天津中考几何画板
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05:07查看AI文稿AI文稿好，下面我们来讲几何画板的第十八讲，第十八讲并几何画板制作正多边形 的思路。第一种思路呢，是用迭代 来构建一个窗户， 制作这个十二边形二边形，然后呢，计算计算这个我们要制作的正多边形的 边角度数， 三百六十度啊，去取一边数。好，我们这样得到一个度数，然后呢， 我们换两个点。好，我们把这个点，这是菱形 o 点， a 点， 然后我们选中 o 点，让 a 点抱着 o 点旋转，旋转多少呢？旋转就是我们所计算的这平行角的度数。 好，然后呢，这个点就是我们要找的 b 点， 然后呢我们连接 a b， 这样呢，我们这个正十二边形的一条边 a， b 就 出来了，下面我们使用叠带的方法，我们选中 a， 然后选中变换中的叠带， 让它依次地从 a 到 b。 啊，这样叠带 第二题的好，当然呢，我们也可以在许信中直接填上我们要叠代的次数。 好，这样呢，我们一个正十二变形，行， 这就好了， 这是采用叠带的方法，我们还可以怎么办呢？我们还可以采用深度叠带，我们选择一个点，然后呢，再来描一个点， 我们仍然以 d 点为 o 点， 然后还是选择 o 点，让这个点轮转这个角度，然后跟上 a 连接 a， b。 好， 然后呢，这一次呢，我们采用深度叠的方法， 我们选出 a 点，然后再选出叠代的次数，在变化中按照深度叠代到 b， 这样呢，我们一次性就能够啊制作出正十二点。行，当然我们还可以通过这个 shift 的 加号 来改变因子， b， b 组已被解锁， b 组。
10天人合一
00:13查看AI文稿AI文稿中考数学尺规做图必拿分！几何画板精致，五个高清演示视频，步骤清晰，直观易懂，助力冲刺高分！想要全套原文件，加 v z x w y c j 一 键领取，轻松掌握核心考点！
14阿治
29:26查看AI文稿AI文稿咱们中小学数学教师学几何管的目的啊，是用来解决咱们的教学问题，突破教学重难点，而不是拿来作秀的。 所以上个视频我已经教大家如何制作几何画板了啊，如何制作动画了。那这一节咱们 啊，就来聊一聊如何从解题这一块去进行更深入的研究啊， 所以我制作了这样的啊，这个怎么制作？你们可以看我前面的啊，就可以了啊，我接着说呢，怎么制作 解析这一块配合解析，我再把这个图形啊，再把它拓展一下， 那我们这个线条啊，可以全选图形，点简字再等线型要它细一点， 再点简字，再等点的大小要中等就 ok 了。 至于要研究这两条红线啊， b h 加 g h 的 最值，我们夸张一点，把它放大 好不好？那下面咱们就来研究啊，如何解答这道问题了。 我们这样想，我问老师们，你们看到这个图是否有一个联想，你想到你学过的怎么模型？ 那好多人说，哎，我学过将军云马啊，无不归啊，瓜豆园里那些啊，对不对阿？志元， 一线三等角，什么东西都有十字架模型，那从十字架模型来研究啊，我们显然啊，很容易发现啊， 很容易发现啊，这两个三角形啊， d f a 啊， d f a 和 a e b， 显然它是全等啊，根据已知条件可以证明它全等啊。 那这两个全等以后呢，我们利用全等三角形的 对应角相等，可以很容易证明，这个阿尔法角和下面这个阿尔法角它相等，对不对？ 那很显然，我们看这里啊，这个角假设为 b 的， 显然啊，这个 b 的 角它和这边的 这个 sita 角它是有互余的，因为绿色三角形是直角三角形，所以 sita 和 bita 互余，对不对？ 那这个阿尔法角啊，这个角 b a b a g 也可，或者说啊， b a f， 你 看它和哪个互一样？ 这个角它和阿尔法是内错角啊，内错角，这个和这个锡塔角， 它显然刚才用这个来，这个是它，用，这个是它 全等咯，这个是它和，这个是，它叫 d a e 相等，那这个比特和比特它是互余的啊， 为什么？因为 e a b 绿色的三角形中啊，这个 b 的 它是和这个 c 的 互为的， 那这个是它根据全等三角形对应角相等，它又转化为这个是它，所以这两个角都是是它。那在三角形啊，一 g a 中， 由于 b 打和 c 打误于，所以啊，这个 e 距垂直 a 距啊，那显然 这个 a f 就 垂直啊这个 b 距。所以咱们可以选中 a b 以 a b 为直径啊，构造一个圆，先取中点， 因为你直径所对的圆周角是直角。反过来，呃，九十度的圆周角所对的弦就是圆的直径， 这样我们就发现这个点巨啊，牛掰吧，他应该在半圆上运动， 当然这个点太小，我不方便选，我还是把点设定为大一点，操作起来呢，方便啊，选中点 a 和点 b 和圆周构成啊，这个圆， 所以我们研究，你先看啊，图中十字架模型的这个点距啊，它的轨迹啊，它就是一个圆，那这个红色的圆就是它的轨迹了， 设置虚线，那咱们看是不是大家验证一下，显然啊，它都是对不对， 到这边他也全等了。 ok， 那 现在 咱们想一想，这里面有没有类似将军野马的图形呢？有没有？ 那将军野马数什么钱？核心是要做轴对称来转换，所以咱们猜想应该有 另一方面，从大的策略来看，解决最值问题无非是啊，要转化的数学思想方法，对不对？我们先看 如果从将军银马的竖什么形，往往有啊，做对称轴，然后对折，拿一条线来做对称轴， 那显然咱们讲到这个 cd 啊，显然可以作为对称轴，所以咱们呢， 双击线段 c d 啊，我们说解敌，也顺便说解个换版了啊，选中线段 h g 点变换菜单中的反射变换，那得到的这两条线牛不牛掰？他能不能转换？ 那我们研究的是 b h 加 h g 的 最小值的问题， 那由于对称点的连线是被对称轴垂直平分的， 换一句话来说啊，做轴对称对称轴是对应点连线的垂直平分线啊， 怎么意思啊？如果连接这个锯锯一撇，那点 h， 它就是线段 啊，在线段锯锯一撇的垂直平分线上，所以为什么转换啊？这样来转换就得利用轴对称的性质啊，那么 两条线相等，我把它啊，涂为蓝色的，也就是说在运动的过程中啊，咱们都可以把蓝色的线端啊，进行两条 啊，长度等，它都可以转换。那有些老师就说了，老梁，那如果 h 要动， h 要动，它也可以转换 线段垂直平分线上的任何一个点， h 到线段两端的距离都是相等的，所以啊，理由要充分，对不对？ 所以这两个主动点，一个是 h， 一个是 g 啊，无论是哪个点动，我们都可以证明两条蓝色的线段是相等的， 所以他就可以转换了。那咱不是说嘛，咱们要研究啊，这个把问题转化为将军银马的问题。 那既然 h g 啊，转化为了这个 h g 品，那我们这个就可以啊，进行转化啦，我们顺便把这个转换的过程把它书写一下， 那这个它可以等于转化，转化呢？然后呢，后面咱们肯定利用不等式来放大啊，只要把这个模板搞出来先 啊，这条是蓝色，所以我们的文本也搞成蓝色。那问题是 h g 它应该是和 h g 一 撇相等，要记得修改这个啊， 这个是等量代换就可以转换了。那然后咱们从啊，三角形的啊，任何两边之河啊，大于等于第三边，对不对？ 那显然咱们应该把 b 句啊连起来， 连起来的，利用啊，将军云马数学模型啊，利用那个 三角形模型中任何两边之合，它是大于等于第三边的， 那这个和你点距点 a 角的位置啊，都可以，在任何情况下他都有这个三角形存在的时候啊，任何两边之和 就大于等于第三边，所以这个 b 句啊， h 这里就有一个三啊，三角形了啊，咱们应该把它做出来， 那这个两条线段之合啊，他就可以转化为这里呢？啥呢？ b 句 先到这一步先了，那 b 句他的最小值是多少呢？ 这个 h 也在动啊，比如我再做一个点 h 的 动画按钮啊，选中点 h 点编辑操作类按钮， 那好多同学和数学老师就被这个三个动点，你这个如果严格了，呃，从表面上看呢，它有一二三四个动点， 哎， h 要动起来，乱云飞渡啊，咱们杨从容啊， 怎么办？那我们可以先把 h 这个动点停止啊，来研究， 所以双洞点也好，四个洞点也好，我们先画洞为界，把一个洞点先把它变为不动， 另一个动点在动啊，那两点之间线段最短能不能达到 h 跟上就可以了，所以这个 h， 我 们这个 h 是 烟雾弹啊，烟雾弹啊，对不对？纸老虎啊， 纸老虎，我们主要看这里啊，那问题是， 自从线段 b 距一撇中点 b 是 定点，点距是动点，那咱们要去研究 这条动线段的最小值应该怎么想呢？那我们还要记住一些数学模型啊，或者利用一定的数学方法，把这个 b 距一撇， 他的最小值，最终把他求出来啊。刚才我们说我们总将军人满问题，我们学习得到怎么的？呃，结论 怎么治？学习得到了一个重要的数学方法，就是要做求对称，那对称轴是这个 c d， 那 咱们如果从高观点 来，我为了把这个图形辅助线做出来，那么咱们能不能大胆的又来双击 cd， 我 连 啊，这边直线在地下的部分全部做轴对称啊，当然 e f 不 用 e f 和这个 b， e a f， 我 把正方形的这个大的格局就是正方形有关， 对不对？以及这个半圆通通啊，连原声 o 我 都做走对称变换反射， 牛逼！格拉梅。这里 o 的 对称点 o 一 撇， b 的 对称点 b 一 撇， a 对 a 一 撇， g 就 对 g 一 撇， 对不对？那显然我们再来想一想，我们问题呢，已经转化为研究 b 距离撇的最小值了， 那最小值刚才我们用到的数学模型是构造三角形， 利用三角形啊，任何两边之合大于等于第三边，当等了。就是啊，三点共线就退化成一条线段，就取得最小值了。 那这个定律，它的一个等价的命题是，三角形的任何一边啊，它小于大于第 两边之隔，大于第三边。那任何一边啊，它大于其他两边之差， 比如 a 加 b。 这个很容易想啊， a 加 b 大 于 c， 那我一个等价的命题是不是 a 啊，就大于 c 减 b 啊？不等式的，你把左边的 b 加号移到右边，一向要变号啊， 和解方程差不多，也不等式。问题是，那现在你去构造三角形的时候，你选用哪个三角形呢？ 咱们哦一、观察，牛逼克拉斯， 因为刚才我们说过啊，这个圆的半径，由于轴对称，这个 b o 等于 b， o 一 撇，由于轴对称， bc 等于 b 一 撇 c。 那你要利用这个已知啊，所以我们呢，选重点 o 去一撇，构成辅助线了吧，这条用虚线啊，虚线， 那我们为了找三角形呢，因为三角形才有任何两边之和大于第三边。 一个等价的提法，任何一边啊，它大于其他两边之差， 构成 o 一 撇 o 一 撇 b， 那这条线是不是定长？如果这个也是动点，那就是要继续往下探索了，这时候 咱们又回到哪个三角形呢？所以有几何画板的数学老师们啊，咱们可以选重点 o 一 撇和 b 和 g 一 撇。 看这个绿色的三角形中，那这个 b 去一撇，任何一边大于其他两边之差。 有些老就说，那我两边之家如果得负数呢？得负数他也成立，正数大于一切负数，牛掰呢？相等，那也得相等，差就得多少啊， 恰好相等。但是你如果拿短的减大的，他得负数，负数的不等式也成立，但是我们还要考虑，我们要解决问题啊，所以我们这个不要用小的来减大的， 小的点大。那你等一下，从不等式来看，它是成立的，但是现实中就没有符合那个负数的线段，就来等一下你就没有答案了。所以咱们应该大于其他两边之三，应该用长的 b o 一 撇大减小，大减小你才得正数。如果你小减大娘得正数，不过小减大也得你举绝对值就 ok 了，对不对？ 但是我们何必又来取一个绝对值呢？那我们干脆用大减小啦，你看啊，大减小就我问你，我标有这个的 这条线段，它变了，有些人说，哎，那它是洞啊，洞是洞，圆的半径会变了， 它的半径是一，永远不变，牛逼格拉了吧这个，所以这个放心了，这里搞一些不同的颜色 继续研究。那问题是它这个地方里，它可以写成 啊，这个 b o 一 撇减去呢？这个 o 撇去它到底等于多少？举到最后啊，无非是要去算这个线段的长短出来啊， 看啊，怎么去算 o 一 撇 b， 以及怎么去算这个 o 一 撇。 至于撇，那很简单啊，由于圆的半径之一啊，所以我后面这个根本口算秒杀就是一嘛， 不用去算这个 o 一 撇去了。这个 e 要用正体啊，不是要用斜体，那还有个 b o 一 撇怎么算？哎呀，我们做轴对称的时候， 那这个四边形啊，这个 c c d a 撇 b 也是正方形喽，嘴角 b 撇也得九十度啊。那最后临门一角在直角三角形这边， o 一 撇 b 一 撇 b 中啊，利用所谓的勾股定律，这个呢，颜色我们又要看的舒服一点的黄色， 显然勾是一股，是四，那斜边二四四十六，十六加一等于十七十七的平方根开不完了， 开不完怎么办？就带上一个根号，写上十七， 牛逼克拉斯啦。嗯，所以这个问题的答案，嗯，就是根号十七减一。 所以这道难题，嗯，就是答案应该选哪个答案？选答案 c， 是不是不是答案 d？ 看翻译，答案 d 可以 设置为红色的字号，要统一了，大家都用二十四号字，那这道题最终咱们就解决啦， 这个地方多了这个点， 对吧？啊？ c 撇 c 在 这里， c 撇不用这里，明白了吗？回过头来，那有些老师说，你这样做，那 h 就 不管了， h 怎么不管？ 那你先考虑距啊，它三点共线距到 b b o 一 撇上，这是第一步啦， 第二步，那你这个 h 跟上来就 ok 了嘛，对不对？也就是这个 h 对面也可以说是一种烟雾弹，事实上它这个点 h 呢，它就是这条这个两点之间线段最短，刚才这个距离比 b 和直线 c d 的 焦点就是点 h 一 撇， 随着你要做，就说呢，你这个点要跟上来就可以了， 牛逼格拉梅。当然这些三角形我们要做成呢，这个 隐藏显示的按钮方便呢，到上课的时候，呃，老师们就可以在需要的时候再显示，而且不需要又隐藏了。 那现在有一个疑问啊，如何啊？快速的做出啊，这个对称的地方啊，对称的地方啊，那比如我主动点知啊，这里啊， 可以做得到，可以做得到得为我录一个屏，录一个视频来说这个地方怎么决定这个点好不好？ 最严格来说呢，我应该呢继续讲，但是由于解题这一块到这里的已经基本上完工了， 但是我们如何手动了？那你得到的都不一定啊，手呢，有时候打仗当然也明白他肯定存在。所以这一节先说到这， 感谢大家的支持啊。如果你想学习破解最直难题妙招的，那可以到初中数学院来听我说这样的一些啊专题， 感谢大家的支持，再见。
18初中数学苑
09:51查看AI文稿AI文稿今天我们学习的是几何变换之对称。今天讲平移对称吗？我们再讲一讲对称的处理。对称怎么玩呢？首先你要知道，我们刚才已经讲了，对称它本质上是给了全等 a、 b、 c。 关于 a、 c 对 称到 a、 b 撇 c 对 称的本质上是给了全等，那么全等，但凡看到全等一定要同步信息。 所以但凡看到对称，我要做的第一件事就是同步信息，比如说这有三，这也有三，这个 r 发角，这个 r 发角，这个求线段 x， 它也是 x， 这是对称的第一步，任何时候看到对称，你就要去同步信息，好，这是第一步啊。好，来。第二， b 和 b 撇是关于 a、 c 对 称的， 那么我连接 b、 b 撇对称点的连线是被折痕垂直平分的啊，是被对称成垂直平分的，所以我连对应点就可以得垂直平分，所以我应该连对应点。 b 和 b 撇是对应的，可以得垂直平分。这个对应点还有什么连法呢？我还可以 对称轴上的点，我去连 p b 和 p b 撇，它也都会相等，得到更多的等线等角，所以这就是连对应点，要么直接连得垂直平分，要么对称轴上的点去连对应点，这是对称的第二个操作连对应点。所以呢，以后啊，但凡看到对称两个字， 第一无脑的去同步信息，第二连对应点。好吧，第一无脑同步信息，第二连对应点。好，来，我们来看题感觉一下吧，看题感觉一下，那么同步信息一定要做好。什么？一定要做好标啊，你相等的量，你要把它标出来，好吧，首先要标啊， 他说这是四，这是六，那标一下对边嘛，这也是四嘛，这也是四。好，再来，沿着 a、 c 去折叠，沿着 a、 c 去折叠，那你要知道这个六，你看一，但凡看到折叠两个字，先同步，但凡看到折叠，养成习惯先同步，同步的动作就是标。信息嘛， 就标嘛，这条线段是六啊，那这条线段它也是六，这条线段是四啊，那这条线段它也是四。同时你会发现，这个角得到这个角，这个角贝塔翻折，得到这个角，贝塔同时不要忘了平四，一定要去标对面啊，这个角也是贝塔，对吧？然后呢，还有什么？ 还有他又说 b、 a、 c 等于两倍的角 d、 a、 c， 那 所以这个角是二。 r 法啊，这是 r 法，那这也是 r 法，就是你看，标完了以后，就是这个已知条件已经极度丰富了，标是你开始思考的前提。那么标完了以后呢？那你会发现我首先就看到什么呀？标完以后，那么 这个三角形就和这个三角形相似来，阿尔法角等于阿尔法角，贝塔角等于贝塔角，那么这个相似就可以帮助我们求得谁啊？由三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 d、 c， 我 就可以求得谁啊？ b、 e 就 出来了，它就是 ab 比上一个 a、 d 就 等于 b、 e 比上一个 d、 c， 对 吧？ ab 比 a、 d 就 等于 b、 e 比 d、 c。 好， 那接下来 ab 是 多少？ ab 是 四，比 a、 d 是 六，就等于 b、 e x 比上一个四，所以 x 就 等于多少。六分之十六就等于三分之八，所以 b、 e 就是 我们要求的，所以答案就是三分之八。结束。所以你会发现啊，这道题只要你把这个翻折的条件无脑的给它标全，然后呢，你要求 b、 e， 你 要求的这个线段往三角形里一放，你自己就看出来了，所以翻折同步信息标是多么的重要。 好了，这是我们通过一道题给大家强调一下标的意义来，接下来我们来还是上一道综合一点的题目， 那这个题说啥呢？说这是一个六十度的菱形，六十度的菱形，这都是二，这都是二，然后他把这个三角形翻折，得到这个三角形，哎，把这个三角形翻折，得到这个三角形。 a 落在 e， 刚好是 dc 的 终点，那这两条线都是一了， 对吧？这两条相同，都是一。好了，最后让我们求这个角阿尔法的正切值，那其实也就是求这个角阿尔法的正切值，因为翻折这两个角相等。我们刚才说了，翻折有两件事要干，第一叫同步信息，这里的同步信息，比如说这个六十度，这个六十度，这个阿尔法，这个阿尔法，然后呢， af 和 ef 相等， a、 g 和 g、 e 相等，对吧？这叫同步信息一、同步。二、同步信息完了以后，你会发现有一个最大的问题，现在这个阿尔法角不在什么三角形里，他不在直角三角形里，那这个时候我怎么样才能把这个阿尔法角放进直角三角形？最简单直接的方法就是连 a e， 我 一连 a e， 这就垂直平分，这是中点，这两条线段相等，就得到了直角阿尔法，就进到了直角三角形中，所以一定要连对应点，你看，这就是翻折的基本功。 当你看到了翻折，看到了这样的角度，你想把它放进直角三角形连对应点，那接下来我就是要求嘛，对不对？那我要求，我就比如说我就在这个三角形内，我就是要求这些线段长嘛？要求线段长 有一个很重要的条件，咱得把它用起来，哪个条件就是这个终点，这个终点大家会想到怎么用？结合六十度，你要想好六十度的菱形， 六十度的菱形它本质上是由两个什么三角形拼出来的，两个等边好不好？六十度的菱形，本质上你把 d、 b 一 连，它是两个等边三角形，对不对？好，相当于其实我是给了一个等边三角形的终点，我应该去干什么？ 三线合一嘛，对吧？三线合一嘛，所以我一定是连谁，一定是连 b 一， 连 b 一 就会三线合一，你会发现这个九十度，哎，那对面注意啊，平四一定要注意，不要，对面这个是九十度，那么这个也九十度，这两个角都是九十度， 同时这个是一，这是二，那这条线段就是根号三。好，那么现在我再回顾一下，我们要求什么呢？我要求这个角的正切值，我把它放到这个三角形里看，所以其实我是要求什么呢？其实我是要求 a、 h 和 h、 f 的， 而一旦我现在有了，这是根号三了，那么哪条线段其实已经可以求了？ a e 已经可以求了， a、 e 是 不可以放到这个大三角形中看，这是九十度，这是根号三，这是二，那么 a e 是 根号期， a e 是 根号期，那么 a h 就是 二分之根号期， 所以 ah 有 了，我现在只需要求 hf， 或者我求 af 都可以，那么 hf 和 af 我 可以求谁呢？ af 可以 求，为什么说 af 可以 求？因为 af 翻折得到 afe。 那 我只要设这条线段是 x 等量嘛，你就设嘛这条线段也是 x， 那 么 x 就 可以放进哪个三角形里去求了。因为这全长是二，那么这一段就是二减 x， 那 么这个三角形当中，咱就可以放进哪个三角形里去求 x 了。 就是 rt 三角形 b f e 中，我就可以勾股定截，就是 x 的 平方，就等于二减 x 的 平方，再加根号三的平方，那么 a f 就 出来了，这是硬算的办法。但是这道题其实还有巧算的办法，巧算怎么算呢？你看， 我们求一个求阿尔法的三角函数值，我们说求三角函数值，你可以硬算，也可以怎么样，也可以想办法看一看能不能换角来求，就是换一个更好的角度，去求它更好的位置的角度。 怎么换呢？这里面你观察一下，什么角特别多，直角特别多，这是九十度，这是九十度，这是九十度。这么多的九十度，那么直角多，我就可以看。什么 直角多，我就可以看互余吗？你看，又来了，你看同样的逻辑是不可以用在无数的地方，直角多，我就可以看互余。直角多看互余。怎么看呢？你看这个角是阿尔法，这是九十度，他的余角是贝塔， 对不对？再因为这个是九十度，那么这个角是贝塔，就会导致贝塔的余角是阿尔法，他跟谁互余？放到这个三角形当中， 它和这个角是互余的，所以这个角就是 r 法，这叫换角。我通过导互余，我把这个 r 法就换过来了，我求它的正切值就好了， 而它的正切值是多少，就是二比根号三，所以贪婪它 r 法就等于对边比邻边就等于二比根号三，所以答案就是三分之二倍根号三。结束。首先我给你讲第一种硬算的方法你是一定要会的， 而第二种方法你也不要觉得那么厉害多少。第二种方法最核心的就是你理解了很多底层的逻辑，当你看到很多九十度的时候，三个九十度的时候，你能够从之前学的知识当中迁移过来 很多垂直我就看乎于得等角，你把这个底层逻辑掌握清楚了，他不但可以帮助你解决三角函数，他甚至还可以在这帮助你求三角函数，这就是底层逻辑理解以后的价值， 而不是你背一个什么矩形十字架，几 b 几。你看，通过两道题，马哥都是有一些设计在里面的啊，这道题重点跟你讲什么？就是这道题重点就跟你讲同步， 你翻折叫同步信息，你同步信息，然后你把它标好了，这道题就结束了。这是比较简单基础的翻折问题，但是比较上难度的翻折问题，就需要你主动的去 连对应。通过两道题给你感受一下什么叫同步信息，什么叫连对应，现在对，这就是翻折的基本操作，而翻折是中考最最最最最最常考的几何压轴题，都快没有之一了好吧。而这两个操作是翻折的为二的两个操作，这个不光是做多， 关键是你在意什么，如果你学每个模型的时候，你都是在意它的结论，你做的再多也没有用， 如果你在意的是底层逻辑，你才能很好的去成长。所以千万不要觉得我刷很多题我是不是就能成长？不是这样的，很多小伙伴刷再多题都没有用，因为他在意的东西不对，就是关键你在意什么？ 你在意的东西错了一定是事倍功半。马哥是不是在反复在让你去感受为什么要重底层逻辑，为什么要重推导？为什么不要去在意结论？
494马哥数学直播
33:25查看AI文稿AI文稿今天给大家带来亮亮中考数学的最强助力了，也就是最后五课系列，这五课是亮亮精选今年最新的模拟真题，今天是我们最后五课的第三课了，三角形与四边形。这节课我们依然不讲复杂的模型，只做一件事，帮你把常见几个题的基础考点理清楚，一节课你只要完整的听完了，学透了，你至少能得到十 六分。在中考里面，很多地区喜欢考这种简单的题呢，比方说我们的利益，那首先给出一个三角形 a、 b、 c， 告诉你 d 是 b、 c 的 终点啊，就是 d 呢，它是个终点。那其实我们知道，就是这条红边等于这条红边，两边相等。 好，现在过 d 点，分别向两端做出现 d， 垂直 ab， 而且 d、 f 呢？垂直 a、 c， 好， 当然我告诉你呢，也就是 b 等于 c、 f， 也就是这条蓝边呢，它等于这条蓝边。 那么此时你会发现，在这个直角三角形中有蓝边，有红边，而在我们这个直角三角形中呢，也有蓝边和红边，所以这两个三角形，直角边和斜边呢，对应相等。通过 h、 l， 我 们可以证出这两个三角形全等，对吧？ 全等三角形的，我们的对应角相等，所以角 b 等于角 c。 第一问，我们快速过了，好，接下来告诉你啊，我们刚证出，也就是这个角等于这个角，两角相等，对吧？ 他要告诉你怎么样？角 a 等于角 b， 那 如果角 a 跟这个角相等，那我们知道，也就是这三个绿角，对吧？三角相等，他是个什么？他是个等边三角形了， b、 c 等于六，所以我们知道 b、 d 和 c、 d 呢，都等于三，让我们求什么？求 b 的 长，也就是这个边，对吧？我们刚说你这个角是六十度吧，等边三角形的一个内角六十度吧，所以我们知道这个角一定是三十度， 三十度所对的直角边一定等于整个斜边的一半，所以我们求出来呢，你可以说一点五，也可以说二分之三搞定 一块，还有四十五度的三角板，它的一个顶点 a 呢，与矩形的顶点重合啊，这是一块四十五度的三角板，它的顶点在这里， e 点在这个边上， f 呢，在另外一条边上。啊，现在我告诉你，这个 f 刚好是 c、 d 的 终点哦，你也是个终点，对吧？ 啊，也就是这条线段一定等于这条线段。好，问题来了，现在我告诉你，整个 b、 c 等于十二，就是整个底边的长度呢，它是十二的，我标在这里。好哦，没了，让我们求什么呢？求线段 a、 b 啊，就是求整个长方形的宽，对吧？这该怎么处理呢？其实你要知道这是个什么，这是一个等腰直角三角板，对吧？还有四十五度的，因此我们知道这两条红边相等，这两条红边相等，并且二者呢是个直角。 其实我们知道在整个几何图形里面，或者说在整个平面直角坐标系里面，如果你遇到两边既相等又垂直， 各位，关键你会发觉过，直角顶点已经发射了一条线，过两段往下往下，你分别都做了垂线，对吧？所以通过我们的一线三垂直， 对吧？三垂直模型我们可以推出，也就是这个三角形，它一定全等于，怎么样呢？我们这个三角形好，当我们推出两个三角形全等，那然后呢？我们正确等为了干嘛？为了好玩？不是，我们永远是为了进行边角条件的转换。如果我令这个边是 x， 你和我全等，你是 x， 所以 这个边一定也是 x， 对 吧？好，那然后呢？你是终点，你是 x， 所以 这个边也是 x， 整个线段的长度呢？二 x， 所以 它的对边 ab 也是二 x， 而你和我全等吧，你这个边是二 x， 所对面这个边也是二 x， 你 会发现，喏，相加三 x 等于十二，所以我们可以求出来，每个 x 等于几等于四， x 等于四，那我们要求的 ab 呢？二 x 也就等于几？等于八，搞定。 当然了，并不是每个三角形都那么简单，比方说我们今天的例三啊，它属于一种问题探究，已变式了。好，我们首先来看一下它的前两小问好。首先我给出一个三角形， a， c， b， 啊， a， c， b， 这个三角形，还有另外一个三角形， d， c， e， 对 吧？ 啊？它们都是等边三角形啊，等边三角形，我们就知道，那你这个红边呢，一定等于红边， 你也是个等边三角形，所以我们知道，蓝边呢，它等于蓝边，我们知道，等边三角形，它的一个内角，也就是这个红角呢，等于六十度。 与此同时，我们知道呐，你也是一个等边三角形，对吧？所以你的一个内角，这个角呢，也是六十度，也就是这个红角，它一定等于这个蓝角。而你会发现，这两个角呢，它们重叠了一部分呢，中间重叠了一部分， 所以我们知道，那我们剩下的这两个小角，也就是我们这个黑角，你说他等不等于这个黑角一定相等，对吧？此时你会发现，在这个三角形中有红边、蓝边加角是黑角。 同样，在这个三角形中呢，也有红边、蓝边加角的黑角，所以你会发现左右这两个三角形呢，一定全等，而我们知道全等三角形呢，对应边相等，所以你黄色的 a、 d 和这个黄色的 d、 e 呢，这两边就一定相等了。所以你发现 d 问，我们就直接搞定了。好，我们接下来继续往后， 他告诉你， a、 d 在 同一条线上， a、 d、 e， 哦，他们在同一条线上，让我们求什么呢？求 a、 b 哪个角啊？就是这个角的度数，对吧？哎，你想想， 我们挣全等是为了干嘛？咱们挣全等是为了好玩，不是我们挣全等永远是为了进行边角条件的转换，对吧？你这个三角形跟我这个三角形全等了，所以你会发现，我们这个绿色的角一定和我对应角，这个绿色的角，这两个角一定相等，没有问题吧？ 好，接下来我再标一个角，比方说呢？哎，其实这里面就是找八字模型了。嗯，说白了，其实我们上一题三垂直，这个你考察我们的手拉手模型啊，你会发现，喏，一样的我们这个角，对吧？还等于这个角看到了没有？ 那因此你会发现，我现在把这两个三角形标出来，大家就懂了。你会发现在我们这个三角形中能看到吗？你会发现在这个三角形中有一个红角，有一个绿角。与此同时，你会发现，喏，在这个三角形中 能不能看到，哎，就是我们这个三角形，对吧？放个屁吧， c、 p、 a 也是在这个大三角形中，一样的，有绿角，有红角，是吧？ 那你想想三角形内角和一百八十度吗？我的绿角等于绿角，我的对顶角红角等于红角。有两组内角对应相的，你说我的第三组角，也就是我们这个角，比方说把它标成蓝角行不行？所以你的这个蓝角， 你说他等不等于？我的整个顶角就是这个蓝角。哎，我把它画成一个大大大大的蓝角好不好？他百分百等于这个角吗？那这个角多少度呢？大家不要忘了我是个啥，我是个等边三角形，对吧？等边三角形，他的一个锐角呢？一定是六十度吗？哎， 搞定好，接下来我们看第二问，那现在把这两个等边变成什么啊？就是这个三角形和这个三角形都是等腰直角三角形。哦，你是个等腰直角三角形，也就是我们知道这一条红边呢，一定等于这一条红边。 你也是一个等腰直角三角形，所以我们知道这一条蓝边呢，他也等于这条蓝边啊。正如我们刚才所说，等腰直角三角形，你整个顶角这个角一定是直角吧？ 同样的，那我们这个三角形呢？他也是个等腰直角三角形，所以我们这个角也是个直角，对吧？ 那两角都等于九十度相等嘛？最关键，你这两个等角你还干嘛？你还重叠了一部分呢？重叠了一部分，所以我们知道，那剩下的你这个小角绿角跟我这个小角绿角一定相等。此时你会发现，在我们这个三角形中，有红边，有蓝边加角是个绿角。 同样的，在我们这个三角形中有红边，蓝边加角是个绿角，因此这个三角形跟我们这个三角形一定全等。全等三角形对边相等，所以这个边呢，我把它编成黄边，它一定等于这个 b 等于黄边，对吧？好，接下来我们继续往后。 那现在我告诉你喏， a、 d、 e 怎么样在同一条直线上啊？ a， d， e 啊，它们依然在一条线上。 好，现在我告诉你， c、 m 是 三角形中地边上的高，那干嘛就是过 c 点往下做垂线，也就是这个角呢？它是个直角。好，接下来让我们判断 c， m， a， e， 还有谁？还有 b 之间的数量关系。 c， m 在 哪？ c， m 呢？ 啊，是这条垂线段高，对吧？那 a 这个边在哪？ a 是 整个长边，而我们 b 呢？ b 是 我们这条黄边，对吧？为了方便大家理解，在这里，我用引入未知数的形式，让你们快速找出线段之间数量关系。比方说，那其中这个线段呢？我就令它是 x， 好吧，所以你对应相等的黄边，它也是 x。 好， 接下来呢，我再用这个 c m 把它标成一条绿边，可不可以？ c， m 是 一条绿边。好，你要注意啊，我是一个等腰直角三角形，所以你这个角多少度？这个角百分百四十五度吧， 一个含有四十五度的小小的直角三角形，我又是一个等腰直角三角形，对不对？所以你会发现，我们这个绿边一定也等于你，那我令你等于 y， 可不可以？你是不是也是 y 啊？一样的道理 呐，等腰直角三角形，你可以用三线合一吗？我懒得用啊，对吧？等腰直角三角形，你这个角也等于四十五度， 那所以我这个还有四十五度的直角三角形吗？我也是个小小的等腰直角三角形。你是 y， 所以 我们这个边他也是 y， 对 吧？啊，就这个边也是 y， 那 接下来你会发现挠你的线段 c m 是 什么呢？你这个线段 c m， 我 们是 y 嘛？那 a e 呢？ a 是 整个线段，对吧？它是多少？它是 x 加二 y。 哦，它是 x 加上二 y， 好， 那剩下还有谁？ b， b 是 什么？ b 是 x， 对 吧？啊，你是 x， 那 请问接下来关系出来了没有？你是 y， 我是 x， 我是 x 加二 y， 所以 你会发现整个 a e 的 长度，对吧？你看你是 x 吗？你是 y 吗？我整个线段是 x 加上二 y 吗？ 所以就等于 x， 谁等于他，对吧？等于 b 加上两个 y， y 是 你嘛？ c m 就是 y 了，所以也就是加上二倍的 c m。 搞定。 好，那么接下来看一下我们的四边形，那么首先给出一个菱形， a b c d， a b c d 是 个菱形，我们立马知道菱形有什么性质呢？菱形的四边相等，对吧？菱形的对角线互相垂直平分。好，我们先放一下。啊，那这个对角线呢？交于 o 点，现在我们过 a 点往下做垂线， a e 垂直 bc 过 a 点往下做垂线。垂足是一点。好，当然我们把这个 bc 延长，延长到 f， 有 什么特点？使得 c f 等于 b e 啊，就是使得我们这个红边怎么样呢？等于我们这个红边，对吧？两条红边相等。好，问题来了，第一问让你求证， a e， f d 啊，就是这个四边形是个啥？ 它是个长方形矩形。好，我们先处理第一问，证明方法非常简单啊，我依然用引入未知数的形式好不好？ 比方说我另这个边是 x， 你 这个边自然也是 x， 没有问题吧？