个意识啊，非常好，那我们在这里呢，我们就先把它标成空心，等一会画完图的时候，我们会发现啊，其实这一点对这个画图来说影响不大， 那接下来我们就来画 y 等于一，不 x 取几，它的外值都是一。那就是啊，画出来之后是一条平行于 x 轴的一部分，所以呢，对应的图像就是这个。 那在这里呢，我们可以看到，当 x 等于二十，它的外值呢就是一。所以呢，原本这里啊，在画这个 x 小 于二的时候，这个空心的位置呢，就可以，这个空心呢，我们就可以擦掉了， 这个当 x 等于二的时候，它确实等于一，好，所以可以擦掉。那接下来呢，我们再来画啊， x 大 于三，这一段， y 等于二， x 减五，好，先选分界点，三对应的外值呢就是一。之后呢，我们在 x 大 于三里头选一个值啊，嗯，也不需要很大，选 x 等于四吧， s 等于四的话， y 的 值呢就是三。所以呢，我们把这两个点瞄一下来，三，一在这里四，三，这个点好。之后呢，我们把这两点连起来，它本身是一条直线，但是还是啊，直线上我们只要 x 大 于三的那一部分，所以我们只画啊三右侧的这一部分。 那我们就得到了含有两个绝对值的这个函数的图像一下啊，我们可以进行一个总结，就是含有一个绝对值的一次函数，它画出来这个图呢，你也可以把它看成一个 v 字，只不过呢是一个平底 v 形， 它呢是三段连续的折线，有的时候呢开口朝上，有的题呢画出来是口朝下，那最后呢，我们来进行一个简短的总结，不管是我们画含有一个绝对值，还是含有两个绝对值，首先确定零点一定要准确，否则那个范围就会分错。然后就是去绝对值的时候，要判断清楚得到的是本身还是相反数，对式子进行一个整理计算 好。最后呢就是啊瞄点画图，就画图的时候啊，一定要看清楚，就是我们要保留哪一部分的图像好，这个视频呢，我们就讲解到这里好。
30言语徒劳![[初二数学]正比例函数的图象（一）两点法 初二数学，函数图像的画法：描点法→两点法](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/tos-cn-p-694b40/oYaIi8DSMQIED59gdTi2p8iXbPDlc6lrIPXBU~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2099055600&x-signature=YLunw2EmQsFxh0nvUQzaWEgNvOU%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20260710232855C52265D1BD03C01E0D50)
40:42查看AI文稿AI文稿要一起学习过函数的表示方法，函数有哪些表示方法？ 一、函数表达是一种表格法，它有一项请做。当我们知道函数有表示方法有三种，其中 图像法很直观，对不对？他能够清晰的呈现两个变量的变化规律，那么今天 我们就要开始研究函数的图像。首先研究一次函数的图像， 依次函数 y 等于 k， x 加 b 化啊， k 不 等于零的图像。 为了便于快速的宝物 一次函数图像的规律，我们先选一次函数当中较为简单的正比例函数，先来研究。今天我们先研究正比例函数的图像， 正比例函数 y 等于 k， x， k 不 等于零的图像。 为了更加方便，我们先选择一种最最简单的正比例函数来研究。那最最简单的正比例函数，你认为是什么样的一个表达式呢？ y 等于 k， x。 我 们先研究一下 y 等于 x， 然后再去研究 y 等于 r， x， y 等于负 x， y 等于负 x， y 等于负 x， 对 不对？好的，请坐下。那现在我有个问题， 什么叫函数的图像？ 作为一个回忆，大家都知道，图是有点生成的，对不对啊？图是有点生成的， 点生成图啊。 那么函数的图像是怎么生成的呢？它是用什么样的点来生成的呢？ 这个点是怎么来的？这个点是以自变量作为点的，是吧？ 横坐标相应的函数值作为其重坐标，这样我们就得到一个点，对不对？ 那么字一样的取值可以取若干个，对吧？因此这样的点就有若干个，对不对？就若干个，典型的图就是函数的图像了，理解了吧。行，请做一下。那么第一个小问题，请问 函数 y 等于 x 的 图像上的点，它的坐标有什么样的特 征？函数 y 等于 x 的 图像上的点的坐标有什么特征？你可以回到，你要回过它去讲，对不对？ 你就说点的坐标有什么特征，我没有问几何特征， 你看这个点是怎么来的？点的横坐标是质比量重，坐标是它的函数值，你想一想我的我的质比量。取一函数值是几啊？ 取二函数值二自变量。取三三函数值三自变量取一万，函数值一万。请问这条这条 函数图像上的点的坐标有什么特征？坐标特征什么特征不对？说的好啊，横坐标等于纵坐标，对不对？我还没画图呢哈，他说横坐标等于纵坐标， 再根据前一段时间的学习说，如果是说说，说什么样的那个那个点的坐标变换什么什么什么。呃，很坐标等于中坐标呢？是哪个线上的？我都忘了 啊。哪条线上的？这个这个 点的横坐标等于中轴位呢？是哪个角平分线呢？一三相线？一三相线角平分线上的点的横坐标等于什么？中轴位？那现在综合这些信息，你现在做出大胆的猜想 一次啊，这个正比例函数 y 的 x 的 图像是长得什么样的？ 不敢说。过远点的 直线，你还可以说的更具体一点，过远点还过第几项线？一三一三项线对不对？过远点且过一三项线的直线。 你还可以去说的具体一点，其实像这个更加特殊，他就是一山向心的人嘛，对不对？平分一山向，请坐。好了，那么说是说了，具体怎么玩呢？请看黑板 来，小朋友，刚才是先研究点的，那么就刚才研究点，所以呢，我现在取值取负二，负一零一二，左边省略号，右边省略号属于什么？ 说明还有无穷多个数没取啊。四十三，实际上这个之间也是三十号啊，这之间负二和一之间没没数的，还有好多数啊，我没取，对吧？是不是它当中也有好多数？我们先取这个五个典型的，然后算一下 口，算出来，说明我取了几个点， 五个点，五个点的坐标分别说出来，负二，负一，负一，零零零一二二，那么把这个五个点一秒 描出来了，他说一连，这不行，这咋可以连呢？我现在就描五个点呢，你怎么可以连呢？你为什么可以连呢？哦，还有其他的点还没描呢，对吧？那行，那我说还有其他的点没描呢， 哎，其他的点在哪呢？其他的点可以吧？可以，为什么可以复制？ x 有 负 y 等于负四啊，对不对？ x 有 负 y 等于负，这个点还还有好多，对吧，是不是？哎，还有好多，这些点有什么共同特点？ 我不是，我坐标了，我说这些点有什么共同特征，好像在 我们还深深的知道这两个点之间还有若干个点，对不对？是不是？这些点是不是也在这个线上呢？ 你想一想，是不是 x 取二分之五二点几， x 取一点二，五二点多，少一点二，那也就是说在这两点当中还塞满了无数个点，对不对？ 特别是一样的吧，因此你可以做到大胆的猜想， let me。 一 次函数的图像，一次函数 y 等于 x 的 图像是什么样的形？ 好，所以下面我们干了一件事情，把它连起来， 你连起来就说明里面的点全出来了，对不对？懂了吗？请坐下，我们得出第一个重要的发现。 重要的发现是什么呢？是它的图像 四一条过不过远点啊？过啊，零零吧，对不对？过过远点啊，直行 留意哈。那么下面归纳一下我们画函数图像的一般的步骤。第一步，你在干什么？ 干什么？没有啊，往前跑了。不是列了个表吗？对不对？列了个表，第一行是自变量取值对不对？然后算函数值是不是？所以第一个步骤， 画函数 图像的一般步骤，你也干什么？ 列表，列表是目的是为了呈现 x 和 y 的 什么关系，对不对？省略号，省略号，省略号中间取几个对不对？ 列了表了，关系也成仙了。