河北省唐山市海港区二模数学啥子题
每天一道好题，为高考加油！今天这个题目是二零二六年四月唐山二模的第十九题，这是一个导数压轴题， 这个题目是一个考察函数零点的经典的好题。嗯，这个题目啊，应该说比较俗套了，因为前几年高考或者说模拟考中考的比较频繁， 而且尤其是去年的新高考二卷，就是二零二五年的新高考二卷，他就考了一个这种比大小问题，所以在二零二六年的高考中，我觉得考这种题型的可能性不会太大。 但是对于二零二七年的高考考生，也就是现在的高二学生学习这个题目是很有帮助的，因为他真正的考察你对韩对导数的认识，对函数这个分析的呃，是应该说是很有帮助的。好了，我们来讲解一下这个题目。 函数 f x 有 两个极值点， x 一 x 二 x 一 小于 x 二，求 a 的 取值范围。有两个极值点，那就是导函数有两个变号零点啊，下面我们看导 e 的 x 次方，这应该是减去二 a x 减 e， 它等于零，应该有两个时根，有两个不等时根，那你这个有两个不等时根往下你怎么求 a 的 取值方位呢？往下的思考角度应该有两种，一种就是分离函数， 一种就是直接分析这个函数，看这个函数图像 y x 时候，什么时候会有两个交点。 由于下边第二问，尤其是下边的一些问题里边，既涉及到极致点，又涉及到零点，我觉着分离函数的话，将来会。嗯，对讨论零点或者极致点应该说是有点影响，所以我们考虑的方法就是直接对他求导，分析这个 导函数的导函数，也就是二阶导函数，来研究一阶导函数图像，我觉得这样比较好，所以呢，这个题啊，这里边应该是有两个零点， 有两根吧，那么下面呢，我们就是对这个一阶导函数再求导，我们记作二阶导，这个 e x 次方减去二 a， 那 么我要研究二阶导函数，显然这个二阶导函数是一个单调递增的，大家应该能看懂是吧？ e 的 x 次方是个增函数， 那么这时候二解导函数，它的正负呢？与 a 的 取值有关。第一种情况，如果这个 a 要小于等于零，显然这个二解导函数应该是一个恒大于零的，那么就是说一解导函数在整个实数范围内应该是单调递增的， 他要单调递增，那么他的零点至多有一个，不可能会有两根，所以这时候是不可能符合题的，所以至多有一个零点，所以这时是不合题的，不合题， 那么 a 大 于 a 小 于等于零，不行。那么下面第二种情况，我们就考虑 a 大 于零的时候， 如果 a 要大于零，那么这个二阶导函数又是个单调递增的，那你想一想， x 趋向于正无穷，它是趋向于正无穷的， x 趋向于负无穷呢？它也是，它不趋向于负无穷，应该是趋向于负二 a 的， 所以这时候大家应该是有零点的， 对不对？所以这种情况下，我们另一个二节导函数让他打零，那我们就可以知道， e、 d x 四方等于二 a， 也就是 x 应该等于 long 二 a， 这个导函数等于零，是有零点的，这样的话，我们就可以想象一下， 当 x 小 于浪二 a 的 话，这个一节啊，这个二节导函数应该是小于零， x 大 于浪二 a， 二节导函数应该是大于零，所以这个一节导函数，它在负无穷到浪二 a 应该是单调递减的， 在绕二 a 到正无穷这个区间上，应该是单调递增的。好，我们要研究的是一节导函数有两个零点啊，有两个零点，那么一节导函数又是先减后增，你可以想象一下， 那么他要与 x 有 两交点是不是？你看，就这个就是这种画图的方法啊，所以我们可以考虑机械的方法。你看，当 x 要趋向于负无穷的话，我们看这个 e 极导函数，在这里 x 趋向于负无穷，这是趋向于零的。这个东西呢？ a 要大于零，这个东西是趋向于正无穷的，所以整个函数值是趋向于正无穷的。 嗯，然后 x 要趋向于正无穷的话，我们再往右看整个这个指数函数，它是起主要作用，它是趋向于正无穷大，而且趋向于正无穷大的速度很快，所以整个导函数是趋向于正无穷的。 好了，我们就可以知道，要想 f 撇 x 有 两个零点，导函数等于零有两个，那么 只需要什么呢？只需要这个导函数的基值点 f 撇 l 二 a， 它是一个小于零的就可以，对不对？ f 撇 l 二 a， 我 们就可以把它带进去，把 l 二 a 带入 x 的 位置，那这个就是 l a， 所以 我们把它写出来，这就是 l a 减去 l a 倍的 l 二 a， 再减 e， 这个东西就一定有小于零才行。 所以我们下面要求 a 的 范围，只需要这个东西是小于零的，这个东西要小于零，求 a 的 取值范围。怎么考虑呢？ 我们只需要把它再看成一个函数，研究一下它的图像，因为这个 a 是 正实数，任何题都能满足题，对吧？但是我们得保证这个时候小于零啊，所以我把它重新设成一个函数， 比方说设成 g a 吧，就等于二 a 减去二 a 倍的 l n r a， 再减 e， 这个 a 呢，是个大于零的， 研究它的话，对它求导呗。哎， g 撇 a 啊，这就是二减去这个里边这个二倍的。我先提出来 a 倍的 l n r a， 它是一个乘以 l n r a， 然后加上 a 乘以 l n r a 的 导数， l n r a 是 个复合函数， 那么绕二 a， 导数是二 a 分 之一，再乘以二 a 的 导数是二，导函数是这样的，然后后边 e 的 导数是零，在这不写了， 这样的话，这里边 e 等于这个呢？ a 小 于 a 小 于 a 小 于 a 就 成个 e， 那 么减二和这个二有效掉，所以这个结果就等于负的。二倍的绕 n a， 那么这个导函数是他的话，我们可以看这个导函数的正负了吧。那么当这个二 a， 嗯，第一种情况，嗯，就是二 a 要大于零，小于，也就是 a 大 于零，小于二分之一的话， 这个 g 撇老 g 撇 a 吧，他应该是一个大于零的。当 a 大 于二分之一的话， 这个 g 撇 a 呢，应该是一个小于零的，对吗？