滨海新区2026年二模数学三角函数

今天是本系列课程第五期，我们要讲的是三角函数图像平移技巧。 首先是同名函数的平移，也就是将 y 一 三异函数图像平移到同名的 y 二三异函数图像上，那么只要是平移类问题，我们就会考察它朝哪个方向平移，然后要平移多少个单位。 那么针对这类考法，今天教大家一个特别好用的公式，也就是默减出除以欧米伽。那么这里面的默和出是什么意思呢？ 给大家一一解释一下。所谓出，是指的在图像没有平移之前所对应的公式，也就是三 x 减六分之派， 那默就更好理解了。那图像经过平以后，它最终得到的公式，也就是我们的默公式，也就是三 x 加四分之派。那么这个就非常简单，我们直接代入三 x 加上一个四分之派， 减去一个。我们的这边的初公式啊，一定要把这个括号加上三 x 减六分之派， 然后除以他们共同的这个欧米伽，也就是三。那分子上，我们应该化简一下，得到一个十二分之五派，然后除以三，那最后应该等于三十六分之五派， 哎，那这个值说明他要平移三十六分之五派个单位，那至于是左移还是右移，我们有一个口诀要教大家，也就是左正右负， 哎，什么意思呢？那我们得到的值是一个负值的时候，那应该是朝右平移， 而得到值是一个正值的话，那应该是往左平移，当我们这里面得到的是一个什么值？正值，那它整体应该是朝左平移三十六分之五派个单位。 好，那这个公式也是非常的简单和无脑，我们只需要分清楚谁是这边的初公式，谁是这边的末公式，然后直接往里带就可以。然后接着再来看一名函数的平移， 那我们好多同学可能已经看见了，那这个他其实相对于我们刚才的同名函数的平移，只不过是要多一步， 也就是我们要在提前在正弦上减去一个二分之派，然后后面是一模一样，还是一个末减出除以欧米伽， 那所以说我们可以看一下，我们将 y 一 三异函数图像平移到 y 二的三异函数图像，那 y 二的是最后得到的，所以说这个也就是我们的一个什么呀默公式， 而这个是我们的初公式。然后最关键的来了，我们一定要在正弦值上多减去一个二分之派，所以说这个我们可以直接代，也就是末的话，就是二 x 减六分之派， 减去一个括号，二 x 减四分之派，然后再多减去一个二分之派，那么除以他们共同的欧米伽，二就等于一个分子上应该等于一个十二分之七派， 再除以欧米伽就等于二十四分之七派。哎，那同样的还是左正右负一模一样， 那他的值是一个什么值？正值，所以说他应该朝左平移二十四分之二七派个单位，那我们的一名函数平移他只多一步，也就是一定要在正弦上减去一个二分之二派。 哎。那看到这里有些同学心里可能有个疑问，老师，那每次我们的欧米伽都会一样吗？ 因为我们这边是二 x， 这边也是二 x， 刚好就消完了，那如果说这边是三 x， 这边是二 x， 他 俩一减还剩一个 x， 那 这种情况怎么办？那心里有这种疑问的同学，我们不妨想一想平移的性质是什么？ 我们说了，两个物体进行平移以后，它们所得到的图像大小、形状均不发生改变。 那所以说当你俩的欧米伽都不一样，那，那你俩的图形这个平移以后怎么去重合？所以说我们这种情况是不会发生的， 那我们这边是二 x， 这边也是二 x， 他 俩才能进行平移，你要是欧米伽都不一样，你怎么去平移？ 好的，接下来牛刀小试，我们拿个高考题来练练手。如题，将 f x 所有的横坐标缩短到原来的二分之一， 纵作标五遍，再将整个曲线向右平移三分之派单位，然后得到这样的一个函数图像，则 f x 等于多少？ 那首先我们看见得到这两个字，我们就知道它是什么呀？它是默公式，所以说默公式等于 x 减四分之派。 然后我们再接着来看一看它们的 a、 b、 c、 d 四个选项都是三引，那所以说这个都是应该是什么平移？是同名还是的平移？ 那现在我们的出公式知不知道？不知道，所以说出公式我们设为三引括号。那欧米伽刚才说了应该保持一致还是什么呀？ x 加 c 它或者减 c 它都可以，哎，无所谓。那现在我们，呃已知这边的是朝右平移三分之派个单位，那我们可以代入公式，也就是默减出 x 减四分之派， 然后减去一个括号， x 加一个什么呀？ c， 它朝哪个方向朝右平移了三分之派单位，应该等于负三分之派， 所以说我们对这个进行化简应该等于负四分之派，减去 c 幺就等于负三分之派，那么 c 幺就等于一个十二分之派，那所以说我们这边的这个 c 幺就出来了，它应该是，呃，这边的十二分之派。然后我们这个题应该是什么呀？ 倒着做，它说缩短到原来的二分之一倍，那我们就应该是增大到原来的二倍， 而我们的欧米伽增大到原来的二倍应该乘二分之一，所以应该选什么？选二 b。

好，今天来光速讲解一下，参考部分区二模的二十四，好吧，嗯，考完之后感觉这个卷子非常简单吧，但是依旧错了不少基础啊，好，来看吧。嗯， o a 等于 o b 等于二， 这是一百二十度，然后呢， a 的 坐标咱知道，一百二十度的三角形，一比一比根号三吧，二倍根号三，所以说二倍根号三零，这没啥问题， b 的 坐标也很好，求做个垂线根号三一，没问题。 好，然后看第二问吧，开始折叠了点 p 是 o a 上一个动点，然后做这个垂直， 然后呢，说沿着这个直线折叠， 重叠面积部分为 s， 然后这个这个 o p 是 t， 然后他第一问，让咱求这个四边形面积的这个表解析式，对吧？好，大家分析一下这四边形面积的解析式，咱怎么求呢？ 嗯，他是咱的初步思路，就是用这个大的三角形减去这个小的三角形。好吧，那怎么去实现呢？ 发现这个大的三角形，它全等，就等于底下这个三角形，这俩全等，所以说面积相等。然后呢，上面这个咱可以通过导边过来，明显这也是一个九十、三十六十的一个 三角形，对吧？知道三角形，好，那咱有思路了，咱就先来算一下吧，先算一下底下这个吧， s 三角形 o q p 就 等于什么呢？嗯， 先这么写吧，因为 o b 等于 o a 啊，等于 b a， 且角 o b a 等于一百二，所以角 o 等于三十度，所以啊，又因为啊， l 垂直于 o b， 所以 o p 等于二分之，应该 q p 等于二分之一， o p 等于二分之 t， 所以 我就直接写了 a 三角形 o q p 等于， 嗯，二分之根号三乘四分之 t 方，就是八分之根号三 t 方。好，然后呢？然后因为全等，所以这个 s 三角形 o 撇 q， p 也等于八分之根号三 t 方， 好吧，这个没问题，然后咱看上面这个怎么打？嗯，咱们先把角度说明吧，因为 o 撇等于角 o 等于三十度，且角 o 撇 bc 等于一百八减，角 o b， o b a 等于六十啊，所以角 o 撇 c， b 等于九十度。然后又因为这个 o 撇 b 等于什么呢？啊？咱知道这是， 这是多少啊？这是二分之一 t， 这是二分之根号三 t， 那 所以说整个的全等过来，就是根号三 t， 然后 o b 减去二，所以说 o 撇 b 就等于根号三 t 减去二，好吧，然后再通过它求 bc， 嗯，所以 bc 等于它的一半，等于二分之根号三 t 减二，然后呢，再通过这个面积公式，对吧？ s 三角形 b， c o 撇等于 这个二倍二分之根号三乘上四根号三 t 减二的完全平方， 等于八分之根号三根号三 t 减二的完全平方，然后最后把它俩的面积相减一下，是不就可以了？所以说最后的 s 就 等于八分之根号三根号三 t 减二的完全平方， 用去化简这个式子是不就可以了？好，然后看看 t 的 取值范围吧，要让它成为一个四边形，那怎么看呢？首先咱可以想象到，就是这样，肯定是一个临界点， 对吧？当点 p 在 这的时候啊，这么一一一做垂直，然后一折过去，刚好等于这，刚好这个 o 落在这的时候，为啥这是一个那个点呢？因为你再往上，再往上折，他就出去了，对吧？就变成四边形了，好，那这块等于多少呢？ 那好算啊，这是二，这是一啊，然后这是三分之根号三，这就是三分之二倍根号三， 所以说咱 t 它是要大于三分之二倍根号三，没问题吧？再看最小值呢？最小值也很好找啊，最大最大值也很好找啊，就当这个 l 它这样的时候，对吧？这样的话折，这样的话折过来， 哎，它就是一个三角形了，对吧？那这会等于多少呢？ t 明显，这是二，呃，这是三分之二倍根号三，这就是三分之四倍根号三，对吧？所以它不能到这，因为到这它就三角形，所以说它要小于三分之四倍根号三。好，然后呢？ 嗯，先把 s 再化简一下吧， s 应该等于负的四分之根号三， t 方加上呃，二分之三 t 减去二分之根号三，对，应该是这个， 嗯，然后，然后 t 的 范围也在这，然后看第二个说，当 t 大 于等于二分之一，小于等于三分之五被根号三的时候，求 s 的 取值范围。好，咱们来看一下。呃， 二分之一大概在哪呢？二分之一大概在这，对吧？ 它从这个 t 啊，咱这么看，它从零到多少呢？到咱刚的这是多少？呃，三分之二倍根号三， 它是三角形，就这样，然后呢？三分之二倍根号三到三分之四倍根号三，它是四边形，就是咱们刚第二分解的那个情况， 然后三分之四倍根号三，再到哪呢？再到他到这就是 t 等于二倍根号三的时候， 对，二倍根号三的时候，他是还是变成一个三角形，就这样了，对吧？就是，对， 大概就是，哎，大概就是这样吧，对吧？这么折叠，这个不太好换倒是，对，大概就是这样，然后呢，他这会这个还是个三角形，那么 再来看啊，二分之一它在哪个范围呢？二分之一它大概是零点五，是吧？三分之二被根号三肯定比零点五要大，就说二分之一，这会它还是个三角形，它就大概是在这吧， 然后这是二分之一，这也是二分之一。充电面积是多少呢？二分之一，这是四分之一，那这是四分之根号三，所以说充电面积就是三十二分之根号三，对吧？这是二分之一的时候， 然后慢慢越来越大，越来越大，越来越大，对吧？大到直到这刚好重合，他肯定是越来越大的，这段咱可以不用考虑了。然后呢？嗯，可以用这个四边形的面积公式来求一下。其实为啥呢？因为就是他，当他变到最大的时候， 这一会他肯定也是包含在那个面积公式里头的，对吧？因为他减去那个部分就为零嘛，所以说可以用那个面积公式来囊括一下那个面积公式。咱们给他算一个对称轴吧。负二 a 分 之 b 就 等于 二 a， 负二 a 就是 二分之根号三， b 就是 二分之三，所以它就等于根号三分之三就是根号三嘛。所以说就当 t 等于根号三的时候才最大，那根号三是在哪呢？ 根号三就是 t， 当在这的时候，对吧？然后左垂线，然后这会对，对吧？再对折， 这块数最大，这块面积是多大呢？可以算一下，就是负的四分之根号三乘三，加上二分之三，根号三减二分之根号三，这一块加起来是根号三，对吧？根号三减四分之三根号三，所以说四分之一根号三，这样， 然后他再往后呢？但还是四边形数越来越小，对吧？直到小到这一块， 那到后头包括到后头也是越来越小，所以说也没必要考虑。那你要是觉得如果说就是再去这个缜密一点，就去算一下这一块三分之五倍根号三，大概在这吧， 它总共是二倍根号三，也就三分之六倍根号三，大概这是三分之根号三，然后做垂线。 哎呦，我靠， 对，大概这样充电面就是这一块，对吧？嗯，这得这么折， 大概我就详细的图，我就不画大概充电面就是这一块。那既然这里是三分之根号三，对吧？那这里是多少呢？这是一半，又是六分之根号三， 那他的这个数对角边就是二分之一，对吧？乘一个根号三，所以说他的面积就是二分之一。乘六分之根号三，乘二分之一等于四二十四分之根号三， 对吧？明显是没有这个小的，所以说这个是最小。然后咱刚刚算的那个，嗯，我要算的那个叫四分之根号三，他是最大的，好吧，这道题就解决完了， 比较简单这个折叠，嗯，我感觉和那个比和平的稍微难一点，但是有限，好吧。

大家好，我是娜姐啊，今天用一分钟的时间给大家讲清晰二零二五年和二零二六年滨海二模的数学试卷，选择题，填空题和大题的全对比，让我们的孩子直接备战中考。 在我们二零二五年的试卷的分值上是一百二十分，和二零年是一样的，考试时间呢，是一百分，也是一样的。二五年呢，更偏重于基础一些，给孩子一个满满的自信。二六年的难度呢，直接拉高，更贴近我们现在的中考的形式。二六年的 从第十道题开始就难度已经起飞，比如说我们的尺规，作图啊啊，矩形旋转呀，动点的多，结论呐，都是我们的一个拉分项。 嗯，那填空题呢，考点呢，基本上和我们二五年是一致的，二六年的几何更加的灵活，网络的一个 做图更考验孩子的一个做题思路。在大题的前两道题呢，是不等式，而统计都是松分的题，是孩子能稳稳的拿住满分的。 在我们的圆和那个函数这一块呢，是我们区分的孩子的一个呃，区分度的分值的一个步骤的一个 内容，比如说我们的步骤更加繁琐了，我们的计算更加的琐碎了，那我们要拿住稳稳的这个分值的话，就体现了孩子的细节和做题的思路上。 嗯，那我们的二次函数呢，在二六年分类更多，运算更狠了，全都是在试卷上最难的点，要想有一个相对应的一个高分值，那这一些点做 不能丢任何的分数，基础题不丢分。在我们的中档题的训练上，要一定要规范。压轴题呢，抓住我们前两问，计算要进行精准，才是真正的赢家， 你的孩子做到了吗？关注娜姐，线下带你逐步的去精讲冲刺高分段！

元式变成正弦 r， 八减余弦 r 变成正弦。括号四十五 加二，再加四分之根号二合并就是括号。根号六加根号二，再除以四， 这余弦二，阿尔法再除以二。 立体把余弦平方阿尔法化成韩余弦二 阿尔法等于一加余弦二，阿尔法再除以二。记住它正弦是一 减 余弦别 差的意义很清楚。两个函数合成一个函数来， 根号二，最大，根号二最小负根 二大猪脚的核心很稳，两个函数不好，求一个含。

欢迎收看二零二五年高考三角函数大题精讲，本期视频将通过生动的几何图形与函数图像，为你详细解析三道高考三角函数大题，帮助你深入理解数形结合的解析思想。 第一题来自二零二五年天津卷第十六题。在三角形 a、 b、 c 中已知 a 被塞 nb 被扣塞 nb 减二， b 等于一， a 等于根号。期 要求角 a、 边 c 以及塞恩 a 加二 b。 第一问，求角 a 根据正弦定理， a 被塞恩 b 等于 b 被塞恩 a 带入已知条件得到 b 被塞恩 a 等于三， b 被扣塞恩 a 两边约去 b 得到塞恩 a 等于三，被扣塞恩 a。 极坦詹特 a 等于根号三，因此角 a 等于三分之派。 第二问，求边 c 由余弦定理， a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 扣塞 n， a 将 c 等于二， b 加一和 a 等于根号七，代入。同时角 a 等于三分之派，扣塞 n a 等于二分之一， 整理后得到三， b 方加三， b 减六等于零。一式分解得 b 加二，乘以 b 减一等于零，解得 b 等于一，因此 c 等于三。 第三问，求塞恩 a 加二 b。 首先由正弦定理，塞恩 b 等于 b 倍塞恩 a 除以 a 代入， b 等于一，塞恩 a 等于二，分之。根号三 a 等于根号七，得到塞恩 b 等于十四分之。根号二十一。 在直角三角形小图中可得扣塞恩 b 等于十四分之五倍，根号七。接着计算塞恩二， b 等于两倍，塞恩 b， 扣塞恩 b 等于七分之五倍。根号三，扣塞恩二 b 等于一，减二倍，塞恩方 b 等于负七分之二。 最后用两角和公式，塞恩 a 加二 b 等于塞恩 a， 扣塞恩二 b 代入数值计算的七分之四倍根号三。 接下来我们来看第二题，来自二零二五年新高考二卷第十五题。这是一道关于三角函数图像与性质的题目。 第一问，求 f x 等于寇塞恩二 x 加 f， 且 f 零等于二分之一，代入 x 等于零，得到寇塞恩 f 等于二分之一。由于 f 在 零到 pi 之间，所以 f 等于三分之 pi。 第二问，设 g x 等于 f x 加 f x 减六分之 pi， 先计算 f x 减六分之 pi 等于寇塞恩二 x， 因此 g x 等于寇塞恩二 x 加三分之 pi 加寇塞恩二 x。 使用和插画机公式得到 g x 等于根号三倍寇塞恩二 x 加六分之 pi。 由此可知， g x 的 值域是负根号三到根号三。 当二 x 加六分之派从零到派时， g x 单调递减，从派到二派时，单调递增， 即单调递减区间为 k， 派减十二分之派到 k p 加十二分之五派。单调递增区间为 k p 加十二分之五派到 k p 加十二分之十一派，其中 k 为任意整数。 最后我们来看第三题，来自二零二五年新高考一卷第十九题的第一问，这是一道三角函数与导数结合的综合题。 设函数 f x 等于五倍寇塞恩 x 减寇塞恩五 x， 求在零到四分之派上的最大值。首先会制函数图像，先分别画出 y 等于五倍寇塞恩 x 和 y 等于负寇塞恩五 x 的 虚线，再叠加得到 f x 的 实线， 求导得 f x 等于负五倍塞恩 x 加五倍塞恩五 x， 即五倍塞恩五 x 减塞恩 x。 使用和插画机公式，塞恩五 x 减塞恩 x 等于两倍扣塞恩三 x， 塞恩二 x， 所以 f x 等于十倍扣塞恩三 x， 塞恩二 x。 在零到六分之 pi 上， f x 大 于零，函数单调递增。在六分之 pi 到四分之 pi 上， f x 小 于零，函数单调递减。 因此 x 等于六分之 pi 是 极大之点。代入计算， f 六分之 pi 等于五倍，扣塞恩六分之 pi 减，扣塞恩六分之五 pi 等于五倍二分之根号三等于三倍根号三，所以最大至为三倍根号三。 通过这三道题，我们复习了以下核心知识点，第一，正弦定理与余弦定理是解决三角形边角关系的基础工具。第二，三角恒等变换，包括两角和公式、二倍角公式以及和插画机公式。 第三，三角函数的图像与性质，如周期性、单调性和值域。第四，导数作为研究函数单条性与极值的重要工具，总结一下这三道题的解析思路。 第一，边角互化。遇到边与角混合的条件时，优先考虑用正弦定里或余弦定里，统一成边或统一成角。第二，公式选择。明确目标后，选择恰当的三角横等变换公式，如两角和公式和插画机等。 第三，竖形结合。对于三角函数性质问题，绘制图像可以帮助直观判断单调区间和值域。 第四，导数分析。对于求最值问题，先求导，找临界点，再通过导数符号判断单调性，从而确定极值点。