根据这个表就可以得到几个点的坐标，对吧？好，根据这个坐标呢，就可以去描出点了。这第二步是描 点，点描出来了以后呢？还要进一步的分析，这图像就这几个点吗？ 质比量就取了几个值吗？质，质质比量就只能取了几个值吗？不是， 只是你取了几个。其实还有无穷多个是吧？但是无穷多个具有共同的特征，都在这根线上，是吧？所以我们把它连成一条直线，所以第三步连线 沉了，三步倒下了，咱们走了，不玩了。好，小朋友， 下面有一个问题没有回答，来，一起读，减 a 负三点五，负三点五， b 三四是否也在函数外的原来的项上成立？ 你看，你看，他在干什么？他已经把这两个点描好了，对吧？一看一个在上面，一个不在上面，你观察一下他这个判断的方法叫什么方法？ 哎，你看不知道这个点在不在图像上吗？点是否在函数图像上？ 一看看出来了，把。这个方法我们称之为叫 描点法，一般描出来的话对不对？描点法，但是有个前提。描点法有个前提？什么前提啊？他有图像啊， 对不对？小朋友，他有图像，前提他，他没有图啊，他没有图，你描图啊，对不对？他前提他已图像已经有了， 所以描嘛，我精描嘛，对不对？当然描也有缺点，描有近视啊，对不对啊？你放大一万倍发现不在旁边玩是不是？那么还有一个数学上面还有精确的方法， 今天教你一招，你得好好学习，不然不教你的。来，我要教你一招。教这个来啊，你看好了，后面 站起来。傻孩子嘛姐，老铁们， 我这样的哈，横坐标是负三点五，对吧？ 我当 x 等于负三点五十，我用这个函数来算一下函数值，代入 y 等于 x， 我 就得到函数值等于多少。 这个这叫函数值，对不对？这叫众数标，对不对？ 你看啊，同样数字角色不一样哈，又不叫函数的一个重读标，结果这个函数等于重读标，说明什么？ 所以点 a 负三点五，负三点五，再图像，再再 在 y 等于 x 图像上，对不对？图像上，那么下面你说我写 当 x 等于三十，代入 y 等于 x， 得 y 等于三十，跟那个跟那个中注标不行， 不等于中。杰瑞，你站起来，女生女的看老三们的看我就对了，上课。所以点弊不在 直线 y 等于 x 上耶，它的图像就直线吧，那就是直线 y 等于 x 也可以哈，你说一次函数正比的函数 y 等于 x 也行，说一次函数 y 等于 x 也行，但是我说直线 y 等于 x 更加形象。直线吧，好会判断了啊。嗯， 我刚才在判断的时候我看这里了吗？我瞄了瞄了瞄了一眼， 算，所以此方法算一下计算。 那么现在就开始计算法。他是他一般不都是什么第一步干什么？代入谁代啊？ 带水啊。对，韩带自带。自带自力量带还不如韩带是吧。韩注标。那是韩注标啊，韩带 恒代算什么算什么？算重的吗？算函数值，你这要搞清楚。所以上课要听啊，要认真听啊，我这里面都不一样的，恒代算函数值，算成函数值跟谁比？ 哎，函数值与纵坐标去比比比。这有两种结果，一种是等，说明 在在不等，不在不在，你看 等与不等是数的关系，对不对？是数的关系，在与不在是形的关系对不对？你看我通过数来判断形， 有话你的位置关系点在不在线上，我就可以通过等与不等来判断。 数学神奇就在这，看似简单，你能想的到？好的孩子们继续 继续了。 这个也玩过了，来什么也不来。我是看错了，除了这一眼就最简单了，不过来稍微来一次错。 y 等于 r x， r x 负 r x 对 吧。那是例表嘛，对不对？通常取几个点？刚才一个，两个， 两个加数，刚才取几个？五个。那么你要取的时候你先看看自比量的取的范围啊，它的范围可以取一切是吧，但是有时候不一定好，有的函数不一定啊，函数还是可以，对吧。 好的，一切实数。那当然你就随意取喽，你可以取几个代表性的？这个这个这个，还有个你这个，你这个列表的时候你这个取成几个数？还是从表到大排？不是重组方优惠不大吗？是不是？好的，这个也不说来列表了， 都会啊，算你们会了。然后，嗯 哇，现在你看一下。先看什么？刚刚才好像结果都是一样的，他也是一条人啊，也进步圆点对不对？对， 这是不是可以很富于结论？慢慢，难怪现在这也是条直线。进步圆点的直线走走啊， 来开始归纳可以吗？特殊到一般嘛，对不对？哎，来一起读一遍。 正比函数向下相反的，正比函数 y 等于 k， s 变为函数 k 等于零的值向是一条经过原点的直线。 那么至于经过一三相距还是二四相距呢？请听下回分解。我们这里不说。对，我们现在得到正比例函数的图像是一条经过原点的直线对不对？是不是 事实上大家现在已经知道了，你看刚才那个 k s 一 的时候是经过一三项链， k s 二的时候经过二四项链。 好了，下面到这里了，小朋友 刚才是取了几个点画的字形，当你学了初一的时候，你深深的知道 两点就可以确定一条主线了，你看到五个点活活度了三个点，有必要吗？没有必要，所以规范一下正比例函数图像的画法来和他说话。 正比例函数图像他是条直线，因此他的画法只需取几点，所以我们把他的画法称之为叫两 暴力智商了。哈哈哈哈，是干到两点，五点，五点减到两点，这就是说两点确定到直线吗？那你还大惊小怪的智商有 多高？ 好，那下面能不能交流一下取哪两个点比较合适？哎，你看小朋友，他一下子说他取个零点，都过零点嘛？都过零点，零零，再取一个点，你看取哪个 横坐标，取个一纵坐标马上就得到了吗？ k 是 不是好的，但是具体取第二个点拿什么取？还看具体情况来，小朋友，看，这里 三个函数在同一坐标系内，那么我们例表首先就是一个大的表了，你看我这样一根横线， 这个是 x， 省略号，大家都知道这一周期 函数表，这里要取零嘛，这边取一一一，我不写，我等一会你看就知道了。 来，第一个函数 y 等于 o x， 来，小朋友，是不是省略号省略号。第二个函数 y 等于负 x， 一 根横线不够再来 是吧？ y 等于负二分之一 x。 小 朋友，来来来来 来来，来了好了，来，先把第一个说出来，这个求零，这个角零，函数值零，函数值零，现在这个求几 一，这个取一差多少？二二，这个这个 负二，负二分之一。负二分之一是这里的整点吗？不是，横坐标，纵坐标都是整数点，好瞄啊， 对不对？不是整数就不太好瞄了。那你能不能选个整数，瞄一下都多好啊。那你能不能选个整数，瞄一下都多好啊。所以对于本题而言，由于塔 确定了，我选择啊，理解了吧，只有体现了灵活性好，那么算一下结果多少？四，负二负一。 来先我们先画第一条直线，第一条直线上有两个点，第一个点是他，第二个点来 描第二个点，第二个点做不要做出来，看这里二十来描，看到描啊， 你的详色社会主义制度的 u 性。 约好了啊，两个点约好了，哎，好了就就好了，立定慢走， 谁先停留啊。两点好了，我就说这个点在图像上，这个点也在图像上，而且我们知道直线点的这个图像是直线，对不对？那我这个图像啊，我划出来了，过这个两点画一条直线还是线段呢？ 直线，直线，然后我过两点画的直线，不能画线段啊，对不对？像这样的直线，本题应该有几条啊？三条，这是谁的 y， 把它写在边上， y 等于 o， x 会完了吗？来，回到位置上，大家快速完成第二根，第三根， all go ahead， sir call a t o k。 嗯，画的都好啊，画好了，对吧？我们一般在下面继续完成，来往上走，画第三个图 好了。美啊，好漂亮啊，对不对？三根线出来了啊，红绿蓝啊，出来了， 没问题吧？农业坐标心里画出来的，你看好，你自己看。这一根经过一三相线，经过圆，同时这三个直线都经过圆点，这两根都经过二次相线。这两个有没有共同特点？ 它的功能特点就是在式代数式上嘛，就在这函数上面。函数的区别在哪里啊？就在那 k 上面嘛，这两个 k 都是负数，这个 k 是 正数。