单招立体几何斜二画法笔记
粉丝5.7万获赞1.2万
相关视频
05:22查看AI文稿AI文稿大家好，我是数学徐老师，这节课我们学习斜二侧画法， 大家先来观察一下这本书，它本身是一个矩形的形状，但是实际上我们观察时呢，它给我们的直观感觉呢，它并不是矩形的形状，它更像一个平行四边形。那这节课我们就学习一下水平放置平面直观图的一个斜二侧画法，如何把我们直观感觉的图形给它画出来。 那我们先来看一下这道题啊。在画平面直观图的时候，在圆图形当中呢，我们需要建立平面直角坐标系，那这里呢， ob 跟 o 的是垂直的，建立一个平面直角坐标系， 那这角 x o y 呢，等于是九十度。那直观图当中呢，我们需要建立一个新的坐标系， x 撇 o 撇 y， 新的坐标系当中呢，要使得这角 x 撇， o 撇， y 撇等于四十五度，或者是一百三十五度， 那么选择四十五建立一个新的坐标系。 圆图形当中呢，在 x 轴上的我仍然保持呢，在 x 撇轴上长度是不变的。那圆图形当中，跟 x 轴平行的仍然保持呢，跟 x 轴平行，它的长度呢，也是不变的，比如说横向的 这个位置关系呢，是不变的， 并且呢长度 它也是不变的。所以这个 o b 呢，在 x 轴上，那新坐标系当中呢，这个 o 撇 b 撇在 x 撇轴上长度是不变的。那在 y 轴上的这个纵向的我们保持呢，它在 y 撇轴上，这个长度呢，要变成原来的一半。 y 轴上的啊，要在 y 撇轴上，这个长度要变成原来的一半。 如果原来跟 y 轴平行的，那保持跟 y 撇轴平行，长度呢，也变成原来的一半。所以这画的时候呢， o 撇得撇在 y 撇轴上，长度呢，变成原来 o 的 长度的一半。完，嘚瑟，一根 x 轴平行，保持跟 x 撇轴平行，这个长度是不变的。我最后把 c 撇 b 撇给它连上啊，连完之后呢，我们把多一部分就给它擦掉，得到这个图形， o 撇 b 撇， c 撇得撇，这个图形就我们所画出的直观图啊。 那么先来看下第二期这个矩形呢，它是水平放置的平面图形的直观图，那给出直观图，我们如何去还原这个圆图形？这个方法呢？还是一样的，那在这里呢，他给出矩形 o 撇 a 撇的长度呢，为六。 o 撇 c 撇，长度呢为二。这个 c 撇得撇，长度呢为二。那我发现呢，这是一个等腰直角三角形，所以这角四十五度，所以这角呢，它也对应是四十五度。那 x 撇 o 撇 y 撇四十五度，那在还原成圆图形时呢，它又变成九十度。 那 o 撇 a 撇在 x 撇上圆图形当中呢，在 x 上这个长度不变的，原来是六，这个仍然是六。 那 o 撇得撇呢？在 y 撇轴上圆图形当中呢，需要在 y 轴上，长度要变成原来的二倍，这是二，二，这是两倍的根号，所以它的长度呢，这里要变成四倍的根号。二，然后 c 撇得撇，跟 x 撇轴平行，这个长度还是不变的， 然后再把 o c 连上，然后这里呢， c 撇 b 撇， c 撇 b 撇跟 x 轴平行，所以这 c 撇 b 撇呢，给延长一下啊，保持跟 x 轴平行，长度不变，所以这面的长度呢，整个的也是六，然后最后再把这个 a b 连上啊， 这样我们得出它的圆图形，那这个长度呢是二，这是两四倍的根号，根据勾股定律呢，我们求出 o c 长度呢，也等于六，所以圆图形呢，它是一个菱形， 那我再来看一下它的面积是多少，那我需要分析一下圆图形跟斜二侧图形它俩面积之间的关系，这个横向长度不变的，说明它的底是不变的。 那么再看高的关系，原来高是 h， 那 在这里呢，把这高呢在里变成 y， 撇轴上长度变成原来一半，这个变成是二分之 h， 然后你二分之 h 呢，再乘以三元四十五度，才变成新图形的高，所以它的高呢，会变成原来的一半，再乘上 三元四十五度。这时候我们会得出直观图的面积与圆图形的面积之比 等于二分之一，乘上三点四十五度，二分之根号等于四分之根号二， 那在这里呢，它直观图的面积呢是二六，是一十二，所以十二呢，比上圆图形的面积等于四分之根号二，那这又根据这关系呢，我们可以算出圆图形面积呢，等于这是四十八，除以根号是二十四倍的根号二， 那这里呢，带单位的啊，比方把单位加上去平方厘米，那当然呢，求这个面积时呢，也可以根据所还原出的图形去求它面积也是可以的。
38高中数学徐老师