好，那然后呢，我再把中间这个边呢？我把它标成 y， 就是 这个蓝边，我把它标成小 y。 好， 那么此时你会发现，那各位同学，我们整个菱形的边长出来了没有？你是一个菱形，对吧？菱形的边长是 x 加 y， 那你想想，你这个边是 x 加 y， 那 我这个边呢？它是不是也是 x 加上 y， 没有问题吧？好，那么此时你会发现，我这个边本身就是平行整个底边的嘛，对吧？所以我和你是不是也是平行的？那大家观察一下， a、 d 是 x 加 y， 而我们整个 e、 f 呢？也是 x 加 y 吧，也就是两条线段既相等又平行，对吧？所以你会发现，我们此时可以推出它是个什么，它一定是个平行四边形， 平行四边形再来个九十度呢，那不就矩形出来了吗？好不好？所以第一个我们就处理了。但你要知道，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的第一小问啊，第一问证出来，你得知道啊，就是这个角，这个角，这个角，对吧？它都等于九十度。好，我们看一下，如果告诉你， b、 f 等于十六，哪个 啊？就整个底边等于十六，对吧？而且 d、 f 等于八啊，就这个边呢，它是八。好，整个底边我就把它清掉了啊，你就不需要 x y 了，整个底边是十六，让我们求什么呢？ 求 c、 d 也是求我们这个边的长，求菱形边长嘛？哎，我们知道啊，因为你是个菱形，对不对？所以我们知道，也就是这条绿边，对吧？菱形边长相等这条绿边呢， 那么它一定等于这条绿边没有问题吧？哎，这两条绿边相等，其实这里面涉及到什么？举个例子，比方说呢，我令你这个边是 x， 可不可以，对吧？你这个绿边是 x， 那因此我们知道你整个底边是十六嘛，所以剩下这个线段是十六，减去 x 吧。而我们知道，哎，我们刚说的菱形边长相等，你这两条波浪绿边，对吧？你是 x， 所以 这个边也是 x， 我 们能想到是吗？所以你看，求 c、 d 长度，不就解方程嘛， 直角三角形的勾股定律，你的平方八的平方加上你的平方，也就是十六，减 x 的 平方等于几呢？等于 x 平方。这个解方程我们就不说了啊，我们最终求出满足条件的 x， 它其实是一个怎么样的一次方程啊？ 平方会被抵消掉，我们求出满足条件的 x 等于十，对吧？我等于十，哎，就是，你这个是十嘛？你这个呢？六嘛？六、八、十是我们常见的直角三角形的三边。哎，搞定 好，来到我们第五题，它其实是一道填空的压轴啊，就在整个平面内给出三点， a、 b、 c， a 点 b 点 c 点。在这里干嘛呢？我告诉你， ab 等于五，哦，就是这一条红边的长度，它等于几呢？ 它的长度等于五。还告诉你， a、 c 等于三，就是我们这条边的长度呢，它是等于三的。紧接着我们以 b、 c 为对角线做一个正方形啊， b、 c 为对角线，哐当做一个大大正方形，对吧？ 好，现在我们连接 a、 d 干嘛呢？让你求这条线 a、 d， 它的最大值等于多少？那当然这个题你用常规方法也可以搞定，对吧？你需要做一些辅助线构造啊啊，来进处理也没问题。但是在这里面， 我索性跟大家讲一个我们的陀螺摩定律行不行？什么叫陀螺摩定律呢？举个例子，就是你给出一个任意的四边形啊，注意，是任意的四边形，什么情况？不知道啊，四条边分别是 a、 b、 c、 d。 其实这个，嗯，结论在我们各大这个怎么样的视频里面我们都发布过啊。好，那现在你把一组对边相乘，也就是 a、 c， 对 吧？ 再加上另一组对边相乘，也就是 b、 d， 那 么它一定大于等于。如果你其中一条对角线的长度是小 m， 我们另外一条对角线的长度呢？我把它标成小 n， 那 么它一定大于等于这两条对角线的乘积也就大于等于 m 乘以 n 的。 那么这个结论呢，我们就把它叫做托勒密定律啊。在这里面呢，你会发现，在一个四边形中，对吧？只要欻欻有对角线涉及到最值，我们往往可以使用托勒密定律。 而我们在使用陀螺仪定你的时候呢，你需要大的引位置数啊，比方说，那你是个正方形对吧？好，我令你这个边呢？我令你是 x， 那 正方形的这个边呢？自然呢也是 x， 对 吧？哎，因为这个角是直角，所以我们知道，那剩下你这条边的长度呢？ 这是个等腰直角三角形，所以你不管用勾股定律，还是用特殊直角三角形，三边比例关系，我们求出整个对角线，也就是 b、 c 的 长度呢，一定是根号二 x。 那 么剩下这条对角线，我用一条黄色的边来表示， 那么此时你会发现，喏，在 a、 b、 d、 c 整个大大大大的四边形中，此时呢，我们使用托勒密定律，比方说呢，你把 e 组对边相乘，对吧？ 五的对边是不是 x， 那 么相乘就是五 x 了，我再加上另外一组对边呢，用三和 x 相乘。哦，三 x 我 一定大于等于两条对角线的乘积。其中一条对角线呢，是根号 x 嘛？哎，就是整个对角线，根号 x 对 吧？ 根号二倍的 x， 再乘以什么呢？剩下一条对角线，也就是 a、 d 的 长度，对不对？哎，我们乘以 a、 d， 好， 你放左边呢，是八 x， 大 约等于根号二倍的 x， 再乘以 a、 d， 我 们左右两边同时除以根号 x， 你 左边除以根号 x 呢？四倍根号，你右边除以根号 x 呢？ a、 d， 对 吧？如果这个形式你看起来觉得不熟悉，嗯啊，那么就 a、 d 小 等于四倍的根号。那我想问一下啊， 一条线段要么比四倍根号小，要么等于四倍根号，那请问它的最大值呢？很明显也就是四倍根号。搞定 好了，看一下我们第六题。首先给出一个平行四边形 a、 b、 c、 d， 那 你立马知道它的对边呀，对角线呀，会有什么样的特点好，整个 a、 d 是 五啊，就上面这个边呢，长度是五的 a、 b 呢？六倍根号，我把它给标出来。好，我们继续往后了。好角 d 是 个锐角哎，你不说我也能看出来，对吧？好， c 垂直， a、 d 于一点就是过 c 点，直接咔嚓往上做垂线，对吧？哎，你这个垂足呢，是 e， f 是 c， d 中点 o 就是 整个 f， 它是一个中点。那其实你立马知道，一个直角三角形斜边上出现一个中点，说白了就是 c、 f 呢，等于 f d， 对 吧？连接斜边中点和直角顶点，它是整个斜边的中线，对吧？也就是它呢， 一定等于整个斜边的一半，也就是三条线段它们都相等。好，现在我告诉你啊，如果角 e、 f b 等于九十度，哪个 e f b 啊？就这个角也是个直角，对吧？啊？你也是个九十度， 那连接 f e 连接 f b 嘛，加角刚好是直角。好，现在让我们求什么？求 c、 e 的 长， 求哪个啊？就是求这个整个平行四边形的高，该怎么处理呢？今天在这我就不再跟大家去拆分我们所谓的几何模型了啊， 有终点，有平行线，我们知道终点加平行，百分百出全能的，我们怎么去构造呢？很明显，你只要把底下的 b c 延长，这个方法我们在视频里面讲过很多次啊，你再把这个怎么样？经过终点的这个也延长，那此时你会发现，比方说这里面我们得到一个屁点，可不可以？ 好，我们可以得到什么结论呢？嗯，你要知道两只线平行，我们的内错角相等，所以你这个角的这个角，对吧？跟我们这个角这两个角一定是相等的。好，再标一下，比方说呢，我们这两个红角也相等，也就是这个红角，对吧？ 一定等于什么呢？一定等于这个红角。是不是？那么此时你会发现，在我们这个三角形中有蓝角，红角加边呢，是一条红边。在这个三角形中一样的有蓝角，红角加边呢，是一条红边，因此我们可以得到，也就是你这个三角形 e、 d、 f， 对 吧？ 一定全等于我们这个三角形，也就是 p、 f， 这个点是 c 点啊，好，把这个 c 点我把它补充起来吧，不然很多同学不知道它在哪，可不可以，也就我们可以得到两个三角形全等。我写一下啊，三角形，我的 d、 e、 f 一定全等于三角形，怎么样呢？ d、 e、 f 全等于。呃， c、 p、 f， 对 吧？好，当我们正出这两个三角形全等，那接下来又能怎么样呢？你会发现你是红边，因此我们可以突出，也就是剩下的这条边呢，它也是一条 红边，也就是这四条红边都相等。那么此时你会发现呢， f 点就是整条线段 e p 的 中点了，这个边等于这个边呢， 而 b f 还垂直它，对吧？所以你看 b f 呢，一定就是整个线段 e p 的 垂直平分线，那垂直平分线上点到线段两端的距离，也就是我们知道，那 b p 呢，一定等于谁？百分百等于你这个 b， 对 吧？ 哎，这两条蓝边呢，一定相等，因为整个 a b 等于六倍根号，因此整条线段 c、 d 呢，也等于六倍根号，也就是每一条红边呢，都等于它的一半 三倍根号，对吧？每条红边都等于它的一半三倍根号。那到这步你会发现，我们所有的辅助线全都处理完毕了，该正的全等正了，该用的终点用了，该用的线段也用了，可是你整个线段 c， 对 吧？啊，就是这个线段的长度还是无法处理，那该怎么办呢？ 在我们在找不到突破口或者不知道怎么办的时候，你永远可以大胆引入未知数。比方说另这个边是 x， 那 因为这个三角形跟它全等，所以我们知道这个边一定也是 x， 对 吧？我们知道整个 a、 d 的 长度是五，因此整个对边 bc 的 长度呢？平行四边形，对边相等，所以你也是五， 那此时你有望整个 b p 的 长度呢？是五加 x， 你 这个蓝边是五加 x， 所以 我们这个蓝边呢，也是五加上 x 啊，就是这个边。那然后怎么办？你想想，这是整个平行四边形的高过 c 点向对边做垂线，你垂直 a d， 你 就一定垂直 bc 了。 所以也就是我们可以得到什么？我们可以得到两个直角三角形，对吧？那它是一个直角三角形， 它也是一个直角三角形，而这两个直角三角形，它们有一条公共的直角边，那么这个公共的直角边，我能不能用勾股定的表示出来？比方说，在这个三角形中，对吧？你这条边的平方呢？ 我用斜边的平方减去你的平方，哦，用五加上 x 的 平方，我减去谁？减去我的平方，它表示的是什么？是这个直角三角形 c 的 平方， 同样在我们这个直角三角形呢，我用斜边六倍根号，对吧？哎，用六倍根号二的平方，我减去直角边，也是减去，怎么样？ x 的 平方，我表示的是什么？那么我表示的是这个直角三角形中，我们整个 c 的 平方， 那大家表示的都是同一条线段的平方，因此二者一定相等。那么最终解方程我们就不再说了啊，求出来符合条件的 x 呢？等于四，当我们知道 x 等于四，那么你发现这个线段等于几？整个线段一定就是九了，对吧？ 那因此在整个大大大大的直角三角形中，斜边是九直角边根号，所以我们要求的整个 c 的 长，它就等于根号下的九的平方减去五的平方吧。 啊，九的平方减去五的平方，所以等于多少呢？等于根号下的八十一减二十五，也就是根号五十六，我们最终化简等于二倍的根号十四。哦，那我们就求出来了，搞定 好，我们来看一下我们今天的利息，也就是正方形的探求了。那首先我们给出一个正方形， a、 b， c、 d， 我 告诉你，边长是三 啊，就是这个正方形呢，它的边长都是三个单位， m、 n 呢，分别是边上的两点。并且告诉你， b， m 等于 c， n 等于一啊，就是你这条线段的长度呢，等于一，而我们这条线段的长度呢，也等于一。 现在连接 c m 和 d n 干嘛呢？让我们求这两条线段的数量关系和位置关系， 其实这个数量关系很好猜，对吧？相等位置关系也很好猜干嘛呢？啊？就是垂直的吗？可是怎么正的？其实非常简单，你会发现，比方说我把这个角标做一个直角，看到没有？你会发现，在这个直角三角形中，他一条边是一，一条边是正方形的边长夹角是九十度， 同样这个角也是直角，你会发现，喏，在这个直角三角形中，它的一条直角边是一，另外一条直角边呢？正方形的边长三吧，对吧？你是个一乘以三的直角三角形， 我也是个一乘以三的直角三角形，因此你会发现这个三角形跟我们这个三角形一定全等，那全等三角形就不用说了，所以我们知道，也就是我们的 d n 和 c、 m 的 一定相等，对吧？ d n 它一定等于 c m。 好， 这是我们第一个空。那可是位置关系，该怎么处理呢？好，在这里，比方说我标些角度啊。首先这个角呢，我把它标成一个小小的绿角，可以吗？ 哎，这个尖尖角，我把它标成一个绿角，我把它标成 a r 法，能不能看到？好，紧接着旁边这个角呢，我把它标成红角，这个角，我把它标成什么呢？我把它标成 betta， 可以 看到吧？我们知道整个角是直角嘛，也就是说白了，我们一个 ar 加上一个 betta， 一定能九十度，没有问题吧？嗯，整个是直角。好，接下来我们刚才是不是正出全等了？ 也就是你这个直角三角形，一定全等于我这个直角三角形，对吧？全等三角形对应角相等。你这个尖尖角是 arfa， 所以 我对应了这个三角形，我的尖尖角一定也是 arfa 嘛。我们刚才说了呐， arfa 加贝塔，九十度，就是一个 arfa 加一个贝塔， 它是怎么样的？九十度的？所以在整个直角三角形中能看到没有？比方我把这个点标做什么呢？能看到这个点没有 两条两条线的交点，我把它标作 p 点，就是 p， d c 两锐角互余，所以我们知道它一定是一个直角三角形，对吧？啊，就这个角是个直角，因此 d n 和 c m 呢？它的位置关系啊，就是 d n 呢，它一定是垂直 c m 的。 第一步搞定，那第二步呢？它就是在第一步的图形基础上增加两个钟点，就是 e f， 分 别是 d n 和 c m 的 钟点啊，就是 e 点呢，它是整个 d n 的 钟点，然后把它标上一个中，可不可以 一样的，你这个 f 呢？是 c m 的 终点。好，我也把它标上一个，比方说终点吧，它也是个终点，对吧？好，现在连接这两个终点，让我们求什么？求线短， e f 的 长。这个地的常规方法不用多说啊，你比方构造中位线，对吧？你比方在 c d 上取个终点啊，或者在我们这个 b c 上取个终点呀， 你都可以处理，或者你直接延长 c e， 对 不对？比方说，在这里，我，我在第二个图放个屁吧。 ok， 你 这个 e 点一定是 c p 的 终点，对吧？你是一条线段终点，我也是一条线段终点，所以你整个 e f 一定等于什么呢？一定等于整个 mp 的 一半吧，你就求 mp 就 可以了 啊，你这个是一吗？题目中说的对吧？这主题干说的，所以咱们可以直接使用你延长过来，你可以乘出这个边是一吗？所以这个是二，这个是二。勾股定律二倍根号吗？我是你一半，对吧？所以我们可以直接求出来，一定等于几，一定等于根号。那其实除了常规方法之外，亮这里面我们更想教给你怎么样呢？ 另外一个臭不要脸流氓法，也就是我们建立平面直角坐标系，就是所谓的间隙法，我们再遇到什么正方形呀，长方形呀， 哎，什么直角三角形啊，或者带有特殊角的一些，怎么样呢？三角形，四边形，我们都会用间隙法，因为他告诉你正方形的边长是三，哎，所以我们知道也就是这个边的长度一定是三了，对吧？哎，那 c 点的坐标呢？也就是三零，是不是 当你这个边的长度呢，也是三吧，当然还有 b， m 呢，等于 c， n 都等于 e， 你 这个边是一，你这个边是一。哎呀，那我们知道这个边是二了，所以在这里面你会发现， m 的 坐标可不会表示出来，可以，对吧？ m 的 横坐标是二，纵坐标呢？整个高度是不是三呀？ 好，一样的，那我们知道 n 点坐标呢，也可以表示出来横坐标三，纵坐标一，是不是？哎，我们尽可能去把一些点的坐标表示出来，当然，我们知道 d 点的坐标呢，就这个点是圆点，零零嘛。好，接下来 其实我们所谓的间隙法就是干嘛就是把我们所谓的几何图形问题，把它变成坐标问题。喏，你会发现，根据终点坐标公式， e 点是整个 d、 n 的 终点， 一个端点是零零，一个端点三。一，那根据我们中点坐标公式，把这两个端点的横坐标相加除以二吗？三，加上零除以二呢？所以它的横坐标是二分之三。 纵坐标呢？把两个点纵坐标相加除以二，对吧？一，加上零除以二，所以它等于二分之一。好，这是一点坐标， f 是 整个 c、 m 的 中点，所以把两个端点的横坐标相加除以二， 所以我们求出来横坐标二分之五，再把两个纵坐标相加除以二，所以我们求出来呢，也就是二分之三。当我们知道两点坐标，你可以用两点间距离公式嘛？ 或者你说来了，我没有听过你的视频，也没有上过你的内部系统班，对吧？我都不知道。好，那你可以把它放在一个横平竖直的直角三角形中，对不对？应够固定你，你这个点横坐标二分之五，我这个点横坐标二分之三，横坐标相差几个单位？相差一个单位，所以这个是一，对吧？ 那你的纵坐标二分之三，我的纵坐标二分之一，所以纵坐标相差几个单位？ o 也是一个单位，那因此你有犯，他是一个一乘以一的直角三角形，你不管是用勾股定力还是特殊直角三角形，三边比例关系，我们都可以求出来 o e， f 长度呢，根号二搞定。 好，接下来我们看第三问啊，就是延长 c m 到 p 点啊，就把 c m 呢，在我们图形基础上延延，延延比方延到这里，对吧？好，连接 b p 有 什么特点呢？ 