好，已经透露激烈了来，同学们刚才体会了 正比例函数图像的画法，我们将这个画法也取个名字，哎，这个名字是函数图像的通法，这个叫描点法， 此方法把它定义为描点法。将来你画反比例函数图像，画二次函数图像，均用圆点法。 直线是很特殊的，你画两个点，其他的图像两个点肯定不行了，你想一想对不对？是不是 只有两点确定直线的，那么图像不一定全是直线的，是不是曲线有两点行吗？肯定不行啊，所以我们今天学的是最最简单的函数图像好了两点，而且今天这个点还经过圆点， 特别的特殊。好了，各位同学请看黑板，看这里，这边少。我刚才为什么没有划出来，我还不知道它的图像的形状，现在同学们，你告诉我图像是长什么样子 的？是条直线。哎，现在我来了。 完整的题目呈现了正比例函数 y 等于 k x k 的 一个图像，如图所示，经过点 a， a 读了四一，求正比例函数的表达式。要判断这两点是否在图像上先快速完成。 引词栏上后面记住 前面没粉的那笔没有粉的吗？有没有那笔？有没有，有没有？有！去哪 复古了一次，我看又慢了。般配 写上作业本几啊？作业本三写清楚， 下一次乱写一泡。不认真。我继续把你扔到垃圾桶里去你知道吗？你现在垃圾桶待了一个晚上了， 此时此刻是重生知道吗？哈哈，不要再动腰子。 腰腰子 计算法吗？是在这，在这还行，很带算函数。 对呀，那方法你要记住的，上课记不住要背啊， 很带对 横带进去代表函数表达式，横作为横，竖不要作为质比量值代表函数表达式。算函数值。 再向上再干 啊， 感冒了 别问， 有问题吗？ i want to show you， how to do it？ 我们来看看啊。李子涵同学给这个题目来解读说，如图所示，当 x 等于四十， y 等于一，就是根据这个坐标，我们就知道自变量取四的时候，函数值是一对吧， 然后就带入到函数表达式，说的 k， 这叫待定系数法，我的学的要点对吧？待定系数法，求函数表达式，这个 不仅仅求真比例函数，求一次函数，将来求反比例函数，求二次函数，求什么函数？嘿，常用的方法，待定系数法，当然前提知道这个函数的类型 是吧？你都不知道函数的形是正比的，反比的好，算出来了，然后判断两个点，在这个图像上，我们用的是计算法， 计算法的要点是这样的，别走乱了。有人说，老师我把这个点带入，哪位老师教你？我没教过啊，不是把点带入， 不是把点带入啊，你又不知道点在不在上面，你怎么敢带入呢？在才可以带，对不对？像昨天那个点，像这个点就可以带入，对吧？是不是？那这个点在上面，那当然也可以带入，那这个点不在上面，你敢带什么呢？所以我们怎么带的看我们怎么带的，看怎么带的。 横带，把横注标带入。算，不是算重度标，算的是函数值。函数值算出来怎么样？跟重度标比， 如果等就在，如果不等就不在，学会了吗？林子涵，现在不用再看立体了，对不对？嘿，在这里好了，今天学习的主要内容是，今天揭示了什么正比例函数的图像的 长什么样子，来归到一下，长什么样子，过圆脸的。 那么今天在它的过程当中得出画函数图像的一般方法是三个字，描点法。 这是一般性的函数，所有的函数都可以用描点法来画。描点法三步骤，一列表，二 两点三连线。但是今天的函数图像比较特殊，是条直线，因此他有特殊的方法。正比例函数图像 直线的话，两点法。
44野场春城
01:31查看AI文稿AI文稿这种一次函数图像题，百分之九十的同学都会看错，教你一招满分逻辑，直接秒杀看题。直线 y 等于 k x 加 b 于直线 y 等于 k b x， 它们在同一坐标系中，它的图像大致应该是什么样子的？这题它的方法就是看一次函数，去定 k 和 b 的 取之范围，然后再去算 k b 的 符号，去匹配正比例函数。首先先看 答案， a， 我 们先看他的一次函数，一次函数，从图像上看，他是过一、三项线，过一三项线，那说明 k 应该是大于零。 另外，它与 y 轴交于 y 轴的负半轴，说明 b 应该是小于零，那我们就可以得到，由它可以推出 k 乘 b 应该是小于零。如果 kb 小 于零，那正比例函数应该是过二、四象限。题目里面正好过的是二、四象限，说明 a 选项正确。再看二、 b 错误选项， 还是先去确定一次函数，从一次函数上它过的是二、四象限，说明 k 应该是小于零。再看它与外轴交于外轴的正半轴。 b 大 于零，那可以推出 kb 应该是小于零，那正比例函数就应该是二四象限。再看 c 选项，还是先看一次函数， 它是过一三象限。 k 大 于零，与外轴交于正半轴。 b 大 于零，那可以推出 k 乘 b 应该过一、三象限，而题目里面它的正比例函数过的是二、四象限。四 d 选项 先看一次函数，一次函数的它是过一、三项线，那 k 大 于零。另外，它与外周交于外周的负半周。 b 小 于零，它可以推出 k 乘 b 应该是小于零，那就可以得到正比例函数，它应该是过二、四项线，而题目里面的正比例函数过一三项线，听懂的同学扣六六六。想看更多题型点关注！
04:13查看AI文稿AI文稿这类题的一个做法，今天给大家讲的呢，是我们依次函数里面它图像的位置关系。那么大家在学依次函数的时候，肯定都遇到过这样的题， 他说直线 y 等于 k x 减 k 与直线 y 等于负 k x 在 同一个直角坐标系中的大致图像，可能是，对吧？那也有种另外一种题型是什么呢？它是给你一个已知的图像 带上这个参数，然后给你另一个已知函数，让你去找他的大致图像，对吧？那么我们来说一下这类题该如何去做的问题， 这类题呢稍微要复杂一点点，为什么呢？因为我们要去确定，就说他为什么问两个函数在同一个直角坐标系里面的大致图像可能是什么呢？就说明在同一个直角坐标系里面，他的参数的取值范围肯定是要相同的。那遇到这种的题呢，我们的方法是什么呢？ 是以其中一条直线，或者说以其中一个解析式为准，然后呢，以我们确定的参数的大小去推理我们另一个解析式，它在直角坐标线里面的图像，它是否正确啊？就是这么一个方法。 那么来看一下这道题是一个呢，是直线 y 等于 k x 减 k， 一个呢是 y 等于负 k x， 那 么我们看得出来一个是什么？一个是一次函数，一个是正比函数，那我们肯定是以这个正比函数为准来去判断 k 的 大小，会比较好判断，对吧？因为它的参数也相对比较简单，解析式也比较简单。 那所以我们来看，假设在 a 选项里面，我们以这个正比例函数这个为准，那就是说正比例函数肯定过圆点，所以这条直线它过圆点，所以这个是 y 等于什么？这个是 y 等于负 k， x 这一条就应该是 y 等于 k， s 减 k 啊，到底对与不对？我们要看一下，那它的正比点函数是从左往右是在下降，所以它是增大而减小，或者说我们过了二次项线，它也是 y x 增大减小，那 y x 增大减小看的是什么？看的是我们 整个依次就是 x 前面的系数，记住是系数，所以是负 k 的 位置，但它 y x 那 减小，那就是负 k 小 于零，所以这里得到什么？负 k 应该是小于零呢？所以得到我的 k 大 于零。好，那么就说以我们的这个整数为准， 那么来判断出我的 k 大 于零，然后以这个 k k 大 于零这样的一个 k 的 大小，去判断我的 y 等于 k， x 减 k 的 图像是否跟图 里面一致啊？那么 k 大 于零以后，我们放进去看，那是 y 等于 k， x 减 k， 那 这个 x 的 前面的系数是 k 大 于零，所以应该是过一三项线，对吧？ 然后呢，是看清楚这里的符号是减 k， 对 吧？所以我的 k 大 于零减 k， 那 么负 k 就 应该是小于零，得向下平移，对不对？所以过了一三，然后向下平移，是不是刚好就是这样子过了一三四项线，所以我的 a 选项其实就是对的，对不对？ 然后呢，我们来看一下 b 选项， b 选项它的正比例函数是不是和 a 选项的正比例函数是一样的？