所以我们就可以知道 g a 这个函数，它在零到二分之一是单调递增的，二分之一到正无穷呢，它是单调递减的， 那么 g a 先增后减，特殊的地方就在二分之一。我们看一下这个二分之一 a 要等于二分之一的话，把它加进去，也就是二 a 得一，二 a 得一的话，这就变成了 e， 这个变成 e 浪一得零， e 减 e， 它还得零，所以这个 g 二分之一它正好得零， 说明什么？我们要求的是 g a 它得小于零，然后这个 a 这个关于 a 的 代数式呢，它又是一个先增后减的 g a 的 时候，而 g 二分之一的时候又得零， 所以你只要保证 a 不 等于二分之一，那么在 a 大 于零不等于二分之一的情况下， g a 是 不是小于零？ 所以我们就可以知道，这个 a 的 取值范围就是零到二分之一，并上二分之一到正无穷就可以，这样的话， g a 就 一定小于零。然后呢，函数就有两个极值点。 好了，第一问我们就分析完了，这个呢，当然分析起来很麻烦，但是呢，对于我们第二问呢，第三问有帮助，所以我们是用这个直接讨论正负来研究的。好了，我们来看一下这个第二小问， 当 x 二大于零时，即 x 三为 f x 的 最大零点。第一小问还有两小问啊，证明 f x 有 两个零点， 这个从哪下手呢？这时候是研究 f x 了，研究它了。好了，我们根据刚才讲的 f x 这个函数啊，应该是一个 有两个极值点，导函数是这个样子的，这个有个 x 一， 这有个 x 二，这边正，这边负，这边正，所以 f x 肯定是先增再减再增的。 那么根据题中条件，前面已经用完了，只给了一个 x 二大于零， x 三是最大零点，你怎么证明他有两个零点呢？ 这个条件乍一看没啥用处啊，实际上这个就是一个数学的思考之美吧。条件没法用，那我们就得找一些特殊的，因为这个条件没有在用的地方了，怎么特殊呢？你要仔细观察的话，会发现这个 f 零， 嗯，正好这 e 的 零次方是 e， 这两个都是零了，一减一正好得零， f 零正好是零，是个零点，而这个 f 撇零呢？你观察这个它也得零， 那 f 撇零得零，说明这个零就是 f x 极值点， f 零得零，说明零就是 f x 的 零点， 所以这就是一个隐藏的哎，天生的极致点和零点，你这个都能看得出来。所以我们根据刚才咱们分析的，你想想，函数 f x 是 先增后减的，我们来往下看， 函数 f x 是 先增后减的，那么这个极值点有一个 x e 有 个 x 二，而且这个极值点有一个是零，你看到了吗？有一个是零，这个 x 二还大于零，嗯，说明这个 x e 就是 零， 对不对？所以我们从这就可以发现，这个 x e 正好是一个极值点，而且这个极值点极值又是零，所以这个 f x 图像它很有特点，就这样的，对不对？这个就是极值点，也是零点啊，所以我们就可以知道第二问啊，第二问， 我们注意到这个 f 撇零，它是得零的，然后 x 二它又大于零啊， x e 又小于 x 二， 对不对？所以我们就知道这个 x e 就是 零啊， x e 就是 零，所以这个 f x 它就在负无穷到零，是单调递增的，零到 x 二单调递减， x 二到正无穷，它又单调递增， 而且我们又发现这个 f 零它还得零，这个图像就是这样的，看到了吧，所以你就想想，它是不是就应该有两个零点呢？应该有两个零点，那怎么说这个声呢？ 那只需要证明它在，哎，这这个点就是 x 二了啊，这就是 x 二，这块横坐标就是 x 二，只需要证明 x 在 大于 x 二这部分，它函数值有正的就行了， 对不对？因为我们可以知道这个 f x 二肯定是小于 f 零的啊，这个 f 零正好得零，所以只需要在大于 x 二的那部分函数值是正的就可以。这样的话，你要严谨的说，你可以卡根，就是选一个特殊的值，使这个函数值是一个正的， 你要是不愿意卡根，省时间，在考场上，你就可以利用极限 x 趋向于正无穷。 f x 呢，肯定趋向于正无穷， 所以肯定存在一个 x 三，它就属于 x 二到正无穷，使 f x 三等于零，这是零点分散性定律。所以我们就可以知道 f x 有 两个零点啊，一个就是零， 嗯，一个是零，一个是 x 三，明白了吗？所以第二问的第一小问我们就解决了，就结合图像 好了，我们再看这个第四第二问的，哎，不对，这这个问出还太多了。第二问的第一问的第二小问，证明 x 二大于二减 a 分 之一，这又是怎么个事呢？ x 二是极值点呐，极值点怎么会大于它呢？这怎么倒 好，我们看一下这个 x 二啊，在这里，这是 x 二，这是 x 三啊，这个就应该是那个 x e， 那么这个 x 二怎么大于 a 几 a 什么呢？嗯嗯，什么呢？把 x 二大于二减 a 分 之一呢？ 这个呀，我们不可能找出 x 二的值来，用什么来解决呢？我们呢，这里面就是构造一个不等关系， 这里面 x 二的一个函数值是已知的，因为 x 二的点的值不知道， x 二的函数值是知道的。 x 二是啥呢？是一个极小值点呢？所以这个 x， 嗯， 第二问的第二些都不会编号了。第二小问吧，这个 f x 二他肯定是一个负的，我们把它带一下啊。嗯，我把这个， 哎，我弄下来，弄下来，我摘下来啊，要不题目看不到了， 总往上去找。这个 f x 二是什么呢？就是 e 的 x 二次方减去 a 倍的 x 二的平方，减 x 二减 e， 它应该是一个小于零的。 那么我们别忘了，这个 x 二还是一个极致点，它以导函数的零点，对不对？导函数的零点，也就是 e 的 x 二次方减去二倍的 a 乘 x 二减 e， 它应该得零。 我们要找出这个 x 二和 a 的 一个大小关系，是不是利用这个不等式再加上一个等式就行了？ 因为这里面有个指数性的式子，我们要利用这个不等式解出 x 二和 a 大 小关系是没法解的，所以我们利用这个等式把这个 e x 二次方给它消掉，好，我们给它代入。 