二零二六年高考数学全国一卷三角函数解答题，考中线，考角平分线，求范围还是考。留下你心中的答案，期待奇迹诞生的时刻！

我们接着来看中职数学基础模块上册零基础的讲解，这一节我们来学习第四章三角函数，先来看一下他的知识结构，三角函数这一章内容是比较多的，这一章也是非常重要的一个章节，可以说是我们考试必考的题目， 在很多省份考试的大题中也会出现。这一章我们主要讲解七个内容，第一个内容，角的概念推广，第二个就是弧度值，第三个任意角的三角函数。前三个内容呢就是我们基础的讲解，这里面如果考试出题，基本上都是选择题或者是填空题。 第四个内容，同角三角函数间的基本关系。第五个诱导公式，这个知识点超级重要，可以说是我们考试必考的题目，他不但可以自己出题，还可以和其他题目相结合。 第六个三角函数的图像和性质，这里呢主要就涉及到正弦函数和余弦函数，它的图像以及性质。最后已知三角函数求指定范围内的角，后面这几个内容呢是非常重要的，大家一定要掌握。当然了，学好前面的几个是为后面这几个内容做基础的， 我们来看具体内容的讲解，我们先来看第一个内容，角的概念的推广，第一个内容，任意角，那我们看到这个名字任意角，那么在我们以往的学习过程中，我们所学到的角度大部分都是锐角、直角、钝角、平角、皱角等等， 这些角度呢，它都是在零到三百六十度范围内的，那我们如果遇到超过三百六十度这样的角度，或者是负的角度，比如三百九或者是负的六十度， 这些我们应该如何来表示呢？这里我们就统一做一下规定，如果一条射线绕其端点，按照逆时针的方向旋转形成的角度呢，我们就称为正角。 相反，如果这条射线呢，按照顺时针的方向旋转所成的角度呢，我们称为负角。那我们这里呢，就可以记四个字，逆、正、顺、负。 比如呢，我们就可以看下面两个图片。先来看第一个，如果我们把这条射线围绕起端点，按照逆时针的方向，也就是这样的一个方向进行旋转，得到的角度，我们就称它为正角。比如这个射线围绕着圆点 o， 他 转到这里，那就是这样的一个旋转，这样得到一个角度呢，我们就称它为正角。 同样呢，如果他按照顺时针旋转得到角度，我们就称它为正 负角。如果一条射线没有做任何的旋转，那这里呢，我们也认为它形成了一个角，这个角呢，我们称它为菱角，也没有任何角度。 比如我们在教室里面悬挂的钟表，如果这个钟表按照逆时针的方向旋转两周所形成的角呢，我们称它为正角，那是多少度呢？两周就是七百二十度。比如我们这个下面的图页，它是按照逆时针的方向旋转， 如果按照顺时针的方向旋转两周呢，我们称它为负角，它所形成的角度呢，是负的七百二十度。比如我们可以看到第二个图，它顺时针的方向进行旋转， 这样呢，我们就得到了有七百二十度和负的七百二十度，我们看到它呢，不在零到三百六十度这个范围内，所以呢，我们就把角的概念呢推广到了任意角，接着我们来看一下这角呢应该如何来表示呢？ 那我们通常使用角的顶点，或者是顶点的矢边中边上的字母来表示角，比如我们第一个图，我们就可以表示为角 a、 o、 b， 或者是呢，我们直接可以表示为角 o， 这个同样也是可以表示为角 a、 o、 b， 或者是角 o， 也可以用小写的希腊字母阿法贝纳伽玛来表示，我们直接可以记住角阿法，如果不出现字母混角的情况下呢？哎，我们这个角也可以省略掉，可以直接描述为阿法，那我们就默认为呢，它是角阿法，比如我们阿法呢，它等于三百八十度，或者是贝塔呢，等于负的一百八十度。 那我们在学习的过程中，通常呢都是在平面直角坐标系中来讨论这个角，我们将角的顶点与圆点进行重合，那这个圆点呢？比如我们在直角坐标系中，就是这个圆点 o 角的矢边呢，它是与 x 的 非负半，也是我们 x 的 正半中进行重合，一直在我们 x 轴上面， 那最终角的中边在第几象限，我们就称这个角呢为第几象限角。比如我们下面给的角阿法呢，是等于四百二十度，它呢就是我们这个射线通过 逆时针旋转得到的，我们可以看到他是逆时针到这里，那得到的这个角呢，这个就是四百二十度，我们看到他是在第一相线，那我们就称他为呢第一相线角。再比如背叛了他，等于负的一百三十五度，那我们看到他呢是顺时针到这里， 这里呢他刚好是在第三象限，我们就称他为第三象限角，这里技术比较差的同学大家熟悉下，那这里呢，就是第一象限，第二、第三、 第四象限，这是四个象限。大家有个印象，如果一个角的中边在坐标轴上面，也就是说他可以在 x 轴的正半轴，或者是 x 轴的负半轴， y 的 正半轴， y 的 负半轴。那这个角呢，无论停在这个 x 轴还是 y 轴上面呢？ 我就认为这个角呢，它是不属于任何一个象限，那我们称它为界限角，比如它是零度，那就是 x 轴的正半轴。九十度，那就是在外轴上面一百八十度，那就是 x 轴的负半轴啊，三百六十度呢，就是外轴的负半轴上面， 后面还有很多，那这里界限角 r 呢，我们就可以表示为它是等于 k 乘以九十度的， 这里呢， k 呢，他是属于整数的，这里大家有个印象，这是他的概念，这内容主要还是让大家进行理解。接着我们来通过具体的题目来看一看。先来看例题，四点一判断下列各角是第几向前角。先来看第一个四百九十度是第几向前角。 我们这里呢，首先你要知道它是怎么来的，那我们这里统一让这个角的矢边呢，以 x 轴的正半轴也这里呢，它重合，那我们看到这个四百九十度，如果是四百九十度减去三百六十度的话呢，它还等于一百三十度，对吧？ 这里呢，我们可以看到他是一个正角，正角呢就是逆时针，你说我们这里旋转三百六十度，再到这里一百三十度，大概就是这里，如果我们画出来的话呢就是这样的一个角度，这就是他大概的结果，那他呢是通过逆时针，因为我们到这里，哎， 这里呢我们可以看到他是呢在第二项线，所以呢这个就是第二项线角。接着我们再来看第二个负六百五十度是第几项线角，那么这个负六百五十度呢？他有一个负的三百六和一个负的二百九十度，那么在坐标上来表示 就是顺时针转一圈，这个呢就是三百六，再转两百九，哎大概呢就是到这里，所以呢我们就可以画出来他是在这里，这就是他的一个大概图像，那我们表述出来呢就是哎转一圈他是顺时针的，我们可以看到他呢是在第一象限，所以呢他是一个第一象限角。 接着我们再来看第三个三百二十度是第几象限角，这个呢就比较简单了，我们直接来表示他是逆时针转三百二十度，大概呢就是在这里，那这个角呢大概的也就是这样， 我们如果描述出来的他就是这样哎得到这个角度，那这个角呢他是在第四象限，所以呢他是一个第四象限角。 接着再来看第四个负的一百七十度是第几相交角，那我们描述就是他是顺时针转一百七十度，那我们顺时针转一百七，到这里， 他的大概图像呢就是这样的，我们描述出来他就是这样的一个转一百七十度，那他呢是在第三相沿，所以呢他是一个第三相沿角。那这些题呢是比较基础的，如果我们后面学完中边相同的角，这样做起来会更加简单，接着我们就来看第二个中边相同的角， 首先我们可以先看一下下面那个图片，我们就可以看到三十度角，三百九十度角，负三百三十度角，我们可以看到这几个角的中边呢，哎，都在这里，那我们这里呢就会发现，在平面直角坐标系中，三十度负三百三十度，三百九十度或者是 七百五十度等等，还有很多这一角的中边呢，都是相同的，而且呢，这些角都可以表示为三十度与 k 个三百六十度的和，这 k 呢是属于整数的。比如三十度呢，我们就可以写成三十度加上零乘以三百六十度， 负三百三十度呢，我们就可以三十度负一乘以三百六十度，三百九十度呢，就可以写成三十多加上一乘以三百六十度。如果是七百五十度呢，我们就可以写成三十多加二乘以三百六十度。从上述角的描述形成过程中，我们就可以看出，与三十度角中间相同的角呢，它是有无数多个的， 这一角，他们与三十度角均相差三百六十度的整数倍，因此呢，与三十度角中间相同的所有角，我们就可以表示为比特，它就等于三十度加 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的。 这里细心的同学可能就会发现，这个三十度呢是可以替换的，也就是说如果我们把它替换成 r 法，哎，这个就变成了 r 法， 那我们看下面的一般来说与角 r 法中边相同所有的角组成的集合呢，就为 s 的， 大家看到这里呢就变成了 r 法，加上 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的，它呢，也就是所有与角 r 法中边相同的角都可以表示为角， r 法与三百六十度整数倍数的和， 这是它的概念。接着我们来看一下具体的题目。先来看第一个 a t 四点二，写出与负九百五十度角中边相同的所有角组成的集合，并且呢，在零到三百六十度范围内找出与其中边相同的角， 这里我们只需要把这个公式记下来就可以了，我们直接套用公式，那它的集合呢，就是 s， 它等于这里就是 beta， beta 呢，等于这个 alpha 呢，就是负九百五十度， 加上 k 乘以三百六十度，其中这里的 k 呢，它是属于整数的，这就是它的集合。接着呢，我们来看一下，在零到三百六十度范围内找出与它中边相同的角，这里呢，它给了一个范围零到三百六十度，也就是说这个贝塔呢，它要大于零度， 小于三百六十度。那我们看到 t 杠里面呢，是负九百五十度，那我们就可以判断出 k 的 大概率呢，它是等于三的，那我们假设令 k 等于三，我们代入一下， 悲叹完就等于负的九百五十度加三乘一个三百六，那这个呢，就是一零八零，就等于负九百五十度加一零八零度，最终结果呢，就是一百三十度，那这个一百三十度呢，刚好是 在这个范围内。所以呢，在零到三百六十度范围内，中间相同的角呢，是一百三十度，这是第一个离体。接着我们再来看第二个离体，写出中间在射线 y 等于 x， 这里面要求了 x 呢是大于等于零的，这个上面他的角所组成的集合。那我们呢，首先给他的图像画一下， 那我们知道 y 等于 x， 它出现的大概就是这样的，我们要求 x 大 于等于零，所以呢，我们只需要取它的第一项线位置就可以了。接着我们直接套入公式就可以， s 呢，它就等于被它， 被它，这里大家就可以发现这个角度呢是四十五度，所以呢它就等于四十五度，加 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的，这是这题的答案。接着我们再来看例题，四点四写出中间在外轴上的角组成的集合，我们把它图像呢画在右边。 这题呢要求是外轴上面他没有说是正半轴或者是负半轴，那也就是他在我们整个外轴，如果在外的正半轴，那就是九十度，如果在外的负半轴，那就是两百七十度，也就是这样的。 接着我们直接代入公式，那我们分成两种情况，第一种情况呢，就是它是等于九十度的时候，那 s 一 呢，它就等于 贝塔，贝塔等于九十度，加 k 乘以三百六十度， k 呢它是属于 z 的。 第二种情况，两百七十度，那我们把它记为 s 二，它就等于贝塔，贝塔等于两百七十度，加上 k 乘以三百六十度，其中呢 k 它也是属于整数的， 当它等于九十度的时候，也就是我们在外的正半轴，当它等于两百七十度的时候，它在外的负半轴，那我们要的是整个外轴上面的，所以呢，就取一下并集就可以了， 把它们两个合并在一起，这里呢我们可以观察一下，从这个九十度到这个两百七十度，它们中间呢其实就差了一百八十度，那它最终的集合呢，就等于 s 一， 并上 s 二， 那么就直接可以写为这个悲惨了，它是等于九十度加上 n 倍的一百八十度， n 呢，它是属于整数的，那这里有同学可能看到这个答案，哎，这个中间过程怎么来的？或者是就感到有点迷惑，其实呢这里很简单，就是我们这个 九十度，这个大家好理解，那我们这个两百七十度呢，它就等于九十度加上一百八十度， 当那个角在正半轴的时候，那只要他转一百八十度，就来到了一个负半轴，当他在负半轴的时候，只需要转一百八十度，他就回到了正半轴， 所以呢我们就可以统一写为九十度加上 n 倍的一百八十度，最终呢就是他的答案。这是我们第一节的内容，这节内容呢是比较简单的，如果这个视频对你有帮助的话呢，大家可以多多点赞转发分享一下，我们下个视频见，拜拜。

我们看到这题直接秒选 b 呀，好， 同学们，今天我们继续来讲数学模拟卷的一，第二题，哦耶，我们看到这题直接秒选 b 呀， b 呀，为什么？哎，不对，我先要把这个表拿开，再来一遍， 为什么呢？章鱼哥，我们看到这三个分别代表了正弦与弦和正切。对，我们来画一个直角坐标系，来主，主要分析一下，然后画一个圆，我来放大一点， 虽然不是很圆，但是不是很重要，你听他扯淡吧。然后这时候画一个角， 这个脚是阿尔法在这个点啊，很经典的放了个屁。 然后呢？因为他脚比较细，这边是 x 轴，这边是 y 轴，一定要标出来，这个画轴的第一步就是要把这两个标出来，然后这个脚往下，那是不是他是 x， 这里就是 y， 这段距离，对吧？这段距离，这段距离是 x， 对 吧？对。然后我们看到正弦呢，它是对边 比上斜边，不等于 y 比上 r， 为什么呢？ r 法对边，是不是这边，这边是 y 比上斜边，这，为什么这个是 r 呢？因为这个是圆的半径，然后就是 y 比上 r， 对 吧？同理，余弦呢，是零边比上 r， 这个角，零边，这边零边，相邻的边对上斜边，是不是这个边？ 二，所以就是 x， 正切，就是对边比上零边，对边 y， 零边 x， 所以 这三个， 这三个数值代表的分别就是。

二六高考三角函数送分题是谁还不会？今天显哥带你做最后的查缺补漏，把整体代换诱导公式的用法再巩固一遍，高考遇到同类型的题，一眼就能出答案。我已加入抖音精选高考应援联盟，我为全体高考生精选了一道题，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟持续追更。 在直角坐标系当中，角二法的顶点在坐标原点，使边与 a 轴非负半轴综合。其实我读完这句话我就想到，嗯，这难道是考三角函数的定义啊？ 三角函数的定义不就是使边中边吗？三二法是 y 比二，考三二法是 x 比二，对不对？当二元，然后角二法按逆时针旋转六分之派，然后到达了第二项线。咱们假设这个地方是角二法，然后呢，旋转了六分之派，到达了这个地方，也就说这个地方是六分之派。 好，那么这个终点呢？他就是负的五分之三，然后五分之四啊，你看这道题考什么？当然这个中边是哪个角的中边呢？就应该是二法，这个就应该是二法加六分之派的中边。也就是说肾二法加六分之派等于个 呃， y 比二，就应该是五分之四。考肾二法加上一个六分之派，就应该等于 x 比二，就等于负的五分之三。所以这道题考的第一个第一个定义，他又让我求肾二二法减去个六分之派等于几？所以这道题考什么？ 考到了啥？嗯，凑脚。那我问大家个问题，其实这道题考的挺好的，那问大家一个问题，浙江是一个肾，我，你觉得我是凑脚还是？ 其实就看你是高手还是低手了，反正我是高手，我看的很透。也就说这道题我先想一个诱导公式， 你知道为什么我想一个诱导公式吗？因为诱导公式的话，假设我们不直接凑就是，什么意思呢？也就说二法加上一个三分之派，减去个二分之派，我凑成一个考甚。 谁知道我为什么要凑成一个考甚有关，只和甚，或者是只和考甚有关系啊， 所以我凑成一个，它这个地方和二分之派有关，二分之派有关，函数名就变，就应该是考甚。阿尔法加上一个三分之派。符号看象限，我把这个角想成锐角，锐角减九十度，第四象限考甚是负的，所以加个符号， 然后呢？再考一个负的符号，两倍的考甚方，正好是阿尔法加上一个六分之派，然后减个一， 所以就应该等于一减去两倍的考生方就应该是二十五分之九，等于到一减去二十五分之二九，一十八等于二十五分之七。所以这道题考的非常的好。 选 a， 先想着诱导公式，然后再来一个二维角公式，当然你也可以直接凑啊，一凑到底没有问题，一样的条条大到通罗马。好，所以这道题考的一个凑角。

假如六月七号下午考的是这道题，那你能做对了，我们来看一下这个三角函数的问题，它其实相当于是比图像求极式这样的问题。首先第一个条件， f x 在 负十二分之五 pi 到十二分之 pi 单调递增，那这个条件要按照我们正常来写的话，其实是应该去列一个二分之 pi 小 于 等二分之 t 这样的关系的。但是呢，利用不等式求范围去交集会比较麻烦，所以我们先跳过这个条件，直接来看，后面我们先去解这个密了，然后解完周期之后，用这个条件去验证它 是否成立。那好，我们来看十二分之派是他的一条对称轴，三分之派是他的对称中心，那利用我们平时所最熟悉的这样的结论，我们讲是不是叫相邻的两个对称轴和对称中心，他们之间的距离是四分之一的周期，那我直接去列四分之一个周期 等于三分之派减十二分之派，那从而我减作 t 等于派，那我们来看，我利用四分之一周期算出来的 t 等于派，那到了这个范围内，你会发现它是不是正好是二分之一的周期等于二分之派， 所以这两个条件就能对应的上。另外呢，我们会发现十二分之派恰好是逆时针的右端点，那它和对称轴的身份也能对的上，所以我们就认为 我们的替得派这个结论它应该是正确的。那有了替得派之后，我们直接带周期的公式，二派除以一个，可以算出来我们一个等于二，好，这是我们的第一步。那接下来在这个式当中，我需要通过带入这两个点去求一个翻译出来，那带谁呢？大家记住， 如果既有对称轴，又有对称中心，我们优先考虑的要带对称轴，而我的十二分派恰好是一端区间的右端点，所以它一定对应的是最大值的这条对称轴，所以我把它带入二乘十二分之派，加派等于二分之派，所以解得派等于三分之， 那这样我们就顺利的把解一式求了出来，求完解一式之后，我们就可以去求最大的，最小的了。那我们来看说 x 属于零到二分派，那我们采取一个整体代步的方法， 去算一下括号里面的这一项，二 x 加三分之派，他所对应的那就应该是三分之派到三分之四派，那下一步我把这个范围对应到我们标准正弦函数的图像上，就能求出我们同学的结论。我们来看三分之派大概在这个位置， 而三分之四派呢？大概在这个位置。通过观察图像，我们发现三分之派所对应的这个地方恰好是我想要的对角。之所以我们知道 size 三分之派应该是负二分之三，那这个题就选出来了，这道二零二五年天津高考真题，你做对了吗？

今天我们来分享一个公式的推导过程，帮助学生更好的去理解这个公式。这个公式是三角函数的辅助角公式，我们要看一下它是怎么推导出来的。 那么我们看 a 倍的 sine sine 加上 b 倍的 cosine sine 等于根号下 a 方加 b 方 sine sine sine 加 f， 其中 tanning f 等于 a 分 之 b。 我 们看一下 a 倍的 sign set 加上 b 倍的 cosine set 等于根号下 a 方加 b 方，那么里面括号里面就是 a 除以根号下 a 方加 b 方。 sign set 加上 b 除以根号下 a 方加 b 方 cosine。 好， 我们提取了一个根号下 a 方加 b 方，然后我们画一个三角形，直角三角形， 我们把这个角标为否，那么这条边标为 b， 这条边标为 a， 那 么斜边就是根号下 a 方加 b 方，这个来自于勾股定律。好，那我们继续看。 根号下 a 方加 b 方， a 除以根号下 a 方加 b 方。 a 是 零边除以根号下 a 方加 b 方，就是零边除以写边，那么我们是 cosine phi， 所以 这个是 cosine phi sine theta 好， b 除以根号下 a 方加 b 方，那是对边比写边是 sine phi cosine 好。 那么这个式子就变成了什么呢？根号下 a 方加 b 方 sine sine sine phi 加 cosine sine phi， 这就是我们的合角公式，这就是我们三角函数的合角公式， 所以我们得到了它是 set 加斐，其中我们的弹挺斐，这个斐来自于什么？弹挺斐等于 b 除以 a 就是 我们的 a 分 之 b， 弹挺斐等于 a 分 之 b， 这就是我们这个公式是怎么推导出来的，这公式非常非常的重要。

好，同学们，我们来看一下这个二零二六年考前预测卷的第十五题，考的是三角函数。第一问，若 tangent c 等于负五倍，根号三让求 tangent a 的 值。 先来看一下这个关系式啊，这个左边给的是有正弦，但右边这里面给的都是三角形的边长。第一步肯定是想我们利用正弦定力，把这个右边给画一下，正弦定力我写在这啊，那就是 a 比三 a 等于 b 比三 a， 等于 c 比三 a， 那 所以这里面整理一下，那就是 a 就 等于二倍的三 a。 ok， 然后我们把这个 a、 b、 c 啊给带到体干里边的这个等式中，那也就是刚好三倍的三 a c 减口三 a c 等于。因为分子分母都有二啊，直接就给约掉了，那也就是二倍的三 a c 减 a， a 除以一个三 a b， 下一步继续往下就继续整理这个方程啊，那两边我同时乘以三 a b， 然后三倍的三 a c， 二倍的三 a c 减三 a， 这里面三 a， 因为你看都是 b 和 c 相关的，把这个三 a 就 可以直接给它替换成三 b 加 c， 然后下一步把这括号打开来看一下啊，那就是根号三倍的三 a c 减 q， 三 a c 呀，这是它 三 d 减口三 c， 嗯，三 d 等于二倍的三 c， 后边这个利用公式给它打开一下，那也就是减去三 d， 口三 c， 加上口三 d 三 d， 然后我们看一下啊，这边的这个这两项都是负的，它俩可以直接就减掉，减没了。然后再看啊，约完之后就剩的是这个 后边是减啊，减口三 b 三 c， 然后这里边因为是在三角形内啊，你角 c 肯定是大于零的，所以这两边这个三三 c 肯定是不得零，那就是都能给直接约掉了，那整理完也就是再移项一下啊，分号三倍的三 b 加上口三 b 得二， 然后把二字除过，现在就是二分之根号三倍的三 b 加上二分之一，口三 b 等于一，然后这里边一看二分之根号三，这个是口三六分之派，二分之一，三以六分之派。 所以接下来就用这个辅助角公式，那也就是在 b 加六分之派就等于一，所以这个 b 加六分之派，他就得等于二分之派，对吧？那也就是 b 就 等于三分之派， 所以这个 tangent b 就是 等括号三，然后这里边让求的不是 tangent a 的 值吗？ c 也知道了，这里面 b 我 们也求出来了，然后继续利用公式啊，那也就是 tangent a 就 等于 这里面就是派减去这两个加的和，那也就是负的 tangent b 加 c， 然后之后就是把它给打开公公式，那就是 tangent 加上 tangent c， 再除以一，减去它俩相乘， 然后下一步继续把咱们求得的这两个值都往里求得的这个值，还有这个往里边带，带进去之后算完的结果是四分之刚好三。 ok， 第一问就是这样。好，我们来看一下这个第二问，已知这个 a 加 c 的 值给了一个三角形 a b c 内切圆的半径是 pi， 然后要求三角形 a、 b c 的 一个面积。 题案中告诉我们内切圆的半径是 pi， 那 也就是相当于告诉这个内切圆的半径是一。我们想到一下利用这个面积公式，三角形面积 它可以等于二分之一周长，再乘以内圈半径周长和，那就是 a 加 b 加 c 半径是一呢，就是这个值，然后这里面 a 加 c 的 值是已知的，那带进去的话，那就是二分之一三加上三倍刚好三，再加上一个 b， 其实这那这么，那这么看来，这里面我们只需要知道，就把这个 b 给求出来，就可以知道这个面积了，对吧？然后你这样也容易想出来，用余弦定理来求这个 b 长 b 的 长，那余弦定理的话，就是用这个 b 方等于 a 方加上 c 方，再减去一个二 a c cosine b。 因为知道 a 加 c 的 值嘛，所以这里边给它配方一下，那也就是 a 加 c 再减去一个二 a c 再减去一个二 a c 扣三 b 的 值上一问就求出来 b 是 得三分之 pi， 那 所以扣三 b， 它就是二分之一，所以这里面也就是 a 加 c 的 平方，再减去一个三 a c， 然后这里面 a 加 c 是 已知的，那你还得去 a a 乘 c 的 值， 或者是你想办法用 a c 的 用，把这个 a 乘 c 的 值，你也可以用用 b 来表示出来，这个 b 也能求出来，对吧？那我们知道这个三角形面积公式还可以用什么来着，是不？还可以用这个二分之一 a c 再乘一个三 ab， 对吧？三 b， 它是二分之根号三，它是二分之根号三，因为 b 是 b 是 三分之 pi 嘛，所以这个还可以等于四分之根号三倍的 a c， 那 也就是这四分之根号三倍的 a c 等于刚才咱们得到的这个，对不对？等于这个再往下面积， ok， 那 得到这个等式之后， a c 相乘的这个值，我们是不是就可以用 b 来表示？然后把这个 a c 正常两边给它化解一下啊？两边都同时乘以四，那就是二倍， 再除以个根号三，那分子分母同时再乘一个根号三的话，那也就是二倍根号三， ok， 所以 到这啊， a 乘 c 的 值，我们就可以用小 b 来表示了。然后继继续看刚才这个一线定律啊，那也就是 b 方等于 a 加 c 的 值是三加三的根号三，正常带进去 减去一个三倍的 a 乘 c 呢，也就是三乘以刚才咱们求的这个三分之二倍二倍根号三。 ok， 那 也就是三加上三倍根号三的平方，这里面三和三约掉了，再减去一个二倍根号三倍的三加上三倍根号三，再加二 b。 这里面我们重点主要是把想把这个 b 给解出来啊，然后这块可以你把这个三加三倍根号三看成一个整体的话 提出来，那也就是三加上三倍根号三，后边再减了一个这个减去二倍根号三，再乘以三加上三倍根号三， 后边是减二倍根号三， b 不 变，然后继续往后去整理啊，那也就是 b 方加上一个二倍根号三， b 等于这两项，这个算一下啊，那也就是三加上一个二倍根号三， 然后左边这个 b 也可以提出来一个 b 听音式，那就是 b 加上一个二倍根号三，等于这两个值三。 然后这里面你看这关，看这关键式啊，你看左边 b 和 b 加二倍根号三，他这个相差二倍根号三，右边这两个他俩是不是也是相加，也相差了二倍根号三，所以这个你要是一看的话， b 等于三加根号三，这个解是不是直接能看出来？ 还有另外一个解啊？这两项如果他都是前面，你要给他加个符号的话，你 b 的 值是不还可以等于负三减三倍根号三，也就是这个值，它其实还是不可以等于这个吗？这个都可以直接看出来的啊， 对不对？他俩是不是也是相差了？相差了一个二倍根号三，所以 b 的 值我们这块就能求出来一个是这两个，然后第二个这个值因为它是小于零，所以这个直接舍掉了， 所以 b 的 这个边长是不就是求的这个三加上三倍根号三呀？对吧？然后我们再把再怎么办？再把这个三加三倍根号三给带到这里面去， 那也就三角形的面积就等于二分之一，三加三倍根号三，再加上一个三加根号三，算完之后结果是三加二倍根号三，所以这个面积就求出来了。