所以其分析下来，肯定 k 还是大于零，然后呢，它是向上平移了，那但是我们的负 k 是 小零的，所以向下平移，所以我们的 b 选项自然就错，对吧？然后我们来看一下 c 和 d 选项， 那么 c 和 d 选项呢？它其实正比例函数，这比如说这个是 y 等于负 k， x 啊，那么它是过了一三项线，说明我的 x 前面这个系数是怎么样？ 是不是大于零的，对吧？负 k 是 大于零的啊，这个负 k 肯定是大于零的。推出我们的 k 小 零，那么 k 小 于零以后，我们来看一下这条直线是 y 等于 k， x 减 k， 那 么它是既然我的 k 是 小于零的，它必须得过什么？必须得过二四象限啊。这个 k 我们推出来，比如说这放到这个一次函数里面去，那么他的 k 是 小零的，他必须过二次项线来看一下他是不是都只过了一三二项线，没过这道这个也是一样的，他过了一三，他没有过二四，所以这两个 c 和 d 其实直接都可以判断他是个错误啊。 所以那么这类题就是给大家讲，肯定还会出现一些比这道题更复杂的题型，所以我们就以比较简单那个的图像 为准，然后呢去判断出我们参数的大小，然后再以这个大小去推论我们另一个解析式，它的图像是否正确，就可以判断出我们正确的答案来。那么这就是我们。
36苏老师讲数学
02:34查看AI文稿AI文稿这道题太难了，当时这道题出现在中考当中，咱们不少同学就栽跟头了，不知道怎么做辅助线，不知道从何入手。 如果咱们孩子啊，去做这种一次函数和几何综合的问题，经常没有思路，家长们一定要带着孩子分题型，学方法。老师呢，也给大家把一次函数这里常考的题型都做了一个系统的总结，只有咱们把每一类题目都题型化，固定出来方法步骤，咱们才能预在 题目的时候能够举一反三。下面呢，咱们就来一起看看这道题。这道题啊，说一次函数，它的图像啊，给了你交 x 轴， y 轴与 a、 b 两点解析式给你了，那 a、 b 两点的坐标其实也已知了 a 点，那它对应不就是二分之一零吗？ b 点不就是零负一吗？好了，继续我们来看，说把这个直线啊，绕着点 b， 顺时针旋方向旋转四十五度。现在说问你 b、 c 的 表达式是多少？ 想要知道 b、 c 的 表达式已知一点 b 了，还差一点，我得求出任意在线上一点的坐标。哎， 这个时候用待定系数法才能求出解析式。那怎么求这个坐标呢？你看，这道题入手的关键点就在于这个四十五度，看到四十五度，你想啥？ 对了，看到四十五度，我想构造直角三角形啊，来，继续看这道题，这已经有一个坐标系的直角了，那四十五度这个直角我们该怎么构造啊？ 对了，在这我做一条线，他和 ab 是 垂直的，然后垂直在过去，这出现了什么模型？ 对了，出现了三垂直模型，因为一条线穿了一个垂直，两个垂直，三个垂直，这不就是一线三垂直吗？那左右两边这两个三角形一定是全等的呀？两个三角形全等，对应边角 是不是都是相等的？这一段是二分之一，那这一段是不是也是二分之一？说明点 f 这一点的纵坐标就是 负的二分之一，它在第四象限吗？那横坐标怎么求啊？哎，那我们就求一下这段是多少吧。这段和这段的长度相等，这是一，那这段的长度也得是一，对不对？那这是一，这是二分之一，横坐标不就是二分之三吗？ 所以点 f 正好在这个直线 bc 上，我们想要求 bc 的 解析式，带入 b 点和 f 点两点带定系数法就可以求出来。那求出来 bc 的 解析式就是 y 等于三分之一， x 减一了。
566依依老师da数学
36:28查看AI文稿AI文稿好，前面我们研究了正比例函数的图像与性质，现在咱们来研究一下依次函数的图像与性质。因为正比例函数是特殊的依次函数，所以我们先研究特殊的，再研究这个一般的， 比如说这个例题二里面，它就给了两个函数，其中一个函数 y 等于负三 x， 它对应的是 y 等于 k x 的， 那么秦如这样的函数，我们把它叫做正比例函数，所以它是正比例函数。而这个呢，它对应的是一般式的依次函数，就是 y 等于 k x 加 b， 看到没有，他们这个加一就对应加 b， 所以呢，它是一个依次函数， 并且你会发现它们的 k 值都等于负三。好了，我们现在就是要比较这个正比例函数和依次函数的图像有什么区别。 那么既然要画图像，那你就描点吧，描点你就要画表格。哎，这里给我们画好了，它这里 x 取了五个值，我们分别带入这两个函数里面，把它给算出来就可以了。好，先算第一个， 把负一带到负三 x 里面，变成负三乘负一，负三乘负一等于三，所以这里写三。第二个是负三乘负零点五乘负零点五的话呢，它就会等于一点五， 零乘负三等于零，零点五乘负三，它就等于负一点五。再看下面这个，下面这个是在这个基础之上加上一个一。好，那么我们刚才已经算了负三 x 了，现在只需要加一就可以了，那你就拿三加一， 它就变成了四一点五，加一等于负零点五， 然后负三加一会等于负二，那么这样的话呢，我们就可以得到 y 等于负三， x 会过五个点，哪五个呢？这五个点，我们把这五个点分别写出来，负一三，负零点五、一点五、 零零零点五、负一点五，以及一负三。 第二个函数会过这五个点会过这五个点，我们也直接把它写出来， y 等于负三， x 加上一，它会过，负一四，负零点五，二点五， 零一零负零点五，一负二，他会这过这五个点。呐，这五个点呢，其实你把它全部画全，全部写在这里，你就可以标上去了，我得复制一下， 这个负一点四 在上面，负一四在上面，然后负零点五，二点五在这里，零一在这 零点五，负零点五在这个位置，然后一负二在这个位置。呐，把这五个点都描上去，连起来就是它的函数图像。 再看这个， 负一三在这个位置，负零点五，一点五在这个位置，零零就是圆点在这个位置，零点五，负零，负一点五在这里， 然后一负三在这里。啊，稍微有点啰嗦啊，但是呢，秒点就是这个，就是这样的， 一定要细心。描完之后，那我们就要观察他的图像特征了，对不对？好，他这里探究呢，也帮我们引导了，他说比较上面两个函数图像的相同点和不同点，填写你观察的结果。 那么这两个函数的图像形，图像的形状都是什么？哎，连起来是不是都是一条直线呢？对不对？所以形状都是直线， 并且倾斜程度。什么叫倾斜程度？比如说我们的一个坡度，对吧？你看这个坡陡不陡？那你就看它的夹角，它和水平，地面的夹角越小，它这个坡是不是就越缓啊？ 越缓，那如果这个坡度和地面的夹角越大啊，这个角越大，那么说明这个坡是不是越陡啊，对不对？好，所以它的倾斜程度你可以比较什么呢？你就可以把它当做是这条直线 与 x 轴 x 正半轴的夹角。那你看这条直线和 x 轴正半轴的夹角，一个在这里，另外一条 它的夹角在这里，你会发现这两个夹角是不是一模一样大，所以它的倾斜程度就是一样的。所以我们这里写它这个倾斜程度，你可以看什么作为参考呢？可以看这个直线 与 x 轴正半轴的夹角， x 轴正半轴的夹角， 并准确地说应该是 x 轴上方的直线， x 轴上方的直线 与 x 轴正半轴的夹角，那 x 轴上方的这条直线和 x 轴的夹角看到了吗？那就这个意思，那么这个夹角相等，那我们就说它的倾斜程度是相同的。 这个呢，到了高中啊，咱们会进一步学习。函数 y 等于负三 x， 它这个图像会经过原点，函数 y 等于负三 x 加一，它的图像与 y 轴交于哪个点？你看一下， 与 y 轴的交点是这个是零一，对不对？好，所以它的交点就是零一， 那你发现没有，它这里是不是加了一，那就是零一啊？所以呢，它这个焦点对应的 y 等于 k， x 加 b 啊，当 x 等于零的时候， y 一定会等于 b， 所以 它会横过零 b 这个点啊，过零 b 这个点，也就是说与 y 轴的焦点就是零 b， 知道吧？