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08:02查看AI文稿AI文稿我们知道数学源自生活，数学也应用于生活。数学家华乐根曾说过，日用之烦，无处不用数学。下面就让我们从生活中的一个现象开始今天的探秘之旅。 大家请看我手中这个圆柱形的水杯，当水瓶放置时，水面是什么形状？ 圆形对吗？当水杯倾斜时，水面是小圆形。你能从数学的角度来解释一下这个现象吗？ 刘韵泽，呃，从数学的角度，对， 就是，如果是平的话，他应该就是跟那个水平面齐平的，也就是说他那个那个那个水面应该跟就是杯子底部应该是平行的，杯底应该是圆的，然后他水平面也就是圆的，然后如果说他是倾斜的话， 他那个面就是。嗯，怎么说呢？他那个面就不是圆的。嗯，好，请坐他们来看。 我们姑且把这个萝卜认为是圆柱形的。我用一个平面去截圆柱，当平面与圆柱的轴垂直时，得到的截面是什么？圆形，当平面与轴不垂直时 得到的结面？是啊，团圆。那么我们这个实际上是从平面去结圆柱体得到的结面来解释这个现象。那如果用一个平面去结圆锥，又能得到什么曲线呢？ 那么让我们沿着数学家们曾经走过的路，一起去揭秘。 公元前四世纪，古希腊数学家梅列克米斯在研究立方背基问题的过程中发现，用不同角度的平面截圆锥面，可以得到不同的曲线，这就是圆锥曲线的雏形。下面我们来看一段动画， 从刚才的动画中，我们刚好可以解决同学们所提出这个问题， 用不同角度的平面去截圆锥，分别可以得到圆、椭圆、双曲线和抛物线。其中我们把椭圆双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。 圆锥曲线还有丰富的性质和应用。大约在公元前二百年， 古希腊数学家阿伯罗尼奥斯在著作圆锥曲线内容以纯几何的方法将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地。直到十七世纪， 法国数学家笛卡尔发明了坐标系。此后呢，人们开始借助于坐标系，运用代数方法来研究几何问题，这是数学中的一个重要的转折点，笛卡尔因此被认为是解析几何之父。 用代数方法研究几何问题。在前面，我们学习直线和圆的过程中，同胚应该已经有所体会， 它的本质是建立曲线上的点与方程解的一对应关系，从而形成形与数的有机统一。 后面呢，我们继续用代数方法来研究圆锥曲线。那么本节课呢，我们主要来研究椭圆及其标准方程。 首先，我们来看第一个问题，请同学们思考一下椭圆中点具有怎样的几何特性？好，大家可以讨论一下， 他是一个 邓博文， 你来说一下， 是不是你前面已经预习过了？嗯，是就是，我感觉就椭圆上的点。就是啊，从椭圆上找一个点，然后再从这个椭圆这个面的内部到两个定点距离之和为一个定值。 椭圆上的点到就是椭圆这个平面内，他两个定点的距离之和为一个定值。啊，椭圆上点到椭圆内两个定点，距离的和是一个定值。为什么呢？ 好，请坐好。那么我们一起来看一下数学家们，他们是如何发现几何特性。 十九世纪初，比利时数学家戴德林用圆锥面和结面均相切的两个球，发现了椭圆的几何特性， 我们具体来看一下。我们首先关注一下这个小球，小球与圆锥面所有的切点形成一个什么图形？ 圆形是不是一个圆形？那同理，大球与圆锥面是不是也形成一个圆？这两圆之间的部分所构成的几何体就是圆台。我们来看 另外这两个球与结面，也就是我们这个椭圆面是不各有一个切点，我们记为 f 一 和 f 二。 然后呢，我们从椭圆上任取一点 m， 过点 m 做圆台的一条母线。
25小夏优质公开课
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04:15查看AI文稿AI文稿天呐，苏老师那个知识点能够理解呀？好的，我们来看一下求椭圆的标准方程有几种方法呢？首先的话就是根据定义，也就是说我们可以根据定义 定义法来求椭圆的标准方程，通过这个 x 方比 a 方加上 y 方比 b 方等于一来确定这个 a 方 方和 b 方的值，然后再结合交点的位置写出椭圆方程，也就是说看交点是在 x 轴上还是在 y 轴上，如果说交点在 x 轴上，那么 x 方下面这个数要大一些，是吧？如果说交点在 y 轴上，就 y 方下面的数要大一些，然后这个就是比较简单，咱们可以直接代数。然后还有呢，就是待定系数法，也是一个比较简单的方法， 这个的话，咱们可以根据这个焦点是在 x 轴 y 轴上直接设出标准的方程，然后根据 abc 来求解，其实跟定义法是一样的，只不过根据定义法来说，你通过就是说 任意点到两个定点的距离之和为定值来判断出他是椭圆，然后通过椭圆标准方程来求出 a 方 b 方，代数法也是这样的。嗯，那一般的情况下，咱们说求椭圆标准方程的题目呢？如果说这个焦点位置不确定哈，就说焦点 位置不确定的情况下，咱们可以怎么设呢？咱们就是说椭圆的标准方程，咱们可以设成设 a， x 方加 b， y 方等于一，其中的话 a 是 大于零的， b 是 大于零的，然后 a 呢是不等于 b 的， 也就是说这样的话，我们可以把这个 啊，交点是在 x 轴还是在 y 轴上的情况给它避免掉，就是不用分类讨论了，直接代数，哎，你求出来的是什么 ab， 结果就是什么，不需要再判断一次了。