妈妈们，别划走三角函数啊，其实就一个口诀，你记住了，孩子瞬间开窍，考试不会低于九十。这个方法既不用花钱补课，也不用熬夜刷题，能够帮你省下五万块的补课费，家长们可以先点个小心心收藏一下。 一周之后呢，我就隐藏了口诀就是，一二三三二一三九二十七，所有跟号别忘记，三十二考三十二正切小三做到底，都给孩子点赞收藏好吧！

在一二三三个条件中，任选一个，补充在下面的问题中并作答。我们选第一个， b 加 a 乘以 b 减 a 等于 a， c 好。 一直在三角形 a、 b、 c 中，三个角所在的这条三条边 a， b， c 好， 且我们将条件一一给它加上，证明 b 等于二 a 好， b 加 a 乘以 b 减 a 等于 i c 展开， b 方减 a 方等于 i c。 哎，正弦定理，三 b 方减三 a 方 等于三 a 乘以三 a， c 好， 三 b 方减三 a 方。乘差公式展开。 嗯，三 a 加三 a 乘以三 a 减三 a 等于三 a 乘以三 a c。 啊，直接在这上面用正确定理也行啊。 好，到这以后，你看这两角和两角差，所以说，我们用一下三角和等边形里面和和差化积，那么三 a， b 加三 a 呢，就是二倍的三 a 二分之 b 加 a 乘以 cosine 二分之 b 减 a， 那 么三 a， b 减 cosine 二分之 b 加 a 好， 这是 a， 然后 sin 二分之 b 减 a 啊，等于 sin a， sin c 好， 到这个了，然后呢，它两个可以放在一块，再用一下背角公式， 它俩这个二，它带二，它不带啊，那就二倍的它乘以它，那就被角公式啊。 sin b 加 a， 后边呢，也是被角公式。嗯， sin b 减 a 等于三 a 三 a c， 那 么因为 a 加 b 加 c 等于派，所以 b 加 a 呢？等于派减 c， 那 么所以三 a b 加 a， 它是等于三 a， c 的 啊，这两个可以直接约去。所以，哎，它还不等于零啊，还在大于零，不但不等于零，还在大于零啊，所以三，以 b 减 a 呢，等于三 a。 在结合 a， b， c 的 范围，它是三角形的内心啊，啊，不，它三角形的内角呀，所以只能是 b 减 a， 呃，等于 a 啊， 所以 b 等于二 a 和 b 等于二 a。 第二问，若三角形 a， b， c 是 锐角三角形，问， tanning 的 b 加 tanning， tanning a 加 tanning b 分 之一的区域范围。首先根据车是个锐角三角形，我们判断一下角的范围， 因为 b 等于二 a， 所以这个，呃，因为 b 等于二 a， 所以 c 呢？呃，还有 a 加 b 加 c 等于派， b 是 二 a 给它换换进去，所以 c 呢？ c 呢？等于派减三 a， c 等于派减三 a， 所以 啊，因为三角形是锐角啊，锐角三角形。说一下， 因为三角形 a， b， c 是 锐角三角形，所以这个 b 它大于零，小于二分之派， 那 a 呢？也是大于零，小于二分之派。 还有这个 c 就是 派减三， a 大 于零，小于二分之派，我推出 b 是 二 a， 嗯，这个挨个代入推出 a 是 大于零，小于四分之派。 在旁边写一下啊， b， 这是二 a 啊，二 a 大 于零，小于二分之派，所以 a 是 大于零，小于四分之派。 哎，那么一和这个取交集，那么就要它了，这个不用考虑了。再看下面三 a 减派呢，它是大于负二分之派，小于零，所以三 a 小 于派，大于二分之派，所以 a 呢？小于三分之派，大于六分之派。 好，然后他俩再去交集啊，所以 a 是 大于六分之派，小于。哎，这个小的小于四分之派，所以说 a 是 属于六分之派。四分之派。 好， a 的 范围我们求出来了啊，那接着我们来看一下它的这个值的范围，所以，哎，这个 不能。所以呢，就是 tanning 的 a 分 之一加 tanning 的 b 分 之一，这个给它保留 tanning 的 b 呢，就是 tanning 的 二 a， 那 么 tanning 的 二 a 呢，可以给它转化一下，就利用两角啊，背角公式啊，那就二倍的 tanning 的 a 分 之一，减 tanning 的 a 的 平方。好，这里呢，我们就把 tanning 的 a 呢作为一个整体 啊，我们令 g x 就 等于 x 分 之一，加上二 x 分 之一，减 x 方 啊，给它合并一下，就是二 x 分 之，负 x 方加三，那 x 等于这个 tan 的 a， 它是属于 tan 的 三十度的三分之二三， tan 四分之 pi 呢，就是一 x 属于这么一个范围啊。 接着就是求求，哎，求它取值范围，那我们就要对 g x 请求导，研究它单调性啊， 则 g 撇 x 等于二 x 方分之 上面求导负 x 方加三，仅求导负二 x， 再乘以 x 就 负二 x 方， 然后再减去对它进球的啊，乘以它加 x 方，然后减三，等于负 x 方减三除以二 x 方。哎，它显然是小于零的呀，它小于零，所以 g x 呢， 在三分之根号三一上，它单递减的，然后算一下断点值。又因为这个 g e 啊， x 等于一，再入 x 等于一，代入就是一啊， g 一 等于一，然后 g 三分之，杠三就是 g 杠三分之一， 然后代入这里吧，杠三上面是一减三分之一，下面是杠三分之二， 这是根号三，加上这是三分之二乘以二分之根号三，二约去三分之四倍根号三啊，所以 g x 呢，就属于一三分之四倍根号三， 所以，哎，原来那个式子啊，就属于这么一个范围 啊。这里用一下这个换圆，用一下这个换圆啊，求导研究单调性，进而研究其范围。 好，换圆的时候要注意，这个所换圆的曲范围是 a 的 范围啊， 记得点赞关注哦！

我初三课程的特点就是确定性，就是从题目的核心特征入手，讲解快速满分的考试方法。哎，我这有一个免费的公益课，你可以加我报名参加，如果你是新初三的同学哎，你可以咨询牛哥的暑假课程哦。好，我们回到这个确定性， 其实确定性方法就是考试多题一解的秒杀大招，比如这道西城二模的解冻，这道题正常做逐步分析，至少十五分钟啊。那么利用确定性呢？利用确定性这个题只需要把图形看明白就能秒，而且我还能给你讲出两种方法来， 就从图形来看就行了。哎，我们看啊，这个图形中有这么几个神奇的角，这个角 r alpha， 这个角 alpha， 然后这个角 alpha， 你 看到了什么？图形里边是不是看到了两种情况，第一，在 c 处有半角模型， 在 c 处有半角模型。第二呢， f 和 c 处有对角互补， 它两个有本质的区别哦，半角模型两侧全等，一次对称，一次旋转，你看确定性哦，确定性就是这个套路，然后对角互补就是手拉手。 好，那么我们就从这两种方式入手呗。哎，我们先做，其实对角互补最简单哦，答案也用的对角互补，那我们就非得先做半角半角模型好，半角模型的话，哎，是不是？你看，就是 c 处一个阿尔法，一个阿尔法，那我就把它， 我就给它，把它，把它呃搞成二倍角，把 a c 沿着 b c 对 称到这个位置上，这个点点点 p 吧，这个点是点 p？ 好， 哎，你看对称过来之后，对称过来之后看角啊，是不是就很容易能够证明三角形 c a d 全等于三角形 c e p 啊， 非常容易证明， ok， 证完了之后，哎，这俩角相等，这俩角相等，这俩角相等的时候，哎，这是多少度啊？这是阿尔法，因为这是阿尔法，所以这是阿尔法， ok， 哎，好巧啊， f 处又是 r， 所以 能进一步做出 a b 平行于平行于 pc 啊，而且是不是 a c p f 是 等腰梯形啊， 等腰体型，哎，所以是不是 a c 等于 p f 啊，然后接下来投边就行了，投边就行了啊， p f 等于 e f 加上 e p e p 是 不是等于 ad 啊？由全等做出来的， ok， a d 是 不是等于 b d 减去减去减去 ab 啊？是不是它等于啊，等于 ac 啊， ab 是 不是又等于 ac 啊？哎，所以你看答案就出来了， e f 加上 b d 等于二倍的 ac， 这个用的是八角模型，还可以用什么？还可以考虑对角互补啊，对角互补更简单，它就是手拉手，对角互补就是手拉手，所以，哎，因为因为对角互补，所以这个地方我就直接连接 cf， 连接 cf 之后把它进行手拉手的旋转，延长 b d 到 q 连接 c q， 所以 这个对角互补啊，所以对角互补就有三角形 c e f 全等于三角形 c d q 啊， ok 吧，全等完了之后，是不是也就 b d 加上加上加上加上，呃， d q 就 成了一加 e f， 然后他两个就贡献了贡献，我们就是不是相加呀？然后再就用看看他和 ac 的 关系精测量，发现他等于二倍的 ac， 这是结论，结论，然后接下来我怎么去证明他呀？哎，你会发现，做完图之后，你就会惊奇的发现，三角形 bc q 是 r t 三角形啊， 那 r 贴三角形的时候证明它就行了。怎么证明？非常简单，因为手拉手，所以啊，所以手拉手之后就有就有角 f c q 等于二 r f c q 等于二 r f 又因为 c f 等于 c q 啊， 所以 q 是 九十减 r 法， b 是 r 法，所以 c 出的角 bc q 是 九十度， bcq 是 九十度 a c 等于 ab， 所以 点 a 是 斜边中线啊。不是，点 a 是 斜边中。点 a， c 是 斜边中线，所以斜边中线等于斜边一半，所以答案就出来了。两种方法， 只要从图形入手，就结束了。这道题。从图形入手，当然这道题我个人认为比比一模题要难了那么一丢丢啊，难了那么一丢丢一模，只要做个对称就结束了。好啊，这个整体不是很难 用。确定性，一切从确定性入手，只要把图形看明白，这个题就没有了。所以确定性。牛哥说的确定性就是考试方法的一种高度总结。