那这个 e 的 x 二次方呢？就是二 a 倍的 x 二加 e， 它减去 a， x 二的平方减去 x 二再减 e， 它这个应是小于零的，我们可以看到 e 就 消掉了，那也就是二 a x 二减去 a 倍的 x 二的平方，减 x 二小于零。 由于 x 二是正数，每一项都含有 x 二，我又可以消掉，那么就是二 a， 嗯，这个 x 二是大于零的，我先写上， 就是减去 a 倍的 x 二减一，应该是小于零的，这样的话我们下面就可以解了。那么这个 a x 二就大于二， a 减一，所以这个 x 二就大于 a 分 之八，除过去就是 a 分 之二， a 减一就是二减 a 分 之一，这就出来了，也就正出来这个结果了， 看明白了吧？所以第二问的第二小问，啊，不，不对，这个号我都不会变了。第二问的第一小问的第二小问，我们也争出来了，就是 x 二大于二，减 a 分 之一。 像这种大小关系的问题，实际上就是一个什么呢？不等式和等式的一个文字游戏啊，你给它消元写成一个不等关系就可以了。 好了，我们再看这个第二问的第二小问啊，这个就是最后一问了，比较二 x 二与 x 三的大小， 这又是个什么事呢？这个呀，就是仿照着去年新高考二卷的第十八题的最后一问出的，实际上这种题也不是一个新颖的题，在一个新去年新高高考之前，已经有很多这种题型了啊，在以前的时候，天津卷里边就已经考过。 好，我们来看一下这个 x 二和 x 三，根据刚才这个图， x 二在这， x 三在这，你要比较这俩的大小关系，显然你是不可能算出来的 啊。你虽说第二小问的第二小问这个东西，我找出来个 x 二和 a 的 关系，但是 x 三呢，你这个是看不出来的呀，所以不可能是利用上面的起式来做，用什么来做呢？这时候我们可以考虑这个图像，因为这个 x 二和 x 三都是位于在这样一个对称线上， 在这样一个正区间上，你要比较这个二 x 二和 x 三的大小，那二 x 二要么在左面，要么在一位吧。 那你看二 x 二，要在 x 三的左边，你就可以考虑这个函数值。你看 f 二 x 二，它就比 f x 三小。 如果二 x 二大于 x 三， f 二 x 二就大于 f x 三，所以我们要比较这个大小关系。实际上是考啥呢？考函数的单调性， 这是第二问的第几小，问了这个，这个我都不会编号了。第二个小问吧，我要比较 f， 这这个二 x 二和 x 三，只需要算这个二 f 二 x 二与 f x 三的关系，而这个 f x 三我们放心去带，因为它正好得零， 所以只需要看 f 二 x 二是大于零还是小于零就可以。好，我们把它带进去试试，看看能不能做的出来。那么 e 的 二 x 二次放减去 ax 二的平方，减去二 x 二减 e， 这就是 f 二 x 二，那这个 f 二 x 二怎么看它的正负呢？这里边既有 a 又有 x 二啊， 这样的话，我们还是根据刚才这个思想，这个 a 和 x 二之间是满足这样一个等式的，我们是不是是给他消圆一下呢？ 啊？这这个方法啊，实际上题不一样，方法都不唯一啊，这就是数学之美，不同的问题，他的思考角度都不一样，这个题我们这个就是利用它来代换来消圆就可以。 我们消谁呢？上一步解这个 x 二和 a 的 大小关系的时候，是消的指数式，你这个呢？我们不能消指数式，因为你这个 a 和 x 二它里边两个变量，我们不好确定整个代数式的正负，所以这里边我们是消这个 a 啊，从这里面把 a 给解出来带进去。好，这个就是 e 的 二 x 二次放，减去四 a 乘四 x 二放吧，我们算这个 a 呢？ 这个 a 应该是等于二 x 二分之一的 x 二次方减 e 就是 从这里边解出来，因为你把它移过去，这不是二 a x 二吗？把 x 二再除回来，就是 e x 二次方减 e， 就 这个东西。 好，后边这个再减二 x 二减 e。 我 们看先整理一下这里面这个二 x 二是不是可以消掉一个，所以这上面还剩个二 x 二。好，写一下， e 的 二 x 二次方减去二 x 二倍的 e 的 x 二减 e x 二次方减 e， 减二 x 二再减 e。 我 们整理一下这个减二 x 二减负， e 正好变加，这个跟它正好消掉。所以这个式子带进去以后好像还挺减的。 e 的 二 x 二次方减去二 x 二乘以 e 的 x 二次方，后边应该是减个 e 就 没了。 下边这个任务我们就是看他的正负，那是大于零还是小于零，那么我们这个你一定能判断出来吗？ 这个实际上都是一个探索过程，没有说哪个方法一定能行的。这个我们实际上这种探索正好正确，对吗？为啥正确？我们下边倒一下就行了。 比方说我令这个 h x 就 等于 e 的 二 x 次方减去二 x 乘以 e 的 x 次方，减 e x 等于零啊。我导一下这个导函数，就是二倍的 e 的 二 x 次方，后边的导函数，我可以先把二提出来， x 一 导数乘一点 x 次方，就是一点 x 次方，前导加上前不导后导，嗯，然后减去 e 的 导数，没了，不用写了。这时候我们发现每项都有 e 的 x 次方，而且还都有个二，我把二乘以 e 的 x 次方提出去呢， 提完以后，这剩个 e 的 x 次方，这剩啥呢？这剩个 e， 这乘个 x， 所以 里面就剩下个 e 的 x 次方。减 x 减 e， 写到这里，大家会发现它有一个非常经典的代数式，这个大家应该都熟悉，这个就是我们常见的这个放缩不等式嘛，是吧？ e x 四方是大于等于 x 加 e 的， 这个想必大家都知道，这个啊，我就在这里就不给出证明了，所以这个东西，由于这个 x 有 大于零，所以这个是一个等于零的 啊。这几边我就不写过程了，所以我们就可以知道这个 h x 在 零到正无穷上一定是一个单调递增。 单调递增的话，我们就知道找找这个零点呗，以及这些特殊的这个端点。那 h 零呢？ h 零是啥？ h 零它正好得零，你看到了吗？ e 的 零次方零次方零， 这部分是零了。 e 的 零次方程是 e 一 减一，正好也得零，所以正好这个 h 零得零，那也就意味着这个 h x 一定永远大于 h 零是大于零的。 h x 大 于零，也就是 f 二 x 啊，不对， f 二 x 二一定大于零，这个零正好是 f x 三啊。由于 f x 啊，是在 x 二到正无穷是单调递增的。 f x 它在 x 二到正无穷单调递增，刚才咱们正了，你看哎，头在这了， x 二到正无穷在这个地方，它是单调递增的，对不对？它是个单调增函数，所以我们就可以知道这个二 x 二肯定是 大于 x 三，这就正确啊。好了，这就是唐山二模的第十九题，表面上呢，看着无从下手，实际上你思考一下，这个题是很简单的，今天就讲到这里。