然后还有呢，就是说还有一个就是说与与这个椭圆方程 x 方比 m 加上 y 方比 n 等于一，叫什么共交点？ 共焦点的椭圆怎么设怎么设呀？也就是说咱们说共焦点是什么情况？共焦点它肯定是 c 相同， 而且的话焦点要么在 x 轴上，要么在 y 轴上，对吧？这个时候呢，咱们就说共焦点这个椭圆可以怎么设呀？可以将它设成这个 x 方比上 m 加 k 等于一，这个时候呢， k 要大于负 m， k 要大于负 n， 然后 m 不 等于 n， 为什么这么设呀？这个肯定是保证这个 x 方和 y 方下面的数不等于零，对吧？那其实呢，咱们说共焦点就是 c 相同， c 相同的话， 也就是说这个时候你可以怎么说呀？相当于是你这个 c 方，咱们说根据定义， c 方等于什么？ c 方等于 a 方减 b 方啊？那你看你这个代入，你这个 a 方是不是相当于是 m 加 k， 然后减去这个 n 加 k， 那 是不是就是 m 减了？以圆方程来看，以圆方程的 c 方 是不是也等于 m 减 n 呢？所以说这个时候你就能保证它是共交点的一个椭圆，对吧？ c 都一样了。 所以说这就是咱们说求椭圆标准方程的两个方法，第一个就是定义，第二个就代定系数。然后还有两种设法，就是焦点不确定的时候，可以直接就是说，哎，写成 a x 方加 b， y 方等于一的形式。还有就是共焦点的时候是本质上是 c 相同，所以说咱们直接可以设成什么 这个形式来，这个重点要记一下哈， 再记一下，也就是说 这个 x 方和 y 方下面的数都加上了 k， 因为他最后的话跟定义的话是简单的 c 方就是相同的，对吧？可以这么设，这样咱们做题要简单一些，下一个视频呢，会有相应的例题，同学们也可以看一看。
19重庆苏老师
03:05查看AI文稿AI文稿第二个我们要知道椭圆的标准方程，它其实通过的是椭圆的定义动点到两个定点距离和，然后去掉根号平方推出来的啊，但是推导的过程几乎不考，我们说 s 方比 a 方加上 y 方比立方等于一， 那么这个要求是 a 大 于 b 大 于零，它是椭圆。那老师问你，双曲线 a b 有 关系吗？没有，只要大于零就行，而椭圆必须要求的是在 a 大 于 b 大 于零。 然后其次我们说椭圆的焦点焦点，也就是说这两个定点在哪，它的焦点就在哪个左右，那么这两个啊，是 s 方比 a 方，谁下边的数大，那么就是焦点所在的左右轴，那这里 a 大 于 b 大 于零，是不是 s 方下边数大？ 所以说这个椭圆的焦点它就是在 s 轴上，那么椭圆的焦点在 s 轴上，这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是这 f 一 在这， f 二在这。那么我们第一个要知道椭圆的顶点坐标是什么？ 我们椭圆的顶点就是它与坐标轴相交的点，叫椭圆的顶点，那其实与坐标轴的交点是不是 s 的 零或者是 y 的 零， 对吧？那么顶点这个 ab 的 坐标就是正负 a 到零，那么 c 的 就是零到的正负 b。 好， 那老师问你问题，如果说椭圆过零到二的点，那么这个二它其实不是 a 的 值，就是谁的值， b 的 值看到没？好，那么它的焦点焦点坐标就是在正负 c 到零。老师问你，椭圆的焦点在不在椭圆上？ 不在，不在，他不在椭圆上啊。然后其次我们他的范围，你这个椭圆中 x 的 取值范围就是大于等于负 a 小 于等于 a， y 的 取值范围是大于等于负 b， 小 于等于得失 b， 对 吧？那么什么时候会用到它的范围？比如说给你椭圆放口， 椭圆上一点到一个定点最大值，最小值问题往往会设点的坐标，根据他的范围去做。然后，其次，我们椭圆是一个轴对称图形，它的长轴长是在二 a， 短轴长是二 b， 相距是短轴长是二 d， 焦距是二 c。 好， 那么有些题他可能给你的是长半周长啊，所以读题时要认真，长半轴就是谁 a， 短半轴就是 b 啊，所以一定要读题认真。 其次，他们仨之间的关系是什么？他们仨 a 方等于谁？ b 方加 c 方。椭圆中一定要记住谁最大？ a a 双笔尖谁最大 啊？好，那么他的离心率呢？离心率 e 等于的是 a， 分 之 c， 还等于根号加一减 a 方分之 b 方， 他的范围一定属于的是零到一的开区间，那么在这里面，他如果接近零时，那么椭圆是圆，如果接触一时，椭圆是圆点，了解就行啊。好，那么这个是交点在哪个坐标轴上的椭圆是个 s 轴。
14沈阳徐思数学