我要使得你这个角，也就是 b p c， 你 这个角等于四十五度，对吧？哎，延完之后呢，整个图形就大概长这个样子了，就是我们这个角呢，它是四十五度角，哎，它是特殊的。 好，现在干嘛你延长完毕之后，让我们求 pm， 也就是你往外延长了多少呢？把这个线段把它给求出来。因为四十五度是一个特殊的锐角，所以我们很容易想到过 b 点向对边做垂线，对吧？ 我们把它放在一个哎直角三角形中，这个垂足，我们就把它叫 q 点。那如果你想利用这个等腰直角三角形来进行三边比例关系的求解，你得知道 b q 的 长度，或者说知道 b p 的 长度，对吧？但很明显脑 b q 更好求一些，为什么呢？因为你要知道，那我们整个 b m 那 长度告诉你了，是吧？就是这条边的长度呢，它是等于一的， 与此同时，我们知道整条线段这个边，对吧？正方形的边长等于几？等于三吧。好，那么接下来我想问一下啊，那整条比方说，我们这个蓝边的长度可以求吗？整个蓝边 mc 的 长度可不可以求出来？这是个直角三角形嘛， 一的平方加三的平方再开方，所以我们求出整个蓝边等于根号十。那么接下来一个直角三角形，我们过直角顶点往对边做垂线，求斜边上的高。那其实这个口算方法我讲过很多次，但是在这里面我依然重新讲一遍啊，我们直接用到等面积法， 比方说，你整个直角三角形的面积呢，等于二分之一的，对吧？一乘以三吧，是不是？ 哎，直角三角形面积可以这么表示，而你整个直角三角形面积还可以怎么表示呢？我把 c m 根号十当底边行不行？所以它等于二分之一的根号十，我再乘以什么呢？乘以这个 b q 可以 吗？哎，我再乘以 b q， 所以 你会发现呐，左右两边都有二分之一， 你左边二分之一跟右边二分之一呢，可以约掉，这个是三，所以我们这个相乘也等于三，因此我们可以求出来， b q 的 长度等于多少呢？等于十分之三倍的根号十。 哎，分布有理化的过程我就省略了，你们可以验证一下，这两个相乘呢，的确等于三，也就是我们这条垂线段的长度呢，是十分之三倍的根号十，而他是一个等腰直角三角形，你这条直角边呢，自然就等于我们这一条直角边啦，谁能看出来吗？如果标成一条绿边 啊，就咱们这个短短的绿边呢，它也等于多少？它也等于十分之三倍的根号十。我要求这个 p m， 你 把整个线段 p q 求出来有什么用呢？大家不要忘了，这个边是一， 这个边是三，对吧？刚才在我们这个图形中，我们用勾股定律求出来整个 c m 的 长度是不等于根号十呀？只不过我们用整个蓝边表示的对不对？你想想，我要求 p m， 我 现在已经知道 p q 这个长度了， 那我只要把 c q 求出来，那你整个线的长度是不是就知道了？我再减去 c m， 我 再减去根号十，是不就可以了？所以接下来我只要把 c q 求出来，那请问整个 c q 如何求解呢？喏，在这个大大的直角三角形中， 你知道一条直角边十分之三倍根号十，还知道斜边是三，那我想问一下，用勾股定律，我们可不可以求出这一条 黄边的长度呢？百分百可以，对吧？计算过程我就省略了啊，用勾股定你，所以我们求出来它是十分之九倍的根号十，此时你有犯整个 c p 的 长度等于多少呢？ o 等于用它加上它，对吧？ 那我和你相加，不就是十分之十二倍的根号十了吗？说白等于几，也就等于五分之六倍的 根号十。我们吭呲吭呲把整条线段的长度求出来之后，我如何求这条线段 pm 的 长度呢？很明显，我把整个 c m 也是怎么样的，哎，把我们整个长度根号十减掉就可以了，对吧？所以我们要求的 pm 哦，就是 pm 等于多少呢？用整个线段，用它 五分之六倍的根号十，我减去它，所以我们最终求出来等于多少？等于 五分之根号十，搞定三角形、四边形，中考几何的半壁江山。今天把这关过了，基础分我们就稳拿了一大半。下节课我们讲缘与相似，跟着亮亮无脑学习。
5.3万亮亮巧解数学
14:30查看AI文稿AI文稿当天津中考二十四题考平移时搞定了，考折叠时 啊杀！今天咱们来讲解一下这个让同学们非常头疼的今年要中考也要考的这个折叠问题。 这个也是一个比较难的一道题吧，比较应该计算量比较大，咱们来分析下这道题吧，这是和平二模的二十四题，我觉得难度非常适中，这个折叠，嗯，基本上就是中考难度。好吧，咱们来看一下。 先来读一下题，呃，这个梯形纸片 o， a， c， b， o， a， b， c 放在这个纸片纸平面直角坐标系里，然后点 c 五零，所以说 o， c 等于五，然后 ab 都在第一象限， ab 平行于 o， c， o a 等于 b， c 等于二。 ok， 然后看一下他又说，角 b， o， b， c， o 等于九六十度， 哎，咱是不是很容易得到，这也是六十度啊，对吧？然后咱来看一下他第一问，第一问很简单， a 的 坐标还有 b 的 坐标，那 a 的 坐标对吧？咱往这做个垂线，一根号三解决了，对吧？ b 的 坐标也不难，也往这做垂线，一根号三也解决了，对吧？ 然后 a 呢，就是一根号三， 点 b 呢？点 b 是 五减一是四，四根号三， ok， 这第一问就解决了。然后看第二问，第二问，他就开始折叠了， 他说这个点 p 在 o c 上，然后过点 p 做直线， l 平行于 bc， 然后过点 l 折叠，然后这个点 o 的 对应点是 o 撇，设 o p 等于 t， 这等于 t。 然后我看第一小问，如图二说这个有一个点 q， 然后点 a 的 对应点为 a 撇，然后重叠部分为四边形， 然后相当于点 e， 然后让咱用 t 表示 o 撇 e， 写出 t 的 取值范围。我给大家分析一下，这个 o 撇 e 呢，很明显，它不在一个特别明显的几何图形里，那咱只能用线段的和和叉来解决，对吧？那和肯定不行了，咱用叉吧。 o 撇 p 减去 e p 是 不等于 o 撇 e 啊？这是咱的初步的一个思路，对吧？咱就要用这个 o 撇 p 减去这个 pe， 因为为啥呢？咱一看，哎，这折叠过来肯定全等，这 o 撇 p 不 就等于 o p， 它不就是 t 吗？ 但是 pe 呢？哎，这 pe 在 这个三角形里头，这三角形一看就挺规整，对吧？然后，为啥规整呢？其实是个等边三角形，哎，这是六十度，然后咱前面说了，这有平行，这平行，对吧？那同位角这也是六十度， 然后折叠呢？折叠它不全等吗？这不也是六十度，然后呢，这不也是六十度，所以这是个等边三角形啊。那 p e 不 就等于 p c？ p c 是 啥？ p c 不 就是 o c 减去 o p 不 就五减 t 吗？ p e 不 也是五减 t 吗？哎，那是不是就可以求了，没问题吧？ ok， 咱把过程写一下， 先来说这个 o 撇 p 由折叠之， o 撇 p 等于 o p 等于 t 啊，可以把角也先写一下，角 o p q 等于角 q， p o 撇， ok， 然后， 然后又因为刚说的平行，对吧？ l 平行于 b c， 所以 角 o p q 等于 角 c 等于六十度，没问题吧？所以呢，角 e p c 等于一百八十度，减去二倍的角 o p q 就 等于六十度，对吧？现在咱说了，这是六十度，这是六十度，所以呢，三角形 e p c 是 等边三角形， 所以这个 p e 就 等于 p c 等于 o c 减， o p 等于五减 t， 没问题吧？然后呢， 所以这个，呃， e o 撇就等于 o 撇， p 减 p， e 等于 t 减去五减 t 等于二， t 减五， ok， 这个 e o 撇咱就求完了， 然后呢，他让咱写出 t 的 取值范围，那这个 t 他的条条件是什么呢？就这句话，这中间部分为四边形式， 对吧？咱就来一步一步分析吧，点 p， 从这出发，咱一路分析到这，行吧，正好为咱最后一问打基础。点 p， 刚开始 咱这咱就可以把这个面积大概的给表示出来，对吧？因为咱第三问肯定要用， 也是表示一下这个变化的趋势，好吧，刚开始肯定 t 为零的时候，面积就是零，然后在想这个点 p， 假如说在这移动了一段距离，它充电面积是不是个等边三角形？ 就折过来一个等边三角形，对吧？为啥呢？这是六十度，哎，这也是六十度，因为平行，对吧？那么这不就是等边三角形，那折过来，他也是个等边三角形，对吧？ 然后呢，再折，哎，在这，哎，还是个等边三角形，直到什么时候啊？只要这个点 p 在 这，它折过来，哎，这就是基本上就是最大的那个等边三角形，对不对？这会这个等边三角形边长就是二了， 那这会他刚好是重叠的，就是刚好完全是重叠的，那么这会咱记为一个转折点，好不好？因为你明显的你再往右折，哎，他就要出去了，对吧？他就出去了一部分，就说这是一个转折点， 那么这会呢， t 等于多少呢？在前面说了，这是个等边，这是二，那 o p 就是 二，那 t 就 等于二，对吧？那么在 t 等于二之前，它这个等边三角形是不是慢慢变大？所以说面积的变化趋势，咱也可以表示的就是慢慢的变大， 变达到二，这，对吧？ ok， 咱接着分析，那可以把这个二，这的这个面积求一下，对吧？ 这是二，那这个等边三角形面积四分之根号三 a 方，这个这个同时知道吧？好吧，乘四就是根号三， 好，然后咱接着看 当点 p 越过这个点，越过这个二这个点啊，在这的时候，假如说 再看它是一个怎样的一个图形，是不是大概是这样的，对吧？折过来之后，那你看这会，哎，这重叠部分面积，哎，好像还是个等边三角形，对吧？怎么正呢？这是六十度，这是六十度，平行上来这也是六十度。 边长还是这个 a p， 呃，还是这个 q p， 这 q p 等于什么呢？ q p， 因为平行于这个 bc， 这也平行，那它横等于 bc 吧， bc 不 就是二吗？哎，这面积还是这个等面就边长为二的等边三角形，对吧？ 哎，那咱们再想点 p 在 这的时候再往右移， 再往右移， 哎，那还是二，对吧？那什么时候他不是二，对呢？这会他就刚刚好好背啊，是吧？ 这也是一个临界点，为啥呢？咱明显的咱再往右移，就变成他题目里给的这种情况，那这会他 t 等于多少呢？这会他这个乘以二的等边三角形，他这会 t 等于多少呢？ 咱们肯定得看这个三角形 b p c， 对 吧？这会这个 p o 撇，它是刚好经过点 b 的， 对吧？ 那么这会它的这个 bc 是 二，这是六十度啊，这也是六十度，那这不也是二吗？这会 t 等于三，对吧？那 t 等于三，二到三这段时间，它的面积是不变的，咱刚分析的都是这个等边三角形， 对吧？然后呢，再过了三呢？过了三咱就不用画图了，对吧？过了三就是他题目里给这种情况，那咱来分析一下，这会是四边形，刚三的等于三的时候，它还是一个这个三三角形，等边三角形，这会它是个四边形，那它的面积怎么变呢？ 咱们把不妨把刚刚那个二给编成为二的等边三角形给画出来，是不是这样？这是二，对吧？六十度，六十度没问题啊，那你看，这会，哎，它缺了一块， 那它面积肯定变小了，对吧？然后所以咱要抛弃那个那种想当然就是说这个边数越长，它的面积就越大，是不是有这种说法，肯定这道题就颠覆了，对吧？那么咱再看点 p， 再往这边走，哎，走到这的时候， 走到这的时候，你看，哎，咱还可以用那个方法，这是二补出这个等边三角形，发现他少的面积更大，所以说他越往右，他过了三，越往右，这个面积就越小， 而且这会还是四边形，对吧？那什么时候他不是四边形了？很明显就说点 p， 再点 c， 这的时候他俩重合了，压根就没有重合的这个面积了，对吧？那这会 t 等于多少？ t 就 等于五了，对吧？那 t 等于五的时候， 哎，他又回到这，他面积又变为零了，哎，那咱这图像不就画出来了？具体他什么时候是四边形，咱刚分析了，三，这里取不了，五，这里取不了，对吧？ t 的 面， t 的 范围就有了，这个 t 他 就大于三，小于五，对吧？ 大于三，小于五，这会他又是一个四元系， ok， 这第一问咱就解决了。那第一问如果你像这样分析的话，第二问就特别特别简单， 你看啊，第二个，他让你求当 s 在 这个范围，呃，当 t 在 这个范围里头让你求 s 的 取值分，咱标一下吧。这是，呃，这是一点五，这是四点五，一点五， 四点五， 我用蓝色的标一下，是不是这一段他让你求 s 的 取值范围，那最大值一眼就看出来了，对吧？最大值就是小于等于根号三嘛， 最大也就根号三了，对吧？最小值呢？你会发现这是二啊，这也是二，哎，那这个图形是不是关于这个？ 关于这个 t 等于二分之，呃，这应该是二分之五，是不关于 t 等于二分之五，它是一个一个对称的呀，对不对？是不是一个对称的？ 那咱要是根据对称来看的话，很明显，那就这个点比较低，对不对？这个点低，它对应的 s 的 最小值也就低，那咱就只用求这个点就行了。这个点就是当 t 等于四分之五的时候，哎，对吧？咱可以用这个图来看，这个图好看一点。 t 等于四分之五，那总体是五，这是一，咱们就取这是终点，对吧？现在这个 p 就 在这，大概在这作一下， 一定要画图，通过画图来理解这种题，对吧？然后这会儿充电面积，咱刚说了用这个补全这个等边三角形的方法来思考， 哎，他补全了三角形之后，他的总体的面积就是根号二，根号三，对吧？这个大的等边三角形的面积是根号三，那减去这个小的不就完事？小的是多少呢？知道边长就行了。 这是二分之一，对吧？咱刚说了四点五吗？还差二分之一到五，那你看这是不是平行四边形，哎，这也是二分之一，那总体是二，这不就二分之三吗？然后呢？边长为二分之三的等边三角形， 是不是就这么算一下？最后算完这个东西应该是十六分之九倍根号三，然后用根号三减去这个，那就是十六分之七倍根号三，对吧？这个就是咱的最小值，也就特别简单的就求出来了， 那么如果说你说不确定他到底是不是一个对称的，对吧？ 那么你就可以怎么着？你就可以去再算一下这个，这边的最小值吗？这边是等于二分之三的时候， t， 哎， t 等于二分之三，这是 t 等于二分之三的时候折过来，对吧？然后呢？那这会这个重叠面积，哎，不就是二分之三为边长的一个等边三角形吗？ 四分之根号三乘二分之三的平方，哎，这是不刚算过呀，对不对？就是十六分之九倍根号三嘛，那明显一比是大于这个十六分之七倍根号三的，对不对？ 就是这个，对吧？很严谨的，也很巧妙的，很快速的就把这道题解了，对吧？ 这道题就是非常比较简单的一道折叠，但是很贴近中考，我感觉。
463云天😀
03:33查看AI文稿AI文稿好了老铁们，那么今天我们利用这个视频来给大家讲一讲四十二个模型的第三十六个模型，手拉手相似模型。 那我们之前在讲模型的时候提到过手拉手全等模型，那个里面的线的条件比较多，那么手拉手相似模型，那大家来看一下它会有哪些特点呢？首先我们来看它的条件是啥？在这样的题型中，它会给我们一个条件说三角形 abc 相似于三角形 a、 d、 e。 我 们之前讲到手拉手全等模型的时候，也是会提到相似，但是没有听那个词，但是他必须得是等腰三角形对不对？ 而这个时候他不一定是等腰三角形了，只要两个三角形相似，那么他们对应的角都是相等的，那你会发现这个角就等于这个角， 那么我们同时减去中间的这个角，大家会发现角 r 法就等于角 r 法， 那么又因为它们俩相似，所以说 a、 b 和 a、 c 的 比是等于 a dog 和 a、 e 的 比的，那就相当于我们由列这两个三角形相似，我们就推导出来了三角形 a、 b、 d 也是相似于三角形 a、 c、 e 的， 也是相似于三角形 a、 c、 e 的， 那么这样子的话，大家会发现 b、 d 和 c、 e 不 再像全等里面是相等的了，而它们的比值就等于这个三角形的相似比， 也就是说此时的 b、 d 与 c、 e 的 比值是等于圆三角形的相似比的， 这是第一个，第二个咱们来观察一下 b、 d 和 c、 e 的 夹角，这个我们在讲 手拉手模型全等模型的时候，给人家说过 b、 d 与 c、 e 的 夹角，我们利用是八字模型给大家正出来的，大家想不起来去翻一翻我们前面讲的手拉手模型的 全等模型啊，我给大家写的非常详细，那么这个时候 b、 d 和 c、 e 的 夹角是谁呢？是角 b、 a、 c 或其补角， 因为两条直线的夹角是不可能大于九十度的，如果说 b、 a、 c 大 于了九十度，那我们就取其补角。大家仔细看我画的这个图，我在画的过程中， b、 d、 e 三点是不是有可能是在一条直线上的？ 哎，它如果说有可能在一条直线上的话，孩子们你会发现这个角就是角 a 了，角 b、 a、 c 了，对不对？ 好，那么我们对于这种手拉手相似模型，我们经常会和等腰直角三角形放在一起手拉手，而等腰直角三角形在手拉手全等模型里面，我们经常是让直角顶点 a 是 重合的， 而我们现在学了相似之后，我们就可以让它的四十五度角是重合的，而我们得到的结论和这个是一样的，大家根据我们给大家准备的课后练习去感受一下，需要路过课的随时找我。
28数学陈老师