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184侯哈哈老师
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29唐山小李老师
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32唐山朗学思诸葛张
06:15查看AI文稿AI文稿今天我们来讲一讲唐山市路北区二模的这道压轴题，这套试卷呢，这两天讲了很多遍啊，一直没有抽出时间来录视频，整体上来说呢，这套卷子的难度设置非常的合理， 另外呢，一些个题型啊，创新度也都比较符合我们新中考的要求，建议一些调研员比较示味素餐的县区的同学们可以来做一做这套路北区的二模试卷。 好，那么我们先来看题。在题型 a b c 搭中， a b 等于三， a 搭等于四， a b 等于三， a 搭等于四， a b 平行于 c 搭，角 b a 搭等于九十度过 b c 搭三点的圆，设圆 o 的 半径为 r。 呃，第一问，使规作图，咱们就略过啊。第二问，如图十四杠二，也就是这幅图，当圆 o 与边 a、 b 所在的直线相切时，求 r 的 值。那么读过了题，我们就要知道这道题干里边所给的关键点是什么，也就是题也在哪。首先， a b 三 a 搭四， b a 搭九十度啊，典型的一个勾股数，所以呢，我们第一时间就要把斜边连上，所以斜边 b 搭的长度三四五，勾股数 b 搭就等于五。那么第二个条件呢，圆 o 与边 a、 b 所在的直线相切时，键切线连接点连接 o b， 所以 o b 就 垂直于 a b。 好，那么下边我们再来看 o b 垂直于 a， b 搭 a 垂直于 a b， 所以 o b 就 平行于 a 搭。那么所以角 a 搭 b 就 等于角搭 b， o 这个角等于这个角， 角 a 搭 b 的 三角函数值是已知的，那么所以要求半径我们也要利用直角三角形来做，所以就是渐弦做，垂直做 o h 垂直于搭 b， 根据垂径定律， b h 就 等于二分之一， b 答，就等于二分之五，那么 cosine 角儿搭 b o 就 等于 cosine 角儿。 a 搭 b 就 等于五分之四，就等于 b h b 上 b o b h 我 们刚刚求出来了，是二分之五，那么就是二分之五， b 上 b o。 化简一下， b o 就 等于二，就等于八分之二十五。第二问解答完毕， 下面来看第三问。当角 b c 搭等于一百二十度时，求弧 b 搭的长， b c 搭三点共圆角 b c 搭等于一百二十度，这个角是圆周角，那么所以弧 b 搭所对的圆形角，那么就是二倍的圆周角就应该是二百四十度。 但是呢，我们在初中阶段，如果没有特别定义说要求优弧的长的话，我们都是求的是裂弧的长，所以呢，要求 弧 b 搭所对的圆心角就是三百六十度，减去二百四十度就是一百二十度。好，下面我们就在图里边看一下啊，这个角是一百二十度，连接 o b o 搭，所以呢，角搭 o b 这个圆心角也是一百二十度， 求的是弧 b 搭的长度。我们已知了弧 b 搭所对的圆心角是一百二十度，实际上我们最后要求的也就是这个圆的半径啊。好，已知圆心角一百二十度啊，已知弦长搭 b 是 五， 要求 r， 我 们也是要想到垂径定里，所以就做 o h 垂直于哒 b， 所以呢，角哒 o h 就 等于 b o h 就 等于二分之一角 b o 哒就等于六十度。好，有了三十六十度的直角三角形，我们就可以直接根据三角函数值来求 r 的 长度。 sine 角 b o h 就 等于二分之根三 就等于 b h 比上 r， b h 还是等于二分之一大 b， 那 么所以就是二分之五比上 r， 最后解得 r 就 等于三分之五倍的根三，那么所以弧 b c 的 长度就等于三百六十度，分之一百二十度再乘以二 pi r， 那 么就等于 九分之十倍的根三，再乘以 pi。 第三问也不难啊，其中这一问里边最关键的两点就是圆内的倒角，以 即通过垂径定里来求半径，已知圆周角，求反向的圆周角和见到弦做垂直，这些都是我们圆里边的基本操作啊，只要你把圆的基础知识学好，那么这一问应该是没有难度的。 下面我们再来看最后一问啊，直接写出点 b 与圆心 o 距离的最小值，给的信息比较少，那么我们要如何来分析这道题呢？分析这一问的关键就是要找到谁是动的，谁是定的。题干里边给了 a b c 搭等于四，然后呢，四边形 a b、 c 搭是一个梯形，然后角儿 搭 a， b 是 九十度，也就是说这条边儿搭 a 的 这条边儿， a b 的 这条边儿以及它们所夹的这个角儿是固定的。点 c 的 位置呢，是不固定的点 c 应该是有一条过搭点平行于 a b 的 直线 在搭的右侧，任何一个位置都可以是 c 的 位置，所以也就是圆 o 不是 固定的。那么因为 a b a 搭以及角儿搭 a、 b 是 固定的，那么所以搭 b 啊搭 b 这条线段也是固定的。 