15:01查看AI文稿AI文稿上课，同学们好，请坐。同学们，在开始今天的内容之前呢，我们先来看这样一段视频，这是行星在绕着太阳运行的一个轨迹，这个轨迹是，哎，椭圆。 那其实在我们的生活中呢，也有非常多椭圆的例子，有没有同学可以举出一些呢？嗯，请你哦，他家的盘子是椭圆形状的。 嗯，哦，你把矿泉水瓶倾斜得到的水面，哎，也是椭圆形状的。那其实椭圆呢，在我们数学学习中也是非常重要的一类曲线，所以我们今天就来研究椭圆的相关内容。 好，我们刚刚提到椭圆，它是一类重要的曲线，那有没有同学能够根据圆的研究思路给我们研究椭圆定一定思路呢？ 嗯，请你好，这位同学提到我们研究椭圆，也应该类比研究圆，先研究它的定义，也就是形的特征，而后根据定义呢去得到它的方程，最后去研究它的性质以及一些关系。好的，请坐， 那我们首先来探求它的定义。那么拿出老师课前让大家准备的纸板，铅笔、图钉以及细线，我们来做这样一个实验，首先在纸板上固定两个图钉，我们把它的位置记为 f 一 和 f 二， 然后把细线的两岸固定在这两个图钉上，用铅笔绷紧细线，滑动铅笔看看能形成什么样的轨迹。现在开始， 好，老师看到大家呢，都画的差不多了，请两位同学一起来展示一下。嗯， 好，他们都得到了。哎，椭圆。好，那现在请同学们思考，在刚刚得到椭圆的过程中，哪些量在变化，哪些量是不变的呢？嗯，请你好， 这位同学提到笔尖的位置在变化，也就是老师黑板上标的这个屁点的位置在变化，而两个图钉 f 一 f 二，它是固定的。嗯，同桌提到细线的长度，它也是固定的。 细线的长度是什么？也就是老师黑板上画的，哎， p f 一 加上 p f 二， 这两个的夹合，它是固定的。好，那请同学们再次思考。请问 p f 一 加上 p f 二和 f 一 f 二之间需要满足什么样的条件才能够画出椭圆呢？ 嗯，你有想法哦，你说 p f 一 加上 p f 二必须要大于 f 一 f 二才能做出椭圆，如果是等于的话，做出的是一条线段。好，请做。 那么老师呢，在几何画板上改变了 f 一 f 二的长度，画出了不一样椭圆，请同学们看一看。嗯，那好，根据我们刚才的探求，同学们能不能总结椭圆的定义了呢？嗯，请你好好 到两个定点之间的距离之和为常数。嗯，就是到两定点 f 一 f 二的距离之和 为长竖。 好，你认为这样的点啊，它的轨迹是椭圆。 好，好的，请坐，有没有同学有补充呢？嗯，你有补充？ 好，这位同学提的，我们刚刚说了呀，要有椭圆，必须满足这样的条件，所以这个常数需要。哎，大于 f 一 f 二。 好，还有补充吗？我们是在哪里做出的椭圆纸板上，所以它是一个平面图形，所以我们必须是在平面内。 好，那这样呢，我们就通力合作，得到了椭圆的定义。 好，那么这里规定 f 一 f 二呢，是椭圆的焦点， 这里的 f 一 f 二之间的距离，我们把它叫做焦距， 这个常数我们给它一个记号二 a， 同样的焦距也给它一个记号二 c， 好。 所以为了满足这样的条件，我们需要使 a 和 c 有 什么关系啊？哎，你说哎， a 要大于 c， 好，那我们这样呢，就得到了椭圆的定义，下一步是研究它的哎，标准方程。那么我们同样类比圆，怎么样去研究椭圆的标准方程呢？嗯，你有想法。 好，首先要间隙，然后去设椭圆上的点，然后根据定义找到等量关系，并把点带入化简。最后要检验。好的，请坐，我们按照这样的思路来进行探究。首先第一步，间隙， 怎么样间隙最合适呢？嗯，请你好，他说椭圆是一个轴对称图形，所以以 f 一 f 二的中点为圆点， f 一 f 二所在直线为 x 轴来建立平面直角坐标系。 好的，建立这样一个平面直角坐标系。第二步，设点，设椭圆上的任意一点 p 为哎， x y。 好。 第三步，根据定义找到等量关系式。关系式是 哎， p f 一 加上 p f 二是常数二 a， 所以 关系式是 p f 一 加上 p f 二等于二 a。 好， 现在请同学们根据这个关系式代入 p 点的方程，得到一个关于 x 的 方程。现在开始 好，老师看到大家都写的差不多了，我们都得到了这样一个方程。但是呢，对于这个式子的处理大家各不相同。 有些同学选择两边直接平方把根号去掉，但是似乎遇到了一些困难。嗯，你遇到困难是什么？哦？同学说，虽然平方呢，可以消掉根号，但是却又产生了更复杂的一个根号，不好计算。好有没有同学能够帮助他解决这个困境。 嗯，请，你好，这位同学说，我们可以选择哎，把这一项移过来，然后再进行平方，会好计算一点。好，那现在请同学们根据这位同学的思路，再一次进行计算化解。开始 好，老师看到大家也写的差不多了，这样子，我们得到的式子是这样的式子， 于是只剩下了一个根号，两边再次，哎，平方。好，现在再次平方进行化简，看看能得到什么样的式子。好，现在开始， 好，老师让同学们呢都写差不多了，在刚刚 在一开始对它两边平方的时候，我们可以得到大屏幕上这个相对比较复杂的式子，经过化简呢，可以得到老师黑板上这个式子。 这个式子呢，其实已经挺简洁的了，但是对比圆的标准方程好像还是不够简洁，所以老师这里做一个处理，老师令 b 平方呢， 等于 a 方减去 c 方啊，说 b 是 大于零的，所以这个式子可以写成，哎， b 方 x 方加上 a 方外方就等于 a 方 b 方， 那为了让它更加简洁，两边可以同时除以 a 方 b 方得到 x 方比上 a 方加上外方比上一方等于一。好，哎，这就是我椭圆的标准方程吗？ 有没有些要求呢？ a 和 b 需要满足什么样的条件呢？嗯，你有想法？好，这位同学提到 a 必须要大于 b， 因为 b 是 a 方减 c 方得到的。好，请坐。 好，那这样我们就得到了椭圆的标准方程， x 方比上 a 方加上外方比上 b 方，就等于一满足 a 大 于 b 大 于零。