四十六分钟学完三角函数四五节内容，我们来到第四节内容，和角公式与被角公式。首先来看第一点， 两角的和角与差角公式。好了，之前我们学到的三角函数，它是这样子的，比如说 sine alpha， 对 吧？或者说 sine beta， 那 么现在和角，它就是把这里的 alpha， 把这里的 beta 变成阿尔法加贝塔这样子，那这种情况怎么办呢？它是有公式的，它可以展开为向 这里向后面这样子这样子的，那么我们如何展开呢？下面我们来一起来看一下。那么我们先来看沙眼的阿尔法加贝塔，那么它展开为两个部分 相加。好了，那这一部分呢？我们先简写啊，这里可以写 s， c， 后面的这一部分呢，可以写 c 和 s 这样子来组合，那这个 s 呢？就是 s 吗？对吧？ s 就是 s， 就是 口 s 吗？好了，那这里 r 法和贝塔怎么写呢？你只需要看这里前面是 r 法，后面是贝塔。好了，那么前面是 r 法， 后面是 beta， 前面是 alpha， 后面是 beta， 这就行啦。然后这里有一个符号的，跟着括号里面的这个符号就行了，它是加，那我们就是加，那如果像这样子， gamma alpha 减 beta， 如果像这样子的话呢， 它是碱，那我们这里就写碱就 ok 了。好了，那前面呢，还是塞耳阿尔法，口塞耳贝塔碱，口塞耳阿尔法塞耳贝塔，这就可以了，那么所以呢，总结一句话来说，我们的塞氧化碱之后， 它就是 s c 加 c s 这样子了，记住这个就行了。好，我们再来看口三眼，那么口三眼相对于三眼来说就简单很多了。好，我们来看怎么写啊？口三眼的阿尔法加贝塔如何展开？ 我们只需要记住口口塞塞或者 c c s s 就 行了。我先写口上 r 法加 beta 等于 c c s s， 那 么唯独不一样的就是中间的这个符号啊，它是相反的符号，那这里是加号，我们这里展开之后就变成减号这样子啦。好了，我们一起来默一默一下吧。 c c 减 s s， 那 就是口上 r 法 cosine 贝塔啊，这个角也是一样的，前面是阿尔法，后面是贝塔，也是一样的，那当然了，你把它这样子 反过来写也是没有问题的。好了，减 sine 阿尔法乘以 sine 贝塔，就是这么简单了。 好了，我们来看天准吧，天准他考的比较少，所以呢，我们重点还是记第一第二条天准呢，我们也要知道，那么天准 ar 加 beta， 它有点特别，它是一个分式来的，那么上分式的上面是一个加法的形式， 分式的下面我们可以简称，它是一个乘法的形式。好了，上面是加法，那就是 tangent ar 加 tangent 贝塔，那这个符号呢，就就跟着他走了，这个是加号，我们分子的位置也是加号，那么下面呢，有点特别，它是一减 ten 准 r 乘以 ten 准贝塔，所以呢，下面就是一个乘法嘛。那当然了，这里还有一个符号，就是减号，就跟他的符号相反就行了，上面前面是加，那么我分母就是减 好了，就这样记就 ok 了。那么接下来我们来看一下背角公式吧。背角公式这里有 三眼，有一条，口上有三条，天准，有天准一条，那这三条公式呢，都是非常重要的，特别是第一条和第二条， 这三条口上的三条公式也一定要背，一定要背会，那么背角公式就简单很多了。那么三眼的 二 r 法啦，这个叫做背角啊，因为本来呢，我们是 sine 呢 r 法，它变成二 r 法变成了两倍，这个叫做背角。 背角公式好了，它展开之后呢，就变成两倍 sine r 法乘以扣上 r 就 行了，就相当于把这个二欸 提取出来，然后呢，三眼 r 照写在后面，再写多一个 q 三眼 r。 好， 接下来我们来看 q 三眼二 r 法， q 上二 r 法，它就是等于 q 上的平方 r 法减三眼平方 r 法，那这里呢，你记住， q 三眼是大哥就行了， 口上是大哥哎，所以我用大哥减小弟好了。第二条是指口上二 r 法等于两倍，口上平方 r 减一也是他的道理，口上是大哥，所以呢，我用两倍口上的平方减一， 第三条空上二 r 法等于一减两倍三眼平方 r 法，这个时候三眼是小 d， 所以呢，我用一来减这个小 d。 好， 这三条就这样记就 ok 了。到了 ten 准二 r 法，那它呢，就是等于 两倍 tend 算法，然后除上一减 tend 平方算法，这样子就行了。那么还是那句话啊，第一条和第二条啊，第一点和第二点，这四条公式非常重要，先背会这四条，再背 tend 的 好，学完上，学完上面的内容，我们来看一下题型，先来看题型一和角公式的基本应用。好，第一题，求三点七十五度的值， 那么三点七十五度它是不是一个特殊角？它不是特殊角，像我们三十度，四十五度， 六十度的这种才是叫做特殊角，那么我们思考一下，七十五度和这几个 和这三个有什么关系？哎，你会发现三十加四十五是不是变成七十五了，所以呢，我这里就可以把它写成 sine 三十度加 四十五度这样子啦。那这里是不是一个合角公式啊？三眼的合角公式。来，我们来一起来做一下三的合角公式，先写 s c， 再写 c， s 好 了， s 呢，就是三眼 c 就是 口塞啊，对吧？然后这里的三十度，四十五度一前一后写下去就行了，三十度在前，四十五度在后，三十度在前， 四十五度在后。好，这里什么符号？这里是加号，所以我们这里就是加号。好，我们已经展开完了，然后我们直接计算就行了，很简单的，这里上三十度二分之一，扣上四十五度，二分之根号二 加二分之根号二，等于二分之根号二。哦，四分之根号二， 写错了，等于四分之根号二加四分之根号六，所以最终的答案就是为四分之根号二加根号六，写在一起把它。 ok， 我 们来看第二题，那第二题呢？这里呢，是展开的，我们要利用合角公式逆向来把它变成合并起来的。好，我们来写一下这个口三眼的合角公式。口三眼的 alpha 乘以 cosine 的 beta 加 sine alpha 乘以 sine beta， 它就是等于 cosine 的 alpha， 这里加还是减。注意了， cosine 比较特殊，中间的这个符号要变成相反的符号，所以呢，它是减啦。 阿尔法减贝塔，他是这样子的，那现在呢？七十二度就是为阿尔法，四十二度就是为贝塔，这样子吗？所以呢，他就是，他就是变成口沙眼的七十二度减四十二度这样子了，等于口沙眼 三十度，那么口上三十度是多少啊？是不是等于二分之根号三？好，我们来到，我们来到题型二二倍角公式的基本应用逐渐往上加难度了。题目说，已知二法的中边 过点三度复式，求 cosine 二 alpha 的 值啊，这里呢，它是一个二倍角，所以呢，我们要先把它展开。 cosine 的 二倍角有有三条公式，我先写下来， cosine 平方 alpha 减 三眼平方二法第二条，两倍口上平方二法减一第三条一减两倍三眼平方二法。 那么我们用哪一条呢？三条三选一。那么呢，在这题呢，我们其实可以用第二条和第三条的其中一条都可以的。那为什么不用第一条？因为第一条你既要求出口三人，又要求出三人，比较麻烦。那么如果是第二条，哎，我只需要求出口三人就行了， 第三条我只需要求出三人就行了。那么我现在呢，就直接用第二条作为例子吧好了， cosine 二 r 法等于两倍， cosine 平方 r 法减一。那现在的问题就是，我要把 cosine r 求出来。还记不记得第一节的内容？ 题目说过，点三都负四，这个三指的就是 x 轴，这个四指的就是 y 轴。那么我们先把 r 半径求出来， r 等于根号 x 的 平方加 y 方，对吧？还记不记得等于根号三的平方加负四的平方等于根号二十五等于五。 那么扣上 r 法等于多少？扣上 r 法，它是不是等于 x 比 r？ 那 这个不要忘记了，三角函数的基本性质非常重要， 那直接代数进去了，等于三比五，那就是五分之三了，扣上 r 法。对五分之三，直接把它带进去，这里 等于二乘以五分之三的平方。减一等于二乘以二十五分之九 等于。哎，减一等于二十五分之十八，减一等于二十五分之十八减通分二十五分之二十五等于负的二十五分之七了。 我们来看第二题，第二题他说已知三眼阿尔法等于五分之三，然后分别求这三个东西，那这三个都是二倍角来的。我们先来看这个三眼二阿尔法， si n 二 r 法，而且写在这里吧，写在右边一点， si n 二 r 法等于两倍 si n r 法乘以口上 r 法，对吧？好了，现在我们只知道 si n r， 还不知道口上 r 法，怎么办？ 已知三眼要求口三眼是不是同角三角函数的关系？是三眼平方阿尔法加口三眼平方阿尔法等于一的这条，不要忘记这条了，很常用的。那这时候呢？我们把这个数字带进去就行了。那五分之三的平方呢？就是二十五分之九， 加口上平方 r 法等于一口上平方 r 法。我这写快点啊，等于二十五分之十六，口上 r 法等于正负五分之四。这里取正的还是取负的？题目给了 r 的 一个范围， 九十度到一百八十度，它在第几项线？它在第二项线。我们来画一下全 s t c 的 这个图，画在最右边这里吧， 全 s t c 的 这个图，它说它的第二项线，第二项线只有上为正的，所以切都是负的，那么扣上就是为负的，所以扣上。哦，这里 写一个条件线，因为二分之拍小于 r 小 于 pi， 所以 扣上 r 等于负的五分之四。 ok 了，全部都求出来了，直接带进去， 那它呢？就等于二乘以五分之三，乘以负的五分之四，等于 负的分母为二十五，分子为二三得六四六二十四，负的二十五分之二十四。好，这个就求出来了，我们再来看扣上二 r 法怎么求？那还是那句话，我们看回刚刚的这三条公式，那么 cosine 二 r 法 和 sine alpha 的 关系第几条？第几条？是不是第三条？所以呢，我们直接套第三条公式就可以了。 cosine 二 alpha 等于一减一减两个小 d 啊，两倍 sine 平方 alpha 算是小 d 嘛？记住，这个等于一减二乘以来五分之三的平方二十五分之九， 然后把这里先擦掉，然后口塞二阿尔法等于一减二十五分之十八，等于 二十五分之七。现在塞耳二阿尔法和口塞二阿尔法都求出来了，最后求添准，添准二阿尔法，那我们就用同角三角函数的关系式了，它就是等于 sin 二 alpha 除以口上二 alpha。 这条式子不要忘记了，也是很常用的。等于负二十五分之二十四，除以 二十五分之七，那么除以一个数，就是乘以它的导数，那就是乘以七分之二十五，这里一约 等于负的七分之二十四。好了，那这三个呢，就是这题的答案了。第三题稍微有点不一样，那刚刚我们的第一第二题呢？都是已知撒野阿尔法 就已知一倍角，然后求二倍角，那现在反过来了，已知二倍角，求一倍角，那么呢，也是同样的道理啊，我们不用管他，不用管他什么，你看到二倍角，那大概率就二倍角的公式了。好了，我们来思考一下，再看一下观察题目啊，他这里给了扣上二 r 反 求 cosine alpha， 它现在是不是 cosine 与 cosine 的 关系啊？那么刚刚 cosine 二 alpha 二倍角，它有三条公式，我们用哪一条再写一下？再回顾一下， 等于，口三眼平方二法减三眼平方二法，口上二二法等于两倍。口上平方二法减一，口上二二法等于一减两倍三眼平方二法 用第几条？已知口上二 r 法求口上，那是不是只有第二条啊？只有第二条才是。哎，既有二 r 法，又有 r 法。好了，我们就直接使用第二条公式了。口上二 r 法等于两倍，口上平方 r 法减一，那把数字带进去就 ok 了。 八分之七等于两倍， cosine 平方二法减一来两倍， cosine 平方二法等于八分之七加一， 那这里的八分之七加八分之八，那就是八分之十五，我这里直接变成八分之十五，然后方程两边同时乘以二分之一，那就变成口上平方二法等于，那他这里乘以二分之一，那就变成十六分之十五了。 所以得出 cosine alpha 等于正负四分之根号十五，它是正的还是负的？我们来看， alpha 属于零到九十度，那它是第一项线根据。又根据回这个全 s t c 的 这个图，第一项线全部都是正的， 因为零小于阿尔法，小于二分之拍，所以口上阿尔法等于正的四分之根号十五。那么所以正确答案呢？就是四分之根号十五了。 我们来到题型三合角公式的综合应用题目越来越难了，大家一定要顶住了！好了，题目说已知上 r 为五分之三，给出了一个 r 的 范围，求扣上 r 加六分之拍，这个是什么？ 这个是一个合角公式啊，它是一个合角公式来的。所以呢，我们就要先用合角公式把它给展开来，看一下它，它会变成什么？口塞 r 法 啊？不是口塞 r 法加六分之拍，它是等于口塞 r 法，所以等于口塞 r 法乘以口塞六分之拍。注意啦，这里是减号 减 sine alpha 乘以 sine 六分之拍。那这个时候我们先把已知的数据先写上去，等于口上 alpha。 不知道，那我们先写口上 alpha。 口上六分之拍，六分之拍是三十度，那么它就是二分之根号三减 sine alpha。 我 们知道了，五分之三 乘以三三十度二分之一。那现在的问题就是，我是不是只有 cosine alpha？ 不知道怎么办？ 我们又用到了这条空，是 sine alpha 的 平方加 cosine 哦，上平方 alpha 加 cosine， 平方 alpha 等于一的这条又用到了这条。 好了，那这里直接代数进去就行了。二十五分之九加口上平方 r 法等于一，得出口上平方 r 法等于二十五分之十六得出口上 r 法等于正负五分之四，取正的还是取负的？题目说 r 法是九十到一百八十度，它是第二项线，我们还是画一个全 s t c 的图，第二项线只有三是正的，其他都是负的，所以口三为负的。因为二分之拍小于阿尔法小于拍，所以口三阿尔法等于负五分之四。 ok 了，一切都水落石出了。 等于负五分之四乘以二分之根号三减，我这里直接写二五一十十分之三， 等于这里一约变成了二负五分之二倍，根号三减十分之三，我们就写成这样子吧。 所以正确答案呢，就是，负五分之二倍，根号三减十分之三，那么他还有另一个，还有另一种形式，你要写成这样子也行。 那这里呢，变成了负十分之四倍，根号三减十分之三，对吧？你把它通分，然后分母写在一起也行，等于负的十分之四倍根号三。注意了，这里是加三了，因为你提了一个符号出来，然后这这个符号要变成它的相反的符号。 好吧，你写成这个答案也 ok， 没问题，但是不太建议写这个答案呢，因为呢，它有一个细节，就是提了一个符号出来，这里要变符号很容易出错，所以呢，我们尽量写成这种形式吧。好了，我们来看第二题吧，第二题很难，第二题是二零二三年的一个 高考难度的题目来的，我们认真听啊，这个要认真听一下。那现在题目呢，我主要看后面的这两坨吧。题目呢，给了一个差角公式的值， 然后反过来求三点 r， 那 么我们的正常的思路，同学们一看到这个会不会直接想到，哎，我直接用和差角公式把它展开，口上 r 法，口上四分之拍 加三呀二法，三呀四分之派等于十三分之五。哎，同学们一般都会想到这个，然后再把数值带进去，二分之根号二，口上二法，加二分之根号二三呀二法，等于十三分之五。 哎，算到这里的时候，有的同学就不会算了，有两个未知数怎么办？那么如果你再用这个三点平方二法， 用这个和角公式把它连立，这样做的话呢，非常的麻烦，因为两个未知数又有两个平方，做起来很痛苦。那么这个方法呢，我们就 不用，我们再思考一下，思考什么呢？题目给的范围是这给的这个条件是 alpha 减四分之拍，我们要求的是 alpha， 要思考一下 ar 法减四分之拍如何变成 ar 法怎么变？你是不是在它这个的基础上加一个四分之拍就 ok 了？那么所以呢，我，现在，我我先把这里拆了，我现在就可以把 size r 法这条式子，我是不是可以把它改写成三眼 r 减四分之拍，再加一个四分之拍，是不是可以这样子？好了， r 法减四分之拍，它是一个整体， 我们用括号来扩起来，然后它外面是一个大整体，我们就用中括号来扩起来。那这里呢？它是不是就是个合角公式啊？前面为一个整体，后面为一个整体，那么我们用合角公式怎么展开上的合角公式？它是不是 s c 加 c s 这样子啊？好了，那它就是 sine 阿尔法减四分之拍，它是一个整体，乘以 cosine 四分之拍 加 cosine 的 阿尔法减四分之拍，乘以 cosine 四分之拍，它是不是变成这样子了？再把已知的数值带进去。 sin alpha 减四分之拍题目没给，我们先照抄 sin alpha 减四分之拍乘以 cosine 的 四分之拍二分之根号二加，那这个题目就给了十三分之五 乘以二分之根号二。好啦，又回归到了同角三角函数关系式了。题目给了 cosine， 我们现在要求三眼，那它就是三眼的平方那只不过现在我这个角有点长。没关系， r 减四分之拍加口三眼平方 r 减四分之拍等于一，对吧？ 三眼的平方 r 减四分。哦哦，对对对，减四分之拍加 幺六九分之二十五等于一三点平方。阿尔法减四分之拍，我就写快点了，等于幺六九分之幺四四， 得出 sine。 阿尔法减四分之拍等于正负十三分之十二。它是取正的还是取负的？这里有点难题木给出。阿尔法是这个范围，我们要判断 括号里面的这个在第几项线来。因为 四分之拍小于阿尔法小于四分之三拍，那么所以我现在的角度为阿尔法减四分之拍，那么我就在它的两边同时减上一个四分之拍就 ok 了。 同时减上一个四分之拍好了，那么这里就变成了零小于 alpha 减四分之拍，小于这里变成四分之二拍来说二分之拍，所以它在第几象限？ 零到九十度，它是在第一象限，那么第一象限得出 side。 阿尔法减四分之拍等于正的十三分之十二。一切都出来了，全都出来了，把它带进去，等于 十三分之十二乘以二分之根号二。加十三分之五乘以二分之根号二。等于 二十六分之十二根号二。加二十六分之五倍根号二等于二十六分之十七根号二。那么所以这题的答案就是为二十六分之十七根号二了。 我们来到题型，是和差角公式的最后一个题型呢，被角公式的综合应用 好。第一题已知三角法加口三角法等于四分之一，求这个，那么如果你在已知条件中看到三角法加口三角法，看到这种形式的，我们直接两边平方就 ok 了，它就变成 sin 二法加 cosine 二法的平方等于四分之一的平方，就是十六分之一，这里就是完全平方公式了， 变成 cosine 平方二法加两倍上二法， cosine 二法加 cosine 平方二法等于十六分之一。好了，这里 cosine 平方加 cosine 平方等于什么？是不是等于一啊？ 那么这个是什么？中线的这个是什么？这个不就三眼的三眼的二倍角公式啦，它就是三眼的二 alpha 嘛，所以三眼二 alpha 加一等于十六分之一，三眼二 alpha 等于十六分之一减一 三幺二二法等于十六分之一减十六分之十六等于负的十六分之十五。这样子了，他的答案为负的十六分之十五啊，这题也是比较经典的题目啊，两边平方的这个套路大家一定要学会。 接下来我们来看第二题，第二题，好像他现在来了一个四次方， 没关系，完全没关系，我们来直接换原法吧，换换一下吧，就是我们把这个 cosine x 看成是 a 吧， 把这个 cosine x 看成是 b， 把它看成这样子吧，这样才好看一点。那现在呢，它就是 a 的 四次方减 b 的 四次方等于三分之一。那我们先对这个前面的这个进行化解吧， a 的 四次减 b 的 四次，那其实这里就是一个完全啊差， 其实这里就是一个平方差公式啊，就是 a 方减 b 方等于 a 加 b 乘以 a 啊，乘以 a 减 b， 这样子嘛，那只不过呢，它现在是四次方，我们怎么把它变成平方呢？很简单呢，那 a 的 四次呢，其实就是 a 的 平方 再平方嘛， b 的 四次呢，就是 b 的 平方再平方，这样子嘛，它就是等于 a 方加 b 方，乘以 a 方减 b 方，这样子。到了这里，能不能理解？能不能理解到这里就是本来他是 a 方呢，就是 a 加 b， a 减 b 的， 那么呢，我现在呢，只是把这个普普通通的 a 变成 a 方，所以呢，我其实就是在这条公式的基础上， 他的 a 和 b 全部给他套一个平方而已，他就是这样子，只在他基础上套一个平方而已，就就变成这样子了。好了，其实写到这里呢，我们就可以把这个 a 变回这个口三眼，把这个 b 变回三眼了，那他这里就变成了 cosine 平方 x 加 sine 平方 x 乘以 cosine 平方 x 减 sine 平方 x， 但它这里 三眼平方加口上平方，它是不是等于一啊？这个应该能理解吧。好，到了后面，口三眼平方减三平方，它是不是口上的二倍角公式啊？口上的二倍角公式，口三眼二 r 法等于口三眼平方 r 减三眼平方 r 法，我这里只是反过来，对吧？所以呢， 它的打这里为一就不写了，它这里就变成口三眼的二 x 了， 所以化简到最后，它就是变成 cosine 二 x 等于三分之一这样子啦， 是不是很有趣？好，把，这里擦掉，我们来看看一下 cosine 二 x 与 sine x 之间的关系。 cosine 的 二倍角公式，我们直接用这条 cosine 二 x 等于一减两倍 sine 平方 x 代数三分之一等于一减两倍三点平方 x， 两倍三点平方 x 等于一减三分之一，那就是三分之二了。 方程两边同时乘以二分之一，三眼平分 x 等于它这里乘了二分之一，那就变成了三分之一了。把这个擦掉，所以三眼 x 等于正负三分之根号三，它是正的还是负的？题目给了 哦，这个应该是 x 啊，这个应该是 x。 题目给了 x 的 范围，零到九十度，第一项线全 s， t， c 啊，第一项线全都是正的， 因为零小于 x， 小 于二分之拍，所以三 x， 它是等于正的三分之根号三啊，所以正确答案呢，就是三分之根号三。 好了，以上就是和差角公式和倍角公式全部的内容了，如果里面有很多题目啊，如果学不会的，要反复的观看，看到学会为止。 我们来到三角函数第五节的内容，三角函数的图像和性质，那么本节内容有两个非常重要的知识点，我们来看第二小点里面的第一小点，最小正周期的公式， 这个是第一个重点内容，第二个重点内容就是下面的这一点，最大值与最小值两个重点内容非常关键，高考直接考这两个好了。在学这个重点内容之前，我们先来看一下 这两个三角函数的图像和性质。一个是正弦型的函数 y 等于上 x， 一个是余弦型的函数 y 等于口上 x。 那 这里呢？有个表格，我把表格重要的信息跟你们说一下。第一个就图像，那么 y 等于上 x 的 图像，它是过圆点的， 所以呢，它是一个奇函数来的，也是下面提提到的，它是一个奇函数，那么 y 等于 cos x， 它的图像是关于 y 轴对称的来看，你会发现 y 轴把这个图像分割成两半，所以它是一个偶函数来的。 那第二个直域，我们来看，直域就是这个函数图像最小值和最大值。好，我们把这个图放大一点来看，用蓝色笔吧，你会发现他的最低点是哪个，是不是这个？第一个是这个，然后第二个是这个，那么这个点我们来看， 它在 y 轴所对应的值为负一，那么所以它的最小值为负一，最小值 为负一。再来看它的顶点，顶点是这个点，这个点，那当然了，它后面呢，它是无穷无尽的，不管怎么样，它的顶点 在 y 轴所对应的点是这个点，那这个点的值为一，所以它的最大值 也为一。那同样的道理啊，余弦函数也是一样的，最小值在下面的这里为负一， mini 为负一，那最大值在上面的这里，所以说最大值 max 为一。那么换句话说呢， 无论是正弦型函数也好，余弦型函数也好，它的最小值和最大值分别都是负一和一。那么如果我现在把这个函数写成这样子， y 等于两倍三 x， y 等于两倍口三 x， 那 它的最小值和最大值为多少？它的最小值和最大值就是为一个正数，正二， 最小值，那就是为负二。所以说最大和最小值，我们直接看它的系数就 ok 了。再举一个例子， y 等于负二， 三 x 负三吧，负三三 x， 它的最大值为多少？哎，有的同学说了哦，我最值就看系数嘛。所以呢，它的最大值就是为负三，那最小值啊，就是它的相反数就为三，你看一下对不对？ 最大值比最小值还要小吗？那这里呢，我们反过来就行了，最大值就是为三，最小值就是为负三，这就行了。 所以呢，下面这里啊，有条公式啊，就是最大值。先不要管这个 k， 它的最大值呢，就是绝对值的 a 就是 它的系数，加一个绝对值就是为最大值了，最小值就是负的绝对值， a 就是把它绝对值变成绝对值之后，在它的前面加一个负号就 ok 了，也就是这里啊，到了这里，不要不要再说最大值是负三了，这个，这可不是啊，注意一点。好了， 来看下面的这一点，最小正周期，像我们这种 y 等于 sine x 啊， y 等于 cos 啊 x 啊，它们的最小正周期都是二拍啊，那等会呢，就讲一个最小正周期的公式的公式，看一下这个二拍是怎么得出来的啊？基偶性刚刚说过了， 单调，单调性就不说了，这个考的很少，甚至不会考，这一部分就不说了。好，我们直接来看第二点， 最小正周期的公式。那最小正周期的公式呢，就是 t 等于二拍除以绝对值的欧米伽，那这个叫做这个 w 读作欧米伽，二拍是固定的。欧米伽是什么？我们来看这里， 它的函数为 y 等于 a sin 欧米伽， x 加 f 加 k 欧米伽，记住了，为 x 的 系数 好了，也就是 x 前面的那个数就是 omega， 就 这么简单。好，来看第三点了，第二点就这么简单了，来看第三点，辅助角公式。那么辅助角公式通常来说的应用就是求最大值和最小值。 我们来看这条函数的特点，它是 y 等于 a 乘以三 x 加 b 乘以 cosine x， 那 它的特点就是函数它会出现三 x 和 cosine x， 并且它们两个的这两个的次数为一。 什么意思？就他们都是一次的，那如果他写成 y 等于 a sin 平方 x 加 b cos 这种就不行了，因为这个是两次，这个是一次，我们要统一都是一次才行。记住了，好了，如果出现这种情况，那它的最大值 mass 就是 等于根号下 a 方加 b 方，很简单了，其实就是勾股定律，那它的最小值 mini 就是 等于负的，根号下 a 方加 b 方，就你会发现它的最小值就在就无非就在最大的前面加一个负号而已。 好了，那以上呢，就是三角函数图像和性质的全部内容了，我们直接来看一下题目。 题型一，求三角函数的最小正周期。那么这里呢，我列举了四道非常经典的例题，我们逐一来看一下。第一题是最简单的，最常考的，直接求最小正周期，那么我们就直接用最小正周期的公式， t 等于二拍除以绝对值。欧米伽，欧米伽刚刚说了为 x 的 系数，也就是为四，所以这题二拍除以四等于二分之拍，最小正周期为二分之拍。就这么简单来看第二题， 函数 y 的 三幺二 x 加口上二 x 的 最小正周期，它跟第一题不同，它既有一个三幺二 x， 又有一个口上二 x， 那 它的最小正周期的公式是什么？还是一呀？ t 等于二拍除以绝对是 omega， 这里的 omega 指着也是 x 的 系数都为二，所以 omega 就是 为二，所以等于二拍除以二，等于拍好了，最少这六七为拍。到了第三题来看， 它现在的函数变成 y 等于 sine 平方 x， 这里的次数为二，所以属于二次。 如果三角函数的次数为二，那么最小正周期的公式要变一下，变成 t 等于 pi 除以绝对值的 omega， 这个一定要记住， 如果次数为二，它的最小正周期的公式为 pi 除以 omega， omega 还是一样 x 的 系数，这里 x 前面的数是什么？没有，也就是把一给省略掉了，所以它就是 pi 除以一等于 拍。第三题的答案为拍。第四题，我们观察一下这个函数它是多少次， 它的次数为一次还是二次？很明显了，二次，因为平方，平方就是二次。来看第三题，平方就是二次，这是一个 二次的，所以他的最少正周期公式公式 t 等于拍除以绝对值。欧米伽，欧米伽还是一样， x 的 系数为六，拍除以六，那就是六分之拍了，就这么简单。 题型，二，三角函数的最值非常简单，这种题目是简单的，在高考当中简直就是送分题，把分送到你们的嘴里面了。 刚刚说过了，最大值和最小值，看哪一个数？看三眼前面的这个数， 那不不是看 x 的 数啊， x 前面的那个数是求周期的，而三眼前面的数才是求最大值的。好，现在为四，所以这个最大值为四，最小值为负四，就这么简单。第二题， 这条函数观察一下，前面是一个三角函数，但是后面多了一个减一，所以我们现在先管先单独来看一下前面的这一个 好了。前面的这个能不能一眼看出他的最最大值为多少？那有的同学说啊，这个值为负二，那最小值就是为差，相反数就是二。又搞错了，最大值才是二呀， 最大的最大值肯定比最小值要大呀，所以最大值为二，最小值为负二，其实一眼就能看出来了。好了， 它后面是不是还多了个减一？所以整一条函数 y， 它的最大值就是二，减一 等于一，最小值就是为负二，减一等于负三。好了，所以答案就是为一和负三，非常简单。我们来看一下最后的一个辅助角公式的应用吧。那么辅助角公式的应用呢？刚刚所说的就是勾股定力 mass 就 最大值等于根号下 a 方加 b 方。最小值 mini 就是 等于负的，根号下 a 方加 b 方。 这里的 a 和 b 指的是撒尔和口上的系数。好了，撒尔的系数为一，所以 a 等于一， 口上的系数为根号三，所以 b 等于根号三啊，所以很简单了，最大值我们来看一下，等于根号下一的平方加根号三的平方等于根号一，加三等于根号四 等于二，对吧？最大值为二，那么最小值就是在他的前面加一个符号就行。那为什么刚刚和刚刚的这里不一样呢？又要减一，因为他后面多了一个常数项，我们这个叫做常数项，所以呢，我们要把这个常数项也加上去，但是后面 这题他后面没有任何东西啊，没有常数项了，所以就不用管了，最大值最小值为负二就 ok 了。好了， 第二题还是穿的道理，勾股定律，不要管，不要管，它的符号是什么，我们直接写就行了。 a 等于负一， b 等于。哦，又是根号三，好，那么直接用公式最大值，那就是根号下 a 方加 b 方等于根号下负一的平方，加根号三的平方等于根号一，加三等于根号四 等于二，所以它的最大值还是二，最小值还是负二，就是这么简单。 那么这一节的内容就全部讲完了。五点五上角函数的图像和性值，重点考的就是刚刚所说的那七八道的例题，大家一定要反复的去观看，一定要学会这种送分题。