好，我们还是来看图，搭 b 也是固定的，它的长度呢？搭 b 永远是等于五，圆 o 是 不固定的，但是呢，圆 o 是 三角形搭 c b 的 外接圆， 所以这个不确定的圆 o 的 圆心与固定的线段搭 b 是 有三种位置关系。那么第一种 o 一 在三角形搭 c b 的 内部，也就是这个图。那么第二种圆 o 在 三角形搭 c b 的 边儿搭 b 上。第三种呢， o 三 在三角形搭 c b y， 我 们还是来逐个分析这三种情况。搭 b 是 固定的，求的是 b o 的 距离，也就是 还是求的是半径，所以我们继续啊，根据垂径定律作垂直 h e， 然后连接 o e b。 因为搭 b 等于五，那么所以 b h 永远是等于二分之五。因为角 o e h e b 等于九十度，所以 o e b 永远是大于 h 一 b 的。 看第二种情况，显而易见， o 二和 h 二是重合的，那么所以 o 二 b 就 等于 h 二 b 就 等于二分之五 啊。第三点同理啊，还是做 o 三， h 三垂直于大 b， 那 么连接 o 三 b， 所以呢， o 三 b 永远是大于 h 三 b 的， h b 是 固定的二分之五，那么只有是圆 o 二与 h 二重合的时候啊，此时的 b o 二是最小，也就是等于二分之五。所以呢，第四问的答案就是二分之五。 这一问呢，核心点就是要找到谁是动的，谁是定的。当你捋清这个关系之后，然后看动点和定线段的一个位置关系，很容易就能找到 b o 的 一个最小值。整体上来说呢，这道几何压轴题难度并不大， 相较于我们上一次一模各地的几盒压轴题来说，它的难度更趋于平缓，然后更贴近中考的难度。好，这道题就讲到这里，欢迎点赞关注牛哥，牛哥继续为你的初中学习保驾护航！
227吾家学霸初长成
07:32查看AI文稿AI文稿我们来讲一下我们唐山市路北区二模的这道二十二题，我们路北的二模呢，可以说整体的难度设置是比较平均的，他的最后一道几何压轴题相对于比较简单，然后放到二十二题的这道几何题呢，相对于他的位置来说应该是比较难的，尤其他涉及到了一个很关键的知识点是非常重要的。 那么这道题呢，除了我们应届的中考生之外，同样也非常适合我们八年级的同学来做一做好，下面我们就来讲一下。首先读题，在菱形 a b c 搭中， a 搭等于十， sin 减 a 等于五分之四，这个 sin 减 a 是 什么意思？我认为呢，我们八年级的优生现在就已经应该去了解一些初三的基础知识， 像三角函数值在初中阶段本身就不难，它只是一个简简单单的工具而已。如果说我们八年级的同学还没有啊了解三角函数值，那么老师在这给你翻译一下 什么叫三角 a 等于五分之四，就是把角 a 放到直角三角形中，它的对边，这个直角边比上斜边是五分之四。那么运用我们八年级现在所学的勾股定律，就可以很容易的知道三边之比是三比四比五。实 际上三角 a 告诉我们的也是这么一个关系，无论是你用三角函数去理解它，还是利用勾股定律去理解它，都是一样的，不影响这道题的解析思路。好，我们继续看点 o 在 边 a 搭上啊，搭 o 等于二，标注 动点 p， 从 o 出发，沿 o c b 到 b 停止，将线段 o q 绕点 o 顺时针旋转九十度啊，得到 o q， 也就是说 p o q 这个角是九十度，连接 p q， 设点 p 在 折线上运动的路径为 x。 第一步嘛，求菱形 a b c 搭的面积， 菱形的面积底乘以高，同时有了这个角 a 在 直角三角形中三边关系之比，那么我们只需要过搭点做 h 垂直于 a b 即可。好了，那么也就是说，在啊直角三角形 a h 搭中， a h 比上搭 h 比上 a 搭等于三比四，比五，有了 a 搭等于十，那么 a h 很 容易就可以出出来，等于八，所以呢， s 就 等于十，乘以八等于八十。第一问，解题完毕，下面我们再来看第二问啊，当点 p 与点 c 重合时，求 a q c 的 度数，点 p 与点 c 重合，然后把 o p 旋转九十度 啊，因为是菱形 a 搭等于十，那么搭 c 也等于十，那么题目中给了搭 o 等于二，那么 o c 就 等于八，实际上也是 o p 等于八，那么就是要做啊， o q 垂直于搭 c 于 o。 点上一问，我们求出来了啊，这个菱形的高搭 h 也是等于八的，那么 o q 也等于八，就说明 q 在 a b 上，所以此时我们求啊角 a q c， 就 需要把 q c 连上就行了。 看啊，角 a q c 等于啊，角 a q o 加上角 o q c， 角 a q o 等于了九十度，然后呢， o p 等于 o q， 所以 在等腰直角三角形中，角一就等于角二就等于四十五度，所以角 o q c 就是 四十五度，那么角 a q c 就是 一百三十五度。做到这里啊，还是很简单的，相信对于我们八年级的同学来说，也是很容易能够做出来的。那么这道题最难的就是第三问，我们来看一下， 当点 q 到 a b 的 距离为三时，求 x 的 值，我们放大图来看一下啊， q 的 位置是由 p 的 位置来决定的，而 p 呢，它是在 o c b 的 这个折线上运动的，所以我们就要考虑两种情况，第一种情况啊，当 p 在 o c 上时， p 在 o c 上时，那么 o q 肯定是垂直于 o c 的， 我们在上一问，知道了 o 点到 ab 的 距离是八，这一段距离是八，那么当 q 点在这个位置的时候，这一段距离是三，这一段距离是八，所以呢， o q 就 应该是等于五，那么所以呢， o p 也就等于五，这是第一种情况。那么第二种情况呢，就是 p 点在 c b 上运动时，什么情况下啊， q 到 ab 的 距离是三？ 