好， 这是我们的标准方程哎，但是这个时候椭圆它是横着的，但是椭圆它也可能是竖着的呀，假如椭圆它是竖着的 好，刚刚横着的交点在 x 轴上。现在如果椭圆竖着，交点在外轴上，会得到什么样的方程呢？ 请同学们前后四人为一小组，类比刚刚研究交点在 x 轴上的过程，得到交点在外轴时椭圆的标准方程。现在开始。 好，同学们都写的差不多了吧。好，这个小组来分享一下。好，这小组提到这个方程呢，长得跟焦点在 x 轴上方程差不多，只是 x y 交换了位置， 它们得到的结果是， y 方比上 a 方加上 x 方比上 b 方等于一。好的，请做，同样需要满足 a 大 于 b 大 于零， 那么上面这个是交点在 x 轴上的方程，下面这个是交点在外轴上的方程。 请问如果给出一个椭圆的标准方程，如何判断它的交点在 x 轴上还是在外轴上呢？嗯，你有想法哦，这同学提到，只需要判断 x 方和外方下面的分母谁大就可以，谁比较大交点就在哪个轴上。 好的，请坐。那么同学们到这里，我们本节课的内容就要告一段落了。本节课呢，我们探讨了椭圆的定义以及其标准方程，并且得到了如何判断椭圆焦点的一个方式。那么课后留一个思考题， 请问同学们能否在椭圆中找到对应线段长度分别是 a、 b、 c 的 线段， 并且判断它们是否可以构成直角三角形。好，那么课后呢？希望同学完成课后作业，将知识进行内化。好的，下课。
48爆炒猪肝👿
05:54查看AI文稿AI文稿起立老师好，同学们好，请坐！大家先来看这一张图片，它是嫦娥一号运行轨道的示意图，那大家能知道嫦娥一号的运行轨道是什么曲线吗？ 椭圆，椭圆。那么另外在某种电影放映灯反光镜，它的镜面是什么形状的？ 哎，他是一个椭球面，也就是他的轴节面是椭圆的一部分啊，椭圆的一部分，那么我们可以看到椭圆在 物理学中的运动学中以及光学中有着广泛的应用。那么怎样可以得到椭圆呢？大家来看这样一个视频， 用平面去截圆锥，这样截的什么呢？接口曲线 几种？接口曲线四种，一是圆，二是椭圆，三弧线，还有双曲线，哎，双曲线，那么我们把这样的曲线都是平面结什么得到的？ 圆锥，哎，都是平面结圆锥得到的，所以我们把它叫做圆锥曲线。 那么前面我们已经学习了直线和圆的方程，那么这一章我们将开启圆锥曲线的方程的学习过程。根据圆锥曲线论的记载，公元前三世纪， 阿伯罗尼奥斯用纯几何的方法对圆锥曲线进行了深入的研究。公元六世纪 拜占庭数学家安提米尔斯、十七世纪法国数学家拉伊尔、十九世纪比利时数学家丹德林等都从不同的角度对圆锥曲线进行了研究。 十七世纪后，人们用坐标系，用代数方法研究研究圆锥曲线， 对圆锥曲线的认识啊，更加精致。那么现在大家来看这个问题，我们按照怎样的学习路径研究圆锥曲线呢？ 定义，定义，第一是什么定义？然后性质有定义，直接可以得性质吗？ 我们这节题目是什么方程有定义，可以得方程是不方程，用方程，用代数的办法来研究性质，然后再得到 圆锥曲线的简单应用，这是我们这一章的学习路径。那再看问题二，如何研究确定椭圆的几何要素呢？ 从刚才的视频中我们可以看到，圆锥曲线是平面，截圆锥是不得到的截口曲线，当平面和圆锥的轴线夹角变化时，截出来的曲线会发生变化。 但是在这个图形中他是什么图形啊？是不是一个立体图形？我们研究起来有点困难，那么有兴趣的同学可以去 在网上搜集有关资料进行研究。那现在我们来做这样一个做图的实验， 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点， 套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么？圆？为什么是圆？ 高正阳？因为他有一个定点，然后是以这个定点为圆心，然后以正常为半径，是个点，是吧？拉紧细绳，旋转笔尖， 那个笔尖满足什么条件？到定点到定点的距离等于定长，这样的点的几何叫圆？还好请坐。 那么现在如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点， f 一、 f 二， 套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线呢？大家在给你的这一个图板上来。
02:23查看AI文稿AI文稿妈耶，苏老师，哪个题啷个做呀？好的，我们一起来看一下哈。以下方程表示椭圆的式，那首先呢，我们可以复习一下这个椭圆方程的这个定义哈，这个椭圆方程咱们是怎么理解的呢？也就是说，写成一般的形式的话，对于方程， x 方比 m， 加上这个 y 方比 n 等于一，这个方程的话，如果说它是一个椭圆方程的话，它的冲量条件就是 m 大 于零， n 大 于零，且 m 不 等于 n， 那 么我们知道 m 大 于零， n 大 于零，那么分了几种情况啊？也就是说，第一种情况， m 大 于 n 的 时候大于零，它是什么呀？它是焦点在 x 轴上的椭圆，对不对？ 在 x 轴上，也就是说它的长轴是在 x 轴上的。还有一个第二种情况，就是 n 大 于 m 大 于零的时候，它的焦点是在 y 轴上的，做一个这个区分就好了。