一百二十八分钟学完三角函数全部内容，我们来到第五章的内容，三角函数 五点一，任意角的三角函数。首先我们来看一下三角函数的定义是什么，那么三角函数呢？它其实啊就是在一个直角三角形里面， 这一个是直角，那么呢，这里有一个角，这个角叫做阿尔法，那么 sine 阿尔法就是等于对边 比斜边，那对边是什么？就是这个角所对的那一条边，那这条就是对边，斜边就是最长的那一条边，这一条打斜的就是斜边。 cosi 等于邻边比斜边，邻边又是什么？邻边就是这个角旁边的那条边，那么旁边它有两条边嘛？一条是斜边，那么另一条只能是邻边了。 那还有一个 ten 准， ten 准 alpha 等于对边比邻边，那么这个呢，就是三角函数了，是初中的，那么到了高中之后，三角函数它通常都是发生在 平面直角坐标系数。好了，这里是圆点，我们从圆点出发，它经过一个点，好跟它相连，跟这个点相连，在这个点上做一条垂线，与 x 轴垂直，那么这里形成了一个角，那这个角呢，就是 角 r 法，那么同样的道理， sine r 法也是等于对边比斜边，那么现在来看，对边指的是这一条打竖的边，我们来看，在坐标系中打竖的是不是指 y 轴， y 轴的值好，所以它就是等于 y 比斜边，那么斜边的这一条我们通常用半径 r 来表示， y 比 r， 哎，所以沙眼的正弦值等于 y 比 r， r 分 之 y 就是 这样子出来的啊。我们再来看一下口上，口上 r 法等于邻边比斜边，那么这个角的邻边是不是打横的这一条啊？ 打横的这一条，那么这时候它是 x 轴还是 y 轴？它是指的是 x 轴的值啊，所以就是 x 比 r 转 r。 法 等于对边比邻边，对边为 y， 邻边为 x， 所以 就是 y 比 x， x 分 之 y。 好 了，那么这三条式子呢，就是这样子得来的。这三条式子非常重要吗？我们一定要狠狠地记住了，下面还有一条， r 等于根号 x 的 平方加 y 方，其实就是勾股定律吧， 其实就是勾股定律吧， x 平方加 y 方等于 r 方，这样子吧，所以 r 呢，就是等于根号 x 的 平方加 y 方。不过要注意的一点啊，这个 r 永远都是一个正数的，它永远都是一个正数来的， 这个是注意的好。我们来看第二点，三角函数值的符号，因为我们在平面直角坐标系中，所以呢，我们的三角函数它是有正负性的。我为什么我举一个例子啊？在这里画一个图吧，我举一个例子，比如说这个角， 那刚刚呢，我的这条边呢，是在第一项线嘛？那如果我现在到了第二项线，那怎么办呢？第二项线 ok， 连过来，好，在这个点做一条垂线，与 x 轴垂直。那么这个时候 我们来看呢，在这个三角形里面，好，这个是 r， 那 么 side and r 是 不是等于对边比斜边， y 比 r 啊？这个时候呢，这个 y 它是一个正数的，到了口上 r 法， 我们来看啦，口上 r 等于 x 比 r， 这个时候 x， 你 会发现它在哪里，它在负半轴啊，所以这个时候的口上呀，它是一个负数来的。 好，我们再来看一下添准，添准 r 等于 y 比 x 来看， y 是 正数， x 为负数，所以添准也是一个负数来的。 所以呢，我们第二点呢，它就是说三角函数的符号，它是有正负之分的。这里呢，我有一个口诀啊，叫做全 s t c， 那 就是来快速的判断在哪一个上限，哪些是正的，哪些是负的啊？我们来看一下， 第一项线全，就是在第一项线中全部为正，第二项线 s， 也就是在第二项线中只有三眼是正的，那么其他就是负的。第三项线 t 只有天准是正的，其他都是负的。那同样的道理啊，第四象限 c， 口上只有口上是正的，其他都是负的。我们直接来记这个口诀，全 s t c 啊，也能叫也是这个口诀，有一个说法叫做全是天才， 全是天才，一定要记住啊，非常重要，这个非常重要。到了第三点，三角函数的特殊值，我们到了这一部分呢，看表格，他有很多东西，我们重中之重，记这几个就行了，我把它宽出来啊， 好，一个是三十四十五、六十度，好记这几个。另一个呢是一百二、一百三十五、一百五 这几个。这三个一共呢，记六个就行了，记六个，通常这个表比较重要，我们最好在考试的时候再测试啊，在考试啊，拿到草稿纸就把这个表的这六个默出来好了，我下面来带大家看一下这 怎么默写好，一个是三眼，一个是口，三眼，一个是 tanger， 对 吧？好，这里是三十度， 四十五度，六十度，然后这个是一百二十度，一百三十五度，哎，这个是好看一点，一百三十五度，还有一百五十度，好，首先呢，我们先默三十、四十五、六十，这个还是很好默的，上眼呢，就是二分之一， 然后二分之根号二，二分之根号三，就是一二三，那口上眼呢，就是反过来三二一， 二分之根号二，二分之一，一二三三二一。那么添准呢？我们只需要记住添准，四十五度对一就行了。那么六十度呢，就是一乘以根号三，那就是根号三， 三十度呢就是一除以根号三，那就是三分之根号三。好了，磨完这个我们再来磨右边的这部分了，我们在这里做一条，做一个镜子，换一个镜面，那么其实呢，这些呢，就是他的镜像， 就这些一百二，一百三十五，一百五，就是左边这一个数的这些数的镜像，那这就是二分之 根号三，二分之根号二，二分之一。镜像嘛，再来对过来嘛，二分之一，二分之根号二，二分之根号三。好，先写下来，先利用镜像的原理先写下来好了， 接下来它有正负性的之分，因为刚刚说了，在第二项线有一些是正的，有一些是负的，我们就根据刚刚的那个全 s t c 啊， 全 s t c， 对 吧？第二项线的 s， 那 这些角都是第二项线角啊，第二项线只有三也是正的，其他都是负的，那么只有三也是正的，其他都是负的，加一个负号就行了。 说到我们这个表呢，就这样默写就 ok 了，非常简单，一定要记住他是如何默写的啊。 ok， 我 们来到了题型，题型一，任意角的三角函数题型一的第一题是非常重要的题目， 在考试中经常以这种形式来考，就比如说考试中选择题已知角阿尔法过过中边这个点，然后求某一个的值，那我们现在呢，是求三个，那高考呢，它会求其中的一个。好了，这种题目怎么做？那首先呢， 我们先来标一下五呢，就是 x 轴的坐标，十二呢，就是 y 轴的坐标，对吧？标完之后，我们再把公式写下来， sine alpha 等于 y 比 r， 口上 alpha 等于 x 比 r。 添准 r 法等于 y 比 x。 公式写完之后，是不是有一个半径 r 要求啊？我们呢就先用勾股定力把它的半径求出来， r 等于根号， x 的 平方加 y 方 等于根号五的平方加十二的平方，这个勾股数啊，五十二，十三，所以 r 直接等于十三。写完之后呢，求三眼，对吧？那么三眼 r 法就是等于 套公式就行了，这里纯套公式就行了。 y 比 r， y 为十二，那就是十三分之十二。 口上 r 法等于 x 比 r， x 为五，那就是十三分之五。 填准 r 法等于 y 比 x， y 是 多少？ y 是 十二， x 为五，五分之十二。这就做完了，非常简单，在高值高考里面，这题通常作为送分题啊，一定要做对。再来看第二种类型，出的比较少啊，也相当是一个，相当于是一个拓展的内容。已知角二法的中边过点这个， 那刚刚呢，我们的点呢，是明确给了你的，现在呢，用 x 的 字母来， x 的 字母来表示啊，他说 x 大 于零，求这三个的值。这里有一个比较快的方法，就是负值法， 就是他说 x 大 于零嘛，我随便让 x 取一个数把它带进去，就比如说我令 x 等于一，对吧，令它为一之后，此时此刻 p 的 坐标是什么？所以点 p 的 坐标就是为一勾 根号三了，对不对？那么 e 是 什么？ e 就是 x 轴的坐标值，根号三就是 y 轴的坐标值。我们还是用刚刚的那个方法，先把半径求出来。 r 等于根号 x 的 平方加 y 方 等于根号，那一的平方就是一啊，根号三的平方就是三，那这里一加三等于四，根号四等于二。好，已经做完了，做到这里已经差不多做完了。 side 等于 y 比 r 等于 根号三比二，那就二分之。根号三口算 r 法等于 x 比 r 等于 x 为一， r 为二了，二分之一 天准。 r 法等于 y 比 x， y 是 根号三， x 为一，所以就是等于根号三。那这个呢，就是这些答案呢，非常简单。赋值法，那通常呢，我们在选填的时候采用这个赋值法那，不过这个也不会考大题了，所以放心使用就 ok 了。 好了，来到了题型二，判断三角函数值的正负号的题型二，它不会单独考的，它通常是一个知识点，为后面的一些内容做铺垫的， 我们直接来看啦。呃，这三个分别是正的还是负的？我们直接用这个全 s t c 的 这个图像做的时候，我们可以画个图啊，全 s t c。 好 了，我们再来看。换图之后再来看呢，这个二百五在第几下线呢？这个是零度，这里是九十度，这里是二百七啊，这里是一百八， 这里是一百八十度，这里是二百七十度啊，这里又变成了三百六十度。所以呢，二百五呢？他是在第三下线的，但第三下线只有天准是正的，其他都是负的，他现在说口上了吗？所以他是负的 o 不 ok？ 然后再来看这个第二题，四分之拍，负四分之拍，四分之拍就四十五度啊，这个要快速的，快速的记起来，这个是负四十五度。好，我们再来看呢，也是 全 s t c， 那 负四十五度在第几象限呢？我们刚刚呢，是这样子，顺时针的搞，所以呢，就是零九十度，一百八、二百七嘛，这个顺时针，那么它还有一种说法呢，就是逆时针这样子的，那逆时针呢， 这里这就是零度，这里就是负九十度，这里就负一百八十度，这里就负二百七十度。一样的啊，负逆时针达到它现在是负四十五度，是不是在零到负九十度啊？负九十度到零的之间呢？ 所以呢，它在第四象限，第四象限只有口上是正的，其他都是负的，所以呢，它现在是 side， 它还是一个负的 好。第三题稍微有一点困难了。第三题，这个三分之十一拍很大，我们第一步先把它变小，三分之十一拍，把它变小了就减一个三百六十度，那就是减三分之六拍，等于 三分之五拍，到了三分之五拍就差不多了，我们来算一下它的角度，三分之五拍拍呢是一百八十度乘以一百八十度，一百八十度跟呃除以三，那就是六十度，五乘以六十度，五六三是三百 三百度，所以呢，这个就相当于天准的三百度。可以了，我们再来换一个数轴吧，全 stc， 那也是零九十度，一百八十度，二百七十度， 三百六十度啊，三百度，那就是在二百七到三百六之间了，也是也就在第四象限，第四象限只有口上是正的，其他都是负的，他要求的是天准，所以也是负的。 ok 了，我们来看第二问吧， 他说撒，眼大于零，扣上小于零，哎，反过来问你， r 反是第几项线？没关系，我们还是来全 stc 全 s t c 来啦。他说三眼大于零，我们来看图啊，大于零就是一个正数，那正数第一项线全都是正的，那第二项线三也是正的。所以说，那此时此刻我从这个条件我是不是可以得出 r 法在第一 或者第二项线？好了，我们再来看口上这个条件，再来重新画一个 全 s t c。 他 说口上小于零在第几项线呢？ r 法在第几项线？你看第一项线全都是正的，排除第四项线。口上是正的，排除， 所以它小于零只能在第二和第三项线。所以呢，标一个二三项线，那么中上所述，你看一二二三，他只能在第二项线了。所以 r 法在第二项线，那为第二项线角选 b。 到了三角函数第二节的内容，同角三角函数的关系式，这节内容非常重要，很多题目都是出在这里的，包括后面还有很多拓展的题目，都是需要用到这两条关系式的。 好了，我们来看一下这两条式子吧。第一条就是平方的关系，那就是三眼平方加 cosine 平方等于一，就这么简单了，写一下三眼平方 r 加 cosine 平方 r 等于一， 它也可以写成三眼平方贝塔加 cosine 平方贝塔等于一都没问题。好，第二条式子 三的关系，也就是 ten 准 r 法等于 sine r 法。除以 cosine r 法，就这两条式子，那么有一点要注意的是 题，我们的标题叫做同角，三角函数同角，那么说明只要里面的这两个角是相同的，那么这两条公式就成立。 比如说 sine 平方，我现在是 r 法，让我变成两倍 r 法这样子，口上平方二 r 法，它也是等于一，也是成立的。 ten 准三 r 法等于 sine 三 r 法，除以口上三 r 法，这样也是成立的。记住啊，不只是局限于 r 法，只要角度相同，它就成立 好了。带着这两条公式，我们来看题型一，题型一是已知已知一个三角函数的值，求另外两个 好了，已知 sin， sin 等于负五分之四，然后给了一个 sin 角度的范围，让我们求其余两个三角函数的值。 那这里我们先求 cosine， 因为 cosine 和 cosine 是 有关系的，也就是 cosine 平方 cta 加 cosine 平方 cta 等于一，就是刚刚第一条公式， 那么用这条公式就能直接求 cosine。 来，我们来求一下吧，直接把数带进去就 ok 了。负五分之四的平方加 cosine 平方 c 等于一，这里是二十五分之十六，加 cosine 平方 c 等于一， 得出 cosine 平方西塔等于二十五分之九， cosine 西塔等于正负五分之三，那么它是正的还是负的？题目给了西塔一个范围， 这里是一百八，这里是二百七。来看一下这里呢，要用到那个全 stc 的 图了，画一个全 stc， 全 s t c， 他 说一百八到两百七，那就是第三象限，第三象限只有 ten 准是正的，其他都是负的。所以啊，因为 pi 小 于 c 塔小于二分之三 pi， 所以 口上 c 塔等于负 五分之三，那这就是他的答案了，负五分之三，那么我们再来求一下天准吧，那求天准呢，就很简单了，因为知道三眼，又知道口三眼，那么我们就用第二条，是指天准的那一条， 那天准西塔就是等于三眼西塔，除以口三眼西塔，对吧？那么三眼西塔呢，是负五分之四 除以，我们这里写除啊，就不写分数了，写分数会不好看，那么除以口上西塔是除以负五分之三，除以一个数，等于乘它的倒数，乘以 三分之五。哦，这里是五分之四啊，写错了，五分之四，所以填准西塔等于 三分之四。那么这种题目非常关键的，大家一定要学会这种题目必考的题目。再来看一下第二题，那第二题有点不一样了，刚刚这题呢，是已知三人求口，三人再求添准，那么这题呢，是已知添准， 求三人好了。第二题他在考试的时候他出的很少，但是呢，我们也要学会这个，那么这题呢，有两个方法，我们先来讲方法一， 方法一，我们首先使用添准的那条公式，添准 r 法等于三眼 r 法，除以口上 r 法，对吧？ 等于负的二分之一。那这里呢，我们重点就来观察后面的这个了，我们把口上这分母的口上移到右边，它就变成三眼 r 法，等于负二分之一，乘以口上 r 法 好了，然后方程两边再乘以一个负二，那就变成负二三样算法，等于口算算法好了。现在呢，我们就得出这样的两条式子啊， 后面可能会用到其中的一条，先放一放好，我们先看求什么，求三样算法，现在我们知道三样和口算的关系，我们就可以直接使用 这条式子来求了，就是三眼平方 r 加口三眼平方 r 等于一，用这条来求了。好，现在求三眼平方 r 保留 加，把这个口三转换为三眼，那就用到上面的这条式子了，因为刚刚我们已经算出来，口三眼 r 等于负，二三眼 r 法，那直接把它变成负二三眼 r 法就可以了，它是有平方的，那么再平方等于一，得出三眼平方 r 法 加四倍三眼平方 r 法等于一，得出五倍三眼平方 r 法等于一，对吧？三眼平方 r 法等于五分之一， sin alpha 等于正，负五分之根号五，它是正还是负呢？题目告诉了我们它是第四象限，我们呢，是不是可以再利用全 s t c 这个图啊？全 s t c， 它是在第四象限，第四象限 只有口上是正的，其他都是负的。因为阿尔法属于第四象限角，所以呢，塞耳阿尔法就是等于负的五分之根号五了，负五分之根号五。 接下来我们来看方法二，那么方法二对比于方法一的是简单很多的， 他说添准 r 法等于负二分之一。好了，添准 r 法在第一节的时候，添准 r 法是不是等于 y 除以 x， 然后再等于负二分之一？我们来看一下 第四象限角有什么特点。第四象限好，这个角看一下有什么特点，它的对应的这个 y， 它是一个负的，是一个负数， 它对应的这个 x 是 一个正数。那么我们是不是可以把这条式子可以写成这样， y 除以 x 等于负一除以二，对吧？因为 y 轴为负， x 轴为正，那么这个时候我们是是不是可以得出哎？ y 可以 把它看成是负一， x 可以 看成是二，有没有问题？所以 y 看成是负一， x 看成是二。那么 sin r 法， sin 的 公式是什么？ sin r 法在第一节的时候，它的公式是什么？等于 y 比 r 嘛？是不是我们把 r 求出来就行了？ r 是 什么？ 勾股定力嘛？根号 x 的 平方加 y 的 平方等于根号五嘛。所以 sin r 法等于 y 比 r 等于 y 是 多少？ y 是 负一，负一除以根号啊，负一比根号五等于负的五分之根号五。那么这就第二个方法，第二个方法相对来说快很多。 接着我们来看题型二同角三角函数关系式的应用。题型二是重中之重，非常重要。解题型二的方法有很多，起码有三种方法，但是我在这里呢，就只教最简单的一种方法，就是斜修法。 那么使用斜修法呢？它是有一个前提的啊，我先把这个前提的条件 先写出来。好，第一点，写修法前提，第一点它我们要求的这个式子，它是要一个分子，它要为分子才行。第二个，分子之后，确定了分子之后，每 项式子的每项都必须含有 side 或者 co side。 第三个，每项的次数 都要一致，那就是每项次数要一样。我们来看一下题目的这个符不符合这个前提条件啊？好，第一个分式没毛病了。第二个，每项含有 sign 和口 sign， 你 看 sign， 口 sign， sign， 口 sign， 每项都含有了 次数，一不一样，这个为一次，一次，一次都是一次，所以可以使用斜修法。那么斜修法怎么做呢？来看呢？ ten 准 r 法等于 side 法除以口上 r 法，这条式子有没有问题？等于二是吧？这个二我们可以把它写成一分之二，那这个时候相对应 side 可以 看成是二， 口上可以看成是一。注意了，这里我们是要看成把它看成啊，它不是等于二，也不是等于一，只是我们方便计算把它看成二和看成一，那么所以上二法呢，就是看成是二， 口上二法呢，就是看成是一，那么这条四值呢？我们就可以直接来求了啊，等于来看呢，萨眼减口上，那就是 二减一，三减加三倍的口算，那就是二加三乘以一，那就是三。最终答案等于五分之一，所以正确答案呢，就是五分之一，简不简单？ ok， 再来第二问 好。用邪修法之前，先看一下符不符合这三个前提，第一个份式符合了，第二个，每项含有三眼和口，或者口三眼三眼口三眼含有了，但是这个一 不含有，所以呢，我们第一步呢，要把这个一把它操作一下。还记不记得三角函数的关系是三点平方二法加口三平方二法等于一，这条四子嘛？那么这条四子呢，在做这题呢，非常常用啊， 很常见的，下面就照抄就 ok 了。三眼平分阿尔法加两倍，口三眼平分阿尔法。好了，我们呢就把这整条四指变成这样子，现在就是要求这一条，我们继续学求法吧。 ten 准阿尔法等于 sin， 二法除以 cos 二法等于负二除以一。好了，同样的道理啊， sin 看成负二， cos 二看成一，那这个符号呢，大家不用纠结啊，这个符号可以给二，也可以给下面的一，都可以的。好了， side 看成是负二， cosi 看成是一，那这里呢？直接代数进去就行了。 side 是 负，那就是负二的平方加一的平方，然后下面就是负二的平方，加二乘以一的平方，那就是二啦， 等于四加一，这里是四加二，等于六分之五，所以第二题的答案为六分之五。 到了最后一题，第三题更难了，每题都变难，第三题更难啊。写修法之前，还是要看一下符不符合那三个条件。第一个为分式。 那现在我们要求的这个式子呢？连第一个条件都不符合了，他不是分式，不是分式怎么办？还记不记得一个知识点，所有数的分母都为一，我现在的这个数为两倍三眼平方二法加三倍口三眼平方二法，他的分母 为一。这个一定要知道啊，所有任何数的分母它都为一，因为任何数除以一都等于它本身嘛。那我这一大坨数除以一也是等于它本身，所以这个是成立的。 那搞出来一个一之后，我们再用同小三角函数的关系式，把这个一再进行变化一下， 那就是上面照抄，平方二法加三倍口三眼平方二法，这个一就变成三眼平方二法加口三眼平方二法，运用了同角三角函数的关系式啊， 变成这样子，再来看一下，第一点，分子符合。第二点，每项都含有三眼或者口三眼也符合。第三点，次数是否一致？ 二次，二次，二次，二次都是二次，所以可以使用斜修法。好了，斜修法 tend 二法等于 side 二法除以口五上二法等于二分之一。那这个时候呢，我们就不不要再让分母为一了，因为这个已经是一个分式来的，它直接可以相对应的是不是？所以呢， side 就是看成是一，口塞看成是二，这就 ok 了，再把这个数值带进去，写在这里吧，写在右边这里吧，等于来二乘以 一加三乘以口上是二，那就二的平方为四分母 一的平方加二的平方等于这里是二加十二等于十四，分母为一加四为五，五分之十四，所以第三题五分之十四直接秒了。 好了，这就是同角三角函数的几个题型，这五道例题都非常关键，大家一定要学会反复的去复习。 我们来到第三部分的内容，诱导公式，诱导公式他不会单独出题来考，他会和我们之前学到的同角三角函数关系式，还有后面即将学到的和角差角公式，二倍角公式结合一起来考。好了，我们来看一下诱导公式是怎么回事。 那么来看题目中出现形容 sine alpha 加减拍，或者 sine alpha 加减二分之拍，如果题目出现后面的这个角度，哎， 这一个是二分之拍的倍数，那么我们就可以利用诱导公式来进行化简。那么所以说呢，诱导公式呢，就是我们对于一个比较复杂的三角函数进行一个化简的过程。当然了，这里有一个很关键的地方，它的这个角度 一定要是二分之拍的倍数才行，那如果他说什么三分之拍，阿尔法加减三分之拍，阿尔法加减六分之拍，这种是不行的，入导公式一定是二分之拍的倍数， 那么利用诱导公式化简的口诀来在这里既变偶不变，符号看象限，这里的既和偶指的就是括号里面的这个数，那么如果是二分之拍二分之三拍这种分式的， 那就是 g 了，他要变化。那么如果是拍二拍三拍四拍这种横式的，那就是偶了，他是不用变的。好了，我们直接来看题型吧，我们通过三道例题教会大家这种诱导公式他要怎么去化解，他是怎么变的。然后题型一的第一题， 萨尔阿尔法加三分之拍，我们的口诀即变偶变，先判断它是要变化还是不用变化的， 这个为拍它是偶，偶是不变的，不变怎么写呢？我们直接这个萨尔不用变化，直接写一个萨尔，那么里面呢？化简嘛，我们以把这一个角直接化简为阿尔法， 那这个第一步已经操作完了，是不是很简单，既变偶不变，已经操作完了，他是不变的。那么符号看象限，我们之后还要判断这一个的正负性，他到底是正的还是负的 怎么办？那么那我们就要看这一个角，括号里面的这个角，它在第几项线，我们先来画一个全 s t c 的 图，全 s t c 来又出现这个图了，这个图非常重要啊，那么在右导公式里面算法 这一个角，我们把它看成第一项线角，为了方便大家后面 判断这个这一坨是多少度，所以呢，我们可以直接设阿尔法的这个角 为三十度，我们以后遇到诱导公式的，我们都设这个阿尔法的角度为三十度，这就 ok 了。好了，那这里呢，是三十度，对吧？加一百八十度等于二百一，二百一，它在第三象限。 看图，第三项线只有填准是正的，其他都是负的。那这个时候呢，我们要判断第三项线的 side， 它是负的，所以呢，我们就写个负上去就行了，所以化简之后呢，它就变成负上 r 法。好了，我们再来看第二题。先来看它是变 还是不变，既变偶不变，变还是不变。二分之三拍，它是一个分式，所以它是要变化的，那么变化呢，就是把这个口塞人 变成塞人，他这样子变的啊，好了，变成塞人里面怎么写？写个阿尔法就行了，都是写阿尔法的。好了，接下来我们再来判断它的正负性，它是正的还是负的。阿尔法刚刚说了，假设为三十度， 这个二分之三拍他是二百。来看一下这个一百八除以二九十三九二十七，二百七十度。好，再画一个全 s t c 的 这个图， 全 s t c， 二啊，这里，哦，这个加起来是三百度啊，兄弟们，三百度，我们来看他在第几项线，他在第四项线， 第四下线的口三眼是正的。那这个时候有一个很关键的细节，我们判断正负性，要判断他变化之前的这个 不要判断变化之后的三眼，要判断变化之前的那变化之前他是口三眼。哎，刚好第四下线的口三是正的，所以就不用写了，那就正的三眼法正，正号可以省略吗？好了，到了第三题，同样的道理，先看变还是不变。 二分之拍，他要变沙眼，变的话，那就变成口沙眼，这样子的沙眼和口沙眼互相变化的，那就变成口沙眼阿尔法好了，再判断他是正的还是负的。二分之拍是九十度 阿尔法，我们默认假设为三十度，所以九十度减三十度等于六十度。在第几象限选 stc 这个图 六十度，他在第一项线，那么第一项线全部都是正的，所以说正的口算 r 法，那正号了，就可以省略不写了。 接下来我们来看题型。二，诱导公式加同角三角函数关系式的应用，就是两个知识点结合起来考了，在考试里面也是很常考的这种题型。 好了，我们来看第一题，第一题他说已知啊，这个呵给了个范围，那么求 sine 阿尔法加拍我们第一步啊，首先要用诱导公式进行化简，就把这个进行化简，看一下它是什么来啊，这个既变偶变变还是不变啦？拍 它是不用变的，它是偶拍是偶不变，所以呢，还是 sine alpha。 然后符号看象限，我在右边这里画一个全 s t， c 好 了，这个 alpha 是 三十度，拍呢是一百八十度二百一，它在第三象限，第三象限只有天准是正的，其他都是负的。所以呢， 第三项链是第三项链的三眼，它是负的，那就变成负上 r 法，已经化解完了，那么所以现在我们要求呢，就是负上 r 法的值。 那么题目给了口上 r 法，我们还记不记得同角上角函数关系是三眼上平方 r 加口上眼平方 r 法等于一的这条我们直接带数字进去，三眼平方 r 加负二分之一的平方，那就是四分之一。我再写快一点呢，等于一， 得出三眼平方 r 法等于四分之三，得出三眼 r 法等于正负二分之根号三，他取正的还是负的？哎，题目给了一个范围，九十小于 r 法小于一百八十度，他在第二项线再来看全 s t c 这个图。 第二象限的三眼是正的，所以来先写一下，因为二分之拍小于 alpha 小 于拍第二象限，所以三眼 alpha， 它是一个正数 等于正的二分之根号三。好了，语文同学写到这里呢，直接把答案就写成二分之根号三了，这个是错误的，因为我们要求什么？我们要求负的上岸法嘛，所以呢，就是等于负的二分之根号三，所以这些答案呢，是负二分之根号三。 我们来到了第二问，第二问稍微更加复杂了一点了，因为他同时出现了两个，都是需要用到诱导公式来化解的。 我们不慌了，我们先来化简第一个吧。第一个，他说 cosine 二分之拍减 r 法，对吧？鸡变偶不变。第一步，鸡变偶不变，二分之拍，它是鸡要变的，所以呢，它就变成 cosine r 法了。然后第二步，符号看象限 r 法默认的三十度九十度，九十度减三十度等于六十度，所以呢，这个角，它在第一象限 第一象限判断口三眼。来吧，继续来画一个全 s t c 吧，我们养成习惯，这个图很关键，非常重要。第一象限 的口上，它是正的，所以呢，它就变成正的三眼 r 法。这里整理一下，它就变成正的三眼 r 法。那么所以呢，题目这个呢，我们就可以转化成三眼 r 法等于三分之一这样子了。 好了，再来化解一下后面的这个，后面的这个既变偶变拍，他是偶，不用变的，所以他还是口无遮耳法。 符号看象限是正的还是负的，拍是一百八十度， r 法看成三十度，一百八减三十等于一百五，一百五。在第二象限 第二项线，只有三眼是正的，口三眼为负的，所以它呢，就变成了负的口上 r 法。所以我们现在就是要求负口上 r 法的值， 把这个写在上面吧，没什么位置了。负口上 r 法好了，又用到同角三角函数那条关系式了，就是 sine 平方 r 法加 cosine 平方 r 法等于一的这条带数字进去， sine r 法这三分之一，所以这个就是九分之一，加 cosine 平方 r 法等于一， 得出 cosine 平方 r 法等于九分之八。 cosine r 法等于正负三分之二倍根号二， 正，它是负的，它说 r 法为第二象限角。又来了，第二象限只有沙眼是正的，其他都是负的， 因为 r 法。为什么什么第二象限角，所以 q 上 r 法，那只有上也是正的， q 上是负的，等于负的三分之二倍根号二。 ok， 来到这里，不要忘记了现在我们要求什么？