啊？这是一般式里面的， 即它可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移了一个单位而得到的。你看这条线 整体是不是相当于把这条线向上平移了一个单位，你看它每个地方是不是都是向上平移一个单位？看到没有，它的纵坐标三变成四，一点五变成二点五，零变成一，负一点五变成负零点五， 负三变成负二，所有的重坐标全部加了一，那么这个点所有点是不是就向上平移一个单位？而直线是由无数个点组成的，所以它整体就相当于是向上平移了一个单位，一个单位长度得到的。 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图像有上述关系的道理吗？哎，这个就是比较了，那怎么比较呢？你会发现， 当这个横坐标相同的时候，他的重坐标是不是始终比他大一啊？对不对？我们就可以通过这个看出这条直线就是由这条蓝色的线整体向上平移一个单位得到的啊。 我在这里也写了一下，自变量取值相同的时候，那就这个 x 的 取值相同，也就是横坐标相同的点，这个 y 等于负三， x 加一的函数值总比 y 等于负三 x 的 大一，也就是它的重坐标始终比它大一啊。这里多写了一个总字，把它擦掉， 差一，所以我们就可以把它理解为 y 等于 x 的 图像， y 等于负三， x 的 图像。向上拼一个单位长度就可以得到 y 等于负三， x 加一的图像就可以了。咱们把这段话 写在刚才的那个地方就可以了，我这里剪切过去就放在这个位置， 就在这个位置就可以了。好，最后他说联系上面的结果，考虑依次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像是一个什么样的形状？什么形状？哎，一条直线对不对？什么形状呢？咱们就说一条直线， 它与直线 y 等于 k x 有 什么样的关系啊？上下平移嘛，对不对？好，这里下面就有总结，它是比较一次函数 y 等于 k， x 加 b 与正比例函数 y 等于 k x 的 解析式。我们可以得出 一次函数 y 等于 k x 加 b 的 图像是由直线 y 等于 k x 平移 b 个绝对值的单位长度可以得到的。如果 b 是 大于零的，那么就向上平移， 那就加嘛，对不对？如果 b 小 于零就向下平移，那就在 k x 后面呢，去减嘛，对不对？好，所以依次函数 y 等于 k x 加 b， k 不 等于零的图像也是一条直线，我们称它为直线 y 等于 k x 加 b。 这里同时你也要 补充一点，那你看我们前面画的图像，这个 k 值是不是都等于负？三 k 值相等的时候，也就意味着这两条直线怎么样是可以通过平移得到的。那么既然是可以通过平移得到的，那么这两条直线就平行，这个是一个隐藏的 条件，知道吧？所以以后题目里面出现了谁谁谁哪两个一次函数，它是平行的，你就可以直接说它们的 k 值是相等的，明白吗？好，我在这里写一下依次函数中 非相等的情况下 图像，也就是直线可以通过平移得到，直线可以相互平移，可以平移得到， 那么因为是平移得到的，所以这些线是平行的啊，因为平移，所以呢，可以得到 线与线，直线与直线之间 是平行的， 所以我们可以得到，比如说，例如 y 一 等于 k 一， y 一 等于 k 一， x 加 b， 然后 y 二等于，这个是 b 一 啊， y 二等于 k 二， x 加 b 二，当 k 一 等于 k 二时，那么直线 y 一 就会平行，直线 y 二，当然你也可以反过来当，这里接着后面写， 当 y 一 平行 y 二的时候，我们也可以得到 k 一 等于 k 二啊，这个是可以相互转换利用的好吧？ 好， b t 三。这里叫我们画出这两个函数的图像，这两个函数都是依次函数，对吧？第一个是 y 等于二， x 减一，第二个是 y 等于负零点五， x 加一。 好，那么由于一次函数的图像都是直线，而两点就可以确定一条直线，所以我们只需要描两个点就可以了。 这个例题里面给出来的 x 取值，一个是零，一个是一，我们分别把零和一带入到第一个函数和第二个函数里面去算就可以了啊，你把零带进去，二乘零减一， 对吧？就等于零减一，等于负一，第二个把一带进去，那么就是二乘一减一，二乘一减一，就是二减一，它会等于一啊，所以 y 等于二， x 减一， 就会经过这两个点，第一个点是零负一，第二个点就是一一啊，那么这个例题里面已经把这两个点描进去了啊，一个零负一在这里，一个一一在这里，把这两个点连起来， 就是 y 等于二， x 减一。再看第二个函数，把零带进去，负零点五， x 来加上一，那么它就会等于什么？它就会等于零加一，对吧？等于一，所以它就会过零一这个点， 然后呢，把一带到里面去，那就是负零点五，乘上一，再加一，那就负零点五，加一就会等于零点五，所以这个点它就是一零点五。好了， 我们就把这两个点挂在直角坐标系里面，零一在这一零点五，在这连起来，这条直线就是 y 等于负零点五 x 加一，对吧？当然它也有其他画法，我们可以通过正比例的平移去画 它，这里就是这样说的，它说先画直线， y 等于二 x， 好， 我们现在按照它的思路，我们再画一次， y 等于二 x， 那么同样呢，让它的横坐标分别等于零和一啊。 x 等于零的时候，那么 y 就 等于二乘零等于零，所以它会过的点就是零零，然后等于一的时候， x 等于一的时候， 那么 y 就 等于二乘一等于二，所以它就会过一二这个点。好了，那么现在呢，我们把零零标出来，零零在这里，对吧？然后一二一二，假如说这个是二 一二在这里我们连起来， 好，那么这条直线呢？就是 y 等于二 x， 那 然后呢，它在平移，怎么平移呢？向下平移一个单位，是不是就和这条直线重合了，对不对？好，所以它就这么来的。那么我们画这条直线的话，就先画 y 等于负零点五 x， y 等于负零点五 x， 我 们这里 x 等于零的时候， y 就 等于负零点五，乘上零等于零，所以也会过零零。然后第二个点就是 x 等于一的时候， y 就 等于负零点五，乘上一等于负零点五， 所以它会过一负零点五一负零点五在这里。 然后还有一个是零零在这里，我们把这两条直线连一下，把这两个点连一下，那么这条直线就是 y 等于 负零点五 x， 那 你看，把这条直线向上，整体向上平移一个单位，就会得到 y 等于负零点五， x 加上一，这条直线看到了吗？好，所以它也可以这么去画。好吧，好，这个是例题三， 再看探求，这里叫我们画出函数。 y 等于 x 加一， y 等于负， x 加一， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一的图像，观察这些直线， 总结他们从左向右上升或者是下降的规律，我们先把图像画出来吧。好吧，好，先画 y 等于 x 加一，那么我们画的话，首先要瞄点，那么先求出 x 等于零的时候，这个 y 会等于几？ y 就 等于零加一等于一，所以会过零一，这个点，对吧？好， x 等于一的时候呢， 那么 y 就 会等于一加一等于二，所以会过一二这个点。好，这是这两个点，然后再画这个 y 等于负， x 加一，那这个时候 x 等于零的时候， y 就 等于负零加一，所以也会过等于一， 也会过零一，那 x 等于一的时候，这个 y 就 会等于什么？ y 就 会等于负一加一等于零，所以它会过一零这个点。好， 我们再把它们两条直线画在直角坐标系当中， x y 一 二 负一负二，这里是零二一负二，负一。好，现在就瞄点了，一个是零一， 一个是一二，在这里能把它连起来，这条直线呢？ 这条直线就是 y 等于 x 加一，好，再来画这个零一和一，零在这里。