23:51查看AI文稿AI文稿上节课呢，我们主要讲了斜二策划法的基本原则，还有两图关系，那么这里先做一个回顾。首先基本原则这一块呢，我们讲了平面直角坐标系中的原图到斜二策划法中的直观图之间的转换关系。 那么我们说总结出来呢，就是八个字儿，平 x 不 变平， y 变半。啥意思呢？就是说原图中的平行于 x 轴的线，那么到了直观图中呢？哎，它不发生改变，那把长度 该是多少还是多少？那么原先平行于 y 轴的线呢？变为原来的一半，那么如果说我想把原图中的一个点迁移到现在的直观图中，那我就得分别过它做 x 轴和 y 轴的平行线，那么再根据这个原则进行转换就可以了。那么之后呢，再来看一下两图关系， 对吧？两图关系呢，主要讲的长度和面积，那么这块呢，我们说长度靠画图，面积呢？靠公式，啥意思呢？首先长度呢，还是觉得把图像还原出来比较靠谱，从图像中呢，直接就可以找到它的几何关系， 那么再根据几何关系呢，去找到具体的长度，那么面积呢？上节课讲了，我的原图和直观图之间是存在一个系数，可以直接转换他俩的。当然，如果说你对这个公式不够熟练的话呢， 我还是建议大家画图可能更稳妥一点。好，那么我们今天呢，主要看一下斜二策划法的一些综合练习，他和其他问题哎，是怎么样进行综合的？那么一起来看这道二四年的福建省的校级期末考试题，那么这道题呢，首先给了一个直观图长这个样子，他说什么？他说这两条边长度都为二， 那么点 c 呢？在这里做了中点，问下列说法正确的事，那么我现在知道什么？知道这个角是四十五度，好，那么依次来看一下 a、 b、 c、 d 四个选项，那么 a 选项呢？说什么？说 oc 和 o b 这两向量数量基为零，那么这里就要求我们还原原图， 这个图很好画，对吧？那这里直接把 x 轴和 y 轴画出来好，那么首先来找平行于 y 轴的线，还在这里，平行于 x 轴的线呢？在这里，对吧？那么 x 轴直接不变，对吧？还是二，该是多少还是多少？那么 y 轴呢？这块变成原先的二倍啊，也就长度为四，那么在连接 ab 啊，就找到了这样一条线， 那么点 c 呢？作为 a 撇 b 撇的中点，它是不是同样的比例不会发生改变啊？那么它同时也做了 ab 的 中点， 哎，那么所以说点 c 呢？还在这里，那么我们把 o c 和 a b 画出来，这俩向量，哎，它俩能垂直吗？很明显不是垂直关系，对吧？所以说 a 选项呢？ 错的。再来看一下 b 选项，他说三角形 a o b 的 面积为二，那么这个三角形的面积呢？很明显不是二呀，对吧？这里是垂直的，所以说底乘高除以二，应该是多少？应该是四，那么 b 选项呢？也是错的。 好，再来看下 c 选项，说啥呢？说 o c 在 o b 上的投影向量为二倍的 o b， 对 吧？这个向量在 o b 上的投影向量，哎，是哪里呢？ 补过点 c 做垂线，那么也就是这一条向量没问题吧？那这条向量呢？很显然它是多少呢？它是二分之一 o b， 而不是二 o b 啊，那这个系数搞错了，哎，那么 c 选项呢，也是错的，那么作为单选择题，哎，是不是只能选 d 了呀？当然，我们要搞清楚为啥要选 d， 对吧？ b 选项呢？说什么 ab 同向的单位向量为这个十分之根号五倍的 ab， 那 么我们说呢，去找一个向量方向上的单位向量， 怎么找呢？哎，比如说，我要找小 a 方向单位向量，就是这个向量比上它本身的模值，对吧？那么我现在要找 ab， ab 呢，比上自己的模值是不就可以了？好，那么现在呢，我来算一下 ab 呢，比上自己的模值是不就可以了？好，那么现在呢，我来算根号下四的平方十六，再加二平方，也就是四， 那这里直接得到二倍根号五，没问题吧？好，所以说它就等于二倍根号五呢，分之向量 ab， 那 么算出来，哎， d 选项确实没问题，确实就是十分之根号五倍的向量 ab， 那么这道题呢，就选 d， 那 么这道题呢，也是我们这个斜杠策划法和平面向量呢，进行了个综合，对吧？你发现，哎，通过还原原图呢，这个坐标系里面还可以结合一下向量。继续来看这道二五年的河北省校级期中考试题。那这道题呢，首先给了一个梯形， 它的上底长度是二，下底长度是五，那么并且都是平行于 x 轴的，那么另外呢，又给了一条幺，长度为二，平行于 y 轴，哎，注意了，这是一个直观图。然后现在问题呢， a、 b、 c、 d 四个选项，问谁是对的？那么 这四个选项都是关于什么呢？都是关于原图的，这里就要求我们把原图还原出来，大家可以暂停下视频，自己来尝试一下。那么要还原原图简单，我先在这里画一个直角的，找一下平行于 y 轴的， 首先，哎，它是平行于 x 的， 它是平行于 x 的， 对吧？那么它呢，是平行于 y 的， 哎，我分别在原图中去还原这些线是不就可以了？ 那么还原这些线呢，都需要从点 d 开始，有些小伙伴可能就要问，哎，这个点 d 是 悬空的，怎么确定它的位置呢？ 其实不重要，对吧？我们大概在第一项线呢，找这样一个点 d 就 可以了。那么 d a 长度是五，哎，它平行于 x 轴，长度还是五，那么再来看一下谁呢？再来看一下 dc， 对 吧？ dc 它平行于 y 轴，那么长度为二，在原图中呢，长度就是两倍，也就是四， 那么 c， b 呢？它平行 x 还是二，对吧？最终把口一封，哎，得到这样一个梯形，那么 a 选项呢，我们是不是可以直接做了上底加下底乘以二算出来呢？面积是多少？面积是十四， 所以说 a 选项明显是错的，那么这里呢，也把点 p 牵过来，那么后面三个选项 b、 c、 d 呢？