好，我们来放大图分析一下啊， o q 垂直于 o p， 这里是 q 点这一段距离是三， 求 p 的 运动轨迹， x 实际上是等于 o c 加上 c p 的 这么一个值，当 o 给了等于二， a 当给了等于十，那么 o c 呢，就是八， 那么这道题就转化成我们要求出来， c p 的 这个值是多少？做到这里呢，很多同学就没有思路了，那么老师告诉你，解这道题的关键点，实际上只需要用到我们八年级上学全等时的一个重要的模型就可以解答了，这个重要的模型就叫做一线三垂直。 不知道我们九年级和八年级的同学还记不记得啊，八年级上学全等的时候，这个一线三垂直模型，或者说当初老师有没有讲过这个一线三垂直模型，老师在这呢带大家简单的回顾一下，首先有一条线啊，然后在这条线上有一个直角的顶点，这里是直角， 同时呢，这两条边是相等的，那么我们就要过这个线段的另外两个端点，做这条边的垂线， 那么这两个三角形就是全等的。我们设这个角等于角一，这个角等于角二，这个角等于角三，这个角等于角四，角一加上角二等于九十度， 角三加上角四等于九十度，因为这里是平角，那么所以呢，角二加上角三，也就等于九十度，所以呢，就有角一等于角三，角二等于角四。有了这条线段， a 等于 b， a 等于 b， 所以呢，这两个三角形就是全等的。 这是我们学全等的时候的非常经典的一个模型，它的关键点呢，第一个线上直角，第二个相等的边， 只要看到这两个条件，我们就要以线段的另外两个端点向这条线做垂直。说到这呢，老师说一句，实际上我们很多感觉上很难的几回题， 它都是把一个简单的模型，简单的应用啊，擦除掉一些个必须有的边，让你补全这些个必要的线，那么这些线就是辅助线。好了，回顾了一线三垂直的模型，我们翻回头来看这道题，线有了 d c， 然后直角有了啊， q o p 相等的边儿有了 o q 等于 o p， 缺的是什么？是不是就是这两条垂直的边儿？所以呢，甭管你有没有思路，先把垂直做上，做 q m 垂直于 c 搭，做 p n 垂直于 c 搭，这里呢，通过一线三垂直模型，我们就可以得到一个全等关系， 三角形 o q m 全等于三角形 p o n， 所以 q m 就 等于 o n， q 到 a b 的 距离是三，这里是垂直啊，这个点呢，我们设它为 h， 因为 q h 等于三，所以呢， q m 就 等于 m h 减去 q h 就 等于八，减三就等于五，所以 o n 就 等于 q m 就 等于五，这里是五，这里也是五。那么通过之前的疑问，我们知道了， o c 等于八，刚刚我们求出来了， o n 等于五，那么 n c 就 等于 o c 减去 o n 就 等于八，减五等于三。好，那么 sin a 等于五分之四，同样呢，菱形啊，对角相等，是不是 sin c 也等于五分之四？对于我们八年级的同学来说，是不是有，在直角三角形 c n p 中， n c 比上 np 比上 cp 等于三，比四，比五， 那么 n c 等于三了啊， np 就 等于四， cp 就 等于五，那么此时 x 就 等于 o c 加上 cp 就 等于 八，加上五就等于十三。那么第二种情况呢，就是 x 等于十三。第一问我们求出来了 x 等于五，那么这一问的结果也就是十三或者是五。 这道题的难点啊，就是辅助线的画法，老师刚刚也讲了，实际上辅助线就是出题人把一些个经典的模型的一些个线给擦掉了，让你补全而已，只要你的基础学的扎实， 只要你知道看到什么条件啊，要做什么事，那么这道题对于你来说并不难。所以呢，对于我们九年级的同学来说，如果这道题你没有做出来，那么希望你再去回顾一下之前的一些个经典的知识，经典的模型， 对于我们八年级的同学来说，你也要尽快的去接触中考真题，尽快的把你现在所学的知识啊，知道它去怎么应用。好了，这道题就讲到这，我是牛哥，为你的初中数学学习保驾护航。
47吾家学霸初长成
09:58查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们给大家带来的是二零二六年唐山路南区二模的第十二题啊， 这个昨天上午啊，昨天这个唐山路南区进行的这个二模啊，是我们省内比较早进行二模的一个区域啊。 啊，那我们来看一下这道第十二题，也就是选择题的压轴题。首先来看题，如图，在矩形 a、 b、 c、 d 当中， a、 d 等于五。哎，注意一边读题，一边标注 a、 b 等于三倍的根号三，这不好标，我们标到上面 d、 c， 这啊，它等于三倍的根号三。矩形的话，四个内角都是直角，我们一般可以先标两个啊。然后点 e 在 a、 b 上， 且 a e 比 b， e 等于一比二，点 e 在 这， a， e 比 b， e 等于一比二，你知道什么呢？点 e 是 ab 上的一个三等分点，那 ab 的 长度是知道的，等于三倍根号三啊。那么所以 a、 e 呢，我们就可以求出来，它是等于根号三啊， b， e 呢，它就是二倍的根号三。 好，背景图形分析完毕，然后我来看说，在矩形内找一点 p， 使得角 bpe 等于六十度， 哎，这个角始终是六十度，那这个点 p 在 哪呢？不知道啊，要找一点，那这个点有多少呢？嗯，有很多，对吧？所以这个点 p 其实是一个动点啊，点 p 是 一个动点，这会让求的是线段 p d 的 最小值，让求的是线段 p d 的 最小值。 那结束目标，我们说对质问题处理基本思路分析，定点，动点点屁是动点，点 d 是 定点，然后去找动点在运动过程当中的不变特征。动点点屁在运动过程当中有什么不变特征呢？这个题目当中只有一个，就是要想使， 呃，要使这个角 bpe 等于六十度，也就是说点 p 在 运动过程当中的不变特征，就是始终保证了一个角等于六十度啊，是一个定角，哪个角呢？就是角 bpe， 那 这个角除了点 p 是 一个动点之外，点 b 和点 e 是 两个定点， 哎，所以现在很明显了，对吧？