那我画一下这条直线， 就是 y 等于负 x 加一，好了，画出来了。啊，那你观察一下，你看一个 k 等于一，一个 k 等于负一， 这种情况下 k 是 等于一的，而这种情况下 k 是 等于负一的，知道吧？ k 等于一是一个正数， 它就大于零，所以我们可以得到的是，这个是 k 是 大于零的，而这个呢是负数， k 是 小于零的，哎，你会发现 k 大 于零的时候斜向上，对吧？所以是从左向右，它是上升的， 而如果 k 小 于零的话，它就是下降了，从左到右，它这个直线是下降的方向，知道吧？好，这就是总结这个规律。好，我们再来看这个图像， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一一样的， 咱们先把它算出来， y 等于二， x 加一， x 等于零的时候，这个 y 就 等于二乘零加上一就会等于一， x 等于一的时候， y 就 等于二乘一，再加一，它就等于三啊，所以我们发现这里过零一和一三这个两个点。然后再看 y 等于负二， x 加上一，它，当 x 等于零的时候， y 就 等于负二乘零加上一，它就等于一，所以过的也是零一， x 等于一的时候呢， y 就 等于负二乘上一再加一，负二加一等于负一，所以它会过一负一这两个点，那一负一这个点和这个点，再把它画在直角坐标系当中。 x y 这里是零啊， 一二三一二三三二一 负三，负二，负一，负三，负二，负一。好了，那么现在呢，我们来瞄点，这个是零一零一在这里，然后一三一三在这里 连接一下这条直线，就是 y 等于二， x 加一，再看另外一个是，也是零一 x 一 负一，在这个位置，再连接 这条直线是 y 等于负二， x 加上一，发现没有， 上面这个 k 是 等于负二的，这 k 是 小于零的， 所以 k 大 于零，它是从左到右斜向上上升去画的，然后从然后 k 小 于零的话，从左到右，它是不是下降的方向去画的，对不对？好，所以呢，它们的规律我们就找到了， 书上下面就有总结啊，咱们就不直接总结了，直接看就可以了。他说观察前面的一次函数图像，可以发现这个规律，当 k 大 于零的时候，对吧？直线 y 等于 k， x 加 b， 它从左向右是上升的，所以我们画的时候呢， 就这个画法就得斜向上画 好。然后呢，当这个 k 小 于零的时候，这个直线 y 等于 k， x 就 从左向右下降，那么我们画的时候呢，就斜 向下画。 所以一般的一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 都是常数， k 不 等于零，就具有下的下面的这个性质。当 k 大 于零的时候， y 随 x 增大而增大，对应的是斜向上滑。到了高中呢，这个叫什么呢？这个叫单调递增 啊，然后 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小。到了高中，我们会说单调递减， 大家提前知道一下就可以了。好吧，啊，初中我们不会用这两句的，只不过如果你的老师是以前教过高中的，他可能会习惯性的去说单调递增或单调递减，你要知道什么意思？ 大家看练习第一个，直线 y 等于二， x 减三，与 x 轴的交点坐标是多少？首先你要知道在 x 轴上对不对， x 轴上的点，它们的重坐标是不是都等于零呢？对不对？好，重坐标 为零，也就是什么？即 y 等于零，所以我们要算它与 x 轴的交点坐标，我们就写，当 y 等于零的时候， 这个 y 等于二， x 减三，就会变成零等于二， x 减三，所以啊，就变成三等于二 x， 那 么二 x 就 等于三，除以二， x 就 等于二分之三，所以它会过二分之三零这个点， 这个点的坐标就是二分之三零，就是这么了。然后与 y 轴的交点，坐标呢？与 y 轴的交点，它的横坐标为零， 也就是什么呢？也就是 x 等于零，那我们就写，当 x 等于零的时候，这个 y 等于二， x 减三，就会变成 y 等于二乘零减三，就是 y 等于零减三， y 就 等于负三。所以我们可以得到的是什么呢？ 它这个点就是零负三，所以它在与它在 y 轴上的点就是零负三，也就是与 y 轴的交点就 ok 了啊。然后经过哪几个象限呢？那你看一下，你都已经求出来了。 与 x 轴的交点以及与 y 轴的交点，与 x 轴的交点，假如说这个是二，这个是一，那中间这个点就是二分之三零，对吧？然后与 y 轴的交点是零负三， 交换一下位置啊，不然不好画。这个点的坐标是二分之三零，然后你找到零负三，那么这里假如说这个就是负三，这个是负二，这个是负一，那这个点在这里就是零负三， 你把这两个点一连，对吧？好了，那么你就可以通过图像直接看出，怎么啊？他过哪几个象限？第一象限、第二象限，第三象限和第四象限，他是过一三四象限的，对不对？所以他会过第一、 第三以及第四象限。 然后从图像上咱们可以看得出来，它是从左到右斜向上画的，对不对？那这个叫什么法？这个叫什么？这个叫 y 随 x 增大而增大，你也可以直接判断它的 k 是 等于二的， k 大 于零，所以我们可以得到 y 随 x 增大而增大。 再看第二题，分别在同一个平面直角坐标系当中画出一和二当中各函数的图像，就是这个， 这里有三个，这里也有三个。把这三个函数图像挂在同一个直角坐标系当中，并且指出每个小题当中三个函数的图像有什么关系。好，那么由于这个比较多，我就直接去写点了。好吧，好，先看第一个， 第一个是 y 等于 x 减一，那么你让 x 等于零的时候，那么 y 就 等于负一，所以第一个是零负一，如果是等于一的话呢，那么他这个 y 就 会等于一减一等于零，所以是一零。 好，第二个是 y 等于 x， 那 这个比较简单，第一个是零零，对吧？第二个呢，就是一一 好，然后 y 等于 x 加一的话，那么等于零的时候就等于零一，等于一的时候，那就是一二，那你直接带进去算就可以了。然后我们再把它画在直角坐标系当中，放大来画， 因为这里最多是二啊，所以我的横中坐标就画的不超过二，就写到二这里就行了。这里是一，这里是二，这里是二，这里是一，这里是零，这里是负二，这里是负一， 这里是负二，这里是负一。然后把点描上去，零负一，一零零，负一一零，在这里画一下， 这条直线，就是 y 等于 x 减一。好，再看第二个是零零和一一零零在这里，一一在这里画一下 这条直线，就是 y 等于 x， 还有零一和一二零一在这，一二在这， 这里，应该是画高了一点，大概就长这样啊，这个点要粗一点。好，那么这条直线的话呢， 稍微有一点点倾斜啊，实际上这三条线呢，它都是平行的，这是 y 等于 x 加一。好，这三条直线我们就画好了，对吧？它们的图像有什么关系呢？这三条直线互相平行，对吧？好，所以我们就说它们的图像， 再看第二个，第二个，这里是 y 等于负二分之一， x 减一，我们这里也是把它的点先直接算出来，好吧，好， y 等于负二分之一， x 减一，那你如果让 x 等于零的话， y 就 等于负一， 如果让它等于一的话，那就是负二分之一乘上一再减一，那就等于负二分之三，所以这里是一负二分之三。 好，两个点够了，然后 y 等于负， x 减一，那么这里的话呢，如果等于零，他也是负一，如果等于一的话，如果等于一，那就是负一减一，那就等于 负二，然后 y 等于负二， x 减一等于零，那么是负一等于一的时候，那就是负二乘上一再减一，那就等于负三，所以是一负三。好，我们再把这三个函数也挂在同一个直角坐标系当中。 x， y， 好， 这里是一， 这里是零，然后下面呢，就是最多到负三负三，负二， 负一。