都是关于什么呢？我大概看了一眼，哎，好像都是关于向量，向量还有向量的， 对吧？所以说呢，哎，我们说向量，它是有大小，有方向，但是唯独是没有位置的，那为了方便计算呢，我可以把这个图像移动到坐标原点处啊，移动到下面来，对吧？那么 这样也让我得到的向量相对来说比较简单了。好，来看一下 b 选项。那么既然都是原图啊，我就不需要直观图了，光去看这个原图，那么 b 选项说什么呢？与 ab 同向的单位向量坐标是长这个样子，对吧？那咱们说单位向量，哎，一个方向同向的单位向量怎么表示呢？ 就是这个向量比上它本身的模值，那么我要求 ab 方向上的单位向量表示一下，也就是 ab 比上 ab 的 模值， 对吧？那 ab 的 魔值很好算呀，对吧？这一段怎么算呢？哎，做个垂线对吧？你是四啊，你是二，你是三，所以三四，哎， ab 的 值为五，所以说，哎，它就能被写成五分之一倍的向量 ab。 好， 那么之后呢，我们要做的就是表示一下向量 ab 是 不就可以了呀？那 ab 的 话呢，找到点 a 坐标， 点 a 坐标是五零点 b 坐标呢是二四，那终点减起点呢，就能得到 b 选项呢？是对的。 好，再来看一下 c 选项，这里说啥呢？说 a d 在 向量 a b 上的投影坐标啊，长这个样子，投影向量的坐标，那么我们说啥是投影向量呢，对吧？啥是投影向量呢？ a d 这条向量， a b 这条向量， 就做完投影之后呢，我得到了这样一条项链，如果大家对于投影项链的定义啊，还有什么不是很清楚的话呢，建议点到我的主页去看一下。往期关于投影数量和投影项链那一期视频讲的非常清楚。好吧，那么这里呢，我们说要算投影项链呢，它的公式怎么来描述呢？ 首先两部分组成对吧？第一部分是投影项链方向上的单位项链把，被投影项链是谁啊？是不是项链 a b 啊， 把它方向上的单位向量刚刚是不是已经算出来了，哎，就长这个样子，对吧？那投影数量是多少呢？哎，这里因为全部都是坐标的形式，所以说我们选择通过数量积把它表示一下，所以说呢，最终，哎，我要求的这个投影向量，也就是 a b 乘上向量 a d， 它俩的数量积，比上谁呢？ 比上 ab 的 魔值啊，也就是谁啊，也就是投影数量，对吧？再乘上 ab， 比上 ab 的 魔值，也就是 ab 方向上的单位向量，它俩乘在一起呢，得到这个公式，我们直接往里套就可以了。 那这里还需要谁呢？还需要 ad 的 坐标，对吧？ ad 也就是负五零啊，直接代入计算一下，那么 c 选项呢？也是错的，那么再来看下 d 选项，这里说什么呢？说三倍的 pa 加上 p b 魔值的最小值， 哎，那么这里用到这个动点，点屁了，对吧？点屁在 dc 上做了动点，那么它是不是需要去射一下呀？我就射它的坐标是零 m， 那 么这里注意了，它是不能超过 c， 也不能超过 d 的， 只能在中间这一段上动， 对吧？那么 m 的 范围呢？是有要求的，只能在零到四的 b 区间，那么这里我需要 pa 和 pb， 那 么写一下吧， pa 中点减七点五负 m， pb 中点减七点二，四减 m， 得到它俩坐标之后呢？哎，这个魔值我们表示一下，先把三 pa 加 pb 写出来， 横加横，纵加纵，哎，得到这样一个坐标，那么它的魔值呢？也就是根号下横的平方加上纵的平方，那么这里既然要求的是最小值， 对吧？我希望要什么？我希望要括号下面这一坨最小，所以说当然是这一项，他怎么样？他越小越好，对吧？但他又是非负的，所以说他为零，那肯定是最合适的。 那当 m 等于一的时候，哎，他确实来到了最小，没问题吧？那么最终开个根号之后呢？哎，就大于等于十七，那么 d 选项呢，也是对的。那么这道题呢，选 b 和 d， 你 们学会了吗？ 那这道题的话呢，就相当于是结合了一下我们前面学的平面向量，对吧？你发现我们要考这个啊，斜二策划法和平面向量是怎么综合的呢？其实很简单，对吧？他给你一个直观图，你把它还原成什么？还原成平面坐标系的原图，那么在原图中呢？哎，使用向量 对吧，就能解决它，相当于是两个考点非常生硬的拼凑在了一起，那么我们如果说对其中某一个还不够熟练的话呢， 哎，一定要多费点功夫。继续来看这道二三年的河南省月考题，那么这道题呢，给了一个等腰梯形，他说了上底和下底长度分别是三和十一，而且是平行于 x 轴了，那么两条腰呢，长度都为二倍根号五 点， p 呢，做了 o c， 这条腰上的一个动点存在。现在问下列说法正确的是，那么注意了，这里给的是一个直观图，那么首先 a 选项在说什么？再说四边形圆四边形的面积，哎，是十四倍根号二，他在说原图的面积，但是现在呢，题目中给了什么？给了直观图， 对吧？我们知道原图和直观图之间呢，是存在面积的倍率关系的，原图面积是二根号二倍的直观图面积， 对吧？ s 元等于二倍根号二，乘上直观图面积，所以说，只要我能算出它的面积，再乘上二倍根号二，哎，是不是就能算出原图面积，对吧？即使不用画图也能算，我们一起来体验一下，那这里呢，要算它的面积，还缺少什么？还缺少高，对吧？所以说，我就分别过 c 和 d 呢，做垂线， 好，那么这里呢，因为他是三，那么这里也是三，这一段就是四，哎，这一段也是四，对吧？两条腰呢，长度都是二倍，根号五，所以说高呢，就可以在这个三角形里面，哎，通过勾股定律算出来，那高呢，就等于二， 好，那么我这个 s 值是不是可以直接算了呀？上底加下底，哎，是十四，乘上二，再除以二， 那么 s 值的面积呢，就是十四，对吧？再乘上二倍根号二， s 圆呢，是不是就等于是二十八倍的根号二呀，对吧？和他所说的十四倍根号二还是差别挺大的，那么 a 选项呢？就是错的， 好，那么继续来看 b 选项，再把 b 选项再说什么？再说， o c 长度等于六， o c 在 哪？ o c 在 哪儿？ o c 在 这里，那么这里要算长度了，我必须得把原图还原出来，那么要画原图呢，我要找平行关系，但是问题来了，对吧？首先，平距 x 轴的啊，它和它我能直接看出来， 但是呢，这道题重点在于什么？在于找点 c 的 位置，对吧？但是 o c 呢，它既不平行于 x 轴，也不平行于 y 轴，那怎么确定点 c 的 位置呢？原图中点 c 的 位置， 哎，我们说在你看不清的时候呢，哎，我就去找 c， 撇过它，分别向 x 轴和 y 轴做平行线就可以了，对吧？那么做一下平行线，哎，这里过它向 y 轴做平行线，在这里 过它向 x 轴做平行线呢，在这里，好，那么我们要做的就是算出这一段和这一段具体长度是多少就可以了，对不对？好，那么由于呢，我这个角本身就是四十五度，所以说这个角呢，是不是也是四十五度呀？ 那么这个三角形哎，他是一个等腰直角，好，那么这里是二，这里也是二，那么刚刚算了，这一段总长是四，所以说你是二，哎，我也是二，对吧？那他的长度就有了，长度就为二，对吧？那么我们再来找一下 y 轴，这一段他的长度是多少？ 那么他的长度呢？这段的长度是不是也就等于这一段的长度呀？对吧？那这段是二倍根号二，所以说他的长度呢，也是二倍根号二， 哎，那由此我就可以找出点 c 到底在哪里了。好，把原图的这个直角坐标系画一下，那么首先呢，先把 o a 还原出来，对吧？原来是十一，那么我们说平行于 x 轴，它的长度不发生改变，现在呢，是不是还是十一啊？而且点一的位置呢，我能确定出来哎，他就在距离原点二的位置， 对吧？平行于 x 轴不发生改变，好，那么我们再来找一下平行于 y 轴的，那这里就过点 e 呢？过点 e 做 y 轴的什么平行线，这一段把它的长度是多少？ 它的长度是四倍根号二，而原先是二倍根号二，这里要扩一倍哎，找到点 c 的 位置，好，那么之后呢，我是不是还可以顺势找到点 d 的 位置，对吧？这里呢，平行于 x 轴，长度为三哎，长度为三，点 d 也有了，那由此呢，这个四边形，哎，它的四个点都有了，直接一连，对吧？这个题型就出来了， 好，那么现在呢，我既然要找 o c 的 长，那直接在这个三角形里面啊，使用勾股定律算一下是不就可以了？是根号下四，再加上三十二，哎，那么 o c 长度确实就是六，哎，没问题，对吧？那 b 选项呢？是对的，好，再来看一下 c 选项， 说什么？说 ad 在 a o 上的投影向量是十一分之六倍的 a o 在 哪里？ a o 是 这个向量， 说它在它上，它在它上的投影向量是十一倍的向量， a o， 对 吧？那要找投影向量，哎，我就得过这个向量，怎么办？做垂线对吧？做垂线 垂下来之后呢？哎，我发现投影向量呢，就是这一段，那么我就要找到，哎，这一段和 a o 具体的比值是多少？那由于这里是三，这里是二，垂下来之后这里也是三，那么总长是十一，所以说这段呢，长度就为六，对吧？那么这段就是六，比上十一的 a o 啊， c 选项也没问题， 对吧？如果说对于投影向量还不够熟练的小伙伴，一定要点到我的主页，那么我们从原理到方法哎，都有一期非常非常详尽的视频，大家一定要去看。 好吧，那么再来看一下 d 选项，说 pa 减去二倍的 pd， 哎，取值范围，那么终于轮到这个动点 p 了，那么点 p 呢？你想把它表示出来，哎，它在什么？它在 o c 这条线上移动，那么这里呢，需要怎么办？需要去设一下它的坐标，那么 o c 这条线呢？首先，哎，点 c 的 横坐标，我知道是多少，是 二四跟二，对吧？所以说 o c 啊， y 是 不就等于二根二倍的 x 呀，对吧？那么点 p 的 坐标呢？设一下 x 和 y 之间是不是存在二倍根号二的关系，对吧？我最重要找的是 pa 和 pd 这两个向量。这里先把 a 和 d 写出来了，对吧？也不影响，也不影响，因为这两个都是已知的嘛，对吧？可以完全写出来。好，那么点 m 的 坐标呢？