所以说啊，哪个数大，它表示的就是 a 方，是不是？那 m 等于 n 的 时候是什么呀？ m 等于 n 的 时候，实际上它就是一个圆点在 呃，圆心的一个圆心在圆点上的一个圆了。好，那回过头来，咱们看这道题哈，那这个能表示椭圆的是什么呀？你看这个 a 选项，这个 m 和 n 相等了，它不是椭圆，它这个表示的是圆。 b 选项呢？咱们把它进行化简，要使右边这个数字为一，也就是说每一项都除以二，那么 x 方减去 y 方比上这个，嗯， 三分之二等于一，对不对？他表示的是椭圆吗？不是，中间必须得是什么？这个中间必须得是加号，对吧？所以说直接看这个符号，我们也能判断出来，也不用化简了。那好，那这个 c 选项呢？ c 选项的话，虽然说他都是负的，但是每一项都是负的，本质上就相当于是正的。化简之后他是什么呀？ x 方比 二分之一加上 y 方比三分之一等于一，他是一个椭圆，对不对？这个 c 选项是一个椭圆。好，接下来我们看这个 d 选项呢？ d 选项的话，他带一个 n 对 不对？那么我们要看这个， 看不出来，那我们看这里，这个是一，这个是零，是不是？他应该是一，他才能表示椭圆方程，所以这道题就一个答案，选 c。
75重庆苏老师
04:31查看AI文稿AI文稿那两个钉点，哎，钉子要钉固定对不对？还有呢？然后那个绳子要绷直，为什么你才能保证那个两点那个距离值是一样的？非常好， 非常好。好，那画的过程中有哪些量是不变的呢？就是， 嗯，有哪些量是不变的？绳长，哎，就是刚刚那两个定点和定长，对不对？绳子的长度是不变的，以及， 哎，非常棒。钉子之间的距离是不变的，那这两个不变量有什么关系？哎，后一位同学，这两个不变量有什么关系？ 你可以观察到在画的过程中是不是有出现这种构成三角形的情况。好，那你看看，你看看， 呃，大于，哎，谁大于谁？ 哎，非常的好，哎，构成三角形，两边之合大于第三边，所以我们有绳子的长度要大于钉子间距离，非常棒。这两位同学，请你们回到座位上， 好，不变。变量呢？变量，哎，我让这个笔尖动起来，也就是 m 的 位置， m 的 位置， 好，刚刚我们是不是动手操作了，是不是会存在误差？那现在我借助精确的计算工具，用几何画板来画一下，我选择平面上两个定点， f 一， f 二， 我取定它们之间的距离为六点五六，好，我取定绳子长度呢， p f 一 加 p f 二等于十点六四，是满足我们绳子长度大于钉子间距离了。现在，啊，我让这个 p 点动起来， 好，借助我们的几何画板验证。他动的比较慢，如果你要他跑完全程的话，他确确实实是一个椭圆，是一个椭圆，所以通过几何画板，我们验证了， 我们验证了满足最开始那两个条件的点的轨迹是椭圆。嗨，是椭圆，那你能总结得到椭圆的特征吗？椭圆上的点有什么特点呢？ 这位同学，在前面的指点下，你能得到椭圆的上的点的特点吗？对，上的点到这， 这这两个丁点的距离之和相等。哎，椭圆上的点到两个定点的距离之和是一个 定值，非常的棒，请做好特征出来了，类比圆的定义，请同学们当一回数学家给椭圆下个定义。 椭圆的定义应该是，哎平面内 到哎两定点的 距离为定长，距离之和为定长 的点的轨迹。好，为了方便我们的表述，为了方便我们的表述，我们用 f 一 f 二呢来表示这两个定点， 哎，以及从刚刚的分析中，我们知道这个距离之和的定长一定是要大于 f 一 f 二的， 一定是要大于 f 一 f 二。好，椭圆中呢，我们把 f 一 f 二这两个定点称之为焦点。
08:33查看AI文稿AI文稿好，今天我们来开始讲圆锥曲线的考点，先从椭圆的标准方程开始。 好，我们椭圆的标准方程是从它的定义开始的，那么我们来讲一讲椭圆的定义啊，课本上有啊，是到 两定点的距离，两定点的距离之和 等于定值 点的轨迹， 我们成为椭圆， 那么呢，我们定点就是交点啊，那么我们给的定义的时候，是把这两个定点 f 一 给的是负 c 多号零或是零负 c f 二 c 多号零或是零 c 啊，就是给了两定点，其实就交点，我们假如说 f 一 是负 c 多号零 f 二 c 多号零，那么有 p， f 一 加上 p f r 如果等于 r a， 那 么 p 点的轨迹 啊，为椭圆 设 p 点的坐标为 x y， 那 么呢，我们就可以去列式子啊，根号下 x 加 c， 括号，平方加上 y 方，再加上根号下 x 减 c， 括号平方加上 y 方，它等于 a 啊，这是椭圆的 根据椭圆的定义去列的式子，然后呢，你就会把这个式子去展开化简，最后得到我们椭圆的标准式啊，在这里面呢，我们来展开演算一下啊，演算一下，我们可以看到， 这个时候呢，我们肯定是要把其中一个带根号的移到右边，然后再左右平方，也就是根号下 x 加 c， 括号，平方加上 y 方等于二 a 减去根号下 x 减 c， 括号平方加上 y 方， 然后我们左右平方得到 x 加 c 括号平方加上 y 方等于四 a 方减去四 a， 根号下 x 减 c， 括号平方加上 y 方，再加上 x 减 c 括号平方加上 y 方啊， 这个时候呢，像这个式子和这个式子，你把右边的这一个 x 减 c 括号平方加 y 