好，因为他们都经过什么，都经过零负一这个点，那么就把零负一先标起来，然后一负二分之三，一负二分，这里是一负二分之三，大概在这个位置。 好，在，这里好，画一下 这条直线，就是 y 等于负二分之一， x 减一，然后再画第二个，这里是一负二 这个点连接一下， 这条直线就是 y 等于负， x 减一，然后最后还一个就是一负三，一负三，在这个位置， 这条直线就是 y 等于负二， x 减一。 我们把这个都写在一起吧，都放到这里面。好了，你看这三条直线，他是不是都经过什么？都经过零负一这个点，对不对？好，他们都经过零负一这个点，这第一问，第二问啊，分开打，他们的图像 都经过零负一这个点，并且呢，他们都经过二三四象限，对不对啊？都经过 第二、第三和第四象限， 然后呢，最后一个就是它们都是怎么样从左到右斜向下划的，所以我们都说，并且因为它们的 k 都是负数嘛，对不对？所以我们就说，并且 y 随 x 增大而减小， y 随 x 的 增大 而减小。好，那么这个题目咱们就回答完了， 再看第三题。已知一次函数 y 等于四， x 加七，当 x 大 于二的时候，利用函数的性质，将我们求出函数值 y 的 取值范围， 那么你要知道这个是一次函数，它有两种情况，一次函数里面 k 大 于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，而对应的 y 等于 k， x 加 b 当中这个 k 是 等于四的，所以它的 k 是 大于零的，对不对？ 所以我们就说 y 随 x 的 增大而增大。 好， y 随 x 增大而增大，所以这个 x 大 于二的时候，那么你把这个二带进去， y 就 会大于它，是二的时候，知道吗？好，这个 x 等于二的时候， 这个 y 就 会等于四乘二加七会等于十五啊，所以这个 x 大 于二的时候，这个 y 就 会大于十五。那你利用性质就这么去做的。那如果你做到这里感觉不太理解，那么我可以直接把这个图画给你看， 你通过图形去理解，可能会更好一点。那因为它这个点，那我们这里画两个点出来，第一个是 x 等于零的时候，这里我是另外一种做法了啊， x 等于零的时候，它的 y 是 等于七的，所以它会过零七这个点，然后 x 等于一的时候， 它的 y 会等于四加七等于十一。好，那这里我简单画一下，这里是零，好吧，这里呢是一。好，这里我就画十一吧。好，这里就是七。 ok， 大 概就画成这样，那么它就过这两个点， 过这两个点，那么他说当 x 等于二的时候，你把二带进去算，它确实是会等于十五的，对不对？ x 等于二的时候， 它的 y 就 会等于十五，所以你在画二的时候，它就会等于十五， 这个点就是二十五。你看它的 x 大 于二的时候，是不是向右往右边走，对不对？那这个图像是不是在这个方向，在这个线上的所有的点，它的 y 坐标是不是都比十五大？看到没有啊？那我这里用黑色的笔，那么大于二的时候，就在这个位置，就是这条直线。 好，那么这个 x 呢？要大于二，就在这部分，那么它的 y 呢？对应就在十五的上面，十五的上面，所以从图像上看， x 大 于二的时候， 它的 y 就 会大于十五。那你直接从图像上去看，再来一遍，哎，这是它的图像， x 大 于二的图像对不对？它对应的 x 轴 横坐标都是大于二的，那么再看这上面所有的点，你对应到在 y 轴上去，它所有点的重坐标是不是都比十五大？所以 x 大 于二的时候， y 大 于十五。当然你如果对性质足够了解，那么你这个图是不用画的，知道吧？
366毕老师细讲数学
02:49查看AI文稿AI文稿八下数学一共就有两大亚洲难点，一个是平行四边形，另外一个大难点就是一次函数了，而且函数这块一定会在我们中考最后一道亚洲大题当中出现，二次，一次和几何结合在一起就有点难度了。 今天这个视频呢，老师带领大家把一次函数指向性质的基础复习清楚，把平移、旋转相应的性质搞透。 那有关于一次函数，这里啊，老师也给大家总结了每年必考的易错真题三十题。如果咱们孩子现在做一次函数的时候，这些图像性质的题目还经常出错，家长们一定要打印出来，帮助孩子逐个题型的落实和掌握。 下面呢，咱们就来一起看一下这道题啊。说一次函数 y n k x 加 b 的 图像向左平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度 所得的图像对应的解析式仍然是 y 的 k s 加 b， 让你求 k 的 值。那这种题目咱们解析其实就是两句口诀儿，叫做上加下减哎，左加右减 哎，上加下减，其实针对谁？针对的是那个长竖向 b， 左加右减针对的是谁？是那个自变量 s。 所以 你在左加右减的时候，必须把 x 关上进 b 去加减哎，比如说加减 m 的 单位长度，平移 m 的 单位长度，看见了吗？下面呢，咱们就按照这个准则去来平移一下这个图像。原来呢，是 y 等于 k， x 再加 b 向左平移两个单位长度，看 哎，把 x 关上，关起，进 b， 左加右减，加上多少？两个单位长度对不对？向上平三个单位长度是不是在 b 的 基础上往上啊，加上三个单位长度，这就是我们对应平移之后的函数解析式了。 把它展开，那不就是 k x 再加二， k 再加 b 加上三个吗？对不对？这是平移之后的新的解析式，它和平移后的这个 y 等于 k， x 加 b， 解析式 仍然是一致的，这是不是平移之后的解析式？所以两个解析式咱们放在一起对应相等就可以了。你看这都是 k、 s， 那 对照相等不就说明这两部分相等吗？这两部分相等，他们就成一条线了吗？解析式不就是一样的吗？ 所以我们就有二 k 加上 b 加上三等于 b， 消灭 b 之后，我们就有二 k 加三等于零， k 的 值直接可以求出来是负的二分之三了。那所以以后遇到这种题，咱们通过两句口诀，上加下减长，竖向左加右减次变量就可以轻松搞定了。
384依依老师da数学
05:09查看AI文稿AI文稿挑战五分钟让你成为初中数学尖子生！今天我们来学习一次函数图像的对称，我是，哈哈，老师善于总结规律，想逆袭找哈哈。哈 喽，小伙伴们，今天我们来一起进阶一次函数图像的对称。关于一次函数的图像对称，很多同学最容易被乱，那关于 x 轴 y 轴圆点对称，到底是 k 变还是我们的 b 变呢？其实不要死背公式，记住一句话，图像对称，那么我们本质什么呢？本质是点的坐标再变。 那如果说你能理解这句话，那我们一次函数的图像对称，对你来说就是手拿把掐了。好，那我们来先看一次函数 y 等于 k s 加 b。 好， 那我们对于一次函数 y 等于 k， s 加 b， 那它关于 x 的 对称我们看一下。那它关于 x 的 对称，那第一个是关于 x 的 对称啊，那关于 x 的 对称我们看一下，那我们点，那我们没有对称之前，我们的点是不是 x y？ 那 关于 x 的 对称呢？我们看，我们看这个图，那关于 x 的 对称，你看 这个点，关于这个点对称，他的 x 值是不变的吧， y 变为相反数吧。那所以说我们点的变化是什么？关于 x 对 称点的变化是不是由 x y 变为什么了？ x 负 y 了吧， 对吧？那所以说我们由原来的 y 等于 k， x 加 b， 就 变为什么了，变为负 y 等于 k， x 加 b 吧，对吧？那我们整理一下，来整理一下这个式子是不是就是 y 等于负 k， x 减 b 吧，那所以说，那就是我们的这个变化规律吧，对吧？那这就是我们一次函数关于 y 轴对称的变化规律。好，那我们接着看关于 y 轴的变化规律，那关于 y 轴对称我们看一下，那关于 y 轴对称，我们点的变化是什么呢？ 我们点原来是什么？原来是 x y 吧？好，那它关于 y 轴对称，关于 y 轴对称之后，我们看一下，我们观察一下。