纵坐标是横坐标的二倍，根号二倍。好，那么 m 的 范围怎么确定呢？那我们说它的横坐标范围是不只能是在零到二的 b 区间呀？那么这里一定要注意啊， m 的 范围我们要规划好。好， 那么有了，我们需要的三个点， p a， d， 对 吧？ p a， d 全部都写出来了。首先来看 p a， p a 的 话，中点减起点啊，长这个样子， p d 的 话，中点减起点，长这个样子，那么它俩一加呢？得到 p a 减去二倍的 p d 啊，长这个样子。那么现在呢，我要求模值，也就是根号下横平方加上纵平方展开之后呢，得到一个关于 m 的 二次函数，看起来非常复杂，对吧？特别不了解， 但这道题呢，它最终是要问取值范围，对吧？那不好解也得解啊，对吧？这里是一个什么？这里是一个开口向上的二次函数，其实也没有那么难，对吧？我们大概看一下它的对称轴位置，也就是负的二 a 分 之 b， 负的二 a 分 之 b， 也就是十八分之 六十二，对吧？两边同除一下，也就是九分之三十一，大概是三点几，对吧？三点几，这个对称轴的位置呢？大概是三点几。那么我最终 m 的 范围呢？是不是只能取到零到二呀？那么零到二，那你对称轴的三点几？那零到二呢？肯定是在他左侧的这个位置， 对吧？左侧的位置是一个单调递减的区间，所以说把零带进来呢，能取到最小值，对吧？我分别把零和二带进来 啊。 m 等于零的时候啊，这里是不是就等于根号一百二十九，哎，这是什么？这是最大值。那么 m 等于二的时候呢？这里是什么？这里是 四九三十六，三十六减一百二十八，再加上一百二十九，对吧？也就等于三十七，根号三十七，哎，这里是一百二十四，写错了，他俩一加之后呢，得到这是四十一啊，根号四十一， 对吧？根号四十一，那最小值是根号四十一，最大值是根号一百二十九啊，就直接算出来了，对吧？所以说 d 选项呢，也是对的。那这道题最终三个选项，那 b、 c、 d， 你 发现这种和平面向量综合的问题呢？其实主要难点还是出现在平面向量这一块。 那我们直观图呢，它只是作为一个小小的考点啊，我们在还原上可能会遇到一些问题，对吧？只要把它攻克之后呢，其实啊，它只是算一个比较小的考点。继续来看这道二十四年的福建省校级期中考试题，那这道题呢，首先给了一个梯形， 他说下底长度是上底的二倍，而且长度为二，那这条腰的长度为二。先来问原图中 c、 d 是 多少啊？注意了，给的是一个直观图，我要画原图的一个线段长，对吧？这是第一问， 那么这里就需要还原原图，我把坐标系画在这里，还原图非常简单，对吧？我要找平行关系，平行于 x 轴的，平行于 y 轴的，你把分别找出来， 平行于 x 轴，那么从 a 出发，哎，该是多少就是多少，对吧？你是二，我也是二，好，那平行于 y 轴的呢？哎，长度变为二倍，对吧？这里是二，那这里就是四， 好，那么 b c 呢？也能画出来长度为一，那最终把口封上，哎，找到这条我们要求的谁啊？我要求的 c d， 那 么这里呢，想算它的长度，把它放到一个直角三角形里面就可以了，那么这里是一，这里是一，这里是一，这里是四，那么根据勾股定律呢，斜边长直接算，对吧？就是根号是七， 没问题，非常简单。那主要来看一下第二问，第二问说啥呢？说这个直角梯形啊，他以 a b 所在的这条边哎为直线为轴转一圈，那把所得立体图形 体积是多少？那这里注意了，转完之后是个啥图形啊，对吧？我们说这样一个直角梯形，哎，转一圈一定会得到一个圆台，如果想不来的话，我们大概画一下，那把上面是补成一个圆， 下面呢也补成一个圆，对吧？得到这样一个立体图形，那么要算体积的话呢，有些小伙伴可能记了圆台的体积公式， 那么作为我的话呢，我每次都会去推一下，其实也就是两个三棱锥的体积相减，对吧？如果说把它补齐啊，上面补齐之后呢， 会得到这样一条小的三棱锥，对吧？那么我要算下面这个绿的圆台的体积，是不？也就是总体这个大的三棱锥的体积，减去上面这个小的三棱锥体积， 对吧？也就是微大减去微小，好，那微大怎么写呢？也就是三分之一 pi r 方，对吧？注意了，这个 r 是 谁啊？这个 r 是 下面这个大圆的半径，对吧？ r 方乘上谁乘上总高，对吧？也就是它的高，这就是微大 减去微小三分之一 pi r 方，再乘上小 h， 对 吧？这你注意了，小 r 呢，代表是小圆的半径，那么小 h 呢，代表的是这个小三能追的高。 好，那么这里代值算一下，也就是三分之一派乘上，这里是四乘上总高，哎，这里一比二，所以说两条高呢，也是一比一的，对吧？它的长度，它的长度是四，对吧？根据相似能算出来四乘八， 再减去三分之一派乘一，再乘上他的高啊，是四。好，那么这里呢，是三分之三十二倍的派，减去三分之四倍的派，那最终体积呢？就是三分之二十八倍的派， 对吧？其实也非常简单，那如果说更乐意记公式的小伙伴呢？这里也把公式给大家了，对吧？