求负的 q 上 r 法，因为 q 上 r 法是负的 三分之二倍根号二，所以负空上二法写在这里吧，等于负的负三分之二倍根号二，负负得正，所以等于三分之二倍根号二。这个就是答案了。注意了， 求到这里还不是结果，我们要看求的这一坨东西是什么？注意了，很多同学在这里出错了，好吧，到了第三题第三节又复杂一点，那这个呢，连续出现三个需要用到诱导公式来化解的，一个个来吧，口三眼 二分之拍减阿尔法。好了，这里快一点了哦，他要变的变成三眼阿尔法。 然后这一个是九十度减三十度为六十度，六十度在第一象限，它是正的，所以等于正的上 r 法，正号可以省略。到了。第二个 side 拍加 r 法， 它是不用变的，这个还是变成还是上 r 法？不用变。好了，这个拍是一百八十度， r 法是三十度，一百八加三十。来看一下啊，画一个全 stc 的 图， 它在第三象限，第三象限只有天准是正的，其他都是负的，所以呢，它就是等于负的上 r。 把这个拆掉。 最后一个 cosine 拍加 r， 既变偶不变，它是偶的，不用变，所以还是 cosine r。 然后符号看象限一百八 加三十，二百一，也是还是第三项线填准是正的，且都是负的，所以等于负的 q 上 r。 那 么做到这里呢？把这个叉夹板没有用了。做到这里呢，这一整条式子它就变成了分子为 sin r 法， 分母为负， sin r 法减负 q 上 r 法，那这里这里就负负得正了。我直接写加了加 q 上 r 法， 加口上 r 法。好了，又回归到了我们同角上角函数关系式的第二个支点斜修法。斜修法的前提复习一下， 第一个要求的是分式，第二个每一项出现 side 或者口上符合了，并且它们的次数相同，次数都为一，也符合了，那吧，斜修法， tendr 法等于 三眼 r 法，除以口上 r 法，对吧？等于二，这个二来，我们可以看成一分之二，那么三眼 r 法就可以看成是二了。口上 r 法就可以看成是一了。直接代数进去等于 二，然后负二加一，等于，这里是负一，分子为二，答案为负二，所以第三题负二。 以上是诱导公式的内容，特别是这个诱导公式。第一点，诱导公式的化简非常关键，我们一定要熟练诱导公式，它怎么化简，准确运用 g 变 o 变符号看象限的这个口诀，不懂得把这一部分多看几遍。 我们来到第四节内容，和角公式与被角公式。首先来看第一点，两角的和角与差角公式。好了，之前我们学到的三角函数，它是这样子的，比如说 sine r 法，对吧？或者说 sine beta， 那 么现在和角，它就是把这里的 r 法，把这里的 beta 变成阿尔法加贝塔这样子。那这种情况怎么办呢？它是有公式的，它可以展开为向 这里向后面这样子这样子的，那么我们如何展开呢？下面我们来一起来看一下。那么我们先来看沙眼的阿尔法加贝塔，那么它展开为两个部分 相加。好了，那这一部分呢？我们先简写啊，这里可以写 s， c， 后面的这一部分呢，可以写 c 和 s 这样子来组合，那这个 s 呢？就是 s 嘛，对吧？ s 就是 s 嘛， c 就是 口 s 嘛。好了，那这里阿尔法和贝塔怎么写呢？你只需要看这里前面是阿尔法，后面是贝塔。好了，那么前面是阿尔法， 后面是 beta， 前面是 alpha， 后面是 beta， 这就行啦。然后这里有一个符号的，跟着括号里面的这个符号就行了，它是加，那我们就是加，那如果像这样子， gamma alpha 减 beta， 如果像这样子的话呢？ 它是减，那我们这里就写减就 ok 了。好了，那前面呢，还是 side alpha， 口 side beta 减口 side alpha side beta， 这就可以了。那么所以呢，总结一句话来说，我们的 side 化简之后， 它就是 s c 加 c s 这样子了，记住这个就行了。好，我们再来看口三眼，那么口三眼相对于沙眼来说就简单很多了。好，我们来看怎么写啊？口三眼的阿尔法加贝塔如何展开， 我们只需要记住口口塞塞或者 c c s s 就 行了。我先写口上阿尔法加贝塔等于 c c s s， 那 么唯独不一样的就是中间的这个符号啊，它是相反的符号，那这里是加号，我们这里展开之后就变成减号这样子啦。好了，我们一起来默一默一下吧。 c c 减 s s， 那 就是口上阿尔法 cosine 贝塔这个角也是一样的，前面是阿尔法，后面是贝塔，也是一样的。那当然了，你把它这样子 反过来写也是没有问题的。好了，减 sine sine 法乘以 sine 贝塔，就是这么简单了。 好了，我们来看天准吧，天准它考的比较少，所以呢，我们重点还是记第一第二条，天准考的比较少，但是呢，天准呢，我们也要知道。那么天准 ar 加 beta， 它有点特别，它是一个分式来的，那么上分式的上面是一个加法的形式， 分式的下面，我们可以简称它是一个乘法的形式。好了，上面是加法，那就是 tangent ar 加 tangent 贝塔，那这个符号呢，就就跟着他走了，这个是加号，我们分子的位置也是加号。那么下面呢，有点特别，它是一减 ten 准 r 乘以 ten 准贝塔，所以呢，下面就是一个乘法嘛，那当然了，这里还有一个符号，就是减号，就跟他的符号相反就行了，上面前面是加，那么我分母就是减 好了，就这样记就 ok 了。那么接下来我们来看一下背角公式吧。背角公式，这里有 三眼，有一条，口上有三条，天准有天准一条，那这三条公式呢，都是非常重要的，特别是第一条和第二条， 这三条口上的三条公式也一定要背，一定要背会，那么背角公式就简单很多了。那么三眼的 二 r 法啦，这个叫做背角啊，因为本来呢，我们是 sine 呢 r 法，它变成二 r 法变成了两倍，这个叫做背角。 背角公式好了，它展开之后呢，就变成两倍 sine r 法乘以扣上 r 就 行了，就相当于把这个二欸 提取出来，然后呢，三眼 r 法照写在后面再写多一个 q 三眼 r 法。好，接下来我们来看 q 三眼二 r 法， q 上二 r 法，它就是等于 q 上的平方 r 法减三眼平方 r 法，那这里呢，你记住， q 三眼是大哥就行了， 口上是大哥哎，所以我用大哥减小弟好了。第二条是指口上二 r 法等于两倍，口上平方 r 减一，也是他的道理，口上是大哥，所以呢，我用两倍口上的平方减一。 第三条空上二 r 法等于一减两倍三眼平方 r 法，这个时候三眼是小 d， 所以呢，我用一来减这个小 d。 好， 这三条就这样记就 ok 了。到了 ten 准二 r 法，那它呢，就是等于 两倍添准阿尔法，然后除上一减添准平方阿尔法，这样子就行了。那么还是那句话啊，第一条和第二条啊，第一点和第二点，这四条公式非常重要，先背会这四条，再背添，准的 好，学完上学完上面的内容，我们来看一下题型，先来看题型一和角公式的基本应用。好，第一题，求三点七十五度的值， 那么三点七十五度它是不是一个特殊角？它不是特殊角，像我们三十度，四十五度、 六十度的这种才是叫做特殊角。那么我们思考一下，七十五度和这几个 和这三个有什么关系？哎，你会发现三十加四十五是不是变成七十五了，所以呢，我这里就可以把它写成 sine 三十度加 四十五度这样子啦。那这里是不是一个合角公式啊？三眼的合角公式。来，我们来一起来做一下三的合角公式，先写 s， c， 再写 c， s 好 了， s 呢，就是三眼 c 就是 口塞啊，对吧？然后这里的三十度，四十五度一前一后写下去就行了，三十度在前，四十五度在后，三十度在前， 四十五度在后。好，这里什么符号？这里是加号，所以我们这里就是加号。好，我们已经展开完了，然后我们直接计算就行了，很简单的，这里上三十度二分之一，扣上四十五度二分之根号二 加二分之根号二，等于二分之根号二。哦，四分之根号二， 写错了，等于四分之根号二加四分之根号六，所以最终的答案就是为四分之根号二加根号六，写在一起把它。 ok， 我 们来看第二题，那第二题呢？这里呢是展开的，我们要利用合角公式逆向来把它变成合并起来的。好，我们来写一下这个口三眼的合角公式，口三眼的 alpha 乘以 cosine 的 beta 加 sine alpha 乘以 sine beta， 它就是等于 cosine 的 alpha， 这里加还是减。注意了， cosine 比较特殊，中间的这个符号要变成相反的符号，所以呢，它是减啦。 阿尔法减贝塔，他是这样子的，那现在呢？七十二度就是为阿尔法，四十二度就是为贝塔，这样子吗？所以呢，他就是，他就是变成口沙眼的七十二度减四十二度这样子了，等于口沙眼 三十度。那么口上三十度是多少啊？是不是等于二分之根号三？好，我们来到，我们来到题型二二倍角公式的基本应用逐渐往上加难度了。题目说，已知二法的中边 过点三度复式，求 cosine 二 alpha 的 值啊，这里呢，它是一个二倍角，所以呢，我们要先把它展开。 cosine 的 二倍角有有三条公式，我先写下来， cosine 平方 alpha 减 三眼平方二法第二条两倍。口上平方二法减一，第三条一减两倍。三眼平方二法。 那么我们用哪一条呢？三条三选一，那么它在这期呢，我们其实可以用第二条和第三条的其中一条都可以的。那为什么不用第一条？因为第一条你既要求出口商，又要求出商商，比较麻烦。那么如果是第二条，哎，我只需要求出口商就行了， 第三条我只需要求出三人就行了。那么我现在呢，就直接用第二条作为例子吧。好了， cosine 二 r 法等于两倍， cosine 平方 r 法减一。那现在的问题就是，我要把 cosine r 求出来。还记不记得第一节的内容？ 题目说过，点三都负四，这个三指的就是 x 轴，这个四指的就是 y 轴，那么我们先把 r 半径求出来， r 等于根号 x 的 平方加 y 方，对吧？还记不记得等于根号三的平方加负四的平方等于根号二十五等于五。 那么口上 r 法等于多少？口上 r 法，它是不是等于 x 比 r？ 那 这个不要忘记了，三角函数的基本性质非常重要， 那直接代数进去了，等于三比五，那就是五分之三了。口上 r 法，对，五分之三，直接把它带进去这里 等于二乘以五分之三的平方。减一等于二乘以二十五分之九 等于。哎，减一等于二十五分之十八，减一等于二十五分之十八减通分二十五分之二十五等于负的二十五分之七了。 我们来看第二题，第二题他说已知三眼阿尔法等于五分之三，然后分别求这三个东西，那这三个都是二倍角来的。我们先来看这个三眼二阿尔法， sin 二 alpha 啊，写，写在这里吧，写在右边一点， sin 二 alpha 等于两倍， sin alpha 乘以 q 上 alpha， 对 吧？好了，现在我们只知道上 alpha， 还不知道 q 上 alpha 怎么办？ 已知三眼要求口三眼，是不是同角三角函数的关系？是三眼平方阿尔法加口三眼平方阿尔法等于一的这条不要忘记这条了，很常用的。那这时候呢，我们把这个数字带进去就行了，那五分之三的平方呢？就是二十五分之九 加口上平方 r 法等于一口上平方 r 法。我这写快点啊，等于二十五分之十六，口上 r 法等于正负五分之四。 这里取正的还是取负的？题目给了 r 的 一个范围，九十度到一百八十度，它在第几项线？它在第二项线。我们来画一下全 s t c 的 这个图，画在最右边这里吧。 全 s t c 的 这个图，它说它的第二项线，第二项线只有上为正的，所以切都是负的，那么扣上就是为负的，所以扣上啊。这里 写一个条件线，因为二分之拍小于 r， 小 于 pi， 所以 扣上 r 等于负的五分之四。 ok 了，全部都求出来了，直接带进去， 那它呢？就等于二乘以五分之三，乘以负的五分之四，等于 负的分母为二十五，分子为二三得六四六二十四，负的二十五分之二十四。好，这个就求出来了，我们再来看扣上二 r 法怎么求？那还是那句话，我们看回刚刚的这三条公式。 那么 cosign 二 alpha 和 sine alpha 的 关系第几条？第几条？是不是第三条？所以呢，我们直接套第三条公式就可以了。 cosine 二 r 法等于一减一减两个小 d 啊，两倍 sine 平方 r 法算是小 d 吧。记住，这个等于一减二乘以来五分之三的平方二十五分之九。 那把这里先擦掉，然后口塞耳二阿尔法等于一减二十五分之十八，等于 二十五分之七。现在塞耳二阿尔法和口塞耳阿尔法都求出来了，最后求添准，添准二阿尔法，那我们就用同角三角函数的关系式了，它就是等于 sin 二 alpha 除以口上二 alpha。 这条式子不要忘记了，也是很常用的。等于负二十五分之二十四，除以 二十五分之七，那么除以一个数，就是乘以它的导数，那就是乘以七分之二十五，这里一约等于负的 七分之二十四。好了，那这三个呢，就是这题的答案了。第三题稍微有点不一样，那刚刚我们的第一第二题呢？都是已知撒野阿尔法， 就已知一倍角，然后求二倍角，那现在反过来了，已知二倍角求一倍角，那么呢，也是同样的道理啊，我们不用管它，不用管它什么，你看到二倍角，那大概率就用二倍角的公式了。好了，我们来思考一下，再看一下观察题目啊，他这里给了扣上二 r 反 求 cosine alpha， 它现在是不是 cosine 与 cosine 的 关系啊？那么刚刚 cosine 二 alpha 二倍角，它有三条公式，我们用哪一条再写一下？再回顾一下， 等于，口三眼平方二法减三眼平方二法，口上二二法等于两倍，口上平方二法减一，口上二二法等于一减两倍三眼平方二法 用第几条已知 q 上二 r 法，求 q 上，那是不是只有第二条啊？只有第二条才是，哎，既有二 r 法，又有 r 法。好了，我们就直接使用第二条公式了。 q 上二 r 法等于两倍， q 上平方 r 减一，那把数字带进去就 ok 了。 八分之七等于两倍， cosine 平方二法减一来两倍 cosine 平方二法等于八分之七加一， 那这里的八分之七加八分之八，那就是八分之十五，我这里直接变成八分之十五，然后方程两边同时乘以二分之一，那就变成口上平方二法等于，那他这里乘以二分之一，那就变成十六分之十五了。 所以得出 cosine alpha 等于正负四分之根号十五，它是正的还是负的？我们来看 alpha 属于零到九十度，那它是第一项线根据，又根据回这个全 s t c 的 这个图，第一项线全部都是正的， 因为零小于二反小于二分之拍，所以口上二反等于正的四分之根号十五。那么所以这题答案呢？就是四分之根号十五了。 我们来到题型三合角公式的综合应用，题目越来越难了，大家一定要顶住了。好了，题目说已知上 r 为五分之三，给出了一个 r 的 范围，求扣上 r 加六分之拍，这个是什么？ 这个是一个和角公式啊，它是一个和角公式来的，所以呢，我们就要先用和角公式把它给展开来看一下它，它会变成什么？ cosine alpha 啊？不是 cosine alpha 加六分之拍，它是等于 cosine alpha， 所以 等于 cosine alpha 乘以 cosine 六分之拍。注意啦，这里是减号 减 sine alpha 乘以 sine 六分之拍。那这个时候我们先把已知的数据先写上去，等于如果口上 alpha 不知道，那我们先写口上 alpha。 口上六分之拍，六分之拍是三十度，那么它就是二分之根号三减 sine alpha。 我 们知道了五分之三 乘以三，三十度，二分之一。那现在的问题就是，我是不是只有 cos 算法不知道怎么办？ 我们又用到了这条空，是 cos 算法的平方加 cos 啊，上平方算法加 cos 平方算法等于一的这条又用到了这条。 好了，那这里直接代数进去就行了。二十五分之九加口上平方 r 法等于一得出口上平方 r 法等于二十五分之十六得出口上 r 法等于正负五分之四，取正的还是取负的？题目说 r 法是九十到一百八十度，它是第二项线，我们还是画一个全 s t c 的图。第二扇线只有扇是正的，其他都是负的，所以口扇也为负的。因为二分之拍小于阿尔法小于拍，所以口扇阿尔法等于负五分之四。 ok 了，一切都水落石出了， 等于负五分之四乘以二分之根号三减，我这里直接写 二五一十十分之三，等于这里一约变成了二负五分之二倍根号三减十分之三，我们就写成这样子吧。 所以这题答案呢，就是负五分之二倍根号三减十分之三，那么他还有另一个，还有另一种形式，你要写成这样子也行， 那这里呢，变成了负十分之四倍根号三减十分之三，对吧？你把它通分，然后分母写在一起也行，等于负的十分之四倍根号三。注意到这里是加三了，因为你提了一个符号出来，然后这这个符号要变成它的相反的符号。 好吧，你写成这个答案也 ok， 没问题，但是不太建议写这个答案呢，因为呢，它有一个细节，就是提了一个符号出来，这里要变符号很容易出错，所以呢，我们尽量写成这种形式吧。好了，我们来看第二题吧，第二题很难，第二题是二零二三年的一个 高考难度的题目来的，我们认真听啊，这个要认真听一下。那现在题目呢，我主要看后面的这两坨吧。题目呢，给了一个差角公式的值， 然后反过来求三点 r， 那 么我们的正常的思路，同学们一看到这个会不会直接想到，哎，我直接用和差角公式把它展开，口上 r 法，口上四分之拍 加三呀二法，三呀四分之派等于十三分之五。哎，同学们一般都会想到这个，然后再把数值带进去，二分之根号二口上二法加二分之根号二三呀二法等于十三分之五。 哎，算到这里的时候，有的同学就不会算了，有两个未知数怎么办？那么如果你再用这个三点平方二法， 用这个和角公式把它连立，这样做的话呢，非常的麻烦，因为两个未知数又有两个平方，做起来很痛苦。那么呢，这个方法呢，我们就 不用，我们再思考一下，思考什么呢？题目给的范围是给的这个条件是 alpha 减四分之拍，我们要求的是 alpha， 要思考一下 ar 法减四分之拍如何变成 ar 法，怎么变？你是不是在它这个的基础上加一个四分之拍就 ok 了？那么所以呢，我现在我先把这里拆了，我现在就可以把 size r 法这条式子，我是不是可以把它改写成 sine r 减四分之拍，再加一个四分之拍，是不是可以这样子？好了， r 减四分之拍，它是一个整体， 我们用括号来扩起来，然后它外面是一个大整体，我们这种中括号来扩起来，那这里呢，它是不是就是个合角公式啊？前面为一个整体，后面为一个整体，那么我们用合角公式怎么展开上眼的合角公式，它是不是 s c 加 c s 这样子啊？好了，那它就是 sine 二法减四分之拍，它是一个整体，乘以 cosine 四分之拍加 cosine 的 阿尔法减四分之拍乘以 sine 四分之拍，它是不是变成这样子了？再把已知的数值带进去？ sin alpha 减四分之拍题目没给，我们先照抄 sin alpha 减四分之拍乘以 cosine 的 四分之拍二分之根号二加，那这个题目就给了十三分之五 乘以二分之根号二。好啦，又回归到了同角三角函数关系式了。题目给了 cosine， 我们现在要求三眼，那它就是三眼的平方那只不过现在我这个角有点长。没关系， r 减四分之拍加口三眼平方 r 减四分之拍等于一，对吧？ 三眼的平方 r 减四分。哦哦，对对对，减四分之拍加 幺六九分之二十五等于一三点平方阿尔法减四分之拍。我就写快点了，等于幺六九分之幺四四， 得出 sine 阿尔法减四分之拍等于正负十三分之十二，它是取正的还是取负的？这里有点难。题目给出阿尔法是这个范围，我们要判断 括号里面的这个在第几项线来。因为 四分之拍小于阿尔法小于四分之三拍，那么所以我现在的角度为阿尔法减四分之拍，那么我就在他的两边同时减上一个四分之拍就 ok 了。 同时减上一个四分之拍好了，那么这里就变成了零小于 alpha 减四分之拍，小于这里变成四分之二拍来说二分之拍，所以它在第几象限？ 零到九十度，它是在第一象限，那么第一象限得出 side 阿尔法减四分之拍等于正的十三分之十二。一切都出来了，全都出来了。把它带进去，等于 十三分之十二乘以二分之根号二加十三分之五乘以二分之根号二等于 二十六分之十二根号二，加二十六分之五倍根号二，等于二十六分之十七根号二。那么所以这题的答案就是为二十六分之十七根号二了。 我们来到题型，是和差角公式的最后一个题型呢，被角公式的综合应用 好。第一题，已知上 r 法加口上 r 法等于四分之一。求这个，那么如果你在已知条件中看到上 r 法加口上 r 法，看到这种形式的，我们直接两边平方就 ok 了，它就变成 三眼二法加口三眼二法的平方等于四分之一的平方，就是十六分之一，这里就是完全平方公式了， 变成三眼平方二法加两倍上二法，口上二法加口上平方二法等于十六分之一。好了，这里三眼平方加口上平方等于什么？是不是等于一啊？ 那么这个是什么？中线的这个是什么？这个不就塞眼塞眼的二倍角公式啦，它就是塞眼的二 alpha， 所以 塞眼二 alpha 加一等于十六分之一，塞眼二 alpha 等于十六分之一减一 三幺二二法等于十六分之一减十六分之十六，等于负的十六分之十五这样子了，他的答案为负的十六分之十五啊。这题也是比较经典的题目啊，两边平方的这个套路大家一定要学会。 接下来我们来看第二题，第二题好像他现在来了一个四次方， 没关系，完全没关系，我们来直接换原法吧，换换一下吧，就是我们把这个 cosine x 看成是 a 吧， 把这个 cosine x 看成是 b， 把它看成这样子吧，这样才好看一点。那现在呢，它就是 a 的 四次方，减 b 的 四次方等于三分之一，那我们先对这个前面的这个进行化解吧， a 的 四次减 b 的 四次，那其实这里就是一个完全啊差， 其实这里就是一个平方差公式啊，就是 a 方减 b 方，等于 a 加 b 乘以 a 啊，乘以 a 减 b， 这样子嘛，那只不过呢，它现在是四次方，我们怎么把它变成平方呢？很简单呐，那 a 的 四次呢，其实就是 a 的 平方 再平方嘛， b 的 四次呢，就是 b 的 平方再平方，这样子嘛，它就是等于 a 方加 b 方，乘以 a 方减 b 方，这样子到了这里能不能理解？能不能理解到？这里就是本来他是 a 方呢，就是 a 加 b， a 减 b 的， 那么呢，我现在呢，只是把这个普普通通的 a 变成 a 方，所以呢，我其实就是在这条公式的基础上， 它的 a 和 b 全部给它套一个平方而已，它就是这样子，只在它基础上套一个平方而已，就变成这样子了。好了，其实写到这里呢，我们就可以把这个 a 变回这个口三眼，把这个 b 变回三眼了，那它这里就变成了 cosine 平方 x 加 sine 平方 x 乘以 cosine 平方 x 减 sine 平方 x， 但它这里 三眼平方加口上平方，它是不是等于一啊？这个应该能理解吧。好，到了后面，口上平方减上平方，它是不是口上的二倍角公式啊？口上的二倍角公式，口上二 r 等于口上平方 r 减三眼平方 r 法，我这里只是反过来，对吧？所以呢， 它的打这里为一，就不写了，它这里就变成口上眼的二 x 了， 所以化简到最后，它就是变成 cosine 二 x 等于三分之一这样子啦， 是不是很有趣？好，把这里擦掉，我们来看看一下 cosine 二 x 与 sine x 之间的关系。 cosine 的 二倍角公式，我们直接用这条， cosine 二 x 等于一减两倍。 sine 平方 x 代数三分之一等于一减两倍三等平方 x 两倍三等平方 x 等于一减三分之一，那就是三分之二了。 方程两边同时乘以二分之一，三眼平分， x 等于它这里乘了二分之一，那就变成了三分之一了。把这个擦掉，所以三眼 x 等于正负三分之根号三，它是正的还是负的？题目给了 哦，这个应该是 x 啊，这个应该是 x， 题目给了 x 的 范围，零到九十度，第一项线全 s t c 啊，第一项线全都是正的， 因为零小于 x， 小 于二分之拍，所以三 x， 它是等于正的三分之根号三啊，所以这题答案呢，就是三分之根号三。 好了，以上就是和差角公式和倍角公式全部的内容了，如果里面有很多题目啊，如果学不会的，要反复的观看，看到学会为止。 我们来到三角函数第五节的内容，三角函数的图像和性质，那么本节内容有两个非常重要的知识点，我们来看第二小点里面的第一小点最小正周期的公式， 这个是第一个重点内容，第二个重点内容就是下面的这一点，最大值与最小值两个重点内容非常关键，高考直接考这两个好了。在学这个重点内容之前，我们先来看一下 这两个三角函数的图像和性质。一个是正弦型的函数 y 等于上 x， 一个是余弦型的函数， y 等于口上 x， 那 这里呢？有个表格，我把表格重要的信息跟你们说一下。第一个就图像，那么 y 等于上 x 的 图像，它是过圆点的， 所以呢，它是一个奇函数来的，也是下面提提到的，它是一个奇函数，那么 y 等于 cos x， 它的图像是关于 y 轴对称的来看，你会发现 y 轴把这个图像分割成两半，所以它是一个偶函数来的。 那第二个直域，我们来看，直域就是这个函数图像最小值和最大值。好，我们把这个图放大一点来看，用蓝色笔吧，你会发现它的最低点是哪个，是不是这个？第一个是这个，然后第二个是这个，那么这个点我们来看， 它在 y 轴所对应的值为负一，那么所以它的最小值为负一，最小值 为负一。再来看它的顶点，顶点是这个点，这个点，那当然了，它后面呢，它是无穷无尽的，不管怎么样，它的顶点 在 y 轴所对应的点是这个点，那这个点的值为一，所以它的最大值 也为一。那纯的道理啊，余弦函数也是一样的，最小值在下面的这里为负一， mini 为负一，那最大值在上面的这里，所以说最大值 max 为一。那么换句话说呢， 无论是正弦型函数也好，余弦型函数也好，它的最小值和最大值分别都是负一和一。那么如果我现在把这个函数写成这样子， y 等于两倍三 x， y 等于两倍口三 x， 那 它的最小值和最大值为多少？它的最小值和最大值就是为一个正数，正二， 最小值，那就是为负二，所以说最大和最小值，我们直接看它的系数就 ok 了。再举一个例子， y 等于负二 三 x 负三吧，负三三 x， 它的最大值为多少？哎，有的同学说了哦，我最值就看系数吗？所以呢，它的最大值就是为负三，那最小值啊，就是它的相反数，就为三，你看一下对不对？ 最大值比最小值还要小吗？那这里呢，我们反过来就行了，最大值就是为三，最小值就是为负三，这就行了。 所以它下面这里啊，有条公式啊，就是最大值。先不要管这个 k， 它的最大值呢，就是绝对值的 a 就是 它的系数，加一个绝对值就是为最大值了。最小值就是负的绝对值 a 就是把它绝对值变成绝对值之后，在它的前面加一个负号就 ok 了，也就是这里啊，到了这里，不要不要再说最大值是负三了，这个，这可不是啊，注意一点。好了， 来看下面的这一点，最小正周期，像我们这种， y 等于三 x 啊， y 等于 cos 啊， x 啊，它们的最小正周期都是二拍啊。那等会呢，就讲一个最小正周期的公式的公式，看一下这个二拍是怎么得出来的啊？基友性刚刚说过了， 单调，单调性就不说了，这个考的很少，甚至不会考，这一部分就不说了。好，我们直接来看第二点， 最小正周期的公式。那最小正周期的公式呢，就是 t 等于二拍除以绝对值的欧米伽，那这个叫做这个 w 读作欧米伽，二拍是固定的。欧米伽是什么？我们来看这里， 它的函数为 y 等于 a sin 欧米伽， x 加 f 加 k 欧米伽。记住了，为 x 的 系数。 好了，也就是 x 前面的那个数就是 omega， 就 这么简单。好，来看第三点了，第二点就这么简单了，来看第三点，辅助角公式，那么辅助角公式通常来说的应用就是求最大值和最小值。 我们来看这条函数的特点，它是 y 等于 a 乘以三 x 加 b 乘以 cosine x， 那 它的特点就是函数它会出现三 x 和 cosine x， 并且它们两个的这两个的次数为一。 什么意思？就他们都是一次的，那如果他写成 y 等于 a sin 平方 x 加 b cos 这种就不行了，因为这个是两次，这个是一次，我们要统一都是一次才行。记住了，好了，如果出现这种情况，那它的最大值 mass 就是 等于根号下 a 方加 b 方。很简单了，其实就是勾股定律，那它的最小值 mini 就是 等于负的，根号下 a 方加 b 方，就你会发现它的最小值就在就无非就在最大的前面加一个负号而已。 好了，那以上呢，就是三角函数图像和性值的全部内容了，我们直接来看一下题目。 题型一，求三角函数的最小正周期。那么这里呢，我列举了四道非常经典的例题，我们逐一来看一下。第一题是最简单的，最常考的，直接求最小正周期，那么我们就直接用最小正周期的公式， t 等于二拍除以绝对值。欧米伽， 欧米伽刚刚说了为 x 的 系数，也就是为四，所以这题二拍除以四等于二分之拍，最小正周期为二分之拍。