01:03查看AI文稿AI文稿初中几何怎么学才能更高效？关键是掌握核心解析模型！万维这套几何模型覆盖初中六十个核心模型，从初一的基础图形到初三的动点，最直系统整理，一步到位。每个模型都配三步解析法，先分析题干，再抽离模型， 直接套用结论。还有真题变式练口诀，速记扫码能看视频讲解。像风刃模型、手拉手模型， 你永远考不过从七年级就练几何模型的孩子，因为他清楚地知道，一旦在初中养成建模能力，到了高中数学就能扭开窍就是万维的这套初中数学几何模型。 初中四十八个几何模型全含盖，猪蹄模型、八字模型、手拉手模型、飞鱼模型、动点将军满 无不归模型几何模型是七年级的重难点，也是整个初中学好数学的关键。推荐准备万维的这套初中数学几何模型。初中！
35:32查看AI文稿AI文稿每天拆一个数学技巧，今天拆，今天拆对点法，今天是我们拆数学技巧的第二十七天。好，我们正式开始。关于对点法呢，首先我们要认识到它是解决哪种问题的，对吧？对于题型的识别，它解决哪种问题呢？就是它解决平行四边形的存在性问题。 就有些在大体中他会问你，呃，某个点在，比如说在抛物线上，他问你这个是否存在四个点呢？使得它是平行四边形，就解决这种问题的好大。具体的解决办法就是用对点法，什么叫对点法？顾名思义，你看到没？这就比如说我 a， a， b， n 这三个点固定，然后他让你找一个点，然后呢？使得这，比如说使得这个 m 点，让使得它找一个点，让使得它四个点组成时， 是吧？平行四边形。好，我们通过对点法就能够解决。对点法，具体是怎么样来证明的？看这里，你只要知道他的证明技巧就可以了。看这里， 然后呢？他怎么说呢？他说如果说啊，我假设假设这个四个点，他他能够连起来，使得他是什么平行四边形，我先假设他存在这样的一个事情，好不好？存在，然后呢，我就把四个点坐标给它写出来啊，每个点都是 x， a， m， x， b， x， n， x， n， 啊，四个点假设他存在， 假设他存在以后呢？来，然后呢？这如果说他是一个平行四边形，那么他对角线连接起来，他是不是终点就是这个？呃，这个 o 对 角线的焦点是不是就是这两个对对角线的什么 终点呢？对吧？所以说这个 o 点呢？他就是这 ab 的 什么终点也是什么 m n 的 终点，那我们是不是学了一个什么常用的技巧？就是什么终点坐标公式？那终点坐标公式对于他来讲，他如果说是 ab 的 终点，那么 那，那然后他就应该是什么呢？哦，这个 b 字应该在这里，不知道怎么跑这里来好，然后呢，这个就是 x b 啊，我把它写出来。对，如果说这个 o a， 既然他作为 ab 的 终点，是不是可以列这个等式就是 x 啊？他他这个 x 的 o 点的什么横坐标？ x 零是不是应该等于他俩的横坐标加起来除以二？就是，你看 x a 加 x b 来除以二。好，那是，但是呢，这个 x 零 这 o 点，这个点是不是也作为 m n 的 终点？那是不是也就说这个 x 零是不是还等于 m n 的 横坐标加起来除以二？就 这个意思，明白没有？所以说这个终点呢，它是给，因为它是两条线的终点，哦，所以是可以列这样的两个等式的啊，两个等式。然后呢？ y 零啊， y 零 y 零的话，它作为重坐标，那重坐标是不是对于你，比如说你看这个 o 点是不是也是 ab 的 重坐标？ 呃，这个 o 点它是也是 a b 的 什么终点？那么它的纵坐标是把 a b 的 纵坐标给它加起来， y a y b 加起来，是吗？再再除以二是不是也可以啊？你看就是这样的，然后这个 o 点呢，它的纵坐标是不是也是它的终点？是不是也是这个 m n 点的什么 终点的纵坐标？那也是说把 y m 加 y n 再来除以二，是不是也是什么 o 点的终点？所以说你看 这样的一个式子，所以说这两种方法算出来时上都表示了什么？ x 零，那么 x 零之后呢？然后我是不是就可以列这样的一个等式，把它两个给他，然后连立方程就可以解一些东西？就假设，比方，比方说你看你只只需要求 m， 那 是不是这些都是已知的？那这已知的这两个未知数你是不是可以解啊？ 对不对？然后这个是不是都已知的啊？不对，这个，这个是不是已知的？你只要求 m 就 可以了，说这个式子是不是可以求 x m， 对吧？这个式子可以求什么？ y m， 对 不对？那 x， 那 这个点不就找到了吗？那这点就找到了。所以你看啊，你，你在那，然后他约个分，是不是他和他相等的意思？那就这意思啊，这意思啊，约个分是不是他和他相等 啊？ ok， 好， 所以说我们要通过是这种什么？这种就是只要他是他，既然他存在平行线，那么他只要是平行线，那么他对角线的交点就是这两条对角线的什么终点？那我用， 我用这个终点坐标公式，通过两次算，对吧？通过这个算一下它的横坐标的终点，然后通过这个也算一下它横坐标的终点，而这两个终点是不是应该相等？那就可以列列等式，列等式就可以求助其中一个点 啊，就可以求助其中一个点，好， ok， 然后呢？但是呢，具体这个，这个平时面的旋转问题，它不光是这些哦，它不光是这样子，还有一种多种点的情况啊，多种点的情况，就比如说像这种三点移动，然后我们先解决三点移动的问题，看这里，他说 啊，他说这是牛，然后他说 ab 是 固定的， ab 是 已经定的，他已经知道了，对吧？他已经知道了。然后呢？ n 点他也是已知的啊，这也是定点啊，这都是定点 啊，这个呢也是定点，然后这个也是定点。然后让你在这个平面内啊，在这个平面内找一个 m 点，使得这个什么？使得 a、 a、 n、 b 和这个 m 它 连接起来之后呢？它是一个什么？它是一个平行四边形。那你想问这种有几种？几种？几种可能性就有三种可能性啊？三种可能性，哪三种可能性呢？你看啊，就是他已经知道这三个点，你要在这个平面内找一个点，比如说你找这个点是不是这样连起来，它是不是也可以做成一个平行四边形？然后 我找这个点它是不是也可以是平行四边形？然后我找这个点它是不是也可以是平行四边形？但是我怎么样确定 m n 这大致方向上是有三个点，我怎么样确定的找到这个点，那这就是分别。你看啊，这样子，你是不是这三个？三个点固定，那这三个点是不是有三个边？那就是第一种情况啊？这种情况，这种情况，你就以 a n 为对角线啊，分类就分类啊，就是我现在讲的是分类的技巧，他既然有三种情况，我怎么样对这三种情况进行分类 啊？怎么样进行分类呢？就是以第一种是什么呢？第一种是以什么呢？以这个 a n 为对角线， 你用对角线来进行分类啊？ ok， 你 看啊，我只要以 a n 对 角线，以后这个点是不是固定了？好，这个点键是对角线，那我想对线，我先把它中点给它找到，找到之后呢，我把这个这个 b 点和这个中点连接起来，然后再反向延长同样的个同样的长度，你看是不是就找到了这个点了？ 所以就可以准确的精确的找到这个点。就是你先找以只要以 a n 的 对角线，然后呢再把这个中点和这个 b 点连接起来，然后再反向延长， 法院延长和这个一样的长度，他俩和他相等的长度，那是不是就可以确定 m 点在哪个位置？好，这样是不是就是一个？你看这个这个点就被你找到了吗？对不对？好， ok， 然后呢，这是以第一种呢？是以 a n 为对角线呢？第二种，然后我就以什么 n b 为对角线， 我就不写了啊，然后这样，这样以 n b 为对角线，那以 n b 为对角线的话，你看啊，既然它是对角线，那我找到它的中点，然后把这个反向延长连接第三个点，然后再再再反向延长，反向延长之后， m 这个点是不是就找到了？找到以后你再连起来，它一定是什么？ 它一定是平行四边形，为什么用相对角线相互平分呢？对角线相互平分呢？是不是它就平行四边形？ 所以说这是平行的另外一种正正法啊？好，那第三种情况，我刚刚是不是以什么以，这个是第，第一种是以它为调线，第二种是 n b 为调线，那第三种是不是可以以 ab 为调线？所以说以什么以 ab 为调线？ 好，通过这样的一个分类呢？我就可以把它完整的，这么就是只要它三个点定定了以后，然后我就可以把它三个点都可以找到，就确定三个点之后，你再去找在平面的找，找一个点，使得它是一个什么平行平面。那就有三种情况都可以找到 啊，都可以找到好不好？都可以找到。好。那对于两地两洞的问题又怎么解决呢？就比如说 a、 b 它已经固定了，然后 n 点呢？它又是，比如说这条线上洞，你又能怎么样找到，找到 a、 m 点在哪个范围呢？你就当遇到两地两地、两地两洞的时候，你就把这个两个洞点分别给它射出来， 设出来就能假设其中一个点是固定点，然后去通过同样的方法去搞，对吧？假设其中有个点是固定，假设他虽然说虽然说他没有固定，但你去假设他设出来之后，他就是一个已知的，然后再通过这种对点法，以谁为对角线，这样这样子，然后再去列方程，然后再去通过题目已知条已知条件去解决方程就可以了， 好吧？ ok， 好。 所以说这个平行四边的存在性问题呢？我觉得首先要注意两个点，第一个是用对点法，要去深刻理解对点法来解决，他是平行四边形的本质是什么呢？本质是通过这个对角线相互平分以后，他能够构造平行四边形，就是平行四边形的判定的方法是其中有一个，就是什么 对角线相互平分，他就是平行，所以说我们通过这样一个方法呢，就可以，呃，就这样一个思维就可以找到什么，找到对应的点，使得这四个点是什么平行四边形。好具体的操作实操办法呢？就是通过算两次中点，就是他既然是对角线的中点呢，你是算一下，通过这 a b， 通过 a b 算一下他的中点的横坐标，然后这两个横坐标是表示同一个点的横坐标，这两个点是不是相等的？这个横坐标相等的好，我用同样的操作方式去算一下 y， 然后呢， 这另这两个两种操作方法，他是一样的，一样的就可以解方程，他就可以解方程。好，这是第一个是他解决的思路，第二个是具体的实操办法，第三个就是多种情况 啊，就他多种情况的解决办法，就是以分别以这三个点，那谁为谁，为什么地角线。所以说学好这个对联法，你需要注意三个点呢，就是第一个点是思路，就具体以实操的办法 啊，具体办法啊，具体办法啊。第三个点呢，就是什么啊？多种情况啊， 啊，多种情况，要注意这三个点啊，就要注意这三个点啊，我就不写了，我就不写了。然后， ok， 我 们来通过一个什么具体的啊，立体来让大家，然后看一下我们怎么样通过我们学习的方法呢？去解决问题。看这里啊，看这里，他说什么啊？他说什么？我们来看啊，如图， 他说来着，说这个如图啊，它是一个抛物线，你看这抛物线，我们边读题，我通常讲，我就是听过我这么多天课的同学了，我们要一定要一个什么叫边读题边思考，你不要读了这个就感觉这个没啥，它就是一个，就是一个什么，它就是一个方的解析式， e r e r 方的解析式，二三式的解析式，对吧？ 它就是一个二三四节，你不要这么去理解，你读的时候你看它有什么区别？它和平常的有什么通对？你看它有几个位置数啊？是不是两个位置数？所以说你读到这里的时候，你应该知道它 c 是 已知的， a b 是 一个位置的，也就说你要解这个什么，多半来讲它第一位是不是让你解解解析式，那你要解决这个解析式，你要去想我怎么样通过 解 a 和 b， 那 就有两个未知数，就找什么找两个方程啊，你就能够找两个方程来解决这个事情。所以说你读这个题，你应该心里面要知道，我可能要有两个条件，我才能够把 a、 b 解出来，所以你要去找两个条件， 但你要通过后面的读题，你要去围绕两个条件去找好。然后他说 x 轴相交于 a b 两点， a b 两点，如果说我函数， 我说，我说我把 a、 b 都给它求出来，求出来之后，这个这个 a b 是 a b 两个坐标，是不是就可以解了啊？就可以解了，然后有 c 交一交来这个点，这个点是不是 c 就 可以已知了？因为它是 c， 是 已知的啊。像这个点是不是零和 c 啊？是不是零和负三，所以这里就负三，所以我就编，编的时候我就把它标一下啊，这是负三啊， c 就 负三，因为 c 是 已知的啊。 老师说经过点好， ok， 我 讲来讲我，我通常会给给这个这个学生们讲啊，就是什么什么呢？就是，呃，就是在函数里面啊，在函数里面他有在不光是函数里面，就是就是所有的代入，在你初中阶段，你学的代入有三大必带入 啊，三大必带入，哪三大必带入呢？第一个叫逢解必带入，就说遇到一些方程，他说他是他的解还是什么，只要他说他是他的解，叫什么？逢解必带入， 然后这个是什么？逢根必带入，本质上来讲，解就是根，根就是解，对吧？逢根必带入，这只是说不同的说法，我都要把它点一下，为什么有些时候他说他是他的根，有些同学就不理解了，什么叫根， 什么叫根？根就是解的意思，你把它带进去叫逢根必带入，逢解必带入。还有第三个带入，什么逢点必带入， 就是不管他跟你说的是他这个点的横纵，都告诉你，就给我带进去， 好不好？带进去好， ok， 你 看啊，这是告诉你一个点吧，所以说我们就如果想到什么，就逢点必带入，这是这对于基础差的同学来讲，这个是很有用的 啊，有些基础好的人当然知道过这个点，肯定要带进去啊，这都毋庸置疑。但是基础好的同学他不这么理解，你必须要告诉他三大必带入，逢解、逢根、逢点必带入，他才能够想到这个事情，我想表达这个意思好， ok， 这对于基础弱的同学来讲呢，所以说我们就可以把它干嘛带进去，带进去之后就是就能得到一个方程好。第二个，你看对心轴是什么？ 对心轴是直线，那我想问，对于函数这笔也不是点呢，也不是什么呢？你直接带了一笔肯定带不了啊，你不能说 x 等于一，然后带进去，再慢慢算一下 对不对？然后 x 等于一到 y 等于多少呢？因为得不到一个方程呢，对不对？你得不到一个方程呢？你最多知道 x 等于一啊，带进去嘛，但你知道 y 等于多少吗？就像这个样，你把这个带进去， r 带进去，他知道 y 等于啥？负三 a 吧，至少你是得到一个方程，对不对？ 但是你把这个一带一去的人得分怎么解决不了？但是他是这个一，是随便的一吗？不是啊，他是一个什么？对称轴，你只要稍微学了一下我们的二三数的四大核心，对吧？四点一轴，这两个点，这四个点一轴那个轴，这不对称轴等于多少啊？对称轴是不是等于二分之负 b 啊？ 那他既然跟你说了对称轴，是不是应该想到这个公式嘞？想这公式他是不是就等于啥嘞？就等于一啊？你看这 a b 是 不是就知道，就知道一个 a b 的 一个，这也是一个条件嘛，也是一个方程，对吧？所以说你通过这个把它带进去，得到一个方程，然后通过二 a 分 之啥？负 b 把它带进去，又是一个方程，那就可以写成任意方程组来解这个什么 方程？解方程之后 a b 不 就可以解了吗？我这思路啊，这思路好具体，实招来讲啊。我们先先算一下什么 x 等于什么，因为有一题可说了，这个 x 等于什么呢？二 a 分 之负 b 啊，这个 x 等于什么？呃，二 a 分 之啥？负 b， 然后它就等于啥？一，那我推一下这个啥，这个负 b 是 不是就等于二 a？ 那负 b 点二 a， 那 我就可以解一下 b 等于什么呢？负二 a 为什么要解 b 点负二 a？ 你 就一会就知道了啊。然后呢，你看一下我这个二代入，它是关于 a 的 方程，我尽量削 b， 尽量削 b 以后，这里面是不是就没有没有 b 了？没有 b 了，你看我把 b 给它带进去，那不就没有 b 了？所以说，所以说我知道这个以后呢？ 我知道这个以后呢？我就可以把它反代入函数 y 等于什么呢啊？ a x 的 平方啊，减去二 a x， 为什么呢？因为这个 b 是 不是等于负二 a， 那 我把这个 b 等于负二 a 给它带到这里面去，它是不是就是负二 a x 嘛？ 对不对？负二 x， 然后再减去三。好， ok， 我 就能够把这个什么呢？把这个解析式呢未知数给它简化一点啊，简化一点，然后我再把这个带进去 啊，这个等于是，然后呢？他是不是等于负三 a， 你 看我这个 x 点二的时候，你把当当 x 点二的时候，那就是 a 乘以什么呢？括号二的平方，对吧？再减去二 a 再乘以二，对吧？ x 点二，三减去三，是不是等于负三 a， 那这是不是等于 y 嘛？对， y 就 等于负三 a 啊，到 x 点二的时候，哎，我这个 x 不 就是 x 点二的意思吗？你看这就 x 点二的意思吗？所以我带你是不是得到一个这样的方程？所以说你这样就能理解为什么不是解，不是把它解成 a 等于什么呢？负二分之一 b， 然后把这个带到这里面去，因为带到这里面去，你解不了啊， 你解这是 a 关 a 的 方程，你是不是又有两个方程，又有两个未知数，你是不是解决不了？所以说这是一个对于整个题型的了解啊，整个题型的了解，你把握啊，要带谁，要带谁。好，那我这样子解，你看他是不是就等于啥？四 a， 这个就等于四 a， 然后这个是不是也等于负四？ a， 然后这不是减三等于啥？负三 a， 哎，正好这个是不是就没了？没了之后是不是就这个等于 a？ 是 不是 a 等于加负三，乘以 a 等于负三，那 a 等于啥？是不是等于一啊？两边同时除以负三，除以负三，负三负三是不是等于一，所以 a 就 等于一，所以就能解出啥？ a 等于一，然后 a 就 等于一了。我解出来 a 就 等于一， a 等于一以后，然后呢？这个 b 是 不是等于负二？ a 就 等于一， a 等于一以后，然后 b 就 等于负二啊？所以说 b 就 等于负二， 所以那我反代为这个什么？解析式里面是不是就解析式就知道了？所以我就能得到解析式等于什么呢？ y 等于什么呢？ y 等于 a， 哎，不就 a 等于一了吗？不好意思啊， a 等于一，那我就是啥，直接就是啥。 y 等于 x 的 平方减二， x 减三。好，这解析式我就搞定了啊，这个就搞定。这就很简单啊，就很通过一个什么啊，逢点必带入啊。通过一个，逢点必带入， 然后呢？再通一个什么？四点，一轴为核心就是一轴，然后解方程就可以了，解方程就可以了。好，有些人看到这个了，他有点怕，然后他又不是未知的，他又是未知，但就是不好算。不要怕，你带。好吧，你带了之后再去化简就可以了，没有那么复杂，没那么复杂。好， ok， 好， 我就把这个过程查一下，一会没地方写了啊。好，所以说我就能够解决什么呢？我就能够解决这个什么抛物线的解析式，知道以后来这个点就可以求，这个点也可以求，对吧？ ok， 然后他顶点坐标是也可以求你把，这是不是等于一，这是他是不是等于一啊？他等于一，以后呢？你是不是就是这个这个横坐标就等于一，你把一给他带带进去， 所以也可以解决 m 坐标，所以说白了就是你这个抛物线的解析式，知道以后这上面所有的点是不是都可以求，对吧？都可以求，所以我们不担心啊，所以说这些点都是给求的。 好，来看他第二个问他说什么？他说经过 cm 啊， cm 啊，经过 cm 的 一条直线啊，一条直线，他说两点做一条直线，两点做一条直线， 直线就是可以无限延伸的嘛，这条直线对不对？然后就做做一条直线喽。啊？我这样做一条直线经过什么呢？ cm 两点，是不是确定一条直线？然后他说与 x 轴相交于点 n 啊？与与 x 轴，这是不是 x 轴相交于点 n 啊？这里就是 n 点 啊，这里就是 n 点了。然后他说什么呢？他说在抛物线是否存在这样的在抛物线上，在这抛物线是否存在一个点？ p 啊，使得啊，使得什么呢？你看就来了，使得 p， 使得 p a c n 啊，使得 p a c n， 找到 p a c n， 这是 p 点，是不是在这上面？我先不管啊，然后呢？找到 a， c， n， 你 说这三个点是不是都固定呢？我想问这两个点， 这 n 点是怎么来的？刚刚说了 a 点是不是 c， m 是 不是延长这样子做焦点来的啊？ c 点是不是固定的？ m， n 点是固定的，那么这条直线是不是就固定的？那这条直线固定的话，那这个 n 点是不是就固定的？也就三个定点，一个动点，让你去找那个动点是否存在， 是吧？所以我们就能看啊，找到三个，三个点呢？这三个点固定以后呢？我在这个假设，然后假设，假设这里有个点，然后这样子，然后我这样子假设有个点，然后这样连起来之后， 我只要能够保持他和他平行，他和他平行是不是就是一个平行？四边形画的不太像，但是是不可能会存在这样的事情，对不对？ 好， ok， 所以 说这个点是可能会存在的啊，可能会存在的，那问题是否存在有点 p？ 好， ok， 我 就可以前往把这个 p 点求出来。好，我们再回过头来。刚我们是怎么解决的？就是首先我们通过对点法解决，然后对点法解决，我还最终要做一个什么？多种情况的情况， 对，是不是有多种情况？你三点一定是不是有多种？三定一动是不是有多种情况？所以说我这个题呢，他可能会有多解，我想说可能会有多解，那我们对于三种情况是怎么去分的？你先把先把这三个点固定点给我找到以后， 找到以后分别以三条边为对角线去找。对啊，来假设啊，假设，所以说我就能够找到什么呢？我就先说思路啊，先说思路，首先你因为你已经知道了什么呢？因为你已经知道了这个解析式，那么解析式知道以后呢？这个 a 点坐标是可以算的。 呃，这个 a 点的坐标它是可以算的。那么差呢？重新算啊，重新写一下。好， a 点的坐标你是可以算的， 对不对？你要算算。然后 c 点的坐标是不是已经知道了？ c 点的坐标是不是就是零和负三？那么零等于负三吗？然后呢？这个 m 点的坐标是不是也可以算的？ m 点的坐标横坐标是不是等于一啊？因为它是对你走的顶点嘛，对吧？顶点之后呢？呃，然后呢？他说这是是刚刚已经说过顶点嘛，对吧？顶点之后呢？呃，然后呢？把一带进去，一带进去，一带进去。一等于几了？ 一点九，这不等于啥？一的平方，因为一减减减五，这不得一减五等于负四，所以说他就等于负四。好， a 点的坐标是可以算的，怎么算呢？因为 a 点是不是与这个的交点啊？这交点在 x 轴上， x 轴 上面的点有什么特点呢？是不是 y 都等于零呐？我们讲四点，一轴为核心，这四点里面我是不就讲了怎么去求这个四点是不是直接另外等于零？ ok， 直接念这个等于零，那就是什么呢？这就是 x 的 平方减二， x 减三，是不是等于零？好，这个等于呢？有些同学的话就可以两个办法，如果你不会，有些同学他是实在不会十字相乘，如果你不会十字相乘，那么你就可以直接把你直接按照学校里面学的， a 等于多少， b 等于多少， a 等于一， b 等于负二，然后呢？ c 等于啥？负三？好，直接用公式把得儿塔先求出来， b 平方减 c， a， c， 然后呢？ x 等于什么？二月份是啥？负 b 加减根号，什么得儿塔，这样子就可以把 这个这个焦点给他求出来。这有两个减嘛？一个，一个取负的，一个取正的 a 就 取负的噻，对不对？是这意思好， ok， 这是什么？这是公式法来解决问题，这是兜底的公式好不好？兜底公式，但是接触好一点，同学你可以多想一点 啊，多想想点什么呢？这玩意它是可以十字十字相乘来因式分解的。好，怎么说呢？因式分解来，我就把它它拆成 x 乘以 x， 这个拆成 x 乘以 x， 这个是啥？负三，这就是负二。首先我那个负二，我是可以把三拆成一和三相乘，但是它是负二喽，这是负三的嘛，对不对？ 这是负三，那么这个三乘一的这个负二，然后它加起来又是负数，所以我这个负二放在负一上面，它是不可以的， 不可以遇到。为什么你交叉乘减它等于正二，那不，不能等于负二，所以这样交叉相乘之后，你看这是负三负三， x 加一个，是不是刚好是负二 x， 所以 我这样是不是就可以解决啊？所以说他就把它拆成什么呢？这个拆成 x 乘 x， 这个拆成负三乘 x， 然后我拆了之后，这样以后我就横着写， 从这些以后它就应该等于什么呢？ x 减三来乘以什么呢？ x 加呃， x 加一。哦，不好意思，这个写成什么呢？写成一啊，因为它把三切成它和一样，就 x 加一，这样乘积是不是等于零？这就可以把这个东西呢，给它因式分解，给它因式分解以后呢？ 给他一次分解以后啊，给他们一次分解以后呢？我就可以直接那两个东西乘起来等于零，是不是分别等于零的意思？分别都可以等于零，对吧？这个等于零，哦，就这个是不是等于零？这个等于零，是不是 x 就 等于三的意思？这个等于零，是不是 x 就 等于负一的意思。所以你看那 a 点结尾是啥，不就负一吗？那它 a 点结尾是什么呢？负一点零。 好， ok， 这我就搞定了啊。搞定，呃，好，我就把它过程给它擦掉好，擦掉。 好， ok， 呃，然后呢？这 a， 这这三个点都知道了噻，都知道了后，呃，这不是这个 m 点知道 m 点坐标没？没要求啊，但 m 不知道也要求为什么一定要求 n 点坐标？要求 n 点坐标好， ok， 这三个点坐标知道，然后它是让你求什么？ a c 啊？ a c？ 嗯呐， n 点坐标不知道，但你知道 m 点坐标。 m 点这个怎么来的？不是通过这连接起来得的吗？说怎么去求 n 点坐标呢？你先知道这个，他是坚持这条直线，你是不是可以先求这条直线的解析式？因为两点确定了直线噻，对不对？两点确定了直线，我就可以这两点确定了直线。确定了直线之后呢，我就可以求出这条线的什么 y 等于什么 k x 加 b 好， ok， 这有个小技巧了，就有个小技巧，我怎么样去通通过求 x 加 b， 然后呢两个办法可以把两个点分别叫什么？逢点 b 的 时候刚刚才讲逢点 b 的 这两个点是不是经过经过这个里面？这里我就逢点 b 的 时候是不是解到两个方程？两个方程，然后分别解两个未知数就可以解 好，这是一种方法。第二种技巧，我讲技巧性的就是，首先你是不是要解这个 y 等于 k， x 加 b 吗？哦，直接写 k 等于多少不就行了吗？好， ok， k 等于多少呢？我们有个什么 k 等于什么呢？ 可以等于横叉分成重差。不知道有没有同学记得我之前讲过的，就是今天有个技巧里面啊，常用技巧啊。横叉分成什么呢？重差？ 横叉分成重差什么意思呢？就是横坐标之差和重坐标之差比起来。 ok， 横叉分成重差来。横叉分成重差什么意思？就是这两个点它的横坐标之差来，最后这个时候你就一定要这样，这样竖竖着写，你不要横着写，就比如你不能把 c 点坐标写在这里，然后 m 的 坐标写在这里， 因为你这样算的时候，你算横叉分的重差，你是不好看的，因为我看这个你容易看花眼，在考试上最容易算错，而你就把它竖着写，你看，这样竖着写就高，什么好处？你看啊， c 是 什么？零和负三， 然后呢？ m 点坐标是啥？一和一和负四，对吧？一和负四好， ok， 我 算横叉分的重差的时候，我就可以上下这么看，这个做叉，这个做叉，要么他和他做叉，但谁减谁，你要注意了，那零减负一是算成负一的，零减负一是不是就不好算了？ 对，零零减一。哦，就上上面一个减，下个不是零减菲，就零减一，是不是不好算？零减个是不是等于负一？负数我们更喜欢是不是正数，所以我就把什么一减零，一减零，是不是等于一啊？所以横坐标就等于啥？一 横差，横差就等于一，他减他这上面一个减下面个，下面个减上面个就一。所以说横差就等于啥呢？一，那重差是不是等于负四减，什么负四减负三，就下面减这个，这个就容易和谐。有些同学知道这个技巧，他算的时候容易算错，你记住，他不是四减三， 他不是负四减三，听见没有？他是负四减负三，因为是下面个减，上面个减的是上面个带符号的东西，这是细节 啊，你学东西要学细一点，你别学个模棱两可，然后去直接用负四减三啊。两个做差，甚至有些同学用四减三，这不这不牛腿不对马嘴吗？对不对？学东西咱们要学细一点啊，认认真的去理解这个什么叫横叉？不是纵叉，你是做减法，是把他带着符号去做减法 啊，就这负二中中间再交给你说一句，什么负三负四减，减什么呢？减负三，对吧？减负三，那负负的这是不是正三，那就等于啥？负一加三，负一加三等于啥？负一，所以说你看，我就把它横叉的做出来，横叉是不是一减零啊？横叉就一点零，然后就负四减，括号负三 负是减法。那这这很多人，这这这个分分子分母就等于一分子，就等于啥呢啊？这个负一，对吧？负一，所以说这个 k 就 等于啥？负一好， k 就 等于负一，那我就能算出来了， k 等于负一，我通过横差分中差就能够知道。什么呢？ k 等于负一 好， k 等于负一。我找到，找到以后呢？我是不是就可以反带回去？我就设它是什么？设它是 y 等于 k， x 加 b， 然后这负一呢？是不是就等于 y 等于负 x 加 b， 然后随便带入一个点的坐标啊？随便带入一个点的坐标，假设我把这个带，把这个 x 等于啥？零带进去零的时候，它等于负三吗？所以它就应该等于什么负 x， 什么减三，就 y 等于负 x 减三，然后呢？我要怎么样去求零点坐标？我是不是直接另， y 等于零， y 等于零，那进去 x 这里面是 y 等于零， y 零之后呢？ x 等于多少啊？ 对不对？这个？然后把这个，把这个移过来嘛，对不对？移过来。所以 a 就 等于啥负三，对不对？所以这个就等于啥负三，所以这里是 a， 所以 说 n 点的这边就是啥负三点零 卖 n 点是不是就是负三点零？所以说啊，所以说，所以说我们就能得到这三个点了。好，这三个点是不是就已知了？这已知，然后，嗯， 这 a， 这个，这个都已知啊，都已知。到三个点以后，我准备去求第四个点，让他是什么？让他是什么？让他是平行四边形。我是不是可以通过对点法、动点法？这个对点法是不是有三，三种情，三种情况， 多少情况？哪三种？分别以这个为对角线，分别以他为对角线，赋予他以对角线。好， ok， 我 就把它单独拿出来啊，单独拿出来这个 n 啊，然后在这里他说平行的啊，水平的就 n a n a 这个 c， c 在 这里，角在这里啊， c 在 这里，好， ok， 第一种情况，我是以 n a 为对角线啊，所以说第一种情况就是以 n a 为对角线， n 为对角线， n a 如果说为对角线的话，你看啊， n a， 如果为对角线， 我找到 n a 的 中点，我把这个 c 点给它连起来，然后再反向延长这个点，是不是这个 m， 这个 p 点是不是就是 p 一 找到了？哎呦，我在这上面操作一下这里，然后我把它中点连起来，连起来之后呢，我这样反向延长，就是这个图像，如果这样子，它是不是就可能会在这个点上？就有可能会在这个点？所以说这个点是不是有可能会存在？我先把它找到 p e， p e 是 我存在，然后这四边形是不是平行四边形 啊？平时运行好， ok， 然后呢？这个 p 一 是不是一定有可能会存在？我这连起来啊？连起来。好， ok， 有 可能会存在，全部存在。我通过对点法，把他的把他的这个 p 点坐标给他求出来，到底是多少？ 我再反代入这个函数，我当 x 等于这个时候，我看 y 等不等，我就可以验证，我就可以验证他在不在这上面呢？如果 y 等于他就在，在，如果 y 不 在，他就不在呗，对不对？但是在这个平面内，他一定有三个点， 在这个平面的，他是一定有三个点出现，但这个这三个点是否对这上面，这是需要带进去验证的。好， ok， 这是以他为对角线龙， ok， 我 下一个以什么呢？以 a c 为对角线。 二，以 a c 为对角线。好，以 a c 为对角线，以 a c 为对角线的时候呢？我就找到 a c 的 中点，找到中点之后，我再反向延长啊，再反向延长，连接 n c， 我 就反向延长，然后这点是不是 p 二就有可能会这样？它就 p 二不一定非在这上面哦，它有可能在这里，有可能在这里，但是它具体在不在这上面？我把这，我通过对点法把 p 二点的坐标给它求出来， 求出来以后我再反代入这个函数看，他当 x 等于他的，比如说我等，比如说我通过对点法求出 x 等于啥？这个这个他等于，等于二点二点五，我二点负五， 二点负五加不是他最最负数，那就等于什么？我就假设，假设我这样子算出来之后，这样子啊，假设这个点，这点是什么呢？假设我假，打个比方，假设他随便假设就是一点负二，假设，然后我们当 x 等于一的时候，我看他等于负二就可以了，是一点负二就等于一啊。打个比方喽， 我想表达这个意思，就是你把通过对点把求出个 p 点以后，它不一定在这上面，但它在不在。你把 x 等于它的时候带进去看它 y 等不等于负二，如果 y 等于负二，那么它就在，如果 y 不 等于负二，它就不在，就这个意思，明白，好， ok， 然后呢？我刚刚是不是已经以 a c 为对角线了？这两个已对角线了。然后第三种情况我就以 n c 为对角线。 第三种情况我就以 n c 为对角线。好， n c 为对角线的时候，你想啊， n c 为对角线，我连接终点，然后再连起来，发现一张，我想问 这点可能存在吗？那肯定不存在啊，它都不在这里啊，不就是这个方向的方向都不对，大方向都不对，所以这个点呢？是我就可以判定它不存在。所以关最关键是这两种情况，它是否算出来？那个 p 一 和 p 二，它是否在什么呢？是否在这个抛物线上？我通过对点法、 对点法分别去求出这这个点的横坐标和纵坐标，然后我就可以算了，好， ok， 我 只实操一个啊，只实操一个， 然后呢？剩下的呢？剩下那一个呢？自己，大家同学自己去做哈，自己去验证， ok， 我 就假设，我就假设，我就假设。以 n a 为对角线啊， n a 去算一下，算一下。好，以 n a 为对角线，以后呢？ n a 为对角线的话 啊， n a 为对角线，那我这个终点的坐标，我这个终点坐标，我是设终点坐标，为了什么呢？我就同样以终点坐标为桥梁嘛，对吧？设，设了之后，大家好理解一点啊，终点坐标就是 x 零点 y 零。 好，那这个终点坐标是不是应该是？首先他既然是这个 n a 的 终点，是不是就是满足他终点坐标，对吧？那就是横坐标，就是他两个横坐标加起来除以二，对不对？这两个点 n n a n a 的 a 点在这里头， n 在 这里头，他两个加起来除以二，是不是等于负三？加负二来除以二是不是等于负四？除以二？负四除以二是不是负二的意思？所以这个就等于负二，负二， ok， 它就等于负二。然后呢，我是不是还可以假设那个 p 点的坐标，我假设它是 p x 一 点 y 一 嘛？ 啊？