三分之一派 h 乘上谁呢？乘上 r 一 方 加上 r 二方，再乘上 r 一 乘 r， 对 吧？这个 r 一 和 r 二就是这里的大 r 和小 r， 好 吧，那么这道题呢，最终答案就是三分之二十八倍的派。最后来看这道二五年的黑龙江期末考试题，那这道题呢，首先给了一个直观图，那么是一个直角题型， 他说了上底根号二，下底二根二，现在说呢，原图哎，以 a d 为轴旋转一圈，问得到的体积是多少？那么有了上一道题的经验，这道题我们可以自己来尝试一下了。那首先他告诉我什么？他告诉我这里是个直观图，对吧？要还原原图， 那么我们大概想一下，这个直观图呢，既然已经把四十五度角填满了，把 a 撇 d 和 a 撇 b 呢？把这个四十五度角填满了， 那么原图会是一个怎样的梯形呢？是不是肯定也是一个把那个坐标系的夹角填满的直角梯形啊？对吧？那既然有一个直角梯形哎，那么把它旋转一圈，是不是一定会得到一个圆台啊？ 那既然已经有了原台的体积公式，我们这道题要做的呢，就是还原图形，直接套公式就可以了。好，那么要还原图形呢？哎，我是不是还缺少谁啊？缺少这段的长度，那么简单算一下吧，既然是直角梯形，所以说这里做垂线，做完垂线之后呢，这里根二，这里也是根二， 对吧？那左边这个等腰直角三角形啊，高为根二，那么斜边长呢，就为二，先把它快速算一下，那么来看一下原图，画一个直角坐标写在这里，那么平行于横坐标呢？这一段啊，它原本是二根二，那么现在还是二根二，那么平行于纵坐标呢，这里是二，那么现在变为原先的二倍 啊，变成四，长度为四的 a d 好， 那么 d c 呢？长度还是根二，最后把口一封，得到这样一个直角梯形，那么现在呢，我要围绕 a d 旋转一圈，对吧？旋转之后呢， 肯定是得到一个哎，上底长这样，下底呢，长这样的一个什么圆台，得到一个圆台，那么这次呢，咱们有公式在手哎，直接套公式就可以了，那么它的体积呢，是不是就等于三分之一 pi 乘上 h， 再乘上什么 r 一 方，加上 r 二方，再加上 r 一 乘二，对吧？那么三分之一 pi h 是 多少？ h 是 四， 那么 r 一 方呢？也就是二，他的平方呢？ r 二方是八，对吧？再加上他俩相乘，这里再加四，那么算出来呢，这里是十四乘四，也就是 三分之五十六倍的派啊，那看一下最终答案就是三分之五十六倍派。当然如果说我们不熟练的话呢，还是把它补回两个三棱锥，哎，体积减一下也可以。 完了，这里呢就是关于所有的邪恶策划法啊，他的一些综合问题。我们这期视频就结束了，大家如果说对于我们视频有什么更好的建议或者说想听什么内容的话呢，可以在评论区留言啊，如果要领取我们的免费讲义的话呢，也可以在评论区扣一下。
30昊哥跃动数学
00:50
03:36查看AI文稿AI文稿立体几何这一章呢，我们主要从这个四个方向出发啊，那我们最开始在这本书上，第一个要先学的其实并不是一些几和几的相应的计算。首先先教大家怎么来画图，这个画图直观重要啊，很多我也不会画图， 我们在书上其实第一节学的叫做习二策划法，我们首先先讲一下这个习二策划法怎么来画，对吧？那我们在初中阶段呢，其实就接触过这个立体图形的一个三维式，对吧？直观读， 那我们在高中呢，需要把这种立体图给他画准确，才能把他的相应的一些五样东西求出来啊，那这个斜二画法就是把我们的立体图，对吧？给他转转换到平面上，给他画的非常非常立体。哎，你让他看出来啊，那首先呢，我们画这个斜二画法的时候呢，实际上他是从我们的这个平面直角坐标系开始，对吧？由他还是演变出来的 好，大家在笔记上画一个直角坐标系啊，我们直角坐标系呢，水平方向跟数值方向对吧？ x o y， 那 么我们把这个图形对吧？如果在空间当中，对吧？给它展示出来它对应的画法，咱怎么画？首先呢，我们在直角坐标系中，我们先画出一个边长为二的正方形。好，我在这呢直接给大家用带颜色笔来画啊。好，这是一个边长为二的正方形， 那这四个点的坐标呢？大家也都可以给他，对吧？算出来标记出来啊，那在这我们表记了，是吧？标个通常就可以了啊。好，那么这张图呢，他如果对应的是某一个几何体的表面，比如说上表面，对吧？哎，我们最常见的几何体就是正常体，那这个上表面，如果我们想把它画的立体的话，大家知道上表面，我们通过以人眼直观去看的话，它的 肯定不是正方形，对吧？你从侧面看，肯定不是正方形，他应该是一个平四边形啊，我没看，他要到处看，对吧？比如说这个面，我们从正面看，从这个面看，是不是正方形，对吧？但是如果你要从这个方向看，很明显他这个图形不是个正方形，对吧？他应该是个平四 啊，所以我们其二做二法，需要首先先把坐标轴先给他变化一下，对吧？那在这，我们在高中啊，规定水平方向的 x 轴挺好，他是不变的。