哎，我们看一下这个图像，关于 y 的 对称，我们是 y 的 值不变吧？ x 值负为相反，是吧？那所以说对应的点的变化是不是变为负 x y 了， 对吧？哎，那我们就把原式里面的 x 替换成负 x， 我 们原式是 y 等于 k， x 加 b 吧， 那我们关于 y 轴对称之后，它是由 x 变为负 x 吧，对吧？那我们就把这个里面的替，把这个 x 替换一下呗。那就替换成负 x 吧， 负 x 加 b 吧。哎，那我们整理一下，是不是就变成 y 等于负 k x 加 b 吧，对吧？那所以说这就是我们的什么关于 y 轴对称这个 kb 的 变化规律。 好，那我们来最后来看一个关于圆点对称，那关于圆点对称的话，那我们看，那我们是不是这个原来的原来点是 x y 吧？那关于圆点对称之后，你看 假设我们这里有个点，那对称之后是不是对称到这里来了？那我们是不是 x y 值都刚好负为相反数了，对吧？那就是对称之后，那就变成负 x 负 y 之后负 y 了，那我们本来的原式是 y 等于 k s 加 b 吧，对吧？那我们对称之后，那我们就把它分别替换吧，分别替换的话，那就是负 y 等于 k， 负 x 加 b， 好， 整理一下，那就是 y 等于 k x 减 b 吧，对吧？我们整理一下，那就是 y 等于 k x 减 b 吧，对吧？ 那所以说，那所以说我们，那我，那，所以说我们这个对称之后就是 k x 减 b 吧，对吧？啊？所以说我们这里讲 e， 这里就是有点问题的，应该是 k x 减 b 啊，应该是 k x 减 b 啊，好，那所以说我们来看， 那它对称后的解型式就是 y 等于 k x 减 b 吧，对吧？我们关于 y 的 对称，我们对称后的解型式就是 y 等于负 k x 加 b 吧。好，关于 x 的 对称，我们就是 对称后的解析式，就是 y 等于负 k x 减 b 吧。哎，那这就是我们一禅式图像对称的变化规律。那最后给大家留一个 探讨的题目，那大家求一下 y 等于二 x 加一关于 圆点对称后的解析式啊，大家大家讨论一下这个问题。
46刘哈哈数学
02:20查看AI文稿AI文稿万众期待的巅峰对决即将开始，接下来让我们把目光投向赛道。随着尼克举起发令枪，清脆的比赛枪声突然响起。 然而刚起步，蓝色赛车却突然熄火。不久后，另一辆车紧急换车上场，结果又出了幺蛾子。当尼克看到赛车经过逆行警告标，立刻察觉到不对劲。 朱迪，你有没有发现两位选手好像行驶反方向啊？糟糕，真的跑错路线了！我们赶紧坐上警车，追上去拦住他们。他们车速不快，我们追赶也来不及。我们可以先计算出两车行驶距离，调度空中直升机前去提醒通知。 两辆赛车行驶速度相同，平均每分钟行驶三千米。红色赛车逆向行驶对应的函数解析式和绿色赛车对应的解析式我们已经知道了， 只要我们画出这两个关系是对应的函数图像，直升机就能精准对应时间，快速定位两位选手的位置。可是一次函数的图像究竟该如何绘制呢？ oh！ no！ oh！ no！ bingo！ oh！ no！ 刚才我们成功拦截了逆向赛车，赛场还有四辆备用车正在热身，他们的行驶轨迹对应着四个函数，请大家画出他们的轨迹，判断哪些正向行驶，哪些逆向行驶，找出决定方向的关键因素。 准备好了吗？开始挖掘知识宝藏吧！太棒了！
40墨里知数
04:51查看AI文稿AI文稿好，今天我们来讲一下如何利用牵垂法求依次函数图像围成的有关三角形的面积问题。我们来看一下这道题目。如图，在平面直角坐标系中，点 a 的 坐标是二勾二，点 b 的 坐标是负四勾零，直线 ab 交 y 轴于点 c， 因为求直线 ab 的 解析式和点 c 的 坐标， 那么如果求解析式的话，我们知道咱们这个两点确定一条直线，我们用待定系数法求直线的解析式，这块已经给出了 ab 两点的坐标，那我们只需要把 ab 两点呢，给它带入解析式。 首先第一步设 y 等于 k， x 加 b 啊，然后把这个 ab 两点坐标带入，求出 kb 的 值，这块 k 是 三分之一， b 等于三分之四， 所以这个时候我们的解析式就出来了，应该是三分之一 x 加三分之四。然后我们要求 c 点的坐标的话 啊，因为咱们的 c 点呢，是直线 ab 与 y 轴的交点啊，那也就是说它的横坐标为零的时候，我们令 x 等于零，这个时候 y 呢，等于一个三分之四，所以 c 点坐标呢，就是零到三分之四。接下来我们看一下第二问，在直线 o v 上有一点 p， 使得三角形 b c p 的 面积为四， 求点 p 的 坐标啊，我们遇到这种情况呢，一定要考虑到啊，有可能这个 p 点的话，它不是只有一个需要分类讨论的啊，因为这个直线上面它的这个 p 点呢，它的位置是不固定的。首先我们看一下 a 点的坐标，它是二到二， 那么直线 o v 的 话，应该是 y 等于 x， 那 么这个 p 点呢，它在直线 o v 上，所以我设 p 点的坐标啊，是 m 勾 m， 这个三角形 b p c， 它的三边呢，都不在 x 轴或者 y 轴上 啊，不在坐标轴上，那这种情况该怎么办呢啊？我们可以利用牵垂法进行分割求和， 什么叫做牵垂法呢？牵垂就是竖直方向啊，给它做一个高啊，我现在过 p 点做垂直于 x 轴的一条直线，然后它交直线 a b 于点 q， 这样的话，我们就把三角形 b c p 给它分成了两部分啊，一个是三角形 b p q， 一个是三角形 c p q， 我 们把 q 点坐标写出来， q 点和 p 点的话，它的横坐标相等，因为它是平行于 y 轴的一条直线，所以这个横坐标是 m 啊，因为 q 点它在直线 ab 上，那么它应该是符合直线 ab 的 解析式。咱们直线 ab 的 解析式呢，应该是 三分之一 x 加三分之四，这咱们在第一问就算出来的，那么这块把这个 x 用 m 来代替，也就是三分之一 m 加上三分之四啊，这就是 q 点的坐标。 好，接下来的话，我们来写一下它的面积。这个三角形 b p q 和三角形 c p q， 它们俩其实是一个同底不等高的两个三角形，那么它的这个底边的话，都是这个 p q， 三角形 b p q 的 高呢，就是这一段 啊，然后三角形 c p q 的 高呢，是从 q 点往 y 轴做的垂直啊，然后你可以观察一下啊，这两段加起来，其实就是 b 点到 y 轴的 这个距离，也就是 b 点和 c 点的横坐标的差的绝对值。那么这块的话，其实也就是等于二分之一 p q 啊，乘以 c 点的横坐标减去 b 点的横坐标，所以这块应该就是负四的绝对值。然后我们再来看一下线段 p q 怎么表示， p 点和 q 点的话，他俩的横坐标相等，那么他们之间的距离呢，就是纵坐标的差的绝对值，那么这个时候的话，我们就是把它的面积给它表示出来了， 面积呢等于四，而我们解这个方程得到 m 等于负一或者是五， p 点坐标就是负一到负一或者是五到五， 因为 p 点在咱们的直线 o a 上啊，所以它的横纵坐标相等，那么这就是咱们的牵垂法，这个三角形 b p q 它就等于什么呢？二分之一乘以水平宽，水平宽就是 bc 之间的横坐标的差的绝对值， 乘以这个再乘以铅垂高，铅垂高呢就是 p q 两点之间的距离， 也就是说这个 q 点的坐标减去 p 点的坐标，它的绝对值。好，我们来总结一下这道题目，这道题的关键呢就是铅垂法， 遇到一次函数动点三角形面积，先设出动点的坐标，再用水平宽乘铅垂高除以二啊，可以列方程，然后计算出咱们的要求的坐标。
144初中数学吴老师
05:27查看AI文稿AI文稿最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？
812初中数学林老师