就这么简单来看第二题， 函数 y 的 sin 二 x 加 cos 二 x 的 最小正周期，它跟第一题不同，它既有一个 sin 二 x， 又有一个 cos 二 x， 那 它的最小正周期的公式是什么？还是一样 t 等于二，拍除以绝对是 omega， 这里的 omega 指着也是 x 的 系数都为二，所以 omega 就是 为二，所以等于二，拍除以二等于拍好了，最少这六七为拍。到了第三题来看， 它现在的函数变成 y 等于 sine 平方， x 这里的次数为二，所以属于二次。 如果三角函数的次数为二，那么最小正周期的公式要变一下，变成 t 等于 pi 除以绝对值的 omega。 这个一定要记住， 如果次数为二，它的最小正周期的公式为 pi 除以 omega， omega 还是一样 x 的 系数。这里 x 前面的数是什么？没有，也就是把一给省略掉了，所以它就是 pi 除以一等于 拍。第三题的答案为拍。第四题，我们观察一下这个函数，它是多少次， 它的次数为一次还是二次，很明显的二次，因为平方，平方就是二次。来看第三题，平方就是二次，这是一个 二次的，所以他的最少正周期公式公式， t 等于拍除以绝对值欧米伽，欧米伽还是一样， x 的 系数为六，拍除以六，那就是六分之拍了， 就这么简单。题型二，三角函数的最值非常简单，这种题目是简单的，不能再简单了，在高考当中简直就是送分题，把分送到你们的嘴里面了。 刚刚说过了，最大值和最小值看哪一个数？看 side 前面的这个数， 那不不是看 x 的 数啊， x 前面的那个数是求周期的，而 side 前面的数才是求最大值的。好，现在为四，所以这个最大值为四，最小值为负四，就这么简单。第二题， 这条函数观察一下，前面是一个三角函数，但是后面多了一个减一，所以我们现在先管，先单独来看一下前面的这一个 好了。前面的这个能不能一眼看出他的最最大值为多少？那有的同学说啊，这个值为负二，那最小值就是为差，相反数就是二。又搞错了，最大值才是二呀， 最大的最大值肯定比最小值要大呀，所以最大值为二，最小值为负二，其实一眼就能看出来了。好了， 它后面是不是还多了个减一？所以整一条函数 y， 它的最大值就是二，减一 等于一，最小值就是为负二减一等于负三。好了，所以答案就是为一和负三，非常简单。我们来看一下最后的一个辅助角公式的应用吧。那么辅助角公式的应用呢？刚刚所说的就是勾股定律 mass 就 最大值等于根号下 a 方加 b 方。最小值 mini 就是 等于负的，根号下 a 方加 b 方。这里的 a 和 b 指的是撒尔和口上的系数。 好了，撒眼的系数为一，所以 a 等于一，扣上的系数为根号三，所以 b 等于根号三啊，所以很简单了，最大值我们来看一下，等于根号下一的平方加根号三的平方等于根号一，加三 等于根号四，等于二，对吧？最大值为二，那么最小值就是在他的前面加一个负号就行。那为什么刚刚和刚刚的这里不一样了，又要减一？因为他后面多了一个常数项，我们这个叫做常数项， 所以呢，我们要把这个常数项也加上去，但是后面这题他后面没有任何东西啊，没有常数项了，所以就不用管他，最大值，最小值接为负二就 ok 了。好了， 第二题还是传的道理，勾股定律，不要管，不要管它的符号是什么，我们直接写就行了。 a 等于负一， b 等于哦，又是根号三。好，那么直接用公式最大值，那就是根号下 a 方加 b 方等于根号下负一的平方加 根号三的平方等于根号一加三等于根号四等于二，所以它的最大值还是二，最小值还是负二，就是这么简单。 那么这一节的内容就全部讲完了。五点五上角函数的图像和性质，重点考的就是刚刚所说的那七八道的例题，大家一定要反复的去观看，一定要学会这种送分题。 我们来到第六节的内容，解三角形，解三角形是一个非常重要的内容，他会在选择填空题里面来考，同时也会在大题里面来考，那么大题呢，他是百分之七十都会考的，占十二分，非常重要。好了，我们来看必备知识的第一点， 那第一点呢，有两个小点呢，我们来看第一个小点，那这个大家都知道了，角 a 加角 b， 加角 c 等于一百八十度，这个大家都知道的，我们来看第二个，大边对大角，小边对小角是什么意思？在一个三角形里面，那这里有一个三角形呢？ a、 b、 c， 那 么角 a 所对的这条边就是为小 a， 角 b 所对的这条边就是为小 b， 角 c 所对的那条边就是为小 c。 好 了，我把这里先擦掉， 然后我们再来看这一个角是角 a， 它所对的边小 a 是 不是只有这么长？就这么一点？好了， 换一个颜色的笔，这一个角为角 b 瞎，他所对的边小 b 是 不是这么长？你有没有发现 小 b 的 这条边是不是比小 a 要长？那么所以呢，这个叫做大边对大角，小边对小角了。这个知识点在正弦定的里面会用到。 好了，我们先来看正弦定理，那么正弦定理呢？有两个知识点呢，第一个就是他的公式了，这个要背，他的公式也是非常的简单，来，我们只要背宽宽的这一部分就 ok 了，非常简单。那他呢？就是你看 a 比上 a 等于 b 比上 b 对 c 比上 b， 一 对的，他是一对的，非常简单。好。第二个知识点叫做边角互换， a 比 b 比 c 等于三眼 a 比三， b 比三眼 c。 什么意思？什么时候才用到边角括号？我再举个例子， 比如说题目给了两倍三眼 a 等于三眼 b 加三眼 c。 注意这条等式，如果它每一项都有三眼，并且它们的次数 都是相同的，次数相同，那么我们就能把这些 size 变成小 a、 小 b 和小 c， 那 么它就变成 二 a 等于 b 加 c， 它就可以变成这样子的了。那么怎么应用？我们后面讲题会讲到这个的。好。第三个，余弦定力，余弦定力有三条公式，其实这三条也是要背的，那它 背很简单，非常简单。首先我们来看前面的这一部分，就是变形式前面的这一部分，那它这里呢？是 a 方，你看 a 方等于 b 方加 c 方，就是它另外的两条边相加，减去 两倍的另外两条边乘以口上人本身，这样背就行了。好了，我们再看一下变形式怎么背，比如说口上 a 等于它是一个分子来的，那么首先 跟小 a 无关的两条边相加 b 方加 c 方，再减 a 方本身除以两倍的其余的两条边，这就 ok 了。 那么鱼弦地理的公司还是挺简单的。那么有的时候高考题目没有告诉我们小 b 小 c 小 a， 那 么我们还会不会去利用鱼弦地理的公司呢？举一个例子，比如说这里有一个 图像， a、 b、 c， 那 么如果题目要我们表示出 cosine b， 用这些大写的英文字母表示出，那我们还会不会表示呢？那它其实啊，非常简单，那么 b 呢？指的就这个角， 它的余弦定律就是为相邻的两条边的平方相加 a， b 的 平方加 b， c 的 平方，再减去对边的平方，那就减 a， c 的 平方除以两倍的相邻两条边相乘两倍的 a， b 乘以 b， c， 这就 ok 了， ok， 我 们来到第四点，三角形的面积公式，它的面积公式也是非常简单的， ab 三角 c 三 a， ac 三角 b， 就是 两条边 乘以另外的一个角的三点的值。好了，还是那个问题，如果题目给你画个图， a、 b、 c 就 没有给我们小 a 小 b、 小 c， 那 么我们还会不会去运用这条公式呢？ 其实也是很简单的啊， s 等于二分之一来啦，举，还是举上 b 为例子，二分之一乘以三点 b， 再乘以它两条邻边相乘就 ok 啦，只有乘以 a， b 乘以 b、 c， 这样子就 ok 了，还是很简单的，很好背的。好了，我们来到第五点嘛，常用的公式，那这两条公式呢，我们是需要记下来的， 我们后面的题目会用到这两条公式的，大家要要把这两条公式也要背下来， 我们带着刚刚所学的那几条公式来看一下到了题目是怎么应用。首先来看题型。一、正弦定理的基本应用。我们先把正弦定理的公式写下来， a 比 side， a 等于 b 比 side， b 等于 c 比 side c， ok， 来看题目。那前面这一段呢，一般都是废话来的，我们重点来看 第二行，他说小 c 等于十大 a 等于四十五，大 c 等于三十，求小 a。 那 么在正弦定力里面，我们有一个口诀叫做两边两角，用正弦， 某个人发现题目出现了两个角，大 a 和大 c， 刚好又出现了它所对应的边，小 c 和小 a， 所以 我们直接用正弦定你就行了。那这里呢，因为题目是出现 a 和 c， 所以呢，我们这里的 b 就 不用看，只需要单独看 a 和 c 就 行了。那么我们把公式写下来啊， a 比三点 a 等于 c 比三点 c， 写完之后再套数据， 现在小 a 要求我们照抄好了， side a 是 side， 先写吧， side 四十五度， 十比上 side 三十度。 ok， 我 们继续来做， a 比上 side 四十五度是二分之，根号二等于十比 side 三十度为二分之一。这里呢，我们就利用交叉相乘 二分之一， a 等于五倍根号二，然后方程两边同时乘以二，把这个二给约掉，那么 a 等于十倍根号二了。 ok， 我 们再来看第二题，那第二题它是给了大 a， 给了小 a， 又给了小 b， 求大 b， 就 求这个角度为多少，一定要注意啊，这这里不是求这个，不是求它的长度了，这个大 b 指的是角，求它的角度为多少。好了，我们还是用正弦定零啊。那这个时候呢，我们就用这条 a 比 sine a 等于 b 比 sine b 了，因为题目只出现了 a 和 b 嘛，那我们就用这个喽。好啦，代数字十六比 sine 三十度等于 十六倍根号三比 sine b， 因为 b 要求嘛，我们就选 sine b。 好 了， 十六比，这上三十度是二分之一，等于十六倍根号三比三 n b。 这里我们还是交叉相乘的方法，十六倍三 n b 等于八倍根号三，方程两边同时除以十六三点 b 等于十六分之八倍根号三，那这里一约分是不是二分之根号三了？所以呢，它就变成 二分之根号三了。好了，那么我们思考三点 b 为二分之根号三， b 为多少度？ 好，首先 b 等于六十度 o 不 ok， 除了六十度，它还可以等于一百二十度，因为一百二十度 三眼的值也是二分之根号三。好了，这个时候我们要判断了，我们到底是取六十度，还是取一百二十度，还是两个都能取，那这里有有一个知识点，那就是刚刚的那个知识点了，大边对大角， 小边对小角这样的一个知识点了。那这个时候我们来看 a 和 b 两条边谁大，很明显 b 大， 因为 a 小 于 b， 所以 角 a 小 于角 b 这样子了。那又因为角 a 是 三十度， 是不是我 b 取六十度和 b 取一百二十度都同时符合了？所以说这题的答案为，所以 b 等于六十度或者 b 等于一百二十度，因为我这两个度数都比角要大，都是符合的，所以有两个答案， 这题很多同学都会直接排除掉一个答案，直接排除掉一百二十度的这个答案，注意了，不能排出来，我们要合理的利用这个知识点来解析啊，一定要注意了，这题到了第三题，我们来看题目给了大 c 小 a 小 c， 求 大 a 两边两角用正弦，我们用这条公式来， a 比三 a 等于 c 比 三眼 c， 再把数值带进去，十比上三眼 a， a， 我 们要求的照抄就行了，等于五倍根号六比三眼六。十度。好了，计算，十比三眼 a 等于 五倍根号六比，那这里的上六十度呢？就是二分之根号三，这里我们还是用交叉相乘的方法，五倍根号六乘以三眼 a 等于五倍根号三。好了，方程两边我们先把这个五给约掉吧。好了，方程两边同时除以根号六，那就是根号三，除以根号六， sine a 等于这里就变成根号二分之一了，那它呢？就是二分之根号二了，所以 a 等于 多少度啊？四十五度，或者说 a 等于一百三十五度，那这个时候我们就要用这个那个知识点了，大边对大角，小编对小角，我们先来看， 先来看边， a 和 c 哪个大？这里不是很好比较，为什么？因为一个有根号，一个没有根号，没关系，我们把它平方用平方来比较，那么 a 的 平方就是十的平方，就是 一百 c 的 平方就是二十五五五，二十五五的平方乘以根号六的平方，那乘以六等于一百五十，那么所以呢？ c 比 a 要大的，因为 a 小 a 小 于小 c， 所以 大 a 小 于大 c， 就是 说 a 的 角度要比 c 的 角度要小，哪个符合 c 是 六十度，哪个是比六十度要小？很明显啦，四十五度，所以 a 等于 四十五度。这三题就是正弦定理的基本应用了，三题都是非常经典的例题，特别是第二题和第三题，很多同学都会漏掉这一个口诀。 我们再来看正弦定，你的第二个考法，边角互换我们来看啊，前面的这个都是废话，可以先不用看看后面的重点，已知 sin a 等于根号三 sin c， sin a 等于根号三 sine c， 那 么边角互换我刚刚说过了，题目如果每一项都有 sine， 并且它们的次数相同，那么我们就可以把大 a， 大 c 全部变成小 a 和小 c 了，所以得出小 a 等于根号三，小 c， 他现在说小 a 为根号三喔，因为 a 等于根号三，那么直接把这个根号三带进去就得了，所以根号三等于根号三， c 得出 c 等于一。那么这题呢，就是边角互换的应用啊，这题相对来说简单一点，那么没有关系，本质就是教会你们如何使用边角互换。 好，正弦定里就过来，下面我们来看余弦定里的基本应用。好，首先来看第一题，前面的这一条也是废话好了，他说大 a 等于一百二十度， 小 b 为这个，小 c 为这个，求小 a， 那 记住了，他这里余弦呢，有一个特点呢，就是三边一角， 三边一角用余弦，就是题目出现了三条边，小 b， 小 c， 小 a， 并且出现了一个角，我们就用余弦定理来做就 ok 了。好了，这期呢，我们就直接套用余弦定的公式吧，那么就是 a 方等于 b 方加 c 方减二， b， c 乘以口三 a， 对 吧？好，代数值去计算， 四倍根号三的平方加括号，两倍根号三的平方减二乘以四倍根号三乘以两倍根号三，再乘以 cosine 一 百二十度。 好，我们继续来算，等于这里就四的平方就十六，根号三，平方就是三三六，四十八， ok 了，有点大啊，四十八加十二减 二乘以。我们先把后面这两个相乘啊，四乘以二为八，然后根号三乘根号三为三，三八二十四， 二十四，再乘以 q 上一百二十度是负的二分之一， ok， 等于六十加，那这里就负负得正呐，这里一约六十加二十四等于八十， a 等于等于八十四，那么所以 a 的 值为根号八十四等于二倍根号二十一。 好了，这就求完了，是不是比较简单，就直接套公式代数字计算就 ok 了，那重点就是不要算错数啊，我们来看第二问吧。现在呢，给出了三条边的长度，反过来求这个 b 的 大小，求角 b 的 值啊。那么完了，我们就用它的变形式啊。 cosine， b 等于来了，它是一个分子来的， 首先它是其与两条边的平方相加， a 方加 c 方，再减去本身，再减 b 方除以两倍的，其与两条边相乘，这就 ok 了。 打横来写吧，等于 a， 那 就是三倍根号三的平方加二的平方减七的平方除以二乘以三倍根号三，再乘以二等于。 好了，那这里就是二十七加四减四十九除以十二倍的根号三。我们继续再来计算， 等于分子为负十八，下面为十二倍根号三。好了，我们再来约分啊，我们来看一下， 同时除以六，那这里呢，就变成了三，这里就变成了二，那个分子为三二倍根号三，对吧？然后再进行有理化，分子分母同时乘以根号三，这里也乘以根号三， 等于来看根号三和根号三为三和，这里约掉了等于负的二分之高三，写好看点啦，等于负的二分之根号三，那这个时候呢，我们就思考 cosine b 等于负二分之根号三，那么角 b 为多少度啊？所以角 b 等于 一百五十度了，这个是一个特殊角来，大家一定要背啊，如果实在不想背的，我们可以在考试前先把那个三角函数特殊值的那个表格先默出来，那么我们到了后面呢，就直接套这个表格，看哪个对着哪个就 ok 了。好了，我们来看第三题吧， 第三题给了小 a 小 b 大 b， 求小 c， 那 么这题呢，有一个小坑呢，很多同学看到求小 c 啊，他就只会说， c 方等于 a 方加 b 方减二 ab 乘以 q 上 c。 很多同学都直接用这条公式，是不是你会发现一个问题， 这里我们是要写口哨 c， 但是题目只给了口哨 b， 所以 这条公式不行， 不能用这条公式。那么呢，这里呢，有一个解析的技巧啊，在余弦定理里面，题目给了哪一个角度，我们就用那个角度的余弦定理的公式，那题目给了口哨 b， 我 们就用口哨 b 的 余弦定理公式，口哨 b 等于 我写它的变形。是啊， a 方加 c 方减 b 方除以二 a c， 那 写到这里，那我们套数字进去就 ok 了，负二分之一等于 a 方，再做快一点呢？ a 方就是为四加 c 方减 b 方，那就是十六。 二乘以 a 乘以 c， 那 就是四 c， 对 吧？好了，方乘两边同时乘以四 c， 那 这就变成负二， c 等于 c 方减十二，四减十六等于负十二嘛。好了，再写的好看一点， c 方加二， c 减十二等于零， ok， 我 们先来看一下十字相乘法能不能用， 很明显的不能用，那不能用，那我们就用配方法。 c 方加二， c 等于十二，先把这个十二弄过去，然后再配啊。加二 c 加某一个数的平方，加哪一个数啊？看这个前面的系数，系数为二，二的一半为一，所以加一的平方，把这里先拆掉， 等于十二加一的平方，左边加了一的平方，右边也要加一的平方。 c 加一，括号的平方等于十三， c 加一等于正负，根号十三。 c 一 等于正的根号，十三减一。 c 二等于负的根号十三减一。好，这个要舍去啊，因为长度不可能是一个负数的，所以 c 等于根号十三减一啦。注意啦，这题很坑的啊，高时高考或者说我们的练习经常会看到的，大家一定要记住了，第三题 题型是三角形面积公式的应用，那这个相对来说简单很多，我们直接过快一点啦，这里无非就直接套公式就行啦。给了大 a、 小 b 和小 c， 那 么我们呢，就直接套这条。 s 等于二分之一， bc 乘以 沙眼 a o 不 ok， 等于二分之一。好，乘以，这里呢就套数值就 ok 了。 二倍根号六乘以三倍根号二，再乘以扇 a， 扇 a 呢，就扇眼的三十度为二分之一，好了，等于 四分之，我们先分母乘，分，母完之后再分子乘，分子二，三得六，那就是六倍根号 十二。 ok， 我 们再拉单独拉出来化解一下吧，六倍根号十二，那根号十二呢？就是二倍根号三，对吧？所以呢，它这个就等于十二倍根号三，所以它是等于 四分之十二倍根号三，这里十二和四一约变成了三，最终答案为三倍根号三，就这么简单了， 接下来我们来看题型，五解三角形的综合题。那么呢，这道题目呢，是出自某一次联考卷的大题啊。我们接下来看，在锐角三角形 a、 b、 c 中 给出了一个废话，说三 a 为三分之二倍根号二，小 b 为二，小 c 为三。第一问， 求它的面积，来看一下，小 b 小 c 上 a， 这里呢，我们直接用面积公式就行了， s 等于二分之一， b， c 三人 a 直接套数字啊，二分之一乘以二乘以三乘以三分之二，被根号二，对吧？这里二和二约了，三和三约了，所以它的答案就是为 二倍根号二拿到手了，这个这个五到六分就拿到手了。我们来看第二问吧，那第二问题目求三眼 括号 a 加 b 啊，看到这个我们应该要很敏感才对，三眼 a 加 b 就是 等于三眼 c， 所以 说我们要求这个，实际上就是求三眼 c 啊。 那么我们的第一个思路呢，可以这样子啊，我们可以用余弦啊，正弦定你来做，那就是用 a 比 sin a 等于 c 比 sin c， 用这条公式来做。但问题呢，就是上 a， 有 了 这个小 c， 有 了问题就小 a 还不知道好了，怎么求小 a？ 我 们可以用余弦定。你来求小 a 啊，就是三边一角用余弦嘛，边边边 角对吧？那只不过呢，现在题目是三眼 a， 我 们要把它换成口三眼 a， 这就简单了，三棱平方 a 加口三眼平方 a 等于一。同角三角函数的关系式嘛。 好了，那这里就三分之二倍，根号二的平方加口三角平方 a 等于一，这里九分之八，加口三角平方 a 等于一。得出口三角平方 a 等于 九分之一，没问题吧？再得出口上 a 等于正负三分之一，这里取正还是取负？题目给了一个条件，锐角三角形。那锐角就在第一象限。所有的角都是零到九十度吗？都是在第一象限，因为 a 为锐角，所以口三角 a 等于三分之一。 ok 了，搞了半天，口三角 a 终于求出来了，我们接下来求小 a 吧，这里缩小一点。 那我们现在求小 a 吧，我们用这条公式啊，余弦定律啊， a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 乘以 口三 a。 好， 再放大一点吧，这里我就直接带数值了，等于四加九减 二乘二乘三，那就减十二乘以。刚刚算出来口三 a 是 三分之一，再那就乘以三分之一就 ok 了，等于十三减四 等于九，哎，刚刚好，所以 a 等于三，对吧。这里的负三我们就不写了，因为边长都是为正数嘛，没有必要，没有必要搞来搞去搞这么麻烦。 ok 了，一切准备就绪了，我们套最后的一条公式吧， a 比三 a， 这里我们还是缩小一点吧，我们尽量能看到题目 a 比三 a 等于 c 比 c。 好 了， a 的 值为三 三三 a 三分之二倍根号二等于 c 的 值。哎， c 也是三喔，哎，那就好办了。那么所以说三眼 c 也是等于三分之二倍根号二了，那么三眼 c 求出来，所以没有没有位置写在左边吧，所以三 a 加 b 也是等于三分之二倍根号二了。 好了，这就是解三角形的大题来，然后这几题都是非常经典的题目，大家一定要反复的去复习啊，不会反复的去看。 来到第七节的内容，三角函数的综合题，那么这里只有经典的三道题目，都是在模考试卷，高考试卷出过的，属于三角函数比较难的选填里面的压轴题。 好了，我们来看题型一，换元法的应用。好吧，来看第一题，题目说已知三元二法加六分之拍等于五分之三，那么求 口三元两倍二法加三分之拍，那这题还是比较简单的，还不至于用到换元法。那为什么呢？我们先观察一下这个二法加六分之拍 和这个二 alpha 加三分之拍之间的关系，就你会发现，我如果在这个的基础上，前面的这个基础上乘上了一个二，它是不是就变成了二 alpha 加 三分之派了？那么所以呢，我们后面的这条式子就可以写成来啦，可以写成 cosine 两倍的 r 加六分之派哇，这里要用中括号， 那为了看的清晰一点，我还是用换原法吧，就是把 r 法加六分之拍，把它换成 a， 所以呢，前面呢，就是三忍 a 等于五分之三，那这里呢，就是求扣三忍的 二 a 了，这样子是不是看着舒服很多了？好啦，那这里呢，就是扣上的二倍角公式啊，扣上二 a 等于一减两倍三平方 a 了， 等于一减二乘以二十五分之九等于一减二十五分之十八 等于二十五分之七，那么所以这题呢，就是二十五分之七了，这题比较简单，我们来看第二问，那么第二问来看了啊，前面是阿尔法加六分之拍，后面是二阿尔法加六分之五拍， 是不是感觉没那么容易？那如果我像刚刚那样啊，这个阿尔法加六分之拍乘以一个二， 他等于二 r 法加三分之拍，哎，你会发现，哎，怎么不一样呢？不是乘二了哦，那这种题目怎么办呢？我们就可以直接无脑的使用换元法了，就是把这个 r 法加六分之拍，把它换成 a 好 了，那他就变成 a 等于 r 法加 六分之拍。那这时候呢？因为这一坨都换成 a 了嘛，所以 sine a 等于三分之根号五。好了，左边换完，我们来换右边的这个， 右边这个怎么换？我们要把这个 r 法把它转换成大 a。 好 了，我们这里来操作一下 r 法 等于 a 减六分之拍，这里能不能理解，就相当于把这个六分之拍移过去嘛，加法变减法好了，我们再单独把这里面的这一坨单独的处理一下， 因为二法已经换成了 a 减六分之拍了，把它带进去，它就变成二乘以 a 减六分之拍， 加六分之五拍等于二 a 减六分之二拍，这里先不约分加六分之五拍等于二 a 加六分之三拍，对不对？那六分之三拍就是二分之拍了，那这里呢，就变成了二 a 加二分之拍了，那这个时候 sign 对， 缩小一点 sign 的 这个我就可以把它改写成二 a 加二分之拍了。好，这里用到什么知识点？ 出现二分之拍是不是能用到诱导公式了？好了，我们用诱导公式来把它化解。 sign， 二 a 加二分之拍， 它是 g， 要变，变成口塞人。二 a， 好 了，符号看象限，这里的二 a， 我 们把它看成三十度，三十度 就诱导公式之前说过的啊，都是把它看成三十度来做，加九十度等于一百二十度。在第二象限画一个全 s、 t、 c 的 图 好了，那这时候呢，我们判断第二项线的三眼的正负性，你会发现第二项线只有三眼是正的，其他都是负的，所以它是一个正的，那就等于正的扣上二 a 了，那正的我们就可以省略掉，没有必要写了。 所以现在来说，一切都水落石出了哦，现在就是我们可以把整把整一个题目改写成这样子了。已知三眼 a 等于三分之根号五， 求 q， 三点二 a， 那 是这样是不是简单很多了，又被又回归到了二倍角公式了。 q， 三点二 a 等于一减两倍三平方 a 等于一减二，乘以九分之五 等于一减二。哦，这里这个基本上是九分之十，一减九分之十等于负的九分之一，所以答案就出来了，这些答案为负的九分之一。 我们来看题型二和差角公式的综合应用，所谓的综合应用就是难很多，那么这一道是一个非常经典的例题，二零二六年的高数高考考了， 然后在二零二五年的时候，某一次的联考就是考了这一题，然后联考，二五年的联考考了，二零年的高考又考了，所以说联考的卷子 很有代表性，我们一定要认真的做，包括今年的每一年的联考卷都要认真的做好了，那这种题目怎么做？我们来看，题目说已知 sin alpha 减这个等于二分之高，和二口算 alpha 加 sin beta 等于二分之一， 求这个思考一下，我们可以先把这个展开，先把要求的这个进行展开，那展开了，它就变成 sine alpha， cosine beta 减 cosine alpha， sign beta， 对 吧？再观察其前面的这个是 sign alpha 口上 beta， 诶，是不是和第一个条件第一个条件很相似？ 后面的这个为扣三眼阿尔法，三眼贝塔跟第二个条件很相似。所以我们坐到这里就要思考如何把题目的这两个条件本来是加减法，怎么把它变成乘法， 能不能想到？那如果不能想到呢？我们来看怎么操作啊？我们来看 sine alpha 减 cosine beta 等于二分之根号二， 我在这里同时给他一个平方，会变得怎么样？我们来看，那左边呢？就变成三眼平方 r 减两倍三眼平方 pi 加口三眼平方 pi 等于 二分之一，是不是出来了？看到没有，中间的这个上 r 法，口上被它是不是出来了？好了，那么左边处理完，我们处理右边的这个条件也是同样的道理， 那，那我直接在这里给给给它平方了，我直接在这里给它进行平方，那么它就变成口上平方 r 法 加两倍 cosine alpha， sine beta 再加 sine 平方 beta 等于四分之一， 中间这里是不是出现了口上 r 反三倍塔？好了，那么现在我们有两条式子再观察，你会发现，先看第一个三眼平方口上平方，哎，你会发现它们相加的话，不就是等于一了？再看后面的这个 三眼平方贝塔加口上平方，贝塔再相加，是不是也是等于一了？所以我们接下来是不是可以把 这两条式子进行相加，也就是一式加二式？好了，那么第一项，第一个我们就变成了一，对吧，那就变成一 减两倍，三，二法扣三倍它我们这个一项一项的看呢，先看前面的，再看中间的，再看最后的，我们这样来看呢，加两倍扣上二法 sina 贝塔，好，再加这个，后面这个是不是也是变成了一啊？等于二分之一加四分之一。好啦，这里 可以先造写 alpha cosine beta 加二塞啊，加这个 cosine alpha， cosine beta 等于这里变成了四分之三减二 o 不 ok？ 我 们先来算一下四分之三减二吧，四分之三减二，那就相当于减四分之八，三减八等于负五，那就等于负的四分之五了， 行不行？前面左边这里我们把负二提取出来，它就变成三眼贝塔减口上 r 法 sine beta 等于负四分之五，然后两边都有负的，我们把它约掉。 接下来方程两边同时乘以二分之一， sine alpha 口， sine beta 减 cosine alpha， sine beta 等于四分之五乘以二分之一，那这里一层是不是变成了八分之五了， 对吧？好，我们再来看啊。题目让我们求的这个塞阿尔法减倍塔，哎，我们展开刚刚展开出来的这个是不是和我们的这个一模一样，所以它的最终答案就是为八分之五了。 好了，以上就是三角函数所有的内容了，这节课的时间比较长，大家一定要认真的去复习，不会的反复观看。