把数值方向的 y 轴倾斜四十五度来画啊，当然也可以倾斜一百三十五度，就是这个方向 啊，这个是我们的 y 轴哎，我们把它记为 y 撇，它俩之间的夹角呢，就是四十五度，哎，这个位置就是四十五度，好，那此时呢，这个正方形它的位置，对吧？就会发生，哎，扭曲便斜了啊，好，那么这个时候这四个点都跑哪来了，对吧？原点 o 的 位置不变，还在这啊，水平方向的 a 点它也不变，还在这 啊，对吧？因为大家可以看到你从主视图跟俯视图上看，是不是这个图像的宽度是不变的，对吧？哎，好，所以 o a 的 长度是不变的啊，所以我们把这两个点，对吧？同样再给它连起来啊，这样啊， y 轴上的 c 点，它的位置会发生改变了， 对吧？大家知道从上面往下看和从前面往往右看，是不是这个边的长度是不是不一样，对吧？他肯定会变阻，因此我们在斜二次方程中规定什么呢？在数值方向的长度要化为原来的一半 啊，比如说我们现在是边长，是二，对吧？那这条变长也是二，那么他一半之后变成几呢？一，对吧？我们就在 y 撇这个轴上取一个单位就可以了。所以 c 撇啊，他的位置在立体图中，就画在这个位置啊，哎，就画在这个位置，他的长度就变成了一，哎，这个长度就变成了二， 那老八，但实际长度是没变老八，只是我们观察他的时候，他的长度是感觉上，感觉上是变短的啊，但实际上长度还是二啊。 好，这个点找到了，同理，那么 b 撇他的位置也就找到了，对吧？我们在这做平行且相等，对吧？那这条线对应的这个点就是 b 撇，把他跟 a 如果连上的话，哎，这样形成了这样的一个四边形，对吧？就是一个平次，他就相当于我们在大家在做图当中立体，立体图当中正方体的上表面 啊，就这个好，我们就把这样的斜二乘法法得到的这样的一个图，对吧？称之为直观图啊，把这一保持，哎，也就是立体啊，立体就叫直观图，就是人眼看到的形状，是这样的。
72郭谦数学
05:45查看AI文稿AI文稿斜二侧画法在进入立体结合以后，我们往往会用一种斜二侧画法来画空间图形或者水平放置的平面图形的直观图。这种画法的规则我们通过一个水平放置的矩形来进行说明。 首先在这个原图中分别取 x 轴和 y 轴，他们两个互相垂直，原点是点 o。 画直观图的时候，我们保持 x 轴不变，把它记为 x 撇轴。 而外轴呢，倾斜四十五度，并且标记为外撇轴，圆点不变，于是就变成了一个所乘的角为四十五度的平面坐标系。然后在新的 这个坐标系中，平行关系保持不变。也就是说，原图中平行于 x 轴的，在新的图当中仍然平行于 x 撇轴。原图中平行于外轴的，那么在新图当中仍然平行于外撇轴。 比如说这条线段 a b 在原图中平行于 x 轴，那么跑到了直观图中， 就平行于 x 撇轴。 ad 这条线呢？原来平行外轴，那在新的图当中，他就平行于外撇轴，这是平行关系保持不变。 然后长度的规则是，原来平行于 x 轴的线段长度保持不变，所以说这个 a b 变到 a 撇 b 撇，这来了一 以后，他的长度仍然跟原来一样。但是原来平行于外轴的线段呢，到直观图当中，长度要变为原来的一半， 所以我们就取 ad 的一半。然后呢，让它平行于外片轴，画到这个直观图当中，于是这个 apd 片就变成了这样的一个线段。 同样的道理， d c 这条线段在原图中跟 x 轴平行，那么在新的直观图当中，也会跟 x 轴平行，并且以 d 撇为一个端点，它的长度与 d、 c 长度相等， 这样我们确定了它的四个顶点以后，再连接 b 片、 c 片，就得到了一个完整的直观图。 所以我们发现，本来一个矩形，用斜二侧画法画出直观图以后，变成了一个平行四边形，这样画也是为了突出立体感。所以如果要画一个图形的直观图，我们抓住这两点，平行关系不变。 原来平行于 x 轴与 y 轴的，现在还平行于 x 片轴与 y 片轴，只不过这个轴呢，它的夹角是四十五度， 原来平行 x 轴线段长度不变，平行外轴的线段长度变为原来的一半。那既然这样，我们发现对于一个平面图形，他画成直观图以后，他的底没有变，他的高应该在这条线段的基础上再 乘以三四十五度，这条线段是原来这个高的一半。所以假设原来的高度是一的话，现在这个长度是二分之一， 而这个长度呢，它是倾斜的，还不能代表现在这个图形的高，应该过地片向底边做垂线，而这个高呢，是四十五度所对的直角边，所以说他又是斜边的二分之根二倍， 二分之一再乘以二分之根二，就应该等于四分之根二。这样的话，它的底长度没有变，它的高变为了原来的四分之根二倍。于是像这样的平面图形，它的面积与直观图面积之间的关系 是 s， 原图乘以四分之根号二，等于 s 直管图。我们来看一个例子，这里给了一个直角三角形 o 撇、 a 撇、 b 撇， 说他是一个平面图形的直观图，也就是用斜二侧画法画完了以后的那个图，若 o 片、 b 片等于根号二，这是他的底边长。 问这个平面图形的面积，也就是原土的面积。我们刚才讲原土乘以四分之根号二，等于直观图的面积。 现在直观图是一个等腰直角三角形，那么它的底和高都是根号二，所以它的面积应该等于 二分之一，乘根号二，再乘根号二，也就是一，于是原图的面积乘以四分之根号二等于一，那么原图的面积就应该等于一， 再除以四分之根号二，等于二倍根二，所以选择 c 项。当然我们也可以通过把这个直观图进行还原，把它的外轴竖起来，保持 x 轴与外轴垂直， 然后利用我们刚才的规则去还原他的原图，再求面积，得到的结果是一样的。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。