我设它的 p 点坐标， p 一 点，坐标是 x 一 点 y 一。 好， ok， 然后呢，这个依然只要这是终点呢？这个 p 点存在以后呢？它是不是还是这两个的终点？那我这横坐标是不是也等于什么？这个 x 一 加上这个点的横坐标，就 c 点的横坐标 x c 再来除以二， 这个 c 等于啥？是不是等于零呢？实际上就是什么呢？实际上就是等于什么呢？等于二分之 x， p 一 加上 x c 来乘以二。 x c 的 横坐标是不是等于零？你看是不是等于零啊？所以它就等于二分之啥？ x p 一 就是 x， x 就是 x 一 嘛？我设的它是一，我写 p 一， 只说大家好看好不好，好理解是谁，实际上它就等于什么呢？就等于二分之什么 x 一， 那二分之 x 一 来 x 二分之 x 一， 是不是等于啥？这不就可以求的呀， 二分之 x 一 等于啥？负二，那你觉得 x 等于多少吗？ x 等于负四，把它把这个二给它，两边同时乘以二啊，这边乘以二，这边乘以二，约分约分之后，负二乘以二，是不是等于四？ 所以 x 一 就等于啥？四，所以我就能得到什么 x 这个 x 一 x 的 这个 x 一， 当它是这种，当它是以这个 n c n a 为调弦的时候，它就等于负四，对吧？它就等于负四，所以我就能够得到什么，它就能够得到什么呢？负四 好复制，那我就算 y 一 喽。同样的方法来，这两个点的 y 坐标是不是等于零啊？它是横着 y， 这两个是不是都等于零？ n 和这个是不是都等于零？所以它的 y 坐标是 y， 零的坐标是不是应该等于零？等于零，这个零是不是还还等于这两个的什么？ y 坐标加起来垂二，然后呢？就是二分之什么 x y o 就 y y 一 啊，就等于这个零，是不是应该等于二分之 y 一， 对吧？二分之 y 再加上什么 y c y c c 是 不是等于负三，对不对？所以说这个二分之什么呢？ y 一 y 一， y 一 减三，是不是应该等于什么呢？等于零，那 y 一 是不是应该等于三的意思？ y 等于三，所以说这玩意就等于三。 ok， 我 求出，通过对点法求出 x 一 y 就 等于三。好，我要判断这个点是否在这个抛物线上。 怎么判断？我直接带进去啊，我直接把 x 等于负四的时候带进去，看他等不等于啥？等不等于三就可以了，对不对？我把这个负四给他带这里面看一下，对吧？看一下，然后负四带进去算喽。负四，那负四负四平方是不是等于十六啊？他就等于十六，十六再减二乘以啥？负四二乘以负四再减三， 对吧？然后他就等于十六。减，是不是加负二，二十的八就减，加八再减。什么？减三再减三？来问我这玩意这玩意等于啥？这玩意等不等于三，你就看他等不等于三就可以了吗？对不对？好，这个是什么呢？这个是这个叫的。 呃，他加他是不是二十几啊？二十几减这个二十二十四减三二十一，他等于三吗？就不等于说这个点存不存在？这种情况是不存在的， 但是你得去验证他不存在，对吧？好， ok， 然后呢，我为了解决这个事情呢，我就能够再去算，对吧？你就再去算，以他为例，以他为例。现在这样子啊，这连起来反向一张，然后他和他加起来横坐标是不是除以二，是不是等于他？然后你加他等于他，实际上如果说他要存在这玩意，是不是什么？ 这玩意他要和他平行，所以你就可以直接把这个点给我求出来。那当时直接念他 y 等于啥？负三的时候， y 这是不是等于负三吗？因为他要和他平行吗？是不是就是他和他平行的意思？ 你可以通过几何思维去做啊，就不通过对联法来讲，你找到对联法去做，用刚刚的方法一样去做，可以做就一样的求删，你可以，是不是可以通过对联法求删 啊？然后他要和他平行，就这样子，但最好是用对联法，因为这样，因为你这样平行算出来，算出来这个点，虽然他虽然说和他平行，但他和他一定相等吗？你要通过这两个横着边做叉，看他是不是等于。这是负一了吗？这是负一，这是啥？ 呃，这个 n 点做的是负三，负一，负三是不是两个单位？所以你这里看是不是也是两个单位？如果这里也是两个单位，他就是了，就平行且相等，他一定是什么平行，平行，这样通过几何的方法去做也可以， 好不好？ ok， 我 就这个题，我就讲到这里啊，这种情况呢，大家自己去算，就是一个，不就帮他算啊，留着大家自己去算啊。所以说这个题呢，你如果听到之后，你可以自己去做啊，做做，看能不能存在，好不好？所以说我们再回过头来看，回过头看，这是题，我们是怎么解决的啊？怎么解决？ 我们是怎么解决的？首先啊，首先你要解解析式，我就不讲了，不讲了。首先这三个点啊，三个点找到，你要通过这个，这不是这三个点吗？这个点，所以你这个 n 点就要通过这个解这个解析式，然后把它 n 点给它求出来，把这三个点求出来之后三点移动，然后通过三种情况，以谁为钓线，以谁为钓线，以谁为钓线，然后呢，分别 划一下这三个点是否存在，如果大概存在，大概存在，你就要去验证他是否真的存在，像这种方向性都不存在的时候，你看这 n 点 他也他会掉线，这么连接方向性都不对的时候，你就没必要算，就于题可知这这 p 三不存在对不对？那就存在，那就可以了。 ok， 然后我们回过头来，这个方法啊，再再最后再总结一下这个方法啊，这方法对点法，只要你遇到平行四边形的存在性问题，你都可以这么干，并且是在坐标系里面，就是坐标系的题中啊，坐标系的题中。 然后呢只要他问你平行视频是否存在，你都可以用对联法，然后呢对联法的技巧呢？就是技巧就是通过终点作为一个桥梁算两次终点坐标，然后呢让这个横坐标相等就可以解 啊解，然后最后你还要注意什么？他是有什么有多个解的？他是有多种情况的，我想表达的是，好吧，他是有多种情况的好，呃，这个呢就留给大家呢，截个图啊，截个图，好，一二三，好，感谢大家，我们今天的分享呢，就到这里。
30先生姓牟
19:08查看AI文稿AI文稿天津中考数学也太简单了，十八题拿尺规作图，有手就行。 哈哈，刚开始这个视频啊，我找豆包生成了，就是很多人调侃 说这个天津中考十八题这么难，对吧？不就是个画图题吗？为什么这么难？嗯，首先还是无刻度尺作图对吧？圆规还有这个像做垂直啊什么的，咱是做不了的，就直接是做不了的。 还有就是他这道题呢，他确实思维度比较高。对对，你的这个比较耗时的一道题吧，尤其是第二个， 可能二十分钟也想不出来一个特别好的一个接法，嗯，而且还只值两分，所以说性价比比较低。但是其实难度我觉得如果说给足了时间，还是可以挑战一下的，尤其是咱的模考题，距离中考难度还是差一点的， 咱来分析一下吧，看看今天准备两道题，第一道题是这个，我记要记得没错，应该是河西区的，然后第二道题是河北区的。咱先看一下这道题，说点 a 在 隔点上，点 b 在 隔线上， 然后这种题呢，第一问他都会很简单，他说 a d 是 角平分线，然后对吧？他说一个角，也就是这角 b， a d 是 十九度，那整个角就是二倍三十八度。第一问他都会把这个分送给你，然后第二问就开始让你 造火箭了。先看一下吧，说圆上有一点屁连接， c p 交 a， d 于点 e， 恰好使得 d e 等于 d b。 做这种题，咱们先把这个它的大概的一个假想图给画出来， 画出来之后咱们要干什么呢？咱们为了是推一些性质好搞明白咱们要做怎样的线，来满足他题目中的要求，对吧？ 他题目中大概是不是这个意思，就是说这圆上有一点屁啊，你连接了 cp 之后，交这个 a、 d 与点 e， 然后正好啊这个 e， 它就能使得 b d， b、 d 等于 b e、 d e， 而且这个 ab 是 条直径，对吧？所以说这是九十度这个角 d， 那 么角 d 既然是九十度的话，这就是个等腰直角三角形，对不对？角 b 三角形 b、 e、 d， 那 么咱就分析下性质啊，我是从它的角度入手的， 咱们有了等腰直角三角形，自然而然有了四十五度，然后咱们可以延长一下 b e， 啊，对吧？咱们在圆内倒角最常用的就是弧嘛， 比如说这是 f， 那 么弧 f、 d 所对的圆周角就是四十五度，那么咱找个圆心， 圆心是 o， 哎，连接 o、 d， 再连接一下 o、 f， 那他们弧 d、 f 所对的圆周角是四十五度，那圆心角自然而然就是九十度二倍，对吧？ 那咱们就有思路了，对不对？咱们在刻这个做图，甭管是圆圆规，还是说拿什么刻度尺做图，你像垂直平行，对吧？包括极等分点，怎么按比例分，这都是咱们可以做的图形，所以说有垂直咱们就有思路了。 也就说 o、 d 找到圆心之后，连接 o、 d， 再做一条垂线， o、 d 的 垂线交源于一点 f， 对 吧？再把这个 f 连接 b f， 交这个 a、 d 于点 e， 然后连接 c e， 再延出去，咱们点 p 就 找到了， 好吧，那咱就要想想了，咱目的就是要咱只要做出来这个 o、 d 的 垂线就可以，对吧？那咱先找到 o 在 哪，对吧？也就说圆心在哪？ 圆心呢？其实有好几种找法，其实咱们做这些模考题，主要是来掌握这些基本的方法，对吧？嗯， ab 的 话，它是直径，那直径的终点是不就是圆心啊？所以说咱可以直接找终点，终点怎么找呢？它这有直角三角形， 这也是网格的一个基本思路。这个 ab 在 这个直角三角形里头，那咱们找到中位线是不是就可以？那你看上面是二，哎，这下面也是二，那直接取这个点，对不对？取这个格点，然后它底边是 平行的一条水平格线，那咱再做一条平行，哎，根据相似，那这个点肯定就是中点，对吧？也就是说这个 ab， 他和这个网格的这个焦点就是点 o， 就是 圆心，哎，这是圆心的一种找法，但是还有好多种找法， 你比如说咱原上的格点就很有用，原上的格点是 a， 然后咱们可以，哎，往左找，找找，沿着格线啊，往左找到一点，哎，往下找，找找，找，找到一点，哎，那咱们再把这俩点一连， 哎，发现也过的是这个隔线上这一点。 o， 那 这是什么道理呢？这其实是因为咱是往左找，往下找，正好形成一个直角， 形成直角之后，咱把它俩一连，这个弦就是直径，那两条直径所对的弦，呃，两条直径相交的就是圆心，对吧？当然了，如果说没有说，比如说这个隔线特别不好找，怎么办？咱也可以，比如说我往三分之一这边，或者说我往 我往三分之一这边，对吧？这边延出去，然后这个我也往三分之一这延，对吧？胶原一两点再一连， 对吧？这也是一种做法，我不往左不往右找，哎，我构造一个直角出来行不行？可以啊，看到没？这有一线三等角，所以说这肯定是直角，对吧？这也是一种找法。还有那种找法呀，比如说 我现在有一条圆的切线， 哎，我有一条圆的切线，告诉你个切于这个点，对吧？那咱想方设法的做出来它的垂线， 哎，是不是也是一条直径啊？对吧？当然这个肯定画的不准。嗯，所以说圆心有很多种找法，根据题目来看就可以。然后找到圆心之后呢，咱们回回这道题，咱们连接一下 o d， 咱要做一条 o d 这样的垂线，对吧？垂过来交这个点，那咱想想垂线怎么做呢？ 垂线怎么做？咱试着延长一下，咱还有一个角，平分线没用了，对不对？ 怎么还延长过来？发现这里有直角， 这里有直角，这里有直角，为什么呢？因为这是直径所的圆周角，对吧？然后这里有等等角，这里还有一个公共边，那所以说左边这个三角形 a、 b、 d 和右边，咱们构造出来这个蓝色虚线三角形，它是全等的，那自然而然再假设这一点是 f 吧， 那 b、 d 就 等于 df， 因为全等，对吧？那 d 就是 中点，哎，那 o d 就是 一条中位线，对吧？那么所以说这个 o d 它是平行于 a、 c 的， 这个结论很重要，为啥呢？这样的话，咱们可以方便回来咱们传递这个垂直， 咱现在连接 o d 之后，咱们 因为他 o d， 咱刚知道还是平行于 a、 c 的， 那么咱为什么连接 bc 呢？因为 ab 是 直径，这就是直角，那平行过来，这不也是直角吗？咱们想做的 o d 的 垂线就有了，对不对？那么但是位置不太对，对不对？咱想要的是 a 在 这的一条垂线， 但是现在还在下面，那咱怎么想？咱是不是做平行把它做上去？做平行呢？咱们可以怎么做呢？这也是一项基本功，咱可以用构造平行四边形的思想，对不对？其实也是构造八字全等的相思想， 嗯，咱们比如说咱们在这取一个隔点，取一个与隔线交点，这个咱叫做 f， 然后连接 o f， 哎，咱做的目的咱是要构造一个平行四边形，那么 o f 是 一条对角线，咱们都知道对平行四边形的有一个性质，叫做对角线互相平分，对吧？所以说 咱们要找到 o f 的 中点，然后这就是它对角线的那个焦点，然后再连接 b 和对角线交点，再延出去，就能找到 他平四边形的另一条边，对吧？怎么找到这个终点呢？找终点也是一项基本功， 你像他这个隔线跨度是一，咱没法直接找，对不对？所以说咱们来构造一个终点的连线，那两条两个点才能确定一条直线，咱就找到两个点， 哎，这个就不标点了，然后两条点一出来，一连延长过来， 哎，大概就交这个，咱们刚这个点，比如说一点 g， 对 吧？然后呢对角线一焦点有了，咱再连接这个点，然后再连接这个对角线焦点，对吧？延出去，那延多少呢？ 延多少？咱要做的是倍长，对不对？再来看看。假如说咱把这都连上，哎，是不是有八字圈的，那么你看这个是一点五，那咱是不是也要延一点五？也就说延到这条格线来，对不对？ 然后呢就有八字全，等咱的目的就达到了，嗯，然后呢，咱这会有八字全，等，之后咱再一连，然后并延长，对吧？ 然后比如说交于圆于一点爱吧。当然这道题有个巧合，就是咱们言出来之后和这个爱点好像重合了，但这并不影响，对吧？ 然后那这会的话，因为是平行嘛，所以说 o i 也是 o d 的 一条垂线，这就是垂直，咱们做的垂直就有那么 i d 弧 i d 所对的圆心角就九十度。然后咱们 把这个按照咱的想法来，把 id 一 连，哎，比较重合下来，然后交这个 a d 与点 e， 对 吧？为啥呢？还是那个现在这个 e b d 角 e b d 就 等于二分之一角， i o d 就 等于四十五度了， 然后就满足咱的构造了一个等腰直角三角形，对吧？就满足他提议了。然后这会再做点 p， 点 p 就 很好做了呀，连接这个 c e 并延长 焦点，就是点 p， 对 吧？其实这道题用了什么呢？有哪些基本功呢？找圆心 对吧？还有什么呢？咱们还用了，嗯，平行四边形做平行线吧，就这样平行线，然后找中点， 对吧？啊？做垂直也算吧， 在圆内做垂直，咱们大部分用的就是这个直径的所对圆珠角这一性质。 ok， 这道题就到这，然后看河北区这道题。河北区这道题应该相对来说比较简单一点点。 第一问还是很简单，他说 b 是 格点， c 是 格点，问 bc 之间的距离啊， b 在 这， c 在 这过到个直角三角形，对吧？一个边四，一个边是一根号十七。然后看第二问， 用无刻度的尺尺在网格中在弧 a n 上画出点 q， 使得 a q 等于 pm， a q， 假如说 q 在 这，让这个弧 a q 等于 pm， 构造等弧啊，这里就非常的容易想到做平行，为什么呢？我做一条平行， 咱们来看一下就知道了。 我现在做 p q 平行于 am， 也就是说做了一条水平线，对吧？因为 am 它就是水平的。 那么你看，咱们的要做的是弧， pm 等于弧 a q， 那 既然弧相等，他们所对圆周角是不是也相等？那你看有平行内侧角相等，哎，正好是这两个弧的圆周角， 哎，那你做出来平行，他这俩弧不就相等了吗？对吧？这是一个思路。那我用的思路是什么呢？因为我发现这做一条水平隔线，哎，好像不太现实，对吧？反正不是那么容易想，我用的是圆的对称性， 哎，你看，哎，首先咱把圆心找一下吧，圆心点 a 是 隔点，往左找到，找到点 m， 往下找到点 n， 一 连接 m， n 肯定是一条直径， 他题目里说了， a d 又是一条直径，那它俩直径的交点肯定是圆心。然后咱们现在发现 a m 它是 a 水平的一条线，对吧？ 然后圆，它是一个轴对称图形，而且它对称轴有无限个。假如说咱们能找到一条垂直于 am 的 对称轴， 也就是说让 am 让点 a 点 m， 关于这条轴对称，对吧？因为这垂直嘛，而且垂径定律也相等，它俩肯定对称。那你看这个对称轴和这个 ap 有 一个交点， 哎，咱连接这个 m 和这个焦点，哎，这么延过来，哎，是不是就做出来这个 a q 了，对吧？这就是咱的思想，做对称嘛，对称完之后，对应点一连肯定也对称，对吧？ ok， 咱就来想想怎么做出来这条对称轴。 首先找到圆心， 然后呢，咱刚说了，咱要做 am 的 垂线，对吧？ am 是 一条弦， 我把这 a m 标出来，它是一条弦，咱要做它的垂直，在圆里头垂直弦一下，想到垂钉钉里，对不对？咱只需要找到 a m 的 中点就行，那 a m 中点怎么找呢？ 这里就又有一个找终点的一个方法，就是构造一条，呃，构造一个中位线，把它放到一个三角形里头，然后画出这个三角形的中位线，自然而然经过 a m a m 的 终点就找到了。具体怎么操作呢？我先画一下， 哎，构造出来一个，比如说这里是点 f 吧， 然后这里是点 e 三角形 a e f， 对 吧？构造出来这样一个三角形，然后呢，怎么着？取中点？取它两边的中点， 这个取中点呢？和咱上一道题的方法一样，可以看一看啊。这上下跨一个格，这上下跨一个格，总共跨俩格，对吧？八字全等，这里呢？上面一条线，下面一条线，哎，这也是八字全等，这就不多说了。然后连接连接这俩 中点，构造一条中位线，对吧？然后交这个 am 与点这个 n， 那 么 n 肯定是 m a 的 中点，为啥呢？你看这个大的三角形，它的中位线是这个，那么咱把它放到一个小的三角形里头看， 有一个中点，然后因为本来还是就是中位线的，对不对？咱画这条中位线，肯定平行于 e f， 那 这肯定也平行于 e m， 那 有中点加平行，是不是也是一条中位线呀？所以说这个 n 肯定是 am 的 中点，有中点之后呢？咱啊，这圆心没标出来， 咱连接圆心和这个中点， 这么不听话呢？ 然后肯定交这个 a p 于一点，对吧？ 这然后咱再跟咱想的一样，连接 b j 沿过来交圆于点 q， 这个 q 就是 咱们想要的，这是一个什么呢？这道题用了找圆心， 然后是用了找中点，还有用了做对称， 其实你看，如果说掌握了这些基本功，哎，再对这些几何图形有一定的敏感， 想到我们要做一条怎样的线，其实这道题也不是那么难解决，对吧？