好了，我们一起来看二零二六年西城二模的第十七题，三角函数的问题。做到三角函数的题，首先有一个原则，你需要将三角函数转化为 a 倍的 sin， omega， x 加上斐的形式。 那如何将题目的已知算式变成你想要的形式呢？我们往往会用到三角函数的化简公式。化简公式一共有三种啊，第一种叫做两角和差公式， 第二种叫做二倍角公式，第三种叫做辅助角公式。大多数的题目，三个方法都会使用到， 那除了这三个以外，还有一个前提的公式叫做诱导公式。所谓的既变偶不变符号看象限，那如果你不记得诱导公式也没关系，因为 所有的诱导公式你都可以通过和差公式来得到。好的，那我们接下来看它的第一问。题目是要求函数的最小正周期，那我们就进行转换， 那首先会发现这里面有二分之派加派，典型的既变偶不变符号，看相线，这是一倍，所以它是基数倍，那正弦就变为弦，而它们的符号刚好一样，所以可以直接转化为 cosine， 那 就写成了 cosine 二 x， cosine phi 加上 cosine 二 x sine phi， 那 屏幕前聪明的你应该能够看出来，这就是一个典型的三 q q 三的形式，两角和差公式的反用，所以可以合并得到 sine 二 x 加上 phi。 那 如果题目问的是什么，它的最小正周期怎么做？还是一个公式周期？它等于二 pi 除以 omega 欧米伽在这里是二，所以二派除以二等于派，那第一问的五分轻松拿到最小正周期为派。好了，那我们接下来看他的第二问。第二问就是我们最近几年典型新高考的问题，题目会给你一二三三个条件，那你要从中进行选择，这里的选就是个大问题了， 如果说的复杂一点，那你会怎么做？你需要去判断一二三，谁对谁不对，当你在判断谁对谁不对的时候，别人都已经做到第十八题、十九题了。所以我们有一些原则， 那是用根据什么来呢？首先三个条件里面肯定有一些你觉得看起来会更简单一些的，那我们第一优先用简单的，那简单如果错了，那非常倒霉，那你可能需要选第二个或者第三个，那这里谁比较简单？一个是直接告诉你相等的两个点， 一个是告诉你性质，还有一个是性质，那毫无疑问，带点肯定是远远比函数的性质要简单，所以这里我们优先选第一个， 那我们选第一个来做做看选条件。一两个函数相等，那就只需要把十二分之 pi 和四分之 pi 给带入就行，那得到的是 sine， 六分之 pi 加 sine， 它就等于 sine， 二分之派加派。那问屏幕前你一个问题，两个正弦想要相等，这两个角要满足什么条件？你可以点一下暂停键，思考十秒钟。 很多人会想到的是，哎，那很简单啊，两个正弦相等，那这两个角就相等，所以写出的他们的第一个算式，六分之派加派等于二分之派加派，那这就是第一个陷阱， 不一定是两个角，因为我们叫做任意角。你还可以相等的，就是上转三百六十度又回来了，所以相等的情况应该在后面加上一个，加三百六，加 kpi， 那 pi 和 pi 底角很明显，左边和右边也不可能相等，所以这种情况他无解。 那除了两个角相等在一起，正弦会相等，有没有另外的情况是？有的，还可以，一个在左边，一个在右边。三十度和一百五十度叫互补，那这时候你就写出了你的第二个想法，叫相加得一百八， 那这个时候同样还是有陷阱，任意角什么，你除了可以是一百八，你还可以继续多一个三百六，多一个三百六，所以后面补上一个二 k 派等于零，那这里我们就会解出对应的派，那解出派等于六分之派加 k 派。 好，是两个角相加互补的，一个角加另外一个角互补。哎，这里应该写派好，那我们最后解出来是六分之派加 k 派， 那得到了这个之后呢？大部分的时候角度都应该是比较小的，有规定是负九十到九十，所以那 far 只有唯一的一个值，所以 far 只能等于六分之派。加上代入元函数，那就得到了原来的函数，就应该是等于 三引啊。二 x 加上六分之派，那接下来题目的问题就会更简单了，他问的是函数的最大值和最小值。分三步走，第一步，看函数它的 x 的 定义域，那定义域是属于零到二分之派的。接下来第二步，你就可以求出整体的范围， 那整体二 x 加六分之派的范围就属于六分之派到六分之七派。那第三步，结合图像出答案， 那画一个图像，你会发现它是一个波浪线，从圆点开始，而我们要的是图像的六分之派到六分之七派这一段，那毫无疑问什么时候最大在一的时候， 什么时候最小在六分之七派的时候，那我们就可以去写算式了。那第三步就是那所以当我们的一个整体等于二分之派的时候，就有最大至一，这个整体等于最小，呃，六分之七派的时候就会最小直角负二分之一。 接下来我们说一下为什么条件二是不能选的？在第一问当中，我们已经得到了周期是派，那周期是派的话呢？就表示我们这个波浪线，它这里就是二分之派，就是在上面，对吧？二分之派就是在下面，或者也可以理解为 它单调递减的这一段就应该是二分之派，单调递增的这一段也是二分之派。而题目给的这个是三分之派到派中间间隔的三分之二派个单位，它是大于二分之派的， 所以肯定是远远超过的一个完整的减区间或者增区间。所以条件二一定是不对的 啊。条件三其实跟条件一差不多，但是很多人可能不认识偶函数，那根据这个条件你就可以得到的是偶函数左右对称，那也就意味着 f x 加六分之 pi， 它就等于 f 负 x 加六分之 pi。 同样的也可以解出对应的 f 也是一样的答案，那最后求出来的最大值最小值也是相同的。 好的，我们最后总结一下，那这道题能够选的是一和三啊，不能选的是二，最终的答案是最大值为一，最小值为负二分之一。 那下次再遇到这种像条件的大题，你要去选择的时候，一定是优先用你认为简单的，这样你能够快速做出来，哪怕他是不对的，你也可以排除掉。那在今年西城二模考试的题目当中呢？你选的是条件几呢？可以在评论区告诉我。那关注我，每天我们学习一个数学知识点。