这就是一个定弦对定角问题啊，定弦 b e 对 着定角角 b p e 六十度啊，定弦对定角问题，我们之前也给大家讲过，我们上一条视频呢，也给大家分享过，对吧？但定弦对定角问题，它其实有两类啊， 我们大致可以分为两类，一类是定角是九十度的，就是我们上一条视频啊，海港区一模的那道题啊，那么我们今天遇到的这个问题呢，它属于啊另外一类啊，在上一个上一类当中去进行这个拓点，它不是九十度了，不是九十度的时候，那么 我们如何去通过这个定弦所在的这个轨迹，这个浮动圆呢？ 这个里边我们前面在这个啊，我们这个线上直播课，他们也给大家讲过啊，是怎么整呢？就是我首先我们要根据 啊圆当中这个角度的关系，我们所所说的这个定角，他是一个圆周角啊，圆周角这个点在圆上吗？所以他是一个圆周角，那我要想去，我们要想去找到这个圆，我选首先要找圆心，对吧？找圆心啊，找圆心找半径， 所以那必必不可少的就是我们一定要去找到这个圆心角啊，要圆心角，那我们根据在圆当中啊，同弧所对，圆周角是圆心角的一半啊，那么在这个弦的同一侧啊，在这个定弦啊，定弦 他他同一侧的时候，我们这个圆心角是圆周角的二倍，对吧？所以我们就可以去找这样的一个二倍的这样一个角啊， 那我们刚才那个是六十度，对吧？所以我们这个里面就可以找一百二十度，但是只找度数也是没有用的，我们需要去考虑，他既然是圆心角，那么这个顶点啊，这个圆心角的顶点他就必须得是圆心。 圆心的话，那么我们说动点，还有这两个定点都在圆上，所以我们连接哎这个圆心还有另外的两个定点的时候，我们就可以得到它是其实是一个顶角，是这个定角二倍的这样的一个等腰三角形，对吧？哎，等腰三角形啊， 所以那我们就其实也就清楚了，我们在这道题当中，要想去根据这个定弦对定角去找这个辅助圆啊，动点 p 所在的这个圆，我们首先要找的就是这个圆心 o， 圆心 o 怎么找？我们刚才也说了，就是去首先去做一个等腰三角形，而且这个等腰三角形以 b e 为底，以点 o 为顶点， 而且这个角 b o e 必须要等于二倍的角 b p e 在 这个题目当中也就是等于一百二十度，也就说我们这个题需要以 b e 为底去做一个顶角，是一百二十度的这样一个等腰三角形啊，这个三角形是比较特殊的一个三角形，所以好做出来，对吧？做出来之后呢， 我们可以知道这个是一百二十度的啊，一百二十度这样的三角形我们是熟悉的，对吧？那是一个一比一比根号三的这样一个三角形，那么我们刚才分析了， b e 是 等于二倍的根号三的，所以那么我们这个里边就可以直接求得半径 o b 和 o e 啊，当然了， o p 也是啊，那就等于多少等于 二啊，等于二。好，那么现在呢，我们就以点 o 为圆心，以二为半径，做这样的一个圆就可以啊，以二为圆心，以 o 为圆心，以二为半径做这样的一个圆，把这个圆做出来，点 e， 点 b， 还有点 p， 都在这个圆上 啊，好了，做开这个圆之后啊，这个点屁就在这个圆上运动，当然了，具体到这个题目当中呢，它是圆上的啊，这矩形内部的这一部分，这个圆弧啊， 呃，这个需要有一个简单的一个认识啊。好，那么现在呢，我们需要去在这一段圆弧上去找到点 p， 找一个点 p 的 位置，使得线段 p d p d 的 最小值啊，取最小怎么找呢？一箭穿心，对吧？连接 o d 啊，这个线段 o d 和圆 o 交于 点 p 啊，此时啊，这个 p d 就是 有最小值的。好了，那么找到了最小值的位置，下面就是需要去进行求解， 要想去求 p d， 我 们正常来讲，一般都是先求 o d 两个定点之间的这个线段啊，然后再减去半径 po， 半径是二，所以我们剩下为要求的就是这个 o d。 要求 o d， 怎么求呢？ 我们说首先需要关注这个图形的基本因素，对吧？点 o 是 圆的圆心，那这个圆怎么来的呢？我们是以 b e 啊 这个为基础来做出来的， b e 是 这个圆当中的一个弦，所以要想去求这个 o p 的 o d 的 话，我们也需要去做一些辅助线，首先就是我们可以先 啊跟这个过点 o 去做 o h 垂直 b e 与点 h 啊，利用这个垂线定律啊，利用垂线定律，我们可以到点 h 是 b e 的 中点，也就是 e h 和 b h 都等于根号三啊，都等于根号三。 好，那么要想去求 o d 的 话，我们需要考虑 o d 所在三角形，所以我们现在呢需要去做一个，再做一条辅助线，把 o d 放到三角形当中，我们可以过点 o 啊，做 o f 垂直 a d 与点 f， 这样的话就把 o d 放到了一个直角三角形 o d f 当中，那么这个直角三角形呢？ 嗯，我们要求的是斜边，所以我们先找两个直角边啊，先看 o f， o f 的 话，因为我们这个是做的垂直啊，角 a， 这也是直角，然后 o h 这角也是直角，所以四边形 o f a h 是 一个矩形 of 就 等于 a h， 那 a h 呢，就等于 a e 加 e h， 也就是根号三加根号三，它等于二倍的根号三啊， o f 是 二倍的根号三， 然后另外一条直角边 dfdf 等于什么呢？那 df 它就等于 d a 减 afda 是 五 af 的 话啊，根据同样是根据矩形，它是等于 o h 的 o h 呢啊，我们可以根据勾股定律求解出来，对吧？或者说直接用特殊直角三角形三边关系一比根号三比二，可以求出来 o h 是 等于一的啊， o h 等于一的，所以 af 也就等于，那么 df 呢，就等于四啊， df 等于四。 好了，两个直角边知道了我们要求的这个 o d 啊，就可以用勾股定律进行解 o d， 它就等于二倍根号，三个平方加上四的平方，然后再开根号。啊，根号里边注意一下，二倍根号三个平方，二二得四三四十二啊，然后四个平方是十六， 所以里边呢就是十二加十六，就是二十八，二十八，四七二十八，所以它就等于二倍的根号七。 对啊，我们求的是 o d， o d， 我 们要求的是 p d， 对 吧？所以那么这个 p d 呢，还需要用 o d， 也就是二倍的根号七减去 o p， o p 是 半径，半径始终是等于二的啊，所以 p d 的 最小值就是等于二倍的根号七减二。 好，那么这道题呢，是我们这个去年咱们河北省中考最后一道题，考那个定弦对定角的一个延伸。啊，我们上一条视频也是啊， 是区别于前两道题，我们刚才提到两道题啊，前两道题左右的定角都是九十度，那么我们这个题呢，变成了一个非九十度的这样一个角，涉及到如何去找到这个辅助圆啊，找圆心，找半径啊，就是去找这个，呃，等腰三角形，具体呢，我们可以看一看这个视频。啊， 好，那么我们这道题就先讲到这。