78云天😀
07:00查看AI文稿AI文稿我们今天接着来看另一道题，它也是可以用托勒密定律解决的，它的题目呢，是说圆 o 呢，是这个三角形 a b c 的 外接圆，然后呢， a b 是 直径很明显这个角的九十度，对吧？然后呢，它说 d 呢是弧 bc 的 终点，那自然就会有 c d 等于 b d 了，对吧？然后他说 d 一 呢是垂直于 a c 的， 这是 a c 延长之后， d 做一个垂直，这里做一个点 e。 然后呢，前面要问的比较简单的，直接跳过，他说探求二倍的 c d 的 平方与 ab 的 平方减去 ab 乘以 ac 的 大小。我们来看看这道题目能不能 用通透密定力解决，所以你看这是个圆的内接四边形，那很明显是可以的，对吧？那这里首先应该会有这样的关系式， a、 d 依然是对角相乘， a d 乘以 b c， 它应该是等于 对折，对折的相乘， a b 乘以 c d， 再加上依然是对折， a c 乘以 b d。 在 这个式子里面呢，我们有 c d 是 等于 b d 的 嘛？所以这里可以和写一下，写成 c d 括号 a b 加 a c， 那这样一个式子，那我们上来看它探九呢，是 ab 的 平方减去 ab 乘以 a c。 对 这个式子很明显可以提出 ab 出来了，提个 ab 出来，里面变成了 ab 减 a c。 那 我们看这两个式子， 一边是 ab 加 a c， 一 边是 ab 减 a c， 好 像不是特别有关系的，但是你想他们两个是相乘之类的，怎么又得到了平方差公式吗？那我们来试一下， a b 乘以 a b 减 a c， 我 们可以把它用呃变成 a b 的 平方减去 a c 的 平方除以 a b 加 a c， 对 吧？那么 a、 b 加 a c 呢，又可以从这个式子里面得到它应该是等于 它应该是等于这里的 a、 b 的 平方减去 a、 c 的 平方，就会得到 b， c 的 平方，对吧？下面是 a， b 加 a c， a， b 加 a c 呢，可以从这个式子里面代换，就是 a、 d 乘以 b， c 除以 c， d 嘛，然后它又再分母，那么所以 c、 d 是 不应该在上面，下面应该是 a、 d 乘以 b， c， 这里 b， c 跟 b， c 可以 约掉一个，就可以得到 a， b 乘以 b， c 乘以 c， d 除以 a、 d。 题目呢，是要探讨它跟两倍的 c、 d 的 平方之间的关系吗？那我们来看一下这个式子可以 到这一步呢，其实也不是特别好看，抓它们之间的关系，那我们只能回去给他这个图里面找一下角落的关系 啊。首先 d 呢？ c 呢，是这个圆弧上一个动点， d 呢，是伴随着 c 在 动的一个动点，因为 d 呢，是剩下这一段弧的中点嘛，对吧？啊，它是中点，那所以说这个角 e， a、 d 跟这个角 d， a、 b 是 不是应该相等？这两个角应该相等。然后呢啊，它们对的是同一段弧， 这个角这一段弧 b、 d 是 不是同时对的？这个角 d， a、 b 跟这个角 d， c、 d， 所以 说这两个角是不是也应该相等？ 然后这时候呢，你连接 o、 d 是 不是应该会得到这个角九十度啊？因为 d、 b 是 弧 bc 的 中点嘛，那我们就可以得到啊，设这个角的 c， 它角的话就可以得到 bc， 是 不是应该会等于两倍的 cd 乘以口上 c 塔，这其实是在这个三角形，然后这个角的 h、 c、 d， h 里面做操作，这个角是 c， 它角，那么 c h 就 应该会等于口上 c 乘以 c d 嘛，那所以说 bc 就 应该是两倍的 c， d 乘以口上 c 塔， 然后再看 ab 跟 ad 之间的关系， ab 是 这一段， ad 是 这一段， ab 是 不是直接就应该等于 ab 乘以口上 c 塔？我们看看这个式子，带进去就会得到 ab 乘以两倍的 cd 的 平方。口上 c 塔分母呢，是 ad， 它是等于 ab 乘以口算 c， 它一元分，它就等于两倍的 c d 的 平方。所以这题就这样子解完了。但是呢，这个拖到约定里，有些情况下呢，可能 不太会给分。我们来看一下有没有常规一点的方法。常规一点方法其实也很快就是在这个三角形 c d h 里面做文章啊，我们注意一下它的那个有什么哪些关系呢？比方说 这个 c h 呢，是不是应该等于二分之一啊？把这个三角形 c、 d h 拿出来， c d h， c h 呢，是应该等于 二分之一 b c， 对 吧？它是二分之一 b c d h 呢？暂时还不知道，我们看一下，如果我们是半径为小 r 的 话，那么 d h 是 不是应该是 r 减去 o h 啊？ o h 是 什么呢？肯定这九十度，九十度它是终点，所以说 o d 是 应该是， o h 是 应该是中位线的，中位线的话，那 o h 的 长度应该等于二分之 a c， 对 吧？所以说它这里应该是半径减去二分之 a c。 那我们来看一下，在这个三角形里面， b c 呢，是可以写成 ab 的 平方减去 c a 的 平方再开根号嘛，但是题目它最终要比较二 cd 的 平方，那我们就暂时可以这样子表， cd 的 平方呢，是等于 c h 的 平方，是四分之一 bc 的 平方，加上这里括号 r 减去二分之一 a， c 的 平方四分之一。再换一下 bc 的 平方呢，是等于 ab 的 平方，减去 ac 的 平方，这应该是 四 r 的 平方，减去 ac 的 平方， 再加上这边，就应该是 r 的 平方。减 r 乘以 a， c， 加上四分之一 a， c 的 平方， 这就得到 r 的 平方，这边呢，就减去四分之一 a、 c 的 平方。后面呢，是加 r 的 平方，减去 r 乘以 a、 c， 再加上四分之一 a， c 的 平方， 这里四分之一 a、 c 平方。约掉之后，两个 r 的 平方再得到二 r 的 平方，减去 a， c 乘以 r， 然后二 c， d 的 平方就会等于四倍的 r 的 平方。减去二 a， c 乘以 r， r 就是 ab 嘛，就得到了。
10中考数学米老师
00:21
10:17查看AI文稿AI文稿一个视频，学会将军印马瓜豆原理，阿是园胡不归、废马点逆等线繁衍变幻。初中几何必考的将军印马其实特别简单，总共就两大招，找对称，平移，再找对称，吃透这两招，十三式考试所有将军印马问题都能轻松搞定！ 第一招找对称，第一是两定移动，一侧和最小两个定点在直线两边动点，在直线上直接把两点相连，线段长度就是最小值。 第二是两定移动，同侧和最小两点在直线同一侧，随便做一个点的对称点，再和另一个定点连线交点，这条线就是最小值。第三是两定移动，同侧差最大，同侧两点直接连线延长， 和直线相交两点距离就是最大值。第四是两定一动，一侧差最大，先做对称点，再连线延长， 对应的线段长度就是最大值。第五是一定两动，垂线最短，一个定点两个动点直接过定点做垂线，垂线段最短直接出答案。第六是一定两动对称加垂线，先做定点的对称点， 再做垂线，垂足位置就是最直点。第七到第九式，全部都是双对称套路，分别做出定点，关于两条直线的对称点，两点一连，找到焦点，就能求出线段和周长的最小值。 第二招平移后找对称地势到十三式通用方法，题目出现固定长度的动线段，先平移定点，异侧直接连线，求最值，同侧再补一次对称，最后加上定长，最小值直接算出来。大家记住口诀，异侧直接连 同侧造对称，预定长，先平移，将军印码轻松拿下！想学全将军印码完整模型例题和配套练习题，直接来我的初中数学动画课系统学习。 刮豆原理又叫主从联动模型，核心逻辑很简单，主动点是什么轨迹，从动点就是什么轨迹，二者轨迹形状相似。 注意，刮豆原理必须同时满足三个条件，缺一不可，第一，有一个定点作为旋转缩放的中心。第二，有固定比例，主动点从动点到定点的距离比值始终不变。第三，有固定夹角，两点与定点连线的角度固定。 它的核心口诀是，线生线圆生圆，主动点沿直线运动，从动点轨迹就是直线，主动点沿圆运动，从动点轨迹就是圆线生线。模型中满足定点定比 定角条件时，从动点轨迹为直线，两条轨迹夹角长度比分别对应，定角和定比运动形成的三角形始终相似。圆生圆模型同理，从动点轨迹为圆，两人的半径比、 圆心到定点的距离比都等于固定比例，对应的定点圆心圆上点构成的三角形始终保持相似。刮豆原理通用解析步骤是，一、找准固定中心点。二、区分主动点和从动点。三、找定角与定比。 四、会制轨迹直线取两点定位圆形找圆心和半径。最后牢记一错点刮豆原理至保证轨迹形状相似。想要确定具体位置和大小， 必须依靠题目隐藏的旋转相似变换速记口诀，定角定笔，线生线圆生圆，旋转相似定轨迹。完整的瓜豆原理模型。例题和配套习题在我的初中数学动画课，阿式圆是用来解决一类带有系数的线段最值问题， 它是一个到两个定点 a、 b 的 距离之比等于定值的动点 p 的 轨迹，我们叫它阿波罗尼斯圆，简称阿式圆、 阿式圆。它的核心的方法就是要构造字母相似。比如在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于三， a、 c 等于九， 我们要找一条线段等于三分之一 b、 c 在 a、 c 上取一点 d， 使得 a、 d、 b、 a、 b 等于一比三，这样的话，我们就有了 a、 d、 b， a、 b 等于 a、 b、 b、 a、 c。 又因为角 a 是 公共角，所以三角形 a、 b、 d 和三角形 i、 c、 b 就是 相似的，那 b、 d 就 等于三分之一 b、 c 了。 简单说，阿式圆构造子母相似，本质就是凑出固定比例关系，借用公共角证明相似，轻松把带系数的线段转化成普通线段。阿式圆完整模型 例题和配套练习题在我的初中数学动画课，胡不规模型是专门解决 k 被 pa 加 pb， 带系数线段和最值问题。胡不规与阿式圆极易混淆区分，核心只看动点轨迹， 动点在直线上运动是弧不规动点在圆上运动是 r 十圆，找准动点轨迹就能快速锁定对应模型。弧不规的解析核心是构造角度转化系数线段，把带系数的线段和最值问题转化为垂线段最短的基础。几何模型求解 胡不归通用五不解题法可直接套用。第一步，判定模型。判断题型是求 k 被 pa 加 pb 的 最值问题，且动点轨迹是直线。第二步，转化系数。将待转化线段的系数化为零到一，为构造辅助线做准备。第三步，构造等线段， 利用正弦构造角度与垂线等量替换带系数线段，实现化折为值。第四步，转化最值形式，通过线段转换，将带系数线段和转化为普通线段和最值。问题， 速记口诀，判轨迹，划细数，构垂线，划折为直。来我的初中数学动画课学习完整的胡不规模型，有立体和配套细题。费马点是三角形内到三个顶点距离之合最小的点。所有费马点题目解析核心只有一招，旋转六十度，构造等边三角形， 通过旋转转化线段，把曲折的线段拉直，利用两点之间线段最短，求最小值。掌握这个方法就能解决绝大多数费麻点题型。 做题首先要会判定费麻点的位置，一共两种情况。第一种，三角形，三个内角都小于一百二十度， 他的费麻点在三角形内部，也叫等角中心。这个点有个关键特征，对三条边的章角全部都是一百二十度。第二种， 三角形，只要有一个内角大于一百二十度，不用额外找点，这个钝角顶点就是费麻点，直接用这个点计算距离和最小值即可。如果三角形最大角小于一百二十度，我们可以这样做图， 任选两条边向外做等边三角形连接对应顶点，两条连线的交点就是费麻点。它的解题原理很好理解， 核心就是化折为直，把三角形内部的小三角形绕顶点旋转六十度，旋转前后图形全等，同时形成等边三角形，实现线段等量替换。原本三段折线的距离和转化后，当所有点共线时，折线完全拉直， 这条线段的长度就是最小值。此时费麻点的三个夹角均为一百二十度。逆等线是初中几何高频易错的最值模型，专门解决双动点题型。 只要题目出现两个动点，存在固定相等线段，求两条动线段和的最小值，基本就是逆等线模型。它的定义很好记，两个动点分别在两条不同直线上运动，且到一个定点的距离始终相等， 这足等长线段就是逆等线段。提型固定求线段和最小值，大家一定要分清它和将军印码的区别，将军印码线段首尾相连，靠对称就能转化求减。逆等线的等线段分散不相连，不能用对称，只能构造全等三角形转移线段。 逆等线核心解法就一句话，一边一角造全等，转移线段化折为直。通过全等替换线段，把复杂的双动点最值问题转化为两点之间线段最短的基础问题。 大家直接套用四步解题法即可。第一步，找三角形，用题目中的逆等线段和动线段组成线成三角形。第二步，找定边定角，找出三角形中固定不变的边长和角度， 作为构造全等的依据。第三步，造全等，以定点为中心做等角等长线段，用边角边构造全等，完成线段等量替换。第四步，化折为直转移带求线段，将线段和转为折线 连接端点，利用两点之间线段最短求出最小值。总结来说，逆等线的解析逻辑，固定靠构造全等化解双动点难点， 适配所有同类辨识题。速记口诀。御逆等线段一边一角造拳等线段转移化者为直，两点连线求最值逆等线模型。例题和配套习题在我的初中数学动画课， 繁衍变换是初中几何压轴题的高阶模型，专门搞定最难的双动点轨迹和最值问题。首先咱们搞懂模型定义，先锁定一个定点，再有两个动点，只要两个动点到定点的距离乘积是定值，中间夹角还固定不变， 这就是繁衍变换。很多同学分不清繁衍变换和刮豆原理，记住一句话就够，刮豆是定比加定角， 诡计会变。口诀，剑定笔用刮斗剑定机用繁衍。繁衍变换一共就四种类型，秒杀判断技巧超简单，定点在直线上就是线生线，定点不在直线上就是线生圆定点在圆上就是圆生线 定点不在原上就是原生原。考试遇到繁衍变换题，直接套万能步骤，第一步，看题型，双动点定机定角，直接锁定繁衍变换。第二步， 找准定点，定机定角。第三步，乘积变比例，构造相似三角形，转移线段。第四步，判断轨迹，直角出圆定点定角出直线。第五步，求最直点，圆最直，用圆心距加减半 径最直，找三点共线。记住核心口诀，繁衍变换不用慌，定机定角，造相似线缘互变定轨迹。
126彭老师@初中数学
02:29查看AI文稿AI文稿账号今天我们来讲解一道二零二四年连云港市中考数学试卷停顿题。最后一题在直角三角形 a、 b、 c 中， a， c 等于二角， b 等于三十度点 p 在 a、 c、 h 边上运动， 或点 p 作 p， d 垂直于 ab， 再作 d， f 垂直于 bc， 连接 p， f， 取它的中点为 e 点。问题是 翻点屁从 a 点运动到 c 点，这时候点 e 所经过的路径长为多少？给同学们三秒钟的好时间， 时间到。很显然，要想求出点 e 所经过的路径长，就要求出点 e 的 运动轨迹。对于这道题，只要想用 平面几何的知识来求出点 e 的 运动轨迹是比较困难的。考虑到问题的触底背景是一个直角三角形，所以我们可以以点 c 为圆心建立直角坐标系。这时候 我可以设 p c 等于 x， 那 么 x 的 取值范围就是大于等于零，小于等于二。我们可以最终求出点 e 的 坐标是四分之二三，减去八分之二三 x 倒号八分之二 x。 由它的坐标，我们可以知道 点 e 的 运动轨迹是一条线段，我们可以通过几何号码来验证这个猜想，我们可以 追踪点 e 的 轨迹。 很显然，点 e 的 运动轨迹确实是一条线段。当 x 等于零时，点 e 的 坐标是斯文之高。奥桑零。当 x 等于二时，点 e 的 坐标是零，纵号一。 所以最终我们求出点 e 所经过的渡剑长势斯文之高奥桑纵号零到零纵号一的距离为斯文之高。奥十九 好了，落地的讲解到此结束，如果有其他方法的，欢迎在评论区交流讨论，喜欢本视频的可以关注收藏并且转发，谢大家！
65初中数学陈老师