2269袁来有数(高中数学)
05:13查看AI文稿AI文稿同学们好，我是乐学工艺课堂的严老师，今天呢，咱们来看一道关于高一立体几何中斜二策划法的一道题型啊，一道题型，咱们来看一下这种题应该怎么来做。首先咱们来进行一个读题，题目中说如图所示啊， 是一个四边形，用斜二侧画法得到的直观图。然后呢，它是一个底角为四十五度，腰和上底都是四的等腰梯形，问圆四边形的周长是谁？那像这种题啊，咱们必须得从他这个 原来的这个斜二侧画法入手，然后把它的实际实际平面图给它画出来，然后才进行计算，对吧？题目中说这个斜二侧画法，这个直观图的，它的现在长的是一个什么等腰梯形，对吧？那好了，咱们画一个什么 平面图啊？平面图平面直角坐标是，对吧？咱们把它进行一个复原，他说 b 撇 c 撇是四啊，然后上底幺和上底都是四， 对吧？那咱们简单来看一下，咱们之前知道啊，在这个斜二测里面，咱们一般知道口诀，对吧？水平平行于 x 轴的，它的 d 长度不变啊，长度不变，平行于 y 轴呢，它的长度减半减半。那咱们看一下 b 撇 c 撇， 它的长度是四，对吧？那它对应到这个平面图上，它的长度就应该是几， 是两倍，对吧？所以它应该翻两倍啊，应该是八。来，咱们翻一下这个啊，然后这个 c 点，这个是 b 点，好了，那是平行于 x 轴的不变，那 cd 的 长度咱们是不知道的，那是不可以计算一下， 那咱们由这个平面图，平面图这个直观图啊去计算一下，咱们来看一下，上底下里头是四，那现在咱们怎么来算这个 cd 长度呢？咱们底下简单的做一个垂线，对吧？做一个垂线啊， 这个角 b、 a、 d， b 撇 a、 c 撇 d 撇是一个什么三角形？它应该是个等腰直角三角形，对吧？所以 b 撇 c 撇是四，所以对应的角这个点是 h 啊，这个点咱们坐下来是一个 g 啊，所以 c 撇 h 就 等于什么？直接用四除以根号二就行了，这个非常简单，咱就不说了，应该是个二倍根号二，对吧？那对应的这个 g、 d 撇应该也是一个二倍根号二，而 h、 g 呢，它应该等于四， 所以咱们 c、 d 就 应该等于多少？ c 撇 d 撇等于个四倍根号二加四，那对应的 c、 d 就 等于什么？也是四倍根号二加四，对吧？ 所以咱们简单把这个 c、 d 换一下啊，换一下好了，那你看咱们的 c、 c 点找到了啊， c 点找到了， a 点有， b 点有， d 点也有，咱们只差哪个点了？只差 a 点了，对吧？而 a 点也就是 a、 b， a 撇 b 撇，它平行于咱们的 x 轴，所以它的长度是不变啊，不变的，所以简单咱们把 a 点找一下就可以了 啊，找一下由 b 点水平做一个长度为四的线段，就是四啊，就是这就是 a 点啊， a 点好了，那咱们把这个 a、 d 连一下就可以了啊，连一下就可以了。好了，那这个图形就是咱们的这个 四边形的一个平面图，那咱们简单的算它周长就可以，对吧？ ab 的 长度是四， bc 的 长度是八，而 cd 的 长度咱们刚才算了是四倍根号二加上一个四，现在只差 a、 d 的 长度怎么计算了？那这个很简单，直接 a 点往下做垂线就可以了 啊，做垂线咱们又得到这个长度，角点是 h 啊， h 已经用过，咱们用一个别的啊，用个 a 点啊， a 点， 那 a 是 一个多少是一个八啊，而 d i 的 长度是多少？ c i 是 一个四，刚才它的总长是四倍，根号二加四，所以 d i 是 一个四倍根号二。那咱们由这个等勾股定律是不是可以直接算出 a 的 长度，那 a d 方就等于什么？那直接写啊， a、 d 就 等于个什么？ 根号下八的平方是六十四，四倍根号二的平方应该是三十二啊，三十二应该是根号九十六，而九十六是十六乘以六，所以 a、 d 应该等于一个四倍的根号六。好了，咱们把四条边都加起来啊，四，四条边都加起来， 所以应该是十六加上四倍根号二，再加上一个四倍根号六。所以答案选择 d 选项， d 选项。有的同学刚开始碰见这种斜二测画法的题型啊，它是不太熟练的，所以呢，这种题就应该刚开始 多练多练，主要十二色画法这块他难度也不是太难啊，但是有时候还是会考到的，所以这个必须要经过那个练习之后啊，把他这个里面非必要踩的坑全部给它避免掉，这种题就一定能拿分。好了，这个题咱们就讲到这里。