31乐享未来
01:54查看AI文稿AI文稿今天给大家挖掘一下切安中考二模数学卷子里有哪些题需要重视。首先，第一到六题都是基础题， 第七题如果你不会，一定要去弄懂，因为他既考了思路，又考了计算。第八题同样也是既考了思路，又考了计算。而且他考的是读题能力， 读习能力非常重要，因为之后高中每一学科都会有类似的题， 而且题干还会更长。所以说第九题一定要弄懂。第十一题考的旋转啊！这道题有点难，一百分以下同学不需要弄懂。 第十二题出的不好，其实他没有第十一题难，但是会的人一分钟就能把它做完，不会的人要做很久。第十三题和第十四题都是基础题，第十五题一定要弄懂， 因为他也是既考了思路，又考了计算，第十六题反而没有第十五题难。十六题他考的就是正六边形，没有任何花里胡哨的东西。 第十七级到第二十一级都是基础题，第二十二题考的是折叠问题。第三问有点难度，一百分以下同学不需要弄懂。 第二十三题考的是平面几何，第三问非常难。如果你不打算考满分，不需要去看第二十四题，反而难度一般。考的是二次函数，它的特点就是不了别的多啊，用来消耗时间的，你如果没有足够的时间是做不完的。 总的来说，这道试卷如果你考了一百一十分以上，那么你已经非常棒了，能考一百一十分以上，说明你知识点没有任何漏洞。好在如果以上内容对你有所帮助，别忘了点赞加关注！
01:11查看AI文稿AI文稿家长们，二模成绩已经出来了，这条视频请你一定要看到最后，因为他关心到您孩子最终能被什么样的高中录取。 我再说一遍，现在不要盯着分数看了，盯着位次和指标看。为什么？因为唐山市已经明确了省级示范性高中指标到校比例不低于百分之八十。唐山一中的录取，超过八成的名额是按指标分配给初中学校的，全是统招名额，不到两成。你光盯着统招线的分数去对比，没有什么意义。 同样考了六百八十分，那一所实力较强的初中可能进不了唐山一中的指标线，但在另一所初中可能排在指标名额里。稳稳录取， 不是你的分数决定你上什么学校，而是你在全校的位次加上你们学校的指标名额，决定你能上什么样的学校。所以，现在作为家长应该做什么呢？第一，跟班主任确定你们学校分配到了哪些省级示范高中的指 标是你的。另外，还要特别留意 资格硬门槛是连续三年在学籍所在学校就读，中途转学的同学可能失去资格。如果你还不知道你家孩子学校具体指标名额，或者拿不准这个位子到底怎么卡，指标线，都可以在评论区直接告诉我，我来帮你分析。关注我，升学路上不盲目！
19唐山小李老师
00:36查看AI文稿AI文稿唐山初三学子的二模如果考了五百分，到底相当于中考多少分呢？首先一模，一模题目太简单，可参考性不大， 三模呢，是本校自己老师出题可能会偏难一些，所以说咱们的二模是最具有参考价值的。二模的丢分大多数不是不会，而是第一个心态不够好， 第二个基础不牢，打好基础补知识点的漏洞。然后第三个优化自己的解析技巧和解析思路，那么中考提个二三十分很轻松，加油！
11唐山红霞学姐
01:55查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，跟着马哥跑数学没烦恼，咱们今天看一下二零二六年高三唐山二模数学试卷讲解。 咱首先来说看一下第一题，第一题，这个题啊，都有手都行， 为啥有手都行呢？首先看这个 t， 分 母是一减矮，分母不能带矮，所以说上下同时乘以分母的公个负数，那就是一减矮。 上下同乘之后，分母都变成了二，可以利用这个平方差公式，然后二二一消，都剩一减矮了。剩一减矮之后， 这个他问的是虚部，虚部是啥呀？是矮前面那个数，矮前面那个数是多呢？一瞪眼，矮前面那数是负一。 那有的学生都瞪眼一瞪，啪，是负矮，都完米了，都掉壳了， 完蛋了。所以说这里边有一个易错点，易错点就是这个徐步肯定不太矮，他就得负一。 再跟我嚷嚷一遍，跟着马哥跑，下一句是数学没烦恼。
15马哥巅峰数学
01:07查看AI文稿AI文稿二模开考在即，一分钟纯干货答题技巧，听完直接提分别走神！我是唐山贺阳的小曹老师，同学们拿到试卷后应该先填姓名、准考证号、条形码，填好后再三检查，别因漏题而丢分， 立刻通览全卷，分清难易，心里快速排答题顺序，不慌不忙。答题要遵循先易后难，基础题秒做，不纠结难题，果断跳过决不死，可浪费时间。审题要逐字去读，圈化关键词， 避开题干陷阱，杜绝看错条件，答非所问，选择填空。做完后应该立刻填图，答题卡， 别留到最后，容易慌中出错。大体要按步骤去写，哪怕不会也写相关的公式定律，步骤分绝对不丢。留出三到五分钟的时间去进行检查，优先改，明显错误不轻易改。第一，直觉的答案， 把心态放平，会的题拿满分，不会的题抢步骤分，二模正常发挥就没有问题。
00:13查看AI文稿AI文稿唐山中考二模出了这孩子分数上上下下的，可愁死我了。没事没事，你只要盯准一个数据就行。什么数据？那就是排名，分数只是个参考，盯准位类就能选学校了。那想知道孩子位类对应什么学校，该问谁啊？问我就行。