方移到左边啊，你把这个移到左边，我们就可以得到， x 加 c 括号平方加上 y 方，减去 x 减 c 括号平方，再减去 y 方等于四 a 方， 减去四 a 根号下 x 减 c 括号平方加上 y 方，然后左边你去化简，可以得到是这个是两倍的 c x， 这个是负两倍的 c x 一 减，所以是四倍的 c x 等于四 a 方， 减去四 a 根号下 x 减 c 括号平方加上 y 方啊，我们可以约一个式哈， c x 等于 a 方，减去 a 倍的根号 x 减 c 括号平方加上 y 方，然后呢，这个减号移到右边，再把 c x 移到啊，这个减号的这移到左边，再把 c x 移到右边，可以得到 a 倍根号 x 减 c 括号平方加上 y 方等于 a 方，减去 c x， 然后我们开始左右再平方 a 方乘以 x 减 c 括号平方加上 y 方等于 a 的 四次减去两倍的 a 方 c x 加上 c 方 x 方。啊，整理一下哈， a 方 x 方减去二 c x 加上 c 方加上 y 方， 等于 a 的 四次减。二、 a 方 c x 加上 c 方 x 方，也就是 a 方 x 方减去二 a 方 c x 加上 a 方 c 方加上 a 方 y 方， 等于 a 的 四次减。二、 a 方 c x 加上 c 方 x 方。这里负二 a 方 c， x 是 可以消掉的啊，消掉之后你就会发现， 再把这个 c 方 x 方移到左边，可以得到 a 方减去 c 方括号 x 的 平方，然后再加上 a 方 y 方等于 a 的 四次减去 a 方 c 方，然后我们把 a 的 四次减去 a 方 c 方一除，你就可以得到 a 方减 c 方 x 方除以 a 的 十次减去 a 方 c 方加上 a 方， y 方除以 a 的 十次，减去 a 方 c 方等于一啊，你该跃跃，你就可以发现是 x 方 啊。除以 a 方加上 y 方除以 a 方减 c 方等于一。这个时候我们令 b 方等于 a 方减 c 方，就可以得 焦点，也就是我们说的定点在 x 轴上的标准式椭圆 标准式 x 方除以 a 方加上 y 方除以 b 方等于一啊，同样的我们可以得到啊，我在这里画个分割线，同理 可知交点，也就是我们说的定点。如果是在 y 轴上的 椭圆， 标准式是 x 方除以 b 方等于 y， 加上 y 方除以 a 方等于一，其中 a 大 于 b 啊，大于零。 这样的话，我们可以通过题目给的，例如已知某点到 两定点 负一逗号零，一逗号零的距离 之何为四啊？求轨迹方程。 那么我们就知道，实际上这个点我们设为 p 点的话， p f 一， 加上 p f 二， 它就等于四，也就是我们的二 a， 所以 a 它应该等于二，那么 c 等于一，那么我们的 b 方就等于 a 方。减 c 方，它就等于三。所以我们的椭圆方程，它轨迹是椭圆嘛？椭圆方程 为 x 的 平方除以四，加上 y 方除以三等于一啊，得到这么一个结果啊，这次我们举的一个比较简单的例子哈 啊，我们下次把椭圆的几何性质讲完之后，我们再来看一下椭圆有关的一些题型啊，基础的题型哈。
21旺旺大李包🧸
05:58查看AI文稿AI文稿上课起立，老师好，同学们好，请坐！ 今天我们继续在大单元的视角下来学习新的知识果园及其标准方程。那么按照我们计划呢，本节课我们将要学习曲线方程这一部分， 希望大家可以通过对熟悉图形的再认识，以及对未知图形的研究，来掌握形成解析法，研究几何图形的这样一个系统化的经验。 首先我们来看这样一个情景，这里是哪里？同学们知道吗？很厉害，对咱国家的这个了解的很透彻。国家外剧院这个地方呢，它的外形可以抽象为一个椭圆，大家可以猜一猜把剧院弄哪个位置，它的票最贵。 优点很好，这位同学肯定预习了。如果大家没有想法，或者有已经形成自己的想法，我们可以带着这个想法，带着这个猜测往下看。我们一起来学习椭圆及其标准方程。我们学习完椭圆的相相关知识，就可以解决我们最最初始的这个问题了。 所以这一课我们先来学习椭圆。实际上对于椭圆的研究要追溯到几千年前，首先张守宇给我们一个问题，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线会是一个圆， 那如果改变结面与圆锥的轴所成的角，会得到什么样的结果曲线呢？这里老师给大家做出来了， 如果用平行的这样一个平面结圆锥，可以得到一个圆，如果去改变它的方向，会得到更多的曲线，比方说椭圆，比方说抛物线，比方说双曲线，那随着学习的生物，我们会逐渐来学习这样几条曲线。好，今天先来学习椭圆。 在历史上去认识椭圆，首先要追溯到几世纪，公元前几世纪阿伯罗尼奥斯的研究，他给出了椭圆的一个定义，并且给出了很多他的优美性质。等到十五世纪， 意大利学家蒙蒂就给出了一个更为简洁的椭圆定义，这也是我们沿用至今教材上我们初等数学所要学习的椭圆定义。 接着但德林这位科学家用他的双球模型去证明了蒙迪定律。 最后到了十七世纪，我们知道数学巨匠迪卡尔先生采用了坐标法去研究几何问题，就像研究圆那个样子，所以今天我们也会用这种更为先进的方法去探求椭圆的标准方程。 我们顺着这个思路来看椭圆及其标准方程，通过实验研究、再数推导以及类比推理的方式，我们来形成定义，建立方程，进而进一步的去拓展应用。首先我们来看第一个问题， 如何画一个椭圆呢？如果我取一条定长的绳子，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察笔尖画出的轨迹是什么呢？ 圆很好啊，大家对上一章的内容记得很好，如果我是定长一条，定长一个定点，形成圆。现在我们进行下一个问题，如果我把细绳两段拉开一段距离， 分别固定在图板的两点，也就说原来一个定点，现在是两个定点了。再套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么呢？我们来试一试这个数学实验。大家桌上已经准备好了图钉、绳子、画板，请大家尝试画一画， 小组合作，四个人一起完成一个， 对，很好，对， 操作哎，对，操作好。 嗯，你看学习， 我们一会请同学展示哈。 画的很好， 画了俩 好，大家基本上都完成了，我们找一组来展示一下，看哪一组画的最好。来，你来展示一下，拿着你的板到前面来，给大家看看你是怎么画的。 站这里面对你的同学们说说你是怎么画的。我先把 我先把两个图钉固定在了，就我先拿一张纸，用两个图钉把这个纸固定在了这个板子上，然后把绳子套在这个图钉上，然后用一根笔拉紧绳子，然后做做一个椭圆， 大家是不是这样做的？做的好不好，给他一点鼓励。这里呢，老师也做了一次，大家看跟大家做的过程是一致的，对吧？那么我做完这个曲线。
03:13查看AI文稿AI文稿好，第二个我们要知道椭圆的标准方程，它其实通过的是椭圆的定义动点到两个定点距离和，然后去掉根号平方推出来的啊，但是推导的时候几乎不考，我们说 s 方比 a 方加上 y 方比立方等于一， 那么这个要求是 a b 大 于零，它是椭圆。那老师问你，双曲线 a d， 你 们复习完了双曲线 a d 有 关系吗？没有 没有，只要大于九就行。而椭圆必须要求的是在 a 大 于 b 大 于零。然后其次我们说椭圆的焦点焦点，也就是说这两个定点在哪，它的焦点就在哪个坐 标轴，那么这两个啊，是 s 方 b 方谁下边的数大，那么就是焦点所在的坐标轴。那这里 a 大 于一大于零，是不是 s 方下边数大？ 所以说这个椭圆的焦点它就是在 s 轴上，那么椭圆的焦点在 s 轴上，这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是这 f 一 在这， f 二在这。好，那么我们第一个要知道椭圆的顶点坐标是什么？ 我们椭圆的顶点就是它与坐标轴相交的点，叫椭圆的顶点，那其实与坐标轴的焦点是不是 s 的 零或者是 y 的 零， 对吧？那么顶点这个 ab 的 坐标就是正负 a 到零，那么 c 的 就是零到谁正负 b。 那 老师问你个问题，如果说椭圆过零到二的点，那么这个二它其实不是 a 的 值，就是谁的值 b 的， 这我再说一遍，如果椭圆过坐标轴上的点，就委婉的就告诉你 a 或者是谁的这 b 的， 这听懂没？好，那么它的焦点焦点坐标就是在正负 c 动零。老师问你，椭圆的焦点在不在椭圆上？不 在，不在，它不在椭圆上。然后其次，我们它的范围，你这个椭圆中 x 的 取值范围就是大于等于负 a， 小 于等于 a， y 的 取值范围是大于等于负 b， 小 于等于得是 b， 对 吧？那么什么时候会用到它的范围？比如说给你椭圆方头 说椭圆上一点到一个定点最大值，最小值问题，往往会设点的坐标，根据它的范围去做。然后其次，我们椭圆是一个轴对称图形，它的长轴长是二 a， 短轴长是二 b， 相距是 按短轴长是二 d， 焦距是二 c。 好， 那么有些题他可能 给你的是长半轴长，所以读题时要认真，长半轴就是谁 a， 短半轴就是 b 啊，所以一定要读题认真。其次，他们仨之间的关系是什么？他们仨 a 方等于谁？ b 方加 c 方，椭圆中一定要记住谁最大 a 双笔先写对的啊啊，那么他的离心率呢？离心率 e 等于的是 a 分 之 c， 还等于根号加一减 a 方分之 b 方， 他的范围一定属于的是零到一的开区间，那么在这里面他如果接近于零时，那么椭圆是约圆，如果接触一时，椭圆是约点了解就行啊。
26沈阳徐思数学
05:56查看AI文稿AI文稿好，请同学们回忆一下，初中我们学习过哪些平面，右方角，老方角、三角形、平行，四边形、圆形。 学习了一些平面多边形和一个曲线特殊的曲线圆。 那么这一节课我们一块来学习一个新的曲线，叫圆锥曲线。那么什么是圆锥曲线呢？请同学们看视频。 用和圆锥轴线垂直的平面结圆锥形成圆台。接口曲线是圆， 用和圆锥轴线斜交的平面截圆锥侧面接口曲线是椭圆。 太阳系中行星公转的轨道就是椭圆。用和圆锥轴线平行的平面截圆锥接口曲线是方曲线。 火电厂的冷却塔侧面就是典型的双曲面，是由双曲线旋转而成的。 用经过圆锥轴线的平面截圆锥接口线就是两条渐近线， 用和圆锥轴线斜交的平面截圆锥底面接口曲线是抛物线， 看照灯的反光镜就是抛物面，是由抛物线旋转而成的，如果没有空气阻力的影响，但到曲线就是典型的抛物线。 好了，我们一定观看这个圆锥曲线的形成过程。为什么叫圆锥曲线，就是因为它是用一个平面去借圆锥所得到的曲线。这节课我们学习圆锥曲线的一种特殊形式 来研究，过程中我们首先研究了直线圆 的位置关系。在初中，现在呢，我们用方程的形式在高中进行了对直线和圆的位置关系的研究。通过插上树的翅膀以后，我们更能够细致入微的去研究啊 两条直线的位置关系，你比如说两条直线平行，现在我们肉眼看或者我们用几何办法来证明很难证实， 但是现在我们通过建立两条直线的方程，可以通过方程组的解的个数来判断两条直线是否平行，这是我们数学常用的用代数方法研究几何的方法。 刚才啊，我们一定知道什么是圆锥曲线，那么采取的思路也是要确定求出圆锥曲线的方程，进一步来深入的研究圆锥曲线的几何性质。 也就是说我们从形来有树，看上树的地方来进一步来研究其， 这是什么啊？这是什么啊？这是谁啊？那么美不美啊？美， 你是通过什么视觉看的你知道吗？就是照相机的角度，但是我看的什么呢？是用数学的眼光来看，我发现啊，好，是什么东西？ 错人，我们是错人吗？是，是不是啊？学了这节课后，我们就给你一个明确的答案。再看一下一个图片，这是我们闲置的一块土地， 因为啊不能及时施工，所以下边长了些烂草，并且呢还种了一些灰的花，所以非常不美观。那么如果让同学们去划一个或设计一个块形的大花池， 你应该怎么去设计呢？怎么划出来呢？ 好，那么我们呀，一定在课下进行了十个实验，下面我们看我们这个实验， 这个数学实验啊，同学们啊，可以，一定要做出来。我看同学们啊，有的划的不错，我让我跟同学来说一说，你是怎么划出来的？三次划了多少遍？两三遍，你说一下你这个失败的原因和最后成功划出来的 两分钟就离开， 两边对称，找到 f a 和 f 二的交叉点，然后再等两边出现在 f a 和 f 二上，发出一个嗯， 你失败的前几次，失败的所有人一定是什么样的失败的结果还能够有什么呢？呃，我这边说出了你们的看法。
00:44查看AI文稿AI文稿各位数学老师是不是一上公开课就头大？课间要精致，图像要标准，熬夜改来改去真的太耗精力？给你分享一个 ai 课间工具，大角几何画板公开课有亮点， 日常上课也超实用！左边工具栏全是专业绘图工具，直尺、圆规、椭圆变换工具等等，步骤简单，一看就会。函数图像更是省心，选类型、填参数，实时预览表达式，还有好用的 ai 作图， 说一句话或者拍道题。 ai 自动化出几何图形，几何图形支持修改，导出网页版，直接打开即用，不用下载备课做课间效率直接拉满，省下大把时间。大脚几何画板小张持续更新中。
22小张数学几何
04:55查看AI文稿AI文稿这个是不是椭圆？是啊，那我现在 我把 p 点向下移动，也就是我把把什么改变了？把它那个距离，把它两边的距离和改变了，距离和改变了，变小了还是变大了？变小？ 那我们再来看， 这个时候从轨迹上来看，虽然没有线，应该也是一个什么呀？椭圆。好，我现在再把 来看一下，这个时候它形成的轨迹依旧是一个椭圆，对不对？对，我再把它向下移， 好，大家看一下此时是一个什么情况？线段是一个线段，那也就是说平面内到两定点的距离之和为常数的点，一定是一个椭圆吗？不一定，不一定，不一定。那你得出一个什么结论？什么情况下才能是一个椭圆？ 好像要大于这个聚聚和要怎么点的这两个点？那我们以 p 点 p 点作为动点，那要保证什么样的条件下才能是一个椭圆？ p 什么？ p f 加 p f 要大大雨也行啊， 也就是 p f 一 加 p f 二大于 f 一 f 二的时候，它才是一个什么东西？椭圆。如果，如果我们刚刚得到了这个就是 p 点，在 f 一 f 二中间的时候，其实是保，是说明 p f 一 加 p f 二，它们是一个什么关系？ 与谁相等？与 f 二相等，与 f 一 f 二相等，说明它的轨迹是什么？线段是线段，轨迹是线段。那我们再来看，如果小于呢？如果 p f 一 加 p f 二小于 f 一、 f 二之间的距离， 小鱼呢？画不出来了，就画不出来了，画不出来了，不存在这样的对不对？对。所以现在大家看到黑板上能不能再把我们这个定义来完善一点？可不可以再完善一点？可以，怎么完善？怎么完善？ 且且什么两丁点，两丁点之间距离距离要大于，那我们直接用字母来表示， p f e 到 p f 二要到 f e f 二 f 二的距离， 且 p f 一 加 p f 二要大于 f e f 二的距离，才可以使它的点的轨迹是一个。为什么会出现这三个结论呢？ 为什么好像和那个三角形有关系？和三角形有关系？列九位的知识来完成黑板上的题目，现在开始。 哎，是吧？谁？梁新元同学，他，他是一个椭圆，他的轨迹是一个椭圆，为什么？然后把 我刚刚把这几个点带了，然后算出来一个等式，然后 a c 和 b c 它们相加，一直是等于一个长处，然后就符合这个定义，符合这个定义，所以他觉得是椭圆。请坐一下，有没有不同意见？ 有没有不同意见？你们都觉得答案是一个椭圆，对不对？ 哎呀，去什么 ab 这两个点，去 ab 两个点，因为他是什么形状？三角形，所以我们看一下他的动画，他应该是一个椭圆。挖掉，不是 ab